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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Der Prager Gaststättenverband behauptet stolz, dass 92% ihrer Gaststätten das strenge Alkoholverbot für Jugendliche (kein Bier unter 18!) konsequent umsetzen. Das tschechische blaue Kreuz bezweifelt das und glaubt dass es weit weniger konsequent umgesetzt wird. Eine zufällig sich in Prag aufhaltende Biberacher Schülergruppe erklärt sich bereit, eine Hypothesen-Test mit einem Signifikanzniveau von α=5% durchzuführen. Dabei versuchen 17-jährige SchülerInnen in 97 Kneipen ein Bier zu bestellen. Gib den Bereich an, wie viele Gaststätten dabei den Jugendlichen den Alkoholkonsum verweigern müssten, damit das blaue Kreuz die Behauptung des Gaststättenverbands statistisch begründet anzweifeln könnte. Gib die Irrtumswahrscheinlichkeit an, dass die 92%-Aussage des Prager Gaststättenverband irrtümlicherweise aufgrund des Tests verworfen wurde, obwohl sie in Wirklichkeit stimmt.

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
79	0.0006
80	0.0017
81	0.0043
82	0.0102
83	0.0223
84	0.0456
85	0.0865
86	0.1522
87	0.2477
88	0.3725
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≥ 0.92 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.92 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(97,0.92,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 84 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p=0.92 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.92 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0456 =4.56% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;84]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [85;97]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [0;84], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [85;97], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

An einem Roulettetisch fällt die Kugel auffallend oft auf die (so selten gesetzte) grüne Null. Ein Spieler bezweifelt deswegen, dass diese tatsächlich die angegebene Wahrscheinlichkeit von p= $\frac{1}{37}$ hat. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 67 Würfen und einem Signifikanzniveau von 1%. In welchem Bereich muss die Häufigkeit der grünen Null liegen, damit er nachweisen kann, dass deren tatsächliche Wahrscheinlichkeit über $\frac{1}{37}$ liegt. Wie hoch ist dann die Irrtumswahrscheinlichkeit?

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k	P(X≤k)
0	0.1595
1	0.4563
2	0.7284
3	0.8922
4	0.965
5	0.9905
6	0.9978
7	0.9996
8	0.9999
9	1
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≤ $\frac{1}{37}$ zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p> $\frac{1}{37}$ ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H₀ (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.01= 0.99 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(67, $\frac{1}{37}$ ,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 5 erstmals mindestens 99% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;5]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H₀ dass dieser erst bei 6 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H₀: [6;67]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p= $\frac{1}{37}$ so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p> $\frac{1}{37}$ als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0095 =0.95% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [6;67], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;5], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Zlatan Ibrahimovic behauptet von sich, dass er mit mindestens 90% Wahrscheinlichkeit von der Strafraumgrenze die Querlatte des Tores treffe. Obwohl Ibrahimovic für seine geradezu legendäre Bescheidenheit und Demut bekannt ist, zweifelt ein Mitspieler an dieser Quote. Sie einigen sich auf einen Test mit 89 Versuchen und einem Signifikanzniveau von 1% (was auch immer Ibrahimovic darunter verstehen mag). In welchem Bereich muss die Anzahl der Lattentreffer liegen, um den schwedischen Stürmer der Prahlerei zu überführen, also dass man eine irrtümliche Anzweiflung der Trefferquote rechnerisch abschätzen kann?Berechne dann diese Irrtumswahrscheinlichkeit.

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k	P(X≤k)
...	...
67	0.0001
68	0.0002
69	0.0004
70	0.0011
71	0.0028
72	0.0067
73	0.0148
74	0.0304
75	0.0587
76	0.1055
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≥ 0.9 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.9 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(89,0.9,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 72 weniger als 1% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p=0.9 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.9 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0067 =0.67% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;72]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [73;89]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [0;72], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [73;89], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

67

68

69

70

71

72

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74

75

76

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80

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82

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85

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87

88

89

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein spielsüchtiger 12-Klässler möchte nachweisen, dass ein bestimmter Würfel gezinkt ist und zu selten eine 6 kommt. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 68 Würfen und einem Signifikanzniveau von 5%. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der 6er liegen, damit er die Spielbank verklagen kann. b) In Wirklichkeit ist der Würfel tatsächlich manipuliert und würfelt nur mit der Wahrscheinlichkeit von 13% eine sechs. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der Sechsen nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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k	P(X≤k)
0	0
1	0.0001
2	0.0004
3	0.0021
4	0.0075
5	0.0212
6	0.0501
7	0.1014
8	0.1795
9	0.2836
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≥ $\frac{1}{6}$ zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< $\frac{1}{6}$ ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(68, $\frac{1}{6}$ ,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 5 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p= $\frac{1}{6}$ so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p< $\frac{1}{6}$ als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0212 =2.12% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;5]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [6;68]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [0;5], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [6;68], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

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17

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H₀:p= $\frac{1}{6}$ falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.13 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 6 bis 68, so dass H₀ (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.13) beträgt nun: $P_{0.13}^{68} (X \geq 6)$ =1- $P_{0.13}^{68} (X \leq 5)$ ≈ 1-0.1089 ≈ 0.8911

Mit 89.11% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Ein Roulettetisch scheint ungleichmäßig zu laufen. Ein Spieler bezweifelt deswegen, dass die vorgegebene Wahrscheinlichkeit der grünen Null von p= $\frac{1}{37}$ wirklich stimmt. Diese Vermutung soll durch einen zweiseitigen Test mit 160 Drehungen des Roulettes untermauert werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen.
In welchen Bereichen muss die Häufigkeit der grünen Null bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese p= $\frac{1}{37}$ statistisch untermauert ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

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k	P(X≤k)
0	0.0125
1	0.0679
2	0.1904
3	0.3696
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p = $\frac{1}{37}$ zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< $\frac{1}{37}$ oder p> $\frac{1}{37}$ ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 5% gerecht auf 2.5% auf der linken und 2.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=160 und p= $\frac{1}{37}$ ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 0 gerade noch weniger als 2.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

k	P(X≤k)
...	...
7	0.9299
8	0.9693
9	0.9878
10	0.9956
11	0.9985
...	...

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 2.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.025 = 0.975 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=9 erstmals $P_{\frac{1}{37}}^{160} (X \leq k)$ ≥ 0.975 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 10 bis 160 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 2.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 10 bis 160.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H₀: p= $\frac{1}{37}$ so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠ $\frac{1}{37}$ als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von $P_{\frac{1}{37}}^{160} (X \leq 0)$ = 0.0125 auf der linken Seite und $P_{\frac{1}{37}}^{160} (X \geq 10)$ = 1-0.9878 = 0.0122 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit P_Irr = 0.0125 + 0.0122 = 0.0246 =2.46% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;0] und [10;160]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [1;9]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H₀: [0;0] oder [10;160], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [1;9], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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1

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6

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9

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12

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Ein Casino hat ein Glücksrad, bei dem die Gewinnwahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn mit 13% angegeben wird. Spielgäste haben sich beschwert, weil sie glauben, dass diese Gewinnwahrscheinlichkeit in Wirklichkeit kleiner wäre. Deswegen führt das Casino einen Hypothesentest mit 500 Drehungen dieses Glücksrads durch. Dabei soll das Risiko auf 9% begrenzt werden, dass aufgrund des Tests das Glückrad unnötigerweise ausgetauscht wird, obwohl die Gewinnwahrscheinlichkeit nicht kleiner als 13% ist.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 9%

Die Nullhypothese H₀: " ... mindestens 9%", also p ≥ 0.09 macht keinen Sinn, weil die 9%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=13% gehen, also die Gewinnwahrscheinlichkeit dieses Glücksrad.

2. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 9%

Die Nullhypothese H₀: " ... höchstens 9%", also p ≤ 0.09 macht keinen Sinn, weil die 9%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=13% gehen, also die Gewinnwahrscheinlichkeit dieses Glücksrad.

3. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 13%

Wenn die Nullhypothese H₀: " ... mindestens 13%", also p ≥ 0.13 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.13 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 9% sein muss, falls die Nullhypothese H₀: p ≥ 0.13 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.13 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 9%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.13 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.13 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit das Glücksrad unnötigerweise auszutauschen, auf unter 9% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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4. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 13%

Wenn die Nullhypothese H₀: " ... höchstens 13%", also p ≤ 0.13 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.13 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 9% sein muss, falls die Nullhypothese H₀: p ≤ 0.13 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.13 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 9%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.13 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.13 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit das Glücksrad nicht auszutauschen und Ärger mit der Glückspielbehörde zu riskieren, auf unter 9% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Hypothesen-Test linksseitig

Hypothesen-Test rechtsseitig

Hypothesen-Test linksseitig

Fehler 2. Art

zweiseitiger Test

Linke Seite:

Rechte Seite:

Fehler 1. Art beurteilen

1. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 9%

2. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 9%

3. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 13%

4. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 13%