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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Ein Basketballspieler behauptet, er habe bei Freiwürfen eine Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,85. Sein Trainer glaubt, dass er sich dabei überschätzt. Um das zu überprüfen, muss der Basketballspieler 35 mal werfen. In welchem Intervall müssen die Treffer liegen, dass sich der Trainer auf einem Signifikanzniveau von 0,1% bestätigt sieht? Wie hoch bleibt dabei die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass der Trainer aufgrund des Signifikanztests die Trefferwahrscheinlichkeit irrtümlicherweise als niedriger annimmt?

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kP(X≤k)
......
160
170
180
190
200.0001
210.0003
220.0011
230.0037
240.011
250.0292
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.85 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.85 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(35,0.85,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 21 weniger als 0.1% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.85 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.85 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0003 =0.03% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;21]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [22;35]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;21], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [22;35], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Einem partystarken 12-Klässler wird von einem nicht ganz vorurteilsfreien Lehrer vorgeworfen, nichts auf die Klassenarbeit gelernt haben. Diese findet in Form eines Multiple Choice-Tests mit 81 Aufgaben statt, bei der genau eine der vier Antwortmöglichkeiten richtig ist. In welchem Bereich muss nun die Anzahl der richtigen Antworten liegen, damit er auf einem Signifikanzniveau von 1% die Behauptung des Lehrers widerlegen kann.

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kP(X≤k)
......
250.9087
260.9425
270.9654
280.9802
290.9891
300.9943
310.9972
320.9987
330.9994
340.9997
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.25 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.25 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.01= 0.99 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(81,0.25,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 30 erstmals mindestens 99% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;30]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 31 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [31;81]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.25 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.25 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0057 =0.57% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [31;81], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;30], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Der Prager Gaststättenverband behauptet stolz, dass 94% ihrer Gaststätten das strenge Alkoholverbot für Jugendliche (kein Bier unter 18!) konsequent umsetzen. Das tschechische blaue Kreuz bezweifelt das und glaubt dass es weit weniger konsequent umgesetzt wird. Eine zufällig sich in Prag aufhaltende Biberacher Schülergruppe erklärt sich bereit, eine Hypothesen-Test mit einem Signifikanzniveau von α=5% durchzuführen. Dabei versuchen 17-jährige SchülerInnen in 84 Kneipen ein Bier zu bestellen. Gib den Bereich an, wie viele Gaststätten dabei den Jugendlichen den Alkoholkonsum verweigern müssten, damit das blaue Kreuz die Behauptung des Gaststättenverbands statistisch begründet anzweifeln könnte. Gib die Irrtumswahrscheinlichkeit an, dass die 94%-Aussage des Prager Gaststättenverband irrtümlicherweise aufgrund des Tests verworfen wurde, obwohl sie in Wirklichkeit stimmt.

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kP(X≤k)
......
690.0001
700.0005
710.0015
720.0043
730.0117
740.0288
750.0646
760.1311
770.2392
780.3912
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.94 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.94 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(84,0.94,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 74 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.94 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.94 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0288 =2.88% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;74]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [75;84]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;74], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [75;84], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein Großhändler beklagt sich, dass gelieferte LED-Leuchtmittel mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,24 bereits nach wenigen Stunden defekt werden. Die herstellende Firma glaubt das nicht und hält die Ausschussquote für viel geringer. Deswegen führt sie einen Test mit 86 Leuchtmitteln durch. Als Signifikanzniveau für diesen Test wird 5% festgelegt. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der defekten LED-Leuchtmittel liegen, damit die Firma die Aussage des Großhändlers widerlegt? b) In Wirklichkeit liegt die Ausfallwahrscheinlickeit der Leuchtmittel nur bei p=0,17. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der defekten Leuchtmittel nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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kP(X≤k)
......
80.0004
90.0012
100.0032
110.0075
120.0159
130.0311
140.0562
150.0941
160.1473
170.2164
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.24 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.24 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(86,0.24,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 13 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.24 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.24 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0311 =3.11% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;13]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [14;86]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;13], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [14;86], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p=0.24 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.17 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 14 bis 86, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.17) beträgt nun: P0.1786 (X≥14) =1- P0.1786 (X≤13) ≈ 1-0.385 ≈ 0.615

Mit 61.5% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Es wird vermutet, dass bei einem Glücksspiel die Gewinnwahrscheinlichkeit nicht wie angegeben 15% beträgt. Die Vermutung soll durch einen zweiseitigen Hypothesentest mit Stichprobenumfang n = 54 auf einem Signifikanzniveau von 0,1% überprüft werden. In welchen Bereichen muss die Anzahl der Gewinne bei der Stichprobe liegen, um diese Vermutung statistisch zu belegen? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

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kP(X≤k)
00.0002
10.0016
20.0085
30.0296
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = 0.15 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.15 oder p>0.15 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 0.1% gerecht auf 0.05% auf der linken und 0.05% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=54 und p=0.15), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 0 gerade noch weniger als 0.05% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

kP(X≤k)
......
160.9983
170.9994
180.9998
190.9999
201
......

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 0.05% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.0005 = 0.9995 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=18 erstmals P0.1554 (X≤k) ≥ 0.9995 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 19 bis 54 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 0.05% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 19 bis 54.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p=0.15 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠0.15 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von P0.1554 (X≤0) = 0.0002 auf der linken Seite und P0.1554 (X≥19) = 1-0.9998 = 0.0002 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit PIrr = 0.0002 + 0.0002 = 0.0004 =0.04% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;0] und [19;54]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [1;18]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;0] oder [19;54], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [1;18], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Eine Firma möchte den Preis für ihr umsatzstärkstes Produkt erhöhen. Die Marketingabteilung geht davon aus, dass dadurch 4% der Kunden zu einem Mitbewerberprodukt wechseln und somit der Umsatz so stark zurückgehen würde, dass sich die Preiserhöhung gar nicht lohnt. Die Geschäftsführung ist sich aber nicht ganz sicher, ob diese Zahl verlässlich ist und beschließt, einen Hypothesentest mit 900 Personen durchzuführen, die befragt werden, ob sie bei der Preiserhöhung zu einem anderen Produkt wechseln würden. Dabei möchte sie das Risiko auf 7% begrenzen, dass aufgrund des Tests irrtümlicherweise die Preiserhöhung vollzogen wird und somit ein starker Umsatzeinbruch eintritt.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt mindestens 7%

error

Die Nullhypothese H0: " ... mindestens 7%", also p ≥ 0.07 macht keinen Sinn, weil die 7%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=4% gehen, also wieviel Prozent bei einer Preiserhöhung zu einem Mitbewerberprodukt wechseln.

2. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt höchstens 7%

error

Die Nullhypothese H0: " ... höchstens 7%", also p ≤ 0.07 macht keinen Sinn, weil die 7%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=4% gehen, also wieviel Prozent bei einer Preiserhöhung zu einem Mitbewerberprodukt wechseln.

3. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt mindestens 4%

ok

Wenn die Nullhypothese H0: " ... mindestens 4%", also p ≥ 0.04 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.04 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 7% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≥ 0.04 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.04 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 7%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.04 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.04 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit die Preiserhöhung durchzuführen und einen Umsatzeinbruch zu riskieren, auf unter 7% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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4. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt höchstens 4%

error

Wenn die Nullhypothese H0: " ... höchstens 4%", also p ≤ 0.04 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.04 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 7% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≤ 0.04 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.04 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 7%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.04 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.04 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit auf die Preiserhöhung zu verzichten (obwohl diese sinnvoll wäre), auf unter 7% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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