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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Ein Großhändler beklagt sich, dass gelieferte LED-Leuchtmittel mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,11 bereits nach wenigen Stunden defekt werden. Die herstellende Firma glaubt das nicht und hält die Ausschussquote für viel geringer. Deswegen führt sie einen Test mit 88 Leuchtmitteln durch. Als Signifikanzniveau für diesen Test wird 0,1% festgelegt. In welchem Bereich muss die Anzahl der defekten LED-Leuchtmittel liegen, damit die Firma die Aussage des Großhändlers widerlegt? Wie hoch bleibt die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass man aufgrund des Tests die Ausschussquote irrtümlichweise als p<0,11 annimt, obwohl sie es in Wirklichkeit nicht ist?

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kP(X≤k)
00
10.0004
20.0025
30.0098
40.0289
50.0687
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.11 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.11 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(88,0.11,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 1 weniger als 0.1% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.11 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.11 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0004 =0.04% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;1]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [2;88]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;1], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [2;88], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Ein defektes Kopiergerät, welches viele fehlerhafte Kopien produzierte, wurde repariert. Die mit der Reparatur beauftrage Firma behauptet, dass die Ausschussquote jetzt nur noch höchstens 0,08 beträgt. Um diese Behauptung (Nullhypothese) auf dem Signifikanzniveau von 1% zu testen, werden 100 Kopien angefertigt. Ermittle die zugehörige Entscheidungsregel.

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kP(X≤k)
......
100.8243
110.8972
120.9441
130.9718
140.9867
150.9942
160.9976
170.9991
180.9997
190.9999
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.08 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.08 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.01= 0.99 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(100,0.08,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 15 erstmals mindestens 99% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;15]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 16 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [16;100]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.08 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.08 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0058 =0.58% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [16;100], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;15], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Mandy und Sandy, zwei D-Promis, treffen sich im australischen Dschungel. Als Mandy erzählt, dass 65% aller Deutschen sie kennen würde, behauptet Sandy, dass ihr eigener Bekanntheitsgrad noch viel höher wäre. Darauf hin werden 87 Personen in einem Test befragt, bei dem das Risiko abgeschätzt werden kann, dass nach dem Test irrtümlicherweise ein höherer Bekanntheitsgrad als 65% (bei Sandy) angenommen wird, obwohl dies gar nicht der Fall ist. Als Signifikanzniveau wird 0,1% ausgemacht. In welchem Intervall muss nun die Anzahl der Personen liegen, die Sandy kennen, damit sie ihren höheren Bekanntheitsgrad nachweisen kann? Gib die Irrtumswahrscheinlichkeit an.

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kP(X≤k)
......
650.9801
660.9891
670.9944
680.9973
690.9988
700.9995
710.9998
720.9999
731
741
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.65 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.65 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.001= 0.999 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(87,0.65,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 70 erstmals mindestens 99.9% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;70]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 71 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [71;87]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.65 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.65 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0005 =0.05% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [71;87], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;70], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein spielsüchtiger 12-Klässler möchte nachweisen, dass ein bestimmter Würfel gezinkt ist und zu selten eine 6 kommt. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 100 Würfen und einem Signifikanzniveau von 5%. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der 6er liegen, damit er die Spielbank verklagen kann. b) In Wirklichkeit ist der Würfel tatsächlich manipuliert und würfelt nur mit der Wahrscheinlichkeit von 12% eine sechs. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der Sechsen nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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kP(X≤k)
......
50.0004
60.0013
70.0038
80.0095
90.0213
100.0427
110.0777
120.1297
130.2
140.2874
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 1 6 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< 1 6 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(100, 1 6 ,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 10 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p= 1 6 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p< 1 6 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0427 =4.27% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;10]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [11;100]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;10], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [11;100], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p= 1 6 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.12 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 11 bis 100, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.12) beträgt nun: P0.12100 (X≥11) =1- P0.12100 (X≤10) ≈ 1-0.3337 ≈ 0.6663

Mit 66.63% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Ein Würfel wirkt etwas unwuchtig, so als ob nicht alle Bereiche des Körpers gleich schwer wären. Deswegen wird vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs mit diesem Würfel zu würfeln, p ≠ 1 6 sein müsste. Diese Vermutung soll durch einen zweiseitigen Test mit 78 mal würfeln untermauert werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen.
In welchen Bereichen muss die Anzahl der gewürfelten Sechser bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese p= 1 6 statistisch untermauert ablehnen zu können?
Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

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kP(X≤k)
......
50.0065
60.0175
70.04
80.08
90.1423
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = 1 6 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< 1 6 oder p> 1 6 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 5% gerecht auf 2.5% auf der linken und 2.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=78 und p= 1 6 ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 6 gerade noch weniger als 2.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

kP(X≤k)
......
180.9476
190.9711
200.9849
210.9926
220.9966
......

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 2.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.025 = 0.975 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=20 erstmals P 1 6 78 (X≤k) ≥ 0.975 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 21 bis 78 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 2.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 21 bis 78.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p= 1 6 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠ 1 6 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von P 1 6 78 (X≤6) = 0.0175 auf der linken Seite und P 1 6 78 (X≥21) = 1-0.9849 = 0.0151 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit PIrr = 0.0175 + 0.0151 = 0.0325 =3.25% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;6] und [21;78]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [7;20]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;6] oder [21;78], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [7;20], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Eine große Handelskette überlegt, ob sie eine Kunden-App entwickeln und einführen soll. Die Finanzabteilung hat dabei herausgefunden, dass sich die Entwicklung und Bewerbung solch einer App nur dann rechnet, wenn sich auch mindestens 25% der Kunden die App aufs Smartphone installiert. Deswegen beschließt die Geschäftsführung einen Hypothesentest in Form einer Befragung von 400 Kunden durchzuführen. Dabei soll das Risiko auf 5% begrenzt werden, dass aufgrund des Tests die App entwickelt wird, obwohl sich diese Investition wirtschaftlich nicht lohnen wird.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Der Prozentsatz der Kunden, die die App installieren, beträgt höchstens 5%

error

Die Nullhypothese H0: " ... höchstens 5%", also p ≤ 0.05 macht keinen Sinn, weil die 5%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=25% gehen, also den Prozentsatz der Kunden, die die App installieren werden.

2. Der Prozentsatz der Kunden, die die App installieren, beträgt mindestens 25%

error

Wenn die Nullhypothese H0: " ... mindestens 25%", also p ≥ 0.25 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.25 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 5% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≥ 0.25 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.25 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 5%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.25 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.25 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit die App gar nicht zu entwickeln, obwohl dies wirtschaftlich sinnvoll wäre, auf unter 5% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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3. Der Prozentsatz der Kunden, die die App installieren, beträgt höchstens 25%

ok

Wenn die Nullhypothese H0: " ... höchstens 25%", also p ≤ 0.25 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.25 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 5% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≤ 0.25 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.25 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 5%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.25 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.25 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit die App zu entwickeln und zu bewerben, obwohl die Kosten nie wieder eingebracht werden, weil zu wenige Kunden die App installieren werden, auf unter 5% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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4. Der Prozentsatz der Kunden, die die App installieren, beträgt mindestens 5%

error

Die Nullhypothese H0: " ... mindestens 5%", also p ≥ 0.05 macht keinen Sinn, weil die 5%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=25% gehen, also den Prozentsatz der Kunden, die die App installieren werden.