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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Ein Basketballspieler behauptet, er habe bei Freiwürfen eine Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,45. Sein Trainer glaubt, dass er sich dabei überschätzt. Um das zu überprüfen, muss der Basketballspieler 20 mal werfen. In welchem Intervall müssen die Treffer liegen, dass sich der Trainer auf einem Signifikanzniveau von 5% bestätigt sieht? Wie hoch bleibt dabei die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass der Trainer aufgrund des Signifikanztests die Trefferwahrscheinlichkeit irrtümlicherweise als niedriger annimmt?

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kP(X≤k)
00
10.0001
20.0009
30.0049
40.0189
50.0553
60.1299
70.252
80.4143
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.45 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.45 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(20,0.45,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 4 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.45 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.45 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0189 =1.89% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;4]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [5;20]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;4], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [5;20], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Mandy und Sandy, zwei D-Promis, treffen sich im australischen Dschungel. Als Mandy erzählt, dass 55% aller Deutschen sie kennen würde, behauptet Sandy, dass ihr eigener Bekanntheitsgrad noch viel höher wäre. Darauf hin werden 68 Personen in einem Test befragt, bei dem das Risiko abgeschätzt werden kann, dass nach dem Test irrtümlicherweise ein höherer Bekanntheitsgrad als 55% (bei Sandy) angenommen wird, obwohl dies gar nicht der Fall ist. Als Signifikanzniveau wird 5% ausgemacht. In welchem Intervall muss nun die Anzahl der Personen liegen, die Sandy kennen, damit sie ihren höheren Bekanntheitsgrad nachweisen kann? Gib die Irrtumswahrscheinlichkeit an.

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kP(X≤k)
......
390.6944
400.7744
410.8412
420.8937
430.9324
440.9594
450.9769
460.9877
470.9938
480.9971
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.55 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.55 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(68,0.55,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 44 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;44]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 45 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [45;68]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.55 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.55 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0406 =4.06% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [45;68], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;44], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Die Kursstufenschüler Maxi und Noah verbringen ihr Pausen leidenschaftlich gerne mit einem Bäckertüten-Mülleimer-Contest. Dabei geht es darum, eine zusammengeknüllte Bäckertüte in den an der entferntesten Ecke stehenden Altpapierbehälter zu treffen. Der interessiert zuschauende Mathelehrer rät ihnen doch etwas näher an den Mülleimer ran zu gehen, weil sie eh höchstens jedes zehnte mal treffen. Empfindlich in ihre Macho-Ehre verletzt, beschließen sie darauf hin ein Test mit 93 Würfen durchzuführen, der die absurd niedrige vom Lehrer behauptete Trefferquote auf einem Signifikanzniveau von 5% widerlegen soll. In welchem Bereich müsste die Trefferzahl liegen, um über den Mathelehrer statistisch belegt zu triumphieren zu können? Wie hoch ist dann die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass die Trefferqutoe von höchstens 10% fälschlicherweise abgelehnt wurde?

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kP(X≤k)
......
90.5459
100.6746
110.7825
120.8644
130.9211
140.9571
150.9782
160.9896
170.9953
180.998
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.1 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.1 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(93,0.1,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 14 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;14]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 15 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [15;93]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.1 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.1 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0429 =4.29% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [15;93], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;14], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein spielsüchtiger 12-Klässler möchte nachweisen, dass ein bestimmter Würfel gezinkt ist und zu selten eine 6 kommt. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 81 Würfen und einem Signifikanzniveau von 5%. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der 6er liegen, damit er die Spielbank verklagen kann. b) In Wirklichkeit ist der Würfel tatsächlich manipuliert und würfelt nur mit der Wahrscheinlichkeit von 13% eine sechs. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der Sechsen nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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kP(X≤k)
......
20.0001
30.0003
40.0013
50.0045
60.0125
70.0297
80.0615
90.113
100.1872
110.283
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 1 6 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< 1 6 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(81, 1 6 ,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 7 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p= 1 6 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p< 1 6 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0297 =2.97% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;7]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [8;81]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;7], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [8;81], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p= 1 6 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.13 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 8 bis 81, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.13) beträgt nun: P0.1381 (X≥8) =1- P0.1381 (X≤7) ≈ 1-0.1578 ≈ 0.8422

Mit 84.22% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Durch einen Test soll statistisch untermauert werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p≠0,45 ist. Dazu soll die Nullhypothese H0: p=0,45 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=58 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen. In welchen Bereichen muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese p=0,45 statistisch untermauert ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

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kP(X≤k)
......
170.0106
180.0212
190.0395
200.0686
210.1118
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = 0.45 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.45 oder p>0.45 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 5% gerecht auf 2.5% auf der linken und 2.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=58 und p=0.45), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 18 gerade noch weniger als 2.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

kP(X≤k)
......
320.9541
330.9743
340.9865
350.9934
360.9969
......

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 2.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.025 = 0.975 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=34 erstmals P0.4558 (X≤k) ≥ 0.975 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 35 bis 58 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 2.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 35 bis 58.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p=0.45 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠0.45 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von P0.4558 (X≤18) = 0.0212 auf der linken Seite und P0.4558 (X≥35) = 1-0.9865 = 0.0135 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit PIrr = 0.0212 + 0.0135 = 0.0347 =3.47% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;18] und [35;58]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [19;34]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;18] oder [35;58], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [19;34], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Ein Casino hat ein Glücksrad, bei dem die Gewinnwahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn mit 9% angegeben wird. Spielgäste haben sich beschwert, weil sie glauben, dass diese Gewinnwahrscheinlichkeit in Wirklichkeit kleiner wäre. Deswegen führt das Casino einen Hypothesentest mit 600 Drehungen dieses Glücksrads durch. Dabei soll das Risiko auf 18% begrenzt werden, dass das Glückrad aufgrund des Tests irrtümlicherweise nicht ausgetauscht wird, obwohl die Gewinnwahrscheinlichkeit niedriger als 9% ist, und dadurch sich die Glücksspielbehörde der Sache annimmt.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 9%

error

Wenn die Nullhypothese H0: " ... mindestens 9%", also p ≥ 0.09 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.09 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 18% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≥ 0.09 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.09 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 18%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.09 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.09 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit das Glücksrad unnötigerweise auszutauschen, auf unter 18% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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2. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 9%

ok

Wenn die Nullhypothese H0: " ... höchstens 9%", also p ≤ 0.09 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.09 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 18% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≤ 0.09 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.09 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 18%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.09 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.09 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit das Glücksrad nicht auszutauschen und Ärger mit der Glückspielbehörde zu riskieren, auf unter 18% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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3. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 18%

error

Die Nullhypothese H0: " ... mindestens 18%", also p ≥ 0.18 macht keinen Sinn, weil die 18%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=9% gehen, also die Gewinnwahrscheinlichkeit dieses Glücksrad.

4. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 18%

error

Die Nullhypothese H0: " ... höchstens 18%", also p ≤ 0.18 macht keinen Sinn, weil die 18%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=9% gehen, also die Gewinnwahrscheinlichkeit dieses Glücksrad.