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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Ein spielsüchtiger 12-Klässler möchte nachweisen, dass ein bestimmter Würfel gezinkt ist und zu selten eine 6 kommt. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 66 Würfen und einem Signifikanzniveau von 5%. In welchem Bereich muss die Anzahl der 6er liegen, damit er die Spielbank verklagen kann (- also, dass das Risiko, die 6er-Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise als zu gering anzunehmen, berechenbar ist.) Wie hoch ist dann diese Irrtumswahrscheinlichkeit?

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
0	0
1	0.0001
2	0.0006
3	0.0028
4	0.0096
5	0.0266
6	0.0612
7	0.1204
8	0.2078
9	0.3205
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≥ $\frac{1}{6}$ zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< $\frac{1}{6}$ ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(66, $\frac{1}{6}$ ,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 5 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p= $\frac{1}{6}$ so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p< $\frac{1}{6}$ als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0266 =2.66% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;5]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [6;66]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [0;5], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [6;66], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

An einem Roulettetisch fällt die Kugel auffallend oft auf die (so selten gesetzte) grüne Null. Ein Spieler bezweifelt deswegen, dass diese tatsächlich die angegebene Wahrscheinlichkeit von p= $\frac{1}{37}$ hat. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 50 Würfen und einem Signifikanzniveau von 1%. In welchem Bereich muss die Häufigkeit der grünen Null liegen, damit er nachweisen kann, dass deren tatsächliche Wahrscheinlichkeit über $\frac{1}{37}$ liegt. Wie hoch ist dann die Irrtumswahrscheinlichkeit?

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
0	0.2541
1	0.6071
2	0.8473
3	0.954
4	0.9889
5	0.9978
6	0.9996
7	0.9999
8	1
9	1
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≤ $\frac{1}{37}$ zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p> $\frac{1}{37}$ ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H₀ (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.01= 0.99 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(50, $\frac{1}{37}$ ,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 5 erstmals mindestens 99% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;5]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H₀ dass dieser erst bei 6 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H₀: [6;50]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p= $\frac{1}{37}$ so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p> $\frac{1}{37}$ als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0022 =0.22% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [6;50], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;5], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Zlatan Ibrahimovic behauptet von sich, dass er mit mindestens 70% Wahrscheinlichkeit von der Strafraumgrenze die Querlatte des Tores treffe. Obwohl Ibrahimovic für seine geradezu legendäre Bescheidenheit und Demut bekannt ist, zweifelt ein Mitspieler an dieser Quote. Sie einigen sich auf einen Test mit 51 Versuchen und einem Signifikanzniveau von 5% (was auch immer Ibrahimovic darunter verstehen mag). In welchem Bereich muss die Anzahl der Lattentreffer liegen, um den schwedischen Stürmer der Prahlerei zu überführen, also dass man eine irrtümliche Anzweiflung der Trefferquote rechnerisch abschätzen kann?Berechne dann diese Irrtumswahrscheinlichkeit.

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
24	0.0005
25	0.0014
26	0.0033
27	0.0076
28	0.0161
29	0.0319
30	0.0589
31	0.1015
32	0.1637
33	0.2473
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≥ 0.7 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.7 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(51,0.7,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 29 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p=0.7 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.7 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0319 =3.19% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;29]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [30;51]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [0;29], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [30;51], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein spielsüchtiger 12-Klässler möchte nachweisen, dass ein bestimmter Würfel gezinkt ist und zu selten eine 6 kommt. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 80 Würfen und einem Signifikanzniveau von 5%. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der 6er liegen, damit er die Spielbank verklagen kann. b) In Wirklichkeit ist der Würfel tatsächlich manipuliert und würfelt nur mit der Wahrscheinlichkeit von 10% eine sechs. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der Sechsen nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
2	0.0001
3	0.0004
4	0.0015
5	0.0051
6	0.014
7	0.0328
8	0.0672
9	0.1221
10	0.2002
11	0.2995
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≥ $\frac{1}{6}$ zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< $\frac{1}{6}$ ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(80, $\frac{1}{6}$ ,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 7 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p= $\frac{1}{6}$ so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p< $\frac{1}{6}$ als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0328 =3.28% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;7]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [8;80]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [0;7], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [8;80], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H₀:p= $\frac{1}{6}$ falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.1 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 8 bis 80, so dass H₀ (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.1) beträgt nun: $P_{0.1}^{80} (X \geq 8)$ =1- $P_{0.1}^{80} (X \leq 7)$ ≈ 1-0.4456 ≈ 0.5544

Mit 55.44% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Durch einen Test soll statistisch untermauert werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p≠0,85 ist. Dazu soll die Nullhypothese H₀: p=0,85 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=80 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 1% betragen. In welchen Bereichen muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese p=0,85 statistisch untermauert ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
57	0.0012
58	0.0029
59	0.0063
60	0.0132
61	0.0259
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p = 0.85 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.85 oder p>0.85 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 1% gerecht auf 0.5% auf der linken und 0.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=80 und p=0.85), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 58 gerade noch weniger als 0.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

k	P(X≤k)
...	...
73	0.9655
74	0.986
75	0.9953
76	0.9987
77	0.9997
...	...

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 0.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.005 = 0.995 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=75 erstmals $P_{0.85}^{80} (X \leq k)$ ≥ 0.995 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 76 bis 80 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 0.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 76 bis 80.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H₀: p=0.85 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠0.85 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von $P_{0.85}^{80} (X \leq 58)$ = 0.0029 auf der linken Seite und $P_{0.85}^{80} (X \geq 76)$ = 1-0.9953 = 0.0047 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit P_Irr = 0.0029 + 0.0047 = 0.0076 =0.76% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;58] und [76;80]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [59;75]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H₀: [0;58] oder [76;80], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [59;75], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Der Hersteller eines Männershampoos bewirbt sein Produkt damit, dass es bei 40% aller Probanden die kahlen Stellen am Kopf wieder zuwachsen lassen würde. Weil bei Verbraucherschützern Zweifel daran aufkommen, lässt die Firma einen Hypothesentest mit 200 Männern durchführen, die täglich das Shampoo benutzen müssen. Dabei soll das Risiko auf 12% begrenzt werden, dass aufgrund des Tests auf diesen werbewirksamen Prozentsatz verzichtet wird, obwohl dieser der Wirklichkeit entspricht.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 12%

Die Nullhypothese H₀: " ... höchstens 12%", also p ≤ 0.12 macht keinen Sinn, weil die 12%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=40% gehen, also den Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt.

2. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 40%

Wenn die Nullhypothese H₀: " ... mindestens 40%", also p ≥ 0.4 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.4 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 12% sein muss, falls die Nullhypothese H₀: p ≥ 0.4 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.4 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 12%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.4 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.4 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit nicht mehr mit diesem hohen Prozentsatz zu werben, obwohl dieser richtig ist, auf unter 12% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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3. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 12%

Die Nullhypothese H₀: " ... mindestens 12%", also p ≥ 0.12 macht keinen Sinn, weil die 12%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=40% gehen, also den Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt.

4. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 40%

Wenn die Nullhypothese H₀: " ... höchstens 40%", also p ≤ 0.4 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.4 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 12% sein muss, falls die Nullhypothese H₀: p ≤ 0.4 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.4 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 12%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.4 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.4 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit weiterhin mit diesem hohen Prozentsatz zu werben, obwohl er in Wirklichkeit niedriger ist und eine Klage von Verbraucherschützern riskieren, auf unter 12% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Hypothesen-Test linksseitig

Hypothesen-Test rechtsseitig

Hypothesen-Test linksseitig

Fehler 2. Art

zweiseitiger Test

Linke Seite:

Rechte Seite:

Fehler 1. Art beurteilen

1. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 12%

2. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 40%

3. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 12%

4. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 40%