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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Ein Basketballspieler behauptet, er habe bei Freiwürfen eine Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,35. Sein Trainer glaubt, dass er sich dabei überschätzt. Um das zu überprüfen, muss der Basketballspieler 25 mal werfen. In welchem Intervall müssen die Treffer liegen, dass sich der Trainer auf einem Signifikanzniveau von 5% bestätigt sieht? Wie hoch bleibt dabei die Irrtumswahrscheinlichkeit.

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kP(X≤k)
00
10.0003
20.0021
30.0097
40.032
50.0826
60.1734
70.3061
80.4668
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.35 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.35 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(25,0.35,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 4 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.35 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.35 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.032 =3.2% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;4]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [5;25]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;4], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [5;25], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtseitig

Beispiel:

Einem partystarken 12-Klässler wird von einem nicht ganz vorurteilsfreien Lehrer vorgeworfen, nichts auf die Klassenarbeit gelernt haben. Diese findet in Form eines Multiple Choice-Tests mit 71 Aufgaben statt, bei der genau eine der vier Antwortmöglichkeiten richtig ist. In welchem Bereich muss nun die Anzahl der richtigen Antworten liegen, damit er auf einem Signifikanzniveau von 1% die Behauptung des Lehrers widerlegen kann.

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kP(X≤k)
......
220.9013
230.9392
240.9645
250.9803
260.9897
270.9948
280.9976
290.9989
300.9995
310.9998
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.25 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.25 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.01= 0.99 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(71,0.25,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 27 erstmals mindestens 99% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;27]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 28 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [28;71]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.25 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.25 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0052 =0.52% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [28;71], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;27], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Zlatan Ibrahimovic behauptet von sich, dass er mit mindestens 70% Wahrscheinlichkeit von der Strafraumgrenze die Querlatte des Tores treffe. Obwohl Ibrahimovic für seine geradezu legendäre Bescheidenheit und Demut bekannt ist, zweifelt ein Mitspieler an dieser Quote. Sie einigen sich auf einen Test mit 81 Versuchen und einem Signifikanzniveau von 5% (was auch immer Ibrahimovic darunter verstehen mag). In welchem Bereich muss die Anzahl der Lattentreffer liegen um den schwedischen Stürmer der Prahlerei zu überführen?

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kP(X≤k)
......
440.0021
450.0042
460.008
470.0146
480.0256
490.0429
500.0686
510.1051
520.1543
530.2171
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.7 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.7 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(81,0.7,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 49 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.7 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.7 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0429 =4.29% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;49]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [50;81]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;49], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [50;81], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein spielsüchtiger 12-Klässler möchte nachweisen, dass ein bestimmter Würfel gezinkt ist und zu selten eine 6 kommt. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 83 Würfen und einem Signifikanzniveau von 5%. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der 6er liegen, damit er die Spielbank verklagen kann. b) In Wirklichkeit ist der Würfel tatsächlich manipuliert und würfelt nur mit der Wahrscheinlichkeit von 14% eine sechs. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der Sechsen nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

Lösung einblenden
kP(X≤k)
......
20
30.0002
40.001
50.0035
60.01
70.0242
80.0513
90.0964
100.1631
110.2516
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 1 6 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< 1 6 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(83, 1 6 ,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 7 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p= 1 6 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p< 1 6 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0242 =2.42% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;7]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [8;83]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;7], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [8;83], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p= 1 6 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.14 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 8 bis 83, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.14) beträgt nun: P0.1483 (X8) =1- P0.1483 (X7) ≈ 1-0.0904 ≈ 0.9096

Mit 90.96% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.