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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Ein spielsüchtiger 12-Klässler möchte nachweisen, dass ein bestimmter Würfel gezinkt ist und zu selten eine 6 kommt. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 77 Würfen und einem Signifikanzniveau von 5%. In welchem Bereich muss die Anzahl der 6er liegen, damit er die Spielbank verklagen kann (- also, dass das Risiko, die 6er-Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise als zu gering anzunehmen, berechenbar ist.) Wie hoch ist dann diese Irrtumswahrscheinlichkeit?

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kP(X≤k)
......
20.0001
30.0006
40.0023
50.0074
60.0195
70.0441
80.0872
90.1533
100.2431
110.3526
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 1 6 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< 1 6 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(77, 1 6 ,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 7 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p= 1 6 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p< 1 6 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0441 =4.41% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;7]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [8;77]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;7], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [8;77], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Ein defektes Kopiergerät, welches viele fehlerhafte Kopien produzierte, wurde repariert. Die mit der Reparatur beauftrage Firma behauptet, dass die Ausschussquote jetzt nur noch höchstens 0,02 beträgt. Um diese Behauptung (Nullhypothese) auf dem Signifikanzniveau von 5% zu testen, werden 1000 Kopien angefertigt. Ermittle die zugehörige Entscheidungsregel.

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kP(X≤k)
......
230.7895
240.8455
250.8901
260.9242
270.9493
280.9671
290.9793
300.9874
310.9925
320.9957
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.02 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.02 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(1000,0.02,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 28 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;28]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 29 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [29;1000]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.02 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.02 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0329 =3.29% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [29;1000], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;28], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Durch einen Test soll statistisch belegt werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p> 0,4 ist. Dazu soll die Nullhypothese H0: p≤0,4 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=55 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen.In welchem Bereich muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese statistisch begründet ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt, weil bei dem Zufallsexperiment ein Treffer in den Ablehnungsbereich fällt, obwohl die Nullhypothese richtig ist?

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kP(X≤k)
......
230.6628
240.7557
250.8325
260.8916
270.9339
280.9621
290.9796
300.9897
310.9951
320.9979
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.4 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.4 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(55,0.4,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 28 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;28]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 29 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [29;55]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.4 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.4 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0379 =3.79% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [29;55], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;28], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein Großhändler beklagt sich, dass gelieferte LED-Leuchtmittel mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,34 bereits nach wenigen Stunden defekt werden. Die herstellende Firma glaubt das nicht und hält die Ausschussquote für viel geringer. Deswegen führt sie einen Test mit 60 Leuchtmitteln durch. Als Signifikanzniveau für diesen Test wird 5% festgelegt. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der defekten LED-Leuchtmittel liegen, damit die Firma die Aussage des Großhändlers widerlegt? b) In Wirklichkeit liegt die Ausfallwahrscheinlickeit der Leuchtmittel nur bei p=0,16. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der defekten Leuchtmittel nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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kP(X≤k)
......
80.0003
90.0008
100.0023
110.0058
120.013
130.0269
140.0508
150.0886
160.1434
170.2164
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.34 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.34 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(60,0.34,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 13 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.34 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.34 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0269 =2.69% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;13]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [14;60]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;13], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [14;60], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p=0.34 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.16 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 14 bis 60, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.16) beträgt nun: P0.1660 (X≥14) =1- P0.1660 (X≤13) ≈ 1-0.9109 ≈ 0.0891

Mit 8.91% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Ein Würfel wirkt etwas unwuchtig, so als ob nicht alle Bereiche des Körpers gleich schwer wären. Deswegen wird vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs mit diesem Würfel zu würfeln, p ≠ 1 6 sein müsste. Diese Vermutung soll durch einen zweiseitigen Test mit 66 mal würfeln untermauert werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen.
In welchen Bereichen muss die Anzahl der gewürfelten Sechser bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese p= 1 6 statistisch untermauert ablehnen zu können?
Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

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kP(X≤k)
......
30.0028
40.0096
50.0266
60.0612
70.1204
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = 1 6 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< 1 6 oder p> 1 6 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 5% gerecht auf 2.5% auf der linken und 2.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=66 und p= 1 6 ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 4 gerade noch weniger als 2.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

kP(X≤k)
......
150.9267
160.96
170.9796
180.9902
190.9956
......

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 2.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.025 = 0.975 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=17 erstmals P 1 6 66 (X≤k) ≥ 0.975 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 18 bis 66 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 2.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 18 bis 66.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p= 1 6 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠ 1 6 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von P 1 6 66 (X≤4) = 0.0096 auf der linken Seite und P 1 6 66 (X≥18) = 1-0.9796 = 0.0204 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit PIrr = 0.0096 + 0.0204 = 0.0301 =3.01% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;4] und [18;66]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [5;17]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;4] oder [18;66], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [5;17], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Der Hersteller eines Männershampoos bewirbt sein Produkt damit, dass es bei 80% aller Probanden die kahlen Stellen am Kopf wieder zuwachsen lassen würde. Weil bei Verbraucherschützern Zweifel daran aufkommen, lässt die Firma einen Hypothesentest mit 800 Männern durchführen, die täglich das Shampoo benutzen müssen. Dabei soll das Risiko auf 19% begrenzt werden, dass aufgrund des Tests auf diesen werbewirksamen Prozentsatz verzichtet wird, obwohl dieser der Wirklichkeit entspricht.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 19%

error

Die Nullhypothese H0: " ... mindestens 19%", also p ≥ 0.19 macht keinen Sinn, weil die 19%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=80% gehen, also den Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt.

2. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 80%

ok

Wenn die Nullhypothese H0: " ... mindestens 80%", also p ≥ 0.8 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.8 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 19% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≥ 0.8 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.8 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 19%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.8 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.8 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit nicht mehr mit diesem hohen Prozentsatz zu werben, obwohl dieser richtig ist, auf unter 19% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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3. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 80%

error

Wenn die Nullhypothese H0: " ... höchstens 80%", also p ≤ 0.8 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.8 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 19% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≤ 0.8 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.8 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 19%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.8 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.8 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit weiterhin mit diesem hohen Prozentsatz zu werben, obwohl er in Wirklichkeit niedriger ist und eine Klage von Verbraucherschützern riskieren, auf unter 19% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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4. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 19%

error

Die Nullhypothese H0: " ... höchstens 19%", also p ≤ 0.19 macht keinen Sinn, weil die 19%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=80% gehen, also den Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt.