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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Ein Basketballspieler behauptet, er habe bei Freiwürfen eine Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,6. Sein Trainer glaubt, dass er sich dabei überschätzt. Um das zu überprüfen, muss der Basketballspieler 30 mal werfen. In welchem Intervall müssen die Treffer liegen, dass sich der Trainer auf einem Signifikanzniveau von 5% bestätigt sieht? Wie hoch bleibt dabei die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass der Trainer aufgrund des Signifikanztests die Trefferwahrscheinlichkeit irrtümlicherweise als niedriger annimmt?

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kP(X≤k)
......
80.0002
90.0009
100.0029
110.0083
120.0212
130.0481
140.0971
150.1754
160.2855
170.4215
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.6 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.6 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(30,0.6,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 13 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.6 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.6 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0481 =4.81% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;13]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [14;30]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;13], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [14;30], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Durch einen Test soll statistisch belegt werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p> 0,5 ist. Dazu soll die Nullhypothese H0: p≤0,5 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=53 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 1% betragen.In welchem Bereich muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese statistisch begründet ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt, weil bei dem Zufallsexperiment ein Treffer in den Ablehnungsbereich fällt, obwohl die Nullhypothese richtig ist?

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kP(X≤k)
......
300.8642
310.9155
320.9508
330.9733
340.9865
350.9937
360.9973
370.9989
380.9996
390.9999
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.5 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.5 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.01= 0.99 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(53,0.5,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 35 erstmals mindestens 99% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;35]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 36 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [36;53]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.5 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.5 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0063 =0.63% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [36;53], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;35], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Eine Pharmafirma behauptet, dass durch eine Verbesserung der Rezeptur die Nebenwirkungen eines Medikaments unter p=0,4 gesunken ist. Um dies nachzuweisen, soll ein Test mit 51 Probanden so durchgeführt werden, dass die Irrtumswahrscheinlichkeit maximal 1% beträgt, dass der Test auf eine niedrigere Nebenwirkungshäufigkeit hinweist, obwohl dies in Wirklichkeit nicht der Fall ist. In welchem Intervall muss hierfür die Anzahl der Probanden mit Nebenwirkungen liegen? Wie hoch ist dann diese Irrtumswahrscheinlichkeit?

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kP(X≤k)
......
60
70
80.0002
90.0005
100.0016
110.0043
120.0102
130.0221
140.0436
150.0789
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.4 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.4 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(51,0.4,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 11 weniger als 1% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.4 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.4 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0043 =0.43% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;11]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [12;51]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;11], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [12;51], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein spielsüchtiger 12-Klässler möchte nachweisen, dass ein bestimmter Würfel gezinkt ist und zu selten eine 6 kommt. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 77 Würfen und einem Signifikanzniveau von 1%. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der 6er liegen, damit er die Spielbank verklagen kann. b) In Wirklichkeit ist der Würfel tatsächlich manipuliert und würfelt nur mit der Wahrscheinlichkeit von 13% eine sechs. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der Sechsen nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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kP(X≤k)
00
10
20.0001
30.0006
40.0023
50.0074
60.0195
70.0441
80.0872
90.1533
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 1 6 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< 1 6 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(77, 1 6 ,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 5 weniger als 1% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p= 1 6 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p< 1 6 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0074 =0.74% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;5]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [6;77]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;5], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [6;77], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p= 1 6 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.13 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 6 bis 77, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.13) beträgt nun: P0.1377 (X≥6) =1- P0.1377 (X≤5) ≈ 1-0.0544 ≈ 0.9456

Mit 94.56% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Es wird vermutet, dass bei einem Glücksspiel die Gewinnwahrscheinlichkeit nicht wie angegeben 50% beträgt. Die Vermutung soll durch einen zweiseitigen Hypothesentest mit Stichprobenumfang n = 86 auf einem Signifikanzniveau von 5% überprüft werden. In welchen Bereichen muss die Anzahl der Gewinne bei der Stichprobe liegen, um diese Vermutung statistisch zu belegen? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

Lösung einblenden
kP(X≤k)
......
320.0115
330.0199
340.0331
350.0526
360.0803
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = 0.5 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.5 oder p>0.5 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 5% gerecht auf 2.5% auf der linken und 2.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=86 und p=0.5), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 33 gerade noch weniger als 2.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

kP(X≤k)
......
500.9474
510.9669
520.9801
530.9885
540.9937
......

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 2.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.025 = 0.975 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=52 erstmals P0.586 (X≤k) ≥ 0.975 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 53 bis 86 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 2.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 53 bis 86.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p=0.5 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠0.5 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von P0.586 (X≤33) = 0.0199 auf der linken Seite und P0.586 (X≥53) = 1-0.9801 = 0.0199 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit PIrr = 0.0199 + 0.0199 = 0.0399 =3.99% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;33] und [53;86]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [34;52]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;33] oder [53;86], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [34;52], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Der Hersteller eines Männershampoos bewirbt sein Produkt damit, dass es bei 80% aller Probanden die kahlen Stellen am Kopf wieder zuwachsen lassen würde. Weil bei Verbraucherschützern Zweifel daran aufkommen, lässt die Firma einen Hypothesentest mit 700 Männern durchführen, die täglich das Shampoo benutzen müssen. Dabei soll das Risiko auf 6% begrenzt werden, dass aufgrund des Tests weiterhin mit diesem Prozentsatz geworben wird, obwohl dieser in Wirklichkeit niedriger liegt und die Gefahr einer Klage von Verbraucherschützern droht.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 6%

error

Die Nullhypothese H0: " ... höchstens 6%", also p ≤ 0.06 macht keinen Sinn, weil die 6%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=80% gehen, also den Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt.

2. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 6%

error

Die Nullhypothese H0: " ... mindestens 6%", also p ≥ 0.06 macht keinen Sinn, weil die 6%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=80% gehen, also den Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt.

3. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 80%

ok

Wenn die Nullhypothese H0: " ... höchstens 80%", also p ≤ 0.8 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.8 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 6% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≤ 0.8 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.8 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 6%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.8 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.8 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit weiterhin mit diesem hohen Prozentsatz zu werben, obwohl er in Wirklichkeit niedriger ist und eine Klage von Verbraucherschützern riskieren, auf unter 6% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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4. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 80%

error

Wenn die Nullhypothese H0: " ... mindestens 80%", also p ≥ 0.8 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.8 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 6% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≥ 0.8 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.8 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 6%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.8 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.8 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit nicht mehr mit diesem hohen Prozentsatz zu werben, obwohl dieser richtig ist, auf unter 6% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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