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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Zlatan Ibrahimovic behauptet von sich, dass er mit mindestens 80% Wahrscheinlichkeit von der Strafraumgrenze die Querlatte des Tores treffe. Obwohl Ibrahimovic für seine geradezu legendäre Bescheidenheit und Demut bekannt ist, zweifelt ein Mitspieler an dieser Quote. Sie einigen sich auf einen Test mit 72 Versuchen und einem Signifikanzniveau von 0,1% (was auch immer Ibrahimovic darunter verstehen mag). In welchem Bereich muss die Anzahl der Lattentreffer liegen, um den schwedischen Stürmer der Prahlerei zu überführen, also dass man eine irrtümliche Anzweiflung der Trefferquote rechnerisch abschätzen kann?Berechne dann diese Irrtumswahrscheinlichkeit.

Lösung einblenden
kP(X≤k)
......
400
410
420
430.0001
440.0002
450.0004
460.0011
470.0025
480.0055
490.0113
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.8 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.8 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(72,0.8,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 45 weniger als 0.1% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.8 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.8 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0004 =0.04% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;45]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [46;72]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;45], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [46;72], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Einem partystarken 12-Klässler wird von einem nicht ganz vorurteilsfreien Lehrer vorgeworfen, nichts auf die Klassenarbeit gelernt haben. Diese findet in Form eines Multiple Choice-Tests mit 66 Aufgaben statt, bei der genau eine der vier Antwortmöglichkeiten richtig ist. In welchem Bereich muss nun die Anzahl der richtigen Antworten liegen, damit er auf einem Signifikanzniveau von 5% die Behauptung des Lehrers widerlegen kann.

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kP(X≤k)
......
170.6201
180.7205
190.805
200.8711
210.9195
220.9524
230.9734
240.986
250.993
260.9967
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.25 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.25 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(66,0.25,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 22 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;22]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 23 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [23;66]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.25 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.25 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0476 =4.76% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [23;66], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;22], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Mandy und Sandy, zwei D-Promis, treffen sich im australischen Dschungel. Als Mandy erzählt, dass 90% aller Deutschen sie kennen würde, behauptet Sandy, dass ihr eigener Bekanntheitsgrad noch viel höher wäre. Darauf hin werden 68 Personen in einem Test befragt, bei dem das Risiko abgeschätzt werden kann, dass nach dem Test irrtümlicherweise ein höherer Bekanntheitsgrad als 90% (bei Sandy) angenommen wird, obwohl dies gar nicht der Fall ist. Als Signifikanzniveau wird 1% ausgemacht. In welchem Intervall muss nun die Anzahl der Personen liegen, die Sandy kennen, damit sie ihren höheren Bekanntheitsgrad nachweisen kann? Gib die Irrtumswahrscheinlichkeit an.

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kP(X≤k)
......
610.5266
620.6859
630.8224
640.9184
650.9716
660.9934
670.9992
681

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.9 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.9 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.01= 0.99 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(68,0.9,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 66 erstmals mindestens 99% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;66]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 67 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [67;68]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.9 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.9 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0066 =0.66% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [67;68], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;66], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Eine Pharmafirma behauptet, dass durch eine Verbesserung der Rezeptur die Nebenwirkungen eines Medikament unter p=0,12 gesunken ist. Um dies nachzuweisen, soll ein 65-stufiger Test mit einer maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% durchgeführt werden. a) In welchem Intervall muss hierfür die Anzahl der Nebenwirkungen liegen? b) In Wirklichkeit liegt die Wahrscheinlickeit für Nebenwirkungen bei p=0,07. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der Nebenwirkungen nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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kP(X≤k)
00.0002
10.0024
20.012
30.0392
40.0969
50.1928
60.3236
70.4739
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.12 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.12 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(65,0.12,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 3 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.12 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.12 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0392 =3.92% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;3]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [4;65]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;3], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [4;65], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p=0.12 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.07 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 4 bis 65, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.07) beträgt nun: P0.0765 (X≥4) =1- P0.0765 (X≤3) ≈ 1-0.3246 ≈ 0.6754

Mit 67.54% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Durch einen Test soll statistisch untermauert werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p≠0,45 ist. Dazu soll die Nullhypothese H0: p=0,45 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=77 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 1% betragen. In welchen Bereichen muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese p=0,45 statistisch untermauert ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

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kP(X≤k)
......
220.0023
230.0048
240.0093
250.0171
260.0299
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = 0.45 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.45 oder p>0.45 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 1% gerecht auf 0.5% auf der linken und 0.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=77 und p=0.45), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 23 gerade noch weniger als 0.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

kP(X≤k)
......
440.9878
450.9934
460.9966
470.9984
480.9992
......

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 0.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.005 = 0.995 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=46 erstmals P0.4577 (X≤k) ≥ 0.995 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 47 bis 77 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 0.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 47 bis 77.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p=0.45 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠0.45 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von P0.4577 (X≤23) = 0.0048 auf der linken Seite und P0.4577 (X≥47) = 1-0.9966 = 0.0034 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit PIrr = 0.0048 + 0.0034 = 0.0081 =0.81% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;23] und [47;77]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [24;46]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;23] oder [47;77], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [24;46], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Ein Casino hat ein Glücksrad, bei dem die Gewinnwahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn mit 8% angegeben wird. Spielgäste haben sich beschwert, weil sie glauben, dass diese Gewinnwahrscheinlichkeit in Wirklichkeit kleiner wäre. Deswegen führt das Casino einen Hypothesentest mit 1000 Drehungen dieses Glücksrads durch. Dabei soll das Risiko auf 6% begrenzt werden, dass das Glückrad aufgrund des Tests irrtümlicherweise nicht ausgetauscht wird, obwohl die Gewinnwahrscheinlichkeit niedriger als 8% ist, und dadurch sich die Glücksspielbehörde der Sache annimmt.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 8%

error

Wenn die Nullhypothese H0: " ... mindestens 8%", also p ≥ 0.08 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.08 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 6% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≥ 0.08 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.08 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 6%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.08 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.08 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit das Glücksrad unnötigerweise auszutauschen, auf unter 6% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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2. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 6%

error

Die Nullhypothese H0: " ... höchstens 6%", also p ≤ 0.06 macht keinen Sinn, weil die 6%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=8% gehen, also die Gewinnwahrscheinlichkeit dieses Glücksrad.

3. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 8%

ok

Wenn die Nullhypothese H0: " ... höchstens 8%", also p ≤ 0.08 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.08 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 6% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≤ 0.08 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.08 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 6%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.08 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.08 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit das Glücksrad nicht auszutauschen und Ärger mit der Glückspielbehörde zu riskieren, auf unter 6% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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4. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 6%

error

Die Nullhypothese H0: " ... mindestens 6%", also p ≥ 0.06 macht keinen Sinn, weil die 6%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=8% gehen, also die Gewinnwahrscheinlichkeit dieses Glücksrad.