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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Ein Basketballspieler behauptet, er habe bei Freiwürfen eine Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,35. Sein Trainer glaubt, dass er sich dabei überschätzt. Um das zu überprüfen, muss der Basketballspieler 20 mal werfen. In welchem Intervall müssen die Treffer liegen, dass sich der Trainer auf einem Signifikanzniveau von 1% bestätigt sieht? Wie hoch bleibt dabei die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass der Trainer aufgrund des Signifikanztests die Trefferwahrscheinlichkeit irrtümlicherweise als niedriger annimmt?

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kP(X≤k)
00.0002
10.0021
20.0121
30.0444
40.1182
50.2454
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.35 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.35 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(20,0.35,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 1 weniger als 1% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.35 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.35 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0021 =0.21% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;1]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [2;20]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;1], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [2;20], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Ein defektes Kopiergerät, welches viele fehlerhafte Kopien produzierte, wurde repariert. Die mit der Reparatur beauftrage Firma behauptet, dass die Ausschussquote jetzt nur noch höchstens 0,03 beträgt. Um diese Behauptung (Nullhypothese) auf dem Signifikanzniveau von 1% zu testen, werden 100 Kopien angefertigt. Ermittle die zugehörige Entscheidungsregel.

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kP(X≤k)
......
30.6472
40.8179
50.9192
60.9688
70.9894
80.9968
90.9991
100.9998
111
121
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.03 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.03 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.01= 0.99 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(100,0.03,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 8 erstmals mindestens 99% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;8]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 9 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [9;100]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.03 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.03 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0032 =0.32% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [9;100], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;8], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Eine Pharmafirma behauptet, dass durch eine Verbesserung der Rezeptur die Nebenwirkungen eines Medikaments unter p=0,75 gesunken ist. Um dies nachzuweisen, soll ein Test mit 80 Probanden so durchgeführt werden, dass die Irrtumswahrscheinlichkeit maximal 5% beträgt, dass der Test auf eine niedrigere Nebenwirkungshäufigkeit hinweist, obwohl dies in Wirklichkeit nicht der Fall ist. In welchem Intervall muss hierfür die Anzahl der Probanden mit Nebenwirkungen liegen? Wie hoch ist dann diese Irrtumswahrscheinlichkeit?

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kP(X≤k)
......
480.0022
490.0046
500.0089
510.0166
520.0295
530.0499
540.0805
550.1239
560.1819
570.2553
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.75 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.75 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(80,0.75,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 53 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.75 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.75 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0499 =4.99% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;53]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [54;80]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;53], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [54;80], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein Großhändler beklagt sich, dass gelieferte LED-Leuchtmittel mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,27 bereits nach wenigen Stunden defekt werden. Die herstellende Firma glaubt das nicht und hält die Ausschussquote für viel geringer. Deswegen führt sie einen Test mit 58 Leuchtmitteln durch. Als Signifikanzniveau für diesen Test wird 5% festgelegt. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der defekten LED-Leuchtmittel liegen, damit die Firma die Aussage des Großhändlers widerlegt? b) In Wirklichkeit liegt die Ausfallwahrscheinlickeit der Leuchtmittel nur bei p=0,16. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der defekten Leuchtmittel nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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kP(X≤k)
......
40.0001
50.0005
60.0017
70.0051
80.013
90.0293
100.0589
110.1066
120.1757
130.2661
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.27 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.27 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(58,0.27,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 9 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.27 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.27 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0293 =2.93% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;9]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [10;58]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;9], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [10;58], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p=0.27 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.16 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 10 bis 58, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.16) beträgt nun: P0.1658 (X≥10) =1- P0.1658 (X≤9) ≈ 1-0.5475 ≈ 0.4525

Mit 45.25% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Es wird vermutet, dass bei einem Glücksspiel die Gewinnwahrscheinlichkeit nicht wie angegeben 55% beträgt. Die Vermutung soll durch einen zweiseitigen Hypothesentest mit Stichprobenumfang n = 60 auf einem Signifikanzniveau von 5% überprüft werden. In welchen Bereichen muss die Anzahl der Gewinne bei der Stichprobe liegen, um diese Vermutung statistisch zu belegen? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

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kP(X≤k)
......
230.0069
240.0139
250.0261
260.0462
270.0771
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = 0.55 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.55 oder p>0.55 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 5% gerecht auf 2.5% auf der linken und 2.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=60 und p=0.55), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 24 gerade noch weniger als 2.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

kP(X≤k)
......
380.9242
390.9554
400.9754
410.9873
420.9939
......

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 2.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.025 = 0.975 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=40 erstmals P0.5560 (X≤k) ≥ 0.975 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 41 bis 60 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 2.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 41 bis 60.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p=0.55 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠0.55 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von P0.5560 (X≤24) = 0.0139 auf der linken Seite und P0.5560 (X≥41) = 1-0.9754 = 0.0246 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit PIrr = 0.0139 + 0.0246 = 0.0385 =3.85% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;24] und [41;60]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [25;40]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;24] oder [41;60], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [25;40], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Ein Casino hat ein Glücksrad, bei dem die Gewinnwahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn mit 9% angegeben wird. Spielgäste haben sich beschwert, weil sie glauben, dass diese Gewinnwahrscheinlichkeit in Wirklichkeit kleiner wäre. Deswegen führt das Casino einen Hypothesentest mit 100 Drehungen dieses Glücksrads durch. Dabei soll das Risiko auf 3% begrenzt werden, dass das Glückrad aufgrund des Tests irrtümlicherweise nicht ausgetauscht wird, obwohl die Gewinnwahrscheinlichkeit niedriger als 9% ist, und dadurch sich die Glücksspielbehörde der Sache annimmt.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 9%

ok

Wenn die Nullhypothese H0: " ... höchstens 9%", also p ≤ 0.09 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.09 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 3% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≤ 0.09 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.09 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 3%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.09 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.09 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit das Glücksrad nicht auszutauschen und Ärger mit der Glückspielbehörde zu riskieren, auf unter 3% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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2. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 9%

error

Wenn die Nullhypothese H0: " ... mindestens 9%", also p ≥ 0.09 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.09 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 3% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≥ 0.09 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.09 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 3%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.09 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.09 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit das Glücksrad unnötigerweise auszutauschen, auf unter 3% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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3. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 3%

error

Die Nullhypothese H0: " ... mindestens 3%", also p ≥ 0.03 macht keinen Sinn, weil die 3%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=9% gehen, also die Gewinnwahrscheinlichkeit dieses Glücksrad.

4. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 3%

error

Die Nullhypothese H0: " ... höchstens 3%", also p ≤ 0.03 macht keinen Sinn, weil die 3%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=9% gehen, also die Gewinnwahrscheinlichkeit dieses Glücksrad.