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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Eine Pharmafirma behauptet, dass durch eine Verbesserung der Rezeptur die Nebenwirkungen eines Medikaments unter p=0,5 gesunken ist. Um dies nachzuweisen, soll ein Test mit 100 Probanden so durchgeführt werden, dass die Irrtumswahrscheinlichkeit maximal 0,1% beträgt, dass der Test auf eine niedrigere Nebenwirkungshäufigkeit hinweist, obwohl dies in Wirklichkeit nicht der Fall ist. In welchem Intervall muss hierfür die Anzahl der Probanden mit Nebenwirkungen liegen? Wie hoch ist dann diese Irrtumswahrscheinlichkeit?

Lösung einblenden
kP(X≤k)
......
290
300
310.0001
320.0002
330.0004
340.0009
350.0018
360.0033
370.006
380.0105
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.5 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.5 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(100,0.5,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 34 weniger als 0.1% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.5 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.5 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0009 =0.09% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;34]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [35;100]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;34], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [35;100], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

In einem Multiple Choice Test ist bei jeder der 76 Aufgaben genau eine von fünf Lösungsmöglichkeiten richtig. In welchem Intervall muss die Anzahl der richtigen Antworten von Kevin liegen, damit er seiner Mutter (mit einer max. Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%) nachweisen kann, dass er auf den Test etwas gelernt und dadurch etwas gewusst hat und nicht jede Frage dem Zufall überließ? Gib die Irrtumswahrscheinlichkeit an!

Lösung einblenden
kP(X≤k)
......
160.6544
170.7504
180.829
190.889
200.9318
210.9603
220.9781
230.9886
240.9943
250.9973
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.2 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.2 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(76,0.2,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 21 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;21]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 22 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [22;76]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.2 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.2 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0397 =3.97% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [22;76], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;21], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Ein Basketballspieler behauptet, er habe bei Freiwürfen eine Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,35. Sein Trainer glaubt, dass er sich dabei überschätzt. Um das zu überprüfen, muss der Basketballspieler 25 mal werfen. In welchem Intervall müssen die Treffer liegen, dass sich der Trainer auf einem Signifikanzniveau von 5% bestätigt sieht? Wie hoch bleibt dabei die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass der Trainer aufgrund des Signifikanztests die Trefferwahrscheinlichkeit irrtümlicherweise als niedriger annimmt?

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kP(X≤k)
00
10.0003
20.0021
30.0097
40.032
50.0826
60.1734
70.3061
80.4668
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.35 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.35 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(25,0.35,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 4 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.35 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.35 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.032 =3.2% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;4]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [5;25]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;4], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [5;25], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein Großhändler beklagt sich, dass gelieferte LED-Leuchtmittel mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,26 bereits nach wenigen Stunden defekt werden. Die herstellende Firma glaubt das nicht und hält die Ausschussquote für viel geringer. Deswegen führt sie einen Test mit 72 Leuchtmitteln durch. Als Signifikanzniveau für diesen Test wird 5% festgelegt. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der defekten LED-Leuchtmittel liegen, damit die Firma die Aussage des Großhändlers widerlegt? b) In Wirklichkeit liegt die Ausfallwahrscheinlickeit der Leuchtmittel nur bei p=0,15. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der defekten Leuchtmittel nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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kP(X≤k)
......
70.0005
80.0016
90.0043
100.0102
110.0219
120.0428
130.0767
140.1268
150.195
160.2803
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.26 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.26 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(72,0.26,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 12 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.26 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.26 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0428 =4.28% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;12]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [13;72]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;12], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [13;72], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p=0.26 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.15 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 13 bis 72, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.15) beträgt nun: P0.1572 (X≥13) =1- P0.1572 (X≤12) ≈ 1-0.7215 ≈ 0.2785

Mit 27.85% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Durch einen Test soll statistisch untermauert werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p≠0,15 ist. Dazu soll die Nullhypothese H0: p=0,15 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=93 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen. In welchen Bereichen muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese p=0,15 statistisch untermauert ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

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kP(X≤k)
......
60.0097
70.0235
80.0496
90.0932
100.1578
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = 0.15 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.15 oder p>0.15 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 5% gerecht auf 2.5% auf der linken und 2.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=93 und p=0.15), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 7 gerade noch weniger als 2.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

kP(X≤k)
......
190.9416
200.9665
210.9817
220.9906
230.9954
......

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 2.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.025 = 0.975 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=21 erstmals P0.1593 (X≤k) ≥ 0.975 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 22 bis 93 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 2.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 22 bis 93.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p=0.15 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠0.15 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von P0.1593 (X≤7) = 0.0235 auf der linken Seite und P0.1593 (X≥22) = 1-0.9817 = 0.0183 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit PIrr = 0.0235 + 0.0183 = 0.0418 =4.18% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;7] und [22;93]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [8;21]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;7] oder [22;93], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [8;21], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Der Hersteller eines Männershampoos bewirbt sein Produkt damit, dass es bei 40% aller Probanden die kahlen Stellen am Kopf wieder zuwachsen lassen würde. Weil bei Verbraucherschützern Zweifel daran aufkommen, lässt die Firma einen Hypothesentest mit 500 Männern durchführen, die täglich das Shampoo benutzen müssen. Dabei soll das Risiko auf 6% begrenzt werden, dass aufgrund des Tests weiterhin mit diesem Prozentsatz geworben wird, obwohl dieser in Wirklichkeit niedriger liegt und die Gefahr einer Klage von Verbraucherschützern droht.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 6%

error

Die Nullhypothese H0: " ... höchstens 6%", also p ≤ 0.06 macht keinen Sinn, weil die 6%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=40% gehen, also den Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt.

2. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 40%

error

Wenn die Nullhypothese H0: " ... mindestens 40%", also p ≥ 0.4 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.4 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 6% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≥ 0.4 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.4 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 6%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.4 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.4 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit nicht mehr mit diesem hohen Prozentsatz zu werben, obwohl dieser richtig ist, auf unter 6% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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3. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 6%

error

Die Nullhypothese H0: " ... mindestens 6%", also p ≥ 0.06 macht keinen Sinn, weil die 6%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=40% gehen, also den Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt.

4. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 40%

ok

Wenn die Nullhypothese H0: " ... höchstens 40%", also p ≤ 0.4 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.4 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 6% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≤ 0.4 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.4 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 6%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.4 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.4 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit weiterhin mit diesem hohen Prozentsatz zu werben, obwohl er in Wirklichkeit niedriger ist und eine Klage von Verbraucherschützern riskieren, auf unter 6% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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