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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Ein Basketballspieler behauptet, er habe bei Freiwürfen eine Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,7. Sein Trainer glaubt, dass er sich dabei überschätzt. Um das zu überprüfen, muss der Basketballspieler 25 mal werfen. In welchem Intervall müssen die Treffer liegen, dass sich der Trainer auf einem Signifikanzniveau von 5% bestätigt sieht? Wie hoch bleibt dabei die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass der Trainer aufgrund des Signifikanztests die Trefferwahrscheinlichkeit irrtümlicherweise als niedriger annimmt?

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kP(X≤k)
......
80.0001
90.0005
100.0018
110.006
120.0175
130.0442
140.0978
150.1894
160.3231
170.4882
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.7 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.7 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(25,0.7,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 13 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.7 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.7 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0442 =4.42% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;13]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [14;25]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;13], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [14;25], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Durch einen Test soll statistisch belegt werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p> 0,45 ist. Dazu soll die Nullhypothese H0: p≤0,45 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=54 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen.In welchem Bereich muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese statistisch begründet ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt, weil bei dem Zufallsexperiment ein Treffer in den Ablehnungsbereich fällt, obwohl die Nullhypothese richtig ist?

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kP(X≤k)
......
250.63
260.7271
270.8095
280.8745
290.9222
300.9547
310.9753
320.9874
330.994
340.9974
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.45 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.45 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(54,0.45,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 30 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;30]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 31 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [31;54]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.45 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.45 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0453 =4.53% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [31;54], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;30], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Ein Basketballspieler behauptet, er habe bei Freiwürfen seine bisherige Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,7 inzwischen verbessert. Sein Trainer glaubt ihm sich das nicht. Um seine Verbesserung zu überprüfen, wird ein Signifikanz-Test mit 69 Würfen des Basketballspieler vereinbart. Dabei soll die Irrtumswahrscheinlichkeit berechnet werden können, dass man aufgrund des Test eine höhere Treffer-Quote annimmt, obwohl dies in Wirklichkeit gar nicht der Fall ist. In welchem Intervall müssen die Treffer liegen, damit sich der Spieler auf einem Signifikanzniveau von 1% bestätigt sieht? Wie hoch bleibt dabei die Irrtumswahrscheinlichkeit.

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kP(X≤k)
......
520.8661
530.9169
540.952
550.9744
560.9874
570.9944
580.9977
590.9992
600.9997
610.9999
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.7 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.7 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.01= 0.99 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(69,0.7,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 57 erstmals mindestens 99% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;57]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 58 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [58;69]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.7 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.7 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0056 =0.56% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [58;69], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;57], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein Großhändler beklagt sich, dass gelieferte LED-Leuchtmittel mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,33 bereits nach wenigen Stunden defekt werden. Die herstellende Firma glaubt das nicht und hält die Ausschussquote für viel geringer. Deswegen führt sie einen Test mit 61 Leuchtmitteln durch. Als Signifikanzniveau für diesen Test wird 5% festgelegt. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der defekten LED-Leuchtmittel liegen, damit die Firma die Aussage des Großhändlers widerlegt? b) In Wirklichkeit liegt die Ausfallwahrscheinlickeit der Leuchtmittel nur bei p=0,17. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der defekten Leuchtmittel nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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kP(X≤k)
......
80.0004
90.0011
100.0029
110.0072
120.0159
130.0321
140.0595
150.1017
160.1615
170.2395
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.33 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.33 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(61,0.33,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 13 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.33 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.33 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0321 =3.21% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;13]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [14;61]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;13], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [14;61], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p=0.33 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.17 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 14 bis 61, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.17) beträgt nun: P0.1761 (X≥14) =1- P0.1761 (X≤13) ≈ 1-0.8564 ≈ 0.1436

Mit 14.36% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Ein Würfel wirkt etwas unwuchtig, so als ob nicht alle Bereiche des Körpers gleich schwer wären. Deswegen wird vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs mit diesem Würfel zu würfeln, p ≠ 1 6 sein müsste. Diese Vermutung soll durch einen zweiseitigen Test mit 72 mal würfeln untermauert werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen.
In welchen Bereichen muss die Anzahl der gewürfelten Sechser bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese p= 1 6 statistisch untermauert ablehnen zu können?
Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

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kP(X≤k)
......
40.0045
50.0134
60.0333
70.0708
80.1318
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = 1 6 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< 1 6 oder p> 1 6 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 5% gerecht auf 2.5% auf der linken und 2.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=72 und p= 1 6 ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 5 gerade noch weniger als 2.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

kP(X≤k)
......
160.9184
170.9538
180.9754
190.9877
200.9942
......

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 2.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.025 = 0.975 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=18 erstmals P 1 6 72 (X≤k) ≥ 0.975 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 19 bis 72 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 2.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 19 bis 72.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p= 1 6 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠ 1 6 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von P 1 6 72 (X≤5) = 0.0134 auf der linken Seite und P 1 6 72 (X≥19) = 1-0.9754 = 0.0246 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit PIrr = 0.0134 + 0.0246 = 0.038 =3.8% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;5] und [19;72]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [6;18]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;5] oder [19;72], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [6;18], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Ein Casino hat ein Glücksrad, bei dem die Gewinnwahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn mit 3% angegeben wird. Spielgäste haben sich beschwert, weil sie glauben, dass diese Gewinnwahrscheinlichkeit in Wirklichkeit kleiner wäre. Deswegen führt das Casino einen Hypothesentest mit 700 Drehungen dieses Glücksrads durch. Dabei soll das Risiko auf 7% begrenzt werden, dass aufgrund des Tests das Glückrad unnötigerweise ausgetauscht wird, obwohl die Gewinnwahrscheinlichkeit nicht kleiner als 3% ist.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

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Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 3%

error

Wenn die Nullhypothese H0: " ... höchstens 3%", also p ≤ 0.03 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.03 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 7% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≤ 0.03 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.03 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 7%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.03 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.03 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit das Glücksrad nicht auszutauschen und Ärger mit der Glückspielbehörde zu riskieren, auf unter 7% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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2. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 3%

ok

Wenn die Nullhypothese H0: " ... mindestens 3%", also p ≥ 0.03 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.03 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 7% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≥ 0.03 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.03 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 7%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.03 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.03 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit das Glücksrad unnötigerweise auszutauschen, auf unter 7% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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3. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 7%

error

Die Nullhypothese H0: " ... höchstens 7%", also p ≤ 0.07 macht keinen Sinn, weil die 7%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=3% gehen, also die Gewinnwahrscheinlichkeit dieses Glücksrad.

4. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 7%

error

Die Nullhypothese H0: " ... mindestens 7%", also p ≥ 0.07 macht keinen Sinn, weil die 7%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=3% gehen, also die Gewinnwahrscheinlichkeit dieses Glücksrad.