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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Ein Basketballspieler behauptet, er habe bei Freiwürfen eine Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,35. Sein Trainer glaubt, dass er sich dabei überschätzt. Um das zu überprüfen, muss der Basketballspieler 20 mal werfen. In welchem Intervall müssen die Treffer liegen, dass sich der Trainer auf einem Signifikanzniveau von 1% bestätigt sieht? Wie hoch bleibt dabei die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass der Trainer aufgrund des Signifikanztests die Trefferwahrscheinlichkeit irrtümlicherweise als niedriger annimmt?

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kP(X≤k)
00.0002
10.0021
20.0121
30.0444
40.1182
50.2454
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.35 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.35 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(20,0.35,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 1 weniger als 1% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.35 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.35 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0021 =0.21% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;1]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [2;20]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;1], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [2;20], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Die Kursstufenschüler Maxi und Noah verbringen ihr Pausen leidenschaftlich gerne mit einem Bäckertüten-Mülleimer-Contest. Dabei geht es darum, eine zusammengeknüllte Bäckertüte in den an der entferntesten Ecke stehenden Altpapierbehälter zu treffen. Der interessiert zuschauende Mathelehrer rät ihnen doch etwas näher an den Mülleimer ran zu gehen, weil sie eh höchstens jedes zehnte mal treffen. Empfindlich in ihre Macho-Ehre verletzt, beschließen sie darauf hin ein Test mit 89 Würfen durchzuführen, der die absurd niedrige vom Lehrer behauptete Trefferquote auf einem Signifikanzniveau von 0,1% widerlegen soll. In welchem Bereich müsste die Trefferzahl liegen, um über den Mathelehrer statistisch belegt zu triumphieren zu können? Wie hoch ist dann die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass die Trefferqutoe von höchstens 10% fälschlicherweise abgelehnt wurde?

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kP(X≤k)
......
140.9696
150.9852
160.9933
170.9972
180.9989
190.9996
200.9998
210.9999
221
231
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.1 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.1 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.001= 0.999 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(89,0.1,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 19 erstmals mindestens 99.9% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;19]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 20 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [20;89]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.1 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.1 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0004 =0.04% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [20;89], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;19], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Einem partystarken 12-Klässler wird von einem nicht ganz vorurteilsfreien Lehrer vorgeworfen, nichts auf die Klassenarbeit gelernt haben. Diese findet in Form eines Multiple Choice-Tests mit 68 Aufgaben statt, bei der genau eine der vier Antwortmöglichkeiten richtig ist. In welchem Bereich muss nun die Anzahl der richtigen Antworten liegen, damit er auf einem Signifikanzniveau von 5% die Behauptung des Lehrers widerlegen kann.

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kP(X≤k)
......
180.6696
190.7617
200.8369
210.8942
220.935
230.9622
240.9792
250.9892
260.9947
270.9975
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.25 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.25 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(68,0.25,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 23 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;23]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 24 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [24;68]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.25 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.25 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0378 =3.78% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [24;68], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;23], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein Großhändler beklagt sich, dass gelieferte LED-Leuchtmittel mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,29 bereits nach wenigen Stunden defekt werden. Die herstellende Firma glaubt das nicht und hält die Ausschussquote für viel geringer. Deswegen führt sie einen Test mit 90 Leuchtmitteln durch. Als Signifikanzniveau für diesen Test wird 5% festgelegt. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der defekten LED-Leuchtmittel liegen, damit die Firma die Aussage des Großhändlers widerlegt? b) In Wirklichkeit liegt die Ausfallwahrscheinlickeit der Leuchtmittel nur bei p=0,17. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der defekten Leuchtmittel nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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kP(X≤k)
......
130.001
140.0023
150.0051
160.0104
170.0198
180.0353
190.0594
200.0944
210.142
220.2029
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.29 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.29 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(90,0.29,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 18 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.29 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.29 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0353 =3.53% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;18]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [19;90]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;18], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [19;90], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p=0.29 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.17 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 19 bis 90, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.17) beträgt nun: P0.1790 (X≥19) =1- P0.1790 (X≤18) ≈ 1-0.8172 ≈ 0.1828

Mit 18.28% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Ein Würfel wirkt etwas unwuchtig, so als ob nicht alle Bereiche des Körpers gleich schwer wären. Deswegen wird vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs mit diesem Würfel zu würfeln, p ≠ 1 6 sein müsste. Diese Vermutung soll durch einen zweiseitigen Test mit 82 mal würfeln untermauert werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 0,1% betragen.
In welchen Bereichen muss die Anzahl der gewürfelten Sechser bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese p= 1 6 statistisch untermauert ablehnen zu können?
Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

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kP(X≤k)
......
20
30.0003
40.0012
50.004
60.0112
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = 1 6 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< 1 6 oder p> 1 6 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 0.1% gerecht auf 0.05% auf der linken und 0.05% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=82 und p= 1 6 ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 3 gerade noch weniger als 0.05% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

kP(X≤k)
......
240.9986
250.9994
260.9998
270.9999
281
......

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 0.05% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.0005 = 0.9995 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=26 erstmals P 1 6 82 (X≤k) ≥ 0.9995 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 27 bis 82 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 0.05% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 27 bis 82.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p= 1 6 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠ 1 6 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von P 1 6 82 (X≤3) = 0.0003 auf der linken Seite und P 1 6 82 (X≥27) = 1-0.9998 = 0.0002 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit PIrr = 0.0003 + 0.0002 = 0.0005 =0.05% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;3] und [27;82]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [4;26]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;3] oder [27;82], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [4;26], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Eine Firma möchte den Preis für ihr umsatzstärkstes Produkt erhöhen. Die Marketingabteilung geht davon aus, dass dadurch 4% der Kunden zu einem Mitbewerberprodukt wechseln und somit der Umsatz so stark zurückgehen würde, dass sich die Preiserhöhung gar nicht lohnt. Die Geschäftsführung ist sich aber nicht ganz sicher, ob diese Zahl verlässlich ist und beschließt, einen Hypothesentest mit 600 Personen durchzuführen, die befragt werden, ob sie bei der Preiserhöhung zu einem anderen Produkt wechseln würden. Dabei möchte sie das Risiko auf 8% begrenzen, dass aufgrund des Tests irrtümlicherweise auf die Preiserhöhung verzichtet wird, obwohl diese sinnvoll wäre.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt höchstens 8%

error

Die Nullhypothese H0: " ... höchstens 8%", also p ≤ 0.08 macht keinen Sinn, weil die 8%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=4% gehen, also wieviel Prozent bei einer Preiserhöhung zu einem Mitbewerberprodukt wechseln.

2. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt mindestens 8%

error

Die Nullhypothese H0: " ... mindestens 8%", also p ≥ 0.08 macht keinen Sinn, weil die 8%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=4% gehen, also wieviel Prozent bei einer Preiserhöhung zu einem Mitbewerberprodukt wechseln.

3. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt mindestens 4%

error

Wenn die Nullhypothese H0: " ... mindestens 4%", also p ≥ 0.04 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.04 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 8% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≥ 0.04 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.04 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 8%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.04 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.04 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit die Preiserhöhung durchzuführen und einen Umsatzeinbruch zu riskieren, auf unter 8% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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4. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt höchstens 4%

ok

Wenn die Nullhypothese H0: " ... höchstens 4%", also p ≤ 0.04 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.04 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 8% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≤ 0.04 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.04 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 8%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.04 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.04 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit auf die Preiserhöhung zu verzichten (obwohl diese sinnvoll wäre), auf unter 8% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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