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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Eine Pharmafirma behauptet, dass durch eine Verbesserung der Rezeptur die Nebenwirkungen eines Medikaments unter p=0,55 gesunken ist. Um dies nachzuweisen, soll ein Test mit 55 Probanden so durchgeführt werden, dass die Irrtumswahrscheinlichkeit maximal 1% beträgt, dass der Test auf eine niedrigere Nebenwirkungshäufigkeit hinweist, obwohl dies in Wirklichkeit nicht der Fall ist. In welchem Intervall muss hierfür die Anzahl der Probanden mit Nebenwirkungen liegen? Wie hoch ist dann diese Irrtumswahrscheinlichkeit?

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kP(X≤k)
......
160.0001
170.0003
180.0007
190.0018
200.0042
210.009
220.018
230.034
240.0599
250.0993
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.55 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.55 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(55,0.55,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 21 weniger als 1% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.55 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.55 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.009 =0.9% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;21]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [22;55]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;21], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [22;55], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Mandy und Sandy, zwei D-Promis, treffen sich im australischen Dschungel. Als Mandy erzählt, dass 45% aller Deutschen sie kennen würde, behauptet Sandy, dass ihr eigener Bekanntheitsgrad noch viel höher wäre. Darauf hin werden 72 Personen in einem Test befragt, bei dem das Risiko abgeschätzt werden kann, dass nach dem Test irrtümlicherweise ein höherer Bekanntheitsgrad als 45% (bei Sandy) angenommen wird, obwohl dies gar nicht der Fall ist. Als Signifikanzniveau wird 0,1% ausgemacht. In welchem Intervall muss nun die Anzahl der Personen liegen, die Sandy kennen, damit sie ihren höheren Bekanntheitsgrad nachweisen kann? Gib die Irrtumswahrscheinlichkeit an.

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kP(X≤k)
......
400.9722
410.9842
420.9915
430.9957
440.9979
450.999
460.9996
470.9998
480.9999
491
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.45 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.45 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.001= 0.999 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(72,0.45,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 45 erstmals mindestens 99.9% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;45]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 46 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [46;72]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.45 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.45 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.001 =0.1% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [46;72], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;45], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Zlatan Ibrahimovic behauptet von sich, dass er mit mindestens 80% Wahrscheinlichkeit von der Strafraumgrenze die Querlatte des Tores treffe. Obwohl Ibrahimovic für seine geradezu legendäre Bescheidenheit und Demut bekannt ist, zweifelt ein Mitspieler an dieser Quote. Sie einigen sich auf einen Test mit 90 Versuchen und einem Signifikanzniveau von 1% (was auch immer Ibrahimovic darunter verstehen mag). In welchem Bereich muss die Anzahl der Lattentreffer liegen, um den schwedischen Stürmer der Prahlerei zu überführen, also dass man eine irrtümliche Anzweiflung der Trefferquote rechnerisch abschätzen kann?Berechne dann diese Irrtumswahrscheinlichkeit.

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kP(X≤k)
......
570.0002
580.0004
590.001
600.0021
610.0043
620.0083
630.0156
640.0278
650.0474
660.077
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.8 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.8 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(90,0.8,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 62 weniger als 1% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.8 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.8 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0083 =0.83% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;62]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [63;90]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;62], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [63;90], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein Großhändler beklagt sich, dass gelieferte LED-Leuchtmittel mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,2 bereits nach wenigen Stunden defekt werden. Die herstellende Firma glaubt das nicht und hält die Ausschussquote für viel geringer. Deswegen führt sie einen Test mit 92 Leuchtmitteln durch. Als Signifikanzniveau für diesen Test wird 5% festgelegt. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der defekten LED-Leuchtmittel liegen, damit die Firma die Aussage des Großhändlers widerlegt? b) In Wirklichkeit liegt die Ausfallwahrscheinlickeit der Leuchtmittel nur bei p=0,11. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der defekten Leuchtmittel nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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kP(X≤k)
......
60.0003
70.0009
80.0027
90.0067
100.015
110.0306
120.0569
130.0972
140.1542
150.2283
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.2 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.2 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(92,0.2,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 11 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.2 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.2 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0306 =3.06% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;11]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [12;92]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;11], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [12;92], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p=0.2 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.11 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 12 bis 92, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.11) beträgt nun: P0.1192 (X≥12) =1- P0.1192 (X≤11) ≈ 1-0.6893 ≈ 0.3107

Mit 31.07% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Ein Roulettetisch scheint ungleichmäßig zu laufen. Ein Spieler bezweifelt deswegen, dass die vorgegebene Wahrscheinlichkeit der grünen Null von p= 1 37 wirklich stimmt. Diese Vermutung soll durch einen zweiseitigen Test mit 230 Drehungen des Roulettes untermauert werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen.
In welchen Bereichen muss die Häufigkeit der grünen Null bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese p= 1 37 statistisch untermauert ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

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kP(X≤k)
00.0018
10.0135
20.0508
30.1294
40.2534
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = 1 37 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< 1 37 oder p> 1 37 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 5% gerecht auf 2.5% auf der linken und 2.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=230 und p= 1 37 ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 1 gerade noch weniger als 2.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

kP(X≤k)
......
90.9033
100.9502
110.9763
120.9895
130.9957
......

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 2.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.025 = 0.975 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=11 erstmals P 1 37 230 (X≤k) ≥ 0.975 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 12 bis 230 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 2.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 12 bis 230.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p= 1 37 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠ 1 37 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von P 1 37 230 (X≤1) = 0.0135 auf der linken Seite und P 1 37 230 (X≥12) = 1-0.9763 = 0.0237 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit PIrr = 0.0135 + 0.0237 = 0.0372 =3.72% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;1] und [12;230]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [2;11]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;1] oder [12;230], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [2;11], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Ein Casino hat ein Glücksrad, bei dem die Gewinnwahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn mit 7% angegeben wird. Spielgäste haben sich beschwert, weil sie glauben, dass diese Gewinnwahrscheinlichkeit in Wirklichkeit kleiner wäre. Deswegen führt das Casino einen Hypothesentest mit 400 Drehungen dieses Glücksrads durch. Dabei soll das Risiko auf 19% begrenzt werden, dass aufgrund des Tests das Glückrad unnötigerweise ausgetauscht wird, obwohl die Gewinnwahrscheinlichkeit nicht kleiner als 7% ist.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 7%

ok

Wenn die Nullhypothese H0: " ... mindestens 7%", also p ≥ 0.07 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.07 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 19% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≥ 0.07 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.07 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 19%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.07 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.07 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit das Glücksrad unnötigerweise auszutauschen, auf unter 19% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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2. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 19%

error

Die Nullhypothese H0: " ... höchstens 19%", also p ≤ 0.19 macht keinen Sinn, weil die 19%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=7% gehen, also die Gewinnwahrscheinlichkeit dieses Glücksrad.

3. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 7%

error

Wenn die Nullhypothese H0: " ... höchstens 7%", also p ≤ 0.07 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.07 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 19% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≤ 0.07 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.07 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 19%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.07 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.07 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit das Glücksrad nicht auszutauschen und Ärger mit der Glückspielbehörde zu riskieren, auf unter 19% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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4. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 19%

error

Die Nullhypothese H0: " ... mindestens 19%", also p ≥ 0.19 macht keinen Sinn, weil die 19%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=7% gehen, also die Gewinnwahrscheinlichkeit dieses Glücksrad.