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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Ein spielsüchtiger 12-Klässler möchte nachweisen, dass ein bestimmter Würfel gezinkt ist und zu selten eine 6 kommt. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 100 Würfen und einem Signifikanzniveau von 5%. In welchem Bereich muss die Anzahl der 6er liegen, damit er die Spielbank verklagen kann (- also, dass das Risiko, die 6er-Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise als zu gering anzunehmen, berechenbar ist.) Wie hoch ist dann diese Irrtumswahrscheinlichkeit?

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k	P(X≤k)
...	...
5	0.0004
6	0.0013
7	0.0038
8	0.0095
9	0.0213
10	0.0427
11	0.0777
12	0.1297
13	0.2
14	0.2874
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≥ $\frac{1}{6}$ zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< $\frac{1}{6}$ ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(100, $\frac{1}{6}$ ,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 10 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p= $\frac{1}{6}$ so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p< $\frac{1}{6}$ als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0427 =4.27% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;10]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [11;100]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [0;10], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [11;100], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

5

6

7

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30

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Durch einen Test soll statistisch belegt werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p> 0,9 ist. Dazu soll die Nullhypothese H₀: p≤0,9 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=77 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 1% betragen.In welchem Bereich muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese statistisch begründet ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt, weil bei dem Zufallsexperiment ein Treffer in den Ablehnungsbereich fällt, obwohl die Nullhypothese richtig ist?

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k	P(X≤k)
...	...
70	0.6604
71	0.7941
72	0.8944
73	0.9562
74	0.9863
75	0.9971
76	0.9997
77	1

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≤ 0.9 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.9 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H₀ (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.01= 0.99 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(77,0.9,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 75 erstmals mindestens 99% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;75]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H₀ dass dieser erst bei 76 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H₀: [76;77]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p=0.9 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.9 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0029 =0.29% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [76;77], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;75], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

55

56

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60

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63

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65

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71

72

73

74

75

76

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Mandy und Sandy, zwei D-Promis, treffen sich im australischen Dschungel. Als Mandy erzählt, dass 55% aller Deutschen sie kennen würde, behauptet Sandy, dass ihr eigener Bekanntheitsgrad noch viel höher wäre. Darauf hin werden 96 Personen in einem Test befragt, bei dem das Risiko abgeschätzt werden kann, dass nach dem Test irrtümlicherweise ein höherer Bekanntheitsgrad als 55% (bei Sandy) angenommen wird, obwohl dies gar nicht der Fall ist. Als Signifikanzniveau wird 0,1% ausgemacht. In welchem Intervall muss nun die Anzahl der Personen liegen, die Sandy kennen, damit sie ihren höheren Bekanntheitsgrad nachweisen kann? Gib die Irrtumswahrscheinlichkeit an.

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k	P(X≤k)
...	...
63	0.9867
64	0.9924
65	0.9959
66	0.9978
67	0.9989
68	0.9995
69	0.9998
70	0.9999
71	1
72	1
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≤ 0.55 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.55 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H₀ (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.001= 0.999 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(96,0.55,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 68 erstmals mindestens 99.9% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;68]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H₀ dass dieser erst bei 69 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H₀: [69;96]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p=0.55 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.55 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0005 =0.05% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [69;96], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;68], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein spielsüchtiger 12-Klässler möchte nachweisen, dass ein bestimmter Würfel gezinkt ist und zu selten eine 6 kommt. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 95 Würfen und einem Signifikanzniveau von 0,1%. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der 6er liegen, damit er die Spielbank verklagen kann. b) In Wirklichkeit ist der Würfel tatsächlich manipuliert und würfelt nur mit der Wahrscheinlichkeit von 12% eine sechs. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der Sechsen nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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k	P(X≤k)
0	0
1	0
2	0
3	0
4	0.0002
5	0.0007
6	0.0024
7	0.0067
8	0.016
9	0.0341
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≥ $\frac{1}{6}$ zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< $\frac{1}{6}$ ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(95, $\frac{1}{6}$ ,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 5 weniger als 0.1% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p= $\frac{1}{6}$ so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p< $\frac{1}{6}$ als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0007 =0.07% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;5]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [6;95]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [0;5], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [6;95], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

0

1

2

3

4

5

6

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11

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H₀:p= $\frac{1}{6}$ falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.12 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 6 bis 95, so dass H₀ (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.12) beträgt nun: $P_{0.12}^{95} (X \geq 6)$ =1- $P_{0.12}^{95} (X \leq 5)$ ≈ 1-0.0228 ≈ 0.9772

Mit 97.72% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Ein Würfel wirkt etwas unwuchtig, so als ob nicht alle Bereiche des Körpers gleich schwer wären. Deswegen wird vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs mit diesem Würfel zu würfeln, p ≠ $\frac{1}{6}$ sein müsste. Diese Vermutung soll durch einen zweiseitigen Test mit 52 mal würfeln untermauert werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen.
In welchen Bereichen muss die Anzahl der gewürfelten Sechser bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese p= $\frac{1}{6}$ statistisch untermauert ablehnen zu können?
Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

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k	P(X≤k)
...	...
2	0.0049
3	0.0184
4	0.0515
5	0.1149
6	0.2144
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p = $\frac{1}{6}$ zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< $\frac{1}{6}$ oder p> $\frac{1}{6}$ ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 5% gerecht auf 2.5% auf der linken und 2.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=52 und p= $\frac{1}{6}$ ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 3 gerade noch weniger als 2.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

k	P(X≤k)
...	...
12	0.9183
13	0.958
14	0.9801
15	0.9913
16	0.9965
...	...

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 2.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.025 = 0.975 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=14 erstmals $P_{\frac{1}{6}}^{52} (X \leq k)$ ≥ 0.975 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 15 bis 52 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 2.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 15 bis 52.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H₀: p= $\frac{1}{6}$ so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠ $\frac{1}{6}$ als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von $P_{\frac{1}{6}}^{52} (X \leq 3)$ = 0.0184 auf der linken Seite und $P_{\frac{1}{6}}^{52} (X \geq 15)$ = 1-0.9801 = 0.0199 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit P_Irr = 0.0184 + 0.0199 = 0.0383 =3.83% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;3] und [15;52]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [4;14]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H₀: [0;3] oder [15;52], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [4;14], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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1

2

3

4

5

6

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8

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11

12

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Eine Firma möchte den Preis für ihr umsatzstärkstes Produkt erhöhen. Die Marketingabteilung geht davon aus, dass dadurch 9% der Kunden zu einem Mitbewerberprodukt wechseln und somit der Umsatz so stark zurückgehen würde, dass sich die Preiserhöhung gar nicht lohnt. Die Geschäftsführung ist sich aber nicht ganz sicher, ob diese Zahl verlässlich ist und beschließt, einen Hypothesentest mit 700 Personen durchzuführen, die befragt werden, ob sie bei der Preiserhöhung zu einem anderen Produkt wechseln würden. Dabei möchte sie das Risiko auf 6% begrenzen, dass aufgrund des Tests irrtümlicherweise auf die Preiserhöhung verzichtet wird, obwohl diese sinnvoll wäre.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt höchstens 6%

Die Nullhypothese H₀: " ... höchstens 6%", also p ≤ 0.06 macht keinen Sinn, weil die 6%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=9% gehen, also wieviel Prozent bei einer Preiserhöhung zu einem Mitbewerberprodukt wechseln.

2. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt mindestens 6%

Die Nullhypothese H₀: " ... mindestens 6%", also p ≥ 0.06 macht keinen Sinn, weil die 6%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=9% gehen, also wieviel Prozent bei einer Preiserhöhung zu einem Mitbewerberprodukt wechseln.

3. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt höchstens 9%

Wenn die Nullhypothese H₀: " ... höchstens 9%", also p ≤ 0.09 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.09 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 6% sein muss, falls die Nullhypothese H₀: p ≤ 0.09 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.09 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 6%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.09 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.09 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit auf die Preiserhöhung zu verzichten (obwohl diese sinnvoll wäre), auf unter 6% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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4. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt mindestens 9%

Wenn die Nullhypothese H₀: " ... mindestens 9%", also p ≥ 0.09 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.09 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 6% sein muss, falls die Nullhypothese H₀: p ≥ 0.09 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.09 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 6%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.09 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.09 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit die Preiserhöhung durchzuführen und einen Umsatzeinbruch zu riskieren, auf unter 6% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Hypothesen-Test linksseitig

Hypothesen-Test rechtsseitig

Hypothesen-Test rechtsseitig

Fehler 2. Art

zweiseitiger Test

Linke Seite:

Rechte Seite:

Fehler 1. Art beurteilen

1. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt höchstens 6%

2. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt mindestens 6%

3. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt höchstens 9%

4. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt mindestens 9%