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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Der Prager Gaststättenverband behauptet stolz, dass 91% ihrer Gaststätten das strenge Alkoholverbot für Jugendliche (kein Bier unter 18!) konsequent umsetzen. Das tschechische blaue Kreuz bezweifelt das und glaubt dass es weit weniger konsequent umgesetzt wird. Eine zufällig sich in Prag aufhaltende Biberacher Schülergruppe erklärt sich bereit, eine Hypothesen-Test mit einem Signifikanzniveau von α=0,1% durchzuführen. Dabei versuchen 17-jährige SchülerInnen in 53 Kneipen ein Bier zu bestellen. Gib den Bereich an, wie viele Gaststätten dabei den Jugendlichen den Alkoholkonsum verweigern müssten, damit das blaue Kreuz die Behauptung des Gaststättenverbands statistisch begründet anzweifeln könnte. Gib die Irrtumswahrscheinlichkeit an, dass die 91%-Aussage des Prager Gaststättenverband irrtümlicherweise aufgrund des Tests verworfen wurde, obwohl sie in Wirklichkeit stimmt.

Lösung einblenden
kP(X≤k)
......
350
360
370
380
390.0002
400.0007
410.0023
420.0068
430.0186
440.0457
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.91 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.91 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(53,0.91,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 40 weniger als 0.1% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.91 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.91 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0007 =0.07% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;40]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [41;53]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;40], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [41;53], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

In einem Multiple Choice Test ist bei jeder der 93 Aufgaben genau eine von fünf Lösungsmöglichkeiten richtig. In welchem Intervall muss die Anzahl der richtigen Antworten von Kevin liegen, damit er seiner Mutter (mit einer max. Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%) nachweisen kann, dass er auf den Test etwas gelernt und dadurch etwas gewusst hat und nicht jede Frage dem Zufall überließ? Gib die Irrtumswahrscheinlichkeit an!

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kP(X≤k)
......
200.6956
210.7773
220.8441
230.8957
240.9333
250.9592
260.9762
270.9867
280.9929
290.9964
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.2 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.2 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(93,0.2,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 25 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;25]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 26 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [26;93]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.2 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.2 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0408 =4.08% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [26;93], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;25], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Die Kursstufenschüler Maxi und Noah verbringen ihr Pausen leidenschaftlich gerne mit einem Bäckertüten-Mülleimer-Contest. Dabei geht es darum, eine zusammengeknüllte Bäckertüte in den an der entferntesten Ecke stehenden Altpapierbehälter zu treffen. Der interessiert zuschauende Mathelehrer rät ihnen doch etwas näher an den Mülleimer ran zu gehen, weil sie eh höchstens jedes zehnte mal treffen. Empfindlich in ihre Macho-Ehre verletzt, beschließen sie darauf hin ein Test mit 56 Würfen durchzuführen, der die absurd niedrige vom Lehrer behauptete Trefferquote auf einem Signifikanzniveau von 0,1% widerlegen soll. In welchem Bereich müsste die Trefferzahl liegen, um über den Mathelehrer statistisch belegt zu triumphieren zu können? Wie hoch ist dann die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass die Trefferqutoe von höchstens 10% fälschlicherweise abgelehnt wurde?

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kP(X≤k)
......
80.897
90.9506
100.9786
110.9916
120.997
130.999
140.9997
150.9999
161
171
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.1 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.1 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.001= 0.999 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(56,0.1,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 13 erstmals mindestens 99.9% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;13]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 14 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [14;56]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.1 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.1 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.001 =0.1% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [14;56], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;13], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Eine Pharmafirma behauptet, dass durch eine Verbesserung der Rezeptur die Nebenwirkungen eines Medikament unter p=0,17 gesunken ist. Um dies nachzuweisen, soll ein 65-stufiger Test mit einer maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% durchgeführt werden. a) In welchem Intervall muss hierfür die Anzahl der Nebenwirkungen liegen? b) In Wirklichkeit liegt die Wahrscheinlickeit für Nebenwirkungen bei p=0,06. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der Nebenwirkungen nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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kP(X≤k)
00
10.0001
20.0006
30.0026
40.0092
50.0255
60.0591
70.1169
80.2028
90.3143
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.17 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.17 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(65,0.17,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 5 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.17 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.17 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0255 =2.55% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;5]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [6;65]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;5], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [6;65], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p=0.17 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.06 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 6 bis 65, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.06) beträgt nun: P0.0665 (X≥6) =1- P0.0665 (X≤5) ≈ 1-0.8059 ≈ 0.1941

Mit 19.41% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Ein Roulettetisch scheint ungleichmäßig zu laufen. Ein Spieler bezweifelt deswegen, dass die vorgegebene Wahrscheinlichkeit der grünen Null von p= 1 37 wirklich stimmt. Diese Vermutung soll durch einen zweiseitigen Test mit 240 Drehungen des Roulettes untermauert werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen.
In welchen Bereichen muss die Häufigkeit der grünen Null bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese p= 1 37 statistisch untermauert ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

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kP(X≤k)
00.0014
10.0107
20.0415
30.1095
40.2214
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = 1 37 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< 1 37 oder p> 1 37 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 5% gerecht auf 2.5% auf der linken und 2.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=240 und p= 1 37 ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 1 gerade noch weniger als 2.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

kP(X≤k)
......
100.9366
110.9686
120.9855
130.9938
140.9975
......

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 2.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.025 = 0.975 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=12 erstmals P 1 37 240 (X≤k) ≥ 0.975 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 13 bis 240 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 2.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 13 bis 240.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p= 1 37 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠ 1 37 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von P 1 37 240 (X≤1) = 0.0107 auf der linken Seite und P 1 37 240 (X≥13) = 1-0.9855 = 0.0145 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit PIrr = 0.0107 + 0.0145 = 0.0252 =2.52% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;1] und [13;240]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [2;12]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;1] oder [13;240], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [2;12], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Der Hersteller eines Männershampoos bewirbt sein Produkt damit, dass es bei 40% aller Probanden die kahlen Stellen am Kopf wieder zuwachsen lassen würde. Weil bei Verbraucherschützern Zweifel daran aufkommen, lässt die Firma einen Hypothesentest mit 100 Männern durchführen, die täglich das Shampoo benutzen müssen. Dabei soll das Risiko auf 5% begrenzt werden, dass aufgrund des Tests auf diesen werbewirksamen Prozentsatz verzichtet wird, obwohl dieser der Wirklichkeit entspricht.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 5%

error

Die Nullhypothese H0: " ... mindestens 5%", also p ≥ 0.05 macht keinen Sinn, weil die 5%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=40% gehen, also den Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt.

2. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 5%

error

Die Nullhypothese H0: " ... höchstens 5%", also p ≤ 0.05 macht keinen Sinn, weil die 5%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=40% gehen, also den Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt.

3. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 40%

error

Wenn die Nullhypothese H0: " ... höchstens 40%", also p ≤ 0.4 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.4 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 5% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≤ 0.4 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.4 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 5%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.4 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.4 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit weiterhin mit diesem hohen Prozentsatz zu werben, obwohl er in Wirklichkeit niedriger ist und eine Klage von Verbraucherschützern riskieren, auf unter 5% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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4. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 40%

ok

Wenn die Nullhypothese H0: " ... mindestens 40%", also p ≥ 0.4 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.4 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 5% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≥ 0.4 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.4 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 5%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.4 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.4 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit nicht mehr mit diesem hohen Prozentsatz zu werben, obwohl dieser richtig ist, auf unter 5% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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