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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Zlatan Ibrahimovic behauptet von sich, dass er mit mindestens 70% Wahrscheinlichkeit von der Strafraumgrenze die Querlatte des Tores treffe. Obwohl Ibrahimovic für seine geradezu legendäre Bescheidenheit und Demut bekannt ist, zweifelt ein Mitspieler an dieser Quote. Sie einigen sich auf einen Test mit 62 Versuchen und einem Signifikanzniveau von 5% (was auch immer Ibrahimovic darunter verstehen mag). In welchem Bereich muss die Anzahl der Lattentreffer liegen, um den schwedischen Stürmer der Prahlerei zu überführen, also dass man eine irrtümliche Anzweiflung der Trefferquote rechnerisch abschätzen kann?Berechne dann diese Irrtumswahrscheinlichkeit.

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kP(X≤k)
......
310.0008
320.0018
330.004
340.0083
350.0164
360.0305
370.0537
380.0893
390.1404
400.2089
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.7 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.7 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(62,0.7,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 36 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.7 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.7 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0305 =3.05% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;36]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [37;62]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;36], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [37;62], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Ein Basketballspieler behauptet, er habe bei Freiwürfen seine bisherige Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,8 inzwischen verbessert. Sein Trainer glaubt ihm sich das nicht. Um seine Verbesserung zu überprüfen, wird ein Signifikanz-Test mit 81 Würfen des Basketballspieler vereinbart. Dabei soll die Irrtumswahrscheinlichkeit berechnet werden können, dass man aufgrund des Test eine höhere Treffer-Quote annimmt, obwohl dies in Wirklichkeit gar nicht der Fall ist. In welchem Intervall müssen die Treffer liegen, damit sich der Spieler auf einem Signifikanzniveau von 5% bestätigt sieht? Wie hoch bleibt dabei die Irrtumswahrscheinlichkeit.

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kP(X≤k)
......
660.6736
670.7696
680.8486
690.9082
700.9491
710.9744
720.9885
730.9954
740.9984
750.9995
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.8 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.8 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(81,0.8,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 71 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;71]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 72 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [72;81]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.8 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.8 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0256 =2.56% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [72;81], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;71], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Ein Basketballspieler behauptet, er habe bei Freiwürfen eine Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,25. Sein Trainer glaubt, dass er sich dabei überschätzt. Um das zu überprüfen, muss der Basketballspieler 25 mal werfen. In welchem Intervall müssen die Treffer liegen, dass sich der Trainer auf einem Signifikanzniveau von 5% bestätigt sieht? Wie hoch bleibt dabei die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass der Trainer aufgrund des Signifikanztests die Trefferwahrscheinlichkeit irrtümlicherweise als niedriger annimmt?

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kP(X≤k)
00.0008
10.007
20.0321
30.0962
40.2137
50.3783
60.5611
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.25 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.25 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(25,0.25,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 2 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.25 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.25 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0321 =3.21% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;2]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [3;25]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;2], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [3;25], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein spielsüchtiger 12-Klässler möchte nachweisen, dass ein bestimmter Würfel gezinkt ist und zu selten eine 6 kommt. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 92 Würfen und einem Signifikanzniveau von 0,1%. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der 6er liegen, damit er die Spielbank verklagen kann. b) In Wirklichkeit ist der Würfel tatsächlich manipuliert und würfelt nur mit der Wahrscheinlichkeit von 13% eine sechs. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der Sechsen nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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kP(X≤k)
00
10
20
30.0001
40.0003
50.0011
60.0035
70.0093
80.0217
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 1 6 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< 1 6 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(92, 1 6 ,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 4 weniger als 0.1% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p= 1 6 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p< 1 6 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0003 =0.03% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;4]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [5;92]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;4], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [5;92], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p= 1 6 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.13 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 5 bis 92, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.13) beträgt nun: P0.1392 (X≥5) =1- P0.1392 (X≤4) ≈ 1-0.0052 ≈ 0.9948

Mit 99.48% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Durch einen Test soll statistisch untermauert werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p≠0,85 ist. Dazu soll die Nullhypothese H0: p=0,85 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=55 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen. In welchen Bereichen muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese p=0,85 statistisch untermauert ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

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kP(X≤k)
......
390.0056
400.0135
410.0297
420.0603
430.1129
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = 0.85 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.85 oder p>0.85 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 5% gerecht auf 2.5% auf der linken und 2.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=55 und p=0.85), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 40 gerade noch weniger als 2.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

kP(X≤k)
......
500.9302
510.9736
520.9925
530.9986
540.9999
......

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 2.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.025 = 0.975 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=52 erstmals P0.8555 (X≤k) ≥ 0.975 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 53 bis 55 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 2.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 53 bis 55.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p=0.85 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠0.85 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von P0.8555 (X≤40) = 0.0135 auf der linken Seite und P0.8555 (X≥53) = 1-0.9925 = 0.0075 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit PIrr = 0.0135 + 0.0075 = 0.0209 =2.09% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;40] und [53;55]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [41;52]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;40] oder [53;55], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [41;52], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Eine Firma möchte den Preis für ihr umsatzstärkstes Produkt erhöhen. Die Marketingabteilung geht davon aus, dass dadurch 12% der Kunden zu einem Mitbewerberprodukt wechseln und somit der Umsatz so stark zurückgehen würde, dass sich die Preiserhöhung gar nicht lohnt. Die Geschäftsführung ist sich aber nicht ganz sicher, ob diese Zahl verlässlich ist und beschließt, einen Hypothesentest mit 500 Personen durchzuführen, die befragt werden, ob sie bei der Preiserhöhung zu einem anderen Produkt wechseln würden. Dabei möchte sie das Risiko auf 16% begrenzen, dass aufgrund des Tests irrtümlicherweise die Preiserhöhung vollzogen wird und somit ein starker Umsatzeinbruch eintritt.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

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Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt höchstens 16%

error

Die Nullhypothese H0: " ... höchstens 16%", also p ≤ 0.16 macht keinen Sinn, weil die 16%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=12% gehen, also wieviel Prozent bei einer Preiserhöhung zu einem Mitbewerberprodukt wechseln.

2. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt mindestens 16%

error

Die Nullhypothese H0: " ... mindestens 16%", also p ≥ 0.16 macht keinen Sinn, weil die 16%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=12% gehen, also wieviel Prozent bei einer Preiserhöhung zu einem Mitbewerberprodukt wechseln.

3. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt mindestens 12%

ok

Wenn die Nullhypothese H0: " ... mindestens 12%", also p ≥ 0.12 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.12 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 16% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≥ 0.12 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.12 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 16%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.12 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.12 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit die Preiserhöhung durchzuführen und einen Umsatzeinbruch zu riskieren, auf unter 16% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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4. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt höchstens 12%

error

Wenn die Nullhypothese H0: " ... höchstens 12%", also p ≤ 0.12 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.12 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 16% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≤ 0.12 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.12 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 16%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.12 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.12 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit auf die Preiserhöhung zu verzichten (obwohl diese sinnvoll wäre), auf unter 16% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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