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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Ein spielsüchtiger 12-Klässler möchte nachweisen, dass ein bestimmter Würfel gezinkt ist und zu selten eine 6 kommt. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 50 Würfen und einem Signifikanzniveau von 5%. In welchem Bereich muss die Anzahl der 6er liegen, damit er die Spielbank verklagen kann. Wie hoch ist dann die Irrtumswahrscheinlichkeit?

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kP(X≤k)
00.0001
10.0012
20.0066
30.0238
40.0643
50.1388
60.2506
70.3911
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 1 6 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< 1 6 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(50, 1 6 ,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 3 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p= 1 6 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p< 1 6 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0238 =2.38% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;3]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [4;50]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;3], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [4;50], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtseitig

Beispiel:

Ein Basketballspieler behauptet, er habe bei Freiwürfen seine bisherige Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,6 inzwischen verbessert. Sein Trainer glaubt ihm sich das nicht. Um seine Verbesserung zu überprüfen, muss der Basketballspieler 82 mal werfen. In welchem Intervall müssen die Treffer liegen, damit sich der Spieler auf einem Signifikanzniveau von 1% bestätigt sieht? Wie hoch bleibt dabei die Irrtumswahrscheinlichkeit.

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kP(X≤k)
......
540.8847
550.9236
560.9517
570.971
580.9835
590.9911
600.9954
610.9978
620.999
630.9996
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.6 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.6 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.01= 0.99 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(82,0.6,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 59 erstmals mindestens 99% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;59]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 60 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [60;82]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.6 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.6 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0089 =0.89% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [60;82], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;59], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtseitig

Beispiel:

Ein defektes Kopiergerät, welches viele fehlerhafte Kopien produzierte, wurde repariert. Die mit der Reparatur beauftrage Firma behauptet, dass die Ausschussquote jetzt nur noch höchstens 0,03 beträgt. Um diese Behauptung (Nullhypothese) auf dem Signifikanzniveau von 5% zu testen, werden 300 Kopien angefertigt. Ermittle die zugehörige Entscheidungsregel.

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kP(X≤k)
......
90.5874
100.7078
110.806
120.8791
130.9292
140.961
150.9797
160.99
170.9954
180.9979
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.03 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.03 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(300,0.03,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 14 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;14]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 15 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [15;300]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.03 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.03 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.039 =3.9% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [15;300], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;14], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein Großhändler beklagt sich, dass gelieferte LED-Leuchtmittel mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,26 bereits nach wenigen Stunden defekt werden. Die herstellende Firma glaubt das nicht und hält die Ausschussquote für viel geringer. Deswegen führt sie einen Test mit 66 Leuchtmitteln durch. Als Signifikanzniveau für diesen Test wird 5% festgelegt. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der defekten LED-Leuchtmittel liegen, damit die Firma die Aussage des Großhändlers widerlegt? b) In Wirklichkeit liegt die Ausfallwahrscheinlickeit der Leuchtmittel nur bei p=0,12. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der defekten Leuchtmittel nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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kP(X≤k)
......
50.0001
60.0005
70.0017
80.0049
90.0119
100.0261
110.0514
120.0922
130.1517
140.2309
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.26 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.26 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(66,0.26,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 10 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.26 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.26 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0261 =2.61% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;10]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [11;66]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;10], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [11;66], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p=0.26 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.12 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 11 bis 66, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.12) beträgt nun: P0.1266 (X11) =1- P0.1266 (X10) ≈ 1-0.8371 ≈ 0.1629

Mit 16.29% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.