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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Zlatan Ibrahimovic behauptet von sich, dass er mit mindestens 70% Wahrscheinlichkeit von der Strafraumgrenze die Querlatte des Tores treffe. Obwohl Ibrahimovic für seine geradezu legendäre Bescheidenheit und Demut bekannt ist, zweifelt ein Mitspieler an dieser Quote. Sie einigen sich auf einen Test mit 50 Versuchen und einem Signifikanzniveau von 5% (was auch immer Ibrahimovic darunter verstehen mag). In welchem Bereich muss die Anzahl der Lattentreffer liegen, um den schwedischen Stürmer der Prahlerei zu überführen, also dass man eine irrtümliche Anzweiflung der Trefferquote rechnerisch abschätzen kann?Berechne dann diese Irrtumswahrscheinlichkeit.

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k	P(X≤k)
...	...
24	0.0009
25	0.0024
26	0.0056
27	0.0123
28	0.0251
29	0.0478
30	0.0848
31	0.1406
32	0.2178
33	0.3161
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≥ 0.7 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.7 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(50,0.7,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 29 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p=0.7 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.7 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0478 =4.78% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;29]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [30;50]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [0;29], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [30;50], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Durch einen Test soll statistisch belegt werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p> 0,8 ist. Dazu soll die Nullhypothese H₀: p≤0,8 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=90 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen.In welchem Bereich muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese statistisch begründet ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt, weil bei dem Zufallsexperiment ein Treffer in den Ablehnungsbereich fällt, obwohl die Nullhypothese richtig ist?

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k	P(X≤k)
...	...
73	0.6452
74	0.74
75	0.8209
76	0.8848
77	0.9312
78	0.9622
79	0.981
80	0.9914
81	0.9965
82	0.9987
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≤ 0.8 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.8 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H₀ (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(90,0.8,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 78 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;78]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H₀ dass dieser erst bei 79 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H₀: [79;90]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p=0.8 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.8 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0378 =3.78% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [79;90], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;78], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Durch einen Test soll statistisch belegt werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p> 0,9 ist. Dazu soll die Nullhypothese H₀: p≤0,9 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=44 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 0,1% betragen.In welchem Bereich muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese statistisch begründet ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt, weil bei dem Zufallsexperiment ein Treffer in den Ablehnungsbereich fällt, obwohl die Nullhypothese richtig ist?

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k	P(X≤k)
...	...
39	0.4528
40	0.6534
41	0.8296
42	0.9429
43	0.9903
44	1

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≤ 0.9 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.9 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H₀ (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.001= 0.999 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(44,0.9,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 44 erstmals mindestens 99.9% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;44]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H₀ dass dieser erst bei 45 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H₀: [45;44]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p=0.9 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.9 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0 =0% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [45;44], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;44], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein Großhändler beklagt sich, dass gelieferte LED-Leuchtmittel mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,34 bereits nach wenigen Stunden defekt werden. Die herstellende Firma glaubt das nicht und hält die Ausschussquote für viel geringer. Deswegen führt sie einen Test mit 63 Leuchtmitteln durch. Als Signifikanzniveau für diesen Test wird 5% festgelegt. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der defekten LED-Leuchtmittel liegen, damit die Firma die Aussage des Großhändlers widerlegt? b) In Wirklichkeit liegt die Ausfallwahrscheinlickeit der Leuchtmittel nur bei p=0,14. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der defekten Leuchtmittel nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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k	P(X≤k)
...	...
9	0.0004
10	0.0011
11	0.0029
12	0.0069
13	0.0149
14	0.0298
15	0.0547
16	0.0933
17	0.1482
18	0.2205
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≥ 0.34 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.34 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(63,0.34,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 14 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p=0.34 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.34 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0298 =2.98% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;14]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [15;63]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [0;14], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [15;63], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H₀:p=0.34 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.14 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 15 bis 63, so dass H₀ (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.14) beträgt nun: $P_{0.14}^{63} (X \geq 15)$ =1- $P_{0.14}^{63} (X \leq 14)$ ≈ 1-0.9747 ≈ 0.0253

Mit 2.53% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Ein Roulettetisch scheint ungleichmäßig zu laufen. Ein Spieler bezweifelt deswegen, dass die vorgegebene Wahrscheinlichkeit der grünen Null von p= $\frac{1}{37}$ wirklich stimmt. Diese Vermutung soll durch einen zweiseitigen Test mit 230 Drehungen des Roulettes untermauert werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen.
In welchen Bereichen muss die Häufigkeit der grünen Null bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese p= $\frac{1}{37}$ statistisch untermauert ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

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k	P(X≤k)
0	0.0018
1	0.0135
2	0.0508
3	0.1294
4	0.2534
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p = $\frac{1}{37}$ zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< $\frac{1}{37}$ oder p> $\frac{1}{37}$ ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 5% gerecht auf 2.5% auf der linken und 2.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=230 und p= $\frac{1}{37}$ ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 1 gerade noch weniger als 2.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

k	P(X≤k)
...	...
9	0.9033
10	0.9502
11	0.9763
12	0.9895
13	0.9957
...	...

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 2.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.025 = 0.975 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=11 erstmals $P_{\frac{1}{37}}^{230} (X \leq k)$ ≥ 0.975 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 12 bis 230 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 2.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 12 bis 230.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H₀: p= $\frac{1}{37}$ so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠ $\frac{1}{37}$ als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von $P_{\frac{1}{37}}^{230} (X \leq 1)$ = 0.0135 auf der linken Seite und $P_{\frac{1}{37}}^{230} (X \geq 12)$ = 1-0.9763 = 0.0237 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit P_Irr = 0.0135 + 0.0237 = 0.0372 =3.72% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;1] und [12;230]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [2;11]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H₀: [0;1] oder [12;230], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [2;11], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Ein Casino hat ein Glücksrad, bei dem die Gewinnwahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn mit 7% angegeben wird. Spielgäste haben sich beschwert, weil sie glauben, dass diese Gewinnwahrscheinlichkeit in Wirklichkeit kleiner wäre. Deswegen führt das Casino einen Hypothesentest mit 500 Drehungen dieses Glücksrads durch. Dabei soll das Risiko auf 1% begrenzt werden, dass das Glückrad aufgrund des Tests irrtümlicherweise nicht ausgetauscht wird, obwohl die Gewinnwahrscheinlichkeit niedriger als 7% ist, und dadurch sich die Glücksspielbehörde der Sache annimmt.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 1%

Die Nullhypothese H₀: " ... höchstens 1%", also p ≤ 0.01 macht keinen Sinn, weil die 1%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=7% gehen, also die Gewinnwahrscheinlichkeit dieses Glücksrad.

2. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 1%

Die Nullhypothese H₀: " ... mindestens 1%", also p ≥ 0.01 macht keinen Sinn, weil die 1%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=7% gehen, also die Gewinnwahrscheinlichkeit dieses Glücksrad.

3. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 7%

Wenn die Nullhypothese H₀: " ... mindestens 7%", also p ≥ 0.07 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.07 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 1% sein muss, falls die Nullhypothese H₀: p ≥ 0.07 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.07 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 1%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.07 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.07 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit das Glücksrad unnötigerweise auszutauschen, auf unter 1% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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4. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 7%

Wenn die Nullhypothese H₀: " ... höchstens 7%", also p ≤ 0.07 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.07 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 1% sein muss, falls die Nullhypothese H₀: p ≤ 0.07 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.07 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 1%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.07 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.07 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit das Glücksrad nicht auszutauschen und Ärger mit der Glückspielbehörde zu riskieren, auf unter 1% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Hypothesen-Test linksseitig

Hypothesen-Test rechtsseitig

Hypothesen-Test rechtsseitig

Fehler 2. Art

zweiseitiger Test

Linke Seite:

Rechte Seite:

Fehler 1. Art beurteilen

1. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 1%

2. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 1%

3. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 7%

4. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 7%