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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Zlatan Ibrahimovic behauptet von sich, dass er mit mindestens 90% Wahrscheinlichkeit von der Strafraumgrenze die Querlatte des Tores treffe. Obwohl Ibrahimovic für seine geradezu legendäre Bescheidenheit und Demut bekannt ist, zweifelt ein Mitspieler an dieser Quote. Sie einigen sich auf einen Test mit 71 Versuchen und einem Signifikanzniveau von 5% (was auch immer Ibrahimovic darunter verstehen mag). In welchem Bereich muss die Anzahl der Lattentreffer liegen, um den schwedischen Stürmer der Prahlerei zu überführen, also dass man eine irrtümliche Anzweiflung der Trefferquote rechnerisch abschätzen kann?Berechne dann diese Irrtumswahrscheinlichkeit.

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k	P(X≤k)
...	...
54	0.0005
55	0.0015
56	0.004
57	0.0099
58	0.0228
59	0.0484
60	0.0944
61	0.1691
62	0.2775
63	0.4169
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≥ 0.9 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.9 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(71,0.9,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 59 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p=0.9 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.9 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0484 =4.84% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;59]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [60;71]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [0;59], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [60;71], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Ein defektes Kopiergerät, welches viele fehlerhafte Kopien produzierte, wurde repariert. Die mit der Reparatur beauftrage Firma behauptet, dass die Ausschussquote jetzt nur noch höchstens 0,09 beträgt. Um diese Behauptung (Nullhypothese) auf dem Signifikanzniveau von 5% zu testen, werden 800 Kopien angefertigt. Ermittle die zugehörige Entscheidungsregel.

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k	P(X≤k)
...	...
81	0.8786
82	0.9009
83	0.92
84	0.9361
85	0.9496
86	0.9606
87	0.9696
88	0.9767
89	0.9824
90	0.9869
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≤ 0.09 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.09 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H₀ (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(800,0.09,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 86 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;86]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H₀ dass dieser erst bei 87 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H₀: [87;800]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p=0.09 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.09 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0394 =3.94% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [87;800], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;86], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Mandy und Sandy, zwei D-Promis, treffen sich im australischen Dschungel. Als Mandy erzählt, dass 20% aller Deutschen sie kennen würde, behauptet Sandy, dass ihr eigener Bekanntheitsgrad noch viel höher wäre. Darauf hin werden 82 Personen in einem Test befragt, bei dem das Risiko abgeschätzt werden kann, dass nach dem Test irrtümlicherweise ein höherer Bekanntheitsgrad als 20% (bei Sandy) angenommen wird, obwohl dies gar nicht der Fall ist. Als Signifikanzniveau wird 5% ausgemacht. In welchem Intervall muss nun die Anzahl der Personen liegen, die Sandy kennen, damit sie ihren höheren Bekanntheitsgrad nachweisen kann? Gib die Irrtumswahrscheinlichkeit an.

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k	P(X≤k)
...	...
18	0.725
19	0.8061
20	0.87
21	0.9171
22	0.9498
23	0.9711
24	0.9842
25	0.9918
26	0.9959
27	0.9981
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≤ 0.2 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.2 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H₀ (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(82,0.2,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 23 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;23]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H₀ dass dieser erst bei 24 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H₀: [24;82]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p=0.2 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.2 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0289 =2.89% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [24;82], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;23], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein spielsüchtiger 12-Klässler möchte nachweisen, dass ein bestimmter Würfel gezinkt ist und zu selten eine 6 kommt. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 51 Würfen und einem Signifikanzniveau von 5%. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der 6er liegen, damit er die Spielbank verklagen kann. b) In Wirklichkeit ist der Würfel tatsächlich manipuliert und würfelt nur mit der Wahrscheinlichkeit von 14% eine sechs. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der Sechsen nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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k	P(X≤k)
0	0.0001
1	0.001
2	0.0057
3	0.021
4	0.0576
5	0.1264
6	0.2319
7	0.3676
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≥ $\frac{1}{6}$ zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< $\frac{1}{6}$ ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(51, $\frac{1}{6}$ ,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 3 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p= $\frac{1}{6}$ so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p< $\frac{1}{6}$ als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.021 =2.1% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;3]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [4;51]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [0;3], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [4;51], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H₀:p= $\frac{1}{6}$ falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.14 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 4 bis 51, so dass H₀ (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.14) beträgt nun: $P_{0.14}^{51} (X \geq 4)$ =1- $P_{0.14}^{51} (X \leq 3)$ ≈ 1-0.0607 ≈ 0.9393

Mit 93.93% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Es wird vermutet, dass bei einem Glücksspiel die Gewinnwahrscheinlichkeit nicht wie angegeben 35% beträgt. Die Vermutung soll durch einen zweiseitigen Hypothesentest mit Stichprobenumfang n = 82 auf einem Signifikanzniveau von 5% überprüft werden. In welchen Bereichen muss die Anzahl der Gewinne bei der Stichprobe liegen, um diese Vermutung statistisch zu belegen? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

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k	P(X≤k)
...	...
18	0.0075
19	0.0145
20	0.0264
21	0.0453
22	0.0735
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p = 0.35 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.35 oder p>0.35 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 5% gerecht auf 2.5% auf der linken und 2.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=82 und p=0.35), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 19 gerade noch weniger als 2.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

k	P(X≤k)
...	...
35	0.9407
36	0.9629
37	0.9777
38	0.9872
39	0.993
...	...

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 2.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.025 = 0.975 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=37 erstmals $P_{0.35}^{82} (X \leq k)$ ≥ 0.975 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 38 bis 82 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 2.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 38 bis 82.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H₀: p=0.35 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠0.35 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von $P_{0.35}^{82} (X \leq 19)$ = 0.0145 auf der linken Seite und $P_{0.35}^{82} (X \geq 38)$ = 1-0.9777 = 0.0223 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit P_Irr = 0.0145 + 0.0223 = 0.0368 =3.68% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;19] und [38;82]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [20;37]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H₀: [0;19] oder [38;82], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [20;37], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Der Hersteller eines Männershampoos bewirbt sein Produkt damit, dass es bei 40% aller Probanden die kahlen Stellen am Kopf wieder zuwachsen lassen würde. Weil bei Verbraucherschützern Zweifel daran aufkommen, lässt die Firma einen Hypothesentest mit 800 Männern durchführen, die täglich das Shampoo benutzen müssen. Dabei soll das Risiko auf 20% begrenzt werden, dass aufgrund des Tests weiterhin mit diesem Prozentsatz geworben wird, obwohl dieser in Wirklichkeit niedriger liegt und die Gefahr einer Klage von Verbraucherschützern droht.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 20%

Die Nullhypothese H₀: " ... mindestens 20%", also p ≥ 0.2 macht keinen Sinn, weil die 20%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=40% gehen, also den Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt.

2. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 20%

Die Nullhypothese H₀: " ... höchstens 20%", also p ≤ 0.2 macht keinen Sinn, weil die 20%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=40% gehen, also den Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt.

3. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 40%

Wenn die Nullhypothese H₀: " ... mindestens 40%", also p ≥ 0.4 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.4 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 20% sein muss, falls die Nullhypothese H₀: p ≥ 0.4 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.4 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 20%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.4 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.4 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit nicht mehr mit diesem hohen Prozentsatz zu werben, obwohl dieser richtig ist, auf unter 20% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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4. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 40%

Wenn die Nullhypothese H₀: " ... höchstens 40%", also p ≤ 0.4 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.4 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 20% sein muss, falls die Nullhypothese H₀: p ≤ 0.4 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.4 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 20%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.4 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.4 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit weiterhin mit diesem hohen Prozentsatz zu werben, obwohl er in Wirklichkeit niedriger ist und eine Klage von Verbraucherschützern riskieren, auf unter 20% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Hypothesen-Test linksseitig

Hypothesen-Test rechtsseitig

Hypothesen-Test rechtsseitig

Fehler 2. Art

zweiseitiger Test

Linke Seite:

Rechte Seite:

Fehler 1. Art beurteilen

1. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 20%

2. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 20%

3. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 40%

4. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 40%