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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Der Prager Gaststättenverband behauptet stolz, dass 82% ihrer Gaststätten das strenge Alkoholverbot für Jugendliche (kein Bier unter 18!) konsequent umsetzen. Das tschechische blaue Kreuz bezweifelt das und glaubt dass es weit weniger konsequent umgesetzt wird. Eine zufällig sich in Prag aufhaltende Biberacher Schülergruppe erklärt sich bereit, eine Hypothesen-Test mit einem Signifikanzniveau von α=5% durchzuführen. Dabei versuchen 17-jährige SchülerInnen in 96 Kneipen ein Bier zu bestellen. Gib den Bereich an, wie viele Gaststätten dabei den Jugendlichen den Alkoholkonsum verweigern müssten, damit das blaue Kreuz die Behauptung des Gaststättenverbands statistisch begründet anzweifeln könnte. Gib die Irrtumswahrscheinlichkeit an, dass die 82%-Aussage des Prager Gaststättenverband irrtümlicherweise aufgrund des Tests verworfen wurde, obwohl sie in Wirklichkeit stimmt.

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kP(X≤k)
......
660.0012
670.0025
680.005
690.0097
700.018
710.0317
720.0535
730.0861
740.1322
750.1939
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.82 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.82 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(96,0.82,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 71 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.82 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.82 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0317 =3.17% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;71]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [72;96]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;71], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [72;96], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Ein Basketballspieler behauptet, er habe bei Freiwürfen seine bisherige Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,65 inzwischen verbessert. Sein Trainer glaubt ihm sich das nicht. Um seine Verbesserung zu überprüfen, wird ein Signifikanz-Test mit 47 Würfen des Basketballspieler vereinbart. Dabei soll die Irrtumswahrscheinlichkeit berechnet werden können, dass man aufgrund des Test eine höhere Treffer-Quote annimmt, obwohl dies in Wirklichkeit gar nicht der Fall ist. In welchem Intervall müssen die Treffer liegen, damit sich der Spieler auf einem Signifikanzniveau von 0,1% bestätigt sieht? Wie hoch bleibt dabei die Irrtumswahrscheinlichkeit.

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kP(X≤k)
......
350.9381
360.9691
370.9862
380.9945
390.9981
400.9994
410.9999
421
431
441
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.65 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.65 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.001= 0.999 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(47,0.65,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 40 erstmals mindestens 99.9% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;40]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 41 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [41;47]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.65 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.65 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0006 =0.06% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [41;47], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;40], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Durch einen Test soll statistisch belegt werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p> 0,15 ist. Dazu soll die Nullhypothese H0: p≤0,15 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=85 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen.In welchem Bereich muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese statistisch begründet ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt, weil bei dem Zufallsexperiment ein Treffer in den Ablehnungsbereich fällt, obwohl die Nullhypothese richtig ist?

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kP(X≤k)
......
130.6031
140.7112
150.8014
160.8711
170.9211
180.9543
190.9751
200.9871
210.9937
220.9971
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.15 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.15 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(85,0.15,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 18 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;18]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 19 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [19;85]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.15 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.15 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0457 =4.57% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [19;85], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;18], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein spielsüchtiger 12-Klässler möchte nachweisen, dass ein bestimmter Würfel gezinkt ist und zu selten eine 6 kommt. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 86 Würfen und einem Signifikanzniveau von 0,1%. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der 6er liegen, damit er die Spielbank verklagen kann. b) In Wirklichkeit ist der Würfel tatsächlich manipuliert und würfelt nur mit der Wahrscheinlichkeit von 13% eine sechs. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der Sechsen nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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kP(X≤k)
00
10
20
30.0002
40.0007
50.0024
60.0071
70.0177
80.0388
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 1 6 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< 1 6 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(86, 1 6 ,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 4 weniger als 0.1% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p= 1 6 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p< 1 6 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0007 =0.07% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;4]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [5;86]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;4], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [5;86], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p= 1 6 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.13 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 5 bis 86, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.13) beträgt nun: P0.1386 (X≥5) =1- P0.1386 (X≤4) ≈ 1-0.0094 ≈ 0.9906

Mit 99.06% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Es wird vermutet, dass bei einem Glücksspiel die Gewinnwahrscheinlichkeit nicht wie angegeben 90% beträgt. Die Vermutung soll durch einen zweiseitigen Hypothesentest mit Stichprobenumfang n = 68 auf einem Signifikanzniveau von 5% überprüft werden. In welchen Bereichen muss die Anzahl der Gewinne bei der Stichprobe liegen, um diese Vermutung statistisch zu belegen? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

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kP(X≤k)
......
540.0067
550.0163
560.0362
570.074
580.1385
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = 0.9 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.9 oder p>0.9 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 5% gerecht auf 2.5% auf der linken und 2.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=68 und p=0.9), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 55 gerade noch weniger als 2.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

kP(X≤k)
......
640.9184
650.9716
660.9934
670.9992
681

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 2.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.025 = 0.975 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=66 erstmals P0.968 (X≤k) ≥ 0.975 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 67 bis 68 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 2.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 67 bis 68.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p=0.9 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠0.9 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von P0.968 (X≤55) = 0.0163 auf der linken Seite und P0.968 (X≥67) = 1-0.9934 = 0.0066 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit PIrr = 0.0163 + 0.0066 = 0.0229 =2.29% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;55] und [67;68]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [56;66]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;55] oder [67;68], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [56;66], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Eine große Handelskette überlegt, ob sie eine Kunden-App entwickeln und einführen soll. Die Finanzabteilung hat dabei herausgefunden, dass sich die Entwicklung und Bewerbung solch einer App nur dann rechnet, wenn sich auch mindestens 45% der Kunden die App aufs Smartphone installiert. Deswegen beschließt die Geschäftsführung einen Hypothesentest in Form einer Befragung von 300 Kunden durchzuführen. Dabei soll das Risiko auf 19% begrenzt werden, dass aufgrund des Tests die App entwickelt wird, obwohl sich diese Investition wirtschaftlich nicht lohnen wird.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Der Prozentsatz der Kunden, die die App installieren, beträgt höchstens 19%

error

Die Nullhypothese H0: " ... höchstens 19%", also p ≤ 0.19 macht keinen Sinn, weil die 19%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=45% gehen, also den Prozentsatz der Kunden, die die App installieren werden.

2. Der Prozentsatz der Kunden, die die App installieren, beträgt höchstens 45%

ok

Wenn die Nullhypothese H0: " ... höchstens 45%", also p ≤ 0.45 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.45 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 19% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≤ 0.45 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.45 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 19%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.45 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.45 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit die App zu entwickeln und zu bewerben, obwohl die Kosten nie wieder eingebracht werden, weil zu wenige Kunden die App installieren werden, auf unter 19% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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3. Der Prozentsatz der Kunden, die die App installieren, beträgt mindestens 45%

error

Wenn die Nullhypothese H0: " ... mindestens 45%", also p ≥ 0.45 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.45 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 19% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≥ 0.45 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.45 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 19%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.45 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.45 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit die App gar nicht zu entwickeln, obwohl dies wirtschaftlich sinnvoll wäre, auf unter 19% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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4. Der Prozentsatz der Kunden, die die App installieren, beträgt mindestens 19%

error

Die Nullhypothese H0: " ... mindestens 19%", also p ≥ 0.19 macht keinen Sinn, weil die 19%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=45% gehen, also den Prozentsatz der Kunden, die die App installieren werden.