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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Ein Basketballspieler behauptet, er habe bei Freiwürfen eine Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,85. Sein Trainer glaubt, dass er sich dabei überschätzt. Um das zu überprüfen, muss der Basketballspieler 25 mal werfen. In welchem Intervall müssen die Treffer liegen, dass sich der Trainer auf einem Signifikanzniveau von 1% bestätigt sieht? Wie hoch bleibt dabei die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass der Trainer aufgrund des Signifikanztests die Trefferwahrscheinlichkeit irrtümlicherweise als niedriger annimmt?

Lösung einblenden
kP(X≤k)
......
110
120
130.0001
140.0005
150.0021
160.008
170.0255
180.0695
190.1615
200.3179
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.85 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.85 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(25,0.85,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 16 weniger als 1% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.85 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.85 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.008 =0.8% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;16]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [17;25]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;16], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [17;25], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

An einem Roulettetisch fällt die Kugel auffallend oft auf die (so selten gesetzte) grüne Null. Ein Spieler bezweifelt deswegen, dass diese tatsächlich die angegebene Wahrscheinlichkeit von p= 1 37 hat. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 100 Würfen und einem Signifikanzniveau von 5%. In welchem Bereich muss die Häufigkeit der grünen Null liegen, damit er nachweisen kann, dass deren tatsächliche Wahrscheinlichkeit über 1 37 liegt. Wie hoch ist dann die Irrtumswahrscheinlichkeit?

Lösung einblenden
kP(X≤k)
......
10.244
20.4906
30.7144
40.8652
50.9456
60.9809
70.9941
80.9984
90.9996
100.9999
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 1 37 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p> 1 37 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(100, 1 37 ,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 6 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;6]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 7 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [7;100]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p= 1 37 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p> 1 37 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0191 =1.91% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [7;100], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;6], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Ein spielsüchtiger 12-Klässler möchte nachweisen, dass ein bestimmter Würfel gezinkt ist und zu selten eine 6 kommt. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 76 Würfen und einem Signifikanzniveau von 1%. In welchem Bereich muss die Anzahl der 6er liegen, damit er die Spielbank verklagen kann (- also, dass das Risiko, die 6er-Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise als zu gering anzunehmen, berechenbar ist.) Wie hoch ist dann diese Irrtumswahrscheinlichkeit?

Lösung einblenden
kP(X≤k)
00
10
20.0001
30.0007
40.0026
50.0083
60.0217
70.0486
80.0949
90.165
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 1 6 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< 1 6 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(76, 1 6 ,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 5 weniger als 1% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p= 1 6 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p< 1 6 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0083 =0.83% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;5]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [6;76]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;5], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [6;76], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein Großhändler beklagt sich, dass gelieferte LED-Leuchtmittel mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,24 bereits nach wenigen Stunden defekt werden. Die herstellende Firma glaubt das nicht und hält die Ausschussquote für viel geringer. Deswegen führt sie einen Test mit 61 Leuchtmitteln durch. Als Signifikanzniveau für diesen Test wird 5% festgelegt. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der defekten LED-Leuchtmittel liegen, damit die Firma die Aussage des Großhändlers widerlegt? b) In Wirklichkeit liegt die Ausfallwahrscheinlickeit der Leuchtmittel nur bei p=0,16. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der defekten Leuchtmittel nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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kP(X≤k)
......
30.0001
40.0004
50.0014
60.0043
70.0116
80.0273
90.0563
100.104
110.1739
120.2658
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.24 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.24 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(61,0.24,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 8 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.24 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.24 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0273 =2.73% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;8]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [9;61]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;8], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [9;61], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p=0.24 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.16 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 9 bis 61, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.16) beträgt nun: P0.1661 (X≥9) =1- P0.1661 (X≤8) ≈ 1-0.3422 ≈ 0.6578

Mit 65.78% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Durch einen Test soll statistisch untermauert werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p≠0,7 ist. Dazu soll die Nullhypothese H0: p=0,7 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=81 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 1% betragen. In welchen Bereichen muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese p=0,7 statistisch untermauert ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

Lösung einblenden
kP(X≤k)
......
440.0021
450.0042
460.008
470.0146
480.0256
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = 0.7 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.7 oder p>0.7 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 1% gerecht auf 0.5% auf der linken und 0.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=81 und p=0.7), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 45 gerade noch weniger als 0.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

kP(X≤k)
......
650.9864
660.9934
670.997
680.9988
690.9995
......

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 0.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.005 = 0.995 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=67 erstmals P0.781 (X≤k) ≥ 0.995 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 68 bis 81 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 0.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 68 bis 81.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p=0.7 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠0.7 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von P0.781 (X≤45) = 0.0042 auf der linken Seite und P0.781 (X≥68) = 1-0.997 = 0.003 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit PIrr = 0.0042 + 0.003 = 0.0072 =0.72% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;45] und [68;81]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [46;67]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;45] oder [68;81], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [46;67], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Der Hersteller eines Männershampoos bewirbt sein Produkt damit, dass es bei 40% aller Probanden die kahlen Stellen am Kopf wieder zuwachsen lassen würde. Weil bei Verbraucherschützern Zweifel daran aufkommen, lässt die Firma einen Hypothesentest mit 300 Männern durchführen, die täglich das Shampoo benutzen müssen. Dabei soll das Risiko auf 19% begrenzt werden, dass aufgrund des Tests weiterhin mit diesem Prozentsatz geworben wird, obwohl dieser in Wirklichkeit niedriger liegt und die Gefahr einer Klage von Verbraucherschützern droht.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 19%

error

Die Nullhypothese H0: " ... mindestens 19%", also p ≥ 0.19 macht keinen Sinn, weil die 19%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=40% gehen, also den Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt.

2. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 40%

ok

Wenn die Nullhypothese H0: " ... höchstens 40%", also p ≤ 0.4 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.4 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 19% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≤ 0.4 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.4 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 19%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.4 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.4 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit weiterhin mit diesem hohen Prozentsatz zu werben, obwohl er in Wirklichkeit niedriger ist und eine Klage von Verbraucherschützern riskieren, auf unter 19% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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3. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 40%

error

Wenn die Nullhypothese H0: " ... mindestens 40%", also p ≥ 0.4 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.4 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 19% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≥ 0.4 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.4 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 19%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.4 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.4 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit nicht mehr mit diesem hohen Prozentsatz zu werben, obwohl dieser richtig ist, auf unter 19% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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4. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 19%

error

Die Nullhypothese H0: " ... höchstens 19%", also p ≤ 0.19 macht keinen Sinn, weil die 19%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=40% gehen, also den Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt.