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Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Ein Großhändler beklagt sich, dass gelieferte LED-Leuchtmittel mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,06 bereits nach wenigen Stunden defekt werden. Die herstellende Firma glaubt das nicht und hält die Ausschussquote für viel geringer. Deswegen führt sie einen Test mit 67 Leuchtmitteln durch. Als Signifikanzniveau für diesen Test wird 5% festgelegt. In welchem Bereich muss die Anzahl der defekten LED-Leuchtmittel liegen, damit die Firma die Aussage des Großhändlers widerlegt? Wie hoch bleibt die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass man aufgrund des Tests die Ausschussquote irrtümlichweise als p<0,06 annimt, obwohl sie es in Wirklichkeit nicht ist?

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kP(X≤k)
00.0158
10.0835
20.2262
30.4234
40.6249
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.06 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.06 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(67,0.06,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 0 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.06 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.06 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0158 =1.58% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;0]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [1;67]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;0], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [1;67], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Ein defektes Kopiergerät, welches viele fehlerhafte Kopien produzierte, wurde repariert. Die mit der Reparatur beauftrage Firma behauptet, dass die Ausschussquote jetzt nur noch höchstens 0,08 beträgt. Um diese Behauptung (Nullhypothese) auf dem Signifikanzniveau von 5% zu testen, werden 400 Kopien angefertigt. Ermittle die zugehörige Entscheidungsregel.

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kP(X≤k)
......
360.7989
370.8447
380.8827
390.9134
400.9375
410.9559
420.9696
430.9795
440.9864
450.9912
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.08 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.08 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(400,0.08,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 41 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;41]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 42 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [42;400]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.08 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.08 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0441 =4.41% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [42;400], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;41], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Ein defektes Kopiergerät, welches viele fehlerhafte Kopien produzierte, wurde repariert. Die mit der Reparatur beauftrage Firma behauptet, dass die Ausschussquote jetzt nur noch höchstens 0,04 beträgt. Um diese Behauptung (Nullhypothese) auf dem Signifikanzniveau von 5% zu testen, werden 700 Kopien angefertigt. Ermittle die zugehörige Entscheidungsregel.

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kP(X≤k)
......
320.8095
330.8551
340.8925
350.9221
360.9449
370.9619
380.9743
390.983
400.9891
410.9931
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.04 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.04 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(700,0.04,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 37 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;37]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 38 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [38;700]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.04 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.04 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0381 =3.81% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [38;700], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;37], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein Großhändler beklagt sich, dass gelieferte LED-Leuchtmittel mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,24 bereits nach wenigen Stunden defekt werden. Die herstellende Firma glaubt das nicht und hält die Ausschussquote für viel geringer. Deswegen führt sie einen Test mit 76 Leuchtmitteln durch. Als Signifikanzniveau für diesen Test wird 5% festgelegt. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der defekten LED-Leuchtmittel liegen, damit die Firma die Aussage des Großhändlers widerlegt? b) In Wirklichkeit liegt die Ausfallwahrscheinlickeit der Leuchtmittel nur bei p=0,15. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der defekten Leuchtmittel nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

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kP(X≤k)
......
60.0003
70.0009
80.0025
90.0064
100.0146
110.0302
120.0569
130.0984
140.1573
150.2343
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.24 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.24 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(76,0.24,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 11 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.24 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.24 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0302 =3.02% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;11]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [12;76]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;11], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [12;76], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p=0.24 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.15 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 12 bis 76, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.15) beträgt nun: P0.1576 (X≥12) =1- P0.1576 (X≤11) ≈ 1-0.5279 ≈ 0.4721

Mit 47.21% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Es wird vermutet, dass bei einem Glücksspiel die Gewinnwahrscheinlichkeit nicht wie angegeben 15% beträgt. Die Vermutung soll durch einen zweiseitigen Hypothesentest mit Stichprobenumfang n = 96 auf einem Signifikanzniveau von 5% überprüft werden. In welchen Bereichen muss die Anzahl der Gewinne bei der Stichprobe liegen, um diese Vermutung statistisch zu belegen? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

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kP(X≤k)
......
60.0071
70.0178
80.0387
90.0748
100.1301
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = 0.15 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.15 oder p>0.15 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 5% gerecht auf 2.5% auf der linken und 2.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=96 und p=0.15), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 7 gerade noch weniger als 2.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

kP(X≤k)
......
200.9543
210.9742
220.9861
230.9929
240.9966
......

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 2.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.025 = 0.975 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=22 erstmals P0.1596 (X≤k) ≥ 0.975 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 23 bis 96 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 2.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 23 bis 96.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p=0.15 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠0.15 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von P0.1596 (X≤7) = 0.0178 auf der linken Seite und P0.1596 (X≥23) = 1-0.9861 = 0.0139 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit PIrr = 0.0178 + 0.0139 = 0.0317 =3.17% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;7] und [23;96]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [8;22]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;7] oder [23;96], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [8;22], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Eine Firma möchte den Preis für ihr umsatzstärkstes Produkt erhöhen. Die Marketingabteilung geht davon aus, dass dadurch 11% der Kunden zu einem Mitbewerberprodukt wechseln und somit der Umsatz so stark zurückgehen würde, dass sich die Preiserhöhung gar nicht lohnt. Die Geschäftsführung ist sich aber nicht ganz sicher, ob diese Zahl verlässlich ist und beschließt, einen Hypothesentest mit 200 Personen durchzuführen, die befragt werden, ob sie bei der Preiserhöhung zu einem anderen Produkt wechseln würden. Dabei möchte sie das Risiko auf 13% begrenzen, dass aufgrund des Tests irrtümlicherweise auf die Preiserhöhung verzichtet wird, obwohl diese sinnvoll wäre.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

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Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt höchstens 11%

ok

Wenn die Nullhypothese H0: " ... höchstens 11%", also p ≤ 0.11 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.11 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 13% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≤ 0.11 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.11 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 13%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.11 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.11 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit auf die Preiserhöhung zu verzichten (obwohl diese sinnvoll wäre), auf unter 13% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

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2. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt mindestens 13%

error

Die Nullhypothese H0: " ... mindestens 13%", also p ≥ 0.13 macht keinen Sinn, weil die 13%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=11% gehen, also wieviel Prozent bei einer Preiserhöhung zu einem Mitbewerberprodukt wechseln.

3. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt mindestens 11%

error

Wenn die Nullhypothese H0: " ... mindestens 11%", also p ≥ 0.11 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.11 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 13% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≥ 0.11 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.11 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 13%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.11 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.11 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit die Preiserhöhung durchzuführen und einen Umsatzeinbruch zu riskieren, auf unter 13% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

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4. Der Anteil der Kunden, die zu einem Mitbewerberprodukt wechseln, beträgt höchstens 13%

error

Die Nullhypothese H0: " ... höchstens 13%", also p ≤ 0.13 macht keinen Sinn, weil die 13%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=11% gehen, also wieviel Prozent bei einer Preiserhöhung zu einem Mitbewerberprodukt wechseln.