Mathebattle EduRandomtasks

Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Eine Pharmafirma behauptet, dass durch eine Verbesserung der Rezeptur die Nebenwirkungen eines Medikaments unter p=0,45 gesunken ist. Um dies nachzuweisen, soll ein Test mit 73 Probanden so durchgeführt werden, dass die Irrtumswahrscheinlichkeit maximal 5% beträgt, dass der Test auf eine niedrigere Nebenwirkungshäufigkeit hinweist, obwohl dies in Wirklichkeit nicht der Fall ist. In welchem Intervall muss hierfür die Anzahl der Probanden mit Nebenwirkungen liegen? Wie hoch ist dann diese Irrtumswahrscheinlichkeit?

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
20	0.0015
21	0.0033
22	0.0068
23	0.013
24	0.0237
25	0.0408
26	0.0667
27	0.1035
28	0.153
29	0.2159
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≥ 0.45 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.45 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(73,0.45,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 25 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p=0.45 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.45 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0408 =4.08% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;25]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [26;73]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [0;25], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [26;73], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Durch einen Test soll statistisch belegt werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p> 0,7 ist. Dazu soll die Nullhypothese H₀: p≤0,7 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=97 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen.In welchem Bereich muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese statistisch begründet ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt, weil bei dem Zufallsexperiment ein Treffer in den Ablehnungsbereich fällt, obwohl die Nullhypothese richtig ist?

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
70	0.7142
71	0.7858
72	0.8462
73	0.8944
74	0.9309
75	0.957
76	0.9746
77	0.9858
78	0.9925
79	0.9963
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≤ 0.7 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.7 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H₀ (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(97,0.7,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 75 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;75]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H₀ dass dieser erst bei 76 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H₀: [76;97]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p=0.7 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.7 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.043 =4.3% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [76;97], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;75], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Ein defektes Kopiergerät, welches viele fehlerhafte Kopien produzierte, wurde repariert. Die mit der Reparatur beauftrage Firma behauptet, dass die Ausschussquote jetzt nur noch höchstens 0,03 beträgt. Um diese Behauptung (Nullhypothese) auf dem Signifikanzniveau von 5% zu testen, werden 800 Kopien angefertigt. Ermittle die zugehörige Entscheidungsregel.

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
27	0.7707
28	0.8259
29	0.8713
30	0.9075
31	0.9352
32	0.9558
33	0.9707
34	0.981
35	0.9881
36	0.9927
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≤ 0.03 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.03 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H₀ (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(800,0.03,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 32 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;32]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H₀ dass dieser erst bei 33 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H₀: [33;800]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p=0.03 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.03 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0442 =4.42% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [33;800], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;32], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Eine Pharmafirma behauptet, dass durch eine Verbesserung der Rezeptur die Nebenwirkungen eines Medikament unter p=0,15 gesunken ist. Um dies nachzuweisen, soll ein 88-stufiger Test mit einer maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% durchgeführt werden. a) In welchem Intervall muss hierfür die Anzahl der Nebenwirkungen liegen? b) In Wirklichkeit liegt die Wahrscheinlickeit für Nebenwirkungen bei p=0,07. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der Nebenwirkungen nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
2	0.0001
3	0.0005
4	0.0018
5	0.006
6	0.016
7	0.0368
8	0.074
9	0.1323
10	0.2136
11	0.3154
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≥ 0.15 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.15 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(88,0.15,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 7 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p=0.15 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.15 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0368 =3.68% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;7]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [8;88]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [0;7], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [8;88], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H₀:p=0.15 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.07 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 8 bis 88, so dass H₀ (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.07) beträgt nun: $P_{0.07}^{88} (X \geq 8)$ =1- $P_{0.07}^{88} (X \leq 7)$ ≈ 1-0.7261 ≈ 0.2739

Mit 27.39% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Ein Würfel wirkt etwas unwuchtig, so als ob nicht alle Bereiche des Körpers gleich schwer wären. Deswegen wird vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs mit diesem Würfel zu würfeln, p ≠ $\frac{1}{6}$ sein müsste. Diese Vermutung soll durch einen zweiseitigen Test mit 86 mal würfeln untermauert werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen.
In welchen Bereichen muss die Anzahl der gewürfelten Sechser bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese p= $\frac{1}{6}$ statistisch untermauert ablehnen zu können?
Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
6	0.0071
7	0.0177
8	0.0388
9	0.0753
10	0.1315
...	...

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p = $\frac{1}{6}$ zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< $\frac{1}{6}$ oder p> $\frac{1}{6}$ ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 5% gerecht auf 2.5% auf der linken und 2.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=86 und p= $\frac{1}{6}$ ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 7 gerade noch weniger als 2.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

k	P(X≤k)
...	...
19	0.9282
20	0.958
21	0.9767
22	0.9877
23	0.9939
...	...

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 2.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.025 = 0.975 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=21 erstmals $P_{\frac{1}{6}}^{86} (X \leq k)$ ≥ 0.975 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 22 bis 86 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 2.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 22 bis 86.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H₀: p= $\frac{1}{6}$ so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠ $\frac{1}{6}$ als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von $P_{\frac{1}{6}}^{86} (X \leq 7)$ = 0.0177 auf der linken Seite und $P_{\frac{1}{6}}^{86} (X \geq 22)$ = 1-0.9767 = 0.0233 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit P_Irr = 0.0177 + 0.0233 = 0.0411 =4.11% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;7] und [22;86]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [8;21]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H₀: [0;7] oder [22;86], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [8;21], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Eine große Handelskette überlegt, ob sie eine Kunden-App entwickeln und einführen soll. Die Finanzabteilung hat dabei herausgefunden, dass sich die Entwicklung und Bewerbung solch einer App nur dann rechnet, wenn sich auch mindestens 50% der Kunden die App aufs Smartphone installiert. Deswegen beschließt die Geschäftsführung einen Hypothesentest in Form einer Befragung von 900 Kunden durchzuführen. Dabei soll das Risiko auf 13% begrenzt werden, dass aufgrund des Tests die App entwickelt wird, obwohl sich diese Investition wirtschaftlich nicht lohnen wird.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Der Prozentsatz der Kunden, die die App installieren, beträgt höchstens 50%

Wenn die Nullhypothese H₀: " ... höchstens 50%", also p ≤ 0.5 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.5 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 13% sein muss, falls die Nullhypothese H₀: p ≤ 0.5 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.5 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 13%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.5 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.5 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit die App zu entwickeln und zu bewerben, obwohl die Kosten nie wieder eingebracht werden, weil zu wenige Kunden die App installieren werden, auf unter 13% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

437

438

439

440

441

442

443

444

445

446

447

448

449

450

451

452

453

454

455

456

457

458

459

460

461

462

463

464

465

466

467

468

469

470

471

472

473

474

475

476

477

478

479

480

481

482

2. Der Prozentsatz der Kunden, die die App installieren, beträgt höchstens 13%

Die Nullhypothese H₀: " ... höchstens 13%", also p ≤ 0.13 macht keinen Sinn, weil die 13%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=50% gehen, also den Prozentsatz der Kunden, die die App installieren werden.

3. Der Prozentsatz der Kunden, die die App installieren, beträgt mindestens 50%

Wenn die Nullhypothese H₀: " ... mindestens 50%", also p ≥ 0.5 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.5 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 13% sein muss, falls die Nullhypothese H₀: p ≥ 0.5 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.5 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 13%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.5 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.5 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit die App gar nicht zu entwickeln, obwohl dies wirtschaftlich sinnvoll wäre, auf unter 13% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

417

418

419

420

421

422

423

424

425

426

427

428

429

430

431

432

433

434

435

436

437

438

439

440

441

442

443

444

445

446

447

448

449

450

451

452

453

454

455

456

457

458

459

460

461

462

4. Der Prozentsatz der Kunden, die die App installieren, beträgt mindestens 13%

Die Nullhypothese H₀: " ... mindestens 13%", also p ≥ 0.13 macht keinen Sinn, weil die 13%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=50% gehen, also den Prozentsatz der Kunden, die die App installieren werden.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Hypothesen-Test linksseitig

Hypothesen-Test rechtsseitig

Hypothesen-Test rechtsseitig

Fehler 2. Art

zweiseitiger Test

Linke Seite:

Rechte Seite:

Fehler 1. Art beurteilen

1. Der Prozentsatz der Kunden, die die App installieren, beträgt höchstens 50%

2. Der Prozentsatz der Kunden, die die App installieren, beträgt höchstens 13%

3. Der Prozentsatz der Kunden, die die App installieren, beträgt mindestens 50%

4. Der Prozentsatz der Kunden, die die App installieren, beträgt mindestens 13%