nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Der Prager Gaststättenverband behauptet stolz, dass 82% ihrer Gaststätten das strenge Alkoholverbot für Jugendliche (kein Bier unter 18!) konsequent umsetzen. Das tschechische blaue Kreuz bezweifelt das und glaubt dass es weit weniger konsequent umgesetzt wird. Eine zufällig sich in Prag aufhaltende Biberacher Schülergruppe erklärt sich bereit, eine Hypothesen-Test mit einem Signifikanzniveau von α=5% durchzuführen. Dabei versuchen 17-jährige SchülerInnen in 76 Kneipen ein Bier zu bestellen. Gib den Bereich an, wie viele Gaststätten dabei den Jugendlichen den Alkoholkonsum verweigern müssten, damit das blaue Kreuz die Behauptung des Gaststättenverbands statistisch begründet anzweifeln könnte. Gib die Irrtumswahrscheinlichkeit an, dass die 82%-Aussage des Prager Gaststättenverband irrtümlicherweise aufgrund des Tests verworfen wurde, obwohl sie in Wirklichkeit stimmt.

Lösung einblenden
kP(X≤k)
......
510.0013
520.003
530.0064
540.013
550.0252
560.0459
570.079
580.1285
590.1972
600.2858
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.82 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.82 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(76,0.82,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 56 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.82 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.82 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0459 =4.59% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;56]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [57;76]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;56], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [57;76], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test rechtsseitig

Beispiel:

Ein Basketballspieler behauptet, er habe bei Freiwürfen seine bisherige Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,8 inzwischen verbessert. Sein Trainer glaubt ihm sich das nicht. Um seine Verbesserung zu überprüfen, wird ein Signifikanz-Test mit 75 Würfen des Basketballspieler vereinbart. Dabei soll die Irrtumswahrscheinlichkeit berechnet werden können, dass man aufgrund des Test eine höhere Treffer-Quote annimmt, obwohl dies in Wirklichkeit gar nicht der Fall ist. In welchem Intervall müssen die Treffer liegen, damit sich der Spieler auf einem Signifikanzniveau von 1% bestätigt sieht? Wie hoch bleibt dabei die Irrtumswahrscheinlichkeit.

Lösung einblenden
kP(X≤k)
......
630.8443
640.9072
650.9499
660.9757
670.9896
680.9961
690.9988
700.9997
710.9999
721
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.8 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.8 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.01= 0.99 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(75,0.8,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 68 erstmals mindestens 99% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;68]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 69 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H0: [69;75]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.8 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.8 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0039 =0.39% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [69;75], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;68], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Hypothesen-Test linksseitig

Beispiel:

Zlatan Ibrahimovic behauptet von sich, dass er mit mindestens 90% Wahrscheinlichkeit von der Strafraumgrenze die Querlatte des Tores treffe. Obwohl Ibrahimovic für seine geradezu legendäre Bescheidenheit und Demut bekannt ist, zweifelt ein Mitspieler an dieser Quote. Sie einigen sich auf einen Test mit 93 Versuchen und einem Signifikanzniveau von 5% (was auch immer Ibrahimovic darunter verstehen mag). In welchem Bereich muss die Anzahl der Lattentreffer liegen, um den schwedischen Stürmer der Prahlerei zu überführen, also dass man eine irrtümliche Anzweiflung der Trefferquote rechnerisch abschätzen kann?Berechne dann diese Irrtumswahrscheinlichkeit.

Lösung einblenden
kP(X≤k)
......
730.0008
740.002
750.0047
760.0104
770.0218
780.0429
790.0789
800.1356
810.2175
820.3254
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.9 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.9 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(93,0.9,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 78 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.9 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.9 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0429 =4.29% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;78]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [79;93]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;78], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [79;93], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 2. Art

Beispiel:

Ein Großhändler beklagt sich, dass gelieferte LED-Leuchtmittel mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,23 bereits nach wenigen Stunden defekt werden. Die herstellende Firma glaubt das nicht und hält die Ausschussquote für viel geringer. Deswegen führt sie einen Test mit 64 Leuchtmitteln durch. Als Signifikanzniveau für diesen Test wird 5% festgelegt. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der defekten LED-Leuchtmittel liegen, damit die Firma die Aussage des Großhändlers widerlegt? b) In Wirklichkeit liegt die Ausfallwahrscheinlickeit der Leuchtmittel nur bei p=0,13. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der defekten Leuchtmittel nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?

Lösung einblenden
kP(X≤k)
......
30.0001
40.0003
50.0013
60.0042
70.0114
80.0266
90.055
100.1016
110.1699
120.2599
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.23 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.23 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(64,0.23,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 8 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.23 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.23 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0266 =2.66% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;8]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [9;64]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;8], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [9;64], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p=0.23 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.13 ist.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 9 bis 64, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.13) beträgt nun: P0.1364 (X≥9) =1- P0.1364 (X≤8) ≈ 1-0.545 ≈ 0.455

Mit 45.5% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.

zweiseitiger Test

Beispiel:

Ein Würfel wirkt etwas unwuchtig, so als ob nicht alle Bereiche des Körpers gleich schwer wären. Deswegen wird vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs mit diesem Würfel zu würfeln, p ≠ 1 6 sein müsste. Diese Vermutung soll durch einen zweiseitigen Test mit 83 mal würfeln untermauert werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen.
In welchen Bereichen muss die Anzahl der gewürfelten Sechser bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese p= 1 6 statistisch untermauert ablehnen zu können?
Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?

Lösung einblenden
kP(X≤k)
......
60.01
70.0242
80.0513
90.0964
100.1631
......

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = 1 6 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< 1 6 oder p> 1 6 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 5% gerecht auf 2.5% auf der linken und 2.5% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=83 und p= 1 6 ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 7 gerade noch weniger als 2.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

kP(X≤k)
......
190.9476
200.9706
210.9843
220.9921
230.9962
......

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 2.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.025 = 0.975 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=21 erstmals P 1 6 83 (X≤k) ≥ 0.975 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 22 bis 83 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 2.5% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 22 bis 83.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p= 1 6 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠ 1 6 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von P 1 6 83 (X≤7) = 0.0242 auf der linken Seite und P 1 6 83 (X≥22) = 1-0.9843 = 0.0157 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit PIrr = 0.0242 + 0.0157 = 0.0399 =3.99% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H0: [0;7] und [22;83]

Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [8;21]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;7] oder [22;83], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [8;21], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Fehler 1. Art beurteilen

Beispiel:

Ein Casino hat ein Glücksrad, bei dem die Gewinnwahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn mit 11% angegeben wird. Spielgäste haben sich beschwert, weil sie glauben, dass diese Gewinnwahrscheinlichkeit in Wirklichkeit kleiner wäre. Deswegen führt das Casino einen Hypothesentest mit 800 Drehungen dieses Glücksrads durch. Dabei soll das Risiko auf 19% begrenzt werden, dass aufgrund des Tests das Glückrad unnötigerweise ausgetauscht wird, obwohl die Gewinnwahrscheinlichkeit nicht kleiner als 11% ist.

Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.

Lösung einblenden

Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:

1. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 11%

ok

Wenn die Nullhypothese H0: " ... mindestens 11%", also p ≥ 0.11 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.11 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 19% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≥ 0.11 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.11 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 19%.

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.11 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.11 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit das Glücksrad unnötigerweise auszutauschen, auf unter 19% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.

66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111

2. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 11%

error

Wenn die Nullhypothese H0: " ... höchstens 11%", also p ≤ 0.11 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.11 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 19% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≤ 0.11 doch stimmen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.11 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 19%

In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.11 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.11 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit das Glücksrad nicht auszutauschen und Ärger mit der Glückspielbehörde zu riskieren, auf unter 19% begrenzt werden könnte.

Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.

65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110

3. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 19%

error

Die Nullhypothese H0: " ... mindestens 19%", also p ≥ 0.19 macht keinen Sinn, weil die 19%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=11% gehen, also die Gewinnwahrscheinlichkeit dieses Glücksrad.

4. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 19%

error

Die Nullhypothese H0: " ... höchstens 19%", also p ≤ 0.19 macht keinen Sinn, weil die 19%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.

In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=11% gehen, also die Gewinnwahrscheinlichkeit dieses Glücksrad.