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Kreisfläche Ringausschnitt

Beispiel:

Berechne den Inhalt der blauen Fläche.

Man berechnet die blaue Fläche einfach als Differenz des Flächeninhalts des großen Kreisausschnitts mit Radius r₁= 30cm + 8cm = 38cm und des Flächeinhalt des kleineren grauen Kreisausschnitts mit Radius r₂ = 30cm.

Für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts mit Mittelpunktwinkel α = 85°:

A = $\frac{85}{360}$ ⋅ π ⋅ r² = $\frac{17}{72}$ π ⋅ r².

Somit gilt für die gesuchte Fläsche:

A_diff = $\frac{17}{72}$ π ⋅ 38² - $\frac{17}{72}$ π ⋅ 30²
= $\frac{17}{72}$ π (1444 - 900)
= $\frac{17}{72}$ ⋅ 544⋅π

Also A ≈ 403,52 cm²

Kreisfläche Spitzbogen

Beispiel:

Berechne den Inhalt der blauen Fläche.

Lösung einblenden

Wir erkennen, dass alle 3 Seiten des inneren Dreiecks die gleiche Länge haben. Folglich handelt es sich bei diesem Dreieck um ein gleichseitiges Dreieck mit Innenwinkeln von 60°

Als erstes können wir relativ einfach den Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel 60° (in der unteren Skizze grün eingefärbt) berechnen:

A₁ = $\frac{60}{360}$ ⋅ π ⋅ r²
= $\frac{1}{6}$ π ⋅ 4.3²
= $\frac{1}{6}$ π ⋅ 18.49
≈ 9.68

Um die noch fehlende Fläche, den blau eingefärbten Kreisabschnitt rechts oben, zu berechnen, können wir ja aus Symmetriegründen einfach den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks vom Inhalt des bereits berechneten Kreisausschnitts (A₁) abziehen,
also A₂ = A₁ - A_Dreieck

Wir brauchen also den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks. Diesen kann man entweder mit der Formel A = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ a² berechnen oder wir bestimmen einfach die Höhe des gleichseitigen Dreiecks mit Pythagoras:

h² + ( $\frac{4.3}{2}$ )² = 4.3² | - ( $\frac{4.3}{2}$ )² =4.6225

h² = 13.8675

also h ≈ 3.7

Somit gilt für den Inhalt des gleichseitigen Dreiecks:

A_Dreieck ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅ 4.3 ⋅ 3.7 ≈ 8.01

Für den blauen Kreisabschnitt rechts oben gilt dann: A₂ = A₁ - A_Dreieck ≈ 9.68 m² - 8.01 m² ≈ 1.67 m².

Also gilt für die gesamte gesuchte Fläsche: A_ges = A₁ + A₂ ≈ 9.68 m² + 1.67 m² ≈ 11.36 m² .

Kreisfläche Kreisabschnitt

Beispiel:

Berechne den Inhalt der blauen Fläche.

Lösung einblenden

Als erstes können wir den ganzen Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel 45° (gelb und blau zusammen) berechnen:

A₁ = $\frac{45}{360}$ ⋅ π ⋅ r²
= $\frac{1}{8}$ π ⋅ 83²
= $\frac{1}{8}$ π ⋅ 6889
≈ 2705.3

Um nun die gesuchte Fläche, den blau eingefärbten Kreisabschnitt oben, zu berechnen, können wir den Flächeninhalt des gelben Dreiecks vom Inhalt des bereits berechneten Kreisausschnitts (A₁) abziehen,
also A = A₁ - A_Dreieck

Wir brauchen also den Flächeninhalt des gelben gleichschenkligen Dreiecks:

Dazu betrachten wir das halbe gleichschenklige Dreieck, bei dem ja die Höhe genau in der Mitte der Basis entspringt.

Wenn wir die Höhe dort einzeichnen (siehe Skizze links), so können wir in dem halben rechtwinkligen Dreieck jeweils die Definition von sin und cos anwenden:

cos( $\frac{45}{2}$ °) = cos(22.5°) = $\frac{AK}{Hyp}$ = $\frac{h}{83}$ | ⋅83

cos(22.5°)⋅83 = h

Also gilt h ≈ 76.68 m

sin( $\frac{45}{2}$ °) = sin(22.5°) = $\frac{GK}{Hyp}$ = $\frac{a}{83}$ | ⋅83

sin(22.5°)⋅83 = h

Also gilt a ≈ 31.76 m

Für das halbe gelbe Dreieck gilt nun A = $\frac{1}{2}$ a ⋅ h = $\frac{1}{2}$ ⋅ 31.76 m ⋅ 76.68 m

Also gilt für das ganze gelbe Dreieck:
A_Dreieeck = a ⋅ h = 31.76 m ⋅ 76.68 m ≈ 2435.63 m²

Jetzt können wir die gesuchte blaue Fläsche berechnen:

A = A₁ - A_Dreieck

≈ 2705.3 m² - 2435.63 m²

≈ 269.67 m² .

Kreisfläche Halbmond

Beispiel:

Berechne den Inhalt der blauen Fläche.

Lösung einblenden

Um nun die gesuchte Fläche, den blau eingefärbten 'Halbmond' oben, zu berechnen, können wir den Flächeninhalt des gelben Kreisabschnitts vom Halbkreis über der Basis b abziehen,
also A = A_Halbkreis - A_Abschnitt

Als erstes müssen wir dabei die Basis des gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks als Durchmesser der Halbkreises berechnen:

Da das Dreieck rechtwinklig ist, können wir den Satz des pythagoras anwenden:

b² = 37 ² + 37 ² = 2 ⋅ 37 ² = 2738

b ≈ 52.33 ist somit der Durchmesser des Halbkreis.

Also gilt für den Radius des Halbkreises r ≈ 26.16 m

Damit können wir nun den Flächeninhalt des Halbkreises berechnen:

A_Halbkreis = $\frac{1}{2}$ ⋅ π ⋅ r² ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅ π ⋅ 26.16² ≈ 1075.2 m²

Von diesem müssen wir nun ja den gelben Kreisabschnitt abziehen:

Berechnung des gelben Kreisabschnitts

Dazu berechnen wir zuerst den ganzen Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel 90° (gelb und grau zusammen), also einen Viertelskreis mit Radius r = 37 m.

A_Viertel = $\frac{1}{4}$ ⋅ π ⋅ r²
= $\frac{1}{4}$ π ⋅ 37²
= $\frac{1}{4}$ π ⋅ 1369
≈ 1075.21

Von diesem subtrahieren wir den Flächeninhalt des grauen rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck. Dieses ist ja ein (an der Diagonale getrenntes) halbes Quadrat mit Kantenlänge a=37 m, also mit Flächeninhalt A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ a² = $\frac{1}{2}$ ⋅ (37 m)² ≈ 684.5 m ².

Somit erhalten wir für den gelben Kreisabschnit:

A_Abschnitt = A_Viertel - A_Dreieck

≈ 1075.21 m² - 684.5 m²

≈ 390.71 m² .

Für die gesuchte blaue Fläche gilt somit:

A = A_Halbkreis - A_Abschnitt

≈ 1075.21 m² - 390.7 m²

≈ 684.5 m² .

Kreisfläche Blume

Beispiel:

Berechne den Inhalt der blauen Fläche.

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass diese 'Blume' aus 8 gleichen Kreisabschnitten besteht.

Dazu betrachten wir mal einen dieser 8 kongruenten Kreisabschnitte (in der unteren Skizze rechts oben in rot)

Zuerst bestimmen wir den Flächeninhalt des Kreisabschnitts (rot und orange zusammen), eines Viertelkreises mit Radius r=4.1 cm, weil ja der Mittelpunktswinkel der rechte Winkel des Quadrat ist

Also A_Viertel = $\frac{1}{4}$ ⋅ π ⋅ r²
= $\frac{1}{4}$ π ⋅ 4.1²
= $\frac{1}{4}$ π ⋅ 16.81
≈ 13.2

Um nun die gesuchte Fläche, den rot eingefärbten Kreisabschnitt, zu berechnen, können wir den Flächeninhalt des orangen Dreiecks vom Inhalt des bereits berechneten Kreisausschnitts (A_Viertel) abziehen,
also A = A_Viertel - A_Dreieck

Das orange Dreieck ist ja aber ein (an der Diagonale getrenntes) halbes Quadrat mit Kantenlänge a=4.1 cm, also mit Flächeninhalt A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ a² = $\frac{1}{2}$ ⋅ (4.1 cm)² ≈ 8.4 cm ².

Somit erhalten wir für den roten (wie für jeden der 8 gelben) Kreisabschnitte:

A_Abschnitt = A_Viertel - A_Dreieck

≈ 13.2 cm² - 8.4 cm²

≈ 4.8 cm² .

Für den gesuchten Flächeninhalt des 'Blume' gilt somit:

A = 8 ⋅A_Abschnitt ≈ 8 ⋅ 4.8 cm² ≈ 38.4 cm² .

Kreisfläche Spitzbogen

Beispiel:

Berechne den Inhalt der blauen Fläche.

Lösung einblenden

Wir erkennen, dass alle 3 Seiten des inneren Dreiecks die gleiche Länge haben. Folglich handelt es sich bei diesem Dreieck um ein gleichseitiges Dreieck mit Innenwinkeln von 60°

Als erstes können wir relativ einfach den Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel 60° (in der unteren Skizze grün eingefärbt) berechnen:

A₁ = $\frac{60}{360}$ ⋅ π ⋅ r²
= $\frac{1}{6}$ π ⋅ 4.1²
= $\frac{1}{6}$ π ⋅ 16.81
≈ 8.8

Um die noch fehlende Fläche, den blau eingefärbten Kreisabschnitt rechts oben, zu berechnen, können wir ja aus Symmetriegründen einfach den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks vom Inhalt des bereits berechneten Kreisausschnitts (A₁) abziehen,
also A₂ = A₁ - A_Dreieck

Wir brauchen also den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks. Diesen kann man entweder mit der Formel A = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ a² berechnen oder wir bestimmen einfach die Höhe des gleichseitigen Dreiecks mit Pythagoras:

h² + ( $\frac{4.1}{2}$ )² = 4.1² | - ( $\frac{4.1}{2}$ )² =4.2025

h² = 12.6075

also h ≈ 3.6

Somit gilt für den Inhalt des gleichseitigen Dreiecks:

A_Dreieck ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅ 4.1 ⋅ 3.6 ≈ 7.28

Für den blauen Kreisabschnitt rechts oben gilt dann: A₂ = A₁ - A_Dreieck ≈ 8.8 cm² - 7.28 cm² ≈ 1.52 cm².

Also gilt für die gesamte gesuchte Fläsche: A_ges = A₁ + A₂ ≈ 8.8 cm² + 1.52 cm² ≈ 10.32 cm² .

Anwendungsaufgaben Kreise

Beispiel:

Auf eine zylinderformige elektromagnetische Spule wird ein 4241,15 cm langer Kupferdraht gewickelt. Dabei wird der Draht genau 75 mal rumgewickelt. Welchen Durchmesser hat die Spule?

Lösung einblenden

Da die 4241.15 cm Länge für 75 Kreisumfänge reicht, muss ein Kreisumfang die Länge U = $\frac{4241.15}{75}$ cm ≈ 56.55 cm haben.

Für den Umfang von 56.55 cm kennen wir ja aber die Kreisumfang-Formel: U = π ⋅ d, also
56.55 = π ⋅ d | : π
18 ≈ d

Somit gilt für den gesuchten Durchmesser d = 18 cm

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kreisfläche Ringausschnitt

Kreisfläche Spitzbogen

Kreisfläche Kreisabschnitt

Kreisfläche Halbmond

Berechnung des gelben Kreisabschnitts

Für die gesuchte blaue Fläche gilt somit:

Kreisfläche Blume

Kreisfläche Spitzbogen

Anwendungsaufgaben Kreise