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Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- \frac{1}{4}$ ) und B(-2| $8$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- \frac{1}{4}$ ) und B(-2| $8$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{1}{4}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $8$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{1}{4}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $8$ = $- \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $(- 4)$

$- 32$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{5}$

Termbestimmung mit Punktproben II

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A( $2$ | $16$ ) und B( $4$ | $256$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A( $2$ | $16$ ) und B( $4$ | $256$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $16$ = $a \cdot 2^{n}$
II: $256$ = $a \cdot 4^{n}$

Jetzt lösen wir mal die beide Gleichungen nach a auf:

I: $\frac{16}{2^{n}}$ = a
II: $\frac{256}{4^{n}}$ = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

$\frac{16}{2^{n}}$ = $\frac{256}{4^{n}}$ | ⋅ $2^{n}$ ⋅ $4^{n}$

$16$ ⋅ $4^{n}$ = $256$ ⋅ $2^{n}$

Jetzt muss man eben erkennen, dass $4^{n}$ = ${(2 \cdot 2)}^{n}$ = $2^{n}$ ⋅ $2^{n}$ ist.

$16 \cdot 2^{n} \cdot 2^{n}$ = $256 \cdot 2^{n}$ | : $2^{n}$

$16 \cdot 2^{n}$ = $256$ | : $16$

$2^{n}$ = $16$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

n= $4$ eingesetzt in I:

I: $16$ = $a \cdot 2^{4}$

I: $16$ = $16 a$ | ⋅ $\frac{1}{16}$

also a= $1$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $x^{4}$