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Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- \frac{1}{3}$ ) und B(2| $- \frac{4}{3}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- \frac{1}{3}$ ) und B(2| $- \frac{4}{3}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{1}{3}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- \frac{4}{3}$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{1}{3}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- \frac{4}{3}$ = $- \frac{1}{3} \cdot 2^{n}$ | ⋅ $(- 3)$

$4$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{2}$

Termbestimmung mit Punktproben II

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A( $2$ | $- 3$ ) und B( $6$ | $- 27$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A( $2$ | $- 3$ ) und B( $6$ | $- 27$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 3$ = $a \cdot 2^{n}$
II: $- 27$ = $a \cdot 6^{n}$

Jetzt lösen wir mal die beide Gleichungen nach a auf:

I: $\frac{- 3}{2^{n}}$ = a
II: $\frac{- 27}{6^{n}}$ = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

$\frac{- 3}{2^{n}}$ = $\frac{- 27}{6^{n}}$ | ⋅ $2^{n}$ ⋅ $6^{n}$

$- 3$ ⋅ $6^{n}$ = $- 27$ ⋅ $2^{n}$

Jetzt muss man eben erkennen, dass $6^{n}$ = ${(3 \cdot 2)}^{n}$ = $3^{n}$ ⋅ $2^{n}$ ist.

$- 3 \cdot 3^{n} \cdot 2^{n}$ = $- 27 \cdot 2^{n}$ | : $2^{n}$

$- 3 \cdot 3^{n}$ = $- 27$ | : $- 3$

$3^{n}$ = $9$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

n= $2$ eingesetzt in I:

I: $- 3$ = $a \cdot 2^{2}$

I: $- 3$ = $4 a$ | ⋅ $\frac{1}{4}$

also a= $- \frac{3}{4}$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- \frac{3}{4} x^{2}$