Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{1}{2}$ ) und B(-2| $- 16$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{1}{2}$ ) und B(-2| $- 16$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{2}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 16$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 16$ = $\frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $2$

$- 32$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{5}$

Termbestimmung mit Punktproben II

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A( $\frac{1}{2}$ | $- \frac{1}{2}$ ) und B( $\frac{1}{4}$ | $- \frac{1}{8}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A( $\frac{1}{2}$ | $- \frac{1}{2}$ ) und B( $\frac{1}{4}$ | $- \frac{1}{8}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{1}{2}$ = $a \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$
II: $- \frac{1}{8}$ = $a \cdot {(\frac{1}{4})}^{n}$

Jetzt lösen wir mal die beiden Gleichungen nach a auf:

I: $\frac{- \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$ = a
II: $\frac{- \frac{1}{8}}{{(\frac{1}{4})}^{n}}$ = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

$\frac{- \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$ = $\frac{- \frac{1}{8}}{{(\frac{1}{4})}^{n}}$ | ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ⋅ ${(\frac{1}{4})}^{n}$

$- \frac{1}{2}$ ⋅ ${(\frac{1}{4})}^{n}$ = $- \frac{1}{8}$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ | ⋅ 8

$- 4$ ⋅ ${(\frac{1}{4})}^{n}$ = $- 1$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$

Jetzt muss man eben erkennen, dass ${(\frac{1}{4})}^{n}$ = ${(\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}))}^{n}$ = ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ist.

$- 4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$ = $- {(\frac{1}{2})}^{n}$ | : ${(\frac{1}{2})}^{n}$

$- 4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$ = $- 1$ | : $- 4$

${(\frac{1}{2})}^{n}$ = $\frac{1}{4}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

n= $2$ eingesetzt in I:

I: $- \frac{1}{2}$ = $a \cdot {(\frac{1}{2})}^{2}$

I: $- \frac{1}{2}$ = $\frac{1}{4} a$ | ⋅ $4$

also a= $- 2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- 2 x^{2}$