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Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| - 1 2 ) und B(-2|-8 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| - 1 2 ) und B(-2|-8 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: - 1 2 = a · 1 n
II: -8 = a · (-2) n

Aus I ergibt sich ja sofort - 1 2 = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: -8 = - 1 2 (-2) n | ⋅ ( -2 )

16 = (-2) n

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=4

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= - 1 2 x 4

Termbestimmung mit Punktproben II

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A( 1 2 | - 1 8 ) und B( 1 4 | - 1 32 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A( 1 2 | - 1 8 ) und B( 1 4 | - 1 32 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: - 1 8 = a · ( 1 2 ) n
II: - 1 32 = a · ( 1 4 ) n

Jetzt lösen wir mal die beide Gleichungen nach a auf:

I: - 1 8 ( 1 2 ) n = a
II: - 1 32 ( 1 4 ) n = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

- 1 8 ( 1 2 ) n = - 1 32 ( 1 4 ) n | ⋅ ( 1 2 ) n ( 1 4 ) n

- 1 8 ( 1 4 ) n = - 1 32 ( 1 2 ) n | ⋅ 32

-4 ( 1 4 ) n = -1 ( 1 2 ) n

Jetzt muss man eben erkennen, dass ( 1 4 ) n = ( 1 2 ( 1 2 ) ) n = ( 1 2 ) n ( 1 2 ) n ist.

-4 · ( 1 2 ) n · ( 1 2 ) n = - ( 1 2 ) n | : ( 1 2 ) n

-4 ( 1 2 ) n = -1 | :-4

( 1 2 ) n = 1 4

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=2

n=2 eingesetzt in I:

I: - 1 8 = a · ( 1 2 ) 2

I: - 1 8 = 1 4 a | ⋅ 4

also a= - 1 2

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= - 1 2 x 2