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Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| - 1 2 ) und B(-2|16 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| - 1 2 ) und B(-2|16 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: - 1 2 = a · 1 n
II: 16 = a · (-2) n

Aus I ergibt sich ja sofort - 1 2 = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: 16 = - 1 2 (-2) n | ⋅ ( -2 )

-32 = (-2) n

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=5

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= - 1 2 x 5

Termbestimmung mit Punktproben II

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(2|-8 ) und B(4|-256 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(2|-8 ) und B(4|-256 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: -8 = a · 2 n
II: -256 = a · 4 n

Jetzt lösen wir mal die beide Gleichungen nach a auf:

I: -8 2 n = a
II: -256 4 n = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

-8 2 n = -256 4 n | ⋅ 2 n 4 n

-8 4 n = -256 2 n

Jetzt muss man eben erkennen, dass 4 n = ( 22 ) n = 2 n 2 n ist.

-8 · 2 n · 2 n = -256 2 n | : 2 n

-8 2 n = -256 | :-8

2 n = 32

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=5

n=5 eingesetzt in I:

I: -8 = a · 2 5

I: -8 = 32a | ⋅ 1 32

also a= - 1 4

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= - 1 4 x 5