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Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $4$ ) und B(2| $64$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $4$ ) und B(2| $64$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $4$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $64$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $4$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $64$ = $4 \cdot 2^{n}$ | ⋅ $\frac{1}{4}$

$16$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $4 x^{4}$

Termbestimmung mit Punktproben II

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A( $2$ | $48$ ) und B( $4$ | $1 536$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A( $2$ | $48$ ) und B( $4$ | $1 536$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $48$ = $a \cdot 2^{n}$
II: $1 536$ = $a \cdot 4^{n}$

Jetzt lösen wir mal die beide Gleichungen nach a auf:

I: $\frac{48}{2^{n}}$ = a
II: $\frac{1 536}{4^{n}}$ = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

$\frac{48}{2^{n}}$ = $\frac{1 536}{4^{n}}$ | ⋅ $2^{n}$ ⋅ $4^{n}$

$48$ ⋅ $4^{n}$ = $1 536$ ⋅ $2^{n}$

Jetzt muss man eben erkennen, dass $4^{n}$ = ${(2 \cdot 2)}^{n}$ = $2^{n}$ ⋅ $2^{n}$ ist.

$48 \cdot 2^{n} \cdot 2^{n}$ = $1536 \cdot 2^{n}$ | : $2^{n}$

$48 \cdot 2^{n}$ = $1536$ | : $48$

$2^{n}$ = $32$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $5$

n= $5$ eingesetzt in I:

I: $48$ = $a \cdot 2^{5}$

I: $48$ = $32 a$ | ⋅ $\frac{1}{32}$

also a= $\frac{3}{2}$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{5}$