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Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- 1$ ) und B(-2| $- 16$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 1$ ) und B(-2| $- 16$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 1$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 16$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 1$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 16$ = $- {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $(- 1)$

$16$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- x^{4}$

Termbestimmung mit Punktproben II

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A( $\frac{1}{2}$ | $\frac{3}{16}$ ) und B( $\frac{1}{4}$ | $\frac{3}{64}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A( $\frac{1}{2}$ | $\frac{3}{16}$ ) und B( $\frac{1}{4}$ | $\frac{3}{64}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{3}{16}$ = $a \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$
II: $\frac{3}{64}$ = $a \cdot {(\frac{1}{4})}^{n}$

Jetzt lösen wir mal die beiden Gleichungen nach a auf:

I: $\frac{\frac{3}{16}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$ = a
II: $\frac{\frac{3}{64}}{{(\frac{1}{4})}^{n}}$ = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

$\frac{\frac{3}{16}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$ = $\frac{\frac{3}{64}}{{(\frac{1}{4})}^{n}}$ | ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ⋅ ${(\frac{1}{4})}^{n}$

$\frac{3}{16}$ ⋅ ${(\frac{1}{4})}^{n}$ = $\frac{3}{64}$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ | ⋅ 64

$12$ ⋅ ${(\frac{1}{4})}^{n}$ = $3$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$

Jetzt muss man eben erkennen, dass ${(\frac{1}{4})}^{n}$ = ${(\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}))}^{n}$ = ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ist.

$12 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$ = $3 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$ | : ${(\frac{1}{2})}^{n}$

$12 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$ = $3$ | : $12$

${(\frac{1}{2})}^{n}$ = $\frac{1}{4}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

n= $2$ eingesetzt in I:

I: $\frac{3}{16}$ = $a \cdot {(\frac{1}{2})}^{2}$

I: $\frac{3}{16}$ = $\frac{1}{4} a$ | ⋅ $4$

also a= $\frac{3}{4}$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{2}$