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Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{3}{4}$ ) und B(-2| $3$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{3}{4}$ ) und B(-2| $3$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{3}{4}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $3$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{3}{4}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $3$ = $\frac{3}{4} \cdot {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $\frac{4}{3}$

$4$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{2}$

Termbestimmung mit Punktproben II

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A( $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{32}$ ) und B( $\frac{3}{2}$ | $\frac{243}{32}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A( $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{32}$ ) und B( $\frac{3}{2}$ | $\frac{243}{32}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{32}$ = $a \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$
II: $\frac{243}{32}$ = $a \cdot {(\frac{3}{2})}^{n}$

Jetzt lösen wir mal die beide Gleichungen nach a auf:

I: $\frac{\frac{1}{32}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$ = a
II: $\frac{\frac{243}{32}}{{(\frac{3}{2})}^{n}}$ = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

$\frac{\frac{1}{32}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$ = $\frac{\frac{243}{32}}{{(\frac{3}{2})}^{n}}$ | ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ⋅ ${(\frac{3}{2})}^{n}$

$\frac{1}{32}$ ⋅ ${(\frac{3}{2})}^{n}$ = $\frac{243}{32}$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ | ⋅ 32

$1$ ⋅ ${(\frac{3}{2})}^{n}$ = $243$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$

Jetzt muss man eben erkennen, dass ${(\frac{3}{2})}^{n}$ = ${(3 \cdot (\frac{1}{2}))}^{n}$ = $3^{n}$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ist.

$3^{n} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$ = $243 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$ | : ${(\frac{1}{2})}^{n}$

$3^{n}$ = $243$ | : $1$

$3^{n}$ = $243$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $5$

n= $5$ eingesetzt in I:

I: $\frac{1}{32}$ = $a \cdot {(\frac{1}{2})}^{5}$

I: $\frac{1}{32}$ = $\frac{1}{32} a$ | ⋅ $32$

also a= $1$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $x^{5}$