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Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| 1 2 ) und B(-2|8 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| 1 2 ) und B(-2|8 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: 1 2 = a · 1 n
II: 8 = a · (-2) n

Aus I ergibt sich ja sofort 1 2 = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: 8 = 1 2 (-2) n | ⋅ 2

16 = (-2) n

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=4

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= 1 2 x 4

Termbestimmung mit Punktproben II

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A( 1 2 | 3 16 ) und B( 3 2 | 27 16 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A( 1 2 | 3 16 ) und B( 3 2 | 27 16 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: 3 16 = a · ( 1 2 ) n
II: 27 16 = a · ( 3 2 ) n

Jetzt lösen wir mal die beide Gleichungen nach a auf:

I: 3 16 ( 1 2 ) n = a
II: 27 16 ( 3 2 ) n = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

3 16 ( 1 2 ) n = 27 16 ( 3 2 ) n | ⋅ ( 1 2 ) n ( 3 2 ) n

3 16 ( 3 2 ) n = 27 16 ( 1 2 ) n | ⋅ 16

3 ( 3 2 ) n = 27 ( 1 2 ) n

Jetzt muss man eben erkennen, dass ( 3 2 ) n = ( 3( 1 2 ) ) n = 3 n ( 1 2 ) n ist.

3 · 3 n · ( 1 2 ) n = 27 ( 1 2 ) n | : ( 1 2 ) n

3 3 n = 27 | :3

3 n = 9

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=2

n=2 eingesetzt in I:

I: 3 16 = a · ( 1 2 ) 2

I: 3 16 = 1 4 a | ⋅ 4

also a= 3 4

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= 3 4 x 2