Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- 1$ ) und B(2| $- 32$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 1$ ) und B(2| $- 32$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 1$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 32$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 1$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 32$ = $- 2^{n}$ | ⋅ $(- 1)$

$32$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- x^{5}$

Termbestimmung mit Punktproben II

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A( $2$ | $\frac{32}{3}$ ) und B( $6$ | $864$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A( $2$ | $\frac{32}{3}$ ) und B( $6$ | $864$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{32}{3}$ = $a \cdot 2^{n}$
II: $864$ = $a \cdot 6^{n}$

Jetzt lösen wir mal die beide Gleichungen nach a auf:

I: $\frac{\frac{32}{3}}{2^{n}}$ = a
II: $\frac{864}{6^{n}}$ = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

$\frac{\frac{32}{3}}{2^{n}}$ = $\frac{864}{6^{n}}$ | ⋅ $2^{n}$ ⋅ $6^{n}$

$\frac{32}{3}$ ⋅ $6^{n}$ = $864$ ⋅ $2^{n}$ | ⋅ 3

$32$ ⋅ $6^{n}$ = $2592$ ⋅ $2^{n}$

Jetzt muss man eben erkennen, dass $6^{n}$ = ${(3 \cdot 2)}^{n}$ = $3^{n}$ ⋅ $2^{n}$ ist.

$32 \cdot 3^{n} \cdot 2^{n}$ = $2592 \cdot 2^{n}$ | : $2^{n}$

$32 \cdot 3^{n}$ = $2592$ | : $32$

$3^{n}$ = $81$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

n= $4$ eingesetzt in I:

I: $\frac{32}{3}$ = $a \cdot 2^{4}$

I: $\frac{32}{3}$ = $16 a$ | ⋅ $\frac{1}{16}$

also a= $\frac{2}{3}$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{2}{3} x^{4}$