Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{3}{2}$ ) und B(2| $24$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{3}{2}$ ) und B(2| $24$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{3}{2}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $24$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{3}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $24$ = $\frac{3}{2} \cdot 2^{n}$ | ⋅ $\frac{2}{3}$

$16$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{4}$

Termbestimmung mit Punktproben II

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A( $2$ | $- 8$ ) und B( $6$ | $- 648$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A( $2$ | $- 8$ ) und B( $6$ | $- 648$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 8$ = $a \cdot 2^{n}$
II: $- 648$ = $a \cdot 6^{n}$

Jetzt lösen wir mal die beiden Gleichungen nach a auf:

I: $\frac{- 8}{2^{n}}$ = a
II: $\frac{- 648}{6^{n}}$ = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

$\frac{- 8}{2^{n}}$ = $\frac{- 648}{6^{n}}$ | ⋅ $2^{n}$ ⋅ $6^{n}$

$- 8$ ⋅ $6^{n}$ = $- 648$ ⋅ $2^{n}$

Jetzt muss man eben erkennen, dass $6^{n}$ = ${(3 \cdot 2)}^{n}$ = $3^{n}$ ⋅ $2^{n}$ ist.

$- 8 \cdot 3^{n} \cdot 2^{n}$ = $- 648 \cdot 2^{n}$ | : $2^{n}$

$- 8 \cdot 3^{n}$ = $- 648$ | : $- 8$

$3^{n}$ = $81$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

n= $4$ eingesetzt in I:

I: $- 8$ = $a \cdot 2^{4}$

I: $- 8$ = $16 a$ | ⋅ $\frac{1}{16}$

also a= $- \frac{1}{2}$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{4}$