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Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- \frac{1}{2}$ ) und B(-2| $16$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- \frac{1}{2}$ ) und B(-2| $16$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{1}{2}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $16$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{1}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $16$ = $- \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $(- 2)$

$- 32$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{5}$

Termbestimmung mit Punktproben II

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A( $2$ | $- 8$ ) und B( $4$ | $- 256$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A( $2$ | $- 8$ ) und B( $4$ | $- 256$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 8$ = $a \cdot 2^{n}$
II: $- 256$ = $a \cdot 4^{n}$

Jetzt lösen wir mal die beide Gleichungen nach a auf:

I: $\frac{- 8}{2^{n}}$ = a
II: $\frac{- 256}{4^{n}}$ = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

$\frac{- 8}{2^{n}}$ = $\frac{- 256}{4^{n}}$ | ⋅ $2^{n}$ ⋅ $4^{n}$

$- 8$ ⋅ $4^{n}$ = $- 256$ ⋅ $2^{n}$

Jetzt muss man eben erkennen, dass $4^{n}$ = ${(2 \cdot 2)}^{n}$ = $2^{n}$ ⋅ $2^{n}$ ist.

$- 8 \cdot 2^{n} \cdot 2^{n}$ = $- 256 \cdot 2^{n}$ | : $2^{n}$

$- 8 \cdot 2^{n}$ = $- 256$ | : $- 8$

$2^{n}$ = $32$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $5$

n= $5$ eingesetzt in I:

I: $- 8$ = $a \cdot 2^{5}$

I: $- 8$ = $32 a$ | ⋅ $\frac{1}{32}$

also a= $- \frac{1}{4}$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{5}$