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Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- \frac{3}{4}$ ) und B(2| $- 3$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- \frac{3}{4}$ ) und B(2| $- 3$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{3}{4}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 3$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{3}{4}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 3$ = $- \frac{3}{4} \cdot 2^{n}$ | ⋅ $(- \frac{4}{3})$

$4$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- \frac{3}{4} x^{2}$

Termbestimmung mit Punktproben II

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A( $2$ | $- 16$ ) und B( $4$ | $- 256$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A( $2$ | $- 16$ ) und B( $4$ | $- 256$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 16$ = $a \cdot 2^{n}$
II: $- 256$ = $a \cdot 4^{n}$

Jetzt lösen wir mal die beide Gleichungen nach a auf:

I: $\frac{- 16}{2^{n}}$ = a
II: $\frac{- 256}{4^{n}}$ = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

$\frac{- 16}{2^{n}}$ = $\frac{- 256}{4^{n}}$ | ⋅ $2^{n}$ ⋅ $4^{n}$

$- 16$ ⋅ $4^{n}$ = $- 256$ ⋅ $2^{n}$

Jetzt muss man eben erkennen, dass $4^{n}$ = ${(2 \cdot 2)}^{n}$ = $2^{n}$ ⋅ $2^{n}$ ist.

$- 16 \cdot 2^{n} \cdot 2^{n}$ = $- 256 \cdot 2^{n}$ | : $2^{n}$

$- 16 \cdot 2^{n}$ = $- 256$ | : $- 16$

$2^{n}$ = $16$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

n= $4$ eingesetzt in I:

I: $- 16$ = $a \cdot 2^{4}$

I: $- 16$ = $16 a$ | ⋅ $\frac{1}{16}$

also a= $- 1$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- x^{4}$