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Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{1}{2}$ ) und B(-2| $8$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{1}{2}$ ) und B(-2| $8$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{2}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $8$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $8$ = $\frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $2$

$16$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4}$

Termbestimmung mit Punktproben II

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A( $\frac{1}{2}$ | $\frac{3}{16}$ ) und B( $\frac{3}{2}$ | $\frac{27}{16}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A( $\frac{1}{2}$ | $\frac{3}{16}$ ) und B( $\frac{3}{2}$ | $\frac{27}{16}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{3}{16}$ = $a \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$
II: $\frac{27}{16}$ = $a \cdot {(\frac{3}{2})}^{n}$

Jetzt lösen wir mal die beide Gleichungen nach a auf:

I: $\frac{\frac{3}{16}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$ = a
II: $\frac{\frac{27}{16}}{{(\frac{3}{2})}^{n}}$ = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

$\frac{\frac{3}{16}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$ = $\frac{\frac{27}{16}}{{(\frac{3}{2})}^{n}}$ | ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ⋅ ${(\frac{3}{2})}^{n}$

$\frac{3}{16}$ ⋅ ${(\frac{3}{2})}^{n}$ = $\frac{27}{16}$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ | ⋅ 16

$3$ ⋅ ${(\frac{3}{2})}^{n}$ = $27$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$

Jetzt muss man eben erkennen, dass ${(\frac{3}{2})}^{n}$ = ${(3 \cdot (\frac{1}{2}))}^{n}$ = $3^{n}$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ist.

$3 \cdot 3^{n} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$ = $27 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$ | : ${(\frac{1}{2})}^{n}$

$3 \cdot 3^{n}$ = $27$ | : $3$

$3^{n}$ = $9$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

n= $2$ eingesetzt in I:

I: $\frac{3}{16}$ = $a \cdot {(\frac{1}{2})}^{2}$

I: $\frac{3}{16}$ = $\frac{1}{4} a$ | ⋅ $4$

also a= $\frac{3}{4}$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{2}$