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Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- 4$ ) und B(-2| $- 16$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 4$ ) und B(-2| $- 16$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 4$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 16$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 4$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 16$ = $- 4 \cdot {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $(- \frac{1}{4})$

$4$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- 4 x^{2}$

Termbestimmung mit Punktproben II

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A( $2$ | $24$ ) und B( $6$ | $5 832$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A( $2$ | $24$ ) und B( $6$ | $5 832$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $24$ = $a \cdot 2^{n}$
II: $5 832$ = $a \cdot 6^{n}$

Jetzt lösen wir mal die beide Gleichungen nach a auf:

I: $\frac{24}{2^{n}}$ = a
II: $\frac{5 832}{6^{n}}$ = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

$\frac{24}{2^{n}}$ = $\frac{5 832}{6^{n}}$ | ⋅ $2^{n}$ ⋅ $6^{n}$

$24$ ⋅ $6^{n}$ = $5 832$ ⋅ $2^{n}$

Jetzt muss man eben erkennen, dass $6^{n}$ = ${(3 \cdot 2)}^{n}$ = $3^{n}$ ⋅ $2^{n}$ ist.

$24 \cdot 3^{n} \cdot 2^{n}$ = $5832 \cdot 2^{n}$ | : $2^{n}$

$24 \cdot 3^{n}$ = $5832$ | : $24$

$3^{n}$ = $243$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $5$

n= $5$ eingesetzt in I:

I: $24$ = $a \cdot 2^{5}$

I: $24$ = $32 a$ | ⋅ $\frac{1}{32}$

also a= $\frac{3}{4}$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{5}$