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Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{1}{2}$ ) und B(3| $\frac{27}{2}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{1}{2}$ ) und B(3| $\frac{27}{2}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{2}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $\frac{27}{2}$ = $a \cdot 3^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $\frac{27}{2}$ = $\frac{1}{2} \cdot 3^{n}$ | ⋅ $2$

$27$ = $3^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3}$

Termbestimmung mit Punktproben II

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A( $\frac{1}{2}$ | $- \frac{1}{8}$ ) und B( $\frac{1}{4}$ | $- \frac{1}{64}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A( $\frac{1}{2}$ | $- \frac{1}{8}$ ) und B( $\frac{1}{4}$ | $- \frac{1}{64}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{1}{8}$ = $a \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$
II: $- \frac{1}{64}$ = $a \cdot {(\frac{1}{4})}^{n}$

Jetzt lösen wir mal die beide Gleichungen nach a auf:

I: $\frac{- \frac{1}{8}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$ = a
II: $\frac{- \frac{1}{64}}{{(\frac{1}{4})}^{n}}$ = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

$\frac{- \frac{1}{8}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$ = $\frac{- \frac{1}{64}}{{(\frac{1}{4})}^{n}}$ | ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ⋅ ${(\frac{1}{4})}^{n}$

$- \frac{1}{8}$ ⋅ ${(\frac{1}{4})}^{n}$ = $- \frac{1}{64}$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ | ⋅ 64

$- 8$ ⋅ ${(\frac{1}{4})}^{n}$ = $- 1$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$

Jetzt muss man eben erkennen, dass ${(\frac{1}{4})}^{n}$ = ${(\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}))}^{n}$ = ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ist.

$- 8 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$ = $- {(\frac{1}{2})}^{n}$ | : ${(\frac{1}{2})}^{n}$

$- 8 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$ = $- 1$ | : $- 8$

${(\frac{1}{2})}^{n}$ = $\frac{1}{8}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

n= $3$ eingesetzt in I:

I: $- \frac{1}{8}$ = $a \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

I: $- \frac{1}{8}$ = $\frac{1}{8} a$ | ⋅ $8$

also a= $- 1$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- x^{3}$