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Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{3}{2}$ ) und B(-2| $- 48$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{3}{2}$ ) und B(-2| $- 48$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{3}{2}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 48$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{3}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 48$ = $\frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $\frac{2}{3}$

$- 32$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{5}$

Termbestimmung mit Punktproben II

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A( $\frac{1}{2}$ | $- \frac{3}{32}$ ) und B( $\frac{3}{2}$ | $- \frac{729}{32}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A( $\frac{1}{2}$ | $- \frac{3}{32}$ ) und B( $\frac{3}{2}$ | $- \frac{729}{32}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{3}{32}$ = $a \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$
II: $- \frac{729}{32}$ = $a \cdot {(\frac{3}{2})}^{n}$

Jetzt lösen wir mal die beiden Gleichungen nach a auf:

I: $\frac{- \frac{3}{32}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$ = a
II: $\frac{- \frac{729}{32}}{{(\frac{3}{2})}^{n}}$ = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

$\frac{- \frac{3}{32}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$ = $\frac{- \frac{729}{32}}{{(\frac{3}{2})}^{n}}$ | ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ⋅ ${(\frac{3}{2})}^{n}$

$- \frac{3}{32}$ ⋅ ${(\frac{3}{2})}^{n}$ = $- \frac{729}{32}$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ | ⋅ 32

$- 3$ ⋅ ${(\frac{3}{2})}^{n}$ = $- 729$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$

Jetzt muss man eben erkennen, dass ${(\frac{3}{2})}^{n}$ = ${(3 \cdot (\frac{1}{2}))}^{n}$ = $3^{n}$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ist.

$- 3 \cdot 3^{n} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$ = $- 729 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$ | : ${(\frac{1}{2})}^{n}$

$- 3 \cdot 3^{n}$ = $- 729$ | : $- 3$

$3^{n}$ = $243$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $5$

n= $5$ eingesetzt in I:

I: $- \frac{3}{32}$ = $a \cdot {(\frac{1}{2})}^{5}$

I: $- \frac{3}{32}$ = $\frac{1}{32} a$ | ⋅ $32$

also a= $- 3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- 3 x^{5}$