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Thaleskreis (einfach)
Beispiel:
Bestimme die fehlende Winkelweite β .
Wegen des Satzes von Thales muss die Winkelweite des nicht gekennzeichneten Winkels im Kreisbogen immer 90° betragen.
Die drei Winkel 67°, 90° und β müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel β: β=180° - 67° - 90° = 23°.
Thaleskreis (doppeltes Dreieck)
Beispiel:
Bestimme die fehlenden Winkelweiten δ und ε .
Wegen des Satzes von Thales muss im Dreieck ABC die Winkelweite des Winkels in C (also γ+φ) 90° betragen.
Die drei Winkel 90°, 37° und ε müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel ε: ε=180° - 90° - 37° = 53°.
Das Dreieck MBC ist ja aber gleichschenklig, da sowohl die Strecke MB als auch MC der Radius des Thaleskreise ist. Also muss auch der Winkel φ=53° sein.
Somit ergibt sich aufgrund der Winkelsumme im Dreieck MBC für den Winkel δ = 180° - 2 ⋅53° = 74°.
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss. Dadurch muss natürlich auch δ als Nebenwinkel rechtwinklig (also δ=90°) sein.
Wegen der Dreieckswinkelsumme muss also gelten: ε + δ + 39° = ε + 90° + 39° = 180°,
somit gilt ε = 180° - 90° - 39° = 51°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+39°) gleich groß sein.
Es gilt also wegen der Winkelsumme im Dreieck:
ε + β + (α+39°) =
ε + 2⋅β = 180°, also 51° + 2⋅β = 180°.
oder: 2⋅β=180°-51°=129°, also β=64.5°.
Mit α+39°=β=64.5° gilt nun:
α = 25.5°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 2
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Der Winkel β liegt mit dem rechten Winkel und 27° an einer Seite, also gilt
β +90° + 27° = 180°, oder β = 90° - 27° =63° .
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, es gilt also:
α + γ + β = 2⋅α +
β = 2⋅α + 63°=180°, also 2⋅α = 117°
, somit α = 58.5°.
Wegen des Thaleskreises muss der Winkel in D (γ+δ)=90° sein. Also gilt:
α + 90° + ε = 180°, also 58.5° + 90° + ε = 180°
oder ε = 90° - 58.5° = 31.5°
Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+φ)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α = (ε+φ),
also 58.5° = 31.5°+φ, oder φ=58.5° -31.5°.
φ = 27°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite CA. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DA im rechten Winkel zur Strecke CB.
Es gilt somit:
δ +90° + 33° = 180°, oder δ = 90° - 33° =57°
(δ ist der gesamte Winkel in C).
Weil die Höhe auf B genau in der Mitte auf CA trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+33)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+33) + δ=180°,
also 2⋅α +δ=180°,
oder 2⋅α =180°-δ =180°-57°=123°
also α = 123° : 2 = 61.5°.
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MC gleich lang sind, also ist MDC
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist
auch γ=61.5°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β =
61.5° + 61.5° + β = 180°, also β = 180° - 123°
=57° .
Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=57° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 57° = 180°, oder φ = 90° - 57°,somit
φ=33°.