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Thaleskreis (einfach)

Beispiel:

Bestimme die fehlende Winkelweite α .

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Wegen des Satzes von Thales muss die Winkelweite des nicht gekennzeichneten Winkels im Kreisbogen immer 90° betragen.

Die drei Winkel 73°, 90° und α müssen zusammen 180° ergeben.

Also gilt für den Winkel α: α=180° - 73° - 90° = 17°.

Thaleskreis (doppeltes Dreieck)

Beispiel:

Bestimme die fehlenden Winkelweiten β und α .

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Wegen des Satzes von Thales muss im Dreieck ABC die Winkelweite des Winkels in C (also γ+φ) 90° betragen.

Die drei Winkel 90°, 48° und α müssen zusammen 180° ergeben.

Also gilt für den Winkel α: α=180° - 90° - 48° = 42°.

Das Dreieck AMC ist ja aber gleichschenklig, da sowohl die Strecke MA als auch MC der Radius des Thaleskreise ist. Also muss auch der Winkel γ=42° sein.

Somit ergibt sich aufgrund der Winkelsumme im Dreieck AMC für den Winkel β = 180° - 2 ⋅42° = 96°.

Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck

Beispiel:

Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die fehlende Winkelweite α.

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Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss. Dadurch muss natürlich auch δ als Nebenwinkel rechtwinklig (also δ=90°) sein.

Wegen der Dreieckswinkelsumme muss also gelten: ε + δ + 37° = ε + 90° + 37° = 180°,
somit gilt ε = 180° - 90° - 37° = 53°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+37°) gleich groß sein.
Es gilt also wegen der Winkelsumme im Dreieck:
ε + β + (α+37°) = ε + 2⋅β = 180°, also 53° + 2⋅β = 180°.
oder: 2⋅β=180°-53°=127°, also β=63.5°.

Mit α+37°=β=63.5° gilt nun:

α = 26.5°

Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 2

Beispiel:

M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.

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Der Winkel β liegt mit dem rechten Winkel und 25° an einer Seite, also gilt
β +90° + 25° = 180°, oder β = 90° - 25° =65° .

Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, es gilt also:
α + γ + β = 2⋅α + β = 2⋅α + 65°=180°, also 2⋅α = 115° , somit α = 57.5°.

Wegen des Thaleskreises muss der Winkel in D (γ+δ)=90° sein. Also gilt:
α + 90° + ε = 180°, also 57.5° + 90° + ε = 180° oder ε = 90° - 57.5° = 32.5°

Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+φ) gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α = (ε+φ), also 57.5° = 32.5°+φ, oder φ=57.5° -32.5°.

φ = 25°

Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3

Beispiel:

M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.

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Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DB im rechten Winkel zur Strecke AC. Es gilt somit:
δ +90° + 23° = 180°, oder δ = 90° - 23° =67° (δ ist der gesamte Winkel in C).

Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+23) gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+23) + δ=180°, also 2⋅α +δ=180°, oder 2⋅α =180°-δ =180°-67°=113°
also α = 113° : 2 = 56.5°.

Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist auch γ=56.5°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β = 56.5° + 56.5° + β = 180°, also β = 180° - 113° =67° .

Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=67° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 67° = 180°, oder φ = 90° - 67°,somit
φ=23°.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Thaleskreis (einfach)

Thaleskreis (doppeltes Dreieck)

Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck

Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 2

Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3