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Thaleskreis (einfach)
Beispiel:
Bestimme die fehlende Winkelweite α .
Wegen des Satzes von Thales muss die Winkelweite des nicht gekennzeichneten Winkels im Kreisbogen immer 90° betragen.
Die drei Winkel 54°, 90° und α müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel α: α=180° - 54° - 90° = 36°.
Thaleskreis (doppeltes Dreieck)
Beispiel:
Bestimme die fehlenden Winkelweiten β und α .
Wegen des Satzes von Thales muss im Dreieck ABC die Winkelweite des Winkels in C (also γ+φ) 90° betragen.
Die drei Winkel 90°, 58° und α müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel α: α=180° - 90° - 58° = 32°.
Das Dreieck AMC ist ja aber gleichschenklig, da sowohl die Strecke MA als auch MC der Radius des Thaleskreise ist. Also muss auch der Winkel γ=32° sein.
Somit ergibt sich aufgrund der Winkelsumme im Dreieck AMC für den Winkel β = 180° - 2 ⋅32° = 116°.
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Wegen der Dreieckswinkelsumme muss also gelten: β + γ + 33° = β + 90° + 33° = 180°,
somit gilt β = 180° - 90° - 33° = 57°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+33°) gleich groß sein.
Mit α+33°=β=57° gilt nun:
α = 24°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 2
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite CA. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Der Winkel β liegt mit dem rechten Winkel und 30° an einer Seite, also gilt
β +90° + 30° = 180°, oder β = 90° - 30° =60° .
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MC gleich lang sind, also ist MDC
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, es gilt also:
α + γ + β = 2⋅α +
β = 2⋅α + 60°=180°, also 2⋅α = 120°
, somit α = 60°.
Wegen des Thaleskreises muss der Winkel in D (γ+δ)=90° sein. Also gilt:
α + 90° + ε = 180°, also 60° + 90° + ε = 180°
oder ε = 90° - 60° = 30°
Weil die Höhe auf B genau in der Mitte auf CA trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+φ)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α = (ε+φ),
also 60° = 30°+φ, oder φ=60° -30°.
φ = 30°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite CA. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DA im rechten Winkel zur Strecke CB.
Es gilt somit:
δ +90° + 39° = 180°, oder δ = 90° - 39° =51°
(δ ist der gesamte Winkel in C).
Weil die Höhe auf B genau in der Mitte auf CA trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+39)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+39) + δ=180°,
also 2⋅α +δ=180°,
oder 2⋅α =180°-δ =180°-51°=129°
also α = 129° : 2 = 64.5°.
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MC gleich lang sind, also ist MDC
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist
auch γ=64.5°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β =
64.5° + 64.5° + β = 180°, also β = 180° - 129°
=51° .
Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=51° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 51° = 180°, oder φ = 90° - 51°,somit
φ=39°.