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Thaleskreis (einfach)

Beispiel:

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Bestimme die fehlende Winkelweite β .

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Wegen des Satzes von Thales muss die Winkelweite des nicht gekennzeichneten Winkels im Kreisbogen immer 90° betragen.

Die drei Winkel 42°, 90° und β müssen zusammen 180° ergeben.

Also gilt für den Winkel β: β=180° - 42° - 90° = 48°.

Thaleskreis (doppeltes Dreieck)

Beispiel:

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Bestimme die fehlenden Winkelweiten δ und ε .

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Wegen des Satzes von Thales muss im Dreieck ABC die Winkelweite des Winkels in C (also γ+φ) 90° betragen.

Die drei Winkel 90°, 50° und ε müssen zusammen 180° ergeben.

Also gilt für den Winkel ε: ε=180° - 90° - 50° = 40°.

Das Dreieck MBC ist ja aber gleichschenklig, da sowohl die Strecke MB als auch MC der Radius des Thaleskreise ist. Also muss auch der Winkel φ=40° sein.

Somit ergibt sich aufgrund der Winkelsumme im Dreieck MBC für den Winkel δ = 180° - 2 ⋅40° = 100°.

Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck

Beispiel:

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Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die fehlende Winkelweite α.

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Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Wegen der Dreieckswinkelsumme muss also gelten: β + γ + 33° = β + 90° + 33° = 180°,
somit gilt β = 180° - 90° - 33° = 57°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+33°) gleich groß sein.

Mit α+33°=β=57° gilt nun:

α = 24°

Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 2

Beispiel:

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M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.

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Der Winkel β liegt mit dem rechten Winkel und 25° an einer Seite, also gilt
β +90° + 25° = 180°, oder β = 90° - 25° =65° .

Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, es gilt also:
α + γ + β = 2⋅α + β = 2⋅α + 65°=180°, also 2⋅α = 115° , somit α = 57.5°.

Wegen des Thaleskreises muss der Winkel in D (γ+δ)=90° sein. Also gilt:
α + 90° + ε = 180°, also 57.5° + 90° + ε = 180° oder ε = 90° - 57.5° = 32.5°

Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+φ) gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α = (ε+φ), also 57.5° = 32.5°+φ, oder φ=57.5° -32.5°.

φ = 25°

Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3

Beispiel:

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M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite BC. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.

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Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DC im rechten Winkel zur Strecke BA. Es gilt somit:
δ +90° + 23° = 180°, oder δ = 90° - 23° =67° (δ ist der gesamte Winkel in C).

Weil die Höhe auf A genau in der Mitte auf BC trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+23) gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+23) + δ=180°, also 2⋅α +δ=180°, oder 2⋅α =180°-δ =180°-67°=113°
also α = 113° : 2 = 56.5°.

Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MB gleich lang sind, also ist MDB ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist auch γ=56.5°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β = 56.5° + 56.5° + β = 180°, also β = 180° - 113° =67° .

Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=67° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 67° = 180°, oder φ = 90° - 67°,somit
φ=23°.