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Thaleskreis (einfach)

Beispiel:

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Bestimme die fehlende Winkelweite α .

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Wegen des Satzes von Thales muss die Winkelweite des nicht gekennzeichneten Winkels im Kreisbogen immer 90° betragen.

Die drei Winkel 54°, 90° und α müssen zusammen 180° ergeben.

Also gilt für den Winkel α: α=180° - 54° - 90° = 36°.

Thaleskreis (doppeltes Dreieck)

Beispiel:

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Bestimme die fehlenden Winkelweiten β und α .

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Wegen des Satzes von Thales muss im Dreieck ABC die Winkelweite des Winkels in C (also γ+φ) 90° betragen.

Die drei Winkel 90°, 58° und α müssen zusammen 180° ergeben.

Also gilt für den Winkel α: α=180° - 90° - 58° = 32°.

Das Dreieck AMC ist ja aber gleichschenklig, da sowohl die Strecke MA als auch MC der Radius des Thaleskreise ist. Also muss auch der Winkel γ=32° sein.

Somit ergibt sich aufgrund der Winkelsumme im Dreieck AMC für den Winkel β = 180° - 2 ⋅32° = 116°.

Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck

Beispiel:

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Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die fehlende Winkelweite α.

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Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Wegen der Dreieckswinkelsumme muss also gelten: β + γ + 33° = β + 90° + 33° = 180°,
somit gilt β = 180° - 90° - 33° = 57°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+33°) gleich groß sein.

Mit α+33°=β=57° gilt nun:

α = 24°

Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 2

Beispiel:

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M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite CA. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.

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Der Winkel β liegt mit dem rechten Winkel und 30° an einer Seite, also gilt
β +90° + 30° = 180°, oder β = 90° - 30° =60° .

Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MC gleich lang sind, also ist MDC ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, es gilt also:
α + γ + β = 2⋅α + β = 2⋅α + 60°=180°, also 2⋅α = 120° , somit α = 60°.

Wegen des Thaleskreises muss der Winkel in D (γ+δ)=90° sein. Also gilt:
α + 90° + ε = 180°, also 60° + 90° + ε = 180° oder ε = 90° - 60° = 30°

Weil die Höhe auf B genau in der Mitte auf CA trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+φ) gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α = (ε+φ), also 60° = 30°+φ, oder φ=60° -30°.

φ = 30°

Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3

Beispiel:

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M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite CA. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.

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Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DA im rechten Winkel zur Strecke CB. Es gilt somit:
δ +90° + 39° = 180°, oder δ = 90° - 39° =51° (δ ist der gesamte Winkel in C).

Weil die Höhe auf B genau in der Mitte auf CA trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+39) gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+39) + δ=180°, also 2⋅α +δ=180°, oder 2⋅α =180°-δ =180°-51°=129°
also α = 129° : 2 = 64.5°.

Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MC gleich lang sind, also ist MDC ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist auch γ=64.5°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β = 64.5° + 64.5° + β = 180°, also β = 180° - 129° =51° .

Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=51° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 51° = 180°, oder φ = 90° - 51°,somit
φ=39°.