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Thaleskreis (einfach)
Beispiel:
Bestimme die fehlende Winkelweite α .
Wegen des Satzes von Thales muss die Winkelweite des nicht gekennzeichneten Winkels im Kreisbogen immer 90° betragen.
Die drei Winkel 50°, 90° und α müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel α: α=180° - 50° - 90° = 40°.
Thaleskreis (doppeltes Dreieck)
Beispiel:
Bestimme die fehlenden Winkelweiten β und α .
Wegen des Satzes von Thales muss im Dreieck ABC die Winkelweite des Winkels in C (also γ+φ) 90° betragen.
Die drei Winkel 90°, 41° und α müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel α: α=180° - 90° - 41° = 49°.
Das Dreieck AMC ist ja aber gleichschenklig, da sowohl die Strecke MA als auch MC der Radius des Thaleskreise ist. Also muss auch der Winkel γ=49° sein.
Somit ergibt sich aufgrund der Winkelsumme im Dreieck AMC für den Winkel β = 180° - 2 ⋅49° = 82°.
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Wegen der Dreieckswinkelsumme muss also gelten: β + γ + 31° = β + 90° + 31° = 180°,
somit gilt β = 180° - 90° - 31° = 59°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+31°) gleich groß sein.
Mit α+31°=β=59° gilt nun:
α = 28°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 2
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Der Winkel β liegt mit dem rechten Winkel und 33° an einer Seite, also gilt
β +90° + 33° = 180°, oder β = 90° - 33° =57° .
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, es gilt also:
α + γ + β = 2⋅α +
β = 2⋅α + 57°=180°, also 2⋅α = 123°
, somit α = 61.5°.
Wegen des Thaleskreises muss der Winkel in D (γ+δ)=90° sein. Also gilt:
α + 90° + ε = 180°, also 61.5° + 90° + ε = 180°
oder ε = 90° - 61.5° = 28.5°
Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+φ)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α = (ε+φ),
also 61.5° = 28.5°+φ, oder φ=61.5° -28.5°.
φ = 33°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DB im rechten Winkel zur Strecke AC.
Es gilt somit:
δ +90° + 23° = 180°, oder δ = 90° - 23° =67°
(δ ist der gesamte Winkel in C).
Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+23)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+23) + δ=180°,
also 2⋅α +δ=180°,
oder 2⋅α =180°-δ =180°-67°=113°
also α = 113° : 2 = 56.5°.
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist
auch γ=56.5°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β =
56.5° + 56.5° + β = 180°, also β = 180° - 113°
=67° .
Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=67° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 67° = 180°, oder φ = 90° - 67°,somit
φ=23°.