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Term aus Schaubild (einfach)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Im Schaubild sieht man eine Normalparabel. Bestimme den Funktionsterm der zugehörigen quadratischen Funktion.

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Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der Normalparabel bei S(-1|0) liegt.

Die Parabel ist also um -1 Einheiten in x-Richtung verschoben. Der Funktionsterm ist demnach f(x)= ( x - d ) 2 , in diesem Fall mit d= -1.

Der gesuchte Funktionsterm ist also: f(x)= ( x +1 ) 2 .

Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= ( x -2 ) 2 ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

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Der gesuchte Funktionsterm f(x)= ( x -2 ) 2 ist ein Spezialfall von ( x - d ) 2 . Der kleinste Wert wird dabei also bei x=2 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann f(2)=0. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(2|0).

Term aus Schaubild - Normalparabel

Beispiel:

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Gezeichnet ist das Schaubild einer Normalparabel. Bestimme deren Funktionsterm.

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Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der Normalparabel bei S(-2|5) liegt.

Eine Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm f(x)= ± ( x - d ) 2 + e .

Weil - ( x - d ) 2 nie größer Null werden kann, muss der größte Wert der Funktion bei x=d sein, weil hier ( x - d ) 2 gerade gleich Null ist. Wenn Der Scheitel nun als y-Wert e hat, so ist die Parabel um e Einheiten nach oben verschoben, also muss man zu - ( x - d ) 2 noch e addieren.

Wenn man nun beachtet, dass die Normalparabel nach unten geöffnet ist, und die Scheitelkoordinaten für d und e einsetzt, so erhält man als Funktionsterm: f(x)= - ( x +2 ) 2 +5 .

Scheitel von (x-d)²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= ( x +1 ) 2 -3 ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

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Der gesuchte Funktionsterm f(x)= ( x +1 ) 2 -3 ist ein Spezialfall von ( x - d ) 2 + e . Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x=-1 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann f(-1) = -3. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(-1|-3).

Weiterer Wert bei Normalparabel

Beispiel:

Der Punkt P(2|y) liegt auf einer nach oben geöffneten Normalparabel mit Scheitel S(3|3). Bestimme die y-Koordinate von P.

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1. Weg

Eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm f(x)= ( x - d ) 2 + e .

Also muss der Funktionsterm der vorliegenden Parabel f(x)= ( x -3 ) 2 +3 sein.

Setzt man nun x=2 in diesen Funktionsterm ein, so erhält man y = f(2) = ( 2 -3 ) 2 +3 = 1 +3 = 4 .

2. Weg

Der x-Wert von S ist genau 1 Einheiten vom x-Wert des Scheitels entfernt und weil ja eine Normalparabel die gleiche Form wie das Schaubild von y=x² hat, muss also auch hier der y-Wert um 1²=1 höher liegen als der des Scheitel. Man erhält also den y-Wert von P, in dem man zum y-Wert des Scheitels noch 1 drauf addiert, also y = 3+1 = 4.

Der Punkt P hat also die Koordinaten P(2|4).