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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x +4 ) · ( x -3 ) 2 = 0

Lösung einblenden
( x +4 ) ( x -3 ) 2 = 0
( x -3 ) 2 · ( x +4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x -3 ) 2 = 0 | ⋅2
x -3 = 0
x -3 = 0 | +3
x1 = 3

2. Fall:

x +4 = 0 | -4
x2 = -4

L={ -4 ; 3 }

3 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 - x = 0

Lösung einblenden
x 2 - x = 0
x · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

L={0; 1 }

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 + x 2 -20 = 0

Lösung einblenden
x 4 + x 2 -20 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + u -20 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -20 ) 2⋅1

u1,2 = -1 ± 1 +80 2

u1,2 = -1 ± 81 2

u1 = -1 + 81 2 = -1 +9 2 = 8 2 = 4

u2 = -1 - 81 2 = -1 -9 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -20 ) = 1 4 + 20 = 1 4 + 80 4 = 81 4

x1,2 = - 1 2 ± 81 4

x1 = - 1 2 - 9 2 = - 10 2 = -5

x2 = - 1 2 + 9 2 = 8 2 = 4

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

u2: x 2 = -5

x 2 = -5 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -2 ; 2 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 5 +81x = 18 x 3

Lösung einblenden
x 5 +81x = 18 x 3 | -18 x 3
x 5 -18 x 3 +81x = 0
x · ( x 4 -18 x 2 +81 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 4 -18 x 2 +81 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -18u +81 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +18 ± ( -18 ) 2 -4 · 1 · 81 2⋅1

u1,2 = +18 ± 324 -324 2

u1,2 = +18 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = 18 2 = 9

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -9 ) 2 - 81 = 81 - 81 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 9 ± 0 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x2 = - 9 = -3
x3 = 9 = 3

u2: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x4 = - 9 = -3
x5 = 9 = 3

L={ -3 ; 0; 3 }

-3 ist 2-fache Lösung! 3 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 +49 = -14x

Lösung einblenden
x 2 +49 = -14x | +14x

x 2 +14x +49 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -14 ± 14 2 -4 · 1 · 49 2⋅1

x1,2 = -14 ± 196 -196 2

x1,2 = -14 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -14 2 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 7 2 - 49 = 49 - 49 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = -7 ± 0 = -7

L={ -7 }

-7 ist 2-fache Lösung!