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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x · ( x +1 ) · ( x -1 ) = 0

Lösung einblenden
x ( x +1 ) ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x +1 ) ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x3 = 1

L={ -1 ; 0; 1 }

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 + x = 0

Lösung einblenden
x 4 + x = 0
x ( x 3 +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 3 +1 = 0 | -1
x 3 = -1 | ⋅3
x2 = - 1 3 = -1

L={ -1 ; 0}

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -2 x 2 +1 = 0

Lösung einblenden
x 4 -2 x 2 +1 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -2u +1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · 1 2⋅1

u1,2 = +2 ± 4 -4 2

u1,2 = +2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 1 ± 0 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x3 = - 1 = -1
x4 = 1 = 1

L={ -1 ; 1 }

-1 ist 2-fache Lösung! 1 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-8 -7 x 3 = - x 6

Lösung einblenden
-8 -7 x 3 = - x 6 | + x 6
x 6 -7 x 3 -8 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 3

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -7u -8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · 1 · ( -8 ) 2⋅1

u1,2 = +7 ± 49 +32 2

u1,2 = +7 ± 81 2

u1 = 7 + 81 2 = 7 +9 2 = 16 2 = 8

u2 = 7 - 81 2 = 7 -9 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 7 2 ) 2 - ( -8 ) = 49 4 + 8 = 49 4 + 32 4 = 81 4

x1,2 = 7 2 ± 81 4

x1 = 7 2 - 9 2 = - 2 2 = -1

x2 = 7 2 + 9 2 = 16 2 = 8

Rücksubstitution:

u1: x 3 = 8

x 3 = 8 | ⋅3
x1 = 8 3 = 2

u2: x 3 = -1

x 3 = -1 | ⋅3
x2 = - 1 3 = -1

L={ -1 ; 2 }

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 5 - x 2 = 0

Lösung einblenden
x 5 - x 2 = 0
x 2 ( x 3 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 3 -1 = 0 | +1
x 3 = 1 | ⋅3
x2 = 1 3 = 1

L={0; 1 }

0 ist 2-fache Lösung!