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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x · ( x -4 ) · ( x -5 ) = 0

Lösung einblenden
x ( x -4 ) ( x -5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x -4 ) ( x -5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

2. Fall:

x -5 = 0 | +5
x3 = 5

L={0; 4 ; 5 }

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 6 -8 x 3 = 0

Lösung einblenden
x 6 -8 x 3 = 0
x 3 ( x 3 -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | 3
x1 = 0

2. Fall:

x 3 -8 = 0 | +8
x 3 = 8 | 3
x2 = 8 3 = 2

L={0; 2 }

0 ist 3-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 +5 x 2 -6 = 0

Lösung einblenden
x 4 +5 x 2 -6 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +5u -6 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -5 ± 5 2 -4 · 1 · ( -6 ) 21

u1,2 = -5 ± 25 +24 2

u1,2 = -5 ± 49 2

u1 = -5 + 49 2 = -5 +7 2 = 2 2 = 1

u2 = -5 - 49 2 = -5 -7 2 = -12 2 = -6

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | 2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = -6

x 2 = -6 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 1 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

8 x 2 -9x = - x 4

Lösung einblenden

D=R\{0}

-9x + 8 x 2 = - x 4

Wir multiplizieren den Nenner x 2 weg!

-9x + 8 x 2 = - x 4 |⋅( x 2 )
-9x · x 2 + 8 x 2 · x 2 = - x 4 · x 2
-9 x · x 2 +8 = - x 4 · x 2
-9 x 3 +8 = - x 4 · x 2
-9 x 3 +8 = - x 6
-9 x 3 +8 = - x 6 | + x 6
x 6 -9 x 3 +8 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 3

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -9u +8 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +9 ± ( -9 ) 2 -4 · 1 · 8 21

u1,2 = +9 ± 81 -32 2

u1,2 = +9 ± 49 2

u1 = 9 + 49 2 = 9 +7 2 = 16 2 = 8

u2 = 9 - 49 2 = 9 -7 2 = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 3 = 8

x 3 = 8 | 3
x1 = 8 3 = 2

u2: x 3 = 1

x 3 = 1 | 3
x2 = 1 3 = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 1 ; 2 }