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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x · ( x -1 ) 2 · ( x -2 ) = 0

Lösung einblenden
x ( x -1 ) 2 · ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x -1 ) 2 · ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x -1 ) 2 = 0 | ⋅2
x -1 = 0
x -1 = 0 | +1
x2 = 1

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x3 = 2

L={0; 1 ; 2 }

1 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 6 +8 x 3 = 0

Lösung einblenden
x 6 +8 x 3 = 0
x 3 · ( x 3 +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +8 = 0 | -8
x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

L={ -2 ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -8 x 2 +16 = 0

Lösung einblenden
x 4 -8 x 2 +16 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -8u +16 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · 16 2⋅1

u1,2 = +8 ± 64 -64 2

u1,2 = +8 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = 8 2 = 4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -4 ) 2 - 16 = 16 - 16 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 4 ± 0 = 4

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

u2: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x3 = - 4 = -2
x4 = 4 = 2

L={ -2 ; 2 }

-2 ist 2-fache Lösung! 2 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 63 x + x 3 = 2x

Lösung einblenden

D=R\{0}

x 3 - 63 x = 2x

Wir multiplizieren den Nenner x weg!

x 3 - 63 x = 2x |⋅( x )
x 3 · x - 63 x · x = 2x · x
x 3 · x -63 = 2 x · x
x 4 -63 = 2 x · x
x 4 -63 = 2 x 2
x 4 -63 = 2 x 2 | -2 x 2
x 4 -2 x 2 -63 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -2u -63 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -63 ) 2⋅1

u1,2 = +2 ± 4 +252 2

u1,2 = +2 ± 256 2

u1 = 2 + 256 2 = 2 +16 2 = 18 2 = 9

u2 = 2 - 256 2 = 2 -16 2 = -14 2 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - ( -63 ) = 1+ 63 = 64

x1,2 = 1 ± 64

x1 = 1 - 8 = -7

x2 = 1 + 8 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = -7

x 2 = -7 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -3 ; 3 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

64 +16x + x 2 = 0

Lösung einblenden

x 2 +16x +64 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -16 ± 16 2 -4 · 1 · 64 2⋅1

x1,2 = -16 ± 256 -256 2

x1,2 = -16 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -16 2 = -8

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 8 2 - 64 = 64 - 64 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = -8 ± 0 = -8

L={ -8 }

-8 ist 2-fache Lösung!