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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x +4 ) · ( x +1 ) 2 = 0

Lösung einblenden
( x +4 ) ( x +1 ) 2 = 0
( x +1 ) 2 ( x +4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x +1 ) 2 = 0 | 2
x +1 = 0
x +1 = 0 | -1
x1 = -1

2. Fall:

x +4 = 0 | -4
x2 = -4

L={ -4 ; -1 }

-1 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -4 x 2 = 0

Lösung einblenden
x 4 -4 x 2 = 0
x 2 ( x 2 -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -4 = 0 | +4
x 2 = 4 | 2
x2 = - 4 = -2
x3 = 4 = 2

L={ -2 ; 0; 2 }

0 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -1 = 0

Lösung einblenden
x 4 -1 = 0 | +1
x 4 = 1 | 4
x1 = - 1 4 = -1
x2 = 1 4 = 1

L={ -1 ; 1 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

64 x 2 + x 4 = -16x

Lösung einblenden

D=R\{0}

x 4 + 64 x 2 = -16x

Wir multiplizieren den Nenner x 2 weg!

x 4 + 64 x 2 = -16x |⋅( x 2 )
x 4 · x 2 + 64 x 2 · x 2 = -16x · x 2
x 4 · x 2 +64 = -16 x · x 2
x 6 +64 = -16 x · x 2
x 6 +64 = -16 x 3
x 6 +64 = -16 x 3 | +16 x 3
x 6 +16 x 3 +64 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 3

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +16u +64 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -16 ± 16 2 -4 · 1 · 64 21

u1,2 = -16 ± 256 -256 2

u1,2 = -16 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = -16 2 = -8

Rücksubstitution:

u1: x 3 = -8

x 3 = -8 | 3
x1 = - 8 3 = -2

u2: x 3 = -8

x 3 = -8 | 3
x2 = - 8 3 = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2 }