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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x · ( x -1 ) · ( x -3 ) 2 = 0

Lösung einblenden
x ( x -1 ) ( x -3 ) 2 = 0
x ( x -3 ) 2 · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x -3 ) 2 · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x -3 ) 2 = 0 | ⋅2
x -3 = 0
x -3 = 0 | +3
x2 = 3

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x3 = 1

L={0; 1 ; 3 }

3 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 3 - x = 0

Lösung einblenden
x 3 - x = 0
x · ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

L={ -1 ; 0; 1 }

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -8 x 2 -9 = 0

Lösung einblenden
x 4 -8 x 2 -9 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -8u -9 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · ( -9 ) 2⋅1

u1,2 = +8 ± 64 +36 2

u1,2 = +8 ± 100 2

u1 = 8 + 100 2 = 8 +10 2 = 18 2 = 9

u2 = 8 - 100 2 = 8 -10 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -4 ) 2 - ( -9 ) = 16+ 9 = 25

x1,2 = 4 ± 25

x1 = 4 - 5 = -1

x2 = 4 + 5 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = -1

x 2 = -1 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -3 ; 3 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 8 -9 x 5 = -8 x 2

Lösung einblenden
x 8 -9 x 5 = -8 x 2 | +8 x 2
x 8 -9 x 5 +8 x 2 = 0
x 2 · ( x 6 -9 x 3 +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 6 -9 x 3 +8 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 3

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -9u +8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +9 ± ( -9 ) 2 -4 · 1 · 8 2⋅1

u1,2 = +9 ± 81 -32 2

u1,2 = +9 ± 49 2

u1 = 9 + 49 2 = 9 +7 2 = 16 2 = 8

u2 = 9 - 49 2 = 9 -7 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 9 2 ) 2 - 8 = 81 4 - 8 = 81 4 - 32 4 = 49 4

x1,2 = 9 2 ± 49 4

x1 = 9 2 - 7 2 = 2 2 = 1

x2 = 9 2 + 7 2 = 16 2 = 8

Rücksubstitution:

u1: x 3 = 8

x 3 = 8 | ⋅3
x2 = 8 3 = 2

u2: x 3 = 1

x 3 = 1 | ⋅3
x3 = 1 3 = 1

L={0; 1 ; 2 }

0 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

82 + x 2 = -18x

Lösung einblenden
x 2 +82 = -18x | +18x

x 2 +18x +82 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -18 ± 18 2 -4 · 1 · 82 2⋅1

x1,2 = -18 ± 324 -328 2

x1,2 = -18 ± ( -4 ) 2

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 9 2 - 82 = 81 - 82 = -1

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}