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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x · ( x -3 ) · ( x +5 ) = 0

Lösung einblenden
x ( x -3 ) ( x +5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x -3 ) ( x +5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -3 = 0 | +3
x2 = 3

2. Fall:

x +5 = 0 | -5
x3 = -5

L={ -5 ; 0; 3 }

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 3 -4x = 0

Lösung einblenden
x 3 -4x = 0
x ( x 2 -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 -4 = 0 | +4
x 2 = 4 | ⋅2
x2 = - 4 = -2
x3 = 4 = 2

L={ -2 ; 0; 2 }

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -13 x 2 +36 = 0

Lösung einblenden
x 4 -13 x 2 +36 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -13u +36 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +13 ± ( -13 ) 2 -4 · 1 · 36 2⋅1

u1,2 = +13 ± 169 -144 2

u1,2 = +13 ± 25 2

u1 = 13 + 25 2 = 13 +5 2 = 18 2 = 9

u2 = 13 - 25 2 = 13 -5 2 = 8 2 = 4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 13 2 ) 2 - 36 = 169 4 - 36 = 169 4 - 144 4 = 25 4

x1,2 = 13 2 ± 25 4

x1 = 13 2 - 5 2 = 8 2 = 4

x2 = 13 2 + 5 2 = 18 2 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x3 = - 4 = -2
x4 = 4 = 2

L={ -3 ; -2 ; 2 ; 3 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -54 = 3 x 2

Lösung einblenden
x 4 -54 = 3 x 2 | -3 x 2
x 4 -3 x 2 -54 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -3u -54 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( -54 ) 2⋅1

u1,2 = +3 ± 9 +216 2

u1,2 = +3 ± 225 2

u1 = 3 + 225 2 = 3 +15 2 = 18 2 = 9

u2 = 3 - 225 2 = 3 -15 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 2 ) 2 - ( -54 ) = 9 4 + 54 = 9 4 + 216 4 = 225 4

x1,2 = 3 2 ± 225 4

x1 = 3 2 - 15 2 = - 12 2 = -6

x2 = 3 2 + 15 2 = 18 2 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = -6

x 2 = -6 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -3 ; 3 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

9 +6x = - x 2

Lösung einblenden
6x +9 = - x 2 | + x 2

x 2 +6x +9 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -6 ± 6 2 -4 · 1 · 9 2⋅1

x1,2 = -6 ± 36 -36 2

x1,2 = -6 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 3 2 - 9 = 9 - 9 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = -3 ± 0 = -3

L={ -3 }

-3 ist 2-fache Lösung!