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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x · ( x -2 ) · ( x -1 ) = 0

Lösung einblenden
x ( x -2 ) ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x -2 ) ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x3 = 1

L={0; 1 ; 2 }

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 5 +8 x 2 = 0

Lösung einblenden
x 5 +8 x 2 = 0
x 2 ( x 3 +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 |:1
x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +8 = 0 | -8
x 3 = -8 |:1
x 3 = -8 | 3
x2 = - 8 3 = -2

L={ -2 ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -6 x 2 -27 = 0

Lösung einblenden
x 4 -6 x 2 -27 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -6u -27 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +6 ± ( -6 ) 2 -4 · 1 · ( -27 ) 21

u1,2 = +6 ± 36 +108 2

u1,2 = +6 ± 144 2

u1 = 6 + 144 2 = 6 +12 2 = 18 2 = 9

u2 = 6 - 144 2 = 6 -12 2 = -6 2 = -3

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 |:1
x 2 = 9 | 2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = -3

x 2 = -3 |:1
x 2 = -3 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -3 ; 3 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 7 - x = 0

Lösung einblenden
x 7 - x = 0
x ( x 6 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 6 -1 = 0 | +1
x 6 = 1 |:1
x 6 = 1 | 6
x2 = - 1 6 = -1
x3 = 1 6 = 1

L={ -1 ; 0; 1 }