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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x +1 ) 2 · ( x +4 ) = 0

Lösung einblenden
( x +1 ) 2 · ( x +4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x +1 ) 2 = 0 | ⋅2
x +1 = 0
x +1 = 0 | -1
x1 = -1

2. Fall:

x +4 = 0 | -4
x2 = -4

L={ -4 ; -1 }

-1 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 3 +2 x 2 = 0

Lösung einblenden
x 3 +2 x 2 = 0
x 2 · ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

L={ -2 ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 +5 x 2 -6 = 0

Lösung einblenden
x 4 +5 x 2 -6 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +5u -6 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -5 ± 5 2 -4 · 1 · ( -6 ) 2⋅1

u1,2 = -5 ± 25 +24 2

u1,2 = -5 ± 49 2

u1 = -5 + 49 2 = -5 +7 2 = 2 2 = 1

u2 = -5 - 49 2 = -5 -7 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 5 2 ) 2 - ( -6 ) = 25 4 + 6 = 25 4 + 24 4 = 49 4

x1,2 = - 5 2 ± 49 4

x1 = - 5 2 - 7 2 = - 12 2 = -6

x2 = - 5 2 + 7 2 = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = -6

x 2 = -6 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 1 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-9 x 2 + 8 x = - x 5

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x weg!

-9 x 2 + 8 x = - x 5 |⋅( x )
-9 x 2 · x + 8 x · x = - x 5 · x
-9 x 2 · x +8 = - x 5 · x
-9 x 3 +8 = - x 5 · x
-9 x 3 +8 = - x 6
-9 x 3 +8 = - x 6 | + x 6
x 6 -9 x 3 +8 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 3

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -9u +8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +9 ± ( -9 ) 2 -4 · 1 · 8 2⋅1

u1,2 = +9 ± 81 -32 2

u1,2 = +9 ± 49 2

u1 = 9 + 49 2 = 9 +7 2 = 16 2 = 8

u2 = 9 - 49 2 = 9 -7 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 9 2 ) 2 - 8 = 81 4 - 8 = 81 4 - 32 4 = 49 4

x1,2 = 9 2 ± 49 4

x1 = 9 2 - 7 2 = 2 2 = 1

x2 = 9 2 + 7 2 = 16 2 = 8

Rücksubstitution:

u1: x 3 = 8

x 3 = 8 | ⋅3
x1 = 8 3 = 2

u2: x 3 = 1

x 3 = 1 | ⋅3
x2 = 1 3 = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 1 ; 2 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x 2 +50 +20x = 0

Lösung einblenden
2 x 2 +20x +50 = 0 |:2

x 2 +10x +25 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -10 ± 10 2 -4 · 1 · 25 2⋅1

x1,2 = -10 ± 100 -100 2

x1,2 = -10 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 5 2 - 25 = 25 - 25 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = -5 ± 0 = -5

L={ -5 }

-5 ist 2-fache Lösung!