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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x +2 ) 2 · ( x +5 ) = 0

Lösung einblenden
( x +2 ) 2 · ( x +5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x +2 ) 2 = 0 | ⋅2
x +2 = 0
x +2 = 0 | -2
x1 = -2

2. Fall:

x +5 = 0 | -5
x2 = -5

L={ -5 ; -2 }

-2 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -8x = 0

Lösung einblenden
x 4 -8x = 0
x · ( x 3 -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 3 -8 = 0 | +8
x 3 = 8 | ⋅3
x2 = 8 3 = 2

L={0; 2 }

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -6 x 2 -27 = 0

Lösung einblenden
x 4 -6 x 2 -27 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -6u -27 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +6 ± ( -6 ) 2 -4 · 1 · ( -27 ) 2⋅1

u1,2 = +6 ± 36 +108 2

u1,2 = +6 ± 144 2

u1 = 6 + 144 2 = 6 +12 2 = 18 2 = 9

u2 = 6 - 144 2 = 6 -12 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -3 ) 2 - ( -27 ) = 9+ 27 = 36

x1,2 = 3 ± 36

x1 = 3 - 6 = -3

x2 = 3 + 6 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = -3

x 2 = -3 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -3 ; 3 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 8 +7 x 5 = 8 x 2

Lösung einblenden
x 8 +7 x 5 = 8 x 2 | -8 x 2
x 8 +7 x 5 -8 x 2 = 0
x 2 · ( x 6 +7 x 3 -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 6 +7 x 3 -8 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 3

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +7u -8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -7 ± 7 2 -4 · 1 · ( -8 ) 2⋅1

u1,2 = -7 ± 49 +32 2

u1,2 = -7 ± 81 2

u1 = -7 + 81 2 = -7 +9 2 = 2 2 = 1

u2 = -7 - 81 2 = -7 -9 2 = -16 2 = -8

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 7 2 ) 2 - ( -8 ) = 49 4 + 8 = 49 4 + 32 4 = 81 4

x1,2 = - 7 2 ± 81 4

x1 = - 7 2 - 9 2 = - 16 2 = -8

x2 = - 7 2 + 9 2 = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 3 = 1

x 3 = 1 | ⋅3
x2 = 1 3 = 1

u2: x 3 = -8

x 3 = -8 | ⋅3
x3 = - 8 3 = -2

L={ -2 ; 0; 1 }

0 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

49 +70x +25 x 2 = 0

Lösung einblenden

25 x 2 +70x +49 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -70 ± 70 2 -4 · 25 · 49 2⋅25

x1,2 = -70 ± 4900 -4900 50

x1,2 = -70 ± 0 50

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -70 50 = - 7 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "25 " teilen:

25 x 2 +70x +49 = 0 |: 25

x 2 + 14 5 x + 49 25 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 7 5 ) 2 - ( 49 25 ) = 49 25 - 49 25 = 0 25 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = - 7 5 ± 0 = - 7 5

L={ - 7 5 }

- 7 5 ist 2-fache Lösung!