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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x -2 ) · ( x -2 ) = 0

Lösung einblenden
( x -2 ) · ( x -2 ) = 0
( x -2 ) 2 = 0 | ⋅2
x -2 = 0
x -2 = 0 | +2
x = 2

L={ 2 }

2 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 6 -8 x 3 = 0

Lösung einblenden
x 6 -8 x 3 = 0
x 3 · ( x 3 -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 3 -8 = 0 | +8
x 3 = 8 | ⋅3
x2 = 8 3 = 2

L={0; 2 }

0 ist 3-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -5 x 2 +4 = 0

Lösung einblenden
x 4 -5 x 2 +4 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -5u +4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · 4 2⋅1

u1,2 = +5 ± 25 -16 2

u1,2 = +5 ± 9 2

u1 = 5 + 9 2 = 5 +3 2 = 8 2 = 4

u2 = 5 - 9 2 = 5 -3 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 5 2 ) 2 - 4 = 25 4 - 4 = 25 4 - 16 4 = 9 4

x1,2 = 5 2 ± 9 4

x1 = 5 2 - 3 2 = 2 2 = 1

x2 = 5 2 + 3 2 = 8 2 = 4

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

u2: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x3 = - 1 = -1
x4 = 1 = 1

L={ -2 ; -1 ; 1 ; 2 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

9 x 3 +8 = - x 6

Lösung einblenden
9 x 3 +8 = - x 6 | + x 6
x 6 +9 x 3 +8 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 3

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +9u +8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -9 ± 9 2 -4 · 1 · 8 2⋅1

u1,2 = -9 ± 81 -32 2

u1,2 = -9 ± 49 2

u1 = -9 + 49 2 = -9 +7 2 = -2 2 = -1

u2 = -9 - 49 2 = -9 -7 2 = -16 2 = -8

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 9 2 ) 2 - 8 = 81 4 - 8 = 81 4 - 32 4 = 49 4

x1,2 = - 9 2 ± 49 4

x1 = - 9 2 - 7 2 = - 16 2 = -8

x2 = - 9 2 + 7 2 = - 2 2 = -1

Rücksubstitution:

u1: x 3 = -1

x 3 = -1 | ⋅3
x1 = - 1 3 = -1

u2: x 3 = -8

x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

L={ -2 ; -1 }

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 - x 2 = 0

Lösung einblenden
x 4 - x 2 = 0
x 2 · ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

L={ -1 ; 0; 1 }

0 ist 2-fache Lösung!