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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x · ( x +1 ) 2 · ( x -2 ) = 0

Lösung einblenden
x ( x +1 ) 2 · ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x +1 ) 2 · ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x +1 ) 2 = 0 | ⋅2
x +1 = 0
x +1 = 0 | -1
x2 = -1

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x3 = 2

L={ -1 ; 0; 2 }

-1 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 6 -8 x 3 = 0

Lösung einblenden
x 6 -8 x 3 = 0
x 3 · ( x 3 -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 3 -8 = 0 | +8
x 3 = 8 | ⋅3
x2 = 8 3 = 2

L={0; 2 }

0 ist 3-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -10 x 2 +9 = 0

Lösung einblenden
x 4 -10 x 2 +9 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -10u +9 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +10 ± ( -10 ) 2 -4 · 1 · 9 2⋅1

u1,2 = +10 ± 100 -36 2

u1,2 = +10 ± 64 2

u1 = 10 + 64 2 = 10 +8 2 = 18 2 = 9

u2 = 10 - 64 2 = 10 -8 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -5 ) 2 - 9 = 25 - 9 = 16

x1,2 = 5 ± 16

x1 = 5 - 4 = 1

x2 = 5 + 4 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x3 = - 1 = -1
x4 = 1 = 1

L={ -3 ; -1 ; 1 ; 3 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x 3 -3x = - x 5

Lösung einblenden
2 x 3 -3x = - x 5 | + x 5
x 5 +2 x 3 -3x = 0
x · ( x 4 +2 x 2 -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 4 +2 x 2 -3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +2u -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -3 ) 2⋅1

u1,2 = -2 ± 4 +12 2

u1,2 = -2 ± 16 2

u1 = -2 + 16 2 = -2 +4 2 = 2 2 = 1

u2 = -2 - 16 2 = -2 -4 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -3 ) = 1+ 3 = 4

x1,2 = -1 ± 4

x1 = -1 - 2 = -3

x2 = -1 + 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

u2: x 2 = -3

x 2 = -3 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 0; 1 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 -8x = -17

Lösung einblenden
x 2 -8x = -17 | +17

x 2 -8x +17 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · 17 2⋅1

x1,2 = +8 ± 64 -68 2

x1,2 = +8 ± ( -4 ) 2

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -4 ) 2 - 17 = 16 - 17 = -1

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}