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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x · ( x -2 ) · ( x +1 ) = 0

Lösung einblenden
x ( x -2 ) · ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x -2 ) · ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x3 = -1

L={ -1 ; 0; 2 }

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 - x = 0

Lösung einblenden
x 4 - x = 0
x · ( x 3 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 3 -1 = 0 | +1
x 3 = 1 | ⋅3
x2 = 1 3 = 1

L={0; 1 }

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 + x 2 -2 = 0

Lösung einblenden
x 4 + x 2 -2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + u -2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -2 ) 2⋅1

u1,2 = -1 ± 1 +8 2

u1,2 = -1 ± 9 2

u1 = -1 + 9 2 = -1 +3 2 = 2 2 = 1

u2 = -1 - 9 2 = -1 -3 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -2 ) = 1 4 + 2 = 1 4 + 8 4 = 9 4

x1,2 = - 1 2 ± 9 4

x1 = - 1 2 - 3 2 = - 4 2 = -2

x2 = - 1 2 + 3 2 = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = -2

x 2 = -2 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 1 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x 3 + x 5 = 3x

Lösung einblenden
2 x 3 + x 5 = 3x
x 5 +2 x 3 = 3x | -3x
x 5 +2 x 3 -3x = 0
x · ( x 4 +2 x 2 -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 4 +2 x 2 -3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +2u -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -3 ) 2⋅1

u1,2 = -2 ± 4 +12 2

u1,2 = -2 ± 16 2

u1 = -2 + 16 2 = -2 +4 2 = 2 2 = 1

u2 = -2 - 16 2 = -2 -4 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -3 ) = 1+ 3 = 4

x1,2 = -1 ± 4

x1 = -1 - 2 = -3

x2 = -1 + 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

u2: x 2 = -3

x 2 = -3 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 0; 1 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

50 -15x = - x 2

Lösung einblenden
-15x +50 = - x 2 | + x 2

x 2 -15x +50 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +15 ± ( -15 ) 2 -4 · 1 · 50 2⋅1

x1,2 = +15 ± 225 -200 2

x1,2 = +15 ± 25 2

x1 = 15 + 25 2 = 15 +5 2 = 20 2 = 10

x2 = 15 - 25 2 = 15 -5 2 = 10 2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 15 2 ) 2 - 50 = 225 4 - 50 = 225 4 - 200 4 = 25 4

x1,2 = 15 2 ± 25 4

x1 = 15 2 - 5 2 = 10 2 = 5

x2 = 15 2 + 5 2 = 20 2 = 10

L={ 5 ; 10 }