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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x · ( x +1 ) · ( x -4 ) = 0

Lösung einblenden
x ( x +1 ) ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x +1 ) ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x3 = 4

L={ -1 ; 0; 4 }

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 + x 3 = 0

Lösung einblenden
x 4 + x 3 = 0
x 3 ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

L={ -1 ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 +2 x 2 -3 = 0

Lösung einblenden
x 4 +2 x 2 -3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +2u -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -3 ) 2⋅1

u1,2 = -2 ± 4 +12 2

u1,2 = -2 ± 16 2

u1 = -2 + 16 2 = -2 +4 2 = 2 2 = 1

u2 = -2 - 16 2 = -2 -4 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -3 ) = 1+ 3 = 4

x1,2 = -1 ± 4

x1 = -1 - 2 = -3

x2 = -1 + 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = -3

x 2 = -3 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 1 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-63 x 2 + x 6 = 2 x 4

Lösung einblenden
-63 x 2 + x 6 = 2 x 4
x 6 -63 x 2 = 2 x 4 | -2 x 4
x 6 -2 x 4 -63 x 2 = 0
x 2 ( x 4 -2 x 2 -63 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 4 -2 x 2 -63 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -2u -63 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -63 ) 2⋅1

u1,2 = +2 ± 4 +252 2

u1,2 = +2 ± 256 2

u1 = 2 + 256 2 = 2 +16 2 = 18 2 = 9

u2 = 2 - 256 2 = 2 -16 2 = -14 2 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - ( -63 ) = 1+ 63 = 64

x1,2 = 1 ± 64

x1 = 1 - 8 = -7

x2 = 1 + 8 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x2 = - 9 = -3
x3 = 9 = 3

u2: x 2 = -7

x 2 = -7 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -3 ; 0; 3 }

0 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

6x + x 2 +9 = 0

Lösung einblenden

x 2 +6x +9 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -6 ± 6 2 -4 · 1 · 9 2⋅1

x1,2 = -6 ± 36 -36 2

x1,2 = -6 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 3 2 - 9 = 9 - 9 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = -3 ± 0 = -3

L={ -3 }

-3 ist 2-fache Lösung!