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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x -4 ) 2 · ( x +2 ) 2 = 0

Lösung einblenden
( x -4 ) 2 ( x +2 ) 2 = 0
( ( x -4 ) ( x +2 ) ) 2 = 0 | ⋅2
( x -4 ) ( x +2 ) = 0
( x -4 ) ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -4 = 0 | +4
x1 = 4

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

L={ -2 ; 4 }

-2 ist 2-fache Lösung! 4 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 +8x = 0

Lösung einblenden
x 4 +8x = 0
x ( x 3 +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 3 +8 = 0 | -8
x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

L={ -2 ; 0}

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 +6 x 2 -7 = 0

Lösung einblenden
x 4 +6 x 2 -7 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +6u -7 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -6 ± 6 2 -4 · 1 · ( -7 ) 2⋅1

u1,2 = -6 ± 36 +28 2

u1,2 = -6 ± 64 2

u1 = -6 + 64 2 = -6 +8 2 = 2 2 = 1

u2 = -6 - 64 2 = -6 -8 2 = -14 2 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 3 2 - ( -7 ) = 9+ 7 = 16

x1,2 = -3 ± 16

x1 = -3 - 4 = -7

x2 = -3 + 4 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = -7

x 2 = -7 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 1 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 5 +2 x 3 = 24x

Lösung einblenden
x 5 +2 x 3 = 24x | -24x
x 5 +2 x 3 -24x = 0
x ( x 4 +2 x 2 -24 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 4 +2 x 2 -24 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +2u -24 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -24 ) 2⋅1

u1,2 = -2 ± 4 +96 2

u1,2 = -2 ± 100 2

u1 = -2 + 100 2 = -2 +10 2 = 8 2 = 4

u2 = -2 - 100 2 = -2 -10 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -24 ) = 1+ 24 = 25

x1,2 = -1 ± 25

x1 = -1 - 5 = -6

x2 = -1 + 5 = 4

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x2 = - 4 = -2
x3 = 4 = 2

u2: x 2 = -6

x 2 = -6 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -2 ; 0; 2 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

17 +25 x 2 -40x = 0

Lösung einblenden

25 x 2 -40x +17 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +40 ± ( -40 ) 2 -4 · 25 · 17 2⋅25

x1,2 = +40 ± 1600 -1700 50

x1,2 = +40 ± ( -100 ) 50

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "25 " teilen:

25 x 2 -40x +17 = 0 |: 25

x 2 - 8 5 x + 17 25 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 4 5 ) 2 - ( 17 25 ) = 16 25 - 17 25 = - 1 25

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}