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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x · ( x -5 ) 2 · ( x +2 ) = 0

Lösung einblenden
x ( x -5 ) 2 ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x -5 ) 2 ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x -5 ) 2 = 0 | ⋅2
x -5 = 0
x -5 = 0 | +5
x2 = 5

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x3 = -2

L={ -2 ; 0; 5 }

5 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 3 - x = 0

Lösung einblenden
x 3 - x = 0
x ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

L={ -1 ; 0; 1 }

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -8 x 2 -9 = 0

Lösung einblenden
x 4 -8 x 2 -9 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -8u -9 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · ( -9 ) 2⋅1

u1,2 = +8 ± 64 +36 2

u1,2 = +8 ± 100 2

u1 = 8 + 100 2 = 8 +10 2 = 18 2 = 9

u2 = 8 - 100 2 = 8 -10 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -4 ) 2 - ( -9 ) = 16+ 9 = 25

x1,2 = 4 ± 25

x1 = 4 - 5 = -1

x2 = 4 + 5 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = -1

x 2 = -1 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -3 ; 3 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

7 x 2 - 8 x = - x 5

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x weg!

7 x 2 - 8 x = - x 5 |⋅( x )
7 x 2 · x - 8 x · x = - x 5 · x
7 x 2 · x -8 = - x 5 · x
7 x 3 -8 = - x 5 · x
7 x 3 -8 = - x 6
7 x 3 -8 = - x 6 | + x 6
x 6 +7 x 3 -8 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 3

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +7u -8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -7 ± 7 2 -4 · 1 · ( -8 ) 2⋅1

u1,2 = -7 ± 49 +32 2

u1,2 = -7 ± 81 2

u1 = -7 + 81 2 = -7 +9 2 = 2 2 = 1

u2 = -7 - 81 2 = -7 -9 2 = -16 2 = -8

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 7 2 ) 2 - ( -8 ) = 49 4 + 8 = 49 4 + 32 4 = 81 4

x1,2 = - 7 2 ± 81 4

x1 = - 7 2 - 9 2 = - 16 2 = -8

x2 = - 7 2 + 9 2 = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 3 = 1

x 3 = 1 | ⋅3
x1 = 1 3 = 1

u2: x 3 = -8

x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2 ; 1 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

49 + x 2 +14x = 0

Lösung einblenden

x 2 +14x +49 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -14 ± 14 2 -4 · 1 · 49 2⋅1

x1,2 = -14 ± 196 -196 2

x1,2 = -14 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -14 2 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 7 2 - 49 = 49 - 49 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = -7 ± 0 = -7

L={ -7 }

-7 ist 2-fache Lösung!