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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x · ( x -2 ) · ( x -1 ) = 0

Lösung einblenden
x ( x -2 ) · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x -2 ) · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x3 = 1

L={0; 1 ; 2 }

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -8x = 0

Lösung einblenden
x 4 -8x = 0
x · ( x 3 -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 3 -8 = 0 | +8
x 3 = 8 | ⋅3
x2 = 8 3 = 2

L={0; 2 }

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 +2 x 2 -24 = 0

Lösung einblenden
x 4 +2 x 2 -24 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +2u -24 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -24 ) 2⋅1

u1,2 = -2 ± 4 +96 2

u1,2 = -2 ± 100 2

u1 = -2 + 100 2 = -2 +10 2 = 8 2 = 4

u2 = -2 - 100 2 = -2 -10 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -24 ) = 1+ 24 = 25

x1,2 = -1 ± 25

x1 = -1 - 5 = -6

x2 = -1 + 5 = 4

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

u2: x 2 = -6

x 2 = -6 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -2 ; 2 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

8x -9 x 4 = - x 7

Lösung einblenden
8x -9 x 4 = - x 7
-9 x 4 +8x = - x 7 | + x 7
x 7 -9 x 4 +8x = 0
x · ( x 6 -9 x 3 +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 6 -9 x 3 +8 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 3

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -9u +8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +9 ± ( -9 ) 2 -4 · 1 · 8 2⋅1

u1,2 = +9 ± 81 -32 2

u1,2 = +9 ± 49 2

u1 = 9 + 49 2 = 9 +7 2 = 16 2 = 8

u2 = 9 - 49 2 = 9 -7 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 9 2 ) 2 - 8 = 81 4 - 8 = 81 4 - 32 4 = 49 4

x1,2 = 9 2 ± 49 4

x1 = 9 2 - 7 2 = 2 2 = 1

x2 = 9 2 + 7 2 = 16 2 = 8

Rücksubstitution:

u1: x 3 = 8

x 3 = 8 | ⋅3
x2 = 8 3 = 2

u2: x 3 = 1

x 3 = 1 | ⋅3
x3 = 1 3 = 1

L={0; 1 ; 2 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

16 + x 2 = 8x

Lösung einblenden
x 2 +16 = 8x | -8x

x 2 -8x +16 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · 16 2⋅1

x1,2 = +8 ± 64 -64 2

x1,2 = +8 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 8 2 = 4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -4 ) 2 - 16 = 16 - 16 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 4 ± 0 = 4

L={ 4 }

4 ist 2-fache Lösung!