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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x · ( x -1 ) 2 · ( x -1 ) 2 = 0

Lösung einblenden
x ( x -1 ) 2 ( x -1 ) 2 = 0
x ( x -1 ) 4 = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x -1 ) 4 = 0 | ⋅4
x -1 = 0
x -1 = 0 | +1
x2 = 1

L={0; 1 }

1 ist 4-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 3 -4x = 0

Lösung einblenden
x 3 -4x = 0
x · ( x 2 -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 -4 = 0 | +4
x 2 = 4 | ⋅2
x2 = - 4 = -2
x3 = 4 = 2

L={ -2 ; 0; 2 }

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -7 x 2 -18 = 0

Lösung einblenden
x 4 -7 x 2 -18 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -7u -18 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · 1 · ( -18 ) 2⋅1

u1,2 = +7 ± 49 +72 2

u1,2 = +7 ± 121 2

u1 = 7 + 121 2 = 7 +11 2 = 18 2 = 9

u2 = 7 - 121 2 = 7 -11 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 7 2 ) 2 - ( -18 ) = 49 4 + 18 = 49 4 + 72 4 = 121 4

x1,2 = 7 2 ± 121 4

x1 = 7 2 - 11 2 = - 4 2 = -2

x2 = 7 2 + 11 2 = 18 2 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = -2

x 2 = -2 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -3 ; 3 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x + x 5 = 2 x 3

Lösung einblenden
x + x 5 = 2 x 3
x 5 + x = 2 x 3 | -2 x 3
x 5 -2 x 3 + x = 0
x · ( x 4 -2 x 2 +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 4 -2 x 2 +1 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -2u +1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · 1 2⋅1

u1,2 = +2 ± 4 -4 2

u1,2 = +2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 1 ± 0 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

u2: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x4 = - 1 = -1
x5 = 1 = 1

L={ -1 ; 0; 1 }

-1 ist 2-fache Lösung! 1 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

64 -16x + x 2 = 0

Lösung einblenden

x 2 -16x +64 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +16 ± ( -16 ) 2 -4 · 1 · 64 2⋅1

x1,2 = +16 ± 256 -256 2

x1,2 = +16 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 16 2 = 8

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -8 ) 2 - 64 = 64 - 64 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 8 ± 0 = 8

L={ 8 }

8 ist 2-fache Lösung!