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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x · ( x +1 ) · ( x +4 ) 2 = 0

Lösung einblenden
x ( x +1 ) ( x +4 ) 2 = 0
x ( x +4 ) 2 · ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x +4 ) 2 · ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x +4 ) 2 = 0 | ⋅2
x +4 = 0
x +4 = 0 | -4
x2 = -4

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x3 = -1

L={ -4 ; -1 ; 0}

-4 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 6 -8 x 3 = 0

Lösung einblenden
x 6 -8 x 3 = 0
x 3 · ( x 3 -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 3 -8 = 0 | +8
x 3 = 8 | ⋅3
x2 = 8 3 = 2

L={0; 2 }

0 ist 3-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 + x 2 -2 = 0

Lösung einblenden
x 4 + x 2 -2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + u -2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -2 ) 2⋅1

u1,2 = -1 ± 1 +8 2

u1,2 = -1 ± 9 2

u1 = -1 + 9 2 = -1 +3 2 = 2 2 = 1

u2 = -1 - 9 2 = -1 -3 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -2 ) = 1 4 + 2 = 1 4 + 8 4 = 9 4

x1,2 = - 1 2 ± 9 4

x1 = - 1 2 - 3 2 = - 4 2 = -2

x2 = - 1 2 + 3 2 = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = -2

x 2 = -2 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 1 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

9 + x 4 = 10 x 2

Lösung einblenden
9 + x 4 = 10 x 2 | -10 x 2
x 4 -10 x 2 +9 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -10u +9 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +10 ± ( -10 ) 2 -4 · 1 · 9 2⋅1

u1,2 = +10 ± 100 -36 2

u1,2 = +10 ± 64 2

u1 = 10 + 64 2 = 10 +8 2 = 18 2 = 9

u2 = 10 - 64 2 = 10 -8 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -5 ) 2 - 9 = 25 - 9 = 16

x1,2 = 5 ± 16

x1 = 5 - 4 = 1

x2 = 5 + 4 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x3 = - 1 = -1
x4 = 1 = 1

L={ -3 ; -1 ; 1 ; 3 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

49 -28x +4 x 2 = 0

Lösung einblenden

4 x 2 -28x +49 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +28 ± ( -28 ) 2 -4 · 4 · 49 2⋅4

x1,2 = +28 ± 784 -784 8

x1,2 = +28 ± 0 8

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 28 8 = 7 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "4 " teilen:

4 x 2 -28x +49 = 0 |: 4

x 2 -7x + 49 4 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 7 2 ) 2 - ( 49 4 ) = 49 4 - 49 4 = 0 4 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 7 2 ± 0 = 7 2

L={ 7 2 }

7 2 ist 2-fache Lösung!