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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x -5 ) · ( x -5 ) = 0

Lösung einblenden
( x -5 ) · ( x -5 ) = 0
( x -5 ) 2 = 0 | ⋅2
x -5 = 0
x -5 = 0 | +5
x = 5

L={ 5 }

5 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 5 +8 x 2 = 0

Lösung einblenden
x 5 +8 x 2 = 0
x 2 · ( x 3 +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +8 = 0 | -8
x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

L={ -2 ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 +5 x 2 -6 = 0

Lösung einblenden
x 4 +5 x 2 -6 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +5u -6 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -5 ± 5 2 -4 · 1 · ( -6 ) 2⋅1

u1,2 = -5 ± 25 +24 2

u1,2 = -5 ± 49 2

u1 = -5 + 49 2 = -5 +7 2 = 2 2 = 1

u2 = -5 - 49 2 = -5 -7 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 5 2 ) 2 - ( -6 ) = 25 4 + 6 = 25 4 + 24 4 = 49 4

x1,2 = - 5 2 ± 49 4

x1 = - 5 2 - 7 2 = - 12 2 = -6

x2 = - 5 2 + 7 2 = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = -6

x 2 = -6 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 1 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-9 x 5 +8 x 2 = - x 8

Lösung einblenden
-9 x 5 +8 x 2 = - x 8 | + x 8
x 8 -9 x 5 +8 x 2 = 0
x 2 · ( x 6 -9 x 3 +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 6 -9 x 3 +8 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 3

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -9u +8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +9 ± ( -9 ) 2 -4 · 1 · 8 2⋅1

u1,2 = +9 ± 81 -32 2

u1,2 = +9 ± 49 2

u1 = 9 + 49 2 = 9 +7 2 = 16 2 = 8

u2 = 9 - 49 2 = 9 -7 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 9 2 ) 2 - 8 = 81 4 - 8 = 81 4 - 32 4 = 49 4

x1,2 = 9 2 ± 49 4

x1 = 9 2 - 7 2 = 2 2 = 1

x2 = 9 2 + 7 2 = 16 2 = 8

Rücksubstitution:

u1: x 3 = 8

x 3 = 8 | ⋅3
x2 = 8 3 = 2

u2: x 3 = 1

x 3 = 1 | ⋅3
x3 = 1 3 = 1

L={0; 1 ; 2 }

0 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-15x +2 x 2 = -28

Lösung einblenden
2 x 2 -15x = -28 | +28

2 x 2 -15x +28 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +15 ± ( -15 ) 2 -4 · 2 · 28 2⋅2

x1,2 = +15 ± 225 -224 4

x1,2 = +15 ± 1 4

x1 = 15 + 1 4 = 15 +1 4 = 16 4 = 4

x2 = 15 - 1 4 = 15 -1 4 = 14 4 = 3,5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 x 2 -15x +28 = 0 |: 2

x 2 - 15 2 x +14 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 15 4 ) 2 - 14 = 225 16 - 14 = 225 16 - 224 16 = 1 16

x1,2 = 15 4 ± 1 16

x1 = 15 4 - 1 4 = 14 4 = 3.5

x2 = 15 4 + 1 4 = 16 4 = 4

L={ 3,5 ; 4 }