Mathebattle EduRandomtasks

Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(x + 2) \cdot {(x - 2)}^{2}$ = 0

$(x + 2) {(x - 2)}^{2}$	=	0
${(x - 2)}^{2} \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x - 2)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 2$	=	0

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} - 8 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{5} - 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 5 x^{2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

x^{4} + 5 x^{2} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 6$

x^{2}

=

- 6

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x - \frac{24}{x}$ = $- x^{3}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$2 x - \frac{24}{x}$	=	$- x^{3}$	\|⋅( $x$ )
$2 x \cdot x - \frac{24}{x} \cdot x$	=	$- x^{3} \cdot x$
$2 x \cdot x - 24$	=	$- x^{3} \cdot x$
$2 x^{2} - 24$	=	$- x^{3} \cdot x$
$2 x^{2} - 24$	=	$- x^{4}$

2 x^{2} - 24

=

- x^{4}

|

+ x^{4}

x^{4} + 2 x^{2} - 24

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 6$

x^{2}

=

- 6

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 58 x + 80$ = $- 5 x^{2}$

Lösung einblenden

- 58 x + 80

=

- 5 x^{2}

|

+ 5 x^{2}

$5 x^{2} - 58 x + 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 58 \pm \sqrt{{(- 58)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 80}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 58 \pm \sqrt{3 364 - 1 600}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 58 \pm \sqrt{1 764}}{10}$

x₁ = $\frac{58 + \sqrt{1 764}}{10}$ = $\frac{58+42}{10}$ = $\frac{100}{10}$ = $10$

x₂ = $\frac{58 - \sqrt{1 764}}{10}$ = $\frac{58-42}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 58 x + 80$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{58}{5} x + 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{29}{5})}^{2} - 16$ = $\frac{841}{25}$ $-$ $16$ = $\frac{841}{25}$ $-$ $\frac{400}{25}$ = $\frac{441}{25}$

x_1,2 = $\frac{29}{5}$ ± $\sqrt{\frac{441}{25}}$

x₁ = $\frac{29}{5}$ - $\frac{21}{5}$ = $\frac{8}{5}$ = 1.6

x₂ = $\frac{29}{5}$ + $\frac{21}{5}$ = $\frac{50}{5}$ = 10

L={ $1,6$ ; $10$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Polynomgleichungen (Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomgleichungen (Substitution II)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):