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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x \cdot (x - 4) \cdot {(x + 3)}^{2}$ = 0

$x (x - 4) {(x + 3)}^{2}$	=	0
$x {(x + 3)}^{2} \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

{(x + 3)}^{2} \cdot (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x + 3)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 3$	=	0

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 3$ ; 0; $4$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 1$ = 0

Lösung einblenden

$x^{4} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{4}$	=	$1$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt[4]{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{3}{x} + 2 x$ = $- x^{3}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

2 x - \frac{3}{x}

=

- x^{3}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$2 x - \frac{3}{x}$	=	$- x^{3}$	\|⋅( $x$ )
$2 x \cdot x - \frac{3}{x} \cdot x$	=	$- x^{3} \cdot x$
$2 x \cdot x - 3$	=	$- x^{3} \cdot x$
$2 x^{2} - 3$	=	$- x^{3} \cdot x$
$2 x^{2} - 3$	=	$- x^{4}$

2 x^{2} - 3

=

- x^{4}

|

+ x^{4}

x^{4} + 2 x^{2} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + x^{3}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{4} + x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Polynomgleichungen (Substitution)

Polynomgleichungen (Substitution II)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomgleichungen (Ausklammern)