Mathebattle EduRandomtasks

Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x \cdot {(x - 4)}^{2} \cdot (x + 4)$ = 0

x {(x - 4)}^{2} \cdot (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

{(x - 4)}^{2} \cdot (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x - 4)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 4$	=	0

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; 0; $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{3} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

L={0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - x^{2} - 12$ = 0

Lösung einblenden

x^{4} - x^{2} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 16 x + x^{4}$ = $- \frac{64}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

x^{4} - 16 x

=

- \frac{64}{x^{2}}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{4} - 16 x$	=	$- \frac{64}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{4} \cdot x^{2} - 16 x \cdot x^{2}$	=	$- \frac{64}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{4} \cdot x^{2} - 16 x \cdot x^{2}$	=	$- 64$
$x^{6} - 16 x^{3}$	=	$- 64$

x^{6} - 16 x^{3}

=

- 64

|

+ 64

x^{6} - 16 x^{3} + 64

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 16 u + 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{16}{2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 8)}^{2} - 64$ = $64$ $-$ $64$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $8$ ± 0 = $8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 + 12 x + 4 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 12 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 12}{8}$ = $- \frac{3}{2}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 12 x + 9$ = 0 |: $4$

$x^{2} + 3 x + \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (\frac{9}{4})$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{0}{4}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- \frac{3}{2}$ ± 0 = $- \frac{3}{2}$

L={ $- \frac{3}{2}$ }

$- \frac{3}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Polynomgleichungen (Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomgleichungen (Substitution II)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):