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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x · ( x -2 ) · ( x +5 ) = 0

Lösung einblenden
x ( x -2 ) · ( x +5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x -2 ) · ( x +5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

2. Fall:

x +5 = 0 | -5
x3 = -5

L={ -5 ; 0; 2 }

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -8x = 0

Lösung einblenden
x 4 -8x = 0
x · ( x 3 -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 3 -8 = 0 | +8
x 3 = 8 | ⋅3
x2 = 8 3 = 2

L={0; 2 }

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 +3 x 2 -28 = 0

Lösung einblenden
x 4 +3 x 2 -28 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +3u -28 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · ( -28 ) 2⋅1

u1,2 = -3 ± 9 +112 2

u1,2 = -3 ± 121 2

u1 = -3 + 121 2 = -3 +11 2 = 8 2 = 4

u2 = -3 - 121 2 = -3 -11 2 = -14 2 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 3 2 ) 2 - ( -28 ) = 9 4 + 28 = 9 4 + 112 4 = 121 4

x1,2 = - 3 2 ± 121 4

x1 = - 3 2 - 11 2 = - 14 2 = -7

x2 = - 3 2 + 11 2 = 8 2 = 4

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

u2: x 2 = -7

x 2 = -7 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -2 ; 2 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

8 x +9 x 2 = - x 5

Lösung einblenden

D=R\{0}

9 x 2 + 8 x = - x 5

Wir multiplizieren den Nenner x weg!

9 x 2 + 8 x = - x 5 |⋅( x )
9 x 2 · x + 8 x · x = - x 5 · x
9 x 2 · x +8 = - x 5 · x
9 x 3 +8 = - x 5 · x
9 x 3 +8 = - x 6
9 x 3 +8 = - x 6 | + x 6
x 6 +9 x 3 +8 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 3

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +9u +8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -9 ± 9 2 -4 · 1 · 8 2⋅1

u1,2 = -9 ± 81 -32 2

u1,2 = -9 ± 49 2

u1 = -9 + 49 2 = -9 +7 2 = -2 2 = -1

u2 = -9 - 49 2 = -9 -7 2 = -16 2 = -8

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 9 2 ) 2 - 8 = 81 4 - 8 = 81 4 - 32 4 = 49 4

x1,2 = - 9 2 ± 49 4

x1 = - 9 2 - 7 2 = - 16 2 = -8

x2 = - 9 2 + 7 2 = - 2 2 = -1

Rücksubstitution:

u1: x 3 = -1

x 3 = -1 | ⋅3
x1 = - 1 3 = -1

u2: x 3 = -8

x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2 ; -1 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

36 +12x + x 2 = 0

Lösung einblenden

x 2 +12x +36 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -12 ± 12 2 -4 · 1 · 36 2⋅1

x1,2 = -12 ± 144 -144 2

x1,2 = -12 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 6 2 - 36 = 36 - 36 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = -6 ± 0 = -6

L={ -6 }

-6 ist 2-fache Lösung!