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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(x + 3) \cdot (x - 3)$ = 0

(x + 3) \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{3} - x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 6 x^{2} - 27$ = 0

Lösung einblenden

x^{4} - 6 x^{2} - 27

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6+12}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6-12}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 27)$ = $9$ $+$ $27$ = $36$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $3$ - $6$ = -3

x₂ = $3$ + $6$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{3} + 16 x$ = $- x^{5}$

Lösung einblenden

$- 8 x^{3} + 16 x$	=	$- x^{5}$	\| $+ x^{5}$
$x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$	=	0
$x \cdot (x^{4} - 8 x^{2} + 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 8 x^{2} + 16

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₅	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung! $2$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 33 x + 18$ = $- 5 x^{2}$

Lösung einblenden

- 33 x + 18

=

- 5 x^{2}

|

+ 5 x^{2}

$5 x^{2} - 33 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{{(- 33)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 18}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{1 089 - 360}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{729}}{10}$

x₁ = $\frac{33 + \sqrt{729}}{10}$ = $\frac{33+27}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = $6$

x₂ = $\frac{33 - \sqrt{729}}{10}$ = $\frac{33-27}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = $0,6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 33 x + 18$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{33}{5} x + \frac{18}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{33}{10})}^{2} - (\frac{18}{5})$ = $\frac{1089}{100}$ $-$ $\frac{18}{5}$ = $\frac{1089}{100}$ $-$ $\frac{360}{100}$ = $\frac{729}{100}$

x_1,2 = $\frac{33}{10}$ ± $\sqrt{\frac{729}{100}}$

x₁ = $\frac{33}{10}$ - $\frac{27}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = 0.6

x₂ = $\frac{33}{10}$ + $\frac{27}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = 6

L={ $0,6$ ; $6$ }

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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Polynomgleichungen (Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomgleichungen (Substitution II)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):