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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x · ( x +1 ) · ( x -5 ) = 0

Lösung einblenden
x ( x +1 ) · ( x -5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x +1 ) · ( x -5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

2. Fall:

x -5 = 0 | +5
x3 = 5

L={ -1 ; 0; 5 }

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 6 + x 3 = 0

Lösung einblenden
x 6 + x 3 = 0
x 3 · ( x 3 +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +1 = 0 | -1
x 3 = -1 | ⋅3
x2 = - 1 3 = -1

L={ -1 ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 +3 x 2 -28 = 0

Lösung einblenden
x 4 +3 x 2 -28 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +3u -28 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · ( -28 ) 2⋅1

u1,2 = -3 ± 9 +112 2

u1,2 = -3 ± 121 2

u1 = -3 + 121 2 = -3 +11 2 = 8 2 = 4

u2 = -3 - 121 2 = -3 -11 2 = -14 2 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 3 2 ) 2 - ( -28 ) = 9 4 + 28 = 9 4 + 112 4 = 121 4

x1,2 = - 3 2 ± 121 4

x1 = - 3 2 - 11 2 = - 14 2 = -7

x2 = - 3 2 + 11 2 = 8 2 = 4

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

u2: x 2 = -7

x 2 = -7 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -2 ; 2 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- x 3 + x 5 = 12x

Lösung einblenden
- x 3 + x 5 = 12x
x 5 - x 3 = 12x | -12x
x 5 - x 3 -12x = 0
x · ( x 4 - x 2 -12 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 4 - x 2 -12 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - u -12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -12 ) 2⋅1

u1,2 = +1 ± 1 +48 2

u1,2 = +1 ± 49 2

u1 = 1 + 49 2 = 1 +7 2 = 8 2 = 4

u2 = 1 - 49 2 = 1 -7 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -12 ) = 1 4 + 12 = 1 4 + 48 4 = 49 4

x1,2 = 1 2 ± 49 4

x1 = 1 2 - 7 2 = - 6 2 = -3

x2 = 1 2 + 7 2 = 8 2 = 4

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x2 = - 4 = -2
x3 = 4 = 2

u2: x 2 = -3

x 2 = -3 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -2 ; 0; 2 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-60 -4x = - x 2

Lösung einblenden
-4x -60 = - x 2 | + x 2

x 2 -4x -60 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · ( -60 ) 2⋅1

x1,2 = +4 ± 16 +240 2

x1,2 = +4 ± 256 2

x1 = 4 + 256 2 = 4 +16 2 = 20 2 = 10

x2 = 4 - 256 2 = 4 -16 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - ( -60 ) = 4+ 60 = 64

x1,2 = 2 ± 64

x1 = 2 - 8 = -6

x2 = 2 + 8 = 10

L={ -6 ; 10 }