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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x +5 ) · ( x -5 ) 2 = 0

Lösung einblenden
( x +5 ) ( x -5 ) 2 = 0
( x -5 ) 2 ( x +5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x -5 ) 2 = 0 | ⋅2
x -5 = 0
x -5 = 0 | +5
x1 = 5

2. Fall:

x +5 = 0 | -5
x2 = -5

L={ -5 ; 5 }

5 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 3 -2 x 2 = 0

Lösung einblenden
x 3 -2 x 2 = 0
x 2 ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

L={0; 2 }

0 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -13 x 2 +36 = 0

Lösung einblenden
x 4 -13 x 2 +36 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -13u +36 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +13 ± ( -13 ) 2 -4 · 1 · 36 2⋅1

u1,2 = +13 ± 169 -144 2

u1,2 = +13 ± 25 2

u1 = 13 + 25 2 = 13 +5 2 = 18 2 = 9

u2 = 13 - 25 2 = 13 -5 2 = 8 2 = 4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 13 2 ) 2 - 36 = 169 4 - 36 = 169 4 - 144 4 = 25 4

x1,2 = 13 2 ± 25 4

x1 = 13 2 - 5 2 = 8 2 = 4

x2 = 13 2 + 5 2 = 18 2 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x3 = - 4 = -2
x4 = 4 = 2

L={ -3 ; -2 ; 2 ; 3 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 +16 = 8 x 2

Lösung einblenden
x 4 +16 = 8 x 2 | -8 x 2
x 4 -8 x 2 +16 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -8u +16 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · 16 2⋅1

u1,2 = +8 ± 64 -64 2

u1,2 = +8 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = 8 2 = 4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -4 ) 2 - 16 = 16 - 16 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 4 ± 0 = 4

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

u2: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x3 = - 4 = -2
x4 = 4 = 2

L={ -2 ; 2 }

-2 ist 2-fache Lösung! 2 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-100x +100 = -25 x 2

Lösung einblenden
-100x +100 = -25 x 2 | +25 x 2
25 x 2 -100x +100 = 0 |:25

x 2 -4x +4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · 4 2⋅1

x1,2 = +4 ± 16 -16 2

x1,2 = +4 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 4 2 = 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - 4 = 4 - 4 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 2 ± 0 = 2

L={ 2 }

2 ist 2-fache Lösung!