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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x -1 ) 2 · ( x +3 ) = 0

Lösung einblenden
( x -1 ) 2 · ( x +3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x -1 ) 2 = 0 | ⋅2
x -1 = 0
x -1 = 0 | +1
x1 = 1

2. Fall:

x +3 = 0 | -3
x2 = -3

L={ -3 ; 1 }

1 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 - x = 0

Lösung einblenden
x 2 - x = 0
x · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

L={0; 1 }

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -13 x 2 +36 = 0

Lösung einblenden
x 4 -13 x 2 +36 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -13u +36 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +13 ± ( -13 ) 2 -4 · 1 · 36 2⋅1

u1,2 = +13 ± 169 -144 2

u1,2 = +13 ± 25 2

u1 = 13 + 25 2 = 13 +5 2 = 18 2 = 9

u2 = 13 - 25 2 = 13 -5 2 = 8 2 = 4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 13 2 ) 2 - 36 = 169 4 - 36 = 169 4 - 144 4 = 25 4

x1,2 = 13 2 ± 25 4

x1 = 13 2 - 5 2 = 8 2 = 4

x2 = 13 2 + 5 2 = 18 2 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x3 = - 4 = -2
x4 = 4 = 2

L={ -3 ; -2 ; 2 ; 3 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 8 x + x 5 = -7 x 2

Lösung einblenden

D=R\{0}

x 5 - 8 x = -7 x 2

Wir multiplizieren den Nenner x weg!

x 5 - 8 x = -7 x 2 |⋅( x )
x 5 · x - 8 x · x = -7 x 2 · x
x 5 · x -8 = -7 x 2 · x
x 6 -8 = -7 x 2 · x
x 6 -8 = -7 x 3
x 6 -8 = -7 x 3 | +7 x 3
x 6 +7 x 3 -8 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 3

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +7u -8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -7 ± 7 2 -4 · 1 · ( -8 ) 2⋅1

u1,2 = -7 ± 49 +32 2

u1,2 = -7 ± 81 2

u1 = -7 + 81 2 = -7 +9 2 = 2 2 = 1

u2 = -7 - 81 2 = -7 -9 2 = -16 2 = -8

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 7 2 ) 2 - ( -8 ) = 49 4 + 8 = 49 4 + 32 4 = 81 4

x1,2 = - 7 2 ± 81 4

x1 = - 7 2 - 9 2 = - 16 2 = -8

x2 = - 7 2 + 9 2 = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 3 = 1

x 3 = 1 | ⋅3
x1 = 1 3 = 1

u2: x 3 = -8

x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2 ; 1 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 +101 -20x = 0

Lösung einblenden

x 2 -20x +101 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +20 ± ( -20 ) 2 -4 · 1 · 101 2⋅1

x1,2 = +20 ± 400 -404 2

x1,2 = +20 ± ( -4 ) 2

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -10 ) 2 - 101 = 100 - 101 = -1

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}