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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x · ( x -3 ) · ( x +2 ) = 0

Lösung einblenden
x ( x -3 ) · ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x -3 ) · ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -3 = 0 | +3
x2 = 3

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x3 = -2

L={ -2 ; 0; 3 }

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 3 -2 x 2 = 0

Lösung einblenden
x 3 -2 x 2 = 0
x 2 · ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

L={0; 2 }

0 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -2 x 2 +1 = 0

Lösung einblenden
x 4 -2 x 2 +1 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -2u +1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · 1 2⋅1

u1,2 = +2 ± 4 -4 2

u1,2 = +2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 1 ± 0 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x3 = - 1 = -1
x4 = 1 = 1

L={ -1 ; 1 }

-1 ist 2-fache Lösung! 1 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-28 x 2 + x 6 = -3 x 4

Lösung einblenden
-28 x 2 + x 6 = -3 x 4
x 6 -28 x 2 = -3 x 4 | +3 x 4
x 6 +3 x 4 -28 x 2 = 0
x 2 · ( x 4 +3 x 2 -28 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 4 +3 x 2 -28 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +3u -28 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · ( -28 ) 2⋅1

u1,2 = -3 ± 9 +112 2

u1,2 = -3 ± 121 2

u1 = -3 + 121 2 = -3 +11 2 = 8 2 = 4

u2 = -3 - 121 2 = -3 -11 2 = -14 2 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 3 2 ) 2 - ( -28 ) = 9 4 + 28 = 9 4 + 112 4 = 121 4

x1,2 = - 3 2 ± 121 4

x1 = - 3 2 - 11 2 = - 14 2 = -7

x2 = - 3 2 + 11 2 = 8 2 = 4

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x2 = - 4 = -2
x3 = 4 = 2

u2: x 2 = -7

x 2 = -7 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -2 ; 0; 2 }

0 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4 x 2 +40x +100 = 0

Lösung einblenden
4 x 2 +40x +100 = 0 |:4

x 2 +10x +25 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -10 ± 10 2 -4 · 1 · 25 2⋅1

x1,2 = -10 ± 100 -100 2

x1,2 = -10 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 5 2 - 25 = 25 - 25 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = -5 ± 0 = -5

L={ -5 }

-5 ist 2-fache Lösung!