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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x +5 ) · ( x +1 ) = 0

Lösung einblenden
( x +5 ) ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x +5 = 0 | -5
x1 = -5

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

L={ -5 ; -1 }

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 - x 3 = 0

Lösung einblenden
x 4 - x 3 = 0
x 3 ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

L={0; 1 }

0 ist 3-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -3 x 2 -54 = 0

Lösung einblenden
x 4 -3 x 2 -54 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -3u -54 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( -54 ) 2⋅1

u1,2 = +3 ± 9 +216 2

u1,2 = +3 ± 225 2

u1 = 3 + 225 2 = 3 +15 2 = 18 2 = 9

u2 = 3 - 225 2 = 3 -15 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 2 ) 2 - ( -54 ) = 9 4 + 54 = 9 4 + 216 4 = 225 4

x1,2 = 3 2 ± 225 4

x1 = 3 2 - 15 2 = - 12 2 = -6

x2 = 3 2 + 15 2 = 18 2 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = -6

x 2 = -6 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -3 ; 3 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

7 x 5 -8 x 2 = - x 8

Lösung einblenden
7 x 5 -8 x 2 = - x 8 | + x 8
x 8 +7 x 5 -8 x 2 = 0
x 2 ( x 6 +7 x 3 -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 6 +7 x 3 -8 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 3

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +7u -8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -7 ± 7 2 -4 · 1 · ( -8 ) 2⋅1

u1,2 = -7 ± 49 +32 2

u1,2 = -7 ± 81 2

u1 = -7 + 81 2 = -7 +9 2 = 2 2 = 1

u2 = -7 - 81 2 = -7 -9 2 = -16 2 = -8

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 7 2 ) 2 - ( -8 ) = 49 4 + 8 = 49 4 + 32 4 = 81 4

x1,2 = - 7 2 ± 81 4

x1 = - 7 2 - 9 2 = - 16 2 = -8

x2 = - 7 2 + 9 2 = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 3 = 1

x 3 = 1 | ⋅3
x2 = 1 3 = 1

u2: x 3 = -8

x 3 = -8 | ⋅3
x3 = - 8 3 = -2

L={ -2 ; 0; 1 }

0 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

13x + x 2 = -30

Lösung einblenden
x 2 +13x = -30 | +30

x 2 +13x +30 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -13 ± 13 2 -4 · 1 · 30 2⋅1

x1,2 = -13 ± 169 -120 2

x1,2 = -13 ± 49 2

x1 = -13 + 49 2 = -13 +7 2 = -6 2 = -3

x2 = -13 - 49 2 = -13 -7 2 = -20 2 = -10

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 13 2 ) 2 - 30 = 169 4 - 30 = 169 4 - 120 4 = 49 4

x1,2 = - 13 2 ± 49 4

x1 = - 13 2 - 7 2 = - 20 2 = -10

x2 = - 13 2 + 7 2 = - 6 2 = -3

L={ -10 ; -3 }