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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x +1 ) 2 · ( x -3 ) = 0

Lösung einblenden
( x +1 ) 2 ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x +1 ) 2 = 0 | ⋅2
x +1 = 0
x +1 = 0 | -1
x1 = -1

2. Fall:

x -3 = 0 | +3
x2 = 3

L={ -1 ; 3 }

-1 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 5 - x 2 = 0

Lösung einblenden
x 5 - x 2 = 0
x 2 ( x 3 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 3 -1 = 0 | +1
x 3 = 1 | ⋅3
x2 = 1 3 = 1

L={0; 1 }

0 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 - x 2 -12 = 0

Lösung einblenden
x 4 - x 2 -12 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - u -12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -12 ) 2⋅1

u1,2 = +1 ± 1 +48 2

u1,2 = +1 ± 49 2

u1 = 1 + 49 2 = 1 +7 2 = 8 2 = 4

u2 = 1 - 49 2 = 1 -7 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -12 ) = 1 4 + 12 = 1 4 + 48 4 = 49 4

x1,2 = 1 2 ± 49 4

x1 = 1 2 - 7 2 = - 6 2 = -3

x2 = 1 2 + 7 2 = 8 2 = 4

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

u2: x 2 = -3

x 2 = -3 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -2 ; 2 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-9 x 5 +8 x 2 = - x 8

Lösung einblenden
-9 x 5 +8 x 2 = - x 8 | + x 8
x 8 -9 x 5 +8 x 2 = 0
x 2 ( x 6 -9 x 3 +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 6 -9 x 3 +8 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 3

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -9u +8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +9 ± ( -9 ) 2 -4 · 1 · 8 2⋅1

u1,2 = +9 ± 81 -32 2

u1,2 = +9 ± 49 2

u1 = 9 + 49 2 = 9 +7 2 = 16 2 = 8

u2 = 9 - 49 2 = 9 -7 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 9 2 ) 2 - 8 = 81 4 - 8 = 81 4 - 32 4 = 49 4

x1,2 = 9 2 ± 49 4

x1 = 9 2 - 7 2 = 2 2 = 1

x2 = 9 2 + 7 2 = 16 2 = 8

Rücksubstitution:

u1: x 3 = 8

x 3 = 8 | ⋅3
x2 = 8 3 = 2

u2: x 3 = 1

x 3 = 1 | ⋅3
x3 = 1 3 = 1

L={0; 1 ; 2 }

0 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-12x -80 = -2 x 2

Lösung einblenden
-12x -80 = -2 x 2 | +2 x 2
2 x 2 -12x -80 = 0 |:2

x 2 -6x -40 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +6 ± ( -6 ) 2 -4 · 1 · ( -40 ) 2⋅1

x1,2 = +6 ± 36 +160 2

x1,2 = +6 ± 196 2

x1 = 6 + 196 2 = 6 +14 2 = 20 2 = 10

x2 = 6 - 196 2 = 6 -14 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -3 ) 2 - ( -40 ) = 9+ 40 = 49

x1,2 = 3 ± 49

x1 = 3 - 7 = -4

x2 = 3 + 7 = 10

L={ -4 ; 10 }