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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x -1 ) · ( x +1 ) = 0

Lösung einblenden
( x -1 ) · ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -1 = 0 | +1
x1 = 1

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

L={ -1 ; 1 }

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 3 - x = 0

Lösung einblenden
x 3 - x = 0
x · ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

L={ -1 ; 0; 1 }

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 + x 2 -20 = 0

Lösung einblenden
x 4 + x 2 -20 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + u -20 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -20 ) 2⋅1

u1,2 = -1 ± 1 +80 2

u1,2 = -1 ± 81 2

u1 = -1 + 81 2 = -1 +9 2 = 8 2 = 4

u2 = -1 - 81 2 = -1 -9 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -20 ) = 1 4 + 20 = 1 4 + 80 4 = 81 4

x1,2 = - 1 2 ± 81 4

x1 = - 1 2 - 9 2 = - 10 2 = -5

x2 = - 1 2 + 9 2 = 8 2 = 4

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

u2: x 2 = -5

x 2 = -5 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -2 ; 2 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

9 x 3 +8 = - x 6

Lösung einblenden
9 x 3 +8 = - x 6 | + x 6
x 6 +9 x 3 +8 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 3

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +9u +8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -9 ± 9 2 -4 · 1 · 8 2⋅1

u1,2 = -9 ± 81 -32 2

u1,2 = -9 ± 49 2

u1 = -9 + 49 2 = -9 +7 2 = -2 2 = -1

u2 = -9 - 49 2 = -9 -7 2 = -16 2 = -8

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 9 2 ) 2 - 8 = 81 4 - 8 = 81 4 - 32 4 = 49 4

x1,2 = - 9 2 ± 49 4

x1 = - 9 2 - 7 2 = - 16 2 = -8

x2 = - 9 2 + 7 2 = - 2 2 = -1

Rücksubstitution:

u1: x 3 = -1

x 3 = -1 | ⋅3
x1 = - 1 3 = -1

u2: x 3 = -8

x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

L={ -2 ; -1 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-18x -35 +5 x 2 = 0

Lösung einblenden

5 x 2 -18x -35 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +18 ± ( -18 ) 2 -4 · 5 · ( -35 ) 2⋅5

x1,2 = +18 ± 324 +700 10

x1,2 = +18 ± 1024 10

x1 = 18 + 1024 10 = 18 +32 10 = 50 10 = 5

x2 = 18 - 1024 10 = 18 -32 10 = -14 10 = -1,4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "5 " teilen:

5 x 2 -18x -35 = 0 |: 5

x 2 - 18 5 x -7 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 9 5 ) 2 - ( -7 ) = 81 25 + 7 = 81 25 + 175 25 = 256 25

x1,2 = 9 5 ± 256 25

x1 = 9 5 - 16 5 = - 7 5 = -1.4

x2 = 9 5 + 16 5 = 25 5 = 5

L={ -1,4 ; 5 }