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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x -5 ) · ( x +5 ) 2 = 0

Lösung einblenden
( x -5 ) ( x +5 ) 2 = 0
( x +5 ) 2 ( x -5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x +5 ) 2 = 0 | ⋅2
x +5 = 0
x +5 = 0 | -5
x1 = -5

2. Fall:

x -5 = 0 | +5
x2 = 5

L={ -5 ; 5 }

-5 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 + x = 0

Lösung einblenden
x 2 + x = 0
x ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

L={ -1 ; 0}

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 +6 x 2 -7 = 0

Lösung einblenden
x 4 +6 x 2 -7 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +6u -7 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -6 ± 6 2 -4 · 1 · ( -7 ) 2⋅1

u1,2 = -6 ± 36 +28 2

u1,2 = -6 ± 64 2

u1 = -6 + 64 2 = -6 +8 2 = 2 2 = 1

u2 = -6 - 64 2 = -6 -8 2 = -14 2 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 3 2 - ( -7 ) = 9+ 7 = 16

x1,2 = -3 ± 16

x1 = -3 - 4 = -7

x2 = -3 + 4 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = -7

x 2 = -7 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 1 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 +4 x 2 = 5

Lösung einblenden
x 4 +4 x 2 = 5 | -5
x 4 +4 x 2 -5 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +4u -5 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · ( -5 ) 2⋅1

u1,2 = -4 ± 16 +20 2

u1,2 = -4 ± 36 2

u1 = -4 + 36 2 = -4 +6 2 = 2 2 = 1

u2 = -4 - 36 2 = -4 -6 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 2 2 - ( -5 ) = 4+ 5 = 9

x1,2 = -2 ± 9

x1 = -2 - 3 = -5

x2 = -2 + 3 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = -5

x 2 = -5 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 1 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x 2 +45 = 23x

Lösung einblenden
2 x 2 +45 = 23x | -23x

2 x 2 -23x +45 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +23 ± ( -23 ) 2 -4 · 2 · 45 2⋅2

x1,2 = +23 ± 529 -360 4

x1,2 = +23 ± 169 4

x1 = 23 + 169 4 = 23 +13 4 = 36 4 = 9

x2 = 23 - 169 4 = 23 -13 4 = 10 4 = 2,5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 x 2 -23x +45 = 0 |: 2

x 2 - 23 2 x + 45 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 23 4 ) 2 - ( 45 2 ) = 529 16 - 45 2 = 529 16 - 360 16 = 169 16

x1,2 = 23 4 ± 169 16

x1 = 23 4 - 13 4 = 10 4 = 2.5

x2 = 23 4 + 13 4 = 36 4 = 9

L={ 2,5 ; 9 }