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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x +3 ) · ( x -4 ) 2 = 0

Lösung einblenden
( x +3 ) ( x -4 ) 2 = 0
( x -4 ) 2 · ( x +3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x -4 ) 2 = 0 | ⋅2
x -4 = 0
x -4 = 0 | +4
x1 = 4

2. Fall:

x +3 = 0 | -3
x2 = -3

L={ -3 ; 4 }

4 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 5 - x 3 = 0

Lösung einblenden
x 5 - x 3 = 0
x 3 · ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

L={ -1 ; 0; 1 }

0 ist 3-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -13 x 2 +36 = 0

Lösung einblenden
x 4 -13 x 2 +36 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -13u +36 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +13 ± ( -13 ) 2 -4 · 1 · 36 2⋅1

u1,2 = +13 ± 169 -144 2

u1,2 = +13 ± 25 2

u1 = 13 + 25 2 = 13 +5 2 = 18 2 = 9

u2 = 13 - 25 2 = 13 -5 2 = 8 2 = 4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 13 2 ) 2 - 36 = 169 4 - 36 = 169 4 - 144 4 = 25 4

x1,2 = 13 2 ± 25 4

x1 = 13 2 - 5 2 = 8 2 = 4

x2 = 13 2 + 5 2 = 18 2 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x3 = - 4 = -2
x4 = 4 = 2

L={ -3 ; -2 ; 2 ; 3 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 5 + 8 x = -9 x 2

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x weg!

x 5 + 8 x = -9 x 2 |⋅( x )
x 5 · x + 8 x · x = -9 x 2 · x
x 5 · x +8 = -9 x 2 · x
x 6 +8 = -9 x 2 · x
x 6 +8 = -9 x 3
x 6 +8 = -9 x 3 | +9 x 3
x 6 +9 x 3 +8 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 3

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +9u +8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -9 ± 9 2 -4 · 1 · 8 2⋅1

u1,2 = -9 ± 81 -32 2

u1,2 = -9 ± 49 2

u1 = -9 + 49 2 = -9 +7 2 = -2 2 = -1

u2 = -9 - 49 2 = -9 -7 2 = -16 2 = -8

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 9 2 ) 2 - 8 = 81 4 - 8 = 81 4 - 32 4 = 49 4

x1,2 = - 9 2 ± 49 4

x1 = - 9 2 - 7 2 = - 16 2 = -8

x2 = - 9 2 + 7 2 = - 2 2 = -1

Rücksubstitution:

u1: x 3 = -1

x 3 = -1 | ⋅3
x1 = - 1 3 = -1

u2: x 3 = -8

x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2 ; -1 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-36 +11x +5 x 2 = 0

Lösung einblenden

5 x 2 +11x -36 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -11 ± 11 2 -4 · 5 · ( -36 ) 2⋅5

x1,2 = -11 ± 121 +720 10

x1,2 = -11 ± 841 10

x1 = -11 + 841 10 = -11 +29 10 = 18 10 = 1,8

x2 = -11 - 841 10 = -11 -29 10 = -40 10 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "5 " teilen:

5 x 2 +11x -36 = 0 |: 5

x 2 + 11 5 x - 36 5 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 11 10 ) 2 - ( - 36 5 ) = 121 100 + 36 5 = 121 100 + 720 100 = 841 100

x1,2 = - 11 10 ± 841 100

x1 = - 11 10 - 29 10 = - 40 10 = -4

x2 = - 11 10 + 29 10 = 18 10 = 1.8

L={ -4 ; 1,8 }