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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x · ( x -4 ) 2 · ( x +3 ) 2 = 0

Lösung einblenden
x ( x -4 ) 2 ( x +3 ) 2 = 0
x ( ( x -4 ) ( x +3 ) ) 2 = 0
( ( x -4 ) ( x +3 ) ) 2 x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( ( x -4 ) ( x +3 ) ) 2 = 0 | 2
( x -4 ) ( x +3 ) = 0
( x -4 ) ( x +3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -4 = 0 | +4
x1 = 4

2. Fall:

x +3 = 0 | -3
x2 = -3

2. Fall:

x3 = 0

L={ -3 ; 0; 4 }

-3 ist 2-fache Lösung! 4 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 5 + x 2 = 0

Lösung einblenden
x 5 + x 2 = 0
x 2 ( x 3 +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +1 = 0 | -1
x 3 = -1 | 3
x2 = - 1 3 = -1

L={ -1 ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -7 x 2 -18 = 0

Lösung einblenden
x 4 -7 x 2 -18 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -7u -18 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · 1 · ( -18 ) 21

u1,2 = +7 ± 49 +72 2

u1,2 = +7 ± 121 2

u1 = 7 + 121 2 = 7 +11 2 = 18 2 = 9

u2 = 7 - 121 2 = 7 -11 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 7 2 ) 2 - ( -18 ) = 49 4 + 18 = 49 4 + 72 4 = 121 4

x1,2 = 7 2 ± 121 4

x1 = 7 2 - 11 2 = - 4 2 = -2

x2 = 7 2 + 11 2 = 18 2 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | 2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = -2

x 2 = -2 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -3 ; 3 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-3x + x 5 = -2 x 3

Lösung einblenden
-3x + x 5 = -2 x 3
x 5 -3x = -2 x 3 | +2 x 3
x 5 +2 x 3 -3x = 0
x ( x 4 +2 x 2 -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 4 +2 x 2 -3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +2u -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -3 ) 21

u1,2 = -2 ± 4 +12 2

u1,2 = -2 ± 16 2

u1 = -2 + 16 2 = -2 +4 2 = 2 2 = 1

u2 = -2 - 16 2 = -2 -4 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -3 ) = 1+ 3 = 4

x1,2 = -1 ± 4

x1 = -1 - 2 = -3

x2 = -1 + 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | 2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

u2: x 2 = -3

x 2 = -3 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 0; 1 }

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 +2 x 3 = 0

Lösung einblenden
x 4 +2 x 3 = 0
x 3 ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | 3
x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

L={ -2 ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!