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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x +3 ) 2 · ( x -4 ) 2 = 0

Lösung einblenden
( x +3 ) 2 ( x -4 ) 2 = 0
( ( x +3 ) ( x -4 ) ) 2 = 0 | ⋅2
( x +3 ) ( x -4 ) = 0
( x +3 ) ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x +3 = 0 | -3
x1 = -3

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

L={ -3 ; 4 }

-3 ist 2-fache Lösung! 4 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 +8x = 0

Lösung einblenden
x 4 +8x = 0
x ( x 3 +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 3 +8 = 0 | -8
x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

L={ -2 ; 0}

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 + x 2 -20 = 0

Lösung einblenden
x 4 + x 2 -20 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + u -20 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -20 ) 2⋅1

u1,2 = -1 ± 1 +80 2

u1,2 = -1 ± 81 2

u1 = -1 + 81 2 = -1 +9 2 = 8 2 = 4

u2 = -1 - 81 2 = -1 -9 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -20 ) = 1 4 + 20 = 1 4 + 80 4 = 81 4

x1,2 = - 1 2 ± 81 4

x1 = - 1 2 - 9 2 = - 10 2 = -5

x2 = - 1 2 + 9 2 = 8 2 = 4

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

u2: x 2 = -5

x 2 = -5 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -2 ; 2 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 8 x 2 + x 4 = -7x

Lösung einblenden

D=R\{0}

x 4 - 8 x 2 = -7x

Wir multiplizieren den Nenner x 2 weg!

x 4 - 8 x 2 = -7x |⋅( x 2 )
x 4 · x 2 - 8 x 2 · x 2 = -7x · x 2
x 4 · x 2 -8 = -7 x · x 2
x 6 -8 = -7 x · x 2
x 6 -8 = -7 x 3
x 6 -8 = -7 x 3 | +7 x 3
x 6 +7 x 3 -8 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 3

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +7u -8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -7 ± 7 2 -4 · 1 · ( -8 ) 2⋅1

u1,2 = -7 ± 49 +32 2

u1,2 = -7 ± 81 2

u1 = -7 + 81 2 = -7 +9 2 = 2 2 = 1

u2 = -7 - 81 2 = -7 -9 2 = -16 2 = -8

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 7 2 ) 2 - ( -8 ) = 49 4 + 8 = 49 4 + 32 4 = 81 4

x1,2 = - 7 2 ± 81 4

x1 = - 7 2 - 9 2 = - 16 2 = -8

x2 = - 7 2 + 9 2 = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 3 = 1

x 3 = 1 | ⋅3
x1 = 1 3 = 1

u2: x 3 = -8

x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2 ; 1 }

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -8x = 0

Lösung einblenden
x 4 -8x = 0
x ( x 3 -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 3 -8 = 0 | +8
x 3 = 8 | ⋅3
x2 = 8 3 = 2

L={0; 2 }