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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x · ( x -4 ) 2 · ( x -2 ) = 0

Lösung einblenden
x ( x -4 ) 2 ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x -4 ) 2 ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x -4 ) 2 = 0 | 2
x -4 = 0
x -4 = 0 | +4
x2 = 4

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x3 = 2

L={0; 2 ; 4 }

4 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 + x = 0

Lösung einblenden
x 2 + x = 0
x ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

L={ -1 ; 0}

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 + x 2 -20 = 0

Lösung einblenden
x 4 + x 2 -20 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + u -20 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -20 ) 21

u1,2 = -1 ± 1 +80 2

u1,2 = -1 ± 81 2

u1 = -1 + 81 2 = -1 +9 2 = 8 2 = 4

u2 = -1 - 81 2 = -1 -9 2 = -10 2 = -5

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | 2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

u2: x 2 = -5

x 2 = -5 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -2 ; 2 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3 x 4 -28 x 2 = - x 6

Lösung einblenden
3 x 4 -28 x 2 = - x 6 | + x 6
x 6 +3 x 4 -28 x 2 = 0
x 2 ( x 4 +3 x 2 -28 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x 4 +3 x 2 -28 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +3u -28 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · ( -28 ) 21

u1,2 = -3 ± 9 +112 2

u1,2 = -3 ± 121 2

u1 = -3 + 121 2 = -3 +11 2 = 8 2 = 4

u2 = -3 - 121 2 = -3 -11 2 = -14 2 = -7

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | 2
x2 = - 4 = -2
x3 = 4 = 2

u2: x 2 = -7

x 2 = -7 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -2 ; 0; 2 }

0 ist 2-fache Lösung!