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37 Wurzelterme vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[3]{x} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{5} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{5}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

$\sqrt[3]{x} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{5} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{5}$

Wir schreiben zuerst die Wurzelterme in Potenzterme mit rationalen Hochzahlen um:

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{5}{6}} \cdot x^{\frac{5}{6}}$

= $x^{\frac{1}{3} + \frac{5}{6}} \cdot x^{\frac{5}{6}}$

= $x^{\frac{7}{6}} \cdot x^{\frac{5}{6}}$

= $x^{\frac{7}{6} + \frac{5}{6}}$

= $x^{2}$

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 6} + \frac{11}{x - 6}$ = $\frac{102}{x^{2} - 36}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 6$ ; $6$ }

\frac{x}{x + 6} + \frac{11}{x - 6}

=

\frac{102}{(x + 6) \cdot (x - 6)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 6) \cdot (x - 6)$ weg!

$\frac{x}{x + 6} + \frac{11}{x - 6}$	=	$\frac{102}{(x + 6) \cdot (x - 6)}$	\|⋅( $(x + 6) \cdot (x - 6)$ )
$\frac{x}{x + 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6) + \frac{11}{x - 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$	=	$\frac{102}{(x + 6) \cdot (x - 6)} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$
$x \cdot (x - 6) + 11 x + 66$	=	$102 \frac{x + 6}{x + 6}$
$x \cdot (x - 6) + 11 x + 66$	=	$102$
$x^{2} - 6 x + 11 x + 66$	=	$102$
$x^{2} + 5 x + 66$	=	$102$

x^{2} + 5 x + 66

=

102

|

- 102

$x^{2} + 5 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5+13}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5-13}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $36$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $4$ }

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

Beispiel:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 1 Einheiten unterhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(2| $7$ ).

Bestimme den Term der Funktion f.

Lösung einblenden

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also $f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$ für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 1 Einheiten unterhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = -1 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(2| $7$ ) auf dem Graph von f liegt, muss f(2) = $7$ gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(2| $7$ ) ein Hochpunkt ist, also muss f'(2)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

f(0) = -1 (y-Achsenabschnitt)
f(2)= $7$ (H(2| $7$ ) liegt auf dem Graph)
f'(2)=0 (Hochpunkt bei x=2)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
$f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$
$f '(x) =$ $4 a x^{3} + 2 b x + 0$

Daraus ergibt sich:

f(0) = -1: $a \cdot 0^{4} + b \cdot 0^{2} + c$ = -1, also c = -1
f(2)= $7$ : $a \cdot 2^{4} + b \cdot 2^{2} + c$ = $7$ , also 16⋅a + 4⋅b + c = $7$
f'(2)=0: $4 a \cdot 2^{3} + 2 b \cdot 2 + 0$ = 0, also 32a + 4b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = -1 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(2)= $7$ 16⋅a + 4⋅b + (-1) = $7$ oder umgeformt:
16⋅a + 4⋅b = $8$

Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 16 a & + 4 b & = & 8 & (I) \\ 32 a & + 4 b & = & 0 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $2$ ·(I) $- 1$ ·(II)

\begin{matrix} 16 a & 4 b & = & 8 & (I) \\ (32 - 32) a & + (8 - 4) b & = & (16 + 0) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 16 a & + 4 b & = & 8 & (I) \\ + 4 b & = & 16 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 4 b & = & 16 \end{matrix}

b = $4$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 16 a & + 4 \cdot (4) & = & 8 \end{matrix}

| -

16

16

a =

- 8

| : 16

a = $- \frac{1}{2}$

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = $- \frac{1}{2} x^{4} + 4 x^{2} - 1$

65 Graph-Term-Zuordnung

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\sin (x)$

g(x)=tan(x)

h(x)= $\cos (x)$

i(x)= $\frac{1}{x}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

\sin (x)

zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion f(x) = $\sin (x)$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion h(x) = $\cos (x)$ .

Zu Graph Nr. 3:

Beim Graph von tan(x) =

\frac{\sin (x)}{\cos (x)}

sieht man viele Asymptoten. Für x=0 ist tan(0)=

\frac{sin(0)}{cos(0)}

= 0, da sin(0)=0. Für größer werdende x wird der Bruch

\frac{sin(x)}{cos(x)}

, also der Tangens sehr schnell größer, da sin(x) immer größer und cos(x) immer kleiner wird. Geht x gegen

\frac{π}{2}

, so geht der cos(x) gegen 0 und tan(x) =

\frac{sin(x)}{cos(x)}

strebt somit gegen ∞. Daher kommen die Asymptoten. Für x>

\frac{π}{2}

wird der Kosinus und damit der Funktionswert negativ, bleibt aber vom Betrag her sehr groß und wird bei x = π wieder 0, da sin(0) = 0. Da sowohl sin(x) als auch cos(x) 2π-periodisch sind, ist auch der tan(x) 2π-periodisch. (aufgrund der Punkt- bzw. Achsen-Symmetrie von sin(x) und cos(x) bezüglich der Mitte einer Periode ist tan(x) sogar π-periodisch).

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion g(x) = tan(x).

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von

\frac{1}{x}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) =

\frac{1}{1}

= 1 und f(-1) =

\frac{1}{-1}

= -1. Im Gegensatz zu

\frac{1}{x^{2}}

hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion i(x) = $\frac{1}{x}$ .

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)=tan(x)

g(x)= $\frac{1}{x}$

h(x)= $x^{3}$

i(x)= $e^{x}$

j(x)= $\cos (x)$

k(x)= $\ln (x)$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von

\frac{1}{x}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) =

\frac{1}{1}

= 1 und f(-1) =

\frac{1}{-1}

= -1. Im Gegensatz zu

\frac{1}{x^{2}}

hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion g(x) = $\frac{1}{x}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion i(x) = $e^{x}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

\ln (x)

besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da

e^{0}

= 1 und somit

\ln (1)

= 0 ist.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion k(x) = $\ln (x)$ .

Zu Graph Nr. 4:

Beim Graph von tan(x) =

\frac{\sin (x)}{\cos (x)}

sieht man viele Asymptoten. Für x=0 ist tan(0)=

\frac{sin(0)}{cos(0)}

= 0, da sin(0)=0. Für größer werdende x wird der Bruch

\frac{sin(x)}{cos(x)}

, also der Tangens sehr schnell größer, da sin(x) immer größer und cos(x) immer kleiner wird. Geht x gegen

\frac{π}{2}

, so geht der cos(x) gegen 0 und tan(x) =

\frac{sin(x)}{cos(x)}

strebt somit gegen ∞. Daher kommen die Asymptoten. Für x>

\frac{π}{2}

wird der Kosinus und damit der Funktionswert negativ, bleibt aber vom Betrag her sehr groß und wird bei x = π wieder 0, da sin(0) = 0. Da sowohl sin(x) als auch cos(x) 2π-periodisch sind, ist auch der tan(x) 2π-periodisch. (aufgrund der Punkt- bzw. Achsen-Symmetrie von sin(x) und cos(x) bezüglich der Mitte einer Periode ist tan(x) sogar π-periodisch).

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion f(x) = tan(x).

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\cos (x)$

g(x)= $\sin (x)$

h(x)= $- \sin (x)$

i(x)= $- \cos (x)$

j(x)= $x^{3}$

k(x)= $- x^{3}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Am Graph Nr. 1 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) = $- \cos (x)$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

\sin (x)

zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Am Graph Nr. 2 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion h(x) = $- \sin (x)$ .

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von

x^{3}

erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion j(x) = $x^{3}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von

x^{3}

erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Am Graph Nr. 4 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion k(x) = $- x^{3}$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

37 Wurzelterme vereinfachen

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

65 Graph-Term-Zuordnung

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Zu Graph Nr. 1:

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Zu Graph Nr. 3:

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65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Zu Graph Nr. 1:

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