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Kursstufe
cosh
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37 Wurzelterme vereinfachen
Beispiel:
Vereinfache den folgenden Term: (3√x)4·(6√x)5·(6√x)5
Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!
(3√x)4·(6√x)5·(6√x)5
Wir schreiben zuerst die Wurzelterme in Potenzterme mit rationalen Hochzahlen um:
= x43·x56·x56
= x43+56·x56
= x136·x56
= x136+56
= x3
42 Bruchgleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
xx-2+4x+2 = 19x2-4
D=R\{ -2; 2}
xx-2+4x+2 | = | 19(x+2)·(x-2) | |(Nenner faktorisiert) |
Wir multiplizieren den Nenner (x+2)·(x-2) weg!
xx-2+4x+2 | = | 19(x+2)·(x-2) | |⋅( (x+2)·(x-2)) |
xx-2·(x+2)·(x-2)+4x+2·(x+2)·(x-2) | = | 19(x+2)·(x-2)·(x+2)·(x-2) | |
x(x+2)+4x-8 | = | 19x+2x+2 | |
x(x+2)+4x-8 | = | 19 | |
x2+2x+4x-8 | = | 19 | |
x2+6x-8 | = | 19 |
x2+6x-8 | = | 19 | | -19 |
x2+6x-27 = 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = -b±√b2-4a·c2a ergibt:
x1,2 = -6±√62-4·1·(-27)2⋅1
x1,2 = -6±√36+1082
x1,2 = -6±√1442
x1 = -6+√1442 = -6+122 = 62 = 3
x2 = -6-√1442 = -6-122 = -182 = -9
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
-p2
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
(p2)2-q:
D = 32-(-27) = 9+ 27 = 36
x1,2 = -3 ± √36
x1 = -3 - 6 = -9
x2 = -3 + 6 = 3
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={ -9; 3}
Funktionstermbestimmung (Grad 4)
Beispiel:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 4 Einheiten oberhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(1|6).
Bestimme den Term der Funktion f.
Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.
f(-x) = f(x)
Der gesuchte Funktionsterm muss also f(x)= ax4+bx2+c für bestimmte Werte für a, b und c sein.
Da ihr Graph die y-Achse 4 Einheiten oberhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = 4 gelten.
Und weil der (Hoch-)Punkt H(1|6) auf dem Graph von f liegt, muss f(1) = 6 gelten.
Außerdem wissen wir ja, dass H(1|6) ein Hochpunkt ist, also muss f'(1)=0 sein.
Somit haben wir drei Informationen:
- f(0) = 4 (y-Achsenabschnitt)
- f(1)=6 (H(1|6) liegt auf dem Graph)
- f'(1)=0 (Hochpunkt bei x=1)
Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
f(x)=
ax4+bx2+c
f(x)=
4ax3+2bx+0
Daraus ergibt sich:
- f(0) = 4: a⋅04+b⋅02+c = 4, also c = 4
- f(1)=6: a⋅14+b⋅12+c = 6, also 1⋅a + 1⋅b + c = 6
- f'(1)=0: 4a⋅13+2b⋅1+0 = 0, also 4a + 2b = 0
Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = 4 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:
2. f(1)=6 1⋅a + 1⋅b +
4 = 6 oder umgeformt:
1⋅a + 1⋅b = 2
Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:
langsame Rechnung einblenden·(I) ·(II)
b =
eingesetzt in Zeile (I):
| -
a =
Die gesuchte Funktion ist also:
f(x) =
65 Graph-Term-Zuordnung
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=
g(x)=
h(x)=
i(x)=
Zu Graph Nr. 1:
Der Graph vonDer Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) =
Zu Graph Nr. 2:
Den Graph vonDer Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion f(x) =
Zu Graph Nr. 3:
Der Graph vonDer Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion g(x) =
Zu Graph Nr. 4:
Den Graph vonDer Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion h(x) =
65 Graph-Term-Zuordnung 2
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=
g(x)=
h(x)=
i(x)=
j(x)=
k(x)=
Zu Graph Nr. 1:
Der Graph vonDer Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion j(x) =
Zu Graph Nr. 2:
Der Graph vonDer Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion k(x) =
Zu Graph Nr. 3:
Der Graph vonDer Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion h(x) =
Zu Graph Nr. 4:
Den Graph vonDer Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion g(x) =
65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=
g(x)=
h(x)=
i(x)=
j(x)=
k(x)=
Zu Graph Nr. 1:
Den Graph vonAm Graph Nr. 1 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.
Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion k(x) =
Zu Graph Nr. 2:
Den Graph vonAm Graph Nr. 2 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.
Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion f(x) =
Zu Graph Nr. 3:
Der Graph vonDer Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion g(x) =
Zu Graph Nr. 4:
Den Graph vonDer Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion j(x) =