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37 Wurzelterme vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[3]{x} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{5}}{{(\sqrt[6]{x})}^{19}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

$\frac{\sqrt[3]{x} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{5}}{{(\sqrt[6]{x})}^{19}}$

Wir schreiben zuerst die Wurzelterme in Potenzterme mit rationalen Hochzahlen um:

= $\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{5}{6}}}{x^{\frac{19}{6}}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3} + \frac{5}{6}}}{x^{\frac{19}{6}}}$

= $\frac{x^{\frac{7}{6}}}{x^{\frac{19}{6}}}$

= $x^{\frac{7}{6} - \frac{19}{6}}$

= $x^{- 2}$

= $\frac{1}{x^{2}}$

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 6} - \frac{4}{x - 6}$ = $\frac{95}{x^{2} - 36}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 6$ ; $6$ }

\frac{x}{x + 6} - \frac{4}{x - 6}

=

\frac{95}{(x + 6) \cdot (x - 6)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 6) \cdot (x - 6)$ weg!

$\frac{x}{x + 6} - \frac{4}{x - 6}$	=	$\frac{95}{(x + 6) \cdot (x - 6)}$	\|⋅( $(x + 6) \cdot (x - 6)$ )
$\frac{x}{x + 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6) - \frac{4}{x - 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$	=	$\frac{95}{(x + 6) \cdot (x - 6)} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$
$x \cdot (x - 6) - 4 x - 24$	=	$95 \frac{x + 6}{x + 6}$
$x \cdot (x - 6) - 4 x - 24$	=	$95$
$x^{2} - 6 x - 4 x - 24$	=	$95$
$x^{2} - 10 x - 24$	=	$95$

x^{2} - 10 x - 24

=

95

|

- 95

$x^{2} - 10 x - 119$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 119)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 + 476}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{576}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{576}}{2}$ = $\frac{10+24}{2}$ = $\frac{34}{2}$ = $17$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{576}}{2}$ = $\frac{10-24}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - (- 119)$ = $25$ $+$ $119$ = $144$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{144}$

x₁ = $5$ - $12$ = -7

x₂ = $5$ + $12$ = 17

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $17$ }

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

Beispiel:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 7 Einheiten oberhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(3| $34$ ).

Bestimme den Term der Funktion f.

Lösung einblenden

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also $f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$ für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 7 Einheiten oberhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = 7 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(3| $34$ ) auf dem Graph von f liegt, muss f(3) = $34$ gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(3| $34$ ) ein Hochpunkt ist, also muss f'(3)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

f(0) = 7 (y-Achsenabschnitt)
f(3)= $34$ (H(3| $34$ ) liegt auf dem Graph)
f'(3)=0 (Hochpunkt bei x=3)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
$f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$
$f '(x) =$ $4 a x^{3} + 2 b x + 0$

Daraus ergibt sich:

f(0) = 7: $a \cdot 0^{4} + b \cdot 0^{2} + c$ = 7, also c = 7
f(3)= $34$ : $a \cdot 3^{4} + b \cdot 3^{2} + c$ = $34$ , also 81⋅a + 9⋅b + c = $34$
f'(3)=0: $4 a \cdot 3^{3} + 2 b \cdot 3 + 0$ = 0, also 108a + 6b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = 7 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(3)= $34$ 81⋅a + 9⋅b + 7 = $34$ oder umgeformt:
81⋅a + 9⋅b = $27$

Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 81 a & + 9 b & = & 27 & (I) \\ 108 a & + 6 b & = & 0 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $4$ ·(I) $- 3$ ·(II)

\begin{matrix} 81 a & 9 b & = & 27 & (I) \\ (324 - 324) a & + (36 - 18) b & = & (108 + 0) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 81 a & + 9 b & = & 27 & (I) \\ + 18 b & = & 108 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 18 b & = & 108 \end{matrix}

b = $6$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 81 a & + 9 \cdot (6) & = & 27 \end{matrix}

| -

54

81

a =

- 27

| : 81

a = $- \frac{1}{3}$

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = $- \frac{1}{3} x^{4} + 6 x^{2} + 7$

65 Graph-Term-Zuordnung

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\ln (x)$

g(x)= $\cos (x)$

h(x)= $\sin (x)$

i(x)= $x^{3}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von

x^{3}

erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) = $x^{3}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion g(x) = $\cos (x)$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

\ln (x)

besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da

e^{0}

= 1 und somit

\ln (1)

= 0 ist.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion f(x) = $\ln (x)$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

\sin (x)

zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion h(x) = $\sin (x)$ .

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\frac{1}{x^{2}}$

g(x)= $\frac{1}{x}$

h(x)= $x^{2}$

i(x)= $\sqrt{x}$

j(x)= $\ln (x)$

k(x)= $\cos (x)$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

\ln (x)

besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da

e^{0}

= 1 und somit

\ln (1)

= 0 ist.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion j(x) = $\ln (x)$ .

Zu Graph Nr. 2:

Den Graph von

\frac{1}{x^{2}}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu

\frac{1}{x}

hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion f(x) = $\frac{1}{x^{2}}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion k(x) = $\cos (x)$ .

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von

\frac{1}{x}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) =

\frac{1}{1}

= 1 und f(-1) =

\frac{1}{-1}

= -1. Im Gegensatz zu

\frac{1}{x^{2}}

hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion g(x) = $\frac{1}{x}$ .

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $- \sin (x)$

g(x)= $- \ln (x)$

h(x)= $\ln (x)$

i(x)= $- e^{x}$

j(x)= $e^{x}$

k(x)= $\sin (x)$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

\sin (x)

zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion k(x) = $\sin (x)$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

\ln (x)

besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da

e^{0}

= 1 und somit

\ln (1)

= 0 ist.

Am Graph Nr. 2 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion g(x) = $- \ln (x)$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Am Graph Nr. 3 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion i(x) = $- e^{x}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

\sin (x)

zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Am Graph Nr. 4 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion f(x) = $- \sin (x)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

37 Wurzelterme vereinfachen

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

65 Graph-Term-Zuordnung

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Zu Graph Nr. 1:

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Zu Graph Nr. 4: