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37 Wurzelterme vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt{x} \cdot x^{2}}{{(\sqrt{x})}^{7}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

$\frac{\sqrt{x} \cdot x^{2}}{{(\sqrt{x})}^{7}}$

Wir schreiben zuerst die Wurzelterme in Potenzterme mit rationalen Hochzahlen um:

= $\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{2}}{x^{\frac{7}{2}}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{2} + 2}}{x^{\frac{7}{2}}}$

= $\frac{x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{7}{2}}}$

= $x^{\frac{5}{2} - \frac{7}{2}}$

= $x^{- 1}$

= $\frac{1}{x}$

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 9} - \frac{10}{x - 9}$ = $\frac{126}{x^{2} - 81}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 9$ ; $9$ }

\frac{x}{x + 9} - \frac{10}{x - 9}

=

\frac{126}{(x + 9) (x - 9)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 9) (x - 9)$ weg!

$\frac{x}{x + 9} - \frac{10}{x - 9}$	=	$\frac{126}{(x + 9) (x - 9)}$	\|⋅( $(x + 9) (x - 9)$ )
$\frac{x}{x + 9} \cdot (x + 9) (x - 9) - \frac{10}{x - 9} \cdot (x + 9) (x - 9)$	=	$\frac{126}{(x + 9) (x - 9)} \cdot (x + 9) (x - 9)$
$x (x - 9) - 10 x - 90$	=	$126 \frac{x + 9}{x + 9}$
$x (x - 9) - 10 x - 90$	=	$126$
$x^{2} - 9 x - 10 x - 90$	=	$126$
$x^{2} - 19 x - 90$	=	$126$

x^{2} - 19 x - 90

=

126

|

- 126

$x^{2} - 19 x - 216$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 216)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 864}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{1 225}}{2}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{1 225}}{2}$ = $\frac{19+35}{2}$ = $\frac{54}{2}$ = $27$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{1 225}}{2}$ = $\frac{19-35}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{2})}^{2} - (- 216)$ = $\frac{361}{4}$ $+$ $216$ = $\frac{361}{4}$ $+$ $\frac{864}{4}$ = $\frac{1225}{4}$

x_1,2 = $\frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{4}}$

x₁ = $\frac{19}{2}$ - $\frac{35}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $\frac{19}{2}$ + $\frac{35}{2}$ = $\frac{54}{2}$ = 27

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $27$ }

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

Beispiel:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 5 Einheiten oberhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(2| $13$ ).

Bestimme den Term der Funktion f.

Lösung einblenden

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also $f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$ für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 5 Einheiten oberhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = 5 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(2| $13$ ) auf dem Graph von f liegt, muss f(2) = $13$ gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(2| $13$ ) ein Hochpunkt ist, also muss f'(2)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

f(0) = 5 (y-Achsenabschnitt)
f(2)= $13$ (H(2| $13$ ) liegt auf dem Graph)
f'(2)=0 (Hochpunkt bei x=2)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
$f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$
$f(x) =$ $4 a x^{3} + 2 b x + 0$

Daraus ergibt sich:

f(0) = 5: $a \cdot 0^{4} + b \cdot 0^{2} + c$ = 5, also c = 5
f(2)= $13$ : $a \cdot 2^{4} + b \cdot 2^{2} + c$ = $13$ , also 16⋅a + 4⋅b + c = $13$
f'(2)=0: $4 a \cdot 2^{3} + 2 b \cdot 2 + 0$ = 0, also 32a + 4b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = 5 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(2)= $13$ 16⋅a + 4⋅b + 5 = $13$ oder umgeformt:
16⋅a + 4⋅b = $8$

Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 16 a & + 4 b & = & 8 & (I) \\ 32 a & + 4 b & = & 0 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $2$ ·(I) $- 1$ ·(II)

\begin{matrix} 16 a & 4 b & = & 8 & (I) \\ (32 - 32) a & + (8 - 4) b & = & (16 + 0) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 16 a & + 4 b & = & 8 & (I) \\ + 4 b & = & 16 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 4 b & = & 16 \end{matrix}

b = $4$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 16 a & + 4 \cdot (4) & = & 8 \end{matrix}

| -

16

16

a =

- 8

| : 16

a = $- \frac{1}{2}$

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = $- \frac{1}{2} x^{4} + 4 x^{2} + 5$

65 Graph-Term-Zuordnung

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $e^{x}$

g(x)= $\frac{1}{x}$

h(x)= $\sin (x)$

i(x)=tan(x)

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion f(x) = $e^{x}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

\sin (x)

zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion h(x) = $\sin (x)$ .

Zu Graph Nr. 3:

Beim Graph von tan(x) =

\frac{\sin (x)}{\cos (x)}

sieht man viele Asymptoten. Für x=0 ist tan(0)=

\frac{sin(0)}{cos(0)}

= 0, da sin(0)=0. Für größer werdende x wird der Bruch

\frac{sin(x)}{cos(x)}

, also der Tangens sehr schnell größer, da sin(x) immer größer und cos(x) immer kleiner wird. Geht x gegen

\frac{π}{2}

, so geht der cos(x) gegen 0 und tan(x) =

\frac{sin(x)}{cos(x)}

strebt somit gegen ∞. Daher kommen die Asymptoten. Für x>

\frac{π}{2}

wird der Kosinus und damit der Funktionswert negativ, bleibt aber vom Betrag her sehr groß und wird bei x = π wieder 0, da sin(0) = 0. Da sowohl sin(x) als auch cos(x) 2π-periodisch sind, ist auch der tan(x) 2π-periodisch. (aufgrund der Punkt- bzw. Achsen-Symmetrie von sin(x) und cos(x) bezüglich der Mitte einer Periode ist tan(x) sogar π-periodisch).

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion i(x) = tan(x).

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von

\frac{1}{x}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) =

\frac{1}{1}

= 1 und f(-1) =

\frac{1}{-1}

= -1. Im Gegensatz zu

\frac{1}{x^{2}}

hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion g(x) = $\frac{1}{x}$ .

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $e^{x}$

g(x)= $\frac{1}{x}$

h(x)= $\cos (x)$

i(x)= $\sqrt{x}$

j(x)= $x^{3}$

k(x)= $\frac{1}{x^{2}}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von

x^{3}

erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion j(x) = $x^{3}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Den Graph von

\frac{1}{x^{2}}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu

\frac{1}{x}

hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion k(x) = $\frac{1}{x^{2}}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

\sqrt{x}

hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion i(x) = $\sqrt{x}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion h(x) = $\cos (x)$ .

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\frac{1}{x}$

g(x)= $- \frac{1}{x}$

h(x)= $\sqrt{x}$

i(x)= $\ln (x)$

j(x)= $- \ln (x)$

k(x)= $- \sqrt{x}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

\ln (x)

besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da

e^{0}

= 1 und somit

\ln (1)

= 0 ist.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) = $\ln (x)$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

\sqrt{x}

hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Am Graph Nr. 2 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion k(x) = $- \sqrt{x}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

\sqrt{x}

hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion h(x) = $\sqrt{x}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

\ln (x)

besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da

e^{0}

= 1 und somit

\ln (1)

= 0 ist.

Am Graph Nr. 4 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion j(x) = $- \ln (x)$ .

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37 Wurzelterme vereinfachen

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

65 Graph-Term-Zuordnung

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

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65 Graph-Term-Zuordnung 2

Zu Graph Nr. 1:

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65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

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