Mathebattle EduRandomtasks

37 Wurzelterme vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(\sqrt{x})}^{3}}{{(\sqrt[4]{x})}^{25}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{3}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

$\frac{{(\sqrt{x})}^{3}}{{(\sqrt[4]{x})}^{25}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{3}$

Wir schreiben zuerst die Wurzelterme in Potenzterme mit rationalen Hochzahlen um:

= $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{25}{4}}} \cdot x^{\frac{3}{4}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{25}{4}}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{2} + \frac{3}{4}}}{x^{\frac{25}{4}}}$

= $\frac{x^{\frac{9}{4}}}{x^{\frac{25}{4}}}$

= $x^{\frac{9}{4} - \frac{25}{4}}$

= $x^{- 4}$

= $\frac{1}{x^{4}}$

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 2} + \frac{5}{x - 2}$ = $\frac{10}{x^{2} - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $2$ }

\frac{x}{x + 2} + \frac{5}{x - 2}

=

\frac{10}{(x + 2) \cdot (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 2) \cdot (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{x + 2} + \frac{5}{x - 2}$	=	$\frac{10}{(x + 2) \cdot (x - 2)}$	\|⋅( $(x + 2) \cdot (x - 2)$ )
$\frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) + \frac{5}{x - 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$	=	$\frac{10}{(x + 2) \cdot (x - 2)} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$
$x \cdot (x - 2) + 5 x + 10$	=	$10 \frac{x + 2}{x + 2}$
$x \cdot (x - 2) + 5 x + 10$	=	$10$
$x^{2} - 2 x + 5 x + 10$	=	$10$
$x^{2} + 3 x + 10$	=	$10$

$x^{2} + 3 x + 10$	=	$10$	\| $- 10$
$x^{2} + 3 x + 10 - 10$	=	0
$x^{2} + 3 x$	=	0
$x \cdot (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

Beispiel:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 2 Einheiten unterhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(3| $\frac{23}{2}$ ).

Bestimme den Term der Funktion f.

Lösung einblenden

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also $f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$ für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 2 Einheiten unterhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = -2 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(3| $\frac{23}{2}$ ) auf dem Graph von f liegt, muss f(3) = $\frac{23}{2}$ gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(3| $\frac{23}{2}$ ) ein Hochpunkt ist, also muss f'(3)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

f(0) = -2 (y-Achsenabschnitt)
f(3)= $\frac{23}{2}$ (H(3| $\frac{23}{2}$ ) liegt auf dem Graph)
f'(3)=0 (Hochpunkt bei x=3)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
$f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$
$f '(x) =$ $4 a x^{3} + 2 b x + 0$

Daraus ergibt sich:

f(0) = -2: $a \cdot 0^{4} + b \cdot 0^{2} + c$ = -2, also c = -2
f(3)= $\frac{23}{2}$ : $a \cdot 3^{4} + b \cdot 3^{2} + c$ = $\frac{23}{2}$ , also 81⋅a + 9⋅b + c = $\frac{23}{2}$
f'(3)=0: $4 a \cdot 3^{3} + 2 b \cdot 3 + 0$ = 0, also 108a + 6b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = -2 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(3)= $\frac{23}{2}$ 81⋅a + 9⋅b + (-2) = $\frac{23}{2}$ oder umgeformt:
81⋅a + 9⋅b = $13,5$

Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 81 a & + 9 b & = & 13,5 & (I) \\ 108 a & + 6 b & = & 0 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $4$ ·(I) $- 3$ ·(II)

\begin{matrix} 81 a & 9 b & = & 13,5 & (I) \\ (324 - 324) a & + (36 - 18) b & = & (54 + 0) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 81 a & + 9 b & = & 13,5 & (I) \\ + 18 b & = & 54 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 18 b & = & 54 \end{matrix}

b = $3$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 81 a & + 9 \cdot (3) & = & 13,5 \end{matrix}

| -

27

81

a =

- 13,5

| : 81

a = $- \frac{13,5}{81}$

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = $- \frac{13,5}{81} x^{4} + 3 x^{2} - 2$

65 Graph-Term-Zuordnung

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)=tan(x)

g(x)= $\sin (x)$

h(x)= $\cos (x)$

i(x)= $\sqrt{x}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion h(x) = $\cos (x)$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

\sin (x)

zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion g(x) = $\sin (x)$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

\sqrt{x}

hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion i(x) = $\sqrt{x}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Beim Graph von tan(x) =

\frac{\sin (x)}{\cos (x)}

sieht man viele Asymptoten. Für x=0 ist tan(0)=

\frac{sin(0)}{cos(0)}

= 0, da sin(0)=0. Für größer werdende x wird der Bruch

\frac{sin(x)}{cos(x)}

, also der Tangens sehr schnell größer, da sin(x) immer größer und cos(x) immer kleiner wird. Geht x gegen

\frac{π}{2}

, so geht der cos(x) gegen 0 und tan(x) =

\frac{sin(x)}{cos(x)}

strebt somit gegen ∞. Daher kommen die Asymptoten. Für x>

\frac{π}{2}

wird der Kosinus und damit der Funktionswert negativ, bleibt aber vom Betrag her sehr groß und wird bei x = π wieder 0, da sin(0) = 0. Da sowohl sin(x) als auch cos(x) 2π-periodisch sind, ist auch der tan(x) 2π-periodisch. (aufgrund der Punkt- bzw. Achsen-Symmetrie von sin(x) und cos(x) bezüglich der Mitte einer Periode ist tan(x) sogar π-periodisch).

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion f(x) = tan(x).

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $e^{x}$

g(x)=tan(x)

h(x)= $\sin (x)$

i(x)= $\cos (x)$

j(x)= $\sqrt{x}$

k(x)= $x^{3}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

\sin (x)

zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion h(x) = $\sin (x)$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion i(x) = $\cos (x)$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion f(x) = $e^{x}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Beim Graph von tan(x) =

\frac{\sin (x)}{\cos (x)}

sieht man viele Asymptoten. Für x=0 ist tan(0)=

\frac{sin(0)}{cos(0)}

= 0, da sin(0)=0. Für größer werdende x wird der Bruch

\frac{sin(x)}{cos(x)}

, also der Tangens sehr schnell größer, da sin(x) immer größer und cos(x) immer kleiner wird. Geht x gegen

\frac{π}{2}

, so geht der cos(x) gegen 0 und tan(x) =

\frac{sin(x)}{cos(x)}

strebt somit gegen ∞. Daher kommen die Asymptoten. Für x>

\frac{π}{2}

wird der Kosinus und damit der Funktionswert negativ, bleibt aber vom Betrag her sehr groß und wird bei x = π wieder 0, da sin(0) = 0. Da sowohl sin(x) als auch cos(x) 2π-periodisch sind, ist auch der tan(x) 2π-periodisch. (aufgrund der Punkt- bzw. Achsen-Symmetrie von sin(x) und cos(x) bezüglich der Mitte einer Periode ist tan(x) sogar π-periodisch).

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion g(x) = tan(x).

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $e^{x}$

g(x)= $x^{3}$

h(x)= $- e^{x}$

i(x)= $- \sin (x)$

j(x)= $\sin (x)$

k(x)= $- x^{3}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von

x^{3}

erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Am Graph Nr. 1 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion k(x) = $- x^{3}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion f(x) = $e^{x}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von

x^{3}

erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion g(x) = $x^{3}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Am Graph Nr. 4 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion h(x) = $- e^{x}$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

37 Wurzelterme vereinfachen

42 Bruchgleichungen

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

65 Graph-Term-Zuordnung

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4: