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37 Wurzelterme vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt{x} \cdot x^{2} \cdot \sqrt{x}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

$\sqrt{x} \cdot x^{2} \cdot \sqrt{x}$

Wir schreiben zuerst die Wurzelterme in Potenzterme mit rationalen Hochzahlen um:

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}$

= $x^{\frac{1}{2} + 2} \cdot x^{\frac{1}{2}}$

= $x^{\frac{5}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}$

= $x^{\frac{5}{2} + \frac{1}{2}}$

= $x^{3}$

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 2} - \frac{8}{x + 2}$ = $\frac{7}{x^{2} - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $2$ }

\frac{x}{x - 2} - \frac{8}{x + 2}

=

\frac{7}{(x + 2) (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 2) (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{x - 2} - \frac{8}{x + 2}$	=	$\frac{7}{(x + 2) (x - 2)}$	\|⋅( $(x + 2) (x - 2)$ )
$\frac{x}{x - 2} \cdot (x + 2) (x - 2) - \frac{8}{x + 2} \cdot (x + 2) (x - 2)$	=	$\frac{7}{(x + 2) (x - 2)} \cdot (x + 2) (x - 2)$
$x (x + 2) - 8 x + 16$	=	$7 \frac{x + 2}{x + 2}$
$x (x + 2) - 8 x + 16$	=	$7$
$x^{2} + 2 x - 8 x + 16$	=	$7$
$x^{2} - 6 x + 16$	=	$7$

x^{2} - 6 x + 16

=

7

|

- 7

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

Beispiel:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 1 Einheiten oberhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(3| $\frac{11}{2}$ ).

Bestimme den Term der Funktion f.

Lösung einblenden

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also $f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$ für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 1 Einheiten oberhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = 1 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(3| $\frac{11}{2}$ ) auf dem Graph von f liegt, muss f(3) = $\frac{11}{2}$ gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(3| $\frac{11}{2}$ ) ein Hochpunkt ist, also muss f'(3)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

f(0) = 1 (y-Achsenabschnitt)
f(3)= $\frac{11}{2}$ (H(3| $\frac{11}{2}$ ) liegt auf dem Graph)
f'(3)=0 (Hochpunkt bei x=3)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
$f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$
$f(x) =$ $4 a x^{3} + 2 b x + 0$

Daraus ergibt sich:

f(0) = 1: $a \cdot 0^{4} + b \cdot 0^{2} + c$ = 1, also c = 1
f(3)= $\frac{11}{2}$ : $a \cdot 3^{4} + b \cdot 3^{2} + c$ = $\frac{11}{2}$ , also 81⋅a + 9⋅b + c = $\frac{11}{2}$
f'(3)=0: $4 a \cdot 3^{3} + 2 b \cdot 3 + 0$ = 0, also 108a + 6b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = 1 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(3)= $\frac{11}{2}$ 81⋅a + 9⋅b + 1 = $\frac{11}{2}$ oder umgeformt:
81⋅a + 9⋅b = $4,5$

Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 81 a & + 9 b & = & 4,5 & (I) \\ 108 a & + 6 b & = & 0 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $4$ ·(I) $- 3$ ·(II)

\begin{matrix} 81 a & 9 b & = & 4,5 & (I) \\ (324 - 324) a & + (36 - 18) b & = & (18 + 0) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 81 a & + 9 b & = & 4,5 & (I) \\ + 18 b & = & 18 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 18 b & = & 18 \end{matrix}

b = $1$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 81 a & + 9 \cdot (1) & = & 4,5 \end{matrix}

| -

9

81

a =

- 4,5

| : 81

a = $- \frac{4,5}{81}$

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = $- \frac{4,5}{81} x^{4} + x^{2} + 1$

65 Graph-Term-Zuordnung

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\cos (x)$

g(x)= $\sqrt{x}$

h(x)= $e^{x}$

i(x)=tan(x)

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion h(x) = $e^{x}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

\sqrt{x}

hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion g(x) = $\sqrt{x}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion f(x) = $\cos (x)$ .

Zu Graph Nr. 4:

Beim Graph von tan(x) =

\frac{\sin (x)}{\cos (x)}

sieht man viele Asymptoten. Für x=0 ist tan(0)=

\frac{sin(0)}{cos(0)}

= 0, da sin(0)=0. Für größer werdende x wird der Bruch

\frac{sin(x)}{cos(x)}

, also der Tangens sehr schnell größer, da sin(x) immer größer und cos(x) immer kleiner wird. Geht x gegen

\frac{π}{2}

, so geht der cos(x) gegen 0 und tan(x) =

\frac{sin(x)}{cos(x)}

strebt somit gegen ∞. Daher kommen die Asymptoten. Für x>

\frac{π}{2}

wird der Kosinus und damit der Funktionswert negativ, bleibt aber vom Betrag her sehr groß und wird bei x = π wieder 0, da sin(0) = 0. Da sowohl sin(x) als auch cos(x) 2π-periodisch sind, ist auch der tan(x) 2π-periodisch. (aufgrund der Punkt- bzw. Achsen-Symmetrie von sin(x) und cos(x) bezüglich der Mitte einer Periode ist tan(x) sogar π-periodisch).

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion i(x) = tan(x).

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\ln (x)$

g(x)= $\cos (x)$

h(x)=tan(x)

i(x)= $\frac{1}{x^{2}}$

j(x)= $x^{3}$

k(x)= $\sqrt{x}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von

x^{3}

erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion j(x) = $x^{3}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Den Graph von

\frac{1}{x^{2}}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu

\frac{1}{x}

hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion i(x) = $\frac{1}{x^{2}}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

\sqrt{x}

hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion k(x) = $\sqrt{x}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

\ln (x)

besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da

e^{0}

= 1 und somit

\ln (1)

= 0 ist.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion f(x) = $\ln (x)$ .

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $x^{3} + 1$

g(x)= $x^{2}$

h(x)= $x^{2} + 1$

i(x)= $\cos (x) + 1$

j(x)= $\cos (x)$

k(x)= $x^{3}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von

x^{3}

erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion k(x) = $x^{3}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion j(x) = $\cos (x)$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Am Graph Nr. 3 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion i(x) = $\cos (x) + 1$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

x^{2}

hat die typische Form einer nach oben geöffneten Normalparabel. Sie hat ihren Scheitel (Tiefpunkt) im Ursprung. Die Steigung wird vom Betrag immer größer, je weiter der Graph sich vom Ursprung entfernt. Besonders markant sind die Punkte (1|1), (2|4), usw.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion g(x) = $x^{2}$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

37 Wurzelterme vereinfachen

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

65 Graph-Term-Zuordnung

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4: