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37 Wurzelterme vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(\sqrt[5]{x})}^{3} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{4}}{{(\sqrt[5]{x})}^{7}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

$\frac{{(\sqrt[5]{x})}^{3} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{4}}{{(\sqrt[5]{x})}^{7}}$

Wir schreiben zuerst die Wurzelterme in Potenzterme mit rationalen Hochzahlen um:

= $\frac{x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{4}{5}}}{x^{\frac{7}{5}}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{5} + \frac{4}{5}}}{x^{\frac{7}{5}}}$

= $\frac{x^{\frac{7}{5}}}{x^{\frac{7}{5}}}$

= $x^{\frac{7}{5} - \frac{7}{5}}$

= $x^{0}$

= $1$

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 9} - \frac{1}{x + 9}$ = $\frac{189}{x^{2} - 81}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 9$ ; $9$ }

\frac{x}{x - 9} - \frac{1}{x + 9}

=

\frac{189}{(x + 9) \cdot (x - 9)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 9) \cdot (x - 9)$ weg!

$\frac{x}{x - 9} - \frac{1}{x + 9}$	=	$\frac{189}{(x + 9) \cdot (x - 9)}$	\|⋅( $(x + 9) \cdot (x - 9)$ )
$\frac{x}{x - 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9) - \frac{1}{x + 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$	=	$\frac{189}{(x + 9) \cdot (x - 9)} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$
$x \cdot (x + 9) - x + 9$	=	$189 \frac{x + 9}{x + 9}$
$x \cdot (x + 9) - x + 9$	=	$189$
$x^{2} + 9 x - x + 9$	=	$189$
$x^{2} + 8 x + 9$	=	$189$

x^{2} + 8 x + 9

=

189

|

- 189

$x^{2} + 8 x - 180$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 180)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 720}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{784}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{784}}{2}$ = $\frac{- 8+28}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{784}}{2}$ = $\frac{- 8-28}{2}$ = $\frac{- 36}{2}$ = $- 18$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 180)$ = $16$ $+$ $180$ = $196$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{196}$

x₁ = $- 4$ - $14$ = -18

x₂ = $- 4$ + $14$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 18$ ; $10$ }

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

Beispiel:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 5 Einheiten oberhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(2| $6$ ).

Bestimme den Term der Funktion f.

Lösung einblenden

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also $f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$ für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 5 Einheiten oberhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = 5 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(2| $6$ ) auf dem Graph von f liegt, muss f(2) = $6$ gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(2| $6$ ) ein Hochpunkt ist, also muss f'(2)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

f(0) = 5 (y-Achsenabschnitt)
f(2)= $6$ (H(2| $6$ ) liegt auf dem Graph)
f'(2)=0 (Hochpunkt bei x=2)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
$f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$
$f '(x) =$ $4 a x^{3} + 2 b x + 0$

Daraus ergibt sich:

f(0) = 5: $a \cdot 0^{4} + b \cdot 0^{2} + c$ = 5, also c = 5
f(2)= $6$ : $a \cdot 2^{4} + b \cdot 2^{2} + c$ = $6$ , also 16⋅a + 4⋅b + c = $6$
f'(2)=0: $4 a \cdot 2^{3} + 2 b \cdot 2 + 0$ = 0, also 32a + 4b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = 5 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(2)= $6$ 16⋅a + 4⋅b + 5 = $6$ oder umgeformt:
16⋅a + 4⋅b = $1$

Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 16 a & + 4 b & = & 1 & (I) \\ 32 a & + 4 b & = & 0 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $2$ ·(I) $- 1$ ·(II)

\begin{matrix} 16 a & 4 b & = & 1 & (I) \\ (32 - 32) a & + (8 - 4) b & = & (2 + 0) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 16 a & + 4 b & = & 1 & (I) \\ + 4 b & = & 2 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 4 b & = & 2 \end{matrix}

b = $\frac{1}{2}$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 16 a & + 4 \cdot (\frac{1}{2}) & = & 1 \end{matrix}

| -

2

16

a =

- 1

| : 16

a = $- \frac{1}{16}$

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = $- \frac{1}{16} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + 5$

65 Graph-Term-Zuordnung

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\frac{1}{x}$

g(x)= $e^{x}$

h(x)= $x^{3}$

i(x)= $\ln (x)$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

\ln (x)

besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da

e^{0}

= 1 und somit

\ln (1)

= 0 ist.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) = $\ln (x)$ .

Zu Graph Nr. 2:

Den Graph von

\frac{1}{x}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) =

\frac{1}{1}

= 1 und f(-1) =

\frac{1}{-1}

= -1. Im Gegensatz zu

\frac{1}{x^{2}}

hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion f(x) = $\frac{1}{x}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von

x^{3}

erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion h(x) = $x^{3}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion g(x) = $e^{x}$ .

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\ln (x)$

g(x)= $e^{x}$

h(x)= $\frac{1}{x^{2}}$

i(x)= $\cos (x)$

j(x)=tan(x)

k(x)= $\sqrt{x}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

\ln (x)

besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da

e^{0}

= 1 und somit

\ln (1)

= 0 ist.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion f(x) = $\ln (x)$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

\sqrt{x}

hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion k(x) = $\sqrt{x}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion i(x) = $\cos (x)$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion g(x) = $e^{x}$ .

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\sqrt{x}$

g(x)= $\frac{1}{x^{2}} + 1$

h(x)= $\frac{1}{x^{2}}$

i(x)= $e^{x}$

j(x)= $e^{x} + 1$

k(x)= $\sqrt{x} + 1$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) = $e^{x}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Am Graph Nr. 2 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion j(x) = $e^{x} + 1$ .

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von

\frac{1}{x^{2}}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu

\frac{1}{x}

hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion h(x) = $\frac{1}{x^{2}}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von

\frac{1}{x^{2}}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu

\frac{1}{x}

hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Am Graph Nr. 4 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion g(x) = $\frac{1}{x^{2}} + 1$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

37 Wurzelterme vereinfachen

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

65 Graph-Term-Zuordnung

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Zu Graph Nr. 1:

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Zu Graph Nr. 4:

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Zu Graph Nr. 1:

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