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42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 2} + \frac{9}{x - 2}$ = $\frac{6}{x^{2} - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $2$ }

\frac{x}{x + 2} + \frac{9}{x - 2}

\frac{6}{(x + 2) \cdot (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 2) \cdot (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{x + 2} + \frac{9}{x - 2}$	=	$\frac{6}{(x + 2) \cdot (x - 2)}$	\|⋅( $(x + 2) \cdot (x - 2)$ )
$\frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) + \frac{9}{x - 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$	=	$\frac{6}{(x + 2) \cdot (x - 2)} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$
$x (x - 2) + 9 x + 18$	=	$6 \frac{x + 2}{x + 2}$
$x (x - 2) + 9 x + 18$	=	$6$
$x^{2} - 2 x + 9 x + 18$	=	$6$
$x^{2} + 7 x + 18$	=	$6$

x^{2} + 7 x + 18

6

- 6

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

Beispiel:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 9 Einheiten oberhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(3| $18$ )).

Bestimme den Term der Funktion f.

Lösung einblenden

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also $f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$ für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 9 Einheiten oberhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = 9 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(3| $18$ ) auf dem Graph von f liegt, muss f(3) = $18$ gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(3| $18$ ) ein Hochpunkt ist, also muss f'(3)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

f(0) = 9 (y-Achsenabschnitt)
f(3)= $18$ (H(3| $18$ ) liegt auf dem Graph)
f'(3)=0 (Hochpunkt bei x=3)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
$f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$
$f(x) =$ $4 a x^{3} + 2 b x + 0$

Daraus ergibt sich:

f(0) = 9: $a \cdot 0^{4} + b \cdot 0^{2} + c$ = 9, also c = 9
f(3)= $18$ : $a \cdot 3^{4} + b \cdot 3^{2} + c$ = $18$ , also 81⋅a + 9⋅b + c = $18$
f'(3)=0: $4 a \cdot 3^{3} + 2 b \cdot 3 + 0$ = 0, also 108a + 6b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = 9 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(3)= $18$ 81⋅a + 9⋅b + 9 = $18$ oder umgeformt:
81⋅a + 9⋅b = $9$

Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 81 a & + 9 b & = & 9 & (I) \\ 108 a & + 6 b & = & 0 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $4$ ·(I) $- 3$ ·(II)

\begin{matrix} 81 a & 9 b & = & 9 & (I) \\ (324 - 324) a & +(36 - 18) b & = & (36 + 0) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 81 a & + 9 b & = & 9 & (I) \\ + 18 b & = & 36 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 18 b & = & 36 \end{matrix}

b = $2$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 81 a & + 9 \cdot (2) & = & 9 \end{matrix}

| -

18

81

a =

- 9

| : 81

a = $- \frac{1}{9}$

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = $- \frac{1}{9} x^{4} + 2 x^{2} + 9$