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42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x x -8 + 4 x +8 = 157 x 2 -64

Lösung einblenden

D=R\{ -8 ; 8 }

x x -8 + 4 x +8 = 157 ( x +8 ) · ( x -8 ) |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner ( x +8 ) · ( x -8 ) weg!

x x -8 + 4 x +8 = 157 ( x +8 ) · ( x -8 ) |⋅( ( x +8 ) · ( x -8 ) )
x x -8 · ( x +8 ) · ( x -8 ) + 4 x +8 · ( x +8 ) · ( x -8 ) = 157 ( x +8 ) · ( x -8 ) · ( x +8 ) · ( x -8 )
x ( x +8 ) +4x -32 = 157 x +8 x +8
x ( x +8 ) +4x -32 = 157
x 2 +8x +4x -32 = 157
x 2 +12x -32 = 157
x 2 +12x -32 = 157 | -157

x 2 +12x -189 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -12 ± 12 2 -4 · 1 · ( -189 ) 21

x1,2 = -12 ± 144 +756 2

x1,2 = -12 ± 900 2

x1 = -12 + 900 2 = -12 +30 2 = 18 2 = 9

x2 = -12 - 900 2 = -12 -30 2 = -42 2 = -21

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -21 ; 9 }

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

Beispiel:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 7 Einheiten oberhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(4|23 )).

Bestimme den Term der Funktion f.

Lösung einblenden

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also f(x)= a x 4 + b x 2 + c für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 7 Einheiten oberhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = 7 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(4|23 ) auf dem Graph von f liegt, muss f(4) = 23 gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(4|23 ) ein Hochpunkt ist, also muss f'(4)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

  1. f(0) = 7 (y-Achsenabschnitt)
  2. f(4)=23 (H(4|23 ) liegt auf dem Graph)
  3. f'(4)=0 (Hochpunkt bei x=4)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
f(x)= a x 4 + b x 2 + c
f(x)= 4 a x 3 +2 b x +0

Daraus ergibt sich:

  1. f(0) = 7: a 0 4 + b 0 2 + c = 7, also c = 7
  2. f(4)=23 : a 4 4 + b 4 2 + c = 23 , also 256⋅a + 16⋅b + c = 23
  3. f'(4)=0: 4 a 4 3 +2 b 4 +0 = 0, also 256a + 8b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = 7 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(4)=23 256⋅a + 16⋅b + 7 = 23 oder umgeformt:
256⋅a + 16⋅b = 16


Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

256a +16b = 16 (I) 256a +8b = 0 (II)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -1·(II)

256a 16b = 16 (I) ( 256 -256 )a +( 16 -8 )b = ( 16 +0) (II)
256a +16b = 16 (I) +8b = 16 (II)
Zeile (II): +8b = 16

b = 2

eingesetzt in Zeile (I):

256a +16·(2 ) = 16 | -32
256 a = -16 | : 256

a = - 1 16

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = - 1 16 x 4 +2 x 2 +7