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42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 5} + \frac{1}{x + 5}$ = $\frac{107}{x^{2} - 25}$

D=R\{ $- 5$ ; $5$ }

\frac{x}{x - 5} + \frac{1}{x + 5}

=

\frac{107}{(x + 5) \cdot (x - 5)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 5) \cdot (x - 5)$ weg!

$\frac{x}{x - 5} + \frac{1}{x + 5}$	=	$\frac{107}{(x + 5) \cdot (x - 5)}$	\|⋅( $(x + 5) \cdot (x - 5)$ )
$\frac{x}{x - 5} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5) + \frac{1}{x + 5} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)$	=	$\frac{107}{(x + 5) \cdot (x - 5)} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)$
$x (x + 5) + x - 5$	=	$107 \frac{x + 5}{x + 5}$
$x (x + 5) + x - 5$	=	$107$
$x^{2} + 5 x + x - 5$	=	$107$
$x^{2} + 6 x - 5$	=	$107$

x^{2} + 6 x - 5

=

107

|

- 107

$x^{2} + 6 x - 112$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 112)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 448}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{484}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{484}}{2}$ = $\frac{- 6+22}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{484}}{2}$ = $\frac{- 6-22}{2}$ = $\frac{- 28}{2}$ = $- 14$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 14$ ; $8$ }

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

Beispiel:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 4 Einheiten oberhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(2| $12$ ).

Bestimme den Term der Funktion f.

Lösung einblenden

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also $f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$ für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 4 Einheiten oberhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = 4 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(2| $12$ ) auf dem Graph von f liegt, muss f(2) = $12$ gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(2| $12$ ) ein Hochpunkt ist, also muss f'(2)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

f(0) = 4 (y-Achsenabschnitt)
f(2)= $12$ (H(2| $12$ ) liegt auf dem Graph)
f'(2)=0 (Hochpunkt bei x=2)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
$f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$
$f(x) =$ $4 a x^{3} + 2 b x + 0$

Daraus ergibt sich:

f(0) = 4: $a \cdot 0^{4} + b \cdot 0^{2} + c$ = 4, also c = 4
f(2)= $12$ : $a \cdot 2^{4} + b \cdot 2^{2} + c$ = $12$ , also 16⋅a + 4⋅b + c = $12$
f'(2)=0: $4 a \cdot 2^{3} + 2 b \cdot 2 + 0$ = 0, also 32a + 4b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = 4 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(2)= $12$ 16⋅a + 4⋅b + 4 = $12$ oder umgeformt:
16⋅a + 4⋅b = $8$

Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 16 a & + 4 b & = & 8 & (I) \\ 32 a & + 4 b & = & 0 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $2$ ·(I) $- 1$ ·(II)

\begin{matrix} 16 a & 4 b & = & 8 & (I) \\ (32 - 32) a & + (8 - 4) b & = & (16 + 0) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 16 a & + 4 b & = & 8 & (I) \\ + 4 b & = & 16 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 4 b & = & 16 \end{matrix}

b = $4$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 16 a & + 4 \cdot (4) & = & 8 \end{matrix}

| -

16

16

a =

- 8

| : 16

a = $- \frac{1}{2}$

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = $- \frac{1}{2} x^{4} + 4 x^{2} + 4$

65 Graph-Term-Zuordnung

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\sqrt{x}$

g(x)= $e^{x}$

h(x)= $x^{3}$

i(x)= $\cos (x)$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von

x^{3}

erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion h(x) = $x^{3}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

\sqrt{x}

hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion f(x) = $\sqrt{x}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion i(x) = $\cos (x)$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion g(x) = $e^{x}$ .

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\cos (x)$

g(x)= $\ln (x)$

h(x)= $x^{3}$

i(x)= $\frac{1}{x}$

j(x)= $x^{2}$

k(x)= $e^{x}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

x^{2}

hat die typische Form einer nach oben geöffneten Normalparabel. Sie hat ihren Scheitel (Tiefpunkt) im Ursprung. Die Steigung wird vom Betrag immer größer, je weiter der Graph sich vom Ursprung entfernt. Besonders markant sind die Punkte (1|1), (2|4), usw.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion j(x) = $x^{2}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion f(x) = $\cos (x)$ .

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von

\frac{1}{x}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) =

\frac{1}{1}

= 1 und f(-1) =

\frac{1}{-1}

= -1. Im Gegensatz zu

\frac{1}{x^{2}}

hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion i(x) = $\frac{1}{x}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von

x^{3}

erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion h(x) = $x^{3}$ .

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $x^{2}$

g(x)= $- x^{2}$

h(x)= $\sqrt{x}$

i(x)= $- \sqrt{x}$

j(x)= $\frac{1}{x}$

k(x)= $- \frac{1}{x}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

\sqrt{x}

hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Am Graph Nr. 1 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) = $- \sqrt{x}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

x^{2}

hat die typische Form einer nach oben geöffneten Normalparabel. Sie hat ihren Scheitel (Tiefpunkt) im Ursprung. Die Steigung wird vom Betrag immer größer, je weiter der Graph sich vom Ursprung entfernt. Besonders markant sind die Punkte (1|1), (2|4), usw.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion f(x) = $x^{2}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

\sqrt{x}

hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion h(x) = $\sqrt{x}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von

\frac{1}{x}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) =

\frac{1}{1}

= 1 und f(-1) =

\frac{1}{-1}

= -1. Im Gegensatz zu

\frac{1}{x^{2}}

hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Am Graph Nr. 4 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion k(x) = $- \frac{1}{x}$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

42 Bruchgleichungen

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

65 Graph-Term-Zuordnung

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4: