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42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x x +2 - 6 x -2 = 53 x 2 -4

Lösung einblenden

D=R\{ -2 ; 2 }

x x +2 - 6 x -2 = 53 ( x +2 ) · ( x -2 ) |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner ( x +2 ) · ( x -2 ) weg!

x x +2 - 6 x -2 = 53 ( x +2 ) · ( x -2 ) |⋅( ( x +2 ) · ( x -2 ) )
x x +2 · ( x +2 ) · ( x -2 ) - 6 x -2 · ( x +2 ) · ( x -2 ) = 53 ( x +2 ) · ( x -2 ) · ( x +2 ) · ( x -2 )
x ( x -2 ) -6x -12 = 53 x +2 x +2
x ( x -2 ) -6x -12 = 53
x 2 -2x -6x -12 = 53
x 2 -8x -12 = 53
x 2 -8x -12 = 53 | -53

x 2 -8x -65 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · ( -65 ) 21

x1,2 = +8 ± 64 +260 2

x1,2 = +8 ± 324 2

x1 = 8 + 324 2 = 8 +18 2 = 26 2 = 13

x2 = 8 - 324 2 = 8 -18 2 = -10 2 = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -5 ; 13 }

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

Beispiel:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 7 Einheiten unterhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(1|-3 )).

Bestimme den Term der Funktion f.

Lösung einblenden

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also f(x)= a x 4 + b x 2 + c für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 7 Einheiten unterhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = -7 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(1|-3 ) auf dem Graph von f liegt, muss f(1) = -3 gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(1|-3 ) ein Hochpunkt ist, also muss f'(1)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

  1. f(0) = -7 (y-Achsenabschnitt)
  2. f(1)=-3 (H(1|-3 ) liegt auf dem Graph)
  3. f'(1)=0 (Hochpunkt bei x=1)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
f(x)= a x 4 + b x 2 + c
f(x)= 4 a x 3 +2 b x +0

Daraus ergibt sich:

  1. f(0) = -7: a 0 4 + b 0 2 + c = -7, also c = -7
  2. f(1)=-3 : a 1 4 + b 1 2 + c = -3 , also 1⋅a + 1⋅b + c = -3
  3. f'(1)=0: 4 a 1 3 +2 b 1 +0 = 0, also 4a + 2b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = -7 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(1)=-3 1⋅a + 1⋅b + (-7) = -3 oder umgeformt:
1⋅a + 1⋅b = 4


Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

a +b = 4 (I) 4 a +2 b = 0 (II)

langsame Rechnung einblenden4·(I) -1·(II)

1 a 1 b = 4 (I) ( 4 -4 )a +( 4 -2 )b = ( 16 +0 ) (II)
a +b = 4 (I) +2 b = 16 (II)
Zeile (II): +2 b = 16

b = 8

eingesetzt in Zeile (I):

a +(8 ) = 4 | -8
1 a = -4 | : 1

a = -4

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = -4 x 4 +8 x 2 -7