Mathebattle EduRandomtasks

Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = -270° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

-270° sind aber nur ein $\frac{-270°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu -270° auch nur $\frac{-270°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{-270}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{-270°}{180°}$ ⋅π = $- \frac{9}{6}$ ⋅π = $- \frac{3}{2}$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $- \frac{1}{2}$ π im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$- \frac{1}{2}$ π entspricht also dem Gradmaß $- \frac{1}{2}$ ⋅180° = -90°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 3 im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

3 = $\frac{3}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{3}{π}$ ⋅180° ≈ 171.9°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin( $\frac{3}{2} π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

$\frac{3}{2} π$ bedeutet $\frac{3}{4}$ eines Kreises, also $\frac{3}{4}$ von 360° = 270°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $\frac{3}{2} π$ ) bzw. für sin(270°) ablesen:

sin( $\frac{3}{2} π$ ) bzw. sin(270°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $\frac{3}{2} π$ °) ≈ -1

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = $\frac{13}{6}$ π.

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $\frac{13}{6}$ π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= $\frac{12}{6}$ π) vom gegebenen Winkel: $\frac{13}{6}$ π - $\frac{12}{6}$ π = $\frac{1}{6}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{1}{6}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{1}{6}$ π = $\frac{5}{6}$ π berechnen kann.

Somit gilt: x₁ = $\frac{1}{6}$ π und x₂ = $\frac{5}{6}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $\frac{13}{6}$ π als $\frac{13}{6}$ ⋅ 180° = 390° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 30°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 30° an der y-Achse spiegelt, erhält man wieder 30°, allerdings diesemal zwischen der negativen x-Achse und dem pinken Strich. Den gesuchten Winkel misst man ja aber immer zwischen der positiven x-Achse und dem Strich, und das ist dann ja gerade das was noch zu den 180° fehlt:

Wir können also immer einfach 180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = 180° - 30° = 150°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{1}{6}$ π und x₂ = $\frac{5}{6}$ π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $- 0,35$

Lösung einblenden

\cos (x)

=

- 0,35

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.9283674304404

1. Fall:

x₁

=

1,928

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,35$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,928$
bzw. bei - $1,928$ +2π= $4,355$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

4,355

L={ $1,928$ ; $4,355$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

einfache trigonometrische Gleichungen