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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 30° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

30° sind aber nur ein $\frac{30°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 30° auch nur $\frac{30°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{30}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{30°}{180°}$ ⋅π = $\frac{1}{6}$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $- 1$ π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$- 1$ π entspricht also dem Gradmaß $- 1$ ⋅180° = -180°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 1.1 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

1.1 = $\frac{1.1}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{1.1}{π}$ ⋅180° ≈ 63°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise cos( $- π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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$- π$ bedeutet $- \frac{1}{2}$ eines Kreises, also $- \frac{1}{2}$ von 360° = -180°.

Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -180° + 360° = 180°

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( $- π$ ) bzw. für cos(-180°) ablesen:

cos $- π$ ) bzw. cos(-180°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( $- π$ °) ≈ -1

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = $- \frac{13}{12}$ π.

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $- \frac{13}{12}$ π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{24}{12}$ π) zum gegebenen Winkel: $- \frac{13}{12}$ π + $\frac{24}{12}$ π = $\frac{11}{12}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{11}{12}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{11}{12}$ π = $\frac{1}{12}$ π berechnen kann.

Somit gilt: x₁ = $\frac{11}{12}$ π und x₂ = $\frac{1}{12}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $- \frac{13}{12}$ π als $- \frac{13}{12}$ ⋅ 180° = -195° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 165°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 165° an der y-Achse spiegelt, erhält man wieder 165°, allerdings diesemal zwischen der negativen x-Achse und dem pinken Strich. Den gesuchten Winkel misst man ja aber immer zwischen der positiven x-Achse und dem Strich, und das ist dann ja gerade das was noch zu den 180° fehlt:

Wir können also immer einfach 180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = 180° - 165° = 15°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{11}{12}$ π und x₂ = $\frac{1}{12}$ π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\sin (x)$ = $- 0,25$

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\sin (x)

=

- 0,25

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.25268025514208

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $6,031$

1. Fall:

x₁

=

6,031

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,25$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.25 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $6,031$ =-2.8894 bzw. bei -2.8894+2π= $3,394$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

3,394

L={ $3,394$ ; $6,031$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

einfache trigonometrische Gleichungen