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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 360° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

360° sind aber nur ein $\frac{360°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 360° auch nur $\frac{360°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{360}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{360°}{180°}$ ⋅π = $\frac{12}{6}$ ⋅π = $2$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $\frac{23}{6}$ π im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{23}{6}$ π entspricht also dem Gradmaß $\frac{23}{6}$ ⋅180° = 690°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 4.5 im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

4.5 = $\frac{4.5}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{4.5}{π}$ ⋅180° ≈ 257.8°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise cos( $\frac{3}{2} π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

$\frac{3}{2} π$ bedeutet $\frac{3}{4}$ eines Kreises, also $\frac{3}{4}$ von 360° = 270°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( $\frac{3}{2} π$ ) bzw. für cos(270°) ablesen:

cos $\frac{3}{2} π$ ) bzw. cos(270°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( $\frac{3}{2} π$ °) ≈ -0

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = $- \frac{11}{12}$ π.

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $- \frac{11}{12}$ π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{24}{12}$ π) zum gegebenen Winkel: $- \frac{11}{12}$ π + $\frac{24}{12}$ π = $\frac{13}{12}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{13}{12}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{13}{12}$ π = $- \frac{1}{12}$ π berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $- \frac{1}{12}$ π einfach $- \frac{1}{12}$ π + 2 π = $\frac{23}{12}$ π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{13}{12}$ π und x₂ = $\frac{23}{12}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $- \frac{11}{12}$ π als $- \frac{11}{12}$ ⋅ 180° = -165° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 195°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 195° als negativen Winkel 195° -360° = -165° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = -180° - (-165°) = -15°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -15° + 360° = 345°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{13}{12}$ π und x₂ = $\frac{23}{12}$ π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\sin (x)$ = $- 0,2$

Lösung einblenden

\sin (x)

=

- 0,2

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.20135792079033

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $6,082$

1. Fall:

x₁

=

6,082

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,2$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $6,082$ =-2.9404 bzw. bei -2.9404+2π= $3,343$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

3,343

L={ $3,343$ ; $6,082$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

einfache trigonometrische Gleichungen