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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 720° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

720° sind aber nur ein 720° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 720° auch nur 720° 360° ⋅ 2π = 720 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = 720° 180° ⋅π = 24 6 ⋅π = 4⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = 5 3 π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

5 3 π entspricht also dem Gradmaß 5 3 ⋅180° = 300°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 0.3 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

0.3 = 0.3 π ⋅π entspricht also dem Gradmaß 0.3 π ⋅180° ≈ 17.2°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise cos( 5 2 π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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5 2 π bedeutet 5 4 eines Kreises, also 5 4 von 360° = 450°.

Da dieser Winkel > 2π ist, kann man diesen einfach als 450° = 90° + 360° schreiben kann. Das bedeutet, dass man bei 450° wieder an der gleichen Stelle im Einheitskreis ist wie bei 90°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( 5 2 π ) bzw. für cos(450°) ablesen:

cos 5 2 π ) bzw. cos(450°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( 5 2 π °) ≈ 0

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Kosinuswert haben wie x = 13 4 π.

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie 13 4 π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= 8 4 π) vom gegebenen Winkel: 13 4 π - 8 4 π = 5 4 π.

Somit gilt x1 = 5 4 π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x2 einfach als x2 = - x1 berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt - 5 4 π einfach - 5 4 π + 2 π = 3 4 π für x2.

Somit gilt: x1 = 5 4 π und x2 = 3 4 π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel 13 4 π als 13 4 ⋅ 180° = 585° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 225°.

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 225° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -225°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -225° + 360° = 135°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x1 = 5 4 π und x2 = 3 4 π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
cos( x ) = 0,4

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cos( x ) = 0,4 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.1592794807274

1. Fall:

x1 = 1,159

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0,4 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,159
bzw. bei - 1,159 +2π= 5,124 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 5,124

L={ 1,159 ; 5,124 }