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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = -270° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

-270° sind aber nur ein -270° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu -270° auch nur -270° 360° ⋅ 2π = -270 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = -270° 180° ⋅π = - 9 6 ⋅π = - 3 2 ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = 11 6 π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

11 6 π entspricht also dem Gradmaß 11 6 ⋅180° = 330°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 4.9 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

4.9 = 4.9 π ⋅π entspricht also dem Gradmaß 4.9 π ⋅180° ≈ 280.7°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise cos( 1 2 π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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1 2 π bedeutet 1 4 eines Kreises, also 1 4 von 360° = 90°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( 1 2 π ) bzw. für cos(90°) ablesen:

cos 1 2 π ) bzw. cos(90°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( 1 2 π °) ≈ 0

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = 31 12 π.

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canvas

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie 31 12 π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= 24 12 π) vom gegebenen Winkel: 31 12 π - 24 12 π = 7 12 π.

Somit gilt x1 = 7 12 π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x2 einfach als x2 = π - x1, also π - 7 12 π = 5 12 π berechnen kann.

Somit gilt: x1 = 7 12 π und x2 = 5 12 π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel 31 12 π als 31 12 ⋅ 180° = 465° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 105°.

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 105° an der y-Achse spiegelt, erhält man wieder 105°, allerdings diesemal zwischen der negativen x-Achse und dem pinken Strich. Den gesuchten Winkel misst man ja aber immer zwischen der positiven x-Achse und dem Strich, und das ist dann ja gerade das was noch zu den 180° fehlt:

Wir können also immer einfach 180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = 180° - 105° = 75°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x1 = 7 12 π und x2 = 5 12 π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
cos( x ) = 0,7

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cos( x ) = 0,7 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.79539883018414

1. Fall:

x1 = 0,795

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0,7 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 0,795
bzw. bei - 0,795 +2π= 5,488 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 5,488

L={ 0,795 ; 5,488 }