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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 360° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

360° sind aber nur ein 360° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 360° auch nur 360° 360° ⋅ 2π = 360 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = 360° 180° ⋅π = 12 6 ⋅π = 2⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = 5 3 π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

5 3 π entspricht also dem Gradmaß 5 3 ⋅180° = 300°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 3.2 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

3.2 = 3.2 π ⋅π entspricht also dem Gradmaß 3.2 π ⋅180° ≈ 183.3°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise cos( 3π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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3π bedeutet 3 2 eines Kreises, also 3 2 von 360° = 540°.

Da dieser Winkel > 2π ist, kann man diesen einfach als 540° = 180° + 360° schreiben kann. Das bedeutet, dass man bei 540° wieder an der gleichen Stelle im Einheitskreis ist wie bei 180°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( 3π ) bzw. für cos(540°) ablesen:

cos 3π ) bzw. cos(540°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( 3π °) ≈ -1

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = 11 3 π.

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie 11 3 π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= 6 3 π) vom gegebenen Winkel: 11 3 π - 6 3 π = 5 3 π.

Somit gilt x1 = 5 3 π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x2 einfach als x2 = π - x1, also π - 5 3 π = - 2 3 π berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt - 2 3 π einfach - 2 3 π + 2 π = 4 3 π für x2.

Somit gilt: x1 = 5 3 π und x2 = 4 3 π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel 11 3 π als 11 3 ⋅ 180° = 660° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 300°.

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 300° als negativen Winkel 300° -360° = -60° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = -180° - (-60°) = -120°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -120° + 360° = 240°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x1 = 5 3 π und x2 = 4 3 π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
cos( x ) = 0,35

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cos( x ) = 0,35 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.2132252231494

1. Fall:

x1 = 1,213

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0,35 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,213
bzw. bei - 1,213 +2π= 5,07 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 5,07

L={ 1,213 ; 5,07 }