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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 90° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

90° sind aber nur ein $\frac{90°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 90° auch nur $\frac{90°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{90}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{90°}{180°}$ ⋅π = $\frac{3}{6}$ ⋅π = $\frac{1}{2}$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $- \frac{1}{2}$ π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$- \frac{1}{2}$ π entspricht also dem Gradmaß $- \frac{1}{2}$ ⋅180° = -90°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 1.5 im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

1.5 = $\frac{1.5}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{1.5}{π}$ ⋅180° ≈ 85.9°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin( $\frac{1}{3} π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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$\frac{1}{3} π$ bedeutet $\frac{1}{6}$ eines Kreises, also $\frac{1}{6}$ von 360° = 60°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $\frac{1}{3} π$ ) bzw. für sin(60°) ablesen:

sin( $\frac{1}{3} π$ ) bzw. sin(60°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $\frac{1}{3} π$ °) ≈ 0.87

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = $- \frac{5}{6}$ π.

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $- \frac{5}{6}$ π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{12}{6}$ π) zum gegebenen Winkel: $- \frac{5}{6}$ π + $\frac{12}{6}$ π = $\frac{7}{6}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{7}{6}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{7}{6}$ π = $- \frac{1}{6}$ π berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $- \frac{1}{6}$ π einfach $- \frac{1}{6}$ π + 2 π = $\frac{11}{6}$ π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{7}{6}$ π und x₂ = $\frac{11}{6}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $- \frac{5}{6}$ π als $- \frac{5}{6}$ ⋅ 180° = -150° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 210°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 210° als negativen Winkel 210° -360° = -150° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = -180° - (-150°) = -30°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -30° + 360° = 330°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{7}{6}$ π und x₂ = $\frac{11}{6}$ π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $0,7$

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\cos (x)

=

0,7

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.79539883018414

1. Fall:

x₁

=

0,795

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,7$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,795$
bzw. bei - $0,795$ +2π= $5,488$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

5,488

L={ $0,795$ ; $5,488$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

einfache trigonometrische Gleichungen