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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = -360° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

-360° sind aber nur ein $\frac{-360°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu -360° auch nur $\frac{-360°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{-360}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{-360°}{180°}$ ⋅π = $- \frac{12}{6}$ ⋅π = $- 2$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $\frac{11}{3}$ π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{11}{3}$ π entspricht also dem Gradmaß $\frac{11}{3}$ ⋅180° = 660°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 1.9 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

1.9 = $\frac{1.9}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{1.9}{π}$ ⋅180° ≈ 108.9°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin( $- \frac{3}{4} π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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$- \frac{3}{4} π$ bedeutet $- \frac{3}{8}$ eines Kreises, also $- \frac{3}{8}$ von 360° = -135°.

Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -135° + 360° = 225°

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $- \frac{3}{4} π$ ) bzw. für sin(-135°) ablesen:

sin( $- \frac{3}{4} π$ ) bzw. sin(-135°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $- \frac{3}{4} π$ °) ≈ -0.71

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Kosinuswert haben wie x = $- \frac{4}{3}$ π.

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $- \frac{4}{3}$ π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{6}{3}$ π) zum gegebenen Winkel: $- \frac{4}{3}$ π + $\frac{6}{3}$ π = $\frac{2}{3}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{2}{3}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = - x₁ berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $- \frac{2}{3}$ π einfach $- \frac{2}{3}$ π + 2 π = $\frac{4}{3}$ π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{2}{3}$ π und x₂ = $\frac{4}{3}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $- \frac{4}{3}$ π als $- \frac{4}{3}$ ⋅ 180° = -240° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 120°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 120° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -120°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -120° + 360° = 240°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{2}{3}$ π und x₂ = $\frac{4}{3}$ π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $0,85$

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\cos (x)

=

0,85

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.55481103298007

1. Fall:

x₁

=

0,555

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,85$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.85 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,555$
bzw. bei - $0,555$ +2π= $5,728$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

5,728

L={ $0,555$ ; $5,728$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

einfache trigonometrische Gleichungen