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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 30° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

30° sind aber nur ein 30° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 30° auch nur 30° 360° ⋅ 2π = 30 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = 30° 180° ⋅π = 1 6 ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = 5 2 π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

5 2 π entspricht also dem Gradmaß 5 2 ⋅180° = 450°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 1.2 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

1.2 = 1.2 π ⋅π entspricht also dem Gradmaß 1.2 π ⋅180° ≈ 68.8°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise cos( 1 2 π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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1 2 π bedeutet 1 4 eines Kreises, also 1 4 von 360° = 90°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( 1 2 π ) bzw. für cos(90°) ablesen:

cos 1 2 π ) bzw. cos(90°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( 1 2 π °) ≈ 0

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Kosinuswert haben wie x = 7 3 π.

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canvas

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie 7 3 π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= 6 3 π) vom gegebenen Winkel: 7 3 π - 6 3 π = 1 3 π.

Somit gilt x1 = 1 3 π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x2 einfach als x2 = - x1 berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt - 1 3 π einfach - 1 3 π + 2 π = 5 3 π für x2.

Somit gilt: x1 = 1 3 π und x2 = 5 3 π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel 7 3 π als 7 3 ⋅ 180° = 420° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 60°.

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 60° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -60°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -60° + 360° = 300°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x1 = 1 3 π und x2 = 5 3 π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
cos( x ) = 0,6

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canvas
cos( x ) = 0,6 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

1. Fall:

x1 = 0,927

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0,6 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 0,927
bzw. bei - 0,927 +2π= 5,356 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 5,356

L={ 0,927 ; 5,356 }