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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = -270° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

-270° sind aber nur ein -270° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu -270° auch nur -270° 360° ⋅ 2π = -270 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = -270° 180° ⋅π = - 9 6 ⋅π = - 3 2 ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = 5 2 π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

5 2 π entspricht also dem Gradmaß 5 2 ⋅180° = 450°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 4.9 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

4.9 = 4.9 π ⋅π entspricht also dem Gradmaß 4.9 π ⋅180° ≈ 280.7°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise sin( 5 2 π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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5 2 π bedeutet 5 4 eines Kreises, also 5 4 von 360° = 450°.

Da dieser Winkel > 2π ist, kann man diesen einfach als 450° = 90° + 360° schreiben kann. Das bedeutet, dass man bei 450° wieder an der gleichen Stelle im Einheitskreis ist wie bei 90°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( 5 2 π ) bzw. für sin(450°) ablesen:

sin( 5 2 π ) bzw. sin(450°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( 5 2 π °) ≈ 1

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = 37 12 π.

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie 37 12 π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= 24 12 π) vom gegebenen Winkel: 37 12 π - 24 12 π = 13 12 π.

Somit gilt x1 = 13 12 π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x2 einfach als x2 = π - x1, also π - 13 12 π = - 1 12 π berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt - 1 12 π einfach - 1 12 π + 2 π = 23 12 π für x2.

Somit gilt: x1 = 13 12 π und x2 = 23 12 π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel 37 12 π als 37 12 ⋅ 180° = 555° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 195°.

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 195° als negativen Winkel 195° -360° = -165° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = -180° - (-165°) = -15°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -15° + 360° = 345°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x1 = 13 12 π und x2 = 23 12 π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
sin( x ) = -0,4

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sin( x ) = -0,4 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.41151684606749

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 5,872

1. Fall:

x1 = 5,872

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = -0,4 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5,872 =-2.7304 bzw. bei -2.7304+2π= 3,553 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3,553

L={ 3,553 ; 5,872 }