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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 135° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

135° sind aber nur ein 135° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 135° auch nur 135° 360° ⋅ 2π = 135 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = 135° 180° ⋅π = 27 36 ⋅π = 3 4 ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = 3 2 π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

3 2 π entspricht also dem Gradmaß 3 2 ⋅180° = 270°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 2.4 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

2.4 = 2.4 π ⋅π entspricht also dem Gradmaß 2.4 π ⋅180° ≈ 137.5°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise sin( - 1 10 π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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- 1 10 π bedeutet - 1 20 eines Kreises, also - 1 20 von 360° = -18°.

Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -18° + 360° = 342°

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( - 1 10 π ) bzw. für sin(-18°) ablesen:

sin( - 1 10 π ) bzw. sin(-18°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( - 1 10 π °) ≈ -0.31

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = - 1 3 π.

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie - 1 3 π. Dazu addieren wir einfach 2π (= 6 3 π) zum gegebenen Winkel: - 1 3 π + 6 3 π = 5 3 π.

Somit gilt x1 = 5 3 π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x2 einfach als x2 = π - x1, also π - 5 3 π = - 2 3 π berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt - 2 3 π einfach - 2 3 π + 2 π = 4 3 π für x2.

Somit gilt: x1 = 5 3 π und x2 = 4 3 π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel - 1 3 π als - 1 3 ⋅ 180° = -60° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 300°.

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 300° als negativen Winkel 300° -360° = -60° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = -180° - (-60°) = -120°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -120° + 360° = 240°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x1 = 5 3 π und x2 = 4 3 π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
cos( x ) = 0,55

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cos( x ) = 0,55 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.98843208892615

1. Fall:

x1 = 0,988

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0,55 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.55 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 0,988
bzw. bei - 0,988 +2π= 5,295 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 5,295

L={ 0,988 ; 5,295 }