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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 255° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

255° sind aber nur ein 255° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 255° auch nur 255° 360° ⋅ 2π = 255 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = 255° 180° ⋅π = 51 36 ⋅π = 17 12 ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = 9 2 π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

9 2 π entspricht also dem Gradmaß 9 2 ⋅180° = 810°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 2.1 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

2.1 = 2.1 π ⋅π entspricht also dem Gradmaß 2.1 π ⋅180° ≈ 120.3°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise sin( - 1 10 π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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- 1 10 π bedeutet - 1 20 eines Kreises, also - 1 20 von 360° = -18°.

Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -18° + 360° = 342°

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( - 1 10 π ) bzw. für sin(-18°) ablesen:

sin( - 1 10 π ) bzw. sin(-18°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( - 1 10 π °) ≈ -0.31

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = 8 3 π.

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie 8 3 π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= 6 3 π) vom gegebenen Winkel: 8 3 π - 6 3 π = 2 3 π.

Somit gilt x1 = 2 3 π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x2 einfach als x2 = π - x1, also π - 2 3 π = 1 3 π berechnen kann.

Somit gilt: x1 = 2 3 π und x2 = 1 3 π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel 8 3 π als 8 3 ⋅ 180° = 480° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 120°.

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 120° an der y-Achse spiegelt, erhält man wieder 120°, allerdings diesemal zwischen der negativen x-Achse und dem pinken Strich. Den gesuchten Winkel misst man ja aber immer zwischen der positiven x-Achse und dem Strich, und das ist dann ja gerade das was noch zu den 180° fehlt:

Wir können also immer einfach 180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = 180° - 120° = 60°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x1 = 2 3 π und x2 = 1 3 π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
sin( x ) = -0,25

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sin( x ) = -0,25 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.25268025514208

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 6,031

1. Fall:

x1 = 6,031

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = -0,25 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.25 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 6,031 =-2.8894 bzw. bei -2.8894+2π= 3,394 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3,394

L={ 3,394 ; 6,031 }