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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = -180° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

-180° sind aber nur ein $\frac{-180°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu -180° auch nur $\frac{-180°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{-180}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{-180°}{180°}$ ⋅π = $- \frac{6}{6}$ ⋅π = $- 1$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $3$ π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$3$ π entspricht also dem Gradmaß $3$ ⋅180° = 540°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 0.3 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

0.3 = $\frac{0.3}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{0.3}{π}$ ⋅180° ≈ 17.2°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin( $- \frac{1}{2} π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} π$ bedeutet $- \frac{1}{4}$ eines Kreises, also $- \frac{1}{4}$ von 360° = -90°.

Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -90° + 360° = 270°

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $- \frac{1}{2} π$ ) bzw. für sin(-90°) ablesen:

sin( $- \frac{1}{2} π$ ) bzw. sin(-90°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $- \frac{1}{2} π$ °) ≈ -1

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = $- \frac{7}{6}$ π.

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $- \frac{7}{6}$ π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{12}{6}$ π) zum gegebenen Winkel: $- \frac{7}{6}$ π + $\frac{12}{6}$ π = $\frac{5}{6}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{5}{6}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{5}{6}$ π = $\frac{1}{6}$ π berechnen kann.

Somit gilt: x₁ = $\frac{5}{6}$ π und x₂ = $\frac{1}{6}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $- \frac{7}{6}$ π als $- \frac{7}{6}$ ⋅ 180° = -210° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 150°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 150° an der y-Achse spiegelt, erhält man wieder 150°, allerdings diesemal zwischen der negativen x-Achse und dem pinken Strich. Den gesuchten Winkel misst man ja aber immer zwischen der positiven x-Achse und dem Strich, und das ist dann ja gerade das was noch zu den 180° fehlt:

Wir können also immer einfach 180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = 180° - 150° = 30°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{5}{6}$ π und x₂ = $\frac{1}{6}$ π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

π

L={0; $π$ }

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Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

einfache trigonometrische Gleichungen