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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 300° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

300° sind aber nur ein 300° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 300° auch nur 300° 360° ⋅ 2π = 300 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = 300° 180° ⋅π = 10 6 ⋅π = 5 3 ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = 17 6 π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

17 6 π entspricht also dem Gradmaß 17 6 ⋅180° = 510°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 3.4 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

3.4 = 3.4 π ⋅π entspricht also dem Gradmaß 3.4 π ⋅180° ≈ 194.8°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise cos( 1 3 π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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1 3 π bedeutet 1 6 eines Kreises, also 1 6 von 360° = 60°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( 1 3 π ) bzw. für cos(60°) ablesen:

cos 1 3 π ) bzw. cos(60°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( 1 3 π °) ≈ 0.5

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Kosinuswert haben wie x = 37 12 π.

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canvas

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie 37 12 π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= 24 12 π) vom gegebenen Winkel: 37 12 π - 24 12 π = 13 12 π.

Somit gilt x1 = 13 12 π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x2 einfach als x2 = - x1 berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt - 13 12 π einfach - 13 12 π + 2 π = 11 12 π für x2.

Somit gilt: x1 = 13 12 π und x2 = 11 12 π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel 37 12 π als 37 12 ⋅ 180° = 555° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 195°.

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 195° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -195°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -195° + 360° = 165°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x1 = 13 12 π und x2 = 11 12 π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
cos( x ) = 0,85

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canvas
cos( x ) = 0,85 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.55481103298007

1. Fall:

x1 = 0,555

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0,85 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.85 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 0,555
bzw. bei - 0,555 +2π= 5,728 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 5,728

L={ 0,555 ; 5,728 }