nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 330° im Bogenmaß x an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

330° sind aber nur ein 330° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 330° auch nur 330° 360° ⋅ 2π = 330 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = 330° 180° ⋅π = 11 6 ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = 5 3 π im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

5 3 π entspricht also dem Gradmaß 5 3 ⋅180° = 300°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 4.8 im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

4.8 = 4.8 π ⋅π entspricht also dem Gradmaß 4.8 π ⋅180° ≈ 275°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme näherungsweise sin( 3 2 π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

3 2 π bedeutet 3 4 eines Kreises, also 3 4 von 360° = 270°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( 3 2 π ) bzw. für sin(270°) ablesen:

sin( 3 2 π ) bzw. sin(270°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( 3 2 π °) ≈ -1

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = 10 3 π.

Lösung einblenden
canvas

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie 10 3 π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= 6 3 π) vom gegebenen Winkel: 10 3 π - 6 3 π = 4 3 π.

Somit gilt x1 = 4 3 π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x2 einfach als x2 = π - x1, also π - 4 3 π = - 1 3 π berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt - 1 3 π einfach - 1 3 π + 2 π = 5 3 π für x2.

Somit gilt: x1 = 4 3 π und x2 = 5 3 π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel 10 3 π als 10 3 ⋅ 180° = 600° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 240°.

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 240° als negativen Winkel 240° -360° = -120° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = -180° - (-120°) = -60°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -60° + 360° = 300°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x1 = 4 3 π und x2 = 5 3 π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
cos( x ) = 0,4

Lösung einblenden
canvas
cos( x ) = 0,4 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.1592794807274

1. Fall:

x1 = 1,159

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0,4 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,159
bzw. bei - 1,159 +2π= 5,124 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 5,124

L={ 1,159 ; 5,124 }