Mathebattle EduRandomtasks

Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 30° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

30° sind aber nur ein $\frac{30°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 30° auch nur $\frac{30°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{30}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{30°}{180°}$ ⋅π = $\frac{1}{6}$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $1$ π im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$1$ π entspricht also dem Gradmaß $1$ ⋅180° = 180°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 1.4 im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

1.4 = $\frac{1.4}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{1.4}{π}$ ⋅180° ≈ 80.2°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin( $\frac{2}{5} π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

$\frac{2}{5} π$ bedeutet $\frac{1}{5}$ eines Kreises, also $\frac{1}{5}$ von 360° = 72°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $\frac{2}{5} π$ ) bzw. für sin(72°) ablesen:

sin( $\frac{2}{5} π$ ) bzw. sin(72°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $\frac{2}{5} π$ °) ≈ 0.95

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = $- \frac{1}{4}$ π.

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $- \frac{1}{4}$ π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{8}{4}$ π) zum gegebenen Winkel: $- \frac{1}{4}$ π + $\frac{8}{4}$ π = $\frac{7}{4}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{7}{4}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{7}{4}$ π = $- \frac{3}{4}$ π berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $- \frac{3}{4}$ π einfach $- \frac{3}{4}$ π + 2 π = $\frac{5}{4}$ π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{7}{4}$ π und x₂ = $\frac{5}{4}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $- \frac{1}{4}$ π als $- \frac{1}{4}$ ⋅ 180° = -45° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 315°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 315° als negativen Winkel 315° -360° = -45° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = -180° - (-45°) = -135°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -135° + 360° = 225°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{7}{4}$ π und x₂ = $\frac{5}{4}$ π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $- 0,85$

Lösung einblenden

\cos (x)

=

- 0,85

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.5867816206097

1. Fall:

x₁

=

2,587

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,85$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.85 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $2,587$
bzw. bei - $2,587$ +2π= $3,696$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

3,696

L={ $2,587$ ; $3,696$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

einfache trigonometrische Gleichungen