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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 45° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

45° sind aber nur ein $\frac{45°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 45° auch nur $\frac{45°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{45}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{45°}{180°}$ ⋅π = $\frac{9}{36}$ ⋅π = $\frac{1}{4}$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $\frac{4}{3}$ π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{4}{3}$ π entspricht also dem Gradmaß $\frac{4}{3}$ ⋅180° = 240°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 1.3 im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

1.3 = $\frac{1.3}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{1.3}{π}$ ⋅180° ≈ 74.5°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin( $2 π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

$2 π$ bedeutet $1$ eines Kreises, also $1$ von 360° = 360°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $2 π$ ) bzw. für sin(360°) ablesen:

sin( $2 π$ ) bzw. sin(360°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $2 π$ °) ≈ -0

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Kosinuswert haben wie x = $- \frac{7}{4}$ π.

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $- \frac{7}{4}$ π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{8}{4}$ π) zum gegebenen Winkel: $- \frac{7}{4}$ π + $\frac{8}{4}$ π = $\frac{1}{4}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{1}{4}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = - x₁ berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $- \frac{1}{4}$ π einfach $- \frac{1}{4}$ π + 2 π = $\frac{7}{4}$ π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{1}{4}$ π und x₂ = $\frac{7}{4}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $- \frac{7}{4}$ π als $- \frac{7}{4}$ ⋅ 180° = -315° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 45°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 45° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -45°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -45° + 360° = 315°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{1}{4}$ π und x₂ = $\frac{7}{4}$ π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\sin (x)$ = $- 0,85$

Lösung einblenden

\sin (x)

=

- 0,85

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -1.0159852938148

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,267$

1. Fall:

x₁

=

5,267

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,85$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.85 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,267$ =-2.1254 bzw. bei -2.1254+2π= $4,158$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

4,158

L={ $4,158$ ; $5,267$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

einfache trigonometrische Gleichungen