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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = -90° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

-90° sind aber nur ein $\frac{-90°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu -90° auch nur $\frac{-90°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{-90}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{-90°}{180°}$ ⋅π = $- \frac{3}{6}$ ⋅π = $- \frac{1}{2}$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $\frac{4}{3}$ π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{4}{3}$ π entspricht also dem Gradmaß $\frac{4}{3}$ ⋅180° = 240°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 2.6 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

2.6 = $\frac{2.6}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{2.6}{π}$ ⋅180° ≈ 149°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin( $- 2 π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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$- 2 π$ bedeutet $- 1$ eines Kreises, also $- 1$ von 360° = -360°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $- 2 π$ ) bzw. für sin(-360°) ablesen:

sin( $- 2 π$ ) bzw. sin(-360°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $- 2 π$ °) ≈ 0

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = $\frac{35}{12}$ π.

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $\frac{35}{12}$ π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= $\frac{24}{12}$ π) vom gegebenen Winkel: $\frac{35}{12}$ π - $\frac{24}{12}$ π = $\frac{11}{12}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{11}{12}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{11}{12}$ π = $\frac{1}{12}$ π berechnen kann.

Somit gilt: x₁ = $\frac{11}{12}$ π und x₂ = $\frac{1}{12}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $\frac{35}{12}$ π als $\frac{35}{12}$ ⋅ 180° = 525° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 165°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 165° an der y-Achse spiegelt, erhält man wieder 165°, allerdings diesemal zwischen der negativen x-Achse und dem pinken Strich. Den gesuchten Winkel misst man ja aber immer zwischen der positiven x-Achse und dem Strich, und das ist dann ja gerade das was noch zu den 180° fehlt:

Wir können also immer einfach 180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = 180° - 165° = 15°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{11}{12}$ π und x₂ = $\frac{1}{12}$ π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $0,55$

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\cos (x)

=

0,55

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.98843208892615

1. Fall:

x₁

=

0,988

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,55$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.55 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,988$
bzw. bei - $0,988$ +2π= $5,295$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

5,295

L={ $0,988$ ; $5,295$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

einfache trigonometrische Gleichungen