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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 630° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

630° sind aber nur ein 630° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 630° auch nur 630° 360° ⋅ 2π = 630 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = 630° 180° ⋅π = 21 6 ⋅π = 7 2 ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = 1π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

1π entspricht also dem Gradmaß 1⋅180° = 180°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 3.8 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

3.8 = 3.8 π ⋅π entspricht also dem Gradmaß 3.8 π ⋅180° ≈ 217.7°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise cos( 3 4 π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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3 4 π bedeutet 3 8 eines Kreises, also 3 8 von 360° = 135°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( 3 4 π ) bzw. für cos(135°) ablesen:

cos 3 4 π ) bzw. cos(135°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( 3 4 π °) ≈ -0.71

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Kosinuswert haben wie x = 29 12 π.

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canvas

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie 29 12 π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= 24 12 π) vom gegebenen Winkel: 29 12 π - 24 12 π = 5 12 π.

Somit gilt x1 = 5 12 π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x2 einfach als x2 = - x1 berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt - 5 12 π einfach - 5 12 π + 2 π = 19 12 π für x2.

Somit gilt: x1 = 5 12 π und x2 = 19 12 π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel 29 12 π als 29 12 ⋅ 180° = 435° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 75°.

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 75° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -75°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -75° + 360° = 285°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x1 = 5 12 π und x2 = 19 12 π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
cos( x ) = -0,3

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cos( x ) = -0,3 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.8754889808103

1. Fall:

x1 = 1,875

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = -0,3 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,875
bzw. bei - 1,875 +2π= 4,408 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 4,408

L={ 1,875 ; 4,408 }