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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 270° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

270° sind aber nur ein 270° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 270° auch nur 270° 360° ⋅ 2π = 270 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = 270° 180° ⋅π = 9 6 ⋅π = 3 2 ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = 1π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

1π entspricht also dem Gradmaß 1⋅180° = 180°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 3.8 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

3.8 = 3.8 π ⋅π entspricht also dem Gradmaß 3.8 π ⋅180° ≈ 217.7°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise cos( 1 5 π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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1 5 π bedeutet 1 10 eines Kreises, also 1 10 von 360° = 36°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( 1 5 π ) bzw. für cos(36°) ablesen:

cos 1 5 π ) bzw. cos(36°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( 1 5 π °) ≈ 0.81

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = 15 4 π.

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canvas

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie 15 4 π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= 8 4 π) vom gegebenen Winkel: 15 4 π - 8 4 π = 7 4 π.

Somit gilt x1 = 7 4 π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x2 einfach als x2 = π - x1, also π - 7 4 π = - 3 4 π berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt - 3 4 π einfach - 3 4 π + 2 π = 5 4 π für x2.

Somit gilt: x1 = 7 4 π und x2 = 5 4 π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel 15 4 π als 15 4 ⋅ 180° = 675° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 315°.

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 315° als negativen Winkel 315° -360° = -45° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = -180° - (-45°) = -135°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -135° + 360° = 225°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x1 = 7 4 π und x2 = 5 4 π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
sin( x ) = 0,65

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sin( x ) = 0,65 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.70758443672536

1. Fall:

x1 = 0,708

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0,65 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.65 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,708 = 2,434 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 2,434

L={ 0,708 ; 2,434 }