nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 255° im Bogenmaß x an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

255° sind aber nur ein 255° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 255° auch nur 255° 360° ⋅ 2π = 255 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = 255° 180° ⋅π = 51 36 ⋅π = 17 12 ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = 7 6 π im Gradnmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

7 6 π entspricht also dem Gradmaß 7 6 ⋅180° = 210°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 0.2 im Gradnmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

0.2 = 0.2 π ⋅π entspricht also dem Gradmaß 0.2 π ⋅180° ≈ 11.5°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme näherungsweise cos( 5 4 π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

5 4 π bedeutet 5 8 eines Kreises, also 5 8 von 360° = 225°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( 5 4 π ) bzw. für cos(225°) ablesen:

cos 5 4 π ) bzw. cos(225°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( 5 4 π °) ≈ -0.71

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Kosinuswert haben wie x = 31 12 π.

Lösung einblenden
canvas

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie 31 12 π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= 24 12 π) vom gegebenen Winkel: 31 12 π - 24 12 π = 7 12 π.

Somit gilt x1 = 7 12 π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x2 einfach als x2 = - x1 berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt - 7 12 π einfach - 7 12 π + 2 π = 17 12 π für x2.

Somit gilt: x1 = 7 12 π und x2 = 17 12 π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel 31 12 π als 31 12 ⋅ 180° = 465° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 105°.

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 105° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -105°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -105° + 360° = 255°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x1 = 7 12 π und x2 = 17 12 π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
sin( x ) = -0,85

Lösung einblenden
canvas
sin( x ) = -0,85 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -1.0159852938148

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 5,267

1. Fall:

x1 = 5,267

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = -0,85 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.85 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5,267 =-2.1254 bzw. bei -2.1254+2π= 4,158 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 4,158

L={ 4,158 ; 5,267 }