Mathebattle EduRandomtasks

Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 135° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

135° sind aber nur ein $\frac{135°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 135° auch nur $\frac{135°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{135}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{135°}{180°}$ ⋅π = $\frac{27}{36}$ ⋅π = $\frac{3}{4}$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $\frac{11}{6}$ π im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{11}{6}$ π entspricht also dem Gradmaß $\frac{11}{6}$ ⋅180° = 330°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 3 im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

3 = $\frac{3}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{3}{π}$ ⋅180° ≈ 171.9°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise cos( $- 2 π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

$- 2 π$ bedeutet $- 1$ eines Kreises, also $- 1$ von 360° = -360°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( $- 2 π$ ) bzw. für cos(-360°) ablesen:

cos $- 2 π$ ) bzw. cos(-360°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( $- 2 π$ °) ≈ 1

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = $- \frac{2}{3}$ π.

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $- \frac{2}{3}$ π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{6}{3}$ π) zum gegebenen Winkel: $- \frac{2}{3}$ π + $\frac{6}{3}$ π = $\frac{4}{3}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{4}{3}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{4}{3}$ π = $- \frac{1}{3}$ π berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $- \frac{1}{3}$ π einfach $- \frac{1}{3}$ π + 2 π = $\frac{5}{3}$ π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{4}{3}$ π und x₂ = $\frac{5}{3}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $- \frac{2}{3}$ π als $- \frac{2}{3}$ ⋅ 180° = -120° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 240°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 240° als negativen Winkel 240° -360° = -120° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = -180° - (-120°) = -60°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -60° + 360° = 300°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{4}{3}$ π und x₂ = $\frac{5}{3}$ π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\sin (x)$ = $- 0,8$

Lösung einblenden

\sin (x)

=

- 0,8

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.92729521800161

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,356$

1. Fall:

x₁

=

5,356

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,8$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,356$ =-2.2144 bzw. bei -2.2144+2π= $4,069$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

4,069

L={ $4,069$ ; $5,356$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

einfache trigonometrische Gleichungen