Mathebattle EduRandomtasks

Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 285° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

285° sind aber nur ein $\frac{285°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 285° auch nur $\frac{285°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{285}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{285°}{180°}$ ⋅π = $\frac{57}{36}$ ⋅π = $\frac{19}{12}$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $\frac{23}{6}$ π im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{23}{6}$ π entspricht also dem Gradmaß $\frac{23}{6}$ ⋅180° = 690°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 3 im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

3 = $\frac{3}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{3}{π}$ ⋅180° ≈ 171.9°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin( $- π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

$- π$ bedeutet $- \frac{1}{2}$ eines Kreises, also $- \frac{1}{2}$ von 360° = -180°.

Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -180° + 360° = 180°

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $- π$ ) bzw. für sin(-180°) ablesen:

sin( $- π$ ) bzw. sin(-180°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $- π$ °) ≈ -0

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = $\frac{11}{4}$ π.

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $\frac{11}{4}$ π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= $\frac{8}{4}$ π) vom gegebenen Winkel: $\frac{11}{4}$ π - $\frac{8}{4}$ π = $\frac{3}{4}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{3}{4}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{3}{4}$ π = $\frac{1}{4}$ π berechnen kann.

Somit gilt: x₁ = $\frac{3}{4}$ π und x₂ = $\frac{1}{4}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $\frac{11}{4}$ π als $\frac{11}{4}$ ⋅ 180° = 495° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 135°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 135° an der y-Achse spiegelt, erhält man wieder 135°, allerdings diesemal zwischen der negativen x-Achse und dem pinken Strich. Den gesuchten Winkel misst man ja aber immer zwischen der positiven x-Achse und dem Strich, und das ist dann ja gerade das was noch zu den 180° fehlt:

Wir können also immer einfach 180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = 180° - 135° = 45°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{3}{4}$ π und x₂ = $\frac{1}{4}$ π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $0,2$

Lösung einblenden

\cos (x)

=

0,2

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.3694384060046

1. Fall:

x₁

=

1,369

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,2$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,369$
bzw. bei - $1,369$ +2π= $4,914$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

4,914

L={ $1,369$ ; $4,914$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

einfache trigonometrische Gleichungen