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Winkel im Bogenmaß angeben
Beispiel:
Gib den Winkel α = 225° im Bogenmaß x an.
Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.
225° sind aber nur ein Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 225° auch nur ⋅ 2π = ⋅ π.
Jetzt müssen wir nur noch kürzen:
x = ⋅π = ⋅π = ⋅π
vom Bogenmaß ins Gradmaß
Beispiel:
Gib den Winkel x = π im Gradmaß α an.
Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.
Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.
π entspricht also dem Gradmaß ⋅180° = -450°
vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)
Beispiel:
Gib den Winkel x = 4.5 im Gradmaß α an.
Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.
Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.
4.5 = ⋅π entspricht also dem Gradmaß ⋅180° ≈ 257.8°
sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)
Beispiel:
Bestimme näherungsweise cos( ).
Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen
bedeutet eines Kreises, also von 360° = 180°.
Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( ) bzw. für cos(180°) ablesen:
cos
) bzw. cos(180°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:
cos( °) ≈ -1
gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)
Beispiel:
Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Kosinuswert haben wie x = π.
Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= π) vom gegebenen Winkel: π - π =π.
Somit gilt x1 = π.
Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.
Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x2 einfach als x2 = - x1 berechnen kann.
Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt π einfach π + 2 π = π für x2.
Somit gilt: x1 = π und x2 = π und
Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel π
als ⋅ 180° = 600° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also
= 240°.
Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.
Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 240° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -240°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.
Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:
β = -240° + 360° = 120°
Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x1 = π und x2 = π
einfache trigonometrische Gleichungen
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
=
| = | |sin-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert -0.4667653390473
Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so
1. Fall:
| x1 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung = noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.45 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - =-2.6744 bzw. bei -2.6744+2π= liegen muss.
2. Fall:
| x2 | = |
L={ ; }