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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 165° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

165° sind aber nur ein $\frac{165°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 165° auch nur $\frac{165°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{165}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{165°}{180°}$ ⋅π = $\frac{33}{36}$ ⋅π = $\frac{11}{12}$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $\frac{5}{3}$ π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{5}{3}$ π entspricht also dem Gradmaß $\frac{5}{3}$ ⋅180° = 300°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 2.4 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

2.4 = $\frac{2.4}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{2.4}{π}$ ⋅180° ≈ 137.5°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise cos( $- π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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$- π$ bedeutet $- \frac{1}{2}$ eines Kreises, also $- \frac{1}{2}$ von 360° = -180°.

Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -180° + 360° = 180°

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( $- π$ ) bzw. für cos(-180°) ablesen:

cos $- π$ ) bzw. cos(-180°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( $- π$ °) ≈ -1

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Kosinuswert haben wie x = $- \frac{19}{12}$ π.

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $- \frac{19}{12}$ π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{24}{12}$ π) zum gegebenen Winkel: $- \frac{19}{12}$ π + $\frac{24}{12}$ π = $\frac{5}{12}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{5}{12}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = - x₁ berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $- \frac{5}{12}$ π einfach $- \frac{5}{12}$ π + 2 π = $\frac{19}{12}$ π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{5}{12}$ π und x₂ = $\frac{19}{12}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $- \frac{19}{12}$ π als $- \frac{19}{12}$ ⋅ 180° = -285° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 75°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 75° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -75°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -75° + 360° = 285°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{5}{12}$ π und x₂ = $\frac{19}{12}$ π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $- 0,2$

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\cos (x)

=

- 0,2

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.7721542475852

1. Fall:

x₁

=

1,772

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,2$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,772$
bzw. bei - $1,772$ +2π= $4,511$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

4,511

L={ $1,772$ ; $4,511$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

einfache trigonometrische Gleichungen