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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = -450° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

-450° sind aber nur ein -450° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu -450° auch nur -450° 360° ⋅ 2π = -450 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = -450° 180° ⋅π = - 15 6 ⋅π = - 5 2 ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = 10 3 π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

10 3 π entspricht also dem Gradmaß 10 3 ⋅180° = 600°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 1.3 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

1.3 = 1.3 π ⋅π entspricht also dem Gradmaß 1.3 π ⋅180° ≈ 74.5°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise cos( - 1 5 π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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- 1 5 π bedeutet - 1 10 eines Kreises, also - 1 10 von 360° = -36°.

Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -36° + 360° = 324°

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( - 1 5 π ) bzw. für cos(-36°) ablesen:

cos - 1 5 π ) bzw. cos(-36°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( - 1 5 π °) ≈ 0.81

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = 8 3 π.

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie 8 3 π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= 6 3 π) vom gegebenen Winkel: 8 3 π - 6 3 π = 2 3 π.

Somit gilt x1 = 2 3 π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x2 einfach als x2 = π - x1, also π - 2 3 π = 1 3 π berechnen kann.

Somit gilt: x1 = 2 3 π und x2 = 1 3 π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel 8 3 π als 8 3 ⋅ 180° = 480° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 120°.

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 120° an der y-Achse spiegelt, erhält man wieder 120°, allerdings diesemal zwischen der negativen x-Achse und dem pinken Strich. Den gesuchten Winkel misst man ja aber immer zwischen der positiven x-Achse und dem Strich, und das ist dann ja gerade das was noch zu den 180° fehlt:

Wir können also immer einfach 180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = 180° - 120° = 60°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x1 = 2 3 π und x2 = 1 3 π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
sin( x ) = -0,4

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sin( x ) = -0,4 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.41151684606749

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 5,872

1. Fall:

x1 = 5,872

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = -0,4 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5,872 =-2.7304 bzw. bei -2.7304+2π= 3,553 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3,553

L={ 3,553 ; 5,872 }