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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 240° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

240° sind aber nur ein 240° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 240° auch nur 240° 360° ⋅ 2π = 240 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = 240° 180° ⋅π = 8 6 ⋅π = 4 3 ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = 3π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

3π entspricht also dem Gradmaß 3⋅180° = 540°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 3.1 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

3.1 = 3.1 π ⋅π entspricht also dem Gradmaß 3.1 π ⋅180° ≈ 177.6°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise cos( 4 5 π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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4 5 π bedeutet 2 5 eines Kreises, also 2 5 von 360° = 144°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( 4 5 π ) bzw. für cos(144°) ablesen:

cos 4 5 π ) bzw. cos(144°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( 4 5 π °) ≈ -0.81

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Kosinuswert haben wie x = - 1 3 π.

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canvas

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie - 1 3 π. Dazu addieren wir einfach 2π (= 6 3 π) zum gegebenen Winkel: - 1 3 π + 6 3 π = 5 3 π.

Somit gilt x1 = 5 3 π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x2 einfach als x2 = - x1 berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt - 5 3 π einfach - 5 3 π + 2 π = 1 3 π für x2.

Somit gilt: x1 = 5 3 π und x2 = 1 3 π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel - 1 3 π als - 1 3 ⋅ 180° = -60° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 300°.

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 300° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -300°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -300° + 360° = 60°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x1 = 5 3 π und x2 = 1 3 π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
cos( x ) = 0,2

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cos( x ) = 0,2 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.3694384060046

1. Fall:

x1 = 1,369

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0,2 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,369
bzw. bei - 1,369 +2π= 4,914 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 4,914

L={ 1,369 ; 4,914 }