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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 630° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

630° sind aber nur ein $\frac{630°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 630° auch nur $\frac{630°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{630}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{630°}{180°}$ ⋅π = $\frac{21}{6}$ ⋅π = $\frac{7}{2}$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $\frac{5}{3}$ π im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{5}{3}$ π entspricht also dem Gradmaß $\frac{5}{3}$ ⋅180° = 300°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 4.6 im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

4.6 = $\frac{4.6}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{4.6}{π}$ ⋅180° ≈ 263.6°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise cos( $\frac{5}{2} π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

$\frac{5}{2} π$ bedeutet $\frac{5}{4}$ eines Kreises, also $\frac{5}{4}$ von 360° = 450°.

Da dieser Winkel > 2π ist, kann man diesen einfach als 450° = 90° + 360° schreiben kann. Das bedeutet, dass man bei 450° wieder an der gleichen Stelle im Einheitskreis ist wie bei 90°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( $\frac{5}{2} π$ ) bzw. für cos(450°) ablesen:

cos $\frac{5}{2} π$ ) bzw. cos(450°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( $\frac{5}{2} π$ °) ≈ 0

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Kosinuswert haben wie x = $\frac{15}{4}$ π.

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $\frac{15}{4}$ π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= $\frac{8}{4}$ π) vom gegebenen Winkel: $\frac{15}{4}$ π - $\frac{8}{4}$ π = $\frac{7}{4}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{7}{4}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = - x₁ berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $- \frac{7}{4}$ π einfach $- \frac{7}{4}$ π + 2 π = $\frac{1}{4}$ π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{7}{4}$ π und x₂ = $\frac{1}{4}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $\frac{15}{4}$ π als $\frac{15}{4}$ ⋅ 180° = 675° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 315°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 315° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -315°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -315° + 360° = 45°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{7}{4}$ π und x₂ = $\frac{1}{4}$ π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $1$

Lösung einblenden

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x

=

0

L={0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

einfache trigonometrische Gleichungen