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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 0° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

0° sind aber nur ein 0° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 0° auch nur 0° 360° ⋅ 2π = 0 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = 0° 180° ⋅π = 0 6 ⋅π = 0⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = 5 2 π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

5 2 π entspricht also dem Gradmaß 5 2 ⋅180° = 450°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 3.5 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

3.5 = 3.5 π ⋅π entspricht also dem Gradmaß 3.5 π ⋅180° ≈ 200.5°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise cos( -2π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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-2π bedeutet -1 eines Kreises, also -1 von 360° = -360°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( -2π ) bzw. für cos(-360°) ablesen:

cos -2π ) bzw. cos(-360°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( -2π °) ≈ 1

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Kosinuswert haben wie x = 13 4 π.

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canvas

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie 13 4 π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= 8 4 π) vom gegebenen Winkel: 13 4 π - 8 4 π = 5 4 π.

Somit gilt x1 = 5 4 π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x2 einfach als x2 = - x1 berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt - 5 4 π einfach - 5 4 π + 2 π = 3 4 π für x2.

Somit gilt: x1 = 5 4 π und x2 = 3 4 π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel 13 4 π als 13 4 ⋅ 180° = 585° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 225°.

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 225° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -225°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -225° + 360° = 135°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x1 = 5 4 π und x2 = 3 4 π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
sin( x ) = -0,95

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canvas
sin( x ) = -0,95 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -1.2532358975034

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 5,03

1. Fall:

x1 = 5,03

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = -0,95 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.95 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5,03 =-1.8884 bzw. bei -1.8884+2π= 4,395 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 4,395

L={ 4,395 ; 5,03 }