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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 120° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

120° sind aber nur ein 120° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 120° auch nur 120° 360° ⋅ 2π = 120 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = 120° 180° ⋅π = 4 6 ⋅π = 2 3 ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = 10 3 π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

10 3 π entspricht also dem Gradmaß 10 3 ⋅180° = 600°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 0.2 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

0.2 = 0.2 π ⋅π entspricht also dem Gradmaß 0.2 π ⋅180° ≈ 11.5°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise sin( 3 4 π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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3 4 π bedeutet 3 8 eines Kreises, also 3 8 von 360° = 135°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( 3 4 π ) bzw. für sin(135°) ablesen:

sin( 3 4 π ) bzw. sin(135°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( 3 4 π °) ≈ 0.71

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = 17 6 π.

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canvas

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie 17 6 π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= 12 6 π) vom gegebenen Winkel: 17 6 π - 12 6 π = 5 6 π.

Somit gilt x1 = 5 6 π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x2 einfach als x2 = π - x1, also π - 5 6 π = 1 6 π berechnen kann.

Somit gilt: x1 = 5 6 π und x2 = 1 6 π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel 17 6 π als 17 6 ⋅ 180° = 510° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 150°.

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 150° an der y-Achse spiegelt, erhält man wieder 150°, allerdings diesemal zwischen der negativen x-Achse und dem pinken Strich. Den gesuchten Winkel misst man ja aber immer zwischen der positiven x-Achse und dem Strich, und das ist dann ja gerade das was noch zu den 180° fehlt:

Wir können also immer einfach 180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = 180° - 150° = 30°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x1 = 5 6 π und x2 = 1 6 π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
cos( x ) = 0,15

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cos( x ) = 0,15 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.4202280540182

1. Fall:

x1 = 1,42

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0,15 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.15 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,42
bzw. bei - 1,42 +2π= 4,863 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 4,863

L={ 1,42 ; 4,863 }