Mathebattle EduRandomtasks

Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 330° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

330° sind aber nur ein $\frac{330°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 330° auch nur $\frac{330°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{330}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{330°}{180°}$ ⋅π = $\frac{11}{6}$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $\frac{1}{2}$ π im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{1}{2}$ π entspricht also dem Gradmaß $\frac{1}{2}$ ⋅180° = 90°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 3.3 im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

3.3 = $\frac{3.3}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{3.3}{π}$ ⋅180° ≈ 189.1°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise cos( $- \frac{3}{4} π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

$- \frac{3}{4} π$ bedeutet $- \frac{3}{8}$ eines Kreises, also $- \frac{3}{8}$ von 360° = -135°.

Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -135° + 360° = 225°

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( $- \frac{3}{4} π$ ) bzw. für cos(-135°) ablesen:

cos $- \frac{3}{4} π$ ) bzw. cos(-135°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( $- \frac{3}{4} π$ °) ≈ -0.71

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Kosinuswert haben wie x = $\frac{61}{18}$ π.

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $\frac{61}{18}$ π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= $\frac{36}{18}$ π) vom gegebenen Winkel: $\frac{61}{18}$ π - $\frac{36}{18}$ π = $\frac{25}{18}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{25}{18}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = - x₁ berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $- \frac{25}{18}$ π einfach $- \frac{25}{18}$ π + 2 π = $\frac{11}{18}$ π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{25}{18}$ π und x₂ = $\frac{11}{18}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $\frac{61}{18}$ π als $\frac{61}{18}$ ⋅ 180° = 610° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 250°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 250° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -250°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -250° + 360° = 110°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{25}{18}$ π und x₂ = $\frac{11}{18}$ π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\sin (x)$ = $- 0,1$

Lösung einblenden

\sin (x)

=

- 0,1

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.10016742116156

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $6,183$

1. Fall:

x₁

=

6,183

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,1$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $6,183$ =-3.0414 bzw. bei -3.0414+2π= $3,242$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

3,242

L={ $3,242$ ; $6,183$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

einfache trigonometrische Gleichungen