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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 150° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

150° sind aber nur ein $\frac{150°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 150° auch nur $\frac{150°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{150}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{150°}{180°}$ ⋅π = $\frac{5}{6}$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $\frac{1}{3}$ π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{1}{3}$ π entspricht also dem Gradmaß $\frac{1}{3}$ ⋅180° = 60°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 2.2 im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

2.2 = $\frac{2.2}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{2.2}{π}$ ⋅180° ≈ 126.1°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise cos( $\frac{1}{2} π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} π$ bedeutet $\frac{1}{4}$ eines Kreises, also $\frac{1}{4}$ von 360° = 90°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( $\frac{1}{2} π$ ) bzw. für cos(90°) ablesen:

cos $\frac{1}{2} π$ ) bzw. cos(90°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( $\frac{1}{2} π$ °) ≈ 0

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = $\frac{11}{4}$ π.

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $\frac{11}{4}$ π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= $\frac{8}{4}$ π) vom gegebenen Winkel: $\frac{11}{4}$ π - $\frac{8}{4}$ π = $\frac{3}{4}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{3}{4}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{3}{4}$ π = $\frac{1}{4}$ π berechnen kann.

Somit gilt: x₁ = $\frac{3}{4}$ π und x₂ = $\frac{1}{4}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $\frac{11}{4}$ π als $\frac{11}{4}$ ⋅ 180° = 495° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 135°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 135° an der y-Achse spiegelt, erhält man wieder 135°, allerdings diesemal zwischen der negativen x-Achse und dem pinken Strich. Den gesuchten Winkel misst man ja aber immer zwischen der positiven x-Achse und dem Strich, und das ist dann ja gerade das was noch zu den 180° fehlt:

Wir können also immer einfach 180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = 180° - 135° = 45°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{3}{4}$ π und x₂ = $\frac{1}{4}$ π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\sin (x)$ = $- 0,65$

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\sin (x)

=

- 0,65

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.70758443672536

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,576$

1. Fall:

x₁

=

5,576

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,65$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.65 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,576$ =-2.4344 bzw. bei -2.4344+2π= $3,849$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

3,849

L={ $3,849$ ; $5,576$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

einfache trigonometrische Gleichungen