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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 75° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

75° sind aber nur ein 75° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 75° auch nur 75° 360° ⋅ 2π = 75 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = 75° 180° ⋅π = 15 36 ⋅π = 5 12 ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = 2 3 π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

2 3 π entspricht also dem Gradmaß 2 3 ⋅180° = 120°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 0.8 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

0.8 = 0.8 π ⋅π entspricht also dem Gradmaß 0.8 π ⋅180° ≈ 45.8°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise cos( π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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π bedeutet 1 2 eines Kreises, also 1 2 von 360° = 180°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( π ) bzw. für cos(180°) ablesen:

cos π ) bzw. cos(180°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( π °) ≈ -1

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = 59 18 π.

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canvas

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie 59 18 π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= 36 18 π) vom gegebenen Winkel: 59 18 π - 36 18 π = 23 18 π.

Somit gilt x1 = 23 18 π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x2 einfach als x2 = π - x1, also π - 23 18 π = - 5 18 π berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt - 5 18 π einfach - 5 18 π + 2 π = 31 18 π für x2.

Somit gilt: x1 = 23 18 π und x2 = 31 18 π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel 59 18 π als 59 18 ⋅ 180° = 590° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 230°.

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 230° als negativen Winkel 230° -360° = -130° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = -180° - (-130°) = -50°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -50° + 360° = 310°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x1 = 23 18 π und x2 = 31 18 π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
cos( x ) = -0,1

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cos( x ) = -0,1 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.6709637479565

1. Fall:

x1 = 1,671

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = -0,1 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,671
bzw. bei - 1,671 +2π= 4,612 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 4,612

L={ 1,671 ; 4,612 }