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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 285° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

285° sind aber nur ein $\frac{285°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 285° auch nur $\frac{285°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{285}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{285°}{180°}$ ⋅π = $\frac{57}{36}$ ⋅π = $\frac{19}{12}$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $\frac{11}{6}$ π im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{11}{6}$ π entspricht also dem Gradmaß $\frac{11}{6}$ ⋅180° = 330°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 1.3 im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

1.3 = $\frac{1.3}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{1.3}{π}$ ⋅180° ≈ 74.5°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise cos( $- \frac{11}{10} π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

$- \frac{11}{10} π$ bedeutet $- \frac{11}{20}$ eines Kreises, also $- \frac{11}{20}$ von 360° = -198°.

Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -198° + 360° = 162°

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( $- \frac{11}{10} π$ ) bzw. für cos(-198°) ablesen:

cos $- \frac{11}{10} π$ ) bzw. cos(-198°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( $- \frac{11}{10} π$ °) ≈ -0.95

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = $\frac{10}{3}$ π.

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $\frac{10}{3}$ π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= $\frac{6}{3}$ π) vom gegebenen Winkel: $\frac{10}{3}$ π - $\frac{6}{3}$ π = $\frac{4}{3}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{4}{3}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{4}{3}$ π = $- \frac{1}{3}$ π berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $- \frac{1}{3}$ π einfach $- \frac{1}{3}$ π + 2 π = $\frac{5}{3}$ π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{4}{3}$ π und x₂ = $\frac{5}{3}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $\frac{10}{3}$ π als $\frac{10}{3}$ ⋅ 180° = 600° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 240°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 240° als negativen Winkel 240° -360° = -120° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = -180° - (-120°) = -60°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -60° + 360° = 300°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{4}{3}$ π und x₂ = $\frac{5}{3}$ π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $- 0,8$

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\cos (x)

=

- 0,8

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.4980915447965

1. Fall:

x₁

=

2,498

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,8$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $2,498$
bzw. bei - $2,498$ +2π= $3,785$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

3,785

L={ $2,498$ ; $3,785$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

einfache trigonometrische Gleichungen