Mathebattle EduRandomtasks

Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 345° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

345° sind aber nur ein $\frac{345°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 345° auch nur $\frac{345°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{345}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{345°}{180°}$ ⋅π = $\frac{69}{36}$ ⋅π = $\frac{23}{12}$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $\frac{3}{2}$ π im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{3}{2}$ π entspricht also dem Gradmaß $\frac{3}{2}$ ⋅180° = 270°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 3.3 im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

3.3 = $\frac{3.3}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{3.3}{π}$ ⋅180° ≈ 189.1°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin( $\frac{5}{2} π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

$\frac{5}{2} π$ bedeutet $\frac{5}{4}$ eines Kreises, also $\frac{5}{4}$ von 360° = 450°.

Da dieser Winkel > 2π ist, kann man diesen einfach als 450° = 90° + 360° schreiben kann. Das bedeutet, dass man bei 450° wieder an der gleichen Stelle im Einheitskreis ist wie bei 90°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $\frac{5}{2} π$ ) bzw. für sin(450°) ablesen:

sin( $\frac{5}{2} π$ ) bzw. sin(450°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $\frac{5}{2} π$ °) ≈ 1

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = $- \frac{1}{6}$ π.

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $- \frac{1}{6}$ π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{12}{6}$ π) zum gegebenen Winkel: $- \frac{1}{6}$ π + $\frac{12}{6}$ π = $\frac{11}{6}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{11}{6}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{11}{6}$ π = $- \frac{5}{6}$ π berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $- \frac{5}{6}$ π einfach $- \frac{5}{6}$ π + 2 π = $\frac{7}{6}$ π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{11}{6}$ π und x₂ = $\frac{7}{6}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $- \frac{1}{6}$ π als $- \frac{1}{6}$ ⋅ 180° = -30° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 330°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 330° als negativen Winkel 330° -360° = -30° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = -180° - (-30°) = -150°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -150° + 360° = 210°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{11}{6}$ π und x₂ = $\frac{7}{6}$ π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $- 0,6$

Lösung einblenden

\cos (x)

=

- 0,6

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.2142974355882

1. Fall:

x₁

=

2,214

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,6$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $2,214$
bzw. bei - $2,214$ +2π= $4,069$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

4,069

L={ $2,214$ ; $4,069$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

einfache trigonometrische Gleichungen