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Winkel im Bogenmaß angeben
Beispiel:
Gib den Winkel α = 75° im Bogenmaß x an.
Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.
75° sind aber nur ein Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 75° auch nur ⋅ 2π = ⋅ π.
Jetzt müssen wir nur noch kürzen:
x = ⋅π = ⋅π = ⋅π
vom Bogenmaß ins Gradmaß
Beispiel:
Gib den Winkel x = π im Gradmaß α an.
Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.
Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.
π entspricht also dem Gradmaß ⋅180° = 900°
vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)
Beispiel:
Gib den Winkel x = 2.7 im Gradmaß α an.
Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.
Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.
2.7 = ⋅π entspricht also dem Gradmaß ⋅180° ≈ 154.7°
sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)
Beispiel:
Bestimme näherungsweise sin( ).
Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen
bedeutet eines Kreises, also von 360° = 270°.
Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( ) bzw. für sin(270°) ablesen:
sin(
) bzw. sin(270°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge
der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:
sin( °) ≈ -1
gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)
Beispiel:
Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = π.
Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie π. Dazu addieren wir einfach 2π (= π) zum gegebenen Winkel: π + π =π.
Somit gilt x1 = π.
Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.
Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x2 einfach als x2 = π - x1, also π - π = π berechnen kann.
Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt π einfach π + 2 π = π für x2.
Somit gilt: x1 = π und x2 = π und
Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel π
als ⋅ 180° = -70° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also
= 290°.
Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.
Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 290° als negativen Winkel 290° -360° = -70° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also
β = -180° - (-70°) = -110°
Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:
β = -110° + 360° = 250°
Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x1 = π und x2 = π
einfache trigonometrische Gleichungen
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
=
| = | |sin-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 1.0159852938148
1. Fall:
| x1 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung = noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.85 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - = liegen muss.
2. Fall:
| x2 | = |
L={ ; }