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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 105° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

105° sind aber nur ein $\frac{105°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 105° auch nur $\frac{105°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{105}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{105°}{180°}$ ⋅π = $\frac{21}{36}$ ⋅π = $\frac{7}{12}$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $\frac{17}{6}$ π im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{17}{6}$ π entspricht also dem Gradmaß $\frac{17}{6}$ ⋅180° = 510°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 3.1 im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

3.1 = $\frac{3.1}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{3.1}{π}$ ⋅180° ≈ 177.6°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin( $- 2 π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

$- 2 π$ bedeutet $- 1$ eines Kreises, also $- 1$ von 360° = -360°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $- 2 π$ ) bzw. für sin(-360°) ablesen:

sin( $- 2 π$ ) bzw. sin(-360°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $- 2 π$ °) ≈ 0

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Kosinuswert haben wie x = $\frac{13}{6}$ π.

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $\frac{13}{6}$ π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= $\frac{12}{6}$ π) vom gegebenen Winkel: $\frac{13}{6}$ π - $\frac{12}{6}$ π = $\frac{1}{6}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{1}{6}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = - x₁ berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $- \frac{1}{6}$ π einfach $- \frac{1}{6}$ π + 2 π = $\frac{11}{6}$ π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{1}{6}$ π und x₂ = $\frac{11}{6}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $\frac{13}{6}$ π als $\frac{13}{6}$ ⋅ 180° = 390° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 30°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 30° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -30°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -30° + 360° = 330°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{1}{6}$ π und x₂ = $\frac{11}{6}$ π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\sin (x)$ = $- 0,9$

Lösung einblenden

\sin (x)

=

- 0,9

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -1.1197695149986

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,163$

1. Fall:

x₁

=

5,163

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,9$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,163$ =-2.0214 bzw. bei -2.0214+2π= $4,261$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

4,261

L={ $4,261$ ; $5,163$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

einfache trigonometrische Gleichungen