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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 45° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

45° sind aber nur ein $\frac{45°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 45° auch nur $\frac{45°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{45}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{45°}{180°}$ ⋅π = $\frac{9}{36}$ ⋅π = $\frac{1}{4}$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $\frac{11}{6}$ π im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{11}{6}$ π entspricht also dem Gradmaß $\frac{11}{6}$ ⋅180° = 330°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 0.6 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

0.6 = $\frac{0.6}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{0.6}{π}$ ⋅180° ≈ 34.4°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise cos( $2 π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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$2 π$ bedeutet $1$ eines Kreises, also $1$ von 360° = 360°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( $2 π$ ) bzw. für cos(360°) ablesen:

cos $2 π$ ) bzw. cos(360°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( $2 π$ °) ≈ 1

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = $- \frac{7}{4}$ π.

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $- \frac{7}{4}$ π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{8}{4}$ π) zum gegebenen Winkel: $- \frac{7}{4}$ π + $\frac{8}{4}$ π = $\frac{1}{4}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{1}{4}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{1}{4}$ π = $\frac{3}{4}$ π berechnen kann.

Somit gilt: x₁ = $\frac{1}{4}$ π und x₂ = $\frac{3}{4}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $- \frac{7}{4}$ π als $- \frac{7}{4}$ ⋅ 180° = -315° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 45°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 45° an der y-Achse spiegelt, erhält man wieder 45°, allerdings diesemal zwischen der negativen x-Achse und dem pinken Strich. Den gesuchten Winkel misst man ja aber immer zwischen der positiven x-Achse und dem Strich, und das ist dann ja gerade das was noch zu den 180° fehlt:

Wir können also immer einfach 180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = 180° - 45° = 135°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{1}{4}$ π und x₂ = $\frac{3}{4}$ π

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $0,85$

Lösung einblenden

\cos (x)

=

0,85

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.55481103298007

1. Fall:

x₁

=

0,555

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,85$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.85 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,555$
bzw. bei - $0,555$ +2π= $5,728$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

5,728

L={ $0,555$ ; $5,728$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

einfache trigonometrische Gleichungen