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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $0,25$

\cos (x)

=

0,25

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.3181160716528

1. Fall:

x₁

=

1,318

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,25$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.25 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,318$
bzw. bei - $1,318$ +2π= $4,965$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

4,965

L={ $1,318$ ; $4,965$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$3 \cdot \cos (x + π)$ = 0

Lösung einblenden

3 \cdot \cos (x + π)

=

0

|:

3

\cos (x + π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + π

=

\frac{1}{2} π

oder

$x + π$	=	$\frac{1}{2} π + 2 π$
$x + π$	=	$\frac{5}{2} π$	\| $- π$
x₁	=	$\frac{3}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x + π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

$x + π$	=	$\frac{3}{2} π$	\| $- π$
x₂	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$- \cos (2 x + \frac{3}{2} π) - 2$ = $-1,55$

Lösung einblenden

- \cos (2 x + \frac{3}{2} π) - 2

=

-1,55

|

+ 2

- \cos (2 x + \frac{3}{2} π)

=

0,45

|:

- 1

\cos (2 x + \frac{3}{2} π)

=

- 0,45

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0375616658422

1. Fall:

2 x + \frac{3}{2} π

=

2,038

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$2,038 + 2 π$	\|⋅ 2
$4 x + 3 π$	=	$4,076 + 4 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$4,076 + π$
$4 x$	=	$7,2176$	\|: $4$
x₁	=	$1,8044$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x + \frac{3}{2} π)$ = $- 0,45$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.45 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $2,038$
bzw. bei - $2,038$ +2π= $4,246$ liegen muss.

2. Fall:

2 x + \frac{3}{2} π

=

4,246

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$4,246 + 2 π$	\|⋅ 2
$4 x + 3 π$	=	$8,492 + 4 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$8,492 + π$
$4 x$	=	$11,6336$	\|: $4$
x₂	=	$2,9084$

L={ $1,8044$ ; $2,9084$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} + \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) + 3) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) + 3

= 0 |

- 3

2 \cdot \cos (x)

=

- 3

|:

2

\cos (x)

=

- 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - 2 \cdot \sin (x) - 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} - 2 \cdot \sin (x) - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $3$

\sin (x)

=

3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\sin (x)$ = $- 1$

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(- 3 \cdot \cos (x + π) + 3) \cdot (\sin (x) + 1)$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 \cdot \cos (x + π) + 3) (\sin (x) + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 3 \cdot \cos (x + π) + 3

= 0 |

- 3

- 3 \cdot \cos (x + π)

=

- 3

|:

- 3

\cos (x + π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + π

=

0

oder

$x + π$	=	$0 + 2 π$
$x + π$	=	$2 π$	\| $- π$
x₁	=	$π$

2. Fall:

\sin (x) + 1

= 0 |

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF