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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
cos( x ) = 1

Lösung einblenden
canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x = 0

L={0}

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
2⋅ cos( x + π) +3 = 3

Lösung einblenden
2⋅ cos( x + π) +3 = 3 | -3
2⋅ cos( x + π) = 0 |:2
canvas
cos( x + π) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + π = 1 2 π

oder

x + π = 1 2 π+2π
x + π = 5 2 π | - π
x1 = 3 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x + π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x + π = 3 2 π | - π
x2 = 1 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ).
- cos( 2x - 1 2 π) +3 = 3,65

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- cos( 2x - 1 2 π) +3 = 3,65 | -3
- cos( 2x - 1 2 π) = 0,65 |:-1
canvas
cos( 2x - 1 2 π) = -0,65 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.2783807635203

1. Fall:

2x - 1 2 π = 2,278 |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = 4,556
4x - π = 4,556 | + π
4x = 4,556 + π
4x = 7,6976 |:4
x1 = 1,9244

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 2x - 1 2 π) = -0,65 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.65 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 2,278
bzw. bei - 2,278 +2π= 4,005 liegen muss.

2. Fall:

2x - 1 2 π = 4,005 |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = 8,01
4x - π = 8,01 | + π
4x = 8,01 + π
4x = 11,1516 |:4
x2 = 2,7879

L={ 1,9244 ; 2,7879 }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
1 2 ⋅ sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

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1 2 ⋅ sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ cos( x ) +1 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ cos( x ) +1 = 0 | -1
2⋅ cos( x ) = -1 |:2
canvas
cos( x ) = -0,5 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

x1 = 2 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = -0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 2 3 π
bzw. bei - 2 3 π +2π= 4 3 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 4 3 π

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x3 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x4 = π

L={0; 2 3 π ; π ; 4 3 π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 -2⋅ sin( x ) +1 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 -2⋅ sin( x ) +1 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -2u +1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · 1 2⋅1

u1,2 = +2 ± 4 -4 2

u1,2 = +2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 1 ± 0 = 1

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = 1

canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 1 2 π

u2: sin( x ) = 1

canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x2 = 1 2 π

L={ 1 2 π }

1 2 π ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; π ):
2⋅ cos( 2x - 1 2 π) · ( x -1 ) = 0

Lösung einblenden
2⋅ cos( 2x - 1 2 π) · ( x -1 ) = 0
2 cos( 2x - 1 2 π) · ( x -1 ) = 0
2 ( x -1 ) · cos( 2x - 1 2 π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -1 = 0 | +1
x1 = 1

2. Fall:

canvas
cos( 2x - 1 2 π) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

2x - 1 2 π = 1 2 π |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = π
4x - π = π | + π
4x = 2π |:4
x2 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 2x - 1 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

2x - 1 2 π = 3 2 π

oder

2x - 1 2 π = 3 2 π-2π
2x - 1 2 π = - 1 2 π |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = -π
4x - π = -π | + π
4x = 0 |:4
x3 = 0

L={0; 1 ; 1 2 π }