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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $0,25$

\cos (x)

=

0,25

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.3181160716528

1. Fall:

x₁

=

1,318

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,25$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.25 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,318$
bzw. bei - $1,318$ +2π= $4,965$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

4,965

L={ $1,318$ ; $4,965$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) + 1$ = $1$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) + 1

=

1

|

- 1

- 3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)

=

0

|:

- 3

\sin (x - \frac{1}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$x - \frac{1}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	0
$2 x - π$	=	0	\| $+ π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x - \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

$x - \frac{1}{2} π$	=	$π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	$2 π$
$2 x - π$	=	$2 π$	\| $+ π$
$2 x$	=	$3 π$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{3}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$\sin (3 x - \frac{3}{2} π)$ = $-0,35$

Lösung einblenden

\sin (3 x - \frac{3}{2} π)

=

-0,35

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.35757110364551

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,926$

1. Fall:

3 x - \frac{3}{2} π

=

5,926

oder

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$5,926 - 2 π$	\|⋅ 2
$6 x - 3 π$	=	$11,852 - 4 π$	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$11,852 - π$
$6 x$	=	$8,7104$	\|: $6$
x₁	=	$1,4517$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x - \frac{3}{2} π)$ = $-0,35$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,926$ =-2.7844 bzw. bei -2.7844+2π= $3,499$ liegen muss.

2. Fall:

3 x - \frac{3}{2} π

=

3,499

oder

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$3,499 - 2 π$	\|⋅ 2
$6 x - 3 π$	=	$6,998 - 4 π$	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$6,998 - π$
$6 x$	=	$3,8564$	\|: $6$
x₂	=	$0,6427$

L={ $0,6427$ ; $1,4517$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{2} - \sin (x)$	=	0
$(\sin (x) - 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x) - 1

= 0 |

+ 1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + 3 \cdot \sin (x) + 2$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} + 3 \cdot \sin (x) + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $- 1$

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $- 2$

\sin (x)

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $π$ ):
$2 \cdot \sin (2 x + π) \cdot (x^{3} - x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

$2 \cdot \sin (2 x + π) \cdot (x^{3} - x^{2})$	=	0
$2 \sin (2 x + π) \cdot (x^{3} - x^{2})$	=	0
$2 (x^{3} - x^{2}) \cdot \sin (2 x + π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

2. Fall:

\sin (2 x + π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

2 x + π

=

0

oder

$2 x + π$	=	$0 + 2 π$
$2 x + π$	=	$2 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₃	=	$\frac{1}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x + π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₄	=	0

L={0; $1$ ; $\frac{1}{2} π$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF