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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $- 0,35$

\cos (x)

=

- 0,35

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.9283674304404

1. Fall:

x₁

=

1,928

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,35$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,928$
bzw. bei - $1,928$ +2π= $4,355$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

4,355

L={ $1,928$ ; $4,355$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$3 \cdot \cos (2 x - π) + 3$ = 0

Lösung einblenden

3 \cdot \cos (2 x - π) + 3

= 0 |

- 3

3 \cdot \cos (2 x - π)

=

- 3

|:

3

\cos (2 x - π)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x - π

=

π

oder

$2 x - π$	=	$π - 2 π$
$2 x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

L={0}

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$- 3 \cdot \sin (x + π) + 3$ = $1,35$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \sin (x + π) + 3

=

1,35

|

- 3

- 3 \cdot \sin (x + π)

=

- 1,65

|:

- 3

\sin (x + π)

=

0,55

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.58236423786874

1. Fall:

x + π

=

0,582

oder

$x + π$	=	$0,582 + 2 π$	\| $- π$
x₁	=	$0,582 + π$
x₁	=	$3,7236$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x + π)$ = $0,55$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.55 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,582$ = $2,559$ liegen muss.

2. Fall:

x + π

=

2,559

oder

$x + π$	=	$2,559 + 2 π$	\| $- π$
x₂	=	$2,559 + π$
x₂	=	$5,7006$

L={ $3,7236$ ; $5,7006$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{2} - \sin (x)$	=	0
$(\sin (x) - 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x) - 1

= 0 |

+ 1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} - \frac{3}{2} {(\sin (x))}^{2} + \frac{1}{2}$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} - \frac{3}{2} {(\sin (x))}^{2} + \frac{1}{2}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2})$	=	0

$2 u^{2} - 3 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{4}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3+1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3-1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 u^{2} - 3 u + 1$ = 0 |: $2$

$u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $1$

{(\sin (x))}^{2}

=

1

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{1}

=

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{1}

=

1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{1}{2} π

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $0,5$

{(\sin (x))}^{2}

=

0,5

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{0,5}

≈

- 0,707

\sin (x)

=

- 0,707

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.78524716339515

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,498$

1. Fall:

x₃

=

5,498

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,707$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.707 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,498$ =-2.3564 bzw. bei -2.3564+2π= $3,927$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

3,927

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{0,5}

≈

0,707

\sin (x)

=

0,707

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.78524716339515

1. Fall:

x₅

=

0,785

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0,707$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.707 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,785$ = $2,356$ liegen muss.

2. Fall:

x₆

=

2,356

L={ $0,785$ ; $\frac{1}{2} π$ ; $2,356$ ; $3,927$ ; $\frac{3}{2} π$ ; $5,498$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(\sin (2 x + \frac{1}{2} π) - 1) \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

(\sin (2 x + \frac{1}{2} π) - 1) \cdot \sin (x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (2 x + \frac{1}{2} π) - 1

= 0 |

+ 1

\sin (2 x + \frac{1}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$2 x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$4 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₁	=	0

Da $\sin (2 x + \frac{1}{2} π) - 1$ die Periode $π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₂ = 0 + 1⋅ $π$ = $π$

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

π

L={0; $π$ }

0 ist 2-fache Lösung! $π$ ist 2-fache Lösung!

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF