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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\sin (x)$ = $- 0,2$

\sin (x)

=

- 0,2

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.20135792079033

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $6,082$

1. Fall:

x₁

=

6,082

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,2$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $6,082$ =-2.9404 bzw. bei -2.9404+2π= $3,343$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

3,343

L={ $3,343$ ; $6,082$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- \cos (3 x - \frac{1}{2} π) - 2$ = $- 2$

Lösung einblenden

- \cos (3 x - \frac{1}{2} π) - 2

=

- 2

|

+ 2

- \cos (3 x - \frac{1}{2} π)

=

0

|:

- 1

\cos (3 x - \frac{1}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$6 x - π$	=	$π$	\| $+ π$
$6 x$	=	$2 π$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{3} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x - \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

3 x - \frac{1}{2} π

=

\frac{3}{2} π

oder

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	$- π$
$6 x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
$6 x$	=	0	\|: $6$
x₂	=	0

L={0; $\frac{1}{3} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$2 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π) - 1$ = $1$

Lösung einblenden

2 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π) - 1

=

1

|

+ 1

2 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π)

=

2

|:

2

\cos (3 x + \frac{3}{2} π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3 x + \frac{3}{2} π

=

0

oder

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$0 + 2 π$
$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$2 π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{3}{2} π)$	=	$4 π$
$6 x + 3 π$	=	$4 π$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	$π$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{6} π$

L={ $\frac{1}{6} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) + 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) + 1

= 0 |

- 1

2 \cdot \sin (x)

=

- 1

|:

2

\sin (x)

=

- 0,5

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.5235987755983

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; $2 π$ ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\frac{11}{6} π$

1. Fall:

x₁

=

\frac{11}{6} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{11}{6} π$ =-2.618 bzw. bei -2.618+2π= $\frac{7}{6} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{7}{6} π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{7}{6} π$ ; $\frac{3}{2} π$ ; $\frac{11}{6} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x) - \frac{1}{2}$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x) - \frac{1}{2}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2})$	=	0

$2 u^{2} - u - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{4}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{1+3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{1-3}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

u₂: $\cos (x)$ = $- 0,5$

\cos (x)

=

- 0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

x₂

=

\frac{2}{3} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{2}{3} π$
bzw. bei - $\frac{2}{3} π$ +2π= $\frac{4}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{4}{3} π

L={0; $\frac{2}{3} π$ ; $\frac{4}{3} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$3 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

$3 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) \cdot \sin (x)$	=	0
$3 \cos (x - \frac{1}{2} π) \cdot \sin (x)$	=	0
$3 \sin (x) \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

π

2. Fall:

\cos (x - \frac{1}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$2 x - π$	=	$π$	\| $+ π$
$2 x$	=	$2 π$	\|: $2$
x₃	=	$π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x - \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x - \frac{1}{2} π

=

\frac{3}{2} π

oder

$x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$x - \frac{1}{2} π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	$- π$
$2 x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₄	=	0

L={0; $π$ }

0 ist 2-fache Lösung! $π$ ist 2-fache Lösung!

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einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF