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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\sin (x)$ = $0,3$

\sin (x)

=

0,3

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

1. Fall:

x₁

=

0,305

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0,3$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,305$ = $2,837$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

2,837

L={ $0,305$ ; $2,837$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) - 2$ = $1$

Lösung einblenden

3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) - 2

=

1

|

+ 2

3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π)

=

3

|:

3

\sin (3 x + \frac{3}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3 x + \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π + 2 π$
$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{5}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{3}{2} π)$	=	$5 π$
$6 x + 3 π$	=	$5 π$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	$2 π$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{3} π$

L={ $\frac{1}{3} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$\cos (3 x + π) - 1$ = $-0,3$

Lösung einblenden

\cos (3 x + π) - 1

=

-0,3

|

+ 1

\cos (3 x + π)

=

0,7

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.79539883018414

1. Fall:

3 x + π

=

0,795

oder

$3 x + π$	=	$0,795 + 2 π$	\| $- π$
$3 x$	=	$0,795 + π$
$3 x$	=	$3,9366$	\|: $3$
x₁	=	$1,3122$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x + π)$ = $0,7$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,795$
bzw. bei - $0,795$ +2π= $5,488$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x + π$	=	$5,488$	\| $- π$
$3 x$	=	$5,488 - π$
$3 x$	=	$2,3464$	\|: $3$
x₂	=	$0,7821$

L={ $0,7821$ ; $1,3122$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) - 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

2 \cdot \cos (x)

=

1

|:

2

\cos (x)

=

0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{3} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{3} π$
bzw. bei - $\frac{1}{3} π$ +2π= $\frac{5}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{5}{3} π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{3} π$ ; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ ; $\frac{5}{3} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + 3 \cdot \sin (x) + 2$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} + 3 \cdot \sin (x) + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $- 1$

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $- 2$

\sin (x)

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + 2 \cdot \sin (x) - 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} + 2 \cdot \sin (x) - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $1$

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $- 3$

\sin (x)

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):