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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $- 0,75$

\cos (x)

=

- 0,75

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.4188584057764

1. Fall:

x₁

=

2,419

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,75$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.75 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $2,419$
bzw. bei - $2,419$ +2π= $3,864$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

3,864

L={ $2,419$ ; $3,864$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$2 \cdot \cos (x + π)$ = $2$

Lösung einblenden

2 \cdot \cos (x + π)

=

2

|:

2

\cos (x + π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + π

=

0

oder

$x + π$	=	$0 + 2 π$
$x + π$	=	$2 π$	\| $- π$
$x$	=	$π$

L={ $π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$\cos (2 x + π) + 2$ = $2,85$

Lösung einblenden

\cos (2 x + π) + 2

=

2,85

|

- 2

\cos (2 x + π)

=

0,85

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.55481103298007

1. Fall:

2 x + π

=

0,555

oder

$2 x + π$	=	$0,555 + 2 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$0,555 + π$
$2 x$	=	$3,6966$	\|: $2$
x₁	=	$1,8483$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x + π)$ = $0,85$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.85 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,555$
bzw. bei - $0,555$ +2π= $5,728$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + π$	=	$5,728$	\| $- π$
$2 x$	=	$5,728 - π$
$2 x$	=	$2,5864$	\|: $2$
x₂	=	$1,2932$

L={ $1,2932$ ; $1,8483$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) + 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) + 1

= 0 |

- 1

2 \cdot \sin (x)

=

- 1

|:

2

\sin (x)

=

- 0,5

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.5235987755983

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; $2 π$ ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\frac{11}{6} π$

1. Fall:

x₁

=

\frac{11}{6} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{11}{6} π$ =-2.618 bzw. bei -2.618+2π= $\frac{7}{6} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{7}{6} π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{7}{6} π$ ; $\frac{3}{2} π$ ; $\frac{11}{6} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + \sin (x) - 2$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} + \sin (x) - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $1$

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $- 2$

\sin (x)

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(- 3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) + 3) \cdot (\sin (x) - 1)$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) + 3) \cdot (\sin (x) - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) + 3

= 0 |

- 3

- 3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)

=

- 3

|:

- 3

\cos (x - \frac{3}{2} π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$x - \frac{3}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2} π)$	=	0
$2 x - 3 π$	=	0	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	$3 π$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{3}{2} π$

2. Fall:

\sin (x) - 1

= 0 |

+ 1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{1}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF