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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\sin (x)$ = $- 0,75$

\sin (x)

=

- 0,75

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.84806207898148

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,435$

1. Fall:

x₁

=

5,435

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,75$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.75 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,435$ =-2.2934 bzw. bei -2.2934+2π= $3,99$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

3,99

L={ $3,99$ ; $5,435$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)$ = 0

Lösung einblenden

3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

0

|:

3

\sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

2 x + \frac{3}{2} π

=

0

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$0 + 2 π$
$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$2 π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$4 π$
$4 x + 3 π$	=	$4 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$π$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x + \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

2 x + \frac{3}{2} π

=

π

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$π + 2 π$
$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$3 π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$6 π$
$4 x + 3 π$	=	$6 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$3 π$	\|: $4$
x₂	=	$\frac{3}{4} π$

L={ $\frac{1}{4} π$ ; $\frac{3}{4} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$- \sin (x - \frac{1}{2} π) + 1$ = $1,35$

Lösung einblenden

- \sin (x - \frac{1}{2} π) + 1

=

1,35

|

- 1

- \sin (x - \frac{1}{2} π)

=

0,35

|:

- 1

\sin (x - \frac{1}{2} π)

=

- 0,35

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.35757110364551

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; $2 π$ ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,926$

1. Fall:

x - \frac{1}{2} π

=

5,926

oder

$x - \frac{1}{2} π$	=	$5,926 - 2 π$	\|⋅ 2
$2 x - π$	=	$11,852 - 4 π$	\| $+ π$
$2 x$	=	$11,852 - 3 π$
$2 x$	=	$2,4272$	\|: $2$
x₁	=	$1,2136$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x - \frac{1}{2} π)$ = $- 0,35$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,926$ =-2.7844 bzw. bei -2.7844+2π= $3,499$ liegen muss.

2. Fall:

$x - \frac{1}{2} π$	=	$3,499$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	$6,998$
$2 x - π$	=	$6,998$	\| $+ π$
$2 x$	=	$6,998 + π$
$2 x$	=	$10,1396$	\|: $2$
x₂	=	$5,0698$

L={ $1,2136$ ; $5,0698$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} + \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) + 3) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) + 3

= 0 |

- 3

2 \cdot \cos (x)

=

- 3

|:

2

\cos (x)

=

- 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - 5 \cdot \sin (x) + 4$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} - 5 \cdot \sin (x) + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $4$

\sin (x)

=

4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\sin (x)$ = $1$

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(- 2 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π) + 2) \cdot (\sin (x) + 1)$ = 0

Lösung einblenden

(- 2 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π) + 2) (\sin (x) + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 2 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π) + 2

= 0 |

- 2

- 2 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π)

=

- 2

|:

- 2

\sin (2 x - \frac{1}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$4 x - π$	=	$π$	\| $+ π$
$4 x$	=	$2 π$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

Da $- 2 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π) + 2$ die Periode $π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₂ = $\frac{1}{2} π$ + 1⋅ $π$ = $\frac{3}{2} π$

2. Fall:

\sin (x) + 1

= 0 |

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

$\frac{3}{2} π$ ist 2-fache Lösung!

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF