nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
cos( x ) = 0,6

Lösung einblenden
canvas
cos( x ) = 0,6 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

1. Fall:

x1 = 0,927

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0,6 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 0,927
bzw. bei - 0,927 +2π= 5,356 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 5,356

L={ 0,927 ; 5,356 }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
3⋅ sin( 2x - 1 2 π) +1 = 1

Lösung einblenden
3⋅ sin( 2x - 1 2 π) +1 = 1 | -1
3⋅ sin( 2x - 1 2 π) = 0 |:3
canvas
sin( 2x - 1 2 π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

2x - 1 2 π = 0 |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = 0
4x - π = 0 | + π
4x = π |:4
x1 = 1 4 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 2x - 1 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

2x - 1 2 π = π |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = 2π
4x - π = 2π | + π
4x = 3π |:4
x2 = 3 4 π

L={ 1 4 π ; 3 4 π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ).
-3⋅ sin( x - 3 2 π) +1 = 0,1

Lösung einblenden
-3⋅ sin( x - 3 2 π) +1 = 0,1 | -1
-3⋅ sin( x - 3 2 π) = -0,9 |:-3
canvas
sin( x - 3 2 π) = 0,3 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

1. Fall:

x - 3 2 π = 0,305 |⋅ 2
2( x - 3 2 π) = 0,61
2x -3π = 0,61 | +3π
2x = 0,61 +3π
2x = 10,0348 |:2
x1 = 5,0174

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x - 3 2 π) = 0,3 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,305 = 2,837 liegen muss.

2. Fall:

x - 3 2 π = 2,837

oder

x - 3 2 π = 2,837 -2π |⋅ 2
2x -3π = 5,674 -4π | +3π
2x = 5,674 - π
2x = 2,5324 |:2
x2 = 1,2662

L={ 1,2662 ; 5,0174 }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
- sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
- sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
( cos( x ) -1 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

cos( x ) -1 = 0 | +1 canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x3 = π

L={0; π }

0 ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 4 +2 ( sin( x ) ) 2 +1 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 4 +2 ( sin( x ) ) 2 +1 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ( sin( x ) ) 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +2u +1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · 1 2⋅1

u1,2 = -2 ± 4 -4 2

u1,2 = -2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - 1 = 1 - 1 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = -1 ± 0 = -1

Rücksubstitution:

u1: ( sin( x ) ) 2 = -1

( sin( x ) ) 2 = -1 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

u2: ( sin( x ) ) 2 = -1

( sin( x ) ) 2 = -1 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={}

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( -2⋅ sin( 3x - 1 2 π) +2 ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
( -2⋅ sin( 3x - 1 2 π) +2 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-2⋅ sin( 3x - 1 2 π) +2 = 0 | -2
-2⋅ sin( 3x - 1 2 π) = -2 |:-2
canvas
sin( 3x - 1 2 π) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3x - 1 2 π = 1 2 π |⋅ 2
2( 3x - 1 2 π) = π
6x - π = π | + π
6x = 2π |:6
x1 = 1 3 π

Da -2⋅ sin( 3x - 1 2 π) +2 die Periode 2 3 π besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; 2π ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x2 = 1 3 π + 1⋅ 2 3 π = π
x3 = 1 3 π + 2⋅ 2 3 π = 5 3 π


2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x4 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x5 = 3 2 π

L={ 1 3 π ; 1 2 π ; π ; 3 2 π ; 5 3 π }