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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $0,35$

\cos (x)

=

0,35

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.2132252231494

1. Fall:

x₁

=

1,213

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,35$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,213$
bzw. bei - $1,213$ +2π= $5,07$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

5,07

L={ $1,213$ ; $5,07$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 3 \cdot \sin (x - π) - 2$ = $- 2$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \sin (x - π) - 2

=

- 2

|

+ 2

- 3 \cdot \sin (x - π)

=

0

|:

- 3

\sin (x - π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$x - π$	=	0	\| $+ π$
x₁	=	$π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x - π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x - π

=

π

oder

$x - π$	=	$π - 2 π$
$x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
x₂	=	0

L={0; $π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$\cos (x - \frac{3}{2} π) - 2$ = $-1,25$

Lösung einblenden

\cos (x - \frac{3}{2} π) - 2

=

-1,25

|

+ 2

\cos (x - \frac{3}{2} π)

=

0,75

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.72273424781342

1. Fall:

$x - \frac{3}{2} π$	=	$0,723$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2} π)$	=	$1,446$
$2 x - 3 π$	=	$1,446$	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	$1,446 + 3 π$
$2 x$	=	$10,8708$	\|: $2$
x₁	=	$5,4354$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x - \frac{3}{2} π)$ = $0,75$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.75 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,723$
bzw. bei - $0,723$ +2π= $5,56$ liegen muss.

2. Fall:

x - \frac{3}{2} π

=

5,56

oder

$x - \frac{3}{2} π$	=	$5,56 - 2 π$	\|⋅ 2
$2 x - 3 π$	=	$11,12 - 4 π$	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	$11,12 - π$
$2 x$	=	$7,9784$	\|: $2$
x₂	=	$3,9892$

L={ $3,9892$ ; $5,4354$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) - 3) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) - 3

= 0 |

+ 3

2 \cdot \cos (x)

=

3

|:

2

\cos (x)

=

1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - 5 \cdot \sin (x) + 4$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} - 5 \cdot \sin (x) + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $4$

\sin (x)

=

4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\sin (x)$ = $1$

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ):
$(x^{3} - x^{2}) \cdot (2 \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π) - 2)$ = 0

Lösung einblenden

(x^{3} - x^{2}) (2 \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π) - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

2. Fall:

2 \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π) - 2

= 0 |

+ 2

2 \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π)

=

2

|:

2

\sin (3 x + \frac{1}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$6 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$6 x$	=	0	\|: $6$
x₃	=	0

L={0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

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einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF