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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $0,35$

\cos (x)

=

0,35

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.2132252231494

1. Fall:

x₁

=

1,213

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,35$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,213$
bzw. bei - $1,213$ +2π= $5,07$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

5,07

L={ $1,213$ ; $5,07$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$\cos (3 x - \frac{3}{2} π) + 1$ = $2$

Lösung einblenden

\cos (3 x - \frac{3}{2} π) + 1

=

2

|

- 1

\cos (3 x - \frac{3}{2} π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	0
$6 x - 3 π$	=	0	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$3 π$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$2 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) - 2$ = $- 4$

Lösung einblenden

2 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) - 2

=

- 4

|

+ 2

2 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

- 2

|:

2

\sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$3 π$
$4 x + 3 π$	=	$3 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	0	\|: $4$
$x$	=	0

L={0}

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) - 3) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) - 3

= 0 |

+ 3

2 \cdot \sin (x)

=

3

|:

2

\sin (x)

=

1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

π

L={0; $π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - 2 \cdot \cos (x) - 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} - 2 \cdot \cos (x) - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $3$

\cos (x)

=

3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\cos (x)$ = $- 1$

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

L={ $π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{2} - \sin (x)$	=	0
$(\sin (x) - 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x) - 1

= 0 |

+ 1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF