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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
cos( x ) = 0,4

Lösung einblenden
canvas
cos( x ) = 0,4 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.1592794807274

1. Fall:

x1 = 1,159

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0,4 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,159
bzw. bei - 1,159 +2π= 5,124 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 5,124

L={ 1,159 ; 5,124 }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
- sin( x + 1 2 π) +1 = 2

Lösung einblenden
- sin( x + 1 2 π) +1 = 2 | -1
- sin( x + 1 2 π) = 1 |:-1
canvas
sin( x + 1 2 π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + 1 2 π = 3 2 π |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = 3π
2x + π = 3π | - π
2x = 2π |:2
x = π

L={ π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ).
sin( 2x + 1 2 π) +2 = 3

Lösung einblenden
sin( 2x + 1 2 π) +2 = 3 | -2 canvas
sin( 2x + 1 2 π) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2x + 1 2 π = 1 2 π |⋅ 2
2( 2x + 1 2 π) = π
4x + π = π | - π
4x = 0 |:4
x = 0

L={0}

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ cos( x ) = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ cos( x ) -3 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ cos( x ) -3 = 0 | +3
2⋅ cos( x ) = 3 |:2
cos( x ) = 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ sin( x ) + 1 2 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ sin( x ) + 1 2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - 3 2 u + 1 2 = 0 |⋅ 2
2( u 2 - 3 2 u + 1 2 ) = 0

2 u 2 -3u +1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 2 · 1 2⋅2

u1,2 = +3 ± 9 -8 4

u1,2 = +3 ± 1 4

u1 = 3 + 1 4 = 3 +1 4 = 4 4 = 1

u2 = 3 - 1 4 = 3 -1 4 = 2 4 = 0,5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 u 2 -3u +1 = 0 |: 2

u 2 - 3 2 u + 1 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 4 ) 2 - ( 1 2 ) = 9 16 - 1 2 = 9 16 - 8 16 = 1 16

x1,2 = 3 4 ± 1 16

x1 = 3 4 - 1 4 = 2 4 = 0.5

x2 = 3 4 + 1 4 = 4 4 = 1

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = 1

canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 1 2 π

u2: sin( x ) = 0,5

canvas
sin( x ) = 0,5 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

x2 = 5 6 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5 6 π = 1 6 π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 1 6 π

L={ 1 6 π ; 1 2 π ; 5 6 π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( 2⋅ cos( 3x - 1 2 π) -2 ) · ( sin( x ) +1 ) = 0

Lösung einblenden
( 2⋅ cos( 3x - 1 2 π) -2 ) ( sin( x ) +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ cos( 3x - 1 2 π) -2 = 0 | +2
2⋅ cos( 3x - 1 2 π) = 2 |:2
canvas
cos( 3x - 1 2 π) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3x - 1 2 π = 0 |⋅ 2
2( 3x - 1 2 π) = 0
6x - π = 0 | + π
6x = π |:6
x1 = 1 6 π

Da 2⋅ cos( 3x - 1 2 π) -2 die Periode 2 3 π besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; 2π ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x2 = 1 6 π + 1⋅ 2 3 π = 5 6 π
x3 = 1 6 π + 2⋅ 2 3 π = 3 2 π


2. Fall:

sin( x ) +1 = 0 | -1 canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x4 = 3 2 π

L={ 1 6 π ; 5 6 π ; 3 2 π }

3 2 π ist 2-fache Lösung!