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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\sin (x)$ = $0,45$

\sin (x)

=

0,45

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.4667653390473

1. Fall:

x₁

=

0,467

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0,45$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.45 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,467$ = $2,675$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

2,675

L={ $0,467$ ; $2,675$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 3 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) + 3$ = 0

Lösung einblenden

- 3 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) + 3

= 0 |

- 3

- 3 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π)

=

- 3

|:

- 3

\cos (2 x + \frac{3}{2} π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x + \frac{3}{2} π

=

0

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$0 + 2 π$
$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$2 π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$4 π$
$4 x + 3 π$	=	$4 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$π$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{1}{4} π$

L={ $\frac{1}{4} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$2 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π) + 1$ = $1,4$

Lösung einblenden

2 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π) + 1

=

1,4

|

- 1

2 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π)

=

0,4

|:

2

\cos (3 x - \frac{1}{2} π)

=

0,2

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.3694384060046

1. Fall:

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$1,369$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	$2,738$
$6 x - π$	=	$2,738$	\| $+ π$
$6 x$	=	$2,738 + π$
$6 x$	=	$5,8796$	\|: $6$
x₁	=	$0,9799$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x - \frac{1}{2} π)$ = $0,2$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,369$
bzw. bei - $1,369$ +2π= $4,914$ liegen muss.

2. Fall:

3 x - \frac{1}{2} π

=

4,914

oder

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$4,914 - 2 π$	\|⋅ 2
$6 x - π$	=	$9,828 - 4 π$	\| $+ π$
$6 x$	=	$9,828 - 3 π$
$6 x$	=	$0,4032$	\|: $6$
x₂	=	$0,0672$

L={ $0,0672$ ; $0,9799$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$(\sin (x) + 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x) + 1

= 0 |

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

$\frac{3}{2} π$ ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + 5 \cdot \cos (x) + 4$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} + 5 \cdot \cos (x) + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $- 1$

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

u₂: $\cos (x)$ = $- 4$

\cos (x)

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $π$ ):
$(2 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) - 2) \cdot (x^{3} - 2 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(2 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) - 2) \cdot (x^{3} - 2 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) - 2

= 0 |

+ 2

2 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π)

=

2

|:

2

\sin (2 x - \frac{3}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x - \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π - 2 π$
$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$- \frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 3 π$
$4 x - 3 π$	=	$- 3 π$	\| $+ 3 π$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={0; $2$ }

0 ist 3-fache Lösung!

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einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF