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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $0,8$

\cos (x)

=

0,8

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

x₁

=

0,644

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,8$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,644$
bzw. bei - $0,644$ +2π= $5,64$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

5,64

L={ $0,644$ ; $5,64$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 2 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π)$ = $- 2$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π)

=

- 2

|:

- 2

\cos (3 x - \frac{3}{2} π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	0
$6 x - 3 π$	=	0	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$3 π$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$- 3 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π) + 3$ = $2,85$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π) + 3

=

2,85

|

- 3

- 3 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π)

=

- 0,15

|:

- 3

\sin (2 x - \frac{1}{2} π)

=

0,05

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.05002085680577

1. Fall:

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$0,05$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	$0,1$
$4 x - π$	=	$0,1$	\| $+ π$
$4 x$	=	$0,1 + π$
$4 x$	=	$3,2416$	\|: $4$
x₁	=	$0,8104$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x - \frac{1}{2} π)$ = $0,05$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.05 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,05$ = $3,092$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$3,092$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	$6,184$
$4 x - π$	=	$6,184$	\| $+ π$
$4 x$	=	$6,184 + π$
$4 x$	=	$9,3256$	\|: $4$
x₂	=	$2,3314$

L={ $0,8104$ ; $2,3314$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) + 3) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) + 3

= 0 |

- 3

2 \cdot \sin (x)

=

- 3

|:

2

\sin (x)

=

- 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x) - \frac{1}{2}$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x) - \frac{1}{2}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (u^{2} + \frac{1}{2} u - \frac{1}{2})$	=	0

$2 u^{2} + u - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{4}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 1+3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 1-3}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 u^{2} + u - 1$ = 0 |: $2$

$u^{2} + \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $0,5$

\cos (x)

=

0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{3} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{3} π$
bzw. bei - $\frac{1}{3} π$ +2π= $\frac{5}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{5}{3} π

u₂: $\cos (x)$ = $- 1$

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₃

=

π

L={ $\frac{1}{3} π$ ; $π$ ; $\frac{5}{3} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $π$ ):
$(\cos (2 x - π) - 1) \cdot (x^{2} - 2 x)$ = 0

Lösung einblenden

(\cos (2 x - π) - 1) \cdot (x^{2} - 2 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (2 x - π) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (2 x - π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$2 x - π$	=	0	\| $+ π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

2. Fall:

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF