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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
sin( x ) = -0,35

Lösung einblenden
canvas
sin( x ) = -0,35 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.35757110364551

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 5,926

1. Fall:

x1 = 5,926

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = -0,35 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5,926 =-2.7844 bzw. bei -2.7844+2π= 3,499 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3,499

L={ 3,499 ; 5,926 }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
3⋅ sin( x + π) -2 = -2

Lösung einblenden
3⋅ sin( x + π) -2 = -2 | +2
3⋅ sin( x + π) = 0 |:3
canvas
sin( x + π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + π = 0

oder

x + π = 0+2π
x + π = 2π | - π
x1 = π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x + π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x + π = π | - π
x2 = 0

L={0; π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ).
2⋅ cos( 3x - 1 2 π) +1 = 0,3

Lösung einblenden
2⋅ cos( 3x - 1 2 π) +1 = 0,3 | -1
2⋅ cos( 3x - 1 2 π) = -0,7 |:2
canvas
cos( 3x - 1 2 π) = -0,35 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.9283674304404

1. Fall:

3x - 1 2 π = 1,928 |⋅ 2
2( 3x - 1 2 π) = 3,856
6x - π = 3,856 | + π
6x = 3,856 + π
6x = 6,9976 |:6
x1 = 1,1663

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 3x - 1 2 π) = -0,35 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,928
bzw. bei - 1,928 +2π= 4,355 liegen muss.

2. Fall:

3x - 1 2 π = 4,355 |⋅ 2
2( 3x - 1 2 π) = 8,71
6x - π = 8,71 | + π
6x = 8,71 + π
6x = 11,8516 |:6
x2 = 1,9753

L={ 1,1663 ; 1,9753 }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
- sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
- sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
( cos( x ) -1 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

cos( x ) -1 = 0 | +1 canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x3 = π

L={0; π }

0 ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 -3⋅ cos( x ) -4 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 -3⋅ cos( x ) -4 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -3u -4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( -4 ) 2⋅1

u1,2 = +3 ± 9 +16 2

u1,2 = +3 ± 25 2

u1 = 3 + 25 2 = 3 +5 2 = 8 2 = 4

u2 = 3 - 25 2 = 3 -5 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 2 ) 2 - ( -4 ) = 9 4 + 4 = 9 4 + 16 4 = 25 4

x1,2 = 3 2 ± 25 4

x1 = 3 2 - 5 2 = - 2 2 = -1

x2 = 3 2 + 5 2 = 8 2 = 4

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 4

cos( x ) = 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u2: cos( x ) = -1

canvas
cos( x ) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = π

L={ π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
-3⋅ cos( x - 1 2 π) · ( sin( x ) -1 ) = 0

Lösung einblenden
-3⋅ cos( x - 1 2 π) · ( sin( x ) -1 ) = 0
-3 cos( x - 1 2 π) · ( sin( x ) -1 ) = 0
-3 ( sin( x ) -1 ) · cos( x - 1 2 π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

sin( x ) -1 = 0 | +1 canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 1 2 π

2. Fall:

canvas
cos( x - 1 2 π) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x - 1 2 π = 1 2 π |⋅ 2
2( x - 1 2 π) = π
2x - π = π | + π
2x = 2π |:2
x2 = π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x - 1 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x - 1 2 π = 3 2 π

oder

x - 1 2 π = 3 2 π-2π
x - 1 2 π = - 1 2 π |⋅ 2
2( x - 1 2 π) = -π
2x - π = -π | + π
2x = 0 |:2
x3 = 0

L={0; 1 2 π ; π }