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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $- 0,95$

\cos (x)

=

- 0,95

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.8240322242983

1. Fall:

x₁

=

2,824

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,95$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.95 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $2,824$
bzw. bei - $2,824$ +2π= $3,459$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

3,459

L={ $2,824$ ; $3,459$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$\sin (2 x - \frac{1}{2} π)$ = $1$

Lösung einblenden

\sin (2 x - \frac{1}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$4 x - π$	=	$π$	\| $+ π$
$4 x$	=	$2 π$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$- 2 \cdot \cos (2 x + π) - 3$ = $-4,4$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \cos (2 x + π) - 3

=

-4,4

|

+ 3

- 2 \cdot \cos (2 x + π)

=

- 1,4

|:

- 2

\cos (2 x + π)

=

0,7

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.79539883018414

1. Fall:

2 x + π

=

0,795

oder

$2 x + π$	=	$0,795 + 2 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$0,795 + π$
$2 x$	=	$3,9366$	\|: $2$
x₁	=	$1,9683$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x + π)$ = $0,7$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,795$
bzw. bei - $0,795$ +2π= $5,488$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + π$	=	$5,488$	\| $- π$
$2 x$	=	$5,488 - π$
$2 x$	=	$2,3464$	\|: $2$
x₂	=	$1,1732$

L={ $1,1732$ ; $1,9683$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) + 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) + 1

= 0 |

- 1

2 \cdot \cos (x)

=

- 1

|:

2

\cos (x)

=

- 0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

x₁

=

\frac{2}{3} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{2}{3} π$
bzw. bei - $\frac{2}{3} π$ +2π= $\frac{4}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{4}{3} π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{2}{3} π$ ; $\frac{4}{3} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \frac{1}{2}$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \frac{1}{2}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2})$	=	0

$2 u^{2} - 3 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{4}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3+1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3-1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 u^{2} - 3 u + 1$ = 0 |: $2$

$u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $1$

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $0,5$

\sin (x)

=

0,5

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

x₂

=

\frac{5}{6} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6} π$ = $\frac{1}{6} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{1}{6} π

L={ $\frac{1}{6} π$ ; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{5}{6} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(- 2 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π) - 2) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 2 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π) - 2) \cdot \cos (x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 2 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π) - 2

= 0 |

+ 2

- 2 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π)

=

2

|:

- 2

\sin (3 x - \frac{1}{2} π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3 x - \frac{1}{2} π

=

\frac{3}{2} π

oder

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	$- π$
$6 x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
$6 x$	=	0	\|: $6$
x₁	=	0

Da $- 2 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π) - 2$ die Periode $\frac{2}{3} π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₂ = 0 + 1⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{2}{3} π$
x₃ = 0 + 2⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{4}{3} π$

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₄

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₅

=

\frac{3}{2} π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{2}{3} π$ ; $\frac{4}{3} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF