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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $0,25$

\cos (x)

=

0,25

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.3181160716528

1. Fall:

x₁

=

1,318

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,25$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.25 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,318$
bzw. bei - $1,318$ +2π= $4,965$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

4,965

L={ $1,318$ ; $4,965$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- \sin (3 x - \frac{1}{2} π) - 2$ = $- 2$

Lösung einblenden

- \sin (3 x - \frac{1}{2} π) - 2

=

- 2

|

+ 2

- \sin (3 x - \frac{1}{2} π)

=

0

|:

- 1

\sin (3 x - \frac{1}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	0
$6 x - π$	=	0	\| $+ π$
$6 x$	=	$π$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{6} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x - \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$π$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	$2 π$
$6 x - π$	=	$2 π$	\| $+ π$
$6 x$	=	$3 π$	\|: $6$
x₂	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{6} π$ ; $\frac{1}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$- 3 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π) - 2$ = $-0,8$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π) - 2

=

-0,8

|

+ 2

- 3 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π)

=

1,2

|:

- 3

\sin (2 x - \frac{1}{2} π)

=

- 0,4

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.41151684606749

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; $π$ ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,872$

1. Fall:

2 x - \frac{1}{2} π

=

5,872

oder

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$5,872 - 2 π$	\|⋅ 2
$4 x - π$	=	$11,744 - 4 π$	\| $+ π$
$4 x$	=	$11,744 - 3 π$
$4 x$	=	$2,3192$	\|: $4$
x₁	=	$0,5798$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x - \frac{1}{2} π)$ = $- 0,4$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,872$ =-2.7304 bzw. bei -2.7304+2π= $3,553$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$3,553$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	$7,106$
$4 x - π$	=	$7,106$	\| $+ π$
$4 x$	=	$7,106 + π$
$4 x$	=	$10,2476$	\|: $4$
x₂	=	$2,5619$

L={ $0,5798$ ; $2,5619$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) - 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

2 \cdot \cos (x)

=

1

|:

2

\cos (x)

=

0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{3} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{3} π$
bzw. bei - $\frac{1}{3} π$ +2π= $\frac{5}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{5}{3} π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

π

L={0; $\frac{1}{3} π$ ; $π$ ; $\frac{5}{3} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} - \frac{1}{2} {(\sin (x))}^{2} - \frac{1}{2}$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} - \frac{1}{2} {(\sin (x))}^{2} - \frac{1}{2}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2})$	=	0

$2 u^{2} - u - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{4}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{1+3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{1-3}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 u^{2} - u - 1$ = 0 |: $2$

$u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $1$

{(\sin (x))}^{2}

=

1

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{1}

=

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{1}

=

1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{1}{2} π

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 0,5$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 0,5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(- 3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) - 3) \cdot (x^{2} - 4 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) - 3) \cdot (x^{2} - 4 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) - 3

= 0 |

+ 3

- 3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)

=

3

|:

- 3

\cos (x - \frac{3}{2} π)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - \frac{3}{2} π

=

π

oder

$x - \frac{3}{2} π$	=	$π - 2 π$
$x - \frac{3}{2} π$	=	$- π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 2 π$
$2 x - 3 π$	=	$- 2 π$	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

2. Fall:

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $4$ }

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einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF