nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
sin( x ) = -0,95

Lösung einblenden
canvas
sin( x ) = -0,95 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -1.2532358975034

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 5,03

1. Fall:

x1 = 5,03

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = -0,95 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.95 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5,03 =-1.8884 bzw. bei -1.8884+2π= 4,395 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 4,395

L={ 4,395 ; 5,03 }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
2⋅ cos( 2x - 1 2 π) = -2

Lösung einblenden
2⋅ cos( 2x - 1 2 π) = -2 |:2
canvas
cos( 2x - 1 2 π) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2x - 1 2 π = π |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = 2π
4x - π = 2π | + π
4x = 3π |:4
x = 3 4 π

L={ 3 4 π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ).
2⋅ sin( x - 1 2 π) -3 = -4,2

Lösung einblenden
2⋅ sin( x - 1 2 π) -3 = -4,2 | +3
2⋅ sin( x - 1 2 π) = -1,2 |:2
canvas
sin( x - 1 2 π) = -0,6 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.64350110879328

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; 2π ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 5,64

1. Fall:

x - 1 2 π = 5,64

oder

x - 1 2 π = 5,64 -2π |⋅ 2
2x - π = 11,28 -4π | + π
2x = 11,28 -3π
2x = 1,8552 |:2
x1 = 0,9276

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x - 1 2 π) = -0,6 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5,64 =-2.4984 bzw. bei -2.4984+2π= 3,785 liegen muss.

2. Fall:

x - 1 2 π = 3,785 |⋅ 2
2( x - 1 2 π) = 7,57
2x - π = 7,57 | + π
2x = 7,57 + π
2x = 10,7116 |:2
x2 = 5,3558

L={ 0,9276 ; 5,3558 }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 + sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 + sin( x ) = 0
( sin( x ) +1 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

sin( x ) +1 = 0 | -1 canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x3 = π

L={0; π ; 3 2 π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 -5⋅ sin( x ) +4 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 -5⋅ sin( x ) +4 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -5u +4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · 4 2⋅1

u1,2 = +5 ± 25 -16 2

u1,2 = +5 ± 9 2

u1 = 5 + 9 2 = 5 +3 2 = 8 2 = 4

u2 = 5 - 9 2 = 5 -3 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 5 2 ) 2 - 4 = 25 4 - 4 = 25 4 - 16 4 = 9 4

x1,2 = 5 2 ± 9 4

x1 = 5 2 - 3 2 = 2 2 = 1

x2 = 5 2 + 3 2 = 8 2 = 4

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = 4

sin( x ) = 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u2: sin( x ) = 1

canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 1 2 π

L={ 1 2 π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; π ):
( x 2 -2x ) · ( 2⋅ cos( 2x + π) +2 ) = 0

Lösung einblenden
( x 2 -2x ) · ( 2⋅ cos( 2x + π) +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 -2x = 0
x · ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

2. Fall:

2⋅ cos( 2x + π) +2 = 0 | -2
2⋅ cos( 2x + π) = -2 |:2
canvas
cos( 2x + π) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2x + π = π | - π
2x = 0 |:2
x3 = 0

L={0; 2 }

0 ist 2-fache Lösung!