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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
cos( x ) = 1

Lösung einblenden
canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x = 0

L={0}

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
3⋅ sin( x - π) +1 = -2

Lösung einblenden
3⋅ sin( x - π) +1 = -2 | -1
3⋅ sin( x - π) = -3 |:3
canvas
sin( x - π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - π = 3 2 π

oder

x - π = 3 2 π-2π
x - π = - 1 2 π | + π
x = 1 2 π

L={ 1 2 π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ).
- sin( 3x - 1 2 π) = -0,95

Lösung einblenden
- sin( 3x - 1 2 π) = -0,95 |:-1
canvas
sin( 3x - 1 2 π) = 0,95 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.2532358975034

1. Fall:

3x - 1 2 π = 1,253 |⋅ 2
2( 3x - 1 2 π) = 2,506
6x - π = 2,506 | + π
6x = 2,506 + π
6x = 5,6476 |:6
x1 = 0,9413

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 3x - 1 2 π) = 0,95 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.95 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 1,253 = 1,888 liegen muss.

2. Fall:

3x - 1 2 π = 1,888 |⋅ 2
2( 3x - 1 2 π) = 3,776
6x - π = 3,776 | + π
6x = 3,776 + π
6x = 6,9176 |:6
x2 = 1,1529

L={ 0,9413 ; 1,1529 }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
3 2 ⋅ sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

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3 2 ⋅ sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ cos( x ) +3 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ cos( x ) +3 = 0 | -3
2⋅ cos( x ) = -3 |:2
cos( x ) = -1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x2 = π

L={0; π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 + 1 2 ⋅ sin( x ) - 1 2 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 + 1 2 ⋅ sin( x ) - 1 2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + 1 2 u - 1 2 = 0 |⋅ 2
2( u 2 + 1 2 u - 1 2 ) = 0

2 u 2 + u -1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 2 · ( -1 ) 2⋅2

u1,2 = -1 ± 1 +8 4

u1,2 = -1 ± 9 4

u1 = -1 + 9 4 = -1 +3 4 = 2 4 = 0,5

u2 = -1 - 9 4 = -1 -3 4 = -4 4 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 u 2 + u -1 = 0 |: 2

u 2 + 1 2 u - 1 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 4 ) 2 - ( - 1 2 ) = 1 16 + 1 2 = 1 16 + 8 16 = 9 16

x1,2 = - 1 4 ± 9 16

x1 = - 1 4 - 3 4 = - 4 4 = -1

x2 = - 1 4 + 3 4 = 2 4 = 0.5

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = 0,5

canvas
sin( x ) = 0,5 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

x1 = 5 6 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5 6 π = 1 6 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 1 6 π

u2: sin( x ) = -1

canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x3 = 3 2 π

L={ 1 6 π ; 5 6 π ; 3 2 π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
-3⋅ sin( 3x - π) · ( sin( x ) +1 ) = 0

Lösung einblenden
-3⋅ sin( 3x - π) · ( sin( x ) +1 ) = 0
-3 sin( 3x - π) ( sin( x ) +1 ) = 0
-3 ( sin( x ) +1 ) · sin( 3x - π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

sin( x ) +1 = 0 | -1 canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

2. Fall:

canvas
sin( 3x - π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

3x - π = 0 | + π
3x = π |:3
x2 = 1 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 3x - π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

3x - π = π

oder

3x - π = π-2π
3x - π = -π | + π
3x = 0 |:3
x3 = 0

Da sin( 3x - π) die Periode 2 3 π besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; 2π ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x4 = 1 3 π + 1⋅ 2 3 π = π , x5 = 0 + 1⋅ 2 3 π = 2 3 π
x6 = 1 3 π + 2⋅ 2 3 π = 5 3 π , x7 = 0 + 2⋅ 2 3 π = 4 3 π

L={0; 1 3 π ; 2 3 π ; π ; 4 3 π ; 3 2 π ; 5 3 π }