Mathebattle EduRandomtasks

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\sin (x)$ = $- 0,6$

\sin (x)

=

- 0,6

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.64350110879328

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,64$

1. Fall:

x₁

=

5,64

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,6$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,64$ =-2.4984 bzw. bei -2.4984+2π= $3,785$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

3,785

L={ $3,785$ ; $5,64$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$2 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) - 1$ = $1$

Lösung einblenden

2 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) - 1

=

1

|

+ 1

2 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π)

=

2

|:

2

\cos (3 x + \frac{1}{2} π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3 x + \frac{1}{2} π

=

0

oder

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$0 + 2 π$
$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$2 π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$4 π$
$6 x + π$	=	$4 π$	\| $- π$
$6 x$	=	$3 π$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) + 3$ = $1,5$

Lösung einblenden

3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) + 3

=

1,5

|

- 3

3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)

=

- 1,5

|:

3

\cos (x - \frac{3}{2} π)

=

- 0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

x - \frac{3}{2} π

=

\frac{2}{3} π

oder

$x - \frac{3}{2} π$	=	$\frac{2}{3} π - 2 π$
$x - \frac{3}{2} π$	=	$- \frac{4}{3} π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2} π)$	=	$- \frac{8}{3} π$
$2 x - 3 π$	=	$- \frac{8}{3} π$	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	$\frac{1}{3} π$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{6} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x - \frac{3}{2} π)$ = $- 0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{2}{3} π$
bzw. bei - $\frac{2}{3} π$ +2π= $\frac{4}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

x - \frac{3}{2} π

=

\frac{4}{3} π

oder

$x - \frac{3}{2} π$	=	$\frac{4}{3} π - 2 π$
$x - \frac{3}{2} π$	=	$- \frac{2}{3} π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2} π)$	=	$- \frac{4}{3} π$
$2 x - 3 π$	=	$- \frac{4}{3} π$	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	$\frac{5}{3} π$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{5}{6} π$

L={ $\frac{1}{6} π$ ; $\frac{5}{6} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) + 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) + 1

= 0 |

- 1

2 \cdot \sin (x)

=

- 1

|:

2

\sin (x)

=

- 0,5

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.5235987755983

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; $2 π$ ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\frac{11}{6} π$

1. Fall:

x₁

=

\frac{11}{6} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{11}{6} π$ =-2.618 bzw. bei -2.618+2π= $\frac{7}{6} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{7}{6} π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

π

L={0; $π$ ; $\frac{7}{6} π$ ; $\frac{11}{6} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - 2 \cdot \cos (x) + 1$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} - 2 \cdot \cos (x) + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

u₂: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \sin (x - \frac{3}{2} π) \cdot (\sin (x) + 1)$ = 0

Lösung einblenden

$- \sin (x - \frac{3}{2} π) \cdot (\sin (x) + 1)$	=	0
$- \sin (x - \frac{3}{2} π) \cdot (\sin (x) + 1)$	=	0
$- (\sin (x) + 1) \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x) + 1

= 0 |

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

2. Fall:

\sin (x - \frac{3}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$x - \frac{3}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2} π)$	=	0
$2 x - 3 π$	=	0	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	$3 π$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{3}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x - \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x - \frac{3}{2} π

=

π

oder

$x - \frac{3}{2} π$	=	$π - 2 π$
$x - \frac{3}{2} π$	=	$- π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 2 π$
$2 x - 3 π$	=	$- 2 π$	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₃	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

$\frac{3}{2} π$ ist 2-fache Lösung!

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF