Mathebattle EduRandomtasks

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\sin (x)$ = $0,7$

\sin (x)

=

0,7

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.77539749661075

1. Fall:

x₁

=

0,775

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0,7$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,775$ = $2,366$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

2,366

L={ $0,775$ ; $2,366$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- \sin (3 x - \frac{3}{2} π) - 3$ = $- 3$

Lösung einblenden

- \sin (3 x - \frac{3}{2} π) - 3

=

- 3

|

+ 3

- \sin (3 x - \frac{3}{2} π)

=

0

|:

- 1

\sin (3 x - \frac{3}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	0
$6 x - 3 π$	=	0	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$3 π$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x - \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

3 x - \frac{3}{2} π

=

π

oder

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$π - 2 π$
$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$- π$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 2 π$
$6 x - 3 π$	=	$- 2 π$	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$π$	\|: $6$
x₂	=	$\frac{1}{6} π$

L={ $\frac{1}{6} π$ ; $\frac{1}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$- 3 \cdot \cos (x + π) + 1$ = $-1,7$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \cos (x + π) + 1

=

-1,7

|

- 1

- 3 \cdot \cos (x + π)

=

- 2,7

|:

- 3

\cos (x + π)

=

0,9

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.45102681179626

1. Fall:

x + π

=

0,451

oder

$x + π$	=	$0,451 + 2 π$	\| $- π$
x₁	=	$0,451 + π$
x₁	=	$3,5926$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x + π)$ = $0,9$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,451$
bzw. bei - $0,451$ +2π= $5,832$ liegen muss.

2. Fall:

$x + π$	=	$5,832$	\| $- π$
x₂	=	$5,832 - π$
x₂	=	$2,6904$

L={ $2,6904$ ; $3,5926$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{2} + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) + 3) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) + 3

= 0 |

- 3

2 \cdot \sin (x)

=

- 3

|:

2

\sin (x)

=

- 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

π

L={0; $π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - 4 \cdot \cos (x) + 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} - 4 \cdot \cos (x) + 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $3$

\cos (x)

=

3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

L={0}

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ):
$(\sin (3 x + \frac{3}{2} π) + 1) \cdot (x^{3} - x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(\sin (3 x + \frac{3}{2} π) + 1) \cdot (x^{3} - x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (3 x + \frac{3}{2} π) + 1

= 0 |

- 1

\sin (3 x + \frac{3}{2} π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{3}{2} π)$	=	$3 π$
$6 x + 3 π$	=	$3 π$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	0	\|: $6$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

L={0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF