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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $0,15$

\cos (x)

=

0,15

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.4202280540182

1. Fall:

x₁

=

1,42

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,15$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.15 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,42$
bzw. bei - $1,42$ +2π= $4,863$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

4,863

L={ $1,42$ ; $4,863$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) + 3$ = 0

Lösung einblenden

- 3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) + 3

= 0 |

- 3

- 3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π)

=

- 3

|:

- 3

\cos (2 x - \frac{1}{2} π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	0
$4 x - π$	=	0	\| $+ π$
$4 x$	=	$π$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{1}{4} π$

L={ $\frac{1}{4} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$- 2 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π) - 3$ = $-1,7$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π) - 3

=

-1,7

|

+ 3

- 2 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π)

=

1,3

|:

- 2

\cos (2 x + \frac{1}{2} π)

=

- 0,65

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.2783807635203

1. Fall:

$2 x + \frac{1}{2} π$	=	$2,278$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{1}{2} π)$	=	$4,556$
$4 x + π$	=	$4,556$	\| $- π$
$4 x$	=	$4,556 - π$
$4 x$	=	$1,4144$	\|: $4$
x₁	=	$0,3536$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x + \frac{1}{2} π)$ = $- 0,65$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.65 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $2,278$
bzw. bei - $2,278$ +2π= $4,005$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + \frac{1}{2} π$	=	$4,005$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{1}{2} π)$	=	$8,01$
$4 x + π$	=	$8,01$	\| $- π$
$4 x$	=	$8,01 - π$
$4 x$	=	$4,8684$	\|: $4$
x₂	=	$1,2171$

L={ $0,3536$ ; $1,2171$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{2} - \sin (x)$	=	0
$(\sin (x) - 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x) - 1

= 0 |

+ 1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + 5 \cdot \sin (x) + 4$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} + 5 \cdot \sin (x) + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $- 1$

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $- 4$

\sin (x)

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(\cos (x + \frac{1}{2} π) + 1) \cdot (\sin (x) + 1)$ = 0

Lösung einblenden

(\cos (x + \frac{1}{2} π) + 1) \cdot (\sin (x) + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x + \frac{1}{2} π) + 1

= 0 |

- 1

\cos (x + \frac{1}{2} π)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$x + \frac{1}{2} π$	=	$π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{1}{2} π)$	=	$2 π$
$2 x + π$	=	$2 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

2. Fall:

\sin (x) + 1

= 0 |

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF