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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\sin (x)$ = $- 0,35$

\sin (x)

=

- 0,35

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.35757110364551

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,926$

1. Fall:

x₁

=

5,926

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,35$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,926$ =-2.7844 bzw. bei -2.7844+2π= $3,499$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

3,499

L={ $3,499$ ; $5,926$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 2 \cdot \cos (x - π) - 3$ = $- 3$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \cos (x - π) - 3

=

- 3

|

+ 3

- 2 \cdot \cos (x - π)

=

0

|:

- 2

\cos (x - π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$x - π$	=	$\frac{1}{2} π$	\| $+ π$
x₁	=	$\frac{3}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x - π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x - π

=

\frac{3}{2} π

oder

$x - π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$x - π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\| $+ π$
x₂	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$3 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π) + 3$ = $4,05$

Lösung einblenden

3 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π) + 3

=

4,05

|

- 3

3 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π)

=

1,05

|:

3

\sin (x + \frac{3}{2} π)

=

0,35

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.35757110364551

1. Fall:

x + \frac{3}{2} π

=

0,358

oder

$x + \frac{3}{2} π$	=	$0,358 + 2 π$	\|⋅ 2
$2 x + 3 π$	=	$0,716 + 4 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$0,716 + π$
$2 x$	=	$3,8576$	\|: $2$
x₁	=	$1,9288$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x + \frac{3}{2} π)$ = $0,35$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,358$ = $2,784$ liegen muss.

2. Fall:

x + \frac{3}{2} π

=

2,784

oder

$x + \frac{3}{2} π$	=	$2,784 + 2 π$	\|⋅ 2
$2 x + 3 π$	=	$5,568 + 4 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$5,568 + π$
$2 x$	=	$8,7096$	\|: $2$
x₂	=	$4,3548$

L={ $1,9288$ ; $4,3548$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) - 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

π

L={0; $π$ }

0 ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \frac{1}{2}$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \frac{1}{2}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2})$	=	0

$2 u^{2} - 3 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{4}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3+1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3-1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 u^{2} - 3 u + 1$ = 0 |: $2$

$u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $1$

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $0,5$

\sin (x)

=

0,5

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

x₂

=

\frac{5}{6} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6} π$ = $\frac{1}{6} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{1}{6} π

L={ $\frac{1}{6} π$ ; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{5}{6} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$2 \cdot \sin (3 x - π) \cdot (\cos (x) - 1)$ = 0

Lösung einblenden

$2 \cdot \sin (3 x - π) \cdot (\cos (x) - 1)$	=	0
$2 \sin (3 x - π) \cdot (\cos (x) - 1)$	=	0
$2 (\cos (x) - 1) \cdot \sin (3 x - π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

2. Fall:

\sin (3 x - π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$3 x - π$	=	0	\| $+ π$
$3 x$	=	$π$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x - π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

3 x - π

=

π

oder

$3 x - π$	=	$π - 2 π$
$3 x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₃	=	0

Da $\sin (3 x - π)$ die Periode $\frac{2}{3} π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₄ = $\frac{1}{3} π$ + 1⋅ $\frac{2}{3} π$ = $π$ , x₅ = 0 + 1⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{2}{3} π$
x₆ = $\frac{1}{3} π$ + 2⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{5}{3} π$ , x₇ = 0 + 2⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{4}{3} π$

L={0; $\frac{1}{3} π$ ; $\frac{2}{3} π$ ; $π$ ; $\frac{4}{3} π$ ; $\frac{5}{3} π$ }

0 ist 2-fache Lösung!

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einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF