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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $0,9$

\cos (x)

=

0,9

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.45102681179626

1. Fall:

x₁

=

0,451

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,9$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,451$
bzw. bei - $0,451$ +2π= $5,832$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

5,832

L={ $0,451$ ; $5,832$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$2 \cdot \cos (2 x - π) + 1$ = $1$

Lösung einblenden

2 \cdot \cos (2 x - π) + 1

=

1

|

- 1

2 \cdot \cos (2 x - π)

=

0

|:

2

\cos (2 x - π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$2 x - π$	=	$\frac{1}{2} π$	\| $+ π$
$2 x$	=	$\frac{3}{2} π$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{3}{4} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x - π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

2 x - π

=

\frac{3}{2} π

oder

$2 x - π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$2 x - π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\| $+ π$
$2 x$	=	$\frac{1}{2} π$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{4} π$

L={ $\frac{1}{4} π$ ; $\frac{3}{4} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$\cos (3 x - \frac{3}{2} π) - 3$ = $-3,5$

Lösung einblenden

\cos (3 x - \frac{3}{2} π) - 3

=

-3,5

|

+ 3

\cos (3 x - \frac{3}{2} π)

=

- 0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

3 x - \frac{3}{2} π

=

\frac{2}{3} π

oder

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$\frac{2}{3} π - 2 π$
$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$- \frac{4}{3} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- \frac{8}{3} π$
$6 x - 3 π$	=	$- \frac{8}{3} π$	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$\frac{1}{3} π$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{18} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x - \frac{3}{2} π)$ = $- 0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{2}{3} π$
bzw. bei - $\frac{2}{3} π$ +2π= $\frac{4}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

3 x - \frac{3}{2} π

=

\frac{4}{3} π

oder

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$\frac{4}{3} π - 2 π$
$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$- \frac{2}{3} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- \frac{4}{3} π$
$6 x - 3 π$	=	$- \frac{4}{3} π$	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$\frac{5}{3} π$	\|: $6$
x₂	=	$\frac{5}{18} π$

L={ $\frac{1}{18} π$ ; $\frac{5}{18} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\frac{1}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) + 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) + 1

= 0 |

- 1

2 \cdot \cos (x)

=

- 1

|:

2

\cos (x)

=

- 0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

x₁

=

\frac{2}{3} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{2}{3} π$
bzw. bei - $\frac{2}{3} π$ +2π= $\frac{4}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{4}{3} π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

π

L={0; $\frac{2}{3} π$ ; $π$ ; $\frac{4}{3} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + 4 \cdot \cos (x) + 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} + 4 \cdot \cos (x) + 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $- 1$

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

u₂: $\cos (x)$ = $- 3$

\cos (x)

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} - \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) - 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF