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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
cos( x ) = 0,8

Lösung einblenden
canvas
cos( x ) = 0,8 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

x1 = 0,644

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0,8 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 0,644
bzw. bei - 0,644 +2π= 5,64 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 5,64

L={ 0,644 ; 5,64 }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
-3⋅ cos( 3x + 1 2 π) = 3

Lösung einblenden
-3⋅ cos( 3x + 1 2 π) = 3 |:-3
canvas
cos( 3x + 1 2 π) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3x + 1 2 π = π |⋅ 2
2( 3x + 1 2 π) = 2π
6x + π = 2π | - π
6x = π |:6
x = 1 6 π

L={ 1 6 π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ).
-3⋅ cos( 2x - 1 2 π) -1 = -0,1

Lösung einblenden
-3⋅ cos( 2x - 1 2 π) -1 = -0,1 | +1
-3⋅ cos( 2x - 1 2 π) = 0,9 |:-3
canvas
cos( 2x - 1 2 π) = -0,3 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.8754889808103

1. Fall:

2x - 1 2 π = 1,875 |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = 3,75
4x - π = 3,75 | + π
4x = 3,75 + π
4x = 6,8916 |:4
x1 = 1,7229

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 2x - 1 2 π) = -0,3 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,875
bzw. bei - 1,875 +2π= 4,408 liegen muss.

2. Fall:

2x - 1 2 π = 4,408 |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = 8,816
4x - π = 8,816 | + π
4x = 8,816 + π
4x = 11,9576 |:4
x2 = 2,9894

L={ 1,7229 ; 2,9894 }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 + 3 2 ⋅ cos( x ) = 0

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( cos( x ) ) 2 + 3 2 ⋅ cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ cos( x ) +3 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ cos( x ) +3 = 0 | -3
2⋅ cos( x ) = -3 |:2
cos( x ) = -1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

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cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 + 1 2 ⋅ sin( x ) - 1 2 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 + 1 2 ⋅ sin( x ) - 1 2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + 1 2 u - 1 2 = 0 |⋅ 2
2( u 2 + 1 2 u - 1 2 ) = 0

2 u 2 + u -1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 2 · ( -1 ) 2⋅2

u1,2 = -1 ± 1 +8 4

u1,2 = -1 ± 9 4

u1 = -1 + 9 4 = -1 +3 4 = 2 4 = 0,5

u2 = -1 - 9 4 = -1 -3 4 = -4 4 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 u 2 + u -1 = 0 |: 2

u 2 + 1 2 u - 1 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 4 ) 2 - ( - 1 2 ) = 1 16 + 1 2 = 1 16 + 8 16 = 9 16

x1,2 = - 1 4 ± 9 16

x1 = - 1 4 - 3 4 = - 4 4 = -1

x2 = - 1 4 + 3 4 = 2 4 = 0.5

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = 0,5

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sin( x ) = 0,5 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

x1 = 5 6 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5 6 π = 1 6 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 1 6 π

u2: sin( x ) = -1

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sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x3 = 3 2 π

L={ 1 6 π ; 5 6 π ; 3 2 π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( - sin( x - π) -1 ) · ( x -3 ) = 0

Lösung einblenden
( - sin( x - π) -1 ) ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- sin( x - π) -1 = 0 | +1
- sin( x - π) = 1 |:-1
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sin( x - π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - π = 3 2 π

oder

x - π = 3 2 π-2π
x - π = - 1 2 π | + π
x1 = 1 2 π

2. Fall:

x -3 = 0 | +3
x2 = 3

L={ 1 2 π ; 3 }