Mathebattle EduRandomtasks

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\sin (x)$ = $- 0,35$

\sin (x)

=

- 0,35

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.35757110364551

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,926$

1. Fall:

x₁

=

5,926

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,35$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,926$ =-2.7844 bzw. bei -2.7844+2π= $3,499$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

3,499

L={ $3,499$ ; $5,926$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$\sin (x - π) + 3$ = $3$

Lösung einblenden

\sin (x - π) + 3

=

3

|

- 3

\sin (x - π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$x - π$	=	0	\| $+ π$
x₁	=	$π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x - π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x - π

=

π

oder

$x - π$	=	$π - 2 π$
$x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
x₂	=	0

L={0; $π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$\cos (x + \frac{3}{2} π) - 1$ = $-0,2$

Lösung einblenden

\cos (x + \frac{3}{2} π) - 1

=

-0,2

|

+ 1

\cos (x + \frac{3}{2} π)

=

0,8

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

x + \frac{3}{2} π

=

0,644

oder

$x + \frac{3}{2} π$	=	$0,644 + 2 π$	\|⋅ 2
$2 x + 3 π$	=	$1,288 + 4 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$1,288 + π$
$2 x$	=	$4,4296$	\|: $2$
x₁	=	$2,2148$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x + \frac{3}{2} π)$ = $0,8$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,644$
bzw. bei - $0,644$ +2π= $5,64$ liegen muss.

2. Fall:

$x + \frac{3}{2} π$	=	$5,64$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} π)$	=	$11,28$
$2 x + 3 π$	=	$11,28$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$11,28 - 3 π$
$2 x$	=	$1,8552$	\|: $2$
x₂	=	$0,9276$

L={ $0,9276$ ; $2,2148$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{2} + \sin (x)$	=	0
$(\sin (x) + 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x) + 1

= 0 |

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

π

L={0; $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - \cos (x) - 2$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} - \cos (x) - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $2$

\cos (x)

=

2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\cos (x)$ = $- 1$

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

L={ $π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) + 3) \cdot (\sin (x) - 1)$ = 0

Lösung einblenden

(3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) + 3) (\sin (x) - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) + 3

= 0 |

- 3

3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

- 3

|:

3

\sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$3 π$
$4 x + 3 π$	=	$3 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₁	=	0

Da $3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) + 3$ die Periode $π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₂ = 0 + 1⋅ $π$ = $π$

2. Fall:

\sin (x) - 1

= 0 |

+ 1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₃

=

\frac{1}{2} π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF