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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
sin( x ) = -0,9

Lösung einblenden
canvas
sin( x ) = -0,9 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -1.1197695149986

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 5,163

1. Fall:

x1 = 5,163

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = -0,9 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5,163 =-2.0214 bzw. bei -2.0214+2π= 4,261 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 4,261

L={ 4,261 ; 5,163 }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
-2⋅ sin( 2x + π) -1 = -1

Lösung einblenden
-2⋅ sin( 2x + π) -1 = -1 | +1
-2⋅ sin( 2x + π) = 0 |:-2
canvas
sin( 2x + π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

2x + π = 0

oder

2x + π = 0+2π
2x + π = 2π | - π
2x = π |:2
x1 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 2x + π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

2x + π = π | - π
2x = 0 |:2
x2 = 0

L={0; 1 2 π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ).
3⋅ cos( 3x + 1 2 π) +1 = -1,4

Lösung einblenden
3⋅ cos( 3x + 1 2 π) +1 = -1,4 | -1
3⋅ cos( 3x + 1 2 π) = -2,4 |:3
canvas
cos( 3x + 1 2 π) = -0,8 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.4980915447965

1. Fall:

3x + 1 2 π = 2,498 |⋅ 2
2( 3x + 1 2 π) = 4,996
6x + π = 4,996 | - π
6x = 4,996 - π
6x = 1,8544 |:6
x1 = 0,3091

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 3x + 1 2 π) = -0,8 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 2,498
bzw. bei - 2,498 +2π= 3,785 liegen muss.

2. Fall:

3x + 1 2 π = 3,785 |⋅ 2
2( 3x + 1 2 π) = 7,57
6x + π = 7,57 | - π
6x = 7,57 - π
6x = 4,4284 |:6
x2 = 0,7381

L={ 0,3091 ; 0,7381 }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
- sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
- sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
( cos( x ) -1 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

cos( x ) -1 = 0 | +1 canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x3 = π

L={0; π }

0 ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ sin( x ) + 1 2 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ sin( x ) + 1 2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - 3 2 u + 1 2 = 0 |⋅ 2
2( u 2 - 3 2 u + 1 2 ) = 0

2 u 2 -3u +1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 2 · 1 2⋅2

u1,2 = +3 ± 9 -8 4

u1,2 = +3 ± 1 4

u1 = 3 + 1 4 = 3 +1 4 = 4 4 = 1

u2 = 3 - 1 4 = 3 -1 4 = 2 4 = 0,5

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = 1

canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 1 2 π

u2: sin( x ) = 0,5

canvas
sin( x ) = 0,5 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

x2 = 5 6 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5 6 π = 1 6 π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 1 6 π

L={ 1 6 π ; 1 2 π ; 5 6 π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( -3⋅ cos( x + 1 2 π) +3 ) · sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( -3⋅ cos( x + 1 2 π) +3 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-3⋅ cos( x + 1 2 π) +3 = 0 | -3
-3⋅ cos( x + 1 2 π) = -3 |:-3
canvas
cos( x + 1 2 π) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + 1 2 π = 0

oder

x + 1 2 π = 0+2π
x + 1 2 π = 2π |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = 4π
2x + π = 4π | - π
2x = 3π |:2
x1 = 3 2 π

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x3 = π

L={0; π ; 3 2 π }