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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
cos( x ) = -0,8

Lösung einblenden
canvas
cos( x ) = -0,8 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.4980915447965

1. Fall:

x1 = 2,498

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = -0,8 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 2,498
bzw. bei - 2,498 +2π= 3,785 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3,785

L={ 2,498 ; 3,785 }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
cos( x + 1 2 π) +1 = 1

Lösung einblenden
cos( x + 1 2 π) +1 = 1 | -1 canvas
cos( x + 1 2 π) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + 1 2 π = 1 2 π |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = π
2x + π = π | - π
2x = 0 |:2
x1 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x + 1 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x + 1 2 π = 3 2 π |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = 3π
2x + π = 3π | - π
2x = 2π |:2
x2 = π

L={0; π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ).
-3⋅ sin( 2x + 1 2 π) -1 = -0,4

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-3⋅ sin( 2x + 1 2 π) -1 = -0,4 | +1
-3⋅ sin( 2x + 1 2 π) = 0,6 |:-3
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sin( 2x + 1 2 π) = -0,2 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.20135792079033

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; π ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 6,082

1. Fall:

2x + 1 2 π = 6,082 |⋅ 2
2( 2x + 1 2 π) = 12,164
4x + π = 12,164 | - π
4x = 12,164 - π
4x = 9,0224 |:4
x1 = 2,2556

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 2x + 1 2 π) = -0,2 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 6,082 =-2.9404 bzw. bei -2.9404+2π= 3,343 liegen muss.

2. Fall:

2x + 1 2 π = 3,343 |⋅ 2
2( 2x + 1 2 π) = 6,686
4x + π = 6,686 | - π
4x = 6,686 - π
4x = 3,5444 |:4
x2 = 0,8861

L={ 0,8861 ; 2,2556 }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 + cos( x ) = 0

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( cos( x ) ) 2 + cos( x ) = 0
( cos( x ) +1 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

cos( x ) +1 = 0 | -1 canvas
cos( x ) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = π

2. Fall:

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cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; π ; 3 2 π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 +2⋅ cos( x ) -3 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 +2⋅ cos( x ) -3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +2u -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -3 ) 2⋅1

u1,2 = -2 ± 4 +12 2

u1,2 = -2 ± 16 2

u1 = -2 + 16 2 = -2 +4 2 = 2 2 = 1

u2 = -2 - 16 2 = -2 -4 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -3 ) = 1+ 3 = 4

x1,2 = -1 ± 4

x1 = -1 - 2 = -3

x2 = -1 + 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 1

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cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

u2: cos( x ) = -3

cos( x ) = -3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( 2⋅ cos( 2x - 1 2 π) +2 ) · ( sin( x ) +1 ) = 0

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( 2⋅ cos( 2x - 1 2 π) +2 ) ( sin( x ) +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ cos( 2x - 1 2 π) +2 = 0 | -2
2⋅ cos( 2x - 1 2 π) = -2 |:2
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cos( 2x - 1 2 π) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2x - 1 2 π = π |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = 2π
4x - π = 2π | + π
4x = 3π |:4
x1 = 3 4 π

Da 2⋅ cos( 2x - 1 2 π) +2 die Periode π besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; 2π ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x2 = 3 4 π + 1⋅ π = 7 4 π


2. Fall:

sin( x ) +1 = 0 | -1 canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x3 = 3 2 π

L={ 3 4 π ; 3 2 π ; 7 4 π }