Mathebattle EduRandomtasks

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\sin (x)$ = $1$

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x

=

\frac{1}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 2 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) + 3$ = $3$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) + 3

=

3

|

- 3

- 2 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π)

=

0

|:

- 2

\cos (2 x - \frac{1}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$4 x - π$	=	$π$	\| $+ π$
$4 x$	=	$2 π$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x - \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

2 x - \frac{1}{2} π

=

\frac{3}{2} π

oder

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	$- π$
$4 x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₂	=	0

L={0; $\frac{1}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) + 3$ = $2,85$

Lösung einblenden

3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) + 3

=

2,85

|

- 3

3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π)

=

- 0,15

|:

3

\cos (2 x - \frac{1}{2} π)

=

- 0,05

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.6208171836007

1. Fall:

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$1,621$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	$3,242$
$4 x - π$	=	$3,242$	\| $+ π$
$4 x$	=	$3,242 + π$
$4 x$	=	$6,3836$	\|: $4$
x₁	=	$1,5959$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x - \frac{1}{2} π)$ = $- 0,05$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.05 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,621$
bzw. bei - $1,621$ +2π= $4,662$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$4,662$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	$9,324$
$4 x - π$	=	$9,324$	\| $+ π$
$4 x$	=	$9,324 + π$
$4 x$	=	$12,4656$	\|: $4$
x₂	=	$3,1164$

L={ $1,5959$ ; $3,1164$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{2} - \sin (x)$	=	0
$(\sin (x) - 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x) - 1

= 0 |

+ 1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} - \frac{1}{2} {(\sin (x))}^{2} - \frac{1}{2}$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} - \frac{1}{2} {(\sin (x))}^{2} - \frac{1}{2}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2})$	=	0

$2 u^{2} - u - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{4}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{1+3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{1-3}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 u^{2} - u - 1$ = 0 |: $2$

$u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $1$

{(\sin (x))}^{2}

=

1

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{1}

=

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{1}

=

1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{1}{2} π

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 0,5$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 0,5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $π$ ):
$(- 3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) - 3) \cdot (x^{2} - 2 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) - 3) \cdot (x^{2} - 2 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) - 3

= 0 |

+ 3

- 3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π)

=

3

|:

- 3

\cos (2 x - \frac{1}{2} π)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	$2 π$
$4 x - π$	=	$2 π$	\| $+ π$
$4 x$	=	$3 π$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{3}{4} π$

2. Fall:

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={0; $2$ ; $\frac{3}{4} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF