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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $0,45$

\cos (x)

=

0,45

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.1040309877476

1. Fall:

x₁

=

1,104

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,45$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.45 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,104$
bzw. bei - $1,104$ +2π= $5,179$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

5,179

L={ $1,104$ ; $5,179$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$2 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) - 1$ = $1$

Lösung einblenden

2 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) - 1

=

1

|

+ 1

2 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π)

=

2

|:

2

\sin (2 x - \frac{3}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x - \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π - 2 π$
$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$- \frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 3 π$
$4 x - 3 π$	=	$- 3 π$	\| $+ 3 π$
$4 x$	=	0	\|: $4$
$x$	=	0

L={0}

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$3 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) + 3$ = $3,45$

Lösung einblenden

3 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) + 3

=

3,45

|

- 3

3 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π)

=

0,45

|:

3

\sin (3 x - \frac{3}{2} π)

=

0,15

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.15056827277669

1. Fall:

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$0,151$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	$0,302$
$6 x - 3 π$	=	$0,302$	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$0,302 + 3 π$
$6 x$	=	$9,7268$	\|: $6$
x₁	=	$1,6211$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x - \frac{3}{2} π)$ = $0,15$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.15 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,151$ = $2,991$ liegen muss.

2. Fall:

3 x - \frac{3}{2} π

=

2,991

oder

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$2,991 - 2 π$	\|⋅ 2
$6 x - 3 π$	=	$5,982 - 4 π$	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$5,982 - π$
$6 x$	=	$2,8404$	\|: $6$
x₂	=	$0,4734$

L={ $0,4734$ ; $1,6211$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) + 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) + 1

= 0 |

- 1

2 \cdot \sin (x)

=

- 1

|:

2

\sin (x)

=

- 0,5

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.5235987755983

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; $2 π$ ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\frac{11}{6} π$

1. Fall:

x₁

=

\frac{11}{6} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{11}{6} π$ =-2.618 bzw. bei -2.618+2π= $\frac{7}{6} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{7}{6} π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{7}{6} π$ ; $\frac{3}{2} π$ ; $\frac{11}{6} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - 4 \cdot \cos (x) + 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} - 4 \cdot \cos (x) + 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $3$

\cos (x)

=

3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

L={0}

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(x - 5) \cdot 2 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π)$ = 0

Lösung einblenden

$(x - 5) \cdot 2 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π)$	=	0
$2 (x - 5) \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₁	=	$5$

2. Fall:

\cos (x + \frac{1}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$2 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x + \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

$x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{1}{2} π)$	=	$3 π$
$2 x + π$	=	$3 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$2 π$	\|: $2$
x₃	=	$π$

L={0; $π$ ; $5$ }

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einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF