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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $- 0,3$

\cos (x)

=

- 0,3

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.8754889808103

1. Fall:

x₁

=

1,875

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,3$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,875$
bzw. bei - $1,875$ +2π= $4,408$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

4,408

L={ $1,875$ ; $4,408$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) + 3$ = 0

Lösung einblenden

3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) + 3

= 0 |

- 3

3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)

=

- 3

|:

3

\cos (x - \frac{3}{2} π)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - \frac{3}{2} π

=

π

oder

$x - \frac{3}{2} π$	=	$π - 2 π$
$x - \frac{3}{2} π$	=	$- π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 2 π$
$2 x - 3 π$	=	$- 2 π$	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$- 3 \cdot \cos (x + π) + 3$ = $1,5$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \cos (x + π) + 3

=

1,5

|

- 3

- 3 \cdot \cos (x + π)

=

- 1,5

|:

- 3

\cos (x + π)

=

0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x + π

=

\frac{1}{3} π

oder

$x + π$	=	$\frac{1}{3} π + 2 π$
$x + π$	=	$\frac{7}{3} π$	\| $- π$
x₁	=	$\frac{4}{3} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x + π)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{3} π$
bzw. bei - $\frac{1}{3} π$ +2π= $\frac{5}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

$x + π$	=	$\frac{5}{3} π$	\| $- π$
x₂	=	$\frac{2}{3} π$

L={ $\frac{2}{3} π$ ; $\frac{4}{3} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) + 3) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) + 3

= 0 |

- 3

2 \cdot \sin (x)

=

- 3

|:

2

\sin (x)

=

- 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + 5 \cdot \sin (x) + 4$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} + 5 \cdot \sin (x) + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $- 1$

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $- 4$

\sin (x)

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(- 3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) + 3) \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) + 3) \cdot \sin (x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) + 3

= 0 |

- 3

- 3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π)

=

- 3

|:

- 3

\sin (3 x + \frac{3}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3 x + \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π + 2 π$
$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{5}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{3}{2} π)$	=	$5 π$
$6 x + 3 π$	=	$5 π$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	$2 π$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{3} π$

Da $- 3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) + 3$ die Periode $\frac{2}{3} π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₂ = $\frac{1}{3} π$ + 1⋅ $\frac{2}{3} π$ = $π$
x₃ = $\frac{1}{3} π$ + 2⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{5}{3} π$

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₄

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₅

=

π

L={0; $\frac{1}{3} π$ ; $π$ ; $\frac{5}{3} π$ }

$π$ ist 2-fache Lösung!

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF