Mathebattle EduRandomtasks

einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $0,35$

\cos (x)

=

0,35

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.2132252231494

1. Fall:

x₁

=

1,213

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,35$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,213$
bzw. bei - $1,213$ +2π= $5,07$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

5,07

L={ $1,213$ ; $5,07$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 2 \cdot \sin (2 x - π) + 3$ = $5$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \sin (2 x - π) + 3

=

5

|

- 3

- 2 \cdot \sin (2 x - π)

=

2

|:

- 2

\sin (2 x - π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x - π

=

\frac{3}{2} π

oder

$2 x - π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$2 x - π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\| $+ π$
$2 x$	=	$\frac{1}{2} π$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{4} π$

L={ $\frac{1}{4} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$- 3 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π) + 3$ = 0

Lösung einblenden

- 3 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π) + 3

= 0 |

- 3

- 3 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π)

=

- 3

|:

- 3

\cos (3 x - \frac{3}{2} π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	0
$6 x - 3 π$	=	0	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$3 π$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} - \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) - 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} + 4 {(\sin (x))}^{2} + 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} + 4 {(\sin (x))}^{2} + 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 1$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 3$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={}

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $π$ ):
$(x - 3) \cdot (- \sin (2 x + \frac{3}{2} π) - 1)$ = 0

Lösung einblenden

(x - 3) (- \sin (2 x + \frac{3}{2} π) - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₁	=	$3$

2. Fall:

- \sin (2 x + \frac{3}{2} π) - 1

= 0 |

+ 1

- \sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

1

|:

- 1

\sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$3 π$
$4 x + 3 π$	=	$3 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₂	=	0

L={0; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF