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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
sin( x ) = -0,35

Lösung einblenden
canvas
sin( x ) = -0,35 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.35757110364551

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 5,926

1. Fall:

x1 = 5,926

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = -0,35 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5,926 =-2.7844 bzw. bei -2.7844+2π= 3,499 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3,499

L={ 3,499 ; 5,926 }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
sin( x + π) = 0

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canvas
sin( x + π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + π = 0

oder

x + π = 0+2π
x + π = 2π | - π
x1 = π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x + π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x + π = π | - π
x2 = 0

L={0; π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ).
-2⋅ sin( 3x + π) +3 = 4,4

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-2⋅ sin( 3x + π) +3 = 4,4 | -3
-2⋅ sin( 3x + π) = 1,4 |:-2
canvas
sin( 3x + π) = -0,7 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.77539749661075

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; 2 3 π ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 5,508

1. Fall:

3x + π = 5,508 | - π
3x = 5,508 - π
3x = 2,3664 |:3
x1 = 0,7888

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 3x + π) = -0,7 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5,508 =-2.3664 bzw. bei -2.3664+2π= 3,917 liegen muss.

2. Fall:

3x + π = 3,917 | - π
3x = 3,917 - π
3x = 0,7754 |:3
x2 = 0,2585

L={ 0,2585 ; 0,7888 }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
3 2 ⋅ cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

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3 2 ⋅ cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ sin( x ) +3 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ sin( x ) +3 = 0 | -3
2⋅ sin( x ) = -3 |:2
sin( x ) = -1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 +4⋅ sin( x ) +3 = 0

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( sin( x ) ) 2 +4⋅ sin( x ) +3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +4u +3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · 3 2⋅1

u1,2 = -4 ± 16 -12 2

u1,2 = -4 ± 4 2

u1 = -4 + 4 2 = -4 +2 2 = -2 2 = -1

u2 = -4 - 4 2 = -4 -2 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 2 2 - 3 = 4 - 3 = 1

x1,2 = -2 ± 1

x1 = -2 - 1 = -3

x2 = -2 + 1 = -1

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = -1

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sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

u2: sin( x ) = -3

sin( x ) = -3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 3 2 π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
3⋅ sin( 2x - 1 2 π) · ( sin( x ) -1 ) = 0

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3⋅ sin( 2x - 1 2 π) · ( sin( x ) -1 ) = 0
3 sin( 2x - 1 2 π) · ( sin( x ) -1 ) = 0
3 ( sin( x ) -1 ) · sin( 2x - 1 2 π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

sin( x ) -1 = 0 | +1 canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 1 2 π

2. Fall:

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sin( 2x - 1 2 π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

2x - 1 2 π = 0 |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = 0
4x - π = 0 | + π
4x = π |:4
x2 = 1 4 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 2x - 1 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

2x - 1 2 π = π |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = 2π
4x - π = 2π | + π
4x = 3π |:4
x3 = 3 4 π

Da sin( 2x - 1 2 π) die Periode π besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; 2π ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x4 = 1 4 π + 1⋅ π = 5 4 π , x5 = 3 4 π + 1⋅ π = 7 4 π

L={ 1 4 π ; 1 2 π ; 3 4 π ; 5 4 π ; 7 4 π }