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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
cos( x ) = 0,05

Lösung einblenden
canvas
cos( x ) = 0,05 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.5207754699891

1. Fall:

x1 = 1,521

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0,05 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.05 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,521
bzw. bei - 1,521 +2π= 4,762 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 4,762

L={ 1,521 ; 4,762 }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
3⋅ sin( x - 1 2 π) +3 = 3

Lösung einblenden
3⋅ sin( x - 1 2 π) +3 = 3 | -3
3⋅ sin( x - 1 2 π) = 0 |:3
canvas
sin( x - 1 2 π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x - 1 2 π = 0 |⋅ 2
2( x - 1 2 π) = 0
2x - π = 0 | + π
2x = π |:2
x1 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x - 1 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x - 1 2 π = π |⋅ 2
2( x - 1 2 π) = 2π
2x - π = 2π | + π
2x = 3π |:2
x2 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ).
3⋅ sin( 3x - π) -3 = -2,1

Lösung einblenden
3⋅ sin( 3x - π) -3 = -2,1 | +3
3⋅ sin( 3x - π) = 0,9 |:3
canvas
sin( 3x - π) = 0,3 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

1. Fall:

3x - π = 0,305 | + π
3x = 0,305 + π
3x = 3,4466 |:3
x1 = 1,1489

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 3x - π) = 0,3 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,305 = 2,837 liegen muss.

2. Fall:

3x - π = 2,837 | + π
3x = 2,837 + π
3x = 5,9786 |:3
x2 = 1,9929

L={ 1,1489 ; 1,9929 }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 + 3 2 ⋅ cos( x ) = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 + 3 2 ⋅ cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ cos( x ) +3 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ cos( x ) +3 = 0 | -3
2⋅ cos( x ) = -3 |:2
cos( x ) = -1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 -4⋅ cos( x ) +3 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 -4⋅ cos( x ) +3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -4u +3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · 3 2⋅1

u1,2 = +4 ± 16 -12 2

u1,2 = +4 ± 4 2

u1 = 4 + 4 2 = 4 +2 2 = 6 2 = 3

u2 = 4 - 4 2 = 4 -2 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - 3 = 4 - 3 = 1

x1,2 = 2 ± 1

x1 = 2 - 1 = 1

x2 = 2 + 1 = 3

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 3

cos( x ) = 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u2: cos( x ) = 1

canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

L={0}

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( - cos( x - 1 2 π) +1 ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
( - cos( x - 1 2 π) +1 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- cos( x - 1 2 π) +1 = 0 | -1
- cos( x - 1 2 π) = -1 |:-1
canvas
cos( x - 1 2 π) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - 1 2 π = 0 |⋅ 2
2( x - 1 2 π) = 0
2x - π = 0 | + π
2x = π |:2
x1 = 1 2 π

2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

1 2 π ist 2-fache Lösung!