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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\sin (x)$ = $- 0,05$

\sin (x)

=

- 0,05

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.05002085680577

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $6,233$

1. Fall:

x₁

=

6,233

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,05$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.05 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $6,233$ =-3.0914 bzw. bei -3.0914+2π= $3,192$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

3,192

L={ $3,192$ ; $6,233$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 3 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π) - 3$ = 0

Lösung einblenden

- 3 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π) - 3

= 0 |

+ 3

- 3 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π)

=

3

|:

- 3

\sin (x + \frac{1}{2} π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{1}{2} π)$	=	$3 π$
$2 x + π$	=	$3 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$2 π$	\|: $2$
$x$	=	$π$

L={ $π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$2 \cdot \cos (2 x - π) - 2$ = $-3,4$

Lösung einblenden

2 \cdot \cos (2 x - π) - 2

=

-3,4

|

+ 2

2 \cdot \cos (2 x - π)

=

- 1,4

|:

2

\cos (2 x - π)

=

- 0,7

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.3461938234056

1. Fall:

$2 x - π$	=	$2,346$	\| $+ π$
$2 x$	=	$2,346 + π$
$2 x$	=	$5,4876$	\|: $2$
x₁	=	$2,7438$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x - π)$ = $- 0,7$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $2,346$
bzw. bei - $2,346$ +2π= $3,937$ liegen muss.

2. Fall:

2 x - π

=

3,937

oder

$2 x - π$	=	$3,937 - 2 π$	\| $+ π$
$2 x$	=	$3,937 - π$
$2 x$	=	$0,7954$	\|: $2$
x₂	=	$0,3977$

L={ $0,3977$ ; $2,7438$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) + 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) + 1

= 0 |

- 1

2 \cdot \cos (x)

=

- 1

|:

2

\cos (x)

=

- 0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

x₁

=

\frac{2}{3} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{2}{3} π$
bzw. bei - $\frac{2}{3} π$ +2π= $\frac{4}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{4}{3} π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{2}{3} π$ ; $\frac{4}{3} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + 3 \cdot \sin (x) + 2$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} + 3 \cdot \sin (x) + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $- 1$

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $- 2$

\sin (x)

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\sin (2 x + π) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

\sin (2 x + π) \cdot \cos (x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (2 x + π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

2 x + π

=

0

oder

$2 x + π$	=	$0 + 2 π$
$2 x + π$	=	$2 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x + π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0

Da $\sin (2 x + π)$ die Periode $π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₃ = $\frac{1}{2} π$ + 1⋅ $π$ = $\frac{3}{2} π$ , x₄ = 0 + 1⋅ $π$ = $π$

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₅

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₆

=

\frac{3}{2} π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

$\frac{1}{2} π$ ist 2-fache Lösung! $\frac{3}{2} π$ ist 2-fache Lösung!

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF