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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
sin( x ) = -0,55

Lösung einblenden
canvas
sin( x ) = -0,55 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.58236423786874

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 5,701

1. Fall:

x1 = 5,701

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = -0,55 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.55 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5,701 =-2.5594 bzw. bei -2.5594+2π= 3,724 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3,724

L={ 3,724 ; 5,701 }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
sin( x - 1 2 π) +1 = 2

Lösung einblenden
sin( x - 1 2 π) +1 = 2 | -1 canvas
sin( x - 1 2 π) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - 1 2 π = 1 2 π |⋅ 2
2( x - 1 2 π) = π
2x - π = π | + π
2x = 2π |:2
x = π

L={ π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ).
-3⋅ sin( 3x - 3 2 π) +2 = 1,1

Lösung einblenden
-3⋅ sin( 3x - 3 2 π) +2 = 1,1 | -2
-3⋅ sin( 3x - 3 2 π) = -0,9 |:-3
canvas
sin( 3x - 3 2 π) = 0,3 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

1. Fall:

3x - 3 2 π = 0,305 |⋅ 2
2( 3x - 3 2 π) = 0,61
6x -3π = 0,61 | +3π
6x = 0,61 +3π
6x = 10,0348 |:6
x1 = 1,6725

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 3x - 3 2 π) = 0,3 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,305 = 2,837 liegen muss.

2. Fall:

3x - 3 2 π = 2,837

oder

3x - 3 2 π = 2,837 -2π |⋅ 2
6x -3π = 5,674 -4π | +3π
6x = 5,674 - π
6x = 2,5324 |:6
x2 = 0,4221

L={ 0,4221 ; 1,6725 }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
- 3 2 ⋅ cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
- 3 2 ⋅ cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ sin( x ) -3 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ sin( x ) -3 = 0 | +3
2⋅ sin( x ) = 3 |:2
sin( x ) = 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 +4⋅ cos( x ) +3 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 +4⋅ cos( x ) +3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +4u +3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · 3 2⋅1

u1,2 = -4 ± 16 -12 2

u1,2 = -4 ± 4 2

u1 = -4 + 4 2 = -4 +2 2 = -2 2 = -1

u2 = -4 - 4 2 = -4 -2 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 2 2 - 3 = 4 - 3 = 1

x1,2 = -2 ± 1

x1 = -2 - 1 = -3

x2 = -2 + 1 = -1

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = -1

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cos( x ) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = π

u2: cos( x ) = -3

cos( x ) = -3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( 3⋅ cos( 3x - π) +3 ) · sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( 3⋅ cos( 3x - π) +3 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

3⋅ cos( 3x - π) +3 = 0 | -3
3⋅ cos( 3x - π) = -3 |:3
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cos( 3x - π) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3x - π = π

oder

3x - π = π-2π
3x - π = -π | + π
3x = 0 |:3
x1 = 0

Da 3⋅ cos( 3x - π) +3 die Periode 2 3 π besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; 2π ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x2 = 0 + 1⋅ 2 3 π = 2 3 π
x3 = 0 + 2⋅ 2 3 π = 4 3 π


2. Fall:

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sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x4 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x5 = π

L={0; 2 3 π ; π ; 4 3 π }

0 ist 2-fache Lösung!