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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\sin (x)$ = $- 0,3$

\sin (x)

=

- 0,3

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.3046926540154

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,978$

1. Fall:

x₁

=

5,978

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,3$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,978$ =-2.8364 bzw. bei -2.8364+2π= $3,446$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

3,446

L={ $3,446$ ; $5,978$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 2 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) - 3$ = $- 3$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) - 3

=

- 3

|

+ 3

- 2 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π)

=

0

|:

- 2

\cos (3 x + \frac{1}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$6 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$6 x$	=	0	\|: $6$
x₁	=	0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x + \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$3 π$
$6 x + π$	=	$3 π$	\| $- π$
$6 x$	=	$2 π$	\|: $6$
x₂	=	$\frac{1}{3} π$

L={0; $\frac{1}{3} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) + 1$ = $3,55$

Lösung einblenden

3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) + 1

=

3,55

|

- 1

3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

2,55

|:

3

\sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

0,85

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0159852938148

1. Fall:

2 x + \frac{3}{2} π

=

1,016

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$1,016 + 2 π$	\|⋅ 2
$4 x + 3 π$	=	$2,032 + 4 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$2,032 + π$
$4 x$	=	$5,1736$	\|: $4$
x₁	=	$1,2934$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x + \frac{3}{2} π)$ = $0,85$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.85 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $1,016$ = $2,126$ liegen muss.

2. Fall:

2 x + \frac{3}{2} π

=

2,126

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$2,126 + 2 π$	\|⋅ 2
$4 x + 3 π$	=	$4,252 + 4 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$4,252 + π$
$4 x$	=	$7,3936$	\|: $4$
x₂	=	$1,8484$

L={ $1,2934$ ; $1,8484$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) - 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

2 \cdot \cos (x)

=

1

|:

2

\cos (x)

=

0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{3} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{3} π$
bzw. bei - $\frac{1}{3} π$ +2π= $\frac{5}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{5}{3} π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

π

L={0; $\frac{1}{3} π$ ; $π$ ; $\frac{5}{3} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{1}{2}$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{1}{2}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (u^{2} + \frac{1}{2} u - \frac{1}{2})$	=	0

$2 u^{2} + u - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{4}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 1+3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 1-3}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 u^{2} + u - 1$ = 0 |: $2$

$u^{2} + \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $0,5$

\sin (x)

=

0,5

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

x₁

=

\frac{5}{6} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6} π$ = $\frac{1}{6} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{1}{6} π

u₂: $\sin (x)$ = $- 1$

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{6} π$ ; $\frac{5}{6} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - 1$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
${(\cos (x))}^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

\cos (x)

=

- \sqrt{1}

=

- 1

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

2. Fall

\cos (x)

=

\sqrt{1}

=

1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

0

L={0; $π$ }

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einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF