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cosh
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einfache trigonometrische Gleichungen
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
cos(x) = 0,35
cos(x) | = | 0,35 | |cos-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 1.2132252231494
1. Fall:
x1 | = | 1,213 |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos(x) = 0,35 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
1,213
bzw. bei -
1,213+2π=
5,07 liegen muss.
2. Fall:
x2 | = | 5,07 |
L={ 1,213; 5,07}
trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
-sin(x+12π)-1 = -1
-sin(x+12π) | = | 0 | |:-1 |
sin(x+12π) | = | 0 | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
1. Fall:
x+12π | = |
oder
x+12π | = | 0+2π | |
x+12π | = | 2π | |⋅ 2 |
2(x+12π) | = | 4π | |
2x+π | = | 4π | | -π |
2x | = | 3π | |:2 |
x1 | = | 32π |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin(x+12π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt,
also π -
2. Fall:
x+12π | = | π | |⋅ 2 |
2(x+12π) | = | 2π | |
2x+π | = | 2π | | -π |
2x | = | π | |:2 |
x2 | = | 12π |
L={ 12π; 32π}
trigonometrische Gleichungen (mit WTR)
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 23π).
-sin(3x-32π)-3 = -3,25
-sin(3x-32π) | = | -0,25 | |:-1 |
sin(3x-32π) | = | 0,25 | |sin-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 0.25268025514208
1. Fall:
3x-32π | = | 0,253 | |⋅ 2 |
2(3x-32π) | = | 0,506 | |
6x-3π | = | 0,506 | | +3π |
6x | = | 0,506+3π | |
6x | = | 9,9308 | |:6 |
x1 | = | 1,6551 |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin(3x-32π) = 0,25 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.25 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,253= 2,889 liegen muss.
2. Fall:
3x-32π | = | 2,889 |
oder
3x-32π | = | 2,889-2π | |⋅ 2 |
6x-3π | = | 5,778-4π | | +3π |
6x | = | 5,778-π | |
6x | = | 2,6364 | |:6 |
x2 | = | 0,4394 |
L={ 0,4394; 1,6551}
trigonometr. Nullprodukt-Gleichung
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π):
-12⋅sin(x)+sin(x)·cos(x) =
-12⋅sin(x)+sin(x)·cos(x) | = | ||
12(2⋅cos(x)-1)·sin(x) | = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
2⋅cos(x) | = | 1 | |:2 |
cos(x) | = | 0,5 | |cos-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966
1. Fall:
x1 | = | 13π |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos(x) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
13π
bzw. bei -
13π+2π=
53π liegen muss.
2. Fall:
x2 | = | 53π |
2. Fall:
sin(x) | = | 0 | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
1. Fall:
x3 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin(x) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt,
also π -
2. Fall:
x4 | = | π |
L={
trigon. Gleichung (mit Substitution)
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π):
(cos(x))2+12⋅cos(x)-12 =
(cos(x))2+12⋅cos(x)-12 | = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u = cos(x)
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
u2+12u-12 | = | |⋅ 2 | |
2(u2+12u-12) | = |
2u2+u-1 = 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = -b±√b2-4a·c2a ergibt:
u1,2 = -1±√12-4·2·(-1)2⋅2
u1,2 = -1±√1+84
u1,2 = -1±√94
u1 = -1+√94 = -1+34 = 24 = 0,5
u2 = -1-√94 = -1-34 = -44 = -1
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2" teilen:
2u2+u-1 =
u2+12u-12 = 0
vor dem Einsetzen in x1,2 =
-p2
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
(p2)2-q:
D = (14)2-(-12) = 116+ 12 = 116+ 816 = 916
x1,2 = -14 ± √916
x1 = -14 - 34 = -44 = -1
x2 = -14 + 34 = 24 = 0.5
Rücksubstitution:
u1: cos(x) = 0,5
cos(x) | = | 0,5 | |cos-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966
1. Fall:
x1 | = | 13π |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos(x) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
13π
bzw. bei -
13π+2π=
53π liegen muss.
2. Fall:
x2 | = | 53π |
u2: cos(x) = -1
cos(x) | = | -1 | |cos-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
x3 | = | π |
L={ 13π; π; 53π}
Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π):
(x3-6x2)·3⋅cos(x+12π) =
(x3-6x2)·3⋅cos(x+12π) | = | ||
3(x3-6x2)·cos(x+12π) | = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x3-6x2 | = | ||
x2(x-6) | = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x2 | = | 0 | | 2√⋅ |
x1 | = |
2. Fall:
x-6 | = | | +6 | |
x2 | = | 6 |
2. Fall:
cos(x+12π) | = | 0 | |cos-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
1. Fall:
x+12π | = | 12π | |⋅ 2 |
2(x+12π) | = | π | |
2x+π | = | π | | -π |
2x | = | |:2 | |
x3 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos(x+12π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
12π
bzw. bei -
12π+2π=
32π liegen muss.
2. Fall:
x+12π | = | 32π | |⋅ 2 |
2(x+12π) | = | 3π | |
2x+π | = | 3π | | -π |
2x | = | 2π | |:2 |
x4 | = | π |
L={