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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\sin (x)$ = $0,05$

\sin (x)

=

0,05

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.05002085680577

1. Fall:

x₁

=

0,05

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0,05$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.05 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,05$ = $3,092$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

3,092

L={ $0,05$ ; $3,092$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 2 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) + 2$ = 0

Lösung einblenden

- 2 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) + 2

= 0 |

- 2

- 2 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π)

=

- 2

|:

- 2

\cos (3 x + \frac{1}{2} π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3 x + \frac{1}{2} π

=

0

oder

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$0 + 2 π$
$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$2 π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$4 π$
$6 x + π$	=	$4 π$	\| $- π$
$6 x$	=	$3 π$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$- 2 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) + 2$ = $2,5$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) + 2

=

2,5

|

- 2

- 2 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)

=

0,5

|:

- 2

\cos (x - \frac{1}{2} π)

=

- 0,25

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.823476581937

1. Fall:

$x - \frac{1}{2} π$	=	$1,823$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	$3,646$
$2 x - π$	=	$3,646$	\| $+ π$
$2 x$	=	$3,646 + π$
$2 x$	=	$6,7876$	\|: $2$
x₁	=	$3,3938$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x - \frac{1}{2} π)$ = $- 0,25$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.25 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,823$
bzw. bei - $1,823$ +2π= $4,46$ liegen muss.

2. Fall:

$x - \frac{1}{2} π$	=	$4,46$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	$8,92$
$2 x - π$	=	$8,92$	\| $+ π$
$2 x$	=	$8,92 + π$
$2 x$	=	$12,0616$	\|: $2$
x₂	=	$6,0308$

L={ $3,3938$ ; $6,0308$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- \frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) - 3) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) - 3

= 0 |

+ 3

2 \cdot \sin (x)

=

3

|:

2

\sin (x)

=

1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + 3 \cdot \sin (x) + 2$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} + 3 \cdot \sin (x) + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $- 1$

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $- 2$

\sin (x)

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\sin (2 x + \frac{3}{2} π) \cdot (\sin (x) + 1)$ = 0

Lösung einblenden

$\sin (2 x + \frac{3}{2} π) (\sin (x) + 1)$	=	0
$(\sin (x) + 1) \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x) + 1

= 0 |

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

2. Fall:

\sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

2 x + \frac{3}{2} π

=

0

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$0 + 2 π$
$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$2 π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$4 π$
$4 x + 3 π$	=	$4 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$π$	\|: $4$
x₂	=	$\frac{1}{4} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x + \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

2 x + \frac{3}{2} π

=

π

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$π + 2 π$
$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$3 π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$6 π$
$4 x + 3 π$	=	$6 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$3 π$	\|: $4$
x₃	=	$\frac{3}{4} π$

Da $\sin (2 x + \frac{3}{2} π)$ die Periode $π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₄ = $\frac{1}{4} π$ + 1⋅ $π$ = $\frac{5}{4} π$ , x₅ = $\frac{3}{4} π$ + 1⋅ $π$ = $\frac{7}{4} π$

L={ $\frac{1}{4} π$ ; $\frac{3}{4} π$ ; $\frac{5}{4} π$ ; $\frac{3}{2} π$ ; $\frac{7}{4} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF