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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $- 0,45$

\cos (x)

=

- 0,45

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0375616658422

1. Fall:

x₁

=

2,038

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,45$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.45 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $2,038$
bzw. bei - $2,038$ +2π= $4,246$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

4,246

L={ $2,038$ ; $4,246$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 2 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π)$ = $- 2$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π)

=

- 2

|:

- 2

\sin (x + \frac{3}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π + 2 π$
$x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{5}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} π)$	=	$5 π$
$2 x + 3 π$	=	$5 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$2 π$	\|: $2$
$x$	=	$π$

L={ $π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$- \cos (2 x + π) - 1$ = $-1,05$

Lösung einblenden

- \cos (2 x + π) - 1

=

-1,05

|

+ 1

- \cos (2 x + π)

=

- 0,05

|:

- 1

\cos (2 x + π)

=

0,05

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.5207754699891

1. Fall:

2 x + π

=

1,521

oder

$2 x + π$	=	$1,521 + 2 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$1,521 + π$
$2 x$	=	$4,6626$	\|: $2$
x₁	=	$2,3313$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x + π)$ = $0,05$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.05 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,521$
bzw. bei - $1,521$ +2π= $4,762$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + π$	=	$4,762$	\| $- π$
$2 x$	=	$4,762 - π$
$2 x$	=	$1,6204$	\|: $2$
x₂	=	$0,8102$

L={ $0,8102$ ; $2,3313$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) + 3) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) + 3

= 0 |

- 3

2 \cdot \cos (x)

=

- 3

|:

2

\cos (x)

=

- 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

π

L={0; $π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} + 2 {(\sin (x))}^{2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} + 2 {(\sin (x))}^{2} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $1$

{(\sin (x))}^{2}

=

1

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{1}

=

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{1}

=

1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{1}{2} π

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 3$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ):
$\sin (3 x - \frac{1}{2} π) \cdot (x^{2} - 2 x)$ = 0

Lösung einblenden

$\sin (3 x - \frac{1}{2} π) (x^{2} - 2 x)$	=	0
$(x^{2} - 2 x) \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

2. Fall:

\sin (3 x - \frac{1}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	0
$6 x - π$	=	0	\| $+ π$
$6 x$	=	$π$	\|: $6$
x₃	=	$\frac{1}{6} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x - \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$π$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	$2 π$
$6 x - π$	=	$2 π$	\| $+ π$
$6 x$	=	$3 π$	\|: $6$
x₄	=	$\frac{1}{2} π$

L={0; $\frac{1}{6} π$ ; $\frac{1}{2} π$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF