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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $- 0,15$

\cos (x)

=

- 0,15

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.7213645995716

1. Fall:

x₁

=

1,721

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,15$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.15 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,721$
bzw. bei - $1,721$ +2π= $4,562$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

4,562

L={ $1,721$ ; $4,562$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 2 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π)$ = $2$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π)

=

2

|:

- 2

\cos (2 x - \frac{1}{2} π)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	$2 π$
$4 x - π$	=	$2 π$	\| $+ π$
$4 x$	=	$3 π$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{3}{4} π$

L={ $\frac{3}{4} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$2 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π) + 3$ = $2,6$

Lösung einblenden

2 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π) + 3

=

2,6

|

- 3

2 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π)

=

- 0,4

|:

2

\cos (x + \frac{3}{2} π)

=

- 0,2

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.7721542475852

1. Fall:

x + \frac{3}{2} π

=

1,772

oder

$x + \frac{3}{2} π$	=	$1,772 + 2 π$	\|⋅ 2
$2 x + 3 π$	=	$3,544 + 4 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$3,544 + π$
$2 x$	=	$6,6856$	\|: $2$
x₁	=	$3,3428$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x + \frac{3}{2} π)$ = $- 0,2$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,772$
bzw. bei - $1,772$ +2π= $4,511$ liegen muss.

2. Fall:

x + \frac{3}{2} π

=

4,511

oder

$x + \frac{3}{2} π$	=	$4,511 + 2 π$	\|⋅ 2
$2 x + 3 π$	=	$9,022 + 4 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$9,022 + π$
$2 x$	=	$12,1636$	\|: $2$
x₂	=	$6,0818$

L={ $3,3428$ ; $6,0818$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) - 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

π

L={0; $π$ }

0 ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + 3 \cdot \cos (x) + 2$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} + 3 \cdot \cos (x) + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $- 1$

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

u₂: $\cos (x)$ = $- 2$

\cos (x)

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \sin (3 x - \frac{3}{2} π) \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- \sin (3 x - \frac{3}{2} π) \cdot \sin (x)$	=	0
$- \sin (3 x - \frac{3}{2} π) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (3 x - \frac{3}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	0
$6 x - 3 π$	=	0	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$3 π$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x - \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

3 x - \frac{3}{2} π

=

π

oder

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$π - 2 π$
$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$- π$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 2 π$
$6 x - 3 π$	=	$- 2 π$	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$π$	\|: $6$
x₂	=	$\frac{1}{6} π$

Da $\sin (3 x - \frac{3}{2} π)$ die Periode $\frac{2}{3} π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₃ = $\frac{1}{2} π$ + 1⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{7}{6} π$ , x₄ = $\frac{1}{6} π$ + 1⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{5}{6} π$
x₅ = $\frac{1}{2} π$ + 2⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{11}{6} π$ , x₆ = $\frac{1}{6} π$ + 2⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{3}{2} π$

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₇

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₈

=

π

L={0; $\frac{1}{6} π$ ; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{5}{6} π$ ; $π$ ; $\frac{7}{6} π$ ; $\frac{3}{2} π$ ; $\frac{11}{6} π$ }

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einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF