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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
cos(x) = 0,35

Lösung einblenden
canvas
cos(x) = 0,35 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.2132252231494

1. Fall:

x1 = 1,213

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos(x) = 0,35 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,213
bzw. bei - 1,213+2π= 5,07 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 5,07

L={ 1,213; 5,07}

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
-sin(x+12π)-1 = -1

Lösung einblenden
-sin(x+12π)-1 = -1 | +1
-sin(x+12π) = 0 |:-1
canvas
sin(x+12π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x+12π = 0

oder

x+12π = 0+2π
x+12π = 2π |⋅ 2
2(x+12π) = 4π
2x+π = 4π | -π
2x = 3π |:2
x1 = 32π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin(x+12π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x+12π = π |⋅ 2
2(x+12π) = 2π
2x+π = 2π | -π
2x = π |:2
x2 = 12π

L={ 12π; 32π}

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 23π).
-sin(3x-32π)-3 = -3,25

Lösung einblenden
-sin(3x-32π)-3 = -3,25 | +3
-sin(3x-32π) = -0,25 |:-1
canvas
sin(3x-32π) = 0,25 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.25268025514208

1. Fall:

3x-32π = 0,253 |⋅ 2
2(3x-32π) = 0,506
6x-3π = 0,506 | +3π
6x = 0,506+3π
6x = 9,9308 |:6
x1 = 1,6551

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin(3x-32π) = 0,25 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.25 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,253= 2,889 liegen muss.

2. Fall:

3x-32π = 2,889

oder

3x-32π = 2,889-2π |⋅ 2
6x-3π = 5,778-4π | +3π
6x = 5,778-π
6x = 2,6364 |:6
x2 = 0,4394

L={ 0,4394; 1,6551}

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π):
-12sin(x)+sin(x)·cos(x) = 0

Lösung einblenden
-12sin(x)+sin(x)·cos(x) = 0
12(2cos(x)-1)·sin(x) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2cos(x)-1 = 0 | +1
2cos(x) = 1 |:2
canvas
cos(x) = 0,5 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x1 = 13π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos(x) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 13π
bzw. bei - 13π+2π= 53π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 53π

2. Fall:

canvas
sin(x) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x3 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin(x) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x4 = π

L={0; 13π; π; 53π}

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π):
(cos(x))2+12cos(x)-12 = 0

Lösung einblenden
(cos(x))2+12cos(x)-12 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos(x)

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u2+12u-12 = 0 |⋅ 2
2(u2+12u-12) = 0

2u2+u-1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = -b±b2-4a·c2a ergibt:

u1,2 = -1±12-4·2·(-1)22

u1,2 = -1±1+84

u1,2 = -1±94

u1 = -1+94 = -1+34 = 24 = 0,5

u2 = -1-94 = -1-34 = -44 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2" teilen:

2u2+u-1 = 0 |: 2

u2+12u-12 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = -p2 ± (p2)2-q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = (p2)2-q:

D = (14)2-(-12) = 116+ 12 = 116+ 816 = 916

x1,2 = -14 ± 916

x1 = -14 - 34 = -44 = -1

x2 = -14 + 34 = 24 = 0.5

Rücksubstitution:

u1: cos(x) = 0,5

canvas
cos(x) = 0,5 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x1 = 13π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos(x) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 13π
bzw. bei - 13π+2π= 53π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 53π

u2: cos(x) = -1

canvas
cos(x) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x3 = π

L={ 13π; π; 53π}

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π):
(x3-6x2)·3cos(x+12π) = 0

Lösung einblenden
(x3-6x2)·3cos(x+12π) = 0
3(x3-6x2)·cos(x+12π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x3-6x2 = 0
x2(x-6) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x-6 = 0 | +6
x2 = 6

2. Fall:

canvas
cos(x+12π) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x+12π = 12π |⋅ 2
2(x+12π) = π
2x+π = π | -π
2x = 0 |:2
x3 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos(x+12π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 12π
bzw. bei - 12π+2π= 32π liegen muss.

2. Fall:

x+12π = 32π |⋅ 2
2(x+12π) = 3π
2x+π = 3π | -π
2x = 2π |:2
x4 = π

L={0; π; 6}

0 ist 3-fache Lösung!