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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $- 0,65$

\cos (x)

=

- 0,65

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.2783807635203

1. Fall:

x₁

=

2,278

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,65$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.65 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $2,278$
bzw. bei - $2,278$ +2π= $4,005$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

4,005

L={ $2,278$ ; $4,005$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 2 \cdot \sin (2 x - π) - 3$ = $- 3$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \sin (2 x - π) - 3

=

- 3

|

+ 3

- 2 \cdot \sin (2 x - π)

=

0

|:

- 2

\sin (2 x - π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$2 x - π$	=	0	\| $+ π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x - π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

2 x - π

=

π

oder

$2 x - π$	=	$π - 2 π$
$2 x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0

L={0; $\frac{1}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$3 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) - 3$ = $-1,65$

Lösung einblenden

3 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) - 3

=

-1,65

|

+ 3

3 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π)

=

1,35

|:

3

\cos (2 x + \frac{3}{2} π)

=

0,45

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.1040309877476

1. Fall:

2 x + \frac{3}{2} π

=

1,104

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$1,104 + 2 π$	\|⋅ 2
$4 x + 3 π$	=	$2,208 + 4 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$2,208 + π$
$4 x$	=	$5,3496$	\|: $4$
x₁	=	$1,3374$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x + \frac{3}{2} π)$ = $0,45$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.45 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,104$
bzw. bei - $1,104$ +2π= $5,179$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$5,179$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$10,358$
$4 x + 3 π$	=	$10,358$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$10,358 - 3 π$
$4 x$	=	$0,9332$	\|: $4$
x₂	=	$0,2333$

L={ $0,2333$ ; $1,3374$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) - 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

2 \cdot \cos (x)

=

1

|:

2

\cos (x)

=

0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{3} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{3} π$
bzw. bei - $\frac{1}{3} π$ +2π= $\frac{5}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{5}{3} π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{3} π$ ; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ ; $\frac{5}{3} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} + 3 {(\sin (x))}^{2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} + 3 {(\sin (x))}^{2} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $1$

{(\sin (x))}^{2}

=

1

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{1}

=

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{1}

=

1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{1}{2} π

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 4$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 4

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$3 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) \cdot (\cos (x) - 1)$ = 0

Lösung einblenden

$3 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) \cdot (\cos (x) - 1)$	=	0
$3 \cos (3 x + \frac{1}{2} π) \cdot (\cos (x) - 1)$	=	0
$3 (\cos (x) - 1) \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

2. Fall:

\cos (3 x + \frac{1}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$6 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$6 x$	=	0	\|: $6$
x₂	=	0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x + \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$3 π$
$6 x + π$	=	$3 π$	\| $- π$
$6 x$	=	$2 π$	\|: $6$
x₃	=	$\frac{1}{3} π$

Da $\cos (3 x + \frac{1}{2} π)$ die Periode $\frac{2}{3} π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₄ = 0 + 1⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{2}{3} π$ , x₅ = $\frac{1}{3} π$ + 1⋅ $\frac{2}{3} π$ = $π$
x₆ = 0 + 2⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{4}{3} π$ , x₇ = $\frac{1}{3} π$ + 2⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{5}{3} π$

L={0; $\frac{1}{3} π$ ; $\frac{2}{3} π$ ; $π$ ; $\frac{4}{3} π$ ; $\frac{5}{3} π$ }

0 ist 2-fache Lösung!

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einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF