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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
$\cos (x)$ = $0,8$

\cos (x)

=

0,8

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

x₁

=

0,644

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,8$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,644$
bzw. bei - $0,644$ +2π= $5,64$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

5,64

L={ $0,644$ ; $5,64$ }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- \sin (3 x - \frac{3}{2} π) - 1$ = $- 2$

Lösung einblenden

- \sin (3 x - \frac{3}{2} π) - 1

=

- 2

|

+ 1

- \sin (3 x - \frac{3}{2} π)

=

- 1

|:

- 1

\sin (3 x - \frac{3}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3 x - \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π - 2 π$
$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$- \frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 3 π$
$6 x - 3 π$	=	$- 3 π$	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	0	\|: $6$
$x$	=	0

L={0}

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$- \sin (2 x + \frac{1}{2} π)$ = $-0,5$

Lösung einblenden

- \sin (2 x + \frac{1}{2} π)

=

-0,5

|:

- 1

\sin (2 x + \frac{1}{2} π)

=

0,5

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

$2 x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{5}{6} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{1}{2} π)$	=	$\frac{5}{3} π$
$4 x + π$	=	$\frac{5}{3} π$	\| $- π$
$4 x$	=	$\frac{2}{3} π$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{6} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x + \frac{1}{2} π)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6} π$ = $\frac{1}{6} π$ liegen muss.

2. Fall:

2 x + \frac{1}{2} π

=

\frac{1}{6} π

oder

$2 x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{6} π + 2 π$
$2 x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{13}{6} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{1}{2} π)$	=	$\frac{13}{3} π$
$4 x + π$	=	$\frac{13}{3} π$	\| $- π$
$4 x$	=	$\frac{10}{3} π$	\|: $4$
x₂	=	$\frac{5}{6} π$

L={ $\frac{1}{6} π$ ; $\frac{5}{6} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) - 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

π

L={0; $π$ }

0 ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - 2 \cdot \cos (x) + 1$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} - 2 \cdot \cos (x) + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

u₂: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \sin (2 x + π) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- \sin (2 x + π) \cdot \cos (x)$	=	0
$- \sin (2 x + π) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (2 x + π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

2 x + π

=

0

oder

$2 x + π$	=	$0 + 2 π$
$2 x + π$	=	$2 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x + π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0

Da $\sin (2 x + π)$ die Periode $π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₃ = $\frac{1}{2} π$ + 1⋅ $π$ = $\frac{3}{2} π$ , x₄ = 0 + 1⋅ $π$ = $π$

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₅

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₆

=

\frac{3}{2} π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

$\frac{1}{2} π$ ist 2-fache Lösung! $\frac{3}{2} π$ ist 2-fache Lösung!

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF