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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
sin( x ) = -0,25

Lösung einblenden
canvas
sin( x ) = -0,25 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.25268025514208

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 6,031

1. Fall:

x1 = 6,031

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = -0,25 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.25 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 6,031 =-2.8894 bzw. bei -2.8894+2π= 3,394 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3,394

L={ 3,394 ; 6,031 }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
-3⋅ sin( x + π) +3 = 6

Lösung einblenden
-3⋅ sin( x + π) +3 = 6 | -3
-3⋅ sin( x + π) = 3 |:-3
canvas
sin( x + π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + π = 3 2 π | - π
x = 1 2 π

L={ 1 2 π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ).
-3⋅ cos( x - 1 2 π) = -0,45

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-3⋅ cos( x - 1 2 π) = -0,45 |:-3
canvas
cos( x - 1 2 π) = 0,15 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.4202280540182

1. Fall:

x - 1 2 π = 1,42 |⋅ 2
2( x - 1 2 π) = 2,84
2x - π = 2,84 | + π
2x = 2,84 + π
2x = 5,9816 |:2
x1 = 2,9908

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x - 1 2 π) = 0,15 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.15 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,42
bzw. bei - 1,42 +2π= 4,863 liegen muss.

2. Fall:

x - 1 2 π = 4,863

oder

x - 1 2 π = 4,863 -2π |⋅ 2
2x - π = 9,726 -4π | + π
2x = 9,726 -3π
2x = 0,3012 |:2
x2 = 0,1506

L={ 0,1506 ; 2,9908 }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 + 1 2 ⋅ cos( x ) = 0

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( cos( x ) ) 2 + 1 2 ⋅ cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ cos( x ) +1 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ cos( x ) +1 = 0 | -1
2⋅ cos( x ) = -1 |:2
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cos( x ) = -0,5 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

x1 = 2 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = -0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 2 3 π
bzw. bei - 2 3 π +2π= 4 3 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 4 3 π

2. Fall:

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cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x3 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x4 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 2 3 π ; 4 3 π ; 3 2 π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 -2⋅ sin( x ) -3 = 0

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( sin( x ) ) 2 -2⋅ sin( x ) -3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -2u -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -3 ) 2⋅1

u1,2 = +2 ± 4 +12 2

u1,2 = +2 ± 16 2

u1 = 2 + 16 2 = 2 +4 2 = 6 2 = 3

u2 = 2 - 16 2 = 2 -4 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - ( -3 ) = 1+ 3 = 4

x1,2 = 1 ± 4

x1 = 1 - 2 = -1

x2 = 1 + 2 = 3

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = 3

sin( x ) = 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u2: sin( x ) = -1

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sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

L={ 3 2 π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( - cos( 3x + 3 2 π) -1 ) · ( sin( x ) +1 ) = 0

Lösung einblenden
( - cos( 3x + 3 2 π) -1 ) ( sin( x ) +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- cos( 3x + 3 2 π) -1 = 0 | +1
- cos( 3x + 3 2 π) = 1 |:-1
canvas
cos( 3x + 3 2 π) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3x + 3 2 π = π

oder

3x + 3 2 π = π+2π
3x + 3 2 π = 3π |⋅ 2
2( 3x + 3 2 π) = 6π
6x +3π = 6π | -3π
6x = 3π |:6
x1 = 1 2 π

Da - cos( 3x + 3 2 π) -1 die Periode 2 3 π besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; 2π ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x2 = 1 2 π + 1⋅ 2 3 π = 7 6 π
x3 = 1 2 π + 2⋅ 2 3 π = 11 6 π


2. Fall:

sin( x ) +1 = 0 | -1 canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x4 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 7 6 π ; 3 2 π ; 11 6 π }