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Kursstufe
cosh
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Normalenvektor und Ortsvektor von E.-Pkt
Beispiel:
Gegeben ist die Ebene E x1-2x2+2x3=-45.
Finde einen Vektor, der gleichzeitig ein Normalenvektor von E und ein Ortsvektor eines Punktes in E ist.
Wenn der gesuchte Vektor ein Normalenvektor sein soll, muss er ein Vielfaches von dem ablesbaren Normalenvektor →n = (1-22) sein,
also t ⋅ (1-22) = (1t-2t2t).
Außerdem soll ja dieser Vektor (1t-2t2t) aber auch der Ortsvektor eines Punktes in der Ebene sein. Wenn muss ihn also in die Ebenengleichung einsetzt, muss dies also eine wahre Aussage ergeben:
1·t-2·(-2t)+2·2t = -45Diese Gleichung lösen wir nun nach t auf:1·t-2·(-2t)+2·2t | = | -45 | |
t+4t+4t | = | -45 | |
9t | = | -45 | |:9 |
t | = | -5 |
Wenn wir nun t = -5 in unseren allgemeinen Normalenvektor (1t-2t2t) einsetzen, erhalten wir als gesuchten Vektor:
→nOV = (-510-10)
Durchstosspunkt Anwendungen
Beispiel:
Sonnenlicht fällt mit der Richtung (0-24) ein. Berechne den Punkt in der Ebene E: -9x1+7x2-2x3=126 , auf den der Schatten des Punktes P (-14|2|-15) fällt.
Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: →x= (-142-15)+t⋅(0-24) und der Ebene E :-9x1+7x2-2x3=126.
Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden Gt(-14+0t|2-2t|-15+4t) in die Ebene ein und lösen nach t auf:
-9·(-14)+7·(2-2t)-2·(-15+4t) | = | 126 | |
126+14-14t+30-8t | = | 126 | |
-22t+170 | = | 126 | | -170 |
-22t | = | -44 | |:(-22) |
t | = | 2 |
Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt
Gt(-14+0t|2-2t|-15+4t) einsetzen.
=> D(-14|-2|-7).
Einen Punkt an einer Ebene spiegeln
Beispiel:
Der Punkt P(-2|5|-1) wird an der Ebene E: -x1+2x2-3x3=1 gespiegelt!
Berechne den Bildpunkt P'!

h: →x= (-25-1)+t⋅(-12-3)
Diese Hilfsgerade h durchstößt die Spiegelebene im Lotfußpunkt
(Detail-Rechnung einblenden)
Der Verbindungsvektor →PL zwischen dem zu spiegelnden Punkt P und diesem Lotfußpunkt L(-1|3|2) ist ein Vielfaches des Normalenvektors der Spiegelebene, also orthogonal zur Ebene. Addiert man diesen Verbindungsvektor zum Ortsvektor des Lotfußpunktes L,
→OP'=→OL+→PL = (-132) + (1-23) = (015)
so erhält man den Ortsvektor des gespiegelten Bildpunktes P'.
Der gesuchte Spiegelpunkt ist also P'(0|1|5).
Spiegel-Ebene zu zwei Punkten finden
Beispiel:
Bestimme die Spiegelebene E, die den Punkt P(4|-4|2) auf P'(6|4|2) abbildet!

Die Spiegelebene hat also die Gleichung:
x1+4x2=d
Um 'd' noch zu berechnen, muss man den Mittelpunkt der beiden Punkte .
1⋅5+4⋅0+0⋅2=5=d
also ist die Koordinatengleichung der Ebene:
x1+4x2=5
Gerade an Ebene spiegeln
Beispiel:
Die Gerade →x= (-121)+t⋅(432) wird an der Ebene E: x1+4x2+x3=-10 gespiegelt.
Bestimme die Bildgerade g'.
Das Spiegelbild einer Geraden ist wieder eine Gerade. Es genügt also zwei Punkte der Geraden g zu spiegeln und die Bildpunkte wieder zu einer Geraden zu verbinden.
Als ersten Punkt spiegeln wir den Aufpunkt der Geraden A(-1|2|1)

h: →x= (-121)+t⋅(141)
Diese Hilfsgerade h durchstößt die Spiegelebene im Lotfußpunkt
(Detail-Rechnung einblenden)
Der Verbindungsvektor →PL zwischen dem zu spiegelnden Punkt P und diesem Lotfußpunkt L(-2|-2|0) ist ein Vielfaches des Normalenvektors der Spiegelebene, also orthogonal zur Ebene. Addiert man diesen Verbindungsvektor zum Ortsvektor des Lotfußpunktes L,
→OP'=→OL+→PL = (-2-20) + (-1-4-1) = (-3-6-1)
so erhält man den Ortsvektor des gespiegelten Bildpunktes P'.
Der gesuchte Spiegelpunkt ist also P'(-3|-6|-1).
Theoretisch könnte man jetzt einen beliebigen zweiten Punkt spiegeln. Etwas weniger Aufwand ist es aber, einfach den Durchstoßpunkt der Geraden
mit der Ebene zu berechnen, weil sich dieser ja durch die Spiegelung an der Ebene nicht ändert:
Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: →x= (-121)+t⋅(432) und der Ebene E :x1+4x2+x3=-10.
Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden Gt(-1+4t|2+3t|1+2t) in die Ebene ein und lösen nach t auf:
1·(-1+4t)+4·(2+3t)+1·(1+2t) | = | -10 | |
-1+4t+8+12t+1+2t | = | -10 | |
18t+8 | = | -10 | | -8 |
18t | = | -18 | |:18 |
t | = | -1 |
Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt
Gt(-1+4t|2+3t|1+2t) einsetzen.
=> D(-5|-1|-1).
Damit haben wir jetzt zwei Punkte der gespiegelten Bildgeraden: Den Spiegelpunkt des Aufpunkts A'(-3|-6|-1) und den fixen Durchstoßpunkt der Geraden mit der Ebene D(-5|-1|-1) und wir können die Gerade durch diese beiden Punkte aufstellen:
g':→x= (-3-6-1)+t⋅(-250)
Geradenpunkt mit Abstand zu Pkt finden
Beispiel:
Bestimme einen der Punkte auf der Geraden g: →x= (-5-1-3)+t⋅(00-1), die den Abstand 11 vom Punkt P(-11|-3|-9) haben.
Wir stellen den Verbindungsvektor vom allgemeinen Geradenpunkt Gt(-5+0t|-1+0t|-3-1t) zum Punkt P(-11|-3|-9) auf:
→PGt = (-5+0t+11-1+0t+3-3-1t+9) = (6+0t2+0t6-1t)
Dieser muss jetzt ja die Länge 11 haben, also |(6+0t2+0t6-1t)| = 11
√(6+0)2+(2+0)2+(6-t)2 = 11 | (.)²
(6+0)2+(2+0)2+(6-t)2 = 121
36+4+(t2-12t+36) = 121
t2-12t+76 | = | 121 | | -121 |
t2-12t-45 = 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = -b±√b2-4a·c2a ergibt:
t1,2 = +12±√(-12)2-4·1·(-45)2⋅1
t1,2 = +12±√144+1802
t1,2 = +12±√3242
t1 = 12+√3242 = 12+182 = 302 = 15
t2 = 12-√3242 = 12-182 = -62 = -3
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
-p2
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
(p2)2-q:
D = (-6)2-(-45) = 36+ 45 = 81
x1,2 = 6 ± √81
x1 = 6 - 9 = -3
x2 = 6 + 9 = 15
Die gesuchten Geradenpunkte mit dem Abstand 11 zu P erhalten wir, indem wir diese t in den allg. Geradenpunkt Gt(-5+0t|-1+0t|-3-1t) einsetzen:
Q(
-5+0|
-1+0|
-3-(-3)) =
Q(
-5|
-1|
oder eben
Q(
-5+0|
-1+0|
-3-15) =
Q(
-5|
-1|
-18)
Geradenpunkt mit Abst. zu Ebene finden
Beispiel:
Welche Punkte auf der Geraden g mit g:→x= (11311)+t⋅(-34-11) haben von der Ebene E: -7x1+4x2-4x3=-28 den Abstand d=9?
|-7⋅(11-3t)+4⋅(3+4t)-4⋅(11-11t)+28|√(-7)2+42+(-4)2 = 9|⋅9
|-81
1. Fall
-81
81t = 162|:81
t1 = 2
eingesetzt in die Geradengleichung: →OP1 = (11311)+2⋅(-34-11) = (511-11)
2. Fall
-(-81
81
-81t = 0|:-81
t2 = 0
eingesetzt in die Geradengleichung: →OP2 = (11311)+0⋅(-34-11) = (11311)
Die beiden Lösungspunkte sind also P1(5|11|-11)und P2(11|3|11)
Punkt auf Gerade, dass BCA 90°
Beispiel:
Bestimme einen Punkt C (und einen Punkt C') auf der Geraden g mit g: →x= (-522)+t⋅(5-4-3), so dass das Dreieck ABC (ABC') mit
Da C auf der Geraden liegen muss, können wir C als allgemeinen Geradenpunkt
Gt(-5+5t|2-4t|2-3t) auffassen.
Die Verbindungsvektoren von C zu A und B sind also →GtA = (2-4-6) -
(-5+5t2-4t2-3t) =
(7-5t-6+4t-8+3t) und →GtB
= (3-41) -
(-5+5t2-4t2-3t) =
(8-5t-6+4t-1+3t).
Diese beiden Verbindungsvektor müssen orthogonal sein, um den rechten Winkel im C zu erhalten. Es muss also gelten:
(7-5t-6+4t-8+3t) ⋅ (8-5t-6+4t-1+3t) = 0
(7-5t)⋅(8-5t)+(-6+4t)⋅(-6+4t)+(-8+3t)⋅(-1+3t)=0
(25t2-75t+56)+(16t2-48t+36)+(9t2-27t+8)=0
50t2-150t+100=0
t1/2 = +150±√(-150)2-4⋅50⋅1002⋅50 =
+150±√2500100 = +150 ± 50100
t1 = 100100 = 1
t2 = 200100 = 2
t1 eingesetzt in die Geradengleichung: →OC = (-522)+1⋅(5-4-3) = (0-2-1)
t2 eingesetzt in die Geradengleichung: →OC' = (-522)+2⋅(5-4-3) = (5-6-4)
Die beiden Lösungspunkte sind also C(0|-2|-1)und C'(5|-6|-4)
Probe:
→AC⋅→BC= (-225)⋅(-32-2) = (-2)⋅(-3)+2⋅2+5⋅(-2) = 0
→AC'⋅→BC'= (3-22)⋅(2-2-5) = 3⋅2+(-2)⋅(-2)+2⋅(-5) = 0
Einen Punkt an einer Geraden spiegeln (LF)
Beispiel:
Spiegle den Punkt P(5|-1|13) an der Geraden g: →x= (-1-15)+t⋅(48-3)

Diese Hilfsebene ist orthogonal zu unserer Geraden →x= (-1-15)+t⋅(48-3) und enthält unseren Punkt P(5|-1|13).
Der Normalenvektor der Hilfsebene ist also der Richtungsvektor der Geraden, (48-3). Die Hilfsebene in der Koordinatenform ist somit 4x1+8x2-3x3=-27
Nun berechnen wir den Durchstoßpunkt der Geraden mit der Hilfsebene.
Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: →x= (-1-15)+t⋅(48-3) und der Ebene E :4x1+8x2-3x3=-27.
Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden Gt(-1+4t|-1+8t|5-3t) in die Ebene ein und lösen nach t auf:
4·(-1+4t)+8·(-1+8t)-3·(5-3t) | = | -27 | |
-4+16t-8+64t-15+9t | = | -27 | |
89t-27 | = | -27 | | +27 |
89t | = | |:89 | |
t | = |
Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt
Gt(-1+4t|-1+8t|5-3t) einsetzen.
=> D(-1|-1|5).

→OP'=→OL+→PL = (-1-15) + (-60-8) = (-7-1-3)
so erhält man den Ortsvektor des gespiegelten Bildpunktes P'.
Der gesuchte Spiegelpunkt ist also P'(-7|-1|-3)
Geometrie Anwendungen 1
Beispiel:
Eine schief aufgehängte Projektionsfläche hat die Form eines Rechtecks, das durch das Rechteck ABCD mit A (8|5|17) , B (11|14|29) , C (-1|18|29) und D dargestellt wird.
a) Bestimme die Koordinaten von D.
b) Bestimme die Ebene E in der das Rechteck ABCD liegt.
Eine Vortragende hält im Punkt P (-6|3|19) einen Laserpointer in der Hand und richtet diesen in die Richtung des Vektors (553) aus.
c) Bestimme die Koordinaten des Punkts S, in dem der Laserstrahl auf die Rechtecks-Ebene E trifft.
d) Untersuche, ob der Laserpointer die Projektionsfläche trifft.
a)
Wir sehen in der Skizze, dass man beim Rechteck wie bei jedem Parallelogramm den Verbindungsvektor zwischen B und C, also
→BC
=
(-1-1118-1429-29) = (-1240)
zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:
Der gesuchte 4. Punkt ist also D(-4|9|17)
b) Um die Koordinatengleichung der Ebene zu bestimmen in der das Rechteck liegt, suchen wir erst mal den Normalenvektor zu den beiden Vektoren →AB = (11-814-529-17) = (3912) und →BC = (-1240) :
Weil beim Vektor (-1240) in der x3-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor (-4-12t) für jedes t orthogonal
zu (-1240), denn (-1240)
Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor (3912)⋅(-4-12t) =
12⋅t
Der gesuchte Normalenvektor ist also →n = (-4-1210) = 21⋅(-2-65)
Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: →n=(3912)×(-1240)=(9·0-12·412·(-12)-3·03·4-9·(-12))=(0-48-144+012+108)=(-48-144120)
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also -2x1-6x2+5x3=d
Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(8|5|17) erhält man
d = (-2)⋅8+(-6)⋅5+5⋅17
also:
-2x1-6x2+5x3=39
c)
Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: →x= (-6319)+t⋅(553) und der Ebene E :-2x1-6x2+5x3=39.
Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden Gt(-6+5t|3+5t|19+3t) in die Ebene ein und lösen nach t auf:
-2·(-6+5t)-6·(3+5t)+5·(19+3t) | = | 39 | |
12-10t-18-30t+95+15t | = | 39 | |
-25t+89 | = | 39 | | -89 |
-25t | = | -50 | |:(-25) |
t | = | 2 |
Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt
Gt(-6+5t|3+5t|19+3t) einsetzen.
=> S(4|13|25).
d) Jetzt müssen wir noch herausfinden, ob der Durchstoßpunkt S im Innern des Rechtecks liegt oder außerhalb. Dazu stellt man am besten den Vektor
→AS =
(4-813-525-17) = (-488) als Linearkombination der Vektoren →AB und
→BC auf, also
(-488)=
r⋅(3912)+ s⋅(-1240)
An der 3-ten Zeile ( 8 = 12r+0) erkennen wir schnell, dass r = 812 = 23 sein muss. Eingesetzt in die 1-te Zeile ergibt:
-4 | = | 23⋅3-12s | |
-4 | = | 2-12s | |
-4 | = | -12s+2 | | +4 +12s |
12s | = | 6 | |:12 |
s | = | 12 = 0.5 |
Da ja alle 5 Punkte in der gleichen Ebene liegen, muss auch die 1-te Zeile mit r = 23 und s = 12 wahr sein:
23⋅(3912) + 12⋅(-1240) = (268) + (-620) = (-488)
Da r = 23 und s = 12 beide zwischen 0 und 1 sind, muss der Schnittpunkt S innerhalb des Rechtecks ABCD liegen.