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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7 x}{x + 5}$ = $- 2$

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{- 7 x}{x + 5}$	=	$- 2$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{- 7 x}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$- 2 \cdot (x + 5)$
$- \frac{7 x}{1}$	=	$- 2 (x + 5)$
$- 7 x$	=	$- 2 (x + 5)$

$- 7 x$	=	$- 2 x - 10$	\| $+ 2 x$
$- 5 x$	=	$- 10$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 4} + x - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{x}{2 (x - 2)} + x - 5

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 2)} + x - 5$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + x \cdot (2 (x - 2)) - 5 \cdot (2 (x - 2))$	=
$x + 2 x \cdot (x - 2) - 10 x + 20$	=
$x + (2 x^{2} - 4 x) - 10 x + 20$	=
$2 x^{2} - 13 x + 20$	=

$2 x^{2} - 13 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{13+3}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{13-3}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 13 x + 20$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - 10$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $10$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{160}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2,5$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 4}{x} + \frac{2 x + 1}{2 x - 5} + \frac{14 x - 2}{- 6 x + 15}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ ; 0}

$\frac{2 x + 1}{2 x - 5} + \frac{2 x + 4}{x} + \frac{14 x - 2}{- 6 x + 15}$	=	0
$\frac{2 x + 1}{2 x - 5} + \frac{2 x + 4}{x} + \frac{14 x - 2}{3 (- 2 x + 5)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{2 x + 1}{2 x - 5} + \frac{2 x + 4}{x} + \frac{14 x - 2}{3 (- 2 x + 5)}$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{2 x + 1}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{2 x + 4}{x} \cdot (2 x - 5) + \frac{14 x - 2}{3 (- 2 x + 5)} \cdot (2 x - 5)$	=
$2 x + 1 + \frac{(2 x + 4) \cdot (2 x - 5)}{x} + \frac{(14 x - 2) \cdot (2 x - 5)}{3 (- 2 x + 5)}$	=
$2 x + 1 + \frac{(2 x + 4) \cdot (2 x - 5)}{x} - \frac{14}{3} x + \frac{2}{3}$	=
$2 x + 1 + \frac{4 x^{2} - 2 x - 20}{x} - \frac{14}{3} x + \frac{2}{3}$	=
$\frac{4 x^{2} - 2 x - 20}{x} + 2 x - \frac{14}{3} x + 1 + \frac{2}{3}$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 20}{x} + 2 x - \frac{14}{3} x + 1 + \frac{2}{3}$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{4 x^{2} - 2 x - 20}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - \frac{14}{3} x \cdot x + 1 \cdot x + \frac{2}{3} \cdot x$	=
$4 x^{2} - 2 x - 20 + 2 x \cdot x - \frac{14}{3} x \cdot x + x + \frac{2}{3} x$	=
$4 x^{2} - 2 x - 20 + 2 x^{2} - \frac{14}{3} x^{2} + x + \frac{2}{3} x$	=
$\frac{4}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x - 20$	=

$\frac{4}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x - 20$	=	0	\|⋅ 3
$3 (\frac{4}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x - 20)$	=	0

$4 x^{2} - x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 960}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{961}}{8}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{961}}{8}$ = $\frac{1+31}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{961}}{8}$ = $\frac{1-31}{8}$ = $\frac{- 30}{8}$ = $- 3,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - x - 60$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{1}{4} x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{8})}^{2} - (- 15)$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $15$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{960}{64}$ = $\frac{961}{64}$

x_1,2 = $\frac{1}{8}$ ± $\sqrt{\frac{961}{64}}$

x₁ = $\frac{1}{8}$ - $\frac{31}{8}$ = $- \frac{30}{8}$ = -3.75

x₂ = $\frac{1}{8}$ + $\frac{31}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,75$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{18}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x} - \frac{11}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{18}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x} - \frac{11}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{18}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{11}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$18$	=	$- x^{2} - 11 x$

18

=

- x^{2} - 11 x

|

+ x^{2}

+ 11 x

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{2}{x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{2}{x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{2}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 3 \cdot x$
$- 2$	=	$x \cdot x + 3 x$

- 2

=

x^{2} + 3 x

|

- x^{2}

- 3 x

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3+1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3-1}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{x} + \frac{x}{3 x - 4} + \frac{4 x}{- 3 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; 0}

\frac{x}{3 x - 4} + \frac{2 x + 2}{x} + \frac{4 x}{- 3 x + 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{x}{3 x - 4} + \frac{2 x + 2}{x} + \frac{4 x}{- 3 x + 4}$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{2 x + 2}{x} \cdot (3 x - 4) + \frac{4 x}{- 3 x + 4} \cdot (3 x - 4)$	=
$x + \frac{(2 x + 2) \cdot (3 x - 4)}{x} + \frac{4 x \cdot (3 x - 4)}{- 3 x + 4}$	=
$x + \frac{(2 x + 2) \cdot (3 x - 4)}{x} - 4 x$	=
$x + \frac{6 x^{2} - 2 x - 8}{x} - 4 x$	=
$\frac{6 x^{2} - 2 x - 8}{x} + x - 4 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 8}{x} + x - 4 x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{6 x^{2} - 2 x - 8}{x} \cdot x + x \cdot x - 4 x \cdot x$	=
$6 x^{2} - 2 x - 8 + x \cdot x - 4 x \cdot x$	=
$6 x^{2} - 2 x - 8 + x^{2} - 4 x^{2}$	=
$3 x^{2} - 2 x - 8$	=

$3 x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{6}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{2+10}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{2-10}{6}$ = $\frac{- 8}{6}$ = $- \frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 2 x - 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{2}{3} x - \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{8}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{25}{9}$

x_1,2 = $\frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{25}{9}}$

x₁ = $\frac{1}{3}$ - $\frac{5}{3}$ = $- \frac{4}{3}$ = -1.3333333333333

x₂ = $\frac{1}{3}$ + $\frac{5}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{3}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 4 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 4 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 4 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 4 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 4 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 4 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 4 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 4 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -4 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (3 + 1)$ = -4

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot 1$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

L={ $1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):