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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{18}{x - 7}$ = $3$

D=R\{ $7$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 7$ weg!

$\frac{18}{x - 7}$	=	$3$	\|⋅( $x - 7$ )
$\frac{18}{x - 7} \cdot (x - 7)$	=	$3 \cdot (x - 7)$
$18$	=	$3 (x - 7)$

$18$	=	$3 x - 21$	\| $- 18$ $- 3 x$
$- 3 x$	=	$- 39$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$13$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $13$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 4} + \frac{3}{x + 4}$ = $\frac{6}{x^{2} - 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ ; $4$ }

\frac{x}{x - 4} + \frac{3}{x + 4}

=

\frac{6}{(x + 4) \cdot (x - 4)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 4) \cdot (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{x - 4} + \frac{3}{x + 4}$	=	$\frac{6}{(x + 4) \cdot (x - 4)}$	\|⋅( $(x + 4) \cdot (x - 4)$ )
$\frac{x}{x - 4} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4) + \frac{3}{x + 4} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4)$	=	$\frac{6}{(x + 4) \cdot (x - 4)} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4)$
$x \cdot (x + 4) + 3 x - 12$	=	$6 \frac{x + 4}{x + 4}$
$x \cdot (x + 4) + 3 x - 12$	=	$6$
$x^{2} + 4 x + 3 x - 12$	=	$6$
$x^{2} + 7 x - 12$	=	$6$

x^{2} + 7 x - 12

=

6

|

- 6

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 3}{x} + \frac{5 x - 1}{2 x + 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

$\frac{5 x - 1}{2 x + 2} + \frac{x - 3}{x} - 6$	=	0
$\frac{5 x - 1}{2 (x + 1)} + \frac{x - 3}{x} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{5 x - 1}{2 (x + 1)} + \frac{x - 3}{x} - 6$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{5 x - 1}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{x - 3}{x} \cdot (2 (x + 1)) - 6 \cdot (2 (x + 1))$	=
$5 x - 1 + 2 \frac{(x - 3) \cdot (x + 1)}{x} - 12 x - 12$	=
$5 x - 1 + \frac{2 (x^{2} - 2 x - 3)}{x} - 12 x - 12$	=
$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 3)}{x} + 5 x - 12 x - 1 - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 3)}{x} + 5 x - 12 x - 1 - 12$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 3)}{x} \cdot x + 5 x \cdot x - 12 x \cdot x - 1 \cdot x - 12 \cdot x$	=
$2 x^{2} - 4 x - 6 + 5 x \cdot x - 12 x \cdot x - x - 12 x$	=
$2 x^{2} - 4 x - 6 + 5 x^{2} - 12 x^{2} - x - 12 x$	=
$- 5 x^{2} - 17 x - 6$	=

$- 5 x^{2} - 17 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{- 10}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{- 10}$ = $\frac{17+13}{- 10}$ = $\frac{30}{- 10}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{- 10}$ = $\frac{17-13}{- 10}$ = $\frac{4}{- 10}$ = $- 0,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 17 x - 6$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{17}{5} x + \frac{6}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{10})}^{2} - (\frac{6}{5})$ = $\frac{289}{100}$ $-$ $\frac{6}{5}$ = $\frac{289}{100}$ $-$ $\frac{120}{100}$ = $\frac{169}{100}$

x_1,2 = $- \frac{17}{10}$ ± $\sqrt{\frac{169}{100}}$

x₁ = $- \frac{17}{10}$ - $\frac{13}{10}$ = $- \frac{30}{10}$ = -3

x₂ = $- \frac{17}{10}$ + $\frac{13}{10}$ = $- \frac{4}{10}$ = -0.4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{12}{x^{2}}$ = $\frac{8}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{12}{x^{2}}$	=	$\frac{8}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{8}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 12$	=	$8 x$

x^{2} + 12

=

8 x

|

- 8 x

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- x + 6}{x + 1}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- x + 6}{x + 1}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- x + 6}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$4 x \cdot (x + 1)$
$- x + 6$	=	$4 x \cdot (x + 1)$
$- x + 6$	=	$4 x^{2} + 4 x$

- x + 6

=

4 x^{2} + 4 x

|

- 4 x^{2}

- 4 x

$- 4 x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 6}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{- 8}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{5+11}{- 8}$ = $\frac{16}{- 8}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{5-11}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 5 x + 6$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{5}{4} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{8})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $- \frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $- \frac{5}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{5}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{3 x - 5} + \frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{- 12 x}{9 x - 21}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{7}{3}$ ; $\frac{5}{3}$ }

$\frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} - \frac{12 x}{9 x - 21}$	=	0
$\frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} - \frac{12 x}{3 (3 x - 7)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} - \frac{12 x}{3 (3 x - 7)}$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{x + 1}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} \cdot (3 x - 7) - \frac{12 x}{3 (3 x - 7)} \cdot (3 x - 7)$	=
$x + 1 + \frac{(5 x + 1) \cdot (3 x - 7)}{3 x - 5} - 4 x$	=
$x + 1 + \frac{15 x^{2} - 32 x - 7}{3 x - 5} - 4 x$	=
$\frac{15 x^{2} - 32 x - 7}{3 x - 5} + x - 4 x + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{15 x^{2} - 32 x - 7}{3 x - 5} + x - 4 x + 1$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{15 x^{2} - 32 x - 7}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + x \cdot (3 x - 5) - 4 x \cdot (3 x - 5) + 1 \cdot (3 x - 5)$	=
$15 x^{2} - 32 x - 7 + x \cdot (3 x - 5) - 4 x \cdot (3 x - 5) + 3 x - 5$	=
$15 x^{2} - 32 x - 7 + (3 x^{2} - 5 x) + (- 12 x^{2} + 20 x) + 3 x - 5$	=
$6 x^{2} - 14 x - 12$	=

6 x^{2} - 14 x - 12

= 0 |:2

$3 x^{2} - 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{7+11}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{7-11}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 7 x - 6$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{7}{3} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{6})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $2$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $\frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $\frac{7}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{7}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{10}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{10}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{10}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{10}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$10 + a x$	=	$- x^{2}$
$10 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):