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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{8}{x}$ = $\frac{1}{9}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{8}{x}$	=	$\frac{1}{9}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{8}{x} \cdot x$	=	$\frac{1}{9} \cdot x$
$- 8$	=	$\frac{1}{9} x$

$- 8$	=	$\frac{1}{9} x$	\|⋅ 9
$- 72$	=	$x$	\| $+ 72$ $- x$
$- x$	=	$72$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 72$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 72$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 7}{x - 3} + x$ = $- 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

- \frac{7}{x - 3} + x

=

- 3

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$- \frac{7}{x - 3} + x$	=	$- 3$	\|⋅( $x - 3$ )
$- \frac{7}{x - 3} \cdot (x - 3) + x \cdot (x - 3)$	=	$- 3 \cdot (x - 3)$
$- 7 + x (x - 3)$	=	$- 3 (x - 3)$
$- 7 + (x^{2} - 3 x)$	=	$- 3 (x - 3)$
$x^{2} - 3 x - 7$	=	$- 3 x + 9$

$x^{2} - 3 x - 7$	=	$- 3 x + 9$	\| $+ 7$
$x^{2} - 3 x$	=	$- 3 x + 16$	\| $+ 3 x$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 5} + \frac{2,4}{x + 1} - x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{5 x + 5} + \frac{2,4}{x + 1} - x$	=	0
$\frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{2,4}{x + 1} - x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{2,4}{x + 1} - x$	=	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) + \frac{2,4}{x + 1} \cdot (5 (x + 1)) - x \cdot (5 (x + 1))$	=
$x + 12 - 5 x (x + 1)$	=
$x + 12 + (- 5 x^{2} - 5 x)$	=
$- 5 x^{2} - 4 x + 12$	=

$- 5 x^{2} - 4 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 12}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{256}}{- 10}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{256}}{- 10}$ = $\frac{4+16}{- 10}$ = $\frac{20}{- 10}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{256}}{- 10}$ = $\frac{4-16}{- 10}$ = $\frac{- 12}{- 10}$ = $1,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 4 x + 12$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{4}{5} x - \frac{12}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{5})}^{2} - (- \frac{12}{5})$ = $\frac{4}{25}$ $+$ $\frac{12}{5}$ = $\frac{4}{25}$ $+$ $\frac{60}{25}$ = $\frac{64}{25}$

x_1,2 = $- \frac{2}{5}$ ± $\sqrt{\frac{64}{25}}$

x₁ = $- \frac{2}{5}$ - $\frac{8}{5}$ = $- \frac{10}{5}$ = -2

x₂ = $- \frac{2}{5}$ + $\frac{8}{5}$ = $\frac{6}{5}$ = 1.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1,2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 48}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{2 x - 48}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{2 x - 48}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$2 x - 48$	=	$- x^{2}$

2 x - 48

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 2 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 2+14}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 2-14}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 48)$ = $1$ $+$ $48$ = $49$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 1$ - $7$ = -8

x₂ = $- 1$ + $7$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 37 x + 16}{3 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 37 x + 16}{3 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 37 x + 16}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 5 \cdot 3 x$
$- 37 x + 16$	=	$3 x \cdot x - 15 x$

- 37 x + 16

=

3 x^{2} - 15 x

|

- 3 x^{2}

+ 15 x

$- 3 x^{2} - 22 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 16}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 + 192}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{676}}{- 6}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{676}}{- 6}$ = $\frac{22+26}{- 6}$ = $\frac{48}{- 6}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{676}}{- 6}$ = $\frac{22-26}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 22 x + 16$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{22}{3} x - \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{3})}^{2} - (- \frac{16}{3})$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $\frac{48}{9}$ = $\frac{169}{9}$

x_1,2 = $- \frac{11}{3}$ ± $\sqrt{\frac{169}{9}}$

x₁ = $- \frac{11}{3}$ - $\frac{13}{3}$ = $- \frac{24}{3}$ = -8

x₂ = $- \frac{11}{3}$ + $\frac{13}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{3 x}{2 (x - 1)} - 3

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{3 x}{2 (x - 1)} - 3$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{3 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) - 3 \cdot (2 (x - 1))$	=
$3 x - 6 x + 6$	=
$- 3 x + 6$	=

$- 3 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $9$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $9$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$9$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$9 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$9 x$
$x^{2} + a - 9 x$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):