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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{10}{x - 8}$ = $- 2$

D=R\{ $8$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 8$ weg!

$- \frac{10}{x - 8}$	=	$- 2$	\|⋅( $x - 8$ )
$- \frac{10}{x - 8} \cdot (x - 8)$	=	$- 2 \cdot (x - 8)$
$- 10$	=	$- 2 (x - 8)$

$- 10$	=	$- 2 x + 16$	\| $+ 10$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$26$	\|: $2$
$x$	=	$13$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $13$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 1} + \frac{6}{x + 1}$ = $\frac{38}{x^{2} - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

\frac{x}{x - 1} + \frac{6}{x + 1}

=

\frac{38}{(x + 1) (x - 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 1) (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{x - 1} + \frac{6}{x + 1}$	=	$\frac{38}{(x + 1) (x - 1)}$	\|⋅( $(x + 1) (x - 1)$ )
$\frac{x}{x - 1} \cdot (x + 1) (x - 1) + \frac{6}{x + 1} \cdot (x + 1) (x - 1)$	=	$\frac{38}{(x + 1) (x - 1)} \cdot (x + 1) (x - 1)$
$x (x + 1) + 6 x - 6$	=	$38 \frac{x + 1}{x + 1}$
$x (x + 1) + 6 x - 6$	=	$38$
$x^{2} + x + 6 x - 6$	=	$38$
$x^{2} + 7 x - 6$	=	$38$

x^{2} + 7 x - 6

=

38

|

- 38

$x^{2} + 7 x - 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 44)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 176}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 7+15}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 7-15}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 44)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $44$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{176}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 11$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{x}{5 x + 20} - \frac{- 5,2}{x + 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$x$	=	$- \frac{x}{5 x + 20} + \frac{5,2}{x + 4}$
$x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 4)} + \frac{5,2}{x + 4}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 4)$ weg!

$x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 4)} + \frac{5,2}{x + 4}$	\|⋅( $5 (x + 4)$ )
$x \cdot (5 (x + 4))$	=	$- \frac{x}{5 (x + 4)} \cdot (5 (x + 4)) + \frac{5,2}{x + 4} \cdot (5 (x + 4))$
$5 x (x + 4)$	=	$- x + 26$
$5 x \cdot x + 5 x \cdot 4$	=	$- x + 26$
$5 x \cdot x + 20 x$	=	$- x + 26$
$5 x^{2} + 20 x$	=	$- x + 26$

5 x^{2} + 20 x

=

- x + 26

|

+ x

- 26

$5 x^{2} + 21 x - 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 26)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 520}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{961}}{10}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{961}}{10}$ = $\frac{- 21+31}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{961}}{10}$ = $\frac{- 21-31}{10}$ = $\frac{- 52}{10}$ = $- 5,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 21 x - 26$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{21}{5} x - \frac{26}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{10})}^{2} - (- \frac{26}{5})$ = $\frac{441}{100}$ $+$ $\frac{26}{5}$ = $\frac{441}{100}$ $+$ $\frac{520}{100}$ = $\frac{961}{100}$

x_1,2 = $- \frac{21}{10}$ ± $\sqrt{\frac{961}{100}}$

x₁ = $- \frac{21}{10}$ - $\frac{31}{10}$ = $- \frac{52}{10}$ = -5.2

x₂ = $- \frac{21}{10}$ + $\frac{31}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5,2$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}$ = $\frac{40}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}$	=	$\frac{40}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{3}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$\frac{40}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2} + 3 x$	=	$40$

x^{2} + 3 x

=

40

|

- 40

$x^{2} + 3 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 3+13}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 3-13}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 40)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $40$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 1$ = $\frac{13 x - 3}{3 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x + 1$	=	$\frac{13 x - 3}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x + 1 \cdot 3 x$	=	$\frac{13 x - 3}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x + 3 x$	=	$13 x - 3$
$3 x^{2} + 3 x$	=	$13 x - 3$

3 x^{2} + 3 x

=

13 x - 3

|

- 13 x

+ 3

$3 x^{2} - 10 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{10+8}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{10-8}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 10 x + 3$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{10}{3} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{3})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $\frac{9}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $\frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $\frac{5}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{5}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x + 1} + \frac{2 x}{3 x - 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{2 x}{3 x - 2} + \frac{3 x}{x + 1} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 2} + \frac{3 x}{x + 1} - 3$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{2 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + \frac{3 x}{x + 1} \cdot (3 x - 2) - 3 \cdot (3 x - 2)$	=
$2 x + \frac{3 x (3 x - 2)}{x + 1} - 9 x + 6$	=
$2 x + \frac{9 x^{2} - 6 x}{x + 1} - 9 x + 6$	=
$\frac{9 x^{2} - 6 x}{x + 1} + 2 x - 9 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 6 x}{x + 1} + 2 x - 9 x + 6$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{9 x^{2} - 6 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) - 9 x \cdot (x + 1) + 6 \cdot (x + 1)$	=
$9 x^{2} - 6 x + 2 x (x + 1) - 9 x (x + 1) + 6 x + 6$	=
$9 x^{2} - 6 x + (2 x^{2} + 2 x) + (- 9 x^{2} - 9 x) + 6 x + 6$	=
$2 x^{2} - 7 x + 6$	=

$2 x^{2} - 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{7+1}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{7-1}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x + 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $8$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $8$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$8$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$8 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$8 x$
$a + x^{2} - 8 x$	=	0
$x^{2} - 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $- (2 + 6)$ = -8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 6$ = $12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):