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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2}{x}$ = $- 2$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{2}{x}$	=	$- 2$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{2}{x} \cdot x$	=	$- 2 \cdot x$
$- 2$	=	$- 2 x$

$- 2$	=	$- 2 x$	\| $+ 2$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{3 x + 1}$ = $- x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{16 x}{3 x + 1}$	=	$- x + 5$	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{16 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1)$	=	$- x \cdot (3 x + 1) + 5 \cdot (3 x + 1)$
$16 x$	=	$- x \cdot (3 x + 1) + 15 x + 5$
$16 x$	=	$- 3 x^{2} + 14 x + 5$

16 x

=

- 3 x^{2} + 14 x + 5

|

+ 3 x^{2}

- 14 x

- 5

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $- \frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $- \frac{1}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $- \frac{1}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x$ = $- \frac{x}{3 x - 12} - \frac{- 59}{3 x - 12}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$4 x$	=	$- \frac{x}{3 x - 12} + \frac{59}{3 x - 12}$
$4 x$	=	$- \frac{x}{3 (x - 4)} + \frac{59}{3 (x - 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 4)$ weg!

$4 x$	=	$- \frac{x}{3 (x - 4)} + \frac{59}{3 (x - 4)}$	\|⋅( $3 (x - 4)$ )
$4 x \cdot (3 (x - 4))$	=	$- \frac{x}{3 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4)) + \frac{59}{3 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4))$
$12 x \cdot (x - 4)$	=	$- x + 59$
$12 x \cdot x + 12 x \cdot (- 4)$	=	$- x + 59$
$12 x \cdot x - 48 x$	=	$- x + 59$
$12 x^{2} - 48 x$	=	$- x + 59$

12 x^{2} - 48 x

=

- x + 59

|

+ x

- 59

$12 x^{2} - 47 x - 59$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 59)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 + 2 832}}{24}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{5 041}}{24}$

x₁ = $\frac{47 + \sqrt{5 041}}{24}$ = $\frac{47+71}{24}$ = $\frac{118}{24}$ = $\frac{59}{12}$ ≈ 4.92

x₂ = $\frac{47 - \sqrt{5 041}}{24}$ = $\frac{47-71}{24}$ = $\frac{- 24}{24}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} - 47 x - 59$ = 0 |: $12$

$x^{2} - \frac{47}{12} x - \frac{59}{12}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{47}{24})}^{2} - (- \frac{59}{12})$ = $\frac{2209}{576}$ $+$ $\frac{59}{12}$ = $\frac{2209}{576}$ $+$ $\frac{2832}{576}$ = $\frac{5041}{576}$

x_1,2 = $\frac{47}{24}$ ± $\sqrt{\frac{5041}{576}}$

x₁ = $\frac{47}{24}$ - $\frac{71}{24}$ = $- \frac{24}{24}$ = -1

x₂ = $\frac{47}{24}$ + $\frac{71}{24}$ = $\frac{118}{24}$ = 4.9166666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{59}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{18}{x^{2}}$ = $- \frac{81}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{18}{x^{2}}$	=	$- \frac{81}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{18}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{81}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2} + 18 x$	=	$- 81$

x^{2} + 18 x

=

- 81

|

+ 81

$x^{2} + 18 x + 81$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $9^{2} - 81$ = $81$ $-$ $81$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 9$ ± 0 = $- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{20 x + 4}{3 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{20 x + 4}{3 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{20 x + 4}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 3 \cdot 3 x$
$20 x + 4$	=	$3 x \cdot x + 9 x$

20 x + 4

=

3 x^{2} + 9 x

|

- 3 x^{2}

- 9 x

$- 3 x^{2} + 11 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 4}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{169}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{169}}{- 6}$ = $\frac{- 11+13}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{169}}{- 6}$ = $\frac{- 11-13}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 11 x + 4$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{11}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{6})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{121}{36}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{121}{36}$ $+$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $\frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $\frac{11}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

x₂ = $\frac{11}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x + 2} + \frac{12 x}{3 x + 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $- 2$ }

\frac{12 x}{3 x + 1} + \frac{6 x}{x + 2} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{12 x}{3 x + 1} + \frac{6 x}{x + 2} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{12 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{6 x}{x + 2} \cdot (3 x + 1) - 5 \cdot (3 x + 1)$	=
$12 x + \frac{6 x \cdot (3 x + 1)}{x + 2} - 15 x - 5$	=
$12 x + \frac{18 x^{2} + 6 x}{x + 2} - 15 x - 5$	=
$\frac{18 x^{2} + 6 x}{x + 2} + 12 x - 15 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{18 x^{2} + 6 x}{x + 2} + 12 x - 15 x - 5$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{18 x^{2} + 6 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 12 x \cdot (x + 2) - 15 x \cdot (x + 2) - 5 \cdot (x + 2)$	=
$18 x^{2} + 6 x + 12 x \cdot (x + 2) - 15 x \cdot (x + 2) - 5 x - 10$	=
$18 x^{2} + 6 x + (12 x^{2} + 24 x) + (- 15 x^{2} - 30 x) - 5 x - 10$	=
$15 x^{2} - 5 x - 10$	=

15 x^{2} - 5 x - 10

= 0 |:5

$3 x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{1+5}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{1-5}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - x - 2$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{2}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{8}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{8}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{8}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{8}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 8$
$a x + x^{2} + 8$	=	0
$x^{2} + a x + 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 4$ = 8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 4)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):