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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{3}{x}$ = $- \frac{4}{9}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3}{x}$	=	$- \frac{4}{9}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x$	=	$- \frac{4}{9} \cdot x$
$- 3$	=	$- \frac{4}{9} x$

$- 3$	=	$- \frac{4}{9} x$	\|⋅ 9
$- 27$	=	$- 4 x$	\| $+ 27$ $+ 4 x$
$4 x$	=	$27$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{27}{4}$ = 6.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{27}{4}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9 x}{2 x + 2} + \frac{144}{6 x + 6}$ = $- 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{9 x}{2 (x + 1)} + \frac{144}{6 (x + 1)}

=

- 2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{9 x}{2 (x + 1)} + \frac{144}{6 (x + 1)}$	=	$- 2$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{9 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{144}{6 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1))$	=	$- 2 \cdot (2 (x + 1))$
$9 x + 48$	=	$- 4 (x + 1)$

$9 x + 48$	=	$- 4 x - 4$	\| $- 48$
$9 x$	=	$- 4 x - 52$	\| $+ 4 x$
$13 x$	=	$- 52$	\|: $13$
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 8} + \frac{13}{x - 4}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{2 x - 8} + \frac{13}{x - 4}$	=	$x$
$\frac{x}{2 (x - 4)} + \frac{13}{x - 4}$	=	$x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 4)} + \frac{13}{x - 4}$	=	$x$	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
$\frac{x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4)) + \frac{13}{x - 4} \cdot (2 (x - 4))$	=	$x \cdot (2 (x - 4))$
$x + 26$	=	$2 x \cdot (x - 4)$
$x + 26$	=	$2 x^{2} - 8 x$

x + 26

=

2 x^{2} - 8 x

|

- 2 x^{2}

+ 8 x

$- 2 x^{2} + 9 x + 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 26}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 208}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{289}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{- 9+17}{- 4}$ = $\frac{8}{- 4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{- 9-17}{- 4}$ = $\frac{- 26}{- 4}$ = $6,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 9 x + 26$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x - 13$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (- 13)$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $13$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{208}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{26}{4}$ = 6.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $6,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{15}{x^{3}} - \frac{54}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{15}{x^{3}} - \frac{54}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{15}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{54}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2}$	=	$15 x - 54$

x^{2}

=

15 x - 54

|

- 15 x

+ 54

$x^{2} - 15 x + 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 54}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{15+3}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{15-3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - 54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $\frac{- 3 x - 6}{x - 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$2 x$	=	$\frac{- 3 x - 6}{x - 5}$	\|⋅( $x - 5$ )
$2 x \cdot (x - 5)$	=	$\frac{- 3 x - 6}{x - 5} \cdot (x - 5)$
$2 x \cdot (x - 5)$	=	$- 3 x - 6$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot (- 5)$	=	$- 3 x - 6$
$2 x \cdot x - 10 x$	=	$- 3 x - 6$
$2 x^{2} - 10 x$	=	$- 3 x - 6$

2 x^{2} - 10 x

=

- 3 x - 6

|

+ 3 x

+ 6

$2 x^{2} - 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{7+1}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{7-1}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x + 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{x + 2}{x} + \frac{5 x + 2}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 1$ }

\frac{x + 2 - 5 x - 2}{x} + \frac{6 x}{x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x + 2 - 5 x - 2}{x} + \frac{6 x}{x + 1}$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x + 2 - 5 x - 2}{x} \cdot x + \frac{6 x}{x + 1} \cdot x$	=
$x + 2 - 5 x - 2 + \frac{6 x \cdot x}{x + 1}$	=
$x + 2 - 5 x - 2 + \frac{6 x^{2}}{x + 1}$	=
$\frac{6 x^{2}}{x + 1} + x - 5 x + 2 - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2}}{x + 1} + x - 5 x + 2 - 2$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x^{2}}{x + 1} \cdot (x + 1) + x \cdot (x + 1) - 5 x \cdot (x + 1) + 2 \cdot (x + 1) - 2 \cdot (x + 1)$	=
$6 x^{2} + x \cdot (x + 1) - 5 x \cdot (x + 1) + 2 x + 2 - 2 x - 2$	=
$6 x^{2} + (x^{2} + x) + (- 5 x^{2} - 5 x) + 2 x + 2 - 2 x - 2$	=
$2 x^{2} - 4 x$	=

$2 x^{2} - 4 x$	=	0
$2 x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Lösung x=0 ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 6$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 6$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 6$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 6 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 6 x$	=	$- a$
$x^{2} - 6 x + a$	=	0
$x^{2} - 6 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 6 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn $- (2 + 4)$ = -6

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 4$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):