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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4}{x - 6}$ = $- 2$

D=R\{ $6$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 6$ weg!

$- \frac{4}{x - 6}$	=	$- 2$	\|⋅( $x - 6$ )
$- \frac{4}{x - 6} \cdot (x - 6)$	=	$- 2 \cdot (x - 6)$
$- 4$	=	$- 2 (x - 6)$

$- 4$	=	$- 2 x + 12$	\| $+ 4$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$16$	\|: $2$
$x$	=	$8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 6} - \frac{2}{x - 6}$ = $\frac{53}{x^{2} - 36}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 6$ ; $6$ }

\frac{x}{x + 6} - \frac{2}{x - 6}

=

\frac{53}{(x + 6) \cdot (x - 6)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 6) \cdot (x - 6)$ weg!

$\frac{x}{x + 6} - \frac{2}{x - 6}$	=	$\frac{53}{(x + 6) \cdot (x - 6)}$	\|⋅( $(x + 6) \cdot (x - 6)$ )
$\frac{x}{x + 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6) - \frac{2}{x - 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$	=	$\frac{53}{(x + 6) \cdot (x - 6)} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$
$x \cdot (x - 6) - 2 x - 12$	=	$53 \frac{x + 6}{x + 6}$
$x \cdot (x - 6) - 2 x - 12$	=	$53$
$x^{2} - 6 x - 2 x - 12$	=	$53$
$x^{2} - 8 x - 12$	=	$53$

x^{2} - 8 x - 12

=

53

|

- 53

$x^{2} - 8 x - 65$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 65)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 260}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{324}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{8+18}{2}$ = $\frac{26}{2}$ = $13$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{8-18}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - (- 65)$ = $16$ $+$ $65$ = $81$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{81}$

x₁ = $4$ - $9$ = -5

x₂ = $4$ + $9$ = 13

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $13$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 194}{2 x + 8}$ = $- \frac{x}{4 x + 16} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

- \frac{194}{2 (x + 4)}

=

- \frac{x}{4 (x + 4)} - 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 4)$ weg!

$- \frac{194}{2 (x + 4)}$	=	$- \frac{x}{4 (x + 4)} - 3 x$	\|⋅( $4 (x + 4)$ )
$- \frac{194}{2 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4))$	=	$- \frac{x}{4 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) - 3 x \cdot (4 (x + 4))$
$- 388$	=	$- x - 12 x \cdot (x + 4)$
$- 388$	=	$- 12 x^{2} - 49 x$

- 388

=

- 12 x^{2} - 49 x

|

+ 12 x^{2}

+ 49 x

$12 x^{2} + 49 x - 388$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{49^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 388)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{2 401 + 18 624}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{21 025}}{24}$

x₁ = $\frac{- 49 + \sqrt{21 025}}{24}$ = $\frac{- 49+145}{24}$ = $\frac{96}{24}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 49 - \sqrt{21 025}}{24}$ = $\frac{- 49-145}{24}$ = $\frac{- 194}{24}$ = $- \frac{97}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} + 49 x - 388$ = 0 |: $12$

$x^{2} + \frac{49}{12} x - \frac{97}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{49}{24})}^{2} - (- \frac{97}{3})$ = $\frac{2401}{576}$ $+$ $\frac{97}{3}$ = $\frac{2401}{576}$ $+$ $\frac{18624}{576}$ = $\frac{21025}{576}$

x_1,2 = $- \frac{49}{24}$ ± $\sqrt{\frac{21025}{576}}$

x₁ = $- \frac{49}{24}$ - $\frac{145}{24}$ = $- \frac{194}{24}$ = -8.0833333333333

x₂ = $- \frac{49}{24}$ + $\frac{145}{24}$ = $\frac{96}{24}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{97}{12}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{15}{x^{2}}$ = $- 1 + \frac{8}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{15}{x^{2}}$	=	$- 1 + \frac{8}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{15}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{8}{x} \cdot x^{2}$
$15$	=	$- x^{2} + 8 x$

15

=

- x^{2} + 8 x

|

+ x^{2}

- 8 x

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 4$ = $\frac{- 15 x - 6}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x - 4$	=	$\frac{- 15 x - 6}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x - 4 \cdot 2 x$	=	$\frac{- 15 x - 6}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x - 8 x$	=	$- 15 x - 6$
$2 x^{2} - 8 x$	=	$- 15 x - 6$

2 x^{2} - 8 x

=

- 15 x - 6

|

+ 15 x

+ 6

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x - 3} + \frac{5 x + 2}{2 x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

$\frac{6 x}{3 x - 3} + \frac{5 x + 2}{2 x} - 7$	=	0
$\frac{6 x}{3 (x - 1)} + \frac{5 x + 2}{2 x} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 (x - 1)} + \frac{5 x + 2}{2 x} - 7$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x}{3 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{5 x + 2}{2 x} \cdot (x - 1) - 7 \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{(5 x + 2) \cdot (x - 1)}{2 x} - 7 x + 7$	=
$2 x + \frac{5 x^{2} - 3 x - 2}{2 x} - 7 x + 7$	=
$\frac{5 x^{2} - 3 x - 2}{2 x} + 2 x - 7 x + 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 3 x - 2}{2 x} + 2 x - 7 x + 7$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x^{2} - 3 x - 2}{2 x} \cdot 2 x + 2 x \cdot 2 x - 7 x \cdot 2 x + 7 \cdot 2 x$	=
$5 x^{2} - 3 x - 2 + 4 x \cdot x - 14 x \cdot x + 14 x$	=
$5 x^{2} - 3 x - 2 + 4 x^{2} - 14 x^{2} + 14 x$	=
$- 5 x^{2} + 11 x - 2$	=

$- 5 x^{2} + 11 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{81}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{81}}{- 10}$ = $\frac{- 11+9}{- 10}$ = $\frac{- 2}{- 10}$ = $0,2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{81}}{- 10}$ = $\frac{- 11-9}{- 10}$ = $\frac{- 20}{- 10}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 11 x - 2$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{11}{5} x + \frac{2}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{10})}^{2} - (\frac{2}{5})$ = $\frac{121}{100}$ $-$ $\frac{2}{5}$ = $\frac{121}{100}$ $-$ $\frac{40}{100}$ = $\frac{81}{100}$

x_1,2 = $\frac{11}{10}$ ± $\sqrt{\frac{81}{100}}$

x₁ = $\frac{11}{10}$ - $\frac{9}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = 0.2

x₂ = $\frac{11}{10}$ + $\frac{9}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,2$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 9$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 9$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 9$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 9 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 9 x$	=	$- a$
$x^{2} + 9 x + a$	=	0
$x^{2} + 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -11 würde es funktionieren, denn $- (2 - 11)$ = 9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 11)$ = $- 22$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -22 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 9 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9+13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9-13}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $22$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{88}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 11$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):