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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9}{x}$ = $- \frac{5}{4}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9}{x}$	=	$- \frac{5}{4}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{9}{x} \cdot x$	=	$- \frac{5}{4} \cdot x$
$9$	=	$- \frac{5}{4} x$

$9$	=	$- \frac{5}{4} x$	\|⋅ 4
$36$	=	$- 5 x$	\| $- 36$ $+ 5 x$
$5 x$	=	$- 36$	\|: $5$
$x$	=	$- \frac{36}{5}$ = -7.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{36}{5}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 9} + \frac{5}{x + 9}$ = $\frac{267}{x^{2} - 81}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 9$ ; $9$ }

\frac{x}{x - 9} + \frac{5}{x + 9}

=

\frac{267}{(x + 9) (x - 9)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 9) (x - 9)$ weg!

$\frac{x}{x - 9} + \frac{5}{x + 9}$	=	$\frac{267}{(x + 9) (x - 9)}$	\|⋅( $(x + 9) (x - 9)$ )
$\frac{x}{x - 9} \cdot (x + 9) (x - 9) + \frac{5}{x + 9} \cdot (x + 9) (x - 9)$	=	$\frac{267}{(x + 9) (x - 9)} \cdot (x + 9) (x - 9)$
$x (x + 9) + 5 x - 45$	=	$267 \frac{x + 9}{x + 9}$
$x (x + 9) + 5 x - 45$	=	$267$
$x^{2} + 9 x + 5 x - 45$	=	$267$
$x^{2} + 14 x - 45$	=	$267$

x^{2} + 14 x - 45

=

267

|

- 267

$x^{2} + 14 x - 312$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 312)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 1 248}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{1 444}}{2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{1 444}}{2}$ = $\frac{- 14+38}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{1 444}}{2}$ = $\frac{- 14-38}{2}$ = $\frac{- 52}{2}$ = $- 26$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - (- 312)$ = $49$ $+$ $312$ = $361$

x_1,2 = $- 7$ ± $\sqrt{361}$

x₁ = $- 7$ - $19$ = -26

x₂ = $- 7$ + $19$ = 12

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 26$ ; $12$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2 x + 4}$ = $- \frac{x}{4 x + 8} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{1}{2 (x + 2)}

=

- \frac{x}{4 (x + 2)} + 4 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 2)$ weg!

$\frac{1}{2 (x + 2)}$	=	$- \frac{x}{4 (x + 2)} + 4 x$	\|⋅( $4 (x + 2)$ )
$\frac{1}{2 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2))$	=	$- \frac{x}{4 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2)) + 4 x \cdot (4 (x + 2))$
$2$	=	$- x + 16 x (x + 2)$
$2$	=	$16 x^{2} + 31 x$

2

=

16 x^{2} + 31 x

|

- 16 x^{2}

- 31 x

$- 16 x^{2} - 31 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot 2}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 + 128}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{1 089}}{- 32}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{1 089}}{- 32}$ = $\frac{31+33}{- 32}$ = $\frac{64}{- 32}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{1 089}}{- 32}$ = $\frac{31-33}{- 32}$ = $\frac{- 2}{- 32}$ = $\frac{1}{16}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 16$ " teilen:

$- 16 x^{2} - 31 x + 2$ = 0 |: $- 16$

$x^{2} + \frac{31}{16} x - \frac{1}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{32})}^{2} - (- \frac{1}{8})$ = $\frac{961}{1024}$ $+$ $\frac{1}{8}$ = $\frac{961}{1024}$ $+$ $\frac{128}{1024}$ = $\frac{1089}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{31}{32}$ ± $\sqrt{\frac{1089}{1024}}$

x₁ = $- \frac{31}{32}$ - $\frac{33}{32}$ = $- \frac{64}{32}$ = -2

x₂ = $- \frac{31}{32}$ + $\frac{33}{32}$ = $\frac{2}{32}$ = 0.0625

Lösung x= $- 2$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $\frac{1}{16}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{49}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{49}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{49}{x^{4}} \cdot x^{4}$
=	$- x^{2} + 49$

0	=	$- x^{2} + 49$	\|0 $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 + \frac{14}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 4 + \frac{14}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$- 4 \cdot x + \frac{14}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$- 4 x + 14$	=	$x \cdot x + x$

- 4 x + 14

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} - 5 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 14}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{5+9}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{5-9}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x + 14$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{6 x}{2 x - 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $- 2$ }

\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{2 x}{x + 2} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{2 x}{x + 2} - 5$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{2 x}{x + 2} \cdot (2 x - 1) - 5 \cdot (2 x - 1)$	=
$6 x + \frac{2 x (2 x - 1)}{x + 2} - 10 x + 5$	=
$6 x + \frac{4 x^{2} - 2 x}{x + 2} - 10 x + 5$	=
$\frac{4 x^{2} - 2 x}{x + 2} + 6 x - 10 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 2 x}{x + 2} + 6 x - 10 x + 5$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{4 x^{2} - 2 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 6 x \cdot (x + 2) - 10 x \cdot (x + 2) + 5 \cdot (x + 2)$	=
$4 x^{2} - 2 x + 6 x (x + 2) - 10 x (x + 2) + 5 x + 10$	=
$4 x^{2} - 2 x + (6 x^{2} + 12 x) + (- 10 x^{2} - 20 x) + 5 x + 10$	=
$- 5 x + 10$	=

$- 5 x + 10$	=	0	\| $- 10$
$- 5 x$	=	$- 10$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 9$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 9$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 9$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 9 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 9 x$	=	$- a$
$x^{2} - 9 x + a$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):