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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{5 x}{x - 1}$ = $- 4$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 5 x}{x - 1}$	=	$- 4$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 5 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- 4 \cdot (x - 1)$
$- \frac{5 x}{1}$	=	$- 4 (x - 1)$
$- 5 x$	=	$- 4 (x - 1)$

$- 5 x$	=	$- 4 x + 4$	\| $+ 4 x$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{- 16 x}{x + 3} - 2 x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

0

=

\frac{16 x}{x + 3} - 2 x - 2

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

=	$\frac{16 x}{x + 3} - 2 x - 2$	\|⋅( $x + 3$ )
=	$\frac{16 x}{x + 3} \cdot (x + 3) - 2 x \cdot (x + 3) - 2 \cdot (x + 3)$
=	$16 x - 2 x (x + 3) - 2 x - 6$
=	$- 2 x^{2} + 8 x - 6$

0

=

- 2 x^{2} + 8 x - 6

|

+ 2 x^{2}

- 8 x

+ 6

2 x^{2} - 8 x + 6

= 0 |:2

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x - 3} + \frac{3 x}{x - 2} + \frac{36 x}{- 3 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $3$ }

$\frac{3 x}{x - 2} + \frac{12 x}{x - 3} + \frac{36 x}{- 3 x + 6}$	=	0
$\frac{3 x}{x - 2} + \frac{12 x}{x - 3} + \frac{36 x}{3 (- x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{3 x}{x - 2} + \frac{12 x}{x - 3} + \frac{36 x}{3 (- x + 2)}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{3 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{12 x}{x - 3} \cdot (x - 2) + \frac{36 x}{3 (- x + 2)} \cdot (x - 2)$	=
$3 x + \frac{12 x (x - 2)}{x - 3} + \frac{12 x (x - 2)}{- x + 2}$	=
$3 x + \frac{12 x (x - 2)}{x - 3} - 12 x$	=
$3 x + \frac{12 x^{2} - 24 x}{x - 3} - 12 x$	=
$\frac{12 x^{2} - 24 x}{x - 3} + 3 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{12 x^{2} - 24 x}{x - 3} + 3 x - 12 x$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{12 x^{2} - 24 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + 3 x \cdot (x - 3) - 12 x \cdot (x - 3)$	=
$12 x^{2} - 24 x + 3 x (x - 3) - 12 x (x - 3)$	=
$12 x^{2} - 24 x + (3 x^{2} - 9 x) + (- 12 x^{2} + 36 x)$	=
$3 x^{2} + 3 x$	=

$3 x^{2} + 3 x$	=	0
$3 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{17 x + 70}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{17 x + 70}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{17 x + 70}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$17 x + 70$	=	$- x^{2}$

17 x + 70

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 17 x + 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 70}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 280}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 17+3}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 17-3}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - 70$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $70$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{280}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{6}{x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$1 + \frac{6}{x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $x$ )
$1 \cdot x + \frac{6}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 4 \cdot x$
$x + 6$	=	$x \cdot x - 4 x$

x + 6

=

x^{2} - 4 x

|

- x^{2}

+ 4 x

$- x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 5+7}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 5-7}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x - 1} + \frac{4}{x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{3 x}{x - 1} - 5 + \frac{4}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{x - 1} - 5 + \frac{4}{x}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x}{x - 1} \cdot (x - 1) - 5 \cdot (x - 1) + \frac{4}{x} \cdot (x - 1)$	=
$3 x - 5 x + 5 + 4 \frac{x - 1}{x}$	=
$\frac{4 (x - 1)}{x} + 3 x - 5 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4 (x - 1)}{x} + 3 x - 5 x + 5$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{4 (x - 1)}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 5 x \cdot x + 5 \cdot x$	=
$4 x - 4 + 3 x \cdot x - 5 x \cdot x + 5 x$	=
$4 x - 4 + 3 x^{2} - 5 x^{2} + 5 x$	=
$- 2 x^{2} + 9 x - 4$	=

$- 2 x^{2} + 9 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 9+7}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 9-7}{- 4}$ = $\frac{- 16}{- 4}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 9 x - 4$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - 2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{20}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{20}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{20}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{20}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 20$	=	$- a x$
$x^{2} + 20 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

L={ $2$ ; $10$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):