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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{3}{x}$ = $\frac{5}{9}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3}{x}$	=	$\frac{5}{9}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x$	=	$\frac{5}{9} \cdot x$
$- 3$	=	$\frac{5}{9} x$

$- 3$	=	$\frac{5}{9} x$	\|⋅ 9
$- 27$	=	$5 x$	\| $+ 27$ $- 5 x$
$- 5 x$	=	$27$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- \frac{27}{5}$ = -5.4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{27}{5}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 54}{x - 2} + x - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

- \frac{54}{x - 2} + x - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{54}{x - 2} + x - 5$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{54}{x - 2} \cdot (x - 2) + x \cdot (x - 2) - 5 \cdot (x - 2)$	=
$- 54 + x (x - 2) - 5 x + 10$	=
$- 54 + (x^{2} - 2 x) - 5 x + 10$	=
$x^{2} - 7 x - 44$	=

$x^{2} - 7 x - 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 44)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 176}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{7+15}{2}$ = $\frac{22}{2}$ = $11$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{7-15}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 44)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $44$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{176}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{22}{2}$ = 11

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $11$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 3} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{3 x}{3 (x - 1)} - 2

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{3 (x - 1)} - 2$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x}{3 (x - 1)} \cdot (x - 1) - 2 \cdot (x - 1)$	=
$x - 2 x + 2$	=
$- x + 2$	=

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{4}{x}$ = $- 1 + \frac{5}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{4}{x}$	=	$- 1 + \frac{5}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{4}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{5}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$- 4 x$	=	$- x^{2} + 5$

- 4 x

=

- x^{2} + 5

|

+ x^{2}

- 5

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 5$ = $\frac{- 25 x - 7}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x - 5$	=	$\frac{- 25 x - 7}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x - 5 \cdot 2 x$	=	$\frac{- 25 x - 7}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x - 10 x$	=	$- 25 x - 7$
$2 x^{2} - 10 x$	=	$- 25 x - 7$

2 x^{2} - 10 x

=

- 25 x - 7

|

+ 25 x

+ 7

$2 x^{2} + 15 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 15+13}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 15-13}{4}$ = $\frac{- 28}{4}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 15 x + 7$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{15}{2} x + \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{4})}^{2} - (\frac{7}{2})$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{56}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{15}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{28}{4}$ = -7

x₂ = $- \frac{15}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x + 1}{2 x} + \frac{4 x}{3 x - 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{7 x + 1}{2 x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{7 x + 1}{2 x} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{4 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{7 x + 1}{2 x} \cdot (3 x - 1) - 6 \cdot (3 x - 1)$	=
$4 x + \frac{(7 x + 1) (3 x - 1)}{2 x} - 18 x + 6$	=
$4 x + \frac{21 x^{2} - 4 x - 1}{2 x} - 18 x + 6$	=
$\frac{21 x^{2} - 4 x - 1}{2 x} + 4 x - 18 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{21 x^{2} - 4 x - 1}{2 x} + 4 x - 18 x + 6$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{21 x^{2} - 4 x - 1}{2 x} \cdot 2 x + 4 x \cdot 2 x - 18 x \cdot 2 x + 6 \cdot 2 x$	=
$21 x^{2} - 4 x - 1 + 8 x \cdot x - 36 x \cdot x + 12 x$	=
$21 x^{2} - 4 x - 1 + 8 x^{2} - 36 x^{2} + 12 x$	=
$- 7 x^{2} + 8 x - 1$	=

$- 7 x^{2} + 8 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{- 14}$ = $\frac{- 8+6}{- 14}$ = $\frac{- 2}{- 14}$ = $\frac{1}{7}$ ≈ 0.14

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{- 14}$ = $\frac{- 8-6}{- 14}$ = $\frac{- 14}{- 14}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} + 8 x - 1$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} - \frac{8}{7} x + \frac{1}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{7})}^{2} - (\frac{1}{7})$ = $\frac{16}{49}$ $-$ $\frac{1}{7}$ = $\frac{16}{49}$ $-$ $\frac{7}{49}$ = $\frac{9}{49}$

x_1,2 = $\frac{4}{7}$ ± $\sqrt{\frac{9}{49}}$

x₁ = $\frac{4}{7}$ - $\frac{3}{7}$ = $\frac{1}{7}$ = 0.14285714285714

x₂ = $\frac{4}{7}$ + $\frac{3}{7}$ = $\frac{7}{7}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{7}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $2$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $2$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$2$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$2 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$2 x$
$a + x^{2} - 2 x$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):