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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7 x}{x + 20}$ = $2$

D=R\{ $- 20$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 20$ weg!

$\frac{7 x}{x + 20}$	=	$2$	\|⋅( $x + 20$ )
$\frac{7 x}{x + 20} \cdot (x + 20)$	=	$2 \cdot (x + 20)$
$7 x$	=	$2 (x + 20)$

$7 x$	=	$2 x + 40$	\| $- 2 x$
$5 x$	=	$40$	\|: $5$
$x$	=	$8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 5} + \frac{2}{x + 5}$ = $\frac{110}{x^{2} - 25}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ ; $5$ }

\frac{x}{x - 5} + \frac{2}{x + 5}

=

\frac{110}{(x + 5) \cdot (x - 5)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 5) \cdot (x - 5)$ weg!

$\frac{x}{x - 5} + \frac{2}{x + 5}$	=	$\frac{110}{(x + 5) \cdot (x - 5)}$	\|⋅( $(x + 5) \cdot (x - 5)$ )
$\frac{x}{x - 5} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5) + \frac{2}{x + 5} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)$	=	$\frac{110}{(x + 5) \cdot (x - 5)} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)$
$x \cdot (x + 5) + 2 x - 10$	=	$110 \frac{x + 5}{x + 5}$
$x \cdot (x + 5) + 2 x - 10$	=	$110$
$x^{2} + 5 x + 2 x - 10$	=	$110$
$x^{2} + 7 x - 10$	=	$110$

x^{2} + 7 x - 10

=

110

|

- 110

$x^{2} + 7 x - 120$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 120)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 480}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{529}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{529}}{2}$ = $\frac{- 7+23}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{529}}{2}$ = $\frac{- 7-23}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 120)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $120$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{480}{4}$ = $\frac{529}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{529}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{23}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{23}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 15$ ; $8$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 2}$ = $- \frac{- 0,5}{x - 1} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{2 x - 2}$	=	$\frac{0,5}{x - 1} - x$
$\frac{x}{2 (x - 1)}$	=	$\frac{0,5}{x - 1} - x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 1)}$	=	$\frac{0,5}{x - 1} - x$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1))$	=	$\frac{0,5}{x - 1} \cdot (2 (x - 1)) - x \cdot (2 (x - 1))$
$x$	=	$1 - 2 x \cdot (x - 1)$
$x$	=	$- 2 x^{2} + 2 x + 1$

x

=

- 2 x^{2} + 2 x + 1

|

+ 2 x^{2}

- 2 x

- 1

$2 x^{2} - x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{1+3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{1-3}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 1$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

Lösung x= $1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 0,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{5}{x^{3}} + \frac{50}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{5}{x^{3}} + \frac{50}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{5}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{50}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2}$	=	$5 x + 50$

x^{2}

=

5 x + 50

|

- 5 x

- 50

$x^{2} - 5 x - 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 50)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{5+15}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{5-15}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 50)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $50$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{10 x - 10}{x + 3}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{10 x - 10}{x + 3}$	=	$x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{10 x - 10}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$x \cdot (x + 3)$
$10 x - 10$	=	$x \cdot (x + 3)$
$10 x - 10$	=	$x^{2} + 3 x$

10 x - 10

=

x^{2} + 3 x

|

- x^{2}

- 3 x

$- x^{2} + 7 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 7+3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 7-3}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{x} + \frac{4 x}{x + 2} + \frac{9 x + 2}{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 2$ }

- \frac{9 x + 2}{2 x} + \frac{2 x + 2}{x} + \frac{4 x}{x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$- \frac{9 x + 2}{2 x} + \frac{2 x + 2}{x} + \frac{4 x}{x + 2}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$- \frac{9 x + 2}{2 x} \cdot 2 x + \frac{2 x + 2}{x} \cdot 2 x + \frac{4 x}{x + 2} \cdot 2 x$	=
$- 9 x - 2 + 4 x + 4 + 2 \frac{4 x \cdot x}{x + 2}$	=
$- 9 x - 2 + 4 x + 4 + \frac{8 x^{2}}{x + 2}$	=
$\frac{8 x^{2}}{x + 2} - 9 x + 4 x - 2 + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{8 x^{2}}{x + 2} - 9 x + 4 x - 2 + 4$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{8 x^{2}}{x + 2} \cdot (x + 2) - 9 x \cdot (x + 2) + 4 x \cdot (x + 2) - 2 \cdot (x + 2) + 4 \cdot (x + 2)$	=
$8 x^{2} - 9 x \cdot (x + 2) + 4 x \cdot (x + 2) - 2 x - 4 + 4 x + 8$	=
$8 x^{2} + (- 9 x^{2} - 18 x) + (4 x^{2} + 8 x) - 2 x - 4 + 4 x + 8$	=
$3 x^{2} - 8 x + 4$	=

$3 x^{2} - 8 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{8+4}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{8-4}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 8 x + 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{8}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{3})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{12}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $\frac{4}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{4}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{24}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{24}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{24}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{24}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 24 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 24 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 12)$ = -24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 12)$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):