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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3 x}{x + 4}$ = $4$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{3 x}{x + 4}$	=	$4$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{3 x}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$4 \cdot (x + 4)$
$3 x$	=	$4 (x + 4)$

$3 x$	=	$4 x + 16$	\| $- 4 x$
$- x$	=	$16$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 16$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 16$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 6} + \frac{8}{x + 6}$ = $\frac{99}{x^{2} - 36}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 6$ ; $6$ }

\frac{x}{x - 6} + \frac{8}{x + 6}

=

\frac{99}{(x + 6) \cdot (x - 6)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 6) \cdot (x - 6)$ weg!

$\frac{x}{x - 6} + \frac{8}{x + 6}$	=	$\frac{99}{(x + 6) \cdot (x - 6)}$	\|⋅( $(x + 6) \cdot (x - 6)$ )
$\frac{x}{x - 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6) + \frac{8}{x + 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$	=	$\frac{99}{(x + 6) \cdot (x - 6)} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$
$x \cdot (x + 6) + 8 x - 48$	=	$99 \frac{x + 6}{x + 6}$
$x \cdot (x + 6) + 8 x - 48$	=	$99$
$x^{2} + 6 x + 8 x - 48$	=	$99$
$x^{2} + 14 x - 48$	=	$99$

x^{2} + 14 x - 48

=

99

|

- 99

$x^{2} + 14 x - 147$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 147)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 588}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{784}}{2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{784}}{2}$ = $\frac{- 14+28}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{784}}{2}$ = $\frac{- 14-28}{2}$ = $\frac{- 42}{2}$ = $- 21$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - (- 147)$ = $49$ $+$ $147$ = $196$

x_1,2 = $- 7$ ± $\sqrt{196}$

x₁ = $- 7$ - $14$ = -21

x₂ = $- 7$ + $14$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 21$ ; $7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 4} - x$ = $- \frac{2,5}{x + 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{x}{4 (x + 1)} - x

=

- \frac{2,5}{x + 1}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 1)} - x$	=	$- \frac{2,5}{x + 1}$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$\frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) - x \cdot (4 (x + 1))$	=	$- \frac{2,5}{x + 1} \cdot (4 (x + 1))$
$x - 4 x \cdot (x + 1)$	=	$- 10$
$x + (- 4 x^{2} - 4 x)$	=	$- 10$
$- 4 x^{2} - 3 x$	=	$- 10$

- 4 x^{2} - 3 x

=

- 10

|

+ 10

$- 4 x^{2} - 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 10}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{169}}{- 8}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{3+13}{- 8}$ = $\frac{16}{- 8}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{3-13}{- 8}$ = $\frac{- 10}{- 8}$ = $1,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 3 x + 10$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{3}{4} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{8})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{160}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $- \frac{3}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $- \frac{3}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = 1.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1,25$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{18}{x^{4}}$ = $- \frac{11}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{18}{x^{4}}$	=	$- \frac{11}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{18}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{11}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 18$	=	$- 11 x$

x^{2} + 18

=

- 11 x

|

+ 11 x

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 10 - \frac{24}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 10 - \frac{24}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$- 10 \cdot x - \frac{24}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$- 10 x - 24$	=	$x \cdot x + x$

- 10 x - 24

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} - 11 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{11+5}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{11-5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 11 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 11 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{6 x}{3 x - 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{2 x}{x + 1} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{2 x}{x + 1} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{6 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{2 x}{x + 1} \cdot (3 x - 1) - 4 \cdot (3 x - 1)$	=
$6 x + \frac{2 x \cdot (3 x - 1)}{x + 1} - 12 x + 4$	=
$6 x + \frac{6 x^{2} - 2 x}{x + 1} - 12 x + 4$	=
$\frac{6 x^{2} - 2 x}{x + 1} + 6 x - 12 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 2 x}{x + 1} + 6 x - 12 x + 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} - 2 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 6 x \cdot (x + 1) - 12 x \cdot (x + 1) + 4 \cdot (x + 1)$	=
$6 x^{2} - 2 x + 6 x \cdot (x + 1) - 12 x \cdot (x + 1) + 4 x + 4$	=
$6 x^{2} - 2 x + (6 x^{2} + 6 x) + (- 12 x^{2} - 12 x) + 4 x + 4$	=
$- 4 x + 4$	=

$- 4 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{18}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{18}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$18$
$a x + x^{2} - 18$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):