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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7}{x}$ = $- \frac{3}{2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{7}{x}$	=	$- \frac{3}{2}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{7}{x} \cdot x$	=	$- \frac{3}{2} \cdot x$
$- 7$	=	$- \frac{3}{2} x$

$- 7$	=	$- \frac{3}{2} x$	\|⋅ 2
$- 14$	=	$- 3 x$	\| $+ 14$ $+ 3 x$
$3 x$	=	$14$	\|: $3$
$x$	=	$\frac{14}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{14}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{12 x}{x - 2} - x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

=	$- \frac{12 x}{x - 2} - x + 4$	\|⋅( $x - 2$ )
=	$- \frac{12 x}{x - 2} \cdot (x - 2) - x \cdot (x - 2) + 4 \cdot (x - 2)$
=	$- 12 x - x \cdot (x - 2) + 4 x - 8$
=	$- x^{2} - 6 x - 8$

0

=

- x^{2} - 6 x - 8

|

+ x^{2}

+ 6 x

+ 8

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 49}{x + 2} + 2 x$ = $- \frac{x}{4 x + 8}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$- \frac{49}{x + 2} + 2 x$	=	$\frac{- x}{4 x + 8}$
$- \frac{49}{x + 2} + 2 x$	=	$\frac{- x}{4 (x + 2)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 2)$ weg!

$- \frac{49}{x + 2} + 2 x$	=	$\frac{- x}{4 (x + 2)}$	\|⋅( $4 (x + 2)$ )
$\frac{- 49}{x + 2} \cdot (4 (x + 2)) + 2 x \cdot (4 (x + 2))$	=	$\frac{- x}{4 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2))$
$- 196 + 8 x \cdot (x + 2)$	=	$- x$
$- 196 + (8 x^{2} + 16 x)$	=	$- x$
$8 x^{2} + 16 x - 196$	=	$- x$

8 x^{2} + 16 x - 196

=

- x

|

+ x

$8 x^{2} + 17 x - 196$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 196)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 6 272}}{16}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{6 561}}{16}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{6 561}}{16}$ = $\frac{- 17+81}{16}$ = $\frac{64}{16}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{6 561}}{16}$ = $\frac{- 17-81}{16}$ = $\frac{- 98}{16}$ = $- 6,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} + 17 x - 196$ = 0 |: $8$

$x^{2} + \frac{17}{8} x - \frac{49}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{16})}^{2} - (- \frac{49}{2})$ = $\frac{289}{256}$ $+$ $\frac{49}{2}$ = $\frac{289}{256}$ $+$ $\frac{6272}{256}$ = $\frac{6561}{256}$

x_1,2 = $- \frac{17}{16}$ ± $\sqrt{\frac{6561}{256}}$

x₁ = $- \frac{17}{16}$ - $\frac{81}{16}$ = $- \frac{98}{16}$ = -6.125

x₂ = $- \frac{17}{16}$ + $\frac{81}{16}$ = $\frac{64}{16}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6,125$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{15}{x} + \frac{50}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{15}{x} + \frac{50}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{15}{x} \cdot x^{2} + \frac{50}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$15 x + 50$	=	$- x^{2}$

15 x + 50

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 15 x + 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 50}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 15+5}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 15-5}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 + \frac{1}{x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$2 + \frac{1}{x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $x$ )
$2 \cdot x + \frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 2 \cdot x$
$2 x + 1$	=	$x \cdot x + 2 x$

$2 x + 1$	=	$x^{2} + 2 x$	\| $- 1$ $- x^{2}$ $- 2 x$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{2 x}{3 x + 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{2 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{7 x - 1}{2 x} \cdot (3 x + 1) - 5 \cdot (3 x + 1)$	=
$2 x + \frac{(7 x - 1) \cdot (3 x + 1)}{2 x} - 15 x - 5$	=
$2 x + \frac{21 x^{2} + 4 x - 1}{2 x} - 15 x - 5$	=
$\frac{21 x^{2} + 4 x - 1}{2 x} + 2 x - 15 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{21 x^{2} + 4 x - 1}{2 x} + 2 x - 15 x - 5$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{21 x^{2} + 4 x - 1}{2 x} \cdot 2 x + 2 x \cdot 2 x - 15 x \cdot 2 x - 5 \cdot 2 x$	=
$21 x^{2} + 4 x - 1 + 4 x \cdot x - 30 x \cdot x - 10 x$	=
$21 x^{2} + 4 x - 1 + 4 x^{2} - 30 x^{2} - 10 x$	=
$- 5 x^{2} - 6 x - 1$	=

$- 5 x^{2} - 6 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{- 10}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{- 10}$ = $\frac{6+4}{- 10}$ = $\frac{10}{- 10}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{- 10}$ = $\frac{6-4}{- 10}$ = $\frac{2}{- 10}$ = $- 0,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 6 x - 1$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{1}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{5})}^{2} - (\frac{1}{5})$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{1}{5}$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{5}{25}$ = $\frac{4}{25}$

x_1,2 = $- \frac{3}{5}$ ± $\sqrt{\frac{4}{25}}$

x₁ = $- \frac{3}{5}$ - $\frac{2}{5}$ = $- \frac{5}{5}$ = -1

x₂ = $- \frac{3}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $- \frac{1}{5}$ = -0.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 3$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 3$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 3$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 3 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- 3 x$
$a + x^{2} + 3 x$	=	0
$x^{2} + 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (2 - 5)$ = 3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 5)$ = $- 10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):