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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7 x - 144}{3 x - 2}$ = $- 5$

D=R\{ $\frac{2}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{7 x - 144}{3 x - 2}$	=	$- 5$	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{7 x - 144}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$	=	$- 5 \cdot (3 x - 2)$
$7 x - 144$	=	$- 5 (3 x - 2)$

$7 x - 144$	=	$- 15 x + 10$	\| $+ 144$
$7 x$	=	$- 15 x + 154$	\| $+ 15 x$
$22 x$	=	$154$	\|: $22$
$x$	=	$7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 6} + \frac{11}{x + 6}$ = $\frac{18}{x^{2} - 36}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 6$ ; $6$ }

\frac{x}{x - 6} + \frac{11}{x + 6}

=

\frac{18}{(x + 6) \cdot (x - 6)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 6) \cdot (x - 6)$ weg!

$\frac{x}{x - 6} + \frac{11}{x + 6}$	=	$\frac{18}{(x + 6) \cdot (x - 6)}$	\|⋅( $(x + 6) \cdot (x - 6)$ )
$\frac{x}{x - 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6) + \frac{11}{x + 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$	=	$\frac{18}{(x + 6) \cdot (x - 6)} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$
$x (x + 6) + 11 x - 66$	=	$18 \frac{x + 6}{x + 6}$
$x (x + 6) + 11 x - 66$	=	$18$
$x^{2} + 6 x + 11 x - 66$	=	$18$
$x^{2} + 17 x - 66$	=	$18$

x^{2} + 17 x - 66

=

18

|

- 18

$x^{2} + 17 x - 84$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 84)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 336}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{625}}{2}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{625}}{2}$ = $\frac{- 17+25}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{625}}{2}$ = $\frac{- 17-25}{2}$ = $\frac{- 42}{2}$ = $- 21$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - (- 84)$ = $\frac{289}{4}$ $+$ $84$ = $\frac{289}{4}$ $+$ $\frac{336}{4}$ = $\frac{625}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{625}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{25}{2}$ = $- \frac{42}{2}$ = -21

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{25}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 21$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{x}{3 x - 6} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{5}{3}$ }

$\frac{x}{3 x - 6} + \frac{4 x}{3 x - 5} - 4$	=	0
$\frac{x}{3 (x - 2)} + \frac{4 x}{3 x - 5} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 2)} + \frac{4 x}{3 x - 5} - 4$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + \frac{4 x}{3 x - 5} \cdot (3 (x - 2)) - 4 \cdot (3 (x - 2))$	=
$x + 3 \frac{4 x (x - 2)}{3 x - 5} - 12 x + 24$	=
$x + \frac{3 (4 x^{2} - 8 x)}{3 x - 5} - 12 x + 24$	=
$\frac{3 (4 x^{2} - 8 x)}{3 x - 5} + x - 12 x + 24$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{3 (4 x^{2} - 8 x)}{3 x - 5} + x - 12 x + 24$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{3 (4 x^{2} - 8 x)}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + x \cdot (3 x - 5) - 12 x \cdot (3 x - 5) + 24 \cdot (3 x - 5)$	=
$12 x^{2} - 24 x + x (3 x - 5) - 12 x (3 x - 5) + 72 x - 120$	=
$12 x^{2} - 24 x + (3 x^{2} - 5 x) + (- 36 x^{2} + 60 x) + 72 x - 120$	=
$- 21 x^{2} + 103 x - 120$	=

$- 21 x^{2} + 103 x - 120$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 103 \pm \sqrt{103^{2} - 4 \cdot (- 21) \cdot (- 120)}}{2 \cdot (- 21)}$

x_1,2 = $\frac{- 103 \pm \sqrt{10 609 - 10 080}}{- 42}$

x_1,2 = $\frac{- 103 \pm \sqrt{529}}{- 42}$

x₁ = $\frac{- 103 + \sqrt{529}}{- 42}$ = $\frac{- 103+23}{- 42}$ = $\frac{- 80}{- 42}$ = $\frac{40}{21}$ ≈ 1.9

x₂ = $\frac{- 103 - \sqrt{529}}{- 42}$ = $\frac{- 103-23}{- 42}$ = $\frac{- 126}{- 42}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 21$ " teilen:

$- 21 x^{2} + 103 x - 120$ = 0 |: $- 21$

$x^{2} - \frac{103}{21} x + \frac{40}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{103}{42})}^{2} - (\frac{40}{7})$ = $\frac{10609}{1764}$ $-$ $\frac{40}{7}$ = $\frac{10609}{1764}$ $-$ $\frac{10080}{1764}$ = $\frac{529}{1764}$

x_1,2 = $\frac{103}{42}$ ± $\sqrt{\frac{529}{1764}}$

x₁ = $\frac{103}{42}$ - $\frac{23}{42}$ = $\frac{80}{42}$ = 1.9047619047619

x₂ = $\frac{103}{42}$ + $\frac{23}{42}$ = $\frac{126}{42}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{40}{21}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{24}{x^{2}}$ = $\frac{2}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{24}{x^{2}}$	=	$\frac{2}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{24}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{2}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 24$	=	$2 x$

x^{2} - 24

=

2 x

|

- 2 x

$x^{2} - 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 4$ = $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 4$	=	$- \frac{1}{2} - \frac{3}{2 x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 4 \cdot x$	=	$- \frac{1}{2} \cdot x - \frac{3}{2 x} \cdot x$
$x \cdot x - 4 x$	=	$- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$
$x^{2} - 4 x$	=	$- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$

$x^{2} - 4 x$	=	$- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - 4 x)$	=	$2 (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$
$2 x^{2} - 8 x$	=	$- x - 3$	\| $+ x$ $+ 3$

$2 x^{2} - 7 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{7+5}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{7-5}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x + 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 3}{x} + \frac{x - 1}{2 x + 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

$\frac{x - 1}{2 x + 2} + \frac{x - 3}{x} - 3$	=	0
$\frac{x - 1}{2 (x + 1)} + \frac{x - 3}{x} - 3$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{x - 1}{2 (x + 1)} + \frac{x - 3}{x} - 3$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{x - 1}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{x - 3}{x} \cdot (2 (x + 1)) - 3 \cdot (2 (x + 1))$	=
$x - 1 + 2 \frac{(x - 3) (x + 1)}{x} - 6 x - 6$	=
$x - 1 + \frac{2 (x^{2} - 2 x - 3)}{x} - 6 x - 6$	=
$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 3)}{x} + x - 6 x - 1 - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 3)}{x} + x - 6 x - 1 - 6$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 3)}{x} \cdot x + x \cdot x - 6 x \cdot x - 1 \cdot x - 6 \cdot x$	=
$2 x^{2} - 4 x - 6 + x \cdot x - 6 x \cdot x - x - 6 x$	=
$2 x^{2} - 4 x - 6 + x^{2} - 6 x^{2} - x - 6 x$	=
$- 3 x^{2} - 11 x - 6$	=

$- 3 x^{2} - 11 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{- 6}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{11+7}{- 6}$ = $\frac{18}{- 6}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{11-7}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 11 x - 6$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{11}{3} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{6})}^{2} - 2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $- \frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $- \frac{11}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $- \frac{11}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{30}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{30}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{30}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{30}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 30$	=	$- x^{2}$
$a x + 30 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 15)$ = $- 17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 17 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17+13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17-13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = 15

L={ $2$ ; $15$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):