Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{8 x}{x + 20}$ = $- 4$

D=R\{ $- 20$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 20$ weg!

$\frac{- 8 x}{x + 20}$	=	$- 4$	\|⋅( $x + 20$ )
$\frac{- 8 x}{x + 20} \cdot (x + 20)$	=	$- 4 \cdot (x + 20)$
$- \frac{8 x}{1}$	=	$- 4 (x + 20)$
$- 8 x$	=	$- 4 (x + 20)$

$- 8 x$	=	$- 4 x - 80$	\| $+ 4 x$
$- 4 x$	=	$- 80$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$20$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $20$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x - 2} + 2 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{x - 2} + 2 x + 4$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 2 x \cdot (x - 2) + 4 \cdot (x - 2)$	=
$6 x + 2 x (x - 2) + 4 x - 8$	=
$6 x + (2 x^{2} - 4 x) + 4 x - 8$	=
$2 x^{2} + 6 x - 8$	=

2 x^{2} + 6 x - 8

= 0 |:2

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{7 x + 2}{2 x} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; 0}

\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{7 x + 2}{2 x} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{7 x + 2}{2 x} - 8$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{7 x + 2}{2 x} \cdot (2 x - 1) - 8 \cdot (2 x - 1)$	=
$6 x + \frac{(7 x + 2) (2 x - 1)}{2 x} - 16 x + 8$	=
$6 x + \frac{14 x^{2} - 3 x - 2}{2 x} - 16 x + 8$	=
$\frac{14 x^{2} - 3 x - 2}{2 x} + 6 x - 16 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{14 x^{2} - 3 x - 2}{2 x} + 6 x - 16 x + 8$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{14 x^{2} - 3 x - 2}{2 x} \cdot 2 x + 6 x \cdot 2 x - 16 x \cdot 2 x + 8 \cdot 2 x$	=
$14 x^{2} - 3 x - 2 + 12 x \cdot x - 32 x \cdot x + 16 x$	=
$14 x^{2} - 3 x - 2 + 12 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x$	=
$- 6 x^{2} + 13 x - 2$	=

$- 6 x^{2} + 13 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{- 12}$ = $\frac{- 13+11}{- 12}$ = $\frac{- 2}{- 12}$ = $\frac{1}{6}$ ≈ 0.17

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{- 12}$ = $\frac{- 13-11}{- 12}$ = $\frac{- 24}{- 12}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 13 x - 2$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{13}{6} x + \frac{1}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{12})}^{2} - (\frac{1}{3})$ = $\frac{169}{144}$ $-$ $\frac{1}{3}$ = $\frac{169}{144}$ $-$ $\frac{48}{144}$ = $\frac{121}{144}$

x_1,2 = $\frac{13}{12}$ ± $\sqrt{\frac{121}{144}}$

x₁ = $\frac{13}{12}$ - $\frac{11}{12}$ = $\frac{2}{12}$ = 0.16666666666667

x₂ = $\frac{13}{12}$ + $\frac{11}{12}$ = $\frac{24}{12}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{6}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{10}{x}$ = $- \frac{9}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{10}{x}$	=	$- \frac{9}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{10}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{9}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 10 x$	=	$- 9$

x^{2} - 10 x

=

- 9

|

+ 9

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 5}{x - 3}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{3 x - 5}{x - 3}$	=	$x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{3 x - 5}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$x \cdot (x - 3)$
$3 x - 5$	=	$x (x - 3)$
$3 x - 5$	=	$x^{2} - 3 x$

3 x - 5

=

x^{2} - 3 x

|

- x^{2}

+ 3 x

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6+4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6-4}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 4} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{4 x}{2 (x + 2)} - 4

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x + 2)} - 4$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{4 x}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) - 4 \cdot (x + 2)$	=
$2 x - 4 x - 8$	=
$- 2 x - 8$	=

$- 2 x - 8$	=	0	\| $+ 8$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 9$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 9$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 9$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 9 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 9 x$
$x^{2} + a + 9 x$	=	0
$x^{2} + 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -11 würde es funktionieren, denn $- (2 - 11)$ = 9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 11)$ = $- 22$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -22 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 9 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9+13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9-13}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $22$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{88}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 11$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):