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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{15}{x + 4}$ = $- 3$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{15}{x + 4}$	=	$- 3$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{15}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$- 3 \cdot (x + 4)$
$15$	=	$- 3 (x + 4)$

$15$	=	$- 3 x - 12$	\| $- 15$ $+ 3 x$
$3 x$	=	$- 27$	\|: $3$
$x$	=	$- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5}{x - 4} + x$ = $- 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

\frac{5}{x - 4} + x

=

- 2

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{5}{x - 4} + x$	=	$- 2$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{5}{x - 4} \cdot (x - 4) + x \cdot (x - 4)$	=	$- 2 \cdot (x - 4)$
$5 + x \cdot (x - 4)$	=	$- 2 (x - 4)$
$5 + (x^{2} - 4 x)$	=	$- 2 (x - 4)$
$x^{2} - 4 x + 5$	=	$- 2 x + 8$

x^{2} - 4 x + 5

=

- 2 x + 8

|

+ 2 x

- 8

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 16}$ = $- \frac{- 95}{x - 4} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{4 x - 16}$	=	$\frac{95}{x - 4} - 3 x$
$\frac{x}{4 (x - 4)}$	=	$\frac{95}{x - 4} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 4)}$	=	$\frac{95}{x - 4} - 3 x$	\|⋅( $4 (x - 4)$ )
$\frac{x}{4 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4))$	=	$\frac{95}{x - 4} \cdot (4 (x - 4)) - 3 x \cdot (4 (x - 4))$
$x$	=	$380 - 12 x \cdot (x - 4)$
$x$	=	$- 12 x^{2} + 48 x + 380$

x

=

- 12 x^{2} + 48 x + 380

|

+ 12 x^{2}

- 48 x

- 380

$12 x^{2} - 47 x - 380$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 380)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 + 18 240}}{24}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{20 449}}{24}$

x₁ = $\frac{47 + \sqrt{20 449}}{24}$ = $\frac{47+143}{24}$ = $\frac{190}{24}$ = $\frac{95}{12}$ ≈ 7.92

x₂ = $\frac{47 - \sqrt{20 449}}{24}$ = $\frac{47-143}{24}$ = $\frac{- 96}{24}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} - 47 x - 380$ = 0 |: $12$

$x^{2} - \frac{47}{12} x - \frac{95}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{47}{24})}^{2} - (- \frac{95}{3})$ = $\frac{2209}{576}$ $+$ $\frac{95}{3}$ = $\frac{2209}{576}$ $+$ $\frac{18240}{576}$ = $\frac{20449}{576}$

x_1,2 = $\frac{47}{24}$ ± $\sqrt{\frac{20449}{576}}$

x₁ = $\frac{47}{24}$ - $\frac{143}{24}$ = $- \frac{96}{24}$ = -4

x₂ = $\frac{47}{24}$ + $\frac{143}{24}$ = $\frac{190}{24}$ = 7.9166666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{95}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}}$ = $- \frac{1}{x} + \frac{56}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}}$	=	$- \frac{1}{x} + \frac{56}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{56}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x$	=	$- x^{2} + 56$

x

=

- x^{2} + 56

|

+ x^{2}

- 56

$x^{2} + x - 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 1+15}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 1-15}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 56)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $56$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{224}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{10 x + 2}{x + 3}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{10 x + 2}{x + 3}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{10 x + 2}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$4 x \cdot (x + 3)$
$10 x + 2$	=	$4 x \cdot (x + 3)$
$10 x + 2$	=	$4 x^{2} + 12 x$

10 x + 2

=

4 x^{2} + 12 x

|

- 4 x^{2}

- 12 x

- 4 x^{2} - 2 x + 2

= 0 |:2

$- 2 x^{2} - x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 1}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{1+3}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{1-3}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - x + 1$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{- 8 x}{2 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $2$ }

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{2 x}{2 x - 4} - \frac{8 x}{2 x - 2}$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x - 1)} + \frac{2 x}{2 (x - 2)} - \frac{8 x}{2 (x - 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x - 1)} + \frac{2 x}{2 (x - 2)} - \frac{8 x}{2 (x - 1)}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{2 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 1) - \frac{8 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{x \cdot (x - 1)}{x - 2} - 4 x$	=
$2 x + \frac{x^{2} - x}{x - 2} - 4 x$	=
$\frac{x^{2} - x}{x - 2} + 2 x - 4 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{x^{2} - x}{x - 2} + 2 x - 4 x$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{x^{2} - x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 2 x \cdot (x - 2) - 4 x \cdot (x - 2)$	=
$x^{2} - x + 2 x \cdot (x - 2) - 4 x \cdot (x - 2)$	=
$x^{2} - x + (2 x^{2} - 4 x) + (- 4 x^{2} + 8 x)$	=
$- x^{2} + 3 x$	=

$- x^{2} + 3 x$	=	0
$x \cdot (- x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{24}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{24}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{24}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{24}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 24$
$x^{2} + a x + 24$	=	0
$x^{2} + a x + 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 12$ = 24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 12)$ = $- 14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 14 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14+10}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14-10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 24$ = $49$ $-$ $24$ = $25$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $7$ - $5$ = 2

x₂ = $7$ + $5$ = 12

L={ $2$ ; $12$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):