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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4}{x - 7}$ = $- 1$

D=R\{ $7$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 7$ weg!

$- \frac{4}{x - 7}$	=	$- 1$	\|⋅( $x - 7$ )
$- \frac{4}{x - 7} \cdot (x - 7)$	=	$- 1 \cdot (x - 7)$
$- 4$	=	$- (x - 7)$

$- 4$	=	$- x + 7$	\| $+ 4$ $+ x$
$x$	=	$11$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $11$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 49}{2 x - 1} + x$ = $- 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ }

- \frac{49}{2 x - 1} + x

=

- 3

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$- \frac{49}{2 x - 1} + x$	=	$- 3$	\|⋅( $2 x - 1$ )
$- \frac{49}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + x \cdot (2 x - 1)$	=	$- 3 \cdot (2 x - 1)$
$- 49 + x \cdot (2 x - 1)$	=	$- 3 (2 x - 1)$
$- 49 + (2 x^{2} - x)$	=	$- 3 (2 x - 1)$
$2 x^{2} - x - 49$	=	$- 6 x + 3$

2 x^{2} - x - 49

=

- 6 x + 3

|

+ 6 x

- 3

$2 x^{2} + 5 x - 52$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 52)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 416}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 5+21}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 5-21}{4}$ = $\frac{- 26}{4}$ = $- 6,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x - 52$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x - 26$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (- 26)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $26$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{416}{16}$ = $\frac{441}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{441}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{21}{4}$ = $- \frac{26}{4}$ = -6.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{21}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6,5$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 5} + \frac{- 5,4}{x + 1}$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{5 x + 5} - \frac{5,4}{x + 1}$	=	$- x$
$\frac{x}{5 (x + 1)} - \frac{5,4}{x + 1}$	=	$- x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 1)} - \frac{5,4}{x + 1}$	=	$- x$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) + \frac{- 5,4}{x + 1} \cdot (5 (x + 1))$	=	$- x \cdot (5 (x + 1))$
$x - 27$	=	$- 5 x \cdot (x + 1)$
$x - 27$	=	$- 5 x^{2} - 5 x$

x - 27

=

- 5 x^{2} - 5 x

|

+ 5 x^{2}

+ 5 x

$5 x^{2} + 6 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 540}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{576}}{10}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{576}}{10}$ = $\frac{- 6+24}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = $1,8$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{576}}{10}$ = $\frac{- 6-24}{10}$ = $\frac{- 30}{10}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 6 x - 27$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{6}{5} x - \frac{27}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{5})}^{2} - (- \frac{27}{5})$ = $\frac{9}{25}$ $+$ $\frac{27}{5}$ = $\frac{9}{25}$ $+$ $\frac{135}{25}$ = $\frac{144}{25}$

x_1,2 = $- \frac{3}{5}$ ± $\sqrt{\frac{144}{25}}$

x₁ = $- \frac{3}{5}$ - $\frac{12}{5}$ = $- \frac{15}{5}$ = -3

x₂ = $- \frac{3}{5}$ + $\frac{12}{5}$ = $\frac{9}{5}$ = 1.8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1,8$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{4}}$ = $- \frac{9}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{4}}$	=	$- \frac{9}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{14}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{9}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 14$	=	$- 9 x$

x^{2} + 14

=

- 9 x

|

+ 9 x

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 9 x + 3}{x - 2}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 9 x + 3}{x - 2}$	=	$4 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 9 x + 3}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$4 x \cdot (x - 2)$
$- 9 x + 3$	=	$4 x \cdot (x - 2)$
$- 9 x + 3$	=	$4 x^{2} - 8 x$

- 9 x + 3

=

4 x^{2} - 8 x

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

$- 4 x^{2} - x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 3}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 8}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{1+7}{- 8}$ = $\frac{8}{- 8}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{1-7}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - x + 3$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{8})}^{2} - (- \frac{3}{4})$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{49}{64}$

x_1,2 = $- \frac{1}{8}$ ± $\sqrt{\frac{49}{64}}$

x₁ = $- \frac{1}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 5} + \frac{2 x + 4}{x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ ; 0}

\frac{3 x}{2 x - 5} + \frac{2 x + 4}{x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 5} + \frac{2 x + 4}{x} - 7$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{3 x}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{2 x + 4}{x} \cdot (2 x - 5) - 7 \cdot (2 x - 5)$	=
$3 x + \frac{(2 x + 4) \cdot (2 x - 5)}{x} - 14 x + 35$	=
$3 x + \frac{4 x^{2} - 2 x - 20}{x} - 14 x + 35$	=
$\frac{4 x^{2} - 2 x - 20}{x} + 3 x - 14 x + 35$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 20}{x} + 3 x - 14 x + 35$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{4 x^{2} - 2 x - 20}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 14 x \cdot x + 35 \cdot x$	=
$4 x^{2} - 2 x - 20 + 3 x \cdot x - 14 x \cdot x + 35 x$	=
$4 x^{2} - 2 x - 20 + 3 x^{2} - 14 x^{2} + 35 x$	=
$- 7 x^{2} + 33 x - 20$	=

$- 7 x^{2} + 33 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 089 - 560}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{529}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 33 + \sqrt{529}}{- 14}$ = $\frac{- 33+23}{- 14}$ = $\frac{- 10}{- 14}$ = $\frac{5}{7}$ ≈ 0.71

x₂ = $\frac{- 33 - \sqrt{529}}{- 14}$ = $\frac{- 33-23}{- 14}$ = $\frac{- 56}{- 14}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} + 33 x - 20$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} - \frac{33}{7} x + \frac{20}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{33}{14})}^{2} - (\frac{20}{7})$ = $\frac{1089}{196}$ $-$ $\frac{20}{7}$ = $\frac{1089}{196}$ $-$ $\frac{560}{196}$ = $\frac{529}{196}$

x_1,2 = $\frac{33}{14}$ ± $\sqrt{\frac{529}{196}}$

x₁ = $\frac{33}{14}$ - $\frac{23}{14}$ = $\frac{10}{14}$ = 0.71428571428571

x₂ = $\frac{33}{14}$ + $\frac{23}{14}$ = $\frac{56}{14}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{5}{7}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{30}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{30}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{30}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{30}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 30 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 30 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 15)$ = -30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 15)$ = $13$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 13 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13+17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13-17}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 15$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):