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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2}{x}$ = $\frac{5}{3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{2}{x}$	=	$\frac{5}{3}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{2}{x} \cdot x$	=	$\frac{5}{3} \cdot x$
$- 2$	=	$\frac{5}{3} x$

$- 2$	=	$\frac{5}{3} x$	\|⋅ 3
$- 6$	=	$5 x$	\| $+ 6$ $- 5 x$
$- 5 x$	=	$6$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- \frac{6}{5}$ = -1.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{6}{5}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{x}{2 x + 1} + \frac{34}{4 x + 2}$ = $- 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

- \frac{x}{2 x + 1} + \frac{34}{2 (2 x + 1)}

=

- 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$- \frac{x}{2 x + 1} + \frac{34}{2 (2 x + 1)}$	=	$- 4$	\|⋅( $2 x + 1$ )
$- \frac{x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{34}{2 (2 x + 1)} \cdot (2 x + 1)$	=	$- 4 \cdot (2 x + 1)$
$- x + 17$	=	$- 4 (2 x + 1)$

$- x + 17$	=	$- 8 x - 4$	\| $- 17$
$- x$	=	$- 8 x - 21$	\| $+ 8 x$
$7 x$	=	$- 21$	\|: $7$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 1} + \frac{4 x}{2 x - 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 1$ }

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{4 x}{x + 1} - 6$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x - 1)} + \frac{4 x}{x + 1} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x - 1)} + \frac{4 x}{x + 1} - 6$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{4 x}{x + 1} \cdot (x - 1) - 6 \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{4 x (x - 1)}{x + 1} - 6 x + 6$	=
$2 x + \frac{4 x^{2} - 4 x}{x + 1} - 6 x + 6$	=
$\frac{4 x^{2} - 4 x}{x + 1} + 2 x - 6 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 4 x}{x + 1} + 2 x - 6 x + 6$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x^{2} - 4 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) - 6 x \cdot (x + 1) + 6 \cdot (x + 1)$	=
$4 x^{2} - 4 x + 2 x (x + 1) - 6 x (x + 1) + 6 x + 6$	=
$4 x^{2} - 4 x + (2 x^{2} + 2 x) + (- 6 x^{2} - 6 x) + 6 x + 6$	=
$- 2 x + 6$	=

$- 2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{4 x - 60}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{4 x - 60}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{4 x - 60}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$4 x - 60$

- x^{2}

=

4 x - 60

|

- 4 x

+ 60

$- x^{2} - 4 x + 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 60}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{256}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{256}}{- 2}$ = $\frac{4+16}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{256}}{- 2}$ = $\frac{4-16}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x + 60$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x - 60$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 60)$ = $4$ $+$ $60$ = $64$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $- 2$ - $8$ = -10

x₂ = $- 2$ + $8$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 13 x + 9}{4 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 13 x + 9}{4 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 13 x + 9}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 1 \cdot 4 x$
$- 13 x + 9$	=	$4 x \cdot x - 4 x$

- 13 x + 9

=

4 x^{2} - 4 x

|

- 4 x^{2}

+ 4 x

$- 4 x^{2} - 9 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 9}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{225}}{- 8}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{225}}{- 8}$ = $\frac{9+15}{- 8}$ = $\frac{24}{- 8}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{225}}{- 8}$ = $\frac{9-15}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 9 x + 9$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{9}{4} x - \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{8})}^{2} - (- \frac{9}{4})$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{225}{64}$

x_1,2 = $- \frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{225}{64}}$

x₁ = $- \frac{9}{8}$ - $\frac{15}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $- \frac{9}{8}$ + $\frac{15}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x - 6} + \frac{2 x}{x - 1} + \frac{- 15 x}{9 x - 18}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $2$ }

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{2 x}{3 x - 6} - \frac{15 x}{9 x - 18}$	=	0
$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{2 x}{3 (x - 2)} - \frac{15 x}{9 (x - 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{2 x}{3 (x - 2)} - \frac{15 x}{9 (x - 2)}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{2 x}{3 (x - 2)} \cdot (x - 1) - \frac{15 x}{9 (x - 2)} \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{2 x (x - 1)}{3 (x - 2)} - \frac{5 x (x - 1)}{3 (x - 2)}$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} - 2 x}{3 (x - 2)} - \frac{5 x^{2} - 5 x}{3 (x - 2)}$	=
$\frac{2 x^{2} - 2 x - 5 x^{2} + 5 x}{3 (x - 2)} + 2 x$	=

\frac{2 x^{2} - 5 x^{2} - 2 x + 5 x}{3 (x - 2)} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 5 x^{2} - 2 x + 5 x}{3 (x - 2)} + 2 x$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{2 x^{2} - 5 x^{2} - 2 x + 5 x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + 2 x \cdot (3 (x - 2))$	=
$2 x^{2} - 5 x^{2} - 2 x + 5 x + 6 x (x - 2)$	=
$2 x^{2} - 5 x^{2} - 2 x + 5 x + (6 x^{2} - 12 x)$	=
$3 x^{2} - 9 x$	=

$3 x^{2} - 9 x$	=	0
$3 x (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{6}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{6}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{6}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{6}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 6 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 6 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 3)$ = -6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 3)$ = $1$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 1 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):