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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{8 x}{2 x - 5} - \frac{25}{2 x - 5}$ = $- 1$

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{8 x}{2 x - 5} - \frac{25}{2 x - 5}$	=	$- 1$	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{8 x}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) - \frac{25}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5)$	=	$- 1 \cdot (2 x - 5)$
$8 x - 25$	=	$- (2 x - 5)$

$8 x - 25$	=	$- 2 x + 5$	\| $+ 25$
$8 x$	=	$- 2 x + 30$	\| $+ 2 x$
$10 x$	=	$30$	\|: $10$
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{5 x}{2 x + 1} - \frac{15}{6 x + 3}$ = $- 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

- \frac{5 x}{2 x + 1} - \frac{15}{3 (2 x + 1)}

=

- 3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$- \frac{5 x}{2 x + 1} - \frac{15}{3 (2 x + 1)}$	=	$- 3$	\|⋅( $2 x + 1$ )
$- \frac{5 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{- 15}{3 (2 x + 1)} \cdot (2 x + 1)$	=	$- 3 \cdot (2 x + 1)$
$- 5 x - 5$	=	$- 3 (2 x + 1)$

$- 5 x - 5$	=	$- 6 x - 3$	\| $+ 5$
$- 5 x$	=	$- 6 x + 2$	\| $+ 6 x$
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 2}{2 x + 6} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

\frac{x + 2}{2 (x + 3)} - 1

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$\frac{x + 2}{2 (x + 3)} - 1$	=	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{x + 2}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) - 1 \cdot (2 (x + 3))$	=
$x + 2 - 2 x - 6$	=
$- x - 4$	=

$- x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{13}{x}$ = $- 1 - \frac{42}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{13}{x}$	=	$- 1 - \frac{42}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{13}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{42}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$13 x$	=	$- x^{2} - 42$

13 x

=

- x^{2} - 42

|

+ x^{2}

+ 42

$x^{2} + 13 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 13+1}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 13-1}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 5$ = $3 + \frac{3}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 5$	=	$3 + \frac{3}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 5 \cdot x$	=	$3 \cdot x + \frac{3}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 5 x$	=	$3 x + 3$
$x^{2} + 5 x$	=	$3 x + 3$

x^{2} + 5 x

=

3 x + 3

|

- 3 x

- 3

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 6} + \frac{- 4}{x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

$\frac{x}{2 x + 6} - 3 - \frac{4}{x}$	=	0
$\frac{x}{2 (x + 3)} - 3 - \frac{4}{x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 3)} - 3 - \frac{4}{x}$	=	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) - 3 \cdot (2 (x + 3)) - \frac{4}{x} \cdot (2 (x + 3))$	=
$x - 6 x - 18 - 8 \frac{x + 3}{x}$	=
$x - 6 x - 18 - \frac{8 (x + 3)}{x}$	=
$- \frac{8 (x + 3)}{x} + x - 6 x - 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{8 (x + 3)}{x} + x - 6 x - 18$	=	\|⋅( $x$ )
$- \frac{8 (x + 3)}{x} \cdot x + x \cdot x - 6 x \cdot x - 18 \cdot x$	=
$- 8 x - 24 + x \cdot x - 6 x \cdot x - 18 x$	=
$- 8 x - 24 + x^{2} - 6 x^{2} - 18 x$	=
$- 5 x^{2} - 26 x - 24$	=

$- 5 x^{2} - 26 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 480}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{196}}{- 10}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{196}}{- 10}$ = $\frac{26+14}{- 10}$ = $\frac{40}{- 10}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{196}}{- 10}$ = $\frac{26-14}{- 10}$ = $\frac{12}{- 10}$ = $- 1,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 26 x - 24$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{26}{5} x + \frac{24}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{5})}^{2} - (\frac{24}{5})$ = $\frac{169}{25}$ $-$ $\frac{24}{5}$ = $\frac{169}{25}$ $-$ $\frac{120}{25}$ = $\frac{49}{25}$

x_1,2 = $- \frac{13}{5}$ ± $\sqrt{\frac{49}{25}}$

x₁ = $- \frac{13}{5}$ - $\frac{7}{5}$ = $- \frac{20}{5}$ = -4

x₂ = $- \frac{13}{5}$ + $\frac{7}{5}$ = $- \frac{6}{5}$ = -1.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1,2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 5$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 5$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 5$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 5 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 5 x$	=	$- x^{2}$
$a - 5 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $- (2 + 3)$ = -5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 3$ = $6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):