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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4 x}{x - 5} - \frac{32}{x - 5}$ = $- 2$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{4 x}{x - 5} - \frac{32}{x - 5}$	=	$- 2$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{4 x}{x - 5} \cdot (x - 5) - \frac{32}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$- 2 \cdot (x - 5)$
$4 x - 32$	=	$- 2 (x - 5)$

$4 x - 32$	=	$- 2 x + 10$	\| $+ 32$
$4 x$	=	$- 2 x + 42$	\| $+ 2 x$
$6 x$	=	$42$	\|: $6$
$x$	=	$7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 36 x}{x + 5} + 2 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

- \frac{36 x}{x + 5} + 2 x + 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{36 x}{x + 5} + 2 x + 4$	=	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{36 x}{x + 5} \cdot (x + 5) + 2 x \cdot (x + 5) + 4 \cdot (x + 5)$	=
$- 36 x + 2 x (x + 5) + 4 x + 20$	=
$- 36 x + (2 x^{2} + 10 x) + 4 x + 20$	=
$2 x^{2} - 22 x + 20$	=

2 x^{2} - 22 x + 20

= 0 |:2

$x^{2} - 11 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{11+9}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{11-9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $10$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x + 4} + \frac{5 x - 1}{3 x + 5} + \frac{- 28 x}{9 x + 15}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ }

$\frac{2 x}{2 x + 4} + \frac{5 x - 1}{3 x + 5} - \frac{28 x}{9 x + 15}$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x + 2)} + \frac{5 x - 1}{3 x + 5} - \frac{28 x}{3 (3 x + 5)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x + 2)} + \frac{5 x - 1}{3 x + 5} - \frac{28 x}{3 (3 x + 5)}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) + \frac{5 x - 1}{3 x + 5} \cdot (x + 2) - \frac{28 x}{3 (3 x + 5)} \cdot (x + 2)$	=
$x + \frac{(5 x - 1) (x + 2)}{3 x + 5} - \frac{28 x (x + 2)}{3 (3 x + 5)}$	=
$x + \frac{5 x^{2} + 9 x - 2}{3 x + 5} - \frac{28 x^{2} + 56 x}{3 (3 x + 5)}$	=
$- \frac{28 x^{2} + 56 x}{3 (3 x + 5)} + \frac{5 x^{2} + 9 x - 2}{3 x + 5} + x$	=

\frac{5 x^{2} + 9 x - 2}{3 x + 5} - \frac{28 x^{2} + 56 x}{3 (3 x + 5)} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 (3 x + 5)$ weg!

$\frac{5 x^{2} + 9 x - 2}{3 x + 5} - \frac{28 x^{2} + 56 x}{3 (3 x + 5)} + x$	=	\|⋅( $3 (3 x + 5)$ )
$\frac{5 x^{2} + 9 x - 2}{3 x + 5} \cdot (3 (3 x + 5)) - \frac{28 x^{2} + 56 x}{3 (3 x + 5)} \cdot (3 (3 x + 5)) + x \cdot (3 (3 x + 5))$	=
$15 x^{2} + 27 x - 6 - 28 x^{2} - 56 x + 3 x (3 x + 5)$	=
$15 x^{2} + 27 x - 6 - 28 x^{2} - 56 x + (9 x^{2} + 15 x)$	=
$- 4 x^{2} - 14 x - 6$	=

- 4 x^{2} - 14 x - 6

= 0 |:2

$- 2 x^{2} - 7 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{7+5}{- 4}$ = $\frac{12}{- 4}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{7-5}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 7 x - 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{10 x + 25}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{10 x + 25}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{10 x + 25}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$10 x + 25$	=	$- x^{2}$

10 x + 25

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 5$ ± 0 = $- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{15}{x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$1 + \frac{15}{x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $x$ )
$1 \cdot x + \frac{15}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 1 \cdot x$
$x + 15$	=	$x \cdot x - x$

x + 15

=

x^{2} - x

|

- x^{2}

+ x

$- x^{2} + 2 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 2+8}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 2-8}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{9 x}{2 x - 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $2$ }

\frac{9 x}{2 x - 1} + \frac{9 x}{x - 2} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{9 x}{2 x - 1} + \frac{9 x}{x - 2} - 6$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{9 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{9 x}{x - 2} \cdot (2 x - 1) - 6 \cdot (2 x - 1)$	=
$9 x + \frac{9 x (2 x - 1)}{x - 2} - 12 x + 6$	=
$9 x + \frac{18 x^{2} - 9 x}{x - 2} - 12 x + 6$	=
$\frac{18 x^{2} - 9 x}{x - 2} + 9 x - 12 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{18 x^{2} - 9 x}{x - 2} + 9 x - 12 x + 6$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{18 x^{2} - 9 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 9 x \cdot (x - 2) - 12 x \cdot (x - 2) + 6 \cdot (x - 2)$	=
$18 x^{2} - 9 x + 9 x (x - 2) - 12 x (x - 2) + 6 x - 12$	=
$18 x^{2} - 9 x + (9 x^{2} - 18 x) + (- 12 x^{2} + 24 x) + 6 x - 12$	=
$15 x^{2} + 3 x - 12$	=

15 x^{2} + 3 x - 12

= 0 |:3

$5 x^{2} + x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{10}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{10}$ = $\frac{- 1+9}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = $0,8$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{10}$ = $\frac{- 1-9}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + x - 4$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{1}{5} x - \frac{4}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{10})}^{2} - (- \frac{4}{5})$ = $\frac{1}{100}$ $+$ $\frac{4}{5}$ = $\frac{1}{100}$ $+$ $\frac{80}{100}$ = $\frac{81}{100}$

x_1,2 = $- \frac{1}{10}$ ± $\sqrt{\frac{81}{100}}$

x₁ = $- \frac{1}{10}$ - $\frac{9}{10}$ = $- \frac{10}{10}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{10}$ + $\frac{9}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = 0.8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 1$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 1$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 1$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 1 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + x$	=	$- a$
$x^{2} + x + a$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):