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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6}{x}$ = $\frac{9}{2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{6}{x}$	=	$\frac{9}{2}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{6}{x} \cdot x$	=	$\frac{9}{2} \cdot x$
$- 6$	=	$\frac{9}{2} x$

$- 6$	=	$\frac{9}{2} x$	\|⋅ 2
$- 12$	=	$9 x$	\| $+ 12$ $- 9 x$
$- 9 x$	=	$12$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$- \frac{4}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{3}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 8} + \frac{1}{x - 8}$ = $\frac{206}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x + 8} + \frac{1}{x - 8}

=

\frac{206}{(x + 8) (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x + 8} + \frac{1}{x - 8}$	=	$\frac{206}{(x + 8) (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) (x - 8)$ )
$\frac{x}{x + 8} \cdot (x + 8) (x - 8) + \frac{1}{x - 8} \cdot (x + 8) (x - 8)$	=	$\frac{206}{(x + 8) (x - 8)} \cdot (x + 8) (x - 8)$
$x (x - 8) + x + 8$	=	$206 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x (x - 8) + x + 8$	=	$206$
$x^{2} - 8 x + x + 8$	=	$206$
$x^{2} - 7 x + 8$	=	$206$

x^{2} - 7 x + 8

=

206

|

- 206

$x^{2} - 7 x - 198$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 198)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 792}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{841}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{841}}{2}$ = $\frac{7+29}{2}$ = $\frac{36}{2}$ = $18$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{841}}{2}$ = $\frac{7-29}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 198)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $198$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{792}{4}$ = $\frac{841}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{841}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{29}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{29}{2}$ = $\frac{36}{2}$ = 18

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 11$ ; $18$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x + 1}{2 x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{7 x + 1}{2 x} - 4$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{7 x + 1}{2 x} \cdot 2 x - 4 \cdot 2 x$	=
$7 x + 1 - 8 x$	=
$- x + 1$	=

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{14}{x} - \frac{49}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{14}{x} - \frac{49}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{14}{x} \cdot x^{2} - \frac{49}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$14 x - 49$

x^{2}

=

14 x - 49

|

- 14 x

+ 49

$x^{2} - 14 x + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{14}{2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 49$ = $49$ $-$ $49$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $7$ ± 0 = $7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5}{x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{5}{x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $x$ )
$\frac{5}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 4 \cdot x$
$5$	=	$x \cdot x + 4 x$

5

=

x^{2} + 4 x

|

- x^{2}

- 4 x

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4+6}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4-6}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{3 x + 9} + \frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{14 x + 2}{- 9 x - 27}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{5}{2}$ }

$\frac{14 x + 2}{- 9 x - 27} + \frac{2 x + 2}{3 x + 9} + \frac{3 x}{2 x + 5}$	=	0
$\frac{14 x + 2}{- 9 (x + 3)} + \frac{2 x + 2}{3 (x + 3)} + \frac{3 x}{2 x + 5}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $9 (x + 3)$ weg!

$\frac{14 x + 2}{- 9 (x + 3)} + \frac{2 x + 2}{3 (x + 3)} + \frac{3 x}{2 x + 5}$	=	\|⋅( $9 (x + 3)$ )
$\frac{14 x + 2}{- 9 (x + 3)} \cdot (9 (x + 3)) + \frac{2 x + 2}{3 (x + 3)} \cdot (9 (x + 3)) + \frac{3 x}{2 x + 5} \cdot (9 (x + 3))$	=
$- 14 x - 2 + 6 x + 6 + 9 \frac{3 x (x + 3)}{2 x + 5}$	=
$- 14 x - 2 + 6 x + 6 + \frac{9 (3 x^{2} + 9 x)}{2 x + 5}$	=
$\frac{9 (3 x^{2} + 9 x)}{2 x + 5} - 14 x + 6 x - 2 + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{9 (3 x^{2} + 9 x)}{2 x + 5} - 14 x + 6 x - 2 + 6$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{9 (3 x^{2} + 9 x)}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) - 14 x \cdot (2 x + 5) + 6 x \cdot (2 x + 5) - 2 \cdot (2 x + 5) + 6 \cdot (2 x + 5)$	=
$27 x^{2} + 81 x - 14 x (2 x + 5) + 6 x (2 x + 5) - 4 x - 10 + 12 x + 30$	=
$27 x^{2} + 81 x + (- 28 x^{2} - 70 x) + (12 x^{2} + 30 x) - 4 x - 10 + 12 x + 30$	=
$11 x^{2} + 49 x + 20$	=

$11 x^{2} + 49 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{49^{2} - 4 \cdot 11 \cdot 20}}{2 \cdot 11}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{2 401 - 880}}{22}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{1 521}}{22}$

x₁ = $\frac{- 49 + \sqrt{1 521}}{22}$ = $\frac{- 49+39}{22}$ = $\frac{- 10}{22}$ = $- \frac{5}{11}$ ≈ -0.45

x₂ = $\frac{- 49 - \sqrt{1 521}}{22}$ = $\frac{- 49-39}{22}$ = $\frac{- 88}{22}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $11$ " teilen:

$11 x^{2} + 49 x + 20$ = 0 |: $11$

$x^{2} + \frac{49}{11} x + \frac{20}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{49}{22})}^{2} - (\frac{20}{11})$ = $\frac{2401}{484}$ $-$ $\frac{20}{11}$ = $\frac{2401}{484}$ $-$ $\frac{880}{484}$ = $\frac{1521}{484}$

x_1,2 = $- \frac{49}{22}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{484}}$

x₁ = $- \frac{49}{22}$ - $\frac{39}{22}$ = $- \frac{88}{22}$ = -4

x₂ = $- \frac{49}{22}$ + $\frac{39}{22}$ = $- \frac{10}{22}$ = -0.45454545454545

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{5}{11}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{10}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{10}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{10}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{10}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 10 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 10 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 5)$ = -10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 5)$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

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Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):