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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4}{x + 5}$ = $- 2$

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{4}{x + 5}$	=	$- 2$	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{4}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$- 2 \cdot (x + 5)$
$- 4$	=	$- 2 (x + 5)$

$- 4$	=	$- 2 x - 10$	\| $+ 4$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5 x}{x + 4} - \frac{160}{2 x + 8}$ = $- 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

\frac{5 x}{x + 4} - \frac{160}{2 (x + 4)}

=

- 5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{5 x}{x + 4} - \frac{160}{2 (x + 4)}$	=	$- 5$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{5 x}{x + 4} \cdot (x + 4) + \frac{- 160}{2 (x + 4)} \cdot (x + 4)$	=	$- 5 \cdot (x + 4)$
$5 x - 80$	=	$- 5 (x + 4)$

$5 x - 80$	=	$- 5 x - 20$	\| $+ 80$
$5 x$	=	$- 5 x + 60$	\| $+ 5 x$
$10 x$	=	$60$	\|: $10$
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{12 x}{x + 3} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{1}{3}$ }

\frac{12 x}{x + 3} + \frac{8 x}{3 x + 1} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{8 x}{3 x + 1} - 5$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{12 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{8 x}{3 x + 1} \cdot (x + 3) - 5 \cdot (x + 3)$	=
$12 x + \frac{8 x \cdot (x + 3)}{3 x + 1} - 5 x - 15$	=
$12 x + \frac{8 x^{2} + 24 x}{3 x + 1} - 5 x - 15$	=
$\frac{8 x^{2} + 24 x}{3 x + 1} + 12 x - 5 x - 15$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 24 x}{3 x + 1} + 12 x - 5 x - 15$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{8 x^{2} + 24 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 12 x \cdot (3 x + 1) - 5 x \cdot (3 x + 1) - 15 \cdot (3 x + 1)$	=
$8 x^{2} + 24 x + 12 x \cdot (3 x + 1) - 5 x \cdot (3 x + 1) - 45 x - 15$	=
$8 x^{2} + 24 x + (36 x^{2} + 12 x) + (- 15 x^{2} - 5 x) - 45 x - 15$	=
$29 x^{2} - 14 x - 15$	=

$29 x^{2} - 14 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 29 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 29}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 + 1 740}}{58}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{1 936}}{58}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{1 936}}{58}$ = $\frac{14+44}{58}$ = $\frac{58}{58}$ = $1$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{1 936}}{58}$ = $\frac{14-44}{58}$ = $\frac{- 30}{58}$ = $- \frac{15}{29}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $29$ " teilen:

$29 x^{2} - 14 x - 15$ = 0 |: $29$

$x^{2} - \frac{14}{29} x - \frac{15}{29}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{29})}^{2} - (- \frac{15}{29})$ = $\frac{49}{841}$ $+$ $\frac{15}{29}$ = $\frac{49}{841}$ $+$ $\frac{435}{841}$ = $\frac{484}{841}$

x_1,2 = $\frac{7}{29}$ ± $\sqrt{\frac{484}{841}}$

x₁ = $\frac{7}{29}$ - $\frac{22}{29}$ = $- \frac{15}{29}$ = -0.51724137931034

x₂ = $\frac{7}{29}$ + $\frac{22}{29}$ = $\frac{29}{29}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{15}{29}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{10}{x} + \frac{16}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{10}{x} + \frac{16}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{10}{x} \cdot x^{2} + \frac{16}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$10 x + 16$	=	$- x^{2}$

10 x + 16

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 5$ - $3$ = -8

x₂ = $- 5$ + $3$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 4 x + 10}{3 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 4 x + 10}{3 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 4 x + 10}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 3 \cdot 3 x$
$- 4 x + 10$	=	$3 x \cdot x + 9 x$

- 4 x + 10

=

3 x^{2} + 9 x

|

- 3 x^{2}

- 9 x

$- 3 x^{2} - 13 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 10}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{289}}{- 6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{13+17}{- 6}$ = $\frac{30}{- 6}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{13-17}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 13 x + 10$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{13}{3} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{6})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{289}{36}$

x_1,2 = $- \frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{289}{36}}$

x₁ = $- \frac{13}{6}$ - $\frac{17}{6}$ = $- \frac{30}{6}$ = -5

x₂ = $- \frac{13}{6}$ + $\frac{17}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 3} + \frac{3 x + 1}{2 x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

\frac{4 x}{x + 3} + \frac{3 x + 1}{2 x} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{4 x}{x + 3} + \frac{3 x + 1}{2 x} - 3$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{4 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{3 x + 1}{2 x} \cdot (x + 3) - 3 \cdot (x + 3)$	=
$4 x + \frac{(3 x + 1) \cdot (x + 3)}{2 x} - 3 x - 9$	=
$4 x + \frac{3 x^{2} + 10 x + 3}{2 x} - 3 x - 9$	=
$\frac{3 x^{2} + 10 x + 3}{2 x} + 4 x - 3 x - 9$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 10 x + 3}{2 x} + 4 x - 3 x - 9$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x^{2} + 10 x + 3}{2 x} \cdot 2 x + 4 x \cdot 2 x - 3 x \cdot 2 x - 9 \cdot 2 x$	=
$3 x^{2} + 10 x + 3 + 8 x \cdot x - 6 x \cdot x - 18 x$	=
$3 x^{2} + 10 x + 3 + 8 x^{2} - 6 x^{2} - 18 x$	=
$5 x^{2} - 8 x + 3$	=

$5 x^{2} - 8 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{10}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{10}$ = $\frac{8+2}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{10}$ = $\frac{8-2}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = $0,6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 8 x + 3$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{8}{5} x + \frac{3}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{5})}^{2} - (\frac{3}{5})$ = $\frac{16}{25}$ $-$ $\frac{3}{5}$ = $\frac{16}{25}$ $-$ $\frac{15}{25}$ = $\frac{1}{25}$

x_1,2 = $\frac{4}{5}$ ± $\sqrt{\frac{1}{25}}$

x₁ = $\frac{4}{5}$ - $\frac{1}{5}$ = $\frac{3}{5}$ = 0.6

x₂ = $\frac{4}{5}$ + $\frac{1}{5}$ = $\frac{5}{5}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,6$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{12}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{12}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{12}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{12}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 12 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 12 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

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Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):