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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7 x}{2 x - 2} - \frac{2}{2 x - 2}$ = $- 5$

D=R\{ $1$ }

- \frac{7 x}{2 (x - 1)} - \frac{2}{2 (x - 1)}

=

- 5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$- \frac{7 x}{2 (x - 1)} - \frac{2}{2 (x - 1)}$	=	$- 5$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$- \frac{7 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) - \frac{2}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1))$	=	$- 5 \cdot (2 (x - 1))$
$- 7 x - 2$	=	$- 10 (x - 1)$

$- 7 x - 2$	=	$- 10 x + 10$	\| $+ 2$
$- 7 x$	=	$- 10 x + 12$	\| $+ 10 x$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7 x}{2 x + 3} + \frac{12}{6 x + 9}$ = $- 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ }

\frac{7 x}{2 x + 3} + \frac{12}{3 (2 x + 3)}

=

- 3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{7 x}{2 x + 3} + \frac{12}{3 (2 x + 3)}$	=	$- 3$	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{7 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{12}{3 (2 x + 3)} \cdot (2 x + 3)$	=	$- 3 \cdot (2 x + 3)$
$7 x + 4$	=	$- 3 (2 x + 3)$

$7 x + 4$	=	$- 6 x - 9$	\| $- 4$
$7 x$	=	$- 6 x - 13$	\| $+ 6 x$
$13 x$	=	$- 13$	\|: $13$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 8}$ = $- \frac{18,5}{2 x - 4} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{4 x - 8}$	=	$- \frac{18,5}{2 x - 4} + 3 x$
$\frac{x}{4 (x - 2)}$	=	$- \frac{18,5}{2 (x - 2)} + 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 2)}$	=	$- \frac{18,5}{2 (x - 2)} + 3 x$	\|⋅( $4 (x - 2)$ )
$\frac{x}{4 (x - 2)} \cdot (4 (x - 2))$	=	$\frac{- 18,5}{2 (x - 2)} \cdot (4 (x - 2)) + 3 x \cdot (4 (x - 2))$
$x$	=	$- 37 + 12 x \cdot (x - 2)$
$x$	=	$12 x^{2} - 24 x - 37$

x

=

12 x^{2} - 24 x - 37

|

- 12 x^{2}

+ 24 x

+ 37

$- 12 x^{2} + 25 x + 37$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 37}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 1 776}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{2 401}}{- 24}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{2 401}}{- 24}$ = $\frac{- 25+49}{- 24}$ = $\frac{24}{- 24}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{2 401}}{- 24}$ = $\frac{- 25-49}{- 24}$ = $\frac{- 74}{- 24}$ = $\frac{37}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} + 25 x + 37$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} - \frac{25}{12} x - \frac{37}{12}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{24})}^{2} - (- \frac{37}{12})$ = $\frac{625}{576}$ $+$ $\frac{37}{12}$ = $\frac{625}{576}$ $+$ $\frac{1776}{576}$ = $\frac{2401}{576}$

x_1,2 = $\frac{25}{24}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{576}}$

x₁ = $\frac{25}{24}$ - $\frac{49}{24}$ = $- \frac{24}{24}$ = -1

x₂ = $\frac{25}{24}$ + $\frac{49}{24}$ = $\frac{74}{24}$ = 3.0833333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{37}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{9}{x}$ = $- \frac{18}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{9}{x}$	=	$- \frac{18}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{9}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{18}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 9 x$	=	$- 18$

x^{2} - 9 x

=

- 18

|

+ 18

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $\frac{7 x + 2}{x + 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$2 x$	=	$\frac{7 x + 2}{x + 5}$	\|⋅( $x + 5$ )
$2 x \cdot (x + 5)$	=	$\frac{7 x + 2}{x + 5} \cdot (x + 5)$
$2 x \cdot (x + 5)$	=	$7 x + 2$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot 5$	=	$7 x + 2$
$2 x \cdot x + 10 x$	=	$7 x + 2$
$2 x^{2} + 10 x$	=	$7 x + 2$

2 x^{2} + 10 x

=

7 x + 2

|

- 7 x

- 2

$2 x^{2} + 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 3+5}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 3-5}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 3 x - 2$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $1$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x - 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{8 x}{x - 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{8 x}{x - 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 8$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{8 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{7 x - 1}{2 x} \cdot (x - 1) - 8 \cdot (x - 1)$	=
$8 x + \frac{(7 x - 1) \cdot (x - 1)}{2 x} - 8 x + 8$	=
$8 x + \frac{7 x^{2} - 8 x + 1}{2 x} - 8 x + 8$	=
$\frac{7 x^{2} - 8 x + 1}{2 x} + 8 x - 8 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{7 x^{2} - 8 x + 1}{2 x} + 8 x - 8 x + 8$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{7 x^{2} - 8 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + 8 x \cdot 2 x - 8 x \cdot 2 x + 8 \cdot 2 x$	=
$7 x^{2} - 8 x + 1 + 16 x \cdot x - 16 x \cdot x + 16 x$	=
$7 x^{2} - 8 x + 1 + 16 x^{2} - 16 x^{2} + 16 x$	=
$7 x^{2} + 8 x + 1$	=

$7 x^{2} + 8 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{14}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{14}$ = $\frac{- 8+6}{14}$ = $\frac{- 2}{14}$ = $- \frac{1}{7}$ ≈ -0.14

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{14}$ = $\frac{- 8-6}{14}$ = $\frac{- 14}{14}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} + 8 x + 1$ = 0 |: $7$

$x^{2} + \frac{8}{7} x + \frac{1}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{7})}^{2} - (\frac{1}{7})$ = $\frac{16}{49}$ $-$ $\frac{1}{7}$ = $\frac{16}{49}$ $-$ $\frac{7}{49}$ = $\frac{9}{49}$

x_1,2 = $- \frac{4}{7}$ ± $\sqrt{\frac{9}{49}}$

x₁ = $- \frac{4}{7}$ - $\frac{3}{7}$ = $- \frac{7}{7}$ = -1

x₂ = $- \frac{4}{7}$ + $\frac{3}{7}$ = $- \frac{1}{7}$ = -0.14285714285714

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{7}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{12}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{12}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{12}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 12$	=	$- a x$
$x^{2} - 12 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):