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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{1}{x + 8}$ = $- 1$

D=R\{ $- 8$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 8$ weg!

$\frac{1}{x + 8}$	=	$- 1$	\|⋅( $x + 8$ )
$\frac{1}{x + 8} \cdot (x + 8)$	=	$- 1 \cdot (x + 8)$
$1$	=	$- (x + 8)$

$1$	=	$- x - 8$	\| $- 1$ $+ x$
$x$	=	$- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 3} + \frac{2}{x + 3}$ = $\frac{30}{x^{2} - 9}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $3$ }

\frac{x}{x - 3} + \frac{2}{x + 3}

=

\frac{30}{(x + 3) (x - 3)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 3) (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{x - 3} + \frac{2}{x + 3}$	=	$\frac{30}{(x + 3) (x - 3)}$	\|⋅( $(x + 3) (x - 3)$ )
$\frac{x}{x - 3} \cdot (x + 3) (x - 3) + \frac{2}{x + 3} \cdot (x + 3) (x - 3)$	=	$\frac{30}{(x + 3) (x - 3)} \cdot (x + 3) (x - 3)$
$x (x + 3) + 2 x - 6$	=	$30 \frac{x + 3}{x + 3}$
$x (x + 3) + 2 x - 6$	=	$30$
$x^{2} + 3 x + 2 x - 6$	=	$30$
$x^{2} + 5 x - 6$	=	$30$

x^{2} + 5 x - 6

=

30

|

- 30

$x^{2} + 5 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5+13}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5-13}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $36$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{3 x - 9} + \frac{2 x + 1}{2 x - 5} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ ; $3$ }

$\frac{2 x + 1}{2 x - 5} + \frac{2 x + 1}{3 x - 9} - 6$	=	0
$\frac{2 x + 1}{2 x - 5} + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{2 x + 1}{2 x - 5} + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} - 6$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{2 x + 1}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} \cdot (2 x - 5) - 6 \cdot (2 x - 5)$	=
$2 x + 1 + \frac{(2 x + 1) (2 x - 5)}{3 (x - 3)} - 12 x + 30$	=
$2 x + 1 + \frac{4 x^{2} - 8 x - 5}{3 (x - 3)} - 12 x + 30$	=
$\frac{4 x^{2} - 8 x - 5}{3 (x - 3)} + 2 x - 12 x + 1 + 30$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 5}{3 (x - 3)} + 2 x - 12 x + 1 + 30$	=	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{4 x^{2} - 8 x - 5}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + 2 x \cdot (3 (x - 3)) - 12 x \cdot (3 (x - 3)) + 1 \cdot (3 (x - 3)) + 30 \cdot (3 (x - 3))$	=
$4 x^{2} - 8 x - 5 + 6 x (x - 3) - 36 x (x - 3) + 3 x - 9 + 90 x - 270$	=
$4 x^{2} - 8 x - 5 + (6 x^{2} - 18 x) + (- 36 x^{2} + 108 x) + 3 x - 9 + 90 x - 270$	=
$- 26 x^{2} + 175 x - 284$	=

$- 26 x^{2} + 175 x - 284$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 175 \pm \sqrt{175^{2} - 4 \cdot (- 26) \cdot (- 284)}}{2 \cdot (- 26)}$

x_1,2 = $\frac{- 175 \pm \sqrt{30 625 - 29 536}}{- 52}$

x_1,2 = $\frac{- 175 \pm \sqrt{1 089}}{- 52}$

x₁ = $\frac{- 175 + \sqrt{1 089}}{- 52}$ = $\frac{- 175+33}{- 52}$ = $\frac{- 142}{- 52}$ = $\frac{71}{26}$ ≈ 2.73

x₂ = $\frac{- 175 - \sqrt{1 089}}{- 52}$ = $\frac{- 175-33}{- 52}$ = $\frac{- 208}{- 52}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 26$ " teilen:

$- 26 x^{2} + 175 x - 284$ = 0 |: $- 26$

$x^{2} - \frac{175}{26} x + \frac{142}{13}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{175}{52})}^{2} - (\frac{142}{13})$ = $\frac{30625}{2704}$ $-$ $\frac{142}{13}$ = $\frac{30625}{2704}$ $-$ $\frac{29536}{2704}$ = $\frac{1089}{2704}$

x_1,2 = $\frac{175}{52}$ ± $\sqrt{\frac{1089}{2704}}$

x₁ = $\frac{175}{52}$ - $\frac{33}{52}$ = $\frac{142}{52}$ = 2.7307692307692

x₂ = $\frac{175}{52}$ + $\frac{33}{52}$ = $\frac{208}{52}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{71}{26}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 15 x + 50}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{- 15 x + 50}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{- 15 x + 50}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 15 x + 50$	=	$- x^{2}$

- 15 x + 50

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 15 x + 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 50}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{15+5}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{15-5}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - 50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 + \frac{18}{x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$2 + \frac{18}{x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $x$ )
$2 \cdot x + \frac{18}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 1 \cdot x$
$2 x + 18$	=	$x \cdot x - x$

2 x + 18

=

x^{2} - x

|

- x^{2}

+ x

$- x^{2} + 3 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 18}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 3+9}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 3-9}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 2} + \frac{8 x}{3 x + 2} + \frac{- 15 x}{6 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; $- 1$ }

$\frac{8 x}{3 x + 2} + \frac{x}{2 x + 2} - \frac{15 x}{6 x + 6}$	=	0
$\frac{8 x}{3 x + 2} + \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{15 x}{6 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{8 x}{3 x + 2} + \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{15 x}{6 (x + 1)}$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{8 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (3 x + 2) - \frac{15 x}{6 (x + 1)} \cdot (3 x + 2)$	=
$8 x + \frac{x (3 x + 2)}{2 (x + 1)} - \frac{5 x (3 x + 2)}{2 (x + 1)}$	=
$8 x + \frac{3 x^{2} + 2 x}{2 (x + 1)} - \frac{15 x^{2} + 10 x}{2 (x + 1)}$	=
$\frac{3 x^{2} + 2 x - 15 x^{2} - 10 x}{2 (x + 1)} + 8 x$	=

\frac{3 x^{2} - 15 x^{2} + 2 x - 10 x}{2 (x + 1)} + 8 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 15 x^{2} + 2 x - 10 x}{2 (x + 1)} + 8 x$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{3 x^{2} - 15 x^{2} + 2 x - 10 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + 8 x \cdot (2 (x + 1))$	=
$3 x^{2} - 15 x^{2} + 2 x - 10 x + 16 x (x + 1)$	=
$3 x^{2} - 15 x^{2} + 2 x - 10 x + (16 x^{2} + 16 x)$	=
$4 x^{2} + 8 x$	=

$4 x^{2} + 8 x$	=	0
$4 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{30}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{30}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{30}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{30}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$30 + x^{2}$	=	$- a x$
$30 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 15)$ = $- 17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 17 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17+13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17-13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = 15

L={ $2$ ; $15$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):