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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3 x - 3}{x + 3}$ = $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{3 x - 3}{x + 3}$	=	$- 3$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{3 x - 3}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$- 3 \cdot (x + 3)$
$3 x - 3$	=	$- 3 (x + 3)$

$3 x - 3$	=	$- 3 x - 9$	\| $+ 3$
$3 x$	=	$- 3 x - 6$	\| $+ 3 x$
$6 x$	=	$- 6$	\|: $6$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4 x}{x + 5} - \frac{28}{2 x + 10}$ = $- 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

- \frac{4 x}{x + 5} - \frac{28}{2 (x + 5)}

=

- 2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{4 x}{x + 5} - \frac{28}{2 (x + 5)}$	=	$- 2$	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{4 x}{x + 5} \cdot (x + 5) + \frac{- 28}{2 (x + 5)} \cdot (x + 5)$	=	$- 2 \cdot (x + 5)$
$- 4 x - 14$	=	$- 2 (x + 5)$

$- 4 x - 14$	=	$- 2 x - 10$	\| $+ 14$
$- 4 x$	=	$- 2 x + 4$	\| $+ 2 x$
$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 62,25}{x - 4}$ = $- \frac{x}{4 x - 16} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

- \frac{62,25}{x - 4}

=

- \frac{x}{4 (x - 4)} - 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 4)$ weg!

$- \frac{62,25}{x - 4}$	=	$- \frac{x}{4 (x - 4)} - 3 x$	\|⋅( $4 (x - 4)$ )
$- \frac{62,25}{x - 4} \cdot (4 (x - 4))$	=	$- \frac{x}{4 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4)) - 3 x \cdot (4 (x - 4))$
$- 249$	=	$- x - 12 x \cdot (x - 4)$
$- 249$	=	$- 12 x^{2} + 47 x$

- 249

=

- 12 x^{2} + 47 x

|

+ 12 x^{2}

- 47 x

$12 x^{2} - 47 x - 249$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 249)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 + 11 952}}{24}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{14 161}}{24}$

x₁ = $\frac{47 + \sqrt{14 161}}{24}$ = $\frac{47+119}{24}$ = $\frac{166}{24}$ = $\frac{83}{12}$ ≈ 6.92

x₂ = $\frac{47 - \sqrt{14 161}}{24}$ = $\frac{47-119}{24}$ = $\frac{- 72}{24}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} - 47 x - 249$ = 0 |: $12$

$x^{2} - \frac{47}{12} x - \frac{83}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{47}{24})}^{2} - (- \frac{83}{4})$ = $\frac{2209}{576}$ $+$ $\frac{83}{4}$ = $\frac{2209}{576}$ $+$ $\frac{11952}{576}$ = $\frac{14161}{576}$

x_1,2 = $\frac{47}{24}$ ± $\sqrt{\frac{14161}{576}}$

x₁ = $\frac{47}{24}$ - $\frac{119}{24}$ = $- \frac{72}{24}$ = -3

x₂ = $\frac{47}{24}$ + $\frac{119}{24}$ = $\frac{166}{24}$ = 6.9166666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{83}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{14}{x^{2}}$ = $- \frac{5}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{14}{x^{2}}$	=	$- \frac{5}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{14}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{5}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 14$	=	$- 5 x$

x^{2} - 14

=

- 5 x

|

+ 5 x

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{41 x + 18}{4 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{41 x + 18}{4 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{41 x + 18}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 5 \cdot 4 x$
$41 x + 18$	=	$4 x \cdot x + 20 x$

41 x + 18

=

4 x^{2} + 20 x

|

- 4 x^{2}

- 20 x

$- 4 x^{2} + 21 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 18}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 288}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{729}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{729}}{- 8}$ = $\frac{- 21+27}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{729}}{- 8}$ = $\frac{- 21-27}{- 8}$ = $\frac{- 48}{- 8}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 21 x + 18$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{21}{4} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{8})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{441}{64}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{441}{64}$ $+$ $\frac{288}{64}$ = $\frac{729}{64}$

x_1,2 = $\frac{21}{8}$ ± $\sqrt{\frac{729}{64}}$

x₁ = $\frac{21}{8}$ - $\frac{27}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{21}{8}$ + $\frac{27}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{3 x + 9} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

\frac{2 x + 2}{3 (x + 3)} - 2

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$\frac{2 x + 2}{3 (x + 3)} - 2$	=	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$\frac{2 x + 2}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) - 2 \cdot (3 (x + 3))$	=
$2 x + 2 - 6 x - 18$	=
$- 4 x - 16$	=

$- 4 x - 16$	=	0	\| $+ 16$
$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{24}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{24}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{24}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{24}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$24$
$a x + x^{2} - 24$	=	0
$x^{2} + a x - 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 12)$ = -24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 12)$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):