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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{18}{x - 3}$ = $- 3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{18}{x - 3}$	=	$- 3$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{18}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$- 3 \cdot (x - 3)$
$18$	=	$- 3 (x - 3)$

$18$	=	$- 3 x + 9$	\| $- 18$ $+ 3 x$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 8} - \frac{9}{x - 8}$ = $\frac{162}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x + 8} - \frac{9}{x - 8}

=

\frac{162}{(x + 8) \cdot (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) \cdot (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x + 8} - \frac{9}{x - 8}$	=	$\frac{162}{(x + 8) \cdot (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) \cdot (x - 8)$ )
$\frac{x}{x + 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8) - \frac{9}{x - 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$	=	$\frac{162}{(x + 8) \cdot (x - 8)} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$
$x \cdot (x - 8) - 9 x - 72$	=	$162 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x \cdot (x - 8) - 9 x - 72$	=	$162$
$x^{2} - 8 x - 9 x - 72$	=	$162$
$x^{2} - 17 x - 72$	=	$162$

x^{2} - 17 x - 72

=

162

|

- 162

$x^{2} - 17 x - 234$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 234)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 936}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{1 225}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{1 225}}{2}$ = $\frac{17+35}{2}$ = $\frac{52}{2}$ = $26$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{1 225}}{2}$ = $\frac{17-35}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - (- 234)$ = $\frac{289}{4}$ $+$ $234$ = $\frac{289}{4}$ $+$ $\frac{936}{4}$ = $\frac{1225}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{35}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{35}{2}$ = $\frac{52}{2}$ = 26

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $26$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 4} + \frac{2 x - 2}{3 x - 9} + \frac{- 11 x - 1}{9 x - 27}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $2$ }

$\frac{- 11 x - 1}{9 x - 27} + \frac{2 x - 2}{3 x - 9} + \frac{3 x}{2 x - 4}$	=	0
$\frac{- 11 x - 1}{9 (x - 3)} + \frac{2 x - 2}{3 (x - 3)} + \frac{3 x}{2 (x - 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $9 (x - 3)$ weg!

$\frac{- 11 x - 1}{9 (x - 3)} + \frac{2 x - 2}{3 (x - 3)} + \frac{3 x}{2 (x - 2)}$	=	\|⋅( $9 (x - 3)$ )
$\frac{- 11 x - 1}{9 (x - 3)} \cdot (9 (x - 3)) + \frac{2 x - 2}{3 (x - 3)} \cdot (9 (x - 3)) + \frac{3 x}{2 (x - 2)} \cdot (9 (x - 3))$	=
$- 11 x - 1 + 6 x - 6 + 9 \frac{3 x \cdot (x - 3)}{2 (x - 2)}$	=
$- 11 x - 1 + 6 x - 6 + \frac{9 (3 x^{2} - 9 x)}{2 (x - 2)}$	=
$\frac{9 (3 x^{2} - 9 x)}{2 (x - 2)} - 11 x + 6 x - 1 - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{9 (3 x^{2} - 9 x)}{2 (x - 2)} - 11 x + 6 x - 1 - 6$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{9 (3 x^{2} - 9 x)}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) - 11 x \cdot (2 (x - 2)) + 6 x \cdot (2 (x - 2)) - 1 \cdot (2 (x - 2)) - 6 \cdot (2 (x - 2))$	=
$27 x^{2} - 81 x - 22 x \cdot (x - 2) + 12 x \cdot (x - 2) - 2 x + 4 - 12 x + 24$	=
$27 x^{2} - 81 x + (- 22 x^{2} + 44 x) + (12 x^{2} - 24 x) - 2 x + 4 - 12 x + 24$	=
$17 x^{2} - 75 x + 28$	=

$17 x^{2} - 75 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 75 \pm \sqrt{{(- 75)}^{2} - 4 \cdot 17 \cdot 28}}{2 \cdot 17}$

x_1,2 = $\frac{+ 75 \pm \sqrt{5 625 - 1 904}}{34}$

x_1,2 = $\frac{+ 75 \pm \sqrt{3 721}}{34}$

x₁ = $\frac{75 + \sqrt{3 721}}{34}$ = $\frac{75+61}{34}$ = $\frac{136}{34}$ = $4$

x₂ = $\frac{75 - \sqrt{3 721}}{34}$ = $\frac{75-61}{34}$ = $\frac{14}{34}$ = $\frac{7}{17}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $17$ " teilen:

$17 x^{2} - 75 x + 28$ = 0 |: $17$

$x^{2} - \frac{75}{17} x + \frac{28}{17}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{75}{34})}^{2} - (\frac{28}{17})$ = $\frac{5625}{1156}$ $-$ $\frac{28}{17}$ = $\frac{5625}{1156}$ $-$ $\frac{1904}{1156}$ = $\frac{3721}{1156}$

x_1,2 = $\frac{75}{34}$ ± $\sqrt{\frac{3721}{1156}}$

x₁ = $\frac{75}{34}$ - $\frac{61}{34}$ = $\frac{14}{34}$ = 0.41176470588235

x₂ = $\frac{75}{34}$ + $\frac{61}{34}$ = $\frac{136}{34}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{7}{17}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 3 x - 54}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{- 3 x - 54}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{- 3 x - 54}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 3 x - 54$	=	$- x^{2}$

- 3 x - 54

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 3 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3+15}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3-15}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 54)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $54$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 + \frac{9}{x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 4 + \frac{9}{x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $x$ )
$- 4 \cdot x + \frac{9}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 4 \cdot x$
$- 4 x + 9$	=	$x \cdot x - 4 x$

$- 4 x + 9$	=	$x^{2} - 4 x$	\| $- 9$ $- x^{2}$ $+ 4 x$
$- x^{2}$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{3 x + 9} + \frac{2 x}{x + 2} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 3$ }

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{3 x + 9} - 7$	=	0
$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} - 7$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} \cdot (x + 2) - 7 \cdot (x + 2)$	=
$2 x + \frac{(2 x - 1) \cdot (x + 2)}{3 (x + 3)} - 7 x - 14$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{3 (x + 3)} - 7 x - 14$	=
$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{3 (x + 3)} + 2 x - 7 x - 14$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{3 (x + 3)} + 2 x - 7 x - 14$	=	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) + 2 x \cdot (3 (x + 3)) - 7 x \cdot (3 (x + 3)) - 14 \cdot (3 (x + 3))$	=
$2 x^{2} + 3 x - 2 + 6 x \cdot (x + 3) - 21 x \cdot (x + 3) - 42 x - 126$	=
$2 x^{2} + 3 x - 2 + (6 x^{2} + 18 x) + (- 21 x^{2} - 63 x) - 42 x - 126$	=
$- 13 x^{2} - 84 x - 128$	=

$- 13 x^{2} - 84 x - 128$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 84 \pm \sqrt{{(- 84)}^{2} - 4 \cdot (- 13) \cdot (- 128)}}{2 \cdot (- 13)}$

x_1,2 = $\frac{+ 84 \pm \sqrt{7 056 - 6 656}}{- 26}$

x_1,2 = $\frac{+ 84 \pm \sqrt{400}}{- 26}$

x₁ = $\frac{84 + \sqrt{400}}{- 26}$ = $\frac{84+20}{- 26}$ = $\frac{104}{- 26}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{84 - \sqrt{400}}{- 26}$ = $\frac{84-20}{- 26}$ = $\frac{64}{- 26}$ = $- \frac{32}{13}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 13$ " teilen:

$- 13 x^{2} - 84 x - 128$ = 0 |: $- 13$

$x^{2} + \frac{84}{13} x + \frac{128}{13}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{42}{13})}^{2} - (\frac{128}{13})$ = $\frac{1764}{169}$ $-$ $\frac{128}{13}$ = $\frac{1764}{169}$ $-$ $\frac{1664}{169}$ = $\frac{100}{169}$

x_1,2 = $- \frac{42}{13}$ ± $\sqrt{\frac{100}{169}}$

x₁ = $- \frac{42}{13}$ - $\frac{10}{13}$ = $- \frac{52}{13}$ = -4

x₂ = $- \frac{42}{13}$ + $\frac{10}{13}$ = $- \frac{32}{13}$ = -2.4615384615385

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{32}{13}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{24}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{24}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{24}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{24}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 24$	=	$- a x$
$x^{2} + 24 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 12$ = 24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 12)$ = $- 14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 14 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14+10}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14-10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 24$ = $49$ $-$ $24$ = $25$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $7$ - $5$ = 2

x₂ = $7$ + $5$ = 12

L={ $2$ ; $12$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):