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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9 x}{2 x + 1} - \frac{38}{2 x + 1}$ = $- 4$

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{9 x}{2 x + 1} - \frac{38}{2 x + 1}$	=	$- 4$	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{9 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) - \frac{38}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1)$	=	$- 4 \cdot (2 x + 1)$
$9 x - 38$	=	$- 4 (2 x + 1)$

$9 x - 38$	=	$- 8 x - 4$	\| $+ 38$
$9 x$	=	$- 8 x + 34$	\| $+ 8 x$
$17 x$	=	$34$	\|: $17$
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 2} - \frac{5}{x - 2}$ = $\frac{50}{x^{2} - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $2$ }

\frac{x}{x + 2} - \frac{5}{x - 2}

=

\frac{50}{(x + 2) \cdot (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 2) \cdot (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{x + 2} - \frac{5}{x - 2}$	=	$\frac{50}{(x + 2) \cdot (x - 2)}$	\|⋅( $(x + 2) \cdot (x - 2)$ )
$\frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) - \frac{5}{x - 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$	=	$\frac{50}{(x + 2) \cdot (x - 2)} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$
$x \cdot (x - 2) - 5 x - 10$	=	$50 \frac{x + 2}{x + 2}$
$x \cdot (x - 2) - 5 x - 10$	=	$50$
$x^{2} - 2 x - 5 x - 10$	=	$50$
$x^{2} - 7 x - 10$	=	$50$

x^{2} - 7 x - 10

=

50

|

- 50

$x^{2} - 7 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{7+17}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{7-17}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 60)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $60$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{240}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = 12

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $12$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 15} - 2 x$ = $- \frac{35,4}{x + 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

\frac{x}{5 (x + 3)} - 2 x

=

- \frac{35,4}{x + 3}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 3)} - 2 x$	=	$- \frac{35,4}{x + 3}$	\|⋅( $5 (x + 3)$ )
$\frac{x}{5 (x + 3)} \cdot (5 (x + 3)) - 2 x \cdot (5 (x + 3))$	=	$- \frac{35,4}{x + 3} \cdot (5 (x + 3))$
$x - 10 x \cdot (x + 3)$	=	$- 177$
$x + (- 10 x^{2} - 30 x)$	=	$- 177$
$- 10 x^{2} - 29 x$	=	$- 177$

- 10 x^{2} - 29 x

=

- 177

|

+ 177

$- 10 x^{2} - 29 x + 177$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 177}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 + 7 080}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{7 921}}{- 20}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{7 921}}{- 20}$ = $\frac{29+89}{- 20}$ = $\frac{118}{- 20}$ = $- 5,9$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{7 921}}{- 20}$ = $\frac{29-89}{- 20}$ = $\frac{- 60}{- 20}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 29 x + 177$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{29}{10} x - \frac{177}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{20})}^{2} - (- \frac{177}{10})$ = $\frac{841}{400}$ $+$ $\frac{177}{10}$ = $\frac{841}{400}$ $+$ $\frac{7080}{400}$ = $\frac{7921}{400}$

x_1,2 = $- \frac{29}{20}$ ± $\sqrt{\frac{7921}{400}}$

x₁ = $- \frac{29}{20}$ - $\frac{89}{20}$ = $- \frac{118}{20}$ = -5.9

x₂ = $- \frac{29}{20}$ + $\frac{89}{20}$ = $\frac{60}{20}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5,9$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{2}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{48}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} + 2 x - 48$	=

$x^{2} + 2 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 2+14}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 2-14}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 48)$ = $1$ $+$ $48$ = $49$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 1$ - $7$ = -8

x₂ = $- 1$ + $7$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 4$ = $\frac{- 13 x - 8}{3 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x + 4$	=	$\frac{- 13 x - 8}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x + 4 \cdot 3 x$	=	$\frac{- 13 x - 8}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x + 12 x$	=	$- 13 x - 8$
$3 x^{2} + 12 x$	=	$- 13 x - 8$

3 x^{2} + 12 x

=

- 13 x - 8

|

+ 13 x

+ 8

$3 x^{2} + 25 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{- 25+23}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{- 25-23}{6}$ = $\frac{- 48}{6}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 25 x + 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{25}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{6})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{625}{36}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{625}{36}$ $-$ $\frac{96}{36}$ = $\frac{529}{36}$

x_1,2 = $- \frac{25}{6}$ ± $\sqrt{\frac{529}{36}}$

x₁ = $- \frac{25}{6}$ - $\frac{23}{6}$ = $- \frac{48}{6}$ = -8

x₂ = $- \frac{25}{6}$ + $\frac{23}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{3 x - 7} + \frac{3 x - 1}{x + 1} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $\frac{7}{3}$ }

\frac{3 x - 1}{x + 1} + \frac{x - 1}{3 x - 7} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x - 1}{x + 1} + \frac{x - 1}{3 x - 7} - 3$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x - 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{x - 1}{3 x - 7} \cdot (x + 1) - 3 \cdot (x + 1)$	=
$3 x - 1 + \frac{(x - 1) \cdot (x + 1)}{3 x - 7} - 3 x - 3$	=
$3 x - 1 + \frac{x^{2} - 1}{3 x - 7} - 3 x - 3$	=
$\frac{x^{2} - 1}{3 x - 7} + 3 x - 3 x - 1 - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{x^{2} - 1}{3 x - 7} + 3 x - 3 x - 1 - 3$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{x^{2} - 1}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + 3 x \cdot (3 x - 7) - 3 x \cdot (3 x - 7) - 1 \cdot (3 x - 7) - 3 \cdot (3 x - 7)$	=
$x^{2} - 1 + 3 x \cdot (3 x - 7) - 3 x \cdot (3 x - 7) - 3 x + 7 - 9 x + 21$	=
$x^{2} - 1 + (9 x^{2} - 21 x) + (- 9 x^{2} + 21 x) - 3 x + 7 - 9 x + 21$	=
$x^{2} - 12 x + 27$	=

$x^{2} - 12 x + 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12+6}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12-6}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 27$ = $36$ $-$ $27$ = $9$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $6$ - $3$ = 3

x₂ = $6$ + $3$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 8$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 8$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 8$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 8 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 8 x$	=	$- a$
$x^{2} + 8 x + a$	=	0
$x^{2} + 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $- (2 - 10)$ = 8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 10)$ = $- 20$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -20 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):