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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4}{x}$ = $- 1$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{4}{x}$	=	$- 1$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{4}{x} \cdot x$	=	$- 1 \cdot x$
$- 4$	=	$- x$

$- 4$	=	$- x$	\| $+ 4$ $+ x$
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{28 x}{3 x - 4} - 3$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{28 x}{3 x - 4} - 3$	=	$- x$	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{28 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) - 3 \cdot (3 x - 4)$	=	$- x \cdot (3 x - 4)$
$28 x - 9 x + 12$	=	$- x (3 x - 4)$
$19 x + 12$	=	$- 3 x^{2} + 4 x$

19 x + 12

=

- 3 x^{2} + 4 x

|

+ 3 x^{2}

- 4 x

3 x^{2} + 15 x + 12

= 0 |:3

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{3 x + 12} - \frac{- 170}{2 x + 8} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

0	=	$- \frac{x}{3 x + 12} + \frac{170}{2 x + 8} - 4 x$
0	=	$- \frac{x}{3 (x + 4)} + \frac{170}{2 (x + 4)} - 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 4)$ weg!

=	$- \frac{x}{3 (x + 4)} + \frac{170}{2 (x + 4)} - 4 x$	\|⋅( $3 (x + 4)$ )
=	$- \frac{x}{3 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4)) + \frac{170}{2 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4)) - 4 x \cdot (3 (x + 4))$
=	$- x + 255 - 12 x (x + 4)$
=	$- 12 x^{2} - 49 x + 255$

0

=

- 12 x^{2} - 49 x + 255

|

+ 12 x^{2}

+ 49 x

- 255

$12 x^{2} + 49 x - 255$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{49^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 255)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{2 401 + 12 240}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{14 641}}{24}$

x₁ = $\frac{- 49 + \sqrt{14 641}}{24}$ = $\frac{- 49+121}{24}$ = $\frac{72}{24}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 49 - \sqrt{14 641}}{24}$ = $\frac{- 49-121}{24}$ = $\frac{- 170}{24}$ = $- \frac{85}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} + 49 x - 255$ = 0 |: $12$

$x^{2} + \frac{49}{12} x - \frac{85}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{49}{24})}^{2} - (- \frac{85}{4})$ = $\frac{2401}{576}$ $+$ $\frac{85}{4}$ = $\frac{2401}{576}$ $+$ $\frac{12240}{576}$ = $\frac{14641}{576}$

x_1,2 = $- \frac{49}{24}$ ± $\sqrt{\frac{14641}{576}}$

x₁ = $- \frac{49}{24}$ - $\frac{121}{24}$ = $- \frac{170}{24}$ = -7.0833333333333

x₂ = $- \frac{49}{24}$ + $\frac{121}{24}$ = $\frac{72}{24}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{85}{12}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $\frac{1}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$\frac{1}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x + 2}{x + 3}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{6 x + 2}{x + 3}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{6 x + 2}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$2 x \cdot (x + 3)$
$6 x + 2$	=	$2 x (x + 3)$
$6 x + 2$	=	$2 x^{2} + 6 x$

$6 x + 2$	=	$2 x^{2} + 6 x$	\| $- 2$ $- 2 x^{2}$ $- 6 x$
$- 2 x^{2}$	=	$- 2$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{3 x - 10} + \frac{3 x}{x - 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{10}{3}$ }

\frac{3 x}{x - 1} + \frac{x - 2}{3 x - 10} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{x - 1} + \frac{x - 2}{3 x - 10} - 5$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{x - 2}{3 x - 10} \cdot (x - 1) - 5 \cdot (x - 1)$	=
$3 x + \frac{(x - 2) (x - 1)}{3 x - 10} - 5 x + 5$	=
$3 x + \frac{x^{2} - 3 x + 2}{3 x - 10} - 5 x + 5$	=
$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{3 x - 10} + 3 x - 5 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{3 x - 10} + 3 x - 5 x + 5$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + 3 x \cdot (3 x - 10) - 5 x \cdot (3 x - 10) + 5 \cdot (3 x - 10)$	=
$x^{2} - 3 x + 2 + 3 x (3 x - 10) - 5 x (3 x - 10) + 15 x - 50$	=
$x^{2} - 3 x + 2 + (9 x^{2} - 30 x) + (- 15 x^{2} + 50 x) + 15 x - 50$	=
$- 5 x^{2} + 32 x - 48$	=

$- 5 x^{2} + 32 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 48)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 960}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 32+8}{- 10}$ = $\frac{- 24}{- 10}$ = $2,4$

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 32-8}{- 10}$ = $\frac{- 40}{- 10}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 32 x - 48$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{32}{5} x + \frac{48}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{16}{5})}^{2} - (\frac{48}{5})$ = $\frac{256}{25}$ $-$ $\frac{48}{5}$ = $\frac{256}{25}$ $-$ $\frac{240}{25}$ = $\frac{16}{25}$

x_1,2 = $\frac{16}{5}$ ± $\sqrt{\frac{16}{25}}$

x₁ = $\frac{16}{5}$ - $\frac{4}{5}$ = $\frac{12}{5}$ = 2.4

x₂ = $\frac{16}{5}$ + $\frac{4}{5}$ = $\frac{20}{5}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2,4$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 1$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 1$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 1$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 1 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - x$	=	$- x^{2}$
$a - x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):