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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2}{x}$ = $- \frac{7}{9}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{2}{x}$	=	$- \frac{7}{9}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{2}{x} \cdot x$	=	$- \frac{7}{9} \cdot x$
$- 2$	=	$- \frac{7}{9} x$

$- 2$	=	$- \frac{7}{9} x$	\|⋅ 9
$- 18$	=	$- 7 x$	\| $+ 18$ $+ 7 x$
$7 x$	=	$18$	\|: $7$
$x$	=	$\frac{18}{7}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{18}{7}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 5} - \frac{4}{x - 5}$ = $\frac{16}{x^{2} - 25}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ ; $5$ }

\frac{x}{x + 5} - \frac{4}{x - 5}

=

\frac{16}{(x + 5) \cdot (x - 5)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 5) \cdot (x - 5)$ weg!

$\frac{x}{x + 5} - \frac{4}{x - 5}$	=	$\frac{16}{(x + 5) \cdot (x - 5)}$	\|⋅( $(x + 5) \cdot (x - 5)$ )
$\frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5) - \frac{4}{x - 5} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)$	=	$\frac{16}{(x + 5) \cdot (x - 5)} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)$
$x \cdot (x - 5) - 4 x - 20$	=	$16 \frac{x + 5}{x + 5}$
$x \cdot (x - 5) - 4 x - 20$	=	$16$
$x^{2} - 5 x - 4 x - 20$	=	$16$
$x^{2} - 9 x - 20$	=	$16$

x^{2} - 9 x - 20

=

16

|

- 16

$x^{2} - 9 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{9+15}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{9-15}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $36$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = 12

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $12$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{6 x}{3 x - 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; $- 3$ }

\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{12 x}{x + 3} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{12 x}{x + 3} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{6 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{12 x}{x + 3} \cdot (3 x - 1) - 6 \cdot (3 x - 1)$	=
$6 x + \frac{12 x \cdot (3 x - 1)}{x + 3} - 18 x + 6$	=
$6 x + \frac{36 x^{2} - 12 x}{x + 3} - 18 x + 6$	=
$\frac{36 x^{2} - 12 x}{x + 3} + 6 x - 18 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{36 x^{2} - 12 x}{x + 3} + 6 x - 18 x + 6$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{36 x^{2} - 12 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + 6 x \cdot (x + 3) - 18 x \cdot (x + 3) + 6 \cdot (x + 3)$	=
$36 x^{2} - 12 x + 6 x \cdot (x + 3) - 18 x \cdot (x + 3) + 6 x + 18$	=
$36 x^{2} - 12 x + (6 x^{2} + 18 x) + (- 18 x^{2} - 54 x) + 6 x + 18$	=
$24 x^{2} - 42 x + 18$	=

24 x^{2} - 42 x + 18

= 0 |:6

$4 x^{2} - 7 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{8}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{7+1}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{7-1}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 7 x + 3$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{7}{4} x + \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{8})}^{2} - (\frac{3}{4})$ = $\frac{49}{64}$ $-$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{49}{64}$ $-$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{1}{64}$

x_1,2 = $\frac{7}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1}{64}}$

x₁ = $\frac{7}{8}$ - $\frac{1}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{7}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{10}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x} - \frac{11}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{10}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x} - \frac{11}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{10}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{11}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$10$	=	$- x^{2} - 11 x$

10

=

- x^{2} - 11 x

|

+ x^{2}

+ 11 x

$x^{2} + 11 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 11+9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 11-9}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 - \frac{3}{x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 8 - \frac{3}{x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $x$ )
$- 8 \cdot x - \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 4 \cdot x$
$- 8 x - 3$	=	$x \cdot x - 4 x$

- 8 x - 3

=

x^{2} - 4 x

|

- x^{2}

+ 4 x

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4+2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4-2}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{3 x}{x - 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- \frac{4}{3}$ }

\frac{3 x}{x - 1} + \frac{3 x}{3 x + 4} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{x - 1} + \frac{3 x}{3 x + 4} - 5$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{3 x}{3 x + 4} \cdot (x - 1) - 5 \cdot (x - 1)$	=
$3 x + \frac{3 x \cdot (x - 1)}{3 x + 4} - 5 x + 5$	=
$3 x + \frac{3 x^{2} - 3 x}{3 x + 4} - 5 x + 5$	=
$\frac{3 x^{2} - 3 x}{3 x + 4} + 3 x - 5 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 3 x}{3 x + 4} + 3 x - 5 x + 5$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{3 x^{2} - 3 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + 3 x \cdot (3 x + 4) - 5 x \cdot (3 x + 4) + 5 \cdot (3 x + 4)$	=
$3 x^{2} - 3 x + 3 x \cdot (3 x + 4) - 5 x \cdot (3 x + 4) + 15 x + 20$	=
$3 x^{2} - 3 x + (9 x^{2} + 12 x) + (- 15 x^{2} - 20 x) + 15 x + 20$	=
$- 3 x^{2} + 4 x + 20$	=

$- 3 x^{2} + 4 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 20}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{256}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{256}}{- 6}$ = $\frac{- 4+16}{- 6}$ = $\frac{12}{- 6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{256}}{- 6}$ = $\frac{- 4-16}{- 6}$ = $\frac{- 20}{- 6}$ = $\frac{10}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 4 x + 20$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{20}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{20}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{20}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{60}{9}$ = $\frac{64}{9}$

x_1,2 = $\frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{64}{9}}$

x₁ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{8}{3}$ = $- \frac{6}{3}$ = -2

x₂ = $\frac{2}{3}$ + $\frac{8}{3}$ = $\frac{10}{3}$ = 3.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{10}{3}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 1$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 1$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 1$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 1 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + x$	=	$- a$
$x^{2} + x + a$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):