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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4}{x + 9}$ = $1$

D=R\{ $- 9$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 9$ weg!

$- \frac{4}{x + 9}$	=	$1$	\|⋅( $x + 9$ )
$- \frac{4}{x + 9} \cdot (x + 9)$	=	$1 \cdot (x + 9)$
$- 4$	=	$x + 9$

$- 4$	=	$x + 9$	\| $+ 4$ $- x$
$- x$	=	$13$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 13$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 13$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 4} + \frac{7}{x + 4}$ = $\frac{14}{x^{2} - 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ ; $4$ }

\frac{x}{x - 4} + \frac{7}{x + 4}

=

\frac{14}{(x + 4) (x - 4)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 4) (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{x - 4} + \frac{7}{x + 4}$	=	$\frac{14}{(x + 4) (x - 4)}$	\|⋅( $(x + 4) (x - 4)$ )
$\frac{x}{x - 4} \cdot (x + 4) (x - 4) + \frac{7}{x + 4} \cdot (x + 4) (x - 4)$	=	$\frac{14}{(x + 4) (x - 4)} \cdot (x + 4) (x - 4)$
$x (x + 4) + 7 x - 28$	=	$14 \frac{x + 4}{x + 4}$
$x (x + 4) + 7 x - 28$	=	$14$
$x^{2} + 4 x + 7 x - 28$	=	$14$
$x^{2} + 11 x - 28$	=	$14$

x^{2} + 11 x - 28

=

14

|

- 14

$x^{2} + 11 x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 11+17}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 11-17}{2}$ = $\frac{- 28}{2}$ = $- 14$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - (- 42)$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $42$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{28}{2}$ = -14

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 14$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{2 x + 4} + \frac{4 x}{x - 1} + \frac{28 x}{- 3 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 2$ }

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{3 x + 1}{2 x + 4} + \frac{28 x}{- 3 x + 3}$	=	0
$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{3 x + 1}{2 (x + 2)} + \frac{28 x}{3 (- x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{3 x + 1}{2 (x + 2)} + \frac{28 x}{3 (- x + 1)}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{3 x + 1}{2 (x + 2)} \cdot (x - 1) + \frac{28 x}{3 (- x + 1)} \cdot (x - 1)$	=
$4 x + \frac{(3 x + 1) (x - 1)}{2 (x + 2)} + \frac{28 x (x - 1)}{3 (- x + 1)}$	=
$4 x + \frac{(3 x + 1) (x - 1)}{2 (x + 2)} - \frac{28}{3} x$	=
$4 x + \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{2 (x + 2)} - \frac{28}{3} x$	=
$\frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{2 (x + 2)} + 4 x - \frac{28}{3} x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{2 (x + 2)} + 4 x - \frac{28}{3} x$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + 4 x \cdot (2 (x + 2)) - \frac{28}{3} x \cdot (2 (x + 2))$	=
$3 x^{2} - 2 x - 1 + 8 x (x + 2) - \frac{56}{3} x (x + 2)$	=
$3 x^{2} - 2 x - 1 + (8 x^{2} + 16 x) + (- \frac{56}{3} x^{2} - \frac{112}{3} x)$	=
$- \frac{23}{3} x^{2} - \frac{70}{3} x - 1$	=

$- \frac{23}{3} x^{2} - \frac{70}{3} x - 1$	=	0	\|⋅ 3
$3 (- \frac{23}{3} x^{2} - \frac{70}{3} x - 1)$	=	0

$- 23 x^{2} - 70 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 70 \pm \sqrt{{(- 70)}^{2} - 4 \cdot (- 23) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 23)}$

x_1,2 = $\frac{+ 70 \pm \sqrt{4 900 - 276}}{- 46}$

x_1,2 = $\frac{+ 70 \pm \sqrt{4 624}}{- 46}$

x₁ = $\frac{70 + \sqrt{4 624}}{- 46}$ = $\frac{70+68}{- 46}$ = $\frac{138}{- 46}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{70 - \sqrt{4 624}}{- 46}$ = $\frac{70-68}{- 46}$ = $\frac{2}{- 46}$ = $- \frac{1}{23}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 23$ " teilen:

$- 23 x^{2} - 70 x - 3$ = 0 |: $- 23$

$x^{2} + \frac{70}{23} x + \frac{3}{23}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{35}{23})}^{2} - (\frac{3}{23})$ = $\frac{1225}{529}$ $-$ $\frac{3}{23}$ = $\frac{1225}{529}$ $-$ $\frac{69}{529}$ = $\frac{1156}{529}$

x_1,2 = $- \frac{35}{23}$ ± $\sqrt{\frac{1156}{529}}$

x₁ = $- \frac{35}{23}$ - $\frac{34}{23}$ = $- \frac{69}{23}$ = -3

x₂ = $- \frac{35}{23}$ + $\frac{34}{23}$ = $- \frac{1}{23}$ = -0.043478260869565

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{23}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x - 20}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{8 x - 20}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{8 x - 20}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$8 x - 20$	=	$- x^{2}$

8 x - 20

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 17 x - 24}{2 x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 17 x - 24}{2 x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 17 x - 24}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x$
$- 17 x - 24$	=	$2 x \cdot x + 2 x$

- 17 x - 24

=

2 x^{2} + 2 x

|

- 2 x^{2}

- 2 x

$- 2 x^{2} - 19 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{19+13}{- 4}$ = $\frac{32}{- 4}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{19-13}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 19 x - 24$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{19}{2} x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{4})}^{2} - 12$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $12$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $\frac{192}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{19}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{19}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{19}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{2 x + 4} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{3 x + 1}{2 (x + 2)} - 4

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 2)} - 4$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{3 x + 1}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) - 4 \cdot (2 (x + 2))$	=
$3 x + 1 - 8 x - 16$	=
$- 5 x - 15$	=

$- 5 x - 15$	=	0	\| $+ 15$
$- 5 x$	=	$15$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{24}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{24}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{24}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{24}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 24$	=	$- a x$
$x^{2} - 24 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 12)$ = -24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 12)$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):