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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2 x}{x + 8}$ = $2$

D=R\{ $- 8$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 8$ weg!

$\frac{- 2 x}{x + 8}$	=	$2$	\|⋅( $x + 8$ )
$\frac{- 2 x}{x + 8} \cdot (x + 8)$	=	$2 \cdot (x + 8)$
$- \frac{2 x}{1}$	=	$2 (x + 8)$
$- 2 x$	=	$2 (x + 8)$

$- 2 x$	=	$2 x + 16$	\| $- 2 x$
$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 7} + \frac{2}{x - 7}$ = $\frac{118}{x^{2} - 49}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 7$ ; $7$ }

\frac{x}{x + 7} + \frac{2}{x - 7}

=

\frac{118}{(x + 7) \cdot (x - 7)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 7) \cdot (x - 7)$ weg!

$\frac{x}{x + 7} + \frac{2}{x - 7}$	=	$\frac{118}{(x + 7) \cdot (x - 7)}$	\|⋅( $(x + 7) \cdot (x - 7)$ )
$\frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7) + \frac{2}{x - 7} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7)$	=	$\frac{118}{(x + 7) \cdot (x - 7)} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7)$
$x \cdot (x - 7) + 2 x + 14$	=	$118 \frac{x + 7}{x + 7}$
$x \cdot (x - 7) + 2 x + 14$	=	$118$
$x^{2} - 7 x + 2 x + 14$	=	$118$
$x^{2} - 5 x + 14$	=	$118$

x^{2} - 5 x + 14

=

118

|

- 118

$x^{2} - 5 x - 104$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 104)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 416}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{441}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{441}}{2}$ = $\frac{5+21}{2}$ = $\frac{26}{2}$ = $13$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{441}}{2}$ = $\frac{5-21}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 104)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $104$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{416}{4}$ = $\frac{441}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{441}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{21}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{21}{2}$ = $\frac{26}{2}$ = 13

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $13$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{3 x - 1} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{12 x}{3 x - 1} - 3$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{12 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) - 3 \cdot (3 x - 1)$	=
$12 x - 9 x + 3$	=
$3 x + 3$	=

$3 x + 3$	=	0	\| $- 3$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 + \frac{4}{x} + \frac{21}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 + \frac{4}{x} + \frac{21}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{4}{x} \cdot x^{2} + \frac{21}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} + 4 x + 21$

0

=

- x^{2} + 4 x + 21

|

+ x^{2}

- 4 x

- 21

$x^{2} - 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $2$ - $5$ = -3

x₂ = $2$ + $5$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{22 x - 5}{3 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{22 x - 5}{3 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{22 x - 5}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 2 \cdot 3 x$
$22 x - 5$	=	$3 x \cdot x + 6 x$

22 x - 5

=

3 x^{2} + 6 x

|

- 3 x^{2}

- 6 x

$- 3 x^{2} + 16 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 60}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{196}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{- 16+14}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{- 16-14}{- 6}$ = $\frac{- 30}{- 6}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 16 x - 5$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{16}{3} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{3})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{49}{9}$

x_1,2 = $\frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{49}{9}}$

x₁ = $\frac{8}{3}$ - $\frac{7}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{8}{3}$ + $\frac{7}{3}$ = $\frac{15}{3}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 2} + \frac{3 x + 2}{x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

$\frac{2 x}{2 x - 2} + \frac{3 x + 2}{x} - 6$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x - 1)} + \frac{3 x + 2}{x} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x - 1)} + \frac{3 x + 2}{x} - 6$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{3 x + 2}{x} \cdot (x - 1) - 6 \cdot (x - 1)$	=
$x + \frac{(3 x + 2) \cdot (x - 1)}{x} - 6 x + 6$	=
$x + \frac{3 x^{2} - x - 2}{x} - 6 x + 6$	=
$\frac{3 x^{2} - x - 2}{x} + x - 6 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x^{2} - x - 2}{x} + x - 6 x + 6$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x^{2} - x - 2}{x} \cdot x + x \cdot x - 6 x \cdot x + 6 \cdot x$	=
$3 x^{2} - x - 2 + x \cdot x - 6 x \cdot x + 6 x$	=
$3 x^{2} - x - 2 + x^{2} - 6 x^{2} + 6 x$	=
$- 2 x^{2} + 5 x - 2$	=

$- 2 x^{2} + 5 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 5+3}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 5-3}{- 4}$ = $\frac{- 8}{- 4}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 5 x - 2$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{6}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{6}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{6}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{6}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 6 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 6 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 3)$ = -6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 3)$ = $1$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 1 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

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Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):