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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2}{x}$ = $\frac{3}{7}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2}{x}$	=	$\frac{3}{7}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{2}{x} \cdot x$	=	$\frac{3}{7} \cdot x$
$2$	=	$\frac{3}{7} x$

$2$	=	$\frac{3}{7} x$	\|⋅ 7
$14$	=	$3 x$	\| $- 14$ $- 3 x$
$- 3 x$	=	$- 14$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$\frac{14}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{14}{3}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2 x}{x - 3} - \frac{32}{2 x - 6}$ = $- 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{2 x}{x - 3} - \frac{32}{2 (x - 3)}

=

- 3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{x - 3} - \frac{32}{2 (x - 3)}$	=	$- 3$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{2 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{- 32}{2 (x - 3)} \cdot (x - 3)$	=	$- 3 \cdot (x - 3)$
$2 x - 16$	=	$- 3 (x - 3)$

$2 x - 16$	=	$- 3 x + 9$	\| $+ 16$
$2 x$	=	$- 3 x + 25$	\| $+ 3 x$
$5 x$	=	$25$	\|: $5$
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 20} + \frac{- 64,8}{x + 4} + 2 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{x}{5 x + 20} - \frac{64,8}{x + 4} + 2 x$	=	0
$\frac{x}{5 (x + 4)} - \frac{64,8}{x + 4} + 2 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 4)} - \frac{64,8}{x + 4} + 2 x$	=	\|⋅( $5 (x + 4)$ )
$\frac{x}{5 (x + 4)} \cdot (5 (x + 4)) + \frac{- 64,8}{x + 4} \cdot (5 (x + 4)) + 2 x \cdot (5 (x + 4))$	=
$x - 324 + 10 x \cdot (x + 4)$	=
$x - 324 + (10 x^{2} + 40 x)$	=
$10 x^{2} + 41 x - 324$	=

$10 x^{2} + 41 x - 324$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{41^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 324)}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{1 681 + 12 960}}{20}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{14 641}}{20}$

x₁ = $\frac{- 41 + \sqrt{14 641}}{20}$ = $\frac{- 41+121}{20}$ = $\frac{80}{20}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 41 - \sqrt{14 641}}{20}$ = $\frac{- 41-121}{20}$ = $\frac{- 162}{20}$ = $- 8,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $10$ " teilen:

$10 x^{2} + 41 x - 324$ = 0 |: $10$

$x^{2} + \frac{41}{10} x - \frac{162}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{41}{20})}^{2} - (- \frac{162}{5})$ = $\frac{1681}{400}$ $+$ $\frac{162}{5}$ = $\frac{1681}{400}$ $+$ $\frac{12960}{400}$ = $\frac{14641}{400}$

x_1,2 = $- \frac{41}{20}$ ± $\sqrt{\frac{14641}{400}}$

x₁ = $- \frac{41}{20}$ - $\frac{121}{20}$ = $- \frac{162}{20}$ = -8.1

x₂ = $- \frac{41}{20}$ + $\frac{121}{20}$ = $\frac{80}{20}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8,1$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{- 3 x + 2}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{- 3 x + 2}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{- 3 x + 2}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$- 3 x + 2$

- x^{2}

=

- 3 x + 2

|

+ 3 x

- 2

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3+1}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3-1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 9 x - 6}{2 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 9 x - 6}{2 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 9 x - 6}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 1 \cdot 2 x$
$- 9 x - 6$	=	$2 x \cdot x - 2 x$

- 9 x - 6

=

2 x^{2} - 2 x

|

- 2 x^{2}

+ 2 x

$- 2 x^{2} - 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{7+1}{- 4}$ = $\frac{8}{- 4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{7-1}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 7 x - 6$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{3 x}{x - 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- \frac{4}{3}$ }

\frac{3 x}{x - 1} + \frac{4 x}{3 x + 4} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{x - 1} + \frac{4 x}{3 x + 4} - 6$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{4 x}{3 x + 4} \cdot (x - 1) - 6 \cdot (x - 1)$	=
$3 x + \frac{4 x \cdot (x - 1)}{3 x + 4} - 6 x + 6$	=
$3 x + \frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x + 4} - 6 x + 6$	=
$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x + 4} + 3 x - 6 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x + 4} + 3 x - 6 x + 6$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + 3 x \cdot (3 x + 4) - 6 x \cdot (3 x + 4) + 6 \cdot (3 x + 4)$	=
$4 x^{2} - 4 x + 3 x \cdot (3 x + 4) - 6 x \cdot (3 x + 4) + 18 x + 24$	=
$4 x^{2} - 4 x + (9 x^{2} + 12 x) + (- 18 x^{2} - 24 x) + 18 x + 24$	=
$- 5 x^{2} + 2 x + 24$	=

$- 5 x^{2} + 2 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 24}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 480}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{484}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{484}}{- 10}$ = $\frac{- 2+22}{- 10}$ = $\frac{20}{- 10}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{484}}{- 10}$ = $\frac{- 2-22}{- 10}$ = $\frac{- 24}{- 10}$ = $2,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 2 x + 24$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{2}{5} x - \frac{24}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{5})}^{2} - (- \frac{24}{5})$ = $\frac{1}{25}$ $+$ $\frac{24}{5}$ = $\frac{1}{25}$ $+$ $\frac{120}{25}$ = $\frac{121}{25}$

x_1,2 = $\frac{1}{5}$ ± $\sqrt{\frac{121}{25}}$

x₁ = $\frac{1}{5}$ - $\frac{11}{5}$ = $- \frac{10}{5}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{5}$ + $\frac{11}{5}$ = $\frac{12}{5}$ = 2.4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2,4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 3$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 3$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 3$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 3 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- 3 x$
$a + x^{2} + 3 x$	=	0
$x^{2} + 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (2 - 5)$ = 3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 5)$ = $- 10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):