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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{3 x}{x + 2}$ = $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{- 3 x}{x + 2}$	=	$- 2$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{- 3 x}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- 2 \cdot (x + 2)$
$- \frac{3 x}{1}$	=	$- 2 (x + 2)$
$- 3 x$	=	$- 2 (x + 2)$

$- 3 x$	=	$- 2 x - 4$	\| $+ 2 x$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 2} - \frac{7}{x - 2}$ = $\frac{56}{x^{2} - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $2$ }

\frac{x}{x + 2} - \frac{7}{x - 2}

=

\frac{56}{(x + 2) (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 2) (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{x + 2} - \frac{7}{x - 2}$	=	$\frac{56}{(x + 2) (x - 2)}$	\|⋅( $(x + 2) (x - 2)$ )
$\frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2) (x - 2) - \frac{7}{x - 2} \cdot (x + 2) (x - 2)$	=	$\frac{56}{(x + 2) (x - 2)} \cdot (x + 2) (x - 2)$
$x (x - 2) - 7 x - 14$	=	$56 \frac{x + 2}{x + 2}$
$x (x - 2) - 7 x - 14$	=	$56$
$x^{2} - 2 x - 7 x - 14$	=	$56$
$x^{2} - 9 x - 14$	=	$56$

x^{2} - 9 x - 14

=

56

|

- 56

$x^{2} - 9 x - 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 70)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 280}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{361}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{9+19}{2}$ = $\frac{28}{2}$ = $14$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{9-19}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - (- 70)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $70$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{280}{4}$ = $\frac{361}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{361}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{19}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{19}{2}$ = $\frac{28}{2}$ = 14

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $14$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 16}$ = $- \frac{- 19,75}{x - 4} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{4 x - 16}$	=	$\frac{19,75}{x - 4} - 4 x$
$\frac{x}{4 (x - 4)}$	=	$\frac{19,75}{x - 4} - 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 4)}$	=	$\frac{19,75}{x - 4} - 4 x$	\|⋅( $4 (x - 4)$ )
$\frac{x}{4 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4))$	=	$\frac{19,75}{x - 4} \cdot (4 (x - 4)) - 4 x \cdot (4 (x - 4))$
$x$	=	$79 - 16 x (x - 4)$
$x$	=	$- 16 x^{2} + 64 x + 79$

x

=

- 16 x^{2} + 64 x + 79

|

+ 16 x^{2}

- 64 x

- 79

$16 x^{2} - 63 x - 79$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{{(- 63)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (- 79)}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{3 969 + 5 056}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{9 025}}{32}$

x₁ = $\frac{63 + \sqrt{9 025}}{32}$ = $\frac{63+95}{32}$ = $\frac{158}{32}$ = $\frac{79}{16}$ ≈ 4.94

x₂ = $\frac{63 - \sqrt{9 025}}{32}$ = $\frac{63-95}{32}$ = $\frac{- 32}{32}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} - 63 x - 79$ = 0 |: $16$

$x^{2} - \frac{63}{16} x - \frac{79}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{63}{32})}^{2} - (- \frac{79}{16})$ = $\frac{3969}{1024}$ $+$ $\frac{79}{16}$ = $\frac{3969}{1024}$ $+$ $\frac{5056}{1024}$ = $\frac{9025}{1024}$

x_1,2 = $\frac{63}{32}$ ± $\sqrt{\frac{9025}{1024}}$

x₁ = $\frac{63}{32}$ - $\frac{95}{32}$ = $- \frac{32}{32}$ = -1

x₂ = $\frac{63}{32}$ + $\frac{95}{32}$ = $\frac{158}{32}$ = 4.9375

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{79}{16}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{42}{x^{4}} \cdot x^{4}$
=	$- x^{2} + x + 42$

0

=

- x^{2} + x + 42

|

+ x^{2}

- x

- 42

$x^{2} - x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 42)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $42$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 1$ = $\frac{28 x - 8}{3 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x + 1$	=	$\frac{28 x - 8}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x + 1 \cdot 3 x$	=	$\frac{28 x - 8}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x + 3 x$	=	$28 x - 8$
$3 x^{2} + 3 x$	=	$28 x - 8$

3 x^{2} + 3 x

=

28 x - 8

|

- 28 x

+ 8

$3 x^{2} - 25 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{25+23}{6}$ = $\frac{48}{6}$ = $8$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{25-23}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 25 x + 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{25}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{6})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{625}{36}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{625}{36}$ $-$ $\frac{96}{36}$ = $\frac{529}{36}$

x_1,2 = $\frac{25}{6}$ ± $\sqrt{\frac{529}{36}}$

x₁ = $\frac{25}{6}$ - $\frac{23}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{25}{6}$ + $\frac{23}{6}$ = $\frac{48}{6}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{2 x - 4} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{x - 1}{2 (x - 2)} - 1

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{x - 1}{2 (x - 2)} - 1$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{x - 1}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) - 1 \cdot (2 (x - 2))$	=
$x - 1 - 2 x + 4$	=
$- x + 3$	=

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 2$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 2$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 2$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 2 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 2 x$
$x^{2} + a + 2 x$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):