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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{5 x}{x - 8}$ = $- 1$

D=R\{ $8$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 8$ weg!

$\frac{- 5 x}{x - 8}$	=	$- 1$	\|⋅( $x - 8$ )
$\frac{- 5 x}{x - 8} \cdot (x - 8)$	=	$- 1 \cdot (x - 8)$
$- \frac{5 x}{1}$	=	$- (x - 8)$
$- 5 x$	=	$- (x - 8)$

$- 5 x$	=	$- x + 8$	\| $+ x$
$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x + 3} - x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

=	$- \frac{1}{x + 3} - x - 1$	\|⋅( $x + 3$ )
=	$- \frac{1}{x + 3} \cdot (x + 3) - x \cdot (x + 3) - 1 \cdot (x + 3)$
=	$- 1 - x (x + 3) - x - 3$
=	$- x^{2} - 4 x - 4$

0

=

- x^{2} - 4 x - 4

|

+ x^{2}

+ 4 x

+ 4

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 8} + 2 x$ = $- \frac{- 34}{2 x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{x}{4 (x - 2)} + 2 x

=

\frac{34}{2 (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 2)} + 2 x$	=	$\frac{34}{2 (x - 2)}$	\|⋅( $4 (x - 2)$ )
$\frac{x}{4 (x - 2)} \cdot (4 (x - 2)) + 2 x \cdot (4 (x - 2))$	=	$\frac{34}{2 (x - 2)} \cdot (4 (x - 2))$
$x + 8 x (x - 2)$	=	$68$
$x + (8 x^{2} - 16 x)$	=	$68$
$8 x^{2} - 15 x$	=	$68$

8 x^{2} - 15 x

=

68

|

- 68

$8 x^{2} - 15 x - 68$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 68)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 2 176}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{2 401}}{16}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{2 401}}{16}$ = $\frac{15+49}{16}$ = $\frac{64}{16}$ = $4$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{2 401}}{16}$ = $\frac{15-49}{16}$ = $\frac{- 34}{16}$ = $- 2,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} - 15 x - 68$ = 0 |: $8$

$x^{2} - \frac{15}{8} x - \frac{17}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{16})}^{2} - (- \frac{17}{2})$ = $\frac{225}{256}$ $+$ $\frac{17}{2}$ = $\frac{225}{256}$ $+$ $\frac{2176}{256}$ = $\frac{2401}{256}$

x_1,2 = $\frac{15}{16}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{256}}$

x₁ = $\frac{15}{16}$ - $\frac{49}{16}$ = $- \frac{34}{16}$ = -2.125

x₂ = $\frac{15}{16}$ + $\frac{49}{16}$ = $\frac{64}{16}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,125$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{12}{x^{2}} + \frac{20}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{12}{x^{2}} + \frac{20}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{20}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 12 x + 20$	=	$- x^{2}$

- 12 x + 20

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x + 1}{3 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{4 x + 1}{3 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{4 x + 1}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 2 \cdot 3 x$
$4 x + 1$	=	$3 x \cdot x + 6 x$

4 x + 1

=

3 x^{2} + 6 x

|

- 3 x^{2}

- 6 x

$- 3 x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 1}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{- 6}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{2+4}{- 6}$ = $\frac{6}{- 6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{2-4}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 2 x + 1$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{1}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{1}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{3}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{1}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{3}{3}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{18 x}{- 2 x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $- \frac{1}{3}$ }

\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{18 x}{- 2 x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{18 x}{- 2 x + 1}$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{8 x}{3 x + 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{18 x}{- 2 x + 1} \cdot (2 x - 1)$	=
$6 x + \frac{8 x (2 x - 1)}{3 x + 1} + \frac{18 x (2 x - 1)}{- 2 x + 1}$	=
$6 x + \frac{8 x (2 x - 1)}{3 x + 1} - 18 x$	=
$6 x + \frac{16 x^{2} - 8 x}{3 x + 1} - 18 x$	=
$\frac{16 x^{2} - 8 x}{3 x + 1} + 6 x - 18 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{16 x^{2} - 8 x}{3 x + 1} + 6 x - 18 x$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{16 x^{2} - 8 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 6 x \cdot (3 x + 1) - 18 x \cdot (3 x + 1)$	=
$16 x^{2} - 8 x + 6 x (3 x + 1) - 18 x (3 x + 1)$	=
$16 x^{2} - 8 x + (18 x^{2} + 6 x) + (- 54 x^{2} - 18 x)$	=
$- 20 x^{2} - 20 x$	=

$- 20 x^{2} - 20 x$	=	0
$- 20 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{12}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{12}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{12}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 12$	=	$- x^{2}$
$a x - 12 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

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Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):