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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 1 x 2 = -16x +63 x 4

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 4 weg!

- 1 x 2 = -16x +63 x 4 |⋅( x 4 )
- 1 x 2 · x 4 = -16x +63 x 4 · x 4
- x 2 = -16x +63
- x 2 = -16x +63 | +16x -63

- x 2 +16x -63 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -16 ± 16 2 -4 · ( -1 ) · ( -63 ) 2( -1 )

x1,2 = -16 ± 256 -252 -2

x1,2 = -16 ± 4 -2

x1 = -16 + 4 -2 = -16 +2 -2 = -14 -2 = 7

x2 = -16 - 4 -2 = -16 -2 -2 = -18 -2 = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 7 ; 9 }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-13x +14 3x = x +2

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner 3x weg!

-13x +14 3x = x +2 |⋅( 3x )
-13x +14 3x · 3x = x · 3x + 2 · 3x
-13x +14 = 3 x · x +6x
-13x +14 = 3 x 2 +6x | -3 x 2 -6x

-3 x 2 -19x +14 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +19 ± ( -19 ) 2 -4 · ( -3 ) · 14 2( -3 )

x1,2 = +19 ± 361 +168 -6

x1,2 = +19 ± 529 -6

x1 = 19 + 529 -6 = 19 +23 -6 = 42 -6 = -7

x2 = 19 - 529 -6 = 19 -23 -6 = -4 -6 = 2 3 ≈ 0.67

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -7 ; 2 3 }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4x 3x -1 -1 = 0

Lösung einblenden

D=R\{ 1 3 }

Wir multiplizieren den Nenner 3x -1 weg!

4x 3x -1 -1 = 0 |⋅( 3x -1 )
4x 3x -1 · ( 3x -1 ) -1 · ( 3x -1 ) = 0
4x -3x +1 = 0
x +1 = 0
x +1 = 0 | -1
x = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -1 }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

7 + x = - a x

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

7 + x = - a x

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

7 + x = - a x |⋅x
7 · x + x · x = - a x · x
7x + x 2 = - a
7x + x 2 + a = 0
x 2 +7x + a = 0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

x 2 +7x + a = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn -( 2 -9 ) = 7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = 2 · ( -9 ) = -18

Zur Probe können wir ja noch mit a = -18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

x 2 +7x -18 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -7 ± 7 2 -4 · 1 · ( -18 ) 21

x1,2 = -7 ± 49 +72 2

x1,2 = -7 ± 121 2

x1 = -7 + 121 2 = -7 +11 2 = 4 2 = 2

x2 = -7 - 121 2 = -7 -11 2 = -18 2 = -9

L={ -9 ; 2 }