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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{35}{x + 2}$ = $- 5$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{35}{x + 2}$	=	$- 5$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{35}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- 5 \cdot (x + 2)$
$35$	=	$- 5 (x + 2)$

$35$	=	$- 5 x - 10$	\| $- 35$ $+ 5 x$
$5 x$	=	$- 45$	\|: $5$
$x$	=	$- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{8 x}{2 x + 3} + \frac{10}{4 x + 6}$ = $3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ }

\frac{8 x}{2 x + 3} + \frac{10}{2 (2 x + 3)}

=

3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{8 x}{2 x + 3} + \frac{10}{2 (2 x + 3)}$	=	$3$	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{8 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{10}{2 (2 x + 3)} \cdot (2 x + 3)$	=	$3 \cdot (2 x + 3)$
$8 x + 5$	=	$3 (2 x + 3)$

$8 x + 5$	=	$6 x + 9$	\| $- 5$
$8 x$	=	$6 x + 4$	\| $- 6 x$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 6}$ = $- \frac{2}{3 x + 6} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{3 x + 6}$	=	$- \frac{2}{3 x + 6} - x$
$\frac{x}{3 (x + 2)}$	=	$- \frac{2}{3 (x + 2)} - x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 2)}$	=	$- \frac{2}{3 (x + 2)} - x$	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2))$	=	$- \frac{2}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) - x \cdot (3 (x + 2))$
$x$	=	$- 2 - 3 x \cdot (x + 2)$
$x$	=	$- 3 x^{2} - 6 x - 2$

x

=

- 3 x^{2} - 6 x - 2

|

+ 3 x^{2}

+ 6 x

+ 2

$3 x^{2} + 7 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{- 7+5}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{- 7-5}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 7 x + 2$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{7}{3} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{6})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $- \frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $- \frac{7}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{12}{6}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

Lösung x= $- 2$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{12}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} + x + 12$

0

=

- x^{2} + x + 12

|

+ x^{2}

- x

- 12

$x^{2} - x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3}{2} + \frac{2}{x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3}{2} + \frac{2}{x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$\frac{3}{2} \cdot x + \frac{2}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$\frac{3}{2} x + 2$	=	$x \cdot x + 5 x$

$\frac{3}{2} x + 2$	=	$x^{2} + 5 x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{3}{2} x + 2)$	=	$2 (x^{2} + 5 x)$
$3 x + 4$	=	$2 x^{2} + 10 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 10 x$

$- 2 x^{2} - 7 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 4}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{- 4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{7+9}{- 4}$ = $\frac{16}{- 4}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{7-9}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 7 x + 4$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $2$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 4}{x} + \frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{- 10 x}{6 x - 16}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; 0}

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{2 x + 4}{x} - \frac{10 x}{6 x - 16}$	=	0
$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{2 x + 4}{x} - \frac{10 x}{2 (3 x - 8)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{2 x + 4}{x} - \frac{10 x}{2 (3 x - 8)}$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{2 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{2 x + 4}{x} \cdot (3 x - 8) - \frac{10 x}{2 (3 x - 8)} \cdot (3 x - 8)$	=
$2 x + \frac{(2 x + 4) \cdot (3 x - 8)}{x} - 5 x$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} - 4 x - 32}{x} - 5 x$	=
$\frac{6 x^{2} - 4 x - 32}{x} + 2 x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 4 x - 32}{x} + 2 x - 5 x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{6 x^{2} - 4 x - 32}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 5 x \cdot x$	=
$6 x^{2} - 4 x - 32 + 2 x \cdot x - 5 x \cdot x$	=
$6 x^{2} - 4 x - 32 + 2 x^{2} - 5 x^{2}$	=
$3 x^{2} - 4 x - 32$	=

$3 x^{2} - 4 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 384}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{400}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{4+20}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{4-20}{6}$ = $\frac{- 16}{6}$ = $- \frac{8}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 4 x - 32$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{32}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{32}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{32}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{96}{9}$ = $\frac{100}{9}$

x_1,2 = $\frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{100}{9}}$

x₁ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{10}{3}$ = $- \frac{8}{3}$ = -2.6666666666667

x₂ = $\frac{2}{3}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{8}{3}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{12}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 12$	=	$- x^{2}$
$a x + 12 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):