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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4}{x}$ = $- \frac{5}{7}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{4}{x}$	=	$- \frac{5}{7}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{4}{x} \cdot x$	=	$- \frac{5}{7} \cdot x$
$- 4$	=	$- \frac{5}{7} x$

$- 4$	=	$- \frac{5}{7} x$	\|⋅ 7
$- 28$	=	$- 5 x$	\| $+ 28$ $+ 5 x$
$5 x$	=	$28$	\|: $5$
$x$	=	$\frac{28}{5}$ = 5.6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{28}{5}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 3} - \frac{1}{x - 3}$ = $\frac{57}{x^{2} - 9}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $3$ }

\frac{x}{x + 3} - \frac{1}{x - 3}

=

\frac{57}{(x + 3) (x - 3)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 3) (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{x + 3} - \frac{1}{x - 3}$	=	$\frac{57}{(x + 3) (x - 3)}$	\|⋅( $(x + 3) (x - 3)$ )
$\frac{x}{x + 3} \cdot (x + 3) (x - 3) - \frac{1}{x - 3} \cdot (x + 3) (x - 3)$	=	$\frac{57}{(x + 3) (x - 3)} \cdot (x + 3) (x - 3)$
$x (x - 3) - x - 3$	=	$57 \frac{x + 3}{x + 3}$
$x (x - 3) - x - 3$	=	$57$
$x^{2} - 3 x - x - 3$	=	$57$
$x^{2} - 4 x - 3$	=	$57$

x^{2} - 4 x - 3

=

57

|

- 57

$x^{2} - 4 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{4+16}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{4-16}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 60)$ = $4$ $+$ $60$ = $64$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $2$ - $8$ = -6

x₂ = $2$ + $8$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $10$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 4} + \frac{x + 1}{2 x + 5} + \frac{- 3 x}{4 x + 10}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{5}{2}$ }

$\frac{x}{2 x + 4} + \frac{x + 1}{2 x + 5} - \frac{3 x}{4 x + 10}$	=	0
$\frac{x}{2 (x + 2)} + \frac{x + 1}{2 x + 5} - \frac{3 x}{2 (2 x + 5)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 2)} + \frac{x + 1}{2 x + 5} - \frac{3 x}{2 (2 x + 5)}$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{x + 1}{2 x + 5} \cdot (2 (x + 2)) - \frac{3 x}{2 (2 x + 5)} \cdot (2 (x + 2))$	=
$x + 2 \frac{(x + 1) (x + 2)}{2 x + 5} - 2 \frac{3 x (x + 2)}{2 (2 x + 5)}$	=
$x + \frac{2 (x^{2} + 3 x + 2)}{2 x + 5} - \frac{3 x^{2} + 6 x}{2 x + 5}$	=
$\frac{2 x^{2} + 6 x + 4 - 3 x^{2} - 6 x}{2 x + 5} + x$	=

\frac{2 x^{2} - 3 x^{2} + 6 x - 6 x + 4}{2 x + 5} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 3 x^{2} + 6 x - 6 x + 4}{2 x + 5} + x$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{2 x^{2} - 3 x^{2} + 6 x - 6 x + 4}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + x \cdot (2 x + 5)$	=
$2 x^{2} - 3 x^{2} + 6 x - 6 x + 4 + x (2 x + 5)$	=
$2 x^{2} - 3 x^{2} + 6 x - 6 x + 4 + (2 x^{2} + 5 x)$	=
$x^{2} + 5 x + 4$	=

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 10 x + 16}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- 10 x + 16}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- 10 x + 16}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 10 x + 16$	=	$- x^{2}$

- 10 x + 16

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 2$ = $\frac{- 17 x + 24}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x - 2$	=	$\frac{- 17 x + 24}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x - 2 \cdot 2 x$	=	$\frac{- 17 x + 24}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x - 4 x$	=	$- 17 x + 24$
$2 x^{2} - 4 x$	=	$- 17 x + 24$

2 x^{2} - 4 x

=

- 17 x + 24

|

+ 17 x

- 24

$2 x^{2} + 13 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 192}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 13+19}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 13-19}{4}$ = $\frac{- 32}{4}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 13 x - 24$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $12$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{192}{16}$ = $\frac{361}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{361}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{19}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{19}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 7} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{7}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 7} - 3$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{2 x}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) - 3 \cdot (3 x + 7)$	=
$2 x - 9 x - 21$	=
$- 7 x - 21$	=

$- 7 x - 21$	=	0	\| $+ 21$
$- 7 x$	=	$21$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{10}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{10}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{10}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{10}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 10$	=	$- x^{2}$
$a x - 10 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 5)$ = -10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 5)$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

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Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):