Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{15}{x - 5}$ = $3$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$- \frac{15}{x - 5}$	=	$3$	\|⋅( $x - 5$ )
$- \frac{15}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$3 \cdot (x - 5)$
$- 15$	=	$3 (x - 5)$

$- 15$	=	$3 x - 15$	\| $+ 15$ $- 3 x$
$- 3 x$	=	0	\|:( $- 3$ )
$x$	=	0

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0}

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{5 x}{2 x + 1} + \frac{94}{4 x + 2}$ = $2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

- \frac{5 x}{2 x + 1} + \frac{94}{2 (2 x + 1)}

=

2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$- \frac{5 x}{2 x + 1} + \frac{94}{2 (2 x + 1)}$	=	$2$	\|⋅( $2 x + 1$ )
$- \frac{5 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{94}{2 (2 x + 1)} \cdot (2 x + 1)$	=	$2 \cdot (2 x + 1)$
$- 5 x + 47$	=	$2 (2 x + 1)$

$- 5 x + 47$	=	$4 x + 2$	\| $- 47$
$- 5 x$	=	$4 x - 45$	\| $- 4 x$
$- 9 x$	=	$- 45$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8,4}{x + 1} - 4 x$ = $- \frac{x}{5 x + 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{8,4}{x + 1} - 4 x$	=	$\frac{- x}{5 x + 5}$
$\frac{8,4}{x + 1} - 4 x$	=	$\frac{- x}{5 (x + 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$\frac{8,4}{x + 1} - 4 x$	=	$\frac{- x}{5 (x + 1)}$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{8,4}{x + 1} \cdot (5 (x + 1)) - 4 x \cdot (5 (x + 1))$	=	$\frac{- x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1))$
$42 - 20 x (x + 1)$	=	$- x$
$42 + (- 20 x^{2} - 20 x)$	=	$- x$
$- 20 x^{2} - 20 x + 42$	=	$- x$

- 20 x^{2} - 20 x + 42

=

- x

|

+ x

$- 20 x^{2} - 19 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot 42}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 3 360}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{3 721}}{- 40}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{3 721}}{- 40}$ = $\frac{19+61}{- 40}$ = $\frac{80}{- 40}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{3 721}}{- 40}$ = $\frac{19-61}{- 40}$ = $\frac{- 42}{- 40}$ = $1,05$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} - 19 x + 42$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} + \frac{19}{20} x - \frac{21}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{40})}^{2} - (- \frac{21}{10})$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{21}{10}$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{3360}{1600}$ = $\frac{3721}{1600}$

x_1,2 = $- \frac{19}{40}$ ± $\sqrt{\frac{3721}{1600}}$

x₁ = $- \frac{19}{40}$ - $\frac{61}{40}$ = $- \frac{80}{40}$ = -2

x₂ = $- \frac{19}{40}$ + $\frac{61}{40}$ = $\frac{42}{40}$ = 1.05

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1,05$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{40}{x^{2}}$ = $- 1 - \frac{6}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{40}{x^{2}}$	=	$- 1 - \frac{6}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{40}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{6}{x} \cdot x^{2}$
$- 40$	=	$- x^{2} - 6 x$

- 40

=

- x^{2} - 6 x

|

+ x^{2}

+ 6 x

$x^{2} + 6 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 6+14}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 6-14}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 40)$ = $9$ $+$ $40$ = $49$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 3$ - $7$ = -10

x₂ = $- 3$ + $7$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 9 x + 6}{4 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 9 x + 6}{4 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 9 x + 6}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 1 \cdot 4 x$
$- 9 x + 6$	=	$4 x \cdot x - 4 x$

- 9 x + 6

=

4 x^{2} - 4 x

|

- 4 x^{2}

+ 4 x

$- 4 x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 6}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{- 8}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{5+11}{- 8}$ = $\frac{16}{- 8}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{5-11}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 5 x + 6$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{5}{4} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{8})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $- \frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $- \frac{5}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{5}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{3 x} + \frac{12 x}{x - 2} + \frac{4 x - 1}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $2$ }

- \frac{4 x - 1}{x} + \frac{2 x - 1}{3 x} + \frac{12 x}{x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$- \frac{4 x - 1}{x} + \frac{2 x - 1}{3 x} + \frac{12 x}{x - 2}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$- \frac{4 x - 1}{x} \cdot 3 x + \frac{2 x - 1}{3 x} \cdot 3 x + \frac{12 x}{x - 2} \cdot 3 x$	=
$- 12 x + 3 + 2 x - 1 + 3 \frac{12 x \cdot x}{x - 2}$	=
$- 12 x + 3 + 2 x - 1 + \frac{36 x^{2}}{x - 2}$	=
$\frac{36 x^{2}}{x - 2} - 12 x + 2 x + 3 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{36 x^{2}}{x - 2} - 12 x + 2 x + 3 - 1$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{36 x^{2}}{x - 2} \cdot (x - 2) - 12 x \cdot (x - 2) + 2 x \cdot (x - 2) + 3 \cdot (x - 2) - 1 \cdot (x - 2)$	=
$36 x^{2} - 12 x (x - 2) + 2 x (x - 2) + 3 x - 6 - x + 2$	=
$36 x^{2} + (- 12 x^{2} + 24 x) + (2 x^{2} - 4 x) + 3 x - 6 - x + 2$	=
$26 x^{2} + 22 x - 4$	=

26 x^{2} + 22 x - 4

= 0 |:2

$13 x^{2} + 11 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 13 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 13}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 104}}{26}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{225}}{26}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{225}}{26}$ = $\frac{- 11+15}{26}$ = $\frac{4}{26}$ = $\frac{2}{13}$ ≈ 0.15

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{225}}{26}$ = $\frac{- 11-15}{26}$ = $\frac{- 26}{26}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $13$ " teilen:

$13 x^{2} + 11 x - 2$ = 0 |: $13$

$x^{2} + \frac{11}{13} x - \frac{2}{13}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{26})}^{2} - (- \frac{2}{13})$ = $\frac{121}{676}$ $+$ $\frac{2}{13}$ = $\frac{121}{676}$ $+$ $\frac{104}{676}$ = $\frac{225}{676}$

x_1,2 = $- \frac{11}{26}$ ± $\sqrt{\frac{225}{676}}$

x₁ = $- \frac{11}{26}$ - $\frac{15}{26}$ = $- \frac{26}{26}$ = -1

x₂ = $- \frac{11}{26}$ + $\frac{15}{26}$ = $\frac{4}{26}$ = 0.15384615384615

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{2}{13}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{8}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{8}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{8}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{8}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 8$
$x^{2} + a x + 8$	=	0
$x^{2} + a x + 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 4$ = 8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 4)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):