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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4}{x}$ = $\frac{3}{4}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{4}{x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{4}{x} \cdot x$	=	$\frac{3}{4} \cdot x$
$- 4$	=	$\frac{3}{4} x$

$- 4$	=	$\frac{3}{4} x$	\|⋅ 4
$- 16$	=	$3 x$	\| $+ 16$ $- 3 x$
$- 3 x$	=	$16$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- \frac{16}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{16}{3}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{x}{x - 4} - \frac{6}{2 x - 8}$ = $2$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

\frac{x}{x - 4} - \frac{6}{2 (x - 4)}

=

2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{x}{x - 4} - \frac{6}{2 (x - 4)}$	=	$2$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{x}{x - 4} \cdot (x - 4) + \frac{- 6}{2 (x - 4)} \cdot (x - 4)$	=	$2 \cdot (x - 4)$
$x - 3$	=	$2 (x - 4)$

$x - 3$	=	$2 x - 8$	\| $+ 3$
$x$	=	$2 x - 5$	\| $- 2 x$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 3} + \frac{- 124}{3 x + 3}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{3 x + 3} - \frac{124}{3 x + 3}$	=	$- 2 x$
$\frac{x}{3 (x + 1)} - \frac{124}{3 (x + 1)}$	=	$- 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 1)} - \frac{124}{3 (x + 1)}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) - \frac{124}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$	=	$- 2 x \cdot (3 (x + 1))$
$x - 124$	=	$- 6 x \cdot (x + 1)$
$x - 124$	=	$- 6 x^{2} - 6 x$

x - 124

=

- 6 x^{2} - 6 x

|

+ 6 x^{2}

+ 6 x

$6 x^{2} + 7 x - 124$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 124)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 2 976}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{3 025}}{12}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{3 025}}{12}$ = $\frac{- 7+55}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{3 025}}{12}$ = $\frac{- 7-55}{12}$ = $\frac{- 62}{12}$ = $- \frac{31}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 7 x - 124$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{7}{6} x - \frac{62}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{12})}^{2} - (- \frac{62}{3})$ = $\frac{49}{144}$ $+$ $\frac{62}{3}$ = $\frac{49}{144}$ $+$ $\frac{2976}{144}$ = $\frac{3025}{144}$

x_1,2 = $- \frac{7}{12}$ ± $\sqrt{\frac{3025}{144}}$

x₁ = $- \frac{7}{12}$ - $\frac{55}{12}$ = $- \frac{62}{12}$ = -5.1666666666667

x₂ = $- \frac{7}{12}$ + $\frac{55}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{31}{6}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{10}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{25}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{10}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{25}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{10}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{25}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- 10 x$	=	$- x^{2} - 25$

- 10 x

=

- x^{2} - 25

|

+ x^{2}

+ 25

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $5$ ± 0 = $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 - \frac{2}{x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 8 - \frac{2}{x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $x$ )
$- 8 \cdot x - \frac{2}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 5 \cdot x$
$- 8 x - 2$	=	$x \cdot x - 5 x$

- 8 x - 2

=

x^{2} - 5 x

|

- x^{2}

+ 5 x

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3+1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3-1}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 4}{x} + \frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{- 13 x + 4}{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{2 x + 4}{x} + \frac{- 13 x + 4}{2 x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{2 x + 4}{x} + \frac{- 13 x + 4}{2 x}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x + 1}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{2 x + 4}{x} \cdot (x - 1) + \frac{- 13 x + 4}{2 x} \cdot (x - 1)$	=
$2 x + 1 + \frac{(2 x + 4) \cdot (x - 1)}{x} + \frac{(- 13 x + 4) \cdot (x - 1)}{2 x}$	=
$2 x + 1 + \frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{x} + \frac{- 13 x^{2} + 17 x - 4}{2 x}$	=
$\frac{- 13 x^{2} + 17 x - 4}{2 x} + \frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{x} + 2 x + 1$	=

\frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{x} + \frac{- 13 x^{2} + 17 x - 4}{2 x} + 2 x + 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{x} + \frac{- 13 x^{2} + 17 x - 4}{2 x} + 2 x + 1$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{x} \cdot 2 x + \frac{- 13 x^{2} + 17 x - 4}{2 x} \cdot 2 x + 2 x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x$	=
$4 x^{2} + 4 x - 8 - 13 x^{2} + 17 x - 4 + 4 x \cdot x + 2 x$	=
$4 x^{2} + 4 x - 8 - 13 x^{2} + 17 x - 4 + 4 x^{2} + 2 x$	=
$- 5 x^{2} + 23 x - 12$	=

$- 5 x^{2} + 23 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 240}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{289}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{289}}{- 10}$ = $\frac{- 23+17}{- 10}$ = $\frac{- 6}{- 10}$ = $0,6$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{289}}{- 10}$ = $\frac{- 23-17}{- 10}$ = $\frac{- 40}{- 10}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 23 x - 12$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{23}{5} x + \frac{12}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{10})}^{2} - (\frac{12}{5})$ = $\frac{529}{100}$ $-$ $\frac{12}{5}$ = $\frac{529}{100}$ $-$ $\frac{240}{100}$ = $\frac{289}{100}$

x_1,2 = $\frac{23}{10}$ ± $\sqrt{\frac{289}{100}}$

x₁ = $\frac{23}{10}$ - $\frac{17}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = 0.6

x₂ = $\frac{23}{10}$ + $\frac{17}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,6$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{12}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{12}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{12}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 12$	=	$- a x$
$x^{2} - 12 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):