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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3}{x}$ = $- \frac{9}{5}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3}{x}$	=	$- \frac{9}{5}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{3}{x} \cdot x$	=	$- \frac{9}{5} \cdot x$
$3$	=	$- \frac{9}{5} x$

$3$	=	$- \frac{9}{5} x$	\|⋅ 5
$15$	=	$- 9 x$	\| $- 15$ $+ 9 x$
$9 x$	=	$- 15$	\|: $9$
$x$	=	$- \frac{5}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{5}{3}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 6} + \frac{3}{x + 6}$ = $\frac{118}{x^{2} - 36}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 6$ ; $6$ }

\frac{x}{x - 6} + \frac{3}{x + 6}

=

\frac{118}{(x + 6) (x - 6)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 6) (x - 6)$ weg!

$\frac{x}{x - 6} + \frac{3}{x + 6}$	=	$\frac{118}{(x + 6) (x - 6)}$	\|⋅( $(x + 6) (x - 6)$ )
$\frac{x}{x - 6} \cdot (x + 6) (x - 6) + \frac{3}{x + 6} \cdot (x + 6) (x - 6)$	=	$\frac{118}{(x + 6) (x - 6)} \cdot (x + 6) (x - 6)$
$x (x + 6) + 3 x - 18$	=	$118 \frac{x + 6}{x + 6}$
$x (x + 6) + 3 x - 18$	=	$118$
$x^{2} + 6 x + 3 x - 18$	=	$118$
$x^{2} + 9 x - 18$	=	$118$

x^{2} + 9 x - 18

=

118

|

- 118

$x^{2} + 9 x - 136$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 136)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 544}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{625}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{625}}{2}$ = $\frac{- 9+25}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{625}}{2}$ = $\frac{- 9-25}{2}$ = $\frac{- 34}{2}$ = $- 17$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 136)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $136$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{544}{4}$ = $\frac{625}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{625}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{25}{2}$ = $- \frac{34}{2}$ = -17

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{25}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 17$ ; $8$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $- \frac{x}{5 x + 15} - \frac{0,6}{x + 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$3 x$	=	$- \frac{x}{5 x + 15} - \frac{0,6}{x + 3}$
$3 x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} - \frac{0,6}{x + 3}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 3)$ weg!

$3 x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} - \frac{0,6}{x + 3}$	\|⋅( $5 (x + 3)$ )
$3 x \cdot (5 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} \cdot (5 (x + 3)) + \frac{- 0,6}{x + 3} \cdot (5 (x + 3))$
$15 x (x + 3)$	=	$- x - 3$
$15 x \cdot x + 15 x \cdot 3$	=	$- x - 3$
$15 x \cdot x + 45 x$	=	$- x - 3$
$15 x^{2} + 45 x$	=	$- x - 3$

15 x^{2} + 45 x

=

- x - 3

|

+ x

+ 3

$15 x^{2} + 46 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{46^{2} - 4 \cdot 15 \cdot 3}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{2 116 - 180}}{30}$

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{1 936}}{30}$

x₁ = $\frac{- 46 + \sqrt{1 936}}{30}$ = $\frac{- 46+44}{30}$ = $\frac{- 2}{30}$ = $- \frac{1}{15}$ ≈ -0.07

x₂ = $\frac{- 46 - \sqrt{1 936}}{30}$ = $\frac{- 46-44}{30}$ = $\frac{- 90}{30}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $15$ " teilen:

$15 x^{2} + 46 x + 3$ = 0 |: $15$

$x^{2} + \frac{46}{15} x + \frac{1}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{15})}^{2} - (\frac{1}{5})$ = $\frac{529}{225}$ $-$ $\frac{1}{5}$ = $\frac{529}{225}$ $-$ $\frac{45}{225}$ = $\frac{484}{225}$

x_1,2 = $- \frac{23}{15}$ ± $\sqrt{\frac{484}{225}}$

x₁ = $- \frac{23}{15}$ - $\frac{22}{15}$ = $- \frac{45}{15}$ = -3

x₂ = $- \frac{23}{15}$ + $\frac{22}{15}$ = $- \frac{1}{15}$ = -0.066666666666667

Lösung x= $- 3$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- \frac{1}{15}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{18}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{3}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{18}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{3}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{18}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$3 x$	=	$- x^{2} + 18$

3 x

=

- x^{2} + 18

|

+ x^{2}

- 18

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 19 x - 9}{x - 1}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 19 x - 9}{x - 1}$	=	$4 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 19 x - 9}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$4 x \cdot (x - 1)$
$- 19 x - 9$	=	$4 x (x - 1)$
$- 19 x - 9$	=	$4 x^{2} - 4 x$

- 19 x - 9

=

4 x^{2} - 4 x

|

- 4 x^{2}

+ 4 x

$- 4 x^{2} - 15 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{81}}{- 8}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{15+9}{- 8}$ = $\frac{24}{- 8}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{15-9}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 15 x - 9$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{15}{4} x + \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{8})}^{2} - (\frac{9}{4})$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{81}{64}$

x_1,2 = $- \frac{15}{8}$ ± $\sqrt{\frac{81}{64}}$

x₁ = $- \frac{15}{8}$ - $\frac{9}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $- \frac{15}{8}$ + $\frac{9}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 2}{2 x} + \frac{4 x}{3 x + 2} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{5 x - 2}{2 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{5 x - 2}{2 x} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{4 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{5 x - 2}{2 x} \cdot (3 x + 2) - 5 \cdot (3 x + 2)$	=
$4 x + \frac{(5 x - 2) (3 x + 2)}{2 x} - 15 x - 10$	=
$4 x + \frac{15 x^{2} + 4 x - 4}{2 x} - 15 x - 10$	=
$\frac{15 x^{2} + 4 x - 4}{2 x} + 4 x - 15 x - 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{15 x^{2} + 4 x - 4}{2 x} + 4 x - 15 x - 10$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{15 x^{2} + 4 x - 4}{2 x} \cdot 2 x + 4 x \cdot 2 x - 15 x \cdot 2 x - 10 \cdot 2 x$	=
$15 x^{2} + 4 x - 4 + 8 x \cdot x - 30 x \cdot x - 20 x$	=
$15 x^{2} + 4 x - 4 + 8 x^{2} - 30 x^{2} - 20 x$	=
$- 7 x^{2} - 16 x - 4$	=

$- 7 x^{2} - 16 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 112}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{144}}{- 14}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{144}}{- 14}$ = $\frac{16+12}{- 14}$ = $\frac{28}{- 14}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{144}}{- 14}$ = $\frac{16-12}{- 14}$ = $\frac{4}{- 14}$ = $- \frac{2}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} - 16 x - 4$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} + \frac{16}{7} x + \frac{4}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{7})}^{2} - (\frac{4}{7})$ = $\frac{64}{49}$ $-$ $\frac{4}{7}$ = $\frac{64}{49}$ $-$ $\frac{28}{49}$ = $\frac{36}{49}$

x_1,2 = $- \frac{8}{7}$ ± $\sqrt{\frac{36}{49}}$

x₁ = $- \frac{8}{7}$ - $\frac{6}{7}$ = $- \frac{14}{7}$ = -2

x₂ = $- \frac{8}{7}$ + $\frac{6}{7}$ = $- \frac{2}{7}$ = -0.28571428571429

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{2}{7}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{15}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{15}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{15}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{15}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 15$	=	$- x^{2}$
$a x + 15 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):