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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2 x}{x - 2}$ = $1$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{x - 2}$	=	$1$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$1 \cdot (x - 2)$
$2 x$	=	$x - 2$

$2 x$	=	$x - 2$	\| $- x$
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 4} - \frac{4}{x + 4}$ = $\frac{65}{x^{2} - 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ ; $4$ }

\frac{x}{x - 4} - \frac{4}{x + 4}

=

\frac{65}{(x + 4) \cdot (x - 4)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 4) \cdot (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{x - 4} - \frac{4}{x + 4}$	=	$\frac{65}{(x + 4) \cdot (x - 4)}$	\|⋅( $(x + 4) \cdot (x - 4)$ )
$\frac{x}{x - 4} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4) - \frac{4}{x + 4} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4)$	=	$\frac{65}{(x + 4) \cdot (x - 4)} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4)$
$x \cdot (x + 4) - 4 x + 16$	=	$65 \frac{x + 4}{x + 4}$
$x \cdot (x + 4) - 4 x + 16$	=	$65$
$x^{2} + 4 x - 4 x + 16$	=	$65$
$x^{2} + 16$	=	$65$

$x^{2} + 16$	=	$65$	\| $- 16$
$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{3 x - 3} + \frac{8 x}{3 x - 2} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ ; $1$ }

$\frac{8 x}{3 x - 2} + \frac{5 x - 1}{3 x - 3} - 7$	=	0
$\frac{8 x}{3 x - 2} + \frac{5 x - 1}{3 (x - 1)} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{8 x}{3 x - 2} + \frac{5 x - 1}{3 (x - 1)} - 7$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{8 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + \frac{5 x - 1}{3 (x - 1)} \cdot (3 x - 2) - 7 \cdot (3 x - 2)$	=
$8 x + \frac{(5 x - 1) \cdot (3 x - 2)}{3 (x - 1)} - 21 x + 14$	=
$8 x + \frac{15 x^{2} - 13 x + 2}{3 (x - 1)} - 21 x + 14$	=
$\frac{15 x^{2} - 13 x + 2}{3 (x - 1)} + 8 x - 21 x + 14$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{15 x^{2} - 13 x + 2}{3 (x - 1)} + 8 x - 21 x + 14$	=	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{15 x^{2} - 13 x + 2}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) + 8 x \cdot (3 (x - 1)) - 21 x \cdot (3 (x - 1)) + 14 \cdot (3 (x - 1))$	=
$15 x^{2} - 13 x + 2 + 24 x \cdot (x - 1) - 63 x \cdot (x - 1) + 42 x - 42$	=
$15 x^{2} - 13 x + 2 + (24 x^{2} - 24 x) + (- 63 x^{2} + 63 x) + 42 x - 42$	=
$- 24 x^{2} + 68 x - 40$	=

- 24 x^{2} + 68 x - 40

= 0 |:4

$- 6 x^{2} + 17 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{49}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{49}}{- 12}$ = $\frac{- 17+7}{- 12}$ = $\frac{- 10}{- 12}$ = $\frac{5}{6}$ ≈ 0.83

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{49}}{- 12}$ = $\frac{- 17-7}{- 12}$ = $\frac{- 24}{- 12}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 17 x - 10$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{17}{6} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{12})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{289}{144}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{289}{144}$ $-$ $\frac{240}{144}$ = $\frac{49}{144}$

x_1,2 = $\frac{17}{12}$ ± $\sqrt{\frac{49}{144}}$

x₁ = $\frac{17}{12}$ - $\frac{7}{12}$ = $\frac{10}{12}$ = 0.83333333333333

x₂ = $\frac{17}{12}$ + $\frac{7}{12}$ = $\frac{24}{12}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{5}{6}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 2}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{3 x + 2}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{3 x + 2}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$3 x + 2$	=	$- x^{2}$

3 x + 2

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 15 x - 18}{4 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 15 x - 18}{4 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 15 x - 18}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x$
$- 15 x - 18$	=	$4 x \cdot x + 12 x$

- 15 x - 18

=

4 x^{2} + 12 x

|

- 4 x^{2}

- 12 x

$- 4 x^{2} - 27 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 288}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{441}}{- 8}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{441}}{- 8}$ = $\frac{27+21}{- 8}$ = $\frac{48}{- 8}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{441}}{- 8}$ = $\frac{27-21}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 27 x - 18$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{27}{4} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{27}{8})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{729}{64}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{729}{64}$ $-$ $\frac{288}{64}$ = $\frac{441}{64}$

x_1,2 = $- \frac{27}{8}$ ± $\sqrt{\frac{441}{64}}$

x₁ = $- \frac{27}{8}$ - $\frac{21}{8}$ = $- \frac{48}{8}$ = -6

x₂ = $- \frac{27}{8}$ + $\frac{21}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{4 x}{2 x + 4} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{8}{3}$ }

$\frac{4 x}{2 x + 4} + \frac{2 x}{3 x + 8} - 6$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x + 2)} + \frac{2 x}{3 x + 8} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x + 2)} + \frac{2 x}{3 x + 8} - 6$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{4 x}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) + \frac{2 x}{3 x + 8} \cdot (x + 2) - 6 \cdot (x + 2)$	=
$2 x + \frac{2 x \cdot (x + 2)}{3 x + 8} - 6 x - 12$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} + 4 x}{3 x + 8} - 6 x - 12$	=
$\frac{2 x^{2} + 4 x}{3 x + 8} + 2 x - 6 x - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 4 x}{3 x + 8} + 2 x - 6 x - 12$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{2 x^{2} + 4 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + 2 x \cdot (3 x + 8) - 6 x \cdot (3 x + 8) - 12 \cdot (3 x + 8)$	=
$2 x^{2} + 4 x + 2 x \cdot (3 x + 8) - 6 x \cdot (3 x + 8) - 36 x - 96$	=
$2 x^{2} + 4 x + (6 x^{2} + 16 x) + (- 18 x^{2} - 48 x) - 36 x - 96$	=
$- 10 x^{2} - 64 x - 96$	=

- 10 x^{2} - 64 x - 96

= 0 |:2

$- 5 x^{2} - 32 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{{(- 32)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 48)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{1 024 - 960}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{32 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{32+8}{- 10}$ = $\frac{40}{- 10}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{32 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{32-8}{- 10}$ = $\frac{24}{- 10}$ = $- 2,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 32 x - 48$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{32}{5} x + \frac{48}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{16}{5})}^{2} - (\frac{48}{5})$ = $\frac{256}{25}$ $-$ $\frac{48}{5}$ = $\frac{256}{25}$ $-$ $\frac{240}{25}$ = $\frac{16}{25}$

x_1,2 = $- \frac{16}{5}$ ± $\sqrt{\frac{16}{25}}$

x₁ = $- \frac{16}{5}$ - $\frac{4}{5}$ = $- \frac{20}{5}$ = -4

x₂ = $- \frac{16}{5}$ + $\frac{4}{5}$ = $- \frac{12}{5}$ = -2.4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2,4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{10}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{10}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{10}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{10}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 10$
$a x + x^{2} + 10$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

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Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):