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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3 x}{x - 3} + \frac{23}{x - 3}$ = $- 1$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{3 x}{x - 3} + \frac{23}{x - 3}$	=	$- 1$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{3 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{23}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$- 1 \cdot (x - 3)$
$3 x + 23$	=	$- (x - 3)$

$3 x + 23$	=	$- x + 3$	\| $- 23$
$3 x$	=	$- x - 20$	\| $+ x$
$4 x$	=	$- 20$	\|: $4$
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{- 12 x}{3 x - 1} - 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

x

=

\frac{12 x}{3 x - 1} - 4

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$x$	=	$\frac{12 x}{3 x - 1} - 4$	\|⋅( $3 x - 1$ )
$x \cdot (3 x - 1)$	=	$\frac{12 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) - 4 \cdot (3 x - 1)$
$x \cdot (3 x - 1)$	=	$12 x - 12 x + 4$
$x \cdot 3 x + x \cdot (- 1)$	=	$12 x - 12 x + 4$
$3 x \cdot x - x$	=	$12 x - 12 x + 4$
$3 x^{2} - x$	=	$4$

3 x^{2} - x

=

4

|

- 4

$3 x^{2} - x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{1+7}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{1-7}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - x - 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $- \frac{6}{6}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = 1.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{4}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{x}{2 x + 6} + \frac{5 x + 2}{- 2 x - 5}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ ; $- 3$ }

$\frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{5 x + 2}{- 2 x - 5} + \frac{x}{2 x + 6}$	=	0
$\frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{5 x + 2}{- (2 x + 5)} + \frac{x}{2 (x + 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{5 x + 2}{- (2 x + 5)} + \frac{x}{2 (x + 3)}$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{3 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + \frac{5 x + 2}{- (2 x + 5)} \cdot (2 x + 5) + \frac{x}{2 (x + 3)} \cdot (2 x + 5)$	=
$3 x - 5 x - 2 + \frac{x \cdot (2 x + 5)}{2 (x + 3)}$	=
$3 x - 5 x - 2 + \frac{2 x^{2} + 5 x}{2 (x + 3)}$	=
$\frac{2 x^{2} + 5 x}{2 (x + 3)} + 3 x - 5 x - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 5 x}{2 (x + 3)} + 3 x - 5 x - 2$	=	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{2 x^{2} + 5 x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + 3 x \cdot (2 (x + 3)) - 5 x \cdot (2 (x + 3)) - 2 \cdot (2 (x + 3))$	=
$2 x^{2} + 5 x + 6 x \cdot (x + 3) - 10 x \cdot (x + 3) - 4 x - 12$	=
$2 x^{2} + 5 x + (6 x^{2} + 18 x) + (- 10 x^{2} - 30 x) - 4 x - 12$	=
$- 2 x^{2} - 11 x - 12$	=

$- 2 x^{2} - 11 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{11+5}{- 4}$ = $\frac{16}{- 4}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{11-5}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 11 x - 12$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - 6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{48}{x^{2}}$ = $- \frac{2}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{48}{x^{2}}$	=	$- \frac{2}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{48}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{2}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 48$	=	$- 2 x$

x^{2} - 48

=

- 2 x

|

+ 2 x

$x^{2} + 2 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 2+14}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 2-14}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 48)$ = $1$ $+$ $48$ = $49$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 1$ - $7$ = -8

x₂ = $- 1$ + $7$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $\frac{- 34 x - 8}{x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$3 x$	=	$\frac{- 34 x - 8}{x - 3}$	\|⋅( $x - 3$ )
$3 x \cdot (x - 3)$	=	$\frac{- 34 x - 8}{x - 3} \cdot (x - 3)$
$3 x \cdot (x - 3)$	=	$- 34 x - 8$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot (- 3)$	=	$- 34 x - 8$
$3 x \cdot x - 9 x$	=	$- 34 x - 8$
$3 x^{2} - 9 x$	=	$- 34 x - 8$

3 x^{2} - 9 x

=

- 34 x - 8

|

+ 34 x

+ 8

$3 x^{2} + 25 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{- 25+23}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{- 25-23}{6}$ = $\frac{- 48}{6}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 25 x + 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{25}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{6})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{625}{36}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{625}{36}$ $-$ $\frac{96}{36}$ = $\frac{529}{36}$

x_1,2 = $- \frac{25}{6}$ ± $\sqrt{\frac{529}{36}}$

x₁ = $- \frac{25}{6}$ - $\frac{23}{6}$ = $- \frac{48}{6}$ = -8

x₂ = $- \frac{25}{6}$ + $\frac{23}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 8} + \frac{2 x}{2 x + 4} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{8}{3}$ }

$\frac{2 x}{2 x + 4} + \frac{x}{3 x + 8} - 3$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x + 2)} + \frac{x}{3 x + 8} - 3$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x + 2)} + \frac{x}{3 x + 8} - 3$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) + \frac{x}{3 x + 8} \cdot (x + 2) - 3 \cdot (x + 2)$	=
$x + \frac{x \cdot (x + 2)}{3 x + 8} - 3 x - 6$	=
$x + \frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 8} - 3 x - 6$	=
$\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 8} + x - 3 x - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 8} + x - 3 x - 6$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + x \cdot (3 x + 8) - 3 x \cdot (3 x + 8) - 6 \cdot (3 x + 8)$	=
$x^{2} + 2 x + x \cdot (3 x + 8) - 3 x \cdot (3 x + 8) - 18 x - 48$	=
$x^{2} + 2 x + (3 x^{2} + 8 x) + (- 9 x^{2} - 24 x) - 18 x - 48$	=
$- 5 x^{2} - 32 x - 48$	=

$- 5 x^{2} - 32 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{{(- 32)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 48)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{1 024 - 960}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{32 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{32+8}{- 10}$ = $\frac{40}{- 10}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{32 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{32-8}{- 10}$ = $\frac{24}{- 10}$ = $- 2,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 32 x - 48$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{32}{5} x + \frac{48}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{16}{5})}^{2} - (\frac{48}{5})$ = $\frac{256}{25}$ $-$ $\frac{48}{5}$ = $\frac{256}{25}$ $-$ $\frac{240}{25}$ = $\frac{16}{25}$

x_1,2 = $- \frac{16}{5}$ ± $\sqrt{\frac{16}{25}}$

x₁ = $- \frac{16}{5}$ - $\frac{4}{5}$ = $- \frac{20}{5}$ = -4

x₂ = $- \frac{16}{5}$ + $\frac{4}{5}$ = $- \frac{12}{5}$ = -2.4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2,4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{20}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{20}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{20}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{20}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 20 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 20 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):