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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{12}{x - 7}$ = $- 3$

D=R\{ $7$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 7$ weg!

$\frac{12}{x - 7}$	=	$- 3$	\|⋅( $x - 7$ )
$\frac{12}{x - 7} \cdot (x - 7)$	=	$- 3 \cdot (x - 7)$
$12$	=	$- 3 (x - 7)$

$12$	=	$- 3 x + 21$	\| $- 12$ $+ 3 x$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3 x}{2 x - 4} - \frac{57}{6 x - 12}$ = $- 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{3 x}{2 (x - 2)} - \frac{57}{6 (x - 2)}

=

- 5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{3 x}{2 (x - 2)} - \frac{57}{6 (x - 2)}$	=	$- 5$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{3 x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{- 57}{6 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2))$	=	$- 5 \cdot (2 (x - 2))$
$3 x - 19$	=	$- 10 (x - 2)$

$3 x - 19$	=	$- 10 x + 20$	\| $+ 19$
$3 x$	=	$- 10 x + 39$	\| $+ 10 x$
$13 x$	=	$39$	\|: $13$
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{4 x}{x + 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $\frac{1}{3}$ }

\frac{4 x}{x + 1} + \frac{6 x}{3 x - 1} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{x + 1} + \frac{6 x}{3 x - 1} - 5$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{6 x}{3 x - 1} \cdot (x + 1) - 5 \cdot (x + 1)$	=
$4 x + \frac{6 x \cdot (x + 1)}{3 x - 1} - 5 x - 5$	=
$4 x + \frac{6 x^{2} + 6 x}{3 x - 1} - 5 x - 5$	=
$\frac{6 x^{2} + 6 x}{3 x - 1} + 4 x - 5 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 6 x}{3 x - 1} + 4 x - 5 x - 5$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 6 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 4 x \cdot (3 x - 1) - 5 x \cdot (3 x - 1) - 5 \cdot (3 x - 1)$	=
$6 x^{2} + 6 x + 4 x \cdot (3 x - 1) - 5 x \cdot (3 x - 1) - 15 x + 5$	=
$6 x^{2} + 6 x + (12 x^{2} - 4 x) + (- 15 x^{2} + 5 x) - 15 x + 5$	=
$3 x^{2} - 8 x + 5$	=

$3 x^{2} - 8 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{8+2}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{8-2}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 8 x + 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{8}{3} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{3})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $\frac{4}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

x₂ = $\frac{4}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{5}{3}$ = 1.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $\frac{5}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $\frac{9}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$\frac{9}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{9}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{18}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$9 x - 18$

x^{2}

=

9 x - 18

|

- 9 x

+ 18

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 10 - \frac{6}{x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 10 - \frac{6}{x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $x$ )
$- 10 \cdot x - \frac{6}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 3 \cdot x$
$- 10 x - 6$	=	$x \cdot x - 3 x$

- 10 x - 6

=

x^{2} - 3 x

|

- x^{2}

+ 3 x

$- x^{2} - 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{7+5}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{7-5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{2 x}{x - 1} + \frac{18 x}{- 3 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{18 x}{- 3 x + 3}$	=	0
$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{18 x}{3 (- x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{18 x}{3 (- x + 1)}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{3 x - 1}{2 x} \cdot (x - 1) + \frac{18 x}{3 (- x + 1)} \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{(3 x - 1) \cdot (x - 1)}{2 x} + \frac{6 x \cdot (x - 1)}{- x + 1}$	=
$2 x + \frac{(3 x - 1) \cdot (x - 1)}{2 x} - 6 x$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} - 6 x$	=
$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} + 2 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} + 2 x - 6 x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + 2 x \cdot 2 x - 6 x \cdot 2 x$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 + 4 x \cdot x - 12 x \cdot x$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 + 4 x^{2} - 12 x^{2}$	=
$- 5 x^{2} - 4 x + 1$	=

$- 5 x^{2} - 4 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 1}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{- 10}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{4+6}{- 10}$ = $\frac{10}{- 10}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{4-6}{- 10}$ = $\frac{- 2}{- 10}$ = $0,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 4 x + 1$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{4}{5} x - \frac{1}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{5})}^{2} - (- \frac{1}{5})$ = $\frac{4}{25}$ $+$ $\frac{1}{5}$ = $\frac{4}{25}$ $+$ $\frac{5}{25}$ = $\frac{9}{25}$

x_1,2 = $- \frac{2}{5}$ ± $\sqrt{\frac{9}{25}}$

x₁ = $- \frac{2}{5}$ - $\frac{3}{5}$ = $- \frac{5}{5}$ = -1

x₂ = $- \frac{2}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 0.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{10}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{10}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{10}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{10}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 10$	=	$- a x$
$x^{2} + 10 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):