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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{5}{x}$ = $- 6$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{5}{x}$	=	$- 6$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{5}{x} \cdot x$	=	$- 6 \cdot x$
$- 5$	=	$- 6 x$

$- 5$	=	$- 6 x$	\| $+ 5$ $+ 6 x$
$6 x$	=	$5$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{5}{6}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{5}{6}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x - 3$ = $- \frac{12 x}{x - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$2 x - 3$	=	$\frac{- 12 x}{x - 1}$	\|⋅( $x - 1$ )
$2 x \cdot (x - 1) - 3 \cdot (x - 1)$	=	$\frac{- 12 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$
$2 x (x - 1) - 3 x + 3$	=	$- \frac{12 x}{1}$
$2 x (x - 1) - 3 x + 3$	=	$- 12 x$
$2 x^{2} - 2 x - 3 x + 3$	=	$- 12 x$
$2 x^{2} - 5 x + 3$	=	$- 12 x$

2 x^{2} - 5 x + 3

=

- 12 x

|

+ 12 x

$2 x^{2} + 7 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 7+5}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 7-5}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x + 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{258}{2 x - 8} - 4 x$ = $- \frac{x}{4 x - 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{258}{2 x - 8} - 4 x$	=	$\frac{- x}{4 x - 16}$
$\frac{258}{2 (x - 4)} - 4 x$	=	$\frac{- x}{4 (x - 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 4)$ weg!

$\frac{258}{2 (x - 4)} - 4 x$	=	$\frac{- x}{4 (x - 4)}$	\|⋅( $4 (x - 4)$ )
$\frac{258}{2 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4)) - 4 x \cdot (4 (x - 4))$	=	$\frac{- x}{4 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4))$
$516 - 16 x (x - 4)$	=	$- x$
$516 + (- 16 x^{2} + 64 x)$	=	$- x$
$- 16 x^{2} + 64 x + 516$	=	$- x$

- 16 x^{2} + 64 x + 516

=

- x

|

+ x

$- 16 x^{2} + 65 x + 516$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 65 \pm \sqrt{65^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot 516}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{- 65 \pm \sqrt{4 225 + 33 024}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{- 65 \pm \sqrt{37 249}}{- 32}$

x₁ = $\frac{- 65 + \sqrt{37 249}}{- 32}$ = $\frac{- 65+193}{- 32}$ = $\frac{128}{- 32}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 65 - \sqrt{37 249}}{- 32}$ = $\frac{- 65-193}{- 32}$ = $\frac{- 258}{- 32}$ = $\frac{129}{16}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 16$ " teilen:

$- 16 x^{2} + 65 x + 516$ = 0 |: $- 16$

$x^{2} - \frac{65}{16} x - \frac{129}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{65}{32})}^{2} - (- \frac{129}{4})$ = $\frac{4225}{1024}$ $+$ $\frac{129}{4}$ = $\frac{4225}{1024}$ $+$ $\frac{33024}{1024}$ = $\frac{37249}{1024}$

x_1,2 = $\frac{65}{32}$ ± $\sqrt{\frac{37249}{1024}}$

x₁ = $\frac{65}{32}$ - $\frac{193}{32}$ = $- \frac{128}{32}$ = -4

x₂ = $\frac{65}{32}$ + $\frac{193}{32}$ = $\frac{258}{32}$ = 8.0625

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{129}{16}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{- 6 x - 27}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{- 6 x - 27}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{- 6 x - 27}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$- 6 x - 27$

- x^{2}

=

- 6 x - 27

|

+ 6 x

+ 27

$- x^{2} + 6 x + 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 27}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{144}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{- 6+12}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{- 6-12}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x + 27$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x - 27$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 27)$ = $9$ $+$ $27$ = $36$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $3$ - $6$ = -3

x₂ = $3$ + $6$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 1$ = $- \frac{15}{2} - \frac{4}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 1$	=	$- \frac{15}{2} - \frac{4}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 1 \cdot x$	=	$- \frac{15}{2} \cdot x - \frac{4}{x} \cdot x$
$x \cdot x + x$	=	$- \frac{15}{2} x - 4$
$x^{2} + x$	=	$- \frac{15}{2} x - 4$

$x^{2} + x$	=	$- \frac{15}{2} x - 4$	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + x)$	=	$2 (- \frac{15}{2} x - 4)$
$2 x^{2} + 2 x$	=	$- 15 x - 8$	\| $+ 15 x$ $+ 8$

$2 x^{2} + 17 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 8}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 64}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 17+15}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 17-15}{4}$ = $\frac{- 32}{4}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 17 x + 8$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{17}{2} x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{4})}^{2} - 4$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $4$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{64}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $- \frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $- \frac{17}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{17}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 4} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{3 x}{2 (x - 2)} - 3

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{3 x}{2 (x - 2)} - 3$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{3 x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) - 3 \cdot (2 (x - 2))$	=
$3 x - 6 x + 12$	=
$- 3 x + 12$	=

$- 3 x + 12$	=	0	\| $- 12$
$- 3 x$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{20}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{20}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{20}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{20}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$20$
$x^{2} + a x - 20$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):