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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5}{x}$ = $6$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{5}{x}$	=	$6$	\|⋅( $x$ )
$\frac{5}{x} \cdot x$	=	$6 \cdot x$
$5$	=	$6 x$

$5$	=	$6 x$	\| $- 5$ $- 6 x$
$- 6 x$	=	$- 5$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$\frac{5}{6}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{5}{6}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 3 x}{3 x - 4} + x - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

- \frac{3 x}{3 x - 4} + x - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$- \frac{3 x}{3 x - 4} + x - 4$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$- \frac{3 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + x \cdot (3 x - 4) - 4 \cdot (3 x - 4)$	=
$- 3 x + x (3 x - 4) - 12 x + 16$	=
$- 3 x + (3 x^{2} - 4 x) - 12 x + 16$	=
$3 x^{2} - 19 x + 16$	=

$3 x^{2} - 19 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{19+13}{6}$ = $\frac{32}{6}$ = $\frac{16}{3}$ ≈ 5.33

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{19-13}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 19 x + 16$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{19}{3} x + \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{6})}^{2} - (\frac{16}{3})$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{192}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $\frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $\frac{19}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

x₂ = $\frac{19}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $\frac{32}{6}$ = 5.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $\frac{16}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 5} + 4 x$ = $- \frac{- 48,6}{x + 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{x}{5 (x + 1)} + 4 x

=

\frac{48,6}{x + 1}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 1)} + 4 x$	=	$\frac{48,6}{x + 1}$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) + 4 x \cdot (5 (x + 1))$	=	$\frac{48,6}{x + 1} \cdot (5 (x + 1))$
$x + 20 x (x + 1)$	=	$243$
$x + (20 x^{2} + 20 x)$	=	$243$
$20 x^{2} + 21 x$	=	$243$

20 x^{2} + 21 x

=

243

|

- 243

$20 x^{2} + 21 x - 243$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (- 243)}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 19 440}}{40}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{19 881}}{40}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{19 881}}{40}$ = $\frac{- 21+141}{40}$ = $\frac{120}{40}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{19 881}}{40}$ = $\frac{- 21-141}{40}$ = $\frac{- 162}{40}$ = $- 4,05$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $20$ " teilen:

$20 x^{2} + 21 x - 243$ = 0 |: $20$

$x^{2} + \frac{21}{20} x - \frac{243}{20}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{40})}^{2} - (- \frac{243}{20})$ = $\frac{441}{1600}$ $+$ $\frac{243}{20}$ = $\frac{441}{1600}$ $+$ $\frac{19440}{1600}$ = $\frac{19881}{1600}$

x_1,2 = $- \frac{21}{40}$ ± $\sqrt{\frac{19881}{1600}}$

x₁ = $- \frac{21}{40}$ - $\frac{141}{40}$ = $- \frac{162}{40}$ = -4.05

x₂ = $- \frac{21}{40}$ + $\frac{141}{40}$ = $\frac{120}{40}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,05$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{1}{x} \cdot x^{2} - \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} - x - 6$	=

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{x + 2}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{3 x + 1}{x + 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{3 x + 1}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$2 x \cdot (x + 2)$
$3 x + 1$	=	$2 x (x + 2)$
$3 x + 1$	=	$2 x^{2} + 4 x$

3 x + 1

=

2 x^{2} + 4 x

|

- 2 x^{2}

- 4 x

$- 2 x^{2} - x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 1}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{1+3}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{1-3}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - x + 1$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x - 3} + \frac{2 x}{3 x - 4} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; $1$ }

$\frac{2 x}{3 x - 4} + \frac{6 x}{3 x - 3} - 6$	=	0
$\frac{2 x}{3 x - 4} + \frac{6 x}{3 (x - 1)} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 4} + \frac{6 x}{3 (x - 1)} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{2 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{6 x}{3 (x - 1)} \cdot (3 x - 4) - 6 \cdot (3 x - 4)$	=
$2 x + \frac{2 x (3 x - 4)}{x - 1} - 18 x + 24$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} - 8 x}{x - 1} - 18 x + 24$	=
$\frac{6 x^{2} - 8 x}{x - 1} + 2 x - 18 x + 24$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 8 x}{x - 1} + 2 x - 18 x + 24$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x^{2} - 8 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 2 x \cdot (x - 1) - 18 x \cdot (x - 1) + 24 \cdot (x - 1)$	=
$6 x^{2} - 8 x + 2 x (x - 1) - 18 x (x - 1) + 24 x - 24$	=
$6 x^{2} - 8 x + (2 x^{2} - 2 x) + (- 18 x^{2} + 18 x) + 24 x - 24$	=
$- 10 x^{2} + 32 x - 24$	=

- 10 x^{2} + 32 x - 24

= 0 |:2

$- 5 x^{2} + 16 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{16}}{- 10}$ = $\frac{- 16+4}{- 10}$ = $\frac{- 12}{- 10}$ = $1,2$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{16}}{- 10}$ = $\frac{- 16-4}{- 10}$ = $\frac{- 20}{- 10}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 16 x - 12$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{16}{5} x + \frac{12}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{5})}^{2} - (\frac{12}{5})$ = $\frac{64}{25}$ $-$ $\frac{12}{5}$ = $\frac{64}{25}$ $-$ $\frac{60}{25}$ = $\frac{4}{25}$

x_1,2 = $\frac{8}{5}$ ± $\sqrt{\frac{4}{25}}$

x₁ = $\frac{8}{5}$ - $\frac{2}{5}$ = $\frac{6}{5}$ = 1.2

x₂ = $\frac{8}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $\frac{10}{5}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,2$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{20}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{20}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{20}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{20}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 20$
$x^{2} + a x + 20$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

L={ $2$ ; $10$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):