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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6 x}{x + 3} - \frac{12}{x + 3}$ = $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- \frac{6 x}{x + 3} - \frac{12}{x + 3}$	=	$- 3$	\|⋅( $x + 3$ )
$- \frac{6 x}{x + 3} \cdot (x + 3) - \frac{12}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$- 3 \cdot (x + 3)$
$- 6 x - 12$	=	$- 3 (x + 3)$

$- 6 x - 12$	=	$- 3 x - 9$	\| $+ 12$
$- 6 x$	=	$- 3 x + 3$	\| $+ 3 x$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{15 x}{x - 2} + x - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{15 x}{x - 2} + x - 4$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{15 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + x \cdot (x - 2) - 4 \cdot (x - 2)$	=
$15 x + x \cdot (x - 2) - 4 x + 8$	=
$15 x + (x^{2} - 2 x) - 4 x + 8$	=
$x^{2} + 9 x + 8$	=

$x^{2} + 9 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 3} + \frac{5 x - 1}{2 x - 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{1}{2}$ }

$\frac{3 x}{3 x - 3} + \frac{5 x - 1}{2 x - 1} - 5$	=	0
$\frac{3 x}{3 (x - 1)} + \frac{5 x - 1}{2 x - 1} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{3 (x - 1)} + \frac{5 x - 1}{2 x - 1} - 5$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x}{3 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{5 x - 1}{2 x - 1} \cdot (x - 1) - 5 \cdot (x - 1)$	=
$x + \frac{(5 x - 1) \cdot (x - 1)}{2 x - 1} - 5 x + 5$	=
$x + \frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{2 x - 1} - 5 x + 5$	=
$\frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{2 x - 1} + x - 5 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{2 x - 1} + x - 5 x + 5$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + x \cdot (2 x - 1) - 5 x \cdot (2 x - 1) + 5 \cdot (2 x - 1)$	=
$5 x^{2} - 6 x + 1 + x \cdot (2 x - 1) - 5 x \cdot (2 x - 1) + 10 x - 5$	=
$5 x^{2} - 6 x + 1 + (2 x^{2} - x) + (- 10 x^{2} + 5 x) + 10 x - 5$	=
$- 3 x^{2} + 8 x - 4$	=

$- 3 x^{2} + 8 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{- 8+4}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{- 8-4}{- 6}$ = $\frac{- 12}{- 6}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 8 x - 4$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{8}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{3})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{12}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $\frac{4}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{4}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{4}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{4}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{12}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$4 x - 12$	=	$- x^{2}$

4 x - 12

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- x + 12}{4 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- x + 12}{4 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- x + 12}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x$
$- x + 12$	=	$4 x \cdot x + 12 x$

- x + 12

=

4 x^{2} + 12 x

|

- 4 x^{2}

- 12 x

$- 4 x^{2} - 13 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 12}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 192}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{361}}{- 8}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{361}}{- 8}$ = $\frac{13+19}{- 8}$ = $\frac{32}{- 8}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{361}}{- 8}$ = $\frac{13-19}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 13 x + 12$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{13}{4} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{8})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $3$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $\frac{192}{64}$ = $\frac{361}{64}$

x_1,2 = $- \frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{361}{64}}$

x₁ = $- \frac{13}{8}$ - $\frac{19}{8}$ = $- \frac{32}{8}$ = -4

x₂ = $- \frac{13}{8}$ + $\frac{19}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x + 1}{2 x} + \frac{12 x}{x + 2} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; 0}

\frac{12 x}{x + 2} + \frac{7 x + 1}{2 x} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{12 x}{x + 2} + \frac{7 x + 1}{2 x} - 8$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{12 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{7 x + 1}{2 x} \cdot (x + 2) - 8 \cdot (x + 2)$	=
$12 x + \frac{(7 x + 1) \cdot (x + 2)}{2 x} - 8 x - 16$	=
$12 x + \frac{7 x^{2} + 15 x + 2}{2 x} - 8 x - 16$	=
$\frac{7 x^{2} + 15 x + 2}{2 x} + 12 x - 8 x - 16$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{7 x^{2} + 15 x + 2}{2 x} + 12 x - 8 x - 16$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{7 x^{2} + 15 x + 2}{2 x} \cdot 2 x + 12 x \cdot 2 x - 8 x \cdot 2 x - 16 \cdot 2 x$	=
$7 x^{2} + 15 x + 2 + 24 x \cdot x - 16 x \cdot x - 32 x$	=
$7 x^{2} + 15 x + 2 + 24 x^{2} - 16 x^{2} - 32 x$	=
$15 x^{2} - 17 x + 2$	=

$15 x^{2} - 17 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 15 \cdot 2}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{30}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{30}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{30}$ = $\frac{17+13}{30}$ = $\frac{30}{30}$ = $1$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{30}$ = $\frac{17-13}{30}$ = $\frac{4}{30}$ = $\frac{2}{15}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $15$ " teilen:

$15 x^{2} - 17 x + 2$ = 0 |: $15$

$x^{2} - \frac{17}{15} x + \frac{2}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{30})}^{2} - (\frac{2}{15})$ = $\frac{289}{900}$ $-$ $\frac{2}{15}$ = $\frac{289}{900}$ $-$ $\frac{120}{900}$ = $\frac{169}{900}$

x_1,2 = $\frac{17}{30}$ ± $\sqrt{\frac{169}{900}}$

x₁ = $\frac{17}{30}$ - $\frac{13}{30}$ = $\frac{4}{30}$ = 0.13333333333333

x₂ = $\frac{17}{30}$ + $\frac{13}{30}$ = $\frac{30}{30}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{15}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{10}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{10}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{10}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{10}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 10 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 10 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 5)$ = -10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 5)$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):