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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{9}{x}$ = $- \frac{1}{8}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{9}{x}$	=	$- \frac{1}{8}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{9}{x} \cdot x$	=	$- \frac{1}{8} \cdot x$
$- 9$	=	$- \frac{1}{8} x$

$- 9$	=	$- \frac{1}{8} x$	\|⋅ 8
$- 72$	=	$- x$	\| $+ 72$ $+ x$
$x$	=	$72$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $72$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3 x}{2 x + 2} + \frac{69}{6 x + 6}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{3 x}{2 (x + 1)} + \frac{69}{6 (x + 1)}

=

- 1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{3 x}{2 (x + 1)} + \frac{69}{6 (x + 1)}$	=	$- 1$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{3 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{69}{6 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1))$	=	$- 1 \cdot (2 (x + 1))$
$3 x + 23$	=	$- 2 (x + 1)$

$3 x + 23$	=	$- 2 x - 2$	\| $- 23$
$3 x$	=	$- 2 x - 25$	\| $+ 2 x$
$5 x$	=	$- 25$	\|: $5$
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $- \frac{x}{5 x + 5} - \frac{- 24,6}{x + 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$2 x$	=	$- \frac{x}{5 x + 5} + \frac{24,6}{x + 1}$
$2 x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{24,6}{x + 1}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$2 x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{24,6}{x + 1}$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$2 x \cdot (5 (x + 1))$	=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) + \frac{24,6}{x + 1} \cdot (5 (x + 1))$
$10 x (x + 1)$	=	$- x + 123$
$10 x \cdot x + 10 x \cdot 1$	=	$- x + 123$
$10 x \cdot x + 10 x$	=	$- x + 123$
$10 x^{2} + 10 x$	=	$- x + 123$

10 x^{2} + 10 x

=

- x + 123

|

+ x

- 123

$10 x^{2} + 11 x - 123$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 123)}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 4 920}}{20}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{5 041}}{20}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{5 041}}{20}$ = $\frac{- 11+71}{20}$ = $\frac{60}{20}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{5 041}}{20}$ = $\frac{- 11-71}{20}$ = $\frac{- 82}{20}$ = $- 4,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $10$ " teilen:

$10 x^{2} + 11 x - 123$ = 0 |: $10$

$x^{2} + \frac{11}{10} x - \frac{123}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{20})}^{2} - (- \frac{123}{10})$ = $\frac{121}{400}$ $+$ $\frac{123}{10}$ = $\frac{121}{400}$ $+$ $\frac{4920}{400}$ = $\frac{5041}{400}$

x_1,2 = $- \frac{11}{20}$ ± $\sqrt{\frac{5041}{400}}$

x₁ = $- \frac{11}{20}$ - $\frac{71}{20}$ = $- \frac{82}{20}$ = -4.1

x₂ = $- \frac{11}{20}$ + $\frac{71}{20}$ = $\frac{60}{20}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,1$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $- \frac{19}{x} - \frac{90}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$- \frac{19}{x} - \frac{90}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$- \frac{19}{x} \cdot x^{2} - \frac{90}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$- 19 x - 90$

x^{2}

=

- 19 x - 90

|

+ 19 x

+ 90

$x^{2} + 19 x + 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 90}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 19+1}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 19-1}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{2})}^{2} - 90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{19}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{19}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 22 x - 2}{x - 4}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{- 22 x - 2}{x - 4}$	=	$4 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{- 22 x - 2}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$4 x \cdot (x - 4)$
$- 22 x - 2$	=	$4 x (x - 4)$
$- 22 x - 2$	=	$4 x^{2} - 16 x$

- 22 x - 2

=

4 x^{2} - 16 x

|

- 4 x^{2}

+ 16 x

- 4 x^{2} - 6 x - 2

= 0 |:2

$- 2 x^{2} - 3 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{3+1}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{3-1}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 3 x - 1$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 3}{x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x - 3}{x} - 2$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x - 3}{x} \cdot x - 2 \cdot x$	=
$x - 3 - 2 x$	=
$- x - 3$	=

$- x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{6}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{6}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{6}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{6}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$6 + x^{2}$	=	$- a x$
$6 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):