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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{15}{x + 3}$ = $3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{15}{x + 3}$	=	$3$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{15}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$3 \cdot (x + 3)$
$15$	=	$3 (x + 3)$

$15$	=	$3 x + 9$	\| $- 15$ $- 3 x$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4 x}{3 x + 3} - \frac{276}{9 x + 9}$ = $- 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

- \frac{4 x}{3 (x + 1)} - \frac{276}{9 (x + 1)}

=

- 5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$- \frac{4 x}{3 (x + 1)} - \frac{276}{9 (x + 1)}$	=	$- 5$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$- \frac{4 x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + \frac{- 276}{9 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$	=	$- 5 \cdot (3 (x + 1))$
$- 4 x - 92$	=	$- 15 (x + 1)$

$- 4 x - 92$	=	$- 15 x - 15$	\| $+ 92$
$- 4 x$	=	$- 15 x + 77$	\| $+ 15 x$
$11 x$	=	$77$	\|: $11$
$x$	=	$7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 3}$ = $- \frac{- 1}{3 x - 3} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{3 x - 3}$	=	$\frac{1}{3 x - 3} - x$
$\frac{x}{3 (x - 1)}$	=	$\frac{1}{3 (x - 1)} - x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 1)}$	=	$\frac{1}{3 (x - 1)} - x$	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{x}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1))$	=	$\frac{1}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) - x \cdot (3 (x - 1))$
$x$	=	$1 - 3 x (x - 1)$
$x$	=	$- 3 x^{2} + 3 x + 1$

x

=

- 3 x^{2} + 3 x + 1

|

+ 3 x^{2}

- 3 x

- 1

$3 x^{2} - 2 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{2+4}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{2-4}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 2 x - 1$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{2}{3} x - \frac{1}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{1}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{3}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $\frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $\frac{1}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{1}{3}$ = -0.33333333333333

x₂ = $\frac{1}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

Lösung x= $1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{10}{x^{3}}$ = $\frac{7}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{10}{x^{3}}$	=	$\frac{7}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{10}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$\frac{7}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$x^{2} + 10$	=	$7 x$

x^{2} + 10

=

7 x

|

- 7 x

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 15 x - 15}{4 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 15 x - 15}{4 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 15 x - 15}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 2 \cdot 4 x$
$- 15 x - 15$	=	$4 x \cdot x + 8 x$

- 15 x - 15

=

4 x^{2} + 8 x

|

- 4 x^{2}

- 8 x

$- 4 x^{2} - 23 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 240}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{289}}{- 8}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{289}}{- 8}$ = $\frac{23+17}{- 8}$ = $\frac{40}{- 8}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{289}}{- 8}$ = $\frac{23-17}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 23 x - 15$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{23}{4} x + \frac{15}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{8})}^{2} - (\frac{15}{4})$ = $\frac{529}{64}$ $-$ $\frac{15}{4}$ = $\frac{529}{64}$ $-$ $\frac{240}{64}$ = $\frac{289}{64}$

x_1,2 = $- \frac{23}{8}$ ± $\sqrt{\frac{289}{64}}$

x₁ = $- \frac{23}{8}$ - $\frac{17}{8}$ = $- \frac{40}{8}$ = -5

x₂ = $- \frac{23}{8}$ + $\frac{17}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{4 x}{2 x + 3} + \frac{- 19 x - 1}{4 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{3}{2}$ }

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{- 19 x - 1}{4 x + 4} + \frac{4 x}{2 x + 3}$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x + 1)} + \frac{- 19 x - 1}{4 (x + 1)} + \frac{4 x}{2 x + 3}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x + 1)} + \frac{- 19 x - 1}{4 (x + 1)} + \frac{4 x}{2 x + 3}$	=	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$\frac{4 x}{2 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + \frac{- 19 x - 1}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + \frac{4 x}{2 x + 3} \cdot (4 (x + 1))$	=
$8 x - 19 x - 1 + 4 \frac{4 x (x + 1)}{2 x + 3}$	=
$8 x - 19 x - 1 + \frac{4 (4 x^{2} + 4 x)}{2 x + 3}$	=
$\frac{4 (4 x^{2} + 4 x)}{2 x + 3} + 8 x - 19 x - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{4 (4 x^{2} + 4 x)}{2 x + 3} + 8 x - 19 x - 1$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{4 (4 x^{2} + 4 x)}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + 8 x \cdot (2 x + 3) - 19 x \cdot (2 x + 3) - 1 \cdot (2 x + 3)$	=
$16 x^{2} + 16 x + 8 x (2 x + 3) - 19 x (2 x + 3) - 2 x - 3$	=
$16 x^{2} + 16 x + (16 x^{2} + 24 x) + (- 38 x^{2} - 57 x) - 2 x - 3$	=
$- 6 x^{2} - 19 x - 3$	=

$- 6 x^{2} - 19 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 72}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{289}}{- 12}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{289}}{- 12}$ = $\frac{19+17}{- 12}$ = $\frac{36}{- 12}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{289}}{- 12}$ = $\frac{19-17}{- 12}$ = $\frac{2}{- 12}$ = $- \frac{1}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} - 19 x - 3$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} + \frac{19}{6} x + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{12})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{361}{144}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{361}{144}$ $-$ $\frac{72}{144}$ = $\frac{289}{144}$

x_1,2 = $- \frac{19}{12}$ ± $\sqrt{\frac{289}{144}}$

x₁ = $- \frac{19}{12}$ - $\frac{17}{12}$ = $- \frac{36}{12}$ = -3

x₂ = $- \frac{19}{12}$ + $\frac{17}{12}$ = $- \frac{2}{12}$ = -0.16666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{6}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 1$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 1$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 1$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 1 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - x$	=	$- x^{2}$
$a - x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):