Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6 x}{x + 10}$ = $4$

D=R\{ $- 10$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 10$ weg!

$\frac{6 x}{x + 10}$	=	$4$	\|⋅( $x + 10$ )
$\frac{6 x}{x + 10} \cdot (x + 10)$	=	$4 \cdot (x + 10)$
$6 x$	=	$4 (x + 10)$

$6 x$	=	$4 x + 40$	\| $- 4 x$
$2 x$	=	$40$	\|: $2$
$x$	=	$20$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $20$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 7} - \frac{10}{x + 7}$ = $\frac{88}{x^{2} - 49}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 7$ ; $7$ }

\frac{x}{x - 7} - \frac{10}{x + 7}

=

\frac{88}{(x + 7) \cdot (x - 7)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 7) \cdot (x - 7)$ weg!

$\frac{x}{x - 7} - \frac{10}{x + 7}$	=	$\frac{88}{(x + 7) \cdot (x - 7)}$	\|⋅( $(x + 7) \cdot (x - 7)$ )
$\frac{x}{x - 7} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7) - \frac{10}{x + 7} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7)$	=	$\frac{88}{(x + 7) \cdot (x - 7)} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7)$
$x \cdot (x + 7) - 10 x + 70$	=	$88 \frac{x + 7}{x + 7}$
$x \cdot (x + 7) - 10 x + 70$	=	$88$
$x^{2} + 7 x - 10 x + 70$	=	$88$
$x^{2} - 3 x + 70$	=	$88$

x^{2} - 3 x + 70

=

88

|

- 88

$x^{2} - 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 8} + \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 11 x - 2}{2 x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; $- 1$ }

$\frac{3 x}{3 x + 8} + \frac{- 11 x - 2}{2 x + 2} + \frac{3 x}{x + 1}$	=	0
$\frac{3 x}{3 x + 8} + \frac{- 11 x - 2}{2 (x + 1)} + \frac{3 x}{x + 1}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{3 x}{3 x + 8} + \frac{- 11 x - 2}{2 (x + 1)} + \frac{3 x}{x + 1}$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{3 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{- 11 x - 2}{2 (x + 1)} \cdot (3 x + 8) + \frac{3 x}{x + 1} \cdot (3 x + 8)$	=
$3 x + \frac{(- 11 x - 2) \cdot (3 x + 8)}{2 (x + 1)} + \frac{3 x \cdot (3 x + 8)}{x + 1}$	=
$3 x + \frac{- 33 x^{2} - 94 x - 16}{2 (x + 1)} + \frac{9 x^{2} + 24 x}{x + 1}$	=
$\frac{9 x^{2} + 24 x}{x + 1} + \frac{- 33 x^{2} - 94 x - 16}{2 (x + 1)} + 3 x$	=

\frac{- 33 x^{2} - 94 x - 16}{2 (x + 1)} + \frac{9 x^{2} + 24 x}{x + 1} + 3 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{- 33 x^{2} - 94 x - 16}{2 (x + 1)} + \frac{9 x^{2} + 24 x}{x + 1} + 3 x$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{- 33 x^{2} - 94 x - 16}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{9 x^{2} + 24 x}{x + 1} \cdot (2 (x + 1)) + 3 x \cdot (2 (x + 1))$	=
$- 33 x^{2} - 94 x - 16 + 18 x^{2} + 48 x + 6 x \cdot (x + 1)$	=
$- 33 x^{2} - 94 x - 16 + 18 x^{2} + 48 x + (6 x^{2} + 6 x)$	=
$- 9 x^{2} - 40 x - 16$	=

$- 9 x^{2} - 40 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{{(- 40)}^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{1 600 - 576}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{1 024}}{- 18}$

x₁ = $\frac{40 + \sqrt{1 024}}{- 18}$ = $\frac{40+32}{- 18}$ = $\frac{72}{- 18}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{40 - \sqrt{1 024}}{- 18}$ = $\frac{40-32}{- 18}$ = $\frac{8}{- 18}$ = $- \frac{4}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} - 40 x - 16$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} + \frac{40}{9} x + \frac{16}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{20}{9})}^{2} - (\frac{16}{9})$ = $\frac{400}{81}$ $-$ $\frac{16}{9}$ = $\frac{400}{81}$ $-$ $\frac{144}{81}$ = $\frac{256}{81}$

x_1,2 = $- \frac{20}{9}$ ± $\sqrt{\frac{256}{81}}$

x₁ = $- \frac{20}{9}$ - $\frac{16}{9}$ = $- \frac{36}{9}$ = -4

x₂ = $- \frac{20}{9}$ + $\frac{16}{9}$ = $- \frac{4}{9}$ = -0.44444444444444

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{4}{9}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{10}{x^{3}} + \frac{24}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{10}{x^{3}} + \frac{24}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{10}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{24}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$10 x + 24$	=	$- x^{2}$

10 x + 24

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 10 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 10+2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 10-2}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 5$ - $1$ = -6

x₂ = $- 5$ + $1$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 + \frac{18}{x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$5 + \frac{18}{x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $x$ )
$5 \cdot x + \frac{18}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 2 \cdot x$
$5 x + 18$	=	$x \cdot x + 2 x$

5 x + 18

=

x^{2} + 2 x

|

- x^{2}

- 2 x

$- x^{2} + 3 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 18}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 3+9}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 3-9}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{- 5 x - 2}{9 x + 30}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{10}{3}$ ; $- \frac{8}{3}$ }

$\frac{- 5 x - 2}{9 x + 30} + \frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{2 x}{3 x + 8}$	=	0
$\frac{- 5 x - 2}{3 (3 x + 10)} + \frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{2 x}{3 x + 8}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (3 x + 10)$ weg!

$\frac{- 5 x - 2}{3 (3 x + 10)} + \frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{2 x}{3 x + 8}$	=	\|⋅( $3 (3 x + 10)$ )
$\frac{- 5 x - 2}{3 (3 x + 10)} \cdot (3 (3 x + 10)) + \frac{x + 2}{3 x + 10} \cdot (3 (3 x + 10)) + \frac{2 x}{3 x + 8} \cdot (3 (3 x + 10))$	=
$- 5 x - 2 + 3 x + 6 + 3 \frac{2 x \cdot (3 x + 10)}{3 x + 8}$	=
$- 5 x - 2 + 3 x + 6 + \frac{3 (6 x^{2} + 20 x)}{3 x + 8}$	=
$\frac{3 (6 x^{2} + 20 x)}{3 x + 8} - 5 x + 3 x - 2 + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{3 (6 x^{2} + 20 x)}{3 x + 8} - 5 x + 3 x - 2 + 6$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{3 (6 x^{2} + 20 x)}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) - 5 x \cdot (3 x + 8) + 3 x \cdot (3 x + 8) - 2 \cdot (3 x + 8) + 6 \cdot (3 x + 8)$	=
$18 x^{2} + 60 x - 5 x \cdot (3 x + 8) + 3 x \cdot (3 x + 8) - 6 x - 16 + 18 x + 48$	=
$18 x^{2} + 60 x + (- 15 x^{2} - 40 x) + (9 x^{2} + 24 x) - 6 x - 16 + 18 x + 48$	=
$12 x^{2} + 56 x + 32$	=

12 x^{2} + 56 x + 32

= 0 |:4

$3 x^{2} + 14 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{100}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{- 14+10}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{- 14-10}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 14 x + 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{14}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{3})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{25}{9}$

x_1,2 = $- \frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{25}{9}}$

x₁ = $- \frac{7}{3}$ - $\frac{5}{3}$ = $- \frac{12}{3}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{3}$ + $\frac{5}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 1$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 1$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 1$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 1 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + x$	=	$- x^{2}$
$a + x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):