Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6}{x}$ = $- \frac{2}{9}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6}{x}$	=	$- \frac{2}{9}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{6}{x} \cdot x$	=	$- \frac{2}{9} \cdot x$
$6$	=	$- \frac{2}{9} x$

$6$	=	$- \frac{2}{9} x$	\|⋅ 9
$54$	=	$- 2 x$	\| $- 54$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$- 54$	\|: $2$
$x$	=	$- 27$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 27$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5 x}{x - 4} + \frac{68}{2 x - 8}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

\frac{5 x}{x - 4} + \frac{68}{2 (x - 4)}

=

- 1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{5 x}{x - 4} + \frac{68}{2 (x - 4)}$	=	$- 1$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{5 x}{x - 4} \cdot (x - 4) + \frac{68}{2 (x - 4)} \cdot (x - 4)$	=	$- 1 \cdot (x - 4)$
$5 x + 34$	=	$- (x - 4)$

$5 x + 34$	=	$- x + 4$	\| $- 34$
$5 x$	=	$- x - 30$	\| $+ x$
$6 x$	=	$- 30$	\|: $6$
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 8} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 8} - 2$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{2 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) - 2 \cdot (3 x + 8)$	=
$2 x - 6 x - 16$	=
$- 4 x - 16$	=

$- 4 x - 16$	=	0	\| $+ 16$
$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 - \frac{2}{x} + \frac{15}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 - \frac{2}{x} + \frac{15}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{2}{x} \cdot x^{2} + \frac{15}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} - 2 x + 15$

0

=

- x^{2} - 2 x + 15

|

+ x^{2}

+ 2 x

- 15

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x - 5}{3 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{4 x - 5}{3 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{4 x - 5}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 4 \cdot 3 x$
$4 x - 5$	=	$3 x \cdot x - 12 x$

4 x - 5

=

3 x^{2} - 12 x

|

- 3 x^{2}

+ 12 x

$- 3 x^{2} + 16 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 60}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{196}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{- 16+14}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{- 16-14}{- 6}$ = $\frac{- 30}{- 6}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 16 x - 5$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{16}{3} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{3})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{49}{9}$

x_1,2 = $\frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{49}{9}}$

x₁ = $\frac{8}{3}$ - $\frac{7}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{8}{3}$ + $\frac{7}{3}$ = $\frac{15}{3}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 10} + \frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{- 3 x + 2}{3 x - 10}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ ; $\frac{8}{3}$ }

\frac{- 3 x + 2 + x}{3 x - 10} + \frac{3 x}{3 x - 8}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{- 3 x + 2 + x}{3 x - 10} + \frac{3 x}{3 x - 8}$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{- 3 x + 2 + x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + \frac{3 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 10)$	=
$- 3 x + 2 + x + \frac{3 x \cdot (3 x - 10)}{3 x - 8}$	=
$- 3 x + 2 + x + \frac{9 x^{2} - 30 x}{3 x - 8}$	=
$\frac{9 x^{2} - 30 x}{3 x - 8} - 3 x + x + 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 30 x}{3 x - 8} - 3 x + x + 2$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{9 x^{2} - 30 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) - 3 x \cdot (3 x - 8) + x \cdot (3 x - 8) + 2 \cdot (3 x - 8)$	=
$9 x^{2} - 30 x - 3 x \cdot (3 x - 8) + x \cdot (3 x - 8) + 6 x - 16$	=
$9 x^{2} - 30 x + (- 9 x^{2} + 24 x) + (3 x^{2} - 8 x) + 6 x - 16$	=
$3 x^{2} - 8 x - 16$	=

$3 x^{2} - 8 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 192}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{256}}{6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{8+16}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{8-16}{6}$ = $\frac{- 8}{6}$ = $- \frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 8 x - 16$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{8}{3} x - \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{3})}^{2} - (- \frac{16}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{48}{9}$ = $\frac{64}{9}$

x_1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{64}{9}}$

x₁ = $\frac{4}{3}$ - $\frac{8}{3}$ = $- \frac{4}{3}$ = -1.3333333333333

x₂ = $\frac{4}{3}$ + $\frac{8}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{3}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $4$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $4$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$4$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$4 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$4 x$
$x^{2} + a - 4 x$	=	0
$x^{2} - 4 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 4 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -4 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (3 + 1)$ = -4

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot 1$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

L={ $1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):