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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{- 5 x - 85}{3 x + 3}$ = $5$

D=R\{ $- 1$ }

\frac{- 5 x - 85}{3 (x + 1)}

=

5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$\frac{- 5 x - 85}{3 (x + 1)}$	=	$5$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{- 5 x - 85}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$	=	$5 \cdot (3 (x + 1))$
$- 5 x - 85$	=	$15 (x + 1)$

$- 5 x - 85$	=	$15 x + 15$	\| $+ 85$
$- 5 x$	=	$15 x + 100$	\| $- 15 x$
$- 20 x$	=	$100$	\|:( $- 20$ )
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 65}{2 x - 5}$ = $- x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$- \frac{65}{2 x - 5}$	=	$- x + 1$	\|⋅( $2 x - 5$ )
$- \frac{65}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5)$	=	$- x \cdot (2 x - 5) + 1 \cdot (2 x - 5)$
$- 65$	=	$- x \cdot (2 x - 5) + 2 x - 5$
$- 65$	=	$- 2 x^{2} + 7 x - 5$

- 65

=

- 2 x^{2} + 7 x - 5

|

+ 2 x^{2}

- 7 x

+ 5

$2 x^{2} - 7 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 480}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{7+23}{4}$ = $\frac{30}{4}$ = $7,5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{7-23}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x - 60$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $30$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{480}{16}$ = $\frac{529}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{529}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{23}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{23}{4}$ = $\frac{30}{4}$ = 7.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $7,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x - 2} + \frac{x}{3 x + 4} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ ; $2$ }

\frac{x}{3 x + 4} + \frac{8 x}{x - 2} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{x}{3 x + 4} + \frac{8 x}{x - 2} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{8 x}{x - 2} \cdot (3 x + 4) - 5 \cdot (3 x + 4)$	=
$x + \frac{8 x \cdot (3 x + 4)}{x - 2} - 15 x - 20$	=
$x + \frac{24 x^{2} + 32 x}{x - 2} - 15 x - 20$	=
$\frac{24 x^{2} + 32 x}{x - 2} + x - 15 x - 20$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{24 x^{2} + 32 x}{x - 2} + x - 15 x - 20$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{24 x^{2} + 32 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + x \cdot (x - 2) - 15 x \cdot (x - 2) - 20 \cdot (x - 2)$	=
$24 x^{2} + 32 x + x \cdot (x - 2) - 15 x \cdot (x - 2) - 20 x + 40$	=
$24 x^{2} + 32 x + (x^{2} - 2 x) + (- 15 x^{2} + 30 x) - 20 x + 40$	=
$10 x^{2} + 40 x + 40$	=

10 x^{2} + 40 x + 40

= 0 |:10

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} + \frac{14}{x^{2}} - \frac{40}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} + \frac{14}{x^{2}} - \frac{40}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{14}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{40}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} + 14 x - 40$

0

=

- x^{2} + 14 x - 40

|

+ x^{2}

- 14 x

+ 40

$x^{2} - 14 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{14+6}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{14-6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 40$ = $49$ $-$ $40$ = $9$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $7$ - $3$ = 4

x₂ = $7$ + $3$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11}{2} + \frac{1}{x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{11}{2} + \frac{1}{x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $x$ )
$\frac{11}{2} \cdot x + \frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 4 \cdot x$
$\frac{11}{2} x + 1$	=	$x \cdot x + 4 x$

$\frac{11}{2} x + 1$	=	$x^{2} + 4 x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{11}{2} x + 1)$	=	$2 (x^{2} + 4 x)$
$11 x + 2$	=	$2 x^{2} + 8 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 8 x$

$- 2 x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 2}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 3+5}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 3-5}{- 4}$ = $\frac{- 8}{- 4}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 3 x + 2$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $1$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 2} + \frac{6 x}{3 x - 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ ; $1$ }

$\frac{6 x}{3 x - 2} + \frac{3 x}{2 x - 2} - 6$	=	0
$\frac{6 x}{3 x - 2} + \frac{3 x}{2 (x - 1)} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{3 x - 2} + \frac{3 x}{2 (x - 1)} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{6 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + \frac{3 x}{2 (x - 1)} \cdot (3 x - 2) - 6 \cdot (3 x - 2)$	=
$6 x + \frac{3 x \cdot (3 x - 2)}{2 (x - 1)} - 18 x + 12$	=
$6 x + \frac{9 x^{2} - 6 x}{2 (x - 1)} - 18 x + 12$	=
$\frac{9 x^{2} - 6 x}{2 (x - 1)} + 6 x - 18 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 6 x}{2 (x - 1)} + 6 x - 18 x + 12$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{9 x^{2} - 6 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + 6 x \cdot (2 (x - 1)) - 18 x \cdot (2 (x - 1)) + 12 \cdot (2 (x - 1))$	=
$9 x^{2} - 6 x + 12 x \cdot (x - 1) - 36 x \cdot (x - 1) + 24 x - 24$	=
$9 x^{2} - 6 x + (12 x^{2} - 12 x) + (- 36 x^{2} + 36 x) + 24 x - 24$	=
$- 15 x^{2} + 42 x - 24$	=

- 15 x^{2} + 42 x - 24

= 0 |:3

$- 5 x^{2} + 14 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{36}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{- 14+6}{- 10}$ = $\frac{- 8}{- 10}$ = $0,8$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{- 14-6}{- 10}$ = $\frac{- 20}{- 10}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 14 x - 8$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{14}{5} x + \frac{8}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{5})}^{2} - (\frac{8}{5})$ = $\frac{49}{25}$ $-$ $\frac{8}{5}$ = $\frac{49}{25}$ $-$ $\frac{40}{25}$ = $\frac{9}{25}$

x_1,2 = $\frac{7}{5}$ ± $\sqrt{\frac{9}{25}}$

x₁ = $\frac{7}{5}$ - $\frac{3}{5}$ = $\frac{4}{5}$ = 0.8

x₂ = $\frac{7}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $\frac{10}{5}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,8$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{6}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{6}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{6}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{6}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 6 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 6 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 3)$ = -6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 3)$ = $1$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 1 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):