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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6}{x}$ = $- \frac{2}{3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{6}{x}$	=	$- \frac{2}{3}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{6}{x} \cdot x$	=	$- \frac{2}{3} \cdot x$
$- 6$	=	$- \frac{2}{3} x$

$- 6$	=	$- \frac{2}{3} x$	\|⋅ 3
$- 18$	=	$- 2 x$	\| $+ 18$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$18$	\|: $2$
$x$	=	$9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5$ = $- \frac{42 x}{x - 5} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$- 5$	=	$- \frac{42 x}{x - 5} - 2 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$- 5 \cdot (x - 5)$	=	$- \frac{42 x}{x - 5} \cdot (x - 5) - 2 x \cdot (x - 5)$
$- 5 (x - 5)$	=	$- 42 x - 2 x (x - 5)$
$- 5 x + 25$	=	$- 42 x - 2 x (x - 5)$
$- 5 x + 25$	=	$- 2 x^{2} - 32 x$

- 5 x + 25

=

- 2 x^{2} - 32 x

|

+ 2 x^{2}

+ 32 x

$2 x^{2} + 27 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{27^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 25}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{729 - 200}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{- 27 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 27+23}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 27 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 27-23}{4}$ = $\frac{- 50}{4}$ = $- 12,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 27 x + 25$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{27}{2} x + \frac{25}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{27}{4})}^{2} - (\frac{25}{2})$ = $\frac{729}{16}$ $-$ $\frac{25}{2}$ = $\frac{729}{16}$ $-$ $\frac{200}{16}$ = $\frac{529}{16}$

x_1,2 = $- \frac{27}{4}$ ± $\sqrt{\frac{529}{16}}$

x₁ = $- \frac{27}{4}$ - $\frac{23}{4}$ = $- \frac{50}{4}$ = -12.5

x₂ = $- \frac{27}{4}$ + $\frac{23}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 12,5$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11 x + 1}{3 x} + \frac{2 x}{x + 1} + \frac{- 30 x}{3 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{11 x + 1}{3 x} - \frac{30 x}{3 x + 3}$	=	0
$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{11 x + 1}{3 x} - \frac{30 x}{3 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{11 x + 1}{3 x} - \frac{30 x}{3 (x + 1)}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{11 x + 1}{3 x} \cdot (x + 1) - \frac{30 x}{3 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=
$2 x + \frac{(11 x + 1) (x + 1)}{3 x} - 10 x$	=
$2 x + \frac{11 x^{2} + 12 x + 1}{3 x} - 10 x$	=
$\frac{11 x^{2} + 12 x + 1}{3 x} + 2 x - 10 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{11 x^{2} + 12 x + 1}{3 x} + 2 x - 10 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{11 x^{2} + 12 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + 2 x \cdot 3 x - 10 x \cdot 3 x$	=
$11 x^{2} + 12 x + 1 + 6 x \cdot x - 30 x \cdot x$	=
$11 x^{2} + 12 x + 1 + 6 x^{2} - 30 x^{2}$	=
$- 13 x^{2} + 12 x + 1$	=

$- 13 x^{2} + 12 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 13) \cdot 1}}{2 \cdot (- 13)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 52}}{- 26}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{196}}{- 26}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{196}}{- 26}$ = $\frac{- 12+14}{- 26}$ = $\frac{2}{- 26}$ = $- \frac{1}{13}$ ≈ -0.08

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{196}}{- 26}$ = $\frac{- 12-14}{- 26}$ = $\frac{- 26}{- 26}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 13$ " teilen:

$- 13 x^{2} + 12 x + 1$ = 0 |: $- 13$

$x^{2} - \frac{12}{13} x - \frac{1}{13}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{6}{13})}^{2} - (- \frac{1}{13})$ = $\frac{36}{169}$ $+$ $\frac{1}{13}$ = $\frac{36}{169}$ $+$ $\frac{13}{169}$ = $\frac{49}{169}$

x_1,2 = $\frac{6}{13}$ ± $\sqrt{\frac{49}{169}}$

x₁ = $\frac{6}{13}$ - $\frac{7}{13}$ = $- \frac{1}{13}$ = -0.076923076923077

x₂ = $\frac{6}{13}$ + $\frac{7}{13}$ = $\frac{13}{13}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{13}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{2}{x^{3}} - \frac{35}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{2}{x^{3}} - \frac{35}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{2}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{35}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 2 x - 35$	=	$- x^{2}$

- 2 x - 35

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 2 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $1$ - $6$ = -5

x₂ = $1$ + $6$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x - 3}{x + 4}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{9 x - 3}{x + 4}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{9 x - 3}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$4 x \cdot (x + 4)$
$9 x - 3$	=	$4 x (x + 4)$
$9 x - 3$	=	$4 x^{2} + 16 x$

9 x - 3

=

4 x^{2} + 16 x

|

- 4 x^{2}

- 16 x

$- 4 x^{2} - 7 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 8}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 8}$ = $\frac{7+1}{- 8}$ = $\frac{8}{- 8}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 8}$ = $\frac{7-1}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 7 x - 3$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{7}{4} x + \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{8})}^{2} - (\frac{3}{4})$ = $\frac{49}{64}$ $-$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{49}{64}$ $-$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{1}{64}$

x_1,2 = $- \frac{7}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1}{64}}$

x₁ = $- \frac{7}{8}$ - $\frac{1}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

x₂ = $- \frac{7}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 2} + \frac{4}{x} + \frac{- 3 x}{2 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

$- \frac{3 x}{2 x - 4} + \frac{x}{x - 2} + \frac{4}{x}$	=	0
$- \frac{3 x}{2 (x - 2)} + \frac{x}{x - 2} + \frac{4}{x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$- \frac{3 x}{2 (x - 2)} + \frac{x}{x - 2} + \frac{4}{x}$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$- \frac{3 x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{x}{x - 2} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{4}{x} \cdot (2 (x - 2))$	=
$- 3 x + 2 x + 8 \frac{x - 2}{x}$	=
$\frac{8 (x - 2)}{x} - 3 x + 2 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{8 (x - 2)}{x} - 3 x + 2 x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{8 (x - 2)}{x} \cdot x - 3 x \cdot x + 2 x \cdot x$	=
$8 x - 16 - 3 x \cdot x + 2 x \cdot x$	=
$8 x - 16 - 3 x^{2} + 2 x^{2}$	=
$- x^{2} + 8 x - 16$	=

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 3$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 3$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 3$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 3 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 3 x$
$x^{2} + a + 3 x$	=	0
$x^{2} + 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (2 - 5)$ = 3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 5)$ = $- 10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):