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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5 x}{2 x - 1} - \frac{9}{2 x - 1}$ = $3$

D=R\{ $\frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{5 x}{2 x - 1} - \frac{9}{2 x - 1}$	=	$3$	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{5 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) - \frac{9}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1)$	=	$3 \cdot (2 x - 1)$
$5 x - 9$	=	$3 (2 x - 1)$

$5 x - 9$	=	$6 x - 3$	\| $+ 9$
$5 x$	=	$6 x + 6$	\| $- 6 x$
$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{48}{3 x + 6}$ = $- 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{2 x}{x + 2} + \frac{48}{3 (x + 2)}

=

- 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{48}{3 (x + 2)}$	=	$- 4$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{48}{3 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=	$- 4 \cdot (x + 2)$
$2 x + 16$	=	$- 4 (x + 2)$

$2 x + 16$	=	$- 4 x - 8$	\| $- 16$
$2 x$	=	$- 4 x - 24$	\| $+ 4 x$
$6 x$	=	$- 24$	\|: $6$
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{3 x - 9} + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ ; $3$ }

$\frac{2 x - 2}{2 x - 5} + \frac{2 x + 1}{3 x - 9} - 5$	=	0
$\frac{2 x - 2}{2 x - 5} + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{2 x - 2}{2 x - 5} + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} - 5$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{2 x - 2}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} \cdot (2 x - 5) - 5 \cdot (2 x - 5)$	=
$2 x - 2 + \frac{(2 x + 1) \cdot (2 x - 5)}{3 (x - 3)} - 10 x + 25$	=
$2 x - 2 + \frac{4 x^{2} - 8 x - 5}{3 (x - 3)} - 10 x + 25$	=
$\frac{4 x^{2} - 8 x - 5}{3 (x - 3)} + 2 x - 10 x - 2 + 25$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 5}{3 (x - 3)} + 2 x - 10 x - 2 + 25$	=	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{4 x^{2} - 8 x - 5}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + 2 x \cdot (3 (x - 3)) - 10 x \cdot (3 (x - 3)) - 2 \cdot (3 (x - 3)) + 25 \cdot (3 (x - 3))$	=
$4 x^{2} - 8 x - 5 + 6 x \cdot (x - 3) - 30 x \cdot (x - 3) - 6 x + 18 + 75 x - 225$	=
$4 x^{2} - 8 x - 5 + (6 x^{2} - 18 x) + (- 30 x^{2} + 90 x) - 6 x + 18 + 75 x - 225$	=
$- 20 x^{2} + 133 x - 212$	=

$- 20 x^{2} + 133 x - 212$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 133 \pm \sqrt{133^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot (- 212)}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{- 133 \pm \sqrt{17 689 - 16 960}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{- 133 \pm \sqrt{729}}{- 40}$

x₁ = $\frac{- 133 + \sqrt{729}}{- 40}$ = $\frac{- 133+27}{- 40}$ = $\frac{- 106}{- 40}$ = $2,65$

x₂ = $\frac{- 133 - \sqrt{729}}{- 40}$ = $\frac{- 133-27}{- 40}$ = $\frac{- 160}{- 40}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} + 133 x - 212$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} - \frac{133}{20} x + \frac{53}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{133}{40})}^{2} - (\frac{53}{5})$ = $\frac{17689}{1600}$ $-$ $\frac{53}{5}$ = $\frac{17689}{1600}$ $-$ $\frac{16960}{1600}$ = $\frac{729}{1600}$

x_1,2 = $\frac{133}{40}$ ± $\sqrt{\frac{729}{1600}}$

x₁ = $\frac{133}{40}$ - $\frac{27}{40}$ = $\frac{106}{40}$ = 2.65

x₂ = $\frac{133}{40}$ + $\frac{27}{40}$ = $\frac{160}{40}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2,65$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 3 x - 10}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{- 3 x - 10}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{- 3 x - 10}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 3 x - 10$	=	$- x^{2}$

- 3 x - 10

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 6}{x - 2}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{5 x - 6}{x - 2}$	=	$x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{5 x - 6}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$x \cdot (x - 2)$
$5 x - 6$	=	$x \cdot (x - 2)$
$5 x - 6$	=	$x^{2} - 2 x$

5 x - 6

=

x^{2} - 2 x

|

- x^{2}

+ 2 x

$- x^{2} + 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 7+5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 7-5}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{x + 1} + \frac{x - 3}{x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 1$ }

\frac{x - 3}{x} + \frac{x - 1}{x + 1} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x - 3}{x} + \frac{x - 1}{x + 1} - 4$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x - 3}{x} \cdot x + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot x - 4 \cdot x$	=
$x - 3 + \frac{(x - 1) x}{x + 1} - 4 x$	=
$x - 3 + \frac{x^{2} - x}{x + 1} - 4 x$	=
$\frac{x^{2} - x}{x + 1} + x - 4 x - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{x^{2} - x}{x + 1} + x - 4 x - 3$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{x^{2} - x}{x + 1} \cdot (x + 1) + x \cdot (x + 1) - 4 x \cdot (x + 1) - 3 \cdot (x + 1)$	=
$x^{2} - x + x \cdot (x + 1) - 4 x \cdot (x + 1) - 3 x - 3$	=
$x^{2} - x + (x^{2} + x) + (- 4 x^{2} - 4 x) - 3 x - 3$	=
$- 2 x^{2} - 7 x - 3$	=

$- 2 x^{2} - 7 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{7+5}{- 4}$ = $\frac{12}{- 4}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{7-5}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 7 x - 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{18}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{18}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 18$
$x^{2} + a x + 18$	=	0
$x^{2} + a x + 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 9$ = 18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 9)$ = $- 11$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -11 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

L={ $2$ ; $9$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):