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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5 x}{x + 2}$ = $3$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{5 x}{x + 2}$	=	$3$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{5 x}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$3 \cdot (x + 2)$
$5 x$	=	$3 (x + 2)$

$5 x$	=	$3 x + 6$	\| $- 3 x$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9 x}{x + 3} - \frac{198}{2 x + 6}$ = $- 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

\frac{9 x}{x + 3} - \frac{198}{2 (x + 3)}

=

- 5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{9 x}{x + 3} - \frac{198}{2 (x + 3)}$	=	$- 5$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{9 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{- 198}{2 (x + 3)} \cdot (x + 3)$	=	$- 5 \cdot (x + 3)$
$9 x - 99$	=	$- 5 (x + 3)$

$9 x - 99$	=	$- 5 x - 15$	\| $+ 99$
$9 x$	=	$- 5 x + 84$	\| $+ 5 x$
$14 x$	=	$84$	\|: $14$
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 2}{x} + \frac{4 x}{3 x + 4} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{3 x - 2}{x} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{3 x - 2}{x} - 8$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{4 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{3 x - 2}{x} \cdot (3 x + 4) - 8 \cdot (3 x + 4)$	=
$4 x + \frac{(3 x - 2) (3 x + 4)}{x} - 24 x - 32$	=
$4 x + \frac{9 x^{2} + 6 x - 8}{x} - 24 x - 32$	=
$\frac{9 x^{2} + 6 x - 8}{x} + 4 x - 24 x - 32$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9 x^{2} + 6 x - 8}{x} + 4 x - 24 x - 32$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{9 x^{2} + 6 x - 8}{x} \cdot x + 4 x \cdot x - 24 x \cdot x - 32 \cdot x$	=
$9 x^{2} + 6 x - 8 + 4 x \cdot x - 24 x \cdot x - 32 x$	=
$9 x^{2} + 6 x - 8 + 4 x^{2} - 24 x^{2} - 32 x$	=
$- 11 x^{2} - 26 x - 8$	=

$- 11 x^{2} - 26 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 352}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{324}}{- 22}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{324}}{- 22}$ = $\frac{26+18}{- 22}$ = $\frac{44}{- 22}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{324}}{- 22}$ = $\frac{26-18}{- 22}$ = $\frac{8}{- 22}$ = $- \frac{4}{11}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 11$ " teilen:

$- 11 x^{2} - 26 x - 8$ = 0 |: $- 11$

$x^{2} + \frac{26}{11} x + \frac{8}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{11})}^{2} - (\frac{8}{11})$ = $\frac{169}{121}$ $-$ $\frac{8}{11}$ = $\frac{169}{121}$ $-$ $\frac{88}{121}$ = $\frac{81}{121}$

x_1,2 = $- \frac{13}{11}$ ± $\sqrt{\frac{81}{121}}$

x₁ = $- \frac{13}{11}$ - $\frac{9}{11}$ = $- \frac{22}{11}$ = -2

x₂ = $- \frac{13}{11}$ + $\frac{9}{11}$ = $- \frac{4}{11}$ = -0.36363636363636

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{4}{11}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x^{3}} + \frac{21}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x^{3}} + \frac{21}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{4}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{21}{x^{4}} \cdot x^{4}$
=	$- x^{2} - 4 x + 21$

0

=

- x^{2} - 4 x + 21

|

+ x^{2}

+ 4 x

- 21

$x^{2} + 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 2$ - $5$ = -7

x₂ = $- 2$ + $5$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 4$ = $\frac{- 26 x + 5}{3 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x - 4$	=	$\frac{- 26 x + 5}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x - 4 \cdot 3 x$	=	$\frac{- 26 x + 5}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x - 12 x$	=	$- 26 x + 5$
$3 x^{2} - 12 x$	=	$- 26 x + 5$

3 x^{2} - 12 x

=

- 26 x + 5

|

+ 26 x

- 5

$3 x^{2} + 14 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{256}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{- 14+16}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{- 14-16}{6}$ = $\frac{- 30}{6}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 14 x - 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{14}{3} x - \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3})$ = $\frac{49}{9}$ $+$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{49}{9}$ $+$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{64}{9}$

x_1,2 = $- \frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{64}{9}}$

x₁ = $- \frac{7}{3}$ - $\frac{8}{3}$ = $- \frac{15}{3}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{3}$ + $\frac{8}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x + 6} + \frac{3 x - 4}{x} + \frac{8 x}{- 4 x - 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

$\frac{2 x}{2 x + 6} + \frac{3 x - 4}{x} + \frac{8 x}{- 4 x - 12}$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x + 3)} + \frac{3 x - 4}{x} + \frac{8 x}{- 4 (x + 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x + 3)} + \frac{3 x - 4}{x} + \frac{8 x}{- 4 (x + 3)}$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{2 x}{2 (x + 3)} \cdot (x + 3) + \frac{3 x - 4}{x} \cdot (x + 3) + \frac{8 x}{- 4 (x + 3)} \cdot (x + 3)$	=
$x + \frac{(3 x - 4) (x + 3)}{x} - 2 x$	=
$x + \frac{3 x^{2} + 5 x - 12}{x} - 2 x$	=
$\frac{3 x^{2} + 5 x - 12}{x} + x - 2 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 5 x - 12}{x} + x - 2 x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x^{2} + 5 x - 12}{x} \cdot x + x \cdot x - 2 x \cdot x$	=
$3 x^{2} + 5 x - 12 + x \cdot x - 2 x \cdot x$	=
$3 x^{2} + 5 x - 12 + x^{2} - 2 x^{2}$	=
$2 x^{2} + 5 x - 12$	=

$2 x^{2} + 5 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 5+11}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 5-11}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x - 12$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1,5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 8 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 8 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 8 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 8 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 8 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 8 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $- (2 + 6)$ = -8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 6$ = $12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

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Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):