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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{1}{x - 2}$ = $- 1$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{1}{x - 2}$	=	$- 1$	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{1}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 1 \cdot (x - 2)$
$- 1$	=	$- (x - 2)$

$- 1$	=	$- x + 2$	\| $+ 1$ $+ x$
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2$ = $- \frac{5 x}{3 x + 2} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$- 2$	=	$- \frac{5 x}{3 x + 2} - x$	\|⋅( $3 x + 2$ )
$- 2 \cdot (3 x + 2)$	=	$- \frac{5 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) - x \cdot (3 x + 2)$
$- 2 (3 x + 2)$	=	$- 5 x - x (3 x + 2)$
$- 6 x - 4$	=	$- 5 x - x (3 x + 2)$
$- 6 x - 4$	=	$- 3 x^{2} - 7 x$

- 6 x - 4

=

- 3 x^{2} - 7 x

|

+ 3 x^{2}

+ 7 x

$3 x^{2} + x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 1+7}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 1-7}{6}$ = $\frac{- 8}{6}$ = $- \frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + x - 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{1}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $- \frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $- \frac{1}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $- \frac{8}{6}$ = -1.3333333333333

x₂ = $- \frac{1}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{3}$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{2 x + 2} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{x - 1}{2 (x + 1)} - 1

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{x - 1}{2 (x + 1)} - 1$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{x - 1}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) - 1 \cdot (2 (x + 1))$	=
$x - 1 - 2 x - 2$	=
$- x - 3$	=

$- x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$ = $\frac{1}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$	=	$\frac{1}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{2}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{1}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} - 2$	=	$x$

x^{2} - 2

=

x

|

- x

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 20 x - 8}{3 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 20 x - 8}{3 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 20 x - 8}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 2 \cdot 3 x$
$- 20 x - 8$	=	$3 x \cdot x - 6 x$

- 20 x - 8

=

3 x^{2} - 6 x

|

- 3 x^{2}

+ 6 x

$- 3 x^{2} - 14 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{100}}{- 6}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{100}}{- 6}$ = $\frac{14+10}{- 6}$ = $\frac{24}{- 6}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{100}}{- 6}$ = $\frac{14-10}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 14 x - 8$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{14}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{3})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{25}{9}$

x_1,2 = $- \frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{25}{9}}$

x₁ = $- \frac{7}{3}$ - $\frac{5}{3}$ = $- \frac{12}{3}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{3}$ + $\frac{5}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{2 x + 2} + \frac{3 x}{2 x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $- 1$ }

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{12 x}{2 x + 2} - 4$	=	0
$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{12 x}{2 (x + 1)} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{12 x}{2 (x + 1)} - 4$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{3 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{12 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 x + 1) - 4 \cdot (2 x + 1)$	=
$3 x + \frac{6 x (2 x + 1)}{x + 1} - 8 x - 4$	=
$3 x + \frac{12 x^{2} + 6 x}{x + 1} - 8 x - 4$	=
$\frac{12 x^{2} + 6 x}{x + 1} + 3 x - 8 x - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{12 x^{2} + 6 x}{x + 1} + 3 x - 8 x - 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{12 x^{2} + 6 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 3 x \cdot (x + 1) - 8 x \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=
$12 x^{2} + 6 x + 3 x (x + 1) - 8 x (x + 1) - 4 x - 4$	=
$12 x^{2} + 6 x + (3 x^{2} + 3 x) + (- 8 x^{2} - 8 x) - 4 x - 4$	=
$7 x^{2} - 3 x - 4$	=

$7 x^{2} - 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{14}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{14}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{14}$ = $\frac{3+11}{14}$ = $\frac{14}{14}$ = $1$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{14}$ = $\frac{3-11}{14}$ = $\frac{- 8}{14}$ = $- \frac{4}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} - 3 x - 4$ = 0 |: $7$

$x^{2} - \frac{3}{7} x - \frac{4}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{14})}^{2} - (- \frac{4}{7})$ = $\frac{9}{196}$ $+$ $\frac{4}{7}$ = $\frac{9}{196}$ $+$ $\frac{112}{196}$ = $\frac{121}{196}$

x_1,2 = $\frac{3}{14}$ ± $\sqrt{\frac{121}{196}}$

x₁ = $\frac{3}{14}$ - $\frac{11}{14}$ = $- \frac{8}{14}$ = -0.57142857142857

x₂ = $\frac{3}{14}$ + $\frac{11}{14}$ = $\frac{14}{14}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{7}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{6}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{6}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{6}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{6}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 6$
$a x + x^{2} + 6$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):