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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{9 x}{x - 5} - \frac{15}{x - 5}$ = $- 3$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$- \frac{9 x}{x - 5} - \frac{15}{x - 5}$	=	$- 3$	\|⋅( $x - 5$ )
$- \frac{9 x}{x - 5} \cdot (x - 5) - \frac{15}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$- 3 \cdot (x - 5)$
$- 9 x - 15$	=	$- 3 (x - 5)$

$- 9 x - 15$	=	$- 3 x + 15$	\| $+ 15$
$- 9 x$	=	$- 3 x + 30$	\| $+ 3 x$
$- 6 x$	=	$30$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{x}{x - 3} + \frac{10}{2 x - 6}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{x}{x - 3} + \frac{10}{2 (x - 3)}

=

- 1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{x}{x - 3} + \frac{10}{2 (x - 3)}$	=	$- 1$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{10}{2 (x - 3)} \cdot (x - 3)$	=	$- 1 \cdot (x - 3)$
$x + 5$	=	$- (x - 3)$

$x + 5$	=	$- x + 3$	\| $- 5$
$x$	=	$- x - 2$	\| $+ x$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x$ = $- \frac{x}{5 x + 5} - \frac{48,8}{x + 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{5 x + 5} - \frac{48,8}{x + 1}$
$- 4 x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} - \frac{48,8}{x + 1}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} - \frac{48,8}{x + 1}$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$- 4 x \cdot (5 (x + 1))$	=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) + \frac{- 48,8}{x + 1} \cdot (5 (x + 1))$
$- 20 x \cdot (x + 1)$	=	$- x - 244$
$- 20 x \cdot x - 20 x \cdot 1$	=	$- x - 244$
$- 20 x \cdot x - 20 x$	=	$- x - 244$
$- 20 x^{2} - 20 x$	=	$- x - 244$

- 20 x^{2} - 20 x

=

- x - 244

|

+ x

+ 244

$- 20 x^{2} - 19 x + 244$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot 244}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 19 520}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{19 881}}{- 40}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{19 881}}{- 40}$ = $\frac{19+141}{- 40}$ = $\frac{160}{- 40}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{19 881}}{- 40}$ = $\frac{19-141}{- 40}$ = $\frac{- 122}{- 40}$ = $3,05$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} - 19 x + 244$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} + \frac{19}{20} x - \frac{61}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{40})}^{2} - (- \frac{61}{5})$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{61}{5}$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{19520}{1600}$ = $\frac{19881}{1600}$

x_1,2 = $- \frac{19}{40}$ ± $\sqrt{\frac{19881}{1600}}$

x₁ = $- \frac{19}{40}$ - $\frac{141}{40}$ = $- \frac{160}{40}$ = -4

x₂ = $- \frac{19}{40}$ + $\frac{141}{40}$ = $\frac{122}{40}$ = 3.05

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3,05$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9}{x} + \frac{14}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{9}{x} + \frac{14}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{9}{x} \cdot x^{2} + \frac{14}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$9 x + 14$	=	$- x^{2}$

9 x + 14

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 - \frac{10}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 6 - \frac{10}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$- 6 \cdot x - \frac{10}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$- 6 x - 10$	=	$x \cdot x + x$

- 6 x - 10

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7+3}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7-3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{6 x}{x + 2} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

\frac{6 x}{x + 2} + \frac{6 x}{x + 1} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6 x}{x + 2} + \frac{6 x}{x + 1} - 5$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{6 x}{x + 1} \cdot (x + 2) - 5 \cdot (x + 2)$	=
$6 x + \frac{6 x \cdot (x + 2)}{x + 1} - 5 x - 10$	=
$6 x + \frac{6 x^{2} + 12 x}{x + 1} - 5 x - 10$	=
$\frac{6 x^{2} + 12 x}{x + 1} + 6 x - 5 x - 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 12 x}{x + 1} + 6 x - 5 x - 10$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 12 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 6 x \cdot (x + 1) - 5 x \cdot (x + 1) - 10 \cdot (x + 1)$	=
$6 x^{2} + 12 x + 6 x \cdot (x + 1) - 5 x \cdot (x + 1) - 10 x - 10$	=
$6 x^{2} + 12 x + (6 x^{2} + 6 x) + (- 5 x^{2} - 5 x) - 10 x - 10$	=
$7 x^{2} + 3 x - 10$	=

$7 x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{289}}{14}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{289}}{14}$ = $\frac{- 3+17}{14}$ = $\frac{14}{14}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{289}}{14}$ = $\frac{- 3-17}{14}$ = $\frac{- 20}{14}$ = $- \frac{10}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} + 3 x - 10$ = 0 |: $7$

$x^{2} + \frac{3}{7} x - \frac{10}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{14})}^{2} - (- \frac{10}{7})$ = $\frac{9}{196}$ $+$ $\frac{10}{7}$ = $\frac{9}{196}$ $+$ $\frac{280}{196}$ = $\frac{289}{196}$

x_1,2 = $- \frac{3}{14}$ ± $\sqrt{\frac{289}{196}}$

x₁ = $- \frac{3}{14}$ - $\frac{17}{14}$ = $- \frac{20}{14}$ = -1.4285714285714

x₂ = $- \frac{3}{14}$ + $\frac{17}{14}$ = $\frac{14}{14}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{10}{7}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 10$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 10$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 10$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 10 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 10 x$	=	$- a$
$x^{2} + 10 x + a$	=	0
$x^{2} + 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $- (2 - 12)$ = 10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 12)$ = $- 24$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -24 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):