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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{5 x}{x + 3}$ = $- 2$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{- 5 x}{x + 3}$	=	$- 2$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{- 5 x}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$- 2 \cdot (x + 3)$
$- \frac{5 x}{1}$	=	$- 2 (x + 3)$
$- 5 x$	=	$- 2 (x + 3)$

$- 5 x$	=	$- 2 x - 6$	\| $+ 2 x$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 3} - \frac{9}{x + 3}$ = $\frac{18}{x^{2} - 9}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $3$ }

\frac{x}{x - 3} - \frac{9}{x + 3}

=

\frac{18}{(x + 3) \cdot (x - 3)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 3) \cdot (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{x - 3} - \frac{9}{x + 3}$	=	$\frac{18}{(x + 3) \cdot (x - 3)}$	\|⋅( $(x + 3) \cdot (x - 3)$ )
$\frac{x}{x - 3} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3) - \frac{9}{x + 3} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$	=	$\frac{18}{(x + 3) \cdot (x - 3)} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$
$x \cdot (x + 3) - 9 x + 27$	=	$18 \frac{x + 3}{x + 3}$
$x \cdot (x + 3) - 9 x + 27$	=	$18$
$x^{2} + 3 x - 9 x + 27$	=	$18$
$x^{2} - 6 x + 27$	=	$18$

x^{2} - 6 x + 27

=

18

|

- 18

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

Lösung x= $3$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{4 x}{3 x - 6} + \frac{- 12 x}{6 x - 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

$\frac{4 x}{3 x - 6} + \frac{x + 1}{x - 1} - \frac{12 x}{6 x - 12}$	=	0
$\frac{4 x}{3 (x - 2)} + \frac{x + 1}{x - 1} - \frac{12 x}{6 (x - 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{4 x}{3 (x - 2)} + \frac{x + 1}{x - 1} - \frac{12 x}{6 (x - 2)}$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{4 x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + \frac{x + 1}{x - 1} \cdot (3 (x - 2)) - \frac{12 x}{6 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2))$	=
$4 x + 3 \frac{(x + 1) \cdot (x - 2)}{x - 1} - 6 x$	=
$4 x + \frac{3 (x^{2} - x - 2)}{x - 1} - 6 x$	=
$\frac{3 (x^{2} - x - 2)}{x - 1} + 4 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 (x^{2} - x - 2)}{x - 1} + 4 x - 6 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 (x^{2} - x - 2)}{x - 1} \cdot (x - 1) + 4 x \cdot (x - 1) - 6 x \cdot (x - 1)$	=
$3 x^{2} - 3 x - 6 + 4 x \cdot (x - 1) - 6 x \cdot (x - 1)$	=
$3 x^{2} - 3 x - 6 + (4 x^{2} - 4 x) + (- 6 x^{2} + 6 x)$	=
$x^{2} - x - 6$	=

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{56}{x^{2}}$ = $- 1 - \frac{15}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{56}{x^{2}}$	=	$- 1 - \frac{15}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{56}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{15}{x} \cdot x^{2}$
$56$	=	$- x^{2} - 15 x$

56

=

- x^{2} - 15 x

|

+ x^{2}

+ 15 x

$x^{2} + 15 x + 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 15+1}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 15-1}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 56$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $56$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{224}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 15}{x - 4}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{5 x - 15}{x - 4}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{5 x - 15}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$2 x \cdot (x - 4)$
$5 x - 15$	=	$2 x \cdot (x - 4)$
$5 x - 15$	=	$2 x^{2} - 8 x$

5 x - 15

=

2 x^{2} - 8 x

|

- 2 x^{2}

+ 8 x

$- 2 x^{2} + 13 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 13+7}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 13-7}{- 4}$ = $\frac{- 20}{- 4}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 13 x - 15$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x + \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - (\frac{15}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x + 3} + \frac{x - 1}{2 x + 4} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; $- 2$ }

$\frac{2 x}{2 x + 3} + \frac{x - 1}{2 x + 4} - 4$	=	0
$\frac{2 x}{2 x + 3} + \frac{x - 1}{2 (x + 2)} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 x + 3} + \frac{x - 1}{2 (x + 2)} - 4$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{2 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{x - 1}{2 (x + 2)} \cdot (2 x + 3) - 4 \cdot (2 x + 3)$	=
$2 x + \frac{(x - 1) \cdot (2 x + 3)}{2 (x + 2)} - 8 x - 12$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} + x - 3}{2 (x + 2)} - 8 x - 12$	=
$\frac{2 x^{2} + x - 3}{2 (x + 2)} + 2 x - 8 x - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{2 x^{2} + x - 3}{2 (x + 2)} + 2 x - 8 x - 12$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{2 x^{2} + x - 3}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + 2 x \cdot (2 (x + 2)) - 8 x \cdot (2 (x + 2)) - 12 \cdot (2 (x + 2))$	=
$2 x^{2} + x - 3 + 4 x \cdot (x + 2) - 16 x \cdot (x + 2) - 24 x - 48$	=
$2 x^{2} + x - 3 + (4 x^{2} + 8 x) + (- 16 x^{2} - 32 x) - 24 x - 48$	=
$- 10 x^{2} - 47 x - 51$	=

$- 10 x^{2} - 47 x - 51$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot (- 51)}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 - 2 040}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{169}}{- 20}$

x₁ = $\frac{47 + \sqrt{169}}{- 20}$ = $\frac{47+13}{- 20}$ = $\frac{60}{- 20}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{47 - \sqrt{169}}{- 20}$ = $\frac{47-13}{- 20}$ = $\frac{34}{- 20}$ = $- 1,7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 47 x - 51$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{47}{10} x + \frac{51}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{47}{20})}^{2} - (\frac{51}{10})$ = $\frac{2209}{400}$ $-$ $\frac{51}{10}$ = $\frac{2209}{400}$ $-$ $\frac{2040}{400}$ = $\frac{169}{400}$

x_1,2 = $- \frac{47}{20}$ ± $\sqrt{\frac{169}{400}}$

x₁ = $- \frac{47}{20}$ - $\frac{13}{20}$ = $- \frac{60}{20}$ = -3

x₂ = $- \frac{47}{20}$ + $\frac{13}{20}$ = $- \frac{34}{20}$ = -1.7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1,7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $9$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $9$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$9$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$9 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$9 x$
$x^{2} + a - 9 x$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):