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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{5}{x}$ = $\frac{5}{2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{5}{x}$	=	$\frac{5}{2}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{5}{x} \cdot x$	=	$\frac{5}{2} \cdot x$
$- 5$	=	$\frac{5}{2} x$

$- 5$	=	$\frac{5}{2} x$	\|⋅ 2
$- 10$	=	$5 x$	\| $+ 10$ $- 5 x$
$- 5 x$	=	$10$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 1$ = $- \frac{- 3}{3 x - 3} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$- 1$	=	$\frac{3}{3 x - 3} - x$
$- 1$	=	$\frac{3}{3 (x - 1)} - x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- 1$	=	$\frac{3}{3 (x - 1)} - x$	\|⋅( $x - 1$ )
$- 1 \cdot (x - 1)$	=	$\frac{3}{3 (x - 1)} \cdot (x - 1) - x \cdot (x - 1)$
$- (x - 1)$	=	$1 - x (x - 1)$
$- x + 1$	=	$1 - x (x - 1)$
$- x + 1$	=	$- x^{2} + x + 1$

$- x + 1$	=	$- x^{2} + x + 1$	\| $- 1$
$- x$	=	$- x^{2} + x$	\| $- (- x^{2} + x)$
$x^{2} - x - x$	=	0
$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{3 x + 3} - \frac{- 46}{2 x + 2} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

0	=	$- \frac{x}{3 x + 3} + \frac{46}{2 x + 2} - 4 x$
0	=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} + \frac{46}{2 (x + 1)} - 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} + \frac{46}{2 (x + 1)} - 4 x$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + \frac{46}{2 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) - 4 x \cdot (3 (x + 1))$
=	$- x + 69 - 12 x (x + 1)$
=	$- 12 x^{2} - 13 x + 69$

0

=

- 12 x^{2} - 13 x + 69

|

+ 12 x^{2}

+ 13 x

- 69

$12 x^{2} + 13 x - 69$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 69)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 3 312}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{3 481}}{24}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{3 481}}{24}$ = $\frac{- 13+59}{24}$ = $\frac{46}{24}$ = $\frac{23}{12}$ ≈ 1.92

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{3 481}}{24}$ = $\frac{- 13-59}{24}$ = $\frac{- 72}{24}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} + 13 x - 69$ = 0 |: $12$

$x^{2} + \frac{13}{12} x - \frac{23}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{24})}^{2} - (- \frac{23}{4})$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{23}{4}$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{3312}{576}$ = $\frac{3481}{576}$

x_1,2 = $- \frac{13}{24}$ ± $\sqrt{\frac{3481}{576}}$

x₁ = $- \frac{13}{24}$ - $\frac{59}{24}$ = $- \frac{72}{24}$ = -3

x₂ = $- \frac{13}{24}$ + $\frac{59}{24}$ = $\frac{46}{24}$ = 1.9166666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{23}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 13 x + 30}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- 13 x + 30}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- 13 x + 30}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 13 x + 30$	=	$- x^{2}$

- 13 x + 30

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 13 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{13+7}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{13-7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 - \frac{18}{x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$4 - \frac{18}{x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $x$ )
$4 \cdot x - \frac{18}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 5 \cdot x$
$4 x - 18$	=	$x \cdot x - 5 x$

4 x - 18

=

x^{2} - 5 x

|

- x^{2}

+ 5 x

$- x^{2} + 9 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 9+3}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 9-3}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{2 x + 6} + \frac{2 x}{3 x + 10} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{10}{3}$ ; $- 3$ }

$\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{2 x + 2}{2 x + 6} - 7$	=	0
$\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{2 x + 2}{2 (x + 3)} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{2 x + 2}{2 (x + 3)} - 7$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{2 x}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + \frac{2 x + 2}{2 (x + 3)} \cdot (3 x + 10) - 7 \cdot (3 x + 10)$	=
$2 x + \frac{(2 x + 2) (3 x + 10)}{2 (x + 3)} - 21 x - 70$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} + 26 x + 20}{2 (x + 3)} - 21 x - 70$	=
$\frac{6 x^{2} + 26 x + 20}{2 (x + 3)} + 2 x - 21 x - 70$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 26 x + 20}{2 (x + 3)} + 2 x - 21 x - 70$	=	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{6 x^{2} + 26 x + 20}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + 2 x \cdot (2 (x + 3)) - 21 x \cdot (2 (x + 3)) - 70 \cdot (2 (x + 3))$	=
$6 x^{2} + 26 x + 20 + 4 x (x + 3) - 42 x (x + 3) - 140 x - 420$	=
$6 x^{2} + 26 x + 20 + (4 x^{2} + 12 x) + (- 42 x^{2} - 126 x) - 140 x - 420$	=
$- 32 x^{2} - 228 x - 400$	=

- 32 x^{2} - 228 x - 400

= 0 |:4

$- 8 x^{2} - 57 x - 100$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 57 \pm \sqrt{{(- 57)}^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot (- 100)}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{+ 57 \pm \sqrt{3 249 - 3 200}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 57 \pm \sqrt{49}}{- 16}$

x₁ = $\frac{57 + \sqrt{49}}{- 16}$ = $\frac{57+7}{- 16}$ = $\frac{64}{- 16}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{57 - \sqrt{49}}{- 16}$ = $\frac{57-7}{- 16}$ = $\frac{50}{- 16}$ = $- 3,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} - 57 x - 100$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} + \frac{57}{8} x + \frac{25}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{57}{16})}^{2} - (\frac{25}{2})$ = $\frac{3249}{256}$ $-$ $\frac{25}{2}$ = $\frac{3249}{256}$ $-$ $\frac{3200}{256}$ = $\frac{49}{256}$

x_1,2 = $- \frac{57}{16}$ ± $\sqrt{\frac{49}{256}}$

x₁ = $- \frac{57}{16}$ - $\frac{7}{16}$ = $- \frac{64}{16}$ = -4

x₂ = $- \frac{57}{16}$ + $\frac{7}{16}$ = $- \frac{50}{16}$ = -3.125

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 3,125$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 8 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 8 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 8 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 8 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 8 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 8 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $- (2 + 6)$ = -8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 6$ = $12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):