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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{5}{x}$ = $- 1$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{5}{x}$	=	$- 1$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{5}{x} \cdot x$	=	$- 1 \cdot x$
$- 5$	=	$- x$

$- 5$	=	$- x$	\| $+ 5$ $+ x$
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6 x}{2 x + 3} - \frac{6}{6 x + 9}$ = $- 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ }

- \frac{6 x}{2 x + 3} - \frac{6}{3 (2 x + 3)}

=

- 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$- \frac{6 x}{2 x + 3} - \frac{6}{3 (2 x + 3)}$	=	$- 4$	\|⋅( $2 x + 3$ )
$- \frac{6 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{- 6}{3 (2 x + 3)} \cdot (2 x + 3)$	=	$- 4 \cdot (2 x + 3)$
$- 6 x - 2$	=	$- 4 (2 x + 3)$

$- 6 x - 2$	=	$- 8 x - 12$	\| $+ 2$
$- 6 x$	=	$- 8 x - 10$	\| $+ 8 x$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 6} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{x}{2 (x - 3)} - 2

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 3)} - 2$	=	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) - 2 \cdot (2 (x - 3))$	=
$x - 4 x + 12$	=
$- 3 x + 12$	=

$- 3 x + 12$	=	0	\| $- 12$
$- 3 x$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} + \frac{27}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} + \frac{27}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{6}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{27}{x^{4}} \cdot x^{4}$
=	$- x^{2} - 6 x + 27$

0

=

- x^{2} - 6 x + 27

|

+ x^{2}

+ 6 x

- 27

$x^{2} + 6 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 6+12}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 6-12}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 27)$ = $9$ $+$ $27$ = $36$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 3$ - $6$ = -9

x₂ = $- 3$ + $6$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{13 x - 7}{x + 5}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{13 x - 7}{x + 5}$	=	$x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{13 x - 7}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$x \cdot (x + 5)$
$13 x - 7$	=	$x \cdot (x + 5)$
$13 x - 7$	=	$x^{2} + 5 x$

13 x - 7

=

x^{2} + 5 x

|

- x^{2}

- 5 x

$- x^{2} + 8 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 8+6}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 8-6}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{2 x + 1} + \frac{6 x}{3 x + 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; $- \frac{1}{2}$ }

\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} - 6$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{6 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} \cdot (3 x + 2) - 6 \cdot (3 x + 2)$	=
$6 x + \frac{(5 x + 1) \cdot (3 x + 2)}{2 x + 1} - 18 x - 12$	=
$6 x + \frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{2 x + 1} - 18 x - 12$	=
$\frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{2 x + 1} + 6 x - 18 x - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{2 x + 1} + 6 x - 18 x - 12$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + 6 x \cdot (2 x + 1) - 18 x \cdot (2 x + 1) - 12 \cdot (2 x + 1)$	=
$15 x^{2} + 13 x + 2 + 6 x \cdot (2 x + 1) - 18 x \cdot (2 x + 1) - 24 x - 12$	=
$15 x^{2} + 13 x + 2 + (12 x^{2} + 6 x) + (- 36 x^{2} - 18 x) - 24 x - 12$	=
$- 9 x^{2} - 23 x - 10$	=

$- 9 x^{2} - 23 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{169}}{- 18}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{169}}{- 18}$ = $\frac{23+13}{- 18}$ = $\frac{36}{- 18}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{169}}{- 18}$ = $\frac{23-13}{- 18}$ = $\frac{10}{- 18}$ = $- \frac{5}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} - 23 x - 10$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} + \frac{23}{9} x + \frac{10}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{18})}^{2} - (\frac{10}{9})$ = $\frac{529}{324}$ $-$ $\frac{10}{9}$ = $\frac{529}{324}$ $-$ $\frac{360}{324}$ = $\frac{169}{324}$

x_1,2 = $- \frac{23}{18}$ ± $\sqrt{\frac{169}{324}}$

x₁ = $- \frac{23}{18}$ - $\frac{13}{18}$ = $- \frac{36}{18}$ = -2

x₂ = $- \frac{23}{18}$ + $\frac{13}{18}$ = $- \frac{10}{18}$ = -0.55555555555556

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{5}{9}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 3$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 3$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 3$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 3 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + 3 x$	=	$- x^{2}$
$a + 3 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (2 - 5)$ = 3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 5)$ = $- 10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):