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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2}{x + 8}$ = $- 2$

D=R\{ $- 8$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 8$ weg!

$- \frac{2}{x + 8}$	=	$- 2$	\|⋅( $x + 8$ )
$- \frac{2}{x + 8} \cdot (x + 8)$	=	$- 2 \cdot (x + 8)$
$- 2$	=	$- 2 (x + 8)$

$- 2$	=	$- 2 x - 16$	\| $+ 2$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$- 14$	\|: $2$
$x$	=	$- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4 x}{x + 1} + \frac{114}{3 x + 3}$ = $3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

- \frac{4 x}{x + 1} + \frac{114}{3 (x + 1)}

=

3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{4 x}{x + 1} + \frac{114}{3 (x + 1)}$	=	$3$	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{4 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{114}{3 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=	$3 \cdot (x + 1)$
$- 4 x + 38$	=	$3 (x + 1)$

$- 4 x + 38$	=	$3 x + 3$	\| $- 38$
$- 4 x$	=	$3 x - 35$	\| $- 3 x$
$- 7 x$	=	$- 35$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{24,8}{x + 2}$ = $- \frac{x}{5 x + 10} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{24,8}{x + 2}

=

- \frac{x}{5 (x + 2)} + 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 2)$ weg!

$\frac{24,8}{x + 2}$	=	$- \frac{x}{5 (x + 2)} + 3 x$	\|⋅( $5 (x + 2)$ )
$\frac{24,8}{x + 2} \cdot (5 (x + 2))$	=	$- \frac{x}{5 (x + 2)} \cdot (5 (x + 2)) + 3 x \cdot (5 (x + 2))$
$124$	=	$- x + 15 x \cdot (x + 2)$
$124$	=	$15 x^{2} + 29 x$

124

=

15 x^{2} + 29 x

|

- 15 x^{2}

- 29 x

$- 15 x^{2} - 29 x + 124$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot 124}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 + 7 440}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{8 281}}{- 30}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{8 281}}{- 30}$ = $\frac{29+91}{- 30}$ = $\frac{120}{- 30}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{8 281}}{- 30}$ = $\frac{29-91}{- 30}$ = $\frac{- 62}{- 30}$ = $\frac{31}{15}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} - 29 x + 124$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} + \frac{29}{15} x - \frac{124}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{30})}^{2} - (- \frac{124}{15})$ = $\frac{841}{900}$ $+$ $\frac{124}{15}$ = $\frac{841}{900}$ $+$ $\frac{7440}{900}$ = $\frac{8281}{900}$

x_1,2 = $- \frac{29}{30}$ ± $\sqrt{\frac{8281}{900}}$

x₁ = $- \frac{29}{30}$ - $\frac{91}{30}$ = $- \frac{120}{30}$ = -4

x₂ = $- \frac{29}{30}$ + $\frac{91}{30}$ = $\frac{62}{30}$ = 2.0666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{31}{15}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{18}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x} - \frac{7}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{18}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x} - \frac{7}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{18}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{7}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$- 18$	=	$- x^{2} - 7 x$

- 18

=

- x^{2} - 7 x

|

+ x^{2}

+ 7 x

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 39 x + 8}{4 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 39 x + 8}{4 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 39 x + 8}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 2 \cdot 4 x$
$- 39 x + 8$	=	$4 x \cdot x - 8 x$

- 39 x + 8

=

4 x^{2} - 8 x

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

$- 4 x^{2} - 31 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 8}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 + 128}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{1 089}}{- 8}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{1 089}}{- 8}$ = $\frac{31+33}{- 8}$ = $\frac{64}{- 8}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{1 089}}{- 8}$ = $\frac{31-33}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 31 x + 8$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{31}{4} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{8})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{961}{64}$ $+$ $2$ = $\frac{961}{64}$ $+$ $\frac{128}{64}$ = $\frac{1089}{64}$

x_1,2 = $- \frac{31}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1089}{64}}$

x₁ = $- \frac{31}{8}$ - $\frac{33}{8}$ = $- \frac{64}{8}$ = -8

x₂ = $- \frac{31}{8}$ + $\frac{33}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{12 x}{2 x - 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{3}$ }

\frac{12 x}{2 x - 1} + \frac{4 x}{3 x - 1} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{12 x}{2 x - 1} + \frac{4 x}{3 x - 1} - 5$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{12 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{4 x}{3 x - 1} \cdot (2 x - 1) - 5 \cdot (2 x - 1)$	=
$12 x + \frac{4 x \cdot (2 x - 1)}{3 x - 1} - 10 x + 5$	=
$12 x + \frac{8 x^{2} - 4 x}{3 x - 1} - 10 x + 5$	=
$\frac{8 x^{2} - 4 x}{3 x - 1} + 12 x - 10 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 4 x}{3 x - 1} + 12 x - 10 x + 5$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x^{2} - 4 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 12 x \cdot (3 x - 1) - 10 x \cdot (3 x - 1) + 5 \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x^{2} - 4 x + 12 x \cdot (3 x - 1) - 10 x \cdot (3 x - 1) + 15 x - 5$	=
$8 x^{2} - 4 x + (36 x^{2} - 12 x) + (- 30 x^{2} + 10 x) + 15 x - 5$	=
$14 x^{2} + 9 x - 5$	=

$14 x^{2} + 9 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 14 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 14}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 280}}{28}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{361}}{28}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{361}}{28}$ = $\frac{- 9+19}{28}$ = $\frac{10}{28}$ = $\frac{5}{14}$ ≈ 0.36

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{361}}{28}$ = $\frac{- 9-19}{28}$ = $\frac{- 28}{28}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $14$ " teilen:

$14 x^{2} + 9 x - 5$ = 0 |: $14$

$x^{2} + \frac{9}{14} x - \frac{5}{14}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{28})}^{2} - (- \frac{5}{14})$ = $\frac{81}{784}$ $+$ $\frac{5}{14}$ = $\frac{81}{784}$ $+$ $\frac{280}{784}$ = $\frac{361}{784}$

x_1,2 = $- \frac{9}{28}$ ± $\sqrt{\frac{361}{784}}$

x₁ = $- \frac{9}{28}$ - $\frac{19}{28}$ = $- \frac{28}{28}$ = -1

x₂ = $- \frac{9}{28}$ + $\frac{19}{28}$ = $\frac{10}{28}$ = 0.35714285714286

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{5}{14}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $1$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $1$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$1$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$1 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$x$
$x^{2} + a - x$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):