Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{25}{2 x - 4}$ = $5$

D=R\{ $2$ }

\frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{25}{2 (x - 2)}

=

5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{25}{2 (x - 2)}$	=	$5$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{25}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2))$	=	$5 \cdot (2 (x - 2))$
$x + 25$	=	$10 (x - 2)$

$x + 25$	=	$10 x - 20$	\| $- 25$
$x$	=	$10 x - 45$	\| $- 10 x$
$- 9 x$	=	$- 45$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2 x}{2 x + 1} - \frac{26}{4 x + 2}$ = $3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

- \frac{2 x}{2 x + 1} - \frac{26}{2 (2 x + 1)}

=

3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$- \frac{2 x}{2 x + 1} - \frac{26}{2 (2 x + 1)}$	=	$3$	\|⋅( $2 x + 1$ )
$- \frac{2 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{- 26}{2 (2 x + 1)} \cdot (2 x + 1)$	=	$3 \cdot (2 x + 1)$
$- 2 x - 13$	=	$3 (2 x + 1)$

$- 2 x - 13$	=	$6 x + 3$	\| $+ 13$
$- 2 x$	=	$6 x + 16$	\| $- 6 x$
$- 8 x$	=	$16$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{68}{6 x - 24}$ = $- \frac{x}{3 x - 12} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

\frac{68}{6 (x - 4)}

=

- \frac{x}{3 (x - 4)} - 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x - 4)$ weg!

$\frac{68}{6 (x - 4)}$	=	$- \frac{x}{3 (x - 4)} - 3 x$	\|⋅( $6 (x - 4)$ )
$\frac{68}{6 (x - 4)} \cdot (6 (x - 4))$	=	$- \frac{x}{3 (x - 4)} \cdot (6 (x - 4)) - 3 x \cdot (6 (x - 4))$
$68$	=	$- 2 x - 18 x \cdot (x - 4)$
$68$	=	$- 18 x^{2} + 70 x$

68

=

- 18 x^{2} + 70 x

|

+ 18 x^{2}

- 70 x

18 x^{2} - 70 x + 68

= 0 |:2

$9 x^{2} - 35 x + 34$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{{(- 35)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 34}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{1 225 - 1 224}}{18}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{1}}{18}$

x₁ = $\frac{35 + \sqrt{1}}{18}$ = $\frac{35+1}{18}$ = $\frac{36}{18}$ = $2$

x₂ = $\frac{35 - \sqrt{1}}{18}$ = $\frac{35-1}{18}$ = $\frac{34}{18}$ = $\frac{17}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} - 35 x + 34$ = 0 |: $9$

$x^{2} - \frac{35}{9} x + \frac{34}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{35}{18})}^{2} - (\frac{34}{9})$ = $\frac{1225}{324}$ $-$ $\frac{34}{9}$ = $\frac{1225}{324}$ $-$ $\frac{1224}{324}$ = $\frac{1}{324}$

x_1,2 = $\frac{35}{18}$ ± $\sqrt{\frac{1}{324}}$

x₁ = $\frac{35}{18}$ - $\frac{1}{18}$ = $\frac{34}{18}$ = 1.8888888888889

x₂ = $\frac{35}{18}$ + $\frac{1}{18}$ = $\frac{36}{18}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{17}{9}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{6}{x^{2}}$ = $\frac{5}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{6}{x^{2}}$	=	$\frac{5}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{5}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 6$	=	$5 x$

x^{2} - 6

=

5 x

|

- 5 x

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 2$ = $\frac{- 21 x - 3}{4 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x - 2$	=	$\frac{- 21 x - 3}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x - 2 \cdot 4 x$	=	$\frac{- 21 x - 3}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x - 8 x$	=	$- 21 x - 3$
$4 x^{2} - 8 x$	=	$- 21 x - 3$

4 x^{2} - 8 x

=

- 21 x - 3

|

+ 21 x

+ 3

$4 x^{2} + 13 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{- 13+11}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{- 13-11}{8}$ = $\frac{- 24}{8}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 13 x + 3$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{13}{4} x + \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{8})}^{2} - (\frac{3}{4})$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $- \frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $- \frac{13}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $- \frac{13}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x + 2} + \frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{- 15 x}{x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{1}{3}$ }

\frac{12 x - 15 x}{x + 2} + \frac{4 x}{3 x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{12 x - 15 x}{x + 2} + \frac{4 x}{3 x + 1}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{12 x - 15 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{4 x}{3 x + 1} \cdot (x + 2)$	=
$12 x - 15 x + \frac{4 x \cdot (x + 2)}{3 x + 1}$	=
$12 x - 15 x + \frac{4 x^{2} + 8 x}{3 x + 1}$	=
$\frac{4 x^{2} + 8 x}{3 x + 1} + 12 x - 15 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 8 x}{3 x + 1} + 12 x - 15 x$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{4 x^{2} + 8 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 12 x \cdot (3 x + 1) - 15 x \cdot (3 x + 1)$	=
$4 x^{2} + 8 x + 12 x \cdot (3 x + 1) - 15 x \cdot (3 x + 1)$	=
$4 x^{2} + 8 x + (36 x^{2} + 12 x) + (- 45 x^{2} - 15 x)$	=
$- 5 x^{2} + 5 x$	=

$- 5 x^{2} + 5 x$	=	0
$5 x \cdot (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{20}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{20}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{20}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{20}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 20 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 20 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):