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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{x}{x - 5} + \frac{11}{x - 5}$ = $- 3$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$- \frac{x}{x - 5} + \frac{11}{x - 5}$	=	$- 3$	\|⋅( $x - 5$ )
$- \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5) + \frac{11}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$- 3 \cdot (x - 5)$
$- x + 11$	=	$- 3 (x - 5)$

$- x + 11$	=	$- 3 x + 15$	\| $- 11$
$- x$	=	$- 3 x + 4$	\| $+ 3 x$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $- \frac{6 x}{x - 1} - 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$3 x$	=	$- \frac{6 x}{x - 1} - 2$	\|⋅( $x - 1$ )
$3 x \cdot (x - 1)$	=	$- \frac{6 x}{x - 1} \cdot (x - 1) - 2 \cdot (x - 1)$
$3 x (x - 1)$	=	$- 6 x - 2 x + 2$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot (- 1)$	=	$- 6 x - 2 x + 2$
$3 x \cdot x - 3 x$	=	$- 6 x - 2 x + 2$
$3 x^{2} - 3 x$	=	$- 8 x + 2$

3 x^{2} - 3 x

=

- 8 x + 2

|

+ 8 x

- 2

$3 x^{2} + 5 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 5+7}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 5-7}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 5 x - 2$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{5}{3} x - \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{6})}^{2} - (- \frac{2}{3})$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $- \frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $- \frac{5}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $- \frac{12}{6}$ = -2

x₂ = $- \frac{5}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{1}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 5} + \frac{79,2}{x + 1} - 4 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{5 x + 5} + \frac{79,2}{x + 1} - 4 x$	=	0
$\frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{79,2}{x + 1} - 4 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{79,2}{x + 1} - 4 x$	=	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) + \frac{79,2}{x + 1} \cdot (5 (x + 1)) - 4 x \cdot (5 (x + 1))$	=
$x + 396 - 20 x (x + 1)$	=
$x + 396 + (- 20 x^{2} - 20 x)$	=
$- 20 x^{2} - 19 x + 396$	=

$- 20 x^{2} - 19 x + 396$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot 396}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 31 680}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{32 041}}{- 40}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{32 041}}{- 40}$ = $\frac{19+179}{- 40}$ = $\frac{198}{- 40}$ = $- 4,95$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{32 041}}{- 40}$ = $\frac{19-179}{- 40}$ = $\frac{- 160}{- 40}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} - 19 x + 396$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} + \frac{19}{20} x - \frac{99}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{40})}^{2} - (- \frac{99}{5})$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{99}{5}$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{31680}{1600}$ = $\frac{32041}{1600}$

x_1,2 = $- \frac{19}{40}$ ± $\sqrt{\frac{32041}{1600}}$

x₁ = $- \frac{19}{40}$ - $\frac{179}{40}$ = $- \frac{198}{40}$ = -4.95

x₂ = $- \frac{19}{40}$ + $\frac{179}{40}$ = $\frac{160}{40}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,95$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{- 13 x + 42}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{- 13 x + 42}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{- 13 x + 42}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$- 13 x + 42$

- x^{2}

=

- 13 x + 42

|

+ 13 x

- 42

$- x^{2} + 13 x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 42)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 13+1}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 13-1}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 13 x - 42$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 13 x + 42$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 1 + \frac{5}{x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 1 + \frac{5}{x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $x$ )
$- 1 \cdot x + \frac{5}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 3 \cdot x$
$- x + 5$	=	$x \cdot x + 3 x$

- x + 5

=

x^{2} + 3 x

|

- x^{2}

- 3 x

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4+6}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4-6}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 6} + \frac{x}{x + 2} + \frac{- 4 x}{4 x + 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 3$ }

$\frac{x}{x + 2} + \frac{x}{2 x + 6} - \frac{4 x}{4 x + 12}$	=	0
$\frac{x}{x + 2} + \frac{x}{2 (x + 3)} - \frac{4 x}{4 (x + 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{x}{x + 2} + \frac{x}{2 (x + 3)} - \frac{4 x}{4 (x + 3)}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{x}{2 (x + 3)} \cdot (x + 2) - \frac{4 x}{4 (x + 3)} \cdot (x + 2)$	=
$x + \frac{x (x + 2)}{2 (x + 3)} - \frac{x (x + 2)}{x + 3}$	=
$x + \frac{x^{2} + 2 x}{2 (x + 3)} - \frac{x^{2} + 2 x}{x + 3}$	=
$- \frac{x^{2} + 2 x}{x + 3} + \frac{x^{2} + 2 x}{2 (x + 3)} + x$	=

\frac{x^{2} + 2 x}{2 (x + 3)} - \frac{x^{2} + 2 x}{x + 3} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$\frac{x^{2} + 2 x}{2 (x + 3)} - \frac{x^{2} + 2 x}{x + 3} + x$	=	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{x^{2} + 2 x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) - \frac{x^{2} + 2 x}{x + 3} \cdot (2 (x + 3)) + x \cdot (2 (x + 3))$	=
$x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 4 x + 2 x (x + 3)$	=
$x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 4 x + (2 x^{2} + 6 x)$	=
$x^{2} + 4 x$	=

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{8}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{8}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{8}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{8}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$8$
$x^{2} + a x - 8$	=	0
$x^{2} + a x - 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 4)$ = -8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 4)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):