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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4}{x}$ = $- \frac{2}{3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4}{x}$	=	$- \frac{2}{3}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{4}{x} \cdot x$	=	$- \frac{2}{3} \cdot x$
$4$	=	$- \frac{2}{3} x$

$4$	=	$- \frac{2}{3} x$	\|⋅ 3
$12$	=	$- 2 x$	\| $- 12$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$- 12$	\|: $2$
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{x}{2 x - 4} - \frac{33}{6 x - 12}$ = $2$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{x}{2 (x - 2)} - \frac{33}{6 (x - 2)}

=

2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 2)} - \frac{33}{6 (x - 2)}$	=	$2$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{- 33}{6 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2))$	=	$2 \cdot (2 (x - 2))$
$x - 11$	=	$4 (x - 2)$

$x - 11$	=	$4 x - 8$	\| $+ 11$
$x$	=	$4 x + 3$	\| $- 4 x$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{2 x}{2 x + 6} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{5}{2}$ }

$\frac{2 x}{2 x + 6} + \frac{3 x}{2 x + 5} - 8$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x + 3)} + \frac{3 x}{2 x + 5} - 8$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x + 3)} + \frac{3 x}{2 x + 5} - 8$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{2 x}{2 (x + 3)} \cdot (x + 3) + \frac{3 x}{2 x + 5} \cdot (x + 3) - 8 \cdot (x + 3)$	=
$x + \frac{3 x \cdot (x + 3)}{2 x + 5} - 8 x - 24$	=
$x + \frac{3 x^{2} + 9 x}{2 x + 5} - 8 x - 24$	=
$\frac{3 x^{2} + 9 x}{2 x + 5} + x - 8 x - 24$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 9 x}{2 x + 5} + x - 8 x - 24$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{3 x^{2} + 9 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + x \cdot (2 x + 5) - 8 x \cdot (2 x + 5) - 24 \cdot (2 x + 5)$	=
$3 x^{2} + 9 x + x \cdot (2 x + 5) - 8 x \cdot (2 x + 5) - 48 x - 120$	=
$3 x^{2} + 9 x + (2 x^{2} + 5 x) + (- 16 x^{2} - 40 x) - 48 x - 120$	=
$- 11 x^{2} - 74 x - 120$	=

$- 11 x^{2} - 74 x - 120$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 74 \pm \sqrt{{(- 74)}^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 120)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{+ 74 \pm \sqrt{5 476 - 5 280}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{+ 74 \pm \sqrt{196}}{- 22}$

x₁ = $\frac{74 + \sqrt{196}}{- 22}$ = $\frac{74+14}{- 22}$ = $\frac{88}{- 22}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{74 - \sqrt{196}}{- 22}$ = $\frac{74-14}{- 22}$ = $\frac{60}{- 22}$ = $- \frac{30}{11}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 11$ " teilen:

$- 11 x^{2} - 74 x - 120$ = 0 |: $- 11$

$x^{2} + \frac{74}{11} x + \frac{120}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{37}{11})}^{2} - (\frac{120}{11})$ = $\frac{1369}{121}$ $-$ $\frac{120}{11}$ = $\frac{1369}{121}$ $-$ $\frac{1320}{121}$ = $\frac{49}{121}$

x_1,2 = $- \frac{37}{11}$ ± $\sqrt{\frac{49}{121}}$

x₁ = $- \frac{37}{11}$ - $\frac{7}{11}$ = $- \frac{44}{11}$ = -4

x₂ = $- \frac{37}{11}$ + $\frac{7}{11}$ = $- \frac{30}{11}$ = -2.7272727272727

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{30}{11}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{6}{x}$ = $- 1 - \frac{8}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{6}{x}$	=	$- 1 - \frac{8}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{6}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$- 6 x$	=	$- x^{2} - 8$

- 6 x

=

- x^{2} - 8

|

+ x^{2}

+ 8

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 12}{x - 2}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x + 12}{x - 2}$	=	$x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x + 12}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$x \cdot (x - 2)$
$2 x + 12$	=	$x \cdot (x - 2)$
$2 x + 12$	=	$x^{2} - 2 x$

2 x + 12

=

x^{2} - 2 x

|

- x^{2}

+ 2 x

$- x^{2} + 4 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 4+8}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 4-8}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 3}{x} + \frac{2 x}{3 x + 7} + \frac{- 6 x - 3}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- \frac{7}{3}$ }

\frac{x - 3 - 6 x - 3}{x} + \frac{2 x}{3 x + 7}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x - 3 - 6 x - 3}{x} + \frac{2 x}{3 x + 7}$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x - 3 - 6 x - 3}{x} \cdot x + \frac{2 x}{3 x + 7} \cdot x$	=
$x - 3 - 6 x - 3 + \frac{2 x \cdot x}{3 x + 7}$	=
$x - 3 - 6 x - 3 + \frac{2 x^{2}}{3 x + 7}$	=
$\frac{2 x^{2}}{3 x + 7} + x - 6 x - 3 - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{2 x^{2}}{3 x + 7} + x - 6 x - 3 - 3$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{2 x^{2}}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + x \cdot (3 x + 7) - 6 x \cdot (3 x + 7) - 3 \cdot (3 x + 7) - 3 \cdot (3 x + 7)$	=
$2 x^{2} + x \cdot (3 x + 7) - 6 x \cdot (3 x + 7) - 9 x - 21 - 9 x - 21$	=
$2 x^{2} + (3 x^{2} + 7 x) + (- 18 x^{2} - 42 x) - 9 x - 21 - 9 x - 21$	=
$- 13 x^{2} - 53 x - 42$	=

$- 13 x^{2} - 53 x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 53 \pm \sqrt{{(- 53)}^{2} - 4 \cdot (- 13) \cdot (- 42)}}{2 \cdot (- 13)}$

x_1,2 = $\frac{+ 53 \pm \sqrt{2 809 - 2 184}}{- 26}$

x_1,2 = $\frac{+ 53 \pm \sqrt{625}}{- 26}$

x₁ = $\frac{53 + \sqrt{625}}{- 26}$ = $\frac{53+25}{- 26}$ = $\frac{78}{- 26}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{53 - \sqrt{625}}{- 26}$ = $\frac{53-25}{- 26}$ = $\frac{28}{- 26}$ = $- \frac{14}{13}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 13$ " teilen:

$- 13 x^{2} - 53 x - 42$ = 0 |: $- 13$

$x^{2} + \frac{53}{13} x + \frac{42}{13}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{53}{26})}^{2} - (\frac{42}{13})$ = $\frac{2809}{676}$ $-$ $\frac{42}{13}$ = $\frac{2809}{676}$ $-$ $\frac{2184}{676}$ = $\frac{625}{676}$

x_1,2 = $- \frac{53}{26}$ ± $\sqrt{\frac{625}{676}}$

x₁ = $- \frac{53}{26}$ - $\frac{25}{26}$ = $- \frac{78}{26}$ = -3

x₂ = $- \frac{53}{26}$ + $\frac{25}{26}$ = $- \frac{28}{26}$ = -1.0769230769231

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{14}{13}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 7$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 7$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 7$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 7 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 7 x$	=	$- x^{2}$
$a - 7 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $- (2 + 5)$ = -7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 5$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):