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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5 x}{x + 5} + \frac{27}{x + 5}$ = $3$

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{5 x}{x + 5} + \frac{27}{x + 5}$	=	$3$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{5 x}{x + 5} \cdot (x + 5) + \frac{27}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$3 \cdot (x + 5)$
$5 x + 27$	=	$3 (x + 5)$

$5 x + 27$	=	$3 x + 15$	\| $- 27$
$5 x$	=	$3 x - 12$	\| $- 3 x$
$2 x$	=	$- 12$	\|: $2$
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 6} + \frac{4}{x + 6}$ = $\frac{15}{x^{2} - 36}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 6$ ; $6$ }

\frac{x}{x - 6} + \frac{4}{x + 6}

=

\frac{15}{(x + 6) \cdot (x - 6)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 6) \cdot (x - 6)$ weg!

$\frac{x}{x - 6} + \frac{4}{x + 6}$	=	$\frac{15}{(x + 6) \cdot (x - 6)}$	\|⋅( $(x + 6) \cdot (x - 6)$ )
$\frac{x}{x - 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6) + \frac{4}{x + 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$	=	$\frac{15}{(x + 6) \cdot (x - 6)} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$
$x \cdot (x + 6) + 4 x - 24$	=	$15 \frac{x + 6}{x + 6}$
$x \cdot (x + 6) + 4 x - 24$	=	$15$
$x^{2} + 6 x + 4 x - 24$	=	$15$
$x^{2} + 10 x - 24$	=	$15$

x^{2} + 10 x - 24

=

15

|

- 15

$x^{2} + 10 x - 39$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 39)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 156}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 10+16}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 10-16}{2}$ = $\frac{- 26}{2}$ = $- 13$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 39)$ = $25$ $+$ $39$ = $64$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $- 5$ - $8$ = -13

x₂ = $- 5$ + $8$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 13$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{3 x - 4}{x} + \frac{- 9 x - 4}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- \frac{10}{3}$ }

\frac{3 x - 4 - 9 x - 4}{x} + \frac{2 x}{3 x + 10}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x - 4 - 9 x - 4}{x} + \frac{2 x}{3 x + 10}$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x - 4 - 9 x - 4}{x} \cdot x + \frac{2 x}{3 x + 10} \cdot x$	=
$3 x - 4 - 9 x - 4 + \frac{2 x \cdot x}{3 x + 10}$	=
$3 x - 4 - 9 x - 4 + \frac{2 x^{2}}{3 x + 10}$	=
$\frac{2 x^{2}}{3 x + 10} + 3 x - 9 x - 4 - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{2 x^{2}}{3 x + 10} + 3 x - 9 x - 4 - 4$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{2 x^{2}}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + 3 x \cdot (3 x + 10) - 9 x \cdot (3 x + 10) - 4 \cdot (3 x + 10) - 4 \cdot (3 x + 10)$	=
$2 x^{2} + 3 x \cdot (3 x + 10) - 9 x \cdot (3 x + 10) - 12 x - 40 - 12 x - 40$	=
$2 x^{2} + (9 x^{2} + 30 x) + (- 27 x^{2} - 90 x) - 12 x - 40 - 12 x - 40$	=
$- 16 x^{2} - 84 x - 80$	=

- 16 x^{2} - 84 x - 80

= 0 |:4

$- 4 x^{2} - 21 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 320}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{121}}{- 8}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{21+11}{- 8}$ = $\frac{32}{- 8}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{21-11}{- 8}$ = $\frac{10}{- 8}$ = $- 1,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 21 x - 20$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{21}{4} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{8})}^{2} - 5$ = $\frac{441}{64}$ $-$ $5$ = $\frac{441}{64}$ $-$ $\frac{320}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $- \frac{21}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $- \frac{21}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $- \frac{32}{8}$ = -4

x₂ = $- \frac{21}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $- \frac{10}{8}$ = -1.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1,25$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} - \frac{18}{x^{2}} - \frac{81}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} - \frac{18}{x^{2}} - \frac{81}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{18}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{81}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} - 18 x - 81$

0

=

- x^{2} - 18 x - 81

|

+ x^{2}

+ 18 x

+ 81

$x^{2} + 18 x + 81$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $9^{2} - 81$ = $81$ $-$ $81$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 9$ ± 0 = $- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 2}{2 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x + 2}{2 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x + 2}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 3 \cdot 2 x$
$3 x + 2$	=	$2 x \cdot x + 6 x$

3 x + 2

=

2 x^{2} + 6 x

|

- 2 x^{2}

- 6 x

$- 2 x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 2}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{3+5}{- 4}$ = $\frac{8}{- 4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{3-5}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 3 x + 2$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $1$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{6 x}{x - 1} + \frac{12 x}{- x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{1}{3}$ }

\frac{6 x}{x - 1} + \frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{12 x}{- x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{x - 1} + \frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{12 x}{- x + 1}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{12 x}{3 x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{12 x}{- x + 1} \cdot (x - 1)$	=
$6 x + \frac{12 x \cdot (x - 1)}{3 x - 1} + \frac{12 x \cdot (x - 1)}{- x + 1}$	=
$6 x + \frac{12 x \cdot (x - 1)}{3 x - 1} - 12 x$	=
$6 x + \frac{12 x^{2} - 12 x}{3 x - 1} - 12 x$	=
$\frac{12 x^{2} - 12 x}{3 x - 1} + 6 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{12 x^{2} - 12 x}{3 x - 1} + 6 x - 12 x$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{12 x^{2} - 12 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 6 x \cdot (3 x - 1) - 12 x \cdot (3 x - 1)$	=
$12 x^{2} - 12 x + 6 x \cdot (3 x - 1) - 12 x \cdot (3 x - 1)$	=
$12 x^{2} - 12 x + (18 x^{2} - 6 x) + (- 36 x^{2} + 12 x)$	=
$- 6 x^{2} - 6 x$	=

$- 6 x^{2} - 6 x$	=	0
$- 6 x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{12}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{12}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{12}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 12$	=	$- x^{2}$
$a x - 12 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):