Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2 x}{2 x - 4} - \frac{12}{2 x - 4}$ = $5$

D=R\{ $2$ }

\frac{2 x}{2 (x - 2)} - \frac{12}{2 (x - 2)}

=

5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x - 2)} - \frac{12}{2 (x - 2)}$	=	$5$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) + \frac{- 12}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2)$	=	$5 \cdot (x - 2)$
$x - 6$	=	$5 (x - 2)$

$x - 6$	=	$5 x - 10$	\| $+ 6$
$x$	=	$5 x - 4$	\| $- 5 x$
$- 4 x$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 9} + \frac{9}{x + 9}$ = $\frac{127}{x^{2} - 81}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 9$ ; $9$ }

\frac{x}{x - 9} + \frac{9}{x + 9}

=

\frac{127}{(x + 9) (x - 9)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 9) (x - 9)$ weg!

$\frac{x}{x - 9} + \frac{9}{x + 9}$	=	$\frac{127}{(x + 9) (x - 9)}$	\|⋅( $(x + 9) (x - 9)$ )
$\frac{x}{x - 9} \cdot (x + 9) (x - 9) + \frac{9}{x + 9} \cdot (x + 9) (x - 9)$	=	$\frac{127}{(x + 9) (x - 9)} \cdot (x + 9) (x - 9)$
$x (x + 9) + 9 x - 81$	=	$127 \frac{x + 9}{x + 9}$
$x (x + 9) + 9 x - 81$	=	$127$
$x^{2} + 9 x + 9 x - 81$	=	$127$
$x^{2} + 18 x - 81$	=	$127$

x^{2} + 18 x - 81

=

127

|

- 127

$x^{2} + 18 x - 208$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 208)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 + 832}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{1 156}}{2}$

x₁ = $\frac{- 18 + \sqrt{1 156}}{2}$ = $\frac{- 18+34}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{- 18 - \sqrt{1 156}}{2}$ = $\frac{- 18-34}{2}$ = $\frac{- 52}{2}$ = $- 26$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $9^{2} - (- 208)$ = $81$ $+$ $208$ = $289$

x_1,2 = $- 9$ ± $\sqrt{289}$

x₁ = $- 9$ - $17$ = -26

x₂ = $- 9$ + $17$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 26$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{6 x}{x + 2} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $\frac{1}{3}$ }

\frac{6 x}{x + 2} + \frac{6 x}{3 x - 1} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6 x}{x + 2} + \frac{6 x}{3 x - 1} - 5$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{6 x}{3 x - 1} \cdot (x + 2) - 5 \cdot (x + 2)$	=
$6 x + \frac{6 x (x + 2)}{3 x - 1} - 5 x - 10$	=
$6 x + \frac{6 x^{2} + 12 x}{3 x - 1} - 5 x - 10$	=
$\frac{6 x^{2} + 12 x}{3 x - 1} + 6 x - 5 x - 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 12 x}{3 x - 1} + 6 x - 5 x - 10$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 12 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 6 x \cdot (3 x - 1) - 5 x \cdot (3 x - 1) - 10 \cdot (3 x - 1)$	=
$6 x^{2} + 12 x + 6 x (3 x - 1) - 5 x (3 x - 1) - 30 x + 10$	=
$6 x^{2} + 12 x + (18 x^{2} - 6 x) + (- 15 x^{2} + 5 x) - 30 x + 10$	=
$9 x^{2} - 19 x + 10$	=

$9 x^{2} - 19 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 10}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{18}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{1}}{18}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{1}}{18}$ = $\frac{19+1}{18}$ = $\frac{20}{18}$ = $\frac{10}{9}$ ≈ 1.11

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{1}}{18}$ = $\frac{19-1}{18}$ = $\frac{18}{18}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} - 19 x + 10$ = 0 |: $9$

$x^{2} - \frac{19}{9} x + \frac{10}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{18})}^{2} - (\frac{10}{9})$ = $\frac{361}{324}$ $-$ $\frac{10}{9}$ = $\frac{361}{324}$ $-$ $\frac{360}{324}$ = $\frac{1}{324}$

x_1,2 = $\frac{19}{18}$ ± $\sqrt{\frac{1}{324}}$

x₁ = $\frac{19}{18}$ - $\frac{1}{18}$ = $\frac{18}{18}$ = 1

x₂ = $\frac{19}{18}$ + $\frac{1}{18}$ = $\frac{20}{18}$ = 1.1111111111111

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $\frac{10}{9}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{- x - 72}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{- x - 72}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{- x - 72}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$- x - 72$

- x^{2}

=

- x - 72

|

+ x

+ 72

$- x^{2} + x + 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 72}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{289}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{289}}{- 2}$ = $\frac{- 1+17}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{289}}{- 2}$ = $\frac{- 1-17}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 72$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 72$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 72)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $72$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 24 x - 18}{x - 1}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 24 x - 18}{x - 1}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 24 x - 18}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$3 x \cdot (x - 1)$
$- 24 x - 18$	=	$3 x (x - 1)$
$- 24 x - 18$	=	$3 x^{2} - 3 x$

- 24 x - 18

=

3 x^{2} - 3 x

|

- 3 x^{2}

+ 3 x

- 3 x^{2} - 21 x - 18

= 0 |:3

$- x^{2} - 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{7+5}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{7-5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 2}{2 x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x + 2}{2 x} - 3$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x + 2}{2 x} \cdot 2 x - 3 \cdot 2 x$	=
$5 x + 2 - 6 x$	=
$- x + 2$	=

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{30}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{30}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{30}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{30}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$30 + x^{2}$	=	$- a x$
$30 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 15)$ = $- 17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 17 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17+13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17-13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = 15

L={ $2$ ; $15$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):