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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6}{x + 5}$ = $3$

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{6}{x + 5}$	=	$3$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{6}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$3 \cdot (x + 5)$
$6$	=	$3 (x + 5)$

$6$	=	$3 x + 15$	\| $- 6$ $- 3 x$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{- 12 x}{2 x + 5} + 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

x

=

\frac{12 x}{2 x + 5} + 3

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$x$	=	$\frac{12 x}{2 x + 5} + 3$	\|⋅( $2 x + 5$ )
$x \cdot (2 x + 5)$	=	$\frac{12 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + 3 \cdot (2 x + 5)$
$x (2 x + 5)$	=	$12 x + 6 x + 15$
$x \cdot 2 x + x \cdot 5$	=	$12 x + 6 x + 15$
$2 x \cdot x + 5 x$	=	$12 x + 6 x + 15$
$2 x^{2} + 5 x$	=	$18 x + 15$

2 x^{2} + 5 x

=

18 x + 15

|

- 18 x

- 15

$2 x^{2} - 13 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{13+17}{4}$ = $\frac{30}{4}$ = $7,5$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{13-17}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 13 x - 15$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{30}{4}$ = 7.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $7,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{6 x}{3 x + 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $1$ }

\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{4 x}{x - 1} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{4 x}{x - 1} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{6 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{4 x}{x - 1} \cdot (3 x + 1) - 5 \cdot (3 x + 1)$	=
$6 x + \frac{4 x (3 x + 1)}{x - 1} - 15 x - 5$	=
$6 x + \frac{12 x^{2} + 4 x}{x - 1} - 15 x - 5$	=
$\frac{12 x^{2} + 4 x}{x - 1} + 6 x - 15 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{12 x^{2} + 4 x}{x - 1} + 6 x - 15 x - 5$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{12 x^{2} + 4 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 6 x \cdot (x - 1) - 15 x \cdot (x - 1) - 5 \cdot (x - 1)$	=
$12 x^{2} + 4 x + 6 x (x - 1) - 15 x (x - 1) - 5 x + 5$	=
$12 x^{2} + 4 x + (6 x^{2} - 6 x) + (- 15 x^{2} + 15 x) - 5 x + 5$	=
$3 x^{2} + 8 x + 5$	=

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $- \frac{3}{3}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{2}{x^{2}}$ = $- \frac{1}{x} + \frac{35}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{2}{x^{2}}$	=	$- \frac{1}{x} + \frac{35}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{35}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- 2 x$	=	$- x^{2} + 35$

- 2 x

=

- x^{2} + 35

|

+ x^{2}

- 35

$x^{2} - 2 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $1$ - $6$ = -5

x₂ = $1$ + $6$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 + \frac{6}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$6 + \frac{6}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$6 \cdot x + \frac{6}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$6 x + 6$	=	$x \cdot x + x$

6 x + 6

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 5+7}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 5-7}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{2 x + 4}{x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; 0}

\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{2 x + 4}{x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{2 x + 4}{x} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{3 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{2 x + 4}{x} \cdot (3 x - 8) - 6 \cdot (3 x - 8)$	=
$3 x + \frac{(2 x + 4) (3 x - 8)}{x} - 18 x + 48$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} - 4 x - 32}{x} - 18 x + 48$	=
$\frac{6 x^{2} - 4 x - 32}{x} + 3 x - 18 x + 48$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 4 x - 32}{x} + 3 x - 18 x + 48$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{6 x^{2} - 4 x - 32}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 18 x \cdot x + 48 \cdot x$	=
$6 x^{2} - 4 x - 32 + 3 x \cdot x - 18 x \cdot x + 48 x$	=
$6 x^{2} - 4 x - 32 + 3 x^{2} - 18 x^{2} + 48 x$	=
$- 9 x^{2} + 44 x - 32$	=

$- 9 x^{2} + 44 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 44 \pm \sqrt{44^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 32)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 44 \pm \sqrt{1 936 - 1 152}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 44 \pm \sqrt{784}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 44 + \sqrt{784}}{- 18}$ = $\frac{- 44+28}{- 18}$ = $\frac{- 16}{- 18}$ = $\frac{8}{9}$ ≈ 0.89

x₂ = $\frac{- 44 - \sqrt{784}}{- 18}$ = $\frac{- 44-28}{- 18}$ = $\frac{- 72}{- 18}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} + 44 x - 32$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} - \frac{44}{9} x + \frac{32}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{22}{9})}^{2} - (\frac{32}{9})$ = $\frac{484}{81}$ $-$ $\frac{32}{9}$ = $\frac{484}{81}$ $-$ $\frac{288}{81}$ = $\frac{196}{81}$

x_1,2 = $\frac{22}{9}$ ± $\sqrt{\frac{196}{81}}$

x₁ = $\frac{22}{9}$ - $\frac{14}{9}$ = $\frac{8}{9}$ = 0.88888888888889

x₂ = $\frac{22}{9}$ + $\frac{14}{9}$ = $\frac{36}{9}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{8}{9}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$9 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$9 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$9 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$9 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$9 x + x^{2}$	=	$- a$
$9 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -11 würde es funktionieren, denn $- (2 - 11)$ = 9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 11)$ = $- 22$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -22 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 9 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9+13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9-13}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $22$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{88}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 11$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):