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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{5 x}{3 x - 5} - \frac{13}{3 x - 5}$ = $1$

D=R\{ $\frac{5}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$- \frac{5 x}{3 x - 5} - \frac{13}{3 x - 5}$	=	$1$	\|⋅( $3 x - 5$ )
$- \frac{5 x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) - \frac{13}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$	=	$1 \cdot (3 x - 5)$
$- 5 x - 13$	=	$3 x - 5$

$- 5 x - 13$	=	$3 x - 5$	\| $+ 13$
$- 5 x$	=	$3 x + 8$	\| $- 3 x$
$- 8 x$	=	$8$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 28}{x - 1} + 3 x + 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

- \frac{28}{x - 1} + 3 x + 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{28}{x - 1} + 3 x + 5$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{28}{x - 1} \cdot (x - 1) + 3 x \cdot (x - 1) + 5 \cdot (x - 1)$	=
$- 28 + 3 x \cdot (x - 1) + 5 x - 5$	=
$- 28 + (3 x^{2} - 3 x) + 5 x - 5$	=
$3 x^{2} + 2 x - 33$	=

$3 x^{2} + 2 x - 33$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 33)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 396}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{400}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{- 2+20}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{- 2-20}{6}$ = $\frac{- 22}{6}$ = $- \frac{11}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 2 x - 33$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{2}{3} x - 11$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{3})}^{2} - (- 11)$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $11$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{99}{9}$ = $\frac{100}{9}$

x_1,2 = $- \frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{100}{9}}$

x₁ = $- \frac{1}{3}$ - $\frac{10}{3}$ = $- \frac{11}{3}$ = -3.6666666666667

x₂ = $- \frac{1}{3}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{11}{3}$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 6} + \frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{- 8 x + 2}{6 x - 18}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $\frac{8}{3}$ }

$\frac{x}{2 x - 6} + \frac{- 8 x + 2}{6 x - 18} + \frac{3 x}{3 x - 8}$	=	0
$\frac{x}{2 (x - 3)} + \frac{- 8 x + 2}{6 (x - 3)} + \frac{3 x}{3 x - 8}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 3)} + \frac{- 8 x + 2}{6 (x - 3)} + \frac{3 x}{3 x - 8}$	=	\|⋅( $6 (x - 3)$ )
$\frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (6 (x - 3)) + \frac{- 8 x + 2}{6 (x - 3)} \cdot (6 (x - 3)) + \frac{3 x}{3 x - 8} \cdot (6 (x - 3))$	=
$3 x - 8 x + 2 + 6 \frac{3 x \cdot (x - 3)}{3 x - 8}$	=
$3 x - 8 x + 2 + \frac{6 (3 x^{2} - 9 x)}{3 x - 8}$	=
$\frac{6 (3 x^{2} - 9 x)}{3 x - 8} + 3 x - 8 x + 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{6 (3 x^{2} - 9 x)}{3 x - 8} + 3 x - 8 x + 2$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{6 (3 x^{2} - 9 x)}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + 3 x \cdot (3 x - 8) - 8 x \cdot (3 x - 8) + 2 \cdot (3 x - 8)$	=
$18 x^{2} - 54 x + 3 x \cdot (3 x - 8) - 8 x \cdot (3 x - 8) + 6 x - 16$	=
$18 x^{2} - 54 x + (9 x^{2} - 24 x) + (- 24 x^{2} + 64 x) + 6 x - 16$	=
$3 x^{2} - 8 x - 16$	=

$3 x^{2} - 8 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 192}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{256}}{6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{8+16}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{8-16}{6}$ = $\frac{- 8}{6}$ = $- \frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 8 x - 16$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{8}{3} x - \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{3})}^{2} - (- \frac{16}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{48}{9}$ = $\frac{64}{9}$

x_1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{64}{9}}$

x₁ = $\frac{4}{3}$ - $\frac{8}{3}$ = $- \frac{4}{3}$ = -1.3333333333333

x₂ = $\frac{4}{3}$ + $\frac{8}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{3}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{13 x + 42}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{13 x + 42}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{13 x + 42}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$13 x + 42$

- x^{2}

=

13 x + 42

|

- 13 x

- 42

$- x^{2} - 13 x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 42)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{13+1}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{13-1}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 13 x - 42$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 13 x + 42$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 - \frac{12}{x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$6 - \frac{12}{x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $x$ )
$6 \cdot x - \frac{12}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 2 \cdot x$
$6 x - 12$	=	$x \cdot x - 2 x$

6 x - 12

=

x^{2} - 2 x

|

- x^{2}

+ 2 x

$- x^{2} + 8 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 8+4}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 8-4}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{4 x}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x} - 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{5 x + 1}{3 x} \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=
$4 x + \frac{(5 x + 1) \cdot (x + 1)}{3 x} - 4 x - 4$	=
$4 x + \frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x} - 4 x - 4$	=
$\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x} + 4 x - 4 x - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x} + 4 x - 4 x - 4$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + 4 x \cdot 3 x - 4 x \cdot 3 x - 4 \cdot 3 x$	=
$5 x^{2} + 6 x + 1 + 12 x \cdot x - 12 x \cdot x - 12 x$	=
$5 x^{2} + 6 x + 1 + 12 x^{2} - 12 x^{2} - 12 x$	=
$5 x^{2} - 6 x + 1$	=

$5 x^{2} - 6 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{10}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{6+4}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{6-4}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 6 x + 1$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{6}{5} x + \frac{1}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{5})}^{2} - (\frac{1}{5})$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{1}{5}$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{5}{25}$ = $\frac{4}{25}$

x_1,2 = $\frac{3}{5}$ ± $\sqrt{\frac{4}{25}}$

x₁ = $\frac{3}{5}$ - $\frac{2}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 0.2

x₂ = $\frac{3}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $\frac{5}{5}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,2$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 5 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 5 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 5 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 5 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 5 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 5 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $- (2 + 3)$ = -5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 3$ = $6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):