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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{x}{2 x - 5} - \frac{52}{2 x - 5}$ = $- 5$

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{x}{2 x - 5} - \frac{52}{2 x - 5}$	=	$- 5$	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{x}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) - \frac{52}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5)$	=	$- 5 \cdot (2 x - 5)$
$x - 52$	=	$- 5 (2 x - 5)$

$x - 52$	=	$- 10 x + 25$	\| $+ 52$
$x$	=	$- 10 x + 77$	\| $+ 10 x$
$11 x$	=	$77$	\|: $11$
$x$	=	$7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 8 x}{x + 3} + x + 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

- \frac{8 x}{x + 3} + x + 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- \frac{8 x}{x + 3} + x + 1$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$- \frac{8 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + x \cdot (x + 3) + 1 \cdot (x + 3)$	=
$- 8 x + x (x + 3) + x + 3$	=
$- 8 x + (x^{2} + 3 x) + x + 3$	=
$x^{2} - 4 x + 3$	=

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 38}{x - 1}$ = $- \frac{x}{2 x - 2} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

- \frac{38}{x - 1}

=

- \frac{x}{2 (x - 1)} - 2 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$- \frac{38}{x - 1}$	=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} - 2 x$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$- \frac{38}{x - 1} \cdot (2 (x - 1))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) - 2 x \cdot (2 (x - 1))$
$- 76$	=	$- x - 4 x (x - 1)$
$- 76$	=	$- 4 x^{2} + 3 x$

- 76

=

- 4 x^{2} + 3 x

|

+ 4 x^{2}

- 3 x

$4 x^{2} - 3 x - 76$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 76)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 1 216}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1 225}}{8}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1 225}}{8}$ = $\frac{3+35}{8}$ = $\frac{38}{8}$ = $4,75$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1 225}}{8}$ = $\frac{3-35}{8}$ = $\frac{- 32}{8}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 3 x - 76$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{3}{4} x - 19$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{8})}^{2} - (- 19)$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $19$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{1216}{64}$ = $\frac{1225}{64}$

x_1,2 = $\frac{3}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{64}}$

x₁ = $\frac{3}{8}$ - $\frac{35}{8}$ = $- \frac{32}{8}$ = -4

x₂ = $\frac{3}{8}$ + $\frac{35}{8}$ = $\frac{38}{8}$ = 4.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4,75$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{- 13 x + 30}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{- 13 x + 30}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{- 13 x + 30}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$- 13 x + 30$

- x^{2}

=

- 13 x + 30

|

+ 13 x

- 30

$- x^{2} + 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 30)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 13+7}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 13-7}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 13 x - 30$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 13 x + 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 + \frac{12}{x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 4 + \frac{12}{x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $x$ )
$- 4 \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 5 \cdot x$
$- 4 x + 12$	=	$x \cdot x - 5 x$

- 4 x + 12

=

x^{2} - 5 x

|

- x^{2}

+ 5 x

$- x^{2} + x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1+7}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1-7}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{2 x + 4} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{x - 1}{2 (x + 2)} - 2

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{x - 1}{2 (x + 2)} - 2$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{x - 1}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) - 2 \cdot (2 (x + 2))$	=
$x - 1 - 4 x - 8$	=
$- 3 x - 9$	=

$- 3 x - 9$	=	0	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 9$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 9$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 9$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 9 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- 9 x$
$a + x^{2} + 9 x$	=	0
$x^{2} + 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -11 würde es funktionieren, denn $- (2 - 11)$ = 9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 11)$ = $- 22$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -22 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 9 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9+13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9-13}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $22$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{88}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 11$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):