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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5}{x}$ = $- \frac{8}{5}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{5}{x}$	=	$- \frac{8}{5}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{5}{x} \cdot x$	=	$- \frac{8}{5} \cdot x$
$5$	=	$- \frac{8}{5} x$

$5$	=	$- \frac{8}{5} x$	\|⋅ 5
$25$	=	$- 8 x$	\| $- 25$ $+ 8 x$
$8 x$	=	$- 25$	\|: $8$
$x$	=	$- \frac{25}{8}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{25}{8}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5$ = $- \frac{- 7}{3 x - 5} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{3}$ }

5

=

\frac{7}{3 x - 5} - x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$5$	=	$\frac{7}{3 x - 5} - x$	\|⋅( $3 x - 5$ )
$5 \cdot (3 x - 5)$	=	$\frac{7}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) - x \cdot (3 x - 5)$
$5 (3 x - 5)$	=	$7 - x (3 x - 5)$
$15 x - 25$	=	$7 - x (3 x - 5)$
$15 x - 25$	=	$- 3 x^{2} + 5 x + 7$

15 x - 25

=

- 3 x^{2} + 5 x + 7

|

+ 3 x^{2}

- 5 x

- 7

$3 x^{2} + 10 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 384}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 10+22}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 10-22}{6}$ = $\frac{- 32}{6}$ = $- \frac{16}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 10 x - 32$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{10}{3} x - \frac{32}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{32}{3})$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{32}{3}$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{96}{9}$ = $\frac{121}{9}$

x_1,2 = $- \frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{121}{9}}$

x₁ = $- \frac{5}{3}$ - $\frac{11}{3}$ = $- \frac{16}{3}$ = -5.3333333333333

x₂ = $- \frac{5}{3}$ + $\frac{11}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{16}{3}$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 3}$ = $- \frac{13}{x - 1} + x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{3 x - 3}$	=	$- \frac{13}{x - 1} + x$
$\frac{x}{3 (x - 1)}$	=	$- \frac{13}{x - 1} + x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 1)}$	=	$- \frac{13}{x - 1} + x$	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{x}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1))$	=	$\frac{- 13}{x - 1} \cdot (3 (x - 1)) + x \cdot (3 (x - 1))$
$x$	=	$- 39 + 3 x (x - 1)$
$x$	=	$3 x^{2} - 3 x - 39$

x

=

3 x^{2} - 3 x - 39

|

- 3 x^{2}

+ 3 x

+ 39

$- 3 x^{2} + 4 x + 39$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 39}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 468}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{484}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{484}}{- 6}$ = $\frac{- 4+22}{- 6}$ = $\frac{18}{- 6}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{484}}{- 6}$ = $\frac{- 4-22}{- 6}$ = $\frac{- 26}{- 6}$ = $\frac{13}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 4 x + 39$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{4}{3} x - 13$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{3})}^{2} - (- 13)$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $13$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{117}{9}$ = $\frac{121}{9}$

x_1,2 = $\frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{121}{9}}$

x₁ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{11}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $\frac{2}{3}$ + $\frac{11}{3}$ = $\frac{13}{3}$ = 4.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{13}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{16 x + 60}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{16 x + 60}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{16 x + 60}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$16 x + 60$

- x^{2}

=

16 x + 60

|

- 16 x

- 60

$- x^{2} - 16 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{16+4}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{16-4}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 16 x - 60$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 16 x + 60$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 60$ = $64$ $-$ $60$ = $4$

x_1,2 = $- 8$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 8$ - $2$ = -10

x₂ = $- 8$ + $2$ = -6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{15 x - 24}{4 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{15 x - 24}{4 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{15 x - 24}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 5 \cdot 4 x$
$15 x - 24$	=	$4 x \cdot x - 20 x$

15 x - 24

=

4 x^{2} - 20 x

|

- 4 x^{2}

+ 20 x

$- 4 x^{2} + 35 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{35^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{1 225 - 384}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{841}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 35 + \sqrt{841}}{- 8}$ = $\frac{- 35+29}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 35 - \sqrt{841}}{- 8}$ = $\frac{- 35-29}{- 8}$ = $\frac{- 64}{- 8}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 35 x - 24$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{35}{4} x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{35}{8})}^{2} - 6$ = $\frac{1225}{64}$ $-$ $6$ = $\frac{1225}{64}$ $-$ $\frac{384}{64}$ = $\frac{841}{64}$

x_1,2 = $\frac{35}{8}$ ± $\sqrt{\frac{841}{64}}$

x₁ = $\frac{35}{8}$ - $\frac{29}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{35}{8}$ + $\frac{29}{8}$ = $\frac{64}{8}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 1} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{x - 1} - 2$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{x - 1} \cdot (x - 1) - 2 \cdot (x - 1)$	=
$4 x - 2 x + 2$	=
$2 x + 2$	=

$2 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{8}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{8}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{8}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{8}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 8$
$a x + x^{2} + 8$	=	0
$x^{2} + a x + 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 4$ = 8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 4)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):