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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{9 x}{x - 16}$ = $- 5$

D=R\{ $16$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 16$ weg!

$\frac{- 9 x}{x - 16}$	=	$- 5$	\|⋅( $x - 16$ )
$\frac{- 9 x}{x - 16} \cdot (x - 16)$	=	$- 5 \cdot (x - 16)$
$- \frac{9 x}{1}$	=	$- 5 (x - 16)$
$- 9 x$	=	$- 5 (x - 16)$

$- 9 x$	=	$- 5 x + 80$	\| $+ 5 x$
$- 4 x$	=	$80$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 20$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 20$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 7}{3 x + 5}$ = $- x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$- \frac{7}{3 x + 5}$	=	$- x - 3$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$- \frac{7}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5)$	=	$- x \cdot (3 x + 5) - 3 \cdot (3 x + 5)$
$- 7$	=	$- x \cdot (3 x + 5) - 9 x - 15$
$- 7$	=	$- 3 x^{2} - 14 x - 15$

- 7

=

- 3 x^{2} - 14 x - 15

|

+ 3 x^{2}

+ 14 x

+ 15

$3 x^{2} + 14 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{100}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{- 14+10}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{- 14-10}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 14 x + 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{14}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{3})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{25}{9}$

x_1,2 = $- \frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{25}{9}}$

x₁ = $- \frac{7}{3}$ - $\frac{5}{3}$ = $- \frac{12}{3}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{3}$ + $\frac{5}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 3}{x} + \frac{3 x + 1}{x - 1} + \frac{12 x}{- 3 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

$\frac{12 x}{- 3 x + 3} + \frac{3 x + 1}{x - 1} - \frac{3}{x}$	=	0
$\frac{12 x}{3 (- x + 1)} + \frac{3 x + 1}{x - 1} - \frac{3}{x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $- x + 1$ weg!

$\frac{12 x}{3 (- x + 1)} + \frac{3 x + 1}{x - 1} - \frac{3}{x}$	=	\|⋅( $- x + 1$ )
$\frac{12 x}{3 (- x + 1)} \cdot (- x + 1) + \frac{3 x + 1}{x - 1} \cdot (- x + 1) - \frac{3}{x} \cdot (- x + 1)$	=
$4 x + \frac{(3 x + 1) \cdot (- x + 1)}{x - 1} - 3 \frac{- x + 1}{x}$	=
$4 x + \frac{- 3 x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} - \frac{3 (- x + 1)}{x}$	=
$- \frac{3 (- x + 1)}{x} + \frac{- 3 x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} + 4 x$	=

- \frac{3 (- x + 1)}{x} + \frac{- 3 x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3 (- x + 1)}{x} + \frac{- 3 x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} + 4 x$	=	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3 (- x + 1)}{x} \cdot x + \frac{- 3 x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} \cdot x + 4 x \cdot x$	=
$3 x - 3 + \frac{(- 3 x^{2} + 2 x + 1) x}{x - 1} + 4 x \cdot x$	=
$3 x - 3 + \frac{- 3 x^{3} + 2 x^{2} + x}{x - 1} + 4 x^{2}$	=
$\frac{- 3 x^{3} + 2 x^{2} + x}{x - 1} + 4 x^{2} + 3 x - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 3 x^{3} + 2 x^{2} + x}{x - 1} + 4 x^{2} + 3 x - 3$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 3 x^{3} + 2 x^{2} + x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 4 x^{2} \cdot (x - 1) + 3 x \cdot (x - 1) - 3 \cdot (x - 1)$	=
$- 3 x^{3} + 2 x^{2} + x + 4 x^{2} \cdot (x - 1) + 3 x \cdot (x - 1) - 3 x + 3$	=
$- 3 x^{3} + 2 x^{2} + x + (4 x^{3} - 4 x^{2}) + (3 x^{2} - 3 x) - 3 x + 3$	=
$x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $3$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 1^{2} - 5 \cdot 1 + 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 5 x$	$+ 3$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 2 x - 3$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 5 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 3 x$	$+ 3$
		-( $- 3 x$	$+ 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$ = $(x^{2} + 2 x - 3) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 2 x - 3) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{2} - 5 \cdot (- 3) + 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 5 x$	$+ 3$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 5 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$x$	$+ 3$
		-( $x$	$+ 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 3)$

(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4}{x}$ = $- 1 - \frac{3}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{4}{x}$	=	$- 1 - \frac{3}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{4}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{3}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$4 x$	=	$- x^{2} - 3$

4 x

=

- x^{2} - 3

|

+ x^{2}

+ 3

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 12}{2 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x + 12}{2 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x + 12}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 5 \cdot 2 x$
$5 x + 12$	=	$2 x \cdot x + 10 x$

5 x + 12

=

2 x^{2} + 10 x

|

- 2 x^{2}

- 10 x

$- 2 x^{2} - 5 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 12}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{5+11}{- 4}$ = $\frac{16}{- 4}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{5-11}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 5 x + 12$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{2 x - 5} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{2 x + 1}{2 x - 5} - 3$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{2 x + 1}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) - 3 \cdot (2 x - 5)$	=
$2 x + 1 - 6 x + 15$	=
$- 4 x + 16$	=

$- 4 x + 16$	=	0	\| $- 16$
$- 4 x$	=	$- 16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{10}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{10}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{10}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{10}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 10$	=	$- x^{2}$
$a x + 10 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit $- 3$