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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
- 7 x = 3

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x weg!

- 7 x = 3 |⋅( x )
- 7 x · x = 3 · x
-7 = 3x
-7 = 3x | +7 -3x
-3x = 7 |:(-3 )
x = - 7 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ - 7 3 }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x x +9 + 1 x -9 = 137 x 2 -81

Lösung einblenden

D=R\{ -9 ; 9 }

x x +9 + 1 x -9 = 137 ( x +9 ) · ( x -9 ) |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner ( x +9 ) · ( x -9 ) weg!

x x +9 + 1 x -9 = 137 ( x +9 ) · ( x -9 ) |⋅( ( x +9 ) · ( x -9 ) )
x x +9 · ( x +9 ) · ( x -9 ) + 1 x -9 · ( x +9 ) · ( x -9 ) = 137 ( x +9 ) · ( x -9 ) · ( x +9 ) · ( x -9 )
x ( x -9 ) + x +9 = 137 x +9 x +9
x ( x -9 ) + x +9 = 137
x 2 -9x + x +9 = 137
x 2 -8x +9 = 137
x 2 -8x +9 = 137 | -137

x 2 -8x -128 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · ( -128 ) 21

x1,2 = +8 ± 64 +512 2

x1,2 = +8 ± 576 2

x1 = 8 + 576 2 = 8 +24 2 = 32 2 = 16

x2 = 8 - 576 2 = 8 -24 2 = -16 2 = -8

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -4 ) 2 - ( -128 ) = 16+ 128 = 144

x1,2 = 4 ± 144

x1 = 4 - 12 = -8

x2 = 4 + 12 = 16

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -8 ; 16 }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-x = - x 3x -6 - 76 3x -6

Lösung einblenden

D=R\{ 2 }

-x = - x 3x -6 - 76 3x -6
-x = - x 3( x -2 ) - 76 3( x -2 ) |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner 3( x -2 ) weg!

-x = - x 3( x -2 ) - 76 3( x -2 ) |⋅( 3( x -2 ) )
-x · ( 3( x -2 ) ) = - x 3( x -2 ) · ( 3( x -2 ) ) - 76 3( x -2 ) · ( 3( x -2 ) )
-3 x ( x -2 ) = -x -76
-3 x · x -3 x · ( -2 ) = -x -76
-3 x · x +6x = -x -76
-3 x 2 +6x = -x -76
-3 x 2 +6x = -x -76 | + x +76

-3 x 2 +7x +76 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -7 ± 7 2 -4 · ( -3 ) · 76 2( -3 )

x1,2 = -7 ± 49 +912 -6

x1,2 = -7 ± 961 -6

x1 = -7 + 961 -6 = -7 +31 -6 = 24 -6 = -4

x2 = -7 - 961 -6 = -7 -31 -6 = -38 -6 = 19 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-3 " teilen:

-3 x 2 +7x +76 = 0 |: -3

x 2 - 7 3 x - 76 3 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 7 6 ) 2 - ( - 76 3 ) = 49 36 + 76 3 = 49 36 + 912 36 = 961 36

x1,2 = 7 6 ± 961 36

x1 = 7 6 - 31 6 = - 24 6 = -4

x2 = 7 6 + 31 6 = 38 6 = 6.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -4 ; 19 3 }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 1 x 2 = 16x +60 x 4

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 4 weg!

- 1 x 2 = 16x +60 x 4 |⋅( x 4 )
- 1 x 2 · x 4 = 16x +60 x 4 · x 4
- x 2 = 16x +60
- x 2 = 16x +60 | -16x -60

- x 2 -16x -60 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +16 ± ( -16 ) 2 -4 · ( -1 ) · ( -60 ) 2( -1 )

x1,2 = +16 ± 256 -240 -2

x1,2 = +16 ± 16 -2

x1 = 16 + 16 -2 = 16 +4 -2 = 20 -2 = -10

x2 = 16 - 16 -2 = 16 -4 -2 = 12 -2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 -16x -60 = 0 |: -1

x 2 +16x +60 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 8 2 - 60 = 64 - 60 = 4

x1,2 = -8 ± 4

x1 = -8 - 2 = -10

x2 = -8 + 2 = -6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -10 ; -6 }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3x -12 4x = x -4

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner 4x weg!

3x -12 4x = x -4 |⋅( 4x )
3x -12 4x · 4x = x · 4x -4 · 4x
3x -12 = 4 x · x -16x
3x -12 = 4 x 2 -16x | -4 x 2 +16x

-4 x 2 +19x -12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -19 ± 19 2 -4 · ( -4 ) · ( -12 ) 2( -4 )

x1,2 = -19 ± 361 -192 -8

x1,2 = -19 ± 169 -8

x1 = -19 + 169 -8 = -19 +13 -8 = -6 -8 = 0,75

x2 = -19 - 169 -8 = -19 -13 -8 = -32 -8 = 4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-4 " teilen:

-4 x 2 +19x -12 = 0 |: -4

x 2 - 19 4 x +3 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 19 8 ) 2 - 3 = 361 64 - 3 = 361 64 - 192 64 = 169 64

x1,2 = 19 8 ± 169 64

x1 = 19 8 - 13 8 = 6 8 = 0.75

x2 = 19 8 + 13 8 = 32 8 = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 0,75 ; 4 }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2x +2 3x +10 + 2x 3x +8 -5 = 0

Lösung einblenden

D=R\{ - 8 3 ; - 10 3 }

2x 3x +8 + 2x +2 3x +10 -5 = 0

Wir multiplizieren den Nenner 3x +8 weg!

2x 3x +8 + 2x +2 3x +10 -5 = 0 |⋅( 3x +8 )
2x 3x +8 · ( 3x +8 ) + 2x +2 3x +10 · ( 3x +8 ) -5 · ( 3x +8 ) = 0
2x + ( 2x +2 ) ( 3x +8 ) 3x +10 -15x -40 = 0
2x + 6 x 2 +22x +16 3x +10 -15x -40 = 0
6 x 2 +22x +16 3x +10 +2x -15x -40 = 0

Wir multiplizieren den Nenner 3x +10 weg!

6 x 2 +22x +16 3x +10 +2x -15x -40 = 0 |⋅( 3x +10 )
6 x 2 +22x +16 3x +10 · ( 3x +10 ) + 2x · ( 3x +10 ) -15x · ( 3x +10 ) -40 · ( 3x +10 ) = 0
6 x 2 +22x +16 +2 x ( 3x +10 )-15 x ( 3x +10 ) -120x -400 = 0
6 x 2 +22x +16 + ( 6 x 2 +20x ) + ( -45 x 2 -150x ) -120x -400 = 0
-33 x 2 -228x -384 = 0
-33 x 2 -228x -384 = 0 |:3

-11 x 2 -76x -128 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +76 ± ( -76 ) 2 -4 · ( -11 ) · ( -128 ) 2( -11 )

x1,2 = +76 ± 5776 -5632 -22

x1,2 = +76 ± 144 -22

x1 = 76 + 144 -22 = 76 +12 -22 = 88 -22 = -4

x2 = 76 - 144 -22 = 76 -12 -22 = 64 -22 = - 32 11

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-11 " teilen:

-11 x 2 -76x -128 = 0 |: -11

x 2 + 76 11 x + 128 11 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 38 11 ) 2 - ( 128 11 ) = 1444 121 - 128 11 = 1444 121 - 1408 121 = 36 121

x1,2 = - 38 11 ± 36 121

x1 = - 38 11 - 6 11 = - 44 11 = -4

x2 = - 38 11 + 6 11 = - 32 11 = -2.9090909090909

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -4 ; - 32 11 }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

30 x + a = -x

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

30 x + a = -x

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

30 x + a = -x |⋅x
30 x · x + a · x = -x · x
30 + a x = - x 2
30 + a x + x 2 = 0
x 2 + a x +30 = 0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

x 2 + a x +30 = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn 2 · 15 = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = -( 2 +15 ) = -17

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

x 2 -17x +30 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +17 ± ( -17 ) 2 -4 · 1 · 30 21

x1,2 = +17 ± 289 -120 2

x1,2 = +17 ± 169 2

x1 = 17 + 169 2 = 17 +13 2 = 30 2 = 15

x2 = 17 - 169 2 = 17 -13 2 = 4 2 = 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 17 2 ) 2 - 30 = 289 4 - 30 = 289 4 - 120 4 = 169 4

x1,2 = 17 2 ± 169 4

x1 = 17 2 - 13 2 = 4 2 = 2

x2 = 17 2 + 13 2 = 30 2 = 15

L={ 2 ; 15 }