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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2}{x + 9}$ = $2$

D=R\{ $- 9$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 9$ weg!

$\frac{2}{x + 9}$	=	$2$	\|⋅( $x + 9$ )
$\frac{2}{x + 9} \cdot (x + 9)$	=	$2 \cdot (x + 9)$
$2$	=	$2 (x + 9)$

$2$	=	$2 x + 18$	\| $- 2$ $- 2 x$
$- 2 x$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4 x}{2 x - 5} + \frac{36}{6 x - 15}$ = $- 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

- \frac{4 x}{2 x - 5} + \frac{36}{3 (2 x - 5)}

=

- 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$- \frac{4 x}{2 x - 5} + \frac{36}{3 (2 x - 5)}$	=	$- 4$	\|⋅( $2 x - 5$ )
$- \frac{4 x}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{36}{3 (2 x - 5)} \cdot (2 x - 5)$	=	$- 4 \cdot (2 x - 5)$
$- 4 x + 12$	=	$- 4 (2 x - 5)$

$- 4 x + 12$	=	$- 8 x + 20$	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$- 8 x + 8$	\| $+ 8 x$
$4 x$	=	$8$	\|: $4$
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x + 2} + \frac{3 x}{x + 1} + \frac{12 x}{- x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 2$ }

$\frac{3 x}{x + 1} + \frac{8 x}{x + 2} + \frac{12 x}{- x - 2}$	=	0
$\frac{3 x}{x + 1} + \frac{8 x}{x + 2} + \frac{12 x}{- (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{x + 1} + \frac{8 x}{x + 2} + \frac{12 x}{- (x + 2)}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{8 x}{x + 2} \cdot (x + 1) + \frac{12 x}{- (x + 2)} \cdot (x + 1)$	=
$3 x + \frac{8 x (x + 1)}{x + 2} - \frac{12 x (x + 1)}{x + 2}$	=
$3 x + \frac{8 x^{2} + 8 x}{x + 2} - \frac{12 x^{2} + 12 x}{x + 2}$	=
$\frac{8 x^{2} + 8 x - 12 x^{2} - 12 x}{x + 2} + 3 x$	=

\frac{8 x^{2} - 12 x^{2} + 8 x - 12 x}{x + 2} + 3 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 12 x^{2} + 8 x - 12 x}{x + 2} + 3 x$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{8 x^{2} - 12 x^{2} + 8 x - 12 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 3 x \cdot (x + 2)$	=
$8 x^{2} - 12 x^{2} + 8 x - 12 x + 3 x (x + 2)$	=
$8 x^{2} - 12 x^{2} + 8 x - 12 x + (3 x^{2} + 6 x)$	=
$- x^{2} + 2 x$	=

$- x^{2} + 2 x$	=	0
$x (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 9 x + 18}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- 9 x + 18}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- 9 x + 18}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 9 x + 18$	=	$- x^{2}$

- 9 x + 18

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 5$ = $\frac{- 27 x + 2}{4 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x - 5$	=	$\frac{- 27 x + 2}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x - 5 \cdot 4 x$	=	$\frac{- 27 x + 2}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x - 20 x$	=	$- 27 x + 2$
$4 x^{2} - 20 x$	=	$- 27 x + 2$

4 x^{2} - 20 x

=

- 27 x + 2

|

+ 27 x

- 2

$4 x^{2} + 7 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{8}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{8}$ = $\frac{- 7+9}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{8}$ = $\frac{- 7-9}{8}$ = $\frac{- 16}{8}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 7 x - 2$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{7}{4} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{8})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{49}{64}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{49}{64}$ $+$ $\frac{32}{64}$ = $\frac{81}{64}$

x_1,2 = $- \frac{7}{8}$ ± $\sqrt{\frac{81}{64}}$

x₁ = $- \frac{7}{8}$ - $\frac{9}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{8}$ + $\frac{9}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x - 3} + \frac{6 x}{2 x - 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $3$ }

\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{12 x}{x - 3} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{12 x}{x - 3} - 5$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{12 x}{x - 3} \cdot (2 x - 1) - 5 \cdot (2 x - 1)$	=
$6 x + \frac{12 x (2 x - 1)}{x - 3} - 10 x + 5$	=
$6 x + \frac{24 x^{2} - 12 x}{x - 3} - 10 x + 5$	=
$\frac{24 x^{2} - 12 x}{x - 3} + 6 x - 10 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{24 x^{2} - 12 x}{x - 3} + 6 x - 10 x + 5$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{24 x^{2} - 12 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + 6 x \cdot (x - 3) - 10 x \cdot (x - 3) + 5 \cdot (x - 3)$	=
$24 x^{2} - 12 x + 6 x (x - 3) - 10 x (x - 3) + 5 x - 15$	=
$24 x^{2} - 12 x + (6 x^{2} - 18 x) + (- 10 x^{2} + 30 x) + 5 x - 15$	=
$20 x^{2} + 5 x - 15$	=

20 x^{2} + 5 x - 15

= 0 |:5

$4 x^{2} + x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{8}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{- 1+7}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{- 1-7}{8}$ = $\frac{- 8}{8}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + x - 3$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{8})}^{2} - (- \frac{3}{4})$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{49}{64}$

x_1,2 = $- \frac{1}{8}$ ± $\sqrt{\frac{49}{64}}$

x₁ = $- \frac{1}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,75$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{6}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{6}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{6}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{6}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$6 + x^{2}$	=	$- a x$
$6 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):