Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5 x}{2 x - 2} + \frac{22}{2 x - 2}$ = $- 2$

D=R\{ $1$ }

\frac{5 x}{2 (x - 1)} + \frac{22}{2 (x - 1)}

=

- 2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{5 x}{2 (x - 1)} + \frac{22}{2 (x - 1)}$	=	$- 2$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{5 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{22}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1))$	=	$- 2 \cdot (2 (x - 1))$
$5 x + 22$	=	$- 4 (x - 1)$

$5 x + 22$	=	$- 4 x + 4$	\| $- 22$
$5 x$	=	$- 4 x - 18$	\| $+ 4 x$
$9 x$	=	$- 18$	\|: $9$
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{6}{3 x - 3}$ = $5$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{4 x}{x - 1} + \frac{6}{3 (x - 1)}

=

5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{6}{3 (x - 1)}$	=	$5$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{6}{3 (x - 1)} \cdot (x - 1)$	=	$5 \cdot (x - 1)$
$4 x + 2$	=	$5 (x - 1)$

$4 x + 2$	=	$5 x - 5$	\| $- 2$
$4 x$	=	$5 x - 7$	\| $- 5 x$
$- x$	=	$- 7$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 34,5}{x - 1}$ = $- \frac{x}{2 x - 2} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

- \frac{34,5}{x - 1}

=

- \frac{x}{2 (x - 1)} - 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$- \frac{34,5}{x - 1}$	=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} - 3 x$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$- \frac{34,5}{x - 1} \cdot (2 (x - 1))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) - 3 x \cdot (2 (x - 1))$
$- 69$	=	$- x - 6 x \cdot (x - 1)$
$- 69$	=	$- 6 x^{2} + 5 x$

- 69

=

- 6 x^{2} + 5 x

|

+ 6 x^{2}

- 5 x

$6 x^{2} - 5 x - 69$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 69)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 1 656}}{12}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1 681}}{12}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1 681}}{12}$ = $\frac{5+41}{12}$ = $\frac{46}{12}$ = $\frac{23}{6}$ ≈ 3.83

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1 681}}{12}$ = $\frac{5-41}{12}$ = $\frac{- 36}{12}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} - 5 x - 69$ = 0 |: $6$

$x^{2} - \frac{5}{6} x - \frac{23}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{12})}^{2} - (- \frac{23}{2})$ = $\frac{25}{144}$ $+$ $\frac{23}{2}$ = $\frac{25}{144}$ $+$ $\frac{1656}{144}$ = $\frac{1681}{144}$

x_1,2 = $\frac{5}{12}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{144}}$

x₁ = $\frac{5}{12}$ - $\frac{41}{12}$ = $- \frac{36}{12}$ = -3

x₂ = $\frac{5}{12}$ + $\frac{41}{12}$ = $\frac{46}{12}$ = 3.8333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{23}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{2}{x} + \frac{63}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{2}{x} + \frac{63}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{2}{x} \cdot x^{2} + \frac{63}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$2 x + 63$

x^{2}

=

2 x + 63

|

- 2 x

- 63

$x^{2} - 2 x - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2+16}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2-16}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 63)$ = $1$ $+$ $63$ = $64$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $1$ - $8$ = -7

x₂ = $1$ + $8$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 3$ = $\frac{3 x + 5}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x - 3$	=	$\frac{3 x + 5}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x - 3 \cdot 2 x$	=	$\frac{3 x + 5}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x - 6 x$	=	$3 x + 5$
$2 x^{2} - 6 x$	=	$3 x + 5$

2 x^{2} - 6 x

=

3 x + 5

|

- 3 x

- 5

$2 x^{2} - 9 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{9+11}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{9-11}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 9 x - 5$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 4} + \frac{3 x}{3 x + 3} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{4}{3}$ }

$\frac{3 x}{3 x + 3} + \frac{x}{3 x + 4} - 3$	=	0
$\frac{3 x}{3 (x + 1)} + \frac{x}{3 x + 4} - 3$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{3 (x + 1)} + \frac{x}{3 x + 4} - 3$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x}{3 (x + 1)} \cdot (x + 1) + \frac{x}{3 x + 4} \cdot (x + 1) - 3 \cdot (x + 1)$	=
$x + \frac{x \cdot (x + 1)}{3 x + 4} - 3 x - 3$	=
$x + \frac{x^{2} + x}{3 x + 4} - 3 x - 3$	=
$\frac{x^{2} + x}{3 x + 4} + x - 3 x - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{x^{2} + x}{3 x + 4} + x - 3 x - 3$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{x^{2} + x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + x \cdot (3 x + 4) - 3 x \cdot (3 x + 4) - 3 \cdot (3 x + 4)$	=
$x^{2} + x + x \cdot (3 x + 4) - 3 x \cdot (3 x + 4) - 9 x - 12$	=
$x^{2} + x + (3 x^{2} + 4 x) + (- 9 x^{2} - 12 x) - 9 x - 12$	=
$- 5 x^{2} - 16 x - 12$	=

$- 5 x^{2} - 16 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{16}}{- 10}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{16}}{- 10}$ = $\frac{16+4}{- 10}$ = $\frac{20}{- 10}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{16}}{- 10}$ = $\frac{16-4}{- 10}$ = $\frac{12}{- 10}$ = $- 1,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 16 x - 12$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{16}{5} x + \frac{12}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{5})}^{2} - (\frac{12}{5})$ = $\frac{64}{25}$ $-$ $\frac{12}{5}$ = $\frac{64}{25}$ $-$ $\frac{60}{25}$ = $\frac{4}{25}$

x_1,2 = $- \frac{8}{5}$ ± $\sqrt{\frac{4}{25}}$

x₁ = $- \frac{8}{5}$ - $\frac{2}{5}$ = $- \frac{10}{5}$ = -2

x₂ = $- \frac{8}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $- \frac{6}{5}$ = -1.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1,2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$6 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$6 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$6 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$6 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$6 x + a$	=	$- x^{2}$
$6 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 6 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 6 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -8 würde es funktionieren, denn $- (2 - 8)$ = 6

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 8)$ = $- 16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

L={ $- 8$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):