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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7 x}{3 x - 3} + \frac{3}{3 x - 3}$ = $3$

D=R\{ $1$ }

\frac{7 x}{3 (x - 1)} + \frac{3}{3 (x - 1)}

=

3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{7 x}{3 (x - 1)} + \frac{3}{3 (x - 1)}$	=	$3$	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{7 x}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) + \frac{3}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1))$	=	$3 \cdot (3 (x - 1))$
$7 x + 3$	=	$9 (x - 1)$

$7 x + 3$	=	$9 x - 9$	\| $- 3$
$7 x$	=	$9 x - 12$	\| $- 9 x$
$- 2 x$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2 x}{3 x + 5} + \frac{60}{6 x + 10}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

\frac{2 x}{3 x + 5} + \frac{60}{2 (3 x + 5)}

=

- 1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 5} + \frac{60}{2 (3 x + 5)}$	=	$- 1$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{2 x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + \frac{60}{2 (3 x + 5)} \cdot (3 x + 5)$	=	$- 1 \cdot (3 x + 5)$
$2 x + 30$	=	$- (3 x + 5)$

$2 x + 30$	=	$- 3 x - 5$	\| $- 30$
$2 x$	=	$- 3 x - 35$	\| $+ 3 x$
$5 x$	=	$- 35$	\|: $5$
$x$	=	$- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{2 x - 1} + \frac{6 x}{x - 1} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{1}{2}$ }

\frac{6 x}{x - 1} + \frac{12 x}{2 x - 1} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{x - 1} + \frac{12 x}{2 x - 1} - 7$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{12 x}{2 x - 1} \cdot (x - 1) - 7 \cdot (x - 1)$	=
$6 x + \frac{12 x (x - 1)}{2 x - 1} - 7 x + 7$	=
$6 x + \frac{12 x^{2} - 12 x}{2 x - 1} - 7 x + 7$	=
$\frac{12 x^{2} - 12 x}{2 x - 1} + 6 x - 7 x + 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{12 x^{2} - 12 x}{2 x - 1} + 6 x - 7 x + 7$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{12 x^{2} - 12 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + 6 x \cdot (2 x - 1) - 7 x \cdot (2 x - 1) + 7 \cdot (2 x - 1)$	=
$12 x^{2} - 12 x + 6 x (2 x - 1) - 7 x (2 x - 1) + 14 x - 7$	=
$12 x^{2} - 12 x + (12 x^{2} - 6 x) + (- 14 x^{2} + 7 x) + 14 x - 7$	=
$10 x^{2} + 3 x - 7$	=

$10 x^{2} + 3 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{20}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{289}}{20}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{289}}{20}$ = $\frac{- 3+17}{20}$ = $\frac{14}{20}$ = $0,7$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{289}}{20}$ = $\frac{- 3-17}{20}$ = $\frac{- 20}{20}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $10$ " teilen:

$10 x^{2} + 3 x - 7$ = 0 |: $10$

$x^{2} + \frac{3}{10} x - \frac{7}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{20})}^{2} - (- \frac{7}{10})$ = $\frac{9}{400}$ $+$ $\frac{7}{10}$ = $\frac{9}{400}$ $+$ $\frac{280}{400}$ = $\frac{289}{400}$

x_1,2 = $- \frac{3}{20}$ ± $\sqrt{\frac{289}{400}}$

x₁ = $- \frac{3}{20}$ - $\frac{17}{20}$ = $- \frac{20}{20}$ = -1

x₂ = $- \frac{3}{20}$ + $\frac{17}{20}$ = $\frac{14}{20}$ = 0.7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,7$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}} + \frac{4}{x^{4}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}} + \frac{4}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{5}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{4}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} + 5 x + 4$	=

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{x + 2}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{3 x - 1}{x + 2}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{3 x - 1}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$4 x \cdot (x + 2)$
$3 x - 1$	=	$4 x (x + 2)$
$3 x - 1$	=	$4 x^{2} + 8 x$

3 x - 1

=

4 x^{2} + 8 x

|

- 4 x^{2}

- 8 x

$- 4 x^{2} - 5 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 8}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 8}$ = $\frac{5+3}{- 8}$ = $\frac{8}{- 8}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 8}$ = $\frac{5-3}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 5 x - 1$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{5}{4} x + \frac{1}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{8})}^{2} - (\frac{1}{4})$ = $\frac{25}{64}$ $-$ $\frac{1}{4}$ = $\frac{25}{64}$ $-$ $\frac{16}{64}$ = $\frac{9}{64}$

x_1,2 = $- \frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{9}{64}}$

x₁ = $- \frac{5}{8}$ - $\frac{3}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

x₂ = $- \frac{5}{8}$ + $\frac{3}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x}{x + 2} + \frac{8 x}{2 x + 2} + \frac{15 x}{- x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 2$ }

$\frac{8 x}{2 x + 2} + \frac{9 x}{x + 2} + \frac{15 x}{- x - 2}$	=	0
$\frac{8 x}{2 (x + 1)} + \frac{9 x}{x + 2} + \frac{15 x}{- (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{8 x}{2 (x + 1)} + \frac{9 x}{x + 2} + \frac{15 x}{- (x + 2)}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{8 x}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1) + \frac{9 x}{x + 2} \cdot (x + 1) + \frac{15 x}{- (x + 2)} \cdot (x + 1)$	=
$4 x + \frac{9 x (x + 1)}{x + 2} - \frac{15 x (x + 1)}{x + 2}$	=
$4 x + \frac{9 x^{2} + 9 x}{x + 2} - \frac{15 x^{2} + 15 x}{x + 2}$	=
$\frac{9 x^{2} + 9 x - 15 x^{2} - 15 x}{x + 2} + 4 x$	=

\frac{9 x^{2} - 15 x^{2} + 9 x - 15 x}{x + 2} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 15 x^{2} + 9 x - 15 x}{x + 2} + 4 x$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{9 x^{2} - 15 x^{2} + 9 x - 15 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 4 x \cdot (x + 2)$	=
$9 x^{2} - 15 x^{2} + 9 x - 15 x + 4 x (x + 2)$	=
$9 x^{2} - 15 x^{2} + 9 x - 15 x + (4 x^{2} + 8 x)$	=
$- 2 x^{2} + 2 x$	=

$- 2 x^{2} + 2 x$	=	0
$2 x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{30}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{30}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{30}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{30}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 30$
$a x + x^{2} + 30$	=	0
$x^{2} + a x + 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 15)$ = $- 17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 17 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17+13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17-13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = 15

L={ $2$ ; $15$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):