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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{5 x}{x + 9}$ = $- 2$

D=R\{ $- 9$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 9$ weg!

$\frac{- 5 x}{x + 9}$	=	$- 2$	\|⋅( $x + 9$ )
$\frac{- 5 x}{x + 9} \cdot (x + 9)$	=	$- 2 \cdot (x + 9)$
$- \frac{5 x}{1}$	=	$- 2 (x + 9)$
$- 5 x$	=	$- 2 (x + 9)$

$- 5 x$	=	$- 2 x - 18$	\| $+ 2 x$
$- 3 x$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{9 x}{2 x + 2} + 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

x

=

- \frac{9 x}{2 (x + 1)} + 5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$x$	=	$- \frac{9 x}{2 (x + 1)} + 5$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$x \cdot (2 (x + 1))$	=	$- \frac{9 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + 5 \cdot (2 (x + 1))$
$2 x (x + 1)$	=	$- 9 x + 10 x + 10$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot 1$	=	$- 9 x + 10 x + 10$
$2 x \cdot x + 2 x$	=	$- 9 x + 10 x + 10$
$2 x^{2} + 2 x$	=	$x + 10$

2 x^{2} + 2 x

=

x + 10

|

- x

- 10

$2 x^{2} + x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 1+9}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 1-9}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + x - 10$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- 5)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $5$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{80}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,5$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{3 x - 12} - \frac{- 20}{6 x - 24} + x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

0	=	$- \frac{x}{3 x - 12} + \frac{20}{6 x - 24} + x$
0	=	$- \frac{x}{3 (x - 4)} + \frac{20}{6 (x - 4)} + x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 4)$ weg!

=	$- \frac{x}{3 (x - 4)} + \frac{20}{6 (x - 4)} + x$	\|⋅( $3 (x - 4)$ )
=	$- \frac{x}{3 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4)) + \frac{20}{6 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4)) + x \cdot (3 (x - 4))$
=	$- x + 10 + 3 x (x - 4)$
=	$3 x^{2} - 13 x + 10$

0

=

3 x^{2} - 13 x + 10

|

- 3 x^{2}

+ 13 x

- 10

$- 3 x^{2} + 13 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{49}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{- 13+7}{- 6}$ = $\frac{- 6}{- 6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{- 13-7}{- 6}$ = $\frac{- 20}{- 6}$ = $\frac{10}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 13 x - 10$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{13}{3} x + \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{6})}^{2} - (\frac{10}{3})$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $\frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $\frac{13}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

x₂ = $\frac{13}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{20}{6}$ = 3.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $\frac{10}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{5}{x} - \frac{14}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{5}{x} - \frac{14}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{5}{x} \cdot x^{2} - \frac{14}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} + 5 x - 14$	=

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 5$ = $\frac{24}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 5$	=	$\frac{24}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 5 \cdot x$	=	$\frac{24}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 5 x$	=	$24$
$x^{2} + 5 x$	=	$24$

x^{2} + 5 x

=

24

|

- 24

$x^{2} + 5 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5+11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5-11}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 4} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{2 x}{2 (x - 2)} - 2

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x - 2)} - 2$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) - 2 \cdot (x - 2)$	=
$x - 2 x + 4$	=
$- x + 4$	=

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{15}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{15}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{15}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{15}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 15$
$a x + x^{2} + 15$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):