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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4}{x}$ = $- \frac{1}{9}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{4}{x}$	=	$- \frac{1}{9}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{4}{x} \cdot x$	=	$- \frac{1}{9} \cdot x$
$- 4$	=	$- \frac{1}{9} x$

$- 4$	=	$- \frac{1}{9} x$	\|⋅ 9
$- 36$	=	$- x$	\| $+ 36$ $+ x$
$x$	=	$36$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $36$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{27}{2 x + 5}$ = $- x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{27}{2 x + 5}$	=	$- x + 5$	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{27}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5)$	=	$- x \cdot (2 x + 5) + 5 \cdot (2 x + 5)$
$27$	=	$- x \cdot (2 x + 5) + 10 x + 25$
$27$	=	$- 2 x^{2} + 5 x + 25$

27

=

- 2 x^{2} + 5 x + 25

|

+ 2 x^{2}

- 5 x

- 25

$2 x^{2} - 5 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{5+3}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{5-3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 5 x + 2$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{5 x + 10} - \frac{29,4}{x + 2} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

0	=	$- \frac{x}{5 x + 10} - \frac{29,4}{x + 2} + 2 x$
0	=	$- \frac{x}{5 (x + 2)} - \frac{29,4}{x + 2} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 2)$ weg!

=	$- \frac{x}{5 (x + 2)} - \frac{29,4}{x + 2} + 2 x$	\|⋅( $5 (x + 2)$ )
=	$- \frac{x}{5 (x + 2)} \cdot (5 (x + 2)) + \frac{- 29,4}{x + 2} \cdot (5 (x + 2)) + 2 x \cdot (5 (x + 2))$
=	$- x - 147 + 10 x \cdot (x + 2)$
=	$10 x^{2} + 19 x - 147$

0

=

10 x^{2} + 19 x - 147

|

- 10 x^{2}

- 19 x

+ 147

$- 10 x^{2} - 19 x + 147$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 147}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 5 880}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{6 241}}{- 20}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{6 241}}{- 20}$ = $\frac{19+79}{- 20}$ = $\frac{98}{- 20}$ = $- 4,9$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{6 241}}{- 20}$ = $\frac{19-79}{- 20}$ = $\frac{- 60}{- 20}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 19 x + 147$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{19}{10} x - \frac{147}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{20})}^{2} - (- \frac{147}{10})$ = $\frac{361}{400}$ $+$ $\frac{147}{10}$ = $\frac{361}{400}$ $+$ $\frac{5880}{400}$ = $\frac{6241}{400}$

x_1,2 = $- \frac{19}{20}$ ± $\sqrt{\frac{6241}{400}}$

x₁ = $- \frac{19}{20}$ - $\frac{79}{20}$ = $- \frac{98}{20}$ = -4.9

x₂ = $- \frac{19}{20}$ + $\frac{79}{20}$ = $\frac{60}{20}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,9$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $\frac{14}{x^{2}} - \frac{45}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$\frac{14}{x^{2}} - \frac{45}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{14}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{45}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$14 x - 45$

x^{2}

=

14 x - 45

|

- 14 x

+ 45

$x^{2} - 14 x + 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{14+4}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{14-4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 45$ = $49$ $-$ $45$ = $4$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $7$ - $2$ = 5

x₂ = $7$ + $2$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{15 x - 15}{4 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{15 x - 15}{4 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{15 x - 15}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 2 \cdot 4 x$
$15 x - 15$	=	$4 x \cdot x - 8 x$

15 x - 15

=

4 x^{2} - 8 x

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

$- 4 x^{2} + 23 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 240}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{289}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{289}}{- 8}$ = $\frac{- 23+17}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{289}}{- 8}$ = $\frac{- 23-17}{- 8}$ = $\frac{- 40}{- 8}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 23 x - 15$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{23}{4} x + \frac{15}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{8})}^{2} - (\frac{15}{4})$ = $\frac{529}{64}$ $-$ $\frac{15}{4}$ = $\frac{529}{64}$ $-$ $\frac{240}{64}$ = $\frac{289}{64}$

x_1,2 = $\frac{23}{8}$ ± $\sqrt{\frac{289}{64}}$

x₁ = $\frac{23}{8}$ - $\frac{17}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{23}{8}$ + $\frac{17}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 4} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 4} - 3$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{3 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) - 3 \cdot (3 x - 4)$	=
$3 x - 9 x + 12$	=
$- 6 x + 12$	=

$- 6 x + 12$	=	0	\| $- 12$
$- 6 x$	=	$- 12$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{18}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{18}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$18$
$x^{2} + a x - 18$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

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Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):