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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6 x}{3 x - 5} - \frac{82}{3 x - 5}$ = $2$

D=R\{ $\frac{5}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$- \frac{6 x}{3 x - 5} - \frac{82}{3 x - 5}$	=	$2$	\|⋅( $3 x - 5$ )
$- \frac{6 x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) - \frac{82}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$	=	$2 \cdot (3 x - 5)$
$- 6 x - 82$	=	$2 (3 x - 5)$

$- 6 x - 82$	=	$6 x - 10$	\| $+ 82$
$- 6 x$	=	$6 x + 72$	\| $- 6 x$
$- 12 x$	=	$72$	\|:( $- 12$ )
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 49}{x + 5} + 1$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

- \frac{49}{x + 5} + 1

=

- 3 x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{49}{x + 5} + 1$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{49}{x + 5} \cdot (x + 5) + 1 \cdot (x + 5)$	=	$- 3 x \cdot (x + 5)$
$- 49 + x + 5$	=	$- 3 x (x + 5)$
$x - 44$	=	$- 3 x^{2} - 15 x$

x - 44

=

- 3 x^{2} - 15 x

|

+ 3 x^{2}

+ 15 x

$3 x^{2} + 16 x - 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 44)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 528}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{784}}{6}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{784}}{6}$ = $\frac{- 16+28}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{784}}{6}$ = $\frac{- 16-28}{6}$ = $\frac{- 44}{6}$ = $- \frac{22}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 16 x - 44$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{16}{3} x - \frac{44}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{3})}^{2} - (- \frac{44}{3})$ = $\frac{64}{9}$ $+$ $\frac{44}{3}$ = $\frac{64}{9}$ $+$ $\frac{132}{9}$ = $\frac{196}{9}$

x_1,2 = $- \frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{196}{9}}$

x₁ = $- \frac{8}{3}$ - $\frac{14}{3}$ = $- \frac{22}{3}$ = -7.3333333333333

x₂ = $- \frac{8}{3}$ + $\frac{14}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{22}{3}$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{x}{4 x - 8} - \frac{- 46}{2 x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$x$	=	$- \frac{x}{4 x - 8} + \frac{46}{2 x - 4}$
$x$	=	$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{46}{2 (x - 2)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 2)$ weg!

$x$	=	$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{46}{2 (x - 2)}$	\|⋅( $4 (x - 2)$ )
$x \cdot (4 (x - 2))$	=	$- \frac{x}{4 (x - 2)} \cdot (4 (x - 2)) + \frac{46}{2 (x - 2)} \cdot (4 (x - 2))$
$4 x (x - 2)$	=	$- x + 92$
$4 x \cdot x + 4 x \cdot (- 2)$	=	$- x + 92$
$4 x \cdot x - 8 x$	=	$- x + 92$
$4 x^{2} - 8 x$	=	$- x + 92$

4 x^{2} - 8 x

=

- x + 92

|

+ x

- 92

$4 x^{2} - 7 x - 92$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 92)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 1 472}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1 521}}{8}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1 521}}{8}$ = $\frac{7+39}{8}$ = $\frac{46}{8}$ = $5,75$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1 521}}{8}$ = $\frac{7-39}{8}$ = $\frac{- 32}{8}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 7 x - 92$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{7}{4} x - 23$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{8})}^{2} - (- 23)$ = $\frac{49}{64}$ $+$ $23$ = $\frac{49}{64}$ $+$ $\frac{1472}{64}$ = $\frac{1521}{64}$

x_1,2 = $\frac{7}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{64}}$

x₁ = $\frac{7}{8}$ - $\frac{39}{8}$ = $- \frac{32}{8}$ = -4

x₂ = $\frac{7}{8}$ + $\frac{39}{8}$ = $\frac{46}{8}$ = 5.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $5,75$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{3 x - 70}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{3 x - 70}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{3 x - 70}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$3 x - 70$

- x^{2}

=

3 x - 70

|

- 3 x

+ 70

$- x^{2} - 3 x + 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 70}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{289}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{289}}{- 2}$ = $\frac{3+17}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{289}}{- 2}$ = $\frac{3-17}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 70$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 70$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 70)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $70$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{280}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 5$ = $7 + \frac{3}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 5$	=	$7 + \frac{3}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 5 \cdot x$	=	$7 \cdot x + \frac{3}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 5 x$	=	$7 x + 3$
$x^{2} + 5 x$	=	$7 x + 3$

x^{2} + 5 x

=

7 x + 3

|

- 7 x

- 3

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x + 1}{2 x} + \frac{2 x}{3 x - 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{2 x}{3 x - 1} + \frac{7 x + 1}{2 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 1} + \frac{7 x + 1}{2 x} - 5$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{2 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{7 x + 1}{2 x} \cdot (3 x - 1) - 5 \cdot (3 x - 1)$	=
$2 x + \frac{(7 x + 1) (3 x - 1)}{2 x} - 15 x + 5$	=
$2 x + \frac{21 x^{2} - 4 x - 1}{2 x} - 15 x + 5$	=
$\frac{21 x^{2} - 4 x - 1}{2 x} + 2 x - 15 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{21 x^{2} - 4 x - 1}{2 x} + 2 x - 15 x + 5$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{21 x^{2} - 4 x - 1}{2 x} \cdot 2 x + 2 x \cdot 2 x - 15 x \cdot 2 x + 5 \cdot 2 x$	=
$21 x^{2} - 4 x - 1 + 4 x \cdot x - 30 x \cdot x + 10 x$	=
$21 x^{2} - 4 x - 1 + 4 x^{2} - 30 x^{2} + 10 x$	=
$- 5 x^{2} + 6 x - 1$	=

$- 5 x^{2} + 6 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{- 10}$ = $\frac{- 6+4}{- 10}$ = $\frac{- 2}{- 10}$ = $0,2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{- 10}$ = $\frac{- 6-4}{- 10}$ = $\frac{- 10}{- 10}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 6 x - 1$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{6}{5} x + \frac{1}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{5})}^{2} - (\frac{1}{5})$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{1}{5}$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{5}{25}$ = $\frac{4}{25}$

x_1,2 = $\frac{3}{5}$ ± $\sqrt{\frac{4}{25}}$

x₁ = $\frac{3}{5}$ - $\frac{2}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 0.2

x₂ = $\frac{3}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $\frac{5}{5}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,2$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{15}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{15}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{15}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{15}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 15$
$x^{2} + a x + 15$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):