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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7}{x}$ = $\frac{2}{3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{7}{x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{7}{x} \cdot x$	=	$\frac{2}{3} \cdot x$
$7$	=	$\frac{2}{3} x$

$7$	=	$\frac{2}{3} x$	\|⋅ 3
$21$	=	$2 x$	\| $- 21$ $- 2 x$
$- 2 x$	=	$- 21$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$\frac{21}{2}$ = 10.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{21}{2}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 6} + \frac{1}{x + 6}$ = $\frac{54}{x^{2} - 36}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 6$ ; $6$ }

\frac{x}{x - 6} + \frac{1}{x + 6}

=

\frac{54}{(x + 6) \cdot (x - 6)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 6) \cdot (x - 6)$ weg!

$\frac{x}{x - 6} + \frac{1}{x + 6}$	=	$\frac{54}{(x + 6) \cdot (x - 6)}$	\|⋅( $(x + 6) \cdot (x - 6)$ )
$\frac{x}{x - 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6) + \frac{1}{x + 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$	=	$\frac{54}{(x + 6) \cdot (x - 6)} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$
$x \cdot (x + 6) + x - 6$	=	$54 \frac{x + 6}{x + 6}$
$x \cdot (x + 6) + x - 6$	=	$54$
$x^{2} + 6 x + x - 6$	=	$54$
$x^{2} + 7 x - 6$	=	$54$

x^{2} + 7 x - 6

=

54

|

- 54

$x^{2} + 7 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 7+17}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 7-17}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 60)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $60$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{240}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{24}{2}$ = -12

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 12$ ; $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x$ = $- \frac{x}{3 x - 9} - \frac{122}{3 x - 9}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{3 x - 9} - \frac{122}{3 x - 9}$
$- 4 x$	=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} - \frac{122}{3 (x - 3)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} - \frac{122}{3 (x - 3)}$	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$- 4 x \cdot (3 (x - 3))$	=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) - \frac{122}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3))$
$- 12 x \cdot (x - 3)$	=	$- x - 122$
$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot (- 3)$	=	$- x - 122$
$- 12 x \cdot x + 36 x$	=	$- x - 122$
$- 12 x^{2} + 36 x$	=	$- x - 122$

- 12 x^{2} + 36 x

=

- x - 122

|

+ x

+ 122

$- 12 x^{2} + 37 x + 122$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 122}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 + 5 856}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{7 225}}{- 24}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{7 225}}{- 24}$ = $\frac{- 37+85}{- 24}$ = $\frac{48}{- 24}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{7 225}}{- 24}$ = $\frac{- 37-85}{- 24}$ = $\frac{- 122}{- 24}$ = $\frac{61}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} + 37 x + 122$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} - \frac{37}{12} x - \frac{61}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{37}{24})}^{2} - (- \frac{61}{6})$ = $\frac{1369}{576}$ $+$ $\frac{61}{6}$ = $\frac{1369}{576}$ $+$ $\frac{5856}{576}$ = $\frac{7225}{576}$

x_1,2 = $\frac{37}{24}$ ± $\sqrt{\frac{7225}{576}}$

x₁ = $\frac{37}{24}$ - $\frac{85}{24}$ = $- \frac{48}{24}$ = -2

x₂ = $\frac{37}{24}$ + $\frac{85}{24}$ = $\frac{122}{24}$ = 5.0833333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{61}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x^{2} + \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 3 x + 2$	=	$- x^{2}$

- 3 x + 2

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x + 3}{4 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{9 x + 3}{4 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{9 x + 3}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 5 \cdot 4 x$
$9 x + 3$	=	$4 x \cdot x + 20 x$

9 x + 3

=

4 x^{2} + 20 x

|

- 4 x^{2}

- 20 x

$- 4 x^{2} - 11 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 3}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{169}}{- 8}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{11+13}{- 8}$ = $\frac{24}{- 8}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{11-13}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 11 x + 3$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{11}{4} x - \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{8})}^{2} - (- \frac{3}{4})$ = $\frac{121}{64}$ $+$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{121}{64}$ $+$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $- \frac{11}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $- \frac{11}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $- \frac{11}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 2}{x} + \frac{4 x}{3 x - 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{x + 2}{x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{x + 2}{x} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{4 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + \frac{x + 2}{x} \cdot (3 x - 2) - 4 \cdot (3 x - 2)$	=
$4 x + \frac{(x + 2) \cdot (3 x - 2)}{x} - 12 x + 8$	=
$4 x + \frac{3 x^{2} + 4 x - 4}{x} - 12 x + 8$	=
$\frac{3 x^{2} + 4 x - 4}{x} + 4 x - 12 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 4 x - 4}{x} + 4 x - 12 x + 8$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x^{2} + 4 x - 4}{x} \cdot x + 4 x \cdot x - 12 x \cdot x + 8 \cdot x$	=
$3 x^{2} + 4 x - 4 + 4 x \cdot x - 12 x \cdot x + 8 x$	=
$3 x^{2} + 4 x - 4 + 4 x^{2} - 12 x^{2} + 8 x$	=
$- 5 x^{2} + 12 x - 4$	=

$- 5 x^{2} + 12 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 12+8}{- 10}$ = $\frac{- 4}{- 10}$ = $0,4$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 12-8}{- 10}$ = $\frac{- 20}{- 10}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 12 x - 4$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{12}{5} x + \frac{4}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{6}{5})}^{2} - (\frac{4}{5})$ = $\frac{36}{25}$ $-$ $\frac{4}{5}$ = $\frac{36}{25}$ $-$ $\frac{20}{25}$ = $\frac{16}{25}$

x_1,2 = $\frac{6}{5}$ ± $\sqrt{\frac{16}{25}}$

x₁ = $\frac{6}{5}$ - $\frac{4}{5}$ = $\frac{2}{5}$ = 0.4

x₂ = $\frac{6}{5}$ + $\frac{4}{5}$ = $\frac{10}{5}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,4$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 1$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 1$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 1$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 1 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - x$	=	$- x^{2}$
$a - x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):