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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7}{x}$ = $- \frac{1}{2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{7}{x}$	=	$- \frac{1}{2}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{7}{x} \cdot x$	=	$- \frac{1}{2} \cdot x$
$- 7$	=	$- \frac{1}{2} x$

$- 7$	=	$- \frac{1}{2} x$	\|⋅ 2
$- 14$	=	$- x$	\| $+ 14$ $+ x$
$x$	=	$14$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $14$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{x}{x + 4} - \frac{66}{3 x + 12}$ = $- 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

- \frac{x}{x + 4} - \frac{66}{3 (x + 4)}

=

- 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$- \frac{x}{x + 4} - \frac{66}{3 (x + 4)}$	=	$- 4$	\|⋅( $x + 4$ )
$- \frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4) + \frac{- 66}{3 (x + 4)} \cdot (x + 4)$	=	$- 4 \cdot (x + 4)$
$- x - 22$	=	$- 4 (x + 4)$

$- x - 22$	=	$- 4 x - 16$	\| $+ 22$
$- x$	=	$- 4 x + 6$	\| $+ 4 x$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 20}$ = $- \frac{12,4}{x - 4} + x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{5 x - 20}$	=	$- \frac{12,4}{x - 4} + x$
$\frac{x}{5 (x - 4)}$	=	$- \frac{12,4}{x - 4} + x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 4)}$	=	$- \frac{12,4}{x - 4} + x$	\|⋅( $5 (x - 4)$ )
$\frac{x}{5 (x - 4)} \cdot (5 (x - 4))$	=	$\frac{- 12,4}{x - 4} \cdot (5 (x - 4)) + x \cdot (5 (x - 4))$
$x$	=	$- 62 + 5 x \cdot (x - 4)$
$x$	=	$5 x^{2} - 20 x - 62$

x

=

5 x^{2} - 20 x - 62

|

- 5 x^{2}

+ 20 x

+ 62

$- 5 x^{2} + 21 x + 62$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 62}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 1 240}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{1 681}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{1 681}}{- 10}$ = $\frac{- 21+41}{- 10}$ = $\frac{20}{- 10}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{1 681}}{- 10}$ = $\frac{- 21-41}{- 10}$ = $\frac{- 62}{- 10}$ = $6,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 21 x + 62$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{21}{5} x - \frac{62}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{10})}^{2} - (- \frac{62}{5})$ = $\frac{441}{100}$ $+$ $\frac{62}{5}$ = $\frac{441}{100}$ $+$ $\frac{1240}{100}$ = $\frac{1681}{100}$

x_1,2 = $\frac{21}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{100}}$

x₁ = $\frac{21}{10}$ - $\frac{41}{10}$ = $- \frac{20}{10}$ = -2

x₂ = $\frac{21}{10}$ + $\frac{41}{10}$ = $\frac{62}{10}$ = 6.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $6,2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $\frac{4}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$\frac{4}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{4}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{12}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$4 x + 12$

x^{2}

=

4 x + 12

|

- 4 x

- 12

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 2$ = $6 - \frac{7}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 2$	=	$6 - \frac{7}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 2 \cdot x$	=	$6 \cdot x - \frac{7}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 2 x$	=	$6 x - 7$
$x^{2} - 2 x$	=	$6 x - 7$

x^{2} - 2 x

=

6 x - 7

|

- 6 x

+ 7

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x - 1}{2 x} + \frac{16 x}{3 x - 1} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{16 x}{3 x - 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{16 x}{3 x - 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 8$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{16 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{7 x - 1}{2 x} \cdot (3 x - 1) - 8 \cdot (3 x - 1)$	=
$16 x + \frac{(7 x - 1) \cdot (3 x - 1)}{2 x} - 24 x + 8$	=
$16 x + \frac{21 x^{2} - 10 x + 1}{2 x} - 24 x + 8$	=
$\frac{21 x^{2} - 10 x + 1}{2 x} + 16 x - 24 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{21 x^{2} - 10 x + 1}{2 x} + 16 x - 24 x + 8$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{21 x^{2} - 10 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + 16 x \cdot 2 x - 24 x \cdot 2 x + 8 \cdot 2 x$	=
$21 x^{2} - 10 x + 1 + 32 x \cdot x - 48 x \cdot x + 16 x$	=
$21 x^{2} - 10 x + 1 + 32 x^{2} - 48 x^{2} + 16 x$	=
$5 x^{2} + 6 x + 1$	=

$5 x^{2} + 6 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{10}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 6+4}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 6-4}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 6 x + 1$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{1}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{5})}^{2} - (\frac{1}{5})$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{1}{5}$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{5}{25}$ = $\frac{4}{25}$

x_1,2 = $- \frac{3}{5}$ ± $\sqrt{\frac{4}{25}}$

x₁ = $- \frac{3}{5}$ - $\frac{2}{5}$ = $- \frac{5}{5}$ = -1

x₂ = $- \frac{3}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $- \frac{1}{5}$ = -0.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$1 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$1 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x + x^{2}$	=	$- a$
$x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):