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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4}{x}$ = $\frac{2}{3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4}{x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{4}{x} \cdot x$	=	$\frac{2}{3} \cdot x$
$4$	=	$\frac{2}{3} x$

$4$	=	$\frac{2}{3} x$	\|⋅ 3
$12$	=	$2 x$	\| $- 12$ $- 2 x$
$- 2 x$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 24 x}{2 x + 4}$ = $- x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{- 24 x}{2 (x + 2)}

=

- x - 3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{- 24 x}{2 (x + 2)}$	=	$- x - 3$	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{- 24 x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2))$	=	$- x \cdot (2 (x + 2)) - 3 \cdot (2 (x + 2))$
$- 2 \frac{12 x}{1}$	=	$- 2 x (x + 2) - 6 x - 12$
$- 24 x$	=	$- 2 x (x + 2) - 6 x - 12$
$- 24 x$	=	$- 2 x^{2} - 10 x - 12$

- 24 x

=

- 2 x^{2} - 10 x - 12

|

+ 2 x^{2}

+ 10 x

+ 12

2 x^{2} - 14 x + 12

= 0 |:2

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{3 x + 1} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{12 x}{3 x + 1} - 3$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{12 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) - 3 \cdot (3 x + 1)$	=
$12 x - 9 x - 3$	=
$3 x - 3$	=

$3 x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{9}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{9}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{9}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 9$	=	$- x^{2}$

$- 9$	=	$- x^{2}$	\| $+ 9$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x + 6}{3 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{8 x + 6}{3 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{8 x + 6}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 3 \cdot 3 x$
$8 x + 6$	=	$3 x \cdot x - 9 x$

8 x + 6

=

3 x^{2} - 9 x

|

- 3 x^{2}

+ 9 x

$- 3 x^{2} + 17 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 6}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 72}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{361}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{- 17+19}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{- 17-19}{- 6}$ = $\frac{- 36}{- 6}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 17 x + 6$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{17}{3} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{6})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{289}{36}$ $+$ $2$ = $\frac{289}{36}$ $+$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{361}{36}$

x_1,2 = $\frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{361}{36}}$

x₁ = $\frac{17}{6}$ - $\frac{19}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

x₂ = $\frac{17}{6}$ + $\frac{19}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{7 x + 2}{2 x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; 0}

\frac{2 x}{x + 2} + \frac{7 x + 2}{2 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{7 x + 2}{2 x} - 5$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{7 x + 2}{2 x} \cdot (x + 2) - 5 \cdot (x + 2)$	=
$2 x + \frac{(7 x + 2) (x + 2)}{2 x} - 5 x - 10$	=
$2 x + \frac{7 x^{2} + 16 x + 4}{2 x} - 5 x - 10$	=
$\frac{7 x^{2} + 16 x + 4}{2 x} + 2 x - 5 x - 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{7 x^{2} + 16 x + 4}{2 x} + 2 x - 5 x - 10$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{7 x^{2} + 16 x + 4}{2 x} \cdot 2 x + 2 x \cdot 2 x - 5 x \cdot 2 x - 10 \cdot 2 x$	=
$7 x^{2} + 16 x + 4 + 4 x \cdot x - 10 x \cdot x - 20 x$	=
$7 x^{2} + 16 x + 4 + 4 x^{2} - 10 x^{2} - 20 x$	=
$x^{2} - 4 x + 4$	=

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 10$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 10$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 10$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 10 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 10 x$
$x^{2} + a + 10 x$	=	0
$x^{2} + 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $- (2 - 12)$ = 10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 12)$ = $- 24$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -24 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):