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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2}{x}$ = $\frac{9}{4}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{2}{x}$	=	$\frac{9}{4}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{2}{x} \cdot x$	=	$\frac{9}{4} \cdot x$
$- 2$	=	$\frac{9}{4} x$

$- 2$	=	$\frac{9}{4} x$	\|⋅ 4
$- 8$	=	$9 x$	\| $+ 8$ $- 9 x$
$- 9 x$	=	$8$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$- \frac{8}{9}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{8}{9}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4 x}{2 x - 4} - \frac{20}{4 x - 8}$ = $1$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{4 x}{2 (x - 2)} - \frac{20}{4 (x - 2)}

=

1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x - 2)} - \frac{20}{4 (x - 2)}$	=	$1$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{4 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) + \frac{- 20}{4 (x - 2)} \cdot (x - 2)$	=	$1 \cdot (x - 2)$
$2 x - 5$	=	$x - 2$

$2 x - 5$	=	$x - 2$	\| $+ 5$
$2 x$	=	$x + 3$	\| $- x$
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 12} + \frac{74}{3 x - 12}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{3 x - 12} + \frac{74}{3 x - 12}$	=	$2 x$
$\frac{x}{3 (x - 4)} + \frac{74}{3 (x - 4)}$	=	$2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 4)} + \frac{74}{3 (x - 4)}$	=	$2 x$	\|⋅( $3 (x - 4)$ )
$\frac{x}{3 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4)) + \frac{74}{3 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4))$	=	$2 x \cdot (3 (x - 4))$
$x + 74$	=	$6 x \cdot (x - 4)$
$x + 74$	=	$6 x^{2} - 24 x$

x + 74

=

6 x^{2} - 24 x

|

- 6 x^{2}

+ 24 x

$- 6 x^{2} + 25 x + 74$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 74}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 1 776}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{2 401}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{2 401}}{- 12}$ = $\frac{- 25+49}{- 12}$ = $\frac{24}{- 12}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{2 401}}{- 12}$ = $\frac{- 25-49}{- 12}$ = $\frac{- 74}{- 12}$ = $\frac{37}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 25 x + 74$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{25}{6} x - \frac{37}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{12})}^{2} - (- \frac{37}{3})$ = $\frac{625}{144}$ $+$ $\frac{37}{3}$ = $\frac{625}{144}$ $+$ $\frac{1776}{144}$ = $\frac{2401}{144}$

x_1,2 = $\frac{25}{12}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{144}}$

x₁ = $\frac{25}{12}$ - $\frac{49}{12}$ = $- \frac{24}{12}$ = -2

x₂ = $\frac{25}{12}$ + $\frac{49}{12}$ = $\frac{74}{12}$ = 6.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{37}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}}$ = $- \frac{5}{x^{3}} + \frac{6}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}}$	=	$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{6}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{5}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{6}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2}$	=	$- 5 x + 6$

x^{2}

=

- 5 x + 6

|

+ 5 x

- 6

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{49 x + 24}{4 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{49 x + 24}{4 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{49 x + 24}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 5 \cdot 4 x$
$49 x + 24$	=	$4 x \cdot x + 20 x$

49 x + 24

=

4 x^{2} + 20 x

|

- 4 x^{2}

- 20 x

$- 4 x^{2} + 29 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{29^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 24}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{841 + 384}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{1 225}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 29 + \sqrt{1 225}}{- 8}$ = $\frac{- 29+35}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 29 - \sqrt{1 225}}{- 8}$ = $\frac{- 29-35}{- 8}$ = $\frac{- 64}{- 8}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 29 x + 24$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{29}{4} x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{29}{8})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{841}{64}$ $+$ $6$ = $\frac{841}{64}$ $+$ $\frac{384}{64}$ = $\frac{1225}{64}$

x_1,2 = $\frac{29}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{64}}$

x₁ = $\frac{29}{8}$ - $\frac{35}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{29}{8}$ + $\frac{35}{8}$ = $\frac{64}{8}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{16 x}{x - 3} + \frac{24 x}{- 3 x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $\frac{1}{3}$ }

\frac{16 x}{x - 3} + \frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{24 x}{- 3 x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{16 x}{x - 3} + \frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{24 x}{- 3 x + 1}$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{16 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (x - 3) + \frac{24 x}{- 3 x + 1} \cdot (x - 3)$	=
$16 x + \frac{8 x \cdot (x - 3)}{3 x - 1} + \frac{24 x \cdot (x - 3)}{- 3 x + 1}$	=
$16 x + \frac{8 x^{2} - 24 x}{3 x - 1} + \frac{24 x^{2} - 72 x}{- 3 x + 1}$	=
$\frac{24 x^{2} - 72 x}{- 3 x + 1} + \frac{8 x^{2} - 24 x}{3 x - 1} + 16 x$	=

\frac{8 x^{2} - 24 x}{3 x - 1} + \frac{24 x^{2} - 72 x}{- 3 x + 1} + 16 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 24 x}{3 x - 1} + \frac{24 x^{2} - 72 x}{- 3 x + 1} + 16 x$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x^{2} - 24 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{24 x^{2} - 72 x}{- 3 x + 1} \cdot (3 x - 1) + 16 x \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x^{2} - 24 x + \frac{(24 x^{2} - 72 x) \cdot (3 x - 1)}{- 3 x + 1} + 16 x \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x^{2} - 24 x - 24 x \cdot (x - 3) + 16 x \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x^{2} - 24 x + (- 24 x^{2} + 72 x) + (48 x^{2} - 16 x)$	=
$32 x^{2} + 32 x$	=

$32 x^{2} + 32 x$	=	0
$32 x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{20}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{20}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{20}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{20}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 20$
$a x + x^{2} + 20$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

L={ $2$ ; $10$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):