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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{x}{x - 16}$ = $3$

D=R\{ $16$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 16$ weg!

$\frac{- x}{x - 16}$	=	$3$	\|⋅( $x - 16$ )
$\frac{- x}{x - 16} \cdot (x - 16)$	=	$3 \cdot (x - 16)$
$- x$	=	$3 (x - 16)$

$- x$	=	$3 x - 48$	\| $- 3 x$
$- 4 x$	=	$- 48$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$12$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $12$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 28 x}{3 x + 5} + x + 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

- \frac{28 x}{3 x + 5} + x + 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$- \frac{28 x}{3 x + 5} + x + 3$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$- \frac{28 x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + x \cdot (3 x + 5) + 3 \cdot (3 x + 5)$	=
$- 28 x + x \cdot (3 x + 5) + 9 x + 15$	=
$- 28 x + (3 x^{2} + 5 x) + 9 x + 15$	=
$3 x^{2} - 14 x + 15$	=

$3 x^{2} - 14 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{14+4}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{14-4}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = $\frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 14 x + 15$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{14}{3} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{3})}^{2} - 5$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $5$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{45}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $\frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $\frac{7}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $\frac{5}{3}$ = 1.6666666666667

x₂ = $\frac{7}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{5}{3}$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x - 5} + \frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{4 x}{- 3 x + 5}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{7}{3}$ ; $\frac{5}{3}$ }

\frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{x + 1}{3 x - 5} + \frac{4 x}{- 3 x + 5}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{x + 1}{3 x - 5} + \frac{4 x}{- 3 x + 5}$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{x + 1}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + \frac{x + 1}{3 x - 5} \cdot (3 x - 7) + \frac{4 x}{- 3 x + 5} \cdot (3 x - 7)$	=
$x + 1 + \frac{(x + 1) \cdot (3 x - 7)}{3 x - 5} + \frac{4 x \cdot (3 x - 7)}{- 3 x + 5}$	=
$x + 1 + \frac{3 x^{2} - 4 x - 7}{3 x - 5} + \frac{12 x^{2} - 28 x}{- 3 x + 5}$	=
$\frac{12 x^{2} - 28 x}{- 3 x + 5} + \frac{3 x^{2} - 4 x - 7}{3 x - 5} + x + 1$	=

\frac{3 x^{2} - 4 x - 7}{3 x - 5} + \frac{12 x^{2} - 28 x}{- 3 x + 5} + x + 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 4 x - 7}{3 x - 5} + \frac{12 x^{2} - 28 x}{- 3 x + 5} + x + 1$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{3 x^{2} - 4 x - 7}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + \frac{12 x^{2} - 28 x}{- 3 x + 5} \cdot (3 x - 5) + x \cdot (3 x - 5) + 1 \cdot (3 x - 5)$	=
$3 x^{2} - 4 x - 7 + \frac{(12 x^{2} - 28 x) \cdot (3 x - 5)}{- 3 x + 5} + x \cdot (3 x - 5) + 3 x - 5$	=
$3 x^{2} - 4 x - 7 - 4 x \cdot (3 x - 7) + x \cdot (3 x - 5) + 3 x - 5$	=
$3 x^{2} - 4 x - 7 + (- 12 x^{2} + 28 x) + (3 x^{2} - 5 x) + 3 x - 5$	=
$- 6 x^{2} + 22 x - 12$	=

- 6 x^{2} + 22 x - 12

= 0 |:2

$- 3 x^{2} + 11 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{- 11+7}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{- 11-7}{- 6}$ = $\frac{- 18}{- 6}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 11 x - 6$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{11}{3} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{6})}^{2} - 2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $\frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $\frac{11}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{11}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{13}{x} + \frac{30}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{13}{x} + \frac{30}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{13}{x} \cdot x^{2} + \frac{30}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} + 13 x + 30$	=

$x^{2} + 13 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 13+7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 13-7}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x$ = $\frac{51 x - 21}{x + 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$4 x$	=	$\frac{51 x - 21}{x + 5}$	\|⋅( $x + 5$ )
$4 x \cdot (x + 5)$	=	$\frac{51 x - 21}{x + 5} \cdot (x + 5)$
$4 x \cdot (x + 5)$	=	$51 x - 21$
$4 x \cdot x + 4 x \cdot 5$	=	$51 x - 21$
$4 x \cdot x + 20 x$	=	$51 x - 21$
$4 x^{2} + 20 x$	=	$51 x - 21$

4 x^{2} + 20 x

=

51 x - 21

|

- 51 x

+ 21

$4 x^{2} - 31 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 - 336}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{625}}{8}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{625}}{8}$ = $\frac{31+25}{8}$ = $\frac{56}{8}$ = $7$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{625}}{8}$ = $\frac{31-25}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 31 x + 21$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{31}{4} x + \frac{21}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{31}{8})}^{2} - (\frac{21}{4})$ = $\frac{961}{64}$ $-$ $\frac{21}{4}$ = $\frac{961}{64}$ $-$ $\frac{336}{64}$ = $\frac{625}{64}$

x_1,2 = $\frac{31}{8}$ ± $\sqrt{\frac{625}{64}}$

x₁ = $\frac{31}{8}$ - $\frac{25}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{31}{8}$ + $\frac{25}{8}$ = $\frac{56}{8}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 4} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{5}{2}$ }

$\frac{4 x}{2 x + 4} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} - 6$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x + 2)} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x + 2)} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} - 6$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{4 x}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} \cdot (x + 2) - 6 \cdot (x + 2)$	=
$2 x + \frac{(2 x + 2) \cdot (x + 2)}{2 x + 5} - 6 x - 12$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{2 x + 5} - 6 x - 12$	=
$\frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{2 x + 5} + 2 x - 6 x - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{2 x + 5} + 2 x - 6 x - 12$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + 2 x \cdot (2 x + 5) - 6 x \cdot (2 x + 5) - 12 \cdot (2 x + 5)$	=
$2 x^{2} + 6 x + 4 + 2 x \cdot (2 x + 5) - 6 x \cdot (2 x + 5) - 24 x - 60$	=
$2 x^{2} + 6 x + 4 + (4 x^{2} + 10 x) + (- 12 x^{2} - 30 x) - 24 x - 60$	=
$- 6 x^{2} - 38 x - 56$	=

- 6 x^{2} - 38 x - 56

= 0 |:2

$- 3 x^{2} - 19 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 28)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 336}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{19+5}{- 6}$ = $\frac{24}{- 6}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{19-5}{- 6}$ = $\frac{14}{- 6}$ = $- \frac{7}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 19 x - 28$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{19}{3} x + \frac{28}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{6})}^{2} - (\frac{28}{3})$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{28}{3}$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{336}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $- \frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $- \frac{19}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{24}{6}$ = -4

x₂ = $- \frac{19}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $- \frac{14}{6}$ = -2.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{7}{3}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$1 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$1 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$1 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$1 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$x + a$	=	$- x^{2}$
$x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):