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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6}{x}$ = $1$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6}{x}$	=	$1$	\|⋅( $x$ )
$\frac{6}{x} \cdot x$	=	$1 \cdot x$
$6$	=	$x$

$6$	=	$x$	\| $- 6$ $- x$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{8 x}{3 x - 2} + \frac{4}{6 x - 4}$ = $2$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ }

\frac{8 x}{3 x - 2} + \frac{4}{2 (3 x - 2)}

=

2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{8 x}{3 x - 2} + \frac{4}{2 (3 x - 2)}$	=	$2$	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{8 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + \frac{4}{2 (3 x - 2)} \cdot (3 x - 2)$	=	$2 \cdot (3 x - 2)$
$8 x + 2$	=	$2 (3 x - 2)$

$8 x + 2$	=	$6 x - 4$	\| $- 2$
$8 x$	=	$6 x - 6$	\| $- 6 x$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{2 x + 2} + \frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{- 15 x}{2 x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $- 1$ }

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{16 x}{2 x + 2} - \frac{15 x}{2 x + 1}$	=	0
$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{16 x}{2 (x + 1)} - \frac{15 x}{2 x + 1}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{16 x}{2 (x + 1)} - \frac{15 x}{2 x + 1}$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{3 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{16 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 x + 1) - \frac{15 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1)$	=
$3 x + \frac{8 x \cdot (2 x + 1)}{x + 1} - 15 x$	=
$3 x + \frac{16 x^{2} + 8 x}{x + 1} - 15 x$	=
$\frac{16 x^{2} + 8 x}{x + 1} + 3 x - 15 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{16 x^{2} + 8 x}{x + 1} + 3 x - 15 x$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{16 x^{2} + 8 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 3 x \cdot (x + 1) - 15 x \cdot (x + 1)$	=
$16 x^{2} + 8 x + 3 x \cdot (x + 1) - 15 x \cdot (x + 1)$	=
$16 x^{2} + 8 x + (3 x^{2} + 3 x) + (- 15 x^{2} - 15 x)$	=
$4 x^{2} - 4 x$	=

$4 x^{2} - 4 x$	=	0
$4 x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x} - \frac{42}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{1}{x} - \frac{42}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{2} - \frac{42}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- x - 42$	=	$- x^{2}$

- x - 42

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 42)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $42$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 7 x + 6}{2 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 7 x + 6}{2 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 7 x + 6}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x$
$- 7 x + 6$	=	$2 x \cdot x + 4 x$

- 7 x + 6

=

2 x^{2} + 4 x

|

- 2 x^{2}

- 4 x

$- 2 x^{2} - 11 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 6}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{11+13}{- 4}$ = $\frac{24}{- 4}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{11-13}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 11 x + 6$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $3$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{24}{4}$ = -6

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{x - 1} + \frac{3 x}{2 x - 3} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $1$ }

\frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{3 x - 1}{x - 1} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{3 x - 1}{x - 1} - 7$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{3 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{3 x - 1}{x - 1} \cdot (2 x - 3) - 7 \cdot (2 x - 3)$	=
$3 x + \frac{(3 x - 1) \cdot (2 x - 3)}{x - 1} - 14 x + 21$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{x - 1} - 14 x + 21$	=
$\frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{x - 1} + 3 x - 14 x + 21$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{x - 1} + 3 x - 14 x + 21$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{x - 1} \cdot (x - 1) + 3 x \cdot (x - 1) - 14 x \cdot (x - 1) + 21 \cdot (x - 1)$	=
$6 x^{2} - 11 x + 3 + 3 x \cdot (x - 1) - 14 x \cdot (x - 1) + 21 x - 21$	=
$6 x^{2} - 11 x + 3 + (3 x^{2} - 3 x) + (- 14 x^{2} + 14 x) + 21 x - 21$	=
$- 5 x^{2} + 21 x - 18$	=

$- 5 x^{2} + 21 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 360}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{81}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{81}}{- 10}$ = $\frac{- 21+9}{- 10}$ = $\frac{- 12}{- 10}$ = $1,2$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{81}}{- 10}$ = $\frac{- 21-9}{- 10}$ = $\frac{- 30}{- 10}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 21 x - 18$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{21}{5} x + \frac{18}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{10})}^{2} - (\frac{18}{5})$ = $\frac{441}{100}$ $-$ $\frac{18}{5}$ = $\frac{441}{100}$ $-$ $\frac{360}{100}$ = $\frac{81}{100}$

x_1,2 = $\frac{21}{10}$ ± $\sqrt{\frac{81}{100}}$

x₁ = $\frac{21}{10}$ - $\frac{9}{10}$ = $\frac{12}{10}$ = 1.2

x₂ = $\frac{21}{10}$ + $\frac{9}{10}$ = $\frac{30}{10}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,2$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $2$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $2$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$2$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$2 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$2 x$
$a + x^{2} - 2 x$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):