Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2}{x}$ = $- 5$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{2}{x}$	=	$- 5$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{2}{x} \cdot x$	=	$- 5 \cdot x$
$- 2$	=	$- 5 x$

$- 2$	=	$- 5 x$	\| $+ 2$ $+ 5 x$
$5 x$	=	$2$	\|: $5$
$x$	=	$\frac{2}{5}$ = 0.4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{5}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 5} + \frac{1}{x - 5}$ = $\frac{26}{x^{2} - 25}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ ; $5$ }

\frac{x}{x + 5} + \frac{1}{x - 5}

=

\frac{26}{(x + 5) (x - 5)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 5) (x - 5)$ weg!

$\frac{x}{x + 5} + \frac{1}{x - 5}$	=	$\frac{26}{(x + 5) (x - 5)}$	\|⋅( $(x + 5) (x - 5)$ )
$\frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5) (x - 5) + \frac{1}{x - 5} \cdot (x + 5) (x - 5)$	=	$\frac{26}{(x + 5) (x - 5)} \cdot (x + 5) (x - 5)$
$x (x - 5) + x + 5$	=	$26 \frac{x + 5}{x + 5}$
$x (x - 5) + x + 5$	=	$26$
$x^{2} - 5 x + x + 5$	=	$26$
$x^{2} - 4 x + 5$	=	$26$

x^{2} - 4 x + 5

=

26

|

- 26

$x^{2} - 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $2$ - $5$ = -3

x₂ = $2$ + $5$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x - 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

\frac{4 x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x - 1} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x - 1} - 5$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{x + 1}{x - 1} \cdot (x + 1) - 5 \cdot (x + 1)$	=
$4 x + \frac{(x + 1) (x + 1)}{x - 1} - 5 x - 5$	=
$4 x + \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} - 5 x - 5$	=
$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} + 4 x - 5 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} + 4 x - 5 x - 5$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} \cdot (x - 1) + 4 x \cdot (x - 1) - 5 x \cdot (x - 1) - 5 \cdot (x - 1)$	=
$x^{2} + 2 x + 1 + 4 x (x - 1) - 5 x (x - 1) - 5 x + 5$	=
$x^{2} + 2 x + 1 + (4 x^{2} - 4 x) + (- 5 x^{2} + 5 x) - 5 x + 5$	=
$- 2 x + 6$	=

$- 2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 3}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{2 x - 3}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{2 x - 3}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$2 x - 3$	=	$- x^{2}$

2 x - 3

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 37 x - 5}{4 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 37 x - 5}{4 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 37 x - 5}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 4 \cdot 4 x$
$- 37 x - 5$	=	$4 x \cdot x - 16 x$

- 37 x - 5

=

4 x^{2} - 16 x

|

- 4 x^{2}

+ 16 x

$- 4 x^{2} - 21 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 80}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{361}}{- 8}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{361}}{- 8}$ = $\frac{21+19}{- 8}$ = $\frac{40}{- 8}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{361}}{- 8}$ = $\frac{21-19}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 21 x - 5$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{21}{4} x + \frac{5}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{8})}^{2} - (\frac{5}{4})$ = $\frac{441}{64}$ $-$ $\frac{5}{4}$ = $\frac{441}{64}$ $-$ $\frac{80}{64}$ = $\frac{361}{64}$

x_1,2 = $- \frac{21}{8}$ ± $\sqrt{\frac{361}{64}}$

x₁ = $- \frac{21}{8}$ - $\frac{19}{8}$ = $- \frac{40}{8}$ = -5

x₂ = $- \frac{21}{8}$ + $\frac{19}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{3 x - 10} + \frac{2 x}{2 x - 4} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{10}{3}$ }

$\frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{x - 2}{3 x - 10} - 3$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x - 2)} + \frac{x - 2}{3 x - 10} - 3$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x - 2)} + \frac{x - 2}{3 x - 10} - 3$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) + \frac{x - 2}{3 x - 10} \cdot (x - 2) - 3 \cdot (x - 2)$	=
$x + \frac{(x - 2) (x - 2)}{3 x - 10} - 3 x + 6$	=
$x + \frac{x^{2} - 4 x + 4}{3 x - 10} - 3 x + 6$	=
$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{3 x - 10} + x - 3 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{3 x - 10} + x - 3 x + 6$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + x \cdot (3 x - 10) - 3 x \cdot (3 x - 10) + 6 \cdot (3 x - 10)$	=
$x^{2} - 4 x + 4 + x (3 x - 10) - 3 x (3 x - 10) + 18 x - 60$	=
$x^{2} - 4 x + 4 + (3 x^{2} - 10 x) + (- 9 x^{2} + 30 x) + 18 x - 60$	=
$- 5 x^{2} + 34 x - 56$	=

$- 5 x^{2} + 34 x - 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{34^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 56)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{1 156 - 1 120}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{36}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 34 + \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{- 34+6}{- 10}$ = $\frac{- 28}{- 10}$ = $2,8$

x₂ = $\frac{- 34 - \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{- 34-6}{- 10}$ = $\frac{- 40}{- 10}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 34 x - 56$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{34}{5} x + \frac{56}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{5})}^{2} - (\frac{56}{5})$ = $\frac{289}{25}$ $-$ $\frac{56}{5}$ = $\frac{289}{25}$ $-$ $\frac{280}{25}$ = $\frac{9}{25}$

x_1,2 = $\frac{17}{5}$ ± $\sqrt{\frac{9}{25}}$

x₁ = $\frac{17}{5}$ - $\frac{3}{5}$ = $\frac{14}{5}$ = 2.8

x₂ = $\frac{17}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $\frac{20}{5}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2,8$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 1$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 1$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 1$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 1 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- x$
$x^{2} + a + x$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):