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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9 x}{3 x - 1} + \frac{47}{3 x - 1}$ = $- 2$

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{9 x}{3 x - 1} + \frac{47}{3 x - 1}$	=	$- 2$	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{9 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{47}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$	=	$- 2 \cdot (3 x - 1)$
$9 x + 47$	=	$- 2 (3 x - 1)$

$9 x + 47$	=	$- 6 x + 2$	\| $- 47$
$9 x$	=	$- 6 x - 45$	\| $+ 6 x$
$15 x$	=	$- 45$	\|: $15$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{- 27}{x - 5} - x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

0

=

\frac{27}{x - 5} - x - 1

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

=	$\frac{27}{x - 5} - x - 1$	\|⋅( $x - 5$ )
=	$\frac{27}{x - 5} \cdot (x - 5) - x \cdot (x - 5) - 1 \cdot (x - 5)$
=	$27 - x (x - 5) - x + 5$
=	$- x^{2} + 4 x + 32$

0

=

- x^{2} + 4 x + 32

|

+ x^{2}

- 4 x

- 32

$x^{2} - 4 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4+12}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4-12}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 32)$ = $4$ $+$ $32$ = $36$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $2$ - $6$ = -4

x₂ = $2$ + $6$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $8$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x$ = $- \frac{x}{3 x + 6} - \frac{4}{6 x + 12}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$- 3 x$	=	$- \frac{x}{3 x + 6} - \frac{4}{6 x + 12}$
$- 3 x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} - \frac{4}{6 (x + 2)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$- 3 x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} - \frac{4}{6 (x + 2)}$	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$- 3 x \cdot (3 (x + 2))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + \frac{- 4}{6 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2))$
$- 9 x (x + 2)$	=	$- x - 2$
$- 9 x \cdot x - 9 x \cdot 2$	=	$- x - 2$
$- 9 x \cdot x - 18 x$	=	$- x - 2$
$- 9 x^{2} - 18 x$	=	$- x - 2$

- 9 x^{2} - 18 x

=

- x - 2

|

+ x

+ 2

$- 9 x^{2} - 17 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot 2}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 72}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{361}}{- 18}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{361}}{- 18}$ = $\frac{17+19}{- 18}$ = $\frac{36}{- 18}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{361}}{- 18}$ = $\frac{17-19}{- 18}$ = $\frac{- 2}{- 18}$ = $\frac{1}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} - 17 x + 2$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} + \frac{17}{9} x - \frac{2}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{18})}^{2} - (- \frac{2}{9})$ = $\frac{289}{324}$ $+$ $\frac{2}{9}$ = $\frac{289}{324}$ $+$ $\frac{72}{324}$ = $\frac{361}{324}$

x_1,2 = $- \frac{17}{18}$ ± $\sqrt{\frac{361}{324}}$

x₁ = $- \frac{17}{18}$ - $\frac{19}{18}$ = $- \frac{36}{18}$ = -2

x₂ = $- \frac{17}{18}$ + $\frac{19}{18}$ = $\frac{2}{18}$ = 0.11111111111111

Lösung x= $- 2$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $\frac{1}{9}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{35}{x^{4}}$ = $- \frac{2}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{35}{x^{4}}$	=	$- \frac{2}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{35}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{2}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} - 35$	=	$- 2 x$

x^{2} - 35

=

- 2 x

|

+ 2 x

$x^{2} + 2 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 1$ - $6$ = -7

x₂ = $- 1$ + $6$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 - \frac{7}{x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$6 - \frac{7}{x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $x$ )
$6 \cdot x - \frac{7}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 2 \cdot x$
$6 x - 7$	=	$x \cdot x - 2 x$

6 x - 7

=

x^{2} - 2 x

|

- x^{2}

+ 2 x

$- x^{2} + 8 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 8+6}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 8-6}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{3 x - 10} + \frac{x}{2 x - 6} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $\frac{10}{3}$ }

$\frac{x}{2 x - 6} + \frac{2 x - 2}{3 x - 10} - 5$	=	0
$\frac{x}{2 (x - 3)} + \frac{2 x - 2}{3 x - 10} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 3)} + \frac{2 x - 2}{3 x - 10} - 5$	=	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + \frac{2 x - 2}{3 x - 10} \cdot (2 (x - 3)) - 5 \cdot (2 (x - 3))$	=
$x + 2 \frac{(2 x - 2) (x - 3)}{3 x - 10} - 10 x + 30$	=
$x + \frac{2 (2 x^{2} - 8 x + 6)}{3 x - 10} - 10 x + 30$	=
$\frac{2 (2 x^{2} - 8 x + 6)}{3 x - 10} + x - 10 x + 30$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{2 (2 x^{2} - 8 x + 6)}{3 x - 10} + x - 10 x + 30$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{2 (2 x^{2} - 8 x + 6)}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + x \cdot (3 x - 10) - 10 x \cdot (3 x - 10) + 30 \cdot (3 x - 10)$	=
$4 x^{2} - 16 x + 12 + x (3 x - 10) - 10 x (3 x - 10) + 90 x - 300$	=
$4 x^{2} - 16 x + 12 + (3 x^{2} - 10 x) + (- 30 x^{2} + 100 x) + 90 x - 300$	=
$- 23 x^{2} + 164 x - 288$	=

$- 23 x^{2} + 164 x - 288$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 164 \pm \sqrt{164^{2} - 4 \cdot (- 23) \cdot (- 288)}}{2 \cdot (- 23)}$

x_1,2 = $\frac{- 164 \pm \sqrt{26 896 - 26 496}}{- 46}$

x_1,2 = $\frac{- 164 \pm \sqrt{400}}{- 46}$

x₁ = $\frac{- 164 + \sqrt{400}}{- 46}$ = $\frac{- 164+20}{- 46}$ = $\frac{- 144}{- 46}$ = $\frac{72}{23}$ ≈ 3.13

x₂ = $\frac{- 164 - \sqrt{400}}{- 46}$ = $\frac{- 164-20}{- 46}$ = $\frac{- 184}{- 46}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 23$ " teilen:

$- 23 x^{2} + 164 x - 288$ = 0 |: $- 23$

$x^{2} - \frac{164}{23} x + \frac{288}{23}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{82}{23})}^{2} - (\frac{288}{23})$ = $\frac{6724}{529}$ $-$ $\frac{288}{23}$ = $\frac{6724}{529}$ $-$ $\frac{6624}{529}$ = $\frac{100}{529}$

x_1,2 = $\frac{82}{23}$ ± $\sqrt{\frac{100}{529}}$

x₁ = $\frac{82}{23}$ - $\frac{10}{23}$ = $\frac{72}{23}$ = 3.1304347826087

x₂ = $\frac{82}{23}$ + $\frac{10}{23}$ = $\frac{92}{23}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{72}{23}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 7 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 7 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 7 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 7 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 7 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 7 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $- (2 + 5)$ = -7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 5$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):