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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{- 9 x - 25}{x - 3}$ = $4$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{- 9 x - 25}{x - 3}$	=	$4$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{- 9 x - 25}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$4 \cdot (x - 3)$
$- 9 x - 25$	=	$4 (x - 3)$

$- 9 x - 25$	=	$4 x - 12$	\| $+ 25$
$- 9 x$	=	$4 x + 13$	\| $- 4 x$
$- 13 x$	=	$13$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{- 35}{2 x + 1} - x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

0

=

\frac{35}{2 x + 1} - x - 2

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

=	$\frac{35}{2 x + 1} - x - 2$	\|⋅( $2 x + 1$ )
=	$\frac{35}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) - x \cdot (2 x + 1) - 2 \cdot (2 x + 1)$
=	$35 - x (2 x + 1) - 4 x - 2$
=	$- 2 x^{2} - 5 x + 33$

0

=

- 2 x^{2} - 5 x + 33

|

+ 2 x^{2}

+ 5 x

- 33

$2 x^{2} + 5 x - 33$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 33)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 264}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 5+17}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 5-17}{4}$ = $\frac{- 22}{4}$ = $- 5,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x - 33$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{33}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (- \frac{33}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{33}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{264}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{22}{4}$ = -5.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5,5$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x$ = $- \frac{x}{5 x - 15} - \frac{- 16,8}{x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$4 x$	=	$- \frac{x}{5 x - 15} + \frac{16,8}{x - 3}$
$4 x$	=	$- \frac{x}{5 (x - 3)} + \frac{16,8}{x - 3}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 3)$ weg!

$4 x$	=	$- \frac{x}{5 (x - 3)} + \frac{16,8}{x - 3}$	\|⋅( $5 (x - 3)$ )
$4 x \cdot (5 (x - 3))$	=	$- \frac{x}{5 (x - 3)} \cdot (5 (x - 3)) + \frac{16,8}{x - 3} \cdot (5 (x - 3))$
$20 x (x - 3)$	=	$- x + 84$
$20 x \cdot x + 20 x \cdot (- 3)$	=	$- x + 84$
$20 x \cdot x - 60 x$	=	$- x + 84$
$20 x^{2} - 60 x$	=	$- x + 84$

20 x^{2} - 60 x

=

- x + 84

|

+ x

- 84

$20 x^{2} - 59 x - 84$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 59 \pm \sqrt{{(- 59)}^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (- 84)}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 59 \pm \sqrt{3 481 + 6 720}}{40}$

x_1,2 = $\frac{+ 59 \pm \sqrt{10 201}}{40}$

x₁ = $\frac{59 + \sqrt{10 201}}{40}$ = $\frac{59+101}{40}$ = $\frac{160}{40}$ = $4$

x₂ = $\frac{59 - \sqrt{10 201}}{40}$ = $\frac{59-101}{40}$ = $\frac{- 42}{40}$ = $- 1,05$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $20$ " teilen:

$20 x^{2} - 59 x - 84$ = 0 |: $20$

$x^{2} - \frac{59}{20} x - \frac{21}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{59}{40})}^{2} - (- \frac{21}{5})$ = $\frac{3481}{1600}$ $+$ $\frac{21}{5}$ = $\frac{3481}{1600}$ $+$ $\frac{6720}{1600}$ = $\frac{10201}{1600}$

x_1,2 = $\frac{59}{40}$ ± $\sqrt{\frac{10201}{1600}}$

x₁ = $\frac{59}{40}$ - $\frac{101}{40}$ = $- \frac{42}{40}$ = -1.05

x₂ = $\frac{59}{40}$ + $\frac{101}{40}$ = $\frac{160}{40}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,05$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{50}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{15}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{50}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{15}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{50}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{15}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$50$	=	$- x^{2} + 15 x$

50

=

- x^{2} + 15 x

|

+ x^{2}

- 15 x

$x^{2} - 15 x + 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 50}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{15+5}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{15-5}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - 50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 3 x - 8}{x + 3}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{- 3 x - 8}{x + 3}$	=	$x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{- 3 x - 8}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$x \cdot (x + 3)$
$- 3 x - 8$	=	$x (x + 3)$
$- 3 x - 8$	=	$x^{2} + 3 x$

- 3 x - 8

=

x^{2} + 3 x

|

- x^{2}

- 3 x

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6+2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6-2}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 2}{2 x + 6} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

\frac{x + 2}{2 (x + 3)} - 1

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$\frac{x + 2}{2 (x + 3)} - 1$	=	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{x + 2}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) - 1 \cdot (2 (x + 3))$	=
$x + 2 - 2 x - 6$	=
$- x - 4$	=

$- x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 9$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 9$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 9$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 9 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 9 x$	=	$- a$
$x^{2} - 9 x + a$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):