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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{x - 18}{2 x - 3}$ = $2$

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{x - 18}{2 x - 3}$	=	$2$	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{x - 18}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3)$	=	$2 \cdot (2 x - 3)$
$x - 18$	=	$2 (2 x - 3)$

$x - 18$	=	$4 x - 6$	\| $+ 18$
$x$	=	$4 x + 12$	\| $- 4 x$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{8 x}{x + 2} + \frac{108}{3 x + 6}$ = $3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{8 x}{x + 2} + \frac{108}{3 (x + 2)}

=

3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{8 x}{x + 2} + \frac{108}{3 (x + 2)}$	=	$3$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{8 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{108}{3 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=	$3 \cdot (x + 2)$
$8 x + 36$	=	$3 (x + 2)$

$8 x + 36$	=	$3 x + 6$	\| $- 36$
$8 x$	=	$3 x - 30$	\| $- 3 x$
$5 x$	=	$- 30$	\|: $5$
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 12} - 2 x$ = $- \frac{- 44}{6 x + 24}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

\frac{x}{3 (x + 4)} - 2 x

=

\frac{44}{6 (x + 4)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 4)} - 2 x$	=	$\frac{44}{6 (x + 4)}$	\|⋅( $6 (x + 4)$ )
$\frac{x}{3 (x + 4)} \cdot (6 (x + 4)) - 2 x \cdot (6 (x + 4))$	=	$\frac{44}{6 (x + 4)} \cdot (6 (x + 4))$
$2 x - 12 x (x + 4)$	=	$44$
$2 x + (- 12 x^{2} - 48 x)$	=	$44$
$- 12 x^{2} - 46 x$	=	$44$

- 12 x^{2} - 46 x

=

44

|

- 44

- 12 x^{2} - 46 x - 44

= 0 |:2

$- 6 x^{2} - 23 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 22)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 528}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{1}}{- 12}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{1}}{- 12}$ = $\frac{23+1}{- 12}$ = $\frac{24}{- 12}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{1}}{- 12}$ = $\frac{23-1}{- 12}$ = $\frac{22}{- 12}$ = $- \frac{11}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} - 23 x - 22$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} + \frac{23}{6} x + \frac{11}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{12})}^{2} - (\frac{11}{3})$ = $\frac{529}{144}$ $-$ $\frac{11}{3}$ = $\frac{529}{144}$ $-$ $\frac{528}{144}$ = $\frac{1}{144}$

x_1,2 = $- \frac{23}{12}$ ± $\sqrt{\frac{1}{144}}$

x₁ = $- \frac{23}{12}$ - $\frac{1}{12}$ = $- \frac{24}{12}$ = -2

x₂ = $- \frac{23}{12}$ + $\frac{1}{12}$ = $- \frac{22}{12}$ = -1.8333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{11}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2}{x} - \frac{63}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{2}{x} - \frac{63}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{2}{x} \cdot x^{2} - \frac{63}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$2 x - 63$	=	$- x^{2}$

2 x - 63

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 2 x - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 2+16}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 2-16}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 63)$ = $1$ $+$ $63$ = $64$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $- 1$ - $8$ = -9

x₂ = $- 1$ + $8$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{13 x + 9}{4 x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{13 x + 9}{4 x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{13 x + 9}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 1 \cdot 4 x$
$13 x + 9$	=	$4 x \cdot x + 4 x$

13 x + 9

=

4 x^{2} + 4 x

|

- 4 x^{2}

- 4 x

$- 4 x^{2} + 9 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 9}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{225}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{225}}{- 8}$ = $\frac{- 9+15}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{225}}{- 8}$ = $\frac{- 9-15}{- 8}$ = $\frac{- 24}{- 8}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 9 x + 9$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{9}{4} x - \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{8})}^{2} - (- \frac{9}{4})$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{225}{64}$

x_1,2 = $\frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{225}{64}}$

x₁ = $\frac{9}{8}$ - $\frac{15}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{9}{8}$ + $\frac{15}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{18 x}{- 9 x - 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ ; $- 1$ }

$\frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{18 x}{- 9 x - 12}$	=	0
$\frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{4 x}{2 (x + 1)} + \frac{18 x}{- 3 (3 x + 4)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{4 x}{2 (x + 1)} + \frac{18 x}{- 3 (3 x + 4)}$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{2 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{4 x}{2 (x + 1)} \cdot (3 x + 4) + \frac{18 x}{- 3 (3 x + 4)} \cdot (3 x + 4)$	=
$2 x + \frac{2 x (3 x + 4)}{x + 1} - 6 x$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} + 8 x}{x + 1} - 6 x$	=
$\frac{6 x^{2} + 8 x}{x + 1} + 2 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 8 x}{x + 1} + 2 x - 6 x$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 8 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) - 6 x \cdot (x + 1)$	=
$6 x^{2} + 8 x + 2 x (x + 1) - 6 x (x + 1)$	=
$6 x^{2} + 8 x + (2 x^{2} + 2 x) + (- 6 x^{2} - 6 x)$	=
$2 x^{2} + 4 x$	=

$2 x^{2} + 4 x$	=	0
$2 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 5$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 5$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 5$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 5 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 5 x$
$x^{2} + a + 5 x$	=	0
$x^{2} + 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -7 würde es funktionieren, denn $- (2 - 7)$ = 5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 7)$ = $- 14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 7$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):