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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{5 x}{3 x - 5} - \frac{85}{3 x - 5}$ = $5$

D=R\{ $\frac{5}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$- \frac{5 x}{3 x - 5} - \frac{85}{3 x - 5}$	=	$5$	\|⋅( $3 x - 5$ )
$- \frac{5 x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) - \frac{85}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$	=	$5 \cdot (3 x - 5)$
$- 5 x - 85$	=	$5 (3 x - 5)$

$- 5 x - 85$	=	$15 x - 25$	\| $+ 85$
$- 5 x$	=	$15 x + 60$	\| $- 15 x$
$- 20 x$	=	$60$	\|:( $- 20$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 4} - \frac{3}{x - 4}$ = $\frac{66}{x^{2} - 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ ; $4$ }

\frac{x}{x + 4} - \frac{3}{x - 4}

=

\frac{66}{(x + 4) (x - 4)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 4) (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{x + 4} - \frac{3}{x - 4}$	=	$\frac{66}{(x + 4) (x - 4)}$	\|⋅( $(x + 4) (x - 4)$ )
$\frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4) (x - 4) - \frac{3}{x - 4} \cdot (x + 4) (x - 4)$	=	$\frac{66}{(x + 4) (x - 4)} \cdot (x + 4) (x - 4)$
$x (x - 4) - 3 x - 12$	=	$66 \frac{x + 4}{x + 4}$
$x (x - 4) - 3 x - 12$	=	$66$
$x^{2} - 4 x - 3 x - 12$	=	$66$
$x^{2} - 7 x - 12$	=	$66$

x^{2} - 7 x - 12

=

66

|

- 66

$x^{2} - 7 x - 78$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 78)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 312}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{361}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{7+19}{2}$ = $\frac{26}{2}$ = $13$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{7-19}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 78)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $78$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{312}{4}$ = $\frac{361}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{361}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{19}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{19}{2}$ = $\frac{26}{2}$ = 13

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $13$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 10} + \frac{5,4}{x - 2} - 2 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{5 x - 10} + \frac{5,4}{x - 2} - 2 x$	=	0
$\frac{x}{5 (x - 2)} + \frac{5,4}{x - 2} - 2 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 2)} + \frac{5,4}{x - 2} - 2 x$	=	\|⋅( $5 (x - 2)$ )
$\frac{x}{5 (x - 2)} \cdot (5 (x - 2)) + \frac{5,4}{x - 2} \cdot (5 (x - 2)) - 2 x \cdot (5 (x - 2))$	=
$x + 27 - 10 x (x - 2)$	=
$x + 27 + (- 10 x^{2} + 20 x)$	=
$- 10 x^{2} + 21 x + 27$	=

$- 10 x^{2} + 21 x + 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 27}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 1 080}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{1 521}}{- 20}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{1 521}}{- 20}$ = $\frac{- 21+39}{- 20}$ = $\frac{18}{- 20}$ = $- 0,9$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{1 521}}{- 20}$ = $\frac{- 21-39}{- 20}$ = $\frac{- 60}{- 20}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} + 21 x + 27$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} - \frac{21}{10} x - \frac{27}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{20})}^{2} - (- \frac{27}{10})$ = $\frac{441}{400}$ $+$ $\frac{27}{10}$ = $\frac{441}{400}$ $+$ $\frac{1080}{400}$ = $\frac{1521}{400}$

x_1,2 = $\frac{21}{20}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{400}}$

x₁ = $\frac{21}{20}$ - $\frac{39}{20}$ = $- \frac{18}{20}$ = -0.9

x₂ = $\frac{21}{20}$ + $\frac{39}{20}$ = $\frac{60}{20}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,9$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{8}{x}$ = $- 1 - \frac{15}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{8}{x}$	=	$- 1 - \frac{15}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{8}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{15}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$- 8 x$	=	$- x^{2} - 15$

- 8 x

=

- x^{2} - 15

|

+ x^{2}

+ 15

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{17}{2} - \frac{3}{2 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{17}{2} - \frac{3}{2 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$\frac{17}{2} \cdot x - \frac{3}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$\frac{17}{2} x - \frac{3}{2}$	=	$x \cdot x + 5 x$

$\frac{17}{2} x - \frac{3}{2}$	=	$x^{2} + 5 x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{17}{2} x - \frac{3}{2})$	=	$2 (x^{2} + 5 x)$
$17 x - 3$	=	$2 x^{2} + 10 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 10 x$

$- 2 x^{2} + 7 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 7+5}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 7-5}{- 4}$ = $\frac{- 12}{- 4}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 7 x - 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{2 x + 5} + \frac{2 x}{3 x + 10} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{10}{3}$ ; $- \frac{5}{2}$ }

\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} - 7$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{2 x}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} \cdot (3 x + 10) - 7 \cdot (3 x + 10)$	=
$2 x + \frac{(2 x - 1) (3 x + 10)}{2 x + 5} - 21 x - 70$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} + 17 x - 10}{2 x + 5} - 21 x - 70$	=
$\frac{6 x^{2} + 17 x - 10}{2 x + 5} + 2 x - 21 x - 70$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 17 x - 10}{2 x + 5} + 2 x - 21 x - 70$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{6 x^{2} + 17 x - 10}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + 2 x \cdot (2 x + 5) - 21 x \cdot (2 x + 5) - 70 \cdot (2 x + 5)$	=
$6 x^{2} + 17 x - 10 + 2 x (2 x + 5) - 21 x (2 x + 5) - 140 x - 350$	=
$6 x^{2} + 17 x - 10 + (4 x^{2} + 10 x) + (- 42 x^{2} - 105 x) - 140 x - 350$	=
$- 32 x^{2} - 218 x - 360$	=

- 32 x^{2} - 218 x - 360

= 0 |:2

$- 16 x^{2} - 109 x - 180$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 109 \pm \sqrt{{(- 109)}^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot (- 180)}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{+ 109 \pm \sqrt{11 881 - 11 520}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{+ 109 \pm \sqrt{361}}{- 32}$

x₁ = $\frac{109 + \sqrt{361}}{- 32}$ = $\frac{109+19}{- 32}$ = $\frac{128}{- 32}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{109 - \sqrt{361}}{- 32}$ = $\frac{109-19}{- 32}$ = $\frac{90}{- 32}$ = $- \frac{45}{16}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 16$ " teilen:

$- 16 x^{2} - 109 x - 180$ = 0 |: $- 16$

$x^{2} + \frac{109}{16} x + \frac{45}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{109}{32})}^{2} - (\frac{45}{4})$ = $\frac{11881}{1024}$ $-$ $\frac{45}{4}$ = $\frac{11881}{1024}$ $-$ $\frac{11520}{1024}$ = $\frac{361}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{109}{32}$ ± $\sqrt{\frac{361}{1024}}$

x₁ = $- \frac{109}{32}$ - $\frac{19}{32}$ = $- \frac{128}{32}$ = -4

x₂ = $- \frac{109}{32}$ + $\frac{19}{32}$ = $- \frac{90}{32}$ = -2.8125

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{45}{16}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{10}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{10}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{10}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{10}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 10$
$x^{2} + a x + 10$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):