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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{8 x - 22}{x - 5}$ = $2$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{8 x - 22}{x - 5}$	=	$2$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{8 x - 22}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$2 \cdot (x - 5)$
$8 x - 22$	=	$2 (x - 5)$

$8 x - 22$	=	$2 x - 10$	\| $+ 22$
$8 x$	=	$2 x + 12$	\| $- 2 x$
$6 x$	=	$12$	\|: $6$
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 4$ = $- \frac{- 14}{x - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$x + 4$	=	$\frac{14}{x - 1}$	\|⋅( $x - 1$ )
$x \cdot (x - 1) + 4 \cdot (x - 1)$	=	$\frac{14}{x - 1} \cdot (x - 1)$
$x \cdot (x - 1) + 4 x - 4$	=	$14$
$x^{2} - x + 4 x - 4$	=	$14$
$x^{2} + 3 x - 4$	=	$14$

x^{2} + 3 x - 4

=

14

|

- 14

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 4} + \frac{- 5 x}{3 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; $1$ }

$\frac{2 x}{3 x - 4} + \frac{3 x}{2 x - 2} - \frac{5 x}{3 x - 4}$	=	0
$\frac{2 x}{3 x - 4} + \frac{3 x}{2 (x - 1)} - \frac{5 x}{3 x - 4}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 4} + \frac{3 x}{2 (x - 1)} - \frac{5 x}{3 x - 4}$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{2 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{3 x}{2 (x - 1)} \cdot (3 x - 4) - \frac{5 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4)$	=
$2 x + \frac{3 x \cdot (3 x - 4)}{2 (x - 1)} - 5 x$	=
$2 x + \frac{9 x^{2} - 12 x}{2 (x - 1)} - 5 x$	=
$\frac{9 x^{2} - 12 x}{2 (x - 1)} + 2 x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 12 x}{2 (x - 1)} + 2 x - 5 x$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{9 x^{2} - 12 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + 2 x \cdot (2 (x - 1)) - 5 x \cdot (2 (x - 1))$	=
$9 x^{2} - 12 x + 4 x \cdot (x - 1) - 10 x \cdot (x - 1)$	=
$9 x^{2} - 12 x + (4 x^{2} - 4 x) + (- 10 x^{2} + 10 x)$	=
$3 x^{2} - 6 x$	=

$3 x^{2} - 6 x$	=	0
$3 x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 - \frac{4}{x} - \frac{3}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 - \frac{4}{x} - \frac{3}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{4}{x} \cdot x^{2} - \frac{3}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} - 4 x - 3$

0

=

- x^{2} - 4 x - 3

|

+ x^{2}

+ 4 x

+ 3

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $\frac{4 x - 6}{x - 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$3 x$	=	$\frac{4 x - 6}{x - 5}$	\|⋅( $x - 5$ )
$3 x \cdot (x - 5)$	=	$\frac{4 x - 6}{x - 5} \cdot (x - 5)$
$3 x \cdot (x - 5)$	=	$4 x - 6$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot (- 5)$	=	$4 x - 6$
$3 x \cdot x - 15 x$	=	$4 x - 6$
$3 x^{2} - 15 x$	=	$4 x - 6$

3 x^{2} - 15 x

=

4 x - 6

|

- 4 x

+ 6

$3 x^{2} - 19 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 72}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{289}}{6}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{289}}{6}$ = $\frac{19+17}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = $6$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{289}}{6}$ = $\frac{19-17}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 19 x + 6$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{19}{3} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{6})}^{2} - 2$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $2$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{289}{36}$

x_1,2 = $\frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{289}{36}}$

x₁ = $\frac{19}{6}$ - $\frac{17}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{19}{6}$ + $\frac{17}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{6 x}{2 x - 1} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $1$ }

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{4 x}{2 x - 2} - 8$	=	0
$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{4 x}{2 (x - 1)} - 8$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{4 x}{2 (x - 1)} - 8$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{4 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 x - 1) - 8 \cdot (2 x - 1)$	=
$6 x + \frac{2 x \cdot (2 x - 1)}{x - 1} - 16 x + 8$	=
$6 x + \frac{4 x^{2} - 2 x}{x - 1} - 16 x + 8$	=
$\frac{4 x^{2} - 2 x}{x - 1} + 6 x - 16 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 2 x}{x - 1} + 6 x - 16 x + 8$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x^{2} - 2 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 6 x \cdot (x - 1) - 16 x \cdot (x - 1) + 8 \cdot (x - 1)$	=
$4 x^{2} - 2 x + 6 x \cdot (x - 1) - 16 x \cdot (x - 1) + 8 x - 8$	=
$4 x^{2} - 2 x + (6 x^{2} - 6 x) + (- 16 x^{2} + 16 x) + 8 x - 8$	=
$- 6 x^{2} + 16 x - 8$	=

- 6 x^{2} + 16 x - 8

= 0 |:2

$- 3 x^{2} + 8 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{- 8+4}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{- 8-4}{- 6}$ = $\frac{- 12}{- 6}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 8 x - 4$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{8}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{3})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{12}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $\frac{4}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{4}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $3$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $3$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$3$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$3 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$3 x$
$a + x^{2} - 3 x$	=	0
$x^{2} - 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (2 + 1)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):