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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{10}{x^{2}}$ = $- \frac{9}{x^{3}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{10}{x^{2}}$	=	$- \frac{9}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{10}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{9}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2} + 10 x$	=	$- 9$

x^{2} + 10 x

=

- 9

|

+ 9

$x^{2} + 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10+8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10-8}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 17 x + 21}{x + 2}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{- 17 x + 21}{x + 2}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{- 17 x + 21}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$4 x \cdot (x + 2)$
$- 17 x + 21$	=	$4 x (x + 2)$
$- 17 x + 21$	=	$4 x^{2} + 8 x$

- 17 x + 21

=

4 x^{2} + 8 x

|

- 4 x^{2}

- 8 x

$- 4 x^{2} - 25 x + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 21}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 + 336}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{961}}{- 8}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{961}}{- 8}$ = $\frac{25+31}{- 8}$ = $\frac{56}{- 8}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{961}}{- 8}$ = $\frac{25-31}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2}{x} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; 0}

\frac{5 x + 1}{2 x + 1} - 4 - \frac{2}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{5 x + 1}{2 x + 1} - 4 - \frac{2}{x}$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{5 x + 1}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) - 4 \cdot (2 x + 1) - \frac{2}{x} \cdot (2 x + 1)$	=
$5 x + 1 - 8 x - 4 - 2 \frac{2 x + 1}{x}$	=
$- 2 \frac{2 x + 1}{x} + 5 x - 8 x + 1 - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 2 \frac{2 x + 1}{x} + 5 x - 8 x + 1 - 4$	=	\|⋅( $x$ )
$- 2 \frac{2 x + 1}{x} \cdot x + 5 x \cdot x - 8 x \cdot x + 1 \cdot x - 4 \cdot x$	=
$- 4 x - 2 + 5 x \cdot x - 8 x \cdot x + x - 4 x$	=
$- 4 x - 2 + 5 x^{2} - 8 x^{2} + x - 4 x$	=
$- 3 x^{2} - 7 x - 2$	=

$- 3 x^{2} - 7 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{7+5}{- 6}$ = $\frac{12}{- 6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{7-5}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 9$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 9$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 9$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 9 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 9 x$	=	$- a$
$x^{2} - 9 x + a$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $7$ }

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Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter