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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2}{x - 3}$ = $- 2$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$- \frac{2}{x - 3}$	=	$- 2$	\|⋅( $x - 3$ )
$- \frac{2}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$- 2 \cdot (x - 3)$
$- 2$	=	$- 2 (x - 3)$

$- 2$	=	$- 2 x + 6$	\| $+ 2$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6 x}{x - 1} - \frac{63}{3 x - 3}$ = $1$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{6 x}{x - 1} - \frac{63}{3 (x - 1)}

=

1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{x - 1} - \frac{63}{3 (x - 1)}$	=	$1$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{- 63}{3 (x - 1)} \cdot (x - 1)$	=	$1 \cdot (x - 1)$
$6 x - 21$	=	$x - 1$

$6 x - 21$	=	$x - 1$	\| $+ 21$
$6 x$	=	$x + 20$	\| $- x$
$5 x$	=	$20$	\|: $5$
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 6} - 3 x$ = $- \frac{31}{x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{x}{2 (x - 3)} - 3 x

=

- \frac{31}{x - 3}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 3)} - 3 x$	=	$- \frac{31}{x - 3}$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) - 3 x \cdot (2 (x - 3))$	=	$- \frac{31}{x - 3} \cdot (2 (x - 3))$
$x - 6 x (x - 3)$	=	$- 62$
$x + (- 6 x^{2} + 18 x)$	=	$- 62$
$- 6 x^{2} + 19 x$	=	$- 62$

- 6 x^{2} + 19 x

=

- 62

|

+ 62

$- 6 x^{2} + 19 x + 62$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 62}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 1 488}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{1 849}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{1 849}}{- 12}$ = $\frac{- 19+43}{- 12}$ = $\frac{24}{- 12}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{1 849}}{- 12}$ = $\frac{- 19-43}{- 12}$ = $\frac{- 62}{- 12}$ = $\frac{31}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 19 x + 62$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{19}{6} x - \frac{31}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{12})}^{2} - (- \frac{31}{3})$ = $\frac{361}{144}$ $+$ $\frac{31}{3}$ = $\frac{361}{144}$ $+$ $\frac{1488}{144}$ = $\frac{1849}{144}$

x_1,2 = $\frac{19}{12}$ ± $\sqrt{\frac{1849}{144}}$

x₁ = $\frac{19}{12}$ - $\frac{43}{12}$ = $- \frac{24}{12}$ = -2

x₂ = $\frac{19}{12}$ + $\frac{43}{12}$ = $\frac{62}{12}$ = 5.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{31}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7}{x^{3}} + \frac{12}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{7}{x^{3}} + \frac{12}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{7}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{12}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$7 x + 12$	=	$- x^{2}$

7 x + 12

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{38 x - 14}{3 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{38 x - 14}{3 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{38 x - 14}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 5 \cdot 3 x$
$38 x - 14$	=	$3 x \cdot x + 15 x$

38 x - 14

=

3 x^{2} + 15 x

|

- 3 x^{2}

- 15 x

$- 3 x^{2} + 23 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 14)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 168}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{361}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{- 23+19}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{- 23-19}{- 6}$ = $\frac{- 42}{- 6}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 23 x - 14$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{23}{3} x + \frac{14}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{6})}^{2} - (\frac{14}{3})$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{14}{3}$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{168}{36}$ = $\frac{361}{36}$

x_1,2 = $\frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{361}{36}}$

x₁ = $\frac{23}{6}$ - $\frac{19}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{23}{6}$ + $\frac{19}{6}$ = $\frac{42}{6}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{3 x + 9} + \frac{- 4}{x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

$\frac{2 x - 1}{3 x + 9} - 4 - \frac{4}{x}$	=	0
$\frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} - 4 - \frac{4}{x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$\frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} - 4 - \frac{4}{x}$	=	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$\frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) - 4 \cdot (3 (x + 3)) - \frac{4}{x} \cdot (3 (x + 3))$	=
$2 x - 1 - 12 x - 36 - 12 \frac{x + 3}{x}$	=
$2 x - 1 - 12 x - 36 - \frac{12 (x + 3)}{x}$	=
$- \frac{12 (x + 3)}{x} + 2 x - 12 x - 1 - 36$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{12 (x + 3)}{x} + 2 x - 12 x - 1 - 36$	=	\|⋅( $x$ )
$- \frac{12 (x + 3)}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 12 x \cdot x - 1 \cdot x - 36 \cdot x$	=
$- 12 x - 36 + 2 x \cdot x - 12 x \cdot x - x - 36 x$	=
$- 12 x - 36 + 2 x^{2} - 12 x^{2} - x - 36 x$	=
$- 10 x^{2} - 49 x - 36$	=

$- 10 x^{2} - 49 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 49 \pm \sqrt{{(- 49)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 49 \pm \sqrt{2 401 - 1 440}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 49 \pm \sqrt{961}}{- 20}$

x₁ = $\frac{49 + \sqrt{961}}{- 20}$ = $\frac{49+31}{- 20}$ = $\frac{80}{- 20}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{49 - \sqrt{961}}{- 20}$ = $\frac{49-31}{- 20}$ = $\frac{18}{- 20}$ = $- 0,9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 49 x - 36$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{49}{10} x + \frac{18}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{49}{20})}^{2} - (\frac{18}{5})$ = $\frac{2401}{400}$ $-$ $\frac{18}{5}$ = $\frac{2401}{400}$ $-$ $\frac{1440}{400}$ = $\frac{961}{400}$

x_1,2 = $- \frac{49}{20}$ ± $\sqrt{\frac{961}{400}}$

x₁ = $- \frac{49}{20}$ - $\frac{31}{20}$ = $- \frac{80}{20}$ = -4

x₂ = $- \frac{49}{20}$ + $\frac{31}{20}$ = $- \frac{18}{20}$ = -0.9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 0,9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{20}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{20}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{20}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{20}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$20 + x^{2}$	=	$- a x$
$20 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

L={ $2$ ; $10$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):