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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{35}{x - 4}$ = $- 5$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$- \frac{35}{x - 4}$	=	$- 5$	\|⋅( $x - 4$ )
$- \frac{35}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$- 5 \cdot (x - 4)$
$- 35$	=	$- 5 (x - 4)$

$- 35$	=	$- 5 x + 20$	\| $+ 35$ $+ 5 x$
$5 x$	=	$55$	\|: $5$
$x$	=	$11$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $11$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5 x}{3 x + 3} + \frac{180}{9 x + 9}$ = $- 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{5 x}{3 (x + 1)} + \frac{180}{9 (x + 1)}

=

- 2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$\frac{5 x}{3 (x + 1)} + \frac{180}{9 (x + 1)}$	=	$- 2$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{5 x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + \frac{180}{9 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$	=	$- 2 \cdot (3 (x + 1))$
$5 x + 60$	=	$- 6 (x + 1)$

$5 x + 60$	=	$- 6 x - 6$	\| $- 60$
$5 x$	=	$- 6 x - 66$	\| $+ 6 x$
$11 x$	=	$- 66$	\|: $11$
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{2 x - 6} + \frac{2 x - 2}{3 x - 10} + \frac{- 6 x}{6 x - 18}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ ; $3$ }

$\frac{2 x - 2}{3 x - 10} + \frac{x - 2}{2 x - 6} - \frac{6 x}{6 x - 18}$	=	0
$\frac{2 x - 2}{3 x - 10} + \frac{x - 2}{2 (x - 3)} - \frac{6 x}{6 (x - 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{2 x - 2}{3 x - 10} + \frac{x - 2}{2 (x - 3)} - \frac{6 x}{6 (x - 3)}$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{2 x - 2}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + \frac{x - 2}{2 (x - 3)} \cdot (3 x - 10) - \frac{6 x}{6 (x - 3)} \cdot (3 x - 10)$	=
$2 x - 2 + \frac{(x - 2) \cdot (3 x - 10)}{2 (x - 3)} - \frac{x \cdot (3 x - 10)}{x - 3}$	=
$2 x - 2 + \frac{3 x^{2} - 16 x + 20}{2 (x - 3)} - \frac{3 x^{2} - 10 x}{x - 3}$	=
$- \frac{3 x^{2} - 10 x}{x - 3} + \frac{3 x^{2} - 16 x + 20}{2 (x - 3)} + 2 x - 2$	=

\frac{3 x^{2} - 16 x + 20}{2 (x - 3)} - \frac{3 x^{2} - 10 x}{x - 3} + 2 x - 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 16 x + 20}{2 (x - 3)} - \frac{3 x^{2} - 10 x}{x - 3} + 2 x - 2$	=	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{3 x^{2} - 16 x + 20}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) - \frac{3 x^{2} - 10 x}{x - 3} \cdot (2 (x - 3)) + 2 x \cdot (2 (x - 3)) - 2 \cdot (2 (x - 3))$	=
$3 x^{2} - 16 x + 20 - 6 x^{2} + 20 x + 4 x \cdot (x - 3) - 4 x + 12$	=
$3 x^{2} - 16 x + 20 - 6 x^{2} + 20 x + (4 x^{2} - 12 x) - 4 x + 12$	=
$x^{2} - 12 x + 32$	=

$x^{2} - 12 x + 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{12+4}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{12-4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 32$ = $36$ $-$ $32$ = $4$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $6$ - $2$ = 4

x₂ = $6$ + $2$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $8$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{13}{x^{2}} + \frac{36}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{13}{x^{2}} + \frac{36}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{13}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{36}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 13 x + 36$	=	$- x^{2}$

- 13 x + 36

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 13 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 3}{x + 2}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{5 x + 3}{x + 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{5 x + 3}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$2 x \cdot (x + 2)$
$5 x + 3$	=	$2 x \cdot (x + 2)$
$5 x + 3$	=	$2 x^{2} + 4 x$

5 x + 3

=

2 x^{2} + 4 x

|

- 2 x^{2}

- 4 x

$- 2 x^{2} + x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 3}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 1+5}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 1-5}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + x + 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{2 x}{x - 2} + \frac{6 x}{- 2 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{8}{3}$ }

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{6 x}{- 2 x + 4}$	=	0
$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{6 x}{2 (- x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{6 x}{2 (- x + 2)}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{2 x}{3 x - 8} \cdot (x - 2) + \frac{6 x}{2 (- x + 2)} \cdot (x - 2)$	=
$2 x + \frac{2 x \cdot (x - 2)}{3 x - 8} + \frac{3 x \cdot (x - 2)}{- x + 2}$	=
$2 x + \frac{2 x \cdot (x - 2)}{3 x - 8} - 3 x$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} - 4 x}{3 x - 8} - 3 x$	=
$\frac{2 x^{2} - 4 x}{3 x - 8} + 2 x - 3 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 4 x}{3 x - 8} + 2 x - 3 x$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{2 x^{2} - 4 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + 2 x \cdot (3 x - 8) - 3 x \cdot (3 x - 8)$	=
$2 x^{2} - 4 x + 2 x \cdot (3 x - 8) - 3 x \cdot (3 x - 8)$	=
$2 x^{2} - 4 x + (6 x^{2} - 16 x) + (- 9 x^{2} + 24 x)$	=
$- x^{2} + 4 x$	=

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $1$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $1$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$1$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$1 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$x$
$x^{2} + a - x$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

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Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):