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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4 x}{x + 2}$ = $- 3$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{- 4 x}{x + 2}$	=	$- 3$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{- 4 x}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- 3 \cdot (x + 2)$
$- \frac{4 x}{1}$	=	$- 3 (x + 2)$
$- 4 x$	=	$- 3 (x + 2)$

$- 4 x$	=	$- 3 x - 6$	\| $+ 3 x$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7 x}{2 x + 3} + \frac{72}{6 x + 9}$ = $2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ }

\frac{7 x}{2 x + 3} + \frac{72}{3 (2 x + 3)}

=

2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{7 x}{2 x + 3} + \frac{72}{3 (2 x + 3)}$	=	$2$	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{7 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{72}{3 (2 x + 3)} \cdot (2 x + 3)$	=	$2 \cdot (2 x + 3)$
$7 x + 24$	=	$2 (2 x + 3)$

$7 x + 24$	=	$4 x + 6$	\| $- 24$
$7 x$	=	$4 x - 18$	\| $- 4 x$
$3 x$	=	$- 18$	\|: $3$
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{2 x + 1} + \frac{8 x}{x - 2} + \frac{- 14 x}{x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- \frac{1}{2}$ }

\frac{8 x}{x - 2} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} - \frac{14 x}{x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{8 x}{x - 2} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} - \frac{14 x}{x - 2}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{8 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} \cdot (x - 2) - \frac{14 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=
$8 x + \frac{(5 x + 1) (x - 2)}{2 x + 1} - 14 x$	=
$8 x + \frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{2 x + 1} - 14 x$	=
$\frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{2 x + 1} + 8 x - 14 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{2 x + 1} + 8 x - 14 x$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + 8 x \cdot (2 x + 1) - 14 x \cdot (2 x + 1)$	=
$5 x^{2} - 9 x - 2 + 8 x (2 x + 1) - 14 x (2 x + 1)$	=
$5 x^{2} - 9 x - 2 + (16 x^{2} + 8 x) + (- 28 x^{2} - 14 x)$	=
$- 7 x^{2} - 15 x - 2$	=

$- 7 x^{2} - 15 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 56}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{169}}{- 14}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{169}}{- 14}$ = $\frac{15+13}{- 14}$ = $\frac{28}{- 14}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{169}}{- 14}$ = $\frac{15-13}{- 14}$ = $\frac{2}{- 14}$ = $- \frac{1}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} - 15 x - 2$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} + \frac{15}{7} x + \frac{2}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{14})}^{2} - (\frac{2}{7})$ = $\frac{225}{196}$ $-$ $\frac{2}{7}$ = $\frac{225}{196}$ $-$ $\frac{56}{196}$ = $\frac{169}{196}$

x_1,2 = $- \frac{15}{14}$ ± $\sqrt{\frac{169}{196}}$

x₁ = $- \frac{15}{14}$ - $\frac{13}{14}$ = $- \frac{28}{14}$ = -2

x₂ = $- \frac{15}{14}$ + $\frac{13}{14}$ = $- \frac{2}{14}$ = -0.14285714285714

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{7}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{24}{x^{4}}$ = $- \frac{11}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{24}{x^{4}}$	=	$- \frac{11}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{24}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{11}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 24$	=	$- 11 x$

x^{2} + 24

=

- 11 x

|

+ 11 x

$x^{2} + 11 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 11+5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 11-5}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 4$ = $9 + \frac{14}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 4$	=	$9 + \frac{14}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 4 \cdot x$	=	$9 \cdot x + \frac{14}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 4 x$	=	$9 x + 14$
$x^{2} + 4 x$	=	$9 x + 14$

x^{2} + 4 x

=

9 x + 14

|

- 9 x

- 14

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 2} + \frac{5 x - 2}{2 x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; 0}

\frac{2 x}{3 x + 2} + \frac{5 x - 2}{2 x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 2} + \frac{5 x - 2}{2 x} - 4$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{2 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{5 x - 2}{2 x} \cdot (3 x + 2) - 4 \cdot (3 x + 2)$	=
$2 x + \frac{(5 x - 2) (3 x + 2)}{2 x} - 12 x - 8$	=
$2 x + \frac{15 x^{2} + 4 x - 4}{2 x} - 12 x - 8$	=
$\frac{15 x^{2} + 4 x - 4}{2 x} + 2 x - 12 x - 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{15 x^{2} + 4 x - 4}{2 x} + 2 x - 12 x - 8$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{15 x^{2} + 4 x - 4}{2 x} \cdot 2 x + 2 x \cdot 2 x - 12 x \cdot 2 x - 8 \cdot 2 x$	=
$15 x^{2} + 4 x - 4 + 4 x \cdot x - 24 x \cdot x - 16 x$	=
$15 x^{2} + 4 x - 4 + 4 x^{2} - 24 x^{2} - 16 x$	=
$- 5 x^{2} - 12 x - 4$	=

$- 5 x^{2} - 12 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{12+8}{- 10}$ = $\frac{20}{- 10}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{12-8}{- 10}$ = $\frac{4}{- 10}$ = $- 0,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 12 x - 4$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{12}{5} x + \frac{4}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{6}{5})}^{2} - (\frac{4}{5})$ = $\frac{36}{25}$ $-$ $\frac{4}{5}$ = $\frac{36}{25}$ $-$ $\frac{20}{25}$ = $\frac{16}{25}$

x_1,2 = $- \frac{6}{5}$ ± $\sqrt{\frac{16}{25}}$

x₁ = $- \frac{6}{5}$ - $\frac{4}{5}$ = $- \frac{10}{5}$ = -2

x₂ = $- \frac{6}{5}$ + $\frac{4}{5}$ = $- \frac{2}{5}$ = -0.4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{12}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 12$	=	$- x^{2}$
$a x + 12 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

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Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):