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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{15}{x - 6}$ = $- 3$

D=R\{ $6$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 6$ weg!

$- \frac{15}{x - 6}$	=	$- 3$	\|⋅( $x - 6$ )
$- \frac{15}{x - 6} \cdot (x - 6)$	=	$- 3 \cdot (x - 6)$
$- 15$	=	$- 3 (x - 6)$

$- 15$	=	$- 3 x + 18$	\| $+ 15$ $+ 3 x$
$3 x$	=	$33$	\|: $3$
$x$	=	$11$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $11$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 3} - \frac{5}{x + 3}$ = $\frac{18}{x^{2} - 9}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $3$ }

\frac{x}{x - 3} - \frac{5}{x + 3}

=

\frac{18}{(x + 3) (x - 3)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 3) (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{x - 3} - \frac{5}{x + 3}$	=	$\frac{18}{(x + 3) (x - 3)}$	\|⋅( $(x + 3) (x - 3)$ )
$\frac{x}{x - 3} \cdot (x + 3) (x - 3) - \frac{5}{x + 3} \cdot (x + 3) (x - 3)$	=	$\frac{18}{(x + 3) (x - 3)} \cdot (x + 3) (x - 3)$
$x (x + 3) - 5 x + 15$	=	$18 \frac{x + 3}{x + 3}$
$x (x + 3) - 5 x + 15$	=	$18$
$x^{2} + 3 x - 5 x + 15$	=	$18$
$x^{2} - 2 x + 15$	=	$18$

x^{2} - 2 x + 15

=

18

|

- 18

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Lösung x= $3$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 2} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; $- \frac{1}{2}$ }

\frac{2 x}{3 x + 2} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 2} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} - 4$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{2 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} \cdot (3 x + 2) - 4 \cdot (3 x + 2)$	=
$2 x + \frac{(5 x + 1) (3 x + 2)}{2 x + 1} - 12 x - 8$	=
$2 x + \frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{2 x + 1} - 12 x - 8$	=
$\frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{2 x + 1} + 2 x - 12 x - 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{2 x + 1} + 2 x - 12 x - 8$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + 2 x \cdot (2 x + 1) - 12 x \cdot (2 x + 1) - 8 \cdot (2 x + 1)$	=
$15 x^{2} + 13 x + 2 + 2 x (2 x + 1) - 12 x (2 x + 1) - 16 x - 8$	=
$15 x^{2} + 13 x + 2 + (4 x^{2} + 2 x) + (- 24 x^{2} - 12 x) - 16 x - 8$	=
$- 5 x^{2} - 13 x - 6$	=

$- 5 x^{2} - 13 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{49}}{- 10}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{49}}{- 10}$ = $\frac{13+7}{- 10}$ = $\frac{20}{- 10}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{49}}{- 10}$ = $\frac{13-7}{- 10}$ = $\frac{6}{- 10}$ = $- 0,6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 13 x - 6$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{13}{5} x + \frac{6}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{10})}^{2} - (\frac{6}{5})$ = $\frac{169}{100}$ $-$ $\frac{6}{5}$ = $\frac{169}{100}$ $-$ $\frac{120}{100}$ = $\frac{49}{100}$

x_1,2 = $- \frac{13}{10}$ ± $\sqrt{\frac{49}{100}}$

x₁ = $- \frac{13}{10}$ - $\frac{7}{10}$ = $- \frac{20}{10}$ = -2

x₂ = $- \frac{13}{10}$ + $\frac{7}{10}$ = $- \frac{6}{10}$ = -0.6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,6$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 18}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{3 x - 18}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{3 x - 18}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$3 x - 18$	=	$- x^{2}$

3 x - 18

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $\frac{- 17 x + 1}{x - 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$3 x$	=	$\frac{- 17 x + 1}{x - 5}$	\|⋅( $x - 5$ )
$3 x \cdot (x - 5)$	=	$\frac{- 17 x + 1}{x - 5} \cdot (x - 5)$
$3 x (x - 5)$	=	$- 17 x + 1$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot (- 5)$	=	$- 17 x + 1$
$3 x \cdot x - 15 x$	=	$- 17 x + 1$
$3 x^{2} - 15 x$	=	$- 17 x + 1$

3 x^{2} - 15 x

=

- 17 x + 1

|

+ 17 x

- 1

$3 x^{2} + 2 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 2+4}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 2-4}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 2 x - 1$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{1}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{1}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{3}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{1}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{3}{3}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{10 x}{- 9 x + 21}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $\frac{7}{3}$ }

$\frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{10 x}{- 9 x + 21}$	=	0
$\frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{10 x}{3 (- 3 x + 7)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{10 x}{3 (- 3 x + 7)}$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{3 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{x + 1}{3 x - 7} \cdot (2 x - 3) + \frac{10 x}{3 (- 3 x + 7)} \cdot (2 x - 3)$	=
$3 x + \frac{(x + 1) (2 x - 3)}{3 x - 7} + \frac{10 x (2 x - 3)}{3 (- 3 x + 7)}$	=
$3 x + \frac{2 x^{2} - x - 3}{3 x - 7} + \frac{20 x^{2} - 30 x}{3 (- 3 x + 7)}$	=
$\frac{20 x^{2} - 30 x}{3 (- 3 x + 7)} + \frac{2 x^{2} - x - 3}{3 x - 7} + 3 x$	=

\frac{2 x^{2} - x - 3}{3 x - 7} + \frac{20 x^{2} - 30 x}{3 (- 3 x + 7)} + 3 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{2 x^{2} - x - 3}{3 x - 7} + \frac{20 x^{2} - 30 x}{3 (- 3 x + 7)} + 3 x$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{2 x^{2} - x - 3}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + \frac{20 x^{2} - 30 x}{3 (- 3 x + 7)} \cdot (3 x - 7) + 3 x \cdot (3 x - 7)$	=
$2 x^{2} - x - 3 + \frac{(20 x^{2} - 30 x) (3 x - 7)}{3 (- 3 x + 7)} + 3 x (3 x - 7)$	=
$2 x^{2} - x - 3 - \frac{10}{3} x (2 x - 3) + 3 x (3 x - 7)$	=
$2 x^{2} - x - 3 + (- \frac{20}{3} x^{2} + 10 x) + (9 x^{2} - 21 x)$	=
$\frac{13}{3} x^{2} - 12 x - 3$	=

$\frac{13}{3} x^{2} - 12 x - 3$	=	0	\|⋅ 3
$3 (\frac{13}{3} x^{2} - 12 x - 3)$	=	0

$13 x^{2} - 36 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot 13 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 13}$

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{1 296 + 468}}{26}$

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{1 764}}{26}$

x₁ = $\frac{36 + \sqrt{1 764}}{26}$ = $\frac{36+42}{26}$ = $\frac{78}{26}$ = $3$

x₂ = $\frac{36 - \sqrt{1 764}}{26}$ = $\frac{36-42}{26}$ = $\frac{- 6}{26}$ = $- \frac{3}{13}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $13$ " teilen:

$13 x^{2} - 36 x - 9$ = 0 |: $13$

$x^{2} - \frac{36}{13} x - \frac{9}{13}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{18}{13})}^{2} - (- \frac{9}{13})$ = $\frac{324}{169}$ $+$ $\frac{9}{13}$ = $\frac{324}{169}$ $+$ $\frac{117}{169}$ = $\frac{441}{169}$

x_1,2 = $\frac{18}{13}$ ± $\sqrt{\frac{441}{169}}$

x₁ = $\frac{18}{13}$ - $\frac{21}{13}$ = $- \frac{3}{13}$ = -0.23076923076923

x₂ = $\frac{18}{13}$ + $\frac{21}{13}$ = $\frac{39}{13}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{3}{13}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$11 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$11 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$11 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$11 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$11 x + x^{2}$	=	$- a$
$11 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 11 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 11 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 11 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -13 würde es funktionieren, denn $- (2 - 13)$ = 11

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 13)$ = $- 26$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -26 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 11 x - 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 26)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 11+15}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 11-15}{2}$ = $\frac{- 26}{2}$ = $- 13$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - (- 26)$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $26$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $\frac{104}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{26}{2}$ = -13

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 13$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):