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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{1}{x}$ = $2$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$2$	\|⋅( $x$ )
$\frac{1}{x} \cdot x$	=	$2 \cdot x$
$1$	=	$2 x$

$1$	=	$2 x$	\| $- 1$ $- 2 x$
$- 2 x$	=	$- 1$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{2}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 7} - \frac{4}{x + 7}$ = $\frac{116}{x^{2} - 49}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 7$ ; $7$ }

\frac{x}{x - 7} - \frac{4}{x + 7}

=

\frac{116}{(x + 7) (x - 7)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 7) (x - 7)$ weg!

$\frac{x}{x - 7} - \frac{4}{x + 7}$	=	$\frac{116}{(x + 7) (x - 7)}$	\|⋅( $(x + 7) (x - 7)$ )
$\frac{x}{x - 7} \cdot (x + 7) (x - 7) - \frac{4}{x + 7} \cdot (x + 7) (x - 7)$	=	$\frac{116}{(x + 7) (x - 7)} \cdot (x + 7) (x - 7)$
$x (x + 7) - 4 x + 28$	=	$116 \frac{x + 7}{x + 7}$
$x (x + 7) - 4 x + 28$	=	$116$
$x^{2} + 7 x - 4 x + 28$	=	$116$
$x^{2} + 3 x + 28$	=	$116$

x^{2} + 3 x + 28

=

116

|

- 116

$x^{2} + 3 x - 88$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 88)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 352}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{361}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{- 3+19}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{- 3-19}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 88)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $88$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{352}{4}$ = $\frac{361}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{361}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{19}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{19}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 11$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x + 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{8 x}{3 x + 2} - 4$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{8 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) - 4 \cdot (3 x + 2)$	=
$8 x - 12 x - 8$	=
$- 4 x - 8$	=

$- 4 x - 8$	=	0	\| $+ 8$
$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{14}{x^{2}} + \frac{40}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{14}{x^{2}} + \frac{40}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{14}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{40}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 14 x + 40$	=	$- x^{2}$

- 14 x + 40

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 14 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{14+6}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{14-6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 40$ = $49$ $-$ $40$ = $9$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $7$ - $3$ = 4

x₂ = $7$ + $3$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 - \frac{5}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$7 - \frac{5}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$7 \cdot x - \frac{5}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$7 x - 5$	=	$x \cdot x + x$

7 x - 5

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6+4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6-4}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 2}{2 x} + \frac{5 x - 1}{x + 1} + \frac{5 x + 2}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{5 x - 1}{x + 1} + \frac{5 x + 2}{2 x} - \frac{5 x + 2}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{5 x - 1}{x + 1} + \frac{5 x + 2}{2 x} - \frac{5 x + 2}{x}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{5 x - 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{5 x + 2}{2 x} \cdot (x + 1) - \frac{5 x + 2}{x} \cdot (x + 1)$	=
$5 x - 1 + \frac{(5 x + 2) (x + 1)}{2 x} - \frac{(5 x + 2) (x + 1)}{x}$	=
$5 x - 1 + \frac{5 x^{2} + 7 x + 2}{2 x} - \frac{5 x^{2} + 7 x + 2}{x}$	=
$- \frac{5 x^{2} + 7 x + 2}{x} + \frac{5 x^{2} + 7 x + 2}{2 x} + 5 x - 1$	=

\frac{5 x^{2} + 7 x + 2}{2 x} - \frac{5 x^{2} + 7 x + 2}{x} + 5 x - 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} + 7 x + 2}{2 x} - \frac{5 x^{2} + 7 x + 2}{x} + 5 x - 1$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x^{2} + 7 x + 2}{2 x} \cdot 2 x - \frac{5 x^{2} + 7 x + 2}{x} \cdot 2 x + 5 x \cdot 2 x - 1 \cdot 2 x$	=
$5 x^{2} + 7 x + 2 - 10 x^{2} - 14 x - 4 + 10 x \cdot x - 2 x$	=
$5 x^{2} + 7 x + 2 - 10 x^{2} - 14 x - 4 + 10 x^{2} - 2 x$	=
$5 x^{2} - 9 x - 2$	=

$5 x^{2} - 9 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{121}}{10}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{121}}{10}$ = $\frac{9+11}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = $2$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{121}}{10}$ = $\frac{9-11}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 9 x - 2$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{9}{5} x - \frac{2}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{10})}^{2} - (- \frac{2}{5})$ = $\frac{81}{100}$ $+$ $\frac{2}{5}$ = $\frac{81}{100}$ $+$ $\frac{40}{100}$ = $\frac{121}{100}$

x_1,2 = $\frac{9}{10}$ ± $\sqrt{\frac{121}{100}}$

x₁ = $\frac{9}{10}$ - $\frac{11}{10}$ = $- \frac{2}{10}$ = -0.2

x₂ = $\frac{9}{10}$ + $\frac{11}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,2$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$7 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$7 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$7 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$7 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$7 x + x^{2}$	=	$- a$
$7 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $- (2 - 9)$ = 7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 9)$ = $- 18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

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Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):