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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{x}{x - 3} + \frac{5}{x - 3}$ = $5$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{x}{x - 3} + \frac{5}{x - 3}$	=	$5$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{5}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$5 \cdot (x - 3)$
$x + 5$	=	$5 (x - 3)$

$x + 5$	=	$5 x - 15$	\| $- 5$
$x$	=	$5 x - 20$	\| $- 5 x$
$- 4 x$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{9 x}{x + 2} - \frac{69}{3 x + 6}$ = $- 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{9 x}{x + 2} - \frac{69}{3 (x + 2)}

=

- 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{9 x}{x + 2} - \frac{69}{3 (x + 2)}$	=	$- 4$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{9 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{- 69}{3 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=	$- 4 \cdot (x + 2)$
$- 9 x - 23$	=	$- 4 (x + 2)$

$- 9 x - 23$	=	$- 4 x - 8$	\| $+ 23$
$- 9 x$	=	$- 4 x + 15$	\| $+ 4 x$
$- 5 x$	=	$15$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 8} + 2 x$ = $- \frac{- 30}{2 x + 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{x}{4 (x + 2)} + 2 x

=

\frac{30}{2 (x + 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 2)} + 2 x$	=	$\frac{30}{2 (x + 2)}$	\|⋅( $4 (x + 2)$ )
$\frac{x}{4 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2)) + 2 x \cdot (4 (x + 2))$	=	$\frac{30}{2 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2))$
$x + 8 x \cdot (x + 2)$	=	$60$
$x + (8 x^{2} + 16 x)$	=	$60$
$8 x^{2} + 17 x$	=	$60$

8 x^{2} + 17 x

=

60

|

- 60

$8 x^{2} + 17 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 1 920}}{16}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{2 209}}{16}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{2 209}}{16}$ = $\frac{- 17+47}{16}$ = $\frac{30}{16}$ = $1,875$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{2 209}}{16}$ = $\frac{- 17-47}{16}$ = $\frac{- 64}{16}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} + 17 x - 60$ = 0 |: $8$

$x^{2} + \frac{17}{8} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{16})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{289}{256}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{289}{256}$ $+$ $\frac{1920}{256}$ = $\frac{2209}{256}$

x_1,2 = $- \frac{17}{16}$ ± $\sqrt{\frac{2209}{256}}$

x₁ = $- \frac{17}{16}$ - $\frac{47}{16}$ = $- \frac{64}{16}$ = -4

x₂ = $- \frac{17}{16}$ + $\frac{47}{16}$ = $\frac{30}{16}$ = 1.875

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1,875$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2}{x^{2}}$ = $- \frac{1}{x} + \frac{15}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{2}{x^{2}}$	=	$- \frac{1}{x} + \frac{15}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{2}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{15}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$2 x$	=	$- x^{2} + 15$

2 x

=

- x^{2} + 15

|

+ x^{2}

- 15

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{17 x - 15}{2 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{17 x - 15}{2 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{17 x - 15}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x$
$17 x - 15$	=	$2 x \cdot x + 4 x$

17 x - 15

=

2 x^{2} + 4 x

|

- 2 x^{2}

- 4 x

$- 2 x^{2} + 13 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 13+7}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 13-7}{- 4}$ = $\frac{- 20}{- 4}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 13 x - 15$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x + \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - (\frac{15}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{2 x}{x + 2} + \frac{12 x}{- 3 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{5}{2}$ }

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{12 x}{- 3 x - 6}$	=	0
$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{12 x}{- 3 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{12 x}{- 3 (x + 2)}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{3 x}{2 x + 5} \cdot (x + 2) + \frac{12 x}{- 3 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=
$2 x + \frac{3 x \cdot (x + 2)}{2 x + 5} - 4 x$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} + 6 x}{2 x + 5} - 4 x$	=
$\frac{3 x^{2} + 6 x}{2 x + 5} + 2 x - 4 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 6 x}{2 x + 5} + 2 x - 4 x$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{3 x^{2} + 6 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + 2 x \cdot (2 x + 5) - 4 x \cdot (2 x + 5)$	=
$3 x^{2} + 6 x + 2 x \cdot (2 x + 5) - 4 x \cdot (2 x + 5)$	=
$3 x^{2} + 6 x + (4 x^{2} + 10 x) + (- 8 x^{2} - 20 x)$	=
$- x^{2} - 4 x$	=

$- x^{2} - 4 x$	=	0
$- x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 8$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 8$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 8$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 8 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 8 x$
$x^{2} + a + 8 x$	=	0
$x^{2} + 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $- (2 - 10)$ = 8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 10)$ = $- 20$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -20 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):