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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{x}{x + 1}$ = $2$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{x}{x + 1}$	=	$2$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$2 \cdot (x + 1)$
$x$	=	$2 (x + 1)$

$x$	=	$2 x + 2$	\| $- 2 x$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{3 x}{2 x - 5} + \frac{50}{4 x - 10}$ = $- 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

- \frac{3 x}{2 x - 5} + \frac{50}{2 (2 x - 5)}

=

- 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$- \frac{3 x}{2 x - 5} + \frac{50}{2 (2 x - 5)}$	=	$- 4$	\|⋅( $2 x - 5$ )
$- \frac{3 x}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{50}{2 (2 x - 5)} \cdot (2 x - 5)$	=	$- 4 \cdot (2 x - 5)$
$- 3 x + 25$	=	$- 4 (2 x - 5)$

$- 3 x + 25$	=	$- 8 x + 20$	\| $- 25$
$- 3 x$	=	$- 8 x - 5$	\| $+ 8 x$
$5 x$	=	$- 5$	\|: $5$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{9 x}{x + 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

\frac{9 x}{x + 2} + \frac{2 x}{x + 1} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{9 x}{x + 2} + \frac{2 x}{x + 1} - 4$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{9 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{2 x}{x + 1} \cdot (x + 2) - 4 \cdot (x + 2)$	=
$9 x + \frac{2 x (x + 2)}{x + 1} - 4 x - 8$	=
$9 x + \frac{2 x^{2} + 4 x}{x + 1} - 4 x - 8$	=
$\frac{2 x^{2} + 4 x}{x + 1} + 9 x - 4 x - 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 4 x}{x + 1} + 9 x - 4 x - 8$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x^{2} + 4 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 9 x \cdot (x + 1) - 4 x \cdot (x + 1) - 8 \cdot (x + 1)$	=
$2 x^{2} + 4 x + 9 x (x + 1) - 4 x (x + 1) - 8 x - 8$	=
$2 x^{2} + 4 x + (9 x^{2} + 9 x) + (- 4 x^{2} - 4 x) - 8 x - 8$	=
$7 x^{2} + x - 8$	=

$7 x^{2} + x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{225}}{14}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{225}}{14}$ = $\frac{- 1+15}{14}$ = $\frac{14}{14}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{225}}{14}$ = $\frac{- 1-15}{14}$ = $\frac{- 16}{14}$ = $- \frac{8}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} + x - 8$ = 0 |: $7$

$x^{2} + \frac{1}{7} x - \frac{8}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{14})}^{2} - (- \frac{8}{7})$ = $\frac{1}{196}$ $+$ $\frac{8}{7}$ = $\frac{1}{196}$ $+$ $\frac{224}{196}$ = $\frac{225}{196}$

x_1,2 = $- \frac{1}{14}$ ± $\sqrt{\frac{225}{196}}$

x₁ = $- \frac{1}{14}$ - $\frac{15}{14}$ = $- \frac{16}{14}$ = -1.1428571428571

x₂ = $- \frac{1}{14}$ + $\frac{15}{14}$ = $\frac{14}{14}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{8}{7}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{13}{x^{3}} + \frac{36}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{13}{x^{3}} + \frac{36}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{13}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{36}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 13 x + 36$	=	$- x^{2}$

- 13 x + 36

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 13 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{8}{x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$1 + \frac{8}{x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $x$ )
$1 \cdot x + \frac{8}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 3 \cdot x$
$x + 8$	=	$x \cdot x + 3 x$

x + 8

=

x^{2} + 3 x

|

- x^{2}

- 3 x

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2+6}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2-6}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{2 x + 2} + \frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{16 x}{- 3 x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $- 1$ }

$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{12 x}{2 x + 2} + \frac{16 x}{- 3 x - 1}$	=	0
$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{12 x}{2 (x + 1)} + \frac{16 x}{- (3 x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{12 x}{2 (x + 1)} + \frac{16 x}{- (3 x + 1)}$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{4 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{12 x}{2 (x + 1)} \cdot (3 x + 1) + \frac{16 x}{- (3 x + 1)} \cdot (3 x + 1)$	=
$4 x + \frac{6 x (3 x + 1)}{x + 1} - 16 x$	=
$4 x + \frac{18 x^{2} + 6 x}{x + 1} - 16 x$	=
$\frac{18 x^{2} + 6 x}{x + 1} + 4 x - 16 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{18 x^{2} + 6 x}{x + 1} + 4 x - 16 x$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{18 x^{2} + 6 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 4 x \cdot (x + 1) - 16 x \cdot (x + 1)$	=
$18 x^{2} + 6 x + 4 x (x + 1) - 16 x (x + 1)$	=
$18 x^{2} + 6 x + (4 x^{2} + 4 x) + (- 16 x^{2} - 16 x)$	=
$6 x^{2} - 6 x$	=

$6 x^{2} - 6 x$	=	0
$6 x (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $3$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $3$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$3$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$3 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$3 x$
$a + x^{2} - 3 x$	=	0
$x^{2} - 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (2 + 1)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):