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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{1}{x}$ = $\frac{5}{4}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{5}{4}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x$	=	$\frac{5}{4} \cdot x$
$- 1$	=	$\frac{5}{4} x$

$- 1$	=	$\frac{5}{4} x$	\|⋅ 4
$- 4$	=	$5 x$	\| $+ 4$ $- 5 x$
$- 5 x$	=	$4$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- \frac{4}{5}$ = -0.8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{5}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{x}{x - 3} - \frac{129}{3 x - 9}$ = $5$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{x}{x - 3} - \frac{129}{3 (x - 3)}

=

5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{x}{x - 3} - \frac{129}{3 (x - 3)}$	=	$5$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{- 129}{3 (x - 3)} \cdot (x - 3)$	=	$5 \cdot (x - 3)$
$x - 43$	=	$5 (x - 3)$

$x - 43$	=	$5 x - 15$	\| $+ 43$
$x$	=	$5 x + 28$	\| $- 5 x$
$- 4 x$	=	$28$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x - 1} + \frac{x}{x - 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

\frac{x}{x - 2} + \frac{3 x}{x - 1} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{x}{x - 2} + \frac{3 x}{x - 1} - 6$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{3 x}{x - 1} \cdot (x - 2) - 6 \cdot (x - 2)$	=
$x + \frac{3 x (x - 2)}{x - 1} - 6 x + 12$	=
$x + \frac{3 x^{2} - 6 x}{x - 1} - 6 x + 12$	=
$\frac{3 x^{2} - 6 x}{x - 1} + x - 6 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 6 x}{x - 1} + x - 6 x + 12$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x^{2} - 6 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + x \cdot (x - 1) - 6 x \cdot (x - 1) + 12 \cdot (x - 1)$	=
$3 x^{2} - 6 x + x (x - 1) - 6 x (x - 1) + 12 x - 12$	=
$3 x^{2} - 6 x + (x^{2} - x) + (- 6 x^{2} + 6 x) + 12 x - 12$	=
$- 2 x^{2} + 11 x - 12$	=

$- 2 x^{2} + 11 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 11+5}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 11-5}{- 4}$ = $\frac{- 16}{- 4}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 11 x - 12$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{11}{2} x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{4})}^{2} - 6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{11}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{11}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 15}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{2 x - 15}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{2 x - 15}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$2 x - 15$	=	$- x^{2}$

2 x - 15

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 + \frac{2}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$2 + \frac{2}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$2 \cdot x + \frac{2}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$2 x + 2$	=	$x \cdot x + x$

2 x + 2

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} + x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 6} + \frac{x + 4}{x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; 0}

$\frac{2 x}{2 x - 6} + \frac{x + 4}{x} - 6$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x - 3)} + \frac{x + 4}{x} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x - 3)} + \frac{x + 4}{x} - 6$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{2 x}{2 (x - 3)} \cdot (x - 3) + \frac{x + 4}{x} \cdot (x - 3) - 6 \cdot (x - 3)$	=
$x + \frac{(x + 4) (x - 3)}{x} - 6 x + 18$	=
$x + \frac{x^{2} + x - 12}{x} - 6 x + 18$	=
$\frac{x^{2} + x - 12}{x} + x - 6 x + 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x^{2} + x - 12}{x} + x - 6 x + 18$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x^{2} + x - 12}{x} \cdot x + x \cdot x - 6 x \cdot x + 18 \cdot x$	=
$x^{2} + x - 12 + x \cdot x - 6 x \cdot x + 18 x$	=
$x^{2} + x - 12 + x^{2} - 6 x^{2} + 18 x$	=
$- 4 x^{2} + 19 x - 12$	=

$- 4 x^{2} + 19 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{169}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{- 19+13}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{- 19-13}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 19 x - 12$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{19}{4} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{8})}^{2} - 3$ = $\frac{361}{64}$ $-$ $3$ = $\frac{361}{64}$ $-$ $\frac{192}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $\frac{19}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $\frac{19}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{19}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{24}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{24}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{24}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{24}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 24 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 24 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 12)$ = -24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 12)$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):