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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6}{x}$ = $- \frac{1}{2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6}{x}$	=	$- \frac{1}{2}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{6}{x} \cdot x$	=	$- \frac{1}{2} \cdot x$
$6$	=	$- \frac{1}{2} x$

$6$	=	$- \frac{1}{2} x$	\|⋅ 2
$12$	=	$- x$	\| $- 12$ $+ x$
$x$	=	$- 12$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 12$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 6} + \frac{11}{x + 6}$ = $\frac{102}{x^{2} - 36}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 6$ ; $6$ }

\frac{x}{x - 6} + \frac{11}{x + 6}

=

\frac{102}{(x + 6) \cdot (x - 6)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 6) \cdot (x - 6)$ weg!

$\frac{x}{x - 6} + \frac{11}{x + 6}$	=	$\frac{102}{(x + 6) \cdot (x - 6)}$	\|⋅( $(x + 6) \cdot (x - 6)$ )
$\frac{x}{x - 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6) + \frac{11}{x + 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$	=	$\frac{102}{(x + 6) \cdot (x - 6)} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$
$x \cdot (x + 6) + 11 x - 66$	=	$102 \frac{x + 6}{x + 6}$
$x \cdot (x + 6) + 11 x - 66$	=	$102$
$x^{2} + 6 x + 11 x - 66$	=	$102$
$x^{2} + 17 x - 66$	=	$102$

x^{2} + 17 x - 66

=

102

|

- 102

$x^{2} + 17 x - 168$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 168)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 672}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{961}}{2}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{961}}{2}$ = $\frac{- 17+31}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{961}}{2}$ = $\frac{- 17-31}{2}$ = $\frac{- 48}{2}$ = $- 24$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - (- 168)$ = $\frac{289}{4}$ $+$ $168$ = $\frac{289}{4}$ $+$ $\frac{672}{4}$ = $\frac{961}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{961}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{31}{2}$ = $- \frac{48}{2}$ = -24

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{31}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 24$ ; $7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 10}$ = $- \frac{- 8,4}{x + 2} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{5 x + 10}$	=	$\frac{8,4}{x + 2} - 3 x$
$\frac{x}{5 (x + 2)}$	=	$\frac{8,4}{x + 2} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 2)}$	=	$\frac{8,4}{x + 2} - 3 x$	\|⋅( $5 (x + 2)$ )
$\frac{x}{5 (x + 2)} \cdot (5 (x + 2))$	=	$\frac{8,4}{x + 2} \cdot (5 (x + 2)) - 3 x \cdot (5 (x + 2))$
$x$	=	$42 - 15 x \cdot (x + 2)$
$x$	=	$- 15 x^{2} - 30 x + 42$

x

=

- 15 x^{2} - 30 x + 42

|

+ 15 x^{2}

+ 30 x

- 42

$15 x^{2} + 31 x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{31^{2} - 4 \cdot 15 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{961 + 2 520}}{30}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{3 481}}{30}$

x₁ = $\frac{- 31 + \sqrt{3 481}}{30}$ = $\frac{- 31+59}{30}$ = $\frac{28}{30}$ = $\frac{14}{15}$ ≈ 0.93

x₂ = $\frac{- 31 - \sqrt{3 481}}{30}$ = $\frac{- 31-59}{30}$ = $\frac{- 90}{30}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $15$ " teilen:

$15 x^{2} + 31 x - 42$ = 0 |: $15$

$x^{2} + \frac{31}{15} x - \frac{14}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{30})}^{2} - (- \frac{14}{5})$ = $\frac{961}{900}$ $+$ $\frac{14}{5}$ = $\frac{961}{900}$ $+$ $\frac{2520}{900}$ = $\frac{3481}{900}$

x_1,2 = $- \frac{31}{30}$ ± $\sqrt{\frac{3481}{900}}$

x₁ = $- \frac{31}{30}$ - $\frac{59}{30}$ = $- \frac{90}{30}$ = -3

x₂ = $- \frac{31}{30}$ + $\frac{59}{30}$ = $\frac{28}{30}$ = 0.93333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{14}{15}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{48}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{48}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{2}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{48}{x^{4}} \cdot x^{4}$
=	$- x^{2} - 2 x + 48$

0

=

- x^{2} - 2 x + 48

|

+ x^{2}

+ 2 x

- 48

$x^{2} + 2 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 2+14}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 2-14}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 48)$ = $1$ $+$ $48$ = $49$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 1$ - $7$ = -8

x₂ = $- 1$ + $7$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 + \frac{21}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 3 + \frac{21}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$- 3 \cdot x + \frac{21}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$- 3 x + 21$	=	$x \cdot x + x$

- 3 x + 21

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} - 4 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 21}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{4+10}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{4-10}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x + 21$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x - 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 2$ - $5$ = -7

x₂ = $- 2$ + $5$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{20 x}{- 6 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $1$ }

$\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{2 x}{x - 1} + \frac{20 x}{- 6 x - 2}$	=	0
$\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{2 x}{x - 1} + \frac{20 x}{- 2 (3 x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{2 x}{x - 1} + \frac{20 x}{- 2 (3 x + 1)}$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{8 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{2 x}{x - 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{20 x}{- 2 (3 x + 1)} \cdot (3 x + 1)$	=
$8 x + \frac{2 x \cdot (3 x + 1)}{x - 1} - 10 x$	=
$8 x + \frac{6 x^{2} + 2 x}{x - 1} - 10 x$	=
$\frac{6 x^{2} + 2 x}{x - 1} + 8 x - 10 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 2 x}{x - 1} + 8 x - 10 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 2 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 8 x \cdot (x - 1) - 10 x \cdot (x - 1)$	=
$6 x^{2} + 2 x + 8 x \cdot (x - 1) - 10 x \cdot (x - 1)$	=
$6 x^{2} + 2 x + (8 x^{2} - 8 x) + (- 10 x^{2} + 10 x)$	=
$4 x^{2} + 4 x$	=

$4 x^{2} + 4 x$	=	0
$4 x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$3 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$3 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$3 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$3 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$3 x + a$	=	$- x^{2}$
$3 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (2 - 5)$ = 3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 5)$ = $- 10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):