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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4 x}{2 x - 5} + \frac{13}{2 x - 5}$ = $- 1$

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$- \frac{4 x}{2 x - 5} + \frac{13}{2 x - 5}$	=	$- 1$	\|⋅( $2 x - 5$ )
$- \frac{4 x}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{13}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5)$	=	$- 1 \cdot (2 x - 5)$
$- 4 x + 13$	=	$- (2 x - 5)$

$- 4 x + 13$	=	$- 2 x + 5$	\| $- 13$
$- 4 x$	=	$- 2 x - 8$	\| $+ 2 x$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{5 x}{x + 4} + \frac{270}{3 x + 12}$ = $5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

- \frac{5 x}{x + 4} + \frac{270}{3 (x + 4)}

=

5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$- \frac{5 x}{x + 4} + \frac{270}{3 (x + 4)}$	=	$5$	\|⋅( $x + 4$ )
$- \frac{5 x}{x + 4} \cdot (x + 4) + \frac{270}{3 (x + 4)} \cdot (x + 4)$	=	$5 \cdot (x + 4)$
$- 5 x + 90$	=	$5 (x + 4)$

$- 5 x + 90$	=	$5 x + 20$	\| $- 90$
$- 5 x$	=	$5 x - 70$	\| $- 5 x$
$- 10 x$	=	$- 70$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{6 x}{3 x - 3} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 1$ }

$\frac{6 x}{3 x - 3} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 5$	=	0
$\frac{6 x}{3 (x - 1)} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 (x - 1)} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 5$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x}{3 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot (x - 1) - 5 \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{(2 x - 1) \cdot (x - 1)}{x + 1} - 5 x + 5$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x + 1} - 5 x + 5$	=
$\frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x + 1} + 2 x - 5 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x + 1} + 2 x - 5 x + 5$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) - 5 x \cdot (x + 1) + 5 \cdot (x + 1)$	=
$2 x^{2} - 3 x + 1 + 2 x \cdot (x + 1) - 5 x \cdot (x + 1) + 5 x + 5$	=
$2 x^{2} - 3 x + 1 + (2 x^{2} + 2 x) + (- 5 x^{2} - 5 x) + 5 x + 5$	=
$- x^{2} - x + 6$	=

$- x^{2} - x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1+5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1-5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{5}{x}$ = $- 1 + \frac{6}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{5}{x}$	=	$- 1 + \frac{6}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{5}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$- 5 x$	=	$- x^{2} + 6$

- 5 x

=

- x^{2} + 6

|

+ x^{2}

- 6

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 25 x - 2}{4 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 25 x - 2}{4 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 25 x - 2}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 4 \cdot 4 x$
$- 25 x - 2$	=	$4 x \cdot x - 16 x$

- 25 x - 2

=

4 x^{2} - 16 x

|

- 4 x^{2}

+ 16 x

$- 4 x^{2} - 9 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{- 8}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{9+7}{- 8}$ = $\frac{16}{- 8}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{9-7}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 9 x - 2$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{9}{4} x + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{8})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{81}{64}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{81}{64}$ $-$ $\frac{32}{64}$ = $\frac{49}{64}$

x_1,2 = $- \frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{49}{64}}$

x₁ = $- \frac{9}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{9}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 4}{x} + \frac{x - 1}{3 x - 9} + \frac{- 10 x + 4}{3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; 0}

$\frac{x - 1}{3 x - 9} + \frac{x + 4}{x} + \frac{- 10 x + 4}{3 x}$	=	0
$\frac{x - 1}{3 (x - 3)} + \frac{x + 4}{x} + \frac{- 10 x + 4}{3 x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{x - 1}{3 (x - 3)} + \frac{x + 4}{x} + \frac{- 10 x + 4}{3 x}$	=	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{x - 1}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + \frac{x + 4}{x} \cdot (3 (x - 3)) + \frac{- 10 x + 4}{3 x} \cdot (3 (x - 3))$	=
$x - 1 + 3 \frac{(x + 4) \cdot (x - 3)}{x} + 3 \frac{(- 10 x + 4) \cdot (x - 3)}{3 x}$	=
$x - 1 + \frac{3 (x^{2} + x - 12)}{x} + \frac{- 10 x^{2} + 34 x - 12}{x}$	=
$\frac{3 x^{2} + 3 x - 36 - 10 x^{2} + 34 x - 12}{x} + x - 1$	=

\frac{3 x^{2} - 10 x^{2} + 3 x + 34 x - 36 - 12}{x} + x - 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 10 x^{2} + 3 x + 34 x - 36 - 12}{x} + x - 1$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x^{2} - 10 x^{2} + 3 x + 34 x - 36 - 12}{x} \cdot x + x \cdot x - 1 \cdot x$	=
$3 x^{2} - 10 x^{2} + 3 x + 34 x - 36 - 12 + x \cdot x - x$	=
$3 x^{2} - 10 x^{2} + 3 x + 34 x - 36 - 12 + x^{2} - x$	=
$- 6 x^{2} + 36 x - 48$	=

- 6 x^{2} + 36 x - 48

= 0 |:6

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6+2}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6-2}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$3 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$3 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$3 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$3 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$3 x + a$	=	$- x^{2}$
$3 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (2 - 5)$ = 3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 5)$ = $- 10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):