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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4 x}{3 x + 3} + \frac{1}{3 x + 3}$ = $1$

D=R\{ $- 1$ }

\frac{4 x}{3 (x + 1)} + \frac{1}{3 (x + 1)}

=

1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$\frac{4 x}{3 (x + 1)} + \frac{1}{3 (x + 1)}$	=	$1$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{4 x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + \frac{1}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$	=	$1 \cdot (3 (x + 1))$
$4 x + 1$	=	$3 (x + 1)$

$4 x + 1$	=	$3 x + 3$	\| $- 1$
$4 x$	=	$3 x + 2$	\| $- 3 x$
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 3} + \frac{10}{x + 3}$ = $\frac{38}{x^{2} - 9}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $3$ }

\frac{x}{x - 3} + \frac{10}{x + 3}

=

\frac{38}{(x + 3) \cdot (x - 3)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 3) \cdot (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{x - 3} + \frac{10}{x + 3}$	=	$\frac{38}{(x + 3) \cdot (x - 3)}$	\|⋅( $(x + 3) \cdot (x - 3)$ )
$\frac{x}{x - 3} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3) + \frac{10}{x + 3} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$	=	$\frac{38}{(x + 3) \cdot (x - 3)} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$
$x \cdot (x + 3) + 10 x - 30$	=	$38 \frac{x + 3}{x + 3}$
$x \cdot (x + 3) + 10 x - 30$	=	$38$
$x^{2} + 3 x + 10 x - 30$	=	$38$
$x^{2} + 13 x - 30$	=	$38$

x^{2} + 13 x - 30

=

38

|

- 38

$x^{2} + 13 x - 68$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 68)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 272}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{441}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{441}}{2}$ = $\frac{- 13+21}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{441}}{2}$ = $\frac{- 13-21}{2}$ = $\frac{- 34}{2}$ = $- 17$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - (- 68)$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $68$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $\frac{272}{4}$ = $\frac{441}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{441}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{21}{2}$ = $- \frac{34}{2}$ = -17

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{21}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 17$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x + 1}{3 x} + \frac{16 x}{x + 3} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

\frac{16 x}{x + 3} + \frac{8 x + 1}{3 x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{16 x}{x + 3} + \frac{8 x + 1}{3 x} - 7$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{16 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{8 x + 1}{3 x} \cdot (x + 3) - 7 \cdot (x + 3)$	=
$16 x + \frac{(8 x + 1) \cdot (x + 3)}{3 x} - 7 x - 21$	=
$16 x + \frac{8 x^{2} + 25 x + 3}{3 x} - 7 x - 21$	=
$\frac{8 x^{2} + 25 x + 3}{3 x} + 16 x - 7 x - 21$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 25 x + 3}{3 x} + 16 x - 7 x - 21$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{8 x^{2} + 25 x + 3}{3 x} \cdot 3 x + 16 x \cdot 3 x - 7 x \cdot 3 x - 21 \cdot 3 x$	=
$8 x^{2} + 25 x + 3 + 48 x \cdot x - 21 x \cdot x - 63 x$	=
$8 x^{2} + 25 x + 3 + 48 x^{2} - 21 x^{2} - 63 x$	=
$35 x^{2} - 38 x + 3$	=

$35 x^{2} - 38 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 38 \pm \sqrt{{(- 38)}^{2} - 4 \cdot 35 \cdot 3}}{2 \cdot 35}$

x_1,2 = $\frac{+ 38 \pm \sqrt{1 444 - 420}}{70}$

x_1,2 = $\frac{+ 38 \pm \sqrt{1 024}}{70}$

x₁ = $\frac{38 + \sqrt{1 024}}{70}$ = $\frac{38+32}{70}$ = $\frac{70}{70}$ = $1$

x₂ = $\frac{38 - \sqrt{1 024}}{70}$ = $\frac{38-32}{70}$ = $\frac{6}{70}$ = $\frac{3}{35}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $35$ " teilen:

$35 x^{2} - 38 x + 3$ = 0 |: $35$

$x^{2} - \frac{38}{35} x + \frac{3}{35}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{35})}^{2} - (\frac{3}{35})$ = $\frac{361}{1225}$ $-$ $\frac{3}{35}$ = $\frac{361}{1225}$ $-$ $\frac{105}{1225}$ = $\frac{256}{1225}$

x_1,2 = $\frac{19}{35}$ ± $\sqrt{\frac{256}{1225}}$

x₁ = $\frac{19}{35}$ - $\frac{16}{35}$ = $\frac{3}{35}$ = 0.085714285714286

x₂ = $\frac{19}{35}$ + $\frac{16}{35}$ = $\frac{35}{35}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{3}{35}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{- 3 x - 10}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{- 3 x - 10}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{- 3 x - 10}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$- 3 x - 10$

- x^{2}

=

- 3 x - 10

|

+ 3 x

+ 10

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3+7}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3-7}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{15}{2} + \frac{5}{2 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{15}{2} + \frac{5}{2 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $x$ )
$\frac{15}{2} \cdot x + \frac{5}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 3 \cdot x$
$\frac{15}{2} x + \frac{5}{2}$	=	$x \cdot x + 3 x$

$\frac{15}{2} x + \frac{5}{2}$	=	$x^{2} + 3 x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{15}{2} x + \frac{5}{2})$	=	$2 (x^{2} + 3 x)$
$15 x + 5$	=	$2 x^{2} + 6 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 6 x$

$- 2 x^{2} + 9 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 5}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 9+11}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 9-11}{- 4}$ = $\frac{- 20}{- 4}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 9 x + 5$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 2}{2 x} + \frac{8 x}{3 x - 2} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ ; 0}

\frac{8 x}{3 x - 2} + \frac{5 x + 2}{2 x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{8 x}{3 x - 2} + \frac{5 x + 2}{2 x} - 7$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{8 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + \frac{5 x + 2}{2 x} \cdot (3 x - 2) - 7 \cdot (3 x - 2)$	=
$8 x + \frac{(5 x + 2) \cdot (3 x - 2)}{2 x} - 21 x + 14$	=
$8 x + \frac{15 x^{2} - 4 x - 4}{2 x} - 21 x + 14$	=
$\frac{15 x^{2} - 4 x - 4}{2 x} + 8 x - 21 x + 14$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{15 x^{2} - 4 x - 4}{2 x} + 8 x - 21 x + 14$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{15 x^{2} - 4 x - 4}{2 x} \cdot 2 x + 8 x \cdot 2 x - 21 x \cdot 2 x + 14 \cdot 2 x$	=
$15 x^{2} - 4 x - 4 + 16 x \cdot x - 42 x \cdot x + 28 x$	=
$15 x^{2} - 4 x - 4 + 16 x^{2} - 42 x^{2} + 28 x$	=
$- 11 x^{2} + 24 x - 4$	=

$- 11 x^{2} + 24 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 176}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{400}}{- 22}$

x₁ = $\frac{- 24 + \sqrt{400}}{- 22}$ = $\frac{- 24+20}{- 22}$ = $\frac{- 4}{- 22}$ = $\frac{2}{11}$ ≈ 0.18

x₂ = $\frac{- 24 - \sqrt{400}}{- 22}$ = $\frac{- 24-20}{- 22}$ = $\frac{- 44}{- 22}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 11$ " teilen:

$- 11 x^{2} + 24 x - 4$ = 0 |: $- 11$

$x^{2} - \frac{24}{11} x + \frac{4}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{12}{11})}^{2} - (\frac{4}{11})$ = $\frac{144}{121}$ $-$ $\frac{4}{11}$ = $\frac{144}{121}$ $-$ $\frac{44}{121}$ = $\frac{100}{121}$

x_1,2 = $\frac{12}{11}$ ± $\sqrt{\frac{100}{121}}$

x₁ = $\frac{12}{11}$ - $\frac{10}{11}$ = $\frac{2}{11}$ = 0.18181818181818

x₂ = $\frac{12}{11}$ + $\frac{10}{11}$ = $\frac{22}{11}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{11}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{20}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{20}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{20}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{20}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 20$	=	$- a x$
$x^{2} + 20 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

L={ $2$ ; $10$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):