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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6}{x}$ = $\frac{3}{8}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6}{x}$	=	$\frac{3}{8}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{6}{x} \cdot x$	=	$\frac{3}{8} \cdot x$
$6$	=	$\frac{3}{8} x$

$6$	=	$\frac{3}{8} x$	\|⋅ 8
$48$	=	$3 x$	\| $- 48$ $- 3 x$
$- 3 x$	=	$- 48$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$16$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $16$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 1} - \frac{9}{x - 1}$ = $\frac{15}{x^{2} - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

\frac{x}{x + 1} - \frac{9}{x - 1}

=

\frac{15}{(x + 1) (x - 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 1) (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{x + 1} - \frac{9}{x - 1}$	=	$\frac{15}{(x + 1) (x - 1)}$	\|⋅( $(x + 1) (x - 1)$ )
$\frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1) (x - 1) - \frac{9}{x - 1} \cdot (x + 1) (x - 1)$	=	$\frac{15}{(x + 1) (x - 1)} \cdot (x + 1) (x - 1)$
$x (x - 1) - 9 x - 9$	=	$15 \frac{x + 1}{x + 1}$
$x (x - 1) - 9 x - 9$	=	$15$
$x^{2} - x - 9 x - 9$	=	$15$
$x^{2} - 10 x - 9$	=	$15$

x^{2} - 10 x - 9

=

15

|

- 15

$x^{2} - 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{10+14}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{10-14}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $5$ - $7$ = -2

x₂ = $5$ + $7$ = 12

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $12$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{- 4}{x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{10}{3}$ ; 0}

\frac{x + 2}{3 x + 10} - 2 - \frac{4}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{x + 2}{3 x + 10} - 2 - \frac{4}{x}$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{x + 2}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) - 2 \cdot (3 x + 10) - \frac{4}{x} \cdot (3 x + 10)$	=
$x + 2 - 6 x - 20 - 4 \frac{3 x + 10}{x}$	=
$x + 2 - 6 x - 20 - \frac{4 (3 x + 10)}{x}$	=
$- \frac{4 (3 x + 10)}{x} + x - 6 x + 2 - 20$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{4 (3 x + 10)}{x} + x - 6 x + 2 - 20$	=	\|⋅( $x$ )
$- \frac{4 (3 x + 10)}{x} \cdot x + x \cdot x - 6 x \cdot x + 2 \cdot x - 20 \cdot x$	=
$- 12 x - 40 + x \cdot x - 6 x \cdot x + 2 x - 20 x$	=
$- 12 x - 40 + x^{2} - 6 x^{2} + 2 x - 20 x$	=
$- 5 x^{2} - 30 x - 40$	=

- 5 x^{2} - 30 x - 40

= 0 |:5

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6+2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6-2}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 11 x + 30}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{- 11 x + 30}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{- 11 x + 30}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 11 x + 30$	=	$- x^{2}$

- 11 x + 30

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 11 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x + 2}{x + 2}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{4 x + 2}{x + 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{4 x + 2}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$2 x \cdot (x + 2)$
$4 x + 2$	=	$2 x (x + 2)$
$4 x + 2$	=	$2 x^{2} + 4 x$

$4 x + 2$	=	$2 x^{2} + 4 x$	\| $- 2$ $- 2 x^{2}$ $- 4 x$
$- 2 x^{2}$	=	$- 2$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{x - 1} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x + 1}{x - 1} - 1$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x + 1}{x - 1} \cdot (x - 1) - 1 \cdot (x - 1)$	=
$2 x + 1 - x + 1$	=
$x + 2$	=

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{24}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{24}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{24}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{24}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 24$	=	$- a x$
$x^{2} - 24 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 12)$ = -24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 12)$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

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Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):