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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{3}{x + 7}$ = $3$

D=R\{ $- 7$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 7$ weg!

$- \frac{3}{x + 7}$	=	$3$	\|⋅( $x + 7$ )
$- \frac{3}{x + 7} \cdot (x + 7)$	=	$3 \cdot (x + 7)$
$- 3$	=	$3 (x + 7)$

$- 3$	=	$3 x + 21$	\| $+ 3$ $- 3 x$
$- 3 x$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2 x}{x + 4} - \frac{42}{3 x + 12}$ = $- 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

- \frac{2 x}{x + 4} - \frac{42}{3 (x + 4)}

=

- 5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$- \frac{2 x}{x + 4} - \frac{42}{3 (x + 4)}$	=	$- 5$	\|⋅( $x + 4$ )
$- \frac{2 x}{x + 4} \cdot (x + 4) + \frac{- 42}{3 (x + 4)} \cdot (x + 4)$	=	$- 5 \cdot (x + 4)$
$- 2 x - 14$	=	$- 5 (x + 4)$

$- 2 x - 14$	=	$- 5 x - 20$	\| $+ 14$
$- 2 x$	=	$- 5 x - 6$	\| $+ 5 x$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{4 x + 12} - \frac{142,5}{2 x + 6} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

0	=	$- \frac{x}{4 x + 12} - \frac{142,5}{2 x + 6} + 4 x$
0	=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} - \frac{142,5}{2 (x + 3)} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 3)$ weg!

=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} - \frac{142,5}{2 (x + 3)} + 4 x$	\|⋅( $4 (x + 3)$ )
=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3)) + \frac{- 142,5}{2 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3)) + 4 x \cdot (4 (x + 3))$
=	$- x - 285 + 16 x \cdot (x + 3)$
=	$16 x^{2} + 47 x - 285$

0

=

16 x^{2} + 47 x - 285

|

- 16 x^{2}

- 47 x

+ 285

$- 16 x^{2} - 47 x + 285$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot 285}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 + 18 240}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{20 449}}{- 32}$

x₁ = $\frac{47 + \sqrt{20 449}}{- 32}$ = $\frac{47+143}{- 32}$ = $\frac{190}{- 32}$ = $- \frac{95}{16}$ ≈ -5.94

x₂ = $\frac{47 - \sqrt{20 449}}{- 32}$ = $\frac{47-143}{- 32}$ = $\frac{- 96}{- 32}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 16$ " teilen:

$- 16 x^{2} - 47 x + 285$ = 0 |: $- 16$

$x^{2} + \frac{47}{16} x - \frac{285}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{47}{32})}^{2} - (- \frac{285}{16})$ = $\frac{2209}{1024}$ $+$ $\frac{285}{16}$ = $\frac{2209}{1024}$ $+$ $\frac{18240}{1024}$ = $\frac{20449}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{47}{32}$ ± $\sqrt{\frac{20449}{1024}}$

x₁ = $- \frac{47}{32}$ - $\frac{143}{32}$ = $- \frac{190}{32}$ = -5.9375

x₂ = $- \frac{47}{32}$ + $\frac{143}{32}$ = $\frac{96}{32}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{95}{16}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 6}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{x - 6}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{x - 6}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$x - 6$	=	$- x^{2}$

x - 6

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 5}{2 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{x + 5}{2 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{x + 5}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 4 \cdot 2 x$
$x + 5$	=	$2 x \cdot x - 8 x$

x + 5

=

2 x^{2} - 8 x

|

- 2 x^{2}

+ 8 x

$- 2 x^{2} + 9 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 5}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 9+11}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 9-11}{- 4}$ = $\frac{- 20}{- 4}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 9 x + 5$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{11 x - 1}{- 3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $1$ }

- \frac{11 x - 1}{3 x} + \frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{4 x}{x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $6 x$ weg!

$- \frac{11 x - 1}{3 x} + \frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{4 x}{x - 1}$	=	\|⋅( $6 x$ )
$- \frac{11 x - 1}{3 x} \cdot 6 x + \frac{3 x - 1}{2 x} \cdot 6 x + \frac{4 x}{x - 1} \cdot 6 x$	=
$- 22 x + 2 + 9 x - 3 + 6 \frac{4 x \cdot x}{x - 1}$	=
$- 22 x + 2 + 9 x - 3 + \frac{24 x^{2}}{x - 1}$	=
$\frac{24 x^{2}}{x - 1} - 22 x + 9 x + 2 - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{24 x^{2}}{x - 1} - 22 x + 9 x + 2 - 3$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{24 x^{2}}{x - 1} \cdot (x - 1) - 22 x \cdot (x - 1) + 9 x \cdot (x - 1) + 2 \cdot (x - 1) - 3 \cdot (x - 1)$	=
$24 x^{2} - 22 x \cdot (x - 1) + 9 x \cdot (x - 1) + 2 x - 2 - 3 x + 3$	=
$24 x^{2} + (- 22 x^{2} + 22 x) + (9 x^{2} - 9 x) + 2 x - 2 - 3 x + 3$	=
$11 x^{2} + 12 x + 1$	=

$11 x^{2} + 12 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 11 \cdot 1}}{2 \cdot 11}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 44}}{22}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{100}}{22}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{100}}{22}$ = $\frac{- 12+10}{22}$ = $\frac{- 2}{22}$ = $- \frac{1}{11}$ ≈ -0.09

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{100}}{22}$ = $\frac{- 12-10}{22}$ = $\frac{- 22}{22}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $11$ " teilen:

$11 x^{2} + 12 x + 1$ = 0 |: $11$

$x^{2} + \frac{12}{11} x + \frac{1}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{6}{11})}^{2} - (\frac{1}{11})$ = $\frac{36}{121}$ $-$ $\frac{1}{11}$ = $\frac{36}{121}$ $-$ $\frac{11}{121}$ = $\frac{25}{121}$

x_1,2 = $- \frac{6}{11}$ ± $\sqrt{\frac{25}{121}}$

x₁ = $- \frac{6}{11}$ - $\frac{5}{11}$ = $- \frac{11}{11}$ = -1

x₂ = $- \frac{6}{11}$ + $\frac{5}{11}$ = $- \frac{1}{11}$ = -0.090909090909091

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{11}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$7 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$7 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$7 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$7 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$7 x + x^{2}$	=	$- a$
$7 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $- (2 - 9)$ = 7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 9)$ = $- 18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):