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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7}{x}$ = $- \frac{4}{5}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{7}{x}$	=	$- \frac{4}{5}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{7}{x} \cdot x$	=	$- \frac{4}{5} \cdot x$
$- 7$	=	$- \frac{4}{5} x$

$- 7$	=	$- \frac{4}{5} x$	\|⋅ 5
$- 35$	=	$- 4 x$	\| $+ 35$ $+ 4 x$
$4 x$	=	$35$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{35}{4}$ = 8.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{35}{4}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 8}{x + 5} + 2 x$ = $5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

- \frac{8}{x + 5} + 2 x

=

5

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{8}{x + 5} + 2 x$	=	$5$	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{8}{x + 5} \cdot (x + 5) + 2 x \cdot (x + 5)$	=	$5 \cdot (x + 5)$
$- 8 + 2 x \cdot (x + 5)$	=	$5 (x + 5)$
$- 8 + (2 x^{2} + 10 x)$	=	$5 (x + 5)$
$2 x^{2} + 10 x - 8$	=	$5 x + 25$

2 x^{2} + 10 x - 8

=

5 x + 25

|

- 5 x

- 25

$2 x^{2} + 5 x - 33$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 33)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 264}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 5+17}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 5-17}{4}$ = $\frac{- 22}{4}$ = $- 5,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x - 33$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{33}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (- \frac{33}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{33}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{264}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{22}{4}$ = -5.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5,5$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 8} + \frac{46}{2 x + 4} - x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{4 x + 8} + \frac{46}{2 x + 4} - x$	=	0
$\frac{x}{4 (x + 2)} + \frac{46}{2 (x + 2)} - x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 2)} + \frac{46}{2 (x + 2)} - x$	=	\|⋅( $4 (x + 2)$ )
$\frac{x}{4 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2)) + \frac{46}{2 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2)) - x \cdot (4 (x + 2))$	=
$x + 92 - 4 x \cdot (x + 2)$	=
$x + 92 + (- 4 x^{2} - 8 x)$	=
$- 4 x^{2} - 7 x + 92$	=

$- 4 x^{2} - 7 x + 92$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 92}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 1 472}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1 521}}{- 8}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1 521}}{- 8}$ = $\frac{7+39}{- 8}$ = $\frac{46}{- 8}$ = $- 5,75$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1 521}}{- 8}$ = $\frac{7-39}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 7 x + 92$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{7}{4} x - 23$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{8})}^{2} - (- 23)$ = $\frac{49}{64}$ $+$ $23$ = $\frac{49}{64}$ $+$ $\frac{1472}{64}$ = $\frac{1521}{64}$

x_1,2 = $- \frac{7}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{64}}$

x₁ = $- \frac{7}{8}$ - $\frac{39}{8}$ = $- \frac{46}{8}$ = -5.75

x₂ = $- \frac{7}{8}$ + $\frac{39}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5,75$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11}{x}$ = $- 1 - \frac{18}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{11}{x}$	=	$- 1 - \frac{18}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{11}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{18}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$11 x$	=	$- x^{2} - 18$

11 x

=

- x^{2} - 18

|

+ x^{2}

+ 18

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 + \frac{4}{x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$5 + \frac{4}{x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$5 \cdot x + \frac{4}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$5 x + 4$	=	$x \cdot x + 5 x$

$5 x + 4$	=	$x^{2} + 5 x$	\| $- 4$ $- x^{2}$ $- 5 x$
$- x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{2 x - 5} + \frac{4 x}{3 x - 8} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; $\frac{5}{2}$ }

\frac{4 x}{3 x - 8} + \frac{x - 1}{2 x - 5} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 8} + \frac{x - 1}{2 x - 5} - 5$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{4 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{x - 1}{2 x - 5} \cdot (3 x - 8) - 5 \cdot (3 x - 8)$	=
$4 x + \frac{(x - 1) \cdot (3 x - 8)}{2 x - 5} - 15 x + 40$	=
$4 x + \frac{3 x^{2} - 11 x + 8}{2 x - 5} - 15 x + 40$	=
$\frac{3 x^{2} - 11 x + 8}{2 x - 5} + 4 x - 15 x + 40$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 11 x + 8}{2 x - 5} + 4 x - 15 x + 40$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{3 x^{2} - 11 x + 8}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + 4 x \cdot (2 x - 5) - 15 x \cdot (2 x - 5) + 40 \cdot (2 x - 5)$	=
$3 x^{2} - 11 x + 8 + 4 x \cdot (2 x - 5) - 15 x \cdot (2 x - 5) + 80 x - 200$	=
$3 x^{2} - 11 x + 8 + (8 x^{2} - 20 x) + (- 30 x^{2} + 75 x) + 80 x - 200$	=
$- 19 x^{2} + 124 x - 192$	=

$- 19 x^{2} + 124 x - 192$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 124 \pm \sqrt{124^{2} - 4 \cdot (- 19) \cdot (- 192)}}{2 \cdot (- 19)}$

x_1,2 = $\frac{- 124 \pm \sqrt{15 376 - 14 592}}{- 38}$

x_1,2 = $\frac{- 124 \pm \sqrt{784}}{- 38}$

x₁ = $\frac{- 124 + \sqrt{784}}{- 38}$ = $\frac{- 124+28}{- 38}$ = $\frac{- 96}{- 38}$ = $\frac{48}{19}$ ≈ 2.53

x₂ = $\frac{- 124 - \sqrt{784}}{- 38}$ = $\frac{- 124-28}{- 38}$ = $\frac{- 152}{- 38}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 19$ " teilen:

$- 19 x^{2} + 124 x - 192$ = 0 |: $- 19$

$x^{2} - \frac{124}{19} x + \frac{192}{19}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{62}{19})}^{2} - (\frac{192}{19})$ = $\frac{3844}{361}$ $-$ $\frac{192}{19}$ = $\frac{3844}{361}$ $-$ $\frac{3648}{361}$ = $\frac{196}{361}$

x_1,2 = $\frac{62}{19}$ ± $\sqrt{\frac{196}{361}}$

x₁ = $\frac{62}{19}$ - $\frac{14}{19}$ = $\frac{48}{19}$ = 2.5263157894737

x₂ = $\frac{62}{19}$ + $\frac{14}{19}$ = $\frac{76}{19}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{48}{19}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 1$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 1$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 1$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 1 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - x$	=	$- a$
$x^{2} - x + a$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):