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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{18}{x - 5}$ = $3$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$- \frac{18}{x - 5}$	=	$3$	\|⋅( $x - 5$ )
$- \frac{18}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$3 \cdot (x - 5)$
$- 18$	=	$3 (x - 5)$

$- 18$	=	$3 x - 15$	\| $+ 18$ $- 3 x$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 4} - \frac{11}{x - 4}$ = $\frac{10}{x^{2} - 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ ; $4$ }

\frac{x}{x + 4} - \frac{11}{x - 4}

=

\frac{10}{(x + 4) (x - 4)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 4) (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{x + 4} - \frac{11}{x - 4}$	=	$\frac{10}{(x + 4) (x - 4)}$	\|⋅( $(x + 4) (x - 4)$ )
$\frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4) (x - 4) - \frac{11}{x - 4} \cdot (x + 4) (x - 4)$	=	$\frac{10}{(x + 4) (x - 4)} \cdot (x + 4) (x - 4)$
$x (x - 4) - 11 x - 44$	=	$10 \frac{x + 4}{x + 4}$
$x (x - 4) - 11 x - 44$	=	$10$
$x^{2} - 4 x - 11 x - 44$	=	$10$
$x^{2} - 15 x - 44$	=	$10$

x^{2} - 15 x - 44

=

10

|

- 10

$x^{2} - 15 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{441}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{441}}{2}$ = $\frac{15+21}{2}$ = $\frac{36}{2}$ = $18$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{441}}{2}$ = $\frac{15-21}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - (- 54)$ = $\frac{225}{4}$ $+$ $54$ = $\frac{225}{4}$ $+$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{441}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{441}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{21}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{21}{2}$ = $\frac{36}{2}$ = 18

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $18$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{x - 1} + \frac{2 x}{3 x + 6} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $1$ }

$\frac{2 x}{3 x + 6} + \frac{5 x - 1}{x - 1} - 6$	=	0
$\frac{2 x}{3 (x + 2)} + \frac{5 x - 1}{x - 1} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{2 x}{3 (x + 2)} + \frac{5 x - 1}{x - 1} - 6$	=	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{2 x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + \frac{5 x - 1}{x - 1} \cdot (3 (x + 2)) - 6 \cdot (3 (x + 2))$	=
$2 x + 3 \frac{(5 x - 1) (x + 2)}{x - 1} - 18 x - 36$	=
$2 x + \frac{3 (5 x^{2} + 9 x - 2)}{x - 1} - 18 x - 36$	=
$\frac{3 (5 x^{2} + 9 x - 2)}{x - 1} + 2 x - 18 x - 36$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 (5 x^{2} + 9 x - 2)}{x - 1} + 2 x - 18 x - 36$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 (5 x^{2} + 9 x - 2)}{x - 1} \cdot (x - 1) + 2 x \cdot (x - 1) - 18 x \cdot (x - 1) - 36 \cdot (x - 1)$	=
$15 x^{2} + 27 x - 6 + 2 x (x - 1) - 18 x (x - 1) - 36 x + 36$	=
$15 x^{2} + 27 x - 6 + (2 x^{2} - 2 x) + (- 18 x^{2} + 18 x) - 36 x + 36$	=
$- x^{2} + 7 x + 30$	=

$- x^{2} + 7 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 30}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{169}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{- 7+13}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{- 7-13}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x + 30$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x - 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $10$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} + \frac{15}{x^{2}} - \frac{50}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} + \frac{15}{x^{2}} - \frac{50}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{15}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{50}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} + 15 x - 50$

0

=

- x^{2} + 15 x - 50

|

+ x^{2}

- 15 x

+ 50

$x^{2} - 15 x + 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 50}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{15+5}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{15-5}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - 50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 - \frac{1}{x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$7 - \frac{1}{x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$7 \cdot x - \frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$7 x - 1$	=	$x \cdot x + 5 x$

7 x - 1

=

x^{2} + 5 x

|

- x^{2}

- 5 x

$- x^{2} + 2 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x - 1$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x - 2} + \frac{3 x}{x - 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $2$ }

\frac{3 x}{x - 1} + \frac{8 x}{x - 2} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{x - 1} + \frac{8 x}{x - 2} - 6$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{8 x}{x - 2} \cdot (x - 1) - 6 \cdot (x - 1)$	=
$3 x + \frac{8 x (x - 1)}{x - 2} - 6 x + 6$	=
$3 x + \frac{8 x^{2} - 8 x}{x - 2} - 6 x + 6$	=
$\frac{8 x^{2} - 8 x}{x - 2} + 3 x - 6 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 8 x}{x - 2} + 3 x - 6 x + 6$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{8 x^{2} - 8 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 3 x \cdot (x - 2) - 6 x \cdot (x - 2) + 6 \cdot (x - 2)$	=
$8 x^{2} - 8 x + 3 x (x - 2) - 6 x (x - 2) + 6 x - 12$	=
$8 x^{2} - 8 x + (3 x^{2} - 6 x) + (- 6 x^{2} + 12 x) + 6 x - 12$	=
$5 x^{2} + 4 x - 12$	=

$5 x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{256}}{10}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{256}}{10}$ = $\frac{- 4+16}{10}$ = $\frac{12}{10}$ = $1,2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{256}}{10}$ = $\frac{- 4-16}{10}$ = $\frac{- 20}{10}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 4 x - 12$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{4}{5} x - \frac{12}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{5})}^{2} - (- \frac{12}{5})$ = $\frac{4}{25}$ $+$ $\frac{12}{5}$ = $\frac{4}{25}$ $+$ $\frac{60}{25}$ = $\frac{64}{25}$

x_1,2 = $- \frac{2}{5}$ ± $\sqrt{\frac{64}{25}}$

x₁ = $- \frac{2}{5}$ - $\frac{8}{5}$ = $- \frac{10}{5}$ = -2

x₂ = $- \frac{2}{5}$ + $\frac{8}{5}$ = $\frac{6}{5}$ = 1.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1,2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$1 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$1 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$1 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$1 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$x + a$	=	$- x^{2}$
$x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):