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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{1}{x}$ = $\frac{1}{4}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$\frac{1}{4}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{1}{x} \cdot x$	=	$\frac{1}{4} \cdot x$
$1$	=	$\frac{1}{4} x$

$1$	=	$\frac{1}{4} x$	\|⋅ 4
$4$	=	$x$	\| $- 4$ $- x$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 1} + \frac{11}{x - 1}$ = $- \frac{5}{x^{2} - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

\frac{x}{x + 1} + \frac{11}{x - 1}

=

- \frac{5}{(x + 1) (x - 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 1) (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{x + 1} + \frac{11}{x - 1}$	=	$- \frac{5}{(x + 1) (x - 1)}$	\|⋅( $(x + 1) (x - 1)$ )
$\frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1) (x - 1) + \frac{11}{x - 1} \cdot (x + 1) (x - 1)$	=	$- \frac{5}{(x + 1) (x - 1)} \cdot (x + 1) (x - 1)$
$x (x - 1) + 11 x + 11$	=	$- 5 \frac{x + 1}{x + 1}$
$x (x - 1) + 11 x + 11$	=	$- 5$
$x^{2} - x + 11 x + 11$	=	$- 5$
$x^{2} + 10 x + 11$	=	$- 5$

x^{2} + 10 x + 11

=

- 5

|

+ 5

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 5$ - $3$ = -8

x₂ = $- 5$ + $3$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x - 6} + \frac{3 x - 1}{x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- 1$ }

$\frac{2 x}{3 x - 6} + \frac{3 x - 1}{x + 1} - 4$	=	0
$\frac{2 x}{3 (x - 2)} + \frac{3 x - 1}{x + 1} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{2 x}{3 (x - 2)} + \frac{3 x - 1}{x + 1} - 4$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{2 x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + \frac{3 x - 1}{x + 1} \cdot (3 (x - 2)) - 4 \cdot (3 (x - 2))$	=
$2 x + 3 \frac{(3 x - 1) (x - 2)}{x + 1} - 12 x + 24$	=
$2 x + \frac{3 (3 x^{2} - 7 x + 2)}{x + 1} - 12 x + 24$	=
$\frac{3 (3 x^{2} - 7 x + 2)}{x + 1} + 2 x - 12 x + 24$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 (3 x^{2} - 7 x + 2)}{x + 1} + 2 x - 12 x + 24$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 (3 x^{2} - 7 x + 2)}{x + 1} \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) - 12 x \cdot (x + 1) + 24 \cdot (x + 1)$	=
$9 x^{2} - 21 x + 6 + 2 x (x + 1) - 12 x (x + 1) + 24 x + 24$	=
$9 x^{2} - 21 x + 6 + (2 x^{2} + 2 x) + (- 12 x^{2} - 12 x) + 24 x + 24$	=
$- x^{2} - 7 x + 30$	=

$- x^{2} - 7 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 30}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{169}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{7+13}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{7-13}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x + 30$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x - 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{7}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{7}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{18}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$7 x - 18$	=	$- x^{2}$

7 x - 18

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 + \frac{1}{x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 5 + \frac{1}{x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $x$ )
$- 5 \cdot x + \frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 5 \cdot x$
$- 5 x + 1$	=	$x \cdot x - 5 x$

$- 5 x + 1$	=	$x^{2} - 5 x$	\| $- 1$ $- x^{2}$ $+ 5 x$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{x - 1} + \frac{2 x - 3}{x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $1$ }

\frac{2 x - 3}{x} + \frac{5 x - 1}{x - 1} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x - 3}{x} + \frac{5 x - 1}{x - 1} - 7$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x - 3}{x} \cdot x + \frac{5 x - 1}{x - 1} \cdot x - 7 \cdot x$	=
$2 x - 3 + \frac{(5 x - 1) x}{x - 1} - 7 x$	=
$2 x - 3 + \frac{5 x^{2} - x}{x - 1} - 7 x$	=
$\frac{5 x^{2} - x}{x - 1} + 2 x - 7 x - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{5 x^{2} - x}{x - 1} + 2 x - 7 x - 3$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{5 x^{2} - x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 2 x \cdot (x - 1) - 7 x \cdot (x - 1) - 3 \cdot (x - 1)$	=
$5 x^{2} - x + 2 x (x - 1) - 7 x (x - 1) - 3 x + 3$	=
$5 x^{2} - x + (2 x^{2} - 2 x) + (- 7 x^{2} + 7 x) - 3 x + 3$	=
$x + 3$	=

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 8$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 8$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 8$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 8 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- 8 x$
$a + x^{2} + 8 x$	=	0
$x^{2} + 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $- (2 - 10)$ = 8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 10)$ = $- 20$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -20 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

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Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):