Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{- 6 x - 32}{3 x - 4}$ = $2$

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{- 6 x - 32}{3 x - 4}$	=	$2$	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{- 6 x - 32}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4)$	=	$2 \cdot (3 x - 4)$
$- 6 x - 32$	=	$2 (3 x - 4)$

$- 6 x - 32$	=	$6 x - 8$	\| $+ 32$
$- 6 x$	=	$6 x + 24$	\| $- 6 x$
$- 12 x$	=	$24$	\|:( $- 12$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 63}{x + 5} - 1$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

- \frac{63}{x + 5} - 1

=

- 2 x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{63}{x + 5} - 1$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{63}{x + 5} \cdot (x + 5) - 1 \cdot (x + 5)$	=	$- 2 x \cdot (x + 5)$
$- 63 - x - 5$	=	$- 2 x (x + 5)$
$- x - 68$	=	$- 2 x^{2} - 10 x$

- x - 68

=

- 2 x^{2} - 10 x

|

+ 2 x^{2}

+ 10 x

$2 x^{2} + 9 x - 68$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 68)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 544}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{625}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{- 9+25}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{- 9-25}{4}$ = $\frac{- 34}{4}$ = $- 8,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 9 x - 68$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x - 34$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - (- 34)$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $34$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{544}{16}$ = $\frac{625}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{625}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{25}{4}$ = $- \frac{34}{4}$ = -8.5

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{25}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8,5$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 2}{2 x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x + 2}{2 x} - 2$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x + 2}{2 x} \cdot 2 x - 2 \cdot 2 x$	=
$3 x + 2 - 4 x$	=
$- x + 2$	=

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{16}{x^{2}}$ = $- \frac{1}{x} - \frac{63}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{16}{x^{2}}$	=	$- \frac{1}{x} - \frac{63}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{16}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{63}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- 16 x$	=	$- x^{2} - 63$

- 16 x

=

- x^{2} - 63

|

+ x^{2}

+ 63

$x^{2} - 16 x + 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{16+2}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{16-2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 8)}^{2} - 63$ = $64$ $-$ $63$ = $1$

x_1,2 = $8$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $8$ - $1$ = 7

x₂ = $8$ + $1$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{19 x - 15}{4 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{19 x - 15}{4 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{19 x - 15}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 1 \cdot 4 x$
$19 x - 15$	=	$4 x \cdot x - 4 x$

19 x - 15

=

4 x^{2} - 4 x

|

- 4 x^{2}

+ 4 x

$- 4 x^{2} + 23 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 240}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{289}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{289}}{- 8}$ = $\frac{- 23+17}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{289}}{- 8}$ = $\frac{- 23-17}{- 8}$ = $\frac{- 40}{- 8}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 23 x - 15$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{23}{4} x + \frac{15}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{8})}^{2} - (\frac{15}{4})$ = $\frac{529}{64}$ $-$ $\frac{15}{4}$ = $\frac{529}{64}$ $-$ $\frac{240}{64}$ = $\frac{289}{64}$

x_1,2 = $\frac{23}{8}$ ± $\sqrt{\frac{289}{64}}$

x₁ = $\frac{23}{8}$ - $\frac{17}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{23}{8}$ + $\frac{17}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} + \frac{- 9 x - 1}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- \frac{1}{3}$ }

\frac{- 9 x - 1}{x} + \frac{7 x - 1}{2 x} + \frac{8 x}{3 x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 9 x - 1}{x} + \frac{7 x - 1}{2 x} + \frac{8 x}{3 x + 1}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 9 x - 1}{x} \cdot 2 x + \frac{7 x - 1}{2 x} \cdot 2 x + \frac{8 x}{3 x + 1} \cdot 2 x$	=
$- 18 x - 2 + 7 x - 1 + 2 \frac{8 x \cdot x}{3 x + 1}$	=
$- 18 x - 2 + 7 x - 1 + \frac{16 x^{2}}{3 x + 1}$	=
$\frac{16 x^{2}}{3 x + 1} - 18 x + 7 x - 2 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{16 x^{2}}{3 x + 1} - 18 x + 7 x - 2 - 1$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{16 x^{2}}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) - 18 x \cdot (3 x + 1) + 7 x \cdot (3 x + 1) - 2 \cdot (3 x + 1) - 1 \cdot (3 x + 1)$	=
$16 x^{2} - 18 x (3 x + 1) + 7 x (3 x + 1) - 6 x - 2 - 3 x - 1$	=
$16 x^{2} + (- 54 x^{2} - 18 x) + (21 x^{2} + 7 x) - 6 x - 2 - 3 x - 1$	=
$- 17 x^{2} - 20 x - 3$	=

$- 17 x^{2} - 20 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (- 17) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 17)}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 204}}{- 34}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{196}}{- 34}$

x₁ = $\frac{20 + \sqrt{196}}{- 34}$ = $\frac{20+14}{- 34}$ = $\frac{34}{- 34}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{20 - \sqrt{196}}{- 34}$ = $\frac{20-14}{- 34}$ = $\frac{6}{- 34}$ = $- \frac{3}{17}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 17$ " teilen:

$- 17 x^{2} - 20 x - 3$ = 0 |: $- 17$

$x^{2} + \frac{20}{17} x + \frac{3}{17}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{10}{17})}^{2} - (\frac{3}{17})$ = $\frac{100}{289}$ $-$ $\frac{3}{17}$ = $\frac{100}{289}$ $-$ $\frac{51}{289}$ = $\frac{49}{289}$

x_1,2 = $- \frac{10}{17}$ ± $\sqrt{\frac{49}{289}}$

x₁ = $- \frac{10}{17}$ - $\frac{7}{17}$ = $- \frac{17}{17}$ = -1

x₂ = $- \frac{10}{17}$ + $\frac{7}{17}$ = $- \frac{3}{17}$ = -0.17647058823529

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{3}{17}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 1$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 1$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 1$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 1 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- x$
$a + x^{2} + x$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):