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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{8}{x}$ = $1$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{8}{x}$	=	$1$	\|⋅( $x$ )
$\frac{8}{x} \cdot x$	=	$1 \cdot x$
$8$	=	$x$

$8$	=	$x$	\| $- 8$ $- x$
$- x$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}$ = $\frac{23}{x^{2} - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}

=

\frac{23}{(x + 1) \cdot (x - 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 1) \cdot (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}$	=	$\frac{23}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$	\|⋅( $(x + 1) \cdot (x - 1)$ )
$\frac{x}{x - 1} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) + \frac{1}{x + 1} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$	=	$\frac{23}{(x + 1) \cdot (x - 1)} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$
$x \cdot (x + 1) + x - 1$	=	$23 \frac{x + 1}{x + 1}$
$x \cdot (x + 1) + x - 1$	=	$23$
$x^{2} + x + x - 1$	=	$23$
$x^{2} + 2 x - 1$	=	$23$

x^{2} + 2 x - 1

=

23

|

- 23

$x^{2} + 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 5} + \frac{- 39,2}{x - 1} + 2 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{5 x - 5} - \frac{39,2}{x - 1} + 2 x$	=	0
$\frac{x}{5 (x - 1)} - \frac{39,2}{x - 1} + 2 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 1)} - \frac{39,2}{x - 1} + 2 x$	=	\|⋅( $5 (x - 1)$ )
$\frac{x}{5 (x - 1)} \cdot (5 (x - 1)) + \frac{- 39,2}{x - 1} \cdot (5 (x - 1)) + 2 x \cdot (5 (x - 1))$	=
$x - 196 + 10 x \cdot (x - 1)$	=
$x - 196 + (10 x^{2} - 10 x)$	=
$10 x^{2} - 9 x - 196$	=

$10 x^{2} - 9 x - 196$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 196)}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 7 840}}{20}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{7 921}}{20}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{7 921}}{20}$ = $\frac{9+89}{20}$ = $\frac{98}{20}$ = $4,9$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{7 921}}{20}$ = $\frac{9-89}{20}$ = $\frac{- 80}{20}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $10$ " teilen:

$10 x^{2} - 9 x - 196$ = 0 |: $10$

$x^{2} - \frac{9}{10} x - \frac{98}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{20})}^{2} - (- \frac{98}{5})$ = $\frac{81}{400}$ $+$ $\frac{98}{5}$ = $\frac{81}{400}$ $+$ $\frac{7840}{400}$ = $\frac{7921}{400}$

x_1,2 = $\frac{9}{20}$ ± $\sqrt{\frac{7921}{400}}$

x₁ = $\frac{9}{20}$ - $\frac{89}{20}$ = $- \frac{80}{20}$ = -4

x₂ = $\frac{9}{20}$ + $\frac{89}{20}$ = $\frac{98}{20}$ = 4.9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4,9$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{5}{x^{3}}$ = $- \frac{4}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{5}{x^{3}}$	=	$- \frac{4}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{5}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{4}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$x^{2} - 5$	=	$- 4 x$

x^{2} - 5

=

- 4 x

|

+ 4 x

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{18 x + 2}{x + 5}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{18 x + 2}{x + 5}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{18 x + 2}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$4 x \cdot (x + 5)$
$18 x + 2$	=	$4 x \cdot (x + 5)$
$18 x + 2$	=	$4 x^{2} + 20 x$

18 x + 2

=

4 x^{2} + 20 x

|

- 4 x^{2}

- 20 x

- 4 x^{2} - 2 x + 2

= 0 |:2

$- 2 x^{2} - x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 1}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{1+3}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{1-3}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - x + 1$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 3} + \frac{3 x - 2}{x} + \frac{9 x}{- 3 x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

$\frac{3 x}{3 x + 3} + \frac{3 x - 2}{x} + \frac{9 x}{- 3 x - 3}$	=	0
$\frac{3 x}{3 (x + 1)} + \frac{3 x - 2}{x} + \frac{9 x}{- 3 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{3 (x + 1)} + \frac{3 x - 2}{x} + \frac{9 x}{- 3 (x + 1)}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x}{3 (x + 1)} \cdot (x + 1) + \frac{3 x - 2}{x} \cdot (x + 1) + \frac{9 x}{- 3 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=
$x + \frac{(3 x - 2) \cdot (x + 1)}{x} - 3 x$	=
$x + \frac{3 x^{2} + x - 2}{x} - 3 x$	=
$\frac{3 x^{2} + x - 2}{x} + x - 3 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x^{2} + x - 2}{x} + x - 3 x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x^{2} + x - 2}{x} \cdot x + x \cdot x - 3 x \cdot x$	=
$3 x^{2} + x - 2 + x \cdot x - 3 x \cdot x$	=
$3 x^{2} + x - 2 + x^{2} - 3 x^{2}$	=
$x^{2} + x - 2$	=

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{6}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{6}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{6}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{6}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 6$	=	$- a x$
$x^{2} + 6 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):