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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6 x}{x + 20}$ = $2$

D=R\{ $- 20$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 20$ weg!

$\frac{6 x}{x + 20}$	=	$2$	\|⋅( $x + 20$ )
$\frac{6 x}{x + 20} \cdot (x + 20)$	=	$2 \cdot (x + 20)$
$6 x$	=	$2 (x + 20)$

$6 x$	=	$2 x + 40$	\| $- 2 x$
$4 x$	=	$40$	\|: $4$
$x$	=	$10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{10}{x - 5} - x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

0

=

- \frac{10}{x - 5} - x - 2

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

=	$- \frac{10}{x - 5} - x - 2$	\|⋅( $x - 5$ )
=	$- \frac{10}{x - 5} \cdot (x - 5) - x \cdot (x - 5) - 2 \cdot (x - 5)$
=	$- 10 - x \cdot (x - 5) - 2 x + 10$
=	$- x^{2} + 3 x$

0	=	$- x^{2} + 3 x$	\| $- (- x^{2} + 3 x)$
$x^{2} - 3 x$	=	0
$x \cdot (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{4 x}{x + 2} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $\frac{4}{3}$ }

\frac{4 x}{x + 2} + \frac{3 x}{3 x - 4} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{4 x}{x + 2} + \frac{3 x}{3 x - 4} - 5$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{4 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{3 x}{3 x - 4} \cdot (x + 2) - 5 \cdot (x + 2)$	=
$4 x + \frac{3 x \cdot (x + 2)}{3 x - 4} - 5 x - 10$	=
$4 x + \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x - 4} - 5 x - 10$	=
$\frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x - 4} + 4 x - 5 x - 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x - 4} + 4 x - 5 x - 10$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + 4 x \cdot (3 x - 4) - 5 x \cdot (3 x - 4) - 10 \cdot (3 x - 4)$	=
$3 x^{2} + 6 x + 4 x \cdot (3 x - 4) - 5 x \cdot (3 x - 4) - 30 x + 40$	=
$3 x^{2} + 6 x + (12 x^{2} - 16 x) + (- 15 x^{2} + 20 x) - 30 x + 40$	=
$- 20 x + 40$	=

$- 20 x + 40$	=	0	\| $- 40$
$- 20 x$	=	$- 40$	\|:( $- 20$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}$ = $\frac{30}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}$	=	$\frac{30}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{7}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{30}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2} - 7 x$	=	$30$

x^{2} - 7 x

=

30

|

- 30

$x^{2} - 7 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{7+13}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{7-13}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 9 x - 4}{4 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 9 x - 4}{4 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 9 x - 4}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 2 \cdot 4 x$
$- 9 x - 4$	=	$4 x \cdot x + 8 x$

- 9 x - 4

=

4 x^{2} + 8 x

|

- 4 x^{2}

- 8 x

$- 4 x^{2} - 17 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 64}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{225}}{- 8}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{225}}{- 8}$ = $\frac{17+15}{- 8}$ = $\frac{32}{- 8}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{225}}{- 8}$ = $\frac{17-15}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 17 x - 4$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{17}{4} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{8})}^{2} - 1$ = $\frac{289}{64}$ $-$ $1$ = $\frac{289}{64}$ $-$ $\frac{64}{64}$ = $\frac{225}{64}$

x_1,2 = $- \frac{17}{8}$ ± $\sqrt{\frac{225}{64}}$

x₁ = $- \frac{17}{8}$ - $\frac{15}{8}$ = $- \frac{32}{8}$ = -4

x₂ = $- \frac{17}{8}$ + $\frac{15}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x + 3} + \frac{x + 1}{3 x + 7} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; $- \frac{7}{3}$ }

\frac{2 x}{2 x + 3} + \frac{x + 1}{3 x + 7} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 x + 3} + \frac{x + 1}{3 x + 7} - 3$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{2 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{x + 1}{3 x + 7} \cdot (2 x + 3) - 3 \cdot (2 x + 3)$	=
$2 x + \frac{(x + 1) \cdot (2 x + 3)}{3 x + 7} - 6 x - 9$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} + 5 x + 3}{3 x + 7} - 6 x - 9$	=
$\frac{2 x^{2} + 5 x + 3}{3 x + 7} + 2 x - 6 x - 9$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 3}{3 x + 7} + 2 x - 6 x - 9$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{2 x^{2} + 5 x + 3}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + 2 x \cdot (3 x + 7) - 6 x \cdot (3 x + 7) - 9 \cdot (3 x + 7)$	=
$2 x^{2} + 5 x + 3 + 2 x \cdot (3 x + 7) - 6 x \cdot (3 x + 7) - 27 x - 63$	=
$2 x^{2} + 5 x + 3 + (6 x^{2} + 14 x) + (- 18 x^{2} - 42 x) - 27 x - 63$	=
$- 10 x^{2} - 50 x - 60$	=

- 10 x^{2} - 50 x - 60

= 0 |:10

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5+1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5-1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{30}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{30}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{30}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{30}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 30 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 30 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 15)$ = -30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 15)$ = $13$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 13 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13+17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13-17}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 15$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):