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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7 x}{x - 8}$ = $- 3$

D=R\{ $8$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 8$ weg!

$\frac{- 7 x}{x - 8}$	=	$- 3$	\|⋅( $x - 8$ )
$\frac{- 7 x}{x - 8} \cdot (x - 8)$	=	$- 3 \cdot (x - 8)$
$- \frac{7 x}{1}$	=	$- 3 (x - 8)$
$- 7 x$	=	$- 3 (x - 8)$

$- 7 x$	=	$- 3 x + 24$	\| $+ 3 x$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x + 3}$ = $- 2 x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{8 x}{x + 3}$	=	$- 2 x + 4$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{8 x}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$- 2 x \cdot (x + 3) + 4 \cdot (x + 3)$
$8 x$	=	$- 2 x (x + 3) + 4 x + 12$
$8 x$	=	$- 2 x^{2} - 2 x + 12$

8 x

=

- 2 x^{2} - 2 x + 12

|

+ 2 x^{2}

+ 2 x

- 12

2 x^{2} + 10 x - 12

= 0 |:2

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{43,5}{x + 2}$ = $- \frac{x}{2 x + 4} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{43,5}{x + 2}

=

- \frac{x}{2 (x + 2)} + 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{43,5}{x + 2}$	=	$- \frac{x}{2 (x + 2)} + 3 x$	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{43,5}{x + 2} \cdot (2 (x + 2))$	=	$- \frac{x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + 3 x \cdot (2 (x + 2))$
$87$	=	$- x + 6 x (x + 2)$
$87$	=	$6 x^{2} + 11 x$

87

=

6 x^{2} + 11 x

|

- 6 x^{2}

- 11 x

$- 6 x^{2} - 11 x + 87$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 87}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 2 088}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{2 209}}{- 12}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{2 209}}{- 12}$ = $\frac{11+47}{- 12}$ = $\frac{58}{- 12}$ = $- \frac{29}{6}$ ≈ -4.83

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{2 209}}{- 12}$ = $\frac{11-47}{- 12}$ = $\frac{- 36}{- 12}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} - 11 x + 87$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} + \frac{11}{6} x - \frac{29}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{12})}^{2} - (- \frac{29}{2})$ = $\frac{121}{144}$ $+$ $\frac{29}{2}$ = $\frac{121}{144}$ $+$ $\frac{2088}{144}$ = $\frac{2209}{144}$

x_1,2 = $- \frac{11}{12}$ ± $\sqrt{\frac{2209}{144}}$

x₁ = $- \frac{11}{12}$ - $\frac{47}{12}$ = $- \frac{58}{12}$ = -4.8333333333333

x₂ = $- \frac{11}{12}$ + $\frac{47}{12}$ = $\frac{36}{12}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{29}{6}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{4}{x} \cdot x^{2} + \frac{3}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} + 4 x + 3$	=

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 3}{4 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{x - 3}{4 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{x - 3}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 2 \cdot 4 x$
$x - 3$	=	$4 x \cdot x + 8 x$

x - 3

=

4 x^{2} + 8 x

|

- 4 x^{2}

- 8 x

$- 4 x^{2} - 7 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 8}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 8}$ = $\frac{7+1}{- 8}$ = $\frac{8}{- 8}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 8}$ = $\frac{7-1}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 7 x - 3$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{7}{4} x + \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{8})}^{2} - (\frac{3}{4})$ = $\frac{49}{64}$ $-$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{49}{64}$ $-$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{1}{64}$

x_1,2 = $- \frac{7}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1}{64}}$

x₁ = $- \frac{7}{8}$ - $\frac{1}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

x₂ = $- \frac{7}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{3 x - 10} + \frac{2 x + 4}{x} + \frac{11 x + 4}{- 3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $\frac{10}{3}$ }

\frac{2 x + 4}{x} + \frac{x - 2}{3 x - 10} - \frac{11 x + 4}{3 x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{2 x + 4}{x} + \frac{x - 2}{3 x - 10} - \frac{11 x + 4}{3 x}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{2 x + 4}{x} \cdot 3 x + \frac{x - 2}{3 x - 10} \cdot 3 x - \frac{11 x + 4}{3 x} \cdot 3 x$	=
$6 x + 12 + 3 \frac{(x - 2) x}{3 x - 10} - 11 x - 4$	=
$6 x + 12 + \frac{3 (x^{2} - 2 x)}{3 x - 10} - 11 x - 4$	=
$\frac{3 (x^{2} - 2 x)}{3 x - 10} + 6 x - 11 x + 12 - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{3 (x^{2} - 2 x)}{3 x - 10} + 6 x - 11 x + 12 - 4$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{3 (x^{2} - 2 x)}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + 6 x \cdot (3 x - 10) - 11 x \cdot (3 x - 10) + 12 \cdot (3 x - 10) - 4 \cdot (3 x - 10)$	=
$3 x^{2} - 6 x + 6 x (3 x - 10) - 11 x (3 x - 10) + 36 x - 120 - 12 x + 40$	=
$3 x^{2} - 6 x + (18 x^{2} - 60 x) + (- 33 x^{2} + 110 x) + 36 x - 120 - 12 x + 40$	=
$- 12 x^{2} + 68 x - 80$	=

- 12 x^{2} + 68 x - 80

= 0 |:4

$- 3 x^{2} + 17 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{49}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{- 17+7}{- 6}$ = $\frac{- 10}{- 6}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{- 17-7}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 17 x - 20$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{17}{3} x + \frac{20}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{6})}^{2} - (\frac{20}{3})$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{20}{3}$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{240}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $\frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $\frac{17}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = 1.6666666666667

x₂ = $\frac{17}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{5}{3}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 9$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 9$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 9$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 9 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + 9 x$	=	$- x^{2}$
$a + 9 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -11 würde es funktionieren, denn $- (2 - 11)$ = 9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 11)$ = $- 22$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -22 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 9 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9+13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9-13}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $22$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{88}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 11$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):