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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{x}{3 x + 1} + \frac{21}{3 x + 1}$ = $- 3$

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$- \frac{x}{3 x + 1} + \frac{21}{3 x + 1}$	=	$- 3$	\|⋅( $3 x + 1$ )
$- \frac{x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{21}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1)$	=	$- 3 \cdot (3 x + 1)$
$- x + 21$	=	$- 3 (3 x + 1)$

$- x + 21$	=	$- 9 x - 3$	\| $- 21$
$- x$	=	$- 9 x - 24$	\| $+ 9 x$
$8 x$	=	$- 24$	\|: $8$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x - 2$ = $- \frac{- 2 x}{x + 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$3 x - 2$	=	$\frac{2 x}{x + 1}$	\|⋅( $x + 1$ )
$3 x \cdot (x + 1) - 2 \cdot (x + 1)$	=	$\frac{2 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$
$3 x \cdot (x + 1) - 2 x - 2$	=	$2 x$
$3 x^{2} + 3 x - 2 x - 2$	=	$2 x$
$3 x^{2} + x - 2$	=	$2 x$

3 x^{2} + x - 2

=

2 x

|

- 2 x

$3 x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{1+5}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{1-5}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - x - 2$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{2}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 20}$ = $- \frac{- 41,4}{x - 4} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{5 x - 20}$	=	$\frac{41,4}{x - 4} - 2 x$
$\frac{x}{5 (x - 4)}$	=	$\frac{41,4}{x - 4} - 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 4)}$	=	$\frac{41,4}{x - 4} - 2 x$	\|⋅( $5 (x - 4)$ )
$\frac{x}{5 (x - 4)} \cdot (5 (x - 4))$	=	$\frac{41,4}{x - 4} \cdot (5 (x - 4)) - 2 x \cdot (5 (x - 4))$
$x$	=	$207 - 10 x \cdot (x - 4)$
$x$	=	$- 10 x^{2} + 40 x + 207$

x

=

- 10 x^{2} + 40 x + 207

|

+ 10 x^{2}

- 40 x

- 207

$10 x^{2} - 39 x - 207$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{{(- 39)}^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 207)}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{1 521 + 8 280}}{20}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{9 801}}{20}$

x₁ = $\frac{39 + \sqrt{9 801}}{20}$ = $\frac{39+99}{20}$ = $\frac{138}{20}$ = $6,9$

x₂ = $\frac{39 - \sqrt{9 801}}{20}$ = $\frac{39-99}{20}$ = $\frac{- 60}{20}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $10$ " teilen:

$10 x^{2} - 39 x - 207$ = 0 |: $10$

$x^{2} - \frac{39}{10} x - \frac{207}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{39}{20})}^{2} - (- \frac{207}{10})$ = $\frac{1521}{400}$ $+$ $\frac{207}{10}$ = $\frac{1521}{400}$ $+$ $\frac{8280}{400}$ = $\frac{9801}{400}$

x_1,2 = $\frac{39}{20}$ ± $\sqrt{\frac{9801}{400}}$

x₁ = $\frac{39}{20}$ - $\frac{99}{20}$ = $- \frac{60}{20}$ = -3

x₂ = $\frac{39}{20}$ + $\frac{99}{20}$ = $\frac{138}{20}$ = 6.9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $6,9$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3}{x} - \frac{40}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{3}{x} - \frac{40}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{3}{x} \cdot x^{2} - \frac{40}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$3 x - 40$	=	$- x^{2}$

3 x - 40

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 3 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 3+13}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 3-13}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 40)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $40$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{22 x + 10}{3 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{22 x + 10}{3 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{22 x + 10}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 3 \cdot 3 x$
$22 x + 10$	=	$3 x \cdot x + 9 x$

22 x + 10

=

3 x^{2} + 9 x

|

- 3 x^{2}

- 9 x

$- 3 x^{2} + 13 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 10}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{- 13+17}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{- 13-17}{- 6}$ = $\frac{- 30}{- 6}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 13 x + 10$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{13}{3} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{6})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{289}{36}$

x_1,2 = $\frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{289}{36}}$

x₁ = $\frac{13}{6}$ - $\frac{17}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{13}{6}$ + $\frac{17}{6}$ = $\frac{30}{6}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 8} + \frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{5 x}{- 3 x - 8}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{10}{3}$ ; $- \frac{8}{3}$ }

$\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{x}{3 x + 8} + \frac{5 x}{- 3 x - 8}$	=	0
$\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{x}{3 x + 8} + \frac{5 x}{- (3 x + 8)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{x}{3 x + 8} + \frac{5 x}{- (3 x + 8)}$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{2 x}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + \frac{x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 10) + \frac{5 x}{- (3 x + 8)} \cdot (3 x + 10)$	=
$2 x + \frac{x \cdot (3 x + 10)}{3 x + 8} - \frac{5 x \cdot (3 x + 10)}{3 x + 8}$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} + 10 x}{3 x + 8} - \frac{15 x^{2} + 50 x}{3 x + 8}$	=
$\frac{3 x^{2} + 10 x - 15 x^{2} - 50 x}{3 x + 8} + 2 x$	=

\frac{3 x^{2} - 15 x^{2} + 10 x - 50 x}{3 x + 8} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 15 x^{2} + 10 x - 50 x}{3 x + 8} + 2 x$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{3 x^{2} - 15 x^{2} + 10 x - 50 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + 2 x \cdot (3 x + 8)$	=
$3 x^{2} - 15 x^{2} + 10 x - 50 x + 2 x \cdot (3 x + 8)$	=
$3 x^{2} - 15 x^{2} + 10 x - 50 x + (6 x^{2} + 16 x)$	=
$- 6 x^{2} - 24 x$	=

$- 6 x^{2} - 24 x$	=	0
$- 6 x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{6}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{6}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{6}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{6}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$6$
$x^{2} + a x - 6$	=	0
$x^{2} + a x - 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 3)$ = -6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 3)$ = $1$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 1 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):