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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5 x - 55}{2 x + 5}$ = $- 2$

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{5 x - 55}{2 x + 5}$	=	$- 2$	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{5 x - 55}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5)$	=	$- 2 \cdot (2 x + 5)$
$5 x - 55$	=	$- 2 (2 x + 5)$

$5 x - 55$	=	$- 4 x - 10$	\| $+ 55$
$5 x$	=	$- 4 x + 45$	\| $+ 4 x$
$9 x$	=	$45$	\|: $9$
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4 x}{2 x - 3} - \frac{66}{4 x - 6}$ = $5$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

\frac{4 x}{2 x - 3} - \frac{66}{2 (2 x - 3)}

=

5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{4 x}{2 x - 3} - \frac{66}{2 (2 x - 3)}$	=	$5$	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{4 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{- 66}{2 (2 x - 3)} \cdot (2 x - 3)$	=	$5 \cdot (2 x - 3)$
$4 x - 33$	=	$5 (2 x - 3)$

$4 x - 33$	=	$10 x - 15$	\| $+ 33$
$4 x$	=	$10 x + 18$	\| $- 10 x$
$- 6 x$	=	$18$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 12} + \frac{7}{x + 4}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{x}{3 x + 12} + \frac{7}{x + 4}$	=	$- 2 x$
$\frac{x}{3 (x + 4)} + \frac{7}{x + 4}$	=	$- 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 4)} + \frac{7}{x + 4}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $3 (x + 4)$ )
$\frac{x}{3 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4)) + \frac{7}{x + 4} \cdot (3 (x + 4))$	=	$- 2 x \cdot (3 (x + 4))$
$x + 21$	=	$- 6 x \cdot (x + 4)$
$x + 21$	=	$- 6 x^{2} - 24 x$

x + 21

=

- 6 x^{2} - 24 x

|

+ 6 x^{2}

+ 24 x

$6 x^{2} + 25 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 21}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 504}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{121}}{12}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{121}}{12}$ = $\frac{- 25+11}{12}$ = $\frac{- 14}{12}$ = $- \frac{7}{6}$ ≈ -1.17

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{121}}{12}$ = $\frac{- 25-11}{12}$ = $\frac{- 36}{12}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 25 x + 21$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{25}{6} x + \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{12})}^{2} - (\frac{7}{2})$ = $\frac{625}{144}$ $-$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{625}{144}$ $-$ $\frac{504}{144}$ = $\frac{121}{144}$

x_1,2 = $- \frac{25}{12}$ ± $\sqrt{\frac{121}{144}}$

x₁ = $- \frac{25}{12}$ - $\frac{11}{12}$ = $- \frac{36}{12}$ = -3

x₂ = $- \frac{25}{12}$ + $\frac{11}{12}$ = $- \frac{14}{12}$ = -1.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{7}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{8}{x} + \frac{12}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{8}{x} + \frac{12}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{8}{x} \cdot x^{2} + \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 8 x + 12$	=	$- x^{2}$

- 8 x + 12

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 13 x - 9}{x - 2}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 13 x - 9}{x - 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 13 x - 9}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
$- 13 x - 9$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
$- 13 x - 9$	=	$2 x^{2} - 4 x$

- 13 x - 9

=

2 x^{2} - 4 x

|

- 2 x^{2}

+ 4 x

$- 2 x^{2} - 9 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{9+3}{- 4}$ = $\frac{12}{- 4}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{9-3}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 9 x - 9$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{2 x - 2} + \frac{x + 1}{2 x - 4} + \frac{- 5 x - 1}{4 x - 8}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

$\frac{x + 1}{2 x - 4} + \frac{3 x - 1}{2 x - 2} + \frac{- 5 x - 1}{4 x - 8}$	=	0
$\frac{x + 1}{2 (x - 2)} + \frac{3 x - 1}{2 (x - 1)} + \frac{- 5 x - 1}{4 (x - 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 2)$ weg!

$\frac{x + 1}{2 (x - 2)} + \frac{3 x - 1}{2 (x - 1)} + \frac{- 5 x - 1}{4 (x - 2)}$	=	\|⋅( $4 (x - 2)$ )
$\frac{x + 1}{2 (x - 2)} \cdot (4 (x - 2)) + \frac{3 x - 1}{2 (x - 1)} \cdot (4 (x - 2)) + \frac{- 5 x - 1}{4 (x - 2)} \cdot (4 (x - 2))$	=
$2 x + 2 + 4 \frac{(3 x - 1) \cdot (x - 2)}{2 (x - 1)} - 5 x - 1$	=
$2 x + 2 + \frac{2 (3 x^{2} - 7 x + 2)}{x - 1} - 5 x - 1$	=
$\frac{2 (3 x^{2} - 7 x + 2)}{x - 1} + 2 x - 5 x + 2 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 (3 x^{2} - 7 x + 2)}{x - 1} + 2 x - 5 x + 2 - 1$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 (3 x^{2} - 7 x + 2)}{x - 1} \cdot (x - 1) + 2 x \cdot (x - 1) - 5 x \cdot (x - 1) + 2 \cdot (x - 1) - 1 \cdot (x - 1)$	=
$6 x^{2} - 14 x + 4 + 2 x \cdot (x - 1) - 5 x \cdot (x - 1) + 2 x - 2 - x + 1$	=
$6 x^{2} - 14 x + 4 + (2 x^{2} - 2 x) + (- 5 x^{2} + 5 x) + 2 x - 2 - x + 1$	=
$3 x^{2} - 10 x + 3$	=

$3 x^{2} - 10 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{10+8}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{10-8}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 10 x + 3$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{10}{3} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{3})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $\frac{9}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $\frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $\frac{5}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{5}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{30}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{30}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{30}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{30}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$30$
$x^{2} + a x - 30$	=	0
$x^{2} + a x - 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 15)$ = -30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 15)$ = $13$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 13 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13+17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13-17}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 15$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):