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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4}{x}$ = $8$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{4}{x}$	=	$8$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{4}{x} \cdot x$	=	$8 \cdot x$
$- 4$	=	$8 x$

$- 4$	=	$8 x$	\| $+ 4$ $- 8 x$
$- 8 x$	=	$4$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{2}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 6} - \frac{5}{x + 6}$ = $\frac{120}{x^{2} - 36}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 6$ ; $6$ }

\frac{x}{x - 6} - \frac{5}{x + 6}

=

\frac{120}{(x + 6) (x - 6)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 6) (x - 6)$ weg!

$\frac{x}{x - 6} - \frac{5}{x + 6}$	=	$\frac{120}{(x + 6) (x - 6)}$	\|⋅( $(x + 6) (x - 6)$ )
$\frac{x}{x - 6} \cdot (x + 6) (x - 6) - \frac{5}{x + 6} \cdot (x + 6) (x - 6)$	=	$\frac{120}{(x + 6) (x - 6)} \cdot (x + 6) (x - 6)$
$x (x + 6) - 5 x + 30$	=	$120 \frac{x + 6}{x + 6}$
$x (x + 6) - 5 x + 30$	=	$120$
$x^{2} + 6 x - 5 x + 30$	=	$120$
$x^{2} + x + 30$	=	$120$

x^{2} + x + 30

=

120

|

- 120

$x^{2} + x - 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 90)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 360}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{361}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{- 1+19}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{- 1-19}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 90)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $90$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{361}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{361}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{19}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{19}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $9$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 2} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{x}{2 (x + 1)} - 1

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 1)} - 1$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) - 1 \cdot (2 (x + 1))$	=
$x - 2 x - 2$	=
$- x - 2$	=

$- x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} + \frac{49}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} + \frac{49}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{49}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} + 49$

0	=	$- x^{2} + 49$	\|0 $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 20 x - 4}{3 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 20 x - 4}{3 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 20 x - 4}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 4 \cdot 3 x$
$- 20 x - 4$	=	$3 x \cdot x - 12 x$

- 20 x - 4

=

3 x^{2} - 12 x

|

- 3 x^{2}

+ 12 x

$- 3 x^{2} - 8 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{- 6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{8+4}{- 6}$ = $\frac{12}{- 6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{8-4}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 8 x - 4$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{12}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{6}{3}$ = -2

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{2 x}{3 x - 6} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{3}{2}$ }

$\frac{2 x}{3 x - 6} + \frac{4 x}{2 x - 3} - 6$	=	0
$\frac{2 x}{3 (x - 2)} + \frac{4 x}{2 x - 3} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{2 x}{3 (x - 2)} + \frac{4 x}{2 x - 3} - 6$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{2 x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + \frac{4 x}{2 x - 3} \cdot (3 (x - 2)) - 6 \cdot (3 (x - 2))$	=
$2 x + 3 \frac{4 x (x - 2)}{2 x - 3} - 18 x + 36$	=
$2 x + \frac{3 (4 x^{2} - 8 x)}{2 x - 3} - 18 x + 36$	=
$\frac{3 (4 x^{2} - 8 x)}{2 x - 3} + 2 x - 18 x + 36$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{3 (4 x^{2} - 8 x)}{2 x - 3} + 2 x - 18 x + 36$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{3 (4 x^{2} - 8 x)}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + 2 x \cdot (2 x - 3) - 18 x \cdot (2 x - 3) + 36 \cdot (2 x - 3)$	=
$12 x^{2} - 24 x + 2 x (2 x - 3) - 18 x (2 x - 3) + 72 x - 108$	=
$12 x^{2} - 24 x + (4 x^{2} - 6 x) + (- 36 x^{2} + 54 x) + 72 x - 108$	=
$- 20 x^{2} + 96 x - 108$	=

- 20 x^{2} + 96 x - 108

= 0 |:4

$- 5 x^{2} + 24 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 27)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 540}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{36}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 24 + \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{- 24+6}{- 10}$ = $\frac{- 18}{- 10}$ = $1,8$

x₂ = $\frac{- 24 - \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{- 24-6}{- 10}$ = $\frac{- 30}{- 10}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 24 x - 27$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{24}{5} x + \frac{27}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{12}{5})}^{2} - (\frac{27}{5})$ = $\frac{144}{25}$ $-$ $\frac{27}{5}$ = $\frac{144}{25}$ $-$ $\frac{135}{25}$ = $\frac{9}{25}$

x_1,2 = $\frac{12}{5}$ ± $\sqrt{\frac{9}{25}}$

x₁ = $\frac{12}{5}$ - $\frac{3}{5}$ = $\frac{9}{5}$ = 1.8

x₂ = $\frac{12}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $\frac{15}{5}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,8$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $3$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $3$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$3$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$3 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$3 x$
$x^{2} + a - 3 x$	=	0
$x^{2} - 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (2 + 1)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

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Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):