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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{9}{x}$ = $- \frac{1}{3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{9}{x}$	=	$- \frac{1}{3}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{9}{x} \cdot x$	=	$- \frac{1}{3} \cdot x$
$- 9$	=	$- \frac{1}{3} x$

$- 9$	=	$- \frac{1}{3} x$	\|⋅ 3
$- 27$	=	$- x$	\| $+ 27$ $+ x$
$x$	=	$27$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $27$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{20 x}{x - 2} - 3$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{20 x}{x - 2} - 3$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{20 x}{x - 2} \cdot (x - 2) - 3 \cdot (x - 2)$	=	$- 3 x \cdot (x - 2)$
$20 x - 3 x + 6$	=	$- 3 x \cdot (x - 2)$
$17 x + 6$	=	$- 3 x^{2} + 6 x$

17 x + 6

=

- 3 x^{2} + 6 x

|

+ 3 x^{2}

- 6 x

$3 x^{2} + 11 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 11+7}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 11-7}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 11 x + 6$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{11}{3} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{6})}^{2} - 2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $- \frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $- \frac{11}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $- \frac{11}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{2}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 3}$ = $- \frac{32}{6 x - 6} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{3 x - 3}$	=	$- \frac{32}{6 x - 6} + 3 x$
$\frac{x}{3 (x - 1)}$	=	$- \frac{32}{6 (x - 1)} + 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 1)}$	=	$- \frac{32}{6 (x - 1)} + 3 x$	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{x}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1))$	=	$\frac{- 32}{6 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) + 3 x \cdot (3 (x - 1))$
$x$	=	$- 16 + 9 x \cdot (x - 1)$
$x$	=	$9 x^{2} - 9 x - 16$

x

=

9 x^{2} - 9 x - 16

|

- 9 x^{2}

+ 9 x

+ 16

$- 9 x^{2} + 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot 16}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 576}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{676}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{676}}{- 18}$ = $\frac{- 10+26}{- 18}$ = $\frac{16}{- 18}$ = $- \frac{8}{9}$ ≈ -0.89

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{676}}{- 18}$ = $\frac{- 10-26}{- 18}$ = $\frac{- 36}{- 18}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} + 10 x + 16$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} - \frac{10}{9} x - \frac{16}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{9})}^{2} - (- \frac{16}{9})$ = $\frac{25}{81}$ $+$ $\frac{16}{9}$ = $\frac{25}{81}$ $+$ $\frac{144}{81}$ = $\frac{169}{81}$

x_1,2 = $\frac{5}{9}$ ± $\sqrt{\frac{169}{81}}$

x₁ = $\frac{5}{9}$ - $\frac{13}{9}$ = $- \frac{8}{9}$ = -0.88888888888889

x₂ = $\frac{5}{9}$ + $\frac{13}{9}$ = $\frac{18}{9}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{8}{9}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{3 x - 40}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{3 x - 40}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{3 x - 40}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$3 x - 40$

- x^{2}

=

3 x - 40

|

- 3 x

+ 40

$- x^{2} - 3 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 40}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{169}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{3+13}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{3-13}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 40$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 40$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 40)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $40$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 + \frac{6}{x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 2 + \frac{6}{x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $x$ )
$- 2 \cdot x + \frac{6}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 3 \cdot x$
$- 2 x + 6$	=	$x \cdot x + 3 x$

- 2 x + 6

=

x^{2} + 3 x

|

- x^{2}

- 3 x

$- x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{5+7}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{5-7}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 4}{x} + \frac{x - 2}{3 x - 10} + \frac{2 x + 4}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $\frac{10}{3}$ }

\frac{x + 4 - 2 x - 4}{x} + \frac{x - 2}{3 x - 10}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x + 4 - 2 x - 4}{x} + \frac{x - 2}{3 x - 10}$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x + 4 - 2 x - 4}{x} \cdot x + \frac{x - 2}{3 x - 10} \cdot x$	=
$x + 4 - 2 x - 4 + \frac{(x - 2) x}{3 x - 10}$	=
$x + 4 - 2 x - 4 + \frac{x^{2} - 2 x}{3 x - 10}$	=
$\frac{x^{2} - 2 x}{3 x - 10} + x - 2 x + 4 - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{x^{2} - 2 x}{3 x - 10} + x - 2 x + 4 - 4$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{x^{2} - 2 x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + x \cdot (3 x - 10) - 2 x \cdot (3 x - 10) + 4 \cdot (3 x - 10) - 4 \cdot (3 x - 10)$	=
$x^{2} - 2 x + x \cdot (3 x - 10) - 2 x \cdot (3 x - 10) + 12 x - 40 - 12 x + 40$	=
$x^{2} - 2 x + (3 x^{2} - 10 x) + (- 6 x^{2} + 20 x) + 12 x - 40 - 12 x + 40$	=
$- 2 x^{2} + 8 x$	=

$- 2 x^{2} + 8 x$	=	0
$2 x \cdot (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

Lösung x=0 ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 10$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 10$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 10$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 10 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 10 x$
$x^{2} + a + 10 x$	=	0
$x^{2} + 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $- (2 - 12)$ = 10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 12)$ = $- 24$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -24 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):