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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{28}{x + 3}$ = $4$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{28}{x + 3}$	=	$4$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{28}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$4 \cdot (x + 3)$
$28$	=	$4 (x + 3)$

$28$	=	$4 x + 12$	\| $- 28$ $- 4 x$
$- 4 x$	=	$- 16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 8} - \frac{6}{x - 8}$ = $\frac{47}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x + 8} - \frac{6}{x - 8}

=

\frac{47}{(x + 8) (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x + 8} - \frac{6}{x - 8}$	=	$\frac{47}{(x + 8) (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) (x - 8)$ )
$\frac{x}{x + 8} \cdot (x + 8) (x - 8) - \frac{6}{x - 8} \cdot (x + 8) (x - 8)$	=	$\frac{47}{(x + 8) (x - 8)} \cdot (x + 8) (x - 8)$
$x (x - 8) - 6 x - 48$	=	$47 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x (x - 8) - 6 x - 48$	=	$47$
$x^{2} - 8 x - 6 x - 48$	=	$47$
$x^{2} - 14 x - 48$	=	$47$

x^{2} - 14 x - 48

=

47

|

- 47

$x^{2} - 14 x - 95$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 95)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 + 380}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{576}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{576}}{2}$ = $\frac{14+24}{2}$ = $\frac{38}{2}$ = $19$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{576}}{2}$ = $\frac{14-24}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - (- 95)$ = $49$ $+$ $95$ = $144$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{144}$

x₁ = $7$ - $12$ = -5

x₂ = $7$ + $12$ = 19

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $19$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{2 x + 2} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{3 x + 1}{2 (x + 1)} - 2

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1)} - 2$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) - 2 \cdot (2 (x + 1))$	=
$3 x + 1 - 4 x - 4$	=
$- x - 3$	=

$- x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{17}{x^{2}} + \frac{72}{x^{3}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{17}{x^{2}} + \frac{72}{x^{3}}$	=	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{17}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{72}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=
$x^{2} - 17 x + 72$	=

$x^{2} - 17 x + 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{17+1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{17-1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 3$ = $- 3 + \frac{16}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 3$	=	$- 3 + \frac{16}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 3 \cdot x$	=	$- 3 \cdot x + \frac{16}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 3 x$	=	$- 3 x + 16$
$x^{2} + 3 x$	=	$- 3 x + 16$

x^{2} + 3 x

=

- 3 x + 16

|

+ 3 x

- 16

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 4}{x} + \frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{15 x}{- 9 x + 24}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; 0}

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{2 x + 4}{x} + \frac{15 x}{- 9 x + 24}$	=	0
$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{2 x + 4}{x} + \frac{15 x}{3 (- 3 x + 8)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{2 x + 4}{x} + \frac{15 x}{3 (- 3 x + 8)}$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{2 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{2 x + 4}{x} \cdot (3 x - 8) + \frac{15 x}{3 (- 3 x + 8)} \cdot (3 x - 8)$	=
$2 x + \frac{(2 x + 4) (3 x - 8)}{x} + \frac{5 x (3 x - 8)}{- 3 x + 8}$	=
$2 x + \frac{(2 x + 4) (3 x - 8)}{x} - 5 x$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} - 4 x - 32}{x} - 5 x$	=
$\frac{6 x^{2} - 4 x - 32}{x} + 2 x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 4 x - 32}{x} + 2 x - 5 x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{6 x^{2} - 4 x - 32}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 5 x \cdot x$	=
$6 x^{2} - 4 x - 32 + 2 x \cdot x - 5 x \cdot x$	=
$6 x^{2} - 4 x - 32 + 2 x^{2} - 5 x^{2}$	=
$3 x^{2} - 4 x - 32$	=

$3 x^{2} - 4 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 384}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{400}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{4+20}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{4-20}{6}$ = $\frac{- 16}{6}$ = $- \frac{8}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 4 x - 32$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{32}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{32}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{32}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{96}{9}$ = $\frac{100}{9}$

x_1,2 = $\frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{100}{9}}$

x₁ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{10}{3}$ = $- \frac{8}{3}$ = -2.6666666666667

x₂ = $\frac{2}{3}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{8}{3}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{18}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{18}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$18$
$a x + x^{2} - 18$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

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Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):