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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{- x - 2}{x - 3}$ = $4$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{- x - 2}{x - 3}$	=	$4$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{- x - 2}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$4 \cdot (x - 3)$
$- x - 2$	=	$4 (x - 3)$

$- x - 2$	=	$4 x - 12$	\| $+ 2$
$- x$	=	$4 x - 10$	\| $- 4 x$
$- 5 x$	=	$- 10$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{- 28}{x + 1} - 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

x

=

\frac{28}{x + 1} - 4

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$x$	=	$\frac{28}{x + 1} - 4$	\|⋅( $x + 1$ )
$x \cdot (x + 1)$	=	$\frac{28}{x + 1} \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$
$x (x + 1)$	=	$28 - 4 x - 4$
$x \cdot x + x \cdot 1$	=	$28 - 4 x - 4$
$x \cdot x + x$	=	$28 - 4 x - 4$
$x^{2} + x$	=	$- 4 x + 24$

x^{2} + x

=

- 4 x + 24

|

+ 4 x

- 24

$x^{2} + 5 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5+11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5-11}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 2} + 4 x$ = $- \frac{- 25}{x + 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{x}{2 (x + 1)} + 4 x

=

\frac{25}{x + 1}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 1)} + 4 x$	=	$\frac{25}{x + 1}$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + 4 x \cdot (2 (x + 1))$	=	$\frac{25}{x + 1} \cdot (2 (x + 1))$
$x + 8 x (x + 1)$	=	$50$
$x + (8 x^{2} + 8 x)$	=	$50$
$8 x^{2} + 9 x$	=	$50$

8 x^{2} + 9 x

=

50

|

- 50

$8 x^{2} + 9 x - 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 50)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 1 600}}{16}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1 681}}{16}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1 681}}{16}$ = $\frac{- 9+41}{16}$ = $\frac{32}{16}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1 681}}{16}$ = $\frac{- 9-41}{16}$ = $\frac{- 50}{16}$ = $- 3,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} + 9 x - 50$ = 0 |: $8$

$x^{2} + \frac{9}{8} x - \frac{25}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{16})}^{2} - (- \frac{25}{4})$ = $\frac{81}{256}$ $+$ $\frac{25}{4}$ = $\frac{81}{256}$ $+$ $\frac{1600}{256}$ = $\frac{1681}{256}$

x_1,2 = $- \frac{9}{16}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{256}}$

x₁ = $- \frac{9}{16}$ - $\frac{41}{16}$ = $- \frac{50}{16}$ = -3.125

x₂ = $- \frac{9}{16}$ + $\frac{41}{16}$ = $\frac{32}{16}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,125$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{54}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{3}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{54}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{3}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{54}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$3 x$	=	$- x^{2} + 54$

3 x

=

- x^{2} + 54

|

+ x^{2}

- 54

$x^{2} + 3 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 3+15}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 3-15}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 54)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $54$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 2$ = $- \frac{3}{2} + \frac{1}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 2$	=	$- \frac{3}{2} + \frac{1}{2 x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 2 \cdot x$	=	$- \frac{3}{2} \cdot x + \frac{1}{2 x} \cdot x$
$x \cdot x - 2 x$	=	$- \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$
$x^{2} - 2 x$	=	$- \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$

$x^{2} - 2 x$	=	$- \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - 2 x)$	=	$2 (- \frac{3}{2} x + \frac{1}{2})$
$2 x^{2} - 4 x$	=	$- 3 x + 1$	\| $+ 3 x$ $- 1$

$2 x^{2} - x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{1+3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{1-3}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 1$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x + 3} + \frac{- 2}{x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

$\frac{6 x}{3 x + 3} - 5 - \frac{2}{x}$	=	0
$\frac{6 x}{3 (x + 1)} - 5 - \frac{2}{x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 (x + 1)} - 5 - \frac{2}{x}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x}{3 (x + 1)} \cdot (x + 1) - 5 \cdot (x + 1) - \frac{2}{x} \cdot (x + 1)$	=
$2 x - 5 x - 5 - 2 \frac{x + 1}{x}$	=
$2 x - 5 x - 5 - \frac{2 (x + 1)}{x}$	=
$- \frac{2 (x + 1)}{x} + 2 x - 5 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{2 (x + 1)}{x} + 2 x - 5 x - 5$	=	\|⋅( $x$ )
$- \frac{2 (x + 1)}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 5 x \cdot x - 5 \cdot x$	=
$- 2 x - 2 + 2 x \cdot x - 5 x \cdot x - 5 x$	=
$- 2 x - 2 + 2 x^{2} - 5 x^{2} - 5 x$	=
$- 3 x^{2} - 7 x - 2$	=

$- 3 x^{2} - 7 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{7+5}{- 6}$ = $\frac{12}{- 6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{7-5}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 7 x - 2$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{7}{3} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{6})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $- \frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $- \frac{7}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{12}{6}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 8$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 8$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 8$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 8 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 8 x$	=	$- a$
$x^{2} - 8 x + a$	=	0
$x^{2} - 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $- (2 + 6)$ = -8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 6$ = $12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):