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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4 x}{2 x + 3} - \frac{27}{2 x + 3}$ = $5$

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{4 x}{2 x + 3} - \frac{27}{2 x + 3}$	=	$5$	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{4 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) - \frac{27}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3)$	=	$5 \cdot (2 x + 3)$
$4 x - 27$	=	$5 (2 x + 3)$

$4 x - 27$	=	$10 x + 15$	\| $+ 27$
$4 x$	=	$10 x + 42$	\| $- 10 x$
$- 6 x$	=	$42$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 2} + \frac{5}{x - 2}$ = $\frac{14}{x^{2} - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $2$ }

\frac{x}{x + 2} + \frac{5}{x - 2}

=

\frac{14}{(x + 2) (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 2) (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{x + 2} + \frac{5}{x - 2}$	=	$\frac{14}{(x + 2) (x - 2)}$	\|⋅( $(x + 2) (x - 2)$ )
$\frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2) (x - 2) + \frac{5}{x - 2} \cdot (x + 2) (x - 2)$	=	$\frac{14}{(x + 2) (x - 2)} \cdot (x + 2) (x - 2)$
$x (x - 2) + 5 x + 10$	=	$14 \frac{x + 2}{x + 2}$
$x (x - 2) + 5 x + 10$	=	$14$
$x^{2} - 2 x + 5 x + 10$	=	$14$
$x^{2} + 3 x + 10$	=	$14$

x^{2} + 3 x + 10

=

14

|

- 14

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{9,5}{x - 2} - 3 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{9,5}{x - 2} - 3 x$	=	0
$\frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{9,5}{x - 2} - 3 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{9,5}{x - 2} - 3 x$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{9,5}{x - 2} \cdot (2 (x - 2)) - 3 x \cdot (2 (x - 2))$	=
$x + 19 - 6 x (x - 2)$	=
$x + 19 + (- 6 x^{2} + 12 x)$	=
$- 6 x^{2} + 13 x + 19$	=

$- 6 x^{2} + 13 x + 19$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 19}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 456}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{625}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{625}}{- 12}$ = $\frac{- 13+25}{- 12}$ = $\frac{12}{- 12}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{625}}{- 12}$ = $\frac{- 13-25}{- 12}$ = $\frac{- 38}{- 12}$ = $\frac{19}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 13 x + 19$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{13}{6} x - \frac{19}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{12})}^{2} - (- \frac{19}{6})$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{19}{6}$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{456}{144}$ = $\frac{625}{144}$

x_1,2 = $\frac{13}{12}$ ± $\sqrt{\frac{625}{144}}$

x₁ = $\frac{13}{12}$ - $\frac{25}{12}$ = $- \frac{12}{12}$ = -1

x₂ = $\frac{13}{12}$ + $\frac{25}{12}$ = $\frac{38}{12}$ = 3.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{19}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 - \frac{9}{x} - \frac{18}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 - \frac{9}{x} - \frac{18}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{9}{x} \cdot x^{2} - \frac{18}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} - 9 x - 18$

0

=

- x^{2} - 9 x - 18

|

+ x^{2}

+ 9 x

+ 18

$x^{2} + 9 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 9+3}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 9-3}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 12 - \frac{6}{x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 12 - \frac{6}{x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $x$ )
$- 12 \cdot x - \frac{6}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 5 \cdot x$
$- 12 x - 6$	=	$x \cdot x - 5 x$

- 12 x - 6

=

x^{2} - 5 x

|

- x^{2}

+ 5 x

$- x^{2} - 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{7+5}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{7-5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{3 x}{2 x - 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $- \frac{1}{3}$ }

\frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{8 x}{3 x + 1} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{8 x}{3 x + 1} - 5$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{3 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{8 x}{3 x + 1} \cdot (2 x - 1) - 5 \cdot (2 x - 1)$	=
$3 x + \frac{8 x (2 x - 1)}{3 x + 1} - 10 x + 5$	=
$3 x + \frac{16 x^{2} - 8 x}{3 x + 1} - 10 x + 5$	=
$\frac{16 x^{2} - 8 x}{3 x + 1} + 3 x - 10 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{16 x^{2} - 8 x}{3 x + 1} + 3 x - 10 x + 5$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{16 x^{2} - 8 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 3 x \cdot (3 x + 1) - 10 x \cdot (3 x + 1) + 5 \cdot (3 x + 1)$	=
$16 x^{2} - 8 x + 3 x (3 x + 1) - 10 x (3 x + 1) + 15 x + 5$	=
$16 x^{2} - 8 x + (9 x^{2} + 3 x) + (- 30 x^{2} - 10 x) + 15 x + 5$	=
$- 5 x^{2} + 5$	=

$- 5 x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 5 x^{2}$	=	$- 5$	\|: $(- 5)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 5$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 5$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 5$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 5 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 5 x$	=	$- x^{2}$
$a - 5 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $- (2 + 3)$ = -5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 3$ = $6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):