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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{1}{x}$ = $- 2$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$- 2$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x$	=	$- 2 \cdot x$
$- 1$	=	$- 2 x$

$- 1$	=	$- 2 x$	\| $+ 1$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$1$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{2}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2 x}{x - 5} - \frac{6}{2 x - 10}$ = $- 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

\frac{2 x}{x - 5} - \frac{6}{2 (x - 5)}

=

- 5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{2 x}{x - 5} - \frac{6}{2 (x - 5)}$	=	$- 5$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{2 x}{x - 5} \cdot (x - 5) + \frac{- 6}{2 (x - 5)} \cdot (x - 5)$	=	$- 5 \cdot (x - 5)$
$2 x - 3$	=	$- 5 (x - 5)$

$2 x - 3$	=	$- 5 x + 25$	\| $+ 3$
$2 x$	=	$- 5 x + 28$	\| $+ 5 x$
$7 x$	=	$28$	\|: $7$
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 6} + \frac{- 52}{6 x + 12}$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{3 x + 6} - \frac{52}{6 x + 12}$	=	$- x$
$\frac{x}{3 (x + 2)} - \frac{52}{6 (x + 2)}$	=	$- x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 2)} - \frac{52}{6 (x + 2)}$	=	$- x$	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + \frac{- 52}{6 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2))$	=	$- x \cdot (3 (x + 2))$
$x - 26$	=	$- 3 x \cdot (x + 2)$
$x - 26$	=	$- 3 x^{2} - 6 x$

x - 26

=

- 3 x^{2} - 6 x

|

+ 3 x^{2}

+ 6 x

$3 x^{2} + 7 x - 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 26)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 312}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{361}}{6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{361}}{6}$ = $\frac{- 7+19}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{361}}{6}$ = $\frac{- 7-19}{6}$ = $\frac{- 26}{6}$ = $- \frac{13}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 7 x - 26$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{7}{3} x - \frac{26}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{6})}^{2} - (- \frac{26}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{26}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{312}{36}$ = $\frac{361}{36}$

x_1,2 = $- \frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{361}{36}}$

x₁ = $- \frac{7}{6}$ - $\frac{19}{6}$ = $- \frac{26}{6}$ = -4.3333333333333

x₂ = $- \frac{7}{6}$ + $\frac{19}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{13}{3}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{7}{x} + \frac{18}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{7}{x} + \frac{18}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{7}{x} \cdot x^{2} + \frac{18}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$7 x + 18$

x^{2}

=

7 x + 18

|

- 7 x

- 18

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 1$ = $10 - \frac{24}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 1$	=	$10 - \frac{24}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 1 \cdot x$	=	$10 \cdot x - \frac{24}{x} \cdot x$
$x \cdot x - x$	=	$10 x - 24$
$x^{2} - x$	=	$10 x - 24$

x^{2} - x

=

10 x - 24

|

- 10 x

+ 24

$x^{2} - 11 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{11+5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{11-5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{8 x}{3 x + 2} + \frac{- 14 x}{x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- \frac{2}{3}$ }

\frac{6 x - 14 x}{x - 2} + \frac{8 x}{3 x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x - 14 x}{x - 2} + \frac{8 x}{3 x + 2}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x - 14 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{8 x}{3 x + 2} \cdot (x - 2)$	=
$6 x - 14 x + \frac{8 x \cdot (x - 2)}{3 x + 2}$	=
$6 x - 14 x + \frac{8 x^{2} - 16 x}{3 x + 2}$	=
$\frac{8 x^{2} - 16 x}{3 x + 2} + 6 x - 14 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 16 x}{3 x + 2} + 6 x - 14 x$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{8 x^{2} - 16 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + 6 x \cdot (3 x + 2) - 14 x \cdot (3 x + 2)$	=
$8 x^{2} - 16 x + 6 x \cdot (3 x + 2) - 14 x \cdot (3 x + 2)$	=
$8 x^{2} - 16 x + (18 x^{2} + 12 x) + (- 42 x^{2} - 28 x)$	=
$- 16 x^{2} - 32 x$	=

$- 16 x^{2} - 32 x$	=	0
$- 16 x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 3 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 3 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 3 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 3 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 3 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 3 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (2 + 1)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):