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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
- 35 x -9 = -5

Lösung einblenden

D=R\{ 9 }

Wir multiplizieren den Nenner x -9 weg!

- 35 x -9 = -5 |⋅( x -9 )
- 35 x -9 · ( x -9 ) = -5 · ( x -9 )
-35 = -5( x -9 )
-35 = -5x +45 | +35 +5x
5x = 80 |:5
x = 16

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 16 }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x x +6 + 9 x -6 = 108 x 2 -36

Lösung einblenden

D=R\{ -6 ; 6 }

x x +6 + 9 x -6 = 108 ( x +6 ) · ( x -6 ) |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner ( x +6 ) · ( x -6 ) weg!

x x +6 + 9 x -6 = 108 ( x +6 ) · ( x -6 ) |⋅( ( x +6 ) · ( x -6 ) )
x x +6 · ( x +6 ) · ( x -6 ) + 9 x -6 · ( x +6 ) · ( x -6 ) = 108 ( x +6 ) · ( x -6 ) · ( x +6 ) · ( x -6 )
x ( x -6 ) +9x +54 = 108 x +6 x +6
x ( x -6 ) +9x +54 = 108
x 2 -6x +9x +54 = 108
x 2 +3x +54 = 108
x 2 +3x +54 = 108 | -108

x 2 +3x -54 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · ( -54 ) 21

x1,2 = -3 ± 9 +216 2

x1,2 = -3 ± 225 2

x1 = -3 + 225 2 = -3 +15 2 = 12 2 = 6

x2 = -3 - 225 2 = -3 -15 2 = -18 2 = -9

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 3 2 ) 2 - ( -54 ) = 9 4 + 54 = 9 4 + 216 4 = 225 4

x1,2 = - 3 2 ± 225 4

x1 = - 3 2 - 15 2 = - 18 2 = -9

x2 = - 3 2 + 15 2 = 12 2 = 6

Lösung x= 6 ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ -9 }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-6,6 x -2 = - x 5x -10 -2x

Lösung einblenden

D=R\{ 2 }

- 6,6 x -2 = - x 5( x -2 ) -2x |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner 5( x -2 ) weg!

- 6,6 x -2 = - x 5( x -2 ) -2x |⋅( 5( x -2 ) )
- 6,6 x -2 · ( 5( x -2 ) ) = - x 5( x -2 ) · ( 5( x -2 ) ) -2x · ( 5( x -2 ) )
-33 = -x -10 x ( x -2 )
-33 = -10 x 2 +19x
-33 = -10 x 2 +19x | +10 x 2 -19x

10 x 2 -19x -33 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +19 ± ( -19 ) 2 -4 · 10 · ( -33 ) 210

x1,2 = +19 ± 361 +1320 20

x1,2 = +19 ± 1681 20

x1 = 19 + 1681 20 = 19 +41 20 = 60 20 = 3

x2 = 19 - 1681 20 = 19 -41 20 = -22 20 = -1,1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "10 " teilen:

10 x 2 -19x -33 = 0 |: 10

x 2 - 19 10 x - 33 10 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 19 20 ) 2 - ( - 33 10 ) = 361 400 + 33 10 = 361 400 + 1320 400 = 1681 400

x1,2 = 19 20 ± 1681 400

x1 = 19 20 - 41 20 = - 22 20 = -1.1

x2 = 19 20 + 41 20 = 60 20 = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -1,1 ; 3 }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

1 x 2 - 12 x 3 = - 20 x 4

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 4 weg!

1 x 2 - 12 x 3 = - 20 x 4 |⋅( x 4 )
1 x 2 · x 4 - 12 x 3 · x 4 = - 20 x 4 · x 4
x 2 -12x = -20
x 2 -12x = -20 | +20

x 2 -12x +20 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +12 ± ( -12 ) 2 -4 · 1 · 20 21

x1,2 = +12 ± 144 -80 2

x1,2 = +12 ± 64 2

x1 = 12 + 64 2 = 12 +8 2 = 20 2 = 10

x2 = 12 - 64 2 = 12 -8 2 = 4 2 = 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -6 ) 2 - 20 = 36 - 20 = 16

x1,2 = 6 ± 16

x1 = 6 - 4 = 2

x2 = 6 + 4 = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 2 ; 10 }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2x = 4x +8 x +5

Lösung einblenden

D=R\{ -5 }

Wir multiplizieren den Nenner x +5 weg!

2x = 4x +8 x +5 |⋅( x +5 )
2x · ( x +5 ) = 4x +8 x +5 · ( x +5 )
2 x ( x +5 ) = 4x +8
2 x · x +2 x · 5 = 4x +8
2 x · x +10x = 4x +8
2 x 2 +10x = 4x +8
2 x 2 +10x = 4x +8 | -4x -8
2 x 2 +6x -8 = 0 |:2

x 2 +3x -4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · ( -4 ) 21

x1,2 = -3 ± 9 +16 2

x1,2 = -3 ± 25 2

x1 = -3 + 25 2 = -3 +5 2 = 2 2 = 1

x2 = -3 - 25 2 = -3 -5 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 3 2 ) 2 - ( -4 ) = 9 4 + 4 = 9 4 + 16 4 = 25 4

x1,2 = - 3 2 ± 25 4

x1 = - 3 2 - 5 2 = - 8 2 = -4

x2 = - 3 2 + 5 2 = 2 2 = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -4 ; 1 }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

16x x +3 + 7x +1 2x + -17x +1 2x = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; -3 }

7x +1 -17x +1 2x + 16x x +3 = 0

Wir multiplizieren den Nenner 2x weg!

7x +1 -17x +1 2x + 16x x +3 = 0 |⋅( 2x )
7x +1 -17x +1 2x · 2x + 16x x +3 · 2x = 0
7x +1 -17x +1 +2 16 x · x x +3 = 0
7x +1 -17x +1 + 32 x 2 x +3 = 0
32 x 2 x +3 +7x -17x +1 +1 = 0

Wir multiplizieren den Nenner x +3 weg!

32 x 2 x +3 +7x -17x +1 +1 = 0 |⋅( x +3 )
32 x 2 x +3 · ( x +3 ) + 7x · ( x +3 ) -17x · ( x +3 ) + 1 · ( x +3 ) + 1 · ( x +3 ) = 0
32 x 2 +7 x ( x +3 )-17 x ( x +3 ) + x +3 + x +3 = 0
32 x 2 + ( 7 x 2 +21x ) + ( -17 x 2 -51x ) + x +3 + x +3 = 0
22 x 2 -28x +6 = 0
22 x 2 -28x +6 = 0 |:2

11 x 2 -14x +3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +14 ± ( -14 ) 2 -4 · 11 · 3 211

x1,2 = +14 ± 196 -132 22

x1,2 = +14 ± 64 22

x1 = 14 + 64 22 = 14 +8 22 = 22 22 = 1

x2 = 14 - 64 22 = 14 -8 22 = 6 22 = 3 11

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "11 " teilen:

11 x 2 -14x +3 = 0 |: 11

x 2 - 14 11 x + 3 11 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 7 11 ) 2 - ( 3 11 ) = 49 121 - 3 11 = 49 121 - 33 121 = 16 121

x1,2 = 7 11 ± 16 121

x1 = 7 11 - 4 11 = 3 11 = 0.27272727272727

x2 = 7 11 + 4 11 = 11 11 = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 3 11 ; 1 }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

x + a x = -7

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

x + a x = -7

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

x + a x = -7 |⋅x
x · x + a x · x = -7 · x
x 2 + a = -7x
x 2 + a +7x = 0
x 2 +7x + a = 0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

x 2 +7x + a = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn -( 2 -9 ) = 7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = 2 · ( -9 ) = -18

Zur Probe können wir ja noch mit a = -18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

x 2 +7x -18 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -7 ± 7 2 -4 · 1 · ( -18 ) 21

x1,2 = -7 ± 49 +72 2

x1,2 = -7 ± 121 2

x1 = -7 + 121 2 = -7 +11 2 = 4 2 = 2

x2 = -7 - 121 2 = -7 -11 2 = -18 2 = -9

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 7 2 ) 2 - ( -18 ) = 49 4 + 18 = 49 4 + 72 4 = 121 4

x1,2 = - 7 2 ± 121 4

x1 = - 7 2 - 11 2 = - 18 2 = -9

x2 = - 7 2 + 11 2 = 4 2 = 2

L={ -9 ; 2 }