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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4 x}{x - 3}$ = $- 5$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{- 4 x}{x - 3}$	=	$- 5$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{- 4 x}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$- 5 \cdot (x - 3)$
$- \frac{4 x}{1}$	=	$- 5 (x - 3)$
$- 4 x$	=	$- 5 (x - 3)$

$- 4 x$	=	$- 5 x + 15$	\| $+ 5 x$
$x$	=	$15$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $15$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 1} + \frac{10}{x - 1}$ = $- \frac{4}{x^{2} - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

\frac{x}{x + 1} + \frac{10}{x - 1}

=

- \frac{4}{(x + 1) \cdot (x - 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 1) \cdot (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{x + 1} + \frac{10}{x - 1}$	=	$- \frac{4}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$	\|⋅( $(x + 1) \cdot (x - 1)$ )
$\frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) + \frac{10}{x - 1} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$	=	$- \frac{4}{(x + 1) \cdot (x - 1)} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$
$x (x - 1) + 10 x + 10$	=	$- 4 \frac{x + 1}{x + 1}$
$x (x - 1) + 10 x + 10$	=	$- 4$
$x^{2} - x + 10 x + 10$	=	$- 4$
$x^{2} + 9 x + 10$	=	$- 4$

x^{2} + 9 x + 10

=

- 4

|

+ 4

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x - 2} - \frac{3}{x - 1} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x - 2} - \frac{3}{x - 1} + 2 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} - \frac{3}{x - 1} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} - \frac{3}{x - 1} + 2 x$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{- 3}{x - 1} \cdot (2 (x - 1)) + 2 x \cdot (2 (x - 1))$
=	$- x - 6 + 4 x (x - 1)$
=	$4 x^{2} - 5 x - 6$

0

=

4 x^{2} - 5 x - 6

|

- 4 x^{2}

+ 5 x

+ 6

$- 4 x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 6}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{- 5+11}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{- 5-11}{- 8}$ = $\frac{- 16}{- 8}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 5 x + 6$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{5}{4} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{8})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $\frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $\frac{5}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{5}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $\frac{14}{x^{2}} - \frac{40}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$\frac{14}{x^{2}} - \frac{40}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{14}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{40}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$14 x - 40$

x^{2}

=

14 x - 40

|

- 14 x

+ 40

$x^{2} - 14 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{14+6}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{14-6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 40$ = $49$ $-$ $40$ = $9$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $7$ - $3$ = 4

x₂ = $7$ + $3$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 - \frac{8}{x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$6 - \frac{8}{x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $x$ )
$6 \cdot x - \frac{8}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 3 \cdot x$
$6 x - 8$	=	$x \cdot x - 3 x$

6 x - 8

=

x^{2} - 3 x

|

- x^{2}

+ 3 x

$- x^{2} + 9 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 9+7}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 9-7}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{24 x}{- 6 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; $- \frac{1}{3}$ }

$\frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{24 x}{- 6 x - 2}$	=	0
$\frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{24 x}{- 2 (3 x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{24 x}{- 2 (3 x + 1)}$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{12 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{6 x}{3 x + 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{24 x}{- 2 (3 x + 1)} \cdot (3 x - 1)$	=
$12 x + \frac{6 x (3 x - 1)}{3 x + 1} - \frac{12 x (3 x - 1)}{3 x + 1}$	=
$12 x + \frac{18 x^{2} - 6 x}{3 x + 1} - \frac{36 x^{2} - 12 x}{3 x + 1}$	=
$\frac{18 x^{2} - 6 x - 36 x^{2} + 12 x}{3 x + 1} + 12 x$	=

\frac{18 x^{2} - 36 x^{2} - 6 x + 12 x}{3 x + 1} + 12 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{18 x^{2} - 36 x^{2} - 6 x + 12 x}{3 x + 1} + 12 x$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{18 x^{2} - 36 x^{2} - 6 x + 12 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 12 x \cdot (3 x + 1)$	=
$18 x^{2} - 36 x^{2} - 6 x + 12 x + 12 x (3 x + 1)$	=
$18 x^{2} - 36 x^{2} - 6 x + 12 x + (36 x^{2} + 12 x)$	=
$18 x^{2} + 18 x$	=

$18 x^{2} + 18 x$	=	0
$18 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 2$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 2$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 2$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 2 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 2 x$
$x^{2} + a + 2 x$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):