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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6 x}{3 x - 3} + \frac{36}{3 x - 3}$ = $- 4$

D=R\{ $1$ }

- \frac{6 x}{3 (x - 1)} + \frac{36}{3 (x - 1)}

=

- 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{6 x}{3 (x - 1)} + \frac{36}{3 (x - 1)}$	=	$- 4$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{6 x}{3 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{36}{3 (x - 1)} \cdot (x - 1)$	=	$- 4 \cdot (x - 1)$
$- 2 x + 12$	=	$- 4 (x - 1)$

$- 2 x + 12$	=	$- 4 x + 4$	\| $- 12$
$- 2 x$	=	$- 4 x - 8$	\| $+ 4 x$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 1} + \frac{10}{x - 1}$ = $\frac{2}{x^{2} - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

\frac{x}{x + 1} + \frac{10}{x - 1}

=

\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 1) (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{x + 1} + \frac{10}{x - 1}$	=	$\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$	\|⋅( $(x + 1) (x - 1)$ )
$\frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1) (x - 1) + \frac{10}{x - 1} \cdot (x + 1) (x - 1)$	=	$\frac{2}{(x + 1) (x - 1)} \cdot (x + 1) (x - 1)$
$x (x - 1) + 10 x + 10$	=	$2 \frac{x + 1}{x + 1}$
$x (x - 1) + 10 x + 10$	=	$2$
$x^{2} - x + 10 x + 10$	=	$2$
$x^{2} + 9 x + 10$	=	$2$

x^{2} + 9 x + 10

=

2

|

- 2

$x^{2} + 9 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Lösung x= $- 1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{3 x - 9} + \frac{3 x + 4}{x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $3$ }

$\frac{3 x + 4}{x} + \frac{2 x + 1}{3 x - 9} - 7$	=	0
$\frac{3 x + 4}{x} + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x + 4}{x} + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} - 7$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x + 4}{x} \cdot x + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} \cdot x - 7 \cdot x$	=
$3 x + 4 + \frac{(2 x + 1) x}{3 (x - 3)} - 7 x$	=
$3 x + 4 + \frac{2 x^{2} + x}{3 (x - 3)} - 7 x$	=
$\frac{2 x^{2} + x}{3 (x - 3)} + 3 x - 7 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{2 x^{2} + x}{3 (x - 3)} + 3 x - 7 x + 4$	=	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{2 x^{2} + x}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + 3 x \cdot (3 (x - 3)) - 7 x \cdot (3 (x - 3)) + 4 \cdot (3 (x - 3))$	=
$2 x^{2} + x + 9 x (x - 3) - 21 x (x - 3) + 12 x - 36$	=
$2 x^{2} + x + (9 x^{2} - 27 x) + (- 21 x^{2} + 63 x) + 12 x - 36$	=
$- 10 x^{2} + 49 x - 36$	=

$- 10 x^{2} + 49 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{49^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{2 401 - 1 440}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{961}}{- 20}$

x₁ = $\frac{- 49 + \sqrt{961}}{- 20}$ = $\frac{- 49+31}{- 20}$ = $\frac{- 18}{- 20}$ = $0,9$

x₂ = $\frac{- 49 - \sqrt{961}}{- 20}$ = $\frac{- 49-31}{- 20}$ = $\frac{- 80}{- 20}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} + 49 x - 36$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} - \frac{49}{10} x + \frac{18}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{49}{20})}^{2} - (\frac{18}{5})$ = $\frac{2401}{400}$ $-$ $\frac{18}{5}$ = $\frac{2401}{400}$ $-$ $\frac{1440}{400}$ = $\frac{961}{400}$

x_1,2 = $\frac{49}{20}$ ± $\sqrt{\frac{961}{400}}$

x₁ = $\frac{49}{20}$ - $\frac{31}{20}$ = $\frac{18}{20}$ = 0.9

x₂ = $\frac{49}{20}$ + $\frac{31}{20}$ = $\frac{80}{20}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,9$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{17}{x^{2}} + \frac{72}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{17}{x^{2}} + \frac{72}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{17}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{72}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 17 x + 72$	=	$- x^{2}$

- 17 x + 72

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 17 x + 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{17+1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{17-1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 5$ = $\frac{- 3 x - 6}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x - 5$	=	$\frac{- 3 x - 6}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x - 5 \cdot 2 x$	=	$\frac{- 3 x - 6}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x - 10 x$	=	$- 3 x - 6$
$2 x^{2} - 10 x$	=	$- 3 x - 6$

2 x^{2} - 10 x

=

- 3 x - 6

|

+ 3 x

+ 6

$2 x^{2} - 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{7+1}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{7-1}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x + 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{2 x + 5} + \frac{x + 2}{2 x + 6} + \frac{- 5 x - 2}{6 x + 15}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{5}{2}$ }

$\frac{x + 2}{2 x + 6} + \frac{x + 1}{2 x + 5} + \frac{- 5 x - 2}{6 x + 15}$	=	0
$\frac{x + 2}{2 (x + 3)} + \frac{x + 1}{2 x + 5} + \frac{- 5 x - 2}{3 (2 x + 5)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$\frac{x + 2}{2 (x + 3)} + \frac{x + 1}{2 x + 5} + \frac{- 5 x - 2}{3 (2 x + 5)}$	=	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{x + 2}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + \frac{x + 1}{2 x + 5} \cdot (2 (x + 3)) + \frac{- 5 x - 2}{3 (2 x + 5)} \cdot (2 (x + 3))$	=
$x + 2 + 2 \frac{(x + 1) (x + 3)}{2 x + 5} + 2 \frac{(- 5 x - 2) (x + 3)}{3 (2 x + 5)}$	=
$x + 2 + \frac{2 (x^{2} + 4 x + 3)}{2 x + 5} + \frac{2 (- 5 x^{2} - 17 x - 6)}{3 (2 x + 5)}$	=
$\frac{2 (- 5 x^{2} - 17 x - 6)}{3 (2 x + 5)} + \frac{2 (x^{2} + 4 x + 3)}{2 x + 5} + x + 2$	=

\frac{2 (x^{2} + 4 x + 3)}{2 x + 5} + \frac{2 (- 5 x^{2} - 17 x - 6)}{3 (2 x + 5)} + x + 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 (2 x + 5)$ weg!

$\frac{2 (x^{2} + 4 x + 3)}{2 x + 5} + \frac{2 (- 5 x^{2} - 17 x - 6)}{3 (2 x + 5)} + x + 2$	=	\|⋅( $3 (2 x + 5)$ )
$\frac{2 (x^{2} + 4 x + 3)}{2 x + 5} \cdot (3 (2 x + 5)) + \frac{2 (- 5 x^{2} - 17 x - 6)}{3 (2 x + 5)} \cdot (3 (2 x + 5)) + x \cdot (3 (2 x + 5)) + 2 \cdot (3 (2 x + 5))$	=
$6 x^{2} + 24 x + 18 - 10 x^{2} - 34 x - 12 + 3 x (2 x + 5) + 12 x + 30$	=
$6 x^{2} + 24 x + 18 - 10 x^{2} - 34 x - 12 + (6 x^{2} + 15 x) + 12 x + 30$	=
$2 x^{2} + 17 x + 36$	=

$2 x^{2} + 17 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 36}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 17+1}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 17-1}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 17 x + 36$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{17}{2} x + 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{4})}^{2} - 18$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $18$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{288}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{17}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{18}{4}$ = -4.5

x₂ = $- \frac{17}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,5$ ; $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{20}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{20}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{20}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{20}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$20 + a x$	=	$- x^{2}$
$20 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

L={ $2$ ; $10$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):