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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{25}{x + 3}$ = $5$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- \frac{25}{x + 3}$	=	$5$	\|⋅( $x + 3$ )
$- \frac{25}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$5 \cdot (x + 3)$
$- 25$	=	$5 (x + 3)$

$- 25$	=	$5 x + 15$	\| $+ 25$ $- 5 x$
$- 5 x$	=	$40$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x}{3 x + 4}$ = $- x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{7 x}{3 x + 4}$	=	$- x + 2$	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{7 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4)$	=	$- x \cdot (3 x + 4) + 2 \cdot (3 x + 4)$
$7 x$	=	$- x \cdot (3 x + 4) + 6 x + 8$
$7 x$	=	$- 3 x^{2} + 2 x + 8$

7 x

=

- 3 x^{2} + 2 x + 8

|

+ 3 x^{2}

- 2 x

- 8

$3 x^{2} + 5 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 5+11}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 5-11}{6}$ = $\frac{- 16}{6}$ = $- \frac{8}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 5 x - 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{5}{3} x - \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{6})}^{2} - (- \frac{8}{3})$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{96}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $- \frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $- \frac{5}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{16}{6}$ = -2.6666666666667

x₂ = $- \frac{5}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{8}{3}$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{4 x + 16} - \frac{- 3,5}{x + 4} + x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

0	=	$- \frac{x}{4 x + 16} + \frac{3,5}{x + 4} + x$
0	=	$- \frac{x}{4 (x + 4)} + \frac{3,5}{x + 4} + x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 4)$ weg!

=	$- \frac{x}{4 (x + 4)} + \frac{3,5}{x + 4} + x$	\|⋅( $4 (x + 4)$ )
=	$- \frac{x}{4 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) + \frac{3,5}{x + 4} \cdot (4 (x + 4)) + x \cdot (4 (x + 4))$
=	$- x + 14 + 4 x \cdot (x + 4)$
=	$4 x^{2} + 15 x + 14$

0

=

4 x^{2} + 15 x + 14

|

- 4 x^{2}

- 15 x

- 14

$- 4 x^{2} - 15 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 14)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{1}}{- 8}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{1}}{- 8}$ = $\frac{15+1}{- 8}$ = $\frac{16}{- 8}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{1}}{- 8}$ = $\frac{15-1}{- 8}$ = $\frac{14}{- 8}$ = $- 1,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 15 x - 14$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{15}{4} x + \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{8})}^{2} - (\frac{7}{2})$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{224}{64}$ = $\frac{1}{64}$

x_1,2 = $- \frac{15}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1}{64}}$

x₁ = $- \frac{15}{8}$ - $\frac{1}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{15}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $- \frac{14}{8}$ = -1.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1,75$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{64}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{64}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{64}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$64$

$x^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
x₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $\frac{19 x + 4}{x + 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$3 x$	=	$\frac{19 x + 4}{x + 5}$	\|⋅( $x + 5$ )
$3 x \cdot (x + 5)$	=	$\frac{19 x + 4}{x + 5} \cdot (x + 5)$
$3 x \cdot (x + 5)$	=	$19 x + 4$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot 5$	=	$19 x + 4$
$3 x \cdot x + 15 x$	=	$19 x + 4$
$3 x^{2} + 15 x$	=	$19 x + 4$

3 x^{2} + 15 x

=

19 x + 4

|

- 19 x

- 4

$3 x^{2} - 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{4+8}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{4-8}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 4 x - 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{12}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $\frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{2}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{x - 1} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ ; $1$ }

\frac{x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{x - 1} - 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{x - 1} - 2$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{2 x + 1}{x - 1} \cdot (3 x + 4) - 2 \cdot (3 x + 4)$	=
$x + \frac{(2 x + 1) \cdot (3 x + 4)}{x - 1} - 6 x - 8$	=
$x + \frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{x - 1} - 6 x - 8$	=
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{x - 1} + x - 6 x - 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{x - 1} + x - 6 x - 8$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{x - 1} \cdot (x - 1) + x \cdot (x - 1) - 6 x \cdot (x - 1) - 8 \cdot (x - 1)$	=
$6 x^{2} + 11 x + 4 + x \cdot (x - 1) - 6 x \cdot (x - 1) - 8 x + 8$	=
$6 x^{2} + 11 x + 4 + (x^{2} - x) + (- 6 x^{2} + 6 x) - 8 x + 8$	=
$x^{2} + 8 x + 12$	=

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 4$ - $2$ = -6

x₂ = $- 4$ + $2$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$1 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$1 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x + x^{2}$	=	$- a$
$x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):