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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7}{x}$ = $3$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{7}{x}$	=	$3$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{7}{x} \cdot x$	=	$3 \cdot x$
$- 7$	=	$3 x$

$- 7$	=	$3 x$	\| $+ 7$ $- 3 x$
$- 3 x$	=	$7$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- \frac{7}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{7}{3}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 9} + \frac{1}{x - 9}$ = $\frac{137}{x^{2} - 81}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 9$ ; $9$ }

\frac{x}{x + 9} + \frac{1}{x - 9}

=

\frac{137}{(x + 9) \cdot (x - 9)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 9) \cdot (x - 9)$ weg!

$\frac{x}{x + 9} + \frac{1}{x - 9}$	=	$\frac{137}{(x + 9) \cdot (x - 9)}$	\|⋅( $(x + 9) \cdot (x - 9)$ )
$\frac{x}{x + 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9) + \frac{1}{x - 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$	=	$\frac{137}{(x + 9) \cdot (x - 9)} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$
$x (x - 9) + x + 9$	=	$137 \frac{x + 9}{x + 9}$
$x (x - 9) + x + 9$	=	$137$
$x^{2} - 9 x + x + 9$	=	$137$
$x^{2} - 8 x + 9$	=	$137$

x^{2} - 8 x + 9

=

137

|

- 137

$x^{2} - 8 x - 128$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 128)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 512}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{576}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{576}}{2}$ = $\frac{8+24}{2}$ = $\frac{32}{2}$ = $16$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{576}}{2}$ = $\frac{8-24}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - (- 128)$ = $16$ $+$ $128$ = $144$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{144}$

x₁ = $4$ - $12$ = -8

x₂ = $4$ + $12$ = 16

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $16$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x$ = $- \frac{x}{3 x - 6} - \frac{76}{3 x - 6}$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$- x$	=	$- \frac{x}{3 x - 6} - \frac{76}{3 x - 6}$
$- x$	=	$- \frac{x}{3 (x - 2)} - \frac{76}{3 (x - 2)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$- x$	=	$- \frac{x}{3 (x - 2)} - \frac{76}{3 (x - 2)}$	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$- x \cdot (3 (x - 2))$	=	$- \frac{x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) - \frac{76}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2))$
$- 3 x (x - 2)$	=	$- x - 76$
$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot (- 2)$	=	$- x - 76$
$- 3 x \cdot x + 6 x$	=	$- x - 76$
$- 3 x^{2} + 6 x$	=	$- x - 76$

- 3 x^{2} + 6 x

=

- x - 76

|

+ x

+ 76

$- 3 x^{2} + 7 x + 76$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 76}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 912}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{961}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{961}}{- 6}$ = $\frac{- 7+31}{- 6}$ = $\frac{24}{- 6}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{961}}{- 6}$ = $\frac{- 7-31}{- 6}$ = $\frac{- 38}{- 6}$ = $\frac{19}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 7 x + 76$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{7}{3} x - \frac{76}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{6})}^{2} - (- \frac{76}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{76}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{912}{36}$ = $\frac{961}{36}$

x_1,2 = $\frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{961}{36}}$

x₁ = $\frac{7}{6}$ - $\frac{31}{6}$ = $- \frac{24}{6}$ = -4

x₂ = $\frac{7}{6}$ + $\frac{31}{6}$ = $\frac{38}{6}$ = 6.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{19}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{16 x + 60}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{16 x + 60}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{16 x + 60}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$16 x + 60$

- x^{2}

=

16 x + 60

|

- 16 x

- 60

$- x^{2} - 16 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{16+4}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{16-4}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 16 x - 60$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 16 x + 60$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 60$ = $64$ $-$ $60$ = $4$

x_1,2 = $- 8$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 8$ - $2$ = -10

x₂ = $- 8$ + $2$ = -6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 12}{4 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{3 x - 12}{4 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{3 x - 12}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 4 \cdot 4 x$
$3 x - 12$	=	$4 x \cdot x - 16 x$

3 x - 12

=

4 x^{2} - 16 x

|

- 4 x^{2}

+ 16 x

$- 4 x^{2} + 19 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{169}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{- 19+13}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{- 19-13}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 19 x - 12$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{19}{4} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{8})}^{2} - 3$ = $\frac{361}{64}$ $-$ $3$ = $\frac{361}{64}$ $-$ $\frac{192}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $\frac{19}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $\frac{19}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{19}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{3 x + 10} + \frac{2 x}{3 x + 8} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; $- \frac{10}{3}$ }

\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{2 x + 2}{3 x + 10} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{2 x + 2}{3 x + 10} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{2 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{2 x + 2}{3 x + 10} \cdot (3 x + 8) - 5 \cdot (3 x + 8)$	=
$2 x + \frac{(2 x + 2) (3 x + 8)}{3 x + 10} - 15 x - 40$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} + 22 x + 16}{3 x + 10} - 15 x - 40$	=
$\frac{6 x^{2} + 22 x + 16}{3 x + 10} + 2 x - 15 x - 40$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 22 x + 16}{3 x + 10} + 2 x - 15 x - 40$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{6 x^{2} + 22 x + 16}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + 2 x \cdot (3 x + 10) - 15 x \cdot (3 x + 10) - 40 \cdot (3 x + 10)$	=
$6 x^{2} + 22 x + 16 + 2 x (3 x + 10) - 15 x (3 x + 10) - 120 x - 400$	=
$6 x^{2} + 22 x + 16 + (6 x^{2} + 20 x) + (- 45 x^{2} - 150 x) - 120 x - 400$	=
$- 33 x^{2} - 228 x - 384$	=

- 33 x^{2} - 228 x - 384

= 0 |:3

$- 11 x^{2} - 76 x - 128$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 76 \pm \sqrt{{(- 76)}^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 128)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{+ 76 \pm \sqrt{5 776 - 5 632}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{+ 76 \pm \sqrt{144}}{- 22}$

x₁ = $\frac{76 + \sqrt{144}}{- 22}$ = $\frac{76+12}{- 22}$ = $\frac{88}{- 22}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{76 - \sqrt{144}}{- 22}$ = $\frac{76-12}{- 22}$ = $\frac{64}{- 22}$ = $- \frac{32}{11}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 11$ " teilen:

$- 11 x^{2} - 76 x - 128$ = 0 |: $- 11$

$x^{2} + \frac{76}{11} x + \frac{128}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{38}{11})}^{2} - (\frac{128}{11})$ = $\frac{1444}{121}$ $-$ $\frac{128}{11}$ = $\frac{1444}{121}$ $-$ $\frac{1408}{121}$ = $\frac{36}{121}$

x_1,2 = $- \frac{38}{11}$ ± $\sqrt{\frac{36}{121}}$

x₁ = $- \frac{38}{11}$ - $\frac{6}{11}$ = $- \frac{44}{11}$ = -4

x₂ = $- \frac{38}{11}$ + $\frac{6}{11}$ = $- \frac{32}{11}$ = -2.9090909090909

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{32}{11}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{30}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{30}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{30}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{30}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$30 + a x$	=	$- x^{2}$
$30 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 15)$ = $- 17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 17 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17+13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17-13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = 15

L={ $2$ ; $15$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):