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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{- 7 x + 19}{2 x + 2}$ = $3$

D=R\{ $- 1$ }

\frac{- 7 x + 19}{2 (x + 1)}

=

3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{- 7 x + 19}{2 (x + 1)}$	=	$3$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{- 7 x + 19}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1))$	=	$3 \cdot (2 (x + 1))$
$- 7 x + 19$	=	$6 (x + 1)$

$- 7 x + 19$	=	$6 x + 6$	\| $- 19$
$- 7 x$	=	$6 x - 13$	\| $- 6 x$
$- 13 x$	=	$- 13$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3 x}{x - 2} - \frac{48}{3 x - 6}$ = $1$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{3 x}{x - 2} - \frac{48}{3 (x - 2)}

=

1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{3 x}{x - 2} - \frac{48}{3 (x - 2)}$	=	$1$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{3 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{- 48}{3 (x - 2)} \cdot (x - 2)$	=	$1 \cdot (x - 2)$
$3 x - 16$	=	$x - 2$

$3 x - 16$	=	$x - 2$	\| $+ 16$
$3 x$	=	$x + 14$	\| $- x$
$2 x$	=	$14$	\|: $2$
$x$	=	$7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{x + 2} + \frac{- 4}{x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; 0}

\frac{2 x + 2}{x + 2} - 4 - \frac{4}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x + 2}{x + 2} - 4 - \frac{4}{x}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x + 2}{x + 2} \cdot (x + 2) - 4 \cdot (x + 2) - \frac{4}{x} \cdot (x + 2)$	=
$2 x + 2 - 4 x - 8 - 4 \frac{x + 2}{x}$	=
$2 x + 2 - 4 x - 8 - \frac{4 (x + 2)}{x}$	=
$- \frac{4 (x + 2)}{x} + 2 x - 4 x + 2 - 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{4 (x + 2)}{x} + 2 x - 4 x + 2 - 8$	=	\|⋅( $x$ )
$- \frac{4 (x + 2)}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x + 2 \cdot x - 8 \cdot x$	=
$- 4 x - 8 + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x + 2 x - 8 x$	=
$- 4 x - 8 + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 x - 8 x$	=
$- 2 x^{2} - 10 x - 8$	=

- 2 x^{2} - 10 x - 8

= 0 |:2

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5+3}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5-3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{- 5 x - 24}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{- 5 x - 24}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{- 5 x - 24}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$- 5 x - 24$

- x^{2}

=

- 5 x - 24

|

+ 5 x

+ 24

$- x^{2} + 5 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 24}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{- 5+11}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{- 5-11}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x + 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x - 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 9 x - 10}{x - 2}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 9 x - 10}{x - 2}$	=	$x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 9 x - 10}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$x \cdot (x - 2)$
$- 9 x - 10$	=	$x (x - 2)$
$- 9 x - 10$	=	$x^{2} - 2 x$

- 9 x - 10

=

x^{2} - 2 x

|

- x^{2}

+ 2 x

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7+3}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7-3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{2 x} + \frac{8 x}{3 x - 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{x + 1}{2 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{x + 1}{2 x} - 5$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{x + 1}{2 x} \cdot (3 x - 1) - 5 \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x + \frac{(x + 1) (3 x - 1)}{2 x} - 15 x + 5$	=
$8 x + \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x} - 15 x + 5$	=
$\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x} + 8 x - 15 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x} + 8 x - 15 x + 5$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x} \cdot 2 x + 8 x \cdot 2 x - 15 x \cdot 2 x + 5 \cdot 2 x$	=
$3 x^{2} + 2 x - 1 + 16 x \cdot x - 30 x \cdot x + 10 x$	=
$3 x^{2} + 2 x - 1 + 16 x^{2} - 30 x^{2} + 10 x$	=
$- 11 x^{2} + 12 x - 1$	=

$- 11 x^{2} + 12 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 44}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{100}}{- 22}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{100}}{- 22}$ = $\frac{- 12+10}{- 22}$ = $\frac{- 2}{- 22}$ = $\frac{1}{11}$ ≈ 0.09

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{100}}{- 22}$ = $\frac{- 12-10}{- 22}$ = $\frac{- 22}{- 22}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 11$ " teilen:

$- 11 x^{2} + 12 x - 1$ = 0 |: $- 11$

$x^{2} - \frac{12}{11} x + \frac{1}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{6}{11})}^{2} - (\frac{1}{11})$ = $\frac{36}{121}$ $-$ $\frac{1}{11}$ = $\frac{36}{121}$ $-$ $\frac{11}{121}$ = $\frac{25}{121}$

x_1,2 = $\frac{6}{11}$ ± $\sqrt{\frac{25}{121}}$

x₁ = $\frac{6}{11}$ - $\frac{5}{11}$ = $\frac{1}{11}$ = 0.090909090909091

x₂ = $\frac{6}{11}$ + $\frac{5}{11}$ = $\frac{11}{11}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{11}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{6}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{6}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{6}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{6}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 6$	=	$- x^{2}$
$a x - 6 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 3)$ = -6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 3)$ = $1$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 1 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):