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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{x}{3 x - 4} - \frac{8}{3 x - 4}$ = $- 5$

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$- \frac{x}{3 x - 4} - \frac{8}{3 x - 4}$	=	$- 5$	\|⋅( $3 x - 4$ )
$- \frac{x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) - \frac{8}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4)$	=	$- 5 \cdot (3 x - 4)$
$- x - 8$	=	$- 5 (3 x - 4)$

$- x - 8$	=	$- 15 x + 20$	\| $+ 8$
$- x$	=	$- 15 x + 28$	\| $+ 15 x$
$14 x$	=	$28$	\|: $14$
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 8} + \frac{2}{x - 8}$ = $\frac{176}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x + 8} + \frac{2}{x - 8}

=

\frac{176}{(x + 8) \cdot (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) \cdot (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x + 8} + \frac{2}{x - 8}$	=	$\frac{176}{(x + 8) \cdot (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) \cdot (x - 8)$ )
$\frac{x}{x + 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8) + \frac{2}{x - 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$	=	$\frac{176}{(x + 8) \cdot (x - 8)} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$
$x \cdot (x - 8) + 2 x + 16$	=	$176 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x \cdot (x - 8) + 2 x + 16$	=	$176$
$x^{2} - 8 x + 2 x + 16$	=	$176$
$x^{2} - 6 x + 16$	=	$176$

x^{2} - 6 x + 16

=

176

|

- 176

$x^{2} - 6 x - 160$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 160)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 640}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{676}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{676}}{2}$ = $\frac{6+26}{2}$ = $\frac{32}{2}$ = $16$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{676}}{2}$ = $\frac{6-26}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 160)$ = $9$ $+$ $160$ = $169$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{169}$

x₁ = $3$ - $13$ = -10

x₂ = $3$ + $13$ = 16

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $16$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{0,25}{x + 1}$ = $- \frac{x}{4 x + 4} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{0,25}{x + 1}

=

- \frac{x}{4 (x + 1)} - 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$\frac{0,25}{x + 1}$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} - 3 x$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$\frac{0,25}{x + 1} \cdot (4 (x + 1))$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) - 3 x \cdot (4 (x + 1))$
$1$	=	$- x - 12 x \cdot (x + 1)$
$1$	=	$- 12 x^{2} - 13 x$

1

=

- 12 x^{2} - 13 x

|

+ 12 x^{2}

+ 13 x

$12 x^{2} + 13 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 1}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{24}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{24}$ = $\frac{- 13+11}{24}$ = $\frac{- 2}{24}$ = $- \frac{1}{12}$ ≈ -0.08

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{24}$ = $\frac{- 13-11}{24}$ = $\frac{- 24}{24}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} + 13 x + 1$ = 0 |: $12$

$x^{2} + \frac{13}{12} x + \frac{1}{12}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{24})}^{2} - (\frac{1}{12})$ = $\frac{169}{576}$ $-$ $\frac{1}{12}$ = $\frac{169}{576}$ $-$ $\frac{48}{576}$ = $\frac{121}{576}$

x_1,2 = $- \frac{13}{24}$ ± $\sqrt{\frac{121}{576}}$

x₁ = $- \frac{13}{24}$ - $\frac{11}{24}$ = $- \frac{24}{24}$ = -1

x₂ = $- \frac{13}{24}$ + $\frac{11}{24}$ = $- \frac{2}{24}$ = -0.083333333333333

Lösung x= $- 1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- \frac{1}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{8}{x} + \frac{12}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{8}{x} + \frac{12}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{8}{x} \cdot x^{2} + \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} + 8 x + 12$	=

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 4$ - $2$ = -6

x₂ = $- 4$ + $2$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{33 x - 18}{x + 4}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{33 x - 18}{x + 4}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{33 x - 18}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$3 x \cdot (x + 4)$
$33 x - 18$	=	$3 x \cdot (x + 4)$
$33 x - 18$	=	$3 x^{2} + 12 x$

33 x - 18

=

3 x^{2} + 12 x

|

- 3 x^{2}

- 12 x

- 3 x^{2} + 21 x - 18

= 0 |:3

$- x^{2} + 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 7+5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 7-5}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x + 6} + \frac{- 4}{x} + \frac{- 6 x - 4}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

$\frac{2 x}{2 x + 6} + \frac{- 6 x - 4}{x} - \frac{4}{x}$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x + 3)} + \frac{- 6 x - 4}{x} - \frac{4}{x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x + 3)} + \frac{- 6 x - 4}{x} - \frac{4}{x}$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{2 x}{2 (x + 3)} \cdot (x + 3) + \frac{- 6 x - 4}{x} \cdot (x + 3) - \frac{4}{x} \cdot (x + 3)$	=
$x + \frac{(- 6 x - 4) \cdot (x + 3)}{x} - 4 \frac{x + 3}{x}$	=
$x + \frac{- 6 x^{2} - 22 x - 12}{x} - \frac{4 (x + 3)}{x}$	=
$\frac{- 6 x^{2} - 22 x - 12 - 4 x - 12}{x} + x$	=

\frac{- 6 x^{2} - 22 x - 4 x - 12 - 12}{x} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{- 6 x^{2} - 22 x - 4 x - 12 - 12}{x} + x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{- 6 x^{2} - 22 x - 4 x - 12 - 12}{x} \cdot x + x \cdot x$	=
$- 6 x^{2} - 22 x - 4 x - 12 - 12 + x \cdot x$	=
$- 6 x^{2} - 22 x - 4 x - 12 - 12 + x^{2}$	=
$- 5 x^{2} - 26 x - 24$	=

$- 5 x^{2} - 26 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 480}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{196}}{- 10}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{196}}{- 10}$ = $\frac{26+14}{- 10}$ = $\frac{40}{- 10}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{196}}{- 10}$ = $\frac{26-14}{- 10}$ = $\frac{12}{- 10}$ = $- 1,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 26 x - 24$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{26}{5} x + \frac{24}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{5})}^{2} - (\frac{24}{5})$ = $\frac{169}{25}$ $-$ $\frac{24}{5}$ = $\frac{169}{25}$ $-$ $\frac{120}{25}$ = $\frac{49}{25}$

x_1,2 = $- \frac{13}{5}$ ± $\sqrt{\frac{49}{25}}$

x₁ = $- \frac{13}{5}$ - $\frac{7}{5}$ = $- \frac{20}{5}$ = -4

x₂ = $- \frac{13}{5}$ + $\frac{7}{5}$ = $- \frac{6}{5}$ = -1.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1,2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 2 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 2 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 2 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 2 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):