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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4 x}{x + 6}$ = $- 1$

D=R\{ $- 6$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 6$ weg!

$\frac{- 4 x}{x + 6}$	=	$- 1$	\|⋅( $x + 6$ )
$\frac{- 4 x}{x + 6} \cdot (x + 6)$	=	$- 1 \cdot (x + 6)$
$- \frac{4 x}{1}$	=	$- (x + 6)$
$- 4 x$	=	$- (x + 6)$

$- 4 x$	=	$- x - 6$	\| $+ x$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 5} - \frac{6}{x - 5}$ = $\frac{72}{x^{2} - 25}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ ; $5$ }

\frac{x}{x + 5} - \frac{6}{x - 5}

=

\frac{72}{(x + 5) (x - 5)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 5) (x - 5)$ weg!

$\frac{x}{x + 5} - \frac{6}{x - 5}$	=	$\frac{72}{(x + 5) (x - 5)}$	\|⋅( $(x + 5) (x - 5)$ )
$\frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5) (x - 5) - \frac{6}{x - 5} \cdot (x + 5) (x - 5)$	=	$\frac{72}{(x + 5) (x - 5)} \cdot (x + 5) (x - 5)$
$x (x - 5) - 6 x - 30$	=	$72 \frac{x + 5}{x + 5}$
$x (x - 5) - 6 x - 30$	=	$72$
$x^{2} - 5 x - 6 x - 30$	=	$72$
$x^{2} - 11 x - 30$	=	$72$

x^{2} - 11 x - 30

=

72

|

- 72

$x^{2} - 11 x - 102$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 102)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 408}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{529}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{529}}{2}$ = $\frac{11+23}{2}$ = $\frac{34}{2}$ = $17$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{529}}{2}$ = $\frac{11-23}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - (- 102)$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $102$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $\frac{408}{4}$ = $\frac{529}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{529}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{23}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{23}{2}$ = $\frac{34}{2}$ = 17

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $17$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{3 x}{3 x + 6} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{7}{3}$ }

$\frac{3 x}{3 x + 6} + \frac{x + 1}{3 x + 7} - 4$	=	0
$\frac{3 x}{3 (x + 2)} + \frac{x + 1}{3 x + 7} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{3 x}{3 (x + 2)} + \frac{x + 1}{3 x + 7} - 4$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{3 x}{3 (x + 2)} \cdot (x + 2) + \frac{x + 1}{3 x + 7} \cdot (x + 2) - 4 \cdot (x + 2)$	=
$x + \frac{(x + 1) (x + 2)}{3 x + 7} - 4 x - 8$	=
$x + \frac{x^{2} + 3 x + 2}{3 x + 7} - 4 x - 8$	=
$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{3 x + 7} + x - 4 x - 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{3 x + 7} + x - 4 x - 8$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + x \cdot (3 x + 7) - 4 x \cdot (3 x + 7) - 8 \cdot (3 x + 7)$	=
$x^{2} + 3 x + 2 + x (3 x + 7) - 4 x (3 x + 7) - 24 x - 56$	=
$x^{2} + 3 x + 2 + (3 x^{2} + 7 x) + (- 12 x^{2} - 28 x) - 24 x - 56$	=
$- 8 x^{2} - 42 x - 54$	=

- 8 x^{2} - 42 x - 54

= 0 |:2

$- 4 x^{2} - 21 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 27)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 432}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{9}}{- 8}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{9}}{- 8}$ = $\frac{21+3}{- 8}$ = $\frac{24}{- 8}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{9}}{- 8}$ = $\frac{21-3}{- 8}$ = $\frac{18}{- 8}$ = $- 2,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 21 x - 27$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{21}{4} x + \frac{27}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{8})}^{2} - (\frac{27}{4})$ = $\frac{441}{64}$ $-$ $\frac{27}{4}$ = $\frac{441}{64}$ $-$ $\frac{432}{64}$ = $\frac{9}{64}$

x_1,2 = $- \frac{21}{8}$ ± $\sqrt{\frac{9}{64}}$

x₁ = $- \frac{21}{8}$ - $\frac{3}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $- \frac{21}{8}$ + $\frac{3}{8}$ = $- \frac{18}{8}$ = -2.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 2,25$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{3}{x} - \frac{18}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{3}{x} - \frac{18}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x^{2} - \frac{18}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 3 x - 18$	=	$- x^{2}$

- 3 x - 18

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{24 x - 9}{x + 4}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{24 x - 9}{x + 4}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{24 x - 9}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$3 x \cdot (x + 4)$
$24 x - 9$	=	$3 x (x + 4)$
$24 x - 9$	=	$3 x^{2} + 12 x$

24 x - 9

=

3 x^{2} + 12 x

|

- 3 x^{2}

- 12 x

- 3 x^{2} + 12 x - 9

= 0 |:3

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{9 x}{2 x + 1} + \frac{- 36 x}{6 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $- 1$ }

$\frac{9 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{2 x + 2} - \frac{36 x}{6 x + 3}$	=	0
$\frac{9 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{2 (x + 1)} - \frac{36 x}{3 (2 x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{9 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{2 (x + 1)} - \frac{36 x}{3 (2 x + 1)}$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{9 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{4 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 x + 1) - \frac{36 x}{3 (2 x + 1)} \cdot (2 x + 1)$	=
$9 x + \frac{2 x (2 x + 1)}{x + 1} - 12 x$	=
$9 x + \frac{4 x^{2} + 2 x}{x + 1} - 12 x$	=
$\frac{4 x^{2} + 2 x}{x + 1} + 9 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 2 x}{x + 1} + 9 x - 12 x$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x^{2} + 2 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 9 x \cdot (x + 1) - 12 x \cdot (x + 1)$	=
$4 x^{2} + 2 x + 9 x (x + 1) - 12 x (x + 1)$	=
$4 x^{2} + 2 x + (9 x^{2} + 9 x) + (- 12 x^{2} - 12 x)$	=
$x^{2} - x$	=

$x^{2} - x$	=	0
$x (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{20}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{20}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{20}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{20}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$20 + a x$	=	$- x^{2}$
$20 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

L={ $2$ ; $10$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):