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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6}{x}$ = $- \frac{3}{2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{6}{x}$	=	$- \frac{3}{2}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{6}{x} \cdot x$	=	$- \frac{3}{2} \cdot x$
$- 6$	=	$- \frac{3}{2} x$

$- 6$	=	$- \frac{3}{2} x$	\|⋅ 2
$- 12$	=	$- 3 x$	\| $+ 12$ $+ 3 x$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4$ = $- \frac{- 20}{x - 1} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

4

=

\frac{20}{x - 1} - 2 x

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$4$	=	$\frac{20}{x - 1} - 2 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$4 \cdot (x - 1)$	=	$\frac{20}{x - 1} \cdot (x - 1) - 2 x \cdot (x - 1)$
$4 (x - 1)$	=	$20 - 2 x (x - 1)$
$4 x - 4$	=	$20 - 2 x (x - 1)$
$4 x - 4$	=	$- 2 x^{2} + 2 x + 20$

4 x - 4

=

- 2 x^{2} + 2 x + 20

|

+ 2 x^{2}

- 2 x

- 20

2 x^{2} + 2 x - 24

= 0 |:2

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x$ = $- \frac{x}{4 x + 4} - \frac{49}{x + 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{4 x + 4} - \frac{49}{x + 1}$
$- 4 x$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} - \frac{49}{x + 1}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} - \frac{49}{x + 1}$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$- 4 x \cdot (4 (x + 1))$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + \frac{- 49}{x + 1} \cdot (4 (x + 1))$
$- 16 x (x + 1)$	=	$- x - 196$
$- 16 x \cdot x - 16 x \cdot 1$	=	$- x - 196$
$- 16 x \cdot x - 16 x$	=	$- x - 196$
$- 16 x^{2} - 16 x$	=	$- x - 196$

- 16 x^{2} - 16 x

=

- x - 196

|

+ x

+ 196

$- 16 x^{2} - 15 x + 196$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot 196}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 12 544}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{12 769}}{- 32}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{12 769}}{- 32}$ = $\frac{15+113}{- 32}$ = $\frac{128}{- 32}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{12 769}}{- 32}$ = $\frac{15-113}{- 32}$ = $\frac{- 98}{- 32}$ = $\frac{49}{16}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 16$ " teilen:

$- 16 x^{2} - 15 x + 196$ = 0 |: $- 16$

$x^{2} + \frac{15}{16} x - \frac{49}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{32})}^{2} - (- \frac{49}{4})$ = $\frac{225}{1024}$ $+$ $\frac{49}{4}$ = $\frac{225}{1024}$ $+$ $\frac{12544}{1024}$ = $\frac{12769}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{15}{32}$ ± $\sqrt{\frac{12769}{1024}}$

x₁ = $- \frac{15}{32}$ - $\frac{113}{32}$ = $- \frac{128}{32}$ = -4

x₂ = $- \frac{15}{32}$ + $\frac{113}{32}$ = $\frac{98}{32}$ = 3.0625

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{49}{16}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 + \frac{6}{x} + \frac{16}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 + \frac{6}{x} + \frac{16}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{6}{x} \cdot x^{2} + \frac{16}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} + 6 x + 16$

0

=

- x^{2} + 6 x + 16

|

+ x^{2}

- 6 x

- 16

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6+10}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6-10}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $3$ - $5$ = -2

x₂ = $3$ + $5$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 4$ = $\frac{43 x - 18}{4 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x + 4$	=	$\frac{43 x - 18}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x + 4 \cdot 4 x$	=	$\frac{43 x - 18}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x + 16 x$	=	$43 x - 18$
$4 x^{2} + 16 x$	=	$43 x - 18$

4 x^{2} + 16 x

=

43 x - 18

|

- 43 x

+ 18

$4 x^{2} - 27 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 18}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 288}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{441}}{8}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{27+21}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = $6$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{27-21}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 27 x + 18$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{27}{4} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{27}{8})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{729}{64}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{729}{64}$ $-$ $\frac{288}{64}$ = $\frac{441}{64}$

x_1,2 = $\frac{27}{8}$ ± $\sqrt{\frac{441}{64}}$

x₁ = $\frac{27}{8}$ - $\frac{21}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{27}{8}$ + $\frac{21}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 9} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

\frac{3 x}{3 (x + 3)} - 4

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{3 x}{3 (x + 3)} - 4$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{3 x}{3 (x + 3)} \cdot (x + 3) - 4 \cdot (x + 3)$	=
$x - 4 x - 12$	=
$- 3 x - 12$	=

$- 3 x - 12$	=	0	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{12}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 12$	=	$- x^{2}$
$a x + 12 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

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Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):