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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{1}{x}$ = $- \frac{5}{8}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$- \frac{5}{8}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{1}{x} \cdot x$	=	$- \frac{5}{8} \cdot x$
$1$	=	$- \frac{5}{8} x$

$1$	=	$- \frac{5}{8} x$	\|⋅ 8
$8$	=	$- 5 x$	\| $- 8$ $+ 5 x$
$5 x$	=	$- 8$	\|: $5$
$x$	=	$- \frac{8}{5}$ = -1.6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{8}{5}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 5$ = $- \frac{12 x}{2 x + 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

x - 5

=

\frac{- 12 x}{2 (x + 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$x - 5$	=	$\frac{- 12 x}{2 (x + 2)}$	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$x \cdot (2 (x + 2)) - 5 \cdot (2 (x + 2))$	=	$\frac{- 12 x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2))$
$2 x \cdot (x + 2) - 10 x - 20$	=	$- 2 \frac{6 x}{1}$
$2 x \cdot (x + 2) - 10 x - 20$	=	$- 12 x$
$2 x^{2} + 4 x - 10 x - 20$	=	$- 12 x$
$2 x^{2} - 6 x - 20$	=	$- 12 x$

2 x^{2} - 6 x - 20

=

- 12 x

|

+ 12 x

2 x^{2} + 6 x - 20

= 0 |:2

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{5 x - 15} - \frac{28,8}{x - 3} + x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

0	=	$- \frac{x}{5 x - 15} - \frac{28,8}{x - 3} + x$
0	=	$- \frac{x}{5 (x - 3)} - \frac{28,8}{x - 3} + x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 3)$ weg!

=	$- \frac{x}{5 (x - 3)} - \frac{28,8}{x - 3} + x$	\|⋅( $5 (x - 3)$ )
=	$- \frac{x}{5 (x - 3)} \cdot (5 (x - 3)) + \frac{- 28,8}{x - 3} \cdot (5 (x - 3)) + x \cdot (5 (x - 3))$
=	$- x - 144 + 5 x \cdot (x - 3)$
=	$5 x^{2} - 16 x - 144$

0

=

5 x^{2} - 16 x - 144

|

- 5 x^{2}

+ 16 x

+ 144

$- 5 x^{2} + 16 x + 144$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 144}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 2 880}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{3 136}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{3 136}}{- 10}$ = $\frac{- 16+56}{- 10}$ = $\frac{40}{- 10}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{3 136}}{- 10}$ = $\frac{- 16-56}{- 10}$ = $\frac{- 72}{- 10}$ = $7,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 16 x + 144$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{16}{5} x - \frac{144}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{5})}^{2} - (- \frac{144}{5})$ = $\frac{64}{25}$ $+$ $\frac{144}{5}$ = $\frac{64}{25}$ $+$ $\frac{720}{25}$ = $\frac{784}{25}$

x_1,2 = $\frac{8}{5}$ ± $\sqrt{\frac{784}{25}}$

x₁ = $\frac{8}{5}$ - $\frac{28}{5}$ = $- \frac{20}{5}$ = -4

x₂ = $\frac{8}{5}$ + $\frac{28}{5}$ = $\frac{36}{5}$ = 7.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $7,2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{11}{x} + \frac{28}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{11}{x} + \frac{28}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{11}{x} \cdot x^{2} + \frac{28}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 11 x + 28$	=	$- x^{2}$

- 11 x + 28

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 11 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11+3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11-3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 + \frac{6}{x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 5 + \frac{6}{x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $x$ )
$- 5 \cdot x + \frac{6}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 4 \cdot x$
$- 5 x + 6$	=	$x \cdot x - 4 x$

- 5 x + 6

=

x^{2} - 4 x

|

- x^{2}

+ 4 x

$- x^{2} - x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1+5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1-5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{2 x - 6} + \frac{3 x}{3 x - 8} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; $3$ }

$\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{2 x - 2}{2 x - 6} - 6$	=	0
$\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{2 x - 2}{2 (x - 3)} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{2 x - 2}{2 (x - 3)} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{3 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{2 x - 2}{2 (x - 3)} \cdot (3 x - 8) - 6 \cdot (3 x - 8)$	=
$3 x + \frac{(2 x - 2) \cdot (3 x - 8)}{2 (x - 3)} - 18 x + 48$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} - 22 x + 16}{2 (x - 3)} - 18 x + 48$	=
$\frac{6 x^{2} - 22 x + 16}{2 (x - 3)} + 3 x - 18 x + 48$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 22 x + 16}{2 (x - 3)} + 3 x - 18 x + 48$	=	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{6 x^{2} - 22 x + 16}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + 3 x \cdot (2 (x - 3)) - 18 x \cdot (2 (x - 3)) + 48 \cdot (2 (x - 3))$	=
$6 x^{2} - 22 x + 16 + 6 x \cdot (x - 3) - 36 x \cdot (x - 3) + 96 x - 288$	=
$6 x^{2} - 22 x + 16 + (6 x^{2} - 18 x) + (- 36 x^{2} + 108 x) + 96 x - 288$	=
$- 24 x^{2} + 164 x - 272$	=

- 24 x^{2} + 164 x - 272

= 0 |:4

$- 6 x^{2} + 41 x - 68$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{41^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 68)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{1 681 - 1 632}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{49}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 41 + \sqrt{49}}{- 12}$ = $\frac{- 41+7}{- 12}$ = $\frac{- 34}{- 12}$ = $\frac{17}{6}$ ≈ 2.83

x₂ = $\frac{- 41 - \sqrt{49}}{- 12}$ = $\frac{- 41-7}{- 12}$ = $\frac{- 48}{- 12}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 41 x - 68$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{41}{6} x + \frac{34}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{41}{12})}^{2} - (\frac{34}{3})$ = $\frac{1681}{144}$ $-$ $\frac{34}{3}$ = $\frac{1681}{144}$ $-$ $\frac{1632}{144}$ = $\frac{49}{144}$

x_1,2 = $\frac{41}{12}$ ± $\sqrt{\frac{49}{144}}$

x₁ = $\frac{41}{12}$ - $\frac{7}{12}$ = $\frac{34}{12}$ = 2.8333333333333

x₂ = $\frac{41}{12}$ + $\frac{7}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{17}{6}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{20}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{20}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{20}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{20}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 20 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 20 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):