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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{3}{x}$ = $\frac{1}{9}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3}{x}$	=	$\frac{1}{9}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x$	=	$\frac{1}{9} \cdot x$
$- 3$	=	$\frac{1}{9} x$

$- 3$	=	$\frac{1}{9} x$	\|⋅ 9
$- 27$	=	$x$	\| $+ 27$ $- x$
$- x$	=	$27$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 27$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 27$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 36 x}{x + 5} + x + 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

- \frac{36 x}{x + 5} + x + 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{36 x}{x + 5} + x + 5$	=	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{36 x}{x + 5} \cdot (x + 5) + x \cdot (x + 5) + 5 \cdot (x + 5)$	=
$- 36 x + x \cdot (x + 5) + 5 x + 25$	=
$- 36 x + (x^{2} + 5 x) + 5 x + 25$	=
$x^{2} - 26 x + 25$	=

$x^{2} - 26 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{576}}{2}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{576}}{2}$ = $\frac{26+24}{2}$ = $\frac{50}{2}$ = $25$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{576}}{2}$ = $\frac{26-24}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 13)}^{2} - 25$ = $169$ $-$ $25$ = $144$

x_1,2 = $13$ ± $\sqrt{144}$

x₁ = $13$ - $12$ = 1

x₂ = $13$ + $12$ = 25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $25$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x$ = $- \frac{x}{4 x - 4} - \frac{11}{2 x - 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$- 3 x$	=	$- \frac{x}{4 x - 4} - \frac{11}{2 x - 2}$
$- 3 x$	=	$- \frac{x}{4 (x - 1)} - \frac{11}{2 (x - 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 1)$ weg!

$- 3 x$	=	$- \frac{x}{4 (x - 1)} - \frac{11}{2 (x - 1)}$	\|⋅( $4 (x - 1)$ )
$- 3 x \cdot (4 (x - 1))$	=	$- \frac{x}{4 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) + \frac{- 11}{2 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1))$
$- 12 x \cdot (x - 1)$	=	$- x - 22$
$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot (- 1)$	=	$- x - 22$
$- 12 x \cdot x + 12 x$	=	$- x - 22$
$- 12 x^{2} + 12 x$	=	$- x - 22$

- 12 x^{2} + 12 x

=

- x - 22

|

+ x

+ 22

$- 12 x^{2} + 13 x + 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 22}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 1 056}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1 225}}{- 24}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1 225}}{- 24}$ = $\frac{- 13+35}{- 24}$ = $\frac{22}{- 24}$ = $- \frac{11}{12}$ ≈ -0.92

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1 225}}{- 24}$ = $\frac{- 13-35}{- 24}$ = $\frac{- 48}{- 24}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} + 13 x + 22$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} - \frac{13}{12} x - \frac{11}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{24})}^{2} - (- \frac{11}{6})$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{11}{6}$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{1056}{576}$ = $\frac{1225}{576}$

x_1,2 = $\frac{13}{24}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{576}}$

x₁ = $\frac{13}{24}$ - $\frac{35}{24}$ = $- \frac{22}{24}$ = -0.91666666666667

x₂ = $\frac{13}{24}$ + $\frac{35}{24}$ = $\frac{48}{24}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{11}{12}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{11}{x^{2}}$ = $- \frac{24}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{11}{x^{2}}$	=	$- \frac{24}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{11}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{24}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2} - 11 x$	=	$- 24$

x^{2} - 11 x

=

- 24

|

+ 24

$x^{2} - 11 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{11+5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{11-5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 + \frac{8}{x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 3 + \frac{8}{x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $x$ )
$- 3 \cdot x + \frac{8}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 4 \cdot x$
$- 3 x + 8$	=	$x \cdot x + 4 x$

- 3 x + 8

=

x^{2} + 4 x

|

- x^{2}

- 4 x

$- x^{2} - 7 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{7+9}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{7-9}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 2} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{x + 2} - 1$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x}{x + 2} \cdot (x + 2) - 1 \cdot (x + 2)$	=
$2 x - x - 2$	=
$x - 2$	=

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 8 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 8 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 8 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 8 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 8 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 8 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $- (2 + 6)$ = -8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 6$ = $12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):