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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2 x - 92}{3 x + 2}$ = $- 4$

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{2 x - 92}{3 x + 2}$	=	$- 4$	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{2 x - 92}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2)$	=	$- 4 \cdot (3 x + 2)$
$2 x - 92$	=	$- 4 (3 x + 2)$

$2 x - 92$	=	$- 12 x - 8$	\| $+ 92$
$2 x$	=	$- 12 x + 84$	\| $+ 12 x$
$14 x$	=	$84$	\|: $14$
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 9} - \frac{2}{x + 9}$ = $\frac{96}{x^{2} - 81}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 9$ ; $9$ }

\frac{x}{x - 9} - \frac{2}{x + 9}

=

\frac{96}{(x + 9) \cdot (x - 9)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 9) \cdot (x - 9)$ weg!

$\frac{x}{x - 9} - \frac{2}{x + 9}$	=	$\frac{96}{(x + 9) \cdot (x - 9)}$	\|⋅( $(x + 9) \cdot (x - 9)$ )
$\frac{x}{x - 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9) - \frac{2}{x + 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$	=	$\frac{96}{(x + 9) \cdot (x - 9)} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$
$x (x + 9) - 2 x + 18$	=	$96 \frac{x + 9}{x + 9}$
$x (x + 9) - 2 x + 18$	=	$96$
$x^{2} + 9 x - 2 x + 18$	=	$96$
$x^{2} + 7 x + 18$	=	$96$

x^{2} + 7 x + 18

=

96

|

- 96

$x^{2} + 7 x - 78$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 78)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 312}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{361}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{- 7+19}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{- 7-19}{2}$ = $\frac{- 26}{2}$ = $- 13$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 78)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $78$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{312}{4}$ = $\frac{361}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{361}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{19}{2}$ = $- \frac{26}{2}$ = -13

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{19}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 13$ ; $6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 16} + \frac{- 30,5}{2 x + 8} + 3 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{x}{4 x + 16} - \frac{30,5}{2 x + 8} + 3 x$	=	0
$\frac{x}{4 (x + 4)} - \frac{30,5}{2 (x + 4)} + 3 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 4)} - \frac{30,5}{2 (x + 4)} + 3 x$	=	\|⋅( $4 (x + 4)$ )
$\frac{x}{4 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) + \frac{- 30,5}{2 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) + 3 x \cdot (4 (x + 4))$	=
$x - 61 + 12 x (x + 4)$	=
$x - 61 + (12 x^{2} + 48 x)$	=
$12 x^{2} + 49 x - 61$	=

$12 x^{2} + 49 x - 61$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{49^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 61)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{2 401 + 2 928}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{5 329}}{24}$

x₁ = $\frac{- 49 + \sqrt{5 329}}{24}$ = $\frac{- 49+73}{24}$ = $\frac{24}{24}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 49 - \sqrt{5 329}}{24}$ = $\frac{- 49-73}{24}$ = $\frac{- 122}{24}$ = $- \frac{61}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} + 49 x - 61$ = 0 |: $12$

$x^{2} + \frac{49}{12} x - \frac{61}{12}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{49}{24})}^{2} - (- \frac{61}{12})$ = $\frac{2401}{576}$ $+$ $\frac{61}{12}$ = $\frac{2401}{576}$ $+$ $\frac{2928}{576}$ = $\frac{5329}{576}$

x_1,2 = $- \frac{49}{24}$ ± $\sqrt{\frac{5329}{576}}$

x₁ = $- \frac{49}{24}$ - $\frac{73}{24}$ = $- \frac{122}{24}$ = -5.0833333333333

x₂ = $- \frac{49}{24}$ + $\frac{73}{24}$ = $\frac{24}{24}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{61}{12}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{14 x + 48}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{14 x + 48}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{14 x + 48}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$14 x + 48$	=	$- x^{2}$

14 x + 48

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 14 x + 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 14+2}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 14-2}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 48$ = $49$ $-$ $48$ = $1$

x_1,2 = $- 7$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 7$ - $1$ = -8

x₂ = $- 7$ + $1$ = -6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x - 3}{x + 4}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{8 x - 3}{x + 4}$	=	$x$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{8 x - 3}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$x \cdot (x + 4)$
$8 x - 3$	=	$x (x + 4)$
$8 x - 3$	=	$x^{2} + 4 x$

8 x - 3

=

x^{2} + 4 x

|

- x^{2}

- 4 x

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{2 x - 6} + \frac{4 x}{2 x - 4} + \frac{7 x}{- 4 x + 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $3$ }

$\frac{4 x}{2 x - 4} + \frac{2 x - 2}{2 x - 6} + \frac{7 x}{- 4 x + 12}$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x - 2)} + \frac{2 x - 2}{2 (x - 3)} + \frac{7 x}{4 (- x + 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x - 2)} + \frac{2 x - 2}{2 (x - 3)} + \frac{7 x}{4 (- x + 3)}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{4 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) + \frac{2 x - 2}{2 (x - 3)} \cdot (x - 2) + \frac{7 x}{4 (- x + 3)} \cdot (x - 2)$	=
$2 x + \frac{(2 x - 2) (x - 2)}{2 (x - 3)} + \frac{7 x (x - 2)}{4 (- x + 3)}$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} - 6 x + 4}{2 (x - 3)} + \frac{7 x^{2} - 14 x}{4 (- x + 3)}$	=
$\frac{7 x^{2} - 14 x}{4 (- x + 3)} + \frac{2 x^{2} - 6 x + 4}{2 (x - 3)} + 2 x$	=

\frac{2 x^{2} - 6 x + 4}{2 (x - 3)} + \frac{7 x^{2} - 14 x}{4 (- x + 3)} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4}{2 (x - 3)} + \frac{7 x^{2} - 14 x}{4 (- x + 3)} + 2 x$	=	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + \frac{7 x^{2} - 14 x}{4 (- x + 3)} \cdot (2 (x - 3)) + 2 x \cdot (2 (x - 3))$	=
$2 x^{2} - 6 x + 4 + 2 \frac{(7 x^{2} - 14 x) (x - 3)}{4 (- x + 3)} + 4 x (x - 3)$	=
$2 x^{2} - 6 x + 4 - \frac{7}{2} x (x - 2) + 4 x (x - 3)$	=
$2 x^{2} - 6 x + 4 + (- \frac{7}{2} x^{2} + 7 x) + (4 x^{2} - 12 x)$	=
$\frac{5}{2} x^{2} - 11 x + 4$	=

$\frac{5}{2} x^{2} - 11 x + 4$	=	0	\|⋅ 2
$2 (\frac{5}{2} x^{2} - 11 x + 4)$	=	0

$5 x^{2} - 22 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 8}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 - 160}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{324}}{10}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{22+18}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{22-18}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = $0,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 22 x + 8$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{22}{5} x + \frac{8}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{5})}^{2} - (\frac{8}{5})$ = $\frac{121}{25}$ $-$ $\frac{8}{5}$ = $\frac{121}{25}$ $-$ $\frac{40}{25}$ = $\frac{81}{25}$

x_1,2 = $\frac{11}{5}$ ± $\sqrt{\frac{81}{25}}$

x₁ = $\frac{11}{5}$ - $\frac{9}{5}$ = $\frac{2}{5}$ = 0.4

x₂ = $\frac{11}{5}$ + $\frac{9}{5}$ = $\frac{20}{5}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,4$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{6}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{6}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{6}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{6}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 6$	=	$- x^{2}$
$a x - 6 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 3)$ = -6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 3)$ = $1$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 1 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):