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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7}{x}$ = $- \frac{9}{5}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{7}{x}$	=	$- \frac{9}{5}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{7}{x} \cdot x$	=	$- \frac{9}{5} \cdot x$
$- 7$	=	$- \frac{9}{5} x$

$- 7$	=	$- \frac{9}{5} x$	\|⋅ 5
$- 35$	=	$- 9 x$	\| $+ 35$ $+ 9 x$
$9 x$	=	$35$	\|: $9$
$x$	=	$\frac{35}{9}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{35}{9}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{10}{x + 2} + x - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{10}{x + 2} + x - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{10}{x + 2} + x - 5$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{10}{x + 2} \cdot (x + 2) + x \cdot (x + 2) - 5 \cdot (x + 2)$	=
$10 + x \cdot (x + 2) - 5 x - 10$	=
$10 + (x^{2} + 2 x) - 5 x - 10$	=
$x^{2} - 3 x$	=

$x^{2} - 3 x$	=	0
$x \cdot (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{3 x + 3} - \frac{- 20}{6 x + 6} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

0	=	$- \frac{x}{3 x + 3} + \frac{20}{6 x + 6} - 2 x$
0	=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} + \frac{20}{6 (x + 1)} - 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} + \frac{20}{6 (x + 1)} - 2 x$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + \frac{20}{6 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) - 2 x \cdot (3 (x + 1))$
=	$- x + 10 - 6 x \cdot (x + 1)$
=	$- 6 x^{2} - 7 x + 10$

0

=

- 6 x^{2} - 7 x + 10

|

+ 6 x^{2}

+ 7 x

- 10

$6 x^{2} + 7 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 240}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{289}}{12}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{289}}{12}$ = $\frac{- 7+17}{12}$ = $\frac{10}{12}$ = $\frac{5}{6}$ ≈ 0.83

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{289}}{12}$ = $\frac{- 7-17}{12}$ = $\frac{- 24}{12}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 7 x - 10$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{7}{6} x - \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{12})}^{2} - (- \frac{5}{3})$ = $\frac{49}{144}$ $+$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{49}{144}$ $+$ $\frac{240}{144}$ = $\frac{289}{144}$

x_1,2 = $- \frac{7}{12}$ ± $\sqrt{\frac{289}{144}}$

x₁ = $- \frac{7}{12}$ - $\frac{17}{12}$ = $- \frac{24}{12}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{12}$ + $\frac{17}{12}$ = $\frac{10}{12}$ = 0.83333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{5}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{18}{x^{2}}$ = $- \frac{1}{x} - \frac{80}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{18}{x^{2}}$	=	$- \frac{1}{x} - \frac{80}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{18}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{80}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- 18 x$	=	$- x^{2} - 80$

- 18 x

=

- x^{2} - 80

|

+ x^{2}

+ 80

$x^{2} - 18 x + 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 320}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{18 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{18+2}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{18 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{18-2}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 9)}^{2} - 80$ = $81$ $-$ $80$ = $1$

x_1,2 = $9$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $9$ - $1$ = 8

x₂ = $9$ + $1$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 3$ = $\frac{18}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 3$	=	$\frac{18}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 3 \cdot x$	=	$\frac{18}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 3 x$	=	$18$
$x^{2} - 3 x$	=	$18$

x^{2} - 3 x

=

18

|

- 18

$x^{2} - 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{8 x}{x + 1} - 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{8 x}{x + 1} \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=
$8 x - 4 x - 4$	=
$4 x - 4$	=

$4 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{15}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{15}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{15}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{15}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 15 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 15 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot (- 5)$ = -15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 - 5)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):