Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{20}{x - 9}$ = $- 5$

D=R\{ $9$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 9$ weg!

$- \frac{20}{x - 9}$	=	$- 5$	\|⋅( $x - 9$ )
$- \frac{20}{x - 9} \cdot (x - 9)$	=	$- 5 \cdot (x - 9)$
$- 20$	=	$- 5 (x - 9)$

$- 20$	=	$- 5 x + 45$	\| $+ 20$ $+ 5 x$
$5 x$	=	$65$	\|: $5$
$x$	=	$13$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $13$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3$ = $- \frac{- x}{2 x - 4} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$- 3$	=	$\frac{x}{2 x - 4} - x$
$- 3$	=	$\frac{x}{2 (x - 2)} - x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$- 3$	=	$\frac{x}{2 (x - 2)} - x$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$- 3 \cdot (2 (x - 2))$	=	$\frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) - x \cdot (2 (x - 2))$
$- 6 (x - 2)$	=	$x - 2 x \cdot (x - 2)$
$- 6 x + 12$	=	$x - 2 x \cdot (x - 2)$
$- 6 x + 12$	=	$- 2 x^{2} + 5 x$

- 6 x + 12

=

- 2 x^{2} + 5 x

|

+ 2 x^{2}

- 5 x

$2 x^{2} - 11 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{11+5}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{11-5}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 11 x + 12$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{11}{2} x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{4})}^{2} - 6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{11}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{11}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 6} + \frac{- 22}{6 x + 12}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{3 x + 6} - \frac{22}{6 x + 12}$	=	$4 x$
$\frac{x}{3 (x + 2)} - \frac{22}{6 (x + 2)}$	=	$4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 2)} - \frac{22}{6 (x + 2)}$	=	$4 x$	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + \frac{- 22}{6 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2))$	=	$4 x \cdot (3 (x + 2))$
$x - 11$	=	$12 x \cdot (x + 2)$
$x - 11$	=	$12 x^{2} + 24 x$

x - 11

=

12 x^{2} + 24 x

|

- 12 x^{2}

- 24 x

$- 12 x^{2} - 23 x - 11$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot (- 11)}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 528}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{1}}{- 24}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{1}}{- 24}$ = $\frac{23+1}{- 24}$ = $\frac{24}{- 24}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{1}}{- 24}$ = $\frac{23-1}{- 24}$ = $\frac{22}{- 24}$ = $- \frac{11}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} - 23 x - 11$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} + \frac{23}{12} x + \frac{11}{12}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{24})}^{2} - (\frac{11}{12})$ = $\frac{529}{576}$ $-$ $\frac{11}{12}$ = $\frac{529}{576}$ $-$ $\frac{528}{576}$ = $\frac{1}{576}$

x_1,2 = $- \frac{23}{24}$ ± $\sqrt{\frac{1}{576}}$

x₁ = $- \frac{23}{24}$ - $\frac{1}{24}$ = $- \frac{24}{24}$ = -1

x₂ = $- \frac{23}{24}$ + $\frac{1}{24}$ = $- \frac{22}{24}$ = -0.91666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{11}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{2}{x}$ = $\frac{24}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{2}{x}$	=	$\frac{24}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{2}{x} \cdot x^{2}$	=	$\frac{24}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 2 x$	=	$24$

x^{2} - 2 x

=

24

|

- 24

$x^{2} - 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 5 x + 2}{x - 3}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{- 5 x + 2}{x - 3}$	=	$4 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{- 5 x + 2}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$4 x \cdot (x - 3)$
$- 5 x + 2$	=	$4 x \cdot (x - 3)$
$- 5 x + 2$	=	$4 x^{2} - 12 x$

- 5 x + 2

=

4 x^{2} - 12 x

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

$- 4 x^{2} + 7 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 2}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{- 7+9}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{- 7-9}{- 8}$ = $\frac{- 16}{- 8}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 7 x + 2$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{7}{4} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{8})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{49}{64}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{49}{64}$ $+$ $\frac{32}{64}$ = $\frac{81}{64}$

x_1,2 = $\frac{7}{8}$ ± $\sqrt{\frac{81}{64}}$

x₁ = $\frac{7}{8}$ - $\frac{9}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

x₂ = $\frac{7}{8}$ + $\frac{9}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,25$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 6} + \frac{x}{2 x + 3} + \frac{15 x}{- 9 x - 18}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; $- 2$ }

$\frac{x}{2 x + 3} + \frac{4 x}{3 x + 6} + \frac{15 x}{- 9 x - 18}$	=	0
$\frac{x}{2 x + 3} + \frac{4 x}{3 (x + 2)} + \frac{15 x}{- 9 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{x}{2 x + 3} + \frac{4 x}{3 (x + 2)} + \frac{15 x}{- 9 (x + 2)}$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{4 x}{3 (x + 2)} \cdot (2 x + 3) + \frac{15 x}{- 9 (x + 2)} \cdot (2 x + 3)$	=
$x + \frac{4 x \cdot (2 x + 3)}{3 (x + 2)} - \frac{5 x \cdot (2 x + 3)}{3 (x + 2)}$	=
$x + \frac{8 x^{2} + 12 x}{3 (x + 2)} - \frac{10 x^{2} + 15 x}{3 (x + 2)}$	=
$\frac{8 x^{2} + 12 x - 10 x^{2} - 15 x}{3 (x + 2)} + x$	=

\frac{8 x^{2} - 10 x^{2} + 12 x - 15 x}{3 (x + 2)} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 10 x^{2} + 12 x - 15 x}{3 (x + 2)} + x$	=	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{8 x^{2} - 10 x^{2} + 12 x - 15 x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + x \cdot (3 (x + 2))$	=
$8 x^{2} - 10 x^{2} + 12 x - 15 x + 3 x \cdot (x + 2)$	=
$8 x^{2} - 10 x^{2} + 12 x - 15 x + (3 x^{2} + 6 x)$	=
$x^{2} + 3 x$	=

$x^{2} + 3 x$	=	0
$x \cdot (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{18}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{18}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{18}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{18}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 18$	=	$- a x$
$x^{2} - 18 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):