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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7 x - 40}{x - 5}$ = $2$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{7 x - 40}{x - 5}$	=	$2$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{7 x - 40}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$2 \cdot (x - 5)$
$7 x - 40$	=	$2 (x - 5)$

$7 x - 40$	=	$2 x - 10$	\| $+ 40$
$7 x$	=	$2 x + 30$	\| $- 2 x$
$5 x$	=	$30$	\|: $5$
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{x}{x - 3} + \frac{21}{3 x - 9}$ = $- 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

- \frac{x}{x - 3} + \frac{21}{3 (x - 3)}

=

- 3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$- \frac{x}{x - 3} + \frac{21}{3 (x - 3)}$	=	$- 3$	\|⋅( $x - 3$ )
$- \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{21}{3 (x - 3)} \cdot (x - 3)$	=	$- 3 \cdot (x - 3)$
$- x + 7$	=	$- 3 (x - 3)$

$- x + 7$	=	$- 3 x + 9$	\| $- 7$
$- x$	=	$- 3 x + 2$	\| $+ 3 x$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 2} + \frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{- 32 x - 1}{6 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{1}{2}$ }

$\frac{3 x}{2 x + 2} + \frac{- 32 x - 1}{6 x + 3} + \frac{6 x}{2 x + 1}$	=	0
$\frac{3 x}{2 (x + 1)} + \frac{- 32 x - 1}{3 (2 x + 1)} + \frac{6 x}{2 x + 1}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{3 x}{2 (x + 1)} + \frac{- 32 x - 1}{3 (2 x + 1)} + \frac{6 x}{2 x + 1}$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{3 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{- 32 x - 1}{3 (2 x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{6 x}{2 x + 1} \cdot (2 (x + 1))$	=
$3 x + 2 \frac{(- 32 x - 1) \cdot (x + 1)}{3 (2 x + 1)} + 2 \frac{6 x \cdot (x + 1)}{2 x + 1}$	=
$3 x + \frac{2 (- 32 x^{2} - 33 x - 1)}{3 (2 x + 1)} + \frac{2 (6 x^{2} + 6 x)}{2 x + 1}$	=
$\frac{2 (6 x^{2} + 6 x)}{2 x + 1} + \frac{2 (- 32 x^{2} - 33 x - 1)}{3 (2 x + 1)} + 3 x$	=

\frac{2 (- 32 x^{2} - 33 x - 1)}{3 (2 x + 1)} + \frac{2 (6 x^{2} + 6 x)}{2 x + 1} + 3 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 (2 x + 1)$ weg!

$\frac{2 (- 32 x^{2} - 33 x - 1)}{3 (2 x + 1)} + \frac{2 (6 x^{2} + 6 x)}{2 x + 1} + 3 x$	=	\|⋅( $3 (2 x + 1)$ )
$\frac{2 (- 32 x^{2} - 33 x - 1)}{3 (2 x + 1)} \cdot (3 (2 x + 1)) + \frac{2 (6 x^{2} + 6 x)}{2 x + 1} \cdot (3 (2 x + 1)) + 3 x \cdot (3 (2 x + 1))$	=
$- 64 x^{2} - 66 x - 2 + 36 x^{2} + 36 x + 9 x \cdot (2 x + 1)$	=
$- 64 x^{2} - 66 x - 2 + 36 x^{2} + 36 x + (18 x^{2} + 9 x)$	=
$- 10 x^{2} - 21 x - 2$	=

$- 10 x^{2} - 21 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 80}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{361}}{- 20}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{361}}{- 20}$ = $\frac{21+19}{- 20}$ = $\frac{40}{- 20}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{361}}{- 20}$ = $\frac{21-19}{- 20}$ = $\frac{2}{- 20}$ = $- 0,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 21 x - 2$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{21}{10} x + \frac{1}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{20})}^{2} - (\frac{1}{5})$ = $\frac{441}{400}$ $-$ $\frac{1}{5}$ = $\frac{441}{400}$ $-$ $\frac{80}{400}$ = $\frac{361}{400}$

x_1,2 = $- \frac{21}{20}$ ± $\sqrt{\frac{361}{400}}$

x₁ = $- \frac{21}{20}$ - $\frac{19}{20}$ = $- \frac{40}{20}$ = -2

x₂ = $- \frac{21}{20}$ + $\frac{19}{20}$ = $- \frac{2}{20}$ = -0.1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{- 13 x + 40}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{- 13 x + 40}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{- 13 x + 40}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$- 13 x + 40$

- x^{2}

=

- 13 x + 40

|

+ 13 x

- 40

$- x^{2} + 13 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 13+3}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 13-3}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 13 x - 40$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 13 x + 40$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 3$ = $\frac{- x - 6}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x + 3$	=	$\frac{- x - 6}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x + 3 \cdot 2 x$	=	$\frac{- x - 6}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x + 6 x$	=	$- x - 6$
$2 x^{2} + 6 x$	=	$- x - 6$

2 x^{2} + 6 x

=

- x - 6

|

+ x

+ 6

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{2 x} + \frac{4 x}{3 x + 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{x - 2}{2 x} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{x - 2}{2 x} - 3$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{4 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{x - 2}{2 x} \cdot (3 x + 2) - 3 \cdot (3 x + 2)$	=
$4 x + \frac{(x - 2) \cdot (3 x + 2)}{2 x} - 9 x - 6$	=
$4 x + \frac{3 x^{2} - 4 x - 4}{2 x} - 9 x - 6$	=
$\frac{3 x^{2} - 4 x - 4}{2 x} + 4 x - 9 x - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 4 x - 4}{2 x} + 4 x - 9 x - 6$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x^{2} - 4 x - 4}{2 x} \cdot 2 x + 4 x \cdot 2 x - 9 x \cdot 2 x - 6 \cdot 2 x$	=
$3 x^{2} - 4 x - 4 + 8 x \cdot x - 18 x \cdot x - 12 x$	=
$3 x^{2} - 4 x - 4 + 8 x^{2} - 18 x^{2} - 12 x$	=
$- 7 x^{2} - 16 x - 4$	=

$- 7 x^{2} - 16 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 112}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{144}}{- 14}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{144}}{- 14}$ = $\frac{16+12}{- 14}$ = $\frac{28}{- 14}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{144}}{- 14}$ = $\frac{16-12}{- 14}$ = $\frac{4}{- 14}$ = $- \frac{2}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} - 16 x - 4$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} + \frac{16}{7} x + \frac{4}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{7})}^{2} - (\frac{4}{7})$ = $\frac{64}{49}$ $-$ $\frac{4}{7}$ = $\frac{64}{49}$ $-$ $\frac{28}{49}$ = $\frac{36}{49}$

x_1,2 = $- \frac{8}{7}$ ± $\sqrt{\frac{36}{49}}$

x₁ = $- \frac{8}{7}$ - $\frac{6}{7}$ = $- \frac{14}{7}$ = -2

x₂ = $- \frac{8}{7}$ + $\frac{6}{7}$ = $- \frac{2}{7}$ = -0.28571428571429

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{2}{7}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 8 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 8 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 8 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 8 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 8 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 8 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $- (2 + 6)$ = -8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 6$ = $12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):