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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6}{x}$ = $- 1$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{6}{x}$	=	$- 1$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{6}{x} \cdot x$	=	$- 1 \cdot x$
$- 6$	=	$- x$

$- 6$	=	$- x$	\| $+ 6$ $+ x$
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3$ = $- \frac{18 x}{2 x - 3} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$- 3$	=	$- \frac{18 x}{2 x - 3} - x$	\|⋅( $2 x - 3$ )
$- 3 \cdot (2 x - 3)$	=	$- \frac{18 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) - x \cdot (2 x - 3)$
$- 3 (2 x - 3)$	=	$- 18 x - x \cdot (2 x - 3)$
$- 6 x + 9$	=	$- 18 x - x \cdot (2 x - 3)$
$- 6 x + 9$	=	$- 2 x^{2} - 15 x$

- 6 x + 9

=

- 2 x^{2} - 15 x

|

+ 2 x^{2}

+ 15 x

$2 x^{2} + 9 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 9+3}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 9-3}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 9 x + 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 8} - 2 x$ = $- \frac{98}{2 x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{x}{4 (x - 2)} - 2 x

=

- \frac{98}{2 (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 2)} - 2 x$	=	$- \frac{98}{2 (x - 2)}$	\|⋅( $4 (x - 2)$ )
$\frac{x}{4 (x - 2)} \cdot (4 (x - 2)) - 2 x \cdot (4 (x - 2))$	=	$- \frac{98}{2 (x - 2)} \cdot (4 (x - 2))$
$x - 8 x \cdot (x - 2)$	=	$- 196$
$x + (- 8 x^{2} + 16 x)$	=	$- 196$
$- 8 x^{2} + 17 x$	=	$- 196$

- 8 x^{2} + 17 x

=

- 196

|

+ 196

$- 8 x^{2} + 17 x + 196$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 196}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 6 272}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{6 561}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{6 561}}{- 16}$ = $\frac{- 17+81}{- 16}$ = $\frac{64}{- 16}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{6 561}}{- 16}$ = $\frac{- 17-81}{- 16}$ = $\frac{- 98}{- 16}$ = $6,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} + 17 x + 196$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} - \frac{17}{8} x - \frac{49}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{16})}^{2} - (- \frac{49}{2})$ = $\frac{289}{256}$ $+$ $\frac{49}{2}$ = $\frac{289}{256}$ $+$ $\frac{6272}{256}$ = $\frac{6561}{256}$

x_1,2 = $\frac{17}{16}$ ± $\sqrt{\frac{6561}{256}}$

x₁ = $\frac{17}{16}$ - $\frac{81}{16}$ = $- \frac{64}{16}$ = -4

x₂ = $\frac{17}{16}$ + $\frac{81}{16}$ = $\frac{98}{16}$ = 6.125

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $6,125$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $- \frac{17}{x} - \frac{72}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$- \frac{17}{x} - \frac{72}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$- \frac{17}{x} \cdot x^{2} - \frac{72}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$- 17 x - 72$

x^{2}

=

- 17 x - 72

|

+ 17 x

+ 72

$x^{2} + 17 x + 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 17+1}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 17-1}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - 72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 25 x + 16}{3 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 25 x + 16}{3 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 25 x + 16}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 1 \cdot 3 x$
$- 25 x + 16$	=	$3 x \cdot x - 3 x$

- 25 x + 16

=

3 x^{2} - 3 x

|

- 3 x^{2}

+ 3 x

$- 3 x^{2} - 22 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 16}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 + 192}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{676}}{- 6}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{676}}{- 6}$ = $\frac{22+26}{- 6}$ = $\frac{48}{- 6}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{676}}{- 6}$ = $\frac{22-26}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 22 x + 16$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{22}{3} x - \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{3})}^{2} - (- \frac{16}{3})$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $\frac{48}{9}$ = $\frac{169}{9}$

x_1,2 = $- \frac{11}{3}$ ± $\sqrt{\frac{169}{9}}$

x₁ = $- \frac{11}{3}$ - $\frac{13}{3}$ = $- \frac{24}{3}$ = -8

x₂ = $- \frac{11}{3}$ + $\frac{13}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{2 x}{3 x + 1} + \frac{18 x}{- 6 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{2}$ }

$\frac{2 x}{3 x + 1} + \frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{18 x}{- 6 x + 3}$	=	0
$\frac{2 x}{3 x + 1} + \frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{18 x}{3 (- 2 x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 1} + \frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{18 x}{3 (- 2 x + 1)}$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{2 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{3 x}{2 x - 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{18 x}{3 (- 2 x + 1)} \cdot (3 x + 1)$	=
$2 x + \frac{3 x \cdot (3 x + 1)}{2 x - 1} + \frac{6 x \cdot (3 x + 1)}{- 2 x + 1}$	=
$2 x + \frac{9 x^{2} + 3 x}{2 x - 1} + \frac{18 x^{2} + 6 x}{- 2 x + 1}$	=
$\frac{18 x^{2} + 6 x}{- 2 x + 1} + \frac{9 x^{2} + 3 x}{2 x - 1} + 2 x$	=

\frac{9 x^{2} + 3 x}{2 x - 1} + \frac{18 x^{2} + 6 x}{- 2 x + 1} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{9 x^{2} + 3 x}{2 x - 1} + \frac{18 x^{2} + 6 x}{- 2 x + 1} + 2 x$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{9 x^{2} + 3 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{18 x^{2} + 6 x}{- 2 x + 1} \cdot (2 x - 1) + 2 x \cdot (2 x - 1)$	=
$9 x^{2} + 3 x + \frac{(18 x^{2} + 6 x) \cdot (2 x - 1)}{- 2 x + 1} + 2 x \cdot (2 x - 1)$	=
$9 x^{2} + 3 x - 6 x \cdot (3 x + 1) + 2 x \cdot (2 x - 1)$	=
$9 x^{2} + 3 x + (- 18 x^{2} - 6 x) + (4 x^{2} - 2 x)$	=
$- 5 x^{2} - 5 x$	=

$- 5 x^{2} - 5 x$	=	0
$- 5 x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{20}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{20}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{20}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{20}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 20$	=	$- x^{2}$
$a x - 20 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):