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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5}{x - 2}$ = $- 1$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{5}{x - 2}$	=	$- 1$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{5}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 1 \cdot (x - 2)$
$5$	=	$- (x - 2)$

$5$	=	$- x + 2$	\| $- 5$ $+ x$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 1} + \frac{5}{x + 1}$ = $\frac{2}{x^{2} - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

\frac{x}{x - 1} + \frac{5}{x + 1}

=

\frac{2}{(x + 1) \cdot (x - 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 1) \cdot (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{x - 1} + \frac{5}{x + 1}$	=	$\frac{2}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$	\|⋅( $(x + 1) \cdot (x - 1)$ )
$\frac{x}{x - 1} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) + \frac{5}{x + 1} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$	=	$\frac{2}{(x + 1) \cdot (x - 1)} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$
$x \cdot (x + 1) + 5 x - 5$	=	$2 \frac{x + 1}{x + 1}$
$x \cdot (x + 1) + 5 x - 5$	=	$2$
$x^{2} + x + 5 x - 5$	=	$2$
$x^{2} + 6 x - 5$	=	$2$

x^{2} + 6 x - 5

=

2

|

- 2

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

Lösung x= $1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 10} + \frac{8,4}{x - 2}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{5 x - 10} + \frac{8,4}{x - 2}$	=	$3 x$
$\frac{x}{5 (x - 2)} + \frac{8,4}{x - 2}$	=	$3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 2)} + \frac{8,4}{x - 2}$	=	$3 x$	\|⋅( $5 (x - 2)$ )
$\frac{x}{5 (x - 2)} \cdot (5 (x - 2)) + \frac{8,4}{x - 2} \cdot (5 (x - 2))$	=	$3 x \cdot (5 (x - 2))$
$x + 42$	=	$15 x \cdot (x - 2)$
$x + 42$	=	$15 x^{2} - 30 x$

x + 42

=

15 x^{2} - 30 x

|

- 15 x^{2}

+ 30 x

$- 15 x^{2} + 31 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{31^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot 42}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{961 + 2 520}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{3 481}}{- 30}$

x₁ = $\frac{- 31 + \sqrt{3 481}}{- 30}$ = $\frac{- 31+59}{- 30}$ = $\frac{28}{- 30}$ = $- \frac{14}{15}$ ≈ -0.93

x₂ = $\frac{- 31 - \sqrt{3 481}}{- 30}$ = $\frac{- 31-59}{- 30}$ = $\frac{- 90}{- 30}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} + 31 x + 42$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} - \frac{31}{15} x - \frac{14}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{31}{30})}^{2} - (- \frac{14}{5})$ = $\frac{961}{900}$ $+$ $\frac{14}{5}$ = $\frac{961}{900}$ $+$ $\frac{2520}{900}$ = $\frac{3481}{900}$

x_1,2 = $\frac{31}{30}$ ± $\sqrt{\frac{3481}{900}}$

x₁ = $\frac{31}{30}$ - $\frac{59}{30}$ = $- \frac{28}{30}$ = -0.93333333333333

x₂ = $\frac{31}{30}$ + $\frac{59}{30}$ = $\frac{90}{30}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{14}{15}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{35}{x^{2}}$ = $- 1 - \frac{2}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{35}{x^{2}}$	=	$- 1 - \frac{2}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{35}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{2}{x} \cdot x^{2}$
$- 35$	=	$- x^{2} - 2 x$

- 35

=

- x^{2} - 2 x

|

+ x^{2}

+ 2 x

$x^{2} + 2 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 1$ - $6$ = -7

x₂ = $- 1$ + $6$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 3$ = $- \frac{17}{2} - \frac{5}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 3$	=	$- \frac{17}{2} - \frac{5}{2 x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 3 \cdot x$	=	$- \frac{17}{2} \cdot x - \frac{5}{2 x} \cdot x$
$x \cdot x - 3 x$	=	$- \frac{17}{2} x - \frac{5}{2}$
$x^{2} - 3 x$	=	$- \frac{17}{2} x - \frac{5}{2}$

$x^{2} - 3 x$	=	$- \frac{17}{2} x - \frac{5}{2}$	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - 3 x)$	=	$2 (- \frac{17}{2} x - \frac{5}{2})$
$2 x^{2} - 6 x$	=	$- 17 x - 5$	\| $+ 17 x$ $+ 5$

$2 x^{2} + 11 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 11+9}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 11-9}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x + 5$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - (\frac{5}{2})$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{20}{4}$ = -5

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{x + 3} + \frac{11 x + 1}{3 x} + \frac{- 64 x}{2 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

$\frac{16 x}{x + 3} + \frac{11 x + 1}{3 x} - \frac{64 x}{2 x + 6}$	=	0
$\frac{16 x}{x + 3} + \frac{11 x + 1}{3 x} - \frac{64 x}{2 (x + 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{16 x}{x + 3} + \frac{11 x + 1}{3 x} - \frac{64 x}{2 (x + 3)}$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{16 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{11 x + 1}{3 x} \cdot (x + 3) - \frac{64 x}{2 (x + 3)} \cdot (x + 3)$	=
$16 x + \frac{(11 x + 1) \cdot (x + 3)}{3 x} - 32 x$	=
$16 x + \frac{11 x^{2} + 34 x + 3}{3 x} - 32 x$	=
$\frac{11 x^{2} + 34 x + 3}{3 x} + 16 x - 32 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{11 x^{2} + 34 x + 3}{3 x} + 16 x - 32 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{11 x^{2} + 34 x + 3}{3 x} \cdot 3 x + 16 x \cdot 3 x - 32 x \cdot 3 x$	=
$11 x^{2} + 34 x + 3 + 48 x \cdot x - 96 x \cdot x$	=
$11 x^{2} + 34 x + 3 + 48 x^{2} - 96 x^{2}$	=
$- 37 x^{2} + 34 x + 3$	=

$- 37 x^{2} + 34 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{34^{2} - 4 \cdot (- 37) \cdot 3}}{2 \cdot (- 37)}$

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{1 156 + 444}}{- 74}$

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{1 600}}{- 74}$

x₁ = $\frac{- 34 + \sqrt{1 600}}{- 74}$ = $\frac{- 34+40}{- 74}$ = $\frac{6}{- 74}$ = $- \frac{3}{37}$ ≈ -0.08

x₂ = $\frac{- 34 - \sqrt{1 600}}{- 74}$ = $\frac{- 34-40}{- 74}$ = $\frac{- 74}{- 74}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 37$ " teilen:

$- 37 x^{2} + 34 x + 3$ = 0 |: $- 37$

$x^{2} - \frac{34}{37} x - \frac{3}{37}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{37})}^{2} - (- \frac{3}{37})$ = $\frac{289}{1369}$ $+$ $\frac{3}{37}$ = $\frac{289}{1369}$ $+$ $\frac{111}{1369}$ = $\frac{400}{1369}$

x_1,2 = $\frac{17}{37}$ ± $\sqrt{\frac{400}{1369}}$

x₁ = $\frac{17}{37}$ - $\frac{20}{37}$ = $- \frac{3}{37}$ = -0.081081081081081

x₂ = $\frac{17}{37}$ + $\frac{20}{37}$ = $\frac{37}{37}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{3}{37}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{12}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{12}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{12}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 12$	=	$- a x$
$x^{2} + 12 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):