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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4}{x}$ = $- \frac{1}{2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4}{x}$	=	$- \frac{1}{2}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{4}{x} \cdot x$	=	$- \frac{1}{2} \cdot x$
$4$	=	$- \frac{1}{2} x$

$4$	=	$- \frac{1}{2} x$	\|⋅ 2
$8$	=	$- x$	\| $- 8$ $+ x$
$x$	=	$- 8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 2$ = $- \frac{18 x}{2 x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

x - 2

=

\frac{- 18 x}{2 (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$x - 2$	=	$\frac{- 18 x}{2 (x - 2)}$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$x \cdot (2 (x - 2)) - 2 \cdot (2 (x - 2))$	=	$\frac{- 18 x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2))$
$2 x \cdot (x - 2) - 4 x + 8$	=	$- 2 \frac{9 x}{1}$
$2 x \cdot (x - 2) - 4 x + 8$	=	$- 18 x$
$2 x^{2} - 4 x - 4 x + 8$	=	$- 18 x$
$2 x^{2} - 8 x + 8$	=	$- 18 x$

2 x^{2} - 8 x + 8

=

- 18 x

|

+ 18 x

2 x^{2} + 10 x + 8

= 0 |:2

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{2 x} + \frac{4 x}{x - 2} + \frac{8 x - 2}{- 3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $2$ }

- \frac{8 x - 2}{3 x} + \frac{x - 2}{2 x} + \frac{4 x}{x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $6 x$ weg!

$- \frac{8 x - 2}{3 x} + \frac{x - 2}{2 x} + \frac{4 x}{x - 2}$	=	\|⋅( $6 x$ )
$- \frac{8 x - 2}{3 x} \cdot 6 x + \frac{x - 2}{2 x} \cdot 6 x + \frac{4 x}{x - 2} \cdot 6 x$	=
$- 16 x + 4 + 3 x - 6 + 6 \frac{4 x \cdot x}{x - 2}$	=
$- 16 x + 4 + 3 x - 6 + \frac{24 x^{2}}{x - 2}$	=
$\frac{24 x^{2}}{x - 2} - 16 x + 3 x + 4 - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{24 x^{2}}{x - 2} - 16 x + 3 x + 4 - 6$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{24 x^{2}}{x - 2} \cdot (x - 2) - 16 x \cdot (x - 2) + 3 x \cdot (x - 2) + 4 \cdot (x - 2) - 6 \cdot (x - 2)$	=
$24 x^{2} - 16 x \cdot (x - 2) + 3 x \cdot (x - 2) + 4 x - 8 - 6 x + 12$	=
$24 x^{2} + (- 16 x^{2} + 32 x) + (3 x^{2} - 6 x) + 4 x - 8 - 6 x + 12$	=
$11 x^{2} + 24 x + 4$	=

$11 x^{2} + 24 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot 11 \cdot 4}}{2 \cdot 11}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 176}}{22}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{400}}{22}$

x₁ = $\frac{- 24 + \sqrt{400}}{22}$ = $\frac{- 24+20}{22}$ = $\frac{- 4}{22}$ = $- \frac{2}{11}$ ≈ -0.18

x₂ = $\frac{- 24 - \sqrt{400}}{22}$ = $\frac{- 24-20}{22}$ = $\frac{- 44}{22}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $11$ " teilen:

$11 x^{2} + 24 x + 4$ = 0 |: $11$

$x^{2} + \frac{24}{11} x + \frac{4}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{12}{11})}^{2} - (\frac{4}{11})$ = $\frac{144}{121}$ $-$ $\frac{4}{11}$ = $\frac{144}{121}$ $-$ $\frac{44}{121}$ = $\frac{100}{121}$

x_1,2 = $- \frac{12}{11}$ ± $\sqrt{\frac{100}{121}}$

x₁ = $- \frac{12}{11}$ - $\frac{10}{11}$ = $- \frac{22}{11}$ = -2

x₂ = $- \frac{12}{11}$ + $\frac{10}{11}$ = $- \frac{2}{11}$ = -0.18181818181818

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{2}{11}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- x - 20}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- x - 20}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- x - 20}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- x - 20$	=	$- x^{2}$

- x - 20

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 2$ = $\frac{- 5 x - 9}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x + 2$	=	$\frac{- 5 x - 9}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x$	=	$\frac{- 5 x - 9}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x + 4 x$	=	$- 5 x - 9$
$2 x^{2} + 4 x$	=	$- 5 x - 9$

2 x^{2} + 4 x

=

- 5 x - 9

|

+ 5 x

+ 9

$2 x^{2} + 9 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 9+3}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 9-3}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 9 x + 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{2 x + 4} + \frac{5 x - 1}{3 x + 5} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ ; $- 2$ }

$\frac{5 x - 1}{3 x + 5} + \frac{3 x + 1}{2 x + 4} - 8$	=	0
$\frac{5 x - 1}{3 x + 5} + \frac{3 x + 1}{2 (x + 2)} - 8$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{5 x - 1}{3 x + 5} + \frac{3 x + 1}{2 (x + 2)} - 8$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{5 x - 1}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + \frac{3 x + 1}{2 (x + 2)} \cdot (3 x + 5) - 8 \cdot (3 x + 5)$	=
$5 x - 1 + \frac{(3 x + 1) \cdot (3 x + 5)}{2 (x + 2)} - 24 x - 40$	=
$5 x - 1 + \frac{9 x^{2} + 18 x + 5}{2 (x + 2)} - 24 x - 40$	=
$\frac{9 x^{2} + 18 x + 5}{2 (x + 2)} + 5 x - 24 x - 1 - 40$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{9 x^{2} + 18 x + 5}{2 (x + 2)} + 5 x - 24 x - 1 - 40$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{9 x^{2} + 18 x + 5}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + 5 x \cdot (2 (x + 2)) - 24 x \cdot (2 (x + 2)) - 1 \cdot (2 (x + 2)) - 40 \cdot (2 (x + 2))$	=
$9 x^{2} + 18 x + 5 + 10 x \cdot (x + 2) - 48 x \cdot (x + 2) - 2 x - 4 - 80 x - 160$	=
$9 x^{2} + 18 x + 5 + (10 x^{2} + 20 x) + (- 48 x^{2} - 96 x) - 2 x - 4 - 80 x - 160$	=
$- 29 x^{2} - 140 x - 159$	=

$- 29 x^{2} - 140 x - 159$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 140 \pm \sqrt{{(- 140)}^{2} - 4 \cdot (- 29) \cdot (- 159)}}{2 \cdot (- 29)}$

x_1,2 = $\frac{+ 140 \pm \sqrt{19 600 - 18 444}}{- 58}$

x_1,2 = $\frac{+ 140 \pm \sqrt{1 156}}{- 58}$

x₁ = $\frac{140 + \sqrt{1 156}}{- 58}$ = $\frac{140+34}{- 58}$ = $\frac{174}{- 58}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{140 - \sqrt{1 156}}{- 58}$ = $\frac{140-34}{- 58}$ = $\frac{106}{- 58}$ = $- \frac{53}{29}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 29$ " teilen:

$- 29 x^{2} - 140 x - 159$ = 0 |: $- 29$

$x^{2} + \frac{140}{29} x + \frac{159}{29}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{70}{29})}^{2} - (\frac{159}{29})$ = $\frac{4900}{841}$ $-$ $\frac{159}{29}$ = $\frac{4900}{841}$ $-$ $\frac{4611}{841}$ = $\frac{289}{841}$

x_1,2 = $- \frac{70}{29}$ ± $\sqrt{\frac{289}{841}}$

x₁ = $- \frac{70}{29}$ - $\frac{17}{29}$ = $- \frac{87}{29}$ = -3

x₂ = $- \frac{70}{29}$ + $\frac{17}{29}$ = $- \frac{53}{29}$ = -1.8275862068966

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{53}{29}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $9$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $9$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$9$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$9 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$9 x$
$x^{2} + a - 9 x$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):