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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4 x}{x + 4}$ = $- 2$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{- 4 x}{x + 4}$	=	$- 2$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{- 4 x}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$- 2 \cdot (x + 4)$
$- \frac{4 x}{1}$	=	$- 2 (x + 4)$
$- 4 x$	=	$- 2 (x + 4)$

$- 4 x$	=	$- 2 x - 8$	\| $+ 2 x$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 7} + \frac{6}{x + 7}$ = $\frac{188}{x^{2} - 49}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 7$ ; $7$ }

\frac{x}{x - 7} + \frac{6}{x + 7}

=

\frac{188}{(x + 7) \cdot (x - 7)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 7) \cdot (x - 7)$ weg!

$\frac{x}{x - 7} + \frac{6}{x + 7}$	=	$\frac{188}{(x + 7) \cdot (x - 7)}$	\|⋅( $(x + 7) \cdot (x - 7)$ )
$\frac{x}{x - 7} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7) + \frac{6}{x + 7} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7)$	=	$\frac{188}{(x + 7) \cdot (x - 7)} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7)$
$x \cdot (x + 7) + 6 x - 42$	=	$188 \frac{x + 7}{x + 7}$
$x \cdot (x + 7) + 6 x - 42$	=	$188$
$x^{2} + 7 x + 6 x - 42$	=	$188$
$x^{2} + 13 x - 42$	=	$188$

x^{2} + 13 x - 42

=

188

|

- 188

$x^{2} + 13 x - 230$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 230)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 920}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1 089}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1 089}}{2}$ = $\frac{- 13+33}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1 089}}{2}$ = $\frac{- 13-33}{2}$ = $\frac{- 46}{2}$ = $- 23$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - (- 230)$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $230$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $\frac{920}{4}$ = $\frac{1089}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1089}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{33}{2}$ = $- \frac{46}{2}$ = -23

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{33}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 23$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 56,8}{x + 3}$ = $- \frac{x}{5 x + 15} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

- \frac{56,8}{x + 3}

=

- \frac{x}{5 (x + 3)} - 2 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 3)$ weg!

$- \frac{56,8}{x + 3}$	=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} - 2 x$	\|⋅( $5 (x + 3)$ )
$- \frac{56,8}{x + 3} \cdot (5 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} \cdot (5 (x + 3)) - 2 x \cdot (5 (x + 3))$
$- 284$	=	$- x - 10 x \cdot (x + 3)$
$- 284$	=	$- 10 x^{2} - 31 x$

- 284

=

- 10 x^{2} - 31 x

|

+ 10 x^{2}

+ 31 x

$10 x^{2} + 31 x - 284$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{31^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 284)}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{961 + 11 360}}{20}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{12 321}}{20}$

x₁ = $\frac{- 31 + \sqrt{12 321}}{20}$ = $\frac{- 31+111}{20}$ = $\frac{80}{20}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 31 - \sqrt{12 321}}{20}$ = $\frac{- 31-111}{20}$ = $\frac{- 142}{20}$ = $- 7,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $10$ " teilen:

$10 x^{2} + 31 x - 284$ = 0 |: $10$

$x^{2} + \frac{31}{10} x - \frac{142}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{20})}^{2} - (- \frac{142}{5})$ = $\frac{961}{400}$ $+$ $\frac{142}{5}$ = $\frac{961}{400}$ $+$ $\frac{11360}{400}$ = $\frac{12321}{400}$

x_1,2 = $- \frac{31}{20}$ ± $\sqrt{\frac{12321}{400}}$

x₁ = $- \frac{31}{20}$ - $\frac{111}{20}$ = $- \frac{142}{20}$ = -7.1

x₂ = $- \frac{31}{20}$ + $\frac{111}{20}$ = $\frac{80}{20}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7,1$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 4 x - 5}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- 4 x - 5}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- 4 x - 5}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 4 x - 5$	=	$- x^{2}$

- 4 x - 5

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 5$ = $\frac{29 x - 8}{3 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x + 5$	=	$\frac{29 x - 8}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x + 5 \cdot 3 x$	=	$\frac{29 x - 8}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x + 15 x$	=	$29 x - 8$
$3 x^{2} + 15 x$	=	$29 x - 8$

3 x^{2} + 15 x

=

29 x - 8

|

- 29 x

+ 8

$3 x^{2} - 14 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{100}}{6}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{14+10}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{14-10}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 14 x + 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{14}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{3})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{25}{9}$

x_1,2 = $\frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{25}{9}}$

x₁ = $\frac{7}{3}$ - $\frac{5}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{7}{3}$ + $\frac{5}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x}{2 x + 1} + \frac{6 x}{x + 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{1}{2}$ }

\frac{6 x}{x + 1} + \frac{9 x}{2 x + 1} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{9 x}{2 x + 1} - 6$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{9 x}{2 x + 1} \cdot (x + 1) - 6 \cdot (x + 1)$	=
$6 x + \frac{9 x \cdot (x + 1)}{2 x + 1} - 6 x - 6$	=
$6 x + \frac{9 x^{2} + 9 x}{2 x + 1} - 6 x - 6$	=
$\frac{9 x^{2} + 9 x}{2 x + 1} + 6 x - 6 x - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{9 x^{2} + 9 x}{2 x + 1} + 6 x - 6 x - 6$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{9 x^{2} + 9 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + 6 x \cdot (2 x + 1) - 6 x \cdot (2 x + 1) - 6 \cdot (2 x + 1)$	=
$9 x^{2} + 9 x + 6 x \cdot (2 x + 1) - 6 x \cdot (2 x + 1) - 12 x - 6$	=
$9 x^{2} + 9 x + (12 x^{2} + 6 x) + (- 12 x^{2} - 6 x) - 12 x - 6$	=
$9 x^{2} - 3 x - 6$	=

9 x^{2} - 3 x - 6

= 0 |:3

$3 x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{1+5}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{1-5}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - x - 2$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{2}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{15}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{15}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{15}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{15}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 15 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 15 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot (- 5)$ = -15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 - 5)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):