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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4}{x - 2}$ = $- 2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{4}{x - 2}$	=	$- 2$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{4}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 2 \cdot (x - 2)$
$4$	=	$- 2 (x - 2)$

$4$	=	$- 2 x + 4$	\| $- 4$ $+ 2 x$
$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0}

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 1} + \frac{6}{x - 1}$ = $\frac{2}{x^{2} - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

\frac{x}{x + 1} + \frac{6}{x - 1}

=

\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 1) (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{x + 1} + \frac{6}{x - 1}$	=	$\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$	\|⋅( $(x + 1) (x - 1)$ )
$\frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1) (x - 1) + \frac{6}{x - 1} \cdot (x + 1) (x - 1)$	=	$\frac{2}{(x + 1) (x - 1)} \cdot (x + 1) (x - 1)$
$x (x - 1) + 6 x + 6$	=	$2 \frac{x + 1}{x + 1}$
$x (x - 1) + 6 x + 6$	=	$2$
$x^{2} - x + 6 x + 6$	=	$2$
$x^{2} + 5 x + 6$	=	$2$

x^{2} + 5 x + 6

=

2

|

- 2

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Lösung x= $- 1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{3 x} + \frac{9 x}{x - 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

\frac{9 x}{x - 2} + \frac{2 x - 1}{3 x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{2 x - 1}{3 x} - 4$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{9 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{2 x - 1}{3 x} \cdot (x - 2) - 4 \cdot (x - 2)$	=
$9 x + \frac{(2 x - 1) (x - 2)}{3 x} - 4 x + 8$	=
$9 x + \frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{3 x} - 4 x + 8$	=
$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{3 x} + 9 x - 4 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{3 x} + 9 x - 4 x + 8$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{3 x} \cdot 3 x + 9 x \cdot 3 x - 4 x \cdot 3 x + 8 \cdot 3 x$	=
$2 x^{2} - 5 x + 2 + 27 x \cdot x - 12 x \cdot x + 24 x$	=
$2 x^{2} - 5 x + 2 + 27 x^{2} - 12 x^{2} + 24 x$	=
$17 x^{2} + 19 x + 2$	=

$17 x^{2} + 19 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 17 \cdot 2}}{2 \cdot 17}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 136}}{34}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{225}}{34}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{225}}{34}$ = $\frac{- 19+15}{34}$ = $\frac{- 4}{34}$ = $- \frac{2}{17}$ ≈ -0.12

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{225}}{34}$ = $\frac{- 19-15}{34}$ = $\frac{- 34}{34}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $17$ " teilen:

$17 x^{2} + 19 x + 2$ = 0 |: $17$

$x^{2} + \frac{19}{17} x + \frac{2}{17}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{34})}^{2} - (\frac{2}{17})$ = $\frac{361}{1156}$ $-$ $\frac{2}{17}$ = $\frac{361}{1156}$ $-$ $\frac{136}{1156}$ = $\frac{225}{1156}$

x_1,2 = $- \frac{19}{34}$ ± $\sqrt{\frac{225}{1156}}$

x₁ = $- \frac{19}{34}$ - $\frac{15}{34}$ = $- \frac{34}{34}$ = -1

x₂ = $- \frac{19}{34}$ + $\frac{15}{34}$ = $- \frac{4}{34}$ = -0.11764705882353

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{2}{17}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{2 x - 8}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{2 x - 8}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{2 x - 8}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$2 x - 8$

- x^{2}

=

2 x - 8

|

- 2 x

+ 8

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2+6}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2-6}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 12 - \frac{14}{x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 12 - \frac{14}{x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $x$ )
$- 12 \cdot x - \frac{14}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 3 \cdot x$
$- 12 x - 14$	=	$x \cdot x - 3 x$

- 12 x - 14

=

x^{2} - 3 x

|

- x^{2}

+ 3 x

$- x^{2} - 9 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 14)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{9+5}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{9-5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 9 x - 14$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x - 5} + \frac{3 x}{3 x - 6} + \frac{4 x}{- 3 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{5}{3}$ }

$\frac{3 x}{3 x - 6} + \frac{x + 1}{3 x - 5} + \frac{4 x}{- 3 x + 6}$	=	0
$\frac{3 x}{3 (x - 2)} + \frac{x + 1}{3 x - 5} + \frac{4 x}{3 (- x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{3 x}{3 (x - 2)} + \frac{x + 1}{3 x - 5} + \frac{4 x}{3 (- x + 2)}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{3 x}{3 (x - 2)} \cdot (x - 2) + \frac{x + 1}{3 x - 5} \cdot (x - 2) + \frac{4 x}{3 (- x + 2)} \cdot (x - 2)$	=
$x + \frac{(x + 1) (x - 2)}{3 x - 5} + \frac{4 x (x - 2)}{3 (- x + 2)}$	=
$x + \frac{(x + 1) (x - 2)}{3 x - 5} - \frac{4}{3} x$	=
$x + \frac{x^{2} - x - 2}{3 x - 5} - \frac{4}{3} x$	=
$\frac{x^{2} - x - 2}{3 x - 5} + x - \frac{4}{3} x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{x^{2} - x - 2}{3 x - 5} + x - \frac{4}{3} x$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{x^{2} - x - 2}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + x \cdot (3 x - 5) - \frac{4}{3} x \cdot (3 x - 5)$	=
$x^{2} - x - 2 + x (3 x - 5) - \frac{4}{3} x (3 x - 5)$	=
$x^{2} - x - 2 + (3 x^{2} - 5 x) + (- 4 x^{2} + \frac{20}{3} x)$	=
$\frac{2}{3} x - 2$	=

$\frac{2}{3} x - 2$	=	0	\|⋅ 3
$3 (\frac{2}{3} x - 2)$	=	0
$2 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{20}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{20}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{20}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{20}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 20$
$a x + x^{2} + 20$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

L={ $2$ ; $10$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):