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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 6 x 2 = -1 - 5 x

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 2 weg!

- 6 x 2 = -1 - 5 x |⋅( x 2 )
- 6 x 2 · x 2 = -1 · x 2 - 5 x · x 2
-6 = - x 2 -5x
-6 = - x 2 -5x | + x 2 +5x

x 2 +5x -6 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -5 ± 5 2 -4 · 1 · ( -6 ) 21

x1,2 = -5 ± 25 +24 2

x1,2 = -5 ± 49 2

x1 = -5 + 49 2 = -5 +7 2 = 2 2 = 1

x2 = -5 - 49 2 = -5 -7 2 = -12 2 = -6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -6 ; 1 }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2x = 21x +6 x +5

Lösung einblenden

D=R\{ -5 }

Wir multiplizieren den Nenner x +5 weg!

2x = 21x +6 x +5 |⋅( x +5 )
2x · ( x +5 ) = 21x +6 x +5 · ( x +5 )
2 x ( x +5 ) = 21x +6
2 x · x +2 x · 5 = 21x +6
2 x · x +10x = 21x +6
2 x 2 +10x = 21x +6
2 x 2 +10x = 21x +6 | -21x -6

2 x 2 -11x -6 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +11 ± ( -11 ) 2 -4 · 2 · ( -6 ) 22

x1,2 = +11 ± 121 +48 4

x1,2 = +11 ± 169 4

x1 = 11 + 169 4 = 11 +13 4 = 24 4 = 6

x2 = 11 - 169 4 = 11 -13 4 = -2 4 = -0,5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -0,5 ; 6 }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3x 2x -1 + 3x x +1 -4 = 0

Lösung einblenden

D=R\{ -1 ; 1 2 }

3x x +1 + 3x 2x -1 -4 = 0

Wir multiplizieren den Nenner x +1 weg!

3x x +1 + 3x 2x -1 -4 = 0 |⋅( x +1 )
3x x +1 · ( x +1 ) + 3x 2x -1 · ( x +1 ) -4 · ( x +1 ) = 0
3x + 3 x ( x +1 ) 2x -1 -4x -4 = 0
3x + 3 x 2 +3x 2x -1 -4x -4 = 0
3 x 2 +3x 2x -1 +3x -4x -4 = 0

Wir multiplizieren den Nenner 2x -1 weg!

3 x 2 +3x 2x -1 +3x -4x -4 = 0 |⋅( 2x -1 )
3 x 2 +3x 2x -1 · ( 2x -1 ) + 3x · ( 2x -1 ) -4x · ( 2x -1 ) -4 · ( 2x -1 ) = 0
3 x 2 +3x +3 x ( 2x -1 )-4 x ( 2x -1 ) -8x +4 = 0
3 x 2 +3x + ( 6 x 2 -3x ) + ( -8 x 2 +4x ) -8x +4 = 0
x 2 -4x +4 = 0

x 2 -4x +4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · 4 21

x1,2 = +4 ± 16 -16 2

x1,2 = +4 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 4 2 = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 2 }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

-1 + a x = -x

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

-1 + a x = -x

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

-1 + a x = -x |⋅x
-1 · x + a x · x = -x · x
-x + a = - x 2
-x + a + x 2 = 0
x 2 - x + a = 0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

x 2 - x + a = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn -( 2 -1 ) = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = 2 · ( -1 ) = -2

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

x 2 - x -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

x1,2 = +1 ± 1 +8 2

x1,2 = +1 ± 9 2

x1 = 1 + 9 2 = 1 +3 2 = 4 2 = 2

x2 = 1 - 9 2 = 1 -3 2 = -2 2 = -1

L={ -1 ; 2 }