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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{12}{x - 3}$ = $4$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$- \frac{12}{x - 3}$	=	$4$	\|⋅( $x - 3$ )
$- \frac{12}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$4 \cdot (x - 3)$
$- 12$	=	$4 (x - 3)$

$- 12$	=	$4 x - 12$	\| $+ 12$ $- 4 x$
$- 4 x$	=	0	\|:( $- 4$ )
$x$	=	0

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 5$ = $- \frac{- 20 x}{2 x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$x + 5$	=	$\frac{20 x}{2 x - 3}$	\|⋅( $2 x - 3$ )
$x \cdot (2 x - 3) + 5 \cdot (2 x - 3)$	=	$\frac{20 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3)$
$x \cdot (2 x - 3) + 10 x - 15$	=	$20 x$
$2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15$	=	$20 x$
$2 x^{2} + 7 x - 15$	=	$20 x$

2 x^{2} + 7 x - 15

=

20 x

|

- 20 x

$2 x^{2} - 13 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{13+17}{4}$ = $\frac{30}{4}$ = $7,5$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{13-17}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 13 x - 15$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{30}{4}$ = 7.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $7,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{18 x}{- 6 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{2}{3}$ }

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{18 x}{- 6 x + 6}$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x - 1)} + \frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{18 x}{6 (- x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x - 1)} + \frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{18 x}{6 (- x + 1)}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{4 x}{3 x - 2} \cdot (x - 1) + \frac{18 x}{6 (- x + 1)} \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{4 x \cdot (x - 1)}{3 x - 2} + \frac{3 x \cdot (x - 1)}{- x + 1}$	=
$2 x + \frac{4 x \cdot (x - 1)}{3 x - 2} - 3 x$	=
$2 x + \frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x - 2} - 3 x$	=
$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x - 2} + 2 x - 3 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x - 2} + 2 x - 3 x$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + 2 x \cdot (3 x - 2) - 3 x \cdot (3 x - 2)$	=
$4 x^{2} - 4 x + 2 x \cdot (3 x - 2) - 3 x \cdot (3 x - 2)$	=
$4 x^{2} - 4 x + (6 x^{2} - 4 x) + (- 9 x^{2} + 6 x)$	=
$x^{2} - 2 x$	=

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{15}{x^{2}}$ = $- \frac{8}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{15}{x^{2}}$	=	$- \frac{8}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{15}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{8}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 15$	=	$- 8 x$

x^{2} + 15

=

- 8 x

|

+ 8 x

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 4$ - $1$ = -5

x₂ = $- 4$ + $1$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{19 x - 5}{3 x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{19 x - 5}{3 x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{19 x - 5}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 1 \cdot 3 x$
$19 x - 5$	=	$3 x \cdot x + 3 x$

19 x - 5

=

3 x^{2} + 3 x

|

- 3 x^{2}

- 3 x

$- 3 x^{2} + 16 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 60}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{196}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{- 16+14}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{- 16-14}{- 6}$ = $\frac{- 30}{- 6}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 16 x - 5$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{16}{3} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{3})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{49}{9}$

x_1,2 = $\frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{49}{9}}$

x₁ = $\frac{8}{3}$ - $\frac{7}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{8}{3}$ + $\frac{7}{3}$ = $\frac{15}{3}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 4} + \frac{3 x - 4}{x} + \frac{23 x - 4}{- 3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 2$ }

$- \frac{23 x - 4}{3 x} + \frac{3 x - 4}{x} + \frac{4 x}{2 x + 4}$	=	0
$- \frac{23 x - 4}{3 x} + \frac{3 x - 4}{x} + \frac{4 x}{2 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$- \frac{23 x - 4}{3 x} + \frac{3 x - 4}{x} + \frac{4 x}{2 (x + 2)}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$- \frac{23 x - 4}{3 x} \cdot 3 x + \frac{3 x - 4}{x} \cdot 3 x + \frac{4 x}{2 (x + 2)} \cdot 3 x$	=
$- 23 x + 4 + 9 x - 12 + 3 \frac{2 x \cdot x}{x + 2}$	=
$- 23 x + 4 + 9 x - 12 + \frac{6 x^{2}}{x + 2}$	=
$\frac{6 x^{2}}{x + 2} - 23 x + 9 x + 4 - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6 x^{2}}{x + 2} - 23 x + 9 x + 4 - 12$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6 x^{2}}{x + 2} \cdot (x + 2) - 23 x \cdot (x + 2) + 9 x \cdot (x + 2) + 4 \cdot (x + 2) - 12 \cdot (x + 2)$	=
$6 x^{2} - 23 x \cdot (x + 2) + 9 x \cdot (x + 2) + 4 x + 8 - 12 x - 24$	=
$6 x^{2} + (- 23 x^{2} - 46 x) + (9 x^{2} + 18 x) + 4 x + 8 - 12 x - 24$	=
$- 8 x^{2} - 36 x - 16$	=

- 8 x^{2} - 36 x - 16

= 0 |:4

$- 2 x^{2} - 9 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{9+7}{- 4}$ = $\frac{16}{- 4}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{9-7}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 9 x - 4$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - 2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{12}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{12}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{12}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{12}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 12$
$x^{2} + a x + 12$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):