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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{9}{x}$ = $- \frac{5}{2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{9}{x}$	=	$- \frac{5}{2}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{9}{x} \cdot x$	=	$- \frac{5}{2} \cdot x$
$- 9$	=	$- \frac{5}{2} x$

$- 9$	=	$- \frac{5}{2} x$	\|⋅ 2
$- 18$	=	$- 5 x$	\| $+ 18$ $+ 5 x$
$5 x$	=	$18$	\|: $5$
$x$	=	$\frac{18}{5}$ = 3.6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{18}{5}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 8} - \frac{11}{x + 8}$ = $\frac{142}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x - 8} - \frac{11}{x + 8}

=

\frac{142}{(x + 8) \cdot (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) \cdot (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x - 8} - \frac{11}{x + 8}$	=	$\frac{142}{(x + 8) \cdot (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) \cdot (x - 8)$ )
$\frac{x}{x - 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8) - \frac{11}{x + 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$	=	$\frac{142}{(x + 8) \cdot (x - 8)} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$
$x \cdot (x + 8) - 11 x + 88$	=	$142 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x \cdot (x + 8) - 11 x + 88$	=	$142$
$x^{2} + 8 x - 11 x + 88$	=	$142$
$x^{2} - 3 x + 88$	=	$142$

x^{2} - 3 x + 88

=

142

|

- 142

$x^{2} - 3 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3+15}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3-15}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 54)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $54$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $9$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 2} + \frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{12 x}{- 2 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

$\frac{4 x}{x - 2} + \frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{12 x}{- 2 x + 4}$	=	0
$\frac{4 x}{x - 2} + \frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{12 x}{2 (- x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{x - 2} + \frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{12 x}{2 (- x + 2)}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{4 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{2 x + 1}{x - 1} \cdot (x - 2) + \frac{12 x}{2 (- x + 2)} \cdot (x - 2)$	=
$4 x + \frac{(2 x + 1) \cdot (x - 2)}{x - 1} + \frac{6 x \cdot (x - 2)}{- x + 2}$	=
$4 x + \frac{(2 x + 1) \cdot (x - 2)}{x - 1} - 6 x$	=
$4 x + \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x - 1} - 6 x$	=
$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x - 1} + 4 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x - 1} + 4 x - 6 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x - 1} \cdot (x - 1) + 4 x \cdot (x - 1) - 6 x \cdot (x - 1)$	=
$2 x^{2} - 3 x - 2 + 4 x \cdot (x - 1) - 6 x \cdot (x - 1)$	=
$2 x^{2} - 3 x - 2 + (4 x^{2} - 4 x) + (- 6 x^{2} + 6 x)$	=
$- x - 2$	=

$- x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} - \frac{10}{x^{2}} - \frac{21}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} - \frac{10}{x^{2}} - \frac{21}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{10}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{21}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} - 10 x - 21$

0

=

- x^{2} - 10 x - 21

|

+ x^{2}

+ 10 x

+ 21

$x^{2} + 10 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 10+4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 10-4}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 5$ - $2$ = -7

x₂ = $- 5$ + $2$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $\frac{17 x + 4}{x + 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$2 x$	=	$\frac{17 x + 4}{x + 5}$	\|⋅( $x + 5$ )
$2 x \cdot (x + 5)$	=	$\frac{17 x + 4}{x + 5} \cdot (x + 5)$
$2 x \cdot (x + 5)$	=	$17 x + 4$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot 5$	=	$17 x + 4$
$2 x \cdot x + 10 x$	=	$17 x + 4$
$2 x^{2} + 10 x$	=	$17 x + 4$

2 x^{2} + 10 x

=

17 x + 4

|

- 17 x

- 4

$2 x^{2} - 7 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{7+9}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{7-9}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x - 4$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $2$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 3}{x} + \frac{5 x + 1}{x + 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{5 x + 1}{x + 1} + \frac{x + 3}{x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{5 x + 1}{x + 1} + \frac{x + 3}{x} - 6$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{5 x + 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{x + 3}{x} \cdot (x + 1) - 6 \cdot (x + 1)$	=
$5 x + 1 + \frac{(x + 3) \cdot (x + 1)}{x} - 6 x - 6$	=
$5 x + 1 + \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x} - 6 x - 6$	=
$\frac{x^{2} + 4 x + 3}{x} + 5 x - 6 x + 1 - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x^{2} + 4 x + 3}{x} + 5 x - 6 x + 1 - 6$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x^{2} + 4 x + 3}{x} \cdot x + 5 x \cdot x - 6 x \cdot x + 1 \cdot x - 6 \cdot x$	=
$x^{2} + 4 x + 3 + 5 x \cdot x - 6 x \cdot x + x - 6 x$	=
$x^{2} + 4 x + 3 + 5 x^{2} - 6 x^{2} + x - 6 x$	=
$- x + 3$	=

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$2 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$2 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$2 x + x^{2}$	=	$- a$
$2 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

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Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):