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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{8}{x}$ = $- \frac{5}{3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{8}{x}$	=	$- \frac{5}{3}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{8}{x} \cdot x$	=	$- \frac{5}{3} \cdot x$
$- 8$	=	$- \frac{5}{3} x$

$- 8$	=	$- \frac{5}{3} x$	\|⋅ 3
$- 24$	=	$- 5 x$	\| $+ 24$ $+ 5 x$
$5 x$	=	$24$	\|: $5$
$x$	=	$\frac{24}{5}$ = 4.8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{24}{5}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2 x}{x + 3} - \frac{8}{2 x + 6}$ = $- 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

\frac{2 x}{x + 3} - \frac{8}{2 (x + 3)}

=

- 3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{2 x}{x + 3} - \frac{8}{2 (x + 3)}$	=	$- 3$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{2 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{- 8}{2 (x + 3)} \cdot (x + 3)$	=	$- 3 \cdot (x + 3)$
$2 x - 4$	=	$- 3 (x + 3)$

$2 x - 4$	=	$- 3 x - 9$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$- 3 x - 5$	\| $+ 3 x$
$5 x$	=	$- 5$	\|: $5$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{3 x + 12} - \frac{- 16}{2 x + 8} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

0	=	$- \frac{x}{3 x + 12} + \frac{16}{2 x + 8} + 3 x$
0	=	$- \frac{x}{3 (x + 4)} + \frac{16}{2 (x + 4)} + 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 4)$ weg!

=	$- \frac{x}{3 (x + 4)} + \frac{16}{2 (x + 4)} + 3 x$	\|⋅( $3 (x + 4)$ )
=	$- \frac{x}{3 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4)) + \frac{16}{2 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4)) + 3 x \cdot (3 (x + 4))$
=	$- x + 24 + 9 x \cdot (x + 4)$
=	$9 x^{2} + 35 x + 24$

0

=

9 x^{2} + 35 x + 24

|

- 9 x^{2}

- 35 x

- 24

$- 9 x^{2} - 35 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{{(- 35)}^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{1 225 - 864}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{361}}{- 18}$

x₁ = $\frac{35 + \sqrt{361}}{- 18}$ = $\frac{35+19}{- 18}$ = $\frac{54}{- 18}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{35 - \sqrt{361}}{- 18}$ = $\frac{35-19}{- 18}$ = $\frac{16}{- 18}$ = $- \frac{8}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} - 35 x - 24$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} + \frac{35}{9} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{35}{18})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{1225}{324}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{1225}{324}$ $-$ $\frac{864}{324}$ = $\frac{361}{324}$

x_1,2 = $- \frac{35}{18}$ ± $\sqrt{\frac{361}{324}}$

x₁ = $- \frac{35}{18}$ - $\frac{19}{18}$ = $- \frac{54}{18}$ = -3

x₂ = $- \frac{35}{18}$ + $\frac{19}{18}$ = $- \frac{16}{18}$ = -0.88888888888889

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{8}{9}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{x^{3}}$ = $- \frac{24}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{x^{3}}$	=	$- \frac{24}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{11}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{24}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 11 x$	=	$- 24$

x^{2} + 11 x

=

- 24

|

+ 24

$x^{2} + 11 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 11+5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 11-5}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $\frac{- 4 x - 2}{x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$3 x$	=	$\frac{- 4 x - 2}{x - 3}$	\|⋅( $x - 3$ )
$3 x \cdot (x - 3)$	=	$\frac{- 4 x - 2}{x - 3} \cdot (x - 3)$
$3 x \cdot (x - 3)$	=	$- 4 x - 2$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot (- 3)$	=	$- 4 x - 2$
$3 x \cdot x - 9 x$	=	$- 4 x - 2$
$3 x^{2} - 9 x$	=	$- 4 x - 2$

3 x^{2} - 9 x

=

- 4 x - 2

|

+ 4 x

+ 2

$3 x^{2} - 5 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{5+1}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{5-1}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 5 x + 2$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{5}{3} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{6})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{25}{36}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{25}{36}$ $-$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{1}{36}$

x_1,2 = $\frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1}{36}}$

x₁ = $\frac{5}{6}$ - $\frac{1}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{5}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 8} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; $2$ }

\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{2 x}{x - 2} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{2 x}{x - 2} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{2 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{2 x}{x - 2} \cdot (3 x - 8) - 6 \cdot (3 x - 8)$	=
$2 x + \frac{2 x \cdot (3 x - 8)}{x - 2} - 18 x + 48$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} - 16 x}{x - 2} - 18 x + 48$	=
$\frac{6 x^{2} - 16 x}{x - 2} + 2 x - 18 x + 48$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 16 x}{x - 2} + 2 x - 18 x + 48$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x^{2} - 16 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 2 x \cdot (x - 2) - 18 x \cdot (x - 2) + 48 \cdot (x - 2)$	=
$6 x^{2} - 16 x + 2 x \cdot (x - 2) - 18 x \cdot (x - 2) + 48 x - 96$	=
$6 x^{2} - 16 x + (2 x^{2} - 4 x) + (- 18 x^{2} + 36 x) + 48 x - 96$	=
$- 10 x^{2} + 64 x - 96$	=

- 10 x^{2} + 64 x - 96

= 0 |:2

$- 5 x^{2} + 32 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 48)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 960}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 32+8}{- 10}$ = $\frac{- 24}{- 10}$ = $2,4$

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 32-8}{- 10}$ = $\frac{- 40}{- 10}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 32 x - 48$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{32}{5} x + \frac{48}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{16}{5})}^{2} - (\frac{48}{5})$ = $\frac{256}{25}$ $-$ $\frac{48}{5}$ = $\frac{256}{25}$ $-$ $\frac{240}{25}$ = $\frac{16}{25}$

x_1,2 = $\frac{16}{5}$ ± $\sqrt{\frac{16}{25}}$

x₁ = $\frac{16}{5}$ - $\frac{4}{5}$ = $\frac{12}{5}$ = 2.4

x₂ = $\frac{16}{5}$ + $\frac{4}{5}$ = $\frac{20}{5}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2,4$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{18}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{18}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$18$
$a x + x^{2} - 18$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):