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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6}{x}$ = $\frac{4}{3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6}{x}$	=	$\frac{4}{3}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{6}{x} \cdot x$	=	$\frac{4}{3} \cdot x$
$6$	=	$\frac{4}{3} x$

$6$	=	$\frac{4}{3} x$	\|⋅ 3
$18$	=	$4 x$	\| $- 18$ $- 4 x$
$- 4 x$	=	$- 18$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$\frac{9}{2}$ = 4.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{9}{2}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{x}{x - 2} + \frac{12}{2 x - 4}$ = $3$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{x}{x - 2} + \frac{12}{2 (x - 2)}

=

3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{x}{x - 2} + \frac{12}{2 (x - 2)}$	=	$3$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{12}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2)$	=	$3 \cdot (x - 2)$
$x + 6$	=	$3 (x - 2)$

$x + 6$	=	$3 x - 6$	\| $- 6$
$x$	=	$3 x - 12$	\| $- 3 x$
$- 2 x$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{196}{3 x - 12} - 2 x$ = $- \frac{x}{3 x - 12}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{196}{3 x - 12} - 2 x$	=	$\frac{- x}{3 x - 12}$
$\frac{196}{3 (x - 4)} - 2 x$	=	$\frac{- x}{3 (x - 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 4)$ weg!

$\frac{196}{3 (x - 4)} - 2 x$	=	$\frac{- x}{3 (x - 4)}$	\|⋅( $3 (x - 4)$ )
$\frac{196}{3 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4)) - 2 x \cdot (3 (x - 4))$	=	$\frac{- x}{3 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4))$
$196 - 6 x \cdot (x - 4)$	=	$- x$
$196 + (- 6 x^{2} + 24 x)$	=	$- x$
$- 6 x^{2} + 24 x + 196$	=	$- x$

- 6 x^{2} + 24 x + 196

=

- x

|

+ x

$- 6 x^{2} + 25 x + 196$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 196}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 4 704}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{5 329}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{5 329}}{- 12}$ = $\frac{- 25+73}{- 12}$ = $\frac{48}{- 12}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{5 329}}{- 12}$ = $\frac{- 25-73}{- 12}$ = $\frac{- 98}{- 12}$ = $\frac{49}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 25 x + 196$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{25}{6} x - \frac{98}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{12})}^{2} - (- \frac{98}{3})$ = $\frac{625}{144}$ $+$ $\frac{98}{3}$ = $\frac{625}{144}$ $+$ $\frac{4704}{144}$ = $\frac{5329}{144}$

x_1,2 = $\frac{25}{12}$ ± $\sqrt{\frac{5329}{144}}$

x₁ = $\frac{25}{12}$ - $\frac{73}{12}$ = $- \frac{48}{12}$ = -4

x₂ = $\frac{25}{12}$ + $\frac{73}{12}$ = $\frac{98}{12}$ = 8.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{49}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{60}{x^{2}}$ = $- \frac{16}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{60}{x^{2}}$	=	$- \frac{16}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{60}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{16}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 60$	=	$- 16 x$

x^{2} + 60

=

- 16 x

|

+ 16 x

$x^{2} + 16 x + 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 16+4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 16-4}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 60$ = $64$ $-$ $60$ = $4$

x_1,2 = $- 8$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 8$ - $2$ = -10

x₂ = $- 8$ + $2$ = -6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x - 3}{x - 1}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{9 x - 3}{x - 1}$	=	$4 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{9 x - 3}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$4 x \cdot (x - 1)$
$9 x - 3$	=	$4 x \cdot (x - 1)$
$9 x - 3$	=	$4 x^{2} - 4 x$

9 x - 3

=

4 x^{2} - 4 x

|

- 4 x^{2}

+ 4 x

$- 4 x^{2} + 13 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{- 13+11}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{- 13-11}{- 8}$ = $\frac{- 24}{- 8}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 13 x - 3$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{13}{4} x + \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{8})}^{2} - (\frac{3}{4})$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $\frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $\frac{13}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{13}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{2 x}{x - 1} + \frac{- 12 x}{2 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- \frac{1}{3}$ }

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{4 x}{3 x + 1} - \frac{12 x}{2 x - 2}$	=	0
$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{4 x}{3 x + 1} - \frac{12 x}{2 (x - 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{4 x}{3 x + 1} - \frac{12 x}{2 (x - 1)}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{4 x}{3 x + 1} \cdot (x - 1) - \frac{12 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{4 x \cdot (x - 1)}{3 x + 1} - 6 x$	=
$2 x + \frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x + 1} - 6 x$	=
$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x + 1} + 2 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x + 1} + 2 x - 6 x$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 2 x \cdot (3 x + 1) - 6 x \cdot (3 x + 1)$	=
$4 x^{2} - 4 x + 2 x \cdot (3 x + 1) - 6 x \cdot (3 x + 1)$	=
$4 x^{2} - 4 x + (6 x^{2} + 2 x) + (- 18 x^{2} - 6 x)$	=
$- 8 x^{2} - 8 x$	=

$- 8 x^{2} - 8 x$	=	0
$- 8 x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{12}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{12}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{12}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{12}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$12 + x^{2}$	=	$- a x$
$12 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):