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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7}{x}$ = $- 1$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{7}{x}$	=	$- 1$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{7}{x} \cdot x$	=	$- 1 \cdot x$
$- 7$	=	$- x$

$- 7$	=	$- x$	\| $+ 7$ $+ x$
$x$	=	$7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $- \frac{- 49}{x - 3} - 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

3 x

=

\frac{49}{x - 3} - 5

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$3 x$	=	$\frac{49}{x - 3} - 5$	\|⋅( $x - 3$ )
$3 x \cdot (x - 3)$	=	$\frac{49}{x - 3} \cdot (x - 3) - 5 \cdot (x - 3)$
$3 x \cdot (x - 3)$	=	$49 - 5 x + 15$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot (- 3)$	=	$49 - 5 x + 15$
$3 x \cdot x - 9 x$	=	$49 - 5 x + 15$
$3 x^{2} - 9 x$	=	$- 5 x + 64$

3 x^{2} - 9 x

=

- 5 x + 64

|

+ 5 x

- 64

$3 x^{2} - 4 x - 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 64)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 768}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{784}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{784}}{6}$ = $\frac{4+28}{6}$ = $\frac{32}{6}$ = $\frac{16}{3}$ ≈ 5.33

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{784}}{6}$ = $\frac{4-28}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 4 x - 64$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{64}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{64}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{64}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{192}{9}$ = $\frac{196}{9}$

x_1,2 = $\frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{196}{9}}$

x₁ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{14}{3}$ = $- \frac{12}{3}$ = -4

x₂ = $\frac{2}{3}$ + $\frac{14}{3}$ = $\frac{16}{3}$ = 5.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{16}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 6}$ = $- \frac{4}{6 x + 12} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{3 x + 6}$	=	$- \frac{4}{6 x + 12} + 2 x$
$\frac{x}{3 (x + 2)}$	=	$- \frac{4}{6 (x + 2)} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 2)}$	=	$- \frac{4}{6 (x + 2)} + 2 x$	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2))$	=	$\frac{- 4}{6 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + 2 x \cdot (3 (x + 2))$
$x$	=	$- 2 + 6 x \cdot (x + 2)$
$x$	=	$6 x^{2} + 12 x - 2$

x

=

6 x^{2} + 12 x - 2

|

- 6 x^{2}

- 12 x

+ 2

$- 6 x^{2} - 11 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 2}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{169}}{- 12}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{169}}{- 12}$ = $\frac{11+13}{- 12}$ = $\frac{24}{- 12}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{169}}{- 12}$ = $\frac{11-13}{- 12}$ = $\frac{- 2}{- 12}$ = $\frac{1}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} - 11 x + 2$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} + \frac{11}{6} x - \frac{1}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{12})}^{2} - (- \frac{1}{3})$ = $\frac{121}{144}$ $+$ $\frac{1}{3}$ = $\frac{121}{144}$ $+$ $\frac{48}{144}$ = $\frac{169}{144}$

x_1,2 = $- \frac{11}{12}$ ± $\sqrt{\frac{169}{144}}$

x₁ = $- \frac{11}{12}$ - $\frac{13}{12}$ = $- \frac{24}{12}$ = -2

x₂ = $- \frac{11}{12}$ + $\frac{13}{12}$ = $\frac{2}{12}$ = 0.16666666666667

Lösung x= $- 2$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $\frac{1}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{60}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{16}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{60}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{16}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{60}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{16}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$60$	=	$- x^{2} - 16 x$

60

=

- x^{2} - 16 x

|

+ x^{2}

+ 16 x

$x^{2} + 16 x + 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 16+4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 16-4}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 60$ = $64$ $-$ $60$ = $4$

x_1,2 = $- 8$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 8$ - $2$ = -10

x₂ = $- 8$ + $2$ = -6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 3$ = $- 4 - \frac{10}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 3$	=	$- 4 - \frac{10}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 3 \cdot x$	=	$- 4 \cdot x - \frac{10}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 3 x$	=	$- 4 x - 10$
$x^{2} + 3 x$	=	$- 4 x - 10$

x^{2} + 3 x

=

- 4 x - 10

|

+ 4 x

+ 10

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3}{x} + \frac{x - 1}{2 x - 4} + \frac{x + 1}{- 2 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

$\frac{x + 1}{- 2 x + 4} + \frac{x - 1}{2 x - 4} + \frac{3}{x}$	=	0
$\frac{x + 1}{2 (- x + 2)} + \frac{x - 1}{2 (x - 2)} + \frac{3}{x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (- x + 2)$ weg!

$\frac{x + 1}{2 (- x + 2)} + \frac{x - 1}{2 (x - 2)} + \frac{3}{x}$	=	\|⋅( $2 (- x + 2)$ )
$\frac{x + 1}{2 (- x + 2)} \cdot (2 (- x + 2)) + \frac{x - 1}{2 (x - 2)} \cdot (2 (- x + 2)) + \frac{3}{x} \cdot (2 (- x + 2))$	=
$x + 1 + 2 \frac{(x - 1) \cdot (- x + 2)}{2 (x - 2)} + 6 \frac{- x + 2}{x}$	=
$x + 1 + \frac{- x^{2} + 3 x - 2}{x - 2} + \frac{6 (- x + 2)}{x}$	=
$\frac{6 (- x + 2)}{x} + \frac{- x^{2} + 3 x - 2}{x - 2} + x + 1$	=

\frac{6 (- x + 2)}{x} + \frac{- x^{2} + 3 x - 2}{x - 2} + x + 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6 (- x + 2)}{x} + \frac{- x^{2} + 3 x - 2}{x - 2} + x + 1$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{6 (- x + 2)}{x} \cdot x + \frac{- x^{2} + 3 x - 2}{x - 2} \cdot x + x \cdot x + 1 \cdot x$	=
$- 6 x + 12 + \frac{(- x^{2} + 3 x - 2) x}{x - 2} + x \cdot x + x$	=
$- 6 x + 12 + \frac{- x^{3} + 3 x^{2} - 2 x}{x - 2} + x^{2} + x$	=
$\frac{- x^{3} + 3 x^{2} - 2 x}{x - 2} + x^{2} - 6 x + x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- x^{3} + 3 x^{2} - 2 x}{x - 2} + x^{2} - 6 x + x + 12$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- x^{3} + 3 x^{2} - 2 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + x^{2} \cdot (x - 2) - 6 x \cdot (x - 2) + x \cdot (x - 2) + 12 \cdot (x - 2)$	=
$- x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + x^{2} \cdot (x - 2) - 6 x \cdot (x - 2) + x \cdot (x - 2) + 12 x - 24$	=
$- x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + (x^{3} - 2 x^{2}) + (- 6 x^{2} + 12 x) + (x^{2} - 2 x) + 12 x - 24$	=
$- 4 x^{2} + 20 x - 24$	=

- 4 x^{2} + 20 x - 24

= 0 |:4

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5+1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5-1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 8$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 8$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 8$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 8 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 8 x$	=	$- a$
$x^{2} - 8 x + a$	=	0
$x^{2} - 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $- (2 + 6)$ = -8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 6$ = $12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):