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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{3}{x}$ = $- \frac{6}{5}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3}{x}$	=	$- \frac{6}{5}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x$	=	$- \frac{6}{5} \cdot x$
$- 3$	=	$- \frac{6}{5} x$

$- 3$	=	$- \frac{6}{5} x$	\|⋅ 5
$- 15$	=	$- 6 x$	\| $+ 15$ $+ 6 x$
$6 x$	=	$15$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{5}{2}$ = 2.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{5}{2}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 2} + \frac{6}{x + 2}$ = $\frac{36}{x^{2} - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $2$ }

\frac{x}{x - 2} + \frac{6}{x + 2}

=

\frac{36}{(x + 2) \cdot (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 2) \cdot (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{x - 2} + \frac{6}{x + 2}$	=	$\frac{36}{(x + 2) \cdot (x - 2)}$	\|⋅( $(x + 2) \cdot (x - 2)$ )
$\frac{x}{x - 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) + \frac{6}{x + 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$	=	$\frac{36}{(x + 2) \cdot (x - 2)} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$
$x \cdot (x + 2) + 6 x - 12$	=	$36 \frac{x + 2}{x + 2}$
$x \cdot (x + 2) + 6 x - 12$	=	$36$
$x^{2} + 2 x + 6 x - 12$	=	$36$
$x^{2} + 8 x - 12$	=	$36$

x^{2} + 8 x - 12

=

36

|

- 36

$x^{2} + 8 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 8+16}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 8-16}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 48)$ = $16$ $+$ $48$ = $64$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $- 4$ - $8$ = -12

x₂ = $- 4$ + $8$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 12$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 15}$ = $- \frac{- 8,8}{x - 3} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{x}{5 x - 15}$	=	$\frac{8,8}{x - 3} - 2 x$
$\frac{x}{5 (x - 3)}$	=	$\frac{8,8}{x - 3} - 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 3)}$	=	$\frac{8,8}{x - 3} - 2 x$	\|⋅( $5 (x - 3)$ )
$\frac{x}{5 (x - 3)} \cdot (5 (x - 3))$	=	$\frac{8,8}{x - 3} \cdot (5 (x - 3)) - 2 x \cdot (5 (x - 3))$
$x$	=	$44 - 10 x \cdot (x - 3)$
$x$	=	$- 10 x^{2} + 30 x + 44$

x

=

- 10 x^{2} + 30 x + 44

|

+ 10 x^{2}

- 30 x

- 44

$10 x^{2} - 29 x - 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 44)}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 + 1 760}}{20}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{2 601}}{20}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{2 601}}{20}$ = $\frac{29+51}{20}$ = $\frac{80}{20}$ = $4$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{2 601}}{20}$ = $\frac{29-51}{20}$ = $\frac{- 22}{20}$ = $- 1,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $10$ " teilen:

$10 x^{2} - 29 x - 44$ = 0 |: $10$

$x^{2} - \frac{29}{10} x - \frac{22}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{29}{20})}^{2} - (- \frac{22}{5})$ = $\frac{841}{400}$ $+$ $\frac{22}{5}$ = $\frac{841}{400}$ $+$ $\frac{1760}{400}$ = $\frac{2601}{400}$

x_1,2 = $\frac{29}{20}$ ± $\sqrt{\frac{2601}{400}}$

x₁ = $\frac{29}{20}$ - $\frac{51}{20}$ = $- \frac{22}{20}$ = -1.1

x₂ = $\frac{29}{20}$ + $\frac{51}{20}$ = $\frac{80}{20}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,1$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x + 32}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{12 x + 32}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{12 x + 32}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$12 x + 32$	=	$- x^{2}$

12 x + 32

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 12 x + 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 12+4}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 12-4}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 32$ = $36$ $-$ $32$ = $4$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 6$ - $2$ = -8

x₂ = $- 6$ + $2$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 3 x + 14}{x + 2}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{- 3 x + 14}{x + 2}$	=	$x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{- 3 x + 14}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$x \cdot (x + 2)$
$- 3 x + 14$	=	$x \cdot (x + 2)$
$- 3 x + 14$	=	$x^{2} + 2 x$

- 3 x + 14

=

x^{2} + 2 x

|

- x^{2}

- 2 x

$- x^{2} - 5 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 14}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{5+9}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{5-9}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x + 14$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{4 x}{x - 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- 1$ }

$\frac{4 x}{x - 2} + \frac{4 x}{2 x + 2} - 6$	=	0
$\frac{4 x}{x - 2} + \frac{4 x}{2 (x + 1)} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{x - 2} + \frac{4 x}{2 (x + 1)} - 6$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{4 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{4 x}{2 (x + 1)} \cdot (x - 2) - 6 \cdot (x - 2)$	=
$4 x + \frac{2 x \cdot (x - 2)}{x + 1} - 6 x + 12$	=
$4 x + \frac{2 x^{2} - 4 x}{x + 1} - 6 x + 12$	=
$\frac{2 x^{2} - 4 x}{x + 1} + 4 x - 6 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 4 x}{x + 1} + 4 x - 6 x + 12$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x^{2} - 4 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 4 x \cdot (x + 1) - 6 x \cdot (x + 1) + 12 \cdot (x + 1)$	=
$2 x^{2} - 4 x + 4 x \cdot (x + 1) - 6 x \cdot (x + 1) + 12 x + 12$	=
$2 x^{2} - 4 x + (4 x^{2} + 4 x) + (- 6 x^{2} - 6 x) + 12 x + 12$	=
$6 x + 12$	=

$6 x + 12$	=	0	\| $- 12$
$6 x$	=	$- 12$	\|: $6$
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{12}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{12}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{12}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{12}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 12$
$x^{2} + a x + 12$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):