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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{8 x - 50}{2 x + 1}$ = $- 2$

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{8 x - 50}{2 x + 1}$	=	$- 2$	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{8 x - 50}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1)$	=	$- 2 \cdot (2 x + 1)$
$8 x - 50$	=	$- 2 (2 x + 1)$

$8 x - 50$	=	$- 4 x - 2$	\| $+ 50$
$8 x$	=	$- 4 x + 48$	\| $+ 4 x$
$12 x$	=	$48$	\|: $12$
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{- 15 x}{x - 4} - x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

0

=

\frac{15 x}{x - 4} - x - 4

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

=	$\frac{15 x}{x - 4} - x - 4$	\|⋅( $x - 4$ )
=	$\frac{15 x}{x - 4} \cdot (x - 4) - x \cdot (x - 4) - 4 \cdot (x - 4)$
=	$15 x - x \cdot (x - 4) - 4 x + 16$
=	$- x^{2} + 15 x + 16$

0

=

- x^{2} + 15 x + 16

|

+ x^{2}

- 15 x

- 16

$x^{2} - 15 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{15+17}{2}$ = $\frac{32}{2}$ = $16$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{15-17}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - (- 16)$ = $\frac{225}{4}$ $+$ $16$ = $\frac{225}{4}$ $+$ $\frac{64}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{32}{2}$ = 16

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $16$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x + 7} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{7}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{x + 1}{3 x + 7} - 1$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{x + 1}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) - 1 \cdot (3 x + 7)$	=
$x + 1 - 3 x - 7$	=
$- 2 x - 6$	=

$- 2 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6}{x^{3}} - \frac{16}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{6}{x^{3}} - \frac{16}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{6}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{16}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$6 x - 16$	=	$- x^{2}$

6 x - 16

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{33 x + 15}{4 x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{33 x + 15}{4 x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{33 x + 15}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 4 \cdot 4 x$
$33 x + 15$	=	$4 x \cdot x + 16 x$

33 x + 15

=

4 x^{2} + 16 x

|

- 4 x^{2}

- 16 x

$- 4 x^{2} + 17 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 15}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{529}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{529}}{- 8}$ = $\frac{- 17+23}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{529}}{- 8}$ = $\frac{- 17-23}{- 8}$ = $\frac{- 40}{- 8}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 17 x + 15$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{17}{4} x - \frac{15}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{8})}^{2} - (- \frac{15}{4})$ = $\frac{289}{64}$ $+$ $\frac{15}{4}$ = $\frac{289}{64}$ $+$ $\frac{240}{64}$ = $\frac{529}{64}$

x_1,2 = $\frac{17}{8}$ ± $\sqrt{\frac{529}{64}}$

x₁ = $\frac{17}{8}$ - $\frac{23}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{17}{8}$ + $\frac{23}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{3 x} + \frac{12 x}{x + 2} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; 0}

\frac{12 x}{x + 2} + \frac{2 x + 1}{3 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{12 x}{x + 2} + \frac{2 x + 1}{3 x} - 5$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{12 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{2 x + 1}{3 x} \cdot (x + 2) - 5 \cdot (x + 2)$	=
$12 x + \frac{(2 x + 1) \cdot (x + 2)}{3 x} - 5 x - 10$	=
$12 x + \frac{2 x^{2} + 5 x + 2}{3 x} - 5 x - 10$	=
$\frac{2 x^{2} + 5 x + 2}{3 x} + 12 x - 5 x - 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 2}{3 x} + 12 x - 5 x - 10$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{2 x^{2} + 5 x + 2}{3 x} \cdot 3 x + 12 x \cdot 3 x - 5 x \cdot 3 x - 10 \cdot 3 x$	=
$2 x^{2} + 5 x + 2 + 36 x \cdot x - 15 x \cdot x - 30 x$	=
$2 x^{2} + 5 x + 2 + 36 x^{2} - 15 x^{2} - 30 x$	=
$23 x^{2} - 25 x + 2$	=

$23 x^{2} - 25 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot 23 \cdot 2}}{2 \cdot 23}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 184}}{46}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{441}}{46}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{441}}{46}$ = $\frac{25+21}{46}$ = $\frac{46}{46}$ = $1$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{441}}{46}$ = $\frac{25-21}{46}$ = $\frac{4}{46}$ = $\frac{2}{23}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $23$ " teilen:

$23 x^{2} - 25 x + 2$ = 0 |: $23$

$x^{2} - \frac{25}{23} x + \frac{2}{23}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{46})}^{2} - (\frac{2}{23})$ = $\frac{625}{2116}$ $-$ $\frac{2}{23}$ = $\frac{625}{2116}$ $-$ $\frac{184}{2116}$ = $\frac{441}{2116}$

x_1,2 = $\frac{25}{46}$ ± $\sqrt{\frac{441}{2116}}$

x₁ = $\frac{25}{46}$ - $\frac{21}{46}$ = $\frac{4}{46}$ = 0.08695652173913

x₂ = $\frac{25}{46}$ + $\frac{21}{46}$ = $\frac{46}{46}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{23}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{20}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{20}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{20}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{20}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 20 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 20 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):