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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{8}{x}$ = $\frac{9}{2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{8}{x}$	=	$\frac{9}{2}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{8}{x} \cdot x$	=	$\frac{9}{2} \cdot x$
$- 8$	=	$\frac{9}{2} x$

$- 8$	=	$\frac{9}{2} x$	\|⋅ 2
$- 16$	=	$9 x$	\| $+ 16$ $- 9 x$
$- 9 x$	=	$16$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$- \frac{16}{9}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{16}{9}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 5} - \frac{4}{x - 5}$ = $\frac{16}{x^{2} - 25}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ ; $5$ }

\frac{x}{x + 5} - \frac{4}{x - 5}

=

\frac{16}{(x + 5) \cdot (x - 5)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 5) \cdot (x - 5)$ weg!

$\frac{x}{x + 5} - \frac{4}{x - 5}$	=	$\frac{16}{(x + 5) \cdot (x - 5)}$	\|⋅( $(x + 5) \cdot (x - 5)$ )
$\frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5) - \frac{4}{x - 5} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)$	=	$\frac{16}{(x + 5) \cdot (x - 5)} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)$
$x \cdot (x - 5) - 4 x - 20$	=	$16 \frac{x + 5}{x + 5}$
$x \cdot (x - 5) - 4 x - 20$	=	$16$
$x^{2} - 5 x - 4 x - 20$	=	$16$
$x^{2} - 9 x - 20$	=	$16$

x^{2} - 9 x - 20

=

16

|

- 16

$x^{2} - 9 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{9+15}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{9-15}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $36$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = 12

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $12$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 5}{x - 4}$ = $- \frac{x}{2 x - 8} + x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

- \frac{5}{x - 4}

=

- \frac{x}{2 (x - 4)} + x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

$- \frac{5}{x - 4}$	=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} + x$	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
$- \frac{5}{x - 4} \cdot (2 (x - 4))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4)) + x \cdot (2 (x - 4))$
$- 10$	=	$- x + 2 x \cdot (x - 4)$
$- 10$	=	$2 x^{2} - 9 x$

- 10

=

2 x^{2} - 9 x

|

- 2 x^{2}

+ 9 x

$- 2 x^{2} + 9 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{- 9+1}{- 4}$ = $\frac{- 8}{- 4}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{- 9-1}{- 4}$ = $\frac{- 10}{- 4}$ = $2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 9 x - 10$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - 5$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $5$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{80}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $2,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{3 x - 54}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{3 x - 54}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{3 x - 54}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$3 x - 54$

- x^{2}

=

3 x - 54

|

- 3 x

+ 54

$- x^{2} - 3 x + 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 54}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{225}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{225}}{- 2}$ = $\frac{3+15}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{225}}{- 2}$ = $\frac{3-15}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 54$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 54$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 54)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $54$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 1$ = $\frac{- 13 x - 18}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x + 1$	=	$\frac{- 13 x - 18}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x$	=	$\frac{- 13 x - 18}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x + 2 x$	=	$- 13 x - 18$
$2 x^{2} + 2 x$	=	$- 13 x - 18$

2 x^{2} + 2 x

=

- 13 x - 18

|

+ 13 x

+ 18

$2 x^{2} + 15 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15+9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15-9}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 15 x + 18$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{15}{2} x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{4})}^{2} - 9$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $9$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{144}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{15}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{24}{4}$ = -6

x₂ = $- \frac{15}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 8} + \frac{2 x + 2}{x + 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; $- 2$ }

\frac{x}{3 x + 8} + \frac{2 x + 2}{x + 2} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{x}{3 x + 8} + \frac{2 x + 2}{x + 2} - 4$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{2 x + 2}{x + 2} \cdot (3 x + 8) - 4 \cdot (3 x + 8)$	=
$x + \frac{(2 x + 2) \cdot (3 x + 8)}{x + 2} - 12 x - 32$	=
$x + \frac{6 x^{2} + 22 x + 16}{x + 2} - 12 x - 32$	=
$\frac{6 x^{2} + 22 x + 16}{x + 2} + x - 12 x - 32$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 22 x + 16}{x + 2} + x - 12 x - 32$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6 x^{2} + 22 x + 16}{x + 2} \cdot (x + 2) + x \cdot (x + 2) - 12 x \cdot (x + 2) - 32 \cdot (x + 2)$	=
$6 x^{2} + 22 x + 16 + x \cdot (x + 2) - 12 x \cdot (x + 2) - 32 x - 64$	=
$6 x^{2} + 22 x + 16 + (x^{2} + 2 x) + (- 12 x^{2} - 24 x) - 32 x - 64$	=
$- 5 x^{2} - 32 x - 48$	=

$- 5 x^{2} - 32 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{{(- 32)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 48)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{1 024 - 960}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{32 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{32+8}{- 10}$ = $\frac{40}{- 10}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{32 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{32-8}{- 10}$ = $\frac{24}{- 10}$ = $- 2,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 32 x - 48$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{32}{5} x + \frac{48}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{16}{5})}^{2} - (\frac{48}{5})$ = $\frac{256}{25}$ $-$ $\frac{48}{5}$ = $\frac{256}{25}$ $-$ $\frac{240}{25}$ = $\frac{16}{25}$

x_1,2 = $- \frac{16}{5}$ ± $\sqrt{\frac{16}{25}}$

x₁ = $- \frac{16}{5}$ - $\frac{4}{5}$ = $- \frac{20}{5}$ = -4

x₂ = $- \frac{16}{5}$ + $\frac{4}{5}$ = $- \frac{12}{5}$ = -2.4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2,4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $3$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $3$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$3$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$3 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$3 x$
$a + x^{2} - 3 x$	=	0
$x^{2} - 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (2 + 1)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):