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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{15}{x - 4}$ = $5$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{15}{x - 4}$	=	$5$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{15}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$5 \cdot (x - 4)$
$15$	=	$5 (x - 4)$

$15$	=	$5 x - 20$	\| $- 15$ $- 5 x$
$- 5 x$	=	$- 35$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 9} + \frac{4}{x - 9}$ = $\frac{212}{x^{2} - 81}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 9$ ; $9$ }

\frac{x}{x + 9} + \frac{4}{x - 9}

=

\frac{212}{(x + 9) (x - 9)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 9) (x - 9)$ weg!

$\frac{x}{x + 9} + \frac{4}{x - 9}$	=	$\frac{212}{(x + 9) (x - 9)}$	\|⋅( $(x + 9) (x - 9)$ )
$\frac{x}{x + 9} \cdot (x + 9) (x - 9) + \frac{4}{x - 9} \cdot (x + 9) (x - 9)$	=	$\frac{212}{(x + 9) (x - 9)} \cdot (x + 9) (x - 9)$
$x (x - 9) + 4 x + 36$	=	$212 \frac{x + 9}{x + 9}$
$x (x - 9) + 4 x + 36$	=	$212$
$x^{2} - 9 x + 4 x + 36$	=	$212$
$x^{2} - 5 x + 36$	=	$212$

x^{2} - 5 x + 36

=

212

|

- 212

$x^{2} - 5 x - 176$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 176)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 704}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{729}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{729}}{2}$ = $\frac{5+27}{2}$ = $\frac{32}{2}$ = $16$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{729}}{2}$ = $\frac{5-27}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 176)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $176$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{704}{4}$ = $\frac{729}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{729}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{27}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{27}{2}$ = $\frac{32}{2}$ = 16

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 11$ ; $16$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 12} + \frac{- 74}{3 x + 12}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{x}{3 x + 12} - \frac{74}{3 x + 12}$	=	$- 2 x$
$\frac{x}{3 (x + 4)} - \frac{74}{3 (x + 4)}$	=	$- 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 4)} - \frac{74}{3 (x + 4)}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $3 (x + 4)$ )
$\frac{x}{3 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4)) - \frac{74}{3 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4))$	=	$- 2 x \cdot (3 (x + 4))$
$x - 74$	=	$- 6 x (x + 4)$
$x - 74$	=	$- 6 x^{2} - 24 x$

x - 74

=

- 6 x^{2} - 24 x

|

+ 6 x^{2}

+ 24 x

$6 x^{2} + 25 x - 74$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 74)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 1 776}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{2 401}}{12}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{2 401}}{12}$ = $\frac{- 25+49}{12}$ = $\frac{24}{12}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{2 401}}{12}$ = $\frac{- 25-49}{12}$ = $\frac{- 74}{12}$ = $- \frac{37}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 25 x - 74$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{25}{6} x - \frac{37}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{12})}^{2} - (- \frac{37}{3})$ = $\frac{625}{144}$ $+$ $\frac{37}{3}$ = $\frac{625}{144}$ $+$ $\frac{1776}{144}$ = $\frac{2401}{144}$

x_1,2 = $- \frac{25}{12}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{144}}$

x₁ = $- \frac{25}{12}$ - $\frac{49}{12}$ = $- \frac{74}{12}$ = -6.1666666666667

x₂ = $- \frac{25}{12}$ + $\frac{49}{12}$ = $\frac{24}{12}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{37}{6}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{6}{x}$ = $\frac{40}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{6}{x}$	=	$\frac{40}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{6}{x} \cdot x^{2}$	=	$\frac{40}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 6 x$	=	$40$

x^{2} + 6 x

=

40

|

- 40

$x^{2} + 6 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 6+14}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 6-14}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 40)$ = $9$ $+$ $40$ = $49$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 3$ - $7$ = -10

x₂ = $- 3$ + $7$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 6}{x - 5}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{x + 6}{x - 5}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{x + 6}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$2 x \cdot (x - 5)$
$x + 6$	=	$2 x (x - 5)$
$x + 6$	=	$2 x^{2} - 10 x$

x + 6

=

2 x^{2} - 10 x

|

- 2 x^{2}

+ 10 x

$- 2 x^{2} + 11 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 6}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 11+13}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 11-13}{- 4}$ = $\frac{- 24}{- 4}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 11 x + 6$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{11}{2} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{4})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $3$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{11}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{11}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{3 x}{3 x - 9} + \frac{- 4 x + 1}{3 x - 9}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $2$ }

$\frac{- 4 x + 1 + 3 x}{3 x - 9} + \frac{x}{2 x - 4}$	=	0
$\frac{- 4 x + 1 + 3 x}{3 (x - 3)} + \frac{x}{2 (x - 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{- 4 x + 1 + 3 x}{3 (x - 3)} + \frac{x}{2 (x - 2)}$	=	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{- 4 x + 1 + 3 x}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + \frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (3 (x - 3))$	=
$- 4 x + 1 + 3 x + 3 \frac{x (x - 3)}{2 (x - 2)}$	=
$- 4 x + 1 + 3 x + \frac{3 (x^{2} - 3 x)}{2 (x - 2)}$	=
$\frac{3 (x^{2} - 3 x)}{2 (x - 2)} - 4 x + 3 x + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{3 (x^{2} - 3 x)}{2 (x - 2)} - 4 x + 3 x + 1$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{3 (x^{2} - 3 x)}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) - 4 x \cdot (2 (x - 2)) + 3 x \cdot (2 (x - 2)) + 1 \cdot (2 (x - 2))$	=
$3 x^{2} - 9 x - 8 x (x - 2) + 6 x (x - 2) + 2 x - 4$	=
$3 x^{2} - 9 x + (- 8 x^{2} + 16 x) + (6 x^{2} - 12 x) + 2 x - 4$	=
$x^{2} - 3 x - 4$	=

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 2$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 2$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 2$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 2 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 2 x$	=	$- x^{2}$
$a - 2 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):