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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{8}{x}$ = $1$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{8}{x}$	=	$1$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{8}{x} \cdot x$	=	$1 \cdot x$
$- 8$	=	$x$

$- 8$	=	$x$	\| $+ 8$ $- x$
$- x$	=	$8$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{4 x}{3 x - 2} - x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

=	$- \frac{4 x}{3 x - 2} - x + 4$	\|⋅( $3 x - 2$ )
=	$- \frac{4 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) - x \cdot (3 x - 2) + 4 \cdot (3 x - 2)$
=	$- 4 x - x \cdot (3 x - 2) + 12 x - 8$
=	$- 3 x^{2} + 10 x - 8$

0

=

- 3 x^{2} + 10 x - 8

|

+ 3 x^{2}

- 10 x

+ 8

$3 x^{2} - 10 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{10+2}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{10-2}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 10 x + 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{10}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{3})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $\frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $\frac{5}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $\frac{4}{3}$ = 1.3333333333333

x₂ = $\frac{5}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{3}$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{2 x}{- x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $1$ }

\frac{x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{2 x}{- x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{2 x}{- x + 1}$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{x + 1}{x - 1} \cdot (2 x - 3) + \frac{2 x}{- x + 1} \cdot (2 x - 3)$	=
$x + \frac{(x + 1) \cdot (2 x - 3)}{x - 1} + \frac{2 x \cdot (2 x - 3)}{- x + 1}$	=
$x + \frac{2 x^{2} - x - 3}{x - 1} + \frac{4 x^{2} - 6 x}{- x + 1}$	=
$\frac{4 x^{2} - 6 x}{- x + 1} + \frac{2 x^{2} - x - 3}{x - 1} + x$	=

\frac{2 x^{2} - x - 3}{x - 1} + \frac{4 x^{2} - 6 x}{- x + 1} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} - x - 3}{x - 1} + \frac{4 x^{2} - 6 x}{- x + 1} + x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x^{2} - x - 3}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{4 x^{2} - 6 x}{- x + 1} \cdot (x - 1) + x \cdot (x - 1)$	=
$2 x^{2} - x - 3 + \frac{(4 x^{2} - 6 x) \cdot (x - 1)}{- x + 1} + x \cdot (x - 1)$	=
$2 x^{2} - x - 3 - 2 x \cdot (2 x - 3) + x \cdot (x - 1)$	=
$2 x^{2} - x - 3 + (- 4 x^{2} + 6 x) + (x^{2} - x)$	=
$- x^{2} + 4 x - 3$	=

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{2 x - 15}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{2 x - 15}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{2 x - 15}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$2 x - 15$

- x^{2}

=

2 x - 15

|

- 2 x

+ 15

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2+8}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2-8}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 11 - \frac{10}{x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 11 - \frac{10}{x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $x$ )
$- 11 \cdot x - \frac{10}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 4 \cdot x$
$- 11 x - 10$	=	$x \cdot x - 4 x$

- 11 x - 10

=

x^{2} - 4 x

|

- x^{2}

+ 4 x

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7+3}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7-3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{8 x}{x + 3} + \frac{- 24 x}{2 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{1}{2}$ }

$\frac{8 x}{x + 3} + \frac{3 x}{2 x + 1} - \frac{24 x}{2 x + 6}$	=	0
$\frac{8 x}{x + 3} + \frac{3 x}{2 x + 1} - \frac{24 x}{2 (x + 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{8 x}{x + 3} + \frac{3 x}{2 x + 1} - \frac{24 x}{2 (x + 3)}$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{8 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{3 x}{2 x + 1} \cdot (x + 3) - \frac{24 x}{2 (x + 3)} \cdot (x + 3)$	=
$8 x + \frac{3 x \cdot (x + 3)}{2 x + 1} - 12 x$	=
$8 x + \frac{3 x^{2} + 9 x}{2 x + 1} - 12 x$	=
$\frac{3 x^{2} + 9 x}{2 x + 1} + 8 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 9 x}{2 x + 1} + 8 x - 12 x$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{3 x^{2} + 9 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + 8 x \cdot (2 x + 1) - 12 x \cdot (2 x + 1)$	=
$3 x^{2} + 9 x + 8 x \cdot (2 x + 1) - 12 x \cdot (2 x + 1)$	=
$3 x^{2} + 9 x + (16 x^{2} + 8 x) + (- 24 x^{2} - 12 x)$	=
$- 5 x^{2} + 5 x$	=

$- 5 x^{2} + 5 x$	=	0
$5 x \cdot (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{15}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{15}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{15}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{15}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 15 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 15 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot (- 5)$ = -15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 - 5)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):