Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2}{x}$ = $- \frac{3}{4}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{2}{x}$	=	$- \frac{3}{4}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{2}{x} \cdot x$	=	$- \frac{3}{4} \cdot x$
$- 2$	=	$- \frac{3}{4} x$

$- 2$	=	$- \frac{3}{4} x$	\|⋅ 4
$- 8$	=	$- 3 x$	\| $+ 8$ $+ 3 x$
$3 x$	=	$8$	\|: $3$
$x$	=	$\frac{8}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{8}{3}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7 x}{3 x + 2} + \frac{138}{9 x + 6}$ = $- 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ }

- \frac{7 x}{3 x + 2} + \frac{138}{3 (3 x + 2)}

=

- 5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$- \frac{7 x}{3 x + 2} + \frac{138}{3 (3 x + 2)}$	=	$- 5$	\|⋅( $3 x + 2$ )
$- \frac{7 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{138}{3 (3 x + 2)} \cdot (3 x + 2)$	=	$- 5 \cdot (3 x + 2)$
$- 7 x + 46$	=	$- 5 (3 x + 2)$

$- 7 x + 46$	=	$- 15 x - 10$	\| $- 46$
$- 7 x$	=	$- 15 x - 56$	\| $+ 15 x$
$8 x$	=	$- 56$	\|: $8$
$x$	=	$- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $- \frac{x}{2 x + 4} - \frac{- 25}{x + 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$3 x$	=	$- \frac{x}{2 x + 4} + \frac{25}{x + 2}$
$3 x$	=	$- \frac{x}{2 (x + 2)} + \frac{25}{x + 2}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$3 x$	=	$- \frac{x}{2 (x + 2)} + \frac{25}{x + 2}$	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$3 x \cdot (2 (x + 2))$	=	$- \frac{x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{25}{x + 2} \cdot (2 (x + 2))$
$6 x \cdot (x + 2)$	=	$- x + 50$
$6 x \cdot x + 6 x \cdot 2$	=	$- x + 50$
$6 x \cdot x + 12 x$	=	$- x + 50$
$6 x^{2} + 12 x$	=	$- x + 50$

6 x^{2} + 12 x

=

- x + 50

|

+ x

- 50

$6 x^{2} + 13 x - 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 50)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 1 200}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1 369}}{12}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1 369}}{12}$ = $\frac{- 13+37}{12}$ = $\frac{24}{12}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1 369}}{12}$ = $\frac{- 13-37}{12}$ = $\frac{- 50}{12}$ = $- \frac{25}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 13 x - 50$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{13}{6} x - \frac{25}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{12})}^{2} - (- \frac{25}{3})$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{25}{3}$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{1200}{144}$ = $\frac{1369}{144}$

x_1,2 = $- \frac{13}{12}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{144}}$

x₁ = $- \frac{13}{12}$ - $\frac{37}{12}$ = $- \frac{50}{12}$ = -4.1666666666667

x₂ = $- \frac{13}{12}$ + $\frac{37}{12}$ = $\frac{24}{12}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{25}{6}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 4 x - 5}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- 4 x - 5}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- 4 x - 5}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 4 x - 5$	=	$- x^{2}$

- 4 x - 5

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x + 10}{x + 3}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{6 x + 10}{x + 3}$	=	$x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{6 x + 10}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$x \cdot (x + 3)$
$6 x + 10$	=	$x \cdot (x + 3)$
$6 x + 10$	=	$x^{2} + 3 x$

6 x + 10

=

x^{2} + 3 x

|

- x^{2}

- 3 x

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3+7}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3-7}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{x - 1}{2 x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{x - 1}{2 x} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{x - 1}{2 x} - 3$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{x - 1}{2 x} \cdot (3 x - 1) - 3 \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x + \frac{(x - 1) \cdot (3 x - 1)}{2 x} - 9 x + 3$	=
$8 x + \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} - 9 x + 3$	=
$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} + 8 x - 9 x + 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} + 8 x - 9 x + 3$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + 8 x \cdot 2 x - 9 x \cdot 2 x + 3 \cdot 2 x$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 + 16 x \cdot x - 18 x \cdot x + 6 x$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 + 16 x^{2} - 18 x^{2} + 6 x$	=
$x^{2} + 2 x + 1$	=

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{6}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{6}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{6}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{6}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 6$	=	$- a x$
$x^{2} + 6 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):