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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{8}{x}$ = $- \frac{4}{5}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{8}{x}$	=	$- \frac{4}{5}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{8}{x} \cdot x$	=	$- \frac{4}{5} \cdot x$
$- 8$	=	$- \frac{4}{5} x$

$- 8$	=	$- \frac{4}{5} x$	\|⋅ 5
$- 40$	=	$- 4 x$	\| $+ 40$ $+ 4 x$
$4 x$	=	$40$	\|: $4$
$x$	=	$10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x - 5} + 1$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{12 x}{x - 5} + 1$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{12 x}{x - 5} \cdot (x - 5) + 1 \cdot (x - 5)$	=	$- 2 x \cdot (x - 5)$
$12 x + x - 5$	=	$- 2 x (x - 5)$
$13 x - 5$	=	$- 2 x^{2} + 10 x$

13 x - 5

=

- 2 x^{2} + 10 x

|

+ 2 x^{2}

- 10 x

$2 x^{2} + 3 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 3+7}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 3-7}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 3 x - 5$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,5$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{12 x}{x - 2} + \frac{24 x}{- x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- \frac{1}{3}$ }

\frac{12 x}{x - 2} + \frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{24 x}{- x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{12 x}{x - 2} + \frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{24 x}{- x + 2}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{12 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{8 x}{3 x + 1} \cdot (x - 2) + \frac{24 x}{- x + 2} \cdot (x - 2)$	=
$12 x + \frac{8 x (x - 2)}{3 x + 1} + \frac{24 x (x - 2)}{- x + 2}$	=
$12 x + \frac{8 x (x - 2)}{3 x + 1} - 24 x$	=
$12 x + \frac{8 x^{2} - 16 x}{3 x + 1} - 24 x$	=
$\frac{8 x^{2} - 16 x}{3 x + 1} + 12 x - 24 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 16 x}{3 x + 1} + 12 x - 24 x$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{8 x^{2} - 16 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 12 x \cdot (3 x + 1) - 24 x \cdot (3 x + 1)$	=
$8 x^{2} - 16 x + 12 x (3 x + 1) - 24 x (3 x + 1)$	=
$8 x^{2} - 16 x + (36 x^{2} + 12 x) + (- 72 x^{2} - 24 x)$	=
$- 28 x^{2} - 28 x$	=

$- 28 x^{2} - 28 x$	=	0
$- 28 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $- \frac{11}{x^{2}} - \frac{28}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$- \frac{11}{x^{2}} - \frac{28}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{11}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{28}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$- 11 x - 28$

x^{2}

=

- 11 x - 28

|

+ 11 x

+ 28

$x^{2} + 11 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 11+3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 11-3}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{13 x + 1}{4 x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{13 x + 1}{4 x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{13 x + 1}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 4 \cdot 4 x$
$13 x + 1$	=	$4 x \cdot x + 16 x$

13 x + 1

=

4 x^{2} + 16 x

|

- 4 x^{2}

- 16 x

$- 4 x^{2} - 3 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 1}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{- 8}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{- 8}$ = $\frac{3+5}{- 8}$ = $\frac{8}{- 8}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{- 8}$ = $\frac{3-5}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 3 x + 1$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{3}{4} x - \frac{1}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{8})}^{2} - (- \frac{1}{4})$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{1}{4}$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{16}{64}$ = $\frac{25}{64}$

x_1,2 = $- \frac{3}{8}$ ± $\sqrt{\frac{25}{64}}$

x₁ = $- \frac{3}{8}$ - $\frac{5}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

x₂ = $- \frac{3}{8}$ + $\frac{5}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{4 x}{2 (x + 1)} - 1

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x + 1)} - 1$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1) - 1 \cdot (x + 1)$	=
$2 x - x - 1$	=
$x - 1$	=

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{15}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{15}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{15}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{15}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 15 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 15 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot (- 5)$ = -15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 - 5)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):