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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4 x - 15}{2 x - 3}$ = $1$

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{4 x - 15}{2 x - 3}$	=	$1$	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{4 x - 15}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3)$	=	$1 \cdot (2 x - 3)$
$4 x - 15$	=	$2 x - 3$

$4 x - 15$	=	$2 x - 3$	\| $+ 15$
$4 x$	=	$2 x + 12$	\| $- 2 x$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 7} - \frac{1}{x - 7}$ = $\frac{77}{x^{2} - 49}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 7$ ; $7$ }

\frac{x}{x + 7} - \frac{1}{x - 7}

=

\frac{77}{(x + 7) \cdot (x - 7)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 7) \cdot (x - 7)$ weg!

$\frac{x}{x + 7} - \frac{1}{x - 7}$	=	$\frac{77}{(x + 7) \cdot (x - 7)}$	\|⋅( $(x + 7) \cdot (x - 7)$ )
$\frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7) - \frac{1}{x - 7} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7)$	=	$\frac{77}{(x + 7) \cdot (x - 7)} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7)$
$x \cdot (x - 7) - x - 7$	=	$77 \frac{x + 7}{x + 7}$
$x \cdot (x - 7) - x - 7$	=	$77$
$x^{2} - 7 x - x - 7$	=	$77$
$x^{2} - 8 x - 7$	=	$77$

x^{2} - 8 x - 7

=

77

|

- 77

$x^{2} - 8 x - 84$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 84)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 336}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{400}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{400}}{2}$ = $\frac{8+20}{2}$ = $\frac{28}{2}$ = $14$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{400}}{2}$ = $\frac{8-20}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - (- 84)$ = $16$ $+$ $84$ = $100$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{100}$

x₁ = $4$ - $10$ = -6

x₂ = $4$ + $10$ = 14

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $14$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 4}$ = $- \frac{- 11,5}{2 x - 2} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{4 x - 4}$	=	$\frac{11,5}{2 x - 2} - 3 x$
$\frac{x}{4 (x - 1)}$	=	$\frac{11,5}{2 (x - 1)} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 1)}$	=	$\frac{11,5}{2 (x - 1)} - 3 x$	\|⋅( $4 (x - 1)$ )
$\frac{x}{4 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1))$	=	$\frac{11,5}{2 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) - 3 x \cdot (4 (x - 1))$
$x$	=	$23 - 12 x \cdot (x - 1)$
$x$	=	$- 12 x^{2} + 12 x + 23$

x

=

- 12 x^{2} + 12 x + 23

|

+ 12 x^{2}

- 12 x

- 23

$12 x^{2} - 11 x - 23$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 23)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 1 104}}{24}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1 225}}{24}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1 225}}{24}$ = $\frac{11+35}{24}$ = $\frac{46}{24}$ = $\frac{23}{12}$ ≈ 1.92

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1 225}}{24}$ = $\frac{11-35}{24}$ = $\frac{- 24}{24}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} - 11 x - 23$ = 0 |: $12$

$x^{2} - \frac{11}{12} x - \frac{23}{12}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{24})}^{2} - (- \frac{23}{12})$ = $\frac{121}{576}$ $+$ $\frac{23}{12}$ = $\frac{121}{576}$ $+$ $\frac{1104}{576}$ = $\frac{1225}{576}$

x_1,2 = $\frac{11}{24}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{576}}$

x₁ = $\frac{11}{24}$ - $\frac{35}{24}$ = $- \frac{24}{24}$ = -1

x₂ = $\frac{11}{24}$ + $\frac{35}{24}$ = $\frac{46}{24}$ = 1.9166666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{23}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{32}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{12}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{32}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{12}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{32}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{12}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$32$	=	$- x^{2} - 12 x$

32

=

- x^{2} - 12 x

|

+ x^{2}

+ 12 x

$x^{2} + 12 x + 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 12+4}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 12-4}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 32$ = $36$ $-$ $32$ = $4$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 6$ - $2$ = -8

x₂ = $- 6$ + $2$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 5 x + 21}{x + 3}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{- 5 x + 21}{x + 3}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{- 5 x + 21}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$2 x \cdot (x + 3)$
$- 5 x + 21$	=	$2 x \cdot (x + 3)$
$- 5 x + 21$	=	$2 x^{2} + 6 x$

- 5 x + 21

=

2 x^{2} + 6 x

|

- 2 x^{2}

- 6 x

$- 2 x^{2} - 11 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 21}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 168}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{289}}{- 4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{11+17}{- 4}$ = $\frac{28}{- 4}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{11-17}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 11 x + 21$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x - \frac{21}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - (- \frac{21}{2})$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{21}{2}$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{168}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{28}{4}$ = -7

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{5 x + 1}{x + 1} - 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{5 x + 1}{x + 1} \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=
$5 x + 1 - 4 x - 4$	=
$x - 3$	=

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 1 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 1 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- x + x^{2}$	=	$- a$
$- x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):