Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7}{x}$ = $\frac{1}{2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{7}{x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{7}{x} \cdot x$	=	$\frac{1}{2} \cdot x$
$7$	=	$\frac{1}{2} x$

$7$	=	$\frac{1}{2} x$	\|⋅ 2
$14$	=	$x$	\| $- 14$ $- x$
$- x$	=	$- 14$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$14$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $14$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 8} - \frac{9}{x - 8}$ = $\frac{38}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x + 8} - \frac{9}{x - 8}

=

\frac{38}{(x + 8) \cdot (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) \cdot (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x + 8} - \frac{9}{x - 8}$	=	$\frac{38}{(x + 8) \cdot (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) \cdot (x - 8)$ )
$\frac{x}{x + 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8) - \frac{9}{x - 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$	=	$\frac{38}{(x + 8) \cdot (x - 8)} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$
$x \cdot (x - 8) - 9 x - 72$	=	$38 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x \cdot (x - 8) - 9 x - 72$	=	$38$
$x^{2} - 8 x - 9 x - 72$	=	$38$
$x^{2} - 17 x - 72$	=	$38$

x^{2} - 17 x - 72

=

38

|

- 38

$x^{2} - 17 x - 110$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 110)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 440}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{729}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{729}}{2}$ = $\frac{17+27}{2}$ = $\frac{44}{2}$ = $22$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{729}}{2}$ = $\frac{17-27}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - (- 110)$ = $\frac{289}{4}$ $+$ $110$ = $\frac{289}{4}$ $+$ $\frac{440}{4}$ = $\frac{729}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{729}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{27}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{27}{2}$ = $\frac{44}{2}$ = 22

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $22$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 34,5}{2 x + 2} + 3 x$ = $- \frac{x}{4 x + 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$- \frac{34,5}{2 x + 2} + 3 x$	=	$\frac{- x}{4 x + 4}$
$- \frac{34,5}{2 (x + 1)} + 3 x$	=	$\frac{- x}{4 (x + 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$- \frac{34,5}{2 (x + 1)} + 3 x$	=	$\frac{- x}{4 (x + 1)}$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$\frac{- 34,5}{2 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + 3 x \cdot (4 (x + 1))$	=	$\frac{- x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1))$
$- 69 + 12 x \cdot (x + 1)$	=	$- x$
$- 69 + (12 x^{2} + 12 x)$	=	$- x$
$12 x^{2} + 12 x - 69$	=	$- x$

12 x^{2} + 12 x - 69

=

- x

|

+ x

$12 x^{2} + 13 x - 69$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 69)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 3 312}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{3 481}}{24}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{3 481}}{24}$ = $\frac{- 13+59}{24}$ = $\frac{46}{24}$ = $\frac{23}{12}$ ≈ 1.92

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{3 481}}{24}$ = $\frac{- 13-59}{24}$ = $\frac{- 72}{24}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} + 13 x - 69$ = 0 |: $12$

$x^{2} + \frac{13}{12} x - \frac{23}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{24})}^{2} - (- \frac{23}{4})$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{23}{4}$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{3312}{576}$ = $\frac{3481}{576}$

x_1,2 = $- \frac{13}{24}$ ± $\sqrt{\frac{3481}{576}}$

x₁ = $- \frac{13}{24}$ - $\frac{59}{24}$ = $- \frac{72}{24}$ = -3

x₂ = $- \frac{13}{24}$ + $\frac{59}{24}$ = $\frac{46}{24}$ = 1.9166666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{23}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{4}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{3}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} + 4 x - 3$

0

=

- x^{2} + 4 x - 3

|

+ x^{2}

- 4 x

+ 3

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{25 x + 14}{3 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{25 x + 14}{3 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{25 x + 14}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 2 \cdot 3 x$
$25 x + 14$	=	$3 x \cdot x + 6 x$

25 x + 14

=

3 x^{2} + 6 x

|

- 3 x^{2}

- 6 x

$- 3 x^{2} + 19 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 14}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 168}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{529}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{529}}{- 6}$ = $\frac{- 19+23}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{529}}{- 6}$ = $\frac{- 19-23}{- 6}$ = $\frac{- 42}{- 6}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 19 x + 14$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{19}{3} x - \frac{14}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{6})}^{2} - (- \frac{14}{3})$ = $\frac{361}{36}$ $+$ $\frac{14}{3}$ = $\frac{361}{36}$ $+$ $\frac{168}{36}$ = $\frac{529}{36}$

x_1,2 = $\frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{529}{36}}$

x₁ = $\frac{19}{6}$ - $\frac{23}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{19}{6}$ + $\frac{23}{6}$ = $\frac{42}{6}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{2 x - 5} + \frac{2 x - 2}{3 x - 9} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $\frac{5}{2}$ }

$\frac{2 x - 2}{3 x - 9} + \frac{2 x + 1}{2 x - 5} - 5$	=	0
$\frac{2 x - 2}{3 (x - 3)} + \frac{2 x + 1}{2 x - 5} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{2 x - 2}{3 (x - 3)} + \frac{2 x + 1}{2 x - 5} - 5$	=	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{2 x - 2}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + \frac{2 x + 1}{2 x - 5} \cdot (3 (x - 3)) - 5 \cdot (3 (x - 3))$	=
$2 x - 2 + 3 \frac{(2 x + 1) \cdot (x - 3)}{2 x - 5} - 15 x + 45$	=
$2 x - 2 + \frac{3 (2 x^{2} - 5 x - 3)}{2 x - 5} - 15 x + 45$	=
$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x - 3)}{2 x - 5} + 2 x - 15 x - 2 + 45$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x - 3)}{2 x - 5} + 2 x - 15 x - 2 + 45$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x - 3)}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + 2 x \cdot (2 x - 5) - 15 x \cdot (2 x - 5) - 2 \cdot (2 x - 5) + 45 \cdot (2 x - 5)$	=
$6 x^{2} - 15 x - 9 + 2 x \cdot (2 x - 5) - 15 x \cdot (2 x - 5) - 4 x + 10 + 90 x - 225$	=
$6 x^{2} - 15 x - 9 + (4 x^{2} - 10 x) + (- 30 x^{2} + 75 x) - 4 x + 10 + 90 x - 225$	=
$- 20 x^{2} + 136 x - 224$	=

- 20 x^{2} + 136 x - 224

= 0 |:4

$- 5 x^{2} + 34 x - 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{34^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 56)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{1 156 - 1 120}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{36}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 34 + \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{- 34+6}{- 10}$ = $\frac{- 28}{- 10}$ = $2,8$

x₂ = $\frac{- 34 - \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{- 34-6}{- 10}$ = $\frac{- 40}{- 10}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 34 x - 56$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{34}{5} x + \frac{56}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{5})}^{2} - (\frac{56}{5})$ = $\frac{289}{25}$ $-$ $\frac{56}{5}$ = $\frac{289}{25}$ $-$ $\frac{280}{25}$ = $\frac{9}{25}$

x_1,2 = $\frac{17}{5}$ ± $\sqrt{\frac{9}{25}}$

x₁ = $\frac{17}{5}$ - $\frac{3}{5}$ = $\frac{14}{5}$ = 2.8

x₂ = $\frac{17}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $\frac{20}{5}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2,8$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{12}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{12}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{12}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{12}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 12$
$x^{2} + a x + 12$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):