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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{8 x + 19}{2 x + 1}$ = $- 1$

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{8 x + 19}{2 x + 1}$	=	$- 1$	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{8 x + 19}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1)$	=	$- 1 \cdot (2 x + 1)$
$8 x + 19$	=	$- (2 x + 1)$

$8 x + 19$	=	$- 2 x - 1$	\| $- 19$
$8 x$	=	$- 2 x - 20$	\| $+ 2 x$
$10 x$	=	$- 20$	\|: $10$
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 6} + \frac{1}{x + 6}$ = $\frac{138}{x^{2} - 36}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 6$ ; $6$ }

\frac{x}{x - 6} + \frac{1}{x + 6}

=

\frac{138}{(x + 6) \cdot (x - 6)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 6) \cdot (x - 6)$ weg!

$\frac{x}{x - 6} + \frac{1}{x + 6}$	=	$\frac{138}{(x + 6) \cdot (x - 6)}$	\|⋅( $(x + 6) \cdot (x - 6)$ )
$\frac{x}{x - 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6) + \frac{1}{x + 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$	=	$\frac{138}{(x + 6) \cdot (x - 6)} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$
$x \cdot (x + 6) + x - 6$	=	$138 \frac{x + 6}{x + 6}$
$x \cdot (x + 6) + x - 6$	=	$138$
$x^{2} + 6 x + x - 6$	=	$138$
$x^{2} + 7 x - 6$	=	$138$

x^{2} + 7 x - 6

=

138

|

- 138

$x^{2} + 7 x - 144$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 144)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 576}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{625}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{625}}{2}$ = $\frac{- 7+25}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{625}}{2}$ = $\frac{- 7-25}{2}$ = $\frac{- 32}{2}$ = $- 16$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 144)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $144$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{576}{4}$ = $\frac{625}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{625}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{25}{2}$ = $- \frac{32}{2}$ = -16

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{25}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 16$ ; $9$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{4 x + 12} - \frac{- 73,5}{2 x + 6} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

0	=	$- \frac{x}{4 x + 12} + \frac{73,5}{2 x + 6} - 2 x$
0	=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} + \frac{73,5}{2 (x + 3)} - 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 3)$ weg!

=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} + \frac{73,5}{2 (x + 3)} - 2 x$	\|⋅( $4 (x + 3)$ )
=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3)) + \frac{73,5}{2 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3)) - 2 x \cdot (4 (x + 3))$
=	$- x + 147 - 8 x \cdot (x + 3)$
=	$- 8 x^{2} - 25 x + 147$

0

=

- 8 x^{2} - 25 x + 147

|

+ 8 x^{2}

+ 25 x

- 147

$8 x^{2} + 25 x - 147$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 147)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 4 704}}{16}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{5 329}}{16}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{5 329}}{16}$ = $\frac{- 25+73}{16}$ = $\frac{48}{16}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{5 329}}{16}$ = $\frac{- 25-73}{16}$ = $\frac{- 98}{16}$ = $- 6,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} + 25 x - 147$ = 0 |: $8$

$x^{2} + \frac{25}{8} x - \frac{147}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{16})}^{2} - (- \frac{147}{8})$ = $\frac{625}{256}$ $+$ $\frac{147}{8}$ = $\frac{625}{256}$ $+$ $\frac{4704}{256}$ = $\frac{5329}{256}$

x_1,2 = $- \frac{25}{16}$ ± $\sqrt{\frac{5329}{256}}$

x₁ = $- \frac{25}{16}$ - $\frac{73}{16}$ = $- \frac{98}{16}$ = -6.125

x₂ = $- \frac{25}{16}$ + $\frac{73}{16}$ = $\frac{48}{16}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6,125$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 15 x + 54}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{- 15 x + 54}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{- 15 x + 54}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 15 x + 54$	=	$- x^{2}$

- 15 x + 54

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 15 x + 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 54}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{15+3}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{15-3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - 54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x - 6}{3 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{7 x - 6}{3 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{7 x - 6}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 4 \cdot 3 x$
$7 x - 6$	=	$3 x \cdot x - 12 x$

7 x - 6

=

3 x^{2} - 12 x

|

- 3 x^{2}

+ 12 x

$- 3 x^{2} + 19 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 72}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{289}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{- 19+17}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{- 19-17}{- 6}$ = $\frac{- 36}{- 6}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 19 x - 6$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{19}{3} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{6})}^{2} - 2$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $2$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{289}{36}$

x_1,2 = $\frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{289}{36}}$

x₁ = $\frac{19}{6}$ - $\frac{17}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{19}{6}$ + $\frac{17}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{3 x + 3} + \frac{4 x}{3 x + 4} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ ; $- 1$ }

$\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{3 x + 3} - 5$	=	0
$\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{3 (x + 1)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{3 (x + 1)} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{4 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{2 x + 1}{3 (x + 1)} \cdot (3 x + 4) - 5 \cdot (3 x + 4)$	=
$4 x + \frac{(2 x + 1) \cdot (3 x + 4)}{3 (x + 1)} - 15 x - 20$	=
$4 x + \frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{3 (x + 1)} - 15 x - 20$	=
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{3 (x + 1)} + 4 x - 15 x - 20$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{3 (x + 1)} + 4 x - 15 x - 20$	=	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + 4 x \cdot (3 (x + 1)) - 15 x \cdot (3 (x + 1)) - 20 \cdot (3 (x + 1))$	=
$6 x^{2} + 11 x + 4 + 12 x \cdot (x + 1) - 45 x \cdot (x + 1) - 60 x - 60$	=
$6 x^{2} + 11 x + 4 + (12 x^{2} + 12 x) + (- 45 x^{2} - 45 x) - 60 x - 60$	=
$- 27 x^{2} - 82 x - 56$	=

$- 27 x^{2} - 82 x - 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 82 \pm \sqrt{{(- 82)}^{2} - 4 \cdot (- 27) \cdot (- 56)}}{2 \cdot (- 27)}$

x_1,2 = $\frac{+ 82 \pm \sqrt{6 724 - 6 048}}{- 54}$

x_1,2 = $\frac{+ 82 \pm \sqrt{676}}{- 54}$

x₁ = $\frac{82 + \sqrt{676}}{- 54}$ = $\frac{82+26}{- 54}$ = $\frac{108}{- 54}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{82 - \sqrt{676}}{- 54}$ = $\frac{82-26}{- 54}$ = $\frac{56}{- 54}$ = $- \frac{28}{27}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 27$ " teilen:

$- 27 x^{2} - 82 x - 56$ = 0 |: $- 27$

$x^{2} + \frac{82}{27} x + \frac{56}{27}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{41}{27})}^{2} - (\frac{56}{27})$ = $\frac{1681}{729}$ $-$ $\frac{56}{27}$ = $\frac{1681}{729}$ $-$ $\frac{1512}{729}$ = $\frac{169}{729}$

x_1,2 = $- \frac{41}{27}$ ± $\sqrt{\frac{169}{729}}$

x₁ = $- \frac{41}{27}$ - $\frac{13}{27}$ = $- \frac{54}{27}$ = -2

x₂ = $- \frac{41}{27}$ + $\frac{13}{27}$ = $- \frac{28}{27}$ = -1.037037037037

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{28}{27}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{12}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{12}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{12}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{12}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 12 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 12 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):