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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6 x}{x + 5} - \frac{41}{x + 5}$ = $5$

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{6 x}{x + 5} - \frac{41}{x + 5}$	=	$5$	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{6 x}{x + 5} \cdot (x + 5) - \frac{41}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$5 \cdot (x + 5)$
$- 6 x - 41$	=	$5 (x + 5)$

$- 6 x - 41$	=	$5 x + 25$	\| $+ 41$
$- 6 x$	=	$5 x + 66$	\| $- 5 x$
$- 11 x$	=	$66$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5$ = $- \frac{3}{x + 1} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

5

=

- \frac{3}{x + 1} - x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$5$	=	$- \frac{3}{x + 1} - x$	\|⋅( $x + 1$ )
$5 \cdot (x + 1)$	=	$- \frac{3}{x + 1} \cdot (x + 1) - x \cdot (x + 1)$
$5 (x + 1)$	=	$- 3 - x (x + 1)$
$5 x + 5$	=	$- 3 - x (x + 1)$
$5 x + 5$	=	$- x^{2} - x - 3$

5 x + 5

=

- x^{2} - x - 3

|

+ x^{2}

+ x

+ 3

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{3 x + 5} + \frac{2 x}{2 x + 4} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ }

$\frac{2 x}{2 x + 4} + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} - 5$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x + 2)} + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x + 2)} + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} - 5$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} \cdot (x + 2) - 5 \cdot (x + 2)$	=
$x + \frac{(3 x + 1) (x + 2)}{3 x + 5} - 5 x - 10$	=
$x + \frac{3 x^{2} + 7 x + 2}{3 x + 5} - 5 x - 10$	=
$\frac{3 x^{2} + 7 x + 2}{3 x + 5} + x - 5 x - 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 7 x + 2}{3 x + 5} + x - 5 x - 10$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{3 x^{2} + 7 x + 2}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + x \cdot (3 x + 5) - 5 x \cdot (3 x + 5) - 10 \cdot (3 x + 5)$	=
$3 x^{2} + 7 x + 2 + x (3 x + 5) - 5 x (3 x + 5) - 30 x - 50$	=
$3 x^{2} + 7 x + 2 + (3 x^{2} + 5 x) + (- 15 x^{2} - 25 x) - 30 x - 50$	=
$- 9 x^{2} - 43 x - 48$	=

$- 9 x^{2} - 43 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{{(- 43)}^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 48)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{1 849 - 1 728}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{121}}{- 18}$

x₁ = $\frac{43 + \sqrt{121}}{- 18}$ = $\frac{43+11}{- 18}$ = $\frac{54}{- 18}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{43 - \sqrt{121}}{- 18}$ = $\frac{43-11}{- 18}$ = $\frac{32}{- 18}$ = $- \frac{16}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} - 43 x - 48$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} + \frac{43}{9} x + \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{43}{18})}^{2} - (\frac{16}{3})$ = $\frac{1849}{324}$ $-$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{1849}{324}$ $-$ $\frac{1728}{324}$ = $\frac{121}{324}$

x_1,2 = $- \frac{43}{18}$ ± $\sqrt{\frac{121}{324}}$

x₁ = $- \frac{43}{18}$ - $\frac{11}{18}$ = $- \frac{54}{18}$ = -3

x₂ = $- \frac{43}{18}$ + $\frac{11}{18}$ = $- \frac{32}{18}$ = -1.7777777777778

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{16}{9}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{3}{x} + \frac{28}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{3}{x} + \frac{28}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{3}{x} \cdot x^{2} + \frac{28}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$3 x + 28$

x^{2}

=

3 x + 28

|

- 3 x

- 28

$x^{2} - 3 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 4$ = $1 + \frac{4}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 4$	=	$1 + \frac{4}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 4 \cdot x$	=	$1 \cdot x + \frac{4}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 4 x$	=	$x + 4$
$x^{2} + 4 x$	=	$x + 4$

x^{2} + 4 x

=

x + 4

|

- x

- 4

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x + 1}{2 x} + \frac{4 x}{x + 1} + \frac{24 x}{- 2 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

$\frac{4 x}{x + 1} + \frac{7 x + 1}{2 x} + \frac{24 x}{- 2 x - 2}$	=	0
$\frac{4 x}{x + 1} + \frac{7 x + 1}{2 x} + \frac{24 x}{- 2 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{x + 1} + \frac{7 x + 1}{2 x} + \frac{24 x}{- 2 (x + 1)}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{7 x + 1}{2 x} \cdot (x + 1) + \frac{24 x}{- 2 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=
$4 x + \frac{(7 x + 1) (x + 1)}{2 x} - 12 x$	=
$4 x + \frac{7 x^{2} + 8 x + 1}{2 x} - 12 x$	=
$\frac{7 x^{2} + 8 x + 1}{2 x} + 4 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{7 x^{2} + 8 x + 1}{2 x} + 4 x - 12 x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{7 x^{2} + 8 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + 4 x \cdot 2 x - 12 x \cdot 2 x$	=
$7 x^{2} + 8 x + 1 + 8 x \cdot x - 24 x \cdot x$	=
$7 x^{2} + 8 x + 1 + 8 x^{2} - 24 x^{2}$	=
$- 9 x^{2} + 8 x + 1$	=

$- 9 x^{2} + 8 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot 1}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{- 18}$ = $\frac{- 8+10}{- 18}$ = $\frac{2}{- 18}$ = $- \frac{1}{9}$ ≈ -0.11

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{- 18}$ = $\frac{- 8-10}{- 18}$ = $\frac{- 18}{- 18}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} + 8 x + 1$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} - \frac{8}{9} x - \frac{1}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{9})}^{2} - (- \frac{1}{9})$ = $\frac{16}{81}$ $+$ $\frac{1}{9}$ = $\frac{16}{81}$ $+$ $\frac{9}{81}$ = $\frac{25}{81}$

x_1,2 = $\frac{4}{9}$ ± $\sqrt{\frac{25}{81}}$

x₁ = $\frac{4}{9}$ - $\frac{5}{9}$ = $- \frac{1}{9}$ = -0.11111111111111

x₂ = $\frac{4}{9}$ + $\frac{5}{9}$ = $\frac{9}{9}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{9}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $1$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $1$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$1$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$1 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$x$
$x^{2} + a - x$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):