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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7 x}{2 x - 2} + \frac{11}{2 x - 2}$ = $- 3$

D=R\{ $1$ }

- \frac{7 x}{2 (x - 1)} + \frac{11}{2 (x - 1)}

=

- 3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$- \frac{7 x}{2 (x - 1)} + \frac{11}{2 (x - 1)}$	=	$- 3$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$- \frac{7 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{11}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1))$	=	$- 3 \cdot (2 (x - 1))$
$- 7 x + 11$	=	$- 6 (x - 1)$

$- 7 x + 11$	=	$- 6 x + 6$	\| $- 11$
$- 7 x$	=	$- 6 x - 5$	\| $+ 6 x$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2 x}{2 x - 1} + \frac{16}{4 x - 2}$ = $4$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ }

\frac{2 x}{2 x - 1} + \frac{16}{2 (2 x - 1)}

=

4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 1} + \frac{16}{2 (2 x - 1)}$	=	$4$	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{2 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{16}{2 (2 x - 1)} \cdot (2 x - 1)$	=	$4 \cdot (2 x - 1)$
$2 x + 8$	=	$4 (2 x - 1)$

$2 x + 8$	=	$8 x - 4$	\| $- 8$
$2 x$	=	$8 x - 12$	\| $- 8 x$
$- 6 x$	=	$- 12$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{x - 1} + \frac{3 x - 2}{x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $1$ }

\frac{3 x - 2}{x} + \frac{5 x + 1}{x - 1} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x - 2}{x} + \frac{5 x + 1}{x - 1} - 7$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x - 2}{x} \cdot x + \frac{5 x + 1}{x - 1} \cdot x - 7 \cdot x$	=
$3 x - 2 + \frac{(5 x + 1) x}{x - 1} - 7 x$	=
$3 x - 2 + \frac{5 x^{2} + x}{x - 1} - 7 x$	=
$\frac{5 x^{2} + x}{x - 1} + 3 x - 7 x - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{5 x^{2} + x}{x - 1} + 3 x - 7 x - 2$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{5 x^{2} + x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 3 x \cdot (x - 1) - 7 x \cdot (x - 1) - 2 \cdot (x - 1)$	=
$5 x^{2} + x + 3 x \cdot (x - 1) - 7 x \cdot (x - 1) - 2 x + 2$	=
$5 x^{2} + x + (3 x^{2} - 3 x) + (- 7 x^{2} + 7 x) - 2 x + 2$	=
$x^{2} + 3 x + 2$	=

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{2}{x} - \frac{80}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{2}{x} - \frac{80}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{2}{x} \cdot x^{2} - \frac{80}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} - 2 x - 80$	=

$x^{2} - 2 x - 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 80)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{324}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{2+18}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{2-18}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 80)$ = $1$ $+$ $80$ = $81$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{81}$

x₁ = $1$ - $9$ = -8

x₂ = $1$ + $9$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{10}{x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$1 + \frac{10}{x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $x$ )
$1 \cdot x + \frac{10}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 4 \cdot x$
$x + 10$	=	$x \cdot x + 4 x$

x + 10

=

x^{2} + 4 x

|

- x^{2}

- 4 x

$- x^{2} - 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{3+7}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{3-7}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{3 x - 10} + \frac{2 x}{x - 2} + \frac{- 8 x + 2}{9 x - 30}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ ; $2$ }

$\frac{- 8 x + 2}{9 x - 30} + \frac{x - 2}{3 x - 10} + \frac{2 x}{x - 2}$	=	0
$\frac{- 8 x + 2}{3 (3 x - 10)} + \frac{x - 2}{3 x - 10} + \frac{2 x}{x - 2}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (3 x - 10)$ weg!

$\frac{- 8 x + 2}{3 (3 x - 10)} + \frac{x - 2}{3 x - 10} + \frac{2 x}{x - 2}$	=	\|⋅( $3 (3 x - 10)$ )
$\frac{- 8 x + 2}{3 (3 x - 10)} \cdot (3 (3 x - 10)) + \frac{x - 2}{3 x - 10} \cdot (3 (3 x - 10)) + \frac{2 x}{x - 2} \cdot (3 (3 x - 10))$	=
$- 8 x + 2 + 3 x - 6 + 3 \frac{2 x \cdot (3 x - 10)}{x - 2}$	=
$- 8 x + 2 + 3 x - 6 + \frac{3 (6 x^{2} - 20 x)}{x - 2}$	=
$\frac{3 (6 x^{2} - 20 x)}{x - 2} - 8 x + 3 x + 2 - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{3 (6 x^{2} - 20 x)}{x - 2} - 8 x + 3 x + 2 - 6$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{3 (6 x^{2} - 20 x)}{x - 2} \cdot (x - 2) - 8 x \cdot (x - 2) + 3 x \cdot (x - 2) + 2 \cdot (x - 2) - 6 \cdot (x - 2)$	=
$18 x^{2} - 60 x - 8 x \cdot (x - 2) + 3 x \cdot (x - 2) + 2 x - 4 - 6 x + 12$	=
$18 x^{2} - 60 x + (- 8 x^{2} + 16 x) + (3 x^{2} - 6 x) + 2 x - 4 - 6 x + 12$	=
$13 x^{2} - 54 x + 8$	=

$13 x^{2} - 54 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 54 \pm \sqrt{{(- 54)}^{2} - 4 \cdot 13 \cdot 8}}{2 \cdot 13}$

x_1,2 = $\frac{+ 54 \pm \sqrt{2 916 - 416}}{26}$

x_1,2 = $\frac{+ 54 \pm \sqrt{2 500}}{26}$

x₁ = $\frac{54 + \sqrt{2 500}}{26}$ = $\frac{54+50}{26}$ = $\frac{104}{26}$ = $4$

x₂ = $\frac{54 - \sqrt{2 500}}{26}$ = $\frac{54-50}{26}$ = $\frac{4}{26}$ = $\frac{2}{13}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $13$ " teilen:

$13 x^{2} - 54 x + 8$ = 0 |: $13$

$x^{2} - \frac{54}{13} x + \frac{8}{13}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{27}{13})}^{2} - (\frac{8}{13})$ = $\frac{729}{169}$ $-$ $\frac{8}{13}$ = $\frac{729}{169}$ $-$ $\frac{104}{169}$ = $\frac{625}{169}$

x_1,2 = $\frac{27}{13}$ ± $\sqrt{\frac{625}{169}}$

x₁ = $\frac{27}{13}$ - $\frac{25}{13}$ = $\frac{2}{13}$ = 0.15384615384615

x₂ = $\frac{27}{13}$ + $\frac{25}{13}$ = $\frac{52}{13}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{13}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{10}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{10}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{10}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{10}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 10$	=	$- a x$
$x^{2} - 10 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 5)$ = -10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 5)$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):