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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9}{x}$ = $- 8$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9}{x}$	=	$- 8$	\|⋅( $x$ )
$\frac{9}{x} \cdot x$	=	$- 8 \cdot x$
$9$	=	$- 8 x$

$9$	=	$- 8 x$	\| $- 9$ $+ 8 x$
$8 x$	=	$- 9$	\|: $8$
$x$	=	$- \frac{9}{8}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{9}{8}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7}{x + 5} - 3$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

\frac{7}{x + 5} - 3

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{7}{x + 5} - 3$	=	$- x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{7}{x + 5} \cdot (x + 5) - 3 \cdot (x + 5)$	=	$- x \cdot (x + 5)$
$7 - 3 x - 15$	=	$- x \cdot (x + 5)$
$- 3 x - 8$	=	$- x^{2} - 5 x$

- 3 x - 8

=

- x^{2} - 5 x

|

+ x^{2}

+ 5 x

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 15} + \frac{- 11,8}{x - 3}$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{x}{5 x - 15} - \frac{11,8}{x - 3}$	=	$- 3 x$
$\frac{x}{5 (x - 3)} - \frac{11,8}{x - 3}$	=	$- 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 3)} - \frac{11,8}{x - 3}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $5 (x - 3)$ )
$\frac{x}{5 (x - 3)} \cdot (5 (x - 3)) + \frac{- 11,8}{x - 3} \cdot (5 (x - 3))$	=	$- 3 x \cdot (5 (x - 3))$
$x - 59$	=	$- 15 x \cdot (x - 3)$
$x - 59$	=	$- 15 x^{2} + 45 x$

x - 59

=

- 15 x^{2} + 45 x

|

+ 15 x^{2}

- 45 x

$15 x^{2} - 44 x - 59$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{{(- 44)}^{2} - 4 \cdot 15 \cdot (- 59)}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{1 936 + 3 540}}{30}$

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{5 476}}{30}$

x₁ = $\frac{44 + \sqrt{5 476}}{30}$ = $\frac{44+74}{30}$ = $\frac{118}{30}$ = $\frac{59}{15}$ ≈ 3.93

x₂ = $\frac{44 - \sqrt{5 476}}{30}$ = $\frac{44-74}{30}$ = $\frac{- 30}{30}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $15$ " teilen:

$15 x^{2} - 44 x - 59$ = 0 |: $15$

$x^{2} - \frac{44}{15} x - \frac{59}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{22}{15})}^{2} - (- \frac{59}{15})$ = $\frac{484}{225}$ $+$ $\frac{59}{15}$ = $\frac{484}{225}$ $+$ $\frac{885}{225}$ = $\frac{1369}{225}$

x_1,2 = $\frac{22}{15}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{225}}$

x₁ = $\frac{22}{15}$ - $\frac{37}{15}$ = $- \frac{15}{15}$ = -1

x₂ = $\frac{22}{15}$ + $\frac{37}{15}$ = $\frac{59}{15}$ = 3.9333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{59}{15}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{3 x - 40}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{3 x - 40}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{3 x - 40}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$3 x - 40$

- x^{2}

=

3 x - 40

|

- 3 x

+ 40

$- x^{2} - 3 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 40}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{169}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{3+13}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{3-13}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 40$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 40$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 40)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $40$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 11 x + 9}{x - 5}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{- 11 x + 9}{x - 5}$	=	$4 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{- 11 x + 9}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$4 x \cdot (x - 5)$
$- 11 x + 9$	=	$4 x \cdot (x - 5)$
$- 11 x + 9$	=	$4 x^{2} - 20 x$

- 11 x + 9

=

4 x^{2} - 20 x

|

- 4 x^{2}

+ 20 x

$- 4 x^{2} + 9 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 9}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{225}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{225}}{- 8}$ = $\frac{- 9+15}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{225}}{- 8}$ = $\frac{- 9-15}{- 8}$ = $\frac{- 24}{- 8}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 9 x + 9$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{9}{4} x - \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{8})}^{2} - (- \frac{9}{4})$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{225}{64}$

x_1,2 = $\frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{225}{64}}$

x₁ = $\frac{9}{8}$ - $\frac{15}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{9}{8}$ + $\frac{15}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 4}{x} + \frac{2 x + 1}{2 x - 5} + \frac{11 x - 2}{- 4 x + 10}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ ; 0}

$\frac{2 x + 1}{2 x - 5} + \frac{3 x + 4}{x} + \frac{11 x - 2}{- 4 x + 10}$	=	0
$\frac{2 x + 1}{2 x - 5} + \frac{3 x + 4}{x} + \frac{11 x - 2}{2 (- 2 x + 5)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{2 x + 1}{2 x - 5} + \frac{3 x + 4}{x} + \frac{11 x - 2}{2 (- 2 x + 5)}$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{2 x + 1}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{3 x + 4}{x} \cdot (2 x - 5) + \frac{11 x - 2}{2 (- 2 x + 5)} \cdot (2 x - 5)$	=
$2 x + 1 + \frac{(3 x + 4) \cdot (2 x - 5)}{x} + \frac{(11 x - 2) \cdot (2 x - 5)}{2 (- 2 x + 5)}$	=
$2 x + 1 + \frac{(3 x + 4) \cdot (2 x - 5)}{x} - \frac{11}{2} x + 1$	=
$2 x + 1 + \frac{6 x^{2} - 7 x - 20}{x} - \frac{11}{2} x + 1$	=
$\frac{6 x^{2} - 7 x - 20}{x} + 2 x - \frac{11}{2} x + 1 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 7 x - 20}{x} + 2 x - \frac{11}{2} x + 1 + 1$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{6 x^{2} - 7 x - 20}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - \frac{11}{2} x \cdot x + 1 \cdot x + 1 \cdot x$	=
$6 x^{2} - 7 x - 20 + 2 x \cdot x - \frac{11}{2} x \cdot x + x + x$	=
$6 x^{2} - 7 x - 20 + 2 x^{2} - \frac{11}{2} x^{2} + x + x$	=
$\frac{5}{2} x^{2} - 5 x - 20$	=

$\frac{5}{2} x^{2} - 5 x - 20$	=	0	\|⋅ 2
$2 (\frac{5}{2} x^{2} - 5 x - 20)$	=	0

5 x^{2} - 10 x - 40

= 0 |:5

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 2 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 2 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 2 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 2 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 2 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 2 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):