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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6}{x}$ = $- \frac{7}{4}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{6}{x}$	=	$- \frac{7}{4}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{6}{x} \cdot x$	=	$- \frac{7}{4} \cdot x$
$- 6$	=	$- \frac{7}{4} x$

$- 6$	=	$- \frac{7}{4} x$	\|⋅ 4
$- 24$	=	$- 7 x$	\| $+ 24$ $+ 7 x$
$7 x$	=	$24$	\|: $7$
$x$	=	$\frac{24}{7}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{24}{7}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{9 x}{3 x - 4} + \frac{14}{6 x - 8}$ = $2$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

- \frac{9 x}{3 x - 4} + \frac{14}{2 (3 x - 4)}

=

2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$- \frac{9 x}{3 x - 4} + \frac{14}{2 (3 x - 4)}$	=	$2$	\|⋅( $3 x - 4$ )
$- \frac{9 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{14}{2 (3 x - 4)} \cdot (3 x - 4)$	=	$2 \cdot (3 x - 4)$
$- 9 x + 7$	=	$2 (3 x - 4)$

$- 9 x + 7$	=	$6 x - 8$	\| $- 7$
$- 9 x$	=	$6 x - 15$	\| $- 6 x$
$- 15 x$	=	$- 15$	\|:( $- 15$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 10} - x$ = $- \frac{14,4}{x + 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{x}{5 (x + 2)} - x

=

- \frac{14,4}{x + 2}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 2)} - x$	=	$- \frac{14,4}{x + 2}$	\|⋅( $5 (x + 2)$ )
$\frac{x}{5 (x + 2)} \cdot (5 (x + 2)) - x \cdot (5 (x + 2))$	=	$- \frac{14,4}{x + 2} \cdot (5 (x + 2))$
$x - 5 x \cdot (x + 2)$	=	$- 72$
$x + (- 5 x^{2} - 10 x)$	=	$- 72$
$- 5 x^{2} - 9 x$	=	$- 72$

- 5 x^{2} - 9 x

=

- 72

|

+ 72

$- 5 x^{2} - 9 x + 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 72}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 1 440}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1 521}}{- 10}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1 521}}{- 10}$ = $\frac{9+39}{- 10}$ = $\frac{48}{- 10}$ = $- 4,8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1 521}}{- 10}$ = $\frac{9-39}{- 10}$ = $\frac{- 30}{- 10}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 9 x + 72$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{9}{5} x - \frac{72}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{10})}^{2} - (- \frac{72}{5})$ = $\frac{81}{100}$ $+$ $\frac{72}{5}$ = $\frac{81}{100}$ $+$ $\frac{1440}{100}$ = $\frac{1521}{100}$

x_1,2 = $- \frac{9}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{100}}$

x₁ = $- \frac{9}{10}$ - $\frac{39}{10}$ = $- \frac{48}{10}$ = -4.8

x₂ = $- \frac{9}{10}$ + $\frac{39}{10}$ = $\frac{30}{10}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,8$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{7}{x^{3}} - \frac{8}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{7}{x^{3}} - \frac{8}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{7}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{8}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 7 x - 8$	=	$- x^{2}$

- 7 x - 8

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 7 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 2$ = $4 + \frac{16}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 2$	=	$4 + \frac{16}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 2 \cdot x$	=	$4 \cdot x + \frac{16}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 2 x$	=	$4 x + 16$
$x^{2} - 2 x$	=	$4 x + 16$

x^{2} - 2 x

=

4 x + 16

|

- 4 x

- 16

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6+10}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6-10}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $3$ - $5$ = -2

x₂ = $3$ + $5$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{4 x}{x - 1} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 5$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{8 x - 1}{3 x} \cdot (x - 1) - 5 \cdot (x - 1)$	=
$4 x + \frac{(8 x - 1) \cdot (x - 1)}{3 x} - 5 x + 5$	=
$4 x + \frac{8 x^{2} - 9 x + 1}{3 x} - 5 x + 5$	=
$\frac{8 x^{2} - 9 x + 1}{3 x} + 4 x - 5 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 9 x + 1}{3 x} + 4 x - 5 x + 5$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{8 x^{2} - 9 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + 4 x \cdot 3 x - 5 x \cdot 3 x + 5 \cdot 3 x$	=
$8 x^{2} - 9 x + 1 + 12 x \cdot x - 15 x \cdot x + 15 x$	=
$8 x^{2} - 9 x + 1 + 12 x^{2} - 15 x^{2} + 15 x$	=
$5 x^{2} + 6 x + 1$	=

$5 x^{2} + 6 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{10}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 6+4}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 6-4}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 6 x + 1$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{1}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{5})}^{2} - (\frac{1}{5})$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{1}{5}$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{5}{25}$ = $\frac{4}{25}$

x_1,2 = $- \frac{3}{5}$ ± $\sqrt{\frac{4}{25}}$

x₁ = $- \frac{3}{5}$ - $\frac{2}{5}$ = $- \frac{5}{5}$ = -1

x₂ = $- \frac{3}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $- \frac{1}{5}$ = -0.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 5 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 5 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 5 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 5 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 5 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 5 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $- (2 + 3)$ = -5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 3$ = $6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):