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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2 x}{3 x - 5} + \frac{64}{3 x - 5}$ = $4$

D=R\{ $\frac{5}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$- \frac{2 x}{3 x - 5} + \frac{64}{3 x - 5}$	=	$4$	\|⋅( $3 x - 5$ )
$- \frac{2 x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + \frac{64}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$	=	$4 \cdot (3 x - 5)$
$- 2 x + 64$	=	$4 (3 x - 5)$

$- 2 x + 64$	=	$12 x - 20$	\| $- 64$
$- 2 x$	=	$12 x - 84$	\| $- 12 x$
$- 14 x$	=	$- 84$	\|:( $- 14$ )
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 7}{x + 1} + x$ = $5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

- \frac{7}{x + 1} + x

=

5

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{7}{x + 1} + x$	=	$5$	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{7}{x + 1} \cdot (x + 1) + x \cdot (x + 1)$	=	$5 \cdot (x + 1)$
$- 7 + x \cdot (x + 1)$	=	$5 (x + 1)$
$- 7 + (x^{2} + x)$	=	$5 (x + 1)$
$x^{2} + x - 7$	=	$5 x + 5$

x^{2} + x - 7

=

5 x + 5

|

- 5 x

- 5

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{37,5}{2 x - 6}$ = $- \frac{x}{4 x - 12} + x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{37,5}{2 (x - 3)}

=

- \frac{x}{4 (x - 3)} + x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 3)$ weg!

$\frac{37,5}{2 (x - 3)}$	=	$- \frac{x}{4 (x - 3)} + x$	\|⋅( $4 (x - 3)$ )
$\frac{37,5}{2 (x - 3)} \cdot (4 (x - 3))$	=	$- \frac{x}{4 (x - 3)} \cdot (4 (x - 3)) + x \cdot (4 (x - 3))$
$75$	=	$- x + 4 x \cdot (x - 3)$
$75$	=	$4 x^{2} - 13 x$

75

=

4 x^{2} - 13 x

|

- 4 x^{2}

+ 13 x

$- 4 x^{2} + 13 x + 75$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 75}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 1 200}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1 369}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1 369}}{- 8}$ = $\frac{- 13+37}{- 8}$ = $\frac{24}{- 8}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1 369}}{- 8}$ = $\frac{- 13-37}{- 8}$ = $\frac{- 50}{- 8}$ = $6,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 13 x + 75$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{13}{4} x - \frac{75}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{8})}^{2} - (- \frac{75}{4})$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $\frac{75}{4}$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $\frac{1200}{64}$ = $\frac{1369}{64}$

x_1,2 = $\frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{64}}$

x₁ = $\frac{13}{8}$ - $\frac{37}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $\frac{13}{8}$ + $\frac{37}{8}$ = $\frac{50}{8}$ = 6.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $6,25$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{11}{x^{3}} - \frac{28}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{11}{x^{3}} - \frac{28}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{11}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{28}{x^{4}} \cdot x^{4}$
=	$- x^{2} - 11 x - 28$

0

=

- x^{2} - 11 x - 28

|

+ x^{2}

+ 11 x

+ 28

$x^{2} + 11 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 11+3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 11-3}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 18}{2 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x - 18}{2 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x - 18}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 5 \cdot 2 x$
$5 x - 18$	=	$2 x \cdot x - 10 x$

5 x - 18

=

2 x^{2} - 10 x

|

- 2 x^{2}

+ 10 x

$- 2 x^{2} + 15 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{- 15+9}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{- 15-9}{- 4}$ = $\frac{- 24}{- 4}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 15 x - 18$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{15}{2} x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{4})}^{2} - 9$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $9$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{144}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $\frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $\frac{15}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{15}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{3 x} + \frac{8 x}{x + 1} + \frac{17 x + 1}{- 3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 1$ }

\frac{5 x + 1 - 17 x - 1}{3 x} + \frac{8 x}{x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{5 x + 1 - 17 x - 1}{3 x} + \frac{8 x}{x + 1}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{5 x + 1 - 17 x - 1}{3 x} \cdot 3 x + \frac{8 x}{x + 1} \cdot 3 x$	=
$5 x + 1 - 17 x - 1 + 3 \frac{8 x \cdot x}{x + 1}$	=
$5 x + 1 - 17 x - 1 + \frac{24 x^{2}}{x + 1}$	=
$\frac{24 x^{2}}{x + 1} + 5 x - 17 x + 1 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{24 x^{2}}{x + 1} + 5 x - 17 x + 1 - 1$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{24 x^{2}}{x + 1} \cdot (x + 1) + 5 x \cdot (x + 1) - 17 x \cdot (x + 1) + 1 \cdot (x + 1) - 1 \cdot (x + 1)$	=
$24 x^{2} + 5 x \cdot (x + 1) - 17 x \cdot (x + 1) + x + 1 - x - 1$	=
$24 x^{2} + (5 x^{2} + 5 x) + (- 17 x^{2} - 17 x) + x + 1 - x - 1$	=
$12 x^{2} - 12 x$	=

$12 x^{2} - 12 x$	=	0
$12 x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Lösung x=0 ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{24}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{24}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{24}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{24}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 24$	=	$- a x$
$x^{2} - 24 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 12)$ = -24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 12)$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):