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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2}{x}$ = $- \frac{4}{7}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{2}{x}$	=	$- \frac{4}{7}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{2}{x} \cdot x$	=	$- \frac{4}{7} \cdot x$
$- 2$	=	$- \frac{4}{7} x$

$- 2$	=	$- \frac{4}{7} x$	\|⋅ 7
$- 14$	=	$- 4 x$	\| $+ 14$ $+ 4 x$
$4 x$	=	$14$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{7}{2}$ = 3.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{7}{2}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 6} - \frac{1}{x + 6}$ = $\frac{30}{x^{2} - 36}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 6$ ; $6$ }

\frac{x}{x - 6} - \frac{1}{x + 6}

=

\frac{30}{(x + 6) \cdot (x - 6)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 6) \cdot (x - 6)$ weg!

$\frac{x}{x - 6} - \frac{1}{x + 6}$	=	$\frac{30}{(x + 6) \cdot (x - 6)}$	\|⋅( $(x + 6) \cdot (x - 6)$ )
$\frac{x}{x - 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6) - \frac{1}{x + 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$	=	$\frac{30}{(x + 6) \cdot (x - 6)} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$
$x \cdot (x + 6) - x + 6$	=	$30 \frac{x + 6}{x + 6}$
$x \cdot (x + 6) - x + 6$	=	$30$
$x^{2} + 6 x - x + 6$	=	$30$
$x^{2} + 5 x + 6$	=	$30$

x^{2} + 5 x + 6

=

30

|

- 30

$x^{2} + 5 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5+11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5-11}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{2 x + 2} + \frac{x + 1}{2 x} + \frac{- 5 x + 1}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 1$ }

$\frac{- 5 x + 1}{x} + \frac{x + 1}{2 x} + \frac{12 x}{2 x + 2}$	=	0
$\frac{- 5 x + 1}{x} + \frac{x + 1}{2 x} + \frac{12 x}{2 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 5 x + 1}{x} + \frac{x + 1}{2 x} + \frac{12 x}{2 (x + 1)}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 5 x + 1}{x} \cdot 2 x + \frac{x + 1}{2 x} \cdot 2 x + \frac{12 x}{2 (x + 1)} \cdot 2 x$	=
$- 10 x + 2 + x + 1 + 2 \frac{6 x \cdot x}{x + 1}$	=
$- 10 x + 2 + x + 1 + \frac{12 x^{2}}{x + 1}$	=
$\frac{12 x^{2}}{x + 1} - 10 x + x + 2 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{12 x^{2}}{x + 1} - 10 x + x + 2 + 1$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{12 x^{2}}{x + 1} \cdot (x + 1) - 10 x \cdot (x + 1) + x \cdot (x + 1) + 2 \cdot (x + 1) + 1 \cdot (x + 1)$	=
$12 x^{2} - 10 x \cdot (x + 1) + x \cdot (x + 1) + 2 x + 2 + x + 1$	=
$12 x^{2} + (- 10 x^{2} - 10 x) + (x^{2} + x) + 2 x + 2 + x + 1$	=
$3 x^{2} - 6 x + 3$	=

3 x^{2} - 6 x + 3

= 0 |:3

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}} + \frac{32}{x^{3}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}} + \frac{32}{x^{3}}$	=	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{32}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=
$x^{2} - 12 x + 32$	=

$x^{2} - 12 x + 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{12+4}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{12-4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 32$ = $36$ $-$ $32$ = $4$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $6$ - $2$ = 4

x₂ = $6$ + $2$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11}{2} + \frac{1}{x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{11}{2} + \frac{1}{x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $x$ )
$\frac{11}{2} \cdot x + \frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 4 \cdot x$
$\frac{11}{2} x + 1$	=	$x \cdot x + 4 x$

$\frac{11}{2} x + 1$	=	$x^{2} + 4 x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{11}{2} x + 1)$	=	$2 (x^{2} + 4 x)$
$11 x + 2$	=	$2 x^{2} + 8 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 8 x$

$- 2 x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 2}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 3+5}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 3-5}{- 4}$ = $\frac{- 8}{- 4}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 3 x + 2$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $1$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{2 x - 6} + \frac{2 x + 1}{x - 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $3$ }

$\frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{x - 2}{2 x - 6} - 4$	=	0
$\frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{x - 2}{2 (x - 3)} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{x - 2}{2 (x - 3)} - 4$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x + 1}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{x - 2}{2 (x - 3)} \cdot (x - 1) - 4 \cdot (x - 1)$	=
$2 x + 1 + \frac{(x - 2) \cdot (x - 1)}{2 (x - 3)} - 4 x + 4$	=
$2 x + 1 + \frac{x^{2} - 3 x + 2}{2 (x - 3)} - 4 x + 4$	=
$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{2 (x - 3)} + 2 x - 4 x + 1 + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{2 (x - 3)} + 2 x - 4 x + 1 + 4$	=	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + 2 x \cdot (2 (x - 3)) - 4 x \cdot (2 (x - 3)) + 1 \cdot (2 (x - 3)) + 4 \cdot (2 (x - 3))$	=
$x^{2} - 3 x + 2 + 4 x \cdot (x - 3) - 8 x \cdot (x - 3) + 2 x - 6 + 8 x - 24$	=
$x^{2} - 3 x + 2 + (4 x^{2} - 12 x) + (- 8 x^{2} + 24 x) + 2 x - 6 + 8 x - 24$	=
$- 3 x^{2} + 19 x - 28$	=

$- 3 x^{2} + 19 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 28)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 336}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 19+5}{- 6}$ = $\frac{- 14}{- 6}$ = $\frac{7}{3}$ ≈ 2.33

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 19-5}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 19 x - 28$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{19}{3} x + \frac{28}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{6})}^{2} - (\frac{28}{3})$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{28}{3}$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{336}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $\frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $\frac{19}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $\frac{14}{6}$ = 2.3333333333333

x₂ = $\frac{19}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{7}{3}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{15}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{15}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{15}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{15}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 15$
$a x + x^{2} + 15$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

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Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):