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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6}{x + 2}$ = $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6}{x + 2}$	=	$- 2$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- 2 \cdot (x + 2)$
$6$	=	$- 2 (x + 2)$

$6$	=	$- 2 x - 4$	\| $- 6$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6 x}{3 x - 2} + \frac{314}{6 x - 4}$ = $- 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ }

\frac{6 x}{3 x - 2} + \frac{314}{2 (3 x - 2)}

=

- 5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{3 x - 2} + \frac{314}{2 (3 x - 2)}$	=	$- 5$	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{6 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + \frac{314}{2 (3 x - 2)} \cdot (3 x - 2)$	=	$- 5 \cdot (3 x - 2)$
$6 x + 157$	=	$- 5 (3 x - 2)$

$6 x + 157$	=	$- 15 x + 10$	\| $- 157$
$6 x$	=	$- 15 x - 147$	\| $+ 15 x$
$21 x$	=	$- 147$	\|: $21$
$x$	=	$- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 6} + \frac{- 14}{x + 3} + 4 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$\frac{x}{2 x + 6} - \frac{14}{x + 3} + 4 x$	=	0
$\frac{x}{2 (x + 3)} - \frac{14}{x + 3} + 4 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 3)} - \frac{14}{x + 3} + 4 x$	=	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + \frac{- 14}{x + 3} \cdot (2 (x + 3)) + 4 x \cdot (2 (x + 3))$	=
$x - 28 + 8 x (x + 3)$	=
$x - 28 + (8 x^{2} + 24 x)$	=
$8 x^{2} + 25 x - 28$	=

$8 x^{2} + 25 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 896}}{16}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{1 521}}{16}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{1 521}}{16}$ = $\frac{- 25+39}{16}$ = $\frac{14}{16}$ = $0,875$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{1 521}}{16}$ = $\frac{- 25-39}{16}$ = $\frac{- 64}{16}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} + 25 x - 28$ = 0 |: $8$

$x^{2} + \frac{25}{8} x - \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{16})}^{2} - (- \frac{7}{2})$ = $\frac{625}{256}$ $+$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{625}{256}$ $+$ $\frac{896}{256}$ = $\frac{1521}{256}$

x_1,2 = $- \frac{25}{16}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{256}}$

x₁ = $- \frac{25}{16}$ - $\frac{39}{16}$ = $- \frac{64}{16}$ = -4

x₂ = $- \frac{25}{16}$ + $\frac{39}{16}$ = $\frac{14}{16}$ = 0.875

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $0,875$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 - \frac{7}{x} - \frac{12}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 - \frac{7}{x} - \frac{12}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{7}{x} \cdot x^{2} - \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} - 7 x - 12$

0

=

- x^{2} - 7 x - 12

|

+ x^{2}

+ 7 x

+ 12

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 13 x + 18}{2 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 13 x + 18}{2 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 13 x + 18}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 2 \cdot 2 x$
$- 13 x + 18$	=	$2 x \cdot x - 4 x$

- 13 x + 18

=

2 x^{2} - 4 x

|

- 2 x^{2}

+ 4 x

$- 2 x^{2} - 9 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 18}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{225}}{- 4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{9+15}{- 4}$ = $\frac{24}{- 4}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{9-15}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 9 x + 18$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x - 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - (- 9)$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $9$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{144}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{24}{4}$ = -6

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{x + 1}{2 x + 4} + \frac{8 x}{- 6 x - 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 2$ }

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{x + 1}{2 x + 4} + \frac{8 x}{- 6 x - 12}$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x + 1)} + \frac{x + 1}{2 (x + 2)} + \frac{8 x}{- 6 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x + 1)} + \frac{x + 1}{2 (x + 2)} + \frac{8 x}{- 6 (x + 2)}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1) + \frac{x + 1}{2 (x + 2)} \cdot (x + 1) + \frac{8 x}{- 6 (x + 2)} \cdot (x + 1)$	=
$2 x + \frac{(x + 1) (x + 1)}{2 (x + 2)} - \frac{4 x (x + 1)}{3 (x + 2)}$	=
$2 x + \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 (x + 2)} - \frac{4 x^{2} + 4 x}{3 (x + 2)}$	=
$- \frac{4 x^{2} + 4 x}{3 (x + 2)} + \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 (x + 2)} + 2 x$	=

\frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 (x + 2)} - \frac{4 x^{2} + 4 x}{3 (x + 2)} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x + 2)$ weg!

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 (x + 2)} - \frac{4 x^{2} + 4 x}{3 (x + 2)} + 2 x$	=	\|⋅( $6 (x + 2)$ )
$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 (x + 2)} \cdot (6 (x + 2)) - \frac{4 x^{2} + 4 x}{3 (x + 2)} \cdot (6 (x + 2)) + 2 x \cdot (6 (x + 2))$	=
$3 x^{2} + 6 x + 3 - 8 x^{2} - 8 x + 12 x (x + 2)$	=
$3 x^{2} + 6 x + 3 - 8 x^{2} - 8 x + (12 x^{2} + 24 x)$	=
$7 x^{2} + 22 x + 3$	=

$7 x^{2} + 22 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 84}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{400}}{14}$

x₁ = $\frac{- 22 + \sqrt{400}}{14}$ = $\frac{- 22+20}{14}$ = $\frac{- 2}{14}$ = $- \frac{1}{7}$ ≈ -0.14

x₂ = $\frac{- 22 - \sqrt{400}}{14}$ = $\frac{- 22-20}{14}$ = $\frac{- 42}{14}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} + 22 x + 3$ = 0 |: $7$

$x^{2} + \frac{22}{7} x + \frac{3}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{7})}^{2} - (\frac{3}{7})$ = $\frac{121}{49}$ $-$ $\frac{3}{7}$ = $\frac{121}{49}$ $-$ $\frac{21}{49}$ = $\frac{100}{49}$

x_1,2 = $- \frac{11}{7}$ ± $\sqrt{\frac{100}{49}}$

x₁ = $- \frac{11}{7}$ - $\frac{10}{7}$ = $- \frac{21}{7}$ = -3

x₂ = $- \frac{11}{7}$ + $\frac{10}{7}$ = $- \frac{1}{7}$ = -0.14285714285714

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{7}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{15}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{15}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{15}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{15}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 15 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 15 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot (- 5)$ = -15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 - 5)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):