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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{- x - 17}{2 x + 1}$ = $- 2$

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{- x - 17}{2 x + 1}$	=	$- 2$	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{- x - 17}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1)$	=	$- 2 \cdot (2 x + 1)$
$- x - 17$	=	$- 2 (2 x + 1)$

$- x - 17$	=	$- 4 x - 2$	\| $+ 17$
$- x$	=	$- 4 x + 15$	\| $+ 4 x$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{4 x}{3 x + 3} - 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

x

=

- \frac{4 x}{3 (x + 1)} - 1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$x$	=	$- \frac{4 x}{3 (x + 1)} - 1$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$x \cdot (3 (x + 1))$	=	$- \frac{4 x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) - 1 \cdot (3 (x + 1))$
$3 x (x + 1)$	=	$- 4 x - 3 x - 3$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot 1$	=	$- 4 x - 3 x - 3$
$3 x \cdot x + 3 x$	=	$- 4 x - 3 x - 3$
$3 x^{2} + 3 x$	=	$- 7 x - 3$

3 x^{2} + 3 x

=

- 7 x - 3

|

+ 7 x

+ 3

$3 x^{2} + 10 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 10+8}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 10-8}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 10 x + 3$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{10}{3} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{3})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $\frac{9}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $- \frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $- \frac{5}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $- \frac{1}{3}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{5}{2}$ }

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} - 3$	=	0
$\frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} - 3$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} - 3$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} \cdot (2 (x - 2)) - 3 \cdot (2 (x - 2))$	=
$x + 2 \frac{(2 x - 2) (x - 2)}{2 x - 5} - 6 x + 12$	=
$x + \frac{2 (2 x^{2} - 6 x + 4)}{2 x - 5} - 6 x + 12$	=
$\frac{2 (2 x^{2} - 6 x + 4)}{2 x - 5} + x - 6 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{2 (2 x^{2} - 6 x + 4)}{2 x - 5} + x - 6 x + 12$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{2 (2 x^{2} - 6 x + 4)}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + x \cdot (2 x - 5) - 6 x \cdot (2 x - 5) + 12 \cdot (2 x - 5)$	=
$4 x^{2} - 12 x + 8 + x (2 x - 5) - 6 x (2 x - 5) + 24 x - 60$	=
$4 x^{2} - 12 x + 8 + (2 x^{2} - 5 x) + (- 12 x^{2} + 30 x) + 24 x - 60$	=
$- 6 x^{2} + 37 x - 52$	=

$- 6 x^{2} + 37 x - 52$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 52)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 - 1 248}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{121}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{121}}{- 12}$ = $\frac{- 37+11}{- 12}$ = $\frac{- 26}{- 12}$ = $\frac{13}{6}$ ≈ 2.17

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{121}}{- 12}$ = $\frac{- 37-11}{- 12}$ = $\frac{- 48}{- 12}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 37 x - 52$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{37}{6} x + \frac{26}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{37}{12})}^{2} - (\frac{26}{3})$ = $\frac{1369}{144}$ $-$ $\frac{26}{3}$ = $\frac{1369}{144}$ $-$ $\frac{1248}{144}$ = $\frac{121}{144}$

x_1,2 = $\frac{37}{12}$ ± $\sqrt{\frac{121}{144}}$

x₁ = $\frac{37}{12}$ - $\frac{11}{12}$ = $\frac{26}{12}$ = 2.1666666666667

x₂ = $\frac{37}{12}$ + $\frac{11}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{13}{6}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{7}{x} - \frac{10}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{7}{x} - \frac{10}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{7}{x} \cdot x^{2} - \frac{10}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$7 x - 10$

x^{2}

=

7 x - 10

|

- 7 x

+ 10

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x + 8}{x - 5}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{8 x + 8}{x - 5}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{8 x + 8}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$3 x \cdot (x - 5)$
$8 x + 8$	=	$3 x (x - 5)$
$8 x + 8$	=	$3 x^{2} - 15 x$

8 x + 8

=

3 x^{2} - 15 x

|

- 3 x^{2}

+ 15 x

$- 3 x^{2} + 23 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 8}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 + 96}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{625}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{625}}{- 6}$ = $\frac{- 23+25}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{625}}{- 6}$ = $\frac{- 23-25}{- 6}$ = $\frac{- 48}{- 6}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 23 x + 8$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{23}{3} x - \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{6})}^{2} - (- \frac{8}{3})$ = $\frac{529}{36}$ $+$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{529}{36}$ $+$ $\frac{96}{36}$ = $\frac{625}{36}$

x_1,2 = $\frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{625}{36}}$

x₁ = $\frac{23}{6}$ - $\frac{25}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

x₂ = $\frac{23}{6}$ + $\frac{25}{6}$ = $\frac{48}{6}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x + 4} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{5}{2}$ }

$\frac{2 x}{2 x + 4} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} - 5$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x + 2)} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x + 2)} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} - 5$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} \cdot (x + 2) - 5 \cdot (x + 2)$	=
$x + \frac{(2 x - 1) (x + 2)}{2 x + 5} - 5 x - 10$	=
$x + \frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{2 x + 5} - 5 x - 10$	=
$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{2 x + 5} + x - 5 x - 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{2 x + 5} + x - 5 x - 10$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + x \cdot (2 x + 5) - 5 x \cdot (2 x + 5) - 10 \cdot (2 x + 5)$	=
$2 x^{2} + 3 x - 2 + x (2 x + 5) - 5 x (2 x + 5) - 20 x - 50$	=
$2 x^{2} + 3 x - 2 + (2 x^{2} + 5 x) + (- 10 x^{2} - 25 x) - 20 x - 50$	=
$- 6 x^{2} - 37 x - 52$	=

$- 6 x^{2} - 37 x - 52$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{{(- 37)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 52)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{1 369 - 1 248}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{121}}{- 12}$

x₁ = $\frac{37 + \sqrt{121}}{- 12}$ = $\frac{37+11}{- 12}$ = $\frac{48}{- 12}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{37 - \sqrt{121}}{- 12}$ = $\frac{37-11}{- 12}$ = $\frac{26}{- 12}$ = $- \frac{13}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} - 37 x - 52$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} + \frac{37}{6} x + \frac{26}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{37}{12})}^{2} - (\frac{26}{3})$ = $\frac{1369}{144}$ $-$ $\frac{26}{3}$ = $\frac{1369}{144}$ $-$ $\frac{1248}{144}$ = $\frac{121}{144}$

x_1,2 = $- \frac{37}{12}$ ± $\sqrt{\frac{121}{144}}$

x₁ = $- \frac{37}{12}$ - $\frac{11}{12}$ = $- \frac{48}{12}$ = -4

x₂ = $- \frac{37}{12}$ + $\frac{11}{12}$ = $- \frac{26}{12}$ = -2.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{13}{6}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{12}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{12}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{12}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{12}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 12 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 12 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):