Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6 x}{x + 15}$ = $- 3$

D=R\{ $- 15$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 15$ weg!

$\frac{- 6 x}{x + 15}$	=	$- 3$	\|⋅( $x + 15$ )
$\frac{- 6 x}{x + 15} \cdot (x + 15)$	=	$- 3 \cdot (x + 15)$
$- \frac{6 x}{1}$	=	$- 3 (x + 15)$
$- 6 x$	=	$- 3 (x + 15)$

$- 6 x$	=	$- 3 x - 45$	\| $+ 3 x$
$- 3 x$	=	$- 45$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$15$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $15$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 18 x}{2 x + 2}$ = $- x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{- 18 x}{2 (x + 1)}

=

- x - 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{- 18 x}{2 (x + 1)}$	=	$- x - 4$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{- 18 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1))$	=	$- x \cdot (2 (x + 1)) - 4 \cdot (2 (x + 1))$
$- 2 \frac{9 x}{1}$	=	$- 2 x \cdot (x + 1) - 8 x - 8$
$- 18 x$	=	$- 2 x \cdot (x + 1) - 8 x - 8$
$- 18 x$	=	$- 2 x^{2} - 10 x - 8$

- 18 x

=

- 2 x^{2} - 10 x - 8

|

+ 2 x^{2}

+ 10 x

+ 8

2 x^{2} - 8 x + 8

= 0 |:2

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{2 x} + \frac{12 x}{2 x - 2} + \frac{3 x - 1}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $1$ }

$- \frac{3 x - 1}{x} + \frac{x - 1}{2 x} + \frac{12 x}{2 x - 2}$	=	0
$- \frac{3 x - 1}{x} + \frac{x - 1}{2 x} + \frac{12 x}{2 (x - 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$- \frac{3 x - 1}{x} + \frac{x - 1}{2 x} + \frac{12 x}{2 (x - 1)}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$- \frac{3 x - 1}{x} \cdot 2 x + \frac{x - 1}{2 x} \cdot 2 x + \frac{12 x}{2 (x - 1)} \cdot 2 x$	=
$- 6 x + 2 + x - 1 + 2 \frac{6 x \cdot x}{x - 1}$	=
$- 6 x + 2 + x - 1 + \frac{12 x^{2}}{x - 1}$	=
$\frac{12 x^{2}}{x - 1} - 6 x + x + 2 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{12 x^{2}}{x - 1} - 6 x + x + 2 - 1$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{12 x^{2}}{x - 1} \cdot (x - 1) - 6 x \cdot (x - 1) + x \cdot (x - 1) + 2 \cdot (x - 1) - 1 \cdot (x - 1)$	=
$12 x^{2} - 6 x \cdot (x - 1) + x \cdot (x - 1) + 2 x - 2 - x + 1$	=
$12 x^{2} + (- 6 x^{2} + 6 x) + (x^{2} - x) + 2 x - 2 - x + 1$	=
$7 x^{2} + 6 x - 1$	=

$7 x^{2} + 6 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{14}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{14}$ = $\frac{- 6+8}{14}$ = $\frac{2}{14}$ = $\frac{1}{7}$ ≈ 0.14

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{14}$ = $\frac{- 6-8}{14}$ = $\frac{- 14}{14}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} + 6 x - 1$ = 0 |: $7$

$x^{2} + \frac{6}{7} x - \frac{1}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{7})}^{2} - (- \frac{1}{7})$ = $\frac{9}{49}$ $+$ $\frac{1}{7}$ = $\frac{9}{49}$ $+$ $\frac{7}{49}$ = $\frac{16}{49}$

x_1,2 = $- \frac{3}{7}$ ± $\sqrt{\frac{16}{49}}$

x₁ = $- \frac{3}{7}$ - $\frac{4}{7}$ = $- \frac{7}{7}$ = -1

x₂ = $- \frac{3}{7}$ + $\frac{4}{7}$ = $\frac{1}{7}$ = 0.14285714285714

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{1}{7}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $- \frac{15}{x^{2}} - \frac{56}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$- \frac{15}{x^{2}} - \frac{56}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{15}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{56}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$- 15 x - 56$

x^{2}

=

- 15 x - 56

|

+ 15 x

+ 56

$x^{2} + 15 x + 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 15+1}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 15-1}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 56$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $56$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{224}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{34 x + 16}{x + 4}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{34 x + 16}{x + 4}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{34 x + 16}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$3 x \cdot (x + 4)$
$34 x + 16$	=	$3 x \cdot (x + 4)$
$34 x + 16$	=	$3 x^{2} + 12 x$

34 x + 16

=

3 x^{2} + 12 x

|

- 3 x^{2}

- 12 x

$- 3 x^{2} + 22 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 16}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 192}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{676}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 22 + \sqrt{676}}{- 6}$ = $\frac{- 22+26}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 22 - \sqrt{676}}{- 6}$ = $\frac{- 22-26}{- 6}$ = $\frac{- 48}{- 6}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 22 x + 16$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{22}{3} x - \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{3})}^{2} - (- \frac{16}{3})$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $\frac{48}{9}$ = $\frac{169}{9}$

x_1,2 = $\frac{11}{3}$ ± $\sqrt{\frac{169}{9}}$

x₁ = $\frac{11}{3}$ - $\frac{13}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{11}{3}$ + $\frac{13}{3}$ = $\frac{24}{3}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x + 1}{x + 1} - 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x + 1}{x + 1} \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=
$3 x + 1 - 4 x - 4$	=
$- x - 3$	=

$- x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{10}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{10}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{10}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{10}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$10$
$x^{2} + a x - 10$	=	0
$x^{2} + a x - 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 5)$ = -10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 5)$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):