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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7}{x}$ = $- 1$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{7}{x}$	=	$- 1$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{7}{x} \cdot x$	=	$- 1 \cdot x$
$- 7$	=	$- x$

$- 7$	=	$- x$	\| $+ 7$ $+ x$
$x$	=	$7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4 x}{3 x + 5} - \frac{207}{9 x + 15}$ = $- 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

- \frac{4 x}{3 x + 5} - \frac{207}{3 (3 x + 5)}

=

- 5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$- \frac{4 x}{3 x + 5} - \frac{207}{3 (3 x + 5)}$	=	$- 5$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$- \frac{4 x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + \frac{- 207}{3 (3 x + 5)} \cdot (3 x + 5)$	=	$- 5 \cdot (3 x + 5)$
$- 4 x - 69$	=	$- 5 (3 x + 5)$

$- 4 x - 69$	=	$- 15 x - 25$	\| $+ 69$
$- 4 x$	=	$- 15 x + 44$	\| $+ 15 x$
$11 x$	=	$44$	\|: $11$
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2}{x} + \frac{4 x}{x - 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

\frac{4 x}{x - 2} - 3 - \frac{2}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{x - 2} - 3 - \frac{2}{x}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{4 x}{x - 2} \cdot (x - 2) - 3 \cdot (x - 2) - \frac{2}{x} \cdot (x - 2)$	=
$4 x - 3 x + 6 - 2 \frac{x - 2}{x}$	=
$4 x - 3 x + 6 - \frac{2 (x - 2)}{x}$	=
$- \frac{2 (x - 2)}{x} + 4 x - 3 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{2 (x - 2)}{x} + 4 x - 3 x + 6$	=	\|⋅( $x$ )
$- \frac{2 (x - 2)}{x} \cdot x + 4 x \cdot x - 3 x \cdot x + 6 \cdot x$	=
$- 2 x + 4 + 4 x \cdot x - 3 x \cdot x + 6 x$	=
$- 2 x + 4 + 4 x^{2} - 3 x^{2} + 6 x$	=
$x^{2} + 4 x + 4$	=

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 - \frac{8}{x} + \frac{20}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 - \frac{8}{x} + \frac{20}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{8}{x} \cdot x^{2} + \frac{20}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} - 8 x + 20$

0

=

- x^{2} - 8 x + 20

|

+ x^{2}

+ 8 x

- 20

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x + 2}{x + 2}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{4 x + 2}{x + 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{4 x + 2}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$2 x \cdot (x + 2)$
$4 x + 2$	=	$2 x \cdot (x + 2)$
$4 x + 2$	=	$2 x^{2} + 4 x$

$4 x + 2$	=	$2 x^{2} + 4 x$	\| $- 2$ $- 2 x^{2}$ $- 4 x$
$- 2 x^{2}$	=	$- 2$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{2 x + 2} + \frac{3 x + 1}{3 x + 7} + \frac{- 16 x}{9 x + 21}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{7}{3}$ ; $- 1$ }

$\frac{3 x + 1}{3 x + 7} + \frac{5 x - 1}{2 x + 2} - \frac{16 x}{9 x + 21}$	=	0
$\frac{3 x + 1}{3 x + 7} + \frac{5 x - 1}{2 (x + 1)} - \frac{16 x}{3 (3 x + 7)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (3 x + 7)$ weg!

$\frac{3 x + 1}{3 x + 7} + \frac{5 x - 1}{2 (x + 1)} - \frac{16 x}{3 (3 x + 7)}$	=	\|⋅( $3 (3 x + 7)$ )
$\frac{3 x + 1}{3 x + 7} \cdot (3 (3 x + 7)) + \frac{5 x - 1}{2 (x + 1)} \cdot (3 (3 x + 7)) - \frac{16 x}{3 (3 x + 7)} \cdot (3 (3 x + 7))$	=
$9 x + 3 + 3 \frac{(5 x - 1) \cdot (3 x + 7)}{2 (x + 1)} - 16 x$	=
$9 x + 3 + \frac{3 (15 x^{2} + 32 x - 7)}{2 (x + 1)} - 16 x$	=
$\frac{3 (15 x^{2} + 32 x - 7)}{2 (x + 1)} + 9 x - 16 x + 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{3 (15 x^{2} + 32 x - 7)}{2 (x + 1)} + 9 x - 16 x + 3$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{3 (15 x^{2} + 32 x - 7)}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + 9 x \cdot (2 (x + 1)) - 16 x \cdot (2 (x + 1)) + 3 \cdot (2 (x + 1))$	=
$45 x^{2} + 96 x - 21 + 18 x \cdot (x + 1) - 32 x \cdot (x + 1) + 6 x + 6$	=
$45 x^{2} + 96 x - 21 + (18 x^{2} + 18 x) + (- 32 x^{2} - 32 x) + 6 x + 6$	=
$31 x^{2} + 88 x - 15$	=

$31 x^{2} + 88 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 88 \pm \sqrt{88^{2} - 4 \cdot 31 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 31}$

x_1,2 = $\frac{- 88 \pm \sqrt{7 744 + 1 860}}{62}$

x_1,2 = $\frac{- 88 \pm \sqrt{9 604}}{62}$

x₁ = $\frac{- 88 + \sqrt{9 604}}{62}$ = $\frac{- 88+98}{62}$ = $\frac{10}{62}$ = $\frac{5}{31}$ ≈ 0.16

x₂ = $\frac{- 88 - \sqrt{9 604}}{62}$ = $\frac{- 88-98}{62}$ = $\frac{- 186}{62}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $31$ " teilen:

$31 x^{2} + 88 x - 15$ = 0 |: $31$

$x^{2} + \frac{88}{31} x - \frac{15}{31}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{44}{31})}^{2} - (- \frac{15}{31})$ = $\frac{1936}{961}$ $+$ $\frac{15}{31}$ = $\frac{1936}{961}$ $+$ $\frac{465}{961}$ = $\frac{2401}{961}$

x_1,2 = $- \frac{44}{31}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{961}}$

x₁ = $- \frac{44}{31}$ - $\frac{49}{31}$ = $- \frac{93}{31}$ = -3

x₂ = $- \frac{44}{31}$ + $\frac{49}{31}$ = $\frac{5}{31}$ = 0.16129032258065

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{5}{31}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 9$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 9$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 9$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 9 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 9 x$	=	$- a$
$x^{2} + 9 x + a$	=	0
$x^{2} + 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -11 würde es funktionieren, denn $- (2 - 11)$ = 9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 11)$ = $- 22$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -22 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 9 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9+13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9-13}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $22$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{88}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 11$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):