Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{1}{x}$ = $- \frac{2}{9}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$- \frac{2}{9}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{1}{x} \cdot x$	=	$- \frac{2}{9} \cdot x$
$1$	=	$- \frac{2}{9} x$

$1$	=	$- \frac{2}{9} x$	\|⋅ 9
$9$	=	$- 2 x$	\| $- 9$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$- 9$	\|: $2$
$x$	=	$- \frac{9}{2}$ = -4.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{9}{2}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7 x}{x - 4} - \frac{184}{2 x - 8}$ = $5$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

- \frac{7 x}{x - 4} - \frac{184}{2 (x - 4)}

=

5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$- \frac{7 x}{x - 4} - \frac{184}{2 (x - 4)}$	=	$5$	\|⋅( $x - 4$ )
$- \frac{7 x}{x - 4} \cdot (x - 4) + \frac{- 184}{2 (x - 4)} \cdot (x - 4)$	=	$5 \cdot (x - 4)$
$- 7 x - 92$	=	$5 (x - 4)$

$- 7 x - 92$	=	$5 x - 20$	\| $+ 92$
$- 7 x$	=	$5 x + 72$	\| $- 5 x$
$- 12 x$	=	$72$	\|:( $- 12$ )
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{46,5}{x - 2}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{46,5}{x - 2}$	=	$3 x$
$\frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{46,5}{x - 2}$	=	$3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{46,5}{x - 2}$	=	$3 x$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{46,5}{x - 2} \cdot (2 (x - 2))$	=	$3 x \cdot (2 (x - 2))$
$x + 93$	=	$6 x \cdot (x - 2)$
$x + 93$	=	$6 x^{2} - 12 x$

x + 93

=

6 x^{2} - 12 x

|

- 6 x^{2}

+ 12 x

$- 6 x^{2} + 13 x + 93$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 93}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 2 232}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{2 401}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{2 401}}{- 12}$ = $\frac{- 13+49}{- 12}$ = $\frac{36}{- 12}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{2 401}}{- 12}$ = $\frac{- 13-49}{- 12}$ = $\frac{- 62}{- 12}$ = $\frac{31}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 13 x + 93$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{13}{6} x - \frac{31}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{12})}^{2} - (- \frac{31}{2})$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{31}{2}$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{2232}{144}$ = $\frac{2401}{144}$

x_1,2 = $\frac{13}{12}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{144}}$

x₁ = $\frac{13}{12}$ - $\frac{49}{12}$ = $- \frac{36}{12}$ = -3

x₂ = $\frac{13}{12}$ + $\frac{49}{12}$ = $\frac{62}{12}$ = 5.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{31}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{14}{x} + \frac{48}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{14}{x} + \frac{48}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{14}{x} \cdot x^{2} + \frac{48}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} + 14 x + 48$	=

$x^{2} + 14 x + 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 14+2}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 14-2}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 48$ = $49$ $-$ $48$ = $1$

x_1,2 = $- 7$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 7$ - $1$ = -8

x₂ = $- 7$ + $1$ = -6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x$ = $\frac{11 x + 3}{x + 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$4 x$	=	$\frac{11 x + 3}{x + 3}$	\|⋅( $x + 3$ )
$4 x \cdot (x + 3)$	=	$\frac{11 x + 3}{x + 3} \cdot (x + 3)$
$4 x \cdot (x + 3)$	=	$11 x + 3$
$4 x \cdot x + 4 x \cdot 3$	=	$11 x + 3$
$4 x \cdot x + 12 x$	=	$11 x + 3$
$4 x^{2} + 12 x$	=	$11 x + 3$

4 x^{2} + 12 x

=

11 x + 3

|

- 11 x

- 3

$4 x^{2} + x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{8}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{- 1+7}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{- 1-7}{8}$ = $\frac{- 8}{8}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + x - 3$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{8})}^{2} - (- \frac{3}{4})$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{49}{64}$

x_1,2 = $- \frac{1}{8}$ ± $\sqrt{\frac{49}{64}}$

x₁ = $- \frac{1}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{3 x + 5} + \frac{3 x + 1}{x - 1} + \frac{- 5 x + 1}{3 x + 5}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ ; $1$ }

\frac{3 x + 1 - 5 x + 1}{3 x + 5} + \frac{3 x + 1}{x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{3 x + 1 - 5 x + 1}{3 x + 5} + \frac{3 x + 1}{x - 1}$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{3 x + 1 - 5 x + 1}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + \frac{3 x + 1}{x - 1} \cdot (3 x + 5)$	=
$3 x + 1 - 5 x + 1 + \frac{(3 x + 1) \cdot (3 x + 5)}{x - 1}$	=
$3 x + 1 - 5 x + 1 + \frac{9 x^{2} + 18 x + 5}{x - 1}$	=
$\frac{9 x^{2} + 18 x + 5}{x - 1} + 3 x - 5 x + 1 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{9 x^{2} + 18 x + 5}{x - 1} + 3 x - 5 x + 1 + 1$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{9 x^{2} + 18 x + 5}{x - 1} \cdot (x - 1) + 3 x \cdot (x - 1) - 5 x \cdot (x - 1) + 1 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (x - 1)$	=
$9 x^{2} + 18 x + 5 + 3 x \cdot (x - 1) - 5 x \cdot (x - 1) + x - 1 + x - 1$	=
$9 x^{2} + 18 x + 5 + (3 x^{2} - 3 x) + (- 5 x^{2} + 5 x) + x - 1 + x - 1$	=
$7 x^{2} + 22 x + 3$	=

$7 x^{2} + 22 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 84}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{400}}{14}$

x₁ = $\frac{- 22 + \sqrt{400}}{14}$ = $\frac{- 22+20}{14}$ = $\frac{- 2}{14}$ = $- \frac{1}{7}$ ≈ -0.14

x₂ = $\frac{- 22 - \sqrt{400}}{14}$ = $\frac{- 22-20}{14}$ = $\frac{- 42}{14}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} + 22 x + 3$ = 0 |: $7$

$x^{2} + \frac{22}{7} x + \frac{3}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{7})}^{2} - (\frac{3}{7})$ = $\frac{121}{49}$ $-$ $\frac{3}{7}$ = $\frac{121}{49}$ $-$ $\frac{21}{49}$ = $\frac{100}{49}$

x_1,2 = $- \frac{11}{7}$ ± $\sqrt{\frac{100}{49}}$

x₁ = $- \frac{11}{7}$ - $\frac{10}{7}$ = $- \frac{21}{7}$ = -3

x₂ = $- \frac{11}{7}$ + $\frac{10}{7}$ = $- \frac{1}{7}$ = -0.14285714285714

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{7}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{24}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{24}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{24}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{24}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 24$
$x^{2} + a x + 24$	=	0
$x^{2} + a x + 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 12$ = 24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 12)$ = $- 14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 14 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14+10}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14-10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 24$ = $49$ $-$ $24$ = $25$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $7$ - $5$ = 2

x₂ = $7$ + $5$ = 12

L={ $2$ ; $12$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):