Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6}{x + 4}$ = $1$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{6}{x + 4}$	=	$1$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{6}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$1 \cdot (x + 4)$
$6$	=	$x + 4$

$6$	=	$x + 4$	\| $- 6$ $- x$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 6} + \frac{6}{x + 6}$ = $\frac{28}{x^{2} - 36}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 6$ ; $6$ }

\frac{x}{x - 6} + \frac{6}{x + 6}

=

\frac{28}{(x + 6) \cdot (x - 6)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 6) \cdot (x - 6)$ weg!

$\frac{x}{x - 6} + \frac{6}{x + 6}$	=	$\frac{28}{(x + 6) \cdot (x - 6)}$	\|⋅( $(x + 6) \cdot (x - 6)$ )
$\frac{x}{x - 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6) + \frac{6}{x + 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$	=	$\frac{28}{(x + 6) \cdot (x - 6)} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$
$x \cdot (x + 6) + 6 x - 36$	=	$28 \frac{x + 6}{x + 6}$
$x \cdot (x + 6) + 6 x - 36$	=	$28$
$x^{2} + 6 x + 6 x - 36$	=	$28$
$x^{2} + 12 x - 36$	=	$28$

x^{2} + 12 x - 36

=

28

|

- 28

$x^{2} + 12 x - 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 64)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 256}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{400}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{400}}{2}$ = $\frac{- 12+20}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{400}}{2}$ = $\frac{- 12-20}{2}$ = $\frac{- 32}{2}$ = $- 16$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - (- 64)$ = $36$ $+$ $64$ = $100$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{100}$

x₁ = $- 6$ - $10$ = -16

x₂ = $- 6$ + $10$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 16$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{49,5}{x - 1} - 4 x$ = $- \frac{x}{2 x - 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{49,5}{x - 1} - 4 x$	=	$\frac{- x}{2 x - 2}$
$\frac{49,5}{x - 1} - 4 x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{49,5}{x - 1} - 4 x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 1)}$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{49,5}{x - 1} \cdot (2 (x - 1)) - 4 x \cdot (2 (x - 1))$	=	$\frac{- x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1))$
$99 - 8 x \cdot (x - 1)$	=	$- x$
$99 + (- 8 x^{2} + 8 x)$	=	$- x$
$- 8 x^{2} + 8 x + 99$	=	$- x$

- 8 x^{2} + 8 x + 99

=

- x

|

+ x

$- 8 x^{2} + 9 x + 99$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 99}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 3 168}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{3 249}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{3 249}}{- 16}$ = $\frac{- 9+57}{- 16}$ = $\frac{48}{- 16}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{3 249}}{- 16}$ = $\frac{- 9-57}{- 16}$ = $\frac{- 66}{- 16}$ = $4,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} + 9 x + 99$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} - \frac{9}{8} x - \frac{99}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{16})}^{2} - (- \frac{99}{8})$ = $\frac{81}{256}$ $+$ $\frac{99}{8}$ = $\frac{81}{256}$ $+$ $\frac{3168}{256}$ = $\frac{3249}{256}$

x_1,2 = $\frac{9}{16}$ ± $\sqrt{\frac{3249}{256}}$

x₁ = $\frac{9}{16}$ - $\frac{57}{16}$ = $- \frac{48}{16}$ = -3

x₂ = $\frac{9}{16}$ + $\frac{57}{16}$ = $\frac{66}{16}$ = 4.125

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $4,125$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{36}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{36}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{36}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 36$	=	$- x^{2}$

$- 36$	=	$- x^{2}$	\| $+ 36$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{4}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$1 + \frac{4}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$1 \cdot x + \frac{4}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$x + 4$	=	$x \cdot x + x$

$x + 4$	=	$x^{2} + x$	\| $- 4$ $- x^{2}$ $- x$
$- x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{4 x}{2 x + 4} + \frac{- 5 x + 1}{x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 2$ }

$\frac{2 x - 1 - 5 x + 1}{x + 1} + \frac{4 x}{2 x + 4}$	=	0
$\frac{2 x - 1 - 5 x + 1}{x + 1} + \frac{4 x}{2 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x - 1 - 5 x + 1}{x + 1} + \frac{4 x}{2 (x + 2)}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x - 1 - 5 x + 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{4 x}{2 (x + 2)} \cdot (x + 1)$	=
$2 x - 1 - 5 x + 1 + \frac{2 x \cdot (x + 1)}{x + 2}$	=
$2 x - 1 - 5 x + 1 + \frac{2 x^{2} + 2 x}{x + 2}$	=
$\frac{2 x^{2} + 2 x}{x + 2} + 2 x - 5 x - 1 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 2 x}{x + 2} + 2 x - 5 x - 1 + 1$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x^{2} + 2 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 2 x \cdot (x + 2) - 5 x \cdot (x + 2) - 1 \cdot (x + 2) + 1 \cdot (x + 2)$	=
$2 x^{2} + 2 x + 2 x \cdot (x + 2) - 5 x \cdot (x + 2) - x - 2 + x + 2$	=
$2 x^{2} + 2 x + (2 x^{2} + 4 x) + (- 5 x^{2} - 10 x) - x - 2 + x + 2$	=
$- x^{2} - 4 x$	=

$- x^{2} - 4 x$	=	0
$- x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$10 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$10 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$10 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$10 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$10 x + x^{2}$	=	$- a$
$10 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $- (2 - 12)$ = 10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 12)$ = $- 24$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -24 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):