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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2 x}{x + 9}$ = $1$

D=R\{ $- 9$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 9$ weg!

$\frac{- 2 x}{x + 9}$	=	$1$	\|⋅( $x + 9$ )
$\frac{- 2 x}{x + 9} \cdot (x + 9)$	=	$1 \cdot (x + 9)$
$- \frac{2 x}{1}$	=	$x + 9$
$- 2 x$	=	$x + 9$

$- 2 x$	=	$x + 9$	\| $- x$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 1} + \frac{7}{x + 1}$ = $\frac{41}{x^{2} - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

\frac{x}{x - 1} + \frac{7}{x + 1}

=

\frac{41}{(x + 1) (x - 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 1) (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{x - 1} + \frac{7}{x + 1}$	=	$\frac{41}{(x + 1) (x - 1)}$	\|⋅( $(x + 1) (x - 1)$ )
$\frac{x}{x - 1} \cdot (x + 1) (x - 1) + \frac{7}{x + 1} \cdot (x + 1) (x - 1)$	=	$\frac{41}{(x + 1) (x - 1)} \cdot (x + 1) (x - 1)$
$x (x + 1) + 7 x - 7$	=	$41 \frac{x + 1}{x + 1}$
$x (x + 1) + 7 x - 7$	=	$41$
$x^{2} + x + 7 x - 7$	=	$41$
$x^{2} + 8 x - 7$	=	$41$

x^{2} + 8 x - 7

=

41

|

- 41

$x^{2} + 8 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 8+16}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 8-16}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 48)$ = $16$ $+$ $48$ = $64$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $- 4$ - $8$ = -12

x₂ = $- 4$ + $8$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 12$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x - 8} - \frac{- 2}{x - 4} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x - 8} + \frac{2}{x - 4} - 3 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} + \frac{2}{x - 4} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} + \frac{2}{x - 4} - 3 x$	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4)) + \frac{2}{x - 4} \cdot (2 (x - 4)) - 3 x \cdot (2 (x - 4))$
=	$- x + 4 - 6 x (x - 4)$
=	$- 6 x^{2} + 23 x + 4$

0

=

- 6 x^{2} + 23 x + 4

|

+ 6 x^{2}

- 23 x

- 4

$6 x^{2} - 23 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 96}}{12}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{625}}{12}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{625}}{12}$ = $\frac{23+25}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = $4$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{625}}{12}$ = $\frac{23-25}{12}$ = $\frac{- 2}{12}$ = $- \frac{1}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} - 23 x - 4$ = 0 |: $6$

$x^{2} - \frac{23}{6} x - \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{12})}^{2} - (- \frac{2}{3})$ = $\frac{529}{144}$ $+$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{529}{144}$ $+$ $\frac{96}{144}$ = $\frac{625}{144}$

x_1,2 = $\frac{23}{12}$ ± $\sqrt{\frac{625}{144}}$

x₁ = $\frac{23}{12}$ - $\frac{25}{12}$ = $- \frac{2}{12}$ = -0.16666666666667

x₂ = $\frac{23}{12}$ + $\frac{25}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = 4

Lösung x= $4$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- \frac{1}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} + \frac{11}{x^{2}} - \frac{10}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} + \frac{11}{x^{2}} - \frac{10}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{11}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{10}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} + 11 x - 10$

0

=

- x^{2} + 11 x - 10

|

+ x^{2}

- 11 x

+ 10

$x^{2} - 11 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{11+9}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{11-9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{39 x - 12}{4 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{39 x - 12}{4 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{39 x - 12}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 5 \cdot 4 x$
$39 x - 12$	=	$4 x \cdot x + 20 x$

39 x - 12

=

4 x^{2} + 20 x

|

- 4 x^{2}

- 20 x

$- 4 x^{2} + 19 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{169}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{- 19+13}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{- 19-13}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 19 x - 12$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{19}{4} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{8})}^{2} - 3$ = $\frac{361}{64}$ $-$ $3$ = $\frac{361}{64}$ $-$ $\frac{192}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $\frac{19}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $\frac{19}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{19}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{4 x}{3 x - 4} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{4 x}{3 x - 4} + \frac{6 x}{x + 1} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 4} + \frac{6 x}{x + 1} - 8$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{4 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{6 x}{x + 1} \cdot (3 x - 4) - 8 \cdot (3 x - 4)$	=
$4 x + \frac{6 x (3 x - 4)}{x + 1} - 24 x + 32$	=
$4 x + \frac{18 x^{2} - 24 x}{x + 1} - 24 x + 32$	=
$\frac{18 x^{2} - 24 x}{x + 1} + 4 x - 24 x + 32$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{18 x^{2} - 24 x}{x + 1} + 4 x - 24 x + 32$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{18 x^{2} - 24 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 4 x \cdot (x + 1) - 24 x \cdot (x + 1) + 32 \cdot (x + 1)$	=
$18 x^{2} - 24 x + 4 x (x + 1) - 24 x (x + 1) + 32 x + 32$	=
$18 x^{2} - 24 x + (4 x^{2} + 4 x) + (- 24 x^{2} - 24 x) + 32 x + 32$	=
$- 2 x^{2} - 12 x + 32$	=

- 2 x^{2} - 12 x + 32

= 0 |:2

$- x^{2} - 6 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 16}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{6+10}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{6-10}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x + 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{18}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{18}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 18$
$x^{2} + a x + 18$	=	0
$x^{2} + a x + 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 9$ = 18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 9)$ = $- 11$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -11 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

L={ $2$ ; $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):