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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{3}{x}$ = $- \frac{4}{5}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3}{x}$	=	$- \frac{4}{5}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x$	=	$- \frac{4}{5} \cdot x$
$- 3$	=	$- \frac{4}{5} x$

$- 3$	=	$- \frac{4}{5} x$	\|⋅ 5
$- 15$	=	$- 4 x$	\| $+ 15$ $+ 4 x$
$4 x$	=	$15$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{15}{4}$ = 3.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{15}{4}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 7} + \frac{6}{x - 7}$ = $\frac{114}{x^{2} - 49}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 7$ ; $7$ }

\frac{x}{x + 7} + \frac{6}{x - 7}

=

\frac{114}{(x + 7) (x - 7)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 7) (x - 7)$ weg!

$\frac{x}{x + 7} + \frac{6}{x - 7}$	=	$\frac{114}{(x + 7) (x - 7)}$	\|⋅( $(x + 7) (x - 7)$ )
$\frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7) (x - 7) + \frac{6}{x - 7} \cdot (x + 7) (x - 7)$	=	$\frac{114}{(x + 7) (x - 7)} \cdot (x + 7) (x - 7)$
$x (x - 7) + 6 x + 42$	=	$114 \frac{x + 7}{x + 7}$
$x (x - 7) + 6 x + 42$	=	$114$
$x^{2} - 7 x + 6 x + 42$	=	$114$
$x^{2} - x + 42$	=	$114$

x^{2} - x + 42

=

114

|

- 114

$x^{2} - x - 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{1+17}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{1-17}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 72)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $72$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $9$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 20,4}{x - 4} + x$ = $- \frac{x}{5 x - 20}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$- \frac{20,4}{x - 4} + x$	=	$\frac{- x}{5 x - 20}$
$- \frac{20,4}{x - 4} + x$	=	$\frac{- x}{5 (x - 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 4)$ weg!

$- \frac{20,4}{x - 4} + x$	=	$\frac{- x}{5 (x - 4)}$	\|⋅( $5 (x - 4)$ )
$\frac{- 20,4}{x - 4} \cdot (5 (x - 4)) + x \cdot (5 (x - 4))$	=	$\frac{- x}{5 (x - 4)} \cdot (5 (x - 4))$
$- 102 + 5 x (x - 4)$	=	$- x$
$- 102 + (5 x^{2} - 20 x)$	=	$- x$
$5 x^{2} - 20 x - 102$	=	$- x$

5 x^{2} - 20 x - 102

=

- x

|

+ x

$5 x^{2} - 19 x - 102$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 102)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 2 040}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{2 401}}{10}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{2 401}}{10}$ = $\frac{19+49}{10}$ = $\frac{68}{10}$ = $6,8$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{2 401}}{10}$ = $\frac{19-49}{10}$ = $\frac{- 30}{10}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 19 x - 102$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{19}{5} x - \frac{102}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{10})}^{2} - (- \frac{102}{5})$ = $\frac{361}{100}$ $+$ $\frac{102}{5}$ = $\frac{361}{100}$ $+$ $\frac{2040}{100}$ = $\frac{2401}{100}$

x_1,2 = $\frac{19}{10}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{100}}$

x₁ = $\frac{19}{10}$ - $\frac{49}{10}$ = $- \frac{30}{10}$ = -3

x₂ = $\frac{19}{10}$ + $\frac{49}{10}$ = $\frac{68}{10}$ = 6.8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $6,8$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{6}{x^{2}}$ = $- 1 + \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{6}{x^{2}}$	=	$- 1 + \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{1}{x} \cdot x^{2}$
$- 6$	=	$- x^{2} + x$

- 6

=

- x^{2} + x

|

+ x^{2}

- x

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $\frac{14 x - 10}{x - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$3 x$	=	$\frac{14 x - 10}{x - 1}$	\|⋅( $x - 1$ )
$3 x \cdot (x - 1)$	=	$\frac{14 x - 10}{x - 1} \cdot (x - 1)$
$3 x (x - 1)$	=	$14 x - 10$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot (- 1)$	=	$14 x - 10$
$3 x \cdot x - 3 x$	=	$14 x - 10$
$3 x^{2} - 3 x$	=	$14 x - 10$

3 x^{2} - 3 x

=

14 x - 10

|

- 14 x

+ 10

$3 x^{2} - 17 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{17+13}{6}$ = $\frac{30}{6}$ = $5$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{17-13}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 17 x + 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{17}{3} x + \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{6})}^{2} - (\frac{10}{3})$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $\frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $\frac{17}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{17}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $\frac{30}{6}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x + 6} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

\frac{2 x}{2 (x + 3)} - 4

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x + 3)} - 4$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{2 x}{2 (x + 3)} \cdot (x + 3) - 4 \cdot (x + 3)$	=
$x - 4 x - 12$	=
$- 3 x - 12$	=

$- 3 x - 12$	=	0	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{12}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{12}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{12}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 12$	=	$- a x$
$x^{2} - 12 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

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Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):