Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7}{x}$ = $- \frac{4}{5}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{7}{x}$	=	$- \frac{4}{5}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{7}{x} \cdot x$	=	$- \frac{4}{5} \cdot x$
$7$	=	$- \frac{4}{5} x$

$7$	=	$- \frac{4}{5} x$	\|⋅ 5
$35$	=	$- 4 x$	\| $- 35$ $+ 4 x$
$4 x$	=	$- 35$	\|: $4$
$x$	=	$- \frac{35}{4}$ = -8.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{35}{4}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{27}{9 x - 3}$ = $5$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{27}{3 (3 x - 1)}

=

5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{27}{3 (3 x - 1)}$	=	$5$	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{27}{3 (3 x - 1)} \cdot (3 x - 1)$	=	$5 \cdot (3 x - 1)$
$8 x + 9$	=	$5 (3 x - 1)$

$8 x + 9$	=	$15 x - 5$	\| $- 9$
$8 x$	=	$15 x - 14$	\| $- 15 x$
$- 7 x$	=	$- 14$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x$ = $- \frac{x}{2 x - 8} - \frac{10,5}{x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$- 2 x$	=	$- \frac{x}{2 x - 8} - \frac{10,5}{x - 4}$
$- 2 x$	=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} - \frac{10,5}{x - 4}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

$- 2 x$	=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} - \frac{10,5}{x - 4}$	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
$- 2 x \cdot (2 (x - 4))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4)) + \frac{- 10,5}{x - 4} \cdot (2 (x - 4))$
$- 4 x \cdot (x - 4)$	=	$- x - 21$
$- 4 x \cdot x - 4 x \cdot (- 4)$	=	$- x - 21$
$- 4 x \cdot x + 16 x$	=	$- x - 21$
$- 4 x^{2} + 16 x$	=	$- x - 21$

- 4 x^{2} + 16 x

=

- x - 21

|

+ x

+ 21

$- 4 x^{2} + 17 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 21}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 336}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{625}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{625}}{- 8}$ = $\frac{- 17+25}{- 8}$ = $\frac{8}{- 8}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{625}}{- 8}$ = $\frac{- 17-25}{- 8}$ = $\frac{- 42}{- 8}$ = $5,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 17 x + 21$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{17}{4} x - \frac{21}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{8})}^{2} - (- \frac{21}{4})$ = $\frac{289}{64}$ $+$ $\frac{21}{4}$ = $\frac{289}{64}$ $+$ $\frac{336}{64}$ = $\frac{625}{64}$

x_1,2 = $\frac{17}{8}$ ± $\sqrt{\frac{625}{64}}$

x₁ = $\frac{17}{8}$ - $\frac{25}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

x₂ = $\frac{17}{8}$ + $\frac{25}{8}$ = $\frac{42}{8}$ = 5.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $5,25$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4}{x^{3}} - \frac{60}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{4}{x^{3}} - \frac{60}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{4}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{60}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$4 x - 60$	=	$- x^{2}$

4 x - 60

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 4 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 4+16}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 4-16}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 60)$ = $4$ $+$ $60$ = $64$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $- 2$ - $8$ = -10

x₂ = $- 2$ + $8$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 30 x - 18}{x - 3}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{- 30 x - 18}{x - 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{- 30 x - 18}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$3 x \cdot (x - 3)$
$- 30 x - 18$	=	$3 x \cdot (x - 3)$
$- 30 x - 18$	=	$3 x^{2} - 9 x$

- 30 x - 18

=

3 x^{2} - 9 x

|

- 3 x^{2}

+ 9 x

- 3 x^{2} - 21 x - 18

= 0 |:3

$- x^{2} - 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{7+5}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{7-5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 1$ }

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 5$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x - 1)} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x - 1)} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 5$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot (x - 1) - 5 \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{(2 x - 1) \cdot (x - 1)}{x + 1} - 5 x + 5$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x + 1} - 5 x + 5$	=
$\frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x + 1} + 2 x - 5 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x + 1} + 2 x - 5 x + 5$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) - 5 x \cdot (x + 1) + 5 \cdot (x + 1)$	=
$2 x^{2} - 3 x + 1 + 2 x \cdot (x + 1) - 5 x \cdot (x + 1) + 5 x + 5$	=
$2 x^{2} - 3 x + 1 + (2 x^{2} + 2 x) + (- 5 x^{2} - 5 x) + 5 x + 5$	=
$- x^{2} - x + 6$	=

$- x^{2} - x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1+5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1-5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{20}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{20}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{20}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{20}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$20$
$a x + x^{2} - 20$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):