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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{18}{x + 4}$ = $- 3$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$- \frac{18}{x + 4}$	=	$- 3$	\|⋅( $x + 4$ )
$- \frac{18}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$- 3 \cdot (x + 4)$
$- 18$	=	$- 3 (x + 4)$

$- 18$	=	$- 3 x - 12$	\| $+ 18$ $+ 3 x$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{5 x}{3 x + 5} - \frac{18}{9 x + 15}$ = $- 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

- \frac{5 x}{3 x + 5} - \frac{18}{3 (3 x + 5)}

=

- 2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$- \frac{5 x}{3 x + 5} - \frac{18}{3 (3 x + 5)}$	=	$- 2$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$- \frac{5 x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + \frac{- 18}{3 (3 x + 5)} \cdot (3 x + 5)$	=	$- 2 \cdot (3 x + 5)$
$- 5 x - 6$	=	$- 2 (3 x + 5)$

$- 5 x - 6$	=	$- 6 x - 10$	\| $+ 6$
$- 5 x$	=	$- 6 x - 4$	\| $+ 6 x$
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x$ = $- \frac{x}{3 x + 3} - \frac{- 140}{3 x + 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$4 x$	=	$- \frac{x}{3 x + 3} + \frac{140}{3 x + 3}$
$4 x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} + \frac{140}{3 (x + 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$4 x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} + \frac{140}{3 (x + 1)}$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$4 x \cdot (3 (x + 1))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + \frac{140}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$
$12 x \cdot (x + 1)$	=	$- x + 140$
$12 x \cdot x + 12 x \cdot 1$	=	$- x + 140$
$12 x \cdot x + 12 x$	=	$- x + 140$
$12 x^{2} + 12 x$	=	$- x + 140$

12 x^{2} + 12 x

=

- x + 140

|

+ x

- 140

$12 x^{2} + 13 x - 140$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 140)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 6 720}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{6 889}}{24}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{6 889}}{24}$ = $\frac{- 13+83}{24}$ = $\frac{70}{24}$ = $\frac{35}{12}$ ≈ 2.92

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{6 889}}{24}$ = $\frac{- 13-83}{24}$ = $\frac{- 96}{24}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} + 13 x - 140$ = 0 |: $12$

$x^{2} + \frac{13}{12} x - \frac{35}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{24})}^{2} - (- \frac{35}{3})$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{35}{3}$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{6720}{576}$ = $\frac{6889}{576}$

x_1,2 = $- \frac{13}{24}$ ± $\sqrt{\frac{6889}{576}}$

x₁ = $- \frac{13}{24}$ - $\frac{83}{24}$ = $- \frac{96}{24}$ = -4

x₂ = $- \frac{13}{24}$ + $\frac{83}{24}$ = $\frac{70}{24}$ = 2.9166666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{35}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{18}{x^{4}}$ = $\frac{11}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{18}{x^{4}}$	=	$\frac{11}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{18}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{11}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 18$	=	$11 x$

x^{2} + 18

=

11 x

|

- 11 x

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 7 x - 4}{x - 3}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{- 7 x - 4}{x - 3}$	=	$x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{- 7 x - 4}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$x \cdot (x - 3)$
$- 7 x - 4$	=	$x \cdot (x - 3)$
$- 7 x - 4$	=	$x^{2} - 3 x$

- 7 x - 4

=

x^{2} - 3 x

|

- x^{2}

+ 3 x

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x - 2} + \frac{12 x}{2 x - 1} + \frac{15 x}{- 2 x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $2$ }

\frac{12 x}{2 x - 1} + \frac{3 x}{x - 2} + \frac{15 x}{- 2 x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{12 x}{2 x - 1} + \frac{3 x}{x - 2} + \frac{15 x}{- 2 x + 1}$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{12 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{3 x}{x - 2} \cdot (2 x - 1) + \frac{15 x}{- 2 x + 1} \cdot (2 x - 1)$	=
$12 x + \frac{3 x \cdot (2 x - 1)}{x - 2} + \frac{15 x \cdot (2 x - 1)}{- 2 x + 1}$	=
$12 x + \frac{3 x \cdot (2 x - 1)}{x - 2} - 15 x$	=
$12 x + \frac{6 x^{2} - 3 x}{x - 2} - 15 x$	=
$\frac{6 x^{2} - 3 x}{x - 2} + 12 x - 15 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 3 x}{x - 2} + 12 x - 15 x$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x^{2} - 3 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 12 x \cdot (x - 2) - 15 x \cdot (x - 2)$	=
$6 x^{2} - 3 x + 12 x \cdot (x - 2) - 15 x \cdot (x - 2)$	=
$6 x^{2} - 3 x + (12 x^{2} - 24 x) + (- 15 x^{2} + 30 x)$	=
$3 x^{2} + 3 x$	=

$3 x^{2} + 3 x$	=	0
$3 x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{6}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{6}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{6}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{6}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 6$
$x^{2} + a x + 6$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):