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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3 x}{3 x - 2} - \frac{22}{3 x - 2}$ = $5$

D=R\{ $\frac{2}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 2} - \frac{22}{3 x - 2}$	=	$5$	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{3 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) - \frac{22}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$	=	$5 \cdot (3 x - 2)$
$3 x - 22$	=	$5 (3 x - 2)$

$3 x - 22$	=	$15 x - 10$	\| $+ 22$
$3 x$	=	$15 x + 12$	\| $- 15 x$
$- 12 x$	=	$12$	\|:( $- 12$ )
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 1} + \frac{4}{x + 1}$ = $\frac{2}{x^{2} - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

\frac{x}{x - 1} + \frac{4}{x + 1}

=

\frac{2}{(x + 1) \cdot (x - 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 1) \cdot (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{x - 1} + \frac{4}{x + 1}$	=	$\frac{2}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$	\|⋅( $(x + 1) \cdot (x - 1)$ )
$\frac{x}{x - 1} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) + \frac{4}{x + 1} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$	=	$\frac{2}{(x + 1) \cdot (x - 1)} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$
$x \cdot (x + 1) + 4 x - 4$	=	$2 \frac{x + 1}{x + 1}$
$x \cdot (x + 1) + 4 x - 4$	=	$2$
$x^{2} + x + 4 x - 4$	=	$2$
$x^{2} + 5 x - 4$	=	$2$

x^{2} + 5 x - 4

=

2

|

- 2

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Lösung x= $1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 6}$ = $- \frac{- 110}{x - 3} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{x}{2 x - 6}$	=	$\frac{110}{x - 3} - 4 x$
$\frac{x}{2 (x - 3)}$	=	$\frac{110}{x - 3} - 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 3)}$	=	$\frac{110}{x - 3} - 4 x$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3))$	=	$\frac{110}{x - 3} \cdot (2 (x - 3)) - 4 x \cdot (2 (x - 3))$
$x$	=	$220 - 8 x \cdot (x - 3)$
$x$	=	$- 8 x^{2} + 24 x + 220$

x

=

- 8 x^{2} + 24 x + 220

|

+ 8 x^{2}

- 24 x

- 220

$8 x^{2} - 23 x - 220$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 220)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 7 040}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{7 569}}{16}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{7 569}}{16}$ = $\frac{23+87}{16}$ = $\frac{110}{16}$ = $6,875$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{7 569}}{16}$ = $\frac{23-87}{16}$ = $\frac{- 64}{16}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} - 23 x - 220$ = 0 |: $8$

$x^{2} - \frac{23}{8} x - \frac{55}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{16})}^{2} - (- \frac{55}{2})$ = $\frac{529}{256}$ $+$ $\frac{55}{2}$ = $\frac{529}{256}$ $+$ $\frac{7040}{256}$ = $\frac{7569}{256}$

x_1,2 = $\frac{23}{16}$ ± $\sqrt{\frac{7569}{256}}$

x₁ = $\frac{23}{16}$ - $\frac{87}{16}$ = $- \frac{64}{16}$ = -4

x₂ = $\frac{23}{16}$ + $\frac{87}{16}$ = $\frac{110}{16}$ = 6.875

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $6,875$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{8}{x^{3}}$ = $- \frac{6}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{8}{x^{3}}$	=	$- \frac{6}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{8}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$x^{2} + 8$	=	$- 6 x$

x^{2} + 8

=

- 6 x

|

+ 6 x

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 2$ = $- 3 + \frac{14}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 2$	=	$- 3 + \frac{14}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 2 \cdot x$	=	$- 3 \cdot x + \frac{14}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 2 x$	=	$- 3 x + 14$
$x^{2} + 2 x$	=	$- 3 x + 14$

x^{2} + 2 x

=

- 3 x + 14

|

+ 3 x

- 14

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{2 x} + \frac{8 x}{3 x - 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{3 x + 1}{2 x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{3 x + 1}{2 x} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{3 x + 1}{2 x} \cdot (3 x - 1) - 6 \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x + \frac{(3 x + 1) \cdot (3 x - 1)}{2 x} - 18 x + 6$	=
$8 x + \frac{9 x^{2} - 1}{2 x} - 18 x + 6$	=
$\frac{9 x^{2} - 1}{2 x} + 8 x - 18 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 1}{2 x} + 8 x - 18 x + 6$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{9 x^{2} - 1}{2 x} \cdot 2 x + 8 x \cdot 2 x - 18 x \cdot 2 x + 6 \cdot 2 x$	=
$9 x^{2} - 1 + 16 x \cdot x - 36 x \cdot x + 12 x$	=
$9 x^{2} - 1 + 16 x^{2} - 36 x^{2} + 12 x$	=
$- 11 x^{2} + 12 x - 1$	=

$- 11 x^{2} + 12 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 44}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{100}}{- 22}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{100}}{- 22}$ = $\frac{- 12+10}{- 22}$ = $\frac{- 2}{- 22}$ = $\frac{1}{11}$ ≈ 0.09

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{100}}{- 22}$ = $\frac{- 12-10}{- 22}$ = $\frac{- 22}{- 22}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 11$ " teilen:

$- 11 x^{2} + 12 x - 1$ = 0 |: $- 11$

$x^{2} - \frac{12}{11} x + \frac{1}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{6}{11})}^{2} - (\frac{1}{11})$ = $\frac{36}{121}$ $-$ $\frac{1}{11}$ = $\frac{36}{121}$ $-$ $\frac{11}{121}$ = $\frac{25}{121}$

x_1,2 = $\frac{6}{11}$ ± $\sqrt{\frac{25}{121}}$

x₁ = $\frac{6}{11}$ - $\frac{5}{11}$ = $\frac{1}{11}$ = 0.090909090909091

x₂ = $\frac{6}{11}$ + $\frac{5}{11}$ = $\frac{11}{11}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{11}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{12}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{12}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{12}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{12}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$12 + a x$	=	$- x^{2}$
$12 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):