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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{1}{x - 5}$ = $1$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{1}{x - 5}$	=	$1$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{1}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$1 \cdot (x - 5)$
$1$	=	$x - 5$

$1$	=	$x - 5$	\| $- 1$ $- x$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 4} + \frac{1}{x - 4}$ = $\frac{14}{x^{2} - 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ ; $4$ }

\frac{x}{x + 4} + \frac{1}{x - 4}

=

\frac{14}{(x + 4) (x - 4)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 4) (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{x + 4} + \frac{1}{x - 4}$	=	$\frac{14}{(x + 4) (x - 4)}$	\|⋅( $(x + 4) (x - 4)$ )
$\frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4) (x - 4) + \frac{1}{x - 4} \cdot (x + 4) (x - 4)$	=	$\frac{14}{(x + 4) (x - 4)} \cdot (x + 4) (x - 4)$
$x (x - 4) + x + 4$	=	$14 \frac{x + 4}{x + 4}$
$x (x - 4) + x + 4$	=	$14$
$x^{2} - 4 x + x + 4$	=	$14$
$x^{2} - 3 x + 4$	=	$14$

x^{2} - 3 x + 4

=

14

|

- 14

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x + 2} - \frac{7}{x + 1} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x + 2} - \frac{7}{x + 1} + 3 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{7}{x + 1} + 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{7}{x + 1} + 3 x$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{- 7}{x + 1} \cdot (2 (x + 1)) + 3 x \cdot (2 (x + 1))$
=	$- x - 14 + 6 x (x + 1)$
=	$6 x^{2} + 5 x - 14$

0

=

6 x^{2} + 5 x - 14

|

- 6 x^{2}

- 5 x

+ 14

$- 6 x^{2} - 5 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 14}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 336}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{361}}{- 12}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{361}}{- 12}$ = $\frac{5+19}{- 12}$ = $\frac{24}{- 12}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{361}}{- 12}$ = $\frac{5-19}{- 12}$ = $\frac{- 14}{- 12}$ = $\frac{7}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} - 5 x + 14$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} + \frac{5}{6} x - \frac{7}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{12})}^{2} - (- \frac{7}{3})$ = $\frac{25}{144}$ $+$ $\frac{7}{3}$ = $\frac{25}{144}$ $+$ $\frac{336}{144}$ = $\frac{361}{144}$

x_1,2 = $- \frac{5}{12}$ ± $\sqrt{\frac{361}{144}}$

x₁ = $- \frac{5}{12}$ - $\frac{19}{12}$ = $- \frac{24}{12}$ = -2

x₂ = $- \frac{5}{12}$ + $\frac{19}{12}$ = $\frac{14}{12}$ = 1.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{7}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11}{x}$ = $- 1 - \frac{30}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{11}{x}$	=	$- 1 - \frac{30}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{11}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{30}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$11 x$	=	$- x^{2} - 30$

11 x

=

- x^{2} - 30

|

+ x^{2}

+ 30

$x^{2} + 11 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 11+1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 11-1}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 + \frac{1}{x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$3 + \frac{1}{x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $x$ )
$3 \cdot x + \frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 3 \cdot x$
$3 x + 1$	=	$x \cdot x + 3 x$

$3 x + 1$	=	$x^{2} + 3 x$	\| $- 1$ $- x^{2}$ $- 3 x$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x + 1} + \frac{3 x}{x + 2} + \frac{15 x}{- x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

$\frac{3 x}{x + 2} + \frac{8 x}{x + 1} + \frac{15 x}{- x - 2}$	=	0
$\frac{3 x}{x + 2} + \frac{8 x}{x + 1} + \frac{15 x}{- (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{3 x}{x + 2} + \frac{8 x}{x + 1} + \frac{15 x}{- (x + 2)}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{3 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{8 x}{x + 1} \cdot (x + 2) + \frac{15 x}{- (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=
$3 x + \frac{8 x (x + 2)}{x + 1} - 15 x$	=
$3 x + \frac{8 x^{2} + 16 x}{x + 1} - 15 x$	=
$\frac{8 x^{2} + 16 x}{x + 1} + 3 x - 15 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 16 x}{x + 1} + 3 x - 15 x$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{8 x^{2} + 16 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 3 x \cdot (x + 1) - 15 x \cdot (x + 1)$	=
$8 x^{2} + 16 x + 3 x (x + 1) - 15 x (x + 1)$	=
$8 x^{2} + 16 x + (3 x^{2} + 3 x) + (- 15 x^{2} - 15 x)$	=
$- 4 x^{2} + 4 x$	=

$- 4 x^{2} + 4 x$	=	0
$4 x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$4 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$4 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$4 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$4 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$4 x + x^{2}$	=	$- a$
$4 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 4 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 4 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 4 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -7 würde es funktionieren, denn $- (3 - 7)$ = 4

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 7)$ = $- 21$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -21 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 2$ - $5$ = -7

x₂ = $- 2$ + $5$ = 3

L={ $- 7$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):