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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2 x}{x + 2} - \frac{16}{x + 2}$ = $- 4$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{2 x}{x + 2} - \frac{16}{x + 2}$	=	$- 4$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{2 x}{x + 2} \cdot (x + 2) - \frac{16}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- 4 \cdot (x + 2)$
$- 2 x - 16$	=	$- 4 (x + 2)$

$- 2 x - 16$	=	$- 4 x - 8$	\| $+ 16$
$- 2 x$	=	$- 4 x + 8$	\| $+ 4 x$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5 x}{x - 1} + \frac{50}{2 x - 2}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{5 x}{x - 1} + \frac{50}{2 (x - 1)}

=

- 1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{5 x}{x - 1} + \frac{50}{2 (x - 1)}$	=	$- 1$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{5 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{50}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1)$	=	$- 1 \cdot (x - 1)$
$5 x + 25$	=	$- (x - 1)$

$5 x + 25$	=	$- x + 1$	\| $- 25$
$5 x$	=	$- x - 24$	\| $+ x$
$6 x$	=	$- 24$	\|: $6$
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{3 x}{3 x + 3} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{1}{2}$ }

$\frac{3 x}{3 x + 3} + \frac{3 x}{2 x + 1} - 4$	=	0
$\frac{3 x}{3 (x + 1)} + \frac{3 x}{2 x + 1} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{3 (x + 1)} + \frac{3 x}{2 x + 1} - 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x}{3 (x + 1)} \cdot (x + 1) + \frac{3 x}{2 x + 1} \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=
$x + \frac{3 x (x + 1)}{2 x + 1} - 4 x - 4$	=
$x + \frac{3 x^{2} + 3 x}{2 x + 1} - 4 x - 4$	=
$\frac{3 x^{2} + 3 x}{2 x + 1} + x - 4 x - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 3 x}{2 x + 1} + x - 4 x - 4$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{3 x^{2} + 3 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + x \cdot (2 x + 1) - 4 x \cdot (2 x + 1) - 4 \cdot (2 x + 1)$	=
$3 x^{2} + 3 x + x (2 x + 1) - 4 x (2 x + 1) - 8 x - 4$	=
$3 x^{2} + 3 x + (2 x^{2} + x) + (- 8 x^{2} - 4 x) - 8 x - 4$	=
$- 3 x^{2} - 8 x - 4$	=

$- 3 x^{2} - 8 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{- 6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{8+4}{- 6}$ = $\frac{12}{- 6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{8-4}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 8 x - 4$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{12}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{6}{3}$ = -2

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{2}{x} - \frac{24}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{2}{x} - \frac{24}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{2}{x} \cdot x^{2} - \frac{24}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} - 2 x - 24$	=

$x^{2} - 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 4}{x - 1}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x + 4}{x - 1}$	=	$4 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x + 4}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$4 x \cdot (x - 1)$
$2 x + 4$	=	$4 x (x - 1)$
$2 x + 4$	=	$4 x^{2} - 4 x$

2 x + 4

=

4 x^{2} - 4 x

|

- 4 x^{2}

+ 4 x

- 4 x^{2} + 6 x + 4

= 0 |:2

$- 2 x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 2}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 3+5}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 3-5}{- 4}$ = $\frac{- 8}{- 4}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 3 x + 2$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $1$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 6} + \frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{14 x}{- 4 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $2$ }

$\frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{3 x}{3 x - 6} + \frac{14 x}{- 4 x + 6}$	=	0
$\frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{3 x}{3 (x - 2)} + \frac{14 x}{2 (- 2 x + 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{3 x}{3 (x - 2)} + \frac{14 x}{2 (- 2 x + 3)}$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{4 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{3 x}{3 (x - 2)} \cdot (2 x - 3) + \frac{14 x}{2 (- 2 x + 3)} \cdot (2 x - 3)$	=
$4 x + \frac{x (2 x - 3)}{x - 2} + \frac{7 x (2 x - 3)}{- 2 x + 3}$	=
$4 x + \frac{x (2 x - 3)}{x - 2} - 7 x$	=
$4 x + \frac{2 x^{2} - 3 x}{x - 2} - 7 x$	=
$\frac{2 x^{2} - 3 x}{x - 2} + 4 x - 7 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 3 x}{x - 2} + 4 x - 7 x$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x^{2} - 3 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 4 x \cdot (x - 2) - 7 x \cdot (x - 2)$	=
$2 x^{2} - 3 x + 4 x (x - 2) - 7 x (x - 2)$	=
$2 x^{2} - 3 x + (4 x^{2} - 8 x) + (- 7 x^{2} + 14 x)$	=
$- x^{2} + 3 x$	=

$- x^{2} + 3 x$	=	0
$x (- x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{12}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{12}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{12}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{12}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$12$
$a x + x^{2} - 12$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):