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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7}{x}$ = $\frac{3}{7}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{7}{x}$	=	$\frac{3}{7}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{7}{x} \cdot x$	=	$\frac{3}{7} \cdot x$
$- 7$	=	$\frac{3}{7} x$

$- 7$	=	$\frac{3}{7} x$	\|⋅ 7
$- 49$	=	$3 x$	\| $+ 49$ $- 3 x$
$- 3 x$	=	$49$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- \frac{49}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{49}{3}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6 x}{x + 2} + \frac{108}{3 x + 6}$ = $- 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{6 x}{x + 2} + \frac{108}{3 (x + 2)}

=

- 2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6 x}{x + 2} + \frac{108}{3 (x + 2)}$	=	$- 2$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{108}{3 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=	$- 2 \cdot (x + 2)$
$6 x + 36$	=	$- 2 (x + 2)$

$6 x + 36$	=	$- 2 x - 4$	\| $- 36$
$6 x$	=	$- 2 x - 40$	\| $+ 2 x$
$8 x$	=	$- 40$	\|: $8$
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 5,4}{x + 1} + x$ = $- \frac{x}{5 x + 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$- \frac{5,4}{x + 1} + x$	=	$\frac{- x}{5 x + 5}$
$- \frac{5,4}{x + 1} + x$	=	$\frac{- x}{5 (x + 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$- \frac{5,4}{x + 1} + x$	=	$\frac{- x}{5 (x + 1)}$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{- 5,4}{x + 1} \cdot (5 (x + 1)) + x \cdot (5 (x + 1))$	=	$\frac{- x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1))$
$- 27 + 5 x (x + 1)$	=	$- x$
$- 27 + (5 x^{2} + 5 x)$	=	$- x$
$5 x^{2} + 5 x - 27$	=	$- x$

5 x^{2} + 5 x - 27

=

- x

|

+ x

$5 x^{2} + 6 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 540}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{576}}{10}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{576}}{10}$ = $\frac{- 6+24}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = $1,8$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{576}}{10}$ = $\frac{- 6-24}{10}$ = $\frac{- 30}{10}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 6 x - 27$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{6}{5} x - \frac{27}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{5})}^{2} - (- \frac{27}{5})$ = $\frac{9}{25}$ $+$ $\frac{27}{5}$ = $\frac{9}{25}$ $+$ $\frac{135}{25}$ = $\frac{144}{25}$

x_1,2 = $- \frac{3}{5}$ ± $\sqrt{\frac{144}{25}}$

x₁ = $- \frac{3}{5}$ - $\frac{12}{5}$ = $- \frac{15}{5}$ = -3

x₂ = $- \frac{3}{5}$ + $\frac{12}{5}$ = $\frac{9}{5}$ = 1.8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1,8$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 + \frac{16}{x} - \frac{63}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 + \frac{16}{x} - \frac{63}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{16}{x} \cdot x^{2} - \frac{63}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} + 16 x - 63$

0

=

- x^{2} + 16 x - 63

|

+ x^{2}

- 16 x

+ 63

$x^{2} - 16 x + 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{16+2}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{16-2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 8)}^{2} - 63$ = $64$ $-$ $63$ = $1$

x_1,2 = $8$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $8$ - $1$ = 7

x₂ = $8$ + $1$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 1$ = $3 + \frac{5}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 1$	=	$3 + \frac{5}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 1 \cdot x$	=	$3 \cdot x + \frac{5}{x} \cdot x$
$x \cdot x - x$	=	$3 x + 5$
$x^{2} - x$	=	$3 x + 5$

x^{2} - x

=

3 x + 5

|

- 3 x

- 5

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{3 x - 3} + \frac{8 x}{- 2 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $1$ }

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{3 x - 3} + \frac{8 x}{- 2 x - 4}$	=	0
$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{3 (x - 1)} + \frac{8 x}{- 2 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{3 (x - 1)} + \frac{8 x}{- 2 (x + 2)}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{2 x - 1}{3 (x - 1)} \cdot (x + 2) + \frac{8 x}{- 2 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=
$2 x + \frac{(2 x - 1) (x + 2)}{3 (x - 1)} - 4 x$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{3 (x - 1)} - 4 x$	=
$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{3 (x - 1)} + 2 x - 4 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{3 (x - 1)} + 2 x - 4 x$	=	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) + 2 x \cdot (3 (x - 1)) - 4 x \cdot (3 (x - 1))$	=
$2 x^{2} + 3 x - 2 + 6 x (x - 1) - 12 x (x - 1)$	=
$2 x^{2} + 3 x - 2 + (6 x^{2} - 6 x) + (- 12 x^{2} + 12 x)$	=
$- 4 x^{2} + 9 x - 2$	=

$- 4 x^{2} + 9 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{- 9+7}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{- 9-7}{- 8}$ = $\frac{- 16}{- 8}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 9 x - 2$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{9}{4} x + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{8})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{81}{64}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{81}{64}$ $-$ $\frac{32}{64}$ = $\frac{49}{64}$

x_1,2 = $\frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{49}{64}}$

x₁ = $\frac{9}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{9}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{6}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{6}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{6}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{6}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$6 + x^{2}$	=	$- a x$
$6 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):