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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{8}{x}$ = $- \frac{1}{7}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{8}{x}$	=	$- \frac{1}{7}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{8}{x} \cdot x$	=	$- \frac{1}{7} \cdot x$
$- 8$	=	$- \frac{1}{7} x$

$- 8$	=	$- \frac{1}{7} x$	\|⋅ 7
$- 56$	=	$- x$	\| $+ 56$ $+ x$
$x$	=	$56$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $56$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7 x}{2 x + 2} + \frac{36}{6 x + 6}$ = $3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{7 x}{2 (x + 1)} + \frac{36}{6 (x + 1)}

=

3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{7 x}{2 (x + 1)} + \frac{36}{6 (x + 1)}$	=	$3$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{7 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{36}{6 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1))$	=	$3 \cdot (2 (x + 1))$
$7 x + 12$	=	$6 (x + 1)$

$7 x + 12$	=	$6 x + 6$	\| $- 12$
$7 x$	=	$6 x - 6$	\| $- 6 x$
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{6 x}{x + 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

\frac{6 x}{x + 2} + \frac{2 x}{x + 1} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6 x}{x + 2} + \frac{2 x}{x + 1} - 3$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{2 x}{x + 1} \cdot (x + 2) - 3 \cdot (x + 2)$	=
$6 x + \frac{2 x \cdot (x + 2)}{x + 1} - 3 x - 6$	=
$6 x + \frac{2 x^{2} + 4 x}{x + 1} - 3 x - 6$	=
$\frac{2 x^{2} + 4 x}{x + 1} + 6 x - 3 x - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 4 x}{x + 1} + 6 x - 3 x - 6$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x^{2} + 4 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 6 x \cdot (x + 1) - 3 x \cdot (x + 1) - 6 \cdot (x + 1)$	=
$2 x^{2} + 4 x + 6 x \cdot (x + 1) - 3 x \cdot (x + 1) - 6 x - 6$	=
$2 x^{2} + 4 x + (6 x^{2} + 6 x) + (- 3 x^{2} - 3 x) - 6 x - 6$	=
$5 x^{2} + x - 6$	=

$5 x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{10}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{10}$ = $\frac{- 1+11}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{10}$ = $\frac{- 1-11}{10}$ = $\frac{- 12}{10}$ = $- 1,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + x - 6$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{1}{5} x - \frac{6}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{10})}^{2} - (- \frac{6}{5})$ = $\frac{1}{100}$ $+$ $\frac{6}{5}$ = $\frac{1}{100}$ $+$ $\frac{120}{100}$ = $\frac{121}{100}$

x_1,2 = $- \frac{1}{10}$ ± $\sqrt{\frac{121}{100}}$

x₁ = $- \frac{1}{10}$ - $\frac{11}{10}$ = $- \frac{12}{10}$ = -1.2

x₂ = $- \frac{1}{10}$ + $\frac{11}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,2$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{12}{x^{3}}$ = $\frac{8}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{12}{x^{3}}$	=	$\frac{8}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{12}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$\frac{8}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$x^{2} + 12$	=	$8 x$

x^{2} + 12

=

8 x

|

- 8 x

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 2$ = $4 + \frac{7}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 2$	=	$4 + \frac{7}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 2 \cdot x$	=	$4 \cdot x + \frac{7}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 2 x$	=	$4 x + 7$
$x^{2} - 2 x$	=	$4 x + 7$

x^{2} - 2 x

=

4 x + 7

|

- 4 x

- 7

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 6} + \frac{2 x - 3}{x} + \frac{11 x - 3}{- 3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 2$ }

$- \frac{11 x - 3}{3 x} + \frac{2 x - 3}{x} + \frac{x}{3 x + 6}$	=	0
$- \frac{11 x - 3}{3 x} + \frac{2 x - 3}{x} + \frac{x}{3 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$- \frac{11 x - 3}{3 x} + \frac{2 x - 3}{x} + \frac{x}{3 (x + 2)}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$- \frac{11 x - 3}{3 x} \cdot 3 x + \frac{2 x - 3}{x} \cdot 3 x + \frac{x}{3 (x + 2)} \cdot 3 x$	=
$- 11 x + 3 + 6 x - 9 + 3 \frac{x \cdot x}{3 (x + 2)}$	=
$- 11 x + 3 + 6 x - 9 + \frac{x^{2}}{x + 2}$	=
$\frac{x^{2}}{x + 2} - 11 x + 6 x + 3 - 9$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{x^{2}}{x + 2} - 11 x + 6 x + 3 - 9$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{x^{2}}{x + 2} \cdot (x + 2) - 11 x \cdot (x + 2) + 6 x \cdot (x + 2) + 3 \cdot (x + 2) - 9 \cdot (x + 2)$	=
$x^{2} - 11 x \cdot (x + 2) + 6 x \cdot (x + 2) + 3 x + 6 - 9 x - 18$	=
$x^{2} + (- 11 x^{2} - 22 x) + (6 x^{2} + 12 x) + 3 x + 6 - 9 x - 18$	=
$- 4 x^{2} - 16 x - 12$	=

- 4 x^{2} - 16 x - 12

= 0 |:4

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4+2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4-2}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{24}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{24}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{24}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{24}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 24 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 24 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 12)$ = -24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 12)$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):