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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{20}{x - 8}$ = $4$

D=R\{ $8$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 8$ weg!

$- \frac{20}{x - 8}$	=	$4$	\|⋅( $x - 8$ )
$- \frac{20}{x - 8} \cdot (x - 8)$	=	$4 \cdot (x - 8)$
$- 20$	=	$4 (x - 8)$

$- 20$	=	$4 x - 32$	\| $+ 20$ $- 4 x$
$- 4 x$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6 x}{3 x - 2} - \frac{138}{9 x - 6}$ = $- 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ }

\frac{6 x}{3 x - 2} - \frac{138}{3 (3 x - 2)}

=

- 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{3 x - 2} - \frac{138}{3 (3 x - 2)}$	=	$- 4$	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{6 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + \frac{- 138}{3 (3 x - 2)} \cdot (3 x - 2)$	=	$- 4 \cdot (3 x - 2)$
$6 x - 46$	=	$- 4 (3 x - 2)$

$6 x - 46$	=	$- 12 x + 8$	\| $+ 46$
$6 x$	=	$- 12 x + 54$	\| $+ 12 x$
$18 x$	=	$54$	\|: $18$
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 20}{6 x - 24}$ = $- \frac{x}{3 x - 12} + x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

- \frac{20}{6 (x - 4)}

=

- \frac{x}{3 (x - 4)} + x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x - 4)$ weg!

$- \frac{20}{6 (x - 4)}$	=	$- \frac{x}{3 (x - 4)} + x$	\|⋅( $6 (x - 4)$ )
$- \frac{20}{6 (x - 4)} \cdot (6 (x - 4))$	=	$- \frac{x}{3 (x - 4)} \cdot (6 (x - 4)) + x \cdot (6 (x - 4))$
$- 20$	=	$- 2 x + 6 x \cdot (x - 4)$
$- 20$	=	$6 x^{2} - 26 x$

- 20

=

6 x^{2} - 26 x

|

- 6 x^{2}

+ 26 x

- 6 x^{2} + 26 x - 20

= 0 |:2

$- 3 x^{2} + 13 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{49}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{- 13+7}{- 6}$ = $\frac{- 6}{- 6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{- 13-7}{- 6}$ = $\frac{- 20}{- 6}$ = $\frac{10}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 13 x - 10$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{13}{3} x + \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{6})}^{2} - (\frac{10}{3})$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $\frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $\frac{13}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

x₂ = $\frac{13}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{20}{6}$ = 3.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $\frac{10}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{4 x - 5}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{4 x - 5}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{4 x - 5}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$4 x - 5$

- x^{2}

=

4 x - 5

|

- 4 x

+ 5

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4+6}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4-6}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 20 x + 6}{x - 1}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 20 x + 6}{x - 1}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 20 x + 6}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$3 x \cdot (x - 1)$
$- 20 x + 6$	=	$3 x \cdot (x - 1)$
$- 20 x + 6$	=	$3 x^{2} - 3 x$

- 20 x + 6

=

3 x^{2} - 3 x

|

- 3 x^{2}

+ 3 x

$- 3 x^{2} - 17 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 6}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 72}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{361}}{- 6}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{17+19}{- 6}$ = $\frac{36}{- 6}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{17-19}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 17 x + 6$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{17}{3} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{6})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{289}{36}$ $+$ $2$ = $\frac{289}{36}$ $+$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{361}{36}$

x_1,2 = $- \frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{361}{36}}$

x₁ = $- \frac{17}{6}$ - $\frac{19}{6}$ = $- \frac{36}{6}$ = -6

x₂ = $- \frac{17}{6}$ + $\frac{19}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{8 x + 1}{3 x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; 0}

\frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{8 x + 1}{3 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{8 x + 1}{3 x} - 5$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{6 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{8 x + 1}{3 x} \cdot (2 x + 1) - 5 \cdot (2 x + 1)$	=
$6 x + \frac{(8 x + 1) \cdot (2 x + 1)}{3 x} - 10 x - 5$	=
$6 x + \frac{16 x^{2} + 10 x + 1}{3 x} - 10 x - 5$	=
$\frac{16 x^{2} + 10 x + 1}{3 x} + 6 x - 10 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{16 x^{2} + 10 x + 1}{3 x} + 6 x - 10 x - 5$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{16 x^{2} + 10 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + 6 x \cdot 3 x - 10 x \cdot 3 x - 5 \cdot 3 x$	=
$16 x^{2} + 10 x + 1 + 18 x \cdot x - 30 x \cdot x - 15 x$	=
$16 x^{2} + 10 x + 1 + 18 x^{2} - 30 x^{2} - 15 x$	=
$4 x^{2} - 5 x + 1$	=

$4 x^{2} - 5 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{8}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{8}$ = $\frac{5+3}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{8}$ = $\frac{5-3}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 5 x + 1$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{5}{4} x + \frac{1}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{8})}^{2} - (\frac{1}{4})$ = $\frac{25}{64}$ $-$ $\frac{1}{4}$ = $\frac{25}{64}$ $-$ $\frac{16}{64}$ = $\frac{9}{64}$

x_1,2 = $\frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{9}{64}}$

x₁ = $\frac{5}{8}$ - $\frac{3}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{5}{8}$ + $\frac{3}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 7$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 7$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 7$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 7 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 7 x$	=	$- a$
$x^{2} + 7 x + a$	=	0
$x^{2} + 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $- (2 - 9)$ = 7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 9)$ = $- 18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):