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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6 x}{x - 6}$ = $- 4$

D=R\{ $6$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 6$ weg!

$\frac{- 6 x}{x - 6}$	=	$- 4$	\|⋅( $x - 6$ )
$\frac{- 6 x}{x - 6} \cdot (x - 6)$	=	$- 4 \cdot (x - 6)$
$- \frac{6 x}{1}$	=	$- 4 (x - 6)$
$- 6 x$	=	$- 4 (x - 6)$

$- 6 x$	=	$- 4 x + 24$	\| $+ 4 x$
$- 2 x$	=	$24$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 12$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 12$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 3$ = $- \frac{- 35}{2 x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$x + 3$	=	$\frac{35}{2 x - 3}$	\|⋅( $2 x - 3$ )
$x \cdot (2 x - 3) + 3 \cdot (2 x - 3)$	=	$\frac{35}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3)$
$x \cdot (2 x - 3) + 6 x - 9$	=	$35$
$2 x^{2} - 3 x + 6 x - 9$	=	$35$
$2 x^{2} + 3 x - 9$	=	$35$

2 x^{2} + 3 x - 9

=

35

|

- 35

$2 x^{2} + 3 x - 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 44)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 352}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 3+19}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 3-19}{4}$ = $\frac{- 22}{4}$ = $- 5,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 3 x - 44$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - 22$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $22$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{352}{16}$ = $\frac{361}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{361}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{19}{4}$ = $- \frac{22}{4}$ = -5.5

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{19}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5,5$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 5} + \frac{- 0,2}{x - 1}$ = $- 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{5 x - 5} - \frac{0,2}{x - 1}$	=	$- 4 x$
$\frac{x}{5 (x - 1)} - \frac{0,2}{x - 1}$	=	$- 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 1)} - \frac{0,2}{x - 1}$	=	$- 4 x$	\|⋅( $5 (x - 1)$ )
$\frac{x}{5 (x - 1)} \cdot (5 (x - 1)) + \frac{- 0,2}{x - 1} \cdot (5 (x - 1))$	=	$- 4 x \cdot (5 (x - 1))$
$x - 1$	=	$- 20 x \cdot (x - 1)$
$x - 1$	=	$- 20 x^{2} + 20 x$

x - 1

=

- 20 x^{2} + 20 x

|

+ 20 x^{2}

- 20 x

$20 x^{2} - 19 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 80}}{40}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{441}}{40}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{441}}{40}$ = $\frac{19+21}{40}$ = $\frac{40}{40}$ = $1$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{441}}{40}$ = $\frac{19-21}{40}$ = $\frac{- 2}{40}$ = $- 0,05$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $20$ " teilen:

$20 x^{2} - 19 x - 1$ = 0 |: $20$

$x^{2} - \frac{19}{20} x - \frac{1}{20}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{40})}^{2} - (- \frac{1}{20})$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{1}{20}$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{80}{1600}$ = $\frac{441}{1600}$

x_1,2 = $\frac{19}{40}$ ± $\sqrt{\frac{441}{1600}}$

x₁ = $\frac{19}{40}$ - $\frac{21}{40}$ = $- \frac{2}{40}$ = -0.05

x₂ = $\frac{19}{40}$ + $\frac{21}{40}$ = $\frac{40}{40}$ = 1

Lösung x= $1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 0,05$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{10}{x}$ = $- \frac{24}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{10}{x}$	=	$- \frac{24}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{10}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{24}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 10 x$	=	$- 24$

x^{2} + 10 x

=

- 24

|

+ 24

$x^{2} + 10 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 10+2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 10-2}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 5$ - $1$ = -6

x₂ = $- 5$ + $1$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 13 x + 16}{x + 3}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{- 13 x + 16}{x + 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{- 13 x + 16}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$3 x \cdot (x + 3)$
$- 13 x + 16$	=	$3 x \cdot (x + 3)$
$- 13 x + 16$	=	$3 x^{2} + 9 x$

- 13 x + 16

=

3 x^{2} + 9 x

|

- 3 x^{2}

- 9 x

$- 3 x^{2} - 22 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 16}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 + 192}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{676}}{- 6}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{676}}{- 6}$ = $\frac{22+26}{- 6}$ = $\frac{48}{- 6}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{676}}{- 6}$ = $\frac{22-26}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 22 x + 16$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{22}{3} x - \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{3})}^{2} - (- \frac{16}{3})$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $\frac{48}{9}$ = $\frac{169}{9}$

x_1,2 = $- \frac{11}{3}$ ± $\sqrt{\frac{169}{9}}$

x₁ = $- \frac{11}{3}$ - $\frac{13}{3}$ = $- \frac{24}{3}$ = -8

x₂ = $- \frac{11}{3}$ + $\frac{13}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2}{x} + \frac{6 x}{3 x - 3} + \frac{- 16 x + 2}{3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

$\frac{6 x}{3 x - 3} + \frac{- 16 x + 2}{3 x} + \frac{2}{x}$	=	0
$\frac{6 x}{3 (x - 1)} + \frac{- 16 x + 2}{3 x} + \frac{2}{x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 (x - 1)} + \frac{- 16 x + 2}{3 x} + \frac{2}{x}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x}{3 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{- 16 x + 2}{3 x} \cdot (x - 1) + \frac{2}{x} \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{(- 16 x + 2) \cdot (x - 1)}{3 x} + 2 \frac{x - 1}{x}$	=
$2 x + \frac{- 16 x^{2} + 18 x - 2}{3 x} + \frac{2 (x - 1)}{x}$	=
$\frac{2 (x - 1)}{x} + \frac{- 16 x^{2} + 18 x - 2}{3 x} + 2 x$	=

\frac{2 (x - 1)}{x} + \frac{- 16 x^{2} + 18 x - 2}{3 x} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{2 (x - 1)}{x} + \frac{- 16 x^{2} + 18 x - 2}{3 x} + 2 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{2 (x - 1)}{x} \cdot 3 x + \frac{- 16 x^{2} + 18 x - 2}{3 x} \cdot 3 x + 2 x \cdot 3 x$	=
$6 x - 6 - 16 x^{2} + 18 x - 2 + 6 x \cdot x$	=
$6 x - 6 - 16 x^{2} + 18 x - 2 + 6 x^{2}$	=
$- 10 x^{2} + 24 x - 8$	=

- 10 x^{2} + 24 x - 8

= 0 |:2

$- 5 x^{2} + 12 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 12+8}{- 10}$ = $\frac{- 4}{- 10}$ = $0,4$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 12-8}{- 10}$ = $\frac{- 20}{- 10}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 12 x - 4$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{12}{5} x + \frac{4}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{6}{5})}^{2} - (\frac{4}{5})$ = $\frac{36}{25}$ $-$ $\frac{4}{5}$ = $\frac{36}{25}$ $-$ $\frac{20}{25}$ = $\frac{16}{25}$

x_1,2 = $\frac{6}{5}$ ± $\sqrt{\frac{16}{25}}$

x₁ = $\frac{6}{5}$ - $\frac{4}{5}$ = $\frac{2}{5}$ = 0.4

x₂ = $\frac{6}{5}$ + $\frac{4}{5}$ = $\frac{10}{5}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,4$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 1$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 1$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 1$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 1 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + x$	=	$- x^{2}$
$a + x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):