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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6}{x}$ = $\frac{1}{3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{6}{x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{6}{x} \cdot x$	=	$\frac{1}{3} \cdot x$
$- 6$	=	$\frac{1}{3} x$

$- 6$	=	$\frac{1}{3} x$	\|⋅ 3
$- 18$	=	$x$	\| $+ 18$ $- x$
$- x$	=	$18$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 18$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 18$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x - 2}$ = $\frac{8}{x^{2} - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $2$ }

\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x - 2}

=

\frac{8}{(x + 2) \cdot (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 2) \cdot (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x - 2}$	=	$\frac{8}{(x + 2) \cdot (x - 2)}$	\|⋅( $(x + 2) \cdot (x - 2)$ )
$\frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) + \frac{3}{x - 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$	=	$\frac{8}{(x + 2) \cdot (x - 2)} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$
$x \cdot (x - 2) + 3 x + 6$	=	$8 \frac{x + 2}{x + 2}$
$x \cdot (x - 2) + 3 x + 6$	=	$8$
$x^{2} - 2 x + 3 x + 6$	=	$8$
$x^{2} + x + 6$	=	$8$

x^{2} + x + 6

=

8

|

- 8

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Lösung x= $- 2$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{3 x - 3} - \frac{38}{3 x - 3} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

0	=	$- \frac{x}{3 x - 3} - \frac{38}{3 x - 3} + 2 x$
0	=	$- \frac{x}{3 (x - 1)} - \frac{38}{3 (x - 1)} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{3 (x - 1)} - \frac{38}{3 (x - 1)} + 2 x$	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
=	$- \frac{x}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) - \frac{38}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) + 2 x \cdot (3 (x - 1))$
=	$- x - 38 + 6 x \cdot (x - 1)$
=	$6 x^{2} - 7 x - 38$

0

=

6 x^{2} - 7 x - 38

|

- 6 x^{2}

+ 7 x

+ 38

$- 6 x^{2} + 7 x + 38$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 38}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 912}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{961}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{961}}{- 12}$ = $\frac{- 7+31}{- 12}$ = $\frac{24}{- 12}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{961}}{- 12}$ = $\frac{- 7-31}{- 12}$ = $\frac{- 38}{- 12}$ = $\frac{19}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 7 x + 38$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{7}{6} x - \frac{19}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{12})}^{2} - (- \frac{19}{3})$ = $\frac{49}{144}$ $+$ $\frac{19}{3}$ = $\frac{49}{144}$ $+$ $\frac{912}{144}$ = $\frac{961}{144}$

x_1,2 = $\frac{7}{12}$ ± $\sqrt{\frac{961}{144}}$

x₁ = $\frac{7}{12}$ - $\frac{31}{12}$ = $- \frac{24}{12}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{12}$ + $\frac{31}{12}$ = $\frac{38}{12}$ = 3.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{19}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2}{x} - \frac{15}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{2}{x} - \frac{15}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{2}{x} \cdot x^{2} - \frac{15}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$2 x - 15$	=	$- x^{2}$

2 x - 15

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{39 x - 15}{x + 4}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{39 x - 15}{x + 4}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{39 x - 15}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$4 x \cdot (x + 4)$
$39 x - 15$	=	$4 x \cdot (x + 4)$
$39 x - 15$	=	$4 x^{2} + 16 x$

39 x - 15

=

4 x^{2} + 16 x

|

- 4 x^{2}

- 16 x

$- 4 x^{2} + 23 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 240}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{289}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{289}}{- 8}$ = $\frac{- 23+17}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{289}}{- 8}$ = $\frac{- 23-17}{- 8}$ = $\frac{- 40}{- 8}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 23 x - 15$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{23}{4} x + \frac{15}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{8})}^{2} - (\frac{15}{4})$ = $\frac{529}{64}$ $-$ $\frac{15}{4}$ = $\frac{529}{64}$ $-$ $\frac{240}{64}$ = $\frac{289}{64}$

x_1,2 = $\frac{23}{8}$ ± $\sqrt{\frac{289}{64}}$

x₁ = $\frac{23}{8}$ - $\frac{17}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{23}{8}$ + $\frac{17}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 4} + \frac{3 x}{3 x - 8} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; $2$ }

$\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{4 x}{2 x - 4} - 7$	=	0
$\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{4 x}{2 (x - 2)} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{4 x}{2 (x - 2)} - 7$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{3 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{4 x}{2 (x - 2)} \cdot (3 x - 8) - 7 \cdot (3 x - 8)$	=
$3 x + \frac{2 x \cdot (3 x - 8)}{x - 2} - 21 x + 56$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} - 16 x}{x - 2} - 21 x + 56$	=
$\frac{6 x^{2} - 16 x}{x - 2} + 3 x - 21 x + 56$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 16 x}{x - 2} + 3 x - 21 x + 56$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x^{2} - 16 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 3 x \cdot (x - 2) - 21 x \cdot (x - 2) + 56 \cdot (x - 2)$	=
$6 x^{2} - 16 x + 3 x \cdot (x - 2) - 21 x \cdot (x - 2) + 56 x - 112$	=
$6 x^{2} - 16 x + (3 x^{2} - 6 x) + (- 21 x^{2} + 42 x) + 56 x - 112$	=
$- 12 x^{2} + 76 x - 112$	=

- 12 x^{2} + 76 x - 112

= 0 |:4

$- 3 x^{2} + 19 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 28)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 336}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 19+5}{- 6}$ = $\frac{- 14}{- 6}$ = $\frac{7}{3}$ ≈ 2.33

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 19-5}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 19 x - 28$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{19}{3} x + \frac{28}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{6})}^{2} - (\frac{28}{3})$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{28}{3}$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{336}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $\frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $\frac{19}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $\frac{14}{6}$ = 2.3333333333333

x₂ = $\frac{19}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{7}{3}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{8}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{8}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{8}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{8}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 8$	=	$- a x$
$x^{2} + 8 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 4$ = 8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 4)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):