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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{1}{x + 6}$ = $- 1$

D=R\{ $- 6$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 6$ weg!

$- \frac{1}{x + 6}$	=	$- 1$	\|⋅( $x + 6$ )
$- \frac{1}{x + 6} \cdot (x + 6)$	=	$- 1 \cdot (x + 6)$
$- 1$	=	$- (x + 6)$

$- 1$	=	$- x - 6$	\| $+ 1$ $+ x$
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3 x}{3 x - 1} - \frac{123}{9 x - 3}$ = $- 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

\frac{3 x}{3 x - 1} - \frac{123}{3 (3 x - 1)}

=

- 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 1} - \frac{123}{3 (3 x - 1)}$	=	$- 4$	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{3 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{- 123}{3 (3 x - 1)} \cdot (3 x - 1)$	=	$- 4 \cdot (3 x - 1)$
$3 x - 41$	=	$- 4 (3 x - 1)$

$3 x - 41$	=	$- 12 x + 4$	\| $+ 41$
$3 x$	=	$- 12 x + 45$	\| $+ 12 x$
$15 x$	=	$45$	\|: $15$
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{5 x + 15} - \frac{35,4}{x + 3} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

0	=	$- \frac{x}{5 x + 15} - \frac{35,4}{x + 3} + 2 x$
0	=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} - \frac{35,4}{x + 3} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 3)$ weg!

=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} - \frac{35,4}{x + 3} + 2 x$	\|⋅( $5 (x + 3)$ )
=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} \cdot (5 (x + 3)) + \frac{- 35,4}{x + 3} \cdot (5 (x + 3)) + 2 x \cdot (5 (x + 3))$
=	$- x - 177 + 10 x \cdot (x + 3)$
=	$10 x^{2} + 29 x - 177$

0

=

10 x^{2} + 29 x - 177

|

- 10 x^{2}

- 29 x

+ 177

$- 10 x^{2} - 29 x + 177$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 177}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 + 7 080}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{7 921}}{- 20}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{7 921}}{- 20}$ = $\frac{29+89}{- 20}$ = $\frac{118}{- 20}$ = $- 5,9$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{7 921}}{- 20}$ = $\frac{29-89}{- 20}$ = $\frac{- 60}{- 20}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 29 x + 177$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{29}{10} x - \frac{177}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{20})}^{2} - (- \frac{177}{10})$ = $\frac{841}{400}$ $+$ $\frac{177}{10}$ = $\frac{841}{400}$ $+$ $\frac{7080}{400}$ = $\frac{7921}{400}$

x_1,2 = $- \frac{29}{20}$ ± $\sqrt{\frac{7921}{400}}$

x₁ = $- \frac{29}{20}$ - $\frac{89}{20}$ = $- \frac{118}{20}$ = -5.9

x₂ = $- \frac{29}{20}$ + $\frac{89}{20}$ = $\frac{60}{20}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5,9$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{12}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$- x + 12$

x^{2}

=

- x + 12

|

+ x

- 12

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 5$ = $- \frac{11}{2} + \frac{1}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 5$	=	$- \frac{11}{2} + \frac{1}{2 x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 5 \cdot x$	=	$- \frac{11}{2} \cdot x + \frac{1}{2 x} \cdot x$
$x \cdot x - 5 x$	=	$- \frac{11}{2} x + \frac{1}{2}$
$x^{2} - 5 x$	=	$- \frac{11}{2} x + \frac{1}{2}$

$x^{2} - 5 x$	=	$- \frac{11}{2} x + \frac{1}{2}$	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - 5 x)$	=	$2 (- \frac{11}{2} x + \frac{1}{2})$
$2 x^{2} - 10 x$	=	$- 11 x + 1$	\| $+ 11 x$ $- 1$

$2 x^{2} + x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 1+3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 1-3}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + x - 1$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{- 6 x}{2 x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $1$ }

\frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{2 x}{x - 1} - \frac{6 x}{2 x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{2 x}{x - 1} - \frac{6 x}{2 x - 1}$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{3 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{2 x}{x - 1} \cdot (2 x - 1) - \frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1)$	=
$3 x + \frac{2 x \cdot (2 x - 1)}{x - 1} - 6 x$	=
$3 x + \frac{4 x^{2} - 2 x}{x - 1} - 6 x$	=
$\frac{4 x^{2} - 2 x}{x - 1} + 3 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 2 x}{x - 1} + 3 x - 6 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x^{2} - 2 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 3 x \cdot (x - 1) - 6 x \cdot (x - 1)$	=
$4 x^{2} - 2 x + 3 x \cdot (x - 1) - 6 x \cdot (x - 1)$	=
$4 x^{2} - 2 x + (3 x^{2} - 3 x) + (- 6 x^{2} + 6 x)$	=
$x^{2} + x$	=

$x^{2} + x$	=	0
$x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 5$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 5$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 5$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 5 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- 5 x$
$a + x^{2} + 5 x$	=	0
$x^{2} + 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -7 würde es funktionieren, denn $- (2 - 7)$ = 5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 7)$ = $- 14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 7$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):