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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4 x + 8}{3 x + 3}$ = $1$

D=R\{ $- 1$ }

\frac{4 x + 8}{3 (x + 1)}

=

1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$\frac{4 x + 8}{3 (x + 1)}$	=	$1$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{4 x + 8}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$	=	$1 \cdot (3 (x + 1))$
$4 x + 8$	=	$3 (x + 1)$

$4 x + 8$	=	$3 x + 3$	\| $- 8$
$4 x$	=	$3 x - 5$	\| $- 3 x$
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 20}{x - 1}$ = $- 2 x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{20}{x - 1}$	=	$- 2 x - 1$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{20}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- 2 x \cdot (x - 1) - 1 \cdot (x - 1)$
$- 20$	=	$- 2 x (x - 1) - x + 1$
$- 20$	=	$- 2 x^{2} + x + 1$

- 20

=

- 2 x^{2} + x + 1

|

+ 2 x^{2}

- x

- 1

$2 x^{2} - x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{1+13}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{1-13}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 21$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{21}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{21}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{21}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{168}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 5} + \frac{11,4}{x + 1} - x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{5 x + 5} + \frac{11,4}{x + 1} - x$	=	0
$\frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{11,4}{x + 1} - x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{11,4}{x + 1} - x$	=	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) + \frac{11,4}{x + 1} \cdot (5 (x + 1)) - x \cdot (5 (x + 1))$	=
$x + 57 - 5 x (x + 1)$	=
$x + 57 + (- 5 x^{2} - 5 x)$	=
$- 5 x^{2} - 4 x + 57$	=

$- 5 x^{2} - 4 x + 57$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 57}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 1 140}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{1 156}}{- 10}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{1 156}}{- 10}$ = $\frac{4+34}{- 10}$ = $\frac{38}{- 10}$ = $- 3,8$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{1 156}}{- 10}$ = $\frac{4-34}{- 10}$ = $\frac{- 30}{- 10}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 4 x + 57$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{4}{5} x - \frac{57}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{5})}^{2} - (- \frac{57}{5})$ = $\frac{4}{25}$ $+$ $\frac{57}{5}$ = $\frac{4}{25}$ $+$ $\frac{285}{25}$ = $\frac{289}{25}$

x_1,2 = $- \frac{2}{5}$ ± $\sqrt{\frac{289}{25}}$

x₁ = $- \frac{2}{5}$ - $\frac{17}{5}$ = $- \frac{19}{5}$ = -3.8

x₂ = $- \frac{2}{5}$ + $\frac{17}{5}$ = $\frac{15}{5}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,8$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 9 x + 18}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- 9 x + 18}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- 9 x + 18}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 9 x + 18$	=	$- x^{2}$

- 9 x + 18

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $\frac{11 x - 4}{x + 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$2 x$	=	$\frac{11 x - 4}{x + 1}$	\|⋅( $x + 1$ )
$2 x \cdot (x + 1)$	=	$\frac{11 x - 4}{x + 1} \cdot (x + 1)$
$2 x (x + 1)$	=	$11 x - 4$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot 1$	=	$11 x - 4$
$2 x \cdot x + 2 x$	=	$11 x - 4$
$2 x^{2} + 2 x$	=	$11 x - 4$

2 x^{2} + 2 x

=

11 x - 4

|

- 11 x

+ 4

$2 x^{2} - 9 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{9+7}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{9-7}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 9 x + 4$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - 2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 2} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{x}{2 (x + 1)} - 1

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 1)} - 1$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) - 1 \cdot (2 (x + 1))$	=
$x - 2 x - 2$	=
$- x - 2$	=

$- x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{20}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{20}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{20}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{20}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 20$
$a x + x^{2} + 20$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

L={ $2$ ; $10$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):