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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{12}{x + 3}$ = $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{12}{x + 3}$	=	$- 3$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{12}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$- 3 \cdot (x + 3)$
$12$	=	$- 3 (x + 3)$

$12$	=	$- 3 x - 9$	\| $- 12$ $+ 3 x$
$3 x$	=	$- 21$	\|: $3$
$x$	=	$- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 9} + \frac{11}{x + 9}$ = $\frac{57}{x^{2} - 81}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 9$ ; $9$ }

\frac{x}{x - 9} + \frac{11}{x + 9}

=

\frac{57}{(x + 9) \cdot (x - 9)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 9) \cdot (x - 9)$ weg!

$\frac{x}{x - 9} + \frac{11}{x + 9}$	=	$\frac{57}{(x + 9) \cdot (x - 9)}$	\|⋅( $(x + 9) \cdot (x - 9)$ )
$\frac{x}{x - 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9) + \frac{11}{x + 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$	=	$\frac{57}{(x + 9) \cdot (x - 9)} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$
$x \cdot (x + 9) + 11 x - 99$	=	$57 \frac{x + 9}{x + 9}$
$x \cdot (x + 9) + 11 x - 99$	=	$57$
$x^{2} + 9 x + 11 x - 99$	=	$57$
$x^{2} + 20 x - 99$	=	$57$

x^{2} + 20 x - 99

=

57

|

- 57

$x^{2} + 20 x - 156$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 156)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 624}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{1 024}}{2}$

x₁ = $\frac{- 20 + \sqrt{1 024}}{2}$ = $\frac{- 20+32}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 20 - \sqrt{1 024}}{2}$ = $\frac{- 20-32}{2}$ = $\frac{- 52}{2}$ = $- 26$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $10^{2} - (- 156)$ = $100$ $+$ $156$ = $256$

x_1,2 = $- 10$ ± $\sqrt{256}$

x₁ = $- 10$ - $16$ = -26

x₂ = $- 10$ + $16$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 26$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{6 x}{3 x - 2} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ ; $\frac{1}{2}$ }

\frac{6 x}{3 x - 2} + \frac{6 x}{2 x - 1} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{3 x - 2} + \frac{6 x}{2 x - 1} - 7$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{6 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + \frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (3 x - 2) - 7 \cdot (3 x - 2)$	=
$6 x + \frac{6 x \cdot (3 x - 2)}{2 x - 1} - 21 x + 14$	=
$6 x + \frac{18 x^{2} - 12 x}{2 x - 1} - 21 x + 14$	=
$\frac{18 x^{2} - 12 x}{2 x - 1} + 6 x - 21 x + 14$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{18 x^{2} - 12 x}{2 x - 1} + 6 x - 21 x + 14$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{18 x^{2} - 12 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + 6 x \cdot (2 x - 1) - 21 x \cdot (2 x - 1) + 14 \cdot (2 x - 1)$	=
$18 x^{2} - 12 x + 6 x \cdot (2 x - 1) - 21 x \cdot (2 x - 1) + 28 x - 14$	=
$18 x^{2} - 12 x + (12 x^{2} - 6 x) + (- 42 x^{2} + 21 x) + 28 x - 14$	=
$- 12 x^{2} + 31 x - 14$	=

$- 12 x^{2} + 31 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{31^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot (- 14)}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{961 - 672}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{289}}{- 24}$

x₁ = $\frac{- 31 + \sqrt{289}}{- 24}$ = $\frac{- 31+17}{- 24}$ = $\frac{- 14}{- 24}$ = $\frac{7}{12}$ ≈ 0.58

x₂ = $\frac{- 31 - \sqrt{289}}{- 24}$ = $\frac{- 31-17}{- 24}$ = $\frac{- 48}{- 24}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} + 31 x - 14$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} - \frac{31}{12} x + \frac{7}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{31}{24})}^{2} - (\frac{7}{6})$ = $\frac{961}{576}$ $-$ $\frac{7}{6}$ = $\frac{961}{576}$ $-$ $\frac{672}{576}$ = $\frac{289}{576}$

x_1,2 = $\frac{31}{24}$ ± $\sqrt{\frac{289}{576}}$

x₁ = $\frac{31}{24}$ - $\frac{17}{24}$ = $\frac{14}{24}$ = 0.58333333333333

x₂ = $\frac{31}{24}$ + $\frac{17}{24}$ = $\frac{48}{24}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{7}{12}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{2}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} + x + 2$

0

=

- x^{2} + x + 2

|

+ x^{2}

- x

- 2

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 + \frac{9}{x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 5 + \frac{9}{x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $x$ )
$- 5 \cdot x + \frac{9}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 5 \cdot x$
$- 5 x + 9$	=	$x \cdot x - 5 x$

$- 5 x + 9$	=	$x^{2} - 5 x$	\| $- 9$ $- x^{2}$ $+ 5 x$
$- x^{2}$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{4 x}{x - 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 1$ }

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{4 x}{2 x + 2} - 6$	=	0
$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{4 x}{2 (x + 1)} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{4 x}{2 (x + 1)} - 6$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{4 x}{2 (x + 1)} \cdot (x - 1) - 6 \cdot (x - 1)$	=
$4 x + \frac{2 x \cdot (x - 1)}{x + 1} - 6 x + 6$	=
$4 x + \frac{2 x^{2} - 2 x}{x + 1} - 6 x + 6$	=
$\frac{2 x^{2} - 2 x}{x + 1} + 4 x - 6 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 2 x}{x + 1} + 4 x - 6 x + 6$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x^{2} - 2 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 4 x \cdot (x + 1) - 6 x \cdot (x + 1) + 6 \cdot (x + 1)$	=
$2 x^{2} - 2 x + 4 x \cdot (x + 1) - 6 x \cdot (x + 1) + 6 x + 6$	=
$2 x^{2} - 2 x + (4 x^{2} + 4 x) + (- 6 x^{2} - 6 x) + 6 x + 6$	=
$2 x + 6$	=

$2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{6}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{6}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{6}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{6}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$6 + a x$	=	$- x^{2}$
$6 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):