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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{x}{x + 3}$ = $- 2$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{- x}{x + 3}$	=	$- 2$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{- x}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$- 2 \cdot (x + 3)$
$- x$	=	$- 2 (x + 3)$

$- x$	=	$- 2 x - 6$	\| $+ 2 x$
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 2$ = $- \frac{- 18 x}{2 x + 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$x + 2$	=	$\frac{18 x}{2 x + 5}$	\|⋅( $2 x + 5$ )
$x \cdot (2 x + 5) + 2 \cdot (2 x + 5)$	=	$\frac{18 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5)$
$x (2 x + 5) + 4 x + 10$	=	$18 x$
$2 x^{2} + 5 x + 4 x + 10$	=	$18 x$
$2 x^{2} + 9 x + 10$	=	$18 x$

2 x^{2} + 9 x + 10

=

18 x

|

- 18 x

$2 x^{2} - 9 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 10}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{9+1}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{9-1}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 9 x + 10$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - 5$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $5$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{80}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $2,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x + 3} + \frac{2 x - 3}{x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; 0}

\frac{2 x}{2 x + 3} + \frac{2 x - 3}{x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 x + 3} + \frac{2 x - 3}{x} - 5$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{2 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{2 x - 3}{x} \cdot (2 x + 3) - 5 \cdot (2 x + 3)$	=
$2 x + \frac{(2 x - 3) (2 x + 3)}{x} - 10 x - 15$	=
$2 x + \frac{4 x^{2} - 9}{x} - 10 x - 15$	=
$\frac{4 x^{2} - 9}{x} + 2 x - 10 x - 15$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 9}{x} + 2 x - 10 x - 15$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{4 x^{2} - 9}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 10 x \cdot x - 15 \cdot x$	=
$4 x^{2} - 9 + 2 x \cdot x - 10 x \cdot x - 15 x$	=
$4 x^{2} - 9 + 2 x^{2} - 10 x^{2} - 15 x$	=
$- 4 x^{2} - 15 x - 9$	=

$- 4 x^{2} - 15 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{81}}{- 8}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{15+9}{- 8}$ = $\frac{24}{- 8}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{15-9}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 15 x - 9$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{15}{4} x + \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{8})}^{2} - (\frac{9}{4})$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{81}{64}$

x_1,2 = $- \frac{15}{8}$ ± $\sqrt{\frac{81}{64}}$

x₁ = $- \frac{15}{8}$ - $\frac{9}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $- \frac{15}{8}$ + $\frac{9}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,75$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{4}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{4}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{4}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 + \frac{4}{x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$5 + \frac{4}{x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$5 \cdot x + \frac{4}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$5 x + 4$	=	$x \cdot x + 5 x$

$5 x + 4$	=	$x^{2} + 5 x$	\| $- 4$ $- x^{2}$ $- 5 x$
$- x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{11 x - 1}{- 3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $\frac{1}{3}$ }

- \frac{11 x - 1}{3 x} + \frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{8 x}{3 x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $6 x$ weg!

$- \frac{11 x - 1}{3 x} + \frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{8 x}{3 x - 1}$	=	\|⋅( $6 x$ )
$- \frac{11 x - 1}{3 x} \cdot 6 x + \frac{3 x - 1}{2 x} \cdot 6 x + \frac{8 x}{3 x - 1} \cdot 6 x$	=
$- 22 x + 2 + 9 x - 3 + 6 \frac{8 x \cdot x}{3 x - 1}$	=
$- 22 x + 2 + 9 x - 3 + \frac{48 x^{2}}{3 x - 1}$	=
$\frac{48 x^{2}}{3 x - 1} - 22 x + 9 x + 2 - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{48 x^{2}}{3 x - 1} - 22 x + 9 x + 2 - 3$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{48 x^{2}}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) - 22 x \cdot (3 x - 1) + 9 x \cdot (3 x - 1) + 2 \cdot (3 x - 1) - 3 \cdot (3 x - 1)$	=
$48 x^{2} - 22 x (3 x - 1) + 9 x (3 x - 1) + 6 x - 2 - 9 x + 3$	=
$48 x^{2} + (- 66 x^{2} + 22 x) + (27 x^{2} - 9 x) + 6 x - 2 - 9 x + 3$	=
$9 x^{2} + 10 x + 1$	=

$9 x^{2} + 10 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{18}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{18}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{18}$ = $\frac{- 10+8}{18}$ = $\frac{- 2}{18}$ = $- \frac{1}{9}$ ≈ -0.11

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{18}$ = $\frac{- 10-8}{18}$ = $\frac{- 18}{18}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} + 10 x + 1$ = 0 |: $9$

$x^{2} + \frac{10}{9} x + \frac{1}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{9})}^{2} - (\frac{1}{9})$ = $\frac{25}{81}$ $-$ $\frac{1}{9}$ = $\frac{25}{81}$ $-$ $\frac{9}{81}$ = $\frac{16}{81}$

x_1,2 = $- \frac{5}{9}$ ± $\sqrt{\frac{16}{81}}$

x₁ = $- \frac{5}{9}$ - $\frac{4}{9}$ = $- \frac{9}{9}$ = -1

x₂ = $- \frac{5}{9}$ + $\frac{4}{9}$ = $- \frac{1}{9}$ = -0.11111111111111

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{9}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$3 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$3 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$3 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$3 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$3 x + x^{2}$	=	$- a$
$3 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (2 - 5)$ = 3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 5)$ = $- 10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):