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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{x}{3 x + 4} + \frac{50}{3 x + 4}$ = $- 4$

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$- \frac{x}{3 x + 4} + \frac{50}{3 x + 4}$	=	$- 4$	\|⋅( $3 x + 4$ )
$- \frac{x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{50}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4)$	=	$- 4 \cdot (3 x + 4)$
$- x + 50$	=	$- 4 (3 x + 4)$

$- x + 50$	=	$- 12 x - 16$	\| $- 50$
$- x$	=	$- 12 x - 66$	\| $+ 12 x$
$11 x$	=	$- 66$	\|: $11$
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7 x}{2 x + 4} + \frac{51}{6 x + 12}$ = $4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{7 x}{2 (x + 2)} + \frac{51}{6 (x + 2)}

=

4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{7 x}{2 (x + 2)} + \frac{51}{6 (x + 2)}$	=	$4$	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{7 x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{51}{6 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2))$	=	$4 \cdot (2 (x + 2))$
$7 x + 17$	=	$8 (x + 2)$

$7 x + 17$	=	$8 x + 16$	\| $- 17$
$7 x$	=	$8 x - 1$	\| $- 8 x$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 9}$ = $- \frac{62}{3 x - 9} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{x}{3 x - 9}$	=	$- \frac{62}{3 x - 9} + 2 x$
$\frac{x}{3 (x - 3)}$	=	$- \frac{62}{3 (x - 3)} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 3)}$	=	$- \frac{62}{3 (x - 3)} + 2 x$	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{x}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3))$	=	$- \frac{62}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + 2 x \cdot (3 (x - 3))$
$x$	=	$- 62 + 6 x \cdot (x - 3)$
$x$	=	$6 x^{2} - 18 x - 62$

x

=

6 x^{2} - 18 x - 62

|

- 6 x^{2}

+ 18 x

+ 62

$- 6 x^{2} + 19 x + 62$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 62}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 1 488}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{1 849}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{1 849}}{- 12}$ = $\frac{- 19+43}{- 12}$ = $\frac{24}{- 12}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{1 849}}{- 12}$ = $\frac{- 19-43}{- 12}$ = $\frac{- 62}{- 12}$ = $\frac{31}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 19 x + 62$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{19}{6} x - \frac{31}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{12})}^{2} - (- \frac{31}{3})$ = $\frac{361}{144}$ $+$ $\frac{31}{3}$ = $\frac{361}{144}$ $+$ $\frac{1488}{144}$ = $\frac{1849}{144}$

x_1,2 = $\frac{19}{12}$ ± $\sqrt{\frac{1849}{144}}$

x₁ = $\frac{19}{12}$ - $\frac{43}{12}$ = $- \frac{24}{12}$ = -2

x₂ = $\frac{19}{12}$ + $\frac{43}{12}$ = $\frac{62}{12}$ = 5.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{31}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{12}{x^{2}}$ = $- \frac{20}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{12}{x^{2}}$	=	$- \frac{20}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{20}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2} + 12 x$	=	$- 20$

x^{2} + 12 x

=

- 20

|

+ 20

$x^{2} + 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 12+8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 12-8}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 6$ - $4$ = -10

x₂ = $- 6$ + $4$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x$ = $\frac{- 15 x + 6}{x - 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$4 x$	=	$\frac{- 15 x + 6}{x - 5}$	\|⋅( $x - 5$ )
$4 x \cdot (x - 5)$	=	$\frac{- 15 x + 6}{x - 5} \cdot (x - 5)$
$4 x \cdot (x - 5)$	=	$- 15 x + 6$
$4 x \cdot x + 4 x \cdot (- 5)$	=	$- 15 x + 6$
$4 x \cdot x - 20 x$	=	$- 15 x + 6$
$4 x^{2} - 20 x$	=	$- 15 x + 6$

4 x^{2} - 20 x

=

- 15 x + 6

|

+ 15 x

- 6

$4 x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{8}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{5+11}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = $2$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{5-11}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 5 x - 6$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{5}{4} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{8})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $\frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $\frac{5}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{5}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 1} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 1} - 2$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{3 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) - 2 \cdot (2 x + 1)$	=
$3 x - 4 x - 2$	=
$- x - 2$	=

$- x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 2 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 2 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 2 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 2 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 2 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 2 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):