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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{9 x}{x + 2} - \frac{51}{x + 2}$ = $2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{9 x}{x + 2} - \frac{51}{x + 2}$	=	$2$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{9 x}{x + 2} \cdot (x + 2) - \frac{51}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$2 \cdot (x + 2)$
$- 9 x - 51$	=	$2 (x + 2)$

$- 9 x - 51$	=	$2 x + 4$	\| $+ 51$
$- 9 x$	=	$2 x + 55$	\| $- 2 x$
$- 11 x$	=	$55$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 45}{x + 3}$ = $- 3 x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- \frac{45}{x + 3}$	=	$- 3 x - 3$	\|⋅( $x + 3$ )
$- \frac{45}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$- 3 x \cdot (x + 3) - 3 \cdot (x + 3)$
$- 45$	=	$- 3 x (x + 3) - 3 x - 9$
$- 45$	=	$- 3 x^{2} - 12 x - 9$

- 45

=

- 3 x^{2} - 12 x - 9

|

+ 3 x^{2}

+ 12 x

+ 9

3 x^{2} + 12 x - 36

= 0 |:3

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 8,5}{x + 1}$ = $- \frac{x}{2 x + 2} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

- \frac{8,5}{x + 1}

=

- \frac{x}{2 (x + 1)} - 4 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$- \frac{8,5}{x + 1}$	=	$- \frac{x}{2 (x + 1)} - 4 x$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$- \frac{8,5}{x + 1} \cdot (2 (x + 1))$	=	$- \frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) - 4 x \cdot (2 (x + 1))$
$- 17$	=	$- x - 8 x (x + 1)$
$- 17$	=	$- 8 x^{2} - 9 x$

- 17

=

- 8 x^{2} - 9 x

|

+ 8 x^{2}

+ 9 x

$8 x^{2} + 9 x - 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 17)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 544}}{16}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{625}}{16}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{625}}{16}$ = $\frac{- 9+25}{16}$ = $\frac{16}{16}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{625}}{16}$ = $\frac{- 9-25}{16}$ = $\frac{- 34}{16}$ = $- 2,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} + 9 x - 17$ = 0 |: $8$

$x^{2} + \frac{9}{8} x - \frac{17}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{16})}^{2} - (- \frac{17}{8})$ = $\frac{81}{256}$ $+$ $\frac{17}{8}$ = $\frac{81}{256}$ $+$ $\frac{544}{256}$ = $\frac{625}{256}$

x_1,2 = $- \frac{9}{16}$ ± $\sqrt{\frac{625}{256}}$

x₁ = $- \frac{9}{16}$ - $\frac{25}{16}$ = $- \frac{34}{16}$ = -2.125

x₂ = $- \frac{9}{16}$ + $\frac{25}{16}$ = $\frac{16}{16}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,125$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{8}{x^{4}}$ = $\frac{9}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{8}{x^{4}}$	=	$\frac{9}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{8}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{9}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 8$	=	$9 x$

x^{2} + 8

=

9 x

|

- 9 x

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 + \frac{7}{x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$3 + \frac{7}{x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $x$ )
$3 \cdot x + \frac{7}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 3 \cdot x$
$3 x + 7$	=	$x \cdot x - 3 x$

3 x + 7

=

x^{2} - 3 x

|

- x^{2}

+ 3 x

$- x^{2} + 6 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 6+8}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 6-8}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x + 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x - 10} + \frac{2 x}{3 x - 8} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; $\frac{10}{3}$ }

\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{2 x}{3 x - 10} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{2 x}{3 x - 10} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{2 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{2 x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 8) - 6 \cdot (3 x - 8)$	=
$2 x + \frac{2 x (3 x - 8)}{3 x - 10} - 18 x + 48$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} - 16 x}{3 x - 10} - 18 x + 48$	=
$\frac{6 x^{2} - 16 x}{3 x - 10} + 2 x - 18 x + 48$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 16 x}{3 x - 10} + 2 x - 18 x + 48$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{6 x^{2} - 16 x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + 2 x \cdot (3 x - 10) - 18 x \cdot (3 x - 10) + 48 \cdot (3 x - 10)$	=
$6 x^{2} - 16 x + 2 x (3 x - 10) - 18 x (3 x - 10) + 144 x - 480$	=
$6 x^{2} - 16 x + (6 x^{2} - 20 x) + (- 54 x^{2} + 180 x) + 144 x - 480$	=
$- 42 x^{2} + 288 x - 480$	=

- 42 x^{2} + 288 x - 480

= 0 |:6

$- 7 x^{2} + 48 x - 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{48^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 80)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{2 304 - 2 240}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{64}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 48 + \sqrt{64}}{- 14}$ = $\frac{- 48+8}{- 14}$ = $\frac{- 40}{- 14}$ = $\frac{20}{7}$ ≈ 2.86

x₂ = $\frac{- 48 - \sqrt{64}}{- 14}$ = $\frac{- 48-8}{- 14}$ = $\frac{- 56}{- 14}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} + 48 x - 80$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} - \frac{48}{7} x + \frac{80}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{24}{7})}^{2} - (\frac{80}{7})$ = $\frac{576}{49}$ $-$ $\frac{80}{7}$ = $\frac{576}{49}$ $-$ $\frac{560}{49}$ = $\frac{16}{49}$

x_1,2 = $\frac{24}{7}$ ± $\sqrt{\frac{16}{49}}$

x₁ = $\frac{24}{7}$ - $\frac{4}{7}$ = $\frac{20}{7}$ = 2.8571428571429

x₂ = $\frac{24}{7}$ + $\frac{4}{7}$ = $\frac{28}{7}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{20}{7}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{12}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{12}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{12}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{12}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$12$
$a x + x^{2} - 12$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):