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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2}{x + 8}$ = $1$

D=R\{ $- 8$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 8$ weg!

$- \frac{2}{x + 8}$	=	$1$	\|⋅( $x + 8$ )
$- \frac{2}{x + 8} \cdot (x + 8)$	=	$1 \cdot (x + 8)$
$- 2$	=	$x + 8$

$- 2$	=	$x + 8$	\| $+ 2$ $- x$
$- x$	=	$10$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 8} - \frac{2}{x - 8}$ = $\frac{80}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x + 8} - \frac{2}{x - 8}

=

\frac{80}{(x + 8) \cdot (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) \cdot (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x + 8} - \frac{2}{x - 8}$	=	$\frac{80}{(x + 8) \cdot (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) \cdot (x - 8)$ )
$\frac{x}{x + 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8) - \frac{2}{x - 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$	=	$\frac{80}{(x + 8) \cdot (x - 8)} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$
$x \cdot (x - 8) - 2 x - 16$	=	$80 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x \cdot (x - 8) - 2 x - 16$	=	$80$
$x^{2} - 8 x - 2 x - 16$	=	$80$
$x^{2} - 10 x - 16$	=	$80$

x^{2} - 10 x - 16

=

80

|

- 80

$x^{2} - 10 x - 96$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 96)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 + 384}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{484}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{484}}{2}$ = $\frac{10+22}{2}$ = $\frac{32}{2}$ = $16$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{484}}{2}$ = $\frac{10-22}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - (- 96)$ = $25$ $+$ $96$ = $121$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{121}$

x₁ = $5$ - $11$ = -6

x₂ = $5$ + $11$ = 16

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $16$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{2 x - 2} + \frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{- 24 x}{2 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{1}{3}$ }

$\frac{12 x - 24 x}{2 x - 2} + \frac{12 x}{3 x - 1}$	=	0
$\frac{12 x - 24 x}{2 (x - 1)} + \frac{12 x}{3 x - 1}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{12 x - 24 x}{2 (x - 1)} + \frac{12 x}{3 x - 1}$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{12 x - 24 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{12 x}{3 x - 1} \cdot (2 (x - 1))$	=
$12 x - 24 x + 2 \frac{12 x \cdot (x - 1)}{3 x - 1}$	=
$12 x - 24 x + \frac{2 (12 x^{2} - 12 x)}{3 x - 1}$	=
$\frac{2 (12 x^{2} - 12 x)}{3 x - 1} + 12 x - 24 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{2 (12 x^{2} - 12 x)}{3 x - 1} + 12 x - 24 x$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{2 (12 x^{2} - 12 x)}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 12 x \cdot (3 x - 1) - 24 x \cdot (3 x - 1)$	=
$24 x^{2} - 24 x + 12 x \cdot (3 x - 1) - 24 x \cdot (3 x - 1)$	=
$24 x^{2} - 24 x + (36 x^{2} - 12 x) + (- 72 x^{2} + 24 x)$	=
$- 12 x^{2} - 12 x$	=

$- 12 x^{2} - 12 x$	=	0
$- 12 x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{27}{x^{3}}$ = $\frac{12}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{27}{x^{3}}$	=	$\frac{12}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{27}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$\frac{12}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$x^{2} + 27$	=	$12 x$

x^{2} + 27

=

12 x

|

- 12 x

$x^{2} - 12 x + 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12+6}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12-6}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 27$ = $36$ $-$ $27$ = $9$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $6$ - $3$ = 3

x₂ = $6$ + $3$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{2}{x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{2}{x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{2}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 3 \cdot x$
$- 2$	=	$x \cdot x - 3 x$

- 2

=

x^{2} - 3 x

|

- x^{2}

+ 3 x

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3+1}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3-1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{3 x - 5} + \frac{x - 1}{3 x - 7} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{7}{3}$ ; $\frac{5}{3}$ }

\frac{x - 1}{3 x - 7} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{x - 1}{3 x - 7} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} - 5$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{x - 1}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} \cdot (3 x - 7) - 5 \cdot (3 x - 7)$	=
$x - 1 + \frac{(5 x + 1) \cdot (3 x - 7)}{3 x - 5} - 15 x + 35$	=
$x - 1 + \frac{15 x^{2} - 32 x - 7}{3 x - 5} - 15 x + 35$	=
$\frac{15 x^{2} - 32 x - 7}{3 x - 5} + x - 15 x - 1 + 35$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{15 x^{2} - 32 x - 7}{3 x - 5} + x - 15 x - 1 + 35$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{15 x^{2} - 32 x - 7}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + x \cdot (3 x - 5) - 15 x \cdot (3 x - 5) - 1 \cdot (3 x - 5) + 35 \cdot (3 x - 5)$	=
$15 x^{2} - 32 x - 7 + x \cdot (3 x - 5) - 15 x \cdot (3 x - 5) - 3 x + 5 + 105 x - 175$	=
$15 x^{2} - 32 x - 7 + (3 x^{2} - 5 x) + (- 45 x^{2} + 75 x) - 3 x + 5 + 105 x - 175$	=
$- 27 x^{2} + 140 x - 177$	=

$- 27 x^{2} + 140 x - 177$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 140 \pm \sqrt{140^{2} - 4 \cdot (- 27) \cdot (- 177)}}{2 \cdot (- 27)}$

x_1,2 = $\frac{- 140 \pm \sqrt{19 600 - 19 116}}{- 54}$

x_1,2 = $\frac{- 140 \pm \sqrt{484}}{- 54}$

x₁ = $\frac{- 140 + \sqrt{484}}{- 54}$ = $\frac{- 140+22}{- 54}$ = $\frac{- 118}{- 54}$ = $\frac{59}{27}$ ≈ 2.19

x₂ = $\frac{- 140 - \sqrt{484}}{- 54}$ = $\frac{- 140-22}{- 54}$ = $\frac{- 162}{- 54}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 27$ " teilen:

$- 27 x^{2} + 140 x - 177$ = 0 |: $- 27$

$x^{2} - \frac{140}{27} x + \frac{59}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{70}{27})}^{2} - (\frac{59}{9})$ = $\frac{4900}{729}$ $-$ $\frac{59}{9}$ = $\frac{4900}{729}$ $-$ $\frac{4779}{729}$ = $\frac{121}{729}$

x_1,2 = $\frac{70}{27}$ ± $\sqrt{\frac{121}{729}}$

x₁ = $\frac{70}{27}$ - $\frac{11}{27}$ = $\frac{59}{27}$ = 2.1851851851852

x₂ = $\frac{70}{27}$ + $\frac{11}{27}$ = $\frac{81}{27}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{59}{27}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{12}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{12}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{12}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{12}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$12 + x^{2}$	=	$- a x$
$12 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):