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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4 x}{2 x + 3} + \frac{51}{2 x + 3}$ = $- 3$

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{4 x}{2 x + 3} + \frac{51}{2 x + 3}$	=	$- 3$	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{4 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{51}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3)$	=	$- 3 \cdot (2 x + 3)$
$4 x + 51$	=	$- 3 (2 x + 3)$

$4 x + 51$	=	$- 6 x - 9$	\| $- 51$
$4 x$	=	$- 6 x - 60$	\| $+ 6 x$
$10 x$	=	$- 60$	\|: $10$
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7 x}{x + 1} + \frac{64}{2 x + 2}$ = $2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{7 x}{x + 1} + \frac{64}{2 (x + 1)}

=

2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{7 x}{x + 1} + \frac{64}{2 (x + 1)}$	=	$2$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{7 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{64}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=	$2 \cdot (x + 1)$
$7 x + 32$	=	$2 (x + 1)$

$7 x + 32$	=	$2 x + 2$	\| $- 32$
$7 x$	=	$2 x - 30$	\| $- 2 x$
$5 x$	=	$- 30$	\|: $5$
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{3 x} + \frac{6 x}{3 x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{2 x - 1}{3 x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{2 x - 1}{3 x} - 4$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{6 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{2 x - 1}{3 x} \cdot (3 x + 1) - 4 \cdot (3 x + 1)$	=
$6 x + \frac{(2 x - 1) (3 x + 1)}{3 x} - 12 x - 4$	=
$6 x + \frac{6 x^{2} - x - 1}{3 x} - 12 x - 4$	=
$\frac{6 x^{2} - x - 1}{3 x} + 6 x - 12 x - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{6 x^{2} - x - 1}{3 x} + 6 x - 12 x - 4$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{6 x^{2} - x - 1}{3 x} \cdot 3 x + 6 x \cdot 3 x - 12 x \cdot 3 x - 4 \cdot 3 x$	=
$6 x^{2} - x - 1 + 18 x \cdot x - 36 x \cdot x - 12 x$	=
$6 x^{2} - x - 1 + 18 x^{2} - 36 x^{2} - 12 x$	=
$- 12 x^{2} - 13 x - 1$	=

$- 12 x^{2} - 13 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{121}}{- 24}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{121}}{- 24}$ = $\frac{13+11}{- 24}$ = $\frac{24}{- 24}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{121}}{- 24}$ = $\frac{13-11}{- 24}$ = $\frac{2}{- 24}$ = $- \frac{1}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} - 13 x - 1$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} + \frac{13}{12} x + \frac{1}{12}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{24})}^{2} - (\frac{1}{12})$ = $\frac{169}{576}$ $-$ $\frac{1}{12}$ = $\frac{169}{576}$ $-$ $\frac{48}{576}$ = $\frac{121}{576}$

x_1,2 = $- \frac{13}{24}$ ± $\sqrt{\frac{121}{576}}$

x₁ = $- \frac{13}{24}$ - $\frac{11}{24}$ = $- \frac{24}{24}$ = -1

x₂ = $- \frac{13}{24}$ + $\frac{11}{24}$ = $- \frac{2}{24}$ = -0.083333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{1}{x}$ = $\frac{90}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{1}{x}$	=	$\frac{90}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{1}{x} \cdot x^{2}$	=	$\frac{90}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - x$	=	$90$

x^{2} - x

=

90

|

- 90

$x^{2} - x - 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 90)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 360}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{361}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{1+19}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{1-19}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 90)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $90$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{361}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{361}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{19}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{19}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 13 x - 16}{x - 3}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{- 13 x - 16}{x - 3}$	=	$x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{- 13 x - 16}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$x \cdot (x - 3)$
$- 13 x - 16$	=	$x (x - 3)$
$- 13 x - 16$	=	$x^{2} - 3 x$

- 13 x - 16

=

x^{2} - 3 x

|

- x^{2}

+ 3 x

$- x^{2} - 10 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{10+6}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{10-6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 10 x - 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 5$ - $3$ = -8

x₂ = $- 5$ + $3$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x - 3} + \frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{48 x}{- 3 x + 9}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $3$ }

$\frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{12 x}{x - 3} + \frac{48 x}{- 3 x + 9}$	=	0
$\frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{12 x}{x - 3} + \frac{48 x}{3 (- x + 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{12 x}{x - 3} + \frac{48 x}{3 (- x + 3)}$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{3 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{12 x}{x - 3} \cdot (2 x - 1) + \frac{48 x}{3 (- x + 3)} \cdot (2 x - 1)$	=
$3 x + \frac{12 x (2 x - 1)}{x - 3} + \frac{16 x (2 x - 1)}{- x + 3}$	=
$3 x + \frac{24 x^{2} - 12 x}{x - 3} + \frac{32 x^{2} - 16 x}{- x + 3}$	=
$\frac{32 x^{2} - 16 x}{- x + 3} + \frac{24 x^{2} - 12 x}{x - 3} + 3 x$	=

\frac{24 x^{2} - 12 x}{x - 3} + \frac{32 x^{2} - 16 x}{- x + 3} + 3 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{24 x^{2} - 12 x}{x - 3} + \frac{32 x^{2} - 16 x}{- x + 3} + 3 x$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{24 x^{2} - 12 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{32 x^{2} - 16 x}{- x + 3} \cdot (x - 3) + 3 x \cdot (x - 3)$	=
$24 x^{2} - 12 x + \frac{(32 x^{2} - 16 x) (x - 3)}{- x + 3} + 3 x (x - 3)$	=
$24 x^{2} - 12 x - 16 x (2 x - 1) + 3 x (x - 3)$	=
$24 x^{2} - 12 x + (- 32 x^{2} + 16 x) + (3 x^{2} - 9 x)$	=
$- 5 x^{2} - 5 x$	=

$- 5 x^{2} - 5 x$	=	0
$- 5 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 2$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 2$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 2$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 2 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- 2 x$
$a + x^{2} + 2 x$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):