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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4 x}{x + 20}$ = $- 1$

D=R\{ $- 20$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 20$ weg!

$\frac{4 x}{x + 20}$	=	$- 1$	\|⋅( $x + 20$ )
$\frac{4 x}{x + 20} \cdot (x + 20)$	=	$- 1 \cdot (x + 20)$
$4 x$	=	$- (x + 20)$

$4 x$	=	$- x - 20$	\| $+ x$
$5 x$	=	$- 20$	\|: $5$
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 78}{x - 2} + 2 x - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

- \frac{78}{x - 2} + 2 x - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{78}{x - 2} + 2 x - 5$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{78}{x - 2} \cdot (x - 2) + 2 x \cdot (x - 2) - 5 \cdot (x - 2)$	=
$- 78 + 2 x \cdot (x - 2) - 5 x + 10$	=
$- 78 + (2 x^{2} - 4 x) - 5 x + 10$	=
$2 x^{2} - 9 x - 68$	=

$2 x^{2} - 9 x - 68$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 68)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 544}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{625}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{9+25}{4}$ = $\frac{34}{4}$ = $8,5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{9-25}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 9 x - 68$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x - 34$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (- 34)$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $34$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{544}{16}$ = $\frac{625}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{625}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{25}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{25}{4}$ = $\frac{34}{4}$ = 8.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $8,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{3 x - 1}{2 x - 4} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{3}$ ; $2$ }

$\frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{3 x - 1}{2 x - 4} - 7$	=	0
$\frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{3 x - 1}{2 (x - 2)} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{3 x - 1}{2 (x - 2)} - 7$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{4 x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + \frac{3 x - 1}{2 (x - 2)} \cdot (3 x - 5) - 7 \cdot (3 x - 5)$	=
$4 x + \frac{(3 x - 1) \cdot (3 x - 5)}{2 (x - 2)} - 21 x + 35$	=
$4 x + \frac{9 x^{2} - 18 x + 5}{2 (x - 2)} - 21 x + 35$	=
$\frac{9 x^{2} - 18 x + 5}{2 (x - 2)} + 4 x - 21 x + 35$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 18 x + 5}{2 (x - 2)} + 4 x - 21 x + 35$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{9 x^{2} - 18 x + 5}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + 4 x \cdot (2 (x - 2)) - 21 x \cdot (2 (x - 2)) + 35 \cdot (2 (x - 2))$	=
$9 x^{2} - 18 x + 5 + 8 x \cdot (x - 2) - 42 x \cdot (x - 2) + 70 x - 140$	=
$9 x^{2} - 18 x + 5 + (8 x^{2} - 16 x) + (- 42 x^{2} + 84 x) + 70 x - 140$	=
$- 25 x^{2} + 120 x - 135$	=

- 25 x^{2} + 120 x - 135

= 0 |:5

$- 5 x^{2} + 24 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 27)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 540}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{36}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 24 + \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{- 24+6}{- 10}$ = $\frac{- 18}{- 10}$ = $1,8$

x₂ = $\frac{- 24 - \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{- 24-6}{- 10}$ = $\frac{- 30}{- 10}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 24 x - 27$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{24}{5} x + \frac{27}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{12}{5})}^{2} - (\frac{27}{5})$ = $\frac{144}{25}$ $-$ $\frac{27}{5}$ = $\frac{144}{25}$ $-$ $\frac{135}{25}$ = $\frac{9}{25}$

x_1,2 = $\frac{12}{5}$ ± $\sqrt{\frac{9}{25}}$

x₁ = $\frac{12}{5}$ - $\frac{3}{5}$ = $\frac{9}{5}$ = 1.8

x₂ = $\frac{12}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $\frac{15}{5}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,8$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{8}{x}$ = $- 1 + \frac{9}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{8}{x}$	=	$- 1 + \frac{9}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{8}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{9}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$- 8 x$	=	$- x^{2} + 9$

- 8 x

=

- x^{2} + 9

|

+ x^{2}

- 9

$x^{2} - 8 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8+10}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8-10}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - (- 9)$ = $16$ $+$ $9$ = $25$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $4$ - $5$ = -1

x₂ = $4$ + $5$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{28 x - 4}{x + 5}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{28 x - 4}{x + 5}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{28 x - 4}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$3 x \cdot (x + 5)$
$28 x - 4$	=	$3 x \cdot (x + 5)$
$28 x - 4$	=	$3 x^{2} + 15 x$

28 x - 4

=

3 x^{2} + 15 x

|

- 3 x^{2}

- 15 x

$- 3 x^{2} + 13 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{- 6}$ = $\frac{- 13+11}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{- 6}$ = $\frac{- 13-11}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 13 x - 4$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{13}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{6})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $\frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $\frac{13}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{13}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{3 x - 1} + \frac{4 x}{x - 3} + \frac{- 60 x}{9 x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $\frac{1}{3}$ }

$\frac{4 x}{x - 3} + \frac{16 x}{3 x - 1} - \frac{60 x}{9 x - 3}$	=	0
$\frac{4 x}{x - 3} + \frac{16 x}{3 x - 1} - \frac{60 x}{3 (3 x - 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{4 x}{x - 3} + \frac{16 x}{3 x - 1} - \frac{60 x}{3 (3 x - 1)}$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{4 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{16 x}{3 x - 1} \cdot (x - 3) - \frac{60 x}{3 (3 x - 1)} \cdot (x - 3)$	=
$4 x + \frac{16 x \cdot (x - 3)}{3 x - 1} - \frac{20 x \cdot (x - 3)}{3 x - 1}$	=
$4 x + \frac{16 x^{2} - 48 x}{3 x - 1} - \frac{20 x^{2} - 60 x}{3 x - 1}$	=
$\frac{16 x^{2} - 48 x - 20 x^{2} + 60 x}{3 x - 1} + 4 x$	=

\frac{16 x^{2} - 20 x^{2} - 48 x + 60 x}{3 x - 1} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{16 x^{2} - 20 x^{2} - 48 x + 60 x}{3 x - 1} + 4 x$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{16 x^{2} - 20 x^{2} - 48 x + 60 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 4 x \cdot (3 x - 1)$	=
$16 x^{2} - 20 x^{2} - 48 x + 60 x + 4 x \cdot (3 x - 1)$	=
$16 x^{2} - 20 x^{2} - 48 x + 60 x + (12 x^{2} - 4 x)$	=
$8 x^{2} + 8 x$	=

$8 x^{2} + 8 x$	=	0
$8 x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 1$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 1$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 1$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 1 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- x$
$x^{2} + a + x$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):