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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7 x}{x + 12}$ = $- 4$

D=R\{ $- 12$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 12$ weg!

$\frac{- 7 x}{x + 12}$	=	$- 4$	\|⋅( $x + 12$ )
$\frac{- 7 x}{x + 12} \cdot (x + 12)$	=	$- 4 \cdot (x + 12)$
$- \frac{7 x}{1}$	=	$- 4 (x + 12)$
$- 7 x$	=	$- 4 (x + 12)$

$- 7 x$	=	$- 4 x - 48$	\| $+ 4 x$
$- 3 x$	=	$- 48$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$16$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $16$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5 x}{3 x - 5} + \frac{174}{6 x - 10}$ = $- 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{3}$ }

\frac{5 x}{3 x - 5} + \frac{174}{2 (3 x - 5)}

=

- 2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{5 x}{3 x - 5} + \frac{174}{2 (3 x - 5)}$	=	$- 2$	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{5 x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + \frac{174}{2 (3 x - 5)} \cdot (3 x - 5)$	=	$- 2 \cdot (3 x - 5)$
$5 x + 87$	=	$- 2 (3 x - 5)$

$5 x + 87$	=	$- 6 x + 10$	\| $- 87$
$5 x$	=	$- 6 x - 77$	\| $+ 6 x$
$11 x$	=	$- 77$	\|: $11$
$x$	=	$- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 248}{6 x + 6} + 2 x$ = $- \frac{x}{3 x + 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$- \frac{248}{6 x + 6} + 2 x$	=	$\frac{- x}{3 x + 3}$
$- \frac{248}{6 (x + 1)} + 2 x$	=	$\frac{- x}{3 (x + 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$- \frac{248}{6 (x + 1)} + 2 x$	=	$\frac{- x}{3 (x + 1)}$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{- 248}{6 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + 2 x \cdot (3 (x + 1))$	=	$\frac{- x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$
$- 124 + 6 x \cdot (x + 1)$	=	$- x$
$- 124 + (6 x^{2} + 6 x)$	=	$- x$
$6 x^{2} + 6 x - 124$	=	$- x$

6 x^{2} + 6 x - 124

=

- x

|

+ x

$6 x^{2} + 7 x - 124$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 124)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 2 976}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{3 025}}{12}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{3 025}}{12}$ = $\frac{- 7+55}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{3 025}}{12}$ = $\frac{- 7-55}{12}$ = $\frac{- 62}{12}$ = $- \frac{31}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 7 x - 124$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{7}{6} x - \frac{62}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{12})}^{2} - (- \frac{62}{3})$ = $\frac{49}{144}$ $+$ $\frac{62}{3}$ = $\frac{49}{144}$ $+$ $\frac{2976}{144}$ = $\frac{3025}{144}$

x_1,2 = $- \frac{7}{12}$ ± $\sqrt{\frac{3025}{144}}$

x₁ = $- \frac{7}{12}$ - $\frac{55}{12}$ = $- \frac{62}{12}$ = -5.1666666666667

x₂ = $- \frac{7}{12}$ + $\frac{55}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{31}{6}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{5}{x^{3}}$ = $\frac{6}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{5}{x^{3}}$	=	$\frac{6}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{5}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{6}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2} - 5 x$	=	$6$

x^{2} - 5 x

=

6

|

- 6

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 3 x + 15}{x + 3}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{- 3 x + 15}{x + 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{- 3 x + 15}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$3 x \cdot (x + 3)$
$- 3 x + 15$	=	$3 x \cdot (x + 3)$
$- 3 x + 15$	=	$3 x^{2} + 9 x$

- 3 x + 15

=

3 x^{2} + 9 x

|

- 3 x^{2}

- 9 x

- 3 x^{2} - 12 x + 15

= 0 |:3

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4+6}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4-6}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{x - 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{5 x - 1}{x - 1} - 4$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{5 x - 1}{x - 1} \cdot (x - 1) - 4 \cdot (x - 1)$	=
$5 x - 1 - 4 x + 4$	=
$x + 3$	=

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{24}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{24}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{24}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{24}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 24$	=	$- a x$
$x^{2} + 24 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 12$ = 24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 12)$ = $- 14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 14 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14+10}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14-10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 24$ = $49$ $-$ $24$ = $25$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $7$ - $5$ = 2

x₂ = $7$ + $5$ = 12

L={ $2$ ; $12$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):