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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9}{x}$ = $\frac{5}{4}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9}{x}$	=	$\frac{5}{4}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{9}{x} \cdot x$	=	$\frac{5}{4} \cdot x$
$9$	=	$\frac{5}{4} x$

$9$	=	$\frac{5}{4} x$	\|⋅ 4
$36$	=	$5 x$	\| $- 36$ $- 5 x$
$- 5 x$	=	$- 36$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$\frac{36}{5}$ = 7.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{36}{5}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 5$ = $- \frac{- 4 x}{2 x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$x - 5$	=	$\frac{4 x}{2 x - 3}$	\|⋅( $2 x - 3$ )
$x \cdot (2 x - 3) - 5 \cdot (2 x - 3)$	=	$\frac{4 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3)$
$x \cdot (2 x - 3) - 10 x + 15$	=	$4 x$
$2 x^{2} - 3 x - 10 x + 15$	=	$4 x$
$2 x^{2} - 13 x + 15$	=	$4 x$

2 x^{2} - 13 x + 15

=

4 x

|

- 4 x

$2 x^{2} - 17 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{17+13}{4}$ = $\frac{30}{4}$ = $7,5$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{17-13}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 17 x + 15$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{17}{2} x + \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{4})}^{2} - (\frac{15}{2})$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{17}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

x₂ = $\frac{17}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{30}{4}$ = 7.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $7,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 5} - 2 x$ = $- \frac{4,2}{x - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{x}{5 (x - 1)} - 2 x

=

- \frac{4,2}{x - 1}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 1)} - 2 x$	=	$- \frac{4,2}{x - 1}$	\|⋅( $5 (x - 1)$ )
$\frac{x}{5 (x - 1)} \cdot (5 (x - 1)) - 2 x \cdot (5 (x - 1))$	=	$- \frac{4,2}{x - 1} \cdot (5 (x - 1))$
$x - 10 x \cdot (x - 1)$	=	$- 21$
$x + (- 10 x^{2} + 10 x)$	=	$- 21$
$- 10 x^{2} + 11 x$	=	$- 21$

- 10 x^{2} + 11 x

=

- 21

|

+ 21

$- 10 x^{2} + 11 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 21}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 840}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{961}}{- 20}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{961}}{- 20}$ = $\frac{- 11+31}{- 20}$ = $\frac{20}{- 20}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{961}}{- 20}$ = $\frac{- 11-31}{- 20}$ = $\frac{- 42}{- 20}$ = $2,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} + 11 x + 21$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} - \frac{11}{10} x - \frac{21}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{20})}^{2} - (- \frac{21}{10})$ = $\frac{121}{400}$ $+$ $\frac{21}{10}$ = $\frac{121}{400}$ $+$ $\frac{840}{400}$ = $\frac{961}{400}$

x_1,2 = $\frac{11}{20}$ ± $\sqrt{\frac{961}{400}}$

x₁ = $\frac{11}{20}$ - $\frac{31}{20}$ = $- \frac{20}{20}$ = -1

x₂ = $\frac{11}{20}$ + $\frac{31}{20}$ = $\frac{42}{20}$ = 2.1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2,1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{5}{x}$ = $\frac{50}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{5}{x}$	=	$\frac{50}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{5}{x} \cdot x^{2}$	=	$\frac{50}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 5 x$	=	$50$

x^{2} - 5 x

=

50

|

- 50

$x^{2} - 5 x - 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 50)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{5+15}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{5-15}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 50)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $50$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 + \frac{24}{x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$9 + \frac{24}{x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $x$ )
$9 \cdot x + \frac{24}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 4 \cdot x$
$9 x + 24$	=	$x \cdot x + 4 x$

9 x + 24

=

x^{2} + 4 x

|

- x^{2}

- 4 x

$- x^{2} + 5 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 24}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{- 5+11}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{- 5-11}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x + 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x - 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 3}{x} + \frac{x - 1}{2 x + 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

$\frac{x - 1}{2 x + 2} + \frac{x - 3}{x} - 3$	=	0
$\frac{x - 1}{2 (x + 1)} + \frac{x - 3}{x} - 3$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{x - 1}{2 (x + 1)} + \frac{x - 3}{x} - 3$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{x - 1}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{x - 3}{x} \cdot (2 (x + 1)) - 3 \cdot (2 (x + 1))$	=
$x - 1 + 2 \frac{(x - 3) \cdot (x + 1)}{x} - 6 x - 6$	=
$x - 1 + \frac{2 (x^{2} - 2 x - 3)}{x} - 6 x - 6$	=
$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 3)}{x} + x - 6 x - 1 - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 3)}{x} + x - 6 x - 1 - 6$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 3)}{x} \cdot x + x \cdot x - 6 x \cdot x - 1 \cdot x - 6 \cdot x$	=
$2 x^{2} - 4 x - 6 + x \cdot x - 6 x \cdot x - x - 6 x$	=
$2 x^{2} - 4 x - 6 + x^{2} - 6 x^{2} - x - 6 x$	=
$- 3 x^{2} - 11 x - 6$	=

$- 3 x^{2} - 11 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{- 6}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{11+7}{- 6}$ = $\frac{18}{- 6}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{11-7}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 11 x - 6$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{11}{3} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{6})}^{2} - 2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $- \frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $- \frac{11}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $- \frac{11}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{30}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{30}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{30}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{30}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 30$	=	$- a x$
$x^{2} + 30 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 15)$ = $- 17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 17 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17+13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17-13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = 15

L={ $2$ ; $15$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):