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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{- 3 x - 10}{x + 1}$ = $- 4$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- 3 x - 10}{x + 1}$	=	$- 4$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- 3 x - 10}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 4 \cdot (x + 1)$
$- 3 x - 10$	=	$- 4 (x + 1)$

$- 3 x - 10$	=	$- 4 x - 4$	\| $+ 10$
$- 3 x$	=	$- 4 x + 6$	\| $+ 4 x$
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 8} + \frac{7}{x + 8}$ = $\frac{230}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x - 8} + \frac{7}{x + 8}

=

\frac{230}{(x + 8) (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x - 8} + \frac{7}{x + 8}$	=	$\frac{230}{(x + 8) (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) (x - 8)$ )
$\frac{x}{x - 8} \cdot (x + 8) (x - 8) + \frac{7}{x + 8} \cdot (x + 8) (x - 8)$	=	$\frac{230}{(x + 8) (x - 8)} \cdot (x + 8) (x - 8)$
$x (x + 8) + 7 x - 56$	=	$230 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x (x + 8) + 7 x - 56$	=	$230$
$x^{2} + 8 x + 7 x - 56$	=	$230$
$x^{2} + 15 x - 56$	=	$230$

x^{2} + 15 x - 56

=

230

|

- 230

$x^{2} + 15 x - 286$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 286)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 + 1 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{1 369}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{1 369}}{2}$ = $\frac{- 15+37}{2}$ = $\frac{22}{2}$ = $11$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{1 369}}{2}$ = $\frac{- 15-37}{2}$ = $\frac{- 52}{2}$ = $- 26$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - (- 286)$ = $\frac{225}{4}$ $+$ $286$ = $\frac{225}{4}$ $+$ $\frac{1144}{4}$ = $\frac{1369}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{37}{2}$ = $- \frac{52}{2}$ = -26

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{37}{2}$ = $\frac{22}{2}$ = 11

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 26$ ; $11$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 9}$ = $- \frac{104}{6 x + 18} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$\frac{x}{3 x + 9}$	=	$- \frac{104}{6 x + 18} + 4 x$
$\frac{x}{3 (x + 3)}$	=	$- \frac{104}{6 (x + 3)} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 3)}$	=	$- \frac{104}{6 (x + 3)} + 4 x$	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$\frac{x}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3))$	=	$\frac{- 104}{6 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) + 4 x \cdot (3 (x + 3))$
$x$	=	$- 52 + 12 x (x + 3)$
$x$	=	$12 x^{2} + 36 x - 52$

x

=

12 x^{2} + 36 x - 52

|

- 12 x^{2}

- 36 x

+ 52

$- 12 x^{2} - 35 x + 52$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{{(- 35)}^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 52}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{1 225 + 2 496}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{3 721}}{- 24}$

x₁ = $\frac{35 + \sqrt{3 721}}{- 24}$ = $\frac{35+61}{- 24}$ = $\frac{96}{- 24}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{35 - \sqrt{3 721}}{- 24}$ = $\frac{35-61}{- 24}$ = $\frac{- 26}{- 24}$ = $\frac{13}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} - 35 x + 52$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} + \frac{35}{12} x - \frac{13}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{35}{24})}^{2} - (- \frac{13}{3})$ = $\frac{1225}{576}$ $+$ $\frac{13}{3}$ = $\frac{1225}{576}$ $+$ $\frac{2496}{576}$ = $\frac{3721}{576}$

x_1,2 = $- \frac{35}{24}$ ± $\sqrt{\frac{3721}{576}}$

x₁ = $- \frac{35}{24}$ - $\frac{61}{24}$ = $- \frac{96}{24}$ = -4

x₂ = $- \frac{35}{24}$ + $\frac{61}{24}$ = $\frac{26}{24}$ = 1.0833333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{13}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{21}{x^{2}}$ = $- \frac{10}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{21}{x^{2}}$	=	$- \frac{10}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{21}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{10}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 21$	=	$- 10 x$

x^{2} + 21

=

- 10 x

|

+ 10 x

$x^{2} + 10 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 10+4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 10-4}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 5$ - $2$ = -7

x₂ = $- 5$ + $2$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 11 - \frac{10}{x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 11 - \frac{10}{x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $x$ )
$- 11 \cdot x - \frac{10}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 4 \cdot x$
$- 11 x - 10$	=	$x \cdot x - 4 x$

- 11 x - 10

=

x^{2} - 4 x

|

- x^{2}

+ 4 x

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7+3}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7-3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{2 x - 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x - 1} - 4$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) - 4 \cdot (2 x - 1)$	=
$6 x - 8 x + 4$	=
$- 2 x + 4$	=

$- 2 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 9$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 9$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 9$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 9 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 9 x$	=	$- a$
$x^{2} - 9 x + a$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):