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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{5 x}{x - 4}$ = $- 1$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{- 5 x}{x - 4}$	=	$- 1$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{- 5 x}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$- 1 \cdot (x - 4)$
$- \frac{5 x}{1}$	=	$- (x - 4)$
$- 5 x$	=	$- (x - 4)$

$- 5 x$	=	$- x + 4$	\| $+ x$
$- 4 x$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 9}{x + 5}$ = $- x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{9}{x + 5}$	=	$- x - 5$	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{9}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$- x \cdot (x + 5) - 5 \cdot (x + 5)$
$- 9$	=	$- x \cdot (x + 5) - 5 x - 25$
$- 9$	=	$- x^{2} - 10 x - 25$

- 9

=

- x^{2} - 10 x - 25

|

+ x^{2}

+ 10 x

+ 25

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 5$ - $3$ = -8

x₂ = $- 5$ + $3$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 2} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{x}{2 (x - 1)} - 1

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 1)} - 1$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) - 1 \cdot (2 (x - 1))$	=
$x - 2 x + 2$	=
$- x + 2$	=

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{4}{x}$ = $\frac{60}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{4}{x}$	=	$\frac{60}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{4}{x} \cdot x^{2}$	=	$\frac{60}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 4 x$	=	$60$

x^{2} + 4 x

=

60

|

- 60

$x^{2} + 4 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 4+16}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 4-16}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 60)$ = $4$ $+$ $60$ = $64$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $- 2$ - $8$ = -10

x₂ = $- 2$ + $8$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{6}{x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{6}{x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{6}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$- 6$	=	$x \cdot x + 5 x$

- 6

=

x^{2} + 5 x

|

- x^{2}

- 5 x

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5+1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5-1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{2 x + 4} + \frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{- 5 x - 1}{2 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ }

$\frac{3 x + 1 - 5 x - 1}{2 x + 4} + \frac{4 x}{3 x + 5}$	=	0
$\frac{3 x + 1 - 5 x - 1}{2 (x + 2)} + \frac{4 x}{3 x + 5}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{3 x + 1 - 5 x - 1}{2 (x + 2)} + \frac{4 x}{3 x + 5}$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{3 x + 1 - 5 x - 1}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{4 x}{3 x + 5} \cdot (2 (x + 2))$	=
$3 x + 1 - 5 x - 1 + 2 \frac{4 x \cdot (x + 2)}{3 x + 5}$	=
$3 x + 1 - 5 x - 1 + \frac{2 (4 x^{2} + 8 x)}{3 x + 5}$	=
$\frac{2 (4 x^{2} + 8 x)}{3 x + 5} + 3 x - 5 x + 1 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{2 (4 x^{2} + 8 x)}{3 x + 5} + 3 x - 5 x + 1 - 1$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{2 (4 x^{2} + 8 x)}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + 3 x \cdot (3 x + 5) - 5 x \cdot (3 x + 5) + 1 \cdot (3 x + 5) - 1 \cdot (3 x + 5)$	=
$8 x^{2} + 16 x + 3 x \cdot (3 x + 5) - 5 x \cdot (3 x + 5) + 3 x + 5 - 3 x - 5$	=
$8 x^{2} + 16 x + (9 x^{2} + 15 x) + (- 15 x^{2} - 25 x) + 3 x + 5 - 3 x - 5$	=
$2 x^{2} + 6 x$	=

$2 x^{2} + 6 x$	=	0
$2 x \cdot (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{8}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{8}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{8}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{8}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 8$	=	$- a x$
$x^{2} - 8 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 4)$ = -8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 4)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):