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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{9}{x}$ = $- \frac{7}{3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{9}{x}$	=	$- \frac{7}{3}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{9}{x} \cdot x$	=	$- \frac{7}{3} \cdot x$
$- 9$	=	$- \frac{7}{3} x$

$- 9$	=	$- \frac{7}{3} x$	\|⋅ 3
$- 27$	=	$- 7 x$	\| $+ 27$ $+ 7 x$
$7 x$	=	$27$	\|: $7$
$x$	=	$\frac{27}{7}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{27}{7}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 16}{x + 5}$ = $- x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{16}{x + 5}$	=	$- x + 1$	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{16}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$- x \cdot (x + 5) + 1 \cdot (x + 5)$
$- 16$	=	$- x (x + 5) + x + 5$
$- 16$	=	$- x^{2} - 4 x + 5$

- 16

=

- x^{2} - 4 x + 5

|

+ x^{2}

+ 4 x

- 5

$x^{2} + 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 2$ - $5$ = -7

x₂ = $- 2$ + $5$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 6} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{3 x}{3 (x - 2)} - 3

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{3 x}{3 (x - 2)} - 3$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{3 x}{3 (x - 2)} \cdot (x - 2) - 3 \cdot (x - 2)$	=
$x - 3 x + 6$	=
$- 2 x + 6$	=

$- 2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 - \frac{11}{x} - \frac{10}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 - \frac{11}{x} - \frac{10}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{11}{x} \cdot x^{2} - \frac{10}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} - 11 x - 10$

0

=

- x^{2} - 11 x - 10

|

+ x^{2}

+ 11 x

+ 10

$x^{2} + 11 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 11+9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 11-9}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 5$ = $2 - \frac{2}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 5$	=	$2 - \frac{2}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 5 \cdot x$	=	$2 \cdot x - \frac{2}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 5 x$	=	$2 x - 2$
$x^{2} + 5 x$	=	$2 x - 2$

x^{2} + 5 x

=

2 x - 2

|

- 2 x

+ 2

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{2 x - 2} + \frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{28 x}{- 6 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

$\frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{5 x + 1}{2 x - 2} + \frac{28 x}{- 6 x + 6}$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x - 2)} + \frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} + \frac{28 x}{6 (- x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x - 2)} + \frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} + \frac{28 x}{6 (- x + 1)}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) + \frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} \cdot (x - 2) + \frac{28 x}{6 (- x + 1)} \cdot (x - 2)$	=
$x + \frac{(5 x + 1) (x - 2)}{2 (x - 1)} + \frac{14 x (x - 2)}{3 (- x + 1)}$	=
$x + \frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{2 (x - 1)} + \frac{14 x^{2} - 28 x}{3 (- x + 1)}$	=
$\frac{14 x^{2} - 28 x}{3 (- x + 1)} + \frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{2 (x - 1)} + x$	=

\frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{2 (x - 1)} + \frac{14 x^{2} - 28 x}{3 (- x + 1)} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{2 (x - 1)} + \frac{14 x^{2} - 28 x}{3 (- x + 1)} + x$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{14 x^{2} - 28 x}{3 (- x + 1)} \cdot (2 (x - 1)) + x \cdot (2 (x - 1))$	=
$5 x^{2} - 9 x - 2 + 2 \frac{(14 x^{2} - 28 x) (x - 1)}{3 (- x + 1)} + 2 x (x - 1)$	=
$5 x^{2} - 9 x - 2 - \frac{28}{3} x (x - 2) + 2 x (x - 1)$	=
$5 x^{2} - 9 x - 2 + (- \frac{28}{3} x^{2} + \frac{56}{3} x) + (2 x^{2} - 2 x)$	=
$- \frac{7}{3} x^{2} + \frac{23}{3} x - 2$	=

$- \frac{7}{3} x^{2} + \frac{23}{3} x - 2$	=	0	\|⋅ 3
$3 (- \frac{7}{3} x^{2} + \frac{23}{3} x - 2)$	=	0

$- 7 x^{2} + 23 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 168}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{361}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{361}}{- 14}$ = $\frac{- 23+19}{- 14}$ = $\frac{- 4}{- 14}$ = $\frac{2}{7}$ ≈ 0.29

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{361}}{- 14}$ = $\frac{- 23-19}{- 14}$ = $\frac{- 42}{- 14}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} + 23 x - 6$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} - \frac{23}{7} x + \frac{6}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{14})}^{2} - (\frac{6}{7})$ = $\frac{529}{196}$ $-$ $\frac{6}{7}$ = $\frac{529}{196}$ $-$ $\frac{168}{196}$ = $\frac{361}{196}$

x_1,2 = $\frac{23}{14}$ ± $\sqrt{\frac{361}{196}}$

x₁ = $\frac{23}{14}$ - $\frac{19}{14}$ = $\frac{4}{14}$ = 0.28571428571429

x₂ = $\frac{23}{14}$ + $\frac{19}{14}$ = $\frac{42}{14}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{7}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $1$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $1$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$1$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$1 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$x$
$x^{2} + a - x$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):