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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6}{x}$ = $1$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{6}{x}$	=	$1$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{6}{x} \cdot x$	=	$1 \cdot x$
$- 6$	=	$x$

$- 6$	=	$x$	\| $+ 6$ $- x$
$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{17}{3 x + 5} - 5$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

\frac{17}{3 x + 5} - 5

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{17}{3 x + 5} - 5$	=	$- x$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{17}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) - 5 \cdot (3 x + 5)$	=	$- x \cdot (3 x + 5)$
$17 - 15 x - 25$	=	$- x \cdot (3 x + 5)$
$- 15 x - 8$	=	$- 3 x^{2} - 5 x$

- 15 x - 8

=

- 3 x^{2} - 5 x

|

+ 3 x^{2}

+ 5 x

$3 x^{2} - 10 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{10+14}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{10-14}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 10 x - 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{10}{3} x - \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{8}{3})$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{49}{9}$

x_1,2 = $\frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{49}{9}}$

x₁ = $\frac{5}{3}$ - $\frac{7}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{5}{3}$ + $\frac{7}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 16} + 4 x$ = $- \frac{- 129}{x + 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

\frac{x}{4 (x + 4)} + 4 x

=

\frac{129}{x + 4}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 4)} + 4 x$	=	$\frac{129}{x + 4}$	\|⋅( $4 (x + 4)$ )
$\frac{x}{4 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) + 4 x \cdot (4 (x + 4))$	=	$\frac{129}{x + 4} \cdot (4 (x + 4))$
$x + 16 x \cdot (x + 4)$	=	$516$
$x + (16 x^{2} + 64 x)$	=	$516$
$16 x^{2} + 65 x$	=	$516$

16 x^{2} + 65 x

=

516

|

- 516

$16 x^{2} + 65 x - 516$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 65 \pm \sqrt{65^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (- 516)}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 65 \pm \sqrt{4 225 + 33 024}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 65 \pm \sqrt{37 249}}{32}$

x₁ = $\frac{- 65 + \sqrt{37 249}}{32}$ = $\frac{- 65+193}{32}$ = $\frac{128}{32}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 65 - \sqrt{37 249}}{32}$ = $\frac{- 65-193}{32}$ = $\frac{- 258}{32}$ = $- \frac{129}{16}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} + 65 x - 516$ = 0 |: $16$

$x^{2} + \frac{65}{16} x - \frac{129}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{65}{32})}^{2} - (- \frac{129}{4})$ = $\frac{4225}{1024}$ $+$ $\frac{129}{4}$ = $\frac{4225}{1024}$ $+$ $\frac{33024}{1024}$ = $\frac{37249}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{65}{32}$ ± $\sqrt{\frac{37249}{1024}}$

x₁ = $- \frac{65}{32}$ - $\frac{193}{32}$ = $- \frac{258}{32}$ = -8.0625

x₂ = $- \frac{65}{32}$ + $\frac{193}{32}$ = $\frac{128}{32}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{129}{16}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 6 x + 8}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- 6 x + 8}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- 6 x + 8}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 6 x + 8$	=	$- x^{2}$

- 6 x + 8

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 8 x - 6}{x - 1}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 8 x - 6}{x - 1}$	=	$x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 8 x - 6}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$x \cdot (x - 1)$
$- 8 x - 6$	=	$x \cdot (x - 1)$
$- 8 x - 6$	=	$x^{2} - x$

- 8 x - 6

=

x^{2} - x

|

- x^{2}

+ x

$- x^{2} - 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{7+5}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{7-5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 4} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{4 x}{2 (x - 2)} - 4

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x - 2)} - 4$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{4 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) - 4 \cdot (x - 2)$	=
$2 x - 4 x + 8$	=
$- 2 x + 8$	=

$- 2 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 1$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 1$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 1$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 1 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- x$
$a + x^{2} + x$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):