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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{- 8 x - 10}{3 x + 2}$ = $- 2$

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{- 8 x - 10}{3 x + 2}$	=	$- 2$	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{- 8 x - 10}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2)$	=	$- 2 \cdot (3 x + 2)$
$- 8 x - 10$	=	$- 2 (3 x + 2)$

$- 8 x - 10$	=	$- 6 x - 4$	\| $+ 10$
$- 8 x$	=	$- 6 x + 6$	\| $+ 6 x$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 4} - \frac{8}{x - 4}$ = $\frac{76}{x^{2} - 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ ; $4$ }

\frac{x}{x + 4} - \frac{8}{x - 4}

=

\frac{76}{(x + 4) (x - 4)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 4) (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{x + 4} - \frac{8}{x - 4}$	=	$\frac{76}{(x + 4) (x - 4)}$	\|⋅( $(x + 4) (x - 4)$ )
$\frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4) (x - 4) - \frac{8}{x - 4} \cdot (x + 4) (x - 4)$	=	$\frac{76}{(x + 4) (x - 4)} \cdot (x + 4) (x - 4)$
$x (x - 4) - 8 x - 32$	=	$76 \frac{x + 4}{x + 4}$
$x (x - 4) - 8 x - 32$	=	$76$
$x^{2} - 4 x - 8 x - 32$	=	$76$
$x^{2} - 12 x - 32$	=	$76$

x^{2} - 12 x - 32

=

76

|

- 76

$x^{2} - 12 x - 108$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 108)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 + 432}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{576}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{576}}{2}$ = $\frac{12+24}{2}$ = $\frac{36}{2}$ = $18$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{576}}{2}$ = $\frac{12-24}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - (- 108)$ = $36$ $+$ $108$ = $144$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{144}$

x₁ = $6$ - $12$ = -6

x₂ = $6$ + $12$ = 18

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $18$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{2 x + 4} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 2$ }

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{2 x + 4} - 5$	=	0
$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{2 (x + 2)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{2 (x + 2)} - 5$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{x - 1}{2 (x + 2)} \cdot (x - 1) - 5 \cdot (x - 1)$	=
$4 x + \frac{(x - 1) (x - 1)}{2 (x + 2)} - 5 x + 5$	=
$4 x + \frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 (x + 2)} - 5 x + 5$	=
$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 (x + 2)} + 4 x - 5 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 (x + 2)} + 4 x - 5 x + 5$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + 4 x \cdot (2 (x + 2)) - 5 x \cdot (2 (x + 2)) + 5 \cdot (2 (x + 2))$	=
$x^{2} - 2 x + 1 + 8 x (x + 2) - 10 x (x + 2) + 10 x + 20$	=
$x^{2} - 2 x + 1 + (8 x^{2} + 16 x) + (- 10 x^{2} - 20 x) + 10 x + 20$	=
$- x^{2} + 4 x + 21$	=

$- x^{2} + 4 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 21}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 4+10}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 4-10}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 21$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $2$ - $5$ = -3

x₂ = $2$ + $5$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $7$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}$ = $\frac{24}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}$	=	$\frac{24}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{5}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{24}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 5 x$	=	$24$

x^{2} + 5 x

=

24

|

- 24

$x^{2} + 5 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5+11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5-11}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 5 x - 6}{2 x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 5 x - 6}{2 x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 5 x - 6}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x$
$- 5 x - 6$	=	$2 x \cdot x + 2 x$

- 5 x - 6

=

2 x^{2} + 2 x

|

- 2 x^{2}

- 2 x

$- 2 x^{2} - 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{7+1}{- 4}$ = $\frac{8}{- 4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{7-1}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 7 x - 6$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x + 2}{2 x} + \frac{8 x}{x + 2} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; 0}

\frac{8 x}{x + 2} + \frac{7 x + 2}{2 x} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{8 x}{x + 2} + \frac{7 x + 2}{2 x} - 8$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{8 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{7 x + 2}{2 x} \cdot (x + 2) - 8 \cdot (x + 2)$	=
$8 x + \frac{(7 x + 2) (x + 2)}{2 x} - 8 x - 16$	=
$8 x + \frac{7 x^{2} + 16 x + 4}{2 x} - 8 x - 16$	=
$\frac{7 x^{2} + 16 x + 4}{2 x} + 8 x - 8 x - 16$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{7 x^{2} + 16 x + 4}{2 x} + 8 x - 8 x - 16$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{7 x^{2} + 16 x + 4}{2 x} \cdot 2 x + 8 x \cdot 2 x - 8 x \cdot 2 x - 16 \cdot 2 x$	=
$7 x^{2} + 16 x + 4 + 16 x \cdot x - 16 x \cdot x - 32 x$	=
$7 x^{2} + 16 x + 4 + 16 x^{2} - 16 x^{2} - 32 x$	=
$7 x^{2} - 16 x + 4$	=

$7 x^{2} - 16 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 4}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 112}}{14}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{144}}{14}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{144}}{14}$ = $\frac{16+12}{14}$ = $\frac{28}{14}$ = $2$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{144}}{14}$ = $\frac{16-12}{14}$ = $\frac{4}{14}$ = $\frac{2}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} - 16 x + 4$ = 0 |: $7$

$x^{2} - \frac{16}{7} x + \frac{4}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{7})}^{2} - (\frac{4}{7})$ = $\frac{64}{49}$ $-$ $\frac{4}{7}$ = $\frac{64}{49}$ $-$ $\frac{28}{49}$ = $\frac{36}{49}$

x_1,2 = $\frac{8}{7}$ ± $\sqrt{\frac{36}{49}}$

x₁ = $\frac{8}{7}$ - $\frac{6}{7}$ = $\frac{2}{7}$ = 0.28571428571429

x₂ = $\frac{8}{7}$ + $\frac{6}{7}$ = $\frac{14}{7}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{7}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{24}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{24}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{24}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{24}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 24 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 24 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 12)$ = -24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 12)$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

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Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):