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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{8}{x + 8}$ = $2$

D=R\{ $- 8$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 8$ weg!

$\frac{8}{x + 8}$	=	$2$	\|⋅( $x + 8$ )
$\frac{8}{x + 8} \cdot (x + 8)$	=	$2 \cdot (x + 8)$
$8$	=	$2 (x + 8)$

$8$	=	$2 x + 16$	\| $- 8$ $- 2 x$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{120}{6 x - 6}$ = $4$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

- \frac{4 x}{2 (x - 1)} + \frac{120}{6 (x - 1)}

=

4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{4 x}{2 (x - 1)} + \frac{120}{6 (x - 1)}$	=	$4$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{4 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{120}{6 (x - 1)} \cdot (x - 1)$	=	$4 \cdot (x - 1)$
$- 2 x + 20$	=	$4 (x - 1)$

$- 2 x + 20$	=	$4 x - 4$	\| $- 20$
$- 2 x$	=	$4 x - 24$	\| $- 4 x$
$- 6 x$	=	$- 24$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 12} + \frac{6}{2 x - 6}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{x}{4 x - 12} + \frac{6}{2 x - 6}$	=	$x$
$\frac{x}{4 (x - 3)} + \frac{6}{2 (x - 3)}$	=	$x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 3)} + \frac{6}{2 (x - 3)}$	=	$x$	\|⋅( $4 (x - 3)$ )
$\frac{x}{4 (x - 3)} \cdot (4 (x - 3)) + \frac{6}{2 (x - 3)} \cdot (4 (x - 3))$	=	$x \cdot (4 (x - 3))$
$x + 12$	=	$4 x \cdot (x - 3)$
$x + 12$	=	$4 x^{2} - 12 x$

x + 12

=

4 x^{2} - 12 x

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

$- 4 x^{2} + 13 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 12}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 192}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{361}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{361}}{- 8}$ = $\frac{- 13+19}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{361}}{- 8}$ = $\frac{- 13-19}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 13 x + 12$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{13}{4} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{8})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $3$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $\frac{192}{64}$ = $\frac{361}{64}$

x_1,2 = $\frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{361}{64}}$

x₁ = $\frac{13}{8}$ - $\frac{19}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{13}{8}$ + $\frac{19}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $- \frac{10}{x^{2}} - \frac{21}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$- \frac{10}{x^{2}} - \frac{21}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{10}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{21}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$- 10 x - 21$

x^{2}

=

- 10 x - 21

|

+ 10 x

+ 21

$x^{2} + 10 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 10+4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 10-4}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 5$ - $2$ = -7

x₂ = $- 5$ + $2$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 13 x + 3}{4 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 13 x + 3}{4 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 13 x + 3}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 3 \cdot 4 x$
$- 13 x + 3$	=	$4 x \cdot x - 12 x$

- 13 x + 3

=

4 x^{2} - 12 x

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

$- 4 x^{2} - x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 3}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 8}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{1+7}{- 8}$ = $\frac{8}{- 8}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{1-7}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - x + 3$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{8})}^{2} - (- \frac{3}{4})$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{49}{64}$

x_1,2 = $- \frac{1}{8}$ ± $\sqrt{\frac{49}{64}}$

x₁ = $- \frac{1}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x - 1} + \frac{2 x}{3 x + 2} + \frac{- 10 x}{3 x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; $1$ }

\frac{2 x}{3 x + 2} + \frac{6 x}{x - 1} - \frac{10 x}{3 x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 2} + \frac{6 x}{x - 1} - \frac{10 x}{3 x + 2}$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{2 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{6 x}{x - 1} \cdot (3 x + 2) - \frac{10 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2)$	=
$2 x + \frac{6 x \cdot (3 x + 2)}{x - 1} - 10 x$	=
$2 x + \frac{18 x^{2} + 12 x}{x - 1} - 10 x$	=
$\frac{18 x^{2} + 12 x}{x - 1} + 2 x - 10 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{18 x^{2} + 12 x}{x - 1} + 2 x - 10 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{18 x^{2} + 12 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 2 x \cdot (x - 1) - 10 x \cdot (x - 1)$	=
$18 x^{2} + 12 x + 2 x \cdot (x - 1) - 10 x \cdot (x - 1)$	=
$18 x^{2} + 12 x + (2 x^{2} - 2 x) + (- 10 x^{2} + 10 x)$	=
$10 x^{2} + 20 x$	=

$10 x^{2} + 20 x$	=	0
$10 x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{12}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{12}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{12}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{12}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$12 + x^{2}$	=	$- a x$
$12 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):