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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{9}{x - 5}$ = $3$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$- \frac{9}{x - 5}$	=	$3$	\|⋅( $x - 5$ )
$- \frac{9}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$3 \cdot (x - 5)$
$- 9$	=	$3 (x - 5)$

$- 9$	=	$3 x - 15$	\| $+ 9$ $- 3 x$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{x}{x + 2} + \frac{54}{2 x + 4}$ = $- 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{x}{x + 2} + \frac{54}{2 (x + 2)}

=

- 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{x}{x + 2} + \frac{54}{2 (x + 2)}$	=	$- 4$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{54}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=	$- 4 \cdot (x + 2)$
$x + 27$	=	$- 4 (x + 2)$

$x + 27$	=	$- 4 x - 8$	\| $- 27$
$x$	=	$- 4 x - 35$	\| $+ 4 x$
$5 x$	=	$- 35$	\|: $5$
$x$	=	$- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $- \frac{x}{5 x + 20} - \frac{0,8}{x + 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$2 x$	=	$- \frac{x}{5 x + 20} - \frac{0,8}{x + 4}$
$2 x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 4)} - \frac{0,8}{x + 4}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 4)$ weg!

$2 x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 4)} - \frac{0,8}{x + 4}$	\|⋅( $5 (x + 4)$ )
$2 x \cdot (5 (x + 4))$	=	$- \frac{x}{5 (x + 4)} \cdot (5 (x + 4)) + \frac{- 0,8}{x + 4} \cdot (5 (x + 4))$
$10 x \cdot (x + 4)$	=	$- x - 4$
$10 x \cdot x + 10 x \cdot 4$	=	$- x - 4$
$10 x \cdot x + 40 x$	=	$- x - 4$
$10 x^{2} + 40 x$	=	$- x - 4$

10 x^{2} + 40 x

=

- x - 4

|

+ x

+ 4

$10 x^{2} + 41 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{41^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 4}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{1 681 - 160}}{20}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{1 521}}{20}$

x₁ = $\frac{- 41 + \sqrt{1 521}}{20}$ = $\frac{- 41+39}{20}$ = $\frac{- 2}{20}$ = $- 0,1$

x₂ = $\frac{- 41 - \sqrt{1 521}}{20}$ = $\frac{- 41-39}{20}$ = $\frac{- 80}{20}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $10$ " teilen:

$10 x^{2} + 41 x + 4$ = 0 |: $10$

$x^{2} + \frac{41}{10} x + \frac{2}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{41}{20})}^{2} - (\frac{2}{5})$ = $\frac{1681}{400}$ $-$ $\frac{2}{5}$ = $\frac{1681}{400}$ $-$ $\frac{160}{400}$ = $\frac{1521}{400}$

x_1,2 = $- \frac{41}{20}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{400}}$

x₁ = $- \frac{41}{20}$ - $\frac{39}{20}$ = $- \frac{80}{20}$ = -4

x₂ = $- \frac{41}{20}$ + $\frac{39}{20}$ = $- \frac{2}{20}$ = -0.1

Lösung x= $- 4$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 0,1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{9}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{20}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{9}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{20}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{9}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{20}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- 9 x$	=	$- x^{2} - 20$

- 9 x

=

- x^{2} - 20

|

+ x^{2}

+ 20

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{27 x + 8}{4 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{27 x + 8}{4 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{27 x + 8}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 1 \cdot 4 x$
$27 x + 8$	=	$4 x \cdot x - 4 x$

27 x + 8

=

4 x^{2} - 4 x

|

- 4 x^{2}

+ 4 x

$- 4 x^{2} + 31 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{31^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 8}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{961 + 128}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{1 089}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 31 + \sqrt{1 089}}{- 8}$ = $\frac{- 31+33}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

x₂ = $\frac{- 31 - \sqrt{1 089}}{- 8}$ = $\frac{- 31-33}{- 8}$ = $\frac{- 64}{- 8}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 31 x + 8$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{31}{4} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{31}{8})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{961}{64}$ $+$ $2$ = $\frac{961}{64}$ $+$ $\frac{128}{64}$ = $\frac{1089}{64}$

x_1,2 = $\frac{31}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1089}{64}}$

x₁ = $\frac{31}{8}$ - $\frac{33}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

x₂ = $\frac{31}{8}$ + $\frac{33}{8}$ = $\frac{64}{8}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,25$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 3} + \frac{5 x - 1}{x - 1} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; $1$ }

\frac{4 x}{2 x + 3} + \frac{5 x - 1}{x - 1} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{4 x}{2 x + 3} + \frac{5 x - 1}{x - 1} - 8$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{4 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{5 x - 1}{x - 1} \cdot (2 x + 3) - 8 \cdot (2 x + 3)$	=
$4 x + \frac{(5 x - 1) \cdot (2 x + 3)}{x - 1} - 16 x - 24$	=
$4 x + \frac{10 x^{2} + 13 x - 3}{x - 1} - 16 x - 24$	=
$\frac{10 x^{2} + 13 x - 3}{x - 1} + 4 x - 16 x - 24$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{10 x^{2} + 13 x - 3}{x - 1} + 4 x - 16 x - 24$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{10 x^{2} + 13 x - 3}{x - 1} \cdot (x - 1) + 4 x \cdot (x - 1) - 16 x \cdot (x - 1) - 24 \cdot (x - 1)$	=
$10 x^{2} + 13 x - 3 + 4 x \cdot (x - 1) - 16 x \cdot (x - 1) - 24 x + 24$	=
$10 x^{2} + 13 x - 3 + (4 x^{2} - 4 x) + (- 16 x^{2} + 16 x) - 24 x + 24$	=
$- 2 x^{2} + x + 21$	=

$- 2 x^{2} + x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 21}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 1+13}{- 4}$ = $\frac{12}{- 4}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 1-13}{- 4}$ = $\frac{- 14}{- 4}$ = $3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + x + 21$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{21}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{21}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{21}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{168}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3,5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{12}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{12}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{12}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{12}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$12 + x^{2}$	=	$- a x$
$12 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):