Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{3}{x}$ = $\frac{1}{9}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3}{x}$	=	$\frac{1}{9}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x$	=	$\frac{1}{9} \cdot x$
$- 3$	=	$\frac{1}{9} x$

$- 3$	=	$\frac{1}{9} x$	\|⋅ 9
$- 27$	=	$x$	\| $+ 27$ $- x$
$- x$	=	$27$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 27$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 27$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 5$ = $- \frac{35 x}{3 x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$x - 5$	=	$\frac{- 35 x}{3 x - 4}$	\|⋅( $3 x - 4$ )
$x \cdot (3 x - 4) - 5 \cdot (3 x - 4)$	=	$\frac{- 35 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4)$
$x (3 x - 4) - 15 x + 20$	=	$- \frac{35 x}{1}$
$x (3 x - 4) - 15 x + 20$	=	$- 35 x$
$3 x^{2} - 4 x - 15 x + 20$	=	$- 35 x$
$3 x^{2} - 19 x + 20$	=	$- 35 x$

3 x^{2} - 19 x + 20

=

- 35 x

|

+ 35 x

$3 x^{2} + 16 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 20}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 16+4}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 16-4}{6}$ = $\frac{- 20}{6}$ = $- \frac{10}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 16 x + 20$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{16}{3} x + \frac{20}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{3})}^{2} - (\frac{20}{3})$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{20}{3}$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{60}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{8}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{10}{3}$ = -3.3333333333333

x₂ = $- \frac{8}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $- \frac{6}{3}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{10}{3}$ ; $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 5}$ = $- \frac{- 48,8}{x - 1} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{5 x - 5}$	=	$\frac{48,8}{x - 1} - 4 x$
$\frac{x}{5 (x - 1)}$	=	$\frac{48,8}{x - 1} - 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 1)}$	=	$\frac{48,8}{x - 1} - 4 x$	\|⋅( $5 (x - 1)$ )
$\frac{x}{5 (x - 1)} \cdot (5 (x - 1))$	=	$\frac{48,8}{x - 1} \cdot (5 (x - 1)) - 4 x \cdot (5 (x - 1))$
$x$	=	$244 - 20 x (x - 1)$
$x$	=	$- 20 x^{2} + 20 x + 244$

x

=

- 20 x^{2} + 20 x + 244

|

+ 20 x^{2}

- 20 x

- 244

$20 x^{2} - 19 x - 244$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (- 244)}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 19 520}}{40}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{19 881}}{40}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{19 881}}{40}$ = $\frac{19+141}{40}$ = $\frac{160}{40}$ = $4$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{19 881}}{40}$ = $\frac{19-141}{40}$ = $\frac{- 122}{40}$ = $- 3,05$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $20$ " teilen:

$20 x^{2} - 19 x - 244$ = 0 |: $20$

$x^{2} - \frac{19}{20} x - \frac{61}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{40})}^{2} - (- \frac{61}{5})$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{61}{5}$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{19520}{1600}$ = $\frac{19881}{1600}$

x_1,2 = $\frac{19}{40}$ ± $\sqrt{\frac{19881}{1600}}$

x₁ = $\frac{19}{40}$ - $\frac{141}{40}$ = $- \frac{122}{40}$ = -3.05

x₂ = $\frac{19}{40}$ + $\frac{141}{40}$ = $\frac{160}{40}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,05$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{18}{x}$ = $- 1 - \frac{81}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{18}{x}$	=	$- 1 - \frac{81}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{18}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{81}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$18 x$	=	$- x^{2} - 81$

18 x

=

- x^{2} - 81

|

+ x^{2}

+ 81

$x^{2} + 18 x + 81$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $9^{2} - 81$ = $81$ $-$ $81$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 9$ ± 0 = $- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 1$ = $- 5 + \frac{5}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 1$	=	$- 5 + \frac{5}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 1 \cdot x$	=	$- 5 \cdot x + \frac{5}{x} \cdot x$
$x \cdot x - x$	=	$- 5 x + 5$
$x^{2} - x$	=	$- 5 x + 5$

x^{2} - x

=

- 5 x + 5

|

+ 5 x

- 5

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{2 x + 1} + \frac{3 x}{3 x + 3} + \frac{- 8 x - 1}{3 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{1}{2}$ }

$\frac{- 8 x - 1}{3 x + 3} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} + \frac{3 x}{3 x + 3}$	=	0
$\frac{- 8 x - 1}{3 (x + 1)} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} + \frac{3 x}{3 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$\frac{- 8 x - 1}{3 (x + 1)} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} + \frac{3 x}{3 (x + 1)}$	=	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{- 8 x - 1}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} \cdot (3 (x + 1)) + \frac{3 x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$	=
$- 8 x - 1 + 3 \frac{(5 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + 3 x$	=
$- 8 x - 1 + \frac{3 (5 x^{2} + 6 x + 1)}{2 x + 1} + 3 x$	=
$\frac{3 (5 x^{2} + 6 x + 1)}{2 x + 1} - 8 x + 3 x - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{3 (5 x^{2} + 6 x + 1)}{2 x + 1} - 8 x + 3 x - 1$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{3 (5 x^{2} + 6 x + 1)}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) - 8 x \cdot (2 x + 1) + 3 x \cdot (2 x + 1) - 1 \cdot (2 x + 1)$	=
$15 x^{2} + 18 x + 3 - 8 x (2 x + 1) + 3 x (2 x + 1) - 2 x - 1$	=
$15 x^{2} + 18 x + 3 + (- 16 x^{2} - 8 x) + (6 x^{2} + 3 x) - 2 x - 1$	=
$5 x^{2} + 11 x + 2$	=

$5 x^{2} + 11 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 2}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{81}}{10}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{81}}{10}$ = $\frac{- 11+9}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{81}}{10}$ = $\frac{- 11-9}{10}$ = $\frac{- 20}{10}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 11 x + 2$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{11}{5} x + \frac{2}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{10})}^{2} - (\frac{2}{5})$ = $\frac{121}{100}$ $-$ $\frac{2}{5}$ = $\frac{121}{100}$ $-$ $\frac{40}{100}$ = $\frac{81}{100}$

x_1,2 = $- \frac{11}{10}$ ± $\sqrt{\frac{81}{100}}$

x₁ = $- \frac{11}{10}$ - $\frac{9}{10}$ = $- \frac{20}{10}$ = -2

x₂ = $- \frac{11}{10}$ + $\frac{9}{10}$ = $- \frac{2}{10}$ = -0.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$2 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$2 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$2 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$2 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$2 x + a$	=	$- x^{2}$
$2 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):