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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7 x}{2 x - 3} + \frac{49}{2 x - 3}$ = $2$

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$- \frac{7 x}{2 x - 3} + \frac{49}{2 x - 3}$	=	$2$	\|⋅( $2 x - 3$ )
$- \frac{7 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{49}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3)$	=	$2 \cdot (2 x - 3)$
$- 7 x + 49$	=	$2 (2 x - 3)$

$- 7 x + 49$	=	$4 x - 6$	\| $- 49$
$- 7 x$	=	$4 x - 55$	\| $- 4 x$
$- 11 x$	=	$- 55$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 1} - \frac{7}{x - 1}$ = $\frac{41}{x^{2} - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

\frac{x}{x + 1} - \frac{7}{x - 1}

=

\frac{41}{(x + 1) \cdot (x - 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 1) \cdot (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{x + 1} - \frac{7}{x - 1}$	=	$\frac{41}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$	\|⋅( $(x + 1) \cdot (x - 1)$ )
$\frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) - \frac{7}{x - 1} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$	=	$\frac{41}{(x + 1) \cdot (x - 1)} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$
$x \cdot (x - 1) - 7 x - 7$	=	$41 \frac{x + 1}{x + 1}$
$x \cdot (x - 1) - 7 x - 7$	=	$41$
$x^{2} - x - 7 x - 7$	=	$41$
$x^{2} - 8 x - 7$	=	$41$

x^{2} - 8 x - 7

=

41

|

- 41

$x^{2} - 8 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{8+16}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{8-16}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - (- 48)$ = $16$ $+$ $48$ = $64$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $4$ - $8$ = -4

x₂ = $4$ + $8$ = 12

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $12$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x$ = $- \frac{x}{3 x + 6} - \frac{4}{x + 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$- x$	=	$- \frac{x}{3 x + 6} - \frac{4}{x + 2}$
$- x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} - \frac{4}{x + 2}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$- x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} - \frac{4}{x + 2}$	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$- x \cdot (3 (x + 2))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + \frac{- 4}{x + 2} \cdot (3 (x + 2))$
$- 3 x \cdot (x + 2)$	=	$- x - 12$
$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot 2$	=	$- x - 12$
$- 3 x \cdot x - 6 x$	=	$- x - 12$
$- 3 x^{2} - 6 x$	=	$- x - 12$

- 3 x^{2} - 6 x

=

- x - 12

|

+ x

+ 12

$- 3 x^{2} - 5 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 12}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{- 6}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{- 6}$ = $\frac{5+13}{- 6}$ = $\frac{18}{- 6}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{- 6}$ = $\frac{5-13}{- 6}$ = $\frac{- 8}{- 6}$ = $\frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 5 x + 12$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{5}{3} x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{6})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $4$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{144}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $- \frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $- \frac{5}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = 1.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{4}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} + \frac{17}{x^{2}} - \frac{72}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} + \frac{17}{x^{2}} - \frac{72}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{17}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{72}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} + 17 x - 72$

0

=

- x^{2} + 17 x - 72

|

+ x^{2}

- 17 x

+ 72

$x^{2} - 17 x + 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{17+1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{17-1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{14}{x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{14}{x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$\frac{14}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$14$	=	$x \cdot x + 5 x$

14

=

x^{2} + 5 x

|

- x^{2}

- 5 x

$- x^{2} - 5 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 14}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{5+9}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{5-9}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x + 14$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{3 x + 9} + \frac{3 x}{3 x + 8} + \frac{- 14 x - 2}{9 x + 27}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{8}{3}$ }

$\frac{- 14 x - 2}{9 x + 27} + \frac{2 x - 1}{3 x + 9} + \frac{3 x}{3 x + 8}$	=	0
$\frac{- 14 x - 2}{9 (x + 3)} + \frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} + \frac{3 x}{3 x + 8}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $9 (x + 3)$ weg!

$\frac{- 14 x - 2}{9 (x + 3)} + \frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} + \frac{3 x}{3 x + 8}$	=	\|⋅( $9 (x + 3)$ )
$\frac{- 14 x - 2}{9 (x + 3)} \cdot (9 (x + 3)) + \frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} \cdot (9 (x + 3)) + \frac{3 x}{3 x + 8} \cdot (9 (x + 3))$	=
$- 14 x - 2 + 6 x - 3 + 9 \frac{3 x \cdot (x + 3)}{3 x + 8}$	=
$- 14 x - 2 + 6 x - 3 + \frac{9 (3 x^{2} + 9 x)}{3 x + 8}$	=
$\frac{9 (3 x^{2} + 9 x)}{3 x + 8} - 14 x + 6 x - 2 - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{9 (3 x^{2} + 9 x)}{3 x + 8} - 14 x + 6 x - 2 - 3$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{9 (3 x^{2} + 9 x)}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) - 14 x \cdot (3 x + 8) + 6 x \cdot (3 x + 8) - 2 \cdot (3 x + 8) - 3 \cdot (3 x + 8)$	=
$27 x^{2} + 81 x - 14 x \cdot (3 x + 8) + 6 x \cdot (3 x + 8) - 6 x - 16 - 9 x - 24$	=
$27 x^{2} + 81 x + (- 42 x^{2} - 112 x) + (18 x^{2} + 48 x) - 6 x - 16 - 9 x - 24$	=
$3 x^{2} + 2 x - 40$	=

$3 x^{2} + 2 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 480}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 2+22}{6}$ = $\frac{20}{6}$ = $\frac{10}{3}$ ≈ 3.33

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 2-22}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 2 x - 40$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{40}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{40}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{40}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{120}{9}$ = $\frac{121}{9}$

x_1,2 = $- \frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{121}{9}}$

x₁ = $- \frac{1}{3}$ - $\frac{11}{3}$ = $- \frac{12}{3}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{3}$ + $\frac{11}{3}$ = $\frac{10}{3}$ = 3.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{10}{3}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 9$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 9$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 9$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 9 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 9 x$	=	$- a$
$x^{2} + 9 x + a$	=	0
$x^{2} + 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -11 würde es funktionieren, denn $- (2 - 11)$ = 9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 11)$ = $- 22$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -22 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 9 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9+13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9-13}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $22$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{88}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 11$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):