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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2}{x}$ = $\frac{7}{8}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2}{x}$	=	$\frac{7}{8}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{2}{x} \cdot x$	=	$\frac{7}{8} \cdot x$
$2$	=	$\frac{7}{8} x$

$2$	=	$\frac{7}{8} x$	\|⋅ 8
$16$	=	$7 x$	\| $- 16$ $- 7 x$
$- 7 x$	=	$- 16$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$\frac{16}{7}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{16}{7}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{99}{6 x - 9}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

\frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{99}{3 (2 x - 3)}

=

- 1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{99}{3 (2 x - 3)}$	=	$- 1$	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{3 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{99}{3 (2 x - 3)} \cdot (2 x - 3)$	=	$- 1 \cdot (2 x - 3)$
$3 x + 33$	=	$- (2 x - 3)$

$3 x + 33$	=	$- 2 x + 3$	\| $- 33$
$3 x$	=	$- 2 x - 30$	\| $+ 2 x$
$5 x$	=	$- 30$	\|: $5$
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 1} + \frac{2 x}{2 x - 3} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $- 1$ }

\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{4 x}{x + 1} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{4 x}{x + 1} - 5$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{2 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{4 x}{x + 1} \cdot (2 x - 3) - 5 \cdot (2 x - 3)$	=
$2 x + \frac{4 x \cdot (2 x - 3)}{x + 1} - 10 x + 15$	=
$2 x + \frac{8 x^{2} - 12 x}{x + 1} - 10 x + 15$	=
$\frac{8 x^{2} - 12 x}{x + 1} + 2 x - 10 x + 15$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 12 x}{x + 1} + 2 x - 10 x + 15$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{8 x^{2} - 12 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) - 10 x \cdot (x + 1) + 15 \cdot (x + 1)$	=
$8 x^{2} - 12 x + 2 x \cdot (x + 1) - 10 x \cdot (x + 1) + 15 x + 15$	=
$8 x^{2} - 12 x + (2 x^{2} + 2 x) + (- 10 x^{2} - 10 x) + 15 x + 15$	=
$- 5 x + 15$	=

$- 5 x + 15$	=	0	\| $- 15$
$- 5 x$	=	$- 15$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{36}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{36}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{36}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 36$	=	$- x^{2}$

$- 36$	=	$- x^{2}$	\| $+ 36$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 1$ = $\frac{- 7 x + 4}{3 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x - 1$	=	$\frac{- 7 x + 4}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x - 1 \cdot 3 x$	=	$\frac{- 7 x + 4}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x - 3 x$	=	$- 7 x + 4$
$3 x^{2} - 3 x$	=	$- 7 x + 4$

3 x^{2} - 3 x

=

- 7 x + 4

|

+ 7 x

- 4

$3 x^{2} + 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 4+8}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 4-8}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 4 x - 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{12}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $- \frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $- \frac{2}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{6}{3}$ = -2

x₂ = $- \frac{2}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{x - 2} + \frac{2 x - 2}{2 x - 6} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $2$ }

$\frac{2 x - 2}{2 x - 6} + \frac{2 x - 2}{x - 2} - 6$	=	0
$\frac{2 x - 2}{2 (x - 3)} + \frac{2 x - 2}{x - 2} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{2 x - 2}{2 (x - 3)} + \frac{2 x - 2}{x - 2} - 6$	=	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{2 x - 2}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + \frac{2 x - 2}{x - 2} \cdot (2 (x - 3)) - 6 \cdot (2 (x - 3))$	=
$2 x - 2 + 2 \frac{(2 x - 2) \cdot (x - 3)}{x - 2} - 12 x + 36$	=
$2 x - 2 + \frac{2 (2 x^{2} - 8 x + 6)}{x - 2} - 12 x + 36$	=
$\frac{2 (2 x^{2} - 8 x + 6)}{x - 2} + 2 x - 12 x - 2 + 36$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 (2 x^{2} - 8 x + 6)}{x - 2} + 2 x - 12 x - 2 + 36$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 (2 x^{2} - 8 x + 6)}{x - 2} \cdot (x - 2) + 2 x \cdot (x - 2) - 12 x \cdot (x - 2) - 2 \cdot (x - 2) + 36 \cdot (x - 2)$	=
$4 x^{2} - 16 x + 12 + 2 x \cdot (x - 2) - 12 x \cdot (x - 2) - 2 x + 4 + 36 x - 72$	=
$4 x^{2} - 16 x + 12 + (2 x^{2} - 4 x) + (- 12 x^{2} + 24 x) - 2 x + 4 + 36 x - 72$	=
$- 6 x^{2} + 38 x - 56$	=

- 6 x^{2} + 38 x - 56

= 0 |:2

$- 3 x^{2} + 19 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 28)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 336}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 19+5}{- 6}$ = $\frac{- 14}{- 6}$ = $\frac{7}{3}$ ≈ 2.33

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 19-5}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 19 x - 28$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{19}{3} x + \frac{28}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{6})}^{2} - (\frac{28}{3})$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{28}{3}$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{336}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $\frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $\frac{19}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $\frac{14}{6}$ = 2.3333333333333

x₂ = $\frac{19}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{7}{3}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{20}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{20}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{20}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{20}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 20$	=	$- x^{2}$
$a x - 20 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):