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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2 x}{3 x + 3} + \frac{83}{3 x + 3}$ = $5$

D=R\{ $- 1$ }

- \frac{2 x}{3 (x + 1)} + \frac{83}{3 (x + 1)}

=

5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$- \frac{2 x}{3 (x + 1)} + \frac{83}{3 (x + 1)}$	=	$5$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$- \frac{2 x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + \frac{83}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$	=	$5 \cdot (3 (x + 1))$
$- 2 x + 83$	=	$15 (x + 1)$

$- 2 x + 83$	=	$15 x + 15$	\| $- 83$
$- 2 x$	=	$15 x - 68$	\| $- 15 x$
$- 17 x$	=	$- 68$	\|:( $- 17$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 4} + \frac{1}{x + 4}$ = $\frac{62}{x^{2} - 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ ; $4$ }

\frac{x}{x - 4} + \frac{1}{x + 4}

=

\frac{62}{(x + 4) (x - 4)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 4) (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{x - 4} + \frac{1}{x + 4}$	=	$\frac{62}{(x + 4) (x - 4)}$	\|⋅( $(x + 4) (x - 4)$ )
$\frac{x}{x - 4} \cdot (x + 4) (x - 4) + \frac{1}{x + 4} \cdot (x + 4) (x - 4)$	=	$\frac{62}{(x + 4) (x - 4)} \cdot (x + 4) (x - 4)$
$x (x + 4) + x - 4$	=	$62 \frac{x + 4}{x + 4}$
$x (x + 4) + x - 4$	=	$62$
$x^{2} + 4 x + x - 4$	=	$62$
$x^{2} + 5 x - 4$	=	$62$

x^{2} + 5 x - 4

=

62

|

- 62

$x^{2} + 5 x - 66$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 66)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 264}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 5+17}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 5-17}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 66)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $66$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{264}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 11$ ; $6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x$ = $- \frac{x}{2 x - 8} - \frac{98}{x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$- 3 x$	=	$- \frac{x}{2 x - 8} - \frac{98}{x - 4}$
$- 3 x$	=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} - \frac{98}{x - 4}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

$- 3 x$	=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} - \frac{98}{x - 4}$	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
$- 3 x \cdot (2 (x - 4))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4)) + \frac{- 98}{x - 4} \cdot (2 (x - 4))$
$- 6 x (x - 4)$	=	$- x - 196$
$- 6 x \cdot x - 6 x \cdot (- 4)$	=	$- x - 196$
$- 6 x \cdot x + 24 x$	=	$- x - 196$
$- 6 x^{2} + 24 x$	=	$- x - 196$

- 6 x^{2} + 24 x

=

- x - 196

|

+ x

+ 196

$- 6 x^{2} + 25 x + 196$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 196}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 4 704}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{5 329}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{5 329}}{- 12}$ = $\frac{- 25+73}{- 12}$ = $\frac{48}{- 12}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{5 329}}{- 12}$ = $\frac{- 25-73}{- 12}$ = $\frac{- 98}{- 12}$ = $\frac{49}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 25 x + 196$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{25}{6} x - \frac{98}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{12})}^{2} - (- \frac{98}{3})$ = $\frac{625}{144}$ $+$ $\frac{98}{3}$ = $\frac{625}{144}$ $+$ $\frac{4704}{144}$ = $\frac{5329}{144}$

x_1,2 = $\frac{25}{12}$ ± $\sqrt{\frac{5329}{144}}$

x₁ = $\frac{25}{12}$ - $\frac{73}{12}$ = $- \frac{48}{12}$ = -4

x₂ = $\frac{25}{12}$ + $\frac{73}{12}$ = $\frac{98}{12}$ = 8.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{49}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{32}{x^{2}}$ = $\frac{12}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{32}{x^{2}}$	=	$\frac{12}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{32}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{12}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 32$	=	$12 x$

x^{2} + 32

=

12 x

|

- 12 x

$x^{2} - 12 x + 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{12+4}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{12-4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 32$ = $36$ $-$ $32$ = $4$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $6$ - $2$ = 4

x₂ = $6$ + $2$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 1 - \frac{4}{x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 1 - \frac{4}{x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $x$ )
$- 1 \cdot x - \frac{4}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 5 \cdot x$
$- x - 4$	=	$x \cdot x - 5 x$

- x - 4

=

x^{2} - 5 x

|

- x^{2}

+ 5 x

$- x^{2} + 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 4} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} + \frac{7 x}{- 2 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{5}{2}$ }

$\frac{4 x}{2 x + 4} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} + \frac{7 x}{- 2 x - 4}$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x + 2)} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} + \frac{7 x}{- 2 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x + 2)} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} + \frac{7 x}{- 2 (x + 2)}$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{4 x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{7 x}{- 2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2))$	=
$4 x + 2 \frac{(2 x - 1) (x + 2)}{2 x + 5} - 7 x$	=
$4 x + \frac{2 (2 x^{2} + 3 x - 2)}{2 x + 5} - 7 x$	=
$\frac{2 (2 x^{2} + 3 x - 2)}{2 x + 5} + 4 x - 7 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{2 (2 x^{2} + 3 x - 2)}{2 x + 5} + 4 x - 7 x$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{2 (2 x^{2} + 3 x - 2)}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + 4 x \cdot (2 x + 5) - 7 x \cdot (2 x + 5)$	=
$4 x^{2} + 6 x - 4 + 4 x (2 x + 5) - 7 x (2 x + 5)$	=
$4 x^{2} + 6 x - 4 + (8 x^{2} + 20 x) + (- 14 x^{2} - 35 x)$	=
$- 2 x^{2} - 9 x - 4$	=

$- 2 x^{2} - 9 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{9+7}{- 4}$ = $\frac{16}{- 4}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{9-7}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 9 x - 4$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - 2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$9 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$9 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$9 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$9 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$9 x + x^{2}$	=	$- a$
$9 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -11 würde es funktionieren, denn $- (2 - 11)$ = 9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 11)$ = $- 22$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -22 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 9 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9+13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9-13}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $22$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{88}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 11$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):