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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2}{x - 7}$ = $- 1$

D=R\{ $7$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 7$ weg!

$\frac{2}{x - 7}$	=	$- 1$	\|⋅( $x - 7$ )
$\frac{2}{x - 7} \cdot (x - 7)$	=	$- 1 \cdot (x - 7)$
$2$	=	$- (x - 7)$

$2$	=	$- x + 7$	\| $- 2$ $+ x$
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 3} + \frac{7}{x - 3}$ = $\frac{21}{x^{2} - 9}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $3$ }

\frac{x}{x + 3} + \frac{7}{x - 3}

=

\frac{21}{(x + 3) (x - 3)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 3) (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{x + 3} + \frac{7}{x - 3}$	=	$\frac{21}{(x + 3) (x - 3)}$	\|⋅( $(x + 3) (x - 3)$ )
$\frac{x}{x + 3} \cdot (x + 3) (x - 3) + \frac{7}{x - 3} \cdot (x + 3) (x - 3)$	=	$\frac{21}{(x + 3) (x - 3)} \cdot (x + 3) (x - 3)$
$x (x - 3) + 7 x + 21$	=	$21 \frac{x + 3}{x + 3}$
$x (x - 3) + 7 x + 21$	=	$21$
$x^{2} - 3 x + 7 x + 21$	=	$21$
$x^{2} + 4 x + 21$	=	$21$

$x^{2} + 4 x + 21$	=	$21$	\| $- 21$
$x^{2} + 4 x + 21 - 21$	=	0
$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 14}{x - 3} + 3 x$ = $- \frac{x}{2 x - 6}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$- \frac{14}{x - 3} + 3 x$	=	$\frac{- x}{2 x - 6}$
$- \frac{14}{x - 3} + 3 x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 3)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$- \frac{14}{x - 3} + 3 x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 3)}$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{- 14}{x - 3} \cdot (2 (x - 3)) + 3 x \cdot (2 (x - 3))$	=	$\frac{- x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3))$
$- 28 + 6 x (x - 3)$	=	$- x$
$- 28 + (6 x^{2} - 18 x)$	=	$- x$
$6 x^{2} - 18 x - 28$	=	$- x$

6 x^{2} - 18 x - 28

=

- x

|

+ x

$6 x^{2} - 17 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 672}}{12}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{961}}{12}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{961}}{12}$ = $\frac{17+31}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = $4$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{961}}{12}$ = $\frac{17-31}{12}$ = $\frac{- 14}{12}$ = $- \frac{7}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} - 17 x - 28$ = 0 |: $6$

$x^{2} - \frac{17}{6} x - \frac{14}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{12})}^{2} - (- \frac{14}{3})$ = $\frac{289}{144}$ $+$ $\frac{14}{3}$ = $\frac{289}{144}$ $+$ $\frac{672}{144}$ = $\frac{961}{144}$

x_1,2 = $\frac{17}{12}$ ± $\sqrt{\frac{961}{144}}$

x₁ = $\frac{17}{12}$ - $\frac{31}{12}$ = $- \frac{14}{12}$ = -1.1666666666667

x₂ = $\frac{17}{12}$ + $\frac{31}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{7}{6}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{6}{x^{2}}$ = $- \frac{1}{x} + \frac{40}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{6}{x^{2}}$	=	$- \frac{1}{x} + \frac{40}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{40}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- 6 x$	=	$- x^{2} + 40$

- 6 x

=

- x^{2} + 40

|

+ x^{2}

- 40

$x^{2} - 6 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{6+14}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{6-14}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 40)$ = $9$ $+$ $40$ = $49$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $3$ - $7$ = -4

x₂ = $3$ + $7$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{13 x + 9}{x + 1}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{13 x + 9}{x + 1}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{13 x + 9}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$4 x \cdot (x + 1)$
$13 x + 9$	=	$4 x (x + 1)$
$13 x + 9$	=	$4 x^{2} + 4 x$

13 x + 9

=

4 x^{2} + 4 x

|

- 4 x^{2}

- 4 x

$- 4 x^{2} + 9 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 9}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{225}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{225}}{- 8}$ = $\frac{- 9+15}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{225}}{- 8}$ = $\frac{- 9-15}{- 8}$ = $\frac{- 24}{- 8}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 9 x + 9$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{9}{4} x - \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{8})}^{2} - (- \frac{9}{4})$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{225}{64}$

x_1,2 = $\frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{225}{64}}$

x₁ = $\frac{9}{8}$ - $\frac{15}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{9}{8}$ + $\frac{15}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{4 x}{2 (x - 1)} - 4

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x - 1)} - 4$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) - 4 \cdot (x - 1)$	=
$2 x - 4 x + 4$	=
$- 2 x + 4$	=

$- 2 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $7$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $7$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$7$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$7 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$7 x$
$a + x^{2} - 7 x$	=	0
$x^{2} - 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $- (2 + 5)$ = -7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 5$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):