Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2}{x}$ = $\frac{1}{3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2}{x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{2}{x} \cdot x$	=	$\frac{1}{3} \cdot x$
$2$	=	$\frac{1}{3} x$

$2$	=	$\frac{1}{3} x$	\|⋅ 3
$6$	=	$x$	\| $- 6$ $- x$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7 x}{x - 2} - \frac{64}{2 x - 4}$ = $1$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{7 x}{x - 2} - \frac{64}{2 (x - 2)}

=

1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{7 x}{x - 2} - \frac{64}{2 (x - 2)}$	=	$1$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{7 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{- 64}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2)$	=	$1 \cdot (x - 2)$
$7 x - 32$	=	$x - 2$

$7 x - 32$	=	$x - 2$	\| $+ 32$
$7 x$	=	$x + 30$	\| $- x$
$6 x$	=	$30$	\|: $6$
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8,5}{x - 2} - x$ = $- \frac{x}{4 x - 8}$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{8,5}{x - 2} - x$	=	$\frac{- x}{4 x - 8}$
$\frac{8,5}{x - 2} - x$	=	$\frac{- x}{4 (x - 2)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 2)$ weg!

$\frac{8,5}{x - 2} - x$	=	$\frac{- x}{4 (x - 2)}$	\|⋅( $4 (x - 2)$ )
$\frac{8,5}{x - 2} \cdot (4 (x - 2)) - x \cdot (4 (x - 2))$	=	$\frac{- x}{4 (x - 2)} \cdot (4 (x - 2))$
$34 - 4 x (x - 2)$	=	$- x$
$34 + (- 4 x^{2} + 8 x)$	=	$- x$
$- 4 x^{2} + 8 x + 34$	=	$- x$

- 4 x^{2} + 8 x + 34

=

- x

|

+ x

$- 4 x^{2} + 9 x + 34$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 34}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 544}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{625}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{625}}{- 8}$ = $\frac{- 9+25}{- 8}$ = $\frac{16}{- 8}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{625}}{- 8}$ = $\frac{- 9-25}{- 8}$ = $\frac{- 34}{- 8}$ = $4,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 9 x + 34$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{9}{4} x - \frac{17}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{8})}^{2} - (- \frac{17}{2})$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{17}{2}$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{544}{64}$ = $\frac{625}{64}$

x_1,2 = $\frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{625}{64}}$

x₁ = $\frac{9}{8}$ - $\frac{25}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $\frac{9}{8}$ + $\frac{25}{8}$ = $\frac{34}{8}$ = 4.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4,25$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{21}{x^{2}}$ = $\frac{4}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{21}{x^{2}}$	=	$\frac{4}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{21}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{4}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 21$	=	$4 x$

x^{2} - 21

=

4 x

|

- 4 x

$x^{2} - 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $2$ - $5$ = -3

x₂ = $2$ + $5$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 4$ = $\frac{29 x - 3}{4 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x + 4$	=	$\frac{29 x - 3}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x + 4 \cdot 4 x$	=	$\frac{29 x - 3}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x + 16 x$	=	$29 x - 3$
$4 x^{2} + 16 x$	=	$29 x - 3$

4 x^{2} + 16 x

=

29 x - 3

|

- 29 x

+ 3

$4 x^{2} - 13 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{121}}{8}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{13+11}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = $3$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{13-11}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 13 x + 3$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{13}{4} x + \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{8})}^{2} - (\frac{3}{4})$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $\frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $\frac{13}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{13}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x + 9} + \frac{2 x}{3 x + 10} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{10}{3}$ ; $- 3$ }

$\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{x + 1}{3 x + 9} - 5$	=	0
$\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{x + 1}{3 (x + 3)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{x + 1}{3 (x + 3)} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{2 x}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + \frac{x + 1}{3 (x + 3)} \cdot (3 x + 10) - 5 \cdot (3 x + 10)$	=
$2 x + \frac{(x + 1) (3 x + 10)}{3 (x + 3)} - 15 x - 50$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} + 13 x + 10}{3 (x + 3)} - 15 x - 50$	=
$\frac{3 x^{2} + 13 x + 10}{3 (x + 3)} + 2 x - 15 x - 50$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 13 x + 10}{3 (x + 3)} + 2 x - 15 x - 50$	=	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$\frac{3 x^{2} + 13 x + 10}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) + 2 x \cdot (3 (x + 3)) - 15 x \cdot (3 (x + 3)) - 50 \cdot (3 (x + 3))$	=
$3 x^{2} + 13 x + 10 + 6 x (x + 3) - 45 x (x + 3) - 150 x - 450$	=
$3 x^{2} + 13 x + 10 + (6 x^{2} + 18 x) + (- 45 x^{2} - 135 x) - 150 x - 450$	=
$- 36 x^{2} - 254 x - 440$	=

- 36 x^{2} - 254 x - 440

= 0 |:2

$- 18 x^{2} - 127 x - 220$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 127 \pm \sqrt{{(- 127)}^{2} - 4 \cdot (- 18) \cdot (- 220)}}{2 \cdot (- 18)}$

x_1,2 = $\frac{+ 127 \pm \sqrt{16 129 - 15 840}}{- 36}$

x_1,2 = $\frac{+ 127 \pm \sqrt{289}}{- 36}$

x₁ = $\frac{127 + \sqrt{289}}{- 36}$ = $\frac{127+17}{- 36}$ = $\frac{144}{- 36}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{127 - \sqrt{289}}{- 36}$ = $\frac{127-17}{- 36}$ = $\frac{110}{- 36}$ = $- \frac{55}{18}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 18$ " teilen:

$- 18 x^{2} - 127 x - 220$ = 0 |: $- 18$

$x^{2} + \frac{127}{18} x + \frac{110}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{127}{36})}^{2} - (\frac{110}{9})$ = $\frac{16129}{1296}$ $-$ $\frac{110}{9}$ = $\frac{16129}{1296}$ $-$ $\frac{15840}{1296}$ = $\frac{289}{1296}$

x_1,2 = $- \frac{127}{36}$ ± $\sqrt{\frac{289}{1296}}$

x₁ = $- \frac{127}{36}$ - $\frac{17}{36}$ = $- \frac{144}{36}$ = -4

x₂ = $- \frac{127}{36}$ + $\frac{17}{36}$ = $- \frac{110}{36}$ = -3.0555555555556

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{55}{18}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{12}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{12}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{12}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{12}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 12 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 12 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):