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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{10 x}{x + 20}$ = $- 5$

D=R\{ $- 20$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 20$ weg!

$\frac{- 10 x}{x + 20}$	=	$- 5$	\|⋅( $x + 20$ )
$\frac{- 10 x}{x + 20} \cdot (x + 20)$	=	$- 5 \cdot (x + 20)$
$- \frac{10 x}{1}$	=	$- 5 (x + 20)$
$- 10 x$	=	$- 5 (x + 20)$

$- 10 x$	=	$- 5 x - 100$	\| $+ 5 x$
$- 5 x$	=	$- 100$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$20$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $20$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 7} + \frac{3}{x - 7}$ = $\frac{53}{x^{2} - 49}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 7$ ; $7$ }

\frac{x}{x + 7} + \frac{3}{x - 7}

=

\frac{53}{(x + 7) \cdot (x - 7)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 7) \cdot (x - 7)$ weg!

$\frac{x}{x + 7} + \frac{3}{x - 7}$	=	$\frac{53}{(x + 7) \cdot (x - 7)}$	\|⋅( $(x + 7) \cdot (x - 7)$ )
$\frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7) + \frac{3}{x - 7} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7)$	=	$\frac{53}{(x + 7) \cdot (x - 7)} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7)$
$x \cdot (x - 7) + 3 x + 21$	=	$53 \frac{x + 7}{x + 7}$
$x \cdot (x - 7) + 3 x + 21$	=	$53$
$x^{2} - 7 x + 3 x + 21$	=	$53$
$x^{2} - 4 x + 21$	=	$53$

x^{2} - 4 x + 21

=

53

|

- 53

$x^{2} - 4 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4+12}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4-12}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 32)$ = $4$ $+$ $32$ = $36$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $2$ - $6$ = -4

x₂ = $2$ + $6$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{12 x}{x + 3} + \frac{- 24 x}{3 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- 1$ }

$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{2 x}{x + 1} - \frac{24 x}{3 x + 3}$	=	0
$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{2 x}{x + 1} - \frac{24 x}{3 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{2 x}{x + 1} - \frac{24 x}{3 (x + 1)}$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{12 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{2 x}{x + 1} \cdot (x + 3) - \frac{24 x}{3 (x + 1)} \cdot (x + 3)$	=
$12 x + \frac{2 x \cdot (x + 3)}{x + 1} - \frac{8 x \cdot (x + 3)}{x + 1}$	=
$12 x + \frac{2 x^{2} + 6 x}{x + 1} - \frac{8 x^{2} + 24 x}{x + 1}$	=
$\frac{2 x^{2} + 6 x - 8 x^{2} - 24 x}{x + 1} + 12 x$	=

\frac{2 x^{2} - 8 x^{2} + 6 x - 24 x}{x + 1} + 12 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 8 x^{2} + 6 x - 24 x}{x + 1} + 12 x$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x^{2} - 8 x^{2} + 6 x - 24 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 12 x \cdot (x + 1)$	=
$2 x^{2} - 8 x^{2} + 6 x - 24 x + 12 x \cdot (x + 1)$	=
$2 x^{2} - 8 x^{2} + 6 x - 24 x + (12 x^{2} + 12 x)$	=
$6 x^{2} - 6 x$	=

$6 x^{2} - 6 x$	=	0
$6 x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{10}{x} + \frac{16}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{10}{x} + \frac{16}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{10}{x} \cdot x^{2} + \frac{16}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$10 x + 16$	=	$- x^{2}$

10 x + 16

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 5$ - $3$ = -8

x₂ = $- 5$ + $3$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 2$ = $\frac{- 9 x - 3}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x - 2$	=	$\frac{- 9 x - 3}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x - 2 \cdot 2 x$	=	$\frac{- 9 x - 3}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x - 4 x$	=	$- 9 x - 3$
$2 x^{2} - 4 x$	=	$- 9 x - 3$

2 x^{2} - 4 x

=

- 9 x - 3

|

+ 9 x

+ 3

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,5$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 3} + \frac{5 x + 1}{2 x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

\frac{4 x}{x + 3} + \frac{5 x + 1}{2 x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{4 x}{x + 3} + \frac{5 x + 1}{2 x} - 4$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{4 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{5 x + 1}{2 x} \cdot (x + 3) - 4 \cdot (x + 3)$	=
$4 x + \frac{(5 x + 1) \cdot (x + 3)}{2 x} - 4 x - 12$	=
$4 x + \frac{5 x^{2} + 16 x + 3}{2 x} - 4 x - 12$	=
$\frac{5 x^{2} + 16 x + 3}{2 x} + 4 x - 4 x - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} + 16 x + 3}{2 x} + 4 x - 4 x - 12$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x^{2} + 16 x + 3}{2 x} \cdot 2 x + 4 x \cdot 2 x - 4 x \cdot 2 x - 12 \cdot 2 x$	=
$5 x^{2} + 16 x + 3 + 8 x \cdot x - 8 x \cdot x - 24 x$	=
$5 x^{2} + 16 x + 3 + 8 x^{2} - 8 x^{2} - 24 x$	=
$5 x^{2} - 8 x + 3$	=

$5 x^{2} - 8 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{10}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{10}$ = $\frac{8+2}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{10}$ = $\frac{8-2}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = $0,6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 8 x + 3$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{8}{5} x + \frac{3}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{5})}^{2} - (\frac{3}{5})$ = $\frac{16}{25}$ $-$ $\frac{3}{5}$ = $\frac{16}{25}$ $-$ $\frac{15}{25}$ = $\frac{1}{25}$

x_1,2 = $\frac{4}{5}$ ± $\sqrt{\frac{1}{25}}$

x₁ = $\frac{4}{5}$ - $\frac{1}{5}$ = $\frac{3}{5}$ = 0.6

x₂ = $\frac{4}{5}$ + $\frac{1}{5}$ = $\frac{5}{5}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,6$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{12}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{12}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{12}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{12}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 12$
$x^{2} + a x + 12$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):