Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3 x}{x + 2}$ = $5$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{3 x}{x + 2}$	=	$5$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{3 x}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$5 \cdot (x + 2)$
$3 x$	=	$5 (x + 2)$

$3 x$	=	$5 x + 10$	\| $- 5 x$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{x}{2 x - 2} + \frac{132}{6 x - 6}$ = $- 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{x}{2 (x - 1)} + \frac{132}{6 (x - 1)}

=

- 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 1)} + \frac{132}{6 (x - 1)}$	=	$- 4$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{132}{6 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1))$	=	$- 4 \cdot (2 (x - 1))$
$x + 44$	=	$- 8 (x - 1)$

$x + 44$	=	$- 8 x + 8$	\| $- 44$
$x$	=	$- 8 x - 36$	\| $+ 8 x$
$9 x$	=	$- 36$	\|: $9$
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{- 36 x}{9 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; $2$ }

$\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{6 x}{x - 2} - \frac{36 x}{9 x + 6}$	=	0
$\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{6 x}{x - 2} - \frac{36 x}{3 (3 x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{6 x}{x - 2} - \frac{36 x}{3 (3 x + 2)}$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{6 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{6 x}{x - 2} \cdot (3 x + 2) - \frac{36 x}{3 (3 x + 2)} \cdot (3 x + 2)$	=
$6 x + \frac{6 x (3 x + 2)}{x - 2} - 12 x$	=
$6 x + \frac{18 x^{2} + 12 x}{x - 2} - 12 x$	=
$\frac{18 x^{2} + 12 x}{x - 2} + 6 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{18 x^{2} + 12 x}{x - 2} + 6 x - 12 x$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{18 x^{2} + 12 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 6 x \cdot (x - 2) - 12 x \cdot (x - 2)$	=
$18 x^{2} + 12 x + 6 x (x - 2) - 12 x (x - 2)$	=
$18 x^{2} + 12 x + (6 x^{2} - 12 x) + (- 12 x^{2} + 24 x)$	=
$12 x^{2} + 24 x$	=

$12 x^{2} + 24 x$	=	0
$12 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5}{x}$ = $- 1 + \frac{14}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{5}{x}$	=	$- 1 + \frac{14}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{5}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{14}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$5 x$	=	$- x^{2} + 14$

5 x

=

- x^{2} + 14

|

+ x^{2}

- 14

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{3}{x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$1 + \frac{3}{x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $x$ )
$1 \cdot x + \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 1 \cdot x$
$x + 3$	=	$x \cdot x - x$

x + 3

=

x^{2} - x

|

- x^{2}

+ x

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{3 x + 7} + \frac{5 x - 1}{x - 1} + \frac{24 x}{- 3 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- \frac{7}{3}$ }

$\frac{5 x - 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{3 x + 7} + \frac{24 x}{- 3 x + 3}$	=	0
$\frac{5 x - 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{3 x + 7} + \frac{24 x}{3 (- x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{5 x - 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{3 x + 7} + \frac{24 x}{3 (- x + 1)}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{5 x - 1}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{x - 1}{3 x + 7} \cdot (x - 1) + \frac{24 x}{3 (- x + 1)} \cdot (x - 1)$	=
$5 x - 1 + \frac{(x - 1) (x - 1)}{3 x + 7} + \frac{8 x (x - 1)}{- x + 1}$	=
$5 x - 1 + \frac{(x - 1) (x - 1)}{3 x + 7} - 8 x$	=
$5 x - 1 + \frac{x^{2} - 2 x + 1}{3 x + 7} - 8 x$	=
$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{3 x + 7} + 5 x - 8 x - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{3 x + 7} + 5 x - 8 x - 1$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + 5 x \cdot (3 x + 7) - 8 x \cdot (3 x + 7) - 1 \cdot (3 x + 7)$	=
$x^{2} - 2 x + 1 + 5 x (3 x + 7) - 8 x (3 x + 7) - 3 x - 7$	=
$x^{2} - 2 x + 1 + (15 x^{2} + 35 x) + (- 24 x^{2} - 56 x) - 3 x - 7$	=
$- 8 x^{2} - 26 x - 6$	=

- 8 x^{2} - 26 x - 6

= 0 |:2

$- 4 x^{2} - 13 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{121}}{- 8}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{13+11}{- 8}$ = $\frac{24}{- 8}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{13-11}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 13 x - 3$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{13}{4} x + \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{8})}^{2} - (\frac{3}{4})$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $- \frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $- \frac{13}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $- \frac{13}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,25$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{10}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{10}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{10}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{10}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 10$
$x^{2} + a x + 10$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):