Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7}{x}$ = $- 5$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{7}{x}$	=	$- 5$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{7}{x} \cdot x$	=	$- 5 \cdot x$
$- 7$	=	$- 5 x$

$- 7$	=	$- 5 x$	\| $+ 7$ $+ 5 x$
$5 x$	=	$7$	\|: $5$
$x$	=	$\frac{7}{5}$ = 1.4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{7}{5}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{3 x}{2 x - 2} + \frac{177}{6 x - 6}$ = $- 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

- \frac{3 x}{2 (x - 1)} + \frac{177}{6 (x - 1)}

=

- 5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$- \frac{3 x}{2 (x - 1)} + \frac{177}{6 (x - 1)}$	=	$- 5$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$- \frac{3 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{177}{6 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1))$	=	$- 5 \cdot (2 (x - 1))$
$- 3 x + 59$	=	$- 10 (x - 1)$

$- 3 x + 59$	=	$- 10 x + 10$	\| $- 59$
$- 3 x$	=	$- 10 x - 49$	\| $+ 10 x$
$7 x$	=	$- 49$	\|: $7$
$x$	=	$- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $- \frac{x}{4 x + 16} - \frac{13,5}{2 x + 8}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$2 x$	=	$- \frac{x}{4 x + 16} - \frac{13,5}{2 x + 8}$
$2 x$	=	$- \frac{x}{4 (x + 4)} - \frac{13,5}{2 (x + 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 4)$ weg!

$2 x$	=	$- \frac{x}{4 (x + 4)} - \frac{13,5}{2 (x + 4)}$	\|⋅( $4 (x + 4)$ )
$2 x \cdot (4 (x + 4))$	=	$- \frac{x}{4 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) + \frac{- 13,5}{2 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4))$
$8 x (x + 4)$	=	$- x - 27$
$8 x \cdot x + 8 x \cdot 4$	=	$- x - 27$
$8 x \cdot x + 32 x$	=	$- x - 27$
$8 x^{2} + 32 x$	=	$- x - 27$

8 x^{2} + 32 x

=

- x - 27

|

+ x

+ 27

$8 x^{2} + 33 x + 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 27}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 089 - 864}}{16}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{225}}{16}$

x₁ = $\frac{- 33 + \sqrt{225}}{16}$ = $\frac{- 33+15}{16}$ = $\frac{- 18}{16}$ = $- 1,125$

x₂ = $\frac{- 33 - \sqrt{225}}{16}$ = $\frac{- 33-15}{16}$ = $\frac{- 48}{16}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} + 33 x + 27$ = 0 |: $8$

$x^{2} + \frac{33}{8} x + \frac{27}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{33}{16})}^{2} - (\frac{27}{8})$ = $\frac{1089}{256}$ $-$ $\frac{27}{8}$ = $\frac{1089}{256}$ $-$ $\frac{864}{256}$ = $\frac{225}{256}$

x_1,2 = $- \frac{33}{16}$ ± $\sqrt{\frac{225}{256}}$

x₁ = $- \frac{33}{16}$ - $\frac{15}{16}$ = $- \frac{48}{16}$ = -3

x₂ = $- \frac{33}{16}$ + $\frac{15}{16}$ = $- \frac{18}{16}$ = -1.125

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1,125$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{- 15 x + 56}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{- 15 x + 56}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{- 15 x + 56}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$- 15 x + 56$

- x^{2}

=

- 15 x + 56

|

+ 15 x

- 56

$- x^{2} + 15 x - 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 56)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 15+1}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 15-1}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 15 x - 56$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 15 x + 56$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - 56$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $56$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{224}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{25 x + 12}{x + 3}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{25 x + 12}{x + 3}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{25 x + 12}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$4 x \cdot (x + 3)$
$25 x + 12$	=	$4 x (x + 3)$
$25 x + 12$	=	$4 x^{2} + 12 x$

25 x + 12

=

4 x^{2} + 12 x

|

- 4 x^{2}

- 12 x

$- 4 x^{2} + 13 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 12}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 192}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{361}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{361}}{- 8}$ = $\frac{- 13+19}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{361}}{- 8}$ = $\frac{- 13-19}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 13 x + 12$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{13}{4} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{8})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $3$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $\frac{192}{64}$ = $\frac{361}{64}$

x_1,2 = $\frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{361}{64}}$

x₁ = $\frac{13}{8}$ - $\frac{19}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{13}{8}$ + $\frac{19}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 8} + \frac{3 x}{2 x - 4} + \frac{12 x}{- 6 x + 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{8}{3}$ }

$\frac{3 x}{2 x - 4} + \frac{x}{3 x - 8} + \frac{12 x}{- 6 x + 12}$	=	0
$\frac{3 x}{2 (x - 2)} + \frac{x}{3 x - 8} + \frac{12 x}{6 (- x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{3 x}{2 (x - 2)} + \frac{x}{3 x - 8} + \frac{12 x}{6 (- x + 2)}$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{3 x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{x}{3 x - 8} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{12 x}{6 (- x + 2)} \cdot (2 (x - 2))$	=
$3 x + 2 \frac{x (x - 2)}{3 x - 8} + 2 \frac{2 x (x - 2)}{- x + 2}$	=
$3 x + 2 \frac{x (x - 2)}{3 x - 8} - 4 x$	=
$3 x + \frac{2 (x^{2} - 2 x)}{3 x - 8} - 4 x$	=
$\frac{2 (x^{2} - 2 x)}{3 x - 8} + 3 x - 4 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{2 (x^{2} - 2 x)}{3 x - 8} + 3 x - 4 x$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{2 (x^{2} - 2 x)}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + 3 x \cdot (3 x - 8) - 4 x \cdot (3 x - 8)$	=
$2 x^{2} - 4 x + 3 x (3 x - 8) - 4 x (3 x - 8)$	=
$2 x^{2} - 4 x + (9 x^{2} - 24 x) + (- 12 x^{2} + 32 x)$	=
$- x^{2} + 4 x$	=

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 9 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 9 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 9 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 9 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 9 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 9 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):