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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5}{x}$ = $3$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{5}{x}$	=	$3$	\|⋅( $x$ )
$\frac{5}{x} \cdot x$	=	$3 \cdot x$
$5$	=	$3 x$

$5$	=	$3 x$	\| $- 5$ $- 3 x$
$- 3 x$	=	$- 5$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$\frac{5}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{5}{3}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 7} - \frac{11}{x + 7}$ = $\frac{82}{x^{2} - 49}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 7$ ; $7$ }

\frac{x}{x - 7} - \frac{11}{x + 7}

=

\frac{82}{(x + 7) (x - 7)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 7) (x - 7)$ weg!

$\frac{x}{x - 7} - \frac{11}{x + 7}$	=	$\frac{82}{(x + 7) (x - 7)}$	\|⋅( $(x + 7) (x - 7)$ )
$\frac{x}{x - 7} \cdot (x + 7) (x - 7) - \frac{11}{x + 7} \cdot (x + 7) (x - 7)$	=	$\frac{82}{(x + 7) (x - 7)} \cdot (x + 7) (x - 7)$
$x (x + 7) - 11 x + 77$	=	$82 \frac{x + 7}{x + 7}$
$x (x + 7) - 11 x + 77$	=	$82$
$x^{2} + 7 x - 11 x + 77$	=	$82$
$x^{2} - 4 x + 77$	=	$82$

x^{2} - 4 x + 77

=

82

|

- 82

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 4} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{3 x}{2 (x + 2)} - 3

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{3 x}{2 (x + 2)} - 3$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{3 x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) - 3 \cdot (2 (x + 2))$	=
$3 x - 6 x - 12$	=
$- 3 x - 12$	=

$- 3 x - 12$	=	0	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{72}{x^{2}}$ = $- \frac{17}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{72}{x^{2}}$	=	$- \frac{17}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{72}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{17}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 72$	=	$- 17 x$

x^{2} + 72

=

- 17 x

|

+ 17 x

$x^{2} + 17 x + 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 17+1}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 17-1}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - 72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 - \frac{8}{x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$5 - \frac{8}{x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $x$ )
$5 \cdot x - \frac{8}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 4 \cdot x$
$5 x - 8$	=	$x \cdot x - 4 x$

5 x - 8

=

x^{2} - 4 x

|

- x^{2}

+ 4 x

$- x^{2} + 9 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 9+7}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 9-7}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{x + 1} + \frac{2 x}{3 x + 6} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

$\frac{2 x}{3 x + 6} + \frac{x - 1}{x + 1} - 4$	=	0
$\frac{2 x}{3 (x + 2)} + \frac{x - 1}{x + 1} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{2 x}{3 (x + 2)} + \frac{x - 1}{x + 1} - 4$	=	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{2 x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot (3 (x + 2)) - 4 \cdot (3 (x + 2))$	=
$2 x + 3 \frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 1} - 12 x - 24$	=
$2 x + \frac{3 (x^{2} + x - 2)}{x + 1} - 12 x - 24$	=
$\frac{3 (x^{2} + x - 2)}{x + 1} + 2 x - 12 x - 24$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 (x^{2} + x - 2)}{x + 1} + 2 x - 12 x - 24$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 (x^{2} + x - 2)}{x + 1} \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) - 12 x \cdot (x + 1) - 24 \cdot (x + 1)$	=
$3 x^{2} + 3 x - 6 + 2 x (x + 1) - 12 x (x + 1) - 24 x - 24$	=
$3 x^{2} + 3 x - 6 + (2 x^{2} + 2 x) + (- 12 x^{2} - 12 x) - 24 x - 24$	=
$- 7 x^{2} - 31 x - 30$	=

$- 7 x^{2} - 31 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 30)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 - 840}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{121}}{- 14}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{121}}{- 14}$ = $\frac{31+11}{- 14}$ = $\frac{42}{- 14}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{121}}{- 14}$ = $\frac{31-11}{- 14}$ = $\frac{20}{- 14}$ = $- \frac{10}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} - 31 x - 30$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} + \frac{31}{7} x + \frac{30}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{14})}^{2} - (\frac{30}{7})$ = $\frac{961}{196}$ $-$ $\frac{30}{7}$ = $\frac{961}{196}$ $-$ $\frac{840}{196}$ = $\frac{121}{196}$

x_1,2 = $- \frac{31}{14}$ ± $\sqrt{\frac{121}{196}}$

x₁ = $- \frac{31}{14}$ - $\frac{11}{14}$ = $- \frac{42}{14}$ = -3

x₂ = $- \frac{31}{14}$ + $\frac{11}{14}$ = $- \frac{20}{14}$ = -1.4285714285714

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{10}{7}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$2 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$2 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$2 x + x^{2}$	=	$- a$
$2 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

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Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):