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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5 x - 5}{2 x + 1}$ = $1$

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{5 x - 5}{2 x + 1}$	=	$1$	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{5 x - 5}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1)$	=	$1 \cdot (2 x + 1)$
$5 x - 5$	=	$2 x + 1$

$5 x - 5$	=	$2 x + 1$	\| $+ 5$
$5 x$	=	$2 x + 6$	\| $- 2 x$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3$ = $- \frac{- 20 x}{3 x + 1} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ }

3

=

\frac{20 x}{3 x + 1} - x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$3$	=	$\frac{20 x}{3 x + 1} - x$	\|⋅( $3 x + 1$ )
$3 \cdot (3 x + 1)$	=	$\frac{20 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) - x \cdot (3 x + 1)$
$3 (3 x + 1)$	=	$20 x - x (3 x + 1)$
$9 x + 3$	=	$20 x - x (3 x + 1)$
$9 x + 3$	=	$- 3 x^{2} + 19 x$

9 x + 3

=

- 3 x^{2} + 19 x

|

+ 3 x^{2}

- 19 x

$3 x^{2} - 10 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{10+8}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{10-8}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 10 x + 3$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{10}{3} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{3})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $\frac{9}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $\frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $\frac{5}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{5}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 2} + \frac{x}{3 x - 10} + \frac{2 x}{- x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ ; $2$ }

\frac{x}{3 x - 10} + \frac{x}{x - 2} + \frac{2 x}{- x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{x}{3 x - 10} + \frac{x}{x - 2} + \frac{2 x}{- x + 2}$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + \frac{x}{x - 2} \cdot (3 x - 10) + \frac{2 x}{- x + 2} \cdot (3 x - 10)$	=
$x + \frac{x (3 x - 10)}{x - 2} + \frac{2 x (3 x - 10)}{- x + 2}$	=
$x + \frac{3 x^{2} - 10 x}{x - 2} + \frac{6 x^{2} - 20 x}{- x + 2}$	=
$\frac{6 x^{2} - 20 x}{- x + 2} + \frac{3 x^{2} - 10 x}{x - 2} + x$	=

\frac{3 x^{2} - 10 x}{x - 2} + \frac{6 x^{2} - 20 x}{- x + 2} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 10 x}{x - 2} + \frac{6 x^{2} - 20 x}{- x + 2} + x$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{3 x^{2} - 10 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{6 x^{2} - 20 x}{- x + 2} \cdot (x - 2) + x \cdot (x - 2)$	=
$3 x^{2} - 10 x + \frac{(6 x^{2} - 20 x) (x - 2)}{- x + 2} + x (x - 2)$	=
$3 x^{2} - 10 x - 2 x (3 x - 10) + x (x - 2)$	=
$3 x^{2} - 10 x + (- 6 x^{2} + 20 x) + (x^{2} - 2 x)$	=
$- 2 x^{2} + 8 x$	=

$- 2 x^{2} + 8 x$	=	0
$2 x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $\frac{4}{x^{2}} + \frac{32}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$\frac{4}{x^{2}} + \frac{32}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{4}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{32}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$4 x + 32$

x^{2}

=

4 x + 32

|

- 4 x

- 32

$x^{2} - 4 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4+12}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4-12}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 32)$ = $4$ $+$ $32$ = $36$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $2$ - $6$ = -4

x₂ = $2$ + $6$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 + \frac{12}{x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$2 + \frac{12}{x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $x$ )
$2 \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 2 \cdot x$
$2 x + 12$	=	$x \cdot x - 2 x$

2 x + 12

=

x^{2} - 2 x

|

- x^{2}

+ 2 x

$- x^{2} + 4 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 4+8}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 4-8}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{x - 1}{2 x + 4} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ ; $- 2$ }

$\frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{x - 1}{2 x + 4} - 5$	=	0
$\frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{x - 1}{2 (x + 2)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{x - 1}{2 (x + 2)} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{4 x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + \frac{x - 1}{2 (x + 2)} \cdot (3 x + 5) - 5 \cdot (3 x + 5)$	=
$4 x + \frac{(x - 1) (3 x + 5)}{2 (x + 2)} - 15 x - 25$	=
$4 x + \frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{2 (x + 2)} - 15 x - 25$	=
$\frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{2 (x + 2)} + 4 x - 15 x - 25$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{2 (x + 2)} + 4 x - 15 x - 25$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + 4 x \cdot (2 (x + 2)) - 15 x \cdot (2 (x + 2)) - 25 \cdot (2 (x + 2))$	=
$3 x^{2} + 2 x - 5 + 8 x (x + 2) - 30 x (x + 2) - 50 x - 100$	=
$3 x^{2} + 2 x - 5 + (8 x^{2} + 16 x) + (- 30 x^{2} - 60 x) - 50 x - 100$	=
$- 19 x^{2} - 92 x - 105$	=

$- 19 x^{2} - 92 x - 105$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 92 \pm \sqrt{{(- 92)}^{2} - 4 \cdot (- 19) \cdot (- 105)}}{2 \cdot (- 19)}$

x_1,2 = $\frac{+ 92 \pm \sqrt{8 464 - 7 980}}{- 38}$

x_1,2 = $\frac{+ 92 \pm \sqrt{484}}{- 38}$

x₁ = $\frac{92 + \sqrt{484}}{- 38}$ = $\frac{92+22}{- 38}$ = $\frac{114}{- 38}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{92 - \sqrt{484}}{- 38}$ = $\frac{92-22}{- 38}$ = $\frac{70}{- 38}$ = $- \frac{35}{19}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 19$ " teilen:

$- 19 x^{2} - 92 x - 105$ = 0 |: $- 19$

$x^{2} + \frac{92}{19} x + \frac{105}{19}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{46}{19})}^{2} - (\frac{105}{19})$ = $\frac{2116}{361}$ $-$ $\frac{105}{19}$ = $\frac{2116}{361}$ $-$ $\frac{1995}{361}$ = $\frac{121}{361}$

x_1,2 = $- \frac{46}{19}$ ± $\sqrt{\frac{121}{361}}$

x₁ = $- \frac{46}{19}$ - $\frac{11}{19}$ = $- \frac{57}{19}$ = -3

x₂ = $- \frac{46}{19}$ + $\frac{11}{19}$ = $- \frac{35}{19}$ = -1.8421052631579

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{35}{19}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{6}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{6}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{6}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{6}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$6$
$x^{2} + a x - 6$	=	0
$x^{2} + a x - 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 3)$ = -6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 3)$ = $1$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 1 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):