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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5}{x}$ = $\frac{5}{2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{5}{x}$	=	$\frac{5}{2}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{5}{x} \cdot x$	=	$\frac{5}{2} \cdot x$
$5$	=	$\frac{5}{2} x$

$5$	=	$\frac{5}{2} x$	\|⋅ 2
$10$	=	$5 x$	\| $- 10$ $- 5 x$
$- 5 x$	=	$- 10$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2$ = $- \frac{- 42}{x - 3} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

- 2

=

\frac{42}{x - 3} - x

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$- 2$	=	$\frac{42}{x - 3} - x$	\|⋅( $x - 3$ )
$- 2 \cdot (x - 3)$	=	$\frac{42}{x - 3} \cdot (x - 3) - x \cdot (x - 3)$
$- 2 (x - 3)$	=	$42 - x (x - 3)$
$- 2 x + 6$	=	$42 - x (x - 3)$
$- 2 x + 6$	=	$- x^{2} + 3 x + 42$

- 2 x + 6

=

- x^{2} + 3 x + 42

|

+ x^{2}

- 3 x

- 42

$x^{2} - 5 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5+13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5-13}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $36$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $9$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11}{3 x - 9}$ = $- \frac{x}{3 x - 9} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{11}{3 (x - 3)}

=

- \frac{x}{3 (x - 3)} - 2 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{11}{3 (x - 3)}$	=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} - 2 x$	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{11}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3))$	=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) - 2 x \cdot (3 (x - 3))$
$11$	=	$- x - 6 x (x - 3)$
$11$	=	$- 6 x^{2} + 17 x$

11

=

- 6 x^{2} + 17 x

|

+ 6 x^{2}

- 17 x

$6 x^{2} - 17 x + 11$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 11}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 264}}{12}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{25}}{12}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{25}}{12}$ = $\frac{17+5}{12}$ = $\frac{22}{12}$ = $\frac{11}{6}$ ≈ 1.83

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{25}}{12}$ = $\frac{17-5}{12}$ = $\frac{12}{12}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} - 17 x + 11$ = 0 |: $6$

$x^{2} - \frac{17}{6} x + \frac{11}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{12})}^{2} - (\frac{11}{6})$ = $\frac{289}{144}$ $-$ $\frac{11}{6}$ = $\frac{289}{144}$ $-$ $\frac{264}{144}$ = $\frac{25}{144}$

x_1,2 = $\frac{17}{12}$ ± $\sqrt{\frac{25}{144}}$

x₁ = $\frac{17}{12}$ - $\frac{5}{12}$ = $\frac{12}{12}$ = 1

x₂ = $\frac{17}{12}$ + $\frac{5}{12}$ = $\frac{22}{12}$ = 1.8333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $\frac{11}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{- 19 x + 90}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{- 19 x + 90}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{- 19 x + 90}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$- 19 x + 90$

- x^{2}

=

- 19 x + 90

|

+ 19 x

- 90

$- x^{2} + 19 x - 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 90)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 19+1}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 19-1}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 19 x - 90$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 19 x + 90$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{2})}^{2} - 90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{19}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

x₂ = $\frac{19}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $9$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 5$ = $\frac{6}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 5$	=	$\frac{6}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 5 \cdot x$	=	$\frac{6}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 5 x$	=	$6$
$x^{2} - 5 x$	=	$6$

x^{2} - 5 x

=

6

|

- 6

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{x}{x - 2} + \frac{- 10 x}{6 x - 16}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{8}{3}$ }

$\frac{x}{x - 2} + \frac{3 x}{3 x - 8} - \frac{10 x}{6 x - 16}$	=	0
$\frac{x}{x - 2} + \frac{3 x}{3 x - 8} - \frac{10 x}{2 (3 x - 8)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{x}{x - 2} + \frac{3 x}{3 x - 8} - \frac{10 x}{2 (3 x - 8)}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{3 x}{3 x - 8} \cdot (x - 2) - \frac{10 x}{2 (3 x - 8)} \cdot (x - 2)$	=
$x + \frac{3 x (x - 2)}{3 x - 8} - \frac{5 x (x - 2)}{3 x - 8}$	=
$x + \frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x - 8} - \frac{5 x^{2} - 10 x}{3 x - 8}$	=
$\frac{3 x^{2} - 6 x - 5 x^{2} + 10 x}{3 x - 8} + x$	=

\frac{3 x^{2} - 5 x^{2} - 6 x + 10 x}{3 x - 8} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 5 x^{2} - 6 x + 10 x}{3 x - 8} + x$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{3 x^{2} - 5 x^{2} - 6 x + 10 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + x \cdot (3 x - 8)$	=
$3 x^{2} - 5 x^{2} - 6 x + 10 x + x (3 x - 8)$	=
$3 x^{2} - 5 x^{2} - 6 x + 10 x + (3 x^{2} - 8 x)$	=
$x^{2} - 4 x$	=

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 9 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 9 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 9 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 9 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 9 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 9 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):