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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6 x}{x + 6}$ = $4$

D=R\{ $- 6$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 6$ weg!

$\frac{6 x}{x + 6}$	=	$4$	\|⋅( $x + 6$ )
$\frac{6 x}{x + 6} \cdot (x + 6)$	=	$4 \cdot (x + 6)$
$6 x$	=	$4 (x + 6)$

$6 x$	=	$4 x + 24$	\| $- 4 x$
$2 x$	=	$24$	\|: $2$
$x$	=	$12$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $12$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 5} - \frac{1}{x + 5}$ = $\frac{37}{x^{2} - 25}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ ; $5$ }

\frac{x}{x - 5} - \frac{1}{x + 5}

=

\frac{37}{(x + 5) \cdot (x - 5)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 5) \cdot (x - 5)$ weg!

$\frac{x}{x - 5} - \frac{1}{x + 5}$	=	$\frac{37}{(x + 5) \cdot (x - 5)}$	\|⋅( $(x + 5) \cdot (x - 5)$ )
$\frac{x}{x - 5} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5) - \frac{1}{x + 5} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)$	=	$\frac{37}{(x + 5) \cdot (x - 5)} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)$
$x \cdot (x + 5) - x + 5$	=	$37 \frac{x + 5}{x + 5}$
$x \cdot (x + 5) - x + 5$	=	$37$
$x^{2} + 5 x - x + 5$	=	$37$
$x^{2} + 4 x + 5$	=	$37$

x^{2} + 4 x + 5

=

37

|

- 37

$x^{2} + 4 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4+12}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4-12}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 32)$ = $4$ $+$ $32$ = $36$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 2$ - $6$ = -8

x₂ = $- 2$ + $6$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x - 2} + \frac{x}{2 x + 2} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $2$ }

$\frac{x}{2 x + 2} + \frac{8 x}{x - 2} - 5$	=	0
$\frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{8 x}{x - 2} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{8 x}{x - 2} - 5$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{8 x}{x - 2} \cdot (2 (x + 1)) - 5 \cdot (2 (x + 1))$	=
$x + 2 \frac{8 x \cdot (x + 1)}{x - 2} - 10 x - 10$	=
$x + \frac{2 (8 x^{2} + 8 x)}{x - 2} - 10 x - 10$	=
$\frac{2 (8 x^{2} + 8 x)}{x - 2} + x - 10 x - 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 (8 x^{2} + 8 x)}{x - 2} + x - 10 x - 10$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 (8 x^{2} + 8 x)}{x - 2} \cdot (x - 2) + x \cdot (x - 2) - 10 x \cdot (x - 2) - 10 \cdot (x - 2)$	=
$16 x^{2} + 16 x + x \cdot (x - 2) - 10 x \cdot (x - 2) - 10 x + 20$	=
$16 x^{2} + 16 x + (x^{2} - 2 x) + (- 10 x^{2} + 20 x) - 10 x + 20$	=
$7 x^{2} + 24 x + 20$	=

$7 x^{2} + 24 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 20}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 560}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{16}}{14}$

x₁ = $\frac{- 24 + \sqrt{16}}{14}$ = $\frac{- 24+4}{14}$ = $\frac{- 20}{14}$ = $- \frac{10}{7}$ ≈ -1.43

x₂ = $\frac{- 24 - \sqrt{16}}{14}$ = $\frac{- 24-4}{14}$ = $\frac{- 28}{14}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} + 24 x + 20$ = 0 |: $7$

$x^{2} + \frac{24}{7} x + \frac{20}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{12}{7})}^{2} - (\frac{20}{7})$ = $\frac{144}{49}$ $-$ $\frac{20}{7}$ = $\frac{144}{49}$ $-$ $\frac{140}{49}$ = $\frac{4}{49}$

x_1,2 = $- \frac{12}{7}$ ± $\sqrt{\frac{4}{49}}$

x₁ = $- \frac{12}{7}$ - $\frac{2}{7}$ = $- \frac{14}{7}$ = -2

x₂ = $- \frac{12}{7}$ + $\frac{2}{7}$ = $- \frac{10}{7}$ = -1.4285714285714

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{10}{7}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{4}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{4}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{4}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{12}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 4 x - 12$	=	$- x^{2}$

- 4 x - 12

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 8 x - 4}{x - 1}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 8 x - 4}{x - 1}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 8 x - 4}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$2 x \cdot (x - 1)$
$- 8 x - 4$	=	$2 x \cdot (x - 1)$
$- 8 x - 4$	=	$2 x^{2} - 2 x$

- 8 x - 4

=

2 x^{2} - 2 x

|

- 2 x^{2}

+ 2 x

- 2 x^{2} - 6 x - 4

= 0 |:2

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3+1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3-1}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x + 2} + \frac{16 x}{x + 3} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- 2$ }

\frac{16 x}{x + 3} + \frac{6 x}{x + 2} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{16 x}{x + 3} + \frac{6 x}{x + 2} - 6$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{16 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{6 x}{x + 2} \cdot (x + 3) - 6 \cdot (x + 3)$	=
$16 x + \frac{6 x \cdot (x + 3)}{x + 2} - 6 x - 18$	=
$16 x + \frac{6 x^{2} + 18 x}{x + 2} - 6 x - 18$	=
$\frac{6 x^{2} + 18 x}{x + 2} + 16 x - 6 x - 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 18 x}{x + 2} + 16 x - 6 x - 18$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6 x^{2} + 18 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 16 x \cdot (x + 2) - 6 x \cdot (x + 2) - 18 \cdot (x + 2)$	=
$6 x^{2} + 18 x + 16 x \cdot (x + 2) - 6 x \cdot (x + 2) - 18 x - 36$	=
$6 x^{2} + 18 x + (16 x^{2} + 32 x) + (- 6 x^{2} - 12 x) - 18 x - 36$	=
$16 x^{2} + 20 x - 36$	=

16 x^{2} + 20 x - 36

= 0 |:4

$4 x^{2} + 5 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{- 5+13}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{- 5-13}{8}$ = $\frac{- 18}{8}$ = $- 2,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 5 x - 9$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{5}{4} x - \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{8})}^{2} - (- \frac{9}{4})$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $- \frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $- \frac{5}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $- \frac{18}{8}$ = -2.25

x₂ = $- \frac{5}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,25$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{24}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{24}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{24}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{24}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 24$	=	$- x^{2}$
$a x + 24 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 12$ = 24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 12)$ = $- 14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 14 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14+10}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14-10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 24$ = $49$ $-$ $24$ = $25$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $7$ - $5$ = 2

x₂ = $7$ + $5$ = 12

L={ $2$ ; $12$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):