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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2 x + 10}{x + 1}$ = $4$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x + 10}{x + 1}$	=	$4$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x + 10}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$4 \cdot (x + 1)$
$2 x + 10$	=	$4 (x + 1)$

$2 x + 10$	=	$4 x + 4$	\| $- 10$
$2 x$	=	$4 x - 6$	\| $- 4 x$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 20 x}{3 x + 2}$ = $- x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{- 20 x}{3 x + 2}$	=	$- x - 3$	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{- 20 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2)$	=	$- x \cdot (3 x + 2) - 3 \cdot (3 x + 2)$
$- \frac{20 x}{1}$	=	$- x (3 x + 2) - 9 x - 6$
$- 20 x$	=	$- x (3 x + 2) - 9 x - 6$
$- 20 x$	=	$- 3 x^{2} - 11 x - 6$

- 20 x

=

- 3 x^{2} - 11 x - 6

|

+ 3 x^{2}

+ 11 x

+ 6

3 x^{2} - 9 x + 6

= 0 |:3

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{16 x}{2 x - 2} + \frac{- 42 x}{2 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $2$ }

$\frac{16 x}{2 x - 2} + \frac{9 x}{x - 2} - \frac{42 x}{2 x - 4}$	=	0
$\frac{16 x}{2 (x - 1)} + \frac{9 x}{x - 2} - \frac{42 x}{2 (x - 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{16 x}{2 (x - 1)} + \frac{9 x}{x - 2} - \frac{42 x}{2 (x - 2)}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{16 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{9 x}{x - 2} \cdot (x - 1) - \frac{42 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 1)$	=
$8 x + \frac{9 x (x - 1)}{x - 2} - \frac{21 x (x - 1)}{x - 2}$	=
$8 x + \frac{9 x^{2} - 9 x}{x - 2} - \frac{21 x^{2} - 21 x}{x - 2}$	=
$\frac{9 x^{2} - 9 x - 21 x^{2} + 21 x}{x - 2} + 8 x$	=

\frac{9 x^{2} - 21 x^{2} - 9 x + 21 x}{x - 2} + 8 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 21 x^{2} - 9 x + 21 x}{x - 2} + 8 x$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{9 x^{2} - 21 x^{2} - 9 x + 21 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 8 x \cdot (x - 2)$	=
$9 x^{2} - 21 x^{2} - 9 x + 21 x + 8 x (x - 2)$	=
$9 x^{2} - 21 x^{2} - 9 x + 21 x + (8 x^{2} - 16 x)$	=
$- 4 x^{2} - 4 x$	=

$- 4 x^{2} - 4 x$	=	0
$- 4 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{3}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{2}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} - 3 x - 2$

0

=

- x^{2} - 3 x - 2

|

+ x^{2}

+ 3 x

+ 2

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{13 x + 8}{2 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{13 x + 8}{2 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{13 x + 8}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 1 \cdot 2 x$
$13 x + 8$	=	$2 x \cdot x - 2 x$

13 x + 8

=

2 x^{2} - 2 x

|

- 2 x^{2}

+ 2 x

$- 2 x^{2} + 15 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 8}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{289}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{- 15+17}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{- 15-17}{- 4}$ = $\frac{- 32}{- 4}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 15 x + 8$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{15}{2} x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{4})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $4$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $\frac{64}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $\frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $\frac{15}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{15}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{2 x - 6} + \frac{3 x}{2 x - 5} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ ; $3$ }

$\frac{3 x}{2 x - 5} + \frac{x - 2}{2 x - 6} - 5$	=	0
$\frac{3 x}{2 x - 5} + \frac{x - 2}{2 (x - 3)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 5} + \frac{x - 2}{2 (x - 3)} - 5$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{3 x}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{x - 2}{2 (x - 3)} \cdot (2 x - 5) - 5 \cdot (2 x - 5)$	=
$3 x + \frac{(x - 2) (2 x - 5)}{2 (x - 3)} - 10 x + 25$	=
$3 x + \frac{2 x^{2} - 9 x + 10}{2 (x - 3)} - 10 x + 25$	=
$\frac{2 x^{2} - 9 x + 10}{2 (x - 3)} + 3 x - 10 x + 25$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 9 x + 10}{2 (x - 3)} + 3 x - 10 x + 25$	=	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{2 x^{2} - 9 x + 10}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + 3 x \cdot (2 (x - 3)) - 10 x \cdot (2 (x - 3)) + 25 \cdot (2 (x - 3))$	=
$2 x^{2} - 9 x + 10 + 6 x (x - 3) - 20 x (x - 3) + 50 x - 150$	=
$2 x^{2} - 9 x + 10 + (6 x^{2} - 18 x) + (- 20 x^{2} + 60 x) + 50 x - 150$	=
$- 12 x^{2} + 83 x - 140$	=

$- 12 x^{2} + 83 x - 140$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 83 \pm \sqrt{83^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot (- 140)}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{- 83 \pm \sqrt{6 889 - 6 720}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{- 83 \pm \sqrt{169}}{- 24}$

x₁ = $\frac{- 83 + \sqrt{169}}{- 24}$ = $\frac{- 83+13}{- 24}$ = $\frac{- 70}{- 24}$ = $\frac{35}{12}$ ≈ 2.92

x₂ = $\frac{- 83 - \sqrt{169}}{- 24}$ = $\frac{- 83-13}{- 24}$ = $\frac{- 96}{- 24}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} + 83 x - 140$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} - \frac{83}{12} x + \frac{35}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{83}{24})}^{2} - (\frac{35}{3})$ = $\frac{6889}{576}$ $-$ $\frac{35}{3}$ = $\frac{6889}{576}$ $-$ $\frac{6720}{576}$ = $\frac{169}{576}$

x_1,2 = $\frac{83}{24}$ ± $\sqrt{\frac{169}{576}}$

x₁ = $\frac{83}{24}$ - $\frac{13}{24}$ = $\frac{70}{24}$ = 2.9166666666667

x₂ = $\frac{83}{24}$ + $\frac{13}{24}$ = $\frac{96}{24}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{35}{12}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{6}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{6}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{6}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{6}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 6$	=	$- a x$
$x^{2} + 6 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):