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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4}{x - 3}$ = $- 1$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$- \frac{4}{x - 3}$	=	$- 1$	\|⋅( $x - 3$ )
$- \frac{4}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$- 1 \cdot (x - 3)$
$- 4$	=	$- (x - 3)$

$- 4$	=	$- x + 3$	\| $+ 4$ $+ x$
$x$	=	$7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{5 x}{2 x - 3} + \frac{90}{4 x - 6}$ = $- 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

- \frac{5 x}{2 x - 3} + \frac{90}{2 (2 x - 3)}

=

- 5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$- \frac{5 x}{2 x - 3} + \frac{90}{2 (2 x - 3)}$	=	$- 5$	\|⋅( $2 x - 3$ )
$- \frac{5 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{90}{2 (2 x - 3)} \cdot (2 x - 3)$	=	$- 5 \cdot (2 x - 3)$
$- 5 x + 45$	=	$- 5 (2 x - 3)$

$- 5 x + 45$	=	$- 10 x + 15$	\| $- 45$
$- 5 x$	=	$- 10 x - 30$	\| $+ 10 x$
$5 x$	=	$- 30$	\|: $5$
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{19}{x - 3} - x$ = $- \frac{x}{3 x - 9}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{19}{x - 3} - x$	=	$\frac{- x}{3 x - 9}$
$\frac{19}{x - 3} - x$	=	$\frac{- x}{3 (x - 3)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{19}{x - 3} - x$	=	$\frac{- x}{3 (x - 3)}$	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{19}{x - 3} \cdot (3 (x - 3)) - x \cdot (3 (x - 3))$	=	$\frac{- x}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3))$
$57 - 3 x (x - 3)$	=	$- x$
$57 + (- 3 x^{2} + 9 x)$	=	$- x$
$- 3 x^{2} + 9 x + 57$	=	$- x$

- 3 x^{2} + 9 x + 57

=

- x

|

+ x

$- 3 x^{2} + 10 x + 57$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 57}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 684}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{784}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{784}}{- 6}$ = $\frac{- 10+28}{- 6}$ = $\frac{18}{- 6}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{784}}{- 6}$ = $\frac{- 10-28}{- 6}$ = $\frac{- 38}{- 6}$ = $\frac{19}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 10 x + 57$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{10}{3} x - 19$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{3})}^{2} - (- 19)$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $19$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{171}{9}$ = $\frac{196}{9}$

x_1,2 = $\frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{196}{9}}$

x₁ = $\frac{5}{3}$ - $\frac{14}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $\frac{5}{3}$ + $\frac{14}{3}$ = $\frac{19}{3}$ = 6.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{19}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $- \frac{9}{x} - \frac{18}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$- \frac{9}{x} - \frac{18}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$- \frac{9}{x} \cdot x^{2} - \frac{18}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$- 9 x - 18$

x^{2}

=

- 9 x - 18

|

+ 9 x

+ 18

$x^{2} + 9 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 9+3}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 9-3}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 4$ = $\frac{- 3 x + 12}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x - 4$	=	$\frac{- 3 x + 12}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x - 4 \cdot 2 x$	=	$\frac{- 3 x + 12}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x - 8 x$	=	$- 3 x + 12$
$2 x^{2} - 8 x$	=	$- 3 x + 12$

2 x^{2} - 8 x

=

- 3 x + 12

|

+ 3 x

- 12

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5+11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5-11}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,5$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{2 x}{x - 1} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 4$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{8 x - 1}{3 x} \cdot (x - 1) - 4 \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{(8 x - 1) (x - 1)}{3 x} - 4 x + 4$	=
$2 x + \frac{8 x^{2} - 9 x + 1}{3 x} - 4 x + 4$	=
$\frac{8 x^{2} - 9 x + 1}{3 x} + 2 x - 4 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 9 x + 1}{3 x} + 2 x - 4 x + 4$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{8 x^{2} - 9 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + 2 x \cdot 3 x - 4 x \cdot 3 x + 4 \cdot 3 x$	=
$8 x^{2} - 9 x + 1 + 6 x \cdot x - 12 x \cdot x + 12 x$	=
$8 x^{2} - 9 x + 1 + 6 x^{2} - 12 x^{2} + 12 x$	=
$2 x^{2} + 3 x + 1$	=

$2 x^{2} + 3 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 3+1}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 3-1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 3 x + 1$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{10}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{10}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{10}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{10}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 10 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 10 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 5)$ = -10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 5)$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):