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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{8}{x - 7}$ = $4$

D=R\{ $7$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 7$ weg!

$- \frac{8}{x - 7}$	=	$4$	\|⋅( $x - 7$ )
$- \frac{8}{x - 7} \cdot (x - 7)$	=	$4 \cdot (x - 7)$
$- 8$	=	$4 (x - 7)$

$- 8$	=	$4 x - 28$	\| $+ 8$ $- 4 x$
$- 4 x$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2 x}{x - 5} - \frac{68}{2 x - 10}$ = $5$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

\frac{2 x}{x - 5} - \frac{68}{2 (x - 5)}

=

5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{2 x}{x - 5} - \frac{68}{2 (x - 5)}$	=	$5$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{2 x}{x - 5} \cdot (x - 5) + \frac{- 68}{2 (x - 5)} \cdot (x - 5)$	=	$5 \cdot (x - 5)$
$2 x - 34$	=	$5 (x - 5)$

$2 x - 34$	=	$5 x - 25$	\| $+ 34$
$2 x$	=	$5 x + 9$	\| $- 5 x$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 8} - 2 x$ = $- \frac{58,5}{2 x + 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{x}{4 (x + 2)} - 2 x

=

- \frac{58,5}{2 (x + 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 2)} - 2 x$	=	$- \frac{58,5}{2 (x + 2)}$	\|⋅( $4 (x + 2)$ )
$\frac{x}{4 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2)) - 2 x \cdot (4 (x + 2))$	=	$- \frac{58,5}{2 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2))$
$x - 8 x (x + 2)$	=	$- 117$
$x + (- 8 x^{2} - 16 x)$	=	$- 117$
$- 8 x^{2} - 15 x$	=	$- 117$

- 8 x^{2} - 15 x

=

- 117

|

+ 117

$- 8 x^{2} - 15 x + 117$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 117}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 3 744}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{3 969}}{- 16}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{3 969}}{- 16}$ = $\frac{15+63}{- 16}$ = $\frac{78}{- 16}$ = $- 4,875$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{3 969}}{- 16}$ = $\frac{15-63}{- 16}$ = $\frac{- 48}{- 16}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} - 15 x + 117$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} + \frac{15}{8} x - \frac{117}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{16})}^{2} - (- \frac{117}{8})$ = $\frac{225}{256}$ $+$ $\frac{117}{8}$ = $\frac{225}{256}$ $+$ $\frac{3744}{256}$ = $\frac{3969}{256}$

x_1,2 = $- \frac{15}{16}$ ± $\sqrt{\frac{3969}{256}}$

x₁ = $- \frac{15}{16}$ - $\frac{63}{16}$ = $- \frac{78}{16}$ = -4.875

x₂ = $- \frac{15}{16}$ + $\frac{63}{16}$ = $\frac{48}{16}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,875$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $\frac{17}{x^{2}} - \frac{70}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$\frac{17}{x^{2}} - \frac{70}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{17}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{70}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$17 x - 70$

x^{2}

=

17 x - 70

|

- 17 x

+ 70

$x^{2} - 17 x + 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 70}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 280}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{17+3}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{17-3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 70$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $70$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{280}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 2$ = $- 9 - \frac{10}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 2$	=	$- 9 - \frac{10}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 2 \cdot x$	=	$- 9 \cdot x - \frac{10}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 2 x$	=	$- 9 x - 10$
$x^{2} - 2 x$	=	$- 9 x - 10$

x^{2} - 2 x

=

- 9 x - 10

|

+ 9 x

+ 10

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 3}{x} + \frac{2 x}{x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{2 x}{x + 1} - 4 - \frac{3}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x}{x + 1} - 4 - \frac{3}{x}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x}{x + 1} \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1) - \frac{3}{x} \cdot (x + 1)$	=
$2 x - 4 x - 4 - 3 \frac{x + 1}{x}$	=
$2 x - 4 x - 4 - \frac{3 (x + 1)}{x}$	=
$- \frac{3 (x + 1)}{x} + 2 x - 4 x - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3 (x + 1)}{x} + 2 x - 4 x - 4$	=	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3 (x + 1)}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot x$	=
$- 3 x - 3 + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 x$	=
$- 3 x - 3 + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 x$	=
$- 2 x^{2} - 7 x - 3$	=

$- 2 x^{2} - 7 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{7+5}{- 4}$ = $\frac{12}{- 4}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{7-5}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 7 x - 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$7 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$7 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$7 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$7 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$7 x + x^{2}$	=	$- a$
$7 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $- (2 - 9)$ = 7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 9)$ = $- 18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):