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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3 x}{x - 20}$ = $- 2$

D=R\{ $20$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 20$ weg!

$\frac{3 x}{x - 20}$	=	$- 2$	\|⋅( $x - 20$ )
$\frac{3 x}{x - 20} \cdot (x - 20)$	=	$- 2 \cdot (x - 20)$
$3 x$	=	$- 2 (x - 20)$

$3 x$	=	$- 2 x + 40$	\| $+ 2 x$
$5 x$	=	$40$	\|: $5$
$x$	=	$8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 8} - \frac{3}{x + 8}$ = $\frac{174}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x - 8} - \frac{3}{x + 8}

=

\frac{174}{(x + 8) (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x - 8} - \frac{3}{x + 8}$	=	$\frac{174}{(x + 8) (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) (x - 8)$ )
$\frac{x}{x - 8} \cdot (x + 8) (x - 8) - \frac{3}{x + 8} \cdot (x + 8) (x - 8)$	=	$\frac{174}{(x + 8) (x - 8)} \cdot (x + 8) (x - 8)$
$x (x + 8) - 3 x + 24$	=	$174 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x (x + 8) - 3 x + 24$	=	$174$
$x^{2} + 8 x - 3 x + 24$	=	$174$
$x^{2} + 5 x + 24$	=	$174$

x^{2} + 5 x + 24

=

174

|

- 174

$x^{2} + 5 x - 150$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 150)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 600}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{625}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{625}}{2}$ = $\frac{- 5+25}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{625}}{2}$ = $\frac{- 5-25}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 150)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $150$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{600}{4}$ = $\frac{625}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{625}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{25}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{25}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 15$ ; $10$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{2 x}{2 x - 2} + \frac{10 x}{- 6 x + 8}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{4}{3}$ }

$\frac{2 x}{2 x - 2} + \frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{10 x}{- 6 x + 8}$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{10 x}{2 (- 3 x + 4)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{10 x}{2 (- 3 x + 4)}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{3 x}{3 x - 4} \cdot (x - 1) + \frac{10 x}{2 (- 3 x + 4)} \cdot (x - 1)$	=
$x + \frac{3 x (x - 1)}{3 x - 4} + \frac{5 x (x - 1)}{- 3 x + 4}$	=
$x + \frac{3 x^{2} - 3 x}{3 x - 4} + \frac{5 x^{2} - 5 x}{- 3 x + 4}$	=
$\frac{5 x^{2} - 5 x}{- 3 x + 4} + \frac{3 x^{2} - 3 x}{3 x - 4} + x$	=

\frac{3 x^{2} - 3 x}{3 x - 4} + \frac{5 x^{2} - 5 x}{- 3 x + 4} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 3 x}{3 x - 4} + \frac{5 x^{2} - 5 x}{- 3 x + 4} + x$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{3 x^{2} - 3 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{5 x^{2} - 5 x}{- 3 x + 4} \cdot (3 x - 4) + x \cdot (3 x - 4)$	=
$3 x^{2} - 3 x + \frac{(5 x^{2} - 5 x) (3 x - 4)}{- 3 x + 4} + x (3 x - 4)$	=
$3 x^{2} - 3 x - 5 x (x - 1) + x (3 x - 4)$	=
$3 x^{2} - 3 x + (- 5 x^{2} + 5 x) + (3 x^{2} - 4 x)$	=
$x^{2} - 2 x$	=

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{5 x - 24}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{5 x - 24}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{5 x - 24}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$5 x - 24$

- x^{2}

=

5 x - 24

|

- 5 x

+ 24

$- x^{2} - 5 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 24}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{5+11}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{5-11}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x + 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x - 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 + \frac{7}{x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 3 + \frac{7}{x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $x$ )
$- 3 \cdot x + \frac{7}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 3 \cdot x$
$- 3 x + 7$	=	$x \cdot x + 3 x$

- 3 x + 7

=

x^{2} + 3 x

|

- x^{2}

- 3 x

$- x^{2} - 6 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{6+8}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{6-8}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x + 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{- 4}{x} + \frac{- 6 x}{2 x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

$- \frac{6 x}{2 x + 2} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - \frac{4}{x}$	=	0
$- \frac{6 x}{2 (x + 1)} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - \frac{4}{x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{6 x}{2 (x + 1)} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - \frac{4}{x}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{6 x}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1) + \frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot (x + 1) - \frac{4}{x} \cdot (x + 1)$	=
$- 3 x + 2 x - 1 - 4 \frac{x + 1}{x}$	=
$- 3 x + 2 x - 1 - \frac{4 (x + 1)}{x}$	=
$- \frac{4 (x + 1)}{x} - 3 x + 2 x - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{4 (x + 1)}{x} - 3 x + 2 x - 1$	=	\|⋅( $x$ )
$- \frac{4 (x + 1)}{x} \cdot x - 3 x \cdot x + 2 x \cdot x - 1 \cdot x$	=
$- 4 x - 4 - 3 x \cdot x + 2 x \cdot x - x$	=
$- 4 x - 4 - 3 x^{2} + 2 x^{2} - x$	=
$- x^{2} - 5 x - 4$	=

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5+3}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5-3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Lösung x= $- 1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 3 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 3 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 3 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 3 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 3 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 3 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (2 + 1)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):