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cosh
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Einfache Linearterme im Nenner
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
D=R\{ }
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = |
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={ }
Bruchgleichung (mit Ausklammern)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
D=R\{ }
| = | |(Nenner faktorisiert) |
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = |
| = | | | ||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={ }
Bruchgleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
D=R\{
| = |
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = | |||
| = | |||
| = |
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = | |||
| = | |||
| = |
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| x2 | = |
Lösung x=
L={ }
Bruchgl. mit x-Potenzen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
D=R\{
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = |
| = | | |
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
= =
x2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={
Bruchgleichung (quadr.) 1
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
D=R\{
Wir multiplizieren den Nenner
|
|
= |
|
|⋅(
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die
ganze Gleichung durch "
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={
Bruchgleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
D=R\{
|
|
= | ||
|
|
= | |(Nenner faktorisiert) |
Wir multiplizieren den Nenner
|
|
= | |⋅(
|
|
|
|
= | ||
|
|
= | ||
|
|
= | ||
|
|
= |
|
|
= |
Wir multiplizieren den Nenner
|
|
= | |⋅(
|
|
|
|
= | ||
|
|
= | ||
|
|
= | ||
|
|
= |
Wir multiplizieren den Nenner
|
|
= | |⋅(
|
|
|
|
= | ||
|
|
= | ||
|
|
= | ||
|
|
= |
Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen)
des Absolutglieds
Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x
| (
|
|
|
|
: | (x |
= |
|
| -(
|
|
||||||
|
|
|
||||||
| -(
|
|
||||||
|
|
|
||||||
| -(
|
|
||||||
es gilt also:
|
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die
ganze Gleichung durch "
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
2. Fall:
|
|
= | |
|
|
| x3 | = |
|
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={
Bruchgleichung mit Parameter
Beispiel:
Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:
Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.
D=R\{0}
Wir multiplizieren den Nenner x weg:
|
|
= |
|
|⋅x |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= | ||
|
|
= |
Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:
(x-p)⋅(x-q)
Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.
= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq
Es muss somit gelten:
Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:
Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn
Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a =
Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
L={
