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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2 x}{x + 15}$ = $- 1$

D=R\{ $- 15$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 15$ weg!

$\frac{2 x}{x + 15}$	=	$- 1$	\|⋅( $x + 15$ )
$\frac{2 x}{x + 15} \cdot (x + 15)$	=	$- 1 \cdot (x + 15)$
$2 x$	=	$- (x + 15)$

$2 x$	=	$- x - 15$	\| $+ x$
$3 x$	=	$- 15$	\|: $3$
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 5} - \frac{6}{x - 5}$ = $\frac{122}{x^{2} - 25}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ ; $5$ }

\frac{x}{x + 5} - \frac{6}{x - 5}

=

\frac{122}{(x + 5) \cdot (x - 5)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 5) \cdot (x - 5)$ weg!

$\frac{x}{x + 5} - \frac{6}{x - 5}$	=	$\frac{122}{(x + 5) \cdot (x - 5)}$	\|⋅( $(x + 5) \cdot (x - 5)$ )
$\frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5) - \frac{6}{x - 5} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)$	=	$\frac{122}{(x + 5) \cdot (x - 5)} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)$
$x \cdot (x - 5) - 6 x - 30$	=	$122 \frac{x + 5}{x + 5}$
$x \cdot (x - 5) - 6 x - 30$	=	$122$
$x^{2} - 5 x - 6 x - 30$	=	$122$
$x^{2} - 11 x - 30$	=	$122$

x^{2} - 11 x - 30

=

122

|

- 122

$x^{2} - 11 x - 152$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 152)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 608}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{729}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{729}}{2}$ = $\frac{11+27}{2}$ = $\frac{38}{2}$ = $19$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{729}}{2}$ = $\frac{11-27}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - (- 152)$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $152$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $\frac{608}{4}$ = $\frac{729}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{729}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{27}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{27}{2}$ = $\frac{38}{2}$ = 19

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $19$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $- \frac{x}{3 x + 6} - \frac{- 296}{6 x + 12}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$2 x$	=	$- \frac{x}{3 x + 6} + \frac{296}{6 x + 12}$
$2 x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} + \frac{296}{6 (x + 2)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$2 x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} + \frac{296}{6 (x + 2)}$	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$2 x \cdot (3 (x + 2))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + \frac{296}{6 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2))$
$6 x \cdot (x + 2)$	=	$- x + 148$
$6 x \cdot x + 6 x \cdot 2$	=	$- x + 148$
$6 x \cdot x + 12 x$	=	$- x + 148$
$6 x^{2} + 12 x$	=	$- x + 148$

6 x^{2} + 12 x

=

- x + 148

|

+ x

- 148

$6 x^{2} + 13 x - 148$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 148)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 3 552}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{3 721}}{12}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{3 721}}{12}$ = $\frac{- 13+61}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{3 721}}{12}$ = $\frac{- 13-61}{12}$ = $\frac{- 74}{12}$ = $- \frac{37}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 13 x - 148$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{13}{6} x - \frac{74}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{12})}^{2} - (- \frac{74}{3})$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{74}{3}$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{3552}{144}$ = $\frac{3721}{144}$

x_1,2 = $- \frac{13}{12}$ ± $\sqrt{\frac{3721}{144}}$

x₁ = $- \frac{13}{12}$ - $\frac{61}{12}$ = $- \frac{74}{12}$ = -6.1666666666667

x₂ = $- \frac{13}{12}$ + $\frac{61}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{37}{6}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{- 4 x - 32}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{- 4 x - 32}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{- 4 x - 32}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$- 4 x - 32$

- x^{2}

=

- 4 x - 32

|

+ 4 x

+ 32

$- x^{2} + 4 x + 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 32}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{144}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{- 4+12}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{- 4-12}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 32$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 32$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 32)$ = $4$ $+$ $32$ = $36$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $2$ - $6$ = -4

x₂ = $2$ + $6$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 5 x - 3}{x + 2}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{- 5 x - 3}{x + 2}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{- 5 x - 3}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$4 x \cdot (x + 2)$
$- 5 x - 3$	=	$4 x \cdot (x + 2)$
$- 5 x - 3$	=	$4 x^{2} + 8 x$

- 5 x - 3

=

4 x^{2} + 8 x

|

- 4 x^{2}

- 8 x

$- 4 x^{2} - 13 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{121}}{- 8}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{13+11}{- 8}$ = $\frac{24}{- 8}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{13-11}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 13 x - 3$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{13}{4} x + \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{8})}^{2} - (\frac{3}{4})$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $- \frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $- \frac{13}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $- \frac{13}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 6} + \frac{4 x}{3 x + 5} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ ; $- 2$ }

$\frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{x}{3 x + 6} - 4$	=	0
$\frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{x}{3 (x + 2)} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{x}{3 (x + 2)} - 4$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{4 x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + \frac{x}{3 (x + 2)} \cdot (3 x + 5) - 4 \cdot (3 x + 5)$	=
$4 x + \frac{x \cdot (3 x + 5)}{3 (x + 2)} - 12 x - 20$	=
$4 x + \frac{3 x^{2} + 5 x}{3 (x + 2)} - 12 x - 20$	=
$\frac{3 x^{2} + 5 x}{3 (x + 2)} + 4 x - 12 x - 20$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 5 x}{3 (x + 2)} + 4 x - 12 x - 20$	=	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{3 x^{2} + 5 x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + 4 x \cdot (3 (x + 2)) - 12 x \cdot (3 (x + 2)) - 20 \cdot (3 (x + 2))$	=
$3 x^{2} + 5 x + 12 x \cdot (x + 2) - 36 x \cdot (x + 2) - 60 x - 120$	=
$3 x^{2} + 5 x + (12 x^{2} + 24 x) + (- 36 x^{2} - 72 x) - 60 x - 120$	=
$- 21 x^{2} - 103 x - 120$	=

$- 21 x^{2} - 103 x - 120$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 103 \pm \sqrt{{(- 103)}^{2} - 4 \cdot (- 21) \cdot (- 120)}}{2 \cdot (- 21)}$

x_1,2 = $\frac{+ 103 \pm \sqrt{10 609 - 10 080}}{- 42}$

x_1,2 = $\frac{+ 103 \pm \sqrt{529}}{- 42}$

x₁ = $\frac{103 + \sqrt{529}}{- 42}$ = $\frac{103+23}{- 42}$ = $\frac{126}{- 42}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{103 - \sqrt{529}}{- 42}$ = $\frac{103-23}{- 42}$ = $\frac{80}{- 42}$ = $- \frac{40}{21}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 21$ " teilen:

$- 21 x^{2} - 103 x - 120$ = 0 |: $- 21$

$x^{2} + \frac{103}{21} x + \frac{40}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{103}{42})}^{2} - (\frac{40}{7})$ = $\frac{10609}{1764}$ $-$ $\frac{40}{7}$ = $\frac{10609}{1764}$ $-$ $\frac{10080}{1764}$ = $\frac{529}{1764}$

x_1,2 = $- \frac{103}{42}$ ± $\sqrt{\frac{529}{1764}}$

x₁ = $- \frac{103}{42}$ - $\frac{23}{42}$ = $- \frac{126}{42}$ = -3

x₂ = $- \frac{103}{42}$ + $\frac{23}{42}$ = $- \frac{80}{42}$ = -1.9047619047619

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{40}{21}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{15}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{15}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{15}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{15}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 15$	=	$- x^{2}$
$a x - 15 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot (- 5)$ = -15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 - 5)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):