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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9 x + 22}{x - 2}$ = $4$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{9 x + 22}{x - 2}$	=	$4$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{9 x + 22}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$4 \cdot (x - 2)$
$9 x + 22$	=	$4 (x - 2)$

$9 x + 22$	=	$4 x - 8$	\| $- 22$
$9 x$	=	$4 x - 30$	\| $- 4 x$
$5 x$	=	$- 30$	\|: $5$
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 3$ = $- \frac{14 x}{2 x + 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$x - 3$	=	$\frac{- 14 x}{2 x + 5}$	\|⋅( $2 x + 5$ )
$x \cdot (2 x + 5) - 3 \cdot (2 x + 5)$	=	$\frac{- 14 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5)$
$x (2 x + 5) - 6 x - 15$	=	$- \frac{14 x}{1}$
$x (2 x + 5) - 6 x - 15$	=	$- 14 x$
$2 x^{2} + 5 x - 6 x - 15$	=	$- 14 x$
$2 x^{2} - x - 15$	=	$- 14 x$

2 x^{2} - x - 15

=

- 14 x

|

+ 14 x

$2 x^{2} + 13 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 13+17}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 13-17}{4}$ = $\frac{- 30}{4}$ = $- 7,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 13 x - 15$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{30}{4}$ = -7.5

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7,5$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 4} - 3 x$ = $- \frac{122}{2 x - 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{x}{4 (x - 1)} - 3 x

=

- \frac{122}{2 (x - 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 1)} - 3 x$	=	$- \frac{122}{2 (x - 1)}$	\|⋅( $4 (x - 1)$ )
$\frac{x}{4 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) - 3 x \cdot (4 (x - 1))$	=	$- \frac{122}{2 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1))$
$x - 12 x (x - 1)$	=	$- 244$
$x + (- 12 x^{2} + 12 x)$	=	$- 244$
$- 12 x^{2} + 13 x$	=	$- 244$

- 12 x^{2} + 13 x

=

- 244

|

+ 244

$- 12 x^{2} + 13 x + 244$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 244}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 11 712}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{11 881}}{- 24}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{11 881}}{- 24}$ = $\frac{- 13+109}{- 24}$ = $\frac{96}{- 24}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{11 881}}{- 24}$ = $\frac{- 13-109}{- 24}$ = $\frac{- 122}{- 24}$ = $\frac{61}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} + 13 x + 244$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} - \frac{13}{12} x - \frac{61}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{24})}^{2} - (- \frac{61}{3})$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{61}{3}$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{11712}{576}$ = $\frac{11881}{576}$

x_1,2 = $\frac{13}{24}$ ± $\sqrt{\frac{11881}{576}}$

x₁ = $\frac{13}{24}$ - $\frac{109}{24}$ = $- \frac{96}{24}$ = -4

x₂ = $\frac{13}{24}$ + $\frac{109}{24}$ = $\frac{122}{24}$ = 5.0833333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{61}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{4}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{21}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{4}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{21}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{4}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{21}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- 4 x$	=	$- x^{2} + 21$

- 4 x

=

- x^{2} + 21

|

+ x^{2}

- 21

$x^{2} - 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $2$ - $5$ = -3

x₂ = $2$ + $5$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 7 x - 4}{3 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 7 x - 4}{3 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 7 x - 4}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 2 \cdot 3 x$
$- 7 x - 4$	=	$3 x \cdot x + 6 x$

- 7 x - 4

=

3 x^{2} + 6 x

|

- 3 x^{2}

- 6 x

$- 3 x^{2} - 13 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{121}}{- 6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{121}}{- 6}$ = $\frac{13+11}{- 6}$ = $\frac{24}{- 6}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{121}}{- 6}$ = $\frac{13-11}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 13 x - 4$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{13}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{6})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $- \frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $- \frac{13}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{24}{6}$ = -4

x₂ = $- \frac{13}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{2 x + 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{12 x}{2 (x + 1)} - 3

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{12 x}{2 (x + 1)} - 3$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{12 x}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1) - 3 \cdot (x + 1)$	=
$6 x - 3 x - 3$	=
$3 x - 3$	=

$3 x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 5$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 5$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 5$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 5 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 5 x$
$x^{2} + a + 5 x$	=	0
$x^{2} + 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -7 würde es funktionieren, denn $- (2 - 7)$ = 5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 7)$ = $- 14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 7$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):