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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6 x}{3 x + 5} + \frac{56}{3 x + 5}$ = $4$

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{6 x}{3 x + 5} + \frac{56}{3 x + 5}$	=	$4$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{6 x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + \frac{56}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5)$	=	$4 \cdot (3 x + 5)$
$6 x + 56$	=	$4 (3 x + 5)$

$6 x + 56$	=	$12 x + 20$	\| $- 56$
$6 x$	=	$12 x - 36$	\| $- 12 x$
$- 6 x$	=	$- 36$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7 x}{x - 2} - \frac{32}{2 x - 4}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

- \frac{7 x}{x - 2} - \frac{32}{2 (x - 2)}

=

- 1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{7 x}{x - 2} - \frac{32}{2 (x - 2)}$	=	$- 1$	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{7 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{- 32}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2)$	=	$- 1 \cdot (x - 2)$
$- 7 x - 16$	=	$- (x - 2)$

$- 7 x - 16$	=	$- x + 2$	\| $+ 16$
$- 7 x$	=	$- x + 18$	\| $+ x$
$- 6 x$	=	$18$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{3 x + 5} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{3 x + 1}{3 x + 5} - 2$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{3 x + 1}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) - 2 \cdot (3 x + 5)$	=
$3 x + 1 - 6 x - 10$	=
$- 3 x - 9$	=

$- 3 x - 9$	=	0	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x + 20}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{9 x + 20}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{9 x + 20}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$9 x + 20$	=	$- x^{2}$

9 x + 20

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 5$ = $- 4 - \frac{8}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 5$	=	$- 4 - \frac{8}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 5 \cdot x$	=	$- 4 \cdot x - \frac{8}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 5 x$	=	$- 4 x - 8$
$x^{2} + 5 x$	=	$- 4 x - 8$

x^{2} + 5 x

=

- 4 x - 8

|

+ 4 x

+ 8

$x^{2} + 9 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{3 x}{2 x - 2} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{1}{2}$ }

$\frac{3 x}{2 x - 2} + \frac{6 x}{2 x - 1} - 7$	=	0
$\frac{3 x}{2 (x - 1)} + \frac{6 x}{2 x - 1} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{3 x}{2 (x - 1)} + \frac{6 x}{2 x - 1} - 7$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{3 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (2 (x - 1)) - 7 \cdot (2 (x - 1))$	=
$3 x + 2 \frac{6 x \cdot (x - 1)}{2 x - 1} - 14 x + 14$	=
$3 x + \frac{2 (6 x^{2} - 6 x)}{2 x - 1} - 14 x + 14$	=
$\frac{2 (6 x^{2} - 6 x)}{2 x - 1} + 3 x - 14 x + 14$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{2 (6 x^{2} - 6 x)}{2 x - 1} + 3 x - 14 x + 14$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{2 (6 x^{2} - 6 x)}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + 3 x \cdot (2 x - 1) - 14 x \cdot (2 x - 1) + 14 \cdot (2 x - 1)$	=
$12 x^{2} - 12 x + 3 x \cdot (2 x - 1) - 14 x \cdot (2 x - 1) + 28 x - 14$	=
$12 x^{2} - 12 x + (6 x^{2} - 3 x) + (- 28 x^{2} + 14 x) + 28 x - 14$	=
$- 10 x^{2} + 27 x - 14$	=

$- 10 x^{2} + 27 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{27^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot (- 14)}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{729 - 560}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{169}}{- 20}$

x₁ = $\frac{- 27 + \sqrt{169}}{- 20}$ = $\frac{- 27+13}{- 20}$ = $\frac{- 14}{- 20}$ = $0,7$

x₂ = $\frac{- 27 - \sqrt{169}}{- 20}$ = $\frac{- 27-13}{- 20}$ = $\frac{- 40}{- 20}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} + 27 x - 14$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} - \frac{27}{10} x + \frac{7}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{27}{20})}^{2} - (\frac{7}{5})$ = $\frac{729}{400}$ $-$ $\frac{7}{5}$ = $\frac{729}{400}$ $-$ $\frac{560}{400}$ = $\frac{169}{400}$

x_1,2 = $\frac{27}{20}$ ± $\sqrt{\frac{169}{400}}$

x₁ = $\frac{27}{20}$ - $\frac{13}{20}$ = $\frac{14}{20}$ = 0.7

x₂ = $\frac{27}{20}$ + $\frac{13}{20}$ = $\frac{40}{20}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,7$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 5$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 5$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 5$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 5 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 5 x$	=	$- a$
$x^{2} - 5 x + a$	=	0
$x^{2} - 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $- (2 + 3)$ = -5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 3$ = $6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):