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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6 x}{2 x - 2} + \frac{22}{2 x - 2}$ = $1$

D=R\{ $1$ }

\frac{6 x}{2 (x - 1)} + \frac{22}{2 (x - 1)}

=

1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 (x - 1)} + \frac{22}{2 (x - 1)}$	=	$1$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{22}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1)$	=	$1 \cdot (x - 1)$
$3 x + 11$	=	$x - 1$

$3 x + 11$	=	$x - 1$	\| $- 11$
$3 x$	=	$x - 12$	\| $- x$
$2 x$	=	$- 12$	\|: $2$
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2 x}{2 x + 4} - \frac{68}{4 x + 8}$ = $4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{2 x}{2 (x + 2)} - \frac{68}{4 (x + 2)}

=

4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{2 x}{2 (x + 2)} - \frac{68}{4 (x + 2)}$	=	$4$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{2 x}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) + \frac{- 68}{4 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=	$4 \cdot (x + 2)$
$- x - 17$	=	$4 (x + 2)$

$- x - 17$	=	$4 x + 8$	\| $+ 17$
$- x$	=	$4 x + 25$	\| $- 4 x$
$- 5 x$	=	$25$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{x + 1} + \frac{3 x + 1}{3 x + 7} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{7}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{3 x + 1}{3 x + 7} + \frac{3 x + 1}{x + 1} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{3 x + 1}{3 x + 7} + \frac{3 x + 1}{x + 1} - 8$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{3 x + 1}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + \frac{3 x + 1}{x + 1} \cdot (3 x + 7) - 8 \cdot (3 x + 7)$	=
$3 x + 1 + \frac{(3 x + 1) \cdot (3 x + 7)}{x + 1} - 24 x - 56$	=
$3 x + 1 + \frac{9 x^{2} + 24 x + 7}{x + 1} - 24 x - 56$	=
$\frac{9 x^{2} + 24 x + 7}{x + 1} + 3 x - 24 x + 1 - 56$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{9 x^{2} + 24 x + 7}{x + 1} + 3 x - 24 x + 1 - 56$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{9 x^{2} + 24 x + 7}{x + 1} \cdot (x + 1) + 3 x \cdot (x + 1) - 24 x \cdot (x + 1) + 1 \cdot (x + 1) - 56 \cdot (x + 1)$	=
$9 x^{2} + 24 x + 7 + 3 x \cdot (x + 1) - 24 x \cdot (x + 1) + x + 1 - 56 x - 56$	=
$9 x^{2} + 24 x + 7 + (3 x^{2} + 3 x) + (- 24 x^{2} - 24 x) + x + 1 - 56 x - 56$	=
$- 12 x^{2} - 52 x - 48$	=

- 12 x^{2} - 52 x - 48

= 0 |:4

$- 3 x^{2} - 13 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{13+5}{- 6}$ = $\frac{18}{- 6}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{13-5}{- 6}$ = $\frac{8}{- 6}$ = $- \frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 13 x - 12$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{13}{3} x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{6})}^{2} - 4$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $4$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{144}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $- \frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $- \frac{13}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $- \frac{13}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $- \frac{8}{6}$ = -1.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{4}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $- \frac{3}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$- \frac{3}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{3}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{2}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$- 3 x - 2$

x^{2}

=

- 3 x - 2

|

+ 3 x

+ 2

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 23 x - 21}{2 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 23 x - 21}{2 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 23 x - 21}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 3 \cdot 2 x$
$- 23 x - 21$	=	$2 x \cdot x - 6 x$

- 23 x - 21

=

2 x^{2} - 6 x

|

- 2 x^{2}

+ 6 x

$- 2 x^{2} - 17 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 168}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{17+11}{- 4}$ = $\frac{28}{- 4}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{17-11}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 17 x - 21$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{17}{2} x + \frac{21}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{4})}^{2} - (\frac{21}{2})$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{21}{2}$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{168}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{17}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{28}{4}$ = -7

x₂ = $- \frac{17}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{3 x - 3} + \frac{5 x + 2}{2 x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $1$ }

$\frac{5 x + 2}{2 x} + \frac{2 x - 1}{3 x - 3} - 4$	=	0
$\frac{5 x + 2}{2 x} + \frac{2 x - 1}{3 (x - 1)} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x + 2}{2 x} + \frac{2 x - 1}{3 (x - 1)} - 4$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x + 2}{2 x} \cdot 2 x + \frac{2 x - 1}{3 (x - 1)} \cdot 2 x - 4 \cdot 2 x$	=
$5 x + 2 + 2 \frac{(2 x - 1) x}{3 (x - 1)} - 8 x$	=
$5 x + 2 + \frac{2 (2 x^{2} - x)}{3 (x - 1)} - 8 x$	=
$\frac{2 (2 x^{2} - x)}{3 (x - 1)} + 5 x - 8 x + 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{2 (2 x^{2} - x)}{3 (x - 1)} + 5 x - 8 x + 2$	=	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{2 (2 x^{2} - x)}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) + 5 x \cdot (3 (x - 1)) - 8 x \cdot (3 (x - 1)) + 2 \cdot (3 (x - 1))$	=
$4 x^{2} - 2 x + 15 x \cdot (x - 1) - 24 x \cdot (x - 1) + 6 x - 6$	=
$4 x^{2} - 2 x + (15 x^{2} - 15 x) + (- 24 x^{2} + 24 x) + 6 x - 6$	=
$- 5 x^{2} + 13 x - 6$	=

$- 5 x^{2} + 13 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{49}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{49}}{- 10}$ = $\frac{- 13+7}{- 10}$ = $\frac{- 6}{- 10}$ = $0,6$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{49}}{- 10}$ = $\frac{- 13-7}{- 10}$ = $\frac{- 20}{- 10}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 13 x - 6$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{13}{5} x + \frac{6}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{10})}^{2} - (\frac{6}{5})$ = $\frac{169}{100}$ $-$ $\frac{6}{5}$ = $\frac{169}{100}$ $-$ $\frac{120}{100}$ = $\frac{49}{100}$

x_1,2 = $\frac{13}{10}$ ± $\sqrt{\frac{49}{100}}$

x₁ = $\frac{13}{10}$ - $\frac{7}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = 0.6

x₂ = $\frac{13}{10}$ + $\frac{7}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,6$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{18}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{18}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 18$
$x^{2} + a x + 18$	=	0
$x^{2} + a x + 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 9$ = 18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 9)$ = $- 11$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -11 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

L={ $2$ ; $9$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):