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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4}{x + 2}$ = $- 4$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{4}{x + 2}$	=	$- 4$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{4}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- 4 \cdot (x + 2)$
$- 4$	=	$- 4 (x + 2)$

$- 4$	=	$- 4 x - 8$	\| $+ 4$ $+ 4 x$
$4 x$	=	$- 4$	\|: $4$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 14 x}{3 x - 2}$ = $- x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{- 14 x}{3 x - 2}$	=	$- x - 5$	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{- 14 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$	=	$- x \cdot (3 x - 2) - 5 \cdot (3 x - 2)$
$- \frac{14 x}{1}$	=	$- x \cdot (3 x - 2) - 15 x + 10$
$- 14 x$	=	$- x \cdot (3 x - 2) - 15 x + 10$
$- 14 x$	=	$- 3 x^{2} - 13 x + 10$

- 14 x

=

- 3 x^{2} - 13 x + 10

|

+ 3 x^{2}

+ 13 x

- 10

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{4 x}{3 x - 4} + \frac{5 x}{- 3 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; $- 2$ }

\frac{4 x}{3 x - 4} + \frac{2 x}{x + 2} + \frac{5 x}{- 3 x + 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 4} + \frac{2 x}{x + 2} + \frac{5 x}{- 3 x + 4}$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{4 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{2 x}{x + 2} \cdot (3 x - 4) + \frac{5 x}{- 3 x + 4} \cdot (3 x - 4)$	=
$4 x + \frac{2 x \cdot (3 x - 4)}{x + 2} + \frac{5 x \cdot (3 x - 4)}{- 3 x + 4}$	=
$4 x + \frac{2 x \cdot (3 x - 4)}{x + 2} - 5 x$	=
$4 x + \frac{6 x^{2} - 8 x}{x + 2} - 5 x$	=
$\frac{6 x^{2} - 8 x}{x + 2} + 4 x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 8 x}{x + 2} + 4 x - 5 x$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6 x^{2} - 8 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 4 x \cdot (x + 2) - 5 x \cdot (x + 2)$	=
$6 x^{2} - 8 x + 4 x \cdot (x + 2) - 5 x \cdot (x + 2)$	=
$6 x^{2} - 8 x + (4 x^{2} + 8 x) + (- 5 x^{2} - 10 x)$	=
$5 x^{2} - 10 x$	=

$5 x^{2} - 10 x$	=	0
$5 x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{2}{x} \cdot x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} + 2 x + 1$	=

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 17 x + 1}{3 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 17 x + 1}{3 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 17 x + 1}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 5 \cdot 3 x$
$- 17 x + 1$	=	$3 x \cdot x - 15 x$

- 17 x + 1

=

3 x^{2} - 15 x

|

- 3 x^{2}

+ 15 x

$- 3 x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 1}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{- 6}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{2+4}{- 6}$ = $\frac{6}{- 6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{2-4}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 2 x + 1$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{1}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{1}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{3}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{1}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{3}{3}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{3 x - 9} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{2 x - 2}{3 (x - 3)} - 2

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{2 x - 2}{3 (x - 3)} - 2$	=	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{2 x - 2}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) - 2 \cdot (3 (x - 3))$	=
$2 x - 2 - 6 x + 18$	=
$- 4 x + 16$	=

$- 4 x + 16$	=	0	\| $- 16$
$- 4 x$	=	$- 16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{30}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{30}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{30}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{30}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 30 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 30 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 15)$ = -30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 15)$ = $13$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 13 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13+17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13-17}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 15$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):