Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{20}{x + 3}$ = $5$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- \frac{20}{x + 3}$	=	$5$	\|⋅( $x + 3$ )
$- \frac{20}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$5 \cdot (x + 3)$
$- 20$	=	$5 (x + 3)$

$- 20$	=	$5 x + 15$	\| $+ 20$ $- 5 x$
$- 5 x$	=	$35$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7 x}{3 x - 3} + \frac{66}{6 x - 6}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{7 x}{3 (x - 1)} + \frac{66}{6 (x - 1)}

=

- 1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{7 x}{3 (x - 1)} + \frac{66}{6 (x - 1)}$	=	$- 1$	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{7 x}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) + \frac{66}{6 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1))$	=	$- 1 \cdot (3 (x - 1))$
$7 x + 33$	=	$- 3 (x - 1)$

$7 x + 33$	=	$- 3 x + 3$	\| $- 33$
$7 x$	=	$- 3 x - 30$	\| $+ 3 x$
$10 x$	=	$- 30$	\|: $10$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 12} - x$ = $- \frac{34}{3 x + 12}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

\frac{x}{3 (x + 4)} - x

=

- \frac{34}{3 (x + 4)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 4)} - x$	=	$- \frac{34}{3 (x + 4)}$	\|⋅( $3 (x + 4)$ )
$\frac{x}{3 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4)) - x \cdot (3 (x + 4))$	=	$- \frac{34}{3 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4))$
$x - 3 x (x + 4)$	=	$- 34$
$x + (- 3 x^{2} - 12 x)$	=	$- 34$
$- 3 x^{2} - 11 x$	=	$- 34$

- 3 x^{2} - 11 x

=

- 34

|

+ 34

$- 3 x^{2} - 11 x + 34$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 34}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 408}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{529}}{- 6}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{529}}{- 6}$ = $\frac{11+23}{- 6}$ = $\frac{34}{- 6}$ = $- \frac{17}{3}$ ≈ -5.67

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{529}}{- 6}$ = $\frac{11-23}{- 6}$ = $\frac{- 12}{- 6}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 11 x + 34$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{11}{3} x - \frac{34}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{6})}^{2} - (- \frac{34}{3})$ = $\frac{121}{36}$ $+$ $\frac{34}{3}$ = $\frac{121}{36}$ $+$ $\frac{408}{36}$ = $\frac{529}{36}$

x_1,2 = $- \frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{529}{36}}$

x₁ = $- \frac{11}{6}$ - $\frac{23}{6}$ = $- \frac{34}{6}$ = -5.6666666666667

x₂ = $- \frac{11}{6}$ + $\frac{23}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{17}{3}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{1}{x} + \frac{12}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{1}{x} + \frac{12}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{1}{x} \cdot x^{2} + \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$x + 12$

x^{2}

=

x + 12

|

- x

- 12

$x^{2} - x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 1$ = $\frac{- 21 x + 21}{4 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x + 1$	=	$\frac{- 21 x + 21}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x + 1 \cdot 4 x$	=	$\frac{- 21 x + 21}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x + 4 x$	=	$- 21 x + 21$
$4 x^{2} + 4 x$	=	$- 21 x + 21$

4 x^{2} + 4 x

=

- 21 x + 21

|

+ 21 x

- 21

$4 x^{2} + 25 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 336}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{961}}{8}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{961}}{8}$ = $\frac{- 25+31}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{961}}{8}$ = $\frac{- 25-31}{8}$ = $\frac{- 56}{8}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 25 x - 21$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{25}{4} x - \frac{21}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{8})}^{2} - (- \frac{21}{4})$ = $\frac{625}{64}$ $+$ $\frac{21}{4}$ = $\frac{625}{64}$ $+$ $\frac{336}{64}$ = $\frac{961}{64}$

x_1,2 = $- \frac{25}{8}$ ± $\sqrt{\frac{961}{64}}$

x₁ = $- \frac{25}{8}$ - $\frac{31}{8}$ = $- \frac{56}{8}$ = -7

x₂ = $- \frac{25}{8}$ + $\frac{31}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{2 x}{2 x + 2} + \frac{18 x}{- 6 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{4}{3}$ }

$\frac{2 x}{2 x + 2} + \frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{18 x}{- 6 x - 6}$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x + 1)} + \frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{18 x}{- 6 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x + 1)} + \frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{18 x}{- 6 (x + 1)}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1) + \frac{4 x}{3 x + 4} \cdot (x + 1) + \frac{18 x}{- 6 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=
$x + \frac{4 x (x + 1)}{3 x + 4} - 3 x$	=
$x + \frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x + 4} - 3 x$	=
$\frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x + 4} + x - 3 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x + 4} + x - 3 x$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + x \cdot (3 x + 4) - 3 x \cdot (3 x + 4)$	=
$4 x^{2} + 4 x + x (3 x + 4) - 3 x (3 x + 4)$	=
$4 x^{2} + 4 x + (3 x^{2} + 4 x) + (- 9 x^{2} - 12 x)$	=
$- 2 x^{2} - 4 x$	=

$- 2 x^{2} - 4 x$	=	0
$- 2 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{15}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{15}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{15}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{15}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 15$	=	$- x^{2}$
$a x + 15 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):