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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{8}{x + 2}$ = $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{8}{x + 2}$	=	$- 2$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{8}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- 2 \cdot (x + 2)$
$- 8$	=	$- 2 (x + 2)$

$- 8$	=	$- 2 x - 4$	\| $+ 8$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5}{2 x - 1} + x$ = $- 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ }

\frac{5}{2 x - 1} + x

=

- 3

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{5}{2 x - 1} + x$	=	$- 3$	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{5}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + x \cdot (2 x - 1)$	=	$- 3 \cdot (2 x - 1)$
$5 + x (2 x - 1)$	=	$- 3 (2 x - 1)$
$5 + (2 x^{2} - x)$	=	$- 3 (2 x - 1)$
$2 x^{2} - x + 5$	=	$- 6 x + 3$

2 x^{2} - x + 5

=

- 6 x + 3

|

+ 6 x

- 3

$2 x^{2} + 5 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 5+3}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 5-3}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{4 x + 4} - \frac{0,25}{x + 1} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

0	=	$- \frac{x}{4 x + 4} - \frac{0,25}{x + 1} - 4 x$
0	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} - \frac{0,25}{x + 1} - 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} - \frac{0,25}{x + 1} - 4 x$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + \frac{- 0,25}{x + 1} \cdot (4 (x + 1)) - 4 x \cdot (4 (x + 1))$
=	$- x - 1 - 16 x (x + 1)$
=	$- 16 x^{2} - 17 x - 1$

0

=

- 16 x^{2} - 17 x - 1

|

+ 16 x^{2}

+ 17 x

+ 1

$16 x^{2} + 17 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 64}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{225}}{32}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{225}}{32}$ = $\frac{- 17+15}{32}$ = $\frac{- 2}{32}$ = $- \frac{1}{16}$ ≈ -0.06

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{225}}{32}$ = $\frac{- 17-15}{32}$ = $\frac{- 32}{32}$ = $- 1$

Lösung x= $- 1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- \frac{1}{16}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{18}{x^{2}}$ = $- 1 + \frac{11}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{18}{x^{2}}$	=	$- 1 + \frac{11}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{18}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{11}{x} \cdot x^{2}$
$18$	=	$- x^{2} + 11 x$

18

=

- x^{2} + 11 x

|

+ x^{2}

- 11 x

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 3}{x + 5}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{5 x - 3}{x + 5}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{5 x - 3}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$3 x \cdot (x + 5)$
$5 x - 3$	=	$3 x (x + 5)$
$5 x - 3$	=	$3 x^{2} + 15 x$

5 x - 3

=

3 x^{2} + 15 x

|

- 3 x^{2}

- 15 x

$- 3 x^{2} - 10 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{- 6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{10+8}{- 6}$ = $\frac{18}{- 6}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{10-8}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 4}{x} + \frac{3 x}{3 x - 9} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; 0}

$\frac{3 x}{3 x - 9} + \frac{2 x + 4}{x} - 7$	=	0
$\frac{3 x}{3 (x - 3)} + \frac{2 x + 4}{x} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{3 x}{3 (x - 3)} + \frac{2 x + 4}{x} - 7$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{3 x}{3 (x - 3)} \cdot (x - 3) + \frac{2 x + 4}{x} \cdot (x - 3) - 7 \cdot (x - 3)$	=
$x + \frac{(2 x + 4) (x - 3)}{x} - 7 x + 21$	=
$x + \frac{2 x^{2} - 2 x - 12}{x} - 7 x + 21$	=
$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12}{x} + x - 7 x + 21$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12}{x} + x - 7 x + 21$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12}{x} \cdot x + x \cdot x - 7 x \cdot x + 21 \cdot x$	=
$2 x^{2} - 2 x - 12 + x \cdot x - 7 x \cdot x + 21 x$	=
$2 x^{2} - 2 x - 12 + x^{2} - 7 x^{2} + 21 x$	=
$- 4 x^{2} + 19 x - 12$	=

$- 4 x^{2} + 19 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{169}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{- 19+13}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{- 19-13}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $1$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $1$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$1$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$1 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$x$
$x^{2} + a - x$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter