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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{15}{x - 7}$ = $- 5$

D=R\{ $7$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 7$ weg!

$- \frac{15}{x - 7}$	=	$- 5$	\|⋅( $x - 7$ )
$- \frac{15}{x - 7} \cdot (x - 7)$	=	$- 5 \cdot (x - 7)$
$- 15$	=	$- 5 (x - 7)$

$- 15$	=	$- 5 x + 35$	\| $+ 15$ $+ 5 x$
$5 x$	=	$50$	\|: $5$
$x$	=	$10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $10$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{8 x}{2 x - 5} - \frac{105}{6 x - 15}$ = $1$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

- \frac{8 x}{2 x - 5} - \frac{105}{3 (2 x - 5)}

=

1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$- \frac{8 x}{2 x - 5} - \frac{105}{3 (2 x - 5)}$	=	$1$	\|⋅( $2 x - 5$ )
$- \frac{8 x}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{- 105}{3 (2 x - 5)} \cdot (2 x - 5)$	=	$1 \cdot (2 x - 5)$
$- 8 x - 35$	=	$2 x - 5$

$- 8 x - 35$	=	$2 x - 5$	\| $+ 35$
$- 8 x$	=	$2 x + 30$	\| $- 2 x$
$- 10 x$	=	$30$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 3}{x} + \frac{x - 1}{3 x + 5} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ ; 0}

\frac{x - 1}{3 x + 5} + \frac{x - 3}{x} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{x - 1}{3 x + 5} + \frac{x - 3}{x} - 3$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{x - 1}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + \frac{x - 3}{x} \cdot (3 x + 5) - 3 \cdot (3 x + 5)$	=
$x - 1 + \frac{(x - 3) (3 x + 5)}{x} - 9 x - 15$	=
$x - 1 + \frac{3 x^{2} - 4 x - 15}{x} - 9 x - 15$	=
$\frac{3 x^{2} - 4 x - 15}{x} + x - 9 x - 1 - 15$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 4 x - 15}{x} + x - 9 x - 1 - 15$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x^{2} - 4 x - 15}{x} \cdot x + x \cdot x - 9 x \cdot x - 1 \cdot x - 15 \cdot x$	=
$3 x^{2} - 4 x - 15 + x \cdot x - 9 x \cdot x - x - 15 x$	=
$3 x^{2} - 4 x - 15 + x^{2} - 9 x^{2} - x - 15 x$	=
$- 5 x^{2} - 20 x - 15$	=

- 5 x^{2} - 20 x - 15

= 0 |:5

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4+2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4-2}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} + 1$

0	=	$- x^{2} + 1$	\|0 $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{20 x + 8}{3 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{20 x + 8}{3 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{20 x + 8}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 1 \cdot 3 x$
$20 x + 8$	=	$3 x \cdot x - 3 x$

20 x + 8

=

3 x^{2} - 3 x

|

- 3 x^{2}

+ 3 x

$- 3 x^{2} + 23 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 8}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 + 96}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{625}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{625}}{- 6}$ = $\frac{- 23+25}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{625}}{- 6}$ = $\frac{- 23-25}{- 6}$ = $\frac{- 48}{- 6}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 23 x + 8$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{23}{3} x - \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{6})}^{2} - (- \frac{8}{3})$ = $\frac{529}{36}$ $+$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{529}{36}$ $+$ $\frac{96}{36}$ = $\frac{625}{36}$

x_1,2 = $\frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{625}{36}}$

x₁ = $\frac{23}{6}$ - $\frac{25}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

x₂ = $\frac{23}{6}$ + $\frac{25}{6}$ = $\frac{48}{6}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{2 x - 4} + \frac{3}{x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

$\frac{x - 1}{2 x - 4} - 2 + \frac{3}{x}$	=	0
$\frac{x - 1}{2 (x - 2)} - 2 + \frac{3}{x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{x - 1}{2 (x - 2)} - 2 + \frac{3}{x}$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{x - 1}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) - 2 \cdot (2 (x - 2)) + \frac{3}{x} \cdot (2 (x - 2))$	=
$x - 1 - 4 x + 8 + 6 \frac{x - 2}{x}$	=
$\frac{6 (x - 2)}{x} + x - 4 x - 1 + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6 (x - 2)}{x} + x - 4 x - 1 + 8$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{6 (x - 2)}{x} \cdot x + x \cdot x - 4 x \cdot x - 1 \cdot x + 8 \cdot x$	=
$6 x - 12 + x \cdot x - 4 x \cdot x - x + 8 x$	=
$6 x - 12 + x^{2} - 4 x^{2} - x + 8 x$	=
$- 3 x^{2} + 13 x - 12$	=

$- 3 x^{2} + 13 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 13+5}{- 6}$ = $\frac{- 8}{- 6}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 13-5}{- 6}$ = $\frac{- 18}{- 6}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 13 x - 12$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{13}{3} x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{6})}^{2} - 4$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $4$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{144}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $\frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $\frac{13}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = 1.3333333333333

x₂ = $\frac{13}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{3}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 1$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 1$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 1$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 1 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- x$
$a + x^{2} + x$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):