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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{1}{x}$ = $\frac{6}{5}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{6}{5}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x$	=	$\frac{6}{5} \cdot x$
$- 1$	=	$\frac{6}{5} x$

$- 1$	=	$\frac{6}{5} x$	\|⋅ 5
$- 5$	=	$6 x$	\| $+ 5$ $- 6 x$
$- 6 x$	=	$5$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- \frac{5}{6}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{5}{6}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9 x}{x + 2} + \frac{72}{2 x + 4}$ = $3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{9 x}{x + 2} + \frac{72}{2 (x + 2)}

=

3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{9 x}{x + 2} + \frac{72}{2 (x + 2)}$	=	$3$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{9 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{72}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=	$3 \cdot (x + 2)$
$9 x + 36$	=	$3 (x + 2)$

$9 x + 36$	=	$3 x + 6$	\| $- 36$
$9 x$	=	$3 x - 30$	\| $- 3 x$
$6 x$	=	$- 30$	\|: $6$
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{2 x - 2}{x} + \frac{13 x - 2}{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 1$ }

$- \frac{13 x - 2}{2 x} + \frac{2 x - 2}{x} + \frac{4 x}{2 x + 2}$	=	0
$- \frac{13 x - 2}{2 x} + \frac{2 x - 2}{x} + \frac{4 x}{2 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$- \frac{13 x - 2}{2 x} + \frac{2 x - 2}{x} + \frac{4 x}{2 (x + 1)}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$- \frac{13 x - 2}{2 x} \cdot 2 x + \frac{2 x - 2}{x} \cdot 2 x + \frac{4 x}{2 (x + 1)} \cdot 2 x$	=
$- 13 x + 2 + 4 x - 4 + 2 \frac{2 x \cdot x}{x + 1}$	=
$- 13 x + 2 + 4 x - 4 + \frac{4 x^{2}}{x + 1}$	=
$\frac{4 x^{2}}{x + 1} - 13 x + 4 x + 2 - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x^{2}}{x + 1} - 13 x + 4 x + 2 - 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x^{2}}{x + 1} \cdot (x + 1) - 13 x \cdot (x + 1) + 4 x \cdot (x + 1) + 2 \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=
$4 x^{2} - 13 x (x + 1) + 4 x (x + 1) + 2 x + 2 - 4 x - 4$	=
$4 x^{2} + (- 13 x^{2} - 13 x) + (4 x^{2} + 4 x) + 2 x + 2 - 4 x - 4$	=
$- 5 x^{2} - 11 x - 2$	=

$- 5 x^{2} - 11 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{81}}{- 10}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{81}}{- 10}$ = $\frac{11+9}{- 10}$ = $\frac{20}{- 10}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{81}}{- 10}$ = $\frac{11-9}{- 10}$ = $\frac{2}{- 10}$ = $- 0,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 11 x - 2$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{11}{5} x + \frac{2}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{10})}^{2} - (\frac{2}{5})$ = $\frac{121}{100}$ $-$ $\frac{2}{5}$ = $\frac{121}{100}$ $-$ $\frac{40}{100}$ = $\frac{81}{100}$

x_1,2 = $- \frac{11}{10}$ ± $\sqrt{\frac{81}{100}}$

x₁ = $- \frac{11}{10}$ - $\frac{9}{10}$ = $- \frac{20}{10}$ = -2

x₂ = $- \frac{11}{10}$ + $\frac{9}{10}$ = $- \frac{2}{10}$ = -0.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{7}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{7}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}}$	=	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{7}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{12}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=
$x^{2} - 7 x + 12$	=

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 4$ = $\frac{- 35 x - 14}{3 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x - 4$	=	$\frac{- 35 x - 14}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x - 4 \cdot 3 x$	=	$\frac{- 35 x - 14}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x - 12 x$	=	$- 35 x - 14$
$3 x^{2} - 12 x$	=	$- 35 x - 14$

3 x^{2} - 12 x

=

- 35 x - 14

|

+ 35 x

+ 14

$3 x^{2} + 23 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 14}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 168}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{361}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{361}}{6}$ = $\frac{- 23+19}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{361}}{6}$ = $\frac{- 23-19}{6}$ = $\frac{- 42}{6}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 23 x + 14$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{23}{3} x + \frac{14}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{6})}^{2} - (\frac{14}{3})$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{14}{3}$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{168}{36}$ = $\frac{361}{36}$

x_1,2 = $- \frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{361}{36}}$

x₁ = $- \frac{23}{6}$ - $\frac{19}{6}$ = $- \frac{42}{6}$ = -7

x₂ = $- \frac{23}{6}$ + $\frac{19}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{x - 3} + \frac{12 x}{2 x - 1} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $3$ }

\frac{12 x}{2 x - 1} + \frac{16 x}{x - 3} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{12 x}{2 x - 1} + \frac{16 x}{x - 3} - 8$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{12 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{16 x}{x - 3} \cdot (2 x - 1) - 8 \cdot (2 x - 1)$	=
$12 x + \frac{16 x (2 x - 1)}{x - 3} - 16 x + 8$	=
$12 x + \frac{32 x^{2} - 16 x}{x - 3} - 16 x + 8$	=
$\frac{32 x^{2} - 16 x}{x - 3} + 12 x - 16 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{32 x^{2} - 16 x}{x - 3} + 12 x - 16 x + 8$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{32 x^{2} - 16 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + 12 x \cdot (x - 3) - 16 x \cdot (x - 3) + 8 \cdot (x - 3)$	=
$32 x^{2} - 16 x + 12 x (x - 3) - 16 x (x - 3) + 8 x - 24$	=
$32 x^{2} - 16 x + (12 x^{2} - 36 x) + (- 16 x^{2} + 48 x) + 8 x - 24$	=
$28 x^{2} + 4 x - 24$	=

28 x^{2} + 4 x - 24

= 0 |:4

$7 x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{14}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{14}$ = $\frac{- 1+13}{14}$ = $\frac{12}{14}$ = $\frac{6}{7}$ ≈ 0.86

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{14}$ = $\frac{- 1-13}{14}$ = $\frac{- 14}{14}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} + x - 6$ = 0 |: $7$

$x^{2} + \frac{1}{7} x - \frac{6}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{14})}^{2} - (- \frac{6}{7})$ = $\frac{1}{196}$ $+$ $\frac{6}{7}$ = $\frac{1}{196}$ $+$ $\frac{168}{196}$ = $\frac{169}{196}$

x_1,2 = $- \frac{1}{14}$ ± $\sqrt{\frac{169}{196}}$

x₁ = $- \frac{1}{14}$ - $\frac{13}{14}$ = $- \frac{14}{14}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{14}$ + $\frac{13}{14}$ = $\frac{12}{14}$ = 0.85714285714286

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{6}{7}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{10}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{10}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{10}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{10}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 10 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 10 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 5)$ = -10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 5)$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):