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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2}{x}$ = $- \frac{5}{6}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2}{x}$	=	$- \frac{5}{6}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{2}{x} \cdot x$	=	$- \frac{5}{6} \cdot x$
$2$	=	$- \frac{5}{6} x$

$2$	=	$- \frac{5}{6} x$	\|⋅ 6
$12$	=	$- 5 x$	\| $- 12$ $+ 5 x$
$5 x$	=	$- 12$	\|: $5$
$x$	=	$- \frac{12}{5}$ = -2.4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{12}{5}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 1} - \frac{2}{x + 1}$ = $\frac{8}{x^{2} - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

\frac{x}{x - 1} - \frac{2}{x + 1}

=

\frac{8}{(x + 1) (x - 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 1) (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{x - 1} - \frac{2}{x + 1}$	=	$\frac{8}{(x + 1) (x - 1)}$	\|⋅( $(x + 1) (x - 1)$ )
$\frac{x}{x - 1} \cdot (x + 1) (x - 1) - \frac{2}{x + 1} \cdot (x + 1) (x - 1)$	=	$\frac{8}{(x + 1) (x - 1)} \cdot (x + 1) (x - 1)$
$x (x + 1) - 2 x + 2$	=	$8 \frac{x + 1}{x + 1}$
$x (x + 1) - 2 x + 2$	=	$8$
$x^{2} + x - 2 x + 2$	=	$8$
$x^{2} - x + 2$	=	$8$

x^{2} - x + 2

=

8

|

- 8

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 7,6}{x + 4} - 2 x$ = $- \frac{x}{5 x + 20}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$- \frac{7,6}{x + 4} - 2 x$	=	$\frac{- x}{5 x + 20}$
$- \frac{7,6}{x + 4} - 2 x$	=	$\frac{- x}{5 (x + 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 4)$ weg!

$- \frac{7,6}{x + 4} - 2 x$	=	$\frac{- x}{5 (x + 4)}$	\|⋅( $5 (x + 4)$ )
$\frac{- 7,6}{x + 4} \cdot (5 (x + 4)) - 2 x \cdot (5 (x + 4))$	=	$\frac{- x}{5 (x + 4)} \cdot (5 (x + 4))$
$- 38 - 10 x (x + 4)$	=	$- x$
$- 38 + (- 10 x^{2} - 40 x)$	=	$- x$
$- 10 x^{2} - 40 x - 38$	=	$- x$

- 10 x^{2} - 40 x - 38

=

- x

|

+ x

$- 10 x^{2} - 39 x - 38$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{{(- 39)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot (- 38)}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{1 521 - 1 520}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{1}}{- 20}$

x₁ = $\frac{39 + \sqrt{1}}{- 20}$ = $\frac{39+1}{- 20}$ = $\frac{40}{- 20}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{39 - \sqrt{1}}{- 20}$ = $\frac{39-1}{- 20}$ = $\frac{38}{- 20}$ = $- 1,9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 39 x - 38$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{39}{10} x + \frac{19}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{39}{20})}^{2} - (\frac{19}{5})$ = $\frac{1521}{400}$ $-$ $\frac{19}{5}$ = $\frac{1521}{400}$ $-$ $\frac{1520}{400}$ = $\frac{1}{400}$

x_1,2 = $- \frac{39}{20}$ ± $\sqrt{\frac{1}{400}}$

x₁ = $- \frac{39}{20}$ - $\frac{1}{20}$ = $- \frac{40}{20}$ = -2

x₂ = $- \frac{39}{20}$ + $\frac{1}{20}$ = $- \frac{38}{20}$ = -1.9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1,9$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 9 x + 14}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{- 9 x + 14}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{- 9 x + 14}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 9 x + 14$	=	$- x^{2}$

- 9 x + 14

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{13 x + 2}{2 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{13 x + 2}{2 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{13 x + 2}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 5 \cdot 2 x$
$13 x + 2$	=	$2 x \cdot x + 10 x$

13 x + 2

=

2 x^{2} + 10 x

|

- 2 x^{2}

- 10 x

$- 2 x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 2}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 3+5}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 3-5}{- 4}$ = $\frac{- 8}{- 4}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 3 x + 2$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $1$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x + 4} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{2 x}{2 (x + 2)} - 2

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x + 2)} - 2$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) - 2 \cdot (x + 2)$	=
$x - 2 x - 4$	=
$- x - 4$	=

$- x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{8}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{8}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{8}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{8}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$8 + a x$	=	$- x^{2}$
$8 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 4$ = 8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 4)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):