Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9 x + 28}{3 x - 4}$ = $- 1$

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{9 x + 28}{3 x - 4}$	=	$- 1$	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{9 x + 28}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4)$	=	$- 1 \cdot (3 x - 4)$
$9 x + 28$	=	$- (3 x - 4)$

$9 x + 28$	=	$- 3 x + 4$	\| $- 28$
$9 x$	=	$- 3 x - 24$	\| $+ 3 x$
$12 x$	=	$- 24$	\|: $12$
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 9} - \frac{2}{x - 9}$ = $\frac{134}{x^{2} - 81}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 9$ ; $9$ }

\frac{x}{x + 9} - \frac{2}{x - 9}

=

\frac{134}{(x + 9) (x - 9)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 9) (x - 9)$ weg!

$\frac{x}{x + 9} - \frac{2}{x - 9}$	=	$\frac{134}{(x + 9) (x - 9)}$	\|⋅( $(x + 9) (x - 9)$ )
$\frac{x}{x + 9} \cdot (x + 9) (x - 9) - \frac{2}{x - 9} \cdot (x + 9) (x - 9)$	=	$\frac{134}{(x + 9) (x - 9)} \cdot (x + 9) (x - 9)$
$x (x - 9) - 2 x - 18$	=	$134 \frac{x + 9}{x + 9}$
$x (x - 9) - 2 x - 18$	=	$134$
$x^{2} - 9 x - 2 x - 18$	=	$134$
$x^{2} - 11 x - 18$	=	$134$

x^{2} - 11 x - 18

=

134

|

- 134

$x^{2} - 11 x - 152$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 152)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 608}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{729}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{729}}{2}$ = $\frac{11+27}{2}$ = $\frac{38}{2}$ = $19$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{729}}{2}$ = $\frac{11-27}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - (- 152)$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $152$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $\frac{608}{4}$ = $\frac{729}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{729}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{27}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{27}{2}$ = $\frac{38}{2}$ = 19

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $19$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 10} - 2 x$ = $- \frac{5,8}{x + 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{x}{5 (x + 2)} - 2 x

=

- \frac{5,8}{x + 2}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 2)} - 2 x$	=	$- \frac{5,8}{x + 2}$	\|⋅( $5 (x + 2)$ )
$\frac{x}{5 (x + 2)} \cdot (5 (x + 2)) - 2 x \cdot (5 (x + 2))$	=	$- \frac{5,8}{x + 2} \cdot (5 (x + 2))$
$x - 10 x (x + 2)$	=	$- 29$
$x + (- 10 x^{2} - 20 x)$	=	$- 29$
$- 10 x^{2} - 19 x$	=	$- 29$

- 10 x^{2} - 19 x

=

- 29

|

+ 29

$- 10 x^{2} - 19 x + 29$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 29}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 1 160}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{1 521}}{- 20}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{1 521}}{- 20}$ = $\frac{19+39}{- 20}$ = $\frac{58}{- 20}$ = $- 2,9$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{1 521}}{- 20}$ = $\frac{19-39}{- 20}$ = $\frac{- 20}{- 20}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 19 x + 29$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{19}{10} x - \frac{29}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{20})}^{2} - (- \frac{29}{10})$ = $\frac{361}{400}$ $+$ $\frac{29}{10}$ = $\frac{361}{400}$ $+$ $\frac{1160}{400}$ = $\frac{1521}{400}$

x_1,2 = $- \frac{19}{20}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{400}}$

x₁ = $- \frac{19}{20}$ - $\frac{39}{20}$ = $- \frac{58}{20}$ = -2.9

x₂ = $- \frac{19}{20}$ + $\frac{39}{20}$ = $\frac{20}{20}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,9$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{9}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{8}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{9}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{8}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{9}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$8$	=	$- x^{2} + 9 x$

8

=

- x^{2} + 9 x

|

+ x^{2}

- 9 x

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 1$ = $5 + \frac{5}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 1$	=	$5 + \frac{5}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 1 \cdot x$	=	$5 \cdot x + \frac{5}{x} \cdot x$
$x \cdot x + x$	=	$5 x + 5$
$x^{2} + x$	=	$5 x + 5$

x^{2} + x

=

5 x + 5

|

- 5 x

- 5

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 2}{2 x} + \frac{2 x}{2 x + 2} + \frac{- 5 x}{2 x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

$\frac{2 x}{2 x + 2} + \frac{5 x - 2}{2 x} - \frac{5 x}{2 x + 2}$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x + 1)} + \frac{5 x - 2}{2 x} - \frac{5 x}{2 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x + 1)} + \frac{5 x - 2}{2 x} - \frac{5 x}{2 (x + 1)}$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{2 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{5 x - 2}{2 x} \cdot (2 (x + 1)) - \frac{5 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1))$	=
$2 x + 2 \frac{(5 x - 2) (x + 1)}{2 x} - 5 x$	=
$2 x + \frac{5 x^{2} + 3 x - 2}{x} - 5 x$	=
$\frac{5 x^{2} + 3 x - 2}{x} + 2 x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{5 x^{2} + 3 x - 2}{x} + 2 x - 5 x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{5 x^{2} + 3 x - 2}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 5 x \cdot x$	=
$5 x^{2} + 3 x - 2 + 2 x \cdot x - 5 x \cdot x$	=
$5 x^{2} + 3 x - 2 + 2 x^{2} - 5 x^{2}$	=
$2 x^{2} + 3 x - 2$	=

$2 x^{2} + 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 3+5}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 3-5}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 3 x - 2$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $1$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $0,5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 9$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 9$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 9$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 9 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 9 x$	=	$- a$
$x^{2} - 9 x + a$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):