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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2 x - 6}{x - 1}$ = $3$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x - 6}{x - 1}$	=	$3$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x - 6}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$3 \cdot (x - 1)$
$2 x - 6$	=	$3 (x - 1)$

$2 x - 6$	=	$3 x - 3$	\| $+ 6$
$2 x$	=	$3 x + 3$	\| $- 3 x$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6 x}{3 x - 4} + \frac{56}{6 x - 8}$ = $2$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

- \frac{6 x}{3 x - 4} + \frac{56}{2 (3 x - 4)}

=

2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$- \frac{6 x}{3 x - 4} + \frac{56}{2 (3 x - 4)}$	=	$2$	\|⋅( $3 x - 4$ )
$- \frac{6 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{56}{2 (3 x - 4)} \cdot (3 x - 4)$	=	$2 \cdot (3 x - 4)$
$- 6 x + 28$	=	$2 (3 x - 4)$

$- 6 x + 28$	=	$6 x - 8$	\| $- 28$
$- 6 x$	=	$6 x - 36$	\| $- 6 x$
$- 12 x$	=	$- 36$	\|:( $- 12$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 3} + \frac{- 16}{6 x - 6} + x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{3 x - 3} - \frac{16}{6 x - 6} + x$	=	0
$\frac{x}{3 (x - 1)} - \frac{16}{6 (x - 1)} + x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 1)} - \frac{16}{6 (x - 1)} + x$	=	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{x}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) + \frac{- 16}{6 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) + x \cdot (3 (x - 1))$	=
$x - 8 + 3 x (x - 1)$	=
$x - 8 + (3 x^{2} - 3 x)$	=
$3 x^{2} - 2 x - 8$	=

$3 x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{6}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{2+10}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{2-10}{6}$ = $\frac{- 8}{6}$ = $- \frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 2 x - 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{2}{3} x - \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{8}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{25}{9}$

x_1,2 = $\frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{25}{9}}$

x₁ = $\frac{1}{3}$ - $\frac{5}{3}$ = $- \frac{4}{3}$ = -1.3333333333333

x₂ = $\frac{1}{3}$ + $\frac{5}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{3}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{36}{x^{4}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{36}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{36}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} - 36$	=

$x^{2} - 36$	=	0	\| $+ 36$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 4$ = $\frac{17 x + 3}{4 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x + 4$	=	$\frac{17 x + 3}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x + 4 \cdot 4 x$	=	$\frac{17 x + 3}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x + 16 x$	=	$17 x + 3$
$4 x^{2} + 16 x$	=	$17 x + 3$

4 x^{2} + 16 x

=

17 x + 3

|

- 17 x

- 3

$4 x^{2} - x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{8}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{1+7}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{1-7}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - x - 3$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{1}{4} x - \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{8})}^{2} - (- \frac{3}{4})$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{49}{64}$

x_1,2 = $\frac{1}{8}$ ± $\sqrt{\frac{49}{64}}$

x₁ = $\frac{1}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{1}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x + 2} + \frac{2 x}{x + 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 2$ }

\frac{2 x}{x + 1} + \frac{12 x}{x + 2} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{12 x}{x + 2} - 5$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{12 x}{x + 2} \cdot (x + 1) - 5 \cdot (x + 1)$	=
$2 x + \frac{12 x (x + 1)}{x + 2} - 5 x - 5$	=
$2 x + \frac{12 x^{2} + 12 x}{x + 2} - 5 x - 5$	=
$\frac{12 x^{2} + 12 x}{x + 2} + 2 x - 5 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{12 x^{2} + 12 x}{x + 2} + 2 x - 5 x - 5$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{12 x^{2} + 12 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 2 x \cdot (x + 2) - 5 x \cdot (x + 2) - 5 \cdot (x + 2)$	=
$12 x^{2} + 12 x + 2 x (x + 2) - 5 x (x + 2) - 5 x - 10$	=
$12 x^{2} + 12 x + (2 x^{2} + 4 x) + (- 5 x^{2} - 10 x) - 5 x - 10$	=
$9 x^{2} + x - 10$	=

$9 x^{2} + x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 360}}{18}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{361}}{18}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{361}}{18}$ = $\frac{- 1+19}{18}$ = $\frac{18}{18}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{361}}{18}$ = $\frac{- 1-19}{18}$ = $\frac{- 20}{18}$ = $- \frac{10}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} + x - 10$ = 0 |: $9$

$x^{2} + \frac{1}{9} x - \frac{10}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{18})}^{2} - (- \frac{10}{9})$ = $\frac{1}{324}$ $+$ $\frac{10}{9}$ = $\frac{1}{324}$ $+$ $\frac{360}{324}$ = $\frac{361}{324}$

x_1,2 = $- \frac{1}{18}$ ± $\sqrt{\frac{361}{324}}$

x₁ = $- \frac{1}{18}$ - $\frac{19}{18}$ = $- \frac{20}{18}$ = -1.1111111111111

x₂ = $- \frac{1}{18}$ + $\frac{19}{18}$ = $\frac{18}{18}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{10}{9}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{12}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{12}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{12}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{12}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 12 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 12 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):