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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{- 9 x + 70}{2 x - 5}$ = $5$

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{- 9 x + 70}{2 x - 5}$	=	$5$	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{- 9 x + 70}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5)$	=	$5 \cdot (2 x - 5)$
$- 9 x + 70$	=	$5 (2 x - 5)$

$- 9 x + 70$	=	$10 x - 25$	\| $- 70$
$- 9 x$	=	$10 x - 95$	\| $- 10 x$
$- 19 x$	=	$- 95$	\|:( $- 19$ )
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{6}{6 x - 9}$ = $- 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{6}{3 (2 x - 3)}

=

- 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{6}{3 (2 x - 3)}$	=	$- 4$	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{2 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{6}{3 (2 x - 3)} \cdot (2 x - 3)$	=	$- 4 \cdot (2 x - 3)$
$2 x + 2$	=	$- 4 (2 x - 3)$

$2 x + 2$	=	$- 8 x + 12$	\| $- 2$
$2 x$	=	$- 8 x + 10$	\| $+ 8 x$
$10 x$	=	$10$	\|: $10$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 6} + \frac{x}{x - 2} + \frac{- 2 x}{2 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $2$ }

$\frac{x - 2 x}{2 x - 6} + \frac{x}{x - 2}$	=	0
$\frac{x - 2 x}{2 (x - 3)} + \frac{x}{x - 2}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{x - 2 x}{2 (x - 3)} + \frac{x}{x - 2}$	=	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{x - 2 x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + \frac{x}{x - 2} \cdot (2 (x - 3))$	=
$x - 2 x + 2 \frac{x \cdot (x - 3)}{x - 2}$	=
$x - 2 x + \frac{2 (x^{2} - 3 x)}{x - 2}$	=
$\frac{2 (x^{2} - 3 x)}{x - 2} + x - 2 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 (x^{2} - 3 x)}{x - 2} + x - 2 x$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 (x^{2} - 3 x)}{x - 2} \cdot (x - 2) + x \cdot (x - 2) - 2 x \cdot (x - 2)$	=
$2 x^{2} - 6 x + x \cdot (x - 2) - 2 x \cdot (x - 2)$	=
$2 x^{2} - 6 x + (x^{2} - 2 x) + (- 2 x^{2} + 4 x)$	=
$x^{2} - 4 x$	=

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{25}{x^{4}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{25}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{25}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} - 25$	=

$x^{2} - 25$	=	0	\| $+ 25$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 1 + \frac{3}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 1 + \frac{3}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$- 1 \cdot x + \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$- x + 3$	=	$x \cdot x + x$

- x + 3

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2+4}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2-4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{6 x}{x + 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{1}{2}$ }

\frac{6 x}{x + 1} + \frac{6 x}{2 x + 1} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{6 x}{2 x + 1} - 5$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{6 x}{2 x + 1} \cdot (x + 1) - 5 \cdot (x + 1)$	=
$6 x + \frac{6 x \cdot (x + 1)}{2 x + 1} - 5 x - 5$	=
$6 x + \frac{6 x^{2} + 6 x}{2 x + 1} - 5 x - 5$	=
$\frac{6 x^{2} + 6 x}{2 x + 1} + 6 x - 5 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 6 x}{2 x + 1} + 6 x - 5 x - 5$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 6 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + 6 x \cdot (2 x + 1) - 5 x \cdot (2 x + 1) - 5 \cdot (2 x + 1)$	=
$6 x^{2} + 6 x + 6 x \cdot (2 x + 1) - 5 x \cdot (2 x + 1) - 10 x - 5$	=
$6 x^{2} + 6 x + (12 x^{2} + 6 x) + (- 10 x^{2} - 5 x) - 10 x - 5$	=
$8 x^{2} - 3 x - 5$	=

$8 x^{2} - 3 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{169}}{16}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{169}}{16}$ = $\frac{3+13}{16}$ = $\frac{16}{16}$ = $1$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{169}}{16}$ = $\frac{3-13}{16}$ = $\frac{- 10}{16}$ = $- 0,625$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} - 3 x - 5$ = 0 |: $8$

$x^{2} - \frac{3}{8} x - \frac{5}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{16})}^{2} - (- \frac{5}{8})$ = $\frac{9}{256}$ $+$ $\frac{5}{8}$ = $\frac{9}{256}$ $+$ $\frac{160}{256}$ = $\frac{169}{256}$

x_1,2 = $\frac{3}{16}$ ± $\sqrt{\frac{169}{256}}$

x₁ = $\frac{3}{16}$ - $\frac{13}{16}$ = $- \frac{10}{16}$ = -0.625

x₂ = $\frac{3}{16}$ + $\frac{13}{16}$ = $\frac{16}{16}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,625$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{8}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{8}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{8}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{8}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 8 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 8 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 4)$ = -8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 4)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):