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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7 x}{x - 8}$ = $3$

D=R\{ $8$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 8$ weg!

$\frac{7 x}{x - 8}$	=	$3$	\|⋅( $x - 8$ )
$\frac{7 x}{x - 8} \cdot (x - 8)$	=	$3 \cdot (x - 8)$
$7 x$	=	$3 (x - 8)$

$7 x$	=	$3 x - 24$	\| $- 3 x$
$4 x$	=	$- 24$	\|: $4$
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x + 2$ = $- \frac{- 88}{x + 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$3 x + 2$	=	$\frac{88}{x + 5}$	\|⋅( $x + 5$ )
$3 x \cdot (x + 5) + 2 \cdot (x + 5)$	=	$\frac{88}{x + 5} \cdot (x + 5)$
$3 x (x + 5) + 2 x + 10$	=	$88$
$3 x^{2} + 15 x + 2 x + 10$	=	$88$
$3 x^{2} + 17 x + 10$	=	$88$

3 x^{2} + 17 x + 10

=

88

|

- 88

$3 x^{2} + 17 x - 78$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 78)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 936}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{1 225}}{6}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{1 225}}{6}$ = $\frac{- 17+35}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{1 225}}{6}$ = $\frac{- 17-35}{6}$ = $\frac{- 52}{6}$ = $- \frac{26}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 17 x - 78$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{17}{3} x - 26$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{6})}^{2} - (- 26)$ = $\frac{289}{36}$ $+$ $26$ = $\frac{289}{36}$ $+$ $\frac{936}{36}$ = $\frac{1225}{36}$

x_1,2 = $- \frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{36}}$

x₁ = $- \frac{17}{6}$ - $\frac{35}{6}$ = $- \frac{52}{6}$ = -8.6666666666667

x₂ = $- \frac{17}{6}$ + $\frac{35}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{26}{3}$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{5}{2}$ }

\frac{2 x}{x + 2} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} - 6$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} \cdot (x + 2) - 6 \cdot (x + 2)$	=
$2 x + \frac{(2 x + 2) (x + 2)}{2 x + 5} - 6 x - 12$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{2 x + 5} - 6 x - 12$	=
$\frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{2 x + 5} + 2 x - 6 x - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{2 x + 5} + 2 x - 6 x - 12$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + 2 x \cdot (2 x + 5) - 6 x \cdot (2 x + 5) - 12 \cdot (2 x + 5)$	=
$2 x^{2} + 6 x + 4 + 2 x (2 x + 5) - 6 x (2 x + 5) - 24 x - 60$	=
$2 x^{2} + 6 x + 4 + (4 x^{2} + 10 x) + (- 12 x^{2} - 30 x) - 24 x - 60$	=
$- 6 x^{2} - 38 x - 56$	=

- 6 x^{2} - 38 x - 56

= 0 |:2

$- 3 x^{2} - 19 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 28)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 336}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{19+5}{- 6}$ = $\frac{24}{- 6}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{19-5}{- 6}$ = $\frac{14}{- 6}$ = $- \frac{7}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 19 x - 28$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{19}{3} x + \frac{28}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{6})}^{2} - (\frac{28}{3})$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{28}{3}$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{336}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $- \frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $- \frac{19}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{24}{6}$ = -4

x₂ = $- \frac{19}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $- \frac{14}{6}$ = -2.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{7}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{14}{x}$ = $- 1 - \frac{48}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{14}{x}$	=	$- 1 - \frac{48}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{14}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{48}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$- 14 x$	=	$- x^{2} - 48$

- 14 x

=

- x^{2} - 48

|

+ x^{2}

+ 48

$x^{2} - 14 x + 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{14+2}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{14-2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 48$ = $49$ $-$ $48$ = $1$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $7$ - $1$ = 6

x₂ = $7$ + $1$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x + 9}{x + 5}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{7 x + 9}{x + 5}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{7 x + 9}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$2 x \cdot (x + 5)$
$7 x + 9$	=	$2 x (x + 5)$
$7 x + 9$	=	$2 x^{2} + 10 x$

7 x + 9

=

2 x^{2} + 10 x

|

- 2 x^{2}

- 10 x

$- 2 x^{2} - 3 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 9}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{- 4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{3+9}{- 4}$ = $\frac{12}{- 4}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{3-9}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 3 x + 9$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{2 x + 2} + \frac{x}{2 x + 3} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; $- 1$ }

$\frac{x}{2 x + 3} + \frac{3 x + 1}{2 x + 2} - 3$	=	0
$\frac{x}{2 x + 3} + \frac{3 x + 1}{2 (x + 1)} - 3$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{x}{2 x + 3} + \frac{3 x + 1}{2 (x + 1)} - 3$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{3 x + 1}{2 (x + 1)} \cdot (2 x + 3) - 3 \cdot (2 x + 3)$	=
$x + \frac{(3 x + 1) (2 x + 3)}{2 (x + 1)} - 6 x - 9$	=
$x + \frac{6 x^{2} + 11 x + 3}{2 (x + 1)} - 6 x - 9$	=
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 3}{2 (x + 1)} + x - 6 x - 9$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 11 x + 3}{2 (x + 1)} + x - 6 x - 9$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 3}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + x \cdot (2 (x + 1)) - 6 x \cdot (2 (x + 1)) - 9 \cdot (2 (x + 1))$	=
$6 x^{2} + 11 x + 3 + 2 x (x + 1) - 12 x (x + 1) - 18 x - 18$	=
$6 x^{2} + 11 x + 3 + (2 x^{2} + 2 x) + (- 12 x^{2} - 12 x) - 18 x - 18$	=
$- 4 x^{2} - 17 x - 15$	=

$- 4 x^{2} - 17 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{49}}{- 8}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{17+7}{- 8}$ = $\frac{24}{- 8}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{17-7}{- 8}$ = $\frac{10}{- 8}$ = $- 1,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 17 x - 15$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{17}{4} x + \frac{15}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{8})}^{2} - (\frac{15}{4})$ = $\frac{289}{64}$ $-$ $\frac{15}{4}$ = $\frac{289}{64}$ $-$ $\frac{240}{64}$ = $\frac{49}{64}$

x_1,2 = $- \frac{17}{8}$ ± $\sqrt{\frac{49}{64}}$

x₁ = $- \frac{17}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $- \frac{17}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $- \frac{10}{8}$ = -1.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1,25$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 1 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 1 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- x + x^{2}$	=	$- a$
$- x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):