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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

10 x = -1 - 16 x 2

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 2 weg!

10 x = -1 - 16 x 2 |⋅( x 2 )
10 x · x 2 = -1 · x 2 - 16 x 2 · x 2
10x = - x 2 -16
10x = - x 2 -16 | + x 2 +16

x 2 +10x +16 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -10 ± 10 2 -4 · 1 · 16 21

x1,2 = -10 ± 100 -64 2

x1,2 = -10 ± 36 2

x1 = -10 + 36 2 = -10 +6 2 = -4 2 = -2

x2 = -10 - 36 2 = -10 -6 2 = -16 2 = -8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -8 ; -2 }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-35x +4 4x = x -5

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner 4x weg!

-35x +4 4x = x -5 |⋅( 4x )
-35x +4 4x · 4x = x · 4x -5 · 4x
-35x +4 = 4 x · x -20x
-35x +4 = 4 x 2 -20x | -4 x 2 +20x

-4 x 2 -15x +4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +15 ± ( -15 ) 2 -4 · ( -4 ) · 4 2( -4 )

x1,2 = +15 ± 225 +64 -8

x1,2 = +15 ± 289 -8

x1 = 15 + 289 -8 = 15 +17 -8 = 32 -8 = -4

x2 = 15 - 289 -8 = 15 -17 -8 = -2 -8 = 0,25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -4 ; 0,25 }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4x 3x -1 + 6x 2x -1 + -9x 2x -1 = 0

Lösung einblenden

D=R\{ 1 2 ; 1 3 }

6x 2x -1 + 4x 3x -1 - 9x 2x -1 = 0

Wir multiplizieren den Nenner 2x -1 weg!

6x 2x -1 + 4x 3x -1 - 9x 2x -1 = 0 |⋅( 2x -1 )
6x 2x -1 · ( 2x -1 ) + 4x 3x -1 · ( 2x -1 )- 9x 2x -1 · ( 2x -1 ) = 0
6x + 4 x ( 2x -1 ) 3x -1 -9x = 0
6x + 8 x 2 -4x 3x -1 -9x = 0
8 x 2 -4x 3x -1 +6x -9x = 0

Wir multiplizieren den Nenner 3x -1 weg!

8 x 2 -4x 3x -1 +6x -9x = 0 |⋅( 3x -1 )
8 x 2 -4x 3x -1 · ( 3x -1 ) + 6x · ( 3x -1 ) -9x · ( 3x -1 ) = 0
8 x 2 -4x +6 x ( 3x -1 )-9 x ( 3x -1 ) = 0
8 x 2 -4x + ( 18 x 2 -6x ) + ( -27 x 2 +9x ) = 0
- x 2 - x = 0
- x 2 - x = 0
- x ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -1 ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

a + x = - 18 x

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

a + x = - 18 x

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

a + x = - 18 x |⋅x
a · x + x · x = - 18 x · x
a x + x 2 = -18
a x + x 2 +18 = 0
x 2 + a x +18 = 0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

x 2 + a x +18 = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn 2 · 9 = 18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = -( 2 +9 ) = -11

Zur Probe können wir ja noch mit a = -11 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

x 2 -11x +18 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +11 ± ( -11 ) 2 -4 · 1 · 18 21

x1,2 = +11 ± 121 -72 2

x1,2 = +11 ± 49 2

x1 = 11 + 49 2 = 11 +7 2 = 18 2 = 9

x2 = 11 - 49 2 = 11 -7 2 = 4 2 = 2

L={ 2 ; 9 }