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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5 x - 1}{2 x - 4}$ = $- 2$

D=R\{ $2$ }

\frac{5 x - 1}{2 (x - 2)}

=

- 2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{5 x - 1}{2 (x - 2)}$	=	$- 2$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{5 x - 1}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2))$	=	$- 2 \cdot (2 (x - 2))$
$5 x - 1$	=	$- 4 (x - 2)$

$5 x - 1$	=	$- 4 x + 8$	\| $+ 1$
$5 x$	=	$- 4 x + 9$	\| $+ 4 x$
$9 x$	=	$9$	\|: $9$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 7} - \frac{9}{x - 7}$ = $\frac{197}{x^{2} - 49}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 7$ ; $7$ }

\frac{x}{x + 7} - \frac{9}{x - 7}

=

\frac{197}{(x + 7) \cdot (x - 7)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 7) \cdot (x - 7)$ weg!

$\frac{x}{x + 7} - \frac{9}{x - 7}$	=	$\frac{197}{(x + 7) \cdot (x - 7)}$	\|⋅( $(x + 7) \cdot (x - 7)$ )
$\frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7) - \frac{9}{x - 7} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7)$	=	$\frac{197}{(x + 7) \cdot (x - 7)} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7)$
$x \cdot (x - 7) - 9 x - 63$	=	$197 \frac{x + 7}{x + 7}$
$x \cdot (x - 7) - 9 x - 63$	=	$197$
$x^{2} - 7 x - 9 x - 63$	=	$197$
$x^{2} - 16 x - 63$	=	$197$

x^{2} - 16 x - 63

=

197

|

- 197

$x^{2} - 16 x - 260$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 260)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 + 1 040}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{1 296}}{2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{1 296}}{2}$ = $\frac{16+36}{2}$ = $\frac{52}{2}$ = $26$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{1 296}}{2}$ = $\frac{16-36}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 8)}^{2} - (- 260)$ = $64$ $+$ $260$ = $324$

x_1,2 = $8$ ± $\sqrt{324}$

x₁ = $8$ - $18$ = -10

x₂ = $8$ + $18$ = 26

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $26$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11,5}{x - 4}$ = $- \frac{x}{4 x - 16} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

\frac{11,5}{x - 4}

=

- \frac{x}{4 (x - 4)} - 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 4)$ weg!

$\frac{11,5}{x - 4}$	=	$- \frac{x}{4 (x - 4)} - 3 x$	\|⋅( $4 (x - 4)$ )
$\frac{11,5}{x - 4} \cdot (4 (x - 4))$	=	$- \frac{x}{4 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4)) - 3 x \cdot (4 (x - 4))$
$46$	=	$- x - 12 x \cdot (x - 4)$
$46$	=	$- 12 x^{2} + 47 x$

46

=

- 12 x^{2} + 47 x

|

+ 12 x^{2}

- 47 x

$12 x^{2} - 47 x + 46$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 46}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 - 2 208}}{24}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{1}}{24}$

x₁ = $\frac{47 + \sqrt{1}}{24}$ = $\frac{47+1}{24}$ = $\frac{48}{24}$ = $2$

x₂ = $\frac{47 - \sqrt{1}}{24}$ = $\frac{47-1}{24}$ = $\frac{46}{24}$ = $\frac{23}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} - 47 x + 46$ = 0 |: $12$

$x^{2} - \frac{47}{12} x + \frac{23}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{47}{24})}^{2} - (\frac{23}{6})$ = $\frac{2209}{576}$ $-$ $\frac{23}{6}$ = $\frac{2209}{576}$ $-$ $\frac{2208}{576}$ = $\frac{1}{576}$

x_1,2 = $\frac{47}{24}$ ± $\sqrt{\frac{1}{576}}$

x₁ = $\frac{47}{24}$ - $\frac{1}{24}$ = $\frac{46}{24}$ = 1.9166666666667

x₂ = $\frac{47}{24}$ + $\frac{1}{24}$ = $\frac{48}{24}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{23}{12}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{13 x + 30}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{13 x + 30}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{13 x + 30}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$13 x + 30$

- x^{2}

=

13 x + 30

|

- 13 x

- 30

$- x^{2} - 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 30)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{13+7}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{13-7}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 13 x - 30$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 13 x + 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 + \frac{8}{x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$7 + \frac{8}{x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$7 \cdot x + \frac{8}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$7 x + 8$	=	$x \cdot x + 5 x$

7 x + 8

=

x^{2} + 5 x

|

- x^{2}

- 5 x

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{3 x}{2 (x - 1)} - 3

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{3 x}{2 (x - 1)} - 3$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{3 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) - 3 \cdot (2 (x - 1))$	=
$3 x - 6 x + 6$	=
$- 3 x + 6$	=

$- 3 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{12}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{12}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{12}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{12}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 12 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 12 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):