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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{x}{3 x - 2} - \frac{14}{3 x - 2}$ = $2$

D=R\{ $\frac{2}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{x}{3 x - 2} - \frac{14}{3 x - 2}$	=	$2$	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) - \frac{14}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$	=	$2 \cdot (3 x - 2)$
$x - 14$	=	$2 (3 x - 2)$

$x - 14$	=	$6 x - 4$	\| $+ 14$
$x$	=	$6 x + 10$	\| $- 6 x$
$- 5 x$	=	$10$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7 x}{x + 3} - \frac{60}{2 x + 6}$ = $- 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

- \frac{7 x}{x + 3} - \frac{60}{2 (x + 3)}

=

- 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- \frac{7 x}{x + 3} - \frac{60}{2 (x + 3)}$	=	$- 4$	\|⋅( $x + 3$ )
$- \frac{7 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{- 60}{2 (x + 3)} \cdot (x + 3)$	=	$- 4 \cdot (x + 3)$
$- 7 x - 30$	=	$- 4 (x + 3)$

$- 7 x - 30$	=	$- 4 x - 12$	\| $+ 30$
$- 7 x$	=	$- 4 x + 18$	\| $+ 4 x$
$- 3 x$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{7 x - 2}{2 x} + \frac{- 7 x - 2}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- \frac{1}{2}$ }

\frac{- 7 x - 2}{x} + \frac{7 x - 2}{2 x} + \frac{3 x}{2 x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 7 x - 2}{x} + \frac{7 x - 2}{2 x} + \frac{3 x}{2 x + 1}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 7 x - 2}{x} \cdot 2 x + \frac{7 x - 2}{2 x} \cdot 2 x + \frac{3 x}{2 x + 1} \cdot 2 x$	=
$- 14 x - 4 + 7 x - 2 + 2 \frac{3 x \cdot x}{2 x + 1}$	=
$- 14 x - 4 + 7 x - 2 + \frac{6 x^{2}}{2 x + 1}$	=
$\frac{6 x^{2}}{2 x + 1} - 14 x + 7 x - 4 - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2}}{2 x + 1} - 14 x + 7 x - 4 - 2$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{6 x^{2}}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) - 14 x \cdot (2 x + 1) + 7 x \cdot (2 x + 1) - 4 \cdot (2 x + 1) - 2 \cdot (2 x + 1)$	=
$6 x^{2} - 14 x (2 x + 1) + 7 x (2 x + 1) - 8 x - 4 - 4 x - 2$	=
$6 x^{2} + (- 28 x^{2} - 14 x) + (14 x^{2} + 7 x) - 8 x - 4 - 4 x - 2$	=
$- 8 x^{2} - 19 x - 6$	=

$- 8 x^{2} - 19 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{169}}{- 16}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{169}}{- 16}$ = $\frac{19+13}{- 16}$ = $\frac{32}{- 16}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{169}}{- 16}$ = $\frac{19-13}{- 16}$ = $\frac{6}{- 16}$ = $- 0,375$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} - 19 x - 6$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} + \frac{19}{8} x + \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{16})}^{2} - (\frac{3}{4})$ = $\frac{361}{256}$ $-$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{361}{256}$ $-$ $\frac{192}{256}$ = $\frac{169}{256}$

x_1,2 = $- \frac{19}{16}$ ± $\sqrt{\frac{169}{256}}$

x₁ = $- \frac{19}{16}$ - $\frac{13}{16}$ = $- \frac{32}{16}$ = -2

x₂ = $- \frac{19}{16}$ + $\frac{13}{16}$ = $- \frac{6}{16}$ = -0.375

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,375$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{5}{x^{3}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{5}{x^{3}}$	=	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{4}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{5}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=
$x^{2} + 4 x - 5$	=

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x - 6}{3 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{16 x - 6}{3 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{16 x - 6}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 1 \cdot 3 x$
$16 x - 6$	=	$3 x \cdot x - 3 x$

16 x - 6

=

3 x^{2} - 3 x

|

- 3 x^{2}

+ 3 x

$- 3 x^{2} + 19 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 72}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{289}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{- 19+17}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{- 19-17}{- 6}$ = $\frac{- 36}{- 6}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 19 x - 6$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{19}{3} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{6})}^{2} - 2$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $2$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{289}{36}$

x_1,2 = $\frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{289}{36}}$

x₁ = $\frac{19}{6}$ - $\frac{17}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{19}{6}$ + $\frac{17}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{3 x - 7} + \frac{3 x}{2 x - 3} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $\frac{7}{3}$ }

\frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{3 x - 1}{3 x - 7} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{3 x - 1}{3 x - 7} - 7$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{3 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{3 x - 1}{3 x - 7} \cdot (2 x - 3) - 7 \cdot (2 x - 3)$	=
$3 x + \frac{(3 x - 1) (2 x - 3)}{3 x - 7} - 14 x + 21$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{3 x - 7} - 14 x + 21$	=
$\frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{3 x - 7} + 3 x - 14 x + 21$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{3 x - 7} + 3 x - 14 x + 21$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + 3 x \cdot (3 x - 7) - 14 x \cdot (3 x - 7) + 21 \cdot (3 x - 7)$	=
$6 x^{2} - 11 x + 3 + 3 x (3 x - 7) - 14 x (3 x - 7) + 63 x - 147$	=
$6 x^{2} - 11 x + 3 + (9 x^{2} - 21 x) + (- 42 x^{2} + 98 x) + 63 x - 147$	=
$- 27 x^{2} + 129 x - 144$	=

- 27 x^{2} + 129 x - 144

= 0 |:3

$- 9 x^{2} + 43 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{43^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 48)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{1 849 - 1 728}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{121}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 43 + \sqrt{121}}{- 18}$ = $\frac{- 43+11}{- 18}$ = $\frac{- 32}{- 18}$ = $\frac{16}{9}$ ≈ 1.78

x₂ = $\frac{- 43 - \sqrt{121}}{- 18}$ = $\frac{- 43-11}{- 18}$ = $\frac{- 54}{- 18}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} + 43 x - 48$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} - \frac{43}{9} x + \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{43}{18})}^{2} - (\frac{16}{3})$ = $\frac{1849}{324}$ $-$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{1849}{324}$ $-$ $\frac{1728}{324}$ = $\frac{121}{324}$

x_1,2 = $\frac{43}{18}$ ± $\sqrt{\frac{121}{324}}$

x₁ = $\frac{43}{18}$ - $\frac{11}{18}$ = $\frac{32}{18}$ = 1.7777777777778

x₂ = $\frac{43}{18}$ + $\frac{11}{18}$ = $\frac{54}{18}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{16}{9}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 8$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 8$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 8$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 8 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- 8 x$
$a + x^{2} + 8 x$	=	0
$x^{2} + 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $- (2 - 10)$ = 8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 10)$ = $- 20$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -20 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):