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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{- 3 x + 9}{x - 1}$ = $3$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 3 x + 9}{x - 1}$	=	$3$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 3 x + 9}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$3 \cdot (x - 1)$
$- 3 x + 9$	=	$3 (x - 1)$

$- 3 x + 9$	=	$3 x - 3$	\| $- 9$
$- 3 x$	=	$3 x - 12$	\| $- 3 x$
$- 6 x$	=	$- 12$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 2} + \frac{9}{x - 2}$ = $\frac{6}{x^{2} - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $2$ }

\frac{x}{x + 2} + \frac{9}{x - 2}

=

\frac{6}{(x + 2) (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 2) (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{x + 2} + \frac{9}{x - 2}$	=	$\frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$	\|⋅( $(x + 2) (x - 2)$ )
$\frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2) (x - 2) + \frac{9}{x - 2} \cdot (x + 2) (x - 2)$	=	$\frac{6}{(x + 2) (x - 2)} \cdot (x + 2) (x - 2)$
$x (x - 2) + 9 x + 18$	=	$6 \frac{x + 2}{x + 2}$
$x (x - 2) + 9 x + 18$	=	$6$
$x^{2} - 2 x + 9 x + 18$	=	$6$
$x^{2} + 7 x + 18$	=	$6$

x^{2} + 7 x + 18

=

6

|

- 6

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 10} + \frac{11,8}{x + 2} - 4 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{5 x + 10} + \frac{11,8}{x + 2} - 4 x$	=	0
$\frac{x}{5 (x + 2)} + \frac{11,8}{x + 2} - 4 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 2)} + \frac{11,8}{x + 2} - 4 x$	=	\|⋅( $5 (x + 2)$ )
$\frac{x}{5 (x + 2)} \cdot (5 (x + 2)) + \frac{11,8}{x + 2} \cdot (5 (x + 2)) - 4 x \cdot (5 (x + 2))$	=
$x + 59 - 20 x (x + 2)$	=
$x + 59 + (- 20 x^{2} - 40 x)$	=
$- 20 x^{2} - 39 x + 59$	=

$- 20 x^{2} - 39 x + 59$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{{(- 39)}^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot 59}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{1 521 + 4 720}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{6 241}}{- 40}$

x₁ = $\frac{39 + \sqrt{6 241}}{- 40}$ = $\frac{39+79}{- 40}$ = $\frac{118}{- 40}$ = $- 2,95$

x₂ = $\frac{39 - \sqrt{6 241}}{- 40}$ = $\frac{39-79}{- 40}$ = $\frac{- 40}{- 40}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} - 39 x + 59$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} + \frac{39}{20} x - \frac{59}{20}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{39}{40})}^{2} - (- \frac{59}{20})$ = $\frac{1521}{1600}$ $+$ $\frac{59}{20}$ = $\frac{1521}{1600}$ $+$ $\frac{4720}{1600}$ = $\frac{6241}{1600}$

x_1,2 = $- \frac{39}{40}$ ± $\sqrt{\frac{6241}{1600}}$

x₁ = $- \frac{39}{40}$ - $\frac{79}{40}$ = $- \frac{118}{40}$ = -2.95

x₂ = $- \frac{39}{40}$ + $\frac{79}{40}$ = $\frac{40}{40}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,95$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{14}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{14}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{14}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{5}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$- 14$	=	$- x^{2} + 5 x$

- 14

=

- x^{2} + 5 x

|

+ x^{2}

- 5 x

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{10 x + 2}{3 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{10 x + 2}{3 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{10 x + 2}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 5 \cdot 3 x$
$10 x + 2$	=	$3 x \cdot x + 15 x$

10 x + 2

=

3 x^{2} + 15 x

|

- 3 x^{2}

- 15 x

$- 3 x^{2} - 5 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 2}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{- 6}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{5+7}{- 6}$ = $\frac{12}{- 6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{5-7}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 5 x + 2$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{5}{3} x - \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{6})}^{2} - (- \frac{2}{3})$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $- \frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $- \frac{5}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $- \frac{12}{6}$ = -2

x₂ = $- \frac{5}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{3 x} + \frac{8 x}{3 x - 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{5 x + 1}{3 x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{5 x + 1}{3 x} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{5 x + 1}{3 x} \cdot (3 x - 1) - 6 \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x + \frac{(5 x + 1) (3 x - 1)}{3 x} - 18 x + 6$	=
$8 x + \frac{15 x^{2} - 2 x - 1}{3 x} - 18 x + 6$	=
$\frac{15 x^{2} - 2 x - 1}{3 x} + 8 x - 18 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{15 x^{2} - 2 x - 1}{3 x} + 8 x - 18 x + 6$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{15 x^{2} - 2 x - 1}{3 x} \cdot 3 x + 8 x \cdot 3 x - 18 x \cdot 3 x + 6 \cdot 3 x$	=
$15 x^{2} - 2 x - 1 + 24 x \cdot x - 54 x \cdot x + 18 x$	=
$15 x^{2} - 2 x - 1 + 24 x^{2} - 54 x^{2} + 18 x$	=
$- 15 x^{2} + 16 x - 1$	=

$- 15 x^{2} + 16 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 60}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{196}}{- 30}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{196}}{- 30}$ = $\frac{- 16+14}{- 30}$ = $\frac{- 2}{- 30}$ = $\frac{1}{15}$ ≈ 0.07

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{196}}{- 30}$ = $\frac{- 16-14}{- 30}$ = $\frac{- 30}{- 30}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} + 16 x - 1$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} - \frac{16}{15} x + \frac{1}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{15})}^{2} - (\frac{1}{15})$ = $\frac{64}{225}$ $-$ $\frac{1}{15}$ = $\frac{64}{225}$ $-$ $\frac{15}{225}$ = $\frac{49}{225}$

x_1,2 = $\frac{8}{15}$ ± $\sqrt{\frac{49}{225}}$

x₁ = $\frac{8}{15}$ - $\frac{7}{15}$ = $\frac{1}{15}$ = 0.066666666666667

x₂ = $\frac{8}{15}$ + $\frac{7}{15}$ = $\frac{15}{15}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{15}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $3$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $3$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$3$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$3 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$3 x$
$a + x^{2} - 3 x$	=	0
$x^{2} - 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (2 + 1)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):