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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7 x}{x - 10}$ = $2$

D=R\{ $10$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 10$ weg!

$\frac{7 x}{x - 10}$	=	$2$	\|⋅( $x - 10$ )
$\frac{7 x}{x - 10} \cdot (x - 10)$	=	$2 \cdot (x - 10)$
$7 x$	=	$2 (x - 10)$

$7 x$	=	$2 x - 20$	\| $- 2 x$
$5 x$	=	$- 20$	\|: $5$
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{9 x}{3 x + 4} + \frac{326}{6 x + 8}$ = $4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ }

- \frac{9 x}{3 x + 4} + \frac{326}{2 (3 x + 4)}

=

4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$- \frac{9 x}{3 x + 4} + \frac{326}{2 (3 x + 4)}$	=	$4$	\|⋅( $3 x + 4$ )
$- \frac{9 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{326}{2 (3 x + 4)} \cdot (3 x + 4)$	=	$4 \cdot (3 x + 4)$
$- 9 x + 163$	=	$4 (3 x + 4)$

$- 9 x + 163$	=	$12 x + 16$	\| $- 163$
$- 9 x$	=	$12 x - 147$	\| $- 12 x$
$- 21 x$	=	$- 147$	\|:( $- 21$ )
$x$	=	$7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 3} + \frac{- 32}{3 x + 3}$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{3 x + 3} - \frac{32}{3 x + 3}$	=	$- x$
$\frac{x}{3 (x + 1)} - \frac{32}{3 (x + 1)}$	=	$- x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 1)} - \frac{32}{3 (x + 1)}$	=	$- x$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) - \frac{32}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$	=	$- x \cdot (3 (x + 1))$
$x - 32$	=	$- 3 x \cdot (x + 1)$
$x - 32$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$

x - 32

=

- 3 x^{2} - 3 x

|

+ 3 x^{2}

+ 3 x

$3 x^{2} + 4 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 384}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{400}}{6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{- 4+20}{6}$ = $\frac{16}{6}$ = $\frac{8}{3}$ ≈ 2.67

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{- 4-20}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 4 x - 32$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{32}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{32}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{32}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{96}{9}$ = $\frac{100}{9}$

x_1,2 = $- \frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{100}{9}}$

x₁ = $- \frac{2}{3}$ - $\frac{10}{3}$ = $- \frac{12}{3}$ = -4

x₂ = $- \frac{2}{3}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{8}{3}$ = 2.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{8}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{6}{x^{2}}$ = $\frac{16}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{6}{x^{2}}$	=	$\frac{16}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$\frac{16}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2} + 6 x$	=	$16$

x^{2} + 6 x

=

16

|

- 16

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{30 x - 12}{x + 5}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{30 x - 12}{x + 5}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{30 x - 12}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$3 x \cdot (x + 5)$
$30 x - 12$	=	$3 x \cdot (x + 5)$
$30 x - 12$	=	$3 x^{2} + 15 x$

30 x - 12

=

3 x^{2} + 15 x

|

- 3 x^{2}

- 15 x

- 3 x^{2} + 15 x - 12

= 0 |:3

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5+3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5-3}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{x - 3} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{16 x}{x - 3} - 4$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{16 x}{x - 3} \cdot (x - 3) - 4 \cdot (x - 3)$	=
$16 x - 4 x + 12$	=
$12 x + 12$	=

$12 x + 12$	=	0	\| $- 12$
$12 x$	=	$- 12$	\|: $12$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{15}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{15}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{15}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{15}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$15$
$x^{2} + a x - 15$	=	0
$x^{2} + a x - 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot (- 5)$ = -15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 - 5)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):