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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
2x -92 3x +2 = -4

Lösung einblenden

D=R\{ - 2 3 }

Wir multiplizieren den Nenner 3x +2 weg!

2x -92 3x +2 = -4 |⋅( 3x +2 )
2x -92 3x +2 · ( 3x +2 ) = -4 · ( 3x +2 )
2x -92 = -4( 3x +2 )
2x -92 = -12x -8 | +92
2x = -12x +84 | +12x
14x = 84 |:14
x = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 6 }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x x -9 - 2 x +9 = 96 x 2 -81

Lösung einblenden

D=R\{ -9 ; 9 }

x x -9 - 2 x +9 = 96 ( x +9 ) · ( x -9 ) |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner ( x +9 ) · ( x -9 ) weg!

x x -9 - 2 x +9 = 96 ( x +9 ) · ( x -9 ) |⋅( ( x +9 ) · ( x -9 ) )
x x -9 · ( x +9 ) · ( x -9 ) - 2 x +9 · ( x +9 ) · ( x -9 ) = 96 ( x +9 ) · ( x -9 ) · ( x +9 ) · ( x -9 )
x ( x +9 ) -2x +18 = 96 x +9 x +9
x ( x +9 ) -2x +18 = 96
x 2 +9x -2x +18 = 96
x 2 +7x +18 = 96
x 2 +7x +18 = 96 | -96

x 2 +7x -78 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -7 ± 7 2 -4 · 1 · ( -78 ) 21

x1,2 = -7 ± 49 +312 2

x1,2 = -7 ± 361 2

x1 = -7 + 361 2 = -7 +19 2 = 12 2 = 6

x2 = -7 - 361 2 = -7 -19 2 = -26 2 = -13

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 7 2 ) 2 - ( -78 ) = 49 4 + 78 = 49 4 + 312 4 = 361 4

x1,2 = - 7 2 ± 361 4

x1 = - 7 2 - 19 2 = - 26 2 = -13

x2 = - 7 2 + 19 2 = 12 2 = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -13 ; 6 }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4x +16 + -30,5 2x +8 +3x = 0

Lösung einblenden

D=R\{ -4 }

x 4x +16 - 30,5 2x +8 +3x = 0
x 4( x +4 ) - 30,5 2( x +4 ) +3x = 0 |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner 4( x +4 ) weg!

x 4( x +4 ) - 30,5 2( x +4 ) +3x = 0 |⋅( 4( x +4 ) )
x 4( x +4 ) · ( 4( x +4 ) ) + -30,5 2( x +4 ) · ( 4( x +4 ) ) + 3x · ( 4( x +4 ) ) = 0
x -61 +12 x ( x +4 ) = 0
x -61 + ( 12 x 2 +48x ) = 0
12 x 2 +49x -61 = 0

12 x 2 +49x -61 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -49 ± 49 2 -4 · 12 · ( -61 ) 212

x1,2 = -49 ± 2401 +2928 24

x1,2 = -49 ± 5329 24

x1 = -49 + 5329 24 = -49 +73 24 = 24 24 = 1

x2 = -49 - 5329 24 = -49 -73 24 = -122 24 = - 61 12

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "12 " teilen:

12 x 2 +49x -61 = 0 |: 12

x 2 + 49 12 x - 61 12 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 49 24 ) 2 - ( - 61 12 ) = 2401 576 + 61 12 = 2401 576 + 2928 576 = 5329 576

x1,2 = - 49 24 ± 5329 576

x1 = - 49 24 - 73 24 = - 122 24 = -5.0833333333333

x2 = - 49 24 + 73 24 = 24 24 = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ - 61 12 ; 1 }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

14x +48 x 4 = - 1 x 2

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 4 weg!

14x +48 x 4 = - 1 x 2 |⋅( x 4 )
14x +48 x 4 · x 4 = - 1 x 2 · x 4
14x +48 = - x 2
14x +48 = - x 2 | + x 2

x 2 +14x +48 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -14 ± 14 2 -4 · 1 · 48 21

x1,2 = -14 ± 196 -192 2

x1,2 = -14 ± 4 2

x1 = -14 + 4 2 = -14 +2 2 = -12 2 = -6

x2 = -14 - 4 2 = -14 -2 2 = -16 2 = -8

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 7 2 - 48 = 49 - 48 = 1

x1,2 = -7 ± 1

x1 = -7 - 1 = -8

x2 = -7 + 1 = -6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -8 ; -6 }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

8x -3 x +4 = x

Lösung einblenden

D=R\{ -4 }

Wir multiplizieren den Nenner x +4 weg!

8x -3 x +4 = x |⋅( x +4 )
8x -3 x +4 · ( x +4 ) = x · ( x +4 )
8x -3 = x ( x +4 )
8x -3 = x 2 +4x
8x -3 = x 2 +4x | - x 2 -4x

- x 2 +4x -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -4 ± 4 2 -4 · ( -1 ) · ( -3 ) 2( -1 )

x1,2 = -4 ± 16 -12 -2

x1,2 = -4 ± 4 -2

x1 = -4 + 4 -2 = -4 +2 -2 = -2 -2 = 1

x2 = -4 - 4 -2 = -4 -2 -2 = -6 -2 = 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +4x -3 = 0 |: -1

x 2 -4x +3 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - 3 = 4 - 3 = 1

x1,2 = 2 ± 1

x1 = 2 - 1 = 1

x2 = 2 + 1 = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 1 ; 3 }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2x -2 2x -6 + 4x 2x -4 + 7x -4x +12 = 0

Lösung einblenden

D=R\{ 2 ; 3 }

4x 2x -4 + 2x -2 2x -6 + 7x -4x +12 = 0
4x 2( x -2 ) + 2x -2 2( x -3 ) + 7x 4( -x +3 ) = 0 |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner x -2 weg!

4x 2( x -2 ) + 2x -2 2( x -3 ) + 7x 4( -x +3 ) = 0 |⋅( x -2 )
4x 2( x -2 ) · ( x -2 ) + 2x -2 2( x -3 ) · ( x -2 ) + 7x 4( -x +3 ) · ( x -2 ) = 0
2x + ( 2x -2 ) ( x -2 ) 2( x -3 ) + 7 x ( x -2 ) 4( -x +3 ) = 0
2x + 2 x 2 -6x +4 2( x -3 ) + 7 x 2 -14x 4( -x +3 ) = 0
7 x 2 -14x 4( -x +3 ) + 2 x 2 -6x +4 2( x -3 ) +2x = 0
2 x 2 -6x +4 2( x -3 ) + 7 x 2 -14x 4( -x +3 ) +2x = 0

Wir multiplizieren den Nenner 2( x -3 ) weg!

2 x 2 -6x +4 2( x -3 ) + 7 x 2 -14x 4( -x +3 ) +2x = 0 |⋅( 2( x -3 ) )
2 x 2 -6x +4 2( x -3 ) · ( 2( x -3 ) ) + 7 x 2 -14x 4( -x +3 ) · ( 2( x -3 ) ) + 2x · ( 2( x -3 ) ) = 0
2 x 2 -6x +4 +2 ( 7 x 2 -14x ) ( x -3 ) 4( -x +3 ) +4 x ( x -3 ) = 0
2 x 2 -6x +4 - 7 2 x ( x -2 )+4 x ( x -3 ) = 0
2 x 2 -6x +4 + ( - 7 2 x 2 +7x ) + ( 4 x 2 -12x ) = 0
5 2 x 2 -11x +4 = 0
5 2 x 2 -11x +4 = 0 |⋅ 2
2( 5 2 x 2 -11x +4 ) = 0

5 x 2 -22x +8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +22 ± ( -22 ) 2 -4 · 5 · 8 25

x1,2 = +22 ± 484 -160 10

x1,2 = +22 ± 324 10

x1 = 22 + 324 10 = 22 +18 10 = 40 10 = 4

x2 = 22 - 324 10 = 22 -18 10 = 4 10 = 0,4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "5 " teilen:

5 x 2 -22x +8 = 0 |: 5

x 2 - 22 5 x + 8 5 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 11 5 ) 2 - ( 8 5 ) = 121 25 - 8 5 = 121 25 - 40 25 = 81 25

x1,2 = 11 5 ± 81 25

x1 = 11 5 - 9 5 = 2 5 = 0.4

x2 = 11 5 + 9 5 = 20 5 = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 0,4 ; 4 }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

a - 6 x = -x

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

a - 6 x = -x

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

a - 6 x = -x |⋅x
a · x - 6 x · x = -x · x
a x -6 = - x 2
a x -6 + x 2 = 0
x 2 + a x -6 = 0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

x 2 + a x -6 = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn 2 · ( -3 ) = -6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = -( 2 -3 ) = 1

Zur Probe können wir ja noch mit a = 1 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

x 2 + x -6 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -6 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +24 2

x1,2 = -1 ± 25 2

x1 = -1 + 25 2 = -1 +5 2 = 4 2 = 2

x2 = -1 - 25 2 = -1 -5 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -6 ) = 1 4 + 6 = 1 4 + 24 4 = 25 4

x1,2 = - 1 2 ± 25 4

x1 = - 1 2 - 5 2 = - 6 2 = -3

x2 = - 1 2 + 5 2 = 4 2 = 2

L={ -3 ; 2 }