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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9}{x}$ = $\frac{2}{5}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9}{x}$	=	$\frac{2}{5}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{9}{x} \cdot x$	=	$\frac{2}{5} \cdot x$
$9$	=	$\frac{2}{5} x$

$9$	=	$\frac{2}{5} x$	\|⋅ 5
$45$	=	$2 x$	\| $- 45$ $- 2 x$
$- 2 x$	=	$- 45$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$\frac{45}{2}$ = 22.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{45}{2}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{9 x}{x - 3} - \frac{50}{2 x - 6}$ = $4$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

- \frac{9 x}{x - 3} - \frac{50}{2 (x - 3)}

=

4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$- \frac{9 x}{x - 3} - \frac{50}{2 (x - 3)}$	=	$4$	\|⋅( $x - 3$ )
$- \frac{9 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{- 50}{2 (x - 3)} \cdot (x - 3)$	=	$4 \cdot (x - 3)$
$- 9 x - 25$	=	$4 (x - 3)$

$- 9 x - 25$	=	$4 x - 12$	\| $+ 25$
$- 9 x$	=	$4 x + 13$	\| $- 4 x$
$- 13 x$	=	$13$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 3}{x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x - 3}{x} - 2$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x - 3}{x} \cdot x - 2 \cdot x$	=
$x - 3 - 2 x$	=
$- x - 3$	=

$- x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{14}{x} + \frac{48}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{14}{x} + \frac{48}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{14}{x} \cdot x^{2} + \frac{48}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} + 14 x + 48$	=

$x^{2} + 14 x + 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 14+2}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 14-2}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 48$ = $49$ $-$ $48$ = $1$

x_1,2 = $- 7$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 7$ - $1$ = -8

x₂ = $- 7$ + $1$ = -6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 - \frac{12}{x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 4 - \frac{12}{x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $x$ )
$- 4 \cdot x - \frac{12}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 4 \cdot x$
$- 4 x - 12$	=	$x \cdot x + 4 x$

- 4 x - 12

=

x^{2} + 4 x

|

- x^{2}

- 4 x

$- x^{2} - 8 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{8+4}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{8-4}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 4$ - $2$ = -6

x₂ = $- 4$ + $2$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{7 x + 2}{2 x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; 0}

\frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{7 x + 2}{2 x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{7 x + 2}{2 x} - 7$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{3 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{7 x + 2}{2 x} \cdot (3 x - 4) - 7 \cdot (3 x - 4)$	=
$3 x + \frac{(7 x + 2) \cdot (3 x - 4)}{2 x} - 21 x + 28$	=
$3 x + \frac{21 x^{2} - 22 x - 8}{2 x} - 21 x + 28$	=
$\frac{21 x^{2} - 22 x - 8}{2 x} + 3 x - 21 x + 28$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{21 x^{2} - 22 x - 8}{2 x} + 3 x - 21 x + 28$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{21 x^{2} - 22 x - 8}{2 x} \cdot 2 x + 3 x \cdot 2 x - 21 x \cdot 2 x + 28 \cdot 2 x$	=
$21 x^{2} - 22 x - 8 + 6 x \cdot x - 42 x \cdot x + 56 x$	=
$21 x^{2} - 22 x - 8 + 6 x^{2} - 42 x^{2} + 56 x$	=
$- 15 x^{2} + 34 x - 8$	=

$- 15 x^{2} + 34 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{34^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{1 156 - 480}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{676}}{- 30}$

x₁ = $\frac{- 34 + \sqrt{676}}{- 30}$ = $\frac{- 34+26}{- 30}$ = $\frac{- 8}{- 30}$ = $\frac{4}{15}$ ≈ 0.27

x₂ = $\frac{- 34 - \sqrt{676}}{- 30}$ = $\frac{- 34-26}{- 30}$ = $\frac{- 60}{- 30}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} + 34 x - 8$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} - \frac{34}{15} x + \frac{8}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{15})}^{2} - (\frac{8}{15})$ = $\frac{289}{225}$ $-$ $\frac{8}{15}$ = $\frac{289}{225}$ $-$ $\frac{120}{225}$ = $\frac{169}{225}$

x_1,2 = $\frac{17}{15}$ ± $\sqrt{\frac{169}{225}}$

x₁ = $\frac{17}{15}$ - $\frac{13}{15}$ = $\frac{4}{15}$ = 0.26666666666667

x₂ = $\frac{17}{15}$ + $\frac{13}{15}$ = $\frac{30}{15}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{15}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{12}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{12}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{12}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{12}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 12$
$a x + x^{2} + 12$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):