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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6 x}{3 x - 5} - \frac{105}{3 x - 5}$ = $3$

D=R\{ $\frac{5}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$- \frac{6 x}{3 x - 5} - \frac{105}{3 x - 5}$	=	$3$	\|⋅( $3 x - 5$ )
$- \frac{6 x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) - \frac{105}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$	=	$3 \cdot (3 x - 5)$
$- 6 x - 105$	=	$3 (3 x - 5)$

$- 6 x - 105$	=	$9 x - 15$	\| $+ 105$
$- 6 x$	=	$9 x + 90$	\| $- 9 x$
$- 15 x$	=	$90$	\|:( $- 15$ )
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 6} - \frac{3}{x + 6}$ = $\frac{46}{x^{2} - 36}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 6$ ; $6$ }

\frac{x}{x - 6} - \frac{3}{x + 6}

=

\frac{46}{(x + 6) \cdot (x - 6)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 6) \cdot (x - 6)$ weg!

$\frac{x}{x - 6} - \frac{3}{x + 6}$	=	$\frac{46}{(x + 6) \cdot (x - 6)}$	\|⋅( $(x + 6) \cdot (x - 6)$ )
$\frac{x}{x - 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6) - \frac{3}{x + 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$	=	$\frac{46}{(x + 6) \cdot (x - 6)} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$
$x \cdot (x + 6) - 3 x + 18$	=	$46 \frac{x + 6}{x + 6}$
$x \cdot (x + 6) - 3 x + 18$	=	$46$
$x^{2} + 6 x - 3 x + 18$	=	$46$
$x^{2} + 3 x + 18$	=	$46$

x^{2} + 3 x + 18

=

46

|

- 46

$x^{2} + 3 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 10} + \frac{- 1,8}{x + 2} - 2 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{5 x + 10} - \frac{1,8}{x + 2} - 2 x$	=	0
$\frac{x}{5 (x + 2)} - \frac{1,8}{x + 2} - 2 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 2)} - \frac{1,8}{x + 2} - 2 x$	=	\|⋅( $5 (x + 2)$ )
$\frac{x}{5 (x + 2)} \cdot (5 (x + 2)) + \frac{- 1,8}{x + 2} \cdot (5 (x + 2)) - 2 x \cdot (5 (x + 2))$	=
$x - 9 - 10 x \cdot (x + 2)$	=
$x - 9 + (- 10 x^{2} - 20 x)$	=
$- 10 x^{2} - 19 x - 9$	=

$- 10 x^{2} - 19 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{1}}{- 20}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{1}}{- 20}$ = $\frac{19+1}{- 20}$ = $\frac{20}{- 20}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{1}}{- 20}$ = $\frac{19-1}{- 20}$ = $\frac{18}{- 20}$ = $- 0,9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 19 x - 9$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{19}{10} x + \frac{9}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{20})}^{2} - (\frac{9}{10})$ = $\frac{361}{400}$ $-$ $\frac{9}{10}$ = $\frac{361}{400}$ $-$ $\frac{360}{400}$ = $\frac{1}{400}$

x_1,2 = $- \frac{19}{20}$ ± $\sqrt{\frac{1}{400}}$

x₁ = $- \frac{19}{20}$ - $\frac{1}{20}$ = $- \frac{20}{20}$ = -1

x₂ = $- \frac{19}{20}$ + $\frac{1}{20}$ = $- \frac{18}{20}$ = -0.9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,9$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{6}{x} - \frac{7}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{6}{x} - \frac{7}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{6}{x} \cdot x^{2} - \frac{7}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} + 6 x - 7$	=

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 29 x - 3}{4 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 29 x - 3}{4 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 29 x - 3}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 4 \cdot 4 x$
$- 29 x - 3$	=	$4 x \cdot x - 16 x$

- 29 x - 3

=

4 x^{2} - 16 x

|

- 4 x^{2}

+ 16 x

$- 4 x^{2} - 13 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{121}}{- 8}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{13+11}{- 8}$ = $\frac{24}{- 8}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{13-11}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 13 x - 3$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{13}{4} x + \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{8})}^{2} - (\frac{3}{4})$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $- \frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $- \frac{13}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $- \frac{13}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{6 x}{x - 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- \frac{1}{3}$ }

\frac{6 x}{x - 2} + \frac{8 x}{3 x + 1} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{8 x}{3 x + 1} - 6$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{8 x}{3 x + 1} \cdot (x - 2) - 6 \cdot (x - 2)$	=
$6 x + \frac{8 x \cdot (x - 2)}{3 x + 1} - 6 x + 12$	=
$6 x + \frac{8 x^{2} - 16 x}{3 x + 1} - 6 x + 12$	=
$\frac{8 x^{2} - 16 x}{3 x + 1} + 6 x - 6 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 16 x}{3 x + 1} + 6 x - 6 x + 12$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{8 x^{2} - 16 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 6 x \cdot (3 x + 1) - 6 x \cdot (3 x + 1) + 12 \cdot (3 x + 1)$	=
$8 x^{2} - 16 x + 6 x \cdot (3 x + 1) - 6 x \cdot (3 x + 1) + 36 x + 12$	=
$8 x^{2} - 16 x + (18 x^{2} + 6 x) + (- 18 x^{2} - 6 x) + 36 x + 12$	=
$8 x^{2} + 20 x + 12$	=

8 x^{2} + 20 x + 12

= 0 |:4

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,5$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 9 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 9 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 9 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 9 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 9 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 9 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):