Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4}{x - 8}$ = $1$

D=R\{ $8$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 8$ weg!

$- \frac{4}{x - 8}$	=	$1$	\|⋅( $x - 8$ )
$- \frac{4}{x - 8} \cdot (x - 8)$	=	$1 \cdot (x - 8)$
$- 4$	=	$x - 8$

$- 4$	=	$x - 8$	\| $+ 4$ $- x$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4 x}{x + 2} - \frac{12}{2 x + 4}$ = $2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{4 x}{x + 2} - \frac{12}{2 (x + 2)}

=

2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{4 x}{x + 2} - \frac{12}{2 (x + 2)}$	=	$2$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{4 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{- 12}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=	$2 \cdot (x + 2)$
$4 x - 6$	=	$2 (x + 2)$

$4 x - 6$	=	$2 x + 4$	\| $+ 6$
$4 x$	=	$2 x + 10$	\| $- 2 x$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 0,2}{x - 1} + 4 x$ = $- \frac{x}{5 x - 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$- \frac{0,2}{x - 1} + 4 x$	=	$\frac{- x}{5 x - 5}$
$- \frac{0,2}{x - 1} + 4 x$	=	$\frac{- x}{5 (x - 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 1)$ weg!

$- \frac{0,2}{x - 1} + 4 x$	=	$\frac{- x}{5 (x - 1)}$	\|⋅( $5 (x - 1)$ )
$\frac{- 0,2}{x - 1} \cdot (5 (x - 1)) + 4 x \cdot (5 (x - 1))$	=	$\frac{- x}{5 (x - 1)} \cdot (5 (x - 1))$
$- 1 + 20 x (x - 1)$	=	$- x$
$- 1 + (20 x^{2} - 20 x)$	=	$- x$
$20 x^{2} - 20 x - 1$	=	$- x$

20 x^{2} - 20 x - 1

=

- x

|

+ x

$20 x^{2} - 19 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 80}}{40}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{441}}{40}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{441}}{40}$ = $\frac{19+21}{40}$ = $\frac{40}{40}$ = $1$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{441}}{40}$ = $\frac{19-21}{40}$ = $\frac{- 2}{40}$ = $- 0,05$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $20$ " teilen:

$20 x^{2} - 19 x - 1$ = 0 |: $20$

$x^{2} - \frac{19}{20} x - \frac{1}{20}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{40})}^{2} - (- \frac{1}{20})$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{1}{20}$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{80}{1600}$ = $\frac{441}{1600}$

x_1,2 = $\frac{19}{40}$ ± $\sqrt{\frac{441}{1600}}$

x₁ = $\frac{19}{40}$ - $\frac{21}{40}$ = $- \frac{2}{40}$ = -0.05

x₂ = $\frac{19}{40}$ + $\frac{21}{40}$ = $\frac{40}{40}$ = 1

Lösung x= $1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 0,05$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{16 x + 63}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{16 x + 63}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{16 x + 63}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$16 x + 63$

- x^{2}

=

16 x + 63

|

- 16 x

- 63

$- x^{2} - 16 x - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 63)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{16+2}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{16-2}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 16 x - 63$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 16 x + 63$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 63$ = $64$ $-$ $63$ = $1$

x_1,2 = $- 8$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 8$ - $1$ = -9

x₂ = $- 8$ + $1$ = -7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 3$ = $\frac{16 x - 2}{3 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x + 3$	=	$\frac{16 x - 2}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x + 3 \cdot 3 x$	=	$\frac{16 x - 2}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x + 9 x$	=	$16 x - 2$
$3 x^{2} + 9 x$	=	$16 x - 2$

3 x^{2} + 9 x

=

16 x - 2

|

- 16 x

+ 2

$3 x^{2} - 7 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{7+5}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{7-5}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 7 x + 2$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{7}{3} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{6})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $\frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $\frac{7}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{7}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 4}{x} + \frac{x + 1}{2 x + 5} + \frac{- 6 x}{4 x + 10}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ ; 0}

$\frac{x + 1}{2 x + 5} + \frac{2 x - 4}{x} - \frac{6 x}{4 x + 10}$	=	0
$\frac{x + 1}{2 x + 5} + \frac{2 x - 4}{x} - \frac{6 x}{2 (2 x + 5)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{x + 1}{2 x + 5} + \frac{2 x - 4}{x} - \frac{6 x}{2 (2 x + 5)}$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{x + 1}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + \frac{2 x - 4}{x} \cdot (2 x + 5) - \frac{6 x}{2 (2 x + 5)} \cdot (2 x + 5)$	=
$x + 1 + \frac{(2 x - 4) (2 x + 5)}{x} - 3 x$	=
$x + 1 + \frac{4 x^{2} + 2 x - 20}{x} - 3 x$	=
$\frac{4 x^{2} + 2 x - 20}{x} + x - 3 x + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 2 x - 20}{x} + x - 3 x + 1$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{4 x^{2} + 2 x - 20}{x} \cdot x + x \cdot x - 3 x \cdot x + 1 \cdot x$	=
$4 x^{2} + 2 x - 20 + x \cdot x - 3 x \cdot x + x$	=
$4 x^{2} + 2 x - 20 + x^{2} - 3 x^{2} + x$	=
$2 x^{2} + 3 x - 20$	=

$2 x^{2} + 3 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 3+13}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 3-13}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 3 x - 20$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{160}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $2,5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $5$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $5$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$5$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$5 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$5 x$
$x^{2} + a - 5 x$	=	0
$x^{2} - 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $- (2 + 3)$ = -5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 3$ = $6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):