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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5}{x + 6}$ = $- 1$

D=R\{ $- 6$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 6$ weg!

$\frac{5}{x + 6}$	=	$- 1$	\|⋅( $x + 6$ )
$\frac{5}{x + 6} \cdot (x + 6)$	=	$- 1 \cdot (x + 6)$
$5$	=	$- (x + 6)$

$5$	=	$- x - 6$	\| $- 5$ $+ x$
$x$	=	$- 11$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 11$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 8} - \frac{5}{x + 8}$ = $\frac{80}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x - 8} - \frac{5}{x + 8}

=

\frac{80}{(x + 8) (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x - 8} - \frac{5}{x + 8}$	=	$\frac{80}{(x + 8) (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) (x - 8)$ )
$\frac{x}{x - 8} \cdot (x + 8) (x - 8) - \frac{5}{x + 8} \cdot (x + 8) (x - 8)$	=	$\frac{80}{(x + 8) (x - 8)} \cdot (x + 8) (x - 8)$
$x (x + 8) - 5 x + 40$	=	$80 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x (x + 8) - 5 x + 40$	=	$80$
$x^{2} + 8 x - 5 x + 40$	=	$80$
$x^{2} + 3 x + 40$	=	$80$

x^{2} + 3 x + 40

=

80

|

- 80

$x^{2} + 3 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 3+13}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 3-13}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 40)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $40$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Lösung x= $- 8$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 4} + \frac{94}{x + 2}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{2 x + 4} + \frac{94}{x + 2}$	=	$4 x$
$\frac{x}{2 (x + 2)} + \frac{94}{x + 2}$	=	$4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 2)} + \frac{94}{x + 2}$	=	$4 x$	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{94}{x + 2} \cdot (2 (x + 2))$	=	$4 x \cdot (2 (x + 2))$
$x + 188$	=	$8 x (x + 2)$
$x + 188$	=	$8 x^{2} + 16 x$

x + 188

=

8 x^{2} + 16 x

|

- 8 x^{2}

- 16 x

$- 8 x^{2} - 15 x + 188$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 188}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 6 016}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{6 241}}{- 16}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{6 241}}{- 16}$ = $\frac{15+79}{- 16}$ = $\frac{94}{- 16}$ = $- 5,875$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{6 241}}{- 16}$ = $\frac{15-79}{- 16}$ = $\frac{- 64}{- 16}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} - 15 x + 188$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} + \frac{15}{8} x - \frac{47}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{16})}^{2} - (- \frac{47}{2})$ = $\frac{225}{256}$ $+$ $\frac{47}{2}$ = $\frac{225}{256}$ $+$ $\frac{6016}{256}$ = $\frac{6241}{256}$

x_1,2 = $- \frac{15}{16}$ ± $\sqrt{\frac{6241}{256}}$

x₁ = $- \frac{15}{16}$ - $\frac{79}{16}$ = $- \frac{94}{16}$ = -5.875

x₂ = $- \frac{15}{16}$ + $\frac{79}{16}$ = $\frac{64}{16}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5,875$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $- \frac{3}{x} + \frac{28}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$- \frac{3}{x} + \frac{28}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$- \frac{3}{x} \cdot x^{2} + \frac{28}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$- 3 x + 28$

x^{2}

=

- 3 x + 28

|

+ 3 x

- 28

$x^{2} + 3 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{15}{2} - \frac{3}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{15}{2} - \frac{3}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$\frac{15}{2} \cdot x - \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$\frac{15}{2} x - 3$	=	$x \cdot x + x$

$\frac{15}{2} x - 3$	=	$x^{2} + x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{15}{2} x - 3)$	=	$2 (x^{2} + x)$
$15 x - 6$	=	$2 x^{2} + 2 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 2 x$

$- 2 x^{2} + 13 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 13+11}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 13-11}{- 4}$ = $\frac{- 24}{- 4}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 13 x - 6$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{3 x - 7} + \frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{- 7 x}{2 x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $\frac{7}{3}$ }

\frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{3 x - 1}{3 x - 7} - \frac{7 x}{2 x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{3 x - 1}{3 x - 7} - \frac{7 x}{2 x - 3}$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{3 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{3 x - 1}{3 x - 7} \cdot (2 x - 3) - \frac{7 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3)$	=
$3 x + \frac{(3 x - 1) (2 x - 3)}{3 x - 7} - 7 x$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{3 x - 7} - 7 x$	=
$\frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{3 x - 7} + 3 x - 7 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{3 x - 7} + 3 x - 7 x$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + 3 x \cdot (3 x - 7) - 7 x \cdot (3 x - 7)$	=
$6 x^{2} - 11 x + 3 + 3 x (3 x - 7) - 7 x (3 x - 7)$	=
$6 x^{2} - 11 x + 3 + (9 x^{2} - 21 x) + (- 21 x^{2} + 49 x)$	=
$- 6 x^{2} + 17 x + 3$	=

$- 6 x^{2} + 17 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 3}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 72}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{361}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{361}}{- 12}$ = $\frac{- 17+19}{- 12}$ = $\frac{2}{- 12}$ = $- \frac{1}{6}$ ≈ -0.17

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{361}}{- 12}$ = $\frac{- 17-19}{- 12}$ = $\frac{- 36}{- 12}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 17 x + 3$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{17}{6} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{12})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{289}{144}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{289}{144}$ $+$ $\frac{72}{144}$ = $\frac{361}{144}$

x_1,2 = $\frac{17}{12}$ ± $\sqrt{\frac{361}{144}}$

x₁ = $\frac{17}{12}$ - $\frac{19}{12}$ = $- \frac{2}{12}$ = -0.16666666666667

x₂ = $\frac{17}{12}$ + $\frac{19}{12}$ = $\frac{36}{12}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{6}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $8$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $8$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$8$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$8 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$8 x$
$a + x^{2} - 8 x$	=	0
$x^{2} - 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $- (2 + 6)$ = -8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 6$ = $12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):