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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{3 x}{x + 1}$ = $- 4$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- 3 x}{x + 1}$	=	$- 4$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- 3 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 4 \cdot (x + 1)$
$- \frac{3 x}{1}$	=	$- 4 (x + 1)$
$- 3 x$	=	$- 4 (x + 1)$

$- 3 x$	=	$- 4 x - 4$	\| $+ 4 x$
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 8} - \frac{1}{x - 8}$ = $\frac{212}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x + 8} - \frac{1}{x - 8}

=

\frac{212}{(x + 8) \cdot (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) \cdot (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x + 8} - \frac{1}{x - 8}$	=	$\frac{212}{(x + 8) \cdot (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) \cdot (x - 8)$ )
$\frac{x}{x + 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8) - \frac{1}{x - 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$	=	$\frac{212}{(x + 8) \cdot (x - 8)} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$
$x (x - 8) - x - 8$	=	$212 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x (x - 8) - x - 8$	=	$212$
$x^{2} - 8 x - x - 8$	=	$212$
$x^{2} - 9 x - 8$	=	$212$

x^{2} - 9 x - 8

=

212

|

- 212

$x^{2} - 9 x - 220$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 220)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 880}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{961}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{961}}{2}$ = $\frac{9+31}{2}$ = $\frac{40}{2}$ = $20$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{961}}{2}$ = $\frac{9-31}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 11$ ; $20$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x - 2} - \frac{3}{x - 1} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x - 2} - \frac{3}{x - 1} + 2 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} - \frac{3}{x - 1} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} - \frac{3}{x - 1} + 2 x$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{- 3}{x - 1} \cdot (2 (x - 1)) + 2 x \cdot (2 (x - 1))$
=	$- x - 6 + 4 x (x - 1)$
=	$4 x^{2} - 5 x - 6$

0

=

4 x^{2} - 5 x - 6

|

- 4 x^{2}

+ 5 x

+ 6

$- 4 x^{2} + 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 6}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{- 5+11}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{- 5-11}{- 8}$ = $\frac{- 16}{- 8}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $- 1 + \frac{12}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$- 1 + \frac{12}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x$	=	$- x^{2} + 12$

x

=

- x^{2} + 12

|

+ x^{2}

- 12

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 + \frac{3}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$3 + \frac{3}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$3 \cdot x + \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$3 x + 3$	=	$x \cdot x + x$

3 x + 3

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{8 x}{x - 2} + \frac{- 12 x}{x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- \frac{2}{3}$ }

\frac{8 x}{x - 2} + \frac{4 x}{3 x + 2} - \frac{12 x}{x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{8 x}{x - 2} + \frac{4 x}{3 x + 2} - \frac{12 x}{x - 2}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{8 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{4 x}{3 x + 2} \cdot (x - 2) - \frac{12 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=
$8 x + \frac{4 x (x - 2)}{3 x + 2} - 12 x$	=
$8 x + \frac{4 x^{2} - 8 x}{3 x + 2} - 12 x$	=
$\frac{4 x^{2} - 8 x}{3 x + 2} + 8 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 8 x}{3 x + 2} + 8 x - 12 x$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{4 x^{2} - 8 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + 8 x \cdot (3 x + 2) - 12 x \cdot (3 x + 2)$	=
$4 x^{2} - 8 x + 8 x (3 x + 2) - 12 x (3 x + 2)$	=
$4 x^{2} - 8 x + (24 x^{2} + 16 x) + (- 36 x^{2} - 24 x)$	=
$- 8 x^{2} - 16 x$	=

$- 8 x^{2} - 16 x$	=	0
$- 8 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{18}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{18}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{18}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{18}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 18$	=	$- x^{2}$
$a x - 18 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $2$ }

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Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter