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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{3 x}{x - 2}$ = $- 4$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 3 x}{x - 2}$	=	$- 4$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 3 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 4 \cdot (x - 2)$
$- \frac{3 x}{1}$	=	$- 4 (x - 2)$
$- 3 x$	=	$- 4 (x - 2)$

$- 3 x$	=	$- 4 x + 8$	\| $+ 4 x$
$x$	=	$8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 3} - \frac{1}{x - 3}$ = $\frac{42}{x^{2} - 9}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $3$ }

\frac{x}{x + 3} - \frac{1}{x - 3}

=

\frac{42}{(x + 3) (x - 3)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 3) (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{x + 3} - \frac{1}{x - 3}$	=	$\frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$	\|⋅( $(x + 3) (x - 3)$ )
$\frac{x}{x + 3} \cdot (x + 3) (x - 3) - \frac{1}{x - 3} \cdot (x + 3) (x - 3)$	=	$\frac{42}{(x + 3) (x - 3)} \cdot (x + 3) (x - 3)$
$x (x - 3) - x - 3$	=	$42 \frac{x + 3}{x + 3}$
$x (x - 3) - x - 3$	=	$42$
$x^{2} - 3 x - x - 3$	=	$42$
$x^{2} - 4 x - 3$	=	$42$

x^{2} - 4 x - 3

=

42

|

- 42

$x^{2} - 4 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4+14}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4-14}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 45)$ = $4$ $+$ $45$ = $49$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $2$ - $7$ = -5

x₂ = $2$ + $7$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $9$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 6}$ = $- \frac{2}{3 x - 6} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{3 x - 6}$	=	$- \frac{2}{3 x - 6} - x$
$\frac{x}{3 (x - 2)}$	=	$- \frac{2}{3 (x - 2)} - x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 2)}$	=	$- \frac{2}{3 (x - 2)} - x$	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2))$	=	$- \frac{2}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) - x \cdot (3 (x - 2))$
$x$	=	$- 2 - 3 x (x - 2)$
$x$	=	$- 3 x^{2} + 6 x - 2$

x

=

- 3 x^{2} + 6 x - 2

|

+ 3 x^{2}

- 6 x

+ 2

$3 x^{2} - 5 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{5+1}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{5-1}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 5 x + 2$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{5}{3} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{6})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{25}{36}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{25}{36}$ $-$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{1}{36}$

x_1,2 = $\frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1}{36}}$

x₁ = $\frac{5}{6}$ - $\frac{1}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{5}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{4 x + 3}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{4 x + 3}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{4 x + 3}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$4 x + 3$

- x^{2}

=

4 x + 3

|

- 4 x

- 3

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4+2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4-2}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 29 x - 8}{x + 1}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- 29 x - 8}{x + 1}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- 29 x - 8}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$4 x \cdot (x + 1)$
$- 29 x - 8$	=	$4 x (x + 1)$
$- 29 x - 8$	=	$4 x^{2} + 4 x$

- 29 x - 8

=

4 x^{2} + 4 x

|

- 4 x^{2}

- 4 x

$- 4 x^{2} - 33 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{{(- 33)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{1 089 - 128}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{961}}{- 8}$

x₁ = $\frac{33 + \sqrt{961}}{- 8}$ = $\frac{33+31}{- 8}$ = $\frac{64}{- 8}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{33 - \sqrt{961}}{- 8}$ = $\frac{33-31}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 33 x - 8$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{33}{4} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{33}{8})}^{2} - 2$ = $\frac{1089}{64}$ $-$ $2$ = $\frac{1089}{64}$ $-$ $\frac{128}{64}$ = $\frac{961}{64}$

x_1,2 = $- \frac{33}{8}$ ± $\sqrt{\frac{961}{64}}$

x₁ = $- \frac{33}{8}$ - $\frac{31}{8}$ = $- \frac{64}{8}$ = -8

x₂ = $- \frac{33}{8}$ + $\frac{31}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{3 x - 3} + \frac{x}{3 x - 4} + \frac{- 12 x}{6 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; $1$ }

$\frac{x}{3 x - 4} + \frac{5 x - 1}{3 x - 3} - \frac{12 x}{6 x - 6}$	=	0
$\frac{x}{3 x - 4} + \frac{5 x - 1}{3 (x - 1)} - \frac{12 x}{6 (x - 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{x}{3 x - 4} + \frac{5 x - 1}{3 (x - 1)} - \frac{12 x}{6 (x - 1)}$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{5 x - 1}{3 (x - 1)} \cdot (3 x - 4) - \frac{12 x}{6 (x - 1)} \cdot (3 x - 4)$	=
$x + \frac{(5 x - 1) (3 x - 4)}{3 (x - 1)} - \frac{2 x (3 x - 4)}{x - 1}$	=
$x + \frac{15 x^{2} - 23 x + 4}{3 (x - 1)} - \frac{6 x^{2} - 8 x}{x - 1}$	=
$- \frac{6 x^{2} - 8 x}{x - 1} + \frac{15 x^{2} - 23 x + 4}{3 (x - 1)} + x$	=

\frac{15 x^{2} - 23 x + 4}{3 (x - 1)} - \frac{6 x^{2} - 8 x}{x - 1} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{15 x^{2} - 23 x + 4}{3 (x - 1)} - \frac{6 x^{2} - 8 x}{x - 1} + x$	=	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{15 x^{2} - 23 x + 4}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) - \frac{6 x^{2} - 8 x}{x - 1} \cdot (3 (x - 1)) + x \cdot (3 (x - 1))$	=
$15 x^{2} - 23 x + 4 - 18 x^{2} + 24 x + 3 x (x - 1)$	=
$15 x^{2} - 23 x + 4 - 18 x^{2} + 24 x + (3 x^{2} - 3 x)$	=
$- 2 x + 4$	=

$- 2 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{6}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{6}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{6}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{6}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 6$	=	$- a x$
$x^{2} + 6 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):