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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6}{x}$ = $- \frac{2}{3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{6}{x}$	=	$- \frac{2}{3}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{6}{x} \cdot x$	=	$- \frac{2}{3} \cdot x$
$- 6$	=	$- \frac{2}{3} x$

$- 6$	=	$- \frac{2}{3} x$	\|⋅ 3
$- 18$	=	$- 2 x$	\| $+ 18$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$18$	\|: $2$
$x$	=	$9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $9$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 7} - \frac{1}{x + 7}$ = $\frac{62}{x^{2} - 49}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 7$ ; $7$ }

\frac{x}{x - 7} - \frac{1}{x + 7}

=

\frac{62}{(x + 7) \cdot (x - 7)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 7) \cdot (x - 7)$ weg!

$\frac{x}{x - 7} - \frac{1}{x + 7}$	=	$\frac{62}{(x + 7) \cdot (x - 7)}$	\|⋅( $(x + 7) \cdot (x - 7)$ )
$\frac{x}{x - 7} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7) - \frac{1}{x + 7} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7)$	=	$\frac{62}{(x + 7) \cdot (x - 7)} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7)$
$x \cdot (x + 7) - x + 7$	=	$62 \frac{x + 7}{x + 7}$
$x \cdot (x + 7) - x + 7$	=	$62$
$x^{2} + 7 x - x + 7$	=	$62$
$x^{2} + 6 x + 7$	=	$62$

x^{2} + 6 x + 7

=

62

|

- 62

$x^{2} + 6 x - 55$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 55)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 220}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 6+16}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 6-16}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 55)$ = $9$ $+$ $55$ = $64$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $- 3$ - $8$ = -11

x₂ = $- 3$ + $8$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 11$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{3 x - 9} + \frac{4 x}{3 x - 8} + \frac{11 x - 2}{- 6 x + 18}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $\frac{8}{3}$ }

$\frac{11 x - 2}{- 6 x + 18} + \frac{2 x + 1}{3 x - 9} + \frac{4 x}{3 x - 8}$	=	0
$\frac{11 x - 2}{6 (- x + 3)} + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} + \frac{4 x}{3 x - 8}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $6 (- x + 3)$ weg!

$\frac{11 x - 2}{6 (- x + 3)} + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} + \frac{4 x}{3 x - 8}$	=	\|⋅( $6 (- x + 3)$ )
$\frac{11 x - 2}{6 (- x + 3)} \cdot (6 (- x + 3)) + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} \cdot (6 (- x + 3)) + \frac{4 x}{3 x - 8} \cdot (6 (- x + 3))$	=
$11 x - 2 + 6 \frac{(2 x + 1) \cdot (- x + 3)}{3 (x - 3)} + 6 \frac{4 x \cdot (- x + 3)}{3 x - 8}$	=
$11 x - 2 + \frac{2 (- 2 x^{2} + 5 x + 3)}{x - 3} + \frac{6 (- 4 x^{2} + 12 x)}{3 x - 8}$	=
$\frac{6 (- 4 x^{2} + 12 x)}{3 x - 8} + \frac{2 (- 2 x^{2} + 5 x + 3)}{x - 3} + 11 x - 2$	=

\frac{2 (- 2 x^{2} + 5 x + 3)}{x - 3} + \frac{6 (- 4 x^{2} + 12 x)}{3 x - 8} + 11 x - 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 5 x + 3)}{x - 3} + \frac{6 (- 4 x^{2} + 12 x)}{3 x - 8} + 11 x - 2$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{2 (- 2 x^{2} + 5 x + 3)}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{6 (- 4 x^{2} + 12 x)}{3 x - 8} \cdot (x - 3) + 11 x \cdot (x - 3) - 2 \cdot (x - 3)$	=
$- 4 x^{2} + 10 x + 6 + \frac{6 (- 4 x^{2} + 12 x) \cdot (x - 3)}{3 x - 8} + 11 x \cdot (x - 3) - 2 x + 6$	=
$- 4 x^{2} + 10 x + 6 + \frac{- 24 x^{3} + 144 x^{2} - 216 x}{3 x - 8} + (11 x^{2} - 33 x) - 2 x + 6$	=
$\frac{- 24 x^{3} + 144 x^{2} - 216 x}{3 x - 8} - 4 x^{2} + 11 x^{2} + 10 x - 33 x - 2 x + 6 + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{- 24 x^{3} + 144 x^{2} - 216 x}{3 x - 8} - 4 x^{2} + 11 x^{2} + 10 x - 33 x - 2 x + 6 + 6$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{- 24 x^{3} + 144 x^{2} - 216 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) - 4 x^{2} \cdot (3 x - 8) + 11 x^{2} \cdot (3 x - 8) + 10 x \cdot (3 x - 8) - 33 x \cdot (3 x - 8) - 2 x \cdot (3 x - 8) + 6 \cdot (3 x - 8) + 6 \cdot (3 x - 8)$	=
$- 24 x^{3} + 144 x^{2} - 216 x - 4 x^{2} \cdot (3 x - 8) + 11 x^{2} \cdot (3 x - 8) + 10 x \cdot (3 x - 8) - 33 x \cdot (3 x - 8) - 2 x \cdot (3 x - 8) + 18 x - 48 + 18 x - 48$	=
$- 24 x^{3} + 144 x^{2} - 216 x + (- 12 x^{3} + 32 x^{2}) + (33 x^{3} - 88 x^{2}) + (30 x^{2} - 80 x) + (- 99 x^{2} + 264 x) + (- 6 x^{2} + 16 x) + 18 x - 48 + 18 x - 48$	=
$- 3 x^{3} + 13 x^{2} + 20 x - 96$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $- 3 x^{3} + 13 x^{2} + 20 x - 96$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 96$ .

$3$ ist eine Lösung, denn $- 3 \cdot 3^{3} + 13 \cdot 3^{2} + 20 \cdot 3 - 96$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $- 3 x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 96$ )	:	(x $- 3$ )	=	$- 3 x^{2} + 4 x + 32$
-( $- 3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$32 x$	$- 96$
		-( $32 x$	$- 96$ )
			0

es gilt also:

$- 3 x^{3} + 13 x^{2} + 20 x - 96$ = $(- 3 x^{2} + 4 x + 32) \cdot (x - 3)$

(- 3 x^{2} + 4 x + 32) \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x^{2} + 4 x + 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 32}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 384}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{400}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{400}}{- 6}$ = $\frac{- 4+20}{- 6}$ = $\frac{16}{- 6}$ = $- \frac{8}{3}$ ≈ -2.67

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{400}}{- 6}$ = $\frac{- 4-20}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 4 x + 32$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{32}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{32}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{32}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{96}{9}$ = $\frac{100}{9}$

x_1,2 = $\frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{100}{9}}$

x₁ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{10}{3}$ = $- \frac{8}{3}$ = -2.6666666666667

x₂ = $\frac{2}{3}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $- 3 \cdot 4^{3} + 13 \cdot 4^{2} + 20 \cdot 4 - 96$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $- 3 x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 96$ )	:	(x $- 4$ )	=	$- 3 x^{2} + x + 24$
-( $- 3 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $x^{2}$	$- 4 x$ )
		$24 x$	$- 96$
		-( $24 x$	$- 96$ )
			0

es gilt also:

$- 3 x^{3} + 13 x^{2} + 20 x - 96$ = $(- 3 x^{2} + x + 24) \cdot (x - 4)$

(- 3 x^{2} + x + 24) \cdot (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x^{2} + x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 24}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{289}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{- 1+17}{- 6}$ = $\frac{16}{- 6}$ = $- \frac{8}{3}$ ≈ -2.67

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{- 1-17}{- 6}$ = $\frac{- 18}{- 6}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + x + 24$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $8$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{288}{36}$ = $\frac{289}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{289}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{17}{6}$ = $- \frac{16}{6}$ = -2.6666666666667

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{17}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{8}{3}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{6}{x} \cdot x^{2} + \frac{9}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$6 x + 9$	=	$- x^{2}$

6 x + 9

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 3$ ± 0 = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 + \frac{2}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$2 + \frac{2}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$2 \cdot x + \frac{2}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$2 x + 2$	=	$x \cdot x + x$

2 x + 2

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} + x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{5 x - 1}{3 x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

\frac{9 x}{x - 2} + \frac{5 x - 1}{3 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{5 x - 1}{3 x} - 5$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{9 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{5 x - 1}{3 x} \cdot (x - 2) - 5 \cdot (x - 2)$	=
$9 x + \frac{(5 x - 1) \cdot (x - 2)}{3 x} - 5 x + 10$	=
$9 x + \frac{5 x^{2} - 11 x + 2}{3 x} - 5 x + 10$	=
$\frac{5 x^{2} - 11 x + 2}{3 x} + 9 x - 5 x + 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 2}{3 x} + 9 x - 5 x + 10$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{5 x^{2} - 11 x + 2}{3 x} \cdot 3 x + 9 x \cdot 3 x - 5 x \cdot 3 x + 10 \cdot 3 x$	=
$5 x^{2} - 11 x + 2 + 27 x \cdot x - 15 x \cdot x + 30 x$	=
$5 x^{2} - 11 x + 2 + 27 x^{2} - 15 x^{2} + 30 x$	=
$17 x^{2} + 19 x + 2$	=

$17 x^{2} + 19 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 17 \cdot 2}}{2 \cdot 17}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 136}}{34}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{225}}{34}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{225}}{34}$ = $\frac{- 19+15}{34}$ = $\frac{- 4}{34}$ = $- \frac{2}{17}$ ≈ -0.12

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{225}}{34}$ = $\frac{- 19-15}{34}$ = $\frac{- 34}{34}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $17$ " teilen:

$17 x^{2} + 19 x + 2$ = 0 |: $17$

$x^{2} + \frac{19}{17} x + \frac{2}{17}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{34})}^{2} - (\frac{2}{17})$ = $\frac{361}{1156}$ $-$ $\frac{2}{17}$ = $\frac{361}{1156}$ $-$ $\frac{136}{1156}$ = $\frac{225}{1156}$

x_1,2 = $- \frac{19}{34}$ ± $\sqrt{\frac{225}{1156}}$

x₁ = $- \frac{19}{34}$ - $\frac{15}{34}$ = $- \frac{34}{34}$ = -1

x₂ = $- \frac{19}{34}$ + $\frac{15}{34}$ = $- \frac{4}{34}$ = -0.11764705882353

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{2}{17}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{12}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{12}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{12}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 12$	=	$- x^{2}$
$a x - 12 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit $4$