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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{35}{x - 9}$ = $5$

D=R\{ $9$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 9$ weg!

$- \frac{35}{x - 9}$	=	$5$	\|⋅( $x - 9$ )
$- \frac{35}{x - 9} \cdot (x - 9)$	=	$5 \cdot (x - 9)$
$- 35$	=	$5 (x - 9)$

$- 35$	=	$5 x - 45$	\| $+ 35$ $- 5 x$
$- 5 x$	=	$- 10$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 40}{x + 1}$ = $- 2 x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{40}{x + 1}$	=	$- 2 x - 4$	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{40}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 2 x \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$
$- 40$	=	$- 2 x (x + 1) - 4 x - 4$
$- 40$	=	$- 2 x^{2} - 6 x - 4$

- 40

=

- 2 x^{2} - 6 x - 4

|

+ 2 x^{2}

+ 6 x

+ 4

2 x^{2} + 6 x - 36

= 0 |:2

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6}{x - 3} - 2 x$ = $- \frac{x}{2 x - 6}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{6}{x - 3} - 2 x$	=	$\frac{- x}{2 x - 6}$
$\frac{6}{x - 3} - 2 x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 3)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{6}{x - 3} - 2 x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 3)}$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{6}{x - 3} \cdot (2 (x - 3)) - 2 x \cdot (2 (x - 3))$	=	$\frac{- x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3))$
$12 - 4 x (x - 3)$	=	$- x$
$12 + (- 4 x^{2} + 12 x)$	=	$- x$
$- 4 x^{2} + 12 x + 12$	=	$- x$

- 4 x^{2} + 12 x + 12

=

- x

|

+ x

$- 4 x^{2} + 13 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 12}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 192}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{361}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{361}}{- 8}$ = $\frac{- 13+19}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{361}}{- 8}$ = $\frac{- 13-19}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 13 x + 12$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{13}{4} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{8})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $3$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $\frac{192}{64}$ = $\frac{361}{64}$

x_1,2 = $\frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{361}{64}}$

x₁ = $\frac{13}{8}$ - $\frac{19}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{13}{8}$ + $\frac{19}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6}{x^{2}}$ = $- 1 - \frac{5}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{6}{x^{2}}$	=	$- 1 - \frac{5}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{6}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{5}{x} \cdot x^{2}$
$6$	=	$- x^{2} - 5 x$

6

=

- x^{2} - 5 x

|

+ x^{2}

+ 5 x

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{27 x - 6}{4 x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{27 x - 6}{4 x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{27 x - 6}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 4 \cdot 4 x$
$27 x - 6$	=	$4 x \cdot x + 16 x$

27 x - 6

=

4 x^{2} + 16 x

|

- 4 x^{2}

- 16 x

$- 4 x^{2} + 11 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{- 8}$ = $\frac{- 11+5}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{- 8}$ = $\frac{- 11-5}{- 8}$ = $\frac{- 16}{- 8}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 11 x - 6$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{11}{4} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{8})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{121}{64}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{121}{64}$ $-$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{25}{64}$

x_1,2 = $\frac{11}{8}$ ± $\sqrt{\frac{25}{64}}$

x₁ = $\frac{11}{8}$ - $\frac{5}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{11}{8}$ + $\frac{5}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{x} + \frac{8 x}{x - 2} + \frac{- 42 x}{3 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

$\frac{8 x}{x - 2} + \frac{2 x - 2}{x} - \frac{42 x}{3 x - 6}$	=	0
$\frac{8 x}{x - 2} + \frac{2 x - 2}{x} - \frac{42 x}{3 (x - 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{8 x}{x - 2} + \frac{2 x - 2}{x} - \frac{42 x}{3 (x - 2)}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{8 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{2 x - 2}{x} \cdot (x - 2) - \frac{42 x}{3 (x - 2)} \cdot (x - 2)$	=
$8 x + \frac{(2 x - 2) (x - 2)}{x} - 14 x$	=
$8 x + \frac{2 x^{2} - 6 x + 4}{x} - 14 x$	=
$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4}{x} + 8 x - 14 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4}{x} + 8 x - 14 x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4}{x} \cdot x + 8 x \cdot x - 14 x \cdot x$	=
$2 x^{2} - 6 x + 4 + 8 x \cdot x - 14 x \cdot x$	=
$2 x^{2} - 6 x + 4 + 8 x^{2} - 14 x^{2}$	=
$- 4 x^{2} - 6 x + 4$	=

- 4 x^{2} - 6 x + 4

= 0 |:2

$- 2 x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 2}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{3+5}{- 4}$ = $\frac{8}{- 4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{3-5}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 3 x + 2$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $1$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $0,5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 3$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 3$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 3$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 3 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 3 x$	=	$- x^{2}$
$a - 3 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (2 + 1)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):