Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4 x}{x - 2}$ = $- 5$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 4 x}{x - 2}$	=	$- 5$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 4 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 5 \cdot (x - 2)$
$- \frac{4 x}{1}$	=	$- 5 (x - 2)$
$- 4 x$	=	$- 5 (x - 2)$

$- 4 x$	=	$- 5 x + 10$	\| $+ 5 x$
$x$	=	$10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $10$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{8 x}{2 x + 2} - \frac{174}{6 x + 6}$ = $1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

- \frac{8 x}{2 (x + 1)} - \frac{174}{6 (x + 1)}

=

1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{8 x}{2 (x + 1)} - \frac{174}{6 (x + 1)}$	=	$1$	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{8 x}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1) + \frac{- 174}{6 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=	$1 \cdot (x + 1)$
$- 4 x - 29$	=	$x + 1$

$- 4 x - 29$	=	$x + 1$	\| $+ 29$
$- 4 x$	=	$x + 30$	\| $- x$
$- 5 x$	=	$30$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x} + \frac{12 x}{- 2 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x} + \frac{12 x}{- 2 x - 2}$	=	0
$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x} + \frac{12 x}{- 2 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x} + \frac{12 x}{- 2 (x + 1)}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{5 x + 1}{3 x} \cdot (x + 1) + \frac{12 x}{- 2 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=
$2 x + \frac{(5 x + 1) \cdot (x + 1)}{3 x} - 6 x$	=
$2 x + \frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x} - 6 x$	=
$\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x} + 2 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x} + 2 x - 6 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + 2 x \cdot 3 x - 6 x \cdot 3 x$	=
$5 x^{2} + 6 x + 1 + 6 x \cdot x - 18 x \cdot x$	=
$5 x^{2} + 6 x + 1 + 6 x^{2} - 18 x^{2}$	=
$- 7 x^{2} + 6 x + 1$	=

$- 7 x^{2} + 6 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot 1}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{- 14}$ = $\frac{- 6+8}{- 14}$ = $\frac{2}{- 14}$ = $- \frac{1}{7}$ ≈ -0.14

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{- 14}$ = $\frac{- 6-8}{- 14}$ = $\frac{- 14}{- 14}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} + 6 x + 1$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} - \frac{6}{7} x - \frac{1}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{7})}^{2} - (- \frac{1}{7})$ = $\frac{9}{49}$ $+$ $\frac{1}{7}$ = $\frac{9}{49}$ $+$ $\frac{7}{49}$ = $\frac{16}{49}$

x_1,2 = $\frac{3}{7}$ ± $\sqrt{\frac{16}{49}}$

x₁ = $\frac{3}{7}$ - $\frac{4}{7}$ = $- \frac{1}{7}$ = -0.14285714285714

x₂ = $\frac{3}{7}$ + $\frac{4}{7}$ = $\frac{7}{7}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{7}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{12}{x} + \frac{20}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{12}{x} + \frac{20}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{12}{x} \cdot x^{2} + \frac{20}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 12 x + 20$	=	$- x^{2}$

- 12 x + 20

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 10 x + 2}{x - 3}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{- 10 x + 2}{x - 3}$	=	$4 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{- 10 x + 2}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$4 x \cdot (x - 3)$
$- 10 x + 2$	=	$4 x \cdot (x - 3)$
$- 10 x + 2$	=	$4 x^{2} - 12 x$

- 10 x + 2

=

4 x^{2} - 12 x

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

- 4 x^{2} + 2 x + 2

= 0 |:2

$- 2 x^{2} + x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 1}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 1+3}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 1-3}{- 4}$ = $\frac{- 4}{- 4}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + x + 1$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 8} + \frac{x}{2 x + 6} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{8}{3}$ }

$\frac{x}{2 x + 6} + \frac{x}{3 x + 8} - 3$	=	0
$\frac{x}{2 (x + 3)} + \frac{x}{3 x + 8} - 3$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 3)} + \frac{x}{3 x + 8} - 3$	=	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + \frac{x}{3 x + 8} \cdot (2 (x + 3)) - 3 \cdot (2 (x + 3))$	=
$x + 2 \frac{x \cdot (x + 3)}{3 x + 8} - 6 x - 18$	=
$x + \frac{2 (x^{2} + 3 x)}{3 x + 8} - 6 x - 18$	=
$\frac{2 (x^{2} + 3 x)}{3 x + 8} + x - 6 x - 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{2 (x^{2} + 3 x)}{3 x + 8} + x - 6 x - 18$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{2 (x^{2} + 3 x)}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + x \cdot (3 x + 8) - 6 x \cdot (3 x + 8) - 18 \cdot (3 x + 8)$	=
$2 x^{2} + 6 x + x \cdot (3 x + 8) - 6 x \cdot (3 x + 8) - 54 x - 144$	=
$2 x^{2} + 6 x + (3 x^{2} + 8 x) + (- 18 x^{2} - 48 x) - 54 x - 144$	=
$- 13 x^{2} - 88 x - 144$	=

$- 13 x^{2} - 88 x - 144$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 88 \pm \sqrt{{(- 88)}^{2} - 4 \cdot (- 13) \cdot (- 144)}}{2 \cdot (- 13)}$

x_1,2 = $\frac{+ 88 \pm \sqrt{7 744 - 7 488}}{- 26}$

x_1,2 = $\frac{+ 88 \pm \sqrt{256}}{- 26}$

x₁ = $\frac{88 + \sqrt{256}}{- 26}$ = $\frac{88+16}{- 26}$ = $\frac{104}{- 26}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{88 - \sqrt{256}}{- 26}$ = $\frac{88-16}{- 26}$ = $\frac{72}{- 26}$ = $- \frac{36}{13}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 13$ " teilen:

$- 13 x^{2} - 88 x - 144$ = 0 |: $- 13$

$x^{2} + \frac{88}{13} x + \frac{144}{13}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{44}{13})}^{2} - (\frac{144}{13})$ = $\frac{1936}{169}$ $-$ $\frac{144}{13}$ = $\frac{1936}{169}$ $-$ $\frac{1872}{169}$ = $\frac{64}{169}$

x_1,2 = $- \frac{44}{13}$ ± $\sqrt{\frac{64}{169}}$

x₁ = $- \frac{44}{13}$ - $\frac{8}{13}$ = $- \frac{52}{13}$ = -4

x₂ = $- \frac{44}{13}$ + $\frac{8}{13}$ = $- \frac{36}{13}$ = -2.7692307692308

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{36}{13}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{8}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{8}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{8}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{8}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$8 + a x$	=	$- x^{2}$
$8 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 4$ = 8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 4)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):