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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4}{x}$ = $\frac{7}{9}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4}{x}$	=	$\frac{7}{9}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{4}{x} \cdot x$	=	$\frac{7}{9} \cdot x$
$4$	=	$\frac{7}{9} x$

$4$	=	$\frac{7}{9} x$	\|⋅ 9
$36$	=	$7 x$	\| $- 36$ $- 7 x$
$- 7 x$	=	$- 36$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$\frac{36}{7}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{36}{7}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{8 x}{3 x + 3} - \frac{44}{6 x + 6}$ = $2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

- \frac{8 x}{3 (x + 1)} - \frac{44}{6 (x + 1)}

=

2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$- \frac{8 x}{3 (x + 1)} - \frac{44}{6 (x + 1)}$	=	$2$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$- \frac{8 x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + \frac{- 44}{6 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$	=	$2 \cdot (3 (x + 1))$
$- 8 x - 22$	=	$6 (x + 1)$

$- 8 x - 22$	=	$6 x + 6$	\| $+ 22$
$- 8 x$	=	$6 x + 28$	\| $- 6 x$
$- 14 x$	=	$28$	\|:( $- 14$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 2} + \frac{2}{x} + \frac{- 9 x}{6 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

$- \frac{9 x}{6 x - 6} + \frac{2 x}{2 x - 2} + \frac{2}{x}$	=	0
$- \frac{9 x}{6 (x - 1)} + \frac{2 x}{2 (x - 1)} + \frac{2}{x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$- \frac{9 x}{6 (x - 1)} + \frac{2 x}{2 (x - 1)} + \frac{2}{x}$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$- \frac{9 x}{6 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{2 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{2}{x} \cdot (2 (x - 1))$	=
$- 3 x + 2 x + 4 \frac{x - 1}{x}$	=
$\frac{4 (x - 1)}{x} - 3 x + 2 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4 (x - 1)}{x} - 3 x + 2 x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{4 (x - 1)}{x} \cdot x - 3 x \cdot x + 2 x \cdot x$	=
$4 x - 4 - 3 x \cdot x + 2 x \cdot x$	=
$4 x - 4 - 3 x^{2} + 2 x^{2}$	=
$- x^{2} + 4 x - 4$	=

$- x^{2} + 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $- 1 + \frac{30}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$- 1 + \frac{30}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{30}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x$	=	$- x^{2} + 30$

x

=

- x^{2} + 30

|

+ x^{2}

- 30

$x^{2} + x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 + \frac{3}{x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$6 + \frac{3}{x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $x$ )
$6 \cdot x + \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 4 \cdot x$
$6 x + 3$	=	$x \cdot x + 4 x$

6 x + 3

=

x^{2} + 4 x

|

- x^{2}

- 4 x

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x - 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x}{3 x - 1} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) - 4 \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x - 12 x + 4$	=
$- 4 x + 4$	=

$- 4 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 8$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 8$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 8$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 8 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + 8 x$	=	$- x^{2}$
$a + 8 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $- (2 - 10)$ = 8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 10)$ = $- 20$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -20 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

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Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):