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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7}{x}$ = $\frac{1}{7}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{7}{x}$	=	$\frac{1}{7}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{7}{x} \cdot x$	=	$\frac{1}{7} \cdot x$
$7$	=	$\frac{1}{7} x$

$7$	=	$\frac{1}{7} x$	\|⋅ 7
$49$	=	$x$	\| $- 49$ $- x$
$- x$	=	$- 49$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$49$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $49$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{x + 3} - x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

=	$- \frac{x}{x + 3} - x - 4$	\|⋅( $x + 3$ )
=	$- \frac{x}{x + 3} \cdot (x + 3) - x \cdot (x + 3) - 4 \cdot (x + 3)$
=	$- x - x (x + 3) - 4 x - 12$
=	$- x^{2} - 8 x - 12$

0

=

- x^{2} - 8 x - 12

|

+ x^{2}

+ 8 x

+ 12

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 4$ - $2$ = -6

x₂ = $- 4$ + $2$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $- \frac{x}{5 x - 20} - \frac{8,4}{x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$3 x$	=	$- \frac{x}{5 x - 20} - \frac{8,4}{x - 4}$
$3 x$	=	$- \frac{x}{5 (x - 4)} - \frac{8,4}{x - 4}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 4)$ weg!

$3 x$	=	$- \frac{x}{5 (x - 4)} - \frac{8,4}{x - 4}$	\|⋅( $5 (x - 4)$ )
$3 x \cdot (5 (x - 4))$	=	$- \frac{x}{5 (x - 4)} \cdot (5 (x - 4)) + \frac{- 8,4}{x - 4} \cdot (5 (x - 4))$
$15 x (x - 4)$	=	$- x - 42$
$15 x \cdot x + 15 x \cdot (- 4)$	=	$- x - 42$
$15 x \cdot x - 60 x$	=	$- x - 42$
$15 x^{2} - 60 x$	=	$- x - 42$

15 x^{2} - 60 x

=

- x - 42

|

+ x

+ 42

$15 x^{2} - 59 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 59 \pm \sqrt{{(- 59)}^{2} - 4 \cdot 15 \cdot 42}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{+ 59 \pm \sqrt{3 481 - 2 520}}{30}$

x_1,2 = $\frac{+ 59 \pm \sqrt{961}}{30}$

x₁ = $\frac{59 + \sqrt{961}}{30}$ = $\frac{59+31}{30}$ = $\frac{90}{30}$ = $3$

x₂ = $\frac{59 - \sqrt{961}}{30}$ = $\frac{59-31}{30}$ = $\frac{28}{30}$ = $\frac{14}{15}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $15$ " teilen:

$15 x^{2} - 59 x + 42$ = 0 |: $15$

$x^{2} - \frac{59}{15} x + \frac{14}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{59}{30})}^{2} - (\frac{14}{5})$ = $\frac{3481}{900}$ $-$ $\frac{14}{5}$ = $\frac{3481}{900}$ $-$ $\frac{2520}{900}$ = $\frac{961}{900}$

x_1,2 = $\frac{59}{30}$ ± $\sqrt{\frac{961}{900}}$

x₁ = $\frac{59}{30}$ - $\frac{31}{30}$ = $\frac{28}{30}$ = 0.93333333333333

x₂ = $\frac{59}{30}$ + $\frac{31}{30}$ = $\frac{90}{30}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{14}{15}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x - 60}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{4 x - 60}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{4 x - 60}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$4 x - 60$	=	$- x^{2}$

4 x - 60

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 4 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 4+16}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 4-16}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 60)$ = $4$ $+$ $60$ = $64$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $- 2$ - $8$ = -10

x₂ = $- 2$ + $8$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $\frac{- 3 x + 4}{x - 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$2 x$	=	$\frac{- 3 x + 4}{x - 5}$	\|⋅( $x - 5$ )
$2 x \cdot (x - 5)$	=	$\frac{- 3 x + 4}{x - 5} \cdot (x - 5)$
$2 x (x - 5)$	=	$- 3 x + 4$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot (- 5)$	=	$- 3 x + 4$
$2 x \cdot x - 10 x$	=	$- 3 x + 4$
$2 x^{2} - 10 x$	=	$- 3 x + 4$

2 x^{2} - 10 x

=

- 3 x + 4

|

+ 3 x

- 4

$2 x^{2} - 7 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{7+9}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{7-9}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x - 4$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $2$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{2 x - 2} + \frac{x + 3}{x} + \frac{- 16 x}{6 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $1$ }

$\frac{x + 3}{x} + \frac{3 x - 1}{2 x - 2} - \frac{16 x}{6 x - 6}$	=	0
$\frac{x + 3}{x} + \frac{3 x - 1}{2 (x - 1)} - \frac{16 x}{6 (x - 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x + 3}{x} + \frac{3 x - 1}{2 (x - 1)} - \frac{16 x}{6 (x - 1)}$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x + 3}{x} \cdot x + \frac{3 x - 1}{2 (x - 1)} \cdot x - \frac{16 x}{6 (x - 1)} \cdot x$	=
$x + 3 + \frac{(3 x - 1) x}{2 (x - 1)} - \frac{8 x \cdot x}{3 (x - 1)}$	=
$x + 3 + \frac{3 x^{2} - x}{2 (x - 1)} - \frac{8 x^{2}}{3 (x - 1)}$	=
$- \frac{8 x^{2}}{3 (x - 1)} + \frac{3 x^{2} - x}{2 (x - 1)} + x + 3$	=

- \frac{8 x^{2}}{3 (x - 1)} + \frac{3 x^{2} - x}{2 (x - 1)} + x + 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x - 1)$ weg!

$- \frac{8 x^{2}}{3 (x - 1)} + \frac{3 x^{2} - x}{2 (x - 1)} + x + 3$	=	\|⋅( $6 (x - 1)$ )
$- \frac{8 x^{2}}{3 (x - 1)} \cdot (6 (x - 1)) + \frac{3 x^{2} - x}{2 (x - 1)} \cdot (6 (x - 1)) + x \cdot (6 (x - 1)) + 3 \cdot (6 (x - 1))$	=
$- 16 x^{2} + 9 x^{2} - 3 x + 6 x (x - 1) + 18 x - 18$	=
$- 16 x^{2} + 9 x^{2} - 3 x + (6 x^{2} - 6 x) + 18 x - 18$	=
$- x^{2} + 9 x - 18$	=

$- x^{2} + 9 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 9+3}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 9-3}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{8}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{8}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{8}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{8}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$8$
$a x + x^{2} - 8$	=	0
$x^{2} + a x - 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 4)$ = -8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 4)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):