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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{28}{x - 7}$ = $- 4$

D=R\{ $7$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 7$ weg!

$- \frac{28}{x - 7}$	=	$- 4$	\|⋅( $x - 7$ )
$- \frac{28}{x - 7} \cdot (x - 7)$	=	$- 4 \cdot (x - 7)$
$- 28$	=	$- 4 (x - 7)$

$- 28$	=	$- 4 x + 28$	\| $+ 28$ $+ 4 x$
$4 x$	=	$56$	\|: $4$
$x$	=	$14$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $14$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 9} - \frac{7}{x + 9}$ = $\frac{126}{x^{2} - 81}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 9$ ; $9$ }

\frac{x}{x - 9} - \frac{7}{x + 9}

=

\frac{126}{(x + 9) \cdot (x - 9)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 9) \cdot (x - 9)$ weg!

$\frac{x}{x - 9} - \frac{7}{x + 9}$	=	$\frac{126}{(x + 9) \cdot (x - 9)}$	\|⋅( $(x + 9) \cdot (x - 9)$ )
$\frac{x}{x - 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9) - \frac{7}{x + 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$	=	$\frac{126}{(x + 9) \cdot (x - 9)} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$
$x (x + 9) - 7 x + 63$	=	$126 \frac{x + 9}{x + 9}$
$x (x + 9) - 7 x + 63$	=	$126$
$x^{2} + 9 x - 7 x + 63$	=	$126$
$x^{2} + 2 x + 63$	=	$126$

x^{2} + 2 x + 63

=

126

|

- 126

$x^{2} + 2 x - 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 2+16}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 2-16}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösung x= $- 9$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 5} + \frac{- 6,4}{x + 1} + x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{5 x + 5} - \frac{6,4}{x + 1} + x$	=	0
$\frac{x}{5 (x + 1)} - \frac{6,4}{x + 1} + x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 1)} - \frac{6,4}{x + 1} + x$	=	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) + \frac{- 6,4}{x + 1} \cdot (5 (x + 1)) + x \cdot (5 (x + 1))$	=
$x - 32 + 5 x (x + 1)$	=
$x - 32 + (5 x^{2} + 5 x)$	=
$5 x^{2} + 6 x - 32$	=

$5 x^{2} + 6 x - 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 640}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{676}}{10}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{676}}{10}$ = $\frac{- 6+26}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{676}}{10}$ = $\frac{- 6-26}{10}$ = $\frac{- 32}{10}$ = $- 3,2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,2$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{2}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{3}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$2 x - 3$	=	$- x^{2}$

2 x - 3

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$13 - \frac{16}{x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$13 - \frac{16}{x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $x$ )
$13 \cdot x - \frac{16}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 3 \cdot x$
$13 x - 16$	=	$x \cdot x + 3 x$

13 x - 16

=

x^{2} + 3 x

|

- x^{2}

- 3 x

$- x^{2} + 10 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 10+6}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 10-6}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x}{x + 2} + \frac{12 x}{3 x + 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $- 2$ }

\frac{12 x}{3 x + 1} + \frac{9 x}{x + 2} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{12 x}{3 x + 1} + \frac{9 x}{x + 2} - 6$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{12 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{9 x}{x + 2} \cdot (3 x + 1) - 6 \cdot (3 x + 1)$	=
$12 x + \frac{9 x (3 x + 1)}{x + 2} - 18 x - 6$	=
$12 x + \frac{27 x^{2} + 9 x}{x + 2} - 18 x - 6$	=
$\frac{27 x^{2} + 9 x}{x + 2} + 12 x - 18 x - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{27 x^{2} + 9 x}{x + 2} + 12 x - 18 x - 6$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{27 x^{2} + 9 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 12 x \cdot (x + 2) - 18 x \cdot (x + 2) - 6 \cdot (x + 2)$	=
$27 x^{2} + 9 x + 12 x (x + 2) - 18 x (x + 2) - 6 x - 12$	=
$27 x^{2} + 9 x + (12 x^{2} + 24 x) + (- 18 x^{2} - 36 x) - 6 x - 12$	=
$21 x^{2} - 9 x - 12$	=

21 x^{2} - 9 x - 12

= 0 |:3

$7 x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{14}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{14}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{14}$ = $\frac{3+11}{14}$ = $\frac{14}{14}$ = $1$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{14}$ = $\frac{3-11}{14}$ = $\frac{- 8}{14}$ = $- \frac{4}{7}$ ≈ -0.57

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{7}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{8}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{8}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{8}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{8}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$8$
$x^{2} + a x - 8$	=	0
$x^{2} + a x - 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 4)$ = -8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 4)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $2$ }

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Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter