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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{- 9 x + 13}{2 x - 5}$ = $5$

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{- 9 x + 13}{2 x - 5}$	=	$5$	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{- 9 x + 13}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5)$	=	$5 \cdot (2 x - 5)$
$- 9 x + 13$	=	$5 (2 x - 5)$

$- 9 x + 13$	=	$10 x - 25$	\| $- 13$
$- 9 x$	=	$10 x - 38$	\| $- 10 x$
$- 19 x$	=	$- 38$	\|:( $- 19$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 9} + \frac{6}{x - 9}$ = $\frac{108}{x^{2} - 81}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 9$ ; $9$ }

\frac{x}{x + 9} + \frac{6}{x - 9}

=

\frac{108}{(x + 9) \cdot (x - 9)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 9) \cdot (x - 9)$ weg!

$\frac{x}{x + 9} + \frac{6}{x - 9}$	=	$\frac{108}{(x + 9) \cdot (x - 9)}$	\|⋅( $(x + 9) \cdot (x - 9)$ )
$\frac{x}{x + 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9) + \frac{6}{x - 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$	=	$\frac{108}{(x + 9) \cdot (x - 9)} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$
$x \cdot (x - 9) + 6 x + 54$	=	$108 \frac{x + 9}{x + 9}$
$x \cdot (x - 9) + 6 x + 54$	=	$108$
$x^{2} - 9 x + 6 x + 54$	=	$108$
$x^{2} - 3 x + 54$	=	$108$

x^{2} - 3 x + 54

=

108

|

- 108

$x^{2} - 3 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3+15}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3-15}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 54)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $54$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Lösung x= $9$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 10}$ = $- \frac{31,6}{x + 2} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{5 x + 10}$	=	$- \frac{31,6}{x + 2} + 4 x$
$\frac{x}{5 (x + 2)}$	=	$- \frac{31,6}{x + 2} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 2)}$	=	$- \frac{31,6}{x + 2} + 4 x$	\|⋅( $5 (x + 2)$ )
$\frac{x}{5 (x + 2)} \cdot (5 (x + 2))$	=	$\frac{- 31,6}{x + 2} \cdot (5 (x + 2)) + 4 x \cdot (5 (x + 2))$
$x$	=	$- 158 + 20 x \cdot (x + 2)$
$x$	=	$20 x^{2} + 40 x - 158$

x

=

20 x^{2} + 40 x - 158

|

- 20 x^{2}

- 40 x

+ 158

$- 20 x^{2} - 39 x + 158$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{{(- 39)}^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot 158}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{1 521 + 12 640}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{14 161}}{- 40}$

x₁ = $\frac{39 + \sqrt{14 161}}{- 40}$ = $\frac{39+119}{- 40}$ = $\frac{158}{- 40}$ = $- 3,95$

x₂ = $\frac{39 - \sqrt{14 161}}{- 40}$ = $\frac{39-119}{- 40}$ = $\frac{- 80}{- 40}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} - 39 x + 158$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} + \frac{39}{20} x - \frac{79}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{39}{40})}^{2} - (- \frac{79}{10})$ = $\frac{1521}{1600}$ $+$ $\frac{79}{10}$ = $\frac{1521}{1600}$ $+$ $\frac{12640}{1600}$ = $\frac{14161}{1600}$

x_1,2 = $- \frac{39}{40}$ ± $\sqrt{\frac{14161}{1600}}$

x₁ = $- \frac{39}{40}$ - $\frac{119}{40}$ = $- \frac{158}{40}$ = -3.95

x₂ = $- \frac{39}{40}$ + $\frac{119}{40}$ = $\frac{80}{40}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,95$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{64}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{64}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{64}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2}$	=	$64$

$x^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
x₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- x - 2}{4 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- x - 2}{4 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- x - 2}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 2 \cdot 4 x$
$- x - 2$	=	$4 x \cdot x + 8 x$

- x - 2

=

4 x^{2} + 8 x

|

- 4 x^{2}

- 8 x

$- 4 x^{2} - 9 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{- 8}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{9+7}{- 8}$ = $\frac{16}{- 8}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{9-7}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 9 x - 2$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{9}{4} x + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{8})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{81}{64}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{81}{64}$ $-$ $\frac{32}{64}$ = $\frac{49}{64}$

x_1,2 = $- \frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{49}{64}}$

x₁ = $- \frac{9}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{9}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{2 x - 2} + \frac{3 x - 1}{x + 1} + \frac{8 x}{- 4 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

$\frac{3 x - 1}{x + 1} + \frac{x + 1}{2 x - 2} + \frac{8 x}{- 4 x + 4}$	=	0
$\frac{3 x - 1}{x + 1} + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} + \frac{8 x}{4 (- x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x - 1}{x + 1} + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} + \frac{8 x}{4 (- x + 1)}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x - 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} \cdot (x + 1) + \frac{8 x}{4 (- x + 1)} \cdot (x + 1)$	=
$3 x - 1 + \frac{(x + 1) \cdot (x + 1)}{2 (x - 1)} + \frac{2 x \cdot (x + 1)}{- x + 1}$	=
$3 x - 1 + \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 (x - 1)} + \frac{2 x^{2} + 2 x}{- x + 1}$	=
$\frac{2 x^{2} + 2 x}{- x + 1} + \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 (x - 1)} + 3 x - 1$	=

\frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 (x - 1)} + \frac{2 x^{2} + 2 x}{- x + 1} + 3 x - 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 (x - 1)} + \frac{2 x^{2} + 2 x}{- x + 1} + 3 x - 1$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{2 x^{2} + 2 x}{- x + 1} \cdot (2 (x - 1)) + 3 x \cdot (2 (x - 1)) - 1 \cdot (2 (x - 1))$	=
$x^{2} + 2 x + 1 + 2 \frac{(2 x^{2} + 2 x) \cdot (x - 1)}{- x + 1} + 6 x \cdot (x - 1) - 2 x + 2$	=
$x^{2} + 2 x + 1 - 4 x \cdot (x + 1) + 6 x \cdot (x - 1) - 2 x + 2$	=
$x^{2} + 2 x + 1 + (- 4 x^{2} - 4 x) + (6 x^{2} - 6 x) - 2 x + 2$	=
$3 x^{2} - 10 x + 3$	=

$3 x^{2} - 10 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{10+8}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{10-8}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 10 x + 3$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{10}{3} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{3})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $\frac{9}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $\frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $\frac{5}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{5}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{18}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{18}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$18$
$a x + x^{2} - 18$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):