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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4}{x}$ = $- \frac{8}{7}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4}{x}$	=	$- \frac{8}{7}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{4}{x} \cdot x$	=	$- \frac{8}{7} \cdot x$
$4$	=	$- \frac{8}{7} x$

$4$	=	$- \frac{8}{7} x$	\|⋅ 7
$28$	=	$- 8 x$	\| $- 28$ $+ 8 x$
$8 x$	=	$- 28$	\|: $8$
$x$	=	$- \frac{7}{2}$ = -3.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{7}{2}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x}{x + 4} + x$ = $2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{5 x}{x + 4} + x$	=	$2$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{5 x}{x + 4} \cdot (x + 4) + x \cdot (x + 4)$	=	$2 \cdot (x + 4)$
$5 x + x \cdot (x + 4)$	=	$2 (x + 4)$
$5 x + (x^{2} + 4 x)$	=	$2 (x + 4)$
$x^{2} + 9 x$	=	$2 x + 8$

x^{2} + 9 x

=

2 x + 8

|

- 2 x

- 8

$x^{2} + 7 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 3} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{4 x}{2 x + 3} - 4$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{4 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) - 4 \cdot (2 x + 3)$	=
$4 x - 8 x - 12$	=
$- 4 x - 12$	=

$- 4 x - 12$	=	0	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{4}{x} + \frac{32}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{4}{x} + \frac{32}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{4}{x} \cdot x^{2} + \frac{32}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$4 x + 32$

x^{2}

=

4 x + 32

|

- 4 x

- 32

$x^{2} - 4 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4+12}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4-12}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 32)$ = $4$ $+$ $32$ = $36$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $2$ - $6$ = -4

x₂ = $2$ + $6$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 + \frac{1}{x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$3 + \frac{1}{x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $x$ )
$3 \cdot x + \frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 3 \cdot x$
$3 x + 1$	=	$x \cdot x + 3 x$

$3 x + 1$	=	$x^{2} + 3 x$	\| $- 1$ $- x^{2}$ $- 3 x$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{x - 1} + \frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{- 36 x}{9 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; $1$ }

$\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{5 x + 1}{x - 1} - \frac{36 x}{9 x + 6}$	=	0
$\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{5 x + 1}{x - 1} - \frac{36 x}{3 (3 x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{5 x + 1}{x - 1} - \frac{36 x}{3 (3 x + 2)}$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{6 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{5 x + 1}{x - 1} \cdot (3 x + 2) - \frac{36 x}{3 (3 x + 2)} \cdot (3 x + 2)$	=
$6 x + \frac{(5 x + 1) \cdot (3 x + 2)}{x - 1} - 12 x$	=
$6 x + \frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{x - 1} - 12 x$	=
$\frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{x - 1} + 6 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{x - 1} + 6 x - 12 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{x - 1} \cdot (x - 1) + 6 x \cdot (x - 1) - 12 x \cdot (x - 1)$	=
$15 x^{2} + 13 x + 2 + 6 x \cdot (x - 1) - 12 x \cdot (x - 1)$	=
$15 x^{2} + 13 x + 2 + (6 x^{2} - 6 x) + (- 12 x^{2} + 12 x)$	=
$9 x^{2} + 19 x + 2$	=

$9 x^{2} + 19 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 72}}{18}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{289}}{18}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{289}}{18}$ = $\frac{- 19+17}{18}$ = $\frac{- 2}{18}$ = $- \frac{1}{9}$ ≈ -0.11

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{289}}{18}$ = $\frac{- 19-17}{18}$ = $\frac{- 36}{18}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} + 19 x + 2$ = 0 |: $9$

$x^{2} + \frac{19}{9} x + \frac{2}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{18})}^{2} - (\frac{2}{9})$ = $\frac{361}{324}$ $-$ $\frac{2}{9}$ = $\frac{361}{324}$ $-$ $\frac{72}{324}$ = $\frac{289}{324}$

x_1,2 = $- \frac{19}{18}$ ± $\sqrt{\frac{289}{324}}$

x₁ = $- \frac{19}{18}$ - $\frac{17}{18}$ = $- \frac{36}{18}$ = -2

x₂ = $- \frac{19}{18}$ + $\frac{17}{18}$ = $- \frac{2}{18}$ = -0.11111111111111

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{9}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 10 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 10 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 10 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 10 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 10 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 10 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 8 würde es funktionieren, denn $- (2 + 8)$ = -10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 8$ = $16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

L={ $2$ ; $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):