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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{- 4 x + 36}{2 x - 4}$ = $- 4$

D=R\{ $2$ }

\frac{- 4 x + 36}{2 (x - 2)}

=

- 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{- 4 x + 36}{2 (x - 2)}$	=	$- 4$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{- 4 x + 36}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2))$	=	$- 4 \cdot (2 (x - 2))$
$- 4 x + 36$	=	$- 8 (x - 2)$

$- 4 x + 36$	=	$- 8 x + 16$	\| $- 36$
$- 4 x$	=	$- 8 x - 20$	\| $+ 8 x$
$4 x$	=	$- 20$	\|: $4$
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{- 1}{2 x + 5} - 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

x

=

\frac{1}{2 x + 5} - 3

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$x$	=	$\frac{1}{2 x + 5} - 3$	\|⋅( $2 x + 5$ )
$x \cdot (2 x + 5)$	=	$\frac{1}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) - 3 \cdot (2 x + 5)$
$x \cdot (2 x + 5)$	=	$1 - 6 x - 15$
$x \cdot 2 x + x \cdot 5$	=	$1 - 6 x - 15$
$2 x \cdot x + 5 x$	=	$1 - 6 x - 15$
$2 x^{2} + 5 x$	=	$- 6 x - 14$

2 x^{2} + 5 x

=

- 6 x - 14

|

+ 6 x

+ 14

$2 x^{2} + 11 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 11+3}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 11-3}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x + 14$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - 7$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $7$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{112}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,5$ ; $- 2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 10} + \frac{3 x - 4}{x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{10}{3}$ ; 0}

\frac{x}{3 x + 10} + \frac{3 x - 4}{x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{x}{3 x + 10} + \frac{3 x - 4}{x} - 6$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{x}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + \frac{3 x - 4}{x} \cdot (3 x + 10) - 6 \cdot (3 x + 10)$	=
$x + \frac{(3 x - 4) \cdot (3 x + 10)}{x} - 18 x - 60$	=
$x + \frac{9 x^{2} + 18 x - 40}{x} - 18 x - 60$	=
$\frac{9 x^{2} + 18 x - 40}{x} + x - 18 x - 60$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9 x^{2} + 18 x - 40}{x} + x - 18 x - 60$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{9 x^{2} + 18 x - 40}{x} \cdot x + x \cdot x - 18 x \cdot x - 60 \cdot x$	=
$9 x^{2} + 18 x - 40 + x \cdot x - 18 x \cdot x - 60 x$	=
$9 x^{2} + 18 x - 40 + x^{2} - 18 x^{2} - 60 x$	=
$- 8 x^{2} - 42 x - 40$	=

- 8 x^{2} - 42 x - 40

= 0 |:2

$- 4 x^{2} - 21 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 320}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{121}}{- 8}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{21+11}{- 8}$ = $\frac{32}{- 8}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{21-11}{- 8}$ = $\frac{10}{- 8}$ = $- 1,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 21 x - 20$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{21}{4} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{8})}^{2} - 5$ = $\frac{441}{64}$ $-$ $5$ = $\frac{441}{64}$ $-$ $\frac{320}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $- \frac{21}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $- \frac{21}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $- \frac{32}{8}$ = -4

x₂ = $- \frac{21}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $- \frac{10}{8}$ = -1.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1,25$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{2 x - 80}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{2 x - 80}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{2 x - 80}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$2 x - 80$

- x^{2}

=

2 x - 80

|

- 2 x

+ 80

$- x^{2} - 2 x + 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 80}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 320}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{324}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{324}}{- 2}$ = $\frac{2+18}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{324}}{- 2}$ = $\frac{2-18}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 80$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 80$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 80)$ = $1$ $+$ $80$ = $81$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{81}$

x₁ = $- 1$ - $9$ = -10

x₂ = $- 1$ + $9$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 4$ = $9 + \frac{6}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 4$	=	$9 + \frac{6}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 4 \cdot x$	=	$9 \cdot x + \frac{6}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 4 x$	=	$9 x + 6$
$x^{2} + 4 x$	=	$9 x + 6$

x^{2} + 4 x

=

9 x + 6

|

- 9 x

- 6

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{3 x - 9} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{x - 1}{3 (x - 3)} - 1

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{x - 1}{3 (x - 3)} - 1$	=	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{x - 1}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) - 1 \cdot (3 (x - 3))$	=
$x - 1 - 3 x + 9$	=
$- 2 x + 8$	=

$- 2 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 7 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 7 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 7 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 7 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 7 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 7 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $- (2 + 5)$ = -7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 5$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):