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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{5}{x}$ = $1$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{5}{x}$	=	$1$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{5}{x} \cdot x$	=	$1 \cdot x$
$- 5$	=	$x$

$- 5$	=	$x$	\| $+ 5$ $- x$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 8} + \frac{10}{x + 8}$ = $\frac{239}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x - 8} + \frac{10}{x + 8}

=

\frac{239}{(x + 8) \cdot (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) \cdot (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x - 8} + \frac{10}{x + 8}$	=	$\frac{239}{(x + 8) \cdot (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) \cdot (x - 8)$ )
$\frac{x}{x - 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8) + \frac{10}{x + 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$	=	$\frac{239}{(x + 8) \cdot (x - 8)} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$
$x \cdot (x + 8) + 10 x - 80$	=	$239 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x \cdot (x + 8) + 10 x - 80$	=	$239$
$x^{2} + 8 x + 10 x - 80$	=	$239$
$x^{2} + 18 x - 80$	=	$239$

x^{2} + 18 x - 80

=

239

|

- 239

$x^{2} + 18 x - 319$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 319)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 + 1 276}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{1 600}}{2}$

x₁ = $\frac{- 18 + \sqrt{1 600}}{2}$ = $\frac{- 18+40}{2}$ = $\frac{22}{2}$ = $11$

x₂ = $\frac{- 18 - \sqrt{1 600}}{2}$ = $\frac{- 18-40}{2}$ = $\frac{- 58}{2}$ = $- 29$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $9^{2} - (- 319)$ = $81$ $+$ $319$ = $400$

x_1,2 = $- 9$ ± $\sqrt{400}$

x₁ = $- 9$ - $20$ = -29

x₂ = $- 9$ + $20$ = 11

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 29$ ; $11$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 20}$ = $- \frac{8,4}{x + 4} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{x}{5 x + 20}$	=	$- \frac{8,4}{x + 4} - 2 x$
$\frac{x}{5 (x + 4)}$	=	$- \frac{8,4}{x + 4} - 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 4)}$	=	$- \frac{8,4}{x + 4} - 2 x$	\|⋅( $5 (x + 4)$ )
$\frac{x}{5 (x + 4)} \cdot (5 (x + 4))$	=	$\frac{- 8,4}{x + 4} \cdot (5 (x + 4)) - 2 x \cdot (5 (x + 4))$
$x$	=	$- 42 - 10 x \cdot (x + 4)$
$x$	=	$- 10 x^{2} - 40 x - 42$

x

=

- 10 x^{2} - 40 x - 42

|

+ 10 x^{2}

+ 40 x

+ 42

$10 x^{2} + 41 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{41^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 42}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{1 681 - 1 680}}{20}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{1}}{20}$

x₁ = $\frac{- 41 + \sqrt{1}}{20}$ = $\frac{- 41+1}{20}$ = $\frac{- 40}{20}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 41 - \sqrt{1}}{20}$ = $\frac{- 41-1}{20}$ = $\frac{- 42}{20}$ = $- 2,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $10$ " teilen:

$10 x^{2} + 41 x + 42$ = 0 |: $10$

$x^{2} + \frac{41}{10} x + \frac{21}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{41}{20})}^{2} - (\frac{21}{5})$ = $\frac{1681}{400}$ $-$ $\frac{21}{5}$ = $\frac{1681}{400}$ $-$ $\frac{1680}{400}$ = $\frac{1}{400}$

x_1,2 = $- \frac{41}{20}$ ± $\sqrt{\frac{1}{400}}$

x₁ = $- \frac{41}{20}$ - $\frac{1}{20}$ = $- \frac{42}{20}$ = -2.1

x₂ = $- \frac{41}{20}$ + $\frac{1}{20}$ = $- \frac{40}{20}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,1$ ; $- 2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{- 10 x + 25}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{- 10 x + 25}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{- 10 x + 25}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$- 10 x + 25$

- x^{2}

=

- 10 x + 25

|

+ 10 x

- 25

$- x^{2} + 10 x - 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 25)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 25$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $5$ ± 0 = $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$11 - \frac{18}{x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$11 - \frac{18}{x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $x$ )
$11 \cdot x - \frac{18}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 2 \cdot x$
$11 x - 18$	=	$x \cdot x + 2 x$

11 x - 18

=

x^{2} + 2 x

|

- x^{2}

- 2 x

$- x^{2} + 9 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 9+3}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 9-3}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 2}{2 x} + \frac{4 x}{3 x - 2} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{5 x + 2}{2 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{5 x + 2}{2 x} - 5$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{4 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + \frac{5 x + 2}{2 x} \cdot (3 x - 2) - 5 \cdot (3 x - 2)$	=
$4 x + \frac{(5 x + 2) \cdot (3 x - 2)}{2 x} - 15 x + 10$	=
$4 x + \frac{15 x^{2} - 4 x - 4}{2 x} - 15 x + 10$	=
$\frac{15 x^{2} - 4 x - 4}{2 x} + 4 x - 15 x + 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{15 x^{2} - 4 x - 4}{2 x} + 4 x - 15 x + 10$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{15 x^{2} - 4 x - 4}{2 x} \cdot 2 x + 4 x \cdot 2 x - 15 x \cdot 2 x + 10 \cdot 2 x$	=
$15 x^{2} - 4 x - 4 + 8 x \cdot x - 30 x \cdot x + 20 x$	=
$15 x^{2} - 4 x - 4 + 8 x^{2} - 30 x^{2} + 20 x$	=
$- 7 x^{2} + 16 x - 4$	=

$- 7 x^{2} + 16 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 112}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{144}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{144}}{- 14}$ = $\frac{- 16+12}{- 14}$ = $\frac{- 4}{- 14}$ = $\frac{2}{7}$ ≈ 0.29

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{144}}{- 14}$ = $\frac{- 16-12}{- 14}$ = $\frac{- 28}{- 14}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} + 16 x - 4$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} - \frac{16}{7} x + \frac{4}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{7})}^{2} - (\frac{4}{7})$ = $\frac{64}{49}$ $-$ $\frac{4}{7}$ = $\frac{64}{49}$ $-$ $\frac{28}{49}$ = $\frac{36}{49}$

x_1,2 = $\frac{8}{7}$ ± $\sqrt{\frac{36}{49}}$

x₁ = $\frac{8}{7}$ - $\frac{6}{7}$ = $\frac{2}{7}$ = 0.28571428571429

x₂ = $\frac{8}{7}$ + $\frac{6}{7}$ = $\frac{14}{7}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{7}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $5$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $5$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$5$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$5 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$5 x$
$a + x^{2} - 5 x$	=	0
$x^{2} - 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $- (2 + 3)$ = -5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 3$ = $6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):