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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{10}{x - 8}$ = $5$

D=R\{ $8$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 8$ weg!

$\frac{10}{x - 8}$	=	$5$	\|⋅( $x - 8$ )
$\frac{10}{x - 8} \cdot (x - 8)$	=	$5 \cdot (x - 8)$
$10$	=	$5 (x - 8)$

$10$	=	$5 x - 40$	\| $- 10$ $- 5 x$
$- 5 x$	=	$- 50$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $10$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{46}{6 x + 4}$ = $1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ }

- \frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{46}{2 (3 x + 2)}

=

1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$- \frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{46}{2 (3 x + 2)}$	=	$1$	\|⋅( $3 x + 2$ )
$- \frac{4 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{46}{2 (3 x + 2)} \cdot (3 x + 2)$	=	$1 \cdot (3 x + 2)$
$- 4 x + 23$	=	$3 x + 2$

$- 4 x + 23$	=	$3 x + 2$	\| $- 23$
$- 4 x$	=	$3 x - 21$	\| $- 3 x$
$- 7 x$	=	$- 21$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{3 x - 12} - \frac{110}{3 x - 12} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

0	=	$- \frac{x}{3 x - 12} - \frac{110}{3 x - 12} + 3 x$
0	=	$- \frac{x}{3 (x - 4)} - \frac{110}{3 (x - 4)} + 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 4)$ weg!

=	$- \frac{x}{3 (x - 4)} - \frac{110}{3 (x - 4)} + 3 x$	\|⋅( $3 (x - 4)$ )
=	$- \frac{x}{3 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4)) - \frac{110}{3 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4)) + 3 x \cdot (3 (x - 4))$
=	$- x - 110 + 9 x (x - 4)$
=	$9 x^{2} - 37 x - 110$

0

=

9 x^{2} - 37 x - 110

|

- 9 x^{2}

+ 37 x

+ 110

$- 9 x^{2} + 37 x + 110$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot 110}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 + 3 960}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{5 329}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{5 329}}{- 18}$ = $\frac{- 37+73}{- 18}$ = $\frac{36}{- 18}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{5 329}}{- 18}$ = $\frac{- 37-73}{- 18}$ = $\frac{- 110}{- 18}$ = $\frac{55}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} + 37 x + 110$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} - \frac{37}{9} x - \frac{110}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{37}{18})}^{2} - (- \frac{110}{9})$ = $\frac{1369}{324}$ $+$ $\frac{110}{9}$ = $\frac{1369}{324}$ $+$ $\frac{3960}{324}$ = $\frac{5329}{324}$

x_1,2 = $\frac{37}{18}$ ± $\sqrt{\frac{5329}{324}}$

x₁ = $\frac{37}{18}$ - $\frac{73}{18}$ = $- \frac{36}{18}$ = -2

x₂ = $\frac{37}{18}$ + $\frac{73}{18}$ = $\frac{110}{18}$ = 6.1111111111111

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{55}{9}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x - 18}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{7 x - 18}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{7 x - 18}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$7 x - 18$	=	$- x^{2}$

7 x - 18

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{19 x - 18}{2 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{19 x - 18}{2 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{19 x - 18}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x$
$19 x - 18$	=	$2 x \cdot x + 4 x$

19 x - 18

=

2 x^{2} + 4 x

|

- 2 x^{2}

- 4 x

$- 2 x^{2} + 15 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{- 15+9}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{- 15-9}{- 4}$ = $\frac{- 24}{- 4}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 15 x - 18$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{15}{2} x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{4})}^{2} - 9$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $9$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{144}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $\frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $\frac{15}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{15}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x + 2}{x + 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

\frac{2 x + 2}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x + 2}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 6$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x + 2}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot (x + 2) - 6 \cdot (x + 2)$	=
$2 x + 2 + \frac{(2 x - 1) (x + 2)}{x + 1} - 6 x - 12$	=
$2 x + 2 + \frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x + 1} - 6 x - 12$	=
$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x + 1} + 2 x - 6 x + 2 - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x + 1} + 2 x - 6 x + 2 - 12$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x + 1} \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) - 6 x \cdot (x + 1) + 2 \cdot (x + 1) - 12 \cdot (x + 1)$	=
$2 x^{2} + 3 x - 2 + 2 x (x + 1) - 6 x (x + 1) + 2 x + 2 - 12 x - 12$	=
$2 x^{2} + 3 x - 2 + (2 x^{2} + 2 x) + (- 6 x^{2} - 6 x) + 2 x + 2 - 12 x - 12$	=
$- 2 x^{2} - 11 x - 12$	=

$- 2 x^{2} - 11 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{11+5}{- 4}$ = $\frac{16}{- 4}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{11-5}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 11 x - 12$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - 6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1,5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{24}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{24}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{24}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{24}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 24$	=	$- x^{2}$
$a x - 24 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 12)$ = -24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 12)$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):