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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7}{x}$ = $\frac{3}{8}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{7}{x}$	=	$\frac{3}{8}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{7}{x} \cdot x$	=	$\frac{3}{8} \cdot x$
$- 7$	=	$\frac{3}{8} x$

$- 7$	=	$\frac{3}{8} x$	\|⋅ 8
$- 56$	=	$3 x$	\| $+ 56$ $- 3 x$
$- 3 x$	=	$56$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- \frac{56}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{56}{3}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2 x}{x - 3} + \frac{6}{3 x - 9}$ = $4$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{2 x}{x - 3} + \frac{6}{3 (x - 3)}

=

4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{x - 3} + \frac{6}{3 (x - 3)}$	=	$4$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{2 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{6}{3 (x - 3)} \cdot (x - 3)$	=	$4 \cdot (x - 3)$
$2 x + 2$	=	$4 (x - 3)$

$2 x + 2$	=	$4 x - 12$	\| $- 2$
$2 x$	=	$4 x - 14$	\| $- 4 x$
$- 2 x$	=	$- 14$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{3 x + 5} + \frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{10 x}{- 4 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; $- \frac{5}{3}$ }

$\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} + \frac{10 x}{- 4 x - 6}$	=	0
$\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} + \frac{10 x}{- 2 (2 x + 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} + \frac{10 x}{- 2 (2 x + 3)}$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{3 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} \cdot (2 x + 3) + \frac{10 x}{- 2 (2 x + 3)} \cdot (2 x + 3)$	=
$3 x + \frac{(3 x + 1) (2 x + 3)}{3 x + 5} - 5 x$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} + 11 x + 3}{3 x + 5} - 5 x$	=
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 3}{3 x + 5} + 3 x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 11 x + 3}{3 x + 5} + 3 x - 5 x$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 3}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + 3 x \cdot (3 x + 5) - 5 x \cdot (3 x + 5)$	=
$6 x^{2} + 11 x + 3 + 3 x (3 x + 5) - 5 x (3 x + 5)$	=
$6 x^{2} + 11 x + 3 + (9 x^{2} + 15 x) + (- 15 x^{2} - 25 x)$	=
$x + 3$	=

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{12}{x^{2}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{12}{x^{2}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 12$	=	$- x$

x^{2} - 12

=

- x

|

+ x

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 37 x - 8}{4 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 37 x - 8}{4 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 37 x - 8}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 1 \cdot 4 x$
$- 37 x - 8$	=	$4 x \cdot x - 4 x$

- 37 x - 8

=

4 x^{2} - 4 x

|

- 4 x^{2}

+ 4 x

$- 4 x^{2} - 33 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{{(- 33)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{1 089 - 128}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{961}}{- 8}$

x₁ = $\frac{33 + \sqrt{961}}{- 8}$ = $\frac{33+31}{- 8}$ = $\frac{64}{- 8}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{33 - \sqrt{961}}{- 8}$ = $\frac{33-31}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 33 x - 8$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{33}{4} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{33}{8})}^{2} - 2$ = $\frac{1089}{64}$ $-$ $2$ = $\frac{1089}{64}$ $-$ $\frac{128}{64}$ = $\frac{961}{64}$

x_1,2 = $- \frac{33}{8}$ ± $\sqrt{\frac{961}{64}}$

x₁ = $- \frac{33}{8}$ - $\frac{31}{8}$ = $- \frac{64}{8}$ = -8

x₂ = $- \frac{33}{8}$ + $\frac{31}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x - 3} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; 0}

\frac{12 x}{x - 3} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{12 x}{x - 3} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 6$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{12 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{8 x - 1}{3 x} \cdot (x - 3) - 6 \cdot (x - 3)$	=
$12 x + \frac{(8 x - 1) (x - 3)}{3 x} - 6 x + 18$	=
$12 x + \frac{8 x^{2} - 25 x + 3}{3 x} - 6 x + 18$	=
$\frac{8 x^{2} - 25 x + 3}{3 x} + 12 x - 6 x + 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 25 x + 3}{3 x} + 12 x - 6 x + 18$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{8 x^{2} - 25 x + 3}{3 x} \cdot 3 x + 12 x \cdot 3 x - 6 x \cdot 3 x + 18 \cdot 3 x$	=
$8 x^{2} - 25 x + 3 + 36 x \cdot x - 18 x \cdot x + 54 x$	=
$8 x^{2} - 25 x + 3 + 36 x^{2} - 18 x^{2} + 54 x$	=
$26 x^{2} + 29 x + 3$	=

$26 x^{2} + 29 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{29^{2} - 4 \cdot 26 \cdot 3}}{2 \cdot 26}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{841 - 312}}{52}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{529}}{52}$

x₁ = $\frac{- 29 + \sqrt{529}}{52}$ = $\frac{- 29+23}{52}$ = $\frac{- 6}{52}$ = $- \frac{3}{26}$ ≈ -0.12

x₂ = $\frac{- 29 - \sqrt{529}}{52}$ = $\frac{- 29-23}{52}$ = $\frac{- 52}{52}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $26$ " teilen:

$26 x^{2} + 29 x + 3$ = 0 |: $26$

$x^{2} + \frac{29}{26} x + \frac{3}{26}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{52})}^{2} - (\frac{3}{26})$ = $\frac{841}{2704}$ $-$ $\frac{3}{26}$ = $\frac{841}{2704}$ $-$ $\frac{312}{2704}$ = $\frac{529}{2704}$

x_1,2 = $- \frac{29}{52}$ ± $\sqrt{\frac{529}{2704}}$

x₁ = $- \frac{29}{52}$ - $\frac{23}{52}$ = $- \frac{52}{52}$ = -1

x₂ = $- \frac{29}{52}$ + $\frac{23}{52}$ = $- \frac{6}{52}$ = -0.11538461538462

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{3}{26}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 7 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 7 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 7 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 7 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 7 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 7 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $- (2 + 5)$ = -7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 5$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):