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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5 x}{x - 3} - \frac{19}{x - 3}$ = $1$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{5 x}{x - 3} - \frac{19}{x - 3}$	=	$1$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{5 x}{x - 3} \cdot (x - 3) - \frac{19}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$1 \cdot (x - 3)$
$5 x - 19$	=	$x - 3$

$5 x - 19$	=	$x - 3$	\| $+ 19$
$5 x$	=	$x + 16$	\| $- x$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $- \frac{- x}{x + 2} - 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

2 x

=

\frac{x}{x + 2} - 1

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$2 x$	=	$\frac{x}{x + 2} - 1$	\|⋅( $x + 2$ )
$2 x \cdot (x + 2)$	=	$\frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2) - 1 \cdot (x + 2)$
$2 x (x + 2)$	=	$x - x - 2$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot 2$	=	$x - x - 2$
$2 x \cdot x + 4 x$	=	$x - x - 2$
$2 x^{2} + 4 x$	=	$- 2$

2 x^{2} + 4 x

=

- 2

|

+ 2

2 x^{2} + 4 x + 2

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x$ = $- \frac{x}{4 x + 16} - \frac{82,5}{2 x + 8}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$- 2 x$	=	$- \frac{x}{4 x + 16} - \frac{82,5}{2 x + 8}$
$- 2 x$	=	$- \frac{x}{4 (x + 4)} - \frac{82,5}{2 (x + 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 4)$ weg!

$- 2 x$	=	$- \frac{x}{4 (x + 4)} - \frac{82,5}{2 (x + 4)}$	\|⋅( $4 (x + 4)$ )
$- 2 x \cdot (4 (x + 4))$	=	$- \frac{x}{4 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) + \frac{- 82,5}{2 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4))$
$- 8 x (x + 4)$	=	$- x - 165$
$- 8 x \cdot x - 8 x \cdot 4$	=	$- x - 165$
$- 8 x \cdot x - 32 x$	=	$- x - 165$
$- 8 x^{2} - 32 x$	=	$- x - 165$

- 8 x^{2} - 32 x

=

- x - 165

|

+ x

+ 165

$- 8 x^{2} - 31 x + 165$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 165}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 + 5 280}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{6 241}}{- 16}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{6 241}}{- 16}$ = $\frac{31+79}{- 16}$ = $\frac{110}{- 16}$ = $- 6,875$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{6 241}}{- 16}$ = $\frac{31-79}{- 16}$ = $\frac{- 48}{- 16}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} - 31 x + 165$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} + \frac{31}{8} x - \frac{165}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{16})}^{2} - (- \frac{165}{8})$ = $\frac{961}{256}$ $+$ $\frac{165}{8}$ = $\frac{961}{256}$ $+$ $\frac{5280}{256}$ = $\frac{6241}{256}$

x_1,2 = $- \frac{31}{16}$ ± $\sqrt{\frac{6241}{256}}$

x₁ = $- \frac{31}{16}$ - $\frac{79}{16}$ = $- \frac{110}{16}$ = -6.875

x₂ = $- \frac{31}{16}$ + $\frac{79}{16}$ = $\frac{48}{16}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6,875$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{7}{x^{2}}$ = $- \frac{12}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{7}{x^{2}}$	=	$- \frac{12}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{7}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{12}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2} - 7 x$	=	$- 12$

x^{2} - 7 x

=

- 12

|

+ 12

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{11}{2} + \frac{1}{2 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{11}{2} + \frac{1}{2 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{11}{2} \cdot x + \frac{1}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 5 \cdot x$
$- \frac{11}{2} x + \frac{1}{2}$	=	$x \cdot x - 5 x$

$- \frac{11}{2} x + \frac{1}{2}$	=	$x^{2} - 5 x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{11}{2} x + \frac{1}{2})$	=	$2 (x^{2} - 5 x)$
$- 11 x + 1$	=	$2 x^{2} - 10 x$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 10 x$

$- 2 x^{2} - x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 1}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{1+3}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{1-3}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - x + 1$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{2 x - 5} + \frac{x}{2 x - 4} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{5}{2}$ }

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} - 3$	=	0
$\frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} - 3$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} - 3$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} \cdot (2 (x - 2)) - 3 \cdot (2 (x - 2))$	=
$x + 2 \frac{(2 x - 2) (x - 2)}{2 x - 5} - 6 x + 12$	=
$x + \frac{2 (2 x^{2} - 6 x + 4)}{2 x - 5} - 6 x + 12$	=
$\frac{2 (2 x^{2} - 6 x + 4)}{2 x - 5} + x - 6 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{2 (2 x^{2} - 6 x + 4)}{2 x - 5} + x - 6 x + 12$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{2 (2 x^{2} - 6 x + 4)}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + x \cdot (2 x - 5) - 6 x \cdot (2 x - 5) + 12 \cdot (2 x - 5)$	=
$4 x^{2} - 12 x + 8 + x (2 x - 5) - 6 x (2 x - 5) + 24 x - 60$	=
$4 x^{2} - 12 x + 8 + (2 x^{2} - 5 x) + (- 12 x^{2} + 30 x) + 24 x - 60$	=
$- 6 x^{2} + 37 x - 52$	=

$- 6 x^{2} + 37 x - 52$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 52)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 - 1 248}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{121}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{121}}{- 12}$ = $\frac{- 37+11}{- 12}$ = $\frac{- 26}{- 12}$ = $\frac{13}{6}$ ≈ 2.17

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{121}}{- 12}$ = $\frac{- 37-11}{- 12}$ = $\frac{- 48}{- 12}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 37 x - 52$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{37}{6} x + \frac{26}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{37}{12})}^{2} - (\frac{26}{3})$ = $\frac{1369}{144}$ $-$ $\frac{26}{3}$ = $\frac{1369}{144}$ $-$ $\frac{1248}{144}$ = $\frac{121}{144}$

x_1,2 = $\frac{37}{12}$ ± $\sqrt{\frac{121}{144}}$

x₁ = $\frac{37}{12}$ - $\frac{11}{12}$ = $\frac{26}{12}$ = 2.1666666666667

x₂ = $\frac{37}{12}$ + $\frac{11}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{13}{6}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 1 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 1 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- x + x^{2}$	=	$- a$
$- x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):