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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{3 x}{x + 2}$ = $- 1$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{- 3 x}{x + 2}$	=	$- 1$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{- 3 x}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- 1 \cdot (x + 2)$
$- \frac{3 x}{1}$	=	$- (x + 2)$
$- 3 x$	=	$- (x + 2)$

$- 3 x$	=	$- x - 2$	\| $+ x$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 4 x}{2 x + 4} - 1$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$- \frac{4 x}{2 x + 4} - 1$	=	$- x$
$- \frac{4 x}{2 (x + 2)} - 1$	=	$- x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{4 x}{2 (x + 2)} - 1$	=	$- x$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{4 x}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) - 1 \cdot (x + 2)$	=	$- x \cdot (x + 2)$
$- 2 x - x - 2$	=	$- x (x + 2)$
$- 3 x - 2$	=	$- x^{2} - 2 x$

- 3 x - 2

=

- x^{2} - 2 x

|

+ x^{2}

+ 2 x

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{x - 1}{3 x - 7} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $\frac{7}{3}$ }

\frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{x - 1}{3 x - 7} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{x - 1}{3 x - 7} - 5$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{4 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{x - 1}{3 x - 7} \cdot (2 x - 3) - 5 \cdot (2 x - 3)$	=
$4 x + \frac{(x - 1) (2 x - 3)}{3 x - 7} - 10 x + 15$	=
$4 x + \frac{2 x^{2} - 5 x + 3}{3 x - 7} - 10 x + 15$	=
$\frac{2 x^{2} - 5 x + 3}{3 x - 7} + 4 x - 10 x + 15$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 3}{3 x - 7} + 4 x - 10 x + 15$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{2 x^{2} - 5 x + 3}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + 4 x \cdot (3 x - 7) - 10 x \cdot (3 x - 7) + 15 \cdot (3 x - 7)$	=
$2 x^{2} - 5 x + 3 + 4 x (3 x - 7) - 10 x (3 x - 7) + 45 x - 105$	=
$2 x^{2} - 5 x + 3 + (12 x^{2} - 28 x) + (- 30 x^{2} + 70 x) + 45 x - 105$	=
$- 16 x^{2} + 82 x - 102$	=

- 16 x^{2} + 82 x - 102

= 0 |:2

$- 8 x^{2} + 41 x - 51$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{41^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot (- 51)}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{1 681 - 1 632}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{49}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 41 + \sqrt{49}}{- 16}$ = $\frac{- 41+7}{- 16}$ = $\frac{- 34}{- 16}$ = $2,125$

x₂ = $\frac{- 41 - \sqrt{49}}{- 16}$ = $\frac{- 41-7}{- 16}$ = $\frac{- 48}{- 16}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} + 41 x - 51$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} - \frac{41}{8} x + \frac{51}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{41}{16})}^{2} - (\frac{51}{8})$ = $\frac{1681}{256}$ $-$ $\frac{51}{8}$ = $\frac{1681}{256}$ $-$ $\frac{1632}{256}$ = $\frac{49}{256}$

x_1,2 = $\frac{41}{16}$ ± $\sqrt{\frac{49}{256}}$

x₁ = $\frac{41}{16}$ - $\frac{7}{16}$ = $\frac{34}{16}$ = 2.125

x₂ = $\frac{41}{16}$ + $\frac{7}{16}$ = $\frac{48}{16}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2,125$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{6}{x}$ = $\frac{27}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{6}{x}$	=	$\frac{27}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{6}{x} \cdot x^{2}$	=	$\frac{27}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 6 x$	=	$27$

x^{2} + 6 x

=

27

|

- 27

$x^{2} + 6 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 6+12}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 6-12}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 27)$ = $9$ $+$ $27$ = $36$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 3$ - $6$ = -9

x₂ = $- 3$ + $6$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 7 x + 6}{2 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 7 x + 6}{2 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 7 x + 6}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 3 \cdot 2 x$
$- 7 x + 6$	=	$2 x \cdot x - 6 x$

- 7 x + 6

=

2 x^{2} - 6 x

|

- 2 x^{2}

+ 6 x

$- 2 x^{2} - x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 6}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{1+7}{- 4}$ = $\frac{8}{- 4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{1-7}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - x + 6$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $3$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 6} + \frac{3 x - 1}{x + 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- 1$ }

$\frac{3 x}{3 x - 6} + \frac{3 x - 1}{x + 1} - 5$	=	0
$\frac{3 x}{3 (x - 2)} + \frac{3 x - 1}{x + 1} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{3 x}{3 (x - 2)} + \frac{3 x - 1}{x + 1} - 5$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{3 x}{3 (x - 2)} \cdot (x - 2) + \frac{3 x - 1}{x + 1} \cdot (x - 2) - 5 \cdot (x - 2)$	=
$x + \frac{(3 x - 1) (x - 2)}{x + 1} - 5 x + 10$	=
$x + \frac{3 x^{2} - 7 x + 2}{x + 1} - 5 x + 10$	=
$\frac{3 x^{2} - 7 x + 2}{x + 1} + x - 5 x + 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 7 x + 2}{x + 1} + x - 5 x + 10$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x^{2} - 7 x + 2}{x + 1} \cdot (x + 1) + x \cdot (x + 1) - 5 x \cdot (x + 1) + 10 \cdot (x + 1)$	=
$3 x^{2} - 7 x + 2 + x (x + 1) - 5 x (x + 1) + 10 x + 10$	=
$3 x^{2} - 7 x + 2 + (x^{2} + x) + (- 5 x^{2} - 5 x) + 10 x + 10$	=
$- x^{2} - x + 12$	=

$- x^{2} - x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1+7}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1-7}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{6}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{6}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{6}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{6}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$6$
$x^{2} + a x - 6$	=	0
$x^{2} + a x - 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 3)$ = -6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 3)$ = $1$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 1 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):