Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6 x - 20}{x - 2}$ = $- 2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x - 20}{x - 2}$	=	$- 2$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x - 20}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 2 \cdot (x - 2)$
$6 x - 20$	=	$- 2 (x - 2)$

$6 x - 20$	=	$- 2 x + 4$	\| $+ 20$
$6 x$	=	$- 2 x + 24$	\| $+ 2 x$
$8 x$	=	$24$	\|: $8$
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9 x}{2 x - 1} - \frac{18}{6 x - 3}$ = $5$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ }

\frac{9 x}{2 x - 1} - \frac{18}{3 (2 x - 1)}

=

5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{9 x}{2 x - 1} - \frac{18}{3 (2 x - 1)}$	=	$5$	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{9 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{- 18}{3 (2 x - 1)} \cdot (2 x - 1)$	=	$5 \cdot (2 x - 1)$
$9 x - 6$	=	$5 (2 x - 1)$

$9 x - 6$	=	$10 x - 5$	\| $+ 6$
$9 x$	=	$10 x + 1$	\| $- 10 x$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x + 1} + \frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{24 x}{- 2 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $- 1$ }

$\frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{8 x}{x + 1} + \frac{24 x}{- 2 x - 2}$	=	0
$\frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{8 x}{x + 1} + \frac{24 x}{- 2 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{8 x}{x + 1} + \frac{24 x}{- 2 (x + 1)}$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{6 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{8 x}{x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{24 x}{- 2 (x + 1)} \cdot (2 x + 1)$	=
$6 x + \frac{8 x (2 x + 1)}{x + 1} - \frac{12 x (2 x + 1)}{x + 1}$	=
$6 x + \frac{16 x^{2} + 8 x}{x + 1} - \frac{24 x^{2} + 12 x}{x + 1}$	=
$\frac{16 x^{2} + 8 x - 24 x^{2} - 12 x}{x + 1} + 6 x$	=

\frac{16 x^{2} - 24 x^{2} + 8 x - 12 x}{x + 1} + 6 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{16 x^{2} - 24 x^{2} + 8 x - 12 x}{x + 1} + 6 x$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{16 x^{2} - 24 x^{2} + 8 x - 12 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 6 x \cdot (x + 1)$	=
$16 x^{2} - 24 x^{2} + 8 x - 12 x + 6 x (x + 1)$	=
$16 x^{2} - 24 x^{2} + 8 x - 12 x + (6 x^{2} + 6 x)$	=
$- 2 x^{2} + 2 x$	=

$- 2 x^{2} + 2 x$	=	0
$2 x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{12}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{12}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{12}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{4}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$- 12$	=	$- x^{2} + 4 x$

- 12

=

- x^{2} + 4 x

|

+ x^{2}

- 4 x

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11 x - 9}{4 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{11 x - 9}{4 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{11 x - 9}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 1 \cdot 4 x$
$11 x - 9$	=	$4 x \cdot x - 4 x$

11 x - 9

=

4 x^{2} - 4 x

|

- 4 x^{2}

+ 4 x

$- 4 x^{2} + 15 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{- 15+9}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{- 15-9}{- 8}$ = $\frac{- 24}{- 8}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 15 x - 9$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{15}{4} x + \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{8})}^{2} - (\frac{9}{4})$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{81}{64}$

x_1,2 = $\frac{15}{8}$ ± $\sqrt{\frac{81}{64}}$

x₁ = $\frac{15}{8}$ - $\frac{9}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{15}{8}$ + $\frac{9}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x - 3} + \frac{6 x}{x + 1} + \frac{- 24 x}{6 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{6 x}{3 x - 3} - \frac{24 x}{6 x - 6}$	=	0
$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{6 x}{3 (x - 1)} - \frac{24 x}{6 (x - 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{6 x}{3 (x - 1)} - \frac{24 x}{6 (x - 1)}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{6 x}{3 (x - 1)} \cdot (x + 1) - \frac{24 x}{6 (x - 1)} \cdot (x + 1)$	=
$6 x + \frac{2 x (x + 1)}{x - 1} - \frac{4 x (x + 1)}{x - 1}$	=
$6 x + \frac{2 x^{2} + 2 x}{x - 1} - \frac{4 x^{2} + 4 x}{x - 1}$	=
$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4 x^{2} - 4 x}{x - 1} + 6 x$	=

\frac{2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 x - 4 x}{x - 1} + 6 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 x - 4 x}{x - 1} + 6 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 x - 4 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 6 x \cdot (x - 1)$	=
$2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 x - 4 x + 6 x (x - 1)$	=
$2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 x - 4 x + (6 x^{2} - 6 x)$	=
$4 x^{2} - 8 x$	=

$4 x^{2} - 8 x$	=	0
$4 x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{18}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{18}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 18$
$a x + x^{2} + 18$	=	0
$x^{2} + a x + 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 9$ = 18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 9)$ = $- 11$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -11 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

L={ $2$ ; $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):