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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{35}{x - 9}$ = $- 5$

D=R\{ $9$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 9$ weg!

$- \frac{35}{x - 9}$	=	$- 5$	\|⋅( $x - 9$ )
$- \frac{35}{x - 9} \cdot (x - 9)$	=	$- 5 \cdot (x - 9)$
$- 35$	=	$- 5 (x - 9)$

$- 35$	=	$- 5 x + 45$	\| $+ 35$ $+ 5 x$
$5 x$	=	$80$	\|: $5$
$x$	=	$16$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $16$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 6} + \frac{9}{x - 6}$ = $\frac{108}{x^{2} - 36}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 6$ ; $6$ }

\frac{x}{x + 6} + \frac{9}{x - 6}

=

\frac{108}{(x + 6) \cdot (x - 6)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 6) \cdot (x - 6)$ weg!

$\frac{x}{x + 6} + \frac{9}{x - 6}$	=	$\frac{108}{(x + 6) \cdot (x - 6)}$	\|⋅( $(x + 6) \cdot (x - 6)$ )
$\frac{x}{x + 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6) + \frac{9}{x - 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$	=	$\frac{108}{(x + 6) \cdot (x - 6)} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$
$x (x - 6) + 9 x + 54$	=	$108 \frac{x + 6}{x + 6}$
$x (x - 6) + 9 x + 54$	=	$108$
$x^{2} - 6 x + 9 x + 54$	=	$108$
$x^{2} + 3 x + 54$	=	$108$

x^{2} + 3 x + 54

=

108

|

- 108

$x^{2} + 3 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 3+15}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 3-15}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 54)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $54$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Lösung x= $6$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 9$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 6,6}{x - 2}$ = $- \frac{x}{5 x - 10} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

- \frac{6,6}{x - 2}

=

- \frac{x}{5 (x - 2)} - 2 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 2)$ weg!

$- \frac{6,6}{x - 2}$	=	$- \frac{x}{5 (x - 2)} - 2 x$	\|⋅( $5 (x - 2)$ )
$- \frac{6,6}{x - 2} \cdot (5 (x - 2))$	=	$- \frac{x}{5 (x - 2)} \cdot (5 (x - 2)) - 2 x \cdot (5 (x - 2))$
$- 33$	=	$- x - 10 x (x - 2)$
$- 33$	=	$- 10 x^{2} + 19 x$

- 33

=

- 10 x^{2} + 19 x

|

+ 10 x^{2}

- 19 x

$10 x^{2} - 19 x - 33$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 33)}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 1 320}}{20}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{1 681}}{20}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{1 681}}{20}$ = $\frac{19+41}{20}$ = $\frac{60}{20}$ = $3$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{1 681}}{20}$ = $\frac{19-41}{20}$ = $\frac{- 22}{20}$ = $- 1,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $10$ " teilen:

$10 x^{2} - 19 x - 33$ = 0 |: $10$

$x^{2} - \frac{19}{10} x - \frac{33}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{20})}^{2} - (- \frac{33}{10})$ = $\frac{361}{400}$ $+$ $\frac{33}{10}$ = $\frac{361}{400}$ $+$ $\frac{1320}{400}$ = $\frac{1681}{400}$

x_1,2 = $\frac{19}{20}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{400}}$

x₁ = $\frac{19}{20}$ - $\frac{41}{20}$ = $- \frac{22}{20}$ = -1.1

x₂ = $\frac{19}{20}$ + $\frac{41}{20}$ = $\frac{60}{20}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,1$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{12}{x^{3}}$ = $- \frac{20}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{12}{x^{3}}$	=	$- \frac{20}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{12}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{20}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2} - 12 x$	=	$- 20$

x^{2} - 12 x

=

- 20

|

+ 20

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $\frac{4 x + 8}{x + 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$2 x$	=	$\frac{4 x + 8}{x + 5}$	\|⋅( $x + 5$ )
$2 x \cdot (x + 5)$	=	$\frac{4 x + 8}{x + 5} \cdot (x + 5)$
$2 x (x + 5)$	=	$4 x + 8$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot 5$	=	$4 x + 8$
$2 x \cdot x + 10 x$	=	$4 x + 8$
$2 x^{2} + 10 x$	=	$4 x + 8$

2 x^{2} + 10 x

=

4 x + 8

|

- 4 x

- 8

2 x^{2} + 6 x - 8

= 0 |:2

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{x + 3} + \frac{7 x + 1}{2 x} + \frac{- 17 x + 1}{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 3$ }

\frac{7 x + 1 - 17 x + 1}{2 x} + \frac{16 x}{x + 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{7 x + 1 - 17 x + 1}{2 x} + \frac{16 x}{x + 3}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{7 x + 1 - 17 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + \frac{16 x}{x + 3} \cdot 2 x$	=
$7 x + 1 - 17 x + 1 + 2 \frac{16 x \cdot x}{x + 3}$	=
$7 x + 1 - 17 x + 1 + \frac{32 x^{2}}{x + 3}$	=
$\frac{32 x^{2}}{x + 3} + 7 x - 17 x + 1 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{32 x^{2}}{x + 3} + 7 x - 17 x + 1 + 1$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{32 x^{2}}{x + 3} \cdot (x + 3) + 7 x \cdot (x + 3) - 17 x \cdot (x + 3) + 1 \cdot (x + 3) + 1 \cdot (x + 3)$	=
$32 x^{2} + 7 x (x + 3) - 17 x (x + 3) + x + 3 + x + 3$	=
$32 x^{2} + (7 x^{2} + 21 x) + (- 17 x^{2} - 51 x) + x + 3 + x + 3$	=
$22 x^{2} - 28 x + 6$	=

22 x^{2} - 28 x + 6

= 0 |:2

$11 x^{2} - 14 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 11 \cdot 3}}{2 \cdot 11}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 132}}{22}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{64}}{22}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{64}}{22}$ = $\frac{14+8}{22}$ = $\frac{22}{22}$ = $1$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{64}}{22}$ = $\frac{14-8}{22}$ = $\frac{6}{22}$ = $\frac{3}{11}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $11$ " teilen:

$11 x^{2} - 14 x + 3$ = 0 |: $11$

$x^{2} - \frac{14}{11} x + \frac{3}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{11})}^{2} - (\frac{3}{11})$ = $\frac{49}{121}$ $-$ $\frac{3}{11}$ = $\frac{49}{121}$ $-$ $\frac{33}{121}$ = $\frac{16}{121}$

x_1,2 = $\frac{7}{11}$ ± $\sqrt{\frac{16}{121}}$

x₁ = $\frac{7}{11}$ - $\frac{4}{11}$ = $\frac{3}{11}$ = 0.27272727272727

x₂ = $\frac{7}{11}$ + $\frac{4}{11}$ = $\frac{11}{11}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{3}{11}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 7$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 7$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 7$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 7 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 7 x$
$x^{2} + a + 7 x$	=	0
$x^{2} + 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $- (2 - 9)$ = 7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 9)$ = $- 18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):