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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{- 3 x + 22}{x + 2}$ = $1$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{- 3 x + 22}{x + 2}$	=	$1$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{- 3 x + 22}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$1 \cdot (x + 2)$
$- 3 x + 22$	=	$x + 2$

$- 3 x + 22$	=	$x + 2$	\| $- 22$
$- 3 x$	=	$x - 20$	\| $- x$
$- 4 x$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{x}{3 x - 3} - \frac{82}{6 x - 6}$ = $2$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{x}{3 (x - 1)} - \frac{82}{6 (x - 1)}

=

2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 1)} - \frac{82}{6 (x - 1)}$	=	$2$	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{x}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) + \frac{- 82}{6 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1))$	=	$2 \cdot (3 (x - 1))$
$x - 41$	=	$6 (x - 1)$

$x - 41$	=	$6 x - 6$	\| $+ 41$
$x$	=	$6 x + 35$	\| $- 6 x$
$- 5 x$	=	$35$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 15,5}{2 x - 2} + 4 x$ = $- \frac{x}{4 x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$- \frac{15,5}{2 x - 2} + 4 x$	=	$\frac{- x}{4 x - 4}$
$- \frac{15,5}{2 (x - 1)} + 4 x$	=	$\frac{- x}{4 (x - 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 1)$ weg!

$- \frac{15,5}{2 (x - 1)} + 4 x$	=	$\frac{- x}{4 (x - 1)}$	\|⋅( $4 (x - 1)$ )
$\frac{- 15,5}{2 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) + 4 x \cdot (4 (x - 1))$	=	$\frac{- x}{4 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1))$
$- 31 + 16 x (x - 1)$	=	$- x$
$- 31 + (16 x^{2} - 16 x)$	=	$- x$
$16 x^{2} - 16 x - 31$	=	$- x$

16 x^{2} - 16 x - 31

=

- x

|

+ x

$16 x^{2} - 15 x - 31$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (- 31)}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 1 984}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{2 209}}{32}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{2 209}}{32}$ = $\frac{15+47}{32}$ = $\frac{62}{32}$ = $\frac{31}{16}$ ≈ 1.94

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{2 209}}{32}$ = $\frac{15-47}{32}$ = $\frac{- 32}{32}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} - 15 x - 31$ = 0 |: $16$

$x^{2} - \frac{15}{16} x - \frac{31}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{32})}^{2} - (- \frac{31}{16})$ = $\frac{225}{1024}$ $+$ $\frac{31}{16}$ = $\frac{225}{1024}$ $+$ $\frac{1984}{1024}$ = $\frac{2209}{1024}$

x_1,2 = $\frac{15}{32}$ ± $\sqrt{\frac{2209}{1024}}$

x₁ = $\frac{15}{32}$ - $\frac{47}{32}$ = $- \frac{32}{32}$ = -1

x₂ = $\frac{15}{32}$ + $\frac{47}{32}$ = $\frac{62}{32}$ = 1.9375

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{31}{16}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{- x - 56}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{- x - 56}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{- x - 56}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$- x - 56$

- x^{2}

=

- x - 56

|

+ x

+ 56

$- x^{2} + x + 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 56}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{225}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{225}}{- 2}$ = $\frac{- 1+15}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{225}}{- 2}$ = $\frac{- 1-15}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 56$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 56$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 56)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $56$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{224}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 2$ = $8 - \frac{5}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 2$	=	$8 - \frac{5}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 2 \cdot x$	=	$8 \cdot x - \frac{5}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 2 x$	=	$8 x - 5$
$x^{2} + 2 x$	=	$8 x - 5$

x^{2} + 2 x

=

8 x - 5

|

- 8 x

+ 5

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{5 x + 2}{2 x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{5 x + 2}{2 x} - 7$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x - 1)} + \frac{5 x + 2}{2 x} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x - 1)} + \frac{5 x + 2}{2 x} - 7$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{5 x + 2}{2 x} \cdot (x - 1) - 7 \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{(5 x + 2) (x - 1)}{2 x} - 7 x + 7$	=
$2 x + \frac{5 x^{2} - 3 x - 2}{2 x} - 7 x + 7$	=
$\frac{5 x^{2} - 3 x - 2}{2 x} + 2 x - 7 x + 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 3 x - 2}{2 x} + 2 x - 7 x + 7$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x^{2} - 3 x - 2}{2 x} \cdot 2 x + 2 x \cdot 2 x - 7 x \cdot 2 x + 7 \cdot 2 x$	=
$5 x^{2} - 3 x - 2 + 4 x \cdot x - 14 x \cdot x + 14 x$	=
$5 x^{2} - 3 x - 2 + 4 x^{2} - 14 x^{2} + 14 x$	=
$- 5 x^{2} + 11 x - 2$	=

$- 5 x^{2} + 11 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{81}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{81}}{- 10}$ = $\frac{- 11+9}{- 10}$ = $\frac{- 2}{- 10}$ = $0,2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{81}}{- 10}$ = $\frac{- 11-9}{- 10}$ = $\frac{- 20}{- 10}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 11 x - 2$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{11}{5} x + \frac{2}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{10})}^{2} - (\frac{2}{5})$ = $\frac{121}{100}$ $-$ $\frac{2}{5}$ = $\frac{121}{100}$ $-$ $\frac{40}{100}$ = $\frac{81}{100}$

x_1,2 = $\frac{11}{10}$ ± $\sqrt{\frac{81}{100}}$

x₁ = $\frac{11}{10}$ - $\frac{9}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = 0.2

x₂ = $\frac{11}{10}$ + $\frac{9}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,2$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$2 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$2 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$2 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$2 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$2 x + a$	=	$- x^{2}$
$2 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):