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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5}{x}$ = $4$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{5}{x}$	=	$4$	\|⋅( $x$ )
$\frac{5}{x} \cdot x$	=	$4 \cdot x$
$5$	=	$4 x$

$5$	=	$4 x$	\| $- 5$ $- 4 x$
$- 4 x$	=	$- 5$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$\frac{5}{4}$ = 1.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{5}{4}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3 x}{3 x + 2} - \frac{148}{6 x + 4}$ = $5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ }

\frac{3 x}{3 x + 2} - \frac{148}{2 (3 x + 2)}

=

5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{3 x}{3 x + 2} - \frac{148}{2 (3 x + 2)}$	=	$5$	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{3 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{- 148}{2 (3 x + 2)} \cdot (3 x + 2)$	=	$5 \cdot (3 x + 2)$
$3 x - 74$	=	$5 (3 x + 2)$

$3 x - 74$	=	$15 x + 10$	\| $+ 74$
$3 x$	=	$15 x + 84$	\| $- 15 x$
$- 12 x$	=	$84$	\|:( $- 12$ )
$x$	=	$- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 4}$ = $- \frac{- 3,5}{x - 2} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{2 x - 4}$	=	$\frac{3,5}{x - 2} + 3 x$
$\frac{x}{2 (x - 2)}$	=	$\frac{3,5}{x - 2} + 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 2)}$	=	$\frac{3,5}{x - 2} + 3 x$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2))$	=	$\frac{3,5}{x - 2} \cdot (2 (x - 2)) + 3 x \cdot (2 (x - 2))$
$x$	=	$7 + 6 x \cdot (x - 2)$
$x$	=	$6 x^{2} - 12 x + 7$

x

=

6 x^{2} - 12 x + 7

|

- 6 x^{2}

+ 12 x

- 7

$- 6 x^{2} + 13 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1}}{- 12}$ = $\frac{- 13+1}{- 12}$ = $\frac{- 12}{- 12}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1}}{- 12}$ = $\frac{- 13-1}{- 12}$ = $\frac{- 14}{- 12}$ = $\frac{7}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 13 x - 7$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{13}{6} x + \frac{7}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{12})}^{2} - (\frac{7}{6})$ = $\frac{169}{144}$ $-$ $\frac{7}{6}$ = $\frac{169}{144}$ $-$ $\frac{168}{144}$ = $\frac{1}{144}$

x_1,2 = $\frac{13}{12}$ ± $\sqrt{\frac{1}{144}}$

x₁ = $\frac{13}{12}$ - $\frac{1}{12}$ = $\frac{12}{12}$ = 1

x₂ = $\frac{13}{12}$ + $\frac{1}{12}$ = $\frac{14}{12}$ = 1.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $\frac{7}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4}{x^{3}} + \frac{4}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{4}{x^{3}} + \frac{4}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{4}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{4}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$4 x + 4$	=	$- x^{2}$

4 x + 4

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 15 x - 21}{4 x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 15 x - 21}{4 x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 15 x - 21}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 4 \cdot 4 x$
$- 15 x - 21$	=	$4 x \cdot x + 16 x$

- 15 x - 21

=

4 x^{2} + 16 x

|

- 4 x^{2}

- 16 x

$- 4 x^{2} - 31 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 - 336}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{625}}{- 8}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{625}}{- 8}$ = $\frac{31+25}{- 8}$ = $\frac{56}{- 8}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{625}}{- 8}$ = $\frac{31-25}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 31 x - 21$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{31}{4} x + \frac{21}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{8})}^{2} - (\frac{21}{4})$ = $\frac{961}{64}$ $-$ $\frac{21}{4}$ = $\frac{961}{64}$ $-$ $\frac{336}{64}$ = $\frac{625}{64}$

x_1,2 = $- \frac{31}{8}$ ± $\sqrt{\frac{625}{64}}$

x₁ = $- \frac{31}{8}$ - $\frac{25}{8}$ = $- \frac{56}{8}$ = -7

x₂ = $- \frac{31}{8}$ + $\frac{25}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x - 3} + \frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{15 x}{- 2 x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $3$ }

\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{12 x}{x - 3} + \frac{15 x}{- 2 x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{12 x}{x - 3} + \frac{15 x}{- 2 x + 1}$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{12 x}{x - 3} \cdot (2 x - 1) + \frac{15 x}{- 2 x + 1} \cdot (2 x - 1)$	=
$6 x + \frac{12 x \cdot (2 x - 1)}{x - 3} + \frac{15 x \cdot (2 x - 1)}{- 2 x + 1}$	=
$6 x + \frac{12 x \cdot (2 x - 1)}{x - 3} - 15 x$	=
$6 x + \frac{24 x^{2} - 12 x}{x - 3} - 15 x$	=
$\frac{24 x^{2} - 12 x}{x - 3} + 6 x - 15 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{24 x^{2} - 12 x}{x - 3} + 6 x - 15 x$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{24 x^{2} - 12 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + 6 x \cdot (x - 3) - 15 x \cdot (x - 3)$	=
$24 x^{2} - 12 x + 6 x \cdot (x - 3) - 15 x \cdot (x - 3)$	=
$24 x^{2} - 12 x + (6 x^{2} - 18 x) + (- 15 x^{2} + 45 x)$	=
$15 x^{2} + 15 x$	=

$15 x^{2} + 15 x$	=	0
$15 x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{18}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{18}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$18$
$a x + x^{2} - 18$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):