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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{12}{x + 8}$ = $- 3$

D=R\{ $- 8$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 8$ weg!

$\frac{12}{x + 8}$	=	$- 3$	\|⋅( $x + 8$ )
$\frac{12}{x + 8} \cdot (x + 8)$	=	$- 3 \cdot (x + 8)$
$12$	=	$- 3 (x + 8)$

$12$	=	$- 3 x - 24$	\| $- 12$ $+ 3 x$
$3 x$	=	$- 36$	\|: $3$
$x$	=	$- 12$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 12$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 6} - \frac{9}{x - 6}$ = $\frac{130}{x^{2} - 36}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 6$ ; $6$ }

\frac{x}{x + 6} - \frac{9}{x - 6}

=

\frac{130}{(x + 6) (x - 6)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 6) (x - 6)$ weg!

$\frac{x}{x + 6} - \frac{9}{x - 6}$	=	$\frac{130}{(x + 6) (x - 6)}$	\|⋅( $(x + 6) (x - 6)$ )
$\frac{x}{x + 6} \cdot (x + 6) (x - 6) - \frac{9}{x - 6} \cdot (x + 6) (x - 6)$	=	$\frac{130}{(x + 6) (x - 6)} \cdot (x + 6) (x - 6)$
$x (x - 6) - 9 x - 54$	=	$130 \frac{x + 6}{x + 6}$
$x (x - 6) - 9 x - 54$	=	$130$
$x^{2} - 6 x - 9 x - 54$	=	$130$
$x^{2} - 15 x - 54$	=	$130$

x^{2} - 15 x - 54

=

130

|

- 130

$x^{2} - 15 x - 184$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 184)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 736}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{961}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{961}}{2}$ = $\frac{15+31}{2}$ = $\frac{46}{2}$ = $23$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{961}}{2}$ = $\frac{15-31}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - (- 184)$ = $\frac{225}{4}$ $+$ $184$ = $\frac{225}{4}$ $+$ $\frac{736}{4}$ = $\frac{961}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{961}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{31}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{31}{2}$ = $\frac{46}{2}$ = 23

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $23$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 12} + \frac{- 40,5}{x + 3}$ = $- 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$\frac{x}{4 x + 12} - \frac{40,5}{x + 3}$	=	$- 4 x$
$\frac{x}{4 (x + 3)} - \frac{40,5}{x + 3}$	=	$- 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 3)} - \frac{40,5}{x + 3}$	=	$- 4 x$	\|⋅( $4 (x + 3)$ )
$\frac{x}{4 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3)) + \frac{- 40,5}{x + 3} \cdot (4 (x + 3))$	=	$- 4 x \cdot (4 (x + 3))$
$x - 162$	=	$- 16 x (x + 3)$
$x - 162$	=	$- 16 x^{2} - 48 x$

x - 162

=

- 16 x^{2} - 48 x

|

+ 16 x^{2}

+ 48 x

$16 x^{2} + 49 x - 162$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{49^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (- 162)}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{2 401 + 10 368}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{12 769}}{32}$

x₁ = $\frac{- 49 + \sqrt{12 769}}{32}$ = $\frac{- 49+113}{32}$ = $\frac{64}{32}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 49 - \sqrt{12 769}}{32}$ = $\frac{- 49-113}{32}$ = $\frac{- 162}{32}$ = $- \frac{81}{16}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} + 49 x - 162$ = 0 |: $16$

$x^{2} + \frac{49}{16} x - \frac{81}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{49}{32})}^{2} - (- \frac{81}{8})$ = $\frac{2401}{1024}$ $+$ $\frac{81}{8}$ = $\frac{2401}{1024}$ $+$ $\frac{10368}{1024}$ = $\frac{12769}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{49}{32}$ ± $\sqrt{\frac{12769}{1024}}$

x₁ = $- \frac{49}{32}$ - $\frac{113}{32}$ = $- \frac{162}{32}$ = -5.0625

x₂ = $- \frac{49}{32}$ + $\frac{113}{32}$ = $\frac{64}{32}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{81}{16}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{3}{x} - \frac{28}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{3}{x} - \frac{28}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{3}{x} \cdot x^{2} - \frac{28}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} + 3 x - 28$	=

$x^{2} + 3 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 35 x - 9}{4 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 35 x - 9}{4 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 35 x - 9}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 5 \cdot 4 x$
$- 35 x - 9$	=	$4 x \cdot x - 20 x$

- 35 x - 9

=

4 x^{2} - 20 x

|

- 4 x^{2}

+ 20 x

$- 4 x^{2} - 15 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{81}}{- 8}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{15+9}{- 8}$ = $\frac{24}{- 8}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{15-9}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 15 x - 9$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{15}{4} x + \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{8})}^{2} - (\frac{9}{4})$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{81}{64}$

x_1,2 = $- \frac{15}{8}$ ± $\sqrt{\frac{81}{64}}$

x₁ = $- \frac{15}{8}$ - $\frac{9}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $- \frac{15}{8}$ + $\frac{9}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{3 x}{x - 1} + \frac{- 14 x + 2}{3 x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; $1$ }

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{- 14 x + 2}{3 x - 3} + \frac{3 x}{x - 1}$	=	0
$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{- 14 x + 2}{3 (x - 1)} + \frac{3 x}{x - 1}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{- 14 x + 2}{3 (x - 1)} + \frac{3 x}{x - 1}$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{2 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{- 14 x + 2}{3 (x - 1)} \cdot (3 x - 8) + \frac{3 x}{x - 1} \cdot (3 x - 8)$	=
$2 x + \frac{(- 14 x + 2) (3 x - 8)}{3 (x - 1)} + \frac{3 x (3 x - 8)}{x - 1}$	=
$2 x + \frac{- 42 x^{2} + 118 x - 16}{3 (x - 1)} + \frac{9 x^{2} - 24 x}{x - 1}$	=
$\frac{9 x^{2} - 24 x}{x - 1} + \frac{- 42 x^{2} + 118 x - 16}{3 (x - 1)} + 2 x$	=

\frac{- 42 x^{2} + 118 x - 16}{3 (x - 1)} + \frac{9 x^{2} - 24 x}{x - 1} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{- 42 x^{2} + 118 x - 16}{3 (x - 1)} + \frac{9 x^{2} - 24 x}{x - 1} + 2 x$	=	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{- 42 x^{2} + 118 x - 16}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) + \frac{9 x^{2} - 24 x}{x - 1} \cdot (3 (x - 1)) + 2 x \cdot (3 (x - 1))$	=
$- 42 x^{2} + 118 x - 16 + 27 x^{2} - 72 x + 6 x (x - 1)$	=
$- 42 x^{2} + 118 x - 16 + 27 x^{2} - 72 x + (6 x^{2} - 6 x)$	=
$- 9 x^{2} + 40 x - 16$	=

$- 9 x^{2} + 40 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 40 \pm \sqrt{1 600 - 576}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 40 \pm \sqrt{1 024}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 40 + \sqrt{1 024}}{- 18}$ = $\frac{- 40+32}{- 18}$ = $\frac{- 8}{- 18}$ = $\frac{4}{9}$ ≈ 0.44

x₂ = $\frac{- 40 - \sqrt{1 024}}{- 18}$ = $\frac{- 40-32}{- 18}$ = $\frac{- 72}{- 18}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} + 40 x - 16$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} - \frac{40}{9} x + \frac{16}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{20}{9})}^{2} - (\frac{16}{9})$ = $\frac{400}{81}$ $-$ $\frac{16}{9}$ = $\frac{400}{81}$ $-$ $\frac{144}{81}$ = $\frac{256}{81}$

x_1,2 = $\frac{20}{9}$ ± $\sqrt{\frac{256}{81}}$

x₁ = $\frac{20}{9}$ - $\frac{16}{9}$ = $\frac{4}{9}$ = 0.44444444444444

x₂ = $\frac{20}{9}$ + $\frac{16}{9}$ = $\frac{36}{9}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{9}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $3$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $3$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$3$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$3 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$3 x$
$x^{2} + a - 3 x$	=	0
$x^{2} - 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (2 + 1)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):