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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{10 x}{x - 10}$ = $5$

D=R\{ $10$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 10$ weg!

$\frac{10 x}{x - 10}$	=	$5$	\|⋅( $x - 10$ )
$\frac{10 x}{x - 10} \cdot (x - 10)$	=	$5 \cdot (x - 10)$
$10 x$	=	$5 (x - 10)$

$10 x$	=	$5 x - 50$	\| $- 5 x$
$5 x$	=	$- 50$	\|: $5$
$x$	=	$- 10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3$ = $- \frac{- 63}{x - 3} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

3

=

\frac{63}{x - 3} - 3 x

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$3$	=	$\frac{63}{x - 3} - 3 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$3 \cdot (x - 3)$	=	$\frac{63}{x - 3} \cdot (x - 3) - 3 x \cdot (x - 3)$
$3 (x - 3)$	=	$63 - 3 x \cdot (x - 3)$
$3 x - 9$	=	$63 - 3 x \cdot (x - 3)$
$3 x - 9$	=	$- 3 x^{2} + 9 x + 63$

3 x - 9

=

- 3 x^{2} + 9 x + 63

|

+ 3 x^{2}

- 9 x

- 63

3 x^{2} - 6 x - 72

= 0 |:3

$x^{2} - 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11 x + 1}{3 x} + \frac{4 x}{3 x - 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{11 x + 1}{3 x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{11 x + 1}{3 x} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{4 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{11 x + 1}{3 x} \cdot (3 x - 1) - 6 \cdot (3 x - 1)$	=
$4 x + \frac{(11 x + 1) \cdot (3 x - 1)}{3 x} - 18 x + 6$	=
$4 x + \frac{33 x^{2} - 8 x - 1}{3 x} - 18 x + 6$	=
$\frac{33 x^{2} - 8 x - 1}{3 x} + 4 x - 18 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{33 x^{2} - 8 x - 1}{3 x} + 4 x - 18 x + 6$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{33 x^{2} - 8 x - 1}{3 x} \cdot 3 x + 4 x \cdot 3 x - 18 x \cdot 3 x + 6 \cdot 3 x$	=
$33 x^{2} - 8 x - 1 + 12 x \cdot x - 54 x \cdot x + 18 x$	=
$33 x^{2} - 8 x - 1 + 12 x^{2} - 54 x^{2} + 18 x$	=
$- 9 x^{2} + 10 x - 1$	=

$- 9 x^{2} + 10 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{- 18}$ = $\frac{- 10+8}{- 18}$ = $\frac{- 2}{- 18}$ = $\frac{1}{9}$ ≈ 0.11

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{- 18}$ = $\frac{- 10-8}{- 18}$ = $\frac{- 18}{- 18}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} + 10 x - 1$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} - \frac{10}{9} x + \frac{1}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{9})}^{2} - (\frac{1}{9})$ = $\frac{25}{81}$ $-$ $\frac{1}{9}$ = $\frac{25}{81}$ $-$ $\frac{9}{81}$ = $\frac{16}{81}$

x_1,2 = $\frac{5}{9}$ ± $\sqrt{\frac{16}{81}}$

x₁ = $\frac{5}{9}$ - $\frac{4}{9}$ = $\frac{1}{9}$ = 0.11111111111111

x₂ = $\frac{5}{9}$ + $\frac{4}{9}$ = $\frac{9}{9}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{9}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{3}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{3}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{3}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{2}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 3 x + 2$	=	$- x^{2}$

- 3 x + 2

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 9 x + 1}{2 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 9 x + 1}{2 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 9 x + 1}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 4 \cdot 2 x$
$- 9 x + 1$	=	$2 x \cdot x - 8 x$

- 9 x + 1

=

2 x^{2} - 8 x

|

- 2 x^{2}

+ 8 x

$- 2 x^{2} - x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 1}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{1+3}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{1-3}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - x + 1$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 6} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{x}{3 (x - 2)} - 1

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 2)} - 1$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) - 1 \cdot (3 (x - 2))$	=
$x - 3 x + 6$	=
$- 2 x + 6$	=

$- 2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 7 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 7 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 7 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 7 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 7 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 7 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $- (2 + 5)$ = -7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 5$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):