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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2 x}{x + 3} - \frac{7}{x + 3}$ = $- 1$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- \frac{2 x}{x + 3} - \frac{7}{x + 3}$	=	$- 1$	\|⋅( $x + 3$ )
$- \frac{2 x}{x + 3} \cdot (x + 3) - \frac{7}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$- 1 \cdot (x + 3)$
$- 2 x - 7$	=	$- (x + 3)$

$- 2 x - 7$	=	$- x - 3$	\| $+ 7$
$- 2 x$	=	$- x + 4$	\| $+ x$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2$ = $- \frac{5 x}{3 x + 2} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$2$	=	$- \frac{5 x}{3 x + 2} - x$	\|⋅( $3 x + 2$ )
$2 \cdot (3 x + 2)$	=	$- \frac{5 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) - x \cdot (3 x + 2)$
$2 (3 x + 2)$	=	$- 5 x - x \cdot (3 x + 2)$
$6 x + 4$	=	$- 5 x - x \cdot (3 x + 2)$
$6 x + 4$	=	$- 3 x^{2} - 7 x$

6 x + 4

=

- 3 x^{2} - 7 x

|

+ 3 x^{2}

+ 7 x

$3 x^{2} + 13 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 13+11}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 13-11}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 13 x + 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{13}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{6})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $- \frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $- \frac{13}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{24}{6}$ = -4

x₂ = $- \frac{13}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{1}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 24,6}{x - 1} + 4 x$ = $- \frac{x}{5 x - 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$- \frac{24,6}{x - 1} + 4 x$	=	$\frac{- x}{5 x - 5}$
$- \frac{24,6}{x - 1} + 4 x$	=	$\frac{- x}{5 (x - 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 1)$ weg!

$- \frac{24,6}{x - 1} + 4 x$	=	$\frac{- x}{5 (x - 1)}$	\|⋅( $5 (x - 1)$ )
$\frac{- 24,6}{x - 1} \cdot (5 (x - 1)) + 4 x \cdot (5 (x - 1))$	=	$\frac{- x}{5 (x - 1)} \cdot (5 (x - 1))$
$- 123 + 20 x \cdot (x - 1)$	=	$- x$
$- 123 + (20 x^{2} - 20 x)$	=	$- x$
$20 x^{2} - 20 x - 123$	=	$- x$

20 x^{2} - 20 x - 123

=

- x

|

+ x

$20 x^{2} - 19 x - 123$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (- 123)}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 9 840}}{40}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{10 201}}{40}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{10 201}}{40}$ = $\frac{19+101}{40}$ = $\frac{120}{40}$ = $3$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{10 201}}{40}$ = $\frac{19-101}{40}$ = $\frac{- 82}{40}$ = $- 2,05$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $20$ " teilen:

$20 x^{2} - 19 x - 123$ = 0 |: $20$

$x^{2} - \frac{19}{20} x - \frac{123}{20}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{40})}^{2} - (- \frac{123}{20})$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{123}{20}$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{9840}{1600}$ = $\frac{10201}{1600}$

x_1,2 = $\frac{19}{40}$ ± $\sqrt{\frac{10201}{1600}}$

x₁ = $\frac{19}{40}$ - $\frac{101}{40}$ = $- \frac{82}{40}$ = -2.05

x₂ = $\frac{19}{40}$ + $\frac{101}{40}$ = $\frac{120}{40}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,05$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8}{x^{2}}$ = $- \frac{1}{x} - \frac{7}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{8}{x^{2}}$	=	$- \frac{1}{x} - \frac{7}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{8}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{7}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$8 x$	=	$- x^{2} - 7$

8 x

=

- x^{2} - 7

|

+ x^{2}

+ 7

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 4$ - $3$ = -7

x₂ = $- 4$ + $3$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 3$ = $\frac{- 19 x - 21}{4 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x + 3$	=	$\frac{- 19 x - 21}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x$	=	$\frac{- 19 x - 21}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x + 12 x$	=	$- 19 x - 21$
$4 x^{2} + 12 x$	=	$- 19 x - 21$

4 x^{2} + 12 x

=

- 19 x - 21

|

+ 19 x

+ 21

$4 x^{2} + 31 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{31^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{961 - 336}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{625}}{8}$

x₁ = $\frac{- 31 + \sqrt{625}}{8}$ = $\frac{- 31+25}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 31 - \sqrt{625}}{8}$ = $\frac{- 31-25}{8}$ = $\frac{- 56}{8}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 31 x + 21$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{31}{4} x + \frac{21}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{8})}^{2} - (\frac{21}{4})$ = $\frac{961}{64}$ $-$ $\frac{21}{4}$ = $\frac{961}{64}$ $-$ $\frac{336}{64}$ = $\frac{625}{64}$

x_1,2 = $- \frac{31}{8}$ ± $\sqrt{\frac{625}{64}}$

x₁ = $- \frac{31}{8}$ - $\frac{25}{8}$ = $- \frac{56}{8}$ = -7

x₂ = $- \frac{31}{8}$ + $\frac{25}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{2 x + 5} + \frac{3 x}{3 x + 9} + \frac{11 x - 1}{- 9 x - 27}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{5}{2}$ }

$\frac{11 x - 1}{- 9 x - 27} + \frac{x + 1}{2 x + 5} + \frac{3 x}{3 x + 9}$	=	0
$\frac{11 x - 1}{- 9 (x + 3)} + \frac{x + 1}{2 x + 5} + \frac{3 x}{3 (x + 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $9 (x + 3)$ weg!

$\frac{11 x - 1}{- 9 (x + 3)} + \frac{x + 1}{2 x + 5} + \frac{3 x}{3 (x + 3)}$	=	\|⋅( $9 (x + 3)$ )
$\frac{11 x - 1}{- 9 (x + 3)} \cdot (9 (x + 3)) + \frac{x + 1}{2 x + 5} \cdot (9 (x + 3)) + \frac{3 x}{3 (x + 3)} \cdot (9 (x + 3))$	=
$- 11 x + 1 + 9 \frac{(x + 1) \cdot (x + 3)}{2 x + 5} + 9 x$	=
$- 11 x + 1 + \frac{9 (x^{2} + 4 x + 3)}{2 x + 5} + 9 x$	=
$\frac{9 (x^{2} + 4 x + 3)}{2 x + 5} - 11 x + 9 x + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{9 (x^{2} + 4 x + 3)}{2 x + 5} - 11 x + 9 x + 1$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{9 (x^{2} + 4 x + 3)}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) - 11 x \cdot (2 x + 5) + 9 x \cdot (2 x + 5) + 1 \cdot (2 x + 5)$	=
$9 x^{2} + 36 x + 27 - 11 x \cdot (2 x + 5) + 9 x \cdot (2 x + 5) + 2 x + 5$	=
$9 x^{2} + 36 x + 27 + (- 22 x^{2} - 55 x) + (18 x^{2} + 45 x) + 2 x + 5$	=
$5 x^{2} + 28 x + 32$	=

$5 x^{2} + 28 x + 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 32}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 640}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{144}}{10}$

x₁ = $\frac{- 28 + \sqrt{144}}{10}$ = $\frac{- 28+12}{10}$ = $\frac{- 16}{10}$ = $- 1,6$

x₂ = $\frac{- 28 - \sqrt{144}}{10}$ = $\frac{- 28-12}{10}$ = $\frac{- 40}{10}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 28 x + 32$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{28}{5} x + \frac{32}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{14}{5})}^{2} - (\frac{32}{5})$ = $\frac{196}{25}$ $-$ $\frac{32}{5}$ = $\frac{196}{25}$ $-$ $\frac{160}{25}$ = $\frac{36}{25}$

x_1,2 = $- \frac{14}{5}$ ± $\sqrt{\frac{36}{25}}$

x₁ = $- \frac{14}{5}$ - $\frac{6}{5}$ = $- \frac{20}{5}$ = -4

x₂ = $- \frac{14}{5}$ + $\frac{6}{5}$ = $- \frac{8}{5}$ = -1.6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1,6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{15}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{15}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{15}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{15}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$15 + a x$	=	$- x^{2}$
$15 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):