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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{20}{x - 6}$ = $- 4$

D=R\{ $6$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 6$ weg!

$- \frac{20}{x - 6}$	=	$- 4$	\|⋅( $x - 6$ )
$- \frac{20}{x - 6} \cdot (x - 6)$	=	$- 4 \cdot (x - 6)$
$- 20$	=	$- 4 (x - 6)$

$- 20$	=	$- 4 x + 24$	\| $+ 20$ $+ 4 x$
$4 x$	=	$44$	\|: $4$
$x$	=	$11$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $11$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 9} + \frac{2}{x - 9}$ = $\frac{116}{x^{2} - 81}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 9$ ; $9$ }

\frac{x}{x + 9} + \frac{2}{x - 9}

=

\frac{116}{(x + 9) \cdot (x - 9)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 9) \cdot (x - 9)$ weg!

$\frac{x}{x + 9} + \frac{2}{x - 9}$	=	$\frac{116}{(x + 9) \cdot (x - 9)}$	\|⋅( $(x + 9) \cdot (x - 9)$ )
$\frac{x}{x + 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9) + \frac{2}{x - 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$	=	$\frac{116}{(x + 9) \cdot (x - 9)} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$
$x \cdot (x - 9) + 2 x + 18$	=	$116 \frac{x + 9}{x + 9}$
$x \cdot (x - 9) + 2 x + 18$	=	$116$
$x^{2} - 9 x + 2 x + 18$	=	$116$
$x^{2} - 7 x + 18$	=	$116$

x^{2} - 7 x + 18

=

116

|

- 116

$x^{2} - 7 x - 98$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 98)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 392}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{441}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{441}}{2}$ = $\frac{7+21}{2}$ = $\frac{28}{2}$ = $14$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{441}}{2}$ = $\frac{7-21}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 98)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $98$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{392}{4}$ = $\frac{441}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{441}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{21}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{21}{2}$ = $\frac{28}{2}$ = 14

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $14$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x + 4} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{2 x}{2 (x + 2)} - 2

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x + 2)} - 2$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) - 2 \cdot (x + 2)$	=
$x - 2 x - 4$	=
$- x - 4$	=

$- x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x + 14}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{9 x + 14}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{9 x + 14}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$9 x + 14$	=	$- x^{2}$

9 x + 14

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 11 x - 24}{2 x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 11 x - 24}{2 x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 11 x - 24}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 4 \cdot 2 x$
$- 11 x - 24$	=	$2 x \cdot x + 8 x$

- 11 x - 24

=

2 x^{2} + 8 x

|

- 2 x^{2}

- 8 x

$- 2 x^{2} - 19 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{19+13}{- 4}$ = $\frac{32}{- 4}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{19-13}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 19 x - 24$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{19}{2} x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{4})}^{2} - 12$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $12$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $\frac{192}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{19}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{19}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{19}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 8} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{x}{3 x - 8} - 1$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) - 1 \cdot (3 x - 8)$	=
$x - 3 x + 8$	=
$- 2 x + 8$	=

$- 2 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{20}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{20}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{20}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{20}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$20 + a x$	=	$- x^{2}$
$20 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

L={ $2$ ; $10$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):