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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9 x}{x + 12}$ = $5$

D=R\{ $- 12$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 12$ weg!

$\frac{9 x}{x + 12}$	=	$5$	\|⋅( $x + 12$ )
$\frac{9 x}{x + 12} \cdot (x + 12)$	=	$5 \cdot (x + 12)$
$9 x$	=	$5 (x + 12)$

$9 x$	=	$5 x + 60$	\| $- 5 x$
$4 x$	=	$60$	\|: $4$
$x$	=	$15$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $15$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 5} - \frac{7}{x - 5}$ = $\frac{29}{x^{2} - 25}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ ; $5$ }

\frac{x}{x + 5} - \frac{7}{x - 5}

=

\frac{29}{(x + 5) (x - 5)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 5) (x - 5)$ weg!

$\frac{x}{x + 5} - \frac{7}{x - 5}$	=	$\frac{29}{(x + 5) (x - 5)}$	\|⋅( $(x + 5) (x - 5)$ )
$\frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5) (x - 5) - \frac{7}{x - 5} \cdot (x + 5) (x - 5)$	=	$\frac{29}{(x + 5) (x - 5)} \cdot (x + 5) (x - 5)$
$x (x - 5) - 7 x - 35$	=	$29 \frac{x + 5}{x + 5}$
$x (x - 5) - 7 x - 35$	=	$29$
$x^{2} - 5 x - 7 x - 35$	=	$29$
$x^{2} - 12 x - 35$	=	$29$

x^{2} - 12 x - 35

=

29

|

- 29

$x^{2} - 12 x - 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 64)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 + 256}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{400}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{400}}{2}$ = $\frac{12+20}{2}$ = $\frac{32}{2}$ = $16$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{400}}{2}$ = $\frac{12-20}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - (- 64)$ = $36$ $+$ $64$ = $100$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{100}$

x₁ = $6$ - $10$ = -4

x₂ = $6$ + $10$ = 16

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $16$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{2 x} + \frac{8 x}{x - 3} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; 0}

\frac{8 x}{x - 3} + \frac{x - 1}{2 x} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{8 x}{x - 3} + \frac{x - 1}{2 x} - 3$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{8 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{x - 1}{2 x} \cdot (x - 3) - 3 \cdot (x - 3)$	=
$8 x + \frac{(x - 1) (x - 3)}{2 x} - 3 x + 9$	=
$8 x + \frac{x^{2} - 4 x + 3}{2 x} - 3 x + 9$	=
$\frac{x^{2} - 4 x + 3}{2 x} + 8 x - 3 x + 9$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{x^{2} - 4 x + 3}{2 x} + 8 x - 3 x + 9$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{x^{2} - 4 x + 3}{2 x} \cdot 2 x + 8 x \cdot 2 x - 3 x \cdot 2 x + 9 \cdot 2 x$	=
$x^{2} - 4 x + 3 + 16 x \cdot x - 6 x \cdot x + 18 x$	=
$x^{2} - 4 x + 3 + 16 x^{2} - 6 x^{2} + 18 x$	=
$11 x^{2} + 14 x + 3$	=

$11 x^{2} + 14 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 11 \cdot 3}}{2 \cdot 11}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 132}}{22}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{64}}{22}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{64}}{22}$ = $\frac{- 14+8}{22}$ = $\frac{- 6}{22}$ = $- \frac{3}{11}$ ≈ -0.27

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{64}}{22}$ = $\frac{- 14-8}{22}$ = $\frac{- 22}{22}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $11$ " teilen:

$11 x^{2} + 14 x + 3$ = 0 |: $11$

$x^{2} + \frac{14}{11} x + \frac{3}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{11})}^{2} - (\frac{3}{11})$ = $\frac{49}{121}$ $-$ $\frac{3}{11}$ = $\frac{49}{121}$ $-$ $\frac{33}{121}$ = $\frac{16}{121}$

x_1,2 = $- \frac{7}{11}$ ± $\sqrt{\frac{16}{121}}$

x₁ = $- \frac{7}{11}$ - $\frac{4}{11}$ = $- \frac{11}{11}$ = -1

x₂ = $- \frac{7}{11}$ + $\frac{4}{11}$ = $- \frac{3}{11}$ = -0.27272727272727

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{3}{11}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 + \frac{16}{x} - \frac{60}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 + \frac{16}{x} - \frac{60}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{16}{x} \cdot x^{2} - \frac{60}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} + 16 x - 60$

0

=

- x^{2} + 16 x - 60

|

+ x^{2}

- 16 x

+ 60

$x^{2} - 16 x + 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{16+4}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{16-4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 8)}^{2} - 60$ = $64$ $-$ $60$ = $4$

x_1,2 = $8$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $8$ - $2$ = 6

x₂ = $8$ + $2$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 - \frac{6}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$8 - \frac{6}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$8 \cdot x - \frac{6}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$8 x - 6$	=	$x \cdot x + x$

8 x - 6

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} + 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 7+5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 7-5}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{3 x - 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; $- \frac{1}{2}$ }

\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{6 x}{2 x + 1} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{6 x}{2 x + 1} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{4 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{6 x}{2 x + 1} \cdot (3 x - 1) - 4 \cdot (3 x - 1)$	=
$4 x + \frac{6 x (3 x - 1)}{2 x + 1} - 12 x + 4$	=
$4 x + \frac{18 x^{2} - 6 x}{2 x + 1} - 12 x + 4$	=
$\frac{18 x^{2} - 6 x}{2 x + 1} + 4 x - 12 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{18 x^{2} - 6 x}{2 x + 1} + 4 x - 12 x + 4$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{18 x^{2} - 6 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + 4 x \cdot (2 x + 1) - 12 x \cdot (2 x + 1) + 4 \cdot (2 x + 1)$	=
$18 x^{2} - 6 x + 4 x (2 x + 1) - 12 x (2 x + 1) + 8 x + 4$	=
$18 x^{2} - 6 x + (8 x^{2} + 4 x) + (- 24 x^{2} - 12 x) + 8 x + 4$	=
$2 x^{2} - 6 x + 4$	=

2 x^{2} - 6 x + 4

= 0 |:2

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $3$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $3$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$3$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$3 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$3 x$
$a + x^{2} - 3 x$	=	0
$x^{2} - 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (2 + 1)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):