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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{24}{x - 5}$ = $- 4$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{24}{x - 5}$	=	$- 4$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{24}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$- 4 \cdot (x - 5)$
$24$	=	$- 4 (x - 5)$

$24$	=	$- 4 x + 20$	\| $- 24$ $+ 4 x$
$4 x$	=	$- 4$	\|: $4$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 8} - \frac{8}{x + 8}$ = $\frac{145}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x - 8} - \frac{8}{x + 8}

=

\frac{145}{(x + 8) \cdot (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) \cdot (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x - 8} - \frac{8}{x + 8}$	=	$\frac{145}{(x + 8) \cdot (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) \cdot (x - 8)$ )
$\frac{x}{x - 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8) - \frac{8}{x + 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$	=	$\frac{145}{(x + 8) \cdot (x - 8)} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$
$x \cdot (x + 8) - 8 x + 64$	=	$145 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x \cdot (x + 8) - 8 x + 64$	=	$145$
$x^{2} + 8 x - 8 x + 64$	=	$145$
$x^{2} + 64$	=	$145$

$x^{2} + 64$	=	$145$	\| $- 64$
$x^{2}$	=	$81$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{81}$	= $- 9$
x₂	=	$\sqrt{81}$	= $9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $9$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{x - 2}{2 x} + \frac{- 13 x - 2}{3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- \frac{4}{3}$ }

\frac{- 13 x - 2}{3 x} + \frac{x - 2}{2 x} + \frac{3 x}{3 x + 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $6 x$ weg!

$\frac{- 13 x - 2}{3 x} + \frac{x - 2}{2 x} + \frac{3 x}{3 x + 4}$	=	\|⋅( $6 x$ )
$\frac{- 13 x - 2}{3 x} \cdot 6 x + \frac{x - 2}{2 x} \cdot 6 x + \frac{3 x}{3 x + 4} \cdot 6 x$	=
$- 26 x - 4 + 3 x - 6 + 6 \frac{3 x \cdot x}{3 x + 4}$	=
$- 26 x - 4 + 3 x - 6 + \frac{18 x^{2}}{3 x + 4}$	=
$\frac{18 x^{2}}{3 x + 4} - 26 x + 3 x - 4 - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{18 x^{2}}{3 x + 4} - 26 x + 3 x - 4 - 6$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{18 x^{2}}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) - 26 x \cdot (3 x + 4) + 3 x \cdot (3 x + 4) - 4 \cdot (3 x + 4) - 6 \cdot (3 x + 4)$	=
$18 x^{2} - 26 x \cdot (3 x + 4) + 3 x \cdot (3 x + 4) - 12 x - 16 - 18 x - 24$	=
$18 x^{2} + (- 78 x^{2} - 104 x) + (9 x^{2} + 12 x) - 12 x - 16 - 18 x - 24$	=
$- 51 x^{2} - 122 x - 40$	=

$- 51 x^{2} - 122 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 122 \pm \sqrt{{(- 122)}^{2} - 4 \cdot (- 51) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 51)}$

x_1,2 = $\frac{+ 122 \pm \sqrt{14 884 - 8 160}}{- 102}$

x_1,2 = $\frac{+ 122 \pm \sqrt{6 724}}{- 102}$

x₁ = $\frac{122 + \sqrt{6 724}}{- 102}$ = $\frac{122+82}{- 102}$ = $\frac{204}{- 102}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{122 - \sqrt{6 724}}{- 102}$ = $\frac{122-82}{- 102}$ = $\frac{40}{- 102}$ = $- \frac{20}{51}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 51$ " teilen:

$- 51 x^{2} - 122 x - 40$ = 0 |: $- 51$

$x^{2} + \frac{122}{51} x + \frac{40}{51}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{61}{51})}^{2} - (\frac{40}{51})$ = $\frac{3721}{2601}$ $-$ $\frac{40}{51}$ = $\frac{3721}{2601}$ $-$ $\frac{2040}{2601}$ = $\frac{1681}{2601}$

x_1,2 = $- \frac{61}{51}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{2601}}$

x₁ = $- \frac{61}{51}$ - $\frac{41}{51}$ = $- \frac{102}{51}$ = -2

x₂ = $- \frac{61}{51}$ + $\frac{41}{51}$ = $- \frac{20}{51}$ = -0.3921568627451

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{20}{51}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{5}{x}$ = $\frac{36}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{5}{x}$	=	$\frac{36}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{5}{x} \cdot x^{2}$	=	$\frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 5 x$	=	$36$

x^{2} - 5 x

=

36

|

- 36

$x^{2} - 5 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5+13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5-13}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $36$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $\frac{16 x - 3}{x + 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$3 x$	=	$\frac{16 x - 3}{x + 2}$	\|⋅( $x + 2$ )
$3 x \cdot (x + 2)$	=	$\frac{16 x - 3}{x + 2} \cdot (x + 2)$
$3 x \cdot (x + 2)$	=	$16 x - 3$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot 2$	=	$16 x - 3$
$3 x \cdot x + 6 x$	=	$16 x - 3$
$3 x^{2} + 6 x$	=	$16 x - 3$

3 x^{2} + 6 x

=

16 x - 3

|

- 16 x

+ 3

$3 x^{2} - 10 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{10+8}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{10-8}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 10 x + 3$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{10}{3} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{3})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $\frac{9}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $\frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $\frac{5}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{5}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x - 6} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{2 x}{3 (x - 2)} - 2

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{2 x}{3 (x - 2)} - 2$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{2 x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) - 2 \cdot (3 (x - 2))$	=
$2 x - 6 x + 12$	=
$- 4 x + 12$	=

$- 4 x + 12$	=	0	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$8 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$8 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$8 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$8 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$8 x + a$	=	$- x^{2}$
$8 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $- (2 - 10)$ = 8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 10)$ = $- 20$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -20 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):