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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2}{x}$ = $\frac{3}{4}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2}{x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{2}{x} \cdot x$	=	$\frac{3}{4} \cdot x$
$2$	=	$\frac{3}{4} x$

$2$	=	$\frac{3}{4} x$	\|⋅ 4
$8$	=	$3 x$	\| $- 8$ $- 3 x$
$- 3 x$	=	$- 8$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$\frac{8}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{8}{3}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 9} + \frac{5}{x - 9}$ = $\frac{122}{x^{2} - 81}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 9$ ; $9$ }

\frac{x}{x + 9} + \frac{5}{x - 9}

=

\frac{122}{(x + 9) (x - 9)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 9) (x - 9)$ weg!

$\frac{x}{x + 9} + \frac{5}{x - 9}$	=	$\frac{122}{(x + 9) (x - 9)}$	\|⋅( $(x + 9) (x - 9)$ )
$\frac{x}{x + 9} \cdot (x + 9) (x - 9) + \frac{5}{x - 9} \cdot (x + 9) (x - 9)$	=	$\frac{122}{(x + 9) (x - 9)} \cdot (x + 9) (x - 9)$
$x (x - 9) + 5 x + 45$	=	$122 \frac{x + 9}{x + 9}$
$x (x - 9) + 5 x + 45$	=	$122$
$x^{2} - 9 x + 5 x + 45$	=	$122$
$x^{2} - 4 x + 45$	=	$122$

x^{2} - 4 x + 45

=

122

|

- 122

$x^{2} - 4 x - 77$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 77)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 308}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{324}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{4+18}{2}$ = $\frac{22}{2}$ = $11$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{4-18}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 77)$ = $4$ $+$ $77$ = $81$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{81}$

x₁ = $2$ - $9$ = -7

x₂ = $2$ + $9$ = 11

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $11$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{2 x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x + 1}{2 x} - 2$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x + 1}{2 x} \cdot 2 x - 2 \cdot 2 x$	=
$3 x + 1 - 4 x$	=
$- x + 1$	=

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$ = $\frac{15}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$	=	$\frac{15}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{2}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{15}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 2 x$	=	$15$

x^{2} + 2 x

=

15

|

- 15

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 - \frac{6}{x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 2 - \frac{6}{x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$- 2 \cdot x - \frac{6}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$- 2 x - 6$	=	$x \cdot x + 5 x$

- 2 x - 6

=

x^{2} + 5 x

|

- x^{2}

- 5 x

$- x^{2} - 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{7+5}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{7-5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 10} + \frac{3 x}{2 x + 4} + \frac{- 15 x}{6 x + 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{10}{3}$ }

$\frac{3 x}{2 x + 4} + \frac{x}{3 x + 10} - \frac{15 x}{6 x + 12}$	=	0
$\frac{3 x}{2 (x + 2)} + \frac{x}{3 x + 10} - \frac{15 x}{6 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{3 x}{2 (x + 2)} + \frac{x}{3 x + 10} - \frac{15 x}{6 (x + 2)}$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{3 x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{x}{3 x + 10} \cdot (2 (x + 2)) - \frac{15 x}{6 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2))$	=
$3 x + 2 \frac{x (x + 2)}{3 x + 10} - 5 x$	=
$3 x + \frac{2 (x^{2} + 2 x)}{3 x + 10} - 5 x$	=
$\frac{2 (x^{2} + 2 x)}{3 x + 10} + 3 x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{2 (x^{2} + 2 x)}{3 x + 10} + 3 x - 5 x$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{2 (x^{2} + 2 x)}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + 3 x \cdot (3 x + 10) - 5 x \cdot (3 x + 10)$	=
$2 x^{2} + 4 x + 3 x (3 x + 10) - 5 x (3 x + 10)$	=
$2 x^{2} + 4 x + (9 x^{2} + 30 x) + (- 15 x^{2} - 50 x)$	=
$- 4 x^{2} - 16 x$	=

$- 4 x^{2} - 16 x$	=	0
$- 4 x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $8$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $8$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$8$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$8 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$8 x$
$a + x^{2} - 8 x$	=	0
$x^{2} - 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $- (2 + 6)$ = -8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 6$ = $12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):