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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3}{x}$ = $\frac{9}{7}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3}{x}$	=	$\frac{9}{7}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{3}{x} \cdot x$	=	$\frac{9}{7} \cdot x$
$3$	=	$\frac{9}{7} x$

$3$	=	$\frac{9}{7} x$	\|⋅ 7
$21$	=	$9 x$	\| $- 21$ $- 9 x$
$- 9 x$	=	$- 21$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$\frac{7}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{7}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x - 3$ = $- \frac{- 66}{x - 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$2 x - 3$	=	$\frac{66}{x - 2}$	\|⋅( $x - 2$ )
$2 x \cdot (x - 2) - 3 \cdot (x - 2)$	=	$\frac{66}{x - 2} \cdot (x - 2)$
$2 x (x - 2) - 3 x + 6$	=	$66$
$2 x^{2} - 4 x - 3 x + 6$	=	$66$
$2 x^{2} - 7 x + 6$	=	$66$

2 x^{2} - 7 x + 6

=

66

|

- 66

$2 x^{2} - 7 x - 60$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 480}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{7+23}{4}$ = $\frac{30}{4}$ = $7,5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{7-23}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $7,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{2 x + 4} + \frac{4 x}{x - 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 2$ }

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{2 x + 4} - 5$	=	0
$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{2 (x + 2)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{2 (x + 2)} - 5$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{x - 1}{2 (x + 2)} \cdot (x - 1) - 5 \cdot (x - 1)$	=
$4 x + \frac{(x - 1) (x - 1)}{2 (x + 2)} - 5 x + 5$	=
$4 x + \frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 (x + 2)} - 5 x + 5$	=
$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 (x + 2)} + 4 x - 5 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 (x + 2)} + 4 x - 5 x + 5$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + 4 x \cdot (2 (x + 2)) - 5 x \cdot (2 (x + 2)) + 5 \cdot (2 (x + 2))$	=
$x^{2} - 2 x + 1 + 8 x (x + 2) - 10 x (x + 2) + 10 x + 20$	=
$x^{2} - 2 x + 1 + (8 x^{2} + 16 x) + (- 10 x^{2} - 20 x) + 10 x + 20$	=
$- x^{2} + 4 x + 21$	=

$- x^{2} + 4 x + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 21}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 4+10}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 4-10}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $7$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{9 x - 10}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{9 x - 10}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{9 x - 10}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$9 x - 10$

- x^{2}

=

9 x - 10

|

- 9 x

+ 10

$- x^{2} - 9 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{121}}{- 2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{9+11}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{9-11}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 9 x + 3}{x - 5}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{- 9 x + 3}{x - 5}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{- 9 x + 3}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$2 x \cdot (x - 5)$
$- 9 x + 3$	=	$2 x (x - 5)$
$- 9 x + 3$	=	$2 x^{2} - 10 x$

- 9 x + 3

=

2 x^{2} - 10 x

|

- 2 x^{2}

+ 10 x

$- 2 x^{2} + x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 3}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 1+5}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 1-5}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{8 x}{x - 1} + \frac{- 45 x}{6 x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{1}{2}$ }

$\frac{8 x}{x - 1} + \frac{3 x}{2 x - 1} - \frac{45 x}{6 x - 3}$	=	0
$\frac{8 x}{x - 1} + \frac{3 x}{2 x - 1} - \frac{45 x}{3 (2 x - 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{8 x}{x - 1} + \frac{3 x}{2 x - 1} - \frac{45 x}{3 (2 x - 1)}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{8 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{3 x}{2 x - 1} \cdot (x - 1) - \frac{45 x}{3 (2 x - 1)} \cdot (x - 1)$	=
$8 x + \frac{3 x (x - 1)}{2 x - 1} - \frac{15 x (x - 1)}{2 x - 1}$	=
$8 x + \frac{3 x^{2} - 3 x}{2 x - 1} - \frac{15 x^{2} - 15 x}{2 x - 1}$	=
$\frac{3 x^{2} - 3 x - 15 x^{2} + 15 x}{2 x - 1} + 8 x$	=

\frac{3 x^{2} - 15 x^{2} - 3 x + 15 x}{2 x - 1} + 8 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 15 x^{2} - 3 x + 15 x}{2 x - 1} + 8 x$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{3 x^{2} - 15 x^{2} - 3 x + 15 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + 8 x \cdot (2 x - 1)$	=
$3 x^{2} - 15 x^{2} - 3 x + 15 x + 8 x (2 x - 1)$	=
$3 x^{2} - 15 x^{2} - 3 x + 15 x + (16 x^{2} - 8 x)$	=
$4 x^{2} + 4 x$	=

$4 x^{2} + 4 x$	=	0
$4 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$1 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$1 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x + x^{2}$	=	$- a$
$x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter