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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{2}{3 x + 4}$ = $- 1$

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{2}{3 x + 4}$	=	$- 1$	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{3 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{2}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4)$	=	$- 1 \cdot (3 x + 4)$
$3 x + 2$	=	$- (3 x + 4)$

$3 x + 2$	=	$- 3 x - 4$	\| $- 2$
$3 x$	=	$- 3 x - 6$	\| $+ 3 x$
$6 x$	=	$- 6$	\|: $6$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x + 2}$ = $\frac{17}{x^{2} - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $2$ }

\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x + 2}

=

\frac{17}{(x + 2) \cdot (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 2) \cdot (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x + 2}$	=	$\frac{17}{(x + 2) \cdot (x - 2)}$	\|⋅( $(x + 2) \cdot (x - 2)$ )
$\frac{x}{x - 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) + \frac{2}{x + 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$	=	$\frac{17}{(x + 2) \cdot (x - 2)} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$
$x \cdot (x + 2) + 2 x - 4$	=	$17 \frac{x + 2}{x + 2}$
$x \cdot (x + 2) + 2 x - 4$	=	$17$
$x^{2} + 2 x + 2 x - 4$	=	$17$
$x^{2} + 4 x - 4$	=	$17$

x^{2} + 4 x - 4

=

17

|

- 17

$x^{2} + 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 2$ - $5$ = -7

x₂ = $- 2$ + $5$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{x + 1} + \frac{6 x}{3 x - 3} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 1$ }

$\frac{6 x}{3 x - 3} + \frac{5 x - 1}{x + 1} - 7$	=	0
$\frac{6 x}{3 (x - 1)} + \frac{5 x - 1}{x + 1} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 (x - 1)} + \frac{5 x - 1}{x + 1} - 7$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x}{3 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{5 x - 1}{x + 1} \cdot (x - 1) - 7 \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{(5 x - 1) \cdot (x - 1)}{x + 1} - 7 x + 7$	=
$2 x + \frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{x + 1} - 7 x + 7$	=
$\frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{x + 1} + 2 x - 7 x + 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{x + 1} + 2 x - 7 x + 7$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) - 7 x \cdot (x + 1) + 7 \cdot (x + 1)$	=
$5 x^{2} - 6 x + 1 + 2 x \cdot (x + 1) - 7 x \cdot (x + 1) + 7 x + 7$	=
$5 x^{2} - 6 x + 1 + (2 x^{2} + 2 x) + (- 7 x^{2} - 7 x) + 7 x + 7$	=
$- 4 x + 8$	=

$- 4 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{15}{x} + \frac{56}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{15}{x} + \frac{56}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{15}{x} \cdot x^{2} + \frac{56}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$15 x + 56$	=	$- x^{2}$

15 x + 56

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 15 x + 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 15+1}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 15-1}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 56$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $56$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{224}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x - 12}{2 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{9 x - 12}{2 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{9 x - 12}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 1 \cdot 2 x$
$9 x - 12$	=	$2 x \cdot x - 2 x$

9 x - 12

=

2 x^{2} - 2 x

|

- 2 x^{2}

+ 2 x

$- 2 x^{2} + 11 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 11+5}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 11-5}{- 4}$ = $\frac{- 16}{- 4}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 11 x - 12$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{11}{2} x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{4})}^{2} - 6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{11}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{11}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 6} + \frac{3 x - 3}{x} + \frac{- 9 x - 3}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 2$ }

$\frac{3 x - 3 - 9 x - 3}{x} + \frac{4 x}{3 x + 6}$	=	0
$\frac{3 x - 3 - 9 x - 3}{x} + \frac{4 x}{3 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x - 3 - 9 x - 3}{x} + \frac{4 x}{3 (x + 2)}$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x - 3 - 9 x - 3}{x} \cdot x + \frac{4 x}{3 (x + 2)} \cdot x$	=
$3 x - 3 - 9 x - 3 + \frac{4 x \cdot x}{3 (x + 2)}$	=
$3 x - 3 - 9 x - 3 + \frac{4 x^{2}}{3 (x + 2)}$	=
$\frac{4 x^{2}}{3 (x + 2)} + 3 x - 9 x - 3 - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{4 x^{2}}{3 (x + 2)} + 3 x - 9 x - 3 - 3$	=	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{4 x^{2}}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + 3 x \cdot (3 (x + 2)) - 9 x \cdot (3 (x + 2)) - 3 \cdot (3 (x + 2)) - 3 \cdot (3 (x + 2))$	=
$4 x^{2} + 9 x \cdot (x + 2) - 27 x \cdot (x + 2) - 9 x - 18 - 9 x - 18$	=
$4 x^{2} + (9 x^{2} + 18 x) + (- 27 x^{2} - 54 x) - 9 x - 18 - 9 x - 18$	=
$- 14 x^{2} - 54 x - 36$	=

- 14 x^{2} - 54 x - 36

= 0 |:2

$- 7 x^{2} - 27 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 504}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{225}}{- 14}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{225}}{- 14}$ = $\frac{27+15}{- 14}$ = $\frac{42}{- 14}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{225}}{- 14}$ = $\frac{27-15}{- 14}$ = $\frac{12}{- 14}$ = $- \frac{6}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} - 27 x - 18$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} + \frac{27}{7} x + \frac{18}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{27}{14})}^{2} - (\frac{18}{7})$ = $\frac{729}{196}$ $-$ $\frac{18}{7}$ = $\frac{729}{196}$ $-$ $\frac{504}{196}$ = $\frac{225}{196}$

x_1,2 = $- \frac{27}{14}$ ± $\sqrt{\frac{225}{196}}$

x₁ = $- \frac{27}{14}$ - $\frac{15}{14}$ = $- \frac{42}{14}$ = -3

x₂ = $- \frac{27}{14}$ + $\frac{15}{14}$ = $- \frac{12}{14}$ = -0.85714285714286

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{6}{7}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{12}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 12$	=	$- x^{2}$
$a x + 12 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):