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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6}{x + 9}$ = $1$

D=R\{ $- 9$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 9$ weg!

$\frac{6}{x + 9}$	=	$1$	\|⋅( $x + 9$ )
$\frac{6}{x + 9} \cdot (x + 9)$	=	$1 \cdot (x + 9)$
$6$	=	$x + 9$

$6$	=	$x + 9$	\| $- 6$ $- x$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 4} + \frac{5}{x - 4}$ = $\frac{22}{x^{2} - 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ ; $4$ }

\frac{x}{x + 4} + \frac{5}{x - 4}

=

\frac{22}{(x + 4) (x - 4)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 4) (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{x + 4} + \frac{5}{x - 4}$	=	$\frac{22}{(x + 4) (x - 4)}$	\|⋅( $(x + 4) (x - 4)$ )
$\frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4) (x - 4) + \frac{5}{x - 4} \cdot (x + 4) (x - 4)$	=	$\frac{22}{(x + 4) (x - 4)} \cdot (x + 4) (x - 4)$
$x (x - 4) + 5 x + 20$	=	$22 \frac{x + 4}{x + 4}$
$x (x - 4) + 5 x + 20$	=	$22$
$x^{2} - 4 x + 5 x + 20$	=	$22$
$x^{2} + x + 20$	=	$22$

x^{2} + x + 20

=

22

|

- 22

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 6} + \frac{10}{x - 3}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{x}{2 x - 6} + \frac{10}{x - 3}$	=	$3 x$
$\frac{x}{2 (x - 3)} + \frac{10}{x - 3}$	=	$3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 3)} + \frac{10}{x - 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + \frac{10}{x - 3} \cdot (2 (x - 3))$	=	$3 x \cdot (2 (x - 3))$
$x + 20$	=	$6 x (x - 3)$
$x + 20$	=	$6 x^{2} - 18 x$

x + 20

=

6 x^{2} - 18 x

|

- 6 x^{2}

+ 18 x

$- 6 x^{2} + 19 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 20}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 480}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{841}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{841}}{- 12}$ = $\frac{- 19+29}{- 12}$ = $\frac{10}{- 12}$ = $- \frac{5}{6}$ ≈ -0.83

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{841}}{- 12}$ = $\frac{- 19-29}{- 12}$ = $\frac{- 48}{- 12}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 19 x + 20$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{19}{6} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{12})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{361}{144}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{361}{144}$ $+$ $\frac{480}{144}$ = $\frac{841}{144}$

x_1,2 = $\frac{19}{12}$ ± $\sqrt{\frac{841}{144}}$

x₁ = $\frac{19}{12}$ - $\frac{29}{12}$ = $- \frac{10}{12}$ = -0.83333333333333

x₂ = $\frac{19}{12}$ + $\frac{29}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{5}{6}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2}{x}$ = $- 1 + \frac{80}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{2}{x}$	=	$- 1 + \frac{80}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{2}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{80}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$2 x$	=	$- x^{2} + 80$

2 x

=

- x^{2} + 80

|

+ x^{2}

- 80

$x^{2} + 2 x - 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 80)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{324}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{- 2+18}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{- 2-18}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 80)$ = $1$ $+$ $80$ = $81$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{81}$

x₁ = $- 1$ - $9$ = -10

x₂ = $- 1$ + $9$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 1$ = $4 - \frac{6}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 1$	=	$4 - \frac{6}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 1 \cdot x$	=	$4 \cdot x - \frac{6}{x} \cdot x$
$x \cdot x - x$	=	$4 x - 6$
$x^{2} - x$	=	$4 x - 6$

x^{2} - x

=

4 x - 6

|

- 4 x

+ 6

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{3 x + 9} + \frac{x}{x + 2} + \frac{- 2 x}{x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 3$ }

$\frac{x}{x + 2} + \frac{2 x + 2}{3 x + 9} - \frac{2 x}{x + 2}$	=	0
$\frac{x}{x + 2} + \frac{2 x + 2}{3 (x + 3)} - \frac{2 x}{x + 2}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{x}{x + 2} + \frac{2 x + 2}{3 (x + 3)} - \frac{2 x}{x + 2}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{2 x + 2}{3 (x + 3)} \cdot (x + 2) - \frac{2 x}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=
$x + \frac{(2 x + 2) (x + 2)}{3 (x + 3)} - 2 x$	=
$x + \frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{3 (x + 3)} - 2 x$	=
$\frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{3 (x + 3)} + x - 2 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{3 (x + 3)} + x - 2 x$	=	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$\frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) + x \cdot (3 (x + 3)) - 2 x \cdot (3 (x + 3))$	=
$2 x^{2} + 6 x + 4 + 3 x (x + 3) - 6 x (x + 3)$	=
$2 x^{2} + 6 x + 4 + (3 x^{2} + 9 x) + (- 6 x^{2} - 18 x)$	=
$- x^{2} - 3 x + 4$	=

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3+5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3-5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{12}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{12}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{12}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{12}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 12 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 12 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):