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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{1}{x}$ = $\frac{1}{2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x$	=	$\frac{1}{2} \cdot x$
$- 1$	=	$\frac{1}{2} x$

$- 1$	=	$\frac{1}{2} x$	\|⋅ 2
$- 2$	=	$x$	\| $+ 2$ $- x$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 4 x}{3 x - 4}$ = $- x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{- 4 x}{3 x - 4}$	=	$- x + 5$	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{- 4 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4)$	=	$- x \cdot (3 x - 4) + 5 \cdot (3 x - 4)$
$- \frac{4 x}{1}$	=	$- x \cdot (3 x - 4) + 15 x - 20$
$- 4 x$	=	$- x \cdot (3 x - 4) + 15 x - 20$
$- 4 x$	=	$- 3 x^{2} + 19 x - 20$

- 4 x

=

- 3 x^{2} + 19 x - 20

|

+ 3 x^{2}

- 19 x

+ 20

$3 x^{2} - 23 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 20}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 240}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{289}}{6}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{289}}{6}$ = $\frac{23+17}{6}$ = $\frac{40}{6}$ = $\frac{20}{3}$ ≈ 6.67

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{289}}{6}$ = $\frac{23-17}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 23 x + 20$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{23}{3} x + \frac{20}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{6})}^{2} - (\frac{20}{3})$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{20}{3}$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{240}{36}$ = $\frac{289}{36}$

x_1,2 = $\frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{289}{36}}$

x₁ = $\frac{23}{6}$ - $\frac{17}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

x₂ = $\frac{23}{6}$ + $\frac{17}{6}$ = $\frac{40}{6}$ = 6.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $\frac{20}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{5 x + 1}{x - 1} + \frac{- 18 x}{2 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; $1$ }

$\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{5 x + 1}{x - 1} - \frac{18 x}{2 x - 2}$	=	0
$\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{5 x + 1}{x - 1} - \frac{18 x}{2 (x - 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{5 x + 1}{x - 1} - \frac{18 x}{2 (x - 1)}$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{6 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{5 x + 1}{x - 1} \cdot (3 x + 2) - \frac{18 x}{2 (x - 1)} \cdot (3 x + 2)$	=
$6 x + \frac{(5 x + 1) \cdot (3 x + 2)}{x - 1} - \frac{9 x \cdot (3 x + 2)}{x - 1}$	=
$6 x + \frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{x - 1} - \frac{27 x^{2} + 18 x}{x - 1}$	=
$\frac{15 x^{2} + 13 x + 2 - 27 x^{2} - 18 x}{x - 1} + 6 x$	=

\frac{15 x^{2} - 27 x^{2} + 13 x - 18 x + 2}{x - 1} + 6 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{15 x^{2} - 27 x^{2} + 13 x - 18 x + 2}{x - 1} + 6 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{15 x^{2} - 27 x^{2} + 13 x - 18 x + 2}{x - 1} \cdot (x - 1) + 6 x \cdot (x - 1)$	=
$15 x^{2} - 27 x^{2} + 13 x - 18 x + 2 + 6 x \cdot (x - 1)$	=
$15 x^{2} - 27 x^{2} + 13 x - 18 x + 2 + (6 x^{2} - 6 x)$	=
$- 6 x^{2} - 11 x + 2$	=

$- 6 x^{2} - 11 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 2}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{169}}{- 12}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{169}}{- 12}$ = $\frac{11+13}{- 12}$ = $\frac{24}{- 12}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{169}}{- 12}$ = $\frac{11-13}{- 12}$ = $\frac{- 2}{- 12}$ = $\frac{1}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} - 11 x + 2$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} + \frac{11}{6} x - \frac{1}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{12})}^{2} - (- \frac{1}{3})$ = $\frac{121}{144}$ $+$ $\frac{1}{3}$ = $\frac{121}{144}$ $+$ $\frac{48}{144}$ = $\frac{169}{144}$

x_1,2 = $- \frac{11}{12}$ ± $\sqrt{\frac{169}{144}}$

x₁ = $- \frac{11}{12}$ - $\frac{13}{12}$ = $- \frac{24}{12}$ = -2

x₂ = $- \frac{11}{12}$ + $\frac{13}{12}$ = $\frac{2}{12}$ = 0.16666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{1}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{24}{x^{2}}$ = $- \frac{2}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{24}{x^{2}}$	=	$- \frac{2}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{24}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{2}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 24$	=	$- 2 x$

x^{2} - 24

=

- 2 x

|

+ 2 x

$x^{2} + 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 3$ = $\frac{- 2 x - 2}{3 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x - 3$	=	$\frac{- 2 x - 2}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x - 3 \cdot 3 x$	=	$\frac{- 2 x - 2}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x - 9 x$	=	$- 2 x - 2$
$3 x^{2} - 9 x$	=	$- 2 x - 2$

3 x^{2} - 9 x

=

- 2 x - 2

|

+ 2 x

+ 2

$3 x^{2} - 7 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{7+5}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{7-5}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 7 x + 2$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{7}{3} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{6})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $\frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $\frac{7}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{7}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{24 x}{- 9 x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $1$ }

$\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{2 x}{x - 1} + \frac{24 x}{- 9 x - 3}$	=	0
$\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{2 x}{x - 1} + \frac{24 x}{- 3 (3 x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{2 x}{x - 1} + \frac{24 x}{- 3 (3 x + 1)}$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{6 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{2 x}{x - 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{24 x}{- 3 (3 x + 1)} \cdot (3 x + 1)$	=
$6 x + \frac{2 x \cdot (3 x + 1)}{x - 1} - 8 x$	=
$6 x + \frac{6 x^{2} + 2 x}{x - 1} - 8 x$	=
$\frac{6 x^{2} + 2 x}{x - 1} + 6 x - 8 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 2 x}{x - 1} + 6 x - 8 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 2 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 6 x \cdot (x - 1) - 8 x \cdot (x - 1)$	=
$6 x^{2} + 2 x + 6 x \cdot (x - 1) - 8 x \cdot (x - 1)$	=
$6 x^{2} + 2 x + (6 x^{2} - 6 x) + (- 8 x^{2} + 8 x)$	=
$4 x^{2} + 4 x$	=

$4 x^{2} + 4 x$	=	0
$4 x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 11$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 11$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 11$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 11 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 11 x$	=	$- a$
$x^{2} + 11 x + a$	=	0
$x^{2} + 11 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 11 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 11 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -13 würde es funktionieren, denn $- (2 - 13)$ = 11

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 13)$ = $- 26$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -26 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 11 x - 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 26)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 11+15}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 11-15}{2}$ = $\frac{- 26}{2}$ = $- 13$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - (- 26)$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $26$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $\frac{104}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{26}{2}$ = -13

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 13$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):