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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{5}{x - 6}$ = $- 5$

D=R\{ $6$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 6$ weg!

$- \frac{5}{x - 6}$	=	$- 5$	\|⋅( $x - 6$ )
$- \frac{5}{x - 6} \cdot (x - 6)$	=	$- 5 \cdot (x - 6)$
$- 5$	=	$- 5 (x - 6)$

$- 5$	=	$- 5 x + 30$	\| $+ 5$ $+ 5 x$
$5 x$	=	$35$	\|: $5$
$x$	=	$7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 20}{x + 2}$ = $- x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{20}{x + 2}$	=	$- x - 1$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{20}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- x \cdot (x + 2) - 1 \cdot (x + 2)$
$- 20$	=	$- x \cdot (x + 2) - x - 2$
$- 20$	=	$- x^{2} - 3 x - 2$

- 20

=

- x^{2} - 3 x - 2

|

+ x^{2}

+ 3 x

+ 2

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11,4}{x - 2}$ = $- \frac{x}{5 x - 10} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{11,4}{x - 2}

=

- \frac{x}{5 (x - 2)} + 4 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 2)$ weg!

$\frac{11,4}{x - 2}$	=	$- \frac{x}{5 (x - 2)} + 4 x$	\|⋅( $5 (x - 2)$ )
$\frac{11,4}{x - 2} \cdot (5 (x - 2))$	=	$- \frac{x}{5 (x - 2)} \cdot (5 (x - 2)) + 4 x \cdot (5 (x - 2))$
$57$	=	$- x + 20 x \cdot (x - 2)$
$57$	=	$20 x^{2} - 41 x$

57

=

20 x^{2} - 41 x

|

- 20 x^{2}

+ 41 x

$- 20 x^{2} + 41 x + 57$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{41^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot 57}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{1 681 + 4 560}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{6 241}}{- 40}$

x₁ = $\frac{- 41 + \sqrt{6 241}}{- 40}$ = $\frac{- 41+79}{- 40}$ = $\frac{38}{- 40}$ = $- 0,95$

x₂ = $\frac{- 41 - \sqrt{6 241}}{- 40}$ = $\frac{- 41-79}{- 40}$ = $\frac{- 120}{- 40}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} + 41 x + 57$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} - \frac{41}{20} x - \frac{57}{20}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{41}{40})}^{2} - (- \frac{57}{20})$ = $\frac{1681}{1600}$ $+$ $\frac{57}{20}$ = $\frac{1681}{1600}$ $+$ $\frac{4560}{1600}$ = $\frac{6241}{1600}$

x_1,2 = $\frac{41}{40}$ ± $\sqrt{\frac{6241}{1600}}$

x₁ = $\frac{41}{40}$ - $\frac{79}{40}$ = $- \frac{38}{40}$ = -0.95

x₂ = $\frac{41}{40}$ + $\frac{79}{40}$ = $\frac{120}{40}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,95$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{11}{x} + \frac{18}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{11}{x} + \frac{18}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{11}{x} \cdot x^{2} + \frac{18}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} + 11 x + 18$	=

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 4$ = $\frac{- 35 x - 14}{3 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x - 4$	=	$\frac{- 35 x - 14}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x - 4 \cdot 3 x$	=	$\frac{- 35 x - 14}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x - 12 x$	=	$- 35 x - 14$
$3 x^{2} - 12 x$	=	$- 35 x - 14$

3 x^{2} - 12 x

=

- 35 x - 14

|

+ 35 x

+ 14

$3 x^{2} + 23 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 14}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 168}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{361}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{361}}{6}$ = $\frac{- 23+19}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{361}}{6}$ = $\frac{- 23-19}{6}$ = $\frac{- 42}{6}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 23 x + 14$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{23}{3} x + \frac{14}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{6})}^{2} - (\frac{14}{3})$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{14}{3}$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{168}{36}$ = $\frac{361}{36}$

x_1,2 = $- \frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{361}{36}}$

x₁ = $- \frac{23}{6}$ - $\frac{19}{6}$ = $- \frac{42}{6}$ = -7

x₂ = $- \frac{23}{6}$ + $\frac{19}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 3}{x} + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} + \frac{4 x + 3}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $\frac{5}{3}$ }

\frac{2 x + 3 - 4 x - 3}{x} + \frac{3 x - 1}{3 x - 5}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x + 3 - 4 x - 3}{x} + \frac{3 x - 1}{3 x - 5}$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x + 3 - 4 x - 3}{x} \cdot x + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} \cdot x$	=
$2 x + 3 - 4 x - 3 + \frac{(3 x - 1) x}{3 x - 5}$	=
$2 x + 3 - 4 x - 3 + \frac{3 x^{2} - x}{3 x - 5}$	=
$\frac{3 x^{2} - x}{3 x - 5} + 2 x - 4 x + 3 - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{3 x^{2} - x}{3 x - 5} + 2 x - 4 x + 3 - 3$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{3 x^{2} - x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + 2 x \cdot (3 x - 5) - 4 x \cdot (3 x - 5) + 3 \cdot (3 x - 5) - 3 \cdot (3 x - 5)$	=
$3 x^{2} - x + 2 x \cdot (3 x - 5) - 4 x \cdot (3 x - 5) + 9 x - 15 - 9 x + 15$	=
$3 x^{2} - x + (6 x^{2} - 10 x) + (- 12 x^{2} + 20 x) + 9 x - 15 - 9 x + 15$	=
$- 3 x^{2} + 9 x$	=

$- 3 x^{2} + 9 x$	=	0
$3 x \cdot (- x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$3$

Lösung x=0 ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{18}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{18}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$18$
$x^{2} + a x - 18$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):