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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6}{x}$ = $\frac{5}{7}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{6}{x}$	=	$\frac{5}{7}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{6}{x} \cdot x$	=	$\frac{5}{7} \cdot x$
$- 6$	=	$\frac{5}{7} x$

$- 6$	=	$\frac{5}{7} x$	\|⋅ 7
$- 42$	=	$5 x$	\| $+ 42$ $- 5 x$
$- 5 x$	=	$42$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- \frac{42}{5}$ = -8.4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{42}{5}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{8 x}{3 x + 5} + \frac{120}{6 x + 10}$ = $1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

- \frac{8 x}{3 x + 5} + \frac{120}{2 (3 x + 5)}

=

1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$- \frac{8 x}{3 x + 5} + \frac{120}{2 (3 x + 5)}$	=	$1$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$- \frac{8 x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + \frac{120}{2 (3 x + 5)} \cdot (3 x + 5)$	=	$1 \cdot (3 x + 5)$
$- 8 x + 60$	=	$3 x + 5$

$- 8 x + 60$	=	$3 x + 5$	\| $- 60$
$- 8 x$	=	$3 x - 55$	\| $- 3 x$
$- 11 x$	=	$- 55$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 10} + 4 x$ = $- \frac{4,2}{x + 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{x}{5 (x + 2)} + 4 x

=

- \frac{4,2}{x + 2}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 2)} + 4 x$	=	$- \frac{4,2}{x + 2}$	\|⋅( $5 (x + 2)$ )
$\frac{x}{5 (x + 2)} \cdot (5 (x + 2)) + 4 x \cdot (5 (x + 2))$	=	$- \frac{4,2}{x + 2} \cdot (5 (x + 2))$
$x + 20 x \cdot (x + 2)$	=	$- 21$
$x + (20 x^{2} + 40 x)$	=	$- 21$
$20 x^{2} + 41 x$	=	$- 21$

20 x^{2} + 41 x

=

- 21

|

+ 21

$20 x^{2} + 41 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{41^{2} - 4 \cdot 20 \cdot 21}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{1 681 - 1 680}}{40}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{1}}{40}$

x₁ = $\frac{- 41 + \sqrt{1}}{40}$ = $\frac{- 41+1}{40}$ = $\frac{- 40}{40}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 41 - \sqrt{1}}{40}$ = $\frac{- 41-1}{40}$ = $\frac{- 42}{40}$ = $- 1,05$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $20$ " teilen:

$20 x^{2} + 41 x + 21$ = 0 |: $20$

$x^{2} + \frac{41}{20} x + \frac{21}{20}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{41}{40})}^{2} - (\frac{21}{20})$ = $\frac{1681}{1600}$ $-$ $\frac{21}{20}$ = $\frac{1681}{1600}$ $-$ $\frac{1680}{1600}$ = $\frac{1}{1600}$

x_1,2 = $- \frac{41}{40}$ ± $\sqrt{\frac{1}{1600}}$

x₁ = $- \frac{41}{40}$ - $\frac{1}{40}$ = $- \frac{42}{40}$ = -1.05

x₂ = $- \frac{41}{40}$ + $\frac{1}{40}$ = $- \frac{40}{40}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,05$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}}$	=	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{7}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{12}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=
$x^{2} + 7 x + 12$	=

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 37 x + 24}{4 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 37 x + 24}{4 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 37 x + 24}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 2 \cdot 4 x$
$- 37 x + 24$	=	$4 x \cdot x - 8 x$

- 37 x + 24

=

4 x^{2} - 8 x

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

$- 4 x^{2} - 29 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 24}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 + 384}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{1 225}}{- 8}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{1 225}}{- 8}$ = $\frac{29+35}{- 8}$ = $\frac{64}{- 8}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{1 225}}{- 8}$ = $\frac{29-35}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 29 x + 24$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{29}{4} x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{8})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{841}{64}$ $+$ $6$ = $\frac{841}{64}$ $+$ $\frac{384}{64}$ = $\frac{1225}{64}$

x_1,2 = $- \frac{29}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{64}}$

x₁ = $- \frac{29}{8}$ - $\frac{35}{8}$ = $- \frac{64}{8}$ = -8

x₂ = $- \frac{29}{8}$ + $\frac{35}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x - 1} + \frac{6 x}{3 x + 3} + \frac{36 x}{- 9 x - 9}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

$\frac{6 x}{3 x + 3} + \frac{6 x}{x - 1} + \frac{36 x}{- 9 x - 9}$	=	0
$\frac{6 x}{3 (x + 1)} + \frac{6 x}{x - 1} + \frac{36 x}{- 9 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 (x + 1)} + \frac{6 x}{x - 1} + \frac{36 x}{- 9 (x + 1)}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x}{3 (x + 1)} \cdot (x + 1) + \frac{6 x}{x - 1} \cdot (x + 1) + \frac{36 x}{- 9 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=
$2 x + \frac{6 x \cdot (x + 1)}{x - 1} - 4 x$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} + 6 x}{x - 1} - 4 x$	=
$\frac{6 x^{2} + 6 x}{x - 1} + 2 x - 4 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 6 x}{x - 1} + 2 x - 4 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 6 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 2 x \cdot (x - 1) - 4 x \cdot (x - 1)$	=
$6 x^{2} + 6 x + 2 x \cdot (x - 1) - 4 x \cdot (x - 1)$	=
$6 x^{2} + 6 x + (2 x^{2} - 2 x) + (- 4 x^{2} + 4 x)$	=
$4 x^{2} + 8 x$	=

$4 x^{2} + 8 x$	=	0
$4 x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{15}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{15}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{15}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{15}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 15$	=	$- x^{2}$
$a x - 15 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot (- 5)$ = -15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 - 5)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):