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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2 x}{2 x - 1} + \frac{31}{2 x - 1}$ = $5$

D=R\{ $\frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$- \frac{2 x}{2 x - 1} + \frac{31}{2 x - 1}$	=	$5$	\|⋅( $2 x - 1$ )
$- \frac{2 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{31}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1)$	=	$5 \cdot (2 x - 1)$
$- 2 x + 31$	=	$5 (2 x - 1)$

$- 2 x + 31$	=	$10 x - 5$	\| $- 31$
$- 2 x$	=	$10 x - 36$	\| $- 10 x$
$- 12 x$	=	$- 36$	\|:( $- 12$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 2} + \frac{10}{x + 2}$ = $\frac{65}{x^{2} - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $2$ }

\frac{x}{x - 2} + \frac{10}{x + 2}

=

\frac{65}{(x + 2) (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 2) (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{x - 2} + \frac{10}{x + 2}$	=	$\frac{65}{(x + 2) (x - 2)}$	\|⋅( $(x + 2) (x - 2)$ )
$\frac{x}{x - 2} \cdot (x + 2) (x - 2) + \frac{10}{x + 2} \cdot (x + 2) (x - 2)$	=	$\frac{65}{(x + 2) (x - 2)} \cdot (x + 2) (x - 2)$
$x (x + 2) + 10 x - 20$	=	$65 \frac{x + 2}{x + 2}$
$x (x + 2) + 10 x - 20$	=	$65$
$x^{2} + 2 x + 10 x - 20$	=	$65$
$x^{2} + 12 x - 20$	=	$65$

x^{2} + 12 x - 20

=

65

|

- 65

$x^{2} + 12 x - 85$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 85)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 340}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{484}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{484}}{2}$ = $\frac{- 12+22}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{484}}{2}$ = $\frac{- 12-22}{2}$ = $\frac{- 34}{2}$ = $- 17$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - (- 85)$ = $36$ $+$ $85$ = $121$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{121}$

x₁ = $- 6$ - $11$ = -17

x₂ = $- 6$ + $11$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 17$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x + 2} + \frac{8 x + 1}{3 x} + \frac{4 x + 1}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 2$ }

- \frac{4 x + 1}{x} + \frac{8 x + 1}{3 x} + \frac{6 x}{x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$- \frac{4 x + 1}{x} + \frac{8 x + 1}{3 x} + \frac{6 x}{x + 2}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$- \frac{4 x + 1}{x} \cdot 3 x + \frac{8 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + \frac{6 x}{x + 2} \cdot 3 x$	=
$- 12 x - 3 + 8 x + 1 + 3 \frac{6 x \cdot x}{x + 2}$	=
$- 12 x - 3 + 8 x + 1 + \frac{18 x^{2}}{x + 2}$	=
$\frac{18 x^{2}}{x + 2} - 12 x + 8 x - 3 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{18 x^{2}}{x + 2} - 12 x + 8 x - 3 + 1$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{18 x^{2}}{x + 2} \cdot (x + 2) - 12 x \cdot (x + 2) + 8 x \cdot (x + 2) - 3 \cdot (x + 2) + 1 \cdot (x + 2)$	=
$18 x^{2} - 12 x (x + 2) + 8 x (x + 2) - 3 x - 6 + x + 2$	=
$18 x^{2} + (- 12 x^{2} - 24 x) + (8 x^{2} + 16 x) - 3 x - 6 + x + 2$	=
$14 x^{2} - 10 x - 4$	=

14 x^{2} - 10 x - 4

= 0 |:2

$7 x^{2} - 5 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{14}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{14}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{14}$ = $\frac{5+9}{14}$ = $\frac{14}{14}$ = $1$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{14}$ = $\frac{5-9}{14}$ = $\frac{- 4}{14}$ = $- \frac{2}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} - 5 x - 2$ = 0 |: $7$

$x^{2} - \frac{5}{7} x - \frac{2}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{14})}^{2} - (- \frac{2}{7})$ = $\frac{25}{196}$ $+$ $\frac{2}{7}$ = $\frac{25}{196}$ $+$ $\frac{56}{196}$ = $\frac{81}{196}$

x_1,2 = $\frac{5}{14}$ ± $\sqrt{\frac{81}{196}}$

x₁ = $\frac{5}{14}$ - $\frac{9}{14}$ = $- \frac{4}{14}$ = -0.28571428571429

x₂ = $\frac{5}{14}$ + $\frac{9}{14}$ = $\frac{14}{14}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{7}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{24}{x^{4}}$ = $- \frac{10}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{24}{x^{4}}$	=	$- \frac{10}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{24}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{10}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 24$	=	$- 10 x$

x^{2} + 24

=

- 10 x

|

+ 10 x

$x^{2} + 10 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 10+2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 10-2}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 5$ - $1$ = -6

x₂ = $- 5$ + $1$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 39 x + 7}{4 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 39 x + 7}{4 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 39 x + 7}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 3 \cdot 4 x$
$- 39 x + 7$	=	$4 x \cdot x - 12 x$

- 39 x + 7

=

4 x^{2} - 12 x

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

$- 4 x^{2} - 27 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 7}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 + 112}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{841}}{- 8}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{841}}{- 8}$ = $\frac{27+29}{- 8}$ = $\frac{56}{- 8}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{841}}{- 8}$ = $\frac{27-29}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 27 x + 7$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{27}{4} x - \frac{7}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{27}{8})}^{2} - (- \frac{7}{4})$ = $\frac{729}{64}$ $+$ $\frac{7}{4}$ = $\frac{729}{64}$ $+$ $\frac{112}{64}$ = $\frac{841}{64}$

x_1,2 = $- \frac{27}{8}$ ± $\sqrt{\frac{841}{64}}$

x₁ = $- \frac{27}{8}$ - $\frac{29}{8}$ = $- \frac{56}{8}$ = -7

x₂ = $- \frac{27}{8}$ + $\frac{29}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{5 x - 1}{3 x} + \frac{6 x}{- x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{2 x}{x - 1} + \frac{5 x - 1}{3 x} + \frac{6 x}{- x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{5 x - 1}{3 x} + \frac{6 x}{- x + 1}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{5 x - 1}{3 x} \cdot (x - 1) + \frac{6 x}{- x + 1} \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{(5 x - 1) (x - 1)}{3 x} + \frac{6 x (x - 1)}{- x + 1}$	=
$2 x + \frac{(5 x - 1) (x - 1)}{3 x} - 6 x$	=
$2 x + \frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{3 x} - 6 x$	=
$\frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{3 x} + 2 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{3 x} + 2 x - 6 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + 2 x \cdot 3 x - 6 x \cdot 3 x$	=
$5 x^{2} - 6 x + 1 + 6 x \cdot x - 18 x \cdot x$	=
$5 x^{2} - 6 x + 1 + 6 x^{2} - 18 x^{2}$	=
$- 7 x^{2} - 6 x + 1$	=

$- 7 x^{2} - 6 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot 1}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{- 14}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{- 14}$ = $\frac{6+8}{- 14}$ = $\frac{14}{- 14}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{- 14}$ = $\frac{6-8}{- 14}$ = $\frac{- 2}{- 14}$ = $\frac{1}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} - 6 x + 1$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} + \frac{6}{7} x - \frac{1}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{7})}^{2} - (- \frac{1}{7})$ = $\frac{9}{49}$ $+$ $\frac{1}{7}$ = $\frac{9}{49}$ $+$ $\frac{7}{49}$ = $\frac{16}{49}$

x_1,2 = $- \frac{3}{7}$ ± $\sqrt{\frac{16}{49}}$

x₁ = $- \frac{3}{7}$ - $\frac{4}{7}$ = $- \frac{7}{7}$ = -1

x₂ = $- \frac{3}{7}$ + $\frac{4}{7}$ = $\frac{1}{7}$ = 0.14285714285714

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{1}{7}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{12}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 12$	=	$- x^{2}$
$a x + 12 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):