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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7 x + 7}{x - 2}$ = $4$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{7 x + 7}{x - 2}$	=	$4$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{7 x + 7}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$4 \cdot (x - 2)$
$7 x + 7$	=	$4 (x - 2)$

$7 x + 7$	=	$4 x - 8$	\| $- 7$
$7 x$	=	$4 x - 15$	\| $- 4 x$
$3 x$	=	$- 15$	\|: $3$
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 3} - \frac{11}{x - 3}$ = $\frac{87}{x^{2} - 9}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $3$ }

\frac{x}{x + 3} - \frac{11}{x - 3}

=

\frac{87}{(x + 3) \cdot (x - 3)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 3) \cdot (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{x + 3} - \frac{11}{x - 3}$	=	$\frac{87}{(x + 3) \cdot (x - 3)}$	\|⋅( $(x + 3) \cdot (x - 3)$ )
$\frac{x}{x + 3} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3) - \frac{11}{x - 3} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$	=	$\frac{87}{(x + 3) \cdot (x - 3)} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$
$x \cdot (x - 3) - 11 x - 33$	=	$87 \frac{x + 3}{x + 3}$
$x \cdot (x - 3) - 11 x - 33$	=	$87$
$x^{2} - 3 x - 11 x - 33$	=	$87$
$x^{2} - 14 x - 33$	=	$87$

x^{2} - 14 x - 33

=

87

|

- 87

$x^{2} - 14 x - 120$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 120)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 + 480}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{676}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{676}}{2}$ = $\frac{14+26}{2}$ = $\frac{40}{2}$ = $20$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{676}}{2}$ = $\frac{14-26}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - (- 120)$ = $49$ $+$ $120$ = $169$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{169}$

x₁ = $7$ - $13$ = -6

x₂ = $7$ + $13$ = 20

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $20$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 8} + \frac{85,5}{x - 4} - 4 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{2 x - 8} + \frac{85,5}{x - 4} - 4 x$	=	0
$\frac{x}{2 (x - 4)} + \frac{85,5}{x - 4} - 4 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 4)} + \frac{85,5}{x - 4} - 4 x$	=	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
$\frac{x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4)) + \frac{85,5}{x - 4} \cdot (2 (x - 4)) - 4 x \cdot (2 (x - 4))$	=
$x + 171 - 8 x \cdot (x - 4)$	=
$x + 171 + (- 8 x^{2} + 32 x)$	=
$- 8 x^{2} + 33 x + 171$	=

$- 8 x^{2} + 33 x + 171$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 171}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 089 + 5 472}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{6 561}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 33 + \sqrt{6 561}}{- 16}$ = $\frac{- 33+81}{- 16}$ = $\frac{48}{- 16}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 33 - \sqrt{6 561}}{- 16}$ = $\frac{- 33-81}{- 16}$ = $\frac{- 114}{- 16}$ = $7,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} + 33 x + 171$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} - \frac{33}{8} x - \frac{171}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{33}{16})}^{2} - (- \frac{171}{8})$ = $\frac{1089}{256}$ $+$ $\frac{171}{8}$ = $\frac{1089}{256}$ $+$ $\frac{5472}{256}$ = $\frac{6561}{256}$

x_1,2 = $\frac{33}{16}$ ± $\sqrt{\frac{6561}{256}}$

x₁ = $\frac{33}{16}$ - $\frac{81}{16}$ = $- \frac{48}{16}$ = -3

x₂ = $\frac{33}{16}$ + $\frac{81}{16}$ = $\frac{114}{16}$ = 7.125

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $7,125$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 8 x - 9}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- 8 x - 9}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- 8 x - 9}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 8 x - 9$	=	$- x^{2}$

- 8 x - 9

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 8 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8+10}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8-10}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - (- 9)$ = $16$ $+$ $9$ = $25$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $4$ - $5$ = -1

x₂ = $4$ + $5$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 5 x - 3}{2 x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 5 x - 3}{2 x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 5 x - 3}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x$
$- 5 x - 3$	=	$2 x \cdot x + 2 x$

- 5 x - 3

=

2 x^{2} + 2 x

|

- 2 x^{2}

- 2 x

$- 2 x^{2} - 7 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{7+5}{- 4}$ = $\frac{12}{- 4}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{7-5}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 7 x - 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{2 x - 2} + \frac{x + 1}{3 x - 7} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{7}{3}$ ; $1$ }

$\frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{x + 1}{2 x - 2} - 3$	=	0
$\frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} - 3$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} - 3$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{x + 1}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} \cdot (3 x - 7) - 3 \cdot (3 x - 7)$	=
$x + 1 + \frac{(x + 1) \cdot (3 x - 7)}{2 (x - 1)} - 9 x + 21$	=
$x + 1 + \frac{3 x^{2} - 4 x - 7}{2 (x - 1)} - 9 x + 21$	=
$\frac{3 x^{2} - 4 x - 7}{2 (x - 1)} + x - 9 x + 1 + 21$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 4 x - 7}{2 (x - 1)} + x - 9 x + 1 + 21$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{3 x^{2} - 4 x - 7}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + x \cdot (2 (x - 1)) - 9 x \cdot (2 (x - 1)) + 1 \cdot (2 (x - 1)) + 21 \cdot (2 (x - 1))$	=
$3 x^{2} - 4 x - 7 + 2 x \cdot (x - 1) - 18 x \cdot (x - 1) + 2 x - 2 + 42 x - 42$	=
$3 x^{2} - 4 x - 7 + (2 x^{2} - 2 x) + (- 18 x^{2} + 18 x) + 2 x - 2 + 42 x - 42$	=
$- 13 x^{2} + 56 x - 51$	=

$- 13 x^{2} + 56 x - 51$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 56 \pm \sqrt{56^{2} - 4 \cdot (- 13) \cdot (- 51)}}{2 \cdot (- 13)}$

x_1,2 = $\frac{- 56 \pm \sqrt{3 136 - 2 652}}{- 26}$

x_1,2 = $\frac{- 56 \pm \sqrt{484}}{- 26}$

x₁ = $\frac{- 56 + \sqrt{484}}{- 26}$ = $\frac{- 56+22}{- 26}$ = $\frac{- 34}{- 26}$ = $\frac{17}{13}$ ≈ 1.31

x₂ = $\frac{- 56 - \sqrt{484}}{- 26}$ = $\frac{- 56-22}{- 26}$ = $\frac{- 78}{- 26}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 13$ " teilen:

$- 13 x^{2} + 56 x - 51$ = 0 |: $- 13$

$x^{2} - \frac{56}{13} x + \frac{51}{13}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{28}{13})}^{2} - (\frac{51}{13})$ = $\frac{784}{169}$ $-$ $\frac{51}{13}$ = $\frac{784}{169}$ $-$ $\frac{663}{169}$ = $\frac{121}{169}$

x_1,2 = $\frac{28}{13}$ ± $\sqrt{\frac{121}{169}}$

x₁ = $\frac{28}{13}$ - $\frac{11}{13}$ = $\frac{17}{13}$ = 1.3076923076923

x₂ = $\frac{28}{13}$ + $\frac{11}{13}$ = $\frac{39}{13}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{17}{13}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{10}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{10}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{10}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{10}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 10$
$a x + x^{2} + 10$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):