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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6 x}{x + 10}$ = $- 1$

D=R\{ $- 10$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 10$ weg!

$\frac{- 6 x}{x + 10}$	=	$- 1$	\|⋅( $x + 10$ )
$\frac{- 6 x}{x + 10} \cdot (x + 10)$	=	$- 1 \cdot (x + 10)$
$- \frac{6 x}{1}$	=	$- (x + 10)$
$- 6 x$	=	$- (x + 10)$

$- 6 x$	=	$- x - 10$	\| $+ x$
$- 5 x$	=	$- 10$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 1} - \frac{11}{x + 1}$ = $- \frac{10}{x^{2} - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

\frac{x}{x - 1} - \frac{11}{x + 1}

=

- \frac{10}{(x + 1) \cdot (x - 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 1) \cdot (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{x - 1} - \frac{11}{x + 1}$	=	$- \frac{10}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$	\|⋅( $(x + 1) \cdot (x - 1)$ )
$\frac{x}{x - 1} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) - \frac{11}{x + 1} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$	=	$- \frac{10}{(x + 1) \cdot (x - 1)} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$
$x \cdot (x + 1) - 11 x + 11$	=	$- 10 \frac{x + 1}{x + 1}$
$x \cdot (x + 1) - 11 x + 11$	=	$- 10$
$x^{2} + x - 11 x + 11$	=	$- 10$
$x^{2} - 10 x + 11$	=	$- 10$

x^{2} - 10 x + 11

=

- 10

|

+ 10

$x^{2} - 10 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 2} + \frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{- 9 x}{6 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $- 1$ }

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{x}{2 x + 2} - \frac{9 x}{6 x + 6}$	=	0
$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{9 x}{6 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{9 x}{6 (x + 1)}$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{3 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (2 x + 1) - \frac{9 x}{6 (x + 1)} \cdot (2 x + 1)$	=
$3 x + \frac{x \cdot (2 x + 1)}{2 (x + 1)} - \frac{3 x \cdot (2 x + 1)}{2 (x + 1)}$	=
$3 x + \frac{2 x^{2} + x}{2 (x + 1)} - \frac{6 x^{2} + 3 x}{2 (x + 1)}$	=
$\frac{2 x^{2} + x - 6 x^{2} - 3 x}{2 (x + 1)} + 3 x$	=

\frac{2 x^{2} - 6 x^{2} + x - 3 x}{2 (x + 1)} + 3 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 6 x^{2} + x - 3 x}{2 (x + 1)} + 3 x$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{2 x^{2} - 6 x^{2} + x - 3 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + 3 x \cdot (2 (x + 1))$	=
$2 x^{2} - 6 x^{2} + x - 3 x + 6 x \cdot (x + 1)$	=
$2 x^{2} - 6 x^{2} + x - 3 x + (6 x^{2} + 6 x)$	=
$2 x^{2} + 4 x$	=

$2 x^{2} + 4 x$	=	0
$2 x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{3 x - 4}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{3 x - 4}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{3 x - 4}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$3 x - 4$

- x^{2}

=

3 x - 4

|

- 3 x

+ 4

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3+5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3-5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{25 x + 14}{x + 2}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{25 x + 14}{x + 2}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{25 x + 14}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$3 x \cdot (x + 2)$
$25 x + 14$	=	$3 x \cdot (x + 2)$
$25 x + 14$	=	$3 x^{2} + 6 x$

25 x + 14

=

3 x^{2} + 6 x

|

- 3 x^{2}

- 6 x

$- 3 x^{2} + 19 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 14}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 168}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{529}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{529}}{- 6}$ = $\frac{- 19+23}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{529}}{- 6}$ = $\frac{- 19-23}{- 6}$ = $\frac{- 42}{- 6}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 19 x + 14$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{19}{3} x - \frac{14}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{6})}^{2} - (- \frac{14}{3})$ = $\frac{361}{36}$ $+$ $\frac{14}{3}$ = $\frac{361}{36}$ $+$ $\frac{168}{36}$ = $\frac{529}{36}$

x_1,2 = $\frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{529}{36}}$

x₁ = $\frac{19}{6}$ - $\frac{23}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{19}{6}$ + $\frac{23}{6}$ = $\frac{42}{6}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{2 x - 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $1$ }

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{2 x - 2} - 6$	=	0
$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} - 6$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{2 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} \cdot (2 x - 3) - 6 \cdot (2 x - 3)$	=
$2 x + \frac{(5 x + 1) \cdot (2 x - 3)}{2 (x - 1)} - 12 x + 18$	=
$2 x + \frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{2 (x - 1)} - 12 x + 18$	=
$\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{2 (x - 1)} + 2 x - 12 x + 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{2 (x - 1)} + 2 x - 12 x + 18$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + 2 x \cdot (2 (x - 1)) - 12 x \cdot (2 (x - 1)) + 18 \cdot (2 (x - 1))$	=
$10 x^{2} - 13 x - 3 + 4 x \cdot (x - 1) - 24 x \cdot (x - 1) + 36 x - 36$	=
$10 x^{2} - 13 x - 3 + (4 x^{2} - 4 x) + (- 24 x^{2} + 24 x) + 36 x - 36$	=
$- 10 x^{2} + 43 x - 39$	=

$- 10 x^{2} + 43 x - 39$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{43^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot (- 39)}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{1 849 - 1 560}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{289}}{- 20}$

x₁ = $\frac{- 43 + \sqrt{289}}{- 20}$ = $\frac{- 43+17}{- 20}$ = $\frac{- 26}{- 20}$ = $1,3$

x₂ = $\frac{- 43 - \sqrt{289}}{- 20}$ = $\frac{- 43-17}{- 20}$ = $\frac{- 60}{- 20}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} + 43 x - 39$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} - \frac{43}{10} x + \frac{39}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{43}{20})}^{2} - (\frac{39}{10})$ = $\frac{1849}{400}$ $-$ $\frac{39}{10}$ = $\frac{1849}{400}$ $-$ $\frac{1560}{400}$ = $\frac{289}{400}$

x_1,2 = $\frac{43}{20}$ ± $\sqrt{\frac{289}{400}}$

x₁ = $\frac{43}{20}$ - $\frac{17}{20}$ = $\frac{26}{20}$ = 1.3

x₂ = $\frac{43}{20}$ + $\frac{17}{20}$ = $\frac{60}{20}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,3$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 8 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 8 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 8 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 8 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 8 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 8 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $- (2 + 6)$ = -8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 6$ = $12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):