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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9 x}{2 x + 5} + \frac{24}{2 x + 5}$ = $4$

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{9 x}{2 x + 5} + \frac{24}{2 x + 5}$	=	$4$	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{9 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + \frac{24}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5)$	=	$4 \cdot (2 x + 5)$
$9 x + 24$	=	$4 (2 x + 5)$

$9 x + 24$	=	$8 x + 20$	\| $- 24$
$9 x$	=	$8 x - 4$	\| $- 8 x$
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2 x}{2 x + 4} + \frac{40}{4 x + 8}$ = $3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{2 x}{2 (x + 2)} + \frac{40}{4 (x + 2)}

=

3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{2 x}{2 (x + 2)} + \frac{40}{4 (x + 2)}$	=	$3$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{2 x}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) + \frac{40}{4 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=	$3 \cdot (x + 2)$
$- x + 10$	=	$3 (x + 2)$

$- x + 10$	=	$3 x + 6$	\| $- 10$
$- x$	=	$3 x - 4$	\| $- 3 x$
$- 4 x$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 6} + \frac{3 x + 1}{x + 1} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

$\frac{4 x}{3 x + 6} + \frac{3 x + 1}{x + 1} - 8$	=	0
$\frac{4 x}{3 (x + 2)} + \frac{3 x + 1}{x + 1} - 8$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{4 x}{3 (x + 2)} + \frac{3 x + 1}{x + 1} - 8$	=	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{4 x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + \frac{3 x + 1}{x + 1} \cdot (3 (x + 2)) - 8 \cdot (3 (x + 2))$	=
$4 x + 3 \frac{(3 x + 1) \cdot (x + 2)}{x + 1} - 24 x - 48$	=
$4 x + \frac{3 (3 x^{2} + 7 x + 2)}{x + 1} - 24 x - 48$	=
$\frac{3 (3 x^{2} + 7 x + 2)}{x + 1} + 4 x - 24 x - 48$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 (3 x^{2} + 7 x + 2)}{x + 1} + 4 x - 24 x - 48$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 (3 x^{2} + 7 x + 2)}{x + 1} \cdot (x + 1) + 4 x \cdot (x + 1) - 24 x \cdot (x + 1) - 48 \cdot (x + 1)$	=
$9 x^{2} + 21 x + 6 + 4 x \cdot (x + 1) - 24 x \cdot (x + 1) - 48 x - 48$	=
$9 x^{2} + 21 x + 6 + (4 x^{2} + 4 x) + (- 24 x^{2} - 24 x) - 48 x - 48$	=
$- 11 x^{2} - 47 x - 42$	=

$- 11 x^{2} - 47 x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 42)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 - 1 848}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{361}}{- 22}$

x₁ = $\frac{47 + \sqrt{361}}{- 22}$ = $\frac{47+19}{- 22}$ = $\frac{66}{- 22}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{47 - \sqrt{361}}{- 22}$ = $\frac{47-19}{- 22}$ = $\frac{28}{- 22}$ = $- \frac{14}{11}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 11$ " teilen:

$- 11 x^{2} - 47 x - 42$ = 0 |: $- 11$

$x^{2} + \frac{47}{11} x + \frac{42}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{47}{22})}^{2} - (\frac{42}{11})$ = $\frac{2209}{484}$ $-$ $\frac{42}{11}$ = $\frac{2209}{484}$ $-$ $\frac{1848}{484}$ = $\frac{361}{484}$

x_1,2 = $- \frac{47}{22}$ ± $\sqrt{\frac{361}{484}}$

x₁ = $- \frac{47}{22}$ - $\frac{19}{22}$ = $- \frac{66}{22}$ = -3

x₂ = $- \frac{47}{22}$ + $\frac{19}{22}$ = $- \frac{28}{22}$ = -1.2727272727273

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{14}{11}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11 x + 18}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{11 x + 18}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{11 x + 18}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$11 x + 18$	=	$- x^{2}$

11 x + 18

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 5$ = $\frac{5 x - 3}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x + 5$	=	$\frac{5 x - 3}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x + 5 \cdot 2 x$	=	$\frac{5 x - 3}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x + 10 x$	=	$5 x - 3$
$2 x^{2} + 10 x$	=	$5 x - 3$

2 x^{2} + 10 x

=

5 x - 3

|

- 5 x

+ 3

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,5$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 10} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{10}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{x}{3 x + 10} - 2$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{x}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) - 2 \cdot (3 x + 10)$	=
$x - 6 x - 20$	=
$- 5 x - 20$	=

$- 5 x - 20$	=	0	\| $+ 20$
$- 5 x$	=	$20$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 1$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 1$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 1$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 1 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + x$	=	$- a$
$x^{2} + x + a$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):