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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5 x + 31}{3 x + 1}$ = $- 2$

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{5 x + 31}{3 x + 1}$	=	$- 2$	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{5 x + 31}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1)$	=	$- 2 \cdot (3 x + 1)$
$5 x + 31$	=	$- 2 (3 x + 1)$

$5 x + 31$	=	$- 6 x - 2$	\| $- 31$
$5 x$	=	$- 6 x - 33$	\| $+ 6 x$
$11 x$	=	$- 33$	\|: $11$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 2} - \frac{7}{x - 2}$ = $\frac{38}{x^{2} - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $2$ }

\frac{x}{x + 2} - \frac{7}{x - 2}

=

\frac{38}{(x + 2) (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 2) (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{x + 2} - \frac{7}{x - 2}$	=	$\frac{38}{(x + 2) (x - 2)}$	\|⋅( $(x + 2) (x - 2)$ )
$\frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2) (x - 2) - \frac{7}{x - 2} \cdot (x + 2) (x - 2)$	=	$\frac{38}{(x + 2) (x - 2)} \cdot (x + 2) (x - 2)$
$x (x - 2) - 7 x - 14$	=	$38 \frac{x + 2}{x + 2}$
$x (x - 2) - 7 x - 14$	=	$38$
$x^{2} - 2 x - 7 x - 14$	=	$38$
$x^{2} - 9 x - 14$	=	$38$

x^{2} - 9 x - 14

=

38

|

- 38

$x^{2} - 9 x - 52$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 52)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 208}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{9+17}{2}$ = $\frac{26}{2}$ = $13$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{9-17}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - (- 52)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $52$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{208}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{26}{2}$ = 13

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $13$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 8} + \frac{46}{2 x + 4} - x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{4 x + 8} + \frac{46}{2 x + 4} - x$	=	0
$\frac{x}{4 (x + 2)} + \frac{46}{2 (x + 2)} - x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 2)} + \frac{46}{2 (x + 2)} - x$	=	\|⋅( $4 (x + 2)$ )
$\frac{x}{4 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2)) + \frac{46}{2 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2)) - x \cdot (4 (x + 2))$	=
$x + 92 - 4 x (x + 2)$	=
$x + 92 + (- 4 x^{2} - 8 x)$	=
$- 4 x^{2} - 7 x + 92$	=

$- 4 x^{2} - 7 x + 92$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 92}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 1 472}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1 521}}{- 8}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1 521}}{- 8}$ = $\frac{7+39}{- 8}$ = $\frac{46}{- 8}$ = $- 5,75$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1 521}}{- 8}$ = $\frac{7-39}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 7 x + 92$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{7}{4} x - 23$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{8})}^{2} - (- 23)$ = $\frac{49}{64}$ $+$ $23$ = $\frac{49}{64}$ $+$ $\frac{1472}{64}$ = $\frac{1521}{64}$

x_1,2 = $- \frac{7}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{64}}$

x₁ = $- \frac{7}{8}$ - $\frac{39}{8}$ = $- \frac{46}{8}$ = -5.75

x₂ = $- \frac{7}{8}$ + $\frac{39}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5,75$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{10}{x}$ = $- 1 - \frac{25}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{10}{x}$	=	$- 1 - \frac{25}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{10}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{25}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$- 10 x$	=	$- x^{2} - 25$

- 10 x

=

- x^{2} - 25

|

+ x^{2}

+ 25

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $5$ ± 0 = $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 2$ = $\frac{13}{2} + \frac{5}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 2$	=	$\frac{13}{2} + \frac{5}{2 x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 2 \cdot x$	=	$\frac{13}{2} \cdot x + \frac{5}{2 x} \cdot x$
$x \cdot x + 2 x$	=	$\frac{13}{2} x + \frac{5}{2}$
$x^{2} + 2 x$	=	$\frac{13}{2} x + \frac{5}{2}$

$x^{2} + 2 x$	=	$\frac{13}{2} x + \frac{5}{2}$	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + 2 x)$	=	$2 (\frac{13}{2} x + \frac{5}{2})$
$2 x^{2} + 4 x$	=	$13 x + 5$	\| $- 13 x$ $- 5$

$2 x^{2} - 9 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{9+11}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{9-11}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 9 x - 5$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{x - 1}{2 x - 4} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $2$ }

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{x - 1}{2 x - 4} - 3$	=	0
$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{x - 1}{2 (x - 2)} - 3$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{x - 1}{2 (x - 2)} - 3$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{2 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{x - 1}{2 (x - 2)} \cdot (2 x - 3) - 3 \cdot (2 x - 3)$	=
$2 x + \frac{(x - 1) (2 x - 3)}{2 (x - 2)} - 6 x + 9$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} - 5 x + 3}{2 (x - 2)} - 6 x + 9$	=
$\frac{2 x^{2} - 5 x + 3}{2 (x - 2)} + 2 x - 6 x + 9$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 3}{2 (x - 2)} + 2 x - 6 x + 9$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{2 x^{2} - 5 x + 3}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + 2 x \cdot (2 (x - 2)) - 6 x \cdot (2 (x - 2)) + 9 \cdot (2 (x - 2))$	=
$2 x^{2} - 5 x + 3 + 4 x (x - 2) - 12 x (x - 2) + 18 x - 36$	=
$2 x^{2} - 5 x + 3 + (4 x^{2} - 8 x) + (- 12 x^{2} + 24 x) + 18 x - 36$	=
$- 6 x^{2} + 29 x - 33$	=

$- 6 x^{2} + 29 x - 33$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{29^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 33)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{841 - 792}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{49}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 29 + \sqrt{49}}{- 12}$ = $\frac{- 29+7}{- 12}$ = $\frac{- 22}{- 12}$ = $\frac{11}{6}$ ≈ 1.83

x₂ = $\frac{- 29 - \sqrt{49}}{- 12}$ = $\frac{- 29-7}{- 12}$ = $\frac{- 36}{- 12}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 29 x - 33$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{29}{6} x + \frac{11}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{29}{12})}^{2} - (\frac{11}{2})$ = $\frac{841}{144}$ $-$ $\frac{11}{2}$ = $\frac{841}{144}$ $-$ $\frac{792}{144}$ = $\frac{49}{144}$

x_1,2 = $\frac{29}{12}$ ± $\sqrt{\frac{49}{144}}$

x₁ = $\frac{29}{12}$ - $\frac{7}{12}$ = $\frac{22}{12}$ = 1.8333333333333

x₂ = $\frac{29}{12}$ + $\frac{7}{12}$ = $\frac{36}{12}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{11}{6}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{20}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{20}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{20}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{20}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 20 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 20 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):