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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4}{x}$ = $- \frac{1}{3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4}{x}$	=	$- \frac{1}{3}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{4}{x} \cdot x$	=	$- \frac{1}{3} \cdot x$
$4$	=	$- \frac{1}{3} x$

$4$	=	$- \frac{1}{3} x$	\|⋅ 3
$12$	=	$- x$	\| $- 12$ $+ x$
$x$	=	$- 12$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 12$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 24 x}{x + 5} + x$ = $5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

- \frac{24 x}{x + 5} + x

=

5

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{24 x}{x + 5} + x$	=	$5$	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{24 x}{x + 5} \cdot (x + 5) + x \cdot (x + 5)$	=	$5 \cdot (x + 5)$
$- 24 x + x \cdot (x + 5)$	=	$5 (x + 5)$
$- 24 x + (x^{2} + 5 x)$	=	$5 (x + 5)$
$x^{2} - 19 x$	=	$5 x + 25$

x^{2} - 19 x

=

5 x + 25

|

- 5 x

- 25

$x^{2} - 24 x - 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 25)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{576 + 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{676}}{2}$

x₁ = $\frac{24 + \sqrt{676}}{2}$ = $\frac{24+26}{2}$ = $\frac{50}{2}$ = $25$

x₂ = $\frac{24 - \sqrt{676}}{2}$ = $\frac{24-26}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 12)}^{2} - (- 25)$ = $144$ $+$ $25$ = $169$

x_1,2 = $12$ ± $\sqrt{169}$

x₁ = $12$ - $13$ = -1

x₂ = $12$ + $13$ = 25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{x} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{11 x + 2}{- 3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x + 2}{x} - \frac{11 x + 2}{3 x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x + 2}{x} - \frac{11 x + 2}{3 x}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{2 x + 2}{x} \cdot (x + 1) - \frac{11 x + 2}{3 x} \cdot (x + 1)$	=
$2 x - 1 + \frac{(2 x + 2) \cdot (x + 1)}{x} - \frac{(11 x + 2) \cdot (x + 1)}{3 x}$	=
$2 x - 1 + \frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{x} - \frac{11 x^{2} + 13 x + 2}{3 x}$	=
$- \frac{11 x^{2} + 13 x + 2}{3 x} + \frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{x} + 2 x - 1$	=

\frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{x} - \frac{11 x^{2} + 13 x + 2}{3 x} + 2 x - 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{x} - \frac{11 x^{2} + 13 x + 2}{3 x} + 2 x - 1$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{x} \cdot 3 x - \frac{11 x^{2} + 13 x + 2}{3 x} \cdot 3 x + 2 x \cdot 3 x - 1 \cdot 3 x$	=
$6 x^{2} + 12 x + 6 - 11 x^{2} - 13 x - 2 + 6 x \cdot x - 3 x$	=
$6 x^{2} + 12 x + 6 - 11 x^{2} - 13 x - 2 + 6 x^{2} - 3 x$	=
$x^{2} - 4 x + 4$	=

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{5}{x^{2}}$ = $- \frac{1}{x} + \frac{14}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{5}{x^{2}}$	=	$- \frac{1}{x} + \frac{14}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{5}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{14}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- 5 x$	=	$- x^{2} + 14$

- 5 x

=

- x^{2} + 14

|

+ x^{2}

- 14

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 + \frac{1}{x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 2 + \frac{1}{x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $x$ )
$- 2 \cdot x + \frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 2 \cdot x$
$- 2 x + 1$	=	$x \cdot x - 2 x$

$- 2 x + 1$	=	$x^{2} - 2 x$	\| $- 1$ $- x^{2}$ $+ 2 x$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{12 x}{x - 2} + \frac{36 x}{- 9 x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- \frac{1}{3}$ }

$\frac{12 x}{x - 2} + \frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{36 x}{- 9 x - 3}$	=	0
$\frac{12 x}{x - 2} + \frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{36 x}{- 3 (3 x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{12 x}{x - 2} + \frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{36 x}{- 3 (3 x + 1)}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{12 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{4 x}{3 x + 1} \cdot (x - 2) + \frac{36 x}{- 3 (3 x + 1)} \cdot (x - 2)$	=
$12 x + \frac{4 x \cdot (x - 2)}{3 x + 1} - \frac{12 x \cdot (x - 2)}{3 x + 1}$	=
$12 x + \frac{4 x^{2} - 8 x}{3 x + 1} - \frac{12 x^{2} - 24 x}{3 x + 1}$	=
$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 x^{2} + 24 x}{3 x + 1} + 12 x$	=

\frac{4 x^{2} - 12 x^{2} - 8 x + 24 x}{3 x + 1} + 12 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 12 x^{2} - 8 x + 24 x}{3 x + 1} + 12 x$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{4 x^{2} - 12 x^{2} - 8 x + 24 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 12 x \cdot (3 x + 1)$	=
$4 x^{2} - 12 x^{2} - 8 x + 24 x + 12 x \cdot (3 x + 1)$	=
$4 x^{2} - 12 x^{2} - 8 x + 24 x + (36 x^{2} + 12 x)$	=
$28 x^{2} + 28 x$	=

$28 x^{2} + 28 x$	=	0
$28 x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{30}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{30}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{30}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{30}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 30 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 30 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 15)$ = -30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 15)$ = $13$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 13 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13+17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13-17}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 15$ ; $2$ }

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Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):