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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{14}{x - 1}$ = $2$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{14}{x - 1}$	=	$2$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{14}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$2 \cdot (x - 1)$
$- 14$	=	$2 (x - 1)$

$- 14$	=	$2 x - 2$	\| $+ 14$ $- 2 x$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 1} + \frac{5}{x - 1}$ = $\frac{5}{x^{2} - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

\frac{x}{x + 1} + \frac{5}{x - 1}

=

\frac{5}{(x + 1) \cdot (x - 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 1) \cdot (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{x + 1} + \frac{5}{x - 1}$	=	$\frac{5}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$	\|⋅( $(x + 1) \cdot (x - 1)$ )
$\frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) + \frac{5}{x - 1} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$	=	$\frac{5}{(x + 1) \cdot (x - 1)} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$
$x (x - 1) + 5 x + 5$	=	$5 \frac{x + 1}{x + 1}$
$x (x - 1) + 5 x + 5$	=	$5$
$x^{2} - x + 5 x + 5$	=	$5$
$x^{2} + 4 x + 5$	=	$5$

$x^{2} + 4 x + 5$	=	$5$	\| $- 5$
$x^{2} + 4 x + 5 - 5$	=	0
$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{3 x + 4}{x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; 0}

\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{3 x + 4}{x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{3 x + 4}{x} - 7$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{3 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{3 x + 4}{x} \cdot (3 x - 8) - 7 \cdot (3 x - 8)$	=
$3 x + \frac{(3 x + 4) (3 x - 8)}{x} - 21 x + 56$	=
$3 x + \frac{9 x^{2} - 12 x - 32}{x} - 21 x + 56$	=
$\frac{9 x^{2} - 12 x - 32}{x} + 3 x - 21 x + 56$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 12 x - 32}{x} + 3 x - 21 x + 56$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{9 x^{2} - 12 x - 32}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 21 x \cdot x + 56 \cdot x$	=
$9 x^{2} - 12 x - 32 + 3 x \cdot x - 21 x \cdot x + 56 x$	=
$9 x^{2} - 12 x - 32 + 3 x^{2} - 21 x^{2} + 56 x$	=
$- 9 x^{2} + 44 x - 32$	=

$- 9 x^{2} + 44 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 44 \pm \sqrt{44^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 32)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 44 \pm \sqrt{1 936 - 1 152}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 44 \pm \sqrt{784}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 44 + \sqrt{784}}{- 18}$ = $\frac{- 44+28}{- 18}$ = $\frac{- 16}{- 18}$ = $\frac{8}{9}$ ≈ 0.89

x₂ = $\frac{- 44 - \sqrt{784}}{- 18}$ = $\frac{- 44-28}{- 18}$ = $\frac{- 72}{- 18}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} + 44 x - 32$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} - \frac{44}{9} x + \frac{32}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{22}{9})}^{2} - (\frac{32}{9})$ = $\frac{484}{81}$ $-$ $\frac{32}{9}$ = $\frac{484}{81}$ $-$ $\frac{288}{81}$ = $\frac{196}{81}$

x_1,2 = $\frac{22}{9}$ ± $\sqrt{\frac{196}{81}}$

x₁ = $\frac{22}{9}$ - $\frac{14}{9}$ = $\frac{8}{9}$ = 0.88888888888889

x₂ = $\frac{22}{9}$ + $\frac{14}{9}$ = $\frac{36}{9}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{8}{9}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{100}{x^{4}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{100}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{100}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} - 100$	=

$x^{2} - 100$	=	0	\| $+ 100$
$x^{2}$	=	$100$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{100}$	= $- 10$
x₂	=	$\sqrt{100}$	= $10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 4$ = $- 4 - \frac{7}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 4$	=	$- 4 - \frac{7}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 4 \cdot x$	=	$- 4 \cdot x - \frac{7}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 4 x$	=	$- 4 x - 7$
$x^{2} + 4 x$	=	$- 4 x - 7$

x^{2} + 4 x

=

- 4 x - 7

|

+ 4 x

+ 7

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 4$ - $3$ = -7

x₂ = $- 4$ + $3$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{2 x} + \frac{6 x}{3 x - 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{5 x + 1}{2 x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{5 x + 1}{2 x} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{6 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{5 x + 1}{2 x} \cdot (3 x - 1) - 6 \cdot (3 x - 1)$	=
$6 x + \frac{(5 x + 1) (3 x - 1)}{2 x} - 18 x + 6$	=
$6 x + \frac{15 x^{2} - 2 x - 1}{2 x} - 18 x + 6$	=
$\frac{15 x^{2} - 2 x - 1}{2 x} + 6 x - 18 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{15 x^{2} - 2 x - 1}{2 x} + 6 x - 18 x + 6$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{15 x^{2} - 2 x - 1}{2 x} \cdot 2 x + 6 x \cdot 2 x - 18 x \cdot 2 x + 6 \cdot 2 x$	=
$15 x^{2} - 2 x - 1 + 12 x \cdot x - 36 x \cdot x + 12 x$	=
$15 x^{2} - 2 x - 1 + 12 x^{2} - 36 x^{2} + 12 x$	=
$- 9 x^{2} + 10 x - 1$	=

$- 9 x^{2} + 10 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{- 18}$ = $\frac{- 10+8}{- 18}$ = $\frac{- 2}{- 18}$ = $\frac{1}{9}$ ≈ 0.11

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{- 18}$ = $\frac{- 10-8}{- 18}$ = $\frac{- 18}{- 18}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} + 10 x - 1$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} - \frac{10}{9} x + \frac{1}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{9})}^{2} - (\frac{1}{9})$ = $\frac{25}{81}$ $-$ $\frac{1}{9}$ = $\frac{25}{81}$ $-$ $\frac{9}{81}$ = $\frac{16}{81}$

x_1,2 = $\frac{5}{9}$ ± $\sqrt{\frac{16}{81}}$

x₁ = $\frac{5}{9}$ - $\frac{4}{9}$ = $\frac{1}{9}$ = 0.11111111111111

x₂ = $\frac{5}{9}$ + $\frac{4}{9}$ = $\frac{9}{9}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{9}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 9 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 9 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 9 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 9 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 9 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 9 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

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Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):