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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{8 x + 26}{x + 1}$ = $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{8 x + 26}{x + 1}$	=	$- 1$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{8 x + 26}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 1 \cdot (x + 1)$
$8 x + 26$	=	$- (x + 1)$

$8 x + 26$	=	$- x - 1$	\| $- 26$
$8 x$	=	$- x - 27$	\| $+ x$
$9 x$	=	$- 27$	\|: $9$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 8} + \frac{10}{x - 8}$ = $\frac{160}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x + 8} + \frac{10}{x - 8}

=

\frac{160}{(x + 8) \cdot (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) \cdot (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x + 8} + \frac{10}{x - 8}$	=	$\frac{160}{(x + 8) \cdot (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) \cdot (x - 8)$ )
$\frac{x}{x + 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8) + \frac{10}{x - 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$	=	$\frac{160}{(x + 8) \cdot (x - 8)} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$
$x \cdot (x - 8) + 10 x + 80$	=	$160 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x \cdot (x - 8) + 10 x + 80$	=	$160$
$x^{2} - 8 x + 10 x + 80$	=	$160$
$x^{2} + 2 x + 80$	=	$160$

x^{2} + 2 x + 80

=

160

|

- 160

$x^{2} + 2 x - 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 80)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{324}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{- 2+18}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{- 2-18}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 80)$ = $1$ $+$ $80$ = $81$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{81}$

x₁ = $- 1$ - $9$ = -10

x₂ = $- 1$ + $9$ = 8

Lösung x= $8$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 10$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 2} + \frac{6 x}{3 x - 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ ; $1$ }

$\frac{6 x}{3 x - 2} + \frac{x}{2 x - 2} - 4$	=	0
$\frac{6 x}{3 x - 2} + \frac{x}{2 (x - 1)} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{3 x - 2} + \frac{x}{2 (x - 1)} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{6 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + \frac{x}{2 (x - 1)} \cdot (3 x - 2) - 4 \cdot (3 x - 2)$	=
$6 x + \frac{x \cdot (3 x - 2)}{2 (x - 1)} - 12 x + 8$	=
$6 x + \frac{3 x^{2} - 2 x}{2 (x - 1)} - 12 x + 8$	=
$\frac{3 x^{2} - 2 x}{2 (x - 1)} + 6 x - 12 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{2 (x - 1)} + 6 x - 12 x + 8$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{3 x^{2} - 2 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + 6 x \cdot (2 (x - 1)) - 12 x \cdot (2 (x - 1)) + 8 \cdot (2 (x - 1))$	=
$3 x^{2} - 2 x + 12 x \cdot (x - 1) - 24 x \cdot (x - 1) + 16 x - 16$	=
$3 x^{2} - 2 x + (12 x^{2} - 12 x) + (- 24 x^{2} + 24 x) + 16 x - 16$	=
$- 9 x^{2} + 26 x - 16$	=

$- 9 x^{2} + 26 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{26^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{676 - 576}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{100}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 26 + \sqrt{100}}{- 18}$ = $\frac{- 26+10}{- 18}$ = $\frac{- 16}{- 18}$ = $\frac{8}{9}$ ≈ 0.89

x₂ = $\frac{- 26 - \sqrt{100}}{- 18}$ = $\frac{- 26-10}{- 18}$ = $\frac{- 36}{- 18}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} + 26 x - 16$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} - \frac{26}{9} x + \frac{16}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{9})}^{2} - (\frac{16}{9})$ = $\frac{169}{81}$ $-$ $\frac{16}{9}$ = $\frac{169}{81}$ $-$ $\frac{144}{81}$ = $\frac{25}{81}$

x_1,2 = $\frac{13}{9}$ ± $\sqrt{\frac{25}{81}}$

x₁ = $\frac{13}{9}$ - $\frac{5}{9}$ = $\frac{8}{9}$ = 0.88888888888889

x₂ = $\frac{13}{9}$ + $\frac{5}{9}$ = $\frac{18}{9}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{8}{9}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} + \frac{16}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} + \frac{16}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{6}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{16}{x^{4}} \cdot x^{4}$
=	$- x^{2} - 6 x + 16$

0

=

- x^{2} - 6 x + 16

|

+ x^{2}

+ 6 x

- 16

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 1 - \frac{1}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 1 - \frac{1}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$- 1 \cdot x - \frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$- x - 1$	=	$x \cdot x + x$

- x - 1

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{3 x}{3 x + 6} + \frac{16 x}{- 6 x - 10}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ }

$\frac{3 x}{3 x + 6} + \frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{16 x}{- 6 x - 10}$	=	0
$\frac{3 x}{3 (x + 2)} + \frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{16 x}{- 2 (3 x + 5)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{3 x}{3 (x + 2)} + \frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{16 x}{- 2 (3 x + 5)}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{3 x}{3 (x + 2)} \cdot (x + 2) + \frac{4 x}{3 x + 5} \cdot (x + 2) + \frac{16 x}{- 2 (3 x + 5)} \cdot (x + 2)$	=
$x + \frac{4 x \cdot (x + 2)}{3 x + 5} - \frac{8 x \cdot (x + 2)}{3 x + 5}$	=
$x + \frac{4 x^{2} + 8 x}{3 x + 5} - \frac{8 x^{2} + 16 x}{3 x + 5}$	=
$\frac{4 x^{2} + 8 x - 8 x^{2} - 16 x}{3 x + 5} + x$	=

\frac{4 x^{2} - 8 x^{2} + 8 x - 16 x}{3 x + 5} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 8 x^{2} + 8 x - 16 x}{3 x + 5} + x$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{4 x^{2} - 8 x^{2} + 8 x - 16 x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + x \cdot (3 x + 5)$	=
$4 x^{2} - 8 x^{2} + 8 x - 16 x + x \cdot (3 x + 5)$	=
$4 x^{2} - 8 x^{2} + 8 x - 16 x + (3 x^{2} + 5 x)$	=
$- x^{2} - 3 x$	=

$- x^{2} - 3 x$	=	0
$- x \cdot (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 2$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 2$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 2$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 2 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + 2 x$	=	$- x^{2}$
$a + 2 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):