Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4}{x}$ = $- \frac{5}{3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{4}{x}$	=	$- \frac{5}{3}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{4}{x} \cdot x$	=	$- \frac{5}{3} \cdot x$
$- 4$	=	$- \frac{5}{3} x$

$- 4$	=	$- \frac{5}{3} x$	\|⋅ 3
$- 12$	=	$- 5 x$	\| $+ 12$ $+ 5 x$
$5 x$	=	$12$	\|: $5$
$x$	=	$\frac{12}{5}$ = 2.4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{12}{5}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 1} - \frac{7}{x - 1}$ = $\frac{13}{x^{2} - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

\frac{x}{x + 1} - \frac{7}{x - 1}

=

\frac{13}{(x + 1) (x - 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 1) (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{x + 1} - \frac{7}{x - 1}$	=	$\frac{13}{(x + 1) (x - 1)}$	\|⋅( $(x + 1) (x - 1)$ )
$\frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1) (x - 1) - \frac{7}{x - 1} \cdot (x + 1) (x - 1)$	=	$\frac{13}{(x + 1) (x - 1)} \cdot (x + 1) (x - 1)$
$x (x - 1) - 7 x - 7$	=	$13 \frac{x + 1}{x + 1}$
$x (x - 1) - 7 x - 7$	=	$13$
$x^{2} - x - 7 x - 7$	=	$13$
$x^{2} - 8 x - 7$	=	$13$

x^{2} - 8 x - 7

=

13

|

- 13

$x^{2} - 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{8+12}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{8-12}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $4$ - $6$ = -2

x₂ = $4$ + $6$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 3}$ = $- \frac{- 14}{6 x + 6} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{3 x + 3}$	=	$\frac{14}{6 x + 6} - x$
$\frac{x}{3 (x + 1)}$	=	$\frac{14}{6 (x + 1)} - x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 1)}$	=	$\frac{14}{6 (x + 1)} - x$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$	=	$\frac{14}{6 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) - x \cdot (3 (x + 1))$
$x$	=	$7 - 3 x (x + 1)$
$x$	=	$- 3 x^{2} - 3 x + 7$

x

=

- 3 x^{2} - 3 x + 7

|

+ 3 x^{2}

+ 3 x

- 7

$3 x^{2} + 4 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{- 4+10}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{- 4-10}{6}$ = $\frac{- 14}{6}$ = $- \frac{7}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 4 x - 7$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{7}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{7}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{7}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{21}{9}$ = $\frac{25}{9}$

x_1,2 = $- \frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{25}{9}}$

x₁ = $- \frac{2}{3}$ - $\frac{5}{3}$ = $- \frac{7}{3}$ = -2.3333333333333

x₂ = $- \frac{2}{3}$ + $\frac{5}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{7}{3}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 + \frac{10}{x} - \frac{21}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 + \frac{10}{x} - \frac{21}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{10}{x} \cdot x^{2} - \frac{21}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} + 10 x - 21$

0

=

- x^{2} + 10 x - 21

|

+ x^{2}

- 10 x

+ 21

$x^{2} - 10 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $\frac{- 11 x + 7}{x + 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$2 x$	=	$\frac{- 11 x + 7}{x + 1}$	\|⋅( $x + 1$ )
$2 x \cdot (x + 1)$	=	$\frac{- 11 x + 7}{x + 1} \cdot (x + 1)$
$2 x (x + 1)$	=	$- 11 x + 7$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot 1$	=	$- 11 x + 7$
$2 x \cdot x + 2 x$	=	$- 11 x + 7$
$2 x^{2} + 2 x$	=	$- 11 x + 7$

2 x^{2} + 2 x

=

- 11 x + 7

|

+ 11 x

- 7

$2 x^{2} + 13 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 13+15}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 13-15}{4}$ = $\frac{- 28}{4}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 13 x - 7$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x - \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - (- \frac{7}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{56}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{28}{4}$ = -7

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x - 1} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 x - 1} - 3$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{6 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) - 3 \cdot (3 x - 1)$	=
$6 x - 9 x + 3$	=
$- 3 x + 3$	=

$- 3 x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{12}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{12}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{12}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{12}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$12 + x^{2}$	=	$- a x$
$12 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):