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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2}{x}$ = $\frac{3}{4}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{2}{x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{2}{x} \cdot x$	=	$\frac{3}{4} \cdot x$
$- 2$	=	$\frac{3}{4} x$

$- 2$	=	$\frac{3}{4} x$	\|⋅ 4
$- 8$	=	$3 x$	\| $+ 8$ $- 3 x$
$- 3 x$	=	$8$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- \frac{8}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{8}{3}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{x}{x + 5} + \frac{18}{3 x + 15}$ = $2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

\frac{x}{x + 5} + \frac{18}{3 (x + 5)}

=

2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{x}{x + 5} + \frac{18}{3 (x + 5)}$	=	$2$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5) + \frac{18}{3 (x + 5)} \cdot (x + 5)$	=	$2 \cdot (x + 5)$
$x + 6$	=	$2 (x + 5)$

$x + 6$	=	$2 x + 10$	\| $- 6$
$x$	=	$2 x + 4$	\| $- 2 x$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 2}$ = $- \frac{- 6,5}{x + 1} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{2 x + 2}$	=	$\frac{6,5}{x + 1} - 3 x$
$\frac{x}{2 (x + 1)}$	=	$\frac{6,5}{x + 1} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 1)}$	=	$\frac{6,5}{x + 1} - 3 x$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1))$	=	$\frac{6,5}{x + 1} \cdot (2 (x + 1)) - 3 x \cdot (2 (x + 1))$
$x$	=	$13 - 6 x \cdot (x + 1)$
$x$	=	$- 6 x^{2} - 6 x + 13$

x

=

- 6 x^{2} - 6 x + 13

|

+ 6 x^{2}

+ 6 x

- 13

$6 x^{2} + 7 x - 13$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 13)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 312}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{361}}{12}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{361}}{12}$ = $\frac{- 7+19}{12}$ = $\frac{12}{12}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{361}}{12}$ = $\frac{- 7-19}{12}$ = $\frac{- 26}{12}$ = $- \frac{13}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 7 x - 13$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{7}{6} x - \frac{13}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{12})}^{2} - (- \frac{13}{6})$ = $\frac{49}{144}$ $+$ $\frac{13}{6}$ = $\frac{49}{144}$ $+$ $\frac{312}{144}$ = $\frac{361}{144}$

x_1,2 = $- \frac{7}{12}$ ± $\sqrt{\frac{361}{144}}$

x₁ = $- \frac{7}{12}$ - $\frac{19}{12}$ = $- \frac{26}{12}$ = -2.1666666666667

x₂ = $- \frac{7}{12}$ + $\frac{19}{12}$ = $\frac{12}{12}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{13}{6}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{17 x + 70}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{17 x + 70}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{17 x + 70}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$17 x + 70$

- x^{2}

=

17 x + 70

|

- 17 x

- 70

$- x^{2} - 17 x - 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 70)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 280}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{17+3}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{17-3}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 17 x - 70$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 17 x + 70$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - 70$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $70$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{280}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 3$ = $8 - \frac{4}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 3$	=	$8 - \frac{4}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 3 \cdot x$	=	$8 \cdot x - \frac{4}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 3 x$	=	$8 x - 4$
$x^{2} + 3 x$	=	$8 x - 4$

x^{2} + 3 x

=

8 x - 4

|

- 8 x

+ 4

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{- 2}{x} + \frac{15 x}{- 6 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

$\frac{15 x}{- 6 x - 6} + \frac{4 x}{2 x + 2} - \frac{2}{x}$	=	0
$\frac{15 x}{- 6 (x + 1)} + \frac{4 x}{2 (x + 1)} - \frac{2}{x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{15 x}{- 6 (x + 1)} + \frac{4 x}{2 (x + 1)} - \frac{2}{x}$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{15 x}{- 6 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{4 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) - \frac{2}{x} \cdot (2 (x + 1))$	=
$- 5 x + 4 x - 4 \frac{x + 1}{x}$	=
$- 5 x + 4 x - \frac{4 (x + 1)}{x}$	=
$- \frac{4 (x + 1)}{x} - 5 x + 4 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{4 (x + 1)}{x} - 5 x + 4 x$	=	\|⋅( $x$ )
$- \frac{4 (x + 1)}{x} \cdot x - 5 x \cdot x + 4 x \cdot x$	=
$- 4 x - 4 - 5 x \cdot x + 4 x \cdot x$	=
$- 4 x - 4 - 5 x^{2} + 4 x^{2}$	=
$- x^{2} - 4 x - 4$	=

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{18}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{18}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$18$
$a x + x^{2} - 18$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):