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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{3}{x}$ = $5$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3}{x}$	=	$5$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x$	=	$5 \cdot x$
$- 3$	=	$5 x$

$- 3$	=	$5 x$	\| $+ 3$ $- 5 x$
$- 5 x$	=	$3$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- \frac{3}{5}$ = -0.6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{3}{5}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4 x}{2 x + 4} + \frac{68}{4 x + 8}$ = $1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{4 x}{2 (x + 2)} + \frac{68}{4 (x + 2)}

=

1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{4 x}{2 (x + 2)} + \frac{68}{4 (x + 2)}$	=	$1$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{4 x}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) + \frac{68}{4 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=	$1 \cdot (x + 2)$
$- 2 x + 17$	=	$x + 2$

$- 2 x + 17$	=	$x + 2$	\| $- 17$
$- 2 x$	=	$x - 15$	\| $- x$
$- 3 x$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{x - 2} + \frac{3 x + 4}{x} + \frac{13 x + 4}{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $2$ }

\frac{3 x + 4}{x} + \frac{2 x - 2}{x - 2} - \frac{13 x + 4}{2 x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x + 4}{x} + \frac{2 x - 2}{x - 2} - \frac{13 x + 4}{2 x}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x + 4}{x} \cdot 2 x + \frac{2 x - 2}{x - 2} \cdot 2 x - \frac{13 x + 4}{2 x} \cdot 2 x$	=
$6 x + 8 + 2 \frac{(2 x - 2) x}{x - 2} - 13 x - 4$	=
$6 x + 8 + \frac{2 (2 x^{2} - 2 x)}{x - 2} - 13 x - 4$	=
$\frac{2 (2 x^{2} - 2 x)}{x - 2} + 6 x - 13 x + 8 - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 (2 x^{2} - 2 x)}{x - 2} + 6 x - 13 x + 8 - 4$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 (2 x^{2} - 2 x)}{x - 2} \cdot (x - 2) + 6 x \cdot (x - 2) - 13 x \cdot (x - 2) + 8 \cdot (x - 2) - 4 \cdot (x - 2)$	=
$4 x^{2} - 4 x + 6 x \cdot (x - 2) - 13 x \cdot (x - 2) + 8 x - 16 - 4 x + 8$	=
$4 x^{2} - 4 x + (6 x^{2} - 12 x) + (- 13 x^{2} + 26 x) + 8 x - 16 - 4 x + 8$	=
$- 3 x^{2} + 14 x - 8$	=

$- 3 x^{2} + 14 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{100}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{100}}{- 6}$ = $\frac{- 14+10}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{100}}{- 6}$ = $\frac{- 14-10}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 14 x - 8$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{14}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{3})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{25}{9}$

x_1,2 = $\frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{25}{9}}$

x₁ = $\frac{7}{3}$ - $\frac{5}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{7}{3}$ + $\frac{5}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11 x + 30}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{11 x + 30}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{11 x + 30}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$11 x + 30$	=	$- x^{2}$

11 x + 30

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 11 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 11+1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 11-1}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 18 x - 14}{x - 1}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 18 x - 14}{x - 1}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 18 x - 14}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$2 x \cdot (x - 1)$
$- 18 x - 14$	=	$2 x \cdot (x - 1)$
$- 18 x - 14$	=	$2 x^{2} - 2 x$

- 18 x - 14

=

2 x^{2} - 2 x

|

- 2 x^{2}

+ 2 x

- 2 x^{2} - 16 x - 14

= 0 |:2

$- x^{2} - 8 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{8+6}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{8-6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 4$ - $3$ = -7

x₂ = $- 4$ + $3$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x + 3} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $- 1$ }

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x + 3} - 5$	=	0
$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 (x + 1)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 (x + 1)} - 5$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{3 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{5 x + 1}{3 (x + 1)} \cdot (2 x + 1) - 5 \cdot (2 x + 1)$	=
$3 x + \frac{(5 x + 1) \cdot (2 x + 1)}{3 (x + 1)} - 10 x - 5$	=
$3 x + \frac{10 x^{2} + 7 x + 1}{3 (x + 1)} - 10 x - 5$	=
$\frac{10 x^{2} + 7 x + 1}{3 (x + 1)} + 3 x - 10 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$\frac{10 x^{2} + 7 x + 1}{3 (x + 1)} + 3 x - 10 x - 5$	=	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{10 x^{2} + 7 x + 1}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + 3 x \cdot (3 (x + 1)) - 10 x \cdot (3 (x + 1)) - 5 \cdot (3 (x + 1))$	=
$10 x^{2} + 7 x + 1 + 9 x \cdot (x + 1) - 30 x \cdot (x + 1) - 15 x - 15$	=
$10 x^{2} + 7 x + 1 + (9 x^{2} + 9 x) + (- 30 x^{2} - 30 x) - 15 x - 15$	=
$- 11 x^{2} - 29 x - 14$	=

$- 11 x^{2} - 29 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 14)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 - 616}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{225}}{- 22}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{225}}{- 22}$ = $\frac{29+15}{- 22}$ = $\frac{44}{- 22}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{225}}{- 22}$ = $\frac{29-15}{- 22}$ = $\frac{14}{- 22}$ = $- \frac{7}{11}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 11$ " teilen:

$- 11 x^{2} - 29 x - 14$ = 0 |: $- 11$

$x^{2} + \frac{29}{11} x + \frac{14}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{22})}^{2} - (\frac{14}{11})$ = $\frac{841}{484}$ $-$ $\frac{14}{11}$ = $\frac{841}{484}$ $-$ $\frac{616}{484}$ = $\frac{225}{484}$

x_1,2 = $- \frac{29}{22}$ ± $\sqrt{\frac{225}{484}}$

x₁ = $- \frac{29}{22}$ - $\frac{15}{22}$ = $- \frac{44}{22}$ = -2

x₂ = $- \frac{29}{22}$ + $\frac{15}{22}$ = $- \frac{14}{22}$ = -0.63636363636364

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{7}{11}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{15}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{15}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{15}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{15}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 15$	=	$- x^{2}$
$a x - 15 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot (- 5)$ = -15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 - 5)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):