Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6}{x}$ = $- \frac{3}{7}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{6}{x}$	=	$- \frac{3}{7}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{6}{x} \cdot x$	=	$- \frac{3}{7} \cdot x$
$- 6$	=	$- \frac{3}{7} x$

$- 6$	=	$- \frac{3}{7} x$	\|⋅ 7
$- 42$	=	$- 3 x$	\| $+ 42$ $+ 3 x$
$3 x$	=	$42$	\|: $3$
$x$	=	$14$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $14$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 5} - \frac{8}{x + 5}$ = $\frac{44}{x^{2} - 25}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ ; $5$ }

\frac{x}{x - 5} - \frac{8}{x + 5}

=

\frac{44}{(x + 5) (x - 5)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 5) (x - 5)$ weg!

$\frac{x}{x - 5} - \frac{8}{x + 5}$	=	$\frac{44}{(x + 5) (x - 5)}$	\|⋅( $(x + 5) (x - 5)$ )
$\frac{x}{x - 5} \cdot (x + 5) (x - 5) - \frac{8}{x + 5} \cdot (x + 5) (x - 5)$	=	$\frac{44}{(x + 5) (x - 5)} \cdot (x + 5) (x - 5)$
$x (x + 5) - 8 x + 40$	=	$44 \frac{x + 5}{x + 5}$
$x (x + 5) - 8 x + 40$	=	$44$
$x^{2} + 5 x - 8 x + 40$	=	$44$
$x^{2} - 3 x + 40$	=	$44$

x^{2} - 3 x + 40

=

44

|

- 44

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 4} + \frac{- 0,25}{x - 1}$ = $- 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{4 x - 4} - \frac{0,25}{x - 1}$	=	$- 4 x$
$\frac{x}{4 (x - 1)} - \frac{0,25}{x - 1}$	=	$- 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 1)} - \frac{0,25}{x - 1}$	=	$- 4 x$	\|⋅( $4 (x - 1)$ )
$\frac{x}{4 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) + \frac{- 0,25}{x - 1} \cdot (4 (x - 1))$	=	$- 4 x \cdot (4 (x - 1))$
$x - 1$	=	$- 16 x (x - 1)$
$x - 1$	=	$- 16 x^{2} + 16 x$

x - 1

=

- 16 x^{2} + 16 x

|

+ 16 x^{2}

- 16 x

$16 x^{2} - 15 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{289}}{32}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{289}}{32}$ = $\frac{15+17}{32}$ = $\frac{32}{32}$ = $1$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{289}}{32}$ = $\frac{15-17}{32}$ = $\frac{- 2}{32}$ = $- \frac{1}{16}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} - 15 x - 1$ = 0 |: $16$

$x^{2} - \frac{15}{16} x - \frac{1}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{32})}^{2} - (- \frac{1}{16})$ = $\frac{225}{1024}$ $+$ $\frac{1}{16}$ = $\frac{225}{1024}$ $+$ $\frac{64}{1024}$ = $\frac{289}{1024}$

x_1,2 = $\frac{15}{32}$ ± $\sqrt{\frac{289}{1024}}$

x₁ = $\frac{15}{32}$ - $\frac{17}{32}$ = $- \frac{2}{32}$ = -0.0625

x₂ = $\frac{15}{32}$ + $\frac{17}{32}$ = $\frac{32}{32}$ = 1

Lösung x= $1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- \frac{1}{16}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{5}{x}$ = $- 1 + \frac{36}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{5}{x}$	=	$- 1 + \frac{36}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{5}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$- 5 x$	=	$- x^{2} + 36$

- 5 x

=

- x^{2} + 36

|

+ x^{2}

- 36

$x^{2} - 5 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5+13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5-13}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $36$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 39 x + 7}{4 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 39 x + 7}{4 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 39 x + 7}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 3 \cdot 4 x$
$- 39 x + 7$	=	$4 x \cdot x - 12 x$

- 39 x + 7

=

4 x^{2} - 12 x

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

$- 4 x^{2} - 27 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 7}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 + 112}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{841}}{- 8}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{841}}{- 8}$ = $\frac{27+29}{- 8}$ = $\frac{56}{- 8}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{841}}{- 8}$ = $\frac{27-29}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 27 x + 7$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{27}{4} x - \frac{7}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{27}{8})}^{2} - (- \frac{7}{4})$ = $\frac{729}{64}$ $+$ $\frac{7}{4}$ = $\frac{729}{64}$ $+$ $\frac{112}{64}$ = $\frac{841}{64}$

x_1,2 = $- \frac{27}{8}$ ± $\sqrt{\frac{841}{64}}$

x₁ = $- \frac{27}{8}$ - $\frac{29}{8}$ = $- \frac{56}{8}$ = -7

x₂ = $- \frac{27}{8}$ + $\frac{29}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x - 3} + \frac{5 x - 1}{2 x - 1} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{1}{2}$ }

$\frac{6 x}{3 x - 3} + \frac{5 x - 1}{2 x - 1} - 7$	=	0
$\frac{6 x}{3 (x - 1)} + \frac{5 x - 1}{2 x - 1} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 (x - 1)} + \frac{5 x - 1}{2 x - 1} - 7$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x}{3 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{5 x - 1}{2 x - 1} \cdot (x - 1) - 7 \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{(5 x - 1) (x - 1)}{2 x - 1} - 7 x + 7$	=
$2 x + \frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{2 x - 1} - 7 x + 7$	=
$\frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{2 x - 1} + 2 x - 7 x + 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{2 x - 1} + 2 x - 7 x + 7$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + 2 x \cdot (2 x - 1) - 7 x \cdot (2 x - 1) + 7 \cdot (2 x - 1)$	=
$5 x^{2} - 6 x + 1 + 2 x (2 x - 1) - 7 x (2 x - 1) + 14 x - 7$	=
$5 x^{2} - 6 x + 1 + (4 x^{2} - 2 x) + (- 14 x^{2} + 7 x) + 14 x - 7$	=
$- 5 x^{2} + 13 x - 6$	=

$- 5 x^{2} + 13 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{49}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{49}}{- 10}$ = $\frac{- 13+7}{- 10}$ = $\frac{- 6}{- 10}$ = $0,6$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{49}}{- 10}$ = $\frac{- 13-7}{- 10}$ = $\frac{- 20}{- 10}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 13 x - 6$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{13}{5} x + \frac{6}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{10})}^{2} - (\frac{6}{5})$ = $\frac{169}{100}$ $-$ $\frac{6}{5}$ = $\frac{169}{100}$ $-$ $\frac{120}{100}$ = $\frac{49}{100}$

x_1,2 = $\frac{13}{10}$ ± $\sqrt{\frac{49}{100}}$

x₁ = $\frac{13}{10}$ - $\frac{7}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = 0.6

x₂ = $\frac{13}{10}$ + $\frac{7}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,6$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 4$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 4$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 4$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 4 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 4 x$	=	$- x^{2}$
$a - 4 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 4 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 4 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -4 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (3 + 1)$ = -4

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot 1$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

L={ $1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):