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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3}{x}$ = $- \frac{4}{7}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3}{x}$	=	$- \frac{4}{7}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{3}{x} \cdot x$	=	$- \frac{4}{7} \cdot x$
$3$	=	$- \frac{4}{7} x$

$3$	=	$- \frac{4}{7} x$	\|⋅ 7
$21$	=	$- 4 x$	\| $- 21$ $+ 4 x$
$4 x$	=	$- 21$	\|: $4$
$x$	=	$- \frac{21}{4}$ = -5.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{21}{4}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 15 x}{2 x + 1} + x + 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

- \frac{15 x}{2 x + 1} + x + 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$- \frac{15 x}{2 x + 1} + x + 4$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$- \frac{15 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + x \cdot (2 x + 1) + 4 \cdot (2 x + 1)$	=
$- 15 x + x (2 x + 1) + 8 x + 4$	=
$- 15 x + (2 x^{2} + x) + 8 x + 4$	=
$2 x^{2} - 6 x + 4$	=

2 x^{2} - 6 x + 4

= 0 |:2

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 5} + \frac{39,2}{x + 1} - 2 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{5 x + 5} + \frac{39,2}{x + 1} - 2 x$	=	0
$\frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{39,2}{x + 1} - 2 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{39,2}{x + 1} - 2 x$	=	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) + \frac{39,2}{x + 1} \cdot (5 (x + 1)) - 2 x \cdot (5 (x + 1))$	=
$x + 196 - 10 x (x + 1)$	=
$x + 196 + (- 10 x^{2} - 10 x)$	=
$- 10 x^{2} - 9 x + 196$	=

$- 10 x^{2} - 9 x + 196$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 196}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 7 840}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{7 921}}{- 20}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{7 921}}{- 20}$ = $\frac{9+89}{- 20}$ = $\frac{98}{- 20}$ = $- 4,9$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{7 921}}{- 20}$ = $\frac{9-89}{- 20}$ = $\frac{- 80}{- 20}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 9 x + 196$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{9}{10} x - \frac{98}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{20})}^{2} - (- \frac{98}{5})$ = $\frac{81}{400}$ $+$ $\frac{98}{5}$ = $\frac{81}{400}$ $+$ $\frac{7840}{400}$ = $\frac{7921}{400}$

x_1,2 = $- \frac{9}{20}$ ± $\sqrt{\frac{7921}{400}}$

x₁ = $- \frac{9}{20}$ - $\frac{89}{20}$ = $- \frac{98}{20}$ = -4.9

x₂ = $- \frac{9}{20}$ + $\frac{89}{20}$ = $\frac{80}{20}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,9$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 + \frac{7}{x} + \frac{8}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 + \frac{7}{x} + \frac{8}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{7}{x} \cdot x^{2} + \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} + 7 x + 8$

0

=

- x^{2} + 7 x + 8

|

+ x^{2}

- 7 x

- 8

$x^{2} - 7 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 - \frac{6}{x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$2 - \frac{6}{x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $x$ )
$2 \cdot x - \frac{6}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 3 \cdot x$
$2 x - 6$	=	$x \cdot x - 3 x$

2 x - 6

=

x^{2} - 3 x

|

- x^{2}

+ 3 x

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5+1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5-1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{2 x} + \frac{16 x}{2 x + 2} + \frac{- 28 x}{2 x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

$\frac{16 x}{2 x + 2} + \frac{5 x + 1}{2 x} - \frac{28 x}{2 x + 2}$	=	0
$\frac{16 x}{2 (x + 1)} + \frac{5 x + 1}{2 x} - \frac{28 x}{2 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{16 x}{2 (x + 1)} + \frac{5 x + 1}{2 x} - \frac{28 x}{2 (x + 1)}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{16 x}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1) + \frac{5 x + 1}{2 x} \cdot (x + 1) - \frac{28 x}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=
$8 x + \frac{(5 x + 1) (x + 1)}{2 x} - 14 x$	=
$8 x + \frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{2 x} - 14 x$	=
$\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{2 x} + 8 x - 14 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{2 x} + 8 x - 14 x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + 8 x \cdot 2 x - 14 x \cdot 2 x$	=
$5 x^{2} + 6 x + 1 + 16 x \cdot x - 28 x \cdot x$	=
$5 x^{2} + 6 x + 1 + 16 x^{2} - 28 x^{2}$	=
$- 7 x^{2} + 6 x + 1$	=

$- 7 x^{2} + 6 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot 1}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{- 14}$ = $\frac{- 6+8}{- 14}$ = $\frac{2}{- 14}$ = $- \frac{1}{7}$ ≈ -0.14

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{- 14}$ = $\frac{- 6-8}{- 14}$ = $\frac{- 14}{- 14}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} + 6 x + 1$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} - \frac{6}{7} x - \frac{1}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{7})}^{2} - (- \frac{1}{7})$ = $\frac{9}{49}$ $+$ $\frac{1}{7}$ = $\frac{9}{49}$ $+$ $\frac{7}{49}$ = $\frac{16}{49}$

x_1,2 = $\frac{3}{7}$ ± $\sqrt{\frac{16}{49}}$

x₁ = $\frac{3}{7}$ - $\frac{4}{7}$ = $- \frac{1}{7}$ = -0.14285714285714

x₂ = $\frac{3}{7}$ + $\frac{4}{7}$ = $\frac{7}{7}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{7}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 7$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 7$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 7$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 7 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 7 x$
$x^{2} + a + 7 x$	=	0
$x^{2} + 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $- (2 - 9)$ = 7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 9)$ = $- 18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

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Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):