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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3 x}{x + 2}$ = $4$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{3 x}{x + 2}$	=	$4$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{3 x}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$4 \cdot (x + 2)$
$3 x$	=	$4 (x + 2)$

$3 x$	=	$4 x + 8$	\| $- 4 x$
$- x$	=	$8$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{- 5}{2 x - 3} - x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

0

=

\frac{5}{2 x - 3} - x - 3

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

=	$\frac{5}{2 x - 3} - x - 3$	\|⋅( $2 x - 3$ )
=	$\frac{5}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) - x \cdot (2 x - 3) - 3 \cdot (2 x - 3)$
=	$5 - x (2 x - 3) - 6 x + 9$
=	$- 2 x^{2} - 3 x + 14$

0

=

- 2 x^{2} - 3 x + 14

|

+ 2 x^{2}

+ 3 x

- 14

$2 x^{2} + 3 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 3+11}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 3-11}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 3 x - 14$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- 7)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $7$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{112}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,5$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{4 x}{3 x + 5} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ }

$\frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{4 x}{2 x + 2} - 6$	=	0
$\frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{4 x}{2 (x + 1)} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{4 x}{2 (x + 1)} - 6$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{4 x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + \frac{4 x}{2 (x + 1)} \cdot (3 x + 5) - 6 \cdot (3 x + 5)$	=
$4 x + \frac{2 x (3 x + 5)}{x + 1} - 18 x - 30$	=
$4 x + \frac{6 x^{2} + 10 x}{x + 1} - 18 x - 30$	=
$\frac{6 x^{2} + 10 x}{x + 1} + 4 x - 18 x - 30$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 10 x}{x + 1} + 4 x - 18 x - 30$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 10 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 4 x \cdot (x + 1) - 18 x \cdot (x + 1) - 30 \cdot (x + 1)$	=
$6 x^{2} + 10 x + 4 x (x + 1) - 18 x (x + 1) - 30 x - 30$	=
$6 x^{2} + 10 x + (4 x^{2} + 4 x) + (- 18 x^{2} - 18 x) - 30 x - 30$	=
$- 8 x^{2} - 34 x - 30$	=

- 8 x^{2} - 34 x - 30

= 0 |:2

$- 4 x^{2} - 17 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{49}}{- 8}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{17+7}{- 8}$ = $\frac{24}{- 8}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{17-7}{- 8}$ = $\frac{10}{- 8}$ = $- 1,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 17 x - 15$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{17}{4} x + \frac{15}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{8})}^{2} - (\frac{15}{4})$ = $\frac{289}{64}$ $-$ $\frac{15}{4}$ = $\frac{289}{64}$ $-$ $\frac{240}{64}$ = $\frac{49}{64}$

x_1,2 = $- \frac{17}{8}$ ± $\sqrt{\frac{49}{64}}$

x₁ = $- \frac{17}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $- \frac{17}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $- \frac{10}{8}$ = -1.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1,25$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 6}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{x - 6}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{x - 6}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$x - 6$	=	$- x^{2}$

x - 6

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 1$ = $7 + \frac{7}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 1$	=	$7 + \frac{7}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 1 \cdot x$	=	$7 \cdot x + \frac{7}{x} \cdot x$
$x \cdot x + x$	=	$7 x + 7$
$x^{2} + x$	=	$7 x + 7$

x^{2} + x

=

7 x + 7

|

- 7 x

- 7

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{5 x - 1}{3 x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{5 x - 1}{3 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{5 x - 1}{3 x} - 5$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{12 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{5 x - 1}{3 x} \cdot (3 x - 1) - 5 \cdot (3 x - 1)$	=
$12 x + \frac{(5 x - 1) (3 x - 1)}{3 x} - 15 x + 5$	=
$12 x + \frac{15 x^{2} - 8 x + 1}{3 x} - 15 x + 5$	=
$\frac{15 x^{2} - 8 x + 1}{3 x} + 12 x - 15 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{15 x^{2} - 8 x + 1}{3 x} + 12 x - 15 x + 5$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{15 x^{2} - 8 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + 12 x \cdot 3 x - 15 x \cdot 3 x + 5 \cdot 3 x$	=
$15 x^{2} - 8 x + 1 + 36 x \cdot x - 45 x \cdot x + 15 x$	=
$15 x^{2} - 8 x + 1 + 36 x^{2} - 45 x^{2} + 15 x$	=
$6 x^{2} + 7 x + 1$	=

$6 x^{2} + 7 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 1}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{12}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{12}$ = $\frac{- 7+5}{12}$ = $\frac{- 2}{12}$ = $- \frac{1}{6}$ ≈ -0.17

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{12}$ = $\frac{- 7-5}{12}$ = $\frac{- 12}{12}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 7 x + 1$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{7}{6} x + \frac{1}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{12})}^{2} - (\frac{1}{6})$ = $\frac{49}{144}$ $-$ $\frac{1}{6}$ = $\frac{49}{144}$ $-$ $\frac{24}{144}$ = $\frac{25}{144}$

x_1,2 = $- \frac{7}{12}$ ± $\sqrt{\frac{25}{144}}$

x₁ = $- \frac{7}{12}$ - $\frac{5}{12}$ = $- \frac{12}{12}$ = -1

x₂ = $- \frac{7}{12}$ + $\frac{5}{12}$ = $- \frac{2}{12}$ = -0.16666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{6}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 1$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 1$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 1$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 1 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + x$	=	$- x^{2}$
$a + x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):