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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6 x}{x - 20}$ = $- 2$

D=R\{ $20$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 20$ weg!

$\frac{- 6 x}{x - 20}$	=	$- 2$	\|⋅( $x - 20$ )
$\frac{- 6 x}{x - 20} \cdot (x - 20)$	=	$- 2 \cdot (x - 20)$
$- \frac{6 x}{1}$	=	$- 2 (x - 20)$
$- 6 x$	=	$- 2 (x - 20)$

$- 6 x$	=	$- 2 x + 40$	\| $+ 2 x$
$- 4 x$	=	$40$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x - 2} + x$ = $- 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{3 x}{x - 2} + x$	=	$- 2$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{3 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + x \cdot (x - 2)$	=	$- 2 \cdot (x - 2)$
$3 x + x \cdot (x - 2)$	=	$- 2 (x - 2)$
$3 x + (x^{2} - 2 x)$	=	$- 2 (x - 2)$
$x^{2} + x$	=	$- 2 x + 4$

x^{2} + x

=

- 2 x + 4

|

+ 2 x

- 4

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 3}{x} + \frac{x - 1}{x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{x - 1}{x + 1} + \frac{x - 3}{x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{x - 1}{x + 1} + \frac{x - 3}{x} - 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{x - 3}{x} \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=
$x - 1 + \frac{(x - 3) \cdot (x + 1)}{x} - 4 x - 4$	=
$x - 1 + \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x} - 4 x - 4$	=
$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x} + x - 4 x - 1 - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x} + x - 4 x - 1 - 4$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x} \cdot x + x \cdot x - 4 x \cdot x - 1 \cdot x - 4 \cdot x$	=
$x^{2} - 2 x - 3 + x \cdot x - 4 x \cdot x - x - 4 x$	=
$x^{2} - 2 x - 3 + x^{2} - 4 x^{2} - x - 4 x$	=
$- 2 x^{2} - 7 x - 3$	=

$- 2 x^{2} - 7 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{7+5}{- 4}$ = $\frac{12}{- 4}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{7-5}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 7 x - 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 - \frac{8}{x} + \frac{20}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 - \frac{8}{x} + \frac{20}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{8}{x} \cdot x^{2} + \frac{20}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} - 8 x + 20$

0

=

- x^{2} - 8 x + 20

|

+ x^{2}

+ 8 x

- 20

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 2$ = $\frac{1}{2} - \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 2$	=	$\frac{1}{2} - \frac{1}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 2 \cdot x$	=	$\frac{1}{2} \cdot x - \frac{1}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 2 x$	=	$\frac{1}{2} x - 1$
$x^{2} - 2 x$	=	$\frac{1}{2} x - 1$

$x^{2} - 2 x$	=	$\frac{1}{2} x - 1$	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - 2 x)$	=	$2 (\frac{1}{2} x - 1)$
$2 x^{2} - 4 x$	=	$x - 2$	\| $- x$ $+ 2$

$2 x^{2} - 5 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{5+3}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{5-3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 5 x + 2$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{2 x} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{x - 2}{2 x} - 1$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{x - 2}{2 x} \cdot 2 x - 1 \cdot 2 x$	=
$x - 2 - 2 x$	=
$- x - 2$	=

$- x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{20}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{20}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{20}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{20}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 20$	=	$- x^{2}$
$a x + 20 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

L={ $2$ ; $10$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):