Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{3 x}{x - 2}$ = $- 4$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 3 x}{x - 2}$	=	$- 4$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 3 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 4 \cdot (x - 2)$
$- \frac{3 x}{1}$	=	$- 4 (x - 2)$
$- 3 x$	=	$- 4 (x - 2)$

$- 3 x$	=	$- 4 x + 8$	\| $+ 4 x$
$x$	=	$8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2 x}{x + 4} + \frac{108}{3 x + 12}$ = $2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

- \frac{2 x}{x + 4} + \frac{108}{3 (x + 4)}

=

2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$- \frac{2 x}{x + 4} + \frac{108}{3 (x + 4)}$	=	$2$	\|⋅( $x + 4$ )
$- \frac{2 x}{x + 4} \cdot (x + 4) + \frac{108}{3 (x + 4)} \cdot (x + 4)$	=	$2 \cdot (x + 4)$
$- 2 x + 36$	=	$2 (x + 4)$

$- 2 x + 36$	=	$2 x + 8$	\| $- 36$
$- 2 x$	=	$2 x - 28$	\| $- 2 x$
$- 4 x$	=	$- 28$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{2 x} + \frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{3 x - 2}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- \frac{2}{3}$ }

- \frac{3 x - 2}{x} + \frac{x - 2}{2 x} + \frac{6 x}{3 x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$- \frac{3 x - 2}{x} + \frac{x - 2}{2 x} + \frac{6 x}{3 x + 2}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$- \frac{3 x - 2}{x} \cdot 2 x + \frac{x - 2}{2 x} \cdot 2 x + \frac{6 x}{3 x + 2} \cdot 2 x$	=
$- 6 x + 4 + x - 2 + 2 \frac{6 x \cdot x}{3 x + 2}$	=
$- 6 x + 4 + x - 2 + \frac{12 x^{2}}{3 x + 2}$	=
$\frac{12 x^{2}}{3 x + 2} - 6 x + x + 4 - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{12 x^{2}}{3 x + 2} - 6 x + x + 4 - 2$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{12 x^{2}}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) - 6 x \cdot (3 x + 2) + x \cdot (3 x + 2) + 4 \cdot (3 x + 2) - 2 \cdot (3 x + 2)$	=
$12 x^{2} - 6 x \cdot (3 x + 2) + x \cdot (3 x + 2) + 12 x + 8 - 6 x - 4$	=
$12 x^{2} + (- 18 x^{2} - 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) + 12 x + 8 - 6 x - 4$	=
$- 3 x^{2} - 4 x + 4$	=

$- 3 x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 4}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{- 6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{4+8}{- 6}$ = $\frac{12}{- 6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{4-8}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 4 x + 4$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{12}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $- \frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $- \frac{2}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{6}{3}$ = -2

x₂ = $- \frac{2}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{9}{x^{4}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{9}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{9}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} - 9$	=

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 34 x - 7}{3 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 34 x - 7}{3 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 34 x - 7}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 4 \cdot 3 x$
$- 34 x - 7$	=	$3 x \cdot x - 12 x$

- 34 x - 7

=

3 x^{2} - 12 x

|

- 3 x^{2}

+ 12 x

$- 3 x^{2} - 22 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 - 84}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{400}}{- 6}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{400}}{- 6}$ = $\frac{22+20}{- 6}$ = $\frac{42}{- 6}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{400}}{- 6}$ = $\frac{22-20}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 22 x - 7$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{22}{3} x + \frac{7}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{3})}^{2} - (\frac{7}{3})$ = $\frac{121}{9}$ $-$ $\frac{7}{3}$ = $\frac{121}{9}$ $-$ $\frac{21}{9}$ = $\frac{100}{9}$

x_1,2 = $- \frac{11}{3}$ ± $\sqrt{\frac{100}{9}}$

x₁ = $- \frac{11}{3}$ - $\frac{10}{3}$ = $- \frac{21}{3}$ = -7

x₂ = $- \frac{11}{3}$ + $\frac{10}{3}$ = $- \frac{1}{3}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{8 x}{x + 3} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{1}{2}$ }

\frac{8 x}{x + 3} + \frac{3 x}{2 x + 1} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{8 x}{x + 3} + \frac{3 x}{2 x + 1} - 3$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{8 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{3 x}{2 x + 1} \cdot (x + 3) - 3 \cdot (x + 3)$	=
$8 x + \frac{3 x \cdot (x + 3)}{2 x + 1} - 3 x - 9$	=
$8 x + \frac{3 x^{2} + 9 x}{2 x + 1} - 3 x - 9$	=
$\frac{3 x^{2} + 9 x}{2 x + 1} + 8 x - 3 x - 9$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 9 x}{2 x + 1} + 8 x - 3 x - 9$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{3 x^{2} + 9 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + 8 x \cdot (2 x + 1) - 3 x \cdot (2 x + 1) - 9 \cdot (2 x + 1)$	=
$3 x^{2} + 9 x + 8 x \cdot (2 x + 1) - 3 x \cdot (2 x + 1) - 18 x - 9$	=
$3 x^{2} + 9 x + (16 x^{2} + 8 x) + (- 6 x^{2} - 3 x) - 18 x - 9$	=
$13 x^{2} - 4 x - 9$	=

$13 x^{2} - 4 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 13 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 13}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 468}}{26}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{484}}{26}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{484}}{26}$ = $\frac{4+22}{26}$ = $\frac{26}{26}$ = $1$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{484}}{26}$ = $\frac{4-22}{26}$ = $\frac{- 18}{26}$ = $- \frac{9}{13}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $13$ " teilen:

$13 x^{2} - 4 x - 9$ = 0 |: $13$

$x^{2} - \frac{4}{13} x - \frac{9}{13}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{13})}^{2} - (- \frac{9}{13})$ = $\frac{4}{169}$ $+$ $\frac{9}{13}$ = $\frac{4}{169}$ $+$ $\frac{117}{169}$ = $\frac{121}{169}$

x_1,2 = $\frac{2}{13}$ ± $\sqrt{\frac{121}{169}}$

x₁ = $\frac{2}{13}$ - $\frac{11}{13}$ = $- \frac{9}{13}$ = -0.69230769230769

x₂ = $\frac{2}{13}$ + $\frac{11}{13}$ = $\frac{13}{13}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{9}{13}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 5 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 5 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 5 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 5 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 5 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 5 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $- (2 + 3)$ = -5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 3$ = $6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):