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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{28}{x + 2}$ = $4$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{28}{x + 2}$	=	$4$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{28}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$4 \cdot (x + 2)$
$- 28$	=	$4 (x + 2)$

$- 28$	=	$4 x + 8$	\| $+ 28$ $- 4 x$
$- 4 x$	=	$36$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x - 2}$ = $\frac{8}{x^{2} - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $2$ }

\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x - 2}

=

\frac{8}{(x + 2) \cdot (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 2) \cdot (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x - 2}$	=	$\frac{8}{(x + 2) \cdot (x - 2)}$	\|⋅( $(x + 2) \cdot (x - 2)$ )
$\frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) + \frac{3}{x - 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$	=	$\frac{8}{(x + 2) \cdot (x - 2)} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$
$x \cdot (x - 2) + 3 x + 6$	=	$8 \frac{x + 2}{x + 2}$
$x \cdot (x - 2) + 3 x + 6$	=	$8$
$x^{2} - 2 x + 3 x + 6$	=	$8$
$x^{2} + x + 6$	=	$8$

x^{2} + x + 6

=

8

|

- 8

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Lösung x= $- 2$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 2}{x} + \frac{3 x}{2 x - 2} + \frac{- 11 x + 2}{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $1$ }

$\frac{- 11 x + 2}{2 x} + \frac{x + 2}{x} + \frac{3 x}{2 x - 2}$	=	0
$\frac{- 11 x + 2}{2 x} + \frac{x + 2}{x} + \frac{3 x}{2 (x - 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 11 x + 2}{2 x} + \frac{x + 2}{x} + \frac{3 x}{2 (x - 1)}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 11 x + 2}{2 x} \cdot 2 x + \frac{x + 2}{x} \cdot 2 x + \frac{3 x}{2 (x - 1)} \cdot 2 x$	=
$- 11 x + 2 + 2 x + 4 + 2 \frac{3 x \cdot x}{2 (x - 1)}$	=
$- 11 x + 2 + 2 x + 4 + \frac{3 x^{2}}{x - 1}$	=
$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - 11 x + 2 x + 2 + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - 11 x + 2 x + 2 + 4$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x^{2}}{x - 1} \cdot (x - 1) - 11 x \cdot (x - 1) + 2 x \cdot (x - 1) + 2 \cdot (x - 1) + 4 \cdot (x - 1)$	=
$3 x^{2} - 11 x \cdot (x - 1) + 2 x \cdot (x - 1) + 2 x - 2 + 4 x - 4$	=
$3 x^{2} + (- 11 x^{2} + 11 x) + (2 x^{2} - 2 x) + 2 x - 2 + 4 x - 4$	=
$- 6 x^{2} + 15 x - 6$	=

- 6 x^{2} + 15 x - 6

= 0 |:3

$- 2 x^{2} + 5 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 5+3}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 5-3}{- 4}$ = $\frac{- 8}{- 4}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 5 x - 2$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{x - 56}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{x - 56}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{x - 56}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$x - 56$

- x^{2}

=

x - 56

|

- x

+ 56

$- x^{2} - x + 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 56}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{225}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{225}}{- 2}$ = $\frac{1+15}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{225}}{- 2}$ = $\frac{1-15}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 56$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 56$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 56)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $56$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{224}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- x + 18}{x + 5}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{- x + 18}{x + 5}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{- x + 18}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$4 x \cdot (x + 5)$
$- x + 18$	=	$4 x \cdot (x + 5)$
$- x + 18$	=	$4 x^{2} + 20 x$

- x + 18

=

4 x^{2} + 20 x

|

- 4 x^{2}

- 20 x

$- 4 x^{2} - 21 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 18}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 + 288}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{729}}{- 8}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{729}}{- 8}$ = $\frac{21+27}{- 8}$ = $\frac{48}{- 8}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{729}}{- 8}$ = $\frac{21-27}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 21 x + 18$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{21}{4} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{8})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{441}{64}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{441}{64}$ $+$ $\frac{288}{64}$ = $\frac{729}{64}$

x_1,2 = $- \frac{21}{8}$ ± $\sqrt{\frac{729}{64}}$

x₁ = $- \frac{21}{8}$ - $\frac{27}{8}$ = $- \frac{48}{8}$ = -6

x₂ = $- \frac{21}{8}$ + $\frac{27}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 4}{x} + \frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{4 x - 4}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- \frac{8}{3}$ }

\frac{2 x - 4 - 4 x + 4}{x} + \frac{2 x}{3 x + 8}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x - 4 - 4 x + 4}{x} + \frac{2 x}{3 x + 8}$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x - 4 - 4 x + 4}{x} \cdot x + \frac{2 x}{3 x + 8} \cdot x$	=
$2 x - 4 - 4 x + 4 + \frac{2 x \cdot x}{3 x + 8}$	=
$2 x - 4 - 4 x + 4 + \frac{2 x^{2}}{3 x + 8}$	=
$\frac{2 x^{2}}{3 x + 8} + 2 x - 4 x - 4 + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{2 x^{2}}{3 x + 8} + 2 x - 4 x - 4 + 4$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{2 x^{2}}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + 2 x \cdot (3 x + 8) - 4 x \cdot (3 x + 8) - 4 \cdot (3 x + 8) + 4 \cdot (3 x + 8)$	=
$2 x^{2} + 2 x \cdot (3 x + 8) - 4 x \cdot (3 x + 8) - 12 x - 32 + 12 x + 32$	=
$2 x^{2} + (6 x^{2} + 16 x) + (- 12 x^{2} - 32 x) - 12 x - 32 + 12 x + 32$	=
$- 4 x^{2} - 16 x$	=

$- 4 x^{2} - 16 x$	=	0
$- 4 x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Lösung x=0 ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{10}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{10}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{10}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{10}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 10$	=	$- x^{2}$
$a x + 10 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):