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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2 x}{x + 15}$ = $- 5$

D=R\{ $- 15$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 15$ weg!

$\frac{- 2 x}{x + 15}$	=	$- 5$	\|⋅( $x + 15$ )
$\frac{- 2 x}{x + 15} \cdot (x + 15)$	=	$- 5 \cdot (x + 15)$
$- \frac{2 x}{1}$	=	$- 5 (x + 15)$
$- 2 x$	=	$- 5 (x + 15)$

$- 2 x$	=	$- 5 x - 75$	\| $+ 5 x$
$3 x$	=	$- 75$	\|: $3$
$x$	=	$- 25$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 25$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 7} + \frac{8}{x + 7}$ = $\frac{44}{x^{2} - 49}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 7$ ; $7$ }

\frac{x}{x - 7} + \frac{8}{x + 7}

=

\frac{44}{(x + 7) (x - 7)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 7) (x - 7)$ weg!

$\frac{x}{x - 7} + \frac{8}{x + 7}$	=	$\frac{44}{(x + 7) (x - 7)}$	\|⋅( $(x + 7) (x - 7)$ )
$\frac{x}{x - 7} \cdot (x + 7) (x - 7) + \frac{8}{x + 7} \cdot (x + 7) (x - 7)$	=	$\frac{44}{(x + 7) (x - 7)} \cdot (x + 7) (x - 7)$
$x (x + 7) + 8 x - 56$	=	$44 \frac{x + 7}{x + 7}$
$x (x + 7) + 8 x - 56$	=	$44$
$x^{2} + 7 x + 8 x - 56$	=	$44$
$x^{2} + 15 x - 56$	=	$44$

x^{2} + 15 x - 56

=

44

|

- 44

$x^{2} + 15 x - 100$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 100)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 + 400}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{625}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{625}}{2}$ = $\frac{- 15+25}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{625}}{2}$ = $\frac{- 15-25}{2}$ = $\frac{- 40}{2}$ = $- 20$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - (- 100)$ = $\frac{225}{4}$ $+$ $100$ = $\frac{225}{4}$ $+$ $\frac{400}{4}$ = $\frac{625}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{625}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{25}{2}$ = $- \frac{40}{2}$ = -20

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{25}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 20$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x - 1} + \frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{24 x}{- 2 x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $1$ }

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{8 x}{x - 1} + \frac{24 x}{- 2 x + 2}$	=	0
$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{8 x}{x - 1} + \frac{24 x}{2 (- x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{8 x}{x - 1} + \frac{24 x}{2 (- x + 1)}$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{8 x}{x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{24 x}{2 (- x + 1)} \cdot (2 x - 1)$	=
$6 x + \frac{8 x (2 x - 1)}{x - 1} + \frac{12 x (2 x - 1)}{- x + 1}$	=
$6 x + \frac{16 x^{2} - 8 x}{x - 1} + \frac{24 x^{2} - 12 x}{- x + 1}$	=
$\frac{24 x^{2} - 12 x}{- x + 1} + \frac{16 x^{2} - 8 x}{x - 1} + 6 x$	=

\frac{16 x^{2} - 8 x}{x - 1} + \frac{24 x^{2} - 12 x}{- x + 1} + 6 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{16 x^{2} - 8 x}{x - 1} + \frac{24 x^{2} - 12 x}{- x + 1} + 6 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{16 x^{2} - 8 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{24 x^{2} - 12 x}{- x + 1} \cdot (x - 1) + 6 x \cdot (x - 1)$	=
$16 x^{2} - 8 x + \frac{(24 x^{2} - 12 x) (x - 1)}{- x + 1} + 6 x (x - 1)$	=
$16 x^{2} - 8 x - 12 x (2 x - 1) + 6 x (x - 1)$	=
$16 x^{2} - 8 x + (- 24 x^{2} + 12 x) + (6 x^{2} - 6 x)$	=
$- 2 x^{2} - 2 x$	=

$- 2 x^{2} - 2 x$	=	0
$- 2 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{5}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{24}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{5}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{24}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{5}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{24}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- 5 x$	=	$- x^{2} + 24$

- 5 x

=

- x^{2} + 24

|

+ x^{2}

- 24

$x^{2} - 5 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{5+11}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{5-11}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 15}{2 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x - 15}{2 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x - 15}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 5 \cdot 2 x$
$3 x - 15$	=	$2 x \cdot x - 10 x$

3 x - 15

=

2 x^{2} - 10 x

|

- 2 x^{2}

+ 10 x

$- 2 x^{2} + 13 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 13+7}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 13-7}{- 4}$ = $\frac{- 20}{- 4}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 13 x - 15$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x + \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - (\frac{15}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{x - 1} + \frac{3 x - 2}{x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $1$ }

\frac{3 x - 2}{x} + \frac{5 x + 1}{x - 1} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x - 2}{x} + \frac{5 x + 1}{x - 1} - 7$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x - 2}{x} \cdot x + \frac{5 x + 1}{x - 1} \cdot x - 7 \cdot x$	=
$3 x - 2 + \frac{(5 x + 1) x}{x - 1} - 7 x$	=
$3 x - 2 + \frac{5 x^{2} + x}{x - 1} - 7 x$	=
$\frac{5 x^{2} + x}{x - 1} + 3 x - 7 x - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{5 x^{2} + x}{x - 1} + 3 x - 7 x - 2$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{5 x^{2} + x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 3 x \cdot (x - 1) - 7 x \cdot (x - 1) - 2 \cdot (x - 1)$	=
$5 x^{2} + x + 3 x (x - 1) - 7 x (x - 1) - 2 x + 2$	=
$5 x^{2} + x + (3 x^{2} - 3 x) + (- 7 x^{2} + 7 x) - 2 x + 2$	=
$x^{2} + 3 x + 2$	=

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{12}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{12}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{12}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 12$	=	$- x^{2}$
$a x - 12 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):