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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{- 2 x - 46}{3 x + 4}$ = $- 4$

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{- 2 x - 46}{3 x + 4}$	=	$- 4$	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{- 2 x - 46}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4)$	=	$- 4 \cdot (3 x + 4)$
$- 2 x - 46$	=	$- 4 (3 x + 4)$

$- 2 x - 46$	=	$- 12 x - 16$	\| $+ 46$
$- 2 x$	=	$- 12 x + 30$	\| $+ 12 x$
$10 x$	=	$30$	\|: $10$
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4 x}{x + 2} - \frac{4}{2 x + 4}$ = $2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{4 x}{x + 2} - \frac{4}{2 (x + 2)}

=

2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{4 x}{x + 2} - \frac{4}{2 (x + 2)}$	=	$2$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{4 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{- 4}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=	$2 \cdot (x + 2)$
$- 4 x - 2$	=	$2 (x + 2)$

$- 4 x - 2$	=	$2 x + 4$	\| $+ 2$
$- 4 x$	=	$2 x + 6$	\| $- 2 x$
$- 6 x$	=	$6$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 20}$ = $- \frac{6,2}{x + 4} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{x}{5 x + 20}$	=	$- \frac{6,2}{x + 4} - 2 x$
$\frac{x}{5 (x + 4)}$	=	$- \frac{6,2}{x + 4} - 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 4)}$	=	$- \frac{6,2}{x + 4} - 2 x$	\|⋅( $5 (x + 4)$ )
$\frac{x}{5 (x + 4)} \cdot (5 (x + 4))$	=	$\frac{- 6,2}{x + 4} \cdot (5 (x + 4)) - 2 x \cdot (5 (x + 4))$
$x$	=	$- 31 - 10 x (x + 4)$
$x$	=	$- 10 x^{2} - 40 x - 31$

x

=

- 10 x^{2} - 40 x - 31

|

+ 10 x^{2}

+ 40 x

+ 31

$10 x^{2} + 41 x + 31$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{41^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 31}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{1 681 - 1 240}}{20}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{441}}{20}$

x₁ = $\frac{- 41 + \sqrt{441}}{20}$ = $\frac{- 41+21}{20}$ = $\frac{- 20}{20}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 41 - \sqrt{441}}{20}$ = $\frac{- 41-21}{20}$ = $\frac{- 62}{20}$ = $- 3,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $10$ " teilen:

$10 x^{2} + 41 x + 31$ = 0 |: $10$

$x^{2} + \frac{41}{10} x + \frac{31}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{41}{20})}^{2} - (\frac{31}{10})$ = $\frac{1681}{400}$ $-$ $\frac{31}{10}$ = $\frac{1681}{400}$ $-$ $\frac{1240}{400}$ = $\frac{441}{400}$

x_1,2 = $- \frac{41}{20}$ ± $\sqrt{\frac{441}{400}}$

x₁ = $- \frac{41}{20}$ - $\frac{21}{20}$ = $- \frac{62}{20}$ = -3.1

x₂ = $- \frac{41}{20}$ + $\frac{21}{20}$ = $- \frac{20}{20}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,1$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}}$ = $\frac{7}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}}$	=	$\frac{7}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{6}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{7}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 6$	=	$7 x$

x^{2} + 6

=

7 x

|

- 7 x

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 19 x + 8}{x - 3}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{- 19 x + 8}{x - 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{- 19 x + 8}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$3 x \cdot (x - 3)$
$- 19 x + 8$	=	$3 x (x - 3)$
$- 19 x + 8$	=	$3 x^{2} - 9 x$

- 19 x + 8

=

3 x^{2} - 9 x

|

- 3 x^{2}

+ 9 x

$- 3 x^{2} - 10 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 8}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{196}}{- 6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{10+14}{- 6}$ = $\frac{24}{- 6}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{10-14}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 10 x + 8$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{10}{3} x - \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{8}{3})$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{49}{9}$

x_1,2 = $- \frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{49}{9}}$

x₁ = $- \frac{5}{3}$ - $\frac{7}{3}$ = $- \frac{12}{3}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{3}$ + $\frac{7}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{- 8 x}{6 x - 16}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; $2$ }

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{x}{x - 2} - \frac{8 x}{6 x - 16}$	=	0
$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{x}{x - 2} - \frac{8 x}{2 (3 x - 8)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{x}{x - 2} - \frac{8 x}{2 (3 x - 8)}$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{2 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{x}{x - 2} \cdot (3 x - 8) - \frac{8 x}{2 (3 x - 8)} \cdot (3 x - 8)$	=
$2 x + \frac{x (3 x - 8)}{x - 2} - 4 x$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} - 8 x}{x - 2} - 4 x$	=
$\frac{3 x^{2} - 8 x}{x - 2} + 2 x - 4 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 8 x}{x - 2} + 2 x - 4 x$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{3 x^{2} - 8 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 2 x \cdot (x - 2) - 4 x \cdot (x - 2)$	=
$3 x^{2} - 8 x + 2 x (x - 2) - 4 x (x - 2)$	=
$3 x^{2} - 8 x + (2 x^{2} - 4 x) + (- 4 x^{2} + 8 x)$	=
$x^{2} - 4 x$	=

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{10}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{10}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{10}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{10}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$10 + a x$	=	$- x^{2}$
$10 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):