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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7}{x}$ = $\frac{9}{7}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{7}{x}$	=	$\frac{9}{7}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{7}{x} \cdot x$	=	$\frac{9}{7} \cdot x$
$- 7$	=	$\frac{9}{7} x$

$- 7$	=	$\frac{9}{7} x$	\|⋅ 7
$- 49$	=	$9 x$	\| $+ 49$ $- 9 x$
$- 9 x$	=	$49$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$- \frac{49}{9}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{49}{9}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 21}{x + 1}$ = $- x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{21}{x + 1}$	=	$- x - 5$	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{21}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- x \cdot (x + 1) - 5 \cdot (x + 1)$
$- 21$	=	$- x \cdot (x + 1) - 5 x - 5$
$- 21$	=	$- x^{2} - 6 x - 5$

- 21

=

- x^{2} - 6 x - 5

|

+ x^{2}

+ 6 x

+ 5

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{3 x + 1} + \frac{7 x + 1}{2 x} + \frac{- 15 x + 1}{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- \frac{1}{3}$ }

\frac{7 x + 1 - 15 x + 1}{2 x} + \frac{12 x}{3 x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{7 x + 1 - 15 x + 1}{2 x} + \frac{12 x}{3 x + 1}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{7 x + 1 - 15 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + \frac{12 x}{3 x + 1} \cdot 2 x$	=
$7 x + 1 - 15 x + 1 + 2 \frac{12 x \cdot x}{3 x + 1}$	=
$7 x + 1 - 15 x + 1 + \frac{24 x^{2}}{3 x + 1}$	=
$\frac{24 x^{2}}{3 x + 1} + 7 x - 15 x + 1 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{24 x^{2}}{3 x + 1} + 7 x - 15 x + 1 + 1$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{24 x^{2}}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 7 x \cdot (3 x + 1) - 15 x \cdot (3 x + 1) + 1 \cdot (3 x + 1) + 1 \cdot (3 x + 1)$	=
$24 x^{2} + 7 x \cdot (3 x + 1) - 15 x \cdot (3 x + 1) + 3 x + 1 + 3 x + 1$	=
$24 x^{2} + (21 x^{2} + 7 x) + (- 45 x^{2} - 15 x) + 3 x + 1 + 3 x + 1$	=
$- 2 x + 2$	=

$- 2 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{60}{x^{4}}$ = $\frac{16}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{60}{x^{4}}$	=	$\frac{16}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{60}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{16}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 60$	=	$16 x$

x^{2} + 60

=

16 x

|

- 16 x

$x^{2} - 16 x + 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{16+4}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{16-4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 8)}^{2} - 60$ = $64$ $-$ $60$ = $4$

x_1,2 = $8$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $8$ - $2$ = 6

x₂ = $8$ + $2$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 3$ = $- 5 - \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 3$	=	$- 5 - \frac{1}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 3 \cdot x$	=	$- 5 \cdot x - \frac{1}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 3 x$	=	$- 5 x - 1$
$x^{2} - 3 x$	=	$- 5 x - 1$

x^{2} - 3 x

=

- 5 x - 1

|

+ 5 x

+ 1

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 3}{x} + \frac{2 x}{x - 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{2 x}{x - 1} + \frac{2 x + 3}{x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{2 x + 3}{x} - 6$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{2 x + 3}{x} \cdot (x - 1) - 6 \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{(2 x + 3) \cdot (x - 1)}{x} - 6 x + 6$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} + x - 3}{x} - 6 x + 6$	=
$\frac{2 x^{2} + x - 3}{x} + 2 x - 6 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x^{2} + x - 3}{x} + 2 x - 6 x + 6$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x^{2} + x - 3}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 6 x \cdot x + 6 \cdot x$	=
$2 x^{2} + x - 3 + 2 x \cdot x - 6 x \cdot x + 6 x$	=
$2 x^{2} + x - 3 + 2 x^{2} - 6 x^{2} + 6 x$	=
$- 2 x^{2} + 7 x - 3$	=

$- 2 x^{2} + 7 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 7+5}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 7-5}{- 4}$ = $\frac{- 12}{- 4}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 7 x - 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{20}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{20}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{20}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{20}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$20 + a x$	=	$- x^{2}$
$20 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

L={ $2$ ; $10$ }

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Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):