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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6 x}{x + 2}$ = $- 4$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{- 6 x}{x + 2}$	=	$- 4$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{- 6 x}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- 4 \cdot (x + 2)$
$- \frac{6 x}{1}$	=	$- 4 (x + 2)$
$- 6 x$	=	$- 4 (x + 2)$

$- 6 x$	=	$- 4 x - 8$	\| $+ 4 x$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 42}{2 x - 1} + x$ = $- 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ }

- \frac{42}{2 x - 1} + x

=

- 2

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$- \frac{42}{2 x - 1} + x$	=	$- 2$	\|⋅( $2 x - 1$ )
$- \frac{42}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + x \cdot (2 x - 1)$	=	$- 2 \cdot (2 x - 1)$
$- 42 + x (2 x - 1)$	=	$- 2 (2 x - 1)$
$- 42 + (2 x^{2} - x)$	=	$- 2 (2 x - 1)$
$2 x^{2} - x - 42$	=	$- 4 x + 2$

2 x^{2} - x - 42

=

- 4 x + 2

|

+ 4 x

- 2

$2 x^{2} + 3 x - 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 44)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 352}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 3+19}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 3-19}{4}$ = $\frac{- 22}{4}$ = $- 5,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 3 x - 44$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - 22$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $22$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{352}{16}$ = $\frac{361}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{361}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{19}{4}$ = $- \frac{22}{4}$ = -5.5

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{19}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5,5$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 32}{6 x + 6} + 3 x$ = $- \frac{x}{3 x + 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$- \frac{32}{6 x + 6} + 3 x$	=	$\frac{- x}{3 x + 3}$
$- \frac{32}{6 (x + 1)} + 3 x$	=	$\frac{- x}{3 (x + 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$- \frac{32}{6 (x + 1)} + 3 x$	=	$\frac{- x}{3 (x + 1)}$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{- 32}{6 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + 3 x \cdot (3 (x + 1))$	=	$\frac{- x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$
$- 16 + 9 x (x + 1)$	=	$- x$
$- 16 + (9 x^{2} + 9 x)$	=	$- x$
$9 x^{2} + 9 x - 16$	=	$- x$

9 x^{2} + 9 x - 16

=

- x

|

+ x

$9 x^{2} + 10 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 576}}{18}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{676}}{18}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{676}}{18}$ = $\frac{- 10+26}{18}$ = $\frac{16}{18}$ = $\frac{8}{9}$ ≈ 0.89

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{676}}{18}$ = $\frac{- 10-26}{18}$ = $\frac{- 36}{18}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} + 10 x - 16$ = 0 |: $9$

$x^{2} + \frac{10}{9} x - \frac{16}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{9})}^{2} - (- \frac{16}{9})$ = $\frac{25}{81}$ $+$ $\frac{16}{9}$ = $\frac{25}{81}$ $+$ $\frac{144}{81}$ = $\frac{169}{81}$

x_1,2 = $- \frac{5}{9}$ ± $\sqrt{\frac{169}{81}}$

x₁ = $- \frac{5}{9}$ - $\frac{13}{9}$ = $- \frac{18}{9}$ = -2

x₂ = $- \frac{5}{9}$ + $\frac{13}{9}$ = $\frac{8}{9}$ = 0.88888888888889

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{8}{9}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{3}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{3}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{2}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$3 x + 2$	=	$- x^{2}$

3 x + 2

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 23 x + 7}{3 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 23 x + 7}{3 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 23 x + 7}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 1 \cdot 3 x$
$- 23 x + 7$	=	$3 x \cdot x - 3 x$

- 23 x + 7

=

3 x^{2} - 3 x

|

- 3 x^{2}

+ 3 x

$- 3 x^{2} - 20 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 7}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 + 84}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{484}}{- 6}$

x₁ = $\frac{20 + \sqrt{484}}{- 6}$ = $\frac{20+22}{- 6}$ = $\frac{42}{- 6}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{20 - \sqrt{484}}{- 6}$ = $\frac{20-22}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 20 x + 7$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{20}{3} x - \frac{7}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{10}{3})}^{2} - (- \frac{7}{3})$ = $\frac{100}{9}$ $+$ $\frac{7}{3}$ = $\frac{100}{9}$ $+$ $\frac{21}{9}$ = $\frac{121}{9}$

x_1,2 = $- \frac{10}{3}$ ± $\sqrt{\frac{121}{9}}$

x₁ = $- \frac{10}{3}$ - $\frac{11}{3}$ = $- \frac{21}{3}$ = -7

x₂ = $- \frac{10}{3}$ + $\frac{11}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{3 x - 9} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{x - 1}{3 (x - 3)} - 1

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{x - 1}{3 (x - 3)} - 1$	=	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{x - 1}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) - 1 \cdot (3 (x - 3))$	=
$x - 1 - 3 x + 9$	=
$- 2 x + 8$	=

$- 2 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 10$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 10$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 10$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 10 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 10 x$	=	$- a$
$x^{2} - 10 x + a$	=	0
$x^{2} - 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 8 würde es funktionieren, denn $- (2 + 8)$ = -10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 8$ = $16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

L={ $2$ ; $8$ }

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Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):