Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{9}{x}$ = $- 6$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{9}{x}$	=	$- 6$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{9}{x} \cdot x$	=	$- 6 \cdot x$
$- 9$	=	$- 6 x$

$- 9$	=	$- 6 x$	\| $+ 9$ $+ 6 x$
$6 x$	=	$9$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{3}{2}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{3}{2}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{- 2 x}{x - 3} + 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

x

=

\frac{2 x}{x - 3} + 2

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$x$	=	$\frac{2 x}{x - 3} + 2$	\|⋅( $x - 3$ )
$x \cdot (x - 3)$	=	$\frac{2 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + 2 \cdot (x - 3)$
$x \cdot (x - 3)$	=	$2 x + 2 x - 6$
$x \cdot x + x \cdot (- 3)$	=	$2 x + 2 x - 6$
$x \cdot x - 3 x$	=	$2 x + 2 x - 6$
$x^{2} - 3 x$	=	$4 x - 6$

x^{2} - 3 x

=

4 x - 6

|

- 4 x

+ 6

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{2 x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x + 1} - 4$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{6 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) - 4 \cdot (2 x + 1)$	=
$6 x - 8 x - 4$	=
$- 2 x - 4$	=

$- 2 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x} - \frac{8}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{12}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x} - \frac{8}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{12}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$12$	=	$- x^{2} - 8 x$

12

=

- x^{2} - 8 x

|

+ x^{2}

+ 8 x

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 4$ - $2$ = -6

x₂ = $- 4$ + $2$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 4$ = $1 - \frac{2}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 4$	=	$1 - \frac{2}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 4 \cdot x$	=	$1 \cdot x - \frac{2}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 4 x$	=	$x - 2$
$x^{2} + 4 x$	=	$x - 2$

x^{2} + 4 x

=

x - 2

|

- x

+ 2

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{3 x - 7} + \frac{2 x}{3 x - 6} + \frac{- 9 x}{9 x - 18}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{7}{3}$ }

$\frac{2 x}{3 x - 6} + \frac{x - 1}{3 x - 7} - \frac{9 x}{9 x - 18}$	=	0
$\frac{2 x}{3 (x - 2)} + \frac{x - 1}{3 x - 7} - \frac{9 x}{9 (x - 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{2 x}{3 (x - 2)} + \frac{x - 1}{3 x - 7} - \frac{9 x}{9 (x - 2)}$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{2 x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + \frac{x - 1}{3 x - 7} \cdot (3 (x - 2)) - \frac{9 x}{9 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2))$	=
$2 x + 3 \frac{(x - 1) \cdot (x - 2)}{3 x - 7} - 3 x$	=
$2 x + \frac{3 (x^{2} - 3 x + 2)}{3 x - 7} - 3 x$	=
$\frac{3 (x^{2} - 3 x + 2)}{3 x - 7} + 2 x - 3 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{3 (x^{2} - 3 x + 2)}{3 x - 7} + 2 x - 3 x$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{3 (x^{2} - 3 x + 2)}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + 2 x \cdot (3 x - 7) - 3 x \cdot (3 x - 7)$	=
$3 x^{2} - 9 x + 6 + 2 x \cdot (3 x - 7) - 3 x \cdot (3 x - 7)$	=
$3 x^{2} - 9 x + 6 + (6 x^{2} - 14 x) + (- 9 x^{2} + 21 x)$	=
$- 2 x + 6$	=

$- 2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 6 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 6 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 6 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 6 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 6 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 6 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 6 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 6 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn $- (2 + 4)$ = -6

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 4$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):