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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9 x + 5}{x - 3}$ = $5$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{9 x + 5}{x - 3}$	=	$5$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{9 x + 5}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$5 \cdot (x - 3)$
$9 x + 5$	=	$5 (x - 3)$

$9 x + 5$	=	$5 x - 15$	\| $- 5$
$9 x$	=	$5 x - 20$	\| $- 5 x$
$4 x$	=	$- 20$	\|: $4$
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{6}{x - 2} - 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

x

=

- \frac{6}{x - 2} - 5

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$x$	=	$- \frac{6}{x - 2} - 5$	\|⋅( $x - 2$ )
$x \cdot (x - 2)$	=	$- \frac{6}{x - 2} \cdot (x - 2) - 5 \cdot (x - 2)$
$x (x - 2)$	=	$- 6 - 5 x + 10$
$x \cdot x + x \cdot (- 2)$	=	$- 6 - 5 x + 10$
$x \cdot x - 2 x$	=	$- 6 - 5 x + 10$
$x^{2} - 2 x$	=	$- 5 x + 4$

x^{2} - 2 x

=

- 5 x + 4

|

+ 5 x

- 4

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{x}{2 x - 4} - \frac{- 10}{x - 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$x$	=	$- \frac{x}{2 x - 4} + \frac{10}{x - 2}$
$x$	=	$- \frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{10}{x - 2}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$x$	=	$- \frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{10}{x - 2}$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$x \cdot (2 (x - 2))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{10}{x - 2} \cdot (2 (x - 2))$
$2 x (x - 2)$	=	$- x + 20$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot (- 2)$	=	$- x + 20$
$2 x \cdot x - 4 x$	=	$- x + 20$
$2 x^{2} - 4 x$	=	$- x + 20$

2 x^{2} - 4 x

=

- x + 20

|

+ x

- 20

$2 x^{2} - 3 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{3+13}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{3-13}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 3 x - 20$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{160}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,5$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $- \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$- \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$- \frac{2}{x} \cdot x^{2} + \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$- 2 x + 8$

x^{2}

=

- 2 x + 8

|

+ 2 x

- 8

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 10 x - 2}{3 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 10 x - 2}{3 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 10 x - 2}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 1 \cdot 3 x$
$- 10 x - 2$	=	$3 x \cdot x - 3 x$

- 10 x - 2

=

3 x^{2} - 3 x

|

- 3 x^{2}

+ 3 x

$- 3 x^{2} - 7 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{7+5}{- 6}$ = $\frac{12}{- 6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{7-5}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 7 x - 2$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{7}{3} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{6})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $- \frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $- \frac{7}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{12}{6}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 6} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{3 x}{3 (x + 2)} - 3

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{3 x}{3 (x + 2)} - 3$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{3 x}{3 (x + 2)} \cdot (x + 2) - 3 \cdot (x + 2)$	=
$x - 3 x - 6$	=
$- 2 x - 6$	=

$- 2 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 5 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 5 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 5 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 5 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 5 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 5 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $- (2 + 3)$ = -5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 3$ = $6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):