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Einfache Verhältnisgleichung
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
D=R\{
Wir multiplizieren den Nenner weg!
= | |⋅( ) | ||
= | |||
= |
= | | | ||
= | |:() | ||
= | = -4.5 |
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={ }
42 Bruchgleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
D=R\{ ; }
= | |(Nenner faktorisiert) |
Wir multiplizieren den Nenner weg!
= | |⋅( ) | ||
= | |||
= | |||
= | |||
= | |||
= |
= | | |
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
= =
x2 =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={
Bruchgleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
D=R\{
|
= | ||
|
= | |(Nenner faktorisiert) |
Wir multiplizieren den Nenner
|
= | |⋅(
|
|
|
= | ||
|
= | ||
|
= | ||
|
= |
Wir multiplizieren den Nenner
|
= | |⋅(
|
|
|
= | ||
|
= | ||
|
= | ||
|
= |
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
x2 =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={
Bruchgl. mit x-Potenzen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
D=R\{
Wir multiplizieren den Nenner
|
= |
|
|⋅(
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
x2 =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={
Bruchgleichung (quadr.) 1
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
D=R\{
Wir multiplizieren den Nenner
|
= |
|
|⋅(
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
x =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={
Bruchgleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
D=R\{
|
= |
Wir multiplizieren den Nenner
|
= | |⋅(
|
|
|
= | ||
|
= | ||
|
= | ||
|
= |
Wir multiplizieren den Nenner
|
= | |⋅(
|
|
|
= | ||
|
= | ||
|
= | ||
|
= |
|
= | |
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={
Bruchgleichung mit Parameter
Beispiel:
Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:
Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.
D=R\{0}
Wir multiplizieren den Nenner x weg:
|
= |
|
|⋅x |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= | ||
|
= |
Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:
(x-p)⋅(x-q)
Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.
= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq
Es muss somit gelten:
Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:
Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn
Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a =
Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
x2 =
L={