Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7 x}{2 x + 5} - \frac{46}{2 x + 5}$ = $- 5$

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$- \frac{7 x}{2 x + 5} - \frac{46}{2 x + 5}$	=	$- 5$	\|⋅( $2 x + 5$ )
$- \frac{7 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) - \frac{46}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5)$	=	$- 5 \cdot (2 x + 5)$
$- 7 x - 46$	=	$- 5 (2 x + 5)$

$- 7 x - 46$	=	$- 10 x - 25$	\| $+ 46$
$- 7 x$	=	$- 10 x + 21$	\| $+ 10 x$
$3 x$	=	$21$	\|: $3$
$x$	=	$7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{- 50}{2 x + 2} - 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$x$	=	$\frac{50}{2 x + 2} - 1$
$x$	=	$\frac{50}{2 (x + 1)} - 1$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$x$	=	$\frac{50}{2 (x + 1)} - 1$	\|⋅( $x + 1$ )
$x \cdot (x + 1)$	=	$\frac{50}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1) - 1 \cdot (x + 1)$
$x \cdot (x + 1)$	=	$25 - x - 1$
$x \cdot x + x \cdot 1$	=	$25 - x - 1$
$x \cdot x + x$	=	$25 - x - 1$
$x^{2} + x$	=	$- x + 24$

x^{2} + x

=

- x + 24

|

+ x

- 24

$x^{2} + 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2}{2 x + 8} - 4 x$ = $- \frac{x}{4 x + 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{2}{2 x + 8} - 4 x$	=	$\frac{- x}{4 x + 16}$
$\frac{2}{2 (x + 4)} - 4 x$	=	$\frac{- x}{4 (x + 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 4)$ weg!

$\frac{2}{2 (x + 4)} - 4 x$	=	$\frac{- x}{4 (x + 4)}$	\|⋅( $4 (x + 4)$ )
$\frac{2}{2 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) - 4 x \cdot (4 (x + 4))$	=	$\frac{- x}{4 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4))$
$4 - 16 x \cdot (x + 4)$	=	$- x$
$4 + (- 16 x^{2} - 64 x)$	=	$- x$
$- 16 x^{2} - 64 x + 4$	=	$- x$

- 16 x^{2} - 64 x + 4

=

- x

|

+ x

$- 16 x^{2} - 63 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{{(- 63)}^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot 4}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{3 969 + 256}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{4 225}}{- 32}$

x₁ = $\frac{63 + \sqrt{4 225}}{- 32}$ = $\frac{63+65}{- 32}$ = $\frac{128}{- 32}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{63 - \sqrt{4 225}}{- 32}$ = $\frac{63-65}{- 32}$ = $\frac{- 2}{- 32}$ = $\frac{1}{16}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 16$ " teilen:

$- 16 x^{2} - 63 x + 4$ = 0 |: $- 16$

$x^{2} + \frac{63}{16} x - \frac{1}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{63}{32})}^{2} - (- \frac{1}{4})$ = $\frac{3969}{1024}$ $+$ $\frac{1}{4}$ = $\frac{3969}{1024}$ $+$ $\frac{256}{1024}$ = $\frac{4225}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{63}{32}$ ± $\sqrt{\frac{4225}{1024}}$

x₁ = $- \frac{63}{32}$ - $\frac{65}{32}$ = $- \frac{128}{32}$ = -4

x₂ = $- \frac{63}{32}$ + $\frac{65}{32}$ = $\frac{2}{32}$ = 0.0625

Lösung x= $- 4$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $\frac{1}{16}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $- 1 + \frac{72}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$- 1 + \frac{72}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{72}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x$	=	$- x^{2} + 72$

x

=

- x^{2} + 72

|

+ x^{2}

- 72

$x^{2} + x - 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 1+17}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 1-17}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 72)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $72$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 - \frac{2}{x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 2 - \frac{2}{x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $x$ )
$- 2 \cdot x - \frac{2}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 5 \cdot x$
$- 2 x - 2$	=	$x \cdot x - 5 x$

- 2 x - 2

=

x^{2} - 5 x

|

- x^{2}

+ 5 x

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3+1}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3-1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{3 x}{- 3 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ ; $1$ }

$\frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{3 x}{- 3 x - 4}$	=	0
$\frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{3 x}{- (3 x + 4)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{3 x}{- (3 x + 4)}$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{2 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{2 x + 1}{x - 1} \cdot (3 x + 4) + \frac{3 x}{- (3 x + 4)} \cdot (3 x + 4)$	=
$2 x + \frac{(2 x + 1) \cdot (3 x + 4)}{x - 1} - 3 x$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{x - 1} - 3 x$	=
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{x - 1} + 2 x - 3 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{x - 1} + 2 x - 3 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{x - 1} \cdot (x - 1) + 2 x \cdot (x - 1) - 3 x \cdot (x - 1)$	=
$6 x^{2} + 11 x + 4 + 2 x \cdot (x - 1) - 3 x \cdot (x - 1)$	=
$6 x^{2} + 11 x + 4 + (2 x^{2} - 2 x) + (- 3 x^{2} + 3 x)$	=
$5 x^{2} + 12 x + 4$	=

$5 x^{2} + 12 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 4}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{64}}{10}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{64}}{10}$ = $\frac{- 12+8}{10}$ = $\frac{- 4}{10}$ = $- 0,4$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{64}}{10}$ = $\frac{- 12-8}{10}$ = $\frac{- 20}{10}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 12 x + 4$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{12}{5} x + \frac{4}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{6}{5})}^{2} - (\frac{4}{5})$ = $\frac{36}{25}$ $-$ $\frac{4}{5}$ = $\frac{36}{25}$ $-$ $\frac{20}{25}$ = $\frac{16}{25}$

x_1,2 = $- \frac{6}{5}$ ± $\sqrt{\frac{16}{25}}$

x₁ = $- \frac{6}{5}$ - $\frac{4}{5}$ = $- \frac{10}{5}$ = -2

x₂ = $- \frac{6}{5}$ + $\frac{4}{5}$ = $- \frac{2}{5}$ = -0.4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$1 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$1 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x + x^{2}$	=	$- a$
$x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):