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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3 x}{x - 8}$ = $1$

D=R\{ $8$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 8$ weg!

$\frac{3 x}{x - 8}$	=	$1$	\|⋅( $x - 8$ )
$\frac{3 x}{x - 8} \cdot (x - 8)$	=	$1 \cdot (x - 8)$
$3 x$	=	$x - 8$

$3 x$	=	$x - 8$	\| $- x$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{26 x}{3 x - 1} - x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

=	$- \frac{26 x}{3 x - 1} - x + 4$	\|⋅( $3 x - 1$ )
=	$- \frac{26 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) - x \cdot (3 x - 1) + 4 \cdot (3 x - 1)$
=	$- 26 x - x \cdot (3 x - 1) + 12 x - 4$
=	$- 3 x^{2} - 13 x - 4$

0

=

- 3 x^{2} - 13 x - 4

|

+ 3 x^{2}

+ 13 x

+ 4

$3 x^{2} + 13 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 13+11}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 13-11}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 13 x + 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{13}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{6})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $- \frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $- \frac{13}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{24}{6}$ = -4

x₂ = $- \frac{13}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{3 x + 9} + \frac{x - 4}{x} + \frac{- 4 x - 1}{3 x + 9}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

$\frac{2 x - 1 - 4 x - 1}{3 x + 9} + \frac{x - 4}{x}$	=	0
$\frac{2 x - 1 - 4 x - 1}{3 (x + 3)} + \frac{x - 4}{x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$\frac{2 x - 1 - 4 x - 1}{3 (x + 3)} + \frac{x - 4}{x}$	=	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$\frac{2 x - 1 - 4 x - 1}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) + \frac{x - 4}{x} \cdot (3 (x + 3))$	=
$2 x - 1 - 4 x - 1 + 3 \frac{(x - 4) \cdot (x + 3)}{x}$	=
$2 x - 1 - 4 x - 1 + \frac{3 (x^{2} - x - 12)}{x}$	=
$\frac{3 (x^{2} - x - 12)}{x} + 2 x - 4 x - 1 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 (x^{2} - x - 12)}{x} + 2 x - 4 x - 1 - 1$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 (x^{2} - x - 12)}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 1 \cdot x - 1 \cdot x$	=
$3 x^{2} - 3 x - 36 + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - x - x$	=
$3 x^{2} - 3 x - 36 + 2 x^{2} - 4 x^{2} - x - x$	=
$x^{2} - 5 x - 36$	=

$x^{2} - 5 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5+13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5-13}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $36$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $9$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{16}{x}$ = $- \frac{63}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{16}{x}$	=	$- \frac{63}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{16}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{63}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 16 x$	=	$- 63$

x^{2} - 16 x

=

- 63

|

+ 63

$x^{2} - 16 x + 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{16+2}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{16-2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 8)}^{2} - 63$ = $64$ $-$ $63$ = $1$

x_1,2 = $8$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $8$ - $1$ = 7

x₂ = $8$ + $1$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $\frac{7 x + 12}{x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$3 x$	=	$\frac{7 x + 12}{x - 3}$	\|⋅( $x - 3$ )
$3 x \cdot (x - 3)$	=	$\frac{7 x + 12}{x - 3} \cdot (x - 3)$
$3 x \cdot (x - 3)$	=	$7 x + 12$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot (- 3)$	=	$7 x + 12$
$3 x \cdot x - 9 x$	=	$7 x + 12$
$3 x^{2} - 9 x$	=	$7 x + 12$

3 x^{2} - 9 x

=

7 x + 12

|

- 7 x

- 12

$3 x^{2} - 16 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 + 144}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{400}}{6}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{16+20}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = $6$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{16-20}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 16 x - 12$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{16}{3} x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{3})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{64}{9}$ $+$ $4$ = $\frac{64}{9}$ $+$ $\frac{36}{9}$ = $\frac{100}{9}$

x_1,2 = $\frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{100}{9}}$

x₁ = $\frac{8}{3}$ - $\frac{10}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{8}{3}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{18}{3}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x + 1}{2 x} + \frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{40 x}{- 4 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{7 x + 1}{2 x} + \frac{40 x}{- 4 x - 4}$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x + 1)} + \frac{7 x + 1}{2 x} + \frac{40 x}{- 4 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x + 1)} + \frac{7 x + 1}{2 x} + \frac{40 x}{- 4 (x + 1)}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1) + \frac{7 x + 1}{2 x} \cdot (x + 1) + \frac{40 x}{- 4 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=
$2 x + \frac{(7 x + 1) \cdot (x + 1)}{2 x} - 10 x$	=
$2 x + \frac{7 x^{2} + 8 x + 1}{2 x} - 10 x$	=
$\frac{7 x^{2} + 8 x + 1}{2 x} + 2 x - 10 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{7 x^{2} + 8 x + 1}{2 x} + 2 x - 10 x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{7 x^{2} + 8 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + 2 x \cdot 2 x - 10 x \cdot 2 x$	=
$7 x^{2} + 8 x + 1 + 4 x \cdot x - 20 x \cdot x$	=
$7 x^{2} + 8 x + 1 + 4 x^{2} - 20 x^{2}$	=
$- 9 x^{2} + 8 x + 1$	=

$- 9 x^{2} + 8 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot 1}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{- 18}$ = $\frac{- 8+10}{- 18}$ = $\frac{2}{- 18}$ = $- \frac{1}{9}$ ≈ -0.11

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{- 18}$ = $\frac{- 8-10}{- 18}$ = $\frac{- 18}{- 18}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} + 8 x + 1$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} - \frac{8}{9} x - \frac{1}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{9})}^{2} - (- \frac{1}{9})$ = $\frac{16}{81}$ $+$ $\frac{1}{9}$ = $\frac{16}{81}$ $+$ $\frac{9}{81}$ = $\frac{25}{81}$

x_1,2 = $\frac{4}{9}$ ± $\sqrt{\frac{25}{81}}$

x₁ = $\frac{4}{9}$ - $\frac{5}{9}$ = $- \frac{1}{9}$ = -0.11111111111111

x₂ = $\frac{4}{9}$ + $\frac{5}{9}$ = $\frac{9}{9}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{9}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{12}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{12}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{12}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{12}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 12$
$x^{2} + a x + 12$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):