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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4}{x + 2}$ = $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{4}{x + 2}$	=	$- 2$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{4}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- 2 \cdot (x + 2)$
$- 4$	=	$- 2 (x + 2)$

$- 4$	=	$- 2 x - 4$	\| $+ 4$ $+ 2 x$
$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0}

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 9} - \frac{11}{x + 9}$ = $\frac{198}{x^{2} - 81}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 9$ ; $9$ }

\frac{x}{x - 9} - \frac{11}{x + 9}

=

\frac{198}{(x + 9) \cdot (x - 9)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 9) \cdot (x - 9)$ weg!

$\frac{x}{x - 9} - \frac{11}{x + 9}$	=	$\frac{198}{(x + 9) \cdot (x - 9)}$	\|⋅( $(x + 9) \cdot (x - 9)$ )
$\frac{x}{x - 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9) - \frac{11}{x + 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$	=	$\frac{198}{(x + 9) \cdot (x - 9)} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$
$x \cdot (x + 9) - 11 x + 99$	=	$198 \frac{x + 9}{x + 9}$
$x \cdot (x + 9) - 11 x + 99$	=	$198$
$x^{2} + 9 x - 11 x + 99$	=	$198$
$x^{2} - 2 x + 99$	=	$198$

x^{2} - 2 x + 99

=

198

|

- 198

$x^{2} - 2 x - 99$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 99)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 396}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{400}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{400}}{2}$ = $\frac{2+20}{2}$ = $\frac{22}{2}$ = $11$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{400}}{2}$ = $\frac{2-20}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 99)$ = $1$ $+$ $99$ = $100$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{100}$

x₁ = $1$ - $10$ = -9

x₂ = $1$ + $10$ = 11

Lösung x= $- 9$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $11$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 9,2}{x - 4} - 3 x$ = $- \frac{x}{5 x - 20}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$- \frac{9,2}{x - 4} - 3 x$	=	$\frac{- x}{5 x - 20}$
$- \frac{9,2}{x - 4} - 3 x$	=	$\frac{- x}{5 (x - 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 4)$ weg!

$- \frac{9,2}{x - 4} - 3 x$	=	$\frac{- x}{5 (x - 4)}$	\|⋅( $5 (x - 4)$ )
$\frac{- 9,2}{x - 4} \cdot (5 (x - 4)) - 3 x \cdot (5 (x - 4))$	=	$\frac{- x}{5 (x - 4)} \cdot (5 (x - 4))$
$- 46 - 15 x \cdot (x - 4)$	=	$- x$
$- 46 + (- 15 x^{2} + 60 x)$	=	$- x$
$- 15 x^{2} + 60 x - 46$	=	$- x$

- 15 x^{2} + 60 x - 46

=

- x

|

+ x

$- 15 x^{2} + 61 x - 46$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{61^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot (- 46)}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{3 721 - 2 760}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{961}}{- 30}$

x₁ = $\frac{- 61 + \sqrt{961}}{- 30}$ = $\frac{- 61+31}{- 30}$ = $\frac{- 30}{- 30}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 61 - \sqrt{961}}{- 30}$ = $\frac{- 61-31}{- 30}$ = $\frac{- 92}{- 30}$ = $\frac{46}{15}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} + 61 x - 46$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} - \frac{61}{15} x + \frac{46}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{61}{30})}^{2} - (\frac{46}{15})$ = $\frac{3721}{900}$ $-$ $\frac{46}{15}$ = $\frac{3721}{900}$ $-$ $\frac{2760}{900}$ = $\frac{961}{900}$

x_1,2 = $\frac{61}{30}$ ± $\sqrt{\frac{961}{900}}$

x₁ = $\frac{61}{30}$ - $\frac{31}{30}$ = $\frac{30}{30}$ = 1

x₂ = $\frac{61}{30}$ + $\frac{31}{30}$ = $\frac{92}{30}$ = 3.0666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $\frac{46}{15}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{56}{x^{2}}$ = $- 1 - \frac{15}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{56}{x^{2}}$	=	$- 1 - \frac{15}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{56}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{15}{x} \cdot x^{2}$
$56$	=	$- x^{2} - 15 x$

56

=

- x^{2} - 15 x

|

+ x^{2}

+ 15 x

$x^{2} + 15 x + 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 15+1}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 15-1}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 56$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $56$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{224}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 8 x - 14}{x + 1}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- 8 x - 14}{x + 1}$	=	$x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- 8 x - 14}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$x \cdot (x + 1)$
$- 8 x - 14$	=	$x \cdot (x + 1)$
$- 8 x - 14$	=	$x^{2} + x$

- 8 x - 14

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} - 9 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 14)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{9+5}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{9-5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 9 x - 14$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 2} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 2} - 2$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{4 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) - 2 \cdot (3 x - 2)$	=
$4 x - 6 x + 4$	=
$- 2 x + 4$	=

$- 2 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$1 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$1 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x + x^{2}$	=	$- a$
$x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

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Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):