Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6 x + 9}{x - 3}$ = $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{6 x + 9}{x - 3}$	=	$3$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{6 x + 9}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$3 \cdot (x - 3)$
$6 x + 9$	=	$3 (x - 3)$

$6 x + 9$	=	$3 x - 9$	\| $- 9$
$6 x$	=	$3 x - 18$	\| $- 3 x$
$3 x$	=	$- 18$	\|: $3$
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 2} + \frac{8}{x - 2}$ = $\frac{8}{x^{2} - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $2$ }

\frac{x}{x + 2} + \frac{8}{x - 2}

=

\frac{8}{(x + 2) (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 2) (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{x + 2} + \frac{8}{x - 2}$	=	$\frac{8}{(x + 2) (x - 2)}$	\|⋅( $(x + 2) (x - 2)$ )
$\frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2) (x - 2) + \frac{8}{x - 2} \cdot (x + 2) (x - 2)$	=	$\frac{8}{(x + 2) (x - 2)} \cdot (x + 2) (x - 2)$
$x (x - 2) + 8 x + 16$	=	$8 \frac{x + 2}{x + 2}$
$x (x - 2) + 8 x + 16$	=	$8$
$x^{2} - 2 x + 8 x + 16$	=	$8$
$x^{2} + 6 x + 16$	=	$8$

x^{2} + 6 x + 16

=

8

|

- 8

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

Lösung x= $- 2$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 9} + \frac{x}{2 x - 4} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $3$ }

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{3 x}{3 x - 9} - 5$	=	0
$\frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{3 x}{3 (x - 3)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{3 x}{3 (x - 3)} - 5$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{3 x}{3 (x - 3)} \cdot (2 (x - 2)) - 5 \cdot (2 (x - 2))$	=
$x + 2 \frac{x (x - 2)}{x - 3} - 10 x + 20$	=
$x + \frac{2 (x^{2} - 2 x)}{x - 3} - 10 x + 20$	=
$\frac{2 (x^{2} - 2 x)}{x - 3} + x - 10 x + 20$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{2 (x^{2} - 2 x)}{x - 3} + x - 10 x + 20$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{2 (x^{2} - 2 x)}{x - 3} \cdot (x - 3) + x \cdot (x - 3) - 10 x \cdot (x - 3) + 20 \cdot (x - 3)$	=
$2 x^{2} - 4 x + x (x - 3) - 10 x (x - 3) + 20 x - 60$	=
$2 x^{2} - 4 x + (x^{2} - 3 x) + (- 10 x^{2} + 30 x) + 20 x - 60$	=
$- 7 x^{2} + 43 x - 60$	=

$- 7 x^{2} + 43 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{43^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{1 849 - 1 680}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{169}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 43 + \sqrt{169}}{- 14}$ = $\frac{- 43+13}{- 14}$ = $\frac{- 30}{- 14}$ = $\frac{15}{7}$ ≈ 2.14

x₂ = $\frac{- 43 - \sqrt{169}}{- 14}$ = $\frac{- 43-13}{- 14}$ = $\frac{- 56}{- 14}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} + 43 x - 60$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} - \frac{43}{7} x + \frac{60}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{43}{14})}^{2} - (\frac{60}{7})$ = $\frac{1849}{196}$ $-$ $\frac{60}{7}$ = $\frac{1849}{196}$ $-$ $\frac{1680}{196}$ = $\frac{169}{196}$

x_1,2 = $\frac{43}{14}$ ± $\sqrt{\frac{169}{196}}$

x₁ = $\frac{43}{14}$ - $\frac{13}{14}$ = $\frac{30}{14}$ = 2.1428571428571

x₂ = $\frac{43}{14}$ + $\frac{13}{14}$ = $\frac{56}{14}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{15}{7}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 10}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{3 x - 10}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{3 x - 10}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$3 x - 10$	=	$- x^{2}$

3 x - 10

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11 x - 9}{x + 5}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{11 x - 9}{x + 5}$	=	$x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{11 x - 9}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$x \cdot (x + 5)$
$11 x - 9$	=	$x (x + 5)$
$11 x - 9$	=	$x^{2} + 5 x$

11 x - 9

=

x^{2} + 5 x

|

- x^{2}

- 5 x

$- x^{2} + 6 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 9$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{16 x}{- 6 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $- \frac{1}{3}$ }

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{16 x}{- 6 x - 2}$	=	0
$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{16 x}{- 2 (3 x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{16 x}{- 2 (3 x + 1)}$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{3 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{4 x}{3 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{16 x}{- 2 (3 x + 1)} \cdot (2 x + 1)$	=
$3 x + \frac{4 x (2 x + 1)}{3 x + 1} - \frac{8 x (2 x + 1)}{3 x + 1}$	=
$3 x + \frac{8 x^{2} + 4 x}{3 x + 1} - \frac{16 x^{2} + 8 x}{3 x + 1}$	=
$\frac{8 x^{2} + 4 x - 16 x^{2} - 8 x}{3 x + 1} + 3 x$	=

\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} + 4 x - 8 x}{3 x + 1} + 3 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} + 4 x - 8 x}{3 x + 1} + 3 x$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} + 4 x - 8 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 3 x \cdot (3 x + 1)$	=
$8 x^{2} - 16 x^{2} + 4 x - 8 x + 3 x (3 x + 1)$	=
$8 x^{2} - 16 x^{2} + 4 x - 8 x + (9 x^{2} + 3 x)$	=
$x^{2} - x$	=

$x^{2} - x$	=	0
$x (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{8}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{8}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{8}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{8}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 8$	=	$- a x$
$x^{2} - 8 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 4)$ = -8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 4)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):