Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2 x}{x + 15}$ = $1$

D=R\{ $- 15$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 15$ weg!

$\frac{- 2 x}{x + 15}$	=	$1$	\|⋅( $x + 15$ )
$\frac{- 2 x}{x + 15} \cdot (x + 15)$	=	$1 \cdot (x + 15)$
$- \frac{2 x}{1}$	=	$x + 15$
$- 2 x$	=	$x + 15$

$- 2 x$	=	$x + 15$	\| $- x$
$- 3 x$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5 x}{x + 3} - \frac{6}{2 x + 6}$ = $3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

\frac{5 x}{x + 3} - \frac{6}{2 (x + 3)}

=

3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{5 x}{x + 3} - \frac{6}{2 (x + 3)}$	=	$3$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{5 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{- 6}{2 (x + 3)} \cdot (x + 3)$	=	$3 \cdot (x + 3)$
$5 x - 3$	=	$3 (x + 3)$

$5 x - 3$	=	$3 x + 9$	\| $+ 3$
$5 x$	=	$3 x + 12$	\| $- 3 x$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x + 2} + \frac{16 x}{3 x + 1} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $- 2$ }

\frac{16 x}{3 x + 1} + \frac{12 x}{x + 2} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{16 x}{3 x + 1} + \frac{12 x}{x + 2} - 8$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{16 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{12 x}{x + 2} \cdot (3 x + 1) - 8 \cdot (3 x + 1)$	=
$16 x + \frac{12 x \cdot (3 x + 1)}{x + 2} - 24 x - 8$	=
$16 x + \frac{36 x^{2} + 12 x}{x + 2} - 24 x - 8$	=
$\frac{36 x^{2} + 12 x}{x + 2} + 16 x - 24 x - 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{36 x^{2} + 12 x}{x + 2} + 16 x - 24 x - 8$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{36 x^{2} + 12 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 16 x \cdot (x + 2) - 24 x \cdot (x + 2) - 8 \cdot (x + 2)$	=
$36 x^{2} + 12 x + 16 x \cdot (x + 2) - 24 x \cdot (x + 2) - 8 x - 16$	=
$36 x^{2} + 12 x + (16 x^{2} + 32 x) + (- 24 x^{2} - 48 x) - 8 x - 16$	=
$28 x^{2} - 12 x - 16$	=

28 x^{2} - 12 x - 16

= 0 |:4

$7 x^{2} - 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{14}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{14}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{14}$ = $\frac{3+11}{14}$ = $\frac{14}{14}$ = $1$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{14}$ = $\frac{3-11}{14}$ = $\frac{- 8}{14}$ = $- \frac{4}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} - 3 x - 4$ = 0 |: $7$

$x^{2} - \frac{3}{7} x - \frac{4}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{14})}^{2} - (- \frac{4}{7})$ = $\frac{9}{196}$ $+$ $\frac{4}{7}$ = $\frac{9}{196}$ $+$ $\frac{112}{196}$ = $\frac{121}{196}$

x_1,2 = $\frac{3}{14}$ ± $\sqrt{\frac{121}{196}}$

x₁ = $\frac{3}{14}$ - $\frac{11}{14}$ = $- \frac{8}{14}$ = -0.57142857142857

x₂ = $\frac{3}{14}$ + $\frac{11}{14}$ = $\frac{14}{14}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{7}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{9 x + 18}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{9 x + 18}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{9 x + 18}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$9 x + 18$

- x^{2}

=

9 x + 18

|

- 9 x

- 18

$- x^{2} - 9 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{9+3}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{9-3}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 9 x - 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 9 x + 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x + 21}{2 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{7 x + 21}{2 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{7 x + 21}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 2 \cdot 2 x$
$7 x + 21$	=	$2 x \cdot x - 4 x$

7 x + 21

=

2 x^{2} - 4 x

|

- 2 x^{2}

+ 4 x

$- 2 x^{2} + 11 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 21}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 168}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{289}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{- 11+17}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{- 11-17}{- 4}$ = $\frac{- 28}{- 4}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 11 x + 21$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{11}{2} x - \frac{21}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{4})}^{2} - (- \frac{21}{2})$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{21}{2}$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{168}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $\frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $\frac{11}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{11}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,5$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{3 x - 7} + \frac{14 x}{- 9 x + 21}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{7}{3}$ }

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{3 x - 7} + \frac{14 x}{- 9 x + 21}$	=	0
$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{3 x - 7} + \frac{14 x}{3 (- 3 x + 7)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{3 x - 7} + \frac{14 x}{3 (- 3 x + 7)}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{3 x - 1}{3 x - 7} \cdot (x - 1) + \frac{14 x}{3 (- 3 x + 7)} \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{(3 x - 1) \cdot (x - 1)}{3 x - 7} + \frac{14 x \cdot (x - 1)}{3 (- 3 x + 7)}$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{3 x - 7} + \frac{14 x^{2} - 14 x}{3 (- 3 x + 7)}$	=
$\frac{14 x^{2} - 14 x}{3 (- 3 x + 7)} + \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{3 x - 7} + 2 x$	=

\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{3 x - 7} + \frac{14 x^{2} - 14 x}{3 (- 3 x + 7)} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{3 x - 7} + \frac{14 x^{2} - 14 x}{3 (- 3 x + 7)} + 2 x$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + \frac{14 x^{2} - 14 x}{3 (- 3 x + 7)} \cdot (3 x - 7) + 2 x \cdot (3 x - 7)$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 + \frac{(14 x^{2} - 14 x) \cdot (3 x - 7)}{3 (- 3 x + 7)} + 2 x \cdot (3 x - 7)$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 - \frac{14}{3} x \cdot (x - 1) + 2 x \cdot (3 x - 7)$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 + (- \frac{14}{3} x^{2} + \frac{14}{3} x) + (6 x^{2} - 14 x)$	=
$\frac{13}{3} x^{2} - \frac{40}{3} x + 1$	=

$\frac{13}{3} x^{2} - \frac{40}{3} x + 1$	=	0	\|⋅ 3
$3 (\frac{13}{3} x^{2} - \frac{40}{3} x + 1)$	=	0

$13 x^{2} - 40 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{{(- 40)}^{2} - 4 \cdot 13 \cdot 3}}{2 \cdot 13}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{1 600 - 156}}{26}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{1 444}}{26}$

x₁ = $\frac{40 + \sqrt{1 444}}{26}$ = $\frac{40+38}{26}$ = $\frac{78}{26}$ = $3$

x₂ = $\frac{40 - \sqrt{1 444}}{26}$ = $\frac{40-38}{26}$ = $\frac{2}{26}$ = $\frac{1}{13}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $13$ " teilen:

$13 x^{2} - 40 x + 3$ = 0 |: $13$

$x^{2} - \frac{40}{13} x + \frac{3}{13}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{20}{13})}^{2} - (\frac{3}{13})$ = $\frac{400}{169}$ $-$ $\frac{3}{13}$ = $\frac{400}{169}$ $-$ $\frac{39}{169}$ = $\frac{361}{169}$

x_1,2 = $\frac{20}{13}$ ± $\sqrt{\frac{361}{169}}$

x₁ = $\frac{20}{13}$ - $\frac{19}{13}$ = $\frac{1}{13}$ = 0.076923076923077

x₂ = $\frac{20}{13}$ + $\frac{19}{13}$ = $\frac{39}{13}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{13}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 3$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 3$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 3$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 3 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + 3 x$	=	$- x^{2}$
$a + 3 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (2 - 5)$ = 3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 5)$ = $- 10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):