Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3}{x}$ = $\frac{5}{3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3}{x}$	=	$\frac{5}{3}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{3}{x} \cdot x$	=	$\frac{5}{3} \cdot x$
$3$	=	$\frac{5}{3} x$

$3$	=	$\frac{5}{3} x$	\|⋅ 3
$9$	=	$5 x$	\| $- 9$ $- 5 x$
$- 5 x$	=	$- 9$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$\frac{9}{5}$ = 1.8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{9}{5}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 8} - \frac{9}{x - 8}$ = $\frac{38}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x + 8} - \frac{9}{x - 8}

=

\frac{38}{(x + 8) \cdot (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) \cdot (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x + 8} - \frac{9}{x - 8}$	=	$\frac{38}{(x + 8) \cdot (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) \cdot (x - 8)$ )
$\frac{x}{x + 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8) - \frac{9}{x - 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$	=	$\frac{38}{(x + 8) \cdot (x - 8)} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$
$x \cdot (x - 8) - 9 x - 72$	=	$38 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x \cdot (x - 8) - 9 x - 72$	=	$38$
$x^{2} - 8 x - 9 x - 72$	=	$38$
$x^{2} - 17 x - 72$	=	$38$

x^{2} - 17 x - 72

=

38

|

- 38

$x^{2} - 17 x - 110$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 110)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 440}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{729}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{729}}{2}$ = $\frac{17+27}{2}$ = $\frac{44}{2}$ = $22$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{729}}{2}$ = $\frac{17-27}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - (- 110)$ = $\frac{289}{4}$ $+$ $110$ = $\frac{289}{4}$ $+$ $\frac{440}{4}$ = $\frac{729}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{729}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{27}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{27}{2}$ = $\frac{44}{2}$ = 22

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $22$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{3 x} + \frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{20 x}{- 6 x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x} + \frac{20 x}{- 6 x + 2}$	=	0
$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x} + \frac{20 x}{2 (- 3 x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x} + \frac{20 x}{2 (- 3 x + 1)}$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{2 x + 1}{3 x} \cdot (3 x - 1) + \frac{20 x}{2 (- 3 x + 1)} \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x + \frac{(2 x + 1) \cdot (3 x - 1)}{3 x} + \frac{10 x \cdot (3 x - 1)}{- 3 x + 1}$	=
$8 x + \frac{(2 x + 1) \cdot (3 x - 1)}{3 x} - 10 x$	=
$8 x + \frac{6 x^{2} + x - 1}{3 x} - 10 x$	=
$\frac{6 x^{2} + x - 1}{3 x} + 8 x - 10 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{6 x^{2} + x - 1}{3 x} + 8 x - 10 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{6 x^{2} + x - 1}{3 x} \cdot 3 x + 8 x \cdot 3 x - 10 x \cdot 3 x$	=
$6 x^{2} + x - 1 + 24 x \cdot x - 30 x \cdot x$	=
$6 x^{2} + x - 1 + 24 x^{2} - 30 x^{2}$	=
$x - 1$	=

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}}$ = $\frac{45}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}}$	=	$\frac{45}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{4}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$\frac{45}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2} - 4 x$	=	$45$

x^{2} - 4 x

=

45

|

- 45

$x^{2} - 4 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4+14}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4-14}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 45)$ = $4$ $+$ $45$ = $49$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $2$ - $7$ = -5

x₂ = $2$ + $7$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 11 x + 7}{2 x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 11 x + 7}{2 x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 11 x + 7}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x$
$- 11 x + 7$	=	$2 x \cdot x + 2 x$

- 11 x + 7

=

2 x^{2} + 2 x

|

- 2 x^{2}

- 2 x

$- 2 x^{2} - 13 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 7}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 56}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{225}}{- 4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{13+15}{- 4}$ = $\frac{28}{- 4}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{13-15}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 13 x + 7$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x - \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - (- \frac{7}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{56}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{28}{4}$ = -7

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{2 x + 1} + \frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{15 x}{- 9 x - 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ ; $- \frac{1}{2}$ }

$\frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} + \frac{15 x}{- 9 x - 12}$	=	0
$\frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} + \frac{15 x}{- 3 (3 x + 4)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} + \frac{15 x}{- 3 (3 x + 4)}$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{2 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} \cdot (3 x + 4) + \frac{15 x}{- 3 (3 x + 4)} \cdot (3 x + 4)$	=
$2 x + \frac{(5 x + 1) \cdot (3 x + 4)}{2 x + 1} - 5 x$	=
$2 x + \frac{15 x^{2} + 23 x + 4}{2 x + 1} - 5 x$	=
$\frac{15 x^{2} + 23 x + 4}{2 x + 1} + 2 x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{15 x^{2} + 23 x + 4}{2 x + 1} + 2 x - 5 x$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{15 x^{2} + 23 x + 4}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + 2 x \cdot (2 x + 1) - 5 x \cdot (2 x + 1)$	=
$15 x^{2} + 23 x + 4 + 2 x \cdot (2 x + 1) - 5 x \cdot (2 x + 1)$	=
$15 x^{2} + 23 x + 4 + (4 x^{2} + 2 x) + (- 10 x^{2} - 5 x)$	=
$9 x^{2} + 20 x + 4$	=

$9 x^{2} + 20 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 144}}{18}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{256}}{18}$

x₁ = $\frac{- 20 + \sqrt{256}}{18}$ = $\frac{- 20+16}{18}$ = $\frac{- 4}{18}$ = $- \frac{2}{9}$ ≈ -0.22

x₂ = $\frac{- 20 - \sqrt{256}}{18}$ = $\frac{- 20-16}{18}$ = $\frac{- 36}{18}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} + 20 x + 4$ = 0 |: $9$

$x^{2} + \frac{20}{9} x + \frac{4}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{10}{9})}^{2} - (\frac{4}{9})$ = $\frac{100}{81}$ $-$ $\frac{4}{9}$ = $\frac{100}{81}$ $-$ $\frac{36}{81}$ = $\frac{64}{81}$

x_1,2 = $- \frac{10}{9}$ ± $\sqrt{\frac{64}{81}}$

x₁ = $- \frac{10}{9}$ - $\frac{8}{9}$ = $- \frac{18}{9}$ = -2

x₂ = $- \frac{10}{9}$ + $\frac{8}{9}$ = $- \frac{2}{9}$ = -0.22222222222222

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{2}{9}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $5$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $5$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$5$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$5 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$5 x$
$a + x^{2} - 5 x$	=	0
$x^{2} - 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $- (2 + 3)$ = -5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 3$ = $6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):