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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
- 2x x +2 - 16 x +2 = -4

Lösung einblenden

D=R\{ -2 }

Wir multiplizieren den Nenner x +2 weg!

- 2x x +2 - 16 x +2 = -4 |⋅( x +2 )
- 2x x +2 · ( x +2 ) - 16 x +2 · ( x +2 ) = -4 · ( x +2 )
-2x -16 = -4( x +2 )
-2x -16 = -4x -8 | +16
-2x = -4x +8 | +4x
2x = 8 |:2
x = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 4 }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
5x x -1 + 50 2x -2 = -1

Lösung einblenden

D=R\{ 1 }

5x x -1 + 50 2( x -1 ) = -1 |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner x -1 weg!

5x x -1 + 50 2( x -1 ) = -1 |⋅( x -1 )
5x x -1 · ( x -1 ) + 50 2( x -1 ) · ( x -1 ) = -1 · ( x -1 )
5x +25 = -( x -1 )
5x +25 = -x +1 | -25
5x = -x -24 | + x
6x = -24 |:6
x = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -4 }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3x 2x +1 + 3x 3x +3 -4 = 0

Lösung einblenden

D=R\{ -1 ; - 1 2 }

3x 3x +3 + 3x 2x +1 -4 = 0
3x 3( x +1 ) + 3x 2x +1 -4 = 0 |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner x +1 weg!

3x 3( x +1 ) + 3x 2x +1 -4 = 0 |⋅( x +1 )
3x 3( x +1 ) · ( x +1 ) + 3x 2x +1 · ( x +1 ) -4 · ( x +1 ) = 0
x + 3 x ( x +1 ) 2x +1 -4x -4 = 0
x + 3 x 2 +3x 2x +1 -4x -4 = 0
3 x 2 +3x 2x +1 + x -4x -4 = 0

Wir multiplizieren den Nenner 2x +1 weg!

3 x 2 +3x 2x +1 + x -4x -4 = 0 |⋅( 2x +1 )
3 x 2 +3x 2x +1 · ( 2x +1 ) + x · ( 2x +1 ) -4x · ( 2x +1 ) -4 · ( 2x +1 ) = 0
3 x 2 +3x + x ( 2x +1 )-4 x ( 2x +1 ) -8x -4 = 0
3 x 2 +3x + ( 2 x 2 + x ) + ( -8 x 2 -4x ) -8x -4 = 0
-3 x 2 -8x -4 = 0

-3 x 2 -8x -4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · ( -3 ) · ( -4 ) 2( -3 )

x1,2 = +8 ± 64 -48 -6

x1,2 = +8 ± 16 -6

x1 = 8 + 16 -6 = 8 +4 -6 = 12 -6 = -2

x2 = 8 - 16 -6 = 8 -4 -6 = 4 -6 = - 2 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-3 " teilen:

-3 x 2 -8x -4 = 0 |: -3

x 2 + 8 3 x + 4 3 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 4 3 ) 2 - ( 4 3 ) = 16 9 - 4 3 = 16 9 - 12 9 = 4 9

x1,2 = - 4 3 ± 4 9

x1 = - 4 3 - 2 3 = - 6 3 = -2

x2 = - 4 3 + 2 3 = - 2 3 = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2 ; - 2 3 }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

1 - 2 x - 24 x 2 = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 2 weg!

1 - 2 x - 24 x 2 = 0 |⋅( x 2 )
1 · x 2 - 2 x · x 2 - 24 x 2 · x 2 = 0
x 2 -2x -24 = 0

x 2 -2x -24 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -24 ) 21

x1,2 = +2 ± 4 +96 2

x1,2 = +2 ± 100 2

x1 = 2 + 100 2 = 2 +10 2 = 12 2 = 6

x2 = 2 - 100 2 = 2 -10 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - ( -24 ) = 1+ 24 = 25

x1,2 = 1 ± 25

x1 = 1 - 5 = -4

x2 = 1 + 5 = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -4 ; 6 }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2x +4 x -1 = 4x

Lösung einblenden

D=R\{ 1 }

Wir multiplizieren den Nenner x -1 weg!

2x +4 x -1 = 4x |⋅( x -1 )
2x +4 x -1 · ( x -1 ) = 4x · ( x -1 )
2x +4 = 4 x ( x -1 )
2x +4 = 4 x 2 -4x
2x +4 = 4 x 2 -4x | -4 x 2 +4x
-4 x 2 +6x +4 = 0 |:2

-2 x 2 +3x +2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -3 ± 3 2 -4 · ( -2 ) · 2 2( -2 )

x1,2 = -3 ± 9 +16 -4

x1,2 = -3 ± 25 -4

x1 = -3 + 25 -4 = -3 +5 -4 = 2 -4 = -0,5

x2 = -3 - 25 -4 = -3 -5 -4 = -8 -4 = 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-2 " teilen:

-2 x 2 +3x +2 = 0 |: -2

x 2 - 3 2 x -1 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 4 ) 2 - ( -1 ) = 9 16 + 1 = 9 16 + 16 16 = 25 16

x1,2 = 3 4 ± 25 16

x1 = 3 4 - 5 4 = - 2 4 = -0.5

x2 = 3 4 + 5 4 = 8 4 = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -0,5 ; 2 }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3x 3x -6 + 4x 2x -3 + 14x -4x +6 = 0

Lösung einblenden

D=R\{ 3 2 ; 2 }

4x 2x -3 + 3x 3x -6 + 14x -4x +6 = 0
4x 2x -3 + 3x 3( x -2 ) + 14x 2( -2x +3 ) = 0 |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner 2x -3 weg!

4x 2x -3 + 3x 3( x -2 ) + 14x 2( -2x +3 ) = 0 |⋅( 2x -3 )
4x 2x -3 · ( 2x -3 ) + 3x 3( x -2 ) · ( 2x -3 ) + 14x 2( -2x +3 ) · ( 2x -3 ) = 0
4x + x ( 2x -3 ) x -2 + 7 x ( 2x -3 ) -2x +3 = 0
4x + x ( 2x -3 ) x -2 -7x = 0
4x + 2 x 2 -3x x -2 -7x = 0
2 x 2 -3x x -2 +4x -7x = 0

Wir multiplizieren den Nenner x -2 weg!

2 x 2 -3x x -2 +4x -7x = 0 |⋅( x -2 )
2 x 2 -3x x -2 · ( x -2 ) + 4x · ( x -2 ) -7x · ( x -2 ) = 0
2 x 2 -3x +4 x ( x -2 )-7 x ( x -2 ) = 0
2 x 2 -3x + ( 4 x 2 -8x ) + ( -7 x 2 +14x ) = 0
- x 2 +3x = 0
- x 2 +3x = 0
x ( -x +3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +3 = 0 | -3
-x = -3 |:(-1 )
x2 = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; 3 }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

a + x = 12 x

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

a + x = 12 x

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

a + x = 12 x |⋅x
a · x + x · x = 12 x · x
a x + x 2 = 12
a x + x 2 -12 = 0
x 2 + a x -12 = 0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

x 2 + a x -12 = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn 2 · ( -6 ) = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = -( 2 -6 ) = 4

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

x 2 +4x -12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · ( -12 ) 21

x1,2 = -4 ± 16 +48 2

x1,2 = -4 ± 64 2

x1 = -4 + 64 2 = -4 +8 2 = 4 2 = 2

x2 = -4 - 64 2 = -4 -8 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 2 2 - ( -12 ) = 4+ 12 = 16

x1,2 = -2 ± 16

x1 = -2 - 4 = -6

x2 = -2 + 4 = 2

L={ -6 ; 2 }