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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3 x}{3 x - 4} - \frac{6}{3 x - 4}$ = $3$

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 4} - \frac{6}{3 x - 4}$	=	$3$	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{3 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) - \frac{6}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4)$	=	$3 \cdot (3 x - 4)$
$3 x - 6$	=	$3 (3 x - 4)$

$3 x - 6$	=	$9 x - 12$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$9 x - 6$	\| $- 9 x$
$- 6 x$	=	$- 6$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 4} + \frac{7}{x - 4}$ = $\frac{46}{x^{2} - 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ ; $4$ }

\frac{x}{x + 4} + \frac{7}{x - 4}

=

\frac{46}{(x + 4) \cdot (x - 4)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 4) \cdot (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{x + 4} + \frac{7}{x - 4}$	=	$\frac{46}{(x + 4) \cdot (x - 4)}$	\|⋅( $(x + 4) \cdot (x - 4)$ )
$\frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4) + \frac{7}{x - 4} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4)$	=	$\frac{46}{(x + 4) \cdot (x - 4)} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4)$
$x \cdot (x - 4) + 7 x + 28$	=	$46 \frac{x + 4}{x + 4}$
$x \cdot (x - 4) + 7 x + 28$	=	$46$
$x^{2} - 4 x + 7 x + 28$	=	$46$
$x^{2} + 3 x + 28$	=	$46$

x^{2} + 3 x + 28

=

46

|

- 46

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3,5}{x - 2} + 4 x$ = $- \frac{x}{2 x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{3,5}{x - 2} + 4 x$	=	$\frac{- x}{2 x - 4}$
$\frac{3,5}{x - 2} + 4 x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 2)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{3,5}{x - 2} + 4 x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 2)}$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{3,5}{x - 2} \cdot (2 (x - 2)) + 4 x \cdot (2 (x - 2))$	=	$\frac{- x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2))$
$7 + 8 x \cdot (x - 2)$	=	$- x$
$7 + (8 x^{2} - 16 x)$	=	$- x$
$8 x^{2} - 16 x + 7$	=	$- x$

8 x^{2} - 16 x + 7

=

- x

|

+ x

$8 x^{2} - 15 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 7}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{1}}{16}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{1}}{16}$ = $\frac{15+1}{16}$ = $\frac{16}{16}$ = $1$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{1}}{16}$ = $\frac{15-1}{16}$ = $\frac{14}{16}$ = $0,875$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} - 15 x + 7$ = 0 |: $8$

$x^{2} - \frac{15}{8} x + \frac{7}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{16})}^{2} - (\frac{7}{8})$ = $\frac{225}{256}$ $-$ $\frac{7}{8}$ = $\frac{225}{256}$ $-$ $\frac{224}{256}$ = $\frac{1}{256}$

x_1,2 = $\frac{15}{16}$ ± $\sqrt{\frac{1}{256}}$

x₁ = $\frac{15}{16}$ - $\frac{1}{16}$ = $\frac{14}{16}$ = 0.875

x₂ = $\frac{15}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{16}{16}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,875$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $\frac{1}{x^{2}} + \frac{90}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$\frac{1}{x^{2}} + \frac{90}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{90}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$x + 90$

x^{2}

=

x + 90

|

- x

- 90

$x^{2} - x - 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 90)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 360}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{361}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{1+19}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{1-19}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 90)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $90$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{361}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{361}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{19}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{19}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 3}{2 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x + 3}{2 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x + 3}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x$
$3 x + 3$	=	$2 x \cdot x + 4 x$

3 x + 3

=

2 x^{2} + 4 x

|

- 2 x^{2}

- 4 x

$- 2 x^{2} - x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 3}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{1+5}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{1-5}{- 4}$ = $\frac{- 4}{- 4}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - x + 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,5$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 4}{x} + \frac{2 x}{2 x - 6} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; 0}

$\frac{2 x}{2 x - 6} + \frac{2 x + 4}{x} - 7$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x - 3)} + \frac{2 x + 4}{x} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x - 3)} + \frac{2 x + 4}{x} - 7$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{2 x}{2 (x - 3)} \cdot (x - 3) + \frac{2 x + 4}{x} \cdot (x - 3) - 7 \cdot (x - 3)$	=
$x + \frac{(2 x + 4) \cdot (x - 3)}{x} - 7 x + 21$	=
$x + \frac{2 x^{2} - 2 x - 12}{x} - 7 x + 21$	=
$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12}{x} + x - 7 x + 21$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12}{x} + x - 7 x + 21$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12}{x} \cdot x + x \cdot x - 7 x \cdot x + 21 \cdot x$	=
$2 x^{2} - 2 x - 12 + x \cdot x - 7 x \cdot x + 21 x$	=
$2 x^{2} - 2 x - 12 + x^{2} - 7 x^{2} + 21 x$	=
$- 4 x^{2} + 19 x - 12$	=

$- 4 x^{2} + 19 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{169}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{- 19+13}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{- 19-13}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 19 x - 12$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{19}{4} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{8})}^{2} - 3$ = $\frac{361}{64}$ $-$ $3$ = $\frac{361}{64}$ $-$ $\frac{192}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $\frac{19}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $\frac{19}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{19}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{15}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{15}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{15}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{15}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$15 + a x$	=	$- x^{2}$
$15 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):