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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{10}{x}$ = $- 1 - \frac{16}{x^{2}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{10}{x}$	=	$- 1 - \frac{16}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{10}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{16}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$10 x$	=	$- x^{2} - 16$

10 x

=

- x^{2} - 16

|

+ x^{2}

+ 16

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 35 x + 4}{4 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 35 x + 4}{4 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 35 x + 4}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 5 \cdot 4 x$
$- 35 x + 4$	=	$4 x \cdot x - 20 x$

- 35 x + 4

=

4 x^{2} - 20 x

|

- 4 x^{2}

+ 20 x

$- 4 x^{2} - 15 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 4}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{289}}{- 8}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{289}}{- 8}$ = $\frac{15+17}{- 8}$ = $\frac{32}{- 8}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{289}}{- 8}$ = $\frac{15-17}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{- 9 x}{2 x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{3}$ }

\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{4 x}{3 x - 1} - \frac{9 x}{2 x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{4 x}{3 x - 1} - \frac{9 x}{2 x - 1}$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{4 x}{3 x - 1} \cdot (2 x - 1) - \frac{9 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1)$	=
$6 x + \frac{4 x (2 x - 1)}{3 x - 1} - 9 x$	=
$6 x + \frac{8 x^{2} - 4 x}{3 x - 1} - 9 x$	=
$\frac{8 x^{2} - 4 x}{3 x - 1} + 6 x - 9 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 4 x}{3 x - 1} + 6 x - 9 x$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x^{2} - 4 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 6 x \cdot (3 x - 1) - 9 x \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x^{2} - 4 x + 6 x (3 x - 1) - 9 x (3 x - 1)$	=
$8 x^{2} - 4 x + (18 x^{2} - 6 x) + (- 27 x^{2} + 9 x)$	=
$- x^{2} - x$	=

$- x^{2} - x$	=	0
$- x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{18}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{18}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 18$
$a x + x^{2} + 18$	=	0
$x^{2} + a x + 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 9$ = 18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 9)$ = $- 11$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -11 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter