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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{9 x}{2 x + 5} - \frac{61}{2 x + 5}$ = $1$

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$- \frac{9 x}{2 x + 5} - \frac{61}{2 x + 5}$	=	$1$	\|⋅( $2 x + 5$ )
$- \frac{9 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) - \frac{61}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5)$	=	$1 \cdot (2 x + 5)$
$- 9 x - 61$	=	$2 x + 5$

$- 9 x - 61$	=	$2 x + 5$	\| $+ 61$
$- 9 x$	=	$2 x + 66$	\| $- 2 x$
$- 11 x$	=	$66$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{18 x}{x - 4} + 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$x$	=	$- \frac{18 x}{x - 4} + 5$	\|⋅( $x - 4$ )
$x \cdot (x - 4)$	=	$- \frac{18 x}{x - 4} \cdot (x - 4) + 5 \cdot (x - 4)$
$x (x - 4)$	=	$- 18 x + 5 x - 20$
$x \cdot x + x \cdot (- 4)$	=	$- 18 x + 5 x - 20$
$x \cdot x - 4 x$	=	$- 18 x + 5 x - 20$
$x^{2} - 4 x$	=	$- 13 x - 20$

x^{2} - 4 x

=

- 13 x - 20

|

+ 13 x

+ 20

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x - 2} + \frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{18 x}{- 2 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $2$ }

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{3 x}{x - 2} + \frac{18 x}{- 2 x + 4}$	=	0
$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{3 x}{x - 2} + \frac{18 x}{2 (- x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{3 x}{x - 2} + \frac{18 x}{2 (- x + 2)}$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{3 x}{x - 2} \cdot (2 x - 1) + \frac{18 x}{2 (- x + 2)} \cdot (2 x - 1)$	=
$6 x + \frac{3 x (2 x - 1)}{x - 2} + \frac{9 x (2 x - 1)}{- x + 2}$	=
$6 x + \frac{6 x^{2} - 3 x}{x - 2} + \frac{18 x^{2} - 9 x}{- x + 2}$	=
$\frac{18 x^{2} - 9 x}{- x + 2} + \frac{6 x^{2} - 3 x}{x - 2} + 6 x$	=

\frac{6 x^{2} - 3 x}{x - 2} + \frac{18 x^{2} - 9 x}{- x + 2} + 6 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 3 x}{x - 2} + \frac{18 x^{2} - 9 x}{- x + 2} + 6 x$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x^{2} - 3 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{18 x^{2} - 9 x}{- x + 2} \cdot (x - 2) + 6 x \cdot (x - 2)$	=
$6 x^{2} - 3 x + \frac{(18 x^{2} - 9 x) (x - 2)}{- x + 2} + 6 x (x - 2)$	=
$6 x^{2} - 3 x - 9 x (2 x - 1) + 6 x (x - 2)$	=
$6 x^{2} - 3 x + (- 18 x^{2} + 9 x) + (6 x^{2} - 12 x)$	=
$- 6 x^{2} - 6 x$	=

$- 6 x^{2} - 6 x$	=	0
$- 6 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{12}{x^{2}}$ = $- 1 + \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{12}{x^{2}}$	=	$- 1 + \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{1}{x} \cdot x^{2}$
$- 12$	=	$- x^{2} + x$

- 12

=

- x^{2} + x

|

+ x^{2}

- x

$x^{2} - x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 1$ = $\frac{- 10 x + 6}{3 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x - 1$	=	$\frac{- 10 x + 6}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x - 1 \cdot 3 x$	=	$\frac{- 10 x + 6}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x - 3 x$	=	$- 10 x + 6$
$3 x^{2} - 3 x$	=	$- 10 x + 6$

3 x^{2} - 3 x

=

- 10 x + 6

|

+ 10 x

- 6

$3 x^{2} + 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 7+11}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 7-11}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 7 x - 6$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{7}{3} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{6})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $2$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $- \frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $- \frac{7}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{2 x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{8 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{2 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{8 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{2 x} - 5$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{8 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{x - 1}{2 x} \cdot (x - 1) - 5 \cdot (x - 1)$	=
$8 x + \frac{(x - 1) (x - 1)}{2 x} - 5 x + 5$	=
$8 x + \frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x} - 5 x + 5$	=
$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x} + 8 x - 5 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x} + 8 x - 5 x + 5$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + 8 x \cdot 2 x - 5 x \cdot 2 x + 5 \cdot 2 x$	=
$x^{2} - 2 x + 1 + 16 x \cdot x - 10 x \cdot x + 10 x$	=
$x^{2} - 2 x + 1 + 16 x^{2} - 10 x^{2} + 10 x$	=
$7 x^{2} + 8 x + 1$	=

$7 x^{2} + 8 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{14}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{14}$ = $\frac{- 8+6}{14}$ = $\frac{- 2}{14}$ = $- \frac{1}{7}$ ≈ -0.14

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{14}$ = $\frac{- 8-6}{14}$ = $\frac{- 14}{14}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} + 8 x + 1$ = 0 |: $7$

$x^{2} + \frac{8}{7} x + \frac{1}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{7})}^{2} - (\frac{1}{7})$ = $\frac{16}{49}$ $-$ $\frac{1}{7}$ = $\frac{16}{49}$ $-$ $\frac{7}{49}$ = $\frac{9}{49}$

x_1,2 = $- \frac{4}{7}$ ± $\sqrt{\frac{9}{49}}$

x₁ = $- \frac{4}{7}$ - $\frac{3}{7}$ = $- \frac{7}{7}$ = -1

x₂ = $- \frac{4}{7}$ + $\frac{3}{7}$ = $- \frac{1}{7}$ = -0.14285714285714

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{7}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$9 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$9 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$9 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$9 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$9 x + a$	=	$- x^{2}$
$9 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -11 würde es funktionieren, denn $- (2 - 11)$ = 9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 11)$ = $- 22$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -22 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 9 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9+13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9-13}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $22$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{88}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 11$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):