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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{18}{2 x + 1}$ = $- 4$

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{18}{2 x + 1}$	=	$- 4$	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{3 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{18}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1)$	=	$- 4 \cdot (2 x + 1)$
$3 x + 18$	=	$- 4 (2 x + 1)$

$3 x + 18$	=	$- 8 x - 4$	\| $- 18$
$3 x$	=	$- 8 x - 22$	\| $+ 8 x$
$11 x$	=	$- 22$	\|: $11$
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 4 x}{x + 3} + x - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

- \frac{4 x}{x + 3} + x - 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- \frac{4 x}{x + 3} + x - 1$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$- \frac{4 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + x \cdot (x + 3) - 1 \cdot (x + 3)$	=
$- 4 x + x \cdot (x + 3) - x - 3$	=
$- 4 x + (x^{2} + 3 x) - x - 3$	=
$x^{2} - 2 x - 3$	=

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} + \frac{- 12 x}{4 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $\frac{5}{3}$ }

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} - \frac{12 x}{4 x - 6}$	=	0
$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} - \frac{12 x}{2 (2 x - 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} - \frac{12 x}{2 (2 x - 3)}$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{2 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} \cdot (2 x - 3) - \frac{12 x}{2 (2 x - 3)} \cdot (2 x - 3)$	=
$2 x + \frac{(5 x + 1) \cdot (2 x - 3)}{3 x - 5} - 6 x$	=
$2 x + \frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{3 x - 5} - 6 x$	=
$\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{3 x - 5} + 2 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{3 x - 5} + 2 x - 6 x$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + 2 x \cdot (3 x - 5) - 6 x \cdot (3 x - 5)$	=
$10 x^{2} - 13 x - 3 + 2 x \cdot (3 x - 5) - 6 x \cdot (3 x - 5)$	=
$10 x^{2} - 13 x - 3 + (6 x^{2} - 10 x) + (- 18 x^{2} + 30 x)$	=
$- 2 x^{2} + 7 x - 3$	=

$- 2 x^{2} + 7 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 7+5}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 7-5}{- 4}$ = $\frac{- 12}{- 4}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 7 x - 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{11 x + 30}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{11 x + 30}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{11 x + 30}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$11 x + 30$

- x^{2}

=

11 x + 30

|

- 11 x

- 30

$- x^{2} - 11 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 30)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{11+1}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{11-1}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 11 x - 30$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 11 x + 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 5$ = $- 6 + \frac{2}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 5$	=	$- 6 + \frac{2}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 5 \cdot x$	=	$- 6 \cdot x + \frac{2}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 5 x$	=	$- 6 x + 2$
$x^{2} - 5 x$	=	$- 6 x + 2$

x^{2} - 5 x

=

- 6 x + 2

|

+ 6 x

- 2

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2}{x} + \frac{3 x}{3 x - 4} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; 0}

\frac{3 x}{3 x - 4} - 4 + \frac{2}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 4} - 4 + \frac{2}{x}$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{3 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) - 4 \cdot (3 x - 4) + \frac{2}{x} \cdot (3 x - 4)$	=
$3 x - 12 x + 16 + 2 \frac{3 x - 4}{x}$	=
$\frac{2 (3 x - 4)}{x} + 3 x - 12 x + 16$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 (3 x - 4)}{x} + 3 x - 12 x + 16$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 (3 x - 4)}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 12 x \cdot x + 16 \cdot x$	=
$6 x - 8 + 3 x \cdot x - 12 x \cdot x + 16 x$	=
$6 x - 8 + 3 x^{2} - 12 x^{2} + 16 x$	=
$- 9 x^{2} + 22 x - 8$	=

$- 9 x^{2} + 22 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 288}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{196}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 22 + \sqrt{196}}{- 18}$ = $\frac{- 22+14}{- 18}$ = $\frac{- 8}{- 18}$ = $\frac{4}{9}$ ≈ 0.44

x₂ = $\frac{- 22 - \sqrt{196}}{- 18}$ = $\frac{- 22-14}{- 18}$ = $\frac{- 36}{- 18}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} + 22 x - 8$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} - \frac{22}{9} x + \frac{8}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{9})}^{2} - (\frac{8}{9})$ = $\frac{121}{81}$ $-$ $\frac{8}{9}$ = $\frac{121}{81}$ $-$ $\frac{72}{81}$ = $\frac{49}{81}$

x_1,2 = $\frac{11}{9}$ ± $\sqrt{\frac{49}{81}}$

x₁ = $\frac{11}{9}$ - $\frac{7}{9}$ = $\frac{4}{9}$ = 0.44444444444444

x₂ = $\frac{11}{9}$ + $\frac{7}{9}$ = $\frac{18}{9}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{9}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 11$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 11$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 11$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 11 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 11 x$	=	$- a$
$x^{2} + 11 x + a$	=	0
$x^{2} + 11 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 11 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 11 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -13 würde es funktionieren, denn $- (2 - 13)$ = 11

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 13)$ = $- 26$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -26 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 11 x - 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 26)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 11+15}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 11-15}{2}$ = $\frac{- 26}{2}$ = $- 13$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - (- 26)$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $26$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $\frac{104}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{26}{2}$ = -13

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 13$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):