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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{3}{x}$ = $- \frac{2}{3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3}{x}$	=	$- \frac{2}{3}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x$	=	$- \frac{2}{3} \cdot x$
$- 3$	=	$- \frac{2}{3} x$

$- 3$	=	$- \frac{2}{3} x$	\|⋅ 3
$- 9$	=	$- 2 x$	\| $+ 9$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$9$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{9}{2}$ = 4.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{9}{2}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 6} + \frac{5}{x + 6}$ = $\frac{150}{x^{2} - 36}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 6$ ; $6$ }

\frac{x}{x - 6} + \frac{5}{x + 6}

=

\frac{150}{(x + 6) (x - 6)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 6) (x - 6)$ weg!

$\frac{x}{x - 6} + \frac{5}{x + 6}$	=	$\frac{150}{(x + 6) (x - 6)}$	\|⋅( $(x + 6) (x - 6)$ )
$\frac{x}{x - 6} \cdot (x + 6) (x - 6) + \frac{5}{x + 6} \cdot (x + 6) (x - 6)$	=	$\frac{150}{(x + 6) (x - 6)} \cdot (x + 6) (x - 6)$
$x (x + 6) + 5 x - 30$	=	$150 \frac{x + 6}{x + 6}$
$x (x + 6) + 5 x - 30$	=	$150$
$x^{2} + 6 x + 5 x - 30$	=	$150$
$x^{2} + 11 x - 30$	=	$150$

x^{2} + 11 x - 30

=

150

|

- 150

$x^{2} + 11 x - 180$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 180)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 720}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{841}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{841}}{2}$ = $\frac{- 11+29}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{841}}{2}$ = $\frac{- 11-29}{2}$ = $\frac{- 40}{2}$ = $- 20$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - (- 180)$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $180$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $\frac{720}{4}$ = $\frac{841}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{841}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{29}{2}$ = $- \frac{40}{2}$ = -20

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{29}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 20$ ; $9$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 2} + \frac{6 x}{x - 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- \frac{2}{3}$ }

\frac{6 x}{x - 2} + \frac{2 x}{3 x + 2} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{2 x}{3 x + 2} - 4$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{2 x}{3 x + 2} \cdot (x - 2) - 4 \cdot (x - 2)$	=
$6 x + \frac{2 x (x - 2)}{3 x + 2} - 4 x + 8$	=
$6 x + \frac{2 x^{2} - 4 x}{3 x + 2} - 4 x + 8$	=
$\frac{2 x^{2} - 4 x}{3 x + 2} + 6 x - 4 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 4 x}{3 x + 2} + 6 x - 4 x + 8$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{2 x^{2} - 4 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + 6 x \cdot (3 x + 2) - 4 x \cdot (3 x + 2) + 8 \cdot (3 x + 2)$	=
$2 x^{2} - 4 x + 6 x (3 x + 2) - 4 x (3 x + 2) + 24 x + 16$	=
$2 x^{2} - 4 x + (18 x^{2} + 12 x) + (- 12 x^{2} - 8 x) + 24 x + 16$	=
$8 x^{2} + 24 x + 16$	=

8 x^{2} + 24 x + 16

= 0 |:8

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{14}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{49}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{14}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{49}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{14}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{49}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- 14 x$	=	$- x^{2} - 49$

- 14 x

=

- x^{2} - 49

|

+ x^{2}

+ 49

$x^{2} - 14 x + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{14}{2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 49$ = $49$ $-$ $49$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $7$ ± 0 = $7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 5$ = $- 11 + \frac{16}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 5$	=	$- 11 + \frac{16}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 5 \cdot x$	=	$- 11 \cdot x + \frac{16}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 5 x$	=	$- 11 x + 16$
$x^{2} - 5 x$	=	$- 11 x + 16$

x^{2} - 5 x

=

- 11 x + 16

|

+ 11 x

- 16

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 2} + \frac{- 9 x}{6 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ ; $1$ }

$\frac{2 x}{3 x - 2} + \frac{2 x}{2 x - 2} - \frac{9 x}{6 x - 6}$	=	0
$\frac{2 x}{3 x - 2} + \frac{2 x}{2 (x - 1)} - \frac{9 x}{6 (x - 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 2} + \frac{2 x}{2 (x - 1)} - \frac{9 x}{6 (x - 1)}$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{2 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + \frac{2 x}{2 (x - 1)} \cdot (3 x - 2) - \frac{9 x}{6 (x - 1)} \cdot (3 x - 2)$	=
$2 x + \frac{x (3 x - 2)}{x - 1} - \frac{3 x (3 x - 2)}{2 (x - 1)}$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} - 2 x}{x - 1} - \frac{9 x^{2} - 6 x}{2 (x - 1)}$	=
$- \frac{9 x^{2} - 6 x}{2 (x - 1)} + \frac{3 x^{2} - 2 x}{x - 1} + 2 x$	=

\frac{3 x^{2} - 2 x}{x - 1} - \frac{9 x^{2} - 6 x}{2 (x - 1)} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x - 1} - \frac{9 x^{2} - 6 x}{2 (x - 1)} + 2 x$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x - 1} \cdot (2 (x - 1)) - \frac{9 x^{2} - 6 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + 2 x \cdot (2 (x - 1))$	=
$6 x^{2} - 4 x - 9 x^{2} + 6 x + 4 x (x - 1)$	=
$6 x^{2} - 4 x - 9 x^{2} + 6 x + (4 x^{2} - 4 x)$	=
$x^{2} - 2 x$	=

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 8$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 8$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 8$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 8 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + 8 x$	=	$- x^{2}$
$a + 8 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $- (2 - 10)$ = 8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 10)$ = $- 20$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -20 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):