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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
- 6x x -1 = -5

Lösung einblenden

D=R\{ 1 }

Wir multiplizieren den Nenner x -1 weg!

-6x x -1 = -5 |⋅( x -1 )
-6x x -1 · ( x -1 ) = -5 · ( x -1 )
- 6x 1 = -5( x -1 )
-6x = -5( x -1 )
-6x = -5x +5 | +5x
-x = 5 |:(-1 )
x = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -5 }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x x -3 + 5 x +3 = 69 x 2 -9

Lösung einblenden

D=R\{ -3 ; 3 }

x x -3 + 5 x +3 = 69 ( x +3 ) · ( x -3 ) |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner ( x +3 ) · ( x -3 ) weg!

x x -3 + 5 x +3 = 69 ( x +3 ) · ( x -3 ) |⋅( ( x +3 ) · ( x -3 ) )
x x -3 · ( x +3 ) · ( x -3 ) + 5 x +3 · ( x +3 ) · ( x -3 ) = 69 ( x +3 ) · ( x -3 ) · ( x +3 ) · ( x -3 )
x ( x +3 ) +5x -15 = 69 x +3 x +3
x ( x +3 ) +5x -15 = 69
x 2 +3x +5x -15 = 69
x 2 +8x -15 = 69
x 2 +8x -15 = 69 | -69

x 2 +8x -84 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -8 ± 8 2 -4 · 1 · ( -84 ) 21

x1,2 = -8 ± 64 +336 2

x1,2 = -8 ± 400 2

x1 = -8 + 400 2 = -8 +20 2 = 12 2 = 6

x2 = -8 - 400 2 = -8 -20 2 = -28 2 = -14

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 4 2 - ( -84 ) = 16+ 84 = 100

x1,2 = -4 ± 100

x1 = -4 - 10 = -14

x2 = -4 + 10 = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -14 ; 6 }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3x -1 3x -7 -4 = 0

Lösung einblenden

D=R\{ 7 3 }

Wir multiplizieren den Nenner 3x -7 weg!

3x -1 3x -7 -4 = 0 |⋅( 3x -7 )
3x -1 3x -7 · ( 3x -7 ) -4 · ( 3x -7 ) = 0
3x -1 -12x +28 = 0
-9x +27 = 0
-9x +27 = 0 | -27
-9x = -27 |:(-9 )
x = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 3 }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 1 x 2 = 2x -8 x 4

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 4 weg!

- 1 x 2 = 2x -8 x 4 |⋅( x 4 )
- 1 x 2 · x 4 = 2x -8 x 4 · x 4
- x 2 = 2x -8
- x 2 = 2x -8 | -2x +8

- x 2 -2x +8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · ( -1 ) · 8 2( -1 )

x1,2 = +2 ± 4 +32 -2

x1,2 = +2 ± 36 -2

x1 = 2 + 36 -2 = 2 +6 -2 = 8 -2 = -4

x2 = 2 - 36 -2 = 2 -6 -2 = -4 -2 = 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 -2x +8 = 0 |: -1

x 2 +2x -8 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -8 ) = 1+ 8 = 9

x1,2 = -1 ± 9

x1 = -1 - 3 = -4

x2 = -1 + 3 = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -4 ; 2 }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

7x +2 x +2 = 3x

Lösung einblenden

D=R\{ -2 }

Wir multiplizieren den Nenner x +2 weg!

7x +2 x +2 = 3x |⋅( x +2 )
7x +2 x +2 · ( x +2 ) = 3x · ( x +2 )
7x +2 = 3 x ( x +2 )
7x +2 = 3 x 2 +6x
7x +2 = 3 x 2 +6x | -3 x 2 -6x

-3 x 2 + x +2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · ( -3 ) · 2 2( -3 )

x1,2 = -1 ± 1 +24 -6

x1,2 = -1 ± 25 -6

x1 = -1 + 25 -6 = -1 +5 -6 = 4 -6 = - 2 3 ≈ -0.67

x2 = -1 - 25 -6 = -1 -5 -6 = -6 -6 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-3 " teilen:

-3 x 2 + x +2 = 0 |: -3

x 2 - 1 3 x - 2 3 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 6 ) 2 - ( - 2 3 ) = 1 36 + 2 3 = 1 36 + 24 36 = 25 36

x1,2 = 1 6 ± 25 36

x1 = 1 6 - 5 6 = - 4 6 = -0.66666666666667

x2 = 1 6 + 5 6 = 6 6 = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ - 2 3 ; 1 }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2x 3x +1 + 9x 2x -1 -4 = 0

Lösung einblenden

D=R\{ 1 2 ; - 1 3 }

9x 2x -1 + 2x 3x +1 -4 = 0

Wir multiplizieren den Nenner 2x -1 weg!

9x 2x -1 + 2x 3x +1 -4 = 0 |⋅( 2x -1 )
9x 2x -1 · ( 2x -1 ) + 2x 3x +1 · ( 2x -1 ) -4 · ( 2x -1 ) = 0
9x + 2 x ( 2x -1 ) 3x +1 -8x +4 = 0
9x + 4 x 2 -2x 3x +1 -8x +4 = 0
4 x 2 -2x 3x +1 +9x -8x +4 = 0

Wir multiplizieren den Nenner 3x +1 weg!

4 x 2 -2x 3x +1 +9x -8x +4 = 0 |⋅( 3x +1 )
4 x 2 -2x 3x +1 · ( 3x +1 ) + 9x · ( 3x +1 ) -8x · ( 3x +1 ) + 4 · ( 3x +1 ) = 0
4 x 2 -2x +9 x ( 3x +1 )-8 x ( 3x +1 ) +12x +4 = 0
4 x 2 -2x + ( 27 x 2 +9x ) + ( -24 x 2 -8x ) +12x +4 = 0
7 x 2 +11x +4 = 0

7 x 2 +11x +4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -11 ± 11 2 -4 · 7 · 4 27

x1,2 = -11 ± 121 -112 14

x1,2 = -11 ± 9 14

x1 = -11 + 9 14 = -11 +3 14 = -8 14 = - 4 7 ≈ -0.57

x2 = -11 - 9 14 = -11 -3 14 = -14 14 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "7 " teilen:

7 x 2 +11x +4 = 0 |: 7

x 2 + 11 7 x + 4 7 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 11 14 ) 2 - ( 4 7 ) = 121 196 - 4 7 = 121 196 - 112 196 = 9 196

x1,2 = - 11 14 ± 9 196

x1 = - 11 14 - 3 14 = - 14 14 = -1

x2 = - 11 14 + 3 14 = - 8 14 = -0.57142857142857

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -1 ; - 4 7 }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

2 + a x = -x

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

2 + a x = -x

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

2 + a x = -x |⋅x
2 · x + a x · x = -x · x
2x + a = - x 2
2x + a + x 2 = 0
x 2 +2x + a = 0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

x 2 +2x + a = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn -( 3 -5 ) = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = 3 · ( -5 ) = -15

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

x 2 +2x -15 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -15 ) 21

x1,2 = -2 ± 4 +60 2

x1,2 = -2 ± 64 2

x1 = -2 + 64 2 = -2 +8 2 = 6 2 = 3

x2 = -2 - 64 2 = -2 -8 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -15 ) = 1+ 15 = 16

x1,2 = -1 ± 16

x1 = -1 - 4 = -5

x2 = -1 + 4 = 3

L={ -5 ; 3 }