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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{5}{x}$ = $\frac{3}{4}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{5}{x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{5}{x} \cdot x$	=	$\frac{3}{4} \cdot x$
$- 5$	=	$\frac{3}{4} x$

$- 5$	=	$\frac{3}{4} x$	\|⋅ 4
$- 20$	=	$3 x$	\| $+ 20$ $- 3 x$
$- 3 x$	=	$20$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- \frac{20}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{20}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $- \frac{4 x}{x - 1} - 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$3 x$	=	$- \frac{4 x}{x - 1} - 1$	\|⋅( $x - 1$ )
$3 x \cdot (x - 1)$	=	$- \frac{4 x}{x - 1} \cdot (x - 1) - 1 \cdot (x - 1)$
$3 x \cdot (x - 1)$	=	$- 4 x - x + 1$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot (- 1)$	=	$- 4 x - x + 1$
$3 x \cdot x - 3 x$	=	$- 4 x - x + 1$
$3 x^{2} - 3 x$	=	$- 5 x + 1$

3 x^{2} - 3 x

=

- 5 x + 1

|

+ 5 x

- 1

$3 x^{2} + 2 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 2+4}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 2-4}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 2 x - 1$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{1}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{1}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{3}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{1}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{3}{3}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4}{x} + \frac{x - 2}{2 x - 6} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; 0}

$\frac{x - 2}{2 x - 6} - 2 + \frac{4}{x}$	=	0
$\frac{x - 2}{2 (x - 3)} - 2 + \frac{4}{x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{x - 2}{2 (x - 3)} - 2 + \frac{4}{x}$	=	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{x - 2}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) - 2 \cdot (2 (x - 3)) + \frac{4}{x} \cdot (2 (x - 3))$	=
$x - 2 - 4 x + 12 + 8 \frac{x - 3}{x}$	=
$\frac{8 (x - 3)}{x} + x - 4 x - 2 + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{8 (x - 3)}{x} + x - 4 x - 2 + 12$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{8 (x - 3)}{x} \cdot x + x \cdot x - 4 x \cdot x - 2 \cdot x + 12 \cdot x$	=
$8 x - 24 + x \cdot x - 4 x \cdot x - 2 x + 12 x$	=
$8 x - 24 + x^{2} - 4 x^{2} - 2 x + 12 x$	=
$- 3 x^{2} + 18 x - 24$	=

- 3 x^{2} + 18 x - 24

= 0 |:3

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6+2}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6-2}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{72}{x^{2}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{72}{x^{2}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{72}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 72$	=	$- x$

x^{2} - 72

=

- x

|

+ x

$x^{2} + x - 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 1+17}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 1-17}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 72)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $72$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 1$ = $- 8 - \frac{6}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 1$	=	$- 8 - \frac{6}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 1 \cdot x$	=	$- 8 \cdot x - \frac{6}{x} \cdot x$
$x \cdot x - x$	=	$- 8 x - 6$
$x^{2} - x$	=	$- 8 x - 6$

x^{2} - x

=

- 8 x - 6

|

+ 8 x

+ 6

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7+5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7-5}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x - 2} + \frac{8 x - 1}{3 x} + \frac{- 5 x - 1}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $2$ }

\frac{- 5 x - 1}{x} + \frac{8 x - 1}{3 x} + \frac{3 x}{x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 5 x - 1}{x} + \frac{8 x - 1}{3 x} + \frac{3 x}{x - 2}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 5 x - 1}{x} \cdot 3 x + \frac{8 x - 1}{3 x} \cdot 3 x + \frac{3 x}{x - 2} \cdot 3 x$	=
$- 15 x - 3 + 8 x - 1 + 3 \frac{3 x \cdot x}{x - 2}$	=
$- 15 x - 3 + 8 x - 1 + \frac{9 x^{2}}{x - 2}$	=
$\frac{9 x^{2}}{x - 2} - 15 x + 8 x - 3 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{9 x^{2}}{x - 2} - 15 x + 8 x - 3 - 1$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{9 x^{2}}{x - 2} \cdot (x - 2) - 15 x \cdot (x - 2) + 8 x \cdot (x - 2) - 3 \cdot (x - 2) - 1 \cdot (x - 2)$	=
$9 x^{2} - 15 x \cdot (x - 2) + 8 x \cdot (x - 2) - 3 x + 6 - x + 2$	=
$9 x^{2} + (- 15 x^{2} + 30 x) + (8 x^{2} - 16 x) - 3 x + 6 - x + 2$	=
$2 x^{2} + 10 x + 8$	=

2 x^{2} + 10 x + 8

= 0 |:2

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{30}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{30}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{30}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{30}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$30$
$x^{2} + a x - 30$	=	0
$x^{2} + a x - 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 15)$ = -30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 15)$ = $13$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 13 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13+17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13-17}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 15$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):