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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6 x}{3 x - 2} - \frac{14}{3 x - 2}$ = $4$

D=R\{ $\frac{2}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{3 x - 2} - \frac{14}{3 x - 2}$	=	$4$	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{6 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) - \frac{14}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$	=	$4 \cdot (3 x - 2)$
$6 x - 14$	=	$4 (3 x - 2)$

$6 x - 14$	=	$12 x - 8$	\| $+ 14$
$6 x$	=	$12 x + 6$	\| $- 12 x$
$- 6 x$	=	$6$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{x}{2 x + 3} - \frac{117}{6 x + 9}$ = $5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ }

\frac{x}{2 x + 3} - \frac{117}{3 (2 x + 3)}

=

5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{x}{2 x + 3} - \frac{117}{3 (2 x + 3)}$	=	$5$	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{- 117}{3 (2 x + 3)} \cdot (2 x + 3)$	=	$5 \cdot (2 x + 3)$
$x - 39$	=	$5 (2 x + 3)$

$x - 39$	=	$10 x + 15$	\| $+ 39$
$x$	=	$10 x + 54$	\| $- 10 x$
$- 9 x$	=	$54$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{2 x - 6} + \frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{- 3 x}{4 x - 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; $3$ }

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{x - 2}{2 x - 6} - \frac{3 x}{4 x - 12}$	=	0
$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{x - 2}{2 (x - 3)} - \frac{3 x}{4 (x - 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{x - 2}{2 (x - 3)} - \frac{3 x}{4 (x - 3)}$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{2 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{x - 2}{2 (x - 3)} \cdot (3 x - 8) - \frac{3 x}{4 (x - 3)} \cdot (3 x - 8)$	=
$2 x + \frac{(x - 2) (3 x - 8)}{2 (x - 3)} - \frac{3 x (3 x - 8)}{4 (x - 3)}$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} - 14 x + 16}{2 (x - 3)} - \frac{9 x^{2} - 24 x}{4 (x - 3)}$	=
$- \frac{9 x^{2} - 24 x}{4 (x - 3)} + \frac{3 x^{2} - 14 x + 16}{2 (x - 3)} + 2 x$	=

\frac{3 x^{2} - 14 x + 16}{2 (x - 3)} - \frac{9 x^{2} - 24 x}{4 (x - 3)} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 3)$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 14 x + 16}{2 (x - 3)} - \frac{9 x^{2} - 24 x}{4 (x - 3)} + 2 x$	=	\|⋅( $4 (x - 3)$ )
$\frac{3 x^{2} - 14 x + 16}{2 (x - 3)} \cdot (4 (x - 3)) - \frac{9 x^{2} - 24 x}{4 (x - 3)} \cdot (4 (x - 3)) + 2 x \cdot (4 (x - 3))$	=
$6 x^{2} - 28 x + 32 - 9 x^{2} + 24 x + 8 x (x - 3)$	=
$6 x^{2} - 28 x + 32 - 9 x^{2} + 24 x + (8 x^{2} - 24 x)$	=
$5 x^{2} - 28 x + 32$	=

$5 x^{2} - 28 x + 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 32}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{784 - 640}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{144}}{10}$

x₁ = $\frac{28 + \sqrt{144}}{10}$ = $\frac{28+12}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{28 - \sqrt{144}}{10}$ = $\frac{28-12}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 28 x + 32$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{28}{5} x + \frac{32}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{14}{5})}^{2} - (\frac{32}{5})$ = $\frac{196}{25}$ $-$ $\frac{32}{5}$ = $\frac{196}{25}$ $-$ $\frac{160}{25}$ = $\frac{36}{25}$

x_1,2 = $\frac{14}{5}$ ± $\sqrt{\frac{36}{25}}$

x₁ = $\frac{14}{5}$ - $\frac{6}{5}$ = $\frac{8}{5}$ = 1.6

x₂ = $\frac{14}{5}$ + $\frac{6}{5}$ = $\frac{20}{5}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,6$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 12}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{x - 12}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{x - 12}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$x - 12$	=	$- x^{2}$

x - 12

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x + 6}{x - 1}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x + 6}{x - 1}$	=	$x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x + 6}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$x \cdot (x - 1)$
$4 x + 6$	=	$x (x - 1)$
$4 x + 6$	=	$x^{2} - x$

4 x + 6

=

x^{2} - x

|

- x^{2}

+ x

$- x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 5+7}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 5-7}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{x - 4}{x} + \frac{11 x - 4}{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 2$ }

- \frac{11 x - 4}{2 x} + \frac{x - 4}{x} + \frac{2 x}{x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$- \frac{11 x - 4}{2 x} + \frac{x - 4}{x} + \frac{2 x}{x + 2}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$- \frac{11 x - 4}{2 x} \cdot 2 x + \frac{x - 4}{x} \cdot 2 x + \frac{2 x}{x + 2} \cdot 2 x$	=
$- 11 x + 4 + 2 x - 8 + 2 \frac{2 x \cdot x}{x + 2}$	=
$- 11 x + 4 + 2 x - 8 + \frac{4 x^{2}}{x + 2}$	=
$\frac{4 x^{2}}{x + 2} - 11 x + 2 x + 4 - 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{4 x^{2}}{x + 2} - 11 x + 2 x + 4 - 8$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{4 x^{2}}{x + 2} \cdot (x + 2) - 11 x \cdot (x + 2) + 2 x \cdot (x + 2) + 4 \cdot (x + 2) - 8 \cdot (x + 2)$	=
$4 x^{2} - 11 x (x + 2) + 2 x (x + 2) + 4 x + 8 - 8 x - 16$	=
$4 x^{2} + (- 11 x^{2} - 22 x) + (2 x^{2} + 4 x) + 4 x + 8 - 8 x - 16$	=
$- 5 x^{2} - 22 x - 8$	=

$- 5 x^{2} - 22 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 - 160}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{324}}{- 10}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{324}}{- 10}$ = $\frac{22+18}{- 10}$ = $\frac{40}{- 10}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{324}}{- 10}$ = $\frac{22-18}{- 10}$ = $\frac{4}{- 10}$ = $- 0,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 22 x - 8$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{22}{5} x + \frac{8}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{5})}^{2} - (\frac{8}{5})$ = $\frac{121}{25}$ $-$ $\frac{8}{5}$ = $\frac{121}{25}$ $-$ $\frac{40}{25}$ = $\frac{81}{25}$

x_1,2 = $- \frac{11}{5}$ ± $\sqrt{\frac{81}{25}}$

x₁ = $- \frac{11}{5}$ - $\frac{9}{5}$ = $- \frac{20}{5}$ = -4

x₂ = $- \frac{11}{5}$ + $\frac{9}{5}$ = $- \frac{2}{5}$ = -0.4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 0,4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 2$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 2$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 2$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 2 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + 2 x$	=	$- x^{2}$
$a + 2 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):