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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2 x}{2 x - 1} + \frac{8}{2 x - 1}$ = $2$

D=R\{ $\frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 1} + \frac{8}{2 x - 1}$	=	$2$	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{2 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{8}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1)$	=	$2 \cdot (2 x - 1)$
$2 x + 8$	=	$2 (2 x - 1)$

$2 x + 8$	=	$4 x - 2$	\| $- 8$
$2 x$	=	$4 x - 10$	\| $- 4 x$
$- 2 x$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2 x}{3 x - 4} - \frac{60}{9 x - 12}$ = $- 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

- \frac{2 x}{3 x - 4} - \frac{60}{3 (3 x - 4)}

=

- 2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$- \frac{2 x}{3 x - 4} - \frac{60}{3 (3 x - 4)}$	=	$- 2$	\|⋅( $3 x - 4$ )
$- \frac{2 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{- 60}{3 (3 x - 4)} \cdot (3 x - 4)$	=	$- 2 \cdot (3 x - 4)$
$- 2 x - 20$	=	$- 2 (3 x - 4)$

$- 2 x - 20$	=	$- 6 x + 8$	\| $+ 20$
$- 2 x$	=	$- 6 x + 28$	\| $+ 6 x$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
$x$	=	$7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 8,2}{x + 1}$ = $- \frac{x}{5 x + 5} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

- \frac{8,2}{x + 1}

=

- \frac{x}{5 (x + 1)} - 4 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$- \frac{8,2}{x + 1}$	=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} - 4 x$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$- \frac{8,2}{x + 1} \cdot (5 (x + 1))$	=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) - 4 x \cdot (5 (x + 1))$
$- 41$	=	$- x - 20 x \cdot (x + 1)$
$- 41$	=	$- 20 x^{2} - 21 x$

- 41

=

- 20 x^{2} - 21 x

|

+ 20 x^{2}

+ 21 x

$20 x^{2} + 21 x - 41$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (- 41)}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 3 280}}{40}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{3 721}}{40}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{3 721}}{40}$ = $\frac{- 21+61}{40}$ = $\frac{40}{40}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{3 721}}{40}$ = $\frac{- 21-61}{40}$ = $\frac{- 82}{40}$ = $- 2,05$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $20$ " teilen:

$20 x^{2} + 21 x - 41$ = 0 |: $20$

$x^{2} + \frac{21}{20} x - \frac{41}{20}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{40})}^{2} - (- \frac{41}{20})$ = $\frac{441}{1600}$ $+$ $\frac{41}{20}$ = $\frac{441}{1600}$ $+$ $\frac{3280}{1600}$ = $\frac{3721}{1600}$

x_1,2 = $- \frac{21}{40}$ ± $\sqrt{\frac{3721}{1600}}$

x₁ = $- \frac{21}{40}$ - $\frac{61}{40}$ = $- \frac{82}{40}$ = -2.05

x₂ = $- \frac{21}{40}$ + $\frac{61}{40}$ = $\frac{40}{40}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,05$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{64}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{64}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{64}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$64$

$x^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
x₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x$ = $\frac{- 50 x + 16}{x - 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$4 x$	=	$\frac{- 50 x + 16}{x - 5}$	\|⋅( $x - 5$ )
$4 x \cdot (x - 5)$	=	$\frac{- 50 x + 16}{x - 5} \cdot (x - 5)$
$4 x \cdot (x - 5)$	=	$- 50 x + 16$
$4 x \cdot x + 4 x \cdot (- 5)$	=	$- 50 x + 16$
$4 x \cdot x - 20 x$	=	$- 50 x + 16$
$4 x^{2} - 20 x$	=	$- 50 x + 16$

4 x^{2} - 20 x

=

- 50 x + 16

|

+ 50 x

- 16

4 x^{2} + 30 x - 16

= 0 |:2

$2 x^{2} + 15 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 15+17}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 15-17}{4}$ = $\frac{- 32}{4}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 15 x - 8$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{15}{2} x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{4})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $4$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $\frac{64}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $- \frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $- \frac{15}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{15}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{2 x - 4} + \frac{x}{2 x - 3} + \frac{- 10 x}{4 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $2$ }

$\frac{x}{2 x - 3} + \frac{3 x - 1}{2 x - 4} - \frac{10 x}{4 x - 6}$	=	0
$\frac{x}{2 x - 3} + \frac{3 x - 1}{2 (x - 2)} - \frac{10 x}{2 (2 x - 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{x}{2 x - 3} + \frac{3 x - 1}{2 (x - 2)} - \frac{10 x}{2 (2 x - 3)}$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{3 x - 1}{2 (x - 2)} \cdot (2 x - 3) - \frac{10 x}{2 (2 x - 3)} \cdot (2 x - 3)$	=
$x + \frac{(3 x - 1) \cdot (2 x - 3)}{2 (x - 2)} - 5 x$	=
$x + \frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{2 (x - 2)} - 5 x$	=
$\frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{2 (x - 2)} + x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{2 (x - 2)} + x - 5 x$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + x \cdot (2 (x - 2)) - 5 x \cdot (2 (x - 2))$	=
$6 x^{2} - 11 x + 3 + 2 x \cdot (x - 2) - 10 x \cdot (x - 2)$	=
$6 x^{2} - 11 x + 3 + (2 x^{2} - 4 x) + (- 10 x^{2} + 20 x)$	=
$- 2 x^{2} + 5 x + 3$	=

$- 2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 3}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 5+7}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 5-7}{- 4}$ = $\frac{- 12}{- 4}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{18}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{18}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{18}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{18}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$18 + a x$	=	$- x^{2}$
$18 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 9$ = 18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 9)$ = $- 11$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -11 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

L={ $2$ ; $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):