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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2 x}{3 x - 3} - \frac{10}{3 x - 3}$ = $- 2$

D=R\{ $1$ }

\frac{2 x}{3 (x - 1)} - \frac{10}{3 (x - 1)}

=

- 2

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{2 x}{3 (x - 1)} - \frac{10}{3 (x - 1)}$	=	$- 2$	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{2 x}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) - \frac{10}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1))$	=	$- 2 \cdot (3 (x - 1))$
$2 x - 10$	=	$- 6 (x - 1)$

$2 x - 10$	=	$- 6 x + 6$	\| $+ 10$
$2 x$	=	$- 6 x + 16$	\| $+ 6 x$
$8 x$	=	$16$	\|: $8$
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2 x}{x + 3} + \frac{30}{2 x + 6}$ = $3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

\frac{2 x}{x + 3} + \frac{30}{2 (x + 3)}

=

3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{2 x}{x + 3} + \frac{30}{2 (x + 3)}$	=	$3$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{2 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{30}{2 (x + 3)} \cdot (x + 3)$	=	$3 \cdot (x + 3)$
$2 x + 15$	=	$3 (x + 3)$

$2 x + 15$	=	$3 x + 9$	\| $- 15$
$2 x$	=	$3 x - 6$	\| $- 3 x$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 10}$ = $- \frac{47,2}{x + 2} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{5 x + 10}$	=	$- \frac{47,2}{x + 2} + 2 x$
$\frac{x}{5 (x + 2)}$	=	$- \frac{47,2}{x + 2} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 2)}$	=	$- \frac{47,2}{x + 2} + 2 x$	\|⋅( $5 (x + 2)$ )
$\frac{x}{5 (x + 2)} \cdot (5 (x + 2))$	=	$\frac{- 47,2}{x + 2} \cdot (5 (x + 2)) + 2 x \cdot (5 (x + 2))$
$x$	=	$- 236 + 10 x \cdot (x + 2)$
$x$	=	$10 x^{2} + 20 x - 236$

x

=

10 x^{2} + 20 x - 236

|

- 10 x^{2}

- 20 x

+ 236

$- 10 x^{2} - 19 x + 236$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 236}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 9 440}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{9 801}}{- 20}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{9 801}}{- 20}$ = $\frac{19+99}{- 20}$ = $\frac{118}{- 20}$ = $- 5,9$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{9 801}}{- 20}$ = $\frac{19-99}{- 20}$ = $\frac{- 80}{- 20}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 19 x + 236$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{19}{10} x - \frac{118}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{20})}^{2} - (- \frac{118}{5})$ = $\frac{361}{400}$ $+$ $\frac{118}{5}$ = $\frac{361}{400}$ $+$ $\frac{9440}{400}$ = $\frac{9801}{400}$

x_1,2 = $- \frac{19}{20}$ ± $\sqrt{\frac{9801}{400}}$

x₁ = $- \frac{19}{20}$ - $\frac{99}{20}$ = $- \frac{118}{20}$ = -5.9

x₂ = $- \frac{19}{20}$ + $\frac{99}{20}$ = $\frac{80}{20}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5,9$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 + \frac{8}{x} - \frac{7}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 + \frac{8}{x} - \frac{7}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{8}{x} \cdot x^{2} - \frac{7}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} + 8 x - 7$

0

=

- x^{2} + 8 x - 7

|

+ x^{2}

- 8 x

+ 7

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 22 x + 6}{3 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 22 x + 6}{3 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 22 x + 6}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 5 \cdot 3 x$
$- 22 x + 6$	=	$3 x \cdot x - 15 x$

- 22 x + 6

=

3 x^{2} - 15 x

|

- 3 x^{2}

+ 15 x

$- 3 x^{2} - 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 6}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{- 6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{- 6}$ = $\frac{7+11}{- 6}$ = $\frac{18}{- 6}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{- 6}$ = $\frac{7-11}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 7 x + 6$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{7}{3} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{6})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $2$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $- \frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $- \frac{7}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{- 10 x}{3 x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{3}$ }

\frac{6 x - 10 x}{3 x + 1} + \frac{8 x}{3 x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{6 x - 10 x}{3 x + 1} + \frac{8 x}{3 x - 1}$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{6 x - 10 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x + 1)$	=
$6 x - 10 x + \frac{8 x \cdot (3 x + 1)}{3 x - 1}$	=
$6 x - 10 x + \frac{24 x^{2} + 8 x}{3 x - 1}$	=
$\frac{24 x^{2} + 8 x}{3 x - 1} + 6 x - 10 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{24 x^{2} + 8 x}{3 x - 1} + 6 x - 10 x$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{24 x^{2} + 8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 6 x \cdot (3 x - 1) - 10 x \cdot (3 x - 1)$	=
$24 x^{2} + 8 x + 6 x \cdot (3 x - 1) - 10 x \cdot (3 x - 1)$	=
$24 x^{2} + 8 x + (18 x^{2} - 6 x) + (- 30 x^{2} + 10 x)$	=
$12 x^{2} + 12 x$	=

$12 x^{2} + 12 x$	=	0
$12 x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{30}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{30}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{30}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{30}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 30$	=	$- a x$
$x^{2} + 30 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 15)$ = $- 17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 17 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17+13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17-13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = 15

L={ $2$ ; $15$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):