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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4 x}{x + 25}$ = $- 1$

D=R\{ $- 25$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 25$ weg!

$\frac{4 x}{x + 25}$	=	$- 1$	\|⋅( $x + 25$ )
$\frac{4 x}{x + 25} \cdot (x + 25)$	=	$- 1 \cdot (x + 25)$
$4 x$	=	$- (x + 25)$

$4 x$	=	$- x - 25$	\| $+ x$
$5 x$	=	$- 25$	\|: $5$
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{x}{3 x - 5} - \frac{99}{9 x - 15}$ = $- 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{3}$ }

- \frac{x}{3 x - 5} - \frac{99}{3 (3 x - 5)}

=

- 3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$- \frac{x}{3 x - 5} - \frac{99}{3 (3 x - 5)}$	=	$- 3$	\|⋅( $3 x - 5$ )
$- \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + \frac{- 99}{3 (3 x - 5)} \cdot (3 x - 5)$	=	$- 3 \cdot (3 x - 5)$
$- x - 33$	=	$- 3 (3 x - 5)$

$- x - 33$	=	$- 9 x + 15$	\| $+ 33$
$- x$	=	$- 9 x + 48$	\| $+ 9 x$
$8 x$	=	$48$	\|: $8$
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{3 x - 5} + \frac{5 x + 1}{x + 1} + \frac{- 32 x}{9 x - 15}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $\frac{5}{3}$ }

$\frac{5 x + 1}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} - \frac{32 x}{9 x - 15}$	=	0
$\frac{5 x + 1}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} - \frac{32 x}{3 (3 x - 5)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{5 x + 1}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} - \frac{32 x}{3 (3 x - 5)}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{5 x + 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} \cdot (x + 1) - \frac{32 x}{3 (3 x - 5)} \cdot (x + 1)$	=
$5 x + 1 + \frac{(5 x + 1) (x + 1)}{3 x - 5} - \frac{32 x (x + 1)}{3 (3 x - 5)}$	=
$5 x + 1 + \frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x - 5} - \frac{32 x^{2} + 32 x}{3 (3 x - 5)}$	=
$- \frac{32 x^{2} + 32 x}{3 (3 x - 5)} + \frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x - 5} + 5 x + 1$	=

\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x - 5} - \frac{32 x^{2} + 32 x}{3 (3 x - 5)} + 5 x + 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 (3 x - 5)$ weg!

$\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x - 5} - \frac{32 x^{2} + 32 x}{3 (3 x - 5)} + 5 x + 1$	=	\|⋅( $3 (3 x - 5)$ )
$\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x - 5} \cdot (3 (3 x - 5)) - \frac{32 x^{2} + 32 x}{3 (3 x - 5)} \cdot (3 (3 x - 5)) + 5 x \cdot (3 (3 x - 5)) + 1 \cdot (3 (3 x - 5))$	=
$15 x^{2} + 18 x + 3 - 32 x^{2} - 32 x + 15 x (3 x - 5) + 9 x - 15$	=
$15 x^{2} + 18 x + 3 - 32 x^{2} - 32 x + (45 x^{2} - 75 x) + 9 x - 15$	=
$28 x^{2} - 80 x - 12$	=

28 x^{2} - 80 x - 12

= 0 |:4

$7 x^{2} - 20 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 + 84}}{14}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{484}}{14}$

x₁ = $\frac{20 + \sqrt{484}}{14}$ = $\frac{20+22}{14}$ = $\frac{42}{14}$ = $3$

x₂ = $\frac{20 - \sqrt{484}}{14}$ = $\frac{20-22}{14}$ = $\frac{- 2}{14}$ = $- \frac{1}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} - 20 x - 3$ = 0 |: $7$

$x^{2} - \frac{20}{7} x - \frac{3}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{10}{7})}^{2} - (- \frac{3}{7})$ = $\frac{100}{49}$ $+$ $\frac{3}{7}$ = $\frac{100}{49}$ $+$ $\frac{21}{49}$ = $\frac{121}{49}$

x_1,2 = $\frac{10}{7}$ ± $\sqrt{\frac{121}{49}}$

x₁ = $\frac{10}{7}$ - $\frac{11}{7}$ = $- \frac{1}{7}$ = -0.14285714285714

x₂ = $\frac{10}{7}$ + $\frac{11}{7}$ = $\frac{21}{7}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{7}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3}{x}$ = $- 1 + \frac{10}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{3}{x}$	=	$- 1 + \frac{10}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{3}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{10}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$3 x$	=	$- x^{2} + 10$

3 x

=

- x^{2} + 10

|

+ x^{2}

- 10

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 - \frac{12}{x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$10 - \frac{12}{x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $x$ )
$10 \cdot x - \frac{12}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 3 \cdot x$
$10 x - 12$	=	$x \cdot x + 3 x$

10 x - 12

=

x^{2} + 3 x

|

- x^{2}

- 3 x

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{5 x + 1}{x + 1} - 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{5 x + 1}{x + 1} \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=
$5 x + 1 - 4 x - 4$	=
$x - 3$	=

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{30}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{30}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{30}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{30}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 30$
$a x + x^{2} + 30$	=	0
$x^{2} + a x + 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 15)$ = $- 17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 17 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17+13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17-13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = 15

L={ $2$ ; $15$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):