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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{3 x}{x - 2}$ = $- 2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 3 x}{x - 2}$	=	$- 2$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 3 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 2 \cdot (x - 2)$
$- \frac{3 x}{1}$	=	$- 2 (x - 2)$
$- 3 x$	=	$- 2 (x - 2)$

$- 3 x$	=	$- 2 x + 4$	\| $+ 2 x$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 8} - \frac{3}{x - 8}$ = $\frac{186}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x + 8} - \frac{3}{x - 8}

=

\frac{186}{(x + 8) (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x + 8} - \frac{3}{x - 8}$	=	$\frac{186}{(x + 8) (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) (x - 8)$ )
$\frac{x}{x + 8} \cdot (x + 8) (x - 8) - \frac{3}{x - 8} \cdot (x + 8) (x - 8)$	=	$\frac{186}{(x + 8) (x - 8)} \cdot (x + 8) (x - 8)$
$x (x - 8) - 3 x - 24$	=	$186 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x (x - 8) - 3 x - 24$	=	$186$
$x^{2} - 8 x - 3 x - 24$	=	$186$
$x^{2} - 11 x - 24$	=	$186$

x^{2} - 11 x - 24

=

186

|

- 186

$x^{2} - 11 x - 210$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 210)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 840}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{961}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{961}}{2}$ = $\frac{11+31}{2}$ = $\frac{42}{2}$ = $21$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{961}}{2}$ = $\frac{11-31}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - (- 210)$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $210$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $\frac{840}{4}$ = $\frac{961}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{961}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{31}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{31}{2}$ = $\frac{42}{2}$ = 21

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $21$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x - 6} - \frac{- 1,5}{x - 3} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x - 6} + \frac{1,5}{x - 3} - 2 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} + \frac{1,5}{x - 3} - 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} + \frac{1,5}{x - 3} - 2 x$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + \frac{1,5}{x - 3} \cdot (2 (x - 3)) - 2 x \cdot (2 (x - 3))$
=	$- x + 3 - 4 x (x - 3)$
=	$- 4 x^{2} + 11 x + 3$

0

=

- 4 x^{2} + 11 x + 3

|

+ 4 x^{2}

- 11 x

- 3

$4 x^{2} - 11 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{169}}{8}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{11+13}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = $3$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{11-13}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 11 x - 3$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{11}{4} x - \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{8})}^{2} - (- \frac{3}{4})$ = $\frac{121}{64}$ $+$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{121}{64}$ $+$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $\frac{11}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $\frac{11}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

x₂ = $\frac{11}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

Lösung x= $3$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 0,25$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{10}{x}$ = $- 1 - \frac{16}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{10}{x}$	=	$- 1 - \frac{16}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{10}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{16}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$10 x$	=	$- x^{2} - 16$

10 x

=

- x^{2} - 16

|

+ x^{2}

+ 16

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 5$ - $3$ = -8

x₂ = $- 5$ + $3$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 2$ = $\frac{8}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 2$	=	$\frac{8}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 2 \cdot x$	=	$\frac{8}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 2 x$	=	$8$
$x^{2} - 2 x$	=	$8$

x^{2} - 2 x

=

8

|

- 8

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 4} + \frac{2 x - 4}{x} + \frac{- 5 x - 4}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 2$ }

$\frac{2 x - 4 - 5 x - 4}{x} + \frac{x}{2 x + 4}$	=	0
$\frac{2 x - 4 - 5 x - 4}{x} + \frac{x}{2 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x - 4 - 5 x - 4}{x} + \frac{x}{2 (x + 2)}$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x - 4 - 5 x - 4}{x} \cdot x + \frac{x}{2 (x + 2)} \cdot x$	=
$2 x - 4 - 5 x - 4 + \frac{x \cdot x}{2 (x + 2)}$	=
$2 x - 4 - 5 x - 4 + \frac{x^{2}}{2 (x + 2)}$	=
$\frac{x^{2}}{2 (x + 2)} + 2 x - 5 x - 4 - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{x^{2}}{2 (x + 2)} + 2 x - 5 x - 4 - 4$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{x^{2}}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + 2 x \cdot (2 (x + 2)) - 5 x \cdot (2 (x + 2)) - 4 \cdot (2 (x + 2)) - 4 \cdot (2 (x + 2))$	=
$x^{2} + 4 x (x + 2) - 10 x (x + 2) - 8 x - 16 - 8 x - 16$	=
$x^{2} + (4 x^{2} + 8 x) + (- 10 x^{2} - 20 x) - 8 x - 16 - 8 x - 16$	=
$- 5 x^{2} - 28 x - 32$	=

$- 5 x^{2} - 28 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 32)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{784 - 640}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{144}}{- 10}$

x₁ = $\frac{28 + \sqrt{144}}{- 10}$ = $\frac{28+12}{- 10}$ = $\frac{40}{- 10}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{28 - \sqrt{144}}{- 10}$ = $\frac{28-12}{- 10}$ = $\frac{16}{- 10}$ = $- 1,6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 28 x - 32$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{28}{5} x + \frac{32}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{14}{5})}^{2} - (\frac{32}{5})$ = $\frac{196}{25}$ $-$ $\frac{32}{5}$ = $\frac{196}{25}$ $-$ $\frac{160}{25}$ = $\frac{36}{25}$

x_1,2 = $- \frac{14}{5}$ ± $\sqrt{\frac{36}{25}}$

x₁ = $- \frac{14}{5}$ - $\frac{6}{5}$ = $- \frac{20}{5}$ = -4

x₂ = $- \frac{14}{5}$ + $\frac{6}{5}$ = $- \frac{8}{5}$ = -1.6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1,6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $5$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $5$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$5$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$5 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$5 x$
$a + x^{2} - 5 x$	=	0
$x^{2} - 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $- (2 + 3)$ = -5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 3$ = $6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):