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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6}{x}$ = $- 6$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6}{x}$	=	$- 6$	\|⋅( $x$ )
$\frac{6}{x} \cdot x$	=	$- 6 \cdot x$
$6$	=	$- 6 x$

$6$	=	$- 6 x$	\| $- 6$ $+ 6 x$
$6 x$	=	$- 6$	\|: $6$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 1} + \frac{9}{x - 1}$ = $- \frac{3}{x^{2} - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

\frac{x}{x + 1} + \frac{9}{x - 1}

=

- \frac{3}{(x + 1) \cdot (x - 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 1) \cdot (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{x + 1} + \frac{9}{x - 1}$	=	$- \frac{3}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$	\|⋅( $(x + 1) \cdot (x - 1)$ )
$\frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) + \frac{9}{x - 1} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$	=	$- \frac{3}{(x + 1) \cdot (x - 1)} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$
$x \cdot (x - 1) + 9 x + 9$	=	$- 3 \frac{x + 1}{x + 1}$
$x \cdot (x - 1) + 9 x + 9$	=	$- 3$
$x^{2} - x + 9 x + 9$	=	$- 3$
$x^{2} + 8 x + 9$	=	$- 3$

x^{2} + 8 x + 9

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 4$ - $2$ = -6

x₂ = $- 4$ + $2$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 10} + \frac{2 x + 1}{3 x - 9} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ ; $3$ }

$\frac{x}{3 x - 10} + \frac{2 x + 1}{3 x - 9} - 5$	=	0
$\frac{x}{3 x - 10} + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{x}{3 x - 10} + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} - 5$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} \cdot (3 x - 10) - 5 \cdot (3 x - 10)$	=
$x + \frac{(2 x + 1) \cdot (3 x - 10)}{3 (x - 3)} - 15 x + 50$	=
$x + \frac{6 x^{2} - 17 x - 10}{3 (x - 3)} - 15 x + 50$	=
$\frac{6 x^{2} - 17 x - 10}{3 (x - 3)} + x - 15 x + 50$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 17 x - 10}{3 (x - 3)} + x - 15 x + 50$	=	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{6 x^{2} - 17 x - 10}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + x \cdot (3 (x - 3)) - 15 x \cdot (3 (x - 3)) + 50 \cdot (3 (x - 3))$	=
$6 x^{2} - 17 x - 10 + 3 x \cdot (x - 3) - 45 x \cdot (x - 3) + 150 x - 450$	=
$6 x^{2} - 17 x - 10 + (3 x^{2} - 9 x) + (- 45 x^{2} + 135 x) + 150 x - 450$	=
$- 36 x^{2} + 259 x - 460$	=

$- 36 x^{2} + 259 x - 460$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 259 \pm \sqrt{259^{2} - 4 \cdot (- 36) \cdot (- 460)}}{2 \cdot (- 36)}$

x_1,2 = $\frac{- 259 \pm \sqrt{67 081 - 66 240}}{- 72}$

x_1,2 = $\frac{- 259 \pm \sqrt{841}}{- 72}$

x₁ = $\frac{- 259 + \sqrt{841}}{- 72}$ = $\frac{- 259+29}{- 72}$ = $\frac{- 230}{- 72}$ = $\frac{115}{36}$ ≈ 3.19

x₂ = $\frac{- 259 - \sqrt{841}}{- 72}$ = $\frac{- 259-29}{- 72}$ = $\frac{- 288}{- 72}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 36$ " teilen:

$- 36 x^{2} + 259 x - 460$ = 0 |: $- 36$

$x^{2} - \frac{259}{36} x + \frac{115}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{259}{72})}^{2} - (\frac{115}{9})$ = $\frac{67081}{5184}$ $-$ $\frac{115}{9}$ = $\frac{67081}{5184}$ $-$ $\frac{66240}{5184}$ = $\frac{841}{5184}$

x_1,2 = $\frac{259}{72}$ ± $\sqrt{\frac{841}{5184}}$

x₁ = $\frac{259}{72}$ - $\frac{29}{72}$ = $\frac{230}{72}$ = 3.1944444444444

x₂ = $\frac{259}{72}$ + $\frac{29}{72}$ = $\frac{288}{72}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{115}{36}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $\frac{81}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$\frac{81}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{81}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$81$

$x^{2}$	=	$81$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{81}$	= $- 9$
x₂	=	$\sqrt{81}$	= $9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{33 x + 21}{x + 5}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{33 x + 21}{x + 5}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{33 x + 21}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$3 x \cdot (x + 5)$
$33 x + 21$	=	$3 x \cdot (x + 5)$
$33 x + 21$	=	$3 x^{2} + 15 x$

33 x + 21

=

3 x^{2} + 15 x

|

- 3 x^{2}

- 15 x

- 3 x^{2} + 18 x + 21

= 0 |:3

$- x^{2} + 6 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 6+8}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 6-8}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x + 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x + 4} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{2 x}{2 (x + 2)} - 2

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x + 2)} - 2$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) - 2 \cdot (x + 2)$	=
$x - 2 x - 4$	=
$- x - 4$	=

$- x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$8 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$8 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$8 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$8 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$8 x + x^{2}$	=	$- a$
$8 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $- (2 - 10)$ = 8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 10)$ = $- 20$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -20 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

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Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):