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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5 x + 27}{3 x - 3}$ = $- 1$

D=R\{ $1$ }

\frac{5 x + 27}{3 (x - 1)}

=

- 1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{5 x + 27}{3 (x - 1)}$	=	$- 1$	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{5 x + 27}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1))$	=	$- 1 \cdot (3 (x - 1))$
$5 x + 27$	=	$- 3 (x - 1)$

$5 x + 27$	=	$- 3 x + 3$	\| $- 27$
$5 x$	=	$- 3 x - 24$	\| $+ 3 x$
$8 x$	=	$- 24$	\|: $8$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{9 x}{2 x + 5} + 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$x$	=	$- \frac{9 x}{2 x + 5} + 4$	\|⋅( $2 x + 5$ )
$x \cdot (2 x + 5)$	=	$- \frac{9 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + 4 \cdot (2 x + 5)$
$x (2 x + 5)$	=	$- 9 x + 8 x + 20$
$x \cdot 2 x + x \cdot 5$	=	$- 9 x + 8 x + 20$
$2 x \cdot x + 5 x$	=	$- 9 x + 8 x + 20$
$2 x^{2} + 5 x$	=	$- x + 20$

2 x^{2} + 5 x

=

- x + 20

|

+ x

- 20

2 x^{2} + 6 x - 20

= 0 |:2

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 4}{x} + \frac{2 x}{3 x - 8} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; 0}

\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{3 x + 4}{x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{3 x + 4}{x} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{2 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{3 x + 4}{x} \cdot (3 x - 8) - 6 \cdot (3 x - 8)$	=
$2 x + \frac{(3 x + 4) (3 x - 8)}{x} - 18 x + 48$	=
$2 x + \frac{9 x^{2} - 12 x - 32}{x} - 18 x + 48$	=
$\frac{9 x^{2} - 12 x - 32}{x} + 2 x - 18 x + 48$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 12 x - 32}{x} + 2 x - 18 x + 48$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{9 x^{2} - 12 x - 32}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 18 x \cdot x + 48 \cdot x$	=
$9 x^{2} - 12 x - 32 + 2 x \cdot x - 18 x \cdot x + 48 x$	=
$9 x^{2} - 12 x - 32 + 2 x^{2} - 18 x^{2} + 48 x$	=
$- 7 x^{2} + 36 x - 32$	=

$- 7 x^{2} + 36 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{36^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 32)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{1 296 - 896}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{400}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 36 + \sqrt{400}}{- 14}$ = $\frac{- 36+20}{- 14}$ = $\frac{- 16}{- 14}$ = $\frac{8}{7}$ ≈ 1.14

x₂ = $\frac{- 36 - \sqrt{400}}{- 14}$ = $\frac{- 36-20}{- 14}$ = $\frac{- 56}{- 14}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} + 36 x - 32$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} - \frac{36}{7} x + \frac{32}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{18}{7})}^{2} - (\frac{32}{7})$ = $\frac{324}{49}$ $-$ $\frac{32}{7}$ = $\frac{324}{49}$ $-$ $\frac{224}{49}$ = $\frac{100}{49}$

x_1,2 = $\frac{18}{7}$ ± $\sqrt{\frac{100}{49}}$

x₁ = $\frac{18}{7}$ - $\frac{10}{7}$ = $\frac{8}{7}$ = 1.1428571428571

x₂ = $\frac{18}{7}$ + $\frac{10}{7}$ = $\frac{28}{7}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{8}{7}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{12}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{20}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{12}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{20}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{12}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{20}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- 12 x$	=	$- x^{2} - 20$

- 12 x

=

- x^{2} - 20

|

+ x^{2}

+ 20

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x + 6}{2 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{9 x + 6}{2 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{9 x + 6}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 5 \cdot 2 x$
$9 x + 6$	=	$2 x \cdot x + 10 x$

9 x + 6

=

2 x^{2} + 10 x

|

- 2 x^{2}

- 10 x

$- 2 x^{2} - x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 6}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{1+7}{- 4}$ = $\frac{8}{- 4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{1-7}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - x + 6$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $3$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x + 3} + \frac{7 x + 1}{2 x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

\frac{8 x}{x + 3} + \frac{7 x + 1}{2 x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{8 x}{x + 3} + \frac{7 x + 1}{2 x} - 6$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{8 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{7 x + 1}{2 x} \cdot (x + 3) - 6 \cdot (x + 3)$	=
$8 x + \frac{(7 x + 1) (x + 3)}{2 x} - 6 x - 18$	=
$8 x + \frac{7 x^{2} + 22 x + 3}{2 x} - 6 x - 18$	=
$\frac{7 x^{2} + 22 x + 3}{2 x} + 8 x - 6 x - 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{7 x^{2} + 22 x + 3}{2 x} + 8 x - 6 x - 18$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{7 x^{2} + 22 x + 3}{2 x} \cdot 2 x + 8 x \cdot 2 x - 6 x \cdot 2 x - 18 \cdot 2 x$	=
$7 x^{2} + 22 x + 3 + 16 x \cdot x - 12 x \cdot x - 36 x$	=
$7 x^{2} + 22 x + 3 + 16 x^{2} - 12 x^{2} - 36 x$	=
$11 x^{2} - 14 x + 3$	=

$11 x^{2} - 14 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 11 \cdot 3}}{2 \cdot 11}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 132}}{22}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{64}}{22}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{64}}{22}$ = $\frac{14+8}{22}$ = $\frac{22}{22}$ = $1$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{64}}{22}$ = $\frac{14-8}{22}$ = $\frac{6}{22}$ = $\frac{3}{11}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $11$ " teilen:

$11 x^{2} - 14 x + 3$ = 0 |: $11$

$x^{2} - \frac{14}{11} x + \frac{3}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{11})}^{2} - (\frac{3}{11})$ = $\frac{49}{121}$ $-$ $\frac{3}{11}$ = $\frac{49}{121}$ $-$ $\frac{33}{121}$ = $\frac{16}{121}$

x_1,2 = $\frac{7}{11}$ ± $\sqrt{\frac{16}{121}}$

x₁ = $\frac{7}{11}$ - $\frac{4}{11}$ = $\frac{3}{11}$ = 0.27272727272727

x₂ = $\frac{7}{11}$ + $\frac{4}{11}$ = $\frac{11}{11}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{3}{11}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$1 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$1 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$1 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$1 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$x + a$	=	$- x^{2}$
$x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):