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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7}{x - 8}$ = $1$

D=R\{ $8$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 8$ weg!

$\frac{7}{x - 8}$	=	$1$	\|⋅( $x - 8$ )
$\frac{7}{x - 8} \cdot (x - 8)$	=	$1 \cdot (x - 8)$
$7$	=	$x - 8$

$7$	=	$x - 8$	\| $- 7$ $- x$
$- x$	=	$- 15$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$15$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $15$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9 x}{2 x + 4} + \frac{50}{4 x + 8}$ = $1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{9 x}{2 (x + 2)} + \frac{50}{4 (x + 2)}

=

1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{9 x}{2 (x + 2)} + \frac{50}{4 (x + 2)}$	=	$1$	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{9 x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{50}{4 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2))$	=	$1 \cdot (2 (x + 2))$
$9 x + 25$	=	$2 (x + 2)$

$9 x + 25$	=	$2 x + 4$	\| $- 25$
$9 x$	=	$2 x - 21$	\| $- 2 x$
$7 x$	=	$- 21$	\|: $7$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 12} + \frac{284}{3 x + 12}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{x}{3 x + 12} + \frac{284}{3 x + 12}$	=	$3 x$
$\frac{x}{3 (x + 4)} + \frac{284}{3 (x + 4)}$	=	$3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 4)} + \frac{284}{3 (x + 4)}$	=	$3 x$	\|⋅( $3 (x + 4)$ )
$\frac{x}{3 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4)) + \frac{284}{3 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4))$	=	$3 x \cdot (3 (x + 4))$
$x + 284$	=	$9 x (x + 4)$
$x + 284$	=	$9 x^{2} + 36 x$

x + 284

=

9 x^{2} + 36 x

|

- 9 x^{2}

- 36 x

$- 9 x^{2} - 35 x + 284$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{{(- 35)}^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot 284}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{1 225 + 10 224}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{11 449}}{- 18}$

x₁ = $\frac{35 + \sqrt{11 449}}{- 18}$ = $\frac{35+107}{- 18}$ = $\frac{142}{- 18}$ = $- \frac{71}{9}$ ≈ -7.89

x₂ = $\frac{35 - \sqrt{11 449}}{- 18}$ = $\frac{35-107}{- 18}$ = $\frac{- 72}{- 18}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} - 35 x + 284$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} + \frac{35}{9} x - \frac{284}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{35}{18})}^{2} - (- \frac{284}{9})$ = $\frac{1225}{324}$ $+$ $\frac{284}{9}$ = $\frac{1225}{324}$ $+$ $\frac{10224}{324}$ = $\frac{11449}{324}$

x_1,2 = $- \frac{35}{18}$ ± $\sqrt{\frac{11449}{324}}$

x₁ = $- \frac{35}{18}$ - $\frac{107}{18}$ = $- \frac{142}{18}$ = -7.8888888888889

x₂ = $- \frac{35}{18}$ + $\frac{107}{18}$ = $\frac{72}{18}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{71}{9}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{3}{x}$ = $- 1 + \frac{40}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{3}{x}$	=	$- 1 + \frac{40}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{40}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$- 3 x$	=	$- x^{2} + 40$

- 3 x

=

- x^{2} + 40

|

+ x^{2}

- 40

$x^{2} - 3 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{3+13}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{3-13}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 40)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $40$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 1$ = $- 8 - \frac{6}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 1$	=	$- 8 - \frac{6}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 1 \cdot x$	=	$- 8 \cdot x - \frac{6}{x} \cdot x$
$x \cdot x - x$	=	$- 8 x - 6$
$x^{2} - x$	=	$- 8 x - 6$

x^{2} - x

=

- 8 x - 6

|

+ 8 x

+ 6

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7+5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7-5}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 2} + \frac{x}{3 x - 10} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ ; $2$ }

\frac{x}{3 x - 10} + \frac{x}{x - 2} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{x}{3 x - 10} + \frac{x}{x - 2} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + \frac{x}{x - 2} \cdot (3 x - 10) - 4 \cdot (3 x - 10)$	=
$x + \frac{x (3 x - 10)}{x - 2} - 12 x + 40$	=
$x + \frac{3 x^{2} - 10 x}{x - 2} - 12 x + 40$	=
$\frac{3 x^{2} - 10 x}{x - 2} + x - 12 x + 40$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 10 x}{x - 2} + x - 12 x + 40$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{3 x^{2} - 10 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + x \cdot (x - 2) - 12 x \cdot (x - 2) + 40 \cdot (x - 2)$	=
$3 x^{2} - 10 x + x (x - 2) - 12 x (x - 2) + 40 x - 80$	=
$3 x^{2} - 10 x + (x^{2} - 2 x) + (- 12 x^{2} + 24 x) + 40 x - 80$	=
$- 8 x^{2} + 52 x - 80$	=

- 8 x^{2} + 52 x - 80

= 0 |:4

$- 2 x^{2} + 13 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 13+3}{- 4}$ = $\frac{- 10}{- 4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 13-3}{- 4}$ = $\frac{- 16}{- 4}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 13 x - 20$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - 10$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $10$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{160}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2,5$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{8}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{8}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{8}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{8}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 8 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 8 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 4)$ = -8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 4)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):