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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{x}{2 x + 5} - \frac{14}{2 x + 5}$ = $- 5$

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{x}{2 x + 5} - \frac{14}{2 x + 5}$	=	$- 5$	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) - \frac{14}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5)$	=	$- 5 \cdot (2 x + 5)$
$x - 14$	=	$- 5 (2 x + 5)$

$x - 14$	=	$- 10 x - 25$	\| $+ 14$
$x$	=	$- 10 x - 11$	\| $+ 10 x$
$11 x$	=	$- 11$	\|: $11$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 5$ = $- \frac{- 56}{x + 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$x + 5$	=	$\frac{56}{x + 4}$	\|⋅( $x + 4$ )
$x \cdot (x + 4) + 5 \cdot (x + 4)$	=	$\frac{56}{x + 4} \cdot (x + 4)$
$x (x + 4) + 5 x + 20$	=	$56$
$x^{2} + 4 x + 5 x + 20$	=	$56$
$x^{2} + 9 x + 20$	=	$56$

x^{2} + 9 x + 20

=

56

|

- 56

$x^{2} + 9 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 9+15}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 9-15}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $36$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{24}{2}$ = -12

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 12$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{6 x}{x - 1} + \frac{12 x}{- x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- \frac{1}{3}$ }

\frac{6 x}{x - 1} + \frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{12 x}{- x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{x - 1} + \frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{12 x}{- x + 1}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{6 x}{3 x + 1} \cdot (x - 1) + \frac{12 x}{- x + 1} \cdot (x - 1)$	=
$6 x + \frac{6 x (x - 1)}{3 x + 1} + \frac{12 x (x - 1)}{- x + 1}$	=
$6 x + \frac{6 x (x - 1)}{3 x + 1} - 12 x$	=
$6 x + \frac{6 x^{2} - 6 x}{3 x + 1} - 12 x$	=
$\frac{6 x^{2} - 6 x}{3 x + 1} + 6 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 6 x}{3 x + 1} + 6 x - 12 x$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} - 6 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 6 x \cdot (3 x + 1) - 12 x \cdot (3 x + 1)$	=
$6 x^{2} - 6 x + 6 x (3 x + 1) - 12 x (3 x + 1)$	=
$6 x^{2} - 6 x + (18 x^{2} + 6 x) + (- 36 x^{2} - 12 x)$	=
$- 12 x^{2} - 12 x$	=

$- 12 x^{2} - 12 x$	=	0
$- 12 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{16}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{16}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{16}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} - 16$	=

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{17 x + 18}{2 x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{17 x + 18}{2 x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{17 x + 18}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 4 \cdot 2 x$
$17 x + 18$	=	$2 x \cdot x + 8 x$

17 x + 18

=

2 x^{2} + 8 x

|

- 2 x^{2}

- 8 x

$- 2 x^{2} + 9 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 18}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{225}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{- 9+15}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{- 9-15}{- 4}$ = $\frac{- 24}{- 4}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 9 x + 18$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x - 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (- 9)$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $9$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{144}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,5$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 3} + \frac{8 x}{3 x + 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $3$ }

\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{4 x}{x - 3} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{4 x}{x - 3} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{8 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{4 x}{x - 3} \cdot (3 x + 1) - 5 \cdot (3 x + 1)$	=
$8 x + \frac{4 x (3 x + 1)}{x - 3} - 15 x - 5$	=
$8 x + \frac{12 x^{2} + 4 x}{x - 3} - 15 x - 5$	=
$\frac{12 x^{2} + 4 x}{x - 3} + 8 x - 15 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{12 x^{2} + 4 x}{x - 3} + 8 x - 15 x - 5$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{12 x^{2} + 4 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + 8 x \cdot (x - 3) - 15 x \cdot (x - 3) - 5 \cdot (x - 3)$	=
$12 x^{2} + 4 x + 8 x (x - 3) - 15 x (x - 3) - 5 x + 15$	=
$12 x^{2} + 4 x + (8 x^{2} - 24 x) + (- 15 x^{2} + 45 x) - 5 x + 15$	=
$5 x^{2} + 20 x + 15$	=

5 x^{2} + 20 x + 15

= 0 |:5

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{8}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{8}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{8}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{8}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 8 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 8 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 4)$ = -8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 4)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):