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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9}{x}$ = $- 3$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9}{x}$	=	$- 3$	\|⋅( $x$ )
$\frac{9}{x} \cdot x$	=	$- 3 \cdot x$
$9$	=	$- 3 x$

$9$	=	$- 3 x$	\| $- 9$ $+ 3 x$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 8} + \frac{2}{x + 8}$ = $\frac{215}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x - 8} + \frac{2}{x + 8}

=

\frac{215}{(x + 8) \cdot (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) \cdot (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x - 8} + \frac{2}{x + 8}$	=	$\frac{215}{(x + 8) \cdot (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) \cdot (x - 8)$ )
$\frac{x}{x - 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8) + \frac{2}{x + 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$	=	$\frac{215}{(x + 8) \cdot (x - 8)} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$
$x (x + 8) + 2 x - 16$	=	$215 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x (x + 8) + 2 x - 16$	=	$215$
$x^{2} + 8 x + 2 x - 16$	=	$215$
$x^{2} + 10 x - 16$	=	$215$

x^{2} + 10 x - 16

=

215

|

- 215

$x^{2} + 10 x - 231$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 231)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 924}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{1 024}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{1 024}}{2}$ = $\frac{- 10+32}{2}$ = $\frac{22}{2}$ = $11$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{1 024}}{2}$ = $\frac{- 10-32}{2}$ = $\frac{- 42}{2}$ = $- 21$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 231)$ = $25$ $+$ $231$ = $256$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{256}$

x₁ = $- 5$ - $16$ = -21

x₂ = $- 5$ + $16$ = 11

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 21$ ; $11$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $- \frac{x}{5 x - 15} - \frac{3,8}{x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$2 x$	=	$- \frac{x}{5 x - 15} - \frac{3,8}{x - 3}$
$2 x$	=	$- \frac{x}{5 (x - 3)} - \frac{3,8}{x - 3}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 3)$ weg!

$2 x$	=	$- \frac{x}{5 (x - 3)} - \frac{3,8}{x - 3}$	\|⋅( $5 (x - 3)$ )
$2 x \cdot (5 (x - 3))$	=	$- \frac{x}{5 (x - 3)} \cdot (5 (x - 3)) + \frac{- 3,8}{x - 3} \cdot (5 (x - 3))$
$10 x (x - 3)$	=	$- x - 19$
$10 x \cdot x + 10 x \cdot (- 3)$	=	$- x - 19$
$10 x \cdot x - 30 x$	=	$- x - 19$
$10 x^{2} - 30 x$	=	$- x - 19$

10 x^{2} - 30 x

=

- x - 19

|

+ x

+ 19

$10 x^{2} - 29 x + 19$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 19}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 - 760}}{20}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{81}}{20}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{81}}{20}$ = $\frac{29+9}{20}$ = $\frac{38}{20}$ = $1,9$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{81}}{20}$ = $\frac{29-9}{20}$ = $\frac{20}{20}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $10$ " teilen:

$10 x^{2} - 29 x + 19$ = 0 |: $10$

$x^{2} - \frac{29}{10} x + \frac{19}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{29}{20})}^{2} - (\frac{19}{10})$ = $\frac{841}{400}$ $-$ $\frac{19}{10}$ = $\frac{841}{400}$ $-$ $\frac{760}{400}$ = $\frac{81}{400}$

x_1,2 = $\frac{29}{20}$ ± $\sqrt{\frac{81}{400}}$

x₁ = $\frac{29}{20}$ - $\frac{9}{20}$ = $\frac{20}{20}$ = 1

x₂ = $\frac{29}{20}$ + $\frac{9}{20}$ = $\frac{38}{20}$ = 1.9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $1,9$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 24}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{2 x - 24}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{2 x - 24}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$2 x - 24$	=	$- x^{2}$

2 x - 24

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 15 x - 6}{2 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 15 x - 6}{2 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 15 x - 6}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 1 \cdot 2 x$
$- 15 x - 6$	=	$2 x \cdot x - 2 x$

- 15 x - 6

=

2 x^{2} - 2 x

|

- 2 x^{2}

+ 2 x

$- 2 x^{2} - 13 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{13+11}{- 4}$ = $\frac{24}{- 4}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{13-11}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 13 x - 6$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{24}{4}$ = -6

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{8 x}{x - 3} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $- \frac{1}{3}$ }

\frac{8 x}{x - 3} + \frac{8 x}{3 x + 1} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{8 x}{x - 3} + \frac{8 x}{3 x + 1} - 6$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{8 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{8 x}{3 x + 1} \cdot (x - 3) - 6 \cdot (x - 3)$	=
$8 x + \frac{8 x (x - 3)}{3 x + 1} - 6 x + 18$	=
$8 x + \frac{8 x^{2} - 24 x}{3 x + 1} - 6 x + 18$	=
$\frac{8 x^{2} - 24 x}{3 x + 1} + 8 x - 6 x + 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 24 x}{3 x + 1} + 8 x - 6 x + 18$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{8 x^{2} - 24 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 8 x \cdot (3 x + 1) - 6 x \cdot (3 x + 1) + 18 \cdot (3 x + 1)$	=
$8 x^{2} - 24 x + 8 x (3 x + 1) - 6 x (3 x + 1) + 54 x + 18$	=
$8 x^{2} - 24 x + (24 x^{2} + 8 x) + (- 18 x^{2} - 6 x) + 54 x + 18$	=
$14 x^{2} + 32 x + 18$	=

14 x^{2} + 32 x + 18

= 0 |:2

$7 x^{2} + 16 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 9}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{4}}{14}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{4}}{14}$ = $\frac{- 16+2}{14}$ = $\frac{- 14}{14}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{4}}{14}$ = $\frac{- 16-2}{14}$ = $\frac{- 18}{14}$ = $- \frac{9}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} + 16 x + 9$ = 0 |: $7$

$x^{2} + \frac{16}{7} x + \frac{9}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{7})}^{2} - (\frac{9}{7})$ = $\frac{64}{49}$ $-$ $\frac{9}{7}$ = $\frac{64}{49}$ $-$ $\frac{63}{49}$ = $\frac{1}{49}$

x_1,2 = $- \frac{8}{7}$ ± $\sqrt{\frac{1}{49}}$

x₁ = $- \frac{8}{7}$ - $\frac{1}{7}$ = $- \frac{9}{7}$ = -1.2857142857143

x₂ = $- \frac{8}{7}$ + $\frac{1}{7}$ = $- \frac{7}{7}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{9}{7}$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$5 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$5 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$5 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$5 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$5 x + x^{2}$	=	$- a$
$5 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -7 würde es funktionieren, denn $- (2 - 7)$ = 5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 7)$ = $- 14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 7$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):