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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{9 x}{2 x + 4} + \frac{67}{2 x + 4}$ = $4$

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{9 x}{2 (x + 2)} + \frac{67}{2 (x + 2)}

=

4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$- \frac{9 x}{2 (x + 2)} + \frac{67}{2 (x + 2)}$	=	$4$	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$- \frac{9 x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{67}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2))$	=	$4 \cdot (2 (x + 2))$
$- 9 x + 67$	=	$8 (x + 2)$

$- 9 x + 67$	=	$8 x + 16$	\| $- 67$
$- 9 x$	=	$8 x - 51$	\| $- 8 x$
$- 17 x$	=	$- 51$	\|:( $- 17$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{- 12 x}{x - 4} + 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

x

=

\frac{12 x}{x - 4} + 5

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$x$	=	$\frac{12 x}{x - 4} + 5$	\|⋅( $x - 4$ )
$x \cdot (x - 4)$	=	$\frac{12 x}{x - 4} \cdot (x - 4) + 5 \cdot (x - 4)$
$x \cdot (x - 4)$	=	$12 x + 5 x - 20$
$x \cdot x + x \cdot (- 4)$	=	$12 x + 5 x - 20$
$x \cdot x - 4 x$	=	$12 x + 5 x - 20$
$x^{2} - 4 x$	=	$17 x - 20$

x^{2} - 4 x

=

17 x - 20

|

- 17 x

+ 20

$x^{2} - 21 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{361}}{2}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{21+19}{2}$ = $\frac{40}{2}$ = $20$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{21-19}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{361}{4}$

x_1,2 = $\frac{21}{2}$ ± $\sqrt{\frac{361}{4}}$

x₁ = $\frac{21}{2}$ - $\frac{19}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{21}{2}$ + $\frac{19}{2}$ = $\frac{40}{2}$ = 20

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $20$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 2}{2 x} + \frac{5 x - 1}{x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{5 x - 1}{x + 1} + \frac{x + 2}{2 x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{5 x - 1}{x + 1} + \frac{x + 2}{2 x} - 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{5 x - 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{x + 2}{2 x} \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=
$5 x - 1 + \frac{(x + 2) \cdot (x + 1)}{2 x} - 4 x - 4$	=
$5 x - 1 + \frac{x^{2} + 3 x + 2}{2 x} - 4 x - 4$	=
$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{2 x} + 5 x - 4 x - 1 - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{2 x} + 5 x - 4 x - 1 - 4$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{2 x} \cdot 2 x + 5 x \cdot 2 x - 4 x \cdot 2 x - 1 \cdot 2 x - 4 \cdot 2 x$	=
$x^{2} + 3 x + 2 + 10 x \cdot x - 8 x \cdot x - 2 x - 8 x$	=
$x^{2} + 3 x + 2 + 10 x^{2} - 8 x^{2} - 2 x - 8 x$	=
$3 x^{2} - 7 x + 2$	=

$3 x^{2} - 7 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{7+5}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{7-5}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 7 x + 2$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{7}{3} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{6})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $\frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $\frac{7}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{7}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{2}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{2}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{2}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 1$	=	$2 x$

x^{2} + 1

=

2 x

|

- 2 x

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 + \frac{7}{x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 7 + \frac{7}{x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $x$ )
$- 7 \cdot x + \frac{7}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 1 \cdot x$
$- 7 x + 7$	=	$x \cdot x - x$

- 7 x + 7

=

x^{2} - x

|

- x^{2}

+ x

$- x^{2} - 6 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{6+8}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{6-8}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x + 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 2}{2 x + 6} + \frac{3 x}{2 x + 4} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 3$ }

$\frac{3 x}{2 x + 4} + \frac{x + 2}{2 x + 6} - 4$	=	0
$\frac{3 x}{2 (x + 2)} + \frac{x + 2}{2 (x + 3)} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{3 x}{2 (x + 2)} + \frac{x + 2}{2 (x + 3)} - 4$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{3 x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{x + 2}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 2)) - 4 \cdot (2 (x + 2))$	=
$3 x + 2 \frac{(x + 2) \cdot (x + 2)}{2 (x + 3)} - 8 x - 16$	=
$3 x + \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 3} - 8 x - 16$	=
$\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 3} + 3 x - 8 x - 16$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 3} + 3 x - 8 x - 16$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 3} \cdot (x + 3) + 3 x \cdot (x + 3) - 8 x \cdot (x + 3) - 16 \cdot (x + 3)$	=
$x^{2} + 4 x + 4 + 3 x \cdot (x + 3) - 8 x \cdot (x + 3) - 16 x - 48$	=
$x^{2} + 4 x + 4 + (3 x^{2} + 9 x) + (- 8 x^{2} - 24 x) - 16 x - 48$	=
$- 4 x^{2} - 27 x - 44$	=

$- 4 x^{2} - 27 x - 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 44)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 704}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{25}}{- 8}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{25}}{- 8}$ = $\frac{27+5}{- 8}$ = $\frac{32}{- 8}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{25}}{- 8}$ = $\frac{27-5}{- 8}$ = $\frac{22}{- 8}$ = $- 2,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 27 x - 44$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{27}{4} x + 11$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{27}{8})}^{2} - 11$ = $\frac{729}{64}$ $-$ $11$ = $\frac{729}{64}$ $-$ $\frac{704}{64}$ = $\frac{25}{64}$

x_1,2 = $- \frac{27}{8}$ ± $\sqrt{\frac{25}{64}}$

x₁ = $- \frac{27}{8}$ - $\frac{5}{8}$ = $- \frac{32}{8}$ = -4

x₂ = $- \frac{27}{8}$ + $\frac{5}{8}$ = $- \frac{22}{8}$ = -2.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2,75$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 5 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 5 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 5 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 5 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 5 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 5 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $- (2 + 3)$ = -5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 3$ = $6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):