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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
- 9 x = 2

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x weg!

- 9 x = 2 |⋅( x )
- 9 x · x = 2 · x
-9 = 2x
-9 = 2x | +9 -2x
-2x = 9 |:(-2 )
x = - 9 2 = -4.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ - 9 2 }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x x -1 - 10 x +1 = - 8 x 2 -1

Lösung einblenden

D=R\{ -1 ; 1 }

x x -1 - 10 x +1 = - 8 ( x +1 ) · ( x -1 ) |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner ( x +1 ) · ( x -1 ) weg!

x x -1 - 10 x +1 = - 8 ( x +1 ) · ( x -1 ) |⋅( ( x +1 ) · ( x -1 ) )
x x -1 · ( x +1 ) · ( x -1 ) - 10 x +1 · ( x +1 ) · ( x -1 ) = - 8 ( x +1 ) · ( x -1 ) · ( x +1 ) · ( x -1 )
x ( x +1 ) -10x +10 = -8 x +1 x +1
x ( x +1 ) -10x +10 = -8
x 2 + x -10x +10 = -8
x 2 -9x +10 = -8
x 2 -9x +10 = -8 | +8

x 2 -9x +18 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +9 ± ( -9 ) 2 -4 · 1 · 18 21

x1,2 = +9 ± 81 -72 2

x1,2 = +9 ± 9 2

x1 = 9 + 9 2 = 9 +3 2 = 12 2 = 6

x2 = 9 - 9 2 = 9 -3 2 = 6 2 = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 3 ; 6 }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

12x x -3 + 8x 2x -2 -5 = 0

Lösung einblenden

D=R\{ 1 ; 3 }

8x 2x -2 + 12x x -3 -5 = 0
8x 2( x -1 ) + 12x x -3 -5 = 0 |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner x -1 weg!

8x 2( x -1 ) + 12x x -3 -5 = 0 |⋅( x -1 )
8x 2( x -1 ) · ( x -1 ) + 12x x -3 · ( x -1 ) -5 · ( x -1 ) = 0
4x + 12 x ( x -1 ) x -3 -5x +5 = 0
4x + 12 x 2 -12x x -3 -5x +5 = 0
12 x 2 -12x x -3 +4x -5x +5 = 0

Wir multiplizieren den Nenner x -3 weg!

12 x 2 -12x x -3 +4x -5x +5 = 0 |⋅( x -3 )
12 x 2 -12x x -3 · ( x -3 ) + 4x · ( x -3 ) -5x · ( x -3 ) + 5 · ( x -3 ) = 0
12 x 2 -12x +4 x ( x -3 )-5 x ( x -3 ) +5x -15 = 0
12 x 2 -12x + ( 4 x 2 -12x ) + ( -5 x 2 +15x ) +5x -15 = 0
11 x 2 -4x -15 = 0

11 x 2 -4x -15 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 11 · ( -15 ) 211

x1,2 = +4 ± 16 +660 22

x1,2 = +4 ± 676 22

x1 = 4 + 676 22 = 4 +26 22 = 30 22 = 15 11 ≈ 1.36

x2 = 4 - 676 22 = 4 -26 22 = -22 22 = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -1 ; 15 11 }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 12 x + 20 x 2 = -1

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 2 weg!

- 12 x + 20 x 2 = -1 |⋅( x 2 )
- 12 x · x 2 + 20 x 2 · x 2 = -1 · x 2
-12x +20 = - x 2
-12x +20 = - x 2 | + x 2

x 2 -12x +20 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +12 ± ( -12 ) 2 -4 · 1 · 20 21

x1,2 = +12 ± 144 -80 2

x1,2 = +12 ± 64 2

x1 = 12 + 64 2 = 12 +8 2 = 20 2 = 10

x2 = 12 - 64 2 = 12 -8 2 = 4 2 = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 2 ; 10 }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-x -4 x -5 = x

Lösung einblenden

D=R\{ 5 }

Wir multiplizieren den Nenner x -5 weg!

-x -4 x -5 = x |⋅( x -5 )
-x -4 x -5 · ( x -5 ) = x · ( x -5 )
-x -4 = x ( x -5 )
-x -4 = x 2 -5x
-x -4 = x 2 -5x | - x 2 +5x

- x 2 +4x -4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -4 ± 4 2 -4 · ( -1 ) · ( -4 ) 2( -1 )

x1,2 = -4 ± 16 -16 -2

x1,2 = -4 ± 0 -2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -4 -2 = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 2 }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x -1 x +1 + 3x +1 x -1 -4 = 0

Lösung einblenden

D=R\{ 1 ; -1 }

3x +1 x -1 + x -1 x +1 -4 = 0

Wir multiplizieren den Nenner x -1 weg!

3x +1 x -1 + x -1 x +1 -4 = 0 |⋅( x -1 )
3x +1 x -1 · ( x -1 ) + x -1 x +1 · ( x -1 ) -4 · ( x -1 ) = 0
3x +1 + ( x -1 ) ( x -1 ) x +1 -4x +4 = 0
3x +1 + x 2 -2x +1 x +1 -4x +4 = 0
x 2 -2x +1 x +1 +3x -4x +1 +4 = 0

Wir multiplizieren den Nenner x +1 weg!

x 2 -2x +1 x +1 +3x -4x +1 +4 = 0 |⋅( x +1 )
x 2 -2x +1 x +1 · ( x +1 ) + 3x · ( x +1 ) -4x · ( x +1 ) + 1 · ( x +1 ) + 4 · ( x +1 ) = 0
x 2 -2x +1 +3 x ( x +1 )-4 x ( x +1 ) + x +1 +4x +4 = 0
x 2 -2x +1 + ( 3 x 2 +3x ) + ( -4 x 2 -4x ) + x +1 +4x +4 = 0
2x +6 = 0
2x +6 = 0 | -6
2x = -6 |:2
x = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -3 }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

-1 + x = - a x

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

-1 + x = - a x

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

-1 + x = - a x |⋅x
-1 · x + x · x = - a x · x
-x + x 2 = - a
-x + x 2 + a = 0
x 2 - x + a = 0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

x 2 - x + a = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn -( 2 -1 ) = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = 2 · ( -1 ) = -2

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

x 2 - x -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

x1,2 = +1 ± 1 +8 2

x1,2 = +1 ± 9 2

x1 = 1 + 9 2 = 1 +3 2 = 4 2 = 2

x2 = 1 - 9 2 = 1 -3 2 = -2 2 = -1

L={ -1 ; 2 }