Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2}{x}$ = $\frac{1}{2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{2}{x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{2}{x} \cdot x$	=	$\frac{1}{2} \cdot x$
$- 2$	=	$\frac{1}{2} x$

$- 2$	=	$\frac{1}{2} x$	\|⋅ 2
$- 4$	=	$x$	\| $+ 4$ $- x$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9 x}{3 x + 1} + \frac{62}{6 x + 2}$ = $1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ }

\frac{9 x}{3 x + 1} + \frac{62}{2 (3 x + 1)}

=

1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{9 x}{3 x + 1} + \frac{62}{2 (3 x + 1)}$	=	$1$	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{9 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{62}{2 (3 x + 1)} \cdot (3 x + 1)$	=	$1 \cdot (3 x + 1)$
$9 x + 31$	=	$3 x + 1$

$9 x + 31$	=	$3 x + 1$	\| $- 31$
$9 x$	=	$3 x - 30$	\| $- 3 x$
$6 x$	=	$- 30$	\|: $6$
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3}{x - 4} + x$ = $- \frac{x}{2 x - 8}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{3}{x - 4} + x$	=	$\frac{- x}{2 x - 8}$
$\frac{3}{x - 4} + x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

$\frac{3}{x - 4} + x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 4)}$	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
$\frac{3}{x - 4} \cdot (2 (x - 4)) + x \cdot (2 (x - 4))$	=	$\frac{- x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4))$
$6 + 2 x (x - 4)$	=	$- x$
$6 + (2 x^{2} - 8 x)$	=	$- x$
$2 x^{2} - 8 x + 6$	=	$- x$

2 x^{2} - 8 x + 6

=

- x

|

+ x

$2 x^{2} - 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{7+1}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{7-1}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x + 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{12}{x^{2}}$ = $- \frac{1}{x} - \frac{27}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{12}{x^{2}}$	=	$- \frac{1}{x} - \frac{27}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{27}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- 12 x$	=	$- x^{2} - 27$

- 12 x

=

- x^{2} - 27

|

+ x^{2}

+ 27

$x^{2} - 12 x + 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12+6}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12-6}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 27$ = $36$ $-$ $27$ = $9$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $6$ - $3$ = 3

x₂ = $6$ + $3$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 5}{x - 2}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x + 5}{x - 2}$	=	$x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x + 5}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$x \cdot (x - 2)$
$2 x + 5$	=	$x (x - 2)$
$2 x + 5$	=	$x^{2} - 2 x$

2 x + 5

=

x^{2} - 2 x

|

- x^{2}

+ 2 x

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{x - 3}{x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{2 x}{x + 1} + \frac{x - 3}{x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{x - 3}{x} - 5$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{x - 3}{x} \cdot (x + 1) - 5 \cdot (x + 1)$	=
$2 x + \frac{(x - 3) (x + 1)}{x} - 5 x - 5$	=
$2 x + \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x} - 5 x - 5$	=
$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x} + 2 x - 5 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x} + 2 x - 5 x - 5$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 5 x \cdot x - 5 \cdot x$	=
$x^{2} - 2 x - 3 + 2 x \cdot x - 5 x \cdot x - 5 x$	=
$x^{2} - 2 x - 3 + 2 x^{2} - 5 x^{2} - 5 x$	=
$- 2 x^{2} - 7 x - 3$	=

$- 2 x^{2} - 7 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{7+5}{- 4}$ = $\frac{12}{- 4}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{7-5}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 7 x - 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 11$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 11$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 11$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 11 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 11 x$	=	$- x^{2}$
$a - 11 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 11 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 11 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -11 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $- (2 + 9)$ = -11

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 9$ = $18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

L={ $2$ ; $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):