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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{8 x}{3 x - 4} - \frac{51}{3 x - 4}$ = $- 1$

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{8 x}{3 x - 4} - \frac{51}{3 x - 4}$	=	$- 1$	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{8 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) - \frac{51}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4)$	=	$- 1 \cdot (3 x - 4)$
$8 x - 51$	=	$- (3 x - 4)$

$8 x - 51$	=	$- 3 x + 4$	\| $+ 51$
$8 x$	=	$- 3 x + 55$	\| $+ 3 x$
$11 x$	=	$55$	\|: $11$
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{5 x}{2 x + 4} + \frac{22}{4 x + 8}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{22}{4 (x + 2)}

=

- 1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$- \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{22}{4 (x + 2)}$	=	$- 1$	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$- \frac{5 x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{22}{4 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2))$	=	$- 1 \cdot (2 (x + 2))$
$- 5 x + 11$	=	$- 2 (x + 2)$

$- 5 x + 11$	=	$- 2 x - 4$	\| $- 11$
$- 5 x$	=	$- 2 x - 15$	\| $+ 2 x$
$- 3 x$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 4} + \frac{3 x - 4}{x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; 0}

$\frac{3 x}{2 x + 4} + \frac{3 x - 4}{x} - 7$	=	0
$\frac{3 x}{2 (x + 2)} + \frac{3 x - 4}{x} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{3 x}{2 (x + 2)} + \frac{3 x - 4}{x} - 7$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{3 x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{3 x - 4}{x} \cdot (2 (x + 2)) - 7 \cdot (2 (x + 2))$	=
$3 x + 2 \frac{(3 x - 4) \cdot (x + 2)}{x} - 14 x - 28$	=
$3 x + \frac{2 (3 x^{2} + 2 x - 8)}{x} - 14 x - 28$	=
$\frac{2 (3 x^{2} + 2 x - 8)}{x} + 3 x - 14 x - 28$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 (3 x^{2} + 2 x - 8)}{x} + 3 x - 14 x - 28$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 (3 x^{2} + 2 x - 8)}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 14 x \cdot x - 28 \cdot x$	=
$6 x^{2} + 4 x - 16 + 3 x \cdot x - 14 x \cdot x - 28 x$	=
$6 x^{2} + 4 x - 16 + 3 x^{2} - 14 x^{2} - 28 x$	=
$- 5 x^{2} - 24 x - 16$	=

$- 5 x^{2} - 24 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{576 - 320}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{256}}{- 10}$

x₁ = $\frac{24 + \sqrt{256}}{- 10}$ = $\frac{24+16}{- 10}$ = $\frac{40}{- 10}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{24 - \sqrt{256}}{- 10}$ = $\frac{24-16}{- 10}$ = $\frac{8}{- 10}$ = $- 0,8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 24 x - 16$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{24}{5} x + \frac{16}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{12}{5})}^{2} - (\frac{16}{5})$ = $\frac{144}{25}$ $-$ $\frac{16}{5}$ = $\frac{144}{25}$ $-$ $\frac{80}{25}$ = $\frac{64}{25}$

x_1,2 = $- \frac{12}{5}$ ± $\sqrt{\frac{64}{25}}$

x₁ = $- \frac{12}{5}$ - $\frac{8}{5}$ = $- \frac{20}{5}$ = -4

x₂ = $- \frac{12}{5}$ + $\frac{8}{5}$ = $- \frac{4}{5}$ = -0.8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 0,8$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}}$ = $\frac{7}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}}$	=	$\frac{7}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{6}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{7}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 6$	=	$7 x$

x^{2} + 6

=

7 x

|

- 7 x

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 4$ = $- 10 - \frac{5}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 4$	=	$- 10 - \frac{5}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 4 \cdot x$	=	$- 10 \cdot x - \frac{5}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 4 x$	=	$- 10 x - 5$
$x^{2} - 4 x$	=	$- 10 x - 5$

x^{2} - 4 x

=

- 10 x - 5

|

+ 10 x

+ 5

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{4 x}{2 x - 3} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $1$ }

\frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{2 x}{x - 1} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{2 x}{x - 1} - 7$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{4 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{2 x}{x - 1} \cdot (2 x - 3) - 7 \cdot (2 x - 3)$	=
$4 x + \frac{2 x \cdot (2 x - 3)}{x - 1} - 14 x + 21$	=
$4 x + \frac{4 x^{2} - 6 x}{x - 1} - 14 x + 21$	=
$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x - 1} + 4 x - 14 x + 21$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x - 1} + 4 x - 14 x + 21$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 4 x \cdot (x - 1) - 14 x \cdot (x - 1) + 21 \cdot (x - 1)$	=
$4 x^{2} - 6 x + 4 x \cdot (x - 1) - 14 x \cdot (x - 1) + 21 x - 21$	=
$4 x^{2} - 6 x + (4 x^{2} - 4 x) + (- 14 x^{2} + 14 x) + 21 x - 21$	=
$- 6 x^{2} + 25 x - 21$	=

$- 6 x^{2} + 25 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 504}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{121}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{121}}{- 12}$ = $\frac{- 25+11}{- 12}$ = $\frac{- 14}{- 12}$ = $\frac{7}{6}$ ≈ 1.17

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{121}}{- 12}$ = $\frac{- 25-11}{- 12}$ = $\frac{- 36}{- 12}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 25 x - 21$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{25}{6} x + \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{12})}^{2} - (\frac{7}{2})$ = $\frac{625}{144}$ $-$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{625}{144}$ $-$ $\frac{504}{144}$ = $\frac{121}{144}$

x_1,2 = $\frac{25}{12}$ ± $\sqrt{\frac{121}{144}}$

x₁ = $\frac{25}{12}$ - $\frac{11}{12}$ = $\frac{14}{12}$ = 1.1666666666667

x₂ = $\frac{25}{12}$ + $\frac{11}{12}$ = $\frac{36}{12}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{7}{6}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 7$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 7$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 7$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 7 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 7 x$
$x^{2} + a + 7 x$	=	0
$x^{2} + 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $- (2 - 9)$ = 7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 9)$ = $- 18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):