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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9}{x}$ = $\frac{1}{5}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9}{x}$	=	$\frac{1}{5}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{9}{x} \cdot x$	=	$\frac{1}{5} \cdot x$
$9$	=	$\frac{1}{5} x$

$9$	=	$\frac{1}{5} x$	\|⋅ 5
$45$	=	$x$	\| $- 45$ $- x$
$- x$	=	$- 45$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$45$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $45$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 2$ = $- \frac{- 22 x}{3 x + 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$x + 2$	=	$\frac{22 x}{3 x + 5}$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$x \cdot (3 x + 5) + 2 \cdot (3 x + 5)$	=	$\frac{22 x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5)$
$x \cdot (3 x + 5) + 6 x + 10$	=	$22 x$
$3 x^{2} + 5 x + 6 x + 10$	=	$22 x$
$3 x^{2} + 11 x + 10$	=	$22 x$

3 x^{2} + 11 x + 10

=

22 x

|

- 22 x

$3 x^{2} - 11 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{11+1}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{11-1}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = $\frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 11 x + 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{11}{3} x + \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{6})}^{2} - (\frac{10}{3})$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{1}{36}$

x_1,2 = $\frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1}{36}}$

x₁ = $\frac{11}{6}$ - $\frac{1}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = 1.6666666666667

x₂ = $\frac{11}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{5}{3}$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{8 x}{3 x + 1} - 4$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{8 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) - 4 \cdot (3 x + 1)$	=
$8 x - 12 x - 4$	=
$- 4 x - 4$	=

$- 4 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- 4 x$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{11 x + 30}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{11 x + 30}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{11 x + 30}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$11 x + 30$

- x^{2}

=

11 x + 30

|

- 11 x

- 30

$- x^{2} - 11 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 30)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{11+1}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{11-1}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 11 x - 30$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 11 x + 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 5$ = $- \frac{27}{2} - \frac{4}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 5$	=	$- \frac{27}{2} - \frac{4}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 5 \cdot x$	=	$- \frac{27}{2} \cdot x - \frac{4}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 5 x$	=	$- \frac{27}{2} x - 4$
$x^{2} - 5 x$	=	$- \frac{27}{2} x - 4$

$x^{2} - 5 x$	=	$- \frac{27}{2} x - 4$	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - 5 x)$	=	$2 (- \frac{27}{2} x - 4)$
$2 x^{2} - 10 x$	=	$- 27 x - 8$	\| $+ 27 x$ $+ 8$

$2 x^{2} + 17 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 8}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 64}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 17+15}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 17-15}{4}$ = $\frac{- 32}{4}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 17 x + 8$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{17}{2} x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{4})}^{2} - 4$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $4$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{64}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $- \frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $- \frac{17}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{17}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{3 x + 3} + \frac{8 x}{3 x + 2} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; $- 1$ }

$\frac{8 x}{3 x + 2} + \frac{5 x + 1}{3 x + 3} - 7$	=	0
$\frac{8 x}{3 x + 2} + \frac{5 x + 1}{3 (x + 1)} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{8 x}{3 x + 2} + \frac{5 x + 1}{3 (x + 1)} - 7$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{8 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{5 x + 1}{3 (x + 1)} \cdot (3 x + 2) - 7 \cdot (3 x + 2)$	=
$8 x + \frac{(5 x + 1) \cdot (3 x + 2)}{3 (x + 1)} - 21 x - 14$	=
$8 x + \frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{3 (x + 1)} - 21 x - 14$	=
$\frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{3 (x + 1)} + 8 x - 21 x - 14$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$\frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{3 (x + 1)} + 8 x - 21 x - 14$	=	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + 8 x \cdot (3 (x + 1)) - 21 x \cdot (3 (x + 1)) - 14 \cdot (3 (x + 1))$	=
$15 x^{2} + 13 x + 2 + 24 x \cdot (x + 1) - 63 x \cdot (x + 1) - 42 x - 42$	=
$15 x^{2} + 13 x + 2 + (24 x^{2} + 24 x) + (- 63 x^{2} - 63 x) - 42 x - 42$	=
$- 24 x^{2} - 68 x - 40$	=

- 24 x^{2} - 68 x - 40

= 0 |:4

$- 6 x^{2} - 17 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{49}}{- 12}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{49}}{- 12}$ = $\frac{17+7}{- 12}$ = $\frac{24}{- 12}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{49}}{- 12}$ = $\frac{17-7}{- 12}$ = $\frac{10}{- 12}$ = $- \frac{5}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} - 17 x - 10$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} + \frac{17}{6} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{12})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{289}{144}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{289}{144}$ $-$ $\frac{240}{144}$ = $\frac{49}{144}$

x_1,2 = $- \frac{17}{12}$ ± $\sqrt{\frac{49}{144}}$

x₁ = $- \frac{17}{12}$ - $\frac{7}{12}$ = $- \frac{24}{12}$ = -2

x₂ = $- \frac{17}{12}$ + $\frac{7}{12}$ = $- \frac{10}{12}$ = -0.83333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{5}{6}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 3 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 3 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 3 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 3 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 3 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 3 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (2 + 1)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):