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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9}{x}$ = $\frac{6}{7}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9}{x}$	=	$\frac{6}{7}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{9}{x} \cdot x$	=	$\frac{6}{7} \cdot x$
$9$	=	$\frac{6}{7} x$

$9$	=	$\frac{6}{7} x$	\|⋅ 7
$63$	=	$6 x$	\| $- 63$ $- 6 x$
$- 6 x$	=	$- 63$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$\frac{21}{2}$ = 10.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{21}{2}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 3} + \frac{6}{x - 3}$ = $\frac{28}{x^{2} - 9}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $3$ }

\frac{x}{x + 3} + \frac{6}{x - 3}

=

\frac{28}{(x + 3) (x - 3)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 3) (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{x + 3} + \frac{6}{x - 3}$	=	$\frac{28}{(x + 3) (x - 3)}$	\|⋅( $(x + 3) (x - 3)$ )
$\frac{x}{x + 3} \cdot (x + 3) (x - 3) + \frac{6}{x - 3} \cdot (x + 3) (x - 3)$	=	$\frac{28}{(x + 3) (x - 3)} \cdot (x + 3) (x - 3)$
$x (x - 3) + 6 x + 18$	=	$28 \frac{x + 3}{x + 3}$
$x (x - 3) + 6 x + 18$	=	$28$
$x^{2} - 3 x + 6 x + 18$	=	$28$
$x^{2} + 3 x + 18$	=	$28$

x^{2} + 3 x + 18

=

28

|

- 28

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{16 x}{2 x - 2} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{1}{3}$ }

$\frac{16 x}{2 x - 2} + \frac{12 x}{3 x - 1} - 7$	=	0
$\frac{16 x}{2 (x - 1)} + \frac{12 x}{3 x - 1} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{16 x}{2 (x - 1)} + \frac{12 x}{3 x - 1} - 7$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{16 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{12 x}{3 x - 1} \cdot (x - 1) - 7 \cdot (x - 1)$	=
$8 x + \frac{12 x (x - 1)}{3 x - 1} - 7 x + 7$	=
$8 x + \frac{12 x^{2} - 12 x}{3 x - 1} - 7 x + 7$	=
$\frac{12 x^{2} - 12 x}{3 x - 1} + 8 x - 7 x + 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{12 x^{2} - 12 x}{3 x - 1} + 8 x - 7 x + 7$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{12 x^{2} - 12 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 8 x \cdot (3 x - 1) - 7 x \cdot (3 x - 1) + 7 \cdot (3 x - 1)$	=
$12 x^{2} - 12 x + 8 x (3 x - 1) - 7 x (3 x - 1) + 21 x - 7$	=
$12 x^{2} - 12 x + (24 x^{2} - 8 x) + (- 21 x^{2} + 7 x) + 21 x - 7$	=
$15 x^{2} + 8 x - 7$	=

$15 x^{2} + 8 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 15 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 420}}{30}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{484}}{30}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{484}}{30}$ = $\frac{- 8+22}{30}$ = $\frac{14}{30}$ = $\frac{7}{15}$ ≈ 0.47

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{484}}{30}$ = $\frac{- 8-22}{30}$ = $\frac{- 30}{30}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $15$ " teilen:

$15 x^{2} + 8 x - 7$ = 0 |: $15$

$x^{2} + \frac{8}{15} x - \frac{7}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{15})}^{2} - (- \frac{7}{15})$ = $\frac{16}{225}$ $+$ $\frac{7}{15}$ = $\frac{16}{225}$ $+$ $\frac{105}{225}$ = $\frac{121}{225}$

x_1,2 = $- \frac{4}{15}$ ± $\sqrt{\frac{121}{225}}$

x₁ = $- \frac{4}{15}$ - $\frac{11}{15}$ = $- \frac{15}{15}$ = -1

x₂ = $- \frac{4}{15}$ + $\frac{11}{15}$ = $\frac{7}{15}$ = 0.46666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{7}{15}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $- \frac{12}{x} - \frac{32}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$- \frac{12}{x} - \frac{32}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$- \frac{12}{x} \cdot x^{2} - \frac{32}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$- 12 x - 32$

x^{2}

=

- 12 x - 32

|

+ 12 x

+ 32

$x^{2} + 12 x + 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 12+4}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 12-4}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 32$ = $36$ $-$ $32$ = $4$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 6$ - $2$ = -8

x₂ = $- 6$ + $2$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x - 12}{2 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{7 x - 12}{2 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{7 x - 12}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 2 \cdot 2 x$
$7 x - 12$	=	$2 x \cdot x - 4 x$

7 x - 12

=

2 x^{2} - 4 x

|

- 2 x^{2}

+ 4 x

$- 2 x^{2} + 11 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 11+5}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 11-5}{- 4}$ = $\frac{- 16}{- 4}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 11 x - 12$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{11}{2} x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{4})}^{2} - 6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{11}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{11}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{12 x}{x + 2} + \frac{- 12 x}{3 x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; $- 2$ }

\frac{4 x - 12 x}{3 x - 1} + \frac{12 x}{x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{4 x - 12 x}{3 x - 1} + \frac{12 x}{x + 2}$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{4 x - 12 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{12 x}{x + 2} \cdot (3 x - 1)$	=
$4 x - 12 x + \frac{12 x (3 x - 1)}{x + 2}$	=
$4 x - 12 x + \frac{36 x^{2} - 12 x}{x + 2}$	=
$\frac{36 x^{2} - 12 x}{x + 2} + 4 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{36 x^{2} - 12 x}{x + 2} + 4 x - 12 x$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{36 x^{2} - 12 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 4 x \cdot (x + 2) - 12 x \cdot (x + 2)$	=
$36 x^{2} - 12 x + 4 x (x + 2) - 12 x (x + 2)$	=
$36 x^{2} - 12 x + (4 x^{2} + 8 x) + (- 12 x^{2} - 24 x)$	=
$28 x^{2} - 28 x$	=

$28 x^{2} - 28 x$	=	0
$28 x (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $2$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $2$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$2$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$2 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$2 x$
$x^{2} + a - 2 x$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):