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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{- 8 x + 18}{2 x - 2}$ = $- 3$

D=R\{ $1$ }

\frac{- 8 x + 18}{2 (x - 1)}

=

- 3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{- 8 x + 18}{2 (x - 1)}$	=	$- 3$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{- 8 x + 18}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1))$	=	$- 3 \cdot (2 (x - 1))$
$- 8 x + 18$	=	$- 6 (x - 1)$

$- 8 x + 18$	=	$- 6 x + 6$	\| $- 18$
$- 8 x$	=	$- 6 x - 12$	\| $+ 6 x$
$- 2 x$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $- \frac{6 x}{x + 5} + 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$2 x$	=	$- \frac{6 x}{x + 5} + 3$	\|⋅( $x + 5$ )
$2 x \cdot (x + 5)$	=	$- \frac{6 x}{x + 5} \cdot (x + 5) + 3 \cdot (x + 5)$
$2 x (x + 5)$	=	$- 6 x + 3 x + 15$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot 5$	=	$- 6 x + 3 x + 15$
$2 x \cdot x + 10 x$	=	$- 6 x + 3 x + 15$
$2 x^{2} + 10 x$	=	$- 3 x + 15$

2 x^{2} + 10 x

=

- 3 x + 15

|

+ 3 x

- 15

$2 x^{2} + 13 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 13+17}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 13-17}{4}$ = $\frac{- 30}{4}$ = $- 7,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 13 x - 15$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{30}{4}$ = -7.5

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7,5$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{x + 2}{2 x + 6} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ ; $- 3$ }

$\frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{x + 2}{2 x + 6} - 5$	=	0
$\frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{x + 2}{2 (x + 3)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{x + 2}{2 (x + 3)} - 5$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{3 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + \frac{x + 2}{2 (x + 3)} \cdot (2 x + 5) - 5 \cdot (2 x + 5)$	=
$3 x + \frac{(x + 2) (2 x + 5)}{2 (x + 3)} - 10 x - 25$	=
$3 x + \frac{2 x^{2} + 9 x + 10}{2 (x + 3)} - 10 x - 25$	=
$\frac{2 x^{2} + 9 x + 10}{2 (x + 3)} + 3 x - 10 x - 25$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 9 x + 10}{2 (x + 3)} + 3 x - 10 x - 25$	=	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{2 x^{2} + 9 x + 10}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + 3 x \cdot (2 (x + 3)) - 10 x \cdot (2 (x + 3)) - 25 \cdot (2 (x + 3))$	=
$2 x^{2} + 9 x + 10 + 6 x (x + 3) - 20 x (x + 3) - 50 x - 150$	=
$2 x^{2} + 9 x + 10 + (6 x^{2} + 18 x) + (- 20 x^{2} - 60 x) - 50 x - 150$	=
$- 12 x^{2} - 83 x - 140$	=

$- 12 x^{2} - 83 x - 140$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 83 \pm \sqrt{{(- 83)}^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot (- 140)}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{+ 83 \pm \sqrt{6 889 - 6 720}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{+ 83 \pm \sqrt{169}}{- 24}$

x₁ = $\frac{83 + \sqrt{169}}{- 24}$ = $\frac{83+13}{- 24}$ = $\frac{96}{- 24}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{83 - \sqrt{169}}{- 24}$ = $\frac{83-13}{- 24}$ = $\frac{70}{- 24}$ = $- \frac{35}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} - 83 x - 140$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} + \frac{83}{12} x + \frac{35}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{83}{24})}^{2} - (\frac{35}{3})$ = $\frac{6889}{576}$ $-$ $\frac{35}{3}$ = $\frac{6889}{576}$ $-$ $\frac{6720}{576}$ = $\frac{169}{576}$

x_1,2 = $- \frac{83}{24}$ ± $\sqrt{\frac{169}{576}}$

x₁ = $- \frac{83}{24}$ - $\frac{13}{24}$ = $- \frac{96}{24}$ = -4

x₂ = $- \frac{83}{24}$ + $\frac{13}{24}$ = $- \frac{70}{24}$ = -2.9166666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{35}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{12}{x} + \frac{27}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{12}{x} + \frac{27}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{12}{x} \cdot x^{2} + \frac{27}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 12 x + 27$	=	$- x^{2}$

- 12 x + 27

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 12 x + 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12+6}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12-6}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 27$ = $36$ $-$ $27$ = $9$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $6$ - $3$ = 3

x₂ = $6$ + $3$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 3$ = $\frac{- 13 x + 15}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x - 3$	=	$\frac{- 13 x + 15}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x - 3 \cdot 2 x$	=	$\frac{- 13 x + 15}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x - 6 x$	=	$- 13 x + 15$
$2 x^{2} - 6 x$	=	$- 13 x + 15$

2 x^{2} - 6 x

=

- 13 x + 15

|

+ 13 x

- 15

$2 x^{2} + 7 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 7+13}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 7-13}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x - 15$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{20}{4}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2}{x} + \frac{x}{3 x - 4} + \frac{3 x + 2}{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; 0}

\frac{x}{3 x - 4} - \frac{3 x + 2}{2 x} + \frac{2}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{x}{3 x - 4} - \frac{3 x + 2}{2 x} + \frac{2}{x}$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) - \frac{3 x + 2}{2 x} \cdot (3 x - 4) + \frac{2}{x} \cdot (3 x - 4)$	=
$x - \frac{(3 x + 2) (3 x - 4)}{2 x} + 2 \frac{3 x - 4}{x}$	=
$x - \frac{9 x^{2} - 6 x - 8}{2 x} + \frac{2 (3 x - 4)}{x}$	=
$\frac{2 (3 x - 4)}{x} - \frac{9 x^{2} - 6 x - 8}{2 x} + x$	=

\frac{2 (3 x - 4)}{x} - \frac{9 x^{2} - 6 x - 8}{2 x} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{2 (3 x - 4)}{x} - \frac{9 x^{2} - 6 x - 8}{2 x} + x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{2 (3 x - 4)}{x} \cdot 2 x - \frac{9 x^{2} - 6 x - 8}{2 x} \cdot 2 x + x \cdot 2 x$	=
$12 x - 16 - 9 x^{2} + 6 x + 8 + 2 x \cdot x$	=
$12 x - 16 - 9 x^{2} + 6 x + 8 + 2 x^{2}$	=
$- 7 x^{2} + 18 x - 8$	=

$- 7 x^{2} + 18 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 224}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{100}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 18 + \sqrt{100}}{- 14}$ = $\frac{- 18+10}{- 14}$ = $\frac{- 8}{- 14}$ = $\frac{4}{7}$ ≈ 0.57

x₂ = $\frac{- 18 - \sqrt{100}}{- 14}$ = $\frac{- 18-10}{- 14}$ = $\frac{- 28}{- 14}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} + 18 x - 8$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} - \frac{18}{7} x + \frac{8}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{7})}^{2} - (\frac{8}{7})$ = $\frac{81}{49}$ $-$ $\frac{8}{7}$ = $\frac{81}{49}$ $-$ $\frac{56}{49}$ = $\frac{25}{49}$

x_1,2 = $\frac{9}{7}$ ± $\sqrt{\frac{25}{49}}$

x₁ = $\frac{9}{7}$ - $\frac{5}{7}$ = $\frac{4}{7}$ = 0.57142857142857

x₂ = $\frac{9}{7}$ + $\frac{5}{7}$ = $\frac{14}{7}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{7}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 3 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 3 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 3 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 3 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 3 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 3 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (2 + 1)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):