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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2 x}{x - 1} + \frac{8}{x - 1}$ = $- 5$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{2 x}{x - 1} + \frac{8}{x - 1}$	=	$- 5$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{2 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{8}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- 5 \cdot (x - 1)$
$- 2 x + 8$	=	$- 5 (x - 1)$

$- 2 x + 8$	=	$- 5 x + 5$	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$- 5 x - 3$	\| $+ 5 x$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 12 x}{x + 2} + 3 x$ = $4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{12 x}{x + 2} + 3 x

=

4

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{12 x}{x + 2} + 3 x$	=	$4$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{12 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 3 x \cdot (x + 2)$	=	$4 \cdot (x + 2)$
$- 12 x + 3 x \cdot (x + 2)$	=	$4 (x + 2)$
$- 12 x + (3 x^{2} + 6 x)$	=	$4 (x + 2)$
$3 x^{2} - 6 x$	=	$4 x + 8$

3 x^{2} - 6 x

=

4 x + 8

|

- 4 x

- 8

$3 x^{2} - 10 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{10+14}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{10-14}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 10 x - 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{10}{3} x - \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{8}{3})$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{49}{9}$

x_1,2 = $\frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{49}{9}}$

x₁ = $\frac{5}{3}$ - $\frac{7}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{5}{3}$ + $\frac{7}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x - 1} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{x - 1} - 3$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x}{x - 1} \cdot (x - 1) - 3 \cdot (x - 1)$	=
$6 x - 3 x + 3$	=
$3 x + 3$	=

$3 x + 3$	=	0	\| $- 3$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{5}{x} - \frac{14}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{5}{x} - \frac{14}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{5}{x} \cdot x^{2} - \frac{14}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} + 5 x - 14$	=

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 + \frac{7}{x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 3 + \frac{7}{x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $x$ )
$- 3 \cdot x + \frac{7}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 3 \cdot x$
$- 3 x + 7$	=	$x \cdot x + 3 x$

- 3 x + 7

=

x^{2} + 3 x

|

- x^{2}

- 3 x

$- x^{2} - 6 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{6+8}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{6-8}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x + 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{2 x - 4} + \frac{3 x - 1}{x - 1} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $2$ }

$\frac{3 x - 1}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{2 x - 4} - 8$	=	0
$\frac{3 x - 1}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{2 (x - 2)} - 8$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x - 1}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{2 (x - 2)} - 8$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x - 1}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{3 x - 1}{2 (x - 2)} \cdot (x - 1) - 8 \cdot (x - 1)$	=
$3 x - 1 + \frac{(3 x - 1) \cdot (x - 1)}{2 (x - 2)} - 8 x + 8$	=
$3 x - 1 + \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 (x - 2)} - 8 x + 8$	=
$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 (x - 2)} + 3 x - 8 x - 1 + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 (x - 2)} + 3 x - 8 x - 1 + 8$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + 3 x \cdot (2 (x - 2)) - 8 x \cdot (2 (x - 2)) - 1 \cdot (2 (x - 2)) + 8 \cdot (2 (x - 2))$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 + 6 x \cdot (x - 2) - 16 x \cdot (x - 2) - 2 x + 4 + 16 x - 32$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 + (6 x^{2} - 12 x) + (- 16 x^{2} + 32 x) - 2 x + 4 + 16 x - 32$	=
$- 7 x^{2} + 30 x - 27$	=

$- 7 x^{2} + 30 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 30 \pm \sqrt{30^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 27)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 756}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 30 \pm \sqrt{144}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 30 + \sqrt{144}}{- 14}$ = $\frac{- 30+12}{- 14}$ = $\frac{- 18}{- 14}$ = $\frac{9}{7}$ ≈ 1.29

x₂ = $\frac{- 30 - \sqrt{144}}{- 14}$ = $\frac{- 30-12}{- 14}$ = $\frac{- 42}{- 14}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} + 30 x - 27$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} - \frac{30}{7} x + \frac{27}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{7})}^{2} - (\frac{27}{7})$ = $\frac{225}{49}$ $-$ $\frac{27}{7}$ = $\frac{225}{49}$ $-$ $\frac{189}{49}$ = $\frac{36}{49}$

x_1,2 = $\frac{15}{7}$ ± $\sqrt{\frac{36}{49}}$

x₁ = $\frac{15}{7}$ - $\frac{6}{7}$ = $\frac{9}{7}$ = 1.2857142857143

x₂ = $\frac{15}{7}$ + $\frac{6}{7}$ = $\frac{21}{7}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{9}{7}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{12}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 12$	=	$- x^{2}$
$a x + 12 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):