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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{8}{x}$ = $- \frac{5}{7}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{8}{x}$	=	$- \frac{5}{7}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{8}{x} \cdot x$	=	$- \frac{5}{7} \cdot x$
$8$	=	$- \frac{5}{7} x$

$8$	=	$- \frac{5}{7} x$	\|⋅ 7
$56$	=	$- 5 x$	\| $- 56$ $+ 5 x$
$5 x$	=	$- 56$	\|: $5$
$x$	=	$- \frac{56}{5}$ = -11.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{56}{5}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5 x}{2 x - 2} - \frac{285}{6 x - 6}$ = $- 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{5 x}{2 (x - 1)} - \frac{285}{6 (x - 1)}

=

- 5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{5 x}{2 (x - 1)} - \frac{285}{6 (x - 1)}$	=	$- 5$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{5 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{- 285}{6 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1))$	=	$- 5 \cdot (2 (x - 1))$
$5 x - 95$	=	$- 10 (x - 1)$

$5 x - 95$	=	$- 10 x + 10$	\| $+ 95$
$5 x$	=	$- 10 x + 105$	\| $+ 10 x$
$15 x$	=	$105$	\|: $15$
$x$	=	$7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 3}$ = $- \frac{49}{x - 1} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{3 x - 3}$	=	$- \frac{49}{x - 1} + 4 x$
$\frac{x}{3 (x - 1)}$	=	$- \frac{49}{x - 1} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 1)}$	=	$- \frac{49}{x - 1} + 4 x$	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{x}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1))$	=	$\frac{- 49}{x - 1} \cdot (3 (x - 1)) + 4 x \cdot (3 (x - 1))$
$x$	=	$- 147 + 12 x (x - 1)$
$x$	=	$12 x^{2} - 12 x - 147$

x

=

12 x^{2} - 12 x - 147

|

- 12 x^{2}

+ 12 x

+ 147

$- 12 x^{2} + 13 x + 147$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 147}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 7 056}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{7 225}}{- 24}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{7 225}}{- 24}$ = $\frac{- 13+85}{- 24}$ = $\frac{72}{- 24}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{7 225}}{- 24}$ = $\frac{- 13-85}{- 24}$ = $\frac{- 98}{- 24}$ = $\frac{49}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} + 13 x + 147$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} - \frac{13}{12} x - \frac{49}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{24})}^{2} - (- \frac{49}{4})$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{49}{4}$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{7056}{576}$ = $\frac{7225}{576}$

x_1,2 = $\frac{13}{24}$ ± $\sqrt{\frac{7225}{576}}$

x₁ = $\frac{13}{24}$ - $\frac{85}{24}$ = $- \frac{72}{24}$ = -3

x₂ = $\frac{13}{24}$ + $\frac{85}{24}$ = $\frac{98}{24}$ = 4.0833333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{49}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9}{x^{2}}$ = $- 1 + \frac{10}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{9}{x^{2}}$	=	$- 1 + \frac{10}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{9}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{10}{x} \cdot x^{2}$
$9$	=	$- x^{2} + 10 x$

9

=

- x^{2} + 10 x

|

+ x^{2}

- 10 x

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{15}{2} - \frac{3}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{15}{2} - \frac{3}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$\frac{15}{2} \cdot x - \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$\frac{15}{2} x - 3$	=	$x \cdot x + x$

$\frac{15}{2} x - 3$	=	$x^{2} + x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{15}{2} x - 3)$	=	$2 (x^{2} + x)$
$15 x - 6$	=	$2 x^{2} + 2 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 2 x$

$- 2 x^{2} + 13 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 13+11}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 13-11}{- 4}$ = $\frac{- 24}{- 4}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 13 x - 6$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{3 x - 5} + \frac{x + 1}{2 x - 4} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{5}{3}$ }

$\frac{x + 1}{2 x - 4} + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} - 4$	=	0
$\frac{x + 1}{2 (x - 2)} + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{x + 1}{2 (x - 2)} + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} - 4$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{x + 1}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} \cdot (2 (x - 2)) - 4 \cdot (2 (x - 2))$	=
$x + 1 + 2 \frac{(3 x - 1) (x - 2)}{3 x - 5} - 8 x + 16$	=
$x + 1 + \frac{2 (3 x^{2} - 7 x + 2)}{3 x - 5} - 8 x + 16$	=
$\frac{2 (3 x^{2} - 7 x + 2)}{3 x - 5} + x - 8 x + 1 + 16$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{2 (3 x^{2} - 7 x + 2)}{3 x - 5} + x - 8 x + 1 + 16$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{2 (3 x^{2} - 7 x + 2)}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + x \cdot (3 x - 5) - 8 x \cdot (3 x - 5) + 1 \cdot (3 x - 5) + 16 \cdot (3 x - 5)$	=
$6 x^{2} - 14 x + 4 + x (3 x - 5) - 8 x (3 x - 5) + 3 x - 5 + 48 x - 80$	=
$6 x^{2} - 14 x + 4 + (3 x^{2} - 5 x) + (- 24 x^{2} + 40 x) + 3 x - 5 + 48 x - 80$	=
$- 15 x^{2} + 72 x - 81$	=

- 15 x^{2} + 72 x - 81

= 0 |:3

$- 5 x^{2} + 24 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 27)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 540}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{36}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 24 + \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{- 24+6}{- 10}$ = $\frac{- 18}{- 10}$ = $1,8$

x₂ = $\frac{- 24 - \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{- 24-6}{- 10}$ = $\frac{- 30}{- 10}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 24 x - 27$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{24}{5} x + \frac{27}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{12}{5})}^{2} - (\frac{27}{5})$ = $\frac{144}{25}$ $-$ $\frac{27}{5}$ = $\frac{144}{25}$ $-$ $\frac{135}{25}$ = $\frac{9}{25}$

x_1,2 = $\frac{12}{5}$ ± $\sqrt{\frac{9}{25}}$

x₁ = $\frac{12}{5}$ - $\frac{3}{5}$ = $\frac{9}{5}$ = 1.8

x₂ = $\frac{12}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $\frac{15}{5}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,8$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{12}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{12}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{12}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{12}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$12 + a x$	=	$- x^{2}$
$12 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):