Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5 x}{x - 12}$ = $1$

D=R\{ $12$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 12$ weg!

$\frac{5 x}{x - 12}$	=	$1$	\|⋅( $x - 12$ )
$\frac{5 x}{x - 12} \cdot (x - 12)$	=	$1 \cdot (x - 12)$
$5 x$	=	$x - 12$

$5 x$	=	$x - 12$	\| $- x$
$4 x$	=	$- 12$	\|: $4$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{x}{2 x + 3} - \frac{102}{4 x + 6}$ = $5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ }

- \frac{x}{2 x + 3} - \frac{102}{2 (2 x + 3)}

=

5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$- \frac{x}{2 x + 3} - \frac{102}{2 (2 x + 3)}$	=	$5$	\|⋅( $2 x + 3$ )
$- \frac{x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{- 102}{2 (2 x + 3)} \cdot (2 x + 3)$	=	$5 \cdot (2 x + 3)$
$- x - 51$	=	$5 (2 x + 3)$

$- x - 51$	=	$10 x + 15$	\| $+ 51$
$- x$	=	$10 x + 66$	\| $- 10 x$
$- 11 x$	=	$66$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 6} + \frac{- 7}{x - 3} - 3 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{x}{2 x - 6} - \frac{7}{x - 3} - 3 x$	=	0
$\frac{x}{2 (x - 3)} - \frac{7}{x - 3} - 3 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 3)} - \frac{7}{x - 3} - 3 x$	=	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + \frac{- 7}{x - 3} \cdot (2 (x - 3)) - 3 x \cdot (2 (x - 3))$	=
$x - 14 - 6 x \cdot (x - 3)$	=
$x - 14 + (- 6 x^{2} + 18 x)$	=
$- 6 x^{2} + 19 x - 14$	=

$- 6 x^{2} + 19 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 14)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 336}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{25}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{25}}{- 12}$ = $\frac{- 19+5}{- 12}$ = $\frac{- 14}{- 12}$ = $\frac{7}{6}$ ≈ 1.17

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{25}}{- 12}$ = $\frac{- 19-5}{- 12}$ = $\frac{- 24}{- 12}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 19 x - 14$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{19}{6} x + \frac{7}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{12})}^{2} - (\frac{7}{3})$ = $\frac{361}{144}$ $-$ $\frac{7}{3}$ = $\frac{361}{144}$ $-$ $\frac{336}{144}$ = $\frac{25}{144}$

x_1,2 = $\frac{19}{12}$ ± $\sqrt{\frac{25}{144}}$

x₁ = $\frac{19}{12}$ - $\frac{5}{12}$ = $\frac{14}{12}$ = 1.1666666666667

x₂ = $\frac{19}{12}$ + $\frac{5}{12}$ = $\frac{24}{12}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{7}{6}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{5}{x} - \frac{24}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{5}{x} - \frac{24}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{5}{x} \cdot x^{2} - \frac{24}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 5 x - 24$	=	$- x^{2}$

- 5 x - 24

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 5 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{5+11}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{5-11}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 4$ = $\frac{- 2 x - 8}{3 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x + 4$	=	$\frac{- 2 x - 8}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x + 4 \cdot 3 x$	=	$\frac{- 2 x - 8}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x + 12 x$	=	$- 2 x - 8$
$3 x^{2} + 12 x$	=	$- 2 x - 8$

3 x^{2} + 12 x

=

- 2 x - 8

|

+ 2 x

+ 8

$3 x^{2} + 14 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{100}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{- 14+10}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{- 14-10}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 14 x + 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{14}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{3})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{25}{9}$

x_1,2 = $- \frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{25}{9}}$

x₁ = $- \frac{7}{3}$ - $\frac{5}{3}$ = $- \frac{12}{3}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{3}$ + $\frac{5}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 8} + \frac{2 x}{2 x + 6} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{8}{3}$ }

$\frac{2 x}{2 x + 6} + \frac{4 x}{3 x + 8} - 8$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x + 3)} + \frac{4 x}{3 x + 8} - 8$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x + 3)} + \frac{4 x}{3 x + 8} - 8$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{2 x}{2 (x + 3)} \cdot (x + 3) + \frac{4 x}{3 x + 8} \cdot (x + 3) - 8 \cdot (x + 3)$	=
$x + \frac{4 x \cdot (x + 3)}{3 x + 8} - 8 x - 24$	=
$x + \frac{4 x^{2} + 12 x}{3 x + 8} - 8 x - 24$	=
$\frac{4 x^{2} + 12 x}{3 x + 8} + x - 8 x - 24$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 12 x}{3 x + 8} + x - 8 x - 24$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{4 x^{2} + 12 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + x \cdot (3 x + 8) - 8 x \cdot (3 x + 8) - 24 \cdot (3 x + 8)$	=
$4 x^{2} + 12 x + x \cdot (3 x + 8) - 8 x \cdot (3 x + 8) - 72 x - 192$	=
$4 x^{2} + 12 x + (3 x^{2} + 8 x) + (- 24 x^{2} - 64 x) - 72 x - 192$	=
$- 17 x^{2} - 116 x - 192$	=

$- 17 x^{2} - 116 x - 192$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 116 \pm \sqrt{{(- 116)}^{2} - 4 \cdot (- 17) \cdot (- 192)}}{2 \cdot (- 17)}$

x_1,2 = $\frac{+ 116 \pm \sqrt{13 456 - 13 056}}{- 34}$

x_1,2 = $\frac{+ 116 \pm \sqrt{400}}{- 34}$

x₁ = $\frac{116 + \sqrt{400}}{- 34}$ = $\frac{116+20}{- 34}$ = $\frac{136}{- 34}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{116 - \sqrt{400}}{- 34}$ = $\frac{116-20}{- 34}$ = $\frac{96}{- 34}$ = $- \frac{48}{17}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 17$ " teilen:

$- 17 x^{2} - 116 x - 192$ = 0 |: $- 17$

$x^{2} + \frac{116}{17} x + \frac{192}{17}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{58}{17})}^{2} - (\frac{192}{17})$ = $\frac{3364}{289}$ $-$ $\frac{192}{17}$ = $\frac{3364}{289}$ $-$ $\frac{3264}{289}$ = $\frac{100}{289}$

x_1,2 = $- \frac{58}{17}$ ± $\sqrt{\frac{100}{289}}$

x₁ = $- \frac{58}{17}$ - $\frac{10}{17}$ = $- \frac{68}{17}$ = -4

x₂ = $- \frac{58}{17}$ + $\frac{10}{17}$ = $- \frac{48}{17}$ = -2.8235294117647

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{48}{17}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{10}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{10}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{10}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{10}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$10$
$a x + x^{2} - 10$	=	0
$x^{2} + a x - 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 5)$ = -10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 5)$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):