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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{12}{x - 4}$ = $- 4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{12}{x - 4}$	=	$- 4$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{12}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$- 4 \cdot (x - 4)$
$12$	=	$- 4 (x - 4)$

$12$	=	$- 4 x + 16$	\| $- 12$ $+ 4 x$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 2} - \frac{10}{x + 2}$ = $\frac{8}{x^{2} - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $2$ }

\frac{x}{x - 2} - \frac{10}{x + 2}

=

\frac{8}{(x + 2) \cdot (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 2) \cdot (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{x - 2} - \frac{10}{x + 2}$	=	$\frac{8}{(x + 2) \cdot (x - 2)}$	\|⋅( $(x + 2) \cdot (x - 2)$ )
$\frac{x}{x - 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) - \frac{10}{x + 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$	=	$\frac{8}{(x + 2) \cdot (x - 2)} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$
$x \cdot (x + 2) - 10 x + 20$	=	$8 \frac{x + 2}{x + 2}$
$x \cdot (x + 2) - 10 x + 20$	=	$8$
$x^{2} + 2 x - 10 x + 20$	=	$8$
$x^{2} - 8 x + 20$	=	$8$

x^{2} - 8 x + 20

=

8

|

- 8

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

Lösung x= $2$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{8 x}{x + 1} - 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{8 x}{x + 1} \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=
$8 x - 4 x - 4$	=
$4 x - 4$	=

$4 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{14}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x} - \frac{5}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{14}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x} - \frac{5}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{14}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{5}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$- 14$	=	$- x^{2} - 5 x$

- 14

=

- x^{2} - 5 x

|

+ x^{2}

+ 5 x

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 20 x - 16}{3 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 20 x - 16}{3 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 20 x - 16}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 2 \cdot 3 x$
$- 20 x - 16$	=	$3 x \cdot x + 6 x$

- 20 x - 16

=

3 x^{2} + 6 x

|

- 3 x^{2}

- 6 x

$- 3 x^{2} - 26 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 192}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{484}}{- 6}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{484}}{- 6}$ = $\frac{26+22}{- 6}$ = $\frac{48}{- 6}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{484}}{- 6}$ = $\frac{26-22}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 26 x - 16$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{26}{3} x + \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{3})}^{2} - (\frac{16}{3})$ = $\frac{169}{9}$ $-$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{169}{9}$ $-$ $\frac{48}{9}$ = $\frac{121}{9}$

x_1,2 = $- \frac{13}{3}$ ± $\sqrt{\frac{121}{9}}$

x₁ = $- \frac{13}{3}$ - $\frac{11}{3}$ = $- \frac{24}{3}$ = -8

x₂ = $- \frac{13}{3}$ + $\frac{11}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x - 7} + \frac{x + 3}{x} + \frac{7 x - 1}{- 6 x + 14}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{7}{3}$ ; 0}

$\frac{7 x - 1}{- 6 x + 14} + \frac{x + 3}{x} + \frac{2 x}{3 x - 7}$	=	0
$\frac{7 x - 1}{2 (- 3 x + 7)} + \frac{x + 3}{x} + \frac{2 x}{3 x - 7}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (- 3 x + 7)$ weg!

$\frac{7 x - 1}{2 (- 3 x + 7)} + \frac{x + 3}{x} + \frac{2 x}{3 x - 7}$	=	\|⋅( $2 (- 3 x + 7)$ )
$\frac{7 x - 1}{2 (- 3 x + 7)} \cdot (2 (- 3 x + 7)) + \frac{x + 3}{x} \cdot (2 (- 3 x + 7)) + \frac{2 x}{3 x - 7} \cdot (2 (- 3 x + 7))$	=
$7 x - 1 + 2 \frac{(x + 3) \cdot (- 3 x + 7)}{x} + 2 \frac{2 x \cdot (- 3 x + 7)}{3 x - 7}$	=
$7 x - 1 + \frac{2 (- 3 x^{2} - 2 x + 21)}{x} - 4 x$	=
$\frac{2 (- 3 x^{2} - 2 x + 21)}{x} + 7 x - 4 x - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 (- 3 x^{2} - 2 x + 21)}{x} + 7 x - 4 x - 1$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 (- 3 x^{2} - 2 x + 21)}{x} \cdot x + 7 x \cdot x - 4 x \cdot x - 1 \cdot x$	=
$- 6 x^{2} - 4 x + 42 + 7 x \cdot x - 4 x \cdot x - x$	=
$- 6 x^{2} - 4 x + 42 + 7 x^{2} - 4 x^{2} - x$	=
$- 3 x^{2} - 5 x + 42$	=

$- 3 x^{2} - 5 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 42}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 504}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{529}}{- 6}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{529}}{- 6}$ = $\frac{5+23}{- 6}$ = $\frac{28}{- 6}$ = $- \frac{14}{3}$ ≈ -4.67

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{529}}{- 6}$ = $\frac{5-23}{- 6}$ = $\frac{- 18}{- 6}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 5 x + 42$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{5}{3} x - 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{6})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{504}{36}$ = $\frac{529}{36}$

x_1,2 = $- \frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{529}{36}}$

x₁ = $- \frac{5}{6}$ - $\frac{23}{6}$ = $- \frac{28}{6}$ = -4.6666666666667

x₂ = $- \frac{5}{6}$ + $\frac{23}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{14}{3}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{8}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{8}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{8}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{8}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$8 + x^{2}$	=	$- a x$
$8 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 4$ = 8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 4)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

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Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):