Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{- 6 x - 1}{3 x + 2}$ = $- 5$

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{- 6 x - 1}{3 x + 2}$	=	$- 5$	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{- 6 x - 1}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2)$	=	$- 5 \cdot (3 x + 2)$
$- 6 x - 1$	=	$- 5 (3 x + 2)$

$- 6 x - 1$	=	$- 15 x - 10$	\| $+ 1$
$- 6 x$	=	$- 15 x - 9$	\| $+ 15 x$
$9 x$	=	$- 9$	\|: $9$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 3} + \frac{10}{x - 3}$ = $\frac{20}{x^{2} - 9}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $3$ }

\frac{x}{x + 3} + \frac{10}{x - 3}

=

\frac{20}{(x + 3) \cdot (x - 3)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 3) \cdot (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{x + 3} + \frac{10}{x - 3}$	=	$\frac{20}{(x + 3) \cdot (x - 3)}$	\|⋅( $(x + 3) \cdot (x - 3)$ )
$\frac{x}{x + 3} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3) + \frac{10}{x - 3} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$	=	$\frac{20}{(x + 3) \cdot (x - 3)} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$
$x \cdot (x - 3) + 10 x + 30$	=	$20 \frac{x + 3}{x + 3}$
$x \cdot (x - 3) + 10 x + 30$	=	$20$
$x^{2} - 3 x + 10 x + 30$	=	$20$
$x^{2} + 7 x + 30$	=	$20$

x^{2} + 7 x + 30

=

20

|

- 20

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x - 4} - \frac{22}{x - 2} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x - 4} - \frac{22}{x - 2} + 3 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x - 2)} - \frac{22}{x - 2} + 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x - 2)} - \frac{22}{x - 2} + 3 x$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{- 22}{x - 2} \cdot (2 (x - 2)) + 3 x \cdot (2 (x - 2))$
=	$- x - 44 + 6 x \cdot (x - 2)$
=	$6 x^{2} - 13 x - 44$

0

=

6 x^{2} - 13 x - 44

|

- 6 x^{2}

+ 13 x

+ 44

$- 6 x^{2} + 13 x + 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 44}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 1 056}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1 225}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1 225}}{- 12}$ = $\frac{- 13+35}{- 12}$ = $\frac{22}{- 12}$ = $- \frac{11}{6}$ ≈ -1.83

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1 225}}{- 12}$ = $\frac{- 13-35}{- 12}$ = $\frac{- 48}{- 12}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 13 x + 44$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{13}{6} x - \frac{22}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{12})}^{2} - (- \frac{22}{3})$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{22}{3}$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{1056}{144}$ = $\frac{1225}{144}$

x_1,2 = $\frac{13}{12}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{144}}$

x₁ = $\frac{13}{12}$ - $\frac{35}{12}$ = $- \frac{22}{12}$ = -1.8333333333333

x₂ = $\frac{13}{12}$ + $\frac{35}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{11}{6}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{2}{x^{2}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{2}{x^{2}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 2$	=	$- x$

x^{2} - 2

=

- x

|

+ x

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- x - 3}{x - 2}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- x - 3}{x - 2}$	=	$4 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- x - 3}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$4 x \cdot (x - 2)$
$- x - 3$	=	$4 x \cdot (x - 2)$
$- x - 3$	=	$4 x^{2} - 8 x$

- x - 3

=

4 x^{2} - 8 x

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

$- 4 x^{2} + 7 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 8}$ = $\frac{- 7+1}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 8}$ = $\frac{- 7-1}{- 8}$ = $\frac{- 8}{- 8}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 7 x - 3$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{7}{4} x + \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{8})}^{2} - (\frac{3}{4})$ = $\frac{49}{64}$ $-$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{49}{64}$ $-$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{1}{64}$

x_1,2 = $\frac{7}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1}{64}}$

x₁ = $\frac{7}{8}$ - $\frac{1}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{7}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{2 x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x + 1} - 4$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{6 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) - 4 \cdot (2 x + 1)$	=
$6 x - 8 x - 4$	=
$- 2 x - 4$	=

$- 2 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{30}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{30}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{30}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{30}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$30$
$a x + x^{2} - 30$	=	0
$x^{2} + a x - 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 15)$ = -30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 15)$ = $13$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 13 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13+17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13-17}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 15$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):