Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{2 x}{2 x - 5} + \frac{41}{2 x - 5}$ = $3$

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$- \frac{2 x}{2 x - 5} + \frac{41}{2 x - 5}$	=	$3$	\|⋅( $2 x - 5$ )
$- \frac{2 x}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{41}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5)$	=	$3 \cdot (2 x - 5)$
$- 2 x + 41$	=	$3 (2 x - 5)$

$- 2 x + 41$	=	$6 x - 15$	\| $- 41$
$- 2 x$	=	$6 x - 56$	\| $- 6 x$
$- 8 x$	=	$- 56$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 5}{2 x - 3}$ = $- x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$- \frac{5}{2 x - 3}$	=	$- x + 3$	\|⋅( $2 x - 3$ )
$- \frac{5}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3)$	=	$- x \cdot (2 x - 3) + 3 \cdot (2 x - 3)$
$- 5$	=	$- x (2 x - 3) + 6 x - 9$
$- 5$	=	$- 2 x^{2} + 9 x - 9$

- 5

=

- 2 x^{2} + 9 x - 9

|

+ 2 x^{2}

- 9 x

+ 9

$2 x^{2} - 9 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{9+7}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{9-7}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 9 x + 4$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - 2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{2 x - 2} + \frac{3 x}{2 x - 3} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $1$ }

$\frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{2 x - 2} - 4$	=	0
$\frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} - 4$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{3 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} \cdot (2 x - 3) - 4 \cdot (2 x - 3)$	=
$3 x + \frac{(x + 1) (2 x - 3)}{2 (x - 1)} - 8 x + 12$	=
$3 x + \frac{2 x^{2} - x - 3}{2 (x - 1)} - 8 x + 12$	=
$\frac{2 x^{2} - x - 3}{2 (x - 1)} + 3 x - 8 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{2 x^{2} - x - 3}{2 (x - 1)} + 3 x - 8 x + 12$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{2 x^{2} - x - 3}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + 3 x \cdot (2 (x - 1)) - 8 x \cdot (2 (x - 1)) + 12 \cdot (2 (x - 1))$	=
$2 x^{2} - x - 3 + 6 x (x - 1) - 16 x (x - 1) + 24 x - 24$	=
$2 x^{2} - x - 3 + (6 x^{2} - 6 x) + (- 16 x^{2} + 16 x) + 24 x - 24$	=
$- 8 x^{2} + 33 x - 27$	=

$- 8 x^{2} + 33 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot (- 27)}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 089 - 864}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{225}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 33 + \sqrt{225}}{- 16}$ = $\frac{- 33+15}{- 16}$ = $\frac{- 18}{- 16}$ = $1,125$

x₂ = $\frac{- 33 - \sqrt{225}}{- 16}$ = $\frac{- 33-15}{- 16}$ = $\frac{- 48}{- 16}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} + 33 x - 27$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} - \frac{33}{8} x + \frac{27}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{33}{16})}^{2} - (\frac{27}{8})$ = $\frac{1089}{256}$ $-$ $\frac{27}{8}$ = $\frac{1089}{256}$ $-$ $\frac{864}{256}$ = $\frac{225}{256}$

x_1,2 = $\frac{33}{16}$ ± $\sqrt{\frac{225}{256}}$

x₁ = $\frac{33}{16}$ - $\frac{15}{16}$ = $\frac{18}{16}$ = 1.125

x₂ = $\frac{33}{16}$ + $\frac{15}{16}$ = $\frac{48}{16}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,125$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{20}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{20}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{20}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{8}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$- 20$	=	$- x^{2} - 8 x$

- 20

=

- x^{2} - 8 x

|

+ x^{2}

+ 8 x

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x - 8}{3 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{8 x - 8}{3 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{8 x - 8}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 2 \cdot 3 x$
$8 x - 8$	=	$3 x \cdot x - 6 x$

8 x - 8

=

3 x^{2} - 6 x

|

- 3 x^{2}

+ 6 x

$- 3 x^{2} + 14 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{100}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{100}}{- 6}$ = $\frac{- 14+10}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{100}}{- 6}$ = $\frac{- 14-10}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 14 x - 8$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{14}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{3})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{25}{9}$

x_1,2 = $\frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{25}{9}}$

x₁ = $\frac{7}{3}$ - $\frac{5}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{7}{3}$ + $\frac{5}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 4} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 4} - 2$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{2 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) - 2 \cdot (3 x + 4)$	=
$2 x - 6 x - 8$	=
$- 4 x - 8$	=

$- 4 x - 8$	=	0	\| $+ 8$
$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{6}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{6}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{6}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{6}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$6$
$x^{2} + a x - 6$	=	0
$x^{2} + a x - 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 3)$ = -6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 3)$ = $1$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 1 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):