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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7 x}{x - 9}$ = $4$

D=R\{ $9$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 9$ weg!

$\frac{7 x}{x - 9}$	=	$4$	\|⋅( $x - 9$ )
$\frac{7 x}{x - 9} \cdot (x - 9)$	=	$4 \cdot (x - 9)$
$7 x$	=	$4 (x - 9)$

$7 x$	=	$4 x - 36$	\| $- 4 x$
$3 x$	=	$- 36$	\|: $3$
$x$	=	$- 12$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 12$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4 x}{3 x - 3} - \frac{8}{6 x - 6}$ = $- 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

- \frac{4 x}{3 (x - 1)} - \frac{8}{6 (x - 1)}

=

- 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$- \frac{4 x}{3 (x - 1)} - \frac{8}{6 (x - 1)}$	=	$- 4$	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$- \frac{4 x}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) + \frac{- 8}{6 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1))$	=	$- 4 \cdot (3 (x - 1))$
$- 4 x - 4$	=	$- 12 (x - 1)$

$- 4 x - 4$	=	$- 12 x + 12$	\| $+ 4$
$- 4 x$	=	$- 12 x + 16$	\| $+ 12 x$
$8 x$	=	$16$	\|: $8$
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{2 x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{4 x}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{2 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{2 x} - 5$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{5 x + 1}{2 x} \cdot (x + 1) - 5 \cdot (x + 1)$	=
$4 x + \frac{(5 x + 1) (x + 1)}{2 x} - 5 x - 5$	=
$4 x + \frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{2 x} - 5 x - 5$	=
$\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{2 x} + 4 x - 5 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{2 x} + 4 x - 5 x - 5$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + 4 x \cdot 2 x - 5 x \cdot 2 x - 5 \cdot 2 x$	=
$5 x^{2} + 6 x + 1 + 8 x \cdot x - 10 x \cdot x - 10 x$	=
$5 x^{2} + 6 x + 1 + 8 x^{2} - 10 x^{2} - 10 x$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1$	=

$3 x^{2} - 4 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{4+2}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{4-2}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 4 x + 1$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{1}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{3})}^{2} - (\frac{1}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $-$ $\frac{1}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $-$ $\frac{3}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $\frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{2}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 3}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{2 x - 3}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{2 x - 3}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$2 x - 3$	=	$- x^{2}$

2 x - 3

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 + \frac{12}{x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$7 + \frac{12}{x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $x$ )
$7 \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 3 \cdot x$
$7 x + 12$	=	$x \cdot x + 3 x$

7 x + 12

=

x^{2} + 3 x

|

- x^{2}

- 3 x

$- x^{2} + 4 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 4+8}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 4-8}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{2 x - 2} + \frac{4 x}{3 x - 6} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

$\frac{4 x}{3 x - 6} + \frac{5 x + 1}{2 x - 2} - 8$	=	0
$\frac{4 x}{3 (x - 2)} + \frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} - 8$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{4 x}{3 (x - 2)} + \frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} - 8$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{4 x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + \frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} \cdot (3 (x - 2)) - 8 \cdot (3 (x - 2))$	=
$4 x + 3 \frac{(5 x + 1) (x - 2)}{2 (x - 1)} - 24 x + 48$	=
$4 x + \frac{3 (5 x^{2} - 9 x - 2)}{2 (x - 1)} - 24 x + 48$	=
$\frac{3 (5 x^{2} - 9 x - 2)}{2 (x - 1)} + 4 x - 24 x + 48$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{3 (5 x^{2} - 9 x - 2)}{2 (x - 1)} + 4 x - 24 x + 48$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{3 (5 x^{2} - 9 x - 2)}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + 4 x \cdot (2 (x - 1)) - 24 x \cdot (2 (x - 1)) + 48 \cdot (2 (x - 1))$	=
$15 x^{2} - 27 x - 6 + 8 x (x - 1) - 48 x (x - 1) + 96 x - 96$	=
$15 x^{2} - 27 x - 6 + (8 x^{2} - 8 x) + (- 48 x^{2} + 48 x) + 96 x - 96$	=
$- 25 x^{2} + 109 x - 102$	=

$- 25 x^{2} + 109 x - 102$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 109 \pm \sqrt{109^{2} - 4 \cdot (- 25) \cdot (- 102)}}{2 \cdot (- 25)}$

x_1,2 = $\frac{- 109 \pm \sqrt{11 881 - 10 200}}{- 50}$

x_1,2 = $\frac{- 109 \pm \sqrt{1 681}}{- 50}$

x₁ = $\frac{- 109 + \sqrt{1 681}}{- 50}$ = $\frac{- 109+41}{- 50}$ = $\frac{- 68}{- 50}$ = $1,36$

x₂ = $\frac{- 109 - \sqrt{1 681}}{- 50}$ = $\frac{- 109-41}{- 50}$ = $\frac{- 150}{- 50}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 25$ " teilen:

$- 25 x^{2} + 109 x - 102$ = 0 |: $- 25$

$x^{2} - \frac{109}{25} x + \frac{102}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{109}{50})}^{2} - (\frac{102}{25})$ = $\frac{11881}{2500}$ $-$ $\frac{102}{25}$ = $\frac{11881}{2500}$ $-$ $\frac{10200}{2500}$ = $\frac{1681}{2500}$

x_1,2 = $\frac{109}{50}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{2500}}$

x₁ = $\frac{109}{50}$ - $\frac{41}{50}$ = $\frac{68}{50}$ = 1.36

x₂ = $\frac{109}{50}$ + $\frac{41}{50}$ = $\frac{150}{50}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,36$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{8}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{8}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{8}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{8}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 8$	=	$- x^{2}$
$a x + 8 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 4$ = 8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 4)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):