Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5}{x}$ = $1$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{5}{x}$	=	$1$	\|⋅( $x$ )
$\frac{5}{x} \cdot x$	=	$1 \cdot x$
$5$	=	$x$

$5$	=	$x$	\| $- 5$ $- x$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 18 x}{2 x + 3} + x$ = $- 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ }

- \frac{18 x}{2 x + 3} + x

=

- 3

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$- \frac{18 x}{2 x + 3} + x$	=	$- 3$	\|⋅( $2 x + 3$ )
$- \frac{18 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + x \cdot (2 x + 3)$	=	$- 3 \cdot (2 x + 3)$
$- 18 x + x \cdot (2 x + 3)$	=	$- 3 (2 x + 3)$
$- 18 x + (2 x^{2} + 3 x)$	=	$- 3 (2 x + 3)$
$2 x^{2} - 15 x$	=	$- 6 x - 9$

2 x^{2} - 15 x

=

- 6 x - 9

|

+ 6 x

+ 9

$2 x^{2} - 9 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{9+3}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{9-3}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 9 x + 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 6} + \frac{4 x}{3 x + 8} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; $- 3$ }

$\frac{4 x}{3 x + 8} + \frac{x}{2 x + 6} - 6$	=	0
$\frac{4 x}{3 x + 8} + \frac{x}{2 (x + 3)} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 8} + \frac{x}{2 (x + 3)} - 6$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{4 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{x}{2 (x + 3)} \cdot (3 x + 8) - 6 \cdot (3 x + 8)$	=
$4 x + \frac{x \cdot (3 x + 8)}{2 (x + 3)} - 18 x - 48$	=
$4 x + \frac{3 x^{2} + 8 x}{2 (x + 3)} - 18 x - 48$	=
$\frac{3 x^{2} + 8 x}{2 (x + 3)} + 4 x - 18 x - 48$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 8 x}{2 (x + 3)} + 4 x - 18 x - 48$	=	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{3 x^{2} + 8 x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + 4 x \cdot (2 (x + 3)) - 18 x \cdot (2 (x + 3)) - 48 \cdot (2 (x + 3))$	=
$3 x^{2} + 8 x + 8 x \cdot (x + 3) - 36 x \cdot (x + 3) - 96 x - 288$	=
$3 x^{2} + 8 x + (8 x^{2} + 24 x) + (- 36 x^{2} - 108 x) - 96 x - 288$	=
$- 25 x^{2} - 172 x - 288$	=

$- 25 x^{2} - 172 x - 288$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 172 \pm \sqrt{{(- 172)}^{2} - 4 \cdot (- 25) \cdot (- 288)}}{2 \cdot (- 25)}$

x_1,2 = $\frac{+ 172 \pm \sqrt{29 584 - 28 800}}{- 50}$

x_1,2 = $\frac{+ 172 \pm \sqrt{784}}{- 50}$

x₁ = $\frac{172 + \sqrt{784}}{- 50}$ = $\frac{172+28}{- 50}$ = $\frac{200}{- 50}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{172 - \sqrt{784}}{- 50}$ = $\frac{172-28}{- 50}$ = $\frac{144}{- 50}$ = $- 2,88$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 25$ " teilen:

$- 25 x^{2} - 172 x - 288$ = 0 |: $- 25$

$x^{2} + \frac{172}{25} x + \frac{288}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{86}{25})}^{2} - (\frac{288}{25})$ = $\frac{7396}{625}$ $-$ $\frac{288}{25}$ = $\frac{7396}{625}$ $-$ $\frac{7200}{625}$ = $\frac{196}{625}$

x_1,2 = $- \frac{86}{25}$ ± $\sqrt{\frac{196}{625}}$

x₁ = $- \frac{86}{25}$ - $\frac{14}{25}$ = $- \frac{100}{25}$ = -4

x₂ = $- \frac{86}{25}$ + $\frac{14}{25}$ = $- \frac{72}{25}$ = -2.88

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2,88$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 - \frac{1}{x} + \frac{72}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 - \frac{1}{x} + \frac{72}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{1}{x} \cdot x^{2} + \frac{72}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} - x + 72$

0

=

- x^{2} - x + 72

|

+ x^{2}

+ x

- 72

$x^{2} + x - 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 1+17}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 1-17}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 72)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $72$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} - \frac{5}{2 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{1}{2} - \frac{5}{2 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{1}{2} \cdot x - \frac{5}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$- \frac{1}{2} x - \frac{5}{2}$	=	$x \cdot x + 5 x$

$- \frac{1}{2} x - \frac{5}{2}$	=	$x^{2} + 5 x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x - \frac{5}{2})$	=	$2 (x^{2} + 5 x)$
$- x - 5$	=	$2 x^{2} + 10 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 10 x$

$- 2 x^{2} - 11 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{81}}{- 4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{11+9}{- 4}$ = $\frac{20}{- 4}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{11-9}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 11 x - 5$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - (\frac{5}{2})$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{20}{4}$ = -5

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x + 2}{2 x} + \frac{2 x}{3 x - 4} + \frac{5 x + 2}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $\frac{4}{3}$ }

- \frac{5 x + 2}{x} + \frac{7 x + 2}{2 x} + \frac{2 x}{3 x - 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$- \frac{5 x + 2}{x} + \frac{7 x + 2}{2 x} + \frac{2 x}{3 x - 4}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$- \frac{5 x + 2}{x} \cdot 2 x + \frac{7 x + 2}{2 x} \cdot 2 x + \frac{2 x}{3 x - 4} \cdot 2 x$	=
$- 10 x - 4 + 7 x + 2 + 2 \frac{2 x \cdot x}{3 x - 4}$	=
$- 10 x - 4 + 7 x + 2 + \frac{4 x^{2}}{3 x - 4}$	=
$\frac{4 x^{2}}{3 x - 4} - 10 x + 7 x - 4 + 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{4 x^{2}}{3 x - 4} - 10 x + 7 x - 4 + 2$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{4 x^{2}}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) - 10 x \cdot (3 x - 4) + 7 x \cdot (3 x - 4) - 4 \cdot (3 x - 4) + 2 \cdot (3 x - 4)$	=
$4 x^{2} - 10 x \cdot (3 x - 4) + 7 x \cdot (3 x - 4) - 12 x + 16 + 6 x - 8$	=
$4 x^{2} + (- 30 x^{2} + 40 x) + (21 x^{2} - 28 x) - 12 x + 16 + 6 x - 8$	=
$- 5 x^{2} + 6 x + 8$	=

$- 5 x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 8}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 160}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{196}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{196}}{- 10}$ = $\frac{- 6+14}{- 10}$ = $\frac{8}{- 10}$ = $- 0,8$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{196}}{- 10}$ = $\frac{- 6-14}{- 10}$ = $\frac{- 20}{- 10}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 6 x + 8$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{6}{5} x - \frac{8}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{5})}^{2} - (- \frac{8}{5})$ = $\frac{9}{25}$ $+$ $\frac{8}{5}$ = $\frac{9}{25}$ $+$ $\frac{40}{25}$ = $\frac{49}{25}$

x_1,2 = $\frac{3}{5}$ ± $\sqrt{\frac{49}{25}}$

x₁ = $\frac{3}{5}$ - $\frac{7}{5}$ = $- \frac{4}{5}$ = -0.8

x₂ = $\frac{3}{5}$ + $\frac{7}{5}$ = $\frac{10}{5}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,8$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{20}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{20}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{20}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{20}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$20$
$x^{2} + a x - 20$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):