Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{9}{x}$ = $- \frac{2}{3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{9}{x}$	=	$- \frac{2}{3}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{9}{x} \cdot x$	=	$- \frac{2}{3} \cdot x$
$- 9$	=	$- \frac{2}{3} x$

$- 9$	=	$- \frac{2}{3} x$	\|⋅ 3
$- 27$	=	$- 2 x$	\| $+ 27$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$27$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{27}{2}$ = 13.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{27}{2}$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 4} + \frac{11}{x - 4}$ = $\frac{44}{x^{2} - 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ ; $4$ }

\frac{x}{x + 4} + \frac{11}{x - 4}

=

\frac{44}{(x + 4) (x - 4)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 4) (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{x + 4} + \frac{11}{x - 4}$	=	$\frac{44}{(x + 4) (x - 4)}$	\|⋅( $(x + 4) (x - 4)$ )
$\frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4) (x - 4) + \frac{11}{x - 4} \cdot (x + 4) (x - 4)$	=	$\frac{44}{(x + 4) (x - 4)} \cdot (x + 4) (x - 4)$
$x (x - 4) + 11 x + 44$	=	$44 \frac{x + 4}{x + 4}$
$x (x - 4) + 11 x + 44$	=	$44$
$x^{2} - 4 x + 11 x + 44$	=	$44$
$x^{2} + 7 x + 44$	=	$44$

$x^{2} + 7 x + 44$	=	$44$	\| $- 44$
$x^{2} + 7 x + 44 - 44$	=	0
$x^{2} + 7 x$	=	0
$x (x + 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₂	=	$- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; 0}

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x$ = $- \frac{x}{2 x - 2} - \frac{13}{x - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$- 2 x$	=	$- \frac{x}{2 x - 2} - \frac{13}{x - 1}$
$- 2 x$	=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} - \frac{13}{x - 1}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$- 2 x$	=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} - \frac{13}{x - 1}$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$- 2 x \cdot (2 (x - 1))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{- 13}{x - 1} \cdot (2 (x - 1))$
$- 4 x (x - 1)$	=	$- x - 26$
$- 4 x \cdot x - 4 x \cdot (- 1)$	=	$- x - 26$
$- 4 x \cdot x + 4 x$	=	$- x - 26$
$- 4 x^{2} + 4 x$	=	$- x - 26$

- 4 x^{2} + 4 x

=

- x - 26

|

+ x

+ 26

$- 4 x^{2} + 5 x + 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 26}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 416}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{441}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{441}}{- 8}$ = $\frac{- 5+21}{- 8}$ = $\frac{16}{- 8}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{441}}{- 8}$ = $\frac{- 5-21}{- 8}$ = $\frac{- 26}{- 8}$ = $3,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 5 x + 26$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{5}{4} x - \frac{13}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{8})}^{2} - (- \frac{13}{2})$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{13}{2}$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{416}{64}$ = $\frac{441}{64}$

x_1,2 = $\frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{441}{64}}$

x₁ = $\frac{5}{8}$ - $\frac{21}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{8}$ + $\frac{21}{8}$ = $\frac{26}{8}$ = 3.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $3,25$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{5 x + 6}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{5 x + 6}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{5 x + 6}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$5 x + 6$

- x^{2}

=

5 x + 6

|

- 5 x

- 6

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5+1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5-1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 7 x + 2}{3 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 7 x + 2}{3 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 7 x + 2}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 2 \cdot 3 x$
$- 7 x + 2$	=	$3 x \cdot x - 6 x$

- 7 x + 2

=

3 x^{2} - 6 x

|

- 3 x^{2}

+ 6 x

$- 3 x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 2}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{1+5}{- 6}$ = $\frac{6}{- 6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{1-5}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{1}{3} x - \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{2}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $- \frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $- \frac{1}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{6}{6}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 4} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{4 x}{2 (x + 2)} - 4

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x + 2)} - 4$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{4 x}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) - 4 \cdot (x + 2)$	=
$2 x - 4 x - 8$	=
$- 2 x - 8$	=

$- 2 x - 8$	=	0	\| $+ 8$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $2$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $2$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$2$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$2 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$2 x$
$x^{2} + a - 2 x$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):