Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7 x}{3 x - 1} - \frac{43}{3 x - 1}$ = $- 5$

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$- \frac{7 x}{3 x - 1} - \frac{43}{3 x - 1}$	=	$- 5$	\|⋅( $3 x - 1$ )
$- \frac{7 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) - \frac{43}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$	=	$- 5 \cdot (3 x - 1)$
$- 7 x - 43$	=	$- 5 (3 x - 1)$

$- 7 x - 43$	=	$- 15 x + 5$	\| $+ 43$
$- 7 x$	=	$- 15 x + 48$	\| $+ 15 x$
$8 x$	=	$48$	\|: $8$
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 8} + \frac{3}{x + 8}$ = $\frac{186}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x - 8} + \frac{3}{x + 8}

=

\frac{186}{(x + 8) \cdot (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) \cdot (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x - 8} + \frac{3}{x + 8}$	=	$\frac{186}{(x + 8) \cdot (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) \cdot (x - 8)$ )
$\frac{x}{x - 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8) + \frac{3}{x + 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$	=	$\frac{186}{(x + 8) \cdot (x - 8)} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$
$x \cdot (x + 8) + 3 x - 24$	=	$186 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x \cdot (x + 8) + 3 x - 24$	=	$186$
$x^{2} + 8 x + 3 x - 24$	=	$186$
$x^{2} + 11 x - 24$	=	$186$

x^{2} + 11 x - 24

=

186

|

- 186

$x^{2} + 11 x - 210$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 210)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 840}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{961}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{961}}{2}$ = $\frac{- 11+31}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{961}}{2}$ = $\frac{- 11-31}{2}$ = $\frac{- 42}{2}$ = $- 21$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - (- 210)$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $210$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $\frac{840}{4}$ = $\frac{961}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{961}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{31}{2}$ = $- \frac{42}{2}$ = -21

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{31}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 21$ ; $10$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 2} + \frac{4 x}{3 x - 4} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; $1$ }

$\frac{4 x}{3 x - 4} + \frac{x}{2 x - 2} - 5$	=	0
$\frac{4 x}{3 x - 4} + \frac{x}{2 (x - 1)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 4} + \frac{x}{2 (x - 1)} - 5$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{4 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{x}{2 (x - 1)} \cdot (3 x - 4) - 5 \cdot (3 x - 4)$	=
$4 x + \frac{x \cdot (3 x - 4)}{2 (x - 1)} - 15 x + 20$	=
$4 x + \frac{3 x^{2} - 4 x}{2 (x - 1)} - 15 x + 20$	=
$\frac{3 x^{2} - 4 x}{2 (x - 1)} + 4 x - 15 x + 20$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 4 x}{2 (x - 1)} + 4 x - 15 x + 20$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{3 x^{2} - 4 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + 4 x \cdot (2 (x - 1)) - 15 x \cdot (2 (x - 1)) + 20 \cdot (2 (x - 1))$	=
$3 x^{2} - 4 x + 8 x \cdot (x - 1) - 30 x \cdot (x - 1) + 40 x - 40$	=
$3 x^{2} - 4 x + (8 x^{2} - 8 x) + (- 30 x^{2} + 30 x) + 40 x - 40$	=
$- 19 x^{2} + 58 x - 40$	=

$- 19 x^{2} + 58 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 58 \pm \sqrt{58^{2} - 4 \cdot (- 19) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 19)}$

x_1,2 = $\frac{- 58 \pm \sqrt{3 364 - 3 040}}{- 38}$

x_1,2 = $\frac{- 58 \pm \sqrt{324}}{- 38}$

x₁ = $\frac{- 58 + \sqrt{324}}{- 38}$ = $\frac{- 58+18}{- 38}$ = $\frac{- 40}{- 38}$ = $\frac{20}{19}$ ≈ 1.05

x₂ = $\frac{- 58 - \sqrt{324}}{- 38}$ = $\frac{- 58-18}{- 38}$ = $\frac{- 76}{- 38}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 19$ " teilen:

$- 19 x^{2} + 58 x - 40$ = 0 |: $- 19$

$x^{2} - \frac{58}{19} x + \frac{40}{19}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{29}{19})}^{2} - (\frac{40}{19})$ = $\frac{841}{361}$ $-$ $\frac{40}{19}$ = $\frac{841}{361}$ $-$ $\frac{760}{361}$ = $\frac{81}{361}$

x_1,2 = $\frac{29}{19}$ ± $\sqrt{\frac{81}{361}}$

x₁ = $\frac{29}{19}$ - $\frac{9}{19}$ = $\frac{20}{19}$ = 1.0526315789474

x₂ = $\frac{29}{19}$ + $\frac{9}{19}$ = $\frac{38}{19}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{20}{19}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{64}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{64}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{64}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 64$	=	$- x^{2}$

$- 64$	=	$- x^{2}$	\| $+ 64$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
x₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 35 x + 4}{4 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 35 x + 4}{4 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 35 x + 4}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 5 \cdot 4 x$
$- 35 x + 4$	=	$4 x \cdot x - 20 x$

- 35 x + 4

=

4 x^{2} - 20 x

|

- 4 x^{2}

+ 20 x

$- 4 x^{2} - 15 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 4}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{289}}{- 8}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{289}}{- 8}$ = $\frac{15+17}{- 8}$ = $\frac{32}{- 8}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{289}}{- 8}$ = $\frac{15-17}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 15 x + 4$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{15}{4} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{8})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{225}{64}$ $+$ $1$ = $\frac{225}{64}$ $+$ $\frac{64}{64}$ = $\frac{289}{64}$

x_1,2 = $- \frac{15}{8}$ ± $\sqrt{\frac{289}{64}}$

x₁ = $- \frac{15}{8}$ - $\frac{17}{8}$ = $- \frac{32}{8}$ = -4

x₂ = $- \frac{15}{8}$ + $\frac{17}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{5 x + 1}{x - 1} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ ; $1$ }

\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{5 x + 1}{x - 1} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{5 x + 1}{x - 1} - 7$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{4 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{5 x + 1}{x - 1} \cdot (3 x + 4) - 7 \cdot (3 x + 4)$	=
$4 x + \frac{(5 x + 1) \cdot (3 x + 4)}{x - 1} - 21 x - 28$	=
$4 x + \frac{15 x^{2} + 23 x + 4}{x - 1} - 21 x - 28$	=
$\frac{15 x^{2} + 23 x + 4}{x - 1} + 4 x - 21 x - 28$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{15 x^{2} + 23 x + 4}{x - 1} + 4 x - 21 x - 28$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{15 x^{2} + 23 x + 4}{x - 1} \cdot (x - 1) + 4 x \cdot (x - 1) - 21 x \cdot (x - 1) - 28 \cdot (x - 1)$	=
$15 x^{2} + 23 x + 4 + 4 x \cdot (x - 1) - 21 x \cdot (x - 1) - 28 x + 28$	=
$15 x^{2} + 23 x + 4 + (4 x^{2} - 4 x) + (- 21 x^{2} + 21 x) - 28 x + 28$	=
$- 2 x^{2} + 12 x + 32$	=

- 2 x^{2} + 12 x + 32

= 0 |:2

$- x^{2} + 6 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 16}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 6+10}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 6-10}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x + 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $3$ - $5$ = -2

x₂ = $3$ + $5$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{24}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{24}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{24}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{24}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$24$
$a x + x^{2} - 24$	=	0
$x^{2} + a x - 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 12)$ = -24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 12)$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):