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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4}{x}$ = $- 7$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4}{x}$	=	$- 7$	\|⋅( $x$ )
$\frac{4}{x} \cdot x$	=	$- 7 \cdot x$
$4$	=	$- 7 x$

$4$	=	$- 7 x$	\| $- 4$ $+ 7 x$
$7 x$	=	$- 4$	\|: $7$
$x$	=	$- \frac{4}{7}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{7}$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{x}{3 x - 1} - \frac{135}{9 x - 3}$ = $- 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

- \frac{x}{3 x - 1} - \frac{135}{3 (3 x - 1)}

=

- 3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$- \frac{x}{3 x - 1} - \frac{135}{3 (3 x - 1)}$	=	$- 3$	\|⋅( $3 x - 1$ )
$- \frac{x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{- 135}{3 (3 x - 1)} \cdot (3 x - 1)$	=	$- 3 \cdot (3 x - 1)$
$- x - 45$	=	$- 3 (3 x - 1)$

$- x - 45$	=	$- 9 x + 3$	\| $+ 45$
$- x$	=	$- 9 x + 48$	\| $+ 9 x$
$8 x$	=	$48$	\|: $8$
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{2 x - 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x - 1} - 4$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) - 4 \cdot (2 x - 1)$	=
$6 x - 8 x + 4$	=
$- 2 x + 4$	=

$- 2 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{5 x - 6}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{5 x - 6}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{5 x - 6}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$5 x - 6$

- x^{2}

=

5 x - 6

|

- 5 x

+ 6

$- x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{5+7}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{5-7}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 - \frac{2}{x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$8 - \frac{2}{x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$8 \cdot x - \frac{2}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$8 x - 2$	=	$x \cdot x + 5 x$

8 x - 2

=

x^{2} + 5 x

|

- x^{2}

- 5 x

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3+1}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3-1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 1} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 1} - 1$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{4 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) - 1 \cdot (3 x - 1)$	=
$4 x - 3 x + 1$	=
$x + 1$	=

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 2$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 2$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 2$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 2 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 2 x$	=	$- a$
$x^{2} + 2 x + a$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):