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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7}{x}$ = $\frac{5}{2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{7}{x}$	=	$\frac{5}{2}$	\|⋅( $x$ )
$\frac{7}{x} \cdot x$	=	$\frac{5}{2} \cdot x$
$7$	=	$\frac{5}{2} x$

$7$	=	$\frac{5}{2} x$	\|⋅ 2
$14$	=	$5 x$	\| $- 14$ $- 5 x$
$- 5 x$	=	$- 14$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$\frac{14}{5}$ = 2.8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{14}{5}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x + 5} + 4$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{3 x}{x + 5} + 4$	=	$- x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{3 x}{x + 5} \cdot (x + 5) + 4 \cdot (x + 5)$	=	$- x \cdot (x + 5)$
$3 x + 4 x + 20$	=	$- x \cdot (x + 5)$
$7 x + 20$	=	$- x^{2} - 5 x$

7 x + 20

=

- x^{2} - 5 x

|

+ x^{2}

+ 5 x

$x^{2} + 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 12+8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 12-8}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 6$ - $4$ = -10

x₂ = $- 6$ + $4$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{47,2}{x + 2}$ = $- \frac{x}{5 x + 10} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{47,2}{x + 2}

=

- \frac{x}{5 (x + 2)} + 2 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 2)$ weg!

$\frac{47,2}{x + 2}$	=	$- \frac{x}{5 (x + 2)} + 2 x$	\|⋅( $5 (x + 2)$ )
$\frac{47,2}{x + 2} \cdot (5 (x + 2))$	=	$- \frac{x}{5 (x + 2)} \cdot (5 (x + 2)) + 2 x \cdot (5 (x + 2))$
$236$	=	$- x + 10 x \cdot (x + 2)$
$236$	=	$10 x^{2} + 19 x$

236

=

10 x^{2} + 19 x

|

- 10 x^{2}

- 19 x

$- 10 x^{2} - 19 x + 236$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 236}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 9 440}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{9 801}}{- 20}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{9 801}}{- 20}$ = $\frac{19+99}{- 20}$ = $\frac{118}{- 20}$ = $- 5,9$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{9 801}}{- 20}$ = $\frac{19-99}{- 20}$ = $\frac{- 80}{- 20}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 19 x + 236$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{19}{10} x - \frac{118}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{20})}^{2} - (- \frac{118}{5})$ = $\frac{361}{400}$ $+$ $\frac{118}{5}$ = $\frac{361}{400}$ $+$ $\frac{9440}{400}$ = $\frac{9801}{400}$

x_1,2 = $- \frac{19}{20}$ ± $\sqrt{\frac{9801}{400}}$

x₁ = $- \frac{19}{20}$ - $\frac{99}{20}$ = $- \frac{118}{20}$ = -5.9

x₂ = $- \frac{19}{20}$ + $\frac{99}{20}$ = $\frac{80}{20}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5,9$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{- 18 x + 80}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{- 18 x + 80}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{- 18 x + 80}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$- 18 x + 80$

- x^{2}

=

- 18 x + 80

|

+ 18 x

- 80

$- x^{2} + 18 x - 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 80)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 320}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 18 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 18+2}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

x₂ = $\frac{- 18 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 18-2}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 18 x - 80$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 18 x + 80$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 9)}^{2} - 80$ = $81$ $-$ $80$ = $1$

x_1,2 = $9$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $9$ - $1$ = 8

x₂ = $9$ + $1$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 4$ = $\frac{- 15 x + 8}{4 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x + 4$	=	$\frac{- 15 x + 8}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x + 4 \cdot 4 x$	=	$\frac{- 15 x + 8}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x + 16 x$	=	$- 15 x + 8$
$4 x^{2} + 16 x$	=	$- 15 x + 8$

4 x^{2} + 16 x

=

- 15 x + 8

|

+ 15 x

- 8

$4 x^{2} + 31 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{31^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{961 + 128}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{1 089}}{8}$

x₁ = $\frac{- 31 + \sqrt{1 089}}{8}$ = $\frac{- 31+33}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 31 - \sqrt{1 089}}{8}$ = $\frac{- 31-33}{8}$ = $\frac{- 64}{8}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 31 x - 8$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{31}{4} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{8})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{961}{64}$ $+$ $2$ = $\frac{961}{64}$ $+$ $\frac{128}{64}$ = $\frac{1089}{64}$

x_1,2 = $- \frac{31}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1089}{64}}$

x₁ = $- \frac{31}{8}$ - $\frac{33}{8}$ = $- \frac{64}{8}$ = -8

x₂ = $- \frac{31}{8}$ + $\frac{33}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{2 x - 4} + \frac{3 x - 1}{x - 1} + \frac{- 5 x - 1}{x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $2$ }

$\frac{3 x - 1}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{2 x - 4} + \frac{- 5 x - 1}{x - 1}$	=	0
$\frac{3 x - 1}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{2 (x - 2)} + \frac{- 5 x - 1}{x - 1}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x - 1}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{2 (x - 2)} + \frac{- 5 x - 1}{x - 1}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x - 1}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{3 x - 1}{2 (x - 2)} \cdot (x - 1) + \frac{- 5 x - 1}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=
$3 x - 1 + \frac{(3 x - 1) \cdot (x - 1)}{2 (x - 2)} - 5 x - 1$	=
$3 x - 1 + \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 (x - 2)} - 5 x - 1$	=
$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 (x - 2)} + 3 x - 5 x - 1 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 (x - 2)} + 3 x - 5 x - 1 - 1$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + 3 x \cdot (2 (x - 2)) - 5 x \cdot (2 (x - 2)) - 1 \cdot (2 (x - 2)) - 1 \cdot (2 (x - 2))$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 + 6 x \cdot (x - 2) - 10 x \cdot (x - 2) - 2 x + 4 - 2 x + 4$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 + (6 x^{2} - 12 x) + (- 10 x^{2} + 20 x) - 2 x + 4 - 2 x + 4$	=
$- x^{2} + 9$	=

$- x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$- x^{2}$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 3$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 3$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 3$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 3 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 3 x$	=	$- a$
$x^{2} - 3 x + a$	=	0
$x^{2} - 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (2 + 1)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

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Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):