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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4 x}{2 x + 5} + \frac{17}{2 x + 5}$ = $1$

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{4 x}{2 x + 5} + \frac{17}{2 x + 5}$	=	$1$	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{4 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + \frac{17}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5)$	=	$1 \cdot (2 x + 5)$
$4 x + 17$	=	$2 x + 5$

$4 x + 17$	=	$2 x + 5$	\| $- 17$
$4 x$	=	$2 x - 12$	\| $- 2 x$
$2 x$	=	$- 12$	\|: $2$
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7 x}{3 x + 4} + \frac{156}{9 x + 12}$ = $5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ }

\frac{7 x}{3 x + 4} + \frac{156}{3 (3 x + 4)}

=

5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{7 x}{3 x + 4} + \frac{156}{3 (3 x + 4)}$	=	$5$	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{7 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{156}{3 (3 x + 4)} \cdot (3 x + 4)$	=	$5 \cdot (3 x + 4)$
$7 x + 52$	=	$5 (3 x + 4)$

$7 x + 52$	=	$15 x + 20$	\| $- 52$
$7 x$	=	$15 x - 32$	\| $- 15 x$
$- 8 x$	=	$- 32$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{x + 2}{2 x + 6} + \frac{2 x}{- 6 x - 20}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{10}{3}$ }

$\frac{x + 2}{2 x + 6} + \frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{2 x}{- 6 x - 20}$	=	0
$\frac{x + 2}{2 (x + 3)} + \frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{2 x}{- 2 (3 x + 10)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$\frac{x + 2}{2 (x + 3)} + \frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{2 x}{- 2 (3 x + 10)}$	=	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{x + 2}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + \frac{x + 2}{3 x + 10} \cdot (2 (x + 3)) + \frac{2 x}{- 2 (3 x + 10)} \cdot (2 (x + 3))$	=
$x + 2 + 2 \frac{(x + 2) \cdot (x + 3)}{3 x + 10} - 2 \frac{x \cdot (x + 3)}{3 x + 10}$	=
$x + 2 + \frac{2 (x^{2} + 5 x + 6)}{3 x + 10} - \frac{2 (x^{2} + 3 x)}{3 x + 10}$	=
$\frac{2 x^{2} + 10 x + 12 - 2 x^{2} - 6 x}{3 x + 10} + x + 2$	=

\frac{2 x^{2} - 2 x^{2} + 10 x - 6 x + 12}{3 x + 10} + x + 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 2 x^{2} + 10 x - 6 x + 12}{3 x + 10} + x + 2$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{2 x^{2} - 2 x^{2} + 10 x - 6 x + 12}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + x \cdot (3 x + 10) + 2 \cdot (3 x + 10)$	=
$2 x^{2} - 2 x^{2} + 10 x - 6 x + 12 + x \cdot (3 x + 10) + 6 x + 20$	=
$2 x^{2} - 2 x^{2} + 10 x - 6 x + 12 + (3 x^{2} + 10 x) + 6 x + 20$	=
$3 x^{2} + 20 x + 32$	=

$3 x^{2} + 20 x + 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 32}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 384}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 20 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 20+4}{6}$ = $\frac{- 16}{6}$ = $- \frac{8}{3}$ ≈ -2.67

x₂ = $\frac{- 20 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 20-4}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 20 x + 32$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{20}{3} x + \frac{32}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{10}{3})}^{2} - (\frac{32}{3})$ = $\frac{100}{9}$ $-$ $\frac{32}{3}$ = $\frac{100}{9}$ $-$ $\frac{96}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{10}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{10}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{12}{3}$ = -4

x₂ = $- \frac{10}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $- \frac{8}{3}$ = -2.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{8}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{70}{x^{2}}$ = $- \frac{3}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{70}{x^{2}}$	=	$- \frac{3}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{70}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{3}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 70$	=	$- 3 x$

x^{2} - 70

=

- 3 x

|

+ 3 x

$x^{2} + 3 x - 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 70)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 3+17}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 3-17}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 70)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $70$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{280}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 2$ = $- 7 - \frac{14}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 2$	=	$- 7 - \frac{14}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 2 \cdot x$	=	$- 7 \cdot x - \frac{14}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 2 x$	=	$- 7 x - 14$
$x^{2} + 2 x$	=	$- 7 x - 14$

x^{2} + 2 x

=

- 7 x - 14

|

+ 7 x

+ 14

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 2} + \frac{2 x}{3 x + 2} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; $- 1$ }

$\frac{2 x}{3 x + 2} + \frac{x}{2 x + 2} - 2$	=	0
$\frac{2 x}{3 x + 2} + \frac{x}{2 (x + 1)} - 2$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 2} + \frac{x}{2 (x + 1)} - 2$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{2 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (3 x + 2) - 2 \cdot (3 x + 2)$	=
$2 x + \frac{x \cdot (3 x + 2)}{2 (x + 1)} - 6 x - 4$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} + 2 x}{2 (x + 1)} - 6 x - 4$	=
$\frac{3 x^{2} + 2 x}{2 (x + 1)} + 2 x - 6 x - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 2 x}{2 (x + 1)} + 2 x - 6 x - 4$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{3 x^{2} + 2 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + 2 x \cdot (2 (x + 1)) - 6 x \cdot (2 (x + 1)) - 4 \cdot (2 (x + 1))$	=
$3 x^{2} + 2 x + 4 x \cdot (x + 1) - 12 x \cdot (x + 1) - 8 x - 8$	=
$3 x^{2} + 2 x + (4 x^{2} + 4 x) + (- 12 x^{2} - 12 x) - 8 x - 8$	=
$- 5 x^{2} - 14 x - 8$	=

$- 5 x^{2} - 14 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{36}}{- 10}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{14+6}{- 10}$ = $\frac{20}{- 10}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{14-6}{- 10}$ = $\frac{8}{- 10}$ = $- 0,8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 14 x - 8$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{14}{5} x + \frac{8}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{5})}^{2} - (\frac{8}{5})$ = $\frac{49}{25}$ $-$ $\frac{8}{5}$ = $\frac{49}{25}$ $-$ $\frac{40}{25}$ = $\frac{9}{25}$

x_1,2 = $- \frac{7}{5}$ ± $\sqrt{\frac{9}{25}}$

x₁ = $- \frac{7}{5}$ - $\frac{3}{5}$ = $- \frac{10}{5}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $- \frac{4}{5}$ = -0.8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{12}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 12$	=	$- x^{2}$
$a x + 12 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):