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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{x}{x - 20}$ = $- 5$

D=R\{ $20$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 20$ weg!

$\frac{- x}{x - 20}$	=	$- 5$	\|⋅( $x - 20$ )
$\frac{- x}{x - 20} \cdot (x - 20)$	=	$- 5 \cdot (x - 20)$
$- x$	=	$- 5 (x - 20)$

$- x$	=	$- 5 x + 100$	\| $+ 5 x$
$4 x$	=	$100$	\|: $4$
$x$	=	$25$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $25$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 8} + \frac{4}{x - 8}$ = $\frac{172}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x + 8} + \frac{4}{x - 8}

=

\frac{172}{(x + 8) (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x + 8} + \frac{4}{x - 8}$	=	$\frac{172}{(x + 8) (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) (x - 8)$ )
$\frac{x}{x + 8} \cdot (x + 8) (x - 8) + \frac{4}{x - 8} \cdot (x + 8) (x - 8)$	=	$\frac{172}{(x + 8) (x - 8)} \cdot (x + 8) (x - 8)$
$x (x - 8) + 4 x + 32$	=	$172 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x (x - 8) + 4 x + 32$	=	$172$
$x^{2} - 8 x + 4 x + 32$	=	$172$
$x^{2} - 4 x + 32$	=	$172$

x^{2} - 4 x + 32

=

172

|

- 172

$x^{2} - 4 x - 140$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 140)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 560}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{576}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{576}}{2}$ = $\frac{4+24}{2}$ = $\frac{28}{2}$ = $14$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{576}}{2}$ = $\frac{4-24}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 140)$ = $4$ $+$ $140$ = $144$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{144}$

x₁ = $2$ - $12$ = -10

x₂ = $2$ + $12$ = 14

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $14$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{3 x - 1}{2 x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{3 x - 1}{2 x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{3 x - 1}{2 x} - 6$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{8 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{3 x - 1}{2 x} \cdot (3 x + 1) - 6 \cdot (3 x + 1)$	=
$8 x + \frac{(3 x - 1) (3 x + 1)}{2 x} - 18 x - 6$	=
$8 x + \frac{9 x^{2} - 1}{2 x} - 18 x - 6$	=
$\frac{9 x^{2} - 1}{2 x} + 8 x - 18 x - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 1}{2 x} + 8 x - 18 x - 6$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{9 x^{2} - 1}{2 x} \cdot 2 x + 8 x \cdot 2 x - 18 x \cdot 2 x - 6 \cdot 2 x$	=
$9 x^{2} - 1 + 16 x \cdot x - 36 x \cdot x - 12 x$	=
$9 x^{2} - 1 + 16 x^{2} - 36 x^{2} - 12 x$	=
$- 11 x^{2} - 12 x - 1$	=

$- 11 x^{2} - 12 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 44}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{100}}{- 22}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{100}}{- 22}$ = $\frac{12+10}{- 22}$ = $\frac{22}{- 22}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{100}}{- 22}$ = $\frac{12-10}{- 22}$ = $\frac{2}{- 22}$ = $- \frac{1}{11}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 11$ " teilen:

$- 11 x^{2} - 12 x - 1$ = 0 |: $- 11$

$x^{2} + \frac{12}{11} x + \frac{1}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{6}{11})}^{2} - (\frac{1}{11})$ = $\frac{36}{121}$ $-$ $\frac{1}{11}$ = $\frac{36}{121}$ $-$ $\frac{11}{121}$ = $\frac{25}{121}$

x_1,2 = $- \frac{6}{11}$ ± $\sqrt{\frac{25}{121}}$

x₁ = $- \frac{6}{11}$ - $\frac{5}{11}$ = $- \frac{11}{11}$ = -1

x₂ = $- \frac{6}{11}$ + $\frac{5}{11}$ = $- \frac{1}{11}$ = -0.090909090909091

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{11}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{36}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{36}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 36$	=	$- x^{2}$

$- 36$	=	$- x^{2}$	\| $+ 36$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 + \frac{6}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 4 + \frac{6}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$- 4 \cdot x + \frac{6}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$- 4 x + 6$	=	$x \cdot x + x$

- 4 x + 6

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{5+7}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{5-7}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{2 x} + \frac{16 x}{3 x + 1} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{16 x}{3 x + 1} + \frac{5 x + 1}{2 x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{16 x}{3 x + 1} + \frac{5 x + 1}{2 x} - 7$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{16 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{5 x + 1}{2 x} \cdot (3 x + 1) - 7 \cdot (3 x + 1)$	=
$16 x + \frac{(5 x + 1) (3 x + 1)}{2 x} - 21 x - 7$	=
$16 x + \frac{15 x^{2} + 8 x + 1}{2 x} - 21 x - 7$	=
$\frac{15 x^{2} + 8 x + 1}{2 x} + 16 x - 21 x - 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{15 x^{2} + 8 x + 1}{2 x} + 16 x - 21 x - 7$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{15 x^{2} + 8 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + 16 x \cdot 2 x - 21 x \cdot 2 x - 7 \cdot 2 x$	=
$15 x^{2} + 8 x + 1 + 32 x \cdot x - 42 x \cdot x - 14 x$	=
$15 x^{2} + 8 x + 1 + 32 x^{2} - 42 x^{2} - 14 x$	=
$5 x^{2} - 6 x + 1$	=

$5 x^{2} - 6 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{10}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{6+4}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{6-4}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 6 x + 1$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{6}{5} x + \frac{1}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{5})}^{2} - (\frac{1}{5})$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{1}{5}$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{5}{25}$ = $\frac{4}{25}$

x_1,2 = $\frac{3}{5}$ ± $\sqrt{\frac{4}{25}}$

x₁ = $\frac{3}{5}$ - $\frac{2}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 0.2

x₂ = $\frac{3}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $\frac{5}{5}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,2$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 2$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 2$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 2$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 2 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- 2 x$
$a + x^{2} + 2 x$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):