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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{5 x}{x + 16}$ = $1$

D=R\{ $- 16$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 16$ weg!

$\frac{5 x}{x + 16}$	=	$1$	\|⋅( $x + 16$ )
$\frac{5 x}{x + 16} \cdot (x + 16)$	=	$1 \cdot (x + 16)$
$5 x$	=	$x + 16$

$5 x$	=	$x + 16$	\| $- x$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 7}{3 x + 1} + x$ = $1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ }

- \frac{7}{3 x + 1} + x

=

1

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$- \frac{7}{3 x + 1} + x$	=	$1$	\|⋅( $3 x + 1$ )
$- \frac{7}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + x \cdot (3 x + 1)$	=	$1 \cdot (3 x + 1)$
$- 7 + x (3 x + 1)$	=	$3 x + 1$
$- 7 + (3 x^{2} + x)$	=	$3 x + 1$
$3 x^{2} + x - 7$	=	$3 x + 1$

3 x^{2} + x - 7

=

3 x + 1

|

- 3 x

- 1

$3 x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{6}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{2+10}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{2-10}{6}$ = $\frac{- 8}{6}$ = $- \frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 2 x - 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{2}{3} x - \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{8}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{25}{9}$

x_1,2 = $\frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{25}{9}}$

x₁ = $\frac{1}{3}$ - $\frac{5}{3}$ = $- \frac{4}{3}$ = -1.3333333333333

x₂ = $\frac{1}{3}$ + $\frac{5}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{3}$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{44}{2 x - 8} - x$ = $- \frac{x}{3 x - 12}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{44}{2 x - 8} - x$	=	$\frac{- x}{3 x - 12}$
$\frac{44}{2 (x - 4)} - x$	=	$\frac{- x}{3 (x - 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 4)$ weg!

$\frac{44}{2 (x - 4)} - x$	=	$\frac{- x}{3 (x - 4)}$	\|⋅( $3 (x - 4)$ )
$\frac{44}{2 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4)) - x \cdot (3 (x - 4))$	=	$\frac{- x}{3 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4))$
$66 - 3 x (x - 4)$	=	$- x$
$66 + (- 3 x^{2} + 12 x)$	=	$- x$
$- 3 x^{2} + 12 x + 66$	=	$- x$

- 3 x^{2} + 12 x + 66

=

- x

|

+ x

$- 3 x^{2} + 13 x + 66$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 66}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 792}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{961}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{961}}{- 6}$ = $\frac{- 13+31}{- 6}$ = $\frac{18}{- 6}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{961}}{- 6}$ = $\frac{- 13-31}{- 6}$ = $\frac{- 44}{- 6}$ = $\frac{22}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 13 x + 66$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{13}{3} x - 22$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{6})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $22$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $\frac{792}{36}$ = $\frac{961}{36}$

x_1,2 = $\frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{961}{36}}$

x₁ = $\frac{13}{6}$ - $\frac{31}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $\frac{13}{6}$ + $\frac{31}{6}$ = $\frac{44}{6}$ = 7.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{22}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $- \frac{2}{x^{2}} + \frac{24}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{24}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{24}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$- 2 x + 24$

x^{2}

=

- 2 x + 24

|

+ 2 x

- 24

$x^{2} + 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 25 x - 6}{3 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 25 x - 6}{3 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 25 x - 6}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 2 \cdot 3 x$
$- 25 x - 6$	=	$3 x \cdot x - 6 x$

- 25 x - 6

=

3 x^{2} - 6 x

|

- 3 x^{2}

+ 6 x

$- 3 x^{2} - 19 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 72}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{289}}{- 6}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{19+17}{- 6}$ = $\frac{36}{- 6}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{19-17}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 19 x - 6$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{19}{3} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{6})}^{2} - 2$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $2$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{289}{36}$

x_1,2 = $- \frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{289}{36}}$

x₁ = $- \frac{19}{6}$ - $\frac{17}{6}$ = $- \frac{36}{6}$ = -6

x₂ = $- \frac{19}{6}$ + $\frac{17}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 1} + \frac{4 x}{3 x - 6} + \frac{- 28 x}{3 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- 1$ }

$\frac{4 x}{3 x - 6} + \frac{4 x}{x + 1} - \frac{28 x}{3 x + 3}$	=	0
$\frac{4 x}{3 (x - 2)} + \frac{4 x}{x + 1} - \frac{28 x}{3 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{4 x}{3 (x - 2)} + \frac{4 x}{x + 1} - \frac{28 x}{3 (x + 1)}$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{4 x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + \frac{4 x}{x + 1} \cdot (3 (x - 2)) - \frac{28 x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x - 2))$	=
$4 x + 3 \frac{4 x (x - 2)}{x + 1} - 3 \frac{28 x (x - 2)}{3 (x + 1)}$	=
$4 x + \frac{3 (4 x^{2} - 8 x)}{x + 1} - \frac{28 x^{2} - 56 x}{x + 1}$	=
$\frac{12 x^{2} - 24 x - 28 x^{2} + 56 x}{x + 1} + 4 x$	=

\frac{12 x^{2} - 28 x^{2} - 24 x + 56 x}{x + 1} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{12 x^{2} - 28 x^{2} - 24 x + 56 x}{x + 1} + 4 x$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{12 x^{2} - 28 x^{2} - 24 x + 56 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 4 x \cdot (x + 1)$	=
$12 x^{2} - 28 x^{2} - 24 x + 56 x + 4 x (x + 1)$	=
$12 x^{2} - 28 x^{2} - 24 x + 56 x + (4 x^{2} + 4 x)$	=
$- 12 x^{2} + 36 x$	=

$- 12 x^{2} + 36 x$	=	0
$12 x (- x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$2 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$2 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$2 x + x^{2}$	=	$- a$
$2 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):