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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{4 x}{x - 9}$ = $- 1$

D=R\{ $9$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 9$ weg!

$\frac{- 4 x}{x - 9}$	=	$- 1$	\|⋅( $x - 9$ )
$\frac{- 4 x}{x - 9} \cdot (x - 9)$	=	$- 1 \cdot (x - 9)$
$- \frac{4 x}{1}$	=	$- (x - 9)$
$- 4 x$	=	$- (x - 9)$

$- 4 x$	=	$- x + 9$	\| $+ x$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7 x}{2 x - 3} + \frac{204}{4 x - 6}$ = $- 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

\frac{7 x}{2 x - 3} + \frac{204}{2 (2 x - 3)}

=

- 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{7 x}{2 x - 3} + \frac{204}{2 (2 x - 3)}$	=	$- 4$	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{7 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{204}{2 (2 x - 3)} \cdot (2 x - 3)$	=	$- 4 \cdot (2 x - 3)$
$7 x + 102$	=	$- 4 (2 x - 3)$

$7 x + 102$	=	$- 8 x + 12$	\| $- 102$
$7 x$	=	$- 8 x - 90$	\| $+ 8 x$
$15 x$	=	$- 90$	\|: $15$
$x$	=	$- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{2 x - 5} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{2 x + 1}{2 x - 5} - 3$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{2 x + 1}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) - 3 \cdot (2 x - 5)$	=
$2 x + 1 - 6 x + 15$	=
$- 4 x + 16$	=

$- 4 x + 16$	=	0	\| $- 16$
$- 4 x$	=	$- 16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{20}{x^{2}}$ = $- 1 + \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{20}{x^{2}}$	=	$- 1 + \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{20}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{1}{x} \cdot x^{2}$
$- 20$	=	$- x^{2} + x$

- 20

=

- x^{2} + x

|

+ x^{2}

- x

$x^{2} - x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2 x - 4}{x - 3}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{- 2 x - 4}{x - 3}$	=	$4 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{- 2 x - 4}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$4 x \cdot (x - 3)$
$- 2 x - 4$	=	$4 x (x - 3)$
$- 2 x - 4$	=	$4 x^{2} - 12 x$

- 2 x - 4

=

4 x^{2} - 12 x

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

- 4 x^{2} + 10 x - 4

= 0 |:2

$- 2 x^{2} + 5 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 5+3}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 5-3}{- 4}$ = $\frac{- 8}{- 4}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 5 x - 2$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{3 x}{2 x + 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $2$ }

\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{6 x}{x - 2} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{6 x}{x - 2} - 5$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{3 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{6 x}{x - 2} \cdot (2 x + 1) - 5 \cdot (2 x + 1)$	=
$3 x + \frac{6 x (2 x + 1)}{x - 2} - 10 x - 5$	=
$3 x + \frac{12 x^{2} + 6 x}{x - 2} - 10 x - 5$	=
$\frac{12 x^{2} + 6 x}{x - 2} + 3 x - 10 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{12 x^{2} + 6 x}{x - 2} + 3 x - 10 x - 5$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{12 x^{2} + 6 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 3 x \cdot (x - 2) - 10 x \cdot (x - 2) - 5 \cdot (x - 2)$	=
$12 x^{2} + 6 x + 3 x (x - 2) - 10 x (x - 2) - 5 x + 10$	=
$12 x^{2} + 6 x + (3 x^{2} - 6 x) + (- 10 x^{2} + 20 x) - 5 x + 10$	=
$5 x^{2} + 15 x + 10$	=

5 x^{2} + 15 x + 10

= 0 |:5

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{12}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{12}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{12}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{12}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$12 + x^{2}$	=	$- a x$
$12 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):