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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7}{x + 3}$ = $1$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- \frac{7}{x + 3}$	=	$1$	\|⋅( $x + 3$ )
$- \frac{7}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$1 \cdot (x + 3)$
$- 7$	=	$x + 3$

$- 7$	=	$x + 3$	\| $+ 7$ $- x$
$- x$	=	$10$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 8 x}{x - 1} + 3 x$ = $- 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

- \frac{8 x}{x - 1} + 3 x

=

- 3

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{8 x}{x - 1} + 3 x$	=	$- 3$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{8 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 3 x \cdot (x - 1)$	=	$- 3 \cdot (x - 1)$
$- 8 x + 3 x (x - 1)$	=	$- 3 (x - 1)$
$- 8 x + (3 x^{2} - 3 x)$	=	$- 3 (x - 1)$
$3 x^{2} - 11 x$	=	$- 3 x + 3$

3 x^{2} - 11 x

=

- 3 x + 3

|

+ 3 x

- 3

$3 x^{2} - 8 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{8+10}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{8-10}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 8 x - 3$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{8}{3} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{3})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $1$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{9}{9}$ = $\frac{25}{9}$

x_1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{25}{9}}$

x₁ = $\frac{4}{3}$ - $\frac{5}{3}$ = $- \frac{1}{3}$ = -0.33333333333333

x₂ = $\frac{4}{3}$ + $\frac{5}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 16} - 3 x$ = $- \frac{35,5}{x + 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

\frac{x}{4 (x + 4)} - 3 x

=

- \frac{35,5}{x + 4}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 4)} - 3 x$	=	$- \frac{35,5}{x + 4}$	\|⋅( $4 (x + 4)$ )
$\frac{x}{4 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) - 3 x \cdot (4 (x + 4))$	=	$- \frac{35,5}{x + 4} \cdot (4 (x + 4))$
$x - 12 x (x + 4)$	=	$- 142$
$x + (- 12 x^{2} - 48 x)$	=	$- 142$
$- 12 x^{2} - 47 x$	=	$- 142$

- 12 x^{2} - 47 x

=

- 142

|

+ 142

$- 12 x^{2} - 47 x + 142$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 142}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 + 6 816}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{9 025}}{- 24}$

x₁ = $\frac{47 + \sqrt{9 025}}{- 24}$ = $\frac{47+95}{- 24}$ = $\frac{142}{- 24}$ = $- \frac{71}{12}$ ≈ -5.92

x₂ = $\frac{47 - \sqrt{9 025}}{- 24}$ = $\frac{47-95}{- 24}$ = $\frac{- 48}{- 24}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} - 47 x + 142$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} + \frac{47}{12} x - \frac{71}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{47}{24})}^{2} - (- \frac{71}{6})$ = $\frac{2209}{576}$ $+$ $\frac{71}{6}$ = $\frac{2209}{576}$ $+$ $\frac{6816}{576}$ = $\frac{9025}{576}$

x_1,2 = $- \frac{47}{24}$ ± $\sqrt{\frac{9025}{576}}$

x₁ = $- \frac{47}{24}$ - $\frac{95}{24}$ = $- \frac{142}{24}$ = -5.9166666666667

x₂ = $- \frac{47}{24}$ + $\frac{95}{24}$ = $\frac{48}{24}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{71}{12}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} - \frac{10}{x^{2}} - \frac{16}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} - \frac{10}{x^{2}} - \frac{16}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{10}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{16}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} - 10 x - 16$

0

=

- x^{2} - 10 x - 16

|

+ x^{2}

+ 10 x

+ 16

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 5$ - $3$ = -8

x₂ = $- 5$ + $3$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 9 x + 9}{x - 5}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{- 9 x + 9}{x - 5}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{- 9 x + 9}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$3 x \cdot (x - 5)$
$- 9 x + 9$	=	$3 x (x - 5)$
$- 9 x + 9$	=	$3 x^{2} - 15 x$

- 9 x + 9

=

3 x^{2} - 15 x

|

- 3 x^{2}

+ 15 x

- 3 x^{2} + 6 x + 9

= 0 |:3

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x - 2} + \frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{- 8 x + 1}{2 x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $\frac{2}{3}$ }

\frac{- 8 x + 1 + 3 x}{2 x - 1} + \frac{6 x}{3 x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{- 8 x + 1 + 3 x}{2 x - 1} + \frac{6 x}{3 x - 2}$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{- 8 x + 1 + 3 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{6 x}{3 x - 2} \cdot (2 x - 1)$	=
$- 8 x + 1 + 3 x + \frac{6 x (2 x - 1)}{3 x - 2}$	=
$- 8 x + 1 + 3 x + \frac{12 x^{2} - 6 x}{3 x - 2}$	=
$\frac{12 x^{2} - 6 x}{3 x - 2} - 8 x + 3 x + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{12 x^{2} - 6 x}{3 x - 2} - 8 x + 3 x + 1$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{12 x^{2} - 6 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) - 8 x \cdot (3 x - 2) + 3 x \cdot (3 x - 2) + 1 \cdot (3 x - 2)$	=
$12 x^{2} - 6 x - 8 x (3 x - 2) + 3 x (3 x - 2) + 3 x - 2$	=
$12 x^{2} - 6 x + (- 24 x^{2} + 16 x) + (9 x^{2} - 6 x) + 3 x - 2$	=
$- 3 x^{2} + 7 x - 2$	=

$- 3 x^{2} + 7 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 7+5}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 7-5}{- 6}$ = $\frac{- 12}{- 6}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 7 x - 2$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{7}{3} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{6})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $\frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $\frac{7}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{7}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 3$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 3$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 3$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 3 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 3 x$
$x^{2} + a + 3 x$	=	0
$x^{2} + 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (2 - 5)$ = 3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 5)$ = $- 10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):