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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{1}{x}$ = $- \frac{4}{7}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$- \frac{4}{7}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x$	=	$- \frac{4}{7} \cdot x$
$- 1$	=	$- \frac{4}{7} x$

$- 1$	=	$- \frac{4}{7} x$	\|⋅ 7
$- 7$	=	$- 4 x$	\| $+ 7$ $+ 4 x$
$4 x$	=	$7$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{7}{4}$ = 1.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{7}{4}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3$ = $- \frac{7}{x - 3} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

3

=

- \frac{7}{x - 3} - 2 x

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$3$	=	$- \frac{7}{x - 3} - 2 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$3 \cdot (x - 3)$	=	$- \frac{7}{x - 3} \cdot (x - 3) - 2 x \cdot (x - 3)$
$3 (x - 3)$	=	$- 7 - 2 x (x - 3)$
$3 x - 9$	=	$- 7 - 2 x (x - 3)$
$3 x - 9$	=	$- 2 x^{2} + 6 x - 7$

3 x - 9

=

- 2 x^{2} + 6 x - 7

|

+ 2 x^{2}

- 6 x

+ 7

$2 x^{2} - 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{3+5}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{3-5}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 3 x - 2$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $1$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 1} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{x - 1} - 3$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x}{x - 1} \cdot (x - 1) - 3 \cdot (x - 1)$	=
$2 x - 3 x + 3$	=
$- x + 3$	=

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11}{x^{2}} + \frac{10}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{11}{x^{2}} + \frac{10}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{11}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{10}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$11 x + 10$	=	$- x^{2}$

11 x + 10

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 11 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 11+9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 11-9}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 27 x + 21}{x - 3}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{- 27 x + 21}{x - 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{- 27 x + 21}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$3 x \cdot (x - 3)$
$- 27 x + 21$	=	$3 x (x - 3)$
$- 27 x + 21$	=	$3 x^{2} - 9 x$

- 27 x + 21

=

3 x^{2} - 9 x

|

- 3 x^{2}

+ 9 x

- 3 x^{2} - 18 x + 21

= 0 |:3

$- x^{2} - 6 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{6+8}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{6-8}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x + 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{x - 4}{x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{10}{3}$ ; 0}

\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{x - 4}{x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{x - 4}{x} - 6$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{2 x}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + \frac{x - 4}{x} \cdot (3 x + 10) - 6 \cdot (3 x + 10)$	=
$2 x + \frac{(x - 4) (3 x + 10)}{x} - 18 x - 60$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} - 2 x - 40}{x} - 18 x - 60$	=
$\frac{3 x^{2} - 2 x - 40}{x} + 2 x - 18 x - 60$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 40}{x} + 2 x - 18 x - 60$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x^{2} - 2 x - 40}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 18 x \cdot x - 60 \cdot x$	=
$3 x^{2} - 2 x - 40 + 2 x \cdot x - 18 x \cdot x - 60 x$	=
$3 x^{2} - 2 x - 40 + 2 x^{2} - 18 x^{2} - 60 x$	=
$- 13 x^{2} - 62 x - 40$	=

$- 13 x^{2} - 62 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 62 \pm \sqrt{{(- 62)}^{2} - 4 \cdot (- 13) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 13)}$

x_1,2 = $\frac{+ 62 \pm \sqrt{3 844 - 2 080}}{- 26}$

x_1,2 = $\frac{+ 62 \pm \sqrt{1 764}}{- 26}$

x₁ = $\frac{62 + \sqrt{1 764}}{- 26}$ = $\frac{62+42}{- 26}$ = $\frac{104}{- 26}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{62 - \sqrt{1 764}}{- 26}$ = $\frac{62-42}{- 26}$ = $\frac{20}{- 26}$ = $- \frac{10}{13}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 13$ " teilen:

$- 13 x^{2} - 62 x - 40$ = 0 |: $- 13$

$x^{2} + \frac{62}{13} x + \frac{40}{13}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{13})}^{2} - (\frac{40}{13})$ = $\frac{961}{169}$ $-$ $\frac{40}{13}$ = $\frac{961}{169}$ $-$ $\frac{520}{169}$ = $\frac{441}{169}$

x_1,2 = $- \frac{31}{13}$ ± $\sqrt{\frac{441}{169}}$

x₁ = $- \frac{31}{13}$ - $\frac{21}{13}$ = $- \frac{52}{13}$ = -4

x₂ = $- \frac{31}{13}$ + $\frac{21}{13}$ = $- \frac{10}{13}$ = -0.76923076923077

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{10}{13}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 1$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 1$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 1$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 1 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + x$	=	$- a$
$x^{2} + x + a$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Einfache Verhältnisgleichung

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):