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Umkehrfunktion nur graphisch

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f.

Zeichne an vier Stellen die Werte der Umkehrfunktion $\bar{f}$ ein.

Klicke dazu einfach mit der Maus auf die entsprechenden Punkte im nebenstehenden Schaubild.

Der grün eingezeichnete Graph ist der der Umkehrfunktion $\bar{f}$ von f. Man erhält diesen Graph in dem man bei allen Punkten des Graphs von f die x-Werte mit den y-Werten vertauscht. Dies entspricht einer Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden (in rot gezeichnet).

Die von dir gewählten Punkte sind wieder mit rot gezeichnet. Wenn man bei diesen Punkten die x- und y-Werte (wieder zurück) vertauscht, so entstehen die blauen Punkte, die im Idealfall wieder auf dem (blauen) Graph der Originalfunktion f liegen müssten.

einfache Umkehrfunktion bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ ${(x - 1)}^{2} + 1$ auf dem Definitionsbereich [1;∞[ .

Bestimme die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

${(x - 1)}^{2} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
${(x - 1)}^{2}$	=	$y - 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

$x - 1$	=	$- \sqrt{y - 1}$	\| $+ 1$
x₁	=	$- \sqrt{y - 1} + 1$

2. Fall

$x - 1$	=	$\sqrt{y - 1}$	\| $+ 1$
x₂	=	$\sqrt{y - 1} + 1$

Weil der Definitionsbereich der Originalfunktion f [1;∞[ ist, dürfen ja nur x≥1 eingesetzt werden. Deswegen ist hier nur der 2. Fall mit der positiven Wurzel relevant: x = $\sqrt{y - 1} + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\sqrt{x - 1} + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\sqrt{x - 1} + 1$

Umkehrfkt. und Def.-Bereich bestimmen

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x - 2}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge von f und einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge

Bei einer Bruchfunktion mit ganzrationalen Termen in Zähler und Nenner kann man ja prinzipiell alles einsetzen, solange der Nenner nicht =0 wird.

Hier sieht man ja sehr schnell, dass dies nur für x = 2 passieren kann. Deswegen müssen wir eben 2 aus der Definitionsmenge ausschließen:

D = ℝ \ {2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{2}{x - 2}$	=	$y$	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{2}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$y \cdot (x - 2)$
$- 2$	=	$y (x - 2)$

$- 2$	=	$y x - 2 y$	\| $+ 2$ $- y x$
$- y x$	=	$- 2 y + 2$	\|:( $- 1 y$ )
$x$	=	$2 - \frac{2}{y}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $2 - \frac{2}{x}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $2 - \frac{2}{x}$

Umkehrfktn auf maximalem D

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} {(x - 1)}^{2} - 1$ .

Bestimme ein möglichst großes Intervall (mit möglichst vielen positiven x-Werten), auf dem f umkehrbar ist,
und bestimme die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Theoretisch kann man hier erkennen, dass es sich beim Graph von f um eine Parabel mit dem Scheitel bei x = 1 handelt. Somit kann man folgern, dass die Funktion für x ≥ 1 streng monoton wachsend und somit umkehrbar sein muss.

Man kann aber auch den Standardweg über die Ableitung gehen:

Wenn wir f ableiten, erhalten wir:

$3 (x - 1) \cdot (1 + 0) + 0$ = $3 x - 3$

Wenn wir nun f'(x) = 0 setzen, erhalten wir:

$3 x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

Und weil das die einzige Nullstelle der Ableitungsfunktion ist, und f keine Definitionslücken hat, ist f jeweils für x ≤ 1 und für x ≥ 1 streng monoton und somit umkehrbar.

Der gesuchte umkehrbare Bereich ist somit {x ∈ ℝ| x ≥ 1}.

Um nun die Umkehrfunktion zu berechnen, schreiben wir einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$\frac{3}{2} {(x - 1)}^{2} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$\frac{3}{2} {(x - 1)}^{2}$	=	$y + 1$	\|⋅ $\frac{2}{3}$
${(x - 1)}^{2}$	=	$\frac{2}{3} y + \frac{2}{3}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

$x - 1$	=	$- \sqrt{\frac{2}{3} y + \frac{2}{3}}$	\| $+ 1$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{2}{3} y + \frac{2}{3}} + 1$

2. Fall

$x - 1$	=	$\sqrt{\frac{2}{3} y + \frac{2}{3}}$	\| $+ 1$
x₂	=	$\sqrt{\frac{2}{3} y + \frac{2}{3}} + 1$

Weil der (umkehrbare) Definitionsbereich der Originalfunktion f [1;∞[ ist, dürfen ja nur x≥1 eingesetzt werden. Deswegen ist hier nur der 2. Fall mit der positiven Wurzel relevant: x = $\sqrt{\frac{2}{3} y + \frac{2}{3}} + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\sqrt{\frac{2}{3} x + \frac{2}{3}} + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\sqrt{\frac{2}{3} x + \frac{2}{3}} + 1$

Umkehrfkt. + Def.- +Wertemenge

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $\sqrt{3 x + 9}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Wurzelfunktion dürfen wir nur Werte einsetzen, so das die Werte unter der Wurzel nicht negativ werden.

Dazu schauen wir zuerst, wann der Radikand (Term unter der Wurzel) = 0 wird:

$3 x + 9$	=	0	\| $- 9$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

Und weil das Vorzeichen beim Koeffizient vor dem x positiv ist bleibt die Wurzel für alle x ≥ -3 größer oder gleich 0. Es gilt somit:

D = {x ∈ ℝ | x ≥ -3}

Wertemenge von f

In der Aufgabe steht, dass f auf seiner maximalen Definitionsmenge umkehrbar ist. Also kann es keine inneren Extremstellen geben, und die Extrema der Funktionswerte müssen an den Rändern liegen. Wir untersuchen deswegen die Funktionswerte an den Rändern:

Der kleinste Wert der Defintionsmenge ist -3, also setzen wir diesen in f ein:
f(-3) = $\sqrt{3 \cdot (- 3) + 9}$ = $\sqrt{- 9 + 9}$ = $0$

Am rechten Rand des Wertebereichs gilt:
Für x → ∞ strebt f(x) = $\sqrt{3 x + 9}$ → ∞

Die Funktionswerte bewegen sich also von $0$ bis ∞. Somit gilt für die Wertemenge W = {x ∈ ℝ | x ≥ $0$ } .

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$\sqrt{3 x + 9}$	=	$y$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 9$	=	${(y)}^{2}$

$3 x + 9$	=	$y^{2}$	\| $- 9$
$3 x$	=	$y^{2} - 9$	\|: $3$
$x$	=	$\frac{1}{3} y^{2} - 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{3} x^{2} - 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{3} x^{2} - 3$

Schnittpunkt mit Graph d. Umkehrfktn.

Beispiel:

Für alle x ≥ a ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2}$ gegeben.

a ist der kleinste Wert, bei dem f auf dem Intervall [a;∞[ noch umkehrbar ist. Bestimme a.
Bestimme alle gemeinsame Punkte des Graphen von f mit dem seiner Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximaler umkehrbarer Definitionsbereich

Für einen möglichst großen umkehrbaren Definitionsbereich müssen wir wissen, wo f monoton steigend und wo monoton fallend ist. Dazu betrachten wir die Ableitung:

Wenn wir f ableiten, erhalten wir:

$f'(x) =$ $2 x$

Wenn wir nun f'(x) = 0 setzen, erhalten wir:

$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

Und weil das die einzige Nullstelle der Ableitungsfunktion ist, und f keine Definitionslücken hat, ist f jeweils für x ≤ 0 und für x ≥ 0 für streng monoton und somit umkehrbar.

Der gesuchte umkehrbare Bereich ist somit {x ∈ ℝ| x ≥ 0}.

Schnittpunkte

Theoretisch könnte man zuerst den Term der Umkehrfunktion bestimmen und dann die beiden Terme gleichsetzen.
Da aber beim Schnittpunkt der Graphen von Funktion und Umkehrfunktion der x- und der y-Wert immer gleich sein müssen, können wir auch einfach den Schnittpunkt des Graphen von f mit der 1. Winkelhalbierenden (y = x) berechnen (siehe auch am Schaubild rechts).

$x^{2}$	=	$x$	\| $- x$
$x^{2} - x$	=	0
$x (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

0 ist ≥ 0 und liegt somit im gewählten umkehrbaren Bereich. Damit ist Punkt (0|0) ein gemeinsamer Punkt der Graphen von f und $\bar{f}$ .

1 ist ≥ 0 und liegt somit im gewählten umkehrbaren Bereich. Damit ist Punkt (1|1) ein gemeinsamer Punkt der Graphen von f und $\bar{f}$ .

Steigung der Umkehrfunktion

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x$ auf dem Definitionsbereich [1;∞[

Ihre Umkehrfunktion ist $\bar{f}$ . Berechne $\bar{f}$ '(0) ohne Bestimmung des Terms der Umkehrfunktion.

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Wir berechnen die Tangentensteigung der Umkehrfunktion über die Steigung der Originalfunktion f. Dazu brauchen wir aber erst den Punkt (x|0) auf dem Graph von f, der zum Punkt (0|x) auf dem Graph von $\bar{f}$ symmetrisch bezüglich der ersten Winkelhalbierenden liegt:

Bestimmung des x-Werts von P(x|0)

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Weil 0 < 1 ist, und somit nicht im angegeben Definitionsbereich liegt, ist also 2 der gesuchte x-Wert.

In diesem Punkt P(2|0) berechnen wir nun die Tangentensteigung:

f'(x)= $2 x - 2$
f'(2) = $2 \cdot 2 - 2$ = $4 - 2$ = 2

Da beim Graph der Umkehrfunktion überall immer x- und y-Werte (gegenüber dem Graph von f) vertauscht sind, müssen auch beim Steigungsdreieck einer gespiegelten Tangente Zähler und Nenner vertauscht werden, so dass die gesuchte Tangentensteigung $\bar{f}$ '(0) gerade der Kehrbruch von 2 sein muss. es gilt also:

$\bar{f}$ '(0) = $\frac{1}{2}$ = 0.5

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{x - 2} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{x - 2}$ wird $e^{x - 2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{x - 2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $- 4 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 4 e^{x - 2}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{x - 2} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$- 4 e^{x - 2}$	=	$y + 2$	\|: $- 4$
$e^{x - 2}$	=	$- \frac{1}{4} y - \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$

$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y - \frac{1}{2}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) + 2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Umkehrfunktion nur graphisch

einfache Umkehrfunktion bestimmen

Umkehrfkt. und Def.-Bereich bestimmen

Maximale Definitionsmenge

Umkehrfunktion

Umkehrfktn auf maximalem D

Umkehrfkt. + Def.- +Wertemenge

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Schnittpunkt mit Graph d. Umkehrfktn.

Maximaler umkehrbarer Definitionsbereich

Schnittpunkte

Steigung der Umkehrfunktion

Bestimmung des x-Werts von P(x|0)

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion