Mathebattle EduRandomtasks

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} - 72 x + 82$ = 0

16 x^{2} - 72 x + 82

= 0 |:2

$8 x^{2} - 36 x + 41$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 41}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{1 296 - 1 312}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{(- 16)}}{16}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} - 36 x + 41$ = 0 |: $8$

$x^{2} - \frac{9}{2} x + \frac{41}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (\frac{41}{8})$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{41}{8}$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{82}{16}$ = $- \frac{1}{16}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 - 40 x$ = $- 16 x^{2}$

Lösung einblenden

- 40 x + 25

=

- 16 x^{2}

|

+ 16 x^{2}

$16 x^{2} - 40 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{{(- 40)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{1 600 - 1 600}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{40}{32}$ = $\frac{5}{4}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} - 40 x + 25$ = 0 |: $16$

$x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{25}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (\frac{25}{16})$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{25}{16}$ = $\frac{0}{16}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{5}{4}$ ± 0 = $\frac{5}{4}$

L={ $\frac{5}{4}$ }

$\frac{5}{4}$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{6}{5} x - \frac{27}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{6}{5} x - \frac{27}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{6}{5} x - \frac{27}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 6 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 540}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{576}}{10}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{576}}{10}$ = $\frac{6+24}{10}$ = $\frac{30}{10}$ = $3$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{576}}{10}$ = $\frac{6-24}{10}$ = $\frac{- 18}{10}$ = $- 1,8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 6 x - 27$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{6}{5} x - \frac{27}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{5})}^{2} - (- \frac{27}{5})$ = $\frac{9}{25}$ $+$ $\frac{27}{5}$ = $\frac{9}{25}$ $+$ $\frac{135}{25}$ = $\frac{144}{25}$

x_1,2 = $\frac{3}{5}$ ± $\sqrt{\frac{144}{25}}$

x₁ = $\frac{3}{5}$ - $\frac{12}{5}$ = $- \frac{9}{5}$ = -1.8

x₂ = $\frac{3}{5}$ + $\frac{12}{5}$ = $\frac{15}{5}$ = 3

L={ $- 1,8$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 x^{2} + 4 x + 3$ = $(9 x - 6) \cdot (x - 6) + 59 x - 37$

Lösung einblenden

$10 x^{2} + 4 x + 3$	=	$(9 x - 6) \cdot (x - 6) + 59 x - 37$
$10 x^{2} + 4 x + 3$	=	$9 x^{2} - 60 x + 36 + 59 x - 37$
$10 x^{2} + 4 x + 3$	=	$9 x^{2} - x - 1$	\| $- 9 x^{2}$ $+ x$ $+ 1$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Nullstellen (mit Lösungsformel)

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{25}{4} x - 14$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{25}{4} x - 14$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{25}{4} x - 14)$	=	0

$4 x^{2} - 25 x - 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 + 896}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{1 521}}{8}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{1 521}}{8}$ = $\frac{25+39}{8}$ = $\frac{64}{8}$ = $8$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{1 521}}{8}$ = $\frac{25-39}{8}$ = $\frac{- 14}{8}$ = $- 1,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 25 x - 56$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{25}{4} x - 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{8})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{625}{64}$ $+$ $14$ = $\frac{625}{64}$ $+$ $\frac{896}{64}$ = $\frac{1521}{64}$

x_1,2 = $\frac{25}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{64}}$

x₁ = $\frac{25}{8}$ - $\frac{39}{8}$ = $- \frac{14}{8}$ = -1.75

x₂ = $\frac{25}{8}$ + $\frac{39}{8}$ = $\frac{64}{8}$ = 8

L={ $- 1,75$ ; $8$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 1,75$ |0) und N₂( $8$ |0).

Schnittpunkte (mit Lösungsformel)

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} + 2 x + 4$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} - 2 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} + 2 x + 4

=

5 x^{2} - 2 x - 1

|

- 5 x^{2}

+ 2 x

+ 1

$x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 5$ = $4$ $-$ $5$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Schnittpunkte (Term und Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{4}{3} x + 21$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{1}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{1}{3} x + 1$ oder $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{1}{3} x + 1$	=	$- x^{2} - \frac{4}{3} x + 21$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{1}{3} x + 1)$	=	$3 (- x^{2} - \frac{4}{3} x + 21)$
$- x + 3$	=	$- 3 x^{2} - 4 x + 63$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 63$

3 x^{2} + 3 x - 60

= 0 |:3

$x^{2} + x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $- 5$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - \frac{4}{3} \cdot (- 5) + 21$ = $- 25 + \frac{20}{3} + 21$ = $\frac{8}{3}$

g( $4$ ) = $- 4^{2} - \frac{4}{3} \cdot 4 + 21$ = $- 16 - \frac{16}{3} + 21$ = $- \frac{1}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $\frac{8}{3}$ ) und S₂( $4$ | $- \frac{1}{3}$ ).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Nullstellen (mit Lösungsformel)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte (mit Lösungsformel)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte (Term und Graph)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):