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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 18 x - 10$ = 0

4 x^{2} - 18 x - 10

= 0 |:2

$2 x^{2} - 9 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{9+11}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{9-11}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 9 x - 5$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

L={ $- 0,5$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$17 + x^{2}$ = $8 x$

Lösung einblenden

x^{2} + 17

=

8 x

|

- 8 x

$x^{2} - 8 x + 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 68}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 17$ = $16$ $-$ $17$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 7$ ; $- 2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} - 3 x + 1$ = $(8 x - 9) (x - 2) + 27 x - 21$

Lösung einblenden

$9 x^{2} - 3 x + 1$	=	$(8 x - 9) (x - 2) + 27 x - 21$
$9 x^{2} - 3 x + 1$	=	$8 x^{2} - 25 x + 18 + 27 x - 21$
$9 x^{2} - 3 x + 1$	=	$8 x^{2} + 2 x - 3$	\| $- 8 x^{2}$ $- 2 x$ $+ 3$

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $1$ ; $4$ }

Nullstellen (mit Lösungsformel)

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 54 x + 240$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

3 x^{2} + 54 x + 240

= 0 |:3

$x^{2} + 18 x + 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 320}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 18 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 18+2}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{- 18 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 18-2}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $9^{2} - 80$ = $81$ $-$ $80$ = $1$

x_1,2 = $- 9$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 9$ - $1$ = -10

x₂ = $- 9$ + $1$ = -8

L={ $- 10$ ; $- 8$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 10$ |0) und N₂( $- 8$ |0).

Schnittpunkte (mit Lösungsformel)

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} + 10 x + 8$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} + 4 x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} + 10 x + 8

=

- 3 x^{2} + 4 x + 3

|

+ 3 x^{2}

- 4 x

- 3

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 3 \cdot {(- 5)}^{2} + 4 \cdot (- 5) + 3$ = $- 3 \cdot 25 - 20 + 3$ = $- 75 - 20 + 3$ = $- 92$

g( $- 1$ ) = $- 3 \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) + 3$ = $- 3 \cdot 1 - 4 + 3$ = $- 3 - 4 + 3$ = $- 4$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- 92$ ) und S₂( $- 1$ | $- 4$ ).

Schnittpunkte (Term und Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - 8 x - 11$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- x - 1$ oder $f(x) =$ $- x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x - 1

=

- x^{2} - 8 x - 11

|

+ x^{2}

+ 8 x

+ 11

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - 8 \cdot (- 5) - 11$ = $- 25 + 40 - 11$ = $4$

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} - 8 \cdot (- 2) - 11$ = $- 4 + 16 - 11$ = $1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $4$ ) und S₂( $- 2$ | $1$ ).

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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Nullstellen (mit Lösungsformel)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte (mit Lösungsformel)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte (Term und Graph)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):