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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 22 x + 10$ = 0

4 x^{2} + 22 x + 10

= 0 |:2

$2 x^{2} + 11 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 11+9}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 11-9}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x + 5$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - (\frac{5}{2})$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{20}{4}$ = -5

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

L={ $- 5$ ; $- 0,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$45 + 2 x^{2} - 23 x$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 23 x + 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 45}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{23+13}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{23-13}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 23 x + 45$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{23}{2} x + \frac{45}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{4})}^{2} - (\frac{45}{2})$ = $\frac{529}{16}$ $-$ $\frac{45}{2}$ = $\frac{529}{16}$ $-$ $\frac{360}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{23}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{23}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

x₂ = $\frac{23}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = 9

L={ $2,5$ ; $9$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{11}{2} x + \frac{15}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{11}{2} x + \frac{15}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{11}{2} x + \frac{15}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 11 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 11+1}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 11-1}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x + 15$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - (\frac{15}{2})$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

L={ $- 3$ ; $- 2,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + x + 8$ = $(- 2 x - 8) (x + 2) + 8 x + 24$

Lösung einblenden

$- x^{2} + x + 8$	=	$(- 2 x - 8) (x + 2) + 8 x + 24$
$- x^{2} + x + 8$	=	$- 2 x^{2} - 12 x - 16 + 8 x + 24$
$- x^{2} + x + 8$	=	$- 2 x^{2} - 4 x + 8$	\| $- 8$
$- x^{2} + x$	=	$- 2 x^{2} - 4 x$	\| $- (- 2 x^{2} - 4 x)$
$- x^{2} + 2 x^{2} + x + 4 x$	=	0
$x^{2} + 5 x$	=	0
$x (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; 0}

Nullstellen (mit Lösungsformel)

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{23}{5} x + \frac{24}{5}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{23}{5} x + \frac{24}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{23}{5} x + \frac{24}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 23 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 24}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 480}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{49}}{10}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{49}}{10}$ = $\frac{- 23+7}{10}$ = $\frac{- 16}{10}$ = $- 1,6$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{49}}{10}$ = $\frac{- 23-7}{10}$ = $\frac{- 30}{10}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 23 x + 24$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{23}{5} x + \frac{24}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{10})}^{2} - (\frac{24}{5})$ = $\frac{529}{100}$ $-$ $\frac{24}{5}$ = $\frac{529}{100}$ $-$ $\frac{480}{100}$ = $\frac{49}{100}$

x_1,2 = $- \frac{23}{10}$ ± $\sqrt{\frac{49}{100}}$

x₁ = $- \frac{23}{10}$ - $\frac{7}{10}$ = $- \frac{30}{10}$ = -3

x₂ = $- \frac{23}{10}$ + $\frac{7}{10}$ = $- \frac{16}{10}$ = -1.6

L={ $- 3$ ; $- 1,6$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 3$ |0) und N₂( $- 1,6$ |0).

Schnittpunkte (mit Lösungsformel)

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} + 6 x + 11$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} - 2 x - 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} + 6 x + 11

=

2 x^{2} - 2 x - 4

|

- 2 x^{2}

+ 2 x

+ 4

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 4$ - $1$ = -5

x₂ = $- 4$ + $1$ = -3

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $2 \cdot {(- 5)}^{2} - 2 \cdot (- 5) - 4$ = $2 \cdot 25 + 10 - 4$ = $50 + 10 - 4$ = $56$

g( $- 3$ ) = $2 \cdot {(- 3)}^{2} - 2 \cdot (- 3) - 4$ = $2 \cdot 9 + 6 - 4$ = $18 + 6 - 4$ = $20$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $56$ ) und S₂( $- 3$ | $20$ ).

Schnittpunkte (Term und Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{37}{4} x - 22$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{1}{4}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{4} x - 2$ oder $f(x) =$ $\frac{1}{4} x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{4} x - 2$	=	$- x^{2} + \frac{37}{4} x - 22$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} x - 2)$	=	$4 (- x^{2} + \frac{37}{4} x - 22)$
$x - 8$	=	$- 4 x^{2} + 37 x - 88$	\| $+ 4 x^{2}$ $- 37 x$ $+ 88$

4 x^{2} - 36 x + 80

= 0 |:4

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $4$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$ ) = $- 4^{2} + \frac{37}{4} \cdot 4 - 22$ = $- 16 + 37 - 22$ = $- 1$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + \frac{37}{4} \cdot 5 - 22$ = $- 25 + \frac{185}{4} - 22$ = $- \frac{3}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $4$ | $- 1$ ) und S₂( $5$ | $- \frac{3}{4}$ ).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Nullstellen (mit Lösungsformel)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte (mit Lösungsformel)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte (Term und Graph)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):