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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 16 x + 3$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 16 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 60}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{196}}{10}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{196}}{10}$ = $\frac{- 16+14}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{196}}{10}$ = $\frac{- 16-14}{10}$ = $\frac{- 30}{10}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 16 x + 3$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{16}{5} x + \frac{3}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{5})}^{2} - (\frac{3}{5})$ = $\frac{64}{25}$ $-$ $\frac{3}{5}$ = $\frac{64}{25}$ $-$ $\frac{15}{25}$ = $\frac{49}{25}$

x_1,2 = $- \frac{8}{5}$ ± $\sqrt{\frac{49}{25}}$

x₁ = $- \frac{8}{5}$ - $\frac{7}{5}$ = $- \frac{15}{5}$ = -3

x₂ = $- \frac{8}{5}$ + $\frac{7}{5}$ = $- \frac{1}{5}$ = -0.2

L={ $- 3$ ; $- 0,2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 16 x$ = $- 17$

Lösung einblenden

4 x^{2} - 16 x

=

- 17

|

+ 17

$4 x^{2} - 16 x + 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 17}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 272}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{(- 16)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 16 x + 17$ = 0 |: $4$

$x^{2} - 4 x + \frac{17}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (\frac{17}{4})$ = $4$ $-$ $\frac{17}{4}$ = $\frac{16}{4}$ $-$ $\frac{17}{4}$ = $- \frac{1}{4}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

L={ $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + 7 x + 7$ = $(- 2 x + 2) (x - 4) - 6 x + 19$

Lösung einblenden

$- x^{2} + 7 x + 7$	=	$(- 2 x + 2) (x - 4) - 6 x + 19$
$- x^{2} + 7 x + 7$	=	$- 2 x^{2} + 10 x - 8 - 6 x + 19$
$- x^{2} + 7 x + 7$	=	$- 2 x^{2} + 4 x + 11$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 4 x$ $- 11$

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

L={ $- 4$ ; $1$ }

Nullstellen (mit Lösungsformel)

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 18 x + 81$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 18 x + 81$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $9^{2} - 81$ = $81$ $-$ $81$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 9$ ± 0 = $- 9$

L={ $- 9$ }

$- 9$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- 9$ |0).

Schnittpunkte (mit Lösungsformel)

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 4 x + 4$
und
$g(x) =$ $- x^{2} - 2 x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 4 x + 4

=

- x^{2} - 2 x + 3

|

+ x^{2}

+ 2 x

- 3

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

L={ $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 1^{2} - 2 \cdot 1 + 3$ = $- 1 - 2 + 3$ = 0

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $1$ |0).

Schnittpunkte (Term und Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 3 x - 3$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 3$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- 3 x + 2$ oder $f(x) =$ $- 3 x + 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 3 x + 2

=

- x^{2} + 3 x - 3

|

+ x^{2}

- 3 x

+ 3

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

L={ $1$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 1^{2} + 3 \cdot 1 - 3$ = $- 1 + 3 - 3$ = $- 1$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + 3 \cdot 5 - 3$ = $- 25 + 15 - 3$ = $- 13$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $- 1$ ) und S₂( $5$ | $- 13$ ).

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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Nullstellen (mit Lösungsformel)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte (mit Lösungsformel)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte (Term und Graph)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):