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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 5 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 5 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 5+11}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 5-11}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $1,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 3 x - 40$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 3 x - 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 3+13}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 3-13}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 9 x + \frac{81}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 9 x + \frac{81}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + 9 x + \frac{81}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 36 x + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{36^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 81}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{1 296 - 1 296}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 36}{8}$ = $- \frac{9}{2}$

L={ $- \frac{9}{2}$ }

$- \frac{9}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} - x + 5$ = $(- 9 x - 4) (x - 4) - 34 x + 1$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} - x + 5$	=	$(- 9 x - 4) (x - 4) - 34 x + 1$
$- 8 x^{2} - x + 5$	=	$- 9 x^{2} + 32 x + 16 - 34 x + 1$
$- 8 x^{2} - x + 5$	=	$- 9 x^{2} - 2 x + 17$	\| $+ 9 x^{2}$ $+ 2 x$ $- 17$

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{11}{2} x - \frac{21}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{11}{2} x - \frac{21}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{11}{2} x - \frac{21}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 11 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 168}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{11+17}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{11-17}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

L={ $- 1,5$ ; $7$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 1,5$ |0) und N₂( $7$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 4 x^{2} + x - 3$
und
$g(x) =$ $- 5 x^{2} + 2 x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 4 x^{2} + x - 3

=

- 5 x^{2} + 2 x + 3

|

+ 5 x^{2}

- 2 x

- 3

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- 5 \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) + 3$ = $- 5 \cdot 4 - 4 + 3$ = $- 20 - 4 + 3$ = $- 21$

g( $3$ ) = $- 5 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 + 3$ = $- 5 \cdot 9 + 6 + 3$ = $- 45 + 6 + 3$ = $- 36$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $- 21$ ) und S₂( $3$ | $- 36$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - x - 1$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- x - 2$ oder $f(x) =$ $- x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- x - 2$	=	$- x^{2} - x - 1$	\| $+ 2$
$- x$	=	$- x^{2} - x + 1$	\| $+ x^{2}$ $+ x$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$ = $- 1 + 1 - 1$ = $- 1$

g( $1$ ) = $- 1^{2} - 1 - 1$ = $- 1 - 1 - 1$ = $- 3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $- 1$ ) und S₂( $1$ | $- 3$ ).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)