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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 -12x +36 = 0

Lösung einblenden

x 2 -12x +36 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +12 ± ( -12 ) 2 -4 · 1 · 36 21

x1,2 = +12 ± 144 -144 2

x1,2 = +12 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 12 2 = 6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -6 ) 2 - 36 = 36 - 36 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 6 ± 0 = 6

L={ 6 }

6 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

100 + x 2 +20x = 0

Lösung einblenden

x 2 +20x +100 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -20 ± 20 2 -4 · 1 · 100 21

x1,2 = -20 ± 400 -400 2

x1,2 = -20 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -20 2 = -10

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 10 2 - 100 = 100 - 100 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = -10 ± 0 = -10

L={ -10 }

-10 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 + 23 4 x + 15 4 = 0

Lösung einblenden
x 2 + 23 4 x + 15 4 = 0 |⋅ 4
4( x 2 + 23 4 x + 15 4 ) = 0

4 x 2 +23x +15 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -23 ± 23 2 -4 · 4 · 15 24

x1,2 = -23 ± 529 -240 8

x1,2 = -23 ± 289 8

x1 = -23 + 289 8 = -23 +17 8 = -6 8 = -0,75

x2 = -23 - 289 8 = -23 -17 8 = -40 8 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "4 " teilen:

4 x 2 +23x +15 = 0 |: 4

x 2 + 23 4 x + 15 4 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 23 8 ) 2 - ( 15 4 ) = 529 64 - 15 4 = 529 64 - 240 64 = 289 64

x1,2 = - 23 8 ± 289 64

x1 = - 23 8 - 17 8 = - 40 8 = -5

x2 = - 23 8 + 17 8 = - 6 8 = -0.75

L={ -5 ; -0,75 }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 x 2 -6x +4 = ( 4x -9 ) ( x -7 ) +29x -44

Lösung einblenden
5 x 2 -6x +4 = ( 4x -9 ) ( x -7 ) +29x -44
5 x 2 -6x +4 = 4 x 2 -37x +63 +29x -44
5 x 2 -6x +4 = 4 x 2 -8x +19 | -4 x 2 +8x -19

x 2 +2x -15 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -15 ) 21

x1,2 = -2 ± 4 +60 2

x1,2 = -2 ± 64 2

x1 = -2 + 64 2 = -2 +8 2 = 6 2 = 3

x2 = -2 - 64 2 = -2 -8 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -15 ) = 1+ 15 = 16

x1,2 = -1 ± 16

x1 = -1 - 4 = -5

x2 = -1 + 4 = 3

L={ -5 ; 3 }

Nullstellen (mit Lösungsformel)

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit f(x)= x 2 +2x -35 .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

x 2 +2x -35 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -35 ) 21

x1,2 = -2 ± 4 +140 2

x1,2 = -2 ± 144 2

x1 = -2 + 144 2 = -2 +12 2 = 10 2 = 5

x2 = -2 - 144 2 = -2 -12 2 = -14 2 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -35 ) = 1+ 35 = 36

x1,2 = -1 ± 36

x1 = -1 - 6 = -7

x2 = -1 + 6 = 5

L={ -7 ; 5 }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N1( -7 |0) und N2( 5 |0).

Schnittpunkte (mit Lösungsformel)

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
f(x)= 2x +2
und
g(x)= - x 2 +4x +1 .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2x +2 = - x 2 +4x +1 | + x 2 -4x -1

x 2 -2x +1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · 1 21

x1,2 = +2 ± 4 -4 2

x1,2 = +2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 1 ± 0 = 1

L={ 1 }

1 ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( 1 ) = - 1 2 +41 +1 = -1 +4 +1 = 4

Der einzige Schnittpunkt ist also S( 1 | 4 ).

Schnittpunkte (Term und Graph)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit g(x)= - x 2 + 11 4 x +14 .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = -1 kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= 3 4 .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= 3 4 x -1 oder f(x)= 3 4 x -1 .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 4 x -1 = - x 2 + 11 4 x +14 |⋅ 4
4( 3 4 x -1 ) = 4( - x 2 + 11 4 x +14 )
3x -4 = -4 x 2 +11x +56 | +4 x 2 -11x -56
4 x 2 -8x -60 = 0 |:4

x 2 -2x -15 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -15 ) 21

x1,2 = +2 ± 4 +60 2

x1,2 = +2 ± 64 2

x1 = 2 + 64 2 = 2 +8 2 = 10 2 = 5

x2 = 2 - 64 2 = 2 -8 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - ( -15 ) = 1+ 15 = 16

x1,2 = 1 ± 16

x1 = 1 - 4 = -3

x2 = 1 + 4 = 5

L={ -3 ; 5 }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( -3 ) = - ( -3 ) 2 + 11 4 ( -3 ) +14 = -9 - 33 4 +14 = - 13 4

g( 5 ) = - 5 2 + 11 4 5 +14 = -25 + 55 4 +14 = 11 4

Die Schnittpunkte sind also S1( -3 | - 13 4 ) und S2( 5 | 11 4 ).