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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 27 x + 81$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 27 x + 81$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 81}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 648}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{27+9}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{27-9}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 27 x + 81$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{27}{2} x + \frac{81}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{27}{4})}^{2} - (\frac{81}{2})$ = $\frac{729}{16}$ $-$ $\frac{81}{2}$ = $\frac{729}{16}$ $-$ $\frac{648}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $\frac{27}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $\frac{27}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

x₂ = $\frac{27}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = 9

L={ $4,5$ ; $9$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$29 x + 2 x^{2} + 90$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 29 x + 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{29^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 90}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{841 - 720}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 29 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 29+11}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

x₂ = $\frac{- 29 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 29-11}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 29 x + 90$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{29}{2} x + 45$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{4})}^{2} - 45$ = $\frac{841}{16}$ $-$ $45$ = $\frac{841}{16}$ $-$ $\frac{720}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{29}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{29}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{40}{4}$ = -10

x₂ = $- \frac{29}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $- \frac{18}{4}$ = -4.5

L={ $- 10$ ; $- 4,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{5}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{5}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{5}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 9 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 9+11}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 9-11}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 9 x - 5$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{20}{4}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

L={ $- 5$ ; $0,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 x^{2} + 4 x - 2$ = $(7 x + 2) \cdot (x + 7) - 52 x - 22$

Lösung einblenden

$8 x^{2} + 4 x - 2$	=	$(7 x + 2) \cdot (x + 7) - 52 x - 22$
$8 x^{2} + 4 x - 2$	=	$7 x^{2} + 51 x + 14 - 52 x - 22$
$8 x^{2} + 4 x - 2$	=	$7 x^{2} - x - 8$	\| $- 7 x^{2}$ $+ x$ $+ 8$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Nullstellen (mit Lösungsformel)

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 45 x + 162$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

3 x^{2} + 45 x + 162

= 0 |:3

$x^{2} + 15 x + 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 54}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 15+3}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 15-3}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

L={ $- 9$ ; $- 6$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 9$ |0) und N₂( $- 6$ |0).

Schnittpunkte (mit Lösungsformel)

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} + 5 x - 11$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} + 5 x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$6 x^{2} + 5 x - 11$	=	$5 x^{2} + 5 x - 2$	\| $+ 11$
$6 x^{2} + 5 x$	=	$5 x^{2} + 5 x + 9$	\| $- 5 x^{2}$ $- 5 x$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $5 \cdot {(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3) - 2$ = $5 \cdot 9 - 15 - 2$ = $45 - 15 - 2$ = $28$

g( $3$ ) = $5 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3 - 2$ = $5 \cdot 9 + 15 - 2$ = $45 + 15 - 2$ = $58$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $28$ ) und S₂( $3$ | $58$ ).

Schnittpunkte (Term und Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - 7 x - 6$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- x + 3$ oder $f(x) =$ $- x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x + 3

=

- x^{2} - 7 x - 6

|

+ x^{2}

+ 7 x

+ 6

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 3$ ± 0 = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} - 7 \cdot (- 3) - 6$ = $- 9 + 21 - 6$ = $6$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 3$ | $6$ ).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Nullstellen (mit Lösungsformel)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte (mit Lösungsformel)

Schnittpunkte (Term und Graph)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):