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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 24 x + 27$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 24 x + 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 27}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 540}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{36}}{10}$

x₁ = $\frac{- 24 + \sqrt{36}}{10}$ = $\frac{- 24+6}{10}$ = $\frac{- 18}{10}$ = $- 1,8$

x₂ = $\frac{- 24 - \sqrt{36}}{10}$ = $\frac{- 24-6}{10}$ = $\frac{- 30}{10}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 24 x + 27$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{24}{5} x + \frac{27}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{12}{5})}^{2} - (\frac{27}{5})$ = $\frac{144}{25}$ $-$ $\frac{27}{5}$ = $\frac{144}{25}$ $-$ $\frac{135}{25}$ = $\frac{9}{25}$

x_1,2 = $- \frac{12}{5}$ ± $\sqrt{\frac{9}{25}}$

x₁ = $- \frac{12}{5}$ - $\frac{3}{5}$ = $- \frac{15}{5}$ = -3

x₂ = $- \frac{12}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $- \frac{9}{5}$ = -1.8

L={ $- 3$ ; $- 1,8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 45$ = $41 x$

Lösung einblenden

4 x^{2} + 45

=

41 x

|

- 41 x

$4 x^{2} - 41 x + 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 41 \pm \sqrt{{(- 41)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 45}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 41 \pm \sqrt{1 681 - 720}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 41 \pm \sqrt{961}}{8}$

x₁ = $\frac{41 + \sqrt{961}}{8}$ = $\frac{41+31}{8}$ = $\frac{72}{8}$ = $9$

x₂ = $\frac{41 - \sqrt{961}}{8}$ = $\frac{41-31}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = $1,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 41 x + 45$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{41}{4} x + \frac{45}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{41}{8})}^{2} - (\frac{45}{4})$ = $\frac{1681}{64}$ $-$ $\frac{45}{4}$ = $\frac{1681}{64}$ $-$ $\frac{720}{64}$ = $\frac{961}{64}$

x_1,2 = $\frac{41}{8}$ ± $\sqrt{\frac{961}{64}}$

x₁ = $\frac{41}{8}$ - $\frac{31}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = 1.25

x₂ = $\frac{41}{8}$ + $\frac{31}{8}$ = $\frac{72}{8}$ = 9

L={ $1,25$ ; $9$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{33}{4} x - \frac{27}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{33}{4} x - \frac{27}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{33}{4} x - \frac{27}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 33 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{{(- 33)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{1 089 + 432}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{1 521}}{8}$

x₁ = $\frac{33 + \sqrt{1 521}}{8}$ = $\frac{33+39}{8}$ = $\frac{72}{8}$ = $9$

x₂ = $\frac{33 - \sqrt{1 521}}{8}$ = $\frac{33-39}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 33 x - 27$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{33}{4} x - \frac{27}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{33}{8})}^{2} - (- \frac{27}{4})$ = $\frac{1089}{64}$ $+$ $\frac{27}{4}$ = $\frac{1089}{64}$ $+$ $\frac{432}{64}$ = $\frac{1521}{64}$

x_1,2 = $\frac{33}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{64}}$

x₁ = $\frac{33}{8}$ - $\frac{39}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{33}{8}$ + $\frac{39}{8}$ = $\frac{72}{8}$ = 9

L={ $- 0,75$ ; $9$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x + 4$ = $(- x + 9) \cdot (x + 8) + 8 x - 68$

Lösung einblenden

$7 x + 4$	=	$(- x + 9) \cdot (x + 8) + 8 x - 68$
$7 x + 4$	=	$- x^{2} + x + 72 + 8 x - 68$
$7 x + 4$	=	$- x^{2} + 9 x + 4$	\| $- 4$
$7 x$	=	$- x^{2} + 9 x$	\| $- (- x^{2} + 9 x)$
$x^{2} + 7 x - 9 x$	=	0
$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

L={0; $2$ }

Nullstellen (mit Lösungsformel)

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{17}{2} x + \frac{35}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{17}{2} x + \frac{35}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{17}{2} x + \frac{35}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 17 x + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 35}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 280}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 17+3}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 17-3}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 17 x + 35$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{17}{2} x + \frac{35}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{4})}^{2} - (\frac{35}{2})$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{35}{2}$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{280}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{17}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{20}{4}$ = -5

x₂ = $- \frac{17}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

L={ $- 5$ ; $- 3,5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 5$ |0) und N₂( $- 3,5$ |0).

Schnittpunkte (mit Lösungsformel)

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 x^{2} + 7 x + 12$
und
$g(x) =$ $x^{2} - x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x^{2} + 7 x + 12

=

x^{2} - x - 3

|

- x^{2}

+ x

+ 3

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 4$ - $1$ = -5

x₂ = $- 4$ + $1$ = -3

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = ${(- 5)}^{2} - (- 5) - 3$ = $25 + 5 - 3$ = $27$

g( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} - (- 3) - 3$ = $9 + 3 - 3$ = $9$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $27$ ) und S₂( $- 3$ | $9$ ).

Schnittpunkte (Term und Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - 2 x + 12$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 2$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- 2 x + 3$ oder $f(x) =$ $- 2 x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- 2 x + 3$	=	$- x^{2} - 2 x + 12$	\| $- 3$
$- 2 x$	=	$- x^{2} - 2 x + 9$	\| $+ x^{2}$ $+ 2 x$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} - 2 \cdot (- 3) + 12$ = $- 9 + 6 + 12$ = $9$

g( $3$ ) = $- 3^{2} - 2 \cdot 3 + 12$ = $- 9 - 6 + 12$ = $- 3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $9$ ) und S₂( $3$ | $- 3$ ).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Nullstellen (mit Lösungsformel)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte (mit Lösungsformel)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte (Term und Graph)