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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 22 x + 36$ = 0

2 x^{2} + 22 x + 36

= 0 |:2

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11\pm\sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11\pm\sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11\pm\sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $- 2$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$14 x + x^{2} + 40$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 14 x + 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14\pm\sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14\pm\sqrt{196 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14\pm\sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 14+6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 14-6}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $- 4$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} + 54 x + 243$ = 0

Lösung einblenden

3 x^{2} + 54 x + 243

= 0 |:3

$x^{2} + 18 x + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 18\pm\sqrt{18^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 18\pm\sqrt{324 - 324}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 18\pm\sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ }

$- 9$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} + 6 x - 6$ = $(8 x - 4) (x - 3) + 41 x - 30$

Lösung einblenden

$9 x^{2} + 6 x - 6$	=	$(8 x - 4) (x - 3) + 41 x - 30$
$9 x^{2} + 6 x - 6$	=	$8 x^{2} - 28 x + 12 + 41 x - 30$
$9 x^{2} + 6 x - 6$	=	$8 x^{2} + 13 x - 18$	\| $- 8 x^{2}$ $- 13 x$ $+ 18$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7\pm\sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7\pm\sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7\pm\sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 12 x - 18$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 2 x^{2} - 12 x - 18

= 0 |:2

$- x^{2} - 6 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6\pm\sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6\pm\sqrt{36 - 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6\pm\sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- 3$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} - 4 x - 7$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} - 5 x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} - 4 x - 7

=

5 x^{2} - 5 x + 5

|

- 5 x^{2}

+ 5 x

- 5

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1\pm\sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1\pm\sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1\pm\sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $5 \cdot {(- 4)}^{2} - 5 \cdot (- 4) + 5$ = $5 \cdot 16 + 20 + 5$ = $80 + 20 + 5$ = $105$

g( $3$ ) = $5 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 + 5$ = $5 \cdot 9 - 15 + 5$ = $45 - 15 + 5$ = $35$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $105$ ) und S₂( $3$ | $35$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + 2 x + 9$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 0 und x₂ = 2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 0) \cdot (x - 2)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 0) \cdot (x - 2)$ = $- x^{2} + 2 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- x^{2} + 2 x$	=	$- 2 x^{2} + 2 x + 9$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 2 x$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- 2 \cdot {(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3) + 9$ = $- 2 \cdot 9 - 6 + 9$ = $- 18 - 6 + 9$ = $- 15$

g( $3$ ) = $- 2 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 + 9$ = $- 2 \cdot 9 + 6 + 9$ = $- 18 + 6 + 9$ = $- 3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- 15$ ) und S₂( $3$ | $- 3$ ).

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Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)