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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x 2 -4x -16 = 0

Lösung einblenden
2 x 2 -4x -16 = 0 |:2

x 2 -2x -8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -8 ) 21

x1,2 = +2 ± 4 +32 2

x1,2 = +2 ± 36 2

x1 = 2 + 36 2 = 2 +6 2 = 8 2 = 4

x2 = 2 - 36 2 = 2 -6 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - ( -8 ) = 1+ 8 = 9

x1,2 = 1 ± 9

x1 = 1 - 3 = -2

x2 = 1 + 3 = 4

L={ -2 ; 4 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-9 +2 x 2 -7x = 0

Lösung einblenden

2 x 2 -7x -9 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · 2 · ( -9 ) 22

x1,2 = +7 ± 49 +72 4

x1,2 = +7 ± 121 4

x1 = 7 + 121 4 = 7 +11 4 = 18 4 = 4,5

x2 = 7 - 121 4 = 7 -11 4 = -4 4 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 x 2 -7x -9 = 0 |: 2

x 2 - 7 2 x - 9 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 7 4 ) 2 - ( - 9 2 ) = 49 16 + 9 2 = 49 16 + 72 16 = 121 16

x1,2 = 7 4 ± 121 16

x1 = 7 4 - 11 4 = - 4 4 = -1

x2 = 7 4 + 11 4 = 18 4 = 4.5

L={ -1 ; 4,5 }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 -11x +24 = 0

Lösung einblenden

x 2 -11x +24 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +11 ± ( -11 ) 2 -4 · 1 · 24 21

x1,2 = +11 ± 121 -96 2

x1,2 = +11 ± 25 2

x1 = 11 + 25 2 = 11 +5 2 = 16 2 = 8

x2 = 11 - 25 2 = 11 -5 2 = 6 2 = 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 11 2 ) 2 - 24 = 121 4 - 24 = 121 4 - 96 4 = 25 4

x1,2 = 11 2 ± 25 4

x1 = 11 2 - 5 2 = 6 2 = 3

x2 = 11 2 + 5 2 = 16 2 = 8

L={ 3 ; 8 }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-5 x 2 - x +3 = ( -6x +6 ) ( x -5 ) -35x +41

Lösung einblenden
-5 x 2 - x +3 = ( -6x +6 ) ( x -5 ) -35x +41
-5 x 2 - x +3 = -6 x 2 +36x -30 -35x +41
-5 x 2 - x +3 = -6 x 2 + x +11 | +6 x 2 - x -11

x 2 -2x -8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -8 ) 21

x1,2 = +2 ± 4 +32 2

x1,2 = +2 ± 36 2

x1 = 2 + 36 2 = 2 +6 2 = 8 2 = 4

x2 = 2 - 36 2 = 2 -6 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - ( -8 ) = 1+ 8 = 9

x1,2 = 1 ± 9

x1 = 1 - 3 = -2

x2 = 1 + 3 = 4

L={ -2 ; 4 }

Nullstellen (mit Lösungsformel)

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit f(x)= x 2 -20x +101 .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

x 2 -20x +101 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +20 ± ( -20 ) 2 -4 · 1 · 101 21

x1,2 = +20 ± 400 -404 2

x1,2 = +20 ± ( -4 ) 2

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -10 ) 2 - 101 = 100 - 101 = -1

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte (mit Lösungsformel)

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
f(x)= 2x -1
und
g(x)= - x 2 - x -3 .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2x -1 = - x 2 - x -3 | + x 2 + x +3

x 2 +3x +2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · 2 21

x1,2 = -3 ± 9 -8 2

x1,2 = -3 ± 1 2

x1 = -3 + 1 2 = -3 +1 2 = -2 2 = -1

x2 = -3 - 1 2 = -3 -1 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 3 2 ) 2 - 2 = 9 4 - 2 = 9 4 - 8 4 = 1 4

x1,2 = - 3 2 ± 1 4

x1 = - 3 2 - 1 2 = - 4 2 = -2

x2 = - 3 2 + 1 2 = - 2 2 = -1

L={ -2 ; -1 }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( -2 ) = - ( -2 ) 2 - ( -2 ) -3 = -4 +2 -3 = -5

g( -1 ) = - ( -1 ) 2 - ( -1 ) -3 = -1 +1 -3 = -3

Die Schnittpunkte sind also S1( -2 | -5 ) und S2( -1 | -3 ).

Schnittpunkte (Term und Graph)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit g(x)= - x 2 -2x -1 .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = -3 kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=-1.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= -x -3 oder f(x)= -x -3 .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

-x -3 = - x 2 -2x -1 | + x 2 +2x +1

x 2 + x -2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +8 2

x1,2 = -1 ± 9 2

x1 = -1 + 9 2 = -1 +3 2 = 2 2 = 1

x2 = -1 - 9 2 = -1 -3 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -2 ) = 1 4 + 2 = 1 4 + 8 4 = 9 4

x1,2 = - 1 2 ± 9 4

x1 = - 1 2 - 3 2 = - 4 2 = -2

x2 = - 1 2 + 3 2 = 2 2 = 1

L={ -2 ; 1 }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( -2 ) = - ( -2 ) 2 -2( -2 ) -1 = -4 +4 -1 = -1

g( 1 ) = - 1 2 -21 -1 = -1 -2 -1 = -4

Die Schnittpunkte sind also S1( -2 | -1 ) und S2( 1 | -4 ).