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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 4 x + 2$ = 0

4 x^{2} + 4 x + 2

= 0 |:2

$2 x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{4}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 2 x + 1$ = 0 |: $2$

$x^{2} + x + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{1}{4}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{4}$ $-$ $\frac{2}{4}$ = $- \frac{1}{4}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 11 x - 3$ = $- 4 x^{2}$

Lösung einblenden

- 11 x - 3

=

- 4 x^{2}

|

+ 4 x^{2}

$4 x^{2} - 11 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{169}}{8}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{11+13}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = $3$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{11-13}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 11 x - 3$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{11}{4} x - \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{8})}^{2} - (- \frac{3}{4})$ = $\frac{121}{64}$ $+$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{121}{64}$ $+$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $\frac{11}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $\frac{11}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

x₂ = $\frac{11}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

L={ $- 0,25$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 10 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} + 10 x - 8

= 0 |:2

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5+3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5-3}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $1$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 4 x + 9$ = $(4 x + 8) \cdot (x + 2) - 12 x - 23$

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 4 x + 9$	=	$(4 x + 8) \cdot (x + 2) - 12 x - 23$
$5 x^{2} - 4 x + 9$	=	$4 x^{2} + 16 x + 16 - 12 x - 23$
$5 x^{2} - 4 x + 9$	=	$4 x^{2} + 4 x - 7$	\| $- 4 x^{2}$ $- 4 x$ $+ 7$

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Nullstellen (mit Lösungsformel)

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 21 x + 54$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 3 x^{2} + 21 x + 54

= 0 |:3

$- x^{2} + 7 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 18}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{- 7+11}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{- 7-11}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x + 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

L={ $- 2$ ; $9$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 2$ |0) und N₂( $9$ |0).

Schnittpunkte (mit Lösungsformel)

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} + 7 x + 27$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} - 3 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} + 7 x + 27

=

5 x^{2} - 3 x + 2

|

- 5 x^{2}

+ 3 x

- 2

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 5$ ± 0 = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $5 \cdot {(- 5)}^{2} - 3 \cdot (- 5) + 2$ = $5 \cdot 25 + 15 + 2$ = $125 + 15 + 2$ = $142$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 5$ | $142$ ).

Schnittpunkte (Term und Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{10}{3} x - 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{1}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{3} x - 3$ oder $f(x) =$ $\frac{1}{3} x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{3} x - 3$	=	$- x^{2} + \frac{10}{3} x - 5$	\|⋅ 3
$3 (\frac{1}{3} x - 3)$	=	$3 (- x^{2} + \frac{10}{3} x - 5)$
$x - 9$	=	$- 3 x^{2} + 10 x - 15$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 10 x$ $+ 15$

3 x^{2} - 9 x + 6

= 0 |:3

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 1^{2} + \frac{10}{3} \cdot 1 - 5$ = $- 1 + \frac{10}{3} - 5$ = $- \frac{8}{3}$

g( $2$ ) = $- 2^{2} + \frac{10}{3} \cdot 2 - 5$ = $- 4 + \frac{20}{3} - 5$ = $- \frac{7}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $- \frac{8}{3}$ ) und S₂( $2$ | $- \frac{7}{3}$ ).

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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Nullstellen (mit Lösungsformel)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte (mit Lösungsformel)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte (Term und Graph)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):