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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4 x 2 -17x -15 = 0

Lösung einblenden

4 x 2 -17x -15 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +17 ± ( -17 ) 2 -4 · 4 · ( -15 ) 24

x1,2 = +17 ± 289 +240 8

x1,2 = +17 ± 529 8

x1 = 17 + 529 8 = 17 +23 8 = 40 8 = 5

x2 = 17 - 529 8 = 17 -23 8 = -6 8 = -0,75

L={ -0,75 ; 5 }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4 x 2 +100 -40x = 0

Lösung einblenden
4 x 2 -40x +100 = 0 |:4

x 2 -10x +25 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +10 ± ( -10 ) 2 -4 · 1 · 25 21

x1,2 = +10 ± 100 -100 2

x1,2 = +10 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 10 2 = 5

L={ 5 }

5 ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 -4x -21 = 0

Lösung einblenden

x 2 -4x -21 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · ( -21 ) 21

x1,2 = +4 ± 16 +84 2

x1,2 = +4 ± 100 2

x1 = 4 + 100 2 = 4 +10 2 = 14 2 = 7

x2 = 4 - 100 2 = 4 -10 2 = -6 2 = -3

L={ -3 ; 7 }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4 x 2 -5x +2 = ( 3x -4 ) ( x +6 ) -25x +21

Lösung einblenden
4 x 2 -5x +2 = ( 3x -4 ) ( x +6 ) -25x +21
4 x 2 -5x +2 = 3 x 2 +14x -24 -25x +21
4 x 2 -5x +2 = 3 x 2 -11x -3 | -3 x 2 +11x +3

x 2 +6x +5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -6 ± 6 2 -4 · 1 · 5 21

x1,2 = -6 ± 36 -20 2

x1,2 = -6 ± 16 2

x1 = -6 + 16 2 = -6 +4 2 = -2 2 = -1

x2 = -6 - 16 2 = -6 -4 2 = -10 2 = -5

L={ -5 ; -1 }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit f(x)= x 2 +5x -50 .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

x 2 +5x -50 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -5 ± 5 2 -4 · 1 · ( -50 ) 21

x1,2 = -5 ± 25 +200 2

x1,2 = -5 ± 225 2

x1 = -5 + 225 2 = -5 +15 2 = 10 2 = 5

x2 = -5 - 225 2 = -5 -15 2 = -20 2 = -10

L={ -10 ; 5 }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N1( -10 |0) und N2( 5 |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
f(x)= 3 x 2 -4x +8
und
g(x)= 2 x 2 +2x -1 .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x 2 -4x +8 = 2 x 2 +2x -1 | -2 x 2 -2x +1

x 2 -6x +9 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +6 ± ( -6 ) 2 -4 · 1 · 9 21

x1,2 = +6 ± 36 -36 2

x1,2 = +6 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 6 2 = 3

L={ 3 }

3 ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( 3 ) = 2 3 2 +23 -1 = 29 +6 -1 = 18 +6 -1 = 23

Der einzige Schnittpunkt ist also S( 3 | 23 ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit g(x)= - x 2 -5x -8 .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = -3 kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=1.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= x -3 oder f(x)= x -3 .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x -3 = - x 2 -5x -8 | + x 2 +5x +8

x 2 +6x +5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -6 ± 6 2 -4 · 1 · 5 21

x1,2 = -6 ± 36 -20 2

x1,2 = -6 ± 16 2

x1 = -6 + 16 2 = -6 +4 2 = -2 2 = -1

x2 = -6 - 16 2 = -6 -4 2 = -10 2 = -5

L={ -5 ; -1 }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( -5 ) = - ( -5 ) 2 -5( -5 ) -8 = -25 +25 -8 = -8

g( -1 ) = - ( -1 ) 2 -5( -1 ) -8 = -1 +5 -8 = -4

Die Schnittpunkte sind also S1( -5 | -8 ) und S2( -1 | -4 ).