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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 4 x + 1$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 4 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{8}$ = $\frac{1}{2}$

L={ $\frac{1}{2}$ }

$\frac{1}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 9 x + 2 x^{2}$ = $5$

Lösung einblenden

2 x^{2} - 9 x

=

5

|

- 5

$2 x^{2} - 9 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{9+11}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{9-11}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

L={ $- 0,5$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - x - 20$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} - 4 x + 5$ = $(- 5 x + 2) (x - 8) - 38 x + 6$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} - 4 x + 5$	=	$(- 5 x + 2) (x - 8) - 38 x + 6$
$- 4 x^{2} - 4 x + 5$	=	$- 5 x^{2} + 42 x - 16 - 38 x + 6$
$- 4 x^{2} - 4 x + 5$	=	$- 5 x^{2} + 4 x - 10$	\| $+ 5 x^{2}$ $- 4 x$ $+ 10$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{5}{4} x - \frac{21}{4}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{5}{4} x - \frac{21}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{5}{4} x - \frac{21}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 5 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 336}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{361}}{8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{- 5+19}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = $1,75$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{- 5-19}{8}$ = $\frac{- 24}{8}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $1,75$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 3$ |0) und N₂( $1,75$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- x^{2} - 12 x + 12$
und
$g(x) =$ $- 2 x^{2} - 5 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} - 12 x + 12

=

- 2 x^{2} - 5 x + 2

|

+ 2 x^{2}

+ 5 x

- 2

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $- 2 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 2$ = $- 2 \cdot 4 - 10 + 2$ = $- 8 - 10 + 2$ = $- 16$

g( $5$ ) = $- 2 \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5 + 2$ = $- 2 \cdot 25 - 25 + 2$ = $- 50 - 25 + 2$ = $- 73$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $- 16$ ) und S₂( $5$ | $- 73$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{11}{2} x - 3$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{1}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{2} x + 1$ oder $f(x) =$ $\frac{1}{2} x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{2} x + 1$	=	$- x^{2} + \frac{11}{2} x - 3$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x + 1)$	=	$2 (- x^{2} + \frac{11}{2} x - 3)$
$x + 2$	=	$- 2 x^{2} + 11 x - 6$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 11 x$ $+ 6$

2 x^{2} - 10 x + 8

= 0 |:2

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 1^{2} + \frac{11}{2} \cdot 1 - 3$ = $- 1 + \frac{11}{2} - 3$ = $\frac{3}{2}$

g( $4$ ) = $- 4^{2} + \frac{11}{2} \cdot 4 - 3$ = $- 16 + 22 - 3$ = $3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $\frac{3}{2}$ ) und S₂( $4$ | $3$ ).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)