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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 4 x + 2$ = 0

4 x^{2} - 4 x + 2

= 0 |:2

$2 x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{4}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$101 + 4 x^{2} - 40 x$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 40 x + 101$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{{(- 40)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 101}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{1 600 - 1 616}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{(- 16)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{25}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{25}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{25}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 15 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 25}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{15+5}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{15-5}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

L={ $2,5$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 x^{2} - 2 x + 1$ = $(7 x - 9) (x + 7) - 42 x + 68$

Lösung einblenden

$8 x^{2} - 2 x + 1$	=	$(7 x - 9) (x + 7) - 42 x + 68$
$8 x^{2} - 2 x + 1$	=	$7 x^{2} + 40 x - 63 - 42 x + 68$
$8 x^{2} - 2 x + 1$	=	$7 x^{2} - 2 x + 5$	\| $- 1$
$8 x^{2} - 2 x$	=	$7 x^{2} - 2 x + 4$	\| $- 7 x^{2}$ $+ 2 x$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{1}{2} x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{1}{2} x - 3$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{1}{2} x - 3)$	=	0

$2 x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 1+7}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 1-7}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $1,5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 2$ |0) und N₂( $1,5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $7 x + 7$
und
$g(x) =$ $- x^{2} + x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

7 x + 7

=

- x^{2} + x + 2

|

+ x^{2}

- x

- 2

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - 5 + 2$ = $- 25 - 5 + 2$ = $- 28$

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} - 1 + 2$ = $- 1 - 1 + 2$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- 28$ ) und S₂( $- 1$ |0).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{29}{4} x - 16$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{3}{4}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{3}{4} x - 1$ oder $f(x) =$ $\frac{3}{4} x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{3}{4} x - 1$	=	$- x^{2} - \frac{29}{4} x - 16$	\|⋅ 4
$4 (\frac{3}{4} x - 1)$	=	$4 (- x^{2} - \frac{29}{4} x - 16)$
$3 x - 4$	=	$- 4 x^{2} - 29 x - 64$	\| $+ 4 x^{2}$ $+ 29 x$ $+ 64$

4 x^{2} + 32 x + 60

= 0 |:4

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - \frac{29}{4} \cdot (- 5) - 16$ = $- 25 + \frac{145}{4} - 16$ = $- \frac{19}{4}$

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} - \frac{29}{4} \cdot (- 3) - 16$ = $- 9 + \frac{87}{4} - 16$ = $- \frac{13}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- \frac{19}{4}$ ) und S₂( $- 3$ | $- \frac{13}{4}$ ).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)