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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 +10x +25 = 0

Lösung einblenden

x 2 +10x +25 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -10 ± 10 2 -4 · 1 · 25 21

x1,2 = -10 ± 100 -100 2

x1,2 = -10 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -10 2 = -5

L={ -5 }

-5 ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 x 2 +10 +15x = 0

Lösung einblenden
5 x 2 +15x +10 = 0 |:5

x 2 +3x +2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · 2 21

x1,2 = -3 ± 9 -8 2

x1,2 = -3 ± 1 2

x1 = -3 + 1 2 = -3 +1 2 = -2 2 = -1

x2 = -3 - 1 2 = -3 -1 2 = -4 2 = -2

L={ -2 ; -1 }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 -3x -10 = 0

Lösung einblenden

x 2 -3x -10 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( -10 ) 21

x1,2 = +3 ± 9 +40 2

x1,2 = +3 ± 49 2

x1 = 3 + 49 2 = 3 +7 2 = 10 2 = 5

x2 = 3 - 49 2 = 3 -7 2 = -4 2 = -2

L={ -2 ; 5 }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x 2 +2x -3 = ( x +2 ) ( x +8 ) -16x -34

Lösung einblenden
2 x 2 +2x -3 = ( x +2 ) ( x +8 ) -16x -34
2 x 2 +2x -3 = x 2 +10x +16 -16x -34
2 x 2 +2x -3 = x 2 -6x -18 | - x 2 +6x +18

x 2 +8x +15 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -8 ± 8 2 -4 · 1 · 15 21

x1,2 = -8 ± 64 -60 2

x1,2 = -8 ± 4 2

x1 = -8 + 4 2 = -8 +2 2 = -6 2 = -3

x2 = -8 - 4 2 = -8 -2 2 = -10 2 = -5

L={ -5 ; -3 }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit f(x)= 3 x 2 +27x -30 .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

3 x 2 +27x -30 = 0 |:3

x 2 +9x -10 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -9 ± 9 2 -4 · 1 · ( -10 ) 21

x1,2 = -9 ± 81 +40 2

x1,2 = -9 ± 121 2

x1 = -9 + 121 2 = -9 +11 2 = 2 2 = 1

x2 = -9 - 121 2 = -9 -11 2 = -20 2 = -10

L={ -10 ; 1 }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N1( -10 |0) und N2( 1 |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
f(x)= -2 x 2 +9x +13
und
g(x)= -3 x 2 + x -4 .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

-2 x 2 +9x +13 = -3 x 2 + x -4 | +3 x 2 - x +4

x 2 +8x +17 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -8 ± 8 2 -4 · 1 · 17 21

x1,2 = -8 ± 64 -68 2

x1,2 = -8 ± ( -4 ) 2

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit g(x)= - x 2 +8x -27 .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = -2 kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=-2.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= -2x -2 oder f(x)= -2x -2 .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

-2x -2 = - x 2 +8x -27 | + x 2 -8x +27

x 2 -10x +25 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +10 ± ( -10 ) 2 -4 · 1 · 25 21

x1,2 = +10 ± 100 -100 2

x1,2 = +10 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 10 2 = 5

L={ 5 }

5 ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( 5 ) = - 5 2 +85 -27 = -25 +40 -27 = -12

Der einzige Schnittpunkt ist also S( 5 | -12 ).