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Winkel in Uhr

Beispiel:

Wenn es 5:00 Uhr ist, wie groß ist dann der Winkel α zwischen den beiden Zeigern?

Gesucht ist der kleinere Winkel.

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BlaBla

Die Uhr setzt sich aus 12 gleich großen Sektoren für die 12 Stunden zusammen. Also muss der Winkel zwischen zwei Stunde-Strichchen immer genau 360°:12 = 30° sein.

Der Winkel zwischen 12 Uhr und 5 Uhr ist also 5 ⋅ 30° = 150°.

Somit ist der gesucht Winkel 150°.

Winkel messen/schätzen

Beispiel:

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Wähle die passende Winkelgröße für den eingezeichneten Winkel α.

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Wenn man das Geodreieck richtig anlegt, erkennt man, dass der gegebene Winkel 22° sein muss.

Winkel zu 180° ergänzen

Beispiel:

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Berechne den eingezeichneten Winkel α.

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Der blaue Winkel mit 66° und α ergeben zusammen einen gestreckten Winkel, es gilt also:

66° + α = 180°

Also muss α doch 66° kleiner als 180° sein:

α = 180° - 66° = 114°

Innenwinkel Dreieck

Beispiel:

Zeichne das Dreieck ABC mit A(1|5), B(10|1) und C(4|5) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm und miss die drei Innenwinkel.

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Wenn man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem einzeichnet, kann folgende Winkel abmessen:

α24°

β10°

γ146°

Winkel im KoSy konstruieren (<180°)

Beispiel:

Zeichne die Punkte A(8|3) und B(2|4) in ein Koordinatensystem.
Zeichne den Winkel α = 30° so, dass A der Scheitel ist und B auf dem ersten Schenkel liegt.
Der zweite Schenkel schneidet die x-Achse im Punkt S. Lies die Koordinaten dieses Schnittpunkts S ab.

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Wenn man die Punkte A und B in das Koordinatensystem eingezeichnet hat, muss man darauf achten, dass man den 2. Schenkel des Winkels im positiven Drehsinn (also gegen den Uhrzeigersinn) einzeichnet.

Dann erhält man den Schnittpunkt mit der x-Achse bei S(0|0).

Innenwinkel +Winkeleinteilung

Beispiel:

Zeichne das Dreieck ABC mit A(1|2), B(9|2) und C(5|7) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm und miss die drei Innenwinkel.

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Wenn man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem einzeichnet, kann man folgende Winkel abmessen:

α51°

β51°

γ77°

Weil der größte Winkel γ = 77° < 90° ist, ist das Dreieck spitzwinklig.

Winkel im KoSy konstruieren

Beispiel:

Zeichne die Punkte A(0|5) und B(5|6) in ein Koordinatensystem.
(Zeichne dabei die y-Achse in die Mitte des KoSy, so dass die x-Achse mindestens von -5 bis 5 zu sehen ist.)
Zeichne den Winkel α = 214° so, dass A der Scheitel ist und B auf dem ersten Schenkel liegt.
Der zweite Schenkel schneidet die x-Achse im Punkt S. Lies die Koordinaten dieses Schnittpunkts S ab.

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Wenn man die Punkte A und B in das Koordinatensystem eingezeichnet hat, muss man darauf achten, dass man den 2. Schenkel des Winkels im positiven Drehsinn (also gegen den Uhrzeigersinn) einzeichnet.

Dann erhält man den Schnittpunkt mit der x-Achse bei S(-5|0).

Winkel von Kreisausschnitte

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bestimme die Mittelpunktswinkel α der einzelnen Sektoren.

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Wir können insgesamt 12 gleich große Sektoren erkennen.

Zusammen ergeben die 12 Sektoren einen vollen Kreis mit 360°, also gilt für den Mittelpunktswinkel eines Sektors:

α = 360° 12 = 30°

Kreiswinkel aus Säulendiagramm

Beispiel:

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Daten

Bei einer Datenerhebung wurden 40 Personen befragt, die sich für eine der Optionen A, B, C oder D entscheiden müssen.

Das Ergebnis wurde im nebenstehenden Säulendiagramm veranschaulicht.

Bestimme jeweils die Mittelpunktswinkel der jeweiligen Sektoren, wenn dieses Ergebnis in einem Kreisdiagramm dargestellt werden soll.

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Wir lesen zuerst die Werte aus dem Säulendiagramm ab: A: 16, B: 6, C: 13, D: 5

Zur Kontrolle, dass man nicht falsch abgelesen hat, kann man die Werte auch nochmals addieren: 16 + 6 + 13 + 5 = 40

Jetzt können wir die Anteile der einzelnen Optionen berechnen, in dem wir die Zahlenwerte einfach durch die Gesamtzahl der Personen 40 teilen:

A: 16 40

B: 6 40

C: 13 40

D: 5 40

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Um die Winkelgrößen der Mittelpunktswinkel zu erhalten, müssen wir einfach die Anteile mit den 360° eines Vollkreises multiplizieren.

Dabei können wir jeweils immer überkreuz den Nenner 40 mit den 360 kürzen:

A: 16 40 ⋅ 360° = 16 ⋅ 9° = 144°

B: 6 40 ⋅ 360° = 6 ⋅ 9° = 54°

C: 13 40 ⋅ 360° = 13 ⋅ 9° = 117°

D: 5 40 ⋅ 360° = 5 ⋅ 9° = 45°