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Winkel in Uhr

Beispiel:

Wenn es 10:00 Uhr ist, wie groß ist dann der Winkel α zwischen den beiden Zeigern?

Gesucht ist der kleinere Winkel.

Die Uhr setzt sich aus 12 gleich großen Sektoren für die 12 Stunden zusammen. Also muss der Winkel zwischen zwei Stunde-Strichchen immer genau 360°:12 = 30° sein.

Der Winkel zwischen 12 Uhr und 10 Uhr ist also 10 ⋅ 30° = 300°.

Der Winkel auf der linken Seite zwischen 10 Uhr und 10 Uhr ist mit 2 ⋅ 30° = 60° jedoch kleiner.

Somit ist der gesucht Winkel 60°.

Winkel messen/schätzen

Beispiel:

Wähle die passende Winkelgröße für den eingezeichneten Winkel α.

Lösung einblenden

Wenn man das Geodreieck richtig anlegt, erkennt man, dass der gegebene Winkel 152° sein muss.

Winkel zu 180° ergänzen

Beispiel:

Berechne den eingezeichneten Winkel α.

Lösung einblenden

Der blaue Winkel mit 144° und α ergeben zusammen einen gestreckten Winkel, es gilt also:

144° + α = 180°

Also muss α doch 144° kleiner als 180° sein:

α = 180° - 144° = 36°

Innenwinkel Dreieck

Beispiel:

Zeichne das Dreieck ABC mit A(0|1), B(6|2) und C(4|5) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm und miss die drei Innenwinkel.

Lösung einblenden

Wenn man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem einzeichnet, kann folgende Winkel abmessen:

α ≈ 36°

β ≈ 66°

γ ≈ 79°

Winkel im KoSy konstruieren (<180°)

Beispiel:

Zeichne die Punkte A(7|3) und B(1|4) in ein Koordinatensystem.
Zeichne den Winkel α = 144° so, dass A der Scheitel ist und B auf dem ersten Schenkel liegt.
Der zweite Schenkel schneidet die x-Achse im Punkt S. Lies die Koordinaten dieses Schnittpunkts S ab.

Lösung einblenden

Wenn man die Punkte A und B in das Koordinatensystem eingezeichnet hat, muss man darauf achten, dass man den 2. Schenkel des Winkels im positiven Drehsinn (also gegen den Uhrzeigersinn) einzeichnet.

Dann erhält man den Schnittpunkt mit der x-Achse bei S(10|0).

Innenwinkel +Winkeleinteilung

Beispiel:

Zeichne das Dreieck ABC mit A(2|2), B(8|2) und C(7|5) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm und miss die drei Innenwinkel.

Lösung einblenden

Wenn man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem einzeichnet, kann man folgende Winkel abmessen:

α ≈ 31°

β ≈ 72°

γ ≈ 77°

Weil der größte Winkel γ = 77° < 90° ist, ist das Dreieck spitzwinklig.

Winkel im KoSy konstruieren

Beispiel:

Zeichne die Punkte A(0|3) und B(5|4) in ein Koordinatensystem.
(Zeichne dabei die y-Achse in die Mitte des KoSy, so dass die x-Achse mindestens von -5 bis 5 zu sehen ist.)
Zeichne den Winkel α = 292° so, dass A der Scheitel ist und B auf dem ersten Schenkel liegt.
Der zweite Schenkel schneidet die x-Achse im Punkt S. Lies die Koordinaten dieses Schnittpunkts S ab.

Lösung einblenden

Wenn man die Punkte A und B in das Koordinatensystem eingezeichnet hat, muss man darauf achten, dass man den 2. Schenkel des Winkels im positiven Drehsinn (also gegen den Uhrzeigersinn) einzeichnet.

Dann erhält man den Schnittpunkt mit der x-Achse bei S(2|0).

Winkel von Kreisausschnitten

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bestimme die Mittelpunktswinkel α der einzelnen Sektoren.

Lösung einblenden

Wir können insgesamt 20 gleich große Sektoren erkennen.

Zusammen ergeben die 20 Sektoren einen vollen Kreis mit 360°, also gilt für den Mittelpunktswinkel eines Sektors:

α = $\frac{360°}{20}$ = 18°

Kreiswinkel aus Säulendiagramm

Beispiel:

Daten

Bei einer Datenerhebung wurden 45 Personen befragt, die sich für eine der Optionen A, B, C oder D entscheiden müssen.

Das Ergebnis wurde im nebenstehenden Säulendiagramm veranschaulicht.

Bestimme jeweils die Mittelpunktswinkel der jeweiligen Sektoren, wenn dieses Ergebnis in einem Kreisdiagramm dargestellt werden soll.

Lösung einblenden

Wir lesen zuerst die Werte aus dem Säulendiagramm ab: A: 11, B: 11, C: 5, D: 18

Zur Kontrolle, dass man nicht falsch abgelesen hat, kann man die Werte auch nochmals addieren: 11 + 11 + 5 + 18 = 45

Jetzt können wir die Anteile der einzelnen Optionen berechnen, in dem wir die Zahlenwerte einfach durch die Gesamtzahl der Personen 45 teilen:

A: $\frac{11}{45}$

B: $\frac{11}{45}$

C: $\frac{5}{45}$

D: $\frac{18}{45}$

Um die Winkelgrößen der Mittelpunktswinkel zu erhalten, müssen wir einfach die Anteile mit den 360° eines Vollkreises multiplizieren.

Dabei können wir jeweils immer überkreuz den Nenner 45 mit den 360 kürzen:

A: $\frac{11}{45}$ ⋅ 360° = 11 ⋅ 8° = 88°

B: $\frac{11}{45}$ ⋅ 360° = 11 ⋅ 8° = 88°

C: $\frac{5}{45}$ ⋅ 360° = 5 ⋅ 8° = 40°

D: $\frac{18}{45}$ ⋅ 360° = 18 ⋅ 8° = 144°

Umfang eines Kreises

Beispiel:

Ein Kreis hat den Radius 4,5 cm. Bestimme seinen Umfang.

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

Lösung einblenden

Wir wenden einfach die Formel
U = 2 ⋅ π ⋅ r
oder näherungsweise
U ≈ 2 ⋅ 3,1 ⋅ r
an und erhalten so:

U ≈ 2 ⋅ 3,1 ⋅ 4,5 cm
≈ 3,1 ⋅9 cm
≈ 27,9 cm

Umfang Kreis rückwärts

Beispiel:

Ein Kreis hat den Umfang U = 18.6 cm. Bestimme seinen Radius.

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

Lösung einblenden

Wir wenden einfach die Formel
U = π ⋅ d
oder näherungsweise
U ≈ 3,1 ⋅ d
an und setzen ein:
18.6 ≈ 3,1 ⋅ d

Da der Umfang ja immer π (≈ 3,1) mal so groß wie der Durchmesser ist, müssen wir einfach den Umfang durch π (≈ 3,1) teilen:

d ≈ 18.6 cm : 3,1
= 6 cm

Für den Radius gilt dann r = $\frac{d}{2}$ = 3 cm.

Umfang Kreis am Bild

Beispiel:

Bestimme die gesamte Länge des Randes der abgebildteten Figur in cm.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

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Man erkennt zwei Viertelskreise mit Radius r = 3 cm.

Setzt man die zwei Viertelskreise zusammen, so erhält man einen Halbkreis mit einem Umfang von $\frac{1}{2}$ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r = π ⋅ r
≈ 3,1 ⋅ 3 cm = 9.3 cm

Dazu kommen noch die insgesamt 4 Radiuslängen (je zwei bei den zwei Viertelskreisen zum Mittelpunkt hin), also 4 ⋅ 3 cm = 12 cm.

Die Gesamtlänge des Randes der Figur ist somit 9,3 cm + 12 cm = 21,3 cm.

Flächeninhalt Kreis

Beispiel:

Ein Kreis hat den Durchmesser 10 m. Bestimme seinen Flächeninhalt.

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{10}{2}$ m = 5m

Wir wenden einfach die Formel
A = π ⋅ r²
an und erhalten so:

A = π ⋅ 5² m²
≈ 3,1 ⋅ 25 m²
≈ 77,5 m²

Flächeninhalt Kreis am Bild

Beispiel:

Bestimme den Flächeninhalt der eingefärbten Fläche.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

Lösung einblenden

Man kann hier erkennen, dass ein Halbkreis aus einem Rechteck herausgeschnitten wurde. Das ganze Rechteck hat dabei eine Höhe von 3 cm und eine Breite von 2 cm.
Somit gilt für dessen Flächeninhalt A₁ = 3 cm ⋅ 2 cm = 6 cm²,

Für den Flächeninhalt des Halbkreises mit Radius r =1 cm, der aus dem Rechteck unten herausgeschnitten wurde, gilt:
A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ π ⋅ r² ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅ 3,1 ⋅ 1² cm² = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3,1 ⋅ 1 cm² = 1.55 cm².

Der Flächeninhalt der eingefärbten Fläche beträgt somit A = 6 cm² - 1,55 cm² = 4,45 cm².

Flächeninhalt zusammengesetzt

Beispiel:

Bestimme den Flächeninhalt der eingefärbten Fläche.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

Lösung einblenden

Der Flächeninhalt des großen Rechteck kann man einfach als Produkt von der Breite b = 7 cm und der Höhe h = 4 cm berechnet werden:
A₁ = 7 cm ⋅ 4 cm = 28 cm²

Der Flächeninhalt des blauen Trapez unten kann man berechnen mit:
A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ (a + c) ⋅ h_a = $\frac{1}{2}$ ⋅ (7 cm + 5 cm) ⋅ 1 cm = $\frac{1}{2}$ ⋅ 12cm ⋅ 1 cm = 6 cm²

Der Flächeninhalt des grünen Halbkreises links kann man mit der Kreisflächenformel A = π ⋅ r² berechnen. Weil es ja aber nur ein Halbkreis ist, müssen wir eben noch alles mit $\frac{1}{2}$ multiplizieren:
A₃ = $\frac{1}{2}$ ⋅ π ⋅ r² ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅ 3,1 ⋅ 2² cm² ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅ 3,1 ⋅ 4 cm²
= 6.2 cm²

Der Flächeninhalt der gesamten eingefärbten Fläche beträgt somit
A = A₁ + A₂ + A₃
= 28 cm² + 6 cm² + 6.2 cm²
= 40,2 cm².

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel in Uhr

Winkel messen/schätzen

Winkel zu 180° ergänzen

Innenwinkel Dreieck

Winkel im KoSy konstruieren (<180°)

Innenwinkel +Winkeleinteilung

Winkel im KoSy konstruieren

Winkel von Kreisausschnitten

Kreiswinkel aus Säulendiagramm

Umfang eines Kreises

Umfang Kreis rückwärts

Umfang Kreis am Bild

Flächeninhalt Kreis

Flächeninhalt Kreis am Bild

Flächeninhalt zusammengesetzt