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Winkel in Uhr

Beispiel:

Wenn es 11:00 Uhr ist, wie groß ist dann der Winkel α zwischen den beiden Zeigern?

Gesucht ist der kleinere Winkel.

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BlaBla

Die Uhr setzt sich aus 12 gleich großen Sektoren für die 12 Stunden zusammen. Also muss der Winkel zwischen zwei Stunde-Strichchen immer genau 360°:12 = 30° sein.

Der Winkel zwischen 12 Uhr und 11 Uhr ist also 11 ⋅ 30° = 330°.

Der Winkel auf der linken Seite zwischen 11 Uhr und 11 Uhr ist mit 1 ⋅ 30° = 30° jedoch kleiner.

Somit ist der gesucht Winkel 30°.

Winkel messen/schätzen

Beispiel:

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Wähle die passende Winkelgröße für den eingezeichneten Winkel α.

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Wenn man das Geodreieck richtig anlegt, erkennt man, dass der gegebene Winkel 166° sein muss.

Winkel zu 180° ergänzen

Beispiel:

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Berechne den eingezeichneten Winkel α.

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Der blaue Winkel mit 31° und α ergeben zusammen einen gestreckten Winkel, es gilt also:

31° + α = 180°

Also muss α doch 31° kleiner als 180° sein:

α = 180° - 31° = 149°

Innenwinkel Dreieck

Beispiel:

Zeichne das Dreieck ABC mit A(1|3), B(8|1) und C(5|7) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm und miss die drei Innenwinkel.

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Wenn man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem einzeichnet, kann folgende Winkel abmessen:

α61°

β47°

γ72°

Winkel im KoSy konstruieren (<180°)

Beispiel:

Zeichne die Punkte A(6|4) und B(1|4) in ein Koordinatensystem.
Zeichne den Winkel α = 39° so, dass A der Scheitel ist und B auf dem ersten Schenkel liegt.
Der zweite Schenkel schneidet die x-Achse im Punkt S. Lies die Koordinaten dieses Schnittpunkts S ab.

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Wenn man die Punkte A und B in das Koordinatensystem eingezeichnet hat, muss man darauf achten, dass man den 2. Schenkel des Winkels im positiven Drehsinn (also gegen den Uhrzeigersinn) einzeichnet.

Dann erhält man den Schnittpunkt mit der x-Achse bei S(1|0).

Innenwinkel +Winkeleinteilung

Beispiel:

Zeichne das Dreieck ABC mit A(1|2), B(7|7) und C(2|7) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm und miss die drei Innenwinkel.

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Wenn man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem einzeichnet, kann man folgende Winkel abmessen:

α39°

β40°

γ101°

Weil der größte Winkel γ = 101° > 90° ist, ist das Dreieck stumpfwinklig.

Winkel im KoSy konstruieren

Beispiel:

Zeichne die Punkte A(0|5) und B(5|5) in ein Koordinatensystem.
(Zeichne dabei die y-Achse in die Mitte des KoSy, so dass die x-Achse mindestens von -5 bis 5 zu sehen ist.)
Zeichne den Winkel α = 239° so, dass A der Scheitel ist und B auf dem ersten Schenkel liegt.
Der zweite Schenkel schneidet die x-Achse im Punkt S. Lies die Koordinaten dieses Schnittpunkts S ab.

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Wenn man die Punkte A und B in das Koordinatensystem eingezeichnet hat, muss man darauf achten, dass man den 2. Schenkel des Winkels im positiven Drehsinn (also gegen den Uhrzeigersinn) einzeichnet.

Dann erhält man den Schnittpunkt mit der x-Achse bei S(-3|0).

Winkel von Kreisausschnitte

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bestimme die Mittelpunktswinkel α der einzelnen Sektoren.

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Wir können insgesamt 4 gleich große Sektoren erkennen.

Zusammen ergeben die 4 Sektoren einen vollen Kreis mit 360°, also gilt für den Mittelpunktswinkel eines Sektors:

α = 360° 4 = 90°

Kreiswinkel aus Säulendiagramm

Beispiel:

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Daten

Bei einer Datenerhebung wurden 90 Personen befragt, die sich für eine der Optionen A, B, C oder D entscheiden müssen.

Das Ergebnis wurde im nebenstehenden Säulendiagramm veranschaulicht.

Bestimme jeweils die Mittelpunktswinkel der jeweiligen Sektoren, wenn dieses Ergebnis in einem Kreisdiagramm dargestellt werden soll.

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Wir lesen zuerst die Werte aus dem Säulendiagramm ab: A: 14, B: 41, C: 18, D: 17

Zur Kontrolle, dass man nicht falsch abgelesen hat, kann man die Werte auch nochmals addieren: 14 + 41 + 18 + 17 = 90

Jetzt können wir die Anteile der einzelnen Optionen berechnen, in dem wir die Zahlenwerte einfach durch die Gesamtzahl der Personen 90 teilen:

A: 14 90

B: 41 90

C: 18 90

D: 17 90

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Um die Winkelgrößen der Mittelpunktswinkel zu erhalten, müssen wir einfach die Anteile mit den 360° eines Vollkreises multiplizieren.

Dabei können wir jeweils immer überkreuz den Nenner 90 mit den 360 kürzen:

A: 14 90 ⋅ 360° = 14 ⋅ 4° = 56°

B: 41 90 ⋅ 360° = 41 ⋅ 4° = 164°

C: 18 90 ⋅ 360° = 18 ⋅ 4° = 72°

D: 17 90 ⋅ 360° = 17 ⋅ 4° = 68°