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Winkel in Uhr

Beispiel:

Wenn es 5:30 Uhr ist, wie groß ist dann der Winkel α zwischen den beiden Zeigern?

Gesucht ist der kleinere Winkel.

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BlaBla

Die Uhr setzt sich aus 12 gleich großen Sektoren für die 12 Stunden zusammen. Also muss der Winkel zwischen zwei Stunde-Strichchen immer genau 360°:12 = 30° sein.

Der Winkel zwischen 12 Uhr und 5 Uhr ist also 5 ⋅ 30° = 150°.

Um 5:30 Uhr ist aber der kleine Stundezeiger genau in der Mitte zwischen 5 und 6, also ist der Winkel zwischen der 12 oben und dem (kleinen) Stundezeiger 150° + 15°, also 165°.

Gesucht ist ja aber der Winkel zwischen den beiden Zeigern. Und weil der große Minutenzeiger ja auf der 6, also 180° weg von der 12, steht, können wir einfach die Differenz der beiden Winkel (jeweils zwischen Zeiger und 12) berechnen:

180° - 165° = 15°

Somit ist der gesucht Winkel 15°.

Winkel messen/schätzen

Beispiel:

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Wähle die passende Winkelgröße für den eingezeichneten Winkel α.

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Wenn man das Geodreieck richtig anlegt, erkennt man, dass der gegebene Winkel 94° sein muss.

Winkel zu 180° ergänzen

Beispiel:

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Berechne den eingezeichneten Winkel α.

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Der blaue Winkel mit 138° und α ergeben zusammen einen gestreckten Winkel, es gilt also:

138° + α = 180°

Also muss α doch 138° kleiner als 180° sein:

α = 180° - 138° = 42°

Innenwinkel Dreieck

Beispiel:

Zeichne das Dreieck ABC mit A(2|2), B(6|0) und C(3|7) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm und miss die drei Innenwinkel.

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Wenn man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem einzeichnet, kann folgende Winkel abmessen:

α105°

β40°

γ35°

Winkel im KoSy konstruieren (<180°)

Beispiel:

Zeichne die Punkte A(8|5) und B(0|4) in ein Koordinatensystem.
Zeichne den Winkel α = 105° so, dass A der Scheitel ist und B auf dem ersten Schenkel liegt.
Der zweite Schenkel schneidet die x-Achse im Punkt S. Lies die Koordinaten dieses Schnittpunkts S ab.

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Wenn man die Punkte A und B in das Koordinatensystem eingezeichnet hat, muss man darauf achten, dass man den 2. Schenkel des Winkels im positiven Drehsinn (also gegen den Uhrzeigersinn) einzeichnet.

Dann erhält man den Schnittpunkt mit der x-Achse bei S(10|0).

Innenwinkel +Winkeleinteilung

Beispiel:

Zeichne das Dreieck ABC mit A(1|2), B(8|2) und C(9|7) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm und miss die drei Innenwinkel.

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Wenn man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem einzeichnet, kann man folgende Winkel abmessen:

α32°

β101°

γ47°

Weil der größte Winkel β = 101° > 90° ist, ist das Dreieck stumpfwinklig.

Winkel im KoSy konstruieren

Beispiel:

Zeichne die Punkte A(0|4) und B(5|4) in ein Koordinatensystem.
(Zeichne dabei die y-Achse in die Mitte des KoSy, so dass die x-Achse mindestens von -5 bis 5 zu sehen ist.)
Zeichne den Winkel α = 225° so, dass A der Scheitel ist und B auf dem ersten Schenkel liegt.
Der zweite Schenkel schneidet die x-Achse im Punkt S. Lies die Koordinaten dieses Schnittpunkts S ab.

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Wenn man die Punkte A und B in das Koordinatensystem eingezeichnet hat, muss man darauf achten, dass man den 2. Schenkel des Winkels im positiven Drehsinn (also gegen den Uhrzeigersinn) einzeichnet.

Dann erhält man den Schnittpunkt mit der x-Achse bei S(-4|0).

Winkel von Kreisausschnitte

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bestimme die Mittelpunktswinkel α der einzelnen Sektoren.

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Wir können insgesamt 3 gleich große Sektoren erkennen.

Zusammen ergeben die 3 Sektoren einen vollen Kreis mit 360°, also gilt für den Mittelpunktswinkel eines Sektors:

α = 360° 3 = 120°

Kreiswinkel aus Säulendiagramm

Beispiel:

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Daten

Bei einer Datenerhebung wurden 60 Personen befragt, die sich für eine der Optionen A, B, C oder D entscheiden müssen.

Das Ergebnis wurde im nebenstehenden Säulendiagramm veranschaulicht.

Bestimme jeweils die Mittelpunktswinkel der jeweiligen Sektoren, wenn dieses Ergebnis in einem Kreisdiagramm dargestellt werden soll.

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Wir lesen zuerst die Werte aus dem Säulendiagramm ab: A: 4, B: 14, C: 33, D: 9

Zur Kontrolle, dass man nicht falsch abgelesen hat, kann man die Werte auch nochmals addieren: 4 + 14 + 33 + 9 = 60

Jetzt können wir die Anteile der einzelnen Optionen berechnen, in dem wir die Zahlenwerte einfach durch die Gesamtzahl der Personen 60 teilen:

A: 4 60

B: 14 60

C: 33 60

D: 9 60

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Um die Winkelgrößen der Mittelpunktswinkel zu erhalten, müssen wir einfach die Anteile mit den 360° eines Vollkreises multiplizieren.

Dabei können wir jeweils immer überkreuz den Nenner 60 mit den 360 kürzen:

A: 4 60 ⋅ 360° = 4 ⋅ 6° = 24°

B: 14 60 ⋅ 360° = 14 ⋅ 6° = 84°

C: 33 60 ⋅ 360° = 33 ⋅ 6° = 198°

D: 9 60 ⋅ 360° = 9 ⋅ 6° = 54°