Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x-2}$ das x von $e^x$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $e^{x-2}$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{x-2}$ gegen 0 .

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^2·e^{3{\left(-x\right)}^2}$ = $x^2·e^{3x^2}$

Wenn man das mit f(x) = $x^2·e^{3x^2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 4 vorgeschlagenen Termen:

Schaubild 1

• y-Achsenabschnitt: f(0) = $7·0^2·e^{-0}$ = 0
• Grenzverhalten
  • Für x → -∞ strebt f₁ = $\infty$
  • Für x → +∞ strebt f₁ = 0

Damit können wir f₁ ausschließen.

Schaubild 2

• y-Achsenabschnitt: f(0) = $5e^{-\mathrm{0,1}\cdot 0}-5e^{-0}$ = 0
• Grenzverhalten
  • Für x → -∞ strebt f₂ = $-\infty$
  • Für x → +∞ strebt f₂ = $0+0$

Damit können wir f₂ ausschließen.

Schaubild 3

• y-Achsenabschnitt: f(0) = $-e^{-2\cdot 0}-0+1$ = 0
• Grenzverhalten
  • Für x → -∞ strebt f₃ = $-\infty$
  • Für x → +∞ strebt f₃ = $-\infty$
• Punkte mit waagrechter Tangente:
  Wir erkennen einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x ≈ 0.35.

Hier spricht also nichts dagegen, dass f₃ der zugehörige Funktionsterm sein könnte.

Schaubild 4

• y-Achsenabschnitt: f(0) = $-10·0^2·e^0$ = 0
• Grenzverhalten
  • Für x → -∞ strebt f₄ = 0
  • Für x → +∞ strebt f₄ = $-\infty$

Damit können wir f₄ ausschließen.

Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 6 vorgeschlagenen Termen:

f₁(x) = $-6x^2·e^{-x}$

• f(0) = $-6·0^2·e^{-0}$ =0
• Allerdings haben wir hier zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = 0, was nicht mit dem gegebenen Graph übereinstimmt.
  f'(x) = $-6·2x·e^{-x}-6x^2·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-12x·e^{-x}+6x^2·e^{-x}$
  f'(0) = $-12·0·e^{-0}+6·0^2·e^{-0}$ = 0

Damit können wir f₁ ausschließen.

f₂(x) = $-5e^{-\mathrm{0,1}x}+5e^{-x}$

• f(0) = $-5e^{-\mathrm{0,1}\cdot 0}+5e^{-0}$ =0
• Für x → -∞ strebt f₂ = $-5e^{-\mathrm{0,1}x}+5e^{-x}$ gegen " $-\infty +\infty$" = $\infty$
  (weil $-5e^{-\mathrm{0,1}x}$ langsamer gegen $-\infty$ strebt als $5e^{-x}$ gegen $\infty$)
• Für x → +∞ strebt f₂ = $-5e^{-\mathrm{0,1}x}+5e^{-x}$ gegen " $0+0$" = $0+0$

Damit können wir f₂ ausschließen.

f₃(x) = $e^{-2x}+x-1$

• f(0) = $e^{-2\cdot 0}+0-1$ =0
• Für x → -∞ strebt f₃ = $e^{-2x}+x-1$ gegen " $\infty -\infty -1$" = $\infty$
• Für x → +∞ strebt f₃ = $e^{-2x}+x-1$ gegen " $0+\infty -1$" = $\infty$

Damit können wir f₃ ausschließen.

f₄(x) = $-3x·e^{-x}$

• f(0) = $-3·0·e^{-0}$ =0
• Für x → -∞ strebt f₄ = $-3x·e^{-x}$ gegen " $-3·-\infty ·\infty$" = $\infty$
• Für x → +∞ strebt f₄ = $-3x·e^{-x}$ gegen " $-3\infty ·0$" = 0
  ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Damit können wir f₄ ausschließen.

f₅(x) = $-e^{-2x}-x+1$

• f(0) = $-e^{-2\cdot 0}-0+1$ =0
• Für x → -∞ strebt f₅ = $-e^{-2x}-x+1$ gegen " $-\infty +\infty +1$" = $-\infty$
• Für x → +∞ strebt f₅ = $-e^{-2x}-x+1$ gegen " $0-\infty +1$" = $-\infty$

Hier spricht also nichts dagegen, dass f₅ der zugehörige Funktionsterm sein könnte.

f₆(x) = $-2x·e^x$

• f(0) = $-2·0·e^0$ =0
• Für x → -∞ strebt f₆ = $-2x·e^x$ gegen " $-2·-\infty ·0$" = 0
  ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $-\infty$ und setzt sich deswegen durch)
• Für x → +∞ strebt f₆ = $-2x·e^x$ gegen " $-2\infty ·\infty$" = $-\infty$

Damit können wir f₆ ausschließen.

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $50-32e^{-\mathrm{0,6}\cdot 2}$ = $-32e^{-\mathrm{1,2}}+50$ ≈ 40.4

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $50-32e^{-\mathrm{0,6}t}$ → $50+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $50$.

3. Erster t-Wert bei y = 44

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=44 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 44 und lösen nach t auf:

   $50-32e^{-\mathrm{0,6}t}$ = $44$

   $-32e^{-\mathrm{0,6}t}+50$	=	$44$	| $-50$
   $-32e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$-6$	|:$-32$
   $e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$\frac{3}{16}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,6}t$	=	$\ln \left(\frac{3}{16}\right)$	|:$-\mathrm{0,6}$
   $t$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,6}}\ln \left(\frac{3}{16}\right)$	≈ 2.79

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 44 annimmt, ist also nach 2.79 min.

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-2t^{2}x+2t}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-2t^{2}x+2t}·\left(-2t^2\right)$

= $6t^2{e}^{-2t^{2}x+2t}$

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A($-2$| $-12$) in f mit $\text{f(x)}=$ $4e^{-2tx-4t}-8t$ :

$-12$ = f($-2$)

$-12$ = $4e^{-2t\cdot \left(-2\right)-4t}-8t$

$-12$ = $4e^{4t-4t}-8t$

$-12$ = $4e^0-8t$

$-12$ = $4-8t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $-8t+4$ = $-12$ nach t auflösen.

Für t= $2$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $-2e^{t^2{x}^2-2t^{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{t^2{x}^2-2t^{2}x}·\left(2t^{2}x-2t^2\right)$

= $-2·e^{t^2{x}^2-2t^{2}x}\left(2t^{2}x-2t^2\right)$

= $-2\left(2t^{2}x-2t^2\right)e^{t^2{x}^2-2t^{2}x}$

In diese Ableitung setzen wir x=$2$ ein:

f'($2$) = $-2·e^{t^2\cdot 2^2-2t^2\cdot 2}·\left(2t^2\cdot 2-2t^2\right)$ = $-2·e^0·\left(4t^2-2t^2\right)$ = $-4t^2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $-16$x+6 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($2$)= $-4t^2$ soll gleich $-16$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $-4t^2$ = $-16$ nach t auf.

Für t= $-2$ und t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k{e}^{kx+k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx+k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm $k{e}^{kx+k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei $2$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx+k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx+k$	=	0	| - ( $k$)
  $kx$	=	$-k$	|:( $k$)
  $x$	=	$-1$

  Wenn wir nun $-1$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($-1$) = $k{e}^{k\cdot \left(-1\right)+k}+2$ = $k+2$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($-1$) = 1 ablesen, es gilt somit:

  $k+2$	=	$1$	| $-2$
  $k$	=	$-1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-1$

Um aus dem maximalen Steignungswinkel die maximale Steigung zu berechnen, beutzen wir die Formel für den Steigungswinkel:
m = tan(α), also hier m_max=tan(45°) ≈ 1.

Um die steilste Stelle zu finden, brauchen wir die Extrempunkte der Ableitungsfunktion, also die Wendepunkte von f_t .

$\text{f(x)}=$ $2t^2{e}^{-\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $2t^2{e}^{-\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}·\left(-9\cdot \frac{1}{t^2}x\right)$

= $-18·e^{-\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}x$

= $-18x{e}^{-\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}$

$\text{f''(x)}=$ $-18e^{-\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}·\left(-9\cdot \frac{1}{t^2}x\right)·x-18·e^{-\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}·1$

= $-18·e^{-\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}·(-9\cdot \frac{1}{t^2}x·x)-18e^{-\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}$

= $162\cdot \frac{1}{t^2}·e^{-\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}x·x-18e^{-\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}$

= $162\cdot \frac{1}{t^2}·e^{-\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}{x}^2-18e^{-\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}$

= $e^{-\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}·\left(162\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2-18\right)$

= $\left(162\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2-18\right)·e^{-\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen $-\frac{1}{3}t$, $\frac{1}{3}t$ sind nun die einzigen Kandidaten für Wendestellen.

Wenn man die beiden Lösungen $-\frac{1}{3}t$ und $\frac{1}{3}t$ in die erste Ableitung einsetzt, erhält man:
f_t'($-\frac{1}{3}t$) = $-18·e^{-\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{t^2}{\left(-\frac{1}{3}t\right)}^2}·\left(-\frac{1}{3}t\right)$ = $6t{e}^{-\frac{1}{2}}$
f_t'($\frac{1}{3}t$) = $-18·e^{-\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{t^2}{\left(\frac{1}{3}t\right)}^2}·\left(\frac{1}{3}t\right)$ = $-6t{e}^{-\frac{1}{2}}$

An den Rändern gilt:
Für x → -∞ strebt f_t'(x) = $-18·e^{-\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}x$ → 0 für alle t
Für x → +∞ strebt f_t'(x) = $-18·e^{-\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}x$ → 0 für alle t

Da die stetige Funktion f_t' an den Rändern gegen 0 strebt und an den Stellen $-\frac{1}{3}t$ und $\frac{1}{3}t$ waagrechte Tangenten hat, müssen dort Extremstellen, und sogar ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum sein.

Die maximale Steigung ist somit f_t'($-\frac{1}{3}t$) = $6t{e}^{-\frac{1}{2}}$
Die minimale Steigung ist somit f_t'($\frac{1}{3}t$) = $-6t{e}^{-\frac{1}{2}}$

Aufgrund der Symmetrie, genügt es im weiteren nur auf die maximale Steigung m_max = $6t{e}^{-\frac{1}{2}}$ ≈ $6t·\mathrm{0,607}$ zu schauen .
Diese darf ja wegen des maximalen Steigungswinkel von 45° höchstens 1 sein, also berechnen wir das t für das $6t{e}^{-\frac{1}{2}}$ = 1 gilt:

Für t = 0.275 wird also gerade der maximale Steigungswinkel von 45° erreicht.

Und weil ja die maximale Steigung m_max = f_t'($-\frac{1}{3}t$) = $6t{e}^{-\frac{1}{2}}$ mit wachsendem t immer größer wird, sind somit alle t < 0.275 zulässig.

L={ $\frac{1}{e^{11}}$}

Für die Nullstellen muss gelten: f_t(x)=0, also hier :
$\left(t{x}^2-8x+t\right)·e^{-x}$ = 0

Da $e^{-x}$ niemals = 0 werden kann, genügt es die Nullstllen von $t{x}^2-8x+t$ zu bestimmen:

Wir lösen diese Gleichung einfach, in dem wir die Koeffizienten in die Mitternachtsformel einsetzen:

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·t·t}}{$ 2\left(t\right)$}$ = $\frac{+8\pm \sqrt{64-4t^2}}{$ 2t$}$

An der Diskriminante $64-4t^2$, also dem Term unter der Wurzel erkennen wir die Anzahl der Lösungen.
Hierfür untersuchen wir die t-Werte, für die die Diskriminante = 0 wird:

Jetzt können wir drei Fälle unterscheiden:

• Für t < $-4$ oder t > $4$ hat f_t keine Nullstelle, weil dort $64-4t^2$ < 0 ist, also ein negativer Wert unter der Wurzel der Mitternachtsformel steht und somit die quadratische Gleichung $t{x}^2-8x+t$ keine reele Lösung hat.
  (z.B. bei t = -5 ist die Diskriminante $64-4\cdot {\left(-5\right)}^2$ = $-36$ und bei t = 5 ist die Diskriminante $64-4\cdot 5^2$ = $-36$)
• Für t = $-4$ oder t = $4$ hat f_t genau eine Nullstelle, weil dort ja die Diskriminante $64-4t^2$ = 0 ist und somit die beiden Lösungen (eine mit + und eine mit -) zusammenfallen.
• Für $-4$ < t < $4$ hat f_t genau zwei Nullstellen, weil dort $64-4t^2$ > 0 ist und somit die die quadratische Gleichung $t{x}^2-8x+t$ je eine Lösung mit der positven Wurzel und eine mit der negativen Wurzel hat.
  (z.B. bei t=0 ist die Diskriminante $64-4\cdot 0^2$ = $64$)

Der gesuchte Bereich mit "genau eine Nullstelle" ist somit: t = $-4$ oder t = $4$