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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= - e x -1 +1 .

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem e x erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt wurde.

Da bei - e x -1 +1 zu jedem Funktionswert von e x noch 1 addiert wird, ist der Graph von - e x -1 +1 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach oben verschoben.

Da bei - e x -1 +1 das x von e x durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Für x → ∞ strebt - e x -1 +1 gegen - .
  • Für x → - ∞ strebt - e x -1 +1 gegen 0 +1 = 1 .

Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= 1 + e 3 x 2 + x vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = 1 + e 3 ( -x ) 2 + ( -x ) = 1 + e 3 x 2 - x = e 3 x 2 - x +1

Wenn man das mit f(x) = 1 + e 3 x 2 + x = e 3 x 2 + x +1 vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = e 3 x 2 - x +1
weder gleich f(x) = 1 + e 3 x 2 + x noch gleich -f(x) = -( 1 + e 3 x 2 + x ) = -( e 3 x 2 + x +1 ) ist.

Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:

f(1) = 1 + e 3 1 2 +1 = 1 + e 4 ≈ 55.598
Aber: f(-1) = 1 + e 3 ( -1 ) 2 -1 = 1 + e 2 ≈ 8.389

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

e-Funktion Graph zu Term finden

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x -1 + e -2x

Eines der vier unten stehenden Schaubilder zeigt den Graph von f.

Entscheide, welches der vier dies ist. Suche dazu jeweils bei den drei anderen einen Beweis, dass es sich nicht um die Ableitungsfunktion handeln kann.

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Wir untersuchen zuerst den gegeben Funktionsterm:

  • y-Achsenabschnitt: f(0) = 0 -1 + e -20 = 0
  • Nullstellen: f(x) = 0
    (Diese Gleichung können wir leider nicht lösen)
  • Grenz-Verhalten:
    • Für x → -∞ strebt f(x)= x -1 + e -2x gegen " - -1 + " =
    • Für x → +∞ strebt f(x) = x -1 + e -2x gegen " -1 +0 " =
  • Eventuell braucht noch die Punkte mit waagrechter Tangente für die Entscheidung. Dazu leiten wir f erstmal ab:
    f'(x) = 1 +0 + e -2x · ( -2 ) = -2 e -2x +1 .
    f'(x) = 0:
    -2 e -2x +1 = 0 | -1
    -2 e -2x = -1 |:-2
    e -2x = 1 2 |ln(⋅)
    -2x = ln( 1 2 ) |:-2
    x = - 1 2 ln( 1 2 ) ≈ 0.3466
    Wir haben somit bei x=0.35 einen Punkt mit waagrechter Tangente.

Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 4 vorgeschlagenen Termen:

Schaubild 1

  • y-Achsenabschnitt: f(0) = -6 e -0,50 +6 e -0 = 0
  • Grenzverhalten
    • Für x → -∞ strebt f1 =
    • Für x → +∞ strebt f1 = 0+0

Damit können wir f1 ausschließen.

Schaubild 2

  • y-Achsenabschnitt: f(0) = -5 · 0 2 · e -0 = 0
  • Grenzverhalten
    • Für x → -∞ strebt f2 = -
    • Für x → +∞ strebt f2 = 0

Damit können wir f2 ausschließen.

Schaubild 3

  • y-Achsenabschnitt: f(0) = 2 · 0 · e -0 = 0
  • Grenzverhalten
    • Für x → -∞ strebt f3 = -
    • Für x → +∞ strebt f3 = 0

Damit können wir f3 ausschließen.

Schaubild 4

  • y-Achsenabschnitt: f(0) = e -20 +0 -1 = 0
  • Grenzverhalten
    • Für x → -∞ strebt f4 =
    • Für x → +∞ strebt f4 =
  • Punkte mit waagrechter Tangente:
    Wir erkennen einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x ≈ 0.35.

Hier spricht also nichts dagegen, dass f4 der zugehörige Funktionsterm sein könnte.

e-Funktion Term zu Graph finden

Beispiel:

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Gegeben ist der Graph einer Funktion f

Einer der vier gegebenen Funktionsterme gehört zu f.

Entscheide, welcher der vier Terme dies ist. Suche hierbei jeweils bei den drei anderen Termen einen Beweis, dass es sich nicht um den Term von f handeln kann.

  1. f1(x) = 7 e -0,5x -7 e -x
  2. f2(x) = -7 e -0,5x +7 e -x
  3. f3(x) = -2 e -2x - x +2
  4. f4(x) = -2 ( x +1 ) · e x
  5. f5(x) = 2 ( x +1 ) · e x
  6. f6(x) = 9 ( x +1 ) 2 · e x

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Wir betrachten zuerst den gegeben Graph und entdecken dabei:

  • Der Graph hat eine Nullstelle bei x = -1
  • Man kann dabei sogar erkennen, dass hier die x-Achse nur berührt wird, also dass kein Vorzeichenwechsel in f vorliegt, und dass der Graph bei x = -1 auch eine waagrechte Tangente hat.
  • Für x → -∞ strebt f(x) gegen 0
  • Für x → +∞ strebt f(x) gegen
  • Außerdem kann man einen Hochpunkt bei x = -3 erkennen.

Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 6 vorgeschlagenen Termen:

f1(x) = 7 e -0,5x -7 e -x

  • f(-1) = 7 e -0,5( -1 ) -7 e -( -1 ) =-7.4869239043124

Damit können wir f1 ausschließen.

f2(x) = -7 e -0,5x +7 e -x

  • f(-1) = -7 e -0,5( -1 ) +7 e -( -1 ) =7.4869239043124

Damit können wir f2 ausschließen.

f3(x) = -2 e -2x - x +2

  • f(-1) = -2 e -2( -1 ) - ( -1 ) +2 =-11.778112197861

Damit können wir f3 ausschließen.

f4(x) = -2 ( x +1 ) · e x

  • f(-1) = -2 · ( -1 +1 ) · e -1 =0
  • Man kann aber am Term erkennen, dass bei x = -1 ein Vorzeichenwechsel vorliegt, bzw. dass die Tangente nicht waagrecht ist.
    f'(x) = -2 · ( 1 +0 ) · e x -2 ( x +1 ) · e x = -2 e x -2 ( x +1 ) · e x
    f'(-1) = -2 e -1 -2 · ( -1 +1 ) · e -1 = -0.73575888234288 ≠ 0

Damit können wir f4 ausschließen.

f5(x) = 2 ( x +1 ) · e x

  • f(-1) = 2 · ( -1 +1 ) · e -1 =0
  • Man kann aber am Term erkennen, dass bei x = -1 ein Vorzeichenwechsel vorliegt, bzw. dass die Tangente nicht waagrecht ist.
    f'(x) = 2 · ( 1 +0 ) · e x +2 ( x +1 ) · e x = 2 e x +2 ( x +1 ) · e x
    f'(-1) = 2 e -1 +2 · ( -1 +1 ) · e -1 = 0.73575888234288 ≠ 0

Damit können wir f5 ausschließen.

f6(x) = 9 ( x +1 ) 2 · e x

  • f(-1) = 9 · ( -1 +1 ) 2 · e -1 =0
  • Auch hier haben wir zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = -1.
    f'(x) = 9 · 2( x +1 ) · ( 1 +0 ) · e x +9 ( x +1 ) 2 · e x = 18 ( x +1 ) · e x +9 ( x +1 ) 2 · e x
    f'(-1) = 18 · ( -1 +1 ) · e -1 +9 · ( -1 +1 ) 2 · e -1 = 0
  • Für x → -∞ strebt f6 = 9 ( x +1 ) 2 · e x gegen " 9 · 0 " = 0
    ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen und setzt sich deswegen durch)
  • Für x → +∞ strebt f6 = 9 ( x +1 ) 2 · e x gegen " 9 · " =

Hier spricht also nichts dagegen, dass f6 der zugehörige Funktionsterm sein könnte.

Anwendungen e-Funktion

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 40 e -0,3t -40 e -0,6t beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 1 Dezimeter hoch.

  1. Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 4 Jahren?
  2. Wann ist die Wachstumsgeschwindigkeit am größten?
  3. Wann nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit am stärksten ab?
  4. Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
  5. Wie lange ist die Wachstumsgeschwindigkeit mindestens 1239 160 dm pro Jahr?

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  1. y-Wert bei t = 4

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = 40 e -0,34 -40 e -0,64 = 40 e -1,2 -40 e -2,4 ≈ 8.4


  2. t-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

    Detail-Rechnung für den Hochpunkt (2,3105|10) einblenden

    Randwertuntersuchung

    Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

    Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = 40 e -0,30 -40 e -0,60 = 0. Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f(t) → 0+0 .

    Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

    Bei t = 2,3105 ist also der größte Wert der Funktion.


  3. t-Wert bei der stärksten Abnahme

    Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt der Ableitung.

    Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':

    f'(t)= 40 e -0,3x · ( -0,3 ) -40 e -0,6x · ( -0,6 )

    = 12 · e -0,6x ( - e 0,3x +2 )

    Wir berechnen also die Extremstellen von f':

    Detail-Rechnung für den Tiefpunkt der Ableitung (4,621|-1.5) einblenden

    Randwertuntersuchung

    Da ja ein minimaler Wert, also ein globales Minimum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch kleinere Werte als beim lokalen Minimum auftreten.

    Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) = 12 · e -0,60 · ( - e 0,30 +2 ) = 12 . Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f'(t) → 0.

    Weil die Werte an den Rändern größer als am Tiefpunkt sind, ist das lokale Minimum also ein globales Minimum von f'.

    Bei t = 4,621 ist also der kleinste Wert der Ableitungsfunktion.

  4. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 40 e -0,3t -40 e -0,6t 0+0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 0.

  5. Abstand der beiden Schnittstellen mit 1239 160

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= 1239 160 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 1239 160 und lösen nach t auf:

    40 e -0,3t -40 e -0,6t = 1239 160 | - 1239 160
    40 e -0,3t -40 e -0,6t - 1239 160 = 0

    Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

    40 e -0,3t -40 e -0,6t - 1239 160 = 0 |⋅ e 0,6x
    - 1239 160 e 0,6t +40 e 0,3t -40 = 0

    Setze u = e 0,3x

    Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

    - 1239 160 u 2 +40u -40 = 0 |⋅ 160
    160( - 1239 160 u 2 +40u -40 ) = 0

    -1239 u 2 +6400u -6400 = 0

    eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

    u1,2 = -6400 ± 6400 2 -4 · ( -1239 ) · ( -6400 ) 2( -1239 )

    u1,2 = -6400 ± 40960000 -31718400 -2478

    u1,2 = -6400 ± 9241600 -2478

    u1 = -6400 + 9241600 -2478 = -6400 +3040 -2478 = -3360 -2478 = 80 59 ≈ 1.36

    u2 = -6400 - 9241600 -2478 = -6400 -3040 -2478 = -9440 -2478 = 80 21 ≈ 3.81

    Rücksubstitution:

    u1: e 0,3x = 80 59

    e 0,3x = 80 59 |ln(⋅)
    0,3x = ln( 80 59 ) |:0,3
    x1 = 1 0,3 ln( 80 59 ) ≈ 1.015

    u2: e 0,3x = 80 21

    e 0,3x = 80 21 |ln(⋅)
    0,3x = ln( 80 21 ) |:0,3
    x2 = 1 0,3 ln( 80 21 ) ≈ 4.4583

    Die Zeitspanne zwischen diesen Zeitpunkten, an denen die Funktion den Wert 1239 160 annimmt, ist also:

    d = 4.46 - 1.01 ≈ 3.44 Jahre.

Ableiten e-Funktion mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit ft(x)= -4 e -2 t x 2 und vereinfache:

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f(x)= -4 e -2 t x 2

f'(x)= -4 e -2 t x 2 · ( -4 t x )

= 16 t · e -2 t x 2 x

= 16 t x e -2 t x 2

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A(1|0) auf dem Graph der Funktion f mit ft(x)= 3 2 x · e -2 t x +2 t +18 t ?

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Wir machen einfach eine Punktprobe mit A(1|0) in f mit f(x)= 3 2 x · e -2 t x +2 t +18 t :

0 = f(1)

0 = 3 2 · 1 · e -2 t 1 +2 t +18 t

0 = 3 2 · 1 · e -2 t +2 t +18 t

0 = 3 2 · 1 · e 0 +18 t

0 = 3 2 · 1 · 1 +18 t

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung 18t + 3 2 = 0 nach t auflösen.

18t + 3 2 = 0 |⋅ 2
2( 18t + 3 2 ) = 0
36t +3 = 0 | -3
36t = -3 |:36
t = - 1 12

Für t= - 1 12 liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Parameter finden mit Ableitungswert (e-Fktn)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit ft(x)= 4 e t 2 x 2 - t 2 x im Punkt B(1|f(1)) parallel zur Gerade y= 36x +4 ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

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Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

f(x)= 4 e t 2 x 2 - t 2 x

f'(x)= 4 e t 2 x 2 - t 2 x · ( 2 t 2 x - t 2 )

= 4 · e t 2 x 2 - t 2 x ( 2 t 2 x - t 2 )

= 4 ( 2 t 2 x - t 2 ) e t 2 x 2 - t 2 x

In diese Ableitung setzen wir x=1 ein:

f'(1) = 4 · e t 2 1 2 - t 2 1 · ( 2 t 2 1 - t 2 ) = 4 · e 0 · ( 2 t 2 - t 2 ) = 4 t 2

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= 36 x+4 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'(1)= 4 t 2 soll gleich 36 sein.
Dazu lösen wir die Gleichung 4 t 2 = 36 nach t auf.

4 t 2 = 36 |:4
t 2 = 9 | 2
t1 = - 9 = -3
t2 = 9 = 3

Für t= -3 und t= 3 ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= ( x + 1 2 k ) · e x + 1 2 k +2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm ( x + 1 2 k ) · e x + 1 2 k = 0 wird, wenn x + 1 2 k = 0 ist, also für x = - 1 2 k .
    Dann muss ja der y-Wert fk( - 1 2 k ) = ( ( - 1 2 k ) + 1 2 k ) · e ( - 1 2 k ) + 1 2 k +2 = 0 +2 = 2 sein.
    Da bei x = - 1 2 k bei ( x + 1 2 k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( - 1 2 k | 2 ) im abgebildeten Graph bei P(1| 2 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit - 1 2 k = 1
    Also gilt k = -2

Der abgebildete Graph ist somit der von f-2

Parameter für stärkste Steigung

Beispiel:

Auf dem Biberacher Skaterplatz soll eine neue abgerundete Funbox (kleiner Hügel) gebaut werden. Der Querschnitt des Entwurfs kann durch die Funktion ft mit ft(x)= t e - 2 9 t 2 x 2 mit t>0 beschrieben werden. Die tatsächliche Form der Funbox kann durch verschiedene Werte von t variiert werden. Dabei muss aber aus Sicherheitsgründen gewährleistet sein, dass an der steilsten Stelle der Steigungswinkel nie mehr als 45° beträgt. Bestimme den zulässigen Bereich für t.

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Um aus dem maximalen Steignungswinkel die maximale Steigung zu berechnen, beutzen wir die Formel für den Steigungswinkel:
m = tan(α), also hier mmax=tan(45°) ≈ 1.

Um die steilste Stelle zu finden, brauchen wir die Extrempunkte der Ableitungsfunktion, also die Wendepunkte von ft .

f(x)= t e - 2 9 t 2 x 2

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

f'(x)= t e - 2 9 t 2 x 2 · ( - 4 9 t 2 x )

= - 4 9 t 3 · e - 2 9 t 2 x 2 x

= - 4 9 t 3 x e - 2 9 t 2 x 2


f''(x)= - 4 9 t 3 e - 2 9 t 2 x 2 · ( - 4 9 t 2 x ) · x - 4 9 t 3 · e - 2 9 t 2 x 2 · 1

= - 4 9 t 3 · e - 2 9 t 2 x 2 · ( - 4 9 t 2 x · x ) - 4 9 t 3 e - 2 9 t 2 x 2

= 16 81 t 5 · e - 2 9 t 2 x 2 x · x - 4 9 t 3 e - 2 9 t 2 x 2

= 16 81 t 5 · e - 2 9 t 2 x 2 x 2 - 4 9 t 3 e - 2 9 t 2 x 2

= e - 2 9 t 2 x 2 · ( 16 81 t 5 x 2 - 4 9 t 3 )

= ( 16 81 t 5 x 2 - 4 9 t 3 ) · e - 2 9 t 2 x 2


Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

e - 2 9 t 2 x 2 ( 16 81 t 5 x 2 - 4 9 t 3 ) = 0
( 16 81 t 5 x 2 - 4 9 t 3 ) · e - 2 9 t 2 x 2 = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

16 81 t 5 x 2 - 4 9 t 3 = 0 | - ( - 4 9 t 3 )
16 81 t 5 x 2 = 4 9 t 3 |⋅ 81 16 1 t 5
x 2 = 9 4 1 t 2 | 2
x1 = - ( 9 4 1 t 2 ) = - 3 2 1 t
x2 = ( 9 4 1 t 2 ) = 3 2 1 t

2. Fall:

e - 2 9 t 2 x 2 = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösungen - 3 2 1 t , 3 2 1 t sind nun die einzigen Kandidaten für Wendestellen.

Wenn man die beiden Lösungen - 3 2 1 t und 3 2 1 t in die erste Ableitung einsetzt, erhält man:
ft'( - 3 2 1 t ) = - 4 9 t 3 · e - 2 9 t 2 ( - 3 2 1 t ) 2 · ( - 3 2 1 t ) = 2 3 t 2 e - 1 2
ft'( 3 2 1 t ) = - 4 9 t 3 · e - 2 9 t 2 ( 3 2 1 t ) 2 · ( 3 2 1 t ) = - 2 3 t 2 e - 1 2

An den Rändern gilt:
Für x → -∞ strebt ft'(x) = - 4 9 t 3 · e - 2 9 t 2 x 2 x → 0 für alle t
Für x → +∞ strebt ft'(x) = - 4 9 t 3 · e - 2 9 t 2 x 2 x → 0 für alle t

Da die stetige Funktion ft' an den Rändern gegen 0 strebt und an den Stellen - 3 2 1 t und 3 2 1 t waagrechte Tangenten hat, müssen dort Extremstellen, und sogar ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum sein.

Die maximale Steigung ist somit ft'( - 3 2 1 t ) = 2 3 t 2 e - 1 2
Die minimale Steigung ist somit ft'( 3 2 1 t ) = - 2 3 t 2 e - 1 2

Aufgrund der Symmetrie, genügt es im weiteren nur auf die maximale Steigung mmax = 2 3 t 2 e - 1 2 2 3 t 2 · 0,607 zu schauen .
Diese darf ja wegen des maximalen Steigungswinkel von 45° höchstens 1 sein, also berechnen wir das t für das 2 3 t 2 e - 1 2 = 1 gilt:

2 3 t 2 · 0,607 = 1
1,214 3 t 2 = 1 |⋅ 3 1,214
t 2 = 2,47117 | 2
t1 = - 2,47117 -1,572
t2 = 2,47117 1,572

Für t = 1.572 wird also gerade der maximale Steigungswinkel von 45° erreicht. (Es sind ja nur positive Werte für t zugelassen.)

Und weil ja die maximale Steigung mmax = ft'( - 3 2 1 t ) = 2 3 t 2 e - 1 2 mit wachsendem t immer größer wird, sind somit alle t < 1.572 zulässig.

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit f(x)= ln( x ) + 1 2

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ln( x ) + 1 2 = 0 | - 1 2
ln( x ) = - 1 2 |e(⋅)
x = 1 e

L={ 1 e }

Parameter finden für Anzahl Nullstellen

Beispiel:

Bestimme diejenigen Werte von t, für die ft mit ft(x)= x 2 -8x -2 t genau zwei Nullstellen hat.

Lösung einblenden

Für die Nullstellen muss gelten: ft(x)=0, also hier :
x 2 -8x -2 t = 0

Wir lösen diese Gleichung einfach, in dem wir die Koeffizienten in die Mitternachtsformel einsetzen:

x1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · ( -2 t ) 21 = +8 ± 64 +8 t 2

An der Diskriminante 64 +8t , also dem Term unter der Wurzel erkennen wir die Anzahl der Lösungen.
Hierfür untersuchen wir die t-Werte, für die die Diskriminante = 0 wird:

64 +8t = 0
8t +64 = 0 | -64
8t = -64 |:8
t = -8

Jetzt können wir drei Fälle unterscheiden:

  • Für t < -8 hat ft keine Nullstelle, weil dort 64 +8t < 0 ist, also ein negativer Wert unter der Wurzel der Mitternachtsformel steht und somit die quadratische Gleichung x 2 -8x -2 t keine reele Lösung hat.
    (z.B. bei t = -7 ist die Diskriminante 64 +8( -7 ) = 8 )
  • Für t = -8 hat ft genau eine Nullstelle, weil dort ja die Diskriminante 64 +8t = 0 ist und somit die beiden Lösungen (eine mit + und eine mit -) zusammenfallen.
  • Für t > -8 hat ft genau zwei Nullstellen, weil dort 64 +8t > 0 ist und somit die die quadratische Gleichung x 2 -8x -2 t je eine Lösung mit der positven Wurzel und eine mit der negativen Wurzel hat.
    (z.B. bei t = -9 ist die Diskriminante 64 +8( -9 ) = -8 )

Der gesuchte Bereich mit "genau zwei Nullstellen" ist somit: t > -8