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Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei zu jedem Funktionswert von noch -3 addiert wird, ist der Graph von gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach unten verschoben.
Da bei
das x von
durch ein 'x
Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
- Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
- Für x → ∞ strebt gegen .
- Für x → - ∞ strebt gegen = .
Symmetrie e-Funktionen
Beispiel:
Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit vorliegt.
Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:
f(-x) = =
Wenn man das mit f(x) = vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = gerade das Negative von f(x), also -f(x) = ist.
Es gilt also: f(-x) = -f(x)
Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.
e-Funktion Graph zu Term finden
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) =
Eines der vier unten stehenden Schaubilder zeigt den Graph von f.
Entscheide, welches der vier dies ist. Suche dazu jeweils bei den drei anderen einen Beweis, dass es sich nicht um die Ableitungsfunktion handeln kann.
Wir untersuchen zuerst den gegeben Funktionsterm:
- y-Achsenabschnitt: f(0) = = 7
- Nullstellen: f(x) = 0
= 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= | x - 1 = 0 x - 1 = 0 | + 1 x1 = 1 2. Fall:
e - x = 0 Diese Gleichung hat keine Lösung!
- Grenz-Verhalten:
- Für x → -∞ strebt f(x)=
gegen "7 ( x - 1 ) 2 · e - x " =7 ∞ · ∞ ∞ - Für x → +∞ strebt f(x) =
gegen "7 ( x - 1 ) 2 · e - x " =7 ∞ · 0 0
( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen0 als der erste Faktor gegen und setzt sich deswegen durch)∞
- Für x → -∞ strebt f(x)=
- Eventuell braucht noch die Punkte mit waagrechter Tangente für die Entscheidung. Dazu leiten wir f erstmal ab:
f'(x) =7 · 2 ( x - 1 ) · ( 1 + 0 ) · e - x + 7 ( x - 1 ) 2 · e - x · ( - 1 ) .7 ( x - 1 ) ( - x + 3 ) e - x
f'(x) = 0:7 ( x - 1 ) ( - x + 3 ) · e - x = 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x - 1 = 0 | + 1 x1 = 1 2. Fall:
( - x + 3 ) · e - x = 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
- x + 3 = 0 | - 3 - x = - 3 |:( )- 1 x2 = 3 2. Fall:
e - x = 0 Diese Gleichung hat keine Lösung!
Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 4 vorgeschlagenen Termen:
Schaubild 1
- y-Achsenabschnitt: f(0) =
= -7- 7 · ( 0 - 1 ) 2 · e - 0
Damit können wir f1 ausschließen.
Schaubild 2
- y-Achsenabschnitt: f(0) =
= 77 · ( 0 - 1 ) 2 · e - 0 - Nullstellen: f(1) =
=07 · ( 1 - 1 ) 2 · e - 1 - Grenzverhalten
- Für x → -∞ strebt f2 =
∞ - Für x → +∞ strebt f2 =
0
- Für x → -∞ strebt f2 =
- Punkte mit waagrechter Tangente:
Wir erkennen einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x ≈ 1.
Außerdem erkennen wir noch einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x ≈ 3
Hier spricht also nichts dagegen, dass f2 der zugehörige Funktionsterm sein könnte.
Schaubild 3
- y-Achsenabschnitt: f(0) =
( 0 - 1 ) · e 0
Damit können wir f3 ausschließen.
Schaubild 4
- y-Achsenabschnitt: f(0) =
2 e - 0 + 0 - 2
Damit können wir f4 ausschließen.
e-Funktion Term zu Graph finden
Beispiel:
Gegeben ist der Graph einer Funktion f
Einer der vier gegebenen Funktionsterme gehört zu f.
Entscheide, welcher der vier Terme dies ist. Suche hierbei jeweils bei den drei anderen Termen einen Beweis, dass es sich nicht um den Term von f handeln kann.
- f1(x) =
- e - 2 x - x + 1 - f2(x) =
- 5 x 2 · e - x - f3(x) =
2 x · e - x - f4(x) =
12 e - 0,5 x - 12 e - x - f5(x) =
- 12 e - 0,5 x + 12 e - x - f6(x) =
- 2 x · e - x
Wir betrachten zuerst den gegeben Graph und entdecken dabei:
- Der Graph hat eine Nullstelle bei x = 0
- Man kann dabei sogar erkennen, dass hier die x-Achse nur berührt wird, also dass kein Vorzeichenwechsel in f vorliegt, und dass der Graph bei x = 0 auch eine waagrechte Tangente hat.
- Für x → -∞ strebt f(x) gegen
- ∞ - Für x → +∞ strebt f(x) gegen
0 - Außerdem kann man einen Tiefpunkt bei x = 2 erkennen.
Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 6 vorgeschlagenen Termen:
f1(x) =
- f(0) =
- e - 2 ⋅ 0 - 0 + 1 - Man kann aber am Term erkennen, dass bei x = 0 ein Vorzeichenwechsel vorliegt, bzw. dass die Tangente nicht waagrecht ist.
f'(x) =- e - 2 x · ( - 2 ) - 1 + 0 2 e - 2 x - 1
f'(0) =2 e - 2 ⋅ 0 - 1
Damit können wir f1 ausschließen.
f2(x) =
- f(0) =
=0- 5 · 0 2 · e - 0 - Auch hier haben wir zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = 0.
f'(x) =- 5 · 2 x · e - x - 5 x 2 · e - x · ( - 1 ) - 10 x · e - x + 5 x 2 · e - x
f'(0) =- 10 · 0 · e - 0 + 5 · 0 2 · e - 0 - Für x → -∞ strebt f2 =
gegen "- 5 x 2 · e - x " =- 5 ∞ · ∞ - ∞ - Für x → +∞ strebt f2 =
gegen "- 5 x 2 · e - x " =- 5 ∞ · 0 0
( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen0 als der erste Faktor gegen und setzt sich deswegen durch)∞ - Wenn wir nach Punkten auf dem Graph mit waagrechter Tangente schauen, müssen wir
f'(x) =
- 5 · 2 x · e - x - 5 x 2 · e - x · ( - 1 ) - 10 x · e - x + 5 x 2 · e - x = 05 · e - x · ( x 2 - 2 x )
nach x auflösen.5 · e - x ( x 2 - 2 x ) = 0 5 ( x 2 - 2 x ) · e - x = 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x 2 - 2 x = 0 x ( x - 2 ) = 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x1 = 0 2. Fall:
x - 2 = 0 | + 2 x2 = 2 2. Fall:
e - x = 0 Diese Gleichung hat keine Lösung!
Der Graph von f2(x) = hat also bei x = 0 einen Punkt mit waagrechter Tangente.- 5 x 2 · e - x
Hier spricht also nichts dagegen, dass f2 der zugehörige Funktionsterm sein könnte.
f3(x) =
- f(0) =
=02 · 0 · e - 0 - Man kann aber am Term erkennen, dass bei x = 0 ein Vorzeichenwechsel vorliegt, bzw. dass die Tangente nicht waagrecht ist.
f'(x) =2 · 1 · e - x + 2 x · e - x · ( - 1 ) 2 e - x - 2 x · e - x
f'(0) =2 e - 0 - 2 · 0 · e - 0
Damit können wir f3 ausschließen.
f4(x) =
- f(0) =
12 e - 0,5 ⋅ 0 - 12 e - 0 - Man kann aber am Term erkennen, dass bei x = 0 ein Vorzeichenwechsel vorliegt, bzw. dass die Tangente nicht waagrecht ist.
f'(x) =12 e - 0,5 x · ( - 0,5 ) - 12 e - x · ( - 1 ) - 6 e - 0,5 x + 12 e - x
f'(0) =- 6 e - 0,5 ⋅ 0 + 12 e - 0
Damit können wir f4 ausschließen.
f5(x) =
- f(0) =
- 12 e - 0,5 ⋅ 0 + 12 e - 0 - Man kann aber am Term erkennen, dass bei x = 0 ein Vorzeichenwechsel vorliegt, bzw. dass die Tangente nicht waagrecht ist.
f'(x) =- 12 e - 0,5 x · ( - 0,5 ) + 12 e - x · ( - 1 ) 6 e - 0,5 x - 12 e - x
f'(0) =6 e - 0,5 ⋅ 0 - 12 e - 0
Damit können wir f5 ausschließen.
f6(x) =
- f(0) =
=0- 2 · 0 · e - 0 - Man kann aber am Term erkennen, dass bei x = 0 ein Vorzeichenwechsel vorliegt, bzw. dass die Tangente nicht waagrecht ist.
f'(x) =- 2 · 1 · e - x - 2 x · e - x · ( - 1 ) - 2 e - x + 2 x · e - x
f'(0) =- 2 e - 0 + 2 · 0 · e - 0
Damit können wir f6 ausschließen.
Anwendungen e-Funktion
Beispiel:
In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit
- Nach wie vielen Minuten ist die Änderungsrate des Wasservolumens am größten?
- Wann nimmt die Änderungsrate des Wasservolumens am stärksten ab?
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Hochpunkt (
|9.86) einblenden7 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) =
=8 · ( 0 - 2 ) · e - 0,2 ⋅ 0 - 16 0 .Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.
Bei t =
ist also der größte Wert der Funktion.7
- t-Wert bei der stärksten Abnahme
Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt der Ableitung.
Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':
f'(t)=
8 · ( 1 + 0 ) · e - 0,2 x + 8 ( x - 2 ) · e - 0,2 x · ( - 0,2 ) =
Wir berechnen also die Extremstellen von f':e - 0,2 x ( - 1,6 x + 11,2 ) Detail-Rechnung für den Tiefpunkt der Ableitung (
|-0.73) einblenden12 Randwertuntersuchung
Da ja ein minimaler Wert, also ein globales Minimum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch kleinere Werte als beim lokalen Minimum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) =
e - 0,2 ⋅ 0 · ( - 1,6 ⋅ 0 + 11,2 ) 11,2 0 .Weil die Werte an den Rändern größer als am Tiefpunkt sind, ist das lokale Minimum also ein globales Minimum von f'.
Bei t =
ist also der kleinste Wert der Ableitungsfunktion.12
Ableiten e-Funktion mit Parameter
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit
=
=
Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)
Beispiel:
Für welches t liegt der Punkt A(
Wir machen einfach eine Punktprobe mit A(
Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung
|
= | |
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Für t=
Parameter finden mit Ableitungswert (e-Fktn)
Beispiel:
Für welche t ist die Tangente von f mit
Gib alle Möglichkeiten für t an.
Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:
=
=
=
=
=
In diese Ableitung setzen wir x=
f'(
Damit die Tangente parallel zur Geraden y=
also f'(
Dazu lösen wir die Gleichung
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Für t=
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm
= 0 wird.- 5 k x · e k x - 5 k
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
fk( ) =0 - 5 k · 0 · e k ⋅ 0 - 5 k + 5 k = 35 k 5 k = 3 |: 5 k = 3 5
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Parameter für stärkste Steigung
Beispiel:
Auf dem Biberacher Skaterplatz soll eine neue abgerundete Funbox (kleiner Hügel) gebaut werden. Der Querschnitt des Entwurfs kann durch die Funktion ft mit ft(x)=
Um aus dem maximalen Steignungswinkel die maximale Steigung zu berechnen, beutzen wir die Formel für den Steigungswinkel:
m = tan(α),
also hier mmax=tan(45°) ≈ 1.
Um die steilste Stelle zu finden, brauchen wir die Extrempunkte der Ableitungsfunktion, also die Wendepunkte von ft .
Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.
=
=
=
=
=
=
=
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.
(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').
Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.
|
= | ||
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
|
= | |
|
|
|
= | |: |
|
|
= | |
|
|
x1 | = |
|
=
|
x2 | = |
|
=
|
2. Fall:
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
Die Lösungen
Wenn man die beiden Lösungen
ft'(
ft'(
An den Rändern gilt:
Für x → -∞ strebt ft'(x) =
Für x → +∞ strebt ft'(x) =
Da die stetige Funktion ft' an den Rändern gegen 0 strebt und an den Stellen
Die maximale Steigung ist somit ft'(
Die minimale Steigung ist somit ft'(
Aufgrund der Symmetrie, genügt es im weiteren nur auf die maximale Steigung mmax =
Diese darf ja wegen des maximalen Steigungswinkel von 45° höchstens 1 sein, also berechnen wir das
t für das
|
= |
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
Für t = 0.549 wird also gerade der maximale Steigungswinkel von 45° erreicht.
Und weil ja die maximale Steigung mmax = ft'(
Nullstellen bei ln-Funktionen
Beispiel:
Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit
|
= | |
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
|e(⋅) |
|
= |
|
L={
Parameter finden für Anzahl Nullstellen
Beispiel:
Bestimme diejenigen Werte von t, für die ft mit ft(x)=
Für die Nullstellen muss gelten: ft(x)=0, also hier :
1. Fall :
also x1 = 0
2. Fall :
Wir lösen diese Gleichung einfach, in dem wir die Koeffizienten in die Mitternachtsformel einsetzen:
x2,3 =
An der Diskriminante
Hierfür untersuchen wir die t-Werte, für die die Diskriminante = 0 wird:
|
= | ||
|
= | |
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
Da ja x1 = 0 unabhängig von t immer eine Nullstelle von ft ist, können wir jetzt drei Fälle unterscheiden:
- Für t <
- 36 144 + 4 t x 2 - 12 x - t
(z.B. bei t = -35 ist die Diskriminante144 + 4 ⋅ ( - 35 ) 4 - Für t =
- 36 144 + 4 t - Für t >
- 36 144 + 4 t x 2 - 12 x - t
(z.B. bei t = -37 ist die Diskriminante144 + 4 ⋅ ( - 37 ) - 4
Der gesuchte Bereich mit "genau zwei Nullstellen" ist somit: t =