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Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei das x von durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.
Da bei zu jedem Funktionswert von noch 1 addiert wird, ist der Graph von gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach oben verschoben.
Da bei
das x von
durch ein 'x
Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
- Für x → ∞ strebt gegen = .
- Für x → - ∞ strebt gegen .
Symmetrie e-Funktionen
Beispiel:
Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit vorliegt.
Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:
f(-x) = =
Wenn man das mit f(x) =
=
vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) =
weder gleich f(x) =
noch gleich -f(x) =
=
ist.
Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:
f(1) =
=
≈ 7.172
Aber: f(-1) =
=
≈ 5.172
Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)
Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.
e-Funktion Graph zu Term finden
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) =
Eines der vier unten stehenden Schaubilder zeigt den Graph von f.
Entscheide, welches der vier dies ist. Suche dazu jeweils bei den drei anderen einen Nachweis, dass es sich nicht um den Graph der Funktion handeln kann.
Wir untersuchen zuerst den gegeben Funktionsterm:
- y-Achsenabschnitt: f(0) = = 0
- Nullstellen: f(x) = 0
= 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= | x1 = 0 2. Fall:
e x = 0 Diese Gleichung hat keine Lösung!
- Grenz-Verhalten:
- Für x → -∞ strebt f(x)=
gegen "5 x 2 · e x " =5 ∞ · 0 0
( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen0 als der erste Faktor gegen und setzt sich deswegen durch)∞ - Für x → +∞ strebt f(x) =
gegen "5 x 2 · e x " =5 ∞ · ∞ ∞
- Für x → -∞ strebt f(x)=
- Eventuell braucht noch die Punkte mit waagrechter Tangente für die Entscheidung. Dazu leiten wir f erstmal ab:
f'(x) =5 · 2 x · e x + 5 x 2 · e x .5 x ( x + 2 ) e x
f'(x) = 0:5 x ( x + 2 ) · e x = 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x1 = 0 2. Fall:
( x + 2 ) · e x = 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x + 2 = 0 | - 2 x2 = - 2 2. Fall:
e x = 0 Diese Gleichung hat keine Lösung!
Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 4 vorgeschlagenen Termen:
Schaubild 1
- y-Achsenabschnitt: f(0) =
= 05 · 0 2 · e 0 - Nullstellen: f(0) =
=05 · 0 2 · e 0 - Grenzverhalten
- Für x → -∞ strebt f1 =
0 - Für x → +∞ strebt f1 =
∞
- Für x → -∞ strebt f1 =
- Punkte mit waagrechter Tangente:
Wir erkennen einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x ≈ -2.
Außerdem erkennen wir noch einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x ≈ 0
Hier spricht also nichts dagegen, dass f1 der zugehörige Funktionsterm sein könnte.
Schaubild 2
- y-Achsenabschnitt: f(0) =
- 8 e 0 + 8 e 0,5 ⋅ 0 - Nullstellen: f(0) =
- 8 e 0 + 8 e 0,5 ⋅ 0 - Grenzverhalten
- Für x → -∞ strebt f2 =
0 + 0 - Für x → +∞ strebt f2 =
- ∞
- Für x → -∞ strebt f2 =
Damit können wir f2 ausschließen.
Schaubild 3
- y-Achsenabschnitt: f(0) =
= 05 · 0 2 · e - 0 - Nullstellen: f(0) =
=05 · 0 2 · e - 0 - Grenzverhalten
- Für x → -∞ strebt f3 =
∞ - Für x → +∞ strebt f3 =
0
- Für x → -∞ strebt f3 =
Damit können wir f3 ausschließen.
Schaubild 4
- y-Achsenabschnitt: f(0) =
= 0- 5 · 0 2 · e 0 - Nullstellen: f(0) =
=0- 5 · 0 2 · e 0 - Grenzverhalten
- Für x → -∞ strebt f4 =
0 - Für x → +∞ strebt f4 =
- ∞
- Für x → -∞ strebt f4 =
Damit können wir f4 ausschließen.
e-Funktion Term zu Graph finden
Beispiel:
Gegeben ist der Graph einer Funktion f
Einer der sechs gegebenen Funktionsterme gehört zu f.
Entscheide, welcher der sechs Terme dies ist. Suche hierbei jeweils bei den fünf anderen Termen einen Nachweis, dass es sich nicht um den Term von f handeln kann.
- f1(x) =
- e - 3 x - x + 1 - f2(x) =
- 7 x 2 · e - x - f3(x) =
7 x 2 · e - x - f4(x) =
- 3 x · e - x - f5(x) =
7 x 2 · e x - f6(x) =
- 7 x 2 · e x
Wir betrachten zuerst den gegeben Graph und entdecken dabei:
- Der Graph hat eine Nullstelle bei x = 0
- Für x → -∞ strebt f(x) gegen
∞ - Für x → +∞ strebt f(x) gegen
0 - Außerdem kann man einen Tiefpunkt bei x = 1 erkennen.
Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 6 vorgeschlagenen Termen:
f1(x) =
- f(0) =
- e - 3 ⋅ 0 - 0 + 1 - Für x → -∞ strebt f1 =
- e - 3 x - x + 1 - ∞ + ∞ + 1 - ∞ - Für x → +∞ strebt f1 =
- e - 3 x - x + 1 0 - ∞ + 1 - ∞
Damit können wir f1 ausschließen.
f2(x) =
- f(0) =
=0- 7 · 0 2 · e - 0 - Allerdings haben wir hier zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = 0, was nicht mit dem gegebenen Graph übereinstimmt.
f'(x) =- 7 · 2 x · e - x - 7 x 2 · e - x · ( - 1 ) - 14 x · e - x + 7 x 2 · e - x
f'(0) =- 14 · 0 · e - 0 + 7 · 0 2 · e - 0
Damit können wir f2 ausschließen.
f3(x) =
- f(0) =
=07 · 0 2 · e - 0 - Allerdings haben wir hier zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = 0, was nicht mit dem gegebenen Graph übereinstimmt.
f'(x) =7 · 2 x · e - x + 7 x 2 · e - x · ( - 1 ) 14 x · e - x - 7 x 2 · e - x
f'(0) =14 · 0 · e - 0 - 7 · 0 2 · e - 0
Damit können wir f3 ausschließen.
f4(x) =
- f(0) =
=0- 3 · 0 · e - 0 - Für x → -∞ strebt f4 =
gegen "- 3 x · e - x " =- 3 · - ∞ · ∞ ∞ - Für x → +∞ strebt f4 =
gegen "- 3 x · e - x " =- 3 ∞ · 0 0
( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen0 als der erste Faktor gegen und setzt sich deswegen durch)∞ - Wenn wir nach Punkten auf dem Graph mit waagrechter Tangente schauen, müssen wir
f'(x) =
- 3 · 1 · e - x - 3 x · e - x · ( - 1 ) - 3 e - x + 3 x · e - x = 03 · e - x · ( x - 1 )
nach x auflösen.3 · e - x ( x - 1 ) = 0 3 ( x - 1 ) · e - x = 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x - 1 = 0 | + 1 x1 = 1 2. Fall:
e - x = 0 Diese Gleichung hat keine Lösung!
Der Graph von f4(x) = hat also bei x = 1 einen Punkt mit waagrechter Tangente.- 3 x · e - x
Hier spricht also nichts dagegen, dass f4 der zugehörige Funktionsterm sein könnte.
f5(x) =
- f(0) =
=07 · 0 2 · e 0 - Allerdings haben wir hier zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = 0, was nicht mit dem gegebenen Graph übereinstimmt.
f'(x) =7 · 2 x · e x + 7 x 2 · e x 14 x · e x + 7 x 2 · e x
f'(0) =14 · 0 · e 0 + 7 · 0 2 · e 0
Damit können wir f5 ausschließen.
f6(x) =
- f(0) =
=0- 7 · 0 2 · e 0 - Allerdings haben wir hier zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = 0, was nicht mit dem gegebenen Graph übereinstimmt.
f'(x) =- 7 · 2 x · e x - 7 x 2 · e x - 14 x · e x - 7 x 2 · e x
f'(0) =- 14 · 0 · e 0 - 7 · 0 2 · e 0
Damit können wir f6 ausschließen.
Anwendungen e-Funktion
Beispiel:
In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit
- Nach wie vielen Minuten ist die Änderungsrate des Wasservolumens am größten?
- Wann nimmt die Änderungsrate des Wasservolumens am stärksten ab?
- Bei welchem Wert pendelt sich Änderungsrate des Wasservolumens auf lange Sicht ein?
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Hochpunkt (
|5) einblenden0,8664 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) =
20 e - 0,8 ⋅ 0 - 20 e - 1,6 ⋅ 0 0 . Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f(t) →0 + 0 Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.
Bei t =
ist also der größte Wert der Funktion.0,8664
- t-Wert bei der stärksten Abnahme
Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt der Ableitung.
Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':
f'(t)=
20 e - 0,8 x · ( - 0,8 ) - 20 e - 1,6 x · ( - 1,6 ) =
Wir berechnen also die Extremstellen von f':16 · e - 1,6 x ( - e 0,8 x + 2 ) Detail-Rechnung für den Tiefpunkt der Ableitung (
|-2) einblenden1,7329 Randwertuntersuchung
Da ja ein minimaler Wert, also ein globales Minimum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch kleinere Werte als beim lokalen Minimum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) =
=16 · e - 1,6 ⋅ 0 · ( - e 0,8 ⋅ 0 + 2 ) 16 0 .Weil die Werte an den Rändern größer als am Tiefpunkt sind, ist das lokale Minimum also ein globales Minimum von f'.
Bei t =
ist also der kleinste Wert der Ableitungsfunktion.1,7329 - Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)=
20 e - 0,8 t - 20 e - 1,6 t 0 + 0 Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen
0 .
Ableiten e-Funktion mit Parameter
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit
=
=
=
=
=
Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)
Beispiel:
Für welches t liegt der Punkt A(
Wir machen einfach eine Punktprobe mit A(
Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
Für t=
Parameter finden mit Ableitungswert (e-Fktn)
Beispiel:
Für welche t ist die Tangente von f mit
Gib alle Möglichkeiten für t an.
Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:
=
=
In diese Ableitung setzen wir x=
f'(
Damit die Tangente parallel zur Geraden y=
also f'(
Dazu lösen wir die Gleichung
|
= | |:
|
|
|
= | |
|
|
t1 | = |
|
=
|
t2 | = |
|
=
|
Für t=
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Da das k ja ein fester Wert ist, kann
k e k x + k - Wenn der Exponent
k x + k k e k x + k 1
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt. - Wir müssen also den Exponent
k x + k k x + k = 0 | - ( k k x = - k |:( k x = - 1 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:- 1
fk( ) =- 1 k e k ⋅ ( - 1 ) + k + 1 k + 1
im abgebildeten Term können wir aber ja f( ) = -1 ablesen, es gilt somit:- 1 k + 1 = - 1 | - 1 k = - 2
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Parameter für stärkste Steigung
Beispiel:
Auf dem Biberacher Skaterplatz soll eine neue abgerundete Funbox (kleiner Hügel) gebaut werden. Der Querschnitt des Entwurfs kann durch die Funktion ft mit ft(x)=
Um aus dem maximalen Steignungswinkel die maximale Steigung zu berechnen, beutzen wir die Formel für den Steigungswinkel:
m = tan(α),
also hier mmax=tan(40°) ≈ 0.839.
Um die steilste Stelle zu finden, brauchen wir die Extrempunkte der Ableitungsfunktion, also die Wendepunkte von ft .
Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.
=
=
=
=
=
=
=
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.
(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').
Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.
|
= | ||
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
|
= | |
|
|
|
= | |⋅ |
|
|
= | |
|
|
x1 | = |
|
=
|
x2 | = |
|
=
|
2. Fall:
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
Die Lösungen
Wenn man die beiden Lösungen
ft'(
ft'(
An den Rändern gilt:
Für x → -∞ strebt ft'(x) =
Für x → +∞ strebt ft'(x) =
Da die stetige Funktion ft' an den Rändern gegen 0 strebt und an den Stellen
Die maximale Steigung ist somit ft'(
Die minimale Steigung ist somit ft'(
Aufgrund der Symmetrie, genügt es im weiteren nur auf die maximale Steigung mmax =
Diese darf ja wegen des maximalen Steigungswinkel von 40° höchstens 0.839 sein, also berechnen wir das
t für das
|
= |
|
|
|
= |
|
|⋅ 2 |
|
= |
|
|⋅ |
|
= |
|
Für t = 0.922 wird also gerade der maximale Steigungswinkel von 40° erreicht.
Und weil ja die maximale Steigung mmax = ft'(
Nullstellen bei ln-Funktionen
Beispiel:
Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit
|
= | |
|
|
|
= |
|
|:
|
|
= |
|
|e(⋅) |
|
= |
|
L={
Parameter finden für Anzahl Nullstellen
Beispiel:
Bestimme diejenigen Werte von t, für die ft mit ft(x)=
Für die Nullstellen muss gelten: ft(x)=0, also hier :
Da
Wir lösen diese Gleichung einfach, in dem wir die Koeffizienten in die Mitternachtsformel einsetzen:
x1,2 =
An der Diskriminante
Hierfür untersuchen wir die t-Werte, für die die Diskriminante = 0 wird:
|
= | ||
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
t1 | = |
2. Fall:
|
= | |
|
|
t2 | = |
|
Jetzt können wir drei Fälle unterscheiden:
- Für
- 4 0 hat ft keine Nullstelle, weil dort4 t 2 + 16 t x 2 - 2 t x - 4 t
(z.B. bei t=-2 ist die Diskriminante4 ⋅ ( - 2 ) 2 + 16 ⋅ ( - 2 ) - 16 - Für t =
- 4 0 hat ft genau eine Nullstelle, weil dort ja die Diskriminante4 t 2 + 16 t - Für t <
- 4 0 hat ft genau zwei Nullstellen, weil dort4 t 2 + 16 t x 2 - 2 t x - 4 t
(z.B. bei t = -5 ist die Diskriminante4 ⋅ ( - 5 ) 2 + 16 ⋅ ( - 5 ) 20 4 ⋅ 1 2 + 16 ⋅ 1 20
Der gesuchte Bereich mit "genau zwei Nullstellen" ist somit: t <