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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= -3 e x -2 .

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem e x erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.

Da bei -3 e x -2 zu jedem Funktionswert von e x noch -2 addiert wird, ist der Graph von -3 e x -2 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach unten verschoben.

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Für x → ∞ strebt -3 e x -2 gegen - .
  • Für x → - ∞ strebt -3 e x -2 gegen 0 -2 = -2 .

Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x · e x +1 vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) · e ( -x ) +1 = - x · e -x +1

Wenn man das mit f(x) = x · e x +1 vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = - x · e -x +1
weder gleich f(x) = x · e x +1 noch gleich -f(x) = - x · e x +1 = - x · e x +1 ist.

Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:

f(1) = 1 · e 1 +1 = 1 · e 2 ≈ 7.389
Aber: f(-1) = -1 · e -1 +1 = -1 · e 0 ≈ -1

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

e-Funktion Graph zu Term finden

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = -10 x 2 · e -x

Eines der vier unten stehenden Schaubilder zeigt den Graph von f.

Entscheide, welches der vier dies ist. Suche dazu jeweils bei den drei anderen einen Beweis, dass es sich nicht um die Ableitungsfunktion handeln kann.

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Wir untersuchen zuerst den gegeben Funktionsterm:

  • y-Achsenabschnitt: f(0) = -10 · 0 2 · e -0 = -0
  • Nullstellen: f(x) = 0
    -10 x 2 · e -x = 0

    Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

    1. Fall:

    x 2 = 0 | 2
    x1 = 0

    2. Fall:

    e -x = 0

    Diese Gleichung hat keine Lösung!

  • Grenz-Verhalten:
    • Für x → -∞ strebt f(x)= -10 x 2 · e -x gegen " -10 · " = -
    • Für x → +∞ strebt f(x) = -10 x 2 · e -x gegen " -10 · 0 " = 0
      ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen und setzt sich deswegen durch)
  • Eventuell braucht noch die Punkte mit waagrechter Tangente für die Entscheidung. Dazu leiten wir f erstmal ab:
    f'(x) = -10 · 2x · e -x -10 x 2 · e -x · ( -1 ) = -10 x ( -x +2 ) e -x .
    f'(x) = 0:
    -10 x ( -x +2 ) · e -x = 0

    Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

    1. Fall:

    x1 = 0

    2. Fall:

    ( -x +2 ) · e -x = 0

    Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

    1. Fall:

    -x +2 = 0 | -2
    -x = -2 |:(-1 )
    x2 = 2

    2. Fall:

    e -x = 0

    Diese Gleichung hat keine Lösung!

    Wir haben somit bei x1=0 und x2=2 Punkte mit waagrechter Tangente.

Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 4 vorgeschlagenen Termen:

Schaubild 1

  • y-Achsenabschnitt: f(0) = -4 · 0 · e 0 = 0
  • Nullstellen: f(0) = -4 · 0 · e 0 =0
  • Grenzverhalten
    • Für x → -∞ strebt f1 = 0
    • Für x → +∞ strebt f1 = -

Damit können wir f1 ausschließen.

Schaubild 2

  • y-Achsenabschnitt: f(0) = 4 · 0 · e 0 = 0
  • Nullstellen: f(0) = 4 · 0 · e 0 =0
  • Grenzverhalten
    • Für x → -∞ strebt f2 = 0
    • Für x → +∞ strebt f2 =

Damit können wir f2 ausschließen.

Schaubild 3

  • y-Achsenabschnitt: f(0) = e -0 +0 -1 = 0
  • Nullstellen: f(0) = e -0 +0 -1 =0
  • Grenzverhalten
    • Für x → -∞ strebt f3 =
    • Für x → +∞ strebt f3 =

Damit können wir f3 ausschließen.

Schaubild 4

  • y-Achsenabschnitt: f(0) = -10 · 0 2 · e -0 = 0
  • Nullstellen: f(0) = -10 · 0 2 · e -0 =0
  • Grenzverhalten
    • Für x → -∞ strebt f4 = -
    • Für x → +∞ strebt f4 = 0
  • Punkte mit waagrechter Tangente:
    Wir erkennen einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x ≈ 0.
    Außerdem erkennen wir noch einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x ≈ 2

Hier spricht also nichts dagegen, dass f4 der zugehörige Funktionsterm sein könnte.

e-Funktion Term zu Graph finden

Beispiel:

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Gegeben ist der Graph einer Funktion f

Einer der vier gegebenen Funktionsterme gehört zu f.

Entscheide, welcher der vier Terme dies ist. Suche hierbei jeweils bei den drei anderen Termen einen Beweis, dass es sich nicht um den Term von f handeln kann.

  1. f1(x) = 2 ( x -2 ) · e -x
  2. f2(x) = 3 e -3x + x -3
  3. f3(x) = -3 e -3x - x +3
  4. f4(x) = 5 ( x -2 ) 2 · e -x
  5. f5(x) = -5 ( x -2 ) 2 · e -x
  6. f6(x) = ( x -2 ) · e x

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Wir betrachten zuerst den gegeben Graph und entdecken dabei:

  • Der Graph hat eine Nullstelle bei x = 2
  • Man kann dabei sogar erkennen, dass hier die x-Achse nur berührt wird, also dass kein Vorzeichenwechsel in f vorliegt, und dass der Graph bei x = 2 auch eine waagrechte Tangente hat.
  • Für x → -∞ strebt f(x) gegen -
  • Für x → +∞ strebt f(x) gegen 0
  • Außerdem kann man einen Tiefpunkt bei x = 4 erkennen.

Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 6 vorgeschlagenen Termen:

f1(x) = 2 ( x -2 ) · e -x

  • f(2) = 2 · ( 2 -2 ) · e -2 =0
  • Man kann aber am Term erkennen, dass bei x = 2 ein Vorzeichenwechsel vorliegt, bzw. dass die Tangente nicht waagrecht ist.
    f'(x) = 2 · ( 1 +0 ) · e -x +2 ( x -2 ) · e -x · ( -1 ) = 2 e -x -2 ( x -2 ) · e -x
    f'(2) = 2 e -2 -2 · ( 2 -2 ) · e -2 = 0.27067056647323 ≠ 0

Damit können wir f1 ausschließen.

f2(x) = 3 e -3x + x -3

  • f(2) = 3 e -32 +2 -3 =-0.99256374347

Damit können wir f2 ausschließen.

f3(x) = -3 e -3x - x +3

  • f(2) = -3 e -32 - 2 +3 =0.99256374347

Damit können wir f3 ausschließen.

f4(x) = 5 ( x -2 ) 2 · e -x

  • f(2) = 5 · ( 2 -2 ) 2 · e -2 =0
  • Auch hier haben wir zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = 2.
    f'(x) = 5 · 2( x -2 ) · ( 1 +0 ) · e -x +5 ( x -2 ) 2 · e -x · ( -1 ) = 10 ( x -2 ) · e -x -5 ( x -2 ) 2 · e -x
    f'(2) = 10 · ( 2 -2 ) · e -2 -5 · ( 2 -2 ) 2 · e -2 = 0
  • Für x → -∞ strebt f4 = 5 ( x -2 ) 2 · e -x gegen " 5 · " =
  • Für x → +∞ strebt f4 = 5 ( x -2 ) 2 · e -x gegen " 5 · 0 " = 0
    ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen und setzt sich deswegen durch)

Damit können wir f4 ausschließen.

f5(x) = -5 ( x -2 ) 2 · e -x

  • f(2) = -5 · ( 2 -2 ) 2 · e -2 =0
  • Auch hier haben wir zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = 2.
    f'(x) = -5 · 2( x -2 ) · ( 1 +0 ) · e -x -5 ( x -2 ) 2 · e -x · ( -1 ) = -10 ( x -2 ) · e -x +5 ( x -2 ) 2 · e -x
    f'(2) = -10 · ( 2 -2 ) · e -2 +5 · ( 2 -2 ) 2 · e -2 = 0
  • Für x → -∞ strebt f5 = -5 ( x -2 ) 2 · e -x gegen " -5 · " = -
  • Für x → +∞ strebt f5 = -5 ( x -2 ) 2 · e -x gegen " -5 · 0 " = 0
    ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen und setzt sich deswegen durch)

Hier spricht also nichts dagegen, dass f5 der zugehörige Funktionsterm sein könnte.

f6(x) = ( x -2 ) · e x

  • f(2) = ( 2 -2 ) · e 2 =0
  • Man kann aber am Term erkennen, dass bei x = 2 ein Vorzeichenwechsel vorliegt, bzw. dass die Tangente nicht waagrecht ist.
    f'(x) = ( 1 +0 ) · e x + ( x -2 ) · e x = e x + ( x -2 ) · e x
    f'(2) = e 2 + ( 2 -2 ) · e 2 = 7.3890560989306 ≠ 0

Damit können wir f6 ausschließen.

Anwendungen e-Funktion

Beispiel:

In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 20 t · e -t beschrieben werden ( t ≥ 0 in min nach Beobachtungsbeginn, f(t) in m³/min). Zu Beginn sind 30 m³ Wasser im Tank.

  1. Wie hoch ist die Änderungsrate des Wasservolumens 3 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
  2. Nach wie vielen Minuten ist die Änderungsrate des Wasservolumens am größten?

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  1. y-Wert bei t = 3

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = 20 · 3 · e -3 = 60 e -3 ≈ 3


  2. t-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

    Detail-Rechnung für den Hochpunkt (1 |7.36) einblenden

    Randwertuntersuchung

    Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

    Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = 20 · 0 · e -0 = 0. Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f(t) → 0.

    Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

    Bei t = 1 ist also der größte Wert der Funktion.


Ableiten e-Funktion mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit ft(x)= x · e -3 t x und vereinfache:

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f(x)= x · e -3 t x

f'(x)= 1 · e -3 t x + x · e -3 t x · ( -3 t )

= e -3 t x + x · ( -3 t e -3 t x )

= e -3 t x -3 t x · e -3 t x

= e -3 t x · ( -3 t x +1 )

= ( -3 t x +1 ) · e -3 t x

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A(0| -4 ) auf dem Graph der Funktion f mit ft(x)= - 1 2 x · e -2 t x -4 t ?

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Wir machen einfach eine Punktprobe mit A(0| -4 ) in f mit f(x)= - 1 2 x · e -2 t x -4 t :

-4 = f(0)

-4 = - 1 2 · ( 0 ) · e -2 t ( 0 ) -4 t

-4 = - 1 2 · ( 0 ) · e 0 -4 t

-4 = - 1 2 · ( 0 ) · 1 -4 t

-4 = 0 -4 t

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung -4t = -4 nach t auflösen.

-4t = -4 |:(-4 )
t = 1

Für t= 1 liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Parameter finden mit Ableitungswert (e-Fktn)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit ft(x)= -4 e t x - t im Punkt B(1|f(1)) parallel zur Gerade y= -12x -6 ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

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Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

f(x)= -4 e t x - t

f'(x)= -4 e t x - t · t

= -4 t e t x - t

In diese Ableitung setzen wir x=1 ein:

f'(1) = -4 t e t 1 - t = -4 t e t - t = -4 t

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= -12 x-6 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'(1)= -4 t soll gleich -12 sein.
Dazu lösen wir die Gleichung -4t = -12 nach t auf.

-4t = -12 |:(-4 )
t = 3

Für t= 3 ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= 2 k e k x -2 k -2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann 2 k e k x -2 k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x -2 k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm 2 k e k x -2 k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei -2 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x -2 k = 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x -2 k = 0 | - ( -2 k )
    k x = 2 k |:( k )
    x = 2
    Wenn wir nun 2 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(2 ) = 2 k e k 2 -2 k -2 = 2k -2
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(2 ) = -1 ablesen, es gilt somit:
    2k -2 = -1 | +2
    2k = 1 |:2
    k = 1 2 = 0.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f 1 2

Parameter für stärkste Steigung

Beispiel:

Auf dem Biberacher Skaterplatz soll eine neue abgerundete Funbox (kleiner Hügel) gebaut werden. Der Querschnitt des Entwurfs kann durch die Funktion ft mit ft(x)= 3 t e - 9 2 t 2 x 2 mit t>0 beschrieben werden. Die tatsächliche Form der Funbox kann durch verschiedene Werte von t variiert werden. Dabei muss aber aus Sicherheitsgründen gewährleistet sein, dass an der steilsten Stelle der Steigungswinkel nie mehr als 45° beträgt. Bestimme den zulässigen Bereich für t.

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Um aus dem maximalen Steignungswinkel die maximale Steigung zu berechnen, beutzen wir die Formel für den Steigungswinkel:
m = tan(α), also hier mmax=tan(45°) ≈ 1.

Um die steilste Stelle zu finden, brauchen wir die Extrempunkte der Ableitungsfunktion, also die Wendepunkte von ft .

f(x)= 3 t e - 9 2 t 2 x 2

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

f'(x)= 3 t e - 9 2 t 2 x 2 · ( -9 t 2 x )

= -27 t 3 · e - 9 2 t 2 x 2 x

= -27 t 3 x e - 9 2 t 2 x 2


f''(x)= -27 t 3 e - 9 2 t 2 x 2 · ( -9 t 2 x ) · x -27 t 3 · e - 9 2 t 2 x 2 · 1

= -27 t 3 · e - 9 2 t 2 x 2 · ( -9 t 2 x · x ) -27 t 3 e - 9 2 t 2 x 2

= 243 t 5 · e - 9 2 t 2 x 2 x · x -27 t 3 e - 9 2 t 2 x 2

= 243 t 5 · e - 9 2 t 2 x 2 x 2 -27 t 3 e - 9 2 t 2 x 2

= e - 9 2 t 2 x 2 · ( 243 t 5 x 2 -27 t 3 )

= ( 243 t 5 x 2 -27 t 3 ) · e - 9 2 t 2 x 2


Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

e - 9 2 t 2 x 2 ( 243 t 5 x 2 -27 t 3 ) = 0
( 243 t 5 x 2 -27 t 3 ) · e - 9 2 t 2 x 2 = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

243 t 5 x 2 -27 t 3 = 0 | - ( -27 t 3 )
243 t 5 x 2 = 27 t 3 |:243 t 5
x 2 = 1 9 1 t 2 | 2
x1 = - ( 1 9 1 t 2 ) = - 1 3 1 t
x2 = ( 1 9 1 t 2 ) = 1 3 1 t

2. Fall:

e - 9 2 t 2 x 2 = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösungen - 1 3 1 t , 1 3 1 t sind nun die einzigen Kandidaten für Wendestellen.

Wenn man die beiden Lösungen - 1 3 1 t und 1 3 1 t in die erste Ableitung einsetzt, erhält man:
ft'( - 1 3 1 t ) = -27 t 3 · e - 9 2 t 2 ( - 1 3 1 t ) 2 · ( - 1 3 1 t ) = 9 t 2 e - 1 2
ft'( 1 3 1 t ) = -27 t 3 · e - 9 2 t 2 ( 1 3 1 t ) 2 · ( 1 3 1 t ) = -9 t 2 e - 1 2

An den Rändern gilt:
Für x → -∞ strebt ft'(x) = -27 t 3 · e - 9 2 t 2 x 2 x → 0 für alle t
Für x → +∞ strebt ft'(x) = -27 t 3 · e - 9 2 t 2 x 2 x → 0 für alle t

Da die stetige Funktion ft' an den Rändern gegen 0 strebt und an den Stellen - 1 3 1 t und 1 3 1 t waagrechte Tangenten hat, müssen dort Extremstellen, und sogar ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum sein.

Die maximale Steigung ist somit ft'( - 1 3 1 t ) = 9 t 2 e - 1 2
Die minimale Steigung ist somit ft'( 1 3 1 t ) = -9 t 2 e - 1 2

Aufgrund der Symmetrie, genügt es im weiteren nur auf die maximale Steigung mmax = 9 t 2 e - 1 2 9 t 2 · 0,607 zu schauen .
Diese darf ja wegen des maximalen Steigungswinkel von 45° höchstens 1 sein, also berechnen wir das t für das 9 t 2 e - 1 2 = 1 gilt:

9 t 2 · 0,607 = 1
5,463 t 2 = 1 |:5,463
t 2 = 1 5,463 | 2
t1 = - 1 5,463 -0,428
t2 = 1 5,463 0,428

Für t = 0.428 wird also gerade der maximale Steigungswinkel von 45° erreicht. (Es sind ja nur positive Werte für t zugelassen.)

Und weil ja die maximale Steigung mmax = ft'( - 1 3 1 t ) = 9 t 2 e - 1 2 mit wachsendem t immer größer wird, sind somit alle t < 0.428 zulässig.

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit f(x)= ln( x ) + 1 5

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ln( x ) + 1 5 = 0 | - 1 5
ln( x ) = - 1 5 |e(⋅)
x = 1 e 5

L={ 1 e 5 }

Parameter finden für Anzahl Nullstellen

Beispiel:

Bestimme diejenigen Werte von t, für die ft mit ft(x)= t x 4 +12 x 3 + t x 2 genau eine Nullstelle hat.

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Für die Nullstellen muss gelten: ft(x)=0, also hier :
t x 4 +12 x 3 + t x 2 = 0

x 2 · ( t x 2 +12x + t ) = 0

1. Fall : x 2 = 0
also x1 = 0

2. Fall : t x 2 +12x + t = 0

Wir lösen diese Gleichung einfach, in dem wir die Koeffizienten in die Mitternachtsformel einsetzen:

x2,3 = -12 ± 12 2 -4 · t · t 2( t ) = -12 ± 144 -4 t 2 2 t

An der Diskriminante 144 -4 t 2 , also dem Term unter der Wurzel erkennen wir die Anzahl der Lösungen.
Hierfür untersuchen wir die t-Werte, für die die Diskriminante = 0 wird:

144 -4 t 2 = 0
-4 t 2 +144 = 0 | -144
-4 t 2 = -144 |: ( -4 )
t 2 = 36 | 2
t1 = - 36 = -6
t2 = 36 = 6

Da ja x1 = 0 unabhängig von t immer eine Nullstelle von ft ist, können wir jetzt drei Fälle unterscheiden:

  • Für t < -6 oder t > 6 hat ft genau eine Nullstelle, weil dort 144 -4 t 2 < 0 ist, also ein negativer Wert unter der Wurzel der Mitternachtsformel steht und somit die quadratische Gleichung t x 2 +12x + t keine reele Lösung hat.
    (z.B. bei t = -7 ist die Diskriminante 144 -4 ( -7 ) 2 = -52 und bei t = 7 ist die Diskriminante 144 -4 7 2 = -52 )
  • Für t = -6 oder t = 6 hat ft genau zwei Nullstellen, weil dort ja die Diskriminante 144 -4 t 2 = 0 ist und somit die beiden Lösungen (eine mit + und eine mit -) zusammenfallen.
  • Für -6 < t < 6 hat ft genau drei Nullstellen, weil dort 144 -4 t 2 > 0 ist und somit die die quadratische Gleichung t x 2 +12x + t je eine Lösung mit der positven Wurzel und eine mit der negativen Wurzel hat.
    (z.B. bei t=0 ist die Diskriminante 144 -4 0 2 = 144 )

Der gesuchte Bereich mit "genau eine Nullstelle" ist somit: t < -6 oder t > 6