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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{- (x + 1)} + 2$ .

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{- (x + 1)} + 2$ das x von $e^{x}$ durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von $e^{- (x + 1)} + 2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei $e^{- (x + 1)} + 2$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch 2 addiert wird, ist der Graph von $e^{- (x + 1)} + 2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach oben verschoben.

Da bei $e^{- (x + 1)} + 2$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x+1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
Für x → ∞ strebt $e^{- (x + 1)} + 2$ gegen $0 + 2$ = $2$ .
Für x → - ∞ strebt $e^{- (x + 1)} + 2$ gegen $\infty$ .

Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + (3 e^{2 x} + 3 e^{- 2 x})$ vorliegt.

Lösung einblenden

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{2} + (3 e^{- 2 x} + 3 e^{2 x})$ = $x^{2} + 3 e^{- 2 x} + 3 e^{2 x}$ = $3 e^{2 x} + 3 e^{- 2 x} + x^{2}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{2} + (3 e^{2 x} + 3 e^{- 2 x})$ = $3 e^{2 x} + 3 e^{- 2 x} + x^{2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

e-Funktion Graph zu Term finden

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = $(x + 1) \cdot e^{- x}$

Eines der vier unten stehenden Schaubilder zeigt den Graph von f.

Entscheide, welches der vier dies ist. Suche dazu jeweils bei den drei anderen einen Nachweis, dass es sich nicht um den Graph der Funktion handeln kann.

1

2

3

4

Lösung einblenden

Wir untersuchen zuerst den gegeben Funktionsterm:

y-Achsenabschnitt: f(0) = $(0 + 1) \cdot e^{- 0}$ = 1

Nullstellen: f(x) = 0

(x + 1) \cdot e^{- x}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Grenz-Verhalten:
- Für x → -∞ strebt f(x)= $(x + 1) \cdot e^{- x}$ gegen " $- \infty \cdot \infty$ " = $- \infty$
- Für x → +∞ strebt f(x) = $(x + 1) \cdot e^{- x}$ gegen " $\infty \cdot 0$ " = 0
  ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)
Eventuell braucht noch die Punkte mit waagrechter Tangente für die Entscheidung. Dazu leiten wir f erstmal ab:
f'(x) = $(1 + 0) \cdot e^{- x} + (x + 1) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- x e^{- x}$ .
f'(x) = 0:

$- x \cdot e^{- x}$ = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:

x₁ = 0

2. Fall:

$e^{- x}$ = $0$
Diese Gleichung hat keine Lösung!

Wir haben somit bei x=0 einen Punkt mit waagrechter Tangente.

Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 4 vorgeschlagenen Termen:

Schaubild 1

y-Achsenabschnitt: f(0) = $8 \cdot {(0 + 1)}^{2} \cdot e^{0}$ = 8

Damit können wir f₁ ausschließen.

Schaubild 2

y-Achsenabschnitt: f(0) = $- 7 e^{0} + 7 e^{0,5 \cdot 0}$ = 0

Damit können wir f₂ ausschließen.

Schaubild 3

y-Achsenabschnitt: f(0) = $(0 + 1) \cdot e^{- 0}$ = 1
Nullstellen: f(-1) = $(- 1 + 1) \cdot e^{- (- 1)}$ =0
Grenzverhalten
- Für x → -∞ strebt f₃ = $- \infty$
- Für x → +∞ strebt f₃ = 0
Punkte mit waagrechter Tangente:
Wir erkennen einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x ≈ 0.

Hier spricht also nichts dagegen, dass f₃ der zugehörige Funktionsterm sein könnte.

Schaubild 4

y-Achsenabschnitt: f(0) = $- 8 \cdot {(0 + 1)}^{2} \cdot e^{0}$ = -8

Damit können wir f₄ ausschließen.

e-Funktion Term zu Graph finden

Beispiel:

Gegeben ist der Graph einer Funktion f

Einer der sechs gegebenen Funktionsterme gehört zu f.

Entscheide, welcher der sechs Terme dies ist. Suche hierbei jeweils bei den fünf anderen Termen einen Nachweis, dass es sich nicht um den Term von f handeln kann.

f₁(x) = $4 (x + 1) \cdot e^{x}$
f₂(x) = $6 {(x + 1)}^{2} \cdot e^{x}$
f₃(x) = $- 4 (x + 1) \cdot e^{x}$
f₄(x) = $10 {(x + 1)}^{2} \cdot e^{- x}$
f₅(x) = $(x + 1) \cdot e^{- x}$
f₆(x) = $- (x + 1) \cdot e^{- x}$

Lösung einblenden

Wir betrachten zuerst den gegeben Graph und entdecken dabei:

Der Graph hat eine Nullstelle bei x = -1
Man kann dabei sogar erkennen, dass hier die x-Achse nur berührt wird, also dass kein Vorzeichenwechsel in f vorliegt, und dass der Graph bei x = -1 auch eine waagrechte Tangente hat.
Für x → -∞ strebt f(x) gegen 0
Für x → +∞ strebt f(x) gegen $\infty$
Außerdem kann man einen Hochpunkt bei x = -3 erkennen.

Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 6 vorgeschlagenen Termen:

f₁(x) = $4 (x + 1) \cdot e^{x}$

f(-1) = $4 \cdot (- 1 + 1) \cdot e^{- 1}$ =0
Man kann aber am Term erkennen, dass bei x = -1 ein Vorzeichenwechsel vorliegt, bzw. dass die Tangente nicht waagrecht ist.
f'(x) = $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{x} + 4 (x + 1) \cdot e^{x}$ = $4 e^{x} + 4 (x + 1) \cdot e^{x}$
f'(-1) = $4 e^{- 1} + 4 \cdot (- 1 + 1) \cdot e^{- 1}$ = 1.4715177646858 ≠ 0

Damit können wir f₁ ausschließen.

f₂(x) = $6 {(x + 1)}^{2} \cdot e^{x}$

f(-1) = $6 \cdot {(- 1 + 1)}^{2} \cdot e^{- 1}$ =0
Auch hier haben wir zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = -1.
f'(x) = $6 \cdot 2 (x + 1) \cdot (1 + 0) \cdot e^{x} + 6 {(x + 1)}^{2} \cdot e^{x}$ = $12 (x + 1) \cdot e^{x} + 6 {(x + 1)}^{2} \cdot e^{x}$
f'(-1) = $12 \cdot (- 1 + 1) \cdot e^{- 1} + 6 \cdot {(- 1 + 1)}^{2} \cdot e^{- 1}$ = 0
Für x → -∞ strebt f₂ = $6 {(x + 1)}^{2} \cdot e^{x}$ gegen " $6 \infty \cdot 0$ " = 0
( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)
Für x → +∞ strebt f₂ = $6 {(x + 1)}^{2} \cdot e^{x}$ gegen " $6 \infty \cdot \infty$ " = $\infty$

Hier spricht also nichts dagegen, dass f₂ der zugehörige Funktionsterm sein könnte.

f₃(x) = $- 4 (x + 1) \cdot e^{x}$

f(-1) = $- 4 \cdot (- 1 + 1) \cdot e^{- 1}$ =0
Man kann aber am Term erkennen, dass bei x = -1 ein Vorzeichenwechsel vorliegt, bzw. dass die Tangente nicht waagrecht ist.
f'(x) = $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{x} - 4 (x + 1) \cdot e^{x}$ = $- 4 e^{x} - 4 (x + 1) \cdot e^{x}$
f'(-1) = $- 4 e^{- 1} - 4 \cdot (- 1 + 1) \cdot e^{- 1}$ = -1.4715177646858 ≠ 0

Damit können wir f₃ ausschließen.

f₄(x) = $10 {(x + 1)}^{2} \cdot e^{- x}$

f(-1) = $10 \cdot {(- 1 + 1)}^{2} \cdot e^{- (- 1)}$ =0
Auch hier haben wir zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = -1.
f'(x) = $10 \cdot 2 (x + 1) \cdot (1 + 0) \cdot e^{- x} + 10 {(x + 1)}^{2} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $20 (x + 1) \cdot e^{- x} - 10 {(x + 1)}^{2} \cdot e^{- x}$
f'(-1) = $20 \cdot (- 1 + 1) \cdot e^{- (- 1)} - 10 \cdot {(- 1 + 1)}^{2} \cdot e^{- (- 1)}$ = 0
Für x → -∞ strebt f₄ = $10 {(x + 1)}^{2} \cdot e^{- x}$ gegen " $10 \infty \cdot \infty$ " = $\infty$
Für x → +∞ strebt f₄ = $10 {(x + 1)}^{2} \cdot e^{- x}$ gegen " $10 \infty \cdot 0$ " = 0
( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Damit können wir f₄ ausschließen.

f₅(x) = $(x + 1) \cdot e^{- x}$

f(-1) = $(- 1 + 1) \cdot e^{- (- 1)}$ =0
Man kann aber am Term erkennen, dass bei x = -1 ein Vorzeichenwechsel vorliegt, bzw. dass die Tangente nicht waagrecht ist.
f'(x) = $(1 + 0) \cdot e^{- x} + (x + 1) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} - (x + 1) \cdot e^{- x}$
f'(-1) = $e^{- (- 1)} - (- 1 + 1) \cdot e^{- (- 1)}$ = 2.718281828459 ≠ 0

Damit können wir f₅ ausschließen.

f₆(x) = $- (x + 1) \cdot e^{- x}$

f(-1) = $- (- 1 + 1) \cdot e^{- (- 1)}$ =0
Man kann aber am Term erkennen, dass bei x = -1 ein Vorzeichenwechsel vorliegt, bzw. dass die Tangente nicht waagrecht ist.
f'(x) = $- (1 + 0) \cdot e^{- x} - (x + 1) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x} + (x + 1) \cdot e^{- x}$
f'(-1) = $- e^{- (- 1)} + (- 1 + 1) \cdot e^{- (- 1)}$ = -2.718281828459 ≠ 0

Damit können wir f₆ ausschließen.

Anwendungen e-Funktion

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $25 - 24 e^{- 0,7 t}$ beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 4 Dezimeter hoch.

Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 2 Jahren?
Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 22 dm pro Jahr?

Lösung einblenden

y-Wert bei t = 2
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $25 - 24 e^{- 0,7 \cdot 2}$ = $- 24 e^{- 1,4} + 25$ ≈ 19.1
Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

Für t → ∞ ⇒ f(t)= $25 - 24 e^{- 0,7 t}$ → $25 + 0$

Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $25$ .

Erster t-Wert bei y = 22

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=22 annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach = 22 und lösen nach t auf:

25 - 24 e^{- 0,7 t}

=

22

$- 24 e^{- 0,7 t} + 25$	=	$22$	\| $- 25$
$- 24 e^{- 0,7 t}$	=	$- 3$	\|: $- 24$
$e^{- 0,7 t}$	=	$\frac{1}{8}$	\|ln(⋅)
$- 0,7 t$	=	$\ln (\frac{1}{8})$	\|: $- 0,7$
$t$	=	$- \frac{1}{0,7} \ln (\frac{1}{8})$	≈ 2.9706

Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 22 annimmt, ist also nach 2.97 Jahre.

Ableiten e-Funktion mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 e^{2 t x^{3} + t}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 3 e^{2 t x^{3} + t}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 t x^{3} + t} \cdot 6 t x^{2}$

= $- 18 t \cdot e^{2 t x^{3} + t} x^{2}$

= $- 18 t x^{2} e^{2 t x^{3} + t}$

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $2$ |0) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- 6 t x \cdot e^{x - 2} + 12$ ?

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Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $2$ |0) in f mit $f(x) =$ $- 6 t x \cdot e^{x - 2} + 12$ :

0 = f( $2$ )

0 = $- 6 t \cdot 2 \cdot e^{2 - 2} + 12$

0 = $- 6 t \cdot 2 \cdot e^{0} + 12$

0 = $- 6 t \cdot 2 \cdot 1 + 12$

0 = $- 12 t + 12$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- 12 t + 12$ = 0 nach t auflösen.

$- 12 t + 12$	=	0	\| $- 12$
$- 12 t$	=	$- 12$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$1$

Für t= $1$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Parameter finden mit Ableitungswert (e-Fktn)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $(2 x - 3) \cdot e^{3 t x}$ im Punkt B( $0$ |f( $0$ )) parallel zur Gerade y= $- 7 x + 1$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

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Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $(2 x - 3) \cdot e^{3 t x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 t x} + (2 x - 3) \cdot e^{3 t x} \cdot 3 t$

= $2 e^{3 t x} + (2 x - 3) \cdot 3 t e^{3 t x}$

= $2 e^{3 t x} + 3 t (2 x - 3) \cdot e^{3 t x}$

= $e^{3 t x} \cdot (6 t x - 9 t + 2)$

= $e^{3 t x} \cdot (6 t x + (- 9 t + 2))$

= $(6 t x + (- 9 t + 2)) \cdot e^{3 t x}$

In diese Ableitung setzen wir x= $0$ ein:

f'( $0$ ) = $2 e^{3 t \cdot 0} + 3 t \cdot (2 \cdot 0 - 3) \cdot e^{3 t \cdot 0}$ = $2 - 9 t$ = $- 9 t + 2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 7$ x+1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $0$ )= $- 9 t + 2$ soll gleich $- 7$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- 9 t + 2$ = $- 7$ nach t auf.

$- 9 t + 2$	=	$- 7$	\| $- 2$
$- 9 t$	=	$- 9$	\|:( $- 9$ )
$t$	=	$1$

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x + 5 k) \cdot e^{x + \frac{5}{2} k} + 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x + 5 k) \cdot e^{x + \frac{5}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x + 5 k$ = 0 ist, also für x = $- 5 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 5 k$ ) = $((- 5 k) + 5 k) \cdot e^{(- 5 k) + \frac{5}{2} k} + 1$ = $0 + 1$ = $1$ sein.
Da bei x = $- 5 k$ bei ( $x + 5 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 5 k$ | $1$ ) im abgebildeten Graph bei P(4| $1$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 5 k$ = 4
Also gilt k = $- \frac{4}{5}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{4}{5}$}

Parameter für stärkste Steigung

Beispiel:

Auf dem Biberacher Skaterplatz soll eine neue abgerundete Funbox (kleiner Hügel) gebaut werden. Der Querschnitt des Entwurfs kann durch die Funktion f_t mit f_t(x)= $2 e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x^{2}}$ mit t>0 beschrieben werden. Die tatsächliche Form der Funbox kann durch verschiedene Werte von t variiert werden. Dabei muss aber aus Sicherheitsgründen gewährleistet sein, dass an der steilsten Stelle der Steigungswinkel nie mehr als 45° beträgt. Bestimme den zulässigen Bereich für t.

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Um aus dem maximalen Steignungswinkel die maximale Steigung zu berechnen, beutzen wir die Formel für den Steigungswinkel:
m = tan(α), also hier m_max=tan(45°) ≈ 1.

Um die steilste Stelle zu finden, brauchen wir die Extrempunkte der Ableitungsfunktion, also die Wendepunkte von f_t .

$f(x) =$ $2 e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x^{2}}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $2 e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x^{2}} \cdot (- \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x)$

= $- \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} \cdot e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x^{2}} x$

= $- \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x^{2}}$

$f''(x) =$ $- \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x^{2}} \cdot (- \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x) \cdot x - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} \cdot e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x^{2}} \cdot 1$

= $- \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} \cdot e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x^{2}} \cdot (- \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x \cdot x) - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x^{2}}$

= $\frac{32}{81} \cdot \frac{1}{t^{4}} \cdot e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x^{2}} x \cdot x - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x^{2}}$

= $\frac{32}{81} \cdot \frac{1}{t^{4}} \cdot e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x^{2}} x^{2} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x^{2}}$

= $e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x^{2}} \cdot (\frac{32}{81} \cdot \frac{1}{t^{4}} x^{2} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}})$

= $(\frac{32}{81} \cdot \frac{1}{t^{4}} x^{2} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}}) \cdot e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x^{2}}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x^{2}} (\frac{32}{81} \cdot \frac{1}{t^{4}} x^{2} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}})$	=	0
$(\frac{32}{81} \cdot \frac{1}{t^{4}} x^{2} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}}) \cdot e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x^{2}}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$\frac{32}{81} \cdot \frac{1}{t^{4}} x^{2} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}}$	=	0	\| - ( $- \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}}$ )
$\frac{32}{81} \cdot \frac{1}{t^{4}} x^{2}$	=	$\frac{8}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}}$	\|⋅ $\frac{81}{32} t^{4}$
$x^{2}$	=	$\frac{9}{4} t^{2}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(\frac{9}{4} t^{2})}$	= $- \frac{3}{2} t$
x₂	=	$\sqrt{(\frac{9}{4} t^{2})}$	= $\frac{3}{2} t$

2. Fall:

e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x^{2}}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösungen $- \frac{3}{2} t$ , $\frac{3}{2} t$ sind nun die einzigen Kandidaten für Wendestellen.

Wenn man die beiden Lösungen $- \frac{3}{2} t$ und $\frac{3}{2} t$ in die erste Ableitung einsetzt, erhält man:
f_t'( $- \frac{3}{2} t$ ) = $- \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} \cdot e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} {(- \frac{3}{2} t)}^{2}} \cdot (- \frac{3}{2} t)$ = $\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{t} e^{- \frac{1}{2}}$
f_t'( $\frac{3}{2} t$ ) = $- \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} \cdot e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} {(\frac{3}{2} t)}^{2}} \cdot (\frac{3}{2} t)$ = $- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{t} e^{- \frac{1}{2}}$

An den Rändern gilt:
Für x → -∞ strebt f_t'(x) = $- \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} \cdot e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x^{2}} x$ → 0 für alle t
Für x → +∞ strebt f_t'(x) = $- \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} \cdot e^{- \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{t^{2}} x^{2}} x$ → 0 für alle t

Da die stetige Funktion f_t' an den Rändern gegen 0 strebt und an den Stellen $- \frac{3}{2} t$ und $\frac{3}{2} t$ waagrechte Tangenten hat, müssen dort Extremstellen, und sogar ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum sein.

Die maximale Steigung ist somit f_t'( $- \frac{3}{2} t$ ) = $\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{t} e^{- \frac{1}{2}}$
Die minimale Steigung ist somit f_t'( $\frac{3}{2} t$ ) = $- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{t} e^{- \frac{1}{2}}$

Aufgrund der Symmetrie, genügt es im weiteren nur auf die maximale Steigung m_max = $\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{t} e^{- \frac{1}{2}}$ ≈ $\frac{4}{3 t} \cdot 0,607$ zu schauen .
Diese darf ja wegen des maximalen Steigungswinkel von 45° höchstens 1 sein, also berechnen wir das t für das $\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{t} e^{- \frac{1}{2}}$ = 1 gilt:

D=R\{0}

\frac{\frac{7,284}{3}}{3 t}

=

1

Wir multiplizieren den Nenner $t$ weg!

$\frac{\frac{7,284}{3}}{3 t}$	=	$1$	\|⋅( $t$ )
$\frac{\frac{7,284}{3}}{3 t} \cdot t$	=	$1 \cdot t$
$\frac{2,428}{3}$	=	$t$

$\frac{2,428}{3}$	=	$t$	\| $- \frac{2,428}{3}$ $- t$
$- t$	=	$- \frac{2,428}{3}$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$0,8093$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Für t = 0.809 wird also gerade der maximale Steigungswinkel von 45° erreicht.

Und weil ja die maximale Steigung m_max = f_t'( $- \frac{3}{2} t$ ) = $\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{t} e^{- \frac{1}{2}}$ mit wachsendem t immer kleiner wird, sind somit alle t > 0.809 zulässig.

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) - 2$

Lösung einblenden

$\ln (x) - 2$	=	0	\| $+ 2$
$\ln (x)$	=	$2$	\|e^(⋅)

x

=

e^{2}

L={ $e^{2}$ }

Parameter finden für Anzahl Nullstellen

Beispiel:

Bestimme diejenigen Werte von t, für die f_t mit f_t(x)= $x^{3} - 2 t x^{2} - t x$ genau drei Nullstellen hat.

Lösung einblenden

Für die Nullstellen muss gelten: f_t(x)=0, also hier :
$x^{3} - 2 t x^{2} - t x$ = 0

$x \cdot (x^{2} - 2 t x - t)$ = 0

1. Fall : $x$ = 0
also x₁ = 0

2. Fall : $x^{2} - 2 t x - t$ = 0

Wir lösen diese Gleichung einfach, in dem wir die Koeffizienten in die Mitternachtsformel einsetzen:

x_2,3 = $\frac{+ 2 t \pm \sqrt{{(- 2 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 2 t \pm \sqrt{4 t^{2} + 4 t}}{2}$

An der Diskriminante $4 t^{2} + 4 t$ , also dem Term unter der Wurzel erkennen wir die Anzahl der Lösungen.
Hierfür untersuchen wir die t-Werte, für die die Diskriminante = 0 wird:

$4 t^{2} + 4 t$	=	0
$4 t (t + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t + 1$	=	0	\| $- 1$
t₂	=	$- 1$

Da ja x₁ = 0 unabhängig von t immer eine Nullstelle von f_t ist, können wir jetzt drei Fälle unterscheiden:

Für $- 1$ < t < 0 hat f_t genau eine Nullstelle, weil dort $4 t^{2} + 4 t$ < 0 ist, also ein negativer Wert unter der Wurzel der Mitternachtsformel steht und somit die quadratische Gleichung $x^{2} - 2 t x - t$ keine reele Lösung hat.
(z.B. bei t=-0.5 ist die Diskriminante $4 \cdot {(- 0,5)}^{2} + 4 \cdot (- 0,5)$ = $- 1$ )
Für t = $- 1$ oder t =0 hat f_t genau zwei Nullstellen, weil dort ja die Diskriminante $4 t^{2} + 4 t$ = 0 ist und somit die beiden Lösungen (eine mit + und eine mit -) zusammenfallen.
Für t < $- 1$ oder t > 0 hat f_t genau drei Nullstellen, weil dort $4 t^{2} + 4 t$ > 0 ist und somit die die quadratische Gleichung $x^{2} - 2 t x - t$ je eine Lösung mit der positven Wurzel und eine mit der negativen Wurzel hat.
(z.B. bei t = -2 ist die Diskriminante $4 \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2)$ = $8$ und bei t = 1 ist die Diskriminante $4 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1$ = $8$ )

Der gesuchte Bereich mit "genau drei Nullstellen" ist somit: t < $- 1$ oder t > 0

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