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bestimmter x-Wert eines EP (ohne e)

Beispiel:

Die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $t^{3} x^{4} + 32 x$ besitzt genau einen Extrempunkt. Für welchen Wert von t ist der Extrempunkt auf der Geraden x= $- 8$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t^{3} x^{4} + 32 x$

Als erstes leitet man die Funktion ab.

=> $f'(x) =$ $4 t^{3} x^{3} + 32$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$4 t^{3} x^{3} + 32$	=	0	\| $- 32$
$4 t^{3} x^{3}$	=	$- 32$	\|: $4 t^{3}$
$x^{3}$	=	$- 8 \cdot \frac{1}{t^{3}}$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{(8 \cdot \frac{1}{t^{3}})}$	= $- 2 \cdot \frac{1}{t}$

Die Lösung x= $- 2 \cdot \frac{1}{t}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Da in der Aufgabenstellung bereits angegeben ist, dass es genau einen Extrempunkt gibt, wissen wir also schon, dass unser Kandidat diese Extremstelle sein muss, und wir müssen ihn nicht weiter mit einer hinreichenden Bedingung prüfen.

Wir können also unsere mit Parameter behaftete Extremstelle mit der Vorgabe aus der Aufgabenstellung (x= $- 8$ ) gleichsetzen und nach t auflösen

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $t$ weg!

$- \frac{2}{t}$	=	$- 8$	\|⋅( $t$ )
$- \frac{2}{t} \cdot t$	=	$- 8 \cdot t$
$- 2$	=	$- 8 t$

$- 2$	=	$- 8 t$	\| $+ 2$ $+ 8 t$
$8 t$	=	$2$	\|: $8$
$t$	=	$\frac{1}{4}$ = 0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Für t= $\frac{1}{4}$ liegt die Extremstelle auf der Geraden x= $- 8$ .

bestimmter x-Wert eines WP (ohne e)

Beispiel:

Die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $t x^{3} - 4 x^{2} + 3 t x + 3 t$ besitzt genau einen Wendepunkt. Für welchen Wert von t ist der Wendepunkt auf der Geraden x= $- 2$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{3} - 4 x^{2} + 3 t x + 3 t$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 t x^{2} - 8 x + 3 t + 0$

= $3 t x^{2} - 8 x + 3 t$

$f''(x) =$ $6 t x - 8 + 0$

= $6 t x - 8$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 t x - 8$	=	0	\| $+ 8$
$6 t x$	=	$8$	\|:( $6 t$ )
$x$	=	$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{t}$

Die Lösung x= $\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{t}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Da in der Aufgabenstellung bereits angegeben ist, dass es genau einen Wendepunkt gibt, wissen wir also schon, dass unser Kandidat diese Wendestelle sein muss, und wir müssen ihn nicht weiter mit einer hinreichenden Bedingung prüfen.

Wir können also unsere mit Parameter behaftete Wendestelle mit der Vorgabe aus der Aufgabenstellung (x= $- 2$ ) gleichsetzen und nach t auflösen

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $t$ weg!

$\frac{4}{3 t}$	=	$- 2$	\|⋅( $t$ )
$\frac{4}{3 t} \cdot t$	=	$- 2 \cdot t$
$\frac{4}{3}$	=	$- 2 t$

$\frac{4}{3}$	=	$- 2 t$	\| $- \frac{4}{3}$ $+ 2 t$
$2 t$	=	$- \frac{4}{3}$	\|: $2$
$t$	=	$- \frac{2}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Für t= $- \frac{2}{3}$ liegt die Wendestelle auf der Geraden x= $- 2$ .

bestimmter y-Wert eines EP (ohne e)

Beispiel:

Die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $t^{3} x^{4} + 32 x$ besitzt genau einen Extrempunkt. Für welche Werte von t liegt der Extrempunkt auf der Geraden y= $- 12$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t^{3} x^{4} + 32 x$

Als erstes leitet man die Funktion ab.

=> $f'(x) =$ $4 t^{3} x^{3} + 32$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$4 t^{3} x^{3} + 32$	=	0	\| $- 32$
$4 t^{3} x^{3}$	=	$- 32$	\|: $4 t^{3}$
$x^{3}$	=	$- 8 \cdot \frac{1}{t^{3}}$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{(8 \cdot \frac{1}{t^{3}})}$	= $- 2 \cdot \frac{1}{t}$

Die Lösung x= $- 2 \cdot \frac{1}{t}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Da in der Aufgabenstellung bereits angegeben ist, dass es genau einen Extrempunkt gibt, wissen wir also schon, dass unser Kandidat diese Extremstelle sein muss, und wir müssen ihn nicht weiter mit einer hinreichenden Bedingung prüfen.

Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $- 2 \cdot \frac{1}{t}$ ) = $t^{3} {(- 2 \cdot \frac{1}{t})}^{4} + 32 (- 2 \cdot \frac{1}{t})$ = $- 48 \cdot \frac{1}{t}$
Man erhält so den Extrempunkt EP:( $- 2 \cdot \frac{1}{t}$ | $- 48 \cdot \frac{1}{t}$ )

Wir können also den y-Wert unseres mit Parameter behafteten Extrempunktes mit der Vorgabe aus der Aufgabenstellung (y= $- 12$ ) gleichsetzen und nach t auflösen

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $t$ weg!

$- \frac{48}{t}$	=	$- 12$	\|⋅( $t$ )
$- \frac{48}{t} \cdot t$	=	$- 12 \cdot t$
$- 48$	=	$- 12 t$

$- 48$	=	$- 12 t$	\| $+ 48$ $+ 12 t$
$12 t$	=	$48$	\|: $12$
$t$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Für t= $4$ liegt der Extrempunkt auf der Geraden y= $- 12$ .

bestimmter y-Wert eines WP (ohne e)

Beispiel:

Die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{3} - 12 t x^{2} - 16 t x$ besitzt genau einen Wendepunkt. Für welche Werte von t liegt der Wendepunkt auf der x-Achse ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} - 12 t x^{2} - 16 t x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 24 t x - 16 t$

$f''(x) =$ $6 x - 24 t + 0$

= $6 x - 24 t$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 24 t$	=	0	\| - ( $- 24 t$ )
$6 x$	=	$24 t$	\|: $6$
$x$	=	$4 t$

Die Lösung x= $4 t$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Da in der Aufgabenstellung bereits angegeben ist, dass es genau einen Wendepunkt gibt, wissen wir also schon, dass unser Kandidat diese Wendestelle sein muss, und wir müssen ihn nicht weiter mit einer hinreichenden Bedingung prüfen.

Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $4 t$ ) = ${(4 t)}^{3} - 12 t {(4 t)}^{2} - 16 t (4 t)$ = $- 128 t^{3} - 64 t^{2}$
Man erhält so den Wendepunkt WP:( $4 t$ | $- 128 t^{3} - 64 t^{2}$ )

Wir können also den y-Wert unseres mit Parameter behafteten Wendepunkts mit der Vorgabe aus der Aufgabenstellung (y= $0$ ) gleichsetzen und nach t auflösen

$- 128 t^{3} - 64 t^{2}$	=	0
$- 64 t^{2} (2 t + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$t^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	0

2. Fall:

$2 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 t$	=	$- 1$	\|: $2$
t₂	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

Für t= $- \frac{1}{2}$ und t=0 liegt der Wendepunkt auf der Geraden y= $0$ .

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0 (ohne e)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 t^{2} x^{2} + 2 t x$ im Punkt B( $- 3$ |f( $- 3$ )) parallel zur Gerade y= $114 x + 7$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

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Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 2 t^{2} x^{2} + 2 t x$

$f'(x) =$ $- 4 t^{2} x + 2 t$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 3$ ein:

f'( $- 3$ ) = $- 4 t^{2} \cdot (- 3) + 2 t$ = $12 t^{2} + 2 t$ = $12 t^{2} + 2 t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $114$ x+7 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 3$ )= $12 t^{2} + 2 t$ soll gleich $114$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $12 t^{2} + 2 t$ = $114$ nach t auf.

12 t^{2} + 2 t

=

114

|

- 114

12 t^{2} + 2 t - 114

= 0 |:2

$6 t^{2} + t - 57$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

t_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 57)}}{2 \cdot 6}$

t_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 1 368}}{12}$

t_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 369}}{12}$

t₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{1 369}}{12}$ = $\frac{- 1+37}{12}$ = $\frac{36}{12}$ = $3$

t₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{1 369}}{12}$ = $\frac{- 1-37}{12}$ = $\frac{- 38}{12}$ = $- \frac{19}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 t^{2} + t - 57$ = 0 |: $6$

$t^{2} + \frac{1}{6} t - \frac{19}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{12})}^{2} - (- \frac{19}{2})$ = $\frac{1}{144}$ $+$ $\frac{19}{2}$ = $\frac{1}{144}$ $+$ $\frac{1368}{144}$ = $\frac{1369}{144}$

x_1,2 = $- \frac{1}{12}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{144}}$

x₁ = $- \frac{1}{12}$ - $\frac{37}{12}$ = $- \frac{38}{12}$ = -3.1666666666667

x₂ = $- \frac{1}{12}$ + $\frac{37}{12}$ = $\frac{36}{12}$ = 3

Für t= $- \frac{19}{6}$ und t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

bestimmter x-Wert eines EP (ohne e)

bestimmter x-Wert eines WP (ohne e)

bestimmter y-Wert eines EP (ohne e)

bestimmter y-Wert eines WP (ohne e)

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0 (ohne e)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):