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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -2 x 3 -4 x 2 .

Lösung einblenden

f(x)= -2 x 3 -4 x 2

F(x)= - 1 2 x 4 - 4 3 x 3

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 1 x 2 .

Lösung einblenden

f(x)= - 1 x 2

= - x -2

=> F(x) = x -1

F(x)= 1 x

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -2 -3x +4 .

Lösung einblenden

f(x)= -2 -3x +4

= -2 ( -3x +4 ) 1 2

=> F(x) = 4 9 ( -3x +4 ) 3 2

F(x)= 4 9 ( -3x +4 ) 3

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 4 x 3 -4 x 2 für die F(-2) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 4 x 3 -4 x 2

F(x)= x 4 - 4 3 x 3 + c

x=-2 in F(x) eingesetzt:

F(-2)= ( -2 ) 4 - 4 3 ( -2 ) 3 + c

= 16 - 4 3 ( -8 ) + c

= 16 + 32 3 + c

= 48 3 + 32 3 + c

= 80 3 + c

wegen F(-2) = 5 gilt:

80 3 + c = 5 | - 80 3

c= 5 - 80 3 = 15 3 - 80 3 = - 65 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= x 4 - 4 3 x 3 - 65 3

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 2 x 3 für die F(3) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 2 x 3

= -2 x -3

=> F(x) = x -2

F(x)= 1 x 2 + c

x=3 in F(x) eingesetzt:

F(3)= 1 3 2 + c

= 1 9 + c

wegen F(3) = 5 gilt:

1 9 + c = 5 | - 1 9

c= 5 - 1 9 = 45 9 - 1 9 = 44 9

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 x 2 + 44 9

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 1 ( -2x +3 ) 2 für die F(2) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 1 ( -2x +3 ) 2

= ( -2x +3 ) -2

=> F(x) = 1 2 ( -2x +3 ) -1

F(x)= 1 2( -2x +3 ) + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= 1 2( -22 +3 ) + c

= 1 2( -4 +3 ) + c

= 1 2 ( -1 ) + c

= 1 2 ( -1 ) + c

= - 1 2 + c

wegen F(2) = -5 gilt:

- 1 2 + c = -5 | + 1 2

c= -5 + 1 2 = - 10 2 + 1 2 = - 9 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 2( -2x +3 ) - 9 2

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 4 x 4 für die F(1) = -1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 4 x 4

= 4 x -4

=> F(x) = - 4 3 x -3

F(x)= - 4 3 x 3 + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= - 4 3 1 3 + c

= - 4 3 1 + c

= - 4 3 + c

wegen F(1) = -1 gilt:

- 4 3 + c = -1 | + 4 3

c= -1 + 4 3 = - 3 3 + 4 3 = 1 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 4 3 x 3 + 1 3

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3 e -3x +6 für die F(1) = 4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -3 e -3x +6

F(x)= e -3x +6 + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= e -31 +6 + c

= e -3 +6 + c

= e 3 + c

wegen F(1) = 4 gilt:

e 3 + c = 4 | - e 3

c= 4 - e 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= e -3x +6 - e 3 +4