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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $2 x$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x$

$F(x) =$ $x^{2}$

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{x^{4}}$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{x^{4}}$

= $- 3 x^{- 4}$

=> F(x) = $x^{- 3}$

$F(x) =$ $\frac{1}{x^{3}}$

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{{(- 3 x + 3)}^{2}}$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{{(- 3 x + 3)}^{2}}$

= $- 3 {(- 3 x + 3)}^{- 2}$

=> F(x) = $- {(- 3 x + 3)}^{- 1}$

$F(x) =$ $- \frac{1}{- 3 x + 3}$

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $4 x - 1$ für die F(3) = -1 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x - 1$

$F(x) =$ $2 x^{2} - 1 \cdot x + c$

= $2 x^{2} - x + c$

x=3 in F(x) eingesetzt:

$F(3) =$ $2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + c$

= $2 \cdot 9 - 3 + c$

= $18 - 3 + c$

= $15 + c$

wegen F(3) = -1 gilt:

$15$ + c = -1 | $- 15$

c =

- 1 - 15

=

- 16

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $2 x^{2} - x - 16$

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}}$ für die F(-3) = -1 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}}$

= $2 x^{- 2}$

=> F(x) = $- 2 x^{- 1}$

$F(x) =$ $- \frac{2}{x} + c$

x=-3 in F(x) eingesetzt:

$F(-3) =$ $- \frac{2}{(- 3)} + c$

= $- 2 \cdot (- \frac{1}{3}) + c$

= $\frac{2}{3} + c$

wegen F(-3) = -1 gilt:

$\frac{2}{3}$ + c = -1 | $- \frac{2}{3}$

c =

- 1 - \frac{2}{3}

=

- \frac{3}{3} - \frac{2}{3}

=

- \frac{5}{3}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $- \frac{2}{x} - \frac{5}{3}$

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π)$ für die F( $0$ ) = 2 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π)$

$F(x) =$ $- \sin (3 x + \frac{3}{2} π) + c$

x= $0$ in F(x) eingesetzt:

$F(0) =$ $- \sin (3 \cdot (0) + \frac{3}{2} π) + c$

= $- \sin (\frac{3}{2} π) + c$

= $- (- 1) + c$

= $1 + c$

wegen F( $0$ ) = 2 gilt:

$1$ + c = 2 | $- 1$

c =

2 - 1

=

1

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $- \sin (3 x + \frac{3}{2} π) + 1$

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x^{3}}$ für die F(3) = -1 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x^{3}}$

= $2 x^{- 3}$

=> F(x) = $- x^{- 2}$

$F(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} + c$

x=3 in F(x) eingesetzt:

$F(3) =$ $- \frac{1}{3^{2}} + c$

= $- (\frac{1}{9}) + c$

wegen F(3) = -1 gilt:

$- \frac{1}{9}$ + c = -1 | $+ \frac{1}{9}$

c =

- 1 + \frac{1}{9}

=

- \frac{9}{9} + \frac{1}{9}

=

- \frac{8}{9}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{8}{9}$

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $\cos (- 3 x - \frac{1}{2} π)$ für die F( $\frac{1}{2} π$ ) = 5 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (- 3 x - \frac{1}{2} π)$

$F(x) =$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 x - \frac{1}{2} π) + c$

x= $\frac{1}{2} π$ in F(x) eingesetzt:

$F(\frac{1}{2} π) =$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π) + c$

= $- \frac{1}{3} \cdot \sin (- 2 π) + c$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 + c$

= $0 + c$

= $c$

wegen F( $\frac{1}{2} π$ ) = 5 gilt:

0 + c = 5 |0

c =

5 + 0

=

5

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 x - \frac{1}{2} π) + 5$

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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

best. Stammfunktion (einfach)

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

best. Stammfktn (verkettet) BF

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

best. Stammfunktionen (verkettet)