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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- 3 x - 5$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x - 5$

$F(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{2} - 5 \cdot x$

= $- \frac{3}{2} x^{2} - 5 x$

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- 4 \sqrt{x}$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \sqrt{x}$

= $- 4 x^{\frac{1}{2}}$

=> F(x) = $- \frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}}$

$F(x) =$ $- \frac{8}{3} {(\sqrt{x})}^{3}$

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x + 2}$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x + 2}$

$F(x) =$ $2 e^{- x + 2}$

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 5$ für die F(-3) = -1 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{2} - 5$

$F(x) =$ $- x^{3} - 5 \cdot x + c$

= $- x^{3} - 5 x + c$

x=-3 in F(x) eingesetzt:

$F(-3) =$ $- {(- 3)}^{3} - 5 \cdot (- 3) + c$

= $- (- 27) + 15 + c$

= $27 + 15 + c$

= $42 + c$

wegen F(-3) = -1 gilt:

$42$ + c = -1 | $- 42$

c =

- 1 - 42

=

- 43

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $- x^{3} - 5 x - 43$

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $5 \sqrt{x}$ für die F(1) = -1 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \sqrt{x}$

= $5 x^{\frac{1}{2}}$

=> F(x) = $\frac{10}{3} x^{\frac{3}{2}}$

$F(x) =$ $\frac{10}{3} {(\sqrt{x})}^{3} + c$

x=1 in F(x) eingesetzt:

$F(1) =$ $\frac{10}{3} {(\sqrt{1})}^{3} + c$

= $\frac{10}{3} \cdot 1^{3} + c$

= $\frac{10}{3} \cdot 1 + c$

= $\frac{10}{3} + c$

wegen F(1) = -1 gilt:

$\frac{10}{3}$ + c = -1 | $- \frac{10}{3}$

c =

- 1 - \frac{10}{3}

=

- \frac{3}{3} - \frac{10}{3}

=

- \frac{13}{3}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $\frac{10}{3} {(\sqrt{x})}^{3} - \frac{13}{3}$

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- {(- 3 x + 7)}^{2}$ für die F(0) = 3 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(- 3 x + 7)}^{2}$

$F(x) =$ $\frac{1}{9} {(- 3 x + 7)}^{3} + c$

x=0 in F(x) eingesetzt:

$F(0) =$ $\frac{1}{9} \cdot {(- 3 \cdot 0 + 7)}^{3} + c$

= $\frac{1}{9} \cdot {(0 + 7)}^{3} + c$

= $\frac{1}{9} \cdot 7^{3} + c$

= $\frac{1}{9} \cdot 343 + c$

= $\frac{343}{9} + c$

wegen F(0) = 3 gilt:

$\frac{343}{9}$ + c = 3 | $- \frac{343}{9}$

c =

3 - \frac{343}{9}

=

\frac{27}{9} - \frac{343}{9}

=

- \frac{316}{9}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $\frac{1}{9} {(- 3 x + 7)}^{3} - \frac{316}{9}$

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{x^{2}}$ für die F(-3) = -1 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{x^{2}}$

= $4 x^{- 2}$

=> F(x) = $- 4 x^{- 1}$

$F(x) =$ $- \frac{4}{x} + c$

x=-3 in F(x) eingesetzt:

$F(-3) =$ $- \frac{4}{(- 3)} + c$

= $- 4 \cdot (- \frac{1}{3}) + c$

= $\frac{4}{3} + c$

wegen F(-3) = -1 gilt:

$\frac{4}{3}$ + c = -1 | $- \frac{4}{3}$

c =

- 1 - \frac{4}{3}

=

- \frac{3}{3} - \frac{4}{3}

=

- \frac{7}{3}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $- \frac{4}{x} - \frac{7}{3}$

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- x + \frac{3}{2} π)$ für die F( $0$ ) = -5 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- x + \frac{3}{2} π)$

$F(x) =$ $2 \cdot \sin (- x + \frac{3}{2} π) + c$

x= $0$ in F(x) eingesetzt:

$F(0) =$ $2 \cdot \sin (- (0) + \frac{3}{2} π) + c$

= $2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + c$

= $2 \cdot (- 1) + c$

= $- 2 + c$

wegen F( $0$ ) = -5 gilt:

$- 2$ + c = -5 | $+ 2$

c =

- 5 + 2

=

- 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $2 \cdot \sin (- x + \frac{3}{2} π) - 3$

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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

best. Stammfunktion (einfach)

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

best. Stammfktn (verkettet) BF

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

best. Stammfunktionen (verkettet)