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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -2 x 2 .

Lösung einblenden

f(x)= -2 x 2

F(x)= - 2 3 x 3

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 4 x .

Lösung einblenden

f(x)= - 4 x

= -4 x - 1 2

=> F(x) = -8 x 1 2

F(x)= -8 x

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 2 ( 2x -5 ) 3 .

Lösung einblenden

f(x)= - 2 ( 2x -5 ) 3

= -2 ( 2x -5 ) -3

=> F(x) = 1 2 ( 2x -5 ) -2

F(x)= 1 2 ( 2x -5 ) 2

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 2 - x für die F(1) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 2 - x

F(x)= 5 3 x 3 - 1 2 x 2 + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= 5 3 ⋅ 1 3 - 1 2 ⋅ 1 2 + c

= 5 3 ⋅1 - 1 2 ⋅1 + c

= 5 3 - 1 2 + c

= 10 6 - 3 6 + c

= 7 6 + c

wegen F(1) = -4 gilt:

7 6 + c = -4 | - 7 6

c= -4 - 7 6 = - 24 6 - 7 6 = - 31 6

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 5 3 x 3 - 1 2 x 2 - 31 6

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 1 x 2 für die F(2) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 1 x 2

= - x -2

=> F(x) = x -1

F(x)= 1 x + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= 1 2 + c

= 1 2 + c

wegen F(2) = -5 gilt:

1 2 + c = -5 | - 1 2

c= -5 - 1 2 = - 10 2 - 1 2 = - 11 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 x - 11 2

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - ( 3x -6 ) 3 +5 für die F(2) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - ( 3x -6 ) 3 +5

F(x)= - 1 12 ( 3x -6 ) 4 + 5 · x + c

= - 1 12 ( 3x -6 ) 4 +5x + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= - 1 12 ⋅ ( 3⋅2 -6 ) 4 + 5 · 2 + c

= - 1 12 ⋅ ( 6 -6 ) 4 +10 + c

= - 1 12 ⋅ 0 4 +10 + c

= - 1 12 ⋅0 +10 + c

= 0 +10 + c

= 10 + c

wegen F(2) = 5 gilt:

10 + c = 5 | -10

c= 5 -10 = -5

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 12 ( 3x -6 ) 4 +5x -5

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 3 x 4 für die F(-1) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 3 x 4

= -3 x -4

=> F(x) = x -3

F(x)= 1 x 3 + c

x=-1 in F(x) eingesetzt:

F(-1)= 1 ( -1 ) 3 + c

= ( -1 ) + c

wegen F(-1) = 5 gilt:

-1 + c = 5 | +1

c= 5 +1 = 6

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 x 3 +6

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 1 ( -2x +3 ) 2 für die F(3) = 3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 1 ( -2x +3 ) 2

= ( -2x +3 ) -2

=> F(x) = 1 2 ( -2x +3 ) -1

F(x)= 1 2( -2x +3 ) + c

x=3 in F(x) eingesetzt:

F(3)= 1 2( -2⋅3 +3 ) + c

= 1 2( -6 +3 ) + c

= 1 2 ( -3 ) + c

= 1 2 ⋅( - 1 3 ) + c

= - 1 6 + c

wegen F(3) = 3 gilt:

- 1 6 + c = 3 | + 1 6

c= 3 + 1 6 = 18 6 + 1 6 = 19 6

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 2( -2x +3 ) + 19 6