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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - x 3 +4x .

Lösung einblenden

f(x)= - x 3 +4x

F(x)= - 1 4 x 4 +2 x 2

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -2 x .

Lösung einblenden

f(x)= -2 x

= -2 x 1 2

=> F(x) = - 4 3 x 3 2

F(x)= - 4 3 ( x ) 3

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3 sin( -3x + 3 2 π) .

Lösung einblenden

f(x)= -3 sin( -3x + 3 2 π)

F(x)= - cos( -3x + 3 2 π)

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x 2 -4 für die F(-2) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= x 2 -4

F(x)= 1 3 x 3 -4 · x + c

= 1 3 x 3 -4x + c

x=-2 in F(x) eingesetzt:

F(-2)= 1 3 ( -2 ) 3 -4 · ( -2 ) + c

= 1 3 ( -8 ) +8 + c

= - 8 3 +8 + c

= - 8 3 + 24 3 + c

= 16 3 + c

wegen F(-2) = 5 gilt:

16 3 + c = 5 | - 16 3

c= 5 - 16 3 = 15 3 - 16 3 = - 1 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 3 x 3 -4x - 1 3

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 2 für die F(4) = 1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 2

= 5 x -2

=> F(x) = -5 x -1

F(x)= - 5 x + c

x=4 in F(x) eingesetzt:

F(4)= - 5 4 + c

= -5( 1 4 ) + c

= - 5 4 + c

wegen F(4) = 1 gilt:

- 5 4 + c = 1 | + 5 4

c= 1 + 5 4 = 4 4 + 5 4 = 9 4

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 5 x + 9 4

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -2 ( 2x -3 ) 2 für die F(2) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -2 ( 2x -3 ) 2

F(x)= - 1 3 ( 2x -3 ) 3 + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= - 1 3 ( 22 -3 ) 3 + c

= - 1 3 ( 4 -3 ) 3 + c

= - 1 3 1 3 + c

= - 1 3 1 + c

= - 1 3 + c

wegen F(2) = -5 gilt:

- 1 3 + c = -5 | + 1 3

c= -5 + 1 3 = - 15 3 + 1 3 = - 14 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 3 ( 2x -3 ) 3 - 14 3

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 5 x 3 für die F(3) = -3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 5 x 3

= -5 x -3

=> F(x) = 5 2 x -2

F(x)= 5 2 x 2 + c

x=3 in F(x) eingesetzt:

F(3)= 5 2 3 2 + c

= 5 2 ( 1 9 ) + c

= 5 18 + c

wegen F(3) = -3 gilt:

5 18 + c = -3 | - 5 18

c= -3 - 5 18 = - 54 18 - 5 18 = - 59 18

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 5 2 x 2 - 59 18

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 2 ( 3x -5 ) 2 für die F(2) = 3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 2 ( 3x -5 ) 2

= -2 ( 3x -5 ) -2

=> F(x) = 2 3 ( 3x -5 ) -1

F(x)= 2 3( 3x -5 ) + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= 2 3( 32 -5 ) + c

= 2 3( 6 -5 ) + c

= 2 3 + c

= 2 3 1 + c

= 2 3 + c

wegen F(2) = 3 gilt:

2 3 + c = 3 | - 2 3

c= 3 - 2 3 = 9 3 - 2 3 = 7 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 3( 3x -5 ) + 7 3