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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3x -1 .

Lösung einblenden

f(x)= -3x -1

F(x)= - 3 2 x 2 -1 · x

= - 3 2 x 2 - x

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 4 x .

Lösung einblenden

f(x)= 4 x

= 4 x - 1 2

=> F(x) = 8 x 1 2

F(x)= 8 x

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - e 2x -5 .

Lösung einblenden

f(x)= - e 2x -5

F(x)= - 1 2 e 2x -5

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 4 x 3 -3 für die F(2) = 1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 4 x 3 -3

F(x)= x 4 -3 · x + c

= x 4 -3x + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= 2 4 -3 · 2 + c

= 16 -6 + c

= 10 + c

wegen F(2) = 1 gilt:

10 + c = 1 | -10

c= 1 -10 = -9

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= x 4 -3x -9

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 1 x 4 für die F(-1) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 1 x 4

= - x -4

=> F(x) = 1 3 x -3

F(x)= 1 3 x 3 + c

x=-1 in F(x) eingesetzt:

F(-1)= 1 3 ( -1 ) 3 + c

= 1 3 ⋅( -1 ) + c

= - 1 3 + c

wegen F(-1) = -4 gilt:

- 1 3 + c = -4 | + 1 3

c= -4 + 1 3 = - 12 3 + 1 3 = - 11 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 3 x 3 - 11 3

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2⋅ sin( -x - 1 2 π) für die F( 1 2 π ) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2⋅ sin( -x - 1 2 π)

F(x)= 2⋅ cos( -x - 1 2 π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= 2⋅ cos( -( 1 2 π ) - 1 2 π) + c

= 2⋅ cos(-π) + c

= 2⋅( -1 ) + c

= -2 + c

wegen F( 1 2 π ) = -4 gilt:

-2 + c = -4 | +2

c= -4 +2 = -2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2⋅ cos( -x - 1 2 π) -2

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 x 3 für die F(4) = -1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 3

= 2 x -3

=> F(x) = - x -2

F(x)= - 1 x 2 + c

x=4 in F(x) eingesetzt:

F(4)= - 1 4 2 + c

= -( 1 16 ) + c

wegen F(4) = -1 gilt:

- 1 16 + c = -1 | + 1 16

c= -1 + 1 16 = - 16 16 + 1 16 = - 15 16

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 x 2 - 15 16

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - cos( -x - 1 2 π) für die F( 1 2 π ) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - cos( -x - 1 2 π)

F(x)= sin( -x - 1 2 π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= sin( -( 1 2 π ) - 1 2 π) + c

= sin(-π) + c

= 0 + c

= c

wegen F( 1 2 π ) = -5 gilt:

0 + c = -5 |0

c= -5 +0 = -5

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= sin( -x - 1 2 π) -5