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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x 3 -4 x 2 .

Lösung einblenden

f(x)= x 3 -4 x 2

F(x)= 1 4 x 4 - 4 3 x 3

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 x 4 .

Lösung einblenden

f(x)= 3 x 4

= 3 x -4

=> F(x) = - x -3

F(x)= - 1 x 3

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 e -2x +3 .

Lösung einblenden

f(x)= 3 e -2x +3

F(x)= - 3 2 e -2x +3

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x 3 +5x für die F(-3) = 2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= x 3 +5x

F(x)= 1 4 x 4 + 5 2 x 2 + c

x=-3 in F(x) eingesetzt:

F(-3)= 1 4 ⋅ ( -3 ) 4 + 5 2 ⋅ ( -3 ) 2 + c

= 1 4 ⋅81 + 5 2 ⋅9 + c

= 81 4 + 45 2 + c

= 81 4 + 90 4 + c

= 171 4 + c

wegen F(-3) = 2 gilt:

171 4 + c = 2 | - 171 4

c= 2 - 171 4 = 8 4 - 171 4 = - 163 4

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 4 x 4 + 5 2 x 2 - 163 4

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 1 x 3 für die F(-3) = 4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 1 x 3

= x -3

=> F(x) = - 1 2 x -2

F(x)= - 1 2 x 2 + c

x=-3 in F(x) eingesetzt:

F(-3)= - 1 2 ( -3 ) 2 + c

= - 1 2 ⋅( 1 9 ) + c

= - 1 18 + c

wegen F(-3) = 4 gilt:

- 1 18 + c = 4 | + 1 18

c= 4 + 1 18 = 72 18 + 1 18 = 73 18

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 2 x 2 + 73 18

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2⋅ sin( -x + 1 2 π) für die F( 0 ) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2⋅ sin( -x + 1 2 π)

F(x)= 2⋅ cos( -x + 1 2 π) + c

x= 0 in F(x) eingesetzt:

F( 0 )= 2⋅ cos( -( 0 ) + 1 2 π) + c

= 2⋅ cos( 1 2 π) + c

= 2⋅0 + c

= 0 + c

= c

wegen F( 0 ) = -2 gilt:

0 + c = -2 |0

c= -2 +0 = -2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2⋅ cos( -x + 1 2 π) -2

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 1 x 4 für die F(2) = 2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 1 x 4

= - x -4

=> F(x) = 1 3 x -3

F(x)= 1 3 x 3 + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= 1 3⋅ 2 3 + c

= 1 3 ⋅( 1 8 ) + c

= 1 24 + c

wegen F(2) = 2 gilt:

1 24 + c = 2 | - 1 24

c= 2 - 1 24 = 48 24 - 1 24 = 47 24

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 3 x 3 + 47 24

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 ( -x +3 ) 2 für die F(5) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2 ( -x +3 ) 2

= 2 ( -x +3 ) -2

=> F(x) = 2 ( -x +3 ) -1

F(x)= 2 -x +3 + c

x=5 in F(x) eingesetzt:

F(5)= 2 -5 +3 + c

= 2 ( -2 ) + c

= 2⋅( - 1 2 ) + c

= -1 + c

wegen F(5) = 5 gilt:

-1 + c = 5 | +1

c= 5 +1 = 6

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 -x +3 +6