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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $x^{2}$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2}$

$F(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3}$

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- \frac{4}{\sqrt{x}}$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{4}{\sqrt{x}}$

= $- 4 x^{- \frac{1}{2}}$

=> F(x) = $- 8 x^{\frac{1}{2}}$

$F(x) =$ $- 8 \sqrt{x}$

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $3 {(x - 1)}^{2} + 5 x$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(x - 1)}^{2} + 5 x$

$F(x) =$ ${(x - 1)}^{3} + \frac{5}{2} x^{2}$

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} - 2$ für die F(-1) = -5 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3} - 2$

$F(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} - 2 \cdot x + c$

= $\frac{3}{4} x^{4} - 2 x + c$

x=-1 in F(x) eingesetzt:

$F(-1) =$ $\frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{4} - 2 \cdot (- 1) + c$

= $\frac{3}{4} \cdot 1 + 2 + c$

= $\frac{3}{4} + 2 + c$

= $\frac{3}{4} + \frac{8}{4} + c$

= $\frac{11}{4} + c$

wegen F(-1) = -5 gilt:

$\frac{11}{4}$ + c = -5 | $- \frac{11}{4}$

c =

- 5 - \frac{11}{4}

=

- \frac{20}{4} - \frac{11}{4}

=

- \frac{31}{4}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} - 2 x - \frac{31}{4}$

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x^{2}}$ für die F(-1) = 1 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{x^{2}}$

= $x^{- 2}$

=> F(x) = $- x^{- 1}$

$F(x) =$ $- \frac{1}{x} + c$

x=-1 in F(x) eingesetzt:

$F(-1) =$ $- \frac{1}{(- 1)} + c$

= $- (- 1) + c$

= $1 + c$

wegen F(-1) = 1 gilt:

$1$ + c = 1 | $- 1$

c =

1 - 1

= 0

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $- \frac{1}{x}$

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x + 4}$ für die F(1) = -1 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x + 4}$

$F(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- 2 x + 4} + c$

x=1 in F(x) eingesetzt:

$F(1) =$ $\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 4} + c$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 + 4} + c$

= $\frac{1}{2} e^{2} + c$

wegen F(1) = -1 gilt:

$\frac{1}{2} e^{2}$ + c = -1 | $- \frac{1}{2} e^{2}$

c =

- 1 - \frac{1}{2} e^{2}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- 2 x + 4} - \frac{1}{2} e^{2} - 1$

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- \frac{4}{x}$ für die F(5) = -2 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{4}{x}$

= $- 4 x^{- 1}$

$F(x) =$ $- 4 \ln (| x |) + c$

x=5 in F(x) eingesetzt:

$F(5) =$ $- 4 \ln (| 5 |) + c$

wegen F(5) = -2 gilt:

$- 4 \ln (5)$ + c = -2 | $+ 4 \ln (5)$

c =

- 2 + 4 \ln (5)

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $- 4 \ln (| x |) + 4 \ln (5) - 2$

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- {(- 3 x + 5)}^{3} - 2$ für die F(2) = 2 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(- 3 x + 5)}^{3} - 2$

$F(x) =$ $\frac{1}{12} {(- 3 x + 5)}^{4} - 2 \cdot x + c$

= $\frac{1}{12} {(- 3 x + 5)}^{4} - 2 x + c$

x=2 in F(x) eingesetzt:

$F(2) =$ $\frac{1}{12} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 5)}^{4} - 2 \cdot 2 + c$

= $\frac{1}{12} \cdot {(- 6 + 5)}^{4} - 4 + c$

= $\frac{1}{12} \cdot {(- 1)}^{4} - 4 + c$

= $\frac{1}{12} \cdot 1 - 4 + c$

= $\frac{1}{12} - 4 + c$

= $\frac{1}{12} - \frac{48}{12} + c$

= $- \frac{47}{12} + c$

wegen F(2) = 2 gilt:

$- \frac{47}{12}$ + c = 2 | $+ \frac{47}{12}$

c =

2 + \frac{47}{12}

=

\frac{24}{12} + \frac{47}{12}

=

\frac{71}{12}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $\frac{1}{12} {(- 3 x + 5)}^{4} - 2 x + \frac{71}{12}$

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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

best. Stammfunktion (einfach)

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

best. Stammfktn (verkettet) BF

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

best. Stammfunktionen (verkettet)