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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -4 x 2 -3x .

Lösung einblenden

f(x)= -4 x 2 -3x

F(x)= - 4 3 x 3 - 3 2 x 2

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 1 x 2 .

Lösung einblenden

f(x)= 1 x 2

= x -2

=> F(x) = - x -1

F(x)= - 1 x

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 1 ( -3x +7 ) 2 .

Lösung einblenden

f(x)= - 1 ( -3x +7 ) 2

= - ( -3x +7 ) -2

=> F(x) = - 1 3 ( -3x +7 ) -1

F(x)= - 1 3( -3x +7 )

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 x 3 -3 für die F(-1) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 3 -3

F(x)= 1 2 x 4 -3 · x + c

= 1 2 x 4 -3x + c

x=-1 in F(x) eingesetzt:

F(-1)= 1 2 ⋅ ( -1 ) 4 -3 · ( -1 ) + c

= 1 2 ⋅1 +3 + c

= 1 2 +3 + c

= 1 2 + 6 2 + c

= 7 2 + c

wegen F(-1) = -2 gilt:

7 2 + c = -2 | - 7 2

c= -2 - 7 2 = - 4 2 - 7 2 = - 11 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 2 x 4 -3x - 11 2

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 4 für die F(1) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 4

= 5 x -4

=> F(x) = - 5 3 x -3

F(x)= - 5 3 x 3 + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= - 5 3⋅ 1 3 + c

= - 5 3 ⋅1 + c

= - 5 3 + c

wegen F(1) = -4 gilt:

- 5 3 + c = -4 | + 5 3

c= -4 + 5 3 = - 12 3 + 5 3 = - 7 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 5 3 x 3 - 7 3

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 ( x -3 ) 2 für die F(2) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3 ( x -3 ) 2

F(x)= ( x -3 ) 3 + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= ( 2 -3 ) 3 + c

= ( -1 ) 3 + c

= ( -1 ) + c

wegen F(2) = 5 gilt:

-1 + c = 5 | +1

c= 5 +1 = 6

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= ( x -3 ) 3 +6

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 2 x für die F(-4) = -1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 2 x

= -2 x -1

F(x)= -2 ln( | x | ) + c

x=-4 in F(x) eingesetzt:

F(-4)= -2 ln( | 4 | ) + c

wegen F(-4) = -1 gilt:

-2 ln( 4 ) + c = -1 | +2 ln( 4 )

c= -1 +2 ln( 4 )

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= -2 ln( | x | ) +2 ln( 4 ) -1

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - cos( -2x + 1 2 π) für die F( 1 2 π ) = 3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - cos( -2x + 1 2 π)

F(x)= 1 2 ⋅ sin( -2x + 1 2 π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= 1 2 ⋅ sin( -2⋅( 1 2 π ) + 1 2 π) + c

= 1 2 ⋅ sin( - 1 2 π) + c

= 1 2 ⋅( -1 ) + c

= - 1 2 + c

wegen F( 1 2 π ) = 3 gilt:

- 1 2 + c = 3 | + 1 2

c= 3 + 1 2 = 6 2 + 1 2 = 7 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 2 ⋅ sin( -2x + 1 2 π) + 7 2