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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $3 x - 4$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x - 4$

$F(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 4 \cdot x$

= $\frac{3}{2} x^{2} - 4 x$

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{x^{3}}$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{x^{3}}$

= $4 x^{- 3}$

=> F(x) = $- 2 x^{- 2}$

$F(x) =$ $- \frac{2}{x^{2}}$

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ ${(2 x - 2)}^{2}$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(2 x - 2)}^{2}$

$F(x) =$ $\frac{1}{6} {(2 x - 2)}^{3}$

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2}$ für die F(3) = -2 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{2}$

$F(x) =$ $- \frac{2}{3} x^{3} + c$

x=3 in F(x) eingesetzt:

$F(3) =$ $- \frac{2}{3} \cdot 3^{3} + c$

= $- \frac{2}{3} \cdot 27 + c$

= $- 18 + c$

wegen F(3) = -2 gilt:

$- 18$ + c = -2 | $+ 18$

c =

- 2 + 18

=

16

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $- \frac{2}{3} x^{3} + 16$

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $4 \sqrt{x}$ für die F(4) = -3 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \sqrt{x}$

= $4 x^{\frac{1}{2}}$

=> F(x) = $\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}}$

$F(x) =$ $\frac{8}{3} {(\sqrt{x})}^{3} + c$

x=4 in F(x) eingesetzt:

$F(4) =$ $\frac{8}{3} {(\sqrt{4})}^{3} + c$

= $\frac{8}{3} \cdot 2^{3} + c$

= $\frac{8}{3} \cdot 8 + c$

= $\frac{64}{3} + c$

wegen F(4) = -3 gilt:

$\frac{64}{3}$ + c = -3 | $- \frac{64}{3}$

c =

- 3 - \frac{64}{3}

=

- \frac{9}{3} - \frac{64}{3}

=

- \frac{73}{3}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $\frac{8}{3} {(\sqrt{x})}^{3} - \frac{73}{3}$

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- 2 {(- 3 x + 6)}^{3} - 2 x$ für die F(2) = -4 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(- 3 x + 6)}^{3} - 2 x$

$F(x) =$ $\frac{1}{6} {(- 3 x + 6)}^{4} - x^{2} + c$

x=2 in F(x) eingesetzt:

$F(2) =$ $\frac{1}{6} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 6)}^{4} - 2^{2} + c$

= $\frac{1}{6} \cdot {(- 6 + 6)}^{4} - 4 + c$

= $\frac{1}{6} \cdot 0^{4} - 4 + c$

= $\frac{1}{6} \cdot 0 - 4 + c$

= $0 - 4 + c$

= $- 4 + c$

wegen F(2) = -4 gilt:

$- 4$ + c = -4 | $+ 4$

c =

- 4 + 4

= 0

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $\frac{1}{6} {(- 3 x + 6)}^{4} - x^{2}$

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{\sqrt{x}}$ für die F(16) = -2 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{\sqrt{x}}$

= $5 x^{- \frac{1}{2}}$

=> F(x) = $10 x^{\frac{1}{2}}$

$F(x) =$ $10 \sqrt{x} + c$

x=16 in F(x) eingesetzt:

$F(16) =$ $10 \sqrt{16} + c$

= $10 \cdot 4 + c$

= $40 + c$

wegen F(16) = -2 gilt:

$40$ + c = -2 | $- 40$

c =

- 2 - 40

=

- 42

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $10 \sqrt{x} - 42$

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{3 x - 3}$ für die F( $\frac{19}{3}$ ) = 1 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{3 x - 3}$

= $- {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> F(x) = $- \frac{2}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}$

$F(x) =$ $- \frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3} + c$

x= $\frac{19}{3}$ in F(x) eingesetzt:

$F(\frac{19}{3}) =$ $- \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3} + c$

= $- \frac{2}{9} {(\sqrt{19 - 3})}^{3} + c$

= $- \frac{2}{9} {(\sqrt{16})}^{3} + c$

= $- \frac{2}{9} \cdot 4^{3} + c$

= $- \frac{2}{9} \cdot 64 + c$

= $- \frac{128}{9} + c$

wegen F( $\frac{19}{3}$ ) = 1 gilt:

$- \frac{128}{9}$ + c = 1 | $+ \frac{128}{9}$

c =

1 + \frac{128}{9}

=

\frac{9}{9} + \frac{128}{9}

=

\frac{137}{9}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $- \frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3} + \frac{137}{9}$

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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

best. Stammfunktion (einfach)

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

best. Stammfktn (verkettet) BF

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

best. Stammfunktionen (verkettet)