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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 4x .

Lösung einblenden

f(x)= 4x

F(x)= 2 x 2

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 3 x 4 .

Lösung einblenden

f(x)= - 3 x 4

= -3 x -4

=> F(x) = x -3

F(x)= 1 x 3

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 2 ( 2x -4 ) 4 .

Lösung einblenden

f(x)= - 2 ( 2x -4 ) 4

= -2 ( 2x -4 ) -4

=> F(x) = 1 3 ( 2x -4 ) -3

F(x)= 1 3 ( 2x -4 ) 3

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x 2 +4x für die F(1) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= x 2 +4x

F(x)= 1 3 x 3 +2 x 2 + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= 1 3 ⋅ 1 3 +2⋅ 1 2 + c

= 1 3 ⋅1 +2⋅1 + c

= 1 3 +2 + c

= 1 3 + 6 3 + c

= 7 3 + c

wegen F(1) = -4 gilt:

7 3 + c = -4 | - 7 3

c= -4 - 7 3 = - 12 3 - 7 3 = - 19 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 3 x 3 +2 x 2 - 19 3

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 5 x 2 für die F(3) = -3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 5 x 2

= -5 x -2

=> F(x) = 5 x -1

F(x)= 5 x + c

x=3 in F(x) eingesetzt:

F(3)= 5 3 + c

= 5⋅( 1 3 ) + c

= 5 3 + c

wegen F(3) = -3 gilt:

5 3 + c = -3 | - 5 3

c= -3 - 5 3 = - 9 3 - 5 3 = - 14 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 5 x - 14 3

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2⋅ sin( -2x - 3 2 π) für die F( 0 ) = -3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2⋅ sin( -2x - 3 2 π)

F(x)= cos( -2x - 3 2 π) + c

x= 0 in F(x) eingesetzt:

F( 0 )= cos( -2⋅( 0 ) - 3 2 π) + c

= cos( - 3 2 π) + c

= 0 + c

= c

wegen F( 0 ) = -3 gilt:

0 + c = -3 |0

c= -3 +0 = -3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= cos( -2x - 3 2 π) -3

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x für die F(25) = 1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x

= 5 x 1 2

=> F(x) = 10 3 x 3 2

F(x)= 10 3 ( x ) 3 + c

x=25 in F(x) eingesetzt:

F(25)= 10 3 ( 25 ) 3 + c

= 10 3 ⋅ 5 3 + c

= 10 3 ⋅125 + c

= 1250 3 + c

wegen F(25) = 1 gilt:

1250 3 + c = 1 | - 1250 3

c= 1 - 1250 3 = 3 3 - 1250 3 = - 1247 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 10 3 ( x ) 3 - 1247 3

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - sin( 3x + 1 2 π) für die F( 0 ) = 2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - sin( 3x + 1 2 π)

F(x)= 1 3 ⋅ cos( 3x + 1 2 π) + c

x= 0 in F(x) eingesetzt:

F( 0 )= 1 3 ⋅ cos( 3⋅( 0 ) + 1 2 π) + c

= 1 3 ⋅ cos( 1 2 π) + c

= 1 3 ⋅0 + c

= 0 + c

= c

wegen F( 0 ) = 2 gilt:

0 + c = 2 |0

c= 2 +0 = 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 3 ⋅ cos( 3x + 1 2 π) +2