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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -x -4 .

Lösung einblenden

f(x)= -x -4

F(x)= - 1 2 x 2 -4 · x

= - 1 2 x 2 -4x

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 3 .

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 3

= 5 x -3

=> F(x) = - 5 2 x -2

F(x)= - 5 2 x 2

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 1 -2x +1 .

Lösung einblenden

f(x)= 1 -2x +1

= ( -2x +1 ) - 1 2

=> F(x) = - ( -2x +1 ) 1 2

F(x)= - -2x +1

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 2 +5x für die F(3) = 1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 2 +5x

F(x)= 5 3 x 3 + 5 2 x 2 + c

x=3 in F(x) eingesetzt:

F(3)= 5 3 ⋅ 3 3 + 5 2 ⋅ 3 2 + c

= 5 3 ⋅27 + 5 2 ⋅9 + c

= 45 + 45 2 + c

= 90 2 + 45 2 + c

= 135 2 + c

wegen F(3) = 1 gilt:

135 2 + c = 1 | - 135 2

c= 1 - 135 2 = 2 2 - 135 2 = - 133 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 5 3 x 3 + 5 2 x 2 - 133 2

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 x 4 für die F(3) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 4

= 2 x -4

=> F(x) = - 2 3 x -3

F(x)= - 2 3 x 3 + c

x=3 in F(x) eingesetzt:

F(3)= - 2 3⋅ 3 3 + c

= - 2 3 ⋅( 1 27 ) + c

= - 2 81 + c

wegen F(3) = -2 gilt:

- 2 81 + c = -2 | + 2 81

c= -2 + 2 81 = - 162 81 + 2 81 = - 160 81

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 2 3 x 3 - 160 81

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= cos( -x - π) für die F( 0 ) = 1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= cos( -x - π)

F(x)= - sin( -x - π) + c

x= 0 in F(x) eingesetzt:

F( 0 )= - sin( -( 0 ) - π) + c

= - sin(-π) + c

= -0 + c

= c

wegen F( 0 ) = 1 gilt:

0 + c = 1 |0

c= 1 +0 = 1

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - sin( -x - π) +1

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x für die F(25) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= x

= x 1 2

=> F(x) = 2 3 x 3 2

F(x)= 2 3 ( x ) 3 + c

x=25 in F(x) eingesetzt:

F(25)= 2 3 ( 25 ) 3 + c

= 2 3 ⋅ 5 3 + c

= 2 3 ⋅125 + c

= 250 3 + c

wegen F(25) = -2 gilt:

250 3 + c = -2 | - 250 3

c= -2 - 250 3 = - 6 3 - 250 3 = - 256 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 3 ( x ) 3 - 256 3

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 x -2 für die F(3) = -1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3 x -2

= 3 ( x -2 ) -1

F(x)= 3 ln( | x -2 | ) + c

x=3 in F(x) eingesetzt:

F(3)= 3 ln( | 1 | ) + c

= c

wegen F(3) = -1 gilt:

3 ln( 1 ) + c = -1 | -3 ln( 1 )

c= -1 -3 ln( 1 ) = -1 +0 = -1

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 3 ln( | x -2 | ) -1