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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -2 x 3 .

Lösung einblenden

f(x)= -2 x 3

F(x)= - 1 2 x 4

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 x .

Lösung einblenden

f(x)= 3 x

= 3 x 1 2

=> F(x) = 2 x 3 2

F(x)= 2 ( x ) 3

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3⋅ cos( -3x + 3 2 π) .

Lösung einblenden

f(x)= 3⋅ cos( -3x + 3 2 π)

F(x)= - sin( -3x + 3 2 π)

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 2 +4 für die F(-3) = -1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 2 +4

F(x)= 5 3 x 3 + 4 · x + c

= 5 3 x 3 +4x + c

x=-3 in F(x) eingesetzt:

F(-3)= 5 3 ⋅ ( -3 ) 3 + 4 · ( -3 ) + c

= 5 3 ⋅( -27 ) -12 + c

= -45 -12 + c

= -57 + c

wegen F(-3) = -1 gilt:

-57 + c = -1 | +57

c= -1 +57 = 56

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 5 3 x 3 +4x +56

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x für die F(25) = -3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= x

= x 1 2

=> F(x) = 2 3 x 3 2

F(x)= 2 3 ( x ) 3 + c

x=25 in F(x) eingesetzt:

F(25)= 2 3 ( 25 ) 3 + c

= 2 3 ⋅ 5 3 + c

= 2 3 ⋅125 + c

= 250 3 + c

wegen F(25) = -3 gilt:

250 3 + c = -3 | - 250 3

c= -3 - 250 3 = - 9 3 - 250 3 = - 259 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 3 ( x ) 3 - 259 3

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - ( x -2 ) 2 für die F(1) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - ( x -2 ) 2

F(x)= - 1 3 ( x -2 ) 3 + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= - 1 3 ⋅ ( 1 -2 ) 3 + c

= - 1 3 ⋅ ( -1 ) 3 + c

= - 1 3 ⋅( -1 ) + c

= 1 3 + c

wegen F(1) = 5 gilt:

1 3 + c = 5 | - 1 3

c= 5 - 1 3 = 15 3 - 1 3 = 14 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 3 ( x -2 ) 3 + 14 3

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 4 für die F(-2) = -1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 4

= 5 x -4

=> F(x) = - 5 3 x -3

F(x)= - 5 3 x 3 + c

x=-2 in F(x) eingesetzt:

F(-2)= - 5 3 ( -2 ) 3 + c

= - 5 3 ⋅( - 1 8 ) + c

= 5 24 + c

wegen F(-2) = -1 gilt:

5 24 + c = -1 | - 5 24

c= -1 - 5 24 = - 24 24 - 5 24 = - 29 24

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 5 3 x 3 - 29 24

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 ( 3x -5 ) 2 für die F(1) = 4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3 ( 3x -5 ) 2

F(x)= 1 3 ( 3x -5 ) 3 + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= 1 3 ⋅ ( 3⋅1 -5 ) 3 + c

= 1 3 ⋅ ( 3 -5 ) 3 + c

= 1 3 ⋅ ( -2 ) 3 + c

= 1 3 ⋅( -8 ) + c

= - 8 3 + c

wegen F(1) = 4 gilt:

- 8 3 + c = 4 | + 8 3

c= 4 + 8 3 = 12 3 + 8 3 = 20 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 3 ( 3x -5 ) 3 + 20 3