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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -x +1 .

Lösung einblenden

f(x)= -x +1

F(x)= - 1 2 x 2 + 1 · x

= - 1 2 x 2 + x

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 x 3 .

Lösung einblenden

f(x)= 3 x 3

= 3 x -3

=> F(x) = - 3 2 x -2

F(x)= - 3 2 x 2

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - e -x +1 .

Lösung einblenden

f(x)= - e -x +1

F(x)= e -x +1

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 x 3 +3 für die F(3) = 1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 3 +3

F(x)= 1 2 x 4 + 3 · x + c

= 1 2 x 4 +3x + c

x=3 in F(x) eingesetzt:

F(3)= 1 2 ⋅ 3 4 + 3 · 3 + c

= 1 2 ⋅81 +9 + c

= 81 2 +9 + c

= 81 2 + 18 2 + c

= 99 2 + c

wegen F(3) = 1 gilt:

99 2 + c = 1 | - 99 2

c= 1 - 99 2 = 2 2 - 99 2 = - 97 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 2 x 4 +3x - 97 2

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 5 x 3 für die F(3) = -1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 5 x 3

= -5 x -3

=> F(x) = 5 2 x -2

F(x)= 5 2 x 2 + c

x=3 in F(x) eingesetzt:

F(3)= 5 2⋅ 3 2 + c

= 5 2 ⋅( 1 9 ) + c

= 5 18 + c

wegen F(3) = -1 gilt:

5 18 + c = -1 | - 5 18

c= -1 - 5 18 = - 18 18 - 5 18 = - 23 18

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 5 2 x 2 - 23 18

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3 ( -3x +7 ) 2 -4 für die F(0) = -3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -3 ( -3x +7 ) 2 -4

F(x)= 1 3 ( -3x +7 ) 3 -4 · x + c

= 1 3 ( -3x +7 ) 3 -4x + c

x=0 in F(x) eingesetzt:

F(0)= 1 3 ⋅ ( -3⋅0 +7 ) 3 -4 · 0 + c

= 1 3 ⋅ ( 0 +7 ) 3 +0 + c

= 1 3 ⋅ 7 3 +0 + c

= 1 3 ⋅343 +0 + c

= 343 3 +0 + c

= 343 3 +0 + c

= 343 3 + c

wegen F(0) = -3 gilt:

343 3 + c = -3 | - 343 3

c= -3 - 343 3 = - 9 3 - 343 3 = - 352 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 3 ( -3x +7 ) 3 -4x - 352 3

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 1 x für die F(-3) = 3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 1 x

= x -1

F(x)= ln( | x | ) + c

x=-3 in F(x) eingesetzt:

F(-3)= ln( | 3 | ) + c

wegen F(-3) = 3 gilt:

ln( 3 ) + c = 3 | - ln( 3 )

c= 3 - ln( 3 )

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= ln( | x | ) - ln( 3 ) +3

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= cos( -3x + 3 2 π) für die F( 1 2 π ) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= cos( -3x + 3 2 π)

F(x)= - 1 3 ⋅ sin( -3x + 3 2 π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= - 1 3 ⋅ sin( -3⋅( 1 2 π ) + 3 2 π) + c

= - 1 3 ⋅ sin(0) + c

= - 1 3 ⋅0 + c

= 0 + c

= c

wegen F( 1 2 π ) = -2 gilt:

0 + c = -2 |0

c= -2 +0 = -2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 3 ⋅ sin( -3x + 3 2 π) -2