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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3 x 3 .

Lösung einblenden

f(x)= -3 x 3

F(x)= - 3 4 x 4

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 5 x 3 .

Lösung einblenden

f(x)= - 5 x 3

= -5 x -3

=> F(x) = 5 2 x -2

F(x)= 5 2 x 2

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - ( -x +3 ) 3 +5 .

Lösung einblenden

f(x)= - ( -x +3 ) 3 +5

F(x)= 1 4 ( -x +3 ) 4 + 5 · x

= 1 4 ( -x +3 ) 4 +5x

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x 3 -5 x 2 für die F(-2) = 1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= x 3 -5 x 2

F(x)= 1 4 x 4 - 5 3 x 3 + c

x=-2 in F(x) eingesetzt:

F(-2)= 1 4 ⋅ ( -2 ) 4 - 5 3 ⋅ ( -2 ) 3 + c

= 1 4 ⋅16 - 5 3 ⋅( -8 ) + c

= 4 + 40 3 + c

= 12 3 + 40 3 + c

= 52 3 + c

wegen F(-2) = 1 gilt:

52 3 + c = 1 | - 52 3

c= 1 - 52 3 = 3 3 - 52 3 = - 49 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 4 x 4 - 5 3 x 3 - 49 3

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x für die F(4) = -3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x

= 5 x 1 2

=> F(x) = 10 3 x 3 2

F(x)= 10 3 ( x ) 3 + c

x=4 in F(x) eingesetzt:

F(4)= 10 3 ( 4 ) 3 + c

= 10 3 ⋅ 2 3 + c

= 10 3 ⋅8 + c

= 80 3 + c

wegen F(4) = -3 gilt:

80 3 + c = -3 | - 80 3

c= -3 - 80 3 = - 9 3 - 80 3 = - 89 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 10 3 ( x ) 3 - 89 3

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 ( 3x -3 ) 2 für die F(1) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2 ( 3x -3 ) 2

F(x)= 2 9 ( 3x -3 ) 3 + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= 2 9 ⋅ ( 3⋅1 -3 ) 3 + c

= 2 9 ⋅ ( 3 -3 ) 3 + c

= 2 9 ⋅ 0 3 + c

= 2 9 ⋅0 + c

= 0 + c

= c

wegen F(1) = 5 gilt:

0 + c = 5 |0

c= 5 +0 = 5

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 9 ( 3x -3 ) 3 +5

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 2 für die F(-5) = 2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 2

= 5 x -2

=> F(x) = -5 x -1

F(x)= - 5 x + c

x=-5 in F(x) eingesetzt:

F(-5)= - 5 ( -5 ) + c

= -5⋅( - 1 5 ) + c

= 1 + c

wegen F(-5) = 2 gilt:

1 + c = 2 | -1

c= 2 -1 = 1

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 5 x +1

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 ( 2x -1 ) 3 für die F(2) = -1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2 ( 2x -1 ) 3

F(x)= 1 4 ( 2x -1 ) 4 + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= 1 4 ⋅ ( 2⋅2 -1 ) 4 + c

= 1 4 ⋅ ( 4 -1 ) 4 + c

= 1 4 ⋅ 3 4 + c

= 1 4 ⋅81 + c

= 81 4 + c

wegen F(2) = -1 gilt:

81 4 + c = -1 | - 81 4

c= -1 - 81 4 = - 4 4 - 81 4 = - 85 4

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 4 ( 2x -1 ) 4 - 85 4