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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 1$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x - 1$

$F(x) =$ $- x^{2} - 1 \cdot x$

= $- x^{2} - x$

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{x^{4}}$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{5}{x^{4}}$

= $- 5 x^{- 4}$

=> F(x) = $\frac{5}{3} x^{- 3}$

$F(x) =$ $\frac{5}{3 x^{3}}$

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $2 {(x - 2)}^{3} - 2 x$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(x - 2)}^{3} - 2 x$

$F(x) =$ $\frac{1}{2} {(x - 2)}^{4} - x^{2}$

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} - 4 x$ für die F(-1) = -1 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} - 4 x$

$F(x) =$ $x^{3} - 2 x^{2} + c$

x=-1 in F(x) eingesetzt:

$F(-1) =$ ${(- 1)}^{3} - 2 \cdot {(- 1)}^{2} + c$

= $(- 1) - 2 \cdot 1 + c$

= $- 1 - 2 + c$

= $- 3 + c$

wegen F(-1) = -1 gilt:

$- 3$ + c = -1 | $+ 3$

c =

- 1 + 3

=

2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $x^{3} - 2 x^{2} + 2$

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{\sqrt{x}}$ für die F(9) = 3 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{\sqrt{x}}$

= $- 3 x^{- \frac{1}{2}}$

=> F(x) = $- 6 x^{\frac{1}{2}}$

$F(x) =$ $- 6 \sqrt{x} + c$

x=9 in F(x) eingesetzt:

$F(9) =$ $- 6 \sqrt{9} + c$

= $- 6 \cdot 3 + c$

= $- 18 + c$

wegen F(9) = 3 gilt:

$- 18$ + c = 3 | $+ 18$

c =

3 + 18

=

21

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $- 6 \sqrt{x} + 21$

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{\sqrt{- x + 3}}$ für die F( $- 22$ ) = 5 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{\sqrt{- x + 3}}$

= $2 {(- x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

=> F(x) = $- 4 {(- x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

$F(x) =$ $- 4 \sqrt{- x + 3} + c$

x= $- 22$ in F(x) eingesetzt:

$F(- 22) =$ $- 4 \sqrt{- (- 22) + 3} + c$

= $- 4 \sqrt{22 + 3} + c$

= $- 4 \sqrt{25} + c$

= $- 4 \cdot 5 + c$

= $- 20 + c$

wegen F( $- 22$ ) = 5 gilt:

$- 20$ + c = 5 | $+ 20$

c =

5 + 20

=

25

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $- 4 \sqrt{- x + 3} + 25$

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{x^{3}}$ für die F(3) = -4 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{x^{3}}$

= $- 3 x^{- 3}$

=> F(x) = $\frac{3}{2} x^{- 2}$

$F(x) =$ $\frac{3}{2 x^{2}} + c$

x=3 in F(x) eingesetzt:

$F(3) =$ $\frac{3}{2 \cdot 3^{2}} + c$

= $\frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{9}) + c$

= $\frac{1}{6} + c$

wegen F(3) = -4 gilt:

$\frac{1}{6}$ + c = -4 | $- \frac{1}{6}$

c =

- 4 - \frac{1}{6}

=

- \frac{24}{6} - \frac{1}{6}

=

- \frac{25}{6}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $\frac{3}{2 x^{2}} - \frac{25}{6}$

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $\sin (- 2 x - \frac{3}{2} π)$ für die F( $0$ ) = 5 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (- 2 x - \frac{3}{2} π)$

$F(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 x - \frac{3}{2} π) + c$

x= $0$ in F(x) eingesetzt:

$F(0) =$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (0) - \frac{3}{2} π) + c$

= $\frac{1}{2} \cdot \cos (- \frac{3}{2} π) + c$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 + c$

= $0 + c$

= $c$

wegen F( $0$ ) = 5 gilt:

0 + c = 5 |0

c =

5 + 0

=

5

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 x - \frac{3}{2} π) + 5$

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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

best. Stammfunktion (einfach)

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

best. Stammfktn (verkettet) BF

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

best. Stammfunktionen (verkettet)