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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x 3 -2 .

Lösung einblenden

f(x)= x 3 -2

F(x)= 1 4 x 4 -2 · x

= 1 4 x 4 -2x

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 4 x 4 .

Lösung einblenden

f(x)= - 4 x 4

= -4 x -4

=> F(x) = 4 3 x -3

F(x)= 4 3 x 3

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= ( x -3 ) 2 -6 .

Lösung einblenden

f(x)= ( x -3 ) 2 -6

F(x)= 1 3 ( x -3 ) 3 -6 · x

= 1 3 ( x -3 ) 3 -6x

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 4 x 3 -2 für die F(-1) = -1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 4 x 3 -2

F(x)= x 4 -2 · x + c

= x 4 -2x + c

x=-1 in F(x) eingesetzt:

F(-1)= ( -1 ) 4 -2 · ( -1 ) + c

= 1 +2 + c

= 3 + c

wegen F(-1) = -1 gilt:

3 + c = -1 | -3

c= -1 -3 = -4

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= x 4 -2x -4

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -4 x für die F(4) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -4 x

= -4 x 1 2

=> F(x) = - 8 3 x 3 2

F(x)= - 8 3 ( x ) 3 + c

x=4 in F(x) eingesetzt:

F(4)= - 8 3 ( 4 ) 3 + c

= - 8 3 2 3 + c

= - 8 3 8 + c

= - 64 3 + c

wegen F(4) = -2 gilt:

- 64 3 + c = -2 | + 64 3

c= -2 + 64 3 = - 6 3 + 64 3 = 58 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 8 3 ( x ) 3 + 58 3

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 2 x -2 für die F(11) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 2 x -2

= -2 ( x -2 ) - 1 2

=> F(x) = -4 ( x -2 ) 1 2

F(x)= -4 x -2 + c

x=11 in F(x) eingesetzt:

F(11)= -4 11 -2 + c

= -4 9 + c

= -43 + c

= -12 + c

wegen F(11) = -4 gilt:

-12 + c = -4 | +12

c= -4 +12 = 8

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= -4 x -2 +8

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 1 x 2 für die F(4) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 1 x 2

= - x -2

=> F(x) = x -1

F(x)= 1 x + c

x=4 in F(x) eingesetzt:

F(4)= 1 4 + c

= 1 4 + c

wegen F(4) = -5 gilt:

1 4 + c = -5 | - 1 4

c= -5 - 1 4 = - 20 4 - 1 4 = - 21 4

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 x - 21 4

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3 ( 3x -3 ) 3 für die F(0) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -3 ( 3x -3 ) 3

F(x)= - 1 4 ( 3x -3 ) 4 + c

x=0 in F(x) eingesetzt:

F(0)= - 1 4 ( 30 -3 ) 4 + c

= - 1 4 ( 0 -3 ) 4 + c

= - 1 4 ( -3 ) 4 + c

= - 1 4 81 + c

= - 81 4 + c

wegen F(0) = -2 gilt:

- 81 4 + c = -2 | + 81 4

c= -2 + 81 4 = - 8 4 + 81 4 = 73 4

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 4 ( 3x -3 ) 4 + 73 4