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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 2 +2 .

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 2 +2

F(x)= 5 3 x 3 + 2 · x

= 5 3 x 3 +2x

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 2 .

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 2

= 5 x -2

=> F(x) = -5 x -1

F(x)= - 5 x

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 2x -4 .

Lösung einblenden

f(x)= 2 2x -4

= 2 ( 2x -4 ) - 1 2

=> F(x) = 2 ( 2x -4 ) 1 2

F(x)= 2 2x -4

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x +1 für die F(3) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= x +1

F(x)= 1 2 x 2 + 1 · x + c

= 1 2 x 2 + x + c

x=3 in F(x) eingesetzt:

F(3)= 1 2 ⋅ 3 2 + 1 · 3 + c

= 1 2 ⋅9 +3 + c

= 9 2 +3 + c

= 9 2 + 6 2 + c

= 15 2 + c

wegen F(3) = -4 gilt:

15 2 + c = -4 | - 15 2

c= -4 - 15 2 = - 8 2 - 15 2 = - 23 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 2 x 2 + x - 23 2

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 x 4 für die F(-1) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3 x 4

= 3 x -4

=> F(x) = - x -3

F(x)= - 1 x 3 + c

x=-1 in F(x) eingesetzt:

F(-1)= - 1 ( -1 ) 3 + c

= -( -1 ) + c

= 1 + c

wegen F(-1) = -4 gilt:

1 + c = -4 | -1

c= -4 -1 = -5

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 x 3 -5

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 ( 2x -5 ) 2 für die F(2) = 3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3 ( 2x -5 ) 2

F(x)= 1 2 ( 2x -5 ) 3 + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= 1 2 ⋅ ( 2⋅2 -5 ) 3 + c

= 1 2 ⋅ ( 4 -5 ) 3 + c

= 1 2 ⋅ ( -1 ) 3 + c

= 1 2 ⋅( -1 ) + c

= - 1 2 + c

wegen F(2) = 3 gilt:

- 1 2 + c = 3 | + 1 2

c= 3 + 1 2 = 6 2 + 1 2 = 7 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 2 ( 2x -5 ) 3 + 7 2

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 1 x 3 für die F(2) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 1 x 3

= - x -3

=> F(x) = 1 2 x -2

F(x)= 1 2 x 2 + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= 1 2⋅ 2 2 + c

= 1 2 ⋅( 1 4 ) + c

= 1 8 + c

wegen F(2) = -2 gilt:

1 8 + c = -2 | - 1 8

c= -2 - 1 8 = - 16 8 - 1 8 = - 17 8

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 2 x 2 - 17 8

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= ( -x +3 ) 2 für die F(1) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= ( -x +3 ) 2

F(x)= - 1 3 ( -x +3 ) 3 + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= - 1 3 ⋅ ( -1 +3 ) 3 + c

= - 1 3 ⋅ 2 3 + c

= - 1 3 ⋅8 + c

= - 8 3 + c

wegen F(1) = 5 gilt:

- 8 3 + c = 5 | + 8 3

c= 5 + 8 3 = 15 3 + 8 3 = 23 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 3 ( -x +3 ) 3 + 23 3