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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -5 x 2 +2x .

Lösung einblenden

f(x)= -5 x 2 +2x

F(x)= - 5 3 x 3 + x 2

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 x 3 .

Lösung einblenden

f(x)= 3 x 3

= 3 x -3

=> F(x) = - 3 2 x -2

F(x)= - 3 2 x 2

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 cos( x - 1 2 π) .

Lösung einblenden

f(x)= 2 cos( x - 1 2 π)

F(x)= 2 sin( x - 1 2 π)

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -5x +1 für die F(-2) = 2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -5x +1

F(x)= - 5 2 x 2 + 1 · x + c

= - 5 2 x 2 + x + c

x=-2 in F(x) eingesetzt:

F(-2)= - 5 2 ( -2 ) 2 + 1 · ( -2 ) + c

= - 5 2 4 -2 + c

= -10 -2 + c

= -12 + c

wegen F(-2) = 2 gilt:

-12 + c = 2 | +12

c= 2 +12 = 14

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 5 2 x 2 + x +14

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 5 x 3 für die F(-2) = 1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 5 x 3

= -5 x -3

=> F(x) = 5 2 x -2

F(x)= 5 2 x 2 + c

x=-2 in F(x) eingesetzt:

F(-2)= 5 2 ( -2 ) 2 + c

= 5 2 ( 1 4 ) + c

= 5 8 + c

wegen F(-2) = 1 gilt:

5 8 + c = 1 | - 5 8

c= 1 - 5 8 = 8 8 - 5 8 = 3 8

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 5 2 x 2 + 3 8

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -2 sin( x - π) für die F( 0 ) = 4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -2 sin( x - π)

F(x)= 2 cos( x - π) + c

x= 0 in F(x) eingesetzt:

F( 0 )= 2 cos( 0 - π) + c

= 2 cos(-π) + c

= 2( -1 ) + c

= -2 + c

wegen F( 0 ) = 4 gilt:

-2 + c = 4 | +2

c= 4 +2 = 6

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 cos( x - π) +6

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 4 x für die F(9) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 4 x

= -4 x - 1 2

=> F(x) = -8 x 1 2

F(x)= -8 x + c

x=9 in F(x) eingesetzt:

F(9)= -8 9 + c

= -83 + c

= -24 + c

wegen F(9) = -4 gilt:

-24 + c = -4 | +24

c= -4 +24 = 20

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= -8 x +20

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 -2x +1 für die F(1) = 1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3 -2x +1

= 3 ( -2x +1 ) -1

F(x)= - 3 2 ln( | -2x +1 | ) + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= - 3 2 ln( | 1 | ) + c

= c

wegen F(1) = 1 gilt:

- 3 2 ln( 1 ) + c = 1 | + 3 2 ln( 1 )

c= 1 + 3 2 ln( 1 ) = 1 +0 = 1

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 3 2 ln( | -2x +1 | ) +1