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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x 2 .

Lösung einblenden

f(x)= x 2

F(x)= 1 3 x 3

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 2 x 4 .

Lösung einblenden

f(x)= - 2 x 4

= -2 x -4

=> F(x) = 2 3 x -3

F(x)= 2 3 x 3

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 e -3x +6 .

Lösung einblenden

f(x)= 3 e -3x +6

F(x)= - e -3x +6

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x 2 +3 für die F(-1) = 1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= x 2 +3

F(x)= 1 3 x 3 + 3 · x + c

= 1 3 x 3 +3x + c

x=-1 in F(x) eingesetzt:

F(-1)= 1 3 ⋅ ( -1 ) 3 + 3 · ( -1 ) + c

= 1 3 ⋅( -1 ) -3 + c

= - 1 3 -3 + c

= - 1 3 - 9 3 + c

= - 10 3 + c

wegen F(-1) = 1 gilt:

- 10 3 + c = 1 | + 10 3

c= 1 + 10 3 = 3 3 + 10 3 = 13 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 3 x 3 +3x + 13 3

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - x für die F(25) = 4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - x

= - x 1 2

=> F(x) = - 2 3 x 3 2

F(x)= - 2 3 ( x ) 3 + c

x=25 in F(x) eingesetzt:

F(25)= - 2 3 ( 25 ) 3 + c

= - 2 3 ⋅ 5 3 + c

= - 2 3 ⋅125 + c

= - 250 3 + c

wegen F(25) = 4 gilt:

- 250 3 + c = 4 | + 250 3

c= 4 + 250 3 = 12 3 + 250 3 = 262 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 2 3 ( x ) 3 + 262 3

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3⋅ cos( -x + 1 2 π) für die F( 1 2 π ) = 4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -3⋅ cos( -x + 1 2 π)

F(x)= 3⋅ sin( -x + 1 2 π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= 3⋅ sin( -( 1 2 π ) + 1 2 π) + c

= 3⋅ sin(0) + c

= 3⋅0 + c

= 0 + c

= c

wegen F( 1 2 π ) = 4 gilt:

0 + c = 4 |0

c= 4 +0 = 4

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 3⋅ sin( -x + 1 2 π) +4

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 4 x 3 für die F(-4) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 4 x 3

= 4 x -3

=> F(x) = -2 x -2

F(x)= - 2 x 2 + c

x=-4 in F(x) eingesetzt:

F(-4)= - 2 ( -4 ) 2 + c

= -2⋅( 1 16 ) + c

= - 1 8 + c

wegen F(-4) = -5 gilt:

- 1 8 + c = -5 | + 1 8

c= -5 + 1 8 = - 40 8 + 1 8 = - 39 8

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 2 x 2 - 39 8

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 3 2x -1 für die F(1) = 4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 3 2x -1

= -3 ( 2x -1 ) -1

F(x)= - 3 2 ln( | 2x -1 | ) + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= - 3 2 ln( | 1 | ) + c

= c

wegen F(1) = 4 gilt:

- 3 2 ln( 1 ) + c = 4 | + 3 2 ln( 1 )

c= 4 + 3 2 ln( 1 ) = 4 +0 = 4

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 3 2 ln( | 2x -1 | ) +4