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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -5 x 3 -5 x 2 .

Lösung einblenden

f(x)= -5 x 3 -5 x 2

F(x)= - 5 4 x 4 - 5 3 x 3

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 2 x 3 .

Lösung einblenden

f(x)= - 2 x 3

= -2 x -3

=> F(x) = x -2

F(x)= 1 x 2

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3 ( -2x +3 ) 2 .

Lösung einblenden

f(x)= -3 ( -2x +3 ) 2

F(x)= 1 2 ( -2x +3 ) 3

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x -5 für die F(-2) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= x -5

F(x)= 1 2 x 2 -5 · x + c

= 1 2 x 2 -5x + c

x=-2 in F(x) eingesetzt:

F(-2)= 1 2 ⋅ ( -2 ) 2 -5 · ( -2 ) + c

= 1 2 ⋅4 +10 + c

= 2 +10 + c

= 12 + c

wegen F(-2) = -2 gilt:

12 + c = -2 | -12

c= -2 -12 = -14

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 2 x 2 -5x -14

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 3 x 2 für die F(1) = 3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 3 x 2

= -3 x -2

=> F(x) = 3 x -1

F(x)= 3 x + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= 3 1 + c

= 3⋅1 + c

= 3 + c

wegen F(1) = 3 gilt:

3 + c = 3 | -3

c= 3 -3 = 0

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 3 x

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 ( 2x -1 ) 4 für die F(1) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3 ( 2x -1 ) 4

= 3 ( 2x -1 ) -4

=> F(x) = - 1 2 ( 2x -1 ) -3

F(x)= - 1 2 ( 2x -1 ) 3 + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= - 1 2 ( 2⋅1 -1 ) 3 + c

= - 1 2 ( 2 -1 ) 3 + c

= - 1 2⋅ 1 3 + c

= - 1 2 ⋅1 + c

= - 1 2 + c

wegen F(1) = -4 gilt:

- 1 2 + c = -4 | + 1 2

c= -4 + 1 2 = - 8 2 + 1 2 = - 7 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 2 ( 2x -1 ) 3 - 7 2

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x für die F(25) = -1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x

= 5 x 1 2

=> F(x) = 10 3 x 3 2

F(x)= 10 3 ( x ) 3 + c

x=25 in F(x) eingesetzt:

F(25)= 10 3 ( 25 ) 3 + c

= 10 3 ⋅ 5 3 + c

= 10 3 ⋅125 + c

= 1250 3 + c

wegen F(25) = -1 gilt:

1250 3 + c = -1 | - 1250 3

c= -1 - 1250 3 = - 3 3 - 1250 3 = - 1253 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 10 3 ( x ) 3 - 1253 3

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -2⋅ cos( -3x + 1 2 π) für die F( 1 2 π ) = 3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -2⋅ cos( -3x + 1 2 π)

F(x)= 2 3 ⋅ sin( -3x + 1 2 π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= 2 3 ⋅ sin( -3⋅( 1 2 π ) + 1 2 π) + c

= 2 3 ⋅ sin(-π) + c

= 2 3 ⋅0 + c

= 0 + c

= c

wegen F( 1 2 π ) = 3 gilt:

0 + c = 3 |0

c= 3 +0 = 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 3 ⋅ sin( -3x + 1 2 π) +3