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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -5 x 3 .

Lösung einblenden

f(x)= -5 x 3

F(x)= - 5 4 x 4

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 4 x .

Lösung einblenden

f(x)= 4 x

= 4 x 1 2

=> F(x) = 8 3 x 3 2

F(x)= 8 3 ( x ) 3

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - e x -2 .

Lösung einblenden

f(x)= - e x -2

F(x)= - e x -2

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x 2 +4 für die F(2) = 4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= x 2 +4

F(x)= 1 3 x 3 + 4 · x + c

= 1 3 x 3 +4x + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= 1 3 ⋅ 2 3 + 4 · 2 + c

= 1 3 ⋅8 +8 + c

= 8 3 +8 + c

= 8 3 + 24 3 + c

= 32 3 + c

wegen F(2) = 4 gilt:

32 3 + c = 4 | - 32 3

c= 4 - 32 3 = 12 3 - 32 3 = - 20 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 3 x 3 +4x - 20 3

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 4 x für die F(16) = 3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 4 x

= 4 x - 1 2

=> F(x) = 8 x 1 2

F(x)= 8 x + c

x=16 in F(x) eingesetzt:

F(16)= 8 16 + c

= 8⋅4 + c

= 32 + c

wegen F(16) = 3 gilt:

32 + c = 3 | -32

c= 3 -32 = -29

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 8 x -29

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 3x -6 für die F(5) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3 3x -6

= 3 ( 3x -6 ) - 1 2

=> F(x) = 2 ( 3x -6 ) 1 2

F(x)= 2 3x -6 + c

x=5 in F(x) eingesetzt:

F(5)= 2 3⋅5 -6 + c

= 2 15 -6 + c

= 2 9 + c

= 2⋅3 + c

= 6 + c

wegen F(5) = -5 gilt:

6 + c = -5 | -6

c= -5 -6 = -11

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 3x -6 -11

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x für die F(1) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= x

= x 1 2

=> F(x) = 2 3 x 3 2

F(x)= 2 3 ( x ) 3 + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= 2 3 ( 1 ) 3 + c

= 2 3 ⋅ 1 3 + c

= 2 3 ⋅1 + c

= 2 3 + c

wegen F(1) = -5 gilt:

2 3 + c = -5 | - 2 3

c= -5 - 2 3 = - 15 3 - 2 3 = - 17 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 3 ( x ) 3 - 17 3

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= sin( -2x - π) für die F( 1 2 π ) = 3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= sin( -2x - π)

F(x)= 1 2 ⋅ cos( -2x - π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= 1 2 ⋅ cos( -2⋅( 1 2 π ) - π) + c

= 1 2 ⋅ cos(-2π) + c

= 1 2 ⋅1 + c

= 1 2 + c

wegen F( 1 2 π ) = 3 gilt:

1 2 + c = 3 | - 1 2

c= 3 - 1 2 = 6 2 - 1 2 = 5 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 2 ⋅ cos( -2x - π) + 5 2