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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x 2 -2x .

Lösung einblenden

f(x)= x 2 -2x

F(x)= 1 3 x 3 - x 2

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 x 4 .

Lösung einblenden

f(x)= 3 x 4

= 3 x -4

=> F(x) = - x -3

F(x)= - 1 x 3

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3⋅ sin( -2x - 1 2 π) .

Lösung einblenden

f(x)= 3⋅ sin( -2x - 1 2 π)

F(x)= 3 2 ⋅ cos( -2x - 1 2 π)

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3x +1 für die F(-3) = 4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3x +1

F(x)= 3 2 x 2 + 1 · x + c

= 3 2 x 2 + x + c

x=-3 in F(x) eingesetzt:

F(-3)= 3 2 ⋅ ( -3 ) 2 + 1 · ( -3 ) + c

= 3 2 ⋅9 -3 + c

= 27 2 -3 + c

= 27 2 - 6 2 + c

= 21 2 + c

wegen F(-3) = 4 gilt:

21 2 + c = 4 | - 21 2

c= 4 - 21 2 = 8 2 - 21 2 = - 13 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 3 2 x 2 + x - 13 2

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -5 x für die F(16) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -5 x

= -5 x 1 2

=> F(x) = - 10 3 x 3 2

F(x)= - 10 3 ( x ) 3 + c

x=16 in F(x) eingesetzt:

F(16)= - 10 3 ( 16 ) 3 + c

= - 10 3 ⋅ 4 3 + c

= - 10 3 ⋅64 + c

= - 640 3 + c

wegen F(16) = -4 gilt:

- 640 3 + c = -4 | + 640 3

c= -4 + 640 3 = - 12 3 + 640 3 = 628 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 10 3 ( x ) 3 + 628 3

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 x -2 für die F(18) = -3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2 x -2

= 2 ( x -2 ) - 1 2

=> F(x) = 4 ( x -2 ) 1 2

F(x)= 4 x -2 + c

x=18 in F(x) eingesetzt:

F(18)= 4 18 -2 + c

= 4 16 + c

= 4⋅4 + c

= 16 + c

wegen F(18) = -3 gilt:

16 + c = -3 | -16

c= -3 -16 = -19

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 4 x -2 -19

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x für die F(9) = -3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x

= 5 x - 1 2

=> F(x) = 10 x 1 2

F(x)= 10 x + c

x=9 in F(x) eingesetzt:

F(9)= 10 9 + c

= 10⋅3 + c

= 30 + c

wegen F(9) = -3 gilt:

30 + c = -3 | -30

c= -3 -30 = -33

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 10 x -33

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 1 ( -2x +1 ) 2 für die F(1) = 4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 1 ( -2x +1 ) 2

= ( -2x +1 ) -2

=> F(x) = 1 2 ( -2x +1 ) -1

F(x)= 1 2( -2x +1 ) + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= 1 2( -2⋅1 +1 ) + c

= 1 2( -2 +1 ) + c

= 1 2 ( -1 ) + c

= 1 2 ⋅( -1 ) + c

= - 1 2 + c

wegen F(1) = 4 gilt:

- 1 2 + c = 4 | + 1 2

c= 4 + 1 2 = 8 2 + 1 2 = 9 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 2( -2x +1 ) + 9 2