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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 x 3 +3 .

Lösung einblenden

f(x)= 3 x 3 +3

F(x)= 3 4 x 4 + 3 · x

= 3 4 x 4 +3x

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 2 x 2 .

Lösung einblenden

f(x)= - 2 x 2

= -2 x -2

=> F(x) = 2 x -1

F(x)= 2 x

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 1 ( x -1 ) 4 .

Lösung einblenden

f(x)= - 1 ( x -1 ) 4

= - ( x -1 ) -4

=> F(x) = 1 3 ( x -1 ) -3

F(x)= 1 3 ( x -1 ) 3

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 4 x 3 - x für die F(2) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 4 x 3 - x

F(x)= x 4 - 1 2 x 2 + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= 2 4 - 1 2 ⋅ 2 2 + c

= 16 - 1 2 ⋅4 + c

= 16 -2 + c

= 14 + c

wegen F(2) = 5 gilt:

14 + c = 5 | -14

c= 5 -14 = -9

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= x 4 - 1 2 x 2 -9

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 2 x 4 für die F(2) = 3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 2 x 4

= -2 x -4

=> F(x) = 2 3 x -3

F(x)= 2 3 x 3 + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= 2 3⋅ 2 3 + c

= 2 3 ⋅( 1 8 ) + c

= 1 12 + c

wegen F(2) = 3 gilt:

1 12 + c = 3 | - 1 12

c= 3 - 1 12 = 36 12 - 1 12 = 35 12

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 3 x 3 + 35 12

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 3 ( 2x -5 ) 4 für die F(4) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 3 ( 2x -5 ) 4

= -3 ( 2x -5 ) -4

=> F(x) = 1 2 ( 2x -5 ) -3

F(x)= 1 2 ( 2x -5 ) 3 + c

x=4 in F(x) eingesetzt:

F(4)= 1 2 ( 2⋅4 -5 ) 3 + c

= 1 2 ( 8 -5 ) 3 + c

= 1 2⋅ 3 3 + c

= 1 2 ⋅( 1 27 ) + c

= 1 54 + c

wegen F(4) = -4 gilt:

1 54 + c = -4 | - 1 54

c= -4 - 1 54 = - 216 54 - 1 54 = - 217 54

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 2 ( 2x -5 ) 3 - 217 54

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 4 für die F(1) = 3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 4

= 5 x -4

=> F(x) = - 5 3 x -3

F(x)= - 5 3 x 3 + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= - 5 3⋅ 1 3 + c

= - 5 3 ⋅1 + c

= - 5 3 + c

wegen F(1) = 3 gilt:

- 5 3 + c = 3 | + 5 3

c= 3 + 5 3 = 9 3 + 5 3 = 14 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 5 3 x 3 + 14 3

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2⋅ sin( -2x - 1 2 π) für die F( 0 ) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2⋅ sin( -2x - 1 2 π)

F(x)= cos( -2x - 1 2 π) + c

x= 0 in F(x) eingesetzt:

F( 0 )= cos( -2⋅( 0 ) - 1 2 π) + c

= cos( - 1 2 π) + c

= 0 + c

= c

wegen F( 0 ) = -2 gilt:

0 + c = -2 |0

c= -2 +0 = -2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= cos( -2x - 1 2 π) -2