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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -x +1 .

Lösung einblenden

f(x)= -x +1

F(x)= - 1 2 x 2 + 1 · x

= - 1 2 x 2 + x

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 2 .

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 2

= 5 x -2

=> F(x) = -5 x -1

F(x)= - 5 x

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 2 ( 3x -6 ) 4 .

Lösung einblenden

f(x)= - 2 ( 3x -6 ) 4

= -2 ( 3x -6 ) -4

=> F(x) = 2 9 ( 3x -6 ) -3

F(x)= 2 9 ( 3x -6 ) 3

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x 2 +5 für die F(1) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= x 2 +5

F(x)= 1 3 x 3 + 5 · x + c

= 1 3 x 3 +5x + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= 1 3 ⋅ 1 3 + 5 · 1 + c

= 1 3 ⋅1 +5 + c

= 1 3 +5 + c

= 1 3 + 15 3 + c

= 16 3 + c

wegen F(1) = -2 gilt:

16 3 + c = -2 | - 16 3

c= -2 - 16 3 = - 6 3 - 16 3 = - 22 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 3 x 3 +5x - 22 3

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 1 x für die F(9) = 2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 1 x

= - x - 1 2

=> F(x) = -2 x 1 2

F(x)= -2 x + c

x=9 in F(x) eingesetzt:

F(9)= -2 9 + c

= -2⋅3 + c

= -6 + c

wegen F(9) = 2 gilt:

-6 + c = 2 | +6

c= 2 +6 = 8

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= -2 x +8

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3⋅ cos( -2x + 1 2 π) für die F( 0 ) = 1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3⋅ cos( -2x + 1 2 π)

F(x)= - 3 2 ⋅ sin( -2x + 1 2 π) + c

x= 0 in F(x) eingesetzt:

F( 0 )= - 3 2 ⋅ sin( -2⋅( 0 ) + 1 2 π) + c

= - 3 2 ⋅ sin( 1 2 π) + c

= - 3 2 ⋅1 + c

= - 3 2 + c

wegen F( 0 ) = 1 gilt:

- 3 2 + c = 1 | + 3 2

c= 1 + 3 2 = 2 2 + 3 2 = 5 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 3 2 ⋅ sin( -2x + 1 2 π) + 5 2

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 x 4 für die F(-1) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3 x 4

= 3 x -4

=> F(x) = - x -3

F(x)= - 1 x 3 + c

x=-1 in F(x) eingesetzt:

F(-1)= - 1 ( -1 ) 3 + c

= -( -1 ) + c

= 1 + c

wegen F(-1) = -5 gilt:

1 + c = -5 | -1

c= -5 -1 = -6

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 x 3 -6

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= sin( x + 1 2 π) für die F( 1 2 π ) = 1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= sin( x + 1 2 π)

F(x)= - cos( x + 1 2 π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= - cos( 1 2 π + 1 2 π) + c

= - cos(π) + c

= -( -1 ) + c

= 1 + c

wegen F( 1 2 π ) = 1 gilt:

1 + c = 1 | -1

c= 1 -1 = 0

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - cos( x + 1 2 π)