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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 4x -1 .

Lösung einblenden

f(x)= 4x -1

F(x)= 2 x 2 -1 · x

= 2 x 2 - x

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 4 .

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 4

= 5 x -4

=> F(x) = - 5 3 x -3

F(x)= - 5 3 x 3

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - cos( x - 3 2 π) .

Lösung einblenden

f(x)= - cos( x - 3 2 π)

F(x)= - sin( x - 3 2 π)

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -5x +5 für die F(3) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -5x +5

F(x)= - 5 2 x 2 + 5 · x + c

= - 5 2 x 2 +5x + c

x=3 in F(x) eingesetzt:

F(3)= - 5 2 3 2 + 5 · 3 + c

= - 5 2 9 +15 + c

= - 45 2 +15 + c

= - 45 2 + 30 2 + c

= - 15 2 + c

wegen F(3) = -2 gilt:

- 15 2 + c = -2 | + 15 2

c= -2 + 15 2 = - 4 2 + 15 2 = 11 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 5 2 x 2 +5x + 11 2

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 4 x 2 für die F(-3) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 4 x 2

= 4 x -2

=> F(x) = -4 x -1

F(x)= - 4 x + c

x=-3 in F(x) eingesetzt:

F(-3)= - 4 ( -3 ) + c

= -4( - 1 3 ) + c

= 4 3 + c

wegen F(-3) = -2 gilt:

4 3 + c = -2 | - 4 3

c= -2 - 4 3 = - 6 3 - 4 3 = - 10 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 4 x - 10 3

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 1 ( -2x +4 ) 3 für die F(4) = 4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 1 ( -2x +4 ) 3

= - ( -2x +4 ) -3

=> F(x) = - 1 4 ( -2x +4 ) -2

F(x)= - 1 4 ( -2x +4 ) 2 + c

x=4 in F(x) eingesetzt:

F(4)= - 1 4 ( -24 +4 ) 2 + c

= - 1 4 ( -8 +4 ) 2 + c

= - 1 4 ( -4 ) 2 + c

= - 1 4 ( 1 16 ) + c

= - 1 64 + c

wegen F(4) = 4 gilt:

- 1 64 + c = 4 | + 1 64

c= 4 + 1 64 = 256 64 + 1 64 = 257 64

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 4 ( -2x +4 ) 2 + 257 64

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 1 x 3 für die F(2) = -1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 1 x 3

= - x -3

=> F(x) = 1 2 x -2

F(x)= 1 2 x 2 + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= 1 2 2 2 + c

= 1 2 ( 1 4 ) + c

= 1 8 + c

wegen F(2) = -1 gilt:

1 8 + c = -1 | - 1 8

c= -1 - 1 8 = - 8 8 - 1 8 = - 9 8

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 2 x 2 - 9 8

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -2 e x -1 für die F(2) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -2 e x -1

F(x)= -2 e x -1 + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= -2 e 2 -1 + c

= -2e + c

= -2e + c

= c-2c

wegen F(2) = -2 gilt:

-2e + c = -2 | +2e

c= -2 +2e = -2 +2e

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= -2 e x -1 -2 +2e