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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -x -4 .

Lösung einblenden

f(x)= -x -4

F(x)= - 1 2 x 2 -4 · x

= - 1 2 x 2 -4x

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 4 x 3 .

Lösung einblenden

f(x)= 4 x 3

= 4 x -3

=> F(x) = -2 x -2

F(x)= - 2 x 2

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - ( 3x -6 ) 2 +5 .

Lösung einblenden

f(x)= - ( 3x -6 ) 2 +5

F(x)= - 1 9 ( 3x -6 ) 3 + 5 · x

= - 1 9 ( 3x -6 ) 3 +5x

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 2 + x für die F(3) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 2 + x

F(x)= 5 3 x 3 + 1 2 x 2 + c

x=3 in F(x) eingesetzt:

F(3)= 5 3 ⋅ 3 3 + 1 2 ⋅ 3 2 + c

= 5 3 ⋅27 + 1 2 ⋅9 + c

= 45 + 9 2 + c

= 90 2 + 9 2 + c

= 99 2 + c

wegen F(3) = -4 gilt:

99 2 + c = -4 | - 99 2

c= -4 - 99 2 = - 8 2 - 99 2 = - 107 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 5 3 x 3 + 1 2 x 2 - 107 2

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 x 2 für die F(2) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 2

= 2 x -2

=> F(x) = -2 x -1

F(x)= - 2 x + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= - 2 2 + c

= -2⋅( 1 2 ) + c

= -1 + c

wegen F(2) = 5 gilt:

-1 + c = 5 | +1

c= 5 +1 = 6

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 2 x +6

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -2 ( -x +1 ) 3 +5x für die F(0) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -2 ( -x +1 ) 3 +5x

F(x)= 1 2 ( -x +1 ) 4 + 5 2 x 2 + c

x=0 in F(x) eingesetzt:

F(0)= 1 2 ⋅ ( -0 +1 ) 4 + 5 2 ⋅ 0 2 + c

= 1 2 ⋅ ( 0 +1 ) 4 + 5 2 ⋅0 + c

= 1 2 ⋅ 1 4 +0 + c

= 1 2 ⋅1 +0 + c

= 1 2 +0 + c

= 1 2 +0 + c

= 1 2 + c

wegen F(0) = -4 gilt:

1 2 + c = -4 | - 1 2

c= -4 - 1 2 = - 8 2 - 1 2 = - 9 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 2 ( -x +1 ) 4 + 5 2 x 2 - 9 2

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 1 x 4 für die F(3) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 1 x 4

= - x -4

=> F(x) = 1 3 x -3

F(x)= 1 3 x 3 + c

x=3 in F(x) eingesetzt:

F(3)= 1 3⋅ 3 3 + c

= 1 3 ⋅( 1 27 ) + c

= 1 81 + c

wegen F(3) = -2 gilt:

1 81 + c = -2 | - 1 81

c= -2 - 1 81 = - 162 81 - 1 81 = - 163 81

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 3 x 3 - 163 81

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 3 ( 2x -1 ) 2 für die F(2) = 4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 3 ( 2x -1 ) 2

= -3 ( 2x -1 ) -2

=> F(x) = 3 2 ( 2x -1 ) -1

F(x)= 3 2( 2x -1 ) + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= 3 2( 2⋅2 -1 ) + c

= 3 2( 4 -1 ) + c

= 3 2⋅ 3 + c

= 3 2 ⋅( 1 3 ) + c

= 1 2 + c

wegen F(2) = 4 gilt:

1 2 + c = 4 | - 1 2

c= 4 - 1 2 = 8 2 - 1 2 = 7 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 3 2( 2x -1 ) + 7 2