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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3x +5 .

Lösung einblenden

f(x)= 3x +5

F(x)= 3 2 x 2 + 5 · x

= 3 2 x 2 +5x

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -4 x .

Lösung einblenden

f(x)= -4 x

= -4 x 1 2

=> F(x) = - 8 3 x 3 2

F(x)= - 8 3 ( x ) 3

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 ( x -3 ) 3 -3x .

Lösung einblenden

f(x)= 3 ( x -3 ) 3 -3x

F(x)= 3 4 ( x -3 ) 4 - 3 2 x 2

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3 x 2 +5x für die F(-2) = 3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -3 x 2 +5x

F(x)= - x 3 + 5 2 x 2 + c

x=-2 in F(x) eingesetzt:

F(-2)= - ( -2 ) 3 + 5 2 ⋅ ( -2 ) 2 + c

= -( -8 ) + 5 2 ⋅4 + c

= 8 +10 + c

= 18 + c

wegen F(-2) = 3 gilt:

18 + c = 3 | -18

c= 3 -18 = -15

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - x 3 + 5 2 x 2 -15

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 1 x für die F(16) = -1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 1 x

= x - 1 2

=> F(x) = 2 x 1 2

F(x)= 2 x + c

x=16 in F(x) eingesetzt:

F(16)= 2 16 + c

= 2⋅4 + c

= 8 + c

wegen F(16) = -1 gilt:

8 + c = -1 | -8

c= -1 -8 = -9

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 x -9

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3 ( 2x -1 ) 2 für die F(2) = 1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -3 ( 2x -1 ) 2

F(x)= - 1 2 ( 2x -1 ) 3 + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= - 1 2 ⋅ ( 2⋅2 -1 ) 3 + c

= - 1 2 ⋅ ( 4 -1 ) 3 + c

= - 1 2 ⋅ 3 3 + c

= - 1 2 ⋅27 + c

= - 27 2 + c

wegen F(2) = 1 gilt:

- 27 2 + c = 1 | + 27 2

c= 1 + 27 2 = 2 2 + 27 2 = 29 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 2 ( 2x -1 ) 3 + 29 2

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x für die F(25) = -3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x

= 5 x 1 2

=> F(x) = 10 3 x 3 2

F(x)= 10 3 ( x ) 3 + c

x=25 in F(x) eingesetzt:

F(25)= 10 3 ( 25 ) 3 + c

= 10 3 ⋅ 5 3 + c

= 10 3 ⋅125 + c

= 1250 3 + c

wegen F(25) = -3 gilt:

1250 3 + c = -3 | - 1250 3

c= -3 - 1250 3 = - 9 3 - 1250 3 = - 1259 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 10 3 ( x ) 3 - 1259 3

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -2 ( 2x -4 ) 2 für die F(2) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -2 ( 2x -4 ) 2

F(x)= - 1 3 ( 2x -4 ) 3 + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= - 1 3 ⋅ ( 2⋅2 -4 ) 3 + c

= - 1 3 ⋅ ( 4 -4 ) 3 + c

= - 1 3 ⋅ 0 3 + c

= - 1 3 ⋅0 + c

= 0 + c

= c

wegen F(2) = 5 gilt:

0 + c = 5 |0

c= 5 +0 = 5

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 3 ( 2x -4 ) 3 +5