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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2x -2 .

Lösung einblenden

f(x)= 2x -2

F(x)= x 2 -2 · x

= x 2 -2x

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 x 2 .

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 2

= 2 x -2

=> F(x) = -2 x -1

F(x)= - 2 x

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - ( x -1 ) 3 -4x .

Lösung einblenden

f(x)= - ( x -1 ) 3 -4x

F(x)= - 1 4 ( x -1 ) 4 -2 x 2

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 2 - x für die F(-1) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 2 - x

F(x)= 5 3 x 3 - 1 2 x 2 + c

x=-1 in F(x) eingesetzt:

F(-1)= 5 3 ⋅ ( -1 ) 3 - 1 2 ⋅ ( -1 ) 2 + c

= 5 3 ⋅( -1 ) - 1 2 ⋅1 + c

= - 5 3 - 1 2 + c

= - 10 6 - 3 6 + c

= - 13 6 + c

wegen F(-1) = -4 gilt:

- 13 6 + c = -4 | + 13 6

c= -4 + 13 6 = - 24 6 + 13 6 = - 11 6

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 5 3 x 3 - 1 2 x 2 - 11 6

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 5 x 2 für die F(-4) = 1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 5 x 2

= -5 x -2

=> F(x) = 5 x -1

F(x)= 5 x + c

x=-4 in F(x) eingesetzt:

F(-4)= 5 ( -4 ) + c

= 5⋅( - 1 4 ) + c

= - 5 4 + c

wegen F(-4) = 1 gilt:

- 5 4 + c = 1 | + 5 4

c= 1 + 5 4 = 4 4 + 5 4 = 9 4

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 5 x + 9 4

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3⋅ sin( -2x + 3 2 π) für die F( 1 2 π ) = -3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -3⋅ sin( -2x + 3 2 π)

F(x)= - 3 2 ⋅ cos( -2x + 3 2 π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= - 3 2 ⋅ cos( -2⋅( 1 2 π ) + 3 2 π) + c

= - 3 2 ⋅ cos( 1 2 π) + c

= - 3 2 ⋅0 + c

= 0 + c

= c

wegen F( 1 2 π ) = -3 gilt:

0 + c = -3 |0

c= -3 +0 = -3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 3 2 ⋅ cos( -2x + 3 2 π) -3

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -5 x für die F(1) = -3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -5 x

= -5 x 1 2

=> F(x) = - 10 3 x 3 2

F(x)= - 10 3 ( x ) 3 + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= - 10 3 ( 1 ) 3 + c

= - 10 3 ⋅ 1 3 + c

= - 10 3 ⋅1 + c

= - 10 3 + c

wegen F(1) = -3 gilt:

- 10 3 + c = -3 | + 10 3

c= -3 + 10 3 = - 9 3 + 10 3 = 1 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 10 3 ( x ) 3 + 1 3

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= e -x +3 für die F(0) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= e -x +3

F(x)= - e -x +3 + c

x=0 in F(x) eingesetzt:

F(0)= - e -0 +3 + c

= - e 3 + c

wegen F(0) = -2 gilt:

- e 3 + c = -2 | + e 3

c= -2 + e 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - e -x +3 + e 3 -2