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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -5 x 2 -2x .

Lösung einblenden

f(x)= -5 x 2 -2x

F(x)= - 5 3 x 3 - x 2

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 1 x .

Lösung einblenden

f(x)= 1 x

= x - 1 2

=> F(x) = 2 x 1 2

F(x)= 2 x

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 ( 2x -4 ) 4 .

Lösung einblenden

f(x)= 3 ( 2x -4 ) 4

= 3 ( 2x -4 ) -4

=> F(x) = - 1 2 ( 2x -4 ) -3

F(x)= - 1 2 ( 2x -4 ) 3

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -2 x 3 -4 für die F(2) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -2 x 3 -4

F(x)= - 1 2 x 4 -4 · x + c

= - 1 2 x 4 -4x + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= - 1 2 ⋅ 2 4 -4 · 2 + c

= - 1 2 ⋅16 -8 + c

= -8 -8 + c

= -16 + c

wegen F(2) = -2 gilt:

-16 + c = -2 | +16

c= -2 +16 = 14

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 2 x 4 -4x +14

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 2 x 4 für die F(1) = 1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 2 x 4

= -2 x -4

=> F(x) = 2 3 x -3

F(x)= 2 3 x 3 + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= 2 3⋅ 1 3 + c

= 2 3 ⋅1 + c

= 2 3 + c

wegen F(1) = 1 gilt:

2 3 + c = 1 | - 2 3

c= 1 - 2 3 = 3 3 - 2 3 = 1 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 3 x 3 + 1 3

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 ( 3x -4 ) 3 für die F(2) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3 ( 3x -4 ) 3

= 3 ( 3x -4 ) -3

=> F(x) = - 1 2 ( 3x -4 ) -2

F(x)= - 1 2 ( 3x -4 ) 2 + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= - 1 2 ( 3⋅2 -4 ) 2 + c

= - 1 2 ( 6 -4 ) 2 + c

= - 1 2⋅ 2 2 + c

= - 1 2 ⋅( 1 4 ) + c

= - 1 8 + c

wegen F(2) = -2 gilt:

- 1 8 + c = -2 | + 1 8

c= -2 + 1 8 = - 16 8 + 1 8 = - 15 8

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 2 ( 3x -4 ) 2 - 15 8

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 4 für die F(-1) = 3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 4

= 5 x -4

=> F(x) = - 5 3 x -3

F(x)= - 5 3 x 3 + c

x=-1 in F(x) eingesetzt:

F(-1)= - 5 3 ( -1 ) 3 + c

= - 5 3 ⋅( -1 ) + c

= 5 3 + c

wegen F(-1) = 3 gilt:

5 3 + c = 3 | - 5 3

c= 3 - 5 3 = 9 3 - 5 3 = 4 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 5 3 x 3 + 4 3

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3⋅ cos( -x - π) für die F( 1 2 π ) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -3⋅ cos( -x - π)

F(x)= 3⋅ sin( -x - π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= 3⋅ sin( -( 1 2 π ) - π) + c

= 3⋅ sin( - 3 2 π) + c

= 3⋅1 + c

= 3 + c

wegen F( 1 2 π ) = -5 gilt:

3 + c = -5 | -3

c= -5 -3 = -8

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 3⋅ sin( -x - π) -8