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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 x 3 .

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 3

F(x)= 1 2 x 4

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 x 2 .

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 2

= 2 x -2

=> F(x) = -2 x -1

F(x)= - 2 x

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - sin( 2x + 1 2 π) .

Lösung einblenden

f(x)= - sin( 2x + 1 2 π)

F(x)= 1 2 cos( 2x + 1 2 π)

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 x 2 +2 für die F(-2) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 2 +2

F(x)= 2 3 x 3 + 2 · x + c

= 2 3 x 3 +2x + c

x=-2 in F(x) eingesetzt:

F(-2)= 2 3 ( -2 ) 3 + 2 · ( -2 ) + c

= 2 3 ( -8 ) -4 + c

= - 16 3 -4 + c

= - 16 3 - 12 3 + c

= - 28 3 + c

wegen F(-2) = -5 gilt:

- 28 3 + c = -5 | + 28 3

c= -5 + 28 3 = - 15 3 + 28 3 = 13 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 3 x 3 +2x + 13 3

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 4 x für die F(9) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 4 x

= 4 x 1 2

=> F(x) = 8 3 x 3 2

F(x)= 8 3 ( x ) 3 + c

x=9 in F(x) eingesetzt:

F(9)= 8 3 ( 9 ) 3 + c

= 8 3 3 3 + c

= 8 3 27 + c

= 72 + c

wegen F(9) = -4 gilt:

72 + c = -4 | -72

c= -4 -72 = -76

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 8 3 ( x ) 3 -76

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 x -3 für die F(19) = 4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2 x -3

= 2 ( x -3 ) - 1 2

=> F(x) = 4 ( x -3 ) 1 2

F(x)= 4 x -3 + c

x=19 in F(x) eingesetzt:

F(19)= 4 19 -3 + c

= 4 16 + c

= 44 + c

= 16 + c

wegen F(19) = 4 gilt:

16 + c = 4 | -16

c= 4 -16 = -12

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 4 x -3 -12

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 4 x 3 für die F(5) = 2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 4 x 3

= -4 x -3

=> F(x) = 2 x -2

F(x)= 2 x 2 + c

x=5 in F(x) eingesetzt:

F(5)= 2 5 2 + c

= 2( 1 25 ) + c

= 2 25 + c

wegen F(5) = 2 gilt:

2 25 + c = 2 | - 2 25

c= 2 - 2 25 = 50 25 - 2 25 = 48 25

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 x 2 + 48 25

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= ( -x +3 ) 2 +3 für die F(0) = 2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= ( -x +3 ) 2 +3

F(x)= - 1 3 ( -x +3 ) 3 + 3 · x + c

= - 1 3 ( -x +3 ) 3 +3x + c

x=0 in F(x) eingesetzt:

F(0)= - 1 3 ( -0 +3 ) 3 + 3 · 0 + c

= - 1 3 ( 0 +3 ) 3 +0 + c

= - 1 3 3 3 +0 + c

= - 1 3 27 +0 + c

= -9 +0 + c

= -9 + c

wegen F(0) = 2 gilt:

-9 + c = 2 | +9

c= 2 +9 = 11

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 3 ( -x +3 ) 3 +3x +11