nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2x -1 .

Lösung einblenden

f(x)= 2x -1

F(x)= x 2 -1 · x

= x 2 - x

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 4 x .

Lösung einblenden

f(x)= 4 x

= 4 x 1 2

=> F(x) = 8 3 x 3 2

F(x)= 8 3 ( x ) 3

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2⋅ sin( 2x - 1 2 π) .

Lösung einblenden

f(x)= 2⋅ sin( 2x - 1 2 π)

F(x)= - cos( 2x - 1 2 π)

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -5 x 2 -4x für die F(-3) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -5 x 2 -4x

F(x)= - 5 3 x 3 -2 x 2 + c

x=-3 in F(x) eingesetzt:

F(-3)= - 5 3 ⋅ ( -3 ) 3 -2⋅ ( -3 ) 2 + c

= - 5 3 ⋅( -27 ) -2⋅9 + c

= 45 -18 + c

= 27 + c

wegen F(-3) = -2 gilt:

27 + c = -2 | -27

c= -2 -27 = -29

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 5 3 x 3 -2 x 2 -29

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 5 x 3 für die F(3) = 2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 5 x 3

= -5 x -3

=> F(x) = 5 2 x -2

F(x)= 5 2 x 2 + c

x=3 in F(x) eingesetzt:

F(3)= 5 2⋅ 3 2 + c

= 5 2 ⋅( 1 9 ) + c

= 5 18 + c

wegen F(3) = 2 gilt:

5 18 + c = 2 | - 5 18

c= 2 - 5 18 = 36 18 - 5 18 = 31 18

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 5 2 x 2 + 31 18

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3⋅ sin( 2x + π) für die F( 1 2 π ) = 1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -3⋅ sin( 2x + π)

F(x)= 3 2 ⋅ cos( 2x + π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= 3 2 ⋅ cos( 2⋅( 1 2 π ) + π) + c

= 3 2 ⋅ cos(2π) + c

= 3 2 ⋅1 + c

= 3 2 + c

wegen F( 1 2 π ) = 1 gilt:

3 2 + c = 1 | - 3 2

c= 1 - 3 2 = 2 2 - 3 2 = - 1 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 3 2 ⋅ cos( 2x + π) - 1 2

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 x 4 für die F(-1) = 2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 4

= 2 x -4

=> F(x) = - 2 3 x -3

F(x)= - 2 3 x 3 + c

x=-1 in F(x) eingesetzt:

F(-1)= - 2 3 ( -1 ) 3 + c

= - 2 3 ⋅( -1 ) + c

= 2 3 + c

wegen F(-1) = 2 gilt:

2 3 + c = 2 | - 2 3

c= 2 - 2 3 = 6 3 - 2 3 = 4 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 2 3 x 3 + 4 3

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -2⋅ sin( 3x + 1 2 π) für die F( 0 ) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -2⋅ sin( 3x + 1 2 π)

F(x)= 2 3 ⋅ cos( 3x + 1 2 π) + c

x= 0 in F(x) eingesetzt:

F( 0 )= 2 3 ⋅ cos( 3⋅( 0 ) + 1 2 π) + c

= 2 3 ⋅ cos( 1 2 π) + c

= 2 3 ⋅0 + c

= 0 + c

= c

wegen F( 0 ) = 5 gilt:

0 + c = 5 |0

c= 5 +0 = 5

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 3 ⋅ cos( 3x + 1 2 π) +5