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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3x +4 .

Lösung einblenden

f(x)= 3x +4

F(x)= 3 2 x 2 + 4 · x

= 3 2 x 2 +4x

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 1 x 4 .

Lösung einblenden

f(x)= 1 x 4

= x -4

=> F(x) = - 1 3 x -3

F(x)= - 1 3 x 3

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= ( x -3 ) 3 .

Lösung einblenden

f(x)= ( x -3 ) 3

F(x)= 1 4 ( x -3 ) 4

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 3 für die F(-3) = -3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 3

F(x)= 5 4 x 4 + c

x=-3 in F(x) eingesetzt:

F(-3)= 5 4 ( -3 ) 4 + c

= 5 4 81 + c

= 405 4 + c

wegen F(-3) = -3 gilt:

405 4 + c = -3 | - 405 4

c= -3 - 405 4 = - 12 4 - 405 4 = - 417 4

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 5 4 x 4 - 417 4

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 3 für die F(-4) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 3

= 5 x -3

=> F(x) = - 5 2 x -2

F(x)= - 5 2 x 2 + c

x=-4 in F(x) eingesetzt:

F(-4)= - 5 2 ( -4 ) 2 + c

= - 5 2 ( 1 16 ) + c

= - 5 32 + c

wegen F(-4) = -5 gilt:

- 5 32 + c = -5 | + 5 32

c= -5 + 5 32 = - 160 32 + 5 32 = - 155 32

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 5 2 x 2 - 155 32

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - ( -3x +7 ) 3 für die F(0) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - ( -3x +7 ) 3

F(x)= 1 12 ( -3x +7 ) 4 + c

x=0 in F(x) eingesetzt:

F(0)= 1 12 ( -30 +7 ) 4 + c

= 1 12 ( 0 +7 ) 4 + c

= 1 12 7 4 + c

= 1 12 2401 + c

= 2401 12 + c

wegen F(0) = -4 gilt:

2401 12 + c = -4 | - 2401 12

c= -4 - 2401 12 = - 48 12 - 2401 12 = - 2449 12

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 12 ( -3x +7 ) 4 - 2449 12

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 x 2 für die F(-2) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3 x 2

= 3 x -2

=> F(x) = -3 x -1

F(x)= - 3 x + c

x=-2 in F(x) eingesetzt:

F(-2)= - 3 ( -2 ) + c

= -3( - 1 2 ) + c

= 3 2 + c

wegen F(-2) = -2 gilt:

3 2 + c = -2 | - 3 2

c= -2 - 3 2 = - 4 2 - 3 2 = - 7 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 3 x - 7 2

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 3x -7 für die F( 16 3 ) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2 3x -7

= 2 ( 3x -7 ) 1 2

=> F(x) = 4 9 ( 3x -7 ) 3 2

F(x)= 4 9 ( 3x -7 ) 3 + c

x= 16 3 in F(x) eingesetzt:

F( 16 3 )= 4 9 ( 3( 16 3 ) -7 ) 3 + c

= 4 9 ( 16 -7 ) 3 + c

= 4 9 ( 9 ) 3 + c

= 4 9 3 3 + c

= 4 9 27 + c

= 12 + c

wegen F( 16 3 ) = -2 gilt:

12 + c = -2 | -12

c= -2 -12 = -14

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 4 9 ( 3x -7 ) 3 -14