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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -4x .

Lösung einblenden

f(x)= -4x

F(x)= -2 x 2

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 4 x 3 .

Lösung einblenden

f(x)= 4 x 3

= 4 x -3

=> F(x) = -2 x -2

F(x)= - 2 x 2

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 1 ( x -3 ) 3 .

Lösung einblenden

f(x)= - 1 ( x -3 ) 3

= - ( x -3 ) -3

=> F(x) = 1 2 ( x -3 ) -2

F(x)= 1 2 ( x -3 ) 2

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x 3 + x für die F(2) = 2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= x 3 + x

F(x)= 1 4 x 4 + 1 2 x 2 + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= 1 4 ⋅ 2 4 + 1 2 ⋅ 2 2 + c

= 1 4 ⋅16 + 1 2 ⋅4 + c

= 4 +2 + c

= 6 + c

wegen F(2) = 2 gilt:

6 + c = 2 | -6

c= 2 -6 = -4

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 4 x 4 + 1 2 x 2 -4

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 4 x 2 für die F(2) = 1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 4 x 2

= -4 x -2

=> F(x) = 4 x -1

F(x)= 4 x + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= 4 2 + c

= 4⋅( 1 2 ) + c

= 2 + c

wegen F(2) = 1 gilt:

2 + c = 1 | -2

c= 1 -2 = -1

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 4 x -1

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 ( -2x +1 ) 2 für die F(0) = 2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2 ( -2x +1 ) 2

F(x)= - 1 3 ( -2x +1 ) 3 + c

x=0 in F(x) eingesetzt:

F(0)= - 1 3 ⋅ ( -2⋅0 +1 ) 3 + c

= - 1 3 ⋅ ( 0 +1 ) 3 + c

= - 1 3 ⋅ 1 3 + c

= - 1 3 ⋅1 + c

= - 1 3 + c

wegen F(0) = 2 gilt:

- 1 3 + c = 2 | + 1 3

c= 2 + 1 3 = 6 3 + 1 3 = 7 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 3 ( -2x +1 ) 3 + 7 3

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 1 x für die F(1) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 1 x

= x - 1 2

=> F(x) = 2 x 1 2

F(x)= 2 x + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= 2 1 + c

= 2⋅1 + c

= 2 + c

wegen F(1) = 5 gilt:

2 + c = 5 | -2

c= 5 -2 = 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 x +3

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2⋅ cos( 3x - 3 2 π) für die F( 1 2 π ) = 1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2⋅ cos( 3x - 3 2 π)

F(x)= 2 3 ⋅ sin( 3x - 3 2 π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= 2 3 ⋅ sin( 3⋅( 1 2 π ) - 3 2 π) + c

= 2 3 ⋅ sin(0) + c

= 2 3 ⋅0 + c

= 0 + c

= c

wegen F( 1 2 π ) = 1 gilt:

0 + c = 1 |0

c= 1 +0 = 1

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 3 ⋅ sin( 3x - 3 2 π) +1