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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3 x 3 +3 x 2 .

Lösung einblenden

f(x)= -3 x 3 +3 x 2

F(x)= - 3 4 x 4 + x 3

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 4 x 2 .

Lösung einblenden

f(x)= - 4 x 2

= -4 x -2

=> F(x) = 4 x -1

F(x)= 4 x

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3 ( -x +2 ) 2 +5 .

Lösung einblenden

f(x)= -3 ( -x +2 ) 2 +5

F(x)= ( -x +2 ) 3 + 5 · x

= ( -x +2 ) 3 +5x

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 3 +2 für die F(-1) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 3 +2

F(x)= 5 4 x 4 + 2 · x + c

= 5 4 x 4 +2x + c

x=-1 in F(x) eingesetzt:

F(-1)= 5 4 ⋅ ( -1 ) 4 + 2 · ( -1 ) + c

= 5 4 ⋅1 -2 + c

= 5 4 -2 + c

= 5 4 - 8 4 + c

= - 3 4 + c

wegen F(-1) = 5 gilt:

- 3 4 + c = 5 | + 3 4

c= 5 + 3 4 = 20 4 + 3 4 = 23 4

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 5 4 x 4 +2x + 23 4

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 5 x 2 für die F(-5) = 4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 5 x 2

= -5 x -2

=> F(x) = 5 x -1

F(x)= 5 x + c

x=-5 in F(x) eingesetzt:

F(-5)= 5 ( -5 ) + c

= 5⋅( - 1 5 ) + c

= -1 + c

wegen F(-5) = 4 gilt:

-1 + c = 4 | +1

c= 4 +1 = 5

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 5 x +5

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 2 ( 3x -4 ) 3 für die F(2) = -1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 2 ( 3x -4 ) 3

= -2 ( 3x -4 ) -3

=> F(x) = 1 3 ( 3x -4 ) -2

F(x)= 1 3 ( 3x -4 ) 2 + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= 1 3 ( 3⋅2 -4 ) 2 + c

= 1 3 ( 6 -4 ) 2 + c

= 1 3⋅ 2 2 + c

= 1 3 ⋅( 1 4 ) + c

= 1 12 + c

wegen F(2) = -1 gilt:

1 12 + c = -1 | - 1 12

c= -1 - 1 12 = - 12 12 - 1 12 = - 13 12

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 3 ( 3x -4 ) 2 - 13 12

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -5 x für die F(25) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -5 x

= -5 x 1 2

=> F(x) = - 10 3 x 3 2

F(x)= - 10 3 ( x ) 3 + c

x=25 in F(x) eingesetzt:

F(25)= - 10 3 ( 25 ) 3 + c

= - 10 3 ⋅ 5 3 + c

= - 10 3 ⋅125 + c

= - 1250 3 + c

wegen F(25) = -2 gilt:

- 1250 3 + c = -2 | + 1250 3

c= -2 + 1250 3 = - 6 3 + 1250 3 = 1244 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 10 3 ( x ) 3 + 1244 3

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3⋅ sin( -x + π) für die F( 1 2 π ) = -1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -3⋅ sin( -x + π)

F(x)= -3⋅ cos( -x + π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= -3⋅ cos( -( 1 2 π ) + π) + c

= -3⋅ cos( 1 2 π) + c

= -3⋅0 + c

= 0 + c

= c

wegen F( 1 2 π ) = -1 gilt:

0 + c = -1 |0

c= -1 +0 = -1

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= -3⋅ cos( -x + π) -1