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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -4 x 3 +5 .

Lösung einblenden

f(x)= -4 x 3 +5

F(x)= - x 4 + 5 · x

= - x 4 +5x

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -4 x .

Lösung einblenden

f(x)= -4 x

= -4 x 1 2

=> F(x) = - 8 3 x 3 2

F(x)= - 8 3 ( x ) 3

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 ( 3x -5 ) 2 .

Lösung einblenden

f(x)= 2 ( 3x -5 ) 2

F(x)= 2 9 ( 3x -5 ) 3

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x +3 für die F(-1) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= x +3

F(x)= 1 2 x 2 + 3 · x + c

= 1 2 x 2 +3x + c

x=-1 in F(x) eingesetzt:

F(-1)= 1 2 ⋅ ( -1 ) 2 + 3 · ( -1 ) + c

= 1 2 ⋅1 -3 + c

= 1 2 -3 + c

= 1 2 - 6 2 + c

= - 5 2 + c

wegen F(-1) = -2 gilt:

- 5 2 + c = -2 | + 5 2

c= -2 + 5 2 = - 4 2 + 5 2 = 1 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 2 x 2 +3x + 1 2

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 1 x 4 für die F(-1) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 1 x 4

= x -4

=> F(x) = - 1 3 x -3

F(x)= - 1 3 x 3 + c

x=-1 in F(x) eingesetzt:

F(-1)= - 1 3 ( -1 ) 3 + c

= - 1 3 ⋅( -1 ) + c

= 1 3 + c

wegen F(-1) = -4 gilt:

1 3 + c = -4 | - 1 3

c= -4 - 1 3 = - 12 3 - 1 3 = - 13 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 3 x 3 - 13 3

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= ( -x +3 ) 2 -2x für die F(2) = 2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= ( -x +3 ) 2 -2x

F(x)= - 1 3 ( -x +3 ) 3 - x 2 + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= - 1 3 ⋅ ( -2 +3 ) 3 - 2 2 + c

= - 1 3 ⋅ 1 3 - 4 + c

= - 1 3 ⋅1 -4 + c

= - 1 3 -4 + c

= - 1 3 - 12 3 + c

= - 13 3 + c

wegen F(2) = 2 gilt:

- 13 3 + c = 2 | + 13 3

c= 2 + 13 3 = 6 3 + 13 3 = 19 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 3 ( -x +3 ) 3 - x 2 + 19 3

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 4 x 2 für die F(-1) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 4 x 2

= 4 x -2

=> F(x) = -4 x -1

F(x)= - 4 x + c

x=-1 in F(x) eingesetzt:

F(-1)= - 4 ( -1 ) + c

= -4⋅( -1 ) + c

= 4 + c

wegen F(-1) = -5 gilt:

4 + c = -5 | -4

c= -5 -4 = -9

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 4 x -9

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -2⋅ cos( -2x - π) für die F( 1 2 π ) = 4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -2⋅ cos( -2x - π)

F(x)= sin( -2x - π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= sin( -2⋅( 1 2 π ) - π) + c

= sin(-2π) + c

= 0 + c

= c

wegen F( 1 2 π ) = 4 gilt:

0 + c = 4 |0

c= 4 +0 = 4

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= sin( -2x - π) +4