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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3 x 3 .

Lösung einblenden

f(x)= -3 x 3

F(x)= - 3 4 x 4

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 3 x 2 .

Lösung einblenden

f(x)= - 3 x 2

= -3 x -2

=> F(x) = 3 x -1

F(x)= 3 x

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 3x -7 .

Lösung einblenden

f(x)= 3 3x -7

= 3 ( 3x -7 ) - 1 2

=> F(x) = 2 ( 3x -7 ) 1 2

F(x)= 2 3x -7

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -4 x 2 + x für die F(-1) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -4 x 2 + x

F(x)= - 4 3 x 3 + 1 2 x 2 + c

x=-1 in F(x) eingesetzt:

F(-1)= - 4 3 ⋅ ( -1 ) 3 + 1 2 ⋅ ( -1 ) 2 + c

= - 4 3 ⋅( -1 ) + 1 2 ⋅1 + c

= 4 3 + 1 2 + c

= 8 6 + 3 6 + c

= 11 6 + c

wegen F(-1) = -4 gilt:

11 6 + c = -4 | - 11 6

c= -4 - 11 6 = - 24 6 - 11 6 = - 35 6

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 4 3 x 3 + 1 2 x 2 - 35 6

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 x für die F(16) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2 x

= 2 x - 1 2

=> F(x) = 4 x 1 2

F(x)= 4 x + c

x=16 in F(x) eingesetzt:

F(16)= 4 16 + c

= 4⋅4 + c

= 16 + c

wegen F(16) = 5 gilt:

16 + c = 5 | -16

c= 5 -16 = -11

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 4 x -11

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2⋅ cos( x + 1 2 π) für die F( 1 2 π ) = 4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2⋅ cos( x + 1 2 π)

F(x)= 2⋅ sin( x + 1 2 π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= 2⋅ sin( 1 2 π + 1 2 π) + c

= 2⋅ sin(π) + c

= 2⋅0 + c

= 0 + c

= c

wegen F( 1 2 π ) = 4 gilt:

0 + c = 4 |0

c= 4 +0 = 4

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2⋅ sin( x + 1 2 π) +4

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x für die F(1) = -1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x

= 5 x - 1 2

=> F(x) = 10 x 1 2

F(x)= 10 x + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= 10 1 + c

= 10⋅1 + c

= 10 + c

wegen F(1) = -1 gilt:

10 + c = -1 | -10

c= -1 -10 = -11

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 10 x -11

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= cos( -3x - 1 2 π) für die F( 1 2 π ) = -1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= cos( -3x - 1 2 π)

F(x)= - 1 3 ⋅ sin( -3x - 1 2 π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= - 1 3 ⋅ sin( -3⋅( 1 2 π ) - 1 2 π) + c

= - 1 3 ⋅ sin(-2π) + c

= - 1 3 ⋅0 + c

= 0 + c

= c

wegen F( 1 2 π ) = -1 gilt:

0 + c = -1 |0

c= -1 +0 = -1

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 3 ⋅ sin( -3x - 1 2 π) -1