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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 3 x$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} - 3 x$

$F(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2}$

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}}$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}}$

= $- x^{- 2}$

=> F(x) = $x^{- 1}$

$F(x) =$ $\frac{1}{x}$

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $\sin (- x - \frac{1}{2} π)$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (- x - \frac{1}{2} π)$

$F(x) =$ $\cos (- x - \frac{1}{2} π)$

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 4$ für die F(3) = 4 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} - 4$

$F(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - 4 \cdot x + c$

= $\frac{1}{2} x^{4} - 4 x + c$

x=3 in F(x) eingesetzt:

$F(3) =$ $\frac{1}{2} \cdot 3^{4} - 4 \cdot 3 + c$

= $\frac{1}{2} \cdot 81 - 12 + c$

= $\frac{81}{2} - 12 + c$

= $\frac{81}{2} - \frac{24}{2} + c$

= $\frac{57}{2} + c$

wegen F(3) = 4 gilt:

$\frac{57}{2}$ + c = 4 | $- \frac{57}{2}$

c =

4 - \frac{57}{2}

=

\frac{8}{2} - \frac{57}{2}

=

- \frac{49}{2}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - 4 x - \frac{49}{2}$

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- 5 \sqrt{x}$ für die F(4) = 1 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \sqrt{x}$

= $- 5 x^{\frac{1}{2}}$

=> F(x) = $- \frac{10}{3} x^{\frac{3}{2}}$

$F(x) =$ $- \frac{10}{3} {(\sqrt{x})}^{3} + c$

x=4 in F(x) eingesetzt:

$F(4) =$ $- \frac{10}{3} {(\sqrt{4})}^{3} + c$

= $- \frac{10}{3} \cdot 2^{3} + c$

= $- \frac{10}{3} \cdot 8 + c$

= $- \frac{80}{3} + c$

wegen F(4) = 1 gilt:

$- \frac{80}{3}$ + c = 1 | $+ \frac{80}{3}$

c =

1 + \frac{80}{3}

=

\frac{3}{3} + \frac{80}{3}

=

\frac{83}{3}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $- \frac{10}{3} {(\sqrt{x})}^{3} + \frac{83}{3}$

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$ für die F(3) = 3 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$

= $3 {(x - 1)}^{- 2}$

=> F(x) = $- 3 {(x - 1)}^{- 1}$

$F(x) =$ $- \frac{3}{x - 1} + c$

x=3 in F(x) eingesetzt:

$F(3) =$ $- \frac{3}{3 - 1} + c$

= $- \frac{3}{2} + c$

= $- 3 \cdot (\frac{1}{2}) + c$

= $- \frac{3}{2} + c$

wegen F(3) = 3 gilt:

$- \frac{3}{2}$ + c = 3 | $+ \frac{3}{2}$

c =

3 + \frac{3}{2}

=

\frac{6}{2} + \frac{3}{2}

=

\frac{9}{2}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $- \frac{3}{x - 1} + \frac{9}{2}$

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{x}$ für die F(4) = -4 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{x}$

= $5 x^{- 1}$

$F(x) =$ $5 \ln (| x |) + c$

x=4 in F(x) eingesetzt:

$F(4) =$ $5 \ln (| 4 |) + c$

wegen F(4) = -4 gilt:

$5 \ln (4)$ + c = -4 | $- 5 \ln (4)$

c =

- 4 - 5 \ln (4)

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $5 \ln (| x |) - 5 \ln (4) - 4$

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ ${(3 x - 7)}^{2} - 5 x$ für die F(0) = 3 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(3 x - 7)}^{2} - 5 x$

$F(x) =$ $\frac{1}{9} {(3 x - 7)}^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + c$

x=0 in F(x) eingesetzt:

$F(0) =$ $\frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 7)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot 0^{2} + c$

= $\frac{1}{9} \cdot {(0 - 7)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot 0 + c$

= $\frac{1}{9} \cdot {(- 7)}^{3} + 0 + c$

= $\frac{1}{9} \cdot (- 343) + 0 + c$

= $- \frac{343}{9} + 0 + c$

= $- \frac{343}{9} + c$

wegen F(0) = 3 gilt:

$- \frac{343}{9}$ + c = 3 | $+ \frac{343}{9}$

c =

3 + \frac{343}{9}

=

\frac{27}{9} + \frac{343}{9}

=

\frac{370}{9}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $\frac{1}{9} {(3 x - 7)}^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + \frac{370}{9}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

best. Stammfunktion (einfach)

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

best. Stammfktn (verkettet) BF

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

best. Stammfunktionen (verkettet)