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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 x 2 .

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 2

F(x)= 2 3 x 3

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 x 3 .

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 3

= 2 x -3

=> F(x) = - x -2

F(x)= - 1 x 2

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 ( -x +1 ) 3 .

Lösung einblenden

f(x)= 2 ( -x +1 ) 3

= 2 ( -x +1 ) -3

=> F(x) = ( -x +1 ) -2

F(x)= 1 ( -x +1 ) 2

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 4x +5 für die F(-2) = 4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 4x +5

F(x)= 2 x 2 + 5 · x + c

= 2 x 2 +5x + c

x=-2 in F(x) eingesetzt:

F(-2)= 2 ( -2 ) 2 + 5 · ( -2 ) + c

= 24 -10 + c

= 8 -10 + c

= -2 + c

wegen F(-2) = 4 gilt:

-2 + c = 4 | +2

c= 4 +2 = 6

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 x 2 +5x +6

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 x 2 für die F(1) = 4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3 x 2

= 3 x -2

=> F(x) = -3 x -1

F(x)= - 3 x + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= - 3 1 + c

= -31 + c

= -3 + c

wegen F(1) = 4 gilt:

-3 + c = 4 | +3

c= 4 +3 = 7

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 3 x +7

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -2 -x +1 für die F(-24) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -2 -x +1

= -2 ( -x +1 ) 1 2

=> F(x) = 4 3 ( -x +1 ) 3 2

F(x)= 4 3 ( -x +1 ) 3 + c

x=-24 in F(x) eingesetzt:

F(-24)= 4 3 ( -( -24 ) +1 ) 3 + c

= 4 3 ( 24 +1 ) 3 + c

= 4 3 ( 25 ) 3 + c

= 4 3 5 3 + c

= 4 3 125 + c

= 500 3 + c

wegen F(-24) = -4 gilt:

500 3 + c = -4 | - 500 3

c= -4 - 500 3 = - 12 3 - 500 3 = - 512 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 4 3 ( -x +1 ) 3 - 512 3

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x für die F(4) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= x

= x 1 2

=> F(x) = 2 3 x 3 2

F(x)= 2 3 ( x ) 3 + c

x=4 in F(x) eingesetzt:

F(4)= 2 3 ( 4 ) 3 + c

= 2 3 2 3 + c

= 2 3 8 + c

= 16 3 + c

wegen F(4) = -5 gilt:

16 3 + c = -5 | - 16 3

c= -5 - 16 3 = - 15 3 - 16 3 = - 31 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 3 ( x ) 3 - 31 3

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 2 ( 3x -5 ) 2 für die F(3) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 2 ( 3x -5 ) 2

= -2 ( 3x -5 ) -2

=> F(x) = 2 3 ( 3x -5 ) -1

F(x)= 2 3( 3x -5 ) + c

x=3 in F(x) eingesetzt:

F(3)= 2 3( 33 -5 ) + c

= 2 3( 9 -5 ) + c

= 2 3 4 + c

= 2 3 ( 1 4 ) + c

= 1 6 + c

wegen F(3) = -5 gilt:

1 6 + c = -5 | - 1 6

c= -5 - 1 6 = - 30 6 - 1 6 = - 31 6

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 3( 3x -5 ) - 31 6