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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -5 x 3 -4 .

Lösung einblenden

f(x)= -5 x 3 -4

F(x)= - 5 4 x 4 -4 · x

= - 5 4 x 4 -4x

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 3 x .

Lösung einblenden

f(x)= - 3 x

= -3 x - 1 2

=> F(x) = -6 x 1 2

F(x)= -6 x

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 ( 3x -5 ) 2 .

Lösung einblenden

f(x)= 3 ( 3x -5 ) 2

F(x)= 1 3 ( 3x -5 ) 3

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 3 +4x für die F(1) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 3 +4x

F(x)= 5 4 x 4 +2 x 2 + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= 5 4 ⋅ 1 4 +2⋅ 1 2 + c

= 5 4 ⋅1 +2⋅1 + c

= 5 4 +2 + c

= 5 4 + 8 4 + c

= 13 4 + c

wegen F(1) = -5 gilt:

13 4 + c = -5 | - 13 4

c= -5 - 13 4 = - 20 4 - 13 4 = - 33 4

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 5 4 x 4 +2 x 2 - 33 4

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 2 für die F(-3) = -3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 2

= 5 x -2

=> F(x) = -5 x -1

F(x)= - 5 x + c

x=-3 in F(x) eingesetzt:

F(-3)= - 5 ( -3 ) + c

= -5⋅( - 1 3 ) + c

= 5 3 + c

wegen F(-3) = -3 gilt:

5 3 + c = -3 | - 5 3

c= -3 - 5 3 = - 9 3 - 5 3 = - 14 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 5 x - 14 3

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3 e -2x +3 für die F(2) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -3 e -2x +3

F(x)= 3 2 e -2x +3 + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= 3 2 e -2⋅2 +3 + c

= 3 2 e -4 +3 + c

= 3 2 e -1 + c

wegen F(2) = 5 gilt:

3 2 e -1 + c = 5 | - 3 2 e -1

c= 5 - 3 2 e -1

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 3 2 e -2x +3 - 3 2 e -1 +5

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -4 x für die F(25) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -4 x

= -4 x 1 2

=> F(x) = - 8 3 x 3 2

F(x)= - 8 3 ( x ) 3 + c

x=25 in F(x) eingesetzt:

F(25)= - 8 3 ( 25 ) 3 + c

= - 8 3 ⋅ 5 3 + c

= - 8 3 ⋅125 + c

= - 1000 3 + c

wegen F(25) = 5 gilt:

- 1000 3 + c = 5 | + 1000 3

c= 5 + 1000 3 = 15 3 + 1000 3 = 1015 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 8 3 ( x ) 3 + 1015 3

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - cos( 2x + π) für die F( 1 2 π ) = 3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - cos( 2x + π)

F(x)= - 1 2 ⋅ sin( 2x + π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= - 1 2 ⋅ sin( 2⋅( 1 2 π ) + π) + c

= - 1 2 ⋅ sin(2π) + c

= - 1 2 ⋅0 + c

= 0 + c

= c

wegen F( 1 2 π ) = 3 gilt:

0 + c = 3 |0

c= 3 +0 = 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 2 ⋅ sin( 2x + π) +3