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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $2 x + 4$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x + 4$

$F(x) =$ $x^{2} + 4 \cdot x$

= $x^{2} + 4 x$

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x^{2}}$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{x^{2}}$

= $- 2 x^{- 2}$

=> F(x) = $2 x^{- 1}$

$F(x) =$ $\frac{2}{x}$

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 3}$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 3}$

$F(x) =$ $e^{- 2 x + 3}$

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} + 5 x$ für die F(1) = -1 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3} + 5 x$

$F(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + \frac{5}{2} x^{2} + c$

x=1 in F(x) eingesetzt:

$F(1) =$ $\frac{3}{4} \cdot 1^{4} + \frac{5}{2} \cdot 1^{2} + c$

= $\frac{3}{4} \cdot 1 + \frac{5}{2} \cdot 1 + c$

= $\frac{3}{4} + \frac{5}{2} + c$

= $\frac{3}{4} + \frac{10}{4} + c$

= $\frac{13}{4} + c$

wegen F(1) = -1 gilt:

$\frac{13}{4}$ + c = -1 | $- \frac{13}{4}$

c =

- 1 - \frac{13}{4}

=

- \frac{4}{4} - \frac{13}{4}

=

- \frac{17}{4}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + \frac{5}{2} x^{2} - \frac{17}{4}$

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{x^{3}}$ für die F(-1) = -2 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{x^{3}}$

= $3 x^{- 3}$

=> F(x) = $- \frac{3}{2} x^{- 2}$

$F(x) =$ $- \frac{3}{2 x^{2}} + c$

x=-1 in F(x) eingesetzt:

$F(-1) =$ $- \frac{3}{2 {(- 1)}^{2}} + c$

= $- \frac{3}{2} \cdot 1 + c$

= $- \frac{3}{2} + c$

wegen F(-1) = -2 gilt:

$- \frac{3}{2}$ + c = -2 | $+ \frac{3}{2}$

c =

- 2 + \frac{3}{2}

=

- \frac{4}{2} + \frac{3}{2}

=

- \frac{1}{2}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $- \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{1}{2}$

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{{(3 x - 5)}^{4}}$ für die F(2) = 3 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{{(3 x - 5)}^{4}}$

= $- 3 {(3 x - 5)}^{- 4}$

=> F(x) = $\frac{1}{3} {(3 x - 5)}^{- 3}$

$F(x) =$ $\frac{1}{3 {(3 x - 5)}^{3}} + c$

x=2 in F(x) eingesetzt:

$F(2) =$ $\frac{1}{3 {(3 \cdot 2 - 5)}^{3}} + c$

= $\frac{1}{3 {(6 - 5)}^{3}} + c$

= $\frac{1}{3 \cdot 1^{3}} + c$

= $\frac{1}{3} \cdot 1 + c$

= $\frac{1}{3} + c$

wegen F(2) = 3 gilt:

$\frac{1}{3}$ + c = 3 | $- \frac{1}{3}$

c =

3 - \frac{1}{3}

=

\frac{9}{3} - \frac{1}{3}

=

\frac{8}{3}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $\frac{1}{3 {(3 x - 5)}^{3}} + \frac{8}{3}$

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{\sqrt{x}}$ für die F(16) = -4 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{\sqrt{x}}$

= $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$

=> F(x) = $- 4 x^{\frac{1}{2}}$

$F(x) =$ $- 4 \sqrt{x} + c$

x=16 in F(x) eingesetzt:

$F(16) =$ $- 4 \sqrt{16} + c$

= $- 4 \cdot 4 + c$

= $- 16 + c$

wegen F(16) = -4 gilt:

$- 16$ + c = -4 | $+ 16$

c =

- 4 + 16

=

12

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $- 4 \sqrt{x} + 12$

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{3 x - 6}$ für die F( $\frac{22}{3}$ ) = -1 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{3 x - 6}$

= $- 3 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}}$

=> F(x) = $- \frac{2}{3} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$

$F(x) =$ $- \frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3} + c$

x= $\frac{22}{3}$ in F(x) eingesetzt:

$F(\frac{22}{3}) =$ $- \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6})}^{3} + c$

= $- \frac{2}{3} {(\sqrt{22 - 6})}^{3} + c$

= $- \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3} + c$

= $- \frac{2}{3} \cdot 4^{3} + c$

= $- \frac{2}{3} \cdot 64 + c$

= $- \frac{128}{3} + c$

wegen F( $\frac{22}{3}$ ) = -1 gilt:

$- \frac{128}{3}$ + c = -1 | $+ \frac{128}{3}$

c =

- 1 + \frac{128}{3}

=

- \frac{3}{3} + \frac{128}{3}

=

\frac{125}{3}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $- \frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3} + \frac{125}{3}$

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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

best. Stammfunktion (einfach)

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

best. Stammfktn (verkettet) BF

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

best. Stammfunktionen (verkettet)