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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x 2 -3x .

Lösung einblenden

f(x)= x 2 -3x

F(x)= 1 3 x 3 - 3 2 x 2

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 x .

Lösung einblenden

f(x)= 2 x

= 2 x - 1 2

=> F(x) = 4 x 1 2

F(x)= 4 x

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 ( -x +2 ) 4 .

Lösung einblenden

f(x)= 2 ( -x +2 ) 4

= 2 ( -x +2 ) -4

=> F(x) = 2 3 ( -x +2 ) -3

F(x)= 2 3 ( -x +2 ) 3

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -5 x 2 -4 für die F(-3) = 1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -5 x 2 -4

F(x)= - 5 3 x 3 -4 · x + c

= - 5 3 x 3 -4x + c

x=-3 in F(x) eingesetzt:

F(-3)= - 5 3 ( -3 ) 3 -4 · ( -3 ) + c

= - 5 3 ( -27 ) +12 + c

= 45 +12 + c

= 57 + c

wegen F(-3) = 1 gilt:

57 + c = 1 | -57

c= 1 -57 = -56

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 5 3 x 3 -4x -56

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 2 x 3 für die F(-1) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 2 x 3

= -2 x -3

=> F(x) = x -2

F(x)= 1 x 2 + c

x=-1 in F(x) eingesetzt:

F(-1)= 1 ( -1 ) 2 + c

= 1 + c

wegen F(-1) = -4 gilt:

1 + c = -4 | -1

c= -4 -1 = -5

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 x 2 -5

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3 ( x -1 ) 2 -3 für die F(0) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -3 ( x -1 ) 2 -3

F(x)= - ( x -1 ) 3 -3 · x + c

= - ( x -1 ) 3 -3x + c

x=0 in F(x) eingesetzt:

F(0)= - ( 0 -1 ) 3 -3 · 0 + c

= - ( -1 ) 3 +0 + c

= -( -1 ) +0 + c

= 1 +0 + c

= 1 + c

wegen F(0) = -5 gilt:

1 + c = -5 | -1

c= -5 -1 = -6

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - ( x -1 ) 3 -3x -6

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 x 4 für die F(-2) = 3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 4

= 2 x -4

=> F(x) = - 2 3 x -3

F(x)= - 2 3 x 3 + c

x=-2 in F(x) eingesetzt:

F(-2)= - 2 3 ( -2 ) 3 + c

= - 2 3 ( - 1 8 ) + c

= 1 12 + c

wegen F(-2) = 3 gilt:

1 12 + c = 3 | - 1 12

c= 3 - 1 12 = 36 12 - 1 12 = 35 12

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 2 3 x 3 + 35 12

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -2 sin( -3x - π) für die F( 1 2 π ) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -2 sin( -3x - π)

F(x)= - 2 3 cos( -3x - π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= - 2 3 cos( -3( 1 2 π ) - π) + c

= - 2 3 cos( - 5 2 π) + c

= - 2 3 0 + c

= 0 + c

= c

wegen F( 1 2 π ) = -2 gilt:

0 + c = -2 |0

c= -2 +0 = -2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 2 3 cos( -3x - π) -2