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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3x -3 .

Lösung einblenden

f(x)= -3x -3

F(x)= - 3 2 x 2 -3 · x

= - 3 2 x 2 -3x

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 2 x .

Lösung einblenden

f(x)= - 2 x

= -2 x - 1 2

=> F(x) = -4 x 1 2

F(x)= -4 x

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 3 ( 2x -4 ) 2 .

Lösung einblenden

f(x)= - 3 ( 2x -4 ) 2

= -3 ( 2x -4 ) -2

=> F(x) = 3 2 ( 2x -4 ) -1

F(x)= 3 2( 2x -4 )

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - x 2 +1 für die F(2) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - x 2 +1

F(x)= - 1 3 x 3 + 1 · x + c

= - 1 3 x 3 + x + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= - 1 3 ⋅ 2 3 + 1 · 2 + c

= - 1 3 ⋅8 +2 + c

= - 8 3 +2 + c

= - 8 3 + 6 3 + c

= - 2 3 + c

wegen F(2) = -2 gilt:

- 2 3 + c = -2 | + 2 3

c= -2 + 2 3 = - 6 3 + 2 3 = - 4 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 3 x 3 + x - 4 3

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 1 x 3 für die F(-4) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 1 x 3

= - x -3

=> F(x) = 1 2 x -2

F(x)= 1 2 x 2 + c

x=-4 in F(x) eingesetzt:

F(-4)= 1 2 ( -4 ) 2 + c

= 1 2 ⋅( 1 16 ) + c

= 1 32 + c

wegen F(-4) = -5 gilt:

1 32 + c = -5 | - 1 32

c= -5 - 1 32 = - 160 32 - 1 32 = - 161 32

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 2 x 2 - 161 32

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2⋅ sin( -2x + 1 2 π) für die F( 1 2 π ) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2⋅ sin( -2x + 1 2 π)

F(x)= cos( -2x + 1 2 π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= cos( -2⋅( 1 2 π ) + 1 2 π) + c

= cos( - 1 2 π) + c

= 0 + c

= c

wegen F( 1 2 π ) = -2 gilt:

0 + c = -2 |0

c= -2 +0 = -2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= cos( -2x + 1 2 π) -2

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 1 x 4 für die F(3) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 1 x 4

= x -4

=> F(x) = - 1 3 x -3

F(x)= - 1 3 x 3 + c

x=3 in F(x) eingesetzt:

F(3)= - 1 3⋅ 3 3 + c

= - 1 3 ⋅( 1 27 ) + c

= - 1 81 + c

wegen F(3) = 5 gilt:

- 1 81 + c = 5 | + 1 81

c= 5 + 1 81 = 405 81 + 1 81 = 406 81

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 3 x 3 + 406 81

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 1 x -1 für die F(10) = -1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 1 x -1

= ( x -1 ) - 1 2

=> F(x) = 2 ( x -1 ) 1 2

F(x)= 2 x -1 + c

x=10 in F(x) eingesetzt:

F(10)= 2 10 -1 + c

= 2 9 + c

= 2⋅3 + c

= 6 + c

wegen F(10) = -1 gilt:

6 + c = -1 | -6

c= -1 -6 = -7

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 x -1 -7