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cosh
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Integrale graphisch BF
Beispiel:
Den Zuwachs des Bestands (Wasser in einen Wassertank) zwischen 0 und 5 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I1 (von 0 bis 2):
Rechtecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅
I2 (von 2 bis 5):
Trapezfläche I2 = (5 - 2) ⋅
= 3 ⋅
Für den Zuwachs des Bestands (Wasser in einen Wassertank) zwischen 0 und 5 gilt somit:
Iges = 8
Integrale graphisch BF (mit Startwert)
Beispiel:
Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 9 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I1 (von 0 bis 3):
Rechtecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅
I2 (von 3 bis 6): Dreiecksfläche I2 = = = -4.5.
I3 (von 6 bis 9): Dreiecksfläche I3 = = = 4.5.
Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 9 gilt somit:
Iges = -9
Da zu Begin ja bereits 34 cm vorhanden waren, sind es nun nach 9 s
I9 = 34 cm
Integrale graphisch BF (mit Endwert)
Beispiel:
Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I1 (von 0 bis 2):
Rechtecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅
I2 (von 2 bis 5): Dreiecksfläche I2 = = = 3.
I3 (von 5 bis 7): Dreiecksfläche I3 = = = -3.
I4 (von 7 bis 10):
Rechtecksfläche I4 = (10 - 7) ⋅
Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 10 gilt somit:
Iges = 4
Da ja nach 10 s 73 cm vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=10 insgesamt -5 cm dazu, also 5 cm weg kam,
müssen es zu Beginn
Istart =
73 cm -
Min. und Maximum bei graph. Integral
Beispiel:
Im ersten Teil zwischen t=0 und t=5 nimmt der Bestand (Wasser im Wassertank) ausschließlich zu, und zwar um:
IZunahme =
I1 (von 0 bis 3):
Rechtecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅
I2 (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I2 = = = 2.
Somit nimmt der Bestand bis t=5 um 6
Weil danach der Bestand wieder ständig abnimmt, ist zum Zeitpunkt t=5 der maximale Bestand (Wasser im Wassertank) erreicht mit:
Bmax = 40 m³
Die anschließende Abnahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:
I3 (von 5 bis 7): Dreiecksfläche I3 = = = -3.
I4 (von 7 bis 9):
Rechtecksfläche I4 = (9 - 7) ⋅
Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Wasser im Wassertank) von Bend = 48 m³
Da dies weniger ist als zu Beginn der Beobachtung (40 m³), ist dies der minimale Bestand(Wasser im Wassertank):
Bmin = 39 m³
