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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Wie viele Personen würden nach diesem Modell in den ersten 10 Sekunden aufs Festivalgelände kommen?(Auch wenn es in der Realität natürlich keinen Sinn macht, soll hier der genaue ungerundete Wert eingegeben werden)

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I₂ (von 3 bis 5): Trapezfläche I₂ = (5 - 3) ⋅ $\frac{2 +1}{2}$ = 2 ⋅ 1.5 = 3.

I₃ (von 5 bis 7): Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

I₄ (von 7 bis 10): Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{1 +6}{2}$ = 3 ⋅ 3.5 = 10.5.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 10 gilt somit:

I_ges = 6 +3 +2 +10.5 = 21.5

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Negative Geschwindigkeiten bedeuten, dass die Lok rückwärts fährt. Bei Beobachtungsbeginn ist die Lok nach Verlassen des Bahnhofs 35 cm vom Bahnhof entfernt. Wie weit (in cm) ist die Modelleisenbahn nach t=10 Sekunden vom Bahnhof entfernt?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 2): Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₂ (von 2 bis 4): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ (von 4 bis 7): Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ (von 7 bis 10): Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 10 gilt somit:

I_ges = -4 -2 +3 +6 = 3

Da zu Begin ja bereits 35 cm vorhanden waren, sind es nun nach 10 s
I₁₀ = 35 cm +3 cm = 38 cm .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in l/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Nach 7 Sekunden sind 76 Liter Wasser im Tank. Wie viel Wasser war zu Beginn der Beobachtung (t=0) im Tank?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 2): Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₂ (von 2 bis 4): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ (von 4 bis 7): Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 7 gilt somit:

I_ges = 8 +4 -4.5 = 7.5

Da ja nach 7 Sekunden 76 Liter vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=7 insgesamt 7.5 Liter dazu kam, müssen es zu Beginn
I_start = 76 Liter - 7.5 Liter = 68.5 Liter gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Zu Beginn der Beobachtung (t=0) sind 30m³ Wasser im Tank. Bestimme die maximale und die minimale Wassermenge im Tank im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=10 Minuten.

Lösung einblenden

Im ersten Teil zwischen t=0 und t=2 nimmt der Bestand (Wasser im Wassertank) ausschließlich zu, und zwar um:

I_Zunahme =

I₁ (von 0 bis 2): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit nimmt der Bestand bis t=2 um 3 zu.

Weil danach der Bestand wieder ständig abnimmt, ist zum Zeitpunkt t=2 der maximale Bestand (Wasser im Wassertank) erreicht mit:
B_max = 30 m³ +3 m³ = 33 m³.

Die anschließende Abnahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I₂ (von 2 bis 4): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ (von 4 bis 6): Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I₄ (von 6 bis 8): Trapezfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ $\frac{-4 +(-3)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 3.5 ) = -7.

I₅ (von 8 bis 10): Rechtecksfläche I₅ = (10 - 8) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Wasser im Wassertank) von B_end = 33 m³ -25 m³ = 8 m³.

Da dies weniger ist als zu Beginn der Beobachtung (30 m³), ist dies der minimale Bestand(Wasser im Wassertank):
B_min = 8 m³

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Integrale graphisch BF

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Min. und Maximum bei graph. Integral