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Integrale graphisch BF
Beispiel:
Den Zuwachs des Bestands (zurückgelegte Strecke der Modelleisenbahn) zwischen 3 und 6 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I2 (von 3 bis 6):
Trapezfläche I2 = (6 - 3) ⋅
= 3 ⋅
Für den Zuwachs des Bestands (zurückgelegte Strecke der Modelleisenbahn) zwischen 3 und 6 gilt somit:
Iges = 6 = 6
Integrale graphisch BF (mit Startwert)
Beispiel:
Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 9 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I1 (von 0 bis 3):
Rechtecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅
I2 (von 3 bis 6): Dreiecksfläche I2 = = = -6.
I3 (von 6 bis 9): Dreiecksfläche I3 = = = 1.5.
Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 9 gilt somit:
Iges = -12
Da zu Begin ja bereits 54 cm vorhanden waren, sind es nun nach 9 s
I9 = 54 cm
Integrale graphisch BF (mit Endwert)
Beispiel:
Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 5 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I1 (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I1 = = = 4.5.
I2 (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I2 = = = -1.
Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 5 gilt somit:
Iges = 4.5
Da ja nach 5 s 81 cm vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=5 insgesamt 3.5 cm dazu kam,
müssen es zu Beginn
Istart =
81 cm -
Min. und Maximum bei graph. Integral
Beispiel:
Im ersten Teil zwischen t=0 und t=3 nimmt der Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) ausschließlich zu, und zwar um:
IZunahme =
I1 (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I1 = = = 6.
Somit nimmt der Bestand bis t=3 um 6 zu.
Weil danach der Bestand wieder ständig abnimmt, ist zum Zeitpunkt t=3 der maximale Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) erreicht mit:
Bmax = 35 Personen
Die anschließende Abnahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:
I2 (von 3 bis 6): Dreiecksfläche I2 = = = -4.5.
Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) von Bend = 41 Personen
Da dies nicht weniger ist als zu Beginn der Beobachtung (35 Personen), ist der minimale Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) der Startwert:
Bmin = 35 Personen