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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Wie weit (in cm) ist die Modelleisenbahn zwischen t=0 Sekunden und t=7 Sekunden gefahren?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (zurückgelegte Strecke der Modelleisenbahn) zwischen 0 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I₂ (von 3 bis 6): Trapezfläche I₂ = (6 - 3) ⋅ $\frac{2 +5}{2}$ = 3 ⋅ 3.5 = 10.5.

I₃ (von 6 bis 7): Rechtecksfläche I₃ = (7 - 6) ⋅ 5 = 1 ⋅ 5 = 5.

Für den Zuwachs des Bestands (zurückgelegte Strecke der Modelleisenbahn) zwischen 0 und 7 gilt somit:

I_ges = 6 +10.5 +5 = 21.5

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Negative Geschwindigkeiten bedeuten, dass die Lok rückwärts fährt. Bei Beobachtungsbeginn ist die Lok nach Verlassen des Bahnhofs 55 cm vom Bahnhof entfernt. Wie weit (in cm) ist die Modelleisenbahn nach t=7 Sekunden vom Bahnhof entfernt?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 2): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₂ (von 2 bis 4): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ (von 4 bis 7): Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 7 gilt somit:

I_ges = 2 -1 -3 = -2

Da zu Begin ja bereits 55 cm vorhanden waren, sind es nun nach 7 s
I₇ = 55 cm -2 cm = 53 cm .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in l/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Nach 10 Sekunden sind 70 Liter Wasser im Tank. Wie viel Wasser war zu Beginn der Beobachtung (t=0) im Tank?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ (von 3 bis 6): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ (von 6 bis 8): Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I₄ (von 8 bis 10): Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{-4 +(-5)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 4.5 ) = -9.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 10 gilt somit:

I_ges = 3 -6 -8 -9 = -20

Da ja nach 10 Sekunden 70 Liter vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=10 insgesamt -20 Liter dazu, also 20 Liter weg kam, müssen es zu Beginn
I_start = 70 Liter - ( - 20 ) Liter = 90 Liter gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Zu Beginn der Beobachtung (t=0) sind 55m³ Wasser im Tank. Bestimme die maximale und die minimale Wassermenge im Tank im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=9 Minuten.

Lösung einblenden

Im ersten Teil zwischen t=0 und t=4 nimmt der Bestand (Wasser im Wassertank) ausschließlich ab, und zwar um:

I_Abnahme =

I₁ (von 0 bis 2): Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I₂ (von 2 bis 4): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit nimmt der Bestand bis t=4 um -6 -3 = -9 ab.

Weil danach der Bestand wieder ständig zunimmt, ist zum Zeitpunkt t=4 der minimale Bestand (Wasser im Wassertank) erreicht mit:
B_min = 55 m³ -9 m³ = 46 m³.

Die anschließende Zunahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I₃ (von 4 bis 6): Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₄ (von 6 bis 9): Rechtecksfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Wasser im Wassertank) von B_end = 46 m³ +8 m³ = 54 m³.

Da dies nicht mehr ist als zu Beginn der Beobachtung (55 m³), ist der maximale Bestand (Wasser im Wassertank) der Startwert:
B_max = 55 m³

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Integrale graphisch BF

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Min. und Maximum bei graph. Integral