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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Wie weit (in cm) ist die Modelleisenbahn zwischen t=3 Sekunden und t=10 Sekunden gefahren?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (zurückgelegte Strecke der Modelleisenbahn) zwischen 3 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₂ (von 3 bis 6): Trapezfläche I₂ = (6 - 3) ⋅ $\frac{4 +3}{2}$ = 3 ⋅ 3.5 = 10.5.

I₃ (von 6 bis 8): Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₄ (von 8 bis 9): Trapezfläche I₄ = (9 - 8) ⋅ $\frac{3 +4}{2}$ = 1 ⋅ 3.5 = 3.5.

I₅ (von 9 bis 10): Rechtecksfläche I₅ = (10 - 9) ⋅ 4 = 1 ⋅ 4 = 4.

Für den Zuwachs des Bestands (zurückgelegte Strecke der Modelleisenbahn) zwischen 3 und 10 gilt somit:

I_ges = 10.5 +6 +3.5 +4 = 24

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge sind bereits 50 Personen auf dem Festivalgelände. Wie viele Personen würden nach diesem Modell nach 7 Sekunden auf dem Festivalgelände sein?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 2): Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₂ (von 2 bis 5): Trapezfläche I₂ = (5 - 2) ⋅ $\frac{4 +2}{2}$ = 3 ⋅ 3 = 9.

I₃ (von 5 bis 7): Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 7 gilt somit:

I_ges = 8 +9 +4 = 21

Da zu Begin ja bereits 50 Personen vorhanden waren, sind es nun nach 7 s
I₇ = 50 Personen +21 Personen = 71 Personen .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Wie viele Personen wären nach diesem Modell bereits zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge auf dem Festivalgelände gewesen, wenn nach 9 Sekunden 69 Personen anwesend sind?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 9 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 1): Trapezfläche I₁ = (1 - 0) ⋅ $\frac{4 +3}{2}$ = 1 ⋅ 3.5 = 3.5.

I₂ (von 1 bis 3): Rechtecksfläche I₂ = (3 - 1) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₃ (von 3 bis 6): Trapezfläche I₃ = (6 - 3) ⋅ $\frac{3 +1}{2}$ = 3 ⋅ 2 = 6.

I₄ (von 6 bis 8): Rechtecksfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

I₅ (von 8 bis 9): Trapezfläche I₅ = (9 - 8) ⋅ $\frac{1 +4}{2}$ = 1 ⋅ 2.5 = 2.5.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 9 gilt somit:

I_ges = 3.5 +6 +6 +2 +2.5 = 20

Da ja nach 9 s 69 Personen vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=9 insgesamt 20 Personen dazu kam, müssen es zu Beginn
I_start = 69 Personen - 20 Personen = 49 Personen gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn, die aus dem Bahnhof ausfährt (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Negative Geschwindigkeiten bedeuten, dass die Lok rückwärts fährt, also wieder Richtung Bahnhof zurück. Bei Beobachtungsbeginn ist die Lok 33 cm vom Bahnhof entfernt. Bestimme die maximale und die minimale Entfernung der Lok vom Bahnhof im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=8 Sekunden.

Lösung einblenden

Im ersten Teil zwischen t=0 und t=5 nimmt der Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) ausschließlich zu, und zwar um:

I_Zunahme =

I₁ (von 0 bis 2): Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₂ (von 2 bis 5): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit nimmt der Bestand bis t=5 um 4 +3 = 7 zu.

Weil danach der Bestand wieder ständig abnimmt, ist zum Zeitpunkt t=5 der maximale Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) erreicht mit:
B_max = 33 cm +7 cm = 40 cm.

Die anschließende Abnahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I₃ (von 5 bis 8): Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) von B_end = 40 cm -3 cm = 37 cm.

Da dies nicht weniger ist als zu Beginn der Beobachtung (33 cm), ist der minimale Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) der Startwert:
B_min = 33 cm

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Integrale graphisch BF

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Min. und Maximum bei graph. Integral