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Integrale graphisch BF
Beispiel:
Bestimme den Zuwachs des Bestand zwischen t1=0 und t2=8.
Den Zuwachs des Bestands zwischen 0 und 8 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I1 (von 0 bis 3):
Trapezfläche I1 = (3 - 0) ⋅
= 3 ⋅
I2 (von 3 bis 5):
Rechtecksfläche I2 = (5 - 3) ⋅
I3 (von 5 bis 8):
Trapezfläche I3 = (8 - 5) ⋅
= 3 ⋅
Für den Zuwachs des Bestands zwischen 0 und 8 gilt somit:
Iges = 7.5
Integrale graphisch BF (mit Startwert)
Beispiel:
Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I1 (von 0 bis 2):
Rechtecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅
I2 (von 2 bis 4): Dreiecksfläche I2 = = = -2.
I3 (von 4 bis 7): Dreiecksfläche I3 = = = 4.5.
I4 (von 7 bis 10):
Rechtecksfläche I4 = (10 - 7) ⋅
Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 10 gilt somit:
Iges = -4
Da zu Begin ja bereits 62 m³ vorhanden waren, sind es nun nach 10 min
I10 = 62 m³
Integrale graphisch BF (mit Endwert)
Beispiel:
Wie viele Personen wären nach diesem Modell bereits zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge auf dem Festivalgelände gewesen, wenn nach 9 Sekunden 75 Personen anwesend sind?
Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 9 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I1 (von 0 bis 3):
Trapezfläche I1 = (3 - 0) ⋅
= 3 ⋅
I2 (von 3 bis 5):
Rechtecksfläche I2 = (5 - 3) ⋅
I3 (von 5 bis 6):
Trapezfläche I3 = (6 - 5) ⋅
= 1 ⋅
I4 (von 6 bis 9):
Rechtecksfläche I4 = (9 - 6) ⋅
Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 9 gilt somit:
Iges = 13.5
Da ja nach 9 s 75 Personen vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=9 insgesamt 36.5 Personen dazu kam,
müssen es zu Beginn
Istart =
75 Personen -
Min. und Maximum bei graph. Integral
Beispiel:
Im ersten Teil zwischen t=0 und t=3 nimmt der Bestand (Wasser im Wassertank) ausschließlich zu, und zwar um:
IZunahme =
I1 (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I1 = = = 3.
Somit nimmt der Bestand bis t=3 um 3 zu.
Weil danach der Bestand wieder ständig abnimmt, ist zum Zeitpunkt t=3 der maximale Bestand (Wasser im Wassertank) erreicht mit:
Bmax = 57 m³
Die anschließende Abnahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:
I2 (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I2 = = = -1.
I3 (von 5 bis 7):
Rechtecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅
I4 (von 7 bis 9):
Trapezfläche I4 = (9 - 7) ⋅
= 2 ⋅
Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Wasser im Wassertank) von Bend = 60 m³
Da dies weniger ist als zu Beginn der Beobachtung (57 m³), ist dies der minimale Bestand(Wasser im Wassertank):
Bmin = 54 m³