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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph einer Funktion f, die eine Änderungsrate angibt.Bestimme den Zuwachs des Bestand zwischen t₁=0 und t₂=8.

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands zwischen 0 und 8 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 2): Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₂ (von 2 bis 5): Trapezfläche I₂ = (5 - 2) ⋅ $\frac{4 +3}{2}$ = 3 ⋅ 3.5 = 10.5.

I₃ (von 5 bis 8): Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Für den Zuwachs des Bestands zwischen 0 und 8 gilt somit:

I_ges = 8 +10.5 +9 = 27.5

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge sind bereits 53 Personen auf dem Festivalgelände. Wie viele Personen würden nach diesem Modell nach 5 Sekunden auf dem Festivalgelände sein?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 5 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Trapezfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ $\frac{2 +3}{2}$ = 3 ⋅ 2.5 = 7.5.

I₂ (von 3 bis 5): Rechtecksfläche I₂ = (5 - 3) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 5 gilt somit:

I_ges = 7.5 +6 = 13.5

Da zu Begin ja bereits 53 Personen vorhanden waren, sind es nun nach 5 s
I₅ = 53 Personen +13.5 Personen = 66.5 Personen .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Wie viele Personen wären nach diesem Modell bereits zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge auf dem Festivalgelände gewesen, wenn nach 5 Sekunden 71 Personen anwesend sind?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 5 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 1): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(1 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₂ (von 1 bis 3): Rechtecksfläche I₂ = (3 - 1) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₃ (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(5 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 5 gilt somit:

I_ges = 1 +4 +2 = 7

Da ja nach 5 s 71 Personen vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=5 insgesamt 7 Personen dazu kam, müssen es zu Beginn
I_start = 71 Personen - 7 Personen = 64 Personen gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate bzw. die Austrittsrate (bei negativen Funktionswerten) der Besucher durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge sind bereits 45 Personen auf dem Festivalgelände. Bestimme die maximale und die minimale Anzahl an Personen im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=10 Sekunden.

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Im ersten Teil zwischen t=0 und t=4 nimmt der Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) ausschließlich ab, und zwar um:

I_Abnahme =

I₁ (von 0 bis 2): Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₂ (von 2 bis 4): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

Somit nimmt der Bestand bis t=4 um -4 -2 = -6 ab.

Weil danach der Bestand wieder ständig zunimmt, ist zum Zeitpunkt t=4 der minimale Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) erreicht mit:
B_min = 45 Personen -6 Personen = 39 Personen.

Die anschließende Zunahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I₃ (von 4 bis 7): Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₄ (von 7 bis 10): Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) von B_end = 39 Personen +13.5 Personen = 52.5 Personen.

Da dies mehr ist als zu Beginn der Beobachtung (45 Personen), ist dies der maximale Bestand(Personen auf dem Festivalgelände):
B_max = 52.5 Personen

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Integrale graphisch BF

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Min. und Maximum bei graph. Integral