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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Zuflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Wie viel Wasser ist in den ersten 8 Minuten in den Tank hinein geflossen?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Wasser in einen Wassertank) zwischen 0 und 8 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₂ (von 3 bis 5): Rechtecksfläche I₂ = (5 - 3) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

I₃ (von 5 bis 8): Trapezfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ $\frac{1 +2}{2}$ = 3 ⋅ 1.5 = 4.5.

Für den Zuwachs des Bestands (Wasser in einen Wassertank) zwischen 0 und 8 gilt somit:

I_ges = 1.5 +2 +4.5 = 8

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge sind bereits 57 Personen auf dem Festivalgelände. Wie viele Personen würden nach diesem Modell nach 9 Sekunden auf dem Festivalgelände sein?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 9 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Trapezfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ $\frac{4 +1}{2}$ = 3 ⋅ 2.5 = 7.5.

I₂ (von 3 bis 5): Rechtecksfläche I₂ = (5 - 3) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

I₃ (von 5 bis 6): Trapezfläche I₃ = (6 - 5) ⋅ $\frac{1 +3}{2}$ = 1 ⋅ 2 = 2.

I₄ (von 6 bis 9): Rechtecksfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 9 gilt somit:

I_ges = 7.5 +2 +2 +9 = 20.5

Da zu Begin ja bereits 57 Personen vorhanden waren, sind es nun nach 9 s
I₉ = 57 Personen +20.5 Personen = 77.5 Personen .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Wie viele Personen wären nach diesem Modell bereits zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge auf dem Festivalgelände gewesen, wenn nach 6 Sekunden 69 Personen anwesend sind?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 6 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₂ (von 3 bis 6): keine Fläche in diesem Abschnitt, also I = 0.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 6 gilt somit:

I_ges = 4.5 +0 = 4.5

Da ja nach 6 s 69 Personen vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=6 insgesamt 4.5 Personen dazu kam, müssen es zu Beginn
I_start = 69 Personen - 4.5 Personen = 64.5 Personen gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Zu Beginn der Beobachtung (t=0) sind 43m³ Wasser im Tank. Bestimme die maximale und die minimale Wassermenge im Tank im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=9 Minuten.

Lösung einblenden

Im ersten Teil zwischen t=0 und t=4 nimmt der Bestand (Wasser im Wassertank) ausschließlich zu, und zwar um:

I_Zunahme =

I₁ (von 0 bis 2): Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₂ (von 2 bis 4): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit nimmt der Bestand bis t=4 um 6 +3 = 9 zu.

Weil danach der Bestand wieder ständig abnimmt, ist zum Zeitpunkt t=4 der maximale Bestand (Wasser im Wassertank) erreicht mit:
B_max = 43 m³ +9 m³ = 52 m³.

Die anschließende Abnahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I₃ (von 4 bis 6): Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₄ (von 6 bis 9): Rechtecksfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Wasser im Wassertank) von B_end = 52 m³ -12 m³ = 40 m³.

Da dies weniger ist als zu Beginn der Beobachtung (43 m³), ist dies der minimale Bestand(Wasser im Wassertank):
B_min = 40 m³

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Integrale graphisch BF

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Min. und Maximum bei graph. Integral