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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph einer Funktion f, die eine Änderungsrate angibt.
Bestimme den Zuwachs des Bestand zwischen t₁=0 und t₂=8.

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands zwischen 0 und 8 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Trapezfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ $\frac{3 +2}{2}$ = 3 ⋅ 2.5 = 7.5.

I₂ (von 3 bis 5): Rechtecksfläche I₂ = (5 - 3) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₃ (von 5 bis 8): Trapezfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ $\frac{2 +3}{2}$ = 3 ⋅ 2.5 = 7.5.

Für den Zuwachs des Bestands zwischen 0 und 8 gilt somit:

I_ges = 7.5 +4 +7.5 = 19

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Zu Beginn der Beobachtung (t=0) sind 62m³ Wasser im Tank. Wie viel Wasser ist nach 10 Minuten im Tank?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 2): Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₂ (von 2 bis 4): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ (von 4 bis 7): Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₄ (von 7 bis 10): Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 10 gilt somit:

I_ges = -4 -2 +4.5 +9 = 7.5

Da zu Begin ja bereits 62 m³ vorhanden waren, sind es nun nach 10 min
I₁₀ = 62 m³ +7.5 m³ = 69.5 m³ .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f.
Wie viele Personen wären nach diesem Modell bereits zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge auf dem Festivalgelände gewesen, wenn nach 9 Sekunden 75 Personen anwesend sind?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 9 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Trapezfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ $\frac{4 +5}{2}$ = 3 ⋅ 4.5 = 13.5.

I₂ (von 3 bis 5): Rechtecksfläche I₂ = (5 - 3) ⋅ 5 = 2 ⋅ 5 = 10.

I₃ (von 5 bis 6): Trapezfläche I₃ = (6 - 5) ⋅ $\frac{5 +3}{2}$ = 1 ⋅ 4 = 4.

I₄ (von 6 bis 9): Rechtecksfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 9 gilt somit:

I_ges = 13.5 +10 +4 +9 = 36.5

Da ja nach 9 s 75 Personen vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=9 insgesamt 36.5 Personen dazu kam, müssen es zu Beginn
I_start = 75 Personen - 36.5 Personen = 38.5 Personen gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Zu Beginn der Beobachtung (t=0) sind 57m³ Wasser im Tank. Bestimme die maximale und die minimale Wassermenge im Tank im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=9 Minuten.

Lösung einblenden

Im ersten Teil zwischen t=0 und t=3 nimmt der Bestand (Wasser im Wassertank) ausschließlich zu, und zwar um:

I_Zunahme =

I₁ (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit nimmt der Bestand bis t=3 um 3 zu.

Weil danach der Bestand wieder ständig abnimmt, ist zum Zeitpunkt t=3 der maximale Bestand (Wasser im Wassertank) erreicht mit:
B_max = 57 m³ +3 m³ = 60 m³.

Die anschließende Abnahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I₂ (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ (von 5 bis 7): Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

I₄ (von 7 bis 9): Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{-1 +(-2)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 1.5 ) = -3.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Wasser im Wassertank) von B_end = 60 m³ -6 m³ = 54 m³.

Da dies weniger ist als zu Beginn der Beobachtung (57 m³), ist dies der minimale Bestand(Wasser im Wassertank):
B_min = 54 m³

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Integrale graphisch BF

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Min. und Maximum bei graph. Integral