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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Zuflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Wie viel Wasser ist in den ersten 10 Minuten in den Tank hinein geflossen?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Wasser in einen Wassertank) zwischen 0 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 2): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅6}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₂ (von 2 bis 4): Rechtecksfläche I₂ = (4 - 2) ⋅ 6 = 2 ⋅ 6 = 12.

I₃ (von 4 bis 7): Trapezfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ $\frac{6 +5}{2}$ = 3 ⋅ 5.5 = 16.5.

I₄ (von 7 bis 8): Rechtecksfläche I₄ = (8 - 7) ⋅ 5 = 1 ⋅ 5 = 5.

I₅ (von 8 bis 10): Trapezfläche I₅ = (10 - 8) ⋅ $\frac{5 +4}{2}$ = 2 ⋅ 4.5 = 9.

Für den Zuwachs des Bestands (Wasser in einen Wassertank) zwischen 0 und 10 gilt somit:

I_ges = 6 +12 +16.5 +5 +9 = 48.5

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge sind bereits 32 Personen auf dem Festivalgelände. Wie viele Personen würden nach diesem Modell nach 10 Sekunden auf dem Festivalgelände sein?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 2): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅5}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5.

I₂ (von 2 bis 4): Rechtecksfläche I₂ = (4 - 2) ⋅ 5 = 2 ⋅ 5 = 10.

I₃ (von 4 bis 5): Trapezfläche I₃ = (5 - 4) ⋅ $\frac{5 +6}{2}$ = 1 ⋅ 5.5 = 5.5.

I₄ (von 5 bis 8): Rechtecksfläche I₄ = (8 - 5) ⋅ 6 = 3 ⋅ 6 = 18.

I₅ (von 8 bis 10): Trapezfläche I₅ = (10 - 8) ⋅ $\frac{6 +1}{2}$ = 2 ⋅ 3.5 = 7.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 10 gilt somit:

I_ges = 5 +10 +5.5 +18 +7 = 45.5

Da zu Begin ja bereits 32 Personen vorhanden waren, sind es nun nach 10 s
I₁₀ = 32 Personen +45.5 Personen = 77.5 Personen .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Wie viele Personen wären nach diesem Modell bereits zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge auf dem Festivalgelände gewesen, wenn nach 6 Sekunden 83 Personen anwesend sind?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 6 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 1): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(1 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₂ (von 1 bis 2): Rechtecksfläche I₂ = (2 - 1) ⋅ 4 = 1 ⋅ 4 = 4.

I₃ (von 2 bis 3): Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(3 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₄ (von 3 bis 6): keine Fläche in diesem Abschnitt, also I = 0.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 6 gilt somit:

I_ges = 2 +4 +2 +0 = 8

Da ja nach 6 s 83 Personen vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=6 insgesamt 8 Personen dazu kam, müssen es zu Beginn
I_start = 83 Personen - 8 Personen = 75 Personen gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate bzw. die Austrittsrate (bei negativen Funktionswerten) der Besucher durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge sind bereits 48 Personen auf dem Festivalgelände. Bestimme die maximale und die minimale Anzahl an Personen im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=5 Sekunden.

Lösung einblenden

Im ersten Teil zwischen t=0 und t=2 nimmt der Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) ausschließlich ab, und zwar um:

I_Abnahme =

I₁ (von 0 bis 2): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

Somit nimmt der Bestand bis t=2 um -2 ab.

Weil danach der Bestand wieder ständig zunimmt, ist zum Zeitpunkt t=2 der minimale Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) erreicht mit:
B_min = 48 Personen -2 Personen = 46 Personen.

Die anschließende Zunahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I₂ (von 2 bis 5): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) von B_end = 46 Personen +6 Personen = 52 Personen.

Da dies mehr ist als zu Beginn der Beobachtung (48 Personen), ist dies der maximale Bestand(Personen auf dem Festivalgelände):
B_max = 52 Personen

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Integrale graphisch BF

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Min. und Maximum bei graph. Integral