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cosh
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Integrale graphisch BF
Beispiel:
Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 8 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I1 (von 0 bis 1): Dreiecksfläche I1 = = = 0.5.
I2 (von 1 bis 2):
Rechtecksfläche I2 = (2 - 1) ⋅
I3 (von 2 bis 4):
Trapezfläche I3 = (4 - 2) ⋅
= 2 ⋅
I4 (von 4 bis 7):
Rechtecksfläche I4 = (7 - 4) ⋅
I5 (von 7 bis 8):
Trapezfläche I5 = (8 - 7) ⋅
= 1 ⋅
Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 8 gilt somit:
Iges = 0.5
Integrale graphisch BF (mit Startwert)
Beispiel:
Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I1 (von 0 bis 3):
Rechtecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅
I2 (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I2 = = = 3.
I3 (von 5 bis 7): Dreiecksfläche I3 = = = -3.
Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 7 gilt somit:
Iges = 9
Da zu Begin ja bereits 33 cm vorhanden waren, sind es nun nach 7 s
I7 = 33 cm
Integrale graphisch BF (mit Endwert)
Beispiel:
Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 9 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I1 (von 0 bis 2): Dreiecksfläche I1 = = = 3.
I2 (von 2 bis 4): Dreiecksfläche I2 = = = -1.
I3 (von 4 bis 7):
Rechtecksfläche I3 = (7 - 4) ⋅
I4 (von 7 bis 9):
Trapezfläche I4 = (9 - 7) ⋅
= 2 ⋅
Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 9 gilt somit:
Iges = 3
Da ja nach 9 s 71 cm vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=9 insgesamt -4 cm dazu, also 4 cm weg kam,
müssen es zu Beginn
Istart =
71 cm -
Min. und Maximum bei graph. Integral
Beispiel:
Im ersten Teil zwischen t=0 und t=3 nimmt der Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) ausschließlich zu, und zwar um:
IZunahme =
I1 (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I1 = = = 4.5.
Somit nimmt der Bestand bis t=3 um 4.5 zu.
Weil danach der Bestand wieder ständig abnimmt, ist zum Zeitpunkt t=3 der maximale Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) erreicht mit:
Bmax = 34 cm
Die anschließende Abnahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:
I2 (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I2 = = = -1.
Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) von Bend = 38.5 cm
Da dies nicht weniger ist als zu Beginn der Beobachtung (34 cm), ist der minimale Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) der Startwert:
Bmin = 34 cm