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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Im Schaubild sieht man den Graph der Zuflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Wie viel Wasser ist in den ersten 7 Minuten in den Tank hinein geflossen?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Wasser in einen Wassertank) zwischen 0 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I1 (von 0 bis 2): Trapezfläche I1 = (2 - 0) ⋅ 2 + 1 2 = 2 ⋅ 1.5 = 3.

I2 (von 2 bis 4): Rechtecksfläche I2 = (4 - 2) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

I3 (von 4 bis 7): Dreiecksfläche I3 = (7 - 4) ⋅ 1 2 = 3 2 = 1.5.

Für den Zuwachs des Bestands (Wasser in einen Wassertank) zwischen 0 und 7 gilt somit:

Iges = 3 +2 +1.5 = 6.5

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Negative Geschwindigkeiten bedeuten, dass die Lok rückwärts fährt. Bei Beobachtungsbeginn ist die Lok nach Verlassen des Bahnhofs 25 cm vom Bahnhof entfernt. Wie weit (in cm) ist die Modelleisenbahn nach t=8 Sekunden vom Bahnhof entfernt?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 8 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I1 (von 0 bis 3): Rechtecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I2 (von 3 bis 6): Dreiecksfläche I2 = (6 - 3) ⋅ 2 2 = 6 2 = 3.

I3 (von 6 bis 8): Dreiecksfläche I3 = (8 - 6) ⋅ ( - 4 ) 2 = -8 2 = -4.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 8 gilt somit:

Iges = 6 +3 -4 = 5

Da zu Begin ja bereits 25 cm vorhanden waren, sind es nun nach 8 s
I8 = 25 cm +5 cm = 30 cm .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in l/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Nach 9 Sekunden sind 83 Liter Wasser im Tank. Wie viel Wasser war zu Beginn der Beobachtung (t=0) im Tank?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 9 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I1 (von 0 bis 2): Dreiecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅ 4 2 = 8 2 = 4.

I2 (von 2 bis 4): Dreiecksfläche I2 = (4 - 2) ⋅ ( - 2 ) 2 = -4 2 = -2.

I3 (von 4 bis 6): Rechtecksfläche I3 = (6 - 4) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I4 (von 6 bis 9): Trapezfläche I4 = (9 - 6) ⋅ -2 + ( - 3 ) 2 = 3 ⋅ ( - 2.5 ) = -7.5.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 9 gilt somit:

Iges = 4 -2 -4 -7.5 = -9.5

Da ja nach 9 Sekunden 83 Liter vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=9 insgesamt -9.5 Liter dazu, also 9.5 Liter weg kam, müssen es zu Beginn
Istart = 83 Liter - ( - 9.5 ) Liter = 92.5 Liter gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn, die aus dem Bahnhof ausfährt (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Negative Geschwindigkeiten bedeuten, dass die Lok rückwärts fährt, also wieder Richtung Bahnhof zurück. Bei Beobachtungsbeginn ist die Lok 56 cm vom Bahnhof entfernt. Bestimme die maximale und die minimale Entfernung der Lok vom Bahnhof im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=9 Sekunden.

Lösung einblenden

Im ersten Teil zwischen t=0 und t=4 nimmt der Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) ausschließlich ab, und zwar um:

IAbnahme =

I1 (von 0 bis 2): Rechtecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I2 (von 2 bis 4): Dreiecksfläche I2 = (4 - 2) ⋅ ( - 4 ) 2 = -8 2 = -4.

Somit nimmt der Bestand bis t=4 um -8 -4 = -12 ab.

Weil danach der Bestand wieder ständig zunimmt, ist zum Zeitpunkt t=4 der minimale Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) erreicht mit:
Bmin = 56 cm -12 cm = 44 cm.

Die anschließende Zunahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I3 (von 4 bis 6): Dreiecksfläche I3 = (6 - 4) ⋅ 2 2 = 4 2 = 2.

I4 (von 6 bis 9): Rechtecksfläche I4 = (9 - 6) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) von Bend = 44 cm +8 cm = 52 cm.

Da dies nicht mehr ist als zu Beginn der Beobachtung (56 cm), ist der maximale Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) der Startwert:
Bmax = 56 cm