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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph einer Funktion f, die eine Änderungsrate angibt.Bestimme den Zuwachs des Bestand zwischen t₁=0 und t₂=8.

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Den Zuwachs des Bestands zwischen 0 und 8 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₂ (von 3 bis 6): Rechtecksfläche I₂ = (6 - 3) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

I₃ (von 6 bis 8): Trapezfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ $\frac{1 +5}{2}$ = 2 ⋅ 3 = 6.

Für den Zuwachs des Bestands zwischen 0 und 8 gilt somit:

I_ges = 1.5 +3 +6 = 10.5

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Zu Beginn der Beobachtung (t=0) sind 32m³ Wasser im Tank. Wie viel Wasser ist nach 10 Minuten im Tank?

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Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₂ (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ (von 5 bis 8): Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

I₄ (von 8 bis 10): Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{-1 +(-4)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 2.5 ) = -5.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 10 gilt somit:

I_ges = 4.5 -1 -3 -5 = -4.5

Da zu Begin ja bereits 32 m³ vorhanden waren, sind es nun nach 10 min
I₁₀ = 32 m³ -4.5 m³ = 27.5 m³ .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in l/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Nach 10 Sekunden sind 73 Liter Wasser im Tank. Wie viel Wasser war zu Beginn der Beobachtung (t=0) im Tank?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 2): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ (von 2 bis 5): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ (von 5 bis 7): Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₄ (von 7 bis 10): Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{3 +2}{2}$ = 3 ⋅ 2.5 = 7.5.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 10 gilt somit:

I_ges = -3 +4.5 +6 +7.5 = 15

Da ja nach 10 Sekunden 73 Liter vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=10 insgesamt 15 Liter dazu kam, müssen es zu Beginn
I_start = 73 Liter - 15 Liter = 58 Liter gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn, die aus dem Bahnhof ausfährt (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Negative Geschwindigkeiten bedeuten, dass die Lok rückwärts fährt, also wieder Richtung Bahnhof zurück. Bei Beobachtungsbeginn ist die Lok 52 cm vom Bahnhof entfernt. Bestimme die maximale und die minimale Entfernung der Lok vom Bahnhof im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=7 Sekunden.

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Im ersten Teil zwischen t=0 und t=5 nimmt der Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) ausschließlich zu, und zwar um:

I_Zunahme =

I₁ (von 0 bis 3): Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I₂ (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

Somit nimmt der Bestand bis t=5 um 12 +4 = 16 zu.

Weil danach der Bestand wieder ständig abnimmt, ist zum Zeitpunkt t=5 der maximale Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) erreicht mit:
B_max = 52 cm +16 cm = 68 cm.

Die anschließende Abnahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I₃ (von 5 bis 7): Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) von B_end = 68 cm -4 cm = 64 cm.

Da dies nicht weniger ist als zu Beginn der Beobachtung (52 cm), ist der minimale Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) der Startwert:
B_min = 52 cm

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Integrale graphisch BF

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Min. und Maximum bei graph. Integral