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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Wie weit (in cm) ist die Modelleisenbahn zwischen t=0 Sekunden und t=8 Sekunden gefahren?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (zurückgelegte Strecke der Modelleisenbahn) zwischen 0 und 8 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 2): Trapezfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ $\frac{2 +4}{2}$ = 2 ⋅ 3 = 6.

I₂ (von 2 bis 5): Rechtecksfläche I₂ = (5 - 2) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I₃ (von 5 bis 8): Trapezfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ $\frac{4 +1}{2}$ = 3 ⋅ 2.5 = 7.5.

Für den Zuwachs des Bestands (zurückgelegte Strecke der Modelleisenbahn) zwischen 0 und 8 gilt somit:

I_ges = 6 +12 +7.5 = 25.5

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Zu Beginn der Beobachtung (t=0) sind 27m³ Wasser im Tank. Wie viel Wasser ist nach 7 Minuten im Tank?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I₂ (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ (von 5 bis 7): Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 7 gilt somit:

I_ges = 12 +4 -2 = 14

Da zu Begin ja bereits 27 m³ vorhanden waren, sind es nun nach 7 min
I₇ = 27 m³ +14 m³ = 41 m³ .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Wie viele Personen wären nach diesem Modell bereits zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge auf dem Festivalgelände gewesen, wenn nach 8 Sekunden 73 Personen anwesend sind?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 8 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 2): Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₂ (von 2 bis 3): Trapezfläche I₂ = (3 - 2) ⋅ $\frac{4 +2}{2}$ = 1 ⋅ 3 = 3.

I₃ (von 3 bis 6): Rechtecksfläche I₃ = (6 - 3) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I₄ (von 6 bis 8): Trapezfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ $\frac{2 +3}{2}$ = 2 ⋅ 2.5 = 5.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 8 gilt somit:

I_ges = 8 +3 +6 +5 = 22

Da ja nach 8 s 73 Personen vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=8 insgesamt 22 Personen dazu kam, müssen es zu Beginn
I_start = 73 Personen - 22 Personen = 51 Personen gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate bzw. die Austrittsrate (bei negativen Funktionswerten) der Besucher durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge sind bereits 39 Personen auf dem Festivalgelände. Bestimme die maximale und die minimale Anzahl an Personen im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=9 Sekunden.

Lösung einblenden

Im ersten Teil zwischen t=0 und t=4 nimmt der Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) ausschließlich zu, und zwar um:

I_Zunahme =

I₁ (von 0 bis 2): Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₂ (von 2 bis 4): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit nimmt der Bestand bis t=4 um 6 +3 = 9 zu.

Weil danach der Bestand wieder ständig abnimmt, ist zum Zeitpunkt t=4 der maximale Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) erreicht mit:
B_max = 39 Personen +9 Personen = 48 Personen.

Die anschließende Abnahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I₃ (von 4 bis 7): Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

I₄ (von 7 bis 9): Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) von B_end = 48 Personen -3.5 Personen = 44.5 Personen.

Da dies nicht weniger ist als zu Beginn der Beobachtung (39 Personen), ist der minimale Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) der Startwert:
B_min = 39 Personen

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Integrale graphisch BF

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Min. und Maximum bei graph. Integral