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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Im Schaubild sieht man den Graph der Zuflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Wie viel Wasser ist in den ersten 7 Minuten in den Tank hinein geflossen?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Wasser in einen Wassertank) zwischen 0 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I1 (von 0 bis 1): Rechtecksfläche I1 = (1 - 0) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3 = 3.

I2 (von 1 bis 4): Trapezfläche I2 = (4 - 1) ⋅ 3 + 2 2 = 3 ⋅ 2.5 = 7.5.

I3 (von 4 bis 7): Rechtecksfläche I3 = (7 - 4) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Für den Zuwachs des Bestands (Wasser in einen Wassertank) zwischen 0 und 7 gilt somit:

Iges = 3 +7.5 +6 = 16.5

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Zu Beginn der Beobachtung (t=0) sind 46m³ Wasser im Tank. Wie viel Wasser ist nach 7 Minuten im Tank?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I1 (von 0 bis 2): Rechtecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I2 (von 2 bis 5): Dreiecksfläche I2 = (5 - 2) ⋅ ( - 4 ) 2 = -12 2 = -6.

I3 (von 5 bis 7): Dreiecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅ 4 2 = 8 2 = 4.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 7 gilt somit:

Iges = -8 -6 +4 = -10

Da zu Begin ja bereits 46 m³ vorhanden waren, sind es nun nach 7 min
I7 = 46 m³ -10 m³ = 36 m³ .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Wie viele Personen wären nach diesem Modell bereits zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge auf dem Festivalgelände gewesen, wenn nach 7 Sekunden 59 Personen anwesend sind?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I1 (von 0 bis 3): Rechtecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

I2 (von 3 bis 6): Trapezfläche I2 = (6 - 3) ⋅ 3 + 4 2 = 3 ⋅ 3.5 = 10.5.

I3 (von 6 bis 7): Rechtecksfläche I3 = (7 - 6) ⋅ 4 = 1 ⋅ 4 = 4.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 7 gilt somit:

Iges = 9 +10.5 +4 = 23.5

Da ja nach 7 s 59 Personen vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=7 insgesamt 23.5 Personen dazu kam, müssen es zu Beginn
Istart = 59 Personen - 23.5 Personen = 35.5 Personen gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

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Bei einem Festival soll die Ankunftsrate bzw. die Austrittsrate (bei negativen Funktionswerten) der Besucher durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge sind bereits 41 Personen auf dem Festivalgelände. Bestimme die maximale und die minimale Anzahl an Personen im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=9 Sekunden.

Lösung einblenden

Im ersten Teil zwischen t=0 und t=2 nimmt der Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) ausschließlich zu, und zwar um:

IZunahme =

I1 (von 0 bis 2): Dreiecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅ 4 2 = 8 2 = 4.

Somit nimmt der Bestand bis t=2 um 4 zu.

Weil danach der Bestand wieder ständig abnimmt, ist zum Zeitpunkt t=2 der maximale Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) erreicht mit:
Bmax = 41 Personen +4 Personen = 45 Personen.

Die anschließende Abnahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I2 (von 2 bis 5): Dreiecksfläche I2 = (5 - 2) ⋅ ( - 1 ) 2 = -3 2 = -1.5.

I3 (von 5 bis 7): Rechtecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

I4 (von 7 bis 9): Trapezfläche I4 = (9 - 7) ⋅ -1 + ( - 4 ) 2 = 2 ⋅ ( - 2.5 ) = -5.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) von Bend = 45 Personen -8.5 Personen = 36.5 Personen.

Da dies weniger ist als zu Beginn der Beobachtung (41 Personen), ist dies der minimale Bestand(Personen auf dem Festivalgelände):
Bmin = 36.5 Personen