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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Im Schaubild sieht man den Graph einer Funktion f, die eine Änderungsrate angibt.Bestimme den Zuwachs des Bestand zwischen t1=0 und t2=7.

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands zwischen 0 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I1 (von 0 bis 2): Dreiecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅ 1 2 = 2 2 = 1.

I2 (von 2 bis 4): Rechtecksfläche I2 = (4 - 2) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

I3 (von 4 bis 7): Dreiecksfläche I3 = (7 - 4) ⋅ 1 2 = 3 2 = 1.5.

Für den Zuwachs des Bestands zwischen 0 und 7 gilt somit:

Iges = 1 +2 +1.5 = 4.5

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Zu Beginn der Beobachtung (t=0) sind 64m³ Wasser im Tank. Wie viel Wasser ist nach 8 Minuten im Tank?

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Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 8 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I1 (von 0 bis 2): Rechtecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I2 (von 2 bis 5): Dreiecksfläche I2 = (5 - 2) ⋅ ( - 2 ) 2 = -6 2 = -3.

I3 (von 5 bis 8): Dreiecksfläche I3 = (8 - 5) ⋅ 2 2 = 6 2 = 3.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 8 gilt somit:

Iges = -4 -3 +3 = -4

Da zu Begin ja bereits 64 m³ vorhanden waren, sind es nun nach 8 min
I8 = 64 m³ -4 m³ = 60 m³ .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

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Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Wie viele Personen wären nach diesem Modell bereits zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge auf dem Festivalgelände gewesen, wenn nach 9 Sekunden 84 Personen anwesend sind?

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Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 9 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I1 (von 0 bis 2): Dreiecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅ 1 2 = 2 2 = 1.

I2 (von 2 bis 3): Rechtecksfläche I2 = (3 - 2) ⋅ 1 = 1 ⋅ 1 = 1.

I3 (von 3 bis 6): Trapezfläche I3 = (6 - 3) ⋅ 1 + 6 2 = 3 ⋅ 3.5 = 10.5.

I4 (von 6 bis 9): Rechtecksfläche I4 = (9 - 6) ⋅ 6 = 3 ⋅ 6 = 18.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 9 gilt somit:

Iges = 1 +1 +10.5 +18 = 30.5

Da ja nach 9 s 84 Personen vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=9 insgesamt 30.5 Personen dazu kam, müssen es zu Beginn
Istart = 84 Personen - 30.5 Personen = 53.5 Personen gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Zu Beginn der Beobachtung (t=0) sind 27m³ Wasser im Tank. Bestimme die maximale und die minimale Wassermenge im Tank im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=10 Minuten.

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Im ersten Teil zwischen t=0 und t=3 nimmt der Bestand (Wasser im Wassertank) ausschließlich ab, und zwar um:

IAbnahme =

I1 (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅ ( - 3 ) 2 = -9 2 = -4.5.

Somit nimmt der Bestand bis t=3 um -4.5 ab.

Weil danach der Bestand wieder ständig zunimmt, ist zum Zeitpunkt t=3 der minimale Bestand (Wasser im Wassertank) erreicht mit:
Bmin = 27 m³ -4.5 m³ = 22.5 m³.

Die anschließende Zunahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I2 (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I2 = (5 - 3) ⋅ 2 2 = 4 2 = 2.

I3 (von 5 bis 7): Rechtecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I4 (von 7 bis 10): Trapezfläche I4 = (10 - 7) ⋅ 2 + 3 2 = 3 ⋅ 2.5 = 7.5.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Wasser im Wassertank) von Bend = 22.5 m³ +13.5 m³ = 36 m³.

Da dies mehr ist als zu Beginn der Beobachtung (27 m³), ist dies der maximale Bestand(Wasser im Wassertank):
Bmax = 36 m³