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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Wie viele Personen würden nach diesem Modell in den ersten 8 Sekunden aufs Festivalgelände kommen?(Auch wenn es in der Realität natürlich keinen Sinn macht, soll hier der genaue ungerundete Wert eingegeben werden)

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 8 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 2): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅5}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5.

I₂ (von 2 bis 3): Rechtecksfläche I₂ = (3 - 2) ⋅ 5 = 1 ⋅ 5 = 5.

I₃ (von 3 bis 5): Trapezfläche I₃ = (5 - 3) ⋅ $\frac{5 +2}{2}$ = 2 ⋅ 3.5 = 7.

I₄ (von 5 bis 7): Rechtecksfläche I₄ = (7 - 5) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₅ (von 7 bis 8): Trapezfläche I₅ = (8 - 7) ⋅ $\frac{2 +5}{2}$ = 1 ⋅ 3.5 = 3.5.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 8 gilt somit:

I_ges = 5 +5 +7 +4 +3.5 = 24.5

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Zu Beginn der Beobachtung (t=0) sind 54m³ Wasser im Tank. Wie viel Wasser ist nach 7 Minuten im Tank?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 2): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₂ (von 2 bis 5): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ (von 5 bis 7): Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 7 gilt somit:

I_ges = -4 +3 +4 = 3

Da zu Begin ja bereits 54 m³ vorhanden waren, sind es nun nach 7 min
I₇ = 54 m³ +3 m³ = 57 m³ .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Wie viele Personen wären nach diesem Modell bereits zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge auf dem Festivalgelände gewesen, wenn nach 10 Sekunden 74 Personen anwesend sind?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Trapezfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ $\frac{2 +3}{2}$ = 3 ⋅ 2.5 = 7.5.

I₂ (von 3 bis 5): Rechtecksfläche I₂ = (5 - 3) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₃ (von 5 bis 8): Trapezfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ $\frac{3 +4}{2}$ = 3 ⋅ 3.5 = 10.5.

I₄ (von 8 bis 10): Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 10 gilt somit:

I_ges = 7.5 +6 +10.5 +8 = 32

Da ja nach 10 s 74 Personen vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=10 insgesamt 32 Personen dazu kam, müssen es zu Beginn
I_start = 74 Personen - 32 Personen = 42 Personen gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Zu Beginn der Beobachtung (t=0) sind 51m³ Wasser im Tank. Bestimme die maximale und die minimale Wassermenge im Tank im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=8 Minuten.

Lösung einblenden

Im ersten Teil zwischen t=0 und t=5 nimmt der Bestand (Wasser im Wassertank) ausschließlich zu, und zwar um:

I_Zunahme =

I₁ (von 0 bis 3): Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

I₂ (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit nimmt der Bestand bis t=5 um 9 +3 = 12 zu.

Weil danach der Bestand wieder ständig abnimmt, ist zum Zeitpunkt t=5 der maximale Bestand (Wasser im Wassertank) erreicht mit:
B_max = 51 m³ +12 m³ = 63 m³.

Die anschließende Abnahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I₃ (von 5 bis 8): Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Wasser im Wassertank) von B_end = 63 m³ -3 m³ = 60 m³.

Da dies nicht weniger ist als zu Beginn der Beobachtung (51 m³), ist der minimale Bestand (Wasser im Wassertank) der Startwert:
B_min = 51 m³

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Integrale graphisch BF

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Min. und Maximum bei graph. Integral