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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph einer Funktion f, die eine Änderungsrate angibt.Bestimme den Zuwachs des Bestand zwischen t₁=0 und t₂=7.

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands zwischen 0 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 2): Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₂ (von 2 bis 5): Trapezfläche I₂ = (5 - 2) ⋅ $\frac{4 +5}{2}$ = 3 ⋅ 4.5 = 13.5.

I₃ (von 5 bis 7): Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 5 = 2 ⋅ 5 = 10.

Für den Zuwachs des Bestands zwischen 0 und 7 gilt somit:

I_ges = 8 +13.5 +10 = 31.5

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Zu Beginn der Beobachtung (t=0) sind 35m³ Wasser im Tank. Wie viel Wasser ist nach 8 Minuten im Tank?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 8 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₂ (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₃ (von 5 bis 8): Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 8 gilt somit:

I_ges = -6 +1 +3 = -2

Da zu Begin ja bereits 35 m³ vorhanden waren, sind es nun nach 8 min
I₈ = 35 m³ -2 m³ = 33 m³ .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in l/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Nach 8 Sekunden sind 68 Liter Wasser im Tank. Wie viel Wasser war zu Beginn der Beobachtung (t=0) im Tank?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 8 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ (von 3 bis 6): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ (von 6 bis 8): Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 8 gilt somit:

I_ges = 3 -6 -8 = -11

Da ja nach 8 Sekunden 68 Liter vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=8 insgesamt -11 Liter dazu, also 11 Liter weg kam, müssen es zu Beginn
I_start = 68 Liter - ( - 11 ) Liter = 79 Liter gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate bzw. die Austrittsrate (bei negativen Funktionswerten) der Besucher durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge sind bereits 31 Personen auf dem Festivalgelände. Bestimme die maximale und die minimale Anzahl an Personen im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=8 Sekunden.

Lösung einblenden

Im ersten Teil zwischen t=0 und t=4 nimmt der Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) ausschließlich ab, und zwar um:

I_Abnahme =

I₁ (von 0 bis 2): Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I₂ (von 2 bis 4): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit nimmt der Bestand bis t=4 um -6 -3 = -9 ab.

Weil danach der Bestand wieder ständig zunimmt, ist zum Zeitpunkt t=4 der minimale Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) erreicht mit:
B_min = 31 Personen -9 Personen = 22 Personen.

Die anschließende Zunahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I₃ (von 4 bis 6): Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₄ (von 6 bis 8): Rechtecksfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) von B_end = 22 Personen +6 Personen = 28 Personen.

Da dies nicht mehr ist als zu Beginn der Beobachtung (31 Personen), ist der maximale Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) der Startwert:
B_max = 31 Personen

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Integrale graphisch BF

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Min. und Maximum bei graph. Integral