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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Wie weit (in cm) ist die Modelleisenbahn zwischen t=2 Sekunden und t=7 Sekunden gefahren?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (zurückgelegte Strecke der Modelleisenbahn) zwischen 2 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I2 (von 2 bis 5): keine Fläche in diesem Abschnitt, also I = 0.

I3 (von 5 bis 7): Dreiecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅ 1 2 = 2 2 = 1.

Für den Zuwachs des Bestands (zurückgelegte Strecke der Modelleisenbahn) zwischen 2 und 7 gilt somit:

Iges = 0 +1 = 1

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Negative Geschwindigkeiten bedeuten, dass die Lok rückwärts fährt. Bei Beobachtungsbeginn ist die Lok nach Verlassen des Bahnhofs 53 cm vom Bahnhof entfernt. Wie weit (in cm) ist die Modelleisenbahn nach t=10 Sekunden vom Bahnhof entfernt?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I1 (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅ 2 2 = 6 2 = 3.

I2 (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I2 = (5 - 3) ⋅ ( - 4 ) 2 = -8 2 = -4.

I3 (von 5 bis 7): Rechtecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I4 (von 7 bis 10): Trapezfläche I4 = (10 - 7) ⋅ -4 + ( - 1 ) 2 = 3 ⋅ ( - 2.5 ) = -7.5.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 10 gilt somit:

Iges = 3 -4 -8 -7.5 = -16.5

Da zu Begin ja bereits 53 cm vorhanden waren, sind es nun nach 10 s
I10 = 53 cm -16.5 cm = 36.5 cm .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn, die aus dem Bahnhof ausfährt (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Negative Geschwindigkeiten bedeuten, dass die Lok rückwärts fährt, also wieder Richtung Bahnhof. Wie weit (in cm) war die Modelleisenbahn bei Beobachtungsbeginn vom Bahnhof entfernt, wenn sie nach t=10 Sekunden bereits 69 cm vom Bahnhof entfernt war ?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I1 (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅ 2 2 = 6 2 = 3.

I2 (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I2 = (5 - 3) ⋅ ( - 3 ) 2 = -6 2 = -3.

I3 (von 5 bis 7): Rechtecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I4 (von 7 bis 10): Trapezfläche I4 = (10 - 7) ⋅ -3 + ( - 2 ) 2 = 3 ⋅ ( - 2.5 ) = -7.5.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 10 gilt somit:

Iges = 3 -3 -6 -7.5 = -13.5

Da ja nach 10 s 69 cm vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=10 insgesamt -13.5 cm dazu, also 13.5 cm weg kam, müssen es zu Beginn
Istart = 69 cm - ( - 13.5 ) cm = 82.5 cm gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

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Bei einem Festival soll die Ankunftsrate bzw. die Austrittsrate (bei negativen Funktionswerten) der Besucher durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge sind bereits 59 Personen auf dem Festivalgelände. Bestimme die maximale und die minimale Anzahl an Personen im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=6 Sekunden.

Lösung einblenden

Im ersten Teil zwischen t=0 und t=2 nimmt der Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) ausschließlich ab, und zwar um:

IAbnahme =

I1 (von 0 bis 2): Dreiecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅ ( - 4 ) 2 = -8 2 = -4.

Somit nimmt der Bestand bis t=2 um -4 ab.

Weil danach der Bestand wieder ständig zunimmt, ist zum Zeitpunkt t=2 der minimale Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) erreicht mit:
Bmin = 59 Personen -4 Personen = 55 Personen.

Die anschließende Zunahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I2 (von 2 bis 4): Dreiecksfläche I2 = (4 - 2) ⋅ 3 2 = 6 2 = 3.

I3 (von 4 bis 6): Rechtecksfläche I3 = (6 - 4) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) von Bend = 55 Personen +9 Personen = 64 Personen.

Da dies mehr ist als zu Beginn der Beobachtung (59 Personen), ist dies der maximale Bestand(Personen auf dem Festivalgelände):
Bmax = 64 Personen