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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph einer Funktion f, die eine Änderungsrate angibt.Bestimme den Zuwachs des Bestand zwischen t₁=0 und t₂=7.

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands zwischen 0 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 1): Rechtecksfläche I₁ = (1 - 0) ⋅ 4 = 1 ⋅ 4 = 4.

I₂ (von 1 bis 4): Trapezfläche I₂ = (4 - 1) ⋅ $\frac{4 +3}{2}$ = 3 ⋅ 3.5 = 10.5.

I₃ (von 4 bis 7): Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Für den Zuwachs des Bestands zwischen 0 und 7 gilt somit:

I_ges = 4 +10.5 +9 = 23.5

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge sind bereits 57 Personen auf dem Festivalgelände. Wie viele Personen würden nach diesem Modell nach 8 Sekunden auf dem Festivalgelände sein?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 8 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 2): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅6}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₂ (von 2 bis 5): Rechtecksfläche I₂ = (5 - 2) ⋅ 6 = 3 ⋅ 6 = 18.

I₃ (von 5 bis 8): Trapezfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ $\frac{6 +2}{2}$ = 3 ⋅ 4 = 12.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 8 gilt somit:

I_ges = 6 +18 +12 = 36

Da zu Begin ja bereits 57 Personen vorhanden waren, sind es nun nach 8 s
I₈ = 57 Personen +36 Personen = 93 Personen .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in l/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Nach 8 Sekunden sind 83 Liter Wasser im Tank. Wie viel Wasser war zu Beginn der Beobachtung (t=0) im Tank?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 8 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ (von 3 bis 6): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ (von 6 bis 8): Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 8 gilt somit:

I_ges = -3 +6 +8 = 11

Da ja nach 8 Sekunden 83 Liter vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=8 insgesamt 11 Liter dazu kam, müssen es zu Beginn
I_start = 83 Liter - 11 Liter = 72 Liter gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn, die aus dem Bahnhof ausfährt (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Negative Geschwindigkeiten bedeuten, dass die Lok rückwärts fährt, also wieder Richtung Bahnhof zurück. Bei Beobachtungsbeginn ist die Lok 57 cm vom Bahnhof entfernt. Bestimme die maximale und die minimale Entfernung der Lok vom Bahnhof im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=10 Sekunden.

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Im ersten Teil zwischen t=0 und t=2 nimmt der Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) ausschließlich ab, und zwar um:

I_Abnahme =

I₁ (von 0 bis 2): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

Somit nimmt der Bestand bis t=2 um -4 ab.

Weil danach der Bestand wieder ständig zunimmt, ist zum Zeitpunkt t=2 der minimale Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) erreicht mit:
B_min = 57 cm -4 cm = 53 cm.

Die anschließende Zunahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I₂ (von 2 bis 5): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ (von 5 bis 7): Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₄ (von 7 bis 10): Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{4 +3}{2}$ = 3 ⋅ 3.5 = 10.5.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) von B_end = 53 cm +24.5 cm = 77.5 cm.

Da dies mehr ist als zu Beginn der Beobachtung (57 cm), ist dies der maximale Bestand(Entfernung der Lok vom Bahnhof):
B_max = 77.5 cm

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Integrale graphisch BF

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Min. und Maximum bei graph. Integral