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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Wie weit (in cm) ist die Modelleisenbahn zwischen t=3 Sekunden und t=9 Sekunden gefahren?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (zurückgelegte Strecke der Modelleisenbahn) zwischen 3 und 9 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₂ (von 3 bis 5): Trapezfläche I₂ = (5 - 3) ⋅ $\frac{4 +3}{2}$ = 2 ⋅ 3.5 = 7.

I₃ (von 5 bis 6): Rechtecksfläche I₃ = (6 - 5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3 = 3.

I₄ (von 6 bis 9): Trapezfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ $\frac{3 +5}{2}$ = 3 ⋅ 4 = 12.

Für den Zuwachs des Bestands (zurückgelegte Strecke der Modelleisenbahn) zwischen 3 und 9 gilt somit:

I_ges = 7 +3 +12 = 22

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge sind bereits 58 Personen auf dem Festivalgelände. Wie viele Personen würden nach diesem Modell nach 10 Sekunden auf dem Festivalgelände sein?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₂ (von 3 bis 5): Rechtecksfläche I₂ = (5 - 3) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₃ (von 5 bis 8): Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₄ (von 8 bis 10): keine Fläche in diesem Abschnitt, also I = 0.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 10 gilt somit:

I_ges = 6 +8 +6 +0 = 20

Da zu Begin ja bereits 58 Personen vorhanden waren, sind es nun nach 10 s
I₁₀ = 58 Personen +20 Personen = 78 Personen .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Wie viele Personen wären nach diesem Modell bereits zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge auf dem Festivalgelände gewesen, wenn nach 9 Sekunden 53 Personen anwesend sind?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 9 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 1): Trapezfläche I₁ = (1 - 0) ⋅ $\frac{3 +5}{2}$ = 1 ⋅ 4 = 4.

I₂ (von 1 bis 4): Rechtecksfläche I₂ = (4 - 1) ⋅ 5 = 3 ⋅ 5 = 15.

I₃ (von 4 bis 6): Trapezfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ $\frac{5 +6}{2}$ = 2 ⋅ 5.5 = 11.

I₄ (von 6 bis 9): Rechtecksfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ 6 = 3 ⋅ 6 = 18.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 9 gilt somit:

I_ges = 4 +15 +11 +18 = 48

Da ja nach 9 s 53 Personen vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=9 insgesamt 48 Personen dazu kam, müssen es zu Beginn
I_start = 53 Personen - 48 Personen = 5 Personen gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate bzw. die Austrittsrate (bei negativen Funktionswerten) der Besucher durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge sind bereits 51 Personen auf dem Festivalgelände. Bestimme die maximale und die minimale Anzahl an Personen im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=8 Sekunden.

Lösung einblenden

Im ersten Teil zwischen t=0 und t=4 nimmt der Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) ausschließlich zu, und zwar um:

I_Zunahme =

I₁ (von 0 bis 2): Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₂ (von 2 bis 4): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit nimmt der Bestand bis t=4 um 6 +3 = 9 zu.

Weil danach der Bestand wieder ständig abnimmt, ist zum Zeitpunkt t=4 der maximale Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) erreicht mit:
B_max = 51 Personen +9 Personen = 60 Personen.

Die anschließende Abnahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I₃ (von 4 bis 6): Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₄ (von 6 bis 8): Rechtecksfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) von B_end = 60 Personen -9 Personen = 51 Personen.

Da dies nicht weniger ist als zu Beginn der Beobachtung (51 Personen), ist der minimale Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) der Startwert:
B_min = 51 Personen

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Integrale graphisch BF

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Min. und Maximum bei graph. Integral