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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Wie weit (in cm) ist die Modelleisenbahn zwischen t=0 Sekunden und t=6 Sekunden gefahren?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (zurückgelegte Strecke der Modelleisenbahn) zwischen 0 und 6 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I₂ (von 3 bis 6): Trapezfläche I₂ = (6 - 3) ⋅ $\frac{2 +1}{2}$ = 3 ⋅ 1.5 = 4.5.

Für den Zuwachs des Bestands (zurückgelegte Strecke der Modelleisenbahn) zwischen 0 und 6 gilt somit:

I_ges = 6 +4.5 = 10.5

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Negative Geschwindigkeiten bedeuten, dass die Lok rückwärts fährt. Bei Beobachtungsbeginn ist die Lok nach Verlassen des Bahnhofs 27 cm vom Bahnhof entfernt. Wie weit (in cm) ist die Modelleisenbahn nach t=8 Sekunden vom Bahnhof entfernt?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 8 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₂ (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ (von 5 bis 8): Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 8 gilt somit:

I_ges = -4.5 +2 +6 = 3.5

Da zu Begin ja bereits 27 cm vorhanden waren, sind es nun nach 8 s
I₈ = 27 cm +3.5 cm = 30.5 cm .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn, die aus dem Bahnhof ausfährt (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Negative Geschwindigkeiten bedeuten, dass die Lok rückwärts fährt, also wieder Richtung Bahnhof. Wie weit (in cm) war die Modelleisenbahn bei Beobachtungsbeginn vom Bahnhof entfernt, wenn sie nach t=9 Sekunden bereits 86 cm vom Bahnhof entfernt war ?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 9 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ (von 3 bis 6): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₃ (von 6 bis 9): Rechtecksfläche I₃ = (9 - 6) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 9 gilt somit:

I_ges = -3 +1.5 +3 = 1.5

Da ja nach 9 s 86 cm vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=9 insgesamt 1.5 cm dazu kam, müssen es zu Beginn
I_start = 86 cm - 1.5 cm = 84.5 cm gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate bzw. die Austrittsrate (bei negativen Funktionswerten) der Besucher durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge sind bereits 51 Personen auf dem Festivalgelände. Bestimme die maximale und die minimale Anzahl an Personen im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=8 Sekunden.

Lösung einblenden

Im ersten Teil zwischen t=0 und t=5 nimmt der Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) ausschließlich ab, und zwar um:

I_Abnahme =

I₁ (von 0 bis 3): Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

I₂ (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

Somit nimmt der Bestand bis t=5 um -6 -2 = -8 ab.

Weil danach der Bestand wieder ständig zunimmt, ist zum Zeitpunkt t=5 der minimale Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) erreicht mit:
B_min = 51 Personen -8 Personen = 43 Personen.

Die anschließende Zunahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I₃ (von 5 bis 8): Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) von B_end = 43 Personen +4.5 Personen = 47.5 Personen.

Da dies nicht mehr ist als zu Beginn der Beobachtung (51 Personen), ist der maximale Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) der Startwert:
B_max = 51 Personen

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Integrale graphisch BF

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Min. und Maximum bei graph. Integral