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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Im Schaubild sieht man den Graph einer Funktion f, die eine Änderungsrate angibt.Bestimme den Zuwachs des Bestand zwischen t1=0 und t2=6.

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands zwischen 0 und 6 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I1 (von 0 bis 1): Rechtecksfläche I1 = (1 - 0) ⋅ 4 = 1 ⋅ 4 = 4.

I2 (von 1 bis 4): Trapezfläche I2 = (4 - 1) ⋅ 4 + 2 2 = 3 ⋅ 3 = 9.

I3 (von 4 bis 6): Rechtecksfläche I3 = (6 - 4) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

Für den Zuwachs des Bestands zwischen 0 und 6 gilt somit:

Iges = 4 +9 +4 = 17

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge sind bereits 35 Personen auf dem Festivalgelände. Wie viele Personen würden nach diesem Modell nach 7 Sekunden auf dem Festivalgelände sein?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I1 (von 0 bis 2): Rechtecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I2 (von 2 bis 4): Trapezfläche I2 = (4 - 2) ⋅ 4 + 3 2 = 2 ⋅ 3.5 = 7.

I3 (von 4 bis 7): Rechtecksfläche I3 = (7 - 4) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 7 gilt somit:

Iges = 8 +7 +9 = 24

Da zu Begin ja bereits 35 Personen vorhanden waren, sind es nun nach 7 s
I7 = 35 Personen +24 Personen = 59 Personen .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in l/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Nach 10 Sekunden sind 65 Liter Wasser im Tank. Wie viel Wasser war zu Beginn der Beobachtung (t=0) im Tank?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I1 (von 0 bis 3): Rechtecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I2 (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I2 = (5 - 3) ⋅ ( - 3 ) 2 = -6 2 = -3.

I3 (von 5 bis 7): Dreiecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅ 2 2 = 4 2 = 2.

I4 (von 7 bis 10): Rechtecksfläche I4 = (10 - 7) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 10 gilt somit:

Iges = -9 -3 +2 +6 = -4

Da ja nach 10 Sekunden 65 Liter vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=10 insgesamt -4 Liter dazu, also 4 Liter weg kam, müssen es zu Beginn
Istart = 65 Liter - ( - 4 ) Liter = 69 Liter gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn, die aus dem Bahnhof ausfährt (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Negative Geschwindigkeiten bedeuten, dass die Lok rückwärts fährt, also wieder Richtung Bahnhof zurück. Bei Beobachtungsbeginn ist die Lok 65 cm vom Bahnhof entfernt. Bestimme die maximale und die minimale Entfernung der Lok vom Bahnhof im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=10 Sekunden.

Lösung einblenden

Im ersten Teil zwischen t=0 und t=5 nimmt der Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) ausschließlich zu, und zwar um:

IZunahme =

I1 (von 0 bis 3): Rechtecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I2 (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I2 = (5 - 3) ⋅ 4 2 = 8 2 = 4.

Somit nimmt der Bestand bis t=5 um 12 +4 = 16 zu.

Weil danach der Bestand wieder ständig abnimmt, ist zum Zeitpunkt t=5 der maximale Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) erreicht mit:
Bmax = 65 cm +16 cm = 81 cm.

Die anschließende Abnahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I3 (von 5 bis 7): Dreiecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅ ( - 4 ) 2 = -8 2 = -4.

I4 (von 7 bis 10): Rechtecksfläche I4 = (10 - 7) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) von Bend = 81 cm -16 cm = 65 cm.

Da dies nicht weniger ist als zu Beginn der Beobachtung (65 cm), ist der minimale Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) der Startwert:
Bmin = 65 cm