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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Zuflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Wie viel Wasser ist in den ersten 10 Minuten in den Tank hinein geflossen?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Wasser in einen Wassertank) zwischen 0 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 2): Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₂ (von 2 bis 4): Trapezfläche I₂ = (4 - 2) ⋅ $\frac{3 +4}{2}$ = 2 ⋅ 3.5 = 7.

I₃ (von 4 bis 7): Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I₄ (von 7 bis 10): Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{4 +3}{2}$ = 3 ⋅ 3.5 = 10.5.

Für den Zuwachs des Bestands (Wasser in einen Wassertank) zwischen 0 und 10 gilt somit:

I_ges = 6 +7 +12 +10.5 = 35.5

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge sind bereits 65 Personen auf dem Festivalgelände. Wie viele Personen würden nach diesem Modell nach 9 Sekunden auf dem Festivalgelände sein?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 9 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 1): Rechtecksfläche I₁ = (1 - 0) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3 = 3.

I₂ (von 1 bis 4): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 1) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ (von 4 bis 6): keine Fläche in diesem Abschnitt, also I = 0.

I₄ (von 6 bis 9): Dreiecksfläche I₄ = $\frac{(9 - 6) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 9 gilt somit:

I_ges = 3 +4.5 +0 +1.5 = 9

Da zu Begin ja bereits 65 Personen vorhanden waren, sind es nun nach 9 s
I₉ = 65 Personen +9 Personen = 74 Personen .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn, die aus dem Bahnhof ausfährt (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Negative Geschwindigkeiten bedeuten, dass die Lok rückwärts fährt, also wieder Richtung Bahnhof. Wie weit (in cm) war die Modelleisenbahn bei Beobachtungsbeginn vom Bahnhof entfernt, wenn sie nach t=7 Sekunden bereits 64 cm vom Bahnhof entfernt war ?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

I₂ (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ (von 5 bis 7): Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 7 gilt somit:

I_ges = 9 +3 -3 = 9

Da ja nach 7 s 64 cm vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=7 insgesamt 9 cm dazu kam, müssen es zu Beginn
I_start = 64 cm - 9 cm = 55 cm gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Zu Beginn der Beobachtung (t=0) sind 41m³ Wasser im Tank. Bestimme die maximale und die minimale Wassermenge im Tank im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=9 Minuten.

Lösung einblenden

Im ersten Teil zwischen t=0 und t=6 nimmt der Bestand (Wasser im Wassertank) ausschließlich zu, und zwar um:

I_Zunahme =

I₁ (von 0 bis 3): Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I₂ (von 3 bis 6): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit nimmt der Bestand bis t=6 um 6 +3 = 9 zu.

Weil danach der Bestand wieder ständig abnimmt, ist zum Zeitpunkt t=6 der maximale Bestand (Wasser im Wassertank) erreicht mit:
B_max = 41 m³ +9 m³ = 50 m³.

Die anschließende Abnahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I₃ (von 6 bis 9): Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(9 - 6) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Wasser im Wassertank) von B_end = 50 m³ -3 m³ = 47 m³.

Da dies nicht weniger ist als zu Beginn der Beobachtung (41 m³), ist der minimale Bestand (Wasser im Wassertank) der Startwert:
B_min = 41 m³

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Integrale graphisch BF

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Min. und Maximum bei graph. Integral