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cosh
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Integrale graphisch BF
Beispiel:
Den Zuwachs des Bestands zwischen 0 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I1 (von 0 bis 2):
Rechtecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅
I2 (von 2 bis 5):
Trapezfläche I2 = (5 - 2) ⋅
= 3 ⋅
I3 (von 5 bis 7):
Rechtecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅
Für den Zuwachs des Bestands zwischen 0 und 7 gilt somit:
Iges = 8
Integrale graphisch BF (mit Startwert)
Beispiel:
Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 6 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I1 (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I1 = = = -6.
I2 (von 3 bis 6): Dreiecksfläche I2 = = = 3.
Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 6 gilt somit:
Iges = -6
Da zu Begin ja bereits 52 m³ vorhanden waren, sind es nun nach 6 min
I6 = 52 m³
Integrale graphisch BF (mit Endwert)
Beispiel:
Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 8 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I1 (von 0 bis 2):
Rechtecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅
I2 (von 2 bis 5): Dreiecksfläche I2 = = = 6.
I3 (von 5 bis 8): Dreiecksfläche I3 = = = -3.
Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 8 gilt somit:
Iges = 8
Da ja nach 8 s 59 cm vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=8 insgesamt 11 cm dazu kam,
müssen es zu Beginn
Istart =
59 cm -
Min. und Maximum bei graph. Integral
Beispiel:
Im ersten Teil zwischen t=0 und t=5 nimmt der Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) ausschließlich ab, und zwar um:
IAbnahme =
I1 (von 0 bis 3):
Rechtecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅
I2 (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I2 = = = -2.
Somit nimmt der Bestand bis t=5 um -6
Weil danach der Bestand wieder ständig zunimmt, ist zum Zeitpunkt t=5 der minimale Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) erreicht mit:
Bmin = 56 Personen
Die anschließende Zunahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:
I3 (von 5 bis 7): Dreiecksfläche I3 = = = 4.
I4 (von 7 bis 10):
Rechtecksfläche I4 = (10 - 7) ⋅
Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) von Bend = 48 Personen
Da dies mehr ist als zu Beginn der Beobachtung (56 Personen), ist dies der maximale Bestand(Personen auf dem Festivalgelände):
Bmax = 64 Personen