Mathebattle EduRandomtasks

Integrale graphisch BF

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Wie weit (in cm) ist die Modelleisenbahn zwischen t=2 Sekunden und t=8 Sekunden gefahren?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (zurückgelegte Strecke der Modelleisenbahn) zwischen 2 und 8 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₂ (von 2 bis 4): keine Fläche in diesem Abschnitt, also I = 0.

I₃ (von 4 bis 6): Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₄ (von 6 bis 8): Rechtecksfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Für den Zuwachs des Bestands (zurückgelegte Strecke der Modelleisenbahn) zwischen 2 und 8 gilt somit:

I_ges = 0 +1 +2 = 3

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Zu Beginn der Beobachtung (t=0) sind 32m³ Wasser im Tank. Wie viel Wasser ist nach 9 Minuten im Tank?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 9 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₂ (von 3 bis 6): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ (von 6 bis 9): Rechtecksfläche I₃ = (9 - 6) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 9 gilt somit:

I_ges = -4.5 +4.5 +9 = 9

Da zu Begin ja bereits 32 m³ vorhanden waren, sind es nun nach 9 min
I₉ = 32 m³ +9 m³ = 41 m³ .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn, die aus dem Bahnhof ausfährt (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Negative Geschwindigkeiten bedeuten, dass die Lok rückwärts fährt, also wieder Richtung Bahnhof. Wie weit (in cm) war die Modelleisenbahn bei Beobachtungsbeginn vom Bahnhof entfernt, wenn sie nach t=6 Sekunden bereits 65 cm vom Bahnhof entfernt war ?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 6 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ (von 0 bis 3): Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I₂ (von 3 bis 6): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 6 gilt somit:

I_ges = 6 +3 = 9

Da ja nach 6 s 65 cm vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=6 insgesamt 9 cm dazu kam, müssen es zu Beginn
I_start = 65 cm - 9 cm = 56 cm gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn, die aus dem Bahnhof ausfährt (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Negative Geschwindigkeiten bedeuten, dass die Lok rückwärts fährt, also wieder Richtung Bahnhof zurück. Bei Beobachtungsbeginn ist die Lok 50 cm vom Bahnhof entfernt. Bestimme die maximale und die minimale Entfernung der Lok vom Bahnhof im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=9 Sekunden.

Lösung einblenden

Im ersten Teil zwischen t=0 und t=2 nimmt der Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) ausschließlich zu, und zwar um:

I_Zunahme =

I₁ (von 0 bis 2): Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

Somit nimmt der Bestand bis t=2 um 2 zu.

Weil danach der Bestand wieder ständig abnimmt, ist zum Zeitpunkt t=2 der maximale Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) erreicht mit:
B_max = 50 cm +2 cm = 52 cm.

Die anschließende Abnahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I₂ (von 2 bis 4): Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ (von 4 bis 7): Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

I₄ (von 7 bis 9): Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{-4 +(-1)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 2.5 ) = -5.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Entfernung der Lok vom Bahnhof) von B_end = 52 cm -21 cm = 31 cm.

Da dies weniger ist als zu Beginn der Beobachtung (50 cm), ist dies der minimale Bestand(Entfernung der Lok vom Bahnhof):
B_min = 31 cm

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Integrale graphisch BF

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Min. und Maximum bei graph. Integral