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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 18 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 21,985 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 11 Stunden? b) Wann waren es 21 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $18 e^{k \cdot 10}$ = 21,9852.

$18 e^{10 k}$	=	$21,9852$	\|: $18$
$e^{10 k}$	=	$1,2214$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (1,2214)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (1,2214)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.01999977418069, => f(t)= $18 e^{0,02 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $18 e^{0,02 \cdot 11}$ ≈ 22.4

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

$18 e^{0,02 t}$	=	$21$	\|: $18$
$e^{0,02 t}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$0,02 t$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $0,02$
$t$	=	$\frac{1}{0,02} \ln (\frac{7}{6})$	≈ 7.7075

also t=7.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 93 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 70 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 93: f(93)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 93}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 70?: f(t)=70

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$70$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$3 500 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (3 500 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (3 500 000)$	≈ 130.868

also t=130.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 14% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 5 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 2 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.86) ≈ -0.15082288973458

=> f(t)= $5 e^{- 0,1508 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $5 e^{- 0,1508 \cdot 4}$ ≈ 2.7

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$5 e^{- 0,1508 t}$	=	$2$	\|: $5$
$e^{- 0,1508 t}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,1508 t$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 0,1508$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1508} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 6.0762

also t=6.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 31°C wird eine Limo aus einem 3° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 14,68°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 12 Minuten? b) Wann ist sie 11°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=31 sein muss.

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $31 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $31 - c$ = $31 - c$

$3$	=	$31 - c$
$3$	=	$- c + 31$	\| $- 3$ $+ c$
$c$	=	$28$

somit gilt: f(t)= $31 - 28 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $31 - 28 e^{- k \cdot 9}$ = 14,68.

31 - 28 e^{- 9 k}

=

14,683

$- 28 e^{- 9 k} + 31$	=	$14,683$	\| $- 31$
$- 28 e^{- 9 k}$	=	$- 16,317$	\|: $- 28$
$e^{- 9 k}$	=	$0,5828$	\|ln(⋅)
$- 9 k$	=	$\ln (0,5828)$	\|: $- 9$
$k$	=	$- \frac{1}{9} \ln (0,5828)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.059990133851232, => f(t)= $31 - 28 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $31 - 28 e^{- 0,06 \cdot 12}$ ≈ 17.4

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

31 - 28 e^{- 0,06 t}

=

11

$- 28 e^{- 0,06 t} + 31$	=	$11$	\| $- 31$
$- 28 e^{- 0,06 t}$	=	$- 20$	\|: $- 28$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{5}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{5}{7})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{5}{7})$	≈ 5.6079

also t=5.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3019 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 69 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2763 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 69 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{69}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(1725 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1725 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 725 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3019 ein (Punktprobe).

$3 019$	=	$1 725 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$3 019$	=	$1 725 - c$
$3 019$	=	$- c + 1 725$	\| $- 3 019$ $+ c$
$c$	=	$- 1 294$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 725 + 1 294 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $1 725 + 1 294 e^{- 0,04 \cdot 12}$ ≈ 2525.7

Wann wird der Wert 2763?: f(t)=2763

1 725 + 1 294 e^{- 0,04 t}

=

2 763

$1 294 e^{- 0,04 t} + 1 725$	=	$2 763$	\| $- 1 725$
$1 294 e^{- 0,04 t}$	=	$1 038$	\|: $1 294$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{519}{647}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{519}{647})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{519}{647})$	≈ 5.5111

also t=5.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $13 e^{0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,02$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.