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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 9g vorhanden. Nach 8 Tagen sind nur noch 6,535g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 5g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $9 e^{k \cdot 8}$ = 6,5353.

$9 e^{8 k}$	=	$6,5353$	\|: $9$
$e^{8 k}$	=	$0,7261$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (0,7261)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (0,7261)$	≈ -0.04

also k ≈ -0.040008441574492, => f(t)= $9 e^{- 0,04 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $9 e^{- 0,04 \cdot 10}$ ≈ 6

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$9 e^{- 0,04 t}$	=	$5$	\|: $9$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{5}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{5}{9})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{5}{9})$	≈ 14.6947

also t=14.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 175 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 18g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 366 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 10,8g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{175}$ ≈ -0.0039608410317711

=> f(t)= $18 e^{- 0,004 t}$

Wert zur Zeit 366: f(366)= $18 e^{- 0,004 \cdot 366}$ ≈ 4.2

Wann wird der Wert 10.8?: f(t)=10.8

$18 e^{- 0,004 t}$	=	$10,8$	\|: $18$
$e^{- 0,004 t}$	=	$0,6$	\|ln(⋅)
$- 0,004 t$	=	$\ln (0,6)$	\|: $- 0,004$
$t$	=	$- \frac{1}{0,004} \ln (0,6)$	≈ 128.9638

also t=129

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 7% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 10 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 13 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.07) ≈ 0.067658648473815

=> f(t)= $10 e^{0,0677 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $10 e^{0,0677 \cdot 2}$ ≈ 11.4

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

$10 e^{0,0677 t}$	=	$13$	\|: $10$
$e^{0,0677 t}$	=	$\frac{13}{10}$	\|ln(⋅)
$0,0677 t$	=	$\ln (\frac{13}{10})$	\|: $0,0677$
$t$	=	$\frac{1}{0,0677} \ln (\frac{13}{10})$	≈ 3.8754

also t=3.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 40 e^{- k \cdot 4}$ = 51.

20 + 40 e^{- 4 k}

=

51,0029

$40 e^{- 4 k} + 20$	=	$51,0029$	\| $- 20$
$40 e^{- 4 k}$	=	$31,0029$	\|: $40$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7751$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7751)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7751)$	≈ 0.0637

also k ≈ 0.063690806423668, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,0637 t}$

Wert zur Zeit 1: f(1)= $20 + 40 e^{- 0,0637 \cdot 1}$ ≈ 57.5

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,0637 t}

=

50

$40 e^{- 0,0637 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,0637 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,0637 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,0637 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,0637$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0637} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 4.5162

also t=4.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2998 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 88 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 15 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2798 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 88 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{88}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(2200 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=2200 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $2 200 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2998 ein (Punktprobe).

$2 998$	=	$2 200 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$2 998$	=	$2 200 - c$
$2 998$	=	$- c + 2 200$	\| $- 2 998$ $+ c$
$c$	=	$- 798$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $2 200 + 798 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $2 200 + 798 e^{- 0,04 \cdot 15}$ ≈ 2638

Wann wird der Wert 2798?: f(t)=2798

2 200 + 798 e^{- 0,04 t}

=

2 798

$798 e^{- 0,04 t} + 2 200$	=	$2 798$	\| $- 2 200$
$798 e^{- 0,04 t}$	=	$598$	\|: $798$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{299}{399}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{299}{399})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{299}{399})$	≈ 7.2129

also t=7.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $8 e^{0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,01$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,01}$ ≈ 69.315 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.