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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 9g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 4,793g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 4g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $9 e^{k \cdot 9}$ = 4,7933.

$9 e^{9 k}$	=	$4,7933$	\|: $9$
$e^{9 k}$	=	$0,5326$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (0,5326)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (0,5326)$	≈ -0.07

also k ≈ -0.069998289511367, => f(t)= $9 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $9 e^{- 0,07 \cdot 11}$ ≈ 4.2

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$9 e^{- 0,07 t}$	=	$4$	\|: $9$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{4}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{4}{9})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{4}{9})$	≈ 11.5847

also t=11.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 81 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 4 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 81: f(81)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 81}$ ≈ 0.2

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$4$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$200 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (200 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (200 000)$	≈ 106.0098

also t=106

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 7% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 2 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 72% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.93) ≈ -0.072570692834835

=> f(t)= $100 e^{- 0,0726 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $100 e^{- 0,0726 \cdot 2}$ ≈ 86.5

Wann wird der Wert 72?: f(t)=72

$100 e^{- 0,0726 t}$	=	$72$	\|: $100$
$e^{- 0,0726 t}$	=	$\frac{18}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,0726 t$	=	$\ln (\frac{18}{25})$	\|: $- 0,0726$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0726} \ln (\frac{18}{25})$	≈ 4.5248

also t=4.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 58° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 58 ist, gilt: f(0)= 58, also 58 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$58$	=	$20 - c$
$58$	=	$- c + 20$	\| $- 58$ $+ c$
$c$	=	$- 38$

somit gilt: f(t)= $20 + 38 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 38 e^{- k \cdot 5}$ = 53.

20 + 38 e^{- 5 k}

=

53,0026

$38 e^{- 5 k} + 20$	=	$53,0026$	\| $- 20$
$38 e^{- 5 k}$	=	$33,0026$	\|: $38$
$e^{- 5 k}$	=	$0,8685$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,8685)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,8685)$	≈ 0.0282

also k ≈ 0.028197538660195, => f(t)= $20 + 38 e^{- 0,0282 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 38 e^{- 0,0282 \cdot 4}$ ≈ 53.9

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 38 e^{- 0,0282 t}

=

50

$38 e^{- 0,0282 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$38 e^{- 0,0282 t}$	=	$30$	\|: $38$
$e^{- 0,0282 t}$	=	$\frac{15}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,0282 t$	=	$\ln (\frac{15}{19})$	\|: $- 0,0282$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0282} \ln (\frac{15}{19})$	≈ 8.3826

also t=8.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 2ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 1% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 13 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 124ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 2 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{2}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(200 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=200 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $200 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$200 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
0	=	$200 - c$
0	=	$- c + 200$	\|0 $+ c$
$c$	=	$200$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $200 - 200 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $200 - 200 e^{- 0,01 \cdot 13}$ ≈ 24.4

Wann wird der Wert 124?: f(t)=124

200 - 200 e^{- 0,01 t}

=

124

$- 200 e^{- 0,01 t} + 200$	=	$124$	\| $- 200$
$- 200 e^{- 0,01 t}$	=	$- 76$	\|: $- 200$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{19}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{19}{50})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{19}{50})$	≈ 96.7584

also t=96.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,04$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.