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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 3g vorhanden. Nach 10 Tagen sind nur noch 1,646g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 13 Tagen da? b) Wann sind nur noch 1g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $3 e^{k \cdot 10}$ = 1,6464.

$3 e^{10 k}$	=	$1,6464$	\|: $3$
$e^{10 k}$	=	$0,5488$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (0,5488)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (0,5488)$	≈ -0.06

also k ≈ -0.060002120257046, => f(t)= $3 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $3 e^{- 0,06 \cdot 13}$ ≈ 1.4

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$3 e^{- 0,06 t}$	=	$1$	\|: $3$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 18.3102

also t=18.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 14 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 18-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 41 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 45-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{14}$ ≈ 0.049510512897139

=> f(t)= $18 e^{0,0495 t}$

Wert zur Zeit 41: f(41)= $18 e^{0,0495 \cdot 41}$ ≈ 137

Wann wird der Wert 45?: f(t)=45

$18 e^{0,0495 t}$	=	$45$	\|: $18$
$e^{0,0495 t}$	=	$\frac{5}{2}$	\|ln(⋅)
$0,0495 t$	=	$\ln (\frac{5}{2})$	\|: $0,0495$
$t$	=	$\frac{1}{0,0495} \ln (\frac{5}{2})$	≈ 18.5068

also t=18.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 18% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 4 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.82) ≈ -0.19845093872384

=> f(t)= $4 e^{- 0,1985 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $4 e^{- 0,1985 \cdot 2}$ ≈ 2.7

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$4 e^{- 0,1985 t}$	=	$1$	\|: $4$
$e^{- 0,1985 t}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,1985 t$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,1985$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1985} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 6.9839

also t=7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 58° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 58 ist, gilt: f(0)= 58, also 58 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$58$	=	$20 - c$
$58$	=	$- c + 20$	\| $- 58$ $+ c$
$c$	=	$- 38$

somit gilt: f(t)= $20 + 38 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 38 e^{- k \cdot 3}$ = 52.

20 + 38 e^{- 3 k}

=

51,9984

$38 e^{- 3 k} + 20$	=	$51,9984$	\| $- 20$
$38 e^{- 3 k}$	=	$31,9984$	\|: $38$
$e^{- 3 k}$	=	$0,8421$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,8421)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,8421)$	≈ 0.0573

also k ≈ 0.057285502315397, => f(t)= $20 + 38 e^{- 0,0573 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 38 e^{- 0,0573 \cdot 2}$ ≈ 53.9

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 38 e^{- 0,0573 t}

=

50

$38 e^{- 0,0573 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$38 e^{- 0,0573 t}$	=	$30$	\|: $38$
$e^{- 0,0573 t}$	=	$\frac{15}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,0573 t$	=	$\ln (\frac{15}{19})$	\|: $- 0,0573$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0573} \ln (\frac{15}{19})$	≈ 4.1255

also t=4.1

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2493 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 72 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 8 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1842 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 72 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{72}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(1800 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1800 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 800 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2493 ein (Punktprobe).

$2 493$	=	$1 800 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$2 493$	=	$1 800 - c$
$2 493$	=	$- c + 1 800$	\| $- 2 493$ $+ c$
$c$	=	$- 693$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 800 + 693 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $1 800 + 693 e^{- 0,04 \cdot 8}$ ≈ 2303.2

Wann wird der Wert 1842?: f(t)=1842

1 800 + 693 e^{- 0,04 t}

=

1 842

$693 e^{- 0,04 t} + 1 800$	=	$1 842$	\| $- 1 800$
$693 e^{- 0,04 t}$	=	$42$	\|: $693$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{2}{33}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{2}{33})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{2}{33})$	≈ 70.084

also t=70.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $10 e^{- 0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,04$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.