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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 3g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 2,608g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 1g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $3 e^{k \cdot 2}$ = 2,6081.

$3 e^{2 k}$	=	$2,6081$	\|: $3$
$e^{2 k}$	=	$0,8694$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (0,8694)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (0,8694)$	≈ -0.07

also k ≈ -0.069975980213723, => f(t)= $3 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $3 e^{- 0,07 \cdot 5}$ ≈ 2.1

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$3 e^{- 0,07 t}$	=	$1$	\|: $3$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 15.6945

also t=15.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 495 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 10g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 1328 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 4g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{495}$ ≈ -0.0014002973344645

=> f(t)= $10 e^{- 0,0014 t}$

Wert zur Zeit 1328: f(1328)= $10 e^{- 0,0014 \cdot 1328}$ ≈ 1.6

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$10 e^{- 0,0014 t}$	=	$4$	\|: $10$
$e^{- 0,0014 t}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,0014 t$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 0,0014$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0014} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 654.4934

also t=654.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 6% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 5 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 82% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.94) ≈ -0.061875403718088

=> f(t)= $100 e^{- 0,0619 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 e^{- 0,0619 \cdot 5}$ ≈ 73.4

Wann wird der Wert 82?: f(t)=82

$100 e^{- 0,0619 t}$	=	$82$	\|: $100$
$e^{- 0,0619 t}$	=	$\frac{41}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,0619 t$	=	$\ln (\frac{41}{50})$	\|: $- 0,0619$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0619} \ln (\frac{41}{50})$	≈ 3.206

also t=3.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 55° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 55 ist, gilt: f(0)= 55, also 55 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$55$	=	$20 - c$
$55$	=	$- c + 20$	\| $- 55$ $+ c$
$c$	=	$- 35$

somit gilt: f(t)= $20 + 35 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 35 e^{- k \cdot 2}$ = 51.

20 + 35 e^{- 2 k}

=

50,9988

$35 e^{- 2 k} + 20$	=	$50,9988$	\| $- 20$
$35 e^{- 2 k}$	=	$30,9988$	\|: $35$
$e^{- 2 k}$	=	$0,8857$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,8857)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,8857)$	≈ 0.0607

also k ≈ 0.0606884930833, => f(t)= $20 + 35 e^{- 0,0607 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 35 e^{- 0,0607 \cdot 2}$ ≈ 51

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 35 e^{- 0,0607 t}

=

50

$35 e^{- 0,0607 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$35 e^{- 0,0607 t}$	=	$30$	\|: $35$
$e^{- 0,0607 t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,0607 t$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 0,0607$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0607} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 2.5395

also t=2.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3622 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 74 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2076 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 74 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{74}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(925 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=925 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $925 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3622 ein (Punktprobe).

$3 622$	=	$925 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$3 622$	=	$925 - c$
$3 622$	=	$- c + 925$	\| $- 3 622$ $+ c$
$c$	=	$- 2 697$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $925 + 2 697 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $925 + 2 697 e^{- 0,08 \cdot 12}$ ≈ 1957.7

Wann wird der Wert 2076?: f(t)=2076

925 + 2 697 e^{- 0,08 t}

=

2 076

$2 697 e^{- 0,08 t} + 925$	=	$2 076$	\| $- 925$
$2 697 e^{- 0,08 t}$	=	$1 151$	\|: $2 697$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{1151}{2697}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{1151}{2697})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{1151}{2697})$	≈ 10.6439

also t=10.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $10 e^{0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,04$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.