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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 18g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 10,489g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 12 Tagen da? b) Wann sind nur noch 7g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $18 e^{k \cdot 9}$ = 10,4895.

$18 e^{9 k}$	=	$10,4895$	\|: $18$
$e^{9 k}$	=	$0,5828$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (0,5828)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (0,5828)$	≈ -0.06

also k ≈ -0.059990133851232, => f(t)= $18 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $18 e^{- 0,06 \cdot 12}$ ≈ 8.8

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$18 e^{- 0,06 t}$	=	$7$	\|: $18$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{7}{18}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{7}{18})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{7}{18})$	≈ 15.741

also t=15.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 16 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 17-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 11 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 18,89-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{16}$ ≈ 0.043321698784997

=> f(t)= $17 e^{0,0433 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $17 e^{0,0433 \cdot 11}$ ≈ 27.4

Wann wird der Wert 18.89?: f(t)=18.89

$17 e^{0,0433 t}$	=	$18,89$	\|: $17$
$e^{0,0433 t}$	=	$1,1112$	\|ln(⋅)
$0,0433 t$	=	$\ln (1,1112)$	\|: $0,0433$
$t$	=	$\frac{1}{0,0433} \ln (1,1112)$	≈ 2.4339

also t=2.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 15% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 5 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 40% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.85) ≈ -0.16251892949777

=> f(t)= $100 e^{- 0,1625 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 e^{- 0,1625 \cdot 5}$ ≈ 44.4

Wann wird der Wert 40?: f(t)=40

$100 e^{- 0,1625 t}$	=	$40$	\|: $100$
$e^{- 0,1625 t}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,1625 t$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 0,1625$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1625} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 5.6387

also t=5.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 31 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 2,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 31.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

30,9999

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$30,9999$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 6,0001$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,3$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,3)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,3)$	≈ 2.4079

also k ≈ 2.4079456086519, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,4079 t}$

Wert zur Zeit 2.5: f(2.5)= $37 - 20 e^{- 2,4079 \cdot 2,5}$ ≈ 37

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,4079 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,4079 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,4079 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,4079 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,4079 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,4079$
$t$	=	$- \frac{1}{2,4079} \ln (0,005)$	≈ 2.2004

also t=2.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 4ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 1% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 14 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 78ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 4 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{4}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(400 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=400 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $400 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$400 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
0	=	$400 - c$
0	=	$- c + 400$	\|0 $+ c$
$c$	=	$400$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $400 - 400 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $400 - 400 e^{- 0,01 \cdot 14}$ ≈ 52.3

Wann wird der Wert 78?: f(t)=78

400 - 400 e^{- 0,01 t}

=

78

$- 400 e^{- 0,01 t} + 400$	=	$78$	\| $- 400$
$- 400 e^{- 0,01 t}$	=	$- 322$	\|: $- 400$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{161}{200}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{161}{200})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{161}{200})$	≈ 21.6913

also t=21.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{- 0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,06$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,06}$ ≈ 11.552 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.