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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 99 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 42 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 99: f(99)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 99}$ ≈ 1.8

Wann wird der Wert 42?: f(t)=42

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$42$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 100 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 100 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 100 000)$	≈ 126.4765

also t=126.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 92 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 75 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 92: f(92)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 92}$ ≈ 0.8

Wann wird der Wert 75?: f(t)=75

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$75$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$3 750 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (3 750 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (3 750 000)$	≈ 131.4672

also t=131.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 10% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 20 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 14 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.9) ≈ -0.10536051565783

=> f(t)= $20 e^{- 0,1054 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 e^{- 0,1054 \cdot 4}$ ≈ 13.1

Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

$20 e^{- 0,1054 t}$	=	$14$	\|: $20$
$e^{- 0,1054 t}$	=	$\frac{7}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,1054 t$	=	$\ln (\frac{7}{10})$	\|: $- 0,1054$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1054} \ln (\frac{7}{10})$	≈ 3.384

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 7 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 18,56°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 8 Minuten? b) Wann ist sie 17°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$10$	=	$27 - c$
$10$	=	$- c + 27$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$17$

somit gilt: f(t)= $27 - 17 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $27 - 17 e^{- k \cdot 7}$ = 18,56.

27 - 17 e^{- 7 k}

=

18,558

$- 17 e^{- 7 k} + 27$	=	$18,558$	\| $- 27$
$- 17 e^{- 7 k}$	=	$- 8,442$	\|: $- 17$
$e^{- 7 k}$	=	$0,4966$	\|ln(⋅)
$- 7 k$	=	$\ln (0,4966)$	\|: $- 7$
$k$	=	$- \frac{1}{7} \ln (0,4966)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.099995772272582, => f(t)= $27 - 17 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $27 - 17 e^{- 0,1 \cdot 8}$ ≈ 19.4

Wann wird der Wert 17?: f(t)=17

27 - 17 e^{- 0,1 t}

=

17

$- 17 e^{- 0,1 t} + 27$	=	$17$	\| $- 27$
$- 17 e^{- 0,1 t}$	=	$- 10$	\|: $- 17$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{10}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{10}{17})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{10}{17})$	≈ 5.3063

also t=5.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 11 Jahren, wenn jedes Jahr 0,5 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 78 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.5 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{0.5}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(50 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=50 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $50 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$50 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$80$	=	$50 - c$
$80$	=	$- c + 50$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 30$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $50 + 30 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $50 + 30 e^{- 0,01 \cdot 11}$ ≈ 76.9

Wann wird der Wert 78?: f(t)=78

50 + 30 e^{- 0,01 t}

=

78

$30 e^{- 0,01 t} + 50$	=	$78$	\| $- 50$
$30 e^{- 0,01 t}$	=	$28$	\|: $30$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{14}{15}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{14}{15})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{14}{15})$	≈ 6.8993

also t=6.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{- 0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,03$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,03}$ ≈ 23.105 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

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Halbwerts- + Verdopplungszeit best.