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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 87 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 40 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 87: f(87)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 87}$ ≈ 0.4

Wann wird der Wert 40?: f(t)=40

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$40$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 000 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 000 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 000 000)$	≈ 126.0526

also t=126.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 20 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 10-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 13 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 12,5-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{20}$ ≈ 0.034657359027997

=> f(t)= $10 e^{0,0347 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $10 e^{0,0347 \cdot 13}$ ≈ 15.7

Wann wird der Wert 12.5?: f(t)=12.5

$10 e^{0,0347 t}$	=	$12,5$	\|: $10$
$e^{0,0347 t}$	=	$1,25$	\|ln(⋅)
$0,0347 t$	=	$\ln (1,25)$	\|: $0,0347$
$t$	=	$\frac{1}{0,0347} \ln (1,25)$	≈ 6.4386

also t=6.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 6% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 18 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 22 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.06) ≈ 0.058268908123976

=> f(t)= $18 e^{0,0583 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $18 e^{0,0583 \cdot 4}$ ≈ 22.7

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

$18 e^{0,0583 t}$	=	$22$	\|: $18$
$e^{0,0583 t}$	=	$\frac{11}{9}$	\|ln(⋅)
$0,0583 t$	=	$\ln (\frac{11}{9})$	\|: $0,0583$
$t$	=	$\frac{1}{0,0583} \ln (\frac{11}{9})$	≈ 3.442

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 63° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 63 ist, gilt: f(0)= 63, also 63 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$63$	=	$20 - c$
$63$	=	$- c + 20$	\| $- 63$ $+ c$
$c$	=	$- 43$

somit gilt: f(t)= $20 + 43 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 43 e^{- k \cdot 2}$ = 54.

20 + 43 e^{- 2 k}

=

54,0013

$43 e^{- 2 k} + 20$	=	$54,0013$	\| $- 20$
$43 e^{- 2 k}$	=	$34,0013$	\|: $43$
$e^{- 2 k}$	=	$0,7907$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,7907)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,7907)$	≈ 0.1174

also k ≈ 0.11741832495263, => f(t)= $20 + 43 e^{- 0,1174 t}$

Wert zur Zeit 1: f(1)= $20 + 43 e^{- 0,1174 \cdot 1}$ ≈ 58.2

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 43 e^{- 0,1174 t}

=

50

$43 e^{- 0,1174 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$43 e^{- 0,1174 t}$	=	$30$	\|: $43$
$e^{- 0,1174 t}$	=	$\frac{30}{43}$	\|ln(⋅)
$- 0,1174 t$	=	$\ln (\frac{30}{43})$	\|: $- 0,1174$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1174} \ln (\frac{30}{43})$	≈ 3.0665

also t=3.1

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 11 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 74 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{0.6}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(60 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=60 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $60 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$60 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$80$	=	$60 - c$
$80$	=	$- c + 60$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 20$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $60 + 20 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $60 + 20 e^{- 0,01 \cdot 11}$ ≈ 77.9

Wann wird der Wert 74?: f(t)=74

60 + 20 e^{- 0,01 t}

=

74

$20 e^{- 0,01 t} + 60$	=	$74$	\| $- 60$
$20 e^{- 0,01 t}$	=	$14$	\|: $20$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{7}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{7}{10})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{7}{10})$	≈ 35.6675

also t=35.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $5 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.