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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 13 Millionen Algen im Teich. Nach 4 Stunden sind es 17,201 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 7 Stunden? b) Wann waren es 19 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $13 e^{k \cdot 4}$ = 17,2007.

$13 e^{4 k}$	=	$17,2007$	\|: $13$
$e^{4 k}$	=	$1,3231$	\|ln(⋅)
$4 k$	=	$\ln (1,3231)$	\|: $4$
$k$	=	$\frac{1}{4} \ln (1,3231)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.069994367016557, => f(t)= $13 e^{0,07 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $13 e^{0,07 \cdot 7}$ ≈ 21.2

Wann wird der Wert 19?: f(t)=19

$13 e^{0,07 t}$	=	$19$	\|: $13$
$e^{0,07 t}$	=	$\frac{19}{13}$	\|ln(⋅)
$0,07 t$	=	$\ln (\frac{19}{13})$	\|: $0,07$
$t$	=	$\frac{1}{0,07} \ln (\frac{19}{13})$	≈ 5.4213

also t=5.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 78 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 71 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 78: f(78)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 78}$ ≈ 0.2

Wann wird der Wert 71?: f(t)=71

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$71$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$3 550 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (3 550 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (3 550 000)$	≈ 130.9912

also t=131

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 12% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 8 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 13 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.12) ≈ 0.113328685307

=> f(t)= $8 e^{0,1133 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $8 e^{0,1133 \cdot 2}$ ≈ 10

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

$8 e^{0,1133 t}$	=	$13$	\|: $8$
$e^{0,1133 t}$	=	$\frac{13}{8}$	\|ln(⋅)
$0,1133 t$	=	$\ln (\frac{13}{8})$	\|: $0,1133$
$t$	=	$\frac{1}{0,1133} \ln (\frac{13}{8})$	≈ 4.2852

also t=4.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 61° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 61 ist, gilt: f(0)= 61, also 61 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$61$	=	$20 - c$
$61$	=	$- c + 20$	\| $- 61$ $+ c$
$c$	=	$- 41$

somit gilt: f(t)= $20 + 41 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 41 e^{- k \cdot 3}$ = 51.

20 + 41 e^{- 3 k}

=

50,9995

$41 e^{- 3 k} + 20$	=	$50,9995$	\| $- 20$
$41 e^{- 3 k}$	=	$30,9995$	\|: $41$
$e^{- 3 k}$	=	$0,7561$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,7561)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,7561)$	≈ 0.0932

also k ≈ 0.093193878805971, => f(t)= $20 + 41 e^{- 0,0932 t}$

Wert zur Zeit 1: f(1)= $20 + 41 e^{- 0,0932 \cdot 1}$ ≈ 57.4

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 41 e^{- 0,0932 t}

=

50

$41 e^{- 0,0932 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$41 e^{- 0,0932 t}$	=	$30$	\|: $41$
$e^{- 0,0932 t}$	=	$\frac{30}{41}$	\|ln(⋅)
$- 0,0932 t$	=	$\ln (\frac{30}{41})$	\|: $- 0,0932$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0932} \ln (\frac{30}{41})$	≈ 3.3517

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3916 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 66 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 9 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3662 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 66 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{66}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(1320 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1320 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 320 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3916 ein (Punktprobe).

$3 916$	=	$1 320 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
$3 916$	=	$1 320 - c$
$3 916$	=	$- c + 1 320$	\| $- 3 916$ $+ c$
$c$	=	$- 2 596$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 320 + 2 596 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $1 320 + 2 596 e^{- 0,05 \cdot 9}$ ≈ 2975.3

Wann wird der Wert 3662?: f(t)=3662

1 320 + 2 596 e^{- 0,05 t}

=

3 662

$2 596 e^{- 0,05 t} + 1 320$	=	$3 662$	\| $- 1 320$
$2 596 e^{- 0,05 t}$	=	$2 342$	\|: $2 596$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{1171}{1298}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{1171}{1298})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{1171}{1298})$	≈ 2.0593

also t=2.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{- 0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,03$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,03}$ ≈ 23.105 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.