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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 3 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 4,946 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 13 Stunden? b) Wann waren es 4 Milionen Algen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 3 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= 3 e k · 10 = 4,9462.

3 e 10k = 4,9462 |:3
e 10k = 1,6487 |ln(⋅)
10k = ln( 1,6487 ) |:10
k = 1 10 ln( 1,6487 ) ≈ 0.05

also k ≈ 0.0499987098585, => f(t)= 3 e 0,05t


Wert zur Zeit 13: f(13)= 3 e 0,0513 ≈ 5.7


Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

3 e 0,05t = 4 |:3
e 0,05t = 4 3 |ln(⋅)
0,05t = ln( 4 3 ) |:0,05
t = 1 0,05 ln( 4 3 ) ≈ 5.7536

also t=5.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 85 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 56 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 0,00002 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel TV= ln(2) k um zu
k= ln(2) T = ln(2) 6.02 ≈ 0.11514072766777


=> f(t)= 0,00002 e 0,1151t


Wert zur Zeit 85: f(85)= 0,00002 e 0,115185 ≈ 0.4


Wann wird der Wert 56?: f(t)=56

0,00002 e 0,1151t = 56 |:0,00002
e 0,1151t = 2800000 |ln(⋅)
0,1151t = ln( 2800000 ) |:0,1151
t = 1 0,1151 ln( 2800000 ) ≈ 128.93

also t=128.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 15% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 12 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 3 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 12 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.85) ≈ -0.16251892949777


=> f(t)= 12 e -0,1625t


Wert zur Zeit 3: f(3)= 12 e -0,16253 ≈ 7.4


Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

12 e -0,1625t = 3 |:12
e -0,1625t = 1 4 |ln(⋅)
-0,1625t = ln( 1 4 ) |:-0,1625
t = - 1 0,1625 ln( 1 4 ) ≈ 8.531

also t=8.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 58° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 58 ist, gilt: f(0)= 58, also 58 = 20 - c · e -k · 0 = 20 - c = 20 - c

58 = 20 - c
58 = -c +20 | -58 + c
c = -38

somit gilt: f(t)= 20 +38 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= 20 +38 e -k · 2 = 53.

20 +38 e -2k = 53,0026
38 e -2k +20 = 53,0026 | -20
38 e -2k = 33,0026 |:38
e -2k = 0,8685 |ln(⋅)
-2k = ln( 0,8685 ) |:-2
k = - 1 2 ln( 0,8685 ) ≈ 0.0705

also k ≈ 0.070493846650489, => f(t)= 20 +38 e -0,0705t


Wert zur Zeit 1: f(1)= 20 +38 e -0,07051 ≈ 55.4


Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 +38 e -0,0705t = 50
38 e -0,0705t +20 = 50 | -20
38 e -0,0705t = 30 |:38
e -0,0705t = 15 19 |ln(⋅)
-0,0705t = ln( 15 19 ) |:-0,0705
t = - 1 0,0705 ln( 15 19 ) ≈ 3.353

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,4% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 10 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 60 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.014⋅f(t)

wenn man 0.014 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.014( 0.6 0.014 - f(t))

also f'(t) = 0.014(42.86 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=42.86 und der Wachstumsfaktor k=0.014 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 42,86 - c · e -0,014t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

80 = 42,86 - c · e -0,0140
80 = 42,86 - c
80 = -c +42,86 | -80 + c
c = -37,14

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 42,86 +37,14 e -0,014x


Wert zur Zeit 10: f(10)= 42,86 +37,14 e -0,01410 ≈ 75.1


Wann wird der Wert 60?: f(t)=60

42,86 +37,14 e -0,014t = 60
37,14 e -0,014t +42,86 = 60 | -42,86
37,14 e -0,014t = 17,14 |:37,14
e -0,014t = 0,4615 |ln(⋅)
-0,014t = ln( 0,4615 ) |:-0,014
t = - 1 0,014 ln( 0,4615 ) ≈ 55.2338

also t=55.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 13 e -0,07t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (-0,07 ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = -0,07 einfach in die Formel TH = - ln(2) k ein:

TH = - ln(2) -0,07 9.902 min