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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 16 Millionen Algen im Teich. Nach 6 Stunden sind es 25,857 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 7 Stunden? b) Wann waren es 24 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $16 e^{k \cdot 6}$ = 25,8572.

$16 e^{6 k}$	=	$25,8572$	\|: $16$
$e^{6 k}$	=	$1,6161$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (1,6161)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (1,6161)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.08000263989541, => f(t)= $16 e^{0,08 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $16 e^{0,08 \cdot 7}$ ≈ 28

Wann wird der Wert 24?: f(t)=24

$16 e^{0,08 t}$	=	$24$	\|: $16$
$e^{0,08 t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,08 t$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $0,08$
$t$	=	$\frac{1}{0,08} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 5.0683

also t=5.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 76 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 94 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 76: f(76)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 76}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 94?: f(t)=94

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$94$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 700 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 700 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 700 000)$	≈ 133.4283

also t=133.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 5% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 16 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 18 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.05) ≈ 0.048790164169432

=> f(t)= $16 e^{0,0488 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $16 e^{0,0488 \cdot 3}$ ≈ 18.5

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

$16 e^{0,0488 t}$	=	$18$	\|: $16$
$e^{0,0488 t}$	=	$\frac{9}{8}$	\|ln(⋅)
$0,0488 t$	=	$\ln (\frac{9}{8})$	\|: $0,0488$
$t$	=	$\frac{1}{0,0488} \ln (\frac{9}{8})$	≈ 2.4136

also t=2.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 4° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 7 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 16,59°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 10 Minuten? b) Wann ist sie 23°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$4$	=	$29 - c$
$4$	=	$- c + 29$	\| $- 4$ $+ c$
$c$	=	$25$

somit gilt: f(t)= $29 - 25 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $29 - 25 e^{- k \cdot 7}$ = 16,59.

29 - 25 e^{- 7 k}

=

16,5854

$- 25 e^{- 7 k} + 29$	=	$16,5854$	\| $- 29$
$- 25 e^{- 7 k}$	=	$- 12,4146$	\|: $- 25$
$e^{- 7 k}$	=	$0,4966$	\|ln(⋅)
$- 7 k$	=	$\ln (0,4966)$	\|: $- 7$
$k$	=	$- \frac{1}{7} \ln (0,4966)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.099995772272582, => f(t)= $29 - 25 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $29 - 25 e^{- 0,1 \cdot 10}$ ≈ 19.8

Wann wird der Wert 23?: f(t)=23

29 - 25 e^{- 0,1 t}

=

23

$- 25 e^{- 0,1 t} + 29$	=	$23$	\| $- 29$
$- 25 e^{- 0,1 t}$	=	$- 6$	\|: $- 25$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{6}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{6}{25})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{6}{25})$	≈ 14.2712

also t=14.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 5ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 8% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 5 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 41ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 5 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{5}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(62.5 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=62.5 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $62,5 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$62,5 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
0	=	$62,5 - c$
0	=	$- c + 62,5$	\|0 $+ c$
$c$	=	$62,5$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $62,5 - 62,5 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $62,5 - 62,5 e^{- 0,08 \cdot 5}$ ≈ 20.6

Wann wird der Wert 41?: f(t)=41

62,5 - 62,5 e^{- 0,08 t}

=

41

$- 62,5 e^{- 0,08 t} + 62,5$	=	$41$	\| $- 62,5$
$- 62,5 e^{- 0,08 t}$	=	$- 21,5$	\|: $- 62,5$
$e^{- 0,08 t}$	=	$0,344$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (0,344)$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (0,344)$	≈ 13.3389

also t=13.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $10 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.