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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 15 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 40,774 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 12 Stunden? b) Wann waren es 24 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $15 e^{k \cdot 10}$ = 40,7742.

$15 e^{10 k}$	=	$40,7742$	\|: $15$
$e^{10 k}$	=	$2,7183$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (2,7183)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (2,7183)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.1000006684914, => f(t)= $15 e^{0,1 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $15 e^{0,1 \cdot 12}$ ≈ 49.8

Wann wird der Wert 24?: f(t)=24

$15 e^{0,1 t}$	=	$24$	\|: $15$
$e^{0,1 t}$	=	$\frac{8}{5}$	\|ln(⋅)
$0,1 t$	=	$\ln (\frac{8}{5})$	\|: $0,1$
$t$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (\frac{8}{5})$	≈ 4.7

also t=4.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1892 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2192? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,8 Milliarden Blondies?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1892}$ ≈ -0.00036635686076107

=> f(t)= $e^{- 0,0004 t}$

Wert zur Zeit 192: f(192)= $e^{- 0,0004 \cdot 192}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.8?: f(t)=0.8

$e^{- 0,0004 t}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 0,0004 t$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 0,0004$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0004} \ln (0,8)$	≈ 609.6818

also t=609.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 2% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 94% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.98) ≈ -0.020202707317519

=> f(t)= $100 e^{- 0,0202 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,0202 \cdot 3}$ ≈ 94.1

Wann wird der Wert 94?: f(t)=94

$100 e^{- 0,0202 t}$	=	$94$	\|: $100$
$e^{- 0,0202 t}$	=	$\frac{47}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,0202 t$	=	$\ln (\frac{47}{50})$	\|: $- 0,0202$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0202} \ln (\frac{47}{50})$	≈ 3.0631

also t=3.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 32°C wird eine Limo aus einem 6° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 7 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 9,4°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 9 Minuten? b) Wann ist sie 31°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=32 sein muss.

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $32 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $32 - c$ = $32 - c$

$6$	=	$32 - c$
$6$	=	$- c + 32$	\| $- 6$ $+ c$
$c$	=	$26$

somit gilt: f(t)= $32 - 26 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $32 - 26 e^{- k \cdot 7}$ = 9,4.

32 - 26 e^{- 7 k}

=

9,3967

$- 26 e^{- 7 k} + 32$	=	$9,3967$	\| $- 32$
$- 26 e^{- 7 k}$	=	$- 22,6033$	\|: $- 26$
$e^{- 7 k}$	=	$0,8694$	\|ln(⋅)
$- 7 k$	=	$\ln (0,8694)$	\|: $- 7$
$k$	=	$- \frac{1}{7} \ln (0,8694)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.019993137203921, => f(t)= $32 - 26 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $32 - 26 e^{- 0,02 \cdot 9}$ ≈ 10.3

Wann wird der Wert 31?: f(t)=31

32 - 26 e^{- 0,02 t}

=

31

$- 26 e^{- 0,02 t} + 32$	=	$31$	\| $- 32$
$- 26 e^{- 0,02 t}$	=	$- 1$	\|: $- 26$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{1}{26}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{1}{26})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{1}{26})$	≈ 162.9048

also t=162.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 2% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3542 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 90 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 7 Monaten? b) Wann beträgt dieser 4188 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 90 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{90}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(4500 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=4500 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $4 500 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3542 ein (Punktprobe).

$3 542$	=	$4 500 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
$3 542$	=	$4 500 - c$
$3 542$	=	$- c + 4 500$	\| $- 3 542$ $+ c$
$c$	=	$958$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $4 500 - 958 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $4 500 - 958 e^{- 0,02 \cdot 7}$ ≈ 3667.2

Wann wird der Wert 4188?: f(t)=4188

4 500 - 958 e^{- 0,02 t}

=

4 188

$- 958 e^{- 0,02 t} + 4 500$	=	$4 188$	\| $- 4 500$
$- 958 e^{- 0,02 t}$	=	$- 312$	\|: $- 958$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{156}{479}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{156}{479})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{156}{479})$	≈ 56.0922

also t=56.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $17 e^{0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,02$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.