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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 17g vorhanden. Nach 5 Tagen sind nur noch 16,171g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 6 Tagen da? b) Wann sind nur noch 16g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $17 e^{k \cdot 5}$ = 16,1709.

$17 e^{5 k}$	=	$16,1709$	\|: $17$
$e^{5 k}$	=	$0,9512$	\|ln(⋅)
$5 k$	=	$\ln (0,9512)$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{1}{5} \ln (0,9512)$	≈ -0.01

also k ≈ -0.010006186721113, => f(t)= $17 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $17 e^{- 0,01 \cdot 6}$ ≈ 16

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

$17 e^{- 0,01 t}$	=	$16$	\|: $17$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{16}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{16}{17})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{16}{17})$	≈ 6.0625

also t=6.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 13 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 10-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 30 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 33,33-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{13}$ ≈ 0.053319013889227

=> f(t)= $10 e^{0,0533 t}$

Wert zur Zeit 30: f(30)= $10 e^{0,0533 \cdot 30}$ ≈ 49.5

Wann wird der Wert 33.33?: f(t)=33.33

$10 e^{0,0533 t}$	=	$33,33$	\|: $10$
$e^{0,0533 t}$	=	$3,333$	\|ln(⋅)
$0,0533 t$	=	$\ln (3,333)$	\|: $0,0533$
$t$	=	$\frac{1}{0,0533} \ln (3,333)$	≈ 22.5787

also t=22.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 12% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 5 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 40% der Masse da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.88) ≈ -0.12783337150988

=> f(t)= $100 e^{- 0,1278 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 e^{- 0,1278 \cdot 5}$ ≈ 52.8

Wann wird der Wert 40?: f(t)=40

$100 e^{- 0,1278 t}$	=	$40$	\|: $100$
$e^{- 0,1278 t}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,1278 t$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 0,1278$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1278} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 7.1697

also t=7.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 31°C wird eine Limo aus einem 9° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 15,5°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 7 Minuten? b) Wann ist sie 15°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=31 sein muss.

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $31 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $31 - c$ = $31 - c$

$9$	=	$31 - c$
$9$	=	$- c + 31$	\| $- 9$ $+ c$
$c$	=	$22$

somit gilt: f(t)= $31 - 22 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $31 - 22 e^{- k \cdot 5}$ = 15,5.

31 - 22 e^{- 5 k}

=

15,4969

$- 22 e^{- 5 k} + 31$	=	$15,4969$	\| $- 31$
$- 22 e^{- 5 k}$	=	$- 15,5031$	\|: $- 22$
$e^{- 5 k}$	=	$0,7047$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,7047)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,7047)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.069996619729832, => f(t)= $31 - 22 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $31 - 22 e^{- 0,07 \cdot 7}$ ≈ 17.5

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

31 - 22 e^{- 0,07 t}

=

15

$- 22 e^{- 0,07 t} + 31$	=	$15$	\| $- 31$
$- 22 e^{- 0,07 t}$	=	$- 16$	\|: $- 22$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{8}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{8}{11})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{8}{11})$	≈ 4.5493

also t=4.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2828 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 77 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 6 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2336 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 77 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{77}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(1925 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1925 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 925 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2828 ein (Punktprobe).

$2 828$	=	$1 925 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$2 828$	=	$1 925 - c$
$2 828$	=	$- c + 1 925$	\| $- 2 828$ $+ c$
$c$	=	$- 903$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 925 + 903 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $1 925 + 903 e^{- 0,04 \cdot 6}$ ≈ 2635.3

Wann wird der Wert 2336?: f(t)=2336

1 925 + 903 e^{- 0,04 t}

=

2 336

$903 e^{- 0,04 t} + 1 925$	=	$2 336$	\| $- 1 925$
$903 e^{- 0,04 t}$	=	$411$	\|: $903$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{137}{301}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{137}{301})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{137}{301})$	≈ 19.6782

also t=19.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $15 e^{- 0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,01$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,01}$ ≈ 69.315 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.