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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 5g vorhanden. Nach 8 Tagen sind nur noch 2,856g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 2g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $5 e^{k \cdot 8}$ = 2,856.

$5 e^{8 k}$	=	$2,856$	\|: $5$
$e^{8 k}$	=	$0,5712$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (0,5712)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (0,5712)$	≈ -0.07

also k ≈ -0.070001983494595, => f(t)= $5 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $5 e^{- 0,07 \cdot 10}$ ≈ 2.5

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$5 e^{- 0,07 t}$	=	$2$	\|: $5$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 13.0899

also t=13.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 92 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 27 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 92: f(92)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 92}$ ≈ 0.8

Wann wird der Wert 27?: f(t)=27

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$27$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 350 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 350 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 350 000)$	≈ 122.5942

also t=122.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 14% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 5 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 44% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.86) ≈ -0.15082288973458

=> f(t)= $100 e^{- 0,1508 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 e^{- 0,1508 \cdot 5}$ ≈ 47

Wann wird der Wert 44?: f(t)=44

$100 e^{- 0,1508 t}$	=	$44$	\|: $100$
$e^{- 0,1508 t}$	=	$\frac{11}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,1508 t$	=	$\ln (\frac{11}{25})$	\|: $- 0,1508$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1508} \ln (\frac{11}{25})$	≈ 5.4442

also t=5.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 61° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 51,99° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 61 ist, gilt: f(0)= 61, also 61 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$61$	=	$20 - c$
$61$	=	$- c + 20$	\| $- 61$ $+ c$
$c$	=	$- 41$

somit gilt: f(t)= $20 + 41 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 41 e^{- k \cdot 4}$ = 51,99.

20 + 41 e^{- 4 k}

=

51,9948

$41 e^{- 4 k} + 20$	=	$51,9948$	\| $- 20$
$41 e^{- 4 k}$	=	$31,9948$	\|: $41$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7804$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7804)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7804)$	≈ 0.062

also k ≈ 0.061987167558295, => f(t)= $20 + 41 e^{- 0,062 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 41 e^{- 0,062 \cdot 4}$ ≈ 52

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 41 e^{- 0,062 t}

=

50

$41 e^{- 0,062 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$41 e^{- 0,062 t}$	=	$30$	\|: $41$
$e^{- 0,062 t}$	=	$\frac{30}{41}$	\|ln(⋅)
$- 0,062 t$	=	$\ln (\frac{30}{41})$	\|: $- 0,062$
$t$	=	$- \frac{1}{0,062} \ln (\frac{30}{41})$	≈ 5.0383

also t=5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 2% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3683 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 67 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 14 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3396 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 67 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{67}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(3350 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=3350 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $3 350 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3683 ein (Punktprobe).

$3 683$	=	$3 350 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
$3 683$	=	$3 350 - c$
$3 683$	=	$- c + 3 350$	\| $- 3 683$ $+ c$
$c$	=	$- 333$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $3 350 + 333 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $3 350 + 333 e^{- 0,02 \cdot 14}$ ≈ 3601.7

Wann wird der Wert 3396?: f(t)=3396

3 350 + 333 e^{- 0,02 t}

=

3 396

$333 e^{- 0,02 t} + 3 350$	=	$3 396$	\| $- 3 350$
$333 e^{- 0,02 t}$	=	$46$	\|: $333$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{46}{333}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{46}{333})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{46}{333})$	≈ 98.9751

also t=99

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $7 e^{- 0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,07$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,07}$ ≈ 9.902 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

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