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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 8 Millionen Algen im Teich. Nach 6 Stunden sind es 9,578 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 9 Stunden? b) Wann waren es 9 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $8 e^{k \cdot 6}$ = 9,5777.

$8 e^{6 k}$	=	$9,5777$	\|: $8$
$e^{6 k}$	=	$1,1972$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (1,1972)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (1,1972)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.029997582832734, => f(t)= $8 e^{0,03 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $8 e^{0,03 \cdot 9}$ ≈ 10.5

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$8 e^{0,03 t}$	=	$9$	\|: $8$
$e^{0,03 t}$	=	$\frac{9}{8}$	\|ln(⋅)
$0,03 t$	=	$\ln (\frac{9}{8})$	\|: $0,03$
$t$	=	$\frac{1}{0,03} \ln (\frac{9}{8})$	≈ 3.9261

also t=3.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 358 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 9g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 669 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 6,3g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{358}$ ≈ -0.0019361653088267

=> f(t)= $9 e^{- 0,0019 t}$

Wert zur Zeit 669: f(669)= $9 e^{- 0,0019 \cdot 669}$ ≈ 2.5

Wann wird der Wert 6.3?: f(t)=6.3

$9 e^{- 0,0019 t}$	=	$6,3$	\|: $9$
$e^{- 0,0019 t}$	=	$0,7$	\|ln(⋅)
$- 0,0019 t$	=	$\ln (0,7)$	\|: $- 0,0019$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0019} \ln (0,7)$	≈ 184.2329

also t=184.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 13% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 6 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 4 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.87) ≈ -0.13926206733351

=> f(t)= $6 e^{- 0,1393 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $6 e^{- 0,1393 \cdot 4}$ ≈ 3.4

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$6 e^{- 0,1393 t}$	=	$4$	\|: $6$
$e^{- 0,1393 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,1393 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,1393$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1393} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 2.9107

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 31°C wird eine Limo aus einem 4° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 6 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 13,26°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 8 Minuten? b) Wann ist sie 8°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=31 sein muss.

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $31 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $31 - c$ = $31 - c$

$4$	=	$31 - c$
$4$	=	$- c + 31$	\| $- 4$ $+ c$
$c$	=	$27$

somit gilt: f(t)= $31 - 27 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $31 - 27 e^{- k \cdot 6}$ = 13,26.

31 - 27 e^{- 6 k}

=

13,2597

$- 27 e^{- 6 k} + 31$	=	$13,2597$	\| $- 31$
$- 27 e^{- 6 k}$	=	$- 17,7403$	\|: $- 27$
$e^{- 6 k}$	=	$0,657$	\|ln(⋅)
$- 6 k$	=	$\ln (0,657)$	\|: $- 6$
$k$	=	$- \frac{1}{6} \ln (0,657)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.070011876749588, => f(t)= $31 - 27 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $31 - 27 e^{- 0,07 \cdot 8}$ ≈ 15.6

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

31 - 27 e^{- 0,07 t}

=

8

$- 27 e^{- 0,07 t} + 31$	=	$8$	\| $- 31$
$- 27 e^{- 0,07 t}$	=	$- 23$	\|: $- 27$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{23}{27}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{23}{27})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{23}{27})$	≈ 2.2906

also t=2.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 10 Jahren, wenn jedes Jahr 0,4 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 58 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.4 - 0.011⋅f(t)

wenn man 0.011 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.011( $\frac{0.4}{0.011}$ - f(t))

also f'(t) = 0.011(36.36 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=36.36 und der Wachstumsfaktor k=0.011 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $36,36 - c \cdot e^{- 0,011 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$36,36 - c \cdot e^{- 0,011 \cdot 0}$
$80$	=	$36,36 - c$
$80$	=	$- c + 36,36$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 43,64$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $36,36 + 43,64 e^{- 0,011 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $36,36 + 43,64 e^{- 0,011 \cdot 10}$ ≈ 75.5

Wann wird der Wert 58?: f(t)=58

36,36 + 43,64 e^{- 0,011 t}

=

58

$43,64 e^{- 0,011 t} + 36,36$	=	$58$	\| $- 36,36$
$43,64 e^{- 0,011 t}$	=	$21,64$	\|: $43,64$
$e^{- 0,011 t}$	=	$0,4959$	\|ln(⋅)
$- 0,011 t$	=	$\ln (0,4959)$	\|: $- 0,011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,011} \ln (0,4959)$	≈ 63.7619

also t=63.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $12 e^{- 0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,07$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.