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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 14 Millionen Algen im Teich. Nach 5 Stunden sind es 15,472 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 6 Stunden? b) Wann waren es 16 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $14 e^{k \cdot 5}$ = 15,4724.

$14 e^{5 k}$	=	$15,4724$	\|: $14$
$e^{5 k}$	=	$1,1052$	\|ln(⋅)
$5 k$	=	$\ln (1,1052)$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{1}{5} \ln (1,1052)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.020005262813425, => f(t)= $14 e^{0,02 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $14 e^{0,02 \cdot 6}$ ≈ 15.8

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

$14 e^{0,02 t}$	=	$16$	\|: $14$
$e^{0,02 t}$	=	$\frac{8}{7}$	\|ln(⋅)
$0,02 t$	=	$\ln (\frac{8}{7})$	\|: $0,02$
$t$	=	$\frac{1}{0,02} \ln (\frac{8}{7})$	≈ 6.6766

also t=6.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 14 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 10-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 8 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 50-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{14}$ ≈ 0.049510512897139

=> f(t)= $10 e^{0,0495 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $10 e^{0,0495 \cdot 8}$ ≈ 14.9

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

$10 e^{0,0495 t}$	=	$50$	\|: $10$
$e^{0,0495 t}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$0,0495 t$	=	$\ln (5)$	\|: $0,0495$
$t$	=	$\frac{1}{0,0495} \ln (5)$	≈ 32.5067

also t=32.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 14% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 16% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.86) ≈ -0.15082288973458

=> f(t)= $100 e^{- 0,1508 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,1508 \cdot 4}$ ≈ 54.7

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

$100 e^{- 0,1508 t}$	=	$16$	\|: $100$
$e^{- 0,1508 t}$	=	$\frac{4}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,1508 t$	=	$\ln (\frac{4}{25})$	\|: $- 0,1508$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1508} \ln (\frac{4}{25})$	≈ 12.1524

also t=12.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 17,46°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 13 Minuten? b) Wann ist sie 11°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$7$	=	$26 - c$
$7$	=	$- c + 26$	\| $- 7$ $+ c$
$c$	=	$19$

somit gilt: f(t)= $26 - 19 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $26 - 19 e^{- k \cdot 10}$ = 17,46.

26 - 19 e^{- 10 k}

=

17,4627

$- 19 e^{- 10 k} + 26$	=	$17,4627$	\| $- 26$
$- 19 e^{- 10 k}$	=	$- 8,5373$	\|: $- 19$
$e^{- 10 k}$	=	$0,4493$	\|ln(⋅)
$- 10 k$	=	$\ln (0,4493)$	\|: $- 10$
$k$	=	$- \frac{1}{10} \ln (0,4493)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.080006446290602, => f(t)= $26 - 19 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $26 - 19 e^{- 0,08 \cdot 13}$ ≈ 19.3

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

26 - 19 e^{- 0,08 t}

=

11

$- 19 e^{- 0,08 t} + 26$	=	$11$	\| $- 26$
$- 19 e^{- 0,08 t}$	=	$- 15$	\|: $- 19$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{15}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{15}{19})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{15}{19})$	≈ 2.9549

also t=3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2146 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 68 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 11 Monaten? b) Wann beträgt dieser 5904 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 68 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{68}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(6800 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=6800 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $6 800 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2146 ein (Punktprobe).

$2 146$	=	$6 800 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$2 146$	=	$6 800 - c$
$2 146$	=	$- c + 6 800$	\| $- 2 146$ $+ c$
$c$	=	$4 654$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $6 800 - 4 654 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $6 800 - 4 654 e^{- 0,01 \cdot 11}$ ≈ 2630.8

Wann wird der Wert 5904?: f(t)=5904

6 800 - 4 654 e^{- 0,01 t}

=

5 904

$- 4 654 e^{- 0,01 t} + 6 800$	=	$5 904$	\| $- 6 800$
$- 4 654 e^{- 0,01 t}$	=	$- 896$	\|: $- 4 654$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{448}{2327}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{448}{2327})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{448}{2327})$	≈ 164.7542

also t=164.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,08$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.