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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 3 Millionen Algen im Teich. Nach 4 Stunden sind es 3,122 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 7 Stunden? b) Wann waren es 3 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $3 e^{k \cdot 4}$ = 3,1224.

$3 e^{4 k}$	=	$3,1224$	\|: $3$
$e^{4 k}$	=	$1,0408$	\|ln(⋅)
$4 k$	=	$\ln (1,0408)$	\|: $4$
$k$	=	$\frac{1}{4} \ln (1,0408)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.0099974120540396, => f(t)= $3 e^{0,01 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $3 e^{0,01 \cdot 7}$ ≈ 3.2

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$3 e^{0,01 t}$	=	$3$	\|: $3$
$e^{0,01 t}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$0,01 t$	=	0	\|: $0,01$
$t$	=	0	≈ 0

also t=0

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 15 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 18-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 26 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 60-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{15}$ ≈ 0.04620981203733

=> f(t)= $18 e^{0,04621 t}$

Wert zur Zeit 26: f(26)= $18 e^{0,04621 \cdot 26}$ ≈ 59.8

Wann wird der Wert 60?: f(t)=60

$18 e^{0,04621 t}$	=	$60$	\|: $18$
$e^{0,04621 t}$	=	$\frac{10}{3}$	\|ln(⋅)
$0,04621 t$	=	$\ln (\frac{10}{3})$	\|: $0,04621$
$t$	=	$\frac{1}{0,04621} \ln (\frac{10}{3})$	≈ 26.0544

also t=26.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 15% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 12 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.85) ≈ -0.16251892949777

=> f(t)= $12 e^{- 0,1625 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $12 e^{- 0,1625 \cdot 5}$ ≈ 5.3

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$12 e^{- 0,1625 t}$	=	$1$	\|: $12$
$e^{- 0,1625 t}$	=	$\frac{1}{12}$	\|ln(⋅)
$- 0,1625 t$	=	$\ln (\frac{1}{12})$	\|: $- 0,1625$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1625} \ln (\frac{1}{12})$	≈ 15.2917

also t=15.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 2 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 12,47°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 5 Minuten? b) Wann ist sie 20°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $25 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $25 - c$ = $25 - c$

$10$	=	$25 - c$
$10$	=	$- c + 25$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$15$

somit gilt: f(t)= $25 - 15 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $25 - 15 e^{- k \cdot 2}$ = 12,47.

25 - 15 e^{- 2 k}

=

12,4709

$- 15 e^{- 2 k} + 25$	=	$12,4709$	\| $- 25$
$- 15 e^{- 2 k}$	=	$- 12,5291$	\|: $- 15$
$e^{- 2 k}$	=	$0,8353$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,8353)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,8353)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.089982168610138, => f(t)= $25 - 15 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $25 - 15 e^{- 0,09 \cdot 5}$ ≈ 15.4

Wann wird der Wert 20?: f(t)=20

25 - 15 e^{- 0,09 t}

=

20

$- 15 e^{- 0,09 t} + 25$	=	$20$	\| $- 25$
$- 15 e^{- 0,09 t}$	=	$- 5$	\|: $- 15$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 12.2068

also t=12.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,5% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 13 Jahren, wenn jedes Jahr 0,4 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 71 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.4 - 0.015⋅f(t)

wenn man 0.015 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.015( $\frac{0.4}{0.015}$ - f(t))

also f'(t) = 0.015(26.67 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=26.67 und der Wachstumsfaktor k=0.015 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $26,67 - c \cdot e^{- 0,015 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$26,67 - c \cdot e^{- 0,015 \cdot 0}$
$80$	=	$26,67 - c$
$80$	=	$- c + 26,67$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 53,33$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $26,67 + 53,33 e^{- 0,015 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $26,67 + 53,33 e^{- 0,015 \cdot 13}$ ≈ 70.6

Wann wird der Wert 71?: f(t)=71

26,67 + 53,33 e^{- 0,015 t}

=

71

$53,33 e^{- 0,015 t} + 26,67$	=	$71$	\| $- 26,67$
$53,33 e^{- 0,015 t}$	=	$44,33$	\|: $53,33$
$e^{- 0,015 t}$	=	$0,8312$	\|ln(⋅)
$- 0,015 t$	=	$\ln (0,8312)$	\|: $- 0,015$
$t$	=	$- \frac{1}{0,015} \ln (0,8312)$	≈ 12.3257

also t=12.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $5 e^{0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,06$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.