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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 3 Millionen Algen im Teich. Nach 2 Stunden sind es 3,316 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 4 Stunden? b) Wann waren es 4 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $3 e^{k \cdot 2}$ = 3,3155.

$3 e^{2 k}$	=	$3,3155$	\|: $3$
$e^{2 k}$	=	$1,1052$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (1,1052)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (1,1052)$	≈ 0.05

also k ≈ 0.050013157033562, => f(t)= $3 e^{0,05 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $3 e^{0,05 \cdot 4}$ ≈ 3.7

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$3 e^{0,05 t}$	=	$4$	\|: $3$
$e^{0,05 t}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$0,05 t$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $0,05$
$t$	=	$\frac{1}{0,05} \ln (\frac{4}{3})$	≈ 5.7536

also t=5.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 31 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 16g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 79 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 4,8g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{31}$ ≈ -0.022359586469676

=> f(t)= $16 e^{- 0,02236 t}$

Wert zur Zeit 79: f(79)= $16 e^{- 0,02236 \cdot 79}$ ≈ 2.7

Wann wird der Wert 4.8?: f(t)=4.8

$16 e^{- 0,02236 t}$	=	$4,8$	\|: $16$
$e^{- 0,02236 t}$	=	$0,3$	\|ln(⋅)
$- 0,02236 t$	=	$\ln (0,3)$	\|: $- 0,02236$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02236} \ln (0,3)$	≈ 53.8449

also t=53.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 4% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 13 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 16 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.04) ≈ 0.039220713153281

=> f(t)= $13 e^{0,0392 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $13 e^{0,0392 \cdot 2}$ ≈ 14.1

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

$13 e^{0,0392 t}$	=	$16$	\|: $13$
$e^{0,0392 t}$	=	$\frac{16}{13}$	\|ln(⋅)
$0,0392 t$	=	$\ln (\frac{16}{13})$	\|: $0,0392$
$t$	=	$\frac{1}{0,0392} \ln (\frac{16}{13})$	≈ 5.2969

also t=5.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 29 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 2,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 29.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

29,0001

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$29,0001$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 7,9999$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,4)$	≈ 1.8326

also k ≈ 1.8325814637483, => f(t)= $37 - 20 e^{- 1,8326 t}$

Wert zur Zeit 2.5: f(2.5)= $37 - 20 e^{- 1,8326 \cdot 2,5}$ ≈ 36.8

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 1,8326 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 1,8326 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 1,8326 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 1,8326 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 1,8326 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 1,8326$
$t$	=	$- \frac{1}{1,8326} \ln (0,005)$	≈ 2.8911

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3241 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 77 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 15 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2096 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 77 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{77}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(770 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=770 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $770 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3241 ein (Punktprobe).

$3 241$	=	$770 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$3 241$	=	$770 - c$
$3 241$	=	$- c + 770$	\| $- 3 241$ $+ c$
$c$	=	$- 2 471$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $770 + 2 471 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $770 + 2 471 e^{- 0,1 \cdot 15}$ ≈ 1321.4

Wann wird der Wert 2096?: f(t)=2096

770 + 2 471 e^{- 0,1 t}

=

2 096

$2 471 e^{- 0,1 t} + 770$	=	$2 096$	\| $- 770$
$2 471 e^{- 0,1 t}$	=	$1 326$	\|: $2 471$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{1326}{2471}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{1326}{2471})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1326}{2471})$	≈ 6.2246

also t=6.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $17 e^{- 0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,03$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.