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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 99 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 21 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 99: f(99)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 99}$ ≈ 1.8

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$21$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 050 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 050 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 050 000)$	≈ 120.4544

also t=120.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1136 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2198? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,8 Milliarden Blondies?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1136}$ ≈ -0.00061016477161967

=> f(t)= $e^{- 0,00061 t}$

Wert zur Zeit 198: f(198)= $e^{- 0,00061 \cdot 198}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.8?: f(t)=0.8

$e^{- 0,00061 t}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 0,00061 t$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 0,00061$
$t$	=	$- \frac{1}{0,00061} \ln (0,8)$	≈ 365.8091

also t=365.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 2 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 22% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.87) ≈ -0.13926206733351

=> f(t)= $100 e^{- 0,1393 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $100 e^{- 0,1393 \cdot 2}$ ≈ 75.7

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

$100 e^{- 0,1393 t}$	=	$22$	\|: $100$
$e^{- 0,1393 t}$	=	$\frac{11}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,1393 t$	=	$\ln (\frac{11}{50})$	\|: $- 0,1393$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1393} \ln (\frac{11}{50})$	≈ 10.8695

also t=10.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 4° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 6 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 13,6°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 9 Minuten? b) Wann ist sie 11°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$4$	=	$27 - c$
$4$	=	$- c + 27$	\| $- 4$ $+ c$
$c$	=	$23$

somit gilt: f(t)= $27 - 23 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $27 - 23 e^{- k \cdot 6}$ = 13,6.

27 - 23 e^{- 6 k}

=

13,5968

$- 23 e^{- 6 k} + 27$	=	$13,5968$	\| $- 27$
$- 23 e^{- 6 k}$	=	$- 13,4032$	\|: $- 23$
$e^{- 6 k}$	=	$0,5827$	\|ln(⋅)
$- 6 k$	=	$\ln (0,5827)$	\|: $- 6$
$k$	=	$- \frac{1}{6} \ln (0,5827)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.090013800805518, => f(t)= $27 - 23 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $27 - 23 e^{- 0,09 \cdot 9}$ ≈ 16.8

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

27 - 23 e^{- 0,09 t}

=

11

$- 23 e^{- 0,09 t} + 27$	=	$11$	\| $- 27$
$- 23 e^{- 0,09 t}$	=	$- 16$	\|: $- 23$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{16}{23}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{16}{23})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{16}{23})$	≈ 4.0323

also t=4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 3ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 1% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 10 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 161ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 3 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{3}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(300 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=300 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $300 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$300 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
0	=	$300 - c$
0	=	$- c + 300$	\|0 $+ c$
$c$	=	$300$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $300 - 300 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $300 - 300 e^{- 0,01 \cdot 10}$ ≈ 28.5

Wann wird der Wert 161?: f(t)=161

300 - 300 e^{- 0,01 t}

=

161

$- 300 e^{- 0,01 t} + 300$	=	$161$	\| $- 300$
$- 300 e^{- 0,01 t}$	=	$- 139$	\|: $- 300$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{139}{300}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{139}{300})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{139}{300})$	≈ 76.9309

also t=76.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{- 0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,1$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.