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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 12 Millionen Algen im Teich. Nach 9 Stunden sind es 18,82 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 10 Stunden? b) Wann waren es 15 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $12 e^{k \cdot 9}$ = 18,8197.

$12 e^{9 k}$	=	$18,8197$	\|: $12$
$e^{9 k}$	=	$1,5683$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (1,5683)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (1,5683)$	≈ 0.05

also k ≈ 0.049999136684249, => f(t)= $12 e^{0,05 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $12 e^{0,05 \cdot 10}$ ≈ 19.8

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

$12 e^{0,05 t}$	=	$15$	\|: $12$
$e^{0,05 t}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
$0,05 t$	=	$\ln (\frac{5}{4})$	\|: $0,05$
$t$	=	$\frac{1}{0,05} \ln (\frac{5}{4})$	≈ 4.4629

also t=4.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1701 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2228? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,2 Milliarden Blondies?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1701}$ ≈ -0.00040749393330979

=> f(t)= $e^{- 0,0004 t}$

Wert zur Zeit 228: f(228)= $e^{- 0,0004 \cdot 228}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.2?: f(t)=0.2

$e^{- 0,0004 t}$	=	$0,2$	\|ln(⋅)
$- 0,0004 t$	=	$\ln (0,2)$	\|: $- 0,0004$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0004} \ln (0,2)$	≈ 3954.3929

also t=3954.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 14% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 5 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 58% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.86) ≈ -0.15082288973458

=> f(t)= $100 e^{- 0,1508 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 e^{- 0,1508 \cdot 5}$ ≈ 47

Wann wird der Wert 58?: f(t)=58

$100 e^{- 0,1508 t}$	=	$58$	\|: $100$
$e^{- 0,1508 t}$	=	$\frac{29}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,1508 t$	=	$\ln (\frac{29}{50})$	\|: $- 0,1508$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1508} \ln (\frac{29}{50})$	≈ 3.6122

also t=3.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 32°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 14,57°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 18°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=32 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $32 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $32 - c$ = $32 - c$

$8$	=	$32 - c$
$8$	=	$- c + 32$	\| $- 8$ $+ c$
$c$	=	$24$

somit gilt: f(t)= $32 - 24 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $32 - 24 e^{- k \cdot 4}$ = 14,57.

32 - 24 e^{- 4 k}

=

14,5724

$- 24 e^{- 4 k} + 32$	=	$14,5724$	\| $- 32$
$- 24 e^{- 4 k}$	=	$- 17,4276$	\|: $- 24$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7262$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7262)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7262)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.079982455000475, => f(t)= $32 - 24 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $32 - 24 e^{- 0,08 \cdot 6}$ ≈ 17.1

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

32 - 24 e^{- 0,08 t}

=

18

$- 24 e^{- 0,08 t} + 32$	=	$18$	\| $- 32$
$- 24 e^{- 0,08 t}$	=	$- 14$	\|: $- 24$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{7}{12}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{7}{12})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{7}{12})$	≈ 6.7375

also t=6.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2914 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 89 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 5004 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 89 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{89}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(8900 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=8900 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $8 900 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2914 ein (Punktprobe).

$2 914$	=	$8 900 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$2 914$	=	$8 900 - c$
$2 914$	=	$- c + 8 900$	\| $- 2 914$ $+ c$
$c$	=	$5 986$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $8 900 - 5 986 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $8 900 - 5 986 e^{- 0,01 \cdot 12}$ ≈ 3590.9

Wann wird der Wert 5004?: f(t)=5004

8 900 - 5 986 e^{- 0,01 t}

=

5 004

$- 5 986 e^{- 0,01 t} + 8 900$	=	$5 004$	\| $- 8 900$
$- 5 986 e^{- 0,01 t}$	=	$- 3 896$	\|: $- 5 986$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{1948}{2993}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{1948}{2993})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{1948}{2993})$	≈ 42.9473

also t=42.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $7 e^{- 0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,02$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.