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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 18 Millionen Algen im Teich. Nach 6 Stunden sind es 25,8 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 9 Stunden? b) Wann waren es 24 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $18 e^{k \cdot 6}$ = 25,7999.

$18 e^{6 k}$	=	$25,7999$	\|: $18$
$e^{6 k}$	=	$1,4333$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (1,4333)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (1,4333)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.059996579657839, => f(t)= $18 e^{0,06 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $18 e^{0,06 \cdot 9}$ ≈ 30.9

Wann wird der Wert 24?: f(t)=24

$18 e^{0,06 t}$	=	$24$	\|: $18$
$e^{0,06 t}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$0,06 t$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $0,06$
$t$	=	$\frac{1}{0,06} \ln (\frac{4}{3})$	≈ 4.7947

also t=4.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 904 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 19g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 948 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 9,5g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{904}$ ≈ -0.0007667557307079

=> f(t)= $19 e^{- 0,0008 t}$

Wert zur Zeit 948: f(948)= $19 e^{- 0,0008 \cdot 948}$ ≈ 9.2

Wann wird der Wert 9.5?: f(t)=9.5

$19 e^{- 0,0008 t}$	=	$9,5$	\|: $19$
$e^{- 0,0008 t}$	=	$0,5$	\|ln(⋅)
$- 0,0008 t$	=	$\ln (0,5)$	\|: $- 0,0008$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0008} \ln (0,5)$	≈ 903.7121

also t=903.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 13% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 4 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 2 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.87) ≈ -0.13926206733351

=> f(t)= $4 e^{- 0,1393 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $4 e^{- 0,1393 \cdot 3}$ ≈ 2.6

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$4 e^{- 0,1393 t}$	=	$2$	\|: $4$
$e^{- 0,1393 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,1393 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,1393$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1393} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 4.9759

also t=5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 57° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 57 ist, gilt: f(0)= 57, also 57 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$57$	=	$20 - c$
$57$	=	$- c + 20$	\| $- 57$ $+ c$
$c$	=	$- 37$

somit gilt: f(t)= $20 + 37 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 37 e^{- k \cdot 3}$ = 53.

20 + 37 e^{- 3 k}

=

53,0036

$37 e^{- 3 k} + 20$	=	$53,0036$	\| $- 20$
$37 e^{- 3 k}$	=	$33,0036$	\|: $37$
$e^{- 3 k}$	=	$0,892$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,892)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,892)$	≈ 0.0381

also k ≈ 0.038096382134043, => f(t)= $20 + 37 e^{- 0,0381 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 37 e^{- 0,0381 \cdot 4}$ ≈ 51.8

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 37 e^{- 0,0381 t}

=

50

$37 e^{- 0,0381 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$37 e^{- 0,0381 t}$	=	$30$	\|: $37$
$e^{- 0,0381 t}$	=	$\frac{30}{37}$	\|ln(⋅)
$- 0,0381 t$	=	$\ln (\frac{30}{37})$	\|: $- 0,0381$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0381} \ln (\frac{30}{37})$	≈ 5.5045

also t=5.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3013 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 72 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 5 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2592 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 72 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{72}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(720 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=720 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $720 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3013 ein (Punktprobe).

$3 013$	=	$720 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$3 013$	=	$720 - c$
$3 013$	=	$- c + 720$	\| $- 3 013$ $+ c$
$c$	=	$- 2 293$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $720 + 2 293 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $720 + 2 293 e^{- 0,1 \cdot 5}$ ≈ 2110.8

Wann wird der Wert 2592?: f(t)=2592

720 + 2 293 e^{- 0,1 t}

=

2 592

$2 293 e^{- 0,1 t} + 720$	=	$2 592$	\| $- 720$
$2 293 e^{- 0,1 t}$	=	$1 872$	\|: $2 293$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{1872}{2293}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{1872}{2293})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1872}{2293})$	≈ 2.0285

also t=2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $4 e^{- 0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,06$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.