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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 15 Millionen Algen im Teich. Nach 2 Stunden sind es 17,603 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 3 Stunden? b) Wann waren es 27 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $15 e^{k \cdot 2}$ = 17,6027.

$15 e^{2 k}$	=	$17,6027$	\|: $15$
$e^{2 k}$	=	$1,1735$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (1,1735)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (1,1735)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.079995368154471, => f(t)= $15 e^{0,08 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $15 e^{0,08 \cdot 3}$ ≈ 19.1

Wann wird der Wert 27?: f(t)=27

$15 e^{0,08 t}$	=	$27$	\|: $15$
$e^{0,08 t}$	=	$\frac{9}{5}$	\|ln(⋅)
$0,08 t$	=	$\ln (\frac{9}{5})$	\|: $0,08$
$t$	=	$\frac{1}{0,08} \ln (\frac{9}{5})$	≈ 7.3473

also t=7.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 19 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 18-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 19 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 30-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{19}$ ≈ 0.036481430555787

=> f(t)= $18 e^{0,0365 t}$

Wert zur Zeit 19: f(19)= $18 e^{0,0365 \cdot 19}$ ≈ 36

Wann wird der Wert 30?: f(t)=30

$18 e^{0,0365 t}$	=	$30$	\|: $18$
$e^{0,0365 t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$0,0365 t$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $0,0365$
$t$	=	$\frac{1}{0,0365} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 14.0025

also t=14

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 4% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 20 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 25 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.04) ≈ 0.039220713153281

=> f(t)= $20 e^{0,0392 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 e^{0,0392 \cdot 4}$ ≈ 23.4

Wann wird der Wert 25?: f(t)=25

$20 e^{0,0392 t}$	=	$25$	\|: $20$
$e^{0,0392 t}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
$0,0392 t$	=	$\ln (\frac{5}{4})$	\|: $0,0392$
$t$	=	$\frac{1}{0,0392} \ln (\frac{5}{4})$	≈ 5.6924

also t=5.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 40 e^{- k \cdot 5}$ = 53.

20 + 40 e^{- 5 k}

=

52,9958

$40 e^{- 5 k} + 20$	=	$52,9958$	\| $- 20$
$40 e^{- 5 k}$	=	$32,9958$	\|: $40$
$e^{- 5 k}$	=	$0,8249$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,8249)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,8249)$	≈ 0.0385

also k ≈ 0.03849862242309, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,0385 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 40 e^{- 0,0385 \cdot 3}$ ≈ 55.6

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,0385 t}

=

50

$40 e^{- 0,0385 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,0385 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,0385 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,0385 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,0385$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0385} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 7.4723

also t=7.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3737 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 80 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 14 Monaten? b) Wann beträgt dieser 7264 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 80 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{80}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(8000 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=8000 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $8 000 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3737 ein (Punktprobe).

$3 737$	=	$8 000 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$3 737$	=	$8 000 - c$
$3 737$	=	$- c + 8 000$	\| $- 3 737$ $+ c$
$c$	=	$4 263$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $8 000 - 4 263 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $8 000 - 4 263 e^{- 0,01 \cdot 14}$ ≈ 4293.9

Wann wird der Wert 7264?: f(t)=7264

8 000 - 4 263 e^{- 0,01 t}

=

7 264

$- 4 263 e^{- 0,01 t} + 8 000$	=	$7 264$	\| $- 8 000$
$- 4 263 e^{- 0,01 t}$	=	$- 736$	\|: $- 4 263$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{736}{4263}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{736}{4263})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{736}{4263})$	≈ 175.6498

also t=175.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $15 e^{- 0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,03$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.