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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 77 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 99 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 77: f(77)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 77}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 99?: f(t)=99

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$99$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 950 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 950 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 950 000)$	≈ 133.9261

also t=133.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 72 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 50 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 72: f(72)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 72}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$50$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 500 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 500 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 500 000)$	≈ 127.9457

also t=127.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 2% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 90% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.98) ≈ -0.020202707317519

=> f(t)= $100 e^{- 0,0202 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,0202 \cdot 4}$ ≈ 92.2

Wann wird der Wert 90?: f(t)=90

$100 e^{- 0,0202 t}$	=	$90$	\|: $100$
$e^{- 0,0202 t}$	=	$\frac{9}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,0202 t$	=	$\ln (\frac{9}{10})$	\|: $- 0,0202$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0202} \ln (\frac{9}{10})$	≈ 5.2159

also t=5.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 61° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 61 ist, gilt: f(0)= 61, also 61 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$61$	=	$20 - c$
$61$	=	$- c + 20$	\| $- 61$ $+ c$
$c$	=	$- 41$

somit gilt: f(t)= $20 + 41 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 41 e^{- k \cdot 5}$ = 51.

20 + 41 e^{- 5 k}

=

51,0026

$41 e^{- 5 k} + 20$	=	$51,0026$	\| $- 20$
$41 e^{- 5 k}$	=	$31,0026$	\|: $41$
$e^{- 5 k}$	=	$0,7562$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,7562)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,7562)$	≈ 0.0559

also k ≈ 0.055889877505061, => f(t)= $20 + 41 e^{- 0,0559 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 41 e^{- 0,0559 \cdot 5}$ ≈ 51

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 41 e^{- 0,0559 t}

=

50

$41 e^{- 0,0559 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$41 e^{- 0,0559 t}$	=	$30$	\|: $41$
$e^{- 0,0559 t}$	=	$\frac{30}{41}$	\|ln(⋅)
$- 0,0559 t$	=	$\ln (\frac{30}{41})$	\|: $- 0,0559$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0559} \ln (\frac{30}{41})$	≈ 5.5881

also t=5.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2808 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 60 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1214 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 60 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{60}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(600 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=600 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $600 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2808 ein (Punktprobe).

$2 808$	=	$600 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$2 808$	=	$600 - c$
$2 808$	=	$- c + 600$	\| $- 2 808$ $+ c$
$c$	=	$- 2 208$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $600 + 2 208 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $600 + 2 208 e^{- 0,1 \cdot 12}$ ≈ 1265

Wann wird der Wert 1214?: f(t)=1214

600 + 2 208 e^{- 0,1 t}

=

1 214

$2 208 e^{- 0,1 t} + 600$	=	$1 214$	\| $- 600$
$2 208 e^{- 0,1 t}$	=	$614$	\|: $2 208$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{307}{1104}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{307}{1104})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{307}{1104})$	≈ 12.7985

also t=12.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $17 e^{- 0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,08$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,08}$ ≈ 8.664 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.