Mathebattle EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 19 Millionen Algen im Teich. Nach 8 Stunden sind es 33,263 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 9 Stunden? b) Wann waren es 26 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $19 e^{k \cdot 8}$ = 33,2628.

$19 e^{8 k}$	=	$33,2628$	\|: $19$
$e^{8 k}$	=	$1,7507$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (1,7507)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (1,7507)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.070001963494594, => f(t)= $19 e^{0,07 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $19 e^{0,07 \cdot 9}$ ≈ 35.7

Wann wird der Wert 26?: f(t)=26

$19 e^{0,07 t}$	=	$26$	\|: $19$
$e^{0,07 t}$	=	$\frac{26}{19}$	\|ln(⋅)
$0,07 t$	=	$\ln (\frac{26}{19})$	\|: $0,07$
$t$	=	$\frac{1}{0,07} \ln (\frac{26}{19})$	≈ 4.4808

also t=4.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1137 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2206? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,9 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1137}$ ≈ -0.00060962812714155

=> f(t)= $e^{- 0,00061 t}$

Wert zur Zeit 206: f(206)= $e^{- 0,00061 \cdot 206}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.9?: f(t)=0.9

$e^{- 0,00061 t}$	=	$0,9$	\|ln(⋅)
$- 0,00061 t$	=	$\ln (0,9)$	\|: $- 0,00061$
$t$	=	$- \frac{1}{0,00061} \ln (0,9)$	≈ 172.7222

also t=172.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 7% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 5 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 79% der Masse da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.93) ≈ -0.072570692834835

=> f(t)= $100 e^{- 0,0726 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 e^{- 0,0726 \cdot 5}$ ≈ 69.6

Wann wird der Wert 79?: f(t)=79

$100 e^{- 0,0726 t}$	=	$79$	\|: $100$
$e^{- 0,0726 t}$	=	$\frac{79}{100}$	\|ln(⋅)
$- 0,0726 t$	=	$\ln (\frac{79}{100})$	\|: $- 0,0726$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0726} \ln (\frac{79}{100})$	≈ 3.2469

also t=3.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 12,32°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 7 Minuten? b) Wann ist sie 19°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $25 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $25 - c$ = $25 - c$

$7$	=	$25 - c$
$7$	=	$- c + 25$	\| $- 7$ $+ c$
$c$	=	$18$

somit gilt: f(t)= $25 - 18 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $25 - 18 e^{- k \cdot 5}$ = 12,32.

25 - 18 e^{- 5 k}

=

12,3156

$- 18 e^{- 5 k} + 25$	=	$12,3156$	\| $- 25$
$- 18 e^{- 5 k}$	=	$- 12,6844$	\|: $- 18$
$e^{- 5 k}$	=	$0,7047$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,7047)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,7047)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.069996619729832, => f(t)= $25 - 18 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $25 - 18 e^{- 0,07 \cdot 7}$ ≈ 14

Wann wird der Wert 19?: f(t)=19

25 - 18 e^{- 0,07 t}

=

19

$- 18 e^{- 0,07 t} + 25$	=	$19$	\| $- 25$
$- 18 e^{- 0,07 t}$	=	$- 6$	\|: $- 18$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 15.6945

also t=15.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 2% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3041 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 85 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 14 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3074 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 85 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{85}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(4250 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=4250 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $4 250 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3041 ein (Punktprobe).

$3 041$	=	$4 250 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
$3 041$	=	$4 250 - c$
$3 041$	=	$- c + 4 250$	\| $- 3 041$ $+ c$
$c$	=	$1 209$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $4 250 - 1 209 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $4 250 - 1 209 e^{- 0,02 \cdot 14}$ ≈ 3336.3

Wann wird der Wert 3074?: f(t)=3074

4 250 - 1 209 e^{- 0,02 t}

=

3 074

$- 1 209 e^{- 0,02 t} + 4 250$	=	$3 074$	\| $- 4 250$
$- 1 209 e^{- 0,02 t}$	=	$- 1 176$	\|: $- 1 209$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{392}{403}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{392}{403})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{392}{403})$	≈ 1.3837

also t=1.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $16 e^{0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,02$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.