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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 4g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 1,779g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 1g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $4 e^{k \cdot 9}$ = 1,7794.

$4 e^{9 k}$	=	$1,7794$	\|: $4$
$e^{9 k}$	=	$0,4449$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (0,4449)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (0,4449)$	≈ -0.09

also k ≈ -0.089989526796682, => f(t)= $4 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $4 e^{- 0,09 \cdot 11}$ ≈ 1.5

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$4 e^{- 0,09 t}$	=	$1$	\|: $4$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 15.4033

also t=15.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 942 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 20g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 2356 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 6g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{942}$ ≈ -0.00073582503244156

=> f(t)= $20 e^{- 0,0007 t}$

Wert zur Zeit 2356: f(2356)= $20 e^{- 0,0007 \cdot 2356}$ ≈ 3.5

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$20 e^{- 0,0007 t}$	=	$6$	\|: $20$
$e^{- 0,0007 t}$	=	$\frac{3}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,0007 t$	=	$\ln (\frac{3}{10})$	\|: $- 0,0007$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0007} \ln (\frac{3}{10})$	≈ 1635.8326

also t=1635.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 9% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 55% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.91) ≈ -0.094310679471241

=> f(t)= $100 e^{- 0,0943 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,0943 \cdot 4}$ ≈ 68.6

Wann wird der Wert 55?: f(t)=55

$100 e^{- 0,0943 t}$	=	$55$	\|: $100$
$e^{- 0,0943 t}$	=	$\frac{11}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,0943 t$	=	$\ln (\frac{11}{20})$	\|: $- 0,0943$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0943} \ln (\frac{11}{20})$	≈ 6.3397

also t=6.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 40 e^{- k \cdot 5}$ = 54.

20 + 40 e^{- 5 k}

=

54,0006

$40 e^{- 5 k} + 20$	=	$54,0006$	\| $- 20$
$40 e^{- 5 k}$	=	$34,0006$	\|: $40$
$e^{- 5 k}$	=	$0,85$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,85)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,85)$	≈ 0.0325

also k ≈ 0.032503785899555, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,0325 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 40 e^{- 0,0325 \cdot 2}$ ≈ 57.5

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,0325 t}

=

50

$40 e^{- 0,0325 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,0325 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,0325 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,0325 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,0325$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0325} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 8.8518

also t=8.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,2% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 8 Jahren, wenn jedes Jahr 0,7 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 60 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.7 - 0.012⋅f(t)

wenn man 0.012 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.012( $\frac{0.7}{0.012}$ - f(t))

also f'(t) = 0.012(58.33 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=58.33 und der Wachstumsfaktor k=0.012 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $58,33 - c \cdot e^{- 0,012 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$58,33 - c \cdot e^{- 0,012 \cdot 0}$
$80$	=	$58,33 - c$
$80$	=	$- c + 58,33$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 21,67$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $58,33 + 21,67 e^{- 0,012 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $58,33 + 21,67 e^{- 0,012 \cdot 8}$ ≈ 78

Wann wird der Wert 60?: f(t)=60

58,33 + 21,67 e^{- 0,012 t}

=

60

$21,67 e^{- 0,012 t} + 58,33$	=	$60$	\| $- 58,33$
$21,67 e^{- 0,012 t}$	=	$1,67$	\|: $21,67$
$e^{- 0,012 t}$	=	$0,0771$	\|ln(⋅)
$- 0,012 t$	=	$\ln (0,0771)$	\|: $- 0,012$
$t$	=	$- \frac{1}{0,012} \ln (0,0771)$	≈ 213.5543

also t=213.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $9 e^{- 0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,04$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.