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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 6g vorhanden. Nach 10 Tagen sind nur noch 2,696g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 1g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $6 e^{k \cdot 10}$ = 2,696.

$6 e^{10 k}$	=	$2,696$	\|: $6$
$e^{10 k}$	=	$0,4493$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (0,4493)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (0,4493)$	≈ -0.08

also k ≈ -0.080006446290602, => f(t)= $6 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $6 e^{- 0,08 \cdot 11}$ ≈ 2.5

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$6 e^{- 0,08 t}$	=	$1$	\|: $6$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{1}{6}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{1}{6})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{1}{6})$	≈ 22.397

also t=22.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 305 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 12g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 670 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 9,6g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{305}$ ≈ -0.0022726137067539

=> f(t)= $12 e^{- 0,0023 t}$

Wert zur Zeit 670: f(670)= $12 e^{- 0,0023 \cdot 670}$ ≈ 2.6

Wann wird der Wert 9.6?: f(t)=9.6

$12 e^{- 0,0023 t}$	=	$9,6$	\|: $12$
$e^{- 0,0023 t}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 0,0023 t$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 0,0023$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0023} \ln (0,8)$	≈ 98.1714

also t=98.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 12% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 18 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 12 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.88) ≈ -0.12783337150988

=> f(t)= $18 e^{- 0,1278 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $18 e^{- 0,1278 \cdot 4}$ ≈ 10.8

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

$18 e^{- 0,1278 t}$	=	$12$	\|: $18$
$e^{- 0,1278 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,1278 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,1278$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1278} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 3.1727

also t=3.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 28 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 3,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 28.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

27,9999

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$27,9999$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 9,0001$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,45$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,45)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,45)$	≈ 1.597

also k ≈ 1.5970153924355, => f(t)= $37 - 20 e^{- 1,597 t}$

Wert zur Zeit 3.5: f(3.5)= $37 - 20 e^{- 1,597 \cdot 3,5}$ ≈ 36.9

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 1,597 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 1,597 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 1,597 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 1,597 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 1,597 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 1,597$
$t$	=	$- \frac{1}{1,597} \ln (0,005)$	≈ 3.3177

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 2% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2420 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 72 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 7 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2641 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 72 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{72}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(3600 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=3600 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $3 600 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2420 ein (Punktprobe).

$2 420$	=	$3 600 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
$2 420$	=	$3 600 - c$
$2 420$	=	$- c + 3 600$	\| $- 2 420$ $+ c$
$c$	=	$1 180$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $3 600 - 1 180 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $3 600 - 1 180 e^{- 0,02 \cdot 7}$ ≈ 2574.2

Wann wird der Wert 2641?: f(t)=2641

3 600 - 1 180 e^{- 0,02 t}

=

2 641

$- 1 180 e^{- 0,02 t} + 3 600$	=	$2 641$	\| $- 3 600$
$- 1 180 e^{- 0,02 t}$	=	$- 959$	\|: $- 1 180$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{959}{1180}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{959}{1180})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{959}{1180})$	≈ 10.3689

also t=10.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $8 e^{0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,01$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,01}$ ≈ 69.315 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.