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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 18 Millionen Algen im Teich. Nach 6 Stunden sind es 20,295 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 8 Stunden? b) Wann waren es 21 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $18 e^{k \cdot 6}$ = 20,2949.

$18 e^{6 k}$	=	$20,2949$	\|: $18$
$e^{6 k}$	=	$1,1275$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (1,1275)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (1,1275)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.020000465399116, => f(t)= $18 e^{0,02 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $18 e^{0,02 \cdot 8}$ ≈ 21.1

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

$18 e^{0,02 t}$	=	$21$	\|: $18$
$e^{0,02 t}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$0,02 t$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $0,02$
$t$	=	$\frac{1}{0,02} \ln (\frac{7}{6})$	≈ 7.7075

also t=7.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 915 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 3g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 2607 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 1,2g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{915}$ ≈ -0.00075753790225131

=> f(t)= $3 e^{- 0,0008 t}$

Wert zur Zeit 2607: f(2607)= $3 e^{- 0,0008 \cdot 2607}$ ≈ 0.4

Wann wird der Wert 1.2?: f(t)=1.2

$3 e^{- 0,0008 t}$	=	$1,2$	\|: $3$
$e^{- 0,0008 t}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,0008 t$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,0008$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0008} \ln (0,4)$	≈ 1208.8268

also t=1208.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 8% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 14 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 20 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.08) ≈ 0.076961041136128

=> f(t)= $14 e^{0,077 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $14 e^{0,077 \cdot 2}$ ≈ 16.3

Wann wird der Wert 20?: f(t)=20

$14 e^{0,077 t}$	=	$20$	\|: $14$
$e^{0,077 t}$	=	$\frac{10}{7}$	\|ln(⋅)
$0,077 t$	=	$\ln (\frac{10}{7})$	\|: $0,077$
$t$	=	$\frac{1}{0,077} \ln (\frac{10}{7})$	≈ 4.6321

also t=4.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 28°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 15,93°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 7 Minuten? b) Wann ist sie 18°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=28 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $28 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $28 - c$ = $28 - c$

$10$	=	$28 - c$
$10$	=	$- c + 28$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$18$

somit gilt: f(t)= $28 - 18 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $28 - 18 e^{- k \cdot 4}$ = 15,93.

28 - 18 e^{- 4 k}

=

15,9342

$- 18 e^{- 4 k} + 28$	=	$15,9342$	\| $- 28$
$- 18 e^{- 4 k}$	=	$- 12,0658$	\|: $- 18$
$e^{- 4 k}$	=	$0,6703$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,6703)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,6703)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.10000747640456, => f(t)= $28 - 18 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $28 - 18 e^{- 0,1 \cdot 7}$ ≈ 19.1

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

28 - 18 e^{- 0,1 t}

=

18

$- 18 e^{- 0,1 t} + 28$	=	$18$	\| $- 28$
$- 18 e^{- 0,1 t}$	=	$- 10$	\|: $- 18$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{5}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{5}{9})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{5}{9})$	≈ 5.8779

also t=5.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,5% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 10 Jahren, wenn jedes Jahr 0,5 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 57 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.5 - 0.015⋅f(t)

wenn man 0.015 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.015( $\frac{0.5}{0.015}$ - f(t))

also f'(t) = 0.015(33.33 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=33.33 und der Wachstumsfaktor k=0.015 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $33,33 - c \cdot e^{- 0,015 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$33,33 - c \cdot e^{- 0,015 \cdot 0}$
$80$	=	$33,33 - c$
$80$	=	$- c + 33,33$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 46,67$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $33,33 + 46,67 e^{- 0,015 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $33,33 + 46,67 e^{- 0,015 \cdot 10}$ ≈ 73.5

Wann wird der Wert 57?: f(t)=57

33,33 + 46,67 e^{- 0,015 t}

=

57

$46,67 e^{- 0,015 t} + 33,33$	=	$57$	\| $- 33,33$
$46,67 e^{- 0,015 t}$	=	$23,67$	\|: $46,67$
$e^{- 0,015 t}$	=	$0,5072$	\|ln(⋅)
$- 0,015 t$	=	$\ln (0,5072)$	\|: $- 0,015$
$t$	=	$- \frac{1}{0,015} \ln (0,5072)$	≈ 45.2567

also t=45.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{- 0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,06$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.