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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 100 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 62 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 100: f(100)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 100}$ ≈ 2

Wann wird der Wert 62?: f(t)=62

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$62$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$3 100 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (3 100 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (3 100 000)$	≈ 129.8602

also t=129.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 544 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 5g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 1085 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 1,5g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{544}$ ≈ -0.0012741676113234

=> f(t)= $5 e^{- 0,0013 t}$

Wert zur Zeit 1085: f(1085)= $5 e^{- 0,0013 \cdot 1085}$ ≈ 1.3

Wann wird der Wert 1.5?: f(t)=1.5

$5 e^{- 0,0013 t}$	=	$1,5$	\|: $5$
$e^{- 0,0013 t}$	=	$0,3$	\|ln(⋅)
$- 0,0013 t$	=	$\ln (0,3)$	\|: $- 0,0013$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0013} \ln (0,3)$	≈ 945.0336

also t=945

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 12% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 13 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 21 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.12) ≈ 0.113328685307

=> f(t)= $13 e^{0,1133 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $13 e^{0,1133 \cdot 2}$ ≈ 16.3

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

$13 e^{0,1133 t}$	=	$21$	\|: $13$
$e^{0,1133 t}$	=	$\frac{21}{13}$	\|ln(⋅)
$0,1133 t$	=	$\ln (\frac{21}{13})$	\|: $0,1133$
$t$	=	$\frac{1}{0,1133} \ln (\frac{21}{13})$	≈ 4.2328

also t=4.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 29 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 3,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 29.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

29,0001

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$29,0001$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 7,9999$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,4)$	≈ 1.8326

also k ≈ 1.8325814637483, => f(t)= $37 - 20 e^{- 1,8326 t}$

Wert zur Zeit 3.5: f(3.5)= $37 - 20 e^{- 1,8326 \cdot 3,5}$ ≈ 37

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 1,8326 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 1,8326 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 1,8326 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 1,8326 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 1,8326 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 1,8326$
$t$	=	$- \frac{1}{1,8326} \ln (0,005)$	≈ 2.8911

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,5% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 7 Jahren, wenn jedes Jahr 0,4 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 65 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.4 - 0.015⋅f(t)

wenn man 0.015 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.015( $\frac{0.4}{0.015}$ - f(t))

also f'(t) = 0.015(26.67 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=26.67 und der Wachstumsfaktor k=0.015 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $26,67 - c \cdot e^{- 0,015 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$26,67 - c \cdot e^{- 0,015 \cdot 0}$
$80$	=	$26,67 - c$
$80$	=	$- c + 26,67$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 53,33$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $26,67 + 53,33 e^{- 0,015 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $26,67 + 53,33 e^{- 0,015 \cdot 7}$ ≈ 74.7

Wann wird der Wert 65?: f(t)=65

26,67 + 53,33 e^{- 0,015 t}

=

65

$53,33 e^{- 0,015 t} + 26,67$	=	$65$	\| $- 26,67$
$53,33 e^{- 0,015 t}$	=	$38,33$	\|: $53,33$
$e^{- 0,015 t}$	=	$0,7187$	\|ln(⋅)
$- 0,015 t$	=	$\ln (0,7187)$	\|: $- 0,015$
$t$	=	$- \frac{1}{0,015} \ln (0,7187)$	≈ 22.0208

also t=22

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $12 e^{- 0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,05$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.