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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 15g vorhanden. Nach 10 Tagen sind nur noch 12,281g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 13 Tagen da? b) Wann sind nur noch 13g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 15 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= 15 e k · 10 = 12,281.

15 e 10k = 12,281 |:15
e 10k = 0,8187 |ln(⋅)
10k = ln( 0,8187 ) |:10
k = 1 10 ln( 0,8187 ) ≈ -0.02

also k ≈ -0.020003756259973, => f(t)= 15 e -0,02t


Wert zur Zeit 13: f(13)= 15 e -0,0213 ≈ 11.6


Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

15 e -0,02t = 13 |:15
e -0,02t = 13 15 |ln(⋅)
-0,02t = ln( 13 15 ) |:-0,02
t = - 1 0,02 ln( 13 15 ) ≈ 7.155

also t=7.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1458 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2268? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,2 Milliarden Blondies?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel TH= -ln(2) k um zu
k= -ln(2) T = -ln(2) 1458 ≈ -0.00047540958886142


=> f(t)= e -0,0005t


Wert zur Zeit 268: f(268)= e -0,0005268 ≈ 0.9


Wann wird der Wert 0.2?: f(t)=0.2

e -0,0005t = 0,2 |ln(⋅)
-0,0005t = ln( 0,2 ) |:-0,0005
t = - 1 0,0005 ln( 0,2 ) ≈ 3388.2903

also t=3388.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 10% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 16 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 22 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 16 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.1) ≈ 0.095310179804325


=> f(t)= 16 e 0,0953t


Wert zur Zeit 2: f(2)= 16 e 0,09532 ≈ 19.4


Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

16 e 0,0953t = 22 |:16
e 0,0953t = 11 8 |ln(⋅)
0,0953t = ln( 11 8 ) |:0,0953
t = 1 0,0953 ln( 11 8 ) ≈ 3.3416

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 7 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 9,17°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 10 Minuten? b) Wann ist sie 21°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = 27 - c · e -k · 0 = 27 - c = 27 - c

5 = 27 - c
5 = -c +27 | -5 + c
c = 22

somit gilt: f(t)= 27 -22 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= 27 -22 e -k · 7 = 9,17.

27 -22 e -7k = 9,1671
-22 e -7k +27 = 9,1671 | -27
-22 e -7k = -17,8329 |:-22
e -7k = 0,8106 |ln(⋅)
-7k = ln( 0,8106 ) |:-7
k = - 1 7 ln( 0,8106 ) ≈ 0.03

also k ≈ 0.029997223541133, => f(t)= 27 -22 e -0,03t


Wert zur Zeit 10: f(10)= 27 -22 e -0,0310 ≈ 10.7


Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

27 -22 e -0,03t = 21
-22 e -0,03t +27 = 21 | -27
-22 e -0,03t = -6 |:-22
e -0,03t = 3 11 |ln(⋅)
-0,03t = ln( 3 11 ) |:-0,03
t = - 1 0,03 ln( 3 11 ) ≈ 43.3094

also t=43.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 4ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 10% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 5 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 15ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 4 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( 4 0.1 - f(t))

also f'(t) = 0.1(40 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=40 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 40 - c · e -0,1t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0 = 40 - c · e -0,10
0 = 40 - c
0 = -c +40 |0 + c
c = 40

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 40 -40 e -0,1x


Wert zur Zeit 5: f(5)= 40 -40 e -0,15 ≈ 15.7


Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

40 -40 e -0,1t = 15
-40 e -0,1t +40 = 15 | -40
-40 e -0,1t = -25 |:-40
e -0,1t = 5 8 |ln(⋅)
-0,1t = ln( 5 8 ) |:-0,1
t = - 1 0,1 ln( 5 8 ) ≈ 4.7

also t=4.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 3 e 0,08t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (0,08 ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = 0,08 einfach in die Formel TV = ln(2) k ein:

TV = ln(2) 0,08 8.664 min