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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 77 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 99 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 77: f(77)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 77}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 99?: f(t)=99

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$99$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 950 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 950 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 950 000)$	≈ 133.9261

also t=133.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 20 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 6-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 41 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 20-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{20}$ ≈ 0.034657359027997

=> f(t)= $6 e^{0,0347 t}$

Wert zur Zeit 41: f(41)= $6 e^{0,0347 \cdot 41}$ ≈ 24.8

Wann wird der Wert 20?: f(t)=20

$6 e^{0,0347 t}$	=	$20$	\|: $6$
$e^{0,0347 t}$	=	$\frac{10}{3}$	\|ln(⋅)
$0,0347 t$	=	$\ln (\frac{10}{3})$	\|: $0,0347$
$t$	=	$\frac{1}{0,0347} \ln (\frac{10}{3})$	≈ 34.7397

also t=34.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 4% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 7 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 8 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.04) ≈ 0.039220713153281

=> f(t)= $7 e^{0,0392 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $7 e^{0,0392 \cdot 4}$ ≈ 8.2

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$7 e^{0,0392 t}$	=	$8$	\|: $7$
$e^{0,0392 t}$	=	$\frac{8}{7}$	\|ln(⋅)
$0,0392 t$	=	$\ln (\frac{8}{7})$	\|: $0,0392$
$t$	=	$\frac{1}{0,0392} \ln (\frac{8}{7})$	≈ 3.4064

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 61° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 51,99° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 61 ist, gilt: f(0)= 61, also 61 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$61$	=	$20 - c$
$61$	=	$- c + 20$	\| $- 61$ $+ c$
$c$	=	$- 41$

somit gilt: f(t)= $20 + 41 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 41 e^{- k \cdot 5}$ = 51,99.

20 + 41 e^{- 5 k}

=

51,9948

$41 e^{- 5 k} + 20$	=	$51,9948$	\| $- 20$
$41 e^{- 5 k}$	=	$31,9948$	\|: $41$
$e^{- 5 k}$	=	$0,7804$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,7804)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,7804)$	≈ 0.0496

also k ≈ 0.049589734046636, => f(t)= $20 + 41 e^{- 0,0496 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 41 e^{- 0,0496 \cdot 2}$ ≈ 57.1

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 41 e^{- 0,0496 t}

=

50

$41 e^{- 0,0496 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$41 e^{- 0,0496 t}$	=	$30$	\|: $41$
$e^{- 0,0496 t}$	=	$\frac{30}{41}$	\|ln(⋅)
$- 0,0496 t$	=	$\ln (\frac{30}{41})$	\|: $- 0,0496$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0496} \ln (\frac{30}{41})$	≈ 6.2979

also t=6.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 3ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 10% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 7 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 3ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 3 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{3}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(30 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=30 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $30 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$30 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
0	=	$30 - c$
0	=	$- c + 30$	\|0 $+ c$
$c$	=	$30$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $30 - 30 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $30 - 30 e^{- 0,1 \cdot 7}$ ≈ 15.1

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

30 - 30 e^{- 0,1 t}

=

3

$- 30 e^{- 0,1 t} + 30$	=	$3$	\| $- 30$
$- 30 e^{- 0,1 t}$	=	$- 27$	\|: $- 30$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{9}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{9}{10})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{9}{10})$	≈ 1.0536

also t=1.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,05$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.