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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 80 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 44 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 80: f(80)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 80}$ ≈ 0.2

Wann wird der Wert 44?: f(t)=44

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$44$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 200 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 200 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 200 000)$	≈ 126.8807

also t=126.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 14 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 15-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 32 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 50-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{14}$ ≈ 0.049510512897139

=> f(t)= $15 e^{0,0495 t}$

Wert zur Zeit 32: f(32)= $15 e^{0,0495 \cdot 32}$ ≈ 73.1

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

$15 e^{0,0495 t}$	=	$50$	\|: $15$
$e^{0,0495 t}$	=	$\frac{10}{3}$	\|ln(⋅)
$0,0495 t$	=	$\ln (\frac{10}{3})$	\|: $0,0495$
$t$	=	$\frac{1}{0,0495} \ln (\frac{10}{3})$	≈ 24.3173

also t=24.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 13% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 7 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 10 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.13) ≈ 0.12221763272425

=> f(t)= $7 e^{0,1222 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $7 e^{0,1222 \cdot 5}$ ≈ 12.9

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$7 e^{0,1222 t}$	=	$10$	\|: $7$
$e^{0,1222 t}$	=	$\frac{10}{7}$	\|ln(⋅)
$0,1222 t$	=	$\ln (\frac{10}{7})$	\|: $0,1222$
$t$	=	$\frac{1}{0,1222} \ln (\frac{10}{7})$	≈ 2.9188

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 14,41°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 7 Minuten? b) Wann ist sie 25°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$10$	=	$27 - c$
$10$	=	$- c + 27$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$17$

somit gilt: f(t)= $27 - 17 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $27 - 17 e^{- k \cdot 5}$ = 14,41.

27 - 17 e^{- 5 k}

=

14,4061

$- 17 e^{- 5 k} + 27$	=	$14,4061$	\| $- 27$
$- 17 e^{- 5 k}$	=	$- 12,5939$	\|: $- 17$
$e^{- 5 k}$	=	$0,7408$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,7408)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,7408)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.060004919130033, => f(t)= $27 - 17 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $27 - 17 e^{- 0,06 \cdot 7}$ ≈ 15.8

Wann wird der Wert 25?: f(t)=25

27 - 17 e^{- 0,06 t}

=

25

$- 17 e^{- 0,06 t} + 27$	=	$25$	\| $- 27$
$- 17 e^{- 0,06 t}$	=	$- 2$	\|: $- 17$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{2}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{2}{17})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{2}{17})$	≈ 35.6678

also t=35.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2755 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 86 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 7 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2170 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 86 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{86}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(2150 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=2150 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $2 150 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2755 ein (Punktprobe).

$2 755$	=	$2 150 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$2 755$	=	$2 150 - c$
$2 755$	=	$- c + 2 150$	\| $- 2 755$ $+ c$
$c$	=	$- 605$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $2 150 + 605 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $2 150 + 605 e^{- 0,04 \cdot 7}$ ≈ 2607.2

Wann wird der Wert 2170?: f(t)=2170

2 150 + 605 e^{- 0,04 t}

=

2 170

$605 e^{- 0,04 t} + 2 150$	=	$2 170$	\| $- 2 150$
$605 e^{- 0,04 t}$	=	$20$	\|: $605$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{4}{121}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{4}{121})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{4}{121})$	≈ 85.2374

also t=85.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.