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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 7 Millionen Algen im Teich. Nach 6 Stunden sind es 10,654 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 9 Stunden? b) Wann waren es 10 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $7 e^{k \cdot 6}$ = 10,6537.

$7 e^{6 k}$	=	$10,6537$	\|: $7$
$e^{6 k}$	=	$1,522$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (1,522)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (1,522)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.070004209906582, => f(t)= $7 e^{0,07 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $7 e^{0,07 \cdot 9}$ ≈ 13.1

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$7 e^{0,07 t}$	=	$10$	\|: $7$
$e^{0,07 t}$	=	$\frac{10}{7}$	\|ln(⋅)
$0,07 t$	=	$\ln (\frac{10}{7})$	\|: $0,07$
$t$	=	$\frac{1}{0,07} \ln (\frac{10}{7})$	≈ 5.0954

also t=5.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 20 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 11-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 60 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 18,33-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{20}$ ≈ 0.034657359027997

=> f(t)= $11 e^{0,0347 t}$

Wert zur Zeit 60: f(60)= $11 e^{0,0347 \cdot 60}$ ≈ 88

Wann wird der Wert 18.33?: f(t)=18.33

$11 e^{0,0347 t}$	=	$18,33$	\|: $11$
$e^{0,0347 t}$	=	$1,6664$	\|ln(⋅)
$0,0347 t$	=	$\ln (1,6664)$	\|: $0,0347$
$t$	=	$\frac{1}{0,0347} \ln (1,6664)$	≈ 14.7348

also t=14.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 13% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 14 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 21 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.13) ≈ 0.12221763272425

=> f(t)= $14 e^{0,1222 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $14 e^{0,1222 \cdot 4}$ ≈ 22.8

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

$14 e^{0,1222 t}$	=	$21$	\|: $14$
$e^{0,1222 t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,1222 t$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $0,1222$
$t$	=	$\frac{1}{0,1222} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 3.318

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 64° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 64 ist, gilt: f(0)= 64, also 64 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$64$	=	$20 - c$
$64$	=	$- c + 20$	\| $- 64$ $+ c$
$c$	=	$- 44$

somit gilt: f(t)= $20 + 44 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 44 e^{- k \cdot 4}$ = 52.

20 + 44 e^{- 4 k}

=

52,0017

$44 e^{- 4 k} + 20$	=	$52,0017$	\| $- 20$
$44 e^{- 4 k}$	=	$32,0017$	\|: $44$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7273$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7273)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7273)$	≈ 0.0796

also k ≈ 0.079604057955411, => f(t)= $20 + 44 e^{- 0,0796 t}$

Wert zur Zeit 1: f(1)= $20 + 44 e^{- 0,0796 \cdot 1}$ ≈ 60.6

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 44 e^{- 0,0796 t}

=

50

$44 e^{- 0,0796 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$44 e^{- 0,0796 t}$	=	$30$	\|: $44$
$e^{- 0,0796 t}$	=	$\frac{15}{22}$	\|ln(⋅)
$- 0,0796 t$	=	$\ln (\frac{15}{22})$	\|: $- 0,0796$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0796} \ln (\frac{15}{22})$	≈ 4.8115

also t=4.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3839 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 88 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 15 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1216 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 88 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{88}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(880 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=880 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $880 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3839 ein (Punktprobe).

$3 839$	=	$880 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$3 839$	=	$880 - c$
$3 839$	=	$- c + 880$	\| $- 3 839$ $+ c$
$c$	=	$- 2 959$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $880 + 2 959 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $880 + 2 959 e^{- 0,1 \cdot 15}$ ≈ 1540.2

Wann wird der Wert 1216?: f(t)=1216

880 + 2 959 e^{- 0,1 t}

=

1 216

$2 959 e^{- 0,1 t} + 880$	=	$1 216$	\| $- 880$
$2 959 e^{- 0,1 t}$	=	$336$	\|: $2 959$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{336}{2959}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{336}{2959})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{336}{2959})$	≈ 21.755

also t=21.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $9 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.