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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 20 Millionen Algen im Teich. Nach 8 Stunden sind es 35,013 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 10 Stunden? b) Wann waren es 31 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $20 e^{k \cdot 8}$ = 35,0135.

$20 e^{8 k}$	=	$35,0135$	\|: $20$
$e^{8 k}$	=	$1,7507$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (1,7507)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (1,7507)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.070001963494594, => f(t)= $20 e^{0,07 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $20 e^{0,07 \cdot 10}$ ≈ 40.3

Wann wird der Wert 31?: f(t)=31

$20 e^{0,07 t}$	=	$31$	\|: $20$
$e^{0,07 t}$	=	$\frac{31}{20}$	\|ln(⋅)
$0,07 t$	=	$\ln (\frac{31}{20})$	\|: $0,07$
$t$	=	$\frac{1}{0,07} \ln (\frac{31}{20})$	≈ 6.2608

also t=6.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 13 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 19-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 31 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 21,11-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{13}$ ≈ 0.053319013889227

=> f(t)= $19 e^{0,0533 t}$

Wert zur Zeit 31: f(31)= $19 e^{0,0533 \cdot 31}$ ≈ 99.2

Wann wird der Wert 21.11?: f(t)=21.11

$19 e^{0,0533 t}$	=	$21,11$	\|: $19$
$e^{0,0533 t}$	=	$1,1111$	\|ln(⋅)
$0,0533 t$	=	$\ln (1,1111)$	\|: $0,0533$
$t$	=	$\frac{1}{0,0533} \ln (1,1111)$	≈ 1.9759

also t=2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 2 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 22% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.87) ≈ -0.13926206733351

=> f(t)= $100 e^{- 0,1393 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $100 e^{- 0,1393 \cdot 2}$ ≈ 75.7

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

$100 e^{- 0,1393 t}$	=	$22$	\|: $100$
$e^{- 0,1393 t}$	=	$\frac{11}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,1393 t$	=	$\ln (\frac{11}{50})$	\|: $- 0,1393$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1393} \ln (\frac{11}{50})$	≈ 10.8695

also t=10.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 3° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 8 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 6,4°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 10 Minuten? b) Wann ist sie 22°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$3$	=	$26 - c$
$3$	=	$- c + 26$	\| $- 3$ $+ c$
$c$	=	$23$

somit gilt: f(t)= $26 - 23 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $26 - 23 e^{- k \cdot 8}$ = 6,4.

26 - 23 e^{- 8 k}

=

6,4007

$- 23 e^{- 8 k} + 26$	=	$6,4007$	\| $- 26$
$- 23 e^{- 8 k}$	=	$- 19,5993$	\|: $- 23$
$e^{- 8 k}$	=	$0,8521$	\|ln(⋅)
$- 8 k$	=	$\ln (0,8521)$	\|: $- 8$
$k$	=	$- \frac{1}{8} \ln (0,8521)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.020006423518528, => f(t)= $26 - 23 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $26 - 23 e^{- 0,02 \cdot 10}$ ≈ 7.2

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

26 - 23 e^{- 0,02 t}

=

22

$- 23 e^{- 0,02 t} + 26$	=	$22$	\| $- 26$
$- 23 e^{- 0,02 t}$	=	$- 4$	\|: $- 23$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{4}{23}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{4}{23})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{4}{23})$	≈ 87.46

also t=87.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 3ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 8% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 13 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 6ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 3 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{3}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(37.5 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=37.5 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $37,5 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$37,5 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
0	=	$37,5 - c$
0	=	$- c + 37,5$	\|0 $+ c$
$c$	=	$37,5$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $37,5 - 37,5 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $37,5 - 37,5 e^{- 0,08 \cdot 13}$ ≈ 24.2

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

37,5 - 37,5 e^{- 0,08 t}

=

6

$- 37,5 e^{- 0,08 t} + 37,5$	=	$6$	\| $- 37,5$
$- 37,5 e^{- 0,08 t}$	=	$- 31,5$	\|: $- 37,5$
$e^{- 0,08 t}$	=	$0,84$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (0,84)$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (0,84)$	≈ 2.1794

also t=2.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,08$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,08}$ ≈ 8.664 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.