Mathebattle EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 8 Millionen Algen im Teich. Nach 4 Stunden sind es 8,326 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 5 Stunden? b) Wann waren es 8 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $8 e^{k \cdot 4}$ = 8,3265.

$8 e^{4 k}$	=	$8,3265$	\|: $8$
$e^{4 k}$	=	$1,0408$	\|ln(⋅)
$4 k$	=	$\ln (1,0408)$	\|: $4$
$k$	=	$\frac{1}{4} \ln (1,0408)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.0099974120540396, => f(t)= $8 e^{0,01 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $8 e^{0,01 \cdot 5}$ ≈ 8.4

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$8 e^{0,01 t}$	=	$8$	\|: $8$
$e^{0,01 t}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$0,01 t$	=	0	\|: $0,01$
$t$	=	0	≈ 0

also t=0

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 15 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 11-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 36 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 36,67-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{15}$ ≈ 0.04620981203733

=> f(t)= $11 e^{0,04621 t}$

Wert zur Zeit 36: f(36)= $11 e^{0,04621 \cdot 36}$ ≈ 58.1

Wann wird der Wert 36.67?: f(t)=36.67

$11 e^{0,04621 t}$	=	$36,67$	\|: $11$
$e^{0,04621 t}$	=	$3,3336$	\|ln(⋅)
$0,04621 t$	=	$\ln (3,3336)$	\|: $0,04621$
$t$	=	$\frac{1}{0,04621} \ln (3,3336)$	≈ 26.0561

also t=26.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 3% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 82% der Masse da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.97) ≈ -0.030459207484709

=> f(t)= $100 e^{- 0,0305 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,0305 \cdot 4}$ ≈ 88.5

Wann wird der Wert 82?: f(t)=82

$100 e^{- 0,0305 t}$	=	$82$	\|: $100$
$e^{- 0,0305 t}$	=	$\frac{41}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,0305 t$	=	$\ln (\frac{41}{50})$	\|: $- 0,0305$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0305} \ln (\frac{41}{50})$	≈ 6.5066

also t=6.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 40 e^{- k \cdot 2}$ = 52.

20 + 40 e^{- 2 k}

=

51,9982

$40 e^{- 2 k} + 20$	=	$51,9982$	\| $- 20$
$40 e^{- 2 k}$	=	$31,9982$	\|: $40$
$e^{- 2 k}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,8)$	≈ 0.1116

also k ≈ 0.1115717756571, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,1116 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 40 e^{- 0,1116 \cdot 3}$ ≈ 48.6

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,1116 t}

=

50

$40 e^{- 0,1116 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,1116 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,1116 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,1116 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,1116$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1116} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 2.5778

also t=2.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,2% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 6 Jahren, wenn jedes Jahr 0,3 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 28 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.3 - 0.012⋅f(t)

wenn man 0.012 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.012( $\frac{0.3}{0.012}$ - f(t))

also f'(t) = 0.012(25 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=25 und der Wachstumsfaktor k=0.012 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $25 - c \cdot e^{- 0,012 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$25 - c \cdot e^{- 0,012 \cdot 0}$
$80$	=	$25 - c$
$80$	=	$- c + 25$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 55$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $25 + 55 e^{- 0,012 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $25 + 55 e^{- 0,012 \cdot 6}$ ≈ 76.2

Wann wird der Wert 28?: f(t)=28

25 + 55 e^{- 0,012 t}

=

28

$55 e^{- 0,012 t} + 25$	=	$28$	\| $- 25$
$55 e^{- 0,012 t}$	=	$3$	\|: $55$
$e^{- 0,012 t}$	=	$\frac{3}{55}$	\|ln(⋅)
$- 0,012 t$	=	$\ln (\frac{3}{55})$	\|: $- 0,012$
$t$	=	$- \frac{1}{0,012} \ln (\frac{3}{55})$	≈ 242.3934

also t=242.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $17 e^{- 0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,05$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.