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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 20g vorhanden. Nach 8 Tagen sind nur noch 15,733g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 9 Tagen da? b) Wann sind nur noch 15g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $20 e^{k \cdot 8}$ = 15,7326.

$20 e^{8 k}$	=	$15,7326$	\|: $20$
$e^{8 k}$	=	$0,7866$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (0,7866)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (0,7866)$	≈ -0.03

also k ≈ -0.030004427373053, => f(t)= $20 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $20 e^{- 0,03 \cdot 9}$ ≈ 15.3

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

$20 e^{- 0,03 t}$	=	$15$	\|: $20$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 9.5894

also t=9.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 20 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 14-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 27 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 35-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{20}$ ≈ 0.034657359027997

=> f(t)= $14 e^{0,0347 t}$

Wert zur Zeit 27: f(27)= $14 e^{0,0347 \cdot 27}$ ≈ 35.7

Wann wird der Wert 35?: f(t)=35

$14 e^{0,0347 t}$	=	$35$	\|: $14$
$e^{0,0347 t}$	=	$\frac{5}{2}$	\|ln(⋅)
$0,0347 t$	=	$\ln (\frac{5}{2})$	\|: $0,0347$
$t$	=	$\frac{1}{0,0347} \ln (\frac{5}{2})$	≈ 26.4388

also t=26.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 12% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 3 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 5 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.12) ≈ 0.113328685307

=> f(t)= $3 e^{0,1133 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $3 e^{0,1133 \cdot 4}$ ≈ 4.7

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$3 e^{0,1133 t}$	=	$5$	\|: $3$
$e^{0,1133 t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$0,1133 t$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $0,1133$
$t$	=	$\frac{1}{0,1133} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 4.5086

also t=4.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 65° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 53,01° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 65 ist, gilt: f(0)= 65, also 65 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$65$	=	$20 - c$
$65$	=	$- c + 20$	\| $- 65$ $+ c$
$c$	=	$- 45$

somit gilt: f(t)= $20 + 45 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 45 e^{- k \cdot 5}$ = 53,01.

20 + 45 e^{- 5 k}

=

53,0051

$45 e^{- 5 k} + 20$	=	$53,0051$	\| $- 20$
$45 e^{- 5 k}$	=	$33,0051$	\|: $45$
$e^{- 5 k}$	=	$0,7334$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,7334)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,7334)$	≈ 0.062

also k ≈ 0.062012804668982, => f(t)= $20 + 45 e^{- 0,062 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 45 e^{- 0,062 \cdot 5}$ ≈ 53

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 45 e^{- 0,062 t}

=

50

$45 e^{- 0,062 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$45 e^{- 0,062 t}$	=	$30$	\|: $45$
$e^{- 0,062 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,062 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,062$
$t$	=	$- \frac{1}{0,062} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 6.5398

also t=6.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3829 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 85 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 5 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3655 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 85 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{85}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(1700 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1700 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 700 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3829 ein (Punktprobe).

$3 829$	=	$1 700 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
$3 829$	=	$1 700 - c$
$3 829$	=	$- c + 1 700$	\| $- 3 829$ $+ c$
$c$	=	$- 2 129$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 700 + 2 129 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $1 700 + 2 129 e^{- 0,05 \cdot 5}$ ≈ 3358.1

Wann wird der Wert 3655?: f(t)=3655

1 700 + 2 129 e^{- 0,05 t}

=

3 655

$2 129 e^{- 0,05 t} + 1 700$	=	$3 655$	\| $- 1 700$
$2 129 e^{- 0,05 t}$	=	$1 955$	\|: $2 129$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{1955}{2129}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{1955}{2129})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{1955}{2129})$	≈ 1.7052

also t=1.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $4 e^{- 0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,03$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.