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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 9 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 20,03 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 12 Stunden? b) Wann waren es 15 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $9 e^{k \cdot 10}$ = 20,0299.

$9 e^{10 k}$	=	$20,0299$	\|: $9$
$e^{10 k}$	=	$2,2255$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (2,2255)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (2,2255)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.079998160947377, => f(t)= $9 e^{0,08 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $9 e^{0,08 \cdot 12}$ ≈ 23.5

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

$9 e^{0,08 t}$	=	$15$	\|: $9$
$e^{0,08 t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$0,08 t$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $0,08$
$t$	=	$\frac{1}{0,08} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 6.3853

also t=6.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1431 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2164? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,4 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1431}$ ≈ -0.00048437958110408

=> f(t)= $e^{- 0,0005 t}$

Wert zur Zeit 164: f(164)= $e^{- 0,0005 \cdot 164}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.4?: f(t)=0.4

$e^{- 0,0005 t}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,0005 t$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,0005$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0005} \ln (0,4)$	≈ 1893.1627

also t=1893.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 17% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 13 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 2 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.83) ≈ -0.18632957819149

=> f(t)= $13 e^{- 0,1863 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $13 e^{- 0,1863 \cdot 2}$ ≈ 9

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$13 e^{- 0,1863 t}$	=	$2$	\|: $13$
$e^{- 0,1863 t}$	=	$\frac{2}{13}$	\|ln(⋅)
$- 0,1863 t$	=	$\ln (\frac{2}{13})$	\|: $- 0,1863$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1863} \ln (\frac{2}{13})$	≈ 10.0472

also t=10

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 6 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 14,84°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 9 Minuten? b) Wann ist sie 18°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$10$	=	$26 - c$
$10$	=	$- c + 26$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$16$

somit gilt: f(t)= $26 - 16 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $26 - 16 e^{- k \cdot 6}$ = 14,84.

26 - 16 e^{- 6 k}

=

14,8372

$- 16 e^{- 6 k} + 26$	=	$14,8372$	\| $- 26$
$- 16 e^{- 6 k}$	=	$- 11,1628$	\|: $- 16$
$e^{- 6 k}$	=	$0,6977$	\|ln(⋅)
$- 6 k$	=	$\ln (0,6977)$	\|: $- 6$
$k$	=	$- \frac{1}{6} \ln (0,6977)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.059994344672824, => f(t)= $26 - 16 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $26 - 16 e^{- 0,06 \cdot 9}$ ≈ 16.7

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

26 - 16 e^{- 0,06 t}

=

18

$- 16 e^{- 0,06 t} + 26$	=	$18$	\| $- 26$
$- 16 e^{- 0,06 t}$	=	$- 8$	\|: $- 16$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 11.5525

also t=11.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2223 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 62 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 6 Monaten? b) Wann beträgt dieser 797 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 62 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{62}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(620 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=620 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $620 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2223 ein (Punktprobe).

$2 223$	=	$620 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$2 223$	=	$620 - c$
$2 223$	=	$- c + 620$	\| $- 2 223$ $+ c$
$c$	=	$- 1 603$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $620 + 1 603 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $620 + 1 603 e^{- 0,1 \cdot 6}$ ≈ 1499.7

Wann wird der Wert 797?: f(t)=797

620 + 1 603 e^{- 0,1 t}

=

797

$1 603 e^{- 0,1 t} + 620$	=	$797$	\| $- 620$
$1 603 e^{- 0,1 t}$	=	$177$	\|: $1 603$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{177}{1603}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{177}{1603})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{177}{1603})$	≈ 22.0348

also t=22

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $16 e^{- 0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,04$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.