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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 4g vorhanden. Nach 5 Tagen sind nur noch 2,963g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 7 Tagen da? b) Wann sind nur noch 3g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $4 e^{k \cdot 5}$ = 2,9633.

$4 e^{5 k}$	=	$2,9633$	\|: $4$
$e^{5 k}$	=	$0,7408$	\|ln(⋅)
$5 k$	=	$\ln (0,7408)$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{1}{5} \ln (0,7408)$	≈ -0.06

also k ≈ -0.060004919130033, => f(t)= $4 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $4 e^{- 0,06 \cdot 7}$ ≈ 2.6

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$4 e^{- 0,06 t}$	=	$3$	\|: $4$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 4.7947

also t=4.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 912 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 10g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 1113 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 3g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{912}$ ≈ -0.00076002980324555

=> f(t)= $10 e^{- 0,00076 t}$

Wert zur Zeit 1113: f(1113)= $10 e^{- 0,00076 \cdot 1113}$ ≈ 4.3

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$10 e^{- 0,00076 t}$	=	$3$	\|: $10$
$e^{- 0,00076 t}$	=	$\frac{3}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,00076 t$	=	$\ln (\frac{3}{10})$	\|: $- 0,00076$
$t$	=	$- \frac{1}{0,00076} \ln (\frac{3}{10})$	≈ 1584.1747

also t=1584.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 17% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 10 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 3 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.83) ≈ -0.18632957819149

=> f(t)= $10 e^{- 0,1863 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $10 e^{- 0,1863 \cdot 4}$ ≈ 4.7

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$10 e^{- 0,1863 t}$	=	$3$	\|: $10$
$e^{- 0,1863 t}$	=	$\frac{3}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,1863 t$	=	$\ln (\frac{3}{10})$	\|: $- 0,1863$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1863} \ln (\frac{3}{10})$	≈ 6.4625

also t=6.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 32°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 7,32°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 11 Minuten? b) Wann ist sie 19°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=32 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $32 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $32 - c$ = $32 - c$

$5$	=	$32 - c$
$5$	=	$- c + 32$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$27$

somit gilt: f(t)= $32 - 27 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $32 - 27 e^{- k \cdot 9}$ = 7,32.

32 - 27 e^{- 9 k}

=

7,3239

$- 27 e^{- 9 k} + 32$	=	$7,3239$	\| $- 32$
$- 27 e^{- 9 k}$	=	$- 24,6761$	\|: $- 27$
$e^{- 9 k}$	=	$0,9139$	\|ln(⋅)
$- 9 k$	=	$\ln (0,9139)$	\|: $- 9$
$k$	=	$- \frac{1}{9} \ln (0,9139)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.010003791411553, => f(t)= $32 - 27 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $32 - 27 e^{- 0,01 \cdot 11}$ ≈ 7.8

Wann wird der Wert 19?: f(t)=19

32 - 27 e^{- 0,01 t}

=

19

$- 27 e^{- 0,01 t} + 32$	=	$19$	\| $- 32$
$- 27 e^{- 0,01 t}$	=	$- 13$	\|: $- 27$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{13}{27}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{13}{27})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{13}{27})$	≈ 73.0888

also t=73.1

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 6ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 5 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 208ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 6 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{6}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(300 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=300 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $300 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$300 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
0	=	$300 - c$
0	=	$- c + 300$	\|0 $+ c$
$c$	=	$300$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $300 - 300 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $300 - 300 e^{- 0,02 \cdot 5}$ ≈ 28.5

Wann wird der Wert 208?: f(t)=208

300 - 300 e^{- 0,02 t}

=

208

$- 300 e^{- 0,02 t} + 300$	=	$208$	\| $- 300$
$- 300 e^{- 0,02 t}$	=	$- 92$	\|: $- 300$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{23}{75}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{23}{75})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{23}{75})$	≈ 59.0997

also t=59.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $16 e^{0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,03$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.