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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 10g vorhanden. Nach 6 Tagen sind nur noch 6,57g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 9 Tagen da? b) Wann sind nur noch 7g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $10 e^{k \cdot 6}$ = 6,5705.

$10 e^{6 k}$	=	$6,5705$	\|: $10$
$e^{6 k}$	=	$0,6571$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (0,6571)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (0,6571)$	≈ -0.07

also k ≈ -0.069986510846386, => f(t)= $10 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $10 e^{- 0,07 \cdot 9}$ ≈ 5.3

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$10 e^{- 0,07 t}$	=	$7$	\|: $10$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{7}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{7}{10})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{7}{10})$	≈ 5.0954

also t=5.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 70 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 31 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 70: f(70)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 70}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 31?: f(t)=31

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$31$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 550 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 550 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 550 000)$	≈ 123.794

also t=123.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 6% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 11 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 15 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.06) ≈ 0.058268908123976

=> f(t)= $11 e^{0,0583 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $11 e^{0,0583 \cdot 2}$ ≈ 12.4

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

$11 e^{0,0583 t}$	=	$15$	\|: $11$
$e^{0,0583 t}$	=	$\frac{15}{11}$	\|ln(⋅)
$0,0583 t$	=	$\ln (\frac{15}{11})$	\|: $0,0583$
$t$	=	$\frac{1}{0,0583} \ln (\frac{15}{11})$	≈ 5.32

also t=5.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 18,29°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 11 Minuten? b) Wann ist sie 21°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$7$	=	$29 - c$
$7$	=	$- c + 29$	\| $- 7$ $+ c$
$c$	=	$22$

somit gilt: f(t)= $29 - 22 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $29 - 22 e^{- k \cdot 9}$ = 18,29.

29 - 22 e^{- 9 k}

=

18,2915

$- 22 e^{- 9 k} + 29$	=	$18,2915$	\| $- 29$
$- 22 e^{- 9 k}$	=	$- 10,7085$	\|: $- 22$
$e^{- 9 k}$	=	$0,4868$	\|ln(⋅)
$- 9 k$	=	$\ln (0,4868)$	\|: $- 9$
$k$	=	$- \frac{1}{9} \ln (0,4868)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.079989101985418, => f(t)= $29 - 22 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $29 - 22 e^{- 0,08 \cdot 11}$ ≈ 19.9

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

29 - 22 e^{- 0,08 t}

=

21

$- 22 e^{- 0,08 t} + 29$	=	$21$	\| $- 29$
$- 22 e^{- 0,08 t}$	=	$- 8$	\|: $- 22$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{4}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{4}{11})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{4}{11})$	≈ 12.645

also t=12.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2019 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 71 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 11 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1596 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 71 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{71}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(887.5 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=887.5 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $887,5 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2019 ein (Punktprobe).

$2 019$	=	$887,5 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$2 019$	=	$887,5 - c$
$2 019$	=	$- c + 887,5$	\| $- 2 019$ $+ c$
$c$	=	$- 1 131,5$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $887,5 + 1 131,5 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $887,5 + 1 131,5 e^{- 0,08 \cdot 11}$ ≈ 1356.8

Wann wird der Wert 1596?: f(t)=1596

887,5 + 1 131,5 e^{- 0,08 t}

=

1 596

$1 131,5 e^{- 0,08 t} + 887,5$	=	$1 596$	\| $- 887,5$
$1 131,5 e^{- 0,08 t}$	=	$708,5$	\|: $1 131,5$
$e^{- 0,08 t}$	=	$0,6262$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (0,6262)$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (0,6262)$	≈ 5.8511

also t=5.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,04$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.