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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 19g vorhanden. Nach 6 Tagen sind nur noch 17,894g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 7 Tagen da? b) Wann sind nur noch 18g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $19 e^{k \cdot 6}$ = 17,8935.

$19 e^{6 k}$	=	$17,8935$	\|: $19$
$e^{6 k}$	=	$0,9418$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (0,9418)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (0,9418)$	≈ -0.01

also k ≈ -0.0099937235287805, => f(t)= $19 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $19 e^{- 0,01 \cdot 7}$ ≈ 17.7

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

$19 e^{- 0,01 t}$	=	$18$	\|: $19$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{18}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{18}{19})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{18}{19})$	≈ 5.4067

also t=5.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 15 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 8-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 8 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 11,43-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{15}$ ≈ 0.04620981203733

=> f(t)= $8 e^{0,04621 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $8 e^{0,04621 \cdot 8}$ ≈ 11.6

Wann wird der Wert 11.43?: f(t)=11.43

$8 e^{0,04621 t}$	=	$11,43$	\|: $8$
$e^{0,04621 t}$	=	$1,4288$	\|ln(⋅)
$0,04621 t$	=	$\ln (1,4288)$	\|: $0,04621$
$t$	=	$\frac{1}{0,04621} \ln (1,4288)$	≈ 7.722

also t=7.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 3% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 6 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 7 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.03) ≈ 0.029558802241544

=> f(t)= $6 e^{0,0296 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $6 e^{0,0296 \cdot 2}$ ≈ 6.4

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$6 e^{0,0296 t}$	=	$7$	\|: $6$
$e^{0,0296 t}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$0,0296 t$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $0,0296$
$t$	=	$\frac{1}{0,0296} \ln (\frac{7}{6})$	≈ 5.2078

also t=5.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 56° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 56 ist, gilt: f(0)= 56, also 56 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$56$	=	$20 - c$
$56$	=	$- c + 20$	\| $- 56$ $+ c$
$c$	=	$- 36$

somit gilt: f(t)= $20 + 36 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 36 e^{- k \cdot 2}$ = 54.

20 + 36 e^{- 2 k}

=

53,9986

$36 e^{- 2 k} + 20$	=	$53,9986$	\| $- 20$
$36 e^{- 2 k}$	=	$33,9986$	\|: $36$
$e^{- 2 k}$	=	$0,9444$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,9444)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,9444)$	≈ 0.0286

also k ≈ 0.02860273688539, => f(t)= $20 + 36 e^{- 0,0286 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 36 e^{- 0,0286 \cdot 5}$ ≈ 51.2

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 36 e^{- 0,0286 t}

=

50

$36 e^{- 0,0286 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$36 e^{- 0,0286 t}$	=	$30$	\|: $36$
$e^{- 0,0286 t}$	=	$\frac{5}{6}$	\|ln(⋅)
$- 0,0286 t$	=	$\ln (\frac{5}{6})$	\|: $- 0,0286$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0286} \ln (\frac{5}{6})$	≈ 6.3749

also t=6.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3906 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 76 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 11 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3853 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 76 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{76}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(1900 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1900 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 900 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3906 ein (Punktprobe).

$3 906$	=	$1 900 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$3 906$	=	$1 900 - c$
$3 906$	=	$- c + 1 900$	\| $- 3 906$ $+ c$
$c$	=	$- 2 006$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 900 + 2 006 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $1 900 + 2 006 e^{- 0,04 \cdot 11}$ ≈ 3191.9

Wann wird der Wert 3853?: f(t)=3853

1 900 + 2 006 e^{- 0,04 t}

=

3 853

$2 006 e^{- 0,04 t} + 1 900$	=	$3 853$	\| $- 1 900$
$2 006 e^{- 0,04 t}$	=	$1 953$	\|: $2 006$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{1953}{2006}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{1953}{2006})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{1953}{2006})$	≈ 0.6694

also t=0.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $5 e^{- 0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,01$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,01}$ ≈ 69.315 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.