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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 74 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 96 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 74: f(74)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 74}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 96?: f(t)=96

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$96$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 800 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 800 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 800 000)$	≈ 133.6588

also t=133.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 95 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 30 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 95: f(95)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 95}$ ≈ 1.1

Wann wird der Wert 30?: f(t)=30

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$30$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 500 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 500 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 500 000)$	≈ 123.5092

also t=123.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 5% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 16 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 20 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.05) ≈ 0.048790164169432

=> f(t)= $16 e^{0,0488 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $16 e^{0,0488 \cdot 2}$ ≈ 17.6

Wann wird der Wert 20?: f(t)=20

$16 e^{0,0488 t}$	=	$20$	\|: $16$
$e^{0,0488 t}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
$0,0488 t$	=	$\ln (\frac{5}{4})$	\|: $0,0488$
$t$	=	$\frac{1}{0,0488} \ln (\frac{5}{4})$	≈ 4.5726

also t=4.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 7 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 16,41°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 10 Minuten? b) Wann ist sie 17°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$8$	=	$26 - c$
$8$	=	$- c + 26$	\| $- 8$ $+ c$
$c$	=	$18$

somit gilt: f(t)= $26 - 18 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $26 - 18 e^{- k \cdot 7}$ = 16,41.

26 - 18 e^{- 7 k}

=

16,4133

$- 18 e^{- 7 k} + 26$	=	$16,4133$	\| $- 26$
$- 18 e^{- 7 k}$	=	$- 9,5867$	\|: $- 18$
$e^{- 7 k}$	=	$0,5326$	\|ln(⋅)
$- 7 k$	=	$\ln (0,5326)$	\|: $- 7$
$k$	=	$- \frac{1}{7} \ln (0,5326)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.089997800800329, => f(t)= $26 - 18 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $26 - 18 e^{- 0,09 \cdot 10}$ ≈ 18.7

Wann wird der Wert 17?: f(t)=17

26 - 18 e^{- 0,09 t}

=

17

$- 18 e^{- 0,09 t} + 26$	=	$17$	\| $- 26$
$- 18 e^{- 0,09 t}$	=	$- 9$	\|: $- 18$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 7.7016

also t=7.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,3% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 15 Jahren, wenn jedes Jahr 0,7 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 62 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.7 - 0.013⋅f(t)

wenn man 0.013 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.013( $\frac{0.7}{0.013}$ - f(t))

also f'(t) = 0.013(53.85 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=53.85 und der Wachstumsfaktor k=0.013 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $53,85 - c \cdot e^{- 0,013 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$53,85 - c \cdot e^{- 0,013 \cdot 0}$
$80$	=	$53,85 - c$
$80$	=	$- c + 53,85$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 26,15$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $53,85 + 26,15 e^{- 0,013 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $53,85 + 26,15 e^{- 0,013 \cdot 15}$ ≈ 75.4

Wann wird der Wert 62?: f(t)=62

53,85 + 26,15 e^{- 0,013 t}

=

62

$26,15 e^{- 0,013 t} + 53,85$	=	$62$	\| $- 53,85$
$26,15 e^{- 0,013 t}$	=	$8,15$	\|: $26,15$
$e^{- 0,013 t}$	=	$0,3117$	\|ln(⋅)
$- 0,013 t$	=	$\ln (0,3117)$	\|: $- 0,013$
$t$	=	$- \frac{1}{0,013} \ln (0,3117)$	≈ 89.6703

also t=89.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $19 e^{- 0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,07$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.