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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 82 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 49 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 82: f(82)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 82}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 49?: f(t)=49

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$49$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 450 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 450 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 450 000)$	≈ 127.8158

also t=127.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 94 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 89 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 94: f(94)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 94}$ ≈ 1

Wann wird der Wert 89?: f(t)=89

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$89$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 450 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 450 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 450 000)$	≈ 132.9536

also t=133

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 9% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 13 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 18 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.09) ≈ 0.086177696241052

=> f(t)= $13 e^{0,0862 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $13 e^{0,0862 \cdot 5}$ ≈ 20

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

$13 e^{0,0862 t}$	=	$18$	\|: $13$
$e^{0,0862 t}$	=	$\frac{18}{13}$	\|ln(⋅)
$0,0862 t$	=	$\ln (\frac{18}{13})$	\|: $0,0862$
$t$	=	$\frac{1}{0,0862} \ln (\frac{18}{13})$	≈ 3.7752

also t=3.8

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 30 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 2,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 30.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

29,9998

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$29,9998$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 7,0002$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,35$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,35)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,35)$	≈ 2.0996

also k ≈ 2.0996442489974, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,0996 t}$

Wert zur Zeit 2.5: f(2.5)= $37 - 20 e^{- 2,0996 \cdot 2,5}$ ≈ 36.9

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,0996 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,0996 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,0996 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,0996 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,0996 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,0996$
$t$	=	$- \frac{1}{2,0996} \ln (0,005)$	≈ 2.5235

also t=2.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2061 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 61 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 8 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1892 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 61 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{61}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(610 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=610 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $610 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2061 ein (Punktprobe).

$2 061$	=	$610 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$2 061$	=	$610 - c$
$2 061$	=	$- c + 610$	\| $- 2 061$ $+ c$
$c$	=	$- 1 451$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $610 + 1 451 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $610 + 1 451 e^{- 0,1 \cdot 8}$ ≈ 1262

Wann wird der Wert 1892?: f(t)=1892

610 + 1 451 e^{- 0,1 t}

=

1 892

$1 451 e^{- 0,1 t} + 610$	=	$1 892$	\| $- 610$
$1 451 e^{- 0,1 t}$	=	$1 282$	\|: $1 451$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{1282}{1451}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{1282}{1451})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1282}{1451})$	≈ 1.2383

also t=1.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $13 e^{- 0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,08$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,08}$ ≈ 8.664 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

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Halbwerts- + Verdopplungszeit best.