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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 7g vorhanden. Nach 3 Tagen sind nur noch 6,592g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 6g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $7 e^{k \cdot 3}$ = 6,5924.

$7 e^{3 k}$	=	$6,5924$	\|: $7$
$e^{3 k}$	=	$0,9418$	\|ln(⋅)
$3 k$	=	$\ln (0,9418)$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{1}{3} \ln (0,9418)$	≈ -0.02

also k ≈ -0.019987447057561, => f(t)= $7 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $7 e^{- 0,02 \cdot 5}$ ≈ 6.3

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$7 e^{- 0,02 t}$	=	$6$	\|: $7$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 7.7075

also t=7.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 14 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 12-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 8 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 17,14-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{14}$ ≈ 0.049510512897139

=> f(t)= $12 e^{0,0495 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $12 e^{0,0495 \cdot 8}$ ≈ 17.8

Wann wird der Wert 17.14?: f(t)=17.14

$12 e^{0,0495 t}$	=	$17,14$	\|: $12$
$e^{0,0495 t}$	=	$1,4283$	\|ln(⋅)
$0,0495 t$	=	$\ln (1,4283)$	\|: $0,0495$
$t$	=	$\frac{1}{0,0495} \ln (1,4283)$	≈ 7.2001

also t=7.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 14% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 8 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 4 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.86) ≈ -0.15082288973458

=> f(t)= $8 e^{- 0,1508 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $8 e^{- 0,1508 \cdot 3}$ ≈ 5.1

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$8 e^{- 0,1508 t}$	=	$4$	\|: $8$
$e^{- 0,1508 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,1508 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,1508$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1508} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 4.5965

also t=4.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 6 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 16,26°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 8 Minuten? b) Wann ist sie 12°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $25 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $25 - c$ = $25 - c$

$10$	=	$25 - c$
$10$	=	$- c + 25$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$15$

somit gilt: f(t)= $25 - 15 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $25 - 15 e^{- k \cdot 6}$ = 16,26.

25 - 15 e^{- 6 k}

=

16,2588

$- 15 e^{- 6 k} + 25$	=	$16,2588$	\| $- 25$
$- 15 e^{- 6 k}$	=	$- 8,7412$	\|: $- 15$
$e^{- 6 k}$	=	$0,5827$	\|ln(⋅)
$- 6 k$	=	$\ln (0,5827)$	\|: $- 6$
$k$	=	$- \frac{1}{6} \ln (0,5827)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.090013800805518, => f(t)= $25 - 15 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $25 - 15 e^{- 0,09 \cdot 8}$ ≈ 17.7

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

25 - 15 e^{- 0,09 t}

=

12

$- 15 e^{- 0,09 t} + 25$	=	$12$	\| $- 25$
$- 15 e^{- 0,09 t}$	=	$- 13$	\|: $- 15$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{13}{15}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{13}{15})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{13}{15})$	≈ 1.59

also t=1.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 9 Jahren, wenn jedes Jahr 0,7 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 73 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.7 - 0.011⋅f(t)

wenn man 0.011 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.011( $\frac{0.7}{0.011}$ - f(t))

also f'(t) = 0.011(63.64 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=63.64 und der Wachstumsfaktor k=0.011 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $63,64 - c \cdot e^{- 0,011 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$63,64 - c \cdot e^{- 0,011 \cdot 0}$
$80$	=	$63,64 - c$
$80$	=	$- c + 63,64$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 16,36$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $63,64 + 16,36 e^{- 0,011 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $63,64 + 16,36 e^{- 0,011 \cdot 9}$ ≈ 78.5

Wann wird der Wert 73?: f(t)=73

63,64 + 16,36 e^{- 0,011 t}

=

73

$16,36 e^{- 0,011 t} + 63,64$	=	$73$	\| $- 63,64$
$16,36 e^{- 0,011 t}$	=	$9,36$	\|: $16,36$
$e^{- 0,011 t}$	=	$0,5721$	\|ln(⋅)
$- 0,011 t$	=	$\ln (0,5721)$	\|: $- 0,011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,011} \ln (0,5721)$	≈ 50.7674

also t=50.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $19 e^{0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,05$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.