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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 6 Millionen Algen im Teich. Nach 3 Stunden sind es 7,627 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 6 Stunden? b) Wann waren es 9 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $6 e^{k \cdot 3}$ = 7,6275.

$6 e^{3 k}$	=	$7,6275$	\|: $6$
$e^{3 k}$	=	$1,2713$	\|ln(⋅)
$3 k$	=	$\ln (1,2713)$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{1}{3} \ln (1,2713)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.080013332991313, => f(t)= $6 e^{0,08 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $6 e^{0,08 \cdot 6}$ ≈ 9.7

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$6 e^{0,08 t}$	=	$9$	\|: $6$
$e^{0,08 t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,08 t$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $0,08$
$t$	=	$\frac{1}{0,08} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 5.0683

also t=5.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 17 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 15-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 49 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 21,43-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{17}$ ≈ 0.04077336356235

=> f(t)= $15 e^{0,0408 t}$

Wert zur Zeit 49: f(49)= $15 e^{0,0408 \cdot 49}$ ≈ 110.6

Wann wird der Wert 21.43?: f(t)=21.43

$15 e^{0,0408 t}$	=	$21,43$	\|: $15$
$e^{0,0408 t}$	=	$1,4287$	\|ln(⋅)
$0,0408 t$	=	$\ln (1,4287)$	\|: $0,0408$
$t$	=	$\frac{1}{0,0408} \ln (1,4287)$	≈ 8.75

also t=8.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 17% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 19 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 3 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.83) ≈ -0.18632957819149

=> f(t)= $19 e^{- 0,1863 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $19 e^{- 0,1863 \cdot 5}$ ≈ 7.5

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$19 e^{- 0,1863 t}$	=	$3$	\|: $19$
$e^{- 0,1863 t}$	=	$\frac{3}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,1863 t$	=	$\ln (\frac{3}{19})$	\|: $- 0,1863$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1863} \ln (\frac{3}{19})$	≈ 9.9078

also t=9.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 9° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 13,41°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 12 Minuten? b) Wann ist sie 11°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$9$	=	$26 - c$
$9$	=	$- c + 26$	\| $- 9$ $+ c$
$c$	=	$17$

somit gilt: f(t)= $26 - 17 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $26 - 17 e^{- k \cdot 10}$ = 13,41.

26 - 17 e^{- 10 k}

=

13,4061

$- 17 e^{- 10 k} + 26$	=	$13,4061$	\| $- 26$
$- 17 e^{- 10 k}$	=	$- 12,5939$	\|: $- 17$
$e^{- 10 k}$	=	$0,7408$	\|ln(⋅)
$- 10 k$	=	$\ln (0,7408)$	\|: $- 10$
$k$	=	$- \frac{1}{10} \ln (0,7408)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.030002459565017, => f(t)= $26 - 17 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $26 - 17 e^{- 0,03 \cdot 12}$ ≈ 14.1

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

26 - 17 e^{- 0,03 t}

=

11

$- 17 e^{- 0,03 t} + 26$	=	$11$	\| $- 26$
$- 17 e^{- 0,03 t}$	=	$- 15$	\|: $- 17$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{15}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{15}{17})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{15}{17})$	≈ 4.1721

also t=4.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 4ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 8% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 9 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 1ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 4 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{4}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(50 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=50 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $50 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$50 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
0	=	$50 - c$
0	=	$- c + 50$	\|0 $+ c$
$c$	=	$50$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $50 - 50 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $50 - 50 e^{- 0,08 \cdot 9}$ ≈ 25.7

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

50 - 50 e^{- 0,08 t}

=

1

$- 50 e^{- 0,08 t} + 50$	=	$1$	\| $- 50$
$- 50 e^{- 0,08 t}$	=	$- 49$	\|: $- 50$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{49}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{49}{50})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{49}{50})$	≈ 0.2525

also t=0.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $17 e^{0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,06$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.