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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 16g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 6,505g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 5g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $16 e^{k \cdot 9}$ = 6,5051.

$16 e^{9 k}$	=	$6,5051$	\|: $16$
$e^{9 k}$	=	$0,4066$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (0,4066)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (0,4066)$	≈ -0.1

also k ≈ -0.099991708643099, => f(t)= $16 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $16 e^{- 0,1 \cdot 11}$ ≈ 5.3

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$16 e^{- 0,1 t}$	=	$5$	\|: $16$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{5}{16}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{5}{16})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{5}{16})$	≈ 11.6315

also t=11.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 75 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 32 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 75: f(75)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 75}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 32?: f(t)=32

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$32$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 600 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 600 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 600 000)$	≈ 124.0697

also t=124.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 8% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 17 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 24 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.08) ≈ 0.076961041136128

=> f(t)= $17 e^{0,077 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $17 e^{0,077 \cdot 4}$ ≈ 23.1

Wann wird der Wert 24?: f(t)=24

$17 e^{0,077 t}$	=	$24$	\|: $17$
$e^{0,077 t}$	=	$\frac{24}{17}$	\|ln(⋅)
$0,077 t$	=	$\ln (\frac{24}{17})$	\|: $0,077$
$t$	=	$\frac{1}{0,077} \ln (\frac{24}{17})$	≈ 4.4784

also t=4.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 55° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 55 ist, gilt: f(0)= 55, also 55 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$55$	=	$20 - c$
$55$	=	$- c + 20$	\| $- 55$ $+ c$
$c$	=	$- 35$

somit gilt: f(t)= $20 + 35 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 35 e^{- k \cdot 2}$ = 51.

20 + 35 e^{- 2 k}

=

50,9988

$35 e^{- 2 k} + 20$	=	$50,9988$	\| $- 20$
$35 e^{- 2 k}$	=	$30,9988$	\|: $35$
$e^{- 2 k}$	=	$0,8857$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,8857)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,8857)$	≈ 0.0607

also k ≈ 0.0606884930833, => f(t)= $20 + 35 e^{- 0,0607 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 35 e^{- 0,0607 \cdot 3}$ ≈ 49.2

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 35 e^{- 0,0607 t}

=

50

$35 e^{- 0,0607 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$35 e^{- 0,0607 t}$	=	$30$	\|: $35$
$e^{- 0,0607 t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,0607 t$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 0,0607$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0607} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 2.5395

also t=2.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 2ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 1% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 12 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 72ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 2 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{2}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(200 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=200 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $200 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$200 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
0	=	$200 - c$
0	=	$- c + 200$	\|0 $+ c$
$c$	=	$200$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $200 - 200 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $200 - 200 e^{- 0,01 \cdot 12}$ ≈ 22.6

Wann wird der Wert 72?: f(t)=72

200 - 200 e^{- 0,01 t}

=

72

$- 200 e^{- 0,01 t} + 200$	=	$72$	\| $- 200$
$- 200 e^{- 0,01 t}$	=	$- 128$	\|: $- 200$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{16}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{16}{25})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{16}{25})$	≈ 44.6287

also t=44.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $4 e^{- 0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,09$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,09}$ ≈ 7.702 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.