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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 15 Millionen Algen im Teich. Nach 6 Stunden sind es 17,958 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 7 Stunden? b) Wann waren es 19 Milionen Algen?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= = 17,9583.
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 0.03 |
also k ≈ 0.029997582832734, => f(t)=
Wert zur Zeit 7: f(7)= ≈ 18.5
Wann wird der Wert 19?: f(t)=19
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 7.8796 |
also t=7.9
Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit
Beispiel:
Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 13 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 8-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 38 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 40-Tausend Euro gestiegen?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Wir berechnen k über die Verdopplungszeit.
Dazu stellen wir die Formel TV= um zu
k==
≈ 0.053319013889227
=> f(t)=
Wert zur Zeit 38: f(38)= ≈ 60.7
Wann wird der Wert 40?: f(t)=40
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 30.1851 |
also t=30.2
Exponentielles Wachstum mit Prozent
Beispiel:
Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 11% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 34% der Masse da?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595
=> f(t)=
Wert zur Zeit 3: f(3)= ≈ 70.5
Wann wird der Wert 34?: f(t)=34
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 9.2602 |
also t=9.3
beschränktes Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
An einem wunderschönen Sommertag mit 31°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 15,7°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 11 Minuten? b) Wann ist sie 30°C warm?
Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=31 sein muss.
Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = = =
| = | |||
| = | | | ||
| = |
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= = 15,7.
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 0.05 |
also k ≈ 0.050004905722904, => f(t)=
Wert zur Zeit 11: f(11)= ≈ 17.2
Wann wird der Wert 30?: f(t)=30
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 63.5611 |
also t=63.6
beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung
Beispiel:
Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2516 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 73 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 7 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2887 Wörter ?
Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:
f'(t) = 73 - 0.01⋅f(t)
wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung
f'(t) = 0.01( - f(t))
also f'(t) = 0.01(7300 - f(t))
das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))
Wir wissen nun also, dass die Schranke S=7300 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.
Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= haben.
Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2516 ein (Punktprobe).
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = |
somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)=
Wert zur Zeit 7: f(7)= ≈ 2839.4
Wann wird der Wert 2887?: f(t)=2887
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 8.0722 |
also t=8.1
Halbwerts- + Verdopplungszeit best.
Beispiel:
Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.
Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent () erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.
Dazu setzen wir k = einfach in die Formel TV = ein:
TV = ≈ 7.702 min
