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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 18 Millionen Algen im Teich. Nach 4 Stunden sind es 26,853 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 7 Stunden? b) Wann waren es 36 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $18 e^{k \cdot 4}$ = 26,8528.

$18 e^{4 k}$	=	$26,8528$	\|: $18$
$e^{4 k}$	=	$1,4918$	\|ln(⋅)
$4 k$	=	$\ln (1,4918)$	\|: $4$
$k$	=	$\frac{1}{4} \ln (1,4918)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.099995861134731, => f(t)= $18 e^{0,1 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $18 e^{0,1 \cdot 7}$ ≈ 36.2

Wann wird der Wert 36?: f(t)=36

$18 e^{0,1 t}$	=	$36$	\|: $18$
$e^{0,1 t}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$0,1 t$	=	$\ln (2)$	\|: $0,1$
$t$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (2)$	≈ 6.9315

also t=6.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 89 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 32 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 89: f(89)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 89}$ ≈ 0.6

Wann wird der Wert 32?: f(t)=32

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$32$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 600 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 600 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 600 000)$	≈ 124.0697

also t=124.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 5% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 12 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 15 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.05) ≈ 0.048790164169432

=> f(t)= $12 e^{0,0488 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $12 e^{0,0488 \cdot 2}$ ≈ 13.2

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

$12 e^{0,0488 t}$	=	$15$	\|: $12$
$e^{0,0488 t}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
$0,0488 t$	=	$\ln (\frac{5}{4})$	\|: $0,0488$
$t$	=	$\frac{1}{0,0488} \ln (\frac{5}{4})$	≈ 4.5726

also t=4.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 59° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 51,99° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 59 ist, gilt: f(0)= 59, also 59 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$59$	=	$20 - c$
$59$	=	$- c + 20$	\| $- 59$ $+ c$
$c$	=	$- 39$

somit gilt: f(t)= $20 + 39 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 39 e^{- k \cdot 4}$ = 51,99.

20 + 39 e^{- 4 k}

=

51,9944

$39 e^{- 4 k} + 20$	=	$51,9944$	\| $- 20$
$39 e^{- 4 k}$	=	$31,9944$	\|: $39$
$e^{- 4 k}$	=	$0,8204$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,8204)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,8204)$	≈ 0.0495

also k ≈ 0.049490813195978, => f(t)= $20 + 39 e^{- 0,0495 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 39 e^{- 0,0495 \cdot 5}$ ≈ 50.4

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 39 e^{- 0,0495 t}

=

50

$39 e^{- 0,0495 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$39 e^{- 0,0495 t}$	=	$30$	\|: $39$
$e^{- 0,0495 t}$	=	$\frac{10}{13}$	\|ln(⋅)
$- 0,0495 t$	=	$\ln (\frac{10}{13})$	\|: $- 0,0495$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0495} \ln (\frac{10}{13})$	≈ 5.3003

also t=5.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 4ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 13 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 53ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 4 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{4}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(200 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=200 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $200 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$200 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
0	=	$200 - c$
0	=	$- c + 200$	\|0 $+ c$
$c$	=	$200$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $200 - 200 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $200 - 200 e^{- 0,02 \cdot 13}$ ≈ 45.8

Wann wird der Wert 53?: f(t)=53

200 - 200 e^{- 0,02 t}

=

53

$- 200 e^{- 0,02 t} + 200$	=	$53$	\| $- 200$
$- 200 e^{- 0,02 t}$	=	$- 147$	\|: $- 200$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{147}{200}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{147}{200})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{147}{200})$	≈ 15.3942

also t=15.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $12 e^{0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,04$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.