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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 9g vorhanden. Nach 6 Tagen sind nur noch 4,939g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 8 Tagen da? b) Wann sind nur noch 5g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $9 e^{k \cdot 6}$ = 4,9393.

$9 e^{6 k}$	=	$4,9393$	\|: $9$
$e^{6 k}$	=	$0,5488$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (0,5488)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (0,5488)$	≈ -0.1

also k ≈ -0.10000353376174, => f(t)= $9 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $9 e^{- 0,1 \cdot 8}$ ≈ 4

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$9 e^{- 0,1 t}$	=	$5$	\|: $9$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{5}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{5}{9})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{5}{9})$	≈ 5.8779

also t=5.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 56 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 17g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 66 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 3,4g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{56}$ ≈ -0.012377628224285

=> f(t)= $17 e^{- 0,0124 t}$

Wert zur Zeit 66: f(66)= $17 e^{- 0,0124 \cdot 66}$ ≈ 7.5

Wann wird der Wert 3.4?: f(t)=3.4

$17 e^{- 0,0124 t}$	=	$3,4$	\|: $17$
$e^{- 0,0124 t}$	=	$0,2$	\|ln(⋅)
$- 0,0124 t$	=	$\ln (0,2)$	\|: $- 0,0124$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0124} \ln (0,2)$	≈ 130.0241

also t=130

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 15% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 7 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 2 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.85) ≈ -0.16251892949777

=> f(t)= $7 e^{- 0,1625 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $7 e^{- 0,1625 \cdot 2}$ ≈ 5.1

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$7 e^{- 0,1625 t}$	=	$2$	\|: $7$
$e^{- 0,1625 t}$	=	$\frac{2}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,1625 t$	=	$\ln (\frac{2}{7})$	\|: $- 0,1625$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1625} \ln (\frac{2}{7})$	≈ 7.7093

also t=7.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 40 e^{- k \cdot 3}$ = 54.

20 + 40 e^{- 3 k}

=

53,9972

$40 e^{- 3 k} + 20$	=	$53,9972$	\| $- 20$
$40 e^{- 3 k}$	=	$33,9972$	\|: $40$
$e^{- 3 k}$	=	$0,8499$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,8499)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,8499)$	≈ 0.0542

also k ≈ 0.054212194492519, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,0542 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 40 e^{- 0,0542 \cdot 2}$ ≈ 55.9

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,0542 t}

=

50

$40 e^{- 0,0542 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,0542 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,0542 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,0542 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,0542$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0542} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 5.3078

also t=5.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 15 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 74 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{0.6}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(60 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=60 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $60 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$60 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$80$	=	$60 - c$
$80$	=	$- c + 60$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 20$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $60 + 20 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $60 + 20 e^{- 0,01 \cdot 15}$ ≈ 77.2

Wann wird der Wert 74?: f(t)=74

60 + 20 e^{- 0,01 t}

=

74

$20 e^{- 0,01 t} + 60$	=	$74$	\| $- 60$
$20 e^{- 0,01 t}$	=	$14$	\|: $20$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{7}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{7}{10})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{7}{10})$	≈ 35.6675

also t=35.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $6 e^{- 0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,03$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.