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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 83 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 32 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 83: f(83)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 83}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 32?: f(t)=32

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$32$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 600 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 600 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 600 000)$	≈ 124.1139

also t=124.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 16 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 16-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 15 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 32-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{16}$ ≈ 0.043321698784997

=> f(t)= $16 e^{0,0433 t}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $16 e^{0,0433 \cdot 15}$ ≈ 30.6

Wann wird der Wert 32?: f(t)=32

$16 e^{0,0433 t}$	=	$32$	\|: $16$
$e^{0,0433 t}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$0,0433 t$	=	$\ln (2)$	\|: $0,0433$
$t$	=	$\frac{1}{0,0433} \ln (2)$	≈ 15.9999

also t=16

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 15% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 8 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 3 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.85) ≈ -0.16251892949777

=> f(t)= $8 e^{- 0,1625 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $8 e^{- 0,1625 \cdot 3}$ ≈ 4.9

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$8 e^{- 0,1625 t}$	=	$3$	\|: $8$
$e^{- 0,1625 t}$	=	$\frac{3}{8}$	\|ln(⋅)
$- 0,1625 t$	=	$\ln (\frac{3}{8})$	\|: $- 0,1625$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1625} \ln (\frac{3}{8})$	≈ 6.0359

also t=6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 28°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 7 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 13,91°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 8 Minuten? b) Wann ist sie 27°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=28 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $28 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $28 - c$ = $28 - c$

$5$	=	$28 - c$
$5$	=	$- c + 28$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$23$

somit gilt: f(t)= $28 - 23 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $28 - 23 e^{- k \cdot 7}$ = 13,91.

28 - 23 e^{- 7 k}

=

13,9096

$- 23 e^{- 7 k} + 28$	=	$13,9096$	\| $- 28$
$- 23 e^{- 7 k}$	=	$- 14,0904$	\|: $- 23$
$e^{- 7 k}$	=	$0,6126$	\|ln(⋅)
$- 7 k$	=	$\ln (0,6126)$	\|: $- 7$
$k$	=	$- \frac{1}{7} \ln (0,6126)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.070006154940495, => f(t)= $28 - 23 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $28 - 23 e^{- 0,07 \cdot 8}$ ≈ 14.9

Wann wird der Wert 27?: f(t)=27

28 - 23 e^{- 0,07 t}

=

27

$- 23 e^{- 0,07 t} + 28$	=	$27$	\| $- 28$
$- 23 e^{- 0,07 t}$	=	$- 1$	\|: $- 23$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{1}{23}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{1}{23})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{1}{23})$	≈ 44.7928

also t=44.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2824 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 79 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 15 Monaten? b) Wann beträgt dieser 5808 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 79 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{79}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(7900 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=7900 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $7 900 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2824 ein (Punktprobe).

$2 824$	=	$7 900 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$2 824$	=	$7 900 - c$
$2 824$	=	$- c + 7 900$	\| $- 2 824$ $+ c$
$c$	=	$5 076$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $7 900 - 5 076 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $7 900 - 5 076 e^{- 0,01 \cdot 15}$ ≈ 3531

Wann wird der Wert 5808?: f(t)=5808

7 900 - 5 076 e^{- 0,01 t}

=

5 808

$- 5 076 e^{- 0,01 t} + 7 900$	=	$5 808$	\| $- 7 900$
$- 5 076 e^{- 0,01 t}$	=	$- 2 092$	\|: $- 5 076$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{523}{1269}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{523}{1269})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{523}{1269})$	≈ 88.6403

also t=88.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $12 e^{0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,01$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,01}$ ≈ 69.315 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.