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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 8 Millionen Algen im Teich. Nach 9 Stunden sind es 17,983 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 10 Stunden? b) Wann waren es 15 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $8 e^{k \cdot 9}$ = 17,9833.

$8 e^{9 k}$	=	$17,9833$	\|: $8$
$e^{9 k}$	=	$2,2479$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (2,2479)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (2,2479)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.089999605228471, => f(t)= $8 e^{0,09 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $8 e^{0,09 \cdot 10}$ ≈ 19.7

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

$8 e^{0,09 t}$	=	$15$	\|: $8$
$e^{0,09 t}$	=	$\frac{15}{8}$	\|ln(⋅)
$0,09 t$	=	$\ln (\frac{15}{8})$	\|: $0,09$
$t$	=	$\frac{1}{0,09} \ln (\frac{15}{8})$	≈ 6.9845

also t=7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 16 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 11-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 42 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 12,22-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{16}$ ≈ 0.043321698784997

=> f(t)= $11 e^{0,0433 t}$

Wert zur Zeit 42: f(42)= $11 e^{0,0433 \cdot 42}$ ≈ 67.9

Wann wird der Wert 12.22?: f(t)=12.22

$11 e^{0,0433 t}$	=	$12,22$	\|: $11$
$e^{0,0433 t}$	=	$1,1109$	\|ln(⋅)
$0,0433 t$	=	$\ln (1,1109)$	\|: $0,0433$
$t$	=	$\frac{1}{0,0433} \ln (1,1109)$	≈ 2.4276

also t=2.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 12% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 16 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 26 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.12) ≈ 0.113328685307

=> f(t)= $16 e^{0,1133 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $16 e^{0,1133 \cdot 3}$ ≈ 22.5

Wann wird der Wert 26?: f(t)=26

$16 e^{0,1133 t}$	=	$26$	\|: $16$
$e^{0,1133 t}$	=	$\frac{13}{8}$	\|ln(⋅)
$0,1133 t$	=	$\ln (\frac{13}{8})$	\|: $0,1133$
$t$	=	$\frac{1}{0,1133} \ln (\frac{13}{8})$	≈ 4.2852

also t=4.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 65° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 65 ist, gilt: f(0)= 65, also 65 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$65$	=	$20 - c$
$65$	=	$- c + 20$	\| $- 65$ $+ c$
$c$	=	$- 45$

somit gilt: f(t)= $20 + 45 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 45 e^{- k \cdot 4}$ = 52.

20 + 45 e^{- 4 k}

=

52,0041

$45 e^{- 4 k} + 20$	=	$52,0041$	\| $- 20$
$45 e^{- 4 k}$	=	$32,0041$	\|: $45$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7112$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7112)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7112)$	≈ 0.0852

also k ≈ 0.085200398695611, => f(t)= $20 + 45 e^{- 0,0852 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 45 e^{- 0,0852 \cdot 5}$ ≈ 49.4

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 45 e^{- 0,0852 t}

=

50

$45 e^{- 0,0852 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$45 e^{- 0,0852 t}$	=	$30$	\|: $45$
$e^{- 0,0852 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,0852 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,0852$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0852} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 4.759

also t=4.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 11 Jahren, wenn jedes Jahr 0,4 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 68 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.4 - 0.011⋅f(t)

wenn man 0.011 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.011( $\frac{0.4}{0.011}$ - f(t))

also f'(t) = 0.011(36.36 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=36.36 und der Wachstumsfaktor k=0.011 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $36,36 - c \cdot e^{- 0,011 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$36,36 - c \cdot e^{- 0,011 \cdot 0}$
$80$	=	$36,36 - c$
$80$	=	$- c + 36,36$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 43,64$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $36,36 + 43,64 e^{- 0,011 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $36,36 + 43,64 e^{- 0,011 \cdot 11}$ ≈ 75

Wann wird der Wert 68?: f(t)=68

36,36 + 43,64 e^{- 0,011 t}

=

68

$43,64 e^{- 0,011 t} + 36,36$	=	$68$	\| $- 36,36$
$43,64 e^{- 0,011 t}$	=	$31,64$	\|: $43,64$
$e^{- 0,011 t}$	=	$0,725$	\|ln(⋅)
$- 0,011 t$	=	$\ln (0,725)$	\|: $- 0,011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,011} \ln (0,725)$	≈ 29.2349

also t=29.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $10 e^{0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,09$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.