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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 4 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 8,055 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 12 Stunden? b) Wann waren es 7 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $4 e^{k \cdot 10}$ = 8,055.

$4 e^{10 k}$	=	$8,055$	\|: $4$
$e^{10 k}$	=	$2,0138$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (2,0138)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (2,0138)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.070002348449938, => f(t)= $4 e^{0,07 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $4 e^{0,07 \cdot 12}$ ≈ 9.3

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$4 e^{0,07 t}$	=	$7$	\|: $4$
$e^{0,07 t}$	=	$\frac{7}{4}$	\|ln(⋅)
$0,07 t$	=	$\ln (\frac{7}{4})$	\|: $0,07$
$t$	=	$\frac{1}{0,07} \ln (\frac{7}{4})$	≈ 7.9945

also t=8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 84 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 6g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 190 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 5,4g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{84}$ ≈ -0.0082517521495232

=> f(t)= $6 e^{- 0,0083 t}$

Wert zur Zeit 190: f(190)= $6 e^{- 0,0083 \cdot 190}$ ≈ 1.3

Wann wird der Wert 5.4?: f(t)=5.4

$6 e^{- 0,0083 t}$	=	$5,4$	\|: $6$
$e^{- 0,0083 t}$	=	$0,9$	\|ln(⋅)
$- 0,0083 t$	=	$\ln (0,9)$	\|: $- 0,0083$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0083} \ln (0,9)$	≈ 12.7679

also t=12.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 5% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 20 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 26 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.05) ≈ 0.048790164169432

=> f(t)= $20 e^{0,0488 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 e^{0,0488 \cdot 4}$ ≈ 24.3

Wann wird der Wert 26?: f(t)=26

$20 e^{0,0488 t}$	=	$26$	\|: $20$
$e^{0,0488 t}$	=	$\frac{13}{10}$	\|ln(⋅)
$0,0488 t$	=	$\ln (\frac{13}{10})$	\|: $0,0488$
$t$	=	$\frac{1}{0,0488} \ln (\frac{13}{10})$	≈ 5.3763

also t=5.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 55° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 55 ist, gilt: f(0)= 55, also 55 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$55$	=	$20 - c$
$55$	=	$- c + 20$	\| $- 55$ $+ c$
$c$	=	$- 35$

somit gilt: f(t)= $20 + 35 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 35 e^{- k \cdot 2}$ = 52.

20 + 35 e^{- 2 k}

=

52,0004

$35 e^{- 2 k} + 20$	=	$52,0004$	\| $- 20$
$35 e^{- 2 k}$	=	$32,0004$	\|: $35$
$e^{- 2 k}$	=	$0,9143$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,9143)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,9143)$	≈ 0.0448

also k ≈ 0.044798266905878, => f(t)= $20 + 35 e^{- 0,0448 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 35 e^{- 0,0448 \cdot 4}$ ≈ 49.3

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 35 e^{- 0,0448 t}

=

50

$35 e^{- 0,0448 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$35 e^{- 0,0448 t}$	=	$30$	\|: $35$
$e^{- 0,0448 t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,0448 t$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 0,0448$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0448} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 3.4409

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 2% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2454 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 80 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 15 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2493 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 80 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{80}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(4000 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=4000 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $4 000 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2454 ein (Punktprobe).

$2 454$	=	$4 000 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
$2 454$	=	$4 000 - c$
$2 454$	=	$- c + 4 000$	\| $- 2 454$ $+ c$
$c$	=	$1 546$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $4 000 - 1 546 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $4 000 - 1 546 e^{- 0,02 \cdot 15}$ ≈ 2854.7

Wann wird der Wert 2493?: f(t)=2493

4 000 - 1 546 e^{- 0,02 t}

=

2 493

$- 1 546 e^{- 0,02 t} + 4 000$	=	$2 493$	\| $- 4 000$
$- 1 546 e^{- 0,02 t}$	=	$- 1 507$	\|: $- 1 546$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{1507}{1546}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{1507}{1546})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{1507}{1546})$	≈ 1.2775

also t=1.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{- 0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,09$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,09}$ ≈ 7.702 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.