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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 6g vorhanden. Nach 8 Tagen sind nur noch 2,921g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 3g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $6 e^{k \cdot 8}$ = 2,9205.

$6 e^{8 k}$	=	$2,9205$	\|: $6$
$e^{8 k}$	=	$0,4868$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (0,4868)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (0,4868)$	≈ -0.09

also k ≈ -0.089987739733596, => f(t)= $6 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $6 e^{- 0,09 \cdot 11}$ ≈ 2.2

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$6 e^{- 0,09 t}$	=	$3$	\|: $6$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 7.7016

also t=7.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 811 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 18g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 1827 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 14,4g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{811}$ ≈ -0.000854682096868

=> f(t)= $18 e^{- 0,0009 t}$

Wert zur Zeit 1827: f(1827)= $18 e^{- 0,0009 \cdot 1827}$ ≈ 3.8

Wann wird der Wert 14.4?: f(t)=14.4

$18 e^{- 0,0009 t}$	=	$14,4$	\|: $18$
$e^{- 0,0009 t}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 0,0009 t$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 0,0009$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0009} \ln (0,8)$	≈ 260.9866

also t=261

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 2% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 9 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 10 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.02) ≈ 0.01980262729618

=> f(t)= $9 e^{0,0198 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $9 e^{0,0198 \cdot 3}$ ≈ 9.6

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$9 e^{0,0198 t}$	=	$10$	\|: $9$
$e^{0,0198 t}$	=	$\frac{10}{9}$	\|ln(⋅)
$0,0198 t$	=	$\ln (\frac{10}{9})$	\|: $0,0198$
$t$	=	$\frac{1}{0,0198} \ln (\frac{10}{9})$	≈ 5.3212

also t=5.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 28 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 3,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 28.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

27,9999

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$27,9999$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 9,0001$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,45$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,45)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,45)$	≈ 1.597

also k ≈ 1.5970153924355, => f(t)= $37 - 20 e^{- 1,597 t}$

Wert zur Zeit 3.5: f(3.5)= $37 - 20 e^{- 1,597 \cdot 3,5}$ ≈ 36.9

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 1,597 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 1,597 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 1,597 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 1,597 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 1,597 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 1,597$
$t$	=	$- \frac{1}{1,597} \ln (0,005)$	≈ 3.3177

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,5% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 15 Jahren, wenn jedes Jahr 0,3 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 29 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.3 - 0.015⋅f(t)

wenn man 0.015 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.015( $\frac{0.3}{0.015}$ - f(t))

also f'(t) = 0.015(20 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=20 und der Wachstumsfaktor k=0.015 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $20 - c \cdot e^{- 0,015 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$20 - c \cdot e^{- 0,015 \cdot 0}$
$80$	=	$20 - c$
$80$	=	$- c + 20$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 60$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $20 + 60 e^{- 0,015 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $20 + 60 e^{- 0,015 \cdot 15}$ ≈ 67.9

Wann wird der Wert 29?: f(t)=29

20 + 60 e^{- 0,015 t}

=

29

$60 e^{- 0,015 t} + 20$	=	$29$	\| $- 20$
$60 e^{- 0,015 t}$	=	$9$	\|: $60$
$e^{- 0,015 t}$	=	$\frac{3}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,015 t$	=	$\ln (\frac{3}{20})$	\|: $- 0,015$
$t$	=	$- \frac{1}{0,015} \ln (\frac{3}{20})$	≈ 126.4747

also t=126.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{- 0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,06$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.