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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 18 Millionen Algen im Teich. Nach 8 Stunden sind es 21,123 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 11 Stunden? b) Wann waren es 21 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $18 e^{k \cdot 8}$ = 21,1232.

$18 e^{8 k}$	=	$21,1232$	\|: $18$
$e^{8 k}$	=	$1,1735$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (1,1735)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (1,1735)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.019998842038618, => f(t)= $18 e^{0,02 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $18 e^{0,02 \cdot 11}$ ≈ 22.4

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

$18 e^{0,02 t}$	=	$21$	\|: $18$
$e^{0,02 t}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$0,02 t$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $0,02$
$t$	=	$\frac{1}{0,02} \ln (\frac{7}{6})$	≈ 7.7075

also t=7.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1041 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2153? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,4 Milliarden Blondies?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1041}$ ≈ -0.00066584743569639

=> f(t)= $e^{- 0,0007 t}$

Wert zur Zeit 153: f(153)= $e^{- 0,0007 \cdot 153}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.4?: f(t)=0.4

$e^{- 0,0007 t}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,0007 t$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,0007$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0007} \ln (0,4)$	≈ 1375.8119

also t=1375.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 11% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 56% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595

=> f(t)= $100 e^{- 0,1165 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,1165 \cdot 3}$ ≈ 70.5

Wann wird der Wert 56?: f(t)=56

$100 e^{- 0,1165 t}$	=	$56$	\|: $100$
$e^{- 0,1165 t}$	=	$\frac{14}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,1165 t$	=	$\ln (\frac{14}{25})$	\|: $- 0,1165$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1165} \ln (\frac{14}{25})$	≈ 4.977

also t=5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 63° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 63 ist, gilt: f(0)= 63, also 63 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$63$	=	$20 - c$
$63$	=	$- c + 20$	\| $- 63$ $+ c$
$c$	=	$- 43$

somit gilt: f(t)= $20 + 43 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 43 e^{- k \cdot 3}$ = 52.

20 + 43 e^{- 3 k}

=

51,9989

$43 e^{- 3 k} + 20$	=	$51,9989$	\| $- 20$
$43 e^{- 3 k}$	=	$31,9989$	\|: $43$
$e^{- 3 k}$	=	$0,7442$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,7442)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,7442)$	≈ 0.0985

also k ≈ 0.098481821023205, => f(t)= $20 + 43 e^{- 0,0985 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 43 e^{- 0,0985 \cdot 5}$ ≈ 46.3

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 43 e^{- 0,0985 t}

=

50

$43 e^{- 0,0985 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$43 e^{- 0,0985 t}$	=	$30$	\|: $43$
$e^{- 0,0985 t}$	=	$\frac{30}{43}$	\|ln(⋅)
$- 0,0985 t$	=	$\ln (\frac{30}{43})$	\|: $- 0,0985$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0985} \ln (\frac{30}{43})$	≈ 3.6549

also t=3.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,3% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 9 Jahren, wenn jedes Jahr 0,4 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 53 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.4 - 0.013⋅f(t)

wenn man 0.013 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.013( $\frac{0.4}{0.013}$ - f(t))

also f'(t) = 0.013(30.77 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=30.77 und der Wachstumsfaktor k=0.013 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $30,77 - c \cdot e^{- 0,013 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$30,77 - c \cdot e^{- 0,013 \cdot 0}$
$80$	=	$30,77 - c$
$80$	=	$- c + 30,77$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 49,23$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $30,77 + 49,23 e^{- 0,013 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $30,77 + 49,23 e^{- 0,013 \cdot 9}$ ≈ 74.6

Wann wird der Wert 53?: f(t)=53

30,77 + 49,23 e^{- 0,013 t}

=

53

$49,23 e^{- 0,013 t} + 30,77$	=	$53$	\| $- 30,77$
$49,23 e^{- 0,013 t}$	=	$22,23$	\|: $49,23$
$e^{- 0,013 t}$	=	$0,4516$	\|ln(⋅)
$- 0,013 t$	=	$\ln (0,4516)$	\|: $- 0,013$
$t$	=	$- \frac{1}{0,013} \ln (0,4516)$	≈ 61.1506

also t=61.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,09$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.