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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 18 Millionen Algen im Teich. Nach 7 Stunden sind es 19,305 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 8 Stunden? b) Wann waren es 19 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $18 e^{k \cdot 7}$ = 19,3051.

$18 e^{7 k}$	=	$19,3051$	\|: $18$
$e^{7 k}$	=	$1,0725$	\|ln(⋅)
$7 k$	=	$\ln (1,0725)$	\|: $7$
$k$	=	$\frac{1}{7} \ln (1,0725)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.009998910260005, => f(t)= $18 e^{0,01 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $18 e^{0,01 \cdot 8}$ ≈ 19.5

Wann wird der Wert 19?: f(t)=19

$18 e^{0,01 t}$	=	$19$	\|: $18$
$e^{0,01 t}$	=	$\frac{19}{18}$	\|ln(⋅)
$0,01 t$	=	$\ln (\frac{19}{18})$	\|: $0,01$
$t$	=	$\frac{1}{0,01} \ln (\frac{19}{18})$	≈ 5.4067

also t=5.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 18 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 15-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 32 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 25-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{18}$ ≈ 0.038508176697775

=> f(t)= $15 e^{0,0385 t}$

Wert zur Zeit 32: f(32)= $15 e^{0,0385 \cdot 32}$ ≈ 51.4

Wann wird der Wert 25?: f(t)=25

$15 e^{0,0385 t}$	=	$25$	\|: $15$
$e^{0,0385 t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$0,0385 t$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $0,0385$
$t$	=	$\frac{1}{0,0385} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 13.2654

also t=13.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 7% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 6 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 9 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.07) ≈ 0.067658648473815

=> f(t)= $6 e^{0,0677 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $6 e^{0,0677 \cdot 3}$ ≈ 7.4

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$6 e^{0,0677 t}$	=	$9$	\|: $6$
$e^{0,0677 t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,0677 t$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $0,0677$
$t$	=	$\frac{1}{0,0677} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 5.9891

also t=6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 6° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 19,65°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 13 Minuten? b) Wann ist sie 7°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$6$	=	$29 - c$
$6$	=	$- c + 29$	\| $- 6$ $+ c$
$c$	=	$23$

somit gilt: f(t)= $29 - 23 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $29 - 23 e^{- k \cdot 10}$ = 19,65.

29 - 23 e^{- 10 k}

=

19,6489

$- 23 e^{- 10 k} + 29$	=	$19,6489$	\| $- 29$
$- 23 e^{- 10 k}$	=	$- 9,3511$	\|: $- 23$
$e^{- 10 k}$	=	$0,4066$	\|ln(⋅)
$- 10 k$	=	$\ln (0,4066)$	\|: $- 10$
$k$	=	$- \frac{1}{10} \ln (0,4066)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.089992537778789, => f(t)= $29 - 23 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $29 - 23 e^{- 0,09 \cdot 13}$ ≈ 21.9

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

29 - 23 e^{- 0,09 t}

=

7

$- 23 e^{- 0,09 t} + 29$	=	$7$	\| $- 29$
$- 23 e^{- 0,09 t}$	=	$- 22$	\|: $- 23$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{22}{23}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{22}{23})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{22}{23})$	≈ 0.4939

also t=0.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,3% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 10 Jahren, wenn jedes Jahr 0,3 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 37 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.3 - 0.013⋅f(t)

wenn man 0.013 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.013( $\frac{0.3}{0.013}$ - f(t))

also f'(t) = 0.013(23.08 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=23.08 und der Wachstumsfaktor k=0.013 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $23,08 - c \cdot e^{- 0,013 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$23,08 - c \cdot e^{- 0,013 \cdot 0}$
$80$	=	$23,08 - c$
$80$	=	$- c + 23,08$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 56,92$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $23,08 + 56,92 e^{- 0,013 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $23,08 + 56,92 e^{- 0,013 \cdot 10}$ ≈ 73.1

Wann wird der Wert 37?: f(t)=37

23,08 + 56,92 e^{- 0,013 t}

=

37

$56,92 e^{- 0,013 t} + 23,08$	=	$37$	\| $- 23,08$
$56,92 e^{- 0,013 t}$	=	$13,92$	\|: $56,92$
$e^{- 0,013 t}$	=	$0,2446$	\|ln(⋅)
$- 0,013 t$	=	$\ln (0,2446)$	\|: $- 0,013$
$t$	=	$- \frac{1}{0,013} \ln (0,2446)$	≈ 108.3178

also t=108.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $5 e^{- 0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,08$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.