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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 17g vorhanden. Nach 5 Tagen sind nur noch 15,382g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 8 Tagen da? b) Wann sind nur noch 14g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $17 e^{k \cdot 5}$ = 15,3822.

$17 e^{5 k}$	=	$15,3822$	\|: $17$
$e^{5 k}$	=	$0,9048$	\|ln(⋅)
$5 k$	=	$\ln (0,9048)$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{1}{5} \ln (0,9048)$	≈ -0.02

also k ≈ -0.020008270836045, => f(t)= $17 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $17 e^{- 0,02 \cdot 8}$ ≈ 14.5

Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

$17 e^{- 0,02 t}$	=	$14$	\|: $17$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{14}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{14}{17})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{14}{17})$	≈ 9.7078

also t=9.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 13 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 15-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 15 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 30-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{13}$ ≈ 0.053319013889227

=> f(t)= $15 e^{0,0533 t}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $15 e^{0,0533 \cdot 15}$ ≈ 33.4

Wann wird der Wert 30?: f(t)=30

$15 e^{0,0533 t}$	=	$30$	\|: $15$
$e^{0,0533 t}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$0,0533 t$	=	$\ln (2)$	\|: $0,0533$
$t$	=	$\frac{1}{0,0533} \ln (2)$	≈ 13

also t=13

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 5% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 12 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 14 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.05) ≈ 0.048790164169432

=> f(t)= $12 e^{0,0488 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $12 e^{0,0488 \cdot 2}$ ≈ 13.2

Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

$12 e^{0,0488 t}$	=	$14$	\|: $12$
$e^{0,0488 t}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$0,0488 t$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $0,0488$
$t$	=	$\frac{1}{0,0488} \ln (\frac{7}{6})$	≈ 3.1588

also t=3.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 55° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 55 ist, gilt: f(0)= 55, also 55 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$55$	=	$20 - c$
$55$	=	$- c + 20$	\| $- 55$ $+ c$
$c$	=	$- 35$

somit gilt: f(t)= $20 + 35 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 35 e^{- k \cdot 3}$ = 52.

20 + 35 e^{- 3 k}

=

51,9972

$35 e^{- 3 k} + 20$	=	$51,9972$	\| $- 20$
$35 e^{- 3 k}$	=	$31,9972$	\|: $35$
$e^{- 3 k}$	=	$0,9142$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,9142)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,9142)$	≈ 0.0299

also k ≈ 0.029901971028164, => f(t)= $20 + 35 e^{- 0,0299 t}$

Wert zur Zeit 1: f(1)= $20 + 35 e^{- 0,0299 \cdot 1}$ ≈ 54

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 35 e^{- 0,0299 t}

=

50

$35 e^{- 0,0299 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$35 e^{- 0,0299 t}$	=	$30$	\|: $35$
$e^{- 0,0299 t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,0299 t$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 0,0299$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0299} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 5.1555

also t=5.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 8ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 8% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 5 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 23ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 8 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{8}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(100 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=100 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $100 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$100 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
0	=	$100 - c$
0	=	$- c + 100$	\|0 $+ c$
$c$	=	$100$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $100 - 100 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 - 100 e^{- 0,08 \cdot 5}$ ≈ 33

Wann wird der Wert 23?: f(t)=23

100 - 100 e^{- 0,08 t}

=

23

$- 100 e^{- 0,08 t} + 100$	=	$23$	\| $- 100$
$- 100 e^{- 0,08 t}$	=	$- 77$	\|: $- 100$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{77}{100}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{77}{100})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{77}{100})$	≈ 3.2671

also t=3.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $10 e^{- 0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,02$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,02}$ ≈ 34.657 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

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beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.