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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 19 Millionen Algen im Teich. Nach 6 Stunden sind es 25,647 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 7 Stunden? b) Wann waren es 25 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $19 e^{k \cdot 6}$ = 25,6473.

$19 e^{6 k}$	=	$25,6473$	\|: $19$
$e^{6 k}$	=	$1,3499$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (1,3499)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (1,3499)$	≈ 0.05

also k ≈ 0.050005085938774, => f(t)= $19 e^{0,05 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $19 e^{0,05 \cdot 7}$ ≈ 27

Wann wird der Wert 25?: f(t)=25

$19 e^{0,05 t}$	=	$25$	\|: $19$
$e^{0,05 t}$	=	$\frac{25}{19}$	\|ln(⋅)
$0,05 t$	=	$\ln (\frac{25}{19})$	\|: $0,05$
$t$	=	$\frac{1}{0,05} \ln (\frac{25}{19})$	≈ 5.4887

also t=5.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 14 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 3-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 38 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 3,33-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{14}$ ≈ 0.049510512897139

=> f(t)= $3 e^{0,0495 t}$

Wert zur Zeit 38: f(38)= $3 e^{0,0495 \cdot 38}$ ≈ 19.7

Wann wird der Wert 3.33?: f(t)=3.33

$3 e^{0,0495 t}$	=	$3,33$	\|: $3$
$e^{0,0495 t}$	=	$1,11$	\|ln(⋅)
$0,0495 t$	=	$\ln (1,11)$	\|: $0,0495$
$t$	=	$\frac{1}{0,0495} \ln (1,11)$	≈ 2.1078

also t=2.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 5% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 12 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 16 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.05) ≈ 0.048790164169432

=> f(t)= $12 e^{0,0488 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $12 e^{0,0488 \cdot 4}$ ≈ 14.6

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

$12 e^{0,0488 t}$	=	$16$	\|: $12$
$e^{0,0488 t}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$0,0488 t$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $0,0488$
$t$	=	$\frac{1}{0,0488} \ln (\frac{4}{3})$	≈ 5.8951

also t=5.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 4° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 9,62°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 5 Minuten? b) Wann ist sie 18°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$4$	=	$27 - c$
$4$	=	$- c + 27$	\| $- 4$ $+ c$
$c$	=	$23$

somit gilt: f(t)= $27 - 23 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $27 - 23 e^{- k \cdot 4}$ = 9,62.

27 - 23 e^{- 4 k}

=

9,617

$- 23 e^{- 4 k} + 27$	=	$9,617$	\| $- 27$
$- 23 e^{- 4 k}$	=	$- 17,383$	\|: $- 23$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7558$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7558)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7558)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.069994622016687, => f(t)= $27 - 23 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $27 - 23 e^{- 0,07 \cdot 5}$ ≈ 10.8

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

27 - 23 e^{- 0,07 t}

=

18

$- 23 e^{- 0,07 t} + 27$	=	$18$	\| $- 27$
$- 23 e^{- 0,07 t}$	=	$- 9$	\|: $- 23$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{9}{23}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{9}{23})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{9}{23})$	≈ 13.4039

also t=13.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,3% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 14 Jahren, wenn jedes Jahr 0,7 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 68 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.7 - 0.013⋅f(t)

wenn man 0.013 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.013( $\frac{0.7}{0.013}$ - f(t))

also f'(t) = 0.013(53.85 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=53.85 und der Wachstumsfaktor k=0.013 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $53,85 - c \cdot e^{- 0,013 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$53,85 - c \cdot e^{- 0,013 \cdot 0}$
$80$	=	$53,85 - c$
$80$	=	$- c + 53,85$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 26,15$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $53,85 + 26,15 e^{- 0,013 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $53,85 + 26,15 e^{- 0,013 \cdot 14}$ ≈ 75.6

Wann wird der Wert 68?: f(t)=68

53,85 + 26,15 e^{- 0,013 t}

=

68

$26,15 e^{- 0,013 t} + 53,85$	=	$68$	\| $- 53,85$
$26,15 e^{- 0,013 t}$	=	$14,15$	\|: $26,15$
$e^{- 0,013 t}$	=	$0,5411$	\|ln(⋅)
$- 0,013 t$	=	$\ln (0,5411)$	\|: $- 0,013$
$t$	=	$- \frac{1}{0,013} \ln (0,5411)$	≈ 47.2424

also t=47.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $9 e^{0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,05$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.