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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 75 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 22 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 75: f(75)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 75}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$22$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 100 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 100 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 100 000)$	≈ 120.8586

also t=120.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 82 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 8g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 201 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 4,8g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{82}$ ≈ -0.0084530143970725

=> f(t)= $8 e^{- 0,0085 t}$

Wert zur Zeit 201: f(201)= $8 e^{- 0,0085 \cdot 201}$ ≈ 1.5

Wann wird der Wert 4.8?: f(t)=4.8

$8 e^{- 0,0085 t}$	=	$4,8$	\|: $8$
$e^{- 0,0085 t}$	=	$0,6$	\|ln(⋅)
$- 0,0085 t$	=	$\ln (0,6)$	\|: $- 0,0085$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0085} \ln (0,6)$	≈ 60.4313

also t=60.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 7% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 72% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.93) ≈ -0.072570692834835

=> f(t)= $100 e^{- 0,0726 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,0726 \cdot 3}$ ≈ 80.4

Wann wird der Wert 72?: f(t)=72

$100 e^{- 0,0726 t}$	=	$72$	\|: $100$
$e^{- 0,0726 t}$	=	$\frac{18}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,0726 t$	=	$\ln (\frac{18}{25})$	\|: $- 0,0726$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0726} \ln (\frac{18}{25})$	≈ 4.5248

also t=4.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 6 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 9,15°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 9 Minuten? b) Wann ist sie 24°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$7$	=	$26 - c$
$7$	=	$- c + 26$	\| $- 7$ $+ c$
$c$	=	$19$

somit gilt: f(t)= $26 - 19 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $26 - 19 e^{- k \cdot 6}$ = 9,15.

26 - 19 e^{- 6 k}

=

9,1485

$- 19 e^{- 6 k} + 26$	=	$9,1485$	\| $- 26$
$- 19 e^{- 6 k}$	=	$- 16,8515$	\|: $- 19$
$e^{- 6 k}$	=	$0,8869$	\|ln(⋅)
$- 6 k$	=	$\ln (0,8869)$	\|: $- 6$
$k$	=	$- \frac{1}{6} \ln (0,8869)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.020003840433288, => f(t)= $26 - 19 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $26 - 19 e^{- 0,02 \cdot 9}$ ≈ 10.1

Wann wird der Wert 24?: f(t)=24

26 - 19 e^{- 0,02 t}

=

24

$- 19 e^{- 0,02 t} + 26$	=	$24$	\| $- 26$
$- 19 e^{- 0,02 t}$	=	$- 2$	\|: $- 19$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{2}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{2}{19})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{2}{19})$	≈ 112.5646

also t=112.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 5ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 10% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 6 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 44ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 5 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{5}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(50 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=50 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $50 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$50 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
0	=	$50 - c$
0	=	$- c + 50$	\|0 $+ c$
$c$	=	$50$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $50 - 50 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $50 - 50 e^{- 0,1 \cdot 6}$ ≈ 22.6

Wann wird der Wert 44?: f(t)=44

50 - 50 e^{- 0,1 t}

=

44

$- 50 e^{- 0,1 t} + 50$	=	$44$	\| $- 50$
$- 50 e^{- 0,1 t}$	=	$- 6$	\|: $- 50$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{3}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{3}{25})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{3}{25})$	≈ 21.2026

also t=21.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,03$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.