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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 10g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 5,326g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 6g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $10 e^{k \cdot 9}$ = 5,3259.

$10 e^{9 k}$	=	$5,3259$	\|: $10$
$e^{9 k}$	=	$0,5326$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (0,5326)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (0,5326)$	≈ -0.07

also k ≈ -0.069998289511367, => f(t)= $10 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $10 e^{- 0,07 \cdot 10}$ ≈ 5

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$10 e^{- 0,07 t}$	=	$6$	\|: $10$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{3}{5})$	≈ 7.2975

also t=7.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 13 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 11-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 10 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 55-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{13}$ ≈ 0.053319013889227

=> f(t)= $11 e^{0,0533 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $11 e^{0,0533 \cdot 10}$ ≈ 18.7

Wann wird der Wert 55?: f(t)=55

$11 e^{0,0533 t}$	=	$55$	\|: $11$
$e^{0,0533 t}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$0,0533 t$	=	$\ln (5)$	\|: $0,0533$
$t$	=	$\frac{1}{0,0533} \ln (5)$	≈ 30.1851

also t=30.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 18% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 8 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.82) ≈ -0.19845093872384

=> f(t)= $8 e^{- 0,1985 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $8 e^{- 0,1985 \cdot 4}$ ≈ 3.6

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$8 e^{- 0,1985 t}$	=	$1$	\|: $8$
$e^{- 0,1985 t}$	=	$\frac{1}{8}$	\|ln(⋅)
$- 0,1985 t$	=	$\ln (\frac{1}{8})$	\|: $- 0,1985$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1985} \ln (\frac{1}{8})$	≈ 10.4758

also t=10.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 10,04°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 5 Minuten? b) Wann ist sie 22°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$8$	=	$26 - c$
$8$	=	$- c + 26$	\| $- 8$ $+ c$
$c$	=	$18$

somit gilt: f(t)= $26 - 18 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $26 - 18 e^{- k \cdot 4}$ = 10,04.

26 - 18 e^{- 4 k}

=

10,0354

$- 18 e^{- 4 k} + 26$	=	$10,0354$	\| $- 26$
$- 18 e^{- 4 k}$	=	$- 15,9646$	\|: $- 18$
$e^{- 4 k}$	=	$0,8869$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,8869)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,8869)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.030005760649933, => f(t)= $26 - 18 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $26 - 18 e^{- 0,03 \cdot 5}$ ≈ 10.5

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

26 - 18 e^{- 0,03 t}

=

22

$- 18 e^{- 0,03 t} + 26$	=	$22$	\| $- 26$
$- 18 e^{- 0,03 t}$	=	$- 4$	\|: $- 18$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{2}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{2}{9})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{2}{9})$	≈ 50.1359

also t=50.1

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 8ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 8% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 8 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 47ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 8 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{8}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(100 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=100 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $100 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$100 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
0	=	$100 - c$
0	=	$- c + 100$	\|0 $+ c$
$c$	=	$100$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $100 - 100 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $100 - 100 e^{- 0,08 \cdot 8}$ ≈ 47.3

Wann wird der Wert 47?: f(t)=47

100 - 100 e^{- 0,08 t}

=

47

$- 100 e^{- 0,08 t} + 100$	=	$47$	\| $- 100$
$- 100 e^{- 0,08 t}$	=	$- 53$	\|: $- 100$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{53}{100}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{53}{100})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{53}{100})$	≈ 7.936

also t=7.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.