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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 95 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 63 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 95: f(95)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 95}$ ≈ 1.1

Wann wird der Wert 63?: f(t)=63

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$63$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$3 150 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (3 150 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (3 150 000)$	≈ 129.9992

also t=130

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 18 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 20-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 24 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 50-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{18}$ ≈ 0.038508176697775

=> f(t)= $20 e^{0,0385 t}$

Wert zur Zeit 24: f(24)= $20 e^{0,0385 \cdot 24}$ ≈ 50.4

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

$20 e^{0,0385 t}$	=	$50$	\|: $20$
$e^{0,0385 t}$	=	$\frac{5}{2}$	\|ln(⋅)
$0,0385 t$	=	$\ln (\frac{5}{2})$	\|: $0,0385$
$t$	=	$\frac{1}{0,0385} \ln (\frac{5}{2})$	≈ 23.7948

also t=23.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 12% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 28% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.88) ≈ -0.12783337150988

=> f(t)= $100 e^{- 0,1278 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,1278 \cdot 3}$ ≈ 68.2

Wann wird der Wert 28?: f(t)=28

$100 e^{- 0,1278 t}$	=	$28$	\|: $100$
$e^{- 0,1278 t}$	=	$\frac{7}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,1278 t$	=	$\ln (\frac{7}{25})$	\|: $- 0,1278$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1278} \ln (\frac{7}{25})$	≈ 9.9606

also t=10

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 63° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 63 ist, gilt: f(0)= 63, also 63 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$63$	=	$20 - c$
$63$	=	$- c + 20$	\| $- 63$ $+ c$
$c$	=	$- 43$

somit gilt: f(t)= $20 + 43 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 43 e^{- k \cdot 2}$ = 53.

20 + 43 e^{- 2 k}

=

53,0031

$43 e^{- 2 k} + 20$	=	$53,0031$	\| $- 20$
$43 e^{- 2 k}$	=	$33,0031$	\|: $43$
$e^{- 2 k}$	=	$0,7675$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,7675)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,7675)$	≈ 0.1323

also k ≈ 0.13230839976039, => f(t)= $20 + 43 e^{- 0,1323 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 43 e^{- 0,1323 \cdot 4}$ ≈ 45.3

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 43 e^{- 0,1323 t}

=

50

$43 e^{- 0,1323 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$43 e^{- 0,1323 t}$	=	$30$	\|: $43$
$e^{- 0,1323 t}$	=	$\frac{30}{43}$	\|ln(⋅)
$- 0,1323 t$	=	$\ln (\frac{30}{43})$	\|: $- 0,1323$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1323} \ln (\frac{30}{43})$	≈ 2.7211

also t=2.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,5% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 10 Jahren, wenn jedes Jahr 0,5 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 34 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.5 - 0.015⋅f(t)

wenn man 0.015 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.015( $\frac{0.5}{0.015}$ - f(t))

also f'(t) = 0.015(33.33 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=33.33 und der Wachstumsfaktor k=0.015 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $33,33 - c \cdot e^{- 0,015 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$33,33 - c \cdot e^{- 0,015 \cdot 0}$
$80$	=	$33,33 - c$
$80$	=	$- c + 33,33$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 46,67$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $33,33 + 46,67 e^{- 0,015 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $33,33 + 46,67 e^{- 0,015 \cdot 10}$ ≈ 73.5

Wann wird der Wert 34?: f(t)=34

33,33 + 46,67 e^{- 0,015 t}

=

34

$46,67 e^{- 0,015 t} + 33,33$	=	$34$	\| $- 33,33$
$46,67 e^{- 0,015 t}$	=	$0,67$	\|: $46,67$
$e^{- 0,015 t}$	=	$0,0144$	\|ln(⋅)
$- 0,015 t$	=	$\ln (0,0144)$	\|: $- 0,015$
$t$	=	$- \frac{1}{0,015} \ln (0,0144)$	≈ 282.7018

also t=282.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $17 e^{- 0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,09$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.