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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 93 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 55 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 93: f(93)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 93}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 55?: f(t)=55

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$55$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 750 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 750 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 750 000)$	≈ 128.8194

also t=128.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 19 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 18-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 44 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 30-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{19}$ ≈ 0.036481430555787

=> f(t)= $18 e^{0,0365 t}$

Wert zur Zeit 44: f(44)= $18 e^{0,0365 \cdot 44}$ ≈ 89.6

Wann wird der Wert 30?: f(t)=30

$18 e^{0,0365 t}$	=	$30$	\|: $18$
$e^{0,0365 t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$0,0365 t$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $0,0365$
$t$	=	$\frac{1}{0,0365} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 14.0025

also t=14

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 11% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 13 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 9 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595

=> f(t)= $13 e^{- 0,1165 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $13 e^{- 0,1165 \cdot 5}$ ≈ 7.3

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$13 e^{- 0,1165 t}$	=	$9$	\|: $13$
$e^{- 0,1165 t}$	=	$\frac{9}{13}$	\|ln(⋅)
$- 0,1165 t$	=	$\ln (\frac{9}{13})$	\|: $- 0,1165$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1165} \ln (\frac{9}{13})$	≈ 3.1564

also t=3.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 55° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 55 ist, gilt: f(0)= 55, also 55 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$55$	=	$20 - c$
$55$	=	$- c + 20$	\| $- 55$ $+ c$
$c$	=	$- 35$

somit gilt: f(t)= $20 + 35 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 35 e^{- k \cdot 2}$ = 52.

20 + 35 e^{- 2 k}

=

52,0004

$35 e^{- 2 k} + 20$	=	$52,0004$	\| $- 20$
$35 e^{- 2 k}$	=	$32,0004$	\|: $35$
$e^{- 2 k}$	=	$0,9143$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,9143)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,9143)$	≈ 0.0448

also k ≈ 0.044798266905878, => f(t)= $20 + 35 e^{- 0,0448 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 35 e^{- 0,0448 \cdot 3}$ ≈ 50.6

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 35 e^{- 0,0448 t}

=

50

$35 e^{- 0,0448 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$35 e^{- 0,0448 t}$	=	$30$	\|: $35$
$e^{- 0,0448 t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,0448 t$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 0,0448$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0448} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 3.4409

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2957 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 62 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2324 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 62 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{62}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(775 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=775 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $775 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2957 ein (Punktprobe).

$2 957$	=	$775 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$2 957$	=	$775 - c$
$2 957$	=	$- c + 775$	\| $- 2 957$ $+ c$
$c$	=	$- 2 182$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $775 + 2 182 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $775 + 2 182 e^{- 0,08 \cdot 12}$ ≈ 1610.5

Wann wird der Wert 2324?: f(t)=2324

775 + 2 182 e^{- 0,08 t}

=

2 324

$2 182 e^{- 0,08 t} + 775$	=	$2 324$	\| $- 775$
$2 182 e^{- 0,08 t}$	=	$1 549$	\|: $2 182$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{1549}{2182}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{1549}{2182})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{1549}{2182})$	≈ 4.2829

also t=4.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $6 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.