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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 99 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 55 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 99: f(99)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 99}$ ≈ 1.8

Wann wird der Wert 55?: f(t)=55

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$55$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 750 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 750 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 750 000)$	≈ 128.8194

also t=128.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 72 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 91 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 72: f(72)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 72}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 91?: f(t)=91

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$91$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 550 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 550 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 550 000)$	≈ 133.1466

also t=133.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 7% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 11 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 13 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.07) ≈ 0.067658648473815

=> f(t)= $11 e^{0,0677 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $11 e^{0,0677 \cdot 5}$ ≈ 15.4

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

$11 e^{0,0677 t}$	=	$13$	\|: $11$
$e^{0,0677 t}$	=	$\frac{13}{11}$	\|ln(⋅)
$0,0677 t$	=	$\ln (\frac{13}{11})$	\|: $0,0677$
$t$	=	$\frac{1}{0,0677} \ln (\frac{13}{11})$	≈ 2.4676

also t=2.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 28°C wird eine Limo aus einem 6° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 7,07°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 24°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=28 sein muss.

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $28 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $28 - c$ = $28 - c$

$6$	=	$28 - c$
$6$	=	$- c + 28$	\| $- 6$ $+ c$
$c$	=	$22$

somit gilt: f(t)= $28 - 22 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $28 - 22 e^{- k \cdot 5}$ = 7,07.

28 - 22 e^{- 5 k}

=

7,073

$- 22 e^{- 5 k} + 28$	=	$7,073$	\| $- 28$
$- 22 e^{- 5 k}$	=	$- 20,927$	\|: $- 22$
$e^{- 5 k}$	=	$0,9512$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,9512)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,9512)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.010006186721113, => f(t)= $28 - 22 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $28 - 22 e^{- 0,01 \cdot 6}$ ≈ 7.3

Wann wird der Wert 24?: f(t)=24

28 - 22 e^{- 0,01 t}

=

24

$- 22 e^{- 0,01 t} + 28$	=	$24$	\| $- 28$
$- 22 e^{- 0,01 t}$	=	$- 4$	\|: $- 22$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{2}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{2}{11})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{2}{11})$	≈ 170.4748

also t=170.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 7ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 10% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 7 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 43ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 7 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{7}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(70 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=70 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $70 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$70 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
0	=	$70 - c$
0	=	$- c + 70$	\|0 $+ c$
$c$	=	$70$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $70 - 70 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $70 - 70 e^{- 0,1 \cdot 7}$ ≈ 35.2

Wann wird der Wert 43?: f(t)=43

70 - 70 e^{- 0,1 t}

=

43

$- 70 e^{- 0,1 t} + 70$	=	$43$	\| $- 70$
$- 70 e^{- 0,1 t}$	=	$- 27$	\|: $- 70$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{27}{70}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{27}{70})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{27}{70})$	≈ 9.5266

also t=9.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $10 e^{0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,03$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.