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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 9g vorhanden. Nach 7 Tagen sind nur noch 6,802g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 7g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $9 e^{k \cdot 7}$ = 6,8021.

$9 e^{7 k}$	=	$6,8021$	\|: $9$
$e^{7 k}$	=	$0,7558$	\|ln(⋅)
$7 k$	=	$\ln (0,7558)$	\|: $7$
$k$	=	$\frac{1}{7} \ln (0,7558)$	≈ -0.04

also k ≈ -0.039996926866678, => f(t)= $9 e^{- 0,04 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $9 e^{- 0,04 \cdot 10}$ ≈ 6

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$9 e^{- 0,04 t}$	=	$7$	\|: $9$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{7}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{7}{9})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{7}{9})$	≈ 6.2829

also t=6.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 17 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 13-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 51 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 16,25-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{17}$ ≈ 0.04077336356235

=> f(t)= $13 e^{0,0408 t}$

Wert zur Zeit 51: f(51)= $13 e^{0,0408 \cdot 51}$ ≈ 104

Wann wird der Wert 16.25?: f(t)=16.25

$13 e^{0,0408 t}$	=	$16,25$	\|: $13$
$e^{0,0408 t}$	=	$1,25$	\|ln(⋅)
$0,0408 t$	=	$\ln (1,25)$	\|: $0,0408$
$t$	=	$\frac{1}{0,0408} \ln (1,25)$	≈ 5.4728

also t=5.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 4% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 9 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 10 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.04) ≈ 0.039220713153281

=> f(t)= $9 e^{0,0392 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $9 e^{0,0392 \cdot 4}$ ≈ 10.5

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$9 e^{0,0392 t}$	=	$10$	\|: $9$
$e^{0,0392 t}$	=	$\frac{10}{9}$	\|ln(⋅)
$0,0392 t$	=	$\ln (\frac{10}{9})$	\|: $0,0392$
$t$	=	$\frac{1}{0,0392} \ln (\frac{10}{9})$	≈ 2.6878

also t=2.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 3° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 9,15°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 10 Minuten? b) Wann ist sie 21°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$3$	=	$29 - c$
$3$	=	$- c + 29$	\| $- 3$ $+ c$
$c$	=	$26$

somit gilt: f(t)= $29 - 26 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $29 - 26 e^{- k \cdot 9}$ = 9,15.

29 - 26 e^{- 9 k}

=

9,1521

$- 26 e^{- 9 k} + 29$	=	$9,1521$	\| $- 29$
$- 26 e^{- 9 k}$	=	$- 19,8479$	\|: $- 26$
$e^{- 9 k}$	=	$0,7634$	\|ln(⋅)
$- 9 k$	=	$\ln (0,7634)$	\|: $- 9$
$k$	=	$- \frac{1}{9} \ln (0,7634)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.02999701540789, => f(t)= $29 - 26 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $29 - 26 e^{- 0,03 \cdot 10}$ ≈ 9.7

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

29 - 26 e^{- 0,03 t}

=

21

$- 26 e^{- 0,03 t} + 29$	=	$21$	\| $- 29$
$- 26 e^{- 0,03 t}$	=	$- 8$	\|: $- 26$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{4}{13}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{4}{13})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{4}{13})$	≈ 39.2885

also t=39.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2506 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 88 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 4146 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 88 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{88}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(8800 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=8800 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $8 800 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2506 ein (Punktprobe).

$2 506$	=	$8 800 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$2 506$	=	$8 800 - c$
$2 506$	=	$- c + 8 800$	\| $- 2 506$ $+ c$
$c$	=	$6 294$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $8 800 - 6 294 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $8 800 - 6 294 e^{- 0,01 \cdot 12}$ ≈ 3217.7

Wann wird der Wert 4146?: f(t)=4146

8 800 - 6 294 e^{- 0,01 t}

=

4 146

$- 6 294 e^{- 0,01 t} + 8 800$	=	$4 146$	\| $- 8 800$
$- 6 294 e^{- 0,01 t}$	=	$- 4 654$	\|: $- 6 294$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{2327}{3147}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{2327}{3147})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{2327}{3147})$	≈ 30.187

also t=30.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $16 e^{0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,02$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.