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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 11 Millionen Algen im Teich. Nach 5 Stunden sind es 18,136 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 7 Stunden? b) Wann waren es 19 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $11 e^{k \cdot 5}$ = 18,1359.

$11 e^{5 k}$	=	$18,1359$	\|: $11$
$e^{5 k}$	=	$1,6487$	\|ln(⋅)
$5 k$	=	$\ln (1,6487)$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{1}{5} \ln (1,6487)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.099997419716999, => f(t)= $11 e^{0,1 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $11 e^{0,1 \cdot 7}$ ≈ 22.2

Wann wird der Wert 19?: f(t)=19

$11 e^{0,1 t}$	=	$19$	\|: $11$
$e^{0,1 t}$	=	$\frac{19}{11}$	\|ln(⋅)
$0,1 t$	=	$\ln (\frac{19}{11})$	\|: $0,1$
$t$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (\frac{19}{11})$	≈ 5.4654

also t=5.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 781 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 9g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 2313 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 3,6g Gaußium da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{781}$ ≈ -0.00088751239508316

=> f(t)= $9 e^{- 0,0009 t}$

Wert zur Zeit 2313: f(2313)= $9 e^{- 0,0009 \cdot 2313}$ ≈ 1.2

Wann wird der Wert 3.6?: f(t)=3.6

$9 e^{- 0,0009 t}$	=	$3,6$	\|: $9$
$e^{- 0,0009 t}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,0009 t$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,0009$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0009} \ln (0,4)$	≈ 1031.8589

also t=1031.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 12% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 10 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 14 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.12) ≈ 0.113328685307

=> f(t)= $10 e^{0,1133 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $10 e^{0,1133 \cdot 5}$ ≈ 17.6

Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

$10 e^{0,1133 t}$	=	$14$	\|: $10$
$e^{0,1133 t}$	=	$\frac{7}{5}$	\|ln(⋅)
$0,1133 t$	=	$\ln (\frac{7}{5})$	\|: $0,1133$
$t$	=	$\frac{1}{0,1133} \ln (\frac{7}{5})$	≈ 2.9697

also t=3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 32 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 2,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 32.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

32

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$32$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 5$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 2.7726

also k ≈ 2.7725887222398, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,7726 t}$

Wert zur Zeit 2.5: f(2.5)= $37 - 20 e^{- 2,7726 \cdot 2,5}$ ≈ 37

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,7726 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,7726 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,7726 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,7726 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,7726 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,7726$
$t$	=	$- \frac{1}{2,7726} \ln (0,005)$	≈ 1.911

also t=1.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3397 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 90 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 8 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1490 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 90 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{90}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(900 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=900 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $900 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3397 ein (Punktprobe).

$3 397$	=	$900 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$3 397$	=	$900 - c$
$3 397$	=	$- c + 900$	\| $- 3 397$ $+ c$
$c$	=	$- 2 497$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $900 + 2 497 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $900 + 2 497 e^{- 0,1 \cdot 8}$ ≈ 2022

Wann wird der Wert 1490?: f(t)=1490

900 + 2 497 e^{- 0,1 t}

=

1 490

$2 497 e^{- 0,1 t} + 900$	=	$1 490$	\| $- 900$
$2 497 e^{- 0,1 t}$	=	$590$	\|: $2 497$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{590}{2497}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{590}{2497})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{590}{2497})$	≈ 14.4272

also t=14.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $13 e^{0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,06$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.