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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 74 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 46 Pa?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 0,00002 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= 0,00002 e k · 60 = 0,02.

0,00002 e 60k = 0,02 |:0,00002
e 60k = 1000 |ln(⋅)
60k = ln( 1000 ) |:60
k = 1 60 ln( 1000 ) ≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= 0,00002 e 0,1151t


Wert zur Zeit 74: f(74)= 0,00002 e 0,115174 ≈ 0.1


Wann wird der Wert 46?: f(t)=46

0,00002 e 0,1151t = 46 |:0,00002
e 0,1151t = 2300000 |ln(⋅)
0,1151t = ln( 2300000 ) |:0,1151
t = 1 0,1151 ln( 2300000 ) ≈ 127.2669

also t=127.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 414 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 14g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 982 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 4,2g Gaußium da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 14 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel TH= -ln(2) k um zu
k= -ln(2) T = -ln(2) 414 ≈ -0.0016742685520772


=> f(t)= 14 e -0,0017t


Wert zur Zeit 982: f(982)= 14 e -0,0017982 ≈ 2.7


Wann wird der Wert 4.2?: f(t)=4.2

14 e -0,0017t = 4,2 |:14
e -0,0017t = 0,3 |ln(⋅)
-0,0017t = ln( 0,3 ) |:-0,0017
t = - 1 0,0017 ln( 0,3 ) ≈ 719.2191

also t=719.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 16% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 19 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 19 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.84) ≈ -0.17435338714478


=> f(t)= 19 e -0,1744t


Wert zur Zeit 4: f(4)= 19 e -0,17444 ≈ 9.5


Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

19 e -0,1744t = 1 |:19
e -0,1744t = 1 19 |ln(⋅)
-0,1744t = ln( 1 19 ) |:-0,1744
t = - 1 0,1744 ln( 1 19 ) ≈ 16.8833

also t=16.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 28 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 2,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = 37 - c · e -k · 0 = 37 - c = 37 - c

17 = 37 - c
17 = -c +37 | -17 + c
c = 20

somit gilt: f(t)= 37 -20 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= 37 -20 e -k · 0,5 = 28.

37 -20 e -0,5k = 27,9999
-20 e -0,5k +37 = 27,9999 | -37
-20 e -0,5k = -9,0001 |:-20
e -0,5k = 0,45 |ln(⋅)
-0,5k = ln( 0,45 ) |:-0,5
k = - 1 0,5 ln( 0,45 ) ≈ 1.597

also k ≈ 1.5970153924355, => f(t)= 37 -20 e -1,597t


Wert zur Zeit 2.5: f(2.5)= 37 -20 e -1,5972,5 ≈ 36.6


Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 -20 e -1,597t = 36,9
-20 e -1,597t +37 = 36,9 | -37
-20 e -1,597t = -0,1 |:-20
e -1,597t = 0,005 |ln(⋅)
-1,597t = ln( 0,005 ) |:-1,597
t = - 1 1,597 ln( 0,005 ) ≈ 3.3177

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3965 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 69 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 8 Monaten? b) Wann beträgt dieser 4723 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 69 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( 69 0.01 - f(t))

also f'(t) = 0.01(6900 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=6900 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 6900 - c · e -0,01t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3965 ein (Punktprobe).

3965 = 6900 - c · e -0,010
3965 = 6900 - c
3965 = -c +6900 | -3965 + c
c = 2935

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 6900 -2935 e -0,01x


Wert zur Zeit 8: f(8)= 6900 -2935 e -0,018 ≈ 4190.7


Wann wird der Wert 4723?: f(t)=4723

6900 -2935 e -0,01t = 4723
-2935 e -0,01t +6900 = 4723 | -6900
-2935 e -0,01t = -2177 |:-2935
e -0,01t = 2177 2935 |ln(⋅)
-0,01t = ln( 2177 2935 ) |:-0,01
t = - 1 0,01 ln( 2177 2935 ) ≈ 29.876

also t=29.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 20 e -0,07t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (-0,07 ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = -0,07 einfach in die Formel TH = - ln(2) k ein:

TH = - ln(2) -0,07 9.902 min