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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 14 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 28,193 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 12 Stunden? b) Wann waren es 21 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $14 e^{k \cdot 10}$ = 28,1925.

$14 e^{10 k}$	=	$28,1925$	\|: $14$
$e^{10 k}$	=	$2,0138$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (2,0138)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (2,0138)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.070002348449938, => f(t)= $14 e^{0,07 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $14 e^{0,07 \cdot 12}$ ≈ 32.4

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

$14 e^{0,07 t}$	=	$21$	\|: $14$
$e^{0,07 t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,07 t$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $0,07$
$t$	=	$\frac{1}{0,07} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 5.7924

also t=5.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 916 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 12g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 657 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 7,2g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{916}$ ≈ -0.0007567108958078

=> f(t)= $12 e^{- 0,0008 t}$

Wert zur Zeit 657: f(657)= $12 e^{- 0,0008 \cdot 657}$ ≈ 7.3

Wann wird der Wert 7.2?: f(t)=7.2

$12 e^{- 0,0008 t}$	=	$7,2$	\|: $12$
$e^{- 0,0008 t}$	=	$0,6$	\|ln(⋅)
$- 0,0008 t$	=	$\ln (0,6)$	\|: $- 0,0008$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0008} \ln (0,6)$	≈ 674.8027

also t=674.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 5% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 6 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 7 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.05) ≈ 0.048790164169432

=> f(t)= $6 e^{0,0488 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $6 e^{0,0488 \cdot 3}$ ≈ 6.9

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$6 e^{0,0488 t}$	=	$7$	\|: $6$
$e^{0,0488 t}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$0,0488 t$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $0,0488$
$t$	=	$\frac{1}{0,0488} \ln (\frac{7}{6})$	≈ 3.1588

also t=3.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 8 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 15,29°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 10 Minuten? b) Wann ist sie 6°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$5$	=	$29 - c$
$5$	=	$- c + 29$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$24$

somit gilt: f(t)= $29 - 24 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $29 - 24 e^{- k \cdot 8}$ = 15,29.

29 - 24 e^{- 8 k}

=

15,291

$- 24 e^{- 8 k} + 29$	=	$15,291$	\| $- 29$
$- 24 e^{- 8 k}$	=	$- 13,709$	\|: $- 24$
$e^{- 8 k}$	=	$0,5712$	\|ln(⋅)
$- 8 k$	=	$\ln (0,5712)$	\|: $- 8$
$k$	=	$- \frac{1}{8} \ln (0,5712)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.070001983494595, => f(t)= $29 - 24 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $29 - 24 e^{- 0,07 \cdot 10}$ ≈ 17.1

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

29 - 24 e^{- 0,07 t}

=

6

$- 24 e^{- 0,07 t} + 29$	=	$6$	\| $- 29$
$- 24 e^{- 0,07 t}$	=	$- 23$	\|: $- 24$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{23}{24}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{23}{24})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{23}{24})$	≈ 0.608

also t=0.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,2% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 8 Jahren, wenn jedes Jahr 0,4 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 59 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.4 - 0.012⋅f(t)

wenn man 0.012 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.012( $\frac{0.4}{0.012}$ - f(t))

also f'(t) = 0.012(33.33 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=33.33 und der Wachstumsfaktor k=0.012 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $33,33 - c \cdot e^{- 0,012 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$33,33 - c \cdot e^{- 0,012 \cdot 0}$
$80$	=	$33,33 - c$
$80$	=	$- c + 33,33$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 46,67$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $33,33 + 46,67 e^{- 0,012 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $33,33 + 46,67 e^{- 0,012 \cdot 8}$ ≈ 75.7

Wann wird der Wert 59?: f(t)=59

33,33 + 46,67 e^{- 0,012 t}

=

59

$46,67 e^{- 0,012 t} + 33,33$	=	$59$	\| $- 33,33$
$46,67 e^{- 0,012 t}$	=	$25,67$	\|: $46,67$
$e^{- 0,012 t}$	=	$0,55$	\|ln(⋅)
$- 0,012 t$	=	$\ln (0,55)$	\|: $- 0,012$
$t$	=	$- \frac{1}{0,012} \ln (0,55)$	≈ 49.8198

also t=49.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $8 e^{- 0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,08$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.