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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 9g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 7,669g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 3 Tagen da? b) Wann sind nur noch 4g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $9 e^{k \cdot 2}$ = 7,6693.

$9 e^{2 k}$	=	$7,6693$	\|: $9$
$e^{2 k}$	=	$0,8521$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (0,8521)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (0,8521)$	≈ -0.08

also k ≈ -0.080025694074113, => f(t)= $9 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $9 e^{- 0,08 \cdot 3}$ ≈ 7.1

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$9 e^{- 0,08 t}$	=	$4$	\|: $9$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{4}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{4}{9})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{4}{9})$	≈ 10.1366

also t=10.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 100 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 88 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 100: f(100)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 100}$ ≈ 2

Wann wird der Wert 88?: f(t)=88

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$88$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 400 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 400 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 400 000)$	≈ 132.8555

also t=132.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 6% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 2 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 70% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.94) ≈ -0.061875403718088

=> f(t)= $100 e^{- 0,0619 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $100 e^{- 0,0619 \cdot 2}$ ≈ 88.4

Wann wird der Wert 70?: f(t)=70

$100 e^{- 0,0619 t}$	=	$70$	\|: $100$
$e^{- 0,0619 t}$	=	$\frac{7}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,0619 t$	=	$\ln (\frac{7}{10})$	\|: $- 0,0619$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0619} \ln (\frac{7}{10})$	≈ 5.7621

also t=5.8

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 56° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 51,99° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 56 ist, gilt: f(0)= 56, also 56 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$56$	=	$20 - c$
$56$	=	$- c + 20$	\| $- 56$ $+ c$
$c$	=	$- 36$

somit gilt: f(t)= $20 + 36 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 36 e^{- k \cdot 5}$ = 51,99.

20 + 36 e^{- 5 k}

=

51,9931

$36 e^{- 5 k} + 20$	=	$51,9931$	\| $- 20$
$36 e^{- 5 k}$	=	$31,9931$	\|: $36$
$e^{- 5 k}$	=	$0,8887$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,8887)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,8887)$	≈ 0.0236

also k ≈ 0.023599111647541, => f(t)= $20 + 36 e^{- 0,0236 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 36 e^{- 0,0236 \cdot 2}$ ≈ 54.3

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 36 e^{- 0,0236 t}

=

50

$36 e^{- 0,0236 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$36 e^{- 0,0236 t}$	=	$30$	\|: $36$
$e^{- 0,0236 t}$	=	$\frac{5}{6}$	\|ln(⋅)
$- 0,0236 t$	=	$\ln (\frac{5}{6})$	\|: $- 0,0236$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0236} \ln (\frac{5}{6})$	≈ 7.7255

also t=7.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 2ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 5% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 13 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 21ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 2 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{2}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(40 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=40 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $40 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$40 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
0	=	$40 - c$
0	=	$- c + 40$	\|0 $+ c$
$c$	=	$40$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $40 - 40 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $40 - 40 e^{- 0,05 \cdot 13}$ ≈ 19.1

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

40 - 40 e^{- 0,05 t}

=

21

$- 40 e^{- 0,05 t} + 40$	=	$21$	\| $- 40$
$- 40 e^{- 0,05 t}$	=	$- 19$	\|: $- 40$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{19}{40}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{19}{40})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{19}{40})$	≈ 14.8888

also t=14.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $17 e^{0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,07$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.