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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 17 Millionen Algen im Teich. Nach 4 Stunden sind es 18,416 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 5 Stunden? b) Wann waren es 20 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $17 e^{k \cdot 4}$ = 18,4159.

$17 e^{4 k}$	=	$18,4159$	\|: $17$
$e^{4 k}$	=	$1,0833$	\|ln(⋅)
$4 k$	=	$\ln (1,0833)$	\|: $4$
$k$	=	$\frac{1}{4} \ln (1,0833)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.020002984492346, => f(t)= $17 e^{0,02 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $17 e^{0,02 \cdot 5}$ ≈ 18.8

Wann wird der Wert 20?: f(t)=20

$17 e^{0,02 t}$	=	$20$	\|: $17$
$e^{0,02 t}$	=	$\frac{20}{17}$	\|ln(⋅)
$0,02 t$	=	$\ln (\frac{20}{17})$	\|: $0,02$
$t$	=	$\frac{1}{0,02} \ln (\frac{20}{17})$	≈ 8.1259

also t=8.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1714 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2213? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,6 Milliarden Blondies?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1714}$ ≈ -0.00040440325586928

=> f(t)= $e^{- 0,0004 t}$

Wert zur Zeit 213: f(213)= $e^{- 0,0004 \cdot 213}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.6?: f(t)=0.6

$e^{- 0,0004 t}$	=	$0,6$	\|ln(⋅)
$- 0,0004 t$	=	$\ln (0,6)$	\|: $- 0,0004$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0004} \ln (0,6)$	≈ 1264.4199

also t=1264.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 7% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 5 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 65% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.93) ≈ -0.072570692834835

=> f(t)= $100 e^{- 0,0726 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 e^{- 0,0726 \cdot 5}$ ≈ 69.6

Wann wird der Wert 65?: f(t)=65

$100 e^{- 0,0726 t}$	=	$65$	\|: $100$
$e^{- 0,0726 t}$	=	$\frac{13}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,0726 t$	=	$\ln (\frac{13}{20})$	\|: $- 0,0726$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0726} \ln (\frac{13}{20})$	≈ 5.9336

also t=5.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 2 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 7,78°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 3 Minuten? b) Wann ist sie 10°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$7$	=	$27 - c$
$7$	=	$- c + 27$	\| $- 7$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $27 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $27 - 20 e^{- k \cdot 2}$ = 7,78.

27 - 20 e^{- 2 k}

=

7,7842

$- 20 e^{- 2 k} + 27$	=	$7,7842$	\| $- 27$
$- 20 e^{- 2 k}$	=	$- 19,2158$	\|: $- 20$
$e^{- 2 k}$	=	$0,9608$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,9608)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,9608)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.019994504108182, => f(t)= $27 - 20 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $27 - 20 e^{- 0,02 \cdot 3}$ ≈ 8.2

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

27 - 20 e^{- 0,02 t}

=

10

$- 20 e^{- 0,02 t} + 27$	=	$10$	\| $- 27$
$- 20 e^{- 0,02 t}$	=	$- 17$	\|: $- 20$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{17}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{17}{20})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{17}{20})$	≈ 8.1259

also t=8.1

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3215 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 63 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 15 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3173 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 63 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{63}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(787.5 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=787.5 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $787,5 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3215 ein (Punktprobe).

$3 215$	=	$787,5 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$3 215$	=	$787,5 - c$
$3 215$	=	$- c + 787,5$	\| $- 3 215$ $+ c$
$c$	=	$- 2 427,5$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $787,5 + 2 427,5 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $787,5 + 2 427,5 e^{- 0,08 \cdot 15}$ ≈ 1518.6

Wann wird der Wert 3173?: f(t)=3173

787,5 + 2 427,5 e^{- 0,08 t}

=

3 173

$2 427,5 e^{- 0,08 t} + 787,5$	=	$3 173$	\| $- 787,5$
$2 427,5 e^{- 0,08 t}$	=	$2 385,5$	\|: $2 427,5$
$e^{- 0,08 t}$	=	$0,9827$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (0,9827)$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (0,9827)$	≈ 0.2181

also t=0.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{- 0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,02$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.