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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 14g vorhanden. Nach 6 Tagen sind nur noch 9,199g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 8 Tagen da? b) Wann sind nur noch 9g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $14 e^{k \cdot 6}$ = 9,1987.

$14 e^{6 k}$	=	$9,1987$	\|: $14$
$e^{6 k}$	=	$0,6571$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (0,6571)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (0,6571)$	≈ -0.07

also k ≈ -0.069986510846386, => f(t)= $14 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $14 e^{- 0,07 \cdot 8}$ ≈ 8

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$14 e^{- 0,07 t}$	=	$9$	\|: $14$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{9}{14}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{9}{14})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{9}{14})$	≈ 6.3119

also t=6.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 19 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 13-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 47 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 18,57-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{19}$ ≈ 0.036481430555787

=> f(t)= $13 e^{0,0365 t}$

Wert zur Zeit 47: f(47)= $13 e^{0,0365 \cdot 47}$ ≈ 72.2

Wann wird der Wert 18.57?: f(t)=18.57

$13 e^{0,0365 t}$	=	$18,57$	\|: $13$
$e^{0,0365 t}$	=	$1,4285$	\|ln(⋅)
$0,0365 t$	=	$\ln (1,4285)$	\|: $0,0365$
$t$	=	$\frac{1}{0,0365} \ln (1,4285)$	≈ 9.7756

also t=9.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 68% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.92) ≈ -0.083381608939051

=> f(t)= $100 e^{- 0,0834 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,0834 \cdot 4}$ ≈ 71.6

Wann wird der Wert 68?: f(t)=68

$100 e^{- 0,0834 t}$	=	$68$	\|: $100$
$e^{- 0,0834 t}$	=	$\frac{17}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,0834 t$	=	$\ln (\frac{17}{25})$	\|: $- 0,0834$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0834} \ln (\frac{17}{25})$	≈ 4.6243

also t=4.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 65° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 65 ist, gilt: f(0)= 65, also 65 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$65$	=	$20 - c$
$65$	=	$- c + 20$	\| $- 65$ $+ c$
$c$	=	$- 45$

somit gilt: f(t)= $20 + 45 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 45 e^{- k \cdot 4}$ = 51.

20 + 45 e^{- 4 k}

=

50,9961

$45 e^{- 4 k} + 20$	=	$50,9961$	\| $- 20$
$45 e^{- 4 k}$	=	$30,9961$	\|: $45$
$e^{- 4 k}$	=	$0,6888$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,6888)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,6888)$	≈ 0.0932

also k ≈ 0.093201081467154, => f(t)= $20 + 45 e^{- 0,0932 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 45 e^{- 0,0932 \cdot 5}$ ≈ 48.2

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 45 e^{- 0,0932 t}

=

50

$45 e^{- 0,0932 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$45 e^{- 0,0932 t}$	=	$30$	\|: $45$
$e^{- 0,0932 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,0932 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,0932$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0932} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 4.3505

also t=4.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 2ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 4% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 12 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 7ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 2 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{2}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(50 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=50 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $50 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$50 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
0	=	$50 - c$
0	=	$- c + 50$	\|0 $+ c$
$c$	=	$50$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $50 - 50 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $50 - 50 e^{- 0,04 \cdot 12}$ ≈ 19.1

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

50 - 50 e^{- 0,04 t}

=

7

$- 50 e^{- 0,04 t} + 50$	=	$7$	\| $- 50$
$- 50 e^{- 0,04 t}$	=	$- 43$	\|: $- 50$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{43}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{43}{50})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{43}{50})$	≈ 3.7706

also t=3.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $15 e^{- 0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,07$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,07}$ ≈ 9.902 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

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Halbwerts- + Verdopplungszeit best.