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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 20g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 8,131g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 6g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $20 e^{k \cdot 9}$ = 8,1314.

$20 e^{9 k}$	=	$8,1314$	\|: $20$
$e^{9 k}$	=	$0,4066$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (0,4066)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (0,4066)$	≈ -0.1

also k ≈ -0.099991708643099, => f(t)= $20 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $20 e^{- 0,1 \cdot 10}$ ≈ 7.4

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$20 e^{- 0,1 t}$	=	$6$	\|: $20$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{3}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{3}{10})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{3}{10})$	≈ 12.0397

also t=12

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1893 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2157? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,3 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1893}$ ≈ -0.00036616332834651

=> f(t)= $e^{- 0,0004 t}$

Wert zur Zeit 157: f(157)= $e^{- 0,0004 \cdot 157}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.3?: f(t)=0.3

$e^{- 0,0004 t}$	=	$0,3$	\|ln(⋅)
$- 0,0004 t$	=	$\ln (0,3)$	\|: $- 0,0004$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0004} \ln (0,3)$	≈ 3289.5432

also t=3289.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 15% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 15 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 24 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.15) ≈ 0.13976194237516

=> f(t)= $15 e^{0,1398 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $15 e^{0,1398 \cdot 2}$ ≈ 19.8

Wann wird der Wert 24?: f(t)=24

$15 e^{0,1398 t}$	=	$24$	\|: $15$
$e^{0,1398 t}$	=	$\frac{8}{5}$	\|ln(⋅)
$0,1398 t$	=	$\ln (\frac{8}{5})$	\|: $0,1398$
$t$	=	$\frac{1}{0,1398} \ln (\frac{8}{5})$	≈ 3.362

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 29 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 3,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 29.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

29,0001

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$29,0001$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 7,9999$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,4)$	≈ 1.8326

also k ≈ 1.8325814637483, => f(t)= $37 - 20 e^{- 1,8326 t}$

Wert zur Zeit 3.5: f(3.5)= $37 - 20 e^{- 1,8326 \cdot 3,5}$ ≈ 37

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 1,8326 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 1,8326 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 1,8326 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 1,8326 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 1,8326 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 1,8326$
$t$	=	$- \frac{1}{1,8326} \ln (0,005)$	≈ 2.8911

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2491 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 80 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 14 Monaten? b) Wann beträgt dieser 5236 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 80 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{80}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(8000 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=8000 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $8 000 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2491 ein (Punktprobe).

$2 491$	=	$8 000 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$2 491$	=	$8 000 - c$
$2 491$	=	$- c + 8 000$	\| $- 2 491$ $+ c$
$c$	=	$5 509$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $8 000 - 5 509 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $8 000 - 5 509 e^{- 0,01 \cdot 14}$ ≈ 3210.7

Wann wird der Wert 5236?: f(t)=5236

8 000 - 5 509 e^{- 0,01 t}

=

5 236

$- 5 509 e^{- 0,01 t} + 8 000$	=	$5 236$	\| $- 8 000$
$- 5 509 e^{- 0,01 t}$	=	$- 2 764$	\|: $- 5 509$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{2764}{5509}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{2764}{5509})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{2764}{5509})$	≈ 68.9704

also t=69

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $17 e^{0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,06$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.