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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 17 Millionen Algen im Teich. Nach 6 Stunden sind es 29,172 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 8 Stunden? b) Wann waren es 29 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 17 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= 17 e k · 6 = 29,1721.

17 e 6k = 29,1721 |:17
e 6k = 1,716 |ln(⋅)
6k = ln( 1,716 ) |:6
k = 1 6 ln( 1,716 ) ≈ 0.09

also k ≈ 0.089999333510962, => f(t)= 17 e 0,09t


Wert zur Zeit 8: f(8)= 17 e 0,098 ≈ 34.9


Wann wird der Wert 29?: f(t)=29

17 e 0,09t = 29 |:17
e 0,09t = 29 17 |ln(⋅)
0,09t = ln( 29 17 ) |:0,09
t = 1 0,09 ln( 29 17 ) ≈ 5.9342

also t=5.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 70 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 43 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 0,00002 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel TV= ln(2) k um zu
k= ln(2) T = ln(2) 6.02 ≈ 0.11514072766777


=> f(t)= 0,00002 e 0,1151t


Wert zur Zeit 70: f(70)= 0,00002 e 0,115170 ≈ 0.1


Wann wird der Wert 43?: f(t)=43

0,00002 e 0,1151t = 43 |:0,00002
e 0,1151t = 2150000 |ln(⋅)
0,1151t = ln( 2150000 ) |:0,1151
t = 1 0,1151 ln( 2150000 ) ≈ 126.6358

also t=126.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 3% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 88% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 100 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.97) ≈ -0.030459207484709


=> f(t)= 100 e -0,0305t


Wert zur Zeit 3: f(3)= 100 e -0,03053 ≈ 91.3


Wann wird der Wert 88?: f(t)=88

100 e -0,0305t = 88 |:100
e -0,0305t = 22 25 |ln(⋅)
-0,0305t = ln( 22 25 ) |:-0,0305
t = - 1 0,0305 ln( 22 25 ) ≈ 4.1913

also t=4.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 9° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 2 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 10,54°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 3 Minuten? b) Wann ist sie 23°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = 29 - c · e -k · 0 = 29 - c = 29 - c

9 = 29 - c
9 = -c +29 | -9 + c
c = 20

somit gilt: f(t)= 29 -20 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= 29 -20 e -k · 2 = 10,54.

29 -20 e -2k = 10,5377
-20 e -2k +29 = 10,5377 | -29
-20 e -2k = -18,4623 |:-20
e -2k = 0,9231 |ln(⋅)
-2k = ln( 0,9231 ) |:-2
k = - 1 2 ln( 0,9231 ) ≈ 0.04

also k ≈ 0.040008853993016, => f(t)= 29 -20 e -0,04t


Wert zur Zeit 3: f(3)= 29 -20 e -0,043 ≈ 11.3


Wann wird der Wert 23?: f(t)=23

29 -20 e -0,04t = 23
-20 e -0,04t +29 = 23 | -29
-20 e -0,04t = -6 |:-20
e -0,04t = 3 10 |ln(⋅)
-0,04t = ln( 3 10 ) |:-0,04
t = - 1 0,04 ln( 3 10 ) ≈ 30.0993

also t=30.1

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,5% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 8 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 58 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.015⋅f(t)

wenn man 0.015 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.015( 0.6 0.015 - f(t))

also f'(t) = 0.015(40 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=40 und der Wachstumsfaktor k=0.015 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 40 - c · e -0,015t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

80 = 40 - c · e -0,0150
80 = 40 - c
80 = -c +40 | -80 + c
c = -40

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 40 +40 e -0,015x


Wert zur Zeit 8: f(8)= 40 +40 e -0,0158 ≈ 75.5


Wann wird der Wert 58?: f(t)=58

40 +40 e -0,015t = 58
40 e -0,015t +40 = 58 | -40
40 e -0,015t = 18 |:40
e -0,015t = 9 20 |ln(⋅)
-0,015t = ln( 9 20 ) |:-0,015
t = - 1 0,015 ln( 9 20 ) ≈ 53.2338

also t=53.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 9 e 0,06t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (0,06 ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = 0,06 einfach in die Formel TV = ln(2) k ein:

TV = ln(2) 0,06 11.552 min