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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 8g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 7,534g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 3 Tagen da? b) Wann sind nur noch 7g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $8 e^{k \cdot 2}$ = 7,5341.

$8 e^{2 k}$	=	$7,5341$	\|: $8$
$e^{2 k}$	=	$0,9418$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (0,9418)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (0,9418)$	≈ -0.03

also k ≈ -0.029981170586341, => f(t)= $8 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $8 e^{- 0,03 \cdot 3}$ ≈ 7.3

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$8 e^{- 0,03 t}$	=	$7$	\|: $8$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{7}{8}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{7}{8})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{7}{8})$	≈ 4.451

also t=4.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 100 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 15g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 262 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 9g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{100}$ ≈ -0.0069314718055995

=> f(t)= $15 e^{- 0,0069 t}$

Wert zur Zeit 262: f(262)= $15 e^{- 0,0069 \cdot 262}$ ≈ 2.4

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$15 e^{- 0,0069 t}$	=	$9$	\|: $15$
$e^{- 0,0069 t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,0069 t$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $- 0,0069$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0069} \ln (\frac{3}{5})$	≈ 73.7016

also t=73.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 70% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.9) ≈ -0.10536051565783

=> f(t)= $100 e^{- 0,1054 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,1054 \cdot 3}$ ≈ 72.9

Wann wird der Wert 70?: f(t)=70

$100 e^{- 0,1054 t}$	=	$70$	\|: $100$
$e^{- 0,1054 t}$	=	$\frac{7}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,1054 t$	=	$\ln (\frac{7}{10})$	\|: $- 0,1054$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1054} \ln (\frac{7}{10})$	≈ 3.384

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 58° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 58 ist, gilt: f(0)= 58, also 58 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$58$	=	$20 - c$
$58$	=	$- c + 20$	\| $- 58$ $+ c$
$c$	=	$- 38$

somit gilt: f(t)= $20 + 38 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 38 e^{- k \cdot 4}$ = 52.

20 + 38 e^{- 4 k}

=

51,9952

$38 e^{- 4 k} + 20$	=	$51,9952$	\| $- 20$
$38 e^{- 4 k}$	=	$31,9952$	\|: $38$
$e^{- 4 k}$	=	$0,842$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,842)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,842)$	≈ 0.043

also k ≈ 0.042993816184953, => f(t)= $20 + 38 e^{- 0,043 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 38 e^{- 0,043 \cdot 5}$ ≈ 50.6

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 38 e^{- 0,043 t}

=

50

$38 e^{- 0,043 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$38 e^{- 0,043 t}$	=	$30$	\|: $38$
$e^{- 0,043 t}$	=	$\frac{15}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,043 t$	=	$\ln (\frac{15}{19})$	\|: $- 0,043$
$t$	=	$- \frac{1}{0,043} \ln (\frac{15}{19})$	≈ 5.4974

also t=5.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2531 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 65 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 14 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3612 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 65 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{65}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(6500 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=6500 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $6 500 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2531 ein (Punktprobe).

$2 531$	=	$6 500 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$2 531$	=	$6 500 - c$
$2 531$	=	$- c + 6 500$	\| $- 2 531$ $+ c$
$c$	=	$3 969$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $6 500 - 3 969 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $6 500 - 3 969 e^{- 0,01 \cdot 14}$ ≈ 3049.5

Wann wird der Wert 3612?: f(t)=3612

6 500 - 3 969 e^{- 0,01 t}

=

3 612

$- 3 969 e^{- 0,01 t} + 6 500$	=	$3 612$	\| $- 6 500$
$- 3 969 e^{- 0,01 t}$	=	$- 2 888$	\|: $- 3 969$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{2888}{3969}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{2888}{3969})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{2888}{3969})$	≈ 31.795

also t=31.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{- 0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,07$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,07}$ ≈ 9.902 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.