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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 4g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 2,331g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 12 Tagen da? b) Wann sind nur noch 2g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $4 e^{k \cdot 9}$ = 2,331.

$4 e^{9 k}$	=	$2,331$	\|: $4$
$e^{9 k}$	=	$0,5828$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (0,5828)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (0,5828)$	≈ -0.06

also k ≈ -0.059990133851232, => f(t)= $4 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $4 e^{- 0,06 \cdot 12}$ ≈ 1.9

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$4 e^{- 0,06 t}$	=	$2$	\|: $4$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 11.5525

also t=11.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1401 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2251? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,2 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1401}$ ≈ -0.00049475173487505

=> f(t)= $e^{- 0,0005 t}$

Wert zur Zeit 251: f(251)= $e^{- 0,0005 \cdot 251}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.2?: f(t)=0.2

$e^{- 0,0005 t}$	=	$0,2$	\|ln(⋅)
$- 0,0005 t$	=	$\ln (0,2)$	\|: $- 0,0005$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0005} \ln (0,2)$	≈ 3251.3897

also t=3251.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 19% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 12 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.81) ≈ -0.21072103131565

=> f(t)= $12 e^{- 0,2107 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $12 e^{- 0,2107 \cdot 2}$ ≈ 7.9

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$12 e^{- 0,2107 t}$	=	$1$	\|: $12$
$e^{- 0,2107 t}$	=	$\frac{1}{12}$	\|ln(⋅)
$- 0,2107 t$	=	$\ln (\frac{1}{12})$	\|: $- 0,2107$
$t$	=	$- \frac{1}{0,2107} \ln (\frac{1}{12})$	≈ 11.7936

also t=11.8

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 63° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 53,99° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 63 ist, gilt: f(0)= 63, also 63 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$63$	=	$20 - c$
$63$	=	$- c + 20$	\| $- 63$ $+ c$
$c$	=	$- 43$

somit gilt: f(t)= $20 + 43 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 43 e^{- k \cdot 5}$ = 53,99.

20 + 43 e^{- 5 k}

=

53,9945

$43 e^{- 5 k} + 20$	=	$53,9945$	\| $- 20$
$43 e^{- 5 k}$	=	$33,9945$	\|: $43$
$e^{- 5 k}$	=	$0,7906$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,7906)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,7906)$	≈ 0.047

also k ≈ 0.04699262562391, => f(t)= $20 + 43 e^{- 0,047 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 43 e^{- 0,047 \cdot 5}$ ≈ 54

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 43 e^{- 0,047 t}

=

50

$43 e^{- 0,047 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$43 e^{- 0,047 t}$	=	$30$	\|: $43$
$e^{- 0,047 t}$	=	$\frac{30}{43}$	\|ln(⋅)
$- 0,047 t$	=	$\ln (\frac{30}{43})$	\|: $- 0,047$
$t$	=	$- \frac{1}{0,047} \ln (\frac{30}{43})$	≈ 7.6596

also t=7.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 8ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 8% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 11 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 1ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 8 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{8}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(100 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=100 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $100 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$100 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
0	=	$100 - c$
0	=	$- c + 100$	\|0 $+ c$
$c$	=	$100$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $100 - 100 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $100 - 100 e^{- 0,08 \cdot 11}$ ≈ 58.5

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

100 - 100 e^{- 0,08 t}

=

1

$- 100 e^{- 0,08 t} + 100$	=	$1$	\| $- 100$
$- 100 e^{- 0,08 t}$	=	$- 99$	\|: $- 100$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{99}{100}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{99}{100})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{99}{100})$	≈ 0.1256

also t=0.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $3 e^{- 0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,04$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.