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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 19g vorhanden. Nach 10 Tagen sind nur noch 17,192g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 13 Tagen da? b) Wann sind nur noch 17g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $19 e^{k \cdot 10}$ = 17,1919.

$19 e^{10 k}$	=	$17,1919$	\|: $19$
$e^{10 k}$	=	$0,9048$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (0,9048)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (0,9048)$	≈ -0.01

also k ≈ -0.010004135418023, => f(t)= $19 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $19 e^{- 0,01 \cdot 13}$ ≈ 16.7

Wann wird der Wert 17?: f(t)=17

$19 e^{- 0,01 t}$	=	$17$	\|: $19$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{17}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{17}{19})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{17}{19})$	≈ 11.1226

also t=11.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1119 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2276? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,3 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1119}$ ≈ -0.00061943447771219

=> f(t)= $e^{- 0,0006 t}$

Wert zur Zeit 276: f(276)= $e^{- 0,0006 \cdot 276}$ ≈ 0.8

Wann wird der Wert 0.3?: f(t)=0.3

$e^{- 0,0006 t}$	=	$0,3$	\|ln(⋅)
$- 0,0006 t$	=	$\ln (0,3)$	\|: $- 0,0006$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0006} \ln (0,3)$	≈ 1945.0288

also t=1945

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 17% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 3 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.83) ≈ -0.18632957819149

=> f(t)= $3 e^{- 0,1863 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $3 e^{- 0,1863 \cdot 2}$ ≈ 2.1

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$3 e^{- 0,1863 t}$	=	$1$	\|: $3$
$e^{- 0,1863 t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,1863 t$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 0,1863$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1863} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 5.897

also t=5.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 30°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 3 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 9,89°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 15°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=30 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $30 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $30 - c$ = $30 - c$

$8$	=	$30 - c$
$8$	=	$- c + 30$	\| $- 8$ $+ c$
$c$	=	$22$

somit gilt: f(t)= $30 - 22 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $30 - 22 e^{- k \cdot 3}$ = 9,89.

30 - 22 e^{- 3 k}

=

9,8935

$- 22 e^{- 3 k} + 30$	=	$9,8935$	\| $- 30$
$- 22 e^{- 3 k}$	=	$- 20,1065$	\|: $- 22$
$e^{- 3 k}$	=	$0,9139$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,9139)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,9139)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.03001137423466, => f(t)= $30 - 22 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $30 - 22 e^{- 0,03 \cdot 6}$ ≈ 11.6

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

30 - 22 e^{- 0,03 t}

=

15

$- 22 e^{- 0,03 t} + 30$	=	$15$	\| $- 30$
$- 22 e^{- 0,03 t}$	=	$- 15$	\|: $- 22$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{15}{22}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{15}{22})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{15}{22})$	≈ 12.7664

also t=12.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 2% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3865 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 79 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 5 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3900 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 79 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{79}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(3950 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=3950 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $3 950 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3865 ein (Punktprobe).

$3 865$	=	$3 950 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
$3 865$	=	$3 950 - c$
$3 865$	=	$- c + 3 950$	\| $- 3 865$ $+ c$
$c$	=	$85$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $3 950 - 85 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $3 950 - 85 e^{- 0,02 \cdot 5}$ ≈ 3873.1

Wann wird der Wert 3900?: f(t)=3900

3 950 - 85 e^{- 0,02 t}

=

3 900

$- 85 e^{- 0,02 t} + 3 950$	=	$3 900$	\| $- 3 950$
$- 85 e^{- 0,02 t}$	=	$- 50$	\|: $- 85$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{10}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{10}{17})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{10}{17})$	≈ 26.5314

also t=26.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $5 e^{0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,08$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.