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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 6 Millionen Algen im Teich. Nach 6 Stunden sind es 7,183 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 8 Stunden? b) Wann waren es 7 Milionen Algen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 6 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= 6 e k · 6 = 7,1833.

6 e 6k = 7,1833 |:6
e 6k = 1,1972 |ln(⋅)
6k = ln( 1,1972 ) |:6
k = 1 6 ln( 1,1972 ) ≈ 0.03

also k ≈ 0.029997582832734, => f(t)= 6 e 0,03t


Wert zur Zeit 8: f(8)= 6 e 0,038 ≈ 7.6


Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

6 e 0,03t = 7 |:6
e 0,03t = 7 6 |ln(⋅)
0,03t = ln( 7 6 ) |:0,03
t = 1 0,03 ln( 7 6 ) ≈ 5.1384

also t=5.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 92 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 30 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 0,00002 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel TV= ln(2) k um zu
k= ln(2) T = ln(2) 6.02 ≈ 0.11514072766777


=> f(t)= 0,00002 e 0,1151t


Wert zur Zeit 92: f(92)= 0,00002 e 0,115192 ≈ 0.8


Wann wird der Wert 30?: f(t)=30

0,00002 e 0,1151t = 30 |:0,00002
e 0,1151t = 1500000 |ln(⋅)
0,1151t = ln( 1500000 ) |:0,1151
t = 1 0,1151 ln( 1500000 ) ≈ 123.5092

also t=123.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 11% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 56% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 100 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595


=> f(t)= 100 e -0,1165t


Wert zur Zeit 4: f(4)= 100 e -0,11654 ≈ 62.8


Wann wird der Wert 56?: f(t)=56

100 e -0,1165t = 56 |:100
e -0,1165t = 14 25 |ln(⋅)
-0,1165t = ln( 14 25 ) |:-0,1165
t = - 1 0,1165 ln( 14 25 ) ≈ 4.977

also t=5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 64° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 53,99° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 64 ist, gilt: f(0)= 64, also 64 = 20 - c · e -k · 0 = 20 - c = 20 - c

64 = 20 - c
64 = -c +20 | -64 + c
c = -44

somit gilt: f(t)= 20 +44 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= 20 +44 e -k · 5 = 53,99.

20 +44 e -5k = 53,9942
44 e -5k +20 = 53,9942 | -20
44 e -5k = 33,9942 |:44
e -5k = 0,7726 |ln(⋅)
-5k = ln( 0,7726 ) |:-5
k = - 1 5 ln( 0,7726 ) ≈ 0.0516

also k ≈ 0.051598765749991, => f(t)= 20 +44 e -0,0516t


Wert zur Zeit 2: f(2)= 20 +44 e -0,05162 ≈ 59.7


Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 +44 e -0,0516t = 50
44 e -0,0516t +20 = 50 | -20
44 e -0,0516t = 30 |:44
e -0,0516t = 15 22 |ln(⋅)
-0,0516t = ln( 15 22 ) |:-0,0516
t = - 1 0,0516 ln( 15 22 ) ≈ 7.4223

also t=7.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 4ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 5% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 13 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 1ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 4 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( 4 0.05 - f(t))

also f'(t) = 0.05(80 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=80 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 80 - c · e -0,05t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0 = 80 - c · e -0,050
0 = 80 - c
0 = -c +80 |0 + c
c = 80

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 80 -80 e -0,05x


Wert zur Zeit 13: f(13)= 80 -80 e -0,0513 ≈ 38.2


Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

80 -80 e -0,05t = 1
-80 e -0,05t +80 = 1 | -80
-80 e -0,05t = -79 |:-80
e -0,05t = 79 80 |ln(⋅)
-0,05t = ln( 79 80 ) |:-0,05
t = - 1 0,05 ln( 79 80 ) ≈ 0.2516

also t=0.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 19 e -0,03t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (-0,03 ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = -0,03 einfach in die Formel TH = - ln(2) k ein:

TH = - ln(2) -0,03 23.105 min