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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 79 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 34 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 79: f(79)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 79}$ ≈ 0.2

Wann wird der Wert 34?: f(t)=34

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$34$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 700 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 700 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 700 000)$	≈ 124.6406

also t=124.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 452 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 7g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 555 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 6,3g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{452}$ ≈ -0.0015335114614158

=> f(t)= $7 e^{- 0,0015 t}$

Wert zur Zeit 555: f(555)= $7 e^{- 0,0015 \cdot 555}$ ≈ 3

Wann wird der Wert 6.3?: f(t)=6.3

$7 e^{- 0,0015 t}$	=	$6,3$	\|: $7$
$e^{- 0,0015 t}$	=	$0,9$	\|ln(⋅)
$- 0,0015 t$	=	$\ln (0,9)$	\|: $- 0,0015$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0015} \ln (0,9)$	≈ 68.6835

also t=68.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 10% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 5 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 7 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.1) ≈ 0.095310179804325

=> f(t)= $5 e^{0,0953 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $5 e^{0,0953 \cdot 5}$ ≈ 8.1

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$5 e^{0,0953 t}$	=	$7$	\|: $5$
$e^{0,0953 t}$	=	$\frac{7}{5}$	\|ln(⋅)
$0,0953 t$	=	$\ln (\frac{7}{5})$	\|: $0,0953$
$t$	=	$\frac{1}{0,0953} \ln (\frac{7}{5})$	≈ 3.5307

also t=3.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 3° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 7 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 7,55°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 8 Minuten? b) Wann ist sie 4°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$3$	=	$27 - c$
$3$	=	$- c + 27$	\| $- 3$ $+ c$
$c$	=	$24$

somit gilt: f(t)= $27 - 24 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $27 - 24 e^{- k \cdot 7}$ = 7,55.

27 - 24 e^{- 7 k}

=

7,546

$- 24 e^{- 7 k} + 27$	=	$7,546$	\| $- 27$
$- 24 e^{- 7 k}$	=	$- 19,454$	\|: $- 24$
$e^{- 7 k}$	=	$0,8106$	\|ln(⋅)
$- 7 k$	=	$\ln (0,8106)$	\|: $- 7$
$k$	=	$- \frac{1}{7} \ln (0,8106)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.029997223541133, => f(t)= $27 - 24 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $27 - 24 e^{- 0,03 \cdot 8}$ ≈ 8.1

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

27 - 24 e^{- 0,03 t}

=

4

$- 24 e^{- 0,03 t} + 27$	=	$4$	\| $- 27$
$- 24 e^{- 0,03 t}$	=	$- 23$	\|: $- 24$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{23}{24}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{23}{24})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{23}{24})$	≈ 1.4187

also t=1.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 8 Jahren, wenn jedes Jahr 0,5 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 61 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.5 - 0.011⋅f(t)

wenn man 0.011 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.011( $\frac{0.5}{0.011}$ - f(t))

also f'(t) = 0.011(45.45 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=45.45 und der Wachstumsfaktor k=0.011 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $45,45 - c \cdot e^{- 0,011 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$45,45 - c \cdot e^{- 0,011 \cdot 0}$
$80$	=	$45,45 - c$
$80$	=	$- c + 45,45$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 34,55$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $45,45 + 34,55 e^{- 0,011 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $45,45 + 34,55 e^{- 0,011 \cdot 8}$ ≈ 77.1

Wann wird der Wert 61?: f(t)=61

45,45 + 34,55 e^{- 0,011 t}

=

61

$34,55 e^{- 0,011 t} + 45,45$	=	$61$	\| $- 45,45$
$34,55 e^{- 0,011 t}$	=	$15,55$	\|: $34,55$
$e^{- 0,011 t}$	=	$0,4501$	\|ln(⋅)
$- 0,011 t$	=	$\ln (0,4501)$	\|: $- 0,011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,011} \ln (0,4501)$	≈ 72.5714

also t=72.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $5 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.