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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 17 Millionen Algen im Teich. Nach 6 Stunden sind es 29,172 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 8 Stunden? b) Wann waren es 29 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $17 e^{k \cdot 6}$ = 29,1721.

$17 e^{6 k}$	=	$29,1721$	\|: $17$
$e^{6 k}$	=	$1,716$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (1,716)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (1,716)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.089999333510962, => f(t)= $17 e^{0,09 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $17 e^{0,09 \cdot 8}$ ≈ 34.9

Wann wird der Wert 29?: f(t)=29

$17 e^{0,09 t}$	=	$29$	\|: $17$
$e^{0,09 t}$	=	$\frac{29}{17}$	\|ln(⋅)
$0,09 t$	=	$\ln (\frac{29}{17})$	\|: $0,09$
$t$	=	$\frac{1}{0,09} \ln (\frac{29}{17})$	≈ 5.9342

also t=5.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 70 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 43 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 70: f(70)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 70}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 43?: f(t)=43

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$43$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 150 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 150 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 150 000)$	≈ 126.6358

also t=126.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 3% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 88% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.97) ≈ -0.030459207484709

=> f(t)= $100 e^{- 0,0305 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,0305 \cdot 3}$ ≈ 91.3

Wann wird der Wert 88?: f(t)=88

$100 e^{- 0,0305 t}$	=	$88$	\|: $100$
$e^{- 0,0305 t}$	=	$\frac{22}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,0305 t$	=	$\ln (\frac{22}{25})$	\|: $- 0,0305$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0305} \ln (\frac{22}{25})$	≈ 4.1913

also t=4.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 9° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 2 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 10,54°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 3 Minuten? b) Wann ist sie 23°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$9$	=	$29 - c$
$9$	=	$- c + 29$	\| $- 9$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $29 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $29 - 20 e^{- k \cdot 2}$ = 10,54.

29 - 20 e^{- 2 k}

=

10,5377

$- 20 e^{- 2 k} + 29$	=	$10,5377$	\| $- 29$
$- 20 e^{- 2 k}$	=	$- 18,4623$	\|: $- 20$
$e^{- 2 k}$	=	$0,9231$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,9231)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,9231)$	≈ 0.04

also k ≈ 0.040008853993016, => f(t)= $29 - 20 e^{- 0,04 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $29 - 20 e^{- 0,04 \cdot 3}$ ≈ 11.3

Wann wird der Wert 23?: f(t)=23

29 - 20 e^{- 0,04 t}

=

23

$- 20 e^{- 0,04 t} + 29$	=	$23$	\| $- 29$
$- 20 e^{- 0,04 t}$	=	$- 6$	\|: $- 20$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{3}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{3}{10})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{3}{10})$	≈ 30.0993

also t=30.1

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,5% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 8 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 58 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.015⋅f(t)

wenn man 0.015 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.015( $\frac{0.6}{0.015}$ - f(t))

also f'(t) = 0.015(40 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=40 und der Wachstumsfaktor k=0.015 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $40 - c \cdot e^{- 0,015 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$40 - c \cdot e^{- 0,015 \cdot 0}$
$80$	=	$40 - c$
$80$	=	$- c + 40$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $40 + 40 e^{- 0,015 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $40 + 40 e^{- 0,015 \cdot 8}$ ≈ 75.5

Wann wird der Wert 58?: f(t)=58

40 + 40 e^{- 0,015 t}

=

58

$40 e^{- 0,015 t} + 40$	=	$58$	\| $- 40$
$40 e^{- 0,015 t}$	=	$18$	\|: $40$
$e^{- 0,015 t}$	=	$\frac{9}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,015 t$	=	$\ln (\frac{9}{20})$	\|: $- 0,015$
$t$	=	$- \frac{1}{0,015} \ln (\frac{9}{20})$	≈ 53.2338

also t=53.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $9 e^{0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,06$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.