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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 99 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 13 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 99: f(99)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 99}$ ≈ 1.8

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$13$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$650 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (650 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (650 000)$	≈ 116.2878

also t=116.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 824 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 12g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 836 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 9,6g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{824}$ ≈ -0.00084119803466013

=> f(t)= $12 e^{- 0,0008 t}$

Wert zur Zeit 836: f(836)= $12 e^{- 0,0008 \cdot 836}$ ≈ 5.9

Wann wird der Wert 9.6?: f(t)=9.6

$12 e^{- 0,0008 t}$	=	$9,6$	\|: $12$
$e^{- 0,0008 t}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 0,0008 t$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 0,0008$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0008} \ln (0,8)$	≈ 265.3312

also t=265.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 5% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 9 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 11 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.05) ≈ 0.048790164169432

=> f(t)= $9 e^{0,0488 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $9 e^{0,0488 \cdot 4}$ ≈ 10.9

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

$9 e^{0,0488 t}$	=	$11$	\|: $9$
$e^{0,0488 t}$	=	$\frac{11}{9}$	\|ln(⋅)
$0,0488 t$	=	$\ln (\frac{11}{9})$	\|: $0,0488$
$t$	=	$\frac{1}{0,0488} \ln (\frac{11}{9})$	≈ 4.1121

also t=4.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 62° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 62 ist, gilt: f(0)= 62, also 62 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$62$	=	$20 - c$
$62$	=	$- c + 20$	\| $- 62$ $+ c$
$c$	=	$- 42$

somit gilt: f(t)= $20 + 42 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 42 e^{- k \cdot 3}$ = 53.

20 + 42 e^{- 3 k}

=

52,9987

$42 e^{- 3 k} + 20$	=	$52,9987$	\| $- 20$
$42 e^{- 3 k}$	=	$32,9987$	\|: $42$
$e^{- 3 k}$	=	$0,7857$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,7857)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,7857)$	≈ 0.0804

also k ≈ 0.080393412933454, => f(t)= $20 + 42 e^{- 0,0804 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 42 e^{- 0,0804 \cdot 5}$ ≈ 48.1

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 42 e^{- 0,0804 t}

=

50

$42 e^{- 0,0804 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$42 e^{- 0,0804 t}$	=	$30$	\|: $42$
$e^{- 0,0804 t}$	=	$\frac{5}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,0804 t$	=	$\ln (\frac{5}{7})$	\|: $- 0,0804$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0804} \ln (\frac{5}{7})$	≈ 4.185

also t=4.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 3ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 15 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 115ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 3 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{3}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(150 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=150 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $150 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$150 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
0	=	$150 - c$
0	=	$- c + 150$	\|0 $+ c$
$c$	=	$150$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $150 - 150 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $150 - 150 e^{- 0,02 \cdot 15}$ ≈ 38.9

Wann wird der Wert 115?: f(t)=115

150 - 150 e^{- 0,02 t}

=

115

$- 150 e^{- 0,02 t} + 150$	=	$115$	\| $- 150$
$- 150 e^{- 0,02 t}$	=	$- 35$	\|: $- 150$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{7}{30}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{7}{30})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{7}{30})$	≈ 72.7644

also t=72.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $12 e^{- 0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,1$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.