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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 19 Millionen Algen im Teich. Nach 9 Stunden sind es 22,747 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 10 Stunden? b) Wann waren es 21 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $19 e^{k \cdot 9}$ = 22,7471.

$19 e^{9 k}$	=	$22,7471$	\|: $19$
$e^{9 k}$	=	$1,1972$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (1,1972)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (1,1972)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.019998388555156, => f(t)= $19 e^{0,02 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $19 e^{0,02 \cdot 10}$ ≈ 23.2

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

$19 e^{0,02 t}$	=	$21$	\|: $19$
$e^{0,02 t}$	=	$\frac{21}{19}$	\|ln(⋅)
$0,02 t$	=	$\ln (\frac{21}{19})$	\|: $0,02$
$t$	=	$\frac{1}{0,02} \ln (\frac{21}{19})$	≈ 5.0042

also t=5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 90 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 85 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 90: f(90)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 90}$ ≈ 0.6

Wann wird der Wert 85?: f(t)=85

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$85$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 250 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 250 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 250 000)$	≈ 132.5543

also t=132.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 10% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 18 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 13 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.9) ≈ -0.10536051565783

=> f(t)= $18 e^{- 0,1054 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $18 e^{- 0,1054 \cdot 5}$ ≈ 10.6

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

$18 e^{- 0,1054 t}$	=	$13$	\|: $18$
$e^{- 0,1054 t}$	=	$\frac{13}{18}$	\|ln(⋅)
$- 0,1054 t$	=	$\ln (\frac{13}{18})$	\|: $- 0,1054$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1054} \ln (\frac{13}{18})$	≈ 3.0875

also t=3.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 32 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 1,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 32.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

32

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$32$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 5$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 2.7726

also k ≈ 2.7725887222398, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,7726 t}$

Wert zur Zeit 1.5: f(1.5)= $37 - 20 e^{- 2,7726 \cdot 1,5}$ ≈ 36.7

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,7726 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,7726 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,7726 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,7726 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,7726 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,7726$
$t$	=	$- \frac{1}{2,7726} \ln (0,005)$	≈ 1.911

also t=1.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 5 Jahren, wenn jedes Jahr 0,3 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 51 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.3 - 0.011⋅f(t)

wenn man 0.011 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.011( $\frac{0.3}{0.011}$ - f(t))

also f'(t) = 0.011(27.27 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=27.27 und der Wachstumsfaktor k=0.011 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $27,27 - c \cdot e^{- 0,011 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$27,27 - c \cdot e^{- 0,011 \cdot 0}$
$80$	=	$27,27 - c$
$80$	=	$- c + 27,27$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 52,73$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $27,27 + 52,73 e^{- 0,011 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $27,27 + 52,73 e^{- 0,011 \cdot 5}$ ≈ 77.2

Wann wird der Wert 51?: f(t)=51

27,27 + 52,73 e^{- 0,011 t}

=

51

$52,73 e^{- 0,011 t} + 27,27$	=	$51$	\| $- 27,27$
$52,73 e^{- 0,011 t}$	=	$23,73$	\|: $52,73$
$e^{- 0,011 t}$	=	$0,45$	\|ln(⋅)
$- 0,011 t$	=	$\ln (0,45)$	\|: $- 0,011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,011} \ln (0,45)$	≈ 72.5916

also t=72.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,02$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.