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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 9g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 8,476g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 8g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $9 e^{k \cdot 2}$ = 8,4759.

$9 e^{2 k}$	=	$8,4759$	\|: $9$
$e^{2 k}$	=	$0,9418$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (0,9418)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (0,9418)$	≈ -0.03

also k ≈ -0.029981170586341, => f(t)= $9 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $9 e^{- 0,03 \cdot 5}$ ≈ 7.7

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$9 e^{- 0,03 t}$	=	$8$	\|: $9$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{8}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{8}{9})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{8}{9})$	≈ 3.9261

also t=3.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 12 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 19-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 14 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 38-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{12}$ ≈ 0.057762265046662

=> f(t)= $19 e^{0,0578 t}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $19 e^{0,0578 \cdot 14}$ ≈ 42.7

Wann wird der Wert 38?: f(t)=38

$19 e^{0,0578 t}$	=	$38$	\|: $19$
$e^{0,0578 t}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$0,0578 t$	=	$\ln (2)$	\|: $0,0578$
$t$	=	$\frac{1}{0,0578} \ln (2)$	≈ 12.0001

also t=12

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 10% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 3 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 2 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.9) ≈ -0.10536051565783

=> f(t)= $3 e^{- 0,1054 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $3 e^{- 0,1054 \cdot 5}$ ≈ 1.8

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$3 e^{- 0,1054 t}$	=	$2$	\|: $3$
$e^{- 0,1054 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,1054 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,1054$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1054} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 3.8469

also t=3.8

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 28 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 3,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 28.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

27,9999

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$27,9999$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 9,0001$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,45$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,45)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,45)$	≈ 1.597

also k ≈ 1.5970153924355, => f(t)= $37 - 20 e^{- 1,597 t}$

Wert zur Zeit 3.5: f(3.5)= $37 - 20 e^{- 1,597 \cdot 3,5}$ ≈ 36.9

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 1,597 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 1,597 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 1,597 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 1,597 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 1,597 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 1,597$
$t$	=	$- \frac{1}{1,597} \ln (0,005)$	≈ 3.3177

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2731 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 86 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2375 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 86 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{86}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(860 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=860 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $860 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2731 ein (Punktprobe).

$2 731$	=	$860 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$2 731$	=	$860 - c$
$2 731$	=	$- c + 860$	\| $- 2 731$ $+ c$
$c$	=	$- 1 871$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $860 + 1 871 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $860 + 1 871 e^{- 0,1 \cdot 12}$ ≈ 1423.5

Wann wird der Wert 2375?: f(t)=2375

860 + 1 871 e^{- 0,1 t}

=

2 375

$1 871 e^{- 0,1 t} + 860$	=	$2 375$	\| $- 860$
$1 871 e^{- 0,1 t}$	=	$1 515$	\|: $1 871$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{1515}{1871}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{1515}{1871})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1515}{1871})$	≈ 2.1106

also t=2.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $13 e^{- 0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,09$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.