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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 13 Millionen Algen im Teich. Nach 7 Stunden sind es 21,22 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 8 Stunden? b) Wann waren es 18 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $13 e^{k \cdot 7}$ = 21,2201.

$13 e^{7 k}$	=	$21,2201$	\|: $13$
$e^{7 k}$	=	$1,6323$	\|ln(⋅)
$7 k$	=	$\ln (1,6323)$	\|: $7$
$k$	=	$\frac{1}{7} \ln (1,6323)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.069998580453979, => f(t)= $13 e^{0,07 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $13 e^{0,07 \cdot 8}$ ≈ 22.8

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

$13 e^{0,07 t}$	=	$18$	\|: $13$
$e^{0,07 t}$	=	$\frac{18}{13}$	\|ln(⋅)
$0,07 t$	=	$\ln (\frac{18}{13})$	\|: $0,07$
$t$	=	$\frac{1}{0,07} \ln (\frac{18}{13})$	≈ 4.6489

also t=4.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 569 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 8g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 1330 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 5,6g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{569}$ ≈ -0.0012181848515992

=> f(t)= $8 e^{- 0,0012 t}$

Wert zur Zeit 1330: f(1330)= $8 e^{- 0,0012 \cdot 1330}$ ≈ 1.6

Wann wird der Wert 5.6?: f(t)=5.6

$8 e^{- 0,0012 t}$	=	$5,6$	\|: $8$
$e^{- 0,0012 t}$	=	$0,7$	\|ln(⋅)
$- 0,0012 t$	=	$\ln (0,7)$	\|: $- 0,0012$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0012} \ln (0,7)$	≈ 292.8366

also t=292.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 5% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 10 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 13 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.05) ≈ 0.048790164169432

=> f(t)= $10 e^{0,0488 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $10 e^{0,0488 \cdot 2}$ ≈ 11

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

$10 e^{0,0488 t}$	=	$13$	\|: $10$
$e^{0,0488 t}$	=	$\frac{13}{10}$	\|ln(⋅)
$0,0488 t$	=	$\ln (\frac{13}{10})$	\|: $0,0488$
$t$	=	$\frac{1}{0,0488} \ln (\frac{13}{10})$	≈ 5.3763

also t=5.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 30°C wird eine Limo aus einem 9° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 20,66°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 11 Minuten? b) Wann ist sie 28°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=30 sein muss.

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $30 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $30 - c$ = $30 - c$

$9$	=	$30 - c$
$9$	=	$- c + 30$	\| $- 9$ $+ c$
$c$	=	$21$

somit gilt: f(t)= $30 - 21 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $30 - 21 e^{- k \cdot 9}$ = 20,66.

30 - 21 e^{- 9 k}

=

20,658

$- 21 e^{- 9 k} + 30$	=	$20,658$	\| $- 30$
$- 21 e^{- 9 k}$	=	$- 9,342$	\|: $- 21$
$e^{- 9 k}$	=	$0,4449$	\|ln(⋅)
$- 9 k$	=	$\ln (0,4449)$	\|: $- 9$
$k$	=	$- \frac{1}{9} \ln (0,4449)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.089989526796682, => f(t)= $30 - 21 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $30 - 21 e^{- 0,09 \cdot 11}$ ≈ 22.2

Wann wird der Wert 28?: f(t)=28

30 - 21 e^{- 0,09 t}

=

28

$- 21 e^{- 0,09 t} + 30$	=	$28$	\| $- 30$
$- 21 e^{- 0,09 t}$	=	$- 2$	\|: $- 21$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{2}{21}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{2}{21})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{2}{21})$	≈ 26.1264

also t=26.1

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2603 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 62 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 15 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1895 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 62 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{62}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(1550 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1550 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 550 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2603 ein (Punktprobe).

$2 603$	=	$1 550 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$2 603$	=	$1 550 - c$
$2 603$	=	$- c + 1 550$	\| $- 2 603$ $+ c$
$c$	=	$- 1 053$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 550 + 1 053 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $1 550 + 1 053 e^{- 0,04 \cdot 15}$ ≈ 2127.9

Wann wird der Wert 1895?: f(t)=1895

1 550 + 1 053 e^{- 0,04 t}

=

1 895

$1 053 e^{- 0,04 t} + 1 550$	=	$1 895$	\| $- 1 550$
$1 053 e^{- 0,04 t}$	=	$345$	\|: $1 053$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{115}{351}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{115}{351})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{115}{351})$	≈ 27.8964

also t=27.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $7 e^{- 0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,09$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.