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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 12 Millionen Algen im Teich. Nach 5 Stunden sind es 13,262 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 7 Stunden? b) Wann waren es 14 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $12 e^{k \cdot 5}$ = 13,2621.

$12 e^{5 k}$	=	$13,2621$	\|: $12$
$e^{5 k}$	=	$1,1052$	\|ln(⋅)
$5 k$	=	$\ln (1,1052)$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{1}{5} \ln (1,1052)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.020005262813425, => f(t)= $12 e^{0,02 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $12 e^{0,02 \cdot 7}$ ≈ 13.8

Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

$12 e^{0,02 t}$	=	$14$	\|: $12$
$e^{0,02 t}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$0,02 t$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $0,02$
$t$	=	$\frac{1}{0,02} \ln (\frac{7}{6})$	≈ 7.7075

also t=7.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 14 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 11-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 21 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 55-Tausend Euro gestiegen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{14}$ ≈ 0.049510512897139

=> f(t)= $11 e^{0,0495 t}$

Wert zur Zeit 21: f(21)= $11 e^{0,0495 \cdot 21}$ ≈ 31.1

Wann wird der Wert 55?: f(t)=55

$11 e^{0,0495 t}$	=	$55$	\|: $11$
$e^{0,0495 t}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$0,0495 t$	=	$\ln (5)$	\|: $0,0495$
$t$	=	$\frac{1}{0,0495} \ln (5)$	≈ 32.5067

also t=32.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 18% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 19 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 5 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.82) ≈ -0.19845093872384

=> f(t)= $19 e^{- 0,1985 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $19 e^{- 0,1985 \cdot 3}$ ≈ 10.5

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$19 e^{- 0,1985 t}$	=	$5$	\|: $19$
$e^{- 0,1985 t}$	=	$\frac{5}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,1985 t$	=	$\ln (\frac{5}{19})$	\|: $- 0,1985$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1985} \ln (\frac{5}{19})$	≈ 6.7254

also t=6.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 57° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 57 ist, gilt: f(0)= 57, also 57 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$57$	=	$20 - c$
$57$	=	$- c + 20$	\| $- 57$ $+ c$
$c$	=	$- 37$

somit gilt: f(t)= $20 + 37 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 37 e^{- k \cdot 5}$ = 54.

20 + 37 e^{- 5 k}

=

54,002

$37 e^{- 5 k} + 20$	=	$54,002$	\| $- 20$
$37 e^{- 5 k}$	=	$34,002$	\|: $37$
$e^{- 5 k}$	=	$0,919$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,919)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,919)$	≈ 0.0169

also k ≈ 0.01689383132529, => f(t)= $20 + 37 e^{- 0,0169 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 37 e^{- 0,0169 \cdot 5}$ ≈ 54

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 37 e^{- 0,0169 t}

=

50

$37 e^{- 0,0169 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$37 e^{- 0,0169 t}$	=	$30$	\|: $37$
$e^{- 0,0169 t}$	=	$\frac{30}{37}$	\|ln(⋅)
$- 0,0169 t$	=	$\ln (\frac{30}{37})$	\|: $- 0,0169$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0169} \ln (\frac{30}{37})$	≈ 12.4095

also t=12.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3721 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 61 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 7 Monaten? b) Wann beträgt dieser 749 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 61 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{61}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(610 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=610 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $610 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3721 ein (Punktprobe).

$3 721$	=	$610 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$3 721$	=	$610 - c$
$3 721$	=	$- c + 610$	\| $- 3 721$ $+ c$
$c$	=	$- 3 111$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $610 + 3 111 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $610 + 3 111 e^{- 0,1 \cdot 7}$ ≈ 2154.9

Wann wird der Wert 749?: f(t)=749

610 + 3 111 e^{- 0,1 t}

=

749

$3 111 e^{- 0,1 t} + 610$	=	$749$	\| $- 610$
$3 111 e^{- 0,1 t}$	=	$139$	\|: $3 111$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{139}{3111}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{139}{3111})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{139}{3111})$	≈ 31.0823

also t=31.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{- 0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,01$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,01}$ ≈ 69.315 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.