Mathebattle EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 14 Millionen Algen im Teich. Nach 5 Stunden sind es 19,867 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 8 Stunden? b) Wann waren es 23 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $14 e^{k \cdot 5}$ = 19,8669.

$14 e^{5 k}$	=	$19,8669$	\|: $14$
$e^{5 k}$	=	$1,4191$	\|ln(⋅)
$5 k$	=	$\ln (1,4191)$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{1}{5} \ln (1,4191)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.070004573571671, => f(t)= $14 e^{0,07 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $14 e^{0,07 \cdot 8}$ ≈ 24.5

Wann wird der Wert 23?: f(t)=23

$14 e^{0,07 t}$	=	$23$	\|: $14$
$e^{0,07 t}$	=	$\frac{23}{14}$	\|ln(⋅)
$0,07 t$	=	$\ln (\frac{23}{14})$	\|: $0,07$
$t$	=	$\frac{1}{0,07} \ln (\frac{23}{14})$	≈ 7.092

also t=7.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 19 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 16-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 24 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 40-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{19}$ ≈ 0.036481430555787

=> f(t)= $16 e^{0,0365 t}$

Wert zur Zeit 24: f(24)= $16 e^{0,0365 \cdot 24}$ ≈ 38.4

Wann wird der Wert 40?: f(t)=40

$16 e^{0,0365 t}$	=	$40$	\|: $16$
$e^{0,0365 t}$	=	$\frac{5}{2}$	\|ln(⋅)
$0,0365 t$	=	$\ln (\frac{5}{2})$	\|: $0,0365$
$t$	=	$\frac{1}{0,0365} \ln (\frac{5}{2})$	≈ 25.1169

also t=25.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 13% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 10 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 17 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.13) ≈ 0.12221763272425

=> f(t)= $10 e^{0,1222 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $10 e^{0,1222 \cdot 2}$ ≈ 12.8

Wann wird der Wert 17?: f(t)=17

$10 e^{0,1222 t}$	=	$17$	\|: $10$
$e^{0,1222 t}$	=	$\frac{17}{10}$	\|ln(⋅)
$0,1222 t$	=	$\ln (\frac{17}{10})$	\|: $0,1222$
$t$	=	$\frac{1}{0,1222} \ln (\frac{17}{10})$	≈ 4.3423

also t=4.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 57° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 57 ist, gilt: f(0)= 57, also 57 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$57$	=	$20 - c$
$57$	=	$- c + 20$	\| $- 57$ $+ c$
$c$	=	$- 37$

somit gilt: f(t)= $20 + 37 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 37 e^{- k \cdot 2}$ = 51.

20 + 37 e^{- 2 k}

=

50,9979

$37 e^{- 2 k} + 20$	=	$50,9979$	\| $- 20$
$37 e^{- 2 k}$	=	$30,9979$	\|: $37$
$e^{- 2 k}$	=	$0,8378$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,8378)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,8378)$	≈ 0.0885

also k ≈ 0.088487935234601, => f(t)= $20 + 37 e^{- 0,0885 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 37 e^{- 0,0885 \cdot 4}$ ≈ 46

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 37 e^{- 0,0885 t}

=

50

$37 e^{- 0,0885 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$37 e^{- 0,0885 t}$	=	$30$	\|: $37$
$e^{- 0,0885 t}$	=	$\frac{30}{37}$	\|ln(⋅)
$- 0,0885 t$	=	$\ln (\frac{30}{37})$	\|: $- 0,0885$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0885} \ln (\frac{30}{37})$	≈ 2.3697

also t=2.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 6 Jahren, wenn jedes Jahr 0,7 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 70 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.7 - 0.011⋅f(t)

wenn man 0.011 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.011( $\frac{0.7}{0.011}$ - f(t))

also f'(t) = 0.011(63.64 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=63.64 und der Wachstumsfaktor k=0.011 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $63,64 - c \cdot e^{- 0,011 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$63,64 - c \cdot e^{- 0,011 \cdot 0}$
$80$	=	$63,64 - c$
$80$	=	$- c + 63,64$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 16,36$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $63,64 + 16,36 e^{- 0,011 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $63,64 + 16,36 e^{- 0,011 \cdot 6}$ ≈ 79

Wann wird der Wert 70?: f(t)=70

63,64 + 16,36 e^{- 0,011 t}

=

70

$16,36 e^{- 0,011 t} + 63,64$	=	$70$	\| $- 63,64$
$16,36 e^{- 0,011 t}$	=	$6,36$	\|: $16,36$
$e^{- 0,011 t}$	=	$0,3888$	\|ln(⋅)
$- 0,011 t$	=	$\ln (0,3888)$	\|: $- 0,011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,011} \ln (0,3888)$	≈ 85.8809

also t=85.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $19 e^{0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,02$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.