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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 8g vorhanden. Nach 8 Tagen sind nur noch 7,385g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 8g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $8 e^{k \cdot 8}$ = 7,3849.

$8 e^{8 k}$	=	$7,3849$	\|: $8$
$e^{8 k}$	=	$0,9231$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (0,9231)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (0,9231)$	≈ -0.01

also k ≈ -0.010002213498254, => f(t)= $8 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $8 e^{- 0,01 \cdot 10}$ ≈ 7.2

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$8 e^{- 0,01 t}$	=	$8$	\|: $8$
$e^{- 0,01 t}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	0	\|: $- 0,01$
$t$	=	0	≈ 0

also t=0

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 337 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 15g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 467 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 6g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{337}$ ≈ -0.0020568165595251

=> f(t)= $15 e^{- 0,0021 t}$

Wert zur Zeit 467: f(467)= $15 e^{- 0,0021 \cdot 467}$ ≈ 5.7

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$15 e^{- 0,0021 t}$	=	$6$	\|: $15$
$e^{- 0,0021 t}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,0021 t$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 0,0021$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0021} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 445.45

also t=445.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 12% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 12 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 5 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.88) ≈ -0.12783337150988

=> f(t)= $12 e^{- 0,1278 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $12 e^{- 0,1278 \cdot 5}$ ≈ 6.3

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$12 e^{- 0,1278 t}$	=	$5$	\|: $12$
$e^{- 0,1278 t}$	=	$\frac{5}{12}$	\|ln(⋅)
$- 0,1278 t$	=	$\ln (\frac{5}{12})$	\|: $- 0,1278$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1278} \ln (\frac{5}{12})$	≈ 6.8503

also t=6.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 32 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 2,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 32.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

32

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$32$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 5$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 2.7726

also k ≈ 2.7725887222398, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,7726 t}$

Wert zur Zeit 2.5: f(2.5)= $37 - 20 e^{- 2,7726 \cdot 2,5}$ ≈ 37

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,7726 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,7726 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,7726 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,7726 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,7726 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,7726$
$t$	=	$- \frac{1}{2,7726} \ln (0,005)$	≈ 1.911

also t=1.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 4ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 4% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 15 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 96ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 4 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{4}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(100 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=100 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $100 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$100 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
0	=	$100 - c$
0	=	$- c + 100$	\|0 $+ c$
$c$	=	$100$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $100 - 100 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $100 - 100 e^{- 0,04 \cdot 15}$ ≈ 45.1

Wann wird der Wert 96?: f(t)=96

100 - 100 e^{- 0,04 t}

=

96

$- 100 e^{- 0,04 t} + 100$	=	$96$	\| $- 100$
$- 100 e^{- 0,04 t}$	=	$- 4$	\|: $- 100$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{1}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{1}{25})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{1}{25})$	≈ 80.4719

also t=80.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,01$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,01}$ ≈ 69.315 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.