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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 8g vorhanden. Nach 4 Tagen sind nur noch 5,363g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 7 Tagen da? b) Wann sind nur noch 2g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $8 e^{k \cdot 4}$ = 5,3626.

$8 e^{4 k}$	=	$5,3626$	\|: $8$
$e^{4 k}$	=	$0,6703$	\|ln(⋅)
$4 k$	=	$\ln (0,6703)$	\|: $4$
$k$	=	$\frac{1}{4} \ln (0,6703)$	≈ -0.1

also k ≈ -0.10000747640456, => f(t)= $8 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $8 e^{- 0,1 \cdot 7}$ ≈ 4

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$8 e^{- 0,1 t}$	=	$2$	\|: $8$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 13.8629

also t=13.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 71 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 66 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 71: f(71)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 71}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 66?: f(t)=66

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$66$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$3 300 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (3 300 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (3 300 000)$	≈ 130.357

also t=130.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 14% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 11 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 2 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.86) ≈ -0.15082288973458

=> f(t)= $11 e^{- 0,1508 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $11 e^{- 0,1508 \cdot 2}$ ≈ 8.1

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$11 e^{- 0,1508 t}$	=	$2$	\|: $11$
$e^{- 0,1508 t}$	=	$\frac{2}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,1508 t$	=	$\ln (\frac{2}{11})$	\|: $- 0,1508$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1508} \ln (\frac{2}{11})$	≈ 11.3047

also t=11.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 32 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 2,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 32.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

32

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$32$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 5$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 2.7726

also k ≈ 2.7725887222398, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,7726 t}$

Wert zur Zeit 2.5: f(2.5)= $37 - 20 e^{- 2,7726 \cdot 2,5}$ ≈ 37

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,7726 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,7726 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,7726 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,7726 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,7726 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,7726$
$t$	=	$- \frac{1}{2,7726} \ln (0,005)$	≈ 1.911

also t=1.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 2% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2258 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 76 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 9 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2939 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 76 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{76}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(3800 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=3800 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $3 800 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2258 ein (Punktprobe).

$2 258$	=	$3 800 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
$2 258$	=	$3 800 - c$
$2 258$	=	$- c + 3 800$	\| $- 2 258$ $+ c$
$c$	=	$1 542$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $3 800 - 1 542 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $3 800 - 1 542 e^{- 0,02 \cdot 9}$ ≈ 2512

Wann wird der Wert 2939?: f(t)=2939

3 800 - 1 542 e^{- 0,02 t}

=

2 939

$- 1 542 e^{- 0,02 t} + 3 800$	=	$2 939$	\| $- 3 800$
$- 1 542 e^{- 0,02 t}$	=	$- 861$	\|: $- 1 542$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{287}{514}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{287}{514})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{287}{514})$	≈ 29.1371

also t=29.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $15 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.