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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 18g vorhanden. Nach 6 Tagen sind nur noch 15,965g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 8 Tagen da? b) Wann sind nur noch 15g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $18 e^{k \cdot 6}$ = 15,9646.

$18 e^{6 k}$	=	$15,9646$	\|: $18$
$e^{6 k}$	=	$0,8869$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (0,8869)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (0,8869)$	≈ -0.02

also k ≈ -0.020003840433288, => f(t)= $18 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $18 e^{- 0,02 \cdot 8}$ ≈ 15.3

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

$18 e^{- 0,02 t}$	=	$15$	\|: $18$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{5}{6}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{5}{6})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{5}{6})$	≈ 9.1161

also t=9.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 509 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 18g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 879 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 10,8g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{509}$ ≈ -0.0013617822800785

=> f(t)= $18 e^{- 0,0014 t}$

Wert zur Zeit 879: f(879)= $18 e^{- 0,0014 \cdot 879}$ ≈ 5.4

Wann wird der Wert 10.8?: f(t)=10.8

$18 e^{- 0,0014 t}$	=	$10,8$	\|: $18$
$e^{- 0,0014 t}$	=	$0,6$	\|ln(⋅)
$- 0,0014 t$	=	$\ln (0,6)$	\|: $- 0,0014$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0014} \ln (0,6)$	≈ 375.0555

also t=375.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 7% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 12 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 15 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.07) ≈ 0.067658648473815

=> f(t)= $12 e^{0,0677 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $12 e^{0,0677 \cdot 5}$ ≈ 16.8

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

$12 e^{0,0677 t}$	=	$15$	\|: $12$
$e^{0,0677 t}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
$0,0677 t$	=	$\ln (\frac{5}{4})$	\|: $0,0677$
$t$	=	$\frac{1}{0,0677} \ln (\frac{5}{4})$	≈ 3.2961

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 57° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 57 ist, gilt: f(0)= 57, also 57 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$57$	=	$20 - c$
$57$	=	$- c + 20$	\| $- 57$ $+ c$
$c$	=	$- 37$

somit gilt: f(t)= $20 + 37 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 37 e^{- k \cdot 5}$ = 51.

20 + 37 e^{- 5 k}

=

50,9979

$37 e^{- 5 k} + 20$	=	$50,9979$	\| $- 20$
$37 e^{- 5 k}$	=	$30,9979$	\|: $37$
$e^{- 5 k}$	=	$0,8378$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,8378)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,8378)$	≈ 0.0354

also k ≈ 0.035395174093841, => f(t)= $20 + 37 e^{- 0,0354 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 37 e^{- 0,0354 \cdot 5}$ ≈ 51

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 37 e^{- 0,0354 t}

=

50

$37 e^{- 0,0354 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$37 e^{- 0,0354 t}$	=	$30$	\|: $37$
$e^{- 0,0354 t}$	=	$\frac{30}{37}$	\|ln(⋅)
$- 0,0354 t$	=	$\ln (\frac{30}{37})$	\|: $- 0,0354$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0354} \ln (\frac{30}{37})$	≈ 5.9243

also t=5.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 10ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 5% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 10 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 121ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 10 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{10}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(200 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=200 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $200 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$200 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
0	=	$200 - c$
0	=	$- c + 200$	\|0 $+ c$
$c$	=	$200$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $200 - 200 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $200 - 200 e^{- 0,05 \cdot 10}$ ≈ 78.7

Wann wird der Wert 121?: f(t)=121

200 - 200 e^{- 0,05 t}

=

121

$- 200 e^{- 0,05 t} + 200$	=	$121$	\| $- 200$
$- 200 e^{- 0,05 t}$	=	$- 79$	\|: $- 200$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{79}{200}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{79}{200})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{79}{200})$	≈ 18.5774

also t=18.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $13 e^{- 0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,08$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.