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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 19g vorhanden. Nach 6 Tagen sind nur noch 11,072g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 7 Tagen da? b) Wann sind nur noch 4g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $19 e^{k \cdot 6}$ = 11,0722.

$19 e^{6 k}$	=	$11,0722$	\|: $19$
$e^{6 k}$	=	$0,5827$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (0,5827)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (0,5827)$	≈ -0.09

also k ≈ -0.090013800805518, => f(t)= $19 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $19 e^{- 0,09 \cdot 7}$ ≈ 10.1

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$19 e^{- 0,09 t}$	=	$4$	\|: $19$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{4}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{4}{19})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{4}{19})$	≈ 17.3127

also t=17.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 15 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 11-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 24 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 18,33-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{15}$ ≈ 0.04620981203733

=> f(t)= $11 e^{0,04621 t}$

Wert zur Zeit 24: f(24)= $11 e^{0,04621 \cdot 24}$ ≈ 33.3

Wann wird der Wert 18.33?: f(t)=18.33

$11 e^{0,04621 t}$	=	$18,33$	\|: $11$
$e^{0,04621 t}$	=	$1,6664$	\|ln(⋅)
$0,04621 t$	=	$\ln (1,6664)$	\|: $0,04621$
$t$	=	$\frac{1}{0,04621} \ln (1,6664)$	≈ 11.051

also t=11.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 6% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 82% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.94) ≈ -0.061875403718088

=> f(t)= $100 e^{- 0,0619 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,0619 \cdot 3}$ ≈ 83.1

Wann wird der Wert 82?: f(t)=82

$100 e^{- 0,0619 t}$	=	$82$	\|: $100$
$e^{- 0,0619 t}$	=	$\frac{41}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,0619 t$	=	$\ln (\frac{41}{50})$	\|: $- 0,0619$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0619} \ln (\frac{41}{50})$	≈ 3.206

also t=3.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 9,35°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 7 Minuten? b) Wann ist sie 8°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$5$	=	$29 - c$
$5$	=	$- c + 29$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$24$

somit gilt: f(t)= $29 - 24 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $29 - 24 e^{- k \cdot 5}$ = 9,35.

29 - 24 e^{- 5 k}

=

9,3505

$- 24 e^{- 5 k} + 29$	=	$9,3505$	\| $- 29$
$- 24 e^{- 5 k}$	=	$- 19,6495$	\|: $- 24$
$e^{- 5 k}$	=	$0,8187$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,8187)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,8187)$	≈ 0.04

also k ≈ 0.040007512519947, => f(t)= $29 - 24 e^{- 0,04 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $29 - 24 e^{- 0,04 \cdot 7}$ ≈ 10.9

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

29 - 24 e^{- 0,04 t}

=

8

$- 24 e^{- 0,04 t} + 29$	=	$8$	\| $- 29$
$- 24 e^{- 0,04 t}$	=	$- 21$	\|: $- 24$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{7}{8}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{7}{8})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{7}{8})$	≈ 3.3383

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 2% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2931 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 68 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 7 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3013 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 68 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{68}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(3400 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=3400 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $3 400 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2931 ein (Punktprobe).

$2 931$	=	$3 400 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
$2 931$	=	$3 400 - c$
$2 931$	=	$- c + 3 400$	\| $- 2 931$ $+ c$
$c$	=	$469$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $3 400 - 469 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $3 400 - 469 e^{- 0,02 \cdot 7}$ ≈ 2992.3

Wann wird der Wert 3013?: f(t)=3013

3 400 - 469 e^{- 0,02 t}

=

3 013

$- 469 e^{- 0,02 t} + 3 400$	=	$3 013$	\| $- 3 400$
$- 469 e^{- 0,02 t}$	=	$- 387$	\|: $- 469$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{387}{469}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{387}{469})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{387}{469})$	≈ 9.6089

also t=9.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,05$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.