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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 15g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 12,782g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 3 Tagen da? b) Wann sind nur noch 3g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $15 e^{k \cdot 2}$ = 12,7822.

$15 e^{2 k}$	=	$12,7822$	\|: $15$
$e^{2 k}$	=	$0,8521$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (0,8521)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (0,8521)$	≈ -0.08

also k ≈ -0.080025694074113, => f(t)= $15 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $15 e^{- 0,08 \cdot 3}$ ≈ 11.8

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$15 e^{- 0,08 t}$	=	$3$	\|: $15$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{1}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{1}{5})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{1}{5})$	≈ 20.118

also t=20.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 17 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 11-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 44 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 15,71-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{17}$ ≈ 0.04077336356235

=> f(t)= $11 e^{0,0408 t}$

Wert zur Zeit 44: f(44)= $11 e^{0,0408 \cdot 44}$ ≈ 66.1

Wann wird der Wert 15.71?: f(t)=15.71

$11 e^{0,0408 t}$	=	$15,71$	\|: $11$
$e^{0,0408 t}$	=	$1,4282$	\|ln(⋅)
$0,0408 t$	=	$\ln (1,4282)$	\|: $0,0408$
$t$	=	$\frac{1}{0,0408} \ln (1,4282)$	≈ 8.7414

also t=8.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 9% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 5 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 6 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.09) ≈ 0.086177696241052

=> f(t)= $5 e^{0,0862 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $5 e^{0,0862 \cdot 5}$ ≈ 7.7

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$5 e^{0,0862 t}$	=	$6$	\|: $5$
$e^{0,0862 t}$	=	$\frac{6}{5}$	\|ln(⋅)
$0,0862 t$	=	$\ln (\frac{6}{5})$	\|: $0,0862$
$t$	=	$\frac{1}{0,0862} \ln (\frac{6}{5})$	≈ 2.1151

also t=2.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 65° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 65 ist, gilt: f(0)= 65, also 65 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$65$	=	$20 - c$
$65$	=	$- c + 20$	\| $- 65$ $+ c$
$c$	=	$- 45$

somit gilt: f(t)= $20 + 45 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 45 e^{- k \cdot 3}$ = 53.

20 + 45 e^{- 3 k}

=

52,9985

$45 e^{- 3 k} + 20$	=	$52,9985$	\| $- 20$
$45 e^{- 3 k}$	=	$32,9985$	\|: $45$
$e^{- 3 k}$	=	$0,7333$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,7333)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,7333)$	≈ 0.1034

also k ≈ 0.10340012796079, => f(t)= $20 + 45 e^{- 0,1034 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 45 e^{- 0,1034 \cdot 4}$ ≈ 49.8

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 45 e^{- 0,1034 t}

=

50

$45 e^{- 0,1034 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$45 e^{- 0,1034 t}$	=	$30$	\|: $45$
$e^{- 0,1034 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,1034 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,1034$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1034} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 3.9213

also t=3.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2550 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 88 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 9 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2264 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 88 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{88}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(1760 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1760 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 760 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2550 ein (Punktprobe).

$2 550$	=	$1 760 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
$2 550$	=	$1 760 - c$
$2 550$	=	$- c + 1 760$	\| $- 2 550$ $+ c$
$c$	=	$- 790$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 760 + 790 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $1 760 + 790 e^{- 0,05 \cdot 9}$ ≈ 2263.7

Wann wird der Wert 2264?: f(t)=2264

1 760 + 790 e^{- 0,05 t}

=

2 264

$790 e^{- 0,05 t} + 1 760$	=	$2 264$	\| $- 1 760$
$790 e^{- 0,05 t}$	=	$504$	\|: $790$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{252}{395}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{252}{395})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{252}{395})$	≈ 8.9891

also t=9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{- 0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,02$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.