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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 14 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 31,158 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 12 Stunden? b) Wann waren es 21 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $14 e^{k \cdot 10}$ = 31,1576.

$14 e^{10 k}$	=	$31,1576$	\|: $14$
$e^{10 k}$	=	$2,2255$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (2,2255)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (2,2255)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.079998160947377, => f(t)= $14 e^{0,08 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $14 e^{0,08 \cdot 12}$ ≈ 36.6

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

$14 e^{0,08 t}$	=	$21$	\|: $14$
$e^{0,08 t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,08 t$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $0,08$
$t$	=	$\frac{1}{0,08} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 5.0683

also t=5.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 12 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 7-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 32 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 17,5-Tausend Euro gestiegen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{12}$ ≈ 0.057762265046662

=> f(t)= $7 e^{0,0578 t}$

Wert zur Zeit 32: f(32)= $7 e^{0,0578 \cdot 32}$ ≈ 44.4

Wann wird der Wert 17.5?: f(t)=17.5

$7 e^{0,0578 t}$	=	$17,5$	\|: $7$
$e^{0,0578 t}$	=	$2,5$	\|ln(⋅)
$0,0578 t$	=	$\ln (2,5)$	\|: $0,0578$
$t$	=	$\frac{1}{0,0578} \ln (2,5)$	≈ 15.8632

also t=15.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 5% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 70% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.95) ≈ -0.051293294387551

=> f(t)= $100 e^{- 0,0513 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,0513 \cdot 3}$ ≈ 85.7

Wann wird der Wert 70?: f(t)=70

$100 e^{- 0,0513 t}$	=	$70$	\|: $100$
$e^{- 0,0513 t}$	=	$\frac{7}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,0513 t$	=	$\ln (\frac{7}{10})$	\|: $- 0,0513$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0513} \ln (\frac{7}{10})$	≈ 6.9527

also t=7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 32 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 3,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 32.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

32

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$32$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 5$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 2.7726

also k ≈ 2.7725887222398, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,7726 t}$

Wert zur Zeit 3.5: f(3.5)= $37 - 20 e^{- 2,7726 \cdot 3,5}$ ≈ 37

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,7726 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,7726 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,7726 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,7726 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,7726 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,7726$
$t$	=	$- \frac{1}{2,7726} \ln (0,005)$	≈ 1.911

also t=1.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 7ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 10% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 6 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 25ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 7 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{7}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(70 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=70 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $70 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$70 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
0	=	$70 - c$
0	=	$- c + 70$	\|0 $+ c$
$c$	=	$70$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $70 - 70 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $70 - 70 e^{- 0,1 \cdot 6}$ ≈ 31.6

Wann wird der Wert 25?: f(t)=25

70 - 70 e^{- 0,1 t}

=

25

$- 70 e^{- 0,1 t} + 70$	=	$25$	\| $- 70$
$- 70 e^{- 0,1 t}$	=	$- 45$	\|: $- 70$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{9}{14}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{9}{14})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{9}{14})$	≈ 4.4183

also t=4.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $8 e^{0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,08$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.