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cosh
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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 11g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 5,859g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 7g davon übrig?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= = 5,8585.
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ -0.07 |
also k ≈ -0.069998289511367, => f(t)=
Wert zur Zeit 10: f(10)= ≈ 5.5
Wann wird der Wert 7?: f(t)=7
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 6.4569 |
also t=6.5
Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit
Beispiel:
Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 20 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 7-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 31 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 14-Tausend Euro gestiegen?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Wir berechnen k über die Verdopplungszeit.
Dazu stellen wir die Formel TV= um zu
k==
≈ 0.034657359027997
=> f(t)=
Wert zur Zeit 31: f(31)= ≈ 20.5
Wann wird der Wert 14?: f(t)=14
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 20.0002 |
also t=20
Exponentielles Wachstum mit Prozent
Beispiel:
Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 2 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 76% der Masse da?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.96) ≈ -0.040821994520255
=> f(t)=
Wert zur Zeit 2: f(2)= ≈ 92.2
Wann wird der Wert 76?: f(t)=76
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 6.7264 |
also t=6.7
beschränktes Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 32 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 1,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?
Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.
Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = = =
| = | |||
| = | | | ||
| = |
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= = 32.
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 2.7726 |
also k ≈ 2.7725887222398, => f(t)=
Wert zur Zeit 1.5: f(1.5)= ≈ 36.7
Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 1.911 |
also t=1.9
beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung
Beispiel:
Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2299 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 79 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1631 Wörter ?
Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:
f'(t) = 79 - 0.08⋅f(t)
wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung
f'(t) = 0.08( - f(t))
also f'(t) = 0.08(987.5 - f(t))
das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))
Wir wissen nun also, dass die Schranke S=987.5 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.
Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= haben.
Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2299 ein (Punktprobe).
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = |
somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)=
Wert zur Zeit 12: f(12)= ≈ 1489.7
Wann wird der Wert 1631?: f(t)=1631
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 8.899 |
also t=8.9
Halbwerts- + Verdopplungszeit best.
Beispiel:
Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.
Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent () erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.
Dazu setzen wir k = einfach in die Formel TH = - ein:
TH = - ≈ 9.902 min
