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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 15 Millionen Algen im Teich. Nach 5 Stunden sind es 21,286 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 8 Stunden? b) Wann waren es 20 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $15 e^{k \cdot 5}$ = 21,286.

$15 e^{5 k}$	=	$21,286$	\|: $15$
$e^{5 k}$	=	$1,4191$	\|ln(⋅)
$5 k$	=	$\ln (1,4191)$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{1}{5} \ln (1,4191)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.070004573571671, => f(t)= $15 e^{0,07 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $15 e^{0,07 \cdot 8}$ ≈ 26.3

Wann wird der Wert 20?: f(t)=20

$15 e^{0,07 t}$	=	$20$	\|: $15$
$e^{0,07 t}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$0,07 t$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $0,07$
$t$	=	$\frac{1}{0,07} \ln (\frac{4}{3})$	≈ 4.1097

also t=4.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1649 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2194? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,2 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1649}$ ≈ -0.00042034395425103

=> f(t)= $e^{- 0,00042 t}$

Wert zur Zeit 194: f(194)= $e^{- 0,00042 \cdot 194}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.2?: f(t)=0.2

$e^{- 0,00042 t}$	=	$0,2$	\|ln(⋅)
$- 0,00042 t$	=	$\ln (0,2)$	\|: $- 0,00042$
$t$	=	$- \frac{1}{0,00042} \ln (0,2)$	≈ 3831.995

also t=3832

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 14% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 5 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 16% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.86) ≈ -0.15082288973458

=> f(t)= $100 e^{- 0,1508 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 e^{- 0,1508 \cdot 5}$ ≈ 47

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

$100 e^{- 0,1508 t}$	=	$16$	\|: $100$
$e^{- 0,1508 t}$	=	$\frac{4}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,1508 t$	=	$\ln (\frac{4}{25})$	\|: $- 0,1508$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1508} \ln (\frac{4}{25})$	≈ 12.1524

also t=12.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 28°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 8 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 18,51°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 10 Minuten? b) Wann ist sie 25°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=28 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $28 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $28 - c$ = $28 - c$

$10$	=	$28 - c$
$10$	=	$- c + 28$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$18$

somit gilt: f(t)= $28 - 18 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $28 - 18 e^{- k \cdot 8}$ = 18,51.

28 - 18 e^{- 8 k}

=

18,5087

$- 18 e^{- 8 k} + 28$	=	$18,5087$	\| $- 28$
$- 18 e^{- 8 k}$	=	$- 9,4913$	\|: $- 18$
$e^{- 8 k}$	=	$0,5273$	\|ln(⋅)
$- 8 k$	=	$\ln (0,5273)$	\|: $- 8$
$k$	=	$- \frac{1}{8} \ln (0,5273)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.079998204055714, => f(t)= $28 - 18 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $28 - 18 e^{- 0,08 \cdot 10}$ ≈ 19.9

Wann wird der Wert 25?: f(t)=25

28 - 18 e^{- 0,08 t}

=

25

$- 18 e^{- 0,08 t} + 28$	=	$25$	\| $- 28$
$- 18 e^{- 0,08 t}$	=	$- 3$	\|: $- 18$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{1}{6}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{1}{6})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{1}{6})$	≈ 22.397

also t=22.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 2% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3223 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 90 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 8 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3404 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 90 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{90}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(4500 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=4500 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $4 500 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3223 ein (Punktprobe).

$3 223$	=	$4 500 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
$3 223$	=	$4 500 - c$
$3 223$	=	$- c + 4 500$	\| $- 3 223$ $+ c$
$c$	=	$1 277$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $4 500 - 1 277 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $4 500 - 1 277 e^{- 0,02 \cdot 8}$ ≈ 3411.8

Wann wird der Wert 3404?: f(t)=3404

4 500 - 1 277 e^{- 0,02 t}

=

3 404

$- 1 277 e^{- 0,02 t} + 4 500$	=	$3 404$	\| $- 4 500$
$- 1 277 e^{- 0,02 t}$	=	$- 1 096$	\|: $- 1 277$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{1096}{1277}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{1096}{1277})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{1096}{1277})$	≈ 7.6423

also t=7.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $12 e^{- 0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,03$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.