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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 14g vorhanden. Nach 8 Tagen sind nur noch 12,924g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 13g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 14 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= 14 e k · 8 = 12,9236.

14 e 8k = 12,9236 |:14
e 8k = 0,9231 |ln(⋅)
8k = ln( 0,9231 ) |:8
k = 1 8 ln( 0,9231 ) ≈ -0.01

also k ≈ -0.010002213498254, => f(t)= 14 e -0,01t


Wert zur Zeit 11: f(11)= 14 e -0,0111 ≈ 12.5


Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

14 e -0,01t = 13 |:14
e -0,01t = 13 14 |ln(⋅)
-0,01t = ln( 13 14 ) |:-0,01
t = - 1 0,01 ln( 13 14 ) ≈ 7.4108

also t=7.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 16 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 15-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 17 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 16,67-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 15 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel TV= ln(2) k um zu
k= ln(2) T = ln(2) 16 ≈ 0.043321698784997


=> f(t)= 15 e 0,0433t


Wert zur Zeit 17: f(17)= 15 e 0,043317 ≈ 31.3


Wann wird der Wert 16.67?: f(t)=16.67

15 e 0,0433t = 16,67 |:15
e 0,0433t = 1,1113 |ln(⋅)
0,0433t = ln( 1,1113 ) |:0,0433
t = 1 0,0433 ln( 1,1113 ) ≈ 2.436

also t=2.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 3% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 82% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 100 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.97) ≈ -0.030459207484709


=> f(t)= 100 e -0,0305t


Wert zur Zeit 3: f(3)= 100 e -0,03053 ≈ 91.3


Wann wird der Wert 82?: f(t)=82

100 e -0,0305t = 82 |:100
e -0,0305t = 41 50 |ln(⋅)
-0,0305t = ln( 41 50 ) |:-0,0305
t = - 1 0,0305 ln( 41 50 ) ≈ 6.5066

also t=6.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 8,63°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 8 Minuten? b) Wann ist sie 9°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = 25 - c · e -k · 0 = 25 - c = 25 - c

5 = 25 - c
5 = -c +25 | -5 + c
c = 20

somit gilt: f(t)= 25 -20 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= 25 -20 e -k · 5 = 8,63.

25 -20 e -5k = 8,6254
-20 e -5k +25 = 8,6254 | -25
-20 e -5k = -16,3746 |:-20
e -5k = 0,8187 |ln(⋅)
-5k = ln( 0,8187 ) |:-5
k = - 1 5 ln( 0,8187 ) ≈ 0.04

also k ≈ 0.040007512519947, => f(t)= 25 -20 e -0,04t


Wert zur Zeit 8: f(8)= 25 -20 e -0,048 ≈ 10.5


Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

25 -20 e -0,04t = 9
-20 e -0,04t +25 = 9 | -25
-20 e -0,04t = -16 |:-20
e -0,04t = 4 5 |ln(⋅)
-0,04t = ln( 4 5 ) |:-0,04
t = - 1 0,04 ln( 4 5 ) ≈ 5.5786

also t=5.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 8ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 1% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 7 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 693ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 8 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( 8 0.01 - f(t))

also f'(t) = 0.01(800 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=800 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 800 - c · e -0,01t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0 = 800 - c · e -0,010
0 = 800 - c
0 = -c +800 |0 + c
c = 800

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 800 -800 e -0,01x


Wert zur Zeit 7: f(7)= 800 -800 e -0,017 ≈ 54.1


Wann wird der Wert 693?: f(t)=693

800 -800 e -0,01t = 693
-800 e -0,01t +800 = 693 | -800
-800 e -0,01t = -107 |:-800
e -0,01t = 107 800 |ln(⋅)
-0,01t = ln( 107 800 ) |:-0,01
t = - 1 0,01 ln( 107 800 ) ≈ 201.1783

also t=201.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 12 e 0,01t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (0,01 ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = 0,01 einfach in die Formel TV = ln(2) k ein:

TV = ln(2) 0,01 69.315 min