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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 71 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 68 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 71: f(71)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 71}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 68?: f(t)=68

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$68$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$3 400 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (3 400 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (3 400 000)$	≈ 130.6628

also t=130.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 14 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 6-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 14 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 8,57-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{14}$ ≈ 0.049510512897139

=> f(t)= $6 e^{0,0495 t}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $6 e^{0,0495 \cdot 14}$ ≈ 12

Wann wird der Wert 8.57?: f(t)=8.57

$6 e^{0,0495 t}$	=	$8,57$	\|: $6$
$e^{0,0495 t}$	=	$1,4283$	\|ln(⋅)
$0,0495 t$	=	$\ln (1,4283)$	\|: $0,0495$
$t$	=	$\frac{1}{0,0495} \ln (1,4283)$	≈ 7.2001

also t=7.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 11% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 11 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 16 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.11) ≈ 0.10436001532424

=> f(t)= $11 e^{0,1044 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $11 e^{0,1044 \cdot 4}$ ≈ 16.7

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

$11 e^{0,1044 t}$	=	$16$	\|: $11$
$e^{0,1044 t}$	=	$\frac{16}{11}$	\|ln(⋅)
$0,1044 t$	=	$\ln (\frac{16}{11})$	\|: $0,1044$
$t$	=	$\frac{1}{0,1044} \ln (\frac{16}{11})$	≈ 3.589

also t=3.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 17,55°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 12 Minuten? b) Wann ist sie 14°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $25 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $25 - c$ = $25 - c$

$10$	=	$25 - c$
$10$	=	$- c + 25$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$15$

somit gilt: f(t)= $25 - 15 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $25 - 15 e^{- k \cdot 10}$ = 17,55.

25 - 15 e^{- 10 k}

=

17,5512

$- 15 e^{- 10 k} + 25$	=	$17,5512$	\| $- 25$
$- 15 e^{- 10 k}$	=	$- 7,4488$	\|: $- 15$
$e^{- 10 k}$	=	$0,4966$	\|ln(⋅)
$- 10 k$	=	$\ln (0,4966)$	\|: $- 10$
$k$	=	$- \frac{1}{10} \ln (0,4966)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.069997040590807, => f(t)= $25 - 15 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $25 - 15 e^{- 0,07 \cdot 12}$ ≈ 18.5

Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

25 - 15 e^{- 0,07 t}

=

14

$- 15 e^{- 0,07 t} + 25$	=	$14$	\| $- 25$
$- 15 e^{- 0,07 t}$	=	$- 11$	\|: $- 15$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{11}{15}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{11}{15})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{11}{15})$	≈ 4.4308

also t=4.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 7ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 8 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 260ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 7 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{7}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(350 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=350 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $350 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$350 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
0	=	$350 - c$
0	=	$- c + 350$	\|0 $+ c$
$c$	=	$350$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $350 - 350 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $350 - 350 e^{- 0,02 \cdot 8}$ ≈ 51.7

Wann wird der Wert 260?: f(t)=260

350 - 350 e^{- 0,02 t}

=

260

$- 350 e^{- 0,02 t} + 350$	=	$260$	\| $- 350$
$- 350 e^{- 0,02 t}$	=	$- 90$	\|: $- 350$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{9}{35}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{9}{35})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{9}{35})$	≈ 67.9062

also t=67.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $5 e^{- 0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,08$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.