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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 89 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 88 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 89: f(89)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 89}$ ≈ 0.6

Wann wird der Wert 88?: f(t)=88

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$88$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 400 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 400 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 400 000)$	≈ 132.9028

also t=132.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 18 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 20-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 9 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 100-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{18}$ ≈ 0.038508176697775

=> f(t)= $20 e^{0,0385 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $20 e^{0,0385 \cdot 9}$ ≈ 28.3

Wann wird der Wert 100?: f(t)=100

$20 e^{0,0385 t}$	=	$100$	\|: $20$
$e^{0,0385 t}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$0,0385 t$	=	$\ln (5)$	\|: $0,0385$
$t$	=	$\frac{1}{0,0385} \ln (5)$	≈ 41.7949

also t=41.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 13% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 16 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 6 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.87) ≈ -0.13926206733351

=> f(t)= $16 e^{- 0,1393 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $16 e^{- 0,1393 \cdot 3}$ ≈ 10.5

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$16 e^{- 0,1393 t}$	=	$6$	\|: $16$
$e^{- 0,1393 t}$	=	$\frac{3}{8}$	\|ln(⋅)
$- 0,1393 t$	=	$\ln (\frac{3}{8})$	\|: $- 0,1393$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1393} \ln (\frac{3}{8})$	≈ 7.0411

also t=7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 58° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 58 ist, gilt: f(0)= 58, also 58 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$58$	=	$20 - c$
$58$	=	$- c + 20$	\| $- 58$ $+ c$
$c$	=	$- 38$

somit gilt: f(t)= $20 + 38 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 38 e^{- k \cdot 3}$ = 54.

20 + 38 e^{- 3 k}

=

53,9975

$38 e^{- 3 k} + 20$	=	$53,9975$	\| $- 20$
$38 e^{- 3 k}$	=	$33,9975$	\|: $38$
$e^{- 3 k}$	=	$0,8947$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,8947)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,8947)$	≈ 0.0371

also k ≈ 0.037088937476196, => f(t)= $20 + 38 e^{- 0,0371 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 38 e^{- 0,0371 \cdot 2}$ ≈ 55.3

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 38 e^{- 0,0371 t}

=

50

$38 e^{- 0,0371 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$38 e^{- 0,0371 t}$	=	$30$	\|: $38$
$e^{- 0,0371 t}$	=	$\frac{15}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,0371 t$	=	$\ln (\frac{15}{19})$	\|: $- 0,0371$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0371} \ln (\frac{15}{19})$	≈ 6.3717

also t=6.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 12 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 62 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{0.6}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(60 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=60 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $60 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$60 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$80$	=	$60 - c$
$80$	=	$- c + 60$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 20$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $60 + 20 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $60 + 20 e^{- 0,01 \cdot 12}$ ≈ 77.7

Wann wird der Wert 62?: f(t)=62

60 + 20 e^{- 0,01 t}

=

62

$20 e^{- 0,01 t} + 60$	=	$62$	\| $- 60$
$20 e^{- 0,01 t}$	=	$2$	\|: $20$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{1}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{1}{10})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{1}{10})$	≈ 230.2585

also t=230.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,05$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.