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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 19g vorhanden. Nach 7 Tagen sind nur noch 14,36g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 9 Tagen da? b) Wann sind nur noch 11g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 19 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= 19 e k · 7 = 14,3599.

19 e 7k = 14,3599 |:19
e 7k = 0,7558 |ln(⋅)
7k = ln( 0,7558 ) |:7
k = 1 7 ln( 0,7558 ) ≈ -0.04

also k ≈ -0.039996926866678, => f(t)= 19 e -0,04t


Wert zur Zeit 9: f(9)= 19 e -0,049 ≈ 13.3


Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

19 e -0,04t = 11 |:19
e -0,04t = 11 19 |ln(⋅)
-0,04t = ln( 11 19 ) |:-0,04
t = - 1 0,04 ln( 11 19 ) ≈ 13.6636

also t=13.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 12 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 14-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 36 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 46,67-Tausend Euro gestiegen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 14 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel TV= ln(2) k um zu
k= ln(2) T = ln(2) 12 ≈ 0.057762265046662


=> f(t)= 14 e 0,0578t


Wert zur Zeit 36: f(36)= 14 e 0,057836 ≈ 112


Wann wird der Wert 46.67?: f(t)=46.67

14 e 0,0578t = 46,67 |:14
e 0,0578t = 3,3336 |ln(⋅)
0,0578t = ln( 3,3336 ) |:0,0578
t = 1 0,0578 ln( 3,3336 ) ≈ 20.8451

also t=20.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 17% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 9 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 9 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.83) ≈ -0.18632957819149


=> f(t)= 9 e -0,1863t


Wert zur Zeit 2: f(2)= 9 e -0,18632 ≈ 6.2


Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

9 e -0,1863t = 1 |:9
e -0,1863t = 1 9 |ln(⋅)
-0,1863t = ln( 1 9 ) |:-0,1863
t = - 1 0,1863 ln( 1 9 ) ≈ 11.794

also t=11.8

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 8 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 14,25°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 10 Minuten? b) Wann ist sie 9°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = 29 - c · e -k · 0 = 29 - c = 29 - c

7 = 29 - c
7 = -c +29 | -7 + c
c = 22

somit gilt: f(t)= 29 -22 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= 29 -22 e -k · 8 = 14,25.

29 -22 e -8k = 14,253
-22 e -8k +29 = 14,253 | -29
-22 e -8k = -14,747 |:-22
e -8k = 0,6703 |ln(⋅)
-8k = ln( 0,6703 ) |:-8
k = - 1 8 ln( 0,6703 ) ≈ 0.05

also k ≈ 0.050003738202278, => f(t)= 29 -22 e -0,05t


Wert zur Zeit 10: f(10)= 29 -22 e -0,0510 ≈ 15.7


Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

29 -22 e -0,05t = 9
-22 e -0,05t +29 = 9 | -29
-22 e -0,05t = -20 |:-22
e -0,05t = 10 11 |ln(⋅)
-0,05t = ln( 10 11 ) |:-0,05
t = - 1 0,05 ln( 10 11 ) ≈ 1.9062

also t=1.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 9 Jahren, wenn jedes Jahr 0,3 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 71 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.3 - 0.011⋅f(t)

wenn man 0.011 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.011( 0.3 0.011 - f(t))

also f'(t) = 0.011(27.27 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=27.27 und der Wachstumsfaktor k=0.011 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 27,27 - c · e -0,011t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

80 = 27,27 - c · e -0,0110
80 = 27,27 - c
80 = -c +27,27 | -80 + c
c = -52,73

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 27,27 +52,73 e -0,011x


Wert zur Zeit 9: f(9)= 27,27 +52,73 e -0,0119 ≈ 75


Wann wird der Wert 71?: f(t)=71

27,27 +52,73 e -0,011t = 71
52,73 e -0,011t +27,27 = 71 | -27,27
52,73 e -0,011t = 43,73 |:52,73
e -0,011t = 0,8293 |ln(⋅)
-0,011t = ln( 0,8293 ) |:-0,011
t = - 1 0,011 ln( 0,8293 ) ≈ 17.0158

also t=17

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 10 e -0,1t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (-0,1 ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = -0,1 einfach in die Formel TH = - ln(2) k ein:

TH = - ln(2) -0,1 6.931 min