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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 88 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 82 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 88: f(88)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 88}$ ≈ 0.5

Wann wird der Wert 82?: f(t)=82

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$82$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 100 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 100 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 100 000)$	≈ 132.2893

also t=132.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 90 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 54 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 90: f(90)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 90}$ ≈ 0.6

Wann wird der Wert 54?: f(t)=54

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$54$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 700 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 700 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 700 000)$	≈ 128.6142

also t=128.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 9% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 55% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.91) ≈ -0.094310679471241

=> f(t)= $100 e^{- 0,0943 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,0943 \cdot 4}$ ≈ 68.6

Wann wird der Wert 55?: f(t)=55

$100 e^{- 0,0943 t}$	=	$55$	\|: $100$
$e^{- 0,0943 t}$	=	$\frac{11}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,0943 t$	=	$\ln (\frac{11}{20})$	\|: $- 0,0943$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0943} \ln (\frac{11}{20})$	≈ 6.3397

also t=6.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 8,07°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 7 Minuten? b) Wann ist sie 13°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$7$	=	$29 - c$
$7$	=	$- c + 29$	\| $- 7$ $+ c$
$c$	=	$22$

somit gilt: f(t)= $29 - 22 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $29 - 22 e^{- k \cdot 5}$ = 8,07.

29 - 22 e^{- 5 k}

=

8,073

$- 22 e^{- 5 k} + 29$	=	$8,073$	\| $- 29$
$- 22 e^{- 5 k}$	=	$- 20,927$	\|: $- 22$
$e^{- 5 k}$	=	$0,9512$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,9512)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,9512)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.010006186721113, => f(t)= $29 - 22 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $29 - 22 e^{- 0,01 \cdot 7}$ ≈ 8.5

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

29 - 22 e^{- 0,01 t}

=

13

$- 22 e^{- 0,01 t} + 29$	=	$13$	\| $- 29$
$- 22 e^{- 0,01 t}$	=	$- 16$	\|: $- 22$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{8}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{8}{11})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{8}{11})$	≈ 31.8454

also t=31.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2226 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 76 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 11 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2024 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 76 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{76}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(1900 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1900 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 900 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2226 ein (Punktprobe).

$2 226$	=	$1 900 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$2 226$	=	$1 900 - c$
$2 226$	=	$- c + 1 900$	\| $- 2 226$ $+ c$
$c$	=	$- 326$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 900 + 326 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $1 900 + 326 e^{- 0,04 \cdot 11}$ ≈ 2110

Wann wird der Wert 2024?: f(t)=2024

1 900 + 326 e^{- 0,04 t}

=

2 024

$326 e^{- 0,04 t} + 1 900$	=	$2 024$	\| $- 1 900$
$326 e^{- 0,04 t}$	=	$124$	\|: $326$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{62}{163}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{62}{163})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{62}{163})$	≈ 24.1654

also t=24.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $19 e^{0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,04$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.