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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 10 Millionen Algen im Teich. Nach 6 Stunden sind es 17,16 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 8 Stunden? b) Wann waren es 18 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $10 e^{k \cdot 6}$ = 17,1601.

$10 e^{6 k}$	=	$17,1601$	\|: $10$
$e^{6 k}$	=	$1,716$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (1,716)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (1,716)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.089999333510962, => f(t)= $10 e^{0,09 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $10 e^{0,09 \cdot 8}$ ≈ 20.5

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

$10 e^{0,09 t}$	=	$18$	\|: $10$
$e^{0,09 t}$	=	$\frac{9}{5}$	\|ln(⋅)
$0,09 t$	=	$\ln (\frac{9}{5})$	\|: $0,09$
$t$	=	$\frac{1}{0,09} \ln (\frac{9}{5})$	≈ 6.531

also t=6.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 142 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 12g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 325 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 6g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{142}$ ≈ -0.0048813181729574

=> f(t)= $12 e^{- 0,0049 t}$

Wert zur Zeit 325: f(325)= $12 e^{- 0,0049 \cdot 325}$ ≈ 2.5

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$12 e^{- 0,0049 t}$	=	$6$	\|: $12$
$e^{- 0,0049 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,0049 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,0049$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0049} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 142.0093

also t=142

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 20% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 10 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.8) ≈ -0.22314355131421

=> f(t)= $10 e^{- 0,2231 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $10 e^{- 0,2231 \cdot 3}$ ≈ 5.1

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$10 e^{- 0,2231 t}$	=	$1$	\|: $10$
$e^{- 0,2231 t}$	=	$\frac{1}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,2231 t$	=	$\ln (\frac{1}{10})$	\|: $- 0,2231$
$t$	=	$- \frac{1}{0,2231} \ln (\frac{1}{10})$	≈ 10.3209

also t=10.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 30°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 7 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 13,79°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 10 Minuten? b) Wann ist sie 12°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=30 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $30 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $30 - c$ = $30 - c$

$10$	=	$30 - c$
$10$	=	$- c + 30$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $30 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $30 - 20 e^{- k \cdot 7}$ = 13,79.

30 - 20 e^{- 7 k}

=

13,7883

$- 20 e^{- 7 k} + 30$	=	$13,7883$	\| $- 30$
$- 20 e^{- 7 k}$	=	$- 16,2117$	\|: $- 20$
$e^{- 7 k}$	=	$0,8106$	\|ln(⋅)
$- 7 k$	=	$\ln (0,8106)$	\|: $- 7$
$k$	=	$- \frac{1}{7} \ln (0,8106)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.029997223541133, => f(t)= $30 - 20 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $30 - 20 e^{- 0,03 \cdot 10}$ ≈ 15.2

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

30 - 20 e^{- 0,03 t}

=

12

$- 20 e^{- 0,03 t} + 30$	=	$12$	\| $- 30$
$- 20 e^{- 0,03 t}$	=	$- 18$	\|: $- 20$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{9}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{9}{10})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{9}{10})$	≈ 3.512

also t=3.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2655 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 89 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2439 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 89 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{89}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(1112.5 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1112.5 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 112,5 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2655 ein (Punktprobe).

$2 655$	=	$1 112,5 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$2 655$	=	$1 112,5 - c$
$2 655$	=	$- c + 1 112,5$	\| $- 2 655$ $+ c$
$c$	=	$- 1 542,5$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 112,5 + 1 542,5 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $1 112,5 + 1 542,5 e^{- 0,08 \cdot 12}$ ≈ 1703.1

Wann wird der Wert 2439?: f(t)=2439

1 112,5 + 1 542,5 e^{- 0,08 t}

=

2 439

$1 542,5 e^{- 0,08 t} + 1 112,5$	=	$2 439$	\| $- 1 112,5$
$1 542,5 e^{- 0,08 t}$	=	$1 326,5$	\|: $1 542,5$
$e^{- 0,08 t}$	=	$0,86$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (0,86)$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (0,86)$	≈ 1.8853

also t=1.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $16 e^{0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,04$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.