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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 20 Millionen Algen im Teich. Nach 9 Stunden sind es 21,883 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 12 Stunden? b) Wann waren es 22 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $20 e^{k \cdot 9}$ = 21,8835.

$20 e^{9 k}$	=	$21,8835$	\|: $20$
$e^{9 k}$	=	$1,0942$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (1,0942)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (1,0942)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.010002611405288, => f(t)= $20 e^{0,01 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $20 e^{0,01 \cdot 12}$ ≈ 22.5

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

$20 e^{0,01 t}$	=	$22$	\|: $20$
$e^{0,01 t}$	=	$\frac{11}{10}$	\|ln(⋅)
$0,01 t$	=	$\ln (\frac{11}{10})$	\|: $0,01$
$t$	=	$\frac{1}{0,01} \ln (\frac{11}{10})$	≈ 9.531

also t=9.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1249 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2265? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,8 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1249}$ ≈ -0.00055496171381901

=> f(t)= $e^{- 0,0006 t}$

Wert zur Zeit 265: f(265)= $e^{- 0,0006 \cdot 265}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.8?: f(t)=0.8

$e^{- 0,0006 t}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 0,0006 t$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 0,0006$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0006} \ln (0,8)$	≈ 402.0605

also t=402.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 14% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 18 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 33 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.14) ≈ 0.1310282624064

=> f(t)= $18 e^{0,131 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $18 e^{0,131 \cdot 2}$ ≈ 23.4

Wann wird der Wert 33?: f(t)=33

$18 e^{0,131 t}$	=	$33$	\|: $18$
$e^{0,131 t}$	=	$\frac{11}{6}$	\|ln(⋅)
$0,131 t$	=	$\ln (\frac{11}{6})$	\|: $0,131$
$t$	=	$\frac{1}{0,131} \ln (\frac{11}{6})$	≈ 4.627

also t=4.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 30 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 2,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 30.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

29,9998

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$29,9998$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 7,0002$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,35$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,35)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,35)$	≈ 2.0996

also k ≈ 2.0996442489974, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,0996 t}$

Wert zur Zeit 2.5: f(2.5)= $37 - 20 e^{- 2,0996 \cdot 2,5}$ ≈ 36.9

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,0996 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,0996 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,0996 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,0996 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,0996 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,0996$
$t$	=	$- \frac{1}{2,0996} \ln (0,005)$	≈ 2.5235

also t=2.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3925 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 73 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 7 Monaten? b) Wann beträgt dieser 6491 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 73 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{73}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(7300 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=7300 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $7 300 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3925 ein (Punktprobe).

$3 925$	=	$7 300 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$3 925$	=	$7 300 - c$
$3 925$	=	$- c + 7 300$	\| $- 3 925$ $+ c$
$c$	=	$3 375$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $7 300 - 3 375 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $7 300 - 3 375 e^{- 0,01 \cdot 7}$ ≈ 4153.2

Wann wird der Wert 6491?: f(t)=6491

7 300 - 3 375 e^{- 0,01 t}

=

6 491

$- 3 375 e^{- 0,01 t} + 7 300$	=	$6 491$	\| $- 7 300$
$- 3 375 e^{- 0,01 t}$	=	$- 809$	\|: $- 3 375$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{809}{3375}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{809}{3375})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{809}{3375})$	≈ 142.8352

also t=142.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{- 0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,07$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,07}$ ≈ 9.902 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.