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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 93 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 83 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 93: f(93)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 93}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 83?: f(t)=83

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$83$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 150 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 150 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 150 000)$	≈ 132.3946

also t=132.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 639 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 10g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 828 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 8g Gaußium da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{639}$ ≈ -0.0010847373717683

=> f(t)= $10 e^{- 0,0011 t}$

Wert zur Zeit 828: f(828)= $10 e^{- 0,0011 \cdot 828}$ ≈ 4.1

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$10 e^{- 0,0011 t}$	=	$8$	\|: $10$
$e^{- 0,0011 t}$	=	$\frac{4}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,0011 t$	=	$\ln (\frac{4}{5})$	\|: $- 0,0011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0011} \ln (\frac{4}{5})$	≈ 205.6623

also t=205.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 15% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 12 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 7 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.85) ≈ -0.16251892949777

=> f(t)= $12 e^{- 0,1625 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $12 e^{- 0,1625 \cdot 2}$ ≈ 8.7

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$12 e^{- 0,1625 t}$	=	$7$	\|: $12$
$e^{- 0,1625 t}$	=	$\frac{7}{12}$	\|ln(⋅)
$- 0,1625 t$	=	$\ln (\frac{7}{12})$	\|: $- 0,1625$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1625} \ln (\frac{7}{12})$	≈ 3.3169

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 32 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 1,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 32.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

32

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$32$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 5$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 2.7726

also k ≈ 2.7725887222398, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,7726 t}$

Wert zur Zeit 1.5: f(1.5)= $37 - 20 e^{- 2,7726 \cdot 1,5}$ ≈ 36.7

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,7726 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,7726 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,7726 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,7726 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,7726 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,7726$
$t$	=	$- \frac{1}{2,7726} \ln (0,005)$	≈ 1.911

also t=1.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2385 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 89 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 13 Monaten? b) Wann beträgt dieser 7407 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 89 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{89}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(8900 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=8900 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $8 900 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2385 ein (Punktprobe).

$2 385$	=	$8 900 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$2 385$	=	$8 900 - c$
$2 385$	=	$- c + 8 900$	\| $- 2 385$ $+ c$
$c$	=	$6 515$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $8 900 - 6 515 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $8 900 - 6 515 e^{- 0,01 \cdot 13}$ ≈ 3179.2

Wann wird der Wert 7407?: f(t)=7407

8 900 - 6 515 e^{- 0,01 t}

=

7 407

$- 6 515 e^{- 0,01 t} + 8 900$	=	$7 407$	\| $- 8 900$
$- 6 515 e^{- 0,01 t}$	=	$- 1 493$	\|: $- 6 515$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{1493}{6515}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{1493}{6515})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{1493}{6515})$	≈ 147.332

also t=147.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.