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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 16g vorhanden. Nach 4 Tagen sind nur noch 10,725g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 6 Tagen da? b) Wann sind nur noch 6g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $16 e^{k \cdot 4}$ = 10,7251.

$16 e^{4 k}$	=	$10,7251$	\|: $16$
$e^{4 k}$	=	$0,6703$	\|ln(⋅)
$4 k$	=	$\ln (0,6703)$	\|: $4$
$k$	=	$\frac{1}{4} \ln (0,6703)$	≈ -0.1

also k ≈ -0.10000747640456, => f(t)= $16 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $16 e^{- 0,1 \cdot 6}$ ≈ 8.8

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$16 e^{- 0,1 t}$	=	$6$	\|: $16$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{3}{8}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{3}{8})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{3}{8})$	≈ 9.8083

also t=9.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 13 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 19-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 31 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 38-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{13}$ ≈ 0.053319013889227

=> f(t)= $19 e^{0,0533 t}$

Wert zur Zeit 31: f(31)= $19 e^{0,0533 \cdot 31}$ ≈ 99.2

Wann wird der Wert 38?: f(t)=38

$19 e^{0,0533 t}$	=	$38$	\|: $19$
$e^{0,0533 t}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$0,0533 t$	=	$\ln (2)$	\|: $0,0533$
$t$	=	$\frac{1}{0,0533} \ln (2)$	≈ 13

also t=13

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 19% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 13 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.81) ≈ -0.21072103131565

=> f(t)= $13 e^{- 0,2107 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $13 e^{- 0,2107 \cdot 3}$ ≈ 6.9

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$13 e^{- 0,2107 t}$	=	$1$	\|: $13$
$e^{- 0,2107 t}$	=	$\frac{1}{13}$	\|ln(⋅)
$- 0,2107 t$	=	$\ln (\frac{1}{13})$	\|: $- 0,2107$
$t$	=	$- \frac{1}{0,2107} \ln (\frac{1}{13})$	≈ 12.1735

also t=12.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 32 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 2,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 32.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

32

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$32$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 5$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 2.7726

also k ≈ 2.7725887222398, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,7726 t}$

Wert zur Zeit 2.5: f(2.5)= $37 - 20 e^{- 2,7726 \cdot 2,5}$ ≈ 37

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,7726 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,7726 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,7726 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,7726 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,7726 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,7726$
$t$	=	$- \frac{1}{2,7726} \ln (0,005)$	≈ 1.911

also t=1.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2502 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 61 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 15 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1367 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 61 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{61}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(1220 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1220 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 220 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2502 ein (Punktprobe).

$2 502$	=	$1 220 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
$2 502$	=	$1 220 - c$
$2 502$	=	$- c + 1 220$	\| $- 2 502$ $+ c$
$c$	=	$- 1 282$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 220 + 1 282 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $1 220 + 1 282 e^{- 0,05 \cdot 15}$ ≈ 1825.6

Wann wird der Wert 1367?: f(t)=1367

1 220 + 1 282 e^{- 0,05 t}

=

1 367

$1 282 e^{- 0,05 t} + 1 220$	=	$1 367$	\| $- 1 220$
$1 282 e^{- 0,05 t}$	=	$147$	\|: $1 282$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{147}{1282}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{147}{1282})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{147}{1282})$	≈ 43.3149

also t=43.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $4 e^{- 0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,05$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,05}$ ≈ 13.863 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.