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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 20g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 18,097g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 14g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 20 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= 20 e k · 2 = 18,0967.

20 e 2k = 18,0967 |:20
e 2k = 0,9048 |ln(⋅)
2k = ln( 0,9048 ) |:2
k = 1 2 ln( 0,9048 ) ≈ -0.05

also k ≈ -0.050020677090113, => f(t)= 20 e -0,05t


Wert zur Zeit 5: f(5)= 20 e -0,055 ≈ 15.6


Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

20 e -0,05t = 14 |:20
e -0,05t = 7 10 |ln(⋅)
-0,05t = ln( 7 10 ) |:-0,05
t = - 1 0,05 ln( 7 10 ) ≈ 7.1335

also t=7.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 82 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 31 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 0,00002 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel TV= ln(2) k um zu
k= ln(2) T = ln(2) 6.02 ≈ 0.11514072766777


=> f(t)= 0,00002 e 0,1151t


Wert zur Zeit 82: f(82)= 0,00002 e 0,115182 ≈ 0.3


Wann wird der Wert 31?: f(t)=31

0,00002 e 0,1151t = 31 |:0,00002
e 0,1151t = 1550000 |ln(⋅)
0,1151t = ln( 1550000 ) |:0,1151
t = 1 0,1151 ln( 1550000 ) ≈ 123.794

also t=123.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 9% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 11 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 17 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 11 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.09) ≈ 0.086177696241052


=> f(t)= 11 e 0,0862t


Wert zur Zeit 4: f(4)= 11 e 0,08624 ≈ 15.5


Wann wird der Wert 17?: f(t)=17

11 e 0,0862t = 17 |:11
e 0,0862t = 17 11 |ln(⋅)
0,0862t = ln( 17 11 ) |:0,0862
t = 1 0,0862 ln( 17 11 ) ≈ 5.0501

also t=5.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 55° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 55 ist, gilt: f(0)= 55, also 55 = 20 - c · e -k · 0 = 20 - c = 20 - c

55 = 20 - c
55 = -c +20 | -55 + c
c = -35

somit gilt: f(t)= 20 +35 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= 20 +35 e -k · 2 = 53.

20 +35 e -2k = 53,0013
35 e -2k +20 = 53,0013 | -20
35 e -2k = 33,0013 |:35
e -2k = 0,9429 |ln(⋅)
-2k = ln( 0,9429 ) |:-2
k = - 1 2 ln( 0,9429 ) ≈ 0.0294

also k ≈ 0.029397523255253, => f(t)= 20 +35 e -0,0294t


Wert zur Zeit 2: f(2)= 20 +35 e -0,02942 ≈ 53


Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 +35 e -0,0294t = 50
35 e -0,0294t +20 = 50 | -20
35 e -0,0294t = 30 |:35
e -0,0294t = 6 7 |ln(⋅)
-0,0294t = ln( 6 7 ) |:-0,0294
t = - 1 0,0294 ln( 6 7 ) ≈ 5.2432

also t=5.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 2ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 10% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 9 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 11ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 2 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( 2 0.1 - f(t))

also f'(t) = 0.1(20 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=20 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 20 - c · e -0,1t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0 = 20 - c · e -0,10
0 = 20 - c
0 = -c +20 |0 + c
c = 20

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 20 -20 e -0,1x


Wert zur Zeit 9: f(9)= 20 -20 e -0,19 ≈ 11.9


Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

20 -20 e -0,1t = 11
-20 e -0,1t +20 = 11 | -20
-20 e -0,1t = -9 |:-20
e -0,1t = 9 20 |ln(⋅)
-0,1t = ln( 9 20 ) |:-0,1
t = - 1 0,1 ln( 9 20 ) ≈ 7.9851

also t=8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 5 e -0,08t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (-0,08 ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = -0,08 einfach in die Formel TH = - ln(2) k ein:

TH = - ln(2) -0,08 8.664 min