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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 3g vorhanden. Nach 4 Tagen sind nur noch 2,456g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 6 Tagen da? b) Wann sind nur noch 2g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 3 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= 3 e k · 4 = 2,4562.

3 e 4k = 2,4562 |:3
e 4k = 0,8187 |ln(⋅)
4k = ln( 0,8187 ) |:4
k = 1 4 ln( 0,8187 ) ≈ -0.05

also k ≈ -0.050009390649934, => f(t)= 3 e -0,05t


Wert zur Zeit 6: f(6)= 3 e -0,056 ≈ 2.2


Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

3 e -0,05t = 2 |:3
e -0,05t = 2 3 |ln(⋅)
-0,05t = ln( 2 3 ) |:-0,05
t = - 1 0,05 ln( 2 3 ) ≈ 8.1093

also t=8.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 100 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 31 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 0,00002 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel TV= ln(2) k um zu
k= ln(2) T = ln(2) 6.02 ≈ 0.11514072766777


=> f(t)= 0,00002 e 0,1151t


Wert zur Zeit 100: f(100)= 0,00002 e 0,1151100 ≈ 2


Wann wird der Wert 31?: f(t)=31

0,00002 e 0,1151t = 31 |:0,00002
e 0,1151t = 1550000 |ln(⋅)
0,1151t = ln( 1550000 ) |:0,1151
t = 1 0,1151 ln( 1550000 ) ≈ 123.794

also t=123.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 8% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 4 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 6 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 4 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.08) ≈ 0.076961041136128


=> f(t)= 4 e 0,077t


Wert zur Zeit 3: f(3)= 4 e 0,0773 ≈ 5


Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

4 e 0,077t = 6 |:4
e 0,077t = 3 2 |ln(⋅)
0,077t = ln( 3 2 ) |:0,077
t = 1 0,077 ln( 3 2 ) ≈ 5.2658

also t=5.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 32°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 19,22°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 10 Minuten? b) Wann ist sie 16°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=32 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = 32 - c · e -k · 0 = 32 - c = 32 - c

8 = 32 - c
8 = -c +32 | -8 + c
c = 24

somit gilt: f(t)= 32 -24 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= 32 -24 e -k · 9 = 19,22.

32 -24 e -9k = 19,2178
-24 e -9k +32 = 19,2178 | -32
-24 e -9k = -12,7822 |:-24
e -9k = 0,5326 |ln(⋅)
-9k = ln( 0,5326 ) |:-9
k = - 1 9 ln( 0,5326 ) ≈ 0.07

also k ≈ 0.069998289511367, => f(t)= 32 -24 e -0,07t


Wert zur Zeit 10: f(10)= 32 -24 e -0,0710 ≈ 20.1


Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

32 -24 e -0,07t = 16
-24 e -0,07t +32 = 16 | -32
-24 e -0,07t = -16 |:-24
e -0,07t = 2 3 |ln(⋅)
-0,07t = ln( 2 3 ) |:-0,07
t = - 1 0,07 ln( 2 3 ) ≈ 5.7924

also t=5.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 7ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 5% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 5 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 56ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 7 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( 7 0.05 - f(t))

also f'(t) = 0.05(140 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=140 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 140 - c · e -0,05t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0 = 140 - c · e -0,050
0 = 140 - c
0 = -c +140 |0 + c
c = 140

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 140 -140 e -0,05x


Wert zur Zeit 5: f(5)= 140 -140 e -0,055 ≈ 31


Wann wird der Wert 56?: f(t)=56

140 -140 e -0,05t = 56
-140 e -0,05t +140 = 56 | -140
-140 e -0,05t = -84 |:-140
e -0,05t = 3 5 |ln(⋅)
-0,05t = ln( 3 5 ) |:-0,05
t = - 1 0,05 ln( 3 5 ) ≈ 10.2165

also t=10.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 11 e 0,1t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (0,1 ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = 0,1 einfach in die Formel TV = ln(2) k ein:

TV = ln(2) 0,1 6.931 min