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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 76 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 80 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 76: f(76)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 76}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 80?: f(t)=80

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$80$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 000 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 000 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 000 000)$	≈ 132.0748
$t$	=	$\frac{2}{0,1151} \ln (2 000)$

also t=132.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 18 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 15-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 54 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 50-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{18}$ ≈ 0.038508176697775

=> f(t)= $15 e^{0,0385 t}$

Wert zur Zeit 54: f(54)= $15 e^{0,0385 \cdot 54}$ ≈ 120

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

$15 e^{0,0385 t}$	=	$50$	\|: $15$
$e^{0,0385 t}$	=	$\frac{10}{3}$	\|ln(⋅)
$0,0385 t$	=	$\ln (\frac{10}{3})$	\|: $0,0385$
$t$	=	$\frac{1}{0,0385} \ln (\frac{10}{3})$	≈ 31.2655

also t=31.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 15% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 18 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 34 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.15) ≈ 0.13976194237516

=> f(t)= $18 e^{0,1398 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $18 e^{0,1398 \cdot 4}$ ≈ 31.5

Wann wird der Wert 34?: f(t)=34

$18 e^{0,1398 t}$	=	$34$	\|: $18$
$e^{0,1398 t}$	=	$\frac{17}{9}$	\|ln(⋅)
$0,1398 t$	=	$\ln (\frac{17}{9})$	\|: $0,1398$
$t$	=	$\frac{1}{0,1398} \ln (\frac{17}{9})$	≈ 4.5493

also t=4.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 6° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 9,81°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 7 Minuten? b) Wann ist sie 8°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$6$	=	$27 - c$
$6$	=	$- c + 27$	\| $- 6$ $+ c$
$c$	=	$21$

somit gilt: f(t)= $27 - 21 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $27 - 21 e^{- k \cdot 4}$ = 9,81.

27 - 21 e^{- 4 k}

=

9,8067

$- 21 e^{- 4 k} + 27$	=	$9,8067$	\| $- 27$
$- 21 e^{- 4 k}$	=	$- 17,1933$	\|: $- 21$
$e^{- 4 k}$	=	$0,8187$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,8187)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,8187)$	≈ 0.05

also k ≈ 0.050009390649934, => f(t)= $27 - 21 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $27 - 21 e^{- 0,05 \cdot 7}$ ≈ 12.2

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

27 - 21 e^{- 0,05 t}

=

8

$- 21 e^{- 0,05 t} + 27$	=	$8$	\| $- 27$
$- 21 e^{- 0,05 t}$	=	$- 19$	\|: $- 21$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{19}{21}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{19}{21})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{19}{21})$	≈ 2.0017

also t=2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 4ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 5% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 8 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 57ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 4 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{4}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(80 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=80 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $80 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$80 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
0	=	$80 - c$
0	=	$- c + 80$	\|0 $+ c$
$c$	=	$80$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $80 - 80 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $80 - 80 e^{- 0,05 \cdot 8}$ ≈ 26.4

Wann wird der Wert 57?: f(t)=57

80 - 80 e^{- 0,05 t}

=

57

$- 80 e^{- 0,05 t} + 80$	=	$57$	\| $- 80$
$- 80 e^{- 0,05 t}$	=	$- 23$	\|: $- 80$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{23}{80}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{23}{80})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{23}{80})$	≈ 24.9306

also t=24.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $9 e^{- 0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,01$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,01}$ ≈ 69.315 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

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Exponentielles Wachstum mit Prozent

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Halbwerts- + Verdopplungszeit best.