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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 12g vorhanden. Nach 6 Tagen sind nur noch 8,89g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 9 Tagen da? b) Wann sind nur noch 7g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $12 e^{k \cdot 6}$ = 8,8898.

$12 e^{6 k}$	=	$8,8898$	\|: $12$
$e^{6 k}$	=	$0,7408$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (0,7408)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (0,7408)$	≈ -0.05

also k ≈ -0.050004099275028, => f(t)= $12 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $12 e^{- 0,05 \cdot 9}$ ≈ 7.7

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$12 e^{- 0,05 t}$	=	$7$	\|: $12$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{7}{12}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{7}{12})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{7}{12})$	≈ 10.7799

also t=10.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 134 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 11g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 223 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 5,5g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{134}$ ≈ -0.0051727401534324

=> f(t)= $11 e^{- 0,0052 t}$

Wert zur Zeit 223: f(223)= $11 e^{- 0,0052 \cdot 223}$ ≈ 3.5

Wann wird der Wert 5.5?: f(t)=5.5

$11 e^{- 0,0052 t}$	=	$5,5$	\|: $11$
$e^{- 0,0052 t}$	=	$0,5$	\|ln(⋅)
$- 0,0052 t$	=	$\ln (0,5)$	\|: $- 0,0052$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0052} \ln (0,5)$	≈ 133.9933

also t=134

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 76% der Masse da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.92) ≈ -0.083381608939051

=> f(t)= $100 e^{- 0,0834 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,0834 \cdot 4}$ ≈ 71.6

Wann wird der Wert 76?: f(t)=76

$100 e^{- 0,0834 t}$	=	$76$	\|: $100$
$e^{- 0,0834 t}$	=	$\frac{19}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,0834 t$	=	$\ln (\frac{19}{25})$	\|: $- 0,0834$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0834} \ln (\frac{19}{25})$	≈ 3.2906

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 31 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 3,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 31.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

30,9999

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$30,9999$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 6,0001$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,3$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,3)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,3)$	≈ 2.4079

also k ≈ 2.4079456086519, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,4079 t}$

Wert zur Zeit 3.5: f(3.5)= $37 - 20 e^{- 2,4079 \cdot 3,5}$ ≈ 37

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,4079 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,4079 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,4079 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,4079 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,4079 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,4079$
$t$	=	$- \frac{1}{2,4079} \ln (0,005)$	≈ 2.2004

also t=2.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,2% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 9 Jahren, wenn jedes Jahr 0,7 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 71 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.7 - 0.012⋅f(t)

wenn man 0.012 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.012( $\frac{0.7}{0.012}$ - f(t))

also f'(t) = 0.012(58.33 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=58.33 und der Wachstumsfaktor k=0.012 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $58,33 - c \cdot e^{- 0,012 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$58,33 - c \cdot e^{- 0,012 \cdot 0}$
$80$	=	$58,33 - c$
$80$	=	$- c + 58,33$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 21,67$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $58,33 + 21,67 e^{- 0,012 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $58,33 + 21,67 e^{- 0,012 \cdot 9}$ ≈ 77.8

Wann wird der Wert 71?: f(t)=71

58,33 + 21,67 e^{- 0,012 t}

=

71

$21,67 e^{- 0,012 t} + 58,33$	=	$71$	\| $- 58,33$
$21,67 e^{- 0,012 t}$	=	$12,67$	\|: $21,67$
$e^{- 0,012 t}$	=	$0,5847$	\|ln(⋅)
$- 0,012 t$	=	$\ln (0,5847)$	\|: $- 0,012$
$t$	=	$- \frac{1}{0,012} \ln (0,5847)$	≈ 44.7214

also t=44.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{- 0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,1$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.