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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 100 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 22 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 100: f(100)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 100}$ ≈ 2

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$22$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 100 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 100 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 100 000)$	≈ 120.8586

also t=120.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 13 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 9-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 38 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 11,25-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{13}$ ≈ 0.053319013889227

=> f(t)= $9 e^{0,0533 t}$

Wert zur Zeit 38: f(38)= $9 e^{0,0533 \cdot 38}$ ≈ 68.3

Wann wird der Wert 11.25?: f(t)=11.25

$9 e^{0,0533 t}$	=	$11,25$	\|: $9$
$e^{0,0533 t}$	=	$1,25$	\|ln(⋅)
$0,0533 t$	=	$\ln (1,25)$	\|: $0,0533$
$t$	=	$\frac{1}{0,0533} \ln (1,25)$	≈ 4.1851

also t=4.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 7% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 72% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.93) ≈ -0.072570692834835

=> f(t)= $100 e^{- 0,0726 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,0726 \cdot 3}$ ≈ 80.4

Wann wird der Wert 72?: f(t)=72

$100 e^{- 0,0726 t}$	=	$72$	\|: $100$
$e^{- 0,0726 t}$	=	$\frac{18}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,0726 t$	=	$\ln (\frac{18}{25})$	\|: $- 0,0726$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0726} \ln (\frac{18}{25})$	≈ 4.5248

also t=4.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 55° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 54,01° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 55 ist, gilt: f(0)= 55, also 55 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$55$	=	$20 - c$
$55$	=	$- c + 20$	\| $- 55$ $+ c$
$c$	=	$- 35$

somit gilt: f(t)= $20 + 35 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 35 e^{- k \cdot 4}$ = 54,01.

20 + 35 e^{- 4 k}

=

54,0064

$35 e^{- 4 k} + 20$	=	$54,0064$	\| $- 20$
$35 e^{- 4 k}$	=	$34,0064$	\|: $35$
$e^{- 4 k}$	=	$0,9716$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,9716)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,9716)$	≈ 0.0072

also k ≈ 0.0072027704635299, => f(t)= $20 + 35 e^{- 0,0072 t}$

Wert zur Zeit 1: f(1)= $20 + 35 e^{- 0,0072 \cdot 1}$ ≈ 54.7

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 35 e^{- 0,0072 t}

=

50

$35 e^{- 0,0072 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$35 e^{- 0,0072 t}$	=	$30$	\|: $35$
$e^{- 0,0072 t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,0072 t$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 0,0072$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0072} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 21.4098

also t=21.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 5 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 73 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.011⋅f(t)

wenn man 0.011 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.011( $\frac{0.6}{0.011}$ - f(t))

also f'(t) = 0.011(54.55 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=54.55 und der Wachstumsfaktor k=0.011 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $54,55 - c \cdot e^{- 0,011 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$54,55 - c \cdot e^{- 0,011 \cdot 0}$
$80$	=	$54,55 - c$
$80$	=	$- c + 54,55$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 25,45$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $54,55 + 25,45 e^{- 0,011 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $54,55 + 25,45 e^{- 0,011 \cdot 5}$ ≈ 78.6

Wann wird der Wert 73?: f(t)=73

54,55 + 25,45 e^{- 0,011 t}

=

73

$25,45 e^{- 0,011 t} + 54,55$	=	$73$	\| $- 54,55$
$25,45 e^{- 0,011 t}$	=	$18,45$	\|: $25,45$
$e^{- 0,011 t}$	=	$0,725$	\|ln(⋅)
$- 0,011 t$	=	$\ln (0,725)$	\|: $- 0,011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,011} \ln (0,725)$	≈ 29.2349

also t=29.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $12 e^{0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,09$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.