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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 8g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 3,894g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 4g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 8 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= 8 e k · 9 = 3,894.

8 e 9k = 3,894 |:8
e 9k = 0,4868 |ln(⋅)
9k = ln( 0,4868 ) |:9
k = 1 9 ln( 0,4868 ) ≈ -0.08

also k ≈ -0.079989101985418, => f(t)= 8 e -0,08t


Wert zur Zeit 10: f(10)= 8 e -0,0810 ≈ 3.6


Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

8 e -0,08t = 4 |:8
e -0,08t = 1 2 |ln(⋅)
-0,08t = ln( 1 2 ) |:-0,08
t = - 1 0,08 ln( 1 2 ) ≈ 8.6643

also t=8.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 17 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 16-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 51 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 17,78-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 16 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel TV= ln(2) k um zu
k= ln(2) T = ln(2) 17 ≈ 0.04077336356235


=> f(t)= 16 e 0,0408t


Wert zur Zeit 51: f(51)= 16 e 0,040851 ≈ 128


Wann wird der Wert 17.78?: f(t)=17.78

16 e 0,0408t = 17,78 |:16
e 0,0408t = 1,1113 |ln(⋅)
0,0408t = ln( 1,1113 ) |:0,0408
t = 1 0,0408 ln( 1,1113 ) ≈ 2.5882

also t=2.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 13% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 9 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 13 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 9 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.13) ≈ 0.12221763272425


=> f(t)= 9 e 0,1222t


Wert zur Zeit 3: f(3)= 9 e 0,12223 ≈ 13


Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

9 e 0,1222t = 13 |:9
e 0,1222t = 13 9 |ln(⋅)
0,1222t = ln( 13 9 ) |:0,1222
t = 1 0,1222 ln( 13 9 ) ≈ 3.0092

also t=3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 29 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 1,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = 37 - c · e -k · 0 = 37 - c = 37 - c

17 = 37 - c
17 = -c +37 | -17 + c
c = 20

somit gilt: f(t)= 37 -20 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= 37 -20 e -k · 0,5 = 29.

37 -20 e -0,5k = 29,0001
-20 e -0,5k +37 = 29,0001 | -37
-20 e -0,5k = -7,9999 |:-20
e -0,5k = 0,4 |ln(⋅)
-0,5k = ln( 0,4 ) |:-0,5
k = - 1 0,5 ln( 0,4 ) ≈ 1.8326

also k ≈ 1.8325814637483, => f(t)= 37 -20 e -1,8326t


Wert zur Zeit 1.5: f(1.5)= 37 -20 e -1,83261,5 ≈ 35.7


Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 -20 e -1,8326t = 36,9
-20 e -1,8326t +37 = 36,9 | -37
-20 e -1,8326t = -0,1 |:-20
e -1,8326t = 0,005 |ln(⋅)
-1,8326t = ln( 0,005 ) |:-1,8326
t = - 1 1,8326 ln( 0,005 ) ≈ 2.8911

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,2% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 12 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 71 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.012⋅f(t)

wenn man 0.012 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.012( 0.6 0.012 - f(t))

also f'(t) = 0.012(50 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=50 und der Wachstumsfaktor k=0.012 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 50 - c · e -0,012t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

80 = 50 - c · e -0,0120
80 = 50 - c
80 = -c +50 | -80 + c
c = -30

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 50 +30 e -0,012x


Wert zur Zeit 12: f(12)= 50 +30 e -0,01212 ≈ 76


Wann wird der Wert 71?: f(t)=71

50 +30 e -0,012t = 71
30 e -0,012t +50 = 71 | -50
30 e -0,012t = 21 |:30
e -0,012t = 7 10 |ln(⋅)
-0,012t = ln( 7 10 ) |:-0,012
t = - 1 0,012 ln( 7 10 ) ≈ 29.7229

also t=29.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 15 e 0,03t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (0,03 ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = 0,03 einfach in die Formel TV = ln(2) k ein:

TV = ln(2) 0,03 23.105 min