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cosh
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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 17g vorhanden. Nach 4 Tagen sind nur noch 11,395g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 1g davon übrig?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= = 11,3954.
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= | |: | ||
= | ≈ -0.1 |
also k ≈ -0.10000747640456, => f(t)=
Wert zur Zeit 5: f(5)= ≈ 10.3
Wann wird der Wert 1?: f(t)=1
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= | |: | ||
= | ≈ 28.3321 |
also t=28.3
Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit
Beispiel:
Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 12 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 13-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 18 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 18,57-Tausend Euro gestiegen?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Wir berechnen k über die Verdopplungszeit.
Dazu stellen wir die Formel TV= um zu
k==
≈ 0.057762265046662
=> f(t)=
Wert zur Zeit 18: f(18)= ≈ 36.8
Wann wird der Wert 18.57?: f(t)=18.57
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= | |: | ||
= | ≈ 6.174 |
also t=6.2
Exponentielles Wachstum mit Prozent
Beispiel:
Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 11% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 10 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 3 Lux?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595
=> f(t)=
Wert zur Zeit 4: f(4)= ≈ 6.3
Wann wird der Wert 3?: f(t)=3
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= | |: | ||
= | ≈ 10.3345 |
also t=10.3
beschränktes Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 32 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 2,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?
Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.
Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = = =
= | |||
= | | | ||
= |
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= = 32.
= | | | ||
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= | |: | ||
= | ≈ 2.7726 |
also k ≈ 2.7725887222398, => f(t)=
Wert zur Zeit 2.5: f(2.5)= ≈ 37
Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9
= | | | ||
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= | |: | ||
= | ≈ 1.911 |
also t=1.9
beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung
Beispiel:
Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3384 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 60 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 5 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2208 Wörter ?
Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:
f'(t) = 60 - 0.05⋅f(t)
wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung
f'(t) = 0.05( - f(t))
also f'(t) = 0.05(1200 - f(t))
das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))
Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1200 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.
Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= haben.
Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3384 ein (Punktprobe).
= | |||
= | |||
= | | | ||
= |
somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)=
Wert zur Zeit 5: f(5)= ≈ 2900.9
Wann wird der Wert 2208?: f(t)=2208
= | | | ||
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= | |: | ||
= | ≈ 15.4638 |
also t=15.5
Halbwerts- + Verdopplungszeit best.
Beispiel:
Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.
Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent () erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.
Dazu setzen wir k = einfach in die Formel TV = ein:
TV = ≈ 11.552 min