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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 17 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 22,948 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 13 Stunden? b) Wann waren es 22 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $17 e^{k \cdot 10}$ = 22,9476.

$17 e^{10 k}$	=	$22,9476$	\|: $17$
$e^{10 k}$	=	$1,3499$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (1,3499)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (1,3499)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.030003051563264, => f(t)= $17 e^{0,03 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $17 e^{0,03 \cdot 13}$ ≈ 25.1

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

$17 e^{0,03 t}$	=	$22$	\|: $17$
$e^{0,03 t}$	=	$\frac{22}{17}$	\|ln(⋅)
$0,03 t$	=	$\ln (\frac{22}{17})$	\|: $0,03$
$t$	=	$\frac{1}{0,03} \ln (\frac{22}{17})$	≈ 8.5943

also t=8.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 75 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 99 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 75: f(75)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 75}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 99?: f(t)=99

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$99$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 950 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 950 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 950 000)$	≈ 133.8784

also t=133.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 11% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 10 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 5 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595

=> f(t)= $10 e^{- 0,1165 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $10 e^{- 0,1165 \cdot 4}$ ≈ 6.3

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$10 e^{- 0,1165 t}$	=	$5$	\|: $10$
$e^{- 0,1165 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,1165 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,1165$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1165} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 5.9498

also t=5.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 40 e^{- k \cdot 4}$ = 53.

20 + 40 e^{- 4 k}

=

52,9991

$40 e^{- 4 k} + 20$	=	$52,9991$	\| $- 20$
$40 e^{- 4 k}$	=	$32,9991$	\|: $40$
$e^{- 4 k}$	=	$0,825$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,825)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,825)$	≈ 0.0481

also k ≈ 0.048092973161864, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,0481 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 40 e^{- 0,0481 \cdot 2}$ ≈ 56.3

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,0481 t}

=

50

$40 e^{- 0,0481 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,0481 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,0481 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,0481 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,0481$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0481} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 5.9809

also t=6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2771 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 76 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 14 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1287 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 76 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{76}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(760 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=760 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $760 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2771 ein (Punktprobe).

$2 771$	=	$760 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$2 771$	=	$760 - c$
$2 771$	=	$- c + 760$	\| $- 2 771$ $+ c$
$c$	=	$- 2 011$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $760 + 2 011 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $760 + 2 011 e^{- 0,1 \cdot 14}$ ≈ 1255.9

Wann wird der Wert 1287?: f(t)=1287

760 + 2 011 e^{- 0,1 t}

=

1 287

$2 011 e^{- 0,1 t} + 760$	=	$1 287$	\| $- 760$
$2 011 e^{- 0,1 t}$	=	$527$	\|: $2 011$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{527}{2011}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{527}{2011})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{527}{2011})$	≈ 13.3919

also t=13.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $16 e^{- 0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,03$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.