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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 11g vorhanden. Nach 7 Tagen sind nur noch 7,228g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 9 Tagen da? b) Wann sind nur noch 6g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $11 e^{k \cdot 7}$ = 7,2275.

$11 e^{7 k}$	=	$7,2275$	\|: $11$
$e^{7 k}$	=	$0,657$	\|ln(⋅)
$7 k$	=	$\ln (0,657)$	\|: $7$
$k$	=	$\frac{1}{7} \ln (0,657)$	≈ -0.06

also k ≈ -0.060010180071075, => f(t)= $11 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $11 e^{- 0,06 \cdot 9}$ ≈ 6.4

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$11 e^{- 0,06 t}$	=	$6$	\|: $11$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{6}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{6}{11})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{6}{11})$	≈ 10.1023

also t=10.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 70 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 43 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 70: f(70)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 70}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 43?: f(t)=43

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$43$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 150 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 150 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 150 000)$	≈ 126.6358

also t=126.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 13% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 10 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 14 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.13) ≈ 0.12221763272425

=> f(t)= $10 e^{0,1222 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $10 e^{0,1222 \cdot 2}$ ≈ 12.8

Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

$10 e^{0,1222 t}$	=	$14$	\|: $10$
$e^{0,1222 t}$	=	$\frac{7}{5}$	\|ln(⋅)
$0,1222 t$	=	$\ln (\frac{7}{5})$	\|: $0,1222$
$t$	=	$\frac{1}{0,1222} \ln (\frac{7}{5})$	≈ 2.7535

also t=2.8

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 7,78°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 7 Minuten? b) Wann ist sie 24°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$7$	=	$27 - c$
$7$	=	$- c + 27$	\| $- 7$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $27 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $27 - 20 e^{- k \cdot 4}$ = 7,78.

27 - 20 e^{- 4 k}

=

7,7842

$- 20 e^{- 4 k} + 27$	=	$7,7842$	\| $- 27$
$- 20 e^{- 4 k}$	=	$- 19,2158$	\|: $- 20$
$e^{- 4 k}$	=	$0,9608$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,9608)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,9608)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.0099972520540908, => f(t)= $27 - 20 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $27 - 20 e^{- 0,01 \cdot 7}$ ≈ 8.4

Wann wird der Wert 24?: f(t)=24

27 - 20 e^{- 0,01 t}

=

24

$- 20 e^{- 0,01 t} + 27$	=	$24$	\| $- 27$
$- 20 e^{- 0,01 t}$	=	$- 3$	\|: $- 20$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{3}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{3}{20})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{3}{20})$	≈ 189.712

also t=189.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,2% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 7 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 62 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.012⋅f(t)

wenn man 0.012 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.012( $\frac{0.6}{0.012}$ - f(t))

also f'(t) = 0.012(50 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=50 und der Wachstumsfaktor k=0.012 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $50 - c \cdot e^{- 0,012 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$50 - c \cdot e^{- 0,012 \cdot 0}$
$80$	=	$50 - c$
$80$	=	$- c + 50$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 30$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $50 + 30 e^{- 0,012 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $50 + 30 e^{- 0,012 \cdot 7}$ ≈ 77.6

Wann wird der Wert 62?: f(t)=62

50 + 30 e^{- 0,012 t}

=

62

$30 e^{- 0,012 t} + 50$	=	$62$	\| $- 50$
$30 e^{- 0,012 t}$	=	$12$	\|: $30$
$e^{- 0,012 t}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,012 t$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 0,012$
$t$	=	$- \frac{1}{0,012} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 76.3576

also t=76.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $18 e^{0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,09$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.