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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 6 Millionen Algen im Teich. Nach 3 Stunden sind es 7,183 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 6 Stunden? b) Wann waren es 10 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $6 e^{k \cdot 3}$ = 7,1833.

$6 e^{3 k}$	=	$7,1833$	\|: $6$
$e^{3 k}$	=	$1,1972$	\|ln(⋅)
$3 k$	=	$\ln (1,1972)$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{1}{3} \ln (1,1972)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.059995165665469, => f(t)= $6 e^{0,06 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $6 e^{0,06 \cdot 6}$ ≈ 8.6

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$6 e^{0,06 t}$	=	$10$	\|: $6$
$e^{0,06 t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$0,06 t$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $0,06$
$t$	=	$\frac{1}{0,06} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 8.5138

also t=8.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1333 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2207? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,8 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1333}$ ≈ -0.00051999038301571

=> f(t)= $e^{- 0,00052 t}$

Wert zur Zeit 207: f(207)= $e^{- 0,00052 \cdot 207}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.8?: f(t)=0.8

$e^{- 0,00052 t}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 0,00052 t$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 0,00052$
$t$	=	$- \frac{1}{0,00052} \ln (0,8)$	≈ 429.1222

also t=429.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 3% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 8 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 9 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.03) ≈ 0.029558802241544

=> f(t)= $8 e^{0,0296 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $8 e^{0,0296 \cdot 5}$ ≈ 9.3

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$8 e^{0,0296 t}$	=	$9$	\|: $8$
$e^{0,0296 t}$	=	$\frac{9}{8}$	\|ln(⋅)
$0,0296 t$	=	$\ln (\frac{9}{8})$	\|: $0,0296$
$t$	=	$\frac{1}{0,0296} \ln (\frac{9}{8})$	≈ 3.9792

also t=4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 32°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 7,57°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 13 Minuten? b) Wann ist sie 16°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=32 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $32 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $32 - c$ = $32 - c$

$5$	=	$32 - c$
$5$	=	$- c + 32$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$27$

somit gilt: f(t)= $32 - 27 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $32 - 27 e^{- k \cdot 10}$ = 7,57.

32 - 27 e^{- 10 k}

=

7,5694

$- 27 e^{- 10 k} + 32$	=	$7,5694$	\| $- 32$
$- 27 e^{- 10 k}$	=	$- 24,4306$	\|: $- 27$
$e^{- 10 k}$	=	$0,9048$	\|ln(⋅)
$- 10 k$	=	$\ln (0,9048)$	\|: $- 10$
$k$	=	$- \frac{1}{10} \ln (0,9048)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.010004135418023, => f(t)= $32 - 27 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $32 - 27 e^{- 0,01 \cdot 13}$ ≈ 8.3

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

32 - 27 e^{- 0,01 t}

=

16

$- 27 e^{- 0,01 t} + 32$	=	$16$	\| $- 32$
$- 27 e^{- 0,01 t}$	=	$- 16$	\|: $- 27$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{16}{27}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{16}{27})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{16}{27})$	≈ 52.3248

also t=52.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 2% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2303 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 89 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 14 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3906 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 89 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{89}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(4450 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=4450 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $4 450 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2303 ein (Punktprobe).

$2 303$	=	$4 450 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
$2 303$	=	$4 450 - c$
$2 303$	=	$- c + 4 450$	\| $- 2 303$ $+ c$
$c$	=	$2 147$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $4 450 - 2 147 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $4 450 - 2 147 e^{- 0,02 \cdot 14}$ ≈ 2827.3

Wann wird der Wert 3906?: f(t)=3906

4 450 - 2 147 e^{- 0,02 t}

=

3 906

$- 2 147 e^{- 0,02 t} + 4 450$	=	$3 906$	\| $- 4 450$
$- 2 147 e^{- 0,02 t}$	=	$- 544$	\|: $- 2 147$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{544}{2147}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{544}{2147})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{544}{2147})$	≈ 68.6439

also t=68.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $6 e^{0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,04$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.