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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 9 Millionen Algen im Teich. Nach 2 Stunden sind es 10,775 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 5 Stunden? b) Wann waren es 16 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $9 e^{k \cdot 2}$ = 10,775.

$9 e^{2 k}$	=	$10,775$	\|: $9$
$e^{2 k}$	=	$1,1972$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (1,1972)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (1,1972)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.089992748498203, => f(t)= $9 e^{0,09 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $9 e^{0,09 \cdot 5}$ ≈ 14.1

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

$9 e^{0,09 t}$	=	$16$	\|: $9$
$e^{0,09 t}$	=	$\frac{16}{9}$	\|ln(⋅)
$0,09 t$	=	$\ln (\frac{16}{9})$	\|: $0,09$
$t$	=	$\frac{1}{0,09} \ln (\frac{16}{9})$	≈ 6.3929

also t=6.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 82 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 90 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 82: f(82)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 82}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 90?: f(t)=90

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$90$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 500 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 500 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 500 000)$	≈ 133.0507

also t=133.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 15% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 7 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 2 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.85) ≈ -0.16251892949777

=> f(t)= $7 e^{- 0,1625 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $7 e^{- 0,1625 \cdot 2}$ ≈ 5.1

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$7 e^{- 0,1625 t}$	=	$2$	\|: $7$
$e^{- 0,1625 t}$	=	$\frac{2}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,1625 t$	=	$\ln (\frac{2}{7})$	\|: $- 0,1625$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1625} \ln (\frac{2}{7})$	≈ 7.7093

also t=7.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 57° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 57 ist, gilt: f(0)= 57, also 57 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$57$	=	$20 - c$
$57$	=	$- c + 20$	\| $- 57$ $+ c$
$c$	=	$- 37$

somit gilt: f(t)= $20 + 37 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 37 e^{- k \cdot 5}$ = 51.

20 + 37 e^{- 5 k}

=

50,9979

$37 e^{- 5 k} + 20$	=	$50,9979$	\| $- 20$
$37 e^{- 5 k}$	=	$30,9979$	\|: $37$
$e^{- 5 k}$	=	$0,8378$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,8378)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,8378)$	≈ 0.0354

also k ≈ 0.035395174093841, => f(t)= $20 + 37 e^{- 0,0354 t}$

Wert zur Zeit 1: f(1)= $20 + 37 e^{- 0,0354 \cdot 1}$ ≈ 55.7

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 37 e^{- 0,0354 t}

=

50

$37 e^{- 0,0354 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$37 e^{- 0,0354 t}$	=	$30$	\|: $37$
$e^{- 0,0354 t}$	=	$\frac{30}{37}$	\|ln(⋅)
$- 0,0354 t$	=	$\ln (\frac{30}{37})$	\|: $- 0,0354$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0354} \ln (\frac{30}{37})$	≈ 5.9243

also t=5.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 6ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 11 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 248ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 6 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{6}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(300 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=300 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $300 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$300 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
0	=	$300 - c$
0	=	$- c + 300$	\|0 $+ c$
$c$	=	$300$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $300 - 300 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $300 - 300 e^{- 0,02 \cdot 11}$ ≈ 59.2

Wann wird der Wert 248?: f(t)=248

300 - 300 e^{- 0,02 t}

=

248

$- 300 e^{- 0,02 t} + 300$	=	$248$	\| $- 300$
$- 300 e^{- 0,02 t}$	=	$- 52$	\|: $- 300$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{13}{75}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{13}{75})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{13}{75})$	≈ 87.6269

also t=87.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $3 e^{0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,07$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.