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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 11g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 9,374g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 4 Tagen da? b) Wann sind nur noch 4g davon übrig?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= = 9,3736.
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ -0.08 |
also k ≈ -0.080025694074113, => f(t)=
Wert zur Zeit 4: f(4)= ≈ 8
Wann wird der Wert 4?: f(t)=4
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 12.645 |
also t=12.6
Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit
Beispiel:
Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 363 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 6g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 946 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 4,8g Gaußium da?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Wir berechnen k über die Halbwertszeit.
Dazu stellen wir die Formel TH= um zu
k==
≈ -0.0019094963651789
=> f(t)=
Wert zur Zeit 946: f(946)= ≈ 1
Wann wird der Wert 4.8?: f(t)=4.8
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 116.8903 |
also t=116.9
Exponentielles Wachstum mit Prozent
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 9% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 4 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 6 Millarden?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.09) ≈ 0.086177696241052
=> f(t)=
Wert zur Zeit 3: f(3)= ≈ 5.2
Wann wird der Wert 6?: f(t)=6
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 4.7038 |
also t=4.7
beschränktes Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 10,15°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 19°C warm?
Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.
Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = = =
| = | |||
| = | | | ||
| = |
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= = 10,15.
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 0.03 |
also k ≈ 0.030005760649933, => f(t)=
Wert zur Zeit 6: f(6)= ≈ 11.1
Wann wird der Wert 19?: f(t)=19
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 28.8332 |
also t=28.8
beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung
Beispiel:
Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,4% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 13 Jahren, wenn jedes Jahr 0,4 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 64 Millionen Einwohner?
Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:
f'(t) = 0.4 - 0.014⋅f(t)
wenn man 0.014 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung
f'(t) = 0.014( - f(t))
also f'(t) = 0.014(28.57 - f(t))
das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))
Wir wissen nun also, dass die Schranke S=28.57 und der Wachstumsfaktor k=0.014 sein müssen.
Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= haben.
Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = |
somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)=
Wert zur Zeit 13: f(13)= ≈ 71.4
Wann wird der Wert 64?: f(t)=64
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 26.6185 |
also t=26.6
Halbwerts- + Verdopplungszeit best.
Beispiel:
Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.
Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent () erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.
Dazu setzen wir k = einfach in die Formel TH = - ein:
TH = - ≈ 7.702 min
