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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 9 Millionen Algen im Teich. Nach 3 Stunden sind es 9,848 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 6 Stunden? b) Wann waren es 11 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $9 e^{k \cdot 3}$ = 9,8476.

$9 e^{3 k}$	=	$9,8476$	\|: $9$
$e^{3 k}$	=	$1,0942$	\|ln(⋅)
$3 k$	=	$\ln (1,0942)$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{1}{3} \ln (1,0942)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.030007834215863, => f(t)= $9 e^{0,03 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $9 e^{0,03 \cdot 6}$ ≈ 10.8

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

$9 e^{0,03 t}$	=	$11$	\|: $9$
$e^{0,03 t}$	=	$\frac{11}{9}$	\|ln(⋅)
$0,03 t$	=	$\ln (\frac{11}{9})$	\|: $0,03$
$t$	=	$\frac{1}{0,03} \ln (\frac{11}{9})$	≈ 6.689

also t=6.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 13 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 19-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 39 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 38-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{13}$ ≈ 0.053319013889227

=> f(t)= $19 e^{0,0533 t}$

Wert zur Zeit 39: f(39)= $19 e^{0,0533 \cdot 39}$ ≈ 152

Wann wird der Wert 38?: f(t)=38

$19 e^{0,0533 t}$	=	$38$	\|: $19$
$e^{0,0533 t}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$0,0533 t$	=	$\ln (2)$	\|: $0,0533$
$t$	=	$\frac{1}{0,0533} \ln (2)$	≈ 13

also t=13

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 12% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 5 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 9 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.12) ≈ 0.113328685307

=> f(t)= $5 e^{0,1133 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $5 e^{0,1133 \cdot 2}$ ≈ 6.3

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$5 e^{0,1133 t}$	=	$9$	\|: $5$
$e^{0,1133 t}$	=	$\frac{9}{5}$	\|ln(⋅)
$0,1133 t$	=	$\ln (\frac{9}{5})$	\|: $0,1133$
$t$	=	$\frac{1}{0,1133} \ln (\frac{9}{5})$	≈ 5.1879

also t=5.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 29 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 1,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 29.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

29,0001

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$29,0001$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 7,9999$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,4)$	≈ 1.8326

also k ≈ 1.8325814637483, => f(t)= $37 - 20 e^{- 1,8326 t}$

Wert zur Zeit 1.5: f(1.5)= $37 - 20 e^{- 1,8326 \cdot 1,5}$ ≈ 35.7

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 1,8326 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 1,8326 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 1,8326 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 1,8326 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 1,8326 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 1,8326$
$t$	=	$- \frac{1}{1,8326} \ln (0,005)$	≈ 2.8911

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,5% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 8 Jahren, wenn jedes Jahr 0,4 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 80 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.4 - 0.015⋅f(t)

wenn man 0.015 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.015( $\frac{0.4}{0.015}$ - f(t))

also f'(t) = 0.015(26.67 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=26.67 und der Wachstumsfaktor k=0.015 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $26,67 - c \cdot e^{- 0,015 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$26,67 - c \cdot e^{- 0,015 \cdot 0}$
$80$	=	$26,67 - c$
$80$	=	$- c + 26,67$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 53,33$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $26,67 + 53,33 e^{- 0,015 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $26,67 + 53,33 e^{- 0,015 \cdot 8}$ ≈ 74

Wann wird der Wert 80?: f(t)=80

26,67 + 53,33 e^{- 0,015 t}

=

80

$53,33 e^{- 0,015 t} + 26,67$	=	$80$	\| $- 26,67$
$53,33 e^{- 0,015 t}$	=	$53,33$	\|: $53,33$
$e^{- 0,015 t}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 0,015 t$	=	0	\|: $- 0,015$
$t$	=	0	≈ 0

also t=0

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $12 e^{- 0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,05$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,05}$ ≈ 13.863 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.