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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 83 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 97 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 83: f(83)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 83}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 97?: f(t)=97

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$97$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 850 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 850 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 850 000)$	≈ 133.7488

also t=133.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 18 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 14-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 37 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 35-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{18}$ ≈ 0.038508176697775

=> f(t)= $14 e^{0,0385 t}$

Wert zur Zeit 37: f(37)= $14 e^{0,0385 \cdot 37}$ ≈ 58.2

Wann wird der Wert 35?: f(t)=35

$14 e^{0,0385 t}$	=	$35$	\|: $14$
$e^{0,0385 t}$	=	$\frac{5}{2}$	\|ln(⋅)
$0,0385 t$	=	$\ln (\frac{5}{2})$	\|: $0,0385$
$t$	=	$\frac{1}{0,0385} \ln (\frac{5}{2})$	≈ 23.7948

also t=23.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 4% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 6 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 7 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.04) ≈ 0.039220713153281

=> f(t)= $6 e^{0,0392 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $6 e^{0,0392 \cdot 5}$ ≈ 7.3

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$6 e^{0,0392 t}$	=	$7$	\|: $6$
$e^{0,0392 t}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$0,0392 t$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $0,0392$
$t$	=	$\frac{1}{0,0392} \ln (\frac{7}{6})$	≈ 3.9324

also t=3.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 55° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 55 ist, gilt: f(0)= 55, also 55 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$55$	=	$20 - c$
$55$	=	$- c + 20$	\| $- 55$ $+ c$
$c$	=	$- 35$

somit gilt: f(t)= $20 + 35 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 35 e^{- k \cdot 4}$ = 51.

20 + 35 e^{- 4 k}

=

51,005

$35 e^{- 4 k} + 20$	=	$51,005$	\| $- 20$
$35 e^{- 4 k}$	=	$31,005$	\|: $35$
$e^{- 4 k}$	=	$0,8859$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,8859)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,8859)$	≈ 0.0303

also k ≈ 0.030287800391038, => f(t)= $20 + 35 e^{- 0,0303 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 35 e^{- 0,0303 \cdot 3}$ ≈ 52

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 35 e^{- 0,0303 t}

=

50

$35 e^{- 0,0303 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$35 e^{- 0,0303 t}$	=	$30$	\|: $35$
$e^{- 0,0303 t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,0303 t$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 0,0303$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0303} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 5.0875

also t=5.1

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2666 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 79 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 8 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2273 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 79 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{79}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(1975 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1975 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 975 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2666 ein (Punktprobe).

$2 666$	=	$1 975 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$2 666$	=	$1 975 - c$
$2 666$	=	$- c + 1 975$	\| $- 2 666$ $+ c$
$c$	=	$- 691$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 975 + 691 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $1 975 + 691 e^{- 0,04 \cdot 8}$ ≈ 2476.8

Wann wird der Wert 2273?: f(t)=2273

1 975 + 691 e^{- 0,04 t}

=

2 273

$691 e^{- 0,04 t} + 1 975$	=	$2 273$	\| $- 1 975$
$691 e^{- 0,04 t}$	=	$298$	\|: $691$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{298}{691}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{298}{691})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{298}{691})$	≈ 21.0262

also t=21

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $5 e^{- 0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,01$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,01}$ ≈ 69.315 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

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