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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 20 Millionen Algen im Teich. Nach 9 Stunden sind es 21,883 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 10 Stunden? b) Wann waren es 22 Milionen Algen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 20 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= 20 e k · 9 = 21,8835.

20 e 9k = 21,8835 |:20
e 9k = 1,0942 |ln(⋅)
9k = ln( 1,0942 ) |:9
k = 1 9 ln( 1,0942 ) ≈ 0.01

also k ≈ 0.010002611405288, => f(t)= 20 e 0,01t


Wert zur Zeit 10: f(10)= 20 e 0,0110 ≈ 22.1


Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

20 e 0,01t = 22 |:20
e 0,01t = 11 10 |ln(⋅)
0,01t = ln( 11 10 ) |:0,01
t = 1 0,01 ln( 11 10 ) ≈ 9.531

also t=9.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 18 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 7-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 31 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 11,67-Tausend Euro gestiegen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 7 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel TV= ln(2) k um zu
k= ln(2) T = ln(2) 18 ≈ 0.038508176697775


=> f(t)= 7 e 0,0385t


Wert zur Zeit 31: f(31)= 7 e 0,038531 ≈ 23.1


Wann wird der Wert 11.67?: f(t)=11.67

7 e 0,0385t = 11,67 |:7
e 0,0385t = 1,6671 |ln(⋅)
0,0385t = ln( 1,6671 ) |:0,0385
t = 1 0,0385 ln( 1,6671 ) ≈ 13.2722

also t=13.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 76% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 100 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.96) ≈ -0.040821994520255


=> f(t)= 100 e -0,0408t


Wert zur Zeit 4: f(4)= 100 e -0,04084 ≈ 84.9


Wann wird der Wert 76?: f(t)=76

100 e -0,0408t = 76 |:100
e -0,0408t = 19 25 |ln(⋅)
-0,0408t = ln( 19 25 ) |:-0,0408
t = - 1 0,0408 ln( 19 25 ) ≈ 6.7264

also t=6.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = 20 - c · e -k · 0 = 20 - c = 20 - c

60 = 20 - c
60 = -c +20 | -60 + c
c = -40

somit gilt: f(t)= 20 +40 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= 20 +40 e -k · 2 = 54.

20 +40 e -2k = 53,9972
40 e -2k +20 = 53,9972 | -20
40 e -2k = 33,9972 |:40
e -2k = 0,8499 |ln(⋅)
-2k = ln( 0,8499 ) |:-2
k = - 1 2 ln( 0,8499 ) ≈ 0.0813

also k ≈ 0.081318291738778, => f(t)= 20 +40 e -0,0813t


Wert zur Zeit 4: f(4)= 20 +40 e -0,08134 ≈ 48.9


Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 +40 e -0,0813t = 50
40 e -0,0813t +20 = 50 | -20
40 e -0,0813t = 30 |:40
e -0,0813t = 3 4 |ln(⋅)
-0,0813t = ln( 3 4 ) |:-0,0813
t = - 1 0,0813 ln( 3 4 ) ≈ 3.5385

also t=3.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,2% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 8 Jahren, wenn jedes Jahr 0,3 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 53 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.3 - 0.012⋅f(t)

wenn man 0.012 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.012( 0.3 0.012 - f(t))

also f'(t) = 0.012(25 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=25 und der Wachstumsfaktor k=0.012 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 25 - c · e -0,012t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

80 = 25 - c · e -0,0120
80 = 25 - c
80 = -c +25 | -80 + c
c = -55

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 25 +55 e -0,012x


Wert zur Zeit 8: f(8)= 25 +55 e -0,0128 ≈ 75


Wann wird der Wert 53?: f(t)=53

25 +55 e -0,012t = 53
55 e -0,012t +25 = 53 | -25
55 e -0,012t = 28 |:55
e -0,012t = 28 55 |ln(⋅)
-0,012t = ln( 28 55 ) |:-0,012
t = - 1 0,012 ln( 28 55 ) ≈ 56.2607

also t=56.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 16 e -0,1t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (-0,1 ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = -0,1 einfach in die Formel TH = - ln(2) k ein:

TH = - ln(2) -0,1 6.931 min