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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 75 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 42 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 75: f(75)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 75}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 42?: f(t)=42

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$42$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 100 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 100 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 100 000)$	≈ 126.4765

also t=126.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 711 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 14g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 2013 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 4,2g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{711}$ ≈ -0.00097489054931075

=> f(t)= $14 e^{- 0,001 t}$

Wert zur Zeit 2013: f(2013)= $14 e^{- 0,001 \cdot 2013}$ ≈ 2

Wann wird der Wert 4.2?: f(t)=4.2

$14 e^{- 0,001 t}$	=	$4,2$	\|: $14$
$e^{- 0,001 t}$	=	$0,3$	\|ln(⋅)
$- 0,001 t$	=	$\ln (0,3)$	\|: $- 0,001$
$t$	=	$- \frac{1}{0,001} \ln (0,3)$	≈ 1234.8439

also t=1234.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 9% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 46% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.91) ≈ -0.094310679471241

=> f(t)= $100 e^{- 0,0943 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,0943 \cdot 3}$ ≈ 75.4

Wann wird der Wert 46?: f(t)=46

$100 e^{- 0,0943 t}$	=	$46$	\|: $100$
$e^{- 0,0943 t}$	=	$\frac{23}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,0943 t$	=	$\ln (\frac{23}{50})$	\|: $- 0,0943$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0943} \ln (\frac{23}{50})$	≈ 8.2347

also t=8.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 4° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 3 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 8,91°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 4 Minuten? b) Wann ist sie 20°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$4$	=	$27 - c$
$4$	=	$- c + 27$	\| $- 4$ $+ c$
$c$	=	$23$

somit gilt: f(t)= $27 - 23 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $27 - 23 e^{- k \cdot 3}$ = 8,91.

27 - 23 e^{- 3 k}

=

8,9076

$- 23 e^{- 3 k} + 27$	=	$8,9076$	\| $- 27$
$- 23 e^{- 3 k}$	=	$- 18,0924$	\|: $- 23$
$e^{- 3 k}$	=	$0,7866$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,7866)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,7866)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.080011806328143, => f(t)= $27 - 23 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $27 - 23 e^{- 0,08 \cdot 4}$ ≈ 10.3

Wann wird der Wert 20?: f(t)=20

27 - 23 e^{- 0,08 t}

=

20

$- 23 e^{- 0,08 t} + 27$	=	$20$	\| $- 27$
$- 23 e^{- 0,08 t}$	=	$- 7$	\|: $- 23$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{7}{23}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{7}{23})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{7}{23})$	≈ 14.8698

also t=14.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 3ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 10% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 5 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 2ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 3 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{3}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(30 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=30 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $30 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$30 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
0	=	$30 - c$
0	=	$- c + 30$	\|0 $+ c$
$c$	=	$30$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $30 - 30 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $30 - 30 e^{- 0,1 \cdot 5}$ ≈ 11.8

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

30 - 30 e^{- 0,1 t}

=

2

$- 30 e^{- 0,1 t} + 30$	=	$2$	\| $- 30$
$- 30 e^{- 0,1 t}$	=	$- 28$	\|: $- 30$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{14}{15}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{14}{15})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{14}{15})$	≈ 0.6899

also t=0.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $5 e^{- 0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,04$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.