Mathebattle EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 79 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 13 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 79: f(79)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 79}$ ≈ 0.2

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$13$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$650 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (650 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (650 000)$	≈ 116.2878

also t=116.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 78 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 8 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 78: f(78)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 78}$ ≈ 0.2

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$8$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$400 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (400 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (400 000)$	≈ 112.0298

also t=112

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 15% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 2 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 25% der Masse da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.85) ≈ -0.16251892949777

=> f(t)= $100 e^{- 0,1625 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $100 e^{- 0,1625 \cdot 2}$ ≈ 72.3

Wann wird der Wert 25?: f(t)=25

$100 e^{- 0,1625 t}$	=	$25$	\|: $100$
$e^{- 0,1625 t}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,1625 t$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,1625$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1625} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 8.531

also t=8.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 63° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 63 ist, gilt: f(0)= 63, also 63 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$63$	=	$20 - c$
$63$	=	$- c + 20$	\| $- 63$ $+ c$
$c$	=	$- 43$

somit gilt: f(t)= $20 + 43 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 43 e^{- k \cdot 5}$ = 52.

20 + 43 e^{- 5 k}

=

51,9989

$43 e^{- 5 k} + 20$	=	$51,9989$	\| $- 20$
$43 e^{- 5 k}$	=	$31,9989$	\|: $43$
$e^{- 5 k}$	=	$0,7442$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,7442)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,7442)$	≈ 0.0591

also k ≈ 0.059089092613923, => f(t)= $20 + 43 e^{- 0,0591 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 43 e^{- 0,0591 \cdot 2}$ ≈ 58.2

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 43 e^{- 0,0591 t}

=

50

$43 e^{- 0,0591 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$43 e^{- 0,0591 t}$	=	$30$	\|: $43$
$e^{- 0,0591 t}$	=	$\frac{30}{43}$	\|ln(⋅)
$- 0,0591 t$	=	$\ln (\frac{30}{43})$	\|: $- 0,0591$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0591} \ln (\frac{30}{43})$	≈ 6.0914

also t=6.1

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 7ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 5% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 11 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 77ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 7 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{7}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(140 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=140 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $140 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$140 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
0	=	$140 - c$
0	=	$- c + 140$	\|0 $+ c$
$c$	=	$140$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $140 - 140 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $140 - 140 e^{- 0,05 \cdot 11}$ ≈ 59.2

Wann wird der Wert 77?: f(t)=77

140 - 140 e^{- 0,05 t}

=

77

$- 140 e^{- 0,05 t} + 140$	=	$77$	\| $- 140$
$- 140 e^{- 0,05 t}$	=	$- 63$	\|: $- 140$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{9}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{9}{20})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{9}{20})$	≈ 15.9702

also t=16

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $3 e^{- 0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,01$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,01}$ ≈ 69.315 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.