Mathebattle EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 12 Millionen Algen im Teich. Nach 7 Stunden sind es 13,803 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 9 Stunden? b) Wann waren es 14 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $12 e^{k \cdot 7}$ = 13,8033.

$12 e^{7 k}$	=	$13,8033$	\|: $12$
$e^{7 k}$	=	$1,1503$	\|ln(⋅)
$7 k$	=	$\ln (1,1503)$	\|: $7$
$k$	=	$\frac{1}{7} \ln (1,1503)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.020003253988547, => f(t)= $12 e^{0,02 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $12 e^{0,02 \cdot 9}$ ≈ 14.4

Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

$12 e^{0,02 t}$	=	$14$	\|: $12$
$e^{0,02 t}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$0,02 t$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $0,02$
$t$	=	$\frac{1}{0,02} \ln (\frac{7}{6})$	≈ 7.7075

also t=7.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 15 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 5-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 34 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 16,67-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{15}$ ≈ 0.04620981203733

=> f(t)= $5 e^{0,04621 t}$

Wert zur Zeit 34: f(34)= $5 e^{0,04621 \cdot 34}$ ≈ 24.1

Wann wird der Wert 16.67?: f(t)=16.67

$5 e^{0,04621 t}$	=	$16,67$	\|: $5$
$e^{0,04621 t}$	=	$3,334$	\|ln(⋅)
$0,04621 t$	=	$\ln (3,334)$	\|: $0,04621$
$t$	=	$\frac{1}{0,04621} \ln (3,334)$	≈ 26.0587

also t=26.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 50% der Masse da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.9) ≈ -0.10536051565783

=> f(t)= $100 e^{- 0,1054 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,1054 \cdot 3}$ ≈ 72.9

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

$100 e^{- 0,1054 t}$	=	$50$	\|: $100$
$e^{- 0,1054 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,1054 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,1054$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1054} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 6.5763

also t=6.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 31°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 3 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 9,98°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 5 Minuten? b) Wann ist sie 12°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=31 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $31 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $31 - c$ = $31 - c$

$8$	=	$31 - c$
$8$	=	$- c + 31$	\| $- 8$ $+ c$
$c$	=	$23$

somit gilt: f(t)= $31 - 23 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $31 - 23 e^{- k \cdot 3}$ = 9,98.

31 - 23 e^{- 3 k}

=

9,9796

$- 23 e^{- 3 k} + 31$	=	$9,9796$	\| $- 31$
$- 23 e^{- 3 k}$	=	$- 21,0204$	\|: $- 23$
$e^{- 3 k}$	=	$0,9139$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,9139)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,9139)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.03001137423466, => f(t)= $31 - 23 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $31 - 23 e^{- 0,03 \cdot 5}$ ≈ 11.2

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

31 - 23 e^{- 0,03 t}

=

12

$- 23 e^{- 0,03 t} + 31$	=	$12$	\| $- 31$
$- 23 e^{- 0,03 t}$	=	$- 19$	\|: $- 23$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{19}{23}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{19}{23})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{19}{23})$	≈ 6.3685

also t=6.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3140 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 82 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 9 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2530 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 82 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{82}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(1640 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1640 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 640 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3140 ein (Punktprobe).

$3 140$	=	$1 640 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
$3 140$	=	$1 640 - c$
$3 140$	=	$- c + 1 640$	\| $- 3 140$ $+ c$
$c$	=	$- 1 500$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 640 + 1 500 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $1 640 + 1 500 e^{- 0,05 \cdot 9}$ ≈ 2596.4

Wann wird der Wert 2530?: f(t)=2530

1 640 + 1 500 e^{- 0,05 t}

=

2 530

$1 500 e^{- 0,05 t} + 1 640$	=	$2 530$	\| $- 1 640$
$1 500 e^{- 0,05 t}$	=	$890$	\|: $1 500$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{89}{150}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{89}{150})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{89}{150})$	≈ 10.44

also t=10.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $18 e^{0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,06$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.