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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 10g vorhanden. Nach 7 Tagen sind nur noch 5,326g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 8 Tagen da? b) Wann sind nur noch 3g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $10 e^{k \cdot 7}$ = 5,3259.

$10 e^{7 k}$	=	$5,3259$	\|: $10$
$e^{7 k}$	=	$0,5326$	\|ln(⋅)
$7 k$	=	$\ln (0,5326)$	\|: $7$
$k$	=	$\frac{1}{7} \ln (0,5326)$	≈ -0.09

also k ≈ -0.089997800800329, => f(t)= $10 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $10 e^{- 0,09 \cdot 8}$ ≈ 4.9

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$10 e^{- 0,09 t}$	=	$3$	\|: $10$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{3}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{3}{10})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{3}{10})$	≈ 13.3775

also t=13.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 220 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 8g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 498 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 6,4g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{220}$ ≈ -0.0031506690025452

=> f(t)= $8 e^{- 0,0032 t}$

Wert zur Zeit 498: f(498)= $8 e^{- 0,0032 \cdot 498}$ ≈ 1.7

Wann wird der Wert 6.4?: f(t)=6.4

$8 e^{- 0,0032 t}$	=	$6,4$	\|: $8$
$e^{- 0,0032 t}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 0,0032 t$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 0,0032$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0032} \ln (0,8)$	≈ 70.8167

also t=70.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 10% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 10 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 14 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.1) ≈ 0.095310179804325

=> f(t)= $10 e^{0,0953 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $10 e^{0,0953 \cdot 2}$ ≈ 12.1

Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

$10 e^{0,0953 t}$	=	$14$	\|: $10$
$e^{0,0953 t}$	=	$\frac{7}{5}$	\|ln(⋅)
$0,0953 t$	=	$\ln (\frac{7}{5})$	\|: $0,0953$
$t$	=	$\frac{1}{0,0953} \ln (\frac{7}{5})$	≈ 3.5307

also t=3.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 3 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 10,51°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 4 Minuten? b) Wann ist sie 18°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$8$	=	$26 - c$
$8$	=	$- c + 26$	\| $- 8$ $+ c$
$c$	=	$18$

somit gilt: f(t)= $26 - 18 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $26 - 18 e^{- k \cdot 3}$ = 10,51.

26 - 18 e^{- 3 k}

=

10,5073

$- 18 e^{- 3 k} + 26$	=	$10,5073$	\| $- 26$
$- 18 e^{- 3 k}$	=	$- 15,4927$	\|: $- 18$
$e^{- 3 k}$	=	$0,8607$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,8607)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,8607)$	≈ 0.05

also k ≈ 0.050003089108903, => f(t)= $26 - 18 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $26 - 18 e^{- 0,05 \cdot 4}$ ≈ 11.3

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

26 - 18 e^{- 0,05 t}

=

18

$- 18 e^{- 0,05 t} + 26$	=	$18$	\| $- 26$
$- 18 e^{- 0,05 t}$	=	$- 8$	\|: $- 18$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{4}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{4}{9})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{4}{9})$	≈ 16.2186

also t=16.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 3ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 1% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 14 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 48ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 3 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{3}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(300 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=300 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $300 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$300 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
0	=	$300 - c$
0	=	$- c + 300$	\|0 $+ c$
$c$	=	$300$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $300 - 300 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $300 - 300 e^{- 0,01 \cdot 14}$ ≈ 39.2

Wann wird der Wert 48?: f(t)=48

300 - 300 e^{- 0,01 t}

=

48

$- 300 e^{- 0,01 t} + 300$	=	$48$	\| $- 300$
$- 300 e^{- 0,01 t}$	=	$- 252$	\|: $- 300$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{21}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{21}{25})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{21}{25})$	≈ 17.4353

also t=17.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,05$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.