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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 4g vorhanden. Nach 8 Tagen sind nur noch 2,285g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 2g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $4 e^{k \cdot 8}$ = 2,2848.

$4 e^{8 k}$	=	$2,2848$	\|: $4$
$e^{8 k}$	=	$0,5712$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (0,5712)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (0,5712)$	≈ -0.07

also k ≈ -0.070001983494595, => f(t)= $4 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $4 e^{- 0,07 \cdot 11}$ ≈ 1.9

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$4 e^{- 0,07 t}$	=	$2$	\|: $4$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 9.9021

also t=9.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 825 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 9g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 1960 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 3,6g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{825}$ ≈ -0.00084017840067872

=> f(t)= $9 e^{- 0,00084 t}$

Wert zur Zeit 1960: f(1960)= $9 e^{- 0,00084 \cdot 1960}$ ≈ 1.7

Wann wird der Wert 3.6?: f(t)=3.6

$9 e^{- 0,00084 t}$	=	$3,6$	\|: $9$
$e^{- 0,00084 t}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,00084 t$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,00084$
$t$	=	$- \frac{1}{0,00084} \ln (0,4)$	≈ 1090.8223

also t=1090.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 15% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 17 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 2 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.85) ≈ -0.16251892949777

=> f(t)= $17 e^{- 0,1625 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $17 e^{- 0,1625 \cdot 5}$ ≈ 7.5

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$17 e^{- 0,1625 t}$	=	$2$	\|: $17$
$e^{- 0,1625 t}$	=	$\frac{2}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,1625 t$	=	$\ln (\frac{2}{17})$	\|: $- 0,1625$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1625} \ln (\frac{2}{17})$	≈ 13.1696

also t=13.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 31°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 12,68°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 12 Minuten? b) Wann ist sie 12°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=31 sein muss.

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $31 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $31 - c$ = $31 - c$

$7$	=	$31 - c$
$7$	=	$- c + 31$	\| $- 7$ $+ c$
$c$	=	$24$

somit gilt: f(t)= $31 - 24 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $31 - 24 e^{- k \cdot 9}$ = 12,68.

31 - 24 e^{- 9 k}

=

12,6789

$- 24 e^{- 9 k} + 31$	=	$12,6789$	\| $- 31$
$- 24 e^{- 9 k}$	=	$- 18,3211$	\|: $- 24$
$e^{- 9 k}$	=	$0,7634$	\|ln(⋅)
$- 9 k$	=	$\ln (0,7634)$	\|: $- 9$
$k$	=	$- \frac{1}{9} \ln (0,7634)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.02999701540789, => f(t)= $31 - 24 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $31 - 24 e^{- 0,03 \cdot 12}$ ≈ 14.3

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

31 - 24 e^{- 0,03 t}

=

12

$- 24 e^{- 0,03 t} + 31$	=	$12$	\| $- 31$
$- 24 e^{- 0,03 t}$	=	$- 19$	\|: $- 24$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{19}{24}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{19}{24})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{19}{24})$	≈ 7.7872

also t=7.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 2ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 4% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 12 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 38ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 2 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{2}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(50 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=50 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $50 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$50 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
0	=	$50 - c$
0	=	$- c + 50$	\|0 $+ c$
$c$	=	$50$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $50 - 50 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $50 - 50 e^{- 0,04 \cdot 12}$ ≈ 19.1

Wann wird der Wert 38?: f(t)=38

50 - 50 e^{- 0,04 t}

=

38

$- 50 e^{- 0,04 t} + 50$	=	$38$	\| $- 50$
$- 50 e^{- 0,04 t}$	=	$- 12$	\|: $- 50$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{6}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{6}{25})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{6}{25})$	≈ 35.6779

also t=35.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $16 e^{0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,06$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.