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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 89 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 23 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 89: f(89)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 89}$ ≈ 0.6

Wann wird der Wert 23?: f(t)=23

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$23$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 150 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 150 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 150 000)$	≈ 121.2448

also t=121.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 16 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 17-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 9 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 42,5-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{16}$ ≈ 0.043321698784997

=> f(t)= $17 e^{0,0433 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $17 e^{0,0433 \cdot 9}$ ≈ 25.1

Wann wird der Wert 42.5?: f(t)=42.5

$17 e^{0,0433 t}$	=	$42,5$	\|: $17$
$e^{0,0433 t}$	=	$2,5$	\|ln(⋅)
$0,0433 t$	=	$\ln (2,5)$	\|: $0,0433$
$t$	=	$\frac{1}{0,0433} \ln (2,5)$	≈ 21.1507

also t=21.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 12% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 5 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 52% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.88) ≈ -0.12783337150988

=> f(t)= $100 e^{- 0,1278 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 e^{- 0,1278 \cdot 5}$ ≈ 52.8

Wann wird der Wert 52?: f(t)=52

$100 e^{- 0,1278 t}$	=	$52$	\|: $100$
$e^{- 0,1278 t}$	=	$\frac{13}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,1278 t$	=	$\ln (\frac{13}{25})$	\|: $- 0,1278$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1278} \ln (\frac{13}{25})$	≈ 5.1168

also t=5.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 40 e^{- k \cdot 5}$ = 54.

20 + 40 e^{- 5 k}

=

54,0006

$40 e^{- 5 k} + 20$	=	$54,0006$	\| $- 20$
$40 e^{- 5 k}$	=	$34,0006$	\|: $40$
$e^{- 5 k}$	=	$0,85$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,85)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,85)$	≈ 0.0325

also k ≈ 0.032503785899555, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,0325 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 40 e^{- 0,0325 \cdot 4}$ ≈ 55.1

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,0325 t}

=

50

$40 e^{- 0,0325 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,0325 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,0325 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,0325 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,0325$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0325} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 8.8518

also t=8.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2689 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 72 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1863 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 72 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{72}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(1800 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1800 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 800 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2689 ein (Punktprobe).

$2 689$	=	$1 800 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$2 689$	=	$1 800 - c$
$2 689$	=	$- c + 1 800$	\| $- 2 689$ $+ c$
$c$	=	$- 889$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 800 + 889 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $1 800 + 889 e^{- 0,04 \cdot 12}$ ≈ 2350.1

Wann wird der Wert 1863?: f(t)=1863

1 800 + 889 e^{- 0,04 t}

=

1 863

$889 e^{- 0,04 t} + 1 800$	=	$1 863$	\| $- 1 800$
$889 e^{- 0,04 t}$	=	$63$	\|: $889$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{9}{127}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{9}{127})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{9}{127})$	≈ 66.1741

also t=66.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $3 e^{- 0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,05$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.