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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 20g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 19,216g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 17g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 e^{k \cdot 2}$ = 19,2158.

$20 e^{2 k}$	=	$19,2158$	\|: $20$
$e^{2 k}$	=	$0,9608$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (0,9608)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (0,9608)$	≈ -0.02

also k ≈ -0.019994504108182, => f(t)= $20 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 e^{- 0,02 \cdot 5}$ ≈ 18.1

Wann wird der Wert 17?: f(t)=17

$20 e^{- 0,02 t}$	=	$17$	\|: $20$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{17}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{17}{20})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{17}{20})$	≈ 8.1259

also t=8.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 17 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 12-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 28 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 40-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{17}$ ≈ 0.04077336356235

=> f(t)= $12 e^{0,0408 t}$

Wert zur Zeit 28: f(28)= $12 e^{0,0408 \cdot 28}$ ≈ 37.6

Wann wird der Wert 40?: f(t)=40

$12 e^{0,0408 t}$	=	$40$	\|: $12$
$e^{0,0408 t}$	=	$\frac{10}{3}$	\|ln(⋅)
$0,0408 t$	=	$\ln (\frac{10}{3})$	\|: $0,0408$
$t$	=	$\frac{1}{0,0408} \ln (\frac{10}{3})$	≈ 29.5287

also t=29.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 6% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 7 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 9 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.06) ≈ 0.058268908123976

=> f(t)= $7 e^{0,0583 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $7 e^{0,0583 \cdot 3}$ ≈ 8.3

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$7 e^{0,0583 t}$	=	$9$	\|: $7$
$e^{0,0583 t}$	=	$\frac{9}{7}$	\|ln(⋅)
$0,0583 t$	=	$\ln (\frac{9}{7})$	\|: $0,0583$
$t$	=	$\frac{1}{0,0583} \ln (\frac{9}{7})$	≈ 4.3107

also t=4.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 32 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 3,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 32.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

32

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$32$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 5$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 2.7726

also k ≈ 2.7725887222398, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,7726 t}$

Wert zur Zeit 3.5: f(3.5)= $37 - 20 e^{- 2,7726 \cdot 3,5}$ ≈ 37

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,7726 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,7726 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,7726 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,7726 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,7726 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,7726$
$t$	=	$- \frac{1}{2,7726} \ln (0,005)$	≈ 1.911

also t=1.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,4% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 8 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 66 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.014⋅f(t)

wenn man 0.014 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.014( $\frac{0.6}{0.014}$ - f(t))

also f'(t) = 0.014(42.86 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=42.86 und der Wachstumsfaktor k=0.014 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $42,86 - c \cdot e^{- 0,014 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$42,86 - c \cdot e^{- 0,014 \cdot 0}$
$80$	=	$42,86 - c$
$80$	=	$- c + 42,86$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 37,14$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $42,86 + 37,14 e^{- 0,014 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $42,86 + 37,14 e^{- 0,014 \cdot 8}$ ≈ 76.1

Wann wird der Wert 66?: f(t)=66

42,86 + 37,14 e^{- 0,014 t}

=

66

$37,14 e^{- 0,014 t} + 42,86$	=	$66$	\| $- 42,86$
$37,14 e^{- 0,014 t}$	=	$23,14$	\|: $37,14$
$e^{- 0,014 t}$	=	$0,623$	\|ln(⋅)
$- 0,014 t$	=	$\ln (0,623)$	\|: $- 0,014$
$t$	=	$- \frac{1}{0,014} \ln (0,623)$	≈ 33.8006

also t=33.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $13 e^{0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,08$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.