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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 74 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 41 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 74: f(74)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 74}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 41?: f(t)=41

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$41$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 050 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 050 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 050 000)$	≈ 126.2672

also t=126.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 260 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 16g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 622 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 8g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{260}$ ≈ -0.0026659506944613

=> f(t)= $16 e^{- 0,0027 t}$

Wert zur Zeit 622: f(622)= $16 e^{- 0,0027 \cdot 622}$ ≈ 3

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$16 e^{- 0,0027 t}$	=	$8$	\|: $16$
$e^{- 0,0027 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,0027 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,0027$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0027} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 259.9952

also t=260

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 20% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 5 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.8) ≈ -0.22314355131421

=> f(t)= $5 e^{- 0,2231 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $5 e^{- 0,2231 \cdot 3}$ ≈ 2.6

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$5 e^{- 0,2231 t}$	=	$1$	\|: $5$
$e^{- 0,2231 t}$	=	$\frac{1}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,2231 t$	=	$\ln (\frac{1}{5})$	\|: $- 0,2231$
$t$	=	$- \frac{1}{0,2231} \ln (\frac{1}{5})$	≈ 7.214

also t=7.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 65° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 65 ist, gilt: f(0)= 65, also 65 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$65$	=	$20 - c$
$65$	=	$- c + 20$	\| $- 65$ $+ c$
$c$	=	$- 45$

somit gilt: f(t)= $20 + 45 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 45 e^{- k \cdot 4}$ = 52.

20 + 45 e^{- 4 k}

=

52,0041

$45 e^{- 4 k} + 20$	=	$52,0041$	\| $- 20$
$45 e^{- 4 k}$	=	$32,0041$	\|: $45$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7112$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7112)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7112)$	≈ 0.0852

also k ≈ 0.085200398695611, => f(t)= $20 + 45 e^{- 0,0852 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 45 e^{- 0,0852 \cdot 5}$ ≈ 49.4

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 45 e^{- 0,0852 t}

=

50

$45 e^{- 0,0852 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$45 e^{- 0,0852 t}$	=	$30$	\|: $45$
$e^{- 0,0852 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,0852 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,0852$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0852} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 4.759

also t=4.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3485 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 74 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 6 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2197 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 74 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{74}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(1480 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1480 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 480 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3485 ein (Punktprobe).

$3 485$	=	$1 480 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
$3 485$	=	$1 480 - c$
$3 485$	=	$- c + 1 480$	\| $- 3 485$ $+ c$
$c$	=	$- 2 005$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 480 + 2 005 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $1 480 + 2 005 e^{- 0,05 \cdot 6}$ ≈ 2965.3

Wann wird der Wert 2197?: f(t)=2197

1 480 + 2 005 e^{- 0,05 t}

=

2 197

$2 005 e^{- 0,05 t} + 1 480$	=	$2 197$	\| $- 1 480$
$2 005 e^{- 0,05 t}$	=	$717$	\|: $2 005$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{717}{2005}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{717}{2005})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{717}{2005})$	≈ 20.5665

also t=20.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $12 e^{0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,04$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.