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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 11g vorhanden. Nach 8 Tagen sind nur noch 8,653g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 9g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $11 e^{k \cdot 8}$ = 8,6529.

$11 e^{8 k}$	=	$8,6529$	\|: $11$
$e^{8 k}$	=	$0,7866$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (0,7866)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (0,7866)$	≈ -0.03

also k ≈ -0.030004427373053, => f(t)= $11 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $11 e^{- 0,03 \cdot 11}$ ≈ 7.9

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$11 e^{- 0,03 t}$	=	$9$	\|: $11$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{9}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{9}{11})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{9}{11})$	≈ 6.689

also t=6.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1595 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2240? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,3 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1595}$ ≈ -0.00043457503483382

=> f(t)= $e^{- 0,0004 t}$

Wert zur Zeit 240: f(240)= $e^{- 0,0004 \cdot 240}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.3?: f(t)=0.3

$e^{- 0,0004 t}$	=	$0,3$	\|ln(⋅)
$- 0,0004 t$	=	$\ln (0,3)$	\|: $- 0,0004$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0004} \ln (0,3)$	≈ 2767.7536

also t=2767.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 17% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 16 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 8 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.83) ≈ -0.18632957819149

=> f(t)= $16 e^{- 0,1863 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $16 e^{- 0,1863 \cdot 2}$ ≈ 11

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$16 e^{- 0,1863 t}$	=	$8$	\|: $16$
$e^{- 0,1863 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,1863 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,1863$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1863} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 3.7206

also t=3.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 65° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 65 ist, gilt: f(0)= 65, also 65 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$65$	=	$20 - c$
$65$	=	$- c + 20$	\| $- 65$ $+ c$
$c$	=	$- 45$

somit gilt: f(t)= $20 + 45 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 45 e^{- k \cdot 3}$ = 54.

20 + 45 e^{- 3 k}

=

54,0035

$45 e^{- 3 k} + 20$	=	$54,0035$	\| $- 20$
$45 e^{- 3 k}$	=	$34,0035$	\|: $45$
$e^{- 3 k}$	=	$0,7556$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,7556)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,7556)$	≈ 0.0934

also k ≈ 0.093414381118261, => f(t)= $20 + 45 e^{- 0,0934 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 45 e^{- 0,0934 \cdot 5}$ ≈ 48.2

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 45 e^{- 0,0934 t}

=

50

$45 e^{- 0,0934 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$45 e^{- 0,0934 t}$	=	$30$	\|: $45$
$e^{- 0,0934 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,0934 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,0934$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0934} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 4.3412

also t=4.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3605 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 66 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 11 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3518 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 66 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{66}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(1650 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1650 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 650 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3605 ein (Punktprobe).

$3 605$	=	$1 650 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$3 605$	=	$1 650 - c$
$3 605$	=	$- c + 1 650$	\| $- 3 605$ $+ c$
$c$	=	$- 1 955$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 650 + 1 955 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $1 650 + 1 955 e^{- 0,04 \cdot 11}$ ≈ 2909.1

Wann wird der Wert 3518?: f(t)=3518

1 650 + 1 955 e^{- 0,04 t}

=

3 518

$1 955 e^{- 0,04 t} + 1 650$	=	$3 518$	\| $- 1 650$
$1 955 e^{- 0,04 t}$	=	$1 868$	\|: $1 955$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{1868}{1955}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{1868}{1955})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{1868}{1955})$	≈ 1.138

also t=1.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $5 e^{0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,08$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.