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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 20 Millionen Algen im Teich. Nach 4 Stunden sind es 23,47 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 5 Stunden? b) Wann waren es 27 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 e^{k \cdot 4}$ = 23,4702.

$20 e^{4 k}$	=	$23,4702$	\|: $20$
$e^{4 k}$	=	$1,1735$	\|ln(⋅)
$4 k$	=	$\ln (1,1735)$	\|: $4$
$k$	=	$\frac{1}{4} \ln (1,1735)$	≈ 0.04

also k ≈ 0.039997684077235, => f(t)= $20 e^{0,04 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 e^{0,04 \cdot 5}$ ≈ 24.4

Wann wird der Wert 27?: f(t)=27

$20 e^{0,04 t}$	=	$27$	\|: $20$
$e^{0,04 t}$	=	$\frac{27}{20}$	\|ln(⋅)
$0,04 t$	=	$\ln (\frac{27}{20})$	\|: $0,04$
$t$	=	$\frac{1}{0,04} \ln (\frac{27}{20})$	≈ 7.5026

also t=7.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 14 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 13-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 29 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 16,25-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{14}$ ≈ 0.049510512897139

=> f(t)= $13 e^{0,0495 t}$

Wert zur Zeit 29: f(29)= $13 e^{0,0495 \cdot 29}$ ≈ 54.6

Wann wird der Wert 16.25?: f(t)=16.25

$13 e^{0,0495 t}$	=	$16,25$	\|: $13$
$e^{0,0495 t}$	=	$1,25$	\|ln(⋅)
$0,0495 t$	=	$\ln (1,25)$	\|: $0,0495$
$t$	=	$\frac{1}{0,0495} \ln (1,25)$	≈ 4.5069

also t=4.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 12% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 14 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 19 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.12) ≈ 0.113328685307

=> f(t)= $14 e^{0,1133 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $14 e^{0,1133 \cdot 5}$ ≈ 24.7

Wann wird der Wert 19?: f(t)=19

$14 e^{0,1133 t}$	=	$19$	\|: $14$
$e^{0,1133 t}$	=	$\frac{19}{14}$	\|ln(⋅)
$0,1133 t$	=	$\ln (\frac{19}{14})$	\|: $0,1133$
$t$	=	$\frac{1}{0,1133} \ln (\frac{19}{14})$	≈ 2.6953

also t=2.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 9° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 11,8°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 10 Minuten? b) Wann ist sie 10°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$9$	=	$26 - c$
$9$	=	$- c + 26$	\| $- 9$ $+ c$
$c$	=	$17$

somit gilt: f(t)= $26 - 17 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $26 - 17 e^{- k \cdot 9}$ = 11,8.

26 - 17 e^{- 9 k}

=

11,8004

$- 17 e^{- 9 k} + 26$	=	$11,8004$	\| $- 26$
$- 17 e^{- 9 k}$	=	$- 14,1996$	\|: $- 17$
$e^{- 9 k}$	=	$0,8353$	\|ln(⋅)
$- 9 k$	=	$\ln (0,8353)$	\|: $- 9$
$k$	=	$- \frac{1}{9} \ln (0,8353)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.01999603746892, => f(t)= $26 - 17 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $26 - 17 e^{- 0,02 \cdot 10}$ ≈ 12.1

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

26 - 17 e^{- 0,02 t}

=

10

$- 17 e^{- 0,02 t} + 26$	=	$10$	\| $- 26$
$- 17 e^{- 0,02 t}$	=	$- 16$	\|: $- 17$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{16}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{16}{17})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{16}{17})$	≈ 3.0312

also t=3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 5ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 8% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 13 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 49ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 5 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{5}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(62.5 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=62.5 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $62,5 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$62,5 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
0	=	$62,5 - c$
0	=	$- c + 62,5$	\|0 $+ c$
$c$	=	$62,5$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $62,5 - 62,5 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $62,5 - 62,5 e^{- 0,08 \cdot 13}$ ≈ 40.4

Wann wird der Wert 49?: f(t)=49

62,5 - 62,5 e^{- 0,08 t}

=

49

$- 62,5 e^{- 0,08 t} + 62,5$	=	$49$	\| $- 62,5$
$- 62,5 e^{- 0,08 t}$	=	$- 13,5$	\|: $- 62,5$
$e^{- 0,08 t}$	=	$0,216$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (0,216)$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (0,216)$	≈ 19.156

also t=19.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $8 e^{- 0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,06$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.