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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 11g vorhanden. Nach 10 Tagen sind nur noch 6,672g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 6g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $11 e^{k \cdot 10}$ = 6,6718.

$11 e^{10 k}$	=	$6,6718$	\|: $11$
$e^{10 k}$	=	$0,6065$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (0,6065)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (0,6065)$	≈ -0.05

also k ≈ -0.050005055059803, => f(t)= $11 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $11 e^{- 0,05 \cdot 11}$ ≈ 6.3

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$11 e^{- 0,05 t}$	=	$6$	\|: $11$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{6}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{6}{11})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{6}{11})$	≈ 12.1227

also t=12.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 12 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 9-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 35 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 10-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{12}$ ≈ 0.057762265046662

=> f(t)= $9 e^{0,0578 t}$

Wert zur Zeit 35: f(35)= $9 e^{0,0578 \cdot 35}$ ≈ 68

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$9 e^{0,0578 t}$	=	$10$	\|: $9$
$e^{0,0578 t}$	=	$\frac{10}{9}$	\|ln(⋅)
$0,0578 t$	=	$\ln (\frac{10}{9})$	\|: $0,0578$
$t$	=	$\frac{1}{0,0578} \ln (\frac{10}{9})$	≈ 1.824

also t=1.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 10% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 4 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 5 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.1) ≈ 0.095310179804325

=> f(t)= $4 e^{0,0953 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $4 e^{0,0953 \cdot 3}$ ≈ 5.3

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$4 e^{0,0953 t}$	=	$5$	\|: $4$
$e^{0,0953 t}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
$0,0953 t$	=	$\ln (\frac{5}{4})$	\|: $0,0953$
$t$	=	$\frac{1}{0,0953} \ln (\frac{5}{4})$	≈ 2.3415

also t=2.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 31 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 1,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 31.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

30,9999

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$30,9999$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 6,0001$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,3$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,3)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,3)$	≈ 2.4079

also k ≈ 2.4079456086519, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,4079 t}$

Wert zur Zeit 1.5: f(1.5)= $37 - 20 e^{- 2,4079 \cdot 1,5}$ ≈ 36.5

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,4079 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,4079 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,4079 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,4079 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,4079 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,4079$
$t$	=	$- \frac{1}{2,4079} \ln (0,005)$	≈ 2.2004

also t=2.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,2% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 10 Jahren, wenn jedes Jahr 0,3 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 70 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.3 - 0.012⋅f(t)

wenn man 0.012 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.012( $\frac{0.3}{0.012}$ - f(t))

also f'(t) = 0.012(25 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=25 und der Wachstumsfaktor k=0.012 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $25 - c \cdot e^{- 0,012 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$25 - c \cdot e^{- 0,012 \cdot 0}$
$80$	=	$25 - c$
$80$	=	$- c + 25$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 55$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $25 + 55 e^{- 0,012 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $25 + 55 e^{- 0,012 \cdot 10}$ ≈ 73.8

Wann wird der Wert 70?: f(t)=70

25 + 55 e^{- 0,012 t}

=

70

$55 e^{- 0,012 t} + 25$	=	$70$	\| $- 25$
$55 e^{- 0,012 t}$	=	$45$	\|: $55$
$e^{- 0,012 t}$	=	$\frac{9}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,012 t$	=	$\ln (\frac{9}{11})$	\|: $- 0,012$
$t$	=	$- \frac{1}{0,012} \ln (\frac{9}{11})$	≈ 16.7226

also t=16.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $4 e^{0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,04$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.