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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 20g vorhanden. Nach 10 Tagen sind nur noch 10,976g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 12 Tagen da? b) Wann sind nur noch 8g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $20 e^{k \cdot 10}$ = 10,9762.

$20 e^{10 k}$	=	$10,9762$	\|: $20$
$e^{10 k}$	=	$0,5488$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (0,5488)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (0,5488)$	≈ -0.06

also k ≈ -0.060002120257046, => f(t)= $20 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $20 e^{- 0,06 \cdot 12}$ ≈ 9.7

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$20 e^{- 0,06 t}$	=	$8$	\|: $20$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 15.2715

also t=15.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 966 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 18g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 719 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 9g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{966}$ ≈ -0.00071754366517593

=> f(t)= $18 e^{- 0,0007 t}$

Wert zur Zeit 719: f(719)= $18 e^{- 0,0007 \cdot 719}$ ≈ 10.7

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$18 e^{- 0,0007 t}$	=	$9$	\|: $18$
$e^{- 0,0007 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,0007 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,0007$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0007} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 965.386

also t=965.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 11% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 10 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 13 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.11) ≈ 0.10436001532424

=> f(t)= $10 e^{0,1044 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $10 e^{0,1044 \cdot 4}$ ≈ 15.2

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

$10 e^{0,1044 t}$	=	$13$	\|: $10$
$e^{0,1044 t}$	=	$\frac{13}{10}$	\|ln(⋅)
$0,1044 t$	=	$\ln (\frac{13}{10})$	\|: $0,1044$
$t$	=	$\frac{1}{0,1044} \ln (\frac{13}{10})$	≈ 2.5131

also t=2.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 9° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 2 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 12,08°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 4 Minuten? b) Wann ist sie 16°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$9$	=	$26 - c$
$9$	=	$- c + 26$	\| $- 9$ $+ c$
$c$	=	$17$

somit gilt: f(t)= $26 - 17 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $26 - 17 e^{- k \cdot 2}$ = 12,08.

26 - 17 e^{- 2 k}

=

12,0816

$- 17 e^{- 2 k} + 26$	=	$12,0816$	\| $- 26$
$- 17 e^{- 2 k}$	=	$- 13,9184$	\|: $- 17$
$e^{- 2 k}$	=	$0,8187$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,8187)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,8187)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.10001878129987, => f(t)= $26 - 17 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $26 - 17 e^{- 0,1 \cdot 4}$ ≈ 14.6

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

26 - 17 e^{- 0,1 t}

=

16

$- 17 e^{- 0,1 t} + 26$	=	$16$	\| $- 26$
$- 17 e^{- 0,1 t}$	=	$- 10$	\|: $- 17$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{10}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{10}{17})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{10}{17})$	≈ 5.3063

also t=5.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3032 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 81 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 6 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2491 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 81 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{81}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(810 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=810 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $810 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3032 ein (Punktprobe).

$3 032$	=	$810 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$3 032$	=	$810 - c$
$3 032$	=	$- c + 810$	\| $- 3 032$ $+ c$
$c$	=	$- 2 222$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $810 + 2 222 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $810 + 2 222 e^{- 0,1 \cdot 6}$ ≈ 2029.5

Wann wird der Wert 2491?: f(t)=2491

810 + 2 222 e^{- 0,1 t}

=

2 491

$2 222 e^{- 0,1 t} + 810$	=	$2 491$	\| $- 810$
$2 222 e^{- 0,1 t}$	=	$1 681$	\|: $2 222$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{1681}{2222}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{1681}{2222})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1681}{2222})$	≈ 2.7902

also t=2.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $7 e^{0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,05$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.