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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 9g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 7,824g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 3 Tagen da? b) Wann sind nur noch 3g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $9 e^{k \cdot 2}$ = 7,8242.

$9 e^{2 k}$	=	$7,8242$	\|: $9$
$e^{2 k}$	=	$0,8694$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (0,8694)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (0,8694)$	≈ -0.07

also k ≈ -0.069975980213723, => f(t)= $9 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $9 e^{- 0,07 \cdot 3}$ ≈ 7.3

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$9 e^{- 0,07 t}$	=	$3$	\|: $9$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 15.6945

also t=15.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 20 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 3-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 15 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 7,5-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{20}$ ≈ 0.034657359027997

=> f(t)= $3 e^{0,0347 t}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $3 e^{0,0347 \cdot 15}$ ≈ 5

Wann wird der Wert 7.5?: f(t)=7.5

$3 e^{0,0347 t}$	=	$7,5$	\|: $3$
$e^{0,0347 t}$	=	$2,5$	\|ln(⋅)
$0,0347 t$	=	$\ln (2,5)$	\|: $0,0347$
$t$	=	$\frac{1}{0,0347} \ln (2,5)$	≈ 26.4388

also t=26.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 18% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 20 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.82) ≈ -0.19845093872384

=> f(t)= $20 e^{- 0,1985 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 e^{- 0,1985 \cdot 4}$ ≈ 9

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$20 e^{- 0,1985 t}$	=	$1$	\|: $20$
$e^{- 0,1985 t}$	=	$\frac{1}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,1985 t$	=	$\ln (\frac{1}{20})$	\|: $- 0,1985$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1985} \ln (\frac{1}{20})$	≈ 15.0919

also t=15.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 63° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 63 ist, gilt: f(0)= 63, also 63 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$63$	=	$20 - c$
$63$	=	$- c + 20$	\| $- 63$ $+ c$
$c$	=	$- 43$

somit gilt: f(t)= $20 + 43 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 43 e^{- k \cdot 4}$ = 51.

20 + 43 e^{- 4 k}

=

51,0004

$43 e^{- 4 k} + 20$	=	$51,0004$	\| $- 20$
$43 e^{- 4 k}$	=	$31,0004$	\|: $43$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7209$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7209)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7209)$	≈ 0.0818

also k ≈ 0.081813711892901, => f(t)= $20 + 43 e^{- 0,0818 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 43 e^{- 0,0818 \cdot 5}$ ≈ 48.6

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 43 e^{- 0,0818 t}

=

50

$43 e^{- 0,0818 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$43 e^{- 0,0818 t}$	=	$30$	\|: $43$
$e^{- 0,0818 t}$	=	$\frac{30}{43}$	\|ln(⋅)
$- 0,0818 t$	=	$\ln (\frac{30}{43})$	\|: $- 0,0818$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0818} \ln (\frac{30}{43})$	≈ 4.401

also t=4.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 10 Jahren, wenn jedes Jahr 0,7 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 80 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.7 - 0.011⋅f(t)

wenn man 0.011 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.011( $\frac{0.7}{0.011}$ - f(t))

also f'(t) = 0.011(63.64 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=63.64 und der Wachstumsfaktor k=0.011 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $63,64 - c \cdot e^{- 0,011 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$63,64 - c \cdot e^{- 0,011 \cdot 0}$
$80$	=	$63,64 - c$
$80$	=	$- c + 63,64$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 16,36$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $63,64 + 16,36 e^{- 0,011 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $63,64 + 16,36 e^{- 0,011 \cdot 10}$ ≈ 78.3

Wann wird der Wert 80?: f(t)=80

63,64 + 16,36 e^{- 0,011 t}

=

80

$16,36 e^{- 0,011 t} + 63,64$	=	$80$	\| $- 63,64$
$16,36 e^{- 0,011 t}$	=	$16,36$	\|: $16,36$
$e^{- 0,011 t}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 0,011 t$	=	0	\|: $- 0,011$
$t$	=	0	≈ 0

also t=0

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $12 e^{0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,08$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.