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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 14g vorhanden. Nach 5 Tagen sind nur noch 12,668g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 7 Tagen da? b) Wann sind nur noch 13g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $14 e^{k \cdot 5}$ = 12,6677.

$14 e^{5 k}$	=	$12,6677$	\|: $14$
$e^{5 k}$	=	$0,9048$	\|ln(⋅)
$5 k$	=	$\ln (0,9048)$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{1}{5} \ln (0,9048)$	≈ -0.02

also k ≈ -0.020008270836045, => f(t)= $14 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $14 e^{- 0,02 \cdot 7}$ ≈ 12.2

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

$14 e^{- 0,02 t}$	=	$13$	\|: $14$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{13}{14}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{13}{14})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{13}{14})$	≈ 3.7054

also t=3.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 74 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 47 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 74: f(74)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 74}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 47?: f(t)=47

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$47$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 350 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 350 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 350 000)$	≈ 127.4084

also t=127.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 18% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 16 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.82) ≈ -0.19845093872384

=> f(t)= $16 e^{- 0,1985 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $16 e^{- 0,1985 \cdot 3}$ ≈ 8.8

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$16 e^{- 0,1985 t}$	=	$1$	\|: $16$
$e^{- 0,1985 t}$	=	$\frac{1}{16}$	\|ln(⋅)
$- 0,1985 t$	=	$\ln (\frac{1}{16})$	\|: $- 0,1985$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1985} \ln (\frac{1}{16})$	≈ 13.9677

also t=14

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 18,09°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 12 Minuten? b) Wann ist sie 22°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $25 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $25 - c$ = $25 - c$

$8$	=	$25 - c$
$8$	=	$- c + 25$	\| $- 8$ $+ c$
$c$	=	$17$

somit gilt: f(t)= $25 - 17 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $25 - 17 e^{- k \cdot 9}$ = 18,09.

25 - 17 e^{- 9 k}

=

18,0883

$- 17 e^{- 9 k} + 25$	=	$18,0883$	\| $- 25$
$- 17 e^{- 9 k}$	=	$- 6,9117$	\|: $- 17$
$e^{- 9 k}$	=	$0,4066$	\|ln(⋅)
$- 9 k$	=	$\ln (0,4066)$	\|: $- 9$
$k$	=	$- \frac{1}{9} \ln (0,4066)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.099991708643099, => f(t)= $25 - 17 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $25 - 17 e^{- 0,1 \cdot 12}$ ≈ 19.9

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

25 - 17 e^{- 0,1 t}

=

22

$- 17 e^{- 0,1 t} + 25$	=	$22$	\| $- 25$
$- 17 e^{- 0,1 t}$	=	$- 3$	\|: $- 17$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{3}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{3}{17})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{3}{17})$	≈ 17.346

also t=17.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 2ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 8% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 9 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 10ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 2 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{2}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(25 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=25 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $25 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$25 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
0	=	$25 - c$
0	=	$- c + 25$	\|0 $+ c$
$c$	=	$25$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $25 - 25 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $25 - 25 e^{- 0,08 \cdot 9}$ ≈ 12.8

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

25 - 25 e^{- 0,08 t}

=

10

$- 25 e^{- 0,08 t} + 25$	=	$10$	\| $- 25$
$- 25 e^{- 0,08 t}$	=	$- 15$	\|: $- 25$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{3}{5})$	≈ 6.3853

also t=6.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $15 e^{0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,02$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,02}$ ≈ 34.657 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.