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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 86 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 53 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 86: f(86)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 86}$ ≈ 0.4

Wann wird der Wert 53?: f(t)=53

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$53$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 650 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 650 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 650 000)$	≈ 128.4976

also t=128.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 199 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 9g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 502 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 8,1g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{199}$ ≈ -0.0034831516611053

=> f(t)= $9 e^{- 0,0035 t}$

Wert zur Zeit 502: f(502)= $9 e^{- 0,0035 \cdot 502}$ ≈ 1.6

Wann wird der Wert 8.1?: f(t)=8.1

$9 e^{- 0,0035 t}$	=	$8,1$	\|: $9$
$e^{- 0,0035 t}$	=	$0,9$	\|ln(⋅)
$- 0,0035 t$	=	$\ln (0,9)$	\|: $- 0,0035$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0035} \ln (0,9)$	≈ 30.2499

also t=30.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 18% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 9 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.82) ≈ -0.19845093872384

=> f(t)= $9 e^{- 0,1985 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $9 e^{- 0,1985 \cdot 5}$ ≈ 3.3

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$9 e^{- 0,1985 t}$	=	$1$	\|: $9$
$e^{- 0,1985 t}$	=	$\frac{1}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,1985 t$	=	$\ln (\frac{1}{9})$	\|: $- 0,1985$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1985} \ln (\frac{1}{9})$	≈ 11.0691

also t=11.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 61° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 61 ist, gilt: f(0)= 61, also 61 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$61$	=	$20 - c$
$61$	=	$- c + 20$	\| $- 61$ $+ c$
$c$	=	$- 41$

somit gilt: f(t)= $20 + 41 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 41 e^{- k \cdot 5}$ = 53.

20 + 41 e^{- 5 k}

=

53,0021

$41 e^{- 5 k} + 20$	=	$53,0021$	\| $- 20$
$41 e^{- 5 k}$	=	$33,0021$	\|: $41$
$e^{- 5 k}$	=	$0,8049$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,8049)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,8049)$	≈ 0.0434

also k ≈ 0.04340744657649, => f(t)= $20 + 41 e^{- 0,0434 t}$

Wert zur Zeit 1: f(1)= $20 + 41 e^{- 0,0434 \cdot 1}$ ≈ 59.3

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 41 e^{- 0,0434 t}

=

50

$41 e^{- 0,0434 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$41 e^{- 0,0434 t}$	=	$30$	\|: $41$
$e^{- 0,0434 t}$	=	$\frac{30}{41}$	\|ln(⋅)
$- 0,0434 t$	=	$\ln (\frac{30}{41})$	\|: $- 0,0434$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0434} \ln (\frac{30}{41})$	≈ 7.1976

also t=7.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3338 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 61 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 5 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2757 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 61 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{61}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(610 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=610 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $610 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3338 ein (Punktprobe).

$3 338$	=	$610 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$3 338$	=	$610 - c$
$3 338$	=	$- c + 610$	\| $- 3 338$ $+ c$
$c$	=	$- 2 728$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $610 + 2 728 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $610 + 2 728 e^{- 0,1 \cdot 5}$ ≈ 2264.6

Wann wird der Wert 2757?: f(t)=2757

610 + 2 728 e^{- 0,1 t}

=

2 757

$2 728 e^{- 0,1 t} + 610$	=	$2 757$	\| $- 610$
$2 728 e^{- 0,1 t}$	=	$2 147$	\|: $2 728$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{2147}{2728}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{2147}{2728})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{2147}{2728})$	≈ 2.395

also t=2.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $18 e^{0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,08$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.