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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 9g vorhanden. Nach 8 Tagen sind nur noch 8,308g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 9 Tagen da? b) Wann sind nur noch 8g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $9 e^{k \cdot 8}$ = 8,308.

$9 e^{8 k}$	=	$8,308$	\|: $9$
$e^{8 k}$	=	$0,9231$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (0,9231)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (0,9231)$	≈ -0.01

also k ≈ -0.010002213498254, => f(t)= $9 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $9 e^{- 0,01 \cdot 9}$ ≈ 8.2

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$9 e^{- 0,01 t}$	=	$8$	\|: $9$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{8}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{8}{9})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{8}{9})$	≈ 11.7783

also t=11.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 369 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 10g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 250 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 8g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{369}$ ≈ -0.0018784476437939

=> f(t)= $10 e^{- 0,0019 t}$

Wert zur Zeit 250: f(250)= $10 e^{- 0,0019 \cdot 250}$ ≈ 6.3

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$10 e^{- 0,0019 t}$	=	$8$	\|: $10$
$e^{- 0,0019 t}$	=	$\frac{4}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,0019 t$	=	$\ln (\frac{4}{5})$	\|: $- 0,0019$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0019} \ln (\frac{4}{5})$	≈ 118.8198

also t=118.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 15% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 15 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 24 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.15) ≈ 0.13976194237516

=> f(t)= $15 e^{0,1398 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $15 e^{0,1398 \cdot 3}$ ≈ 22.8

Wann wird der Wert 24?: f(t)=24

$15 e^{0,1398 t}$	=	$24$	\|: $15$
$e^{0,1398 t}$	=	$\frac{8}{5}$	\|ln(⋅)
$0,1398 t$	=	$\ln (\frac{8}{5})$	\|: $0,1398$
$t$	=	$\frac{1}{0,1398} \ln (\frac{8}{5})$	≈ 3.362

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 40 e^{- k \cdot 5}$ = 52.

20 + 40 e^{- 5 k}

=

52,0046

$40 e^{- 5 k} + 20$	=	$52,0046$	\| $- 20$
$40 e^{- 5 k}$	=	$32,0046$	\|: $40$
$e^{- 5 k}$	=	$0,8001$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,8001)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,8001)$	≈ 0.0446

also k ≈ 0.044603711825212, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,0446 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 40 e^{- 0,0446 \cdot 2}$ ≈ 56.6

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,0446 t}

=

50

$40 e^{- 0,0446 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,0446 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,0446 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,0446 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,0446$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0446} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 6.4503

also t=6.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3605 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 60 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1168 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 60 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{60}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(750 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=750 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $750 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3605 ein (Punktprobe).

$3 605$	=	$750 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$3 605$	=	$750 - c$
$3 605$	=	$- c + 750$	\| $- 3 605$ $+ c$
$c$	=	$- 2 855$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $750 + 2 855 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $750 + 2 855 e^{- 0,08 \cdot 12}$ ≈ 1843.2

Wann wird der Wert 1168?: f(t)=1168

750 + 2 855 e^{- 0,08 t}

=

1 168

$2 855 e^{- 0,08 t} + 750$	=	$1 168$	\| $- 750$
$2 855 e^{- 0,08 t}$	=	$418$	\|: $2 855$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{418}{2855}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{418}{2855})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{418}{2855})$	≈ 24.0168

also t=24

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $10 e^{0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,05$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.