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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 10 Millionen Algen im Teich. Nach 6 Stunden sind es 14,333 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 8 Stunden? b) Wann waren es 14 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $10 e^{k \cdot 6}$ = 14,3333.

$10 e^{6 k}$	=	$14,3333$	\|: $10$
$e^{6 k}$	=	$1,4333$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (1,4333)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (1,4333)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.059996579657839, => f(t)= $10 e^{0,06 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $10 e^{0,06 \cdot 8}$ ≈ 16.2

Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

$10 e^{0,06 t}$	=	$14$	\|: $10$
$e^{0,06 t}$	=	$\frac{7}{5}$	\|ln(⋅)
$0,06 t$	=	$\ln (\frac{7}{5})$	\|: $0,06$
$t$	=	$\frac{1}{0,06} \ln (\frac{7}{5})$	≈ 5.6079

also t=5.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 91 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 48 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 91: f(91)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 91}$ ≈ 0.7

Wann wird der Wert 48?: f(t)=48

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$48$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 400 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 400 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 400 000)$	≈ 127.5912

also t=127.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 9% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 14 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 18 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.09) ≈ 0.086177696241052

=> f(t)= $14 e^{0,0862 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $14 e^{0,0862 \cdot 3}$ ≈ 18.1

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

$14 e^{0,0862 t}$	=	$18$	\|: $14$
$e^{0,0862 t}$	=	$\frac{9}{7}$	\|ln(⋅)
$0,0862 t$	=	$\ln (\frac{9}{7})$	\|: $0,0862$
$t$	=	$\frac{1}{0,0862} \ln (\frac{9}{7})$	≈ 2.9155

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 32 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 3,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 32.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

32

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$32$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 5$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 2.7726

also k ≈ 2.7725887222398, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,7726 t}$

Wert zur Zeit 3.5: f(3.5)= $37 - 20 e^{- 2,7726 \cdot 3,5}$ ≈ 37

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,7726 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,7726 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,7726 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,7726 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,7726 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,7726$
$t$	=	$- \frac{1}{2,7726} \ln (0,005)$	≈ 1.911

also t=1.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 7ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 14 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 180ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 7 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{7}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(350 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=350 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $350 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$350 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
0	=	$350 - c$
0	=	$- c + 350$	\|0 $+ c$
$c$	=	$350$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $350 - 350 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $350 - 350 e^{- 0,02 \cdot 14}$ ≈ 85.5

Wann wird der Wert 180?: f(t)=180

350 - 350 e^{- 0,02 t}

=

180

$- 350 e^{- 0,02 t} + 350$	=	$180$	\| $- 350$
$- 350 e^{- 0,02 t}$	=	$- 170$	\|: $- 350$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{17}{35}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{17}{35})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{17}{35})$	≈ 36.1067

also t=36.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $17 e^{- 0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,07$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,07}$ ≈ 9.902 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.