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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 7 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 8,55 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 12 Stunden? b) Wann waren es 8 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $7 e^{k \cdot 10}$ = 8,5498.

$7 e^{10 k}$	=	$8,5498$	\|: $7$
$e^{10 k}$	=	$1,2214$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (1,2214)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (1,2214)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.01999977418069, => f(t)= $7 e^{0,02 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $7 e^{0,02 \cdot 12}$ ≈ 8.9

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$7 e^{0,02 t}$	=	$8$	\|: $7$
$e^{0,02 t}$	=	$\frac{8}{7}$	\|ln(⋅)
$0,02 t$	=	$\ln (\frac{8}{7})$	\|: $0,02$
$t$	=	$\frac{1}{0,02} \ln (\frac{8}{7})$	≈ 6.6766

also t=6.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 19 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 19-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 13 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 23,75-Tausend Euro gestiegen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{19}$ ≈ 0.036481430555787

=> f(t)= $19 e^{0,0365 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $19 e^{0,0365 \cdot 13}$ ≈ 30.5

Wann wird der Wert 23.75?: f(t)=23.75

$19 e^{0,0365 t}$	=	$23,75$	\|: $19$
$e^{0,0365 t}$	=	$1,25$	\|ln(⋅)
$0,0365 t$	=	$\ln (1,25)$	\|: $0,0365$
$t$	=	$\frac{1}{0,0365} \ln (1,25)$	≈ 6.1167

also t=6.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 13% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 15 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 9 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.87) ≈ -0.13926206733351

=> f(t)= $15 e^{- 0,1393 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $15 e^{- 0,1393 \cdot 2}$ ≈ 11.4

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$15 e^{- 0,1393 t}$	=	$9$	\|: $15$
$e^{- 0,1393 t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,1393 t$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $- 0,1393$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1393} \ln (\frac{3}{5})$	≈ 3.6671

also t=3.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 40 e^{- k \cdot 5}$ = 53.

20 + 40 e^{- 5 k}

=

52,9958

$40 e^{- 5 k} + 20$	=	$52,9958$	\| $- 20$
$40 e^{- 5 k}$	=	$32,9958$	\|: $40$
$e^{- 5 k}$	=	$0,8249$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,8249)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,8249)$	≈ 0.0385

also k ≈ 0.03849862242309, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,0385 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 40 e^{- 0,0385 \cdot 4}$ ≈ 54.3

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,0385 t}

=

50

$40 e^{- 0,0385 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,0385 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,0385 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,0385 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,0385$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0385} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 7.4723

also t=7.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3148 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 60 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 11 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3937 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 60 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{60}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(6000 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=6000 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $6 000 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3148 ein (Punktprobe).

$3 148$	=	$6 000 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$3 148$	=	$6 000 - c$
$3 148$	=	$- c + 6 000$	\| $- 3 148$ $+ c$
$c$	=	$2 852$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $6 000 - 2 852 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $6 000 - 2 852 e^{- 0,01 \cdot 11}$ ≈ 3445.1

Wann wird der Wert 3937?: f(t)=3937

6 000 - 2 852 e^{- 0,01 t}

=

3 937

$- 2 852 e^{- 0,01 t} + 6 000$	=	$3 937$	\| $- 6 000$
$- 2 852 e^{- 0,01 t}$	=	$- 2 063$	\|: $- 2 852$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{2063}{2852}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{2063}{2852})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{2063}{2852})$	≈ 32.3859

also t=32.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $6 e^{0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,04$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.