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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 77 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 55 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 77: f(77)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 77}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 55?: f(t)=55

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$55$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 750 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 750 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 750 000)$	≈ 128.8194

also t=128.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 96 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 61 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 96: f(96)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 96}$ ≈ 1.3

Wann wird der Wert 61?: f(t)=61

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$61$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$3 050 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (3 050 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (3 050 000)$	≈ 129.6728

also t=129.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 10% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 19 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 13 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.9) ≈ -0.10536051565783

=> f(t)= $19 e^{- 0,1054 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $19 e^{- 0,1054 \cdot 3}$ ≈ 13.8

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

$19 e^{- 0,1054 t}$	=	$13$	\|: $19$
$e^{- 0,1054 t}$	=	$\frac{13}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,1054 t$	=	$\ln (\frac{13}{19})$	\|: $- 0,1054$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1054} \ln (\frac{13}{19})$	≈ 3.6005

also t=3.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 40 e^{- k \cdot 3}$ = 53.

20 + 40 e^{- 3 k}

=

53,0024

$40 e^{- 3 k} + 20$	=	$53,0024$	\| $- 20$
$40 e^{- 3 k}$	=	$33,0024$	\|: $40$
$e^{- 3 k}$	=	$0,8251$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,8251)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,8251)$	≈ 0.0641

also k ≈ 0.064083562623947, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,0641 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 40 e^{- 0,0641 \cdot 2}$ ≈ 55.2

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,0641 t}

=

50

$40 e^{- 0,0641 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,0641 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,0641 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,0641 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,0641$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0641} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 4.488

also t=4.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3266 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 72 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 10 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1698 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 72 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{72}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(720 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=720 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $720 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3266 ein (Punktprobe).

$3 266$	=	$720 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$3 266$	=	$720 - c$
$3 266$	=	$- c + 720$	\| $- 3 266$ $+ c$
$c$	=	$- 2 546$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $720 + 2 546 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $720 + 2 546 e^{- 0,1 \cdot 10}$ ≈ 1656.6

Wann wird der Wert 1698?: f(t)=1698

720 + 2 546 e^{- 0,1 t}

=

1 698

$2 546 e^{- 0,1 t} + 720$	=	$1 698$	\| $- 720$
$2 546 e^{- 0,1 t}$	=	$978$	\|: $2 546$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{489}{1273}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{489}{1273})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{489}{1273})$	≈ 9.5677

also t=9.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $19 e^{- 0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,03$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,03}$ ≈ 23.105 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.