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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 18 Millionen Algen im Teich. Nach 8 Stunden sind es 34,137 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 11 Stunden? b) Wann waren es 27 Milionen Algen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 18 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= 18 e k · 8 = 34,1367.

18 e 8k = 34,1367 |:18
e 8k = 1,8965 |ln(⋅)
8k = ln( 1,8965 ) |:8
k = 1 8 ln( 1,8965 ) ≈ 0.08

also k ≈ 0.080001260268352, => f(t)= 18 e 0,08t


Wert zur Zeit 11: f(11)= 18 e 0,0811 ≈ 43.4


Wann wird der Wert 27?: f(t)=27

18 e 0,08t = 27 |:18
e 0,08t = 3 2 |ln(⋅)
0,08t = ln( 3 2 ) |:0,08
t = 1 0,08 ln( 3 2 ) ≈ 5.0683

also t=5.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1730 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2256? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,9 Milliarden Blondies?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel TH= -ln(2) k um zu
k= -ln(2) T = -ln(2) 1730 ≈ -0.00040066311015026


=> f(t)= e -0,0004t


Wert zur Zeit 256: f(256)= e -0,0004256 ≈ 0.9


Wann wird der Wert 0.9?: f(t)=0.9

e -0,0004t = 0,9 |ln(⋅)
-0,0004t = ln( 0,9 ) |:-0,0004
t = - 1 0,0004 ln( 0,9 ) ≈ 262.7444

also t=262.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 12% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 7 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 3 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 7 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.88) ≈ -0.12783337150988


=> f(t)= 7 e -0,1278t


Wert zur Zeit 5: f(5)= 7 e -0,12785 ≈ 3.7


Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

7 e -0,1278t = 3 |:7
e -0,1278t = 3 7 |ln(⋅)
-0,1278t = ln( 3 7 ) |:-0,1278
t = - 1 0,1278 ln( 3 7 ) ≈ 6.6299

also t=6.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 29 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 1,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = 37 - c · e -k · 0 = 37 - c = 37 - c

17 = 37 - c
17 = -c +37 | -17 + c
c = 20

somit gilt: f(t)= 37 -20 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= 37 -20 e -k · 0,5 = 29.

37 -20 e -0,5k = 29,0001
-20 e -0,5k +37 = 29,0001 | -37
-20 e -0,5k = -7,9999 |:-20
e -0,5k = 0,4 |ln(⋅)
-0,5k = ln( 0,4 ) |:-0,5
k = - 1 0,5 ln( 0,4 ) ≈ 1.8326

also k ≈ 1.8325814637483, => f(t)= 37 -20 e -1,8326t


Wert zur Zeit 1.5: f(1.5)= 37 -20 e -1,83261,5 ≈ 35.7


Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 -20 e -1,8326t = 36,9
-20 e -1,8326t +37 = 36,9 | -37
-20 e -1,8326t = -0,1 |:-20
e -1,8326t = 0,005 |ln(⋅)
-1,8326t = ln( 0,005 ) |:-1,8326
t = - 1 1,8326 ln( 0,005 ) ≈ 2.8911

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 2% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2835 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 90 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 5 Monaten? b) Wann beträgt dieser 4118 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 90 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( 90 0.02 - f(t))

also f'(t) = 0.02(4500 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=4500 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 4500 - c · e -0,02t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2835 ein (Punktprobe).

2835 = 4500 - c
2835 = -c +4500 | -2835 + c
c = 1665

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 4500 -1665 e -0,02x


Wert zur Zeit 5: f(5)= 4500 -1665 e -0,025 ≈ 2993.4


Wann wird der Wert 4118?: f(t)=4118

4500 -1665 e -0,02t = 4118
-1665 e -0,02t +4500 = 4118 | -4500
-1665 e -0,02t = -382 |:-1665
e -0,02t = 382 1665 |ln(⋅)
-0,02t = ln( 382 1665 ) |:-0,02
t = - 1 0,02 ln( 382 1665 ) ≈ 73.608

also t=73.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 10 e 0,07t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (0,07 ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = 0,07 einfach in die Formel TV = ln(2) k ein:

TV = ln(2) 0,07 9.902 min