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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 92 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 47 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 92: f(92)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 92}$ ≈ 0.8

Wann wird der Wert 47?: f(t)=47

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$47$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 350 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 350 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 350 000)$	≈ 127.4537

also t=127.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 718 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 11g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 1550 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 3,3g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{718}$ ≈ -0.00096538604534811

=> f(t)= $11 e^{- 0,001 t}$

Wert zur Zeit 1550: f(1550)= $11 e^{- 0,001 \cdot 1550}$ ≈ 2.5

Wann wird der Wert 3.3?: f(t)=3.3

$11 e^{- 0,001 t}$	=	$3,3$	\|: $11$
$e^{- 0,001 t}$	=	$0,3$	\|ln(⋅)
$- 0,001 t$	=	$\ln (0,3)$	\|: $- 0,001$
$t$	=	$- \frac{1}{0,001} \ln (0,3)$	≈ 1247.6402

also t=1247.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 18% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 3 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.82) ≈ -0.19845093872384

=> f(t)= $3 e^{- 0,1985 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $3 e^{- 0,1985 \cdot 5}$ ≈ 1.1

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$3 e^{- 0,1985 t}$	=	$1$	\|: $3$
$e^{- 0,1985 t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,1985 t$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 0,1985$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1985} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 5.5346

also t=5.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 4° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 8 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 13,53°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 10 Minuten? b) Wann ist sie 8°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$4$	=	$29 - c$
$4$	=	$- c + 29$	\| $- 4$ $+ c$
$c$	=	$25$

somit gilt: f(t)= $29 - 25 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $29 - 25 e^{- k \cdot 8}$ = 13,53.

29 - 25 e^{- 8 k}

=

13,5304

$- 25 e^{- 8 k} + 29$	=	$13,5304$	\| $- 29$
$- 25 e^{- 8 k}$	=	$- 15,4696$	\|: $- 25$
$e^{- 8 k}$	=	$0,6188$	\|ln(⋅)
$- 8 k$	=	$\ln (0,6188)$	\|: $- 8$
$k$	=	$- \frac{1}{8} \ln (0,6188)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.059996645035403, => f(t)= $29 - 25 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $29 - 25 e^{- 0,06 \cdot 10}$ ≈ 15.3

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

29 - 25 e^{- 0,06 t}

=

8

$- 25 e^{- 0,06 t} + 29$	=	$8$	\| $- 29$
$- 25 e^{- 0,06 t}$	=	$- 21$	\|: $- 25$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{21}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{21}{25})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{21}{25})$	≈ 2.9059

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2713 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 75 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 6 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2145 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 75 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{75}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(937.5 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=937.5 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $937,5 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2713 ein (Punktprobe).

$2 713$	=	$937,5 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$2 713$	=	$937,5 - c$
$2 713$	=	$- c + 937,5$	\| $- 2 713$ $+ c$
$c$	=	$- 1 775,5$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $937,5 + 1 775,5 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $937,5 + 1 775,5 e^{- 0,08 \cdot 6}$ ≈ 2036.1

Wann wird der Wert 2145?: f(t)=2145

937,5 + 1 775,5 e^{- 0,08 t}

=

2 145

$1 775,5 e^{- 0,08 t} + 937,5$	=	$2 145$	\| $- 937,5$
$1 775,5 e^{- 0,08 t}$	=	$1 207,5$	\|: $1 775,5$
$e^{- 0,08 t}$	=	$0,6801$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (0,6801)$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (0,6801)$	≈ 4.8189

also t=4.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,04$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.