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cosh
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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 18g vorhanden. Nach 8 Tagen sind nur noch 13,071g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 12g davon übrig?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= = 13,0707.
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ -0.04 |
also k ≈ -0.039991227500238, => f(t)=
Wert zur Zeit 11: f(11)= ≈ 11.6
Wann wird der Wert 12?: f(t)=12
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 10.1366 |
also t=10.1
Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit
Beispiel:
Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 308 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 14g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 591 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 9,8g Gaußium da?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Wir berechnen k über die Halbwertszeit.
Dazu stellen wir die Formel TH= um zu
k==
≈ -0.0022504778589609
=> f(t)=
Wert zur Zeit 591: f(591)= ≈ 3.7
Wann wird der Wert 9.8?: f(t)=9.8
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 158.5222 |
also t=158.5
Exponentielles Wachstum mit Prozent
Beispiel:
Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 13% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 18 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 11 Lux?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.87) ≈ -0.13926206733351
=> f(t)=
Wert zur Zeit 5: f(5)= ≈ 9
Wann wird der Wert 11?: f(t)=11
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 3.5354 |
also t=3.5
beschränktes Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 31 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 1,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?
Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.
Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = = =
| = | |||
| = | | | ||
| = |
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= = 31.
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 2.4079 |
also k ≈ 2.4079456086519, => f(t)=
Wert zur Zeit 1.5: f(1.5)= ≈ 36.5
Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 2.2004 |
also t=2.2
beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung
Beispiel:
Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 3ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 15 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 68ml davon in seinem Blut?
Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:
f'(t) = 3 - 0.02⋅f(t)
wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung
f'(t) = 0.02( - f(t))
also f'(t) = 0.02(150 - f(t))
das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))
Wir wissen nun also, dass die Schranke S=150 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.
Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= haben.
Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).
| = | |||
| = | |||
| = | | |
||
| = |
somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)=
Wert zur Zeit 15: f(15)= ≈ 38.9
Wann wird der Wert 68?: f(t)=68
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 30.1958 |
also t=30.2
Halbwerts- + Verdopplungszeit best.
Beispiel:
Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.
Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent () erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.
Dazu setzen wir k = einfach in die Formel TV = ein:
TV = ≈ 11.552 min
