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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 8 Millionen Algen im Teich. Nach 4 Stunden sind es 8,326 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 5 Stunden? b) Wann waren es 8 Milionen Algen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 8 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= 8 e k · 4 = 8,3265.

8 e 4k = 8,3265 |:8
e 4k = 1,0408 |ln(⋅)
4k = ln( 1,0408 ) |:4
k = 1 4 ln( 1,0408 ) ≈ 0.01

also k ≈ 0.0099974120540396, => f(t)= 8 e 0,01t


Wert zur Zeit 5: f(5)= 8 e 0,015 ≈ 8.4


Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

8 e 0,01t = 8 |:8
e 0,01t = 1 |ln(⋅)
0,01t = 0 |:0,01
t = 0 ≈ 0

also t=0

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 15 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 11-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 36 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 36,67-Tausend Euro gestiegen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 11 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel TV= ln(2) k um zu
k= ln(2) T = ln(2) 15 ≈ 0.04620981203733


=> f(t)= 11 e 0,04621t


Wert zur Zeit 36: f(36)= 11 e 0,0462136 ≈ 58.1


Wann wird der Wert 36.67?: f(t)=36.67

11 e 0,04621t = 36,67 |:11
e 0,04621t = 3,3336 |ln(⋅)
0,04621t = ln( 3,3336 ) |:0,04621
t = 1 0,04621 ln( 3,3336 ) ≈ 26.0561

also t=26.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 3% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 82% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 100 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.97) ≈ -0.030459207484709


=> f(t)= 100 e -0,0305t


Wert zur Zeit 4: f(4)= 100 e -0,03054 ≈ 88.5


Wann wird der Wert 82?: f(t)=82

100 e -0,0305t = 82 |:100
e -0,0305t = 41 50 |ln(⋅)
-0,0305t = ln( 41 50 ) |:-0,0305
t = - 1 0,0305 ln( 41 50 ) ≈ 6.5066

also t=6.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = 20 - c · e -k · 0 = 20 - c = 20 - c

60 = 20 - c
60 = -c +20 | -60 + c
c = -40

somit gilt: f(t)= 20 +40 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= 20 +40 e -k · 2 = 52.

20 +40 e -2k = 51,9982
40 e -2k +20 = 51,9982 | -20
40 e -2k = 31,9982 |:40
e -2k = 0,8 |ln(⋅)
-2k = ln( 0,8 ) |:-2
k = - 1 2 ln( 0,8 ) ≈ 0.1116

also k ≈ 0.1115717756571, => f(t)= 20 +40 e -0,1116t


Wert zur Zeit 3: f(3)= 20 +40 e -0,11163 ≈ 48.6


Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 +40 e -0,1116t = 50
40 e -0,1116t +20 = 50 | -20
40 e -0,1116t = 30 |:40
e -0,1116t = 3 4 |ln(⋅)
-0,1116t = ln( 3 4 ) |:-0,1116
t = - 1 0,1116 ln( 3 4 ) ≈ 2.5778

also t=2.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,2% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 6 Jahren, wenn jedes Jahr 0,3 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 28 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.3 - 0.012⋅f(t)

wenn man 0.012 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.012( 0.3 0.012 - f(t))

also f'(t) = 0.012(25 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=25 und der Wachstumsfaktor k=0.012 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 25 - c · e -0,012t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

80 = 25 - c · e -0,0120
80 = 25 - c
80 = -c +25 | -80 + c
c = -55

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 25 +55 e -0,012x


Wert zur Zeit 6: f(6)= 25 +55 e -0,0126 ≈ 76.2


Wann wird der Wert 28?: f(t)=28

25 +55 e -0,012t = 28
55 e -0,012t +25 = 28 | -25
55 e -0,012t = 3 |:55
e -0,012t = 3 55 |ln(⋅)
-0,012t = ln( 3 55 ) |:-0,012
t = - 1 0,012 ln( 3 55 ) ≈ 242.3934

also t=242.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 17 e -0,05t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (-0,05 ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = -0,05 einfach in die Formel TH = - ln(2) k ein:

TH = - ln(2) -0,05 13.863 min