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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 7g vorhanden. Nach 7 Tagen sind nur noch 5,674g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 6g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $7 e^{k \cdot 7}$ = 5,6741.

$7 e^{7 k}$	=	$5,6741$	\|: $7$
$e^{7 k}$	=	$0,8106$	\|ln(⋅)
$7 k$	=	$\ln (0,8106)$	\|: $7$
$k$	=	$\frac{1}{7} \ln (0,8106)$	≈ -0.03

also k ≈ -0.029997223541133, => f(t)= $7 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $7 e^{- 0,03 \cdot 10}$ ≈ 5.2

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$7 e^{- 0,03 t}$	=	$6$	\|: $7$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 5.1384

also t=5.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 294 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 9g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 631 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 1,8g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{294}$ ≈ -0.0023576434712923

=> f(t)= $9 e^{- 0,0024 t}$

Wert zur Zeit 631: f(631)= $9 e^{- 0,0024 \cdot 631}$ ≈ 2

Wann wird der Wert 1.8?: f(t)=1.8

$9 e^{- 0,0024 t}$	=	$1,8$	\|: $9$
$e^{- 0,0024 t}$	=	$0,2$	\|ln(⋅)
$- 0,0024 t$	=	$\ln (0,2)$	\|: $- 0,0024$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0024} \ln (0,2)$	≈ 682.5436

also t=682.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 13% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 5 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 8 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.13) ≈ 0.12221763272425

=> f(t)= $5 e^{0,1222 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $5 e^{0,1222 \cdot 4}$ ≈ 8.2

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$5 e^{0,1222 t}$	=	$8$	\|: $5$
$e^{0,1222 t}$	=	$\frac{8}{5}$	\|ln(⋅)
$0,1222 t$	=	$\ln (\frac{8}{5})$	\|: $0,1222$
$t$	=	$\frac{1}{0,1222} \ln (\frac{8}{5})$	≈ 3.8462

also t=3.8

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 32 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 3,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 32.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

32

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$32$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 5$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 2.7726

also k ≈ 2.7725887222398, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,7726 t}$

Wert zur Zeit 3.5: f(3.5)= $37 - 20 e^{- 2,7726 \cdot 3,5}$ ≈ 37

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,7726 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,7726 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,7726 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,7726 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,7726 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,7726$
$t$	=	$- \frac{1}{2,7726} \ln (0,005)$	≈ 1.911

also t=1.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 3ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 4% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 8 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 16ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 3 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{3}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(75 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=75 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $75 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$75 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
0	=	$75 - c$
0	=	$- c + 75$	\|0 $+ c$
$c$	=	$75$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $75 - 75 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $75 - 75 e^{- 0,04 \cdot 8}$ ≈ 20.5

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

75 - 75 e^{- 0,04 t}

=

16

$- 75 e^{- 0,04 t} + 75$	=	$16$	\| $- 75$
$- 75 e^{- 0,04 t}$	=	$- 59$	\|: $- 75$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{59}{75}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{59}{75})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{59}{75})$	≈ 5.9988

also t=6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $18 e^{0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,05$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.