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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 11g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 9,374g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 4 Tagen da? b) Wann sind nur noch 4g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $11 e^{k \cdot 2}$ = 9,3736.

$11 e^{2 k}$	=	$9,3736$	\|: $11$
$e^{2 k}$	=	$0,8521$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (0,8521)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (0,8521)$	≈ -0.08

also k ≈ -0.080025694074113, => f(t)= $11 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $11 e^{- 0,08 \cdot 4}$ ≈ 8

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$11 e^{- 0,08 t}$	=	$4$	\|: $11$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{4}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{4}{11})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{4}{11})$	≈ 12.645

also t=12.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 363 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 6g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 946 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 4,8g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{363}$ ≈ -0.0019094963651789

=> f(t)= $6 e^{- 0,0019 t}$

Wert zur Zeit 946: f(946)= $6 e^{- 0,0019 \cdot 946}$ ≈ 1

Wann wird der Wert 4.8?: f(t)=4.8

$6 e^{- 0,0019 t}$	=	$4,8$	\|: $6$
$e^{- 0,0019 t}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 0,0019 t$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 0,0019$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0019} \ln (0,8)$	≈ 116.8903

also t=116.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 9% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 4 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 6 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.09) ≈ 0.086177696241052

=> f(t)= $4 e^{0,0862 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $4 e^{0,0862 \cdot 3}$ ≈ 5.2

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$4 e^{0,0862 t}$	=	$6$	\|: $4$
$e^{0,0862 t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,0862 t$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $0,0862$
$t$	=	$\frac{1}{0,0862} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 4.7038

also t=4.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 10,15°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 19°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$8$	=	$27 - c$
$8$	=	$- c + 27$	\| $- 8$ $+ c$
$c$	=	$19$

somit gilt: f(t)= $27 - 19 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $27 - 19 e^{- k \cdot 4}$ = 10,15.

27 - 19 e^{- 4 k}

=

10,1485

$- 19 e^{- 4 k} + 27$	=	$10,1485$	\| $- 27$
$- 19 e^{- 4 k}$	=	$- 16,8515$	\|: $- 19$
$e^{- 4 k}$	=	$0,8869$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,8869)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,8869)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.030005760649933, => f(t)= $27 - 19 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $27 - 19 e^{- 0,03 \cdot 6}$ ≈ 11.1

Wann wird der Wert 19?: f(t)=19

27 - 19 e^{- 0,03 t}

=

19

$- 19 e^{- 0,03 t} + 27$	=	$19$	\| $- 27$
$- 19 e^{- 0,03 t}$	=	$- 8$	\|: $- 19$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{8}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{8}{19})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{8}{19})$	≈ 28.8332

also t=28.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,4% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 13 Jahren, wenn jedes Jahr 0,4 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 64 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.4 - 0.014⋅f(t)

wenn man 0.014 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.014( $\frac{0.4}{0.014}$ - f(t))

also f'(t) = 0.014(28.57 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=28.57 und der Wachstumsfaktor k=0.014 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $28,57 - c \cdot e^{- 0,014 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$28,57 - c \cdot e^{- 0,014 \cdot 0}$
$80$	=	$28,57 - c$
$80$	=	$- c + 28,57$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 51,43$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $28,57 + 51,43 e^{- 0,014 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $28,57 + 51,43 e^{- 0,014 \cdot 13}$ ≈ 71.4

Wann wird der Wert 64?: f(t)=64

28,57 + 51,43 e^{- 0,014 t}

=

64

$51,43 e^{- 0,014 t} + 28,57$	=	$64$	\| $- 28,57$
$51,43 e^{- 0,014 t}$	=	$35,43$	\|: $51,43$
$e^{- 0,014 t}$	=	$0,6889$	\|ln(⋅)
$- 0,014 t$	=	$\ln (0,6889)$	\|: $- 0,014$
$t$	=	$- \frac{1}{0,014} \ln (0,6889)$	≈ 26.6185

also t=26.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $9 e^{- 0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,09$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.