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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 91 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 60 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 91: f(91)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 91}$ ≈ 0.7

Wann wird der Wert 60?: f(t)=60

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$60$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$3 000 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (3 000 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (3 000 000)$	≈ 129.5754

also t=129.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 83 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 12 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 83: f(83)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 83}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$12$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$600 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (600 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (600 000)$	≈ 115.5512

also t=115.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 5% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 5 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 70% der Masse da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.95) ≈ -0.051293294387551

=> f(t)= $100 e^{- 0,0513 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 e^{- 0,0513 \cdot 5}$ ≈ 77.4

Wann wird der Wert 70?: f(t)=70

$100 e^{- 0,0513 t}$	=	$70$	\|: $100$
$e^{- 0,0513 t}$	=	$\frac{7}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,0513 t$	=	$\ln (\frac{7}{10})$	\|: $- 0,0513$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0513} \ln (\frac{7}{10})$	≈ 6.9527

also t=7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 6° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 16,55°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 12 Minuten? b) Wann ist sie 7°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $25 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $25 - c$ = $25 - c$

$6$	=	$25 - c$
$6$	=	$- c + 25$	\| $- 6$ $+ c$
$c$	=	$19$

somit gilt: f(t)= $25 - 19 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $25 - 19 e^{- k \cdot 9}$ = 16,55.

25 - 19 e^{- 9 k}

=

16,5477

$- 19 e^{- 9 k} + 25$	=	$16,5477$	\| $- 25$
$- 19 e^{- 9 k}$	=	$- 8,4523$	\|: $- 19$
$e^{- 9 k}$	=	$0,4449$	\|ln(⋅)
$- 9 k$	=	$\ln (0,4449)$	\|: $- 9$
$k$	=	$- \frac{1}{9} \ln (0,4449)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.089989526796682, => f(t)= $25 - 19 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $25 - 19 e^{- 0,09 \cdot 12}$ ≈ 18.5

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

25 - 19 e^{- 0,09 t}

=

7

$- 19 e^{- 0,09 t} + 25$	=	$7$	\| $- 25$
$- 19 e^{- 0,09 t}$	=	$- 18$	\|: $- 19$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{18}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{18}{19})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{18}{19})$	≈ 0.6007

also t=0.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2087 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 83 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 11 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2079 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 83 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{83}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(2075 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=2075 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $2 075 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2087 ein (Punktprobe).

$2 087$	=	$2 075 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$2 087$	=	$2 075 - c$
$2 087$	=	$- c + 2 075$	\| $- 2 087$ $+ c$
$c$	=	$- 12$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $2 075 + 12 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $2 075 + 12 e^{- 0,04 \cdot 11}$ ≈ 2082.7

Wann wird der Wert 2079?: f(t)=2079

2 075 + 12 e^{- 0,04 t}

=

2 079

$12 e^{- 0,04 t} + 2 075$	=	$2 079$	\| $- 2 075$
$12 e^{- 0,04 t}$	=	$4$	\|: $12$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 27.4653

also t=27.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $12 e^{- 0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,1$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,1}$ ≈ 6.931 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.