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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 7g vorhanden. Nach 8 Tagen sind nur noch 5,965g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 6g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $7 e^{k \cdot 8}$ = 5,965.

$7 e^{8 k}$	=	$5,965$	\|: $7$
$e^{8 k}$	=	$0,8521$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (0,8521)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (0,8521)$	≈ -0.02

also k ≈ -0.020006423518528, => f(t)= $7 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $7 e^{- 0,02 \cdot 11}$ ≈ 5.6

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$7 e^{- 0,02 t}$	=	$6$	\|: $7$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 7.7075

also t=7.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 84 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 93 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 84: f(84)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 84}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 93?: f(t)=93

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$93$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 650 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 650 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 650 000)$	≈ 133.3355

also t=133.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 18% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 19 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 2 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.82) ≈ -0.19845093872384

=> f(t)= $19 e^{- 0,1985 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $19 e^{- 0,1985 \cdot 5}$ ≈ 7

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$19 e^{- 0,1985 t}$	=	$2$	\|: $19$
$e^{- 0,1985 t}$	=	$\frac{2}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,1985 t$	=	$\ln (\frac{2}{19})$	\|: $- 0,1985$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1985} \ln (\frac{2}{19})$	≈ 11.3415

also t=11.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 61° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 51,99° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 61 ist, gilt: f(0)= 61, also 61 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$61$	=	$20 - c$
$61$	=	$- c + 20$	\| $- 61$ $+ c$
$c$	=	$- 41$

somit gilt: f(t)= $20 + 41 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 41 e^{- k \cdot 5}$ = 51,99.

20 + 41 e^{- 5 k}

=

51,9948

$41 e^{- 5 k} + 20$	=	$51,9948$	\| $- 20$
$41 e^{- 5 k}$	=	$31,9948$	\|: $41$
$e^{- 5 k}$	=	$0,7804$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,7804)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,7804)$	≈ 0.0496

also k ≈ 0.049589734046636, => f(t)= $20 + 41 e^{- 0,0496 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 41 e^{- 0,0496 \cdot 3}$ ≈ 55.3

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 41 e^{- 0,0496 t}

=

50

$41 e^{- 0,0496 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$41 e^{- 0,0496 t}$	=	$30$	\|: $41$
$e^{- 0,0496 t}$	=	$\frac{30}{41}$	\|ln(⋅)
$- 0,0496 t$	=	$\ln (\frac{30}{41})$	\|: $- 0,0496$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0496} \ln (\frac{30}{41})$	≈ 6.2979

also t=6.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 9 Jahren, wenn jedes Jahr 0,7 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 80 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.7 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{0.7}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(70 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=70 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $70 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$70 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$80$	=	$70 - c$
$80$	=	$- c + 70$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 10$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $70 + 10 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $70 + 10 e^{- 0,01 \cdot 9}$ ≈ 79.1

Wann wird der Wert 80?: f(t)=80

70 + 10 e^{- 0,01 t}

=

80

$10 e^{- 0,01 t} + 70$	=	$80$	\| $- 70$
$10 e^{- 0,01 t}$	=	$10$	\|: $10$
$e^{- 0,01 t}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	0	\|: $- 0,01$
$t$	=	0	≈ 0

also t=0

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $10 e^{- 0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,04$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.