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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 15 Millionen Algen im Teich. Nach 6 Stunden sind es 24,241 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 7 Stunden? b) Wann waren es 25 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $15 e^{k \cdot 6}$ = 24,2411.

$15 e^{6 k}$	=	$24,2411$	\|: $15$
$e^{6 k}$	=	$1,6161$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (1,6161)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (1,6161)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.08000263989541, => f(t)= $15 e^{0,08 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $15 e^{0,08 \cdot 7}$ ≈ 26.3

Wann wird der Wert 25?: f(t)=25

$15 e^{0,08 t}$	=	$25$	\|: $15$
$e^{0,08 t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$0,08 t$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $0,08$
$t$	=	$\frac{1}{0,08} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 6.3853

also t=6.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 98 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 32 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 98: f(98)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 98}$ ≈ 1.6

Wann wird der Wert 32?: f(t)=32

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$32$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 600 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 600 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 600 000)$	≈ 124.0697

also t=124.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 3% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 88% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.97) ≈ -0.030459207484709

=> f(t)= $100 e^{- 0,0305 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,0305 \cdot 3}$ ≈ 91.3

Wann wird der Wert 88?: f(t)=88

$100 e^{- 0,0305 t}$	=	$88$	\|: $100$
$e^{- 0,0305 t}$	=	$\frac{22}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,0305 t$	=	$\ln (\frac{22}{25})$	\|: $- 0,0305$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0305} \ln (\frac{22}{25})$	≈ 4.1913

also t=4.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 62° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 53,99° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 62 ist, gilt: f(0)= 62, also 62 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$62$	=	$20 - c$
$62$	=	$- c + 20$	\| $- 62$ $+ c$
$c$	=	$- 42$

somit gilt: f(t)= $20 + 42 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 42 e^{- k \cdot 5}$ = 53,99.

20 + 42 e^{- 5 k}

=

53,9935

$42 e^{- 5 k} + 20$	=	$53,9935$	\| $- 20$
$42 e^{- 5 k}$	=	$33,9935$	\|: $42$
$e^{- 5 k}$	=	$0,8094$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,8094)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,8094)$	≈ 0.0423

also k ≈ 0.042292409308074, => f(t)= $20 + 42 e^{- 0,0423 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 42 e^{- 0,0423 \cdot 3}$ ≈ 57

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 42 e^{- 0,0423 t}

=

50

$42 e^{- 0,0423 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$42 e^{- 0,0423 t}$	=	$30$	\|: $42$
$e^{- 0,0423 t}$	=	$\frac{5}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,0423 t$	=	$\ln (\frac{5}{7})$	\|: $- 0,0423$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0423} \ln (\frac{5}{7})$	≈ 7.9544

also t=8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 4ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 8% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 5 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 31ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 4 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{4}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(50 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=50 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $50 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$50 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
0	=	$50 - c$
0	=	$- c + 50$	\|0 $+ c$
$c$	=	$50$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $50 - 50 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $50 - 50 e^{- 0,08 \cdot 5}$ ≈ 16.5

Wann wird der Wert 31?: f(t)=31

50 - 50 e^{- 0,08 t}

=

31

$- 50 e^{- 0,08 t} + 50$	=	$31$	\| $- 50$
$- 50 e^{- 0,08 t}$	=	$- 19$	\|: $- 50$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{19}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{19}{50})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{19}{50})$	≈ 12.0948

also t=12.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $12 e^{- 0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,06$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,06}$ ≈ 11.552 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.