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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 8 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 14,577 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 13 Stunden? b) Wann waren es 12 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $8 e^{k \cdot 10}$ = 14,577.

$8 e^{10 k}$	=	$14,577$	\|: $8$
$e^{10 k}$	=	$1,8221$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (1,8221)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (1,8221)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.05999896820737, => f(t)= $8 e^{0,06 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $8 e^{0,06 \cdot 13}$ ≈ 17.5

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

$8 e^{0,06 t}$	=	$12$	\|: $8$
$e^{0,06 t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,06 t$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $0,06$
$t$	=	$\frac{1}{0,06} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 6.7578

also t=6.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1222 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2177? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,6 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1222}$ ≈ -0.00056722355201305

=> f(t)= $e^{- 0,0006 t}$

Wert zur Zeit 177: f(177)= $e^{- 0,0006 \cdot 177}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.6?: f(t)=0.6

$e^{- 0,0006 t}$	=	$0,6$	\|ln(⋅)
$- 0,0006 t$	=	$\ln (0,6)$	\|: $- 0,0006$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0006} \ln (0,6)$	≈ 900.927

also t=900.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 11% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 4 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 6 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.11) ≈ 0.10436001532424

=> f(t)= $4 e^{0,1044 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $4 e^{0,1044 \cdot 2}$ ≈ 4.9

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$4 e^{0,1044 t}$	=	$6$	\|: $4$
$e^{0,1044 t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,1044 t$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $0,1044$
$t$	=	$\frac{1}{0,1044} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 3.8838

also t=3.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 31°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 10,55°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 14°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=31 sein muss.

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $31 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $31 - c$ = $31 - c$

$7$	=	$31 - c$
$7$	=	$- c + 31$	\| $- 7$ $+ c$
$c$	=	$24$

somit gilt: f(t)= $31 - 24 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $31 - 24 e^{- k \cdot 4}$ = 10,55.

31 - 24 e^{- 4 k}

=

10,5485

$- 24 e^{- 4 k} + 31$	=	$10,5485$	\| $- 31$
$- 24 e^{- 4 k}$	=	$- 20,4515$	\|: $- 24$
$e^{- 4 k}$	=	$0,8521$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,8521)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,8521)$	≈ 0.04

also k ≈ 0.040012847037057, => f(t)= $31 - 24 e^{- 0,04 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $31 - 24 e^{- 0,04 \cdot 6}$ ≈ 12.1

Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

31 - 24 e^{- 0,04 t}

=

14

$- 24 e^{- 0,04 t} + 31$	=	$14$	\| $- 31$
$- 24 e^{- 0,04 t}$	=	$- 17$	\|: $- 24$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{17}{24}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{17}{24})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{17}{24})$	≈ 8.621

also t=8.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 6ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 1% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 6 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 311ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 6 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{6}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(600 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=600 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $600 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$600 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
0	=	$600 - c$
0	=	$- c + 600$	\|0 $+ c$
$c$	=	$600$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $600 - 600 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $600 - 600 e^{- 0,01 \cdot 6}$ ≈ 34.9

Wann wird der Wert 311?: f(t)=311

600 - 600 e^{- 0,01 t}

=

311

$- 600 e^{- 0,01 t} + 600$	=	$311$	\| $- 600$
$- 600 e^{- 0,01 t}$	=	$- 289$	\|: $- 600$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{289}{600}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{289}{600})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{289}{600})$	≈ 73.0503

also t=73.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $8 e^{0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,09$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.