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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 9g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 7,982g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 6g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $9 e^{k \cdot 2}$ = 7,9823.

$9 e^{2 k}$	=	$7,9823$	\|: $9$
$e^{2 k}$	=	$0,8869$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (0,8869)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (0,8869)$	≈ -0.06

also k ≈ -0.060011521299865, => f(t)= $9 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $9 e^{- 0,06 \cdot 5}$ ≈ 6.7

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$9 e^{- 0,06 t}$	=	$6$	\|: $9$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 6.7578

also t=6.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 406 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 5g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 747 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 4,5g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{406}$ ≈ -0.0017072590654186

=> f(t)= $5 e^{- 0,0017 t}$

Wert zur Zeit 747: f(747)= $5 e^{- 0,0017 \cdot 747}$ ≈ 1.4

Wann wird der Wert 4.5?: f(t)=4.5

$5 e^{- 0,0017 t}$	=	$4,5$	\|: $5$
$e^{- 0,0017 t}$	=	$0,9$	\|ln(⋅)
$- 0,0017 t$	=	$\ln (0,9)$	\|: $- 0,0017$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0017} \ln (0,9)$	≈ 61.7226

also t=61.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 15% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 17 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 25 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.15) ≈ 0.13976194237516

=> f(t)= $17 e^{0,1398 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $17 e^{0,1398 \cdot 2}$ ≈ 22.5

Wann wird der Wert 25?: f(t)=25

$17 e^{0,1398 t}$	=	$25$	\|: $17$
$e^{0,1398 t}$	=	$\frac{25}{17}$	\|ln(⋅)
$0,1398 t$	=	$\ln (\frac{25}{17})$	\|: $0,1398$
$t$	=	$\frac{1}{0,1398} \ln (\frac{25}{17})$	≈ 2.7587

also t=2.8

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 65° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 65 ist, gilt: f(0)= 65, also 65 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$65$	=	$20 - c$
$65$	=	$- c + 20$	\| $- 65$ $+ c$
$c$	=	$- 45$

somit gilt: f(t)= $20 + 45 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 45 e^{- k \cdot 3}$ = 52.

20 + 45 e^{- 3 k}

=

52,0041

$45 e^{- 3 k} + 20$	=	$52,0041$	\| $- 20$
$45 e^{- 3 k}$	=	$32,0041$	\|: $45$
$e^{- 3 k}$	=	$0,7112$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,7112)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,7112)$	≈ 0.1136

also k ≈ 0.11360053159415, => f(t)= $20 + 45 e^{- 0,1136 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 45 e^{- 0,1136 \cdot 3}$ ≈ 52

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 45 e^{- 0,1136 t}

=

50

$45 e^{- 0,1136 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$45 e^{- 0,1136 t}$	=	$30$	\|: $45$
$e^{- 0,1136 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,1136 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,1136$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1136} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 3.5692

also t=3.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 5ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 11 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 197ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 5 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{5}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(250 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=250 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $250 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$250 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
0	=	$250 - c$
0	=	$- c + 250$	\|0 $+ c$
$c$	=	$250$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $250 - 250 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $250 - 250 e^{- 0,02 \cdot 11}$ ≈ 49.4

Wann wird der Wert 197?: f(t)=197

250 - 250 e^{- 0,02 t}

=

197

$- 250 e^{- 0,02 t} + 250$	=	$197$	\| $- 250$
$- 250 e^{- 0,02 t}$	=	$- 53$	\|: $- 250$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{53}{250}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{53}{250})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{53}{250})$	≈ 77.5585

also t=77.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $19 e^{- 0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,01$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,01}$ ≈ 69.315 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.