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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 7g vorhanden. Nach 7 Tagen sind nur noch 6,086g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 6g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $7 e^{k \cdot 7}$ = 6,0855.

$7 e^{7 k}$	=	$6,0855$	\|: $7$
$e^{7 k}$	=	$0,8694$	\|ln(⋅)
$7 k$	=	$\ln (0,8694)$	\|: $7$
$k$	=	$\frac{1}{7} \ln (0,8694)$	≈ -0.02

also k ≈ -0.019993137203921, => f(t)= $7 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $7 e^{- 0,02 \cdot 10}$ ≈ 5.7

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$7 e^{- 0,02 t}$	=	$6$	\|: $7$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 7.7075

also t=7.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 426 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 20g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 285 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 12g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{426}$ ≈ -0.0016271060576525

=> f(t)= $20 e^{- 0,0016 t}$

Wert zur Zeit 285: f(285)= $20 e^{- 0,0016 \cdot 285}$ ≈ 12.6

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

$20 e^{- 0,0016 t}$	=	$12$	\|: $20$
$e^{- 0,0016 t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,0016 t$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $- 0,0016$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0016} \ln (\frac{3}{5})$	≈ 313.9678

also t=314

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 13% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 14 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 5 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.87) ≈ -0.13926206733351

=> f(t)= $14 e^{- 0,1393 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $14 e^{- 0,1393 \cdot 3}$ ≈ 9.2

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$14 e^{- 0,1393 t}$	=	$5$	\|: $14$
$e^{- 0,1393 t}$	=	$\frac{5}{14}$	\|ln(⋅)
$- 0,1393 t$	=	$\ln (\frac{5}{14})$	\|: $- 0,1393$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1393} \ln (\frac{5}{14})$	≈ 7.3914

also t=7.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 40 e^{- k \cdot 2}$ = 54.

20 + 40 e^{- 2 k}

=

53,9972

$40 e^{- 2 k} + 20$	=	$53,9972$	\| $- 20$
$40 e^{- 2 k}$	=	$33,9972$	\|: $40$
$e^{- 2 k}$	=	$0,8499$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,8499)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,8499)$	≈ 0.0813

also k ≈ 0.081318291738778, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,0813 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 40 e^{- 0,0813 \cdot 2}$ ≈ 54

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,0813 t}

=

50

$40 e^{- 0,0813 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,0813 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,0813 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,0813 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,0813$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0813} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 3.5385

also t=3.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,4% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 13 Jahren, wenn jedes Jahr 0,5 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 76 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.5 - 0.014⋅f(t)

wenn man 0.014 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.014( $\frac{0.5}{0.014}$ - f(t))

also f'(t) = 0.014(35.71 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=35.71 und der Wachstumsfaktor k=0.014 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $35,71 - c \cdot e^{- 0,014 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$35,71 - c \cdot e^{- 0,014 \cdot 0}$
$80$	=	$35,71 - c$
$80$	=	$- c + 35,71$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 44,29$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $35,71 + 44,29 e^{- 0,014 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $35,71 + 44,29 e^{- 0,014 \cdot 13}$ ≈ 72.6

Wann wird der Wert 76?: f(t)=76

35,71 + 44,29 e^{- 0,014 t}

=

76

$44,29 e^{- 0,014 t} + 35,71$	=	$76$	\| $- 35,71$
$44,29 e^{- 0,014 t}$	=	$40,29$	\|: $44,29$
$e^{- 0,014 t}$	=	$0,9097$	\|ln(⋅)
$- 0,014 t$	=	$\ln (0,9097)$	\|: $- 0,014$
$t$	=	$- \frac{1}{0,014} \ln (0,9097)$	≈ 6.76

also t=6.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $16 e^{- 0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,05$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.