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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 9g vorhanden. Nach 10 Tagen sind nur noch 5,459g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 13 Tagen da? b) Wann sind nur noch 5g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $9 e^{k \cdot 10}$ = 5,4588.

$9 e^{10 k}$	=	$5,4588$	\|: $9$
$e^{10 k}$	=	$0,6065$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (0,6065)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (0,6065)$	≈ -0.05

also k ≈ -0.050005055059803, => f(t)= $9 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $9 e^{- 0,05 \cdot 13}$ ≈ 4.7

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$9 e^{- 0,05 t}$	=	$5$	\|: $9$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{5}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{5}{9})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{5}{9})$	≈ 11.7557

also t=11.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 738 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 11g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 2132 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 4,4g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{738}$ ≈ -0.00093922382189694

=> f(t)= $11 e^{- 0,0009 t}$

Wert zur Zeit 2132: f(2132)= $11 e^{- 0,0009 \cdot 2132}$ ≈ 1.5

Wann wird der Wert 4.4?: f(t)=4.4

$11 e^{- 0,0009 t}$	=	$4,4$	\|: $11$
$e^{- 0,0009 t}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,0009 t$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,0009$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0009} \ln (0,4)$	≈ 975.8155

also t=975.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 15% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 9 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 5 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.85) ≈ -0.16251892949777

=> f(t)= $9 e^{- 0,1625 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $9 e^{- 0,1625 \cdot 4}$ ≈ 4.7

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$9 e^{- 0,1625 t}$	=	$5$	\|: $9$
$e^{- 0,1625 t}$	=	$\frac{5}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,1625 t$	=	$\ln (\frac{5}{9})$	\|: $- 0,1625$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1625} \ln (\frac{5}{9})$	≈ 3.6171

also t=3.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 64° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 64 ist, gilt: f(0)= 64, also 64 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$64$	=	$20 - c$
$64$	=	$- c + 20$	\| $- 64$ $+ c$
$c$	=	$- 44$

somit gilt: f(t)= $20 + 44 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 44 e^{- k \cdot 4}$ = 52.

20 + 44 e^{- 4 k}

=

52,0017

$44 e^{- 4 k} + 20$	=	$52,0017$	\| $- 20$
$44 e^{- 4 k}$	=	$32,0017$	\|: $44$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7273$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7273)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7273)$	≈ 0.0796

also k ≈ 0.079604057955411, => f(t)= $20 + 44 e^{- 0,0796 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 44 e^{- 0,0796 \cdot 3}$ ≈ 54.7

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 44 e^{- 0,0796 t}

=

50

$44 e^{- 0,0796 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$44 e^{- 0,0796 t}$	=	$30$	\|: $44$
$e^{- 0,0796 t}$	=	$\frac{15}{22}$	\|ln(⋅)
$- 0,0796 t$	=	$\ln (\frac{15}{22})$	\|: $- 0,0796$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0796} \ln (\frac{15}{22})$	≈ 4.8115

also t=4.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 4ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 4% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 15 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 23ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 4 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{4}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(100 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=100 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $100 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$100 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
0	=	$100 - c$
0	=	$- c + 100$	\|0 $+ c$
$c$	=	$100$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $100 - 100 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $100 - 100 e^{- 0,04 \cdot 15}$ ≈ 45.1

Wann wird der Wert 23?: f(t)=23

100 - 100 e^{- 0,04 t}

=

23

$- 100 e^{- 0,04 t} + 100$	=	$23$	\| $- 100$
$- 100 e^{- 0,04 t}$	=	$- 77$	\|: $- 100$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{77}{100}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{77}{100})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{77}{100})$	≈ 6.5341

also t=6.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $8 e^{0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,05$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.