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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 90 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 43 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 90: f(90)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 90}$ ≈ 0.6

Wann wird der Wert 43?: f(t)=43

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$43$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 150 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 150 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 150 000)$	≈ 126.681

also t=126.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 368 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 13g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 571 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 11,7g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{368}$ ≈ -0.0018835521210868

=> f(t)= $13 e^{- 0,0019 t}$

Wert zur Zeit 571: f(571)= $13 e^{- 0,0019 \cdot 571}$ ≈ 4.4

Wann wird der Wert 11.7?: f(t)=11.7

$13 e^{- 0,0019 t}$	=	$11,7$	\|: $13$
$e^{- 0,0019 t}$	=	$0,9$	\|ln(⋅)
$- 0,0019 t$	=	$\ln (0,9)$	\|: $- 0,0019$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0019} \ln (0,9)$	≈ 55.9238

also t=55.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 3% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 5 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 91% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.97) ≈ -0.030459207484709

=> f(t)= $100 e^{- 0,0305 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 e^{- 0,0305 \cdot 5}$ ≈ 85.9

Wann wird der Wert 91?: f(t)=91

$100 e^{- 0,0305 t}$	=	$91$	\|: $100$
$e^{- 0,0305 t}$	=	$\frac{91}{100}$	\|ln(⋅)
$- 0,0305 t$	=	$\ln (\frac{91}{100})$	\|: $- 0,0305$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0305} \ln (\frac{91}{100})$	≈ 3.0922

also t=3.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 3 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 10,6°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 5 Minuten? b) Wann ist sie 12°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$7$	=	$26 - c$
$7$	=	$- c + 26$	\| $- 7$ $+ c$
$c$	=	$19$

somit gilt: f(t)= $26 - 19 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $26 - 19 e^{- k \cdot 3}$ = 10,6.

26 - 19 e^{- 3 k}

=

10,5989

$- 19 e^{- 3 k} + 26$	=	$10,5989$	\| $- 26$
$- 19 e^{- 3 k}$	=	$- 15,4011$	\|: $- 19$
$e^{- 3 k}$	=	$0,8106$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,8106)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,8106)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.069993521595976, => f(t)= $26 - 19 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $26 - 19 e^{- 0,07 \cdot 5}$ ≈ 12.6

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

26 - 19 e^{- 0,07 t}

=

12

$- 19 e^{- 0,07 t} + 26$	=	$12$	\| $- 26$
$- 19 e^{- 0,07 t}$	=	$- 14$	\|: $- 19$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{14}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{14}{19})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{14}{19})$	≈ 4.3626

also t=4.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2649 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 67 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 11 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2144 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 67 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{67}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(670 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=670 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $670 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2649 ein (Punktprobe).

$2 649$	=	$670 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$2 649$	=	$670 - c$
$2 649$	=	$- c + 670$	\| $- 2 649$ $+ c$
$c$	=	$- 1 979$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $670 + 1 979 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $670 + 1 979 e^{- 0,1 \cdot 11}$ ≈ 1328.8

Wann wird der Wert 2144?: f(t)=2144

670 + 1 979 e^{- 0,1 t}

=

2 144

$1 979 e^{- 0,1 t} + 670$	=	$2 144$	\| $- 670$
$1 979 e^{- 0,1 t}$	=	$1 474$	\|: $1 979$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{1474}{1979}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{1474}{1979})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1474}{1979})$	≈ 2.9461

also t=2.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{- 0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,07$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.