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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 3 Millionen Algen im Teich. Nach 8 Stunden sind es 6,677 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 9 Stunden? b) Wann waren es 6 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $3 e^{k \cdot 8}$ = 6,6766.

$3 e^{8 k}$	=	$6,6766$	\|: $3$
$e^{8 k}$	=	$2,2255$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (2,2255)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (2,2255)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.099997701184221, => f(t)= $3 e^{0,1 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $3 e^{0,1 \cdot 9}$ ≈ 7.4

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$3 e^{0,1 t}$	=	$6$	\|: $3$
$e^{0,1 t}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$0,1 t$	=	$\ln (2)$	\|: $0,1$
$t$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (2)$	≈ 6.9315

also t=6.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 637 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 4g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 836 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 3,6g Gaußium da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{637}$ ≈ -0.0010881431405965

=> f(t)= $4 e^{- 0,0011 t}$

Wert zur Zeit 836: f(836)= $4 e^{- 0,0011 \cdot 836}$ ≈ 1.6

Wann wird der Wert 3.6?: f(t)=3.6

$4 e^{- 0,0011 t}$	=	$3,6$	\|: $4$
$e^{- 0,0011 t}$	=	$0,9$	\|ln(⋅)
$- 0,0011 t$	=	$\ln (0,9)$	\|: $- 0,0011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0011} \ln (0,9)$	≈ 96.8387

also t=96.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 11% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 17 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 10 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595

=> f(t)= $17 e^{- 0,1165 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $17 e^{- 0,1165 \cdot 5}$ ≈ 9.5

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$17 e^{- 0,1165 t}$	=	$10$	\|: $17$
$e^{- 0,1165 t}$	=	$\frac{10}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,1165 t$	=	$\ln (\frac{10}{17})$	\|: $- 0,1165$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1165} \ln (\frac{10}{17})$	≈ 4.5547

also t=4.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 40 e^{- k \cdot 5}$ = 54.

20 + 40 e^{- 5 k}

=

54,0006

$40 e^{- 5 k} + 20$	=	$54,0006$	\| $- 20$
$40 e^{- 5 k}$	=	$34,0006$	\|: $40$
$e^{- 5 k}$	=	$0,85$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,85)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,85)$	≈ 0.0325

also k ≈ 0.032503785899555, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,0325 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 40 e^{- 0,0325 \cdot 5}$ ≈ 54

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,0325 t}

=

50

$40 e^{- 0,0325 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,0325 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,0325 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,0325 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,0325$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0325} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 8.8518

also t=8.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2268 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 68 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 6 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1194 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 68 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{68}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(850 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=850 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $850 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2268 ein (Punktprobe).

$2 268$	=	$850 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$2 268$	=	$850 - c$
$2 268$	=	$- c + 850$	\| $- 2 268$ $+ c$
$c$	=	$- 1 418$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $850 + 1 418 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $850 + 1 418 e^{- 0,08 \cdot 6}$ ≈ 1727.4

Wann wird der Wert 1194?: f(t)=1194

850 + 1 418 e^{- 0,08 t}

=

1 194

$1 418 e^{- 0,08 t} + 850$	=	$1 194$	\| $- 850$
$1 418 e^{- 0,08 t}$	=	$344$	\|: $1 418$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{172}{709}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{172}{709})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{172}{709})$	≈ 17.7045

also t=17.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $16 e^{0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,08$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.