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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 11g vorhanden. Nach 7 Tagen sind nur noch 5,462g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 9 Tagen da? b) Wann sind nur noch 1g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $11 e^{k \cdot 7}$ = 5,4624.

$11 e^{7 k}$	=	$5,4624$	\|: $11$
$e^{7 k}$	=	$0,4966$	\|ln(⋅)
$7 k$	=	$\ln (0,4966)$	\|: $7$
$k$	=	$\frac{1}{7} \ln (0,4966)$	≈ -0.1

also k ≈ -0.099995772272582, => f(t)= $11 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $11 e^{- 0,1 \cdot 9}$ ≈ 4.5

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$11 e^{- 0,1 t}$	=	$1$	\|: $11$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{1}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{1}{11})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{11})$	≈ 23.979

also t=24

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1589 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2157? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,7 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1589}$ ≈ -0.00043621597266202

=> f(t)= $e^{- 0,0004 t}$

Wert zur Zeit 157: f(157)= $e^{- 0,0004 \cdot 157}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.7?: f(t)=0.7

$e^{- 0,0004 t}$	=	$0,7$	\|ln(⋅)
$- 0,0004 t$	=	$\ln (0,7)$	\|: $- 0,0004$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0004} \ln (0,7)$	≈ 818.0618

also t=818.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 10% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 4 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 6 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.1) ≈ 0.095310179804325

=> f(t)= $4 e^{0,0953 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $4 e^{0,0953 \cdot 2}$ ≈ 4.8

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$4 e^{0,0953 t}$	=	$6$	\|: $4$
$e^{0,0953 t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,0953 t$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $0,0953$
$t$	=	$\frac{1}{0,0953} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 4.2546

also t=4.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 57° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 57 ist, gilt: f(0)= 57, also 57 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$57$	=	$20 - c$
$57$	=	$- c + 20$	\| $- 57$ $+ c$
$c$	=	$- 37$

somit gilt: f(t)= $20 + 37 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 37 e^{- k \cdot 4}$ = 51.

20 + 37 e^{- 4 k}

=

51,0041

$37 e^{- 4 k} + 20$	=	$51,0041$	\| $- 20$
$37 e^{- 4 k}$	=	$31,0041$	\|: $37$
$e^{- 4 k}$	=	$0,8379$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,8379)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,8379)$	≈ 0.0442

also k ≈ 0.044214129340724, => f(t)= $20 + 37 e^{- 0,0442 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 37 e^{- 0,0442 \cdot 5}$ ≈ 49.7

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 37 e^{- 0,0442 t}

=

50

$37 e^{- 0,0442 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$37 e^{- 0,0442 t}$	=	$30$	\|: $37$
$e^{- 0,0442 t}$	=	$\frac{30}{37}$	\|ln(⋅)
$- 0,0442 t$	=	$\ln (\frac{30}{37})$	\|: $- 0,0442$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0442} \ln (\frac{30}{37})$	≈ 4.7448

also t=4.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 6 Jahren, wenn jedes Jahr 0,7 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 79 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.7 - 0.011⋅f(t)

wenn man 0.011 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.011( $\frac{0.7}{0.011}$ - f(t))

also f'(t) = 0.011(63.64 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=63.64 und der Wachstumsfaktor k=0.011 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $63,64 - c \cdot e^{- 0,011 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$63,64 - c \cdot e^{- 0,011 \cdot 0}$
$80$	=	$63,64 - c$
$80$	=	$- c + 63,64$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 16,36$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $63,64 + 16,36 e^{- 0,011 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $63,64 + 16,36 e^{- 0,011 \cdot 6}$ ≈ 79

Wann wird der Wert 79?: f(t)=79

63,64 + 16,36 e^{- 0,011 t}

=

79

$16,36 e^{- 0,011 t} + 63,64$	=	$79$	\| $- 63,64$
$16,36 e^{- 0,011 t}$	=	$15,36$	\|: $16,36$
$e^{- 0,011 t}$	=	$0,9389$	\|ln(⋅)
$- 0,011 t$	=	$\ln (0,9389)$	\|: $- 0,011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,011} \ln (0,9389)$	≈ 5.7315

also t=5.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $18 e^{0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,07$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.