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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 14g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 12,924g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 4 Tagen da? b) Wann sind nur noch 11g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $14 e^{k \cdot 2}$ = 12,9236.

$14 e^{2 k}$	=	$12,9236$	\|: $14$
$e^{2 k}$	=	$0,9231$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (0,9231)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (0,9231)$	≈ -0.04

also k ≈ -0.040008853993016, => f(t)= $14 e^{- 0,04 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $14 e^{- 0,04 \cdot 4}$ ≈ 11.9

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

$14 e^{- 0,04 t}$	=	$11$	\|: $14$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{11}{14}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{11}{14})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{11}{14})$	≈ 6.0291

also t=6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1441 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2270? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,9 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1441}$ ≈ -0.00048101816832751

=> f(t)= $e^{- 0,0005 t}$

Wert zur Zeit 270: f(270)= $e^{- 0,0005 \cdot 270}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.9?: f(t)=0.9

$e^{- 0,0005 t}$	=	$0,9$	\|ln(⋅)
$- 0,0005 t$	=	$\ln (0,9)$	\|: $- 0,0005$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0005} \ln (0,9)$	≈ 219.0447

also t=219

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 8% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 14 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 18 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.08) ≈ 0.076961041136128

=> f(t)= $14 e^{0,077 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $14 e^{0,077 \cdot 3}$ ≈ 17.6

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

$14 e^{0,077 t}$	=	$18$	\|: $14$
$e^{0,077 t}$	=	$\frac{9}{7}$	\|ln(⋅)
$0,077 t$	=	$\ln (\frac{9}{7})$	\|: $0,077$
$t$	=	$\frac{1}{0,077} \ln (\frac{9}{7})$	≈ 3.2638

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 8 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 16,04°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 11 Minuten? b) Wann ist sie 12°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $25 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $25 - c$ = $25 - c$

$8$	=	$25 - c$
$8$	=	$- c + 25$	\| $- 8$ $+ c$
$c$	=	$17$

somit gilt: f(t)= $25 - 17 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $25 - 17 e^{- k \cdot 8}$ = 16,04.

25 - 17 e^{- 8 k}

=

16,036

$- 17 e^{- 8 k} + 25$	=	$16,036$	\| $- 25$
$- 17 e^{- 8 k}$	=	$- 8,964$	\|: $- 17$
$e^{- 8 k}$	=	$0,5273$	\|ln(⋅)
$- 8 k$	=	$\ln (0,5273)$	\|: $- 8$
$k$	=	$- \frac{1}{8} \ln (0,5273)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.079998204055714, => f(t)= $25 - 17 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $25 - 17 e^{- 0,08 \cdot 11}$ ≈ 17.9

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

25 - 17 e^{- 0,08 t}

=

12

$- 17 e^{- 0,08 t} + 25$	=	$12$	\| $- 25$
$- 17 e^{- 0,08 t}$	=	$- 13$	\|: $- 17$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{13}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{13}{17})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{13}{17})$	≈ 3.3533

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 10ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 10% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 5 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 40ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 10 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{10}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(100 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=100 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $100 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$100 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
0	=	$100 - c$
0	=	$- c + 100$	\|0 $+ c$
$c$	=	$100$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $100 - 100 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 - 100 e^{- 0,1 \cdot 5}$ ≈ 39.3

Wann wird der Wert 40?: f(t)=40

100 - 100 e^{- 0,1 t}

=

40

$- 100 e^{- 0,1 t} + 100$	=	$40$	\| $- 100$
$- 100 e^{- 0,1 t}$	=	$- 60$	\|: $- 100$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{3}{5})$	≈ 5.1083

also t=5.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $19 e^{- 0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,05$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.