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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 17 Millionen Algen im Teich. Nach 5 Stunden sind es 17,872 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 7 Stunden? b) Wann waren es 18 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $17 e^{k \cdot 5}$ = 17,8716.

$17 e^{5 k}$	=	$17,8716$	\|: $17$
$e^{5 k}$	=	$1,0513$	\|ln(⋅)
$5 k$	=	$\ln (1,0513)$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{1}{5} \ln (1,0513)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.01000549871993, => f(t)= $17 e^{0,01 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $17 e^{0,01 \cdot 7}$ ≈ 18.2

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

$17 e^{0,01 t}$	=	$18$	\|: $17$
$e^{0,01 t}$	=	$\frac{18}{17}$	\|ln(⋅)
$0,01 t$	=	$\ln (\frac{18}{17})$	\|: $0,01$
$t$	=	$\frac{1}{0,01} \ln (\frac{18}{17})$	≈ 5.7158

also t=5.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 14 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 20-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 36 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 22,22-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{14}$ ≈ 0.049510512897139

=> f(t)= $20 e^{0,0495 t}$

Wert zur Zeit 36: f(36)= $20 e^{0,0495 \cdot 36}$ ≈ 118.9

Wann wird der Wert 22.22?: f(t)=22.22

$20 e^{0,0495 t}$	=	$22,22$	\|: $20$
$e^{0,0495 t}$	=	$1,111$	\|ln(⋅)
$0,0495 t$	=	$\ln (1,111)$	\|: $0,0495$
$t$	=	$\frac{1}{0,0495} \ln (1,111)$	≈ 2.126

also t=2.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 14% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 5 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 30% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.86) ≈ -0.15082288973458

=> f(t)= $100 e^{- 0,1508 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 e^{- 0,1508 \cdot 5}$ ≈ 47

Wann wird der Wert 30?: f(t)=30

$100 e^{- 0,1508 t}$	=	$30$	\|: $100$
$e^{- 0,1508 t}$	=	$\frac{3}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,1508 t$	=	$\ln (\frac{3}{10})$	\|: $- 0,1508$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1508} \ln (\frac{3}{10})$	≈ 7.9839

also t=8

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 9° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 7 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 12,91°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 8 Minuten? b) Wann ist sie 21°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $25 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $25 - c$ = $25 - c$

$9$	=	$25 - c$
$9$	=	$- c + 25$	\| $- 9$ $+ c$
$c$	=	$16$

somit gilt: f(t)= $25 - 16 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $25 - 16 e^{- k \cdot 7}$ = 12,91.

25 - 16 e^{- 7 k}

=

12,9075

$- 16 e^{- 7 k} + 25$	=	$12,9075$	\| $- 25$
$- 16 e^{- 7 k}$	=	$- 12,0925$	\|: $- 16$
$e^{- 7 k}$	=	$0,7558$	\|ln(⋅)
$- 7 k$	=	$\ln (0,7558)$	\|: $- 7$
$k$	=	$- \frac{1}{7} \ln (0,7558)$	≈ 0.04

also k ≈ 0.039996926866678, => f(t)= $25 - 16 e^{- 0,04 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $25 - 16 e^{- 0,04 \cdot 8}$ ≈ 13.4

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

25 - 16 e^{- 0,04 t}

=

21

$- 16 e^{- 0,04 t} + 25$	=	$21$	\| $- 25$
$- 16 e^{- 0,04 t}$	=	$- 4$	\|: $- 16$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 34.6574

also t=34.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3144 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 66 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 13 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2681 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 66 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{66}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(1650 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1650 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 650 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3144 ein (Punktprobe).

$3 144$	=	$1 650 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$3 144$	=	$1 650 - c$
$3 144$	=	$- c + 1 650$	\| $- 3 144$ $+ c$
$c$	=	$- 1 494$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 650 + 1 494 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $1 650 + 1 494 e^{- 0,04 \cdot 13}$ ≈ 2538.2

Wann wird der Wert 2681?: f(t)=2681

1 650 + 1 494 e^{- 0,04 t}

=

2 681

$1 494 e^{- 0,04 t} + 1 650$	=	$2 681$	\| $- 1 650$
$1 494 e^{- 0,04 t}$	=	$1 031$	\|: $1 494$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{1031}{1494}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{1031}{1494})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{1031}{1494})$	≈ 9.2732

also t=9.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $19 e^{- 0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,08$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,08}$ ≈ 8.664 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.