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cosh
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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 6g vorhanden. Nach 8 Tagen sind nur noch 3,427g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 9 Tagen da? b) Wann sind nur noch 2g davon übrig?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= = 3,4273.
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ -0.07 |
also k ≈ -0.070001983494595, => f(t)=
Wert zur Zeit 9: f(9)= ≈ 3.2
Wann wird der Wert 2?: f(t)=2
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 15.6945 |
also t=15.7
Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit
Beispiel:
Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1857 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2173? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,9 Milliarden Blondies?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Wir berechnen k über die Halbwertszeit.
Dazu stellen wir die Formel TH= um zu
k==
≈ -0.00037326180967148
=> f(t)=
Wert zur Zeit 173: f(173)= ≈ 0.9
Wann wird der Wert 0.9?: f(t)=0.9
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 282.4679 |
also t=282.5
Exponentielles Wachstum mit Prozent
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 14% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 9 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 17 Millarden?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.14) ≈ 0.1310282624064
=> f(t)=
Wert zur Zeit 4: f(4)= ≈ 15.2
Wann wird der Wert 17?: f(t)=17
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 4.8549 |
also t=4.9
beschränktes Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?
Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.
Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = = =
| = | |||
| = | | | ||
| = |
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= = 53.
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 0.0962 |
also k ≈ 0.096185946323728, => f(t)=
Wert zur Zeit 1: f(1)= ≈ 56.3
Wann wird der Wert 50?: f(t)=50
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 2.9905 |
also t=3
beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung
Beispiel:
Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2229 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 83 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 14 Monaten? b) Wann beträgt dieser 975 Wörter ?
Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:
f'(t) = 83 - 0.1⋅f(t)
wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung
f'(t) = 0.1( - f(t))
also f'(t) = 0.1(830 - f(t))
das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))
Wir wissen nun also, dass die Schranke S=830 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.
Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= haben.
Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2229 ein (Punktprobe).
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = |
somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)=
Wert zur Zeit 14: f(14)= ≈ 1175
Wann wird der Wert 975?: f(t)=975
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 22.6678 |
also t=22.7
Halbwerts- + Verdopplungszeit best.
Beispiel:
Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.
Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent () erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.
Dazu setzen wir k = einfach in die Formel TV = ein:
TV = ≈ 23.105 min
