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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 20 Millionen Algen im Teich. Nach 9 Stunden sind es 26,199 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 10 Stunden? b) Wann waren es 25 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $20 e^{k \cdot 9}$ = 26,1993.

$20 e^{9 k}$	=	$26,1993$	\|: $20$
$e^{9 k}$	=	$1,31$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (1,31)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (1,31)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.030003015245896, => f(t)= $20 e^{0,03 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $20 e^{0,03 \cdot 10}$ ≈ 27

Wann wird der Wert 25?: f(t)=25

$20 e^{0,03 t}$	=	$25$	\|: $20$
$e^{0,03 t}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
$0,03 t$	=	$\ln (\frac{5}{4})$	\|: $0,03$
$t$	=	$\frac{1}{0,03} \ln (\frac{5}{4})$	≈ 7.4381

also t=7.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 12 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 8-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 15 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 20-Tausend Euro gestiegen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{12}$ ≈ 0.057762265046662

=> f(t)= $8 e^{0,0578 t}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $8 e^{0,0578 \cdot 15}$ ≈ 19

Wann wird der Wert 20?: f(t)=20

$8 e^{0,0578 t}$	=	$20$	\|: $8$
$e^{0,0578 t}$	=	$\frac{5}{2}$	\|ln(⋅)
$0,0578 t$	=	$\ln (\frac{5}{2})$	\|: $0,0578$
$t$	=	$\frac{1}{0,0578} \ln (\frac{5}{2})$	≈ 15.8632

also t=15.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 18% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 11 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.82) ≈ -0.19845093872384

=> f(t)= $11 e^{- 0,1985 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $11 e^{- 0,1985 \cdot 5}$ ≈ 4.1

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$11 e^{- 0,1985 t}$	=	$1$	\|: $11$
$e^{- 0,1985 t}$	=	$\frac{1}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,1985 t$	=	$\ln (\frac{1}{11})$	\|: $- 0,1985$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1985} \ln (\frac{1}{11})$	≈ 12.0801

also t=12.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 28 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 3,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 28.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

27,9999

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$27,9999$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 9,0001$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,45$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,45)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,45)$	≈ 1.597

also k ≈ 1.5970153924355, => f(t)= $37 - 20 e^{- 1,597 t}$

Wert zur Zeit 3.5: f(3.5)= $37 - 20 e^{- 1,597 \cdot 3,5}$ ≈ 36.9

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 1,597 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 1,597 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 1,597 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 1,597 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 1,597 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 1,597$
$t$	=	$- \frac{1}{1,597} \ln (0,005)$	≈ 3.3177

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,3% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 6 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 60 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.013⋅f(t)

wenn man 0.013 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.013( $\frac{0.6}{0.013}$ - f(t))

also f'(t) = 0.013(46.15 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=46.15 und der Wachstumsfaktor k=0.013 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $46,15 - c \cdot e^{- 0,013 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$46,15 - c \cdot e^{- 0,013 \cdot 0}$
$80$	=	$46,15 - c$
$80$	=	$- c + 46,15$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 33,85$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $46,15 + 33,85 e^{- 0,013 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $46,15 + 33,85 e^{- 0,013 \cdot 6}$ ≈ 77.5

Wann wird der Wert 60?: f(t)=60

46,15 + 33,85 e^{- 0,013 t}

=

60

$33,85 e^{- 0,013 t} + 46,15$	=	$60$	\| $- 46,15$
$33,85 e^{- 0,013 t}$	=	$13,85$	\|: $33,85$
$e^{- 0,013 t}$	=	$0,4092$	\|ln(⋅)
$- 0,013 t$	=	$\ln (0,4092)$	\|: $- 0,013$
$t$	=	$- \frac{1}{0,013} \ln (0,4092)$	≈ 68.7347

also t=68.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $9 e^{0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,07$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.