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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 8 Millionen Algen im Teich. Nach 9 Stunden sind es 13,728 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 12 Stunden? b) Wann waren es 12 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $8 e^{k \cdot 9}$ = 13,7281.

$8 e^{9 k}$	=	$13,7281$	\|: $8$
$e^{9 k}$	=	$1,716$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (1,716)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (1,716)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.059999555673974, => f(t)= $8 e^{0,06 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $8 e^{0,06 \cdot 12}$ ≈ 16.4

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

$8 e^{0,06 t}$	=	$12$	\|: $8$
$e^{0,06 t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,06 t$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $0,06$
$t$	=	$\frac{1}{0,06} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 6.7578

also t=6.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 14 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 12-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 27 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 15-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{14}$ ≈ 0.049510512897139

=> f(t)= $12 e^{0,0495 t}$

Wert zur Zeit 27: f(27)= $12 e^{0,0495 \cdot 27}$ ≈ 45.7

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

$12 e^{0,0495 t}$	=	$15$	\|: $12$
$e^{0,0495 t}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
$0,0495 t$	=	$\ln (\frac{5}{4})$	\|: $0,0495$
$t$	=	$\frac{1}{0,0495} \ln (\frac{5}{4})$	≈ 4.5069

also t=4.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 12% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 15 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 6 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.88) ≈ -0.12783337150988

=> f(t)= $15 e^{- 0,1278 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $15 e^{- 0,1278 \cdot 3}$ ≈ 10.2

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$15 e^{- 0,1278 t}$	=	$6$	\|: $15$
$e^{- 0,1278 t}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,1278 t$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 0,1278$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1278} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 7.1697

also t=7.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 32 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 3,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 32.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

32

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$32$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 5$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 2.7726

also k ≈ 2.7725887222398, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,7726 t}$

Wert zur Zeit 3.5: f(3.5)= $37 - 20 e^{- 2,7726 \cdot 3,5}$ ≈ 37

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,7726 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,7726 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,7726 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,7726 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,7726 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,7726$
$t$	=	$- \frac{1}{2,7726} \ln (0,005)$	≈ 1.911

also t=1.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3023 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 69 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1762 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 69 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{69}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(1725 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1725 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 725 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3023 ein (Punktprobe).

$3 023$	=	$1 725 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$3 023$	=	$1 725 - c$
$3 023$	=	$- c + 1 725$	\| $- 3 023$ $+ c$
$c$	=	$- 1 298$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 725 + 1 298 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $1 725 + 1 298 e^{- 0,04 \cdot 12}$ ≈ 2528.2

Wann wird der Wert 1762?: f(t)=1762

1 725 + 1 298 e^{- 0,04 t}

=

1 762

$1 298 e^{- 0,04 t} + 1 725$	=	$1 762$	\| $- 1 725$
$1 298 e^{- 0,04 t}$	=	$37$	\|: $1 298$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{37}{1298}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{37}{1298})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{37}{1298})$	≈ 88.9415

also t=88.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $13 e^{- 0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,1$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,1}$ ≈ 6.931 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.