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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 83 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 13 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 83: f(83)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 83}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$13$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$650 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (650 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (650 000)$	≈ 116.2878

also t=116.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 16 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 6-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 24 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 6,67-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{16}$ ≈ 0.043321698784997

=> f(t)= $6 e^{0,0433 t}$

Wert zur Zeit 24: f(24)= $6 e^{0,0433 \cdot 24}$ ≈ 17

Wann wird der Wert 6.67?: f(t)=6.67

$6 e^{0,0433 t}$	=	$6,67$	\|: $6$
$e^{0,0433 t}$	=	$1,1117$	\|ln(⋅)
$0,0433 t$	=	$\ln (1,1117)$	\|: $0,0433$
$t$	=	$\frac{1}{0,0433} \ln (1,1117)$	≈ 2.4443

also t=2.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 12% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 9 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 12 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.12) ≈ 0.113328685307

=> f(t)= $9 e^{0,1133 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $9 e^{0,1133 \cdot 5}$ ≈ 15.9

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

$9 e^{0,1133 t}$	=	$12$	\|: $9$
$e^{0,1133 t}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$0,1133 t$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $0,1133$
$t$	=	$\frac{1}{0,1133} \ln (\frac{4}{3})$	≈ 2.5391

also t=2.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 11,22°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 12 Minuten? b) Wann ist sie 19°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$5$	=	$29 - c$
$5$	=	$- c + 29$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$24$

somit gilt: f(t)= $29 - 24 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $29 - 24 e^{- k \cdot 10}$ = 11,22.

29 - 24 e^{- 10 k}

=

11,2204

$- 24 e^{- 10 k} + 29$	=	$11,2204$	\| $- 29$
$- 24 e^{- 10 k}$	=	$- 17,7796$	\|: $- 24$
$e^{- 10 k}$	=	$0,7408$	\|ln(⋅)
$- 10 k$	=	$\ln (0,7408)$	\|: $- 10$
$k$	=	$- \frac{1}{10} \ln (0,7408)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.030002459565017, => f(t)= $29 - 24 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $29 - 24 e^{- 0,03 \cdot 12}$ ≈ 12.3

Wann wird der Wert 19?: f(t)=19

29 - 24 e^{- 0,03 t}

=

19

$- 24 e^{- 0,03 t} + 29$	=	$19$	\| $- 29$
$- 24 e^{- 0,03 t}$	=	$- 10$	\|: $- 24$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{5}{12}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{5}{12})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{5}{12})$	≈ 29.1823

also t=29.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 15 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 69 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.011⋅f(t)

wenn man 0.011 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.011( $\frac{0.6}{0.011}$ - f(t))

also f'(t) = 0.011(54.55 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=54.55 und der Wachstumsfaktor k=0.011 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $54,55 - c \cdot e^{- 0,011 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$54,55 - c \cdot e^{- 0,011 \cdot 0}$
$80$	=	$54,55 - c$
$80$	=	$- c + 54,55$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 25,45$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $54,55 + 25,45 e^{- 0,011 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $54,55 + 25,45 e^{- 0,011 \cdot 15}$ ≈ 76.1

Wann wird der Wert 69?: f(t)=69

54,55 + 25,45 e^{- 0,011 t}

=

69

$25,45 e^{- 0,011 t} + 54,55$	=	$69$	\| $- 54,55$
$25,45 e^{- 0,011 t}$	=	$14,45$	\|: $25,45$
$e^{- 0,011 t}$	=	$0,5678$	\|ln(⋅)
$- 0,011 t$	=	$\ln (0,5678)$	\|: $- 0,011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,011} \ln (0,5678)$	≈ 51.4533

also t=51.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $6 e^{- 0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,07$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.