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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 15 Millionen Algen im Teich. Nach 2 Stunden sind es 16,912 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 4 Stunden? b) Wann waren es 22 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $15 e^{k \cdot 2}$ = 16,9125.

$15 e^{2 k}$	=	$16,9125$	\|: $15$
$e^{2 k}$	=	$1,1275$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (1,1275)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (1,1275)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.060001396197348, => f(t)= $15 e^{0,06 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $15 e^{0,06 \cdot 4}$ ≈ 19.1

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

$15 e^{0,06 t}$	=	$22$	\|: $15$
$e^{0,06 t}$	=	$\frac{22}{15}$	\|ln(⋅)
$0,06 t$	=	$\ln (\frac{22}{15})$	\|: $0,06$
$t$	=	$\frac{1}{0,06} \ln (\frac{22}{15})$	≈ 6.3832

also t=6.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1012 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2261? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,9 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1012}$ ≈ -0.00068492804403157

=> f(t)= $e^{- 0,0007 t}$

Wert zur Zeit 261: f(261)= $e^{- 0,0007 \cdot 261}$ ≈ 0.8

Wann wird der Wert 0.9?: f(t)=0.9

$e^{- 0,0007 t}$	=	$0,9$	\|ln(⋅)
$- 0,0007 t$	=	$\ln (0,9)$	\|: $- 0,0007$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0007} \ln (0,9)$	≈ 153.811

also t=153.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 3% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 19 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 21 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.03) ≈ 0.029558802241544

=> f(t)= $19 e^{0,0296 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $19 e^{0,0296 \cdot 2}$ ≈ 20.2

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

$19 e^{0,0296 t}$	=	$21$	\|: $19$
$e^{0,0296 t}$	=	$\frac{21}{19}$	\|ln(⋅)
$0,0296 t$	=	$\ln (\frac{21}{19})$	\|: $0,0296$
$t$	=	$\frac{1}{0,0296} \ln (\frac{21}{19})$	≈ 3.3812

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 28°C wird eine Limo aus einem 6° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 8 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 13,25°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 11 Minuten? b) Wann ist sie 25°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=28 sein muss.

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $28 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $28 - c$ = $28 - c$

$6$	=	$28 - c$
$6$	=	$- c + 28$	\| $- 6$ $+ c$
$c$	=	$22$

somit gilt: f(t)= $28 - 22 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $28 - 22 e^{- k \cdot 8}$ = 13,25.

28 - 22 e^{- 8 k}

=

13,253

$- 22 e^{- 8 k} + 28$	=	$13,253$	\| $- 28$
$- 22 e^{- 8 k}$	=	$- 14,747$	\|: $- 22$
$e^{- 8 k}$	=	$0,6703$	\|ln(⋅)
$- 8 k$	=	$\ln (0,6703)$	\|: $- 8$
$k$	=	$- \frac{1}{8} \ln (0,6703)$	≈ 0.05

also k ≈ 0.050003738202278, => f(t)= $28 - 22 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $28 - 22 e^{- 0,05 \cdot 11}$ ≈ 15.3

Wann wird der Wert 25?: f(t)=25

28 - 22 e^{- 0,05 t}

=

25

$- 22 e^{- 0,05 t} + 28$	=	$25$	\| $- 28$
$- 22 e^{- 0,05 t}$	=	$- 3$	\|: $- 22$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{3}{22}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{3}{22})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{3}{22})$	≈ 39.8486

also t=39.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3461 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 69 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 5 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1728 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 69 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{69}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(690 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=690 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $690 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3461 ein (Punktprobe).

$3 461$	=	$690 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$3 461$	=	$690 - c$
$3 461$	=	$- c + 690$	\| $- 3 461$ $+ c$
$c$	=	$- 2 771$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $690 + 2 771 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $690 + 2 771 e^{- 0,1 \cdot 5}$ ≈ 2370.7

Wann wird der Wert 1728?: f(t)=1728

690 + 2 771 e^{- 0,1 t}

=

1 728

$2 771 e^{- 0,1 t} + 690$	=	$1 728$	\| $- 690$
$2 771 e^{- 0,1 t}$	=	$1 038$	\|: $2 771$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{1038}{2771}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{1038}{2771})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1038}{2771})$	≈ 9.8191

also t=9.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $16 e^{0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,07$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.