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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 10g vorhanden. Nach 4 Tagen sind nur noch 6,977g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 7 Tagen da? b) Wann sind nur noch 3g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $10 e^{k \cdot 4}$ = 6,9768.

$10 e^{4 k}$	=	$6,9768$	\|: $10$
$e^{4 k}$	=	$0,6977$	\|ln(⋅)
$4 k$	=	$\ln (0,6977)$	\|: $4$
$k$	=	$\frac{1}{4} \ln (0,6977)$	≈ -0.09

also k ≈ -0.089991517009237, => f(t)= $10 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $10 e^{- 0,09 \cdot 7}$ ≈ 5.3

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$10 e^{- 0,09 t}$	=	$3$	\|: $10$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{3}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{3}{10})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{3}{10})$	≈ 13.3775

also t=13.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 85 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 89 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 85: f(85)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 85}$ ≈ 0.4

Wann wird der Wert 89?: f(t)=89

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$89$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 450 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 450 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 450 000)$	≈ 132.9536

also t=133

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 3% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 5 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 88% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.97) ≈ -0.030459207484709

=> f(t)= $100 e^{- 0,0305 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 e^{- 0,0305 \cdot 5}$ ≈ 85.9

Wann wird der Wert 88?: f(t)=88

$100 e^{- 0,0305 t}$	=	$88$	\|: $100$
$e^{- 0,0305 t}$	=	$\frac{22}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,0305 t$	=	$\ln (\frac{22}{25})$	\|: $- 0,0305$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0305} \ln (\frac{22}{25})$	≈ 4.1913

also t=4.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 32°C wird eine Limo aus einem 9° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 6 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 14,96°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 8 Minuten? b) Wann ist sie 12°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=32 sein muss.

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $32 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $32 - c$ = $32 - c$

$9$	=	$32 - c$
$9$	=	$- c + 32$	\| $- 9$ $+ c$
$c$	=	$23$

somit gilt: f(t)= $32 - 23 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $32 - 23 e^{- k \cdot 6}$ = 14,96.

32 - 23 e^{- 6 k}

=

14,9612

$- 23 e^{- 6 k} + 32$	=	$14,9612$	\| $- 32$
$- 23 e^{- 6 k}$	=	$- 17,0388$	\|: $- 23$
$e^{- 6 k}$	=	$0,7408$	\|ln(⋅)
$- 6 k$	=	$\ln (0,7408)$	\|: $- 6$
$k$	=	$- \frac{1}{6} \ln (0,7408)$	≈ 0.05

also k ≈ 0.050004099275028, => f(t)= $32 - 23 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $32 - 23 e^{- 0,05 \cdot 8}$ ≈ 16.6

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

32 - 23 e^{- 0,05 t}

=

12

$- 23 e^{- 0,05 t} + 32$	=	$12$	\| $- 32$
$- 23 e^{- 0,05 t}$	=	$- 20$	\|: $- 23$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{20}{23}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{20}{23})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{20}{23})$	≈ 2.7952

also t=2.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2672 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 84 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 6 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2528 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 84 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{84}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(1680 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1680 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 680 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2672 ein (Punktprobe).

$2 672$	=	$1 680 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
$2 672$	=	$1 680 - c$
$2 672$	=	$- c + 1 680$	\| $- 2 672$ $+ c$
$c$	=	$- 992$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 680 + 992 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $1 680 + 992 e^{- 0,05 \cdot 6}$ ≈ 2414.9

Wann wird der Wert 2528?: f(t)=2528

1 680 + 992 e^{- 0,05 t}

=

2 528

$992 e^{- 0,05 t} + 1 680$	=	$2 528$	\| $- 1 680$
$992 e^{- 0,05 t}$	=	$848$	\|: $992$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{53}{62}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{53}{62})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{53}{62})$	≈ 3.1368

also t=3.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $6 e^{- 0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,04$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,04}$ ≈ 17.329 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.