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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 16g vorhanden. Nach 10 Tagen sind nur noch 14,477g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 13 Tagen da? b) Wann sind nur noch 15g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $16 e^{k \cdot 10}$ = 14,4774.

$16 e^{10 k}$	=	$14,4774$	\|: $16$
$e^{10 k}$	=	$0,9048$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (0,9048)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (0,9048)$	≈ -0.01

also k ≈ -0.010004135418023, => f(t)= $16 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $16 e^{- 0,01 \cdot 13}$ ≈ 14

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

$16 e^{- 0,01 t}$	=	$15$	\|: $16$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{15}{16}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{15}{16})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{15}{16})$	≈ 6.4539

also t=6.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 65 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 13g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 130 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 10,4g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{65}$ ≈ -0.010663802777845

=> f(t)= $13 e^{- 0,0107 t}$

Wert zur Zeit 130: f(130)= $13 e^{- 0,0107 \cdot 130}$ ≈ 3.2

Wann wird der Wert 10.4?: f(t)=10.4

$13 e^{- 0,0107 t}$	=	$10,4$	\|: $13$
$e^{- 0,0107 t}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 0,0107 t$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 0,0107$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0107} \ln (0,8)$	≈ 20.9249

also t=20.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 11% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 2 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 45% der Masse da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595

=> f(t)= $100 e^{- 0,1165 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $100 e^{- 0,1165 \cdot 2}$ ≈ 79.2

Wann wird der Wert 45?: f(t)=45

$100 e^{- 0,1165 t}$	=	$45$	\|: $100$
$e^{- 0,1165 t}$	=	$\frac{9}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,1165 t$	=	$\ln (\frac{9}{20})$	\|: $- 0,1165$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1165} \ln (\frac{9}{20})$	≈ 6.8541

also t=6.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 6 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 15,51°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 8 Minuten? b) Wann ist sie 22°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$8$	=	$26 - c$
$8$	=	$- c + 26$	\| $- 8$ $+ c$
$c$	=	$18$

somit gilt: f(t)= $26 - 18 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $26 - 18 e^{- k \cdot 6}$ = 15,51.

26 - 18 e^{- 6 k}

=

15,5105

$- 18 e^{- 6 k} + 26$	=	$15,5105$	\| $- 26$
$- 18 e^{- 6 k}$	=	$- 10,4895$	\|: $- 18$
$e^{- 6 k}$	=	$0,5828$	\|ln(⋅)
$- 6 k$	=	$\ln (0,5828)$	\|: $- 6$
$k$	=	$- \frac{1}{6} \ln (0,5828)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.089985200776848, => f(t)= $26 - 18 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $26 - 18 e^{- 0,09 \cdot 8}$ ≈ 17.2

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

26 - 18 e^{- 0,09 t}

=

22

$- 18 e^{- 0,09 t} + 26$	=	$22$	\| $- 26$
$- 18 e^{- 0,09 t}$	=	$- 4$	\|: $- 18$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{2}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{2}{9})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{2}{9})$	≈ 16.712

also t=16.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 7ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 8% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 15 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 77ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 7 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{7}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(87.5 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=87.5 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $87,5 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$87,5 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
0	=	$87,5 - c$
0	=	$- c + 87,5$	\|0 $+ c$
$c$	=	$87,5$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $87,5 - 87,5 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $87,5 - 87,5 e^{- 0,08 \cdot 15}$ ≈ 61.1

Wann wird der Wert 77?: f(t)=77

87,5 - 87,5 e^{- 0,08 t}

=

77

$- 87,5 e^{- 0,08 t} + 87,5$	=	$77$	\| $- 87,5$
$- 87,5 e^{- 0,08 t}$	=	$- 10,5$	\|: $- 87,5$
$e^{- 0,08 t}$	=	$0,12$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (0,12)$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (0,12)$	≈ 26.5033

also t=26.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $9 e^{0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,04$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.