Mathebattle EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 10 Millionen Algen im Teich. Nach 9 Stunden sind es 14,333 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 12 Stunden? b) Wann waren es 14 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $10 e^{k \cdot 9}$ = 14,3333.

$10 e^{9 k}$	=	$14,3333$	\|: $10$
$e^{9 k}$	=	$1,4333$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (1,4333)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (1,4333)$	≈ 0.04

also k ≈ 0.039997719771893, => f(t)= $10 e^{0,04 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $10 e^{0,04 \cdot 12}$ ≈ 16.2

Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

$10 e^{0,04 t}$	=	$14$	\|: $10$
$e^{0,04 t}$	=	$\frac{7}{5}$	\|ln(⋅)
$0,04 t$	=	$\ln (\frac{7}{5})$	\|: $0,04$
$t$	=	$\frac{1}{0,04} \ln (\frac{7}{5})$	≈ 8.4118

also t=8.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 986 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 8g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 2884 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 3,2g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{986}$ ≈ -0.00070298902693706

=> f(t)= $8 e^{- 0,0007 t}$

Wert zur Zeit 2884: f(2884)= $8 e^{- 0,0007 \cdot 2884}$ ≈ 1.1

Wann wird der Wert 3.2?: f(t)=3.2

$8 e^{- 0,0007 t}$	=	$3,2$	\|: $8$
$e^{- 0,0007 t}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,0007 t$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,0007$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0007} \ln (0,4)$	≈ 1303.4008

also t=1303.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 18% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 4 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.82) ≈ -0.19845093872384

=> f(t)= $4 e^{- 0,1985 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $4 e^{- 0,1985 \cdot 5}$ ≈ 1.5

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$4 e^{- 0,1985 t}$	=	$1$	\|: $4$
$e^{- 0,1985 t}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,1985 t$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,1985$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1985} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 6.9839

also t=7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 64° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 64 ist, gilt: f(0)= 64, also 64 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$64$	=	$20 - c$
$64$	=	$- c + 20$	\| $- 64$ $+ c$
$c$	=	$- 44$

somit gilt: f(t)= $20 + 44 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 44 e^{- k \cdot 5}$ = 52.

20 + 44 e^{- 5 k}

=

51,9985

$44 e^{- 5 k} + 20$	=	$51,9985$	\| $- 20$
$44 e^{- 5 k}$	=	$31,9985$	\|: $44$
$e^{- 5 k}$	=	$0,7272$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,7272)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,7272)$	≈ 0.0637

also k ≈ 0.063710747223774, => f(t)= $20 + 44 e^{- 0,0637 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 44 e^{- 0,0637 \cdot 2}$ ≈ 58.7

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 44 e^{- 0,0637 t}

=

50

$44 e^{- 0,0637 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$44 e^{- 0,0637 t}$	=	$30$	\|: $44$
$e^{- 0,0637 t}$	=	$\frac{15}{22}$	\|ln(⋅)
$- 0,0637 t$	=	$\ln (\frac{15}{22})$	\|: $- 0,0637$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0637} \ln (\frac{15}{22})$	≈ 6.0124

also t=6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,2% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 7 Jahren, wenn jedes Jahr 0,3 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 42 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.3 - 0.012⋅f(t)

wenn man 0.012 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.012( $\frac{0.3}{0.012}$ - f(t))

also f'(t) = 0.012(25 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=25 und der Wachstumsfaktor k=0.012 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $25 - c \cdot e^{- 0,012 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$25 - c \cdot e^{- 0,012 \cdot 0}$
$80$	=	$25 - c$
$80$	=	$- c + 25$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 55$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $25 + 55 e^{- 0,012 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $25 + 55 e^{- 0,012 \cdot 7}$ ≈ 75.6

Wann wird der Wert 42?: f(t)=42

25 + 55 e^{- 0,012 t}

=

42

$55 e^{- 0,012 t} + 25$	=	$42$	\| $- 25$
$55 e^{- 0,012 t}$	=	$17$	\|: $55$
$e^{- 0,012 t}$	=	$\frac{17}{55}$	\|ln(⋅)
$- 0,012 t$	=	$\ln (\frac{17}{55})$	\|: $- 0,012$
$t$	=	$- \frac{1}{0,012} \ln (\frac{17}{55})$	≈ 97.8433

also t=97.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $8 e^{0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,07$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.