Mathebattle EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 84 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 5 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 84: f(84)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 84}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$5$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$250 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (250 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (250 000)$	≈ 107.9862
$t$	=	$\frac{2}{0,1151} \ln (500)$

also t=108

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 13 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 15-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 35 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 21,43-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{13}$ ≈ 0.053319013889227

=> f(t)= $15 e^{0,0533 t}$

Wert zur Zeit 35: f(35)= $15 e^{0,0533 \cdot 35}$ ≈ 97

Wann wird der Wert 21.43?: f(t)=21.43

$15 e^{0,0533 t}$	=	$21,43$	\|: $15$
$e^{0,0533 t}$	=	$1,4287$	\|ln(⋅)
$0,0533 t$	=	$\ln (1,4287)$	\|: $0,0533$
$t$	=	$\frac{1}{0,0533} \ln (1,4287)$	≈ 6.6911

also t=6.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 13% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 12 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 4 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.87) ≈ -0.13926206733351

=> f(t)= $12 e^{- 0,1393 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $12 e^{- 0,1393 \cdot 4}$ ≈ 6.9

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$12 e^{- 0,1393 t}$	=	$4$	\|: $12$
$e^{- 0,1393 t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,1393 t$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 0,1393$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1393} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 7.8867

also t=7.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 59° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 59 ist, gilt: f(0)= 59, also 59 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$59$	=	$20 - c$
$59$	=	$- c + 20$	\| $- 59$ $+ c$
$c$	=	$- 39$

somit gilt: f(t)= $20 + 39 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 39 e^{- k \cdot 3}$ = 53.

20 + 39 e^{- 3 k}

=

52,9985

$39 e^{- 3 k} + 20$	=	$52,9985$	\| $- 20$
$39 e^{- 3 k}$	=	$32,9985$	\|: $39$
$e^{- 3 k}$	=	$0,8461$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,8461)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,8461)$	≈ 0.0557

also k ≈ 0.055705907683894, => f(t)= $20 + 39 e^{- 0,0557 t}$

Wert zur Zeit 1: f(1)= $20 + 39 e^{- 0,0557 \cdot 1}$ ≈ 56.9

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 39 e^{- 0,0557 t}

=

50

$39 e^{- 0,0557 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$39 e^{- 0,0557 t}$	=	$30$	\|: $39$
$e^{- 0,0557 t}$	=	$\frac{10}{13}$	\|ln(⋅)
$- 0,0557 t$	=	$\ln (\frac{10}{13})$	\|: $- 0,0557$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0557} \ln (\frac{10}{13})$	≈ 4.7103

also t=4.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 7ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 10% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 14 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 29ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 7 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{7}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(70 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=70 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $70 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$70 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
0	=	$70 - c$
0	=	$- c + 70$	\|0 $+ c$
$c$	=	$70$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $70 - 70 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $70 - 70 e^{- 0,1 \cdot 14}$ ≈ 52.7

Wann wird der Wert 29?: f(t)=29

70 - 70 e^{- 0,1 t}

=

29

$- 70 e^{- 0,1 t} + 70$	=	$29$	\| $- 70$
$- 70 e^{- 0,1 t}$	=	$- 41$	\|: $- 70$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{41}{70}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{41}{70})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{41}{70})$	≈ 5.3492

also t=5.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.