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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 83 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 70 Pa?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 0,00002 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= 0,00002 e k · 60 = 0,02.

0,00002 e 60k = 0,02 |:0,00002
e 60k = 1000 |ln(⋅)
60k = ln( 1000 ) |:60
k = 1 60 ln( 1000 ) ≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= 0,00002 e 0,1151t


Wert zur Zeit 83: f(83)= 0,00002 e 0,115183 ≈ 0.3


Wann wird der Wert 70?: f(t)=70

0,00002 e 0,1151t = 70 |:0,00002
e 0,1151t = 3500000 |ln(⋅)
0,1151t = ln( 3500000 ) |:0,1151
t = 1 0,1151 ln( 3500000 ) ≈ 130.9146

also t=130.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 19 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 15-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 36 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 25-Tausend Euro gestiegen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 15 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel TV= ln(2) k um zu
k= ln(2) T = ln(2) 19 ≈ 0.036481430555787


=> f(t)= 15 e 0,0365t


Wert zur Zeit 36: f(36)= 15 e 0,036536 ≈ 55.8


Wann wird der Wert 25?: f(t)=25

15 e 0,0365t = 25 |:15
e 0,0365t = 5 3 |ln(⋅)
0,0365t = ln( 5 3 ) |:0,0365
t = 1 0,0365 ln( 5 3 ) ≈ 14.0025

also t=14

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 14% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 15 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 9 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 15 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.86) ≈ -0.15082288973458


=> f(t)= 15 e -0,1508t


Wert zur Zeit 4: f(4)= 15 e -0,15084 ≈ 8.2


Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

15 e -0,1508t = 9 |:15
e -0,1508t = 3 5 |ln(⋅)
-0,1508t = ln( 3 5 ) |:-0,1508
t = - 1 0,1508 ln( 3 5 ) ≈ 3.3874

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 58° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 58 ist, gilt: f(0)= 58, also 58 = 20 - c · e -k · 0 = 20 - c = 20 - c

58 = 20 - c
58 = -c +20 | -58 + c
c = -38

somit gilt: f(t)= 20 +38 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= 20 +38 e -k · 4 = 53.

20 +38 e -4k = 52,996
38 e -4k +20 = 52,996 | -20
38 e -4k = 32,996 |:38
e -4k = 0,8683 |ln(⋅)
-4k = ln( 0,8683 ) |:-4
k = - 1 4 ln( 0,8683 ) ≈ 0.0353

also k ≈ 0.035304500478884, => f(t)= 20 +38 e -0,0353t


Wert zur Zeit 2: f(2)= 20 +38 e -0,03532 ≈ 55.4


Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 +38 e -0,0353t = 50
38 e -0,0353t +20 = 50 | -20
38 e -0,0353t = 30 |:38
e -0,0353t = 15 19 |ln(⋅)
-0,0353t = ln( 15 19 ) |:-0,0353
t = - 1 0,0353 ln( 15 19 ) ≈ 6.6966

also t=6.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 2% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2942 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 67 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 9 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3057 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 67 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( 67 0.02 - f(t))

also f'(t) = 0.02(3350 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=3350 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 3350 - c · e -0,02t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2942 ein (Punktprobe).

2942 = 3350 - c · e -0,020
2942 = 3350 - c
2942 = -c +3350 | -2942 + c
c = 408

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 3350 -408 e -0,02x


Wert zur Zeit 9: f(9)= 3350 -408 e -0,029 ≈ 3009.2


Wann wird der Wert 3057?: f(t)=3057

3350 -408 e -0,02t = 3057
-408 e -0,02t +3350 = 3057 | -3350
-408 e -0,02t = -293 |:-408
e -0,02t = 293 408 |ln(⋅)
-0,02t = ln( 293 408 ) |:-0,02
t = - 1 0,02 ln( 293 408 ) ≈ 16.5547

also t=16.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 11 e -0,03t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (-0,03 ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = -0,03 einfach in die Formel TH = - ln(2) k ein:

TH = - ln(2) -0,03 23.105 min