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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 17g vorhanden. Nach 5 Tagen sind nur noch 13,24g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 7 Tagen da? b) Wann sind nur noch 10g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $17 e^{k \cdot 5}$ = 13,2396.

$17 e^{5 k}$	=	$13,2396$	\|: $17$
$e^{5 k}$	=	$0,7788$	\|ln(⋅)
$5 k$	=	$\ln (0,7788)$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{1}{5} \ln (0,7788)$	≈ -0.05

also k ≈ -0.050000201096818, => f(t)= $17 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $17 e^{- 0,05 \cdot 7}$ ≈ 12

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$17 e^{- 0,05 t}$	=	$10$	\|: $17$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{10}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{10}{17})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{10}{17})$	≈ 10.6126

also t=10.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 80 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 44 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 80: f(80)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 80}$ ≈ 0.2

Wann wird der Wert 44?: f(t)=44

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$44$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 200 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 200 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 200 000)$	≈ 126.8355

also t=126.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 13% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 19 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 12 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.87) ≈ -0.13926206733351

=> f(t)= $19 e^{- 0,1393 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $19 e^{- 0,1393 \cdot 3}$ ≈ 12.5

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

$19 e^{- 0,1393 t}$	=	$12$	\|: $19$
$e^{- 0,1393 t}$	=	$\frac{12}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,1393 t$	=	$\ln (\frac{12}{19})$	\|: $- 0,1393$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1393} \ln (\frac{12}{19})$	≈ 3.2989

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 55° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 55 ist, gilt: f(0)= 55, also 55 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$55$	=	$20 - c$
$55$	=	$- c + 20$	\| $- 55$ $+ c$
$c$	=	$- 35$

somit gilt: f(t)= $20 + 35 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 35 e^{- k \cdot 2}$ = 54.

20 + 35 e^{- 2 k}

=

53,9996

$35 e^{- 2 k} + 20$	=	$53,9996$	\| $- 20$
$35 e^{- 2 k}$	=	$33,9996$	\|: $35$
$e^{- 2 k}$	=	$0,9714$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,9714)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,9714)$	≈ 0.0145

also k ≈ 0.014508474535246, => f(t)= $20 + 35 e^{- 0,0145 t}$

Wert zur Zeit 1: f(1)= $20 + 35 e^{- 0,0145 \cdot 1}$ ≈ 54.5

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 35 e^{- 0,0145 t}

=

50

$35 e^{- 0,0145 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$35 e^{- 0,0145 t}$	=	$30$	\|: $35$
$e^{- 0,0145 t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,0145 t$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 0,0145$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0145} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 10.6311

also t=10.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3045 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 85 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 14 Monaten? b) Wann beträgt dieser 8302 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 85 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{85}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(8500 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=8500 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $8 500 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3045 ein (Punktprobe).

$3 045$	=	$8 500 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$3 045$	=	$8 500 - c$
$3 045$	=	$- c + 8 500$	\| $- 3 045$ $+ c$
$c$	=	$5 455$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $8 500 - 5 455 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $8 500 - 5 455 e^{- 0,01 \cdot 14}$ ≈ 3757.7

Wann wird der Wert 8302?: f(t)=8302

8 500 - 5 455 e^{- 0,01 t}

=

8 302

$- 5 455 e^{- 0,01 t} + 8 500$	=	$8 302$	\| $- 8 500$
$- 5 455 e^{- 0,01 t}$	=	$- 198$	\|: $- 5 455$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{198}{5455}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{198}{5455})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{198}{5455})$	≈ 331.6021

also t=331.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $10 e^{- 0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,02$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,02}$ ≈ 34.657 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

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