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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 16g vorhanden. Nach 8 Tagen sind nur noch 9,139g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 9g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $16 e^{k \cdot 8}$ = 9,1393.

$16 e^{8 k}$	=	$9,1393$	\|: $16$
$e^{8 k}$	=	$0,5712$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (0,5712)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (0,5712)$	≈ -0.07

also k ≈ -0.070001983494595, => f(t)= $16 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $16 e^{- 0,07 \cdot 10}$ ≈ 7.9

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$16 e^{- 0,07 t}$	=	$9$	\|: $16$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{9}{16}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{9}{16})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{9}{16})$	≈ 8.2195

also t=8.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 273 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 19g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 557 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 15,2g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{273}$ ≈ -0.0025390006613917

=> f(t)= $19 e^{- 0,0025 t}$

Wert zur Zeit 557: f(557)= $19 e^{- 0,0025 \cdot 557}$ ≈ 4.6

Wann wird der Wert 15.2?: f(t)=15.2

$19 e^{- 0,0025 t}$	=	$15,2$	\|: $19$
$e^{- 0,0025 t}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 0,0025 t$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 0,0025$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0025} \ln (0,8)$	≈ 87.8864

also t=87.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 11% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 10 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 6 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595

=> f(t)= $10 e^{- 0,1165 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $10 e^{- 0,1165 \cdot 3}$ ≈ 7.1

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$10 e^{- 0,1165 t}$	=	$6$	\|: $10$
$e^{- 0,1165 t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,1165 t$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $- 0,1165$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1165} \ln (\frac{3}{5})$	≈ 4.3848

also t=4.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 31°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 8 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 15,58°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 11 Minuten? b) Wann ist sie 10°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=31 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $31 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $31 - c$ = $31 - c$

$8$	=	$31 - c$
$8$	=	$- c + 31$	\| $- 8$ $+ c$
$c$	=	$23$

somit gilt: f(t)= $31 - 23 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $31 - 23 e^{- k \cdot 8}$ = 15,58.

31 - 23 e^{- 8 k}

=

15,5826

$- 23 e^{- 8 k} + 31$	=	$15,5826$	\| $- 31$
$- 23 e^{- 8 k}$	=	$- 15,4174$	\|: $- 23$
$e^{- 8 k}$	=	$0,6703$	\|ln(⋅)
$- 8 k$	=	$\ln (0,6703)$	\|: $- 8$
$k$	=	$- \frac{1}{8} \ln (0,6703)$	≈ 0.05

also k ≈ 0.050003738202278, => f(t)= $31 - 23 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $31 - 23 e^{- 0,05 \cdot 11}$ ≈ 17.7

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

31 - 23 e^{- 0,05 t}

=

10

$- 23 e^{- 0,05 t} + 31$	=	$10$	\| $- 31$
$- 23 e^{- 0,05 t}$	=	$- 21$	\|: $- 23$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{21}{23}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{21}{23})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{21}{23})$	≈ 1.8194

also t=1.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 15 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 74 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{0.6}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(60 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=60 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $60 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$60 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$80$	=	$60 - c$
$80$	=	$- c + 60$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 20$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $60 + 20 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $60 + 20 e^{- 0,01 \cdot 15}$ ≈ 77.2

Wann wird der Wert 74?: f(t)=74

60 + 20 e^{- 0,01 t}

=

74

$20 e^{- 0,01 t} + 60$	=	$74$	\| $- 60$
$20 e^{- 0,01 t}$	=	$14$	\|: $20$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{7}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{7}{10})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{7}{10})$	≈ 35.6675

also t=35.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $18 e^{0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,08$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.