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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 3g vorhanden. Nach 7 Tagen sind nur noch 2,267g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 8 Tagen da? b) Wann sind nur noch 2g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 3 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= 3 e k · 7 = 2,2674.

3 e 7k = 2,2674 |:3
e 7k = 0,7558 |ln(⋅)
7k = ln( 0,7558 ) |:7
k = 1 7 ln( 0,7558 ) ≈ -0.04

also k ≈ -0.039996926866678, => f(t)= 3 e -0,04t


Wert zur Zeit 8: f(8)= 3 e -0,048 ≈ 2.2


Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

3 e -0,04t = 2 |:3
e -0,04t = 2 3 |ln(⋅)
-0,04t = ln( 2 3 ) |:-0,04
t = - 1 0,04 ln( 2 3 ) ≈ 10.1366

also t=10.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 76 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 39 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 0,00002 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel TV= ln(2) k um zu
k= ln(2) T = ln(2) 6.02 ≈ 0.11514072766777


=> f(t)= 0,00002 e 0,1151t


Wert zur Zeit 76: f(76)= 0,00002 e 0,115176 ≈ 0.1


Wann wird der Wert 39?: f(t)=39

0,00002 e 0,1151t = 39 |:0,00002
e 0,1151t = 1950000 |ln(⋅)
0,1151t = ln( 1950000 ) |:0,1151
t = 1 0,1151 ln( 1950000 ) ≈ 125.7879

also t=125.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 48% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 100 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.87) ≈ -0.13926206733351


=> f(t)= 100 e -0,1393t


Wert zur Zeit 4: f(4)= 100 e -0,13934 ≈ 57.3


Wann wird der Wert 48?: f(t)=48

100 e -0,1393t = 48 |:100
e -0,1393t = 12 25 |ln(⋅)
-0,1393t = ln( 12 25 ) |:-0,1393
t = - 1 0,1393 ln( 12 25 ) ≈ 5.269

also t=5.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 31°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 14,65°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 7 Minuten? b) Wann ist sie 22°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=31 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = 31 - c · e -k · 0 = 31 - c = 31 - c

10 = 31 - c
10 = -c +31 | -10 + c
c = 21

somit gilt: f(t)= 31 -21 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= 31 -21 e -k · 5 = 14,65.

31 -21 e -5k = 14,6452
-21 e -5k +31 = 14,6452 | -31
-21 e -5k = -16,3548 |:-21
e -5k = 0,7788 |ln(⋅)
-5k = ln( 0,7788 ) |:-5
k = - 1 5 ln( 0,7788 ) ≈ 0.05

also k ≈ 0.050000201096818, => f(t)= 31 -21 e -0,05t


Wert zur Zeit 7: f(7)= 31 -21 e -0,057 ≈ 16.2


Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

31 -21 e -0,05t = 22
-21 e -0,05t +31 = 22 | -31
-21 e -0,05t = -9 |:-21
e -0,05t = 3 7 |ln(⋅)
-0,05t = ln( 3 7 ) |:-0,05
t = - 1 0,05 ln( 3 7 ) ≈ 16.946

also t=16.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,2% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 14 Jahren, wenn jedes Jahr 0,7 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 71 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.7 - 0.012⋅f(t)

wenn man 0.012 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.012( 0.7 0.012 - f(t))

also f'(t) = 0.012(58.33 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=58.33 und der Wachstumsfaktor k=0.012 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 58,33 - c · e -0,012t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

80 = 58,33 - c · e -0,0120
80 = 58,33 - c
80 = -c +58,33 | -80 + c
c = -21,67

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 58,33 +21,67 e -0,012x


Wert zur Zeit 14: f(14)= 58,33 +21,67 e -0,01214 ≈ 76.6


Wann wird der Wert 71?: f(t)=71

58,33 +21,67 e -0,012t = 71
21,67 e -0,012t +58,33 = 71 | -58,33
21,67 e -0,012t = 12,67 |:21,67
e -0,012t = 0,5847 |ln(⋅)
-0,012t = ln( 0,5847 ) |:-0,012
t = - 1 0,012 ln( 0,5847 ) ≈ 44.7214

also t=44.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 7 e -0,05t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (-0,05 ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = -0,05 einfach in die Formel TH = - ln(2) k ein:

TH = - ln(2) -0,05 13.863 min