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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 97 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 49 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 97: f(97)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 97}$ ≈ 1.4

Wann wird der Wert 49?: f(t)=49

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$49$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 450 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 450 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 450 000)$	≈ 127.8158

also t=127.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1319 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2221? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,7 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1319}$ ≈ -0.00052550961376796

=> f(t)= $e^{- 0,0005 t}$

Wert zur Zeit 221: f(221)= $e^{- 0,0005 \cdot 221}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.7?: f(t)=0.7

$e^{- 0,0005 t}$	=	$0,7$	\|ln(⋅)
$- 0,0005 t$	=	$\ln (0,7)$	\|: $- 0,0005$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0005} \ln (0,7)$	≈ 678.0892

also t=678.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 9% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 8 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 12 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.09) ≈ 0.086177696241052

=> f(t)= $8 e^{0,0862 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $8 e^{0,0862 \cdot 4}$ ≈ 11.3

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

$8 e^{0,0862 t}$	=	$12$	\|: $8$
$e^{0,0862 t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,0862 t$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $0,0862$
$t$	=	$\frac{1}{0,0862} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 4.7038

also t=4.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 6° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 6,82°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 15°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$6$	=	$27 - c$
$6$	=	$- c + 27$	\| $- 6$ $+ c$
$c$	=	$21$

somit gilt: f(t)= $27 - 21 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $27 - 21 e^{- k \cdot 4}$ = 6,82.

27 - 21 e^{- 4 k}

=

6,8234

$- 21 e^{- 4 k} + 27$	=	$6,8234$	\| $- 27$
$- 21 e^{- 4 k}$	=	$- 20,1766$	\|: $- 21$
$e^{- 4 k}$	=	$0,9608$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,9608)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,9608)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.0099972520540908, => f(t)= $27 - 21 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $27 - 21 e^{- 0,01 \cdot 6}$ ≈ 7.2

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

27 - 21 e^{- 0,01 t}

=

15

$- 21 e^{- 0,01 t} + 27$	=	$15$	\| $- 27$
$- 21 e^{- 0,01 t}$	=	$- 12$	\|: $- 21$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{4}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{4}{7})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{4}{7})$	≈ 55.9616

also t=56

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 5ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 4% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 15 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 53ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 5 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{5}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(125 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=125 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $125 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$125 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
0	=	$125 - c$
0	=	$- c + 125$	\|0 $+ c$
$c$	=	$125$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $125 - 125 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $125 - 125 e^{- 0,04 \cdot 15}$ ≈ 56.4

Wann wird der Wert 53?: f(t)=53

125 - 125 e^{- 0,04 t}

=

53

$- 125 e^{- 0,04 t} + 125$	=	$53$	\| $- 125$
$- 125 e^{- 0,04 t}$	=	$- 72$	\|: $- 125$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{72}{125}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{72}{125})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{72}{125})$	≈ 13.7912

also t=13.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.