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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 6 Millionen Algen im Teich. Nach 6 Stunden sind es 7,183 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 8 Stunden? b) Wann waren es 7 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $6 e^{k \cdot 6}$ = 7,1833.

$6 e^{6 k}$	=	$7,1833$	\|: $6$
$e^{6 k}$	=	$1,1972$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (1,1972)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (1,1972)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.029997582832734, => f(t)= $6 e^{0,03 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $6 e^{0,03 \cdot 8}$ ≈ 7.6

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$6 e^{0,03 t}$	=	$7$	\|: $6$
$e^{0,03 t}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$0,03 t$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $0,03$
$t$	=	$\frac{1}{0,03} \ln (\frac{7}{6})$	≈ 5.1384

also t=5.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 92 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 30 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 92: f(92)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 92}$ ≈ 0.8

Wann wird der Wert 30?: f(t)=30

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$30$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 500 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 500 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 500 000)$	≈ 123.5092

also t=123.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 11% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 56% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595

=> f(t)= $100 e^{- 0,1165 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,1165 \cdot 4}$ ≈ 62.8

Wann wird der Wert 56?: f(t)=56

$100 e^{- 0,1165 t}$	=	$56$	\|: $100$
$e^{- 0,1165 t}$	=	$\frac{14}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,1165 t$	=	$\ln (\frac{14}{25})$	\|: $- 0,1165$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1165} \ln (\frac{14}{25})$	≈ 4.977

also t=5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 64° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 53,99° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 64 ist, gilt: f(0)= 64, also 64 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$64$	=	$20 - c$
$64$	=	$- c + 20$	\| $- 64$ $+ c$
$c$	=	$- 44$

somit gilt: f(t)= $20 + 44 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 44 e^{- k \cdot 5}$ = 53,99.

20 + 44 e^{- 5 k}

=

53,9942

$44 e^{- 5 k} + 20$	=	$53,9942$	\| $- 20$
$44 e^{- 5 k}$	=	$33,9942$	\|: $44$
$e^{- 5 k}$	=	$0,7726$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,7726)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,7726)$	≈ 0.0516

also k ≈ 0.051598765749991, => f(t)= $20 + 44 e^{- 0,0516 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 44 e^{- 0,0516 \cdot 2}$ ≈ 59.7

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 44 e^{- 0,0516 t}

=

50

$44 e^{- 0,0516 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$44 e^{- 0,0516 t}$	=	$30$	\|: $44$
$e^{- 0,0516 t}$	=	$\frac{15}{22}$	\|ln(⋅)
$- 0,0516 t$	=	$\ln (\frac{15}{22})$	\|: $- 0,0516$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0516} \ln (\frac{15}{22})$	≈ 7.4223

also t=7.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 4ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 5% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 13 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 1ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 4 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{4}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(80 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=80 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $80 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$80 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
0	=	$80 - c$
0	=	$- c + 80$	\|0 $+ c$
$c$	=	$80$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $80 - 80 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $80 - 80 e^{- 0,05 \cdot 13}$ ≈ 38.2

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

80 - 80 e^{- 0,05 t}

=

1

$- 80 e^{- 0,05 t} + 80$	=	$1$	\| $- 80$
$- 80 e^{- 0,05 t}$	=	$- 79$	\|: $- 80$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{79}{80}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{79}{80})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{79}{80})$	≈ 0.2516

also t=0.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $19 e^{- 0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,03$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,03}$ ≈ 23.105 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.