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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 19 Millionen Algen im Teich. Nach 3 Stunden sind es 22,747 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 6 Stunden? b) Wann waren es 26 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $19 e^{k \cdot 3}$ = 22,7471.

$19 e^{3 k}$	=	$22,7471$	\|: $19$
$e^{3 k}$	=	$1,1972$	\|ln(⋅)
$3 k$	=	$\ln (1,1972)$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{1}{3} \ln (1,1972)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.059995165665469, => f(t)= $19 e^{0,06 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $19 e^{0,06 \cdot 6}$ ≈ 27.2

Wann wird der Wert 26?: f(t)=26

$19 e^{0,06 t}$	=	$26$	\|: $19$
$e^{0,06 t}$	=	$\frac{26}{19}$	\|ln(⋅)
$0,06 t$	=	$\ln (\frac{26}{19})$	\|: $0,06$
$t$	=	$\frac{1}{0,06} \ln (\frac{26}{19})$	≈ 5.2276

also t=5.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 123 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 3g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 188 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 0,6g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{123}$ ≈ -0.0056353429313817

=> f(t)= $3 e^{- 0,0056 t}$

Wert zur Zeit 188: f(188)= $3 e^{- 0,0056 \cdot 188}$ ≈ 1

Wann wird der Wert 0.6?: f(t)=0.6

$3 e^{- 0,0056 t}$	=	$0,6$	\|: $3$
$e^{- 0,0056 t}$	=	$0,2$	\|ln(⋅)
$- 0,0056 t$	=	$\ln (0,2)$	\|: $- 0,0056$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0056} \ln (0,2)$	≈ 285.6145

also t=285.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 14% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 4 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.86) ≈ -0.15082288973458

=> f(t)= $4 e^{- 0,1508 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $4 e^{- 0,1508 \cdot 2}$ ≈ 3

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$4 e^{- 0,1508 t}$	=	$1$	\|: $4$
$e^{- 0,1508 t}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,1508 t$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,1508$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1508} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 9.1929

also t=9.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 7 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 9,22°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 8 Minuten? b) Wann ist sie 24°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$8$	=	$26 - c$
$8$	=	$- c + 26$	\| $- 8$ $+ c$
$c$	=	$18$

somit gilt: f(t)= $26 - 18 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $26 - 18 e^{- k \cdot 7}$ = 9,22.

26 - 18 e^{- 7 k}

=

9,2169

$- 18 e^{- 7 k} + 26$	=	$9,2169$	\| $- 26$
$- 18 e^{- 7 k}$	=	$- 16,7831$	\|: $- 18$
$e^{- 7 k}$	=	$0,9324$	\|ln(⋅)
$- 7 k$	=	$\ln (0,9324)$	\|: $- 7$
$k$	=	$- \frac{1}{7} \ln (0,9324)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.0099990531172193, => f(t)= $26 - 18 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $26 - 18 e^{- 0,01 \cdot 8}$ ≈ 9.4

Wann wird der Wert 24?: f(t)=24

26 - 18 e^{- 0,01 t}

=

24

$- 18 e^{- 0,01 t} + 26$	=	$24$	\| $- 26$
$- 18 e^{- 0,01 t}$	=	$- 2$	\|: $- 18$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{1}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{1}{9})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{1}{9})$	≈ 219.7225

also t=219.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 9ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 5% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 7 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 134ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 9 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{9}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(180 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=180 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $180 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$180 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
0	=	$180 - c$
0	=	$- c + 180$	\|0 $+ c$
$c$	=	$180$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $180 - 180 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $180 - 180 e^{- 0,05 \cdot 7}$ ≈ 53.2

Wann wird der Wert 134?: f(t)=134

180 - 180 e^{- 0,05 t}

=

134

$- 180 e^{- 0,05 t} + 180$	=	$134$	\| $- 180$
$- 180 e^{- 0,05 t}$	=	$- 46$	\|: $- 180$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{23}{90}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{23}{90})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{23}{90})$	≈ 27.2863

also t=27.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $9 e^{0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,03$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.