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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 5g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 4,347g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 3g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $5 e^{k \cdot 2}$ = 4,3468.

$5 e^{2 k}$	=	$4,3468$	\|: $5$
$e^{2 k}$	=	$0,8694$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (0,8694)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (0,8694)$	≈ -0.07

also k ≈ -0.069975980213723, => f(t)= $5 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $5 e^{- 0,07 \cdot 5}$ ≈ 3.5

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$5 e^{- 0,07 t}$	=	$3$	\|: $5$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{3}{5})$	≈ 7.2975

also t=7.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 247 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 15g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 221 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 7,5g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{247}$ ≈ -0.0028062638889067

=> f(t)= $15 e^{- 0,0028 t}$

Wert zur Zeit 221: f(221)= $15 e^{- 0,0028 \cdot 221}$ ≈ 8.1

Wann wird der Wert 7.5?: f(t)=7.5

$15 e^{- 0,0028 t}$	=	$7,5$	\|: $15$
$e^{- 0,0028 t}$	=	$0,5$	\|ln(⋅)
$- 0,0028 t$	=	$\ln (0,5)$	\|: $- 0,0028$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0028} \ln (0,5)$	≈ 247.0232

also t=247

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 19% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 6 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.81) ≈ -0.21072103131565

=> f(t)= $6 e^{- 0,2107 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $6 e^{- 0,2107 \cdot 4}$ ≈ 2.6

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$6 e^{- 0,2107 t}$	=	$1$	\|: $6$
$e^{- 0,2107 t}$	=	$\frac{1}{6}$	\|ln(⋅)
$- 0,2107 t$	=	$\ln (\frac{1}{6})$	\|: $- 0,2107$
$t$	=	$- \frac{1}{0,2107} \ln (\frac{1}{6})$	≈ 8.5038

also t=8.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 58° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 58 ist, gilt: f(0)= 58, also 58 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$58$	=	$20 - c$
$58$	=	$- c + 20$	\| $- 58$ $+ c$
$c$	=	$- 38$

somit gilt: f(t)= $20 + 38 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 38 e^{- k \cdot 4}$ = 51.

20 + 38 e^{- 4 k}

=

51

$38 e^{- 4 k} + 20$	=	$51$	\| $- 20$
$38 e^{- 4 k}$	=	$31$	\|: $38$
$e^{- 4 k}$	=	$\frac{31}{38}$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (\frac{31}{38})$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{31}{38})$	≈ 0.0509

also k ≈ 0.05089973881031, => f(t)= $20 + 38 e^{- 0,0509 t}$

Wert zur Zeit 1: f(1)= $20 + 38 e^{- 0,0509 \cdot 1}$ ≈ 56.1

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 38 e^{- 0,0509 t}

=

50

$38 e^{- 0,0509 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$38 e^{- 0,0509 t}$	=	$30$	\|: $38$
$e^{- 0,0509 t}$	=	$\frac{15}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,0509 t$	=	$\ln (\frac{15}{19})$	\|: $- 0,0509$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0509} \ln (\frac{15}{19})$	≈ 4.6442

also t=4.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 3ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 14 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 5ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 3 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{3}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(150 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=150 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $150 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$150 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
0	=	$150 - c$
0	=	$- c + 150$	\|0 $+ c$
$c$	=	$150$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $150 - 150 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $150 - 150 e^{- 0,02 \cdot 14}$ ≈ 36.6

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

150 - 150 e^{- 0,02 t}

=

5

$- 150 e^{- 0,02 t} + 150$	=	$5$	\| $- 150$
$- 150 e^{- 0,02 t}$	=	$- 145$	\|: $- 150$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{29}{30}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{29}{30})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{29}{30})$	≈ 1.6951

also t=1.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $17 e^{- 0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,05$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.