Mathebattle EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 98 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 27 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 98: f(98)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 98}$ ≈ 1.6

Wann wird der Wert 27?: f(t)=27

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$27$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 350 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 350 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 350 000)$	≈ 122.6378

also t=122.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 82 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 36 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 82: f(82)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 82}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 36?: f(t)=36

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$36$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 800 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 800 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 800 000)$	≈ 125.0927

also t=125.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 3% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 18 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 21 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.03) ≈ 0.029558802241544

=> f(t)= $18 e^{0,0296 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $18 e^{0,0296 \cdot 5}$ ≈ 20.9

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

$18 e^{0,0296 t}$	=	$21$	\|: $18$
$e^{0,0296 t}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$0,0296 t$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $0,0296$
$t$	=	$\frac{1}{0,0296} \ln (\frac{7}{6})$	≈ 5.2078

also t=5.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 58° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 58 ist, gilt: f(0)= 58, also 58 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$58$	=	$20 - c$
$58$	=	$- c + 20$	\| $- 58$ $+ c$
$c$	=	$- 38$

somit gilt: f(t)= $20 + 38 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 38 e^{- k \cdot 5}$ = 53.

20 + 38 e^{- 5 k}

=

53,0026

$38 e^{- 5 k} + 20$	=	$53,0026$	\| $- 20$
$38 e^{- 5 k}$	=	$33,0026$	\|: $38$
$e^{- 5 k}$	=	$0,8685$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,8685)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,8685)$	≈ 0.0282

also k ≈ 0.028197538660195, => f(t)= $20 + 38 e^{- 0,0282 t}$

Wert zur Zeit 1: f(1)= $20 + 38 e^{- 0,0282 \cdot 1}$ ≈ 56.9

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 38 e^{- 0,0282 t}

=

50

$38 e^{- 0,0282 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$38 e^{- 0,0282 t}$	=	$30$	\|: $38$
$e^{- 0,0282 t}$	=	$\frac{15}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,0282 t$	=	$\ln (\frac{15}{19})$	\|: $- 0,0282$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0282} \ln (\frac{15}{19})$	≈ 8.3826

also t=8.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 2% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2743 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 62 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 11 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2890 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 62 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{62}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(3100 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=3100 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $3 100 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2743 ein (Punktprobe).

$2 743$	=	$3 100 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
$2 743$	=	$3 100 - c$
$2 743$	=	$- c + 3 100$	\| $- 2 743$ $+ c$
$c$	=	$357$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $3 100 - 357 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $3 100 - 357 e^{- 0,02 \cdot 11}$ ≈ 2813.5

Wann wird der Wert 2890?: f(t)=2890

3 100 - 357 e^{- 0,02 t}

=

2 890

$- 357 e^{- 0,02 t} + 3 100$	=	$2 890$	\| $- 3 100$
$- 357 e^{- 0,02 t}$	=	$- 210$	\|: $- 357$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{10}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{10}{17})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{10}{17})$	≈ 26.5314

also t=26.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $4 e^{- 0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,02$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.