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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 11g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 7,014g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 12 Tagen da? b) Wann sind nur noch 8g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $11 e^{k \cdot 9}$ = 7,0139.

$11 e^{9 k}$	=	$7,0139$	\|: $11$
$e^{9 k}$	=	$0,6376$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (0,6376)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (0,6376)$	≈ -0.05

also k ≈ -0.050004905722904, => f(t)= $11 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $11 e^{- 0,05 \cdot 12}$ ≈ 6

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$11 e^{- 0,05 t}$	=	$8$	\|: $11$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{8}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{8}{11})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{8}{11})$	≈ 6.3691

also t=6.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 84 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 64 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 84: f(84)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 84}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 64?: f(t)=64

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$64$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$3 200 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (3 200 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (3 200 000)$	≈ 130.0897

also t=130.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 2% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 4 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 4 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.02) ≈ 0.01980262729618

=> f(t)= $4 e^{0,0198 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $4 e^{0,0198 \cdot 3}$ ≈ 4.2

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$4 e^{0,0198 t}$	=	$4$	\|: $4$
$e^{0,0198 t}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$0,0198 t$	=	0	\|: $0,0198$
$t$	=	0	≈ 0

also t=0

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 29 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 3,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 29.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

29,0001

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$29,0001$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 7,9999$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,4)$	≈ 1.8326

also k ≈ 1.8325814637483, => f(t)= $37 - 20 e^{- 1,8326 t}$

Wert zur Zeit 3.5: f(3.5)= $37 - 20 e^{- 1,8326 \cdot 3,5}$ ≈ 37

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 1,8326 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 1,8326 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 1,8326 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 1,8326 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 1,8326 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 1,8326$
$t$	=	$- \frac{1}{1,8326} \ln (0,005)$	≈ 2.8911

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 2% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3076 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 76 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 10 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3748 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 76 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{76}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(3800 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=3800 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $3 800 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3076 ein (Punktprobe).

$3 076$	=	$3 800 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
$3 076$	=	$3 800 - c$
$3 076$	=	$- c + 3 800$	\| $- 3 076$ $+ c$
$c$	=	$724$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $3 800 - 724 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $3 800 - 724 e^{- 0,02 \cdot 10}$ ≈ 3207.2

Wann wird der Wert 3748?: f(t)=3748

3 800 - 724 e^{- 0,02 t}

=

3 748

$- 724 e^{- 0,02 t} + 3 800$	=	$3 748$	\| $- 3 800$
$- 724 e^{- 0,02 t}$	=	$- 52$	\|: $- 724$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{13}{181}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{13}{181})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{13}{181})$	≈ 131.6774

also t=131.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{- 0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,04$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,04}$ ≈ 17.329 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

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Halbwerts- + Verdopplungszeit best.