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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 12 Millionen Algen im Teich. Nach 5 Stunden sind es 13,942 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 7 Stunden? b) Wann waren es 14 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $12 e^{k \cdot 5}$ = 13,942.

$12 e^{5 k}$	=	$13,942$	\|: $12$
$e^{5 k}$	=	$1,1618$	\|ln(⋅)
$5 k$	=	$\ln (1,1618)$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{1}{5} \ln (1,1618)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.029994105315259, => f(t)= $12 e^{0,03 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $12 e^{0,03 \cdot 7}$ ≈ 14.8

Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

$12 e^{0,03 t}$	=	$14$	\|: $12$
$e^{0,03 t}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$0,03 t$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $0,03$
$t$	=	$\frac{1}{0,03} \ln (\frac{7}{6})$	≈ 5.1384

also t=5.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 291 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 14g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 546 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 2,8g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{291}$ ≈ -0.0023819490740892

=> f(t)= $14 e^{- 0,0024 t}$

Wert zur Zeit 546: f(546)= $14 e^{- 0,0024 \cdot 546}$ ≈ 3.8

Wann wird der Wert 2.8?: f(t)=2.8

$14 e^{- 0,0024 t}$	=	$2,8$	\|: $14$
$e^{- 0,0024 t}$	=	$0,2$	\|ln(⋅)
$- 0,0024 t$	=	$\ln (0,2)$	\|: $- 0,0024$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0024} \ln (0,2)$	≈ 675.6666

also t=675.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 5% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 14 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 18 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.05) ≈ 0.048790164169432

=> f(t)= $14 e^{0,0488 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $14 e^{0,0488 \cdot 2}$ ≈ 15.4

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

$14 e^{0,0488 t}$	=	$18$	\|: $14$
$e^{0,0488 t}$	=	$\frac{9}{7}$	\|ln(⋅)
$0,0488 t$	=	$\ln (\frac{9}{7})$	\|: $0,0488$
$t$	=	$\frac{1}{0,0488} \ln (\frac{9}{7})$	≈ 5.1499

also t=5.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 11,93°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 5 Minuten? b) Wann ist sie 16°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $25 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $25 - c$ = $25 - c$

$7$	=	$25 - c$
$7$	=	$- c + 25$	\| $- 7$ $+ c$
$c$	=	$18$

somit gilt: f(t)= $25 - 18 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $25 - 18 e^{- k \cdot 4}$ = 11,93.

25 - 18 e^{- 4 k}

=

11,9293

$- 18 e^{- 4 k} + 25$	=	$11,9293$	\| $- 25$
$- 18 e^{- 4 k}$	=	$- 13,0707$	\|: $- 18$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7262$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7262)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7262)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.079982455000475, => f(t)= $25 - 18 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $25 - 18 e^{- 0,08 \cdot 5}$ ≈ 12.9

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

25 - 18 e^{- 0,08 t}

=

16

$- 18 e^{- 0,08 t} + 25$	=	$16$	\| $- 25$
$- 18 e^{- 0,08 t}$	=	$- 9$	\|: $- 18$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 8.6643

also t=8.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2037 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 66 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1394 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 66 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{66}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(660 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=660 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $660 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2037 ein (Punktprobe).

$2 037$	=	$660 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$2 037$	=	$660 - c$
$2 037$	=	$- c + 660$	\| $- 2 037$ $+ c$
$c$	=	$- 1 377$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $660 + 1 377 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $660 + 1 377 e^{- 0,1 \cdot 12}$ ≈ 1074.7

Wann wird der Wert 1394?: f(t)=1394

660 + 1 377 e^{- 0,1 t}

=

1 394

$1 377 e^{- 0,1 t} + 660$	=	$1 394$	\| $- 660$
$1 377 e^{- 0,1 t}$	=	$734$	\|: $1 377$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{734}{1377}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{734}{1377})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{734}{1377})$	≈ 6.2915

also t=6.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $16 e^{- 0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,04$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.