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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 96 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 19 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 96: f(96)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 96}$ ≈ 1.3

Wann wird der Wert 19?: f(t)=19

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$19$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$950 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (950 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (950 000)$	≈ 119.5849

also t=119.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 633 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 8g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 1115 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 4,8g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{633}$ ≈ -0.0010950192425908

=> f(t)= $8 e^{- 0,0011 t}$

Wert zur Zeit 1115: f(1115)= $8 e^{- 0,0011 \cdot 1115}$ ≈ 2.4

Wann wird der Wert 4.8?: f(t)=4.8

$8 e^{- 0,0011 t}$	=	$4,8$	\|: $8$
$e^{- 0,0011 t}$	=	$0,6$	\|ln(⋅)
$- 0,0011 t$	=	$\ln (0,6)$	\|: $- 0,0011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0011} \ln (0,6)$	≈ 466.5074

also t=466.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 19% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 16 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.81) ≈ -0.21072103131565

=> f(t)= $16 e^{- 0,2107 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $16 e^{- 0,2107 \cdot 2}$ ≈ 10.5

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$16 e^{- 0,2107 t}$	=	$1$	\|: $16$
$e^{- 0,2107 t}$	=	$\frac{1}{16}$	\|ln(⋅)
$- 0,2107 t$	=	$\ln (\frac{1}{16})$	\|: $- 0,2107$
$t$	=	$- \frac{1}{0,2107} \ln (\frac{1}{16})$	≈ 13.1589

also t=13.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 31°C wird eine Limo aus einem 3° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 12,23°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 14°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=31 sein muss.

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $31 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $31 - c$ = $31 - c$

$3$	=	$31 - c$
$3$	=	$- c + 31$	\| $- 3$ $+ c$
$c$	=	$28$

somit gilt: f(t)= $31 - 28 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $31 - 28 e^{- k \cdot 4}$ = 12,23.

31 - 28 e^{- 4 k}

=

12,231

$- 28 e^{- 4 k} + 31$	=	$12,231$	\| $- 31$
$- 28 e^{- 4 k}$	=	$- 18,769$	\|: $- 28$
$e^{- 4 k}$	=	$0,6703$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,6703)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,6703)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.10000747640456, => f(t)= $31 - 28 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $31 - 28 e^{- 0,1 \cdot 6}$ ≈ 15.6

Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

31 - 28 e^{- 0,1 t}

=

14

$- 28 e^{- 0,1 t} + 31$	=	$14$	\| $- 31$
$- 28 e^{- 0,1 t}$	=	$- 17$	\|: $- 28$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{17}{28}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{17}{28})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{17}{28})$	≈ 4.9899

also t=5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 2ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 8% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 11 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 5ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 2 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{2}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(25 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=25 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $25 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$25 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
0	=	$25 - c$
0	=	$- c + 25$	\|0 $+ c$
$c$	=	$25$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $25 - 25 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $25 - 25 e^{- 0,08 \cdot 11}$ ≈ 14.6

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

25 - 25 e^{- 0,08 t}

=

5

$- 25 e^{- 0,08 t} + 25$	=	$5$	\| $- 25$
$- 25 e^{- 0,08 t}$	=	$- 20$	\|: $- 25$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{4}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{4}{5})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{4}{5})$	≈ 2.7893

also t=2.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $13 e^{0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,01$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,01}$ ≈ 69.315 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.