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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 16g vorhanden. Nach 6 Tagen sind nur noch 9,901g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 7 Tagen da? b) Wann sind nur noch 7g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $16 e^{k \cdot 6}$ = 9,9005.

$16 e^{6 k}$	=	$9,9005$	\|: $16$
$e^{6 k}$	=	$0,6188$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (0,6188)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (0,6188)$	≈ -0.08

also k ≈ -0.079995526713871, => f(t)= $16 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $16 e^{- 0,08 \cdot 7}$ ≈ 9.1

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$16 e^{- 0,08 t}$	=	$7$	\|: $16$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{7}{16}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{7}{16})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{7}{16})$	≈ 10.3335

also t=10.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 19 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 3-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 29 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 7,5-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{19}$ ≈ 0.036481430555787

=> f(t)= $3 e^{0,0365 t}$

Wert zur Zeit 29: f(29)= $3 e^{0,0365 \cdot 29}$ ≈ 8.6

Wann wird der Wert 7.5?: f(t)=7.5

$3 e^{0,0365 t}$	=	$7,5$	\|: $3$
$e^{0,0365 t}$	=	$2,5$	\|ln(⋅)
$0,0365 t$	=	$\ln (2,5)$	\|: $0,0365$
$t$	=	$\frac{1}{0,0365} \ln (2,5)$	≈ 25.1169

also t=25.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 50% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.9) ≈ -0.10536051565783

=> f(t)= $100 e^{- 0,1054 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,1054 \cdot 3}$ ≈ 72.9

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

$100 e^{- 0,1054 t}$	=	$50$	\|: $100$
$e^{- 0,1054 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,1054 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,1054$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1054} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 6.5763

also t=6.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 29 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 1,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 29.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

29,0001

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$29,0001$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 7,9999$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,4)$	≈ 1.8326

also k ≈ 1.8325814637483, => f(t)= $37 - 20 e^{- 1,8326 t}$

Wert zur Zeit 1.5: f(1.5)= $37 - 20 e^{- 1,8326 \cdot 1,5}$ ≈ 35.7

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 1,8326 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 1,8326 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 1,8326 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 1,8326 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 1,8326 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 1,8326$
$t$	=	$- \frac{1}{1,8326} \ln (0,005)$	≈ 2.8911

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 5 Jahren, wenn jedes Jahr 0,7 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 73 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.7 - 0.011⋅f(t)

wenn man 0.011 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.011( $\frac{0.7}{0.011}$ - f(t))

also f'(t) = 0.011(63.64 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=63.64 und der Wachstumsfaktor k=0.011 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $63,64 - c \cdot e^{- 0,011 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$63,64 - c \cdot e^{- 0,011 \cdot 0}$
$80$	=	$63,64 - c$
$80$	=	$- c + 63,64$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 16,36$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $63,64 + 16,36 e^{- 0,011 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $63,64 + 16,36 e^{- 0,011 \cdot 5}$ ≈ 79.1

Wann wird der Wert 73?: f(t)=73

63,64 + 16,36 e^{- 0,011 t}

=

73

$16,36 e^{- 0,011 t} + 63,64$	=	$73$	\| $- 63,64$
$16,36 e^{- 0,011 t}$	=	$9,36$	\|: $16,36$
$e^{- 0,011 t}$	=	$0,5721$	\|ln(⋅)
$- 0,011 t$	=	$\ln (0,5721)$	\|: $- 0,011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,011} \ln (0,5721)$	≈ 50.7674

also t=50.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{- 0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,08$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,08}$ ≈ 8.664 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.