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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 11g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 5,859g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 7g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $11 e^{k \cdot 9}$ = 5,8585.

$11 e^{9 k}$	=	$5,8585$	\|: $11$
$e^{9 k}$	=	$0,5326$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (0,5326)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (0,5326)$	≈ -0.07

also k ≈ -0.069998289511367, => f(t)= $11 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $11 e^{- 0,07 \cdot 10}$ ≈ 5.5

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$11 e^{- 0,07 t}$	=	$7$	\|: $11$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{7}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{7}{11})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{7}{11})$	≈ 6.4569

also t=6.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 20 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 7-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 31 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 14-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{20}$ ≈ 0.034657359027997

=> f(t)= $7 e^{0,0347 t}$

Wert zur Zeit 31: f(31)= $7 e^{0,0347 \cdot 31}$ ≈ 20.5

Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

$7 e^{0,0347 t}$	=	$14$	\|: $7$
$e^{0,0347 t}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$0,0347 t$	=	$\ln (2)$	\|: $0,0347$
$t$	=	$\frac{1}{0,0347} \ln (2)$	≈ 20.0002

also t=20

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 2 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 76% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.96) ≈ -0.040821994520255

=> f(t)= $100 e^{- 0,0408 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $100 e^{- 0,0408 \cdot 2}$ ≈ 92.2

Wann wird der Wert 76?: f(t)=76

$100 e^{- 0,0408 t}$	=	$76$	\|: $100$
$e^{- 0,0408 t}$	=	$\frac{19}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,0408 t$	=	$\ln (\frac{19}{25})$	\|: $- 0,0408$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0408} \ln (\frac{19}{25})$	≈ 6.7264

also t=6.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 32 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 1,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 32.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

32

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$32$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 5$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 2.7726

also k ≈ 2.7725887222398, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,7726 t}$

Wert zur Zeit 1.5: f(1.5)= $37 - 20 e^{- 2,7726 \cdot 1,5}$ ≈ 36.7

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,7726 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,7726 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,7726 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,7726 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,7726 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,7726$
$t$	=	$- \frac{1}{2,7726} \ln (0,005)$	≈ 1.911

also t=1.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2299 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 79 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1631 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 79 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{79}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(987.5 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=987.5 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $987,5 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2299 ein (Punktprobe).

$2 299$	=	$987,5 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$2 299$	=	$987,5 - c$
$2 299$	=	$- c + 987,5$	\| $- 2 299$ $+ c$
$c$	=	$- 1 311,5$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $987,5 + 1 311,5 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $987,5 + 1 311,5 e^{- 0,08 \cdot 12}$ ≈ 1489.7

Wann wird der Wert 1631?: f(t)=1631

987,5 + 1 311,5 e^{- 0,08 t}

=

1 631

$1 311,5 e^{- 0,08 t} + 987,5$	=	$1 631$	\| $- 987,5$
$1 311,5 e^{- 0,08 t}$	=	$643,5$	\|: $1 311,5$
$e^{- 0,08 t}$	=	$0,4907$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (0,4907)$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (0,4907)$	≈ 8.899

also t=8.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $6 e^{- 0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,07$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,07}$ ≈ 9.902 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.