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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 3g vorhanden. Nach 3 Tagen sind nur noch 2,506g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 6 Tagen da? b) Wann sind nur noch 2g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $3 e^{k \cdot 3}$ = 2,5058.

$3 e^{3 k}$	=	$2,5058$	\|: $3$
$e^{3 k}$	=	$0,8353$	\|ln(⋅)
$3 k$	=	$\ln (0,8353)$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{1}{3} \ln (0,8353)$	≈ -0.06

also k ≈ -0.059988112406759, => f(t)= $3 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $3 e^{- 0,06 \cdot 6}$ ≈ 2.1

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$3 e^{- 0,06 t}$	=	$2$	\|: $3$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 6.7578

also t=6.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 20 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 10-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 17 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 50-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{20}$ ≈ 0.034657359027997

=> f(t)= $10 e^{0,0347 t}$

Wert zur Zeit 17: f(17)= $10 e^{0,0347 \cdot 17}$ ≈ 18

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

$10 e^{0,0347 t}$	=	$50$	\|: $10$
$e^{0,0347 t}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$0,0347 t$	=	$\ln (5)$	\|: $0,0347$
$t$	=	$\frac{1}{0,0347} \ln (5)$	≈ 46.439

also t=46.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 13% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 14 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 19 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.13) ≈ 0.12221763272425

=> f(t)= $14 e^{0,1222 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $14 e^{0,1222 \cdot 3}$ ≈ 20.2

Wann wird der Wert 19?: f(t)=19

$14 e^{0,1222 t}$	=	$19$	\|: $14$
$e^{0,1222 t}$	=	$\frac{19}{14}$	\|ln(⋅)
$0,1222 t$	=	$\ln (\frac{19}{14})$	\|: $0,1222$
$t$	=	$\frac{1}{0,1222} \ln (\frac{19}{14})$	≈ 2.499

also t=2.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 31 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 3,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 31.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

30,9999

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$30,9999$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 6,0001$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,3$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,3)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,3)$	≈ 2.4079

also k ≈ 2.4079456086519, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,4079 t}$

Wert zur Zeit 3.5: f(3.5)= $37 - 20 e^{- 2,4079 \cdot 3,5}$ ≈ 37

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,4079 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,4079 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,4079 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,4079 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,4079 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,4079$
$t$	=	$- \frac{1}{2,4079} \ln (0,005)$	≈ 2.2004

also t=2.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2688 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 81 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2135 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 81 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{81}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(2025 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=2025 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $2 025 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2688 ein (Punktprobe).

$2 688$	=	$2 025 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$2 688$	=	$2 025 - c$
$2 688$	=	$- c + 2 025$	\| $- 2 688$ $+ c$
$c$	=	$- 663$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $2 025 + 663 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $2 025 + 663 e^{- 0,04 \cdot 12}$ ≈ 2435.3

Wann wird der Wert 2135?: f(t)=2135

2 025 + 663 e^{- 0,04 t}

=

2 135

$663 e^{- 0,04 t} + 2 025$	=	$2 135$	\| $- 2 025$
$663 e^{- 0,04 t}$	=	$110$	\|: $663$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{110}{663}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{110}{663})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{110}{663})$	≈ 44.9074

also t=44.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $13 e^{0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,03$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.