Mathebattle EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 10 Millionen Algen im Teich. Nach 5 Stunden sind es 11,052 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 8 Stunden? b) Wann waren es 12 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $10 e^{k \cdot 5}$ = 11,0517.

$10 e^{5 k}$	=	$11,0517$	\|: $10$
$e^{5 k}$	=	$1,1052$	\|ln(⋅)
$5 k$	=	$\ln (1,1052)$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{1}{5} \ln (1,1052)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.020005262813425, => f(t)= $10 e^{0,02 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $10 e^{0,02 \cdot 8}$ ≈ 11.7

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

$10 e^{0,02 t}$	=	$12$	\|: $10$
$e^{0,02 t}$	=	$\frac{6}{5}$	\|ln(⋅)
$0,02 t$	=	$\ln (\frac{6}{5})$	\|: $0,02$
$t$	=	$\frac{1}{0,02} \ln (\frac{6}{5})$	≈ 9.1161

also t=9.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 74 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 36 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 74: f(74)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 74}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 36?: f(t)=36

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$36$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 800 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 800 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 800 000)$	≈ 125.0927

also t=125.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 40% der Masse da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.9) ≈ -0.10536051565783

=> f(t)= $100 e^{- 0,1054 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,1054 \cdot 3}$ ≈ 72.9

Wann wird der Wert 40?: f(t)=40

$100 e^{- 0,1054 t}$	=	$40$	\|: $100$
$e^{- 0,1054 t}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,1054 t$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 0,1054$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1054} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 8.6935

also t=8.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 3° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 6 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 5,6°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 7 Minuten? b) Wann ist sie 22°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$3$	=	$26 - c$
$3$	=	$- c + 26$	\| $- 3$ $+ c$
$c$	=	$23$

somit gilt: f(t)= $26 - 23 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $26 - 23 e^{- k \cdot 6}$ = 5,6.

26 - 23 e^{- 6 k}

=

5,6008

$- 23 e^{- 6 k} + 26$	=	$5,6008$	\| $- 26$
$- 23 e^{- 6 k}$	=	$- 20,3992$	\|: $- 23$
$e^{- 6 k}$	=	$0,8869$	\|ln(⋅)
$- 6 k$	=	$\ln (0,8869)$	\|: $- 6$
$k$	=	$- \frac{1}{6} \ln (0,8869)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.020003840433288, => f(t)= $26 - 23 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $26 - 23 e^{- 0,02 \cdot 7}$ ≈ 6

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

26 - 23 e^{- 0,02 t}

=

22

$- 23 e^{- 0,02 t} + 26$	=	$22$	\| $- 26$
$- 23 e^{- 0,02 t}$	=	$- 4$	\|: $- 23$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{4}{23}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{4}{23})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{4}{23})$	≈ 87.46

also t=87.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3170 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 67 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 15 Monaten? b) Wann beträgt dieser 683 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 67 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{67}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(670 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=670 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $670 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3170 ein (Punktprobe).

$3 170$	=	$670 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$3 170$	=	$670 - c$
$3 170$	=	$- c + 670$	\| $- 3 170$ $+ c$
$c$	=	$- 2 500$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $670 + 2 500 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $670 + 2 500 e^{- 0,1 \cdot 15}$ ≈ 1227.8

Wann wird der Wert 683?: f(t)=683

670 + 2 500 e^{- 0,1 t}

=

683

$2 500 e^{- 0,1 t} + 670$	=	$683$	\| $- 670$
$2 500 e^{- 0,1 t}$	=	$13$	\|: $2 500$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{13}{2500}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{13}{2500})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{13}{2500})$	≈ 52.591

also t=52.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $5 e^{- 0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,02$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.