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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 6 Millionen Algen im Teich. Nach 9 Stunden sind es 14,758 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 11 Stunden? b) Wann waren es 11 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $6 e^{k \cdot 9}$ = 14,7576.

$6 e^{9 k}$	=	$14,7576$	\|: $6$
$e^{9 k}$	=	$2,4596$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (2,4596)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (2,4596)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.099999859455242, => f(t)= $6 e^{0,1 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $6 e^{0,1 \cdot 11}$ ≈ 18

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

$6 e^{0,1 t}$	=	$11$	\|: $6$
$e^{0,1 t}$	=	$\frac{11}{6}$	\|ln(⋅)
$0,1 t$	=	$\ln (\frac{11}{6})$	\|: $0,1$
$t$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (\frac{11}{6})$	≈ 6.0614

also t=6.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 19 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 6-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 43 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 12-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{19}$ ≈ 0.036481430555787

=> f(t)= $6 e^{0,0365 t}$

Wert zur Zeit 43: f(43)= $6 e^{0,0365 \cdot 43}$ ≈ 28.8

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

$6 e^{0,0365 t}$	=	$12$	\|: $6$
$e^{0,0365 t}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$0,0365 t$	=	$\ln (2)$	\|: $0,0365$
$t$	=	$\frac{1}{0,0365} \ln (2)$	≈ 19.0002

also t=19

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 10% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 7 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 4 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.9) ≈ -0.10536051565783

=> f(t)= $7 e^{- 0,1054 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $7 e^{- 0,1054 \cdot 2}$ ≈ 5.7

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$7 e^{- 0,1054 t}$	=	$4$	\|: $7$
$e^{- 0,1054 t}$	=	$\frac{4}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,1054 t$	=	$\ln (\frac{4}{7})$	\|: $- 0,1054$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1054} \ln (\frac{4}{7})$	≈ 5.3094

also t=5.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 32 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 1,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 32.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

32

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$32$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 5$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 2.7726

also k ≈ 2.7725887222398, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,7726 t}$

Wert zur Zeit 1.5: f(1.5)= $37 - 20 e^{- 2,7726 \cdot 1,5}$ ≈ 36.7

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,7726 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,7726 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,7726 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,7726 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,7726 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,7726$
$t$	=	$- \frac{1}{2,7726} \ln (0,005)$	≈ 1.911

also t=1.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2992 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 70 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1162 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 70 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{70}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(700 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=700 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $700 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2992 ein (Punktprobe).

$2 992$	=	$700 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$2 992$	=	$700 - c$
$2 992$	=	$- c + 700$	\| $- 2 992$ $+ c$
$c$	=	$- 2 292$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $700 + 2 292 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $700 + 2 292 e^{- 0,1 \cdot 12}$ ≈ 1390.3

Wann wird der Wert 1162?: f(t)=1162

700 + 2 292 e^{- 0,1 t}

=

1 162

$2 292 e^{- 0,1 t} + 700$	=	$1 162$	\| $- 700$
$2 292 e^{- 0,1 t}$	=	$462$	\|: $2 292$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{77}{382}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{77}{382})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{77}{382})$	≈ 16.0162

also t=16

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $15 e^{- 0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,02$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.