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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 80 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 45 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 80: f(80)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 80}$ ≈ 0.2

Wann wird der Wert 45?: f(t)=45

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$45$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 250 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 250 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 250 000)$	≈ 127.0759
$t$	=	$\frac{2}{0,1151} \ln (1 500)$

also t=127.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 88 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 53 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 88: f(88)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 88}$ ≈ 0.5

Wann wird der Wert 53?: f(t)=53

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$53$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 650 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 650 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 650 000)$	≈ 128.4518

also t=128.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 17% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 3 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.83) ≈ -0.18632957819149

=> f(t)= $3 e^{- 0,1863 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $3 e^{- 0,1863 \cdot 5}$ ≈ 1.2

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$3 e^{- 0,1863 t}$	=	$1$	\|: $3$
$e^{- 0,1863 t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,1863 t$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 0,1863$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1863} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 5.897

also t=5.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 9° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 18,36°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 11 Minuten? b) Wann ist sie 15°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$9$	=	$26 - c$
$9$	=	$- c + 26$	\| $- 9$ $+ c$
$c$	=	$17$

somit gilt: f(t)= $26 - 17 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $26 - 17 e^{- k \cdot 10}$ = 18,36.

26 - 17 e^{- 10 k}

=

18,3614

$- 17 e^{- 10 k} + 26$	=	$18,3614$	\| $- 26$
$- 17 e^{- 10 k}$	=	$- 7,6386$	\|: $- 17$
$e^{- 10 k}$	=	$0,4493$	\|ln(⋅)
$- 10 k$	=	$\ln (0,4493)$	\|: $- 10$
$k$	=	$- \frac{1}{10} \ln (0,4493)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.080006446290602, => f(t)= $26 - 17 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $26 - 17 e^{- 0,08 \cdot 11}$ ≈ 18.9

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

26 - 17 e^{- 0,08 t}

=

15

$- 17 e^{- 0,08 t} + 26$	=	$15$	\| $- 26$
$- 17 e^{- 0,08 t}$	=	$- 11$	\|: $- 17$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{11}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{11}{17})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{11}{17})$	≈ 5.4415

also t=5.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3322 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 75 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 13 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1049 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 75 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{75}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(750 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=750 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $750 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3322 ein (Punktprobe).

$3 322$	=	$750 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$3 322$	=	$750 - c$
$3 322$	=	$- c + 750$	\| $- 3 322$ $+ c$
$c$	=	$- 2 572$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $750 + 2 572 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $750 + 2 572 e^{- 0,1 \cdot 13}$ ≈ 1451

Wann wird der Wert 1049?: f(t)=1049

750 + 2 572 e^{- 0,1 t}

=

1 049

$2 572 e^{- 0,1 t} + 750$	=	$1 049$	\| $- 750$
$2 572 e^{- 0,1 t}$	=	$299$	\|: $2 572$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{299}{2572}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{299}{2572})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{299}{2572})$	≈ 21.52

also t=21.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,09$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.