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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 15g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 12,782g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 3 Tagen da? b) Wann sind nur noch 3g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 15 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= 15 e k · 2 = 12,7822.

15 e 2k = 12,7822 |:15
e 2k = 0,8521 |ln(⋅)
2k = ln( 0,8521 ) |:2
k = 1 2 ln( 0,8521 ) ≈ -0.08

also k ≈ -0.080025694074113, => f(t)= 15 e -0,08t


Wert zur Zeit 3: f(3)= 15 e -0,083 ≈ 11.8


Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

15 e -0,08t = 3 |:15
e -0,08t = 1 5 |ln(⋅)
-0,08t = ln( 1 5 ) |:-0,08
t = - 1 0,08 ln( 1 5 ) ≈ 20.118

also t=20.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 17 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 11-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 44 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 15,71-Tausend Euro gestiegen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 11 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel TV= ln(2) k um zu
k= ln(2) T = ln(2) 17 ≈ 0.04077336356235


=> f(t)= 11 e 0,0408t


Wert zur Zeit 44: f(44)= 11 e 0,040844 ≈ 66.1


Wann wird der Wert 15.71?: f(t)=15.71

11 e 0,0408t = 15,71 |:11
e 0,0408t = 1,4282 |ln(⋅)
0,0408t = ln( 1,4282 ) |:0,0408
t = 1 0,0408 ln( 1,4282 ) ≈ 8.7414

also t=8.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 9% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 5 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 6 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 5 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.09) ≈ 0.086177696241052


=> f(t)= 5 e 0,0862t


Wert zur Zeit 5: f(5)= 5 e 0,08625 ≈ 7.7


Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

5 e 0,0862t = 6 |:5
e 0,0862t = 6 5 |ln(⋅)
0,0862t = ln( 6 5 ) |:0,0862
t = 1 0,0862 ln( 6 5 ) ≈ 2.1151

also t=2.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 65° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 65 ist, gilt: f(0)= 65, also 65 = 20 - c · e -k · 0 = 20 - c = 20 - c

65 = 20 - c
65 = -c +20 | -65 + c
c = -45

somit gilt: f(t)= 20 +45 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= 20 +45 e -k · 3 = 53.

20 +45 e -3k = 52,9985
45 e -3k +20 = 52,9985 | -20
45 e -3k = 32,9985 |:45
e -3k = 0,7333 |ln(⋅)
-3k = ln( 0,7333 ) |:-3
k = - 1 3 ln( 0,7333 ) ≈ 0.1034

also k ≈ 0.10340012796079, => f(t)= 20 +45 e -0,1034t


Wert zur Zeit 4: f(4)= 20 +45 e -0,10344 ≈ 49.8


Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 +45 e -0,1034t = 50
45 e -0,1034t +20 = 50 | -20
45 e -0,1034t = 30 |:45
e -0,1034t = 2 3 |ln(⋅)
-0,1034t = ln( 2 3 ) |:-0,1034
t = - 1 0,1034 ln( 2 3 ) ≈ 3.9213

also t=3.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2550 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 88 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 9 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2264 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 88 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( 88 0.05 - f(t))

also f'(t) = 0.05(1760 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1760 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 1760 - c · e -0,05t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2550 ein (Punktprobe).

2550 = 1760 - c · e -0,050
2550 = 1760 - c
2550 = -c +1760 | -2550 + c
c = -790

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 1760 +790 e -0,05x


Wert zur Zeit 9: f(9)= 1760 +790 e -0,059 ≈ 2263.7


Wann wird der Wert 2264?: f(t)=2264

1760 +790 e -0,05t = 2264
790 e -0,05t +1760 = 2264 | -1760
790 e -0,05t = 504 |:790
e -0,05t = 252 395 |ln(⋅)
-0,05t = ln( 252 395 ) |:-0,05
t = - 1 0,05 ln( 252 395 ) ≈ 8.9891

also t=9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 20 e -0,02t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (-0,02 ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = -0,02 einfach in die Formel TH = - ln(2) k ein:

TH = - ln(2) -0,02 34.657 min