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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 4 Millionen Algen im Teich. Nach 4 Stunden sind es 4,51 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 5 Stunden? b) Wann waren es 5 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $4 e^{k \cdot 4}$ = 4,51.

$4 e^{4 k}$	=	$4,51$	\|: $4$
$e^{4 k}$	=	$1,1275$	\|ln(⋅)
$4 k$	=	$\ln (1,1275)$	\|: $4$
$k$	=	$\frac{1}{4} \ln (1,1275)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.030000698098674, => f(t)= $4 e^{0,03 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $4 e^{0,03 \cdot 5}$ ≈ 4.6

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$4 e^{0,03 t}$	=	$5$	\|: $4$
$e^{0,03 t}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
$0,03 t$	=	$\ln (\frac{5}{4})$	\|: $0,03$
$t$	=	$\frac{1}{0,03} \ln (\frac{5}{4})$	≈ 7.4381

also t=7.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 770 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 17g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 1691 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 6,8g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{770}$ ≈ -0.00090019114358434

=> f(t)= $17 e^{- 0,0009 t}$

Wert zur Zeit 1691: f(1691)= $17 e^{- 0,0009 \cdot 1691}$ ≈ 3.7

Wann wird der Wert 6.8?: f(t)=6.8

$17 e^{- 0,0009 t}$	=	$6,8$	\|: $17$
$e^{- 0,0009 t}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,0009 t$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,0009$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0009} \ln (0,4)$	≈ 1018.1008

also t=1018.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 3% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 5 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 85% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.97) ≈ -0.030459207484709

=> f(t)= $100 e^{- 0,0305 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 e^{- 0,0305 \cdot 5}$ ≈ 85.9

Wann wird der Wert 85?: f(t)=85

$100 e^{- 0,0305 t}$	=	$85$	\|: $100$
$e^{- 0,0305 t}$	=	$\frac{17}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,0305 t$	=	$\ln (\frac{17}{20})$	\|: $- 0,0305$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0305} \ln (\frac{17}{20})$	≈ 5.3285

also t=5.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 64° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 53,99° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 64 ist, gilt: f(0)= 64, also 64 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$64$	=	$20 - c$
$64$	=	$- c + 20$	\| $- 64$ $+ c$
$c$	=	$- 44$

somit gilt: f(t)= $20 + 44 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 44 e^{- k \cdot 4}$ = 53,99.

20 + 44 e^{- 4 k}

=

53,9942

$44 e^{- 4 k} + 20$	=	$53,9942$	\| $- 20$
$44 e^{- 4 k}$	=	$33,9942$	\|: $44$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7726$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7726)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7726)$	≈ 0.0645

also k ≈ 0.064498457187489, => f(t)= $20 + 44 e^{- 0,0645 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 44 e^{- 0,0645 \cdot 5}$ ≈ 51.9

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 44 e^{- 0,0645 t}

=

50

$44 e^{- 0,0645 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$44 e^{- 0,0645 t}$	=	$30$	\|: $44$
$e^{- 0,0645 t}$	=	$\frac{15}{22}$	\|ln(⋅)
$- 0,0645 t$	=	$\ln (\frac{15}{22})$	\|: $- 0,0645$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0645} \ln (\frac{15}{22})$	≈ 5.9379

also t=5.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 3ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 11 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 75ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 3 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{3}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(150 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=150 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $150 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$150 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
0	=	$150 - c$
0	=	$- c + 150$	\|0 $+ c$
$c$	=	$150$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $150 - 150 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $150 - 150 e^{- 0,02 \cdot 11}$ ≈ 29.6

Wann wird der Wert 75?: f(t)=75

150 - 150 e^{- 0,02 t}

=

75

$- 150 e^{- 0,02 t} + 150$	=	$75$	\| $- 150$
$- 150 e^{- 0,02 t}$	=	$- 75$	\|: $- 150$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 34.6574

also t=34.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $16 e^{0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,02$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.