Mathebattle EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 14g vorhanden. Nach 5 Tagen sind nur noch 8,491g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 7 Tagen da? b) Wann sind nur noch 1g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $14 e^{k \cdot 5}$ = 8,4914.

$14 e^{5 k}$	=	$8,4914$	\|: $14$
$e^{5 k}$	=	$0,6065$	\|ln(⋅)
$5 k$	=	$\ln (0,6065)$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{1}{5} \ln (0,6065)$	≈ -0.1

also k ≈ -0.10001011011961, => f(t)= $14 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $14 e^{- 0,1 \cdot 7}$ ≈ 7

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$14 e^{- 0,1 t}$	=	$1$	\|: $14$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{1}{14}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{1}{14})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{14})$	≈ 26.3906

also t=26.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 81 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 29 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 81: f(81)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 81}$ ≈ 0.2

Wann wird der Wert 29?: f(t)=29

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$29$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 450 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 450 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 450 000)$	≈ 123.2148

also t=123.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 70% der Masse da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.9) ≈ -0.10536051565783

=> f(t)= $100 e^{- 0,1054 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,1054 \cdot 4}$ ≈ 65.6

Wann wird der Wert 70?: f(t)=70

$100 e^{- 0,1054 t}$	=	$70$	\|: $100$
$e^{- 0,1054 t}$	=	$\frac{7}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,1054 t$	=	$\ln (\frac{7}{10})$	\|: $- 0,1054$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1054} \ln (\frac{7}{10})$	≈ 3.384

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 9° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 8 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 15,59°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 10 Minuten? b) Wann ist sie 22°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$9$	=	$29 - c$
$9$	=	$- c + 29$	\| $- 9$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $29 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $29 - 20 e^{- k \cdot 8}$ = 15,59.

29 - 20 e^{- 8 k}

=

15,5936

$- 20 e^{- 8 k} + 29$	=	$15,5936$	\| $- 29$
$- 20 e^{- 8 k}$	=	$- 13,4064$	\|: $- 20$
$e^{- 8 k}$	=	$0,6703$	\|ln(⋅)
$- 8 k$	=	$\ln (0,6703)$	\|: $- 8$
$k$	=	$- \frac{1}{8} \ln (0,6703)$	≈ 0.05

also k ≈ 0.050003738202278, => f(t)= $29 - 20 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $29 - 20 e^{- 0,05 \cdot 10}$ ≈ 16.9

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

29 - 20 e^{- 0,05 t}

=

22

$- 20 e^{- 0,05 t} + 29$	=	$22$	\| $- 29$
$- 20 e^{- 0,05 t}$	=	$- 7$	\|: $- 20$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{7}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{7}{20})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{7}{20})$	≈ 20.9964

also t=21

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,4% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 13 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 66 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.014⋅f(t)

wenn man 0.014 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.014( $\frac{0.6}{0.014}$ - f(t))

also f'(t) = 0.014(42.86 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=42.86 und der Wachstumsfaktor k=0.014 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $42,86 - c \cdot e^{- 0,014 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$42,86 - c \cdot e^{- 0,014 \cdot 0}$
$80$	=	$42,86 - c$
$80$	=	$- c + 42,86$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 37,14$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $42,86 + 37,14 e^{- 0,014 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $42,86 + 37,14 e^{- 0,014 \cdot 13}$ ≈ 73.8

Wann wird der Wert 66?: f(t)=66

42,86 + 37,14 e^{- 0,014 t}

=

66

$37,14 e^{- 0,014 t} + 42,86$	=	$66$	\| $- 42,86$
$37,14 e^{- 0,014 t}$	=	$23,14$	\|: $37,14$
$e^{- 0,014 t}$	=	$0,623$	\|ln(⋅)
$- 0,014 t$	=	$\ln (0,623)$	\|: $- 0,014$
$t$	=	$- \frac{1}{0,014} \ln (0,623)$	≈ 33.8006

also t=33.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $3 e^{- 0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,02$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.