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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 7 Millionen Algen im Teich. Nach 9 Stunden sind es 8,381 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 12 Stunden? b) Wann waren es 8 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $7 e^{k \cdot 9}$ = 8,3805.

$7 e^{9 k}$	=	$8,3805$	\|: $7$
$e^{9 k}$	=	$1,1972$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (1,1972)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (1,1972)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.019998388555156, => f(t)= $7 e^{0,02 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $7 e^{0,02 \cdot 12}$ ≈ 8.9

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$7 e^{0,02 t}$	=	$8$	\|: $7$
$e^{0,02 t}$	=	$\frac{8}{7}$	\|ln(⋅)
$0,02 t$	=	$\ln (\frac{8}{7})$	\|: $0,02$
$t$	=	$\frac{1}{0,02} \ln (\frac{8}{7})$	≈ 6.6766

also t=6.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 15 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 20-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 15 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 66,67-Tausend Euro gestiegen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{15}$ ≈ 0.04620981203733

=> f(t)= $20 e^{0,04621 t}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $20 e^{0,04621 \cdot 15}$ ≈ 40

Wann wird der Wert 66.67?: f(t)=66.67

$20 e^{0,04621 t}$	=	$66,67$	\|: $20$
$e^{0,04621 t}$	=	$3,3335$	\|ln(⋅)
$0,04621 t$	=	$\ln (3,3335)$	\|: $0,04621$
$t$	=	$\frac{1}{0,04621} \ln (3,3335)$	≈ 26.0555

also t=26.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 19% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 3 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.81) ≈ -0.21072103131565

=> f(t)= $3 e^{- 0,2107 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $3 e^{- 0,2107 \cdot 5}$ ≈ 1

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$3 e^{- 0,2107 t}$	=	$1$	\|: $3$
$e^{- 0,2107 t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,2107 t$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 0,2107$
$t$	=	$- \frac{1}{0,2107} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 5.2141

also t=5.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 32°C wird eine Limo aus einem 4° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 15,02°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 11 Minuten? b) Wann ist sie 29°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=32 sein muss.

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $32 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $32 - c$ = $32 - c$

$4$	=	$32 - c$
$4$	=	$- c + 32$	\| $- 4$ $+ c$
$c$	=	$28$

somit gilt: f(t)= $32 - 28 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $32 - 28 e^{- k \cdot 10}$ = 15,02.

32 - 28 e^{- 10 k}

=

15,0171

$- 28 e^{- 10 k} + 32$	=	$15,0171$	\| $- 32$
$- 28 e^{- 10 k}$	=	$- 16,9829$	\|: $- 28$
$e^{- 10 k}$	=	$0,6065$	\|ln(⋅)
$- 10 k$	=	$\ln (0,6065)$	\|: $- 10$
$k$	=	$- \frac{1}{10} \ln (0,6065)$	≈ 0.05

also k ≈ 0.050005055059803, => f(t)= $32 - 28 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $32 - 28 e^{- 0,05 \cdot 11}$ ≈ 15.8

Wann wird der Wert 29?: f(t)=29

32 - 28 e^{- 0,05 t}

=

29

$- 28 e^{- 0,05 t} + 32$	=	$29$	\| $- 32$
$- 28 e^{- 0,05 t}$	=	$- 3$	\|: $- 28$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{3}{28}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{3}{28})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{3}{28})$	≈ 44.6718

also t=44.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 2% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3960 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 87 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 14 Monaten? b) Wann beträgt dieser 4254 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 87 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{87}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(4350 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=4350 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $4 350 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3960 ein (Punktprobe).

$3 960$	=	$4 350 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
$3 960$	=	$4 350 - c$
$3 960$	=	$- c + 4 350$	\| $- 3 960$ $+ c$
$c$	=	$390$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $4 350 - 390 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $4 350 - 390 e^{- 0,02 \cdot 14}$ ≈ 4055.2

Wann wird der Wert 4254?: f(t)=4254

4 350 - 390 e^{- 0,02 t}

=

4 254

$- 390 e^{- 0,02 t} + 4 350$	=	$4 254$	\| $- 4 350$
$- 390 e^{- 0,02 t}$	=	$- 96$	\|: $- 390$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{16}{65}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{16}{65})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{16}{65})$	≈ 70.0899

also t=70.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $15 e^{- 0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,09$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,09}$ ≈ 7.702 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.