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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 3 Millionen Algen im Teich. Nach 5 Stunden sind es 4,05 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 6 Stunden? b) Wann waren es 4 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $3 e^{k \cdot 5}$ = 4,0496.

$3 e^{5 k}$	=	$4,0496$	\|: $3$
$e^{5 k}$	=	$1,3499$	\|ln(⋅)
$5 k$	=	$\ln (1,3499)$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{1}{5} \ln (1,3499)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.060006103126529, => f(t)= $3 e^{0,06 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $3 e^{0,06 \cdot 6}$ ≈ 4.3

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$3 e^{0,06 t}$	=	$4$	\|: $3$
$e^{0,06 t}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$0,06 t$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $0,06$
$t$	=	$\frac{1}{0,06} \ln (\frac{4}{3})$	≈ 4.7947

also t=4.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 626 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 10g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 1279 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 3g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{626}$ ≈ -0.0011072638667092

=> f(t)= $10 e^{- 0,0011 t}$

Wert zur Zeit 1279: f(1279)= $10 e^{- 0,0011 \cdot 1279}$ ≈ 2.4

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$10 e^{- 0,0011 t}$	=	$3$	\|: $10$
$e^{- 0,0011 t}$	=	$\frac{3}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,0011 t$	=	$\ln (\frac{3}{10})$	\|: $- 0,0011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0011} \ln (\frac{3}{10})$	≈ 1087.5996

also t=1087.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 13% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 6 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 4 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.87) ≈ -0.13926206733351

=> f(t)= $6 e^{- 0,1393 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $6 e^{- 0,1393 \cdot 5}$ ≈ 3

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$6 e^{- 0,1393 t}$	=	$4$	\|: $6$
$e^{- 0,1393 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,1393 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,1393$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1393} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 2.9107

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 9° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 3 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 12,41°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 11°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$9$	=	$27 - c$
$9$	=	$- c + 27$	\| $- 9$ $+ c$
$c$	=	$18$

somit gilt: f(t)= $27 - 18 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $27 - 18 e^{- k \cdot 3}$ = 12,41.

27 - 18 e^{- 3 k}

=

12,4095

$- 18 e^{- 3 k} + 27$	=	$12,4095$	\| $- 27$
$- 18 e^{- 3 k}$	=	$- 14,5905$	\|: $- 18$
$e^{- 3 k}$	=	$0,8106$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,8106)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,8106)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.069993521595976, => f(t)= $27 - 18 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $27 - 18 e^{- 0,07 \cdot 6}$ ≈ 15.2

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

27 - 18 e^{- 0,07 t}

=

11

$- 18 e^{- 0,07 t} + 27$	=	$11$	\| $- 27$
$- 18 e^{- 0,07 t}$	=	$- 16$	\|: $- 18$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{8}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{8}{9})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{8}{9})$	≈ 1.6826

also t=1.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 4ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 10 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 112ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 4 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{4}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(200 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=200 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $200 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$200 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
0	=	$200 - c$
0	=	$- c + 200$	\|0 $+ c$
$c$	=	$200$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $200 - 200 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $200 - 200 e^{- 0,02 \cdot 10}$ ≈ 36.3

Wann wird der Wert 112?: f(t)=112

200 - 200 e^{- 0,02 t}

=

112

$- 200 e^{- 0,02 t} + 200$	=	$112$	\| $- 200$
$- 200 e^{- 0,02 t}$	=	$- 88$	\|: $- 200$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{11}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{11}{25})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{11}{25})$	≈ 41.049

also t=41

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $16 e^{- 0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,09$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,09}$ ≈ 7.702 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.