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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 7 Millionen Algen im Teich. Nach 9 Stunden sind es 13,143 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 12 Stunden? b) Wann waren es 11 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $7 e^{k \cdot 9}$ = 13,1433.

$7 e^{9 k}$	=	$13,1433$	\|: $7$
$e^{9 k}$	=	$1,8776$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (1,8776)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (1,8776)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.06999937395052, => f(t)= $7 e^{0,07 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $7 e^{0,07 \cdot 12}$ ≈ 16.2

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

$7 e^{0,07 t}$	=	$11$	\|: $7$
$e^{0,07 t}$	=	$\frac{11}{7}$	\|ln(⋅)
$0,07 t$	=	$\ln (\frac{11}{7})$	\|: $0,07$
$t$	=	$\frac{1}{0,07} \ln (\frac{11}{7})$	≈ 6.4569

also t=6.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 12 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 15-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 13 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 50-Tausend Euro gestiegen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{12}$ ≈ 0.057762265046662

=> f(t)= $15 e^{0,0578 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $15 e^{0,0578 \cdot 13}$ ≈ 31.8

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

$15 e^{0,0578 t}$	=	$50$	\|: $15$
$e^{0,0578 t}$	=	$\frac{10}{3}$	\|ln(⋅)
$0,0578 t$	=	$\ln (\frac{10}{3})$	\|: $0,0578$
$t$	=	$\frac{1}{0,0578} \ln (\frac{10}{3})$	≈ 20.8437

also t=20.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 35% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.87) ≈ -0.13926206733351

=> f(t)= $100 e^{- 0,1393 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,1393 \cdot 4}$ ≈ 57.3

Wann wird der Wert 35?: f(t)=35

$100 e^{- 0,1393 t}$	=	$35$	\|: $100$
$e^{- 0,1393 t}$	=	$\frac{7}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,1393 t$	=	$\ln (\frac{7}{20})$	\|: $- 0,1393$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1393} \ln (\frac{7}{20})$	≈ 7.5364

also t=7.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 64° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 64 ist, gilt: f(0)= 64, also 64 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$64$	=	$20 - c$
$64$	=	$- c + 20$	\| $- 64$ $+ c$
$c$	=	$- 44$

somit gilt: f(t)= $20 + 44 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 44 e^{- k \cdot 4}$ = 52.

20 + 44 e^{- 4 k}

=

52,0017

$44 e^{- 4 k} + 20$	=	$52,0017$	\| $- 20$
$44 e^{- 4 k}$	=	$32,0017$	\|: $44$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7273$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7273)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7273)$	≈ 0.0796

also k ≈ 0.079604057955411, => f(t)= $20 + 44 e^{- 0,0796 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 44 e^{- 0,0796 \cdot 4}$ ≈ 52

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 44 e^{- 0,0796 t}

=

50

$44 e^{- 0,0796 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$44 e^{- 0,0796 t}$	=	$30$	\|: $44$
$e^{- 0,0796 t}$	=	$\frac{15}{22}$	\|ln(⋅)
$- 0,0796 t$	=	$\ln (\frac{15}{22})$	\|: $- 0,0796$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0796} \ln (\frac{15}{22})$	≈ 4.8115

also t=4.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 14 Jahren, wenn jedes Jahr 0,7 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 72 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.7 - 0.011⋅f(t)

wenn man 0.011 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.011( $\frac{0.7}{0.011}$ - f(t))

also f'(t) = 0.011(63.64 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=63.64 und der Wachstumsfaktor k=0.011 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $63,64 - c \cdot e^{- 0,011 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$63,64 - c \cdot e^{- 0,011 \cdot 0}$
$80$	=	$63,64 - c$
$80$	=	$- c + 63,64$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 16,36$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $63,64 + 16,36 e^{- 0,011 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $63,64 + 16,36 e^{- 0,011 \cdot 14}$ ≈ 77.7

Wann wird der Wert 72?: f(t)=72

63,64 + 16,36 e^{- 0,011 t}

=

72

$16,36 e^{- 0,011 t} + 63,64$	=	$72$	\| $- 63,64$
$16,36 e^{- 0,011 t}$	=	$8,36$	\|: $16,36$
$e^{- 0,011 t}$	=	$0,511$	\|ln(⋅)
$- 0,011 t$	=	$\ln (0,511)$	\|: $- 0,011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,011} \ln (0,511)$	≈ 61.0351

also t=61

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{- 0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,07$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.