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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 9g vorhanden. Nach 6 Tagen sind nur noch 7,982g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 9 Tagen da? b) Wann sind nur noch 8g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $9 e^{k \cdot 6}$ = 7,9823.

$9 e^{6 k}$	=	$7,9823$	\|: $9$
$e^{6 k}$	=	$0,8869$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (0,8869)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (0,8869)$	≈ -0.02

also k ≈ -0.020003840433288, => f(t)= $9 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $9 e^{- 0,02 \cdot 9}$ ≈ 7.5

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$9 e^{- 0,02 t}$	=	$8$	\|: $9$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{8}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{8}{9})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{8}{9})$	≈ 5.8892

also t=5.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 12 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 7-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 11 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 7,78-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{12}$ ≈ 0.057762265046662

=> f(t)= $7 e^{0,0578 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $7 e^{0,0578 \cdot 11}$ ≈ 13.2

Wann wird der Wert 7.78?: f(t)=7.78

$7 e^{0,0578 t}$	=	$7,78$	\|: $7$
$e^{0,0578 t}$	=	$1,1114$	\|ln(⋅)
$0,0578 t$	=	$\ln (1,1114)$	\|: $0,0578$
$t$	=	$\frac{1}{0,0578} \ln (1,1114)$	≈ 1.8285

also t=1.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 3% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 3 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 3 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.03) ≈ 0.029558802241544

=> f(t)= $3 e^{0,0296 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $3 e^{0,0296 \cdot 4}$ ≈ 3.4

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$3 e^{0,0296 t}$	=	$3$	\|: $3$
$e^{0,0296 t}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$0,0296 t$	=	0	\|: $0,0296$
$t$	=	0	≈ 0

also t=0

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 40 e^{- k \cdot 4}$ = 52.

20 + 40 e^{- 4 k}

=

51,9982

$40 e^{- 4 k} + 20$	=	$51,9982$	\| $- 20$
$40 e^{- 4 k}$	=	$31,9982$	\|: $40$
$e^{- 4 k}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,8)$	≈ 0.0558

also k ≈ 0.055785887828552, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,0558 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 40 e^{- 0,0558 \cdot 2}$ ≈ 55.8

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,0558 t}

=

50

$40 e^{- 0,0558 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,0558 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,0558 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,0558 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,0558$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0558} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 5.1556

also t=5.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 2ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 1% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 6 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 152ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 2 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{2}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(200 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=200 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $200 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$200 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
0	=	$200 - c$
0	=	$- c + 200$	\|0 $+ c$
$c$	=	$200$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $200 - 200 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $200 - 200 e^{- 0,01 \cdot 6}$ ≈ 11.6

Wann wird der Wert 152?: f(t)=152

200 - 200 e^{- 0,01 t}

=

152

$- 200 e^{- 0,01 t} + 200$	=	$152$	\| $- 200$
$- 200 e^{- 0,01 t}$	=	$- 48$	\|: $- 200$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{6}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{6}{25})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{6}{25})$	≈ 142.7116

also t=142.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $15 e^{0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,04$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.