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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 91 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 25 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 91: f(91)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 91}$ ≈ 0.7

Wann wird der Wert 25?: f(t)=25

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$25$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 250 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 250 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 250 000)$	≈ 121.9692

also t=122

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1863 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2254? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,8 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1863}$ ≈ -0.00037205967823937

=> f(t)= $e^{- 0,0004 t}$

Wert zur Zeit 254: f(254)= $e^{- 0,0004 \cdot 254}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.8?: f(t)=0.8

$e^{- 0,0004 t}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 0,0004 t$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 0,0004$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0004} \ln (0,8)$	≈ 599.8483

also t=599.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 17% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 9 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 4 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.83) ≈ -0.18632957819149

=> f(t)= $9 e^{- 0,1863 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $9 e^{- 0,1863 \cdot 3}$ ≈ 5.1

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$9 e^{- 0,1863 t}$	=	$4$	\|: $9$
$e^{- 0,1863 t}$	=	$\frac{4}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,1863 t$	=	$\ln (\frac{4}{9})$	\|: $- 0,1863$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1863} \ln (\frac{4}{9})$	≈ 4.3528

also t=4.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 40 e^{- k \cdot 3}$ = 53.

20 + 40 e^{- 3 k}

=

53,0024

$40 e^{- 3 k} + 20$	=	$53,0024$	\| $- 20$
$40 e^{- 3 k}$	=	$33,0024$	\|: $40$
$e^{- 3 k}$	=	$0,8251$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,8251)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,8251)$	≈ 0.0641

also k ≈ 0.064083562623947, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,0641 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 40 e^{- 0,0641 \cdot 5}$ ≈ 49

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,0641 t}

=

50

$40 e^{- 0,0641 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,0641 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,0641 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,0641 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,0641$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0641} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 4.488

also t=4.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3368 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 75 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2119 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 75 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{75}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(1875 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1875 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 875 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3368 ein (Punktprobe).

$3 368$	=	$1 875 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$3 368$	=	$1 875 - c$
$3 368$	=	$- c + 1 875$	\| $- 3 368$ $+ c$
$c$	=	$- 1 493$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 875 + 1 493 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $1 875 + 1 493 e^{- 0,04 \cdot 12}$ ≈ 2798.8

Wann wird der Wert 2119?: f(t)=2119

1 875 + 1 493 e^{- 0,04 t}

=

2 119

$1 493 e^{- 0,04 t} + 1 875$	=	$2 119$	\| $- 1 875$
$1 493 e^{- 0,04 t}$	=	$244$	\|: $1 493$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{244}{1493}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{244}{1493})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{244}{1493})$	≈ 45.2844

also t=45.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $18 e^{0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,08$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.