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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 84 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 43 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 84: f(84)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 84}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 43?: f(t)=43

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$43$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 150 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 150 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 150 000)$	≈ 126.681

also t=126.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 435 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 13g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 411 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 6,5g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{435}$ ≈ -0.0015934417943907

=> f(t)= $13 e^{- 0,0016 t}$

Wert zur Zeit 411: f(411)= $13 e^{- 0,0016 \cdot 411}$ ≈ 6.8

Wann wird der Wert 6.5?: f(t)=6.5

$13 e^{- 0,0016 t}$	=	$6,5$	\|: $13$
$e^{- 0,0016 t}$	=	$0,5$	\|ln(⋅)
$- 0,0016 t$	=	$\ln (0,5)$	\|: $- 0,0016$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0016} \ln (0,5)$	≈ 435.1206

also t=435.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 11% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 19 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 9 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595

=> f(t)= $19 e^{- 0,1165 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $19 e^{- 0,1165 \cdot 4}$ ≈ 11.9

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$19 e^{- 0,1165 t}$	=	$9$	\|: $19$
$e^{- 0,1165 t}$	=	$\frac{9}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,1165 t$	=	$\ln (\frac{9}{19})$	\|: $- 0,1165$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1165} \ln (\frac{9}{19})$	≈ 6.4139

also t=6.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 56° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 51,99° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 56 ist, gilt: f(0)= 56, also 56 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$56$	=	$20 - c$
$56$	=	$- c + 20$	\| $- 56$ $+ c$
$c$	=	$- 36$

somit gilt: f(t)= $20 + 36 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 36 e^{- k \cdot 5}$ = 51,99.

20 + 36 e^{- 5 k}

=

51,9931

$36 e^{- 5 k} + 20$	=	$51,9931$	\| $- 20$
$36 e^{- 5 k}$	=	$31,9931$	\|: $36$
$e^{- 5 k}$	=	$0,8887$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,8887)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,8887)$	≈ 0.0236

also k ≈ 0.023599111647541, => f(t)= $20 + 36 e^{- 0,0236 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 36 e^{- 0,0236 \cdot 3}$ ≈ 53.5

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 36 e^{- 0,0236 t}

=

50

$36 e^{- 0,0236 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$36 e^{- 0,0236 t}$	=	$30$	\|: $36$
$e^{- 0,0236 t}$	=	$\frac{5}{6}$	\|ln(⋅)
$- 0,0236 t$	=	$\ln (\frac{5}{6})$	\|: $- 0,0236$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0236} \ln (\frac{5}{6})$	≈ 7.7255

also t=7.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,5% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 5 Jahren, wenn jedes Jahr 0,4 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 54 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.4 - 0.015⋅f(t)

wenn man 0.015 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.015( $\frac{0.4}{0.015}$ - f(t))

also f'(t) = 0.015(26.67 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=26.67 und der Wachstumsfaktor k=0.015 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $26,67 - c \cdot e^{- 0,015 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$26,67 - c \cdot e^{- 0,015 \cdot 0}$
$80$	=	$26,67 - c$
$80$	=	$- c + 26,67$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 53,33$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $26,67 + 53,33 e^{- 0,015 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $26,67 + 53,33 e^{- 0,015 \cdot 5}$ ≈ 76.1

Wann wird der Wert 54?: f(t)=54

26,67 + 53,33 e^{- 0,015 t}

=

54

$53,33 e^{- 0,015 t} + 26,67$	=	$54$	\| $- 26,67$
$53,33 e^{- 0,015 t}$	=	$27,33$	\|: $53,33$
$e^{- 0,015 t}$	=	$0,5125$	\|ln(⋅)
$- 0,015 t$	=	$\ln (0,5125)$	\|: $- 0,015$
$t$	=	$- \frac{1}{0,015} \ln (0,5125)$	≈ 44.5636

also t=44.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $4 e^{- 0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,09$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.