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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 19 Millionen Algen im Teich. Nach 7 Stunden sind es 23,44 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 9 Stunden? b) Wann waren es 23 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $19 e^{k \cdot 7}$ = 23,4399.

$19 e^{7 k}$	=	$23,4399$	\|: $19$
$e^{7 k}$	=	$1,2337$	\|ln(⋅)
$7 k$	=	$\ln (1,2337)$	\|: $7$
$k$	=	$\frac{1}{7} \ln (1,2337)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.03000254058504, => f(t)= $19 e^{0,03 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $19 e^{0,03 \cdot 9}$ ≈ 24.9

Wann wird der Wert 23?: f(t)=23

$19 e^{0,03 t}$	=	$23$	\|: $19$
$e^{0,03 t}$	=	$\frac{23}{19}$	\|ln(⋅)
$0,03 t$	=	$\ln (\frac{23}{19})$	\|: $0,03$
$t$	=	$\frac{1}{0,03} \ln (\frac{23}{19})$	≈ 6.3685

also t=6.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 13 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 7-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 32 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 11,67-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{13}$ ≈ 0.053319013889227

=> f(t)= $7 e^{0,0533 t}$

Wert zur Zeit 32: f(32)= $7 e^{0,0533 \cdot 32}$ ≈ 38.6

Wann wird der Wert 11.67?: f(t)=11.67

$7 e^{0,0533 t}$	=	$11,67$	\|: $7$
$e^{0,0533 t}$	=	$1,6671$	\|ln(⋅)
$0,0533 t$	=	$\ln (1,6671)$	\|: $0,0533$
$t$	=	$\frac{1}{0,0533} \ln (1,6671)$	≈ 9.5854

also t=9.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 11% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 34% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595

=> f(t)= $100 e^{- 0,1165 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,1165 \cdot 3}$ ≈ 70.5

Wann wird der Wert 34?: f(t)=34

$100 e^{- 0,1165 t}$	=	$34$	\|: $100$
$e^{- 0,1165 t}$	=	$\frac{17}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,1165 t$	=	$\ln (\frac{17}{50})$	\|: $- 0,1165$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1165} \ln (\frac{17}{50})$	≈ 9.2602

also t=9.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 64° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 64 ist, gilt: f(0)= 64, also 64 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$64$	=	$20 - c$
$64$	=	$- c + 20$	\| $- 64$ $+ c$
$c$	=	$- 44$

somit gilt: f(t)= $20 + 44 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 44 e^{- k \cdot 2}$ = 53.

20 + 44 e^{- 2 k}

=

53,0027

$44 e^{- 2 k} + 20$	=	$53,0027$	\| $- 20$
$44 e^{- 2 k}$	=	$33,0027$	\|: $44$
$e^{- 2 k}$	=	$0,7501$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,7501)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,7501)$	≈ 0.1438

also k ≈ 0.14377437400327, => f(t)= $20 + 44 e^{- 0,1438 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 44 e^{- 0,1438 \cdot 4}$ ≈ 44.8

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 44 e^{- 0,1438 t}

=

50

$44 e^{- 0,1438 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$44 e^{- 0,1438 t}$	=	$30$	\|: $44$
$e^{- 0,1438 t}$	=	$\frac{15}{22}$	\|ln(⋅)
$- 0,1438 t$	=	$\ln (\frac{15}{22})$	\|: $- 0,1438$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1438} \ln (\frac{15}{22})$	≈ 2.6634

also t=2.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 5ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 4% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 9 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 8ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 5 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{5}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(125 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=125 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $125 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$125 - c$
0	=	$- c + 125$	\|0 $+ c$
$c$	=	$125$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $125 - 125 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $125 - 125 e^{- 0,04 \cdot 9}$ ≈ 37.8

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

125 - 125 e^{- 0,04 t}

=

8

$- 125 e^{- 0,04 t} + 125$	=	$8$	\| $- 125$
$- 125 e^{- 0,04 t}$	=	$- 117$	\|: $- 125$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{117}{125}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{117}{125})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{117}{125})$	≈ 1.6535

also t=1.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.