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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 81 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 43 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 81: f(81)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 81}$ ≈ 0.2

Wann wird der Wert 43?: f(t)=43

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$43$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 150 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 150 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 150 000)$	≈ 126.681

also t=126.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 86 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 46 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 86: f(86)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 86}$ ≈ 0.4

Wann wird der Wert 46?: f(t)=46

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$46$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 300 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 300 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 300 000)$	≈ 127.2216

also t=127.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 10% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 8 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 13 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.1) ≈ 0.095310179804325

=> f(t)= $8 e^{0,0953 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $8 e^{0,0953 \cdot 5}$ ≈ 12.9

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

$8 e^{0,0953 t}$	=	$13$	\|: $8$
$e^{0,0953 t}$	=	$\frac{13}{8}$	\|ln(⋅)
$0,0953 t$	=	$\ln (\frac{13}{8})$	\|: $0,0953$
$t$	=	$\frac{1}{0,0953} \ln (\frac{13}{8})$	≈ 5.0945

also t=5.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 30°C wird eine Limo aus einem 9° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 2 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 12,1°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 3 Minuten? b) Wann ist sie 23°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=30 sein muss.

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $30 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $30 - c$ = $30 - c$

$9$	=	$30 - c$
$9$	=	$- c + 30$	\| $- 9$ $+ c$
$c$	=	$21$

somit gilt: f(t)= $30 - 21 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $30 - 21 e^{- k \cdot 2}$ = 12,1.

30 - 21 e^{- 2 k}

=

12,105

$- 21 e^{- 2 k} + 30$	=	$12,105$	\| $- 30$
$- 21 e^{- 2 k}$	=	$- 17,895$	\|: $- 21$
$e^{- 2 k}$	=	$0,8521$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,8521)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,8521)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.080025694074113, => f(t)= $30 - 21 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $30 - 21 e^{- 0,08 \cdot 3}$ ≈ 13.5

Wann wird der Wert 23?: f(t)=23

30 - 21 e^{- 0,08 t}

=

23

$- 21 e^{- 0,08 t} + 30$	=	$23$	\| $- 30$
$- 21 e^{- 0,08 t}$	=	$- 7$	\|: $- 21$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 13.7327

also t=13.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 7 Jahren, wenn jedes Jahr 0,7 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 75 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.7 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{0.7}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(70 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=70 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $70 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$70 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$80$	=	$70 - c$
$80$	=	$- c + 70$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 10$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $70 + 10 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $70 + 10 e^{- 0,01 \cdot 7}$ ≈ 79.3

Wann wird der Wert 75?: f(t)=75

70 + 10 e^{- 0,01 t}

=

75

$10 e^{- 0,01 t} + 70$	=	$75$	\| $- 70$
$10 e^{- 0,01 t}$	=	$5$	\|: $10$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 69.3147

also t=69.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $15 e^{- 0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,04$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,04}$ ≈ 17.329 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

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Exponentielles Wachstum mit Prozent

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beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.