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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 18 Millionen Algen im Teich. Nach 2 Stunden sind es 18,735 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 5 Stunden? b) Wann waren es 21 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $18 e^{k \cdot 2}$ = 18,7346.

$18 e^{2 k}$	=	$18,7346$	\|: $18$
$e^{2 k}$	=	$1,0408$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (1,0408)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (1,0408)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.019994824108079, => f(t)= $18 e^{0,02 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $18 e^{0,02 \cdot 5}$ ≈ 19.9

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

$18 e^{0,02 t}$	=	$21$	\|: $18$
$e^{0,02 t}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$0,02 t$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $0,02$
$t$	=	$\frac{1}{0,02} \ln (\frac{7}{6})$	≈ 7.7075

also t=7.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 78 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 39 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 78: f(78)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 78}$ ≈ 0.2

Wann wird der Wert 39?: f(t)=39

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$39$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 950 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 950 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 950 000)$	≈ 125.7879

also t=125.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 10% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 12 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 5 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.9) ≈ -0.10536051565783

=> f(t)= $12 e^{- 0,1054 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $12 e^{- 0,1054 \cdot 2}$ ≈ 9.7

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$12 e^{- 0,1054 t}$	=	$5$	\|: $12$
$e^{- 0,1054 t}$	=	$\frac{5}{12}$	\|ln(⋅)
$- 0,1054 t$	=	$\ln (\frac{5}{12})$	\|: $- 0,1054$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1054} \ln (\frac{5}{12})$	≈ 8.3062

also t=8.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 9° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 2 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 11,37°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 5 Minuten? b) Wann ist sie 14°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $25 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $25 - c$ = $25 - c$

$9$	=	$25 - c$
$9$	=	$- c + 25$	\| $- 9$ $+ c$
$c$	=	$16$

somit gilt: f(t)= $25 - 16 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $25 - 16 e^{- k \cdot 2}$ = 11,37.

25 - 16 e^{- 2 k}

=

11,3657

$- 16 e^{- 2 k} + 25$	=	$11,3657$	\| $- 25$
$- 16 e^{- 2 k}$	=	$- 13,6343$	\|: $- 16$
$e^{- 2 k}$	=	$0,8521$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,8521)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,8521)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.080025694074113, => f(t)= $25 - 16 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $25 - 16 e^{- 0,08 \cdot 5}$ ≈ 14.3

Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

25 - 16 e^{- 0,08 t}

=

14

$- 16 e^{- 0,08 t} + 25$	=	$14$	\| $- 25$
$- 16 e^{- 0,08 t}$	=	$- 11$	\|: $- 16$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{11}{16}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{11}{16})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{11}{16})$	≈ 4.6837

also t=4.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2809 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 64 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2029 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 64 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{64}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(1600 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1600 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 600 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2809 ein (Punktprobe).

$2 809$	=	$1 600 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$2 809$	=	$1 600 - c$
$2 809$	=	$- c + 1 600$	\| $- 2 809$ $+ c$
$c$	=	$- 1 209$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 600 + 1 209 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $1 600 + 1 209 e^{- 0,04 \cdot 12}$ ≈ 2348.1

Wann wird der Wert 2029?: f(t)=2029

1 600 + 1 209 e^{- 0,04 t}

=

2 029

$1 209 e^{- 0,04 t} + 1 600$	=	$2 029$	\| $- 1 600$
$1 209 e^{- 0,04 t}$	=	$429$	\|: $1 209$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{11}{31}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{11}{31})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{11}{31})$	≈ 25.9023

also t=25.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $10 e^{- 0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,08$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.