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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 19 Millionen Algen im Teich. Nach 4 Stunden sind es 28,345 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 6 Stunden? b) Wann waren es 36 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $19 e^{k \cdot 4}$ = 28,3447.

$19 e^{4 k}$	=	$28,3447$	\|: $19$
$e^{4 k}$	=	$1,4918$	\|ln(⋅)
$4 k$	=	$\ln (1,4918)$	\|: $4$
$k$	=	$\frac{1}{4} \ln (1,4918)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.099995861134731, => f(t)= $19 e^{0,1 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $19 e^{0,1 \cdot 6}$ ≈ 34.6

Wann wird der Wert 36?: f(t)=36

$19 e^{0,1 t}$	=	$36$	\|: $19$
$e^{0,1 t}$	=	$\frac{36}{19}$	\|ln(⋅)
$0,1 t$	=	$\ln (\frac{36}{19})$	\|: $0,1$
$t$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (\frac{36}{19})$	≈ 6.3908

also t=6.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 86 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 42 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 86: f(86)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 86}$ ≈ 0.4

Wann wird der Wert 42?: f(t)=42

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$42$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 100 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 100 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 100 000)$	≈ 126.4315

also t=126.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 8% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 12 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 17 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.08) ≈ 0.076961041136128

=> f(t)= $12 e^{0,077 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $12 e^{0,077 \cdot 2}$ ≈ 14

Wann wird der Wert 17?: f(t)=17

$12 e^{0,077 t}$	=	$17$	\|: $12$
$e^{0,077 t}$	=	$\frac{17}{12}$	\|ln(⋅)
$0,077 t$	=	$\ln (\frac{17}{12})$	\|: $0,077$
$t$	=	$\frac{1}{0,077} \ln (\frac{17}{12})$	≈ 4.5235

also t=4.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 28°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 11,55°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 10 Minuten? b) Wann ist sie 18°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=28 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $28 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $28 - c$ = $28 - c$

$10$	=	$28 - c$
$10$	=	$- c + 28$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$18$

somit gilt: f(t)= $28 - 18 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $28 - 18 e^{- k \cdot 9}$ = 11,55.

28 - 18 e^{- 9 k}

=

11,5492

$- 18 e^{- 9 k} + 28$	=	$11,5492$	\| $- 28$
$- 18 e^{- 9 k}$	=	$- 16,4508$	\|: $- 18$
$e^{- 9 k}$	=	$0,9139$	\|ln(⋅)
$- 9 k$	=	$\ln (0,9139)$	\|: $- 9$
$k$	=	$- \frac{1}{9} \ln (0,9139)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.010003791411553, => f(t)= $28 - 18 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $28 - 18 e^{- 0,01 \cdot 10}$ ≈ 11.7

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

28 - 18 e^{- 0,01 t}

=

18

$- 18 e^{- 0,01 t} + 28$	=	$18$	\| $- 28$
$- 18 e^{- 0,01 t}$	=	$- 10$	\|: $- 18$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{5}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{5}{9})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{5}{9})$	≈ 58.7787

also t=58.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,4% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 10 Jahren, wenn jedes Jahr 0,3 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 64 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.3 - 0.014⋅f(t)

wenn man 0.014 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.014( $\frac{0.3}{0.014}$ - f(t))

also f'(t) = 0.014(21.43 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=21.43 und der Wachstumsfaktor k=0.014 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $21,43 - c \cdot e^{- 0,014 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$21,43 - c \cdot e^{- 0,014 \cdot 0}$
$80$	=	$21,43 - c$
$80$	=	$- c + 21,43$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 58,57$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $21,43 + 58,57 e^{- 0,014 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $21,43 + 58,57 e^{- 0,014 \cdot 10}$ ≈ 72.3

Wann wird der Wert 64?: f(t)=64

21,43 + 58,57 e^{- 0,014 t}

=

64

$58,57 e^{- 0,014 t} + 21,43$	=	$64$	\| $- 21,43$
$58,57 e^{- 0,014 t}$	=	$42,57$	\|: $58,57$
$e^{- 0,014 t}$	=	$0,7268$	\|ln(⋅)
$- 0,014 t$	=	$\ln (0,7268)$	\|: $- 0,014$
$t$	=	$- \frac{1}{0,014} \ln (0,7268)$	≈ 22.7931

also t=22.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $18 e^{0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,06$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.