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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 15g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 12,782g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 4 Tagen da? b) Wann sind nur noch 9g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $15 e^{k \cdot 2}$ = 12,7822.

$15 e^{2 k}$	=	$12,7822$	\|: $15$
$e^{2 k}$	=	$0,8521$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (0,8521)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (0,8521)$	≈ -0.08

also k ≈ -0.080025694074113, => f(t)= $15 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $15 e^{- 0,08 \cdot 4}$ ≈ 10.9

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$15 e^{- 0,08 t}$	=	$9$	\|: $15$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{3}{5})$	≈ 6.3853

also t=6.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1490 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2189? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,2 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1490}$ ≈ -0.00046519945004023

=> f(t)= $e^{- 0,0005 t}$

Wert zur Zeit 189: f(189)= $e^{- 0,0005 \cdot 189}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.2?: f(t)=0.2

$e^{- 0,0005 t}$	=	$0,2$	\|ln(⋅)
$- 0,0005 t$	=	$\ln (0,2)$	\|: $- 0,0005$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0005} \ln (0,2)$	≈ 3461.1568

also t=3461.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 35% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.87) ≈ -0.13926206733351

=> f(t)= $100 e^{- 0,1393 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,1393 \cdot 4}$ ≈ 57.3

Wann wird der Wert 35?: f(t)=35

$100 e^{- 0,1393 t}$	=	$35$	\|: $100$
$e^{- 0,1393 t}$	=	$\frac{7}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,1393 t$	=	$\ln (\frac{7}{20})$	\|: $- 0,1393$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1393} \ln (\frac{7}{20})$	≈ 7.5364

also t=7.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 65° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 65 ist, gilt: f(0)= 65, also 65 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$65$	=	$20 - c$
$65$	=	$- c + 20$	\| $- 65$ $+ c$
$c$	=	$- 45$

somit gilt: f(t)= $20 + 45 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 45 e^{- k \cdot 3}$ = 54.

20 + 45 e^{- 3 k}

=

54,0035

$45 e^{- 3 k} + 20$	=	$54,0035$	\| $- 20$
$45 e^{- 3 k}$	=	$34,0035$	\|: $45$
$e^{- 3 k}$	=	$0,7556$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,7556)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,7556)$	≈ 0.0934

also k ≈ 0.093414381118261, => f(t)= $20 + 45 e^{- 0,0934 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 45 e^{- 0,0934 \cdot 4}$ ≈ 51

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 45 e^{- 0,0934 t}

=

50

$45 e^{- 0,0934 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$45 e^{- 0,0934 t}$	=	$30$	\|: $45$
$e^{- 0,0934 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,0934 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,0934$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0934} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 4.3412

also t=4.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3467 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 68 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 8 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1985 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 68 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{68}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(850 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=850 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $850 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3467 ein (Punktprobe).

$3 467$	=	$850 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$3 467$	=	$850 - c$
$3 467$	=	$- c + 850$	\| $- 3 467$ $+ c$
$c$	=	$- 2 617$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $850 + 2 617 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $850 + 2 617 e^{- 0,08 \cdot 8}$ ≈ 2229.9

Wann wird der Wert 1985?: f(t)=1985

850 + 2 617 e^{- 0,08 t}

=

1 985

$2 617 e^{- 0,08 t} + 850$	=	$1 985$	\| $- 850$
$2 617 e^{- 0,08 t}$	=	$1 135$	\|: $2 617$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{1135}{2617}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{1135}{2617})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{1135}{2617})$	≈ 10.4424

also t=10.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $5 e^{- 0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,09$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.