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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 20 Millionen Algen im Teich. Nach 3 Stunden sind es 21,237 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 4 Stunden? b) Wann waren es 23 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 e^{k \cdot 3}$ = 21,2367.

$20 e^{3 k}$	=	$21,2367$	\|: $20$
$e^{3 k}$	=	$1,0618$	\|ln(⋅)
$3 k$	=	$\ln (1,0618)$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{1}{3} \ln (1,0618)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.019988527055811, => f(t)= $20 e^{0,02 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 e^{0,02 \cdot 4}$ ≈ 21.7

Wann wird der Wert 23?: f(t)=23

$20 e^{0,02 t}$	=	$23$	\|: $20$
$e^{0,02 t}$	=	$\frac{23}{20}$	\|ln(⋅)
$0,02 t$	=	$\ln (\frac{23}{20})$	\|: $0,02$
$t$	=	$\frac{1}{0,02} \ln (\frac{23}{20})$	≈ 6.9881

also t=7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 16 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 8-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 8 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 40-Tausend Euro gestiegen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{16}$ ≈ 0.043321698784997

=> f(t)= $8 e^{0,0433 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $8 e^{0,0433 \cdot 8}$ ≈ 11.3

Wann wird der Wert 40?: f(t)=40

$8 e^{0,0433 t}$	=	$40$	\|: $8$
$e^{0,0433 t}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$0,0433 t$	=	$\ln (5)$	\|: $0,0433$
$t$	=	$\frac{1}{0,0433} \ln (5)$	≈ 37.1506

also t=37.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 11% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 34% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595

=> f(t)= $100 e^{- 0,1165 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,1165 \cdot 3}$ ≈ 70.5

Wann wird der Wert 34?: f(t)=34

$100 e^{- 0,1165 t}$	=	$34$	\|: $100$
$e^{- 0,1165 t}$	=	$\frac{17}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,1165 t$	=	$\ln (\frac{17}{50})$	\|: $- 0,1165$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1165} \ln (\frac{17}{50})$	≈ 9.2602

also t=9.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 57° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 57 ist, gilt: f(0)= 57, also 57 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$57$	=	$20 - c$
$57$	=	$- c + 20$	\| $- 57$ $+ c$
$c$	=	$- 37$

somit gilt: f(t)= $20 + 37 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 37 e^{- k \cdot 3}$ = 51.

20 + 37 e^{- 3 k}

=

50,9979

$37 e^{- 3 k} + 20$	=	$50,9979$	\| $- 20$
$37 e^{- 3 k}$	=	$30,9979$	\|: $37$
$e^{- 3 k}$	=	$0,8378$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,8378)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,8378)$	≈ 0.059

also k ≈ 0.058991956823068, => f(t)= $20 + 37 e^{- 0,059 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 37 e^{- 0,059 \cdot 2}$ ≈ 52.9

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 37 e^{- 0,059 t}

=

50

$37 e^{- 0,059 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$37 e^{- 0,059 t}$	=	$30$	\|: $37$
$e^{- 0,059 t}$	=	$\frac{30}{37}$	\|ln(⋅)
$- 0,059 t$	=	$\ln (\frac{30}{37})$	\|: $- 0,059$
$t$	=	$- \frac{1}{0,059} \ln (\frac{30}{37})$	≈ 3.5546

also t=3.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2267 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 74 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 11 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1597 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 74 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{74}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(1480 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1480 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 480 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2267 ein (Punktprobe).

$2 267$	=	$1 480 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
$2 267$	=	$1 480 - c$
$2 267$	=	$- c + 1 480$	\| $- 2 267$ $+ c$
$c$	=	$- 787$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 480 + 787 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $1 480 + 787 e^{- 0,05 \cdot 11}$ ≈ 1934.1

Wann wird der Wert 1597?: f(t)=1597

1 480 + 787 e^{- 0,05 t}

=

1 597

$787 e^{- 0,05 t} + 1 480$	=	$1 597$	\| $- 1 480$
$787 e^{- 0,05 t}$	=	$117$	\|: $787$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{117}{787}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{117}{787})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{117}{787})$	≈ 38.1211

also t=38.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $4 e^{- 0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,06$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.