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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 87 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 94 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 87: f(87)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 87}$ ≈ 0.4

Wann wird der Wert 94?: f(t)=94

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$94$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 700 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 700 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 700 000)$	≈ 133.4759

also t=133.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 536 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 5g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 646 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 1g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{536}$ ≈ -0.0012931850383581

=> f(t)= $5 e^{- 0,0013 t}$

Wert zur Zeit 646: f(646)= $5 e^{- 0,0013 \cdot 646}$ ≈ 2.2

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$5 e^{- 0,0013 t}$	=	$1$	\|: $5$
$e^{- 0,0013 t}$	=	$\frac{1}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,0013 t$	=	$\ln (\frac{1}{5})$	\|: $- 0,0013$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0013} \ln (\frac{1}{5})$	≈ 1244.7316

also t=1244.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 10% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 10 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 5 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.9) ≈ -0.10536051565783

=> f(t)= $10 e^{- 0,1054 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $10 e^{- 0,1054 \cdot 4}$ ≈ 6.6

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$10 e^{- 0,1054 t}$	=	$5$	\|: $10$
$e^{- 0,1054 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,1054 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,1054$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1054} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 6.5763

also t=6.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 31°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 18,34°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 12 Minuten? b) Wann ist sie 16°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=31 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $31 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $31 - c$ = $31 - c$

$5$	=	$31 - c$
$5$	=	$- c + 31$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$26$

somit gilt: f(t)= $31 - 26 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $31 - 26 e^{- k \cdot 9}$ = 18,34.

31 - 26 e^{- 9 k}

=

18,3444

$- 26 e^{- 9 k} + 31$	=	$18,3444$	\| $- 31$
$- 26 e^{- 9 k}$	=	$- 12,6556$	\|: $- 26$
$e^{- 9 k}$	=	$0,4868$	\|ln(⋅)
$- 9 k$	=	$\ln (0,4868)$	\|: $- 9$
$k$	=	$- \frac{1}{9} \ln (0,4868)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.079989101985418, => f(t)= $31 - 26 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $31 - 26 e^{- 0,08 \cdot 12}$ ≈ 21

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

31 - 26 e^{- 0,08 t}

=

16

$- 26 e^{- 0,08 t} + 31$	=	$16$	\| $- 31$
$- 26 e^{- 0,08 t}$	=	$- 15$	\|: $- 26$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{15}{26}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{15}{26})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{15}{26})$	≈ 6.8756

also t=6.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 6ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 1% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 14 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 329ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 6 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{6}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(600 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=600 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $600 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$600 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
0	=	$600 - c$
0	=	$- c + 600$	\|0 $+ c$
$c$	=	$600$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $600 - 600 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $600 - 600 e^{- 0,01 \cdot 14}$ ≈ 78.4

Wann wird der Wert 329?: f(t)=329

600 - 600 e^{- 0,01 t}

=

329

$- 600 e^{- 0,01 t} + 600$	=	$329$	\| $- 600$
$- 600 e^{- 0,01 t}$	=	$- 271$	\|: $- 600$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{271}{600}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{271}{600})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{271}{600})$	≈ 79.4811

also t=79.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $18 e^{- 0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,05$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.