Mathebattle EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 85 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 22 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 85: f(85)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 85}$ ≈ 0.4

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$22$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 100 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 100 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 100 000)$	≈ 120.8586

also t=120.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 75 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 10 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 75: f(75)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 75}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$10$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$500 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (500 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (500 000)$	≈ 113.9678

also t=114

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 18% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 8 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.82) ≈ -0.19845093872384

=> f(t)= $8 e^{- 0,1985 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $8 e^{- 0,1985 \cdot 5}$ ≈ 3

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$8 e^{- 0,1985 t}$	=	$1$	\|: $8$
$e^{- 0,1985 t}$	=	$\frac{1}{8}$	\|ln(⋅)
$- 0,1985 t$	=	$\ln (\frac{1}{8})$	\|: $- 0,1985$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1985} \ln (\frac{1}{8})$	≈ 10.4758

also t=10.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 59° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 59 ist, gilt: f(0)= 59, also 59 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$59$	=	$20 - c$
$59$	=	$- c + 20$	\| $- 59$ $+ c$
$c$	=	$- 39$

somit gilt: f(t)= $20 + 39 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 39 e^{- k \cdot 5}$ = 51.

20 + 39 e^{- 5 k}

=

51,0023

$39 e^{- 5 k} + 20$	=	$51,0023$	\| $- 20$
$39 e^{- 5 k}$	=	$31,0023$	\|: $39$
$e^{- 5 k}$	=	$0,7949$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,7949)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,7949)$	≈ 0.0459

also k ≈ 0.045907791680614, => f(t)= $20 + 39 e^{- 0,0459 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 39 e^{- 0,0459 \cdot 3}$ ≈ 54

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 39 e^{- 0,0459 t}

=

50

$39 e^{- 0,0459 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$39 e^{- 0,0459 t}$	=	$30$	\|: $39$
$e^{- 0,0459 t}$	=	$\frac{10}{13}$	\|ln(⋅)
$- 0,0459 t$	=	$\ln (\frac{10}{13})$	\|: $- 0,0459$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0459} \ln (\frac{10}{13})$	≈ 5.716

also t=5.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 3ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 1% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 7 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 274ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 3 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{3}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(300 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=300 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $300 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$300 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
0	=	$300 - c$
0	=	$- c + 300$	\|0 $+ c$
$c$	=	$300$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $300 - 300 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $300 - 300 e^{- 0,01 \cdot 7}$ ≈ 20.3

Wann wird der Wert 274?: f(t)=274

300 - 300 e^{- 0,01 t}

=

274

$- 300 e^{- 0,01 t} + 300$	=	$274$	\| $- 300$
$- 300 e^{- 0,01 t}$	=	$- 26$	\|: $- 300$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{13}{150}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{13}{150})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{13}{150})$	≈ 244.5686

also t=244.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{- 0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,08$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.