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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 3 Millionen Algen im Teich. Nach 2 Stunden sind es 3,592 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 3 Stunden? b) Wann waren es 6 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $3 e^{k \cdot 2}$ = 3,5917.

$3 e^{2 k}$	=	$3,5917$	\|: $3$
$e^{2 k}$	=	$1,1972$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (1,1972)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (1,1972)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.089992748498203, => f(t)= $3 e^{0,09 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $3 e^{0,09 \cdot 3}$ ≈ 3.9

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$3 e^{0,09 t}$	=	$6$	\|: $3$
$e^{0,09 t}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$0,09 t$	=	$\ln (2)$	\|: $0,09$
$t$	=	$\frac{1}{0,09} \ln (2)$	≈ 7.7016

also t=7.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 97 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 42 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 97: f(97)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 97}$ ≈ 1.4

Wann wird der Wert 42?: f(t)=42

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$42$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 100 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 100 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 100 000)$	≈ 126.4315

also t=126.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 19% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 9 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 2 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.81) ≈ -0.21072103131565

=> f(t)= $9 e^{- 0,2107 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $9 e^{- 0,2107 \cdot 5}$ ≈ 3.1

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$9 e^{- 0,2107 t}$	=	$2$	\|: $9$
$e^{- 0,2107 t}$	=	$\frac{2}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,2107 t$	=	$\ln (\frac{2}{9})$	\|: $- 0,2107$
$t$	=	$- \frac{1}{0,2107} \ln (\frac{2}{9})$	≈ 7.1385

also t=7.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 57° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 57 ist, gilt: f(0)= 57, also 57 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$57$	=	$20 - c$
$57$	=	$- c + 20$	\| $- 57$ $+ c$
$c$	=	$- 37$

somit gilt: f(t)= $20 + 37 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 37 e^{- k \cdot 4}$ = 53.

20 + 37 e^{- 4 k}

=

53,0003

$37 e^{- 4 k} + 20$	=	$53,0003$	\| $- 20$
$37 e^{- 4 k}$	=	$33,0003$	\|: $37$
$e^{- 4 k}$	=	$0,8919$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,8919)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,8919)$	≈ 0.0286

also k ≈ 0.028600315077494, => f(t)= $20 + 37 e^{- 0,0286 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 37 e^{- 0,0286 \cdot 5}$ ≈ 52.1

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 37 e^{- 0,0286 t}

=

50

$37 e^{- 0,0286 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$37 e^{- 0,0286 t}$	=	$30$	\|: $37$
$e^{- 0,0286 t}$	=	$\frac{30}{37}$	\|ln(⋅)
$- 0,0286 t$	=	$\ln (\frac{30}{37})$	\|: $- 0,0286$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0286} \ln (\frac{30}{37})$	≈ 7.3329

also t=7.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 6ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 8 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 267ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 6 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{6}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(300 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=300 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $300 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$300 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
0	=	$300 - c$
0	=	$- c + 300$	\|0 $+ c$
$c$	=	$300$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $300 - 300 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $300 - 300 e^{- 0,02 \cdot 8}$ ≈ 44.4

Wann wird der Wert 267?: f(t)=267

300 - 300 e^{- 0,02 t}

=

267

$- 300 e^{- 0,02 t} + 300$	=	$267$	\| $- 300$
$- 300 e^{- 0,02 t}$	=	$- 33$	\|: $- 300$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{11}{100}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{11}{100})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{11}{100})$	≈ 110.3637

also t=110.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $4 e^{- 0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,01$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,01}$ ≈ 69.315 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.