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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 5g vorhanden. Nach 5 Tagen sind nur noch 4,524g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 6 Tagen da? b) Wann sind nur noch 4g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $5 e^{k \cdot 5}$ = 4,5242.

$5 e^{5 k}$	=	$4,5242$	\|: $5$
$e^{5 k}$	=	$0,9048$	\|ln(⋅)
$5 k$	=	$\ln (0,9048)$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{1}{5} \ln (0,9048)$	≈ -0.02

also k ≈ -0.020008270836045, => f(t)= $5 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $5 e^{- 0,02 \cdot 6}$ ≈ 4.4

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$5 e^{- 0,02 t}$	=	$4$	\|: $5$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{4}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{4}{5})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{4}{5})$	≈ 11.1572

also t=11.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 877 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 4g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 669 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 3,6g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{877}$ ≈ -0.00079036166540473

=> f(t)= $4 e^{- 0,00079 t}$

Wert zur Zeit 669: f(669)= $4 e^{- 0,00079 \cdot 669}$ ≈ 2.4

Wann wird der Wert 3.6?: f(t)=3.6

$4 e^{- 0,00079 t}$	=	$3,6$	\|: $4$
$e^{- 0,00079 t}$	=	$0,9$	\|ln(⋅)
$- 0,00079 t$	=	$\ln (0,9)$	\|: $- 0,00079$
$t$	=	$- \frac{1}{0,00079} \ln (0,9)$	≈ 133.3677

also t=133.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 9% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 18 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 26 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.09) ≈ 0.086177696241052

=> f(t)= $18 e^{0,0862 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $18 e^{0,0862 \cdot 3}$ ≈ 23.3

Wann wird der Wert 26?: f(t)=26

$18 e^{0,0862 t}$	=	$26$	\|: $18$
$e^{0,0862 t}$	=	$\frac{13}{9}$	\|ln(⋅)
$0,0862 t$	=	$\ln (\frac{13}{9})$	\|: $0,0862$
$t$	=	$\frac{1}{0,0862} \ln (\frac{13}{9})$	≈ 4.2659

also t=4.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 9° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 7 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 14,83°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 9 Minuten? b) Wann ist sie 21°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$9$	=	$26 - c$
$9$	=	$- c + 26$	\| $- 9$ $+ c$
$c$	=	$17$

somit gilt: f(t)= $26 - 17 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $26 - 17 e^{- k \cdot 7}$ = 14,83.

26 - 17 e^{- 7 k}

=

14,8302

$- 17 e^{- 7 k} + 26$	=	$14,8302$	\| $- 26$
$- 17 e^{- 7 k}$	=	$- 11,1698$	\|: $- 17$
$e^{- 7 k}$	=	$0,657$	\|ln(⋅)
$- 7 k$	=	$\ln (0,657)$	\|: $- 7$
$k$	=	$- \frac{1}{7} \ln (0,657)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.060010180071075, => f(t)= $26 - 17 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $26 - 17 e^{- 0,06 \cdot 9}$ ≈ 16.1

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

26 - 17 e^{- 0,06 t}

=

21

$- 17 e^{- 0,06 t} + 26$	=	$21$	\| $- 26$
$- 17 e^{- 0,06 t}$	=	$- 5$	\|: $- 17$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{5}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{5}{17})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{5}{17})$	≈ 20.3963

also t=20.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2105 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 70 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 9 Monaten? b) Wann beträgt dieser 832 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 70 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{70}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(700 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=700 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $700 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2105 ein (Punktprobe).

$2 105$	=	$700 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$2 105$	=	$700 - c$
$2 105$	=	$- c + 700$	\| $- 2 105$ $+ c$
$c$	=	$- 1 405$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $700 + 1 405 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $700 + 1 405 e^{- 0,1 \cdot 9}$ ≈ 1271.2

Wann wird der Wert 832?: f(t)=832

700 + 1 405 e^{- 0,1 t}

=

832

$1 405 e^{- 0,1 t} + 700$	=	$832$	\| $- 700$
$1 405 e^{- 0,1 t}$	=	$132$	\|: $1 405$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{132}{1405}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{132}{1405})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{132}{1405})$	≈ 23.6499

also t=23.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $15 e^{0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,08$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.