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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 4 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 4,886 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 11 Stunden? b) Wann waren es 4 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $4 e^{k \cdot 10}$ = 4,8856.

$4 e^{10 k}$	=	$4,8856$	\|: $4$
$e^{10 k}$	=	$1,2214$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (1,2214)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (1,2214)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.01999977418069, => f(t)= $4 e^{0,02 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $4 e^{0,02 \cdot 11}$ ≈ 5

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$4 e^{0,02 t}$	=	$4$	\|: $4$
$e^{0,02 t}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$0,02 t$	=	0	\|: $0,02$
$t$	=	0	≈ 0

also t=0

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 19 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 17-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 50 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 28,33-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{19}$ ≈ 0.036481430555787

=> f(t)= $17 e^{0,0365 t}$

Wert zur Zeit 50: f(50)= $17 e^{0,0365 \cdot 50}$ ≈ 105.3

Wann wird der Wert 28.33?: f(t)=28.33

$17 e^{0,0365 t}$	=	$28,33$	\|: $17$
$e^{0,0365 t}$	=	$1,6665$	\|ln(⋅)
$0,0365 t$	=	$\ln (1,6665)$	\|: $0,0365$
$t$	=	$\frac{1}{0,0365} \ln (1,6665)$	≈ 13.9998

also t=14

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 6% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 6 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 7 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.06) ≈ 0.058268908123976

=> f(t)= $6 e^{0,0583 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $6 e^{0,0583 \cdot 2}$ ≈ 6.7

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$6 e^{0,0583 t}$	=	$7$	\|: $6$
$e^{0,0583 t}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$0,0583 t$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $0,0583$
$t$	=	$\frac{1}{0,0583} \ln (\frac{7}{6})$	≈ 2.6441

also t=2.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 56° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 56 ist, gilt: f(0)= 56, also 56 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$56$	=	$20 - c$
$56$	=	$- c + 20$	\| $- 56$ $+ c$
$c$	=	$- 36$

somit gilt: f(t)= $20 + 36 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 36 e^{- k \cdot 3}$ = 53.

20 + 36 e^{- 3 k}

=

53,0004

$36 e^{- 3 k} + 20$	=	$53,0004$	\| $- 20$
$36 e^{- 3 k}$	=	$33,0004$	\|: $36$
$e^{- 3 k}$	=	$0,9167$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,9167)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,9167)$	≈ 0.029

also k ≈ 0.028991671338136, => f(t)= $20 + 36 e^{- 0,029 t}$

Wert zur Zeit 1: f(1)= $20 + 36 e^{- 0,029 \cdot 1}$ ≈ 55

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 36 e^{- 0,029 t}

=

50

$36 e^{- 0,029 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$36 e^{- 0,029 t}$	=	$30$	\|: $36$
$e^{- 0,029 t}$	=	$\frac{5}{6}$	\|ln(⋅)
$- 0,029 t$	=	$\ln (\frac{5}{6})$	\|: $- 0,029$
$t$	=	$- \frac{1}{0,029} \ln (\frac{5}{6})$	≈ 6.287

also t=6.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 8 Jahren, wenn jedes Jahr 0,3 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 28 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.3 - 0.011⋅f(t)

wenn man 0.011 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.011( $\frac{0.3}{0.011}$ - f(t))

also f'(t) = 0.011(27.27 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=27.27 und der Wachstumsfaktor k=0.011 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $27,27 - c \cdot e^{- 0,011 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$27,27 - c \cdot e^{- 0,011 \cdot 0}$
$80$	=	$27,27 - c$
$80$	=	$- c + 27,27$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 52,73$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $27,27 + 52,73 e^{- 0,011 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $27,27 + 52,73 e^{- 0,011 \cdot 8}$ ≈ 75.6

Wann wird der Wert 28?: f(t)=28

27,27 + 52,73 e^{- 0,011 t}

=

28

$52,73 e^{- 0,011 t} + 27,27$	=	$28$	\| $- 27,27$
$52,73 e^{- 0,011 t}$	=	$0,73$	\|: $52,73$
$e^{- 0,011 t}$	=	$0,0138$	\|ln(⋅)
$- 0,011 t$	=	$\ln (0,0138)$	\|: $- 0,011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,011} \ln (0,0138)$	≈ 389.3715

also t=389.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $3 e^{- 0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,05$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.