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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 83 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 73 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 83: f(83)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 83}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 73?: f(t)=73

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$73$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$3 650 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (3 650 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (3 650 000)$	≈ 131.2792

also t=131.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1829 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2141? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,3 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1829}$ ≈ -0.00037897604185891

=> f(t)= $e^{- 0,0004 t}$

Wert zur Zeit 141: f(141)= $e^{- 0,0004 \cdot 141}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.3?: f(t)=0.3

$e^{- 0,0004 t}$	=	$0,3$	\|ln(⋅)
$- 0,0004 t$	=	$\ln (0,3)$	\|: $- 0,0004$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0004} \ln (0,3)$	≈ 3176.7092

also t=3176.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 13% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 13 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 6 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.87) ≈ -0.13926206733351

=> f(t)= $13 e^{- 0,1393 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $13 e^{- 0,1393 \cdot 3}$ ≈ 8.6

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$13 e^{- 0,1393 t}$	=	$6$	\|: $13$
$e^{- 0,1393 t}$	=	$\frac{6}{13}$	\|ln(⋅)
$- 0,1393 t$	=	$\ln (\frac{6}{13})$	\|: $- 0,1393$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1393} \ln (\frac{6}{13})$	≈ 5.5505

also t=5.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 3 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 12,97°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 5 Minuten? b) Wann ist sie 25°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$8$	=	$29 - c$
$8$	=	$- c + 29$	\| $- 8$ $+ c$
$c$	=	$21$

somit gilt: f(t)= $29 - 21 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $29 - 21 e^{- k \cdot 3}$ = 12,97.

29 - 21 e^{- 3 k}

=

12,969

$- 21 e^{- 3 k} + 29$	=	$12,969$	\| $- 29$
$- 21 e^{- 3 k}$	=	$- 16,031$	\|: $- 21$
$e^{- 3 k}$	=	$0,7634$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,7634)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,7634)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.089991046223669, => f(t)= $29 - 21 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $29 - 21 e^{- 0,09 \cdot 5}$ ≈ 15.6

Wann wird der Wert 25?: f(t)=25

29 - 21 e^{- 0,09 t}

=

25

$- 21 e^{- 0,09 t} + 29$	=	$25$	\| $- 29$
$- 21 e^{- 0,09 t}$	=	$- 4$	\|: $- 21$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{4}{21}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{4}{21})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{4}{21})$	≈ 18.4248

also t=18.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2721 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 86 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 14 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2010 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 86 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{86}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(1720 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1720 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 720 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2721 ein (Punktprobe).

$2 721$	=	$1 720 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
$2 721$	=	$1 720 - c$
$2 721$	=	$- c + 1 720$	\| $- 2 721$ $+ c$
$c$	=	$- 1 001$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 720 + 1 001 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $1 720 + 1 001 e^{- 0,05 \cdot 14}$ ≈ 2217.1

Wann wird der Wert 2010?: f(t)=2010

1 720 + 1 001 e^{- 0,05 t}

=

2 010

$1 001 e^{- 0,05 t} + 1 720$	=	$2 010$	\| $- 1 720$
$1 001 e^{- 0,05 t}$	=	$290$	\|: $1 001$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{290}{1001}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{290}{1001})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{290}{1001})$	≈ 24.7775

also t=24.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $5 e^{- 0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,09$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,09}$ ≈ 7.702 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.