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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 20 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 24,428 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 11 Stunden? b) Wann waren es 23 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $20 e^{k \cdot 10}$ = 24,4281.

$20 e^{10 k}$	=	$24,4281$	\|: $20$
$e^{10 k}$	=	$1,2214$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (1,2214)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (1,2214)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.01999977418069, => f(t)= $20 e^{0,02 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $20 e^{0,02 \cdot 11}$ ≈ 24.9

Wann wird der Wert 23?: f(t)=23

$20 e^{0,02 t}$	=	$23$	\|: $20$
$e^{0,02 t}$	=	$\frac{23}{20}$	\|ln(⋅)
$0,02 t$	=	$\ln (\frac{23}{20})$	\|: $0,02$
$t$	=	$\frac{1}{0,02} \ln (\frac{23}{20})$	≈ 6.9881

also t=7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 17 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 6-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 17 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 15-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{17}$ ≈ 0.04077336356235

=> f(t)= $6 e^{0,0408 t}$

Wert zur Zeit 17: f(17)= $6 e^{0,0408 \cdot 17}$ ≈ 12

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

$6 e^{0,0408 t}$	=	$15$	\|: $6$
$e^{0,0408 t}$	=	$\frac{5}{2}$	\|ln(⋅)
$0,0408 t$	=	$\ln (\frac{5}{2})$	\|: $0,0408$
$t$	=	$\frac{1}{0,0408} \ln (\frac{5}{2})$	≈ 22.473

also t=22.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 4% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 14 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 16 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.04) ≈ 0.039220713153281

=> f(t)= $14 e^{0,0392 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $14 e^{0,0392 \cdot 3}$ ≈ 15.7

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

$14 e^{0,0392 t}$	=	$16$	\|: $14$
$e^{0,0392 t}$	=	$\frac{8}{7}$	\|ln(⋅)
$0,0392 t$	=	$\ln (\frac{8}{7})$	\|: $0,0392$
$t$	=	$\frac{1}{0,0392} \ln (\frac{8}{7})$	≈ 3.4064

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 40 e^{- k \cdot 4}$ = 53.

20 + 40 e^{- 4 k}

=

52,9991

$40 e^{- 4 k} + 20$	=	$52,9991$	\| $- 20$
$40 e^{- 4 k}$	=	$32,9991$	\|: $40$
$e^{- 4 k}$	=	$0,825$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,825)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,825)$	≈ 0.0481

also k ≈ 0.048092973161864, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,0481 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 40 e^{- 0,0481 \cdot 4}$ ≈ 53

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,0481 t}

=

50

$40 e^{- 0,0481 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,0481 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,0481 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,0481 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,0481$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0481} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 5.9809

also t=6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 4ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 9 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 155ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 4 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{4}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(200 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=200 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $200 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$200 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
0	=	$200 - c$
0	=	$- c + 200$	\|0 $+ c$
$c$	=	$200$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $200 - 200 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $200 - 200 e^{- 0,02 \cdot 9}$ ≈ 32.9

Wann wird der Wert 155?: f(t)=155

200 - 200 e^{- 0,02 t}

=

155

$- 200 e^{- 0,02 t} + 200$	=	$155$	\| $- 200$
$- 200 e^{- 0,02 t}$	=	$- 45$	\|: $- 200$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{9}{40}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{9}{40})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{9}{40})$	≈ 74.5827

also t=74.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $6 e^{0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,02$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.