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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 17 Millionen Algen im Teich. Nach 4 Stunden sind es 23,411 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 6 Stunden? b) Wann waren es 28 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $17 e^{k \cdot 4}$ = 23,4112.

$17 e^{4 k}$	=	$23,4112$	\|: $17$
$e^{4 k}$	=	$1,3771$	\|ln(⋅)
$4 k$	=	$\ln (1,3771)$	\|: $4$
$k$	=	$\frac{1}{4} \ln (1,3771)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.079994959687736, => f(t)= $17 e^{0,08 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $17 e^{0,08 \cdot 6}$ ≈ 27.5

Wann wird der Wert 28?: f(t)=28

$17 e^{0,08 t}$	=	$28$	\|: $17$
$e^{0,08 t}$	=	$\frac{28}{17}$	\|ln(⋅)
$0,08 t$	=	$\ln (\frac{28}{17})$	\|: $0,08$
$t$	=	$\frac{1}{0,08} \ln (\frac{28}{17})$	≈ 6.2374

also t=6.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 98 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 85 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 98: f(98)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 98}$ ≈ 1.6

Wann wird der Wert 85?: f(t)=85

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$85$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 250 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 250 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 250 000)$	≈ 132.5543

also t=132.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 9% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 55% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.91) ≈ -0.094310679471241

=> f(t)= $100 e^{- 0,0943 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,0943 \cdot 3}$ ≈ 75.4

Wann wird der Wert 55?: f(t)=55

$100 e^{- 0,0943 t}$	=	$55$	\|: $100$
$e^{- 0,0943 t}$	=	$\frac{11}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,0943 t$	=	$\ln (\frac{11}{20})$	\|: $- 0,0943$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0943} \ln (\frac{11}{20})$	≈ 6.3397

also t=6.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 29 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 2,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 29.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

29,0001

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$29,0001$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 7,9999$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,4)$	≈ 1.8326

also k ≈ 1.8325814637483, => f(t)= $37 - 20 e^{- 1,8326 t}$

Wert zur Zeit 2.5: f(2.5)= $37 - 20 e^{- 1,8326 \cdot 2,5}$ ≈ 36.8

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 1,8326 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 1,8326 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 1,8326 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 1,8326 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 1,8326 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 1,8326$
$t$	=	$- \frac{1}{1,8326} \ln (0,005)$	≈ 2.8911

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2307 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 69 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 8 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2304 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 69 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{69}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(1725 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1725 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 725 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2307 ein (Punktprobe).

$2 307$	=	$1 725 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$2 307$	=	$1 725 - c$
$2 307$	=	$- c + 1 725$	\| $- 2 307$ $+ c$
$c$	=	$- 582$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 725 + 582 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $1 725 + 582 e^{- 0,04 \cdot 8}$ ≈ 2147.6

Wann wird der Wert 2304?: f(t)=2304

1 725 + 582 e^{- 0,04 t}

=

2 304

$582 e^{- 0,04 t} + 1 725$	=	$2 304$	\| $- 1 725$
$582 e^{- 0,04 t}$	=	$579$	\|: $582$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{193}{194}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{193}{194})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{193}{194})$	≈ 0.1292

also t=0.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $4 e^{0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,06$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.