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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 5 Millionen Algen im Teich. Nach 6 Stunden sind es 8,08 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 7 Stunden? b) Wann waren es 8 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $5 e^{k \cdot 6}$ = 8,0804.

$5 e^{6 k}$	=	$8,0804$	\|: $5$
$e^{6 k}$	=	$1,6161$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (1,6161)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (1,6161)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.08000263989541, => f(t)= $5 e^{0,08 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $5 e^{0,08 \cdot 7}$ ≈ 8.8

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$5 e^{0,08 t}$	=	$8$	\|: $5$
$e^{0,08 t}$	=	$\frac{8}{5}$	\|ln(⋅)
$0,08 t$	=	$\ln (\frac{8}{5})$	\|: $0,08$
$t$	=	$\frac{1}{0,08} \ln (\frac{8}{5})$	≈ 5.875

also t=5.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 800 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 10g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 1579 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 3g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{800}$ ≈ -0.00086643397569993

=> f(t)= $10 e^{- 0,0009 t}$

Wert zur Zeit 1579: f(1579)= $10 e^{- 0,0009 \cdot 1579}$ ≈ 2.5

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$10 e^{- 0,0009 t}$	=	$3$	\|: $10$
$e^{- 0,0009 t}$	=	$\frac{3}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,0009 t$	=	$\ln (\frac{3}{10})$	\|: $- 0,0009$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0009} \ln (\frac{3}{10})$	≈ 1390.2688

also t=1390.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 12% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 3 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 4 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.12) ≈ 0.113328685307

=> f(t)= $3 e^{0,1133 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $3 e^{0,1133 \cdot 3}$ ≈ 4.2

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$3 e^{0,1133 t}$	=	$4$	\|: $3$
$e^{0,1133 t}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$0,1133 t$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $0,1133$
$t$	=	$\frac{1}{0,1133} \ln (\frac{4}{3})$	≈ 2.5391

also t=2.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 7,88°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 8 Minuten? b) Wann ist sie 21°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $25 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $25 - c$ = $25 - c$

$7$	=	$25 - c$
$7$	=	$- c + 25$	\| $- 7$ $+ c$
$c$	=	$18$

somit gilt: f(t)= $25 - 18 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $25 - 18 e^{- k \cdot 5}$ = 7,88.

25 - 18 e^{- 5 k}

=

7,8779

$- 18 e^{- 5 k} + 25$	=	$7,8779$	\| $- 25$
$- 18 e^{- 5 k}$	=	$- 17,1221$	\|: $- 18$
$e^{- 5 k}$	=	$0,9512$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,9512)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,9512)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.010006186721113, => f(t)= $25 - 18 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $25 - 18 e^{- 0,01 \cdot 8}$ ≈ 8.4

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

25 - 18 e^{- 0,01 t}

=

21

$- 18 e^{- 0,01 t} + 25$	=	$21$	\| $- 25$
$- 18 e^{- 0,01 t}$	=	$- 4$	\|: $- 18$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{2}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{2}{9})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{2}{9})$	≈ 150.4077

also t=150.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3452 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 68 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 10 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2592 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 68 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{68}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(850 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=850 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $850 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3452 ein (Punktprobe).

$3 452$	=	$850 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$3 452$	=	$850 - c$
$3 452$	=	$- c + 850$	\| $- 3 452$ $+ c$
$c$	=	$- 2 602$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $850 + 2 602 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $850 + 2 602 e^{- 0,08 \cdot 10}$ ≈ 2019.2

Wann wird der Wert 2592?: f(t)=2592

850 + 2 602 e^{- 0,08 t}

=

2 592

$2 602 e^{- 0,08 t} + 850$	=	$2 592$	\| $- 850$
$2 602 e^{- 0,08 t}$	=	$1 742$	\|: $2 602$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{871}{1301}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{871}{1301})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{871}{1301})$	≈ 5.0156

also t=5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $18 e^{0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,01$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,01}$ ≈ 69.315 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.