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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 15g vorhanden. Nach 7 Tagen sind nur noch 10,57g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 9 Tagen da? b) Wann sind nur noch 11g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $15 e^{k \cdot 7}$ = 10,5703.

$15 e^{7 k}$	=	$10,5703$	\|: $15$
$e^{7 k}$	=	$0,7047$	\|ln(⋅)
$7 k$	=	$\ln (0,7047)$	\|: $7$
$k$	=	$\frac{1}{7} \ln (0,7047)$	≈ -0.05

also k ≈ -0.049997585521309, => f(t)= $15 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $15 e^{- 0,05 \cdot 9}$ ≈ 9.6

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

$15 e^{- 0,05 t}$	=	$11$	\|: $15$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{11}{15}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{11}{15})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{11}{15})$	≈ 6.2031

also t=6.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1290 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2120? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,4 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1290}$ ≈ -0.0005373233957829

=> f(t)= $e^{- 0,0005 t}$

Wert zur Zeit 120: f(120)= $e^{- 0,0005 \cdot 120}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.4?: f(t)=0.4

$e^{- 0,0005 t}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,0005 t$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,0005$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0005} \ln (0,4)$	≈ 1706.3142

also t=1706.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 10% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 10 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 15 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.1) ≈ 0.095310179804325

=> f(t)= $10 e^{0,0953 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $10 e^{0,0953 \cdot 4}$ ≈ 14.6

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

$10 e^{0,0953 t}$	=	$15$	\|: $10$
$e^{0,0953 t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,0953 t$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $0,0953$
$t$	=	$\frac{1}{0,0953} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 4.2546

also t=4.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 6 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 12,47°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 7 Minuten? b) Wann ist sie 11°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $25 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $25 - c$ = $25 - c$

$10$	=	$25 - c$
$10$	=	$- c + 25$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$15$

somit gilt: f(t)= $25 - 15 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $25 - 15 e^{- k \cdot 6}$ = 12,47.

25 - 15 e^{- 6 k}

=

12,4709

$- 15 e^{- 6 k} + 25$	=	$12,4709$	\| $- 25$
$- 15 e^{- 6 k}$	=	$- 12,5291$	\|: $- 15$
$e^{- 6 k}$	=	$0,8353$	\|ln(⋅)
$- 6 k$	=	$\ln (0,8353)$	\|: $- 6$
$k$	=	$- \frac{1}{6} \ln (0,8353)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.029994056203379, => f(t)= $25 - 15 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $25 - 15 e^{- 0,03 \cdot 7}$ ≈ 12.8

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

25 - 15 e^{- 0,03 t}

=

11

$- 15 e^{- 0,03 t} + 25$	=	$11$	\| $- 25$
$- 15 e^{- 0,03 t}$	=	$- 14$	\|: $- 15$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{14}{15}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{14}{15})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{14}{15})$	≈ 2.2998

also t=2.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2548 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 63 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 5 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2307 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 63 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{63}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(1260 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1260 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 260 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2548 ein (Punktprobe).

$2 548$	=	$1 260 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
$2 548$	=	$1 260 - c$
$2 548$	=	$- c + 1 260$	\| $- 2 548$ $+ c$
$c$	=	$- 1 288$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 260 + 1 288 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $1 260 + 1 288 e^{- 0,05 \cdot 5}$ ≈ 2263.1

Wann wird der Wert 2307?: f(t)=2307

1 260 + 1 288 e^{- 0,05 t}

=

2 307

$1 288 e^{- 0,05 t} + 1 260$	=	$2 307$	\| $- 1 260$
$1 288 e^{- 0,05 t}$	=	$1 047$	\|: $1 288$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{1047}{1288}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{1047}{1288})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{1047}{1288})$	≈ 4.1432

also t=4.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,07$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.