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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 10g vorhanden. Nach 4 Tagen sind nur noch 8,521g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 7g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $10 e^{k \cdot 4}$ = 8,5214.

$10 e^{4 k}$	=	$8,5214$	\|: $10$
$e^{4 k}$	=	$0,8521$	\|ln(⋅)
$4 k$	=	$\ln (0,8521)$	\|: $4$
$k$	=	$\frac{1}{4} \ln (0,8521)$	≈ -0.04

also k ≈ -0.040012847037057, => f(t)= $10 e^{- 0,04 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $10 e^{- 0,04 \cdot 5}$ ≈ 8.2

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$10 e^{- 0,04 t}$	=	$7$	\|: $10$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{7}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{7}{10})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{7}{10})$	≈ 8.9169

also t=8.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 923 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 17g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 502 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 8,5g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{923}$ ≈ -0.00075097202660882

=> f(t)= $17 e^{- 0,0008 t}$

Wert zur Zeit 502: f(502)= $17 e^{- 0,0008 \cdot 502}$ ≈ 11.7

Wann wird der Wert 8.5?: f(t)=8.5

$17 e^{- 0,0008 t}$	=	$8,5$	\|: $17$
$e^{- 0,0008 t}$	=	$0,5$	\|ln(⋅)
$- 0,0008 t$	=	$\ln (0,5)$	\|: $- 0,0008$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0008} \ln (0,5)$	≈ 922.9656

also t=923

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 8% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 10 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 13 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.08) ≈ 0.076961041136128

=> f(t)= $10 e^{0,077 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $10 e^{0,077 \cdot 2}$ ≈ 11.7

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

$10 e^{0,077 t}$	=	$13$	\|: $10$
$e^{0,077 t}$	=	$\frac{13}{10}$	\|ln(⋅)
$0,077 t$	=	$\ln (\frac{13}{10})$	\|: $0,077$
$t$	=	$\frac{1}{0,077} \ln (\frac{13}{10})$	≈ 3.4073

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 28°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 14,05°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 8 Minuten? b) Wann ist sie 26°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=28 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $28 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $28 - c$ = $28 - c$

$5$	=	$28 - c$
$5$	=	$- c + 28$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$23$

somit gilt: f(t)= $28 - 23 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $28 - 23 e^{- k \cdot 5}$ = 14,05.

28 - 23 e^{- 5 k}

=

14,0498

$- 23 e^{- 5 k} + 28$	=	$14,0498$	\| $- 28$
$- 23 e^{- 5 k}$	=	$- 13,9502$	\|: $- 23$
$e^{- 5 k}$	=	$0,6065$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,6065)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,6065)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.10001011011961, => f(t)= $28 - 23 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $28 - 23 e^{- 0,1 \cdot 8}$ ≈ 17.7

Wann wird der Wert 26?: f(t)=26

28 - 23 e^{- 0,1 t}

=

26

$- 23 e^{- 0,1 t} + 28$	=	$26$	\| $- 28$
$- 23 e^{- 0,1 t}$	=	$- 2$	\|: $- 23$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{2}{23}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{2}{23})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{2}{23})$	≈ 24.4235

also t=24.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2116 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 88 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 15 Monaten? b) Wann beträgt dieser 6745 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 88 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{88}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(8800 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=8800 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $8 800 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2116 ein (Punktprobe).

$2 116$	=	$8 800 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$2 116$	=	$8 800 - c$
$2 116$	=	$- c + 8 800$	\| $- 2 116$ $+ c$
$c$	=	$6 684$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $8 800 - 6 684 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $8 800 - 6 684 e^{- 0,01 \cdot 15}$ ≈ 3047

Wann wird der Wert 6745?: f(t)=6745

8 800 - 6 684 e^{- 0,01 t}

=

6 745

$- 6 684 e^{- 0,01 t} + 8 800$	=	$6 745$	\| $- 8 800$
$- 6 684 e^{- 0,01 t}$	=	$- 2 055$	\|: $- 6 684$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{685}{2228}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{685}{2228})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{685}{2228})$	≈ 117.9441

also t=117.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $7 e^{- 0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,04$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,04}$ ≈ 17.329 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.