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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 9g vorhanden. Nach 6 Tagen sind nur noch 5,913g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 8 Tagen da? b) Wann sind nur noch 5g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $9 e^{k \cdot 6}$ = 5,9134.

$9 e^{6 k}$	=	$5,9134$	\|: $9$
$e^{6 k}$	=	$0,657$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (0,657)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (0,657)$	≈ -0.07

also k ≈ -0.070011876749588, => f(t)= $9 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $9 e^{- 0,07 \cdot 8}$ ≈ 5.1

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$9 e^{- 0,07 t}$	=	$5$	\|: $9$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{5}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{5}{9})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{5}{9})$	≈ 8.397

also t=8.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1002 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2254? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,4 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1002}$ ≈ -0.00069176365325344

=> f(t)= $e^{- 0,0007 t}$

Wert zur Zeit 254: f(254)= $e^{- 0,0007 \cdot 254}$ ≈ 0.8

Wann wird der Wert 0.4?: f(t)=0.4

$e^{- 0,0007 t}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,0007 t$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,0007$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0007} \ln (0,4)$	≈ 1324.1196

also t=1324.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 2% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 90% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.98) ≈ -0.020202707317519

=> f(t)= $100 e^{- 0,0202 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,0202 \cdot 3}$ ≈ 94.1

Wann wird der Wert 90?: f(t)=90

$100 e^{- 0,0202 t}$	=	$90$	\|: $100$
$e^{- 0,0202 t}$	=	$\frac{9}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,0202 t$	=	$\ln (\frac{9}{10})$	\|: $- 0,0202$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0202} \ln (\frac{9}{10})$	≈ 5.2159

also t=5.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 31 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 3,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 31.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

30,9999

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$30,9999$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 6,0001$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,3$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,3)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,3)$	≈ 2.4079

also k ≈ 2.4079456086519, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,4079 t}$

Wert zur Zeit 3.5: f(3.5)= $37 - 20 e^{- 2,4079 \cdot 3,5}$ ≈ 37

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,4079 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,4079 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,4079 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,4079 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,4079 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,4079$
$t$	=	$- \frac{1}{2,4079} \ln (0,005)$	≈ 2.2004

also t=2.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3280 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 88 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 6 Monaten? b) Wann beträgt dieser 4756 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 88 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{88}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(8800 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=8800 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $8 800 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3280 ein (Punktprobe).

$3 280$	=	$8 800 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$3 280$	=	$8 800 - c$
$3 280$	=	$- c + 8 800$	\| $- 3 280$ $+ c$
$c$	=	$5 520$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $8 800 - 5 520 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $8 800 - 5 520 e^{- 0,01 \cdot 6}$ ≈ 3601.5

Wann wird der Wert 4756?: f(t)=4756

8 800 - 5 520 e^{- 0,01 t}

=

4 756

$- 5 520 e^{- 0,01 t} + 8 800$	=	$4 756$	\| $- 8 800$
$- 5 520 e^{- 0,01 t}$	=	$- 4 044$	\|: $- 5 520$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{337}{460}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{337}{460})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{337}{460})$	≈ 31.1144

also t=31.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $19 e^{- 0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,08$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,08}$ ≈ 8.664 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

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Halbwerts- + Verdopplungszeit best.