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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 17 Millionen Algen im Teich. Nach 7 Stunden sind es 34,234 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 9 Stunden? b) Wann waren es 29 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $17 e^{k \cdot 7}$ = 34,2338.

$17 e^{7 k}$	=	$34,2338$	\|: $17$
$e^{7 k}$	=	$2,0138$	\|ln(⋅)
$7 k$	=	$\ln (2,0138)$	\|: $7$
$k$	=	$\frac{1}{7} \ln (2,0138)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.10000335492848, => f(t)= $17 e^{0,1 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $17 e^{0,1 \cdot 9}$ ≈ 41.8

Wann wird der Wert 29?: f(t)=29

$17 e^{0,1 t}$	=	$29$	\|: $17$
$e^{0,1 t}$	=	$\frac{29}{17}$	\|ln(⋅)
$0,1 t$	=	$\ln (\frac{29}{17})$	\|: $0,1$
$t$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (\frac{29}{17})$	≈ 5.3408

also t=5.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 20 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 12-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 33 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 15-Tausend Euro gestiegen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{20}$ ≈ 0.034657359027997

=> f(t)= $12 e^{0,0347 t}$

Wert zur Zeit 33: f(33)= $12 e^{0,0347 \cdot 33}$ ≈ 37.7

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

$12 e^{0,0347 t}$	=	$15$	\|: $12$
$e^{0,0347 t}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
$0,0347 t$	=	$\ln (\frac{5}{4})$	\|: $0,0347$
$t$	=	$\frac{1}{0,0347} \ln (\frac{5}{4})$	≈ 6.4386

also t=6.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 2 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 60% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.92) ≈ -0.083381608939051

=> f(t)= $100 e^{- 0,0834 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $100 e^{- 0,0834 \cdot 2}$ ≈ 84.6

Wann wird der Wert 60?: f(t)=60

$100 e^{- 0,0834 t}$	=	$60$	\|: $100$
$e^{- 0,0834 t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,0834 t$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $- 0,0834$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0834} \ln (\frac{3}{5})$	≈ 6.125

also t=6.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 28 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 3,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 28.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

27,9999

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$27,9999$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 9,0001$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,45$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,45)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,45)$	≈ 1.597

also k ≈ 1.5970153924355, => f(t)= $37 - 20 e^{- 1,597 t}$

Wert zur Zeit 3.5: f(3.5)= $37 - 20 e^{- 1,597 \cdot 3,5}$ ≈ 36.9

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 1,597 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 1,597 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 1,597 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 1,597 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 1,597 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 1,597$
$t$	=	$- \frac{1}{1,597} \ln (0,005)$	≈ 3.3177

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,3% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 12 Jahren, wenn jedes Jahr 0,5 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 39 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.5 - 0.013⋅f(t)

wenn man 0.013 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.013( $\frac{0.5}{0.013}$ - f(t))

also f'(t) = 0.013(38.46 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=38.46 und der Wachstumsfaktor k=0.013 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $38,46 - c \cdot e^{- 0,013 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$38,46 - c \cdot e^{- 0,013 \cdot 0}$
$80$	=	$38,46 - c$
$80$	=	$- c + 38,46$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 41,54$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $38,46 + 41,54 e^{- 0,013 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $38,46 + 41,54 e^{- 0,013 \cdot 12}$ ≈ 74

Wann wird der Wert 39?: f(t)=39

38,46 + 41,54 e^{- 0,013 t}

=

39

$41,54 e^{- 0,013 t} + 38,46$	=	$39$	\| $- 38,46$
$41,54 e^{- 0,013 t}$	=	$0,54$	\|: $41,54$
$e^{- 0,013 t}$	=	$0,013$	\|ln(⋅)
$- 0,013 t$	=	$\ln (0,013)$	\|: $- 0,013$
$t$	=	$- \frac{1}{0,013} \ln (0,013)$	≈ 334.062

also t=334.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,02$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.