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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 3 Millionen Algen im Teich. Nach 4 Stunden sind es 3,122 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 7 Stunden? b) Wann waren es 3 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $3 e^{k \cdot 4}$ = 3,1224.

$3 e^{4 k}$	=	$3,1224$	\|: $3$
$e^{4 k}$	=	$1,0408$	\|ln(⋅)
$4 k$	=	$\ln (1,0408)$	\|: $4$
$k$	=	$\frac{1}{4} \ln (1,0408)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.0099974120540396, => f(t)= $3 e^{0,01 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $3 e^{0,01 \cdot 7}$ ≈ 3.2

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$3 e^{0,01 t}$	=	$3$	\|: $3$
$e^{0,01 t}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$0,01 t$	=	0	\|: $0,01$
$t$	=	0	≈ 0

also t=0

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1749 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2125? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,8 Milliarden Blondies?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1749}$ ≈ -0.00039631056635789

=> f(t)= $e^{- 0,0004 t}$

Wert zur Zeit 125: f(125)= $e^{- 0,0004 \cdot 125}$ ≈ 1

Wann wird der Wert 0.8?: f(t)=0.8

$e^{- 0,0004 t}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 0,0004 t$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 0,0004$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0004} \ln (0,8)$	≈ 563.4938

also t=563.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 16% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 14 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.84) ≈ -0.17435338714478

=> f(t)= $14 e^{- 0,1744 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $14 e^{- 0,1744 \cdot 3}$ ≈ 8.3

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$14 e^{- 0,1744 t}$	=	$1$	\|: $14$
$e^{- 0,1744 t}$	=	$\frac{1}{14}$	\|ln(⋅)
$- 0,1744 t$	=	$\ln (\frac{1}{14})$	\|: $- 0,1744$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1744} \ln (\frac{1}{14})$	≈ 15.1322

also t=15.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 40 e^{- k \cdot 2}$ = 52.

20 + 40 e^{- 2 k}

=

51,9982

$40 e^{- 2 k} + 20$	=	$51,9982$	\| $- 20$
$40 e^{- 2 k}$	=	$31,9982$	\|: $40$
$e^{- 2 k}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,8)$	≈ 0.1116

also k ≈ 0.1115717756571, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,1116 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 40 e^{- 0,1116 \cdot 2}$ ≈ 52

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,1116 t}

=

50

$40 e^{- 0,1116 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,1116 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,1116 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,1116 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,1116$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1116} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 2.5778

also t=2.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 11 Jahren, wenn jedes Jahr 0,5 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 59 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.5 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{0.5}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(50 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=50 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $50 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$50 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$80$	=	$50 - c$
$80$	=	$- c + 50$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 30$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $50 + 30 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $50 + 30 e^{- 0,01 \cdot 11}$ ≈ 76.9

Wann wird der Wert 59?: f(t)=59

50 + 30 e^{- 0,01 t}

=

59

$30 e^{- 0,01 t} + 50$	=	$59$	\| $- 50$
$30 e^{- 0,01 t}$	=	$9$	\|: $30$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{3}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{3}{10})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{3}{10})$	≈ 120.3973

also t=120.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $15 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.