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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 8 Millionen Algen im Teich. Nach 8 Stunden sind es 14,005 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 11 Stunden? b) Wann waren es 13 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $8 e^{k \cdot 8}$ = 14,0054.

$8 e^{8 k}$	=	$14,0054$	\|: $8$
$e^{8 k}$	=	$1,7507$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (1,7507)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (1,7507)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.070001963494594, => f(t)= $8 e^{0,07 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $8 e^{0,07 \cdot 11}$ ≈ 17.3

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

$8 e^{0,07 t}$	=	$13$	\|: $8$
$e^{0,07 t}$	=	$\frac{13}{8}$	\|ln(⋅)
$0,07 t$	=	$\ln (\frac{13}{8})$	\|: $0,07$
$t$	=	$\frac{1}{0,07} \ln (\frac{13}{8})$	≈ 6.9358

also t=6.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 94 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 10 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 94: f(94)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 94}$ ≈ 1

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$10$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$500 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (500 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (500 000)$	≈ 113.9678

also t=114

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 3% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 20 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 22 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.03) ≈ 0.029558802241544

=> f(t)= $20 e^{0,0296 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 e^{0,0296 \cdot 2}$ ≈ 21.2

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

$20 e^{0,0296 t}$	=	$22$	\|: $20$
$e^{0,0296 t}$	=	$\frac{11}{10}$	\|ln(⋅)
$0,0296 t$	=	$\ln (\frac{11}{10})$	\|: $0,0296$
$t$	=	$\frac{1}{0,0296} \ln (\frac{11}{10})$	≈ 3.2199

also t=3.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 2 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 11,46°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 5 Minuten? b) Wann ist sie 15°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$8$	=	$29 - c$
$8$	=	$- c + 29$	\| $- 8$ $+ c$
$c$	=	$21$

somit gilt: f(t)= $29 - 21 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $29 - 21 e^{- k \cdot 2}$ = 11,46.

29 - 21 e^{- 2 k}

=

11,4593

$- 21 e^{- 2 k} + 29$	=	$11,4593$	\| $- 29$
$- 21 e^{- 2 k}$	=	$- 17,5407$	\|: $- 21$
$e^{- 2 k}$	=	$0,8353$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,8353)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,8353)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.089982168610138, => f(t)= $29 - 21 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $29 - 21 e^{- 0,09 \cdot 5}$ ≈ 15.6

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

29 - 21 e^{- 0,09 t}

=

15

$- 21 e^{- 0,09 t} + 29$	=	$15$	\| $- 29$
$- 21 e^{- 0,09 t}$	=	$- 14$	\|: $- 21$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 4.5052

also t=4.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3011 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 87 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 11 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2224 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 87 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{87}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(2175 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=2175 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $2 175 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3011 ein (Punktprobe).

$3 011$	=	$2 175 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$3 011$	=	$2 175 - c$
$3 011$	=	$- c + 2 175$	\| $- 3 011$ $+ c$
$c$	=	$- 836$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $2 175 + 836 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $2 175 + 836 e^{- 0,04 \cdot 11}$ ≈ 2713.4

Wann wird der Wert 2224?: f(t)=2224

2 175 + 836 e^{- 0,04 t}

=

2 224

$836 e^{- 0,04 t} + 2 175$	=	$2 224$	\| $- 2 175$
$836 e^{- 0,04 t}$	=	$49$	\|: $836$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{49}{836}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{49}{836})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{49}{836})$	≈ 70.9202

also t=70.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{- 0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,06$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,06}$ ≈ 11.552 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.