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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 10 Millionen Algen im Teich. Nach 8 Stunden sind es 11,735 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 9 Stunden? b) Wann waren es 11 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $10 e^{k \cdot 8}$ = 11,7351.

$10 e^{8 k}$	=	$11,7351$	\|: $10$
$e^{8 k}$	=	$1,1735$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (1,1735)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (1,1735)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.019998842038618, => f(t)= $10 e^{0,02 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $10 e^{0,02 \cdot 9}$ ≈ 12

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

$10 e^{0,02 t}$	=	$11$	\|: $10$
$e^{0,02 t}$	=	$\frac{11}{10}$	\|ln(⋅)
$0,02 t$	=	$\ln (\frac{11}{10})$	\|: $0,02$
$t$	=	$\frac{1}{0,02} \ln (\frac{11}{10})$	≈ 4.7655

also t=4.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 748 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 19g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 2239 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 3,8g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{748}$ ≈ -0.00092666735368977

=> f(t)= $19 e^{- 0,0009 t}$

Wert zur Zeit 2239: f(2239)= $19 e^{- 0,0009 \cdot 2239}$ ≈ 2.4

Wann wird der Wert 3.8?: f(t)=3.8

$19 e^{- 0,0009 t}$	=	$3,8$	\|: $19$
$e^{- 0,0009 t}$	=	$0,2$	\|ln(⋅)
$- 0,0009 t$	=	$\ln (0,2)$	\|: $- 0,0009$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0009} \ln (0,2)$	≈ 1736.179

also t=1736.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 6% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 18 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 23 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.06) ≈ 0.058268908123976

=> f(t)= $18 e^{0,0583 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $18 e^{0,0583 \cdot 4}$ ≈ 22.7

Wann wird der Wert 23?: f(t)=23

$18 e^{0,0583 t}$	=	$23$	\|: $18$
$e^{0,0583 t}$	=	$\frac{23}{18}$	\|ln(⋅)
$0,0583 t$	=	$\ln (\frac{23}{18})$	\|: $0,0583$
$t$	=	$\frac{1}{0,0583} \ln (\frac{23}{18})$	≈ 4.2045

also t=4.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 4° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 8 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 9,75°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 11 Minuten? b) Wann ist sie 24°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $25 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $25 - c$ = $25 - c$

$4$	=	$25 - c$
$4$	=	$- c + 25$	\| $- 4$ $+ c$
$c$	=	$21$

somit gilt: f(t)= $25 - 21 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $25 - 21 e^{- k \cdot 8}$ = 9,75.

25 - 21 e^{- 8 k}

=

9,7509

$- 21 e^{- 8 k} + 25$	=	$9,7509$	\| $- 25$
$- 21 e^{- 8 k}$	=	$- 15,2491$	\|: $- 21$
$e^{- 8 k}$	=	$0,7261$	\|ln(⋅)
$- 8 k$	=	$\ln (0,7261)$	\|: $- 8$
$k$	=	$- \frac{1}{8} \ln (0,7261)$	≈ 0.04

also k ≈ 0.040008441574492, => f(t)= $25 - 21 e^{- 0,04 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $25 - 21 e^{- 0,04 \cdot 11}$ ≈ 11.5

Wann wird der Wert 24?: f(t)=24

25 - 21 e^{- 0,04 t}

=

24

$- 21 e^{- 0,04 t} + 25$	=	$24$	\| $- 25$
$- 21 e^{- 0,04 t}$	=	$- 1$	\|: $- 21$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{1}{21}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{1}{21})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{1}{21})$	≈ 76.1131

also t=76.1

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 8ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 1% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 14 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 719ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 8 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{8}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(800 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=800 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $800 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$800 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
0	=	$800 - c$
0	=	$- c + 800$	\|0 $+ c$
$c$	=	$800$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $800 - 800 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $800 - 800 e^{- 0,01 \cdot 14}$ ≈ 104.5

Wann wird der Wert 719?: f(t)=719

800 - 800 e^{- 0,01 t}

=

719

$- 800 e^{- 0,01 t} + 800$	=	$719$	\| $- 800$
$- 800 e^{- 0,01 t}$	=	$- 81$	\|: $- 800$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{81}{800}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{81}{800})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{81}{800})$	≈ 229.0163

also t=229

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $7 e^{- 0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,1$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.