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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 7 Millionen Algen im Teich. Nach 2 Stunden sind es 7,141 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 5 Stunden? b) Wann waren es 8 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $7 e^{k \cdot 2}$ = 7,1414.

$7 e^{2 k}$	=	$7,1414$	\|: $7$
$e^{2 k}$	=	$1,0202$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (1,0202)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (1,0202)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.0099993432533446, => f(t)= $7 e^{0,01 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $7 e^{0,01 \cdot 5}$ ≈ 7.4

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$7 e^{0,01 t}$	=	$8$	\|: $7$
$e^{0,01 t}$	=	$\frac{8}{7}$	\|ln(⋅)
$0,01 t$	=	$\ln (\frac{8}{7})$	\|: $0,01$
$t$	=	$\frac{1}{0,01} \ln (\frac{8}{7})$	≈ 13.3531

also t=13.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 86 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 35 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 86: f(86)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 86}$ ≈ 0.4

Wann wird der Wert 35?: f(t)=35

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$35$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 750 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 750 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 750 000)$	≈ 124.848

also t=124.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 12% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 40% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.88) ≈ -0.12783337150988

=> f(t)= $100 e^{- 0,1278 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,1278 \cdot 4}$ ≈ 60

Wann wird der Wert 40?: f(t)=40

$100 e^{- 0,1278 t}$	=	$40$	\|: $100$
$e^{- 0,1278 t}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,1278 t$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 0,1278$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1278} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 7.1697

also t=7.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 7 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 15,49°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 9 Minuten? b) Wann ist sie 13°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$10$	=	$26 - c$
$10$	=	$- c + 26$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$16$

somit gilt: f(t)= $26 - 16 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $26 - 16 e^{- k \cdot 7}$ = 15,49.

26 - 16 e^{- 7 k}

=

15,4873

$- 16 e^{- 7 k} + 26$	=	$15,4873$	\| $- 26$
$- 16 e^{- 7 k}$	=	$- 10,5127$	\|: $- 16$
$e^{- 7 k}$	=	$0,657$	\|ln(⋅)
$- 7 k$	=	$\ln (0,657)$	\|: $- 7$
$k$	=	$- \frac{1}{7} \ln (0,657)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.060010180071075, => f(t)= $26 - 16 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $26 - 16 e^{- 0,06 \cdot 9}$ ≈ 16.7

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

26 - 16 e^{- 0,06 t}

=

13

$- 16 e^{- 0,06 t} + 26$	=	$13$	\| $- 26$
$- 16 e^{- 0,06 t}$	=	$- 13$	\|: $- 16$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{13}{16}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{13}{16})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{13}{16})$	≈ 3.4607

also t=3.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3198 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 60 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1335 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 60 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{60}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(1200 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1200 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 200 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3198 ein (Punktprobe).

$3 198$	=	$1 200 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
$3 198$	=	$1 200 - c$
$3 198$	=	$- c + 1 200$	\| $- 3 198$ $+ c$
$c$	=	$- 1 998$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 200 + 1 998 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $1 200 + 1 998 e^{- 0,05 \cdot 12}$ ≈ 2296.5

Wann wird der Wert 1335?: f(t)=1335

1 200 + 1 998 e^{- 0,05 t}

=

1 335

$1 998 e^{- 0,05 t} + 1 200$	=	$1 335$	\| $- 1 200$
$1 998 e^{- 0,05 t}$	=	$135$	\|: $1 998$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{5}{74}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{5}{74})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{5}{74})$	≈ 53.8925

also t=53.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $9 e^{- 0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,04$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.