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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 19 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 51,647 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 13 Stunden? b) Wann waren es 29 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $19 e^{k \cdot 10}$ = 51,6474.

$19 e^{10 k}$	=	$51,6474$	\|: $19$
$e^{10 k}$	=	$2,7183$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (2,7183)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (2,7183)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.1000006684914, => f(t)= $19 e^{0,1 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $19 e^{0,1 \cdot 13}$ ≈ 69.7

Wann wird der Wert 29?: f(t)=29

$19 e^{0,1 t}$	=	$29$	\|: $19$
$e^{0,1 t}$	=	$\frac{29}{19}$	\|ln(⋅)
$0,1 t$	=	$\ln (\frac{29}{19})$	\|: $0,1$
$t$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (\frac{29}{19})$	≈ 4.2286

also t=4.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 99 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 70 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 99: f(99)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 99}$ ≈ 1.8

Wann wird der Wert 70?: f(t)=70

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$70$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$3 500 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (3 500 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (3 500 000)$	≈ 130.868

also t=130.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 15% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 9 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 5 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.85) ≈ -0.16251892949777

=> f(t)= $9 e^{- 0,1625 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $9 e^{- 0,1625 \cdot 3}$ ≈ 5.5

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$9 e^{- 0,1625 t}$	=	$5$	\|: $9$
$e^{- 0,1625 t}$	=	$\frac{5}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,1625 t$	=	$\ln (\frac{5}{9})$	\|: $- 0,1625$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1625} \ln (\frac{5}{9})$	≈ 3.6171

also t=3.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 7 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 16,15°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 8 Minuten? b) Wann ist sie 21°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$8$	=	$27 - c$
$8$	=	$- c + 27$	\| $- 8$ $+ c$
$c$	=	$19$

somit gilt: f(t)= $27 - 19 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $27 - 19 e^{- k \cdot 7}$ = 16,15.

27 - 19 e^{- 7 k}

=

16,147

$- 19 e^{- 7 k} + 27$	=	$16,147$	\| $- 27$
$- 19 e^{- 7 k}$	=	$- 10,853$	\|: $- 19$
$e^{- 7 k}$	=	$0,5712$	\|ln(⋅)
$- 7 k$	=	$\ln (0,5712)$	\|: $- 7$
$k$	=	$- \frac{1}{7} \ln (0,5712)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.080002266850966, => f(t)= $27 - 19 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $27 - 19 e^{- 0,08 \cdot 8}$ ≈ 17

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

27 - 19 e^{- 0,08 t}

=

21

$- 19 e^{- 0,08 t} + 27$	=	$21$	\| $- 27$
$- 19 e^{- 0,08 t}$	=	$- 6$	\|: $- 19$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{6}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{6}{19})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{6}{19})$	≈ 14.4085

also t=14.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 5ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 6 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 96ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 5 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{5}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(250 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=250 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $250 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$250 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
0	=	$250 - c$
0	=	$- c + 250$	\|0 $+ c$
$c$	=	$250$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $250 - 250 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $250 - 250 e^{- 0,02 \cdot 6}$ ≈ 28.3

Wann wird der Wert 96?: f(t)=96

250 - 250 e^{- 0,02 t}

=

96

$- 250 e^{- 0,02 t} + 250$	=	$96$	\| $- 250$
$- 250 e^{- 0,02 t}$	=	$- 154$	\|: $- 250$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{77}{125}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{77}{125})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{77}{125})$	≈ 24.2254

also t=24.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $19 e^{- 0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,09$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,09}$ ≈ 7.702 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

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beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.