Mathebattle EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 14g vorhanden. Nach 6 Tagen sind nur noch 13,185g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 9 Tagen da? b) Wann sind nur noch 13g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $14 e^{k \cdot 6}$ = 13,1847.

$14 e^{6 k}$	=	$13,1847$	\|: $14$
$e^{6 k}$	=	$0,9418$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (0,9418)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (0,9418)$	≈ -0.01

also k ≈ -0.0099937235287805, => f(t)= $14 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $14 e^{- 0,01 \cdot 9}$ ≈ 12.8

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

$14 e^{- 0,01 t}$	=	$13$	\|: $14$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{13}{14}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{13}{14})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{13}{14})$	≈ 7.4108

also t=7.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 533 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 16g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 1046 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 11,2g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{533}$ ≈ -0.0013004637533958

=> f(t)= $16 e^{- 0,0013 t}$

Wert zur Zeit 1046: f(1046)= $16 e^{- 0,0013 \cdot 1046}$ ≈ 4.1

Wann wird der Wert 11.2?: f(t)=11.2

$16 e^{- 0,0013 t}$	=	$11,2$	\|: $16$
$e^{- 0,0013 t}$	=	$0,7$	\|ln(⋅)
$- 0,0013 t$	=	$\ln (0,7)$	\|: $- 0,0013$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0013} \ln (0,7)$	≈ 274.3653

also t=274.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 13% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 17 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 8 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.87) ≈ -0.13926206733351

=> f(t)= $17 e^{- 0,1393 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $17 e^{- 0,1393 \cdot 3}$ ≈ 11.2

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$17 e^{- 0,1393 t}$	=	$8$	\|: $17$
$e^{- 0,1393 t}$	=	$\frac{8}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,1393 t$	=	$\ln (\frac{8}{17})$	\|: $- 0,1393$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1393} \ln (\frac{8}{17})$	≈ 5.4111

also t=5.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 30°C wird eine Limo aus einem 3° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 3 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 7,45°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 25°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=30 sein muss.

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $30 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $30 - c$ = $30 - c$

$3$	=	$30 - c$
$3$	=	$- c + 30$	\| $- 3$ $+ c$
$c$	=	$27$

somit gilt: f(t)= $30 - 27 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $30 - 27 e^{- k \cdot 3}$ = 7,45.

30 - 27 e^{- 3 k}

=

7,4477

$- 27 e^{- 3 k} + 30$	=	$7,4477$	\| $- 30$
$- 27 e^{- 3 k}$	=	$- 22,5523$	\|: $- 27$
$e^{- 3 k}$	=	$0,8353$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,8353)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,8353)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.059988112406759, => f(t)= $30 - 27 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $30 - 27 e^{- 0,06 \cdot 6}$ ≈ 11.2

Wann wird der Wert 25?: f(t)=25

30 - 27 e^{- 0,06 t}

=

25

$- 27 e^{- 0,06 t} + 30$	=	$25$	\| $- 30$
$- 27 e^{- 0,06 t}$	=	$- 5$	\|: $- 27$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{5}{27}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{5}{27})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{5}{27})$	≈ 28.1066

also t=28.1

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 5ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 4% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 10 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 66ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 5 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{5}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(125 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=125 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $125 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$125 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
0	=	$125 - c$
0	=	$- c + 125$	\|0 $+ c$
$c$	=	$125$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $125 - 125 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $125 - 125 e^{- 0,04 \cdot 10}$ ≈ 41.2

Wann wird der Wert 66?: f(t)=66

125 - 125 e^{- 0,04 t}

=

66

$- 125 e^{- 0,04 t} + 125$	=	$66$	\| $- 125$
$- 125 e^{- 0,04 t}$	=	$- 59$	\|: $- 125$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{59}{125}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{59}{125})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{59}{125})$	≈ 18.7694

also t=18.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,03$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.