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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 80 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 49 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 80: f(80)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 80}$ ≈ 0.2

Wann wird der Wert 49?: f(t)=49

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$49$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 450 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 450 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 450 000)$	≈ 127.8158

also t=127.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 679 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 15g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 1843 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 9g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{679}$ ≈ -0.0010208353174668

=> f(t)= $15 e^{- 0,001 t}$

Wert zur Zeit 1843: f(1843)= $15 e^{- 0,001 \cdot 1843}$ ≈ 2.3

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$15 e^{- 0,001 t}$	=	$9$	\|: $15$
$e^{- 0,001 t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,001 t$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $- 0,001$
$t$	=	$- \frac{1}{0,001} \ln (\frac{3}{5})$	≈ 500.3189

also t=500.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 14% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 14 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 2 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.86) ≈ -0.15082288973458

=> f(t)= $14 e^{- 0,1508 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $14 e^{- 0,1508 \cdot 2}$ ≈ 10.4

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$14 e^{- 0,1508 t}$	=	$2$	\|: $14$
$e^{- 0,1508 t}$	=	$\frac{1}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,1508 t$	=	$\ln (\frac{1}{7})$	\|: $- 0,1508$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1508} \ln (\frac{1}{7})$	≈ 12.9039

also t=12.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 32°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 3 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 12°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 21°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=32 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $32 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $32 - c$ = $32 - c$

$5$	=	$32 - c$
$5$	=	$- c + 32$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$27$

somit gilt: f(t)= $32 - 27 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $32 - 27 e^{- k \cdot 3}$ = 12.

32 - 27 e^{- 3 k}

=

11,9979

$- 27 e^{- 3 k} + 32$	=	$11,9979$	\| $- 32$
$- 27 e^{- 3 k}$	=	$- 20,0021$	\|: $- 27$
$e^{- 3 k}$	=	$0,7408$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,7408)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,7408)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.10000819855006, => f(t)= $32 - 27 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $32 - 27 e^{- 0,1 \cdot 6}$ ≈ 17.2

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

32 - 27 e^{- 0,1 t}

=

21

$- 27 e^{- 0,1 t} + 32$	=	$21$	\| $- 32$
$- 27 e^{- 0,1 t}$	=	$- 11$	\|: $- 27$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{11}{27}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{11}{27})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{11}{27})$	≈ 8.9794

also t=9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2662 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 89 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 7 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2517 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 89 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{89}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(2225 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=2225 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $2 225 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2662 ein (Punktprobe).

$2 662$	=	$2 225 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$2 662$	=	$2 225 - c$
$2 662$	=	$- c + 2 225$	\| $- 2 662$ $+ c$
$c$	=	$- 437$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $2 225 + 437 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $2 225 + 437 e^{- 0,04 \cdot 7}$ ≈ 2555.3

Wann wird der Wert 2517?: f(t)=2517

2 225 + 437 e^{- 0,04 t}

=

2 517

$437 e^{- 0,04 t} + 2 225$	=	$2 517$	\| $- 2 225$
$437 e^{- 0,04 t}$	=	$292$	\|: $437$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{292}{437}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{292}{437})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{292}{437})$	≈ 10.0795

also t=10.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $6 e^{- 0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,03$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.