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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 5 Millionen Algen im Teich. Nach 8 Stunden sind es 7,459 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 10 Stunden? b) Wann waren es 7 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $5 e^{k \cdot 8}$ = 7,4591.

$5 e^{8 k}$	=	$7,4591$	\|: $5$
$e^{8 k}$	=	$1,4918$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (1,4918)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (1,4918)$	≈ 0.05

also k ≈ 0.049997930567366, => f(t)= $5 e^{0,05 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $5 e^{0,05 \cdot 10}$ ≈ 8.2

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$5 e^{0,05 t}$	=	$7$	\|: $5$
$e^{0,05 t}$	=	$\frac{7}{5}$	\|ln(⋅)
$0,05 t$	=	$\ln (\frac{7}{5})$	\|: $0,05$
$t$	=	$\frac{1}{0,05} \ln (\frac{7}{5})$	≈ 6.7294

also t=6.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 12 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 3-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 20 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 7,5-Tausend Euro gestiegen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{12}$ ≈ 0.057762265046662

=> f(t)= $3 e^{0,0578 t}$

Wert zur Zeit 20: f(20)= $3 e^{0,0578 \cdot 20}$ ≈ 9.5

Wann wird der Wert 7.5?: f(t)=7.5

$3 e^{0,0578 t}$	=	$7,5$	\|: $3$
$e^{0,0578 t}$	=	$2,5$	\|ln(⋅)
$0,0578 t$	=	$\ln (2,5)$	\|: $0,0578$
$t$	=	$\frac{1}{0,0578} \ln (2,5)$	≈ 15.8632

also t=15.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 7% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 79% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.93) ≈ -0.072570692834835

=> f(t)= $100 e^{- 0,0726 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,0726 \cdot 3}$ ≈ 80.4

Wann wird der Wert 79?: f(t)=79

$100 e^{- 0,0726 t}$	=	$79$	\|: $100$
$e^{- 0,0726 t}$	=	$\frac{79}{100}$	\|ln(⋅)
$- 0,0726 t$	=	$\ln (\frac{79}{100})$	\|: $- 0,0726$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0726} \ln (\frac{79}{100})$	≈ 3.2469

also t=3.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 30°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 3 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 7,15°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 4 Minuten? b) Wann ist sie 10°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=30 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $30 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $30 - c$ = $30 - c$

$5$	=	$30 - c$
$5$	=	$- c + 30$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$25$

somit gilt: f(t)= $30 - 25 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $30 - 25 e^{- k \cdot 3}$ = 7,15.

30 - 25 e^{- 3 k}

=

7,1517

$- 25 e^{- 3 k} + 30$	=	$7,1517$	\| $- 30$
$- 25 e^{- 3 k}$	=	$- 22,8483$	\|: $- 25$
$e^{- 3 k}$	=	$0,9139$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,9139)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,9139)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.03001137423466, => f(t)= $30 - 25 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $30 - 25 e^{- 0,03 \cdot 4}$ ≈ 7.8

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

30 - 25 e^{- 0,03 t}

=

10

$- 25 e^{- 0,03 t} + 30$	=	$10$	\| $- 30$
$- 25 e^{- 0,03 t}$	=	$- 20$	\|: $- 25$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{4}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{4}{5})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{4}{5})$	≈ 7.4381

also t=7.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,4% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 12 Jahren, wenn jedes Jahr 0,4 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 71 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.4 - 0.014⋅f(t)

wenn man 0.014 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.014( $\frac{0.4}{0.014}$ - f(t))

also f'(t) = 0.014(28.57 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=28.57 und der Wachstumsfaktor k=0.014 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $28,57 - c \cdot e^{- 0,014 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$28,57 - c \cdot e^{- 0,014 \cdot 0}$
$80$	=	$28,57 - c$
$80$	=	$- c + 28,57$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 51,43$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $28,57 + 51,43 e^{- 0,014 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $28,57 + 51,43 e^{- 0,014 \cdot 12}$ ≈ 72

Wann wird der Wert 71?: f(t)=71

28,57 + 51,43 e^{- 0,014 t}

=

71

$51,43 e^{- 0,014 t} + 28,57$	=	$71$	\| $- 28,57$
$51,43 e^{- 0,014 t}$	=	$42,43$	\|: $51,43$
$e^{- 0,014 t}$	=	$0,825$	\|ln(⋅)
$- 0,014 t$	=	$\ln (0,825)$	\|: $- 0,014$
$t$	=	$- \frac{1}{0,014} \ln (0,825)$	≈ 13.7408

also t=13.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $5 e^{- 0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,1$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.