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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 74 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 69 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 74: f(74)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 74}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 69?: f(t)=69

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$69$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$3 450 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (3 450 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (3 450 000)$	≈ 130.7896

also t=130.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 31 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 8g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 40 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 4g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{31}$ ≈ -0.022359586469676

=> f(t)= $8 e^{- 0,02236 t}$

Wert zur Zeit 40: f(40)= $8 e^{- 0,02236 \cdot 40}$ ≈ 3.3

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$8 e^{- 0,02236 t}$	=	$4$	\|: $8$
$e^{- 0,02236 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,02236 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,02236$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02236} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 30.9994

also t=31

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 11% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 2 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 34% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595

=> f(t)= $100 e^{- 0,1165 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $100 e^{- 0,1165 \cdot 2}$ ≈ 79.2

Wann wird der Wert 34?: f(t)=34

$100 e^{- 0,1165 t}$	=	$34$	\|: $100$
$e^{- 0,1165 t}$	=	$\frac{17}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,1165 t$	=	$\ln (\frac{17}{50})$	\|: $- 0,1165$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1165} \ln (\frac{17}{50})$	≈ 9.2602

also t=9.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 8 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 16,48°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 11 Minuten? b) Wann ist sie 22°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$10$	=	$27 - c$
$10$	=	$- c + 27$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$17$

somit gilt: f(t)= $27 - 17 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $27 - 17 e^{- k \cdot 8}$ = 16,48.

27 - 17 e^{- 8 k}

=

16,4807

$- 17 e^{- 8 k} + 27$	=	$16,4807$	\| $- 27$
$- 17 e^{- 8 k}$	=	$- 10,5193$	\|: $- 17$
$e^{- 8 k}$	=	$0,6188$	\|ln(⋅)
$- 8 k$	=	$\ln (0,6188)$	\|: $- 8$
$k$	=	$- \frac{1}{8} \ln (0,6188)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.059996645035403, => f(t)= $27 - 17 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $27 - 17 e^{- 0,06 \cdot 11}$ ≈ 18.2

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

27 - 17 e^{- 0,06 t}

=

22

$- 17 e^{- 0,06 t} + 27$	=	$22$	\| $- 27$
$- 17 e^{- 0,06 t}$	=	$- 5$	\|: $- 17$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{5}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{5}{17})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{5}{17})$	≈ 20.3963

also t=20.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3653 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 88 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 7 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2426 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 88 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{88}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(1760 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1760 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 760 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3653 ein (Punktprobe).

$3 653$	=	$1 760 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
$3 653$	=	$1 760 - c$
$3 653$	=	$- c + 1 760$	\| $- 3 653$ $+ c$
$c$	=	$- 1 893$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 760 + 1 893 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $1 760 + 1 893 e^{- 0,05 \cdot 7}$ ≈ 3094

Wann wird der Wert 2426?: f(t)=2426

1 760 + 1 893 e^{- 0,05 t}

=

2 426

$1 893 e^{- 0,05 t} + 1 760$	=	$2 426$	\| $- 1 760$
$1 893 e^{- 0,05 t}$	=	$666$	\|: $1 893$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{222}{631}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{222}{631})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{222}{631})$	≈ 20.8926

also t=20.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $19 e^{0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,02$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.