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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 12g vorhanden. Nach 8 Tagen sind nur noch 10,226g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 11g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $12 e^{k \cdot 8}$ = 10,2257.

$12 e^{8 k}$	=	$10,2257$	\|: $12$
$e^{8 k}$	=	$0,8521$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (0,8521)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (0,8521)$	≈ -0.02

also k ≈ -0.020006423518528, => f(t)= $12 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $12 e^{- 0,02 \cdot 10}$ ≈ 9.8

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

$12 e^{- 0,02 t}$	=	$11$	\|: $12$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{11}{12}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{11}{12})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{11}{12})$	≈ 4.3506

also t=4.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 75 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 19 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 75: f(75)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 75}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 19?: f(t)=19

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$19$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$950 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (950 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (950 000)$	≈ 119.5423

also t=119.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 7% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 8 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 10 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.07) ≈ 0.067658648473815

=> f(t)= $8 e^{0,0677 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $8 e^{0,0677 \cdot 4}$ ≈ 10.5

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$8 e^{0,0677 t}$	=	$10$	\|: $8$
$e^{0,0677 t}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
$0,0677 t$	=	$\ln (\frac{5}{4})$	\|: $0,0677$
$t$	=	$\frac{1}{0,0677} \ln (\frac{5}{4})$	≈ 3.2961

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 58° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 58 ist, gilt: f(0)= 58, also 58 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$58$	=	$20 - c$
$58$	=	$- c + 20$	\| $- 58$ $+ c$
$c$	=	$- 38$

somit gilt: f(t)= $20 + 38 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 38 e^{- k \cdot 2}$ = 52.

20 + 38 e^{- 2 k}

=

52,0016

$38 e^{- 2 k} + 20$	=	$52,0016$	\| $- 20$
$38 e^{- 2 k}$	=	$32,0016$	\|: $38$
$e^{- 2 k}$	=	$0,8421$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,8421)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,8421)$	≈ 0.0859

also k ≈ 0.085928253473095, => f(t)= $20 + 38 e^{- 0,0859 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 38 e^{- 0,0859 \cdot 5}$ ≈ 44.7

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 38 e^{- 0,0859 t}

=

50

$38 e^{- 0,0859 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$38 e^{- 0,0859 t}$	=	$30$	\|: $38$
$e^{- 0,0859 t}$	=	$\frac{15}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,0859 t$	=	$\ln (\frac{15}{19})$	\|: $- 0,0859$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0859} \ln (\frac{15}{19})$	≈ 2.7519

also t=2.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2714 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 78 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 11 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2629 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 78 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{78}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(1560 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1560 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 560 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2714 ein (Punktprobe).

$2 714$	=	$1 560 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
$2 714$	=	$1 560 - c$
$2 714$	=	$- c + 1 560$	\| $- 2 714$ $+ c$
$c$	=	$- 1 154$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 560 + 1 154 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $1 560 + 1 154 e^{- 0,05 \cdot 11}$ ≈ 2225.8

Wann wird der Wert 2629?: f(t)=2629

1 560 + 1 154 e^{- 0,05 t}

=

2 629

$1 154 e^{- 0,05 t} + 1 560$	=	$2 629$	\| $- 1 560$
$1 154 e^{- 0,05 t}$	=	$1 069$	\|: $1 154$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{1069}{1154}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{1069}{1154})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{1069}{1154})$	≈ 1.5302

also t=1.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $19 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.