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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 74 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 46 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 74: f(74)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 74}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 46?: f(t)=46

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$46$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 300 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 300 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 300 000)$	≈ 127.2669

also t=127.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 414 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 14g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 982 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 4,2g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{414}$ ≈ -0.0016742685520772

=> f(t)= $14 e^{- 0,0017 t}$

Wert zur Zeit 982: f(982)= $14 e^{- 0,0017 \cdot 982}$ ≈ 2.7

Wann wird der Wert 4.2?: f(t)=4.2

$14 e^{- 0,0017 t}$	=	$4,2$	\|: $14$
$e^{- 0,0017 t}$	=	$0,3$	\|ln(⋅)
$- 0,0017 t$	=	$\ln (0,3)$	\|: $- 0,0017$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0017} \ln (0,3)$	≈ 719.2191

also t=719.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 16% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 19 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.84) ≈ -0.17435338714478

=> f(t)= $19 e^{- 0,1744 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $19 e^{- 0,1744 \cdot 4}$ ≈ 9.5

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$19 e^{- 0,1744 t}$	=	$1$	\|: $19$
$e^{- 0,1744 t}$	=	$\frac{1}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,1744 t$	=	$\ln (\frac{1}{19})$	\|: $- 0,1744$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1744} \ln (\frac{1}{19})$	≈ 16.8833

also t=16.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 28 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 2,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 28.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

27,9999

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$27,9999$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 9,0001$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,45$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,45)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,45)$	≈ 1.597

also k ≈ 1.5970153924355, => f(t)= $37 - 20 e^{- 1,597 t}$

Wert zur Zeit 2.5: f(2.5)= $37 - 20 e^{- 1,597 \cdot 2,5}$ ≈ 36.6

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 1,597 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 1,597 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 1,597 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 1,597 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 1,597 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 1,597$
$t$	=	$- \frac{1}{1,597} \ln (0,005)$	≈ 3.3177

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3965 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 69 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 8 Monaten? b) Wann beträgt dieser 4723 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 69 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{69}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(6900 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=6900 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $6 900 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3965 ein (Punktprobe).

$3 965$	=	$6 900 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$3 965$	=	$6 900 - c$
$3 965$	=	$- c + 6 900$	\| $- 3 965$ $+ c$
$c$	=	$2 935$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $6 900 - 2 935 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $6 900 - 2 935 e^{- 0,01 \cdot 8}$ ≈ 4190.7

Wann wird der Wert 4723?: f(t)=4723

6 900 - 2 935 e^{- 0,01 t}

=

4 723

$- 2 935 e^{- 0,01 t} + 6 900$	=	$4 723$	\| $- 6 900$
$- 2 935 e^{- 0,01 t}$	=	$- 2 177$	\|: $- 2 935$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{2177}{2935}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{2177}{2935})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{2177}{2935})$	≈ 29.876

also t=29.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{- 0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,07$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,07}$ ≈ 9.902 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.