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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 93 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 17 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 93: f(93)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 93}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 17?: f(t)=17

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$17$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$850 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (850 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (850 000)$	≈ 118.6185

also t=118.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 99 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 87 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 99: f(99)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 99}$ ≈ 1.8

Wann wird der Wert 87?: f(t)=87

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$87$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 350 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 350 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 350 000)$	≈ 132.7562

also t=132.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 11% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 20 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 9 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595

=> f(t)= $20 e^{- 0,1165 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 e^{- 0,1165 \cdot 3}$ ≈ 14.1

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$20 e^{- 0,1165 t}$	=	$9$	\|: $20$
$e^{- 0,1165 t}$	=	$\frac{9}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,1165 t$	=	$\ln (\frac{9}{20})$	\|: $- 0,1165$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1165} \ln (\frac{9}{20})$	≈ 6.8541

also t=6.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 10,18°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 12 Minuten? b) Wann ist sie 18°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $25 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $25 - c$ = $25 - c$

$5$	=	$25 - c$
$5$	=	$- c + 25$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $25 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $25 - 20 e^{- k \cdot 10}$ = 10,18.

25 - 20 e^{- 10 k}

=

10,1836

$- 20 e^{- 10 k} + 25$	=	$10,1836$	\| $- 25$
$- 20 e^{- 10 k}$	=	$- 14,8164$	\|: $- 20$
$e^{- 10 k}$	=	$0,7408$	\|ln(⋅)
$- 10 k$	=	$\ln (0,7408)$	\|: $- 10$
$k$	=	$- \frac{1}{10} \ln (0,7408)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.030002459565017, => f(t)= $25 - 20 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $25 - 20 e^{- 0,03 \cdot 12}$ ≈ 11

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

25 - 20 e^{- 0,03 t}

=

18

$- 20 e^{- 0,03 t} + 25$	=	$18$	\| $- 25$
$- 20 e^{- 0,03 t}$	=	$- 7$	\|: $- 20$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{7}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{7}{20})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{7}{20})$	≈ 34.9941

also t=35

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2503 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 79 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 13 Monaten? b) Wann beträgt dieser 800 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 79 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{79}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(790 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=790 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $790 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2503 ein (Punktprobe).

$2 503$	=	$790 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$2 503$	=	$790 - c$
$2 503$	=	$- c + 790$	\| $- 2 503$ $+ c$
$c$	=	$- 1 713$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $790 + 1 713 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $790 + 1 713 e^{- 0,1 \cdot 13}$ ≈ 1256.8

Wann wird der Wert 800?: f(t)=800

790 + 1 713 e^{- 0,1 t}

=

800

$1 713 e^{- 0,1 t} + 790$	=	$800$	\| $- 790$
$1 713 e^{- 0,1 t}$	=	$10$	\|: $1 713$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{10}{1713}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{10}{1713})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{10}{1713})$	≈ 51.4342

also t=51.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $16 e^{0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,07$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.