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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 97 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 58 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 97: f(97)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 97}$ ≈ 1.4

Wann wird der Wert 58?: f(t)=58

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$58$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 900 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 900 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 900 000)$	≈ 129.2808

also t=129.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 270 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 7g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 749 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 1,4g Gaußium da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{270}$ ≈ -0.0025672117798516

=> f(t)= $7 e^{- 0,0026 t}$

Wert zur Zeit 749: f(749)= $7 e^{- 0,0026 \cdot 749}$ ≈ 1

Wann wird der Wert 1.4?: f(t)=1.4

$7 e^{- 0,0026 t}$	=	$1,4$	\|: $7$
$e^{- 0,0026 t}$	=	$0,2$	\|ln(⋅)
$- 0,0026 t$	=	$\ln (0,2)$	\|: $- 0,0026$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0026} \ln (0,2)$	≈ 626.9723

also t=627

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 3% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 19 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 22 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.03) ≈ 0.029558802241544

=> f(t)= $19 e^{0,0296 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $19 e^{0,0296 \cdot 5}$ ≈ 22

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

$19 e^{0,0296 t}$	=	$22$	\|: $19$
$e^{0,0296 t}$	=	$\frac{22}{19}$	\|ln(⋅)
$0,0296 t$	=	$\ln (\frac{22}{19})$	\|: $0,0296$
$t$	=	$\frac{1}{0,0296} \ln (\frac{22}{19})$	≈ 4.9528

also t=5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 58° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 58 ist, gilt: f(0)= 58, also 58 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$58$	=	$20 - c$
$58$	=	$- c + 20$	\| $- 58$ $+ c$
$c$	=	$- 38$

somit gilt: f(t)= $20 + 38 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 38 e^{- k \cdot 2}$ = 53.

20 + 38 e^{- 2 k}

=

53,0026

$38 e^{- 2 k} + 20$	=	$53,0026$	\| $- 20$
$38 e^{- 2 k}$	=	$33,0026$	\|: $38$
$e^{- 2 k}$	=	$0,8685$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,8685)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,8685)$	≈ 0.0705

also k ≈ 0.070493846650489, => f(t)= $20 + 38 e^{- 0,0705 t}$

Wert zur Zeit 1: f(1)= $20 + 38 e^{- 0,0705 \cdot 1}$ ≈ 55.4

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 38 e^{- 0,0705 t}

=

50

$38 e^{- 0,0705 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$38 e^{- 0,0705 t}$	=	$30$	\|: $38$
$e^{- 0,0705 t}$	=	$\frac{15}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,0705 t$	=	$\ln (\frac{15}{19})$	\|: $- 0,0705$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0705} \ln (\frac{15}{19})$	≈ 3.353

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3085 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 68 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 14 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2978 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 68 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{68}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(850 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=850 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $850 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3085 ein (Punktprobe).

$3 085$	=	$850 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$3 085$	=	$850 - c$
$3 085$	=	$- c + 850$	\| $- 3 085$ $+ c$
$c$	=	$- 2 235$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $850 + 2 235 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $850 + 2 235 e^{- 0,08 \cdot 14}$ ≈ 1579.2

Wann wird der Wert 2978?: f(t)=2978

850 + 2 235 e^{- 0,08 t}

=

2 978

$2 235 e^{- 0,08 t} + 850$	=	$2 978$	\| $- 850$
$2 235 e^{- 0,08 t}$	=	$2 128$	\|: $2 235$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{2128}{2235}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{2128}{2235})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{2128}{2235})$	≈ 0.6132

also t=0.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,08$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,08}$ ≈ 8.664 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.