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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 16g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 6,505g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 5g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 16 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= 16 e k · 9 = 6,5051.

16 e 9k = 6,5051 |:16
e 9k = 0,4066 |ln(⋅)
9k = ln( 0,4066 ) |:9
k = 1 9 ln( 0,4066 ) ≈ -0.1

also k ≈ -0.099991708643099, => f(t)= 16 e -0,1t


Wert zur Zeit 11: f(11)= 16 e -0,111 ≈ 5.3


Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

16 e -0,1t = 5 |:16
e -0,1t = 5 16 |ln(⋅)
-0,1t = ln( 5 16 ) |:-0,1
t = - 1 0,1 ln( 5 16 ) ≈ 11.6315

also t=11.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 75 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 32 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 0,00002 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel TV= ln(2) k um zu
k= ln(2) T = ln(2) 6.02 ≈ 0.11514072766777


=> f(t)= 0,00002 e 0,1151t


Wert zur Zeit 75: f(75)= 0,00002 e 0,115175 ≈ 0.1


Wann wird der Wert 32?: f(t)=32

0,00002 e 0,1151t = 32 |:0,00002
e 0,1151t = 1600000 |ln(⋅)
0,1151t = ln( 1600000 ) |:0,1151
t = 1 0,1151 ln( 1600000 ) ≈ 124.0697

also t=124.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 8% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 17 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 24 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 17 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.08) ≈ 0.076961041136128


=> f(t)= 17 e 0,077t


Wert zur Zeit 4: f(4)= 17 e 0,0774 ≈ 23.1


Wann wird der Wert 24?: f(t)=24

17 e 0,077t = 24 |:17
e 0,077t = 24 17 |ln(⋅)
0,077t = ln( 24 17 ) |:0,077
t = 1 0,077 ln( 24 17 ) ≈ 4.4784

also t=4.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 55° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 55 ist, gilt: f(0)= 55, also 55 = 20 - c · e -k · 0 = 20 - c = 20 - c

55 = 20 - c
55 = -c +20 | -55 + c
c = -35

somit gilt: f(t)= 20 +35 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= 20 +35 e -k · 2 = 51.

20 +35 e -2k = 50,9988
35 e -2k +20 = 50,9988 | -20
35 e -2k = 30,9988 |:35
e -2k = 0,8857 |ln(⋅)
-2k = ln( 0,8857 ) |:-2
k = - 1 2 ln( 0,8857 ) ≈ 0.0607

also k ≈ 0.0606884930833, => f(t)= 20 +35 e -0,0607t


Wert zur Zeit 3: f(3)= 20 +35 e -0,06073 ≈ 49.2


Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 +35 e -0,0607t = 50
35 e -0,0607t +20 = 50 | -20
35 e -0,0607t = 30 |:35
e -0,0607t = 6 7 |ln(⋅)
-0,0607t = ln( 6 7 ) |:-0,0607
t = - 1 0,0607 ln( 6 7 ) ≈ 2.5395

also t=2.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 2ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 1% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 12 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 72ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 2 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( 2 0.01 - f(t))

also f'(t) = 0.01(200 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=200 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 200 - c · e -0,01t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0 = 200 - c · e -0,010
0 = 200 - c
0 = -c +200 |0 + c
c = 200

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 200 -200 e -0,01x


Wert zur Zeit 12: f(12)= 200 -200 e -0,0112 ≈ 22.6


Wann wird der Wert 72?: f(t)=72

200 -200 e -0,01t = 72
-200 e -0,01t +200 = 72 | -200
-200 e -0,01t = -128 |:-200
e -0,01t = 16 25 |ln(⋅)
-0,01t = ln( 16 25 ) |:-0,01
t = - 1 0,01 ln( 16 25 ) ≈ 44.6287

also t=44.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 4 e -0,09t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (-0,09 ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = -0,09 einfach in die Formel TH = - ln(2) k ein:

TH = - ln(2) -0,09 7.702 min