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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 8g vorhanden. Nach 5 Tagen sind nur noch 6,55g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 8 Tagen da? b) Wann sind nur noch 6g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $8 e^{k \cdot 5}$ = 6,5498.

$8 e^{5 k}$	=	$6,5498$	\|: $8$
$e^{5 k}$	=	$0,8187$	\|ln(⋅)
$5 k$	=	$\ln (0,8187)$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{1}{5} \ln (0,8187)$	≈ -0.04

also k ≈ -0.040007512519947, => f(t)= $8 e^{- 0,04 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $8 e^{- 0,04 \cdot 8}$ ≈ 5.8

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$8 e^{- 0,04 t}$	=	$6$	\|: $8$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 7.1921

also t=7.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1053 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2136? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,7 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1053}$ ≈ -0.00065825943073119

=> f(t)= $e^{- 0,0007 t}$

Wert zur Zeit 136: f(136)= $e^{- 0,0007 \cdot 136}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.7?: f(t)=0.7

$e^{- 0,0007 t}$	=	$0,7$	\|ln(⋅)
$- 0,0007 t$	=	$\ln (0,7)$	\|: $- 0,0007$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0007} \ln (0,7)$	≈ 542.0592

also t=542.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 88% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.96) ≈ -0.040821994520255

=> f(t)= $100 e^{- 0,0408 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,0408 \cdot 3}$ ≈ 88.5

Wann wird der Wert 88?: f(t)=88

$100 e^{- 0,0408 t}$	=	$88$	\|: $100$
$e^{- 0,0408 t}$	=	$\frac{22}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,0408 t$	=	$\ln (\frac{22}{25})$	\|: $- 0,0408$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0408} \ln (\frac{22}{25})$	≈ 3.1332

also t=3.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 14,95°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 17°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $25 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $25 - c$ = $25 - c$

$10$	=	$25 - c$
$10$	=	$- c + 25$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$15$

somit gilt: f(t)= $25 - 15 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $25 - 15 e^{- k \cdot 4}$ = 14,95.

25 - 15 e^{- 4 k}

=

14,9452

$- 15 e^{- 4 k} + 25$	=	$14,9452$	\| $- 25$
$- 15 e^{- 4 k}$	=	$- 10,0548$	\|: $- 15$
$e^{- 4 k}$	=	$0,6703$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,6703)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,6703)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.10000747640456, => f(t)= $25 - 15 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $25 - 15 e^{- 0,1 \cdot 6}$ ≈ 16.8

Wann wird der Wert 17?: f(t)=17

25 - 15 e^{- 0,1 t}

=

17

$- 15 e^{- 0,1 t} + 25$	=	$17$	\| $- 25$
$- 15 e^{- 0,1 t}$	=	$- 8$	\|: $- 15$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{8}{15}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{8}{15})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{8}{15})$	≈ 6.2861

also t=6.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2714 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 61 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 6 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1702 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 61 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{61}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(1220 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1220 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 220 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2714 ein (Punktprobe).

$2 714$	=	$1 220 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
$2 714$	=	$1 220 - c$
$2 714$	=	$- c + 1 220$	\| $- 2 714$ $+ c$
$c$	=	$- 1 494$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 220 + 1 494 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $1 220 + 1 494 e^{- 0,05 \cdot 6}$ ≈ 2326.8

Wann wird der Wert 1702?: f(t)=1702

1 220 + 1 494 e^{- 0,05 t}

=

1 702

$1 494 e^{- 0,05 t} + 1 220$	=	$1 702$	\| $- 1 220$
$1 494 e^{- 0,05 t}$	=	$482$	\|: $1 494$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{241}{747}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{241}{747})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{241}{747})$	≈ 22.6254

also t=22.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $19 e^{- 0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,01$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,01}$ ≈ 69.315 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.