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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 11 Millionen Algen im Teich. Nach 8 Stunden sind es 24,481 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 10 Stunden? b) Wann waren es 22 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $11 e^{k \cdot 8}$ = 24,481.

$11 e^{8 k}$	=	$24,481$	\|: $11$
$e^{8 k}$	=	$2,2255$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (2,2255)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (2,2255)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.099997701184221, => f(t)= $11 e^{0,1 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $11 e^{0,1 \cdot 10}$ ≈ 29.9

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

$11 e^{0,1 t}$	=	$22$	\|: $11$
$e^{0,1 t}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$0,1 t$	=	$\ln (2)$	\|: $0,1$
$t$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (2)$	≈ 6.9315

also t=6.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 87 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 70 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 87: f(87)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 87}$ ≈ 0.4

Wann wird der Wert 70?: f(t)=70

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$70$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$3 500 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (3 500 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (3 500 000)$	≈ 130.868

also t=130.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 88% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.96) ≈ -0.040821994520255

=> f(t)= $100 e^{- 0,0408 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,0408 \cdot 3}$ ≈ 88.5

Wann wird der Wert 88?: f(t)=88

$100 e^{- 0,0408 t}$	=	$88$	\|: $100$
$e^{- 0,0408 t}$	=	$\frac{22}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,0408 t$	=	$\ln (\frac{22}{25})$	\|: $- 0,0408$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0408} \ln (\frac{22}{25})$	≈ 3.1332

also t=3.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 11,23°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 5 Minuten? b) Wann ist sie 18°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$10$	=	$26 - c$
$10$	=	$- c + 26$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$16$

somit gilt: f(t)= $26 - 16 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $26 - 16 e^{- k \cdot 4}$ = 11,23.

26 - 16 e^{- 4 k}

=

11,2301

$- 16 e^{- 4 k} + 26$	=	$11,2301$	\| $- 26$
$- 16 e^{- 4 k}$	=	$- 14,7699$	\|: $- 16$
$e^{- 4 k}$	=	$0,9231$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,9231)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,9231)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.020004426996508, => f(t)= $26 - 16 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $26 - 16 e^{- 0,02 \cdot 5}$ ≈ 11.5

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

26 - 16 e^{- 0,02 t}

=

18

$- 16 e^{- 0,02 t} + 26$	=	$18$	\| $- 26$
$- 16 e^{- 0,02 t}$	=	$- 8$	\|: $- 16$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 34.6574

also t=34.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 9ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 10% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 7 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 5ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 9 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{9}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(90 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=90 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $90 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$90 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
0	=	$90 - c$
0	=	$- c + 90$	\|0 $+ c$
$c$	=	$90$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $90 - 90 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $90 - 90 e^{- 0,1 \cdot 7}$ ≈ 45.3

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

90 - 90 e^{- 0,1 t}

=

5

$- 90 e^{- 0,1 t} + 90$	=	$5$	\| $- 90$
$- 90 e^{- 0,1 t}$	=	$- 85$	\|: $- 90$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{17}{18}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{17}{18})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{17}{18})$	≈ 0.5716

also t=0.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $19 e^{- 0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,03$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,03}$ ≈ 23.105 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.