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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 83 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 40 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 83: f(83)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 83}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 40?: f(t)=40

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$40$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 000 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 000 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 000 000)$	≈ 126.0526

also t=126.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 98 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 90 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 98: f(98)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 98}$ ≈ 1.6

Wann wird der Wert 90?: f(t)=90

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$90$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 500 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 500 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 500 000)$	≈ 133.0507

also t=133.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 40% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.9) ≈ -0.10536051565783

=> f(t)= $100 e^{- 0,1054 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,1054 \cdot 4}$ ≈ 65.6

Wann wird der Wert 40?: f(t)=40

$100 e^{- 0,1054 t}$	=	$40$	\|: $100$
$e^{- 0,1054 t}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,1054 t$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 0,1054$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1054} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 8.6935

also t=8.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 65° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 65 ist, gilt: f(0)= 65, also 65 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$65$	=	$20 - c$
$65$	=	$- c + 20$	\| $- 65$ $+ c$
$c$	=	$- 45$

somit gilt: f(t)= $20 + 45 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 45 e^{- k \cdot 2}$ = 54.

20 + 45 e^{- 2 k}

=

53,9967

$45 e^{- 2 k} + 20$	=	$53,9967$	\| $- 20$
$45 e^{- 2 k}$	=	$33,9967$	\|: $45$
$e^{- 2 k}$	=	$0,7555$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,7555)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,7555)$	≈ 0.1402

also k ≈ 0.14018774863467, => f(t)= $20 + 45 e^{- 0,1402 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 45 e^{- 0,1402 \cdot 5}$ ≈ 42.3

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 45 e^{- 0,1402 t}

=

50

$45 e^{- 0,1402 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$45 e^{- 0,1402 t}$	=	$30$	\|: $45$
$e^{- 0,1402 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,1402 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,1402$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1402} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 2.892

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3444 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 80 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 5 Monaten? b) Wann beträgt dieser 6205 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 80 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{80}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(8000 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=8000 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $8 000 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3444 ein (Punktprobe).

$3 444$	=	$8 000 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$3 444$	=	$8 000 - c$
$3 444$	=	$- c + 8 000$	\| $- 3 444$ $+ c$
$c$	=	$4 556$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $8 000 - 4 556 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $8 000 - 4 556 e^{- 0,01 \cdot 5}$ ≈ 3666.2

Wann wird der Wert 6205?: f(t)=6205

8 000 - 4 556 e^{- 0,01 t}

=

6 205

$- 4 556 e^{- 0,01 t} + 8 000$	=	$6 205$	\| $- 8 000$
$- 4 556 e^{- 0,01 t}$	=	$- 1 795$	\|: $- 4 556$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{1795}{4556}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{1795}{4556})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{1795}{4556})$	≈ 93.144

also t=93.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $12 e^{0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,02$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.