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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 77 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 9 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 77: f(77)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 77}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$9$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$450 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (450 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (450 000)$	≈ 113.093

also t=113.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 289 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 12g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 497 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 9,6g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{289}$ ≈ -0.0023984331507265

=> f(t)= $12 e^{- 0,0024 t}$

Wert zur Zeit 497: f(497)= $12 e^{- 0,0024 \cdot 497}$ ≈ 3.6

Wann wird der Wert 9.6?: f(t)=9.6

$12 e^{- 0,0024 t}$	=	$9,6$	\|: $12$
$e^{- 0,0024 t}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 0,0024 t$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 0,0024$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0024} \ln (0,8)$	≈ 93.054

also t=93.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 7% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 6 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 8 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.07) ≈ 0.067658648473815

=> f(t)= $6 e^{0,0677 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $6 e^{0,0677 \cdot 5}$ ≈ 8.4

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$6 e^{0,0677 t}$	=	$8$	\|: $6$
$e^{0,0677 t}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$0,0677 t$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $0,0677$
$t$	=	$\frac{1}{0,0677} \ln (\frac{4}{3})$	≈ 4.2494

also t=4.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 2 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 10,59°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 4 Minuten? b) Wann ist sie 11°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $25 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $25 - c$ = $25 - c$

$10$	=	$25 - c$
$10$	=	$- c + 25$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$15$

somit gilt: f(t)= $25 - 15 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $25 - 15 e^{- k \cdot 2}$ = 10,59.

25 - 15 e^{- 2 k}

=

10,5882

$- 15 e^{- 2 k} + 25$	=	$10,5882$	\| $- 25$
$- 15 e^{- 2 k}$	=	$- 14,4118$	\|: $- 15$
$e^{- 2 k}$	=	$0,9608$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,9608)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,9608)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.019994504108182, => f(t)= $25 - 15 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $25 - 15 e^{- 0,02 \cdot 4}$ ≈ 11.2

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

25 - 15 e^{- 0,02 t}

=

11

$- 15 e^{- 0,02 t} + 25$	=	$11$	\| $- 25$
$- 15 e^{- 0,02 t}$	=	$- 14$	\|: $- 15$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{14}{15}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{14}{15})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{14}{15})$	≈ 3.4496

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 8 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 71 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{0.6}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(60 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=60 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $60 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$60 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$80$	=	$60 - c$
$80$	=	$- c + 60$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 20$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $60 + 20 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $60 + 20 e^{- 0,01 \cdot 8}$ ≈ 78.5

Wann wird der Wert 71?: f(t)=71

60 + 20 e^{- 0,01 t}

=

71

$20 e^{- 0,01 t} + 60$	=	$71$	\| $- 60$
$20 e^{- 0,01 t}$	=	$11$	\|: $20$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{11}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{11}{20})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{11}{20})$	≈ 59.7837

also t=59.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $17 e^{- 0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,02$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

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Halbwerts- + Verdopplungszeit best.