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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 81 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 33 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 81: f(81)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 81}$ ≈ 0.2

Wann wird der Wert 33?: f(t)=33

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$33$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 650 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 650 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 650 000)$	≈ 124.3813

also t=124.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 17 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 16-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 33 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 40-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{17}$ ≈ 0.04077336356235

=> f(t)= $16 e^{0,0408 t}$

Wert zur Zeit 33: f(33)= $16 e^{0,0408 \cdot 33}$ ≈ 61.4

Wann wird der Wert 40?: f(t)=40

$16 e^{0,0408 t}$	=	$40$	\|: $16$
$e^{0,0408 t}$	=	$\frac{5}{2}$	\|ln(⋅)
$0,0408 t$	=	$\ln (\frac{5}{2})$	\|: $0,0408$
$t$	=	$\frac{1}{0,0408} \ln (\frac{5}{2})$	≈ 22.473

also t=22.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 8% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 10 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 14 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.08) ≈ 0.076961041136128

=> f(t)= $10 e^{0,077 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $10 e^{0,077 \cdot 2}$ ≈ 11.7

Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

$10 e^{0,077 t}$	=	$14$	\|: $10$
$e^{0,077 t}$	=	$\frac{7}{5}$	\|ln(⋅)
$0,077 t$	=	$\ln (\frac{7}{5})$	\|: $0,077$
$t$	=	$\frac{1}{0,077} \ln (\frac{7}{5})$	≈ 4.3698

also t=4.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 59° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 59 ist, gilt: f(0)= 59, also 59 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$59$	=	$20 - c$
$59$	=	$- c + 20$	\| $- 59$ $+ c$
$c$	=	$- 39$

somit gilt: f(t)= $20 + 39 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 39 e^{- k \cdot 5}$ = 53.

20 + 39 e^{- 5 k}

=

53,0018

$39 e^{- 5 k} + 20$	=	$53,0018$	\| $- 20$
$39 e^{- 5 k}$	=	$33,0018$	\|: $39$
$e^{- 5 k}$	=	$0,8462$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,8462)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,8462)$	≈ 0.0334

also k ≈ 0.033399908139234, => f(t)= $20 + 39 e^{- 0,0334 t}$

Wert zur Zeit 1: f(1)= $20 + 39 e^{- 0,0334 \cdot 1}$ ≈ 57.7

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 39 e^{- 0,0334 t}

=

50

$39 e^{- 0,0334 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$39 e^{- 0,0334 t}$	=	$30$	\|: $39$
$e^{- 0,0334 t}$	=	$\frac{10}{13}$	\|ln(⋅)
$- 0,0334 t$	=	$\ln (\frac{10}{13})$	\|: $- 0,0334$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0334} \ln (\frac{10}{13})$	≈ 7.8552

also t=7.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 2ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 4% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 10 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 20ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 2 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{2}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(50 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=50 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $50 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$50 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
0	=	$50 - c$
0	=	$- c + 50$	\|0 $+ c$
$c$	=	$50$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $50 - 50 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $50 - 50 e^{- 0,04 \cdot 10}$ ≈ 16.5

Wann wird der Wert 20?: f(t)=20

50 - 50 e^{- 0,04 t}

=

20

$- 50 e^{- 0,04 t} + 50$	=	$20$	\| $- 50$
$- 50 e^{- 0,04 t}$	=	$- 30$	\|: $- 50$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{3}{5})$	≈ 12.7706

also t=12.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,07$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.