Mathebattle EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 13g vorhanden. Nach 3 Tagen sind nur noch 12,243g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 10g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $13 e^{k \cdot 3}$ = 12,2429.

$13 e^{3 k}$	=	$12,2429$	\|: $13$
$e^{3 k}$	=	$0,9418$	\|ln(⋅)
$3 k$	=	$\ln (0,9418)$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{1}{3} \ln (0,9418)$	≈ -0.02

also k ≈ -0.019987447057561, => f(t)= $13 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $13 e^{- 0,02 \cdot 5}$ ≈ 11.8

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$13 e^{- 0,02 t}$	=	$10$	\|: $13$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{10}{13}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{10}{13})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{10}{13})$	≈ 13.1182

also t=13.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 883 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 15g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 524 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 12g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{883}$ ≈ -0.000784991144462

=> f(t)= $15 e^{- 0,0008 t}$

Wert zur Zeit 524: f(524)= $15 e^{- 0,0008 \cdot 524}$ ≈ 9.9

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

$15 e^{- 0,0008 t}$	=	$12$	\|: $15$
$e^{- 0,0008 t}$	=	$\frac{4}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,0008 t$	=	$\ln (\frac{4}{5})$	\|: $- 0,0008$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0008} \ln (\frac{4}{5})$	≈ 284.2593

also t=284.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 2% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 14 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 15 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.02) ≈ 0.01980262729618

=> f(t)= $14 e^{0,0198 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $14 e^{0,0198 \cdot 2}$ ≈ 14.6

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

$14 e^{0,0198 t}$	=	$15$	\|: $14$
$e^{0,0198 t}$	=	$\frac{15}{14}$	\|ln(⋅)
$0,0198 t$	=	$\ln (\frac{15}{14})$	\|: $0,0198$
$t$	=	$\frac{1}{0,0198} \ln (\frac{15}{14})$	≈ 3.4845

also t=3.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 59° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 59 ist, gilt: f(0)= 59, also 59 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$59$	=	$20 - c$
$59$	=	$- c + 20$	\| $- 59$ $+ c$
$c$	=	$- 39$

somit gilt: f(t)= $20 + 39 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 39 e^{- k \cdot 5}$ = 53.

20 + 39 e^{- 5 k}

=

53,0018

$39 e^{- 5 k} + 20$	=	$53,0018$	\| $- 20$
$39 e^{- 5 k}$	=	$33,0018$	\|: $39$
$e^{- 5 k}$	=	$0,8462$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,8462)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,8462)$	≈ 0.0334

also k ≈ 0.033399908139234, => f(t)= $20 + 39 e^{- 0,0334 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 39 e^{- 0,0334 \cdot 4}$ ≈ 54.1

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 39 e^{- 0,0334 t}

=

50

$39 e^{- 0,0334 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$39 e^{- 0,0334 t}$	=	$30$	\|: $39$
$e^{- 0,0334 t}$	=	$\frac{10}{13}$	\|ln(⋅)
$- 0,0334 t$	=	$\ln (\frac{10}{13})$	\|: $- 0,0334$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0334} \ln (\frac{10}{13})$	≈ 7.8552

also t=7.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 2% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2347 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 79 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 8 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2933 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 79 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{79}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(3950 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=3950 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $3 950 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2347 ein (Punktprobe).

$2 347$	=	$3 950 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
$2 347$	=	$3 950 - c$
$2 347$	=	$- c + 3 950$	\| $- 2 347$ $+ c$
$c$	=	$1 603$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $3 950 - 1 603 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $3 950 - 1 603 e^{- 0,02 \cdot 8}$ ≈ 2584

Wann wird der Wert 2933?: f(t)=2933

3 950 - 1 603 e^{- 0,02 t}

=

2 933

$- 1 603 e^{- 0,02 t} + 3 950$	=	$2 933$	\| $- 3 950$
$- 1 603 e^{- 0,02 t}$	=	$- 1 017$	\|: $- 1 603$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{1017}{1603}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{1017}{1603})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{1017}{1603})$	≈ 22.751

also t=22.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $13 e^{0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,06$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.