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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 9g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 8,476g übrig.
a) Wie viel g sind noch nach 3 Tagen da?
b) Wann sind nur noch 6g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $9 e^{k \cdot 2}$ = 8,4759.

$9 e^{2 k}$	=	$8,4759$	\|: $9$
$e^{2 k}$	=	$0,9418$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (0,9418)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (0,9418)$	≈ -0.03

also k ≈ -0.029981170586341, => f(t)= $9 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $9 e^{- 0,03 \cdot 3}$ ≈ 8.2

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$9 e^{- 0,03 t}$	=	$6$	\|: $9$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0.03} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 13.5155

also t=13.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 751 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 3g davon vorhanden.
a) Wie viel g Gaußium sind nach 1695 Tagen noch da?
b) Nach wie vielen Tagen ist noch 1,2g Gaußium da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{751}$ ≈ -0.00092296561992003

=> f(t)= $3 e^{- 0,000923 t}$

Wert zur Zeit 1695: f(1695)= $3 e^{- 0,000923 \cdot 1695}$ ≈ 0.6

Wann wird der Wert 1.2?: f(t)=1.2

$3 e^{- 0,000923 t}$	=	$1,2$	\|: $3$
$e^{- 0,000923 t}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,000923 t$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,000923$
$t$	=	$- \frac{1}{0.000923} \ln (0,4)$	≈ 992.731

also t=992.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 9% seiner Masse.
a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden.
b) Wann sind noch 55% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.91) ≈ -0.094310679471241

=> f(t)= $100 e^{- 0,0943 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,0943 \cdot 3}$ ≈ 75.4

Wann wird der Wert 55?: f(t)=55

$100 e^{- 0,0943 t}$	=	$55$	\|: $100$
$e^{- 0,0943 t}$	=	$\frac{11}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,0943 t$	=	$\ln (\frac{11}{20})$	\|: $- 0,0943$
$t$	=	$- \frac{1}{0.0943} \ln (\frac{11}{20})$	≈ 6.3397

also t=6.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 56° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°.
a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?
b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 56 ist, gilt: f(0)= 56, also 56 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$56$	=	$20 - c$
$56$	=	$- c + 20$	\| $- 56$ $+ c$
$c$	=	$- 36$

somit gilt: f(t)= $20 + 36 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 36 e^{- k \cdot 4}$ = 54.

20 + 36 e^{- 4 k}

=

53,9986

$36 e^{- 4 k} + 20$	=	$53,9986$	\| $- 20$
$36 e^{- 4 k}$	=	$33,9986$	\|: $36$
$e^{- 4 k}$	=	$0,9444$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,9444)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,9444)$	≈ 0.0143

also k ≈ 0.014301368442695, => f(t)= $20 + 36 e^{- 0,0143 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 36 e^{- 0,0143 \cdot 4}$ ≈ 54

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 36 e^{- 0,0143 t}

=

50

$36 e^{- 0,0143 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$36 e^{- 0,0143 t}$	=	$30$	\|: $36$
$e^{- 0,0143 t}$	=	$\frac{5}{6}$	\|ln(⋅)
$- 0,0143 t$	=	$\ln (\frac{5}{6})$	\|: $- 0,0143$
$t$	=	$- \frac{1}{0.0143} \ln (\frac{5}{6})$	≈ 12.7498

also t=12.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2862 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 86 Wörter zu lernen.
a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 10 Monaten?
b) Wann beträgt dieser 2229 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 86 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{86}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(2150 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=2150 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $2 150 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2862 ein (Punktprobe).

$2 862$	=	$2 150 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$2 862$	=	$2 150 - c$
$2 862$	=	$- c + 2 150$	\| $- 2 862$ $+ c$
$c$	=	$- 712$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $2 150 + 712 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $2 150 + 712 e^{- 0,04 \cdot 10}$ ≈ 2627.3

Wann wird der Wert 2229?: f(t)=2229

2 150 + 712 e^{- 0,04 t}

=

2 229

$712 e^{- 0,04 t} + 2 150$	=	$2 229$	\| $- 2 150$
$712 e^{- 0,04 t}$	=	$79$	\|: $712$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{79}{712}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{79}{712})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0.04} \ln (\frac{79}{712})$	≈ 54.9658

also t=55

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $18 e^{0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,09$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.