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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 10g vorhanden. Nach 10 Tagen sind nur noch 9,048g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 9g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $10 e^{k \cdot 10}$ = 9,0484.

$10 e^{10 k}$	=	$9,0484$	\|: $10$
$e^{10 k}$	=	$0,9048$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (0,9048)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (0,9048)$	≈ -0.01

also k ≈ -0.010004135418023, => f(t)= $10 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $10 e^{- 0,01 \cdot 11}$ ≈ 9

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$10 e^{- 0,01 t}$	=	$9$	\|: $10$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{9}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{9}{10})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{9}{10})$	≈ 10.5361

also t=10.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1617 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2157? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,9 Milliarden Blondies?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1617}$ ≈ -0.00042866244932588

=> f(t)= $e^{- 0,0004 t}$

Wert zur Zeit 157: f(157)= $e^{- 0,0004 \cdot 157}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.9?: f(t)=0.9

$e^{- 0,0004 t}$	=	$0,9$	\|ln(⋅)
$- 0,0004 t$	=	$\ln (0,9)$	\|: $- 0,0004$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0004} \ln (0,9)$	≈ 245.5956

also t=245.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 70% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.9) ≈ -0.10536051565783

=> f(t)= $100 e^{- 0,1054 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,1054 \cdot 3}$ ≈ 72.9

Wann wird der Wert 70?: f(t)=70

$100 e^{- 0,1054 t}$	=	$70$	\|: $100$
$e^{- 0,1054 t}$	=	$\frac{7}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,1054 t$	=	$\ln (\frac{7}{10})$	\|: $- 0,1054$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1054} \ln (\frac{7}{10})$	≈ 3.384

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 30°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 21,87°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 12 Minuten? b) Wann ist sie 18°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=30 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $30 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $30 - c$ = $30 - c$

$10$	=	$30 - c$
$10$	=	$- c + 30$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $30 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $30 - 20 e^{- k \cdot 10}$ = 21,87.

30 - 20 e^{- 10 k}

=

21,8686

$- 20 e^{- 10 k} + 30$	=	$21,8686$	\| $- 30$
$- 20 e^{- 10 k}$	=	$- 8,1314$	\|: $- 20$
$e^{- 10 k}$	=	$0,4066$	\|ln(⋅)
$- 10 k$	=	$\ln (0,4066)$	\|: $- 10$
$k$	=	$- \frac{1}{10} \ln (0,4066)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.089992537778789, => f(t)= $30 - 20 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $30 - 20 e^{- 0,09 \cdot 12}$ ≈ 23.2

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

30 - 20 e^{- 0,09 t}

=

18

$- 20 e^{- 0,09 t} + 30$	=	$18$	\| $- 30$
$- 20 e^{- 0,09 t}$	=	$- 12$	\|: $- 20$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{3}{5})$	≈ 5.6758

also t=5.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 9 Jahren, wenn jedes Jahr 0,5 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 58 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.5 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{0.5}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(50 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=50 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $50 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$50 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$80$	=	$50 - c$
$80$	=	$- c + 50$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 30$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $50 + 30 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $50 + 30 e^{- 0,01 \cdot 9}$ ≈ 77.4

Wann wird der Wert 58?: f(t)=58

50 + 30 e^{- 0,01 t}

=

58

$30 e^{- 0,01 t} + 50$	=	$58$	\| $- 50$
$30 e^{- 0,01 t}$	=	$8$	\|: $30$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{4}{15}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{4}{15})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{4}{15})$	≈ 132.1756

also t=132.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{- 0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,03$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.