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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 8g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 4,261g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 12 Tagen da? b) Wann sind nur noch 2g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $8 e^{k \cdot 9}$ = 4,2607.

$8 e^{9 k}$	=	$4,2607$	\|: $8$
$e^{9 k}$	=	$0,5326$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (0,5326)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (0,5326)$	≈ -0.07

also k ≈ -0.069998289511367, => f(t)= $8 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $8 e^{- 0,07 \cdot 12}$ ≈ 3.5

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$8 e^{- 0,07 t}$	=	$2$	\|: $8$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 19.8042

also t=19.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1855 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2127? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,6 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1855}$ ≈ -0.00037366424828029

=> f(t)= $e^{- 0,0004 t}$

Wert zur Zeit 127: f(127)= $e^{- 0,0004 \cdot 127}$ ≈ 1

Wann wird der Wert 0.6?: f(t)=0.6

$e^{- 0,0004 t}$	=	$0,6$	\|ln(⋅)
$- 0,0004 t$	=	$\ln (0,6)$	\|: $- 0,0004$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0004} \ln (0,6)$	≈ 1365.8439

also t=1365.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 17% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 17 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.83) ≈ -0.18632957819149

=> f(t)= $17 e^{- 0,1863 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $17 e^{- 0,1863 \cdot 3}$ ≈ 9.7

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$17 e^{- 0,1863 t}$	=	$1$	\|: $17$
$e^{- 0,1863 t}$	=	$\frac{1}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,1863 t$	=	$\ln (\frac{1}{17})$	\|: $- 0,1863$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1863} \ln (\frac{1}{17})$	≈ 15.2078

also t=15.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 30°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 16,59°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 20°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=30 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $30 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $30 - c$ = $30 - c$

$10$	=	$30 - c$
$10$	=	$- c + 30$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $30 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $30 - 20 e^{- k \cdot 4}$ = 16,59.

30 - 20 e^{- 4 k}

=

16,5936

$- 20 e^{- 4 k} + 30$	=	$16,5936$	\| $- 30$
$- 20 e^{- 4 k}$	=	$- 13,4064$	\|: $- 20$
$e^{- 4 k}$	=	$0,6703$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,6703)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,6703)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.10000747640456, => f(t)= $30 - 20 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $30 - 20 e^{- 0,1 \cdot 6}$ ≈ 19

Wann wird der Wert 20?: f(t)=20

30 - 20 e^{- 0,1 t}

=

20

$- 20 e^{- 0,1 t} + 30$	=	$20$	\| $- 30$
$- 20 e^{- 0,1 t}$	=	$- 10$	\|: $- 20$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 6.9315

also t=6.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 9ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 5% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 9 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 132ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 9 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{9}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(180 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=180 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $180 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$180 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
0	=	$180 - c$
0	=	$- c + 180$	\|0 $+ c$
$c$	=	$180$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $180 - 180 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $180 - 180 e^{- 0,05 \cdot 9}$ ≈ 65.2

Wann wird der Wert 132?: f(t)=132

180 - 180 e^{- 0,05 t}

=

132

$- 180 e^{- 0,05 t} + 180$	=	$132$	\| $- 180$
$- 180 e^{- 0,05 t}$	=	$- 48$	\|: $- 180$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{4}{15}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{4}{15})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{4}{15})$	≈ 26.4351

also t=26.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $6 e^{- 0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,1$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.