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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 11g vorhanden. Nach 3 Tagen sind nur noch 10,359g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 4 Tagen da? b) Wann sind nur noch 9g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $11 e^{k \cdot 3}$ = 10,3594.

$11 e^{3 k}$	=	$10,3594$	\|: $11$
$e^{3 k}$	=	$0,9418$	\|ln(⋅)
$3 k$	=	$\ln (0,9418)$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{1}{3} \ln (0,9418)$	≈ -0.02

also k ≈ -0.019987447057561, => f(t)= $11 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $11 e^{- 0,02 \cdot 4}$ ≈ 10.2

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$11 e^{- 0,02 t}$	=	$9$	\|: $11$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{9}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{9}{11})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{9}{11})$	≈ 10.0335

also t=10

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 193 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 4g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 355 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 2g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{193}$ ≈ -0.0035914361687044

=> f(t)= $4 e^{- 0,0036 t}$

Wert zur Zeit 355: f(355)= $4 e^{- 0,0036 \cdot 355}$ ≈ 1.1

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$4 e^{- 0,0036 t}$	=	$2$	\|: $4$
$e^{- 0,0036 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,0036 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,0036$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0036} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 193.0234

also t=193

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 4% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 10 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 11 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.04) ≈ 0.039220713153281

=> f(t)= $10 e^{0,0392 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $10 e^{0,0392 \cdot 2}$ ≈ 10.8

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

$10 e^{0,0392 t}$	=	$11$	\|: $10$
$e^{0,0392 t}$	=	$\frac{11}{10}$	\|ln(⋅)
$0,0392 t$	=	$\ln (\frac{11}{10})$	\|: $0,0392$
$t$	=	$\frac{1}{0,0392} \ln (\frac{11}{10})$	≈ 2.4314

also t=2.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 30 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 1,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 30.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

29,9998

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$29,9998$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 7,0002$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,35$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,35)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,35)$	≈ 2.0996

also k ≈ 2.0996442489974, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,0996 t}$

Wert zur Zeit 1.5: f(1.5)= $37 - 20 e^{- 2,0996 \cdot 1,5}$ ≈ 36.1

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,0996 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,0996 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,0996 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,0996 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,0996 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,0996$
$t$	=	$- \frac{1}{2,0996} \ln (0,005)$	≈ 2.5235

also t=2.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 7 Jahren, wenn jedes Jahr 0,5 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 59 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.5 - 0.011⋅f(t)

wenn man 0.011 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.011( $\frac{0.5}{0.011}$ - f(t))

also f'(t) = 0.011(45.45 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=45.45 und der Wachstumsfaktor k=0.011 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $45,45 - c \cdot e^{- 0,011 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$45,45 - c \cdot e^{- 0,011 \cdot 0}$
$80$	=	$45,45 - c$
$80$	=	$- c + 45,45$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 34,55$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $45,45 + 34,55 e^{- 0,011 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $45,45 + 34,55 e^{- 0,011 \cdot 7}$ ≈ 77.4

Wann wird der Wert 59?: f(t)=59

45,45 + 34,55 e^{- 0,011 t}

=

59

$34,55 e^{- 0,011 t} + 45,45$	=	$59$	\| $- 45,45$
$34,55 e^{- 0,011 t}$	=	$13,55$	\|: $34,55$
$e^{- 0,011 t}$	=	$0,3922$	\|ln(⋅)
$- 0,011 t$	=	$\ln (0,3922)$	\|: $- 0,011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,011} \ln (0,3922)$	≈ 85.0894

also t=85.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $9 e^{0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,06$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.