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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 95 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 19 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 95: f(95)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 95}$ ≈ 1.1

Wann wird der Wert 19?: f(t)=19

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$19$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$950 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (950 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (950 000)$	≈ 119.5849

also t=119.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1673 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2126? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,6 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1673}$ ≈ -0.00041431391545723

=> f(t)= $e^{- 0,0004 t}$

Wert zur Zeit 126: f(126)= $e^{- 0,0004 \cdot 126}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.6?: f(t)=0.6

$e^{- 0,0004 t}$	=	$0,6$	\|ln(⋅)
$- 0,0004 t$	=	$\ln (0,6)$	\|: $- 0,0004$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0004} \ln (0,6)$	≈ 1233.8783

also t=1233.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 16% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 19 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 7 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.84) ≈ -0.17435338714478

=> f(t)= $19 e^{- 0,1744 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $19 e^{- 0,1744 \cdot 3}$ ≈ 11.3

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$19 e^{- 0,1744 t}$	=	$7$	\|: $19$
$e^{- 0,1744 t}$	=	$\frac{7}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,1744 t$	=	$\ln (\frac{7}{19})$	\|: $- 0,1744$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1744} \ln (\frac{7}{19})$	≈ 5.7255

also t=5.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 57° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 57 ist, gilt: f(0)= 57, also 57 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$57$	=	$20 - c$
$57$	=	$- c + 20$	\| $- 57$ $+ c$
$c$	=	$- 37$

somit gilt: f(t)= $20 + 37 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 37 e^{- k \cdot 5}$ = 54.

20 + 37 e^{- 5 k}

=

54,002

$37 e^{- 5 k} + 20$	=	$54,002$	\| $- 20$
$37 e^{- 5 k}$	=	$34,002$	\|: $37$
$e^{- 5 k}$	=	$0,919$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,919)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,919)$	≈ 0.0169

also k ≈ 0.01689383132529, => f(t)= $20 + 37 e^{- 0,0169 t}$

Wert zur Zeit 1: f(1)= $20 + 37 e^{- 0,0169 \cdot 1}$ ≈ 56.4

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 37 e^{- 0,0169 t}

=

50

$37 e^{- 0,0169 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$37 e^{- 0,0169 t}$	=	$30$	\|: $37$
$e^{- 0,0169 t}$	=	$\frac{30}{37}$	\|ln(⋅)
$- 0,0169 t$	=	$\ln (\frac{30}{37})$	\|: $- 0,0169$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0169} \ln (\frac{30}{37})$	≈ 12.4095

also t=12.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,5% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 9 Jahren, wenn jedes Jahr 0,3 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 47 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.3 - 0.015⋅f(t)

wenn man 0.015 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.015( $\frac{0.3}{0.015}$ - f(t))

also f'(t) = 0.015(20 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=20 und der Wachstumsfaktor k=0.015 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $20 - c \cdot e^{- 0,015 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$20 - c \cdot e^{- 0,015 \cdot 0}$
$80$	=	$20 - c$
$80$	=	$- c + 20$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 60$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $20 + 60 e^{- 0,015 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $20 + 60 e^{- 0,015 \cdot 9}$ ≈ 72.4

Wann wird der Wert 47?: f(t)=47

20 + 60 e^{- 0,015 t}

=

47

$60 e^{- 0,015 t} + 20$	=	$47$	\| $- 20$
$60 e^{- 0,015 t}$	=	$27$	\|: $60$
$e^{- 0,015 t}$	=	$\frac{9}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,015 t$	=	$\ln (\frac{9}{20})$	\|: $- 0,015$
$t$	=	$- \frac{1}{0,015} \ln (\frac{9}{20})$	≈ 53.2338

also t=53.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,02$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.