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cosh
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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 5g vorhanden. Nach 7 Tagen sind nur noch 4,347g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 9 Tagen da? b) Wann sind nur noch 4g davon übrig?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= = 4,3468.
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ -0.02 |
also k ≈ -0.019993137203921, => f(t)=
Wert zur Zeit 9: f(9)= ≈ 4.2
Wann wird der Wert 4?: f(t)=4
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 11.1572 |
also t=11.2
Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit
Beispiel:
Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 76 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 55 Pa beträgt?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Wir berechnen k über die Verdopplungszeit.
Dazu stellen wir die Formel TV= um zu
k==
≈ 0.11514072766777
=> f(t)=
Wert zur Zeit 76: f(76)= ≈ 0.1
Wann wird der Wert 55?: f(t)=55
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 128.7735 |
also t=128.8
Exponentielles Wachstum mit Prozent
Beispiel:
Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 13% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 20 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 12 Lux?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.87) ≈ -0.13926206733351
=> f(t)=
Wert zur Zeit 4: f(4)= ≈ 11.5
Wann wird der Wert 12?: f(t)=12
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 3.6671 |
also t=3.7
beschränktes Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 6° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 2 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 7,81°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 3 Minuten? b) Wann ist sie 16°C warm?
Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.
Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = = =
| = | |||
| = | | | ||
| = |
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= = 7,81.
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 0.05 |
also k ≈ 0.050020677090113, => f(t)=
Wert zur Zeit 3: f(3)= ≈ 8.6
Wann wird der Wert 16?: f(t)=16
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 14.9443 |
also t=14.9
beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung
Beispiel:
Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3743 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 88 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 11 Monaten? b) Wann beträgt dieser 4358 Wörter ?
Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:
f'(t) = 88 - 0.01⋅f(t)
wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung
f'(t) = 0.01( - f(t))
also f'(t) = 0.01(8800 - f(t))
das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))
Wir wissen nun also, dass die Schranke S=8800 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.
Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= haben.
Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3743 ein (Punktprobe).
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = |
somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)=
Wert zur Zeit 11: f(11)= ≈ 4269.8
Wann wird der Wert 4358?: f(t)=4358
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 12.9669 |
also t=13
Halbwerts- + Verdopplungszeit best.
Beispiel:
Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.
Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent () erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.
Dazu setzen wir k = einfach in die Formel TH = - ein:
TH = - ≈ 17.329 min
