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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 9 Millionen Algen im Teich. Nach 9 Stunden sind es 15,444 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 11 Stunden? b) Wann waren es 12 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $9 e^{k \cdot 9}$ = 15,4441.

$9 e^{9 k}$	=	$15,4441$	\|: $9$
$e^{9 k}$	=	$1,716$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (1,716)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (1,716)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.059999555673974, => f(t)= $9 e^{0,06 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $9 e^{0,06 \cdot 11}$ ≈ 17.4

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

$9 e^{0,06 t}$	=	$12$	\|: $9$
$e^{0,06 t}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$0,06 t$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $0,06$
$t$	=	$\frac{1}{0,06} \ln (\frac{4}{3})$	≈ 4.7947

also t=4.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 16 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 6-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 25 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 10-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{16}$ ≈ 0.043321698784997

=> f(t)= $6 e^{0,0433 t}$

Wert zur Zeit 25: f(25)= $6 e^{0,0433 \cdot 25}$ ≈ 17.7

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$6 e^{0,0433 t}$	=	$10$	\|: $6$
$e^{0,0433 t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$0,0433 t$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $0,0433$
$t$	=	$\frac{1}{0,0433} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 11.7914

also t=11.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 6% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 19 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 24 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.06) ≈ 0.058268908123976

=> f(t)= $19 e^{0,0583 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $19 e^{0,0583 \cdot 2}$ ≈ 21.3

Wann wird der Wert 24?: f(t)=24

$19 e^{0,0583 t}$	=	$24$	\|: $19$
$e^{0,0583 t}$	=	$\frac{24}{19}$	\|ln(⋅)
$0,0583 t$	=	$\ln (\frac{24}{19})$	\|: $0,0583$
$t$	=	$\frac{1}{0,0583} \ln (\frac{24}{19})$	≈ 4.0071

also t=4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 63° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 63 ist, gilt: f(0)= 63, also 63 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$63$	=	$20 - c$
$63$	=	$- c + 20$	\| $- 63$ $+ c$
$c$	=	$- 43$

somit gilt: f(t)= $20 + 43 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 43 e^{- k \cdot 4}$ = 54.

20 + 43 e^{- 4 k}

=

54,0013

$43 e^{- 4 k} + 20$	=	$54,0013$	\| $- 20$
$43 e^{- 4 k}$	=	$34,0013$	\|: $43$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7907$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7907)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7907)$	≈ 0.0587

also k ≈ 0.058709162476314, => f(t)= $20 + 43 e^{- 0,0587 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 43 e^{- 0,0587 \cdot 2}$ ≈ 58.2

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 43 e^{- 0,0587 t}

=

50

$43 e^{- 0,0587 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$43 e^{- 0,0587 t}$	=	$30$	\|: $43$
$e^{- 0,0587 t}$	=	$\frac{30}{43}$	\|ln(⋅)
$- 0,0587 t$	=	$\ln (\frac{30}{43})$	\|: $- 0,0587$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0587} \ln (\frac{30}{43})$	≈ 6.1329

also t=6.1

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3484 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 73 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 15 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2808 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 73 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{73}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(912.5 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=912.5 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $912,5 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3484 ein (Punktprobe).

$3 484$	=	$912,5 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$3 484$	=	$912,5 - c$
$3 484$	=	$- c + 912,5$	\| $- 3 484$ $+ c$
$c$	=	$- 2 571,5$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $912,5 + 2 571,5 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $912,5 + 2 571,5 e^{- 0,08 \cdot 15}$ ≈ 1687

Wann wird der Wert 2808?: f(t)=2808

912,5 + 2 571,5 e^{- 0,08 t}

=

2 808

$2 571,5 e^{- 0,08 t} + 912,5$	=	$2 808$	\| $- 912,5$
$2 571,5 e^{- 0,08 t}$	=	$1 895,5$	\|: $2 571,5$
$e^{- 0,08 t}$	=	$0,7371$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (0,7371)$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (0,7371)$	≈ 3.8129

also t=3.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $15 e^{0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,02$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.