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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 11 Millionen Algen im Teich. Nach 3 Stunden sind es 13,984 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 4 Stunden? b) Wann waren es 15 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $11 e^{k \cdot 3}$ = 13,9837.

$11 e^{3 k}$	=	$13,9837$	\|: $11$
$e^{3 k}$	=	$1,2712$	\|ln(⋅)
$3 k$	=	$\ln (1,2712)$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{1}{3} \ln (1,2712)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.079987112080123, => f(t)= $11 e^{0,08 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $11 e^{0,08 \cdot 4}$ ≈ 15.1

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

$11 e^{0,08 t}$	=	$15$	\|: $11$
$e^{0,08 t}$	=	$\frac{15}{11}$	\|ln(⋅)
$0,08 t$	=	$\ln (\frac{15}{11})$	\|: $0,08$
$t$	=	$\frac{1}{0,08} \ln (\frac{15}{11})$	≈ 3.8769

also t=3.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 96 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 70 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 96: f(96)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 96}$ ≈ 1.3

Wann wird der Wert 70?: f(t)=70

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$70$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$3 500 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (3 500 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (3 500 000)$	≈ 130.868

also t=130.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 14% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 5 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 30% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.86) ≈ -0.15082288973458

=> f(t)= $100 e^{- 0,1508 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 e^{- 0,1508 \cdot 5}$ ≈ 47

Wann wird der Wert 30?: f(t)=30

$100 e^{- 0,1508 t}$	=	$30$	\|: $100$
$e^{- 0,1508 t}$	=	$\frac{3}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,1508 t$	=	$\ln (\frac{3}{10})$	\|: $- 0,1508$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1508} \ln (\frac{3}{10})$	≈ 7.9839

also t=8

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 28°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 12,51°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 8 Minuten? b) Wann ist sie 23°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=28 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $28 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $28 - c$ = $28 - c$

$10$	=	$28 - c$
$10$	=	$- c + 28$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$18$

somit gilt: f(t)= $28 - 18 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $28 - 18 e^{- k \cdot 5}$ = 12,51.

28 - 18 e^{- 5 k}

=

12,5073

$- 18 e^{- 5 k} + 28$	=	$12,5073$	\| $- 28$
$- 18 e^{- 5 k}$	=	$- 15,4927$	\|: $- 18$
$e^{- 5 k}$	=	$0,8607$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,8607)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,8607)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.030001853465342, => f(t)= $28 - 18 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $28 - 18 e^{- 0,03 \cdot 8}$ ≈ 13.8

Wann wird der Wert 23?: f(t)=23

28 - 18 e^{- 0,03 t}

=

23

$- 18 e^{- 0,03 t} + 28$	=	$23$	\| $- 28$
$- 18 e^{- 0,03 t}$	=	$- 5$	\|: $- 18$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{5}{18}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{5}{18})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{5}{18})$	≈ 42.6978

also t=42.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 9ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 1% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 15 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 325ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 9 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{9}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(900 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=900 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $900 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$900 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
0	=	$900 - c$
0	=	$- c + 900$	\|0 $+ c$
$c$	=	$900$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $900 - 900 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $900 - 900 e^{- 0,01 \cdot 15}$ ≈ 125.4

Wann wird der Wert 325?: f(t)=325

900 - 900 e^{- 0,01 t}

=

325

$- 900 e^{- 0,01 t} + 900$	=	$325$	\| $- 900$
$- 900 e^{- 0,01 t}$	=	$- 575$	\|: $- 900$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{23}{36}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{23}{36})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{23}{36})$	≈ 44.8025

also t=44.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{- 0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,06$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,06}$ ≈ 11.552 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.