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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 6g vorhanden. Nach 10 Tagen sind nur noch 5,429g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 13 Tagen da? b) Wann sind nur noch 6g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $6 e^{k \cdot 10}$ = 5,429.

$6 e^{10 k}$	=	$5,429$	\|: $6$
$e^{10 k}$	=	$0,9048$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (0,9048)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (0,9048)$	≈ -0.01

also k ≈ -0.010004135418023, => f(t)= $6 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $6 e^{- 0,01 \cdot 13}$ ≈ 5.3

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$6 e^{- 0,01 t}$	=	$6$	\|: $6$
$e^{- 0,01 t}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	0	\|: $- 0,01$
$t$	=	0	≈ 0

also t=0

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 19 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 10-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 34 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 33,33-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{19}$ ≈ 0.036481430555787

=> f(t)= $10 e^{0,0365 t}$

Wert zur Zeit 34: f(34)= $10 e^{0,0365 \cdot 34}$ ≈ 34.6

Wann wird der Wert 33.33?: f(t)=33.33

$10 e^{0,0365 t}$	=	$33,33$	\|: $10$
$e^{0,0365 t}$	=	$3,333$	\|ln(⋅)
$0,0365 t$	=	$\ln (3,333)$	\|: $0,0365$
$t$	=	$\frac{1}{0,0365} \ln (3,333)$	≈ 33

also t=33

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 14% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 13 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 18 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.14) ≈ 0.1310282624064

=> f(t)= $13 e^{0,131 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $13 e^{0,131 \cdot 4}$ ≈ 22

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

$13 e^{0,131 t}$	=	$18$	\|: $13$
$e^{0,131 t}$	=	$\frac{18}{13}$	\|ln(⋅)
$0,131 t$	=	$\ln (\frac{18}{13})$	\|: $0,131$
$t$	=	$\frac{1}{0,131} \ln (\frac{18}{13})$	≈ 2.4841

also t=2.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 64° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 64 ist, gilt: f(0)= 64, also 64 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$64$	=	$20 - c$
$64$	=	$- c + 20$	\| $- 64$ $+ c$
$c$	=	$- 44$

somit gilt: f(t)= $20 + 44 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 44 e^{- k \cdot 4}$ = 52.

20 + 44 e^{- 4 k}

=

52,0017

$44 e^{- 4 k} + 20$	=	$52,0017$	\| $- 20$
$44 e^{- 4 k}$	=	$32,0017$	\|: $44$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7273$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7273)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7273)$	≈ 0.0796

also k ≈ 0.079604057955411, => f(t)= $20 + 44 e^{- 0,0796 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 44 e^{- 0,0796 \cdot 4}$ ≈ 52

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 44 e^{- 0,0796 t}

=

50

$44 e^{- 0,0796 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$44 e^{- 0,0796 t}$	=	$30$	\|: $44$
$e^{- 0,0796 t}$	=	$\frac{15}{22}$	\|ln(⋅)
$- 0,0796 t$	=	$\ln (\frac{15}{22})$	\|: $- 0,0796$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0796} \ln (\frac{15}{22})$	≈ 4.8115

also t=4.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3025 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 79 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 14 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2976 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 79 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{79}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(987.5 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=987.5 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $987,5 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3025 ein (Punktprobe).

$3 025$	=	$987,5 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$3 025$	=	$987,5 - c$
$3 025$	=	$- c + 987,5$	\| $- 3 025$ $+ c$
$c$	=	$- 2 037,5$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $987,5 + 2 037,5 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $987,5 + 2 037,5 e^{- 0,08 \cdot 14}$ ≈ 1652.3

Wann wird der Wert 2976?: f(t)=2976

987,5 + 2 037,5 e^{- 0,08 t}

=

2 976

$2 037,5 e^{- 0,08 t} + 987,5$	=	$2 976$	\| $- 987,5$
$2 037,5 e^{- 0,08 t}$	=	$1 988,5$	\|: $2 037,5$
$e^{- 0,08 t}$	=	$0,976$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (0,976)$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (0,976)$	≈ 0.3037

also t=0.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $4 e^{- 0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,01$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,01}$ ≈ 69.315 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.