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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 16g vorhanden. Nach 8 Tagen sind nur noch 8,437g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 3g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $16 e^{k \cdot 8}$ = 8,4367.

$16 e^{8 k}$	=	$8,4367$	\|: $16$
$e^{8 k}$	=	$0,5273$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (0,5273)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (0,5273)$	≈ -0.08

also k ≈ -0.079998204055714, => f(t)= $16 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $16 e^{- 0,08 \cdot 11}$ ≈ 6.6

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$16 e^{- 0,08 t}$	=	$3$	\|: $16$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{3}{16}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{3}{16})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{3}{16})$	≈ 20.9247

also t=20.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 938 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 17g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 591 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 6,8g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{938}$ ≈ -0.00073896287906178

=> f(t)= $17 e^{- 0,0007 t}$

Wert zur Zeit 591: f(591)= $17 e^{- 0,0007 \cdot 591}$ ≈ 11

Wann wird der Wert 6.8?: f(t)=6.8

$17 e^{- 0,0007 t}$	=	$6,8$	\|: $17$
$e^{- 0,0007 t}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,0007 t$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,0007$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0007} \ln (0,4)$	≈ 1239.9063

also t=1239.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 20% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 20 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.8) ≈ -0.22314355131421

=> f(t)= $20 e^{- 0,2231 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 e^{- 0,2231 \cdot 4}$ ≈ 8.2

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$20 e^{- 0,2231 t}$	=	$1$	\|: $20$
$e^{- 0,2231 t}$	=	$\frac{1}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,2231 t$	=	$\ln (\frac{1}{20})$	\|: $- 0,2231$
$t$	=	$- \frac{1}{0,2231} \ln (\frac{1}{20})$	≈ 13.4278

also t=13.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 30°C wird eine Limo aus einem 9° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 6 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 10,22°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 9 Minuten? b) Wann ist sie 21°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=30 sein muss.

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $30 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $30 - c$ = $30 - c$

$9$	=	$30 - c$
$9$	=	$- c + 30$	\| $- 9$ $+ c$
$c$	=	$21$

somit gilt: f(t)= $30 - 21 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $30 - 21 e^{- k \cdot 6}$ = 10,22.

30 - 21 e^{- 6 k}

=

10,2229

$- 21 e^{- 6 k} + 30$	=	$10,2229$	\| $- 30$
$- 21 e^{- 6 k}$	=	$- 19,7771$	\|: $- 21$
$e^{- 6 k}$	=	$0,9418$	\|ln(⋅)
$- 6 k$	=	$\ln (0,9418)$	\|: $- 6$
$k$	=	$- \frac{1}{6} \ln (0,9418)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.0099937235287805, => f(t)= $30 - 21 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $30 - 21 e^{- 0,01 \cdot 9}$ ≈ 10.8

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

30 - 21 e^{- 0,01 t}

=

21

$- 21 e^{- 0,01 t} + 30$	=	$21$	\| $- 30$
$- 21 e^{- 0,01 t}$	=	$- 9$	\|: $- 21$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{3}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{3}{7})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{3}{7})$	≈ 84.7298

also t=84.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2844 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 81 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 15 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1069 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 81 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{81}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(1012.5 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1012.5 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 012,5 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2844 ein (Punktprobe).

$2 844$	=	$1 012,5 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$2 844$	=	$1 012,5 - c$
$2 844$	=	$- c + 1 012,5$	\| $- 2 844$ $+ c$
$c$	=	$- 1 831,5$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 012,5 + 1 831,5 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $1 012,5 + 1 831,5 e^{- 0,08 \cdot 15}$ ≈ 1564.1

Wann wird der Wert 1069?: f(t)=1069

1 012,5 + 1 831,5 e^{- 0,08 t}

=

1 069

$1 831,5 e^{- 0,08 t} + 1 012,5$	=	$1 069$	\| $- 1 012,5$
$1 831,5 e^{- 0,08 t}$	=	$56,5$	\|: $1 831,5$
$e^{- 0,08 t}$	=	$0,0308$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (0,0308)$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (0,0308)$	≈ 43.503

also t=43.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $12 e^{0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,06$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.