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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 7g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 6,462g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 3 Tagen da? b) Wann sind nur noch 6g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $7 e^{k \cdot 2}$ = 6,4618.

$7 e^{2 k}$	=	$6,4618$	\|: $7$
$e^{2 k}$	=	$0,9231$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (0,9231)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (0,9231)$	≈ -0.04

also k ≈ -0.040008853993016, => f(t)= $7 e^{- 0,04 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $7 e^{- 0,04 \cdot 3}$ ≈ 6.2

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$7 e^{- 0,04 t}$	=	$6$	\|: $7$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 3.8538

also t=3.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 73 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 83 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 73: f(73)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 73}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 83?: f(t)=83

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$83$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 150 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 150 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 150 000)$	≈ 132.3475

also t=132.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 12% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 7 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 3 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.88) ≈ -0.12783337150988

=> f(t)= $7 e^{- 0,1278 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $7 e^{- 0,1278 \cdot 5}$ ≈ 3.7

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$7 e^{- 0,1278 t}$	=	$3$	\|: $7$
$e^{- 0,1278 t}$	=	$\frac{3}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,1278 t$	=	$\ln (\frac{3}{7})$	\|: $- 0,1278$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1278} \ln (\frac{3}{7})$	≈ 6.6299

also t=6.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 4° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 6,19°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 20°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$4$	=	$27 - c$
$4$	=	$- c + 27$	\| $- 4$ $+ c$
$c$	=	$23$

somit gilt: f(t)= $27 - 23 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $27 - 23 e^{- k \cdot 5}$ = 6,19.

27 - 23 e^{- 5 k}

=

6,1887

$- 23 e^{- 5 k} + 27$	=	$6,1887$	\| $- 27$
$- 23 e^{- 5 k}$	=	$- 20,8113$	\|: $- 23$
$e^{- 5 k}$	=	$0,9048$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,9048)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,9048)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.020008270836045, => f(t)= $27 - 23 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $27 - 23 e^{- 0,02 \cdot 6}$ ≈ 6.6

Wann wird der Wert 20?: f(t)=20

27 - 23 e^{- 0,02 t}

=

20

$- 23 e^{- 0,02 t} + 27$	=	$20$	\| $- 27$
$- 23 e^{- 0,02 t}$	=	$- 7$	\|: $- 23$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{7}{23}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{7}{23})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{7}{23})$	≈ 59.4792

also t=59.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,4% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 12 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 77 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.014⋅f(t)

wenn man 0.014 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.014( $\frac{0.6}{0.014}$ - f(t))

also f'(t) = 0.014(42.86 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=42.86 und der Wachstumsfaktor k=0.014 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $42,86 - c \cdot e^{- 0,014 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$42,86 - c \cdot e^{- 0,014 \cdot 0}$
$80$	=	$42,86 - c$
$80$	=	$- c + 42,86$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 37,14$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $42,86 + 37,14 e^{- 0,014 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $42,86 + 37,14 e^{- 0,014 \cdot 12}$ ≈ 74.3

Wann wird der Wert 77?: f(t)=77

42,86 + 37,14 e^{- 0,014 t}

=

77

$37,14 e^{- 0,014 t} + 42,86$	=	$77$	\| $- 42,86$
$37,14 e^{- 0,014 t}$	=	$34,14$	\|: $37,14$
$e^{- 0,014 t}$	=	$0,9192$	\|ln(⋅)
$- 0,014 t$	=	$\ln (0,9192)$	\|: $- 0,014$
$t$	=	$- \frac{1}{0,014} \ln (0,9192)$	≈ 6.018

also t=6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $3 e^{- 0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,08$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.