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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 15g vorhanden. Nach 10 Tagen sind nur noch 8,232g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 10g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $15 e^{k \cdot 10}$ = 8,2322.

$15 e^{10 k}$	=	$8,2322$	\|: $15$
$e^{10 k}$	=	$0,5488$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (0,5488)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (0,5488)$	≈ -0.06

also k ≈ -0.060002120257046, => f(t)= $15 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $15 e^{- 0,06 \cdot 11}$ ≈ 7.8

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$15 e^{- 0,06 t}$	=	$10$	\|: $15$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 6.7578

also t=6.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 92 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 34 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 92: f(92)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 92}$ ≈ 0.8

Wann wird der Wert 34?: f(t)=34

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$34$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 700 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 700 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 700 000)$	≈ 124.5963

also t=124.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 5 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 35% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.87) ≈ -0.13926206733351

=> f(t)= $100 e^{- 0,1393 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 e^{- 0,1393 \cdot 5}$ ≈ 49.8

Wann wird der Wert 35?: f(t)=35

$100 e^{- 0,1393 t}$	=	$35$	\|: $100$
$e^{- 0,1393 t}$	=	$\frac{7}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,1393 t$	=	$\ln (\frac{7}{20})$	\|: $- 0,1393$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1393} \ln (\frac{7}{20})$	≈ 7.5364

also t=7.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 56° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 52,01° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 56 ist, gilt: f(0)= 56, also 56 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$56$	=	$20 - c$
$56$	=	$- c + 20$	\| $- 56$ $+ c$
$c$	=	$- 36$

somit gilt: f(t)= $20 + 36 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 36 e^{- k \cdot 4}$ = 52,01.

20 + 36 e^{- 4 k}

=

52,0059

$36 e^{- 4 k} + 20$	=	$52,0059$	\| $- 20$
$36 e^{- 4 k}$	=	$32,0059$	\|: $36$
$e^{- 4 k}$	=	$0,8891$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,8891)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,8891)$	≈ 0.0294

also k ≈ 0.029386390963761, => f(t)= $20 + 36 e^{- 0,0294 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 36 e^{- 0,0294 \cdot 3}$ ≈ 53

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 36 e^{- 0,0294 t}

=

50

$36 e^{- 0,0294 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$36 e^{- 0,0294 t}$	=	$30$	\|: $36$
$e^{- 0,0294 t}$	=	$\frac{5}{6}$	\|ln(⋅)
$- 0,0294 t$	=	$\ln (\frac{5}{6})$	\|: $- 0,0294$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0294} \ln (\frac{5}{6})$	≈ 6.2014

also t=6.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2045 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 86 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 14 Monaten? b) Wann beträgt dieser 4118 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 86 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{86}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(8600 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=8600 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $8 600 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2045 ein (Punktprobe).

$2 045$	=	$8 600 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$2 045$	=	$8 600 - c$
$2 045$	=	$- c + 8 600$	\| $- 2 045$ $+ c$
$c$	=	$6 555$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $8 600 - 6 555 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $8 600 - 6 555 e^{- 0,01 \cdot 14}$ ≈ 2901.4

Wann wird der Wert 4118?: f(t)=4118

8 600 - 6 555 e^{- 0,01 t}

=

4 118

$- 6 555 e^{- 0,01 t} + 8 600$	=	$4 118$	\| $- 8 600$
$- 6 555 e^{- 0,01 t}$	=	$- 4 482$	\|: $- 6 555$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{1494}{2185}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{1494}{2185})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{1494}{2185})$	≈ 38.0159

also t=38

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $13 e^{- 0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,01$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,01}$ ≈ 69.315 min

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