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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 84 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 58 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 84: f(84)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 84}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 58?: f(t)=58

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$58$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 900 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 900 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 900 000)$	≈ 129.2808

also t=129.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 766 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 3g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 2138 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 0,6g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{766}$ ≈ -0.00090489188062656

=> f(t)= $3 e^{- 0,0009 t}$

Wert zur Zeit 2138: f(2138)= $3 e^{- 0,0009 \cdot 2138}$ ≈ 0.4

Wann wird der Wert 0.6?: f(t)=0.6

$3 e^{- 0,0009 t}$	=	$0,6$	\|: $3$
$e^{- 0,0009 t}$	=	$0,2$	\|ln(⋅)
$- 0,0009 t$	=	$\ln (0,2)$	\|: $- 0,0009$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0009} \ln (0,2)$	≈ 1778.3844

also t=1778.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 14% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 10 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 4 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.86) ≈ -0.15082288973458

=> f(t)= $10 e^{- 0,1508 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $10 e^{- 0,1508 \cdot 4}$ ≈ 5.5

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$10 e^{- 0,1508 t}$	=	$4$	\|: $10$
$e^{- 0,1508 t}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,1508 t$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 0,1508$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1508} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 6.0762

also t=6.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 31°C wird eine Limo aus einem 4° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 7,99°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 7°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=31 sein muss.

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $31 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $31 - c$ = $31 - c$

$4$	=	$31 - c$
$4$	=	$- c + 31$	\| $- 4$ $+ c$
$c$	=	$27$

somit gilt: f(t)= $31 - 27 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $31 - 27 e^{- k \cdot 4}$ = 7,99.

31 - 27 e^{- 4 k}

=

7,9921

$- 27 e^{- 4 k} + 31$	=	$7,9921$	\| $- 31$
$- 27 e^{- 4 k}$	=	$- 23,0079$	\|: $- 27$
$e^{- 4 k}$	=	$0,8521$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,8521)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,8521)$	≈ 0.04

also k ≈ 0.040012847037057, => f(t)= $31 - 27 e^{- 0,04 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $31 - 27 e^{- 0,04 \cdot 6}$ ≈ 9.8

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

31 - 27 e^{- 0,04 t}

=

7

$- 27 e^{- 0,04 t} + 31$	=	$7$	\| $- 31$
$- 27 e^{- 0,04 t}$	=	$- 24$	\|: $- 27$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{8}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{8}{9})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{8}{9})$	≈ 2.9446

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2244 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 83 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 13 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1767 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 83 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{83}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(1660 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1660 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 660 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2244 ein (Punktprobe).

$2 244$	=	$1 660 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
$2 244$	=	$1 660 - c$
$2 244$	=	$- c + 1 660$	\| $- 2 244$ $+ c$
$c$	=	$- 584$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 660 + 584 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $1 660 + 584 e^{- 0,05 \cdot 13}$ ≈ 1964.9

Wann wird der Wert 1767?: f(t)=1767

1 660 + 584 e^{- 0,05 t}

=

1 767

$584 e^{- 0,05 t} + 1 660$	=	$1 767$	\| $- 1 660$
$584 e^{- 0,05 t}$	=	$107$	\|: $584$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{107}{584}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{107}{584})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{107}{584})$	≈ 33.9414

also t=33.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $17 e^{- 0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,06$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.