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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 14g vorhanden. Nach 10 Tagen sind nur noch 10,371g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 12 Tagen da? b) Wann sind nur noch 11g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $14 e^{k \cdot 10}$ = 10,3715.

$14 e^{10 k}$	=	$10,3715$	\|: $14$
$e^{10 k}$	=	$0,7408$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (0,7408)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (0,7408)$	≈ -0.03

also k ≈ -0.030002459565017, => f(t)= $14 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $14 e^{- 0,03 \cdot 12}$ ≈ 9.8

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

$14 e^{- 0,03 t}$	=	$11$	\|: $14$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{11}{14}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{11}{14})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{11}{14})$	≈ 8.0387

also t=8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 20 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 12-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 46 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 30-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{20}$ ≈ 0.034657359027997

=> f(t)= $12 e^{0,0347 t}$

Wert zur Zeit 46: f(46)= $12 e^{0,0347 \cdot 46}$ ≈ 59.1

Wann wird der Wert 30?: f(t)=30

$12 e^{0,0347 t}$	=	$30$	\|: $12$
$e^{0,0347 t}$	=	$\frac{5}{2}$	\|ln(⋅)
$0,0347 t$	=	$\ln (\frac{5}{2})$	\|: $0,0347$
$t$	=	$\frac{1}{0,0347} \ln (\frac{5}{2})$	≈ 26.4388

also t=26.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 2% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 11 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 12 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.02) ≈ 0.01980262729618

=> f(t)= $11 e^{0,0198 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $11 e^{0,0198 \cdot 5}$ ≈ 12.1

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

$11 e^{0,0198 t}$	=	$12$	\|: $11$
$e^{0,0198 t}$	=	$\frac{12}{11}$	\|ln(⋅)
$0,0198 t$	=	$\ln (\frac{12}{11})$	\|: $0,0198$
$t$	=	$\frac{1}{0,0198} \ln (\frac{12}{11})$	≈ 4.3945

also t=4.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 30°C wird eine Limo aus einem 6° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 20,24°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 13 Minuten? b) Wann ist sie 7°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=30 sein muss.

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $30 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $30 - c$ = $30 - c$

$6$	=	$30 - c$
$6$	=	$- c + 30$	\| $- 6$ $+ c$
$c$	=	$24$

somit gilt: f(t)= $30 - 24 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $30 - 24 e^{- k \cdot 10}$ = 20,24.

30 - 24 e^{- 10 k}

=

20,2423

$- 24 e^{- 10 k} + 30$	=	$20,2423$	\| $- 30$
$- 24 e^{- 10 k}$	=	$- 9,7577$	\|: $- 24$
$e^{- 10 k}$	=	$0,4066$	\|ln(⋅)
$- 10 k$	=	$\ln (0,4066)$	\|: $- 10$
$k$	=	$- \frac{1}{10} \ln (0,4066)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.089992537778789, => f(t)= $30 - 24 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $30 - 24 e^{- 0,09 \cdot 13}$ ≈ 22.6

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

30 - 24 e^{- 0,09 t}

=

7

$- 24 e^{- 0,09 t} + 30$	=	$7$	\| $- 30$
$- 24 e^{- 0,09 t}$	=	$- 23$	\|: $- 24$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{23}{24}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{23}{24})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{23}{24})$	≈ 0.4729

also t=0.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 6ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 10% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 10 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 2ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 6 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{6}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(60 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=60 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $60 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$60 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
0	=	$60 - c$
0	=	$- c + 60$	\|0 $+ c$
$c$	=	$60$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $60 - 60 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $60 - 60 e^{- 0,1 \cdot 10}$ ≈ 37.9

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

60 - 60 e^{- 0,1 t}

=

2

$- 60 e^{- 0,1 t} + 60$	=	$2$	\| $- 60$
$- 60 e^{- 0,1 t}$	=	$- 58$	\|: $- 60$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{29}{30}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{29}{30})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{29}{30})$	≈ 0.339

also t=0.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $6 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.