Klasse 5-6
Klasse 7-8
Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Exponentielles Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 17g vorhanden. Nach 10 Tagen sind nur noch 8,442g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 13 Tagen da? b) Wann sind nur noch 11g davon übrig?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= = 8,442.
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ -0.07 |
also k ≈ -0.069997040590807, => f(t)=
Wert zur Zeit 13: f(13)= ≈ 6.8
Wann wird der Wert 11?: f(t)=11
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 6.2188 |
also t=6.2
Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit
Beispiel:
Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 13 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 17-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 10 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 85-Tausend Euro gestiegen?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Wir berechnen k über die Verdopplungszeit.
Dazu stellen wir die Formel TV= um zu
k==
≈ 0.053319013889227
=> f(t)=
Wert zur Zeit 10: f(10)= ≈ 29
Wann wird der Wert 85?: f(t)=85
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 30.1851 |
also t=30.2
Exponentielles Wachstum mit Prozent
Beispiel:
Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 18% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 12 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.82) ≈ -0.19845093872384
=> f(t)=
Wert zur Zeit 3: f(3)= ≈ 6.6
Wann wird der Wert 1?: f(t)=1
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 12.5184 |
also t=12.5
beschränktes Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
An einem wunderschönen Sommertag mit 31°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 6 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 13,96°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 7 Minuten? b) Wann ist sie 24°C warm?
Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=31 sein muss.
Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = = =
| = | |||
| = | | | ||
| = |
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= = 13,96.
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 0.05 |
also k ≈ 0.050004099275028, => f(t)=
Wert zur Zeit 7: f(7)= ≈ 14.8
Wann wird der Wert 24?: f(t)=24
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 23.7917 |
also t=23.8
beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung
Beispiel:
Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 5 Jahren, wenn jedes Jahr 0,4 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 74 Millionen Einwohner?
Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:
f'(t) = 0.4 - 0.01⋅f(t)
wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung
f'(t) = 0.01( - f(t))
also f'(t) = 0.01(40 - f(t))
das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))
Wir wissen nun also, dass die Schranke S=40 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.
Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= haben.
Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = |
somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)=
Wert zur Zeit 5: f(5)= ≈ 78
Wann wird der Wert 74?: f(t)=74
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 16.2519 |
also t=16.3
Halbwerts- + Verdopplungszeit best.
Beispiel:
Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.
Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent () erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.
Dazu setzen wir k = einfach in die Formel TH = - ein:
TH = - ≈ 7.702 min
