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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 17g vorhanden. Nach 10 Tagen sind nur noch 10,311g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 13g davon übrig?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 17 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= 17 e k · 10 = 10,311.

17 e 10k = 10,311 |:17
e 10k = 0,6065 |ln(⋅)
10k = ln( 0,6065 ) |:10
k = 1 10 ln( 0,6065 ) ≈ -0.05

also k ≈ -0.050005055059803, => f(t)= 17 e -0,05t


Wert zur Zeit 11: f(11)= 17 e -0,0511 ≈ 9.8


Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

17 e -0,05t = 13 |:17
e -0,05t = 13 17 |ln(⋅)
-0,05t = ln( 13 17 ) |:-0,05
t = - 1 0,05 ln( 13 17 ) ≈ 5.3653

also t=5.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 75 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 87 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 0,00002 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel TV= ln(2) k um zu
k= ln(2) T = ln(2) 6.02 ≈ 0.11514072766777


=> f(t)= 0,00002 e 0,1151t


Wert zur Zeit 75: f(75)= 0,00002 e 0,115175 ≈ 0.1


Wann wird der Wert 87?: f(t)=87

0,00002 e 0,1151t = 87 |:0,00002
e 0,1151t = 4350000 |ln(⋅)
0,1151t = ln( 4350000 ) |:0,1151
t = 1 0,1151 ln( 4350000 ) ≈ 132.7562

also t=132.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 2% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 12 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 13 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 12 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.02) ≈ 0.01980262729618


=> f(t)= 12 e 0,0198t


Wert zur Zeit 5: f(5)= 12 e 0,01985 ≈ 13.2


Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

12 e 0,0198t = 13 |:12
e 0,0198t = 13 12 |ln(⋅)
0,0198t = ln( 13 12 ) |:0,0198
t = 1 0,0198 ln( 13 12 ) ≈ 4.0426

also t=4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 61° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 61 ist, gilt: f(0)= 61, also 61 = 20 - c · e -k · 0 = 20 - c = 20 - c

61 = 20 - c
61 = -c +20 | -61 + c
c = -41

somit gilt: f(t)= 20 +41 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= 20 +41 e -k · 2 = 51.

20 +41 e -2k = 50,9995
41 e -2k +20 = 50,9995 | -20
41 e -2k = 30,9995 |:41
e -2k = 0,7561 |ln(⋅)
-2k = ln( 0,7561 ) |:-2
k = - 1 2 ln( 0,7561 ) ≈ 0.1398

also k ≈ 0.13979081820896, => f(t)= 20 +41 e -0,1398t


Wert zur Zeit 3: f(3)= 20 +41 e -0,13983 ≈ 47


Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 +41 e -0,1398t = 50
41 e -0,1398t +20 = 50 | -20
41 e -0,1398t = 30 |:41
e -0,1398t = 30 41 |ln(⋅)
-0,1398t = ln( 30 41 ) |:-0,1398
t = - 1 0,1398 ln( 30 41 ) ≈ 2.2344

also t=2.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 10ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 5% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 11 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 140ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 10 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( 10 0.05 - f(t))

also f'(t) = 0.05(200 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=200 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 200 - c · e -0,05t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0 = 200 - c · e -0,050
0 = 200 - c
0 = -c +200 |0 + c
c = 200

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 200 -200 e -0,05x


Wert zur Zeit 11: f(11)= 200 -200 e -0,0511 ≈ 84.6


Wann wird der Wert 140?: f(t)=140

200 -200 e -0,05t = 140
-200 e -0,05t +200 = 140 | -200
-200 e -0,05t = -60 |:-200
e -0,05t = 3 10 |ln(⋅)
-0,05t = ln( 3 10 ) |:-0,05
t = - 1 0,05 ln( 3 10 ) ≈ 24.0795

also t=24.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 11 e 0,1t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (0,1 ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = 0,1 einfach in die Formel TV = ln(2) k ein:

TV = ln(2) 0,1 6.931 min