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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 82 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 43 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 82: f(82)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 82}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 43?: f(t)=43

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$43$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 150 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 150 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 150 000)$	≈ 126.681

also t=126.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 16 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 15-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 33 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 21,43-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{16}$ ≈ 0.043321698784997

=> f(t)= $15 e^{0,0433 t}$

Wert zur Zeit 33: f(33)= $15 e^{0,0433 \cdot 33}$ ≈ 62.7

Wann wird der Wert 21.43?: f(t)=21.43

$15 e^{0,0433 t}$	=	$21,43$	\|: $15$
$e^{0,0433 t}$	=	$1,4287$	\|ln(⋅)
$0,0433 t$	=	$\ln (1,4287)$	\|: $0,0433$
$t$	=	$\frac{1}{0,0433} \ln (1,4287)$	≈ 8.2352

also t=8.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 10% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 6 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 10 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.1) ≈ 0.095310179804325

=> f(t)= $6 e^{0,0953 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $6 e^{0,0953 \cdot 2}$ ≈ 7.3

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$6 e^{0,0953 t}$	=	$10$	\|: $6$
$e^{0,0953 t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$0,0953 t$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $0,0953$
$t$	=	$\frac{1}{0,0953} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 5.3602

also t=5.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 29 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 1,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 29.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

29,0001

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$29,0001$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 7,9999$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,4)$	≈ 1.8326

also k ≈ 1.8325814637483, => f(t)= $37 - 20 e^{- 1,8326 t}$

Wert zur Zeit 1.5: f(1.5)= $37 - 20 e^{- 1,8326 \cdot 1,5}$ ≈ 35.7

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 1,8326 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 1,8326 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 1,8326 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 1,8326 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 1,8326 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 1,8326$
$t$	=	$- \frac{1}{1,8326} \ln (0,005)$	≈ 2.8911

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2441 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 71 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 8 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1995 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 71 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{71}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(1420 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1420 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 420 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2441 ein (Punktprobe).

$2 441$	=	$1 420 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
$2 441$	=	$1 420 - c$
$2 441$	=	$- c + 1 420$	\| $- 2 441$ $+ c$
$c$	=	$- 1 021$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 420 + 1 021 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $1 420 + 1 021 e^{- 0,05 \cdot 8}$ ≈ 2104.4

Wann wird der Wert 1995?: f(t)=1995

1 420 + 1 021 e^{- 0,05 t}

=

1 995

$1 021 e^{- 0,05 t} + 1 420$	=	$1 995$	\| $- 1 420$
$1 021 e^{- 0,05 t}$	=	$575$	\|: $1 021$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{575}{1021}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{575}{1021})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{575}{1021})$	≈ 11.4834

also t=11.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $3 e^{- 0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,06$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,06}$ ≈ 11.552 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.