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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 6g vorhanden. Nach 8 Tagen sind nur noch 3,427g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 9 Tagen da? b) Wann sind nur noch 2g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $6 e^{k \cdot 8}$ = 3,4273.

$6 e^{8 k}$	=	$3,4273$	\|: $6$
$e^{8 k}$	=	$0,5712$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (0,5712)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (0,5712)$	≈ -0.07

also k ≈ -0.070001983494595, => f(t)= $6 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $6 e^{- 0,07 \cdot 9}$ ≈ 3.2

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$6 e^{- 0,07 t}$	=	$2$	\|: $6$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 15.6945

also t=15.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1857 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2173? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,9 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1857}$ ≈ -0.00037326180967148

=> f(t)= $e^{- 0,0004 t}$

Wert zur Zeit 173: f(173)= $e^{- 0,0004 \cdot 173}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.9?: f(t)=0.9

$e^{- 0,0004 t}$	=	$0,9$	\|ln(⋅)
$- 0,0004 t$	=	$\ln (0,9)$	\|: $- 0,0004$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0004} \ln (0,9)$	≈ 282.4679

also t=282.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 14% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 9 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 17 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.14) ≈ 0.1310282624064

=> f(t)= $9 e^{0,131 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $9 e^{0,131 \cdot 4}$ ≈ 15.2

Wann wird der Wert 17?: f(t)=17

$9 e^{0,131 t}$	=	$17$	\|: $9$
$e^{0,131 t}$	=	$\frac{17}{9}$	\|ln(⋅)
$0,131 t$	=	$\ln (\frac{17}{9})$	\|: $0,131$
$t$	=	$\frac{1}{0,131} \ln (\frac{17}{9})$	≈ 4.8549

also t=4.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 40 e^{- k \cdot 2}$ = 53.

20 + 40 e^{- 2 k}

=

52,9991

$40 e^{- 2 k} + 20$	=	$52,9991$	\| $- 20$
$40 e^{- 2 k}$	=	$32,9991$	\|: $40$
$e^{- 2 k}$	=	$0,825$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,825)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,825)$	≈ 0.0962

also k ≈ 0.096185946323728, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,0962 t}$

Wert zur Zeit 1: f(1)= $20 + 40 e^{- 0,0962 \cdot 1}$ ≈ 56.3

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,0962 t}

=

50

$40 e^{- 0,0962 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,0962 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,0962 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,0962 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,0962$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0962} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 2.9905

also t=3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2229 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 83 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 14 Monaten? b) Wann beträgt dieser 975 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 83 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{83}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(830 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=830 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $830 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2229 ein (Punktprobe).

$2 229$	=	$830 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$2 229$	=	$830 - c$
$2 229$	=	$- c + 830$	\| $- 2 229$ $+ c$
$c$	=	$- 1 399$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $830 + 1 399 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $830 + 1 399 e^{- 0,1 \cdot 14}$ ≈ 1175

Wann wird der Wert 975?: f(t)=975

830 + 1 399 e^{- 0,1 t}

=

975

$1 399 e^{- 0,1 t} + 830$	=	$975$	\| $- 830$
$1 399 e^{- 0,1 t}$	=	$145$	\|: $1 399$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{145}{1399}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{145}{1399})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{145}{1399})$	≈ 22.6678

also t=22.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $12 e^{0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,03$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.