Mathebattle EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 11g vorhanden. Nach 7 Tagen sind nur noch 8,314g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 9g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $11 e^{k \cdot 7}$ = 8,3136.

$11 e^{7 k}$	=	$8,3136$	\|: $11$
$e^{7 k}$	=	$0,7558$	\|ln(⋅)
$7 k$	=	$\ln (0,7558)$	\|: $7$
$k$	=	$\frac{1}{7} \ln (0,7558)$	≈ -0.04

also k ≈ -0.039996926866678, => f(t)= $11 e^{- 0,04 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $11 e^{- 0,04 \cdot 10}$ ≈ 7.4

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$11 e^{- 0,04 t}$	=	$9$	\|: $11$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{9}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{9}{11})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{9}{11})$	≈ 5.0168

also t=5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 95 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 58 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 95: f(95)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 95}$ ≈ 1.1

Wann wird der Wert 58?: f(t)=58

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$58$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 900 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 900 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 900 000)$	≈ 129.2348

also t=129.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 15% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 10% der Masse da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.85) ≈ -0.16251892949777

=> f(t)= $100 e^{- 0,1625 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,1625 \cdot 4}$ ≈ 52.2

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$100 e^{- 0,1625 t}$	=	$10$	\|: $100$
$e^{- 0,1625 t}$	=	$\frac{1}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,1625 t$	=	$\ln (\frac{1}{10})$	\|: $- 0,1625$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1625} \ln (\frac{1}{10})$	≈ 14.1698

also t=14.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 3° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 14,58°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 13 Minuten? b) Wann ist sie 24°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$3$	=	$26 - c$
$3$	=	$- c + 26$	\| $- 3$ $+ c$
$c$	=	$23$

somit gilt: f(t)= $26 - 23 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $26 - 23 e^{- k \cdot 10}$ = 14,58.

26 - 23 e^{- 10 k}

=

14,5785

$- 23 e^{- 10 k} + 26$	=	$14,5785$	\| $- 26$
$- 23 e^{- 10 k}$	=	$- 11,4215$	\|: $- 23$
$e^{- 10 k}$	=	$0,4966$	\|ln(⋅)
$- 10 k$	=	$\ln (0,4966)$	\|: $- 10$
$k$	=	$- \frac{1}{10} \ln (0,4966)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.069997040590807, => f(t)= $26 - 23 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $26 - 23 e^{- 0,07 \cdot 13}$ ≈ 16.7

Wann wird der Wert 24?: f(t)=24

26 - 23 e^{- 0,07 t}

=

24

$- 23 e^{- 0,07 t} + 26$	=	$24$	\| $- 26$
$- 23 e^{- 0,07 t}$	=	$- 2$	\|: $- 23$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{2}{23}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{2}{23})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{2}{23})$	≈ 34.8907

also t=34.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 2ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 13 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 34ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 2 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{2}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(100 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=100 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $100 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$100 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
0	=	$100 - c$
0	=	$- c + 100$	\|0 $+ c$
$c$	=	$100$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $100 - 100 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $100 - 100 e^{- 0,02 \cdot 13}$ ≈ 22.9

Wann wird der Wert 34?: f(t)=34

100 - 100 e^{- 0,02 t}

=

34

$- 100 e^{- 0,02 t} + 100$	=	$34$	\| $- 100$
$- 100 e^{- 0,02 t}$	=	$- 66$	\|: $- 100$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{33}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{33}{50})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{33}{50})$	≈ 20.7758

also t=20.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $9 e^{0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,05$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.