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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 78 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 73 Pa?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 0,00002 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= 0,00002 e k · 60 = 0,02.

0,00002 e 60k = 0,02 |:0,00002
e 60k = 1000 |ln(⋅)
60k = ln( 1000 ) |:60
k = 1 60 ln( 1000 ) ≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= 0,00002 e 0,1151t


Wert zur Zeit 78: f(78)= 0,00002 e 0,115178 ≈ 0.2


Wann wird der Wert 73?: f(t)=73

0,00002 e 0,1151t = 73 |:0,00002
e 0,1151t = 3650000 |ln(⋅)
0,1151t = ln( 3650000 ) |:0,1151
t = 1 0,1151 ln( 3650000 ) ≈ 131.2792

also t=131.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 570 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 9g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 942 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 3,6g Gaußium da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 9 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel TH= -ln(2) k um zu
k= -ln(2) T = -ln(2) 570 ≈ -0.0012160476851929


=> f(t)= 9 e -0,0012t


Wert zur Zeit 942: f(942)= 9 e -0,0012942 ≈ 2.9


Wann wird der Wert 3.6?: f(t)=3.6

9 e -0,0012t = 3,6 |:9
e -0,0012t = 0,4 |ln(⋅)
-0,0012t = ln( 0,4 ) |:-0,0012
t = - 1 0,0012 ln( 0,4 ) ≈ 753.5286

also t=753.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 11% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 7 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 12 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 7 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.11) ≈ 0.10436001532424


=> f(t)= 7 e 0,1044t


Wert zur Zeit 4: f(4)= 7 e 0,10444 ≈ 10.6


Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

7 e 0,1044t = 12 |:7
e 0,1044t = 12 7 |ln(⋅)
0,1044t = ln( 12 7 ) |:0,1044
t = 1 0,1044 ln( 12 7 ) ≈ 5.1628

also t=5.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 64° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 64 ist, gilt: f(0)= 64, also 64 = 20 - c · e -k · 0 = 20 - c = 20 - c

64 = 20 - c
64 = -c +20 | -64 + c
c = -44

somit gilt: f(t)= 20 +44 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= 20 +44 e -k · 3 = 52.

20 +44 e -3k = 51,9953
44 e -3k +20 = 51,9953 | -20
44 e -3k = 31,9953 |:44
e -3k = 0,7272 |ln(⋅)
-3k = ln( 0,7272 ) |:-3
k = - 1 3 ln( 0,7272 ) ≈ 0.1062

also k ≈ 0.10618457870629, => f(t)= 20 +44 e -0,1062t


Wert zur Zeit 1: f(1)= 20 +44 e -0,10621 ≈ 59.6


Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 +44 e -0,1062t = 50
44 e -0,1062t +20 = 50 | -20
44 e -0,1062t = 30 |:44
e -0,1062t = 15 22 |ln(⋅)
-0,1062t = ln( 15 22 ) |:-0,1062
t = - 1 0,1062 ln( 15 22 ) ≈ 3.6063

also t=3.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2711 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 86 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2468 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 86 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( 86 0.05 - f(t))

also f'(t) = 0.05(1720 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1720 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 1720 - c · e -0,05t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2711 ein (Punktprobe).

2711 = 1720 - c · e -0,050
2711 = 1720 - c
2711 = -c +1720 | -2711 + c
c = -991

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 1720 +991 e -0,05x


Wert zur Zeit 12: f(12)= 1720 +991 e -0,0512 ≈ 2263.9


Wann wird der Wert 2468?: f(t)=2468

1720 +991 e -0,05t = 2468
991 e -0,05t +1720 = 2468 | -1720
991 e -0,05t = 748 |:991
e -0,05t = 748 991 |ln(⋅)
-0,05t = ln( 748 991 ) |:-0,05
t = - 1 0,05 ln( 748 991 ) ≈ 5.6262

also t=5.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 4 e 0,07t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (0,07 ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = 0,07 einfach in die Formel TV = ln(2) k ein:

TV = ln(2) 0,07 9.902 min