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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 6g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 5,651g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 5g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $6 e^{k \cdot 2}$ = 5,6506.

$6 e^{2 k}$	=	$5,6506$	\|: $6$
$e^{2 k}$	=	$0,9418$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (0,9418)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (0,9418)$	≈ -0.03

also k ≈ -0.029981170586341, => f(t)= $6 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $6 e^{- 0,03 \cdot 5}$ ≈ 5.2

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$6 e^{- 0,03 t}$	=	$5$	\|: $6$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{5}{6}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{5}{6})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{5}{6})$	≈ 6.0774

also t=6.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 92 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 54 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 92: f(92)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 92}$ ≈ 0.8

Wann wird der Wert 54?: f(t)=54

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$54$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 700 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 700 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 700 000)$	≈ 128.6142

also t=128.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 9% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 7 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 10 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.09) ≈ 0.086177696241052

=> f(t)= $7 e^{0,0862 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $7 e^{0,0862 \cdot 2}$ ≈ 8.3

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$7 e^{0,0862 t}$	=	$10$	\|: $7$
$e^{0,0862 t}$	=	$\frac{10}{7}$	\|ln(⋅)
$0,0862 t$	=	$\ln (\frac{10}{7})$	\|: $0,0862$
$t$	=	$\frac{1}{0,0862} \ln (\frac{10}{7})$	≈ 4.1378

also t=4.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 61° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 61 ist, gilt: f(0)= 61, also 61 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$61$	=	$20 - c$
$61$	=	$- c + 20$	\| $- 61$ $+ c$
$c$	=	$- 41$

somit gilt: f(t)= $20 + 41 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 41 e^{- k \cdot 3}$ = 51.

20 + 41 e^{- 3 k}

=

50,9995

$41 e^{- 3 k} + 20$	=	$50,9995$	\| $- 20$
$41 e^{- 3 k}$	=	$30,9995$	\|: $41$
$e^{- 3 k}$	=	$0,7561$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,7561)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,7561)$	≈ 0.0932

also k ≈ 0.093193878805971, => f(t)= $20 + 41 e^{- 0,0932 t}$

Wert zur Zeit 1: f(1)= $20 + 41 e^{- 0,0932 \cdot 1}$ ≈ 57.4

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 41 e^{- 0,0932 t}

=

50

$41 e^{- 0,0932 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$41 e^{- 0,0932 t}$	=	$30$	\|: $41$
$e^{- 0,0932 t}$	=	$\frac{30}{41}$	\|ln(⋅)
$- 0,0932 t$	=	$\ln (\frac{30}{41})$	\|: $- 0,0932$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0932} \ln (\frac{30}{41})$	≈ 3.3517

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 6ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 8 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 88ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 6 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{6}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(300 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=300 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $300 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$300 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
0	=	$300 - c$
0	=	$- c + 300$	\|0 $+ c$
$c$	=	$300$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $300 - 300 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $300 - 300 e^{- 0,02 \cdot 8}$ ≈ 44.4

Wann wird der Wert 88?: f(t)=88

300 - 300 e^{- 0,02 t}

=

88

$- 300 e^{- 0,02 t} + 300$	=	$88$	\| $- 300$
$- 300 e^{- 0,02 t}$	=	$- 212$	\|: $- 300$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{53}{75}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{53}{75})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{53}{75})$	≈ 17.3598

also t=17.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $4 e^{- 0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,04$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.