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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 7g vorhanden. Nach 7 Tagen sind nur noch 3,728g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 9 Tagen da? b) Wann sind nur noch 4g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $7 e^{k \cdot 7}$ = 3,7281.

$7 e^{7 k}$	=	$3,7281$	\|: $7$
$e^{7 k}$	=	$0,5326$	\|ln(⋅)
$7 k$	=	$\ln (0,5326)$	\|: $7$
$k$	=	$\frac{1}{7} \ln (0,5326)$	≈ -0.09

also k ≈ -0.089997800800329, => f(t)= $7 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $7 e^{- 0,09 \cdot 9}$ ≈ 3.1

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$7 e^{- 0,09 t}$	=	$4$	\|: $7$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{4}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{4}{7})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{4}{7})$	≈ 6.218

also t=6.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 79 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 91 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 79: f(79)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 79}$ ≈ 0.2

Wann wird der Wert 91?: f(t)=91

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$91$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 550 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 550 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 550 000)$	≈ 133.1466

also t=133.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 16% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 6 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 3 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.84) ≈ -0.17435338714478

=> f(t)= $6 e^{- 0,1744 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $6 e^{- 0,1744 \cdot 5}$ ≈ 2.5

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$6 e^{- 0,1744 t}$	=	$3$	\|: $6$
$e^{- 0,1744 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,1744 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,1744$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1744} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 3.9745

also t=4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 64° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 64 ist, gilt: f(0)= 64, also 64 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$64$	=	$20 - c$
$64$	=	$- c + 20$	\| $- 64$ $+ c$
$c$	=	$- 44$

somit gilt: f(t)= $20 + 44 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 44 e^{- k \cdot 3}$ = 52.

20 + 44 e^{- 3 k}

=

51,9953

$44 e^{- 3 k} + 20$	=	$51,9953$	\| $- 20$
$44 e^{- 3 k}$	=	$31,9953$	\|: $44$
$e^{- 3 k}$	=	$0,7272$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,7272)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,7272)$	≈ 0.1062

also k ≈ 0.10618457870629, => f(t)= $20 + 44 e^{- 0,1062 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 44 e^{- 0,1062 \cdot 3}$ ≈ 52

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 44 e^{- 0,1062 t}

=

50

$44 e^{- 0,1062 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$44 e^{- 0,1062 t}$	=	$30$	\|: $44$
$e^{- 0,1062 t}$	=	$\frac{15}{22}$	\|ln(⋅)
$- 0,1062 t$	=	$\ln (\frac{15}{22})$	\|: $- 0,1062$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1062} \ln (\frac{15}{22})$	≈ 3.6063

also t=3.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3748 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 67 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 5 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2742 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 67 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{67}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(670 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=670 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $670 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3748 ein (Punktprobe).

$3 748$	=	$670 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$3 748$	=	$670 - c$
$3 748$	=	$- c + 670$	\| $- 3 748$ $+ c$
$c$	=	$- 3 078$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $670 + 3 078 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $670 + 3 078 e^{- 0,1 \cdot 5}$ ≈ 2536.9

Wann wird der Wert 2742?: f(t)=2742

670 + 3 078 e^{- 0,1 t}

=

2 742

$3 078 e^{- 0,1 t} + 670$	=	$2 742$	\| $- 670$
$3 078 e^{- 0,1 t}$	=	$2 072$	\|: $3 078$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{1036}{1539}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{1036}{1539})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1036}{1539})$	≈ 3.9577

also t=4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.