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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 5g vorhanden. Nach 3 Tagen sind nur noch 4,053g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 3g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $5 e^{k \cdot 3}$ = 4,0529.

$5 e^{3 k}$	=	$4,0529$	\|: $5$
$e^{3 k}$	=	$0,8106$	\|ln(⋅)
$3 k$	=	$\ln (0,8106)$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{1}{3} \ln (0,8106)$	≈ -0.07

also k ≈ -0.069993521595976, => f(t)= $5 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $5 e^{- 0,07 \cdot 5}$ ≈ 3.5

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$5 e^{- 0,07 t}$	=	$3$	\|: $5$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{3}{5})$	≈ 7.2975

also t=7.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 13 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 16-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 31 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 40-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{13}$ ≈ 0.053319013889227

=> f(t)= $16 e^{0,0533 t}$

Wert zur Zeit 31: f(31)= $16 e^{0,0533 \cdot 31}$ ≈ 83.6

Wann wird der Wert 40?: f(t)=40

$16 e^{0,0533 t}$	=	$40$	\|: $16$
$e^{0,0533 t}$	=	$\frac{5}{2}$	\|ln(⋅)
$0,0533 t$	=	$\ln (\frac{5}{2})$	\|: $0,0533$
$t$	=	$\frac{1}{0,0533} \ln (\frac{5}{2})$	≈ 17.1851

also t=17.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 15% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 3 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 5 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.15) ≈ 0.13976194237516

=> f(t)= $3 e^{0,1398 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $3 e^{0,1398 \cdot 3}$ ≈ 4.6

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$3 e^{0,1398 t}$	=	$5$	\|: $3$
$e^{0,1398 t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$0,1398 t$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $0,1398$
$t$	=	$\frac{1}{0,1398} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 3.654

also t=3.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 6° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 17,87°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 11 Minuten? b) Wann ist sie 19°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$6$	=	$26 - c$
$6$	=	$- c + 26$	\| $- 6$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $26 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $26 - 20 e^{- k \cdot 10}$ = 17,87.

26 - 20 e^{- 10 k}

=

17,8686

$- 20 e^{- 10 k} + 26$	=	$17,8686$	\| $- 26$
$- 20 e^{- 10 k}$	=	$- 8,1314$	\|: $- 20$
$e^{- 10 k}$	=	$0,4066$	\|ln(⋅)
$- 10 k$	=	$\ln (0,4066)$	\|: $- 10$
$k$	=	$- \frac{1}{10} \ln (0,4066)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.089992537778789, => f(t)= $26 - 20 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $26 - 20 e^{- 0,09 \cdot 11}$ ≈ 18.6

Wann wird der Wert 19?: f(t)=19

26 - 20 e^{- 0,09 t}

=

19

$- 20 e^{- 0,09 t} + 26$	=	$19$	\| $- 26$
$- 20 e^{- 0,09 t}$	=	$- 7$	\|: $- 20$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{7}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{7}{20})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{7}{20})$	≈ 11.6647

also t=11.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 8ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 1% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 15 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 91ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 8 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{8}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(800 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=800 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $800 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$800 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
0	=	$800 - c$
0	=	$- c + 800$	\|0 $+ c$
$c$	=	$800$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $800 - 800 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $800 - 800 e^{- 0,01 \cdot 15}$ ≈ 111.4

Wann wird der Wert 91?: f(t)=91

800 - 800 e^{- 0,01 t}

=

91

$- 800 e^{- 0,01 t} + 800$	=	$91$	\| $- 800$
$- 800 e^{- 0,01 t}$	=	$- 709$	\|: $- 800$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{709}{800}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{709}{800})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{709}{800})$	≈ 12.0756

also t=12.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $17 e^{0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,03$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.