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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 6 Millionen Algen im Teich. Nach 3 Stunden sind es 8,099 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 5 Stunden? b) Wann waren es 10 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $6 e^{k \cdot 3}$ = 8,0992.

$6 e^{3 k}$	=	$8,0992$	\|: $6$
$e^{3 k}$	=	$1,3499$	\|ln(⋅)
$3 k$	=	$\ln (1,3499)$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{1}{3} \ln (1,3499)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.10001017187755, => f(t)= $6 e^{0,1 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $6 e^{0,1 \cdot 5}$ ≈ 9.9

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$6 e^{0,1 t}$	=	$10$	\|: $6$
$e^{0,1 t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$0,1 t$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $0,1$
$t$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 5.1083

also t=5.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 15 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 3-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 35 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 3,33-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{15}$ ≈ 0.04620981203733

=> f(t)= $3 e^{0,04621 t}$

Wert zur Zeit 35: f(35)= $3 e^{0,04621 \cdot 35}$ ≈ 15.1

Wann wird der Wert 3.33?: f(t)=3.33

$3 e^{0,04621 t}$	=	$3,33$	\|: $3$
$e^{0,04621 t}$	=	$1,11$	\|ln(⋅)
$0,04621 t$	=	$\ln (1,11)$	\|: $0,04621$
$t$	=	$\frac{1}{0,04621} \ln (1,11)$	≈ 2.2584

also t=2.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 15% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 2 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 40% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.85) ≈ -0.16251892949777

=> f(t)= $100 e^{- 0,1625 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $100 e^{- 0,1625 \cdot 2}$ ≈ 72.3

Wann wird der Wert 40?: f(t)=40

$100 e^{- 0,1625 t}$	=	$40$	\|: $100$
$e^{- 0,1625 t}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,1625 t$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 0,1625$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1625} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 5.6387

also t=5.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 65° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 65 ist, gilt: f(0)= 65, also 65 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$65$	=	$20 - c$
$65$	=	$- c + 20$	\| $- 65$ $+ c$
$c$	=	$- 45$

somit gilt: f(t)= $20 + 45 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 45 e^{- k \cdot 4}$ = 54.

20 + 45 e^{- 4 k}

=

53,9967

$45 e^{- 4 k} + 20$	=	$53,9967$	\| $- 20$
$45 e^{- 4 k}$	=	$33,9967$	\|: $45$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7555$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7555)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7555)$	≈ 0.0701

also k ≈ 0.070093874317336, => f(t)= $20 + 45 e^{- 0,0701 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 45 e^{- 0,0701 \cdot 3}$ ≈ 56.5

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 45 e^{- 0,0701 t}

=

50

$45 e^{- 0,0701 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$45 e^{- 0,0701 t}$	=	$30$	\|: $45$
$e^{- 0,0701 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,0701 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,0701$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0701} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 5.7841

also t=5.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 8ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 1% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 11 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 618ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 8 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{8}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(800 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=800 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $800 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$800 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
0	=	$800 - c$
0	=	$- c + 800$	\|0 $+ c$
$c$	=	$800$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $800 - 800 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $800 - 800 e^{- 0,01 \cdot 11}$ ≈ 83.3

Wann wird der Wert 618?: f(t)=618

800 - 800 e^{- 0,01 t}

=

618

$- 800 e^{- 0,01 t} + 800$	=	$618$	\| $- 800$
$- 800 e^{- 0,01 t}$	=	$- 182$	\|: $- 800$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{91}{400}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{91}{400})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{91}{400})$	≈ 148.0605

also t=148.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,04$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.