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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 70 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 8 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 70: f(70)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 70}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$8$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$400 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (400 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (400 000)$	≈ 112.0697

also t=112.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 484 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 7g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 771 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 6,3g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{484}$ ≈ -0.0014321222738842

=> f(t)= $7 e^{- 0,0014 t}$

Wert zur Zeit 771: f(771)= $7 e^{- 0,0014 \cdot 771}$ ≈ 2.3

Wann wird der Wert 6.3?: f(t)=6.3

$7 e^{- 0,0014 t}$	=	$6,3$	\|: $7$
$e^{- 0,0014 t}$	=	$0,9$	\|ln(⋅)
$- 0,0014 t$	=	$\ln (0,9)$	\|: $- 0,0014$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0014} \ln (0,9)$	≈ 73.5758

also t=73.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 3% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 9 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 11 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.03) ≈ 0.029558802241544

=> f(t)= $9 e^{0,0296 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $9 e^{0,0296 \cdot 5}$ ≈ 10.4

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

$9 e^{0,0296 t}$	=	$11$	\|: $9$
$e^{0,0296 t}$	=	$\frac{11}{9}$	\|ln(⋅)
$0,0296 t$	=	$\ln (\frac{11}{9})$	\|: $0,0296$
$t$	=	$\frac{1}{0,0296} \ln (\frac{11}{9})$	≈ 6.7794

also t=6.8

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 55° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 55 ist, gilt: f(0)= 55, also 55 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$55$	=	$20 - c$
$55$	=	$- c + 20$	\| $- 55$ $+ c$
$c$	=	$- 35$

somit gilt: f(t)= $20 + 35 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 35 e^{- k \cdot 5}$ = 51.

20 + 35 e^{- 5 k}

=

50,9957

$35 e^{- 5 k} + 20$	=	$50,9957$	\| $- 20$
$35 e^{- 5 k}$	=	$30,9957$	\|: $35$
$e^{- 5 k}$	=	$0,8856$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,8856)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,8856)$	≈ 0.0243

also k ≈ 0.024297979517542, => f(t)= $20 + 35 e^{- 0,0243 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 35 e^{- 0,0243 \cdot 2}$ ≈ 53.3

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 35 e^{- 0,0243 t}

=

50

$35 e^{- 0,0243 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$35 e^{- 0,0243 t}$	=	$30$	\|: $35$
$e^{- 0,0243 t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,0243 t$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 0,0243$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0243} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 6.3436

also t=6.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3659 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 61 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 4572 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 61 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{61}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(6100 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=6100 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $6 100 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3659 ein (Punktprobe).

$3 659$	=	$6 100 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$3 659$	=	$6 100 - c$
$3 659$	=	$- c + 6 100$	\| $- 3 659$ $+ c$
$c$	=	$2 441$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $6 100 - 2 441 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $6 100 - 2 441 e^{- 0,01 \cdot 12}$ ≈ 3935

Wann wird der Wert 4572?: f(t)=4572

6 100 - 2 441 e^{- 0,01 t}

=

4 572

$- 2 441 e^{- 0,01 t} + 6 100$	=	$4 572$	\| $- 6 100$
$- 2 441 e^{- 0,01 t}$	=	$- 1 528$	\|: $- 2 441$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{1528}{2441}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{1528}{2441})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{1528}{2441})$	≈ 46.8448

also t=46.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $7 e^{- 0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,07$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,07}$ ≈ 9.902 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.