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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 11g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 10,154g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 8g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $11 e^{k \cdot 2}$ = 10,1543.

$11 e^{2 k}$	=	$10,1543$	\|: $11$
$e^{2 k}$	=	$0,9231$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (0,9231)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (0,9231)$	≈ -0.04

also k ≈ -0.040008853993016, => f(t)= $11 e^{- 0,04 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $11 e^{- 0,04 \cdot 5}$ ≈ 9

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$11 e^{- 0,04 t}$	=	$8$	\|: $11$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{8}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{8}{11})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{8}{11})$	≈ 7.9613

also t=8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1924 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2248? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,4 Milliarden Blondies?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1924}$ ≈ -0.00036026360735964

=> f(t)= $e^{- 0,00036 t}$

Wert zur Zeit 248: f(248)= $e^{- 0,00036 \cdot 248}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.4?: f(t)=0.4

$e^{- 0,00036 t}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,00036 t$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,00036$
$t$	=	$- \frac{1}{0,00036} \ln (0,4)$	≈ 2545.252

also t=2545.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 17% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 9 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.83) ≈ -0.18632957819149

=> f(t)= $9 e^{- 0,1863 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $9 e^{- 0,1863 \cdot 4}$ ≈ 4.3

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$9 e^{- 0,1863 t}$	=	$1$	\|: $9$
$e^{- 0,1863 t}$	=	$\frac{1}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,1863 t$	=	$\ln (\frac{1}{9})$	\|: $- 0,1863$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1863} \ln (\frac{1}{9})$	≈ 11.794

also t=11.8

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 3° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 11,33°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 8 Minuten? b) Wann ist sie 23°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$3$	=	$26 - c$
$3$	=	$- c + 26$	\| $- 3$ $+ c$
$c$	=	$23$

somit gilt: f(t)= $26 - 23 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $26 - 23 e^{- k \cdot 5}$ = 11,33.

26 - 23 e^{- 5 k}

=

11,3346

$- 23 e^{- 5 k} + 26$	=	$11,3346$	\| $- 26$
$- 23 e^{- 5 k}$	=	$- 14,6654$	\|: $- 23$
$e^{- 5 k}$	=	$0,6376$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,6376)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,6376)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.090008830301226, => f(t)= $26 - 23 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $26 - 23 e^{- 0,09 \cdot 8}$ ≈ 14.8

Wann wird der Wert 23?: f(t)=23

26 - 23 e^{- 0,09 t}

=

23

$- 23 e^{- 0,09 t} + 26$	=	$23$	\| $- 26$
$- 23 e^{- 0,09 t}$	=	$- 3$	\|: $- 23$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{3}{23}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{3}{23})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{3}{23})$	≈ 22.632

also t=22.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,4% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 8 Jahren, wenn jedes Jahr 0,7 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 68 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.7 - 0.014⋅f(t)

wenn man 0.014 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.014( $\frac{0.7}{0.014}$ - f(t))

also f'(t) = 0.014(50 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=50 und der Wachstumsfaktor k=0.014 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $50 - c \cdot e^{- 0,014 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$50 - c \cdot e^{- 0,014 \cdot 0}$
$80$	=	$50 - c$
$80$	=	$- c + 50$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 30$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $50 + 30 e^{- 0,014 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $50 + 30 e^{- 0,014 \cdot 8}$ ≈ 76.8

Wann wird der Wert 68?: f(t)=68

50 + 30 e^{- 0,014 t}

=

68

$30 e^{- 0,014 t} + 50$	=	$68$	\| $- 50$
$30 e^{- 0,014 t}$	=	$18$	\|: $30$
$e^{- 0,014 t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,014 t$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $- 0,014$
$t$	=	$- \frac{1}{0,014} \ln (\frac{3}{5})$	≈ 36.4875

also t=36.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $9 e^{- 0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,09$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.