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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 100 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 51 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 100: f(100)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 100}$ ≈ 2

Wann wird der Wert 51?: f(t)=51

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$51$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 550 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 550 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 550 000)$	≈ 128.1634

also t=128.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 15 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 7-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 9 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 17,5-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{15}$ ≈ 0.04620981203733

=> f(t)= $7 e^{0,04621 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $7 e^{0,04621 \cdot 9}$ ≈ 10.6

Wann wird der Wert 17.5?: f(t)=17.5

$7 e^{0,04621 t}$	=	$17,5$	\|: $7$
$e^{0,04621 t}$	=	$2,5$	\|ln(⋅)
$0,04621 t$	=	$\ln (2,5)$	\|: $0,04621$
$t$	=	$\frac{1}{0,04621} \ln (2,5)$	≈ 19.8288

also t=19.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 16% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 11 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 6 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.84) ≈ -0.17435338714478

=> f(t)= $11 e^{- 0,1744 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $11 e^{- 0,1744 \cdot 2}$ ≈ 7.8

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$11 e^{- 0,1744 t}$	=	$6$	\|: $11$
$e^{- 0,1744 t}$	=	$\frac{6}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,1744 t$	=	$\ln (\frac{6}{11})$	\|: $- 0,1744$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1744} \ln (\frac{6}{11})$	≈ 3.4755

also t=3.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 6° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 9,29°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 12 Minuten? b) Wann ist sie 8°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$6$	=	$26 - c$
$6$	=	$- c + 26$	\| $- 6$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $26 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $26 - 20 e^{- k \cdot 9}$ = 9,29.

26 - 20 e^{- 9 k}

=

9,2946

$- 20 e^{- 9 k} + 26$	=	$9,2946$	\| $- 26$
$- 20 e^{- 9 k}$	=	$- 16,7054$	\|: $- 20$
$e^{- 9 k}$	=	$0,8353$	\|ln(⋅)
$- 9 k$	=	$\ln (0,8353)$	\|: $- 9$
$k$	=	$- \frac{1}{9} \ln (0,8353)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.01999603746892, => f(t)= $26 - 20 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $26 - 20 e^{- 0,02 \cdot 12}$ ≈ 10.3

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

26 - 20 e^{- 0,02 t}

=

8

$- 20 e^{- 0,02 t} + 26$	=	$8$	\| $- 26$
$- 20 e^{- 0,02 t}$	=	$- 18$	\|: $- 20$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{9}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{9}{10})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{9}{10})$	≈ 5.268

also t=5.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,2% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 10 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 52 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.012⋅f(t)

wenn man 0.012 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.012( $\frac{0.6}{0.012}$ - f(t))

also f'(t) = 0.012(50 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=50 und der Wachstumsfaktor k=0.012 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $50 - c \cdot e^{- 0,012 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$50 - c \cdot e^{- 0,012 \cdot 0}$
$80$	=	$50 - c$
$80$	=	$- c + 50$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 30$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $50 + 30 e^{- 0,012 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $50 + 30 e^{- 0,012 \cdot 10}$ ≈ 76.6

Wann wird der Wert 52?: f(t)=52

50 + 30 e^{- 0,012 t}

=

52

$30 e^{- 0,012 t} + 50$	=	$52$	\| $- 50$
$30 e^{- 0,012 t}$	=	$2$	\|: $30$
$e^{- 0,012 t}$	=	$\frac{1}{15}$	\|ln(⋅)
$- 0,012 t$	=	$\ln (\frac{1}{15})$	\|: $- 0,012$
$t$	=	$- \frac{1}{0,012} \ln (\frac{1}{15})$	≈ 225.6709

also t=225.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,04$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.