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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 4g vorhanden. Nach 4 Tagen sind nur noch 2,791g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 7 Tagen da? b) Wann sind nur noch 2g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $4 e^{k \cdot 4}$ = 2,7907.

$4 e^{4 k}$	=	$2,7907$	\|: $4$
$e^{4 k}$	=	$0,6977$	\|ln(⋅)
$4 k$	=	$\ln (0,6977)$	\|: $4$
$k$	=	$\frac{1}{4} \ln (0,6977)$	≈ -0.09

also k ≈ -0.089991517009237, => f(t)= $4 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $4 e^{- 0,09 \cdot 7}$ ≈ 2.1

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$4 e^{- 0,09 t}$	=	$2$	\|: $4$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 7.7016

also t=7.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 729 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 19g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 588 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 3,8g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{729}$ ≈ -0.00095081917772283

=> f(t)= $19 e^{- 0,001 t}$

Wert zur Zeit 588: f(588)= $19 e^{- 0,001 \cdot 588}$ ≈ 10.9

Wann wird der Wert 3.8?: f(t)=3.8

$19 e^{- 0,001 t}$	=	$3,8$	\|: $19$
$e^{- 0,001 t}$	=	$0,2$	\|ln(⋅)
$- 0,001 t$	=	$\ln (0,2)$	\|: $- 0,001$
$t$	=	$- \frac{1}{0,001} \ln (0,2)$	≈ 1692.3637

also t=1692.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 3% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 82% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.97) ≈ -0.030459207484709

=> f(t)= $100 e^{- 0,0305 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,0305 \cdot 3}$ ≈ 91.3

Wann wird der Wert 82?: f(t)=82

$100 e^{- 0,0305 t}$	=	$82$	\|: $100$
$e^{- 0,0305 t}$	=	$\frac{41}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,0305 t$	=	$\ln (\frac{41}{50})$	\|: $- 0,0305$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0305} \ln (\frac{41}{50})$	≈ 6.5066

also t=6.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 10,37°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 7 Minuten? b) Wann ist sie 9°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$5$	=	$27 - c$
$5$	=	$- c + 27$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$22$

somit gilt: f(t)= $27 - 22 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $27 - 22 e^{- k \cdot 4}$ = 10,37.

27 - 22 e^{- 4 k}

=

10,3728

$- 22 e^{- 4 k} + 27$	=	$10,3728$	\| $- 27$
$- 22 e^{- 4 k}$	=	$- 16,6272$	\|: $- 22$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7558$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7558)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7558)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.069994622016687, => f(t)= $27 - 22 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $27 - 22 e^{- 0,07 \cdot 7}$ ≈ 13.5

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

27 - 22 e^{- 0,07 t}

=

9

$- 22 e^{- 0,07 t} + 27$	=	$9$	\| $- 27$
$- 22 e^{- 0,07 t}$	=	$- 18$	\|: $- 22$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{9}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{9}{11})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{9}{11})$	≈ 2.8667

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3617 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 83 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 13 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3290 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 83 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{83}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(830 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=830 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $830 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3617 ein (Punktprobe).

$3 617$	=	$830 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$3 617$	=	$830 - c$
$3 617$	=	$- c + 830$	\| $- 3 617$ $+ c$
$c$	=	$- 2 787$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $830 + 2 787 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $830 + 2 787 e^{- 0,1 \cdot 13}$ ≈ 1589.5

Wann wird der Wert 3290?: f(t)=3290

830 + 2 787 e^{- 0,1 t}

=

3 290

$2 787 e^{- 0,1 t} + 830$	=	$3 290$	\| $- 830$
$2 787 e^{- 0,1 t}$	=	$2 460$	\|: $2 787$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{820}{929}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{820}{929})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{820}{929})$	≈ 1.248

also t=1.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $18 e^{0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,06$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.