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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 20 Millionen Algen im Teich. Nach 3 Stunden sind es 26,997 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 5 Stunden? b) Wann waren es 30 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 e^{k \cdot 3}$ = 26,9972.

$20 e^{3 k}$	=	$26,9972$	\|: $20$
$e^{3 k}$	=	$1,3499$	\|ln(⋅)
$3 k$	=	$\ln (1,3499)$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{1}{3} \ln (1,3499)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.10001017187755, => f(t)= $20 e^{0,1 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 e^{0,1 \cdot 5}$ ≈ 33

Wann wird der Wert 30?: f(t)=30

$20 e^{0,1 t}$	=	$30$	\|: $20$
$e^{0,1 t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,1 t$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $0,1$
$t$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 4.0547

also t=4.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 186 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 11g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 158 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 8,8g Gaußium da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{186}$ ≈ -0.0037265977449459

=> f(t)= $11 e^{- 0,0037 t}$

Wert zur Zeit 158: f(158)= $11 e^{- 0,0037 \cdot 158}$ ≈ 6.1

Wann wird der Wert 8.8?: f(t)=8.8

$11 e^{- 0,0037 t}$	=	$8,8$	\|: $11$
$e^{- 0,0037 t}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 0,0037 t$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 0,0037$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0037} \ln (0,8)$	≈ 59.8722

also t=59.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 14% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 8 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 11 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.14) ≈ 0.1310282624064

=> f(t)= $8 e^{0,131 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $8 e^{0,131 \cdot 3}$ ≈ 11.9

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

$8 e^{0,131 t}$	=	$11$	\|: $8$
$e^{0,131 t}$	=	$\frac{11}{8}$	\|ln(⋅)
$0,131 t$	=	$\ln (\frac{11}{8})$	\|: $0,131$
$t$	=	$\frac{1}{0,131} \ln (\frac{11}{8})$	≈ 2.4309

also t=2.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 28°C wird eine Limo aus einem 3° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 17,84°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 12 Minuten? b) Wann ist sie 27°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=28 sein muss.

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $28 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $28 - c$ = $28 - c$

$3$	=	$28 - c$
$3$	=	$- c + 28$	\| $- 3$ $+ c$
$c$	=	$25$

somit gilt: f(t)= $28 - 25 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $28 - 25 e^{- k \cdot 9}$ = 17,84.

28 - 25 e^{- 9 k}

=

17,8358

$- 25 e^{- 9 k} + 28$	=	$17,8358$	\| $- 28$
$- 25 e^{- 9 k}$	=	$- 10,1642$	\|: $- 25$
$e^{- 9 k}$	=	$0,4066$	\|ln(⋅)
$- 9 k$	=	$\ln (0,4066)$	\|: $- 9$
$k$	=	$- \frac{1}{9} \ln (0,4066)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.099991708643099, => f(t)= $28 - 25 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $28 - 25 e^{- 0,1 \cdot 12}$ ≈ 20.5

Wann wird der Wert 27?: f(t)=27

28 - 25 e^{- 0,1 t}

=

27

$- 25 e^{- 0,1 t} + 28$	=	$27$	\| $- 28$
$- 25 e^{- 0,1 t}$	=	$- 1$	\|: $- 25$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{1}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{1}{25})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{25})$	≈ 32.1888

also t=32.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3305 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 61 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 7 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2259 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 61 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{61}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(1220 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1220 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 220 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3305 ein (Punktprobe).

$3 305$	=	$1 220 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
$3 305$	=	$1 220 - c$
$3 305$	=	$- c + 1 220$	\| $- 3 305$ $+ c$
$c$	=	$- 2 085$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 220 + 2 085 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $1 220 + 2 085 e^{- 0,05 \cdot 7}$ ≈ 2689.3

Wann wird der Wert 2259?: f(t)=2259

1 220 + 2 085 e^{- 0,05 t}

=

2 259

$2 085 e^{- 0,05 t} + 1 220$	=	$2 259$	\| $- 1 220$
$2 085 e^{- 0,05 t}$	=	$1 039$	\|: $2 085$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{1039}{2085}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{1039}{2085})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{1039}{2085})$	≈ 13.9302

also t=13.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,06$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.