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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 8 Millionen Algen im Teich. Nach 6 Stunden sind es 9,578 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 7 Stunden? b) Wann waren es 9 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $8 e^{k \cdot 6}$ = 9,5777.

$8 e^{6 k}$	=	$9,5777$	\|: $8$
$e^{6 k}$	=	$1,1972$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (1,1972)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (1,1972)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.029997582832734, => f(t)= $8 e^{0,03 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $8 e^{0,03 \cdot 7}$ ≈ 9.9

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$8 e^{0,03 t}$	=	$9$	\|: $8$
$e^{0,03 t}$	=	$\frac{9}{8}$	\|ln(⋅)
$0,03 t$	=	$\ln (\frac{9}{8})$	\|: $0,03$
$t$	=	$\frac{1}{0,03} \ln (\frac{9}{8})$	≈ 3.9261

also t=3.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 572 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 13g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 921 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 5,2g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{572}$ ≈ -0.0012117957702097

=> f(t)= $13 e^{- 0,0012 t}$

Wert zur Zeit 921: f(921)= $13 e^{- 0,0012 \cdot 921}$ ≈ 4.3

Wann wird der Wert 5.2?: f(t)=5.2

$13 e^{- 0,0012 t}$	=	$5,2$	\|: $13$
$e^{- 0,0012 t}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,0012 t$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,0012$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0012} \ln (0,4)$	≈ 756.0155

also t=756

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 3% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 4 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 4 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.03) ≈ 0.029558802241544

=> f(t)= $4 e^{0,0296 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $4 e^{0,0296 \cdot 5}$ ≈ 4.6

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$4 e^{0,0296 t}$	=	$4$	\|: $4$
$e^{0,0296 t}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$0,0296 t$	=	0	\|: $0,0296$
$t$	=	0	≈ 0

also t=0

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 8 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 14°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 11 Minuten? b) Wann ist sie 17°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$5$	=	$26 - c$
$5$	=	$- c + 26$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$21$

somit gilt: f(t)= $26 - 21 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $26 - 21 e^{- k \cdot 8}$ = 14.

26 - 21 e^{- 8 k}

=

14,0046

$- 21 e^{- 8 k} + 26$	=	$14,0046$	\| $- 26$
$- 21 e^{- 8 k}$	=	$- 11,9954$	\|: $- 21$
$e^{- 8 k}$	=	$0,5712$	\|ln(⋅)
$- 8 k$	=	$\ln (0,5712)$	\|: $- 8$
$k$	=	$- \frac{1}{8} \ln (0,5712)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.070001983494595, => f(t)= $26 - 21 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $26 - 21 e^{- 0,07 \cdot 11}$ ≈ 16.3

Wann wird der Wert 17?: f(t)=17

26 - 21 e^{- 0,07 t}

=

17

$- 21 e^{- 0,07 t} + 26$	=	$17$	\| $- 26$
$- 21 e^{- 0,07 t}$	=	$- 9$	\|: $- 21$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{3}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{3}{7})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{3}{7})$	≈ 12.1043

also t=12.1

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2587 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 61 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 15 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2411 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 61 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{61}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(610 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=610 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $610 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2587 ein (Punktprobe).

$2 587$	=	$610 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$2 587$	=	$610 - c$
$2 587$	=	$- c + 610$	\| $- 2 587$ $+ c$
$c$	=	$- 1 977$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $610 + 1 977 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $610 + 1 977 e^{- 0,1 \cdot 15}$ ≈ 1051.1

Wann wird der Wert 2411?: f(t)=2411

610 + 1 977 e^{- 0,1 t}

=

2 411

$1 977 e^{- 0,1 t} + 610$	=	$2 411$	\| $- 610$
$1 977 e^{- 0,1 t}$	=	$1 801$	\|: $1 977$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{1801}{1977}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{1801}{1977})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1801}{1977})$	≈ 0.9324

also t=0.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{- 0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,1$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.