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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 5 Millionen Algen im Teich. Nach 6 Stunden sind es 9,111 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 9 Stunden? b) Wann waren es 9 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $5 e^{k \cdot 6}$ = 9,1106.

$5 e^{6 k}$	=	$9,1106$	\|: $5$
$e^{6 k}$	=	$1,8221$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (1,8221)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (1,8221)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.099998280345616, => f(t)= $5 e^{0,1 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $5 e^{0,1 \cdot 9}$ ≈ 12.3

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$5 e^{0,1 t}$	=	$9$	\|: $5$
$e^{0,1 t}$	=	$\frac{9}{5}$	\|ln(⋅)
$0,1 t$	=	$\ln (\frac{9}{5})$	\|: $0,1$
$t$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (\frac{9}{5})$	≈ 5.8779

also t=5.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 543 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 20g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 518 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 4g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{543}$ ≈ -0.0012765141446776

=> f(t)= $20 e^{- 0,0013 t}$

Wert zur Zeit 518: f(518)= $20 e^{- 0,0013 \cdot 518}$ ≈ 10.3

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$20 e^{- 0,0013 t}$	=	$4$	\|: $20$
$e^{- 0,0013 t}$	=	$\frac{1}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,0013 t$	=	$\ln (\frac{1}{5})$	\|: $- 0,0013$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0013} \ln (\frac{1}{5})$	≈ 1260.3273

also t=1260.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 11% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 13 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 9 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595

=> f(t)= $13 e^{- 0,1165 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $13 e^{- 0,1165 \cdot 2}$ ≈ 10.3

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$13 e^{- 0,1165 t}$	=	$9$	\|: $13$
$e^{- 0,1165 t}$	=	$\frac{9}{13}$	\|ln(⋅)
$- 0,1165 t$	=	$\ln (\frac{9}{13})$	\|: $- 0,1165$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1165} \ln (\frac{9}{13})$	≈ 3.1564

also t=3.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 31°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 13,46°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 12 Minuten? b) Wann ist sie 23°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=31 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $31 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $31 - c$ = $31 - c$

$10$	=	$31 - c$
$10$	=	$- c + 31$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$21$

somit gilt: f(t)= $31 - 21 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $31 - 21 e^{- k \cdot 9}$ = 13,46.

31 - 21 e^{- 9 k}

=

13,4593

$- 21 e^{- 9 k} + 31$	=	$13,4593$	\| $- 31$
$- 21 e^{- 9 k}$	=	$- 17,5407$	\|: $- 21$
$e^{- 9 k}$	=	$0,8353$	\|ln(⋅)
$- 9 k$	=	$\ln (0,8353)$	\|: $- 9$
$k$	=	$- \frac{1}{9} \ln (0,8353)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.01999603746892, => f(t)= $31 - 21 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $31 - 21 e^{- 0,02 \cdot 12}$ ≈ 14.5

Wann wird der Wert 23?: f(t)=23

31 - 21 e^{- 0,02 t}

=

23

$- 21 e^{- 0,02 t} + 31$	=	$23$	\| $- 31$
$- 21 e^{- 0,02 t}$	=	$- 8$	\|: $- 21$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{8}{21}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{8}{21})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{8}{21})$	≈ 48.254

also t=48.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2504 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 87 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 8 Monaten? b) Wann beträgt dieser 917 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 87 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{87}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(870 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=870 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $870 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2504 ein (Punktprobe).

$2 504$	=	$870 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$2 504$	=	$870 - c$
$2 504$	=	$- c + 870$	\| $- 2 504$ $+ c$
$c$	=	$- 1 634$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $870 + 1 634 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $870 + 1 634 e^{- 0,1 \cdot 8}$ ≈ 1604.2

Wann wird der Wert 917?: f(t)=917

870 + 1 634 e^{- 0,1 t}

=

917

$1 634 e^{- 0,1 t} + 870$	=	$917$	\| $- 870$
$1 634 e^{- 0,1 t}$	=	$47$	\|: $1 634$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{47}{1634}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{47}{1634})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{47}{1634})$	≈ 35.4864

also t=35.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{- 0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,05$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.