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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 4g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 3,275g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 2g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 4 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= 4 e k · 2 = 3,2749.

4 e 2k = 3,2749 |:4
e 2k = 0,8187 |ln(⋅)
2k = ln( 0,8187 ) |:2
k = 1 2 ln( 0,8187 ) ≈ -0.1

also k ≈ -0.10001878129987, => f(t)= 4 e -0,1t


Wert zur Zeit 5: f(5)= 4 e -0,15 ≈ 2.4


Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

4 e -0,1t = 2 |:4
e -0,1t = 1 2 |ln(⋅)
-0,1t = ln( 1 2 ) |:-0,1
t = - 1 0,1 ln( 1 2 ) ≈ 6.9315

also t=6.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 930 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 20g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 2351 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 12g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 20 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel TH= -ln(2) k um zu
k= -ln(2) T = -ln(2) 930 ≈ -0.00074531954898919


=> f(t)= 20 e -0,0007t


Wert zur Zeit 2351: f(2351)= 20 e -0,00072351 ≈ 3.5


Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

20 e -0,0007t = 12 |:20
e -0,0007t = 3 5 |ln(⋅)
-0,0007t = ln( 3 5 ) |:-0,0007
t = - 1 0,0007 ln( 3 5 ) ≈ 685.672

also t=685.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 14% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 11 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 16 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 11 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.14) ≈ 0.1310282624064


=> f(t)= 11 e 0,131t


Wert zur Zeit 4: f(4)= 11 e 0,1314 ≈ 18.6


Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

11 e 0,131t = 16 |:11
e 0,131t = 16 11 |ln(⋅)
0,131t = ln( 16 11 ) |:0,131
t = 1 0,131 ln( 16 11 ) ≈ 2.8603

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 28 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 2,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = 37 - c · e -k · 0 = 37 - c = 37 - c

17 = 37 - c
17 = -c +37 | -17 + c
c = 20

somit gilt: f(t)= 37 -20 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= 37 -20 e -k · 0,5 = 28.

37 -20 e -0,5k = 27,9999
-20 e -0,5k +37 = 27,9999 | -37
-20 e -0,5k = -9,0001 |:-20
e -0,5k = 0,45 |ln(⋅)
-0,5k = ln( 0,45 ) |:-0,5
k = - 1 0,5 ln( 0,45 ) ≈ 1.597

also k ≈ 1.5970153924355, => f(t)= 37 -20 e -1,597t


Wert zur Zeit 2.5: f(2.5)= 37 -20 e -1,5972,5 ≈ 36.6


Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 -20 e -1,597t = 36,9
-20 e -1,597t +37 = 36,9 | -37
-20 e -1,597t = -0,1 |:-20
e -1,597t = 0,005 |ln(⋅)
-1,597t = ln( 0,005 ) |:-1,597
t = - 1 1,597 ln( 0,005 ) ≈ 3.3177

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 7ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 5% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 5 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 9ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 7 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( 7 0.05 - f(t))

also f'(t) = 0.05(140 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=140 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 140 - c · e -0,05t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0 = 140 - c
0 = -c +140 |0 + c
c = 140

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 140 -140 e -0,05x


Wert zur Zeit 5: f(5)= 140 -140 e -0,055 ≈ 31


Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

140 -140 e -0,05t = 9
-140 e -0,05t +140 = 9 | -140
-140 e -0,05t = -131 |:-140
e -0,05t = 131 140 |ln(⋅)
-0,05t = ln( 131 140 ) |:-0,05
t = - 1 0,05 ln( 131 140 ) ≈ 1.3289

also t=1.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 8 e -0,05t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (-0,05 ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = -0,05 einfach in die Formel TH = - ln(2) k ein:

TH = - ln(2) -0,05 13.863 min