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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 11g vorhanden. Nach 3 Tagen sind nur noch 9,468g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 7g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $11 e^{k \cdot 3}$ = 9,4678.

$11 e^{3 k}$	=	$9,4678$	\|: $11$
$e^{3 k}$	=	$0,8607$	\|ln(⋅)
$3 k$	=	$\ln (0,8607)$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{1}{3} \ln (0,8607)$	≈ -0.05

also k ≈ -0.050003089108903, => f(t)= $11 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $11 e^{- 0,05 \cdot 5}$ ≈ 8.6

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$11 e^{- 0,05 t}$	=	$7$	\|: $11$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{7}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{7}{11})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{7}{11})$	≈ 9.0397

also t=9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 80 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 44 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 80: f(80)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 80}$ ≈ 0.2

Wann wird der Wert 44?: f(t)=44

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$44$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 200 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 200 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 200 000)$	≈ 126.8355

also t=126.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 12% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 52% der Masse da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.88) ≈ -0.12783337150988

=> f(t)= $100 e^{- 0,1278 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,1278 \cdot 4}$ ≈ 60

Wann wird der Wert 52?: f(t)=52

$100 e^{- 0,1278 t}$	=	$52$	\|: $100$
$e^{- 0,1278 t}$	=	$\frac{13}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,1278 t$	=	$\ln (\frac{13}{25})$	\|: $- 0,1278$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1278} \ln (\frac{13}{25})$	≈ 5.1168

also t=5.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 28 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 2,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 28.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

27,9999

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$27,9999$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 9,0001$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,45$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,45)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,45)$	≈ 1.597

also k ≈ 1.5970153924355, => f(t)= $37 - 20 e^{- 1,597 t}$

Wert zur Zeit 2.5: f(2.5)= $37 - 20 e^{- 1,597 \cdot 2,5}$ ≈ 36.6

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 1,597 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 1,597 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 1,597 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 1,597 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 1,597 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 1,597$
$t$	=	$- \frac{1}{1,597} \ln (0,005)$	≈ 3.3177

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2327 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 73 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 10 Monaten? b) Wann beträgt dieser 4750 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 73 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{73}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(7300 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=7300 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $7 300 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2327 ein (Punktprobe).

$2 327$	=	$7 300 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$2 327$	=	$7 300 - c$
$2 327$	=	$- c + 7 300$	\| $- 2 327$ $+ c$
$c$	=	$4 973$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $7 300 - 4 973 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $7 300 - 4 973 e^{- 0,01 \cdot 10}$ ≈ 2800.2

Wann wird der Wert 4750?: f(t)=4750

7 300 - 4 973 e^{- 0,01 t}

=

4 750

$- 4 973 e^{- 0,01 t} + 7 300$	=	$4 750$	\| $- 7 300$
$- 4 973 e^{- 0,01 t}$	=	$- 2 550$	\|: $- 4 973$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{2550}{4973}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{2550}{4973})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{2550}{4973})$	≈ 66.793

also t=66.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $15 e^{0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,06$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,06}$ ≈ 11.552 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.