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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 17g vorhanden. Nach 10 Tagen sind nur noch 6,254g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 12 Tagen da? b) Wann sind nur noch 1g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $17 e^{k \cdot 10}$ = 6,254.

$17 e^{10 k}$	=	$6,254$	\|: $17$
$e^{10 k}$	=	$0,3679$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (0,3679)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (0,3679)$	≈ -0.1

also k ≈ -0.099994411687141, => f(t)= $17 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $17 e^{- 0,1 \cdot 12}$ ≈ 5.1

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$17 e^{- 0,1 t}$	=	$1$	\|: $17$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{1}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{1}{17})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{17})$	≈ 28.3321

also t=28.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1371 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2268? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,2 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1371}$ ≈ -0.00050557781222461

=> f(t)= $e^{- 0,0005 t}$

Wert zur Zeit 268: f(268)= $e^{- 0,0005 \cdot 268}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.2?: f(t)=0.2

$e^{- 0,0005 t}$	=	$0,2$	\|ln(⋅)
$- 0,0005 t$	=	$\ln (0,2)$	\|: $- 0,0005$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0005} \ln (0,2)$	≈ 3180.7073

also t=3180.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 13% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 11 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 7 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.87) ≈ -0.13926206733351

=> f(t)= $11 e^{- 0,1393 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $11 e^{- 0,1393 \cdot 5}$ ≈ 5.5

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$11 e^{- 0,1393 t}$	=	$7$	\|: $11$
$e^{- 0,1393 t}$	=	$\frac{7}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,1393 t$	=	$\ln (\frac{7}{11})$	\|: $- 0,1393$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1393} \ln (\frac{7}{11})$	≈ 3.2447

also t=3.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 65° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 65 ist, gilt: f(0)= 65, also 65 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$65$	=	$20 - c$
$65$	=	$- c + 20$	\| $- 65$ $+ c$
$c$	=	$- 45$

somit gilt: f(t)= $20 + 45 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 45 e^{- k \cdot 4}$ = 52.

20 + 45 e^{- 4 k}

=

52,0041

$45 e^{- 4 k} + 20$	=	$52,0041$	\| $- 20$
$45 e^{- 4 k}$	=	$32,0041$	\|: $45$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7112$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7112)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7112)$	≈ 0.0852

also k ≈ 0.085200398695611, => f(t)= $20 + 45 e^{- 0,0852 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 45 e^{- 0,0852 \cdot 5}$ ≈ 49.4

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 45 e^{- 0,0852 t}

=

50

$45 e^{- 0,0852 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$45 e^{- 0,0852 t}$	=	$30$	\|: $45$
$e^{- 0,0852 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,0852 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,0852$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0852} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 4.759

also t=4.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3919 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 72 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 6423 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 72 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{72}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(7200 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=7200 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $7 200 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3919 ein (Punktprobe).

$3 919$	=	$7 200 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$3 919$	=	$7 200 - c$
$3 919$	=	$- c + 7 200$	\| $- 3 919$ $+ c$
$c$	=	$3 281$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $7 200 - 3 281 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $7 200 - 3 281 e^{- 0,01 \cdot 12}$ ≈ 4290

Wann wird der Wert 6423?: f(t)=6423

7 200 - 3 281 e^{- 0,01 t}

=

6 423

$- 3 281 e^{- 0,01 t} + 7 200$	=	$6 423$	\| $- 7 200$
$- 3 281 e^{- 0,01 t}$	=	$- 777$	\|: $- 3 281$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{777}{3281}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{777}{3281})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{777}{3281})$	≈ 144.0463

also t=144

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{- 0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,1$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.