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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 13 Millionen Algen im Teich. Nach 9 Stunden sind es 18,633 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 12 Stunden? b) Wann waren es 18 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $13 e^{k \cdot 9}$ = 18,6333.

$13 e^{9 k}$	=	$18,6333$	\|: $13$
$e^{9 k}$	=	$1,4333$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (1,4333)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (1,4333)$	≈ 0.04

also k ≈ 0.039997719771893, => f(t)= $13 e^{0,04 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $13 e^{0,04 \cdot 12}$ ≈ 21

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

$13 e^{0,04 t}$	=	$18$	\|: $13$
$e^{0,04 t}$	=	$\frac{18}{13}$	\|ln(⋅)
$0,04 t$	=	$\ln (\frac{18}{13})$	\|: $0,04$
$t$	=	$\frac{1}{0,04} \ln (\frac{18}{13})$	≈ 8.1356

also t=8.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 87 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 78 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 87: f(87)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 87}$ ≈ 0.4

Wann wird der Wert 78?: f(t)=78

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$78$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$3 900 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (3 900 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (3 900 000)$	≈ 131.8078

also t=131.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 20% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 7 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 3 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.8) ≈ -0.22314355131421

=> f(t)= $7 e^{- 0,2231 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $7 e^{- 0,2231 \cdot 2}$ ≈ 4.5

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$7 e^{- 0,2231 t}$	=	$3$	\|: $7$
$e^{- 0,2231 t}$	=	$\frac{3}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,2231 t$	=	$\ln (\frac{3}{7})$	\|: $- 0,2231$
$t$	=	$- \frac{1}{0,2231} \ln (\frac{3}{7})$	≈ 3.7978

also t=3.8

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 63° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 63 ist, gilt: f(0)= 63, also 63 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$63$	=	$20 - c$
$63$	=	$- c + 20$	\| $- 63$ $+ c$
$c$	=	$- 43$

somit gilt: f(t)= $20 + 43 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 43 e^{- k \cdot 2}$ = 51.

20 + 43 e^{- 2 k}

=

51,0004

$43 e^{- 2 k} + 20$	=	$51,0004$	\| $- 20$
$43 e^{- 2 k}$	=	$31,0004$	\|: $43$
$e^{- 2 k}$	=	$0,7209$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,7209)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,7209)$	≈ 0.1636

also k ≈ 0.1636274237858, => f(t)= $20 + 43 e^{- 0,1636 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 43 e^{- 0,1636 \cdot 3}$ ≈ 46.3

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 43 e^{- 0,1636 t}

=

50

$43 e^{- 0,1636 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$43 e^{- 0,1636 t}$	=	$30$	\|: $43$
$e^{- 0,1636 t}$	=	$\frac{30}{43}$	\|ln(⋅)
$- 0,1636 t$	=	$\ln (\frac{30}{43})$	\|: $- 0,1636$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1636} \ln (\frac{30}{43})$	≈ 2.2005

also t=2.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,3% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 14 Jahren, wenn jedes Jahr 0,3 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 80 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.3 - 0.013⋅f(t)

wenn man 0.013 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.013( $\frac{0.3}{0.013}$ - f(t))

also f'(t) = 0.013(23.08 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=23.08 und der Wachstumsfaktor k=0.013 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $23,08 - c \cdot e^{- 0,013 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$23,08 - c \cdot e^{- 0,013 \cdot 0}$
$80$	=	$23,08 - c$
$80$	=	$- c + 23,08$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 56,92$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $23,08 + 56,92 e^{- 0,013 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $23,08 + 56,92 e^{- 0,013 \cdot 14}$ ≈ 70.5

Wann wird der Wert 80?: f(t)=80

23,08 + 56,92 e^{- 0,013 t}

=

80

$56,92 e^{- 0,013 t} + 23,08$	=	$80$	\| $- 23,08$
$56,92 e^{- 0,013 t}$	=	$56,92$	\|: $56,92$
$e^{- 0,013 t}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 0,013 t$	=	0	\|: $- 0,013$
$t$	=	0	≈ 0

also t=0

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{- 0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,1$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,1}$ ≈ 6.931 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.