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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 20g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 16,705g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 6g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 e^{k \cdot 2}$ = 16,7054.

$20 e^{2 k}$	=	$16,7054$	\|: $20$
$e^{2 k}$	=	$0,8353$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (0,8353)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (0,8353)$	≈ -0.09

also k ≈ -0.089982168610138, => f(t)= $20 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 e^{- 0,09 \cdot 5}$ ≈ 12.8

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$20 e^{- 0,09 t}$	=	$6$	\|: $20$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{3}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{3}{10})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{3}{10})$	≈ 13.3775

also t=13.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 20 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 8-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 18 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 13,33-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{20}$ ≈ 0.034657359027997

=> f(t)= $8 e^{0,0347 t}$

Wert zur Zeit 18: f(18)= $8 e^{0,0347 \cdot 18}$ ≈ 14.9

Wann wird der Wert 13.33?: f(t)=13.33

$8 e^{0,0347 t}$	=	$13,33$	\|: $8$
$e^{0,0347 t}$	=	$1,6663$	\|ln(⋅)
$0,0347 t$	=	$\ln (1,6663)$	\|: $0,0347$
$t$	=	$\frac{1}{0,0347} \ln (1,6663)$	≈ 14.7331

also t=14.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 13% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 11 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 18 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.13) ≈ 0.12221763272425

=> f(t)= $11 e^{0,1222 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $11 e^{0,1222 \cdot 3}$ ≈ 15.9

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

$11 e^{0,1222 t}$	=	$18$	\|: $11$
$e^{0,1222 t}$	=	$\frac{18}{11}$	\|ln(⋅)
$0,1222 t$	=	$\ln (\frac{18}{11})$	\|: $0,1222$
$t$	=	$\frac{1}{0,1222} \ln (\frac{18}{11})$	≈ 4.0301

also t=4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 30°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 6 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 16,86°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 7 Minuten? b) Wann ist sie 20°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=30 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $30 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $30 - c$ = $30 - c$

$10$	=	$30 - c$
$10$	=	$- c + 30$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $30 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $30 - 20 e^{- k \cdot 6}$ = 16,86.

30 - 20 e^{- 6 k}

=

16,8591

$- 20 e^{- 6 k} + 30$	=	$16,8591$	\| $- 30$
$- 20 e^{- 6 k}$	=	$- 13,1409$	\|: $- 20$
$e^{- 6 k}$	=	$0,657$	\|ln(⋅)
$- 6 k$	=	$\ln (0,657)$	\|: $- 6$
$k$	=	$- \frac{1}{6} \ln (0,657)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.070011876749588, => f(t)= $30 - 20 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $30 - 20 e^{- 0,07 \cdot 7}$ ≈ 17.7

Wann wird der Wert 20?: f(t)=20

30 - 20 e^{- 0,07 t}

=

20

$- 20 e^{- 0,07 t} + 30$	=	$20$	\| $- 30$
$- 20 e^{- 0,07 t}$	=	$- 10$	\|: $- 20$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 9.9021

also t=9.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3629 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 62 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 15 Monaten? b) Wann beträgt dieser 4541 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 62 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{62}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(6200 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=6200 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $6 200 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3629 ein (Punktprobe).

$3 629$	=	$6 200 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$3 629$	=	$6 200 - c$
$3 629$	=	$- c + 6 200$	\| $- 3 629$ $+ c$
$c$	=	$2 571$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $6 200 - 2 571 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $6 200 - 2 571 e^{- 0,01 \cdot 15}$ ≈ 3987.1

Wann wird der Wert 4541?: f(t)=4541

6 200 - 2 571 e^{- 0,01 t}

=

4 541

$- 2 571 e^{- 0,01 t} + 6 200$	=	$4 541$	\| $- 6 200$
$- 2 571 e^{- 0,01 t}$	=	$- 1 659$	\|: $- 2 571$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{553}{857}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{553}{857})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{553}{857})$	≈ 43.808

also t=43.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $6 e^{- 0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,07$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,07}$ ≈ 9.902 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.