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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 18g vorhanden. Nach 10 Tagen sind nur noch 8,939g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 12g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $18 e^{k \cdot 10}$ = 8,9385.

$18 e^{10 k}$	=	$8,9385$	\|: $18$
$e^{10 k}$	=	$0,4966$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (0,4966)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (0,4966)$	≈ -0.07

also k ≈ -0.069997040590807, => f(t)= $18 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $18 e^{- 0,07 \cdot 11}$ ≈ 8.3

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

$18 e^{- 0,07 t}$	=	$12$	\|: $18$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 5.7924

also t=5.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 102 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 6g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 295 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 1,2g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{102}$ ≈ -0.006795560593725

=> f(t)= $6 e^{- 0,0068 t}$

Wert zur Zeit 295: f(295)= $6 e^{- 0,0068 \cdot 295}$ ≈ 0.8

Wann wird der Wert 1.2?: f(t)=1.2

$6 e^{- 0,0068 t}$	=	$1,2$	\|: $6$
$e^{- 0,0068 t}$	=	$0,2$	\|ln(⋅)
$- 0,0068 t$	=	$\ln (0,2)$	\|: $- 0,0068$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0068} \ln (0,2)$	≈ 236.8214

also t=236.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 10% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 19 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 30 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.1) ≈ 0.095310179804325

=> f(t)= $19 e^{0,0953 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $19 e^{0,0953 \cdot 5}$ ≈ 30.6

Wann wird der Wert 30?: f(t)=30

$19 e^{0,0953 t}$	=	$30$	\|: $19$
$e^{0,0953 t}$	=	$\frac{30}{19}$	\|ln(⋅)
$0,0953 t$	=	$\ln (\frac{30}{19})$	\|: $0,0953$
$t$	=	$\frac{1}{0,0953} \ln (\frac{30}{19})$	≈ 4.7928

also t=4.8

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 12,25°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 5 Minuten? b) Wann ist sie 12°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$5$	=	$27 - c$
$5$	=	$- c + 27$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$22$

somit gilt: f(t)= $27 - 22 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $27 - 22 e^{- k \cdot 4}$ = 12,25.

27 - 22 e^{- 4 k}

=

12,253

$- 22 e^{- 4 k} + 27$	=	$12,253$	\| $- 27$
$- 22 e^{- 4 k}$	=	$- 14,747$	\|: $- 22$
$e^{- 4 k}$	=	$0,6703$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,6703)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,6703)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.10000747640456, => f(t)= $27 - 22 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $27 - 22 e^{- 0,1 \cdot 5}$ ≈ 13.7

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

27 - 22 e^{- 0,1 t}

=

12

$- 22 e^{- 0,1 t} + 27$	=	$12$	\| $- 27$
$- 22 e^{- 0,1 t}$	=	$- 15$	\|: $- 22$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{15}{22}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{15}{22})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{15}{22})$	≈ 3.8299

also t=3.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,2% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 15 Jahren, wenn jedes Jahr 0,4 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 51 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.4 - 0.012⋅f(t)

wenn man 0.012 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.012( $\frac{0.4}{0.012}$ - f(t))

also f'(t) = 0.012(33.33 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=33.33 und der Wachstumsfaktor k=0.012 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $33,33 - c \cdot e^{- 0,012 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$33,33 - c \cdot e^{- 0,012 \cdot 0}$
$80$	=	$33,33 - c$
$80$	=	$- c + 33,33$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 46,67$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $33,33 + 46,67 e^{- 0,012 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $33,33 + 46,67 e^{- 0,012 \cdot 15}$ ≈ 72.3

Wann wird der Wert 51?: f(t)=51

33,33 + 46,67 e^{- 0,012 t}

=

51

$46,67 e^{- 0,012 t} + 33,33$	=	$51$	\| $- 33,33$
$46,67 e^{- 0,012 t}$	=	$17,67$	\|: $46,67$
$e^{- 0,012 t}$	=	$0,3786$	\|ln(⋅)
$- 0,012 t$	=	$\ln (0,3786)$	\|: $- 0,012$
$t$	=	$- \frac{1}{0,012} \ln (0,3786)$	≈ 80.9396

also t=80.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,05$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.