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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 92 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 60 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 92: f(92)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 92}$ ≈ 0.8

Wann wird der Wert 60?: f(t)=60

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$60$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$3 000 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (3 000 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (3 000 000)$	≈ 129.5754

also t=129.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 64 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 10g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 92 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 2g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{64}$ ≈ -0.010830424696249

=> f(t)= $10 e^{- 0,01083 t}$

Wert zur Zeit 92: f(92)= $10 e^{- 0,01083 \cdot 92}$ ≈ 3.7

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$10 e^{- 0,01083 t}$	=	$2$	\|: $10$
$e^{- 0,01083 t}$	=	$\frac{1}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,01083 t$	=	$\ln (\frac{1}{5})$	\|: $- 0,01083$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01083} \ln (\frac{1}{5})$	≈ 148.6092

also t=148.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 14% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 58% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.86) ≈ -0.15082288973458

=> f(t)= $100 e^{- 0,1508 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,1508 \cdot 3}$ ≈ 63.6

Wann wird der Wert 58?: f(t)=58

$100 e^{- 0,1508 t}$	=	$58$	\|: $100$
$e^{- 0,1508 t}$	=	$\frac{29}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,1508 t$	=	$\ln (\frac{29}{50})$	\|: $- 0,1508$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1508} \ln (\frac{29}{50})$	≈ 3.6122

also t=3.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 55° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 55 ist, gilt: f(0)= 55, also 55 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$55$	=	$20 - c$
$55$	=	$- c + 20$	\| $- 55$ $+ c$
$c$	=	$- 35$

somit gilt: f(t)= $20 + 35 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 35 e^{- k \cdot 5}$ = 54.

20 + 35 e^{- 5 k}

=

53,9996

$35 e^{- 5 k} + 20$	=	$53,9996$	\| $- 20$
$35 e^{- 5 k}$	=	$33,9996$	\|: $35$
$e^{- 5 k}$	=	$0,9714$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,9714)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,9714)$	≈ 0.0058

also k ≈ 0.0058033898140985, => f(t)= $20 + 35 e^{- 0,0058 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 35 e^{- 0,0058 \cdot 4}$ ≈ 54.2

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 35 e^{- 0,0058 t}

=

50

$35 e^{- 0,0058 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$35 e^{- 0,0058 t}$	=	$30$	\|: $35$
$e^{- 0,0058 t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,0058 t$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 0,0058$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0058} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 26.5777

also t=26.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 8ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 8% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 12 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 47ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 8 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{8}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(100 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=100 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $100 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$100 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
0	=	$100 - c$
0	=	$- c + 100$	\|0 $+ c$
$c$	=	$100$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $100 - 100 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $100 - 100 e^{- 0,08 \cdot 12}$ ≈ 61.7

Wann wird der Wert 47?: f(t)=47

100 - 100 e^{- 0,08 t}

=

47

$- 100 e^{- 0,08 t} + 100$	=	$47$	\| $- 100$
$- 100 e^{- 0,08 t}$	=	$- 53$	\|: $- 100$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{53}{100}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{53}{100})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{53}{100})$	≈ 7.936

also t=7.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $10 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.