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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 7 Millionen Algen im Teich. Nach 4 Stunden sind es 9,64 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 6 Stunden? b) Wann waren es 10 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $7 e^{k \cdot 4}$ = 9,6399.

$7 e^{4 k}$	=	$9,6399$	\|: $7$
$e^{4 k}$	=	$1,3771$	\|ln(⋅)
$4 k$	=	$\ln (1,3771)$	\|: $4$
$k$	=	$\frac{1}{4} \ln (1,3771)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.079994959687736, => f(t)= $7 e^{0,08 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $7 e^{0,08 \cdot 6}$ ≈ 11.3

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$7 e^{0,08 t}$	=	$10$	\|: $7$
$e^{0,08 t}$	=	$\frac{10}{7}$	\|ln(⋅)
$0,08 t$	=	$\ln (\frac{10}{7})$	\|: $0,08$
$t$	=	$\frac{1}{0,08} \ln (\frac{10}{7})$	≈ 4.4584

also t=4.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 100 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 3 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 100: f(100)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 100}$ ≈ 2

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$3$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$150 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (150 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (150 000)$	≈ 103.5113

also t=103.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 2% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 7 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 8 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.02) ≈ 0.01980262729618

=> f(t)= $7 e^{0,0198 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $7 e^{0,0198 \cdot 3}$ ≈ 7.4

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$7 e^{0,0198 t}$	=	$8$	\|: $7$
$e^{0,0198 t}$	=	$\frac{8}{7}$	\|ln(⋅)
$0,0198 t$	=	$\ln (\frac{8}{7})$	\|: $0,0198$
$t$	=	$\frac{1}{0,0198} \ln (\frac{8}{7})$	≈ 6.744

also t=6.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 31 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 3,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 31.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

30,9999

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$30,9999$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 6,0001$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,3$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,3)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,3)$	≈ 2.4079

also k ≈ 2.4079456086519, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,4079 t}$

Wert zur Zeit 3.5: f(3.5)= $37 - 20 e^{- 2,4079 \cdot 3,5}$ ≈ 37

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,4079 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,4079 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,4079 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,4079 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,4079 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,4079$
$t$	=	$- \frac{1}{2,4079} \ln (0,005)$	≈ 2.2004

also t=2.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3301 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 78 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 13 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3027 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 78 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{78}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(780 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=780 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $780 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3301 ein (Punktprobe).

$3 301$	=	$780 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$3 301$	=	$780 - c$
$3 301$	=	$- c + 780$	\| $- 3 301$ $+ c$
$c$	=	$- 2 521$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $780 + 2 521 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $780 + 2 521 e^{- 0,1 \cdot 13}$ ≈ 1467.1

Wann wird der Wert 3027?: f(t)=3027

780 + 2 521 e^{- 0,1 t}

=

3 027

$2 521 e^{- 0,1 t} + 780$	=	$3 027$	\| $- 780$
$2 521 e^{- 0,1 t}$	=	$2 247$	\|: $2 521$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{2247}{2521}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{2247}{2521})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{2247}{2521})$	≈ 1.1506

also t=1.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $7 e^{- 0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,05$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.