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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 75 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 100 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 75: f(75)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 75}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 100?: f(t)=100

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$100$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$5 000 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (5 000 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (5 000 000)$	≈ 134.0135

also t=134

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1416 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2201? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,2 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1416}$ ≈ -0.00048951072073442

=> f(t)= $e^{- 0,00049 t}$

Wert zur Zeit 201: f(201)= $e^{- 0,00049 \cdot 201}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.2?: f(t)=0.2

$e^{- 0,00049 t}$	=	$0,2$	\|ln(⋅)
$- 0,00049 t$	=	$\ln (0,2)$	\|: $- 0,00049$
$t$	=	$- \frac{1}{0,00049} \ln (0,2)$	≈ 3284.5672

also t=3284.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 9% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 10 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 15 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.09) ≈ 0.086177696241052

=> f(t)= $10 e^{0,0862 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $10 e^{0,0862 \cdot 3}$ ≈ 13

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

$10 e^{0,0862 t}$	=	$15$	\|: $10$
$e^{0,0862 t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,0862 t$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $0,0862$
$t$	=	$\frac{1}{0,0862} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 4.7038

also t=4.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 28°C wird eine Limo aus einem 4° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 2 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 4,48°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 5 Minuten? b) Wann ist sie 27°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=28 sein muss.

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $28 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $28 - c$ = $28 - c$

$4$	=	$28 - c$
$4$	=	$- c + 28$	\| $- 4$ $+ c$
$c$	=	$24$

somit gilt: f(t)= $28 - 24 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $28 - 24 e^{- k \cdot 2}$ = 4,48.

28 - 24 e^{- 2 k}

=

4,4752

$- 24 e^{- 2 k} + 28$	=	$4,4752$	\| $- 28$
$- 24 e^{- 2 k}$	=	$- 23,5248$	\|: $- 24$
$e^{- 2 k}$	=	$0,9802$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,9802)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,9802)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.009999323253345, => f(t)= $28 - 24 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $28 - 24 e^{- 0,01 \cdot 5}$ ≈ 5.2

Wann wird der Wert 27?: f(t)=27

28 - 24 e^{- 0,01 t}

=

27

$- 24 e^{- 0,01 t} + 28$	=	$27$	\| $- 28$
$- 24 e^{- 0,01 t}$	=	$- 1$	\|: $- 24$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{1}{24}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{1}{24})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{1}{24})$	≈ 317.8054

also t=317.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2543 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 63 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 11 Monaten? b) Wann beträgt dieser 6057 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 63 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{63}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(6300 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=6300 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $6 300 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2543 ein (Punktprobe).

$2 543$	=	$6 300 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$2 543$	=	$6 300 - c$
$2 543$	=	$- c + 6 300$	\| $- 2 543$ $+ c$
$c$	=	$3 757$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $6 300 - 3 757 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $6 300 - 3 757 e^{- 0,01 \cdot 11}$ ≈ 2934.4

Wann wird der Wert 6057?: f(t)=6057

6 300 - 3 757 e^{- 0,01 t}

=

6 057

$- 3 757 e^{- 0,01 t} + 6 300$	=	$6 057$	\| $- 6 300$
$- 3 757 e^{- 0,01 t}$	=	$- 243$	\|: $- 3 757$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{243}{3757}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{243}{3757})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{243}{3757})$	≈ 273.8315

also t=273.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $9 e^{0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,01$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,01}$ ≈ 69.315 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.