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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 11 Millionen Algen im Teich. Nach 9 Stunden sind es 24,727 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 12 Stunden? b) Wann waren es 16 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $11 e^{k \cdot 9}$ = 24,727.

$11 e^{9 k}$	=	$24,727$	\|: $11$
$e^{9 k}$	=	$2,2479$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (2,2479)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (2,2479)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.089999605228471, => f(t)= $11 e^{0,09 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $11 e^{0,09 \cdot 12}$ ≈ 32.4

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

$11 e^{0,09 t}$	=	$16$	\|: $11$
$e^{0,09 t}$	=	$\frac{16}{11}$	\|ln(⋅)
$0,09 t$	=	$\ln (\frac{16}{11})$	\|: $0,09$
$t$	=	$\frac{1}{0,09} \ln (\frac{16}{11})$	≈ 4.1633

also t=4.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 68 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 15g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 141 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 6g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{68}$ ≈ -0.010193340890587

=> f(t)= $15 e^{- 0,0102 t}$

Wert zur Zeit 141: f(141)= $15 e^{- 0,0102 \cdot 141}$ ≈ 3.6

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$15 e^{- 0,0102 t}$	=	$6$	\|: $15$
$e^{- 0,0102 t}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,0102 t$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 0,0102$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0102} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 89.8941

also t=89.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 15% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 25% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.85) ≈ -0.16251892949777

=> f(t)= $100 e^{- 0,1625 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,1625 \cdot 3}$ ≈ 61.4

Wann wird der Wert 25?: f(t)=25

$100 e^{- 0,1625 t}$	=	$25$	\|: $100$
$e^{- 0,1625 t}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,1625 t$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,1625$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1625} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 8.531

also t=8.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 14,35°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 12 Minuten? b) Wann ist sie 17°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$8$	=	$29 - c$
$8$	=	$- c + 29$	\| $- 8$ $+ c$
$c$	=	$21$

somit gilt: f(t)= $29 - 21 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $29 - 21 e^{- k \cdot 9}$ = 14,35.

29 - 21 e^{- 9 k}

=

14,3488

$- 21 e^{- 9 k} + 29$	=	$14,3488$	\| $- 29$
$- 21 e^{- 9 k}$	=	$- 14,6512$	\|: $- 21$
$e^{- 9 k}$	=	$0,6977$	\|ln(⋅)
$- 9 k$	=	$\ln (0,6977)$	\|: $- 9$
$k$	=	$- \frac{1}{9} \ln (0,6977)$	≈ 0.04

also k ≈ 0.039996229781883, => f(t)= $29 - 21 e^{- 0,04 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $29 - 21 e^{- 0,04 \cdot 12}$ ≈ 16

Wann wird der Wert 17?: f(t)=17

29 - 21 e^{- 0,04 t}

=

17

$- 21 e^{- 0,04 t} + 29$	=	$17$	\| $- 29$
$- 21 e^{- 0,04 t}$	=	$- 12$	\|: $- 21$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{4}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{4}{7})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{4}{7})$	≈ 13.9904

also t=14

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,2% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 14 Jahren, wenn jedes Jahr 0,4 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 72 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.4 - 0.012⋅f(t)

wenn man 0.012 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.012( $\frac{0.4}{0.012}$ - f(t))

also f'(t) = 0.012(33.33 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=33.33 und der Wachstumsfaktor k=0.012 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $33,33 - c \cdot e^{- 0,012 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$33,33 - c \cdot e^{- 0,012 \cdot 0}$
$80$	=	$33,33 - c$
$80$	=	$- c + 33,33$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 46,67$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $33,33 + 46,67 e^{- 0,012 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $33,33 + 46,67 e^{- 0,012 \cdot 14}$ ≈ 72.8

Wann wird der Wert 72?: f(t)=72

33,33 + 46,67 e^{- 0,012 t}

=

72

$46,67 e^{- 0,012 t} + 33,33$	=	$72$	\| $- 33,33$
$46,67 e^{- 0,012 t}$	=	$38,67$	\|: $46,67$
$e^{- 0,012 t}$	=	$0,8286$	\|ln(⋅)
$- 0,012 t$	=	$\ln (0,8286)$	\|: $- 0,012$
$t$	=	$- \frac{1}{0,012} \ln (0,8286)$	≈ 15.6681

also t=15.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.