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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 18g vorhanden. Nach 4 Tagen sind nur noch 13,604g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 6 Tagen da? b) Wann sind nur noch 12g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $18 e^{k \cdot 4}$ = 13,6041.

$18 e^{4 k}$	=	$13,6041$	\|: $18$
$e^{4 k}$	=	$0,7558$	\|ln(⋅)
$4 k$	=	$\ln (0,7558)$	\|: $4$
$k$	=	$\frac{1}{4} \ln (0,7558)$	≈ -0.07

also k ≈ -0.069994622016687, => f(t)= $18 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $18 e^{- 0,07 \cdot 6}$ ≈ 11.8

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

$18 e^{- 0,07 t}$	=	$12$	\|: $18$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 5.7924

also t=5.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 15 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 7-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 39 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 8,75-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{15}$ ≈ 0.04620981203733

=> f(t)= $7 e^{0,04621 t}$

Wert zur Zeit 39: f(39)= $7 e^{0,04621 \cdot 39}$ ≈ 42.4

Wann wird der Wert 8.75?: f(t)=8.75

$7 e^{0,04621 t}$	=	$8,75$	\|: $7$
$e^{0,04621 t}$	=	$1,25$	\|ln(⋅)
$0,04621 t$	=	$\ln (1,25)$	\|: $0,04621$
$t$	=	$\frac{1}{0,04621} \ln (1,25)$	≈ 4.8289

also t=4.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 6% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 3 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 4 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.06) ≈ 0.058268908123976

=> f(t)= $3 e^{0,0583 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $3 e^{0,0583 \cdot 5}$ ≈ 4

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$3 e^{0,0583 t}$	=	$4$	\|: $3$
$e^{0,0583 t}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$0,0583 t$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $0,0583$
$t$	=	$\frac{1}{0,0583} \ln (\frac{4}{3})$	≈ 4.9345

also t=4.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 63° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 51,01° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 63 ist, gilt: f(0)= 63, also 63 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$63$	=	$20 - c$
$63$	=	$- c + 20$	\| $- 63$ $+ c$
$c$	=	$- 43$

somit gilt: f(t)= $20 + 43 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 43 e^{- k \cdot 5}$ = 51,01.

20 + 43 e^{- 5 k}

=

51,0066

$43 e^{- 5 k} + 20$	=	$51,0066$	\| $- 20$
$43 e^{- 5 k}$	=	$31,0066$	\|: $43$
$e^{- 5 k}$	=	$0,7211$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,7211)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,7211)$	≈ 0.0654

also k ≈ 0.065395491011885, => f(t)= $20 + 43 e^{- 0,0654 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 43 e^{- 0,0654 \cdot 4}$ ≈ 53.1

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 43 e^{- 0,0654 t}

=

50

$43 e^{- 0,0654 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$43 e^{- 0,0654 t}$	=	$30$	\|: $43$
$e^{- 0,0654 t}$	=	$\frac{30}{43}$	\|ln(⋅)
$- 0,0654 t$	=	$\ln (\frac{30}{43})$	\|: $- 0,0654$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0654} \ln (\frac{30}{43})$	≈ 5.5046

also t=5.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3876 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 81 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 5 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3462 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 81 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{81}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(1012.5 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1012.5 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 012,5 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3876 ein (Punktprobe).

$3 876$	=	$1 012,5 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$3 876$	=	$1 012,5 - c$
$3 876$	=	$- c + 1 012,5$	\| $- 3 876$ $+ c$
$c$	=	$- 2 863,5$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 012,5 + 2 863,5 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $1 012,5 + 2 863,5 e^{- 0,08 \cdot 5}$ ≈ 2932

Wann wird der Wert 3462?: f(t)=3462

1 012,5 + 2 863,5 e^{- 0,08 t}

=

3 462

$2 863,5 e^{- 0,08 t} + 1 012,5$	=	$3 462$	\| $- 1 012,5$
$2 863,5 e^{- 0,08 t}$	=	$2 449,5$	\|: $2 863,5$
$e^{- 0,08 t}$	=	$0,8554$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (0,8554)$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (0,8554)$	≈ 1.9523

also t=2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,06$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.