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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 16g vorhanden. Nach 7 Tagen sind nur noch 10,513g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 9 Tagen da? b) Wann sind nur noch 11g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $16 e^{k \cdot 7}$ = 10,5127.

$16 e^{7 k}$	=	$10,5127$	\|: $16$
$e^{7 k}$	=	$0,657$	\|ln(⋅)
$7 k$	=	$\ln (0,657)$	\|: $7$
$k$	=	$\frac{1}{7} \ln (0,657)$	≈ -0.06

also k ≈ -0.060010180071075, => f(t)= $16 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $16 e^{- 0,06 \cdot 9}$ ≈ 9.3

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

$16 e^{- 0,06 t}$	=	$11$	\|: $16$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{11}{16}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{11}{16})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{11}{16})$	≈ 6.2449

also t=6.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1765 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2241? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,2 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1765}$ ≈ -0.00039271794932575

=> f(t)= $e^{- 0,0004 t}$

Wert zur Zeit 241: f(241)= $e^{- 0,0004 \cdot 241}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.2?: f(t)=0.2

$e^{- 0,0004 t}$	=	$0,2$	\|ln(⋅)
$- 0,0004 t$	=	$\ln (0,2)$	\|: $- 0,0004$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0004} \ln (0,2)$	≈ 4095.2619

also t=4095.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 9% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 5 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 73% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.91) ≈ -0.094310679471241

=> f(t)= $100 e^{- 0,0943 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 e^{- 0,0943 \cdot 5}$ ≈ 62.4

Wann wird der Wert 73?: f(t)=73

$100 e^{- 0,0943 t}$	=	$73$	\|: $100$
$e^{- 0,0943 t}$	=	$\frac{73}{100}$	\|ln(⋅)
$- 0,0943 t$	=	$\ln (\frac{73}{100})$	\|: $- 0,0943$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0943} \ln (\frac{73}{100})$	≈ 3.3373

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 15,66°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 8 Minuten? b) Wann ist sie 8°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$7$	=	$29 - c$
$7$	=	$- c + 29$	\| $- 7$ $+ c$
$c$	=	$22$

somit gilt: f(t)= $29 - 22 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $29 - 22 e^{- k \cdot 5}$ = 15,66.

29 - 22 e^{- 5 k}

=

15,6563

$- 22 e^{- 5 k} + 29$	=	$15,6563$	\| $- 29$
$- 22 e^{- 5 k}$	=	$- 13,3437$	\|: $- 22$
$e^{- 5 k}$	=	$0,6065$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,6065)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,6065)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.10001011011961, => f(t)= $29 - 22 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $29 - 22 e^{- 0,1 \cdot 8}$ ≈ 19.1

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

29 - 22 e^{- 0,1 t}

=

8

$- 22 e^{- 0,1 t} + 29$	=	$8$	\| $- 29$
$- 22 e^{- 0,1 t}$	=	$- 21$	\|: $- 22$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{21}{22}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{21}{22})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{21}{22})$	≈ 0.4652

also t=0.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 8ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 5% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 13 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 130ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 8 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{8}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(160 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=160 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $160 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$160 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
0	=	$160 - c$
0	=	$- c + 160$	\|0 $+ c$
$c$	=	$160$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $160 - 160 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $160 - 160 e^{- 0,05 \cdot 13}$ ≈ 76.5

Wann wird der Wert 130?: f(t)=130

160 - 160 e^{- 0,05 t}

=

130

$- 160 e^{- 0,05 t} + 160$	=	$130$	\| $- 160$
$- 160 e^{- 0,05 t}$	=	$- 30$	\|: $- 160$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{3}{16}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{3}{16})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{3}{16})$	≈ 33.4795

also t=33.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{- 0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,04$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

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beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.