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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 14 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 23,082 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 12 Stunden? b) Wann waren es 18 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $14 e^{k \cdot 10}$ = 23,0821.

$14 e^{10 k}$	=	$23,0821$	\|: $14$
$e^{10 k}$	=	$1,6487$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (1,6487)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (1,6487)$	≈ 0.05

also k ≈ 0.0499987098585, => f(t)= $14 e^{0,05 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $14 e^{0,05 \cdot 12}$ ≈ 25.5

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

$14 e^{0,05 t}$	=	$18$	\|: $14$
$e^{0,05 t}$	=	$\frac{9}{7}$	\|ln(⋅)
$0,05 t$	=	$\ln (\frac{9}{7})$	\|: $0,05$
$t$	=	$\frac{1}{0,05} \ln (\frac{9}{7})$	≈ 5.0263

also t=5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 333 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 7g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 194 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 3,5g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{333}$ ≈ -0.0020815230647446

=> f(t)= $7 e^{- 0,0021 t}$

Wert zur Zeit 194: f(194)= $7 e^{- 0,0021 \cdot 194}$ ≈ 4.7

Wann wird der Wert 3.5?: f(t)=3.5

$7 e^{- 0,0021 t}$	=	$3,5$	\|: $7$
$e^{- 0,0021 t}$	=	$0,5$	\|ln(⋅)
$- 0,0021 t$	=	$\ln (0,5)$	\|: $- 0,0021$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0021} \ln (0,5)$	≈ 332.9237

also t=332.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 84% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.96) ≈ -0.040821994520255

=> f(t)= $100 e^{- 0,0408 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,0408 \cdot 4}$ ≈ 84.9

Wann wird der Wert 84?: f(t)=84

$100 e^{- 0,0408 t}$	=	$84$	\|: $100$
$e^{- 0,0408 t}$	=	$\frac{21}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,0408 t$	=	$\ln (\frac{21}{25})$	\|: $- 0,0408$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0408} \ln (\frac{21}{25})$	≈ 4.2734

also t=4.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 2 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 9,05°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 5 Minuten? b) Wann ist sie 18°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$8$	=	$26 - c$
$8$	=	$- c + 26$	\| $- 8$ $+ c$
$c$	=	$18$

somit gilt: f(t)= $26 - 18 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $26 - 18 e^{- k \cdot 2}$ = 9,05.

26 - 18 e^{- 2 k}

=

9,0482

$- 18 e^{- 2 k} + 26$	=	$9,0482$	\| $- 26$
$- 18 e^{- 2 k}$	=	$- 16,9518$	\|: $- 18$
$e^{- 2 k}$	=	$0,9418$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,9418)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,9418)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.029981170586341, => f(t)= $26 - 18 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $26 - 18 e^{- 0,03 \cdot 5}$ ≈ 10.5

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

26 - 18 e^{- 0,03 t}

=

18

$- 18 e^{- 0,03 t} + 26$	=	$18$	\| $- 26$
$- 18 e^{- 0,03 t}$	=	$- 8$	\|: $- 18$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{4}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{4}{9})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{4}{9})$	≈ 27.031

also t=27

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 6ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 10% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 11 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 46ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 6 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{6}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(60 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=60 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $60 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$60 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
0	=	$60 - c$
0	=	$- c + 60$	\|0 $+ c$
$c$	=	$60$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $60 - 60 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $60 - 60 e^{- 0,1 \cdot 11}$ ≈ 40

Wann wird der Wert 46?: f(t)=46

60 - 60 e^{- 0,1 t}

=

46

$- 60 e^{- 0,1 t} + 60$	=	$46$	\| $- 60$
$- 60 e^{- 0,1 t}$	=	$- 14$	\|: $- 60$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{7}{30}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{7}{30})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{7}{30})$	≈ 14.5529

also t=14.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $7 e^{0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,03$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.