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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 100 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 85 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 100: f(100)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 100}$ ≈ 2

Wann wird der Wert 85?: f(t)=85

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$85$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 250 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 250 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 250 000)$	≈ 132.6015

also t=132.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 141 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 13g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 325 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 5,2g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{141}$ ≈ -0.0049159374507798

=> f(t)= $13 e^{- 0,0049 t}$

Wert zur Zeit 325: f(325)= $13 e^{- 0,0049 \cdot 325}$ ≈ 2.6

Wann wird der Wert 5.2?: f(t)=5.2

$13 e^{- 0,0049 t}$	=	$5,2$	\|: $13$
$e^{- 0,0049 t}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,0049 t$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,0049$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0049} \ln (0,4)$	≈ 186.3895

also t=186.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 76% der Masse da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.96) ≈ -0.040821994520255

=> f(t)= $100 e^{- 0,0408 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,0408 \cdot 4}$ ≈ 84.9

Wann wird der Wert 76?: f(t)=76

$100 e^{- 0,0408 t}$	=	$76$	\|: $100$
$e^{- 0,0408 t}$	=	$\frac{19}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,0408 t$	=	$\ln (\frac{19}{25})$	\|: $- 0,0408$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0408} \ln (\frac{19}{25})$	≈ 6.7264

also t=6.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 55° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 55 ist, gilt: f(0)= 55, also 55 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$55$	=	$20 - c$
$55$	=	$- c + 20$	\| $- 55$ $+ c$
$c$	=	$- 35$

somit gilt: f(t)= $20 + 35 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 35 e^{- k \cdot 3}$ = 54.

20 + 35 e^{- 3 k}

=

53,9962

$35 e^{- 3 k} + 20$	=	$53,9962$	\| $- 20$
$35 e^{- 3 k}$	=	$33,9962$	\|: $35$
$e^{- 3 k}$	=	$0,9713$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,9713)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,9713)$	≈ 0.0097

also k ≈ 0.0097066328579507, => f(t)= $20 + 35 e^{- 0,0097 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 35 e^{- 0,0097 \cdot 4}$ ≈ 53.7

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 35 e^{- 0,0097 t}

=

50

$35 e^{- 0,0097 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$35 e^{- 0,0097 t}$	=	$30$	\|: $35$
$e^{- 0,0097 t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,0097 t$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 0,0097$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0097} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 15.8918

also t=15.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2297 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 71 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 11 Monaten? b) Wann beträgt dieser 5132 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 71 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{71}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(7100 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=7100 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $7 100 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2297 ein (Punktprobe).

$2 297$	=	$7 100 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$2 297$	=	$7 100 - c$
$2 297$	=	$- c + 7 100$	\| $- 2 297$ $+ c$
$c$	=	$4 803$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $7 100 - 4 803 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $7 100 - 4 803 e^{- 0,01 \cdot 11}$ ≈ 2797.3

Wann wird der Wert 5132?: f(t)=5132

7 100 - 4 803 e^{- 0,01 t}

=

5 132

$- 4 803 e^{- 0,01 t} + 7 100$	=	$5 132$	\| $- 7 100$
$- 4 803 e^{- 0,01 t}$	=	$- 1 968$	\|: $- 4 803$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{656}{1601}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{656}{1601})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{656}{1601})$	≈ 89.2223

also t=89.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{- 0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,01$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,01}$ ≈ 69.315 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.