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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 14 Millionen Algen im Teich. Nach 5 Stunden sind es 15,472 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 6 Stunden? b) Wann waren es 16 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 14 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= 14 e k · 5 = 15,4724.

14 e 5k = 15,4724 |:14
e 5k = 1,1052 |ln(⋅)
5k = ln( 1,1052 ) |:5
k = 1 5 ln( 1,1052 ) ≈ 0.02

also k ≈ 0.020005262813425, => f(t)= 14 e 0,02t


Wert zur Zeit 6: f(6)= 14 e 0,026 ≈ 15.8


Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

14 e 0,02t = 16 |:14
e 0,02t = 8 7 |ln(⋅)
0,02t = ln( 8 7 ) |:0,02
t = 1 0,02 ln( 8 7 ) ≈ 6.6766

also t=6.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 14 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 10-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 8 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 50-Tausend Euro gestiegen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 10 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel TV= ln(2) k um zu
k= ln(2) T = ln(2) 14 ≈ 0.049510512897139


=> f(t)= 10 e 0,0495t


Wert zur Zeit 8: f(8)= 10 e 0,04958 ≈ 14.9


Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

10 e 0,0495t = 50 |:10
e 0,0495t = 5 |ln(⋅)
0,0495t = ln( 5 ) |:0,0495
t = 1 0,0495 ln( 5 ) ≈ 32.5067

also t=32.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 14% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 16% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 100 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.86) ≈ -0.15082288973458


=> f(t)= 100 e -0,1508t


Wert zur Zeit 4: f(4)= 100 e -0,15084 ≈ 54.7


Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

100 e -0,1508t = 16 |:100
e -0,1508t = 4 25 |ln(⋅)
-0,1508t = ln( 4 25 ) |:-0,1508
t = - 1 0,1508 ln( 4 25 ) ≈ 12.1524

also t=12.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 17,46°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 13 Minuten? b) Wann ist sie 11°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = 26 - c · e -k · 0 = 26 - c = 26 - c

7 = 26 - c
7 = -c +26 | -7 + c
c = 19

somit gilt: f(t)= 26 -19 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= 26 -19 e -k · 10 = 17,46.

26 -19 e -10k = 17,4627
-19 e -10k +26 = 17,4627 | -26
-19 e -10k = -8,5373 |:-19
e -10k = 0,4493 |ln(⋅)
-10k = ln( 0,4493 ) |:-10
k = - 1 10 ln( 0,4493 ) ≈ 0.08

also k ≈ 0.080006446290602, => f(t)= 26 -19 e -0,08t


Wert zur Zeit 13: f(13)= 26 -19 e -0,0813 ≈ 19.3


Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

26 -19 e -0,08t = 11
-19 e -0,08t +26 = 11 | -26
-19 e -0,08t = -15 |:-19
e -0,08t = 15 19 |ln(⋅)
-0,08t = ln( 15 19 ) |:-0,08
t = - 1 0,08 ln( 15 19 ) ≈ 2.9549

also t=3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2146 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 68 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 11 Monaten? b) Wann beträgt dieser 5904 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 68 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( 68 0.01 - f(t))

also f'(t) = 0.01(6800 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=6800 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 6800 - c · e -0,01t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2146 ein (Punktprobe).

2146 = 6800 - c · e -0,010
2146 = 6800 - c
2146 = -c +6800 | -2146 + c
c = 4654

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 6800 -4654 e -0,01x


Wert zur Zeit 11: f(11)= 6800 -4654 e -0,0111 ≈ 2630.8


Wann wird der Wert 5904?: f(t)=5904

6800 -4654 e -0,01t = 5904
-4654 e -0,01t +6800 = 5904 | -6800
-4654 e -0,01t = -896 |:-4654
e -0,01t = 448 2327 |ln(⋅)
-0,01t = ln( 448 2327 ) |:-0,01
t = - 1 0,01 ln( 448 2327 ) ≈ 164.7542

also t=164.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 14 e 0,08t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (0,08 ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = 0,08 einfach in die Formel TV = ln(2) k ein:

TV = ln(2) 0,08 8.664 min