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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 77 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 57 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 77: f(77)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 77}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 57?: f(t)=57

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$57$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 850 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 850 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 850 000)$	≈ 129.1297

also t=129.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1909 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2171? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,8 Milliarden Blondies?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1909}$ ≈ -0.00036309438478782

=> f(t)= $e^{- 0,0004 t}$

Wert zur Zeit 171: f(171)= $e^{- 0,0004 \cdot 171}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.8?: f(t)=0.8

$e^{- 0,0004 t}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 0,0004 t$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 0,0004$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0004} \ln (0,8)$	≈ 614.7205

also t=614.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 80% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.96) ≈ -0.040821994520255

=> f(t)= $100 e^{- 0,0408 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,0408 \cdot 3}$ ≈ 88.5

Wann wird der Wert 80?: f(t)=80

$100 e^{- 0,0408 t}$	=	$80$	\|: $100$
$e^{- 0,0408 t}$	=	$\frac{4}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,0408 t$	=	$\ln (\frac{4}{5})$	\|: $- 0,0408$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0408} \ln (\frac{4}{5})$	≈ 5.4692

also t=5.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 64° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 64 ist, gilt: f(0)= 64, also 64 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$64$	=	$20 - c$
$64$	=	$- c + 20$	\| $- 64$ $+ c$
$c$	=	$- 44$

somit gilt: f(t)= $20 + 44 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 44 e^{- k \cdot 4}$ = 52.

20 + 44 e^{- 4 k}

=

52,0017

$44 e^{- 4 k} + 20$	=	$52,0017$	\| $- 20$
$44 e^{- 4 k}$	=	$32,0017$	\|: $44$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7273$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7273)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7273)$	≈ 0.0796

also k ≈ 0.079604057955411, => f(t)= $20 + 44 e^{- 0,0796 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 44 e^{- 0,0796 \cdot 4}$ ≈ 52

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 44 e^{- 0,0796 t}

=

50

$44 e^{- 0,0796 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$44 e^{- 0,0796 t}$	=	$30$	\|: $44$
$e^{- 0,0796 t}$	=	$\frac{15}{22}$	\|ln(⋅)
$- 0,0796 t$	=	$\ln (\frac{15}{22})$	\|: $- 0,0796$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0796} \ln (\frac{15}{22})$	≈ 4.8115

also t=4.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3710 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 77 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 5 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1748 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 77 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{77}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(962.5 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=962.5 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $962,5 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3710 ein (Punktprobe).

$3 710$	=	$962,5 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$3 710$	=	$962,5 - c$
$3 710$	=	$- c + 962,5$	\| $- 3 710$ $+ c$
$c$	=	$- 2 747,5$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $962,5 + 2 747,5 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $962,5 + 2 747,5 e^{- 0,08 \cdot 5}$ ≈ 2804.2

Wann wird der Wert 1748?: f(t)=1748

962,5 + 2 747,5 e^{- 0,08 t}

=

1 748

$2 747,5 e^{- 0,08 t} + 962,5$	=	$1 748$	\| $- 962,5$
$2 747,5 e^{- 0,08 t}$	=	$785,5$	\|: $2 747,5$
$e^{- 0,08 t}$	=	$0,2859$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (0,2859)$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (0,2859)$	≈ 15.6514

also t=15.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $18 e^{0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,07$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.