Mathebattle EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 3 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 4,946 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 13 Stunden? b) Wann waren es 5 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $3 e^{k \cdot 10}$ = 4,9462.

$3 e^{10 k}$	=	$4,9462$	\|: $3$
$e^{10 k}$	=	$1,6487$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (1,6487)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (1,6487)$	≈ 0.05

also k ≈ 0.0499987098585, => f(t)= $3 e^{0,05 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $3 e^{0,05 \cdot 13}$ ≈ 5.7

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$3 e^{0,05 t}$	=	$5$	\|: $3$
$e^{0,05 t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$0,05 t$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $0,05$
$t$	=	$\frac{1}{0,05} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 10.2165

also t=10.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 13 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 3-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 26 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 6-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{13}$ ≈ 0.053319013889227

=> f(t)= $3 e^{0,0533 t}$

Wert zur Zeit 26: f(26)= $3 e^{0,0533 \cdot 26}$ ≈ 12

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$3 e^{0,0533 t}$	=	$6$	\|: $3$
$e^{0,0533 t}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$0,0533 t$	=	$\ln (2)$	\|: $0,0533$
$t$	=	$\frac{1}{0,0533} \ln (2)$	≈ 13

also t=13

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 19% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 5 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.81) ≈ -0.21072103131565

=> f(t)= $5 e^{- 0,2107 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $5 e^{- 0,2107 \cdot 2}$ ≈ 3.3

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$5 e^{- 0,2107 t}$	=	$1$	\|: $5$
$e^{- 0,2107 t}$	=	$\frac{1}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,2107 t$	=	$\ln (\frac{1}{5})$	\|: $- 0,2107$
$t$	=	$- \frac{1}{0,2107} \ln (\frac{1}{5})$	≈ 7.6385

also t=7.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 57° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 57 ist, gilt: f(0)= 57, also 57 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$57$	=	$20 - c$
$57$	=	$- c + 20$	\| $- 57$ $+ c$
$c$	=	$- 37$

somit gilt: f(t)= $20 + 37 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 37 e^{- k \cdot 4}$ = 52.

20 + 37 e^{- 4 k}

=

51,9994

$37 e^{- 4 k} + 20$	=	$51,9994$	\| $- 20$
$37 e^{- 4 k}$	=	$31,9994$	\|: $37$
$e^{- 4 k}$	=	$0,8648$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,8648)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,8648)$	≈ 0.0363

also k ≈ 0.036314253164285, => f(t)= $20 + 37 e^{- 0,0363 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 37 e^{- 0,0363 \cdot 3}$ ≈ 53.2

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 37 e^{- 0,0363 t}

=

50

$37 e^{- 0,0363 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$37 e^{- 0,0363 t}$	=	$30$	\|: $37$
$e^{- 0,0363 t}$	=	$\frac{30}{37}$	\|ln(⋅)
$- 0,0363 t$	=	$\ln (\frac{30}{37})$	\|: $- 0,0363$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0363} \ln (\frac{30}{37})$	≈ 5.7774

also t=5.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2403 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 63 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 9 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2252 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 63 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{63}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(787.5 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=787.5 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $787,5 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2403 ein (Punktprobe).

$2 403$	=	$787,5 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$2 403$	=	$787,5 - c$
$2 403$	=	$- c + 787,5$	\| $- 2 403$ $+ c$
$c$	=	$- 1 615,5$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $787,5 + 1 615,5 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $787,5 + 1 615,5 e^{- 0,08 \cdot 9}$ ≈ 1573.8

Wann wird der Wert 2252?: f(t)=2252

787,5 + 1 615,5 e^{- 0,08 t}

=

2 252

$1 615,5 e^{- 0,08 t} + 787,5$	=	$2 252$	\| $- 787,5$
$1 615,5 e^{- 0,08 t}$	=	$1 464,5$	\|: $1 615,5$
$e^{- 0,08 t}$	=	$0,9065$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (0,9065)$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (0,9065)$	≈ 1.2271

also t=1.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,02$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.