Mathebattle EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 83 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 36 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 83: f(83)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 83}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 36?: f(t)=36

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$36$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 800 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 800 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 800 000)$	≈ 125.1372

also t=125.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1519 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2244? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,8 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1519}$ ≈ -0.00045631809121787

=> f(t)= $e^{- 0,0005 t}$

Wert zur Zeit 244: f(244)= $e^{- 0,0005 \cdot 244}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.8?: f(t)=0.8

$e^{- 0,0005 t}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 0,0005 t$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 0,0005$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0005} \ln (0,8)$	≈ 489.3499

also t=489.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 9% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 64% der Masse da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.91) ≈ -0.094310679471241

=> f(t)= $100 e^{- 0,0943 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,0943 \cdot 4}$ ≈ 68.6

Wann wird der Wert 64?: f(t)=64

$100 e^{- 0,0943 t}$	=	$64$	\|: $100$
$e^{- 0,0943 t}$	=	$\frac{16}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,0943 t$	=	$\ln (\frac{16}{25})$	\|: $- 0,0943$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0943} \ln (\frac{16}{25})$	≈ 4.7326

also t=4.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 8,07°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 8 Minuten? b) Wann ist sie 20°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$7$	=	$29 - c$
$7$	=	$- c + 29$	\| $- 7$ $+ c$
$c$	=	$22$

somit gilt: f(t)= $29 - 22 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $29 - 22 e^{- k \cdot 5}$ = 8,07.

29 - 22 e^{- 5 k}

=

8,073

$- 22 e^{- 5 k} + 29$	=	$8,073$	\| $- 29$
$- 22 e^{- 5 k}$	=	$- 20,927$	\|: $- 22$
$e^{- 5 k}$	=	$0,9512$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,9512)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,9512)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.010006186721113, => f(t)= $29 - 22 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $29 - 22 e^{- 0,01 \cdot 8}$ ≈ 8.7

Wann wird der Wert 20?: f(t)=20

29 - 22 e^{- 0,01 t}

=

20

$- 22 e^{- 0,01 t} + 29$	=	$20$	\| $- 29$
$- 22 e^{- 0,01 t}$	=	$- 9$	\|: $- 22$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{9}{22}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{9}{22})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{9}{22})$	≈ 89.3818

also t=89.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 9ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 4% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 8 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 175ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 9 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{9}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(225 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=225 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $225 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$225 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
0	=	$225 - c$
0	=	$- c + 225$	\|0 $+ c$
$c$	=	$225$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $225 - 225 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $225 - 225 e^{- 0,04 \cdot 8}$ ≈ 61.6

Wann wird der Wert 175?: f(t)=175

225 - 225 e^{- 0,04 t}

=

175

$- 225 e^{- 0,04 t} + 225$	=	$175$	\| $- 225$
$- 225 e^{- 0,04 t}$	=	$- 50$	\|: $- 225$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{2}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{2}{9})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{2}{9})$	≈ 37.6019

also t=37.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $15 e^{- 0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,1$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.