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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 17g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 8,275g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 3g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $17 e^{k \cdot 9}$ = 8,2748.

$17 e^{9 k}$	=	$8,2748$	\|: $17$
$e^{9 k}$	=	$0,4868$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (0,4868)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (0,4868)$	≈ -0.08

also k ≈ -0.079989101985418, => f(t)= $17 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $17 e^{- 0,08 \cdot 11}$ ≈ 7.1

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$17 e^{- 0,08 t}$	=	$3$	\|: $17$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{3}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{3}{17})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{3}{17})$	≈ 21.6825

also t=21.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 216 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 10g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 218 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 8g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{216}$ ≈ -0.0032090147248146

=> f(t)= $10 e^{- 0,0032 t}$

Wert zur Zeit 218: f(218)= $10 e^{- 0,0032 \cdot 218}$ ≈ 5

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$10 e^{- 0,0032 t}$	=	$8$	\|: $10$
$e^{- 0,0032 t}$	=	$\frac{4}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,0032 t$	=	$\ln (\frac{4}{5})$	\|: $- 0,0032$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0032} \ln (\frac{4}{5})$	≈ 69.5368

also t=69.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 3% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 9 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 10 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.03) ≈ 0.029558802241544

=> f(t)= $9 e^{0,0296 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $9 e^{0,0296 \cdot 4}$ ≈ 10.1

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$9 e^{0,0296 t}$	=	$10$	\|: $9$
$e^{0,0296 t}$	=	$\frac{10}{9}$	\|ln(⋅)
$0,0296 t$	=	$\ln (\frac{10}{9})$	\|: $0,0296$
$t$	=	$\frac{1}{0,0296} \ln (\frac{10}{9})$	≈ 3.5595

also t=3.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 40 e^{- k \cdot 3}$ = 51.

20 + 40 e^{- 3 k}

=

50,9967

$40 e^{- 3 k} + 20$	=	$50,9967$	\| $- 20$
$40 e^{- 3 k}$	=	$30,9967$	\|: $40$
$e^{- 3 k}$	=	$0,7749$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,7749)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,7749)$	≈ 0.085

also k ≈ 0.085007096737411, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,085 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 40 e^{- 0,085 \cdot 4}$ ≈ 48.5

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,085 t}

=

50

$40 e^{- 0,085 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,085 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,085 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,085 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,085$
$t$	=	$- \frac{1}{0,085} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 3.3845

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 9 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 77 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.011⋅f(t)

wenn man 0.011 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.011( $\frac{0.6}{0.011}$ - f(t))

also f'(t) = 0.011(54.55 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=54.55 und der Wachstumsfaktor k=0.011 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $54,55 - c \cdot e^{- 0,011 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$54,55 - c \cdot e^{- 0,011 \cdot 0}$
$80$	=	$54,55 - c$
$80$	=	$- c + 54,55$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 25,45$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $54,55 + 25,45 e^{- 0,011 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $54,55 + 25,45 e^{- 0,011 \cdot 9}$ ≈ 77.6

Wann wird der Wert 77?: f(t)=77

54,55 + 25,45 e^{- 0,011 t}

=

77

$25,45 e^{- 0,011 t} + 54,55$	=	$77$	\| $- 54,55$
$25,45 e^{- 0,011 t}$	=	$22,45$	\|: $25,45$
$e^{- 0,011 t}$	=	$0,8821$	\|ln(⋅)
$- 0,011 t$	=	$\ln (0,8821)$	\|: $- 0,011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,011} \ln (0,8821)$	≈ 11.4045

also t=11.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $20 e^{0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,08$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.