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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 18 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 21,985 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 11 Stunden? b) Wann waren es 20 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $18 e^{k \cdot 10}$ = 21,9852.

$18 e^{10 k}$	=	$21,9852$	\|: $18$
$e^{10 k}$	=	$1,2214$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (1,2214)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (1,2214)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.01999977418069, => f(t)= $18 e^{0,02 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $18 e^{0,02 \cdot 11}$ ≈ 22.4

Wann wird der Wert 20?: f(t)=20

$18 e^{0,02 t}$	=	$20$	\|: $18$
$e^{0,02 t}$	=	$\frac{10}{9}$	\|ln(⋅)
$0,02 t$	=	$\ln (\frac{10}{9})$	\|: $0,02$
$t$	=	$\frac{1}{0,02} \ln (\frac{10}{9})$	≈ 5.268

also t=5.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 103 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 6g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 298 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 3,6g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{103}$ ≈ -0.006729584277281

=> f(t)= $6 e^{- 0,00673 t}$

Wert zur Zeit 298: f(298)= $6 e^{- 0,00673 \cdot 298}$ ≈ 0.8

Wann wird der Wert 3.6?: f(t)=3.6

$6 e^{- 0,00673 t}$	=	$3,6$	\|: $6$
$e^{- 0,00673 t}$	=	$0,6$	\|ln(⋅)
$- 0,00673 t$	=	$\ln (0,6)$	\|: $- 0,00673$
$t$	=	$- \frac{1}{0,00673} \ln (0,6)$	≈ 75.9028

also t=75.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 11% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 45% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595

=> f(t)= $100 e^{- 0,1165 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,1165 \cdot 3}$ ≈ 70.5

Wann wird der Wert 45?: f(t)=45

$100 e^{- 0,1165 t}$	=	$45$	\|: $100$
$e^{- 0,1165 t}$	=	$\frac{9}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,1165 t$	=	$\ln (\frac{9}{20})$	\|: $- 0,1165$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1165} \ln (\frac{9}{20})$	≈ 6.8541

also t=6.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 3 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 10,62°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 12°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$7$	=	$29 - c$
$7$	=	$- c + 29$	\| $- 7$ $+ c$
$c$	=	$22$

somit gilt: f(t)= $29 - 22 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $29 - 22 e^{- k \cdot 3}$ = 10,62.

29 - 22 e^{- 3 k}

=

10,6241

$- 22 e^{- 3 k} + 29$	=	$10,6241$	\| $- 29$
$- 22 e^{- 3 k}$	=	$- 18,3759$	\|: $- 22$
$e^{- 3 k}$	=	$0,8353$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,8353)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,8353)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.059988112406759, => f(t)= $29 - 22 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $29 - 22 e^{- 0,06 \cdot 6}$ ≈ 13.7

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

29 - 22 e^{- 0,06 t}

=

12

$- 22 e^{- 0,06 t} + 29$	=	$12$	\| $- 29$
$- 22 e^{- 0,06 t}$	=	$- 17$	\|: $- 22$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{17}{22}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{17}{22})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{17}{22})$	≈ 4.2972

also t=4.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 12 Jahren, wenn jedes Jahr 0,3 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 32 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.3 - 0.011⋅f(t)

wenn man 0.011 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.011( $\frac{0.3}{0.011}$ - f(t))

also f'(t) = 0.011(27.27 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=27.27 und der Wachstumsfaktor k=0.011 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $27,27 - c \cdot e^{- 0,011 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$27,27 - c \cdot e^{- 0,011 \cdot 0}$
$80$	=	$27,27 - c$
$80$	=	$- c + 27,27$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 52,73$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $27,27 + 52,73 e^{- 0,011 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $27,27 + 52,73 e^{- 0,011 \cdot 12}$ ≈ 73.5

Wann wird der Wert 32?: f(t)=32

27,27 + 52,73 e^{- 0,011 t}

=

32

$52,73 e^{- 0,011 t} + 27,27$	=	$32$	\| $- 27,27$
$52,73 e^{- 0,011 t}$	=	$4,73$	\|: $52,73$
$e^{- 0,011 t}$	=	$0,0897$	\|ln(⋅)
$- 0,011 t$	=	$\ln (0,0897)$	\|: $- 0,011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,011} \ln (0,0897)$	≈ 219.2077

also t=219.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $9 e^{0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,09$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.