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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 7 Millionen Algen im Teich. Nach 7 Stunden sind es 14,096 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 9 Stunden? b) Wann waren es 11 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $7 e^{k \cdot 7}$ = 14,0963.

$7 e^{7 k}$	=	$14,0963$	\|: $7$
$e^{7 k}$	=	$2,0138$	\|ln(⋅)
$7 k$	=	$\ln (2,0138)$	\|: $7$
$k$	=	$\frac{1}{7} \ln (2,0138)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.10000335492848, => f(t)= $7 e^{0,1 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $7 e^{0,1 \cdot 9}$ ≈ 17.2

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

$7 e^{0,1 t}$	=	$11$	\|: $7$
$e^{0,1 t}$	=	$\frac{11}{7}$	\|ln(⋅)
$0,1 t$	=	$\ln (\frac{11}{7})$	\|: $0,1$
$t$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (\frac{11}{7})$	≈ 4.5199

also t=4.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 15 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 13-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 41 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 14,44-Tausend Euro gestiegen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{15}$ ≈ 0.04620981203733

=> f(t)= $13 e^{0,04621 t}$

Wert zur Zeit 41: f(41)= $13 e^{0,04621 \cdot 41}$ ≈ 86.4

Wann wird der Wert 14.44?: f(t)=14.44

$13 e^{0,04621 t}$	=	$14,44$	\|: $13$
$e^{0,04621 t}$	=	$1,1108$	\|ln(⋅)
$0,04621 t$	=	$\ln (1,1108)$	\|: $0,04621$
$t$	=	$\frac{1}{0,04621} \ln (1,1108)$	≈ 2.274

also t=2.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 3% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 14 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 16 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.03) ≈ 0.029558802241544

=> f(t)= $14 e^{0,0296 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $14 e^{0,0296 \cdot 5}$ ≈ 16.2

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

$14 e^{0,0296 t}$	=	$16$	\|: $14$
$e^{0,0296 t}$	=	$\frac{8}{7}$	\|ln(⋅)
$0,0296 t$	=	$\ln (\frac{8}{7})$	\|: $0,0296$
$t$	=	$\frac{1}{0,0296} \ln (\frac{8}{7})$	≈ 4.5112

also t=4.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 28 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 1,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 28.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

27,9999

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$27,9999$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 9,0001$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,45$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,45)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,45)$	≈ 1.597

also k ≈ 1.5970153924355, => f(t)= $37 - 20 e^{- 1,597 t}$

Wert zur Zeit 1.5: f(1.5)= $37 - 20 e^{- 1,597 \cdot 1,5}$ ≈ 35.2

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 1,597 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 1,597 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 1,597 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 1,597 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 1,597 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 1,597$
$t$	=	$- \frac{1}{1,597} \ln (0,005)$	≈ 3.3177

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3985 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 69 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 10 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1425 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 69 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{69}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(862.5 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=862.5 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $862,5 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3985 ein (Punktprobe).

$3 985$	=	$862,5 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$3 985$	=	$862,5 - c$
$3 985$	=	$- c + 862,5$	\| $- 3 985$ $+ c$
$c$	=	$- 3 122,5$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $862,5 + 3 122,5 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $862,5 + 3 122,5 e^{- 0,08 \cdot 10}$ ≈ 2265.5

Wann wird der Wert 1425?: f(t)=1425

862,5 + 3 122,5 e^{- 0,08 t}

=

1 425

$3 122,5 e^{- 0,08 t} + 862,5$	=	$1 425$	\| $- 862,5$
$3 122,5 e^{- 0,08 t}$	=	$562,5$	\|: $3 122,5$
$e^{- 0,08 t}$	=	$0,1801$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (0,1801)$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (0,1801)$	≈ 21.428

also t=21.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $17 e^{- 0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,09$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,09}$ ≈ 7.702 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.