Mathebattle EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 10 Millionen Algen im Teich. Nach 6 Stunden sind es 15,22 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 7 Stunden? b) Wann waren es 14 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $10 e^{k \cdot 6}$ = 15,2196.

$10 e^{6 k}$	=	$15,2196$	\|: $10$
$e^{6 k}$	=	$1,522$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (1,522)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (1,522)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.070004209906582, => f(t)= $10 e^{0,07 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $10 e^{0,07 \cdot 7}$ ≈ 16.3

Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

$10 e^{0,07 t}$	=	$14$	\|: $10$
$e^{0,07 t}$	=	$\frac{7}{5}$	\|ln(⋅)
$0,07 t$	=	$\ln (\frac{7}{5})$	\|: $0,07$
$t$	=	$\frac{1}{0,07} \ln (\frac{7}{5})$	≈ 4.8067

also t=4.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 46 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 10g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 104 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 8g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{46}$ ≈ -0.015068416968694

=> f(t)= $10 e^{- 0,0151 t}$

Wert zur Zeit 104: f(104)= $10 e^{- 0,0151 \cdot 104}$ ≈ 2.1

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$10 e^{- 0,0151 t}$	=	$8$	\|: $10$
$e^{- 0,0151 t}$	=	$\frac{4}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,0151 t$	=	$\ln (\frac{4}{5})$	\|: $- 0,0151$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0151} \ln (\frac{4}{5})$	≈ 14.8091

also t=14.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 11% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 5 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 8 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.11) ≈ 0.10436001532424

=> f(t)= $5 e^{0,1044 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $5 e^{0,1044 \cdot 3}$ ≈ 6.8

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$5 e^{0,1044 t}$	=	$8$	\|: $5$
$e^{0,1044 t}$	=	$\frac{8}{5}$	\|ln(⋅)
$0,1044 t$	=	$\ln (\frac{8}{5})$	\|: $0,1044$
$t$	=	$\frac{1}{0,1044} \ln (\frac{8}{5})$	≈ 4.502

also t=4.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 40 e^{- k \cdot 2}$ = 54.

20 + 40 e^{- 2 k}

=

53,9972

$40 e^{- 2 k} + 20$	=	$53,9972$	\| $- 20$
$40 e^{- 2 k}$	=	$33,9972$	\|: $40$
$e^{- 2 k}$	=	$0,8499$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,8499)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,8499)$	≈ 0.0813

also k ≈ 0.081318291738778, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,0813 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 40 e^{- 0,0813 \cdot 2}$ ≈ 54

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,0813 t}

=

50

$40 e^{- 0,0813 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,0813 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,0813 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,0813 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,0813$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0813} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 3.5385

also t=3.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3199 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 65 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 9 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1040 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 65 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{65}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(812.5 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=812.5 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $812,5 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3199 ein (Punktprobe).

$3 199$	=	$812,5 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$3 199$	=	$812,5 - c$
$3 199$	=	$- c + 812,5$	\| $- 3 199$ $+ c$
$c$	=	$- 2 386,5$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $812,5 + 2 386,5 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $812,5 + 2 386,5 e^{- 0,08 \cdot 9}$ ≈ 1974.1

Wann wird der Wert 1040?: f(t)=1040

812,5 + 2 386,5 e^{- 0,08 t}

=

1 040

$2 386,5 e^{- 0,08 t} + 812,5$	=	$1 040$	\| $- 812,5$
$2 386,5 e^{- 0,08 t}$	=	$227,5$	\|: $2 386,5$
$e^{- 0,08 t}$	=	$0,0953$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (0,0953)$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (0,0953)$	≈ 29.3841

also t=29.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $10 e^{0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,09$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.