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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 20g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 18,097g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 14g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 e^{k \cdot 2}$ = 18,0967.

$20 e^{2 k}$	=	$18,0967$	\|: $20$
$e^{2 k}$	=	$0,9048$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (0,9048)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (0,9048)$	≈ -0.05

also k ≈ -0.050020677090113, => f(t)= $20 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 e^{- 0,05 \cdot 5}$ ≈ 15.6

Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

$20 e^{- 0,05 t}$	=	$14$	\|: $20$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{7}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{7}{10})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{7}{10})$	≈ 7.1335

also t=7.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 82 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 31 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 82: f(82)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 82}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 31?: f(t)=31

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$31$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 550 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 550 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 550 000)$	≈ 123.794

also t=123.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 9% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 11 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 17 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.09) ≈ 0.086177696241052

=> f(t)= $11 e^{0,0862 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $11 e^{0,0862 \cdot 4}$ ≈ 15.5

Wann wird der Wert 17?: f(t)=17

$11 e^{0,0862 t}$	=	$17$	\|: $11$
$e^{0,0862 t}$	=	$\frac{17}{11}$	\|ln(⋅)
$0,0862 t$	=	$\ln (\frac{17}{11})$	\|: $0,0862$
$t$	=	$\frac{1}{0,0862} \ln (\frac{17}{11})$	≈ 5.0501

also t=5.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 55° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 55 ist, gilt: f(0)= 55, also 55 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$55$	=	$20 - c$
$55$	=	$- c + 20$	\| $- 55$ $+ c$
$c$	=	$- 35$

somit gilt: f(t)= $20 + 35 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 35 e^{- k \cdot 2}$ = 53.

20 + 35 e^{- 2 k}

=

53,0013

$35 e^{- 2 k} + 20$	=	$53,0013$	\| $- 20$
$35 e^{- 2 k}$	=	$33,0013$	\|: $35$
$e^{- 2 k}$	=	$0,9429$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,9429)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,9429)$	≈ 0.0294

also k ≈ 0.029397523255253, => f(t)= $20 + 35 e^{- 0,0294 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 35 e^{- 0,0294 \cdot 2}$ ≈ 53

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 35 e^{- 0,0294 t}

=

50

$35 e^{- 0,0294 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$35 e^{- 0,0294 t}$	=	$30$	\|: $35$
$e^{- 0,0294 t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,0294 t$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 0,0294$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0294} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 5.2432

also t=5.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 2ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 10% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 9 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 11ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 2 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{2}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(20 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=20 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $20 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$20 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
0	=	$20 - c$
0	=	$- c + 20$	\|0 $+ c$
$c$	=	$20$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $20 - 20 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $20 - 20 e^{- 0,1 \cdot 9}$ ≈ 11.9

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

20 - 20 e^{- 0,1 t}

=

11

$- 20 e^{- 0,1 t} + 20$	=	$11$	\| $- 20$
$- 20 e^{- 0,1 t}$	=	$- 9$	\|: $- 20$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{9}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{9}{20})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{9}{20})$	≈ 7.9851

also t=8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $5 e^{- 0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,08$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,08}$ ≈ 8.664 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.