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cosh
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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 19g vorhanden. Nach 6 Tagen sind nur noch 17,894g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 7 Tagen da? b) Wann sind nur noch 18g davon übrig?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= = 17,8935.
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ -0.01 |
also k ≈ -0.0099937235287805, => f(t)=
Wert zur Zeit 7: f(7)= ≈ 17.7
Wann wird der Wert 18?: f(t)=18
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 5.4067 |
also t=5.4
Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit
Beispiel:
Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 15 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 8-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 8 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 11,43-Tausend Euro gestiegen?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Wir berechnen k über die Verdopplungszeit.
Dazu stellen wir die Formel TV= um zu
k==
≈ 0.04620981203733
=> f(t)=
Wert zur Zeit 8: f(8)= ≈ 11.6
Wann wird der Wert 11.43?: f(t)=11.43
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 7.722 |
also t=7.7
Exponentielles Wachstum mit Prozent
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 3% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 6 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 7 Millarden?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.03) ≈ 0.029558802241544
=> f(t)=
Wert zur Zeit 2: f(2)= ≈ 6.4
Wann wird der Wert 7?: f(t)=7
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 5.2078 |
also t=5.2
beschränktes Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 56° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?
Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.
Da der Anfangsbestand 56 ist, gilt: f(0)= 56, also 56 = = =
| = | |||
| = | | | ||
| = |
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= = 54.
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 0.0286 |
also k ≈ 0.02860273688539, => f(t)=
Wert zur Zeit 5: f(5)= ≈ 51.2
Wann wird der Wert 50?: f(t)=50
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 6.3749 |
also t=6.4
beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung
Beispiel:
Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3906 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 76 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 11 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3853 Wörter ?
Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:
f'(t) = 76 - 0.04⋅f(t)
wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung
f'(t) = 0.04( - f(t))
also f'(t) = 0.04(1900 - f(t))
das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))
Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1900 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.
Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= haben.
Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3906 ein (Punktprobe).
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = |
somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)=
Wert zur Zeit 11: f(11)= ≈ 3191.9
Wann wird der Wert 3853?: f(t)=3853
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 0.6694 |
also t=0.7
Halbwerts- + Verdopplungszeit best.
Beispiel:
Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.
Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent () erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.
Dazu setzen wir k = einfach in die Formel TH = - ein:
TH = - ≈ 69.315 min
