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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 9g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 8,144g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 6g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $9 e^{k \cdot 2}$ = 8,1435.

$9 e^{2 k}$	=	$8,1435$	\|: $9$
$e^{2 k}$	=	$0,9048$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (0,9048)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (0,9048)$	≈ -0.05

also k ≈ -0.050020677090113, => f(t)= $9 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $9 e^{- 0,05 \cdot 5}$ ≈ 7

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$9 e^{- 0,05 t}$	=	$6$	\|: $9$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 8.1093

also t=8.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 12 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 9-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 26 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 10-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{12}$ ≈ 0.057762265046662

=> f(t)= $9 e^{0,0578 t}$

Wert zur Zeit 26: f(26)= $9 e^{0,0578 \cdot 26}$ ≈ 40.4

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$9 e^{0,0578 t}$	=	$10$	\|: $9$
$e^{0,0578 t}$	=	$\frac{10}{9}$	\|ln(⋅)
$0,0578 t$	=	$\ln (\frac{10}{9})$	\|: $0,0578$
$t$	=	$\frac{1}{0,0578} \ln (\frac{10}{9})$	≈ 1.824

also t=1.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 20% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 12 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 5 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.8) ≈ -0.22314355131421

=> f(t)= $12 e^{- 0,2231 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $12 e^{- 0,2231 \cdot 4}$ ≈ 4.9

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$12 e^{- 0,2231 t}$	=	$5$	\|: $12$
$e^{- 0,2231 t}$	=	$\frac{5}{12}$	\|ln(⋅)
$- 0,2231 t$	=	$\ln (\frac{5}{12})$	\|: $- 0,2231$
$t$	=	$- \frac{1}{0,2231} \ln (\frac{5}{12})$	≈ 3.9241

also t=3.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 61° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 61 ist, gilt: f(0)= 61, also 61 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$61$	=	$20 - c$
$61$	=	$- c + 20$	\| $- 61$ $+ c$
$c$	=	$- 41$

somit gilt: f(t)= $20 + 41 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 41 e^{- k \cdot 3}$ = 53.

20 + 41 e^{- 3 k}

=

52,9955

$41 e^{- 3 k} + 20$	=	$52,9955$	\| $- 20$
$41 e^{- 3 k}$	=	$32,9955$	\|: $41$
$e^{- 3 k}$	=	$0,8048$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,8048)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,8048)$	≈ 0.0724

also k ≈ 0.072387159878887, => f(t)= $20 + 41 e^{- 0,0724 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 41 e^{- 0,0724 \cdot 4}$ ≈ 50.7

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 41 e^{- 0,0724 t}

=

50

$41 e^{- 0,0724 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$41 e^{- 0,0724 t}$	=	$30$	\|: $41$
$e^{- 0,0724 t}$	=	$\frac{30}{41}$	\|ln(⋅)
$- 0,0724 t$	=	$\ln (\frac{30}{41})$	\|: $- 0,0724$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0724} \ln (\frac{30}{41})$	≈ 4.3146

also t=4.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3235 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 74 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 15 Monaten? b) Wann beträgt dieser 5050 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 74 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{74}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(7400 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=7400 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $7 400 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3235 ein (Punktprobe).

$3 235$	=	$7 400 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$3 235$	=	$7 400 - c$
$3 235$	=	$- c + 7 400$	\| $- 3 235$ $+ c$
$c$	=	$4 165$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $7 400 - 4 165 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $7 400 - 4 165 e^{- 0,01 \cdot 15}$ ≈ 3815.2

Wann wird der Wert 5050?: f(t)=5050

7 400 - 4 165 e^{- 0,01 t}

=

5 050

$- 4 165 e^{- 0,01 t} + 7 400$	=	$5 050$	\| $- 7 400$
$- 4 165 e^{- 0,01 t}$	=	$- 2 350$	\|: $- 4 165$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{470}{833}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{470}{833})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{470}{833})$	≈ 57.2301

also t=57.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $6 e^{0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,05$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.