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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 19g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 17,365g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 12 Tagen da? b) Wann sind nur noch 17g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $19 e^{k \cdot 9}$ = 17,3647.

$19 e^{9 k}$	=	$17,3647$	\|: $19$
$e^{9 k}$	=	$0,9139$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (0,9139)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (0,9139)$	≈ -0.01

also k ≈ -0.010003791411553, => f(t)= $19 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $19 e^{- 0,01 \cdot 12}$ ≈ 16.9

Wann wird der Wert 17?: f(t)=17

$19 e^{- 0,01 t}$	=	$17$	\|: $19$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{17}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{17}{19})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{17}{19})$	≈ 11.1226

also t=11.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 95 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 40 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 95: f(95)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 95}$ ≈ 1.1

Wann wird der Wert 40?: f(t)=40

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$40$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 000 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 000 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 000 000)$	≈ 126.0077

also t=126

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 18% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 8 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 4 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.82) ≈ -0.19845093872384

=> f(t)= $8 e^{- 0,1985 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $8 e^{- 0,1985 \cdot 5}$ ≈ 3

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$8 e^{- 0,1985 t}$	=	$4$	\|: $8$
$e^{- 0,1985 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,1985 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,1985$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1985} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 3.4919

also t=3.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 30 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 1,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 30.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

29,9998

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$29,9998$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 7,0002$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,35$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,35)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,35)$	≈ 2.0996

also k ≈ 2.0996442489974, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,0996 t}$

Wert zur Zeit 1.5: f(1.5)= $37 - 20 e^{- 2,0996 \cdot 1,5}$ ≈ 36.1

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,0996 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,0996 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,0996 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,0996 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,0996 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,0996$
$t$	=	$- \frac{1}{2,0996} \ln (0,005)$	≈ 2.5235

also t=2.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 8ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 10% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 12 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 59ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 8 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{8}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(80 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=80 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $80 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$80 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
0	=	$80 - c$
0	=	$- c + 80$	\|0 $+ c$
$c$	=	$80$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $80 - 80 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $80 - 80 e^{- 0,1 \cdot 12}$ ≈ 55.9

Wann wird der Wert 59?: f(t)=59

80 - 80 e^{- 0,1 t}

=

59

$- 80 e^{- 0,1 t} + 80$	=	$59$	\| $- 80$
$- 80 e^{- 0,1 t}$	=	$- 21$	\|: $- 80$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{21}{80}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{21}{80})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{21}{80})$	≈ 13.375

also t=13.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $15 e^{- 0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,08$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,08}$ ≈ 8.664 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.