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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 77 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 19 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 77: f(77)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 77}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 19?: f(t)=19

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$19$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$950 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (950 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (950 000)$	≈ 119.5849

also t=119.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 87 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 78 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 87: f(87)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 87}$ ≈ 0.4

Wann wird der Wert 78?: f(t)=78

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$78$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$3 900 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (3 900 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (3 900 000)$	≈ 131.8078

also t=131.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 15% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 9 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 5 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.85) ≈ -0.16251892949777

=> f(t)= $9 e^{- 0,1625 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $9 e^{- 0,1625 \cdot 2}$ ≈ 6.5

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$9 e^{- 0,1625 t}$	=	$5$	\|: $9$
$e^{- 0,1625 t}$	=	$\frac{5}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,1625 t$	=	$\ln (\frac{5}{9})$	\|: $- 0,1625$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1625} \ln (\frac{5}{9})$	≈ 3.6171

also t=3.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 30°C wird eine Limo aus einem 3° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 8,97°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 7 Minuten? b) Wann ist sie 19°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=30 sein muss.

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $30 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $30 - c$ = $30 - c$

$3$	=	$30 - c$
$3$	=	$- c + 30$	\| $- 3$ $+ c$
$c$	=	$27$

somit gilt: f(t)= $30 - 27 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $30 - 27 e^{- k \cdot 5}$ = 8,97.

30 - 27 e^{- 5 k}

=

8,9724

$- 27 e^{- 5 k} + 30$	=	$8,9724$	\| $- 30$
$- 27 e^{- 5 k}$	=	$- 21,0276$	\|: $- 27$
$e^{- 5 k}$	=	$0,7788$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,7788)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,7788)$	≈ 0.05

also k ≈ 0.050000201096818, => f(t)= $30 - 27 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $30 - 27 e^{- 0,05 \cdot 7}$ ≈ 11

Wann wird der Wert 19?: f(t)=19

30 - 27 e^{- 0,05 t}

=

19

$- 27 e^{- 0,05 t} + 30$	=	$19$	\| $- 30$
$- 27 e^{- 0,05 t}$	=	$- 11$	\|: $- 27$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{11}{27}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{11}{27})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{11}{27})$	≈ 17.9588

also t=18

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 2% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3912 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 89 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 8 Monaten? b) Wann beträgt dieser 4191 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 89 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{89}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(4450 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=4450 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $4 450 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3912 ein (Punktprobe).

$3 912$	=	$4 450 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
$3 912$	=	$4 450 - c$
$3 912$	=	$- c + 4 450$	\| $- 3 912$ $+ c$
$c$	=	$538$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $4 450 - 538 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $4 450 - 538 e^{- 0,02 \cdot 8}$ ≈ 3991.5

Wann wird der Wert 4191?: f(t)=4191

4 450 - 538 e^{- 0,02 t}

=

4 191

$- 538 e^{- 0,02 t} + 4 450$	=	$4 191$	\| $- 4 450$
$- 538 e^{- 0,02 t}$	=	$- 259$	\|: $- 538$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{259}{538}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{259}{538})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{259}{538})$	≈ 36.5515

also t=36.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $4 e^{- 0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,08$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,08}$ ≈ 8.664 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.