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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 20g vorhanden. Nach 8 Tagen sind nur noch 10,546g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 4g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $20 e^{k \cdot 8}$ = 10,5458.

$20 e^{8 k}$	=	$10,5458$	\|: $20$
$e^{8 k}$	=	$0,5273$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (0,5273)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (0,5273)$	≈ -0.08

also k ≈ -0.079998204055714, => f(t)= $20 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $20 e^{- 0,08 \cdot 11}$ ≈ 8.3

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$20 e^{- 0,08 t}$	=	$4$	\|: $20$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{1}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{1}{5})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{1}{5})$	≈ 20.118

also t=20.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 83 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 9 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 83: f(83)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 83}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$9$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$450 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (450 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (450 000)$	≈ 113.0527

also t=113.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 10% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 15 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 24 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.1) ≈ 0.095310179804325

=> f(t)= $15 e^{0,0953 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $15 e^{0,0953 \cdot 4}$ ≈ 22

Wann wird der Wert 24?: f(t)=24

$15 e^{0,0953 t}$	=	$24$	\|: $15$
$e^{0,0953 t}$	=	$\frac{8}{5}$	\|ln(⋅)
$0,0953 t$	=	$\ln (\frac{8}{5})$	\|: $0,0953$
$t$	=	$\frac{1}{0,0953} \ln (\frac{8}{5})$	≈ 4.9318

also t=4.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 28°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 14,6°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 12 Minuten? b) Wann ist sie 10°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=28 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $28 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $28 - c$ = $28 - c$

$5$	=	$28 - c$
$5$	=	$- c + 28$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$23$

somit gilt: f(t)= $28 - 23 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $28 - 23 e^{- k \cdot 9}$ = 14,6.

28 - 23 e^{- 9 k}

=

14,5968

$- 23 e^{- 9 k} + 28$	=	$14,5968$	\| $- 28$
$- 23 e^{- 9 k}$	=	$- 13,4032$	\|: $- 23$
$e^{- 9 k}$	=	$0,5827$	\|ln(⋅)
$- 9 k$	=	$\ln (0,5827)$	\|: $- 9$
$k$	=	$- \frac{1}{9} \ln (0,5827)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.060009200537012, => f(t)= $28 - 23 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $28 - 23 e^{- 0,06 \cdot 12}$ ≈ 16.8

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

28 - 23 e^{- 0,06 t}

=

10

$- 23 e^{- 0,06 t} + 28$	=	$10$	\| $- 28$
$- 23 e^{- 0,06 t}$	=	$- 18$	\|: $- 23$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{18}{23}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{18}{23})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{18}{23})$	≈ 4.0854

also t=4.1

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 10 Jahren, wenn jedes Jahr 0,7 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 80 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.7 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{0.7}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(70 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=70 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $70 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$70 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$80$	=	$70 - c$
$80$	=	$- c + 70$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 10$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $70 + 10 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $70 + 10 e^{- 0,01 \cdot 10}$ ≈ 79

Wann wird der Wert 80?: f(t)=80

70 + 10 e^{- 0,01 t}

=

80

$10 e^{- 0,01 t} + 70$	=	$80$	\| $- 70$
$10 e^{- 0,01 t}$	=	$10$	\|: $10$
$e^{- 0,01 t}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	0	\|: $- 0,01$
$t$	=	0	≈ 0

also t=0

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $19 e^{0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,01$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,01}$ ≈ 69.315 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.