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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 84 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 95 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 84: f(84)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 84}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 95?: f(t)=95

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$95$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 750 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 750 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 750 000)$	≈ 133.5678

also t=133.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 297 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 5g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 658 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 2g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{297}$ ≈ -0.0023338288907742

=> f(t)= $5 e^{- 0,0023 t}$

Wert zur Zeit 658: f(658)= $5 e^{- 0,0023 \cdot 658}$ ≈ 1.1

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$5 e^{- 0,0023 t}$	=	$2$	\|: $5$
$e^{- 0,0023 t}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,0023 t$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 0,0023$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0023} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 392.5839

also t=392.6

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 13% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 6 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 10 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.13) ≈ 0.12221763272425

=> f(t)= $6 e^{0,1222 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $6 e^{0,1222 \cdot 3}$ ≈ 8.7

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$6 e^{0,1222 t}$	=	$10$	\|: $6$
$e^{0,1222 t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$0,1222 t$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $0,1222$
$t$	=	$\frac{1}{0,1222} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 4.1802

also t=4.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 62° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 62 ist, gilt: f(0)= 62, also 62 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$62$	=	$20 - c$
$62$	=	$- c + 20$	\| $- 62$ $+ c$
$c$	=	$- 42$

somit gilt: f(t)= $20 + 42 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 42 e^{- k \cdot 4}$ = 53.

20 + 42 e^{- 4 k}

=

52,9987

$42 e^{- 4 k} + 20$	=	$52,9987$	\| $- 20$
$42 e^{- 4 k}$	=	$32,9987$	\|: $42$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7857$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7857)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7857)$	≈ 0.0603

also k ≈ 0.06029505970009, => f(t)= $20 + 42 e^{- 0,0603 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 42 e^{- 0,0603 \cdot 4}$ ≈ 53

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 42 e^{- 0,0603 t}

=

50

$42 e^{- 0,0603 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$42 e^{- 0,0603 t}$	=	$30$	\|: $42$
$e^{- 0,0603 t}$	=	$\frac{5}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,0603 t$	=	$\ln (\frac{5}{7})$	\|: $- 0,0603$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0603} \ln (\frac{5}{7})$	≈ 5.58

also t=5.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 13 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 64 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.011⋅f(t)

wenn man 0.011 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.011( $\frac{0.6}{0.011}$ - f(t))

also f'(t) = 0.011(54.55 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=54.55 und der Wachstumsfaktor k=0.011 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $54,55 - c \cdot e^{- 0,011 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$54,55 - c \cdot e^{- 0,011 \cdot 0}$
$80$	=	$54,55 - c$
$80$	=	$- c + 54,55$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 25,45$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $54,55 + 25,45 e^{- 0,011 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $54,55 + 25,45 e^{- 0,011 \cdot 13}$ ≈ 76.6

Wann wird der Wert 64?: f(t)=64

54,55 + 25,45 e^{- 0,011 t}

=

64

$25,45 e^{- 0,011 t} + 54,55$	=	$64$	\| $- 54,55$
$25,45 e^{- 0,011 t}$	=	$9,45$	\|: $25,45$
$e^{- 0,011 t}$	=	$0,3713$	\|ln(⋅)
$- 0,011 t$	=	$\ln (0,3713)$	\|: $- 0,011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,011} \ln (0,3713)$	≈ 90.0677

also t=90.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $3 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.