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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 14g vorhanden. Nach 5 Tagen sind nur noch 12,668g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 6 Tagen da? b) Wann sind nur noch 11g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $14 e^{k \cdot 5}$ = 12,6677.

$14 e^{5 k}$	=	$12,6677$	\|: $14$
$e^{5 k}$	=	$0,9048$	\|ln(⋅)
$5 k$	=	$\ln (0,9048)$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{1}{5} \ln (0,9048)$	≈ -0.02

also k ≈ -0.020008270836045, => f(t)= $14 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $14 e^{- 0,02 \cdot 6}$ ≈ 12.4

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

$14 e^{- 0,02 t}$	=	$11$	\|: $14$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{11}{14}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{11}{14})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{11}{14})$	≈ 12.0581

also t=12.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 74 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 55 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 74: f(74)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 74}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 55?: f(t)=55

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$55$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 750 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 750 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 750 000)$	≈ 128.7735

also t=128.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 15% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 6 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 3 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.85) ≈ -0.16251892949777

=> f(t)= $6 e^{- 0,1625 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $6 e^{- 0,1625 \cdot 5}$ ≈ 2.7

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$6 e^{- 0,1625 t}$	=	$3$	\|: $6$
$e^{- 0,1625 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,1625 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,1625$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1625} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 4.2655

also t=4.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 7 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 10,37°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 8 Minuten? b) Wann ist sie 20°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$5$	=	$27 - c$
$5$	=	$- c + 27$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$22$

somit gilt: f(t)= $27 - 22 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $27 - 22 e^{- k \cdot 7}$ = 10,37.

27 - 22 e^{- 7 k}

=

10,3728

$- 22 e^{- 7 k} + 27$	=	$10,3728$	\| $- 27$
$- 22 e^{- 7 k}$	=	$- 16,6272$	\|: $- 22$
$e^{- 7 k}$	=	$0,7558$	\|ln(⋅)
$- 7 k$	=	$\ln (0,7558)$	\|: $- 7$
$k$	=	$- \frac{1}{7} \ln (0,7558)$	≈ 0.04

also k ≈ 0.039996926866678, => f(t)= $27 - 22 e^{- 0,04 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $27 - 22 e^{- 0,04 \cdot 8}$ ≈ 11

Wann wird der Wert 20?: f(t)=20

27 - 22 e^{- 0,04 t}

=

20

$- 22 e^{- 0,04 t} + 27$	=	$20$	\| $- 27$
$- 22 e^{- 0,04 t}$	=	$- 7$	\|: $- 22$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{7}{22}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{7}{22})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{7}{22})$	≈ 28.6283

also t=28.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,5% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 13 Jahren, wenn jedes Jahr 0,4 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 60 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.4 - 0.015⋅f(t)

wenn man 0.015 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.015( $\frac{0.4}{0.015}$ - f(t))

also f'(t) = 0.015(26.67 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=26.67 und der Wachstumsfaktor k=0.015 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $26,67 - c \cdot e^{- 0,015 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$26,67 - c \cdot e^{- 0,015 \cdot 0}$
$80$	=	$26,67 - c$
$80$	=	$- c + 26,67$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 53,33$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $26,67 + 53,33 e^{- 0,015 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $26,67 + 53,33 e^{- 0,015 \cdot 13}$ ≈ 70.6

Wann wird der Wert 60?: f(t)=60

26,67 + 53,33 e^{- 0,015 t}

=

60

$53,33 e^{- 0,015 t} + 26,67$	=	$60$	\| $- 26,67$
$53,33 e^{- 0,015 t}$	=	$33,33$	\|: $53,33$
$e^{- 0,015 t}$	=	$0,625$	\|ln(⋅)
$- 0,015 t$	=	$\ln (0,625)$	\|: $- 0,015$
$t$	=	$- \frac{1}{0,015} \ln (0,625)$	≈ 31.3336

also t=31.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $8 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.