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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 9g vorhanden. Nach 3 Tagen sind nur noch 8,476g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 4 Tagen da? b) Wann sind nur noch 8g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $9 e^{k \cdot 3}$ = 8,4759.

$9 e^{3 k}$	=	$8,4759$	\|: $9$
$e^{3 k}$	=	$0,9418$	\|ln(⋅)
$3 k$	=	$\ln (0,9418)$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{1}{3} \ln (0,9418)$	≈ -0.02

also k ≈ -0.019987447057561, => f(t)= $9 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $9 e^{- 0,02 \cdot 4}$ ≈ 8.3

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$9 e^{- 0,02 t}$	=	$8$	\|: $9$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{8}{9}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{8}{9})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{8}{9})$	≈ 5.8892

also t=5.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1057 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2132? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,4 Milliarden Blondies?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1057}$ ≈ -0.00065576838274356

=> f(t)= $e^{- 0,0007 t}$

Wert zur Zeit 132: f(132)= $e^{- 0,0007 \cdot 132}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.4?: f(t)=0.4

$e^{- 0,0007 t}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,0007 t$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,0007$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0007} \ln (0,4)$	≈ 1396.7847

also t=1396.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 20% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 6 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.8) ≈ -0.22314355131421

=> f(t)= $6 e^{- 0,2231 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $6 e^{- 0,2231 \cdot 3}$ ≈ 3.1

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$6 e^{- 0,2231 t}$	=	$1$	\|: $6$
$e^{- 0,2231 t}$	=	$\frac{1}{6}$	\|ln(⋅)
$- 0,2231 t$	=	$\ln (\frac{1}{6})$	\|: $- 0,2231$
$t$	=	$- \frac{1}{0,2231} \ln (\frac{1}{6})$	≈ 8.0312

also t=8

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 30 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 2,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 30.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

29,9998

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$29,9998$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 7,0002$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,35$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,35)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,35)$	≈ 2.0996

also k ≈ 2.0996442489974, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,0996 t}$

Wert zur Zeit 2.5: f(2.5)= $37 - 20 e^{- 2,0996 \cdot 2,5}$ ≈ 36.9

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,0996 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,0996 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,0996 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,0996 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,0996 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,0996$
$t$	=	$- \frac{1}{2,0996} \ln (0,005)$	≈ 2.5235

also t=2.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 13 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 64 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.011⋅f(t)

wenn man 0.011 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.011( $\frac{0.6}{0.011}$ - f(t))

also f'(t) = 0.011(54.55 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=54.55 und der Wachstumsfaktor k=0.011 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $54,55 - c \cdot e^{- 0,011 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$54,55 - c \cdot e^{- 0,011 \cdot 0}$
$80$	=	$54,55 - c$
$80$	=	$- c + 54,55$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 25,45$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $54,55 + 25,45 e^{- 0,011 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $54,55 + 25,45 e^{- 0,011 \cdot 13}$ ≈ 76.6

Wann wird der Wert 64?: f(t)=64

54,55 + 25,45 e^{- 0,011 t}

=

64

$25,45 e^{- 0,011 t} + 54,55$	=	$64$	\| $- 54,55$
$25,45 e^{- 0,011 t}$	=	$9,45$	\|: $25,45$
$e^{- 0,011 t}$	=	$0,3713$	\|ln(⋅)
$- 0,011 t$	=	$\ln (0,3713)$	\|: $- 0,011$
$t$	=	$- \frac{1}{0,011} \ln (0,3713)$	≈ 90.0677

also t=90.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $6 e^{0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,07$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.