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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 16g vorhanden. Nach 3 Tagen sind nur noch 15,527g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 6 Tagen da? b) Wann sind nur noch 15g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $16 e^{k \cdot 3}$ = 15,5271.

$16 e^{3 k}$	=	$15,5271$	\|: $16$
$e^{3 k}$	=	$0,9704$	\|ln(⋅)
$3 k$	=	$\ln (0,9704)$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{1}{3} \ln (0,9704)$	≈ -0.01

also k ≈ -0.010015640450766, => f(t)= $16 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $16 e^{- 0,01 \cdot 6}$ ≈ 15.1

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

$16 e^{- 0,01 t}$	=	$15$	\|: $16$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{15}{16}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{15}{16})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{15}{16})$	≈ 6.4539

also t=6.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 18 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 15-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 43 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 18,75-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{18}$ ≈ 0.038508176697775

=> f(t)= $15 e^{0,0385 t}$

Wert zur Zeit 43: f(43)= $15 e^{0,0385 \cdot 43}$ ≈ 78.6

Wann wird der Wert 18.75?: f(t)=18.75

$15 e^{0,0385 t}$	=	$18,75$	\|: $15$
$e^{0,0385 t}$	=	$1,25$	\|ln(⋅)
$0,0385 t$	=	$\ln (1,25)$	\|: $0,0385$
$t$	=	$\frac{1}{0,0385} \ln (1,25)$	≈ 5.7947

also t=5.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 18% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 8 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 2 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.82) ≈ -0.19845093872384

=> f(t)= $8 e^{- 0,1985 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $8 e^{- 0,1985 \cdot 2}$ ≈ 5.4

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$8 e^{- 0,1985 t}$	=	$2$	\|: $8$
$e^{- 0,1985 t}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,1985 t$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 0,1985$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1985} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 6.9839

also t=7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 30°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 10,92°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 10 Minuten? b) Wann ist sie 24°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=30 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $30 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $30 - c$ = $30 - c$

$5$	=	$30 - c$
$5$	=	$- c + 30$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$25$

somit gilt: f(t)= $30 - 25 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $30 - 25 e^{- k \cdot 9}$ = 10,92.

30 - 25 e^{- 9 k}

=

10,9155

$- 25 e^{- 9 k} + 30$	=	$10,9155$	\| $- 30$
$- 25 e^{- 9 k}$	=	$- 19,0845$	\|: $- 25$
$e^{- 9 k}$	=	$0,7634$	\|ln(⋅)
$- 9 k$	=	$\ln (0,7634)$	\|: $- 9$
$k$	=	$- \frac{1}{9} \ln (0,7634)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.02999701540789, => f(t)= $30 - 25 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $30 - 25 e^{- 0,03 \cdot 10}$ ≈ 11.5

Wann wird der Wert 24?: f(t)=24

30 - 25 e^{- 0,03 t}

=

24

$- 25 e^{- 0,03 t} + 30$	=	$24$	\| $- 30$
$- 25 e^{- 0,03 t}$	=	$- 6$	\|: $- 25$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{6}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{6}{25})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{6}{25})$	≈ 47.5705

also t=47.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3131 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 68 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 6 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2684 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 68 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{68}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(850 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=850 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $850 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3131 ein (Punktprobe).

$3 131$	=	$850 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$3 131$	=	$850 - c$
$3 131$	=	$- c + 850$	\| $- 3 131$ $+ c$
$c$	=	$- 2 281$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $850 + 2 281 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $850 + 2 281 e^{- 0,08 \cdot 6}$ ≈ 2261.4

Wann wird der Wert 2684?: f(t)=2684

850 + 2 281 e^{- 0,08 t}

=

2 684

$2 281 e^{- 0,08 t} + 850$	=	$2 684$	\| $- 850$
$2 281 e^{- 0,08 t}$	=	$1 834$	\|: $2 281$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{1834}{2281}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{1834}{2281})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{1834}{2281})$	≈ 2.7264

also t=2.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $12 e^{0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,05$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.