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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 13g vorhanden. Nach 2 Tagen sind nur noch 11,302g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 3 Tagen da? b) Wann sind nur noch 5g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $13 e^{k \cdot 2}$ = 11,3017.

$13 e^{2 k}$	=	$11,3017$	\|: $13$
$e^{2 k}$	=	$0,8694$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (0,8694)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (0,8694)$	≈ -0.07

also k ≈ -0.069975980213723, => f(t)= $13 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $13 e^{- 0,07 \cdot 3}$ ≈ 10.5

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$13 e^{- 0,07 t}$	=	$5$	\|: $13$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{5}{13}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{5}{13})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{5}{13})$	≈ 13.6502

also t=13.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 539 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 4g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 627 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 3,2g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{539}$ ≈ -0.0012859873479776

=> f(t)= $4 e^{- 0,0013 t}$

Wert zur Zeit 627: f(627)= $4 e^{- 0,0013 \cdot 627}$ ≈ 1.8

Wann wird der Wert 3.2?: f(t)=3.2

$4 e^{- 0,0013 t}$	=	$3,2$	\|: $4$
$e^{- 0,0013 t}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 0,0013 t$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 0,0013$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0013} \ln (0,8)$	≈ 173.5175

also t=173.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 5% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 16 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 18 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.05) ≈ 0.048790164169432

=> f(t)= $16 e^{0,0488 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $16 e^{0,0488 \cdot 4}$ ≈ 19.4

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

$16 e^{0,0488 t}$	=	$18$	\|: $16$
$e^{0,0488 t}$	=	$\frac{9}{8}$	\|ln(⋅)
$0,0488 t$	=	$\ln (\frac{9}{8})$	\|: $0,0488$
$t$	=	$\frac{1}{0,0488} \ln (\frac{9}{8})$	≈ 2.4136

also t=2.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 31°C wird eine Limo aus einem 3° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 16,09°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 11 Minuten? b) Wann ist sie 16°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=31 sein muss.

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $31 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $31 - c$ = $31 - c$

$3$	=	$31 - c$
$3$	=	$- c + 31$	\| $- 3$ $+ c$
$c$	=	$28$

somit gilt: f(t)= $31 - 28 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $31 - 28 e^{- k \cdot 9}$ = 16,09.

31 - 28 e^{- 9 k}

=

16,0874

$- 28 e^{- 9 k} + 31$	=	$16,0874$	\| $- 31$
$- 28 e^{- 9 k}$	=	$- 14,9126$	\|: $- 28$
$e^{- 9 k}$	=	$0,5326$	\|ln(⋅)
$- 9 k$	=	$\ln (0,5326)$	\|: $- 9$
$k$	=	$- \frac{1}{9} \ln (0,5326)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.069998289511367, => f(t)= $31 - 28 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $31 - 28 e^{- 0,07 \cdot 11}$ ≈ 18

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

31 - 28 e^{- 0,07 t}

=

16

$- 28 e^{- 0,07 t} + 31$	=	$16$	\| $- 31$
$- 28 e^{- 0,07 t}$	=	$- 15$	\|: $- 28$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{15}{28}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{15}{28})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{15}{28})$	≈ 8.9165

also t=8.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3518 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 90 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 6 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2867 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 90 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{90}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(900 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=900 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $900 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3518 ein (Punktprobe).

$3 518$	=	$900 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
$3 518$	=	$900 - c$
$3 518$	=	$- c + 900$	\| $- 3 518$ $+ c$
$c$	=	$- 2 618$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $900 + 2 618 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $900 + 2 618 e^{- 0,1 \cdot 6}$ ≈ 2336.8

Wann wird der Wert 2867?: f(t)=2867

900 + 2 618 e^{- 0,1 t}

=

2 867

$2 618 e^{- 0,1 t} + 900$	=	$2 867$	\| $- 900$
$2 618 e^{- 0,1 t}$	=	$1 967$	\|: $2 618$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{281}{374}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{281}{374})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{281}{374})$	≈ 2.859

also t=2.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $10 e^{- 0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,01$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,01}$ ≈ 69.315 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.