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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 4g vorhanden. Nach 10 Tagen sind nur noch 2,195g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 12 Tagen da? b) Wann sind nur noch 2g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $4 e^{k \cdot 10}$ = 2,1952.

$4 e^{10 k}$	=	$2,1952$	\|: $4$
$e^{10 k}$	=	$0,5488$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (0,5488)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (0,5488)$	≈ -0.06

also k ≈ -0.060002120257046, => f(t)= $4 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $4 e^{- 0,06 \cdot 12}$ ≈ 1.9

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$4 e^{- 0,06 t}$	=	$2$	\|: $4$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 11.5525

also t=11.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 85 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 55 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 85: f(85)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 85}$ ≈ 0.4

Wann wird der Wert 55?: f(t)=55

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$55$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 750 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 750 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 750 000)$	≈ 128.7735

also t=128.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 15% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 5 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 10% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.85) ≈ -0.16251892949777

=> f(t)= $100 e^{- 0,1625 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 e^{- 0,1625 \cdot 5}$ ≈ 44.4

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$100 e^{- 0,1625 t}$	=	$10$	\|: $100$
$e^{- 0,1625 t}$	=	$\frac{1}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,1625 t$	=	$\ln (\frac{1}{10})$	\|: $- 0,1625$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1625} \ln (\frac{1}{10})$	≈ 14.1698

also t=14.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 40 e^{- k \cdot 3}$ = 52.

20 + 40 e^{- 3 k}

=

51,9982

$40 e^{- 3 k} + 20$	=	$51,9982$	\| $- 20$
$40 e^{- 3 k}$	=	$31,9982$	\|: $40$
$e^{- 3 k}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,8)$	≈ 0.0744

also k ≈ 0.074381183771403, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,0744 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 40 e^{- 0,0744 \cdot 3}$ ≈ 52

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,0744 t}

=

50

$40 e^{- 0,0744 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,0744 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,0744 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,0744 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,0744$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0744} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 3.8667

also t=3.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 6ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 10% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 14 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 9ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 6 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{6}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(60 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=60 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $60 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$60 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
0	=	$60 - c$
0	=	$- c + 60$	\|0 $+ c$
$c$	=	$60$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $60 - 60 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $60 - 60 e^{- 0,1 \cdot 14}$ ≈ 45.2

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

60 - 60 e^{- 0,1 t}

=

9

$- 60 e^{- 0,1 t} + 60$	=	$9$	\| $- 60$
$- 60 e^{- 0,1 t}$	=	$- 51$	\|: $- 60$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{17}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{17}{20})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{17}{20})$	≈ 1.6252

also t=1.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $5 e^{- 0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,01$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,01}$ ≈ 69.315 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

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beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.