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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 10g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 7,634g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 7g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $10 e^{k \cdot 9}$ = 7,6338.

$10 e^{9 k}$	=	$7,6338$	\|: $10$
$e^{9 k}$	=	$0,7634$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (0,7634)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (0,7634)$	≈ -0.03

also k ≈ -0.02999701540789, => f(t)= $10 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $10 e^{- 0,03 \cdot 11}$ ≈ 7.2

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$10 e^{- 0,03 t}$	=	$7$	\|: $10$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{7}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{7}{10})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{7}{10})$	≈ 11.8892

also t=11.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 20 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 14-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 55 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 20-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{20}$ ≈ 0.034657359027997

=> f(t)= $14 e^{0,0347 t}$

Wert zur Zeit 55: f(55)= $14 e^{0,0347 \cdot 55}$ ≈ 94.2

Wann wird der Wert 20?: f(t)=20

$14 e^{0,0347 t}$	=	$20$	\|: $14$
$e^{0,0347 t}$	=	$\frac{10}{7}$	\|ln(⋅)
$0,0347 t$	=	$\ln (\frac{10}{7})$	\|: $0,0347$
$t$	=	$\frac{1}{0,0347} \ln (\frac{10}{7})$	≈ 10.2916

also t=10.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 11% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 5 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 34% der Masse da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595

=> f(t)= $100 e^{- 0,1165 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 e^{- 0,1165 \cdot 5}$ ≈ 55.9

Wann wird der Wert 34?: f(t)=34

$100 e^{- 0,1165 t}$	=	$34$	\|: $100$
$e^{- 0,1165 t}$	=	$\frac{17}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,1165 t$	=	$\ln (\frac{17}{50})$	\|: $- 0,1165$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1165} \ln (\frac{17}{50})$	≈ 9.2602

also t=9.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 6° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 7,9°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 11°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$6$	=	$26 - c$
$6$	=	$- c + 26$	\| $- 6$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $26 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $26 - 20 e^{- k \cdot 5}$ = 7,9.

26 - 20 e^{- 5 k}

=

7,9033

$- 20 e^{- 5 k} + 26$	=	$7,9033$	\| $- 26$
$- 20 e^{- 5 k}$	=	$- 18,0967$	\|: $- 20$
$e^{- 5 k}$	=	$0,9048$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,9048)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,9048)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.020008270836045, => f(t)= $26 - 20 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $26 - 20 e^{- 0,02 \cdot 6}$ ≈ 8.3

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

26 - 20 e^{- 0,02 t}

=

11

$- 20 e^{- 0,02 t} + 26$	=	$11$	\| $- 26$
$- 20 e^{- 0,02 t}$	=	$- 15$	\|: $- 20$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 14.3841

also t=14.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3240 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 74 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 9 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2199 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 74 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{74}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(925 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=925 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $925 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3240 ein (Punktprobe).

$3 240$	=	$925 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$3 240$	=	$925 - c$
$3 240$	=	$- c + 925$	\| $- 3 240$ $+ c$
$c$	=	$- 2 315$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $925 + 2 315 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $925 + 2 315 e^{- 0,08 \cdot 9}$ ≈ 2051.8

Wann wird der Wert 2199?: f(t)=2199

925 + 2 315 e^{- 0,08 t}

=

2 199

$2 315 e^{- 0,08 t} + 925$	=	$2 199$	\| $- 925$
$2 315 e^{- 0,08 t}$	=	$1 274$	\|: $2 315$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{1274}{2315}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{1274}{2315})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{1274}{2315})$	≈ 7.4656

also t=7.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $18 e^{- 0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,08$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,08}$ ≈ 8.664 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

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