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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 15g vorhanden. Nach 3 Tagen sind nur noch 13,709g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 4 Tagen da? b) Wann sind nur noch 11g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $15 e^{k \cdot 3}$ = 13,709.

$15 e^{3 k}$	=	$13,709$	\|: $15$
$e^{3 k}$	=	$0,9139$	\|ln(⋅)
$3 k$	=	$\ln (0,9139)$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{1}{3} \ln (0,9139)$	≈ -0.03

also k ≈ -0.03001137423466, => f(t)= $15 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $15 e^{- 0,03 \cdot 4}$ ≈ 13.3

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

$15 e^{- 0,03 t}$	=	$11$	\|: $15$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{11}{15}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{11}{15})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{11}{15})$	≈ 10.3385

also t=10.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 78 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 98 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 78: f(78)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 78}$ ≈ 0.2

Wann wird der Wert 98?: f(t)=98

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$98$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 900 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 900 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 900 000)$	≈ 133.7903

also t=133.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 50% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.9) ≈ -0.10536051565783

=> f(t)= $100 e^{- 0,1054 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,1054 \cdot 3}$ ≈ 72.9

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

$100 e^{- 0,1054 t}$	=	$50$	\|: $100$
$e^{- 0,1054 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,1054 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,1054$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1054} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 6.5763

also t=6.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 32°C wird eine Limo aus einem 9° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 16,58°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 12 Minuten? b) Wann ist sie 30°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=32 sein muss.

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $32 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $32 - c$ = $32 - c$

$9$	=	$32 - c$
$9$	=	$- c + 32$	\| $- 9$ $+ c$
$c$	=	$23$

somit gilt: f(t)= $32 - 23 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $32 - 23 e^{- k \cdot 10}$ = 16,58.

32 - 23 e^{- 10 k}

=

16,5826

$- 23 e^{- 10 k} + 32$	=	$16,5826$	\| $- 32$
$- 23 e^{- 10 k}$	=	$- 15,4174$	\|: $- 23$
$e^{- 10 k}$	=	$0,6703$	\|ln(⋅)
$- 10 k$	=	$\ln (0,6703)$	\|: $- 10$
$k$	=	$- \frac{1}{10} \ln (0,6703)$	≈ 0.04

also k ≈ 0.040002990561823, => f(t)= $32 - 23 e^{- 0,04 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $32 - 23 e^{- 0,04 \cdot 12}$ ≈ 17.8

Wann wird der Wert 30?: f(t)=30

32 - 23 e^{- 0,04 t}

=

30

$- 23 e^{- 0,04 t} + 32$	=	$30$	\| $- 32$
$- 23 e^{- 0,04 t}$	=	$- 2$	\|: $- 23$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{2}{23}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{2}{23})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{2}{23})$	≈ 61.0587

also t=61.1

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 5ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 7 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 231ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 5 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{5}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(250 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=250 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $250 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$250 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
0	=	$250 - c$
0	=	$- c + 250$	\|0 $+ c$
$c$	=	$250$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $250 - 250 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $250 - 250 e^{- 0,02 \cdot 7}$ ≈ 32.7

Wann wird der Wert 231?: f(t)=231

250 - 250 e^{- 0,02 t}

=

231

$- 250 e^{- 0,02 t} + 250$	=	$231$	\| $- 250$
$- 250 e^{- 0,02 t}$	=	$- 19$	\|: $- 250$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{19}{250}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{19}{250})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{19}{250})$	≈ 128.8511

also t=128.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $17 e^{0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,1$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.