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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 3 Millionen Algen im Teich. Nach 5 Stunden sind es 3,316 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 7 Stunden? b) Wann waren es 4 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $3 e^{k \cdot 5}$ = 3,3155.

$3 e^{5 k}$	=	$3,3155$	\|: $3$
$e^{5 k}$	=	$1,1052$	\|ln(⋅)
$5 k$	=	$\ln (1,1052)$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{1}{5} \ln (1,1052)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.020005262813425, => f(t)= $3 e^{0,02 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $3 e^{0,02 \cdot 7}$ ≈ 3.5

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$3 e^{0,02 t}$	=	$4$	\|: $3$
$e^{0,02 t}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$0,02 t$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $0,02$
$t$	=	$\frac{1}{0,02} \ln (\frac{4}{3})$	≈ 14.3841

also t=14.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 191 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 20g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 503 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 4g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{191}$ ≈ -0.0036290428301568

=> f(t)= $20 e^{- 0,0036 t}$

Wert zur Zeit 503: f(503)= $20 e^{- 0,0036 \cdot 503}$ ≈ 3.2

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$20 e^{- 0,0036 t}$	=	$4$	\|: $20$
$e^{- 0,0036 t}$	=	$\frac{1}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,0036 t$	=	$\ln (\frac{1}{5})$	\|: $- 0,0036$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0036} \ln (\frac{1}{5})$	≈ 443.4935

also t=443.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 11% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 13 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 4 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595

=> f(t)= $13 e^{- 0,1165 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $13 e^{- 0,1165 \cdot 5}$ ≈ 7.3

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$13 e^{- 0,1165 t}$	=	$4$	\|: $13$
$e^{- 0,1165 t}$	=	$\frac{4}{13}$	\|ln(⋅)
$- 0,1165 t$	=	$\ln (\frac{4}{13})$	\|: $- 0,1165$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1165} \ln (\frac{4}{13})$	≈ 10.1172

also t=10.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 28 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 3,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 28.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

27,9999

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$27,9999$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 9,0001$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,45$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,45)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,45)$	≈ 1.597

also k ≈ 1.5970153924355, => f(t)= $37 - 20 e^{- 1,597 t}$

Wert zur Zeit 3.5: f(3.5)= $37 - 20 e^{- 1,597 \cdot 3,5}$ ≈ 36.9

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 1,597 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 1,597 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 1,597 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 1,597 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 1,597 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 1,597$
$t$	=	$- \frac{1}{1,597} \ln (0,005)$	≈ 3.3177

also t=3.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 8% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3027 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 89 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2966 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 89 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{89}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(1112.5 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1112.5 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 112,5 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3027 ein (Punktprobe).

$3 027$	=	$1 112,5 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
$3 027$	=	$1 112,5 - c$
$3 027$	=	$- c + 1 112,5$	\| $- 3 027$ $+ c$
$c$	=	$- 1 914,5$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 112,5 + 1 914,5 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $1 112,5 + 1 914,5 e^{- 0,08 \cdot 12}$ ≈ 1845.5

Wann wird der Wert 2966?: f(t)=2966

1 112,5 + 1 914,5 e^{- 0,08 t}

=

2 966

$1 914,5 e^{- 0,08 t} + 1 112,5$	=	$2 966$	\| $- 1 112,5$
$1 914,5 e^{- 0,08 t}$	=	$1 853,5$	\|: $1 914,5$
$e^{- 0,08 t}$	=	$0,9681$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (0,9681)$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (0,9681)$	≈ 0.4052

also t=0.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $10 e^{0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,08$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.