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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 3g vorhanden. Nach 6 Tagen sind nur noch 1,646g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 7 Tagen da? b) Wann sind nur noch 1g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $3 e^{k \cdot 6}$ = 1,6464.

$3 e^{6 k}$	=	$1,6464$	\|: $3$
$e^{6 k}$	=	$0,5488$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (0,5488)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (0,5488)$	≈ -0.1

also k ≈ -0.10000353376174, => f(t)= $3 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $3 e^{- 0,1 \cdot 7}$ ≈ 1.5

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$3 e^{- 0,1 t}$	=	$1$	\|: $3$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 10.9861

also t=11

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 19 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 7-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 11 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 35-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{19}$ ≈ 0.036481430555787

=> f(t)= $7 e^{0,0365 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $7 e^{0,0365 \cdot 11}$ ≈ 10.5

Wann wird der Wert 35?: f(t)=35

$7 e^{0,0365 t}$	=	$35$	\|: $7$
$e^{0,0365 t}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$0,0365 t$	=	$\ln (5)$	\|: $0,0365$
$t$	=	$\frac{1}{0,0365} \ln (5)$	≈ 44.1172

also t=44.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 70% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.9) ≈ -0.10536051565783

=> f(t)= $100 e^{- 0,1054 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,1054 \cdot 4}$ ≈ 65.6

Wann wird der Wert 70?: f(t)=70

$100 e^{- 0,1054 t}$	=	$70$	\|: $100$
$e^{- 0,1054 t}$	=	$\frac{7}{10}$	\|ln(⋅)
$- 0,1054 t$	=	$\ln (\frac{7}{10})$	\|: $- 0,1054$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1054} \ln (\frac{7}{10})$	≈ 3.384

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 13,91°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 24°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$10$	=	$26 - c$
$10$	=	$- c + 26$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$16$

somit gilt: f(t)= $26 - 16 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $26 - 16 e^{- k \cdot 4}$ = 13,91.

26 - 16 e^{- 4 k}

=

13,9075

$- 16 e^{- 4 k} + 26$	=	$13,9075$	\| $- 26$
$- 16 e^{- 4 k}$	=	$- 12,0925$	\|: $- 16$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7558$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7558)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7558)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.069994622016687, => f(t)= $26 - 16 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $26 - 16 e^{- 0,07 \cdot 6}$ ≈ 15.5

Wann wird der Wert 24?: f(t)=24

26 - 16 e^{- 0,07 t}

=

24

$- 16 e^{- 0,07 t} + 26$	=	$24$	\| $- 26$
$- 16 e^{- 0,07 t}$	=	$- 2$	\|: $- 16$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{1}{8}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{1}{8})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{1}{8})$	≈ 29.7063

also t=29.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,4% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 5 Jahren, wenn jedes Jahr 0,7 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 56 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.7 - 0.014⋅f(t)

wenn man 0.014 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.014( $\frac{0.7}{0.014}$ - f(t))

also f'(t) = 0.014(50 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=50 und der Wachstumsfaktor k=0.014 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $50 - c \cdot e^{- 0,014 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$50 - c \cdot e^{- 0,014 \cdot 0}$
$80$	=	$50 - c$
$80$	=	$- c + 50$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 30$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $50 + 30 e^{- 0,014 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $50 + 30 e^{- 0,014 \cdot 5}$ ≈ 78

Wann wird der Wert 56?: f(t)=56

50 + 30 e^{- 0,014 t}

=

56

$30 e^{- 0,014 t} + 50$	=	$56$	\| $- 50$
$30 e^{- 0,014 t}$	=	$6$	\|: $30$
$e^{- 0,014 t}$	=	$\frac{1}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,014 t$	=	$\ln (\frac{1}{5})$	\|: $- 0,014$
$t$	=	$- \frac{1}{0,014} \ln (\frac{1}{5})$	≈ 114.9599

also t=115

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $10 e^{- 0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,01$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,01}$ ≈ 69.315 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.