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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 8 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 13,19 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 11 Stunden? b) Wann waren es 10 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $8 e^{k \cdot 10}$ = 13,1898.

$8 e^{10 k}$	=	$13,1898$	\|: $8$
$e^{10 k}$	=	$1,6487$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (1,6487)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (1,6487)$	≈ 0.05

also k ≈ 0.0499987098585, => f(t)= $8 e^{0,05 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $8 e^{0,05 \cdot 11}$ ≈ 13.9

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$8 e^{0,05 t}$	=	$10$	\|: $8$
$e^{0,05 t}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
$0,05 t$	=	$\ln (\frac{5}{4})$	\|: $0,05$
$t$	=	$\frac{1}{0,05} \ln (\frac{5}{4})$	≈ 4.4629

also t=4.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 499 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 16g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 1272 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 4,8g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{499}$ ≈ -0.0013890725061322

=> f(t)= $16 e^{- 0,0014 t}$

Wert zur Zeit 1272: f(1272)= $16 e^{- 0,0014 \cdot 1272}$ ≈ 2.7

Wann wird der Wert 4.8?: f(t)=4.8

$16 e^{- 0,0014 t}$	=	$4,8$	\|: $16$
$e^{- 0,0014 t}$	=	$0,3$	\|ln(⋅)
$- 0,0014 t$	=	$\ln (0,3)$	\|: $- 0,0014$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0014} \ln (0,3)$	≈ 866.7911

also t=866.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 3% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 8 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 9 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.03) ≈ 0.029558802241544

=> f(t)= $8 e^{0,0296 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $8 e^{0,0296 \cdot 4}$ ≈ 9

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$8 e^{0,0296 t}$	=	$9$	\|: $8$
$e^{0,0296 t}$	=	$\frac{9}{8}$	\|ln(⋅)
$0,0296 t$	=	$\ln (\frac{9}{8})$	\|: $0,0296$
$t$	=	$\frac{1}{0,0296} \ln (\frac{9}{8})$	≈ 3.9792

also t=4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 61° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 1 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 61 ist, gilt: f(0)= 61, also 61 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$61$	=	$20 - c$
$61$	=	$- c + 20$	\| $- 61$ $+ c$
$c$	=	$- 41$

somit gilt: f(t)= $20 + 41 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 41 e^{- k \cdot 4}$ = 54.

20 + 41 e^{- 4 k}

=

54,0004

$41 e^{- 4 k} + 20$	=	$54,0004$	\| $- 20$
$41 e^{- 4 k}$	=	$34,0004$	\|: $41$
$e^{- 4 k}$	=	$0,8293$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,8293)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,8293)$	≈ 0.0468

also k ≈ 0.046793326881245, => f(t)= $20 + 41 e^{- 0,0468 t}$

Wert zur Zeit 1: f(1)= $20 + 41 e^{- 0,0468 \cdot 1}$ ≈ 59.1

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 41 e^{- 0,0468 t}

=

50

$41 e^{- 0,0468 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$41 e^{- 0,0468 t}$	=	$30$	\|: $41$
$e^{- 0,0468 t}$	=	$\frac{30}{41}$	\|ln(⋅)
$- 0,0468 t$	=	$\ln (\frac{30}{41})$	\|: $- 0,0468$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0468} \ln (\frac{30}{41})$	≈ 6.6747

also t=6.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3927 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 73 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2657 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 73 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{73}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(1460 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1460 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 460 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3927 ein (Punktprobe).

$3 927$	=	$1 460 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
$3 927$	=	$1 460 - c$
$3 927$	=	$- c + 1 460$	\| $- 3 927$ $+ c$
$c$	=	$- 2 467$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 460 + 2 467 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $1 460 + 2 467 e^{- 0,05 \cdot 12}$ ≈ 2813.9

Wann wird der Wert 2657?: f(t)=2657

1 460 + 2 467 e^{- 0,05 t}

=

2 657

$2 467 e^{- 0,05 t} + 1 460$	=	$2 657$	\| $- 1 460$
$2 467 e^{- 0,05 t}$	=	$1 197$	\|: $2 467$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{1197}{2467}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{1197}{2467})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{1197}{2467})$	≈ 14.4637

also t=14.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $12 e^{- 0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,07$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,07}$ ≈ 9.902 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.