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cosh
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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 3g vorhanden. Nach 3 Tagen sind nur noch 2,506g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 6 Tagen da? b) Wann sind nur noch 2g davon übrig?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= = 2,5058.
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ -0.06 |
also k ≈ -0.059988112406759, => f(t)=
Wert zur Zeit 6: f(6)= ≈ 2.1
Wann wird der Wert 2?: f(t)=2
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 6.7578 |
also t=6.8
Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit
Beispiel:
Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 20 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 10-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 17 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 50-Tausend Euro gestiegen?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Wir berechnen k über die Verdopplungszeit.
Dazu stellen wir die Formel TV= um zu
k==
≈ 0.034657359027997
=> f(t)=
Wert zur Zeit 17: f(17)= ≈ 18
Wann wird der Wert 50?: f(t)=50
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 46.439 |
also t=46.4
Exponentielles Wachstum mit Prozent
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 13% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 14 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 19 Millarden?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.13) ≈ 0.12221763272425
=> f(t)=
Wert zur Zeit 3: f(3)= ≈ 20.2
Wann wird der Wert 19?: f(t)=19
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 2.499 |
also t=2.5
beschränktes Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 31 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 3,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?
Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.
Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = = =
| = | |||
| = | | | ||
| = |
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= = 31.
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 2.4079 |
also k ≈ 2.4079456086519, => f(t)=
Wert zur Zeit 3.5: f(3.5)= ≈ 37
Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 2.2004 |
also t=2.2
beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung
Beispiel:
Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2688 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 81 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2135 Wörter ?
Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:
f'(t) = 81 - 0.04⋅f(t)
wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung
f'(t) = 0.04( - f(t))
also f'(t) = 0.04(2025 - f(t))
das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))
Wir wissen nun also, dass die Schranke S=2025 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.
Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= haben.
Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2688 ein (Punktprobe).
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = |
somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)=
Wert zur Zeit 12: f(12)= ≈ 2435.3
Wann wird der Wert 2135?: f(t)=2135
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ 44.9074 |
also t=44.9
Halbwerts- + Verdopplungszeit best.
Beispiel:
Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.
Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent () erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.
Dazu setzen wir k = einfach in die Formel TV = ein:
TV = ≈ 23.105 min
