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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 3g vorhanden. Nach 3 Tagen sind nur noch 2,582g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 2g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $3 e^{k \cdot 3}$ = 2,5821.

$3 e^{3 k}$	=	$2,5821$	\|: $3$
$e^{3 k}$	=	$0,8607$	\|ln(⋅)
$3 k$	=	$\ln (0,8607)$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{1}{3} \ln (0,8607)$	≈ -0.05

also k ≈ -0.050003089108903, => f(t)= $3 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $3 e^{- 0,05 \cdot 5}$ ≈ 2.3

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$3 e^{- 0,05 t}$	=	$2$	\|: $3$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 8.1093

also t=8.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 19 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 6-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 47 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 7,5-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{19}$ ≈ 0.036481430555787

=> f(t)= $6 e^{0,0365 t}$

Wert zur Zeit 47: f(47)= $6 e^{0,0365 \cdot 47}$ ≈ 33.3

Wann wird der Wert 7.5?: f(t)=7.5

$6 e^{0,0365 t}$	=	$7,5$	\|: $6$
$e^{0,0365 t}$	=	$1,25$	\|ln(⋅)
$0,0365 t$	=	$\ln (1,25)$	\|: $0,0365$
$t$	=	$\frac{1}{0,0365} \ln (1,25)$	≈ 6.1167

also t=6.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 14% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 9 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 15 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.14) ≈ 0.1310282624064

=> f(t)= $9 e^{0,131 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $9 e^{0,131 \cdot 4}$ ≈ 15.2

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

$9 e^{0,131 t}$	=	$15$	\|: $9$
$e^{0,131 t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$0,131 t$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $0,131$
$t$	=	$\frac{1}{0,131} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 3.8994

also t=3.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 15,9°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 7 Minuten? b) Wann ist sie 23°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $25 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $25 - c$ = $25 - c$

$10$	=	$25 - c$
$10$	=	$- c + 25$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$15$

somit gilt: f(t)= $25 - 15 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $25 - 15 e^{- k \cdot 5}$ = 15,9.

25 - 15 e^{- 5 k}

=

15,902

$- 15 e^{- 5 k} + 25$	=	$15,902$	\| $- 25$
$- 15 e^{- 5 k}$	=	$- 9,098$	\|: $- 15$
$e^{- 5 k}$	=	$0,6065$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,6065)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,6065)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.10001011011961, => f(t)= $25 - 15 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $25 - 15 e^{- 0,1 \cdot 7}$ ≈ 17.6

Wann wird der Wert 23?: f(t)=23

25 - 15 e^{- 0,1 t}

=

23

$- 15 e^{- 0,1 t} + 25$	=	$23$	\| $- 25$
$- 15 e^{- 0,1 t}$	=	$- 2$	\|: $- 15$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{2}{15}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{2}{15})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{2}{15})$	≈ 20.149

also t=20.1

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2355 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 62 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 5 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3489 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 62 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{62}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(6200 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=6200 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $6 200 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2355 ein (Punktprobe).

$2 355$	=	$6 200 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$2 355$	=	$6 200 - c$
$2 355$	=	$- c + 6 200$	\| $- 2 355$ $+ c$
$c$	=	$3 845$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $6 200 - 3 845 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $6 200 - 3 845 e^{- 0,01 \cdot 5}$ ≈ 2542.5

Wann wird der Wert 3489?: f(t)=3489

6 200 - 3 845 e^{- 0,01 t}

=

3 489

$- 3 845 e^{- 0,01 t} + 6 200$	=	$3 489$	\| $- 6 200$
$- 3 845 e^{- 0,01 t}$	=	$- 2 711$	\|: $- 3 845$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{2711}{3845}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{2711}{3845})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{2711}{3845})$	≈ 34.9456

also t=34.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $17 e^{0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,05$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.