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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 14g vorhanden. Nach 8 Tagen sind nur noch 12,924g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 13g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $14 e^{k \cdot 8}$ = 12,9236.

$14 e^{8 k}$	=	$12,9236$	\|: $14$
$e^{8 k}$	=	$0,9231$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (0,9231)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (0,9231)$	≈ -0.01

also k ≈ -0.010002213498254, => f(t)= $14 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $14 e^{- 0,01 \cdot 11}$ ≈ 12.5

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

$14 e^{- 0,01 t}$	=	$13$	\|: $14$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{13}{14}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{13}{14})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{13}{14})$	≈ 7.4108

also t=7.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 16 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 15-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 17 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 16,67-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{16}$ ≈ 0.043321698784997

=> f(t)= $15 e^{0,0433 t}$

Wert zur Zeit 17: f(17)= $15 e^{0,0433 \cdot 17}$ ≈ 31.3

Wann wird der Wert 16.67?: f(t)=16.67

$15 e^{0,0433 t}$	=	$16,67$	\|: $15$
$e^{0,0433 t}$	=	$1,1113$	\|ln(⋅)
$0,0433 t$	=	$\ln (1,1113)$	\|: $0,0433$
$t$	=	$\frac{1}{0,0433} \ln (1,1113)$	≈ 2.436

also t=2.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 3% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 82% der Masse da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.97) ≈ -0.030459207484709

=> f(t)= $100 e^{- 0,0305 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,0305 \cdot 3}$ ≈ 91.3

Wann wird der Wert 82?: f(t)=82

$100 e^{- 0,0305 t}$	=	$82$	\|: $100$
$e^{- 0,0305 t}$	=	$\frac{41}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,0305 t$	=	$\ln (\frac{41}{50})$	\|: $- 0,0305$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0305} \ln (\frac{41}{50})$	≈ 6.5066

also t=6.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 8,63°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 8 Minuten? b) Wann ist sie 9°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $25 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $25 - c$ = $25 - c$

$5$	=	$25 - c$
$5$	=	$- c + 25$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $25 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $25 - 20 e^{- k \cdot 5}$ = 8,63.

25 - 20 e^{- 5 k}

=

8,6254

$- 20 e^{- 5 k} + 25$	=	$8,6254$	\| $- 25$
$- 20 e^{- 5 k}$	=	$- 16,3746$	\|: $- 20$
$e^{- 5 k}$	=	$0,8187$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,8187)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,8187)$	≈ 0.04

also k ≈ 0.040007512519947, => f(t)= $25 - 20 e^{- 0,04 t}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $25 - 20 e^{- 0,04 \cdot 8}$ ≈ 10.5

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

25 - 20 e^{- 0,04 t}

=

9

$- 20 e^{- 0,04 t} + 25$	=	$9$	\| $- 25$
$- 20 e^{- 0,04 t}$	=	$- 16$	\|: $- 20$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{4}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{4}{5})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{4}{5})$	≈ 5.5786

also t=5.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 8ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 1% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 7 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 693ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 8 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{8}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(800 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=800 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $800 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$800 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
0	=	$800 - c$
0	=	$- c + 800$	\|0 $+ c$
$c$	=	$800$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $800 - 800 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $800 - 800 e^{- 0,01 \cdot 7}$ ≈ 54.1

Wann wird der Wert 693?: f(t)=693

800 - 800 e^{- 0,01 t}

=

693

$- 800 e^{- 0,01 t} + 800$	=	$693$	\| $- 800$
$- 800 e^{- 0,01 t}$	=	$- 107$	\|: $- 800$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{107}{800}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{107}{800})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{107}{800})$	≈ 201.1783

also t=201.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $12 e^{0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,01$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,01}$ ≈ 69.315 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.