Mathebattle EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 4g vorhanden. Nach 10 Tagen sind nur noch 2,195g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 2g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $4 e^{k \cdot 10}$ = 2,1952.

$4 e^{10 k}$	=	$2,1952$	\|: $4$
$e^{10 k}$	=	$0,5488$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (0,5488)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (0,5488)$	≈ -0.06

also k ≈ -0.060002120257046, => f(t)= $4 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $4 e^{- 0,06 \cdot 11}$ ≈ 2.1

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$4 e^{- 0,06 t}$	=	$2$	\|: $4$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 11.5525

also t=11.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 115 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 15g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 101 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 4,5g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{115}$ ≈ -0.0060273667874778

=> f(t)= $15 e^{- 0,006 t}$

Wert zur Zeit 101: f(101)= $15 e^{- 0,006 \cdot 101}$ ≈ 8.2

Wann wird der Wert 4.5?: f(t)=4.5

$15 e^{- 0,006 t}$	=	$4,5$	\|: $15$
$e^{- 0,006 t}$	=	$0,3$	\|ln(⋅)
$- 0,006 t$	=	$\ln (0,3)$	\|: $- 0,006$
$t$	=	$- \frac{1}{0,006} \ln (0,3)$	≈ 199.7632

also t=199.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 2 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 68% der Masse da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.92) ≈ -0.083381608939051

=> f(t)= $100 e^{- 0,0834 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $100 e^{- 0,0834 \cdot 2}$ ≈ 84.6

Wann wird der Wert 68?: f(t)=68

$100 e^{- 0,0834 t}$	=	$68$	\|: $100$
$e^{- 0,0834 t}$	=	$\frac{17}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,0834 t$	=	$\ln (\frac{17}{25})$	\|: $- 0,0834$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0834} \ln (\frac{17}{25})$	≈ 4.6243

also t=4.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 58° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 58 ist, gilt: f(0)= 58, also 58 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$58$	=	$20 - c$
$58$	=	$- c + 20$	\| $- 58$ $+ c$
$c$	=	$- 38$

somit gilt: f(t)= $20 + 38 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 38 e^{- k \cdot 3}$ = 54.

20 + 38 e^{- 3 k}

=

53,9975

$38 e^{- 3 k} + 20$	=	$53,9975$	\| $- 20$
$38 e^{- 3 k}$	=	$33,9975$	\|: $38$
$e^{- 3 k}$	=	$0,8947$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,8947)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,8947)$	≈ 0.0371

also k ≈ 0.037088937476196, => f(t)= $20 + 38 e^{- 0,0371 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 38 e^{- 0,0371 \cdot 5}$ ≈ 51.6

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 38 e^{- 0,0371 t}

=

50

$38 e^{- 0,0371 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$38 e^{- 0,0371 t}$	=	$30$	\|: $38$
$e^{- 0,0371 t}$	=	$\frac{15}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,0371 t$	=	$\ln (\frac{15}{19})$	\|: $- 0,0371$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0371} \ln (\frac{15}{19})$	≈ 6.3717

also t=6.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3066 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 88 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 7 Monaten? b) Wann beträgt dieser 5143 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 88 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{88}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(8800 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=8800 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $8 800 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3066 ein (Punktprobe).

$3 066$	=	$8 800 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$3 066$	=	$8 800 - c$
$3 066$	=	$- c + 8 800$	\| $- 3 066$ $+ c$
$c$	=	$5 734$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $8 800 - 5 734 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $8 800 - 5 734 e^{- 0,01 \cdot 7}$ ≈ 3453.7

Wann wird der Wert 5143?: f(t)=5143

8 800 - 5 734 e^{- 0,01 t}

=

5 143

$- 5 734 e^{- 0,01 t} + 8 800$	=	$5 143$	\| $- 8 800$
$- 5 734 e^{- 0,01 t}$	=	$- 3 657$	\|: $- 5 734$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{3657}{5734}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{3657}{5734})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{3657}{5734})$	≈ 44.977

also t=45

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{- 0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,07$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.