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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 11g vorhanden. Nach 5 Tagen sind nur noch 6,672g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 7 Tagen da? b) Wann sind nur noch 1g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $11 e^{k \cdot 5}$ = 6,6718.

$11 e^{5 k}$	=	$6,6718$	\|: $11$
$e^{5 k}$	=	$0,6065$	\|ln(⋅)
$5 k$	=	$\ln (0,6065)$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{1}{5} \ln (0,6065)$	≈ -0.1

also k ≈ -0.10001011011961, => f(t)= $11 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $11 e^{- 0,1 \cdot 7}$ ≈ 5.5

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$11 e^{- 0,1 t}$	=	$1$	\|: $11$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{1}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{1}{11})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{11})$	≈ 23.979

also t=24

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 964 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 9g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 1552 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 6,3g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{964}$ ≈ -0.0007190323449792

=> f(t)= $9 e^{- 0,0007 t}$

Wert zur Zeit 1552: f(1552)= $9 e^{- 0,0007 \cdot 1552}$ ≈ 2.9

Wann wird der Wert 6.3?: f(t)=6.3

$9 e^{- 0,0007 t}$	=	$6,3$	\|: $9$
$e^{- 0,0007 t}$	=	$0,7$	\|ln(⋅)
$- 0,0007 t$	=	$\ln (0,7)$	\|: $- 0,0007$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0007} \ln (0,7)$	≈ 496.0709

also t=496.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 18% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 11 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 5 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.82) ≈ -0.19845093872384

=> f(t)= $11 e^{- 0,1985 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $11 e^{- 0,1985 \cdot 5}$ ≈ 4.1

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$11 e^{- 0,1985 t}$	=	$5$	\|: $11$
$e^{- 0,1985 t}$	=	$\frac{5}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,1985 t$	=	$\ln (\frac{5}{11})$	\|: $- 0,1985$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1985} \ln (\frac{5}{11})$	≈ 3.9721

also t=4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 40 e^{- k \cdot 2}$ = 51.

20 + 40 e^{- 2 k}

=

51,0029

$40 e^{- 2 k} + 20$	=	$51,0029$	\| $- 20$
$40 e^{- 2 k}$	=	$31,0029$	\|: $40$
$e^{- 2 k}$	=	$0,7751$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,7751)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,7751)$	≈ 0.1274

also k ≈ 0.12738161284734, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,1274 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 40 e^{- 0,1274 \cdot 3}$ ≈ 47.3

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,1274 t}

=

50

$40 e^{- 0,1274 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,1274 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,1274 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,1274 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,1274$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1274} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 2.2581

also t=2.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2464 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 74 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 11 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2121 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 74 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{74}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(1480 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1480 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 480 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2464 ein (Punktprobe).

$2 464$	=	$1 480 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
$2 464$	=	$1 480 - c$
$2 464$	=	$- c + 1 480$	\| $- 2 464$ $+ c$
$c$	=	$- 984$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 480 + 984 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $1 480 + 984 e^{- 0,05 \cdot 11}$ ≈ 2047.7

Wann wird der Wert 2121?: f(t)=2121

1 480 + 984 e^{- 0,05 t}

=

2 121

$984 e^{- 0,05 t} + 1 480$	=	$2 121$	\| $- 1 480$
$984 e^{- 0,05 t}$	=	$641$	\|: $984$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{641}{984}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{641}{984})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{641}{984})$	≈ 8.5719

also t=8.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $19 e^{0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,06$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,06}$ ≈ 11.552 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.