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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 3 Millionen Algen im Teich. Nach 2 Stunden sind es 3,382 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 3 Stunden? b) Wann waren es 5 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $3 e^{k \cdot 2}$ = 3,3825.

$3 e^{2 k}$	=	$3,3825$	\|: $3$
$e^{2 k}$	=	$1,1275$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (1,1275)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (1,1275)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.060001396197348, => f(t)= $3 e^{0,06 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $3 e^{0,06 \cdot 3}$ ≈ 3.6

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$3 e^{0,06 t}$	=	$5$	\|: $3$
$e^{0,06 t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$0,06 t$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $0,06$
$t$	=	$\frac{1}{0,06} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 8.5138

also t=8.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 20 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 9-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 29 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 12,86-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{20}$ ≈ 0.034657359027997

=> f(t)= $9 e^{0,0347 t}$

Wert zur Zeit 29: f(29)= $9 e^{0,0347 \cdot 29}$ ≈ 24.6

Wann wird der Wert 12.86?: f(t)=12.86

$9 e^{0,0347 t}$	=	$12,86$	\|: $9$
$e^{0,0347 t}$	=	$1,4289$	\|ln(⋅)
$0,0347 t$	=	$\ln (1,4289)$	\|: $0,0347$
$t$	=	$\frac{1}{0,0347} \ln (1,4289)$	≈ 10.2982

also t=10.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 12% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 2 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 28% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.88) ≈ -0.12783337150988

=> f(t)= $100 e^{- 0,1278 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $100 e^{- 0,1278 \cdot 2}$ ≈ 77.4

Wann wird der Wert 28?: f(t)=28

$100 e^{- 0,1278 t}$	=	$28$	\|: $100$
$e^{- 0,1278 t}$	=	$\frac{7}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,1278 t$	=	$\ln (\frac{7}{25})$	\|: $- 0,1278$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1278} \ln (\frac{7}{25})$	≈ 9.9606

also t=10

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 3° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 8 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 6,84°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 9 Minuten? b) Wann ist sie 19°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$3$	=	$29 - c$
$3$	=	$- c + 29$	\| $- 3$ $+ c$
$c$	=	$26$

somit gilt: f(t)= $29 - 26 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $29 - 26 e^{- k \cdot 8}$ = 6,84.

29 - 26 e^{- 8 k}

=

6,8443

$- 26 e^{- 8 k} + 29$	=	$6,8443$	\| $- 29$
$- 26 e^{- 8 k}$	=	$- 22,1557$	\|: $- 26$
$e^{- 8 k}$	=	$0,8521$	\|ln(⋅)
$- 8 k$	=	$\ln (0,8521)$	\|: $- 8$
$k$	=	$- \frac{1}{8} \ln (0,8521)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.020006423518528, => f(t)= $29 - 26 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $29 - 26 e^{- 0,02 \cdot 9}$ ≈ 7.3

Wann wird der Wert 19?: f(t)=19

29 - 26 e^{- 0,02 t}

=

19

$- 26 e^{- 0,02 t} + 29$	=	$19$	\| $- 29$
$- 26 e^{- 0,02 t}$	=	$- 10$	\|: $- 26$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{5}{13}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{5}{13})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{5}{13})$	≈ 47.7756

also t=47.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 4ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 15 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 12ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 4 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{4}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(200 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=200 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $200 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$200 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
0	=	$200 - c$
0	=	$- c + 200$	\|0 $+ c$
$c$	=	$200$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $200 - 200 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $200 - 200 e^{- 0,02 \cdot 15}$ ≈ 51.8

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

200 - 200 e^{- 0,02 t}

=

12

$- 200 e^{- 0,02 t} + 200$	=	$12$	\| $- 200$
$- 200 e^{- 0,02 t}$	=	$- 188$	\|: $- 200$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{47}{50}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{47}{50})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{47}{50})$	≈ 3.0938

also t=3.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $6 e^{0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,07$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.