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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 87 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 84 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 87: f(87)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 87}$ ≈ 0.4

Wann wird der Wert 84?: f(t)=84

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$84$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 200 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 200 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 200 000)$	≈ 132.4987

also t=132.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 18 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 4-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 37 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 6,67-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{18}$ ≈ 0.038508176697775

=> f(t)= $4 e^{0,0385 t}$

Wert zur Zeit 37: f(37)= $4 e^{0,0385 \cdot 37}$ ≈ 16.6

Wann wird der Wert 6.67?: f(t)=6.67

$4 e^{0,0385 t}$	=	$6,67$	\|: $4$
$e^{0,0385 t}$	=	$1,6675$	\|ln(⋅)
$0,0385 t$	=	$\ln (1,6675)$	\|: $0,0385$
$t$	=	$\frac{1}{0,0385} \ln (1,6675)$	≈ 13.2784

also t=13.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 11% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 6 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 4 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595

=> f(t)= $6 e^{- 0,1165 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $6 e^{- 0,1165 \cdot 5}$ ≈ 3.4

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$6 e^{- 0,1165 t}$	=	$4$	\|: $6$
$e^{- 0,1165 t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,1165 t$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 0,1165$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1165} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 3.4804

also t=3.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 32°C wird eine Limo aus einem 6° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 2 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 10,71°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 5 Minuten? b) Wann ist sie 12°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=32 sein muss.

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $32 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $32 - c$ = $32 - c$

$6$	=	$32 - c$
$6$	=	$- c + 32$	\| $- 6$ $+ c$
$c$	=	$26$

somit gilt: f(t)= $32 - 26 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $32 - 26 e^{- k \cdot 2}$ = 10,71.

32 - 26 e^{- 2 k}

=

10,713

$- 26 e^{- 2 k} + 32$	=	$10,713$	\| $- 32$
$- 26 e^{- 2 k}$	=	$- 21,287$	\|: $- 26$
$e^{- 2 k}$	=	$0,8187$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,8187)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,8187)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.10001878129987, => f(t)= $32 - 26 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $32 - 26 e^{- 0,1 \cdot 5}$ ≈ 16.2

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

32 - 26 e^{- 0,1 t}

=

12

$- 26 e^{- 0,1 t} + 32$	=	$12$	\| $- 32$
$- 26 e^{- 0,1 t}$	=	$- 20$	\|: $- 26$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{10}{13}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{10}{13})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{10}{13})$	≈ 2.6236

also t=2.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 8ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 1% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 5 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 704ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 8 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{8}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(800 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=800 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $800 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$800 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
0	=	$800 - c$
0	=	$- c + 800$	\|0 $+ c$
$c$	=	$800$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $800 - 800 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $800 - 800 e^{- 0,01 \cdot 5}$ ≈ 39

Wann wird der Wert 704?: f(t)=704

800 - 800 e^{- 0,01 t}

=

704

$- 800 e^{- 0,01 t} + 800$	=	$704$	\| $- 800$
$- 800 e^{- 0,01 t}$	=	$- 96$	\|: $- 800$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{3}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{3}{25})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{3}{25})$	≈ 212.0264

also t=212

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $10 e^{- 0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,07$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

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beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.