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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 16g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 7,788g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 12 Tagen da? b) Wann sind nur noch 8g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $16 e^{k \cdot 9}$ = 7,788.

$16 e^{9 k}$	=	$7,788$	\|: $16$
$e^{9 k}$	=	$0,4868$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (0,4868)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (0,4868)$	≈ -0.08

also k ≈ -0.079989101985418, => f(t)= $16 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $16 e^{- 0,08 \cdot 12}$ ≈ 6.1

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$16 e^{- 0,08 t}$	=	$8$	\|: $16$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 8.6643

also t=8.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 15 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 13-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 36 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 18,57-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{15}$ ≈ 0.04620981203733

=> f(t)= $13 e^{0,04621 t}$

Wert zur Zeit 36: f(36)= $13 e^{0,04621 \cdot 36}$ ≈ 68.6

Wann wird der Wert 18.57?: f(t)=18.57

$13 e^{0,04621 t}$	=	$18,57$	\|: $13$
$e^{0,04621 t}$	=	$1,4285$	\|ln(⋅)
$0,04621 t$	=	$\ln (1,4285)$	\|: $0,04621$
$t$	=	$\frac{1}{0,04621} \ln (1,4285)$	≈ 7.7175

also t=7.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 15% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 4 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 6 Millarden?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.15) ≈ 0.13976194237516

=> f(t)= $4 e^{0,1398 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $4 e^{0,1398 \cdot 3}$ ≈ 6.1

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$4 e^{0,1398 t}$	=	$6$	\|: $4$
$e^{0,1398 t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,1398 t$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $0,1398$
$t$	=	$\frac{1}{0,1398} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 2.9003

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 17,67°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 13 Minuten? b) Wann ist sie 13°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$10$	=	$27 - c$
$10$	=	$- c + 27$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$17$

somit gilt: f(t)= $27 - 17 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $27 - 17 e^{- k \cdot 10}$ = 17,67.

27 - 17 e^{- 10 k}

=

17,6702

$- 17 e^{- 10 k} + 27$	=	$17,6702$	\| $- 27$
$- 17 e^{- 10 k}$	=	$- 9,3298$	\|: $- 17$
$e^{- 10 k}$	=	$0,5488$	\|ln(⋅)
$- 10 k$	=	$\ln (0,5488)$	\|: $- 10$
$k$	=	$- \frac{1}{10} \ln (0,5488)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.060002120257046, => f(t)= $27 - 17 e^{- 0,06 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $27 - 17 e^{- 0,06 \cdot 13}$ ≈ 19.2

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

27 - 17 e^{- 0,06 t}

=

13

$- 17 e^{- 0,06 t} + 27$	=	$13$	\| $- 27$
$- 17 e^{- 0,06 t}$	=	$- 14$	\|: $- 17$
$e^{- 0,06 t}$	=	$\frac{14}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,06 t$	=	$\ln (\frac{14}{17})$	\|: $- 0,06$
$t$	=	$- \frac{1}{0,06} \ln (\frac{14}{17})$	≈ 3.2359

also t=3.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 7ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 4% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 12 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 140ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 7 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{7}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(175 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=175 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $175 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$175 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
0	=	$175 - c$
0	=	$- c + 175$	\|0 $+ c$
$c$	=	$175$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $175 - 175 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $175 - 175 e^{- 0,04 \cdot 12}$ ≈ 66.7

Wann wird der Wert 140?: f(t)=140

175 - 175 e^{- 0,04 t}

=

140

$- 175 e^{- 0,04 t} + 175$	=	$140$	\| $- 175$
$- 175 e^{- 0,04 t}$	=	$- 35$	\|: $- 175$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{1}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{1}{5})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{1}{5})$	≈ 40.2359

also t=40.2

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $9 e^{0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,08$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.