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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 12g vorhanden. Nach 7 Tagen sind nur noch 8,456g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 7g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $12 e^{k \cdot 7}$ = 8,4563.

$12 e^{7 k}$	=	$8,4563$	\|: $12$
$e^{7 k}$	=	$0,7047$	\|ln(⋅)
$7 k$	=	$\ln (0,7047)$	\|: $7$
$k$	=	$\frac{1}{7} \ln (0,7047)$	≈ -0.05

also k ≈ -0.049997585521309, => f(t)= $12 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $12 e^{- 0,05 \cdot 10}$ ≈ 7.3

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$12 e^{- 0,05 t}$	=	$7$	\|: $12$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{7}{12}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{7}{12})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{7}{12})$	≈ 10.7799

also t=10.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 96 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 53 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 96: f(96)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 96}$ ≈ 1.3

Wann wird der Wert 53?: f(t)=53

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$53$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$2 650 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (2 650 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (2 650 000)$	≈ 128.4518

also t=128.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 18% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 13 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.82) ≈ -0.19845093872384

=> f(t)= $13 e^{- 0,1985 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $13 e^{- 0,1985 \cdot 3}$ ≈ 7.2

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$13 e^{- 0,1985 t}$	=	$1$	\|: $13$
$e^{- 0,1985 t}$	=	$\frac{1}{13}$	\|ln(⋅)
$- 0,1985 t$	=	$\ln (\frac{1}{13})$	\|: $- 0,1985$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1985} \ln (\frac{1}{13})$	≈ 12.9217

also t=12.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 30 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 2,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 30.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

29,9998

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$29,9998$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 7,0002$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,35$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,35)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,35)$	≈ 2.0996

also k ≈ 2.0996442489974, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,0996 t}$

Wert zur Zeit 2.5: f(2.5)= $37 - 20 e^{- 2,0996 \cdot 2,5}$ ≈ 36.9

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,0996 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,0996 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,0996 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,0996 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,0996 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,0996$
$t$	=	$- \frac{1}{2,0996} \ln (0,005)$	≈ 2.5235

also t=2.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3169 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 72 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 11 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2835 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 72 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{72}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(1800 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1800 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 800 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3169 ein (Punktprobe).

$3 169$	=	$1 800 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
$3 169$	=	$1 800 - c$
$3 169$	=	$- c + 1 800$	\| $- 3 169$ $+ c$
$c$	=	$- 1 369$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 800 + 1 369 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $1 800 + 1 369 e^{- 0,04 \cdot 11}$ ≈ 2681.7

Wann wird der Wert 2835?: f(t)=2835

1 800 + 1 369 e^{- 0,04 t}

=

2 835

$1 369 e^{- 0,04 t} + 1 800$	=	$2 835$	\| $- 1 800$
$1 369 e^{- 0,04 t}$	=	$1 035$	\|: $1 369$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{1035}{1369}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{1035}{1369})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{1035}{1369})$	≈ 6.992

also t=7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $4 e^{- 0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,09$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,09}$ ≈ 7.702 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

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Exponentielles Wachstum mit Prozent

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