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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 9 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 18,124 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 13 Stunden? b) Wann waren es 12 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $9 e^{k \cdot 10}$ = 18,1238.

$9 e^{10 k}$	=	$18,1238$	\|: $9$
$e^{10 k}$	=	$2,0138$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (2,0138)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (2,0138)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.070002348449938, => f(t)= $9 e^{0,07 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $9 e^{0,07 \cdot 13}$ ≈ 22.4

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

$9 e^{0,07 t}$	=	$12$	\|: $9$
$e^{0,07 t}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$0,07 t$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $0,07$
$t$	=	$\frac{1}{0,07} \ln (\frac{4}{3})$	≈ 4.1097

also t=4.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 890 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 9g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 1625 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 7,2g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $9 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{890}$ ≈ -0.00077881705680893

=> f(t)= $9 e^{- 0,0008 t}$

Wert zur Zeit 1625: f(1625)= $9 e^{- 0,0008 \cdot 1625}$ ≈ 2.5

Wann wird der Wert 7.2?: f(t)=7.2

$9 e^{- 0,0008 t}$	=	$7,2$	\|: $9$
$e^{- 0,0008 t}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 0,0008 t$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 0,0008$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0008} \ln (0,8)$	≈ 286.4487

also t=286.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 15% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 10 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 16 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.15) ≈ 0.13976194237516

=> f(t)= $10 e^{0,1398 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $10 e^{0,1398 \cdot 3}$ ≈ 15.2

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

$10 e^{0,1398 t}$	=	$16$	\|: $10$
$e^{0,1398 t}$	=	$\frac{8}{5}$	\|ln(⋅)
$0,1398 t$	=	$\ln (\frac{8}{5})$	\|: $0,1398$
$t$	=	$\frac{1}{0,1398} \ln (\frac{8}{5})$	≈ 3.362

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 64° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 53,99° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 64 ist, gilt: f(0)= 64, also 64 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$64$	=	$20 - c$
$64$	=	$- c + 20$	\| $- 64$ $+ c$
$c$	=	$- 44$

somit gilt: f(t)= $20 + 44 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 44 e^{- k \cdot 5}$ = 53,99.

20 + 44 e^{- 5 k}

=

53,9942

$44 e^{- 5 k} + 20$	=	$53,9942$	\| $- 20$
$44 e^{- 5 k}$	=	$33,9942$	\|: $44$
$e^{- 5 k}$	=	$0,7726$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,7726)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,7726)$	≈ 0.0516

also k ≈ 0.051598765749991, => f(t)= $20 + 44 e^{- 0,0516 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 44 e^{- 0,0516 \cdot 3}$ ≈ 57.7

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 44 e^{- 0,0516 t}

=

50

$44 e^{- 0,0516 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$44 e^{- 0,0516 t}$	=	$30$	\|: $44$
$e^{- 0,0516 t}$	=	$\frac{15}{22}$	\|ln(⋅)
$- 0,0516 t$	=	$\ln (\frac{15}{22})$	\|: $- 0,0516$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0516} \ln (\frac{15}{22})$	≈ 7.4223

also t=7.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 4ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 10% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 6 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 5ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 4 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{4}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(40 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=40 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $40 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$40 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
0	=	$40 - c$
0	=	$- c + 40$	\|0 $+ c$
$c$	=	$40$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $40 - 40 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $40 - 40 e^{- 0,1 \cdot 6}$ ≈ 18

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

40 - 40 e^{- 0,1 t}

=

5

$- 40 e^{- 0,1 t} + 40$	=	$5$	\| $- 40$
$- 40 e^{- 0,1 t}$	=	$- 35$	\|: $- 40$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{7}{8}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{7}{8})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{7}{8})$	≈ 1.3353

also t=1.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $3 e^{0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,07$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.