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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 14g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 11,694g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 11g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $14 e^{k \cdot 9}$ = 11,6938.

$14 e^{9 k}$	=	$11,6938$	\|: $14$
$e^{9 k}$	=	$0,8353$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (0,8353)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (0,8353)$	≈ -0.02

also k ≈ -0.01999603746892, => f(t)= $14 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $14 e^{- 0,02 \cdot 11}$ ≈ 11.2

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

$14 e^{- 0,02 t}$	=	$11$	\|: $14$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{11}{14}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{11}{14})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{11}{14})$	≈ 12.0581

also t=12.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 973 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 17g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 646 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 13,6g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{973}$ ≈ -0.00071238148053437

=> f(t)= $17 e^{- 0,0007 t}$

Wert zur Zeit 646: f(646)= $17 e^{- 0,0007 \cdot 646}$ ≈ 10.7

Wann wird der Wert 13.6?: f(t)=13.6

$17 e^{- 0,0007 t}$	=	$13,6$	\|: $17$
$e^{- 0,0007 t}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 0,0007 t$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 0,0007$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0007} \ln (0,8)$	≈ 313.4039

also t=313.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 13% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 5 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 3 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.87) ≈ -0.13926206733351

=> f(t)= $5 e^{- 0,1393 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $5 e^{- 0,1393 \cdot 4}$ ≈ 2.9

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$5 e^{- 0,1393 t}$	=	$3$	\|: $5$
$e^{- 0,1393 t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,1393 t$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $- 0,1393$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1393} \ln (\frac{3}{5})$	≈ 3.6671

also t=3.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 16,16°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 18°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$10$	=	$27 - c$
$10$	=	$- c + 27$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$17$

somit gilt: f(t)= $27 - 17 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $27 - 17 e^{- k \cdot 5}$ = 16,16.

27 - 17 e^{- 5 k}

=

16,1603

$- 17 e^{- 5 k} + 27$	=	$16,1603$	\| $- 27$
$- 17 e^{- 5 k}$	=	$- 10,8397$	\|: $- 17$
$e^{- 5 k}$	=	$0,6376$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,6376)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,6376)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.090008830301226, => f(t)= $27 - 17 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $27 - 17 e^{- 0,09 \cdot 6}$ ≈ 17.1

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

27 - 17 e^{- 0,09 t}

=

18

$- 17 e^{- 0,09 t} + 27$	=	$18$	\| $- 27$
$- 17 e^{- 0,09 t}$	=	$- 9$	\|: $- 17$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{9}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{9}{17})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{9}{17})$	≈ 7.0665

also t=7.1

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 1% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 3252 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 69 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 10 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3290 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 69 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{69}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(6900 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=6900 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $6 900 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3252 ein (Punktprobe).

$3 252$	=	$6 900 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$3 252$	=	$6 900 - c$
$3 252$	=	$- c + 6 900$	\| $- 3 252$ $+ c$
$c$	=	$3 648$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $6 900 - 3 648 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $6 900 - 3 648 e^{- 0,01 \cdot 10}$ ≈ 3599.2

Wann wird der Wert 3290?: f(t)=3290

6 900 - 3 648 e^{- 0,01 t}

=

3 290

$- 3 648 e^{- 0,01 t} + 6 900$	=	$3 290$	\| $- 6 900$
$- 3 648 e^{- 0,01 t}$	=	$- 3 610$	\|: $- 3 648$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{95}{96}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{95}{96})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{95}{96})$	≈ 1.0471

also t=1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $13 e^{- 0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,03$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.