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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 7g vorhanden. Nach 6 Tagen sind nur noch 5,186g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 7 Tagen da? b) Wann sind nur noch 4g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $7 e^{k \cdot 6}$ = 5,1857.

$7 e^{6 k}$	=	$5,1857$	\|: $7$
$e^{6 k}$	=	$0,7408$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (0,7408)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (0,7408)$	≈ -0.05

also k ≈ -0.050004099275028, => f(t)= $7 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $7 e^{- 0,05 \cdot 7}$ ≈ 4.9

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$7 e^{- 0,05 t}$	=	$4$	\|: $7$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{4}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{4}{7})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{4}{7})$	≈ 11.1923

also t=11.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 15 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 20-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 45 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 100-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{15}$ ≈ 0.04620981203733

=> f(t)= $20 e^{0,04621 t}$

Wert zur Zeit 45: f(45)= $20 e^{0,04621 \cdot 45}$ ≈ 160

Wann wird der Wert 100?: f(t)=100

$20 e^{0,04621 t}$	=	$100$	\|: $20$
$e^{0,04621 t}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$0,04621 t$	=	$\ln (5)$	\|: $0,04621$
$t$	=	$\frac{1}{0,04621} \ln (5)$	≈ 34.8288

also t=34.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 8% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 17 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 21 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.08) ≈ 0.076961041136128

=> f(t)= $17 e^{0,077 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $17 e^{0,077 \cdot 4}$ ≈ 23.1

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

$17 e^{0,077 t}$	=	$21$	\|: $17$
$e^{0,077 t}$	=	$\frac{21}{17}$	\|ln(⋅)
$0,077 t$	=	$\ln (\frac{21}{17})$	\|: $0,077$
$t$	=	$\frac{1}{0,077} \ln (\frac{21}{17})$	≈ 2.7443

also t=2.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 28°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 7,6°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 5 Minuten? b) Wann ist sie 19°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=28 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $28 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $28 - c$ = $28 - c$

$5$	=	$28 - c$
$5$	=	$- c + 28$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$23$

somit gilt: f(t)= $28 - 23 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $28 - 23 e^{- k \cdot 4}$ = 7,6.

28 - 23 e^{- 4 k}

=

7,6008

$- 23 e^{- 4 k} + 28$	=	$7,6008$	\| $- 28$
$- 23 e^{- 4 k}$	=	$- 20,3992$	\|: $- 23$
$e^{- 4 k}$	=	$0,8869$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,8869)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,8869)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.030005760649933, => f(t)= $28 - 23 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $28 - 23 e^{- 0,03 \cdot 5}$ ≈ 8.2

Wann wird der Wert 19?: f(t)=19

28 - 23 e^{- 0,03 t}

=

19

$- 23 e^{- 0,03 t} + 28$	=	$19$	\| $- 28$
$- 23 e^{- 0,03 t}$	=	$- 9$	\|: $- 23$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{9}{23}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{9}{23})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0,03} \ln (\frac{9}{23})$	≈ 31.2757

also t=31.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 12 Jahren, wenn jedes Jahr 0,4 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 46 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.4 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{0.4}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(40 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=40 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $40 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$40 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$80$	=	$40 - c$
$80$	=	$- c + 40$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $40 + 40 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $40 + 40 e^{- 0,01 \cdot 12}$ ≈ 75.5

Wann wird der Wert 46?: f(t)=46

40 + 40 e^{- 0,01 t}

=

46

$40 e^{- 0,01 t} + 40$	=	$46$	\| $- 40$
$40 e^{- 0,01 t}$	=	$6$	\|: $40$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{3}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{3}{20})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{3}{20})$	≈ 189.712

also t=189.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $13 e^{0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,01$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,01}$ ≈ 69.315 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.