Mathebattle EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 14 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 38,056 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 13 Stunden? b) Wann waren es 27 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $14 e^{k \cdot 10}$ = 38,0559.

$14 e^{10 k}$	=	$38,0559$	\|: $14$
$e^{10 k}$	=	$2,7183$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (2,7183)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (2,7183)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.1000006684914, => f(t)= $14 e^{0,1 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $14 e^{0,1 \cdot 13}$ ≈ 51.4

Wann wird der Wert 27?: f(t)=27

$14 e^{0,1 t}$	=	$27$	\|: $14$
$e^{0,1 t}$	=	$\frac{27}{14}$	\|ln(⋅)
$0,1 t$	=	$\ln (\frac{27}{14})$	\|: $0,1$
$t$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (\frac{27}{14})$	≈ 6.5678

also t=6.6

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 95 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 10 Pa beträgt?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 95: f(95)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 95}$ ≈ 1.1

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$10$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$500 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (500 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (500 000)$	≈ 113.9678

also t=114

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 12% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 15 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 4 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.88) ≈ -0.12783337150988

=> f(t)= $15 e^{- 0,1278 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $15 e^{- 0,1278 \cdot 4}$ ≈ 9

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$15 e^{- 0,1278 t}$	=	$4$	\|: $15$
$e^{- 0,1278 t}$	=	$\frac{4}{15}$	\|ln(⋅)
$- 0,1278 t$	=	$\ln (\frac{4}{15})$	\|: $- 0,1278$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1278} \ln (\frac{4}{15})$	≈ 10.3424

also t=10.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 32°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 2 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 8,53°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 4 Minuten? b) Wann ist sie 18°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=32 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $32 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $32 - c$ = $32 - c$

$5$	=	$32 - c$
$5$	=	$- c + 32$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$27$

somit gilt: f(t)= $32 - 27 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $32 - 27 e^{- k \cdot 2}$ = 8,53.

32 - 27 e^{- 2 k}

=

8,5273

$- 27 e^{- 2 k} + 32$	=	$8,5273$	\| $- 32$
$- 27 e^{- 2 k}$	=	$- 23,4727$	\|: $- 27$
$e^{- 2 k}$	=	$0,8694$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,8694)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,8694)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.069975980213723, => f(t)= $32 - 27 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $32 - 27 e^{- 0,07 \cdot 4}$ ≈ 11.6

Wann wird der Wert 18?: f(t)=18

32 - 27 e^{- 0,07 t}

=

18

$- 27 e^{- 0,07 t} + 32$	=	$18$	\| $- 32$
$- 27 e^{- 0,07 t}$	=	$- 14$	\|: $- 27$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{14}{27}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{14}{27})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{14}{27})$	≈ 9.3826

also t=9.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 2ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 5 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 89ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 2 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{2}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(100 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=100 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $100 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$100 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
0	=	$100 - c$
0	=	$- c + 100$	\|0 $+ c$
$c$	=	$100$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $100 - 100 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 - 100 e^{- 0,02 \cdot 5}$ ≈ 9.5

Wann wird der Wert 89?: f(t)=89

100 - 100 e^{- 0,02 t}

=

89

$- 100 e^{- 0,02 t} + 100$	=	$89$	\| $- 100$
$- 100 e^{- 0,02 t}$	=	$- 11$	\|: $- 100$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{11}{100}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{11}{100})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{11}{100})$	≈ 110.3637

also t=110.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $5 e^{- 0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,09$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.