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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 7 Millionen Algen im Teich. Nach 9 Stunden sind es 9,17 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 11 Stunden? b) Wann waren es 8 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $7 e^{k \cdot 9}$ = 9,1698.

$7 e^{9 k}$	=	$9,1698$	\|: $7$
$e^{9 k}$	=	$1,31$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (1,31)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (1,31)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.030003015245896, => f(t)= $7 e^{0,03 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $7 e^{0,03 \cdot 11}$ ≈ 9.7

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$7 e^{0,03 t}$	=	$8$	\|: $7$
$e^{0,03 t}$	=	$\frac{8}{7}$	\|ln(⋅)
$0,03 t$	=	$\ln (\frac{8}{7})$	\|: $0,03$
$t$	=	$\frac{1}{0,03} \ln (\frac{8}{7})$	≈ 4.451

also t=4.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 112 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 8g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 317 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 4,8g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{112}$ ≈ -0.0061888141121424

=> f(t)= $8 e^{- 0,0062 t}$

Wert zur Zeit 317: f(317)= $8 e^{- 0,0062 \cdot 317}$ ≈ 1.1

Wann wird der Wert 4.8?: f(t)=4.8

$8 e^{- 0,0062 t}$	=	$4,8$	\|: $8$
$e^{- 0,0062 t}$	=	$0,6$	\|ln(⋅)
$- 0,0062 t$	=	$\ln (0,6)$	\|: $- 0,0062$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0062} \ln (0,6)$	≈ 82.5377

also t=82.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 9% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 3 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 64% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.91) ≈ -0.094310679471241

=> f(t)= $100 e^{- 0,0943 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $100 e^{- 0,0943 \cdot 3}$ ≈ 75.4

Wann wird der Wert 64?: f(t)=64

$100 e^{- 0,0943 t}$	=	$64$	\|: $100$
$e^{- 0,0943 t}$	=	$\frac{16}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,0943 t$	=	$\ln (\frac{16}{25})$	\|: $- 0,0943$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0943} \ln (\frac{16}{25})$	≈ 4.7326

also t=4.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 25°C wird eine Limo aus einem 4° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 17,27°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 13 Minuten? b) Wann ist sie 13°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=25 sein muss.

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $25 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $25 - c$ = $25 - c$

$4$	=	$25 - c$
$4$	=	$- c + 25$	\| $- 4$ $+ c$
$c$	=	$21$

somit gilt: f(t)= $25 - 21 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $25 - 21 e^{- k \cdot 10}$ = 17,27.

25 - 21 e^{- 10 k}

=

17,2745

$- 21 e^{- 10 k} + 25$	=	$17,2745$	\| $- 25$
$- 21 e^{- 10 k}$	=	$- 7,7255$	\|: $- 21$
$e^{- 10 k}$	=	$0,3679$	\|ln(⋅)
$- 10 k$	=	$\ln (0,3679)$	\|: $- 10$
$k$	=	$- \frac{1}{10} \ln (0,3679)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.099994411687141, => f(t)= $25 - 21 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $25 - 21 e^{- 0,1 \cdot 13}$ ≈ 19.3

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

25 - 21 e^{- 0,1 t}

=

13

$- 21 e^{- 0,1 t} + 25$	=	$13$	\| $- 25$
$- 21 e^{- 0,1 t}$	=	$- 12$	\|: $- 21$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{4}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{4}{7})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{4}{7})$	≈ 5.5962

also t=5.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 2% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2528 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 62 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 5 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2953 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 62 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{62}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(3100 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=3100 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $3 100 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2528 ein (Punktprobe).

$2 528$	=	$3 100 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
$2 528$	=	$3 100 - c$
$2 528$	=	$- c + 3 100$	\| $- 2 528$ $+ c$
$c$	=	$572$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $3 100 - 572 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $3 100 - 572 e^{- 0,02 \cdot 5}$ ≈ 2582.4

Wann wird der Wert 2953?: f(t)=2953

3 100 - 572 e^{- 0,02 t}

=

2 953

$- 572 e^{- 0,02 t} + 3 100$	=	$2 953$	\| $- 3 100$
$- 572 e^{- 0,02 t}$	=	$- 147$	\|: $- 572$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{147}{572}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{147}{572})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{147}{572})$	≈ 67.9353

also t=67.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $9 e^{- 0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,09$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.