Mathebattle EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 15g vorhanden. Nach 8 Tagen sind nur noch 12,782g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 13g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= $15 e^{k \cdot 8}$ = 12,7822.

$15 e^{8 k}$	=	$12,7822$	\|: $15$
$e^{8 k}$	=	$0,8521$	\|ln(⋅)
$8 k$	=	$\ln (0,8521)$	\|: $8$
$k$	=	$\frac{1}{8} \ln (0,8521)$	≈ -0.02

also k ≈ -0.020006423518528, => f(t)= $15 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $15 e^{- 0,02 \cdot 10}$ ≈ 12.3

Wann wird der Wert 13?: f(t)=13

$15 e^{- 0,02 t}$	=	$13$	\|: $15$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{13}{15}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{13}{15})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{13}{15})$	≈ 7.155

also t=7.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 173 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 4g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 397 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 3,6g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{173}$ ≈ -0.0040066311015026

=> f(t)= $4 e^{- 0,004 t}$

Wert zur Zeit 397: f(397)= $4 e^{- 0,004 \cdot 397}$ ≈ 0.8

Wann wird der Wert 3.6?: f(t)=3.6

$4 e^{- 0,004 t}$	=	$3,6$	\|: $4$
$e^{- 0,004 t}$	=	$0,9$	\|ln(⋅)
$- 0,004 t$	=	$\ln (0,9)$	\|: $- 0,004$
$t$	=	$- \frac{1}{0,004} \ln (0,9)$	≈ 26.2941

also t=26.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 17% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 16 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 5 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.83) ≈ -0.18632957819149

=> f(t)= $16 e^{- 0,1863 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $16 e^{- 0,1863 \cdot 5}$ ≈ 6.3

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$16 e^{- 0,1863 t}$	=	$5$	\|: $16$
$e^{- 0,1863 t}$	=	$\frac{5}{16}$	\|ln(⋅)
$- 0,1863 t$	=	$\ln (\frac{5}{16})$	\|: $- 0,1863$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1863} \ln (\frac{5}{16})$	≈ 6.2434

also t=6.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 19,21°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 10 Minuten? b) Wann ist sie 28°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$7$	=	$29 - c$
$7$	=	$- c + 29$	\| $- 7$ $+ c$
$c$	=	$22$

somit gilt: f(t)= $29 - 22 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $29 - 22 e^{- k \cdot 9}$ = 19,21.

29 - 22 e^{- 9 k}

=

19,2131

$- 22 e^{- 9 k} + 29$	=	$19,2131$	\| $- 29$
$- 22 e^{- 9 k}$	=	$- 9,7869$	\|: $- 22$
$e^{- 9 k}$	=	$0,4449$	\|ln(⋅)
$- 9 k$	=	$\ln (0,4449)$	\|: $- 9$
$k$	=	$- \frac{1}{9} \ln (0,4449)$	≈ 0.09

also k ≈ 0.089989526796682, => f(t)= $29 - 22 e^{- 0,09 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $29 - 22 e^{- 0,09 \cdot 10}$ ≈ 20.1

Wann wird der Wert 28?: f(t)=28

29 - 22 e^{- 0,09 t}

=

28

$- 22 e^{- 0,09 t} + 29$	=	$28$	\| $- 29$
$- 22 e^{- 0,09 t}$	=	$- 1$	\|: $- 22$
$e^{- 0,09 t}$	=	$\frac{1}{22}$	\|ln(⋅)
$- 0,09 t$	=	$\ln (\frac{1}{22})$	\|: $- 0,09$
$t$	=	$- \frac{1}{0,09} \ln (\frac{1}{22})$	≈ 34.3449

also t=34.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 2ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 8% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 12 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 10ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 2 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{2}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(25 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=25 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $25 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$25 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
0	=	$25 - c$
0	=	$- c + 25$	\|0 $+ c$
$c$	=	$25$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $25 - 25 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $25 - 25 e^{- 0,08 \cdot 12}$ ≈ 15.4

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

25 - 25 e^{- 0,08 t}

=

10

$- 25 e^{- 0,08 t} + 25$	=	$10$	\| $- 25$
$- 25 e^{- 0,08 t}$	=	$- 15$	\|: $- 25$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{3}{5})$	≈ 6.3853

also t=6.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $4 e^{- 0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,03$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.