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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 8 Millionen Algen im Teich. Nach 2 Stunden sind es 9,02 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 5 Stunden? b) Wann waren es 12 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $8 e^{k \cdot 2}$ = 9,02.

$8 e^{2 k}$	=	$9,02$	\|: $8$
$e^{2 k}$	=	$1,1275$	\|ln(⋅)
$2 k$	=	$\ln (1,1275)$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2} \ln (1,1275)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.060001396197348, => f(t)= $8 e^{0,06 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $8 e^{0,06 \cdot 5}$ ≈ 10.8

Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

$8 e^{0,06 t}$	=	$12$	\|: $8$
$e^{0,06 t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,06 t$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $0,06$
$t$	=	$\frac{1}{0,06} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 6.7578

also t=6.8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 14 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 5-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 26 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 5,56-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $5 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{14}$ ≈ 0.049510512897139

=> f(t)= $5 e^{0,0495 t}$

Wert zur Zeit 26: f(26)= $5 e^{0,0495 \cdot 26}$ ≈ 18.1

Wann wird der Wert 5.56?: f(t)=5.56

$5 e^{0,0495 t}$	=	$5,56$	\|: $5$
$e^{0,0495 t}$	=	$1,112$	\|ln(⋅)
$0,0495 t$	=	$\ln (1,112)$	\|: $0,0495$
$t$	=	$\frac{1}{0,0495} \ln (1,112)$	≈ 2.1442

also t=2.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 13% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 15 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 25 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.13) ≈ 0.12221763272425

=> f(t)= $15 e^{0,1222 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $15 e^{0,1222 \cdot 3}$ ≈ 21.6

Wann wird der Wert 25?: f(t)=25

$15 e^{0,1222 t}$	=	$25$	\|: $15$
$e^{0,1222 t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$0,1222 t$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $0,1222$
$t$	=	$\frac{1}{0,1222} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 4.1802

also t=4.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 4 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 13,02°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 10°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$7$	=	$29 - c$
$7$	=	$- c + 29$	\| $- 7$ $+ c$
$c$	=	$22$

somit gilt: f(t)= $29 - 22 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $29 - 22 e^{- k \cdot 4}$ = 13,02.

29 - 22 e^{- 4 k}

=

13,0247

$- 22 e^{- 4 k} + 29$	=	$13,0247$	\| $- 29$
$- 22 e^{- 4 k}$	=	$- 15,9753$	\|: $- 22$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7262$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7262)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7262)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.079982455000475, => f(t)= $29 - 22 e^{- 0,08 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $29 - 22 e^{- 0,08 \cdot 6}$ ≈ 15.4

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

29 - 22 e^{- 0,08 t}

=

10

$- 22 e^{- 0,08 t} + 29$	=	$10$	\| $- 29$
$- 22 e^{- 0,08 t}$	=	$- 19$	\|: $- 22$
$e^{- 0,08 t}$	=	$\frac{19}{22}$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (\frac{19}{22})$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0,08} \ln (\frac{19}{22})$	≈ 1.8325

also t=1.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 5% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2135 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 74 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 10 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1563 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 74 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{74}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(1480 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=1480 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $1 480 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2135 ein (Punktprobe).

$2 135$	=	$1 480 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
$2 135$	=	$1 480 - c$
$2 135$	=	$- c + 1 480$	\| $- 2 135$ $+ c$
$c$	=	$- 655$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $1 480 + 655 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $1 480 + 655 e^{- 0,05 \cdot 10}$ ≈ 1877.3

Wann wird der Wert 1563?: f(t)=1563

1 480 + 655 e^{- 0,05 t}

=

1 563

$655 e^{- 0,05 t} + 1 480$	=	$1 563$	\| $- 1 480$
$655 e^{- 0,05 t}$	=	$83$	\|: $655$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{83}{655}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{83}{655})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{83}{655})$	≈ 41.3159

also t=41.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $10 e^{- 0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,02$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.