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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 17 Millionen Algen im Teich. Nach 7 Stunden sind es 22,493 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 10 Stunden? b) Wann waren es 22 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $17 e^{k \cdot 7}$ = 22,4932.

$17 e^{7 k}$	=	$22,4932$	\|: $17$
$e^{7 k}$	=	$1,3231$	\|ln(⋅)
$7 k$	=	$\ln (1,3231)$	\|: $7$
$k$	=	$\frac{1}{7} \ln (1,3231)$	≈ 0.04

also k ≈ 0.039996781152318, => f(t)= $17 e^{0,04 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $17 e^{0,04 \cdot 10}$ ≈ 25.4

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

$17 e^{0,04 t}$	=	$22$	\|: $17$
$e^{0,04 t}$	=	$\frac{22}{17}$	\|ln(⋅)
$0,04 t$	=	$\ln (\frac{22}{17})$	\|: $0,04$
$t$	=	$\frac{1}{0,04} \ln (\frac{22}{17})$	≈ 6.4457

also t=6.4

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 15 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 15-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 15 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 21,43-Tausend Euro gestiegen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{15}$ ≈ 0.04620981203733

=> f(t)= $15 e^{0,04621 t}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $15 e^{0,04621 \cdot 15}$ ≈ 30

Wann wird der Wert 21.43?: f(t)=21.43

$15 e^{0,04621 t}$	=	$21,43$	\|: $15$
$e^{0,04621 t}$	=	$1,4287$	\|ln(⋅)
$0,04621 t$	=	$\ln (1,4287)$	\|: $0,04621$
$t$	=	$\frac{1}{0,04621} \ln (1,4287)$	≈ 7.7205

also t=7.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 2% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 14 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 15 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.02) ≈ 0.01980262729618

=> f(t)= $14 e^{0,0198 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $14 e^{0,0198 \cdot 2}$ ≈ 14.6

Wann wird der Wert 15?: f(t)=15

$14 e^{0,0198 t}$	=	$15$	\|: $14$
$e^{0,0198 t}$	=	$\frac{15}{14}$	\|ln(⋅)
$0,0198 t$	=	$\ln (\frac{15}{14})$	\|: $0,0198$
$t$	=	$\frac{1}{0,0198} \ln (\frac{15}{14})$	≈ 3.4845

also t=3.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 52° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 40 e^{- k \cdot 2}$ = 52.

20 + 40 e^{- 2 k}

=

51,9982

$40 e^{- 2 k} + 20$	=	$51,9982$	\| $- 20$
$40 e^{- 2 k}$	=	$31,9982$	\|: $40$
$e^{- 2 k}$	=	$0,8$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,8)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,8)$	≈ 0.1116

also k ≈ 0.1115717756571, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,1116 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 40 e^{- 0,1116 \cdot 3}$ ≈ 48.6

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,1116 t}

=

50

$40 e^{- 0,1116 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,1116 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,1116 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,1116 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,1116$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1116} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 2.5778

also t=2.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,4% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 13 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 53 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.014⋅f(t)

wenn man 0.014 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.014( $\frac{0.6}{0.014}$ - f(t))

also f'(t) = 0.014(42.86 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=42.86 und der Wachstumsfaktor k=0.014 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $42,86 - c \cdot e^{- 0,014 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$42,86 - c \cdot e^{- 0,014 \cdot 0}$
$80$	=	$42,86 - c$
$80$	=	$- c + 42,86$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 37,14$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $42,86 + 37,14 e^{- 0,014 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $42,86 + 37,14 e^{- 0,014 \cdot 13}$ ≈ 73.8

Wann wird der Wert 53?: f(t)=53

42,86 + 37,14 e^{- 0,014 t}

=

53

$37,14 e^{- 0,014 t} + 42,86$	=	$53$	\| $- 42,86$
$37,14 e^{- 0,014 t}$	=	$10,14$	\|: $37,14$
$e^{- 0,014 t}$	=	$0,273$	\|ln(⋅)
$- 0,014 t$	=	$\ln (0,273)$	\|: $- 0,014$
$t$	=	$- \frac{1}{0,014} \ln (0,273)$	≈ 92.7345

also t=92.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{- 0,01 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,01$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,01$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,01}$ ≈ 69.315 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.