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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 19 Millionen Algen im Teich. Nach 9 Stunden sind es 20,789 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 11 Stunden? b) Wann waren es 20 Milionen Algen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 19 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= 19 e k · 9 = 20,7893.

19 e 9k = 20,7893 |:19
e 9k = 1,0942 |ln(⋅)
9k = ln( 1,0942 ) |:9
k = 1 9 ln( 1,0942 ) ≈ 0.01

also k ≈ 0.010002611405288, => f(t)= 19 e 0,01t


Wert zur Zeit 11: f(11)= 19 e 0,0111 ≈ 21.2


Wann wird der Wert 20?: f(t)=20

19 e 0,01t = 20 |:19
e 0,01t = 20 19 |ln(⋅)
0,01t = ln( 20 19 ) |:0,01
t = 1 0,01 ln( 20 19 ) ≈ 5.1293

also t=5.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 12 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 7-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 34 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 23,33-Tausend Euro gestiegen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 7 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel TV= ln(2) k um zu
k= ln(2) T = ln(2) 12 ≈ 0.057762265046662


=> f(t)= 7 e 0,0578t


Wert zur Zeit 34: f(34)= 7 e 0,057834 ≈ 49.9


Wann wird der Wert 23.33?: f(t)=23.33

7 e 0,0578t = 23,33 |:7
e 0,0578t = 3,3329 |ln(⋅)
0,0578t = ln( 3,3329 ) |:0,0578
t = 1 0,0578 ln( 3,3329 ) ≈ 20.8414

also t=20.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 20% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 3 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 3 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.8) ≈ -0.22314355131421


=> f(t)= 3 e -0,2231t


Wert zur Zeit 3: f(3)= 3 e -0,22313 ≈ 1.5


Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

3 e -0,2231t = 1 |:3
e -0,2231t = 1 3 |ln(⋅)
-0,2231t = ln( 1 3 ) |:-0,2231
t = - 1 0,2231 ln( 1 3 ) ≈ 4.9243

also t=4.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 8 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 9,38°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 9 Minuten? b) Wann ist sie 23°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = 26 - c · e -k · 0 = 26 - c = 26 - c

8 = 26 - c
8 = -c +26 | -8 + c
c = 18

somit gilt: f(t)= 26 -18 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(8)= 26 -18 e -k · 8 = 9,38.

26 -18 e -8k = 9,3839
-18 e -8k +26 = 9,3839 | -26
-18 e -8k = -16,6161 |:-18
e -8k = 0,9231 |ln(⋅)
-8k = ln( 0,9231 ) |:-8
k = - 1 8 ln( 0,9231 ) ≈ 0.01

also k ≈ 0.010002213498254, => f(t)= 26 -18 e -0,01t


Wert zur Zeit 9: f(9)= 26 -18 e -0,019 ≈ 9.5


Wann wird der Wert 23?: f(t)=23

26 -18 e -0,01t = 23
-18 e -0,01t +26 = 23 | -26
-18 e -0,01t = -3 |:-18
e -0,01t = 1 6 |ln(⋅)
-0,01t = ln( 1 6 ) |:-0,01
t = - 1 0,01 ln( 1 6 ) ≈ 179.1759

also t=179.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 5ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 5 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 207ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 5 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( 5 0.02 - f(t))

also f'(t) = 0.02(250 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=250 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 250 - c · e -0,02t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0 = 250 - c · e -0,020
0 = 250 - c
0 = -c +250 |0 + c
c = 250

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 250 -250 e -0,02x


Wert zur Zeit 5: f(5)= 250 -250 e -0,025 ≈ 23.8


Wann wird der Wert 207?: f(t)=207

250 -250 e -0,02t = 207
-250 e -0,02t +250 = 207 | -250
-250 e -0,02t = -43 |:-250
e -0,02t = 43 250 |ln(⋅)
-0,02t = ln( 43 250 ) |:-0,02
t = - 1 0,02 ln( 43 250 ) ≈ 88.013

also t=88

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 4 e -0,06t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (-0,06 ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = -0,06 einfach in die Formel TH = - ln(2) k ein:

TH = - ln(2) -0,06 11.552 min