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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 9 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 18,124 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 13 Stunden? b) Wann waren es 12 Milionen Algen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 9 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= 9 e k · 10 = 18,1238.

9 e 10k = 18,1238 |:9
e 10k = 2,0138 |ln(⋅)
10k = ln( 2,0138 ) |:10
k = 1 10 ln( 2,0138 ) ≈ 0.07

also k ≈ 0.070002348449938, => f(t)= 9 e 0,07t


Wert zur Zeit 13: f(13)= 9 e 0,0713 ≈ 22.4


Wann wird der Wert 12?: f(t)=12

9 e 0,07t = 12 |:9
e 0,07t = 4 3 |ln(⋅)
0,07t = ln( 4 3 ) |:0,07
t = 1 0,07 ln( 4 3 ) ≈ 4.1097

also t=4.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 890 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 9g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 1625 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 7,2g Gaußium da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 9 ist, gilt: f(0)= 9, also 9 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 9 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel TH= -ln(2) k um zu
k= -ln(2) T = -ln(2) 890 ≈ -0.00077881705680893


=> f(t)= 9 e -0,0008t


Wert zur Zeit 1625: f(1625)= 9 e -0,00081625 ≈ 2.5


Wann wird der Wert 7.2?: f(t)=7.2

9 e -0,0008t = 7,2 |:9
e -0,0008t = 0,8 |ln(⋅)
-0,0008t = ln( 0,8 ) |:-0,0008
t = - 1 0,0008 ln( 0,8 ) ≈ 286.4487

also t=286.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 15% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 10 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 16 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 10 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.15) ≈ 0.13976194237516


=> f(t)= 10 e 0,1398t


Wert zur Zeit 3: f(3)= 10 e 0,13983 ≈ 15.2


Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

10 e 0,1398t = 16 |:10
e 0,1398t = 8 5 |ln(⋅)
0,1398t = ln( 8 5 ) |:0,1398
t = 1 0,1398 ln( 8 5 ) ≈ 3.362

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 64° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 53,99° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 64 ist, gilt: f(0)= 64, also 64 = 20 - c · e -k · 0 = 20 - c = 20 - c

64 = 20 - c
64 = -c +20 | -64 + c
c = -44

somit gilt: f(t)= 20 +44 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= 20 +44 e -k · 5 = 53,99.

20 +44 e -5k = 53,9942
44 e -5k +20 = 53,9942 | -20
44 e -5k = 33,9942 |:44
e -5k = 0,7726 |ln(⋅)
-5k = ln( 0,7726 ) |:-5
k = - 1 5 ln( 0,7726 ) ≈ 0.0516

also k ≈ 0.051598765749991, => f(t)= 20 +44 e -0,0516t


Wert zur Zeit 3: f(3)= 20 +44 e -0,05163 ≈ 57.7


Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 +44 e -0,0516t = 50
44 e -0,0516t +20 = 50 | -20
44 e -0,0516t = 30 |:44
e -0,0516t = 15 22 |ln(⋅)
-0,0516t = ln( 15 22 ) |:-0,0516
t = - 1 0,0516 ln( 15 22 ) ≈ 7.4223

also t=7.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 4ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 10% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 6 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 5ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 4 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( 4 0.1 - f(t))

also f'(t) = 0.1(40 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=40 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 40 - c · e -0,1t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0 = 40 - c · e -0,10
0 = 40 - c
0 = -c +40 |0 + c
c = 40

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 40 -40 e -0,1x


Wert zur Zeit 6: f(6)= 40 -40 e -0,16 ≈ 18


Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

40 -40 e -0,1t = 5
-40 e -0,1t +40 = 5 | -40
-40 e -0,1t = -35 |:-40
e -0,1t = 7 8 |ln(⋅)
-0,1t = ln( 7 8 ) |:-0,1
t = - 1 0,1 ln( 7 8 ) ≈ 1.3353

also t=1.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 3 e 0,07t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (0,07 ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = 0,07 einfach in die Formel TV = ln(2) k ein:

TV = ln(2) 0,07 9.902 min