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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 17g vorhanden. Nach 10 Tagen sind nur noch 8,442g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 13 Tagen da? b) Wann sind nur noch 11g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $17 e^{k \cdot 10}$ = 8,442.

$17 e^{10 k}$	=	$8,442$	\|: $17$
$e^{10 k}$	=	$0,4966$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (0,4966)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (0,4966)$	≈ -0.07

also k ≈ -0.069997040590807, => f(t)= $17 e^{- 0,07 t}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $17 e^{- 0,07 \cdot 13}$ ≈ 6.8

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

$17 e^{- 0,07 t}$	=	$11$	\|: $17$
$e^{- 0,07 t}$	=	$\frac{11}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,07 t$	=	$\ln (\frac{11}{17})$	\|: $- 0,07$
$t$	=	$- \frac{1}{0,07} \ln (\frac{11}{17})$	≈ 6.2188

also t=6.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 13 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 17-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 10 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 85-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{13}$ ≈ 0.053319013889227

=> f(t)= $17 e^{0,0533 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $17 e^{0,0533 \cdot 10}$ ≈ 29

Wann wird der Wert 85?: f(t)=85

$17 e^{0,0533 t}$	=	$85$	\|: $17$
$e^{0,0533 t}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$0,0533 t$	=	$\ln (5)$	\|: $0,0533$
$t$	=	$\frac{1}{0,0533} \ln (5)$	≈ 30.1851

also t=30.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 18% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 12 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.82) ≈ -0.19845093872384

=> f(t)= $12 e^{- 0,1985 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $12 e^{- 0,1985 \cdot 3}$ ≈ 6.6

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$12 e^{- 0,1985 t}$	=	$1$	\|: $12$
$e^{- 0,1985 t}$	=	$\frac{1}{12}$	\|ln(⋅)
$- 0,1985 t$	=	$\ln (\frac{1}{12})$	\|: $- 0,1985$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1985} \ln (\frac{1}{12})$	≈ 12.5184

also t=12.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 31°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 6 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 13,96°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 7 Minuten? b) Wann ist sie 24°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=31 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $31 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $31 - c$ = $31 - c$

$8$	=	$31 - c$
$8$	=	$- c + 31$	\| $- 8$ $+ c$
$c$	=	$23$

somit gilt: f(t)= $31 - 23 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $31 - 23 e^{- k \cdot 6}$ = 13,96.

31 - 23 e^{- 6 k}

=

13,9612

$- 23 e^{- 6 k} + 31$	=	$13,9612$	\| $- 31$
$- 23 e^{- 6 k}$	=	$- 17,0388$	\|: $- 23$
$e^{- 6 k}$	=	$0,7408$	\|ln(⋅)
$- 6 k$	=	$\ln (0,7408)$	\|: $- 6$
$k$	=	$- \frac{1}{6} \ln (0,7408)$	≈ 0.05

also k ≈ 0.050004099275028, => f(t)= $31 - 23 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $31 - 23 e^{- 0,05 \cdot 7}$ ≈ 14.8

Wann wird der Wert 24?: f(t)=24

31 - 23 e^{- 0,05 t}

=

24

$- 23 e^{- 0,05 t} + 31$	=	$24$	\| $- 31$
$- 23 e^{- 0,05 t}$	=	$- 7$	\|: $- 23$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{7}{23}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{7}{23})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{7}{23})$	≈ 23.7917

also t=23.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 5 Jahren, wenn jedes Jahr 0,4 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 74 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.4 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{0.4}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(40 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=40 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $40 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$40 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
$80$	=	$40 - c$
$80$	=	$- c + 40$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $40 + 40 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $40 + 40 e^{- 0,01 \cdot 5}$ ≈ 78

Wann wird der Wert 74?: f(t)=74

40 + 40 e^{- 0,01 t}

=

74

$40 e^{- 0,01 t} + 40$	=	$74$	\| $- 40$
$40 e^{- 0,01 t}$	=	$34$	\|: $40$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{17}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{17}{20})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{17}{20})$	≈ 16.2519

also t=16.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $16 e^{- 0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,09$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,09}$ ≈ 7.702 min

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

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