Mathebattle EduRandomtasks

Innenwinkel im Dreieck

Beispiel:

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A $(1 | 3 | -3)$ , B $(0 | 1 | -7)$ und C $(0 | 2 | 1)$ . Berechne den Innenwinkel des Dreiecks im Punkt A.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Winkel zwischen den Vektoren $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -1 \\ -2 \\ -4 \end{matrix})$ und $\vec{AC}$ = $(\begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 4 \end{matrix})$

cos(α) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{| \vec{AB} | \cdot | \vec{AC} |} = \frac{(-1) \cdot (-1) + (-2) \cdot (-1) + (-4) \cdot 4}{\sqrt{{(-1)}^{2} + {(-2)}^{2} + {(-4)}^{2}}⋅\sqrt{{(-1)}^{2} + {(-1)}^{2} + 4^{2}}} = \frac{-13}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{18}} \approx -0.6686

also $α \approx 132 °$

Winkel zwischen zwei Vektoren

Beispiel:

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren $\vec{u}$ = $(\begin{matrix} 7 \\ -2 \\ 5 \end{matrix})$ und $\vec{v}$ = $(\begin{matrix} -4 \\ -3 \\ 1 \end{matrix})$

Lösung einblenden

Wir bilden (wie immer bei Winkeln) das Sklarprodukt der beiden Vektoren, also von $(\begin{matrix} 7 \\ -2 \\ 5 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} -4 \\ -3 \\ 1 \end{matrix})$ und teilen dieses durch die Längen der Vektoren.

Der Betrag des normierten Skalarprodukts ist gleich dem cos des gesuchten Winkels zwischen den Ebenen.

Wir berechnen den Winkel zwischen den Vektoren $\vec{u}$ = $(\begin{matrix} 7 \\ -2 \\ 5 \end{matrix})$ und $\vec{v}$ = $(\begin{matrix} -4 \\ -3 \\ 1 \end{matrix})$

cos(α) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | \cdot | \vec{v} |} = \frac{7 \cdot (-4) + (-2) \cdot (-3) + 5 \cdot 1}{\sqrt{7^{2} + {(-2)}^{2} + 5^{2}}⋅\sqrt{{(-4)}^{2} + {(-3)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{-17}{\sqrt{78} \cdot \sqrt{26}} \approx -0.3775

also $α \approx 112.2 °$

Winkel zwischen 2 Geraden

Beispiel:

Berechne den Winkel unter dem sich die Geraden
g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 2 \\ -4 \end{matrix})$ und h: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -5 \\ 2 \\ -7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})$ schneiden.

Lösung einblenden

Wir bilden (wie immer bei Winkeln) das Sklarprodukt von den Richtungsvektoren der beiden Geraden, also von

(\begin{matrix} -5 \\ 2 \\ -4 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

, und teilen dieses durch die Längen der Vektoren. (Um immer den kleineren der beiden Schnittwinkel α und (180°-α) zu erhalten, muss davon immer noch der Betrag genommen werden.)
Der Betrag des normierten Skalarprodukts ist gleich dem cos des gesuchten Winkels zwischen den sich schneidenden Geraden.

cos(α) =

\frac{| (\begin{matrix} -5 \\ 2 \\ -4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} -5 \\ 2 \\ -4 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) |}

=

\frac{| (-5) \cdot 3 + 2 \cdot 4 + (-4) \cdot 0 |}{\sqrt{{(-5)}^{2} + 2^{2} + {(-4)}^{2}} \cdot \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0^{2}}}

= \frac{| -7 |}{\sqrt{45} \cdot \sqrt{25}} \approx 0.2087

also Schnittwinkel $α \approx 78 °$

Winkel zwischen 2 Ebenen

Beispiel:

Berechne den Winkel zwischen den Ebenen
E: $-5 x_{1} + 3 x_{2} - 2 x_{3} = 30$ und F: $- x_{1} + x_{2} + 3 x_{3} = -3$

Lösung einblenden

Wir bilden (wie immer bei Winkeln) das Sklarprodukt von den Normalenvektoren der beiden Ebenen, also von $(\begin{matrix} -5 \\ 3 \\ -2 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})$ , und teilen dieses durch die Längen der Vektoren. (Um immer den kleineren der beiden Schnittwinkel α und (180°-α) zu erhalten, muss davon immer noch der Betrag genommen werden.)

Der Betrag des normierten Skalarprodukts ist gleich dem cos des gesuchten Winkels zwischen den Ebenen (weil dieser ja gleich ist, wie der zwischen den Normalenvektoren).

cos(α) =

\frac{| (\begin{matrix} -5 \\ 3 \\ -2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} -5 \\ 3 \\ -2 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) |}

\frac{| (-5) \cdot (-1) + 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 3 |}{\sqrt{{(-5)}^{2} + 3^{2} + {(-2)}^{2}} \cdot \sqrt{{(-1)}^{2} + 1^{2} + 3^{2}}}

= \frac{| 2 |}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{11}} \approx 0.0978

also Schnittwinkel $α \approx 84.4 °$

Winkel zwischen Ebene und Gerade

Beispiel:

Berechne den Winkel zwischen der Ebene
E: $x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} = -2$ und der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})$

Lösung einblenden

Wir bilden (wie immer bei Winkeln) das Sklarprodukt,
diesesmal von Normalenvektor der Ebene

(\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix})

mit dem Richtungsvektor der Geraden

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})

, und teilen dieses durch die Längen der Vektoren. (Um immer den kleineren der beiden Schnittwinkel α und (180°-α) zu erhalten, muss davon immer noch der Betrag genommen werden.)
Da wir so ja eigentlich den Winkel zwischen Normalenvektor und Gerade berechnen würden, müssen wir das diesesmal = sin(α) setzen.

sin(α) =

\frac{| (\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) |}

=

\frac{| 1 \cdot 5 + (-2) \cdot 3 + 1 \cdot 2 |}{\sqrt{1^{2} + {(-2)}^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{5^{2} + 3^{2} + 2^{2}}}

= \frac{| 1 |}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{38}} \approx 0.0662

also Schnittwinkel $α \approx 3.8 °$

Winkel zwischen 2 Ebenen

Beispiel:

Berechne den Winkel zwischen den Ebenen
E: $9 x_{1} - x_{2} + x_{3} = -18$ und F: $x_{1} + 7 x_{2} - 3 x_{3} = -21$

Lösung einblenden

Wir bilden (wie immer bei Winkeln) das Sklarprodukt von den Normalenvektoren der beiden Ebenen, also von $(\begin{matrix} 9 \\ -1 \\ 1 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ -3 \end{matrix})$ , und teilen dieses durch die Längen der Vektoren. (Um immer den kleineren der beiden Schnittwinkel α und (180°-α) zu erhalten, muss davon immer noch der Betrag genommen werden.)

Der Betrag des normierten Skalarprodukts ist gleich dem cos des gesuchten Winkels zwischen den Ebenen (weil dieser ja gleich ist, wie der zwischen den Normalenvektoren).

cos(α) =

\frac{| (\begin{matrix} 9 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ -3 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} 9 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ -3 \end{matrix}) |}

\frac{| 9 \cdot 1 + (-1) \cdot 7 + 1 \cdot (-3) |}{\sqrt{9^{2} + {(-1)}^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 7^{2} + {(-3)}^{2}}}

= \frac{| -1 |}{\sqrt{83} \cdot \sqrt{59}} \approx 0.0143

also Schnittwinkel $α \approx 89.2 °$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Innenwinkel im Dreieck

Winkel zwischen zwei Vektoren

Winkel zwischen 2 Geraden

Winkel zwischen 2 Ebenen

Winkel zwischen Ebene und Gerade

Winkel zwischen 2 Ebenen