Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+0$

= $8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot 2$

= $16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $16$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 2^2+1$ = $4\cdot 4+1$ = $16+1$ = $17$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $17$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$17$ = $16$⋅ $2$ + c

$17$ = $32$ + c | $-32$

$-15$ = c

also c= $-15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $16$⋅x $-15$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{2}{3}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-x^2-\frac{2}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-{\left(-1\right)}^2-\frac{2}{3}$

= $-1-\frac{2}{3}$

= $-\frac{3}{3}-\frac{2}{3}$

= $-\frac{5}{3}$

≈ -1.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{5}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot {\left(-1\right)}^3-\frac{2}{3}\cdot \left(-1\right)$ = $-\frac{1}{3}\cdot \left(-1\right)+\frac{2}{3}$ = $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $-\frac{5}{3}$⋅( $-1$) + c

$1$ = $\frac{5}{3}$ + c | $-\frac{5}{3}$

$-\frac{2}{3}$ = c

also c= $-\frac{2}{3}$ ≈ -0.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{5}{3}$⋅x $-\frac{2}{3}$ oder y=-1.67x -0.67

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-x+0$

= $-x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\left(-2\right)$

= $2$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-1$ = $-\frac{1}{2}\cdot 4-1$ = $-2-1$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $-\frac{1}{2}$⋅( $-2$) + c

$-3$ = $1$ + c | $-1$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{2}$⋅x $-4$

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3-x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-1$

f'(-3) = $\frac{3}{2}\cdot {\left(-3\right)}^2-1$ = $\frac{3}{2}\cdot 9-1$ = $\frac{27}{2}-1$ = $\frac{25}{2}$ ≈ 12.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $\frac{25}{2}$)) ≈ 85.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+4x-3$ ab:

f'(x) = $x+4$

Es muss gelten:

$x+4$	=	$-1$	| $-4$
$x$	=	$-5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2-5$

= $3\cdot 1-5$

= $3-5$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3-5\cdot 1$ = $1-5$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $-2$⋅ $1$ + c

$-4$ = $-2$ + c | + $2$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x $-2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-2x-2$

$-2x-2$	=	0	| $+2$
$-2x$	=	$2$	|:($-2$)
$x$	=	$-1$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-1$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $15-\frac{1}{4}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{2}t$

= $-\frac{1}{2}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 3$

= $-\frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{2}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $15-\frac{1}{4}\cdot 3^2$ = $15-\frac{1}{4}\cdot 9$ = $15-\frac{9}{4}$ = $\frac{60}{4}-\frac{9}{4}$ = $\frac{51}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{51}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{51}{4}$ = $-\frac{3}{2}$⋅3 + c

$\frac{51}{4}$ = $-\frac{9}{2}$ + c | + $\frac{9}{2}$

$\frac{69}{4}$ = c

also c= $\frac{69}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{2}$⋅t + $\frac{69}{4}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{3}{2}t+\frac{69}{4}$

$-\frac{3}{2}t+\frac{69}{4}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{2}t+\frac{69}{4}\right)$	=	0
$-6t+69$	=	0	| $-69$
$-6t$	=	$-69$	|:($-6$)
$t$	=	$\frac{23}{2}$ = 11.5

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{23}{2}$ ≈ 11.5.