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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} + 4 x^{2}$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} + 4 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 8 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $3 \cdot {(- 1)}^{2} + 8 \cdot (- 1)$

= $3 \cdot 1 - 8$

= $3 - 8$

= $- 5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 5$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ ${(- 1)}^{3} + 4 \cdot {(- 1)}^{2}$ = $(- 1) + 4 \cdot 1$ = $- 1 + 4$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $- 5$ ⋅( $- 1$ ) + c

$3$ = $5$ + c | $- 5$

$- 2$ = c

also c= $- 2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 5$ ⋅x $- 2$

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{2} - x$ an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{2} - x$ ,
also

$f'(x) =$ $- 2 x - 1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $- 2 \cdot 0 - 1$

= $0 - 1$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $- 0^{2} - 0$ = $- 0 + 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $- 1$ ⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅x +0

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 4$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 4$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x + 0$

= $3 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $3 \cdot (- 1)$

= $- 3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{3}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $\frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 4$ = $\frac{3}{2} \cdot 1 - 4$ = $\frac{3}{2} - 4$ = $\frac{3}{2} - \frac{8}{2}$ = $- \frac{5}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- \frac{5}{2}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- \frac{5}{2}$ = $\frac{1}{3}$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- \frac{5}{2}$ = $- \frac{1}{3}$ + c | + $\frac{1}{3}$

$- \frac{13}{6}$ = c

also c= $- \frac{13}{6}$ ≈ -2.17

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{3}$ ⋅x $- \frac{13}{6}$ oder y=0.33x -2.17

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{4} + 2 x - 2$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{4} + 2 x - 2$

=> $f'(x) =$ $- 6 x^{3} + 2 + 0$

f'(2) = $- 6 \cdot 2^{3} + 2$ = $- 6 \cdot 8 + 2$ = $- 48 + 2$ = $- 46$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $- 46$ )) ≈ -88.8°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - 52 x - 4$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - 52 x - 4$ ab:

f'(x) = $2 x^{3} - 52$

Es muss gelten:

$2 x^{3} - 52$	=	$2$	\| $+ 52$
$2 x^{3}$	=	$54$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} + 4$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} + 4$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 0$

= $3 x^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $3 \cdot 1^{2}$

= $3 \cdot 1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $1^{3} + 4$ = $1 + 4$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $3$ ⋅ $1$ + c

$5$ = $3$ + c | $- 3$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$ ⋅x + $2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $3 x + 2$

$3 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$3 x$	=	$- 2$	\|: $3$
$x$	=	$- \frac{2}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67.

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Das Wasservolumen in einem Wassertank lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $13 - \frac{1}{4} t^{2}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m³).
Nach 2 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate des Wasservolumens konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=2s hatte.
Wann ist der Tank leer?

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Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $13 - \frac{1}{4} t^{2}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{1}{2} t$

= $- \frac{1}{2} t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 2$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $13 - \frac{1}{4} \cdot 2^{2}$ = $13 - \frac{1}{4} \cdot 4$ = $13 - 1$ = $12$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $12$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$12$ = $- 1$ ⋅2 + c

$12$ = $- 2$ + c | + $2$

$14$ = c

also c= $14$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅t + $14$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- t + 14$

$- t + 14$	=	0	\| $- 14$
$- t$	=	$- 14$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$14$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $14$ .

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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung