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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} + 3$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 x^{2} + 3$ ,
also

$f'(x) =$ $8 x + 0$

= $8 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $8 \cdot 1$

= $8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $8$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $4 \cdot 1^{2} + 3$ = $4 \cdot 1 + 3$ = $4 + 3$ = $7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $7$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7$ = $8$ ⋅ $1$ + c

$7$ = $8$ + c | $- 8$

$- 1$ = c

also c= $- 1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $8$ ⋅x $- 1$

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} - 2 x$ an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $2 x^{2} - 2 x$ ,
also

$f'(x) =$ $4 x - 2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $4 \cdot 0 - 2$

= $0 - 2$

= $- 2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 2$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $2 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0$ = $2 \cdot 0 + 0$ = $0 + 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $- 2$ ⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 2$ ⋅x +0

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x$ an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x$ ,
also

$f'(x) =$ $- x + \frac{1}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $- 0 + \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0.33

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- 3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- 3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{1}{3} \cdot 0$ = $- \frac{1}{2} \cdot 0 + 0$ = $0 + 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $- 3$ ⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- 3$ ⋅x +0

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{4} - 2 x + 4$ im Punkt P(-1|f(-1)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{4} - 2 x + 4$

=> $f'(x) =$ $6 x^{3} - 2 + 0$

f'(-1) = $6 \cdot {(- 1)}^{3} - 2$ = $6 \cdot (- 1) - 2$ = $- 6 - 2$ = $- 8$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $- 8$ )) ≈ -82.9°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{16} x^{4} - 14 x + 4$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{16} x^{4} - 14 x + 4$ ab:

f'(x) = $- \frac{1}{4} x^{3} - 14$

Es muss gelten:

$- \frac{1}{4} x^{3} - 14$	=	$2$	\| $+ 14$
$- \frac{1}{4} x^{3}$	=	$16$	\|⋅ $(- 4)$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} + 3$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} + 3$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 0$

= $3 x^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $3 \cdot 1^{2}$

= $3 \cdot 1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $1^{3} + 3$ = $1 + 3$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $3$ ⋅ $1$ + c

$4$ = $3$ + c | $- 3$

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$ ⋅x + $1$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $3 x + 1$

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
$x$	=	$- \frac{1}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33.

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Das Wasservolumen in einem Wassertank lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $5 - \frac{1}{12} t^{4}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m³).
Nach 2 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate des Wasservolumens konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=2s hatte.
Wann ist der Tank leer?

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Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $5 - \frac{1}{12} t^{4}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{1}{3} t^{3}$

= $- \frac{1}{3} t^{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- \frac{1}{3} \cdot 2^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 8$

= $- \frac{8}{3}$

≈ -2.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{8}{3}$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $5 - \frac{1}{12} \cdot 2^{4}$ = $5 - \frac{1}{12} \cdot 16$ = $5 - \frac{4}{3}$ = $\frac{15}{3} - \frac{4}{3}$ = $\frac{11}{3}$ ≈ 3.67

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $\frac{11}{3}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{11}{3}$ = $- \frac{8}{3}$ ⋅2 + c

$\frac{11}{3}$ = $- \frac{16}{3}$ + c | + $\frac{16}{3}$

$9$ = c

also c= $9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{8}{3}$ ⋅t + $9$ oder y=-2.67t +9

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- \frac{8}{3} t + 9$

$- \frac{8}{3} t + 9$	=	0	\|⋅ 3
$3 (- \frac{8}{3} t + 9)$	=	0
$- 8 t + 27$	=	0	\| $- 27$
$- 8 t$	=	$- 27$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$\frac{27}{8}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{27}{8}$ ≈ 3.38.

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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung