Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^3-x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $12x^2-2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $12\cdot 1^2-2\cdot 1$

= $12\cdot 1-2$

= $12-2$

= $10$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $10$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 1^3-1^2$ = $4\cdot 1-1$ = $4-1$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $10$⋅ $1$ + c

$3$ = $10$ + c | $-10$

$-7$ = c

also c= $-7$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $10$⋅x $-7$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{9}{x}^3+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3}{x}^2+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{4}{3}\cdot 1^2+1$

= $-\frac{4}{3}\cdot 1+1$

= $-\frac{4}{3}+1$

= $-\frac{4}{3}+\frac{3}{3}$

= $-\frac{1}{3}$

≈ -0.33

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{4}{9}\cdot 1^3+1$ = $-\frac{4}{9}\cdot 1+1$ = $-\frac{4}{9}+1$ = $-\frac{4}{9}+\frac{9}{9}$ = $\frac{5}{9}$ ≈ 0.56

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $\frac{5}{9}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{5}{9}$ = $-\frac{1}{3}$⋅ $1$ + c

$\frac{5}{9}$ = $-\frac{1}{3}$ + c | + $\frac{1}{3}$

$\frac{8}{9}$ = c

also c= $\frac{8}{9}$ ≈ 0.89

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{1}{3}$⋅x + $\frac{8}{9}$ oder y=-0.33x +0.89

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{6}{x}^3+\frac{3}{2}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{1}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2+\frac{3}{2}$

= $\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{3}{2}$

= $\frac{1}{2}+\frac{3}{2}$

= $2$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{6}\cdot {\left(-1\right)}^3+\frac{3}{2}\cdot \left(-1\right)$ = $\frac{1}{6}\cdot \left(-1\right)-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{6}-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{6}-\frac{9}{6}$ = $-\frac{5}{3}$ ≈ -1.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-\frac{5}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{5}{3}$ = $-\frac{1}{2}$⋅( $-1$) + c

$-\frac{5}{3}$ = $\frac{1}{2}$ + c | $-\frac{1}{2}$

$-\frac{13}{6}$ = c

also c= $-\frac{13}{6}$ ≈ -2.17

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{2}$⋅x $-\frac{13}{6}$ oder y=-0.5x -2.17

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^4-2x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3-4x$

f'(2) = $4\cdot 2^3-4\cdot 2$ = $4\cdot 8-8$ = $32-8$ = $24$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $24$)) ≈ 87.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-56x-6$ ab:

f'(x) = $2x^3-56$

Es muss gelten:

$2x^3-56$	=	$-2$	| $+56$
$2x^3$	=	$54$	|:$2$
$x^3$	=	$27$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+0$

= $8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot \left(-2\right)$

= $-16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-16$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot {\left(-2\right)}^2-1$ = $4\cdot 4-1$ = $16-1$ = $15$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $15$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$15$ = $-16$⋅( $-2$) + c

$15$ = $32$ + c | $-32$

$-17$ = c

also c= $-17$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-16$⋅x $-17$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-16x-17$

$-16x-17$	=	0	| $+17$
$-16x$	=	$17$	|:($-16$)
$x$	=	$-\frac{17}{16}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{17}{16}$ ≈ -1.06.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $10-\frac{1}{8}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{4}t$

= $-\frac{1}{4}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 4$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $10-\frac{1}{8}\cdot 4^2$ = $10-\frac{1}{8}\cdot 16$ = $10-2$ = $8$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $8$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$8$ = $-1$⋅4 + c

$8$ = $-4$ + c | + $4$

$12$ = c

also c= $12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅t + $12$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-t+12$

$-t+12$	=	0	| $-12$
$-t$	=	$-12$	|:($-1$)
$t$	=	$12$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $12$.