Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x+0$

= $-8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot \left(-2\right)$

= $16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $16$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-2\right)}^2-5$ = $-4\cdot 4-5$ = $-16-5$ = $-21$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-21$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-21$ = $16$⋅( $-2$) + c

$-21$ = $-32$ + c | + $32$

$11$ = c

also c= $11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $16$⋅x + $11$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x+0$

= $-3x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot 2$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot 2^2-1$ = $-\frac{3}{2}\cdot 4-1$ = $-6-1$ = $-7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-7$ = $-6$⋅ $2$ + c

$-7$ = $-12$ + c | + $12$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x + $5$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^3-\frac{1}{2}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $12x^2-x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $12\cdot 1^2-1$

= $12\cdot 1-1$

= $12-1$

= $11$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{11}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{11}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 1^3-\frac{1}{2}\cdot 1^2$ = $4\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 1$ = $4-\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}-\frac{1}{2}$ = $\frac{7}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $\frac{7}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{7}{2}$ = $-\frac{1}{11}$⋅ $1$ + c

$\frac{7}{2}$ = $-\frac{1}{11}$ + c | + $\frac{1}{11}$

$\frac{79}{22}$ = c

also c= $\frac{79}{22}$ ≈ 3.59

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{11}$⋅x + $\frac{79}{22}$ oder y=-0.09x +3.59

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x-6$

=>$\text{f'(x)}=$ $x-\frac{3}{2}+0$

f'(3) = $3-\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}-\frac{3}{2}$ = $3-\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $\frac{3}{2}$)) ≈ 56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{10}{x}^4-48x+3$ ab:

f'(x) = $-\frac{2}{5}{x}^3-48$

Es muss gelten:

$-\frac{2}{5}{x}^3-48$	=	$2$	| $+48$
$-\frac{2}{5}{x}^3$	=	$50$	|⋅ $\left(-\frac{5}{2}\right)$
$x^3$	=	$-125$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{125}$	= $-5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-4x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2-8\cdot 1$

= $3\cdot 1-8$

= $3-8$

= $-5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3-4\cdot 1^2$ = $1-4\cdot 1$ = $1-4$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $-5$⋅ $1$ + c

$-3$ = $-5$ + c | + $5$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-5$⋅x + $2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-5x+2$

$-5x+2$	=	0	| $-2$
$-5x$	=	$-2$	|:($-5$)
$x$	=	$\frac{2}{5}$ = 0.4

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{2}{5}$ ≈ 0.4.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $7-\frac{1}{8}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{4}t$

= $-\frac{1}{4}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 4$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $7-\frac{1}{8}\cdot 4^2$ = $7-\frac{1}{8}\cdot 16$ = $7-2$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $-1$⋅4 + c

$5$ = $-4$ + c | + $4$

$9$ = c

also c= $9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅t + $9$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-t+9$

$-t+9$	=	0	| $-9$
$-t$	=	$-9$	|:($-1$)
$t$	=	$9$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $9$.