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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} - x^{2}$ an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 x^{3} - x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $12 x^{2} - 2 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $12 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0$

= $12 \cdot 0 + 0$

= $0 + 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $4 \cdot 0^{3} - 0^{2}$ = $4 \cdot 0 - 0$ = $0 + 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x$ ,
also

$f'(x) =$ $- 4 x + \frac{1}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- 4 \cdot 2 + \frac{1}{3}$

= $- 8 + \frac{1}{3}$

= $- \frac{24}{3} + \frac{1}{3}$

= $- \frac{23}{3}$

≈ -7.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{23}{3}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $- 2 \cdot 2^{2} + \frac{1}{3} \cdot 2$ = $- 2 \cdot 4 + \frac{2}{3}$ = $- 8 + \frac{2}{3}$ = $- \frac{24}{3} + \frac{2}{3}$ = $- \frac{22}{3}$ ≈ -7.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $- \frac{22}{3}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- \frac{22}{3}$ = $- \frac{23}{3}$ ⋅ $2$ + c

$- \frac{22}{3}$ = $- \frac{46}{3}$ + c | + $\frac{46}{3}$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{23}{3}$ ⋅x + $8$ oder y=-7.67x +8

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} + 2$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 x^{3} + 2$ ,
also

$f'(x) =$ $12 x^{2} + 0$

= $12 x^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $12 \cdot {(- 1)}^{2}$

= $12 \cdot 1$

= $12$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- \frac{1}{12}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- \frac{1}{12}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $4 \cdot {(- 1)}^{3} + 2$ = $4 \cdot (- 1) + 2$ = $- 4 + 2$ = $- 2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- 2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 2$ = $- \frac{1}{12}$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- 2$ = $\frac{1}{12}$ + c | $- \frac{1}{12}$

$- \frac{25}{12}$ = c

also c= $- \frac{25}{12}$ ≈ -2.08

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- \frac{1}{12}$ ⋅x $- \frac{25}{12}$ oder y=-0.08x -2.08

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{3} - 3 x^{2} - 5$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{3} - 3 x^{2} - 5$

=> $f'(x) =$ $\frac{9}{2} x^{2} - 6 x + 0$

f'(2) = $\frac{9}{2} \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2$ = $\frac{9}{2} \cdot 4 - 12$ = $18 - 12$ = $6$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $6$ )) ≈ 80.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - x - 1$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - x - 1$ ab:

f'(x) = $x^{3} - 1$

Es muss gelten:

$x^{3} - 1$	=	$- 2$	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 3 x - 6$ im Punkt B(0|f(0)) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $2 x^{2} + 3 x - 6$ ,
also

$f'(x) =$ $4 x + 3 + 0$

= $4 x + 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $4 \cdot 0 + 3$

= $0 + 3$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $2 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0 - 6$ = $2 \cdot 0 + 0 - 6$ = $0 + 0 - 6$ = $- 6$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $- 6$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 6$ = $3$ ⋅0 + c

$- 6$ = 0 + c

$- 6$ = c

also c= $- 6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$ ⋅x $- 6$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $3 x - 6$

$3 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $2$ .

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Radfahrers lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $6 - \frac{1}{4} t^{2}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m/s).
Nach 2 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=2s hatte.
Wann kommt der Radfahrer zum Stillstand?

Lösung einblenden

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $6 - \frac{1}{4} t^{2}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{1}{2} t$

= $- \frac{1}{2} t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 2$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $6 - \frac{1}{4} \cdot 2^{2}$ = $6 - \frac{1}{4} \cdot 4$ = $6 - 1$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $- 1$ ⋅2 + c

$5$ = $- 2$ + c | + $2$

$7$ = c

also c= $7$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅t + $7$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- t + 7$

$- t + 7$	=	0	\| $- 7$
$- t$	=	$- 7$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$7$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $7$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung