Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^3-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9x^2+0$

= $9x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $9\cdot 1^2$

= $9\cdot 1$

= $9$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $9$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 1^3-5$ = $3\cdot 1-5$ = $3-5$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $9$⋅ $1$ + c

$-2$ = $9$ + c | $-9$

$-11$ = c

also c= $-11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $9$⋅x $-11$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2-2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $8\cdot 2-2$

= $16-2$

= $14$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $14$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 2^2-2\cdot 2$ = $4\cdot 4-4$ = $16-4$ = $12$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $12$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$12$ = $14$⋅ $2$ + c

$12$ = $28$ + c | $-28$

$-16$ = c

also c= $-16$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $14$⋅x $-16$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^3-\frac{1}{2}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2-x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-9\cdot 1^2-1$

= $-9\cdot 1-1$

= $-9-1$

= $-10$

Um mit der Tangentsteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n=-

also m_n= $\frac{1}{10}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y=$\frac{1}{10}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 1^3-\frac{1}{2}\cdot 1^2$ = $-3\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 1$ = $-3-\frac{1}{2}$ = $-3-\mathrm{0,5}$ = $-\mathrm{3,5}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-\mathrm{3,5}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\mathrm{3,5}$ = $\frac{1}{10}$⋅ $1$ + c

$-\mathrm{3,5}$ = $\frac{1}{10}$ + c | $-\frac{1}{10}$

$-\frac{18}{5}$ = c

also c= $-\frac{18}{5}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y=$\frac{1}{10}$⋅x $-\frac{18}{5}$

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^3+2x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2}{x}^2+4x$

f'(-2) = $\frac{9}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)$ = $\frac{9}{2}\cdot 4-8$ = $18-8$ = $10$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $10$)) ≈ 84.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+14x+5$ ab:

f'(x) = $2x+14$

Es muss gelten:

$2x+14$	=	$2$	| $-14$
$2x$	=	$-12$	|:$2$
$x$	=	$-6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+0$

= $-4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot 1$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 1^2-1$ = $-2\cdot 1-1$ = $-2-1$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $-4$⋅ $1$ + c

$-3$ = $-4$ + c | + $4$

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x + $1$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-4x+1$

$-4x+1$	=	0	| $-1$
$-4x$	=	$-1$	|:($-4$)
$x$	=	$\frac{1}{4}$ = 0.25

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei x = $\frac{1}{4}$ ≈ 0.25.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $8-\frac{1}{8}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{2}{t}^3$

= $-\frac{1}{2}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(2)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2^3$

= $-\frac{1}{2}\cdot 8$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $8-\frac{1}{8}\cdot 2^4$ = $8-\frac{1}{8}\cdot 16$ = $8-2$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $-4$⋅2 + c

$6$ = $-8$ + c | + $8$

$14$ = c

also c= $14$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅t + $14$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-4t+14$

$-4t+14$	=	0	| $-14$
$-4t$	=	$-14$	|:($-4$)
$t$	=	$\frac{7}{2}$ = 3.5

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei t = $\frac{7}{2}$ ≈ 3.5.