Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^3-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x^2+0$

= $6x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $6\cdot 0^2$

= $6\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $2\cdot 0^3-1$ = $2\cdot 0-1$ = $0-1$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = 0⋅0 + c

$-1$ = 0 + c

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $-1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^3-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x^2+0$

= $-2x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-1\right)}^2$

= $-2\cdot 1$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{2}{3}\cdot {\left(-1\right)}^3-5$ = $-\frac{2}{3}\cdot \left(-1\right)-5$ = $\frac{2}{3}-5$ = $\frac{2}{3}-\frac{15}{3}$ = $-\frac{13}{3}$ ≈ -4.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-\frac{13}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{13}{3}$ = $-2$⋅( $-1$) + c

$-\frac{13}{3}$ = $2$ + c | $-2$

$-\frac{19}{3}$ = c

also c= $-\frac{19}{3}$ ≈ -6.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x $-\frac{19}{3}$ oder y=-2x -6.33

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x+0$

= $-3x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot \left(-1\right)$

= $3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2-2$ = $-\frac{3}{2}\cdot 1-2$ = $-\frac{3}{2}-2$ = $-\frac{3}{2}-\frac{4}{2}$ = $-\frac{7}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-\frac{7}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{7}{2}$ = $-\frac{1}{3}$⋅( $-1$) + c

$-\frac{7}{2}$ = $\frac{1}{3}$ + c | $-\frac{1}{3}$

$-\frac{23}{6}$ = c

also c= $-\frac{23}{6}$ ≈ -3.83

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{3}$⋅x $-\frac{23}{6}$ oder y=-0.33x -3.83

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^3-x-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^2-1+0$

f'(3) = $\frac{3}{4}\cdot 3^2-1$ = $\frac{3}{4}\cdot 9-1$ = $\frac{27}{4}-1$ = $\frac{23}{4}$ ≈ 5.75

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $\frac{23}{4}$)) ≈ 80.1°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-2x-4$ ab:

f'(x) = $x-2$

Es muss gelten:

$x-2$	=	$-1$	| $+2$
$x$	=	$1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+0$

= $-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot 1$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 1^2+1$ = $-3\cdot 1+1$ = $-3+1$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $-6$⋅ $1$ + c

$-2$ = $-6$ + c | + $6$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x + $4$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-6x+4$

$-6x+4$	=	0	| $-4$
$-6x$	=	$-4$	|:($-6$)
$x$	=	$\frac{2}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $9-\frac{1}{28}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{3}{28}{t}^2$

= $-\frac{3}{28}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{3}{28}\cdot 4^2$

= $-\frac{3}{28}\cdot 16$

= $-\frac{12}{7}$

≈ -1.71

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{12}{7}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $9-\frac{1}{28}\cdot 4^3$ = $9-\frac{1}{28}\cdot 64$ = $9-\frac{16}{7}$ = $\frac{63}{7}-\frac{16}{7}$ = $\frac{47}{7}$ ≈ 6.71

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $\frac{47}{7}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{47}{7}$ = $-\frac{12}{7}$⋅4 + c

$\frac{47}{7}$ = $-\frac{48}{7}$ + c | + $\frac{48}{7}$

$\frac{95}{7}$ = c

also c= $\frac{95}{7}$ ≈ 13.57

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{12}{7}$⋅t + $\frac{95}{7}$ oder y=-1.71t +13.57

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{12}{7}t+\frac{95}{7}$

$-\frac{12}{7}t+\frac{95}{7}$	=	0	|⋅ 7
$7\left(-\frac{12}{7}t+\frac{95}{7}\right)$	=	0
$-12t+95$	=	0	| $-95$
$-12t$	=	$-95$	|:($-12$)
$t$	=	$\frac{95}{12}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{95}{12}$ ≈ 7.92.