Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^3-2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-15x^2-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-15\cdot 2^2-2$

= $-15\cdot 4-2$

= $-60-2$

= $-62$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-62$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot 2^3-2\cdot 2$ = $-5\cdot 8-4$ = $-40-4$ = $-44$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-44$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-44$ = $-62$⋅ $2$ + c

$-44$ = $-124$ + c | + $124$

$80$ = c

also c= $80$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-62$⋅x + $80$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^2+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3}x+0$

= $-\frac{4}{3}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{4}{3}\cdot \left(-2\right)$

= $\frac{8}{3}$

≈ 2.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{8}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{2}{3}\cdot {\left(-2\right)}^2+4$ = $-\frac{2}{3}\cdot 4+4$ = $-\frac{8}{3}+4$ = $-\frac{8}{3}+\frac{12}{3}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $\frac{4}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{4}{3}$ = $\frac{8}{3}$⋅( $-2$) + c

$\frac{4}{3}$ = $-\frac{16}{3}$ + c | + $\frac{16}{3}$

$\frac{20}{3}$ = c

also c= $\frac{20}{3}$ ≈ 6.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{8}{3}$⋅x + $\frac{20}{3}$ oder y=2.67x +6.67

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2+5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 1+5$

= $-\frac{1}{2}+5$

= $-\frac{1}{2}+\frac{10}{2}$

= $\frac{9}{2}$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{2}{9}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{2}{9}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 1^2+5\cdot 1$ = $-\frac{1}{4}\cdot 1+5$ = $-\frac{1}{4}+5$ = $-\frac{1}{4}+\frac{20}{4}$ = $\frac{19}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $\frac{19}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{19}{4}$ = $-\frac{2}{9}$⋅ $1$ + c

$\frac{19}{4}$ = $-\frac{2}{9}$ + c | + $\frac{2}{9}$

$\frac{179}{36}$ = c

also c= $\frac{179}{36}$ ≈ 4.97

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{2}{9}$⋅x + $\frac{179}{36}$ oder y=-0.22x +4.97

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^3-3x^2+5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2}{x}^2-6x+0$

f'(-2) = $-\frac{9}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-6\cdot \left(-2\right)$ = $-\frac{9}{2}\cdot 4+12$ = $-18+12$ = $-6$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-6$)) ≈ -80.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-20x-5$ ab:

f'(x) = $3x-20$

Es muss gelten:

$3x-20$	=	$1$	| $+20$
$3x$	=	$21$	|:$3$
$x$	=	$7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2-3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $4\cdot 1-3$

= $4-3$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2\cdot 1^2-3\cdot 1$ = $2\cdot 1-3$ = $2-3$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $1$⋅ $1$ + c

$-1$ = $1$ + c | $-1$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x $-2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $x-2$

$x-2$	=	0	| $+2$
$x$	=	$2$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $2$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $12-\frac{1}{8}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{2}{t}^3$

= $-\frac{1}{2}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2^3$

= $-\frac{1}{2}\cdot 8$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $12-\frac{1}{8}\cdot 2^4$ = $12-\frac{1}{8}\cdot 16$ = $12-2$ = $10$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $10$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$10$ = $-4$⋅2 + c

$10$ = $-8$ + c | + $8$

$18$ = c

also c= $18$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅t + $18$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-4t+18$

$-4t+18$	=	0	| $-18$
$-4t$	=	$-18$	|:($-4$)
$t$	=	$\frac{9}{2}$ = 4.5

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{9}{2}$ ≈ 4.5.