Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x+0$

= $-8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot \left(-2\right)$

= $16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $16$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-2\right)}^2+1$ = $-4\cdot 4+1$ = $-16+1$ = $-15$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-15$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-15$ = $16$⋅( $-2$) + c

$-15$ = $-32$ + c | + $32$

$17$ = c

also c= $17$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $16$⋅x + $17$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2-x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-10\cdot 0-1$

= $0-1$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-5\cdot 0^2-0$ = $-5\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-1$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^3+\frac{1}{3}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x^2+\frac{2}{3}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot 1^2+\frac{2}{3}\cdot 1$

= $-2\cdot 1+\frac{2}{3}$

= $-2+\frac{2}{3}$

= $-\frac{6}{3}+\frac{2}{3}$

= $-\frac{4}{3}$

≈ -1.33

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{3}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{2}{3}\cdot 1^3+\frac{1}{3}\cdot 1^2$ = $-\frac{2}{3}\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot 1$ = $-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}$ = $-\frac{1}{3}$ ≈ -0.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-\frac{1}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{1}{3}$ = $\frac{3}{4}$⋅ $1$ + c

$-\frac{1}{3}$ = $\frac{3}{4}$ + c | $-\frac{3}{4}$

$-\frac{13}{12}$ = c

also c= $-\frac{13}{12}$ ≈ -1.08

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{3}{4}$⋅x $-\frac{13}{12}$ oder y=0.75x -1.08

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-3x+7$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x-3+0$

f'(0) = $3\cdot 0-3$ = $0-3$ = $-3$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $-3$)) ≈ -71.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4+22x-4$ ab:

f'(x) = $3x^3+22$

Es muss gelten:

$3x^3+22$	=	$-2$	| $-22$
$3x^3$	=	$-24$	|:$3$
$x^3$	=	$-8$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{8}$	= $-2$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+0$

= $-4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot 2$

= $-8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 2^2-2$ = $-2\cdot 4-2$ = $-8-2$ = $-10$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-10$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-10$ = $-8$⋅ $2$ + c

$-10$ = $-16$ + c | + $16$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-8$⋅x + $6$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-8x+6$

$-8x+6$	=	0	| $-6$
$-8x$	=	$-6$	|:($-8$)
$x$	=	$\frac{3}{4}$ = 0.75

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{3}{4}$ ≈ 0.75.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $5-\frac{1}{44}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{3}{44}{t}^2$

= $-\frac{3}{44}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{3}{44}\cdot 4^2$

= $-\frac{3}{44}\cdot 16$

= $-\frac{12}{11}$

≈ -1.09

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{12}{11}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $5-\frac{1}{44}\cdot 4^3$ = $5-\frac{1}{44}\cdot 64$ = $5-\frac{16}{11}$ = $\frac{55}{11}-\frac{16}{11}$ = $\frac{39}{11}$ ≈ 3.55

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $\frac{39}{11}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{39}{11}$ = $-\frac{12}{11}$⋅4 + c

$\frac{39}{11}$ = $-\frac{48}{11}$ + c | + $\frac{48}{11}$

$\frac{87}{11}$ = c

also c= $\frac{87}{11}$ ≈ 7.91

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{12}{11}$⋅t + $\frac{87}{11}$ oder y=-1.09t +7.91

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{12}{11}t+\frac{87}{11}$

$-\frac{12}{11}t+\frac{87}{11}$	=	0	|⋅ 11
$11\left(-\frac{12}{11}t+\frac{87}{11}\right)$	=	0
$-12t+87$	=	0	| $-87$
$-12t$	=	$-87$	|:($-12$)
$t$	=	$\frac{29}{4}$ = 7.25

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{29}{4}$ ≈ 7.25.