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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 2 x$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 2 x$ ,
also

$f'(x) =$ $- 10 x + 2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $- 10 \cdot (- 1) + 2$

= $10 + 2$

= $12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $12$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $- 5 \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1)$ = $- 5 \cdot 1 - 2$ = $- 5 - 2$ = $- 7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- 7$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 7$ = $12$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- 7$ = $- 12$ + c | + $12$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $12$ ⋅x + $5$

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{2} - x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $- \frac{3}{2} \cdot 0^{2} - 0$

= $- \frac{3}{2} \cdot 0 + 0$

= $0 + 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 0^{3} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$ = $- \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0$ = $0 + 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} - 2$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 5 x^{2} - 2$ ,
also

$f'(x) =$ $- 10 x + 0$

= $- 10 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $- 10 \cdot 1$

= $- 10$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $\frac{1}{10}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{10}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- 5 \cdot 1^{2} - 2$ = $- 5 \cdot 1 - 2$ = $- 5 - 2$ = $- 7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- 7$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 7$ = $\frac{1}{10}$ ⋅ $1$ + c

$- 7$ = $\frac{1}{10}$ + c | $- \frac{1}{10}$

$- \frac{71}{10}$ = c

also c= $- \frac{71}{10}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{10}$ ⋅x $- \frac{71}{10}$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 4$ im Punkt P(-3|f(-3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 4$

=> $f'(x) =$ $2 x + 2 + 0$

f'(-3) = $2 \cdot (- 3) + 2$ = $- 6 + 2$ = $- 4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $- 4$ )) ≈ -76°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -76° + 180° = 104°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} - 7$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} - 7$ ab:

f'(x) = $3 x^{3}$

Es muss gelten:

$3 x^{3}$	=	$- 3$	\|: $3$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} + 4 x^{2}$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) die x-Achse schneidet:

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Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} + 4 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 8 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $3 \cdot {(- 1)}^{2} + 8 \cdot (- 1)$

= $3 \cdot 1 - 8$

= $3 - 8$

= $- 5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 5$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ ${(- 1)}^{3} + 4 \cdot {(- 1)}^{2}$ = $(- 1) + 4 \cdot 1$ = $- 1 + 4$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $- 5$ ⋅( $- 1$ ) + c

$3$ = $5$ + c | $- 5$

$- 2$ = c

also c= $- 2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 5$ ⋅x $- 2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- 5 x - 2$

$- 5 x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$- 5 x$	=	$2$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- \frac{2}{5}$ = -0.4

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $- \frac{2}{5}$ ≈ -0.4.

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Radfahrers lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $5 - \frac{1}{12} t^{4}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m/s).
Nach 2 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=2s hatte.
Wann kommt der Radfahrer zum Stillstand?

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Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $5 - \frac{1}{12} t^{4}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{1}{3} t^{3}$

= $- \frac{1}{3} t^{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- \frac{1}{3} \cdot 2^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 8$

= $- \frac{8}{3}$

≈ -2.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{8}{3}$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $5 - \frac{1}{12} \cdot 2^{4}$ = $5 - \frac{1}{12} \cdot 16$ = $5 - \frac{4}{3}$ = $\frac{15}{3} - \frac{4}{3}$ = $\frac{11}{3}$ ≈ 3.67

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $\frac{11}{3}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{11}{3}$ = $- \frac{8}{3}$ ⋅2 + c

$\frac{11}{3}$ = $- \frac{16}{3}$ + c | + $\frac{16}{3}$

$9$ = c

also c= $9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{8}{3}$ ⋅t + $9$ oder y=-2.67t +9

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- \frac{8}{3} t + 9$

$- \frac{8}{3} t + 9$	=	0	\|⋅ 3
$3 (- \frac{8}{3} t + 9)$	=	0
$- 8 t + 27$	=	0	\| $- 27$
$- 8 t$	=	$- 27$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$\frac{27}{8}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{27}{8}$ ≈ 3.38.

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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung