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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} - 4$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $5 x^{2} - 4$ ,
also

$f'(x) =$ $10 x + 0$

= $10 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $10 \cdot (- 1)$

= $- 10$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 10$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $5 \cdot {(- 1)}^{2} - 4$ = $5 \cdot 1 - 4$ = $5 - 4$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $1$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $- 10$ ⋅( $- 1$ ) + c

$1$ = $10$ + c | $- 10$

$- 9$ = c

also c= $- 9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 10$ ⋅x $- 9$

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} + 3$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} + 3$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 0$

= $3 x^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $3 \cdot {(- 1)}^{2}$

= $3 \cdot 1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ ${(- 1)}^{3} + 3$ = $(- 1) + 3$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $3$ ⋅( $- 1$ ) + c

$2$ = $- 3$ + c | + $3$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$ ⋅x + $5$

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - 2$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - 2$ ,
also

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} x + 0$

= $\frac{1}{2} x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $\frac{1}{2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{2}$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $2$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{2} - 2$ = $\frac{1}{4} \cdot 1 - 2$ = $\frac{1}{4} - 2$ = $\frac{1}{4} - \frac{8}{4}$ = $- \frac{7}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- \frac{7}{4}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- \frac{7}{4}$ = $2$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- \frac{7}{4}$ = $- 2$ + c | + $2$

$\frac{1}{4}$ = c

also c= $\frac{1}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $2$ ⋅x + $\frac{1}{4}$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - 2$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - 2$

=> $f'(x) =$ $- x^{3} + x + 0$

f'(-2) = $- {(- 2)}^{3} - 2$ = $- (- 8) - 2$ = $8 - 2$ = $6$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $6$ )) ≈ 80.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} - 79 x - 4$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} - 79 x - 4$ ab:

f'(x) = $3 x^{3} - 79$

Es muss gelten:

$3 x^{3} - 79$	=	$2$	\| $+ 79$
$3 x^{3}$	=	$81$	\|: $3$
$x^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2}$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 6 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1$

= $3 \cdot 1 - 6$

= $3 - 6$

= $- 3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $1^{3} - 3 \cdot 1^{2}$ = $1 - 3 \cdot 1$ = $1 - 3$ = $- 2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- 2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 2$ = $- 3$ ⋅ $1$ + c

$- 2$ = $- 3$ + c | + $3$

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 3$ ⋅x + $1$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- 3 x + 1$

$- 3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$- 1$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$\frac{1}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33.

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Radfahrers lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $9 - \frac{1}{8} t^{2}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m/s).
Nach 4 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=4s hatte.
Wann kommt der Radfahrer zum Stillstand?

Lösung einblenden

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $9 - \frac{1}{8} t^{2}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{1}{4} t$

= $- \frac{1}{4} t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(4) =$ $- \frac{1}{4} \cdot 4$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(4) =$ $9 - \frac{1}{8} \cdot 4^{2}$ = $9 - \frac{1}{8} \cdot 16$ = $9 - 2$ = $7$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $7$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7$ = $- 1$ ⋅4 + c

$7$ = $- 4$ + c | + $4$

$11$ = c

also c= $11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅t + $11$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- t + 11$

$- t + 11$	=	0	\| $- 11$
$- t$	=	$- 11$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$11$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $11$ .

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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung