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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} + 3 x^{2}$ an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 2 x^{3} + 3 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 6 x^{2} + 6 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $- 6 \cdot 0^{2} + 6 \cdot 0$

= $- 6 \cdot 0 + 0$

= $0 + 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $- 2 \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0^{2}$ = $- 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0$ = $0 + 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} + 2 x$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 2 x^{3} + 2 x$ ,
also

$f'(x) =$ $- 6 x^{2} + 2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- 6 \cdot 2^{2} + 2$

= $- 6 \cdot 4 + 2$

= $- 24 + 2$

= $- 22$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 22$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $- 2 \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2$ = $- 2 \cdot 8 + 4$ = $- 16 + 4$ = $- 12$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $- 12$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 12$ = $- 22$ ⋅ $2$ + c

$- 12$ = $- 44$ + c | + $44$

$32$ = c

also c= $32$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 22$ ⋅x + $32$

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} - 3 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- 3 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2$

= $- 3 \cdot 4 - 6$

= $- 12 - 6$

= $- 18$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $\frac{1}{18}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{18}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $- 2^{3} - \frac{3}{2} \cdot 2^{2}$ = $- 8 - \frac{3}{2} \cdot 4$ = $- 8 - 6$ = $- 14$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $- 14$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 14$ = $\frac{1}{18}$ ⋅ $2$ + c

$- 14$ = $\frac{1}{9}$ + c | $- \frac{1}{9}$

$- \frac{127}{9}$ = c

also c= $- \frac{127}{9}$ ≈ -14.11

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{18}$ ⋅x $- \frac{127}{9}$ oder y=0.06x -14.11

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{4} x^{2} + x$

f'(2) = $- \frac{3}{4} \cdot 2^{2} + 2$ = $- \frac{3}{4} \cdot 4 + 2$ = $- 3 + 2$ = $- 1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $- 1$ )) ≈ -45°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - 57 x - 2$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - 57 x - 2$ ab:

f'(x) = $2 x^{3} - 57$

Es muss gelten:

$2 x^{3} - 57$	=	$- 3$	\| $+ 57$
$2 x^{3}$	=	$54$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} - 2 x$ im Punkt B( $- 2$ |f( $- 2$ )) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 x^{2} - 2 x$ ,
also

$f'(x) =$ $8 x - 2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $8 \cdot (- 2) - 2$

= $- 16 - 2$

= $- 18$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 18$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $4 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2)$ = $4 \cdot 4 + 4$ = $16 + 4$ = $20$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $20$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$20$ = $- 18$ ⋅( $- 2$ ) + c

$20$ = $36$ + c | $- 36$

$- 16$ = c

also c= $- 16$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 18$ ⋅x $- 16$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- 18 x - 16$

$- 18 x - 16$	=	0	\| $+ 16$
$- 18 x$	=	$16$	\|:( $- 18$ )
$x$	=	$- \frac{8}{9}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $- \frac{8}{9}$ ≈ -0.89.

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Radfahrers lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $9 - \frac{1}{8} t^{2}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m/s).
Nach 4 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=4s hatte.
Wann kommt der Radfahrer zum Stillstand?

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Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $9 - \frac{1}{8} t^{2}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{1}{4} t$

= $- \frac{1}{4} t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(4) =$ $- \frac{1}{4} \cdot 4$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(4) =$ $9 - \frac{1}{8} \cdot 4^{2}$ = $9 - \frac{1}{8} \cdot 16$ = $9 - 2$ = $7$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $7$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7$ = $- 1$ ⋅4 + c

$7$ = $- 4$ + c | + $4$

$11$ = c

also c= $11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅t + $11$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- t + 11$

$- t + 11$	=	0	\| $- 11$
$- t$	=	$- 11$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$11$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $11$ .

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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung