Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^3-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x^2+0$

= $6x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot {\left(-1\right)}^2$

= $6\cdot 1$

= $6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2\cdot {\left(-1\right)}^3-5$ = $2\cdot \left(-1\right)-5$ = $-2-5$ = $-7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-7$ = $6$⋅( $-1$) + c

$-7$ = $-6$ + c | + $6$

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6$⋅x $-1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{9}{x}^3+\frac{2}{3}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^2+\frac{2}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot 1^2+\frac{2}{3}$

= $-\frac{1}{3}\cdot 1+\frac{2}{3}$

= $-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0.33

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{9}\cdot 1^3+\frac{2}{3}\cdot 1$ = $-\frac{1}{9}\cdot 1+\frac{2}{3}$ = $-\frac{1}{9}+\frac{2}{3}$ = $-\frac{1}{9}+\frac{6}{9}$ = $\frac{5}{9}$ ≈ 0.56

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $\frac{5}{9}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{5}{9}$ = $\frac{1}{3}$⋅ $1$ + c

$\frac{5}{9}$ = $\frac{1}{3}$ + c | $-\frac{1}{3}$

$\frac{2}{9}$ = c

also c= $\frac{2}{9}$ ≈ 0.22

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{1}{3}$⋅x + $\frac{2}{9}$ oder y=0.33x +0.22

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^3+\frac{1}{2}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-12x^2+\frac{1}{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-12\cdot 0^2+\frac{1}{2}$

= $-12\cdot 0+\frac{1}{2}$

= $0+\frac{1}{2}$

= $0+\frac{1}{2}$

= $\frac{1}{2}$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-4\cdot 0^3+\frac{1}{2}\cdot 0$ = $-4\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-2$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-2$⋅x +0

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^4+3x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^3+6x$

f'(-2) = $-6\cdot {\left(-2\right)}^3+6\cdot \left(-2\right)$ = $-6\cdot \left(-8\right)-12$ = $48-12$ = $36$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $36$)) ≈ 88.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{20}{x}^4-78x+7$ ab:

f'(x) = $-\frac{3}{5}{x}^3-78$

Es muss gelten:

$-\frac{3}{5}{x}^3-78$	=	$-3$	| $+78$
$-\frac{3}{5}{x}^3$	=	$75$	|⋅ $\left(-\frac{5}{3}\right)$
$x^3$	=	$-125$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{125}$	= $-5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2+5$

= $3\cdot 1+5$

= $3+5$

= $8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3+5\cdot 1$ = $1+5$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $8$⋅ $1$ + c

$6$ = $8$ + c | $-8$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $8$⋅x $-2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $8x-2$

$8x-2$	=	0	| $+2$
$8x$	=	$2$	|:$8$
$x$	=	$\frac{1}{4}$ = 0.25

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{1}{4}$ ≈ 0.25.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $9-\frac{1}{4}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{2}t$

= $-\frac{1}{2}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 3$

= $-\frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{2}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $9-\frac{1}{4}\cdot 3^2$ = $9-\frac{1}{4}\cdot 9$ = $9-\frac{9}{4}$ = $\frac{36}{4}-\frac{9}{4}$ = $\frac{27}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{27}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{27}{4}$ = $-\frac{3}{2}$⋅3 + c

$\frac{27}{4}$ = $-\frac{9}{2}$ + c | + $\frac{9}{2}$

$\frac{45}{4}$ = c

also c= $\frac{45}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{2}$⋅t + $\frac{45}{4}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{3}{2}t+\frac{45}{4}$

$-\frac{3}{2}t+\frac{45}{4}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{2}t+\frac{45}{4}\right)$	=	0
$-6t+45$	=	0	| $-45$
$-6t$	=	$-45$	|:($-6$)
$t$	=	$\frac{15}{2}$ = 7.5

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{15}{2}$ ≈ 7.5.