Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^3-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $12x^2+0$

= $12x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $12\cdot 1^2$

= $12\cdot 1$

= $12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $12$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 1^3-2$ = $4\cdot 1-2$ = $4-2$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $12$⋅ $1$ + c

$2$ = $12$ + c | $-12$

$-10$ = c

also c= $-10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $12$⋅x $-10$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $x+0$

= $x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-1$ = $\frac{1}{2}\cdot 4-1$ = $2-1$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $-2$⋅( $-2$) + c

$1$ = $4$ + c | $-4$

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x $-3$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^3-3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $12x^2-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $12\cdot {\left(-2\right)}^2-3$

= $12\cdot 4-3$

= $48-3$

= $45$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{45}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{45}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot {\left(-2\right)}^3-3\cdot \left(-2\right)$ = $4\cdot \left(-8\right)+6$ = $-32+6$ = $-26$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-26$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-26$ = $-\frac{1}{45}$⋅( $-2$) + c

$-26$ = $\frac{2}{45}$ + c | $-\frac{2}{45}$

$-\frac{1172}{45}$ = c

also c= $-\frac{1172}{45}$ ≈ -26.04

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{45}$⋅x $-\frac{1172}{45}$ oder y=-0.02x -26.04

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$

f'(2) = $-\frac{1}{2}\cdot 2+\frac{1}{2}$ = $-1+\frac{1}{2}$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{10}{x}^4-49x-4$ ab:

f'(x) = $\frac{2}{5}{x}^3-49$

Es muss gelten:

$\frac{2}{5}{x}^3-49$	=	$1$	| $+49$
$\frac{2}{5}{x}^3$	=	$50$	|⋅$\frac{5}{2}$
$x^3$	=	$125$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+0$

= $-2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot 2$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2^2+3$ = $-4+3$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $-4$⋅ $2$ + c

$-1$ = $-8$ + c | + $8$

$7$ = c

also c= $7$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x + $7$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-4x+7$

$-4x+7$	=	0	| $-7$
$-4x$	=	$-7$	|:($-4$)
$x$	=	$\frac{7}{4}$ = 1.75

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{7}{4}$ ≈ 1.75.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $4-\frac{1}{24}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{8}{t}^2$

= $-\frac{1}{8}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{8}\cdot 3^2$

= $-\frac{1}{8}\cdot 9$

= $-\frac{9}{8}$

≈ -1.13

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{9}{8}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $4-\frac{1}{24}\cdot 3^3$ = $4-\frac{1}{24}\cdot 27$ = $4-\frac{9}{8}$ = $\frac{32}{8}-\frac{9}{8}$ = $\frac{23}{8}$ ≈ 2.88

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{23}{8}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{23}{8}$ = $-\frac{9}{8}$⋅3 + c

$\frac{23}{8}$ = $-\frac{27}{8}$ + c | + $\frac{27}{8}$

$\frac{25}{4}$ = c

also c= $\frac{25}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{9}{8}$⋅t + $\frac{25}{4}$ oder y=-1.13t +6.25

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{9}{8}t+\frac{25}{4}$

$-\frac{9}{8}t+\frac{25}{4}$	=	0	|⋅ 8
$8\left(-\frac{9}{8}t+\frac{25}{4}\right)$	=	0
$-9t+50$	=	0	| $-50$
$-9t$	=	$-50$	|:($-9$)
$t$	=	$\frac{50}{9}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{50}{9}$ ≈ 5.56.