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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} + x^{2}$ an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} + x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 2 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0$

= $3 \cdot 0 + 0$

= $0 + 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $0^{3} + 0^{2}$ = $0 + 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{9} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ an der Stelle x=0:

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Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{2}{9} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- \frac{2}{3} x^{2} + x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $- \frac{2}{3} \cdot 0^{2} + 0$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 + 0$

= $0 + 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $- \frac{2}{9} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$ = $- \frac{2}{9} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0$ = $0 + 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} - 2 x^{2}$ an der Stelle x= $1$ :

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Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 x^{3} - 2 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $12 x^{2} - 4 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $12 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1$

= $12 \cdot 1 - 4$

= $12 - 4$

= $8$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- \frac{1}{8}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- \frac{1}{8}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $4 \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1^{2}$ = $4 \cdot 1 - 2 \cdot 1$ = $4 - 2$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $- \frac{1}{8}$ ⋅ $1$ + c

$2$ = $- \frac{1}{8}$ + c | + $\frac{1}{8}$

$\frac{17}{8}$ = c

also c= $\frac{17}{8}$ ≈ 2.13

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- \frac{1}{8}$ ⋅x + $\frac{17}{8}$ oder y=-0.13x +2.13

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{3} - 3 x + 1$ im Punkt P(-3|f(-3)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{3} - 3 x + 1$

=> $f'(x) =$ $\frac{9}{2} x^{2} - 3 + 0$

f'(-3) = $\frac{9}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 3$ = $\frac{9}{2} \cdot 9 - 3$ = $\frac{81}{2} - 3$ = $\frac{75}{2}$ ≈ 37.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $\frac{75}{2}$ )) ≈ 88.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x + 2$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x + 2$ ab:

f'(x) = $x + 6$

Es muss gelten:

$x + 6$	=	$- 1$	\| $- 6$
$x$	=	$- 7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} - 3$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) die x-Achse schneidet:

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Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 3$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 0$

= $3 x^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $3 \cdot {(- 1)}^{2}$

= $3 \cdot 1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ ${(- 1)}^{3} - 3$ = $(- 1) - 3$ = $- 4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- 4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 4$ = $3$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- 4$ = $- 3$ + c | + $3$

$- 1$ = c

also c= $- 1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$ ⋅x $- 1$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $3 x - 1$

$3 x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$3 x$	=	$1$	\|: $3$
$x$	=	$\frac{1}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33.

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Radfahrers lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $8 - \frac{1}{8} t^{4}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m/s).
Nach 2 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=2s hatte.
Wann kommt der Radfahrer zum Stillstand?

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Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $8 - \frac{1}{8} t^{4}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{1}{2} t^{3}$

= $- \frac{1}{2} t^{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 2^{3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot 8$

= $- 4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 4$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $8 - \frac{1}{8} \cdot 2^{4}$ = $8 - \frac{1}{8} \cdot 16$ = $8 - 2$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $6$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $- 4$ ⋅2 + c

$6$ = $- 8$ + c | + $8$

$14$ = c

also c= $14$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 4$ ⋅t + $14$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- 4 t + 14$

$- 4 t + 14$	=	0	\| $- 14$
$- 4 t$	=	$- 14$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$\frac{7}{2}$ = 3.5

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{7}{2}$ ≈ 3.5.

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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung