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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{3} - x$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{3} - x$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} - 1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $- 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 1$

= $- 3 \cdot 1 - 1$

= $- 3 - 1$

= $- 4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 4$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $- {(- 1)}^{3} - (- 1)$ = $- (- 1) + 1$ = $1 + 1$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $- 4$ ⋅( $- 1$ ) + c

$2$ = $4$ + c | $- 4$

$- 2$ = c

also c= $- 2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 4$ ⋅x $- 2$

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 2$ an der Stelle x= $- 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 2$ ,
also

$f'(x) =$ $x + 0$

= $x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $- 2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 2$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $\frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 2$ = $\frac{1}{2} \cdot 4 - 2$ = $2 - 2$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ |0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $- 2$ ⋅( $- 2$ ) + c

0 = $4$ + c | $- 4$

$- 4$ = c

also c= $- 4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 2$ ⋅x $- 4$

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} + x^{2}$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} + x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 2 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $3 \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1)$

= $3 \cdot 1 - 2$

= $3 - 2$

= $1$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2}$ = $(- 1) + 1$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ |0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $- 1$ ⋅( $- 1$ ) + c

0 = $1$ + c | $- 1$

$- 1$ = c

also c= $- 1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- 1$ ⋅x $- 1$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 2 x + 6$ im Punkt P(0|f(0)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 2 x + 6$

=> $f'(x) =$ $3 x - 2 + 0$

f'(0) = $3 \cdot 0 - 2$ = $0 - 2$ = $- 2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $- 2$ )) ≈ -63.4°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{16} x^{4} - 49 x - 5$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{16} x^{4} - 49 x - 5$ ab:

f'(x) = $- \frac{3}{4} x^{3} - 49$

Es muss gelten:

$- \frac{3}{4} x^{3} - 49$	=	$- 1$	\| $+ 49$
$- \frac{3}{4} x^{3}$	=	$48$	\|⋅ $(- \frac{4}{3})$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} - 5$ im Punkt B( $2$ |f( $2$ )) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 5 x^{2} - 5$ ,
also

$f'(x) =$ $- 10 x + 0$

= $- 10 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- 10 \cdot 2$

= $- 20$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 20$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $- 5 \cdot 2^{2} - 5$ = $- 5 \cdot 4 - 5$ = $- 20 - 5$ = $- 25$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $- 25$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 25$ = $- 20$ ⋅ $2$ + c

$- 25$ = $- 40$ + c | + $40$

$15$ = c

also c= $15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 20$ ⋅x + $15$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- 20 x + 15$

$- 20 x + 15$	=	0	\| $- 15$
$- 20 x$	=	$- 15$	\|:( $- 20$ )
$x$	=	$\frac{3}{4}$ = 0.75

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{3}{4}$ ≈ 0.75.

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Radfahrers lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $10 - \frac{1}{4} t^{2}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m/s).
Nach 3 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=3s hatte.
Wann kommt der Radfahrer zum Stillstand?

Lösung einblenden

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $10 - \frac{1}{4} t^{2}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{1}{2} t$

= $- \frac{1}{2} t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(3) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 3$

= $- \frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{3}{2}$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(3) =$ $10 - \frac{1}{4} \cdot 3^{2}$ = $10 - \frac{1}{4} \cdot 9$ = $10 - \frac{9}{4}$ = $\frac{40}{4} - \frac{9}{4}$ = $\frac{31}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{31}{4}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{31}{4}$ = $- \frac{3}{2}$ ⋅3 + c

$\frac{31}{4}$ = $- \frac{9}{2}$ + c | + $\frac{9}{2}$

$\frac{49}{4}$ = c

also c= $\frac{49}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{3}{2}$ ⋅t + $\frac{49}{4}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- \frac{3}{2} t + \frac{49}{4}$

$- \frac{3}{2} t + \frac{49}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (- \frac{3}{2} t + \frac{49}{4})$	=	0
$- 6 t + 49$	=	0	\| $- 49$
$- 6 t$	=	$- 49$	\|:( $- 6$ )
$t$	=	$\frac{49}{6}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{49}{6}$ ≈ 8.17.

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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung