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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 5$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{2} + 5$ ,
also

$f'(x) =$ $- 2 x + 0$

= $- 2 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $- 2 \cdot 1$

= $- 2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 2$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- 1^{2} + 5$ = $- 1 + 5$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $- 2$ ⋅ $1$ + c

$4$ = $- 2$ + c | + $2$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 2$ ⋅x + $6$

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} - 2$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 x^{3} - 2$ ,
also

$f'(x) =$ $12 x^{2} + 0$

= $12 x^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $12 \cdot 2^{2}$

= $12 \cdot 4$

= $48$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $48$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $4 \cdot 2^{3} - 2$ = $4 \cdot 8 - 2$ = $32 - 2$ = $30$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $30$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$30$ = $48$ ⋅ $2$ + c

$30$ = $96$ + c | $- 96$

$- 66$ = c

also c= $- 66$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $48$ ⋅x $- 66$

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 1$ an der Stelle x= $- 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $2 x^{2} + 1$ ,
also

$f'(x) =$ $4 x + 0$

= $4 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $4 \cdot (- 2)$

= $- 8$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $\frac{1}{8}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{8}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $2 \cdot {(- 2)}^{2} + 1$ = $2 \cdot 4 + 1$ = $8 + 1$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $9$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $\frac{1}{8}$ ⋅( $- 2$ ) + c

$9$ = $- \frac{1}{4}$ + c | + $\frac{1}{4}$

$\frac{37}{4}$ = c

also c= $\frac{37}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{8}$ ⋅x + $\frac{37}{4}$ oder y=0.13x +9.25

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + 6$ im Punkt P(3|f(3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + 6$

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} + 0$

f'(3) = $\frac{1}{2} \cdot 3 - \frac{1}{2}$ = $\frac{3}{2} - \frac{1}{2}$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $1$ )) ≈ 45°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - 25 x - 5$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - 25 x - 5$ ab:

f'(x) = $x^{3} - 25$

Es muss gelten:

$x^{3} - 25$	=	$2$	\| $+ 25$
$x^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} + 2 x^{2}$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} + 2 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 4 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $3 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1$

= $3 \cdot 1 + 4$

= $3 + 4$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $1^{3} + 2 \cdot 1^{2}$ = $1 + 2 \cdot 1$ = $1 + 2$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $7$ ⋅ $1$ + c

$3$ = $7$ + c | $- 7$

$- 4$ = c

also c= $- 4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$ ⋅x $- 4$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $7 x - 4$

$7 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$7 x$	=	$4$	\|: $7$
$x$	=	$\frac{4}{7}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{4}{7}$ ≈ 0.57.

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Das Wasservolumen in einem Wassertank lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $11 - \frac{1}{4} t^{2}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m³).
Nach 2 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate des Wasservolumens konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=2s hatte.
Wann ist der Tank leer?

Lösung einblenden

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $11 - \frac{1}{4} t^{2}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{1}{2} t$

= $- \frac{1}{2} t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 2$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $11 - \frac{1}{4} \cdot 2^{2}$ = $11 - \frac{1}{4} \cdot 4$ = $11 - 1$ = $10$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $10$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$10$ = $- 1$ ⋅2 + c

$10$ = $- 2$ + c | + $2$

$12$ = c

also c= $12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅t + $12$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- t + 12$

$- t + 12$	=	0	\| $- 12$
$- t$	=	$- 12$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$12$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $12$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung