Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^3-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+0$

= $-9x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-9\cdot {\left(-2\right)}^2$

= $-9\cdot 4$

= $-36$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-36$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-2\right)}^3-3$ = $-3\cdot \left(-8\right)-3$ = $24-3$ = $21$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $21$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$21$ = $-36$⋅( $-2$) + c

$21$ = $72$ + c | $-72$

$-51$ = c

also c= $-51$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-36$⋅x $-51$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+0$

= $-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-1\right)$

= $6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-1\right)}^2-1$ = $-3\cdot 1-1$ = $-3-1$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $6$⋅( $-1$) + c

$-4$ = $-6$ + c | + $6$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6$⋅x + $2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{9}{x}^3+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^2+0$

= $\frac{1}{3}{x}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{1}{3}\cdot 1^2$

= $\frac{1}{3}\cdot 1$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0.33

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{9}\cdot 1^3+4$ = $\frac{1}{9}\cdot 1+4$ = $\frac{1}{9}+4$ = $\frac{1}{9}+\frac{36}{9}$ = $\frac{37}{9}$ ≈ 4.11

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $\frac{37}{9}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{37}{9}$ = $-3$⋅ $1$ + c

$\frac{37}{9}$ = $-3$ + c | + $3$

$\frac{64}{9}$ = c

also c= $\frac{64}{9}$ ≈ 7.11

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-3$⋅x + $\frac{64}{9}$ oder y=-3x +7.11

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3+x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+2x$

f'(3) = $-\frac{3}{2}\cdot 3^2+2\cdot 3$ = $-\frac{3}{2}\cdot 9+6$ = $-\frac{27}{2}+6$ = $-\frac{15}{2}$ ≈ -7.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $-\frac{15}{2}$)) ≈ -82.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-11x+5$ ab:

f'(x) = $2x-11$

Es muss gelten:

$2x-11$	=	$-3$	| $+11$
$2x$	=	$8$	|:$2$
$x$	=	$4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2+1$

= $3\cdot 1+1$

= $3+1$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3+1$ = $1+1$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $4$⋅ $1$ + c

$2$ = $4$ + c | $-4$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x $-2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $4x-2$

$4x-2$	=	0	| $+2$
$4x$	=	$2$	|:$4$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $6-\frac{1}{8}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{4}t$

= $-\frac{1}{4}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 3$

= $-\frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{4}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $6-\frac{1}{8}\cdot 3^2$ = $6-\frac{1}{8}\cdot 9$ = $6-\frac{9}{8}$ = $\frac{48}{8}-\frac{9}{8}$ = $\frac{39}{8}$ ≈ 4.88

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{39}{8}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{39}{8}$ = $-\frac{3}{4}$⋅3 + c

$\frac{39}{8}$ = $-\frac{9}{4}$ + c | + $\frac{9}{4}$

$\frac{57}{8}$ = c

also c= $\frac{57}{8}$ ≈ 7.13

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{4}$⋅t + $\frac{57}{8}$ oder y=-0.75t +7.13

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{3}{4}t+\frac{57}{8}$

$-\frac{3}{4}t+\frac{57}{8}$	=	0	|⋅ 8
$8\left(-\frac{3}{4}t+\frac{57}{8}\right)$	=	0
$-6t+57$	=	0	| $-57$
$-6t$	=	$-57$	|:($-6$)
$t$	=	$\frac{19}{2}$ = 9.5

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{19}{2}$ ≈ 9.5.