Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^3+2x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $12x^2+4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $12\cdot 0^2+4\cdot 0$

= $12\cdot 0+0$

= $0+0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $4\cdot 0^3+2\cdot 0^2$ = $4\cdot 0+2\cdot 0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^2-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}x+0$

= $\frac{2}{3}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{2}{3}\cdot 1$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{2}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{3}\cdot 1^2-4$ = $\frac{1}{3}\cdot 1-4$ = $\frac{1}{3}-4$ = $\frac{1}{3}-\frac{12}{3}$ = $-\frac{11}{3}$ ≈ -3.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-\frac{11}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{11}{3}$ = $\frac{2}{3}$⋅ $1$ + c

$-\frac{11}{3}$ = $\frac{2}{3}$ + c | $-\frac{2}{3}$

$-\frac{13}{3}$ = c

also c= $-\frac{13}{3}$ ≈ -4.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{2}{3}$⋅x $-\frac{13}{3}$ oder y=0.67x -4.33

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^3+\frac{3}{2}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+\frac{3}{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-9\cdot {\left(-1\right)}^2+\frac{3}{2}$

= $-9\cdot 1+\frac{3}{2}$

= $-9+\frac{3}{2}$

= $-\frac{18}{2}+\frac{3}{2}$

= $-\frac{15}{2}$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{2}{15}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{2}{15}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-1\right)}^3+\frac{3}{2}\cdot \left(-1\right)$ = $-3\cdot \left(-1\right)-\frac{3}{2}$ = $3-\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}-\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $\frac{3}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{15}$⋅( $-1$) + c

$\frac{3}{2}$ = $-\frac{2}{15}$ + c | + $\frac{2}{15}$

$\frac{49}{30}$ = c

also c= $\frac{49}{30}$ ≈ 1.63

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{2}{15}$⋅x + $\frac{49}{30}$ oder y=0.13x +1.63

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $x-\frac{3}{2}+0$

f'(1) = $1-\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}-\frac{3}{2}$ = $1-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-13x-2$ ab:

f'(x) = $2x^3-13$

Es muss gelten:

$2x^3-13$	=	$3$	| $+13$
$2x^3$	=	$16$	|:$2$
$x^3$	=	$8$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+0$

= $-4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot 1$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 1^2-4$ = $-2\cdot 1-4$ = $-2-4$ = $-6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6$ = $-4$⋅ $1$ + c

$-6$ = $-4$ + c | + $4$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x $-2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-4x-2$

$-4x-2$	=	0	| $+2$
$-4x$	=	$2$	|:($-4$)
$x$	=	$-\frac{1}{2}$ = -0.5

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $10-\frac{1}{96}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{24}{t}^3$

= $-\frac{1}{24}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{1}{24}\cdot 4^3$

= $-\frac{1}{24}\cdot 64$

= $-\frac{8}{3}$

≈ -2.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{8}{3}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $10-\frac{1}{96}\cdot 4^4$ = $10-\frac{1}{96}\cdot 256$ = $10-\frac{8}{3}$ = $\frac{30}{3}-\frac{8}{3}$ = $\frac{22}{3}$ ≈ 7.33

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $\frac{22}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{22}{3}$ = $-\frac{8}{3}$⋅4 + c

$\frac{22}{3}$ = $-\frac{32}{3}$ + c | + $\frac{32}{3}$

$18$ = c

also c= $18$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{8}{3}$⋅t + $18$ oder y=-2.67t +18

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{8}{3}t+18$

$-\frac{8}{3}t+18$	=	0	|⋅ 3
$3\left(-\frac{8}{3}t+18\right)$	=	0
$-8t+54$	=	0	| $-54$
$-8t$	=	$-54$	|:($-8$)
$t$	=	$\frac{27}{4}$ = 6.75

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{27}{4}$ ≈ 6.75.