Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^3+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $12x^2+0$

= $12x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $12\cdot 2^2$

= $12\cdot 4$

= $48$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $48$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 2^3+2$ = $4\cdot 8+2$ = $32+2$ = $34$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $34$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$34$ = $48$⋅ $2$ + c

$34$ = $96$ + c | $-96$

$-62$ = c

also c= $-62$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $48$⋅x $-62$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{9}{x}^3+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3}{x}^2+0$

= $-\frac{4}{3}{x}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{4}{3}\cdot 1^2$

= $-\frac{4}{3}\cdot 1$

= $-\frac{4}{3}$

≈ -1.33

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{4}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{4}{9}\cdot 1^3+2$ = $-\frac{4}{9}\cdot 1+2$ = $-\frac{4}{9}+2$ = $-\frac{4}{9}+\frac{18}{9}$ = $\frac{14}{9}$ ≈ 1.56

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $\frac{14}{9}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{14}{9}$ = $-\frac{4}{3}$⋅ $1$ + c

$\frac{14}{9}$ = $-\frac{4}{3}$ + c | + $\frac{4}{3}$

$\frac{26}{9}$ = c

also c= $\frac{26}{9}$ ≈ 2.89

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{4}{3}$⋅x + $\frac{26}{9}$ oder y=-1.33x +2.89

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $x-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2-4$

= $-6$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{6}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{6}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)$ = $\frac{1}{2}\cdot 4+8$ = $2+8$ = $10$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $10$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$10$ = $\frac{1}{6}$⋅( $-2$) + c

$10$ = $-\frac{1}{3}$ + c | + $\frac{1}{3}$

$\frac{31}{3}$ = c

also c= $\frac{31}{3}$ ≈ 10.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{6}$⋅x + $\frac{31}{3}$ oder y=0.17x +10.33

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+3x$

f'(1) = $-\frac{3}{2}\cdot 1^2+3\cdot 1$ = $-\frac{3}{2}\cdot 1+3$ = $-\frac{3}{2}+3$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $\frac{3}{2}$)) ≈ 56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{16}{x}^4-51x+7$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{4}{x}^3-51$

Es muss gelten:

$\frac{3}{4}{x}^3-51$	=	$-3$	| $+51$
$\frac{3}{4}{x}^3$	=	$48$	|⋅$\frac{4}{3}$
$x^3$	=	$64$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2-5$

= $3\cdot 1-5$

= $3-5$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^3-5\cdot \left(-1\right)$ = $\left(-1\right)+5$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $-2$⋅( $-1$) + c

$4$ = $2$ + c | $-2$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x + $2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-2x+2$

$-2x+2$	=	0	| $-2$
$-2x$	=	$-2$	|:($-2$)
$x$	=	$1$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $1$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $9-\frac{1}{4}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{3}{4}{t}^2$

= $-\frac{3}{4}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{3}{4}\cdot 2^2$

= $-\frac{3}{4}\cdot 4$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $9-\frac{1}{4}\cdot 2^3$ = $9-\frac{1}{4}\cdot 8$ = $9-2$ = $7$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7$ = $-3$⋅2 + c

$7$ = $-6$ + c | + $6$

$13$ = c

also c= $13$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅t + $13$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-3t+13$

$-3t+13$	=	0	| $-13$
$-3t$	=	$-13$	|:($-3$)
$t$	=	$\frac{13}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{13}{3}$ ≈ 4.33.