Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x+0$

= $4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $4\cdot 1$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2\cdot 1^2-2$ = $2\cdot 1-2$ = $2-2$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $4$⋅ $1$ + c

0 = $4$ + c | $-4$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x $-4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+\frac{1}{3}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+\frac{1}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-4\cdot 0+\frac{1}{3}$

= $0+\frac{1}{3}$

= $0+\frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0.33

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-2\cdot 0^2+\frac{1}{3}\cdot 0$ = $-2\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $\frac{1}{3}$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{1}{3}$⋅x +0 oder y=0.33x

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^3-\frac{2}{3}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2-\frac{2}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-9\cdot 0^2-\frac{2}{3}$

= $-9\cdot 0-\frac{2}{3}$

= $0-\frac{2}{3}$

= $0-\frac{2}{3}$

= $-\frac{2}{3}$

≈ -0.67

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{3}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-3\cdot 0^3-\frac{2}{3}\cdot 0$ = $-3\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $\frac{3}{2}$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{3}{2}$⋅x +0

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+x^2+6$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3+2x+0$

f'(1) = $-1^3+2\cdot 1$ = $-1+2$ = $-1+2$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $1$)) ≈ 45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+11x+2$ ab:

f'(x) = $3x+11$

Es muss gelten:

$3x+11$	=	$-1$	| $-11$
$3x$	=	$-12$	|:$3$
$x$	=	$-4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2+5x-15$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x+5+0$

= $-10x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-10\cdot 0+5$

= $0+5$

= $5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-5\cdot 0^2+5\cdot 0-15$ = $-5\cdot 0+0-15$ = $0+0-15$ = $-15$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-15$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-15$ = $5$⋅0 + c

$-15$ = 0 + c

$-15$ = c

also c= $-15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5$⋅x $-15$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $5x-15$

$5x-15$	=	0	| $+15$
$5x$	=	$15$	|:$5$
$x$	=	$3$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $3$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $10-\frac{1}{12}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{4}{t}^2$

= $-\frac{1}{4}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 3^2$

= $-\frac{1}{4}\cdot 9$

= $-\frac{9}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{9}{4}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $10-\frac{1}{12}\cdot 3^3$ = $10-\frac{1}{12}\cdot 27$ = $10-\frac{9}{4}$ = $\frac{40}{4}-\frac{9}{4}$ = $\frac{31}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{31}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{31}{4}$ = $-\frac{9}{4}$⋅3 + c

$\frac{31}{4}$ = $-\frac{27}{4}$ + c | + $\frac{27}{4}$

$\frac{29}{2}$ = c

also c= $\frac{29}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{9}{4}$⋅t + $\frac{29}{2}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{9}{4}t+\frac{29}{2}$

$-\frac{9}{4}t+\frac{29}{2}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{9}{4}t+\frac{29}{2}\right)$	=	0
$-9t+58$	=	0	| $-58$
$-9t$	=	$-58$	|:($-9$)
$t$	=	$\frac{58}{9}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{58}{9}$ ≈ 6.44.