Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^3-2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-9\cdot 1^2-2$

= $-9\cdot 1-2$

= $-9-2$

= $-11$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-11$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 1^3-2\cdot 1$ = $-3\cdot 1-2$ = $-3-2$ = $-5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-5$ = $-11$⋅ $1$ + c

$-5$ = $-11$ + c | + $11$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-11$⋅x + $6$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{2}{9}{x}^3-\frac{1}{2}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}{x}^2-\frac{1}{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{2}{3}\cdot {\left(-2\right)}^2-\frac{1}{2}$

= $\frac{2}{3}\cdot 4-\frac{1}{2}$

= $\frac{8}{3}-\frac{1}{2}$

= $\frac{16}{6}-\frac{3}{6}$

= $\frac{13}{6}$

≈ 2.17

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{13}{6}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{2}{9}\cdot {\left(-2\right)}^3-\frac{1}{2}\cdot \left(-2\right)$ = $\frac{2}{9}\cdot \left(-8\right)+1$ = $-\frac{16}{9}+1$ = $-\frac{16}{9}+\frac{9}{9}$ = $-\frac{7}{9}$ ≈ -0.78

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-\frac{7}{9}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{7}{9}$ = $\frac{13}{6}$⋅( $-2$) + c

$-\frac{7}{9}$ = $-\frac{13}{3}$ + c | + $\frac{13}{3}$

$\frac{32}{9}$ = c

also c= $\frac{32}{9}$ ≈ 3.56

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{13}{6}$⋅x + $\frac{32}{9}$ oder y=2.17x +3.56

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{3}{x}^3-4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x^2-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-4\cdot 0^2-4$

= $-4\cdot 0-4$

= $0-4$

= $-4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{4}{3}\cdot 0^3-4\cdot 0$ = $-\frac{4}{3}\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $\frac{1}{4}$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{4}$⋅x +0

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^3+3x^2+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2}{x}^2+6x+0$

f'(3) = $-\frac{9}{2}\cdot 3^2+6\cdot 3$ = $-\frac{9}{2}\cdot 9+18$ = $-\frac{81}{2}+18$ = $-\frac{45}{2}$ ≈ -22.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $-\frac{45}{2}$)) ≈ -87.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{20}{x}^4-73x-9$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{5}{x}^3-73$

Es muss gelten:

$\frac{3}{5}{x}^3-73$	=	$2$	| $+73$
$\frac{3}{5}{x}^3$	=	$75$	|⋅$\frac{5}{3}$
$x^3$	=	$125$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+0$

= $3x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2$

= $3\cdot 1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3+5$ = $1+5$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $3$⋅ $1$ + c

$6$ = $3$ + c | $-3$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x + $3$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $3x+3$

$3x+3$	=	0	| $-3$
$3x$	=	$-3$	|:$3$
$x$	=	$-1$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-1$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $8-\frac{1}{4}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{3}{4}{t}^2$

= $-\frac{3}{4}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{3}{4}\cdot 2^2$

= $-\frac{3}{4}\cdot 4$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $8-\frac{1}{4}\cdot 2^3$ = $8-\frac{1}{4}\cdot 8$ = $8-2$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $-3$⋅2 + c

$6$ = $-6$ + c | + $6$

$12$ = c

also c= $12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅t + $12$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-3t+12$

$-3t+12$	=	0	| $-12$
$-3t$	=	$-12$	|:($-3$)
$t$	=	$4$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $4$.