Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^3-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+0$

= $-6x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot {\left(-1\right)}^2$

= $-6\cdot 1$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-1\right)}^3-2$ = $-2\cdot \left(-1\right)-2$ = $2-2$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-6$⋅( $-1$) + c

0 = $6$ + c | $-6$

$-6$ = c

also c= $-6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x $-6$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-x-\frac{1}{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\left(-1\right)-\frac{1}{2}$

= $1-\frac{1}{2}$

= $\frac{2}{2}-\frac{1}{2}$

= $\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2-\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)$ = $-\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}$ = $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $\frac{1}{2}$⋅( $-1$) + c

0 = $-\frac{1}{2}$ + c | + $\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$ = c

also c= $\frac{1}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{1}{2}$⋅x + $\frac{1}{2}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-2\right)-4$

= $12-4$

= $8$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{8}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{8}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)$ = $-3\cdot 4+8$ = $-12+8$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $-\frac{1}{8}$⋅( $-2$) + c

$-4$ = $\frac{1}{4}$ + c | $-\frac{1}{4}$

$-\frac{17}{4}$ = c

also c= $-\frac{17}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{8}$⋅x $-\frac{17}{4}$ oder y=-0.13x -4.25

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3+x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+2x$

f'(2) = $-\frac{3}{2}\cdot 2^2+2\cdot 2$ = $-\frac{3}{2}\cdot 4+4$ = $-6+4$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -63.4° + 180° = 116.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-53x-1$ ab:

f'(x) = $2x^3-53$

Es muss gelten:

$2x^3-53$	=	$1$	| $+53$
$2x^3$	=	$54$	|:$2$
$x^3$	=	$27$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-5x+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-5+0$

= $3x^2-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $3\cdot 0^2-5$

= $3\cdot 0-5$

= $0-5$

= $-5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $0^3-5\cdot 0+5$ = $0+0+5$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $-5$⋅0 + c

$5$ = 0 + c

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-5$⋅x + $5$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-5x+5$

$-5x+5$	=	0	| $-5$
$-5x$	=	$-5$	|:($-5$)
$x$	=	$1$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $1$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $6-\frac{1}{12}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{3}{t}^3$

= $-\frac{1}{3}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot 2^3$

= $-\frac{1}{3}\cdot 8$

= $-\frac{8}{3}$

≈ -2.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{8}{3}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $6-\frac{1}{12}\cdot 2^4$ = $6-\frac{1}{12}\cdot 16$ = $6-\frac{4}{3}$ = $\frac{18}{3}-\frac{4}{3}$ = $\frac{14}{3}$ ≈ 4.67

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $\frac{14}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{14}{3}$ = $-\frac{8}{3}$⋅2 + c

$\frac{14}{3}$ = $-\frac{16}{3}$ + c | + $\frac{16}{3}$

$10$ = c

also c= $10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{8}{3}$⋅t + $10$ oder y=-2.67t +10

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{8}{3}t+10$

$-\frac{8}{3}t+10$	=	0	|⋅ 3
$3\left(-\frac{8}{3}t+10\right)$	=	0
$-8t+30$	=	0	| $-30$
$-8t$	=	$-30$	|:($-8$)
$t$	=	$\frac{15}{4}$ = 3.75

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{15}{4}$ ≈ 3.75.