Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^3-4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-9\cdot 0^2-4$

= $-9\cdot 0-4$

= $0-4$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-3\cdot 0^3-4\cdot 0$ = $-3\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-4$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{3}{x}^3-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x^2+0$

= $-4x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-1\right)}^2$

= $-4\cdot 1$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{4}{3}\cdot {\left(-1\right)}^3-4$ = $-\frac{4}{3}\cdot \left(-1\right)-4$ = $\frac{4}{3}-4$ = $\frac{4}{3}-\frac{12}{3}$ = $-\frac{8}{3}$ ≈ -2.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-\frac{8}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{8}{3}$ = $-4$⋅( $-1$) + c

$-\frac{8}{3}$ = $4$ + c | $-4$

$-\frac{20}{3}$ = c

also c= $-\frac{20}{3}$ ≈ -6.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x $-\frac{20}{3}$ oder y=-4x -6.67

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2-2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 1-2$

= $-\frac{1}{2}-2$

= $-\frac{1}{2}-\frac{4}{2}$

= $-\frac{5}{2}$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{2}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{2}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 1^2-2\cdot 1$ = $-\frac{1}{4}\cdot 1-2$ = $-\frac{1}{4}-2$ = $-\frac{1}{4}-\frac{8}{4}$ = $-\frac{9}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-\frac{9}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{9}{4}$ = $\frac{2}{5}$⋅ $1$ + c

$-\frac{9}{4}$ = $\frac{2}{5}$ + c | $-\frac{2}{5}$

$-\frac{53}{20}$ = c

also c= $-\frac{53}{20}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{2}{5}$⋅x $-\frac{53}{20}$

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^4+2x^3+6$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+6x^2+0$

f'(-2) = $4\cdot {\left(-2\right)}^3+6\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $4\cdot \left(-8\right)+6\cdot 4$ = $-32+24$ = $-8$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-8$)) ≈ -82.9°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4+6x+1$ ab:

f'(x) = $x^3+6$

Es muss gelten:

$x^3+6$	=	$-2$	| $-6$
$x^3$	=	$-8$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{8}$	= $-2$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2-x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot \left(-2\right)-1$

= $16-1$

= $15$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $15$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)$ = $-4\cdot 4+2$ = $-16+2$ = $-14$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-14$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-14$ = $15$⋅( $-2$) + c

$-14$ = $-30$ + c | + $30$

$16$ = c

also c= $16$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $15$⋅x + $16$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $15x+16$

$15x+16$	=	0	| $-16$
$15x$	=	$-16$	|:$15$
$x$	=	$-\frac{16}{15}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{16}{15}$ ≈ -1.07.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $8-\frac{1}{4}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{2}t$

= $-\frac{1}{2}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 3$

= $-\frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{2}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $8-\frac{1}{4}\cdot 3^2$ = $8-\frac{1}{4}\cdot 9$ = $8-\frac{9}{4}$ = $\frac{32}{4}-\frac{9}{4}$ = $\frac{23}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{23}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{23}{4}$ = $-\frac{3}{2}$⋅3 + c

$\frac{23}{4}$ = $-\frac{9}{2}$ + c | + $\frac{9}{2}$

$\frac{41}{4}$ = c

also c= $\frac{41}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{2}$⋅t + $\frac{41}{4}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{3}{2}t+\frac{41}{4}$

$-\frac{3}{2}t+\frac{41}{4}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{2}t+\frac{41}{4}\right)$	=	0
$-6t+41$	=	0	| $-41$
$-6t$	=	$-41$	|:($-6$)
$t$	=	$\frac{41}{6}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{41}{6}$ ≈ 6.83.