Mathebattle EduRandomtasks

Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} - 5 x^{2}$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 x^{3} - 5 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $12 x^{2} - 10 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $12 \cdot {(- 1)}^{2} - 10 \cdot (- 1)$

= $12 \cdot 1 + 10$

= $12 + 10$

= $22$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $22$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $4 \cdot {(- 1)}^{3} - 5 \cdot {(- 1)}^{2}$ = $4 \cdot (- 1) - 5 \cdot 1$ = $- 4 - 5$ = $- 9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- 9$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 9$ = $22$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- 9$ = $- 22$ + c | + $22$

$13$ = c

also c= $13$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $22$ ⋅x + $13$

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 3$ an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $2 x^{2} + 3$ ,
also

$f'(x) =$ $4 x + 0$

= $4 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $4 \cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $2 \cdot 0^{2} + 3$ = $2 \cdot 0 + 3$ = $0 + 3$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = 0⋅0 + c

$3$ = 0 + c

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x + $3$

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{9} x^{3} - 5$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\frac{1}{9} x^{3} - 5$ ,
also

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} x^{2} + 0$

= $\frac{1}{3} x^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{2}$

= $\frac{1}{3} \cdot 1$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0.33

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- 3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- 3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $\frac{1}{9} \cdot {(- 1)}^{3} - 5$ = $\frac{1}{9} \cdot (- 1) - 5$ = $- \frac{1}{9} - 5$ = $- \frac{1}{9} - \frac{45}{9}$ = $- \frac{46}{9}$ ≈ -5.11

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- \frac{46}{9}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- \frac{46}{9}$ = $- 3$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- \frac{46}{9}$ = $3$ + c | $- 3$

$- \frac{73}{9}$ = c

also c= $- \frac{73}{9}$ ≈ -8.11

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- 3$ ⋅x $- \frac{73}{9}$ oder y=-3x -8.11

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - x$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - x$

=> $f'(x) =$ $x^{3} - 1$

f'(-2) = ${(- 2)}^{3} - 1$ = $(- 8) - 1$ = $- 8 - 1$ = $- 9$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $- 9$ )) ≈ -83.7°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{16} x^{4} - 49 x - 5$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{16} x^{4} - 49 x - 5$ ab:

f'(x) = $- \frac{3}{4} x^{3} - 49$

Es muss gelten:

$- \frac{3}{4} x^{3} - 49$	=	$- 1$	\| $+ 49$
$- \frac{3}{4} x^{3}$	=	$48$	\|⋅ $(- \frac{4}{3})$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} - 3 x$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 5 x^{2} - 3 x$ ,
also

$f'(x) =$ $- 10 x - 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $- 10 \cdot (- 1) - 3$

= $10 - 3$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $- 5 \cdot {(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1)$ = $- 5 \cdot 1 + 3$ = $- 5 + 3$ = $- 2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- 2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 2$ = $7$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- 2$ = $- 7$ + c | + $7$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$ ⋅x + $5$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $7 x + 5$

$7 x + 5$	=	0	\| $- 5$
$7 x$	=	$- 5$	\|: $7$
$x$	=	$- \frac{5}{7}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $- \frac{5}{7}$ ≈ -0.71.

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Das Wasservolumen in einem Wassertank lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $6 - \frac{1}{4} t^{2}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m³).
Nach 2 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate des Wasservolumens konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=2s hatte.
Wann ist der Tank leer?

Lösung einblenden

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $6 - \frac{1}{4} t^{2}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{1}{2} t$

= $- \frac{1}{2} t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 2$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $6 - \frac{1}{4} \cdot 2^{2}$ = $6 - \frac{1}{4} \cdot 4$ = $6 - 1$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $- 1$ ⋅2 + c

$5$ = $- 2$ + c | + $2$

$7$ = c

also c= $7$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅t + $7$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- t + 7$

$- t + 7$	=	0	\| $- 7$
$- t$	=	$- 7$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$7$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $7$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung