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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} - 1$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 x^{3} - 1$ ,
also

$f'(x) =$ $12 x^{2} + 0$

= $12 x^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $12 \cdot 1^{2}$

= $12 \cdot 1$

= $12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $12$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $4 \cdot 1^{3} - 1$ = $4 \cdot 1 - 1$ = $4 - 1$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $12$ ⋅ $1$ + c

$3$ = $12$ + c | $- 12$

$- 9$ = c

also c= $- 9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $12$ ⋅x $- 9$

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} - 4$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 x^{2} - 4$ ,
also

$f'(x) =$ $8 x + 0$

= $8 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $8 \cdot 2$

= $16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $16$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $4 \cdot 2^{2} - 4$ = $4 \cdot 4 - 4$ = $16 - 4$ = $12$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $12$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$12$ = $16$ ⋅ $2$ + c

$12$ = $32$ + c | $- 32$

$- 20$ = c

also c= $- 20$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $16$ ⋅x $- 20$

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} - x$ an der Stelle x= $- 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $3 x^{3} - x$ ,
also

$f'(x) =$ $9 x^{2} - 1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $9 \cdot {(- 2)}^{2} - 1$

= $9 \cdot 4 - 1$

= $36 - 1$

= $35$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- \frac{1}{35}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- \frac{1}{35}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $3 \cdot {(- 2)}^{3} - (- 2)$ = $3 \cdot (- 8) + 2$ = $- 24 + 2$ = $- 22$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $- 22$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 22$ = $- \frac{1}{35}$ ⋅( $- 2$ ) + c

$- 22$ = $\frac{2}{35}$ + c | $- \frac{2}{35}$

$- \frac{772}{35}$ = c

also c= $- \frac{772}{35}$ ≈ -22.06

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- \frac{1}{35}$ ⋅x $- \frac{772}{35}$ oder y=-0.03x -22.06

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{4} + 2 x - 7$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- x^{4} + 2 x - 7$

=> $f'(x) =$ $- 4 x^{3} + 2 + 0$

f'(-2) = $- 4 \cdot {(- 2)}^{3} + 2$ = $- 4 \cdot (- 8) + 2$ = $32 + 2$ = $34$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $34$ )) ≈ 88.3°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 24 x - 1$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 24 x - 1$ ab:

f'(x) = $3 x - 24$

Es muss gelten:

$3 x - 24$	=	$- 3$	\| $+ 24$
$3 x$	=	$21$	\|: $3$
$x$	=	$7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} + 4$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 x^{2} + 4$ ,
also

$f'(x) =$ $8 x + 0$

= $8 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $8 \cdot 1$

= $8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $8$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $4 \cdot 1^{2} + 4$ = $4 \cdot 1 + 4$ = $4 + 4$ = $8$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $8$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$8$ = $8$ ⋅ $1$ + c

$8$ = $8$ + c | $- 8$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $8$ ⋅x +0

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $8 x$

$8 x$	=	0	\|: $8$
$x$	=	0

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = 0.

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Das Wasservolumen in einem Wassertank lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $4 - \frac{1}{4} t^{2}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m³).
Nach 2 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate des Wasservolumens konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=2s hatte.
Wann ist der Tank leer?

Lösung einblenden

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $4 - \frac{1}{4} t^{2}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{1}{2} t$

= $- \frac{1}{2} t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 2$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $4 - \frac{1}{4} \cdot 2^{2}$ = $4 - \frac{1}{4} \cdot 4$ = $4 - 1$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $- 1$ ⋅2 + c

$3$ = $- 2$ + c | + $2$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅t + $5$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- t + 5$

$- t + 5$	=	0	\| $- 5$
$- t$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$5$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $5$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung