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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} - 4 x$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 x^{2} - 4 x$ ,
also

$f'(x) =$ $8 x - 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $8 \cdot (- 1) - 4$

= $- 8 - 4$

= $- 12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 12$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $4 \cdot {(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1)$ = $4 \cdot 1 + 4$ = $4 + 4$ = $8$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $8$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$8$ = $- 12$ ⋅( $- 1$ ) + c

$8$ = $12$ + c | $- 12$

$- 4$ = c

also c= $- 4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 12$ ⋅x $- 4$

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3} x^{3} - 2 x^{2}$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{2}{3} x^{3} - 2 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 2 x^{2} - 4 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $- 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1)$

= $- 2 \cdot 1 + 4$

= $- 2 + 4$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $- \frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 2 \cdot {(- 1)}^{2}$ = $- \frac{2}{3} \cdot (- 1) - 2 \cdot 1$ = $\frac{2}{3} - 2$ = $\frac{2}{3} - \frac{6}{3}$ = $- \frac{4}{3}$ ≈ -1.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- \frac{4}{3}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- \frac{4}{3}$ = $2$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- \frac{4}{3}$ = $- 2$ + c | + $2$

$\frac{2}{3}$ = c

also c= $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$ ⋅x + $\frac{2}{3}$ oder y=2x +0.67

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 1$ an der Stelle x= $- 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{2} - 1$ ,
also

$f'(x) =$ $- 2 x + 0$

= $- 2 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $- 2 \cdot (- 2)$

= $4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- \frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- \frac{1}{4}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $- {(- 2)}^{2} - 1$ = $- 4 - 1$ = $- 5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $- 5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 5$ = $- \frac{1}{4}$ ⋅( $- 2$ ) + c

$- 5$ = $\frac{1}{2}$ + c | $- \frac{1}{2}$

$- \frac{11}{2}$ = c

also c= $- \frac{11}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- \frac{1}{4}$ ⋅x $- \frac{11}{2}$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + x$ im Punkt P(1|f(1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + x$

=> $f'(x) =$ $- x + 1$

f'(1) = $- 1 + 1$ = $- 1 + 1$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 21 x + 4$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 21 x + 4$ ab:

f'(x) = $3 x - 21$

Es muss gelten:

$3 x - 21$	=	$- 3$	\| $+ 21$
$3 x$	=	$18$	\|: $3$
$x$	=	$6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} - 5$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $2 x^{2} - 5$ ,
also

$f'(x) =$ $4 x + 0$

= $4 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $4 \cdot (- 1)$

= $- 4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 4$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $2 \cdot {(- 1)}^{2} - 5$ = $2 \cdot 1 - 5$ = $2 - 5$ = $- 3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- 3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 3$ = $- 4$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- 3$ = $4$ + c | $- 4$

$- 7$ = c

also c= $- 7$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 4$ ⋅x $- 7$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- 4 x - 7$

$- 4 x - 7$	=	0	\| $+ 7$
$- 4 x$	=	$7$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- \frac{7}{4}$ = -1.75

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $- \frac{7}{4}$ ≈ -1.75.

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Radfahrers lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $7 - \frac{1}{8} t^{4}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m/s).
Nach 2 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=2s hatte.
Wann kommt der Radfahrer zum Stillstand?

Lösung einblenden

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $7 - \frac{1}{8} t^{4}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{1}{2} t^{3}$

= $- \frac{1}{2} t^{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 2^{3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot 8$

= $- 4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 4$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $7 - \frac{1}{8} \cdot 2^{4}$ = $7 - \frac{1}{8} \cdot 16$ = $7 - 2$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $- 4$ ⋅2 + c

$5$ = $- 8$ + c | + $8$

$13$ = c

also c= $13$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 4$ ⋅t + $13$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- 4 t + 13$

$- 4 t + 13$	=	0	\| $- 13$
$- 4 t$	=	$- 13$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$\frac{13}{4}$ = 3.25

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{13}{4}$ ≈ 3.25.

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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung