Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^3+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x^2+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot {\left(-1\right)}^2+1$

= $6\cdot 1+1$

= $6+1$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2\cdot {\left(-1\right)}^3-1$ = $2\cdot \left(-1\right)-1$ = $-2-1$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $7$⋅( $-1$) + c

$-3$ = $-7$ + c | + $7$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$⋅x + $4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x+0$

= $3x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 2$

= $6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{3}{2}\cdot 2^2+3$ = $\frac{3}{2}\cdot 4+3$ = $6+3$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $6$⋅ $2$ + c

$9$ = $12$ + c | $-12$

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6$⋅x $-3$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{6}{x}^2-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{3}x+0$

= $-\frac{1}{3}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot 2$

= $-\frac{2}{3}$

≈ -0.67

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{3}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{6}\cdot 2^2-3$ = $-\frac{1}{6}\cdot 4-3$ = $-\frac{2}{3}-3$ = $-\frac{2}{3}-\frac{9}{3}$ = $-\frac{11}{3}$ ≈ -3.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-\frac{11}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{11}{3}$ = $\frac{3}{2}$⋅ $2$ + c

$-\frac{11}{3}$ = $3$ + c | $-3$

$-\frac{20}{3}$ = c

also c= $-\frac{20}{3}$ ≈ -6.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{3}{2}$⋅x $-\frac{20}{3}$ oder y=1.5x -6.67

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+2$

f'(1) = $-3\cdot 1^2+2$ = $-3\cdot 1+2$ = $-3+2$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-13x+3$ ab:

f'(x) = $2x-13$

Es muss gelten:

$2x-13$	=	$1$	| $+13$
$2x$	=	$14$	|:$2$
$x$	=	$7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2+3$

= $3\cdot 1+3$

= $3+3$

= $6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^3+3\cdot \left(-1\right)$ = $\left(-1\right)-3$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $6$⋅( $-1$) + c

$-4$ = $-6$ + c | + $6$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6$⋅x + $2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $6x+2$

$6x+2$	=	0	| $-2$
$6x$	=	$-2$	|:$6$
$x$	=	$-\frac{1}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{1}{3}$ ≈ -0.33.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $11-\frac{1}{28}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{7}{t}^3$

= $-\frac{1}{7}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{7}\cdot 3^3$

= $-\frac{1}{7}\cdot 27$

= $-\frac{27}{7}$

≈ -3.86

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{27}{7}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $11-\frac{1}{28}\cdot 3^4$ = $11-\frac{1}{28}\cdot 81$ = $11-\frac{81}{28}$ = $\frac{308}{28}-\frac{81}{28}$ = $\frac{227}{28}$ ≈ 8.11

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{227}{28}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{227}{28}$ = $-\frac{27}{7}$⋅3 + c

$\frac{227}{28}$ = $-\frac{81}{7}$ + c | + $\frac{81}{7}$

$\frac{551}{28}$ = c

also c= $\frac{551}{28}$ ≈ 19.68

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{27}{7}$⋅t + $\frac{551}{28}$ oder y=-3.86t +19.68

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{27}{7}t+\frac{551}{28}$

$-\frac{27}{7}t+\frac{551}{28}$	=	0	|⋅ 28
$28\left(-\frac{27}{7}t+\frac{551}{28}\right)$	=	0
$-108t+551$	=	0	| $-551$
$-108t$	=	$-551$	|:($-108$)
$t$	=	$\frac{551}{108}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{551}{108}$ ≈ 5.1.