Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot \left(-2\right)+1$

= $8+1$

= $9$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $9$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-2\right)}^2-2$ = $-2\cdot 4-2$ = $-8-2$ = $-10$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-10$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-10$ = $9$⋅( $-2$) + c

$-10$ = $-18$ + c | + $18$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $9$⋅x + $8$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-2\cdot 0+1$

= $0+1$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-0^2+0$ = $-0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $1$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+5x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+10x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-1\right)}^2+10\cdot \left(-1\right)$

= $-3\cdot 1-10$

= $-3-10$

= $-13$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{13}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{13}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-1\right)}^3+5\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $-\left(-1\right)+5\cdot 1$ = $1+5$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $\frac{1}{13}$⋅( $-1$) + c

$6$ = $-\frac{1}{13}$ + c | + $\frac{1}{13}$

$\frac{79}{13}$ = c

also c= $\frac{79}{13}$ ≈ 6.08

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{13}$⋅x + $\frac{79}{13}$ oder y=0.08x +6.08

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-3x+7$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x-3+0$

f'(3) = $3\cdot 3-3$ = $9-3$ = $6$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $6$)) ≈ 80.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-8x+2$ ab:

f'(x) = $x-8$

Es muss gelten:

$x-8$	=	$-1$	| $+8$
$x$	=	$7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2+5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot \left(-1\right)+5$

= $8+5$

= $13$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $13$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-1\right)}^2+5\cdot \left(-1\right)$ = $-4\cdot 1-5$ = $-4-5$ = $-9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-9$ = $13$⋅( $-1$) + c

$-9$ = $-13$ + c | + $13$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $13$⋅x + $4$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $13x+4$

$13x+4$	=	0	| $-4$
$13x$	=	$-4$	|:$13$
$x$	=	$-\frac{4}{13}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{4}{13}$ ≈ -0.31.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $7-\frac{1}{4}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{2}t$

= $-\frac{1}{2}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $7-\frac{1}{4}\cdot 2^2$ = $7-\frac{1}{4}\cdot 4$ = $7-1$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $-1$⋅2 + c

$6$ = $-2$ + c | + $2$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅t + $8$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-t+8$

$-t+8$	=	0	| $-8$
$-t$	=	$-8$	|:($-1$)
$t$	=	$8$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $8$.