Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^3-2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-15x^2-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-15\cdot 0^2-2$

= $-15\cdot 0-2$

= $0-2$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-5\cdot 0^3-2\cdot 0$ = $-5\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-2$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{3}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-x^2+\frac{1}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2^2+\frac{1}{3}$

= $-4+\frac{1}{3}$

= $-\frac{12}{3}+\frac{1}{3}$

= $-\frac{11}{3}$

≈ -3.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{11}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot 2^3+\frac{1}{3}\cdot 2$ = $-\frac{1}{3}\cdot 8+\frac{2}{3}$ = $-\frac{8}{3}+\frac{2}{3}$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $-\frac{11}{3}$⋅ $2$ + c

$-2$ = $-\frac{22}{3}$ + c | + $\frac{22}{3}$

$\frac{16}{3}$ = c

also c= $\frac{16}{3}$ ≈ 5.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{11}{3}$⋅x + $\frac{16}{3}$ oder y=-3.67x +5.33

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-1-2$

= $-3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2-2\cdot \left(-1\right)$ = $\frac{1}{2}\cdot 1+2$ = $\frac{1}{2}+2$ = $\frac{1}{2}+\frac{4}{2}$ = $\frac{5}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $\frac{5}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{5}{2}$ = $\frac{1}{3}$⋅( $-1$) + c

$\frac{5}{2}$ = $-\frac{1}{3}$ + c | + $\frac{1}{3}$

$\frac{17}{6}$ = c

also c= $\frac{17}{6}$ ≈ 2.83

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{3}$⋅x + $\frac{17}{6}$ oder y=0.33x +2.83

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+x^3+6$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x^3+3x^2+0$

f'(-1) = $2\cdot {\left(-1\right)}^3+3\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $2\cdot \left(-1\right)+3\cdot 1$ = $-2+3$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $1$)) ≈ 45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-7x+2$ ab:

f'(x) = $2x-7$

Es muss gelten:

$2x-7$	=	$-3$	| $+7$
$2x$	=	$4$	|:$2$
$x$	=	$2$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+0$

= $8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot 1$

= $8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 1^2+5$ = $4\cdot 1+5$ = $4+5$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $8$⋅ $1$ + c

$9$ = $8$ + c | $-8$

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $8$⋅x + $1$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $8x+1$

$8x+1$	=	0	| $-1$
$8x$	=	$-1$	|:$8$
$x$	=	$-\frac{1}{8}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{1}{8}$ ≈ -0.13.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $6-\frac{1}{12}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{3}{t}^3$

= $-\frac{1}{3}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot 2^3$

= $-\frac{1}{3}\cdot 8$

= $-\frac{8}{3}$

≈ -2.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{8}{3}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $6-\frac{1}{12}\cdot 2^4$ = $6-\frac{1}{12}\cdot 16$ = $6-\frac{4}{3}$ = $\frac{18}{3}-\frac{4}{3}$ = $\frac{14}{3}$ ≈ 4.67

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $\frac{14}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{14}{3}$ = $-\frac{8}{3}$⋅2 + c

$\frac{14}{3}$ = $-\frac{16}{3}$ + c | + $\frac{16}{3}$

$10$ = c

also c= $10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{8}{3}$⋅t + $10$ oder y=-2.67t +10

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{8}{3}t+10$

$-\frac{8}{3}t+10$	=	0	|⋅ 3
$3\left(-\frac{8}{3}t+10\right)$	=	0
$-8t+30$	=	0	| $-30$
$-8t$	=	$-30$	|:($-8$)
$t$	=	$\frac{15}{4}$ = 3.75

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{15}{4}$ ≈ 3.75.