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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} - 4 x^{2}$ an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 2 x^{3} - 4 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 6 x^{2} - 8 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $- 6 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0$

= $- 6 \cdot 0 + 0$

= $0 + 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $- 2 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0^{2}$ = $- 2 \cdot 0 - 4 \cdot 0$ = $0 + 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 4$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 4$ ,
also

$f'(x) =$ $- 6 x + 0$

= $- 6 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- 6 \cdot 2$

= $- 12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 12$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $- 3 \cdot 2^{2} + 4$ = $- 3 \cdot 4 + 4$ = $- 12 + 4$ = $- 8$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $- 8$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 8$ = $- 12$ ⋅ $2$ + c

$- 8$ = $- 24$ + c | + $24$

$16$ = c

also c= $16$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 12$ ⋅x + $16$

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} - x$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $2 x^{2} - x$ ,
also

$f'(x) =$ $4 x - 1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $4 \cdot 1 - 1$

= $4 - 1$

= $3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- \frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- \frac{1}{3}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $2 \cdot 1^{2} - 1$ = $2 \cdot 1 - 1$ = $2 - 1$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $1$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $- \frac{1}{3}$ ⋅ $1$ + c

$1$ = $- \frac{1}{3}$ + c | + $\frac{1}{3}$

$\frac{4}{3}$ = c

also c= $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- \frac{1}{3}$ ⋅x + $\frac{4}{3}$ oder y=-0.33x +1.33

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} + x$ im Punkt P(-1|f(-1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} + x$

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{2} x + 1$

f'(-1) = $\frac{1}{2} \cdot (- 1) + 1$ = $- \frac{1}{2} + 1$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $\frac{1}{2}$ )) ≈ 26.6°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x + 2$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x + 2$ ab:

f'(x) = $x - 1$

Es muss gelten:

$x - 1$	=	$- 3$	\| $+ 1$
$x$	=	$- 2$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} - 4 x$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 4 x$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $3 \cdot {(- 1)}^{2} - 4$

= $3 \cdot 1 - 4$

= $3 - 4$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ ${(- 1)}^{3} - 4 \cdot (- 1)$ = $(- 1) + 4$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $- 1$ ⋅( $- 1$ ) + c

$3$ = $1$ + c | $- 1$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅x + $2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- x + 2$

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $2$ .

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Das Wasservolumen in einem Wassertank lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $7 - \frac{1}{8} t^{2}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m³).
Nach 4 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate des Wasservolumens konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=4s hatte.
Wann ist der Tank leer?

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Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $7 - \frac{1}{8} t^{2}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{1}{4} t$

= $- \frac{1}{4} t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(4) =$ $- \frac{1}{4} \cdot 4$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(4) =$ $7 - \frac{1}{8} \cdot 4^{2}$ = $7 - \frac{1}{8} \cdot 16$ = $7 - 2$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $- 1$ ⋅4 + c

$5$ = $- 4$ + c | + $4$

$9$ = c

also c= $9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅t + $9$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- t + 9$

$- t + 9$	=	0	\| $- 9$
$- t$	=	$- 9$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$9$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $9$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung