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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= 3 x 3 +3x an der Stelle x= 2 :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 3 x 3 +3x ,
also

f'(x)= 9 x 2 +3

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 2 )= 9 2 2 +3

= 94 +3

= 36 +3

= 39

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 39 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 2 )= 3 2 3 +32 = 38 +6 = 24 +6 = 30

Wir erhalten so also den Punkt B( 2 | 30 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

30 = 39 2 + c

30 = 78 + c | -78

-48 = c

also c= -48

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 39 ⋅x -48

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= - x 2 -2x an der Stelle x= -2 :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= - x 2 -2x ,
also

f'(x)= -2x -2

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( -2 )= -2( -2 ) -2

= 4 -2

= 2

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 2 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( -2 )= - ( -2 ) 2 -2( -2 ) = -4 +4 = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( -2 |0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 2 ⋅( -2 ) + c

0 = -4 + c | + 4

4 = c

also c= 4

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 2 ⋅x + 4

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit f(x)= 2 3 x 2 - x an der Stelle x= 2 :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 2 3 x 2 - x ,
also

f'(x)= 4 3 x -1

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 2 )= 4 3 2 -1

= 8 3 -1

= 8 3 - 3 3

= 5 3

≈ 1.67

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

mn= - 1 mt

also mn= - 3 5

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= - 3 5 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 2 )= 2 3 2 2 - 2 = 2 3 4 -2 = 8 3 -2 = 8 3 - 6 3 = 2 3 ≈ 0.67

Wir erhalten so also den Punkt B( 2 | 2 3 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

2 3 = - 3 5 2 + c

2 3 = - 6 5 + c | + 6 5

28 15 = c

also c= 28 15 ≈ 1.87

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= - 3 5 ⋅x + 28 15 oder y=-0.6x +1.87

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - 1 2 x 3 + x 2 im Punkt P(3|f(3)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - 1 2 x 3 + x 2

=>f'(x)= - 3 2 x 2 +2x

f'(3) = - 3 2 3 2 +23 = - 3 2 9 +6 = - 27 2 +6 = - 15 2 ≈ -7.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( - 15 2 )) ≈ -82.4°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit f(x)= x 2 -7x +6 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= x 2 -7x +6 ab:

f'(x) = 2x -7

Es muss gelten:

2x -7 = 3 | +7
2x = 10 |:2
x = 5

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 5.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit f(x)= -5 x 2 - x +3 im Punkt B(0|f(0)) die x-Achse schneidet:

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -5 x 2 - x +3 ,
also

f'(x)= -10x -1 +0

= -10x -1

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'(0)= -100 -1

= 0 -1

= -1

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -1 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(0)= -5 0 2 - 0 +3 = -50 +0 +3 = 0+0 +3 = 3

Wir erhalten so also den Punkt B(0| 3 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

3 = -1 0 + c

3 = 0 + c

3 = c

also c= 3

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -1 ⋅x + 3

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = -x +3

-x +3 = 0 | -3
-x = -3 |:(-1 )
x = 3

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = 3 .

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Radfahrers lässt sich näherungsweise durch den Term f(t)= 6 - 1 40 t 3 beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m/s).
Nach 4 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=4s hatte.
Wann kommt der Radfahrer zum Stillstand?

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Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(t)= 6 - 1 40 t 3 ,
also

f'(t)= 0 - 3 40 t 2

= - 3 40 t 2

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'(4)= - 3 40 4 2

= - 3 40 16

= - 6 5

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= - 6 5 t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(4)= 6 - 1 40 4 3 = 6 - 1 40 64 = 6 - 8 5 = 30 5 - 8 5 = 22 5

Wir erhalten so also den Punkt B(4| 22 5 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

22 5 = - 6 5 ⋅4 + c

22 5 = - 24 5 + c | + 24 5

46 5 = c

also c= 46 5

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= - 6 5 ⋅t + 46 5

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = - 6 5 t + 46 5

- 6 5 t + 46 5 = 0 |⋅ 5
5( - 6 5 t + 46 5 ) = 0
-6t +46 = 0 | -46
-6t = -46 |:(-6 )
t = 23 3

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = 23 3 ≈ 7.67.