Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x+0$

= $-10x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot \left(-2\right)$

= $20$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $20$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot {\left(-2\right)}^2-1$ = $-5\cdot 4-1$ = $-20-1$ = $-21$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-21$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-21$ = $20$⋅( $-2$) + c

$-21$ = $-40$ + c | + $40$

$19$ = c

also c= $19$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $20$⋅x + $19$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+5x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+10x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot 1^2+10\cdot 1$

= $-3\cdot 1+10$

= $-3+10$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-1^3+5\cdot 1^2$ = $-1+5\cdot 1$ = $-1+5$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $7$⋅ $1$ + c

$4$ = $7$ + c | $-7$

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$⋅x $-3$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^3+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $15x^2+0$

= $15x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $15\cdot {\left(-1\right)}^2$

= $15\cdot 1$

= $15$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{15}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{15}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-1\right)}^3+5$ = $5\cdot \left(-1\right)+5$ = $-5+5$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-\frac{1}{15}$⋅( $-1$) + c

0 = $\frac{1}{15}$ + c | $-\frac{1}{15}$

$-\frac{1}{15}$ = c

also c= $-\frac{1}{15}$ ≈ -0.07

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{15}$⋅x $-\frac{1}{15}$ oder y=-0.07x -0.07

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^3-3x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2}{x}^2-6x$

f'(1) = $\frac{9}{2}\cdot 1^2-6\cdot 1$ = $\frac{9}{2}\cdot 1-6$ = $\frac{9}{2}-6$ = $-\frac{3}{2}$ ≈ -1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $-\frac{3}{2}$)) ≈ -56.3°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -56.3° + 180° = 123.7°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-20x-9$ ab:

f'(x) = $3x-20$

Es muss gelten:

$3x-20$	=	$-2$	| $+20$
$3x$	=	$18$	|:$3$
$x$	=	$6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2-2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot \left(-2\right)-2$

= $-20-2$

= $-22$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-22$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-2\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)$ = $5\cdot 4+4$ = $20+4$ = $24$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $24$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$24$ = $-22$⋅( $-2$) + c

$24$ = $44$ + c | $-44$

$-20$ = c

also c= $-20$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-22$⋅x $-20$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-22x-20$

$-22x-20$	=	0	| $+20$
$-22x$	=	$20$	|:($-22$)
$x$	=	$-\frac{10}{11}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{10}{11}$ ≈ -0.91.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $9-\frac{1}{12}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{4}{t}^2$

= $-\frac{1}{4}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 3^2$

= $-\frac{1}{4}\cdot 9$

= $-\frac{9}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{9}{4}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $9-\frac{1}{12}\cdot 3^3$ = $9-\frac{1}{12}\cdot 27$ = $9-\frac{9}{4}$ = $\frac{36}{4}-\frac{9}{4}$ = $\frac{27}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{27}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{27}{4}$ = $-\frac{9}{4}$⋅3 + c

$\frac{27}{4}$ = $-\frac{27}{4}$ + c | + $\frac{27}{4}$

$\frac{27}{2}$ = c

also c= $\frac{27}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{9}{4}$⋅t + $\frac{27}{2}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{9}{4}t+\frac{27}{2}$

$-\frac{9}{4}t+\frac{27}{2}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{9}{4}t+\frac{27}{2}\right)$	=	0
$-9t+54$	=	0	| $-54$
$-9t$	=	$-54$	|:($-9$)
$t$	=	$6$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $6$.