Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^3-5x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x^2-10x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot {\left(-1\right)}^2-10\cdot \left(-1\right)$

= $-6\cdot 1+10$

= $-6+10$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-1\right)}^3-5\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $-2\cdot \left(-1\right)-5\cdot 1$ = $2-5$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $4$⋅( $-1$) + c

$-3$ = $-4$ + c | + $4$

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x + $1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^3+\frac{3}{2}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-15x^2+3x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-15\cdot 0^2+3\cdot 0$

= $-15\cdot 0+0$

= $0+0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-5\cdot 0^3+\frac{3}{2}\cdot 0^2$ = $-5\cdot 0+\frac{3}{2}\cdot 0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{6}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{1}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-\frac{1}{2}\cdot \left(-2\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot 4+1$

= $2+1$

= $3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{6}\cdot {\left(-2\right)}^3-\frac{1}{4}\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $\frac{1}{6}\cdot \left(-8\right)-\frac{1}{4}\cdot 4$ = $-\frac{4}{3}-1$ = $-\frac{4}{3}-\frac{3}{3}$ = $-\frac{7}{3}$ ≈ -2.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-\frac{7}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{7}{3}$ = $-\frac{1}{3}$⋅( $-2$) + c

$-\frac{7}{3}$ = $\frac{2}{3}$ + c | $-\frac{2}{3}$

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{3}$⋅x $-3$ oder y=-0.33x -3

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

f'(1) = $\frac{1}{2}\cdot 1-\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+55x-5$ ab:

f'(x) = $2x^3+55$

Es muss gelten:

$2x^3+55$	=	$1$	| $-55$
$2x^3$	=	$-54$	|:$2$
$x^3$	=	$-27$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{27}$	= $-3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+3x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2+6\cdot 1$

= $3\cdot 1+6$

= $3+6$

= $9$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $9$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3+3\cdot 1^2$ = $1+3\cdot 1$ = $1+3$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $9$⋅ $1$ + c

$4$ = $9$ + c | $-9$

$-5$ = c

also c= $-5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $9$⋅x $-5$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $9x-5$

$9x-5$	=	0	| $+5$
$9x$	=	$5$	|:$9$
$x$	=	$\frac{5}{9}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{5}{9}$ ≈ 0.56.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $4-\frac{1}{24}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{8}{t}^2$

= $-\frac{1}{8}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{8}\cdot 3^2$

= $-\frac{1}{8}\cdot 9$

= $-\frac{9}{8}$

≈ -1.13

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{9}{8}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $4-\frac{1}{24}\cdot 3^3$ = $4-\frac{1}{24}\cdot 27$ = $4-\frac{9}{8}$ = $\frac{32}{8}-\frac{9}{8}$ = $\frac{23}{8}$ ≈ 2.88

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{23}{8}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{23}{8}$ = $-\frac{9}{8}$⋅3 + c

$\frac{23}{8}$ = $-\frac{27}{8}$ + c | + $\frac{27}{8}$

$\frac{25}{4}$ = c

also c= $\frac{25}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{9}{8}$⋅t + $\frac{25}{4}$ oder y=-1.13t +6.25

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{9}{8}t+\frac{25}{4}$

$-\frac{9}{8}t+\frac{25}{4}$	=	0	|⋅ 8
$8\left(-\frac{9}{8}t+\frac{25}{4}\right)$	=	0
$-9t+50$	=	0	| $-50$
$-9t$	=	$-50$	|:($-9$)
$t$	=	$\frac{50}{9}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{50}{9}$ ≈ 5.56.