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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= 3 x 3 -5 an der Stelle x= 1 :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 3 x 3 -5 ,
also

f'(x)= 9 x 2 +0

= 9 x 2

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

m = f'( 1 )= 9 1 2

= 91

= 9

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 9 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 1 )= 3 1 3 -5 = 31 -5 = 3 -5 = -2

Wir erhalten so also den Punkt B( 1 | -2 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-2 = 9 1 + c

-2 = 9 + c | -9

-11 = c

also c= -11

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 9 ⋅x -11

Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= 4 x 2 -2x an der Stelle x= 2 :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 4 x 2 -2x ,
also

f'(x)= 8x -2

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

m = f'( 2 )= 82 -2

= 16 -2

= 14

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 14 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 2 )= 4 2 2 -22 = 44 -4 = 16 -4 = 12

Wir erhalten so also den Punkt B( 2 | 12 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

12 = 14 2 + c

12 = 28 + c | -28

-16 = c

also c= -16

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 14 ⋅x -16

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit f(x)= -3 x 3 - 1 2 x 2 an der Stelle x= 1 :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -3 x 3 - 1 2 x 2 ,
also

f'(x)= -9 x 2 - x

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

m = f'( 1 )= -9 1 2 - 1

= -91 -1

= -9 -1

= -10

Um mit der Tangentsteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

mn=- 1 mt

also mn= 1 10

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= 1 10 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 1 )= -3 1 3 - 1 2 1 2 = -31 - 1 2 1 = -3 - 1 2 = -3 -0,5 = -3,5

Wir erhalten so also den Punkt B( 1 | -3,5 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-3,5 = 1 10 1 + c

-3,5 = 1 10 + c | - 1 10

- 18 5 = c

also c= - 18 5

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= 1 10 ⋅x - 18 5

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 3 2 x 3 +2 x 2 im Punkt P(-2|f(-2)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 3 2 x 3 +2 x 2

=>f'(x)= 9 2 x 2 +4x

f'(-2) = 9 2 ( -2 ) 2 +4( -2 ) = 9 2 4 -8 = 18 -8 = 10

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( 10 )) ≈ 84.3°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an die den Graph der Funktion f mit f(x)= x 2 +14x +5 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= x 2 +14x +5 ab:

f'(x) = 2x +14

Es muss gelten:

2x +14 = 2 | -14
2x = -12 |:2
x = -6

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -6.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit f(x)= -2 x 2 -1 im Punkt B( 1 |f( 1 )) die x-Achse schneitet:

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -2 x 2 -1 ,
also

f'(x)= -4x +0

= -4x

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

m = f'( 1 )= -41

= -4

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -4 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 1 )= -2 1 2 -1 = -21 -1 = -2 -1 = -3

Wir erhalten so also den Punkt B( 1 | -3 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-3 = -4 1 + c

-3 = -4 + c | + 4

1 = c

also c= 1

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -4 ⋅x + 1

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = -4x +1

-4x +1 = 0 | -1
-4x = -1 |:(-4 )
x = 1 4 = 0.25

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei x = 1 4 ≈ 0.25.

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Radfahrers lässt sich näherungsweise durch den Term f(t)= 8 - 1 8 t 4 beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m/s).
Nach 2 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=2s hatte.
Wann kommt der Radfahrer zum Stillstand?

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Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(t)= 8 - 1 8 t 4 ,
also

f'(t)= 0 - 1 2 t 3

= - 1 2 t 3

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

m = f'(2)= - 1 2 2 3

= - 1 2 8

= -4

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -4 t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(2)= 8 - 1 8 2 4 = 8 - 1 8 16 = 8 -2 = 6

Wir erhalten so also den Punkt B(2| 6 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

6 = -4 2 + c

6 = -8 + c | + 8

14 = c

also c= 14

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -4 ⋅t + 14

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = -4t +14

-4t +14 = 0 | -14
-4t = -14 |:(-4 )
t = 7 2 = 3.5

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei t = 7 2 ≈ 3.5.