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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} - 2$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 x^{2} - 2$ ,
also

$f'(x) =$ $8 x + 0$

= $8 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $8 \cdot (- 1)$

= $- 8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 8$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $4 \cdot {(- 1)}^{2} - 2$ = $4 \cdot 1 - 2$ = $4 - 2$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $- 8$ ⋅( $- 1$ ) + c

$2$ = $8$ + c | $- 8$

$- 6$ = c

also c= $- 6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 8$ ⋅x $- 6$

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} - x^{2}$ an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 2 x^{3} - x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 6 x^{2} - 2 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $- 6 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0$

= $- 6 \cdot 0 + 0$

= $0 + 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $- 2 \cdot 0^{3} - 0^{2}$ = $- 2 \cdot 0 - 0$ = $0 + 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 5$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 5$ ,
also

$f'(x) =$ $- 4 x + 0$

= $- 4 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $- 4 \cdot (- 1)$

= $4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- \frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- \frac{1}{4}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $- 2 \cdot {(- 1)}^{2} + 5$ = $- 2 \cdot 1 + 5$ = $- 2 + 5$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $- \frac{1}{4}$ ⋅( $- 1$ ) + c

$3$ = $\frac{1}{4}$ + c | $- \frac{1}{4}$

$\frac{11}{4}$ = c

also c= $\frac{11}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- \frac{1}{4}$ ⋅x + $\frac{11}{4}$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{4} - 2 x + 4$ im Punkt P(-2|f(-2)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $x^{4} - 2 x + 4$

=> $f'(x) =$ $4 x^{3} - 2 + 0$

f'(-2) = $4 \cdot {(- 2)}^{3} - 2$ = $4 \cdot (- 8) - 2$ = $- 32 - 2$ = $- 34$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $- 34$ )) ≈ -88.3°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{16} x^{4} - 46 x + 7$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{16} x^{4} - 46 x + 7$ ab:

f'(x) = $- \frac{3}{4} x^{3} - 46$

Es muss gelten:

$- \frac{3}{4} x^{3} - 46$	=	$2$	\| $+ 46$
$- \frac{3}{4} x^{3}$	=	$48$	\|⋅ $(- \frac{4}{3})$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} + 4 x - 4$ im Punkt B(0|f(0)) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} + 4 x - 4$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 4 + 0$

= $3 x^{2} + 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $3 \cdot 0^{2} + 4$

= $3 \cdot 0 + 4$

= $0 + 4$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $0^{3} + 4 \cdot 0 - 4$ = $0 + 0 - 4$ = $- 4$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $- 4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 4$ = $4$ ⋅0 + c

$- 4$ = 0 + c

$- 4$ = c

also c= $- 4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$ ⋅x $- 4$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $4 x - 4$

$4 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
$x$	=	$1$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $1$ .

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Radfahrers lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $6 - \frac{1}{40} t^{3}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m/s).
Nach 4 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=4s hatte.
Wann kommt der Radfahrer zum Stillstand?

Lösung einblenden

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $6 - \frac{1}{40} t^{3}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{3}{40} t^{2}$

= $- \frac{3}{40} t^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(4) =$ $- \frac{3}{40} \cdot 4^{2}$

= $- \frac{3}{40} \cdot 16$

= $- \frac{6}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{6}{5}$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(4) =$ $6 - \frac{1}{40} \cdot 4^{3}$ = $6 - \frac{1}{40} \cdot 64$ = $6 - \frac{8}{5}$ = $\frac{30}{5} - \frac{8}{5}$ = $\frac{22}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $\frac{22}{5}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{22}{5}$ = $- \frac{6}{5}$ ⋅4 + c

$\frac{22}{5}$ = $- \frac{24}{5}$ + c | + $\frac{24}{5}$

$\frac{46}{5}$ = c

also c= $\frac{46}{5}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{6}{5}$ ⋅t + $\frac{46}{5}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- \frac{6}{5} t + \frac{46}{5}$

$- \frac{6}{5} t + \frac{46}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (- \frac{6}{5} t + \frac{46}{5})$	=	0
$- 6 t + 46$	=	0	\| $- 46$
$- 6 t$	=	$- 46$	\|:( $- 6$ )
$t$	=	$\frac{23}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{23}{3}$ ≈ 7.67.

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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung