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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{3} - 5 x^{2}$ an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 5 x^{3} - 5 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 15 x^{2} - 10 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $- 15 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0$

= $- 15 \cdot 0 + 0$

= $0 + 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $- 5 \cdot 0^{3} - 5 \cdot 0^{2}$ = $- 5 \cdot 0 - 5 \cdot 0$ = $0 + 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{3} - 4$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 4 x^{3} - 4$ ,
also

$f'(x) =$ $- 12 x^{2} + 0$

= $- 12 x^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $- 12 \cdot 1^{2}$

= $- 12 \cdot 1$

= $- 12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 12$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- 4 \cdot 1^{3} - 4$ = $- 4 \cdot 1 - 4$ = $- 4 - 4$ = $- 8$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- 8$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 8$ = $- 12$ ⋅ $1$ + c

$- 8$ = $- 12$ + c | + $12$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 12$ ⋅x + $4$

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{3} - x^{2}$ an der Stelle x= $- 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 5 x^{3} - x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 15 x^{2} - 2 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $- 15 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2)$

= $- 15 \cdot 4 + 4$

= $- 60 + 4$

= $- 56$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $\frac{1}{56}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{56}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $- 5 \cdot {(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2}$ = $- 5 \cdot (- 8) - 4$ = $40 - 4$ = $36$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $36$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$36$ = $\frac{1}{56}$ ⋅( $- 2$ ) + c

$36$ = $- \frac{1}{28}$ + c | + $\frac{1}{28}$

$\frac{1009}{28}$ = c

also c= $\frac{1009}{28}$ ≈ 36.04

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{56}$ ⋅x + $\frac{1009}{28}$ oder y=0.02x +36.04

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 3 x$ im Punkt P(1|f(1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 3 x$

=> $f'(x) =$ $3 x - 3$

f'(1) = $3 \cdot 1 - 3$ = $3 - 3$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 7 x - 9$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $x^{2} + 7 x - 9$ ab:

f'(x) = $2 x + 7$

Es muss gelten:

$2 x + 7$	=	$1$	\| $- 7$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} - x - 4$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - x - 4$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 1 + 0$

= $3 x^{2} - 1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $3 \cdot {(- 1)}^{2} - 1$

= $3 \cdot 1 - 1$

= $3 - 1$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ ${(- 1)}^{3} - (- 1) - 4$ = $(- 1) + 1 - 4$ = $- 4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- 4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 4$ = $2$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- 4$ = $- 2$ + c | + $2$

$- 2$ = c

also c= $- 2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$ ⋅x $- 2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $2 x - 2$

$2 x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $1$ .

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Radfahrers lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $6 - \frac{1}{8} t^{2}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m/s).
Nach 3 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=3s hatte.
Wann kommt der Radfahrer zum Stillstand?

Lösung einblenden

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $6 - \frac{1}{8} t^{2}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{1}{4} t$

= $- \frac{1}{4} t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(3) =$ $- \frac{1}{4} \cdot 3$

= $- \frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{3}{4}$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(3) =$ $6 - \frac{1}{8} \cdot 3^{2}$ = $6 - \frac{1}{8} \cdot 9$ = $6 - \frac{9}{8}$ = $\frac{48}{8} - \frac{9}{8}$ = $\frac{39}{8}$ ≈ 4.88

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{39}{8}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{39}{8}$ = $- \frac{3}{4}$ ⋅3 + c

$\frac{39}{8}$ = $- \frac{9}{4}$ + c | + $\frac{9}{4}$

$\frac{57}{8}$ = c

also c= $\frac{57}{8}$ ≈ 7.13

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{3}{4}$ ⋅t + $\frac{57}{8}$ oder y=-0.75t +7.13

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- \frac{3}{4} t + \frac{57}{8}$

$- \frac{3}{4} t + \frac{57}{8}$	=	0	\|⋅ 8
$8 (- \frac{3}{4} t + \frac{57}{8})$	=	0
$- 6 t + 57$	=	0	\| $- 57$
$- 6 t$	=	$- 57$	\|:( $- 6$ )
$t$	=	$\frac{19}{2}$ = 9.5

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{19}{2}$ ≈ 9.5.

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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung