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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} + 4$ an der Stelle x= $- 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 x^{2} + 4$ ,
also

$f'(x) =$ $8 x + 0$

= $8 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $8 \cdot (- 2)$

= $- 16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 16$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $4 \cdot {(- 2)}^{2} + 4$ = $4 \cdot 4 + 4$ = $16 + 4$ = $20$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $20$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$20$ = $- 16$ ⋅( $- 2$ ) + c

$20$ = $32$ + c | $- 32$

$- 12$ = c

also c= $- 12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 16$ ⋅x $- 12$

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} + 4 x^{2}$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $3 x^{3} + 4 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $9 x^{2} + 8 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $9 \cdot 1^{2} + 8 \cdot 1$

= $9 \cdot 1 + 8$

= $9 + 8$

= $17$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $17$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $3 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2}$ = $3 \cdot 1 + 4 \cdot 1$ = $3 + 4$ = $7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $7$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7$ = $17$ ⋅ $1$ + c

$7$ = $17$ + c | $- 17$

$- 10$ = c

also c= $- 10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $17$ ⋅x $- 10$

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 3 x$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $2 x^{3} + 3 x$ ,
also

$f'(x) =$ $6 x^{2} + 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $6 \cdot 1^{2} + 3$

= $6 \cdot 1 + 3$

= $6 + 3$

= $9$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- \frac{1}{9}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- \frac{1}{9}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $2 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1$ = $2 \cdot 1 + 3$ = $2 + 3$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $- \frac{1}{9}$ ⋅ $1$ + c

$5$ = $- \frac{1}{9}$ + c | + $\frac{1}{9}$

$\frac{46}{9}$ = c

also c= $\frac{46}{9}$ ≈ 5.11

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- \frac{1}{9}$ ⋅x + $\frac{46}{9}$ oder y=-0.11x +5.11

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x$ im Punkt P(-1|f(-1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x$

=> $f'(x) =$ $- x - \frac{3}{2}$

f'(-1) = $- (- 1) - \frac{3}{2}$ = $1 - \frac{3}{2}$ = $- \frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $- \frac{1}{2}$ )) ≈ -26.6°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{20} x^{4} - 74 x + 9$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{20} x^{4} - 74 x + 9$ ab:

f'(x) = $- \frac{3}{5} x^{3} - 74$

Es muss gelten:

$- \frac{3}{5} x^{3} - 74$	=	$1$	\| $+ 74$
$- \frac{3}{5} x^{3}$	=	$75$	\|⋅ $(- \frac{5}{3})$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} - 4$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 4$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 0$

= $3 x^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $3 \cdot 1^{2}$

= $3 \cdot 1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $1^{3} - 4$ = $1 - 4$ = $- 3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- 3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 3$ = $3$ ⋅ $1$ + c

$- 3$ = $3$ + c | $- 3$

$- 6$ = c

also c= $- 6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$ ⋅x $- 6$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $3 x - 6$

$3 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $2$ .

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Radfahrers lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $9 - \frac{1}{36} t^{4}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m/s).
Nach 3 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=3s hatte.
Wann kommt der Radfahrer zum Stillstand?

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Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $9 - \frac{1}{36} t^{4}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{1}{9} t^{3}$

= $- \frac{1}{9} t^{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(3) =$ $- \frac{1}{9} \cdot 3^{3}$

= $- \frac{1}{9} \cdot 27$

= $- 3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 3$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(3) =$ $9 - \frac{1}{36} \cdot 3^{4}$ = $9 - \frac{1}{36} \cdot 81$ = $9 - \frac{9}{4}$ = $\frac{36}{4} - \frac{9}{4}$ = $\frac{27}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{27}{4}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{27}{4}$ = $- 3$ ⋅3 + c

$\frac{27}{4}$ = $- 9$ + c | + $9$

$\frac{63}{4}$ = c

also c= $\frac{63}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 3$ ⋅t + $\frac{63}{4}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- 3 t + \frac{63}{4}$

$- 3 t + \frac{63}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (- 3 t + \frac{63}{4})$	=	0
$- 12 t + 63$	=	0	\| $- 63$
$- 12 t$	=	$- 63$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$\frac{21}{4}$ = 5.25

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{21}{4}$ ≈ 5.25.

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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung