Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x+0$

= $2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot 2$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2^2-2$ = $4-2$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $4$⋅ $2$ + c

$2$ = $8$ + c | $-8$

$-6$ = c

also c= $-6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x $-6$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-\frac{4}{3}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $x^2-\frac{4}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $1^2-\frac{4}{3}$

= $1-\frac{4}{3}$

= $\frac{3}{3}-\frac{4}{3}$

= $-\frac{1}{3}$

≈ -0.33

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{3}\cdot 1^3-\frac{4}{3}\cdot 1$ = $\frac{1}{3}\cdot 1-\frac{4}{3}$ = $\frac{1}{3}-\frac{4}{3}$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $-\frac{1}{3}$⋅ $1$ + c

$-1$ = $-\frac{1}{3}$ + c | + $\frac{1}{3}$

$-\frac{2}{3}$ = c

also c= $-\frac{2}{3}$ ≈ -0.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{1}{3}$⋅x $-\frac{2}{3}$ oder y=-0.33x -0.67

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^3+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+0$

= $-9x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-9\cdot {\left(-1\right)}^2$

= $-9\cdot 1$

= $-9$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{9}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{9}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-1\right)}^3+1$ = $-3\cdot \left(-1\right)+1$ = $3+1$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $\frac{1}{9}$⋅( $-1$) + c

$4$ = $-\frac{1}{9}$ + c | + $\frac{1}{9}$

$\frac{37}{9}$ = c

also c= $\frac{37}{9}$ ≈ 4.11

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{9}$⋅x + $\frac{37}{9}$ oder y=0.11x +4.11

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2-3x$

f'(-2) = $-\frac{3}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-3\cdot \left(-2\right)$ = $-\frac{3}{2}\cdot 4+6$ = $-6+6$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+18x-4$ ab:

f'(x) = $3x+18$

Es muss gelten:

$3x+18$	=	$-3$	| $-18$
$3x$	=	$-21$	|:$3$
$x$	=	$-7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+0$

= $3x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2$

= $3\cdot 1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3+1$ = $1+1$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $3$⋅ $1$ + c

$2$ = $3$ + c | $-3$

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x $-1$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $3x-1$

$3x-1$	=	0	| $+1$
$3x$	=	$1$	|:$3$
$x$	=	$\frac{1}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $8-\frac{1}{8}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{4}t$

= $-\frac{1}{4}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 4$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $8-\frac{1}{8}\cdot 4^2$ = $8-\frac{1}{8}\cdot 16$ = $8-2$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $-1$⋅4 + c

$6$ = $-4$ + c | + $4$

$10$ = c

also c= $10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅t + $10$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-t+10$

$-t+10$	=	0	| $-10$
$-t$	=	$-10$	|:($-1$)
$t$	=	$10$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $10$.