Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x+0$

= $6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot \left(-2\right)$

= $-12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-12$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-2\right)}^2-3$ = $3\cdot 4-3$ = $12-3$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $-12$⋅( $-2$) + c

$9$ = $24$ + c | $-24$

$-15$ = c

also c= $-15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-12$⋅x $-15$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{x}^3-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x^2+0$

= $2x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot 1^2$

= $2\cdot 1$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{2}{3}\cdot 1^3-5$ = $\frac{2}{3}\cdot 1-5$ = $\frac{2}{3}-5$ = $\frac{2}{3}-\frac{15}{3}$ = $-\frac{13}{3}$ ≈ -4.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-\frac{13}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{13}{3}$ = $2$⋅ $1$ + c

$-\frac{13}{3}$ = $2$ + c | $-2$

$-\frac{19}{3}$ = c

also c= $-\frac{19}{3}$ ≈ -6.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x $-\frac{19}{3}$ oder y=2x -6.33

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot \left(-1\right)-1$

= $4-1$

= $3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)$ = $-2\cdot 1+1$ = $-2+1$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $-\frac{1}{3}$⋅( $-1$) + c

$-1$ = $\frac{1}{3}$ + c | $-\frac{1}{3}$

$-\frac{4}{3}$ = c

also c= $-\frac{4}{3}$ ≈ -1.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{3}$⋅x $-\frac{4}{3}$ oder y=-0.33x -1.33

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$

f'(2) = $-\frac{1}{2}\cdot 2+\frac{1}{2}$ = $-1+\frac{1}{2}$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-15x-2$ ab:

f'(x) = $3x-15$

Es muss gelten:

$3x-15$	=	$3$	| $+15$
$3x$	=	$18$	|:$3$
$x$	=	$6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-4x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2-8\cdot 1$

= $3\cdot 1-8$

= $3-8$

= $-5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3-4\cdot 1^2$ = $1-4\cdot 1$ = $1-4$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $-5$⋅ $1$ + c

$-3$ = $-5$ + c | + $5$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-5$⋅x + $2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-5x+2$

$-5x+2$	=	0	| $-2$
$-5x$	=	$-2$	|:($-5$)
$x$	=	$\frac{2}{5}$ = 0.4

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{2}{5}$ ≈ 0.4.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $4-\frac{1}{24}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{8}{t}^2$

= $-\frac{1}{8}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{8}\cdot 3^2$

= $-\frac{1}{8}\cdot 9$

= $-\frac{9}{8}$

≈ -1.13

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{9}{8}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $4-\frac{1}{24}\cdot 3^3$ = $4-\frac{1}{24}\cdot 27$ = $4-\frac{9}{8}$ = $\frac{32}{8}-\frac{9}{8}$ = $\frac{23}{8}$ ≈ 2.88

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{23}{8}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{23}{8}$ = $-\frac{9}{8}$⋅3 + c

$\frac{23}{8}$ = $-\frac{27}{8}$ + c | + $\frac{27}{8}$

$\frac{25}{4}$ = c

also c= $\frac{25}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{9}{8}$⋅t + $\frac{25}{4}$ oder y=-1.13t +6.25

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{9}{8}t+\frac{25}{4}$

$-\frac{9}{8}t+\frac{25}{4}$	=	0	|⋅ 8
$8\left(-\frac{9}{8}t+\frac{25}{4}\right)$	=	0
$-9t+50$	=	0	| $-50$
$-9t$	=	$-50$	|:($-9$)
$t$	=	$\frac{50}{9}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{50}{9}$ ≈ 5.56.