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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{3} - 5$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{3} - 5$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 0$

= $- 3 x^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- 3 \cdot 2^{2}$

= $- 3 \cdot 4$

= $- 12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 12$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $- 2^{3} - 5$ = $- 8 - 5$ = $- 13$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $- 13$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 13$ = $- 12$ ⋅ $2$ + c

$- 13$ = $- 24$ + c | + $24$

$11$ = c

also c= $11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 12$ ⋅x + $11$

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{3} - 3 x$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 4 x^{3} - 3 x$ ,
also

$f'(x) =$ $- 12 x^{2} - 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- 12 \cdot 2^{2} - 3$

= $- 12 \cdot 4 - 3$

= $- 48 - 3$

= $- 51$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 51$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $- 4 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2$ = $- 4 \cdot 8 - 6$ = $- 32 - 6$ = $- 38$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $- 38$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 38$ = $- 51$ ⋅ $2$ + c

$- 38$ = $- 102$ + c | + $102$

$64$ = c

also c= $64$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 51$ ⋅x + $64$

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{3} - x^{2}$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{3} - x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} - 2 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $- 3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1$

= $- 3 \cdot 1 - 2$

= $- 3 - 2$

= $- 5$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $\frac{1}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{5}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- 1^{3} - 1^{2}$ = $- 1 - 1$ = $- 2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- 2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 2$ = $\frac{1}{5}$ ⋅ $1$ + c

$- 2$ = $\frac{1}{5}$ + c | $- \frac{1}{5}$

$- \frac{11}{5}$ = c

also c= $- \frac{11}{5}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{5}$ ⋅x $- \frac{11}{5}$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{4} + x^{3}$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{4} + x^{3}$

=> $f'(x) =$ $- 2 x^{3} + 3 x^{2}$

f'(2) = $- 2 \cdot 2^{3} + 3 \cdot 2^{2}$ = $- 2 \cdot 8 + 3 \cdot 4$ = $- 16 + 12$ = $- 4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $- 4$ )) ≈ -76°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 4 x - 2$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 4 x - 2$ ab:

f'(x) = $x - 4$

Es muss gelten:

$x - 4$	=	$3$	\| $+ 4$
$x$	=	$7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} + x$ im Punkt B( $2$ |f( $2$ )) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 x^{2} + x$ ,
also

$f'(x) =$ $8 x + 1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $8 \cdot 2 + 1$

= $16 + 1$

= $17$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $17$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $4 \cdot 2^{2} + 2$ = $4 \cdot 4 + 2$ = $16 + 2$ = $18$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $18$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$18$ = $17$ ⋅ $2$ + c

$18$ = $34$ + c | $- 34$

$- 16$ = c

also c= $- 16$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $17$ ⋅x $- 16$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $17 x - 16$

$17 x - 16$	=	0	\| $+ 16$
$17 x$	=	$16$	\|: $17$
$x$	=	$\frac{16}{17}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{16}{17}$ ≈ 0.94.

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Das Wasservolumen in einem Wassertank lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $8 - \frac{1}{32} t^{3}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m³).
Nach 4 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate des Wasservolumens konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=4s hatte.
Wann ist der Tank leer?

Lösung einblenden

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $8 - \frac{1}{32} t^{3}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{3}{32} t^{2}$

= $- \frac{3}{32} t^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(4) =$ $- \frac{3}{32} \cdot 4^{2}$

= $- \frac{3}{32} \cdot 16$

= $- \frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{3}{2}$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(4) =$ $8 - \frac{1}{32} \cdot 4^{3}$ = $8 - \frac{1}{32} \cdot 64$ = $8 - 2$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $6$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $- \frac{3}{2}$ ⋅4 + c

$6$ = $- 6$ + c | + $6$

$12$ = c

also c= $12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{3}{2}$ ⋅t + $12$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- \frac{3}{2} t + 12$

$- \frac{3}{2} t + 12$	=	0	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} t + 12)$	=	0
$- 3 t + 24$	=	0	\| $- 24$
$- 3 t$	=	$- 24$	\|:( $- 3$ )
$t$	=	$8$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $8$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung