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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} - 5$ an der Stelle x= $- 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 4 x^{2} - 5$ ,
also

$f'(x) =$ $- 8 x + 0$

= $- 8 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $- 8 \cdot (- 2)$

= $16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $16$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $- 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 5$ = $- 4 \cdot 4 - 5$ = $- 16 - 5$ = $- 21$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $- 21$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 21$ = $16$ ⋅( $- 2$ ) + c

$- 21$ = $- 32$ + c | + $32$

$11$ = c

also c= $11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $16$ ⋅x + $11$

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 3$ an der Stelle x= $- 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{2} - 3$ ,
also

$f'(x) =$ $- 2 x + 0$

= $- 2 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $- 2 \cdot (- 2)$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $- {(- 2)}^{2} - 3$ = $- 4 - 3$ = $- 7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $- 7$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 7$ = $4$ ⋅( $- 2$ ) + c

$- 7$ = $- 8$ + c | + $8$

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$ ⋅x + $1$

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} + 5$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $5 x^{2} + 5$ ,
also

$f'(x) =$ $10 x + 0$

= $10 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $10 \cdot (- 1)$

= $- 10$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $\frac{1}{10}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{10}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $5 \cdot {(- 1)}^{2} + 5$ = $5 \cdot 1 + 5$ = $5 + 5$ = $10$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $10$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$10$ = $\frac{1}{10}$ ⋅( $- 1$ ) + c

$10$ = $- \frac{1}{10}$ + c | + $\frac{1}{10}$

$\frac{101}{10}$ = c

also c= $\frac{101}{10}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{10}$ ⋅x + $\frac{101}{10}$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + 2$ im Punkt P(1|f(1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + 2$

=> $f'(x) =$ $4 x^{3} - 3 x + 0$

f'(1) = $4 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1$ = $4 \cdot 1 - 3$ = $4 - 3$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $1$ )) ≈ 45°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{20} x^{4} - 73 x - 4$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{20} x^{4} - 73 x - 4$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{5} x^{3} - 73$

Es muss gelten:

$\frac{3}{5} x^{3} - 73$	=	$2$	\| $+ 73$
$\frac{3}{5} x^{3}$	=	$75$	\|⋅ $\frac{5}{3}$
$x^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 5 x$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $3 x^{2} + 5 x$ ,
also

$f'(x) =$ $6 x + 5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $6 \cdot 1 + 5$

= $6 + 5$

= $11$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $11$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $3 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1$ = $3 \cdot 1 + 5$ = $3 + 5$ = $8$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $8$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$8$ = $11$ ⋅ $1$ + c

$8$ = $11$ + c | $- 11$

$- 3$ = c

also c= $- 3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $11$ ⋅x $- 3$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $11 x - 3$

$11 x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$11 x$	=	$3$	\|: $11$
$x$	=	$\frac{3}{11}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{3}{11}$ ≈ 0.27.

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Das Wasservolumen in einem Wassertank lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $4 - \frac{1}{8} t^{2}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m³).
Nach 3 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate des Wasservolumens konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=3s hatte.
Wann ist der Tank leer?

Lösung einblenden

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $4 - \frac{1}{8} t^{2}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{1}{4} t$

= $- \frac{1}{4} t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(3) =$ $- \frac{1}{4} \cdot 3$

= $- \frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{3}{4}$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(3) =$ $4 - \frac{1}{8} \cdot 3^{2}$ = $4 - \frac{1}{8} \cdot 9$ = $4 - \frac{9}{8}$ = $\frac{32}{8} - \frac{9}{8}$ = $\frac{23}{8}$ ≈ 2.88

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{23}{8}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{23}{8}$ = $- \frac{3}{4}$ ⋅3 + c

$\frac{23}{8}$ = $- \frac{9}{4}$ + c | + $\frac{9}{4}$

$\frac{41}{8}$ = c

also c= $\frac{41}{8}$ ≈ 5.13

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{3}{4}$ ⋅t + $\frac{41}{8}$ oder y=-0.75t +5.13

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- \frac{3}{4} t + \frac{41}{8}$

$- \frac{3}{4} t + \frac{41}{8}$	=	0	\|⋅ 8
$8 (- \frac{3}{4} t + \frac{41}{8})$	=	0
$- 6 t + 41$	=	0	\| $- 41$
$- 6 t$	=	$- 41$	\|:( $- 6$ )
$t$	=	$\frac{41}{6}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{41}{6}$ ≈ 6.83.

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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung