Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^3+2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-12x^2+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-12\cdot {\left(-1\right)}^2+2$

= $-12\cdot 1+2$

= $-12+2$

= $-10$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-10$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-1\right)}^3+2\cdot \left(-1\right)$ = $-4\cdot \left(-1\right)-2$ = $4-2$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $-10$⋅( $-1$) + c

$2$ = $10$ + c | $-10$

$-8$ = c

also c= $-8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-10$⋅x $-8$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^3+x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $12x^2+2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $12\cdot 1^2+2\cdot 1$

= $12\cdot 1+2$

= $12+2$

= $14$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $14$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 1^3+1^2$ = $4\cdot 1+1$ = $4+1$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $14$⋅ $1$ + c

$5$ = $14$ + c | $-14$

$-9$ = c

also c= $-9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $14$⋅x $-9$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{6}{x}^3-2x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{1}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot 4+8$

= $2+8$

= $10$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{10}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{10}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{6}\cdot {\left(-2\right)}^3-2\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $\frac{1}{6}\cdot \left(-8\right)-2\cdot 4$ = $-\frac{4}{3}-8$ = $-\frac{4}{3}-\frac{24}{3}$ = $-\frac{28}{3}$ ≈ -9.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-\frac{28}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{28}{3}$ = $-\frac{1}{10}$⋅( $-2$) + c

$-\frac{28}{3}$ = $\frac{1}{5}$ + c | $-\frac{1}{5}$

$-\frac{143}{15}$ = c

also c= $-\frac{143}{15}$ ≈ -9.53

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{10}$⋅x $-\frac{143}{15}$ oder y=-0.1x -9.53

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-x^3+6$

=>$\text{f'(x)}=$ $x^3-3x^2+0$

f'(0) = $0^3-3\cdot 0^2$ = $0-3\cdot 0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-4$ ab:

f'(x) = $x$

Es muss gelten:

$x$

=

$-3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+0$

= $-2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-1\right)$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-1\right)}^2-5$ = $-1-5$ = $-6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6$ = $2$⋅( $-1$) + c

$-6$ = $-2$ + c | + $2$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x $-4$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $2x-4$

$2x-4$	=	0	| $+4$
$2x$	=	$4$	|:$2$
$x$	=	$2$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $2$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $3-\frac{1}{12}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{6}t$

= $-\frac{1}{6}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{6}\cdot 3$

= $-\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{1}{2}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $3-\frac{1}{12}\cdot 3^2$ = $3-\frac{1}{12}\cdot 9$ = $3-\frac{3}{4}$ = $\frac{12}{4}-\frac{3}{4}$ = $\frac{9}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{9}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{9}{4}$ = $-\frac{1}{2}$⋅3 + c

$\frac{9}{4}$ = $-\frac{3}{2}$ + c | + $\frac{3}{2}$

$\frac{15}{4}$ = c

also c= $\frac{15}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{1}{2}$⋅t + $\frac{15}{4}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{1}{2}t+\frac{15}{4}$

$-\frac{1}{2}t+\frac{15}{4}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{1}{2}t+\frac{15}{4}\right)$	=	0
$-2t+15$	=	0	| $-15$
$-2t$	=	$-15$	|:($-2$)
$t$	=	$\frac{15}{2}$ = 7.5

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{15}{2}$ ≈ 7.5.