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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= 2 x 2 -3x an der Stelle x= 1 :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 2 x 2 -3x ,
also

f'(x)= 4x -3

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 1 )= 41 -3

= 4 -3

= 1

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 1 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 1 )= 2 1 2 -31 = 21 -3 = 2 -3 = -1

Wir erhalten so also den Punkt B( 1 | -1 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-1 = 1 1 + c

-1 = 1 + c | -1

-2 = c

also c= -2

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 1 ⋅x -2

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= -2 x 2 -2x an der Stelle x= -2 :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -2 x 2 -2x ,
also

f'(x)= -4x -2

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( -2 )= -4( -2 ) -2

= 8 -2

= 6

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 6 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( -2 )= -2 ( -2 ) 2 -2( -2 ) = -24 +4 = -8 +4 = -4

Wir erhalten so also den Punkt B( -2 | -4 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-4 = 6 ⋅( -2 ) + c

-4 = -12 + c | + 12

8 = c

also c= 8

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 6 ⋅x + 8

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit f(x)= 4 x 3 -5x an der Stelle x= 2 :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 4 x 3 -5x ,
also

f'(x)= 12 x 2 -5

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 2 )= 12 2 2 -5

= 124 -5

= 48 -5

= 43

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

mn= - 1 mt

also mn= - 1 43

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= - 1 43 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 2 )= 4 2 3 -52 = 48 -10 = 32 -10 = 22

Wir erhalten so also den Punkt B( 2 | 22 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

22 = - 1 43 2 + c

22 = - 2 43 + c | + 2 43

948 43 = c

also c= 948 43 ≈ 22.05

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= - 1 43 ⋅x + 948 43 oder y=-0.02x +22.05

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - 3 2 x 2 +3x -4 im Punkt P(3|f(3)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - 3 2 x 2 +3x -4

=>f'(x)= -3x +3 +0

f'(3) = -33 +3 = -9 +3 = -6

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( -6 )) ≈ -80.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 4 x 4 +10x +9 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 4 x 4 +10x +9 ab:

f'(x) = x 3 +10

Es muss gelten:

x 3 +10 = 2 | -10
x 3 = -8 | 3
x = - 8 3 = -2

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -2.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit f(x)= x 3 +4 im Punkt B( -1 |f( -1 )) die x-Achse schneidet:

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= x 3 +4 ,
also

f'(x)= 3 x 2 +0

= 3 x 2

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( -1 )= 3 ( -1 ) 2

= 31

= 3

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 3 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( -1 )= ( -1 ) 3 +4 = ( -1 ) +4 = 3

Wir erhalten so also den Punkt B( -1 | 3 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

3 = 3 ⋅( -1 ) + c

3 = -3 + c | + 3

6 = c

also c= 6

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 3 ⋅x + 6

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = 3x +6

3x +6 = 0 | -6
3x = -6 |:3
x = -2

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = -2 .

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Das Wasservolumen in einem Wassertank lässt sich näherungsweise durch den Term f(t)= 13 - 1 4 t 2 beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m³).
Nach 3 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate des Wasservolumens konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=3s hatte.
Wann ist der Tank leer?

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Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(t)= 13 - 1 4 t 2 ,
also

f'(t)= 0 - 1 2 t

= - 1 2 t

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'(3)= - 1 2 3

= - 3 2

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= - 3 2 t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(3)= 13 - 1 4 3 2 = 13 - 1 4 9 = 13 - 9 4 = 52 4 - 9 4 = 43 4

Wir erhalten so also den Punkt B(3| 43 4 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

43 4 = - 3 2 ⋅3 + c

43 4 = - 9 2 + c | + 9 2

61 4 = c

also c= 61 4

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= - 3 2 ⋅t + 61 4

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = - 3 2 t + 61 4

- 3 2 t + 61 4 = 0 |⋅ 4
4( - 3 2 t + 61 4 ) = 0
-6t +61 = 0 | -61
-6t = -61 |:(-6 )
t = 61 6

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = 61 6 ≈ 10.17.