Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^3-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9x^2+0$

= $9x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $9\cdot 0^2$

= $9\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $3\cdot 0^3-5$ = $3\cdot 0-5$ = $0-5$ = $-5$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-5$ = 0⋅0 + c

$-5$ = 0 + c

$-5$ = c

also c= $-5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $-5$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2+\frac{1}{2}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+\frac{1}{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-1\right)+\frac{1}{2}$

= $2+\frac{1}{2}$

= $\frac{4}{2}+\frac{1}{2}$

= $\frac{5}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{5}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-1\right)}^2+\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)$ = $-1-\frac{1}{2}$ = $-\frac{2}{2}-\frac{1}{2}$ = $-\frac{3}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-\frac{3}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{3}{2}$ = $\frac{5}{2}$⋅( $-1$) + c

$-\frac{3}{2}$ = $-\frac{5}{2}$ + c | + $\frac{5}{2}$

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{5}{2}$⋅x + $1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{x}^3+5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x^2+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $2\cdot 0^2+5$

= $2\cdot 0+5$

= $0+5$

= $5$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $\frac{2}{3}\cdot 0^3+5\cdot 0$ = $\frac{2}{3}\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-\frac{1}{5}$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{5}$⋅x +0

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-x+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $x-1+0$

f'(0) = $0-1$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-26x+6$ ab:

f'(x) = $x^3-26$

Es muss gelten:

$x^3-26$	=	$1$	| $+26$
$x^3$	=	$27$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-4x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2-8\cdot 1$

= $3\cdot 1-8$

= $3-8$

= $-5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3-4\cdot 1^2$ = $1-4\cdot 1$ = $1-4$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $-5$⋅ $1$ + c

$-3$ = $-5$ + c | + $5$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-5$⋅x + $2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-5x+2$

$-5x+2$	=	0	| $-2$
$-5x$	=	$-2$	|:($-5$)
$x$	=	$\frac{2}{5}$ = 0.4

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{2}{5}$ ≈ 0.4.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $12-\frac{1}{28}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{7}{t}^3$

= $-\frac{1}{7}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{7}\cdot 3^3$

= $-\frac{1}{7}\cdot 27$

= $-\frac{27}{7}$

≈ -3.86

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{27}{7}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $12-\frac{1}{28}\cdot 3^4$ = $12-\frac{1}{28}\cdot 81$ = $12-\frac{81}{28}$ = $\frac{336}{28}-\frac{81}{28}$ = $\frac{255}{28}$ ≈ 9.11

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{255}{28}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{255}{28}$ = $-\frac{27}{7}$⋅3 + c

$\frac{255}{28}$ = $-\frac{81}{7}$ + c | + $\frac{81}{7}$

$\frac{579}{28}$ = c

also c= $\frac{579}{28}$ ≈ 20.68

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{27}{7}$⋅t + $\frac{579}{28}$ oder y=-3.86t +20.68

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{27}{7}t+\frac{579}{28}$

$-\frac{27}{7}t+\frac{579}{28}$	=	0	|⋅ 28
$28\left(-\frac{27}{7}t+\frac{579}{28}\right)$	=	0
$-108t+579$	=	0	| $-579$
$-108t$	=	$-579$	|:($-108$)
$t$	=	$\frac{193}{36}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{193}{36}$ ≈ 5.36.