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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} - 3$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $5 x^{2} - 3$ ,
also

$f'(x) =$ $10 x + 0$

= $10 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $10 \cdot 1$

= $10$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $10$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $5 \cdot 1^{2} - 3$ = $5 \cdot 1 - 3$ = $5 - 3$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $10$ ⋅ $1$ + c

$2$ = $10$ + c | $- 10$

$- 8$ = c

also c= $- 8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $10$ ⋅x $- 8$

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} - x$ an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $5 x^{2} - x$ ,
also

$f'(x) =$ $10 x - 1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $10 \cdot 0 - 1$

= $0 - 1$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $5 \cdot 0^{2} - 0$ = $5 \cdot 0 + 0$ = $0 + 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $- 1$ ⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅x +0

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} x^{2} - 5$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\frac{2}{3} x^{2} - 5$ ,
also

$f'(x) =$ $\frac{4}{3} x + 0$

= $\frac{4}{3} x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $\frac{4}{3} \cdot 1$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1.33

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- \frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- \frac{3}{4}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $\frac{2}{3} \cdot 1^{2} - 5$ = $\frac{2}{3} \cdot 1 - 5$ = $\frac{2}{3} - 5$ = $\frac{2}{3} - \frac{15}{3}$ = $- \frac{13}{3}$ ≈ -4.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- \frac{13}{3}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- \frac{13}{3}$ = $- \frac{3}{4}$ ⋅ $1$ + c

$- \frac{13}{3}$ = $- \frac{3}{4}$ + c | + $\frac{3}{4}$

$- \frac{43}{12}$ = c

also c= $- \frac{43}{12}$ ≈ -3.58

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- \frac{3}{4}$ ⋅x $- \frac{43}{12}$ oder y=-0.75x -3.58

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x - 3$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x - 3$

=> $f'(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - \frac{3}{2} + 0$

f'(2) = $\frac{3}{2} \cdot 2^{2} - \frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2} \cdot 4 - \frac{3}{2}$ = $6 - \frac{3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ ≈ 4.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $\frac{9}{2}$ )) ≈ 77.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + 24 x - 4$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + 24 x - 4$ ab:

f'(x) = $x^{3} + 24$

Es muss gelten:

$x^{3} + 24$	=	$- 3$	\| $- 24$
$x^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} - 2$ im Punkt B( $- 2$ |f( $- 2$ )) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 4 x^{2} - 2$ ,
also

$f'(x) =$ $- 8 x + 0$

= $- 8 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $- 8 \cdot (- 2)$

= $16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $16$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $- 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 2$ = $- 4 \cdot 4 - 2$ = $- 16 - 2$ = $- 18$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $- 18$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 18$ = $16$ ⋅( $- 2$ ) + c

$- 18$ = $- 32$ + c | + $32$

$14$ = c

also c= $14$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $16$ ⋅x + $14$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $16 x + 14$

$16 x + 14$	=	0	\| $- 14$
$16 x$	=	$- 14$	\|: $16$
$x$	=	$- \frac{7}{8}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $- \frac{7}{8}$ ≈ -0.88.

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Radfahrers lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $8 - \frac{1}{4} t^{3}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m/s).
Nach 2 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=2s hatte.
Wann kommt der Radfahrer zum Stillstand?

Lösung einblenden

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $8 - \frac{1}{4} t^{3}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{3}{4} t^{2}$

= $- \frac{3}{4} t^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- \frac{3}{4} \cdot 2^{2}$

= $- \frac{3}{4} \cdot 4$

= $- 3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 3$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $8 - \frac{1}{4} \cdot 2^{3}$ = $8 - \frac{1}{4} \cdot 8$ = $8 - 2$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $6$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $- 3$ ⋅2 + c

$6$ = $- 6$ + c | + $6$

$12$ = c

also c= $12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 3$ ⋅t + $12$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- 3 t + 12$

$- 3 t + 12$	=	0	\| $- 12$
$- 3 t$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$t$	=	$4$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $4$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung