Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+0$

= $3x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2$

= $3\cdot 1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3+4$ = $1+4$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $3$⋅ $1$ + c

$5$ = $3$ + c | $-3$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x + $2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+0$

= $-3x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-3\cdot 0^2$

= $-3\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-0^3+5$ = $-0+5$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = 0⋅0 + c

$5$ = 0 + c

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x + $5$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{9}{x}^3-2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^2-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{2}{3}\cdot 2^2-2$

= $-\frac{2}{3}\cdot 4-2$

= $-\frac{8}{3}-2$

= $-\frac{8}{3}-\frac{6}{3}$

= $-\frac{14}{3}$

≈ -4.67

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{3}{14}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{3}{14}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{2}{9}\cdot 2^3-2\cdot 2$ = $-\frac{2}{9}\cdot 8-4$ = $-\frac{16}{9}-4$ = $-\frac{16}{9}-\frac{36}{9}$ = $-\frac{52}{9}$ ≈ -5.78

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-\frac{52}{9}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{52}{9}$ = $\frac{3}{14}$⋅ $2$ + c

$-\frac{52}{9}$ = $\frac{3}{7}$ + c | $-\frac{3}{7}$

$-\frac{391}{63}$ = c

also c= $-\frac{391}{63}$ ≈ -6.21

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{3}{14}$⋅x $-\frac{391}{63}$ oder y=0.21x -6.21

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x+4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x-\frac{3}{2}+0$

f'(-2) = $-\left(-2\right)-\frac{3}{2}$ = $2-\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $\frac{1}{2}$)) ≈ 26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{16}{x}^4-18x-7$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{4}{x}^3-18$

Es muss gelten:

$-\frac{1}{4}{x}^3-18$	=	$-2$	| $+18$
$-\frac{1}{4}{x}^3$	=	$16$	|⋅ $\left(-4\right)$
$x^3$	=	$-64$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{64}$	= $-4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+5x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+10x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2+10\cdot \left(-1\right)$

= $3\cdot 1-10$

= $3-10$

= $-7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^3+5\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $\left(-1\right)+5\cdot 1$ = $-1+5$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $-7$⋅( $-1$) + c

$4$ = $7$ + c | $-7$

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-7$⋅x $-3$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-7x-3$

$-7x-3$	=	0	| $+3$
$-7x$	=	$3$	|:($-7$)
$x$	=	$-\frac{3}{7}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{3}{7}$ ≈ -0.43.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $5-\frac{1}{20}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{3}{20}{t}^2$

= $-\frac{3}{20}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{3}{20}\cdot 3^2$

= $-\frac{3}{20}\cdot 9$

= $-\frac{27}{20}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{27}{20}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $5-\frac{1}{20}\cdot 3^3$ = $5-\frac{1}{20}\cdot 27$ = $5-\frac{27}{20}$ = $\frac{100}{20}-\frac{27}{20}$ = $\frac{73}{20}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{73}{20}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{73}{20}$ = $-\frac{27}{20}$⋅3 + c

$\frac{73}{20}$ = $-\frac{81}{20}$ + c | + $\frac{81}{20}$

$\frac{77}{10}$ = c

also c= $\frac{77}{10}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{27}{20}$⋅t + $\frac{77}{10}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{27}{20}t+\frac{77}{10}$

$-\frac{27}{20}t+\frac{77}{10}$	=	0	|⋅ 20
$20\left(-\frac{27}{20}t+\frac{77}{10}\right)$	=	0
$-27t+154$	=	0	| $-154$
$-27t$	=	$-154$	|:($-27$)
$t$	=	$\frac{154}{27}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{154}{27}$ ≈ 5.7.