Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x+0$

= $4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $4\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $2\cdot 0^2+4$ = $2\cdot 0+4$ = $0+4$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = 0⋅0 + c

$4$ = 0 + c

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x + $4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2-x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-0-1$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 0^2-0$ = $-\frac{1}{2}\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-1$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $x^2+0$

= $x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ ${\left(-2\right)}^2$

= $4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{3}\cdot {\left(-2\right)}^3-4$ = $\frac{1}{3}\cdot \left(-8\right)-4$ = $-\frac{8}{3}-4$ = $-\frac{8}{3}-\frac{12}{3}$ = $-\frac{20}{3}$ ≈ -6.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-\frac{20}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{20}{3}$ = $-\frac{1}{4}$⋅( $-2$) + c

$-\frac{20}{3}$ = $\frac{1}{2}$ + c | $-\frac{1}{2}$

$-\frac{43}{6}$ = c

also c= $-\frac{43}{6}$ ≈ -7.17

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{4}$⋅x $-\frac{43}{6}$ oder y=-0.25x -7.17

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4-x^3-3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x^3-3x^2+0$

f'(-2) = $-2\cdot {\left(-2\right)}^3-3\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $-2\cdot \left(-8\right)-3\cdot 4$ = $16-12$ = $4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $4$)) ≈ 76°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+13x+7$ ab:

f'(x) = $2x+13$

Es muss gelten:

$2x+13$	=	$1$	| $-13$
$2x$	=	$-12$	|:$2$
$x$	=	$-6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+0$

= $3x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2$

= $3\cdot 1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3+5$ = $1+5$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $3$⋅ $1$ + c

$6$ = $3$ + c | $-3$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x + $3$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $3x+3$

$3x+3$	=	0	| $-3$
$3x$	=	$-3$	|:$3$
$x$	=	$-1$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-1$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $11-\frac{1}{28}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{7}{t}^3$

= $-\frac{1}{7}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{7}\cdot 3^3$

= $-\frac{1}{7}\cdot 27$

= $-\frac{27}{7}$

≈ -3.86

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{27}{7}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $11-\frac{1}{28}\cdot 3^4$ = $11-\frac{1}{28}\cdot 81$ = $11-\frac{81}{28}$ = $\frac{308}{28}-\frac{81}{28}$ = $\frac{227}{28}$ ≈ 8.11

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{227}{28}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{227}{28}$ = $-\frac{27}{7}$⋅3 + c

$\frac{227}{28}$ = $-\frac{81}{7}$ + c | + $\frac{81}{7}$

$\frac{551}{28}$ = c

also c= $\frac{551}{28}$ ≈ 19.68

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{27}{7}$⋅t + $\frac{551}{28}$ oder y=-3.86t +19.68

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{27}{7}t+\frac{551}{28}$

$-\frac{27}{7}t+\frac{551}{28}$	=	0	|⋅ 28
$28\left(-\frac{27}{7}t+\frac{551}{28}\right)$	=	0
$-108t+551$	=	0	| $-551$
$-108t$	=	$-551$	|:($-108$)
$t$	=	$\frac{551}{108}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{551}{108}$ ≈ 5.1.