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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= -4 x 3 -1 an der Stelle x= 1 :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -4 x 3 -1 ,
also

f'(x)= -12 x 2 +0

= -12 x 2

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 1 )= -12 1 2

= -121

= -12

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -12 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 1 )= -4 1 3 -1 = -41 -1 = -4 -1 = -5

Wir erhalten so also den Punkt B( 1 | -5 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-5 = -12 1 + c

-5 = -12 + c | + 12

7 = c

also c= 7

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -12 ⋅x + 7

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= - 4 9 x 3 + x an der Stelle x= 1 :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= - 4 9 x 3 + x ,
also

f'(x)= - 4 3 x 2 +1

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 1 )= - 4 3 1 2 +1

= - 4 3 1 +1

= - 4 3 +1

= - 4 3 + 3 3

= - 1 3

≈ -0.33

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= - 1 3 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 1 )= - 4 9 1 3 +1 = - 4 9 1 +1 = - 4 9 +1 = - 4 9 + 9 9 = 5 9 ≈ 0.56

Wir erhalten so also den Punkt B( 1 | 5 9 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

5 9 = - 1 3 1 + c

5 9 = - 1 3 + c | + 1 3

8 9 = c

also c= 8 9 ≈ 0.89

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= - 1 3 ⋅x + 8 9 oder y=-0.33x +0.89

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit f(x)= 1 2 x 2 -5 an der Stelle x= -1 :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 1 2 x 2 -5 ,
also

f'(x)= x +0

= x

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( -1 )= -1

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

mn= - 1 mt

also mn= 1

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= 1 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( -1 )= 1 2 ( -1 ) 2 -5 = 1 2 1 -5 = 1 2 -5 = 1 2 - 10 2 = - 9 2

Wir erhalten so also den Punkt B( -1 | - 9 2 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

- 9 2 = 1 ⋅( -1 ) + c

- 9 2 = -1 + c | + 1

- 7 2 = c

also c= - 7 2

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= 1 ⋅x - 7 2

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= x 4 +2 x 3 im Punkt P(-2|f(-2)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= x 4 +2 x 3

=>f'(x)= 4 x 3 +6 x 2

f'(-2) = 4 ( -2 ) 3 +6 ( -2 ) 2 = 4( -8 ) +64 = -32 +24 = -8

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( -8 )) ≈ -82.9°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 +5x +6 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 2 x 2 +5x +6 ab:

f'(x) = x +5

Es muss gelten:

x +5 = 1 | -5
x = -4

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -4.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit f(x)= x 3 -3 x 2 im Punkt B( 1 |f( 1 )) die x-Achse schneidet:

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= x 3 -3 x 2 ,
also

f'(x)= 3 x 2 -6x

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 1 )= 3 1 2 -61

= 31 -6

= 3 -6

= -3

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -3 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 1 )= 1 3 -3 1 2 = 1 -31 = 1 -3 = -2

Wir erhalten so also den Punkt B( 1 | -2 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-2 = -3 1 + c

-2 = -3 + c | + 3

1 = c

also c= 1

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -3 ⋅x + 1

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = -3x +1

-3x +1 = 0 | -1
-3x = -1 |:(-3 )
x = 1 3

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = 1 3 ≈ 0.33.

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Radfahrers lässt sich näherungsweise durch den Term f(t)= 10 - 1 12 t 3 beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m/s).
Nach 3 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=3s hatte.
Wann kommt der Radfahrer zum Stillstand?

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Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(t)= 10 - 1 12 t 3 ,
also

f'(t)= 0 - 1 4 t 2

= - 1 4 t 2

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'(3)= - 1 4 3 2

= - 1 4 9

= - 9 4

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= - 9 4 t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(3)= 10 - 1 12 3 3 = 10 - 1 12 27 = 10 - 9 4 = 40 4 - 9 4 = 31 4

Wir erhalten so also den Punkt B(3| 31 4 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

31 4 = - 9 4 ⋅3 + c

31 4 = - 27 4 + c | + 27 4

29 2 = c

also c= 29 2

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= - 9 4 ⋅t + 29 2

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = - 9 4 t + 29 2

- 9 4 t + 29 2 = 0 |⋅ 4
4( - 9 4 t + 29 2 ) = 0
-9t +58 = 0 | -58
-9t = -58 |:(-9 )
t = 58 9

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = 58 9 ≈ 6.44.