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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 2$ an der Stelle x= $- 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 2$ ,
also

$f'(x) =$ $- 8 x + 0$

= $- 8 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $- 8 \cdot (- 2)$

= $16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $16$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $- 4 \cdot {(- 2)}^{2} + 2$ = $- 4 \cdot 4 + 2$ = $- 16 + 2$ = $- 14$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $- 14$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 14$ = $16$ ⋅( $- 2$ ) + c

$- 14$ = $- 32$ + c | + $32$

$18$ = c

also c= $18$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $16$ ⋅x + $18$

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} - 5$ an der Stelle x= $- 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} - 5$ ,
also

$f'(x) =$ $- x + 0$

= $- x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $- (- 2)$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $- \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 5$ = $- \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$ = $- 2 - 5$ = $- 7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $- 7$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 7$ = $2$ ⋅( $- 2$ ) + c

$- 7$ = $- 4$ + c | + $4$

$- 3$ = c

also c= $- 3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$ ⋅x $- 3$

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ ,
also

$f'(x) =$ $x + 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $1 + 3$

= $4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- \frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- \frac{1}{4}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1$ = $\frac{1}{2} \cdot 1 + 3$ = $\frac{1}{2} + 3$ = $\frac{1}{2} + \frac{6}{2}$ = $\frac{7}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $\frac{7}{2}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{7}{2}$ = $- \frac{1}{4}$ ⋅ $1$ + c

$\frac{7}{2}$ = $- \frac{1}{4}$ + c | + $\frac{1}{4}$

$\frac{15}{4}$ = c

also c= $\frac{15}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- \frac{1}{4}$ ⋅x + $\frac{15}{4}$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{4} - 2 x + 5$ im Punkt P(0|f(0)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{4} - 2 x + 5$

=> $f'(x) =$ $6 x^{3} - 2 + 0$

f'(0) = $6 \cdot 0^{3} - 2$ = $6 \cdot 0 - 2$ = $- 2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $- 2$ )) ≈ -63.4°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{8} x^{4} - 34 x - 5$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{8} x^{4} - 34 x - 5$ ab:

f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{3} - 34$

Es muss gelten:

$- \frac{1}{2} x^{3} - 34$	=	$- 2$	\| $+ 34$
$- \frac{1}{2} x^{3}$	=	$32$	\|⋅ $(- 2)$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} - 4$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 4$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 0$

= $3 x^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $3 \cdot 1^{2}$

= $3 \cdot 1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $1^{3} - 4$ = $1 - 4$ = $- 3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- 3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 3$ = $3$ ⋅ $1$ + c

$- 3$ = $3$ + c | $- 3$

$- 6$ = c

also c= $- 6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$ ⋅x $- 6$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $3 x - 6$

$3 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $2$ .

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Das Wasservolumen in einem Wassertank lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $4 - \frac{1}{16} t^{2}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m³).
Nach 4 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate des Wasservolumens konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=4s hatte.
Wann ist der Tank leer?

Lösung einblenden

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $4 - \frac{1}{16} t^{2}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{1}{8} t$

= $- \frac{1}{8} t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(4) =$ $- \frac{1}{8} \cdot 4$

= $- \frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{1}{2}$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(4) =$ $4 - \frac{1}{16} \cdot 4^{2}$ = $4 - \frac{1}{16} \cdot 16$ = $4 - 1$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $- \frac{1}{2}$ ⋅4 + c

$3$ = $- 2$ + c | + $2$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{1}{2}$ ⋅t + $5$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- \frac{1}{2} t + 5$

$- \frac{1}{2} t + 5$	=	0	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} t + 5)$	=	0
$- t + 10$	=	0	\| $- 10$
$- t$	=	$- 10$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$10$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $10$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung