Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot \left(-1\right)+5$

= $-8+5$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot {\left(-1\right)}^2+5\cdot \left(-1\right)$ = $4\cdot 1-5$ = $4-5$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $-3$⋅( $-1$) + c

$-1$ = $3$ + c | $-3$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x $-4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2+2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot \left(-1\right)+2$

= $-2+2$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)$ = $1-2$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = 0⋅( $-1$) + c

$-1$ = 0 + c

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $-1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $x^2+\frac{3}{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $1^2+\frac{3}{2}$

= $1+\frac{3}{2}$

= $\frac{2}{2}+\frac{3}{2}$

= $\frac{5}{2}$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{2}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{2}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{3}\cdot 1^3+\frac{3}{2}\cdot 1$ = $\frac{1}{3}\cdot 1+\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{3}+\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{6}+\frac{9}{6}$ = $\frac{11}{6}$ ≈ 1.83

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $\frac{11}{6}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{11}{6}$ = $-\frac{2}{5}$⋅ $1$ + c

$\frac{11}{6}$ = $-\frac{2}{5}$ + c | + $\frac{2}{5}$

$\frac{67}{30}$ = c

also c= $\frac{67}{30}$ ≈ 2.23

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{2}{5}$⋅x + $\frac{67}{30}$ oder y=-0.4x +2.23

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3+x^2-4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+2x+0$

f'(0) = $-\frac{3}{2}\cdot 0^2+2\cdot 0$ = $-\frac{3}{2}\cdot 0+0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-4x-5$ ab:

f'(x) = $x-4$

Es muss gelten:

$x-4$	=	$3$	| $+4$
$x$	=	$7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2-2\cdot \left(-1\right)$

= $3\cdot 1+2$

= $3+2$

= $5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^3-{\left(-1\right)}^2$ = $\left(-1\right)-1$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $5$⋅( $-1$) + c

$-2$ = $-5$ + c | + $5$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5$⋅x + $3$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $5x+3$

$5x+3$	=	0	| $-3$
$5x$	=	$-3$	|:$5$
$x$	=	$-\frac{3}{5}$ = -0.6

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{3}{5}$ ≈ -0.6.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $6-\frac{1}{8}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{4}t$

= $-\frac{1}{4}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 3$

= $-\frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{4}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $6-\frac{1}{8}\cdot 3^2$ = $6-\frac{1}{8}\cdot 9$ = $6-\frac{9}{8}$ = $\frac{48}{8}-\frac{9}{8}$ = $\frac{39}{8}$ ≈ 4.88

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{39}{8}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{39}{8}$ = $-\frac{3}{4}$⋅3 + c

$\frac{39}{8}$ = $-\frac{9}{4}$ + c | + $\frac{9}{4}$

$\frac{57}{8}$ = c

also c= $\frac{57}{8}$ ≈ 7.13

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{4}$⋅t + $\frac{57}{8}$ oder y=-0.75t +7.13

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{3}{4}t+\frac{57}{8}$

$-\frac{3}{4}t+\frac{57}{8}$	=	0	|⋅ 8
$8\left(-\frac{3}{4}t+\frac{57}{8}\right)$	=	0
$-6t+57$	=	0	| $-57$
$-6t$	=	$-57$	|:($-6$)
$t$	=	$\frac{19}{2}$ = 9.5

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{19}{2}$ ≈ 9.5.