Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^3-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $12x^2+0$

= $12x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $12\cdot {\left(-2\right)}^2$

= $12\cdot 4$

= $48$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $48$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot {\left(-2\right)}^3-4$ = $4\cdot \left(-8\right)-4$ = $-32-4$ = $-36$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-36$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-36$ = $48$⋅( $-2$) + c

$-36$ = $-96$ + c | + $96$

$60$ = c

also c= $60$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $48$⋅x + $60$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{6}{x}^2-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}x+0$

= $\frac{1}{3}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{1}{3}\cdot 2$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{2}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{6}\cdot 2^2-3$ = $\frac{1}{6}\cdot 4-3$ = $\frac{2}{3}-3$ = $\frac{2}{3}-\frac{9}{3}$ = $-\frac{7}{3}$ ≈ -2.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-\frac{7}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{7}{3}$ = $\frac{2}{3}$⋅ $2$ + c

$-\frac{7}{3}$ = $\frac{4}{3}$ + c | $-\frac{4}{3}$

$-\frac{11}{3}$ = c

also c= $-\frac{11}{3}$ ≈ -3.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{2}{3}$⋅x $-\frac{11}{3}$ oder y=0.67x -3.67

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-2\right)-2$

= $12-2$

= $10$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{10}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{10}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-2\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)$ = $-3\cdot 4+4$ = $-12+4$ = $-8$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-8$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-8$ = $-\frac{1}{10}$⋅( $-2$) + c

$-8$ = $\frac{1}{5}$ + c | $-\frac{1}{5}$

$-\frac{41}{5}$ = c

also c= $-\frac{41}{5}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{10}$⋅x $-\frac{41}{5}$

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^2-2x-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x-2+0$

f'(-1) = $-2\cdot \left(-1\right)-2$ = $2-2$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-3x+9$ ab:

f'(x) = $2x^3-3$

Es muss gelten:

$2x^3-3$	=	$-1$	| $+3$
$2x^3$	=	$2$	|:$2$
$x^3$	=	$1$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x+0$

= $2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot 1$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^2-5$ = $1-5$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $2$⋅ $1$ + c

$-4$ = $2$ + c | $-2$

$-6$ = c

also c= $-6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x $-6$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $2x-6$

$2x-6$	=	0	| $+6$
$2x$	=	$6$	|:$2$
$x$	=	$3$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $3$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $6-\frac{1}{12}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{6}t$

= $-\frac{1}{6}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{1}{6}\cdot 4$

= $-\frac{2}{3}$

≈ -0.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{2}{3}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $6-\frac{1}{12}\cdot 4^2$ = $6-\frac{1}{12}\cdot 16$ = $6-\frac{4}{3}$ = $\frac{18}{3}-\frac{4}{3}$ = $\frac{14}{3}$ ≈ 4.67

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $\frac{14}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{14}{3}$ = $-\frac{2}{3}$⋅4 + c

$\frac{14}{3}$ = $-\frac{8}{3}$ + c | + $\frac{8}{3}$

$\frac{22}{3}$ = c

also c= $\frac{22}{3}$ ≈ 7.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{2}{3}$⋅t + $\frac{22}{3}$ oder y=-0.67t +7.33

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{2}{3}t+\frac{22}{3}$

$-\frac{2}{3}t+\frac{22}{3}$	=	0	|⋅ 3
$3\left(-\frac{2}{3}t+\frac{22}{3}\right)$	=	0
$-2t+22$	=	0	| $-22$
$-2t$	=	$-22$	|:($-2$)
$t$	=	$11$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $11$.