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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} + 3 x^{2}$ an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} + 3 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 6 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $3 \cdot 0^{2} + 6 \cdot 0$

= $3 \cdot 0 + 0$

= $0 + 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $0^{3} + 3 \cdot 0^{2}$ = $0 + 3 \cdot 0$ = $0 + 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 2 x$ an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 2 x$ ,
also

$f'(x) =$ $- 8 x + 2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $- 8 \cdot 0 + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $- 4 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0$ = $- 4 \cdot 0 + 0$ = $0 + 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $2$ ⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$ ⋅x +0

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} - 4$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $5 x^{3} - 4$ ,
also

$f'(x) =$ $15 x^{2} + 0$

= $15 x^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $15 \cdot {(- 1)}^{2}$

= $15 \cdot 1$

= $15$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- \frac{1}{15}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- \frac{1}{15}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $5 \cdot {(- 1)}^{3} - 4$ = $5 \cdot (- 1) - 4$ = $- 5 - 4$ = $- 9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- 9$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 9$ = $- \frac{1}{15}$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- 9$ = $\frac{1}{15}$ + c | $- \frac{1}{15}$

$- \frac{136}{15}$ = c

also c= $- \frac{136}{15}$ ≈ -9.07

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- \frac{1}{15}$ ⋅x $- \frac{136}{15}$ oder y=-0.07x -9.07

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x - 5$ im Punkt P(1|f(1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x - 5$

=> $f'(x) =$ $x - 1 + 0$

f'(1) = $1 - 1$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{16} x^{4} - 14 x - 7$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{16} x^{4} - 14 x - 7$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{4} x^{3} - 14$

Es muss gelten:

$\frac{1}{4} x^{3} - 14$	=	$2$	\| $+ 14$
$\frac{1}{4} x^{3}$	=	$16$	\|⋅ $4$
$x^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 2$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 2$ ,
also

$f'(x) =$ $- 8 x + 0$

= $- 8 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $- 8 \cdot 1$

= $- 8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 8$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- 4 \cdot 1^{2} + 2$ = $- 4 \cdot 1 + 2$ = $- 4 + 2$ = $- 2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- 2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 2$ = $- 8$ ⋅ $1$ + c

$- 2$ = $- 8$ + c | + $8$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 8$ ⋅x + $6$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- 8 x + 6$

$- 8 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 8 x$	=	$- 6$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$\frac{3}{4}$ = 0.75

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{3}{4}$ ≈ 0.75.

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Das Wasservolumen in einem Wassertank lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $6 - \frac{1}{12} t^{2}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m³).
Nach 4 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate des Wasservolumens konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=4s hatte.
Wann ist der Tank leer?

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Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $6 - \frac{1}{12} t^{2}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{1}{6} t$

= $- \frac{1}{6} t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(4) =$ $- \frac{1}{6} \cdot 4$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{2}{3}$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(4) =$ $6 - \frac{1}{12} \cdot 4^{2}$ = $6 - \frac{1}{12} \cdot 16$ = $6 - \frac{4}{3}$ = $\frac{18}{3} - \frac{4}{3}$ = $\frac{14}{3}$ ≈ 4.67

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $\frac{14}{3}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{14}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ ⋅4 + c

$\frac{14}{3}$ = $- \frac{8}{3}$ + c | + $\frac{8}{3}$

$\frac{22}{3}$ = c

also c= $\frac{22}{3}$ ≈ 7.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{2}{3}$ ⋅t + $\frac{22}{3}$ oder y=-0.67t +7.33

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- \frac{2}{3} t + \frac{22}{3}$

$- \frac{2}{3} t + \frac{22}{3}$	=	0	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} t + \frac{22}{3})$	=	0
$- 2 t + 22$	=	0	\| $- 22$
$- 2 t$	=	$- 22$	\|:( $- 2$ )
$t$	=	$11$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $11$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung