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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} - 3 x$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $2 x^{2} - 3 x$ ,
also

$f'(x) =$ $4 x - 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $4 \cdot 1 - 3$

= $4 - 3$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $2 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1$ = $2 \cdot 1 - 3$ = $2 - 3$ = $- 1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- 1$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 1$ = $1$ ⋅ $1$ + c

$- 1$ = $1$ + c | $- 1$

$- 2$ = c

also c= $- 2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$ ⋅x $- 2$

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 2 x$ an der Stelle x= $- 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 2 x$ ,
also

$f'(x) =$ $- 4 x - 2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $- 4 \cdot (- 2) - 2$

= $8 - 2$

= $6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2)$ = $- 2 \cdot 4 + 4$ = $- 8 + 4$ = $- 4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $- 4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 4$ = $6$ ⋅( $- 2$ ) + c

$- 4$ = $- 12$ + c | + $12$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6$ ⋅x + $8$

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} - 5 x$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 x^{3} - 5 x$ ,
also

$f'(x) =$ $12 x^{2} - 5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $12 \cdot 2^{2} - 5$

= $12 \cdot 4 - 5$

= $48 - 5$

= $43$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- \frac{1}{43}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- \frac{1}{43}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $4 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2$ = $4 \cdot 8 - 10$ = $32 - 10$ = $22$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $22$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$22$ = $- \frac{1}{43}$ ⋅ $2$ + c

$22$ = $- \frac{2}{43}$ + c | + $\frac{2}{43}$

$\frac{948}{43}$ = c

also c= $\frac{948}{43}$ ≈ 22.05

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- \frac{1}{43}$ ⋅x + $\frac{948}{43}$ oder y=-0.02x +22.05

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{2} + 3 x - 4$ im Punkt P(3|f(3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{2} + 3 x - 4$

=> $f'(x) =$ $- 3 x + 3 + 0$

f'(3) = $- 3 \cdot 3 + 3$ = $- 9 + 3$ = $- 6$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $- 6$ )) ≈ -80.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + 10 x + 9$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + 10 x + 9$ ab:

f'(x) = $x^{3} + 10$

Es muss gelten:

$x^{3} + 10$	=	$2$	\| $- 10$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} + 4$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} + 4$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 0$

= $3 x^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $3 \cdot {(- 1)}^{2}$

= $3 \cdot 1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ ${(- 1)}^{3} + 4$ = $(- 1) + 4$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $3$ ⋅( $- 1$ ) + c

$3$ = $- 3$ + c | + $3$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$ ⋅x + $6$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $3 x + 6$

$3 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $- 2$ .

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Das Wasservolumen in einem Wassertank lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $13 - \frac{1}{4} t^{2}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m³).
Nach 3 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate des Wasservolumens konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=3s hatte.
Wann ist der Tank leer?

Lösung einblenden

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $13 - \frac{1}{4} t^{2}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{1}{2} t$

= $- \frac{1}{2} t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(3) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 3$

= $- \frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{3}{2}$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(3) =$ $13 - \frac{1}{4} \cdot 3^{2}$ = $13 - \frac{1}{4} \cdot 9$ = $13 - \frac{9}{4}$ = $\frac{52}{4} - \frac{9}{4}$ = $\frac{43}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{43}{4}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{43}{4}$ = $- \frac{3}{2}$ ⋅3 + c

$\frac{43}{4}$ = $- \frac{9}{2}$ + c | + $\frac{9}{2}$

$\frac{61}{4}$ = c

also c= $\frac{61}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{3}{2}$ ⋅t + $\frac{61}{4}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- \frac{3}{2} t + \frac{61}{4}$

$- \frac{3}{2} t + \frac{61}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (- \frac{3}{2} t + \frac{61}{4})$	=	0
$- 6 t + 61$	=	0	\| $- 61$
$- 6 t$	=	$- 61$	\|:( $- 6$ )
$t$	=	$\frac{61}{6}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{61}{6}$ ≈ 10.17.

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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung