Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^3-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9x^2+0$

= $9x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $9\cdot {\left(-2\right)}^2$

= $9\cdot 4$

= $36$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $36$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-2\right)}^3-4$ = $3\cdot \left(-8\right)-4$ = $-24-4$ = $-28$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-28$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-28$ = $36$⋅( $-2$) + c

$-28$ = $-72$ + c | + $72$

$44$ = c

also c= $44$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $36$⋅x + $44$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2+4$

= $3\cdot 1+4$

= $3+4$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3+4\cdot 1$ = $1+4$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $7$⋅ $1$ + c

$5$ = $7$ + c | $-7$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$⋅x $-2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{9}{x}^3+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^2+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot {\left(-2\right)}^2+3$

= $-\frac{1}{3}\cdot 4+3$

= $-\frac{4}{3}+3$

= $-\frac{4}{3}+\frac{9}{3}$

= $\frac{5}{3}$

≈ 1.67

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{3}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{3}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{9}\cdot {\left(-2\right)}^3+3\cdot \left(-2\right)$ = $-\frac{1}{9}\cdot \left(-8\right)-6$ = $\frac{8}{9}-6$ = $\frac{8}{9}-\frac{54}{9}$ = $-\frac{46}{9}$ ≈ -5.11

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-\frac{46}{9}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{46}{9}$ = $-\frac{3}{5}$⋅( $-2$) + c

$-\frac{46}{9}$ = $\frac{6}{5}$ + c | $-\frac{6}{5}$

$-\frac{284}{45}$ = c

also c= $-\frac{284}{45}$ ≈ -6.31

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{3}{5}$⋅x $-\frac{284}{45}$ oder y=-0.6x -6.31

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4+\frac{3}{2}{x}^3-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x^3+\frac{9}{2}{x}^2+0$

f'(0) = $-2\cdot 0^3+\frac{9}{2}\cdot 0^2$ = $-2\cdot 0+\frac{9}{2}\cdot 0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-56x+8$ ab:

f'(x) = $2x^3-56$

Es muss gelten:

$2x^3-56$	=	$-2$	| $+56$
$2x^3$	=	$54$	|:$2$
$x^3$	=	$27$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x+0$

= $4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $4\cdot 1$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2\cdot 1^2-5$ = $2\cdot 1-5$ = $2-5$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $4$⋅ $1$ + c

$-3$ = $4$ + c | $-4$

$-7$ = c

also c= $-7$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x $-7$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $4x-7$

$4x-7$	=	0	| $+7$
$4x$	=	$7$	|:$4$
$x$	=	$\frac{7}{4}$ = 1.75

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{7}{4}$ ≈ 1.75.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $5-\frac{1}{8}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{4}t$

= $-\frac{1}{4}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 3$

= $-\frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{4}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $5-\frac{1}{8}\cdot 3^2$ = $5-\frac{1}{8}\cdot 9$ = $5-\frac{9}{8}$ = $\frac{40}{8}-\frac{9}{8}$ = $\frac{31}{8}$ ≈ 3.88

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{31}{8}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{31}{8}$ = $-\frac{3}{4}$⋅3 + c

$\frac{31}{8}$ = $-\frac{9}{4}$ + c | + $\frac{9}{4}$

$\frac{49}{8}$ = c

also c= $\frac{49}{8}$ ≈ 6.13

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{4}$⋅t + $\frac{49}{8}$ oder y=-0.75t +6.13

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{3}{4}t+\frac{49}{8}$

$-\frac{3}{4}t+\frac{49}{8}$	=	0	|⋅ 8
$8\left(-\frac{3}{4}t+\frac{49}{8}\right)$	=	0
$-6t+49$	=	0	| $-49$
$-6t$	=	$-49$	|:($-6$)
$t$	=	$\frac{49}{6}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{49}{6}$ ≈ 8.17.