Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^3-3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x^2-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $6\cdot 0^2-3$

= $6\cdot 0-3$

= $0-3$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $2\cdot 0^3-3\cdot 0$ = $2\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-3$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\frac{1}{6}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\frac{1}{3}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-2\right)}^2+\frac{1}{3}\cdot \left(-2\right)$

= $-3\cdot 4-\frac{2}{3}$

= $-12-\frac{2}{3}$

= $-\frac{36}{3}-\frac{2}{3}$

= $-\frac{38}{3}$

≈ -12.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{38}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-2\right)}^3+\frac{1}{6}\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $-\left(-8\right)+\frac{1}{6}\cdot 4$ = $8+\frac{2}{3}$ = $\frac{24}{3}+\frac{2}{3}$ = $\frac{26}{3}$ ≈ 8.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $\frac{26}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{26}{3}$ = $-\frac{38}{3}$⋅( $-2$) + c

$\frac{26}{3}$ = $\frac{76}{3}$ + c | $-\frac{76}{3}$

$-\frac{50}{3}$ = c

also c= $-\frac{50}{3}$ ≈ -16.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{38}{3}$⋅x $-\frac{50}{3}$ oder y=-12.67x -16.67

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x+0$

= $-\frac{1}{2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2$

= $-1$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 2^2-1$ = $-\frac{1}{4}\cdot 4-1$ = $-1-1$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $1$⋅ $2$ + c

$-2$ = $2$ + c | $-2$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $1$⋅x $-4$

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4+x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x^3+1$

f'(2) = $-2\cdot 2^3+1$ = $-2\cdot 8+1$ = $-16+1$ = $-15$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-15$)) ≈ -86.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-109x+6$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^3-109$

Es muss gelten:

$-\frac{1}{2}{x}^3-109$	=	$-1$	| $+109$
$-\frac{1}{2}{x}^3$	=	$108$	|⋅ $\left(-2\right)$
$x^3$	=	$-216$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{216}$	= $-6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-x^2-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-2x+0$

= $3x^2-2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2-2\cdot 1$

= $3\cdot 1-2$

= $3-2$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3-1^2-3$ = $1-1-3$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $1$⋅ $1$ + c

$-3$ = $1$ + c | $-1$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x $-4$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $x-4$

$x-4$	=	0	| $+4$
$x$	=	$4$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $4$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $7-\frac{1}{128}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{32}{t}^3$

= $-\frac{1}{32}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{1}{32}\cdot 4^3$

= $-\frac{1}{32}\cdot 64$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $7-\frac{1}{128}\cdot 4^4$ = $7-\frac{1}{128}\cdot 256$ = $7-2$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $-2$⋅4 + c

$5$ = $-8$ + c | + $8$

$13$ = c

also c= $13$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅t + $13$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-2t+13$

$-2t+13$	=	0	| $-13$
$-2t$	=	$-13$	|:($-2$)
$t$	=	$\frac{13}{2}$ = 6.5

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{13}{2}$ ≈ 6.5.