Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-2\right)+1$

= $12+1$

= $13$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $13$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-2\right)}^2-2$ = $-3\cdot 4-2$ = $-12-2$ = $-14$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-14$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-14$ = $13$⋅( $-2$) + c

$-14$ = $-26$ + c | + $26$

$12$ = c

also c= $12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $13$⋅x + $12$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x+0$

= $6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot \left(-2\right)$

= $-12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-12$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-2\right)}^2-3$ = $3\cdot 4-3$ = $12-3$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $-12$⋅( $-2$) + c

$9$ = $24$ + c | $-24$

$-15$ = c

also c= $-15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-12$⋅x $-15$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^2-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{3}x+0$

= $-\frac{2}{3}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{2}{3}\cdot \left(-1\right)$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0.67

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{3}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot {\left(-1\right)}^2-1$ = $-\frac{1}{3}\cdot 1-1$ = $-\frac{1}{3}-1$ = $-\frac{1}{3}-\frac{3}{3}$ = $-\frac{4}{3}$ ≈ -1.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-\frac{4}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{4}{3}$ = $-\frac{3}{2}$⋅( $-1$) + c

$-\frac{4}{3}$ = $\frac{3}{2}$ + c | $-\frac{3}{2}$

$-\frac{17}{6}$ = c

also c= $-\frac{17}{6}$ ≈ -2.83

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{3}{2}$⋅x $-\frac{17}{6}$ oder y=-1.5x -2.83

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^3-x^2-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2-2x+0$

f'(-3) = $-\frac{3}{4}\cdot {\left(-3\right)}^2-2\cdot \left(-3\right)$ = $-\frac{3}{4}\cdot 9+6$ = $-\frac{27}{4}+6$ = $-\frac{3}{4}$ ≈ -0.75

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-\frac{3}{4}$)) ≈ -36.9°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4-25x+9$ ab:

f'(x) = $3x^3-25$

Es muss gelten:

$3x^3-25$	=	$-1$	| $+25$
$3x^3$	=	$24$	|:$3$
$x^3$	=	$8$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+0$

= $10x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot \left(-2\right)$

= $-20$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-20$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-2\right)}^2+3$ = $5\cdot 4+3$ = $20+3$ = $23$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $23$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$23$ = $-20$⋅( $-2$) + c

$23$ = $40$ + c | $-40$

$-17$ = c

also c= $-17$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-20$⋅x $-17$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-20x-17$

$-20x-17$	=	0	| $+17$
$-20x$	=	$17$	|:($-20$)
$x$	=	$-\frac{17}{20}$ = -0.85

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{17}{20}$ ≈ -0.85.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $9-\frac{1}{4}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{3}{4}{t}^2$

= $-\frac{3}{4}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{3}{4}\cdot 2^2$

= $-\frac{3}{4}\cdot 4$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $9-\frac{1}{4}\cdot 2^3$ = $9-\frac{1}{4}\cdot 8$ = $9-2$ = $7$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7$ = $-3$⋅2 + c

$7$ = $-6$ + c | + $6$

$13$ = c

also c= $13$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅t + $13$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-3t+13$

$-3t+13$	=	0	| $-13$
$-3t$	=	$-13$	|:($-3$)
$t$	=	$\frac{13}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{13}{3}$ ≈ 4.33.