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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{3} - 4 x^{2}$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{3} - 4 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} - 8 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $- 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 8 \cdot (- 1)$

= $- 3 \cdot 1 + 8$

= $- 3 + 8$

= $5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $- {(- 1)}^{3} - 4 \cdot {(- 1)}^{2}$ = $- (- 1) - 4 \cdot 1$ = $1 - 4$ = $- 3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- 3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 3$ = $5$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- 3$ = $- 5$ + c | + $5$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5$ ⋅x + $2$

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2$ an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{2} - 2$ ,
also

$f'(x) =$ $2 x + 0$

= $2 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $2 \cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $0^{2} - 2$ = $0 - 2$ = $- 2$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $- 2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 2$ = 0⋅0 + c

$- 2$ = 0 + c

$- 2$ = c

also c= $- 2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $- 2$

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{3} - 4 x^{2}$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 5 x^{3} - 4 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 15 x^{2} - 8 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $- 15 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1$

= $- 15 \cdot 1 - 8$

= $- 15 - 8$

= $- 23$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $\frac{1}{23}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{23}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- 5 \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1^{2}$ = $- 5 \cdot 1 - 4 \cdot 1$ = $- 5 - 4$ = $- 9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- 9$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 9$ = $\frac{1}{23}$ ⋅ $1$ + c

$- 9$ = $\frac{1}{23}$ + c | $- \frac{1}{23}$

$- \frac{208}{23}$ = c

also c= $- \frac{208}{23}$ ≈ -9.04

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{23}$ ⋅x $- \frac{208}{23}$ oder y=0.04x -9.04

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x - 7$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x - 7$

=> $f'(x) =$ $x - 1 + 0$

f'(2) = $2 - 1$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $1$ )) ≈ 45°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + x + 8$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + x + 8$ ab:

f'(x) = $3 x^{3} + 1$

Es muss gelten:

$3 x^{3} + 1$	=	$- 2$	\| $- 1$
$3 x^{3}$	=	$- 3$	\|: $3$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} + 4$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} + 4$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 0$

= $3 x^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $3 \cdot 1^{2}$

= $3 \cdot 1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $1^{3} + 4$ = $1 + 4$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $3$ ⋅ $1$ + c

$5$ = $3$ + c | $- 3$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$ ⋅x + $2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $3 x + 2$

$3 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$3 x$	=	$- 2$	\|: $3$
$x$	=	$- \frac{2}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67.

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Das Wasservolumen in einem Wassertank lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $11 - \frac{1}{8} t^{4}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m³).
Nach 2 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate des Wasservolumens konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=2s hatte.
Wann ist der Tank leer?

Lösung einblenden

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $11 - \frac{1}{8} t^{4}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{1}{2} t^{3}$

= $- \frac{1}{2} t^{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 2^{3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot 8$

= $- 4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 4$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $11 - \frac{1}{8} \cdot 2^{4}$ = $11 - \frac{1}{8} \cdot 16$ = $11 - 2$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $9$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $- 4$ ⋅2 + c

$9$ = $- 8$ + c | + $8$

$17$ = c

also c= $17$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 4$ ⋅t + $17$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- 4 t + 17$

$- 4 t + 17$	=	0	\| $- 17$
$- 4 t$	=	$- 17$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$\frac{17}{4}$ = 4.25

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{17}{4}$ ≈ 4.25.

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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung