Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2+5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $4\cdot 0+5$

= $0+5$

= $5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $2\cdot 0^2+5\cdot 0$ = $2\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $5$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{6}{x}^3-3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 2^2-3$

= $\frac{1}{2}\cdot 4-3$

= $2-3$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{6}\cdot 2^3-3\cdot 2$ = $\frac{1}{6}\cdot 8-6$ = $\frac{4}{3}-6$ = $\frac{4}{3}-\frac{18}{3}$ = $-\frac{14}{3}$ ≈ -4.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-\frac{14}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{14}{3}$ = $-1$⋅ $2$ + c

$-\frac{14}{3}$ = $-2$ + c | + $2$

$-\frac{8}{3}$ = c

also c= $-\frac{8}{3}$ ≈ -2.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x $-\frac{8}{3}$ oder y=-1x -2.67

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x+0$

= $4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $4\cdot \left(-1\right)$

= $-4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2\cdot {\left(-1\right)}^2-4$ = $2\cdot 1-4$ = $2-4$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $\frac{1}{4}$⋅( $-1$) + c

$-2$ = $-\frac{1}{4}$ + c | + $\frac{1}{4}$

$-\frac{7}{4}$ = c

also c= $-\frac{7}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{4}$⋅x $-\frac{7}{4}$

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^3-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2-2$

f'(-3) = $3\cdot {\left(-3\right)}^2-2$ = $3\cdot 9-2$ = $27-2$ = $25$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $25$)) ≈ 87.7°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{12}{x}^4-74x-5$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{3}{x}^3-74$

Es muss gelten:

$-\frac{1}{3}{x}^3-74$	=	$-2$	| $+74$
$-\frac{1}{3}{x}^3$	=	$72$	|⋅ $\left(-3\right)$
$x^3$	=	$-216$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{216}$	= $-6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+0$

= $8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot \left(-1\right)$

= $-8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot {\left(-1\right)}^2+2$ = $4\cdot 1+2$ = $4+2$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $-8$⋅( $-1$) + c

$6$ = $8$ + c | $-8$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-8$⋅x $-2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-8x-2$

$-8x-2$	=	0	| $+2$
$-8x$	=	$2$	|:($-8$)
$x$	=	$-\frac{1}{4}$ = -0.25

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{1}{4}$ ≈ -0.25.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $5-\frac{1}{20}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{3}{20}{t}^2$

= $-\frac{3}{20}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{3}{20}\cdot 3^2$

= $-\frac{3}{20}\cdot 9$

= $-\frac{27}{20}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{27}{20}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $5-\frac{1}{20}\cdot 3^3$ = $5-\frac{1}{20}\cdot 27$ = $5-\frac{27}{20}$ = $\frac{100}{20}-\frac{27}{20}$ = $\frac{73}{20}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{73}{20}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{73}{20}$ = $-\frac{27}{20}$⋅3 + c

$\frac{73}{20}$ = $-\frac{81}{20}$ + c | + $\frac{81}{20}$

$\frac{77}{10}$ = c

also c= $\frac{77}{10}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{27}{20}$⋅t + $\frac{77}{10}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{27}{20}t+\frac{77}{10}$

$-\frac{27}{20}t+\frac{77}{10}$	=	0	|⋅ 20
$20\left(-\frac{27}{20}t+\frac{77}{10}\right)$	=	0
$-27t+154$	=	0	| $-154$
$-27t$	=	$-154$	|:($-27$)
$t$	=	$\frac{154}{27}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{154}{27}$ ≈ 5.7.