Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+0$

= $3x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 2^2$

= $3\cdot 4$

= $12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $12$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2^3-2$ = $8-2$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $12$⋅ $2$ + c

$6$ = $24$ + c | $-24$

$-18$ = c

also c= $-18$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $12$⋅x $-18$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+0$

= $-\frac{3}{2}{x}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2$

= $-\frac{3}{2}\cdot 4$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot {\left(-2\right)}^3-2$ = $-\frac{1}{2}\cdot \left(-8\right)-2$ = $4-2$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $-6$⋅( $-2$) + c

$2$ = $12$ + c | $-12$

$-10$ = c

also c= $-10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x $-10$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^3-\frac{4}{3}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x^2-\frac{4}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-1\right)}^2-\frac{4}{3}$

= $-2\cdot 1-\frac{4}{3}$

= $-2-\frac{4}{3}$

= $-\frac{6}{3}-\frac{4}{3}$

= $-\frac{10}{3}$

≈ -3.33

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{3}{10}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{3}{10}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{2}{3}\cdot {\left(-1\right)}^3-\frac{4}{3}\cdot \left(-1\right)$ = $-\frac{2}{3}\cdot \left(-1\right)+\frac{4}{3}$ = $\frac{2}{3}+\frac{4}{3}$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $\frac{3}{10}$⋅( $-1$) + c

$2$ = $-\frac{3}{10}$ + c | + $\frac{3}{10}$

$\frac{23}{10}$ = c

also c= $\frac{23}{10}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{3}{10}$⋅x + $\frac{23}{10}$

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^4+3x^2+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^3+6x+0$

f'(2) = $-6\cdot 2^3+6\cdot 2$ = $-6\cdot 8+12$ = $-48+12$ = $-36$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-36$)) ≈ -88.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{16}{x}^4-45x+6$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{4}{x}^3-45$

Es muss gelten:

$\frac{3}{4}{x}^3-45$	=	$3$	| $+45$
$\frac{3}{4}{x}^3$	=	$48$	|⋅$\frac{4}{3}$
$x^3$	=	$64$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+0$

= $3x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2$

= $3\cdot 1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3+2$ = $1+2$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $3$⋅ $1$ + c

$3$ = $3$ + c | $-3$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x +0

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $3x$

$3x$	=	0	|:$3$
$x$	=	0

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = 0.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $6-\frac{1}{48}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{12}{t}^3$

= $-\frac{1}{12}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{12}\cdot 3^3$

= $-\frac{1}{12}\cdot 27$

= $-\frac{9}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{9}{4}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $6-\frac{1}{48}\cdot 3^4$ = $6-\frac{1}{48}\cdot 81$ = $6-\frac{27}{16}$ = $\frac{96}{16}-\frac{27}{16}$ = $\frac{69}{16}$ ≈ 4.31

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{69}{16}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{69}{16}$ = $-\frac{9}{4}$⋅3 + c

$\frac{69}{16}$ = $-\frac{27}{4}$ + c | + $\frac{27}{4}$

$\frac{177}{16}$ = c

also c= $\frac{177}{16}$ ≈ 11.06

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{9}{4}$⋅t + $\frac{177}{16}$ oder y=-2.25t +11.06

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{9}{4}t+\frac{177}{16}$

$-\frac{9}{4}t+\frac{177}{16}$	=	0	|⋅ 16
$16\left(-\frac{9}{4}t+\frac{177}{16}\right)$	=	0
$-36t+177$	=	0	| $-177$
$-36t$	=	$-177$	|:($-36$)
$t$	=	$\frac{59}{12}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{59}{12}$ ≈ 4.92.