Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^3-4x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2-8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-9\cdot 1^2-8\cdot 1$

= $-9\cdot 1-8$

= $-9-8$

= $-17$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-17$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 1^3-4\cdot 1^2$ = $-3\cdot 1-4\cdot 1$ = $-3-4$ = $-7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-7$ = $-17$⋅ $1$ + c

$-7$ = $-17$ + c | + $17$

$10$ = c

also c= $10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-17$⋅x + $10$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{9}{x}^3-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^2+0$

= $-\frac{2}{3}{x}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{2}{3}\cdot 1^2$

= $-\frac{2}{3}\cdot 1$

= $-\frac{2}{3}$

≈ -0.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{2}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{2}{9}\cdot 1^3-1$ = $-\frac{2}{9}\cdot 1-1$ = $-\frac{2}{9}-1$ = $-\frac{2}{9}-\frac{9}{9}$ = $-\frac{11}{9}$ ≈ -1.22

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-\frac{11}{9}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{11}{9}$ = $-\frac{2}{3}$⋅ $1$ + c

$-\frac{11}{9}$ = $-\frac{2}{3}$ + c | + $\frac{2}{3}$

$-\frac{5}{9}$ = c

also c= $-\frac{5}{9}$ ≈ -0.56

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{2}{3}$⋅x $-\frac{5}{9}$ oder y=-0.67x -0.56

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^3+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+0$

= $-6x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot {\left(-2\right)}^2$

= $-6\cdot 4$

= $-24$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{24}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{24}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-2\right)}^3+5$ = $-2\cdot \left(-8\right)+5$ = $16+5$ = $21$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $21$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$21$ = $\frac{1}{24}$⋅( $-2$) + c

$21$ = $-\frac{1}{12}$ + c | + $\frac{1}{12}$

$\frac{253}{12}$ = c

also c= $\frac{253}{12}$ ≈ 21.08

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{24}$⋅x + $\frac{253}{12}$ oder y=0.04x +21.08

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^4-\frac{3}{2}x+7$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3-\frac{3}{2}+0$

f'(1) = $4\cdot 1^3-\frac{3}{2}$ = $4\cdot 1-\frac{3}{2}$ = $4-\frac{3}{2}$ = $\frac{5}{2}$ ≈ 2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $\frac{5}{2}$)) ≈ 68.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-33x-4$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^3-33$

Es muss gelten:

$-\frac{1}{2}{x}^3-33$	=	$-1$	| $+33$
$-\frac{1}{2}{x}^3$	=	$32$	|⋅ $\left(-2\right)$
$x^3$	=	$-64$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{64}$	= $-4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2+2x-6$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x+2+0$

= $6x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $6\cdot 0+2$

= $0+2$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $3\cdot 0^2+2\cdot 0-6$ = $3\cdot 0+0-6$ = $0+0-6$ = $-6$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6$ = $2$⋅0 + c

$-6$ = 0 + c

$-6$ = c

also c= $-6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x $-6$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $2x-6$

$2x-6$	=	0	| $+6$
$2x$	=	$6$	|:$2$
$x$	=	$3$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $3$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $6-\frac{1}{8}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{4}t$

= $-\frac{1}{4}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 3$

= $-\frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{4}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $6-\frac{1}{8}\cdot 3^2$ = $6-\frac{1}{8}\cdot 9$ = $6-\frac{9}{8}$ = $\frac{48}{8}-\frac{9}{8}$ = $\frac{39}{8}$ ≈ 4.88

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{39}{8}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{39}{8}$ = $-\frac{3}{4}$⋅3 + c

$\frac{39}{8}$ = $-\frac{9}{4}$ + c | + $\frac{9}{4}$

$\frac{57}{8}$ = c

also c= $\frac{57}{8}$ ≈ 7.13

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{4}$⋅t + $\frac{57}{8}$ oder y=-0.75t +7.13

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{3}{4}t+\frac{57}{8}$

$-\frac{3}{4}t+\frac{57}{8}$	=	0	|⋅ 8
$8\left(-\frac{3}{4}t+\frac{57}{8}\right)$	=	0
$-6t+57$	=	0	| $-57$
$-6t$	=	$-57$	|:($-6$)
$t$	=	$\frac{19}{2}$ = 9.5

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{19}{2}$ ≈ 9.5.