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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit $f(x) =$ $e^{- x}$ soll im Intervall [0,1] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V =

π

\int_{0}^{1} {(e^{- x})}^{2} ⅆ x

=

π

\int_{0}^{1} e^{- 2 x} ⅆ x

= $π$ ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x}]}_{0}^{1}$

$=$ $π \cdot (- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 1} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 0})$

= $π \cdot (- \frac{1}{2} e^{- 2} + \frac{1}{2} e^{0})$

= $π \cdot (- \frac{1}{2} e^{- 2} + \frac{1}{2})$

≈ 1,358

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $\frac{3}{x}$ und $g(x) =$ $\frac{3}{x + 1}$ schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,2] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π

\int_{1}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} ⅆ x

- π

\int_{1}^{2} {(\frac{3}{x + 1})}^{2} ⅆ x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $\int_{1}^{2} ({(\frac{3}{x})}^{2} - {(\frac{3}{x + 1})}^{2}) ⅆ x$

= π $\int_{1}^{2} (\frac{9}{x^{2}} - \frac{9}{{(x + 1)}^{2}}) ⅆ x$

=

π

\int_{1}^{2} (- \frac{9}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{9}{x^{2}}) ⅆ x

=

π

\int_{1}^{2} (- 9 {(x + 1)}^{- 2} + 9 x^{- 2}) ⅆ x

= $π$ ${[9 {(x + 1)}^{- 1} - 9 x^{- 1}]}_{1}^{2}$

= $π$ ${[\frac{9}{x + 1} - \frac{9}{x}]}_{1}^{2}$

$=$ $π \cdot (\frac{9}{2 + 1} - \frac{9}{2} - (\frac{9}{1 + 1} - \frac{9}{1}))$

= $π \cdot (\frac{9}{3} - 9 \cdot (\frac{1}{2}) - (\frac{9}{2} - 9 \cdot 1))$

= $π \cdot (9 \cdot (\frac{1}{3}) - \frac{9}{2} - (9 \cdot (\frac{1}{2}) - 9))$

= $π \cdot (3 - \frac{9}{2} - (\frac{9}{2} - 9))$

= $π \cdot (\frac{6}{2} - \frac{9}{2} - (\frac{9}{2} - \frac{18}{2}))$

= $π \cdot (- \frac{3}{2} - 1 \cdot (- \frac{9}{2}))$

= $π \cdot (- \frac{3}{2} + \frac{9}{2})$

= $π \cdot 3$

= $3 π$

≈ 9,425

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{2 {(3 x + 1)}^{2} + 4}{{(3 x + 1)}^{2}}$ und der Geraden y = 2 rotiert im Intervall [0,3] um diese Gerade y = 2 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

Lösung einblenden

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2 {(3 x + 1)}^{2} + 4}{{(3 x + 1)}^{2}} - 2$ = $\frac{2 {(3 x + 1)}^{2} + 4}{{(3 x + 1)}^{2}} - \frac{2 {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $\int_{0}^{3} {(\frac{2 {(3 x + 1)}^{2} + 4}{{(3 x + 1)}^{2}} - \frac{2 {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}})}^{2} ⅆ x$

= π $\int_{0}^{3} {(\frac{2 {(3 x + 1)}^{2} + 4 - 2 {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}})}^{2} ⅆ x$

= π $\int_{0}^{3} {(\frac{4}{{(3 x + 1)}^{2}})}^{2} ⅆ x$

= π $\int_{0}^{3} 4^{2} \cdot \frac{1}{{(3 x + 1)}^{4}} ⅆ x$

=

π

\int_{0}^{3} \frac{16}{{(3 x + 1)}^{4}} ⅆ x

=

π

\int_{0}^{3} 16 {(3 x + 1)}^{- 4} ⅆ x

= $π$ ${[- \frac{16}{9} {(3 x + 1)}^{- 3}]}_{0}^{3}$

= $π$ ${[- \frac{16}{9 {(3 x + 1)}^{3}}]}_{0}^{3}$

$=$ $π \cdot (- \frac{16}{9 {(3 \cdot 3 + 1)}^{3}} + \frac{16}{9 {(3 \cdot 0 + 1)}^{3}})$

= $π \cdot (- \frac{16}{9 {(9 + 1)}^{3}} + \frac{16}{9 {(0 + 1)}^{3}})$

= $π \cdot (- \frac{16}{9 \cdot 10^{3}} + \frac{16}{9 \cdot 1^{3}})$

= $π \cdot (- \frac{16}{9} \cdot (\frac{1}{1000}) + \frac{16}{9} \cdot 1)$

= $π \cdot (- \frac{2}{1125} + \frac{16}{9})$

= $π \cdot (- \frac{2}{1125} + \frac{2000}{1125})$

= $π \cdot \frac{222}{125}$

= $\frac{222}{125} π$

≈ 5,579

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