= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+4\right)}^3\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(3+4\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(1+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 7^3-\frac{1}{3}\cdot 5^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 343-\frac{1}{3}\cdot 125\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{3}-\frac{125}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{218}{3}$

= $\frac{218}{3}\pi$

≈ 228,289

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{16}{x^4}-\frac{16}{{\left(x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3}{\left(x+3\right)}^{-3}-\frac{16}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3{\left(x+3\right)}^3}-\frac{16}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3{\left(3+3\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{16}{3{\left(1+3\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\cdot 6^3}-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{16}{3\cdot 4^3}-\frac{16}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-\frac{16}{81}-\left(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{81}-\frac{16}{81}-\left(\frac{1}{12}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{14}{81}-\left(\frac{1}{12}-\frac{64}{12}\right))$

= $\pi ·(-\frac{14}{81}-1·\left(-\frac{21}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{14}{81}+\frac{21}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{56}{324}+\frac{1701}{324}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{14}{81}+\frac{21}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{1645}{324}$

= $\frac{1645}{324}\pi$

≈ 15,95

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(x+1\right)}^2+4}{{\left(x+1\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(x+1\right)}^2+4}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{3{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3{\left(x+1\right)}^2+4}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{3{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3{\left(x+1\right)}^2+4-3{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3{\left(x+1\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3{\left(1+1\right)}^3}+\frac{16}{3{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\cdot 2^3}+\frac{16}{3\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+\frac{16}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}+\frac{16}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{14}{3}$

= $\frac{14}{3}\pi$

≈ 14,661