= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{4}{e}^{-4x}\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{4}{e}^{-4\cdot 0}+\frac{1}{4}{e}^{-4\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{4}{e}^0+\frac{1}{4}{e}^4\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}{e}^4\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{4}{e}^4-\frac{1}{4}\right)$

≈ 42,096

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{25}{x^4}-\frac{25}{{\left(x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(x+4\right)}^{-3}-\frac{25}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3{\left(x+4\right)}^3}-\frac{25}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3{\left(4+4\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{25}{3{\left(1+4\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 8^3}-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{25}{3\cdot 5^3}-\frac{25}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{25}{192}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{1536}-\frac{25}{192}-\left(\frac{1}{15}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{1536}-\frac{200}{1536}-\left(\frac{1}{15}-\frac{125}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{175}{1536}-1·\left(-\frac{124}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{175}{1536}+\frac{124}{15}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{875}{7680}+\frac{63488}{7680}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{175}{1536}+\frac{124}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{20871}{2560}$

= $\frac{20871}{2560}\pi$

≈ 25,613

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(x+4\right)}^2+2}{{\left(x+4\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(x+4\right)}^2+2}{{\left(x+4\right)}^2}-\frac{{\left(x+4\right)}^2}{{\left(x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{{\left(x+4\right)}^2+2}{{\left(x+4\right)}^2}-\frac{{\left(x+4\right)}^2}{{\left(x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{{\left(x+4\right)}^2+2-{\left(x+4\right)}^2}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3}{\left(x+4\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3{\left(x+4\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{3{\left(1+4\right)}^3}+\frac{4}{3{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\cdot 5^3}+\frac{4}{3\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)+\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{375}+\frac{1}{48}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{64}{6000}+\frac{125}{6000}\right)$

= $\pi ·\frac{61}{6000}$

= $\frac{61}{6000}\pi$

≈ 0,032