= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{4}{e}^{-4x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{4}{e}^{-4\cdot 2}+\frac{9}{4}{e}^{-4\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}{e}^{-8}+\frac{9}{4}{e}^{-4}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{9}{4}{e}^{-4}-\frac{9}{4}{e}^{-8}\right)$

≈ 0,127

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{25}{x^4}-\frac{25}{{\left(2x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{6}{\left(2x+3\right)}^{-3}-\frac{25}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{6{\left(2x+3\right)}^3}-\frac{25}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{6{\left(2\cdot 3+3\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{25}{6{\left(2\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6{\left(6+3\right)}^3}-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{25}{6{\left(2+3\right)}^3}-\frac{25}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6\cdot 9^3}-\frac{25}{81}-\left(\frac{25}{6\cdot 5^3}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6}\cdot \left(\frac{1}{729}\right)-\frac{25}{81}-\left(\frac{25}{6}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{4374}-\frac{25}{81}-\left(\frac{1}{30}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{4374}-\frac{1350}{4374}-\left(\frac{1}{30}-\frac{250}{30}\right))$

= $\pi ·(-\frac{1325}{4374}-1·\left(-\frac{83}{10}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{1325}{4374}+\frac{83}{10}\right)$

= $\pi ·\frac{87448}{10935}$

= $\frac{87448}{10935}\pi$

≈ 25,124

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(3x+1\right)}^2+2}{{\left(3x+1\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(3x+1\right)}^2+2}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{{\left(3x+1\right)}^2+2}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{{\left(3x+1\right)}^2+2-{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(3x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{9{\left(3x+1\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{9{\left(3\cdot 2+1\right)}^3}+\frac{4}{9{\left(3\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9{\left(6+1\right)}^3}+\frac{4}{9{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9\cdot 7^3}+\frac{4}{9\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+\frac{4}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3087}+\frac{4}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3087}+\frac{1372}{3087}\right)$

= $\pi ·\frac{152}{343}$

= $\frac{152}{343}\pi$

≈ 1,392