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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x}$ soll im Intervall [-1,1] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

Lösung einblenden

V =

π

\int_{-1}^{1} {(3 e^{- x})}^{2} ⅆ x

=

π

\int_{-1}^{1} 9 e^{- 2 x} ⅆ x

= $π$ ${[- \frac{9}{2} e^{- 2 x}]}_{-1}^{1}$

$=$ $π \cdot (- \frac{9}{2} e^{- 2 \cdot 1} + \frac{9}{2} e^{- 2 \cdot (- 1)})$

= $π \cdot (- \frac{9}{2} e^{- 2} + \frac{9}{2} e^{2})$

= $π \cdot (\frac{9}{2} e^{2} - \frac{9}{2} e^{- 2})$

≈ 102,547

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $\frac{14}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $\frac{14}{{(3 x + 4)}^{2}}$ schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,2] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π

\int_{1}^{2} {(\frac{14}{x^{2}})}^{2} ⅆ x

- π

\int_{1}^{2} {(\frac{14}{{(3 x + 4)}^{2}})}^{2} ⅆ x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $\int_{1}^{2} ({(\frac{14}{x^{2}})}^{2} - {(\frac{14}{{(3 x + 4)}^{2}})}^{2}) ⅆ x$

= π $\int_{1}^{2} (\frac{196}{x^{4}} - \frac{196}{{(3 x + 4)}^{4}}) ⅆ x$

=

π

\int_{1}^{2} (- \frac{196}{{(3 x + 4)}^{4}} + \frac{196}{x^{4}}) ⅆ x

=

π

\int_{1}^{2} (- 196 {(3 x + 4)}^{- 4} + 196 x^{- 4}) ⅆ x

= $π$ ${[\frac{196}{9} {(3 x + 4)}^{- 3} - \frac{196}{3} x^{- 3}]}_{1}^{2}$

= $π$ ${[\frac{196}{9 {(3 x + 4)}^{3}} - \frac{196}{3 x^{3}}]}_{1}^{2}$

$=$ $π \cdot (\frac{196}{9 {(3 \cdot 2 + 4)}^{3}} - \frac{196}{3 \cdot 2^{3}} - (\frac{196}{9 {(3 \cdot 1 + 4)}^{3}} - \frac{196}{3 \cdot 1^{3}}))$

= $π \cdot (\frac{196}{9 {(6 + 4)}^{3}} - \frac{196}{3} \cdot (\frac{1}{8}) - (\frac{196}{9 {(3 + 4)}^{3}} - \frac{196}{3} \cdot 1))$

= $π \cdot (\frac{196}{9 \cdot 10^{3}} - \frac{49}{6} - (\frac{196}{9 \cdot 7^{3}} - \frac{196}{3}))$

= $π \cdot (\frac{196}{9} \cdot (\frac{1}{1000}) - \frac{49}{6} - (\frac{196}{9} \cdot (\frac{1}{343}) - \frac{196}{3}))$

= $π \cdot (\frac{49}{2250} - \frac{49}{6} - (\frac{4}{63} - \frac{196}{3}))$

= $π \cdot (\frac{49}{2250} - \frac{18375}{2250} - (\frac{4}{63} - \frac{4116}{63}))$

= $π \cdot (- \frac{9163}{1125} - 1 \cdot (- \frac{4112}{63}))$

= $π \cdot (- \frac{9163}{1125} + \frac{4112}{63})$

= $π \cdot \frac{149953}{2625}$

= $\frac{149953}{2625} π$

≈ 179,463

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit $f(x) =$ $x + 2$ und der Geraden y = 1 rotiert im Intervall [0,2] um diese Gerade y = 1 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $x + 2 - 1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $\int_{0}^{2} {(x + 2 - 1)}^{2} ⅆ x$

=

π

\int_{0}^{2} {(x + 1)}^{2} ⅆ x

= $π$ ${[\frac{1}{3} {(x + 1)}^{3}]}_{0}^{2}$

$=$ $π \cdot (\frac{1}{3} \cdot {(2 + 1)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(0 + 1)}^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1)$

= $π \cdot (9 - \frac{1}{3})$

= $π \cdot (\frac{27}{3} - \frac{1}{3})$

= $π \cdot \frac{26}{3}$

= $\frac{26}{3} π$

≈ 27,227

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Rotationskörper

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Rotationskörper um andere Achse