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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit f(x)= e -x soll im Intervall [0,3] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V = π ∫ 0 3 ( e -x ) 2 ⅆ x
= π ∫ 0 3 e -2x ⅆ x

= π [ - 1 2 e -2x ] 0 3

= π · ( - 1 2 e -2⋅3 + 1 2 e -2⋅0 )

= π · ( - 1 2 e -6 + 1 2 e 0 )

= π · ( - 1 2 e -6 + 1 2 )


≈ 1,567

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 2 x 2 und g(x)= 2 ( x +1 ) 2 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,4] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π ∫ 1 4 ( 2 x 2 ) 2 ⅆ x - π ∫ 1 4 ( 2 ( x +1 ) 2 ) 2 ⅆ x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π ∫ 1 4 ( ( 2 x 2 ) 2 - ( 2 ( x +1 ) 2 ) 2 ) ⅆ x

= π ∫ 1 4 ( 4 x 4 - 4 ( x +1 ) 4 ) ⅆ x

= π ∫ 1 4 ( - 4 ( x +1 ) 4 + 4 x 4 ) ⅆ x
= π ∫ 1 4 ( -4 ( x +1 ) -4 +4 x -4 ) ⅆ x

= π [ 4 3 ( x +1 ) -3 - 4 3 x -3 ] 1 4

= π [ 4 3 ( x +1 ) 3 - 4 3 x 3 ] 1 4

= π · ( 4 3 ( 4 +1 ) 3 - 4 3⋅ 4 3 - ( 4 3 ( 1 +1 ) 3 - 4 3⋅ 1 3 ) )

= π · ( 4 3⋅ 5 3 - 4 3 ⋅( 1 64 ) - ( 4 3⋅ 2 3 - 4 3 ⋅1 ) )

= π · ( 4 3 ⋅( 1 125 ) - 1 48 - ( 4 3 ⋅( 1 8 ) - 4 3 ) )

= π · ( 4 375 - 1 48 - ( 1 6 - 4 3 ) )

= π · ( 64 6000 - 125 6000 - ( 1 6 - 8 6 ) )

= π · ( - 61 6000 -1 · ( - 7 6 ) )

= π · ( - 61 6000 + 7 6 )

= π · ( - 61 6000 + 7000 6000 )

= π · ( - 61 6000 + 7 6 )

= π · 2313 2000

= 2313 2000 π


≈ 3,633

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit f(x)= e 0,3x und der Geraden y = 1 rotiert im Intervall [0,2] um diese Gerade y = 1 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = e 0,3x -1
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π ∫ 0 2 ( e 0,3x -1 ) 2 ⅆ x

= π ∫ 0 2 ( e 0,6x -2 e 0,3x +1 ) ⅆ x

= π [ 5 3 e 0,6x - 20 3 e 0,3x + x ] 0 2

= π · ( 5 3 e 0,6⋅2 - 20 3 e 0,3⋅2 +2 - ( 5 3 e 0,6⋅0 - 20 3 e 0,3⋅0 +0) )

= π · ( 5 3 e 1,2 - 20 3 e 0,6 +2 - ( 5 3 e 0 - 20 3 e 0 +0) )

= π · ( 5 3 e 1,2 - 20 3 e 0,6 +2 - ( 5 3 - 20 3 +0) )

= π · ( 5 3 e 1,2 - 20 3 e 0,6 +2 - ( 5 3 - 20 3 +0) )

= π · ( 5 3 e 1,2 - 20 3 e 0,6 +2 -1 · ( -5 ) )

= π · ( 5 3 e 1,2 - 20 3 e 0,6 +2 +5 )

= π · ( 5 3 e 1,2 - 20 3 e 0,6 +7 )


≈ 1,213