= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+4\right)}^3\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 2+4\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(6+4\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {10}^3-\frac{1}{9}\cdot 7^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 1000-\frac{1}{9}\cdot 343\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1000}{9}-\frac{343}{9}\right)$

= $\pi ·73$

= $73\pi$

≈ 229,336

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+2\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 3+2\right)}-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+2\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(9+2\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+2\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 11}-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3\cdot 5}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{11}\right)-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{33}-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{15}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{33}-\frac{44}{33}-\left(\frac{4}{15}-\frac{60}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{40}{33}-1·\left(-\frac{56}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{40}{33}+\frac{56}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{416}{165}$

= $\frac{416}{165}\pi$

≈ 7,921

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(2x+2\right)}^2+2}{{\left(2x+2\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(2x+2\right)}^2+2}{{\left(2x+2\right)}^2}-\frac{3{\left(2x+2\right)}^2}{{\left(2x+2\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3{\left(2x+2\right)}^2+2}{{\left(2x+2\right)}^2}-\frac{3{\left(2x+2\right)}^2}{{\left(2x+2\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3{\left(2x+2\right)}^2+2-3{\left(2x+2\right)}^2}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(2x+2\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3}{\left(2x+2\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3{\left(2x+2\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{3{\left(2\cdot 1+2\right)}^3}+\frac{2}{3{\left(2\cdot 0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3{\left(2+2\right)}^3}+\frac{2}{3{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3\cdot 4^3}+\frac{2}{3\cdot 2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)+\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{96}+\frac{1}{12}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{96}+\frac{8}{96}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{96}$

= $\frac{7}{96}\pi$

≈ 0,229