= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{9{\left(3x+1\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{9{\left(3\cdot 1+1\right)}^3}+\frac{16}{9{\left(3\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9{\left(3+1\right)}^3}+\frac{16}{9{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9\cdot 4^3}+\frac{16}{9\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)+\frac{16}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{36}+\frac{16}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{36}+\frac{64}{36}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{4}$

= $\frac{7}{4}\pi$

≈ 5,498

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{12}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{12}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{12}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{12}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{144}{x^4}-\frac{144}{{\left(2x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[24{\left(2x+4\right)}^{-3}-48x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{24}{{\left(2x+4\right)}^3}-\frac{48}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{24}{{\left(2\cdot 3+4\right)}^3}-\frac{48}{3^3}-\left(\frac{24}{{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{48}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{24}{{\left(6+4\right)}^3}-48\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{24}{{\left(2+4\right)}^3}-48\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{24}{{10}^3}-\frac{16}{9}-\left(\frac{24}{6^3}-48\right))$

= $\pi ·(24\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)-\frac{16}{9}-\left(24\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-48\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{125}-\frac{16}{9}-\left(\frac{1}{9}-48\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{1125}-\frac{2000}{1125}-\left(\frac{1}{9}-\frac{432}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{1973}{1125}-1·\left(-\frac{431}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{1973}{1125}+\frac{431}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{51902}{1125}$

= $\frac{51902}{1125}\pi$

≈ 144,938

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(x+1\right)}^2+5}{{\left(x+1\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(x+1\right)}^2+5}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{3{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3{\left(x+1\right)}^2+5}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{3{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3{\left(x+1\right)}^2+5-3{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3{\left(x+1\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3{\left(1+1\right)}^3}+\frac{25}{3{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 2^3}+\frac{25}{3\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+\frac{25}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{24}+\frac{25}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{24}+\frac{200}{24}\right)$

= $\pi ·\frac{175}{24}$

= $\frac{175}{24}\pi$

≈ 22,907