= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{2}{\left(2x+1\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{2\left(2x+1\right)}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{2\left(2\cdot 1+1\right)}+\frac{25}{2\left(2\cdot 0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2\left(2+1\right)}+\frac{25}{2\left(0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2\cdot 3}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)+\frac{25}{2}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6}+\frac{75}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{25}{3}$

= $\frac{25}{3}\pi$

≈ 26,18

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{15}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{15}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{15}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{15}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{225}{x^4}-\frac{225}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[25{\left(3x+2\right)}^{-3}-75x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{75}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{{\left(3\cdot 3+2\right)}^3}-\frac{75}{3^3}-\left(\frac{25}{{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{75}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{{\left(9+2\right)}^3}-75\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{25}{{\left(3+2\right)}^3}-75\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{{11}^3}-\frac{25}{9}-\left(\frac{25}{5^3}-75\right))$

= $\pi ·(25\cdot \left(\frac{1}{1331}\right)-\frac{25}{9}-\left(25\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-75\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{1331}-\frac{25}{9}-\left(\frac{1}{5}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{225}{11979}-\frac{33275}{11979}-\left(\frac{1}{5}-\frac{375}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{33050}{11979}-1·\left(-\frac{374}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{33050}{11979}+\frac{374}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{4314896}{59895}$

= $\frac{4314896}{59895}\pi$

≈ 226,323

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(3x+4\right)}^2+4}{{\left(3x+4\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(3x+4\right)}^2+4}{{\left(3x+4\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3{\left(3x+4\right)}^2+4}{{\left(3x+4\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3{\left(3x+4\right)}^2+4-3{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(3x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{9{\left(3x+4\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{9{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}+\frac{16}{9{\left(3\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9{\left(3+4\right)}^3}+\frac{16}{9{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9\cdot 7^3}+\frac{16}{9\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3087}+\frac{1}{36}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{64}{12348}+\frac{343}{12348}\right)$

= $\pi ·\frac{31}{1372}$

= $\frac{31}{1372}\pi$

≈ 0,071