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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x}$ soll im Intervall [0,3] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V =

π

\int_{0}^{3} {(2 e^{- x})}^{2} ⅆ x

=

π

\int_{0}^{3} 4 e^{- 2 x} ⅆ x

= $π$ ${[- 2 e^{- 2 x}]}_{0}^{3}$

$=$ $π \cdot (- 2 e^{- 2 \cdot 3} + 2 e^{- 2 \cdot 0})$

= $π \cdot (- 2 e^{- 6} + 2 e^{0})$

= $π \cdot (- 2 e^{- 6} + 2)$

≈ 6,268

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $\frac{10}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $\frac{10}{{(3 x + 2)}^{2}}$ schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,3] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π

\int_{1}^{3} {(\frac{10}{x^{2}})}^{2} ⅆ x

- π

\int_{1}^{3} {(\frac{10}{{(3 x + 2)}^{2}})}^{2} ⅆ x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $\int_{1}^{3} ({(\frac{10}{x^{2}})}^{2} - {(\frac{10}{{(3 x + 2)}^{2}})}^{2}) ⅆ x$

= π $\int_{1}^{3} (\frac{100}{x^{4}} - \frac{100}{{(3 x + 2)}^{4}}) ⅆ x$

=

π

\int_{1}^{3} (- \frac{100}{{(3 x + 2)}^{4}} + \frac{100}{x^{4}}) ⅆ x

=

π

\int_{1}^{3} (- 100 {(3 x + 2)}^{- 4} + 100 x^{- 4}) ⅆ x

= $π$ ${[\frac{100}{9} {(3 x + 2)}^{- 3} - \frac{100}{3} x^{- 3}]}_{1}^{3}$

= $π$ ${[\frac{100}{9 {(3 x + 2)}^{3}} - \frac{100}{3 x^{3}}]}_{1}^{3}$

$=$ $π \cdot (\frac{100}{9 {(3 \cdot 3 + 2)}^{3}} - \frac{100}{3 \cdot 3^{3}} - (\frac{100}{9 {(3 \cdot 1 + 2)}^{3}} - \frac{100}{3 \cdot 1^{3}}))$

= $π \cdot (\frac{100}{9 {(9 + 2)}^{3}} - \frac{100}{3} \cdot (\frac{1}{27}) - (\frac{100}{9 {(3 + 2)}^{3}} - \frac{100}{3} \cdot 1))$

= $π \cdot (\frac{100}{9 \cdot 11^{3}} - \frac{100}{81} - (\frac{100}{9 \cdot 5^{3}} - \frac{100}{3}))$

= $π \cdot (\frac{100}{9} \cdot (\frac{1}{1331}) - \frac{100}{81} - (\frac{100}{9} \cdot (\frac{1}{125}) - \frac{100}{3}))$

= $π \cdot (\frac{100}{11979} - \frac{100}{81} - (\frac{4}{45} - \frac{100}{3}))$

= $π \cdot (\frac{900}{107811} - \frac{133100}{107811} - (\frac{4}{45} - \frac{1500}{45}))$

= $π \cdot (- \frac{132200}{107811} - 1 \cdot (- \frac{1496}{45}))$

= $π \cdot (- \frac{132200}{107811} + \frac{1496}{45})$

= $π \cdot \frac{17259584}{539055}$

= $\frac{17259584}{539055} π$

≈ 100,588

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit $f(x) =$ $3 x + 2$ und der Geraden y = 1 rotiert im Intervall [0,2] um diese Gerade y = 1 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

Lösung einblenden

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3 x + 2 - 1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $\int_{0}^{2} {(3 x + 2 - 1)}^{2} ⅆ x$

=

π

\int_{0}^{2} {(3 x + 1)}^{2} ⅆ x

= $π$ ${[\frac{1}{9} {(3 x + 1)}^{3}]}_{0}^{2}$

$=$ $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 2 + 1)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 0 + 1)}^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot {(6 + 1)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(0 + 1)}^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot 7^{3} - \frac{1}{9} \cdot 1^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot 343 - \frac{1}{9} \cdot 1)$

= $π \cdot (\frac{343}{9} - \frac{1}{9})$

= $π \cdot 38$

= $38 π$

≈ 119,381

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Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Rotationskörper um andere Achse