= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+3\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 2+3\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(4+3\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 7^3-\frac{1}{6}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 343-\frac{1}{6}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{6}-\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{6}-\frac{27}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{158}{3}$

= $\frac{158}{3}\pi$

≈ 165,457

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{18}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{18}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{18}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{18}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{324}{x^4}-\frac{324}{{\left(2x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[54{\left(2x+4\right)}^{-3}-108x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{54}{{\left(2x+4\right)}^3}-\frac{108}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{54}{{\left(2\cdot 2+4\right)}^3}-\frac{108}{2^3}-\left(\frac{54}{{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{108}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{54}{{\left(4+4\right)}^3}-108\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{54}{{\left(2+4\right)}^3}-108\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{54}{8^3}-\frac{27}{2}-\left(\frac{54}{6^3}-108\right))$

= $\pi ·(54\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{27}{2}-\left(54\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-108\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{256}-\frac{27}{2}-\left(\frac{1}{4}-108\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{256}-\frac{3456}{256}-\left(\frac{1}{4}-\frac{432}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{3429}{256}-1·\left(-\frac{431}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{3429}{256}+\frac{431}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{24155}{256}$

= $\frac{24155}{256}\pi$

≈ 296,426

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(2x+4\right)}^2+4}{{\left(2x+4\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(2x+4\right)}^2+4}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{{\left(2x+4\right)}^2+4}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{{\left(2x+4\right)}^2+4-{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(2x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{3}{\left(2x+4\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{3{\left(2x+4\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{8}{3{\left(2\cdot 3+4\right)}^3}+\frac{8}{3{\left(2\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3{\left(6+4\right)}^3}+\frac{8}{3{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3\cdot {10}^3}+\frac{8}{3\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3}\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)+\frac{8}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{375}+\frac{1}{24}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3000}+\frac{125}{3000}\right)$

= $\pi ·\frac{39}{1000}$

= $\frac{39}{1000}\pi$

≈ 0,123