= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+3\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+3\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2+3\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 5^3-\frac{1}{6}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 125-\frac{1}{6}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{6}-\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{6}-\frac{27}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{49}{3}$

= $\frac{49}{3}\pi$

≈ 51,313

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{9}{\left(3x+2\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{9{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{100}{9{\left(3\cdot 3+2\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{100}{9{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9{\left(9+2\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{100}{9{\left(3+2\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9\cdot {11}^3}-\frac{100}{81}-\left(\frac{100}{9\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9}\cdot \left(\frac{1}{1331}\right)-\frac{100}{81}-\left(\frac{100}{9}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{11979}-\frac{100}{81}-\left(\frac{4}{45}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{900}{107811}-\frac{133100}{107811}-\left(\frac{4}{45}-\frac{1500}{45}\right))$

= $\pi ·(-\frac{132200}{107811}-1·\left(-\frac{1496}{45}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{132200}{107811}+\frac{1496}{45}\right)$

= $\pi ·\frac{17259584}{539055}$

= $\frac{17259584}{539055}\pi$

≈ 100,588

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(x+1\right)}^2+2}{{\left(x+1\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(x+1\right)}^2+2}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{2{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2{\left(x+1\right)}^2+2}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{2{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2{\left(x+1\right)}^2+2-2{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3{\left(x+1\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{3{\left(1+1\right)}^3}+\frac{4}{3{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\cdot 2^3}+\frac{4}{3\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+\frac{4}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}+\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}+\frac{8}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{6}$

= $\frac{7}{6}\pi$

≈ 3,665