= $\pi$ ${\left[-16{\left(x+4\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{x+4}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{2+4}+\frac{16}{0+4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{6}+\frac{16}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-16\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3}+4\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3}+\frac{12}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3}\pi$

≈ 4,189

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{14}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{14}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{14}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{14}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{196}{x^4}-\frac{196}{{\left(3x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{196}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}-\frac{196}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{196}{9{\left(3x+4\right)}^3}-\frac{196}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{196}{9{\left(3\cdot 2+4\right)}^3}-\frac{196}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{196}{9{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{196}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9{\left(6+4\right)}^3}-\frac{196}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{196}{9{\left(3+4\right)}^3}-\frac{196}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9\cdot {10}^3}-\frac{49}{6}-\left(\frac{196}{9\cdot 7^3}-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9}\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)-\frac{49}{6}-\left(\frac{196}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{2250}-\frac{49}{6}-\left(\frac{4}{63}-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{2250}-\frac{18375}{2250}-\left(\frac{4}{63}-\frac{4116}{63}\right))$

= $\pi ·(-\frac{9163}{1125}-1·\left(-\frac{4112}{63}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{9163}{1125}+\frac{4112}{63}\right)$

= $\pi ·\frac{149953}{2625}$

= $\frac{149953}{2625}\pi$

≈ 179,463

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{4x+13}{2x+4}-2$ = $\frac{4x+13}{2x+4}-\frac{2\left(2x+4\right)}{2x+4}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{4x+13}{2x+4}-\frac{2\left(2x+4\right)}{2x+4})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4x+13-4x-8}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(2x+4\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{2}{\left(2x+4\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{2\left(2x+4\right)}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{2\left(2\cdot 3+4\right)}+\frac{25}{2\left(2\cdot 0+4\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2\left(6+4\right)}+\frac{25}{2\left(0+4\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2\cdot 10}+\frac{25}{2\cdot 4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)+\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{5}{4}+\frac{25}{8}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{10}{8}+\frac{25}{8}\right)$

= $\pi ·\frac{15}{8}$

= $\frac{15}{8}\pi$

≈ 5,89