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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit $f(x) =$ $e^{- x}$ soll im Intervall [0,1] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

Lösung einblenden

V =

π

\int_{0}^{1} {(e^{- x})}^{2} ⅆ x

=

π

\int_{0}^{1} e^{- 2 x} ⅆ x

= $π$ ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x}]}_{0}^{1}$

$=$ $π \cdot (- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 1} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 0})$

= $π \cdot (- \frac{1}{2} e^{- 2} + \frac{1}{2} e^{0})$

= $π \cdot (- \frac{1}{2} e^{- 2} + \frac{1}{2})$

≈ 1,358

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $\frac{4}{x}$ und $g(x) =$ $\frac{4}{x + 1}$ schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,4] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π

\int_{1}^{4} {(\frac{4}{x})}^{2} ⅆ x

- π

\int_{1}^{4} {(\frac{4}{x + 1})}^{2} ⅆ x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $\int_{1}^{4} ({(\frac{4}{x})}^{2} - {(\frac{4}{x + 1})}^{2}) ⅆ x$

= π $\int_{1}^{4} (\frac{16}{x^{2}} - \frac{16}{{(x + 1)}^{2}}) ⅆ x$

=

π

\int_{1}^{4} (- \frac{16}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{16}{x^{2}}) ⅆ x

=

π

\int_{1}^{4} (- 16 {(x + 1)}^{- 2} + 16 x^{- 2}) ⅆ x

= $π$ ${[16 {(x + 1)}^{- 1} - 16 x^{- 1}]}_{1}^{4}$

= $π$ ${[\frac{16}{x + 1} - \frac{16}{x}]}_{1}^{4}$

$=$ $π \cdot (\frac{16}{4 + 1} - \frac{16}{4} - (\frac{16}{1 + 1} - \frac{16}{1}))$

= $π \cdot (\frac{16}{5} - 16 \cdot (\frac{1}{4}) - (\frac{16}{2} - 16 \cdot 1))$

= $π \cdot (16 \cdot (\frac{1}{5}) - 4 - (16 \cdot (\frac{1}{2}) - 16))$

= $π \cdot (\frac{16}{5} - 4 - (8 - 16))$

= $π \cdot (\frac{16}{5} - \frac{20}{5} - 1 \cdot (- 8))$

= $π \cdot (- \frac{4}{5} + 8)$

= $π \cdot (- \frac{4}{5} + \frac{40}{5})$

= $π \cdot \frac{36}{5}$

= $\frac{36}{5} π$

≈ 22,619

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{3 x + 6}{x + 1}$ und der Geraden y = 3 rotiert im Intervall [0,1] um diese Gerade y = 3 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

Lösung einblenden

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3 x + 6}{x + 1} - 3$ = $\frac{3 x + 6}{x + 1} - \frac{3 (x + 1)}{x + 1}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $\int_{0}^{1} {(\frac{3 x + 6}{x + 1} - \frac{3 (x + 1)}{x + 1})}^{2} ⅆ x$

= π $\int_{0}^{1} {(\frac{3 x + 6 - 3 x - 3}{x + 1})}^{2} ⅆ x$

= π $\int_{0}^{1} {(\frac{3}{x + 1})}^{2} ⅆ x$

= π $\int_{0}^{1} 3^{2} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ⅆ x$

=

π

\int_{0}^{1} \frac{9}{{(x + 1)}^{2}} ⅆ x

=

π

\int_{0}^{1} 9 {(x + 1)}^{- 2} ⅆ x

= $π$ ${[- 9 {(x + 1)}^{- 1}]}_{0}^{1}$

= $π$ ${[- \frac{9}{x + 1}]}_{0}^{1}$

$=$ $π \cdot (- \frac{9}{1 + 1} + \frac{9}{0 + 1})$

= $π \cdot (- \frac{9}{2} + \frac{9}{1})$

= $π \cdot (- 9 \cdot (\frac{1}{2}) + 9 \cdot 1)$

= $π \cdot (- \frac{9}{2} + 9)$

= $π \cdot (- \frac{9}{2} + \frac{18}{2})$

= $π \cdot \frac{9}{2}$

= $\frac{9}{2} π$

≈ 14,137

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Rotationskörper zwischen zwei Kurven

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