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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit $f(x) =$ $3 x + 3$ soll im Intervall [-1,0] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

Lösung einblenden

V =

π

\int_{-1}^{0} {(3 x + 3)}^{2} ⅆ x

= $π$ ${[\frac{1}{9} {(3 x + 3)}^{3}]}_{-1}^{0}$

$=$ $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 0 + 3)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot (- 1) + 3)}^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot {(0 + 3)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(- 3 + 3)}^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot 3^{3} - \frac{1}{9} \cdot 0^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot 27 - \frac{1}{9} \cdot 0)$

= $π \cdot (3 + 0)$

= $π \cdot 3$

= $3 π$

≈ 9,425

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $\frac{3}{x}$ und $g(x) =$ $\frac{3}{3 x + 4}$ schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,3] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π

\int_{1}^{3} {(\frac{3}{x})}^{2} ⅆ x

- π

\int_{1}^{3} {(\frac{3}{3 x + 4})}^{2} ⅆ x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $\int_{1}^{3} ({(\frac{3}{x})}^{2} - {(\frac{3}{3 x + 4})}^{2}) ⅆ x$

= π $\int_{1}^{3} (\frac{9}{x^{2}} - \frac{9}{{(3 x + 4)}^{2}}) ⅆ x$

=

π

\int_{1}^{3} (- \frac{9}{{(3 x + 4)}^{2}} + \frac{9}{x^{2}}) ⅆ x

=

π

\int_{1}^{3} (- 9 {(3 x + 4)}^{- 2} + 9 x^{- 2}) ⅆ x

= $π$ ${[3 {(3 x + 4)}^{- 1} - 9 x^{- 1}]}_{1}^{3}$

= $π$ ${[\frac{3}{3 x + 4} - \frac{9}{x}]}_{1}^{3}$

$=$ $π \cdot (\frac{3}{3 \cdot 3 + 4} - \frac{9}{3} - (\frac{3}{3 \cdot 1 + 4} - \frac{9}{1}))$

= $π \cdot (\frac{3}{9 + 4} - 9 \cdot (\frac{1}{3}) - (\frac{3}{3 + 4} - 9 \cdot 1))$

= $π \cdot (\frac{3}{13} - 3 - (\frac{3}{7} - 9))$

= $π \cdot (3 \cdot (\frac{1}{13}) - 3 - (3 \cdot (\frac{1}{7}) - 9))$

= $π \cdot (\frac{3}{13} - 3 - (\frac{3}{7} - 9))$

= $π \cdot (\frac{3}{13} - \frac{39}{13} - (\frac{3}{7} - \frac{63}{7}))$

= $π \cdot (- \frac{36}{13} - 1 \cdot (- \frac{60}{7}))$

= $π \cdot (- \frac{36}{13} + \frac{60}{7})$

= $π \cdot \frac{528}{91}$

= $\frac{528}{91} π$

≈ 18,228

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 4$ und der Geraden y = 2 rotiert im Intervall [0,3] um diese Gerade y = 2 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

Lösung einblenden

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2 x + 4 - 2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $\int_{0}^{3} {(2 x + 4 - 2)}^{2} ⅆ x$

=

π

\int_{0}^{3} {(2 x + 2)}^{2} ⅆ x

= $π$ ${[\frac{1}{6} {(2 x + 2)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $π \cdot (\frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 3 + 2)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 0 + 2)}^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{6} \cdot {(6 + 2)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(0 + 2)}^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{6} \cdot 8^{3} - \frac{1}{6} \cdot 2^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{6} \cdot 512 - \frac{1}{6} \cdot 8)$

= $π \cdot (\frac{256}{3} - \frac{4}{3})$

= $π \cdot 84$

= $84 π$

≈ 263,894

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Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Rotationskörper um andere Achse