= $\pi$ ${\left[-16{\left(x+4\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{x+4}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3+4}+\frac{16}{0+4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{7}+\frac{16}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-16\cdot \left(\frac{1}{7}\right)+16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{7}+4\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{7}+\frac{28}{7}\right)$

= $\pi ·\frac{12}{7}$

= $\frac{12}{7}\pi$

≈ 5,386

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^4}-\frac{25}{{\left(x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(x+4\right)}^{-3}-\frac{25}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3{\left(x+4\right)}^3}-\frac{25}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3{\left(2+4\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{25}{3{\left(1+4\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 6^3}-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{25}{3\cdot 5^3}-\frac{25}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-\frac{25}{24}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{648}-\frac{25}{24}-\left(\frac{1}{15}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{648}-\frac{675}{648}-\left(\frac{1}{15}-\frac{125}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{325}{324}-1·\left(-\frac{124}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{325}{324}+\frac{124}{15}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1625}{1620}+\frac{13392}{1620}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{325}{324}+\frac{124}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{11767}{1620}$

= $\frac{11767}{1620}\pi$

≈ 22,819

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(x+2\right)}^2+5}{{\left(x+2\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(x+2\right)}^2+5}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{3{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{3{\left(x+2\right)}^2+5}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{3{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3{\left(x+2\right)}^2+5-3{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(x+2\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(x+2\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3{\left(x+2\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3{\left(3+2\right)}^3}+\frac{25}{3{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 5^3}+\frac{25}{3\cdot 2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)+\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{15}+\frac{25}{24}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{120}+\frac{125}{120}\right)$

= $\pi ·\frac{39}{40}$

= $\frac{39}{40}\pi$

≈ 3,063