= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3\left(3x+2\right)}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(3\cdot 1+2\right)}+\frac{25}{3\left(3\cdot 0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(3+2\right)}+\frac{25}{3\left(0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 5}+\frac{25}{3\cdot 2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{5}{3}+\frac{25}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{10}{6}+\frac{25}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{5}{2}$

= $\frac{5}{2}\pi$

≈ 7,854

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(2x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[6{\left(2x+4\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{6}{{\left(2x+4\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{6}{{\left(2\cdot 3+4\right)}^3}-\frac{12}{3^3}-\left(\frac{6}{{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{{\left(6+4\right)}^3}-12\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{6}{{\left(2+4\right)}^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{{10}^3}-\frac{4}{9}-\left(\frac{6}{6^3}-12\right))$

= $\pi ·(6\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)-\frac{4}{9}-\left(6\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{500}-\frac{4}{9}-\left(\frac{1}{36}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{4500}-\frac{2000}{4500}-\left(\frac{1}{36}-\frac{432}{36}\right))$

= $\pi ·(-\frac{1973}{4500}-1·\left(-\frac{431}{36}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{1973}{4500}+\frac{431}{36}\right)$

= $\pi ·\frac{25951}{2250}$

= $\frac{25951}{2250}\pi$

≈ 36,234

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(3x+1\right)}^2+5}{{\left(3x+1\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(3x+1\right)}^2+5}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{{\left(3x+1\right)}^2+5}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{{\left(3x+1\right)}^2+5-{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(3x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{9{\left(3x+1\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{9{\left(3\cdot 3+1\right)}^3}+\frac{25}{9{\left(3\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9{\left(9+1\right)}^3}+\frac{25}{9{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9\cdot {10}^3}+\frac{25}{9\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)+\frac{25}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{360}+\frac{25}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{360}+\frac{1000}{360}\right)$

= $\pi ·\frac{111}{40}$

= $\frac{111}{40}\pi$

≈ 8,718