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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x}$ soll im Intervall [0,1] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V =

π

\int_{0}^{1} {(2 e^{- x})}^{2} ⅆ x

=

π

\int_{0}^{1} 4 e^{- 2 x} ⅆ x

= $π$ ${[- 2 e^{- 2 x}]}_{0}^{1}$

$=$ $π \cdot (- 2 e^{- 2 \cdot 1} + 2 e^{- 2 \cdot 0})$

= $π \cdot (- 2 e^{- 2} + 2 e^{0})$

= $π \cdot (- 2 e^{- 2} + 2)$

≈ 5,433

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,4] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π

\int_{1}^{4} {(\frac{2}{x^{2}})}^{2} ⅆ x

- π

\int_{1}^{4} {(\frac{2}{{(x + 1)}^{2}})}^{2} ⅆ x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $\int_{1}^{4} ({(\frac{2}{x^{2}})}^{2} - {(\frac{2}{{(x + 1)}^{2}})}^{2}) ⅆ x$

= π $\int_{1}^{4} (\frac{4}{x^{4}} - \frac{4}{{(x + 1)}^{4}}) ⅆ x$

=

π

\int_{1}^{4} (- \frac{4}{{(x + 1)}^{4}} + \frac{4}{x^{4}}) ⅆ x

=

π

\int_{1}^{4} (- 4 {(x + 1)}^{- 4} + 4 x^{- 4}) ⅆ x

= $π$ ${[\frac{4}{3} {(x + 1)}^{- 3} - \frac{4}{3} x^{- 3}]}_{1}^{4}$

= $π$ ${[\frac{4}{3 {(x + 1)}^{3}} - \frac{4}{3 x^{3}}]}_{1}^{4}$

$=$ $π \cdot (\frac{4}{3 {(4 + 1)}^{3}} - \frac{4}{3 \cdot 4^{3}} - (\frac{4}{3 {(1 + 1)}^{3}} - \frac{4}{3 \cdot 1^{3}}))$

= $π \cdot (\frac{4}{3 \cdot 5^{3}} - \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{64}) - (\frac{4}{3 \cdot 2^{3}} - \frac{4}{3} \cdot 1))$

= $π \cdot (\frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{125}) - \frac{1}{48} - (\frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{8}) - \frac{4}{3}))$

= $π \cdot (\frac{4}{375} - \frac{1}{48} - (\frac{1}{6} - \frac{4}{3}))$

= $π \cdot (\frac{64}{6000} - \frac{125}{6000} - (\frac{1}{6} - \frac{8}{6}))$

= $π \cdot (- \frac{61}{6000} - 1 \cdot (- \frac{7}{6}))$

= $π \cdot (- \frac{61}{6000} + \frac{7}{6})$

= $π \cdot (- \frac{61}{6000} + \frac{7000}{6000})$

= $π \cdot (- \frac{61}{6000} + \frac{7}{6})$

= $π \cdot \frac{2313}{2000}$

= $\frac{2313}{2000} π$

≈ 3,633

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit $f(x) =$ $3 x + 4$ und der Geraden y = 4 rotiert im Intervall [0,3] um diese Gerade y = 4 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 4 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-4 = $3 x + 4 - 4$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $\int_{0}^{3} {(3 x + 4 - 4)}^{2} ⅆ x$

=

π

\int_{0}^{3} {(3 x)}^{2} ⅆ x

=

π

\int_{0}^{3} 9 x^{2} ⅆ x

= $π$ ${[3 x^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $π \cdot (3 \cdot 3^{3} - 3 \cdot 0^{3})$

= $π \cdot (3 \cdot 27 - 3 \cdot 0)$

= $π \cdot (81 + 0)$

= $π \cdot 81$

= $81 π$

≈ 254,469

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Rotationskörper

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Rotationskörper um andere Achse