= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3}{e}^{-6x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 1}+\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6}+\frac{2}{3}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6}+\frac{2}{3}\right)$

≈ 2,089

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{7}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{7}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{7}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{7}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{49}{x^4}-\frac{49}{{\left(3x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{49}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}-\frac{49}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{49}{9{\left(3x+4\right)}^3}-\frac{49}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{49}{9{\left(3\cdot 3+4\right)}^3}-\frac{49}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{49}{9{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{49}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9{\left(9+4\right)}^3}-\frac{49}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{49}{9{\left(3+4\right)}^3}-\frac{49}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9\cdot {13}^3}-\frac{49}{81}-\left(\frac{49}{9\cdot 7^3}-\frac{49}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9}\cdot \left(\frac{1}{2197}\right)-\frac{49}{81}-\left(\frac{49}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{49}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{19773}-\frac{49}{81}-\left(\frac{1}{63}-\frac{49}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{441}{177957}-\frac{107653}{177957}-\left(\frac{1}{63}-\frac{1029}{63}\right))$

= $\pi ·(-\frac{107212}{177957}-1·\left(-\frac{1028}{63}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{107212}{177957}+\frac{1028}{63}\right)$

= $\pi ·\frac{19576160}{1245699}$

= $\frac{19576160}{1245699}\pi$

≈ 49,37

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(3x+1\right)}^2+5}{{\left(3x+1\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(3x+1\right)}^2+5}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3{\left(3x+1\right)}^2+5}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3{\left(3x+1\right)}^2+5-3{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(3x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{9{\left(3x+1\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{9{\left(3\cdot 1+1\right)}^3}+\frac{25}{9{\left(3\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9{\left(3+1\right)}^3}+\frac{25}{9{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9\cdot 4^3}+\frac{25}{9\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)+\frac{25}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{576}+\frac{25}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{576}+\frac{1600}{576}\right)$

= $\pi ·\frac{175}{64}$

= $\frac{175}{64}\pi$

≈ 8,59