= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{2}{\left(2x+1\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{2\left(2x+1\right)}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{2\left(2\cdot 1+1\right)}+\frac{9}{2\left(2\cdot 0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2\left(2+1\right)}+\frac{9}{2\left(0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2\cdot 3}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)+\frac{9}{2}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·3$

= $3\pi$

≈ 9,425

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(2x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{50}{3}{\left(2x+3\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{50}{3{\left(2x+3\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{50}{3{\left(2\cdot 2+3\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{50}{3{\left(2\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{3{\left(4+3\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{50}{3{\left(2+3\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{3\cdot 7^3}-\frac{25}{6}-\left(\frac{50}{3\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{3}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{25}{6}-\left(\frac{50}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{1029}-\frac{25}{6}-\left(\frac{2}{15}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{2058}-\frac{8575}{2058}-\left(\frac{2}{15}-\frac{500}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{2825}{686}-1·\left(-\frac{166}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{2825}{686}+\frac{166}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{99751}{3430}$

= $\frac{99751}{3430}\pi$

≈ 91,364

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(x+1\right)}^2+2}{{\left(x+1\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(x+1\right)}^2+2}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{2{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2{\left(x+1\right)}^2+2}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{2{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2{\left(x+1\right)}^2+2-2{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3{\left(x+1\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{3{\left(1+1\right)}^3}+\frac{4}{3{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\cdot 2^3}+\frac{4}{3\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+\frac{4}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}+\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}+\frac{8}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{6}$

= $\frac{7}{6}\pi$

≈ 3,665