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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit $f(x) =$ $3 x + 3$ soll im Intervall [1,2] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V =

π

\int_{1}^{2} {(3 x + 3)}^{2} ⅆ x

= $π$ ${[\frac{1}{9} {(3 x + 3)}^{3}]}_{1}^{2}$

$=$ $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 2 + 3)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 1 + 3)}^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot {(6 + 3)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(3 + 3)}^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot 9^{3} - \frac{1}{9} \cdot 6^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot 729 - \frac{1}{9} \cdot 216)$

= $π \cdot (81 - 24)$

= $π \cdot 57$

= $57 π$

≈ 179,071

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $\frac{3}{x}$ und $g(x) =$ $\frac{3}{3 x + 2}$ schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,3] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π

\int_{1}^{3} {(\frac{3}{x})}^{2} ⅆ x

- π

\int_{1}^{3} {(\frac{3}{3 x + 2})}^{2} ⅆ x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $\int_{1}^{3} ({(\frac{3}{x})}^{2} - {(\frac{3}{3 x + 2})}^{2}) ⅆ x$

= π $\int_{1}^{3} (\frac{9}{x^{2}} - \frac{9}{{(3 x + 2)}^{2}}) ⅆ x$

=

π

\int_{1}^{3} (- \frac{9}{{(3 x + 2)}^{2}} + \frac{9}{x^{2}}) ⅆ x

=

π

\int_{1}^{3} (- 9 {(3 x + 2)}^{- 2} + 9 x^{- 2}) ⅆ x

= $π$ ${[3 {(3 x + 2)}^{- 1} - 9 x^{- 1}]}_{1}^{3}$

= $π$ ${[\frac{3}{3 x + 2} - \frac{9}{x}]}_{1}^{3}$

$=$ $π \cdot (\frac{3}{3 \cdot 3 + 2} - \frac{9}{3} - (\frac{3}{3 \cdot 1 + 2} - \frac{9}{1}))$

= $π \cdot (\frac{3}{9 + 2} - 9 \cdot (\frac{1}{3}) - (\frac{3}{3 + 2} - 9 \cdot 1))$

= $π \cdot (\frac{3}{11} - 3 - (\frac{3}{5} - 9))$

= $π \cdot (3 \cdot (\frac{1}{11}) - 3 - (3 \cdot (\frac{1}{5}) - 9))$

= $π \cdot (\frac{3}{11} - 3 - (\frac{3}{5} - 9))$

= $π \cdot (\frac{3}{11} - \frac{33}{11} - (\frac{3}{5} - \frac{45}{5}))$

= $π \cdot (- \frac{30}{11} - 1 \cdot (- \frac{42}{5}))$

= $π \cdot (- \frac{30}{11} + \frac{42}{5})$

= $π \cdot \frac{312}{55}$

= $\frac{312}{55} π$

≈ 17,821

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x}$ und der Geraden y = 1 rotiert im Intervall [0,2] um diese Gerade y = 1 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

Lösung einblenden

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{0,2 x} - 1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $\int_{0}^{2} {(e^{0,2 x} - 1)}^{2} ⅆ x$

=

π

\int_{0}^{2} (e^{0,4 x} - 2 e^{0,2 x} + 1) ⅆ x

= $π$ ${[\frac{5}{2} e^{0,4 x} - 10 e^{0,2 x} + x]}_{0}^{2}$

$=$ $π \cdot (\frac{5}{2} e^{0,4 \cdot 2} - 10 e^{0,2 \cdot 2} + 2 - (\frac{5}{2} e^{0,4 \cdot 0} - 10 e^{0,2 \cdot 0} + 0))$

= $π \cdot (\frac{5}{2} e^{0,8} - 10 e^{0,4} + 2 - (\frac{5}{2} e^{0} - 10 e^{0} + 0))$

= $π \cdot (\frac{5}{2} e^{0,8} - 10 e^{0,4} + 2 - (\frac{5}{2} - 10 + 0))$

= $π \cdot (\frac{5}{2} e^{0,8} - 10 e^{0,4} + 2 - (\frac{5}{2} - \frac{20}{2} + 0))$

= $π \cdot (\frac{5}{2} e^{0,8} - 10 e^{0,4} + 2 - 1 \cdot (- \frac{15}{2}))$

= $π \cdot (\frac{5}{2} e^{0,8} - 10 e^{0,4} + 2 + \frac{15}{2})$

= $π \cdot (\frac{5}{2} e^{0,8} - 10 e^{0,4} + \frac{19}{2})$

≈ 0,457

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