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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit f(x)= 2x +2 soll im Intervall [1,2] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V = π 1 2 ( 2x +2 ) 2 x

= π [ 1 6 ( 2x +2 ) 3 ] 1 2

= π · ( 1 6 ( 22 +2 ) 3 - 1 6 ( 21 +2 ) 3 )

= π · ( 1 6 ( 4 +2 ) 3 - 1 6 ( 2 +2 ) 3 )

= π · ( 1 6 6 3 - 1 6 4 3 )

= π · ( 1 6 216 - 1 6 64 )

= π · ( 36 - 32 3 )

= π · ( 108 3 - 32 3 )

= π · 76 3

= 76 3 π


≈ 79,587

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 3 x und g(x)= 3 2x +3 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,4] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π 1 4 ( 3 x ) 2 x - π 1 4 ( 3 2x +3 ) 2 x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π 1 4 ( ( 3 x ) 2 - ( 3 2x +3 ) 2 ) x

= π 1 4 ( 9 x 2 - 9 ( 2x +3 ) 2 ) x

= π 1 4 ( - 9 ( 2x +3 ) 2 + 9 x 2 ) x
= π 1 4 ( -9 ( 2x +3 ) -2 +9 x -2 ) x

= π [ 9 2 ( 2x +3 ) -1 -9 x -1 ] 1 4

= π [ 9 2( 2x +3 ) - 9 x ] 1 4

= π · ( 9 2( 24 +3 ) - 9 4 - ( 9 2( 21 +3 ) - 9 1 ) )

= π · ( 9 2( 8 +3 ) -9( 1 4 ) - ( 9 2( 2 +3 ) -91 ) )

= π · ( 9 2 11 - 9 4 - ( 9 2 5 -9 ) )

= π · ( 9 2 ( 1 11 ) - 9 4 - ( 9 2 ( 1 5 ) -9 ) )

= π · ( 9 22 - 9 4 - ( 9 10 -9 ) )

= π · ( 18 44 - 99 44 - ( 9 10 - 90 10 ) )

= π · ( - 81 44 -1 · ( - 81 10 ) )

= π · ( - 81 44 + 81 10 )

= π · 1377 220

= 1377 220 π


≈ 19,664

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit f(x)= 2x +4 und der Geraden y = 4 rotiert im Intervall [0,3] um diese Gerade y = 4 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 4 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-4 = 2x +4 -4
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π 0 3 ( 2x +4 -4 ) 2 x

= π 0 3 ( 2x ) 2 x
= π 0 3 4 x 2 x

= π [ 4 3 x 3 ] 0 3

= π · ( 4 3 3 3 - 4 3 0 3 )

= π · ( 4 3 27 - 4 3 0 )

= π · ( 36 +0 )

= π · 36

= 36π


≈ 113,097