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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit f(x)= 3 3x +1 soll im Intervall [0,2] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V = π ∫ 0 2 ( 3 3x +1 ) 2 ⅆ x
= π ∫ 0 2 9 ( 3x +1 ) 2 ⅆ x
= π ∫ 0 2 9 ( 3x +1 ) -2 ⅆ x

= π [ -3 ( 3x +1 ) -1 ] 0 2

= π [ - 3 3x +1 ] 0 2

= π · ( - 3 3⋅2 +1 + 3 3⋅0 +1 )

= π · ( - 3 6 +1 + 3 0 +1 )

= π · ( - 3 7 + 3 1 )

= π · ( -3⋅( 1 7 ) +3⋅1 )

= π · ( - 3 7 +3 )

= π · ( - 3 7 + 21 7 )

= π · 18 7

= 18 7 π


≈ 8,078

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 3 x und g(x)= 3 x +3 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,2] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π ∫ 1 2 ( 3 x ) 2 ⅆ x - π ∫ 1 2 ( 3 x +3 ) 2 ⅆ x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π ∫ 1 2 ( ( 3 x ) 2 - ( 3 x +3 ) 2 ) ⅆ x

= π ∫ 1 2 ( 9 x 2 - 9 ( x +3 ) 2 ) ⅆ x

= π ∫ 1 2 ( - 9 ( x +3 ) 2 + 9 x 2 ) ⅆ x
= π ∫ 1 2 ( -9 ( x +3 ) -2 +9 x -2 ) ⅆ x

= π [ 9 ( x +3 ) -1 -9 x -1 ] 1 2

= π [ 9 x +3 - 9 x ] 1 2

= π · ( 9 2 +3 - 9 2 - ( 9 1 +3 - 9 1 ) )

= π · ( 9 5 -9⋅( 1 2 ) - ( 9 4 -9⋅1 ) )

= π · ( 9⋅( 1 5 ) - 9 2 - ( 9⋅( 1 4 ) -9 ) )

= π · ( 9 5 - 9 2 - ( 9 4 -9 ) )

= π · ( 18 10 - 45 10 - ( 9 4 - 36 4 ) )

= π · ( - 27 10 -1 · ( - 27 4 ) )

= π · ( - 27 10 + 27 4 )

= π · ( - 54 20 + 135 20 )

= π · ( - 27 10 + 27 4 )

= π · 81 20

= 81 20 π


≈ 12,723

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit f(x)= e 0,3x und der Geraden y = 1 rotiert im Intervall [0,2] um diese Gerade y = 1 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = e 0,3x -1
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π ∫ 0 2 ( e 0,3x -1 ) 2 ⅆ x

= π ∫ 0 2 ( e 0,6x -2 e 0,3x +1 ) ⅆ x

= π [ 5 3 e 0,6x - 20 3 e 0,3x + x ] 0 2

= π · ( 5 3 e 0,6⋅2 - 20 3 e 0,3⋅2 +2 - ( 5 3 e 0,6⋅0 - 20 3 e 0,3⋅0 +0) )

= π · ( 5 3 e 1,2 - 20 3 e 0,6 +2 - ( 5 3 e 0 - 20 3 e 0 +0) )

= π · ( 5 3 e 1,2 - 20 3 e 0,6 +2 - ( 5 3 - 20 3 +0) )

= π · ( 5 3 e 1,2 - 20 3 e 0,6 +2 - ( 5 3 - 20 3 +0) )

= π · ( 5 3 e 1,2 - 20 3 e 0,6 +2 -1 · ( -5 ) )

= π · ( 5 3 e 1,2 - 20 3 e 0,6 +2 +5 )

= π · ( 5 3 e 1,2 - 20 3 e 0,6 +7 )


≈ 1,213