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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x^{2} + 4 x + 4}$ soll im Intervall [0,1] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

Lösung einblenden

V =

π

\int_{0}^{1} {(\sqrt{x^{2} + 4 x + 4})}^{2} ⅆ x

=

π

\int_{0}^{1} (x^{2} + 4 x + 4) ⅆ x

= $π$ ${[\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 4 x]}_{0}^{1}$

$=$ $π \cdot (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0))$

= $π \cdot (\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 4 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 0))$

= $π \cdot (\frac{1}{3} + 2 + 4 - (0 + 0 + 0))$

= $π \cdot (\frac{1}{3} + \frac{6}{3} + \frac{12}{3} + 0)$

= $π \cdot (\frac{19}{3})$

= $\frac{19}{3} π$

≈ 19,897

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $\frac{12}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $\frac{12}{{(x + 3)}^{2}}$ schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,3] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π

\int_{1}^{3} {(\frac{12}{x^{2}})}^{2} ⅆ x

- π

\int_{1}^{3} {(\frac{12}{{(x + 3)}^{2}})}^{2} ⅆ x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $\int_{1}^{3} ({(\frac{12}{x^{2}})}^{2} - {(\frac{12}{{(x + 3)}^{2}})}^{2}) ⅆ x$

= π $\int_{1}^{3} (\frac{144}{x^{4}} - \frac{144}{{(x + 3)}^{4}}) ⅆ x$

=

π

\int_{1}^{3} (- \frac{144}{{(x + 3)}^{4}} + \frac{144}{x^{4}}) ⅆ x

=

π

\int_{1}^{3} (- 144 {(x + 3)}^{- 4} + 144 x^{- 4}) ⅆ x

= $π$ ${[48 {(x + 3)}^{- 3} - 48 x^{- 3}]}_{1}^{3}$

= $π$ ${[\frac{48}{{(x + 3)}^{3}} - \frac{48}{x^{3}}]}_{1}^{3}$

$=$ $π \cdot (\frac{48}{{(3 + 3)}^{3}} - \frac{48}{3^{3}} - (\frac{48}{{(1 + 3)}^{3}} - \frac{48}{1^{3}}))$

= $π \cdot (\frac{48}{6^{3}} - 48 \cdot (\frac{1}{27}) - (\frac{48}{4^{3}} - 48 \cdot 1))$

= $π \cdot (48 \cdot (\frac{1}{216}) - \frac{16}{9} - (48 \cdot (\frac{1}{64}) - 48))$

= $π \cdot (\frac{2}{9} - \frac{16}{9} - (\frac{3}{4} - 48))$

= $π \cdot (- \frac{14}{9} - (\frac{3}{4} - \frac{192}{4}))$

= $π \cdot (- \frac{14}{9} - 1 \cdot (- \frac{189}{4}))$

= $π \cdot (- \frac{14}{9} + \frac{189}{4})$

= $π \cdot (- \frac{56}{36} + \frac{1701}{36})$

= $π \cdot (- \frac{14}{9} + \frac{189}{4})$

= $π \cdot \frac{1645}{36}$

= $\frac{1645}{36} π$

≈ 143,553

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit $f(x) =$ $2 e^{0,2 x}$ und der Geraden y = 1 rotiert im Intervall [0,3] um diese Gerade y = 1 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

Lösung einblenden

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2 e^{0,2 x} - 1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $\int_{0}^{3} {(2 e^{0,2 x} - 1)}^{2} ⅆ x$

=

π

\int_{0}^{3} (4 e^{0,4 x} - 4 e^{0,2 x} + 1) ⅆ x

= $π$ ${[10 e^{0,4 x} - 20 e^{0,2 x} + x]}_{0}^{3}$

$=$ $π \cdot (10 e^{0,4 \cdot 3} - 20 e^{0,2 \cdot 3} + 3 - (10 e^{0,4 \cdot 0} - 20 e^{0,2 \cdot 0} + 0))$

= $π \cdot (10 e^{1,2} - 20 e^{0,6} + 3 - (10 e^{0} - 20 e^{0} + 0))$

= $π \cdot (10 e^{1,2} - 20 e^{0,6} + 3 - (10 - 20 + 0))$

= $π \cdot (10 e^{1,2} - 20 e^{0,6} + 3 - 1 \cdot (- 10))$

= $π \cdot (10 e^{1,2} - 20 e^{0,6} + 3 + 10)$

= $π \cdot (10 e^{1,2} - 20 e^{0,6} + 13)$

≈ 30,658

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Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Rotationskörper um andere Achse