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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit $f(x) =$ $3 x + 3$ soll im Intervall [-1,2] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V =

π

\int_{-1}^{2} {(3 x + 3)}^{2} ⅆ x

= $π$ ${[\frac{1}{9} {(3 x + 3)}^{3}]}_{-1}^{2}$

$=$ $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 2 + 3)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot (- 1) + 3)}^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot {(6 + 3)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(- 3 + 3)}^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot 9^{3} - \frac{1}{9} \cdot 0^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot 729 - \frac{1}{9} \cdot 0)$

= $π \cdot (81 + 0)$

= $π \cdot 81$

= $81 π$

≈ 254,469

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $\frac{3}{x}$ und $g(x) =$ $\frac{3}{x + 2}$ schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,4] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π

\int_{1}^{4} {(\frac{3}{x})}^{2} ⅆ x

- π

\int_{1}^{4} {(\frac{3}{x + 2})}^{2} ⅆ x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $\int_{1}^{4} ({(\frac{3}{x})}^{2} - {(\frac{3}{x + 2})}^{2}) ⅆ x$

= π $\int_{1}^{4} (\frac{9}{x^{2}} - \frac{9}{{(x + 2)}^{2}}) ⅆ x$

=

π

\int_{1}^{4} (- \frac{9}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{9}{x^{2}}) ⅆ x

=

π

\int_{1}^{4} (- 9 {(x + 2)}^{- 2} + 9 x^{- 2}) ⅆ x

= $π$ ${[9 {(x + 2)}^{- 1} - 9 x^{- 1}]}_{1}^{4}$

= $π$ ${[\frac{9}{x + 2} - \frac{9}{x}]}_{1}^{4}$

$=$ $π \cdot (\frac{9}{4 + 2} - \frac{9}{4} - (\frac{9}{1 + 2} - \frac{9}{1}))$

= $π \cdot (\frac{9}{6} - 9 \cdot (\frac{1}{4}) - (\frac{9}{3} - 9 \cdot 1))$

= $π \cdot (9 \cdot (\frac{1}{6}) - \frac{9}{4} - (9 \cdot (\frac{1}{3}) - 9))$

= $π \cdot (\frac{3}{2} - \frac{9}{4} - (3 - 9))$

= $π \cdot (\frac{6}{4} - \frac{9}{4} - 1 \cdot (- 6))$

= $π \cdot (- \frac{3}{4} + 6)$

= $π \cdot (- \frac{3}{4} + \frac{24}{4})$

= $π \cdot \frac{21}{4}$

= $\frac{21}{4} π$

≈ 16,493

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit $f(x) =$ $3 e^{0,3 x}$ und der Geraden y = 1 rotiert im Intervall [0,3] um diese Gerade y = 1 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

Lösung einblenden

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3 e^{0,3 x} - 1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $\int_{0}^{3} {(3 e^{0,3 x} - 1)}^{2} ⅆ x$

=

π

\int_{0}^{3} (9 e^{0,6 x} - 6 e^{0,3 x} + 1) ⅆ x

= $π$ ${[15 e^{0,6 x} - 20 e^{0,3 x} + x]}_{0}^{3}$

$=$ $π \cdot (15 e^{0,6 \cdot 3} - 20 e^{0,3 \cdot 3} + 3 - (15 e^{0,6 \cdot 0} - 20 e^{0,3 \cdot 0} + 0))$

= $π \cdot (15 e^{1,8} - 20 e^{0,9} + 3 - (15 e^{0} - 20 e^{0} + 0))$

= $π \cdot (15 e^{1,8} - 20 e^{0,9} + 3 - (15 - 20 + 0))$

= $π \cdot (15 e^{1,8} - 20 e^{0,9} + 3 - 1 \cdot (- 5))$

= $π \cdot (15 e^{1,8} - 20 e^{0,9} + 3 + 5)$

= $π \cdot (15 e^{1,8} - 20 e^{0,9} + 8)$

≈ 155,674

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Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Rotationskörper um andere Achse