= $\pi$ ${\left[-25{\left(x+3\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{x+3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{1+3}+\frac{25}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{4}+\frac{25}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{4}+\frac{25}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{75}{12}+\frac{100}{12}\right)$

= $\pi ·\frac{25}{12}$

= $\frac{25}{12}\pi$

≈ 6,545

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2}{\left(2x+4\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2\left(2x+4\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{2\left(2\cdot 4+4\right)}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2\left(2\cdot 1+4\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\left(8+4\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{25}{2\left(2+4\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\cdot 12}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2\cdot 6}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{12}\right)-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{24}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{12}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{24}-\frac{150}{24}-\left(\frac{25}{12}-\frac{300}{12}\right))$

= $\pi ·(-\frac{125}{24}-1·\left(-\frac{275}{12}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{125}{24}+\frac{275}{12}\right)$

= $\pi ·\frac{425}{24}$

= $\frac{425}{24}\pi$

≈ 55,632

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(2x+3\right)}^2+4}{{\left(2x+3\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(2x+3\right)}^2+4}{{\left(2x+3\right)}^2}-\frac{3{\left(2x+3\right)}^2}{{\left(2x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3{\left(2x+3\right)}^2+4}{{\left(2x+3\right)}^2}-\frac{3{\left(2x+3\right)}^2}{{\left(2x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3{\left(2x+3\right)}^2+4-3{\left(2x+3\right)}^2}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(2x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{3}{\left(2x+3\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{3{\left(2x+3\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{8}{3{\left(2\cdot 1+3\right)}^3}+\frac{8}{3{\left(2\cdot 0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3{\left(2+3\right)}^3}+\frac{8}{3{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3\cdot 5^3}+\frac{8}{3\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)+\frac{8}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{375}+\frac{8}{81}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{216}{10125}+\frac{1000}{10125}\right)$

= $\pi ·\frac{784}{10125}$

= $\frac{784}{10125}\pi$

≈ 0,243