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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit $f(x) =$ $3 x + 3$ soll im Intervall [-1,2] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V =

π

\int_{-1}^{2} {(3 x + 3)}^{2} ⅆ x

= $π$ ${[\frac{1}{9} {(3 x + 3)}^{3}]}_{-1}^{2}$

$=$ $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 2 + 3)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot (- 1) + 3)}^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot {(6 + 3)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(- 3 + 3)}^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot 9^{3} - \frac{1}{9} \cdot 0^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot 729 - \frac{1}{9} \cdot 0)$

= $π \cdot (81 + 0)$

= $π \cdot 81$

= $81 π$

≈ 254,469

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $\frac{4}{x}$ und $g(x) =$ $\frac{4}{x + 1}$ schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,2] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π

\int_{1}^{2} {(\frac{4}{x})}^{2} ⅆ x

- π

\int_{1}^{2} {(\frac{4}{x + 1})}^{2} ⅆ x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $\int_{1}^{2} ({(\frac{4}{x})}^{2} - {(\frac{4}{x + 1})}^{2}) ⅆ x$

= π $\int_{1}^{2} (\frac{16}{x^{2}} - \frac{16}{{(x + 1)}^{2}}) ⅆ x$

=

π

\int_{1}^{2} (- \frac{16}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{16}{x^{2}}) ⅆ x

=

π

\int_{1}^{2} (- 16 {(x + 1)}^{- 2} + 16 x^{- 2}) ⅆ x

= $π$ ${[16 {(x + 1)}^{- 1} - 16 x^{- 1}]}_{1}^{2}$

= $π$ ${[\frac{16}{x + 1} - \frac{16}{x}]}_{1}^{2}$

$=$ $π \cdot (\frac{16}{2 + 1} - \frac{16}{2} - (\frac{16}{1 + 1} - \frac{16}{1}))$

= $π \cdot (\frac{16}{3} - 16 \cdot (\frac{1}{2}) - (\frac{16}{2} - 16 \cdot 1))$

= $π \cdot (16 \cdot (\frac{1}{3}) - 8 - (16 \cdot (\frac{1}{2}) - 16))$

= $π \cdot (\frac{16}{3} - 8 - (8 - 16))$

= $π \cdot (\frac{16}{3} - \frac{24}{3} - 1 \cdot (- 8))$

= $π \cdot (- \frac{8}{3} + 8)$

= $π \cdot (- \frac{8}{3} + \frac{24}{3})$

= $π \cdot \frac{16}{3}$

= $\frac{16}{3} π$

≈ 16,755

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{2 {(3 x + 3)}^{2} + 2}{{(3 x + 3)}^{2}}$ und der Geraden y = 2 rotiert im Intervall [0,3] um diese Gerade y = 2 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

Lösung einblenden

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2 {(3 x + 3)}^{2} + 2}{{(3 x + 3)}^{2}} - 2$ = $\frac{2 {(3 x + 3)}^{2} + 2}{{(3 x + 3)}^{2}} - \frac{2 {(3 x + 3)}^{2}}{{(3 x + 3)}^{2}}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $\int_{0}^{3} {(\frac{2 {(3 x + 3)}^{2} + 2}{{(3 x + 3)}^{2}} - \frac{2 {(3 x + 3)}^{2}}{{(3 x + 3)}^{2}})}^{2} ⅆ x$

= π $\int_{0}^{3} {(\frac{2 {(3 x + 3)}^{2} + 2 - 2 {(3 x + 3)}^{2}}{{(3 x + 3)}^{2}})}^{2} ⅆ x$

= π $\int_{0}^{3} {(\frac{2}{{(3 x + 3)}^{2}})}^{2} ⅆ x$

= π $\int_{0}^{3} 2^{2} \cdot \frac{1}{{(3 x + 3)}^{4}} ⅆ x$

=

π

\int_{0}^{3} \frac{4}{{(3 x + 3)}^{4}} ⅆ x

=

π

\int_{0}^{3} 4 {(3 x + 3)}^{- 4} ⅆ x

= $π$ ${[- \frac{4}{9} {(3 x + 3)}^{- 3}]}_{0}^{3}$

= $π$ ${[- \frac{4}{9 {(3 x + 3)}^{3}}]}_{0}^{3}$

$=$ $π \cdot (- \frac{4}{9 {(3 \cdot 3 + 3)}^{3}} + \frac{4}{9 {(3 \cdot 0 + 3)}^{3}})$

= $π \cdot (- \frac{4}{9 {(9 + 3)}^{3}} + \frac{4}{9 {(0 + 3)}^{3}})$

= $π \cdot (- \frac{4}{9 \cdot 12^{3}} + \frac{4}{9 \cdot 3^{3}})$

= $π \cdot (- \frac{4}{9} \cdot (\frac{1}{1728}) + \frac{4}{9} \cdot (\frac{1}{27}))$

= $π \cdot (- \frac{1}{3888} + \frac{4}{243})$

= $π \cdot (- \frac{1}{3888} + \frac{64}{3888})$

= $π \cdot \frac{7}{432}$

= $\frac{7}{432} π$

≈ 0,051

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Rotationskörper

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

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