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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit f(x)= 2 x 2 + x +2 soll im Intervall [0,2] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V = π ∫ 0 2 ( 2 x 2 + x +2 ) 2 ⅆ x
= π ∫ 0 2 ( 2 x 2 + x +2 ) ⅆ x

= π [ 2 3 x 3 + 1 2 x 2 +2x ] 0 2

= π · ( 2 3 ⋅ 2 3 + 1 2 ⋅ 2 2 +2⋅2 - ( 2 3 ⋅ 0 3 + 1 2 ⋅ 0 2 +2⋅0 ) )

= π · ( 2 3 ⋅8 + 1 2 ⋅4 +4 - ( 2 3 ⋅0 + 1 2 ⋅0 +0) )

= π · ( 16 3 +2 +4 - (0+0+0) )

= π · ( 16 3 + 6 3 + 12 3 +0 )

= π · ( 34 3 )

= 34 3 π


≈ 35,605

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 3 x 2 und g(x)= 3 ( x +2 ) 2 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,2] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π ∫ 1 2 ( 3 x 2 ) 2 ⅆ x - π ∫ 1 2 ( 3 ( x +2 ) 2 ) 2 ⅆ x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π ∫ 1 2 ( ( 3 x 2 ) 2 - ( 3 ( x +2 ) 2 ) 2 ) ⅆ x

= π ∫ 1 2 ( 9 x 4 - 9 ( x +2 ) 4 ) ⅆ x

= π ∫ 1 2 ( - 9 ( x +2 ) 4 + 9 x 4 ) ⅆ x
= π ∫ 1 2 ( -9 ( x +2 ) -4 +9 x -4 ) ⅆ x

= π [ 3 ( x +2 ) -3 -3 x -3 ] 1 2

= π [ 3 ( x +2 ) 3 - 3 x 3 ] 1 2

= π · ( 3 ( 2 +2 ) 3 - 3 2 3 - ( 3 ( 1 +2 ) 3 - 3 1 3 ) )

= π · ( 3 4 3 -3⋅( 1 8 ) - ( 3 3 3 -3⋅1 ) )

= π · ( 3⋅( 1 64 ) - 3 8 - ( 3⋅( 1 27 ) -3 ) )

= π · ( 3 64 - 3 8 - ( 1 9 -3 ) )

= π · ( 3 64 - 24 64 - ( 1 9 - 27 9 ) )

= π · ( - 21 64 -1 · ( - 26 9 ) )

= π · ( - 21 64 + 26 9 )

= π · ( - 189 576 + 1664 576 )

= π · ( - 21 64 + 26 9 )

= π · 1475 576

= 1475 576 π


≈ 8,045

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit f(x)= 3x +3 und der Geraden y = 1 rotiert im Intervall [0,2] um diese Gerade y = 1 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = 3x +3 -1
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π ∫ 0 2 ( 3x +3 -1 ) 2 ⅆ x

= π ∫ 0 2 ( 3x +2 ) 2 ⅆ x

= π [ 1 9 ( 3x +2 ) 3 ] 0 2

= π · ( 1 9 ⋅ ( 3⋅2 +2 ) 3 - 1 9 ⋅ ( 3⋅0 +2 ) 3 )

= π · ( 1 9 ⋅ ( 6 +2 ) 3 - 1 9 ⋅ ( 0 +2 ) 3 )

= π · ( 1 9 ⋅ 8 3 - 1 9 ⋅ 2 3 )

= π · ( 1 9 ⋅512 - 1 9 ⋅8 )

= π · ( 512 9 - 8 9 )

= π · 56

= 56π


≈ 175,929