= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+3\right)}^3\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(2+3\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(1+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 5^3-\frac{1}{3}\cdot 4^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 125-\frac{1}{3}\cdot 64\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{3}-\frac{64}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{61}{3}$

= $\frac{61}{3}\pi$

≈ 63,879

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{9}{\left(3x+2\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{9{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{100}{9{\left(3\cdot 2+2\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{100}{9{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9{\left(6+2\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{100}{9{\left(3+2\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9\cdot 8^3}-\frac{25}{6}-\left(\frac{100}{9\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{25}{6}-\left(\frac{100}{9}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{1152}-\frac{25}{6}-\left(\frac{4}{45}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{1152}-\frac{4800}{1152}-\left(\frac{4}{45}-\frac{1500}{45}\right))$

= $\pi ·(-\frac{4775}{1152}-1·\left(-\frac{1496}{45}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{4775}{1152}+\frac{1496}{45}\right)$

= $\pi ·\frac{55871}{1920}$

= $\frac{55871}{1920}\pi$

≈ 91,419

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2e^{\mathrm{0,3}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,3}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 3}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 3}+3-\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-\left(\frac{20}{3}{e}^0-\frac{40}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-\left(\frac{20}{3}-\frac{40}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-\left(\frac{20}{3}-\frac{40}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-1·\left(-\frac{20}{3}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3+\frac{20}{3}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+\frac{29}{3}\right)$

≈ 54,045