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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x}$ soll im Intervall [0,2] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V =

π

\int_{0}^{2} {(e^{- 2 x})}^{2} ⅆ x

=

π

\int_{0}^{2} e^{- 4 x} ⅆ x

= $π$ ${[- \frac{1}{4} e^{- 4 x}]}_{0}^{2}$

$=$ $π \cdot (- \frac{1}{4} e^{- 4 \cdot 2} + \frac{1}{4} e^{- 4 \cdot 0})$

= $π \cdot (- \frac{1}{4} e^{- 8} + \frac{1}{4} e^{0})$

= $π \cdot (- \frac{1}{4} e^{- 8} + \frac{1}{4})$

≈ 0,785

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $\frac{5}{x}$ und $g(x) =$ $\frac{5}{x + 4}$ schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,3] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π

\int_{1}^{3} {(\frac{5}{x})}^{2} ⅆ x

- π

\int_{1}^{3} {(\frac{5}{x + 4})}^{2} ⅆ x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $\int_{1}^{3} ({(\frac{5}{x})}^{2} - {(\frac{5}{x + 4})}^{2}) ⅆ x$

= π $\int_{1}^{3} (\frac{25}{x^{2}} - \frac{25}{{(x + 4)}^{2}}) ⅆ x$

=

π

\int_{1}^{3} (- \frac{25}{{(x + 4)}^{2}} + \frac{25}{x^{2}}) ⅆ x

=

π

\int_{1}^{3} (- 25 {(x + 4)}^{- 2} + 25 x^{- 2}) ⅆ x

= $π$ ${[25 {(x + 4)}^{- 1} - 25 x^{- 1}]}_{1}^{3}$

= $π$ ${[\frac{25}{x + 4} - \frac{25}{x}]}_{1}^{3}$

$=$ $π \cdot (\frac{25}{3 + 4} - \frac{25}{3} - (\frac{25}{1 + 4} - \frac{25}{1}))$

= $π \cdot (\frac{25}{7} - 25 \cdot (\frac{1}{3}) - (\frac{25}{5} - 25 \cdot 1))$

= $π \cdot (25 \cdot (\frac{1}{7}) - \frac{25}{3} - (25 \cdot (\frac{1}{5}) - 25))$

= $π \cdot (\frac{25}{7} - \frac{25}{3} - (5 - 25))$

= $π \cdot (\frac{75}{21} - \frac{175}{21} - 1 \cdot (- 20))$

= $π \cdot (- \frac{100}{21} + 20)$

= $π \cdot (- \frac{100}{21} + \frac{420}{21})$

= $π \cdot \frac{320}{21}$

= $\frac{320}{21} π$

≈ 47,872

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit $f(x) =$ $2 e^{0,4 x}$ und der Geraden y = 1 rotiert im Intervall [0,3] um diese Gerade y = 1 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2 e^{0,4 x} - 1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $\int_{0}^{3} {(2 e^{0,4 x} - 1)}^{2} ⅆ x$

=

π

\int_{0}^{3} (4 e^{0,8 x} - 4 e^{0,4 x} + 1) ⅆ x

= $π$ ${[5 e^{0,8 x} - 10 e^{0,4 x} + x]}_{0}^{3}$

$=$ $π \cdot (5 e^{0,8 \cdot 3} - 10 e^{0,4 \cdot 3} + 3 - (5 e^{0,8 \cdot 0} - 10 e^{0,4 \cdot 0} + 0))$

= $π \cdot (5 e^{2,4} - 10 e^{1,2} + 3 - (5 e^{0} - 10 e^{0} + 0))$

= $π \cdot (5 e^{2,4} - 10 e^{1,2} + 3 - (5 - 10 + 0))$

= $π \cdot (5 e^{2,4} - 10 e^{1,2} + 3 - 1 \cdot (- 5))$

= $π \cdot (5 e^{2,4} - 10 e^{1,2} + 3 + 5)$

= $π \cdot (5 e^{2,4} - 10 e^{1,2} + 8)$

≈ 93,98

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Rotationskörper

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Rotationskörper um andere Achse