= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+4\right)}^3\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+4\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot \left(-1\right)+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(0+4\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(-2+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 4^3-\frac{1}{6}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 64-\frac{1}{6}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{32}{3}-\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{28}{3}$

= $\frac{28}{3}\pi$

≈ 29,322

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{4}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{16}{x^4}-\frac{16}{{\left(2x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{3}{\left(2x+2\right)}^{-3}-\frac{16}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{3{\left(2x+2\right)}^3}-\frac{16}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{8}{3{\left(2\cdot 3+2\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{8}{3{\left(2\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{3{\left(6+2\right)}^3}-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{8}{3{\left(2+2\right)}^3}-\frac{16}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{3\cdot 8^3}-\frac{16}{81}-\left(\frac{8}{3\cdot 4^3}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{3}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{16}{81}-\left(\frac{8}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{192}-\frac{16}{81}-\left(\frac{1}{24}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{5184}-\frac{1024}{5184}-\left(\frac{1}{24}-\frac{128}{24}\right))$

= $\pi ·(-\frac{997}{5184}-1·\left(-\frac{127}{24}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{997}{5184}+\frac{127}{24}\right)$

= $\pi ·\frac{26435}{5184}$

= $\frac{26435}{5184}\pi$

≈ 16,02

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(3x+1\right)}^2+3}{{\left(3x+1\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(3x+1\right)}^2+3}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{{\left(3x+1\right)}^2+3}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{{\left(3x+1\right)}^2+3-{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(3x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-{\left(3x+1\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{{\left(3x+1\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{{\left(3\cdot 2+1\right)}^3}+\frac{1}{{\left(3\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{{\left(6+1\right)}^3}+\frac{1}{{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{7^3}+\frac{1}{1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\left(\frac{1}{343}\right)+1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{343}+1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{343}+\frac{343}{343}\right)$

= $\pi ·\frac{342}{343}$

= $\frac{342}{343}\pi$

≈ 3,132