= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{2}{\left(2x+4\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{2\left(2x+4\right)}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{2\left(2\cdot 3+4\right)}+\frac{9}{2\left(2\cdot 0+4\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2\left(6+4\right)}+\frac{9}{2\left(0+4\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2\cdot 10}+\frac{9}{2\cdot 4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)+\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{20}+\frac{9}{8}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{18}{40}+\frac{45}{40}\right)$

= $\pi ·\frac{27}{40}$

= $\frac{27}{40}\pi$

≈ 2,121

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{9}{\left(3x+2\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{9{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{100}{9{\left(3\cdot 4+2\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{100}{9{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9{\left(12+2\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{100}{9{\left(3+2\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9\cdot {14}^3}-\frac{25}{48}-\left(\frac{100}{9\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9}\cdot \left(\frac{1}{2744}\right)-\frac{25}{48}-\left(\frac{100}{9}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6174}-\frac{25}{48}-\left(\frac{4}{45}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{200}{49392}-\frac{25725}{49392}-\left(\frac{4}{45}-\frac{1500}{45}\right))$

= $\pi ·(-\frac{25525}{49392}-1·\left(-\frac{1496}{45}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{25525}{49392}+\frac{1496}{45}\right)$

= $\pi ·\frac{898047}{27440}$

= $\frac{898047}{27440}\pi$

≈ 102,817

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{4x+9}{2x+2}-2$ = $\frac{4x+9}{2x+2}-\frac{2\left(2x+2\right)}{2x+2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{4x+9}{2x+2}-\frac{2\left(2x+2\right)}{2x+2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4x+9-4x-4}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(2x+2\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{2}{\left(2x+2\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{2\left(2x+2\right)}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{2\left(2\cdot 3+2\right)}+\frac{25}{2\left(2\cdot 0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2\left(6+2\right)}+\frac{25}{2\left(0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2\cdot 8}+\frac{25}{2\cdot 2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{16}+\frac{25}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{16}+\frac{100}{16}\right)$

= $\pi ·\frac{75}{16}$

= $\frac{75}{16}\pi$

≈ 14,726