= $\pi$ ${\left[-9{\left(x+2\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{x+2}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{2+2}+\frac{9}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}+\frac{18}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{9}{4}$

= $\frac{9}{4}\pi$

≈ 7,069

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{4}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{16}{x^4}-\frac{16}{{\left(3x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}-\frac{16}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{9{\left(3x+1\right)}^3}-\frac{16}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{9{\left(3\cdot 2+1\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{16}{9{\left(3\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{9{\left(6+1\right)}^3}-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{16}{9{\left(3+1\right)}^3}-\frac{16}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{9\cdot 7^3}-\frac{2}{3}-\left(\frac{16}{9\cdot 4^3}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{2}{3}-\left(\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3087}-\frac{2}{3}-\left(\frac{1}{36}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3087}-\frac{2058}{3087}-\left(\frac{1}{36}-\frac{192}{36}\right))$

= $\pi ·(-\frac{2042}{3087}-1·\left(-\frac{191}{36}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{2042}{3087}+\frac{191}{36}\right)$

= $\pi ·\frac{19115}{4116}$

= $\frac{19115}{4116}\pi$

≈ 14,59

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3e^{\mathrm{0,2}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,2}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}x}-30e^{\mathrm{0,2}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 1}-30e^{\mathrm{0,2}\cdot 1}+1-\left(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 0}-30e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-30e^{\mathrm{0,2}}+1-\left(\frac{45}{2}{e}^0-30e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-30e^{\mathrm{0,2}}+1-\left(\frac{45}{2}-30+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-30e^{\mathrm{0,2}}+1-\left(\frac{45}{2}-\frac{60}{2}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-30e^{\mathrm{0,2}}+1-1·\left(-\frac{15}{2}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-30e^{\mathrm{0,2}}+1+\frac{15}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-30e^{\mathrm{0,2}}+\frac{17}{2}\right)$

≈ 17,04