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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{2 x + 2}$ soll im Intervall [0,3] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V =

π

\int_{0}^{3} {(\frac{4}{2 x + 2})}^{2} ⅆ x

=

π

\int_{0}^{3} \frac{16}{{(2 x + 2)}^{2}} ⅆ x

=

π

\int_{0}^{3} 16 {(2 x + 2)}^{- 2} ⅆ x

= $π$ ${[- 8 {(2 x + 2)}^{- 1}]}_{0}^{3}$

= $π$ ${[- \frac{8}{2 x + 2}]}_{0}^{3}$

$=$ $π \cdot (- \frac{8}{2 \cdot 3 + 2} + \frac{8}{2 \cdot 0 + 2})$

= $π \cdot (- \frac{8}{6 + 2} + \frac{8}{0 + 2})$

= $π \cdot (- \frac{8}{8} + \frac{8}{2})$

= $π \cdot (- 8 \cdot (\frac{1}{8}) + 8 \cdot (\frac{1}{2}))$

= $π \cdot (- 1 + 4)$

= $π \cdot 3$

= $3 π$

≈ 9,425

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $\frac{5}{x}$ und $g(x) =$ $\frac{5}{2 x + 4}$ schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,2] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π

\int_{1}^{2} {(\frac{5}{x})}^{2} ⅆ x

- π

\int_{1}^{2} {(\frac{5}{2 x + 4})}^{2} ⅆ x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $\int_{1}^{2} ({(\frac{5}{x})}^{2} - {(\frac{5}{2 x + 4})}^{2}) ⅆ x$

= π $\int_{1}^{2} (\frac{25}{x^{2}} - \frac{25}{{(2 x + 4)}^{2}}) ⅆ x$

=

π

\int_{1}^{2} (- \frac{25}{{(2 x + 4)}^{2}} + \frac{25}{x^{2}}) ⅆ x

=

π

\int_{1}^{2} (- 25 {(2 x + 4)}^{- 2} + 25 x^{- 2}) ⅆ x

= $π$ ${[\frac{25}{2} {(2 x + 4)}^{- 1} - 25 x^{- 1}]}_{1}^{2}$

= $π$ ${[\frac{25}{2 (2 x + 4)} - \frac{25}{x}]}_{1}^{2}$

$=$ $π \cdot (\frac{25}{2 (2 \cdot 2 + 4)} - \frac{25}{2} - (\frac{25}{2 (2 \cdot 1 + 4)} - \frac{25}{1}))$

= $π \cdot (\frac{25}{2 (4 + 4)} - 25 \cdot (\frac{1}{2}) - (\frac{25}{2 (2 + 4)} - 25 \cdot 1))$

= $π \cdot (\frac{25}{2 \cdot 8} - \frac{25}{2} - (\frac{25}{2 \cdot 6} - 25))$

= $π \cdot (\frac{25}{2} \cdot (\frac{1}{8}) - \frac{25}{2} - (\frac{25}{2} \cdot (\frac{1}{6}) - 25))$

= $π \cdot (\frac{25}{16} - \frac{25}{2} - (\frac{25}{12} - 25))$

= $π \cdot (\frac{25}{16} - \frac{200}{16} - (\frac{25}{12} - \frac{300}{12}))$

= $π \cdot (- \frac{175}{16} - 1 \cdot (- \frac{275}{12}))$

= $π \cdot (- \frac{175}{16} + \frac{275}{12})$

= $π \cdot \frac{575}{48}$

= $\frac{575}{48} π$

≈ 37,634

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit $f(x) =$ $3 e^{0,5 x}$ und der Geraden y = 2 rotiert im Intervall [0,2] um diese Gerade y = 2 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

Lösung einblenden

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $3 e^{0,5 x} - 2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $\int_{0}^{2} {(3 e^{0,5 x} - 2)}^{2} ⅆ x$

=

π

\int_{0}^{2} (9 e^{x} - 12 e^{0,5 x} + 4) ⅆ x

= $π$ ${[9 e^{x} - 24 e^{0,5 x} + 4 x]}_{0}^{2}$

$=$ $π \cdot (9 e^{2} - 24 e^{0,5 \cdot 2} + 4 \cdot 2 - (9 e^{0} - 24 e^{0,5 \cdot 0} + 4 \cdot 0))$

= $π \cdot (9 e^{2} - 24 e + 8 - (9 - 24 e^{0} + 0))$

= $π \cdot (9 e^{2} - 24 e + 8 - (9 - 24 + 0))$

= $π \cdot (9 e^{2} + 8 - 24 e - 1 \cdot (- 15))$

= $π \cdot (9 e^{2} + 8 - 24 e + 15)$

= $π \cdot (9 e^{2} + 23 - 24 e)$

≈ 76,224

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Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Rotationskörper um andere Achse