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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit f(x)= e -x soll im Intervall [1,3] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V = π 1 3 ( e -x ) 2 x
= π 1 3 e -2x x

= π [ - 1 2 e -2x ] 1 3

= π · ( - 1 2 e -23 + 1 2 e -21 )

= π · ( - 1 2 e -6 + 1 2 e -2 )

= π · ( 1 2 e -2 - 1 2 e -6 )


≈ 0,209

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 15 x 2 und g(x)= 15 ( 3x +2 ) 2 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,3] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π 1 3 ( 15 x 2 ) 2 x - π 1 3 ( 15 ( 3x +2 ) 2 ) 2 x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π 1 3 ( ( 15 x 2 ) 2 - ( 15 ( 3x +2 ) 2 ) 2 ) x

= π 1 3 ( 225 x 4 - 225 ( 3x +2 ) 4 ) x

= π 1 3 ( - 225 ( 3x +2 ) 4 + 225 x 4 ) x
= π 1 3 ( -225 ( 3x +2 ) -4 +225 x -4 ) x

= π [ 25 ( 3x +2 ) -3 -75 x -3 ] 1 3

= π [ 25 ( 3x +2 ) 3 - 75 x 3 ] 1 3

= π · ( 25 ( 33 +2 ) 3 - 75 3 3 - ( 25 ( 31 +2 ) 3 - 75 1 3 ) )

= π · ( 25 ( 9 +2 ) 3 -75( 1 27 ) - ( 25 ( 3 +2 ) 3 -751 ) )

= π · ( 25 11 3 - 25 9 - ( 25 5 3 -75 ) )

= π · ( 25( 1 1331 ) - 25 9 - ( 25( 1 125 ) -75 ) )

= π · ( 25 1331 - 25 9 - ( 1 5 -75 ) )

= π · ( 225 11979 - 33275 11979 - ( 1 5 - 375 5 ) )

= π · ( - 33050 11979 -1 · ( - 374 5 ) )

= π · ( - 33050 11979 + 374 5 )

= π · 4314896 59895

= 4314896 59895 π


≈ 226,323

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit f(x)= x +4 und der Geraden y = 3 rotiert im Intervall [0,2] um diese Gerade y = 3 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = x +4 -3
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π 0 2 ( x +4 -3 ) 2 x

= π 0 2 ( x +1 ) 2 x

= π [ 1 3 ( x +1 ) 3 ] 0 2

= π · ( 1 3 ( 2 +1 ) 3 - 1 3 ( 0 +1 ) 3 )

= π · ( 1 3 3 3 - 1 3 1 3 )

= π · ( 1 3 27 - 1 3 1 )

= π · ( 9 - 1 3 )

= π · ( 27 3 - 1 3 )

= π · 26 3

= 26 3 π


≈ 27,227