= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 3+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(9+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {10}^3-\frac{1}{9}\cdot 4^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 1000-\frac{1}{9}\cdot 64\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1000}{9}-\frac{64}{9}\right)$

= $\pi ·104$

= $104\pi$

≈ 326,726

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(2x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{50}{3}{\left(2x+3\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{50}{3{\left(2x+3\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{50}{3{\left(2\cdot 3+3\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{50}{3{\left(2\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{3{\left(6+3\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{50}{3{\left(2+3\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{3\cdot 9^3}-\frac{100}{81}-\left(\frac{50}{3\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{3}\cdot \left(\frac{1}{729}\right)-\frac{100}{81}-\left(\frac{50}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{2187}-\frac{100}{81}-\left(\frac{2}{15}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{2187}-\frac{2700}{2187}-\left(\frac{2}{15}-\frac{500}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{2650}{2187}-1·\left(-\frac{166}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{2650}{2187}+\frac{166}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{349792}{10935}$

= $\frac{349792}{10935}\pi$

≈ 100,494

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(3x+1\right)}^2+3}{{\left(3x+1\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(3x+1\right)}^2+3}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{{\left(3x+1\right)}^2+3}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{{\left(3x+1\right)}^2+3-{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(3x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-{\left(3x+1\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{{\left(3x+1\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{{\left(3\cdot 3+1\right)}^3}+\frac{1}{{\left(3\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{{\left(9+1\right)}^3}+\frac{1}{{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{{10}^3}+\frac{1}{1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\left(\frac{1}{1000}\right)+1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{1000}+1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{1000}+\frac{1000}{1000}\right)$

= $\pi ·\frac{999}{1000}$

= $\frac{999}{1000}\pi$

≈ 3,138