= $\pi$ ${\left[-9{\left(x+2\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{x+2}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{3+2}+\frac{9}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{5}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-9\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{5}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{18}{10}+\frac{45}{10}\right)$

= $\pi ·\frac{27}{10}$

= $\frac{27}{10}\pi$

≈ 8,482

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{12}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{12}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{12}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{12}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{144}{x^4}-\frac{144}{{\left(3x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(3x+1\right)}^{-3}-48x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{{\left(3x+1\right)}^3}-\frac{48}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{{\left(3\cdot 4+1\right)}^3}-\frac{48}{4^3}-\left(\frac{16}{{\left(3\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{48}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{{\left(12+1\right)}^3}-48\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{16}{{\left(3+1\right)}^3}-48\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{{13}^3}-\frac{3}{4}-\left(\frac{16}{4^3}-48\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{2197}\right)-\frac{3}{4}-\left(16\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-48\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{2197}-\frac{3}{4}-\left(\frac{1}{4}-48\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{8788}-\frac{6591}{8788}-\left(\frac{1}{4}-\frac{192}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{6527}{8788}-1·\left(-\frac{191}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{6527}{8788}+\frac{191}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{103275}{2197}$

= $\frac{103275}{2197}\pi$

≈ 147,678

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(3x+2\right)}^2+4}{{\left(3x+2\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(3x+2\right)}^2+4}{{\left(3x+2\right)}^2}-\frac{2{\left(3x+2\right)}^2}{{\left(3x+2\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{2{\left(3x+2\right)}^2+4}{{\left(3x+2\right)}^2}-\frac{2{\left(3x+2\right)}^2}{{\left(3x+2\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2{\left(3x+2\right)}^2+4-2{\left(3x+2\right)}^2}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(3x+2\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{9}{\left(3x+2\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{9{\left(3x+2\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{9{\left(3\cdot 2+2\right)}^3}+\frac{16}{9{\left(3\cdot 0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9{\left(6+2\right)}^3}+\frac{16}{9{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9\cdot 8^3}+\frac{16}{9\cdot 2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)+\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{288}+\frac{2}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{288}+\frac{64}{288}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{32}$

= $\frac{7}{32}\pi$

≈ 0,687