= $\pi$ ${\left[\frac{1}{2}{x}^4+x^3+\frac{5}{2}{x}^2\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{1}{2}\cdot 1^4+1^3+\frac{5}{2}\cdot 1^2-\left(\frac{1}{2}\cdot 0^4+0^3+\frac{5}{2}\cdot 0^2\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{2}\cdot 1+1+\frac{5}{2}\cdot 1-\left(\frac{1}{2}\cdot 0+0+\frac{5}{2}\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{2}+1+\frac{5}{2}-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\frac{5}{2}+0\right)$

= $\pi ·\left(4\right)$

= $4\pi$

≈ 12,566

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{15}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{15}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{15}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{15}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{225}{x^4}-\frac{225}{{\left(x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[75{\left(x+4\right)}^{-3}-75x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{75}{{\left(x+4\right)}^3}-\frac{75}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{75}{{\left(3+4\right)}^3}-\frac{75}{3^3}-\left(\frac{75}{{\left(1+4\right)}^3}-\frac{75}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{7^3}-75\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{75}{5^3}-75\cdot 1\right))$

= $\pi ·(75\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{25}{9}-\left(75\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-75\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{343}-\frac{25}{9}-\left(\frac{3}{5}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{675}{3087}-\frac{8575}{3087}-\left(\frac{3}{5}-\frac{375}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{7900}{3087}-1·\left(-\frac{372}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{7900}{3087}+\frac{372}{5}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{39500}{15435}+\frac{1148364}{15435}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{7900}{3087}+\frac{372}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{1108864}{15435}$

= $\frac{1108864}{15435}\pi$

≈ 225,695

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(3x+4\right)}^2+3}{{\left(3x+4\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(3x+4\right)}^2+3}{{\left(3x+4\right)}^2}-\frac{{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{{\left(3x+4\right)}^2+3}{{\left(3x+4\right)}^2}-\frac{{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{{\left(3x+4\right)}^2+3-{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(3x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-{\left(3x+4\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{{\left(3x+4\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}+\frac{1}{{\left(3\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{{\left(3+4\right)}^3}+\frac{1}{{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{7^3}+\frac{1}{4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\left(\frac{1}{343}\right)+\frac{1}{64}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{343}+\frac{1}{64}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{64}{21952}+\frac{343}{21952}\right)$

= $\pi ·\frac{279}{21952}$

= $\frac{279}{21952}\pi$

≈ 0,04