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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit f(x)= e -2x soll im Intervall [-1,1] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V = π -1 1 ( e -2x ) 2 x
= π -1 1 e -4x x

= π [ - 1 4 e -4x ] -1 1

= π · ( - 1 4 e -41 + 1 4 e -4( -1 ) )

= π · ( - 1 4 e -4 + 1 4 e 4 )

= π · ( 1 4 e 4 - 1 4 e -4 )


≈ 42,867

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 5 x und g(x)= 5 2x +3 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,4] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Der so entstandene Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotatationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotations der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π 1 4 ( 5 x ) 2 x - π 1 4 ( 5 2x +3 ) 2 x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π 1 4 ( ( 5 x ) 2 - ( 5 2x +3 ) 2 ) x

= π 1 4 ( 25 x 2 - 25 ( 2x +3 ) 2 ) x

= π 1 4 ( - 25 ( 2x +3 ) 2 + 25 x 2 ) x
= π 1 4 ( -25 ( 2x +3 ) -2 +25 x -2 ) x

= π [ 25 2 ( 2x +3 ) -1 -25 x -1 ] 1 4

= π [ 25 2( 2x +3 ) - 25 x ] 1 4

= π · ( 25 2( 24 +3 ) - 25 4 - ( 25 2( 21 +3 ) - 25 1 ) )

= π · ( 25 2( 8 +3 ) -25( 1 4 ) - ( 25 2( 2 +3 ) -251 ) )

= π · ( 25 2 11 - 25 4 - ( 25 2 5 -25 ) )

= π · ( 25 2 ( 1 11 ) - 25 4 - ( 25 2 ( 1 5 ) -25 ) )

= π · ( 25 22 - 25 4 - ( 5 2 -25 ) )

= π · ( 50 44 - 275 44 - ( 5 2 - 50 2 ) )

= π · ( - 225 44 -1 · ( - 45 2 ) )

= π · ( - 225 44 + 45 2 )

= π · 765 44

= 765 44 π


≈ 54,621

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit f(x)= 2x +3 und der Geraden y = 1 rotiert im Intervall [0,1] um diese Gerade y = 1 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = 2x +3 -1
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π 0 1 ( 2x +3 -1 ) 2 x

= π 0 1 ( 2x +2 ) 2 x

= π [ 1 6 ( 2x +2 ) 3 ] 0 1

= π · ( 1 6 ( 21 +2 ) 3 - 1 6 ( 20 +2 ) 3 )

= π · ( 1 6 ( 2 +2 ) 3 - 1 6 ( 0 +2 ) 3 )

= π · ( 1 6 4 3 - 1 6 2 3 )

= π · ( 1 6 64 - 1 6 8 )

= π · ( 32 3 - 4 3 )

= π · 28 3

= 28 3 π


≈ 29,322