= $\pi$ ${\left[\frac{1}{4}{x}^4+\frac{5}{2}{x}^2+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{1}{4}\cdot 3^4+\frac{5}{2}\cdot 3^2+3-\left(\frac{1}{4}\cdot 0^4+\frac{5}{2}\cdot 0^2+0\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{4}\cdot 81+\frac{5}{2}\cdot 9+3-\left(\frac{1}{4}\cdot 0+\frac{5}{2}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{81}{4}+\frac{45}{2}+3-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{81}{4}+\frac{90}{4}+\frac{12}{4}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{183}{4}\right)$

= $\frac{183}{4}\pi$

≈ 143,728

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^4}-\frac{25}{{\left(x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(x+4\right)}^{-3}-\frac{25}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3{\left(x+4\right)}^3}-\frac{25}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3{\left(2+4\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{25}{3{\left(1+4\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 6^3}-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{25}{3\cdot 5^3}-\frac{25}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-\frac{25}{24}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{648}-\frac{25}{24}-\left(\frac{1}{15}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{648}-\frac{675}{648}-\left(\frac{1}{15}-\frac{125}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{325}{324}-1·\left(-\frac{124}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{325}{324}+\frac{124}{15}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1625}{1620}+\frac{13392}{1620}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{325}{324}+\frac{124}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{11767}{1620}$

= $\frac{11767}{1620}\pi$

≈ 22,819

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(x+2\right)}^2+4}{{\left(x+2\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(x+2\right)}^2+4}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{{\left(x+2\right)}^2+4}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{{\left(x+2\right)}^2+4-{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(x+2\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3}{\left(x+2\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3{\left(x+2\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3{\left(2+2\right)}^3}+\frac{16}{3{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\cdot 4^3}+\frac{16}{3\cdot 2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)+\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{12}+\frac{2}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{12}+\frac{8}{12}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{12}$

= $\frac{7}{12}\pi$

≈ 1,833