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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit f(x)= e -2x soll im Intervall [1,2] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V = π 1 2 ( e -2x ) 2 x
= π 1 2 e -4x x

= π [ - 1 4 e -4x ] 1 2

= π · ( - 1 4 e -42 + 1 4 e -41 )

= π · ( - 1 4 e -8 + 1 4 e -4 )

= π · ( 1 4 e -4 - 1 4 e -8 )


≈ 0,014

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 21 x 2 und g(x)= 21 ( 3x +4 ) 2 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,3] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π 1 3 ( 21 x 2 ) 2 x - π 1 3 ( 21 ( 3x +4 ) 2 ) 2 x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π 1 3 ( ( 21 x 2 ) 2 - ( 21 ( 3x +4 ) 2 ) 2 ) x

= π 1 3 ( 441 x 4 - 441 ( 3x +4 ) 4 ) x

= π 1 3 ( - 441 ( 3x +4 ) 4 + 441 x 4 ) x
= π 1 3 ( -441 ( 3x +4 ) -4 +441 x -4 ) x

= π [ 49 ( 3x +4 ) -3 -147 x -3 ] 1 3

= π [ 49 ( 3x +4 ) 3 - 147 x 3 ] 1 3

= π · ( 49 ( 33 +4 ) 3 - 147 3 3 - ( 49 ( 31 +4 ) 3 - 147 1 3 ) )

= π · ( 49 ( 9 +4 ) 3 -147( 1 27 ) - ( 49 ( 3 +4 ) 3 -1471 ) )

= π · ( 49 13 3 - 49 9 - ( 49 7 3 -147 ) )

= π · ( 49( 1 2197 ) - 49 9 - ( 49( 1 343 ) -147 ) )

= π · ( 49 2197 - 49 9 - ( 1 7 -147 ) )

= π · ( 441 19773 - 107653 19773 - ( 1 7 - 1029 7 ) )

= π · ( - 107212 19773 -1 · ( - 1028 7 ) )

= π · ( - 107212 19773 + 1028 7 )

= π · 19576160 138411

= 19576160 138411 π


≈ 444,331

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit f(x)= x +2 und der Geraden y = 1 rotiert im Intervall [0,2] um diese Gerade y = 1 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = x +2 -1
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π 0 2 ( x +2 -1 ) 2 x

= π 0 2 ( x +1 ) 2 x

= π [ 1 3 ( x +1 ) 3 ] 0 2

= π · ( 1 3 ( 2 +1 ) 3 - 1 3 ( 0 +1 ) 3 )

= π · ( 1 3 3 3 - 1 3 1 3 )

= π · ( 1 3 27 - 1 3 1 )

= π · ( 9 - 1 3 )

= π · ( 27 3 - 1 3 )

= π · 26 3

= 26 3 π


≈ 27,227