= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 3^3-\frac{1}{6}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 27-\frac{1}{6}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{9}{2}-\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{27}{6}-\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{13}{3}$

= $\frac{13}{3}\pi$

≈ 13,614

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(2x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[6{\left(2x+1\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{6}{{\left(2\cdot 4+1\right)}^3}-\frac{12}{4^3}-\left(\frac{6}{{\left(2\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{{\left(8+1\right)}^3}-12\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{6}{{\left(2+1\right)}^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{9^3}-\frac{3}{16}-\left(\frac{6}{3^3}-12\right))$

= $\pi ·(6\cdot \left(\frac{1}{729}\right)-\frac{3}{16}-\left(6\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{243}-\frac{3}{16}-\left(\frac{2}{9}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{32}{3888}-\frac{729}{3888}-\left(\frac{2}{9}-\frac{108}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{697}{3888}-1·\left(-\frac{106}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{697}{3888}+\frac{106}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{45095}{3888}$

= $\frac{45095}{3888}\pi$

≈ 36,438

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,3}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,3}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 3}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 3}+3-\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-\left(\frac{5}{3}{e}^0-\frac{20}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-1·\left(-5\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3+5\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+8\right)$

≈ 5,295