= $\pi$ ${\left[\frac{3}{4}{x}^4+2x^2+3x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{4}\cdot 1^4+2\cdot 1^2+3\cdot 1-\left(\frac{3}{4}\cdot 0^4+2\cdot 0^2+3\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{4}\cdot 1+2\cdot 1+3-\left(\frac{3}{4}\cdot 0+2\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{4}+2+3-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{3}{4}+\frac{8}{4}+\frac{12}{4}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{23}{4}\right)$

= $\frac{23}{4}\pi$

≈ 18,064

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^4}-\frac{9}{{\left(2x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{2}{\left(2x+1\right)}^{-3}-3x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{2{\left(2x+1\right)}^3}-\frac{3}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{2{\left(2\cdot 3+1\right)}^3}-\frac{3}{3^3}-\left(\frac{3}{2{\left(2\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{3}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2{\left(6+1\right)}^3}-3\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{3}{2{\left(2+1\right)}^3}-3\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2\cdot 7^3}-\frac{1}{9}-\left(\frac{3}{2\cdot 3^3}-3\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{1}{9}-\left(\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-3\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{686}-\frac{1}{9}-\left(\frac{1}{18}-3\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{6174}-\frac{686}{6174}-\left(\frac{1}{18}-\frac{54}{18}\right))$

= $\pi ·(-\frac{659}{6174}-1·\left(-\frac{53}{18}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{659}{6174}+\frac{53}{18}\right)$

= $\pi ·\frac{2920}{1029}$

= $\frac{2920}{1029}\pi$

≈ 8,915

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(2x+4\right)}^2+3}{{\left(2x+4\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(2x+4\right)}^2+3}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{3{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{3{\left(2x+4\right)}^2+3}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{3{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3{\left(2x+4\right)}^2+3-3{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(2x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{\left(2x+4\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2{\left(2x+4\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(2\cdot 3+4\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(2\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(6+4\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2\cdot {10}^3}+\frac{3}{2\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)+\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2000}+\frac{3}{128}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{24}{16000}+\frac{375}{16000}\right)$

= $\pi ·\frac{351}{16000}$

= $\frac{351}{16000}\pi$

≈ 0,069