= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+2\right)}^3\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 3+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(6+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 8^3-\frac{1}{6}\cdot 4^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 512-\frac{1}{6}\cdot 64\right)$

= $\pi ·\left(\frac{256}{3}-\frac{32}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{224}{3}$

= $\frac{224}{3}\pi$

≈ 234,572

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{8}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{8}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{8}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{8}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{64}{x^4}-\frac{64}{{\left(2x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{32}{3}{\left(2x+2\right)}^{-3}-\frac{64}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{32}{3{\left(2x+2\right)}^3}-\frac{64}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{32}{3{\left(2\cdot 4+2\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{32}{3{\left(2\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{32}{3{\left(8+2\right)}^3}-\frac{64}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{32}{3{\left(2+2\right)}^3}-\frac{64}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{32}{3\cdot {10}^3}-\frac{1}{3}-\left(\frac{32}{3\cdot 4^3}-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{32}{3}\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)-\frac{1}{3}-\left(\frac{32}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{375}-\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{6}-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{375}-\frac{125}{375}-\left(\frac{1}{6}-\frac{128}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{121}{375}-1·\left(-\frac{127}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{121}{375}+\frac{127}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{5211}{250}$

= $\frac{5211}{250}\pi$

≈ 65,483

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{6x+12}{3x+4}-2$ = $\frac{6x+12}{3x+4}-\frac{2\left(3x+4\right)}{3x+4}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{6x+12}{3x+4}-\frac{2\left(3x+4\right)}{3x+4})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{6x+12-6x-8}{3x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{3x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(3x+4\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3}{\left(3x+4\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3\left(3x+4\right)}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(3\cdot 1+4\right)}+\frac{16}{3\left(3\cdot 0+4\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(3+4\right)}+\frac{16}{3\left(0+4\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\cdot 7}+\frac{16}{3\cdot 4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)+\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{21}+\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{21}+\frac{28}{21}\right)$

= $\pi ·\frac{4}{7}$

= $\frac{4}{7}\pi$

≈ 1,795