= $\pi$ ${\left[-1728{\left(x+4\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{1728}{{\left(x+4\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1728}{{\left(2+4\right)}^3}+\frac{1728}{{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1728}{6^3}+\frac{1728}{4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-1728\cdot \left(\frac{1}{216}\right)+1728\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-8+27\right)$

= $\pi ·19$

= $19\pi$

≈ 59,69

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{4}{x^4}-\frac{4}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}-\frac{4}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3{\left(x+1\right)}^3}-\frac{4}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3{\left(4+1\right)}^3}-\frac{4}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{4}{3{\left(1+1\right)}^3}-\frac{4}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 5^3}-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{4}{3\cdot 2^3}-\frac{4}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{1}{48}-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{4}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{375}-\frac{1}{48}-\left(\frac{1}{6}-\frac{4}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{6000}-\frac{125}{6000}-\left(\frac{1}{6}-\frac{8}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{61}{6000}-1·\left(-\frac{7}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{61}{6000}+\frac{7}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{61}{6000}+\frac{7000}{6000}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{61}{6000}+\frac{7}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{2313}{2000}$

= $\frac{2313}{2000}\pi$

≈ 3,633

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,3}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,3}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 1}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 1}+1-\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-\left(\frac{5}{3}{e}^0-\frac{20}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-1·\left(-5\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1+5\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+6\right)$

≈ 0,119