= $\pi$ ${\left[-e^{-4x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-4\cdot 2}+e^{-4\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-8}+e^0\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-8}+1\right)$

≈ 3,141

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{7}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{7}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{7}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{7}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{49}{x^4}-\frac{49}{{\left(3x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{49}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}-\frac{49}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{49}{9{\left(3x+4\right)}^3}-\frac{49}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{49}{9{\left(3\cdot 2+4\right)}^3}-\frac{49}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{49}{9{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{49}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9{\left(6+4\right)}^3}-\frac{49}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{49}{9{\left(3+4\right)}^3}-\frac{49}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9\cdot {10}^3}-\frac{49}{24}-\left(\frac{49}{9\cdot 7^3}-\frac{49}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9}\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)-\frac{49}{24}-\left(\frac{49}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{49}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9000}-\frac{49}{24}-\left(\frac{1}{63}-\frac{49}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9000}-\frac{18375}{9000}-\left(\frac{1}{63}-\frac{1029}{63}\right))$

= $\pi ·(-\frac{9163}{4500}-1·\left(-\frac{1028}{63}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{9163}{4500}+\frac{1028}{63}\right)$

= $\pi ·\frac{149953}{10500}$

= $\frac{149953}{10500}\pi$

≈ 44,866

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(3x+1\right)}^2+2}{{\left(3x+1\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(3x+1\right)}^2+2}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{{\left(3x+1\right)}^2+2}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{{\left(3x+1\right)}^2+2-{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(3x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{9{\left(3x+1\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{9{\left(3\cdot 3+1\right)}^3}+\frac{4}{9{\left(3\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9{\left(9+1\right)}^3}+\frac{4}{9{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9\cdot {10}^3}+\frac{4}{9\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9}\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)+\frac{4}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2250}+\frac{4}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2250}+\frac{1000}{2250}\right)$

= $\pi ·\frac{111}{250}$

= $\frac{111}{250}\pi$

≈ 1,395