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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit $f(x) =$ $e^{- x}$ soll im Intervall [0,3] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V =

π

\int_{0}^{3} {(e^{- x})}^{2} ⅆ x

=

π

\int_{0}^{3} e^{- 2 x} ⅆ x

= $π$ ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x}]}_{0}^{3}$

$=$ $π \cdot (- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 3} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 0})$

= $π \cdot (- \frac{1}{2} e^{- 6} + \frac{1}{2} e^{0})$

= $π \cdot (- \frac{1}{2} e^{- 6} + \frac{1}{2})$

≈ 1,567

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $\frac{3}{x}$ und $g(x) =$ $\frac{3}{3 x + 4}$ schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,3] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π

\int_{1}^{3} {(\frac{3}{x})}^{2} ⅆ x

- π

\int_{1}^{3} {(\frac{3}{3 x + 4})}^{2} ⅆ x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $\int_{1}^{3} ({(\frac{3}{x})}^{2} - {(\frac{3}{3 x + 4})}^{2}) ⅆ x$

= π $\int_{1}^{3} (\frac{9}{x^{2}} - \frac{9}{{(3 x + 4)}^{2}}) ⅆ x$

=

π

\int_{1}^{3} (- \frac{9}{{(3 x + 4)}^{2}} + \frac{9}{x^{2}}) ⅆ x

=

π

\int_{1}^{3} (- 9 {(3 x + 4)}^{- 2} + 9 x^{- 2}) ⅆ x

= $π$ ${[3 {(3 x + 4)}^{- 1} - 9 x^{- 1}]}_{1}^{3}$

= $π$ ${[\frac{3}{3 x + 4} - \frac{9}{x}]}_{1}^{3}$

$=$ $π \cdot (\frac{3}{3 \cdot 3 + 4} - \frac{9}{3} - (\frac{3}{3 \cdot 1 + 4} - \frac{9}{1}))$

= $π \cdot (\frac{3}{9 + 4} - 9 \cdot (\frac{1}{3}) - (\frac{3}{3 + 4} - 9 \cdot 1))$

= $π \cdot (\frac{3}{13} - 3 - (\frac{3}{7} - 9))$

= $π \cdot (3 \cdot (\frac{1}{13}) - 3 - (3 \cdot (\frac{1}{7}) - 9))$

= $π \cdot (\frac{3}{13} - 3 - (\frac{3}{7} - 9))$

= $π \cdot (\frac{3}{13} - \frac{39}{13} - (\frac{3}{7} - \frac{63}{7}))$

= $π \cdot (- \frac{36}{13} - 1 \cdot (- \frac{60}{7}))$

= $π \cdot (- \frac{36}{13} + \frac{60}{7})$

= $π \cdot \frac{528}{91}$

= $\frac{528}{91} π$

≈ 18,228

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit $f(x) =$ $3 x + 3$ und der Geraden y = 2 rotiert im Intervall [0,1] um diese Gerade y = 2 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $3 x + 3 - 2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $\int_{0}^{1} {(3 x + 3 - 2)}^{2} ⅆ x$

=

π

\int_{0}^{1} {(3 x + 1)}^{2} ⅆ x

= $π$ ${[\frac{1}{9} {(3 x + 1)}^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 1 + 1)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 0 + 1)}^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot {(3 + 1)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(0 + 1)}^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot 4^{3} - \frac{1}{9} \cdot 1^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{9} \cdot 64 - \frac{1}{9} \cdot 1)$

= $π \cdot (\frac{64}{9} - \frac{1}{9})$

= $π \cdot 7$

= $7 π$

≈ 21,991

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Rotationskörper

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Rotationskörper um andere Achse