= $\pi$ ${\left[-\frac{784}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{784}{9{\left(3x+4\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{784}{9{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}+\frac{784}{9{\left(3\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{784}{9{\left(3+4\right)}^3}+\frac{784}{9{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{784}{9\cdot 7^3}+\frac{784}{9\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{784}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+\frac{784}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{63}+\frac{49}{36}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{64}{252}+\frac{343}{252}\right)$

= $\pi ·\frac{31}{28}$

= $\frac{31}{28}\pi$

≈ 3,478

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{9}{\left(3x+2\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{9{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{100}{9{\left(3\cdot 4+2\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{100}{9{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9{\left(12+2\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{100}{9{\left(3+2\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9\cdot {14}^3}-\frac{25}{48}-\left(\frac{100}{9\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9}\cdot \left(\frac{1}{2744}\right)-\frac{25}{48}-\left(\frac{100}{9}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6174}-\frac{25}{48}-\left(\frac{4}{45}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{200}{49392}-\frac{25725}{49392}-\left(\frac{4}{45}-\frac{1500}{45}\right))$

= $\pi ·(-\frac{25525}{49392}-1·\left(-\frac{1496}{45}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{25525}{49392}+\frac{1496}{45}\right)$

= $\pi ·\frac{898047}{27440}$

= $\frac{898047}{27440}\pi$

≈ 102,817

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2x+9}{x+2}-2$ = $\frac{2x+9}{x+2}-\frac{2\left(x+2\right)}{x+2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{2x+9}{x+2}-\frac{2\left(x+2\right)}{x+2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2x+9-2x-4}{x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-25{\left(x+2\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{x+2}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{2+2}+\frac{25}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{4}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{4}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{4}+\frac{50}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{25}{4}$

= $\frac{25}{4}\pi$

≈ 19,635