= $\pi$ ${\left[-8{\left(2x+1\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{2x+1}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{8}{2\cdot 2+1}+\frac{8}{2\cdot 0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{4+1}+\frac{8}{0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{5}+\frac{8}{1}\right)$

= $\pi ·\left(-8\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+8\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{5}+8\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{5}+\frac{40}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{32}{5}$

= $\frac{32}{5}\pi$

≈ 20,106

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{3x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(3x+3\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3\left(3x+3\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3\left(3\cdot 3+3\right)}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{3\left(3\cdot 1+3\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\left(9+3\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{25}{3\left(3+3\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 12}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{3\cdot 6}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{12}\right)-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{36}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{18}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{36}-\frac{300}{36}-\left(\frac{25}{18}-\frac{450}{18}\right))$

= $\pi ·(-\frac{275}{36}-1·\left(-\frac{425}{18}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{275}{36}+\frac{425}{18}\right)$

= $\pi ·\frac{575}{36}$

= $\frac{575}{36}\pi$

≈ 50,178

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,3}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,3}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 1}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 1}+1-\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-\left(\frac{5}{3}{e}^0-\frac{20}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-1·\left(-5\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1+5\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+6\right)$

≈ 0,119