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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit f(x)= 5 2x +3 soll im Intervall [0,1] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V = π 0 1 ( 5 2x +3 ) 2 x
= π 0 1 25 ( 2x +3 ) 2 x
= π 0 1 25 ( 2x +3 ) -2 x

= π [ - 25 2 ( 2x +3 ) -1 ] 0 1

= π [ - 25 2( 2x +3 ) ] 0 1

= π · ( - 25 2( 21 +3 ) + 25 2( 20 +3 ) )

= π · ( - 25 2( 2 +3 ) + 25 2( 0 +3 ) )

= π · ( - 25 2 5 + 25 2 3 )

= π · ( - 25 2 ( 1 5 ) + 25 2 ( 1 3 ) )

= π · ( - 5 2 + 25 6 )

= π · ( - 15 6 + 25 6 )

= π · 5 3

= 5 3 π


≈ 5,236

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 5 x und g(x)= 5 3x +1 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,2] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π 1 2 ( 5 x ) 2 x - π 1 2 ( 5 3x +1 ) 2 x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π 1 2 ( ( 5 x ) 2 - ( 5 3x +1 ) 2 ) x

= π 1 2 ( 25 x 2 - 25 ( 3x +1 ) 2 ) x

= π 1 2 ( - 25 ( 3x +1 ) 2 + 25 x 2 ) x
= π 1 2 ( -25 ( 3x +1 ) -2 +25 x -2 ) x

= π [ 25 3 ( 3x +1 ) -1 -25 x -1 ] 1 2

= π [ 25 3( 3x +1 ) - 25 x ] 1 2

= π · ( 25 3( 32 +1 ) - 25 2 - ( 25 3( 31 +1 ) - 25 1 ) )

= π · ( 25 3( 6 +1 ) -25( 1 2 ) - ( 25 3( 3 +1 ) -251 ) )

= π · ( 25 3 7 - 25 2 - ( 25 3 4 -25 ) )

= π · ( 25 3 ( 1 7 ) - 25 2 - ( 25 3 ( 1 4 ) -25 ) )

= π · ( 25 21 - 25 2 - ( 25 12 -25 ) )

= π · ( 50 42 - 525 42 - ( 25 12 - 300 12 ) )

= π · ( - 475 42 -1 · ( - 275 12 ) )

= π · ( - 475 42 + 275 12 )

= π · 325 28

= 325 28 π


≈ 36,465

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit f(x)= 3 e 0,1x und der Geraden y = 2 rotiert im Intervall [0,1] um diese Gerade y = 2 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = 3 e 0,1x -2
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π 0 1 ( 3 e 0,1x -2 ) 2 x

= π 0 1 ( 9 e 0,2x -12 e 0,1x +4 ) x

= π [ 45 e 0,2x -120 e 0,1x +4x ] 0 1

= π · ( 45 e 0,21 -120 e 0,11 +41 - ( 45 e 0,20 -120 e 0,10 +40 ) )

= π · ( 45 e 0,2 -120 e 0,1 +4 - ( 45 e 0 -120 e 0 +0) )

= π · ( 45 e 0,2 -120 e 0,1 +4 - ( 45 -120 +0) )

= π · ( 45 e 0,2 -120 e 0,1 +4 -1 · ( -75 ) )

= π · ( 45 e 0,2 -120 e 0,1 +4 +75 )

= π · ( 45 e 0,2 -120 e 0,1 +79 )


≈ 4,218