= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3\left(3x+2\right)}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(3\cdot 1+2\right)}+\frac{25}{3\left(3\cdot 0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(3+2\right)}+\frac{25}{3\left(0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 5}+\frac{25}{3\cdot 2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{5}{3}+\frac{25}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{10}{6}+\frac{25}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{5}{2}$

= $\frac{5}{2}\pi$

≈ 7,854

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{3}{\left(x+4\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{3{\left(x+4\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{100}{3{\left(4+4\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{100}{3{\left(1+4\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{3\cdot 8^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{100}{3\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{25}{48}-\left(\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{384}-\frac{25}{48}-\left(\frac{4}{15}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{384}-\frac{200}{384}-\left(\frac{4}{15}-\frac{500}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{175}{384}-1·\left(-\frac{496}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{175}{384}+\frac{496}{15}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{875}{1920}+\frac{63488}{1920}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{175}{384}+\frac{496}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{20871}{640}$

= $\frac{20871}{640}\pi$

≈ 102,45

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(2x+4\right)}^2+3}{{\left(2x+4\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(2x+4\right)}^2+3}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2{\left(2x+4\right)}^2+3}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2{\left(2x+4\right)}^2+3-2{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(2x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{\left(2x+4\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2{\left(2x+4\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(2\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(2+4\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2\cdot 6^3}+\frac{3}{2\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)+\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{144}+\frac{3}{128}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{1152}+\frac{27}{1152}\right)$

= $\pi ·\frac{19}{1152}$

= $\frac{19}{1152}\pi$

≈ 0,052