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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit f(x)= x +3 soll im Intervall [1,3] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V = π 1 3 ( x +3 ) 2 x

= π [ 1 3 ( x +3 ) 3 ] 1 3

= π · ( 1 3 ( 3 +3 ) 3 - 1 3 ( 1 +3 ) 3 )

= π · ( 1 3 6 3 - 1 3 4 3 )

= π · ( 1 3 216 - 1 3 64 )

= π · ( 72 - 64 3 )

= π · ( 216 3 - 64 3 )

= π · 152 3

= 152 3 π


≈ 159,174

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 12 x 2 und g(x)= 12 ( x +3 ) 2 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,2] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π 1 2 ( 12 x 2 ) 2 x - π 1 2 ( 12 ( x +3 ) 2 ) 2 x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π 1 2 ( ( 12 x 2 ) 2 - ( 12 ( x +3 ) 2 ) 2 ) x

= π 1 2 ( 144 x 4 - 144 ( x +3 ) 4 ) x

= π 1 2 ( - 144 ( x +3 ) 4 + 144 x 4 ) x
= π 1 2 ( -144 ( x +3 ) -4 +144 x -4 ) x

= π [ 48 ( x +3 ) -3 -48 x -3 ] 1 2

= π [ 48 ( x +3 ) 3 - 48 x 3 ] 1 2

= π · ( 48 ( 2 +3 ) 3 - 48 2 3 - ( 48 ( 1 +3 ) 3 - 48 1 3 ) )

= π · ( 48 5 3 -48( 1 8 ) - ( 48 4 3 -481 ) )

= π · ( 48( 1 125 ) -6 - ( 48( 1 64 ) -48 ) )

= π · ( 48 125 -6 - ( 3 4 -48 ) )

= π · ( 48 125 - 750 125 - ( 3 4 - 192 4 ) )

= π · ( - 702 125 -1 · ( - 189 4 ) )

= π · ( - 702 125 + 189 4 )

= π · ( - 2808 500 + 23625 500 )

= π · ( - 702 125 + 189 4 )

= π · 20817 500

= 20817 500 π


≈ 130,797

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit f(x)= 3 e 0,4x und der Geraden y = 1 rotiert im Intervall [0,3] um diese Gerade y = 1 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = 3 e 0,4x -1
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π 0 3 ( 3 e 0,4x -1 ) 2 x

= π 0 3 ( 9 e 0,8x -6 e 0,4x +1 ) x

= π [ 45 4 e 0,8x -15 e 0,4x + x ] 0 3

= π · ( 45 4 e 0,83 -15 e 0,43 +3 - ( 45 4 e 0,80 -15 e 0,40 +0) )

= π · ( 45 4 e 2,4 -15 e 1,2 +3 - ( 45 4 e 0 -15 e 0 +0) )

= π · ( 45 4 e 2,4 -15 e 1,2 +3 - ( 45 4 -15 +0) )

= π · ( 45 4 e 2,4 -15 e 1,2 +3 - ( 45 4 - 60 4 +0) )

= π · ( 45 4 e 2,4 -15 e 1,2 +3 -1 · ( - 15 4 ) )

= π · ( 45 4 e 2,4 -15 e 1,2 +3 + 15 4 )

= π · ( 45 4 e 2,4 -15 e 1,2 + 27 4 )


≈ 254,34