= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{4}{e}^{-4x}\right]}_{-1}^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{4}{e}^{-4\cdot 1}+\frac{9}{4}{e}^{-4\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}{e}^{-4}+\frac{9}{4}{e}^4\right)$

= $\pi ·\left(\frac{9}{4}{e}^4-\frac{9}{4}{e}^{-4}\right)$

≈ 385,802

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{14}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{14}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{14}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{14}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{196}{x^4}-\frac{196}{{\left(3x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{196}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}-\frac{196}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{196}{9{\left(3x+4\right)}^3}-\frac{196}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{196}{9{\left(3\cdot 4+4\right)}^3}-\frac{196}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{196}{9{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{196}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9{\left(12+4\right)}^3}-\frac{196}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{196}{9{\left(3+4\right)}^3}-\frac{196}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9\cdot {16}^3}-\frac{49}{48}-\left(\frac{196}{9\cdot 7^3}-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9}\cdot \left(\frac{1}{4096}\right)-\frac{49}{48}-\left(\frac{196}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9216}-\frac{49}{48}-\left(\frac{4}{63}-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9216}-\frac{9408}{9216}-\left(\frac{4}{63}-\frac{4116}{63}\right))$

= $\pi ·(-\frac{9359}{9216}-1·\left(-\frac{4112}{63}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{9359}{9216}+\frac{4112}{63}\right)$

= $\pi ·\frac{460575}{7168}$

= $\frac{460575}{7168}\pi$

≈ 201,861

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(x+1\right)}^2+5}{{\left(x+1\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(x+1\right)}^2+5}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{2{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2{\left(x+1\right)}^2+5}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{2{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2{\left(x+1\right)}^2+5-2{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3{\left(x+1\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3{\left(1+1\right)}^3}+\frac{25}{3{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 2^3}+\frac{25}{3\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+\frac{25}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{24}+\frac{25}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{24}+\frac{200}{24}\right)$

= $\pi ·\frac{175}{24}$

= $\frac{175}{24}\pi$

≈ 22,907