= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{e}^{-6x}\right]}_{-1}^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-6\cdot 1}+\frac{3}{2}{e}^{-6\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-6}+\frac{3}{2}{e}^6\right)$

= $\pi ·\left(\frac{3}{2}{e}^6-\frac{3}{2}{e}^{-6}\right)$

≈ 1901,102

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{14}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{14}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{14}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{14}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{196}{x^4}-\frac{196}{{\left(3x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{196}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}-\frac{196}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{196}{9{\left(3x+4\right)}^3}-\frac{196}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{196}{9{\left(3\cdot 4+4\right)}^3}-\frac{196}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{196}{9{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{196}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9{\left(12+4\right)}^3}-\frac{196}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{196}{9{\left(3+4\right)}^3}-\frac{196}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9\cdot {16}^3}-\frac{49}{48}-\left(\frac{196}{9\cdot 7^3}-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9}\cdot \left(\frac{1}{4096}\right)-\frac{49}{48}-\left(\frac{196}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9216}-\frac{49}{48}-\left(\frac{4}{63}-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9216}-\frac{9408}{9216}-\left(\frac{4}{63}-\frac{4116}{63}\right))$

= $\pi ·(-\frac{9359}{9216}-1·\left(-\frac{4112}{63}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{9359}{9216}+\frac{4112}{63}\right)$

= $\pi ·\frac{460575}{7168}$

= $\frac{460575}{7168}\pi$

≈ 201,861

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(2x+2\right)}^2+3}{{\left(2x+2\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(2x+2\right)}^2+3}{{\left(2x+2\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+2\right)}^2}{{\left(2x+2\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{2{\left(2x+2\right)}^2+3}{{\left(2x+2\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+2\right)}^2}{{\left(2x+2\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2{\left(2x+2\right)}^2+3-2{\left(2x+2\right)}^2}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(2x+2\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{\left(2x+2\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2{\left(2x+2\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(2\cdot 2+2\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(2\cdot 0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(4+2\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2\cdot 6^3}+\frac{3}{2\cdot 2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)+\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{144}+\frac{3}{16}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{144}+\frac{27}{144}\right)$

= $\pi ·\frac{13}{72}$

= $\frac{13}{72}\pi$

≈ 0,567