= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+2\right)}^3\right]}_{-1}^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot \left(-1\right)+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(-2+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 4^3-\frac{1}{6}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 64-\frac{1}{6}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{32}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{32}{3}+0\right)$

= $\pi ·\frac{32}{3}$

= $\frac{32}{3}\pi$

≈ 33,51

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{12}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{12}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{12}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{12}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{144}{x^4}-\frac{144}{{\left(2x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[24{\left(2x+4\right)}^{-3}-48x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{24}{{\left(2x+4\right)}^3}-\frac{48}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{24}{{\left(2\cdot 4+4\right)}^3}-\frac{48}{4^3}-\left(\frac{24}{{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{48}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{24}{{\left(8+4\right)}^3}-48\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{24}{{\left(2+4\right)}^3}-48\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{24}{{12}^3}-\frac{3}{4}-\left(\frac{24}{6^3}-48\right))$

= $\pi ·(24\cdot \left(\frac{1}{1728}\right)-\frac{3}{4}-\left(24\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-48\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{72}-\frac{3}{4}-\left(\frac{1}{9}-48\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{72}-\frac{54}{72}-\left(\frac{1}{9}-\frac{432}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{53}{72}-1·\left(-\frac{431}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{53}{72}+\frac{431}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{3395}{72}$

= $\frac{3395}{72}\pi$

≈ 148,135

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(x+1\right)}^2+4}{{\left(x+1\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(x+1\right)}^2+4}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{{\left(x+1\right)}^2+4}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{{\left(x+1\right)}^2+4-{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3{\left(x+1\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3{\left(1+1\right)}^3}+\frac{16}{3{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\cdot 2^3}+\frac{16}{3\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+\frac{16}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}+\frac{16}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{14}{3}$

= $\frac{14}{3}\pi$

≈ 14,661