= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot \left(-1\right)+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(0+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(-2+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 1^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(-1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 1-\frac{1}{6}\cdot \left(-1\right)\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}\pi$

≈ 1,047

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{25}{x^4}-\frac{25}{{\left(x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(x+4\right)}^{-3}-\frac{25}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3{\left(x+4\right)}^3}-\frac{25}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3{\left(4+4\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{25}{3{\left(1+4\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 8^3}-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{25}{3\cdot 5^3}-\frac{25}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{25}{192}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{1536}-\frac{25}{192}-\left(\frac{1}{15}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{1536}-\frac{200}{1536}-\left(\frac{1}{15}-\frac{125}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{175}{1536}-1·\left(-\frac{124}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{175}{1536}+\frac{124}{15}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{875}{7680}+\frac{63488}{7680}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{175}{1536}+\frac{124}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{20871}{2560}$

= $\frac{20871}{2560}\pi$

≈ 25,613

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,2}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,2}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}x}-10e^{\mathrm{0,2}x}+x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 2}-10e^{\mathrm{0,2}\cdot 2}+2-\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 0}-10e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,8}}-10e^{\mathrm{0,4}}+2-\left(\frac{5}{2}{e}^0-10e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,8}}-10e^{\mathrm{0,4}}+2-\left(\frac{5}{2}-10+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,8}}-10e^{\mathrm{0,4}}+2-\left(\frac{5}{2}-\frac{20}{2}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,8}}-10e^{\mathrm{0,4}}+2-1·\left(-\frac{15}{2}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,8}}-10e^{\mathrm{0,4}}+2+\frac{15}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,8}}-10e^{\mathrm{0,4}}+\frac{19}{2}\right)$

≈ 0,457