= $\pi$ ${\left[-25{\left(x+3\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{x+3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{2+3}+\frac{25}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{5}+\frac{25}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-25\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-5+\frac{25}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{15}{3}+\frac{25}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{10}{3}$

= $\frac{10}{3}\pi$

≈ 10,472

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{3x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(3x+3\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3\left(3x+3\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3\left(3\cdot 3+3\right)}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{3\left(3\cdot 1+3\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\left(9+3\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{25}{3\left(3+3\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 12}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{3\cdot 6}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{12}\right)-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{36}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{18}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{36}-\frac{300}{36}-\left(\frac{25}{18}-\frac{450}{18}\right))$

= $\pi ·(-\frac{275}{36}-1·\left(-\frac{425}{18}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{275}{36}+\frac{425}{18}\right)$

= $\pi ·\frac{575}{36}$

= $\frac{575}{36}\pi$

≈ 50,178

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(2x+4\right)}^2+3}{{\left(2x+4\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(2x+4\right)}^2+3}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2{\left(2x+4\right)}^2+3}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2{\left(2x+4\right)}^2+3-2{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(2x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{\left(2x+4\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2{\left(2x+4\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(2\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(2+4\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2\cdot 6^3}+\frac{3}{2\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)+\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{144}+\frac{3}{128}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{1152}+\frac{27}{1152}\right)$

= $\pi ·\frac{19}{1152}$

= $\frac{19}{1152}\pi$

≈ 0,052