= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+2\right)}^3\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 2+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(6+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 8^3-\frac{1}{9}\cdot 5^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 512-\frac{1}{9}\cdot 125\right)$

= $\pi ·\left(\frac{512}{9}-\frac{125}{9}\right)$

= $\pi ·43$

= $43\pi$

≈ 135,088

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^4}-\frac{25}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{9}{\left(3x+2\right)}^{-3}-\frac{25}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{9{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{25}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{9{\left(3\cdot 2+2\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{25}{9{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{9{\left(6+2\right)}^3}-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{25}{9{\left(3+2\right)}^3}-\frac{25}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{9\cdot 8^3}-\frac{25}{24}-\left(\frac{25}{9\cdot 5^3}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{25}{24}-\left(\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{4608}-\frac{25}{24}-\left(\frac{1}{45}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{4608}-\frac{4800}{4608}-\left(\frac{1}{45}-\frac{375}{45}\right))$

= $\pi ·(-\frac{4775}{4608}-1·\left(-\frac{374}{45}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{4775}{4608}+\frac{374}{45}\right)$

= $\pi ·\frac{55871}{7680}$

= $\frac{55871}{7680}\pi$

≈ 22,855

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(x+2\right)}^2+2}{{\left(x+2\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(x+2\right)}^2+2}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{3{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{3{\left(x+2\right)}^2+2}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{3{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3{\left(x+2\right)}^2+2-3{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(x+2\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3}{\left(x+2\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3{\left(x+2\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{3{\left(3+2\right)}^3}+\frac{4}{3{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\cdot 5^3}+\frac{4}{3\cdot 2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)+\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{375}+\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{750}+\frac{125}{750}\right)$

= $\pi ·\frac{39}{250}$

= $\frac{39}{250}\pi$

≈ 0,49