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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x}$ soll im Intervall [0,1] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V =

π

\int_{0}^{1} {(3 e^{- x})}^{2} ⅆ x

=

π

\int_{0}^{1} 9 e^{- 2 x} ⅆ x

= $π$ ${[- \frac{9}{2} e^{- 2 x}]}_{0}^{1}$

$=$ $π \cdot (- \frac{9}{2} e^{- 2 \cdot 1} + \frac{9}{2} e^{- 2 \cdot 0})$

= $π \cdot (- \frac{9}{2} e^{- 2} + \frac{9}{2} e^{0})$

= $π \cdot (- \frac{9}{2} e^{- 2} + \frac{9}{2})$

≈ 12,224

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $\frac{3}{x}$ und $g(x) =$ $\frac{3}{x + 2}$ schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,4] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π

\int_{1}^{4} {(\frac{3}{x})}^{2} ⅆ x

- π

\int_{1}^{4} {(\frac{3}{x + 2})}^{2} ⅆ x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $\int_{1}^{4} ({(\frac{3}{x})}^{2} - {(\frac{3}{x + 2})}^{2}) ⅆ x$

= π $\int_{1}^{4} (\frac{9}{x^{2}} - \frac{9}{{(x + 2)}^{2}}) ⅆ x$

=

π

\int_{1}^{4} (- \frac{9}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{9}{x^{2}}) ⅆ x

=

π

\int_{1}^{4} (- 9 {(x + 2)}^{- 2} + 9 x^{- 2}) ⅆ x

= $π$ ${[9 {(x + 2)}^{- 1} - 9 x^{- 1}]}_{1}^{4}$

= $π$ ${[\frac{9}{x + 2} - \frac{9}{x}]}_{1}^{4}$

$=$ $π \cdot (\frac{9}{4 + 2} - \frac{9}{4} - (\frac{9}{1 + 2} - \frac{9}{1}))$

= $π \cdot (\frac{9}{6} - 9 \cdot (\frac{1}{4}) - (\frac{9}{3} - 9 \cdot 1))$

= $π \cdot (9 \cdot (\frac{1}{6}) - \frac{9}{4} - (9 \cdot (\frac{1}{3}) - 9))$

= $π \cdot (\frac{3}{2} - \frac{9}{4} - (3 - 9))$

= $π \cdot (\frac{6}{4} - \frac{9}{4} - 1 \cdot (- 6))$

= $π \cdot (- \frac{3}{4} + 6)$

= $π \cdot (- \frac{3}{4} + \frac{24}{4})$

= $π \cdot \frac{21}{4}$

= $\frac{21}{4} π$

≈ 16,493

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit $f(x) =$ $x + 3$ und der Geraden y = 3 rotiert im Intervall [0,3] um diese Gerade y = 3 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $x + 3 - 3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $\int_{0}^{3} {(x + 3 - 3)}^{2} ⅆ x$

=

π

\int_{0}^{3} {(x)}^{2} ⅆ x

=

π

\int_{0}^{3} x^{2} ⅆ x

= $π$ ${[\frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $π \cdot (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

= $π \cdot (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

= $π \cdot (9 + 0)$

= $π \cdot 9$

= $9 π$

≈ 28,274

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Rotationskörper

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Rotationskörper um andere Achse