= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+2\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 2+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(6+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 8^3-\frac{1}{9}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 512-\frac{1}{9}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{512}{9}-\frac{8}{9}\right)$

= $\pi ·56$

= $56\pi$

≈ 175,929

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(2x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{50}{3}{\left(2x+3\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{50}{3{\left(2x+3\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{50}{3{\left(2\cdot 2+3\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{50}{3{\left(2\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{3{\left(4+3\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{50}{3{\left(2+3\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{3\cdot 7^3}-\frac{25}{6}-\left(\frac{50}{3\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{3}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{25}{6}-\left(\frac{50}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{1029}-\frac{25}{6}-\left(\frac{2}{15}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{2058}-\frac{8575}{2058}-\left(\frac{2}{15}-\frac{500}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{2825}{686}-1·\left(-\frac{166}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{2825}{686}+\frac{166}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{99751}{3430}$

= $\frac{99751}{3430}\pi$

≈ 91,364

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{6x+6}{3x+1}-2$ = $\frac{6x+6}{3x+1}-\frac{2\left(3x+1\right)}{3x+1}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{6x+6}{3x+1}-\frac{2\left(3x+1\right)}{3x+1})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{6x+6-6x-2}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(3x+1\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3\left(3x+1\right)}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(3\cdot 2+1\right)}+\frac{16}{3\left(3\cdot 0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(6+1\right)}+\frac{16}{3\left(0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\cdot 7}+\frac{16}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)+\frac{16}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{21}+\frac{16}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{21}+\frac{112}{21}\right)$

= $\pi ·\frac{32}{7}$

= $\frac{32}{7}\pi$

≈ 14,362