= $\pi$ ${\left[-\frac{400}{3}{\left(x+4\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{400}{3{\left(x+4\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{400}{3{\left(1+4\right)}^3}+\frac{400}{3{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{400}{3\cdot 5^3}+\frac{400}{3\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{400}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)+\frac{400}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{15}+\frac{25}{12}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{64}{60}+\frac{125}{60}\right)$

= $\pi ·\frac{61}{60}$

= $\frac{61}{60}\pi$

≈ 3,194

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{4}{x^4}-\frac{4}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}-\frac{4}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3{\left(x+1\right)}^3}-\frac{4}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3{\left(2+1\right)}^3}-\frac{4}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{4}{3{\left(1+1\right)}^3}-\frac{4}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 3^3}-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{4}{3\cdot 2^3}-\frac{4}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\frac{1}{6}-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{4}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{81}-\frac{1}{6}-\left(\frac{1}{6}-\frac{4}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{162}-\frac{27}{162}-\left(\frac{1}{6}-\frac{8}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{19}{162}-1·\left(-\frac{7}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{162}+\frac{7}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{162}+\frac{189}{162}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{162}+\frac{7}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{85}{81}$

= $\frac{85}{81}\pi$

≈ 3,297

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(3x+4\right)}^2+4}{{\left(3x+4\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(3x+4\right)}^2+4}{{\left(3x+4\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3{\left(3x+4\right)}^2+4}{{\left(3x+4\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3{\left(3x+4\right)}^2+4-3{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(3x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{9{\left(3x+4\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{9{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}+\frac{16}{9{\left(3\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9{\left(3+4\right)}^3}+\frac{16}{9{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9\cdot 7^3}+\frac{16}{9\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3087}+\frac{1}{36}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{64}{12348}+\frac{343}{12348}\right)$

= $\pi ·\frac{31}{1372}$

= $\frac{31}{1372}\pi$

≈ 0,071