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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit f(x)= 2x +3 soll im Intervall [-1,2] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V = π -1 2 ( 2x +3 ) 2 x

= π [ 1 6 ( 2x +3 ) 3 ] -1 2

= π · ( 1 6 ( 22 +3 ) 3 - 1 6 ( 2( -1 ) +3 ) 3 )

= π · ( 1 6 ( 4 +3 ) 3 - 1 6 ( -2 +3 ) 3 )

= π · ( 1 6 7 3 - 1 6 1 3 )

= π · ( 1 6 343 - 1 6 1 )

= π · ( 343 6 - 1 6 )

= π · 57

= 57π


≈ 179,071

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 2 x und g(x)= 2 x +3 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,2] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π 1 2 ( 2 x ) 2 x - π 1 2 ( 2 x +3 ) 2 x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π 1 2 ( ( 2 x ) 2 - ( 2 x +3 ) 2 ) x

= π 1 2 ( 4 x 2 - 4 ( x +3 ) 2 ) x

= π 1 2 ( - 4 ( x +3 ) 2 + 4 x 2 ) x
= π 1 2 ( -4 ( x +3 ) -2 +4 x -2 ) x

= π [ 4 ( x +3 ) -1 -4 x -1 ] 1 2

= π [ 4 x +3 - 4 x ] 1 2

= π · ( 4 2 +3 - 4 2 - ( 4 1 +3 - 4 1 ) )

= π · ( 4 5 -4( 1 2 ) - ( 4 4 -41 ) )

= π · ( 4( 1 5 ) -2 - ( 4( 1 4 ) -4 ) )

= π · ( 4 5 -2 - ( 1 -4 ) )

= π · ( 4 5 - 10 5 -1 · ( -3 ) )

= π · ( - 6 5 +3 )

= π · ( - 6 5 + 15 5 )

= π · 9 5

= 9 5 π


≈ 5,655

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit f(x)= e 0,1x und der Geraden y = 1 rotiert im Intervall [0,1] um diese Gerade y = 1 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = e 0,1x -1
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π 0 1 ( e 0,1x -1 ) 2 x

= π 0 1 ( e 0,2x -2 e 0,1x +1 ) x

= π [ 5 e 0,2x -20 e 0,1x + x ] 0 1

= π · ( 5 e 0,21 -20 e 0,11 +1 - ( 5 e 0,20 -20 e 0,10 +0) )

= π · ( 5 e 0,2 -20 e 0,1 +1 - ( 5 e 0 -20 e 0 +0) )

= π · ( 5 e 0,2 -20 e 0,1 +1 - ( 5 -20 +0) )

= π · ( 5 e 0,2 -20 e 0,1 +1 -1 · ( -15 ) )

= π · ( 5 e 0,2 -20 e 0,1 +1 +15 )

= π · ( 5 e 0,2 -20 e 0,1 +16 )


≈ 0,011