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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit f(x)= 4 x 3 +4 x 2 +2 soll im Intervall [0,2] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V = π 0 2 ( 4 x 3 +4 x 2 +2 ) 2 x
= π 0 2 ( 4 x 3 +4 x 2 +2 ) x

= π [ x 4 + 4 3 x 3 +2x ] 0 2

= π · ( 2 4 + 4 3 2 3 +22 - ( 0 4 + 4 3 0 3 +20 ) )

= π · ( 16 + 4 3 8 +4 - ( 0 + 4 3 0 +0) )

= π · ( 16 + 32 3 +4 - (0+0+0) )

= π · ( 48 3 + 32 3 + 12 3 +0 )

= π · ( 92 3 )

= 92 3 π


≈ 96,342

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 18 x 2 und g(x)= 18 ( 2x +4 ) 2 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,2] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π 1 2 ( 18 x 2 ) 2 x - π 1 2 ( 18 ( 2x +4 ) 2 ) 2 x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π 1 2 ( ( 18 x 2 ) 2 - ( 18 ( 2x +4 ) 2 ) 2 ) x

= π 1 2 ( 324 x 4 - 324 ( 2x +4 ) 4 ) x

= π 1 2 ( - 324 ( 2x +4 ) 4 + 324 x 4 ) x
= π 1 2 ( -324 ( 2x +4 ) -4 +324 x -4 ) x

= π [ 54 ( 2x +4 ) -3 -108 x -3 ] 1 2

= π [ 54 ( 2x +4 ) 3 - 108 x 3 ] 1 2

= π · ( 54 ( 22 +4 ) 3 - 108 2 3 - ( 54 ( 21 +4 ) 3 - 108 1 3 ) )

= π · ( 54 ( 4 +4 ) 3 -108( 1 8 ) - ( 54 ( 2 +4 ) 3 -1081 ) )

= π · ( 54 8 3 - 27 2 - ( 54 6 3 -108 ) )

= π · ( 54( 1 512 ) - 27 2 - ( 54( 1 216 ) -108 ) )

= π · ( 27 256 - 27 2 - ( 1 4 -108 ) )

= π · ( 27 256 - 3456 256 - ( 1 4 - 432 4 ) )

= π · ( - 3429 256 -1 · ( - 431 4 ) )

= π · ( - 3429 256 + 431 4 )

= π · 24155 256

= 24155 256 π


≈ 296,426

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit f(x)= 2 e 0,5x und der Geraden y = 1 rotiert im Intervall [0,2] um diese Gerade y = 1 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = 2 e 0,5x -1
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π 0 2 ( 2 e 0,5x -1 ) 2 x

= π 0 2 ( 4 e x -4 e 0,5x +1 ) x

= π [ 4 e x -8 e 0,5x + x ] 0 2

= π · ( 4 e 2 -8 e 0,52 +2 - ( 4 e 0 -8 e 0,50 +0) )

= π · ( 4 e 2 -8e +2 - ( 4 -8 e 0 +0) )

= π · ( 4 e 2 -8e +2 - ( 4 -8 +0) )

= π · ( 4 e 2 +2 -8e -1 · ( -4 ) )

= π · ( 4 e 2 +2 -8e +4 )

= π · ( 4 e 2 +6 -8e )


≈ 43,385