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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{{(2 x + 1)}^{2}}$ soll im Intervall [0,1] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

Lösung einblenden

V =

π

\int_{0}^{1} {(\frac{6}{{(2 x + 1)}^{2}})}^{2} ⅆ x

=

π

\int_{0}^{1} \frac{36}{{(2 x + 1)}^{4}} ⅆ x

=

π

\int_{0}^{1} 36 {(2 x + 1)}^{- 4} ⅆ x

= $π$ ${[- 6 {(2 x + 1)}^{- 3}]}_{0}^{1}$

= $π$ ${[- \frac{6}{{(2 x + 1)}^{3}}]}_{0}^{1}$

$=$ $π \cdot (- \frac{6}{{(2 \cdot 1 + 1)}^{3}} + \frac{6}{{(2 \cdot 0 + 1)}^{3}})$

= $π \cdot (- \frac{6}{{(2 + 1)}^{3}} + \frac{6}{{(0 + 1)}^{3}})$

= $π \cdot (- \frac{6}{3^{3}} + \frac{6}{1^{3}})$

= $π \cdot (- 6 \cdot (\frac{1}{27}) + 6 \cdot 1)$

= $π \cdot (- \frac{2}{9} + 6)$

= $π \cdot (- \frac{2}{9} + \frac{54}{9})$

= $π \cdot \frac{52}{9}$

= $\frac{52}{9} π$

≈ 18,151

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $\frac{12}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $\frac{12}{{(3 x + 3)}^{2}}$ schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,3] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

Lösung einblenden

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π

\int_{1}^{3} {(\frac{12}{x^{2}})}^{2} ⅆ x

- π

\int_{1}^{3} {(\frac{12}{{(3 x + 3)}^{2}})}^{2} ⅆ x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $\int_{1}^{3} ({(\frac{12}{x^{2}})}^{2} - {(\frac{12}{{(3 x + 3)}^{2}})}^{2}) ⅆ x$

= π $\int_{1}^{3} (\frac{144}{x^{4}} - \frac{144}{{(3 x + 3)}^{4}}) ⅆ x$

=

π

\int_{1}^{3} (- \frac{144}{{(3 x + 3)}^{4}} + \frac{144}{x^{4}}) ⅆ x

=

π

\int_{1}^{3} (- 144 {(3 x + 3)}^{- 4} + 144 x^{- 4}) ⅆ x

= $π$ ${[16 {(3 x + 3)}^{- 3} - 48 x^{- 3}]}_{1}^{3}$

= $π$ ${[\frac{16}{{(3 x + 3)}^{3}} - \frac{48}{x^{3}}]}_{1}^{3}$

$=$ $π \cdot (\frac{16}{{(3 \cdot 3 + 3)}^{3}} - \frac{48}{3^{3}} - (\frac{16}{{(3 \cdot 1 + 3)}^{3}} - \frac{48}{1^{3}}))$

= $π \cdot (\frac{16}{{(9 + 3)}^{3}} - 48 \cdot (\frac{1}{27}) - (\frac{16}{{(3 + 3)}^{3}} - 48 \cdot 1))$

= $π \cdot (\frac{16}{12^{3}} - \frac{16}{9} - (\frac{16}{6^{3}} - 48))$

= $π \cdot (16 \cdot (\frac{1}{1728}) - \frac{16}{9} - (16 \cdot (\frac{1}{216}) - 48))$

= $π \cdot (\frac{1}{108} - \frac{16}{9} - (\frac{2}{27} - 48))$

= $π \cdot (\frac{1}{108} - \frac{192}{108} - (\frac{2}{27} - \frac{1296}{27}))$

= $π \cdot (- \frac{191}{108} - 1 \cdot (- \frac{1294}{27}))$

= $π \cdot (- \frac{191}{108} + \frac{1294}{27})$

= $π \cdot \frac{4985}{108}$

= $\frac{4985}{108} π$

≈ 145,008

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{3 x + 5}{3 x + 1}$ und der Geraden y = 1 rotiert im Intervall [0,2] um diese Gerade y = 1 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

Lösung einblenden

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{3 x + 5}{3 x + 1} - 1$ = $\frac{3 x + 5}{3 x + 1} - \frac{3 x + 1}{3 x + 1}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $\int_{0}^{2} {(\frac{3 x + 5}{3 x + 1} - \frac{3 x + 1}{3 x + 1})}^{2} ⅆ x$

= π $\int_{0}^{2} {(\frac{3 x + 5 - 3 x - 1}{3 x + 1})}^{2} ⅆ x$

= π $\int_{0}^{2} {(\frac{4}{3 x + 1})}^{2} ⅆ x$

= π $\int_{0}^{2} 4^{2} \cdot \frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}} ⅆ x$

=

π

\int_{0}^{2} \frac{16}{{(3 x + 1)}^{2}} ⅆ x

=

π

\int_{0}^{2} 16 {(3 x + 1)}^{- 2} ⅆ x

= $π$ ${[- \frac{16}{3} {(3 x + 1)}^{- 1}]}_{0}^{2}$

= $π$ ${[- \frac{16}{3 (3 x + 1)}]}_{0}^{2}$

$=$ $π \cdot (- \frac{16}{3 (3 \cdot 2 + 1)} + \frac{16}{3 (3 \cdot 0 + 1)})$

= $π \cdot (- \frac{16}{3 (6 + 1)} + \frac{16}{3 (0 + 1)})$

= $π \cdot (- \frac{16}{3 \cdot 7} + \frac{16}{3})$

= $π \cdot (- \frac{16}{3} \cdot (\frac{1}{7}) + \frac{16}{3} \cdot 1)$

= $π \cdot (- \frac{16}{21} + \frac{16}{3})$

= $π \cdot (- \frac{16}{21} + \frac{112}{21})$

= $π \cdot \frac{32}{7}$

= $\frac{32}{7} π$

≈ 14,362

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