= $\pi$ ${\left[-2{\left(2x+3\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{2x+3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{2\cdot 1+3}+\frac{2}{2\cdot 0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{2+3}+\frac{2}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{5}+\frac{2}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-2\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+2\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{5}+\frac{2}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{6}{15}+\frac{10}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{4}{15}$

= $\frac{4}{15}\pi$

≈ 0,838

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{12}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{12}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{12}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{12}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{144}{x^4}-\frac{144}{{\left(2x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[24{\left(2x+2\right)}^{-3}-48x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{24}{{\left(2x+2\right)}^3}-\frac{48}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{24}{{\left(2\cdot 2+2\right)}^3}-\frac{48}{2^3}-\left(\frac{24}{{\left(2\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{48}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{24}{{\left(4+2\right)}^3}-48\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{24}{{\left(2+2\right)}^3}-48\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{24}{6^3}-6-\left(\frac{24}{4^3}-48\right))$

= $\pi ·(24\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-6-\left(24\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-48\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{9}-6-\left(\frac{3}{8}-48\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{9}-\frac{54}{9}-\left(\frac{3}{8}-\frac{384}{8}\right))$

= $\pi ·(-\frac{53}{9}-1·\left(-\frac{381}{8}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{53}{9}+\frac{381}{8}\right)$

= $\pi ·\frac{3005}{72}$

= $\frac{3005}{72}\pi$

≈ 131,118

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2e^{\mathrm{0,3}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,3}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+4x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 3}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 3}+4\cdot 3-\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+12-\left(\frac{20}{3}{e}^0-\frac{80}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+12-\left(\frac{20}{3}-\frac{80}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+12-\left(\frac{20}{3}-\frac{80}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+12-1·\left(-20\right))$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+12+20\right)$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+32\right)$

≈ 21,179