= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3{\left(x+1\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3{\left(3+1\right)}^3}+\frac{16}{3{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\cdot 4^3}+\frac{16}{3\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)+\frac{16}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{12}+\frac{16}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{12}+\frac{64}{12}\right)$

= $\pi ·\frac{21}{4}$

= $\frac{21}{4}\pi$

≈ 16,493

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{14}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{14}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{14}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{14}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{196}{x^4}-\frac{196}{{\left(3x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{196}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}-\frac{196}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{196}{9{\left(3x+4\right)}^3}-\frac{196}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{196}{9{\left(3\cdot 3+4\right)}^3}-\frac{196}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{196}{9{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{196}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9{\left(9+4\right)}^3}-\frac{196}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{196}{9{\left(3+4\right)}^3}-\frac{196}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9\cdot {13}^3}-\frac{196}{81}-\left(\frac{196}{9\cdot 7^3}-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9}\cdot \left(\frac{1}{2197}\right)-\frac{196}{81}-\left(\frac{196}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{19773}-\frac{196}{81}-\left(\frac{4}{63}-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{1764}{177957}-\frac{430612}{177957}-\left(\frac{4}{63}-\frac{4116}{63}\right))$

= $\pi ·(-\frac{428848}{177957}-1·\left(-\frac{4112}{63}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{428848}{177957}+\frac{4112}{63}\right)$

= $\pi ·\frac{78304640}{1245699}$

= $\frac{78304640}{1245699}\pi$

≈ 197,481

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,2}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,2}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}x}-10e^{\mathrm{0,2}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 3}-10e^{\mathrm{0,2}\cdot 3}+3-\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 0}-10e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-10e^{\mathrm{0,6}}+3-\left(\frac{5}{2}{e}^0-10e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-10e^{\mathrm{0,6}}+3-\left(\frac{5}{2}-10+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-10e^{\mathrm{0,6}}+3-\left(\frac{5}{2}-\frac{20}{2}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-10e^{\mathrm{0,6}}+3-1·\left(-\frac{15}{2}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-10e^{\mathrm{0,6}}+3+\frac{15}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-10e^{\mathrm{0,6}}+\frac{21}{2}\right)$

≈ 1,819