= $\pi$ ${\left[-8{\left(2x+4\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{2x+4}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{8}{2\cdot 1+4}+\frac{8}{2\cdot 0+4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{2+4}+\frac{8}{0+4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{6}+\frac{8}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-8\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+8\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}+2\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}+\frac{6}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3}\pi$

≈ 2,094

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+2\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 2+2\right)}-\frac{4}{2}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+2\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(6+2\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+2\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 8}-2-\left(\frac{4}{3\cdot 5}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-2-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{6}-2-\left(\frac{4}{15}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{6}-\frac{12}{6}-\left(\frac{4}{15}-\frac{60}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{11}{6}-1·\left(-\frac{56}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{11}{6}+\frac{56}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{19}{10}$

= $\frac{19}{10}\pi$

≈ 5,969

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(2x+3\right)}^2+4}{{\left(2x+3\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(2x+3\right)}^2+4}{{\left(2x+3\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+3\right)}^2}{{\left(2x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2{\left(2x+3\right)}^2+4}{{\left(2x+3\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+3\right)}^2}{{\left(2x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2{\left(2x+3\right)}^2+4-2{\left(2x+3\right)}^2}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(2x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{3}{\left(2x+3\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{3{\left(2x+3\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{8}{3{\left(2\cdot 1+3\right)}^3}+\frac{8}{3{\left(2\cdot 0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3{\left(2+3\right)}^3}+\frac{8}{3{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3\cdot 5^3}+\frac{8}{3\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)+\frac{8}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{375}+\frac{8}{81}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{216}{10125}+\frac{1000}{10125}\right)$

= $\pi ·\frac{784}{10125}$

= $\frac{784}{10125}\pi$

≈ 0,243