= $\pi$ ${\left[-4{\left(x+3\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{x+3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{1+3}+\frac{4}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{4}+\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-1+\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{3}+\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}\pi$

≈ 1,047

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{4}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^4}-\frac{16}{{\left(3x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}-\frac{16}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{9{\left(3x+1\right)}^3}-\frac{16}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{9{\left(3\cdot 4+1\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{16}{9{\left(3\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{9{\left(12+1\right)}^3}-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{16}{9{\left(3+1\right)}^3}-\frac{16}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{9\cdot {13}^3}-\frac{1}{12}-\left(\frac{16}{9\cdot 4^3}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{2197}\right)-\frac{1}{12}-\left(\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{19773}-\frac{1}{12}-\left(\frac{1}{36}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{79092}-\frac{6591}{79092}-\left(\frac{1}{36}-\frac{192}{36}\right))$

= $\pi ·(-\frac{6527}{79092}-1·\left(-\frac{191}{36}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{6527}{79092}+\frac{191}{36}\right)$

= $\pi ·\frac{11475}{2197}$

= $\frac{11475}{2197}\pi$

≈ 16,409

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,4}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,4}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}x}-5e^{\mathrm{0,4}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 3}-5e^{\mathrm{0,4}\cdot 3}+3-\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 0}-5e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-5e^{\mathrm{1,2}}+3-\left(\frac{5}{4}{e}^0-5e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-5e^{\mathrm{1,2}}+3-\left(\frac{5}{4}-5+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-5e^{\mathrm{1,2}}+3-\left(\frac{5}{4}-\frac{20}{4}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-5e^{\mathrm{1,2}}+3-1·\left(-\frac{15}{4}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-5e^{\mathrm{1,2}}+3+\frac{15}{4}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-5e^{\mathrm{1,2}}+\frac{27}{4}\right)$

≈ 12,341