= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+2\right)}^3\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 4+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(8+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {10}^3-\frac{1}{6}\cdot 4^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 1000-\frac{1}{6}\cdot 64\right)$

= $\pi ·\left(\frac{500}{3}-\frac{32}{3}\right)$

= $\pi ·156$

= $156\pi$

≈ 490,088

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{8}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{8}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{8}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{8}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{64}{x^4}-\frac{64}{{\left(3x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{64}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}-\frac{64}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{64}{9{\left(3x+1\right)}^3}-\frac{64}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{64}{9{\left(3\cdot 4+1\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{64}{9{\left(3\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{9{\left(12+1\right)}^3}-\frac{64}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{64}{9{\left(3+1\right)}^3}-\frac{64}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{9\cdot {13}^3}-\frac{1}{3}-\left(\frac{64}{9\cdot 4^3}-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{9}\cdot \left(\frac{1}{2197}\right)-\frac{1}{3}-\left(\frac{64}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{19773}-\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{9}-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{19773}-\frac{6591}{19773}-\left(\frac{1}{9}-\frac{192}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{6527}{19773}-1·\left(-\frac{191}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{6527}{19773}+\frac{191}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{45900}{2197}$

= $\frac{45900}{2197}\pi$

≈ 65,635

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(3x+1\right)}^2+5}{{\left(3x+1\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(3x+1\right)}^2+5}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{3{\left(3x+1\right)}^2+5}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3{\left(3x+1\right)}^2+5-3{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(3x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{9{\left(3x+1\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{9{\left(3\cdot 2+1\right)}^3}+\frac{25}{9{\left(3\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9{\left(6+1\right)}^3}+\frac{25}{9{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9\cdot 7^3}+\frac{25}{9\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+\frac{25}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3087}+\frac{25}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3087}+\frac{8575}{3087}\right)$

= $\pi ·\frac{950}{343}$

= $\frac{950}{343}\pi$

≈ 8,701