= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 2+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(4+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 5^3-\frac{1}{6}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 125-\frac{1}{6}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{6}-\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{62}{3}$

= $\frac{62}{3}\pi$

≈ 64,926

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{9}{x^4}-\frac{9}{{\left(x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[3{\left(x+2\right)}^{-3}-3x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{{\left(x+2\right)}^3}-\frac{3}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{{\left(4+2\right)}^3}-\frac{3}{4^3}-\left(\frac{3}{{\left(1+2\right)}^3}-\frac{3}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{6^3}-3\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{3}{3^3}-3\cdot 1\right))$

= $\pi ·(3\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-\frac{3}{64}-\left(3\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-3\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{72}-\frac{3}{64}-\left(\frac{1}{9}-3\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{576}-\frac{27}{576}-\left(\frac{1}{9}-\frac{27}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{19}{576}-1·\left(-\frac{26}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{576}+\frac{26}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{576}+\frac{1664}{576}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{576}+\frac{26}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{1645}{576}$

= $\frac{1645}{576}\pi$

≈ 8,972

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(x+3\right)}^2+5}{{\left(x+3\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(x+3\right)}^2+5}{{\left(x+3\right)}^2}-\frac{3{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{3{\left(x+3\right)}^2+5}{{\left(x+3\right)}^2}-\frac{3{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3{\left(x+3\right)}^2+5-3{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(x+3\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3{\left(x+3\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3{\left(3+3\right)}^3}+\frac{25}{3{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 6^3}+\frac{25}{3\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)+\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{648}+\frac{25}{81}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{648}+\frac{200}{648}\right)$

= $\pi ·\frac{175}{648}$

= $\frac{175}{648}\pi$

≈ 0,848