= $\pi$ ${\left[\frac{3}{4}{x}^4+\frac{5}{3}{x}^3+5x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{4}\cdot 2^4+\frac{5}{3}\cdot 2^3+5\cdot 2-\left(\frac{3}{4}\cdot 0^4+\frac{5}{3}\cdot 0^3+5\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{4}\cdot 16+\frac{5}{3}\cdot 8+10-\left(\frac{3}{4}\cdot 0+\frac{5}{3}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(12+\frac{40}{3}+10-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{36}{3}+\frac{40}{3}+\frac{30}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{106}{3}\right)$

= $\frac{106}{3}\pi$

≈ 111,003

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{4}{x^4}-\frac{4}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}-\frac{4}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3{\left(x+1\right)}^3}-\frac{4}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3{\left(4+1\right)}^3}-\frac{4}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{4}{3{\left(1+1\right)}^3}-\frac{4}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 5^3}-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{4}{3\cdot 2^3}-\frac{4}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{1}{48}-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{4}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{375}-\frac{1}{48}-\left(\frac{1}{6}-\frac{4}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{6000}-\frac{125}{6000}-\left(\frac{1}{6}-\frac{8}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{61}{6000}-1·\left(-\frac{7}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{61}{6000}+\frac{7}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{61}{6000}+\frac{7000}{6000}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{61}{6000}+\frac{7}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{2313}{2000}$

= $\frac{2313}{2000}\pi$

≈ 3,633

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(2x+4\right)}^2+2}{{\left(2x+4\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(2x+4\right)}^2+2}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{3{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{3{\left(2x+4\right)}^2+2}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{3{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3{\left(2x+4\right)}^2+2-3{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(2x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3}{\left(2x+4\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3{\left(2x+4\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{3{\left(2\cdot 2+4\right)}^3}+\frac{2}{3{\left(2\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3{\left(4+4\right)}^3}+\frac{2}{3{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3\cdot 8^3}+\frac{2}{3\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)+\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{768}+\frac{1}{96}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{768}+\frac{8}{768}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{768}$

= $\frac{7}{768}\pi$

≈ 0,029