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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit f(x)= 5 3x +1 soll im Intervall [0,2] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V = π 0 2 ( 5 3x +1 ) 2 x
= π 0 2 25 ( 3x +1 ) 2 x
= π 0 2 25 ( 3x +1 ) -2 x

= π [ - 25 3 ( 3x +1 ) -1 ] 0 2

= π [ - 25 3( 3x +1 ) ] 0 2

= π · ( - 25 3( 32 +1 ) + 25 3( 30 +1 ) )

= π · ( - 25 3( 6 +1 ) + 25 3( 0 +1 ) )

= π · ( - 25 3 7 + 25 3 )

= π · ( - 25 3 ( 1 7 ) + 25 3 1 )

= π · ( - 25 21 + 25 3 )

= π · ( - 25 21 + 175 21 )

= π · 50 7

= 50 7 π


≈ 22,44

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 9 x 2 und g(x)= 9 ( x +2 ) 2 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,2] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π 1 2 ( 9 x 2 ) 2 x - π 1 2 ( 9 ( x +2 ) 2 ) 2 x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π 1 2 ( ( 9 x 2 ) 2 - ( 9 ( x +2 ) 2 ) 2 ) x

= π 1 2 ( 81 x 4 - 81 ( x +2 ) 4 ) x

= π 1 2 ( - 81 ( x +2 ) 4 + 81 x 4 ) x
= π 1 2 ( -81 ( x +2 ) -4 +81 x -4 ) x

= π [ 27 ( x +2 ) -3 -27 x -3 ] 1 2

= π [ 27 ( x +2 ) 3 - 27 x 3 ] 1 2

= π · ( 27 ( 2 +2 ) 3 - 27 2 3 - ( 27 ( 1 +2 ) 3 - 27 1 3 ) )

= π · ( 27 4 3 -27( 1 8 ) - ( 27 3 3 -271 ) )

= π · ( 27( 1 64 ) - 27 8 - ( 27( 1 27 ) -27 ) )

= π · ( 27 64 - 27 8 - ( 1 -27 ) )

= π · ( 27 64 - 216 64 -1 · ( -26 ) )

= π · ( - 189 64 +26 )

= π · ( - 189 64 + 1664 64 )

= π · 1475 64

= 1475 64 π


≈ 72,404

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit f(x)= x +1 und der Geraden y = 1 rotiert im Intervall [0,2] um diese Gerade y = 1 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = x +1 -1
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π 0 2 ( x +1 -1 ) 2 x

= π 0 2 ( x ) 2 x
= π 0 2 x 2 x

= π [ 1 3 x 3 ] 0 2

= π · ( 1 3 2 3 - 1 3 0 3 )

= π · ( 1 3 8 - 1 3 0 )

= π · ( 8 3 +0 )

= π · ( 8 3 +0 )

= π · 8 3

= 8 3 π


≈ 8,378