= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+3\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 3+3\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(6+3\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 9^3-\frac{1}{6}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 729-\frac{1}{6}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(\frac{243}{2}-\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·117$

= $117\pi$

≈ 367,566

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{3}{\left(x+4\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{3{\left(x+4\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{100}{3{\left(4+4\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{100}{3{\left(1+4\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{3\cdot 8^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{100}{3\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{25}{48}-\left(\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{384}-\frac{25}{48}-\left(\frac{4}{15}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{384}-\frac{200}{384}-\left(\frac{4}{15}-\frac{500}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{175}{384}-1·\left(-\frac{496}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{175}{384}+\frac{496}{15}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{875}{1920}+\frac{63488}{1920}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{175}{384}+\frac{496}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{20871}{640}$

= $\frac{20871}{640}\pi$

≈ 102,45

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(3x+3\right)}^2+5}{{\left(3x+3\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(3x+3\right)}^2+5}{{\left(3x+3\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{3{\left(3x+3\right)}^2+5}{{\left(3x+3\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3{\left(3x+3\right)}^2+5-3{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(3x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{9}{\left(3x+3\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{9{\left(3x+3\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{9{\left(3\cdot 2+3\right)}^3}+\frac{25}{9{\left(3\cdot 0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9{\left(6+3\right)}^3}+\frac{25}{9{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9\cdot 9^3}+\frac{25}{9\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{729}\right)+\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6561}+\frac{25}{243}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6561}+\frac{675}{6561}\right)$

= $\pi ·\frac{650}{6561}$

= $\frac{650}{6561}\pi$

≈ 0,311