= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3\left(3x+2\right)}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(3\cdot 2+2\right)}+\frac{25}{3\left(3\cdot 0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(6+2\right)}+\frac{25}{3\left(0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 8}+\frac{25}{3\cdot 2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{24}+\frac{25}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{24}+\frac{100}{24}\right)$

= $\pi ·\frac{25}{8}$

= $\frac{25}{8}\pi$

≈ 9,817

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{16}{x^4}-\frac{16}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}-\frac{16}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3{\left(x+1\right)}^3}-\frac{16}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3{\left(3+1\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{16}{3{\left(1+1\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\cdot 4^3}-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{16}{3\cdot 2^3}-\frac{16}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{16}{81}-\left(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{12}-\frac{16}{81}-\left(\frac{2}{3}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{324}-\frac{64}{324}-1·\left(-\frac{14}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{37}{324}+\frac{14}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{37}{324}+\frac{1512}{324}\right)$

= $\pi ·\frac{1475}{324}$

= $\frac{1475}{324}\pi$

≈ 14,302

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2e^{\mathrm{0,3}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,3}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 1}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 1}+1-\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-\left(\frac{20}{3}{e}^0-\frac{40}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-\left(\frac{20}{3}-\frac{40}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-\left(\frac{20}{3}-\frac{40}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-1·\left(-\frac{20}{3}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1+\frac{20}{3}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+\frac{23}{3}\right)$

≈ 5,705