= $\pi$ ${\left[-e^{-x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-1}+e^{-0}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-1}+1\right)$

≈ 1,986

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{4}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{16}{x^4}-\frac{16}{{\left(3x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}-\frac{16}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{9{\left(3x+1\right)}^3}-\frac{16}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{9{\left(3\cdot 3+1\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{16}{9{\left(3\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{9{\left(9+1\right)}^3}-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{16}{9{\left(3+1\right)}^3}-\frac{16}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{9\cdot {10}^3}-\frac{16}{81}-\left(\frac{16}{9\cdot 4^3}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)-\frac{16}{81}-\left(\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{1125}-\frac{16}{81}-\left(\frac{1}{36}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{18}{10125}-\frac{2000}{10125}-\left(\frac{1}{36}-\frac{192}{36}\right))$

= $\pi ·(-\frac{1982}{10125}-1·\left(-\frac{191}{36}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{1982}{10125}+\frac{191}{36}\right)$

= $\pi ·\frac{206947}{40500}$

= $\frac{206947}{40500}\pi$

≈ 16,053

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(3x+3\right)}^2+4}{{\left(3x+3\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(3x+3\right)}^2+4}{{\left(3x+3\right)}^2}-\frac{2{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{2{\left(3x+3\right)}^2+4}{{\left(3x+3\right)}^2}-\frac{2{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2{\left(3x+3\right)}^2+4-2{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(3x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{9}{\left(3x+3\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{9{\left(3x+3\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{9{\left(3\cdot 2+3\right)}^3}+\frac{16}{9{\left(3\cdot 0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9{\left(6+3\right)}^3}+\frac{16}{9{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9\cdot 9^3}+\frac{16}{9\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{729}\right)+\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{6561}+\frac{16}{243}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{6561}+\frac{432}{6561}\right)$

= $\pi ·\frac{416}{6561}$

= $\frac{416}{6561}\pi$

≈ 0,199