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Hoch- und Tiefpkte in f (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert aller Extrempunkte des Graphen von f im abgebildeten Bereich.

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Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x = -4 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = -4 einen Tiefpunkt haben.

Wendepunkte in f (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme alle Wendestellen von f im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)

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Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = -2.

Monotonie (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .

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Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-2] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-2;0] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [0;1] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [1;4] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [4;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Extrempunkte der Ableitung

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f'. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert der Extrempunkte von f'' im abgebildeten Bereich.
(Die Lösungen sind ganzzahlig)

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Man erkennt am Graph von f', dass bei x = 1 eine maximale Steigung (m ≈ 4) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Hochpunkt.

Bei x = 3 ist dagegen ein maximales Gefälle (m ≈ -4) in f', also ein Tiefpunkt in f'' zu erkennnen.

Minimaler Grad bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f.

Gezeichnet ist der Graph von f '.

Wie groß muss der Grad von f mindestens sein?

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Man erkennt am Graph von f ' einen Wendepunkt bei x=-1, also muss f ''' ( - die 2. Ableitung von f ' - ) mindestens eine Nullstelle haben und somit auch mindestens vom Grad 1 sein.

Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss der Grad der Originalfunktion f um 3 höher, also f vom Grad 4 sein.

Pkt mit paralleler Tangente (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ', also der Ableitungsfunktion einer Funktion f.
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von f parallel zur Geraden g: y=

- x - 1

verläuft.

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Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -1 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -1 haben. Es muss also f '(x) = -1 gelten.

Am Schaubild kann man f '(0) = -1 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = 0.

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(-2) + f '(-2).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-2) = $- 2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-2) = 0 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-2) + f '(-2) = 0 + ( - 2 ) = $- 2$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(2).

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Wir können der Zeichnung rechts f(2) = -3 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(-3) = 2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 3 gilt.

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Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(-2)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = 2 und x₂ = 0

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $0$ ) = $\frac{1}{2}$ .

Produktregel am Schaubild

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(x)⋅g(x).
Bestimme h(2) und h'(2).

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Wir können der Zeichnung rechts f(2) = 1 und g(2) = 1 entnehmen.

Also gilt h(2)= f(2)⋅g(2) = 1⋅1 = 1

Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)

Also h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2)

Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=2 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(2) als auch g'(2) als Steigung m= $1$ der Geraden ablesen, also gilt f'(2) = g'(2) = $1$ .

Somit gilt:
h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2)
= $1$ ⋅1 + 1⋅ $1$
= $2$ .

Produktregel am Schaubild

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(x)⋅g(x).
Bestimme h(2) und h'(2).

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Wir können der Zeichnung rechts f(2) = -1 und g(2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(2)= f(2)⋅g(2) = ( - 1 )⋅( - 1 ) = 1

Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)

Also h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2)

Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=2 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(2) als auch g'(2) als Steigung m= $2$ der Geraden ablesen, also gilt f'(2) = g'(2) = $2$ .

Somit gilt:
h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2)
= $2$ ⋅( - 1 ) + ( - 1 )⋅ $2$
= $- 4$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Hoch- und Tiefpkte in f (ohne F)

Wendepunkte in f (ohne F)

Monotonie (ohne F)

Extrempunkte der Ableitung

Minimaler Grad bestimmen

Pkt mit paralleler Tangente (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Produktregel am Schaubild

Produktregel am Schaubild