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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Hoch- und Tiefpkte in f (ohne F)
Beispiel:
Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.
Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).
Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.
Wir erkennen bei x = 2 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 2 einen Tiefpunkt haben.
Wendepunkte in f (ohne F)
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme alle Wendestellen von f im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)
Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.
Diese erkennen wir leicht bei x = 0 und x = -2.
Monotonie (ohne F)
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .
Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.
Wir erkennen: Im Intervall [-6;2] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.
Wir erkennen: Im Intervall [2;6] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.
Extrempunkte der Ableitung
Beispiel:
(Die Lösungen sind ganzzahlig)
Man erkennt am Graph von f', dass bei x = 1 das geringste Gefälle (m ≈ 0) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Hochpunkt.
Minimaler Grad bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f.
Gezeichnet ist der Graph von f.
Wie groß muss der Grad von f mindestens sein?
Man erkennt am Graph von f 2 Extrempunkte, also muss f' ( - die Ableitung von f - ) mindestens 2 Nullstellen und somit auch mindestens Grad 2 haben.
Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss der Grad der Originalfunktion f um 1 höher, also f vom Grad 3 sein.
Pkt mit paralleler Tangente (ohne F)
Beispiel:
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von f parallel zur Geraden g: y= verläuft.
Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.
Da die Gerade g die Steigung 1 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = 1 haben. Es muss also f '(x) = 1 gelten.
Am Schaubild kann man f '(-2) = 1 und f '(2) = 1 ablesen.
Die gesuchten Stellen sind also x1 = -2 und x2 = 2.
Summe f(x) und f'(x) (ohne F)
Beispiel:
Bestimme f(2) + f '(2).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(2) = entnehmen.
Außerdem können wir natürlich f(2) = -2 am Schaubild ablesen:
Also gilt: f(2) + f '(2) =
-2 +
Verkettung vorwärts
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(2).
Wir können der Zeichnung rechts f(2) = 2 entnehmen.
Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(2)
g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(2) = -3.
Verkettung rückwärts
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 4 gilt.
Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit
P(2|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(2)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.
Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.
Diese erkennen wir bei Q1(-3|2) und Q2(1|2), also bei
x1 = -3 und x2 = 1
Verkettung von f und f' (ohne F)
Beispiel:
Bestimme f(f '(-2)).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = entnehmen.
Wir suchen also f(f '(-2)) = f().
f() können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):
f(f '(-2)) = f() = .
Pkt mit paralleler Tangente (ohne F)
Beispiel:
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von f parallel zur Geraden g: y= verläuft.
Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.
Da die Gerade g die Steigung -2 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -2 haben. Es muss also f '(x) = -2 gelten.
Am Schaubild kann man f '(-1) = -2 ablesen.
Die gesuchte Stelle ist also x = -1.
Produktregel am Schaubild
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(x)⋅g(x).
Bestimme h(0) und h'(0).
Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -2 und g(0) = -2 entnehmen.
Also gilt h(0)= f(0)⋅g(0) =
Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)
Also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0)
Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=0 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(0) als auch g'(0) als Steigung m= der Geraden ablesen, also gilt f'(0) = g'(0) = .
Somit gilt:
h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0)
= ⋅
= .