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Hoch- und Tiefpkte in f (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert aller Extrempunkte des Graphen von f im abgebildeten Bereich.

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Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x = -1 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = -1 einen Tiefpunkt haben.

Da der Graph von f ' bei x = 2 die x-Achse berührt und f ' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Originalfunktion f bei x = 2 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).

Wendepunkte in f (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme alle Wendestellen von f im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)

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Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0.

EP und WP am Schaubild

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f'. Bestimme den jeweils Typ und den x-Wert aller Extrempunkte, sowie den x-Wert aller Wendepunkte des Graphen von f im abgebildeten Bereich.

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Extrempunkte

Da Extrempunkte immer eine waagerechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f'(x) = 0. Wir suchen also die Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f'.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um einen Tiefpunkt oder um keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel der Funktion f' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen demnach alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f'.

Man erkennt bei x = 3 einen VZW in der Funktion f' von + nach -. Dementsprechend muss der Graph der Funktion f bei x = 3 einen Hochpunkt haben.

Man erkennt bei x = 1 einen VZW in der Funktion f' von - nach +. Dementsprechend muss der Graph der Funktion f bei x = 1 einen Tiefpunkt haben.

Wendepunkte

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, muss man lediglich die Extrempunkte im Graphen der Ableitungsfunktion f' finden.

Wendestellen sind bei x = 2 zu erkennen.

Monotonie (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .

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Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-3] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-3;-1] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [-1;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Extrempunkte der Ableitung

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f'. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert der Extrempunkte von f'' im abgebildeten Bereich.
(Die Lösungen sind ganzzahlig)

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Man erkennt am Graph von f', dass bei x = 0 eine maximale Steigung (m ≈ 2) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Hochpunkt.

Minimaler Grad bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f.

Gezeichnet ist der Graph von f '.

Wie groß muss der Grad von f mindestens sein?

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Man erkennt am Graph von f ' 3 Extrempunkte, also muss f '' ( - die Ableitung von f ' - ) mindestens 3 Nullstellen und somit auch mindestens Grad 3 haben.

Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss der Grad der Originalfunktion f um 2 höher, also f vom Grad 5 sein.

Pkt mit paralleler Tangente (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ', also der Ableitungsfunktion einer Funktion f.
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von f parallel zur Geraden g: y=

x + 5

verläuft.

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Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung 1 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = 1 haben. Es muss also f '(x) = 1 gelten.

Am Schaubild kann man f '(-1) = 1 und f '(3) = 1 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x₁ = -1 und x₂ = 3.

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(2) + f '(2).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(2) = -1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(2) + f '(2) = -1 + 2 = $1$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

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Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 3 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(3) = -1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 1 gilt.

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Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(-2)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = 2 und x₂ = 0

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(2)).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f( $1$ ).

f( $1$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f( $1$ ) = $- 0,5$ .

Hoch- und Tiefpkte in f (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert aller Extrempunkte des Graphen von f im abgebildeten Bereich.

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Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x = -3 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = -3 einen Tiefpunkt haben.

Wir erkennen bei x = 1 einen VZW in der Funktion f ' von + nach -. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 1 einen Hochpunkt haben.

Wir erkennen bei x = 2 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 2 einen Tiefpunkt haben.

Produktregel am Schaubild

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(x)⋅g(x).
Bestimme h(1) und h'(1).

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Wir können der Zeichnung rechts f(1) = -3 und g(1) = -3 entnehmen.

Also gilt h(1)= f(1)⋅g(1) = ( - 3 )⋅( - 3 ) = 9

Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)

Also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1)

Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=1 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(1) als auch g'(1) als Steigung m= $2$ der Geraden ablesen, also gilt f'(1) = g'(1) = $2$ .

Somit gilt:
h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1)
= $2$ ⋅( - 3 ) + ( - 3 )⋅ $2$
= $- 12$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Hoch- und Tiefpkte in f (ohne F)

Wendepunkte in f (ohne F)

EP und WP am Schaubild

Monotonie (ohne F)

Extrempunkte der Ableitung

Minimaler Grad bestimmen

Pkt mit paralleler Tangente (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Hoch- und Tiefpkte in f (ohne F)

Produktregel am Schaubild