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Hoch- und Tiefpkte in f (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert aller Extrempunkte des Graphen von f im abgebildeten Bereich.

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Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x = -3 einen VZW in der Funktion f ' von + nach -. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = -3 einen Hochpunkt haben.

Wir erkennen bei x = -1 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = -1 einen Tiefpunkt haben.

Wendepunkte in f (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme alle Wendestellen von f im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)

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Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 1.

Monotonie (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .

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Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-2] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-2;4] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [4;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Extrempunkte der Ableitung

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f'. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert der Extrempunkte von f'' im abgebildeten Bereich.
(Die Lösungen sind ganzzahlig)

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Man erkennt am Graph von f', dass bei x = 1 eine maximale Steigung (m ≈ 3) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Hochpunkt.

Minimaler Grad bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f.

Gezeichnet ist der Graph von f.

Wie groß muss der Grad von f mindestens sein?

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Man erkennt am Graph von f einen Wendepunkt bei x=-2, also muss f'' ( - die 2. Ableitung von f - ) mindestens eine Nullstelle haben und somit auch mindestens vom Grad 1 sein.

Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss der Grad der Originalfunktion f um 2 höher, also f vom Grad 3 sein.

Pkt mit paralleler Tangente (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ', also der Ableitungsfunktion einer Funktion f.
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von f parallel zur Geraden g: y=

- x - 5

verläuft.

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Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -1 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -1 haben. Es muss also f '(x) = -1 gelten.

Am Schaubild kann man f '(1) = -1 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = 1.

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(-1) + f '(-1).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-1) = $- 2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-1) = -3 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-1) + f '(-1) = -3 + ( - 2 ) = $- 5$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(2).

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Wir können der Zeichnung rechts f(2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(0) = -1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 1 gilt.

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Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(-3)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-3) und Q₂(2|-3), also bei
x₁ = 0 und x₂ = 2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(1)).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f( $0$ ) = $- \frac{7}{2}$ .

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(2)).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f( $2$ ).

f( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f( $2$ ) = $1$ .

Produktregel am Schaubild

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(x)⋅g(x).
Bestimme h(-1) und h'(-1).

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Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -1 und g(-1) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-1)= f(-1)⋅g(-1) = ( - 1 )⋅( - 1 ) = 1

Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)

Also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1)

Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=-1 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(-1) als auch g'(-1) als Steigung m= $- 2$ der Geraden ablesen, also gilt f'(-1) = g'(-1) = $- 2$ .

Somit gilt:
h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1)
= $- 2$ ⋅( - 1 ) + ( - 1 )⋅ $(- 2)$
= $4$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Hoch- und Tiefpkte in f (ohne F)

Wendepunkte in f (ohne F)

Monotonie (ohne F)

Extrempunkte der Ableitung

Minimaler Grad bestimmen

Pkt mit paralleler Tangente (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung von f und f' (ohne F)

Produktregel am Schaubild