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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Hoch- und Tiefpkte in f (ohne F)
Beispiel:
Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.
Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).
Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.
Da der Graph von f ' bei x = 1 die x-Achse berührt und f ' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Originalfunktion f bei x = 1 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).
Wendepunkte in f (ohne F)
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme alle Wendestellen von f im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)
Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.
Diese erkennen wir leicht bei x = 1.
Monotonie (ohne F)
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .
Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.
Wir erkennen: Im Intervall [-6;4] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.
Wir erkennen: Im Intervall [4;6] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.
Extrempunkte der Ableitung
Beispiel:
(Die Lösungen sind ganzzahlig)
Man erkennt am Graph von f', dass bei x = -2 eine maximale Steigung (m ≈ 4) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Hochpunkt.
Bei x = 0 ist dagegen ein maximales Gefälle (m ≈ -4) in f', also ein Tiefpunkt in f'' zu erkennnen.
Minimaler Grad bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f.
Gezeichnet ist der Graph von f.
Wie groß muss der Grad von f mindestens sein?
Man erkennt am Graph von f einen Wendepunkt bei x=-1, also muss f'' ( - die 2. Ableitung von f - ) mindestens eine Nullstelle haben und somit auch mindestens vom Grad 1 sein.
Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss der Grad der Originalfunktion f um 2 höher, also f vom Grad 3 sein.
Pkt mit paralleler Tangente (ohne F)
Beispiel:
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von f parallel zur Geraden g: y= verläuft.
Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.
Da die Gerade g die Steigung 0 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = 0 haben. Es muss also f '(x) = 0 gelten.
Am Schaubild kann man f '(1) = 0 ablesen.
Die gesuchte Stelle ist also x = 1.
Summe f(x) und f'(x) (ohne F)
Beispiel:
Bestimme f(-2) + f '(-2).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-2) = entnehmen.
Außerdem können wir natürlich f(-2) = 2 am Schaubild ablesen:
Also gilt: f(-2) + f '(-2) =
2 +
Verkettung vorwärts
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(2).
Wir können der Zeichnung rechts f(2) = -3 entnehmen.
Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(-3)
g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(-3) = -3.
Verkettung rückwärts
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 0 gilt.
Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit
P(2|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(2)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.
Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.
Diese erkennen wir bei Q1(2|2) und Q2(-2|2), also bei
x1 = 2 und x2 = -2
Verkettung von f und f' (ohne F)
Beispiel:
Bestimme f(f '(2)).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = entnehmen.
Wir suchen also f(f '(2)) = f().
f() können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):
f(f '(2)) = f() = .
Minimaler Grad bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f.
Gezeichnet ist der Graph von f.
Wie groß muss der Grad von f mindestens sein?
Man erkennt am Graph von f 3 Extrempunkte, also muss f' ( - die Ableitung von f - ) mindestens 3 Nullstellen und somit auch mindestens Grad 3 haben.
Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss der Grad der Originalfunktion f um 1 höher, also f vom Grad 4 sein.
Produktregel am Schaubild
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(x)⋅g(x).
Bestimme h(2) und h'(2).
Wir können der Zeichnung rechts f(2) = -2 und g(2) = -2 entnehmen.
Also gilt h(2)= f(2)⋅g(2) =
Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)
Also h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2)
Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=2 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(2) als auch g'(2) als Steigung m= der Geraden ablesen, also gilt f'(2) = g'(2) = .
Somit gilt:
h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2)
= ⋅
= .