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Hoch- und Tiefpkte in f (ohne F)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert aller Extrempunkte des Graphen von f im abgebildeten Bereich.

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Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x = -4 einen VZW in der Funktion f ' von + nach -. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = -4 einen Hochpunkt haben.

Wendepunkte in f (ohne F)

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme alle Wendestellen von f im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)

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Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0 und x = -2.

Monotonie (ohne F)

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .

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Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;4] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [4;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Extrempunkte der Ableitung

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von f'. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert der Extrempunkte von f'' im abgebildeten Bereich.
(Die Lösungen sind ganzzahlig)

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Man erkennt am Graph von f', dass bei x = 2 ein maximales Gefälle (m ≈ -2) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Tiefpunkt.

Minimaler Grad bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f.

Gezeichnet ist der Graph von f ''.

Wie groß muss der Grad von f mindestens sein?

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Man erkennt am Graph von f '' 3 Extrempunkte, also muss f ''' ( - die Ableitung von f '' - ) mindestens 3 Nullstellen und somit auch mindestens Grad 3 haben.

Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss der Grad der Originalfunktion f um 3 höher, also f vom Grad 6 sein.

Pkt mit paralleler Tangente (ohne F)

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von f ', also der Ableitungsfunktion einer Funktion f.
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von f parallel zur Geraden g: y= -4x +1 verläuft.

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Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -4 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -4 haben. Es muss also f '(x) = -4 gelten.

Am Schaubild kann man f '(0) = -4 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = 0.

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(-3) + f '(-3).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-3) = -2 entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-3) = -1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-3) + f '(-3) = -1 + ( - 2 ) = -3.

Verkettung vorwärts

Beispiel:

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Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

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Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 3 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(3) = 2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

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Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 3 gilt.

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Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(-1)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q1(0|-1) und Q2(-2|-1), also bei
x1 = 0 und x2 = -2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(1)).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = 0 entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f(0).

f(0) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f(0) = -2 .

Extrempunkte der Ableitung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist der Graph von f'. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert der Extrempunkte von f'' im abgebildeten Bereich.
(Die Lösungen sind ganzzahlig)

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Man erkennt am Graph von f', dass bei x = -3 ein maximales Gefälle (m ≈ -4) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Tiefpunkt.

Bei x = -1 ist dagegen eine maximale Steigung (m ≈ 4) in f', also ein Hochpunkt in f'' zu erkennnen.

Produktregel am Schaubild

Beispiel:

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Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(x)⋅g(x).
Bestimme h(3) und h'(3).

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Wir können der Zeichnung rechts f(3) = -2 und g(3) = -2 entnehmen.

Also gilt h(3)= f(3)⋅g(3) = ( - 2 )( - 2 ) = 4

Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)

Also h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3)

Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=3 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(3) als auch g'(3) als Steigung m=2 der Geraden ablesen, also gilt f'(3) = g'(3) = 2.

Somit gilt:
h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3)
= 2( - 2 ) + ( - 2 )2
= -8.