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Fläche mit Integral berechnen
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f mit (blaue Kurve).
Berechne den Inhalt der (orange) eingefärbten Fläche.
Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die Extrempunkte ...
,
,
,
,
... und die Wendepunkte bei ...
,
Also sind die Intervallgrenzen der gesuchten Fläche bei a= und b= und die Nullstelle von f im eingefärbten Bereich bei x= .
Da eine der beiden Teilflächen unter und die andere über der x-Achse liegt, haben die zugehörigen orientierten Flächeninhalte verschiedene Vorzeichen und würden sich gegenseitig teilweise aufheben, wenn man einfach das Integral von bis berechnen würde.
Deswegen müssen wir die beiden Teilflächen separat berechnen und dann deren Flächeninhalte addieren:
=
=
=
=
=
=
=
=
Für den gesuchten Flächeninhalt gilt somit:
Ages = |A1| + |A2| = + = .
Fläche zw. Kurve und x-Achse
Beispiel:
Der Graph der Funktion f mit schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.
Berechne deren Inhalt.Zuerst muss man die Nullstellen von f berechnen. Dazu setzt man einfach den Funktionsterm gleich Null:
=
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x1 | = |
2. Fall:
= | | | ||
x2 | = |
Damit haben wir die Grenzen der Fläche, die wir auch als Grenzen in das Integral einsetzen müssen:
=
=
=
=
=
=
≈ -0,333
Da Flächeninhalte (im Gegensatz zur Änderung eines Bestands) immer positiv sein müssen gilt somit für den gesuchten Flächeninhalt:
A = .
Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen
Beispiel:
Gegeben sind die Funktionen f mit und g mit .
Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen a = -1 und b = 1 von den beiden Graphen eingeschlossen wird.
Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen und so überprüfen, ob eine (oder mehrere) der Schnittstellen im Intervall [-1;1] liegen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:
= | | | ||
= | |⋅ 2 | ||
= | | | ||
= | |||
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x1 | = |
2. Fall:
= | | | ||
= | |:() | ||
x2 | = |
Man erkennt, dass die Schnittstelle 0 zwischen a = -1 und b = 1 liegt. Das bedeutet, dass die Differenzfunktion (die nachher im Integral steht) bei x = 0 ihr Vorzeichen wechselt.
Das bedeutet, dass die Flächen zwischen den Kurven links und rechts von x = 0 jeweils orientierte Flächeninhalte mit unterschiedlichen Vorzeichen haben. Würde man jetzt einfach das Integral von -1 bis 1 berechnen, würden sich die orientierten Flächeninhalte gegenseitig teilweise aufheben.
Deswegen muss man die orientierten Flächeninhalte einzeln ausrechnen und dann ihre Beträge addieren:
A1 =
=
=
=
=
=
=
≈ 1,333
A2 =
=
=
=
=
=
≈ -0,667
Für die gesuchte Fläche gilt somit:
Ages = |A1| + |A2| = + = .
Fläche zwischen zwei Kurven BF
Beispiel:
Die beiden Funktion f und g mit f(x)= und g(x)= schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.
Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:
=
= | | |
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
= =
x2 =
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 57,167
Fläche zwischen zwei Kurven
Beispiel:
Die beiden Funktion f und g mit f(x)=
Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:
D=R\{
Wir multiplizieren den Nenner
|
= |
|
|⋅(
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
x2 =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ -0,037
zusammengesetzte Flächen 1
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f mit
An diesen wird bei x =
Der Graph von f, die Tangente und die positive x-Achse schließen eine Fläche ein. Berechne deren Inhalt.
Berechnung der Tangenten: y=
-
2
3
x
+
26
3
Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, unterteilen wir die Fläche in zwei Abschnitte:
1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)
Zwischen x1 =
Für die Schnittstelle von f mit der x-Achse setzen wir
|
= | |
|
|
|
= | |⋅
|
|
|
= | |
|
|
x1 | = |
|
=
|
x2 | = |
|
=
|
Wir berechnen also die linke Fläche als Fläche zwischen den zwei Graphen zwischen x1 =
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 7,111
Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)
Diese hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und man kann somit den Flächneinhalt als A2 =
Für die Breite braucht man den Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse:
|
= | |⋅ 3 | |
|
= | ||
|
= | |
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Somit erhält man für die Breite b=
Die Höhe ist ja einfach der y-Wert der Tangente an der Stelle 5, also h =
Wir erhalten somit als Flächeninhalt für die Dreiecksfläche:
A2 =
Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:
Ages = A1 + A2 = 7.111 + 21.333 = 28.444.
(Alternative Berechnung einblenden)
zusammengesetzte Flächen 2
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f mit
Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.
1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :
Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=5 und y=3.
Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:
A1 = 5 ⋅ 3 = 15
Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:
Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=3 und
Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:
|
= | |: |
|
|
= | |ln(⋅) | |
|
= |
|
= | |
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:
=
=
=
=
=
=
=
≈ 1,104
Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:
Ages = A1 - A2 = 15 - 1.104 = 13.896.
(Alternative Berechnung einblenden)
zusammengesetzte Flächen 3
Beispiel:
Gezeichnet sind die Graphen von f mit
Die Graphen von f und g, schließen mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche ein. Berechne deren Inhalt.
Um den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir die Nullstelle von g und die Schnittstelle der beiden Graphen:
Nullstelle von g(x): g(x)=0
|
= | |
|
|
|
= | |⋅ |
|
|
= | |
|
|
x1 | = |
|
=
|
x2 | = |
|
=
|
Die Schnittstelle von g(x) mit der positiven x-Achse ist also bei x=3.
Schnittstelle von f(x) und g(x): f(x) = g(x)
|
= |
|
|⋅ 5 |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Die Schnittstelle von f(x) und g(x) im 1. Quadrant ist somit bei x=4.
Jetzt unterteilen wir die gesuchte Fläche in eine Teilfläche A1 bis zur Nullstelle von g (grün eingefärbt) und A2 zwischen dieser Nullstelle und der Schnittstelle von f und g (orange eingefärbt):
1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)
Diesen Flächeninhalt kann man einfach als den Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse berechnen, also :
=
=
=
=
=
= 10,2
2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)
Diesen Flächeninhalt kann man mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen den zwei Graphen von und g berechnen:
A2 =
=
=
=
=
=
=
= 1,8
Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:
Ages = A1 + A2 = 10.2 + 1.8 = 12.
(Alternative Berechnung einblenden)
zusammengesetzte Flächen 2
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f mit
Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.
1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :
Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=2 und y=4.
Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:
A1 = 2 ⋅ 4 = 8
Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:
Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=4 und
Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:
D=R\{
Wir multiplizieren den Nenner
|
= |
|
|⋅(
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
= | |:
|
|
|
= | |
|
|
x1 | = |
|
=
|
x2 | = |
|
=
|
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:
=
=
=
=
=
=
=
Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:
Ages = A1 - A2 = 8 - 2 = 6.
(Alternative Berechnung einblenden)
zusammengesetzte Flächen (rückwärts)
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f mit
Im Punkt B(u|f(u)) (u>0) wird eine Tangente t an den Graph von f angelegt.
Der Graph von f, die Tangente t und die positive x-Achse schließen eine Fläche mit dem Inhalt
Berechnung der Tangenten: y=
3
70
u
2
x
-
1
35
u
3
Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, subtrahieren wir die Dreiecksfläche (im Schaubild grüne Fläche) unter der Tangente von der Fläche unter dem Graph von f (im Schaubild orange Fläche):
Für die orange Dreiecksfläche brauchen wir aber noch die Schnittstelle der Tangente mit der x-Achse. Hierfür setzen wir
|
= | |⋅ 70 | |
|
= | ||
|
= | | - (
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Somit erhalten wir u -
Für die andere Kathete (in y-Richtung) können wir ja einfach den Funktionswert f(u) =
Als Flächeninhalt des grünen Dreiecks unter der Tangente erhalten wir also
A2 =
Jetzt berechnen wir noch die (orange) Fläche unter dem Graph von f: A1 =
=
=
=
=
=
Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:
Ages = A1 - A2 =
Da dieser ja gerade den Wert
|
= | |⋅ |
|
|
= | |
|
|
u1 | = |
|
=
|
u2 | = |
|
=
|
Der gesuchte Wert für u ist somit u = 4
Fläche zw. Graph und dem der Umkehrfkt.
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit
Bestimme ein möglichst großes Intervall (mit möglichst vielen positiven x-Werten), auf dem f umkehrbar ist.
Die Graph von f schließt mit dem Graph seiner Umkehrfunktion
Maximaler umkehrbarer Definitionsbereich
Für einen möglichst großen umkehrbaren Definitionsbereich müssen wir wissen, wo f monoton steigend und wo monoton fallend ist. Dazu betrachten wir die Ableitung:
Wenn wir f ableiten, erhalten wir:
Wenn wir nun f'(x) = 0 setzen, erhalten wir:
|
= | |⋅ 5 | |
|
= | ||
|
= | |
|
|
|
= |
|
Und weil das die einzige Nullstelle der Ableitungsfunktion ist, und f keine Definitionslücken hat, ist f jeweils für x ≤ -1 und für x ≥ -1 für streng monoton und somit umkehrbar.
Der gesuchte umkehrbare Bereich ist somit {x ∈ ℝ| x ≥ -1}.
Da die Graphen von f und deren Umkehrfunktion eine Fläche einschließen, müssen sie auch Schnittpunkte haben, die wir nun berechnen
Theoretisch könnte man zuerst den Term der Umkehrfunktion bestimmen und dann die beiden Terme gleichsetzen.
Da aber beim Schnittpunkt der Graphen von Funktion und Umkehrfunktion
der x- und der y-Wert immer gleich sein müssen, können wir auch einfach den Schnittpunkt des Graphen von f mit der 1. Winkelhalbierenden (y = x) berechnen
(siehe auch am Schaubild rechts).
|
= |
|
|⋅ 10 |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Jetzt haben wir also die beiden Schnittpunkte S1(
- 1
|
- 1
) und S2(
9
|
9
)
und damit die Grenzen des gesuchten Integrals
Auch hier können wir wieder aus Symmetriegründen auf eine Bestimmung des Funktionsterms der Umkehrfunktion verzichten und stattdessen einfach den doppelten Inhalt der Fläche nehmen, die vom Graph von f und der 1. Winkelhalbierenden eingeschlossen wird:
I =
Wir berechnen erst mal die halbe Fläche:
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 16,667
Für die doppelte Fläche gilt somit:
I =