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Fläche mit Integral berechnen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 2$ (blaue Kurve).

Berechne den Inhalt der (orange) eingefärbten Fläche.

Da eine der beiden Teilflächen unter und die andere über der x-Achse liegt, haben die zugehörigen orientierten Flächeninhalte verschiedene Vorzeichen und würden sich gegenseitig teilweise aufheben, wenn man einfach das Integral von 0 bis 3 berechnen würde.

Deswegen müssen wir die beiden Teilflächen separat berechnen und dann deren Flächeninhalte addieren:

A₁ =

\int_{0}^{2} (- \frac{1}{2} x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{3} + 2 x]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2 - (- \frac{1}{6} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{6} \cdot 8 + 4 - (- \frac{1}{6} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{4}{3} + 4 - (0 + 0)$

= $- \frac{4}{3} + \frac{12}{3} + 0$

= $\frac{8}{3}$

≈ 2,667

A₂ =

\int_{2}^{3} (- \frac{1}{2} x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{3} + 2 x]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3 - (- \frac{1}{6} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2)$

= $- \frac{1}{6} \cdot 27 + 6 - (- \frac{1}{6} \cdot 8 + 4)$

= $- \frac{9}{2} + 6 - (- \frac{4}{3} + 4)$

= $- \frac{9}{2} + \frac{12}{2} - (- \frac{4}{3} + \frac{12}{3})$

= $\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{8}{3}$

= $\frac{3}{2} - \frac{8}{3}$

= $\frac{9}{6} - \frac{16}{6}$

= $- \frac{7}{6}$

≈ -1,167

Für den gesuchten Flächeninhalt gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $\frac{8}{3}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{23}{6}$ ≈ 3.83.

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 3 x$ schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.

Berechne deren Inhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Nullstellen von f berechnen. Dazu setzt man einfach den Funktionsterm gleich Null:

$- 3 x^{2} + 3 x$ = 0

$- 3 x^{2} + 3 x$	=	0
$3 x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

Damit haben wir die Grenzen der Fläche, die wir auch als Grenzen in das Integral einsetzen müssen:

A =

\int_{0}^{1} (- 3 x^{2} + 3 x) ⅆ x

= ${[- x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $- 1^{3} + \frac{3}{2} \cdot 1^{2} - (- 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2})$

= $- 1 + \frac{3}{2} \cdot 1 - (- 0 + \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $- 1 + \frac{3}{2} - (0 + 0)$

= $- \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + 0$

= $\frac{1}{2}$

= 0,5

Somit gilt für den gesuchten Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ .

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{5}{2} x$ und g mit $g(x) =$ $- \frac{1}{2} x$ .

Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen a = 1 und b = 3 von den beiden Graphen eingeschlossen wird.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen und so überprüfen, ob eine (oder mehrere) der Schnittstellen im Intervall [1;3] liegen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$- \frac{1}{2} x$	=	$x^{2} - \frac{5}{2} x$	\|⋅ 2
$- x$	=	$2 (x^{2} - \frac{5}{2} x)$
$- x$	=	$2 x^{2} - 5 x$	\| $- (2 x^{2} - 5 x)$
$- 2 x^{2} - x + 5 x$	=	0
$- 2 x^{2} + 4 x$	=	0
$2 x (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

Man erkennt, dass die Schnittstelle 2 zwischen a = 1 und b = 3 liegt. Das bedeutet, dass die Differenzfunktion (die nachher im Integral steht) $x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{1}{2} x$ bei x = 2 ihr Vorzeichen wechselt.

Das bedeutet, dass die Flächen zwischen den Kurven links und rechts von x = 2 jeweils orientierte Flächeninhalte mit unterschiedlichen Vorzeichen haben. Würde man jetzt einfach das Integral von 1 bis 3 berechnen, würden sich die orientierten Flächeninhalte gegenseitig teilweise aufheben.

Deswegen muss man die orientierten Flächeninhalte einzeln ausrechnen und dann ihre Beträge addieren:

A₁ = $\int_{1}^{2} (x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{1}{2} x) ⅆ x$

=

\int_{1}^{2} (x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot 8 - 4 - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 1)$

= $\frac{8}{3} - 4 - (\frac{1}{3} - 1)$

= $\frac{8}{3} - \frac{12}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{3}{3})$

= $- \frac{4}{3} - 1 \cdot (- \frac{2}{3})$

= $- \frac{4}{3} + \frac{2}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

A₂ = $\int_{2}^{3} (x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{1}{2} x) ⅆ x$

=

\int_{2}^{3} (x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 3^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot 27 - 9 - (\frac{1}{3} \cdot 8 - 4)$

= $9 - 9 - (\frac{8}{3} - 4)$

= $0 - (\frac{8}{3} - \frac{12}{3})$

= $0 - 1 \cdot (- \frac{4}{3})$

= $0 + \frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $\frac{2}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $2$ .

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= $3 x^{2} + 5 x - 3$ und g(x)= $4 x^{2} - 2 x + 3$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$4 x^{2} - 2 x + 3$ = $3 x^{2} + 5 x - 3$

4 x^{2} - 2 x + 3

=

3 x^{2} + 5 x - 3

|

- 3 x^{2}

- 5 x

+ 3

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Wir brauchen also das Integral im Interval [

1

;

6

].

A=

\int_{1}^{6} (3 x^{2} + 5 x - 3) ⅆ x

-

\int_{1}^{6} (4 x^{2} - 2 x + 3) ⅆ x

=

\int_{1}^{6} (3 x^{2} + 5 x - 3 - (4 x^{2} - 2 x + 3)) ⅆ x

=

\int_{1}^{6} (3 x^{2} + 5 x - 3 - 4 x^{2} + 2 x - 3) ⅆ x

=

\int_{1}^{6} (- x^{2} + 7 x - 6) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2} - 6 x]}_{1}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + \frac{7}{2} \cdot 6^{2} - 6 \cdot 6 - (- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{7}{2} \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 216 + \frac{7}{2} \cdot 36 - 36 - (- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{7}{2} \cdot 1 - 6)$

= $- 72 + 126 - 36 - (- \frac{1}{3} + \frac{7}{2} - 6)$

= $18 - (- \frac{2}{6} + \frac{21}{6} - \frac{36}{6})$

= $18 - 1 \cdot (- \frac{17}{6})$

= $18 + \frac{17}{6}$

= $\frac{108}{6} + \frac{17}{6}$

= $\frac{125}{6}$

≈ 20,833

Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.

also A= $\frac{125}{6}$ ≈ 20.833

Fläche zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= $2 x^{3} + x^{2} + 5 x - 4$ und g(x)= $2 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 6$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 6$ = $2 x^{3} + x^{2} + 5 x - 4$

2 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 6

=

2 x^{3} + x^{2} + 5 x - 4

|

- 2 x^{3}

- x^{2}

- 5 x

+ 4

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Wir brauchen also das Integral im Interval [

- 2

;

1

].

A=

\int_{- 2}^{1} (2 x^{3} + x^{2} + 5 x - 4) ⅆ x

-

\int_{- 2}^{1} (2 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 6) ⅆ x

=

\int_{- 2}^{1} (2 x^{3} + x^{2} + 5 x - 4 - (2 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 6)) ⅆ x

=

\int_{- 2}^{1} (2 x^{3} + x^{2} + 5 x - 4 - 2 x^{3} - 2 x^{2} - 6 x + 6) ⅆ x

=

\int_{- 2}^{1} (- x^{2} - x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x]}_{- 2}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 + 2 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 8) - \frac{1}{2} \cdot 4 - 4)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - (\frac{8}{3} - 2 - 4)$

= $- \frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} - (\frac{8}{3} - \frac{6}{3} - \frac{12}{3})$

= $\frac{7}{6} - 1 \cdot (- \frac{10}{3})$

= $\frac{7}{6} + \frac{10}{3}$

= $\frac{7}{6} + \frac{20}{6}$

= $\frac{9}{2}$

= 4,5

Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.

also A= $\frac{9}{2}$ ≈ 4.5

zusammengesetzte Flächen 1

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{9}{2}$ (rote Kurve).

An diesen wird bei x = $1$ eine Tangente angelegt.

Der Graph von f, die Tangente und die positive x-Achse schließen eine Fläche ein. Berechne deren Inhalt.

Lösung einblenden

Berechnung der Tangenten: y= $- x + 5$

(Detail-Rechnung einblenden)

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{9}{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- x + 0$

= $- x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \frac{9}{2}$ = $- \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{9}{2}$ = $- \frac{1}{2} + \frac{9}{2}$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $- 1$ ⋅ $1$ + c

$4$ = $- 1$ + c | + $1$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅x + $5$

Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, unterteilen wir die Fläche in zwei Abschnitte:

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Zwischen x₁ = $1$ und der Schnittstelle von f mit der x-Achse können wir die Fläche mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen zwei Graphen berechnen:

Für die Schnittstelle von f mit der x-Achse setzen wir $- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{9}{2}$ = 0

$- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{9}{2}$	=	0	\| $- \frac{9}{2}$
$- \frac{1}{2} x^{2}$	=	$- \frac{9}{2}$	\|⋅ $(- 2)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Wir berechnen also die linke Fläche als Fläche zwischen den zwei Graphen zwischen x₁ = $1$ und x₂ = 3.

$\int_{1}^{3} (- x + 5 - (- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{9}{2})) ⅆ x$

= $\int_{1}^{3} (- x + 5 + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{9}{2}) ⅆ x$

=

\int_{1}^{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{1}{2}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot 3^{3} - \frac{1}{2} \cdot 3^{2} + \frac{1}{2} \cdot 3 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{3} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $\frac{1}{6} \cdot 27 - \frac{1}{2} \cdot 9 + \frac{3}{2} - (\frac{1}{6} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2})$

= $\frac{9}{2} - \frac{9}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

= $\frac{3}{2} - (\frac{1}{6} - \frac{3}{6} + \frac{3}{6})$

= $\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{1}{6}$

= $\frac{3}{2} - \frac{1}{6}$

= $\frac{9}{6} - \frac{1}{6}$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Diese hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und man kann somit den Flächneinhalt als A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ Breite ⋅ Höhe berechnen.

Für die Breite braucht man den Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse:

$- x + 5$	=	0	\| $- 5$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

Somit erhält man für die Breite b= $5$ - 3 = 2

Die Höhe ist ja einfach der y-Wert der Tangente an der Stelle 3, also h = $- 3 + 5$ = 2

Wir erhalten somit als Flächeninhalt für die Dreiecksfläche:

A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ 2 ⋅ 2 = 2.

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 1.333 + 2 = 3.333.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz des großen Dreiecks (gelb und grün zusammen) und der Fläche unter f (gelb) berechnen:

1. großes Dreieck gelb und grün zusammen):

A₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅ ( $5$ - $1$ ) ⋅ f( $1$ )

= $\frac{1}{2}$ ⋅ 4 ⋅ 4

=8

2. Fläche unter f (gelb):

A₂ =

\int_{1}^{3} (- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{9}{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{3} + \frac{9}{2} x]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot 3^{3} + \frac{9}{2} \cdot 3 - (- \frac{1}{6} \cdot 1^{3} + \frac{9}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{1}{6} \cdot 27 + \frac{27}{2} - (- \frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{9}{2})$

= $- \frac{9}{2} + \frac{27}{2} - (- \frac{1}{6} + \frac{9}{2})$

= $9 - (- \frac{1}{6} + \frac{27}{6})$

= $9 - 1 \cdot \frac{13}{3}$

= $9 - \frac{13}{3}$

= $\frac{27}{3} - \frac{13}{3}$

= $\frac{14}{3}$

≈ 4,667

A_ges = A₁ - A₂ = 8 - 4.667 = 3.333.

zusammengesetzte Flächen 2

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x + 4}$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=6 und y=3.

Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:

A₁ = 6 ⋅ 3 = 18

Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:

Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=3 und $f(x) =$ $3 e^{- x + 4}$ (im Schaubild orange eingefärbt):

Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:

$3 e^{- x + 4}$	=	$3$	\|: $3$
$e^{- x + 4}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- x + 4$	=	0

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:

A₂ =

\int_{4}^{6} (3 - 3 e^{- x + 4}) ⅆ x

= ${[3 x + 3 e^{- x + 4}]}_{4}^{6}$

$=$ $3 \cdot 6 + 3 e^{- 6 + 4} - (3 \cdot 4 + 3 e^{- 4 + 4})$

= $18 + 3 e^{- 6 + 4} - (12 + 3 e^{- 4 + 4})$

= $18 + 3 e^{- 2} - (12 + 3 e^{0})$

= $3 e^{- 2} + 18 - (12 + 3)$

= $3 e^{- 2} + 18 - 1 \cdot 15$

= $3 e^{- 2} + 18 - 15$

= $3 e^{- 2} + 3$

≈ 3,406

Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ - A₂ = 18 - 3.406 = 14.594.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Summe des kleineren (gelben) Rechtecks und der (grün eingefärbten) Fläche unter f berechnen:

A₁ = 4 ⋅ 3 = 12 (gelbes Rechteck)

A₂ =

\int_{4}^{6} 3 e^{- x + 4} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 4}]}_{4}^{6}$

$=$ $- 3 e^{- 6 + 4} + 3 e^{- 4 + 4}$

= $- 3 e^{- 2} + 3 e^{0}$

= $- 3 e^{- 2} + 3$

≈ 2,594 (grüne Fläche)

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 12 + 2.594 = 14.594.

zusammengesetzte Flächen 3

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{4}{5} x + \frac{24}{5}$ (rote Kurve) und g mit $g(x) =$ $\frac{2}{5} x^{2} - \frac{8}{5}$ (blaue Kurve).

Die Graphen von f und g, schließen mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche ein. Berechne deren Inhalt.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir die Nullstelle von g und die Schnittstelle der beiden Graphen:

Nullstelle von g(x): g(x)=0

$\frac{2}{5} x^{2} - \frac{8}{5}$	=	0	\| $+ \frac{8}{5}$
$\frac{2}{5} x^{2}$	=	$\frac{8}{5}$	\|⋅ $\frac{5}{2}$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Die Schnittstelle von g(x) mit der positiven x-Achse ist also bei x=2.

Schnittstelle von f(x) und g(x): f(x) = g(x)

$- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{4}{5} x + \frac{24}{5}$	=	$\frac{2}{5} x^{2} - \frac{8}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{4}{5} x + \frac{24}{5})$	=	$5 (\frac{2}{5} x^{2} - \frac{8}{5})$
$- x^{2} + 4 x + 24$	=	$2 x^{2} - 8$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 8$

$- 3 x^{2} + 4 x + 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 32}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 384}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{400}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{400}}{- 6}$ = $\frac{- 4+20}{- 6}$ = $\frac{16}{- 6}$ = $- \frac{8}{3}$ ≈ -2.67

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{400}}{- 6}$ = $\frac{- 4-20}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 4 x + 32$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{32}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{32}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{32}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{96}{9}$ = $\frac{100}{9}$

x_1,2 = $\frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{100}{9}}$

x₁ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{10}{3}$ = $- \frac{8}{3}$ = -2.6666666666667

x₂ = $\frac{2}{3}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

Die Schnittstelle von f(x) und g(x) im 1. Quadrant ist somit bei x=4.

Jetzt unterteilen wir die gesuchte Fläche in eine Teilfläche A₁ bis zur Nullstelle von g (grün eingefärbt) und A₂ zwischen dieser Nullstelle und der Schnittstelle von f und g (orange eingefärbt):

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man einfach als den Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse berechnen, also :

A₁=

\int_{0}^{2} (- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{4}{5} x + \frac{24}{5}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{15} x^{3} + \frac{2}{5} x^{2} + \frac{24}{5} x]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{15} \cdot 2^{3} + \frac{2}{5} \cdot 2^{2} + \frac{24}{5} \cdot 2 - (- \frac{1}{15} \cdot 0^{3} + \frac{2}{5} \cdot 0^{2} + \frac{24}{5} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{15} \cdot 8 + \frac{2}{5} \cdot 4 + \frac{48}{5} - (- \frac{1}{15} \cdot 0 + \frac{2}{5} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{8}{15} + \frac{8}{5} + \frac{48}{5} - (0 + 0 + 0)$

= $- \frac{8}{15} + \frac{24}{15} + \frac{144}{15} + 0$

= $\frac{32}{3}$

≈ 10,667

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen den zwei Graphen von und g berechnen:

A₂ = $\int_{2}^{4} (- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{4}{5} x + \frac{24}{5} - (\frac{2}{5} x^{2} - \frac{8}{5})) ⅆ x$

=

\int_{2}^{4} (- \frac{3}{5} x^{2} + \frac{4}{5} x + \frac{32}{5}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{5} x^{3} + \frac{2}{5} x^{2} + \frac{32}{5} x]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{5} \cdot 4^{3} + \frac{2}{5} \cdot 4^{2} + \frac{32}{5} \cdot 4 - (- \frac{1}{5} \cdot 2^{3} + \frac{2}{5} \cdot 2^{2} + \frac{32}{5} \cdot 2)$

= $- \frac{1}{5} \cdot 64 + \frac{2}{5} \cdot 16 + \frac{128}{5} - (- \frac{1}{5} \cdot 8 + \frac{2}{5} \cdot 4 + \frac{64}{5})$

= $- \frac{64}{5} + \frac{32}{5} + \frac{128}{5} - (- \frac{8}{5} + \frac{8}{5} + \frac{64}{5})$

= $\frac{96}{5} - 1 \cdot \frac{64}{5}$

= $\frac{96}{5} - \frac{64}{5}$

= $\frac{32}{5}$

= 6,4

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 10.667 + 6.4 = 17.067.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz der großen Fläche A₁ unter f zwischen x=0 und x=4 (gelb und grün zusammen) und der Fläche A₂ zwischen f und g im Intervall [2;4] (gelb eingefärbt) berechnen:

1. große Fläche (gelb und grün zusammen):

A₁=

\int_{0}^{4} (- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{4}{5} x + \frac{24}{5}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{15} x^{3} + \frac{2}{5} x^{2} + \frac{24}{5} x]}_{0}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{15} \cdot 4^{3} + \frac{2}{5} \cdot 4^{2} + \frac{24}{5} \cdot 4 - (- \frac{1}{15} \cdot 0^{3} + \frac{2}{5} \cdot 0^{2} + \frac{24}{5} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{15} \cdot 64 + \frac{2}{5} \cdot 16 + \frac{96}{5} - (- \frac{1}{15} \cdot 0 + \frac{2}{5} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{64}{15} + \frac{32}{5} + \frac{96}{5} - (0 + 0 + 0)$

= $- \frac{64}{15} + \frac{96}{15} + \frac{288}{15} + 0$

= $\frac{64}{3}$

≈ 21,333

2. Fläche zwischen f und g (gelb):

A₂=

\int_{2}^{4} (\frac{2}{5} x^{2} - \frac{8}{5}) ⅆ x

= ${[\frac{2}{15} x^{3} - \frac{8}{5} x]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{2}{15} \cdot 4^{3} - \frac{8}{5} \cdot 4 - (\frac{2}{15} \cdot 2^{3} - \frac{8}{5} \cdot 2)$

= $\frac{2}{15} \cdot 64 - \frac{32}{5} - (\frac{2}{15} \cdot 8 - \frac{16}{5})$

= $\frac{128}{15} - \frac{32}{5} - (\frac{16}{15} - \frac{16}{5})$

= $\frac{128}{15} - \frac{96}{15} - (\frac{16}{15} - \frac{48}{15})$

= $\frac{32}{15} - 1 \cdot (- \frac{32}{15})$

= $\frac{32}{15} + \frac{32}{15}$

= $\frac{64}{15}$

≈ 4,267

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ - A₂ = 21.333 - 4.267 = 17.067.

zusammengesetzte Flächen 3

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 3$ (rote Kurve) und g mit $g(x) =$ $x^{2} - 9$ (blaue Kurve).

Die Graphen von f und g, schließen mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche ein. Berechne deren Inhalt.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir die Nullstelle von g und die Schnittstelle der beiden Graphen:

Nullstelle von g(x): g(x)=0

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Die Schnittstelle von g(x) mit der positiven x-Achse ist also bei x=3.

Schnittstelle von f(x) und g(x): f(x) = g(x)

$- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 3$	=	$x^{2} - 9$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 3)$	=	$2 (x^{2} - 9)$
$- x^{2} + 6 x + 6$	=	$2 x^{2} - 18$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 18$

- 3 x^{2} + 6 x + 24

= 0 |:3

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Die Schnittstelle von f(x) und g(x) im 1. Quadrant ist somit bei x=4.

Jetzt unterteilen wir die gesuchte Fläche in eine Teilfläche A₁ bis zur Nullstelle von g (grün eingefärbt) und A₂ zwischen dieser Nullstelle und der Schnittstelle von f und g (orange eingefärbt):

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man einfach als den Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse berechnen, also :

A₁=

\int_{0}^{3} (- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 3 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot 3^{3} + \frac{3}{2} \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 - (- \frac{1}{6} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{6} \cdot 27 + \frac{3}{2} \cdot 9 + 9 - (- \frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{9}{2} + \frac{27}{2} + 9 - (0 + 0 + 0)$

= $- \frac{9}{2} + \frac{27}{2} + \frac{18}{2} + 0$

= $18$

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen den zwei Graphen von und g berechnen:

A₂ = $\int_{3}^{4} (- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 3 - (x^{2} - 9)) ⅆ x$

=

\int_{3}^{4} (- \frac{3}{2} x^{2} + 3 x + 12) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 12 x]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 4^{3} + \frac{3}{2} \cdot 4^{2} + 12 \cdot 4 - (- \frac{1}{2} \cdot 3^{3} + \frac{3}{2} \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 64 + \frac{3}{2} \cdot 16 + 48 - (- \frac{1}{2} \cdot 27 + \frac{3}{2} \cdot 9 + 36)$

= $- 32 + 24 + 48 - (- \frac{27}{2} + \frac{27}{2} + 36)$

= $40 - (- \frac{27}{2} + \frac{27}{2} + \frac{72}{2})$

= $40 - 1 \cdot 36$

= $40 - 36$

= $4$

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 18 + 4 = 22.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz der großen Fläche A₁ unter f zwischen x=0 und x=4 (gelb und grün zusammen) und der Fläche A₂ zwischen f und g im Intervall [3;4] (gelb eingefärbt) berechnen:

1. große Fläche (gelb und grün zusammen):

A₁=

\int_{0}^{4} (- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 3 x]}_{0}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot 4^{3} + \frac{3}{2} \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 - (- \frac{1}{6} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{6} \cdot 64 + \frac{3}{2} \cdot 16 + 12 - (- \frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{32}{3} + 24 + 12 - (0 + 0 + 0)$

= $- \frac{32}{3} + \frac{72}{3} + \frac{36}{3} + 0$

= $\frac{76}{3}$

≈ 25,333

2. Fläche zwischen f und g (gelb):

A₂=

\int_{3}^{4} (x^{2} - 9) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - 9 x]}_{3}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - 9 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

= $\frac{1}{3} \cdot 64 - 36 - (\frac{1}{3} \cdot 27 - 27)$

= $\frac{64}{3} - 36 - (9 - 27)$

= $\frac{64}{3} - \frac{108}{3} - 1 \cdot (- 18)$

= $- \frac{44}{3} + 18$

= $- \frac{44}{3} + \frac{54}{3}$

= $\frac{10}{3}$

≈ 3,333

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ - A₂ = 25.333 - 3.333 = 22.

zusammengesetzte Flächen (rückwärts)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{2}$ (rote Kurve).

Im Punkt B(u|f(u)) (u>0) wird eine Tangente t an den Graph von f angelegt.

Der Graph von f, die Tangente t und die positive x-Achse schließen eine Fläche mit dem Inhalt $\frac{9}{28}$ ≈ 0.321 ein. Berechne einen Wert für u.

Lösung einblenden

Berechnung der Tangenten: y= $\frac{2}{7} u x - \frac{1}{7} u^{2}$

(Detail-Rechnung einblenden)

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $\frac{2}{7} x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(u) =$ $\frac{2}{7} (u)$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{2}{7} u$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(u) =$ $\frac{1}{7} {(u)}^{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $u$ | $\frac{1}{7} u^{2}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{7} u^{2}$ = $\frac{2}{7} u$ ⋅ $u$ + c

$\frac{1}{7} u^{2}$ = $\frac{2}{7} u^{2}$ + c

$- \frac{1}{7} u^{2}$ = c

also c= $- \frac{1}{7} u^{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{2}{7} u$ ⋅x $- \frac{1}{7} u^{2}$

Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, subtrahieren wir die Dreiecksfläche (im Schaubild grüne Fläche) unter der Tangente von der Fläche unter dem Graph von f (im Schaubild orange Fläche):

Für die orange Dreiecksfläche brauchen wir aber noch die Schnittstelle der Tangente mit der x-Achse. Hierfür setzen wir $\frac{2}{7} u x - \frac{1}{7} u^{2}$ = 0

$\frac{2}{7} u x - \frac{1}{7} u^{2}$	=	0	\|⋅ 7
$7 (\frac{2}{7} u x - \frac{1}{7} u^{2})$	=	0
$2 u x - u^{2}$	=	0	\| - ( $- u^{2}$ )
$2 u x$	=	$u^{2}$	\|:( $2 u$ )
$x$	=	$\frac{1}{2} u$

Somit erhalten wir u - $\frac{1}{2} u$ = $\frac{1}{2} u$ für die Länge der Kathete auf der x-Achse des grünen Dreiecks.

Für die andere Kathete (in y-Richtung) können wir ja einfach den Funktionswert f(u) = $\frac{1}{7} u^{2}$ nehmen.

Als Flächeninhalt des grünen Dreiecks unter der Tangente erhalten wir also
A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2} u$ ⋅ $\frac{1}{7} u^{2}$ = $\frac{1}{28} u^{3}$

Jetzt berechnen wir noch die (orange) Fläche unter dem Graph von f: A₁ =

=

\int_{0}^{u} \frac{1}{7} x^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{21} x^{3}]}_{0}^{u}$

$=$ $\frac{1}{21} u^{3} - \frac{1}{21} \cdot 0^{3}$

= $\frac{1}{21} u^{3} - \frac{1}{21} \cdot 0$

= $\frac{1}{21} u^{3} + 0$

= $\frac{1}{21} u^{3}$

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ - A₂ = $\frac{1}{21} u^{3}$ - $\frac{1}{28} u^{3}$ = $\frac{1}{84} u^{3}$ .

Da dieser ja gerade den Wert $\frac{9}{28}$ annehmen soll, können wir nun so unser u bestimmen:

$\frac{1}{84} u^{3}$	=	$\frac{9}{28}$	\|⋅ $84$
$u^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$u$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Der gesuchte Wert für u ist somit u = 3

Fläche zw. Graph und dem der Umkehrfkt.

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{9} x^{2} + \frac{2}{3} x - 2$

Bestimme ein möglichst großes Intervall (mit möglichst vielen positiven x-Werten), auf dem f umkehrbar ist.
Die Graph von f schließt mit dem Graph seiner Umkehrfunktion $\bar{f}$ eine Fläche ein. Berechne den Inhalt dieser Fläche.

Lösung einblenden

Maximaler umkehrbarer Definitionsbereich

Für einen möglichst großen umkehrbaren Definitionsbereich müssen wir wissen, wo f monoton steigend und wo monoton fallend ist. Dazu betrachten wir die Ableitung:

Wenn wir f ableiten, erhalten wir:

$f'(x) =$ $\frac{2}{9} x + \frac{2}{3}$

Wenn wir nun f'(x) = 0 setzen, erhalten wir:

$\frac{2}{9} x + \frac{2}{3}$	=	0	\|⋅ 9
$9 (\frac{2}{9} x + \frac{2}{3})$	=	0
$2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Und weil das die einzige Nullstelle der Ableitungsfunktion ist, und f keine Definitionslücken hat, ist f jeweils für x ≤ -3 und für x ≥ -3 für streng monoton und somit umkehrbar.

Der gesuchte umkehrbare Bereich ist somit {x ∈ ℝ| x ≥ -3}.

Da die Graphen von f und deren Umkehrfunktion eine Fläche einschließen, müssen sie auch Schnittpunkte haben, die wir nun berechnen

Theoretisch könnte man zuerst den Term der Umkehrfunktion bestimmen und dann die beiden Terme gleichsetzen.
Da aber beim Schnittpunkt der Graphen von Funktion und Umkehrfunktion der x- und der y-Wert immer gleich sein müssen, können wir auch einfach den Schnittpunkt des Graphen von f mit der 1. Winkelhalbierenden (y = x) berechnen (siehe auch am Schaubild rechts).

$\frac{1}{9} x^{2} + \frac{2}{3} x - 2$	=	$x$	\|⋅ 9
$9 (\frac{1}{9} x^{2} + \frac{2}{3} x - 2)$	=	$9 x$
$x^{2} + 6 x - 18$	=	$9 x$	\| $- 9 x$

$x^{2} - 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Jetzt haben wir also die beiden Schnittpunkte S₁( $- 3$ | $- 3$ ) und S₂( $6$ | $6$ ) und damit die Grenzen des gesuchten Integrals

Auch hier können wir wieder aus Symmetriegründen auf eine Bestimmung des Funktionsterms der Umkehrfunktion verzichten und stattdessen einfach den doppelten Inhalt der Fläche nehmen, die vom Graph von f und der 1. Winkelhalbierenden eingeschlossen wird:

I = $\int_{- 3}^{6} |f(x) -\bar{f}(x)| ⅆ x$ = 2 ⋅ $\int_{- 3}^{6} (x - (\frac{1}{9} x^{2} + \frac{2}{3} x - 2)) ⅆ x$

Wir berechnen erst mal die halbe Fläche:

$\int_{- 3}^{6} (x - (\frac{1}{9} x^{2} + \frac{2}{3} x - 2)) ⅆ x$

=

\int_{- 3}^{6} (- \frac{1}{9} x^{2} + \frac{1}{3} x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{27} x^{3} + \frac{1}{6} x^{2} + 2 x]}_{- 3}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{27} \cdot 6^{3} + \frac{1}{6} \cdot 6^{2} + 2 \cdot 6 - (- \frac{1}{27} \cdot {(- 3)}^{3} + \frac{1}{6} \cdot {(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3))$

= $- \frac{1}{27} \cdot 216 + \frac{1}{6} \cdot 36 + 12 - (- \frac{1}{27} \cdot (- 27) + \frac{1}{6} \cdot 9 - 6)$

= $- 8 + 6 + 12 - (1 + \frac{3}{2} - 6)$

= $10 - (\frac{2}{2} + \frac{3}{2} - \frac{12}{2})$

= $10 - 1 \cdot (- \frac{7}{2})$

= $10 + \frac{7}{2}$

= $\frac{20}{2} + \frac{7}{2}$

= $\frac{27}{2}$

= 13,5

Für die doppelte Fläche gilt somit:

I = $\int_{- 3}^{6} |f(x) -\bar{f}(x)| ⅆ x$ = 2 ⋅ $\int_{- 3}^{6} (x - (\frac{1}{9} x^{2} + \frac{2}{3} x - 2)) ⅆ x$ = $27$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Fläche mit Integral berechnen

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Fläche zwischen zwei Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

zusammengesetzte Flächen 1

Berechnung der Tangenten: y= -x +5

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

zusammengesetzte Flächen 2

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

zusammengesetzte Flächen 3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

zusammengesetzte Flächen 3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

zusammengesetzte Flächen (rückwärts)

Berechnung der Tangenten: y= 2 7 u x - 1 7 u 2

Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, subtrahieren wir die Dreiecksfläche (im Schaubild grüne Fläche) unter der Tangente von der Fläche unter dem Graph von f (im Schaubild orange Fläche):

Fläche zw. Graph und dem der Umkehrfkt.

Maximaler umkehrbarer Definitionsbereich

Da die Graphen von f und deren Umkehrfunktion eine Fläche einschließen, müssen sie auch Schnittpunkte haben, die wir nun berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Jetzt haben wir also die beiden Schnittpunkte S1( -3 | -3 ) und S2( 6 | 6 ) und damit die Grenzen des gesuchten Integrals

Berechnung der Tangenten: y= $- x + 5$

Berechnung der Tangenten: y= $\frac{2}{7} u x - \frac{1}{7} u^{2}$

Jetzt haben wir also die beiden Schnittpunkte S₁( $- 3$ | $- 3$ ) und S₂( $6$ | $6$ ) und damit die Grenzen des gesuchten Integrals