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Fläche mit Integral berechnen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gezeichnet ist der Graph von f mit f(x)= 2 e -x -3 -2 (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (orange) eingefärbten Fläche.

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Da eine der beiden Teilflächen unter und die andere über der x-Achse liegt, haben die zugehörigen orientierte Flächeninhalte verschiedene Vorzeichen und würden sich gegenseitig teilweise aufheben, wenn man einfach das Integral von -4 bis -2 berechnen würde.

Deswegen müssen wird die beiden Teilflächen seperat berechnen und dann deren Flächeninhalte addieren:

A1 = -4 -3 ( 2 e -x -3 -2 ) x

= [ -2 e -x -3 -2x ] -4 -3

= -2 e -( -3 ) -3 -2( -3 ) - ( -2 e -( -4 ) -3 -2( -4 ) )

= -2 e 3 -3 +6 - ( -2 e 4 -3 +8 )

= -2 e 0 +6 - ( -2 e 1 +8 )

= -2 +6 - (-2e +8 )

= 4 - ( 8 -2e)

= -8 +2e +4

= -8 +4 +2e

= -4 +2e


≈ 1,437
A2 = -3 -2 ( 2 e -x -3 -2 ) x

= [ -2 e -x -3 -2x ] -3 -2

= -2 e -( -2 ) -3 -2( -2 ) - ( -2 e -( -3 ) -3 -2( -3 ) )

= -2 e 2 -3 +4 - ( -2 e 3 -3 +6 )

= -2 e -1 +4 - ( -2 e 0 +6 )

= -2 e -1 +4 - ( -2 +6 )

= -2 e -1 +4 -1 · 4

= -2 e -1 +4 -4

= -2 e -1 +0


≈ -0,736

Für den gesuchten Flächeninhalt gilt somit:

Ages = |A1| + |A2| = 1.437 + 0.736 = 2.173.

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 x 2 -2x schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.

Berechne deren Inhalt.

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Zuerst muss man die Nullstellen von f berechnen. Dazu setzt man einfach den Funktionsterm gleich Null:

2 x 2 -2x = 0

2 x 2 -2x = 0
2 x ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

Damit haben wir die Grenzen der Fläche, die wir auch als Grenzen in das Integral einsetzen müssen:

A = 0 1 ( 2 x 2 -2x ) x

= [ 2 3 x 3 - x 2 ] 0 1

= 2 3 1 3 - 1 2 - ( 2 3 0 3 - 0 2 )

= 2 3 1 - 1 - ( 2 3 0 - 0 )

= 2 3 -1 - (0+0)

= 2 3 - 3 3 +0

= - 1 3


≈ -0,333

Da Flächeninhalte (im Gegensatz zur Änderung eines Bestands) immer positiv sein müssen gilt somit für den gesuchten Flächeninhalt:

A = 1 3 .

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= x 2 - 7 2 x +1 und g mit g(x)= - 1 2 x +1 .

Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen a = -1 und b = 2 von den beiden Graphen eingeschlossen wird.

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Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen und so überprüfen, ob eine (oder mehrere) der Schnittstellen im Intervall [-1;2] liegen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

- 1 2 x +1 = x 2 - 7 2 x +1 | -1
- 1 2 x = x 2 - 7 2 x |⋅ 2
-x = 2( x 2 - 7 2 x ) | -2( x 2 - 7 2 x )
-2 x 2 - x +7x = 0
-2 x 2 +6x = 0
-2 x ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -3 = 0 | +3
x2 = 3

Man erkennt, dass die Schnittstelle 0 zwischen a = -1 und b = 2 liegt. Das bedeutet, dass die Differenzfunktion (die nachher im Integral steht) x 2 - 7 2 x +1 - ( - 1 2 x +1 ) bei x = 0 ihr Vorzeichen wechselt.

Das bedeutet, dass die Flächen zwischen den Kurven links und rechts von x = 0 jeweils orientierte Flächeninhalte mit unterschiedlichen Vorzeichen haben. Würde man jetzt einfach das Integral von -1 bis 2 berechnen, würden sich die orientierten Flächeninhalte gegenseitig teilweise aufheben.

Deswegen muss man die orientierten Flächeninhalte einzeln ausrechnen und dann ihre Beträge addieren:

A1 = -1 0 ( x 2 - 7 2 x +1 - ( - 1 2 x +1 ) ) x

= -1 0 ( x 2 -3x ) x

= [ 1 3 x 3 - 3 2 x 2 ] -1 0

= 1 3 0 3 - 3 2 0 2 - ( 1 3 ( -1 ) 3 - 3 2 ( -1 ) 2 )

= 1 3 0 - 3 2 0 - ( 1 3 ( -1 ) - 3 2 1 )

= 0+0 - ( - 1 3 - 3 2 )

= 0 - ( - 2 6 - 9 6 )

= -1 · ( - 11 6 )

= 11 6


≈ 1,833

A2 = 0 2 ( x 2 - 7 2 x +1 - ( - 1 2 x +1 ) ) x

= 0 2 ( x 2 -3x ) x

= [ 1 3 x 3 - 3 2 x 2 ] 0 2

= 1 3 2 3 - 3 2 2 2 - ( 1 3 0 3 - 3 2 0 2 )

= 1 3 8 - 3 2 4 - ( 1 3 0 - 3 2 0 )

= 8 3 -6 - (0+0)

= 8 3 - 18 3 +0

= - 10 3


≈ -3,333

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

Ages = |A1| + |A2| = 11 6 + 10 3 = 31 6 ≈ 5.17.

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= 4 x 3 -4 x 2 +3x +4 und g(x)= 4 x 3 -3 x 2 -5x +16 schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

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Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

4 x 3 -3 x 2 -5x +16 = 4 x 3 -4 x 2 +3x +4

4 x 3 -3 x 2 -5x +16 = 4 x 3 -4 x 2 +3x +4 | -4 x 3 +4 x 2 -3x -4

x 2 -8x +12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · 12 21

x1,2 = +8 ± 64 -48 2

x1,2 = +8 ± 16 2

x1 = 8 + 16 2 = 8 +4 2 = 12 2 = 6

x2 = 8 - 16 2 = 8 -4 2 = 4 2 = 2

Wir brauchen also das Integral im Interval [ 2 ; 6 ].
A= 2 6 ( 4 x 3 -4 x 2 +3x +4 ) x - 2 6 ( 4 x 3 -3 x 2 -5x +16 ) x
= 2 6 ( 4 x 3 -4 x 2 +3x +4 - ( 4 x 3 -3 x 2 -5x +16 ) ) x
= 2 6 ( 4 x 3 -4 x 2 +3x +4 -4 x 3 +3 x 2 +5x -16 ) x
= 2 6 ( - x 2 +8x -12 ) x

= [ - 1 3 x 3 +4 x 2 -12x ] 2 6

= - 1 3 6 3 +4 6 2 -126 - ( - 1 3 2 3 +4 2 2 -122 )

= - 1 3 216 +436 -72 - ( - 1 3 8 +44 -24 )

= -72 +144 -72 - ( - 8 3 +16 -24 )

= 0 - ( - 8 3 + 48 3 - 72 3 )

= 0 -1 · ( - 32 3 )

= 0 + 32 3

= 0 + 32 3

= 32 3


≈ 10,667
Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.
also A= 32 3 ≈ 10.667

Fläche zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= 4 x 2 -5x +1 und g(x)= 5 x 2 -5x -3 schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

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Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

5 x 2 -5x -3 = 4 x 2 -5x +1

5 x 2 -5x -3 = 4 x 2 -5x +1 | +3
5 x 2 -5x = 4 x 2 -5x +4 | -4 x 2 +5x
x 2 = 4 | 2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2
Wir brauchen also das Integral im Interval [ -2 ; 2 ].
A= -2 2 ( 4 x 2 -5x +1 ) x - -2 2 ( 5 x 2 -5x -3 ) x
= -2 2 ( 4 x 2 -5x +1 - ( 5 x 2 -5x -3 ) ) x
= -2 2 ( 4 x 2 -5x +1 -5 x 2 +5x +3 ) x
= -2 2 ( - x 2 +4 ) x

= [ - 1 3 x 3 +4x ] -2 2

= - 1 3 2 3 +42 - ( - 1 3 ( -2 ) 3 +4( -2 ) )

= - 1 3 8 +8 - ( - 1 3 ( -8 ) -8 )

= - 8 3 +8 - ( 8 3 -8 )

= - 8 3 + 24 3 - ( 8 3 - 24 3 )

= 16 3 -1 · ( - 16 3 )

= 16 3 + 16 3

= 32 3


≈ 10,667
Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.
also A= 32 3 ≈ 10.667

zusammengesetzte Flächen 2

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von f mit f(x)= 2 e -x +1 (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.

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1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=2 und y=2.

Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:

A1 = 2 ⋅ 2 = 4

Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:

Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=2 und f(x)= 2 e -x +1 (im Schaubild orange eingefärbt):

Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:

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2 e -x +1 = 2 |:2
e -x +1 = 1 |ln(⋅)
-x +1 = 0
-x +1 = 0 | -1
-x = -1 |:(-1 )
x = 1

Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:

A2 = 1 2 ( 2 -2 e -x +1 ) x

= [ 2x +2 e -x +1 ] 1 2

= 22 +2 e -2 +1 - ( 21 +2 e -1 +1 )

= 4 +2 e -2 +1 - ( 2 +2 e -1 +1 )

= 4 +2 e -1 - ( 2 +2 e 0 )

= 2 e -1 +4 - ( 2 +2 )

= 2 e -1 +4 -1 · 4

= 2 e -1 +4 -4

= 2 e -1 +0


≈ 0,736

Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:

Ages = A1 - A2 = 4 - 0.736 = 3.264.

(Alternative Berechnung einblenden)


zusammengesetzte Flächen 3

Beispiel:

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Gezeichnet sind die Graphen von f mit f(x)= - x 2 +4x +2 (rote Kurve) und g mit g(x)= x 2 -4 (blaue Kurve).

Die Graphen von f und g, schließen mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir die Nullstelle von g und die Schnittstelle der beiden Graphen:

Nullstelle von g(x): g(x)=0

x 2 -4 = 0 | +4
x 2 = 4 | 2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

Die Schnittstelle von g(x) mit der positiven x-Achse ist also bei x=2.

Schnittstelle von f(x) und g(x): f(x) = g(x)

- x 2 +4x +2 = x 2 -4 | - x 2 +4
-2 x 2 +4x +6 = 0 |:2

- x 2 +2x +3 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -2 ± 2 2 -4 · ( -1 ) · 3 2( -1 )

x1,2 = -2 ± 4 +12 -2

x1,2 = -2 ± 16 -2

x1 = -2 + 16 -2 = -2 +4 -2 = 2 -2 = -1

x2 = -2 - 16 -2 = -2 -4 -2 = -6 -2 = 3

Die Schnittstelle von f(x) und g(x) im 1. Quadrant ist somit bei x=3.

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Jetzt unterteilen wir die gesuchte Fläche in eine Teilfläche A1 bis zur Nullstelle von g (grün eingefärbt) und A2 zwischen dieser Nullstelle und der Schnittstelle von f und g (orange eingefärbt):

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man einfach als den Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse berechnen, also :

A1= 0 2 ( - x 2 +4x +2 ) x

= [ - 1 3 x 3 +2 x 2 +2x ] 0 2

= - 1 3 2 3 +2 2 2 +22 - ( - 1 3 0 3 +2 0 2 +20 )

= - 1 3 8 +24 +4 - ( - 1 3 0 +20 +0)

= - 8 3 +8 +4 - (0+0+0)

= - 8 3 + 24 3 + 12 3 +0

= 28 3


≈ 9,333

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen den zwei Graphen von und g berechnen:

A2 = 2 3 ( - x 2 +4x +2 - ( x 2 -4 ) ) x

= 2 3 ( -2 x 2 +4x +6 ) x

= [ - 2 3 x 3 +2 x 2 +6x ] 2 3

= - 2 3 3 3 +2 3 2 +63 - ( - 2 3 2 3 +2 2 2 +62 )

= - 2 3 27 +29 +18 - ( - 2 3 8 +24 +12 )

= -18 +18 +18 - ( - 16 3 +8 +12 )

= 18 - ( - 16 3 + 24 3 + 36 3 )

= 18 -1 · 44 3

= 18 - 44 3

= 54 3 - 44 3

= 10 3


≈ 3,333

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

Ages = A1 + A2 = 9.333 + 3.333 = 12.667.

(Alternative Berechnung einblenden)


zusammengesetzte Flächen schwer

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von f mit f(x)= - 1 2 x 2 + 9 2 (rote Kurve).

An diesen wird bei x = 1 eine Tangente angelegt.

Der Graph von f, die Tangente und die positive x-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Berechnung der Tangenten: y= -x +5

(Detail-Rechnung einblenden)


Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, unterteilen wir die Fläche in zwei Abschnitte:

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Zwischen x1 = 1 und der Schnittstelle von f mit der x-Achse können wir die Fläche mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen zwei Graphen berechnen:

Für die Schnittstelle von f mit der x-Achse setzen wir - 1 2 x 2 + 9 2 = 0

- 1 2 x 2 + 9 2 = 0 | - 9 2
- 1 2 x 2 = - 9 2 |⋅ ( -2 )
x 2 = 9 | 2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3
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Wir berechnen also die linke Fläche als Fläche zwischen den zwei Graphen zwischen x1 = 1 und x2 = 3.

1 3 ( -x +5 - ( - 1 2 x 2 + 9 2 ) ) x

= 1 3 ( -x +5 + 1 2 x 2 - 9 2 ) x

= 1 3 ( 1 2 x 2 - x + 1 2 ) x

= [ 1 6 x 3 - 1 2 x 2 + 1 2 x ] 1 3

= 1 6 3 3 - 1 2 3 2 + 1 2 3 - ( 1 6 1 3 - 1 2 1 2 + 1 2 1 )

= 1 6 27 - 1 2 9 + 3 2 - ( 1 6 1 - 1 2 1 + 1 2 )

= 9 2 - 9 2 + 3 2 - ( 1 6 - 1 2 + 1 2 )

= 4,5 -4,5 +1,5 - ( 1 6 - 3 6 + 3 6 )

= 1,5 -1 · 1 6

= 1,5 - 1 6

= 3 2 - 1 6

= 9 6 - 1 6

= 3 2 - 1 6

= 4 3


≈ 1,333

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Diese hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und man kann somit den Flächneinhalt als A2 = 1 2 ⋅ Breite ⋅ Höhe berechnen.

Für die Breite braucht man den Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse:

-x +5 = 0 | -5
-x = -5 |:(-1 )
x = 5

Somit erhält man für die Breite b= 5 - 3 = 2

Die Höhe ist ja einfach der y-Wert der Tangente an der Stelle 3, also h = -3 +5 = 2

Wir erhalten somit als Flächeninhalt für die Dreiecksfläche:

A2 = 1 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2.

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

Ages = A1 + A2 = 1.333 + 2 = 3.333.

(Alternative Berechnung einblenden)


zusammengesetzte Flächen 2

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gezeichnet ist der Graph von f mit f(x)= 4 x 2 (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.

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1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=2 und y=4.

Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:

A1 = 2 ⋅ 4 = 8

Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:

Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=4 und f(x)= 4 x 2 (im Schaubild orange eingefärbt):

Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:

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D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 2 weg!

4 x 2 = 4 |⋅( x 2 )
4 x 2 · x 2 = 4 · x 2
4 = 4 x 2
4 = 4 x 2 | -4 -4 x 2
-4 x 2 = -4 |: ( -4 )
x 2 = 1 | 2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:

A2 = 1 2 ( 4 - 4 x 2 ) x
= 1 2 ( 4 -4 x -2 ) x

= [ 4x +4 x -1 ] 1 2

= [ 4x + 4 x ] 1 2

= 42 + 4 2 - ( 41 + 4 1 )

= 8 +4( 1 2 ) - ( 4 +41 )

= 8 +2 - ( 4 +4 )

= 10 -1 · 8

= 10 -8

= 2

Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:

Ages = A1 - A2 = 8 - 2 = 6.

(Alternative Berechnung einblenden)