nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Fläche mit Integral berechnen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gezeichnet ist der Graph von f mit f(x)= 1 3 x 2 -3 (blaue Kurve).

Berechne den Inhalt der (orange) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

Da eine der beiden Teilflächen unter und die andere über der x-Achse liegt, haben die zugehörigen orientierten Flächeninhalte verschiedene Vorzeichen und würden sich gegenseitig teilweise aufheben, wenn man einfach das Integral von 0 bis 4 berechnen würde.

Deswegen müssen wir die beiden Teilflächen separat berechnen und dann deren Flächeninhalte addieren:

A1 = 0 3 ( 1 3 x 2 -3 ) x

= [ 1 9 x 3 -3x ] 0 3

= 1 9 3 3 -33 - ( 1 9 0 3 -30 )

= 1 9 27 -9 - ( 1 9 0 +0)

= 3 -9 - (0+0)

= -6 +0

= -6

A2 = 3 4 ( 1 3 x 2 -3 ) x

= [ 1 9 x 3 -3x ] 3 4

= 1 9 4 3 -34 - ( 1 9 3 3 -33 )

= 1 9 64 -12 - ( 1 9 27 -9 )

= 64 9 -12 - ( 3 -9 )

= 64 9 - 108 9 -1 · ( -6 )

= - 44 9 +6

= - 44 9 + 54 9

= 10 9


≈ 1,111

Für den gesuchten Flächeninhalt gilt somit:

Ages = |A1| + |A2| = 6 + 10 9 = 64 9 ≈ 7.11.

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 3 x 2 +6x schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.

Berechne deren Inhalt.

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Zuerst muss man die Nullstellen von f berechnen. Dazu setzt man einfach den Funktionsterm gleich Null:

3 x 2 +6x = 0

3 x 2 +6x = 0
3 x ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

Damit haben wir die Grenzen der Fläche, die wir auch als Grenzen in das Integral einsetzen müssen:

A = -2 0 ( 3 x 2 +6x ) x

= [ x 3 +3 x 2 ] -2 0

= 0 3 +3 0 2 - ( ( -2 ) 3 +3 ( -2 ) 2 )

= 0 +30 - ( ( -8 ) +34 )

= 0+0 - ( -8 +12 )

= 0 -1 · 4

= -4

Da Flächeninhalte (im Gegensatz zur Änderung eines Bestands) immer positiv sein müssen gilt somit für den gesuchten Flächeninhalt:

A = 4.

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= x 2 + 5 2 x +1 und g mit g(x)= 1 2 x +1 .

Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen a = -3 und b = -1 von den beiden Graphen eingeschlossen wird.

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen und so überprüfen, ob eine (oder mehrere) der Schnittstellen im Intervall [-3;-1] liegen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

1 2 x +1 = x 2 + 5 2 x +1 | -1
1 2 x = x 2 + 5 2 x |⋅ 2
x = 2( x 2 + 5 2 x ) | -2( x 2 + 5 2 x )
-2 x 2 + x -5x = 0
-2 x 2 -4x = 0
-2 x ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

Man erkennt, dass die Schnittstelle -2 zwischen a = -3 und b = -1 liegt. Das bedeutet, dass die Differenzfunktion (die nachher im Integral steht) x 2 + 5 2 x +1 - ( 1 2 x +1 ) bei x = -2 ihr Vorzeichen wechselt.

Das bedeutet, dass die Flächen zwischen den Kurven links und rechts von x = -2 jeweils orientierte Flächeninhalte mit unterschiedlichen Vorzeichen haben. Würde man jetzt einfach das Integral von -3 bis -1 berechnen, würden sich die orientierten Flächeninhalte gegenseitig teilweise aufheben.

Deswegen muss man die orientierten Flächeninhalte einzeln ausrechnen und dann ihre Beträge addieren:

A1 = -3 -2 ( x 2 + 5 2 x +1 - ( 1 2 x +1 ) ) x

= -3 -2 ( x 2 +2x ) x

= [ 1 3 x 3 + x 2 ] -3 -2

= 1 3 ( -2 ) 3 + ( -2 ) 2 - ( 1 3 ( -3 ) 3 + ( -3 ) 2 )

= 1 3 ( -8 ) + 4 - ( 1 3 ( -27 ) + 9 )

= - 8 3 +4 - ( -9 +9 )

= - 8 3 + 12 3 -1 · 0

= 4 3 +0

= 4 3 +0

= 4 3


≈ 1,333

A2 = -2 -1 ( x 2 + 5 2 x +1 - ( 1 2 x +1 ) ) x

= -2 -1 ( x 2 +2x ) x

= [ 1 3 x 3 + x 2 ] -2 -1

= 1 3 ( -1 ) 3 + ( -1 ) 2 - ( 1 3 ( -2 ) 3 + ( -2 ) 2 )

= 1 3 ( -1 ) + 1 - ( 1 3 ( -8 ) + 4 )

= - 1 3 +1 - ( - 8 3 +4 )

= - 1 3 + 3 3 - ( - 8 3 + 12 3 )

= 2 3 -1 · 4 3

= 2 3 - 4 3

= - 2 3


≈ -0,667

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

Ages = |A1| + |A2| = 4 3 + 2 3 = 2.

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= x +4 und g(x)= x 2 -6x +10 schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

x 2 -6x +10 = x +4

x 2 -6x +10 = x +4 | - x -4

x 2 -7x +6 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · 1 · 6 21

x1,2 = +7 ± 49 -24 2

x1,2 = +7 ± 25 2

x1 = 7 + 25 2 = 7 +5 2 = 12 2 = 6

x2 = 7 - 25 2 = 7 -5 2 = 2 2 = 1

Wir brauchen also das Integral im Interval [ 1 ; 6 ].
A= 1 6 ( x +4 ) x - 1 6 ( x 2 -6x +10 ) x
= 1 6 ( x +4 - ( x 2 -6x +10 ) ) x
= 1 6 ( x +4 - x 2 +6x -10 ) x
= 1 6 ( - x 2 +7x -6 ) x

= [ - 1 3 x 3 + 7 2 x 2 -6x ] 1 6

= - 1 3 6 3 + 7 2 6 2 -66 - ( - 1 3 1 3 + 7 2 1 2 -61 )

= - 1 3 216 + 7 2 36 -36 - ( - 1 3 1 + 7 2 1 -6 )

= -72 +126 -36 - ( - 1 3 + 7 2 -6 )

= 18 - ( - 2 6 + 21 6 - 36 6 )

= 18 -1 · ( - 17 6 )

= 18 + 17 6

= 108 6 + 17 6

= 125 6


≈ 20,833
Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.
also A= 125 6 ≈ 20.833

Fläche zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= 4 x 2 -5x +5 und g(x)= 5 x 2 -9 schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

5 x 2 -9 = 4 x 2 -5x +5

5 x 2 -9 = 4 x 2 -5x +5 | -4 x 2 +5x -5

x 2 +5x -14 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -5 ± 5 2 -4 · 1 · ( -14 ) 21

x1,2 = -5 ± 25 +56 2

x1,2 = -5 ± 81 2

x1 = -5 + 81 2 = -5 +9 2 = 4 2 = 2

x2 = -5 - 81 2 = -5 -9 2 = -14 2 = -7

Wir brauchen also das Integral im Interval [ -7 ; 2 ].
A= -7 2 ( 4 x 2 -5x +5 ) x - -7 2 ( 5 x 2 -9 ) x
= -7 2 ( 4 x 2 -5x +5 - ( 5 x 2 -9 ) ) x
= -7 2 ( 4 x 2 -5x +5 -5 x 2 +9 ) x
= -7 2 ( - x 2 -5x +14 ) x

= [ - 1 3 x 3 - 5 2 x 2 +14x ] -7 2

= - 1 3 2 3 - 5 2 2 2 +142 - ( - 1 3 ( -7 ) 3 - 5 2 ( -7 ) 2 +14( -7 ) )

= - 1 3 8 - 5 2 4 +28 - ( - 1 3 ( -343 ) - 5 2 49 -98 )

= - 8 3 -10 +28 - ( 343 3 - 245 2 -98 )

= - 8 3 - 30 3 + 84 3 - ( 686 6 - 735 6 - 588 6 )

= 46 3 -1 · ( - 637 6 )

= 46 3 + 637 6

= 92 6 + 637 6

= 243 2


= 121,5
Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.
also A= 243 2 ≈ 121.5

zusammengesetzte Flächen 1

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gezeichnet ist der Graph von f mit f(x)= - x 2 +9 (rote Kurve).

An diesen wird bei x = 1 eine Tangente angelegt.

Der Graph von f, die Tangente und die positive x-Achse schließen eine Fläche ein. Berechne deren Inhalt.

Lösung einblenden

Berechnung der Tangenten: y= -2x +10

(Detail-Rechnung einblenden)


Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, unterteilen wir die Fläche in zwei Abschnitte:

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Zwischen x1 = 1 und der Schnittstelle von f mit der x-Achse können wir die Fläche mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen zwei Graphen berechnen:

Für die Schnittstelle von f mit der x-Achse setzen wir - x 2 +9 = 0

- x 2 +9 = 0 | -9
- x 2 = -9 |: ( -1 )
x 2 = 9 | 2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir berechnen also die linke Fläche als Fläche zwischen den zwei Graphen zwischen x1 = 1 und x2 = 3.

1 3 ( -2x +10 - ( - x 2 +9 ) ) x

= 1 3 ( -2x +10 + x 2 -9 ) x

= 1 3 ( x 2 -2x +1 ) x

= [ 1 3 x 3 - x 2 + x ] 1 3

= 1 3 3 3 - 3 2 +3 - ( 1 3 1 3 - 1 2 +1 )

= 1 3 27 - 9 +3 - ( 1 3 1 - 1 +1 )

= 9 -9 +3 - ( 1 3 -1 +1 )

= 3 - ( 1 3 - 3 3 + 3 3 )

= 3 -1 · 1 3

= 3 - 1 3

= 9 3 - 1 3

= 8 3


≈ 2,667

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Diese hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und man kann somit den Flächneinhalt als A2 = 1 2 ⋅ Breite ⋅ Höhe berechnen.

Für die Breite braucht man den Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse:

-2x +10 = 0 | -10
-2x = -10 |:(-2 )
x = 5

Somit erhält man für die Breite b= 5 - 3 = 2

Die Höhe ist ja einfach der y-Wert der Tangente an der Stelle 3, also h = -23 +10 = 4

Wir erhalten somit als Flächeninhalt für die Dreiecksfläche:

A2 = 1 2 ⋅ 2 ⋅ 4 = 4.

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

Ages = A1 + A2 = 2.667 + 4 = 6.667.

(Alternative Berechnung einblenden)


zusammengesetzte Flächen 2

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gezeichnet ist der Graph von f mit f(x)= 3 e -x +3 (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=4 und y=3.

Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:

A1 = 4 ⋅ 3 = 12

Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:

Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=3 und f(x)= 3 e -x +3 (im Schaubild orange eingefärbt):

Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
3 e -x +3 = 3 |:3
e -x +3 = 1 |ln(⋅)
-x +3 = 0
-x +3 = 0 | -3
-x = -3 |:(-1 )
x = 3

Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:

A2 = 3 4 ( 3 -3 e -x +3 ) x

= [ 3x +3 e -x +3 ] 3 4

= 34 +3 e -4 +3 - ( 33 +3 e -3 +3 )

= 12 +3 e -4 +3 - ( 9 +3 e -3 +3 )

= 12 +3 e -1 - ( 9 +3 e 0 )

= 3 e -1 +12 - ( 9 +3 )

= 3 e -1 +12 -1 · 12

= 3 e -1 +12 -12

= 3 e -1 +0


≈ 1,104

Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:

Ages = A1 - A2 = 12 - 1.104 = 10.896.

(Alternative Berechnung einblenden)


zusammengesetzte Flächen 3

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gezeichnet sind die Graphen von f mit f(x)= - 1 4 x 2 + x + 7 2 (rote Kurve) und g mit g(x)= 1 2 x 2 - 9 2 (blaue Kurve).

Die Graphen von f und g, schließen mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche ein. Berechne deren Inhalt.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir die Nullstelle von g und die Schnittstelle der beiden Graphen:

Nullstelle von g(x): g(x)=0

1 2 x 2 - 9 2 = 0 | + 9 2
1 2 x 2 = 9 2 |⋅2
x 2 = 9 | 2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

Die Schnittstelle von g(x) mit der positiven x-Achse ist also bei x=3.

Schnittstelle von f(x) und g(x): f(x) = g(x)

- 1 4 x 2 + x + 7 2 = 1 2 x 2 - 9 2 |⋅ 4
4( - 1 4 x 2 + x + 7 2 ) = 4( 1 2 x 2 - 9 2 )
- x 2 +4x +14 = 2 x 2 -18 | -2 x 2 +18

-3 x 2 +4x +32 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -4 ± 4 2 -4 · ( -3 ) · 32 2( -3 )

x1,2 = -4 ± 16 +384 -6

x1,2 = -4 ± 400 -6

x1 = -4 + 400 -6 = -4 +20 -6 = 16 -6 = - 8 3 ≈ -2.67

x2 = -4 - 400 -6 = -4 -20 -6 = -24 -6 = 4

Die Schnittstelle von f(x) und g(x) im 1. Quadrant ist somit bei x=4.

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Jetzt unterteilen wir die gesuchte Fläche in eine Teilfläche A1 bis zur Nullstelle von g (grün eingefärbt) und A2 zwischen dieser Nullstelle und der Schnittstelle von f und g (orange eingefärbt):

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man einfach als den Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse berechnen, also :

A1= 0 3 ( - 1 4 x 2 + x + 7 2 ) x

= [ - 1 12 x 3 + 1 2 x 2 + 7 2 x ] 0 3

= - 1 12 3 3 + 1 2 3 2 + 7 2 3 - ( - 1 12 0 3 + 1 2 0 2 + 7 2 0 )

= - 1 12 27 + 1 2 9 + 21 2 - ( - 1 12 0 + 1 2 0 +0)

= - 9 4 + 9 2 + 21 2 - (0+0+0)

= - 9 4 + 18 4 + 42 4 +0

= 51 4


= 12,75

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen den zwei Graphen von und g berechnen:

A2 = 3 4 ( - 1 4 x 2 + x + 7 2 - ( 1 2 x 2 - 9 2 ) ) x

= 3 4 ( - 3 4 x 2 + x +8 ) x

= [ - 1 4 x 3 + 1 2 x 2 +8x ] 3 4

= - 1 4 4 3 + 1 2 4 2 +84 - ( - 1 4 3 3 + 1 2 3 2 +83 )

= - 1 4 64 + 1 2 16 +32 - ( - 1 4 27 + 1 2 9 +24 )

= -16 +8 +32 - ( - 27 4 + 9 2 +24 )

= 24 - ( - 27 4 + 18 4 + 96 4 )

= 24 -1 · 87 4

= 24 - 87 4

= 96 4 - 87 4

= 9 4


= 2,25

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

Ages = A1 + A2 = 12.75 + 2.25 = 15.

(Alternative Berechnung einblenden)


zusammengesetzte Flächen 2

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gezeichnet ist der Graph von f mit f(x)= 5 e -x +1 (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=3 und y=5.

Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:

A1 = 3 ⋅ 5 = 15

Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:

Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=5 und f(x)= 5 e -x +1 (im Schaubild orange eingefärbt):

Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
5 e -x +1 = 5 |:5
e -x +1 = 1 |ln(⋅)
-x +1 = 0
-x +1 = 0 | -1
-x = -1 |:(-1 )
x = 1

Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:

A2 = 1 3 ( 5 -5 e -x +1 ) x

= [ 5x +5 e -x +1 ] 1 3

= 53 +5 e -3 +1 - ( 51 +5 e -1 +1 )

= 15 +5 e -3 +1 - ( 5 +5 e -1 +1 )

= 15 +5 e -2 - ( 5 +5 e 0 )

= 5 e -2 +15 - ( 5 +5 )

= 5 e -2 +15 -1 · 10

= 5 e -2 +15 -10

= 5 e -2 +5


≈ 5,677

Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:

Ages = A1 - A2 = 15 - 5.677 = 9.323.

(Alternative Berechnung einblenden)


zusammengesetzte Flächen (rückwärts)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gezeichnet ist der Graph von f mit f(x)= 1 50 x 3 (rote Kurve).

Im Punkt B(u|f(u)) (u>0) wird eine Tangente t an den Graph von f angelegt.

Der Graph von f, die Tangente t und die positive x-Achse schließen eine Fläche mit dem Inhalt 4 1 600 ≈ 4.002 ein. Berechne einen Wert für u.

Lösung einblenden

Berechnung der Tangenten: y= 3 50 u 2 x - 1 25 u 3

(Detail-Rechnung einblenden)


Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, subtrahieren wir die Dreiecksfläche (im Schaubild grüne Fläche) unter der Tangente von der Fläche unter dem Graph von f (im Schaubild orange Fläche):

Für die orange Dreiecksfläche brauchen wir aber noch die Schnittstelle der Tangente mit der x-Achse. Hierfür setzen wir 3 50 u 2 x - 1 25 u 3 = 0

3 50 u 2 x - 1 25 u 3 = 0 |⋅ 50
50( 3 50 u 2 x - 1 25 u 3 ) = 0
3 u 2 x -2 u 3 = 0 | - ( -2 u 3 )
3 u 2 x = 2 u 3 |:(3 u 2 )
x = 2 3 u
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Somit erhalten wir u - 2 3 u = 1 3 u für die Länge der Kathete auf der x-Achse des grünen Dreiecks.

Für die andere Kathete (in y-Richtung) können wir ja einfach den Funktionswert f(u) = 1 50 u 3 nehmen.

Als Flächeninhalt des grünen Dreiecks unter der Tangente erhalten wir also
A2 = 1 2 1 3 u 1 50 u 3 = 1 300 u 4

Jetzt berechnen wir noch die (orange) Fläche unter dem Graph von f: A1 =

= 0 u 1 50 x 3 x

= [ 1 200 x 4 ] 0 u

= 1 200 u 4 - 1 200 0 4

= 1 200 u 4 - 1 200 0

= 1 200 u 4 +0

= 1 200 u 4 +0

= 1 200 u 4

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

Ages = A1 - A2 = 1 200 u 4 - 1 300 u 4 = 1 600 u 4 .

Da dieser ja gerade den Wert 4 1 600 = 2401 600 annehmen soll, können wir nun so unser u bestimmen:

1 600 u 4 = 2401 600 |⋅600
u 4 = 2401 | 4
u1 = - 2401 4 = -7
u2 = 2401 4 = 7

Der gesuchte Wert für u ist somit u = 7

Fläche zw. Graph und dem der Umkehrfkt.

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 1 5 x 2 + 4 5 x - 6 5

Bestimme ein möglichst großes Intervall (mit möglichst vielen positiven x-Werten), auf dem f umkehrbar ist.
Die Graph von f schließt mit dem Graph seiner Umkehrfunktion f - eine Fläche ein. Berechne den Inhalt dieser Fläche.

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Maximaler umkehrbarer Definitionsbereich

Für einen möglichst großen umkehrbaren Definitionsbereich müssen wir wissen, wo f monoton steigend und wo monoton fallend ist. Dazu betrachten wir die Ableitung:

Wenn wir f ableiten, erhalten wir:

f'(x)= 2 5 x + 4 5

Wenn wir nun f'(x) = 0 setzen, erhalten wir:

2 5 x + 4 5 = 0 |⋅ 5
5( 2 5 x + 4 5 ) = 0
2x +4 = 0 | -4
2x = -4 |:2
x = -2

Und weil das die einzige Nullstelle der Ableitungsfunktion ist, und f keine Definitionslücken hat, ist f jeweils für x ≤ -2 und für x ≥ -2 für streng monoton und somit umkehrbar.

Der gesuchte umkehrbare Bereich ist somit {x ∈ ℝ| x ≥ -2}.

Da die Graphen von f und deren Umkehrfunktion eine Fläche einschließen, müssen sie auch Schnittpunkte haben, die wir nun berechnen

Theoretisch könnte man zuerst den Term der Umkehrfunktion bestimmen und dann die beiden Terme gleichsetzen.
Da aber beim Schnittpunkt der Graphen von Funktion und Umkehrfunktion der x- und der y-Wert immer gleich sein müssen, können wir auch einfach den Schnittpunkt des Graphen von f mit der 1. Winkelhalbierenden (y = x) berechnen (siehe auch am Schaubild rechts).

1 5 x 2 + 4 5 x - 6 5 = x |⋅ 5
5( 1 5 x 2 + 4 5 x - 6 5 ) = 5x
x 2 +4x -6 = 5x | -5x

x 2 - x -6 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -6 ) 21

x1,2 = +1 ± 1 +24 2

x1,2 = +1 ± 25 2

x1 = 1 + 25 2 = 1 +5 2 = 6 2 = 3

x2 = 1 - 25 2 = 1 -5 2 = -4 2 = -2

Jetzt haben wir also die beiden Schnittpunkte S1( -2 | -2 ) und S2( 3 | 3 ) und damit die Grenzen des gesuchten Integrals

Auch hier können wir wieder aus Symmetriegründen auf eine Bestimmung des Funktionsterms der Umkehrfunktion verzichten und stattdessen einfach den doppelten Inhalt der Fläche nehmen, die vom Graph von f und der 1. Winkelhalbierenden eingeschlossen wird:

I = -2 3 |f(x) - f - (x)| x = 2 ⋅ -2 3 ( x - ( 1 5 x 2 + 4 5 x - 6 5 ) ) x

Wir berechnen erst mal die halbe Fläche:

-2 3 ( x - ( 1 5 x 2 + 4 5 x - 6 5 ) ) x

= -2 3 ( - 1 5 x 2 + 1 5 x + 6 5 ) x

= [ - 1 15 x 3 + 1 10 x 2 + 6 5 x ] -2 3

= - 1 15 3 3 + 1 10 3 2 + 6 5 3 - ( - 1 15 ( -2 ) 3 + 1 10 ( -2 ) 2 + 6 5 ( -2 ) )

= - 1 15 27 + 1 10 9 + 18 5 - ( - 1 15 ( -8 ) + 1 10 4 - 12 5 )

= - 9 5 + 9 10 + 18 5 - ( 8 15 + 2 5 - 12 5 )

= - 18 10 + 9 10 + 36 10 - ( 8 15 + 6 15 - 36 15 )

= 27 10 -1 · ( - 22 15 )

= 27 10 + 22 15

= 81 30 + 44 30

= 25 6


≈ 4,167

Für die doppelte Fläche gilt somit:

I = -2 3 |f(x) - f - (x)| x = 2 ⋅ -2 3 ( x - ( 1 5 x 2 + 4 5 x - 6 5 ) ) x = 25 3