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Fläche mit Integral berechnen
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f mit (rote Kurve).
Berechne den Inhalt der (orange) eingefärbten Fläche.
Da eine der beiden Teilflächen unter und die andere über der x-Achse liegt, haben die zugehörigen orientierte Flächeninhalte verschiedene Vorzeichen und würden sich gegenseitig teilweise aufheben, wenn man einfach das Integral von -4 bis -2 berechnen würde.
Deswegen müssen wird die beiden Teilflächen seperat berechnen und dann deren Flächeninhalte addieren:
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 1,437
=
=
=
=
=
=
=
≈ -0,736
Für den gesuchten Flächeninhalt gilt somit:
Ages = |A1| + |A2| = 1.437 + 0.736 = 2.173.
Fläche zw. Kurve und x-Achse
Beispiel:
Die Funktion f mit schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.
Berechne deren Inhalt.Zuerst muss man die Nullstellen von f berechnen. Dazu setzt man einfach den Funktionsterm gleich Null:
=
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x1 | = |
2. Fall:
= | | | ||
x2 | = |
Damit haben wir die Grenzen der Fläche, die wir auch als Grenzen in das Integral einsetzen müssen:
=
=
=
=
=
≈ -0,333
Da Flächeninhalte (im Gegensatz zur Änderung eines Bestands) immer positiv sein müssen gilt somit für den gesuchten Flächeninhalt:
A = .
Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen
Beispiel:
Gegeben sind die Funktionen f mit und g mit .
Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen a = -1 und b = 2 von den beiden Graphen eingeschlossen wird.
Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen und so überprüfen, ob eine (oder mehrere) der Schnittstellen im Intervall [-1;2] liegen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:
= | | | ||
= | |⋅ 2 | ||
= | | | ||
= | |||
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x1 | = |
2. Fall:
= | | | ||
x2 | = |
Man erkennt, dass die Schnittstelle 0 zwischen a = -1 und b = 2 liegt. Das bedeutet, dass die Differenzfunktion (die nachher im Integral steht) bei x = 0 ihr Vorzeichen wechselt.
Das bedeutet, dass die Flächen zwischen den Kurven links und rechts von x = 0 jeweils orientierte Flächeninhalte mit unterschiedlichen Vorzeichen haben. Würde man jetzt einfach das Integral von -1 bis 2 berechnen, würden sich die orientierten Flächeninhalte gegenseitig teilweise aufheben.
Deswegen muss man die orientierten Flächeninhalte einzeln ausrechnen und dann ihre Beträge addieren:
A1 =
=
=
=
=
=
=
≈ 1,833
A2 =
=
=
=
=
=
≈ -3,333
Für die gesuchte Fläche gilt somit:
Ages = |A1| + |A2| = + = ≈ 5.17.
Fläche zwischen zwei Kurven BF
Beispiel:
Die beiden Funktion f und g mit f(x)= und g(x)= schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.
Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:
=
= | | |
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
x2 =
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 10,667
Fläche zwischen zwei Kurven
Beispiel:
Die beiden Funktion f und g mit f(x)=
Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= | |
|
|
x1 | = |
|
=
|
x2 | = |
|
=
|
=
=
=
=
=
=
=
≈ 10,667
zusammengesetzte Flächen 2
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f mit
Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.
1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :
Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=2 und y=2.
Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:
A1 = 2 ⋅ 2 = 4
Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:
Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=2 und
Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:
|
= | |: |
|
|
= | |ln(⋅) | |
|
= |
|
= | |
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,736
Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:
Ages = A1 - A2 = 4 - 0.736 = 3.264.
(Alternative Berechnung einblenden)
zusammengesetzte Flächen 3
Beispiel:
Gezeichnet sind die Graphen von f mit
Die Graphen von f und g, schließen mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.
Um den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir die Nullstelle von g und die Schnittstelle der beiden Graphen:
Nullstelle von g(x): g(x)=0
|
= | |
|
|
|
= | |
|
|
x1 | = |
|
=
|
x2 | = |
|
=
|
Die Schnittstelle von g(x) mit der positiven x-Achse ist also bei x=2.
Schnittstelle von f(x) und g(x): f(x) = g(x)
|
= |
|
|
|
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Die Schnittstelle von f(x) und g(x) im 1. Quadrant ist somit bei x=3.
Jetzt unterteilen wir die gesuchte Fläche in eine Teilfläche A1 bis zur Nullstelle von g (grün eingefärbt) und A2 zwischen dieser Nullstelle und der Schnittstelle von f und g (orange eingefärbt):
1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)
Diesen Flächeninhalt kann man einfach als den Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse berechnen, also :
=
=
=
=
=
≈ 9,333
2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)
Diesen Flächeninhalt kann man mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen den zwei Graphen von und g berechnen:
A2 =
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 3,333
Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:
Ages = A1 + A2 = 9.333 + 3.333 = 12.667.
(Alternative Berechnung einblenden)
zusammengesetzte Flächen schwer
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f mit
An diesen wird bei x =
Der Graph von f, die Tangente und die positive x-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.
Berechnung der Tangenten: y=
- x
+ 5
Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, unterteilen wir die Fläche in zwei Abschnitte:
1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)
Zwischen x1 =
Für die Schnittstelle von f mit der x-Achse setzen wir
|
= | |
|
|
|
= | |⋅
|
|
|
= | |
|
|
x1 | = |
|
=
|
x2 | = |
|
=
|
Wir berechnen also die linke Fläche als Fläche zwischen den zwei Graphen zwischen x1 =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 1,333
Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)
Diese hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und man kann somit den Flächneinhalt als A2 =
Für die Breite braucht man den Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse:
|
= | |
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Somit erhält man für die Breite b=
Die Höhe ist ja einfach der y-Wert der Tangente an der Stelle 3, also h =
Wir erhalten somit als Flächeninhalt für die Dreiecksfläche:
A2 =
Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:
Ages = A1 + A2 = 1.333 + 2 = 3.333.
(Alternative Berechnung einblenden)
zusammengesetzte Flächen 2
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f mit
Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.
1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :
Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=2 und y=4.
Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:
A1 = 2 ⋅ 4 = 8
Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:
Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=4 und
Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:
D=R\{
Wir multiplizieren den Nenner
|
= |
|
|⋅(
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
= | |:
|
|
|
= | |
|
|
x1 | = |
|
=
|
x2 | = |
|
=
|
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:
=
=
=
=
=
=
=
Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:
Ages = A1 - A2 = 8 - 2 = 6.
(Alternative Berechnung einblenden)