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Raumdiagonale
Beispiel:
Ein Quader hat die Kantenlängen a = 2 cm, b = 9 cm und c = 7 cm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.
Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 2 cm und b = 9 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d12 = a² +b² = (2 cm)2 + (9 cm)2 = 4 cm² + 81 cm² = 85 cm²
d1 = cm ≈ 9.22 cm
Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d2 = d1² + c² = ( cm)2 + (7 cm)2 = 85 cm² + 49 cm² = 134 cm²
Da d12 = a2 +b2 gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d2 = a2 + b2 + c2 = 4 cm² + 81 cm² +
49 cm² = 134 cm²
berechnen.
d = cm ≈ 11.576 cm
Diagonalen im Quader
Beispiel:
Ein Quader hat die Kantenlängen a = 7 cm, b = 8 cm und c = 5 cm.
Berechne die Weite des Winkels α.
Auch wenn es bei der 3-dimensionalen Darstellung vielleicht im ersten Moment nicht so aussieht, ist dennoch die eingezeichnete Diagonale die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks.
Um die graue Bodendiagonale dB als Ankathete von α zu bestimmen, müssen wir diese erst mit dem Satz des Pythagoras in dem rechtwinkligen Bodendreieck berechnen:
dB2 = a2 + b2 = 72 + 82 = 49 + 64 = 113
dB = ≈ 10.63
Die Länge der Ankathete vom Winkel α ist dB = 10.63 cm und die Länge der Gegenkathete c = 5 cm.
Mit dem Tangens können wir so also recht schnell die Weite des Winkels α berechnen:
tan(α) = =
α = arctan() ≈ 25.2°
Diagonalen im Quader 2
Beispiel:
Berechne die Länge der roten Seite x.
(Der gegebene Winkel ist 32°.)
Auch wenn es bei der 3-dimensionalen Darstellung vielleicht im ersten Moment nicht so aussieht, ist dennoch die eingezeichnete Diagonale die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks.
Aus dem Schaubild lässt sich herauslesen, dass die Länge der Hypotenuse d = 9 m und der gegebene Winkel 32° ist.
Somit lässt sich folgende Gleichung aufstellen:
sin(32°) = | ⋅ 9 m
x = 9 m ⋅ sin(32°) ≈ 4.77 m
Dreiecke im Quader
Beispiel:
Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 cm, b = 5 cm und c = 3 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.
Die Seitenwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten b= 5 cm und c = 3 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d12 = b² + c² = (5 cm)2 + (3 cm)2 = 25 cm² + 9 cm² = 34 cm²
d1 = cm ≈ 5.831 cm
Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und a, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d2 = d1² + a² = ( cm)2 + (4 cm)2 = 34 cm² + 16 cm² = 50 cm²
d = cm ≈ 7.071 cm
Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + a ≈ 5.83 cm +
7.07 cm + 4 cm ≈ 16.9 cm
Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 4:
A = d1 ⋅a ≈ ⋅5.83 cm⋅
4 cm ≈ 11.66 cm²
Quader-Volumen rückwärts (schwer)
Beispiel:
Der abgebildete Quader mit b = 7 und α = 49° hat das Volumen 280.7 m3.
Berechne die Breite a (von links nach rechts) des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet sich als V = a ⋅ b ⋅ c. Dummerweise ist aber nur eine der Kantenlängen bekannt und zwei unbekannt. Dafür kennen wir aber den Winkel in dem rechtwinkligen Dreieck, in dem die beiden fehlenen Kantenlängen die Katheten sind.
Dadurch können wir diese beiden fehlenden Kantenlängen a und c in Abhängigkeit von der gleichen Diagonalenlänge d bestimmen:
sin(49°) = ; also gilt a = d ⋅ sin(49°) ≈ 0,7547 d
cos(49°) = ; also gilt c = d ⋅ cos(49°) ≈ 0,6561 d
Somit gilt für das Volumen V des Quaders:
V = 7 ⋅ 0,7547 d ⋅ 0,656 d = 280.7
3.466 d2 = 280.7 | :3.466
d2 ≈ 81
d ≈ 9
Um nun die gesuchte Kantenlänge a zu erhalten, nutzen wir wieder die Gleichung von oben:
sin(49°) = ;
also gilt
a = d
⋅ sin(49°) ≈ 9 ⋅ 0,7547
≈ 6,8
Die gesuchte Breite a (von links nach rechts) ist somit a ≈ 6.79 m