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Raumdiagonale

Beispiel:

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Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 mm, b = 2 mm und c = 8 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Lösung einblenden

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 5 mm und b = 2 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d12 = a² +b² = (5 mm)2 + (2 mm)2 = 25 mm² + 4 mm² = 29 mm²

d1 = 29 mm ≈ 5.385 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d2 = d1² + c² = ( 29 mm)2 + (8 mm)2 = 29 mm² + 64 mm² = 93 mm²

Da d12 = a2 +b2 gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d2 = a2 + b2 + c2 = 25 mm² + 4 mm² + 64 mm² = 93 mm²
berechnen.

d = 93 mm ≈ 9.644 mm

Diagonalen im Quader

Beispiel:

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Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 mm, b = 8 mm und c = 8 mm.
Berechne die Weite des Winkels α.

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Auch wenn es bei der 3-dimensionalen Darstellung vielleicht im ersten Moment nicht so aussieht, ist dennoch die eingezeichnete Diagonale die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks.

Die Länge der Ankathete vom Winkel α ist b = 8 mm und die Länge der Gegenkathete c = 8 mm.

Mit dem Tangens können wir so also recht schnell die Weite des Winkels α berechnen:

tan(α) = GK AK = 8 8

α = arctan( 8 8 ) ≈ 45°

Diagonalen im Quader 2

Beispiel:

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Berechne die Länge der roten Seite x.
(Der gegebene Winkel ist 45°.)

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Auch wenn es bei der 3-dimensionalen Darstellung vielleicht im ersten Moment nicht so aussieht, ist dennoch die eingezeichnete Diagonale die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks.

Aus dem Schaubild lässt sich herauslesen, dass die Länge der Hypotenuse d = 11 m und der gegebene Winkel 45° ist.

Somit lässt sich folgende Gleichung aufstellen:

sin(45°) = x 11 m | ⋅ 11 m

x = 11 m ⋅ sin(45°) ≈ 7.78 m

Quader-Volumen rückwärts (schwer)

Beispiel:

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Der abgebildete Quader mit c = 8 und α = 53° hat das Volumen 384.5 cm3.
Berechne die Breite a (von links nach rechts) des Quaders.

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Das Volumen eines Quaders berechnet sich als V = a ⋅ b ⋅ c. Dummerweise ist aber nur eine der Kantenlängen bekannt und zwei unbekannt. Dafür kennen wir aber den Winkel in dem rechtwinkligen Dreieck, in dem die beiden fehlenen Kantenlängen die Katheten sind.

Dadurch können wir diese beiden fehlenden Kantenlängen a und b in Abhängigkeit von der gleichen Diagonalenlänge d bestimmen:

sin(53°) = a d ; also gilt a = d ⋅ sin(53°) ≈ 0,7986 d

cos(53°) = b d ; also gilt b = d ⋅ cos(53°) ≈ 0,6018 d

Somit gilt für das Volumen V des Quaders:

V = 80,7986 d0,602 d = 384.5

3.845 d2 = 384.5 | :3.845

d2 ≈ 100

d ≈ 10

Um nun die gesuchte Kantenlänge a zu erhalten, nutzen wir wieder die Gleichung von oben:

sin(53°) = a d ;
also gilt
a = d ⋅ sin(53°) ≈ 10 ⋅ 0,7986 ≈ 8

Die gesuchte Breite a (von links nach rechts) ist somit a ≈ 7.99 cm