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nach x Minuten
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h?
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 5min?
Wie weit ist der Heißluftballon dann geflogen?
Berechne den Winkel mit dem der Heißluftballon steigt?
Wann hat er die Höhe von 880m erreicht?
Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor = zurück.
In 1min legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Dieser Vektor hat die Länge =.
Die Geschwindigkeit ist also
v=90
= 5.4
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 min befindet es sich also im
Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A nach P bewegt, also um den Vektor =. Dessen Länge ist m.
Den Steigungswinkel kann man einfach als Schnittwinkel der Geraden mit der (horizontalen) x1-x2-Ebene berechnen.
Die x1-x2-Ebene hat die Gleichung x3=0 und den
Normalenvektor =.
Daraus ergibt sich für den Steigungswinkel :
sin()= =
In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x3-Koordinate).
Um von 40 auf 880m (also 840m) zu steigen (bzw. fallen),
muss es also
Bewegungsaufgabe mit geg. Geschwindigkeit
Beispiel:
Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wann kommt sie im Punkt B an?
Wann hat die Rakete die (absolute) Höhe von 7300m erreicht? In welchem Punkt befindet es sich dann?
Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in
Die Länge des Vektors
Bei einer Geschwindigkeit von 550
Punkt B wird als nach 3s erreicht.
In einer s wird also der Vektor
In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 300m (Änderung in der x3-Koordinate).
Um von 100 auf 7300m (also 7200m) zu steigen (bzw. fallen),
muss es also
Also im Punkt P
Höhe nach x Kilometern
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 7,2 km zurückgelegt hat?
Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
Die Geradengleichung
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =
Die Geschwindigkeit ist also v=72
Für die Strecke von 7.2 km braucht es also
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 2400m.
Zwei Objekte - gleiche Höhe
Beispiel:
Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wann sind die Drohne und die Seilbahngondel auf gleicher Höhe?
Wie weit ist Drohne von der Seilbahngondel entfernt, wenn sie genau senkrecht über der Seilbahn ist?
Berechne zu diesem Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist, den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.
Die Seilbahngondel F2 legt in 4s den Vektor
In 1s legt es also den Vektor
Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
nach 8 s sind also die Drohne F1 und die Seilbahngondel F2 auf gleicher
Höhe:
Die Drohne F1 ist genau dann unter/über der Flugbahn von F2, wenn die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen übereinstimmen. Da aber höchstwahrscheinlich die Seilbahngondel F2 zu einem anderen Zeitpunkt genau unter oder über der Flugbahn von F1 ist, müssen wir verschiedene Parameter in die beiden Geradengleichungen einsetzen.
langsame Rechnung einblenden
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass die Drohne F1 nach 9s und die Seilbahngondel F2 nach 9s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
die Drohne F1 ist also nach 9s bei
d=|
Der Abstand der beiden Objekte nach 9s ist also
Auch den scheinbaren Schnittpunkt, den der genau darunter stehende Beobachter sieht, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.
langsame Rechnung einblenden
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass die Drohne F1 nach 9s und die Seilbahngondel F2 nach 9s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
die Drohne F1 ist also nach 9s bei
Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von
2.7 - 2.6 = 0.1 m
Zwei Objekte Aufgabe - Abstände
Beispiel:
Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 3min von einander entfernt?
Wie groß ist der kleinste Abstand der beiden Flugbahnen?
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die beiden Flugzeuge am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?
Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
Das Flugzeug F1 ist nach 3min an der Stelle P1
d=|
Der Abstand ist also ca. 71.07 km.
Um den kleinsten Abstand der beiden Bewegungsbahnen zu erhalten müssen wir die klassische Rechnung zur Bestimmung des Abstands zweier windschieder Geraden durchführen:
Zuerst bilden wir eine Ebene, welche die Gerade h:
Der Normalenvektor dieser Ebene ist der Normalenvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.
Wenn wir den Aufpunkt von h Ah
Nun können wir den Abstand zwischen der Geraden g:
Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.
Alternativer (kürzerer) Lösungsweg mit Formel einblenden
Der Abstand der beiden Bewegungsbahnen beträgt somit 11 km
Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.
Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen
d(t)=
d(t)=
=
=
da
mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t=
Wegen
der minimale Abstand ist also d(
Zwei Objekte - gleiche Höhe
Beispiel:
Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?
Wie weit sind die beiden Heißluftballone von einander entfernt, wenn F1 genau senkrecht über oder unter der Flugbahn von F2 ist?
Die Partyheißluftballone sprühen einen pinken Farbstoff aus, so dass ihre Flugbahn noch einige Zeit später zu erkennen ist. Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen der Ballone. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?
Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor
In 1h legt es also den Vektor
Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
nach 5 h sind also der Heißluftballon F1 und der Heißluftballon F2 auf gleicher
Höhe:
Der Heißluftballon F1 ist genau dann unter/über der Flugbahn von F2, wenn die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen übereinstimmen. Da aber höchstwahrscheinlich der Heißluftballon F2 zu einem anderen Zeitpunkt genau unter oder über der Flugbahn von F1 ist, müssen wir verschiedene Parameter in die beiden Geradengleichungen einsetzen.
langsame Rechnung einblenden
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 9h und der Heißluftballon F2 nach 1h an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
der Heißluftballon F1 ist also nach 9h bei
d=|
Der Abstand der beiden Objekte nach 9h ist also
Auch den scheinbaren Schnittpunkt, den der genau darunter stehende Beobachter sieht, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.
langsame Rechnung einblenden
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 9h und der Heißluftballon F2 nach 1h an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
der Heißluftballon F1 ist also nach 9h bei
Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von
5 - 1.8 = 3.2 km
Zwei Objekte Aufgabe - Abstände (ohne windschief)
Beispiel:
Flugzeug Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 3min von einander entfernt?
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die beiden Flugzeuge am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?
Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
F1 ist nach 3min an der Stelle P1
d=|
Der Abstand ist also ca. 31.16 km.
Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.
Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen
d(t)=
d(t)=
=
=
da
mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t=
Wegen
der minimale Abstand ist also d(