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nach x Minuten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(30 | 40 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-130 | -120 | 130)$ angelangt. Wie hoch ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 11s?
Wie weit ist das Flugzeug dann geflogen?
Berechne den Winkel mit dem das Flugzeug steigt?
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 690m erreicht?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -160 \\ -160 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -160 \\ -160 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-40)}^{2} + {(-40)}^{2} + 20^{2}} = \sqrt{3600} = 60$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=60 $\frac{m}{s}$ = 216 $\frac{km}{h}$

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 30 \\ 40 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 30 \\ 40 \\ 50 \end{matrix}) + 11 \cdot (\begin{matrix} -40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -410 \\ -400 \\ 270 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-410 | -400 | 270)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(30 | 40 | 50)$ nach P $(-410 | -400 | 270)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -440 \\ -440 \\ 220 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-440)}^{2} + {(-440)}^{2} + 220^{2}} = \sqrt{435600} = 660$ (in m).

Den Steigungswinkel kann man einfach als Schnittwinkel der Geraden mit der (horizontalen) x₁-x₂-Ebene berechnen. Die x₁-x₂-Ebene hat die Gleichung x₃=0 und den Normalenvektor $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ .
Daraus ergibt sich für den Steigungswinkel $α$ : sin( $α$ )= $\frac{| (\begin{matrix} -40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} -40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) |}$ = $\frac{| (-40) \cdot 0 + (-40) \cdot 0 + 20 \cdot 1 |}{\sqrt{{(-40)}^{2} + {(-40)}^{2} + 20^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}}$
$= \frac{| 20 |}{\sqrt{3600} \cdot \sqrt{1}} \approx 0.3333$ => $α$ =19.5°

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 690m (also 640m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{640}{20}$ s = 32s lang steigen (bzw. sinken).

Bewegungsaufgabe mit geg. Geschwindigkeit

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-200 | -150 | 250)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1620km/h in Richtung des Punktes B $(-1400 | -1350 | 850)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?
Wann hat die Rakete die (absolute) Höhe von 6850m erreicht? In welchem Punkt befindet es sich dann?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{1620000 m}{3600 s}$ = 450 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -1200 \\ -1200 \\ 600 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-1200)}^{2} + {(-1200)}^{2} + 600^{2}} = \sqrt{3240000} = 1800$ (in m).
Bei einer Geschwindigkeit von 450 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{1800}{450}$ s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

In einer s wird also der Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -1200 \\ -1200 \\ 600 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -300 \\ -300 \\ 150 \end{matrix})$ zurückgelegt.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann so als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -200 \\ -150 \\ 250 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -300 \\ -300 \\ 150 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 150m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 250 auf 6850m (also 6600m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{6600}{150}$ s = 44s lang steigen (bzw. sinken) und ist dann im Punkt mit dem Ortsvektor $\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -200 \\ -150 \\ 250 \end{matrix}) + 44 \cdot (\begin{matrix} -300 \\ -300 \\ 150 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -13400 \\ -13350 \\ 6850 \end{matrix})$
Also im Punkt P $(-13400 | -13350 | 6850)$ .

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-12 | 3 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B $(36 | -21 | -6)$ angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 4,86 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

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Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 48 \\ -24 \\ -6 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 48 \\ -24 \\ -6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 24 \\ -12 \\ -3 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -12 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 24 \\ -12 \\ -3 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{24^{2} + {(-12)}^{2} + {(-3)}^{2}} = \sqrt{729} = 27$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=27 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 4.86 km braucht es also $\frac{4860}{27}$ min = 180min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -12 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) + 180 \cdot (\begin{matrix} 24 \\ -12 \\ -3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 4308 \\ -2157 \\ -540 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(4308 | -2157 | -540)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -540 (in m).

Zwei Objekte - gleiche Höhe

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | 3 | 0,5)$ . Nach 5s ist sie im Punkt B $(20 | 28 | 3)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 12 \\ -22 \\ 2,3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 0,3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in Meter; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Wann sind die Drohne und die Seilbahngondel auf gleicher Höhe?
Wie weit ist Drohne von der Seilbahngondel entfernt, wenn sie genau senkrecht über der Seilbahn ist?
Berechne zu diesem Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist, den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

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Die Seilbahngondel F2 legt in 5s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 20 \\ 25 \\ 2.5 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} 20 \\ 25 \\ 2.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 0.5 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0.5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 0.5 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,3 t + 2,3$	=	$0,5 t + 0,5$	\| $- 2,3$ $- 0,5 t$
$- 0,2 t$	=	$- 1,8$	\|:( $- 0,2$ )
$t$	=	$9$

nach 9 s sind also die Drohne F1 und die Seilbahngondel F2 auf gleicher Höhe: $0,3 \cdot 9 + 2,3$ = 5 = $0,5 \cdot 9 + 0,5$

Die Drohne F1 ist genau dann unter/über der Flugbahn von F2, wenn die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen übereinstimmen. Da aber höchstwahrscheinlich die Seilbahngondel F2 zu einem anderen Zeitpunkt genau unter oder über der Flugbahn von F1 ist, müssen wir verschiedene Parameter in die beiden Geradengleichungen einsetzen.

$(\begin{matrix} 12 \\ -22 \\ 2.3 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0.5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 0.5 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 12 & +0 s & = & 0 & +4 t \\ -22 & +5 s & = & 3 & +5 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 4 t & = & - 12 & (I) \\ 5 s & - 5 t & = & 25 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 4 t & = & - 12 & (I) \\ 5 s & - 5 t & = & 25 & (II) \end{matrix}

Wir tauschen die Zeilen 1 und 2, um auf die gewünschte Dreiecksform zu kommen.

\begin{matrix} 5 s & - 5 t & = & 25 & (I) \\ - 4 t & = & - 12 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 0 s & - 4 t & = & - 12 & (I) \\ 5 s & - 5 t & = & + 25 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 5 s & - 5 t & = & 25 & (I) \\ - 4 t & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} - 4 t & = & - 12 \end{matrix}

t = $3$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 5 s & - 5 \cdot (3) & = & 25 \end{matrix}

| +

15

5

s =

40

| : 5

s = $8$

$L = {(8 | 3)}$

Das heißt also, dass die Drohne F1 nach 8s und die Seilbahngondel F2 nach 3s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne F1 ist also nach 8s bei $(\begin{matrix} 12 \\ -22 \\ 2.3 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 12 \\ 18 \\ 4.7 \end{matrix})$ , während die Seilbahngondel F2 nach 8s bei $(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0.5 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 0.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 32 \\ 43 \\ 4.5 \end{matrix})$ ist.

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(12 | 18 | 4.7)

und P₂

(32 | 43 | 4.5)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 32 - 12 \\ 43 - 18 \\ 4.5 - 4.7 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 20 \\ 25 \\ -0.2 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 20 \\ 25 \\ -0.2 \end{matrix}) |

=

\sqrt{20^{2} + 25^{2} + {(-0.2)}^{2}}

=

\sqrt{1025.04}

≈ 32.016245876117

Der Abstand der beiden Objekte nach 8s ist also $\sqrt{1025.2804}$ m ≈ 32.02 m

Auch den scheinbaren Schnittpunkt, den der genau darunter stehende Beobachter sieht, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} 12 \\ -22 \\ 2.3 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0.5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 0.5 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 12 & +0 s & = & 0 & +4 t \\ -22 & +5 s & = & 3 & +5 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 4 t & = & - 12 & (I) \\ 5 s & - 5 t & = & 25 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 4 t & = & - 12 & (I) \\ 5 s & - 5 t & = & 25 & (II) \end{matrix}

Wir tauschen die Zeilen 1 und 2, um auf die gewünschte Dreiecksform zu kommen.

\begin{matrix} 5 s & - 5 t & = & 25 & (I) \\ - 4 t & = & - 12 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 0 s & - 4 t & = & - 12 & (I) \\ 5 s & - 5 t & = & + 25 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 5 s & - 5 t & = & 25 & (I) \\ - 4 t & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} - 4 t & = & - 12 \end{matrix}

t = $3$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 5 s & - 5 \cdot (3) & = & 25 \end{matrix}

| +

15

5

s =

40

| : 5

s = $8$

$L = {(8 | 3)}$

Das heißt also, dass die Drohne F1 nach 8s und die Seilbahngondel F2 nach 3s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne F1 ist also nach 8s bei $(\begin{matrix} 12 \\ -22 \\ 2.3 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 12 \\ 18 \\ 4.7 \end{matrix})$ , während die Seilbahngondel F2 nach 3s bei $(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0.5 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 0.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 12 \\ 18 \\ 2 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4.7 - 2 = 2.7 m

Zwei Objekte Aufgabe - Abstände

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -9 \\ -7 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 5 \\ 0 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(7 | -13 | 7)$ . Nach 2min ist es im Punkt B $(-3 | -1 | 3)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 1min von einander entfernt?
Wie groß ist der kleinste Abstand der beiden Flugbahnen?
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die beiden Flugzeuge am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?

Lösung einblenden

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -10 \\ 12 \\ -4 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -10 \\ 12 \\ -4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -5 \\ 6 \\ -2 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 7 \\ -13 \\ 7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 6 \\ -2 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Das Flugzeug F1 ist nach 1min an der Stelle P1 $(\begin{matrix} -9 \\ -7 \\ 0 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 5 \\ 0 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -14 \\ -2 \\ 0 \end{matrix})$ und das Flugzeug F2 an der Stelle P2 $(\begin{matrix} 7 \\ -13 \\ 7 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 6 \\ -2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 2 \\ -7 \\ 5 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-14 | -2 | 0)

und P₂

(2 | -7 | 5)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 2 - (-14) \\ -7 - (-2) \\ 5 - 0 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 16 \\ -5 \\ 5 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 16 \\ -5 \\ 5 \end{matrix}) |

=

\sqrt{16^{2} + {(-5)}^{2} + 5^{2}}

=

\sqrt{306}

≈ 17.492855684536

Der Abstand ist also ca. 17.49 km.

Um den kleinsten Abstand der beiden Bewegungsbahnen zu erhalten müssen wir die klassische Rechnung zur Bestimmung des Abstands zweier windschieder Geraden durchführen:

Zuerst bilden wir eine Ebene, welche die Gerade h: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 7 \\ -13 \\ 7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 6 \\ -2 \end{matrix})$ enthält und parallel zur Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -9 \\ -7 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 5 \\ 0 \end{matrix})$ ist, also $\vec{x} = (\begin{matrix} 7 \\ -13 \\ 7 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 6 \\ -2 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 5 \\ 0 \end{matrix})$
Der Normalenvektor dieser Ebene ist der Normalenvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.

\vec{n} = (\begin{matrix} -5 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} -5 \\ 6 \\ -2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \cdot (- 2) - 0 \cdot 6 \\ 0 \cdot (- 5) - (- 5) \cdot (- 2) \\ - 5 \cdot 6 - 5 \cdot (- 5) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 10 + 0 \\ 0 - 10 \\ - 30 + 25 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 10 \\ - 10 \\ - 5 \end{matrix})

= -5⋅

(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

Wenn wir den Aufpunkt von h A_h $(7 | -13 | 7)$ in die allgemeine Ebenengleichung $2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = d$ einsetzen erhalten wir für diese Hilfsebene die Koordinatengleichung:

2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = -5

Nun können wir den Abstand zwischen der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -9 \\ -7 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 5 \\ 0 \end{matrix})$ und dieser (zu g parallelen) Ebene berechnen, indem wir aus der Geraden einen Punkt, am besten den Aufpunkt $(-9 | -7 | 0)$ , nehmen und den Abstand zwischen diesem Punkt und der Ebene mit Hilfe der Hesse-Formel (Abstand Punkt-Ebene) berechnen. Dieser Abstand ist auch der Abstand der beiden windschiefen Geraden zueinander.

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d =

\frac{| 2 \cdot (- 9) + 2 \cdot (- 7) + 1 \cdot 0 + 5 |}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}}

=

\frac{| -27 |}{\sqrt{9}}

=

\frac{27}{3}

= 9

Alternativer (kürzerer) Lösungsweg mit Formel einblenden

Wenn man die Hesse'sche Normalenform in Vektorschreibweise mit A_h scheibt:
$\frac{| [\vec{x} - (\begin{matrix} 7 \\ -13 \\ 7 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) |}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}}$ , kann man ja A_g (den Aufpunkt von g) direkt für x einsetzen:
$d =$ $\frac{| [(\begin{matrix} -9 \\ -7 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 7 \\ -13 \\ 7 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) |}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}}$ = $\frac{| (\begin{matrix} -16 \\ 6 \\ -7 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) |}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}}$ = $\frac{| (-16) \cdot 2 + 6 \cdot 2 + (-7) \cdot 1 |}{\sqrt{4 + 4 + 1}}$ = $\frac{| -27 |}{\sqrt{9}}$ = $\frac{27}{3}$ = $9$

Der Abstand der beiden Bewegungsbahnen beträgt somit 9 km

Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.

Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen ${G1}_{t} (-9 - 5 t | -7 + 5 t | 0 + 0 t)$ und ${G2}_{t} (7 - 5 t | -13 + 6 t | 7 - 2 t)$ minimal wird.

d(t)= $| (\begin{matrix} 7 - 5 t \\ -13 + 6 t \\ 7 - 2 t \end{matrix}) - (\begin{matrix} -9 - 5 t \\ -7 + 5 t \\ 0 + 0 t \end{matrix}) |$ = $| (\begin{matrix} 16 + 0 t \\ -6 + 1 t \\ 7 - 2 t \end{matrix}) |$ soll also minimal werden.

d(t)= $\sqrt{{(0 + 16)}^{2} + {(t - 6)}^{2} + {(- 2 t + 7)}^{2}}$
= $\sqrt{256 + t^{2} - 12 t + 36 + 4 t^{2} - 28 t + 49}$
= $\sqrt{5 t^{2} - 40 t + 341}$

da $a < b \Leftrightarrow$ $\sqrt{a}$ < $\sqrt{b}$ können wir auch das Minimum der quadratischen Funktion unter der Wurzel bestimmen, um die gesuchte Zeit t zu erhalten. Dazu leiten wir diese erst mal zwei mal ab:

$f'(t) =$ $10 x - 40 + 0$

$f''(t) =$ $10 + 0 + 0$

mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t= $4$ als potentielle Extremstelle.

Wegen $f''(t) =$ $10 + 0 + 0$ >0 ist also der Tiefpunkt bei t= $4$ .

der minimale Abstand ist also d( $4$ )= $\sqrt{5 \cdot 4^{2} - 40 \cdot 4 + 341}$ = $\sqrt{261}$ ≈ 16.2 (in km)

Zwei Objekte Aufgabe - Abstände

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 8 \\ -6 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(9 | -10 | 18)$ . Nach 4min ist es im Punkt B $(-7 | 22 | -6)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 5min von einander entfernt?
Wie groß ist der kleinste Abstand der beiden Flugbahnen?
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die beiden Flugzeuge am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?

Lösung einblenden

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -16 \\ 32 \\ -24 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -16 \\ 32 \\ -24 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ 8 \\ -6 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 9 \\ -10 \\ 18 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 8 \\ -6 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Das Flugzeug F1 ist nach 5min an der Stelle P1 $(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 8 \\ -6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -14 \\ 43 \\ -28 \end{matrix})$ und das Flugzeug F2 an der Stelle P2 $(\begin{matrix} 9 \\ -10 \\ 18 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 8 \\ -6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -11 \\ 30 \\ -12 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-14 | 43 | -28)

und P₂

(-11 | 30 | -12)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -11 - (-14) \\ 30 - 43 \\ -12 - (-28) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 3 \\ -13 \\ 16 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 3 \\ -13 \\ 16 \end{matrix}) |

=

\sqrt{3^{2} + {(-13)}^{2} + 16^{2}}

=

\sqrt{434}

≈ 20.832666656

Der Abstand ist also ca. 20.83 km.

Um den kleinsten Abstand der beiden Bewegungsbahnen zu erhalten müssen wir die klassische Rechnung zur Bestimmung des Abstands zweier windschieder Geraden durchführen:

Zuerst bilden wir eine Ebene, welche die Gerade h: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 9 \\ -10 \\ 18 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 8 \\ -6 \end{matrix})$ enthält und parallel zur Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 8 \\ -6 \end{matrix})$ ist, also $\vec{x} = (\begin{matrix} 9 \\ -10 \\ 18 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 8 \\ -6 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 8 \\ -6 \end{matrix})$
Der Normalenvektor dieser Ebene ist der Normalenvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.

\vec{n} = (\begin{matrix} -3 \\ 8 \\ -6 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} -4 \\ 8 \\ -6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 \cdot (- 6) - (- 6) \cdot 8 \\ - 6 \cdot (- 4) - (- 3) \cdot (- 6) \\ - 3 \cdot 8 - 8 \cdot (- 4) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 48 + 48 \\ 24 - 18 \\ - 24 + 32 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 8 \end{matrix})

= 2⋅

(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})

Wenn wir den Aufpunkt von h A_h $(9 | -10 | 18)$ in die allgemeine Ebenengleichung $+ 3 x_{2} + 4 x_{3} = d$ einsetzen erhalten wir für diese Hilfsebene die Koordinatengleichung:

+ 3 x_{2} + 4 x_{3} = 42

Nun können wir den Abstand zwischen der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 8 \\ -6 \end{matrix})$ und dieser (zu g parallelen) Ebene berechnen, indem wir aus der Geraden einen Punkt, am besten den Aufpunkt $(1 | 3 | 2)$ , nehmen und den Abstand zwischen diesem Punkt und der Ebene mit Hilfe der Hesse-Formel (Abstand Punkt-Ebene) berechnen. Dieser Abstand ist auch der Abstand der beiden windschiefen Geraden zueinander.

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d =

\frac{| 0 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 - 42 |}{\sqrt{0^{2} + 3^{2} + 4^{2}}}

=

\frac{| -25 |}{\sqrt{25}}

=

\frac{25}{5}

= 5

Alternativer (kürzerer) Lösungsweg mit Formel einblenden

Wenn man die Hesse'sche Normalenform in Vektorschreibweise mit A_h scheibt:
$\frac{| [\vec{x} - (\begin{matrix} 9 \\ -10 \\ 18 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) |}{\sqrt{0^{2} + 3^{2} + 4^{2}}}$ , kann man ja A_g (den Aufpunkt von g) direkt für x einsetzen:
$d =$ $\frac{| [(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 9 \\ -10 \\ 18 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) |}{\sqrt{0^{2} + 3^{2} + 4^{2}}}$ = $\frac{| (\begin{matrix} -8 \\ 13 \\ -16 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) |}{\sqrt{0^{2} + 3^{2} + 4^{2}}}$ = $\frac{| (-8) \cdot 0 + 13 \cdot 3 + (-16) \cdot 4 |}{\sqrt{0 + 9 + 16}}$ = $\frac{| -25 |}{\sqrt{25}}$ = $\frac{25}{5}$ = $5$

Der Abstand der beiden Bewegungsbahnen beträgt somit 5 km

Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.

Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen ${G1}_{t} (1 - 3 t | 3 + 8 t | 2 - 6 t)$ und ${G2}_{t} (9 - 4 t | -10 + 8 t | 18 - 6 t)$ minimal wird.

d(t)= $| (\begin{matrix} 9 - 4 t \\ -10 + 8 t \\ 18 - 6 t \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 - 3 t \\ 3 + 8 t \\ 2 - 6 t \end{matrix}) |$ = $| (\begin{matrix} 8 - 1 t \\ -13 + 0 t \\ 16 + 0 t \end{matrix}) |$ soll also minimal werden.

d(t)= $\sqrt{{(- t + 8)}^{2} + {(0 - 13)}^{2} + {(0 + 16)}^{2}}$
= $\sqrt{t^{2} - 16 t + 64 + 169 + 256}$
= $\sqrt{t^{2} - 16 t + 489}$

da $a < b \Leftrightarrow$ $\sqrt{a}$ < $\sqrt{b}$ können wir auch das Minimum der quadratischen Funktion unter der Wurzel bestimmen, um die gesuchte Zeit t zu erhalten. Dazu leiten wir diese erst mal zwei mal ab:

$f'(t) =$ $2 x - 16 + 0$

$f''(t) =$ $2 + 0 + 0$

mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t= $8$ als potentielle Extremstelle.

Wegen $f''(t) =$ $2 + 0 + 0$ >0 ist also der Tiefpunkt bei t= $8$ .

der minimale Abstand ist also d( $8$ )= $\sqrt{8^{2} - 16 \cdot 8 + 489}$ = $\sqrt{425}$ ≈ 20.6 (in km)

Zwei Objekte Aufgabe - Abstände (ohne windschief)

Beispiel:

Flugzeug Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -30 \\ 11 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(15 | 40 | -6)$ . Nach 2min ist es im Punkt B $(7 | -20 | 18)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 4min von einander entfernt?
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die beiden Flugzeuge am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -8 \\ -60 \\ 24 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -8 \\ -60 \\ 24 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ -30 \\ 12 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 15 \\ 40 \\ -6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ -30 \\ 12 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P1 $(\begin{matrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -30 \\ 11 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -112 \\ 44 \end{matrix})$ und F2 an der Stelle P2 $(\begin{matrix} 15 \\ 40 \\ -6 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -4 \\ -30 \\ 12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1 \\ -80 \\ 42 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(0 | -112 | 44)

und P₂

(-1 | -80 | 42)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -1 - 0 \\ -80 - (-112) \\ 42 - 44 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -1 \\ 32 \\ -2 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -1 \\ 32 \\ -2 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-1)}^{2} + 32^{2} + {(-2)}^{2}}

=

\sqrt{1029}

≈ 32.078029864691

Der Abstand ist also ca. 32.08 km.

Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.

Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen ${G1}_{t} (8 - 2 t | 8 - 30 t | 0 + 11 t)$ und ${G2}_{t} (15 - 4 t | 40 - 30 t | -6 + 12 t)$ minimal wird.

d(t)= $| (\begin{matrix} 15 - 4 t \\ 40 - 30 t \\ -6 + 12 t \end{matrix}) - (\begin{matrix} 8 - 2 t \\ 8 - 30 t \\ 0 + 11 t \end{matrix}) |$ = $| (\begin{matrix} 7 - 2 t \\ 32 + 0 t \\ -6 + 1 t \end{matrix}) |$ soll also minimal werden.

d(t)= $\sqrt{{(- 2 t + 7)}^{2} + {(0 + 32)}^{2} + {(t - 6)}^{2}}$
= $\sqrt{4 t^{2} - 28 t + 49 + 1 024 + t^{2} - 12 t + 36}$
= $\sqrt{5 t^{2} - 40 t + 1 109}$

da $a < b \Leftrightarrow$ $\sqrt{a}$ < $\sqrt{b}$ können wir auch das Minimum der quadratischen Funktion unter der Wurzel bestimmen, um die gesuchte Zeit t zu erhalten. Dazu leiten wir diese erst mal zwei mal ab:

$f'(t) =$ $10 x - 40 + 0$

$f''(t) =$ $10 + 0 + 0$

mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t= $4$ als potentielle Extremstelle.

Wegen $f''(t) =$ $10 + 0 + 0$ >0 ist also der Tiefpunkt bei t= $4$ .

der minimale Abstand ist also d( $4$ )= $\sqrt{5 \cdot 4^{2} - 40 \cdot 4 + 1 109}$ = $\sqrt{1 029}$ ≈ 32.1

Nicht lineare Bewegung

Beispiel:

Ein Speerwerfer wirft einen Speer auf einer Fläche, die durch die x₁x₂-Ebene beschrieben wird. Die Flugbahn des Speers kann mithilfe der Punkte X_t( $12 t - 1$ | $16 t - 2$ | $- t^{2} + 0,3 t + 1,8$ ) beschrieben werden; dabei ist t die seit dem Abwurf vergangene Zeit in Sekunden (Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m in der Realität). Auf dieser Flugbahn fliegt der Speer in den vorgesehenen Sektor. Der Punkt A $(-1 | -2 | 0)$ liegt direkt auf dem Rand der Abwurflinie.
Berechne die Weite, die für den Speerwurf gemessen wird.

Lösung einblenden

Zuerst berechnen den t-Wert, an dem der Speer auf die x₁x₂-Ebene trifft, also wenn x₃= 0 ist:

$- t^{2} + 0,3 t + 1,8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 0,3 \pm \sqrt{{0,3}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 1,8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 0,3 \pm \sqrt{0,09 + 7,2}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 0,3 \pm \sqrt{7,29}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 0,3 + \sqrt{7,29}}{- 2}$ = $\frac{- 0,3+2,7}{- 2}$ = $\frac{2,4}{- 2}$ = $- 1,2$

x₂ = $\frac{- 0,3 - \sqrt{7,29}}{- 2}$ = $\frac{- 0,3-2,7}{- 2}$ = $\frac{- 3}{- 2}$ = $1,5$

Das heißt also, dass der Speer nach 1,5 s in der x₁x₂-Ebene angekommen ist. Wenn wir t = 1,5 in den Punkt X_t einsetzen, erhalten wir L( $12 \cdot 1,5 - 1$ | $16 \cdot 1,5 - 2$ | $- {1,5}^{2} + 0,3 \cdot 1,5 + 1,8$ ) = L $(17 | 22 | 0)$ als den Landepunkt.

Da ja der Speer im Punkt X₀ $(-1 | -2 | 1.8)$ , also direkt über A $(-1 | -2 | 0)$ losgeflogen ist, können wir die gesuchte Weite einfach als Länge des
Vektors $\vec{AL}$ = $(\begin{matrix} 17 - (-1) \\ 22 - (-2) \\ 0 - 0 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 18 \\ 24 \\ 0 \end{matrix})$ berechnen:

d = $\sqrt{18^{2} + 24^{2} + 0^{2}}$ = 30

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

nach x Minuten

Bewegungsaufgabe mit geg. Geschwindigkeit

Höhe nach x Kilometern

Zwei Objekte - gleiche Höhe

Zwei Objekte Aufgabe - Abstände

Zwei Objekte Aufgabe - Abstände

Zwei Objekte Aufgabe - Abstände (ohne windschief)

Nicht lineare Bewegung