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Kursstufe
cosh
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nach x Minuten
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B angelangt. Wie hoch ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 10s?
Wie weit ist das Flugzeug dann geflogen?
Berechne den Winkel mit dem das Flugzeug steigt?
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 430m erreicht?
Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor = zurück.
In 1s legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Dieser Vektor hat die Länge =.
Die Geschwindigkeit ist also
v=60
= 216
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im
Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A nach P bewegt, also um den Vektor =. Dessen Länge ist (in m).
Den Steigungswinkel kann man einfach als Schnittwinkel der Geraden mit der (horizontalen) x1-x2-Ebene berechnen.
Die x1-x2-Ebene hat die Gleichung x3=0 und den
Normalenvektor =.
Daraus ergibt sich für den Steigungswinkel :
sin()= =
In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x3-Koordinate).
Um von 10 auf 430m (also 420m) zu steigen (bzw. fallen),
muss es also
Bewegungsaufgabe mit geg. Geschwindigkeit
Beispiel:
Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?
Wann hat sie die (absolute) Höhe von 638m erreicht?
In welchem Punkt befindet die sich dann?
Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in
Die Länge des Vektors
Bei einer Geschwindigkeit von 6
Punkt B wird als nach 1s erreicht.
In einer s wird also der Vektor
In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um -2m (Änderung in der x3-Koordinate).
Um von 654 auf 638m (also -16m) zu steigen (bzw. fallen),
muss es also
Also im Punkt P
Höhe nach x Kilometern
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Welche Höhe hat das Flugzeug, wenn es 6 km zurückgelegt hat?
Das Bewegungsobjekt legt in 2 s den Vektor
In 1s legt es also den Vektor
Die Geradengleichung
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =
Die Geschwindigkeit ist also v=60
Für die Strecke von 6 km braucht es also
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 2040 (in m).
Zwei Objekte - gleiche Höhe
Beispiel:
Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?
Wie weit sind die beiden Heißluftballone von einander entfernt, wenn F1 genau senkrecht über oder unter der Flugbahn von F2 ist?
Die Partyheißluftballone sprühen einen pinken Farbstoff aus, so dass ihre Flugbahn noch einige Zeit später zu erkennen ist. Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen der Ballone. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?
Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor
In 1h legt es also den Vektor
Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
nach 8 h sind also der Heißluftballon F1 und der Heißluftballon F2 auf gleicher
Höhe:
Der Heißluftballon F1 ist genau dann unter/über der Flugbahn von F2, wenn die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen übereinstimmen. Da aber höchstwahrscheinlich der Heißluftballon F2 zu einem anderen Zeitpunkt genau unter oder über der Flugbahn von F1 ist, müssen wir verschiedene Parameter in die beiden Geradengleichungen einsetzen.
langsame Rechnung einblenden
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 3h und der Heißluftballon F2 nach 3h an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
der Heißluftballon F1 ist also nach 3h bei
d=|
Der Abstand der beiden Objekte nach 3h ist also
Auch den scheinbaren Schnittpunkt, den der genau darunter stehende Beobachter sieht, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.
langsame Rechnung einblenden
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 3h und der Heißluftballon F2 nach 3h an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
der Heißluftballon F1 ist also nach 3h bei
Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von
2.2 - 1.2 = 1 km
Zwei Objekte Aufgabe - Abstände
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 5min von einander entfernt?
Wie groß ist der kleinste Abstand der beiden Flugbahnen?
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die Drohne und der Heißluftballon am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?
Der Heißluftballon legt in 4min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P1
d=|
Der Abstand ist also ca. 81.03 m.
Um den kleinsten Abstand der beiden Bewegungsbahnen zu erhalten müssen wir die klassische Rechnung zur Bestimmung des Abstands zweier windschieder Geraden durchführen:
Zuerst bilden wir eine Ebene, welche die Gerade h:
Der Normalenvektor dieser Ebene ist der Normalenvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.
Wenn wir den Aufpunkt von h Ah
Nun können wir den Abstand zwischen der Geraden g:
Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.
Alternativer (kürzerer) Lösungsweg mit Formel einblenden
Der Abstand der beiden Bewegungsbahnen beträgt somit 9 m
Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.
Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen
d(t)=
d(t)=
=
=
da
mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t=
Wegen
der minimale Abstand ist also d(
Zwei Objekte - gleiche Höhe
Beispiel:
Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?
Wie weit sind die beiden Heißluftballone von einander entfernt, wenn F1 genau senkrecht über oder unter der Flugbahn von F2 ist?
Die Partyheißluftballone sprühen einen pinken Farbstoff aus, so dass ihre Flugbahn noch einige Zeit später zu erkennen ist. Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen der Ballone. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?
Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor
In 1h legt es also den Vektor
Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
nach 8 h sind also der Heißluftballon F1 und der Heißluftballon F2 auf gleicher
Höhe:
Der Heißluftballon F1 ist genau dann unter/über der Flugbahn von F2, wenn die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen übereinstimmen. Da aber höchstwahrscheinlich der Heißluftballon F2 zu einem anderen Zeitpunkt genau unter oder über der Flugbahn von F1 ist, müssen wir verschiedene Parameter in die beiden Geradengleichungen einsetzen.
langsame Rechnung einblenden
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 7h und der Heißluftballon F2 nach 5h an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
der Heißluftballon F1 ist also nach 7h bei
d=|
Der Abstand der beiden Objekte nach 7h ist also
Auch den scheinbaren Schnittpunkt, den der genau darunter stehende Beobachter sieht, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.
langsame Rechnung einblenden
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 7h und der Heißluftballon F2 nach 5h an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
der Heißluftballon F1 ist also nach 7h bei
Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von
1.5 - 1.4 = 0.1 km
Zwei Objekte Aufgabe - Abstände (ohne windschief)
Beispiel:
Flugzeug Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 2min von einander entfernt?
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die beiden Flugzeuge am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?
Das Bewegungsobjekt legt in 5min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
F1 ist nach 2min an der Stelle P1
d=|
Der Abstand ist also ca. 32.39 km.
Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.
Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen
d(t)=
d(t)=
=
=
da
mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t=
Wegen
der minimale Abstand ist also d(
Nicht lineare Bewegung
Beispiel:
Ein Speerwerfer wirft einen Speer auf einer Fläche, die durch die x1x2-Ebene beschrieben wird. Die Flugbahn des Speers kann mithilfe der Punkte Xt(
Berechne die Weite, die für den Speerwurf gemessen wird.
Zuerst berechnen den t-Wert, an dem der Speer auf die x1x2-Ebene trifft, also wenn x3= 0 ist:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Das heißt also, dass der Speer nach 1,9 s in der x1x2-Ebene angekommen ist. Wenn wir t = 1,9 in den Punkt
Xt einsetzen, erhalten wir L(
Da ja der Speer im Punkt X0
Vektors
d =