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nach x Minuten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-50|-50|40) (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B (-290|-290|160) angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h?
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 5min?
Wie weit ist der Heißluftballon dann geflogen?
Berechne den Winkel mit dem der Heißluftballon steigt?
Wann hat er die Höhe von 880m erreicht?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor AB = ( -240 -240 120 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( -240 -240 120 ) = ( -60 -60 30 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = (-60) 2 + (-60)2 + 30 2 = 8100 = 90.
Die Geschwindigkeit ist also v=90 m min = 5.4 km h

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -50 -50 40 ) +t ( -60 -60 30 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -50 -50 40 ) +5 ( -60 -60 30 ) = ( -350 -350 190 ) , also im Punkt P(-350|-350|190).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(-50|-50|40) nach P(-350|-350|190) bewegt, also um den Vektor AP = ( -300 -300 150 ) . Dessen Länge ist (-300) 2 + (-300)2 + 150 2 = 202500 = 450m.

Den Steigungswinkel kann man einfach als Schnittwinkel der Geraden mit der (horizontalen) x1-x2-Ebene berechnen. Die x1-x2-Ebene hat die Gleichung x3=0 und den Normalenvektor n = ( 0 0 1 ) .
Daraus ergibt sich für den Steigungswinkel α: sin(α)= | ( -60 -60 30 ) ( 0 0 1 ) | | ( -60 -60 30 ) | | ( 0 0 1 ) | = | (-60)0 + (-60)0 + 301 | (-60) 2 + (-60)2 + 30 2 0 2 + 02 + 1 2
= | 30 | 8100 1 0.3333 => α=19.5°

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 40 auf 880m (also 840m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 840 30 min = 28min lang steigen (bzw. sinken).

Bewegungsaufgabe mit geg. Geschwindigkeit

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-100|-250|100) und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1980km/h in Richtung des Punktes B (-1000|-1300|1000) (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?
Wann hat die Rakete die (absolute) Höhe von 7300m erreicht? In welchem Punkt befindet es sich dann?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 1980000 m 3600 s = 550 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( -900 -1050 900 ) ist (-900) 2 + (-1050)2 + 900 2 = 2722500 = 1650 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 550 m s . braucht er für diese Strecke 1650 550 s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

In einer s wird also der Vektor 1 3 ( -900 -1050 900 ) = ( -300 -350 300 ) zurückgelegt.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann so als Gerade g mit g: x = ( -100 -250 100 ) +t ( -300 -350 300 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 300m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 100 auf 7300m (also 7200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 7200 300 s = 24s lang steigen (bzw. sinken) und ist dann im Punkt mit dem Ortsvektor OP = ( -100 -250 100 ) +24 ( -300 -350 300 ) = ( -7300 -8650 7300 )
Also im Punkt P(-7300|-8650|7300).

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-18|0|0) (alle Angaben in Meter). Da der Wind extrem gleichmäßig ist, fliegt er mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn. Nach 3min ist er im Punkt B (-162|144|72) angelangt.
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 7,2 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor AB = ( -144 144 72 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 3 ( -144 144 72 ) = ( -48 48 24 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( -18 0 0 ) +t ( -48 48 24 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = (-48) 2 + 482 + 24 2 = 5184 = 72.
Die Geschwindigkeit ist also v=72 m min
Für die Strecke von 7.2 km braucht es also 7200 72 min = 100min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -18 0 0 ) +100 ( -48 48 24 ) = ( -4818 4800 2400 ) , also im Punkt P(-4818|4800|2400).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 2400m.

Zwei Objekte - gleiche Höhe

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (5|-6|0,8) . Nach 4s ist sie im Punkt B (13|18|1,6) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 32 66 0 ) +t ( -1 -2 0,3 ) . (alle Koordinaten in Meter; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Wann sind die Drohne und die Seilbahngondel auf gleicher Höhe?
Wie weit ist Drohne von der Seilbahngondel entfernt, wenn sie genau senkrecht über der Seilbahn ist?
Berechne zu diesem Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist, den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

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Die Seilbahngondel F2 legt in 4s den Vektor AB = ( 8 24 0.8 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( 8 24 0.8 ) = ( 2 6 0.2 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 5 -6 0.8 ) +t ( 2 6 0.2 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,3t +0 = 0,2t +0,8
0,3t = 0,2t +0,8 | -0,2t
0,1t = 0,8 |:0,1
t = 8

nach 8 s sind also die Drohne F1 und die Seilbahngondel F2 auf gleicher Höhe: 0,38 +0 = 2.4 = 0,28 +0,8


Die Drohne F1 ist genau dann unter/über der Flugbahn von F2, wenn die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen übereinstimmen. Da aber höchstwahrscheinlich die Seilbahngondel F2 zu einem anderen Zeitpunkt genau unter oder über der Flugbahn von F1 ist, müssen wir verschiedene Parameter in die beiden Geradengleichungen einsetzen.

( 32 66 0 ) +s ( -1 -2 0.3 ) = ( 5 -6 0.8 ) +t ( 2 6 0.2 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

32-1s= 5+2t66-2s= -6+6t

-1 s -2 t = -27 (I) -2 s -6 t = -72 (II)
-1 s -2 t = -27 (I) -2 s -6 t = -72 (II)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -1·(II)

-1 s -2 t = -27 (I) ( -2 +2 )s +( -4 +6 )t = ( -54 +72 ) (II)
-1 s -2 t = -27 (I) +2 t = 18 (II)
Zeile (II): +2 t = 18

t = 9

eingesetzt in Zeile (I):

-1 s -2 ·(9 ) = -27 | +18
-1 s = -9 | : (-1)

s = 9

L={(9 |9 )}

Das heißt also, dass die Drohne F1 nach 9s und die Seilbahngondel F2 nach 9s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

die Drohne F1 ist also nach 9s bei ( 32 66 0 ) +9 ( -1 -2 0.3 ) = ( 23 48 2.7 ) , während die Seilbahngondel F2 nach 9s bei ( 5 -6 0.8 ) +9 ( 2 6 0.2 ) = ( 23 48 2.6 ) ist.

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(23|48|2.7) und P2(23|48|2.6):
P1P2 = ( 23-23 48-48 2.6-2.7 ) = ( 0 0 -0.1 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 0 0 -0.1 ) | = 0 2 + 02 + (-0.1) 2 = 0.01 ≈ 0.1

Der Abstand der beiden Objekte nach 9s ist also 0.01 m ≈ 0.1 m


Auch den scheinbaren Schnittpunkt, den der genau darunter stehende Beobachter sieht, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( 32 66 0 ) +s ( -1 -2 0.3 ) = ( 5 -6 0.8 ) +t ( 2 6 0.2 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

32-1s= 5+2t66-2s= -6+6t

-1 s -2 t = -27 (I) -2 s -6 t = -72 (II)
-1 s -2 t = -27 (I) -2 s -6 t = -72 (II)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -1·(II)

-1 s -2 t = -27 (I) ( -2 +2 )s +( -4 +6 )t = ( -54 +72 ) (II)
-1 s -2 t = -27 (I) +2 t = 18 (II)
Zeile (II): +2 t = 18

t = 9

eingesetzt in Zeile (I):

-1 s -2 ·(9 ) = -27 | +18
-1 s = -9 | : (-1)

s = 9

L={(9 |9 )}

Das heißt also, dass die Drohne F1 nach 9s und die Seilbahngondel F2 nach 9s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

die Drohne F1 ist also nach 9s bei ( 32 66 0 ) +9 ( -1 -2 0.3 ) = ( 23 48 2.7 ) , während die Seilbahngondel F2 nach 9s bei ( 5 -6 0.8 ) +9 ( 2 6 0.2 ) = ( 23 48 2.6 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.7 - 2.6 = 0.1 m

Zwei Objekte Aufgabe - Abstände

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -3 -10 -1 ) +t ( 3 -20 29 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-1|39|-55) . Nach 5min ist es im Punkt B (-1|-61|95) angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 3min von einander entfernt?
Wie groß ist der kleinste Abstand der beiden Flugbahnen?
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die beiden Flugzeuge am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?

Lösung einblenden

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor AB = ( 0 -100 150 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 5 ( 0 -100 150 ) = ( 0 -20 30 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -1 39 -55 ) +t ( 0 -20 30 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Das Flugzeug F1 ist nach 3min an der Stelle P1 ( -3 -10 -1 ) +3 ( 3 -20 29 ) = ( 6 -70 86 ) und das Flugzeug F2 an der Stelle P2 ( -1 39 -55 ) +3 ( 0 -20 30 ) = ( -1 -21 35 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(6|-70|86) und P2(-1|-21|35):
P1P2 = ( -1-6 -21-( - 70 ) 35-86 ) = ( -7 49 -51 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( -7 49 -51 ) | = (-7) 2 + 492 + (-51) 2 = 5051 ≈ 71.070387644926

Der Abstand ist also ca. 71.07 km.


Um den kleinsten Abstand der beiden Bewegungsbahnen zu erhalten müssen wir die klassische Rechnung zur Bestimmung des Abstands zweier windschieder Geraden durchführen:

Zuerst bilden wir eine Ebene, welche die Gerade h: x = ( -1 39 -55 ) +t ( 0 -20 30 ) enthält und parallel zur Geraden g: x = ( -3 -10 -1 ) +t ( 3 -20 29 ) ist, also x = ( -1 39 -55 ) + r ( 0 -20 30 ) + s ( 3 -20 29 )
Der Normalenvektor dieser Ebene ist der Normalenvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.

n = ( 3 -20 29 ) × ( 0 -20 30 ) = ( -2030-29( - 20 ) 290-330 3( - 20 )-( - 20 )0 ) = ( -600-( - 580 ) 0-90 -60-0 ) = ( -20 -90 -60 ) = -10⋅ ( 2 9 6 )

Wenn wir den Aufpunkt von h Ah(-1|39|-55) in die allgemeine Ebenengleichung 2 x 1 +9 x 2 +6 x 3 = d einsetzen erhalten wir für diese Hilfsebene die Koordinatengleichung:

2 x 1 +9 x 2 +6 x 3 = 19

Nun können wir den Abstand zwischen der Geraden g: x = ( -3 -10 -1 ) +t ( 3 -20 29 ) und dieser (zu g parallelen) Ebene berechnen, indem wir aus der Geraden einen Punkt, am besten den Aufpunkt (-3|-10|-1), nehmen und den Abstand zwischen diesem Punkt und der Ebene mit Hilfe der Hesse-Formel (Abstand Punkt-Ebene) berechnen. Dieser Abstand ist auch der Abstand der beiden windschiefen Geraden zueinander.

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 2 ( - 3 )+9 ( - 10 )+6 ( - 1 )-19 | 2 2 + 9 2 + 6 2
= | -121 | 121 = 121 11 = 11

Alternativer (kürzerer) Lösungsweg mit Formel einblenden

Der Abstand der beiden Bewegungsbahnen beträgt somit 11 km


Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.

Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen G1 t ( -3 +3 t | -10 -20 t | -1 +29 t ) und G2 t ( -1 +0 t | 39 -20 t | -55 +30 t ) minimal wird.

d(t)= | ( -1+0t 39-20t -55+30t ) - ( -3+3t -10-20t -1+29t ) | = | ( 2-3t 49+0t -54+1t ) | soll also minimal werden.

d(t)= ( -3t +2 ) 2 + ( 0 +49 ) 2 + ( t -54 ) 2
= 9 t 2 -12t +4 +2401 + t 2 -108t +2916
= 10 t 2 -120t +5321

da a < b a < b können wir auch das Minimum der quadratischen Funktion unter der Wurzel bestimmen, um die gesuchte Zeit t zu erhalten. Dazu leiten wir diese erst mal zwei mal ab:

f'(t)= 20x -120 +0

f''(t)= 20 +0+0

mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t= 6 als potentielle Extremstelle.

Wegen f''(t)= 20 +0+0 >0 ist also der Tiefpunkt bei t= 6 .

der minimale Abstand ist also d( 6 )= 10 6 2 -1206 +5321 = 4961 ≈ 70.4 km

Zwei Objekte - gleiche Höhe

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -10 -1 0,5 ) +t ( -4 7 0,5 ) . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-39|52|1,5) . Nach 2h ist er im Punkt B (-53|72|2,1) angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?
Wie weit sind die beiden Heißluftballone von einander entfernt, wenn F1 genau senkrecht über oder unter der Flugbahn von F2 ist?
Die Partyheißluftballone sprühen einen pinken Farbstoff aus, so dass ihre Flugbahn noch einige Zeit später zu erkennen ist. Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen der Ballone. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

Lösung einblenden

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor AB = ( -14 20 0.6 ) zurück.
In 1h legt es also den Vektor 1 2 ( -14 20 0.6 ) = ( -7 10 0.3 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -39 52 1.5 ) +t ( -7 10 0.3 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,5t +0,5 = 0,3t +1,5 | -0,5 -0,3t
0,2t = 1 |:0,2
t = 5

nach 5 h sind also der Heißluftballon F1 und der Heißluftballon F2 auf gleicher Höhe: 0,55 +0,5 = 3 = 0,35 +1,5


Der Heißluftballon F1 ist genau dann unter/über der Flugbahn von F2, wenn die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen übereinstimmen. Da aber höchstwahrscheinlich der Heißluftballon F2 zu einem anderen Zeitpunkt genau unter oder über der Flugbahn von F1 ist, müssen wir verschiedene Parameter in die beiden Geradengleichungen einsetzen.

( -10 -1 0.5 ) +s ( -4 7 0.5 ) = ( -39 52 1.5 ) +t ( -7 10 0.3 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

-10-4s= -39-7t-1+7s= 52+10t

-4 s +7 t = -29 (I) 7 s -10 t = 53 (II)
-4 s +7 t = -29 (I) 7 s -10 t = 53 (II)

langsame Rechnung einblenden7·(I) + 4·(II)

-4 s 7 t = -29 (I) ( -28 +28 )s +( 49 -40 )t = ( -203 +212 ) (II)
-4 s +7 t = -29 (I) +9 t = 9 (II)
Zeile (II): +9 t = 9

t = 1

eingesetzt in Zeile (I):

-4 s +7 ·(1 ) = -29 | -7
-4 s = -36 | : (-4)

s = 9

L={(9 |1 )}

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 9h und der Heißluftballon F2 nach 1h an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 9h bei ( -10 -1 0.5 ) +9 ( -4 7 0.5 ) = ( -46 62 5 ) , während der Heißluftballon F2 nach 9h bei ( -39 52 1.5 ) +9 ( -7 10 0.3 ) = ( -102 142 4.2 ) ist.

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-46|62|5) und P2(-102|142|4.2):
P1P2 = ( -102-( - 46 ) 142-62 4.2-5 ) = ( -56 80 -0.8 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( -56 80 -0.8 ) | = (-56) 2 + 802 + (-0.8) 2 = 9536.64 ≈ 97.655721798572

Der Abstand der beiden Objekte nach 9h ist also 9537.4756 km ≈ 97.66 km


Auch den scheinbaren Schnittpunkt, den der genau darunter stehende Beobachter sieht, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( -10 -1 0.5 ) +s ( -4 7 0.5 ) = ( -39 52 1.5 ) +t ( -7 10 0.3 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

-10-4s= -39-7t-1+7s= 52+10t

-4 s +7 t = -29 (I) 7 s -10 t = 53 (II)
-4 s +7 t = -29 (I) 7 s -10 t = 53 (II)

langsame Rechnung einblenden7·(I) + 4·(II)

-4 s 7 t = -29 (I) ( -28 +28 )s +( 49 -40 )t = ( -203 +212 ) (II)
-4 s +7 t = -29 (I) +9 t = 9 (II)
Zeile (II): +9 t = 9

t = 1

eingesetzt in Zeile (I):

-4 s +7 ·(1 ) = -29 | -7
-4 s = -36 | : (-4)

s = 9

L={(9 |1 )}

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 9h und der Heißluftballon F2 nach 1h an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 9h bei ( -10 -1 0.5 ) +9 ( -4 7 0.5 ) = ( -46 62 5 ) , während der Heißluftballon F2 nach 1h bei ( -39 52 1.5 ) +1 ( -7 10 0.3 ) = ( -46 62 1.8 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

5 - 1.8 = 3.2 km

Zwei Objekte Aufgabe - Abstände (ohne windschief)

Beispiel:

Flugzeug Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 2 -3 -2 ) +t ( 8 -13 -1 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-7|29|2) . Nach 2min ist es im Punkt B (9|1|2) angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 3min von einander entfernt?
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die beiden Flugzeuge am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor AB = ( 16 -28 0 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 2 ( 16 -28 0 ) = ( 8 -14 0 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -7 29 2 ) +t ( 8 -14 0 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 3min an der Stelle P1 ( 2 -3 -2 ) +3 ( 8 -13 -1 ) = ( 26 -42 -5 ) und F2 an der Stelle P2 ( -7 29 2 ) +3 ( 8 -14 0 ) = ( 17 -13 2 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(26|-42|-5) und P2(17|-13|2):
P1P2 = ( 17-26 -13-( - 42 ) 2-( - 5 ) ) = ( -9 29 7 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( -9 29 7 ) | = (-9) 2 + 292 + 7 2 = 971 ≈ 31.160872901766

Der Abstand ist also ca. 31.16 km.


Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.

Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen G1 t ( 2 +8 t | -3 -13 t | -2 -1 t ) und G2 t ( -7 +8 t | 29 -14 t | 2 +0 t ) minimal wird.

d(t)= | ( -7+8t 29-14t 2+0t ) - ( 2+8t -3-13t -2-1t ) | = | ( -9+0t 32-1t 4+1t ) | soll also minimal werden.

d(t)= ( 0 -9 ) 2 + ( -t +32 ) 2 + ( t +4 ) 2
= 81 + t 2 -64t +1024 + t 2 +8t +16
= 2 t 2 -56t +1121

da a < b a < b können wir auch das Minimum der quadratischen Funktion unter der Wurzel bestimmen, um die gesuchte Zeit t zu erhalten. Dazu leiten wir diese erst mal zwei mal ab:

f'(t)= 4x -56 +0

f''(t)= 4 +0+0

mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t= 14 als potentielle Extremstelle.

Wegen f''(t)= 4 +0+0 >0 ist also der Tiefpunkt bei t= 14 .

der minimale Abstand ist also d( 14 )= 2 14 2 -5614 +1121 = 27 ≈ 27