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nach x Minuten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | -10 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(110 | 110 | 80)$ angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h?
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 3min?
Wie weit ist der Heißluftballon dann geflogen?
Berechne den Winkel mit dem der Heißluftballon steigt?
Wann hat er die Höhe von 740m erreicht?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 120 \\ 120 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 120 \\ 120 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{60^{2} + 60^{2} + 30^{2}} = \sqrt{8100} = 90$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=90 $\frac{m}{\min}$ = 5.4 $\frac{km}{h}$

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ -10 \\ 20 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -10 \\ -10 \\ 20 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 170 \\ 170 \\ 110 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(170 | 170 | 110)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-10 | -10 | 20)$ nach P $(170 | 170 | 110)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} 180 \\ 180 \\ 90 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{180^{2} + 180^{2} + 90^{2}} = \sqrt{72900} = 270$ (in m).

Den Steigungswinkel kann man einfach als Schnittwinkel der Geraden mit der (horizontalen) x₁-x₂-Ebene berechnen. Die x₁-x₂-Ebene hat die Gleichung x₃=0 und den Normalenvektor $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ .
Daraus ergibt sich für den Steigungswinkel $α$ : sin( $α$ )= $\frac{| (\begin{matrix} 60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} 60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) |}$ = $\frac{| 60 \cdot 0 + 60 \cdot 0 + 30 \cdot 1 |}{\sqrt{60^{2} + 60^{2} + 30^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}}$
$= \frac{| 30 |}{\sqrt{8100} \cdot \sqrt{1}} \approx 0.3333$ => $α$ =19.5°

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 740m (also 720m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{720}{30}$ min = 24min lang steigen (bzw. sinken).

Bewegungsaufgabe mit geg. Geschwindigkeit

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(3 | 2 | 654)$ in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 32,4km/h in Richtung des Punktes B $(31 | -14 | 638)$ (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?
Wann hat sie die (absolute) Höhe von 462m erreicht?
In welchem Punkt befindet die sich dann?

Lösung einblenden

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{32400 m}{3600 s}$ = 9 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 28 \\ -16 \\ -16 \end{matrix})$ ist $\sqrt{28^{2} + {(-16)}^{2} + {(-16)}^{2}} = \sqrt{1296} = 36$ (in m).
Bei einer Geschwindigkeit von 9 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{36}{9}$ s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

In einer s wird also der Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 28 \\ -16 \\ -16 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 7 \\ -4 \\ -4 \end{matrix})$ zurückgelegt.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann so als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 654 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 7 \\ -4 \\ -4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um -4m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 654 auf 462m (also -192m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{-192}{-4}$ s = 48s lang steigen (bzw. sinken) und ist dann im Punkt mit dem Ortsvektor $\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 654 \end{matrix}) + 48 \cdot (\begin{matrix} 7 \\ -4 \\ -4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 339 \\ -190 \\ 462 \end{matrix})$
Also im Punkt P $(339 | -190 | 462)$ .

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(20 | 0 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(260 | -120 | 50)$ angelangt.
Welche Höhe hat das Flugzeug, wenn es 18 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 240 \\ -120 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 240 \\ -120 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 20 \\ 0 \\ 20 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{80^{2} + {(-40)}^{2} + 10^{2}} = \sqrt{8100} = 90$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=90 $\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 18 km braucht es also $\frac{18000}{90}$ s = 200s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 20 \\ 0 \\ 20 \end{matrix}) + 200 \cdot (\begin{matrix} 80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 16020 \\ -8000 \\ 2020 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(16020 | -8000 | 2020)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2020 (in m).

Zwei Objekte - gleiche Höhe

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-2 | -5 | 0,6)$ . Nach 2s ist sie im Punkt B $(4 | 3 | 1,4)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 35 \\ 51 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -8 \\ 0,2 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in Meter; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Wann sind die Drohne und die Seilbahngondel auf gleicher Höhe?
Wie weit ist Drohne von der Seilbahngondel entfernt, wenn sie genau senkrecht über der Seilbahn ist?
Berechne zu diesem Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist, den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel F2 legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 8 \\ 0.8 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 6 \\ 8 \\ 0.8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -2 \\ -5 \\ 0.6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0.4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,2 t + 2$	=	$0,4 t + 0,6$	\| $- 2$ $- 0,4 t$
$- 0,2 t$	=	$- 1,4$	\|:( $- 0,2$ )
$t$	=	$7$

nach 7 s sind also die Drohne F1 und die Seilbahngondel F2 auf gleicher Höhe: $0,2 \cdot 7 + 2$ = 3.4 = $0,4 \cdot 7 + 0,6$

Die Drohne F1 ist genau dann unter/über der Flugbahn von F2, wenn die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen übereinstimmen. Da aber höchstwahrscheinlich die Seilbahngondel F2 zu einem anderen Zeitpunkt genau unter oder über der Flugbahn von F1 ist, müssen wir verschiedene Parameter in die beiden Geradengleichungen einsetzen.

$(\begin{matrix} 35 \\ 51 \\ 2 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -8 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -2 \\ -5 \\ 0.6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0.4 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 35 & -5 s & = & -2 & +3 t \\ 51 & -8 s & = & -5 & +4 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 5 s & - 3 t & = & - 37 & (I) \\ - 8 s & - 4 t & = & - 56 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 5 s & - 3 t & = & - 37 & (I) \\ - 8 s & - 4 t & = & - 56 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $8$ ·(I) $- 5$ ·(II)

\begin{matrix} - 5 s & - 3 t & = & - 37 & (I) \\ (- 40 + 40) s & + (- 24 + 20) t & = & (- 296 + 280) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 5 s & - 3 t & = & - 37 & (I) \\ - 4 t & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} - 4 t & = & - 16 \end{matrix}

t = $4$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 5 s & - 3 \cdot (4) & = & - 37 \end{matrix}

| +

12

- 5

s =

- 25

| :

(-5)

s = $5$

$L = {(5 | 4)}$

Das heißt also, dass die Drohne F1 nach 5s und die Seilbahngondel F2 nach 4s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne F1 ist also nach 5s bei $(\begin{matrix} 35 \\ 51 \\ 2 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -8 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 11 \\ 3 \end{matrix})$ , während die Seilbahngondel F2 nach 5s bei $(\begin{matrix} -2 \\ -5 \\ 0.6 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 13 \\ 15 \\ 2.6 \end{matrix})$ ist.

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(10 | 11 | 3)

und P₂

(13 | 15 | 2.6)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 13 - 10 \\ 15 - 11 \\ 2.6 - 3 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ -0.4 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ -0.4 \end{matrix}) |

=

\sqrt{3^{2} + 4^{2} + {(-0.4)}^{2}}

=

\sqrt{25.16}

≈ 5.0159744815938

Der Abstand der beiden Objekte nach 5s ist also $\sqrt{25.2004}$ m ≈ 5.02 m

Auch den scheinbaren Schnittpunkt, den der genau darunter stehende Beobachter sieht, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} 35 \\ 51 \\ 2 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -8 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -2 \\ -5 \\ 0.6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0.4 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 35 & -5 s & = & -2 & +3 t \\ 51 & -8 s & = & -5 & +4 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 5 s & - 3 t & = & - 37 & (I) \\ - 8 s & - 4 t & = & - 56 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 5 s & - 3 t & = & - 37 & (I) \\ - 8 s & - 4 t & = & - 56 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $8$ ·(I) $- 5$ ·(II)

\begin{matrix} - 5 s & - 3 t & = & - 37 & (I) \\ (- 40 + 40) s & + (- 24 + 20) t & = & (- 296 + 280) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 5 s & - 3 t & = & - 37 & (I) \\ - 4 t & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} - 4 t & = & - 16 \end{matrix}

t = $4$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 5 s & - 3 \cdot (4) & = & - 37 \end{matrix}

| +

12

- 5

s =

- 25

| :

(-5)

s = $5$

$L = {(5 | 4)}$

Das heißt also, dass die Drohne F1 nach 5s und die Seilbahngondel F2 nach 4s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne F1 ist also nach 5s bei $(\begin{matrix} 35 \\ 51 \\ 2 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -8 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 11 \\ 3 \end{matrix})$ , während die Seilbahngondel F2 nach 4s bei $(\begin{matrix} -2 \\ -5 \\ 0.6 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 11 \\ 2.2 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3 - 2.2 = 0.8 m

Zwei Objekte Aufgabe - Abstände

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 15 \\ -24 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | -8 | 31)$ . Nach 1min ist es im Punkt B $(12 | 8 | 7)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 3min von einander entfernt?
Wie groß ist der kleinste Abstand der beiden Flugbahnen?
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die beiden Flugzeuge am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?

Lösung einblenden

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 12 \\ 16 \\ -24 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ -8 \\ 31 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 12 \\ 16 \\ -24 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Das Flugzeug F1 ist nach 3min an der Stelle P1 $(\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 15 \\ -24 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 45 \\ 47 \\ -72 \end{matrix})$ und das Flugzeug F2 an der Stelle P2 $(\begin{matrix} 0 \\ -8 \\ 31 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 12 \\ 16 \\ -24 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 36 \\ 40 \\ -41 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(45 | 47 | -72)

und P₂

(36 | 40 | -41)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 36 - 45 \\ 40 - 47 \\ -41 - (-72) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -9 \\ -7 \\ 31 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -9 \\ -7 \\ 31 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-9)}^{2} + {(-7)}^{2} + 31^{2}}

=

\sqrt{1091}

≈ 33.030289129827

Der Abstand ist also ca. 33.03 km.

Um den kleinsten Abstand der beiden Bewegungsbahnen zu erhalten müssen wir die klassische Rechnung zur Bestimmung des Abstands zweier windschieder Geraden durchführen:

Zuerst bilden wir eine Ebene, welche die Gerade h: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ -8 \\ 31 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 12 \\ 16 \\ -24 \end{matrix})$ enthält und parallel zur Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 15 \\ -24 \end{matrix})$ ist, also $\vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ -8 \\ 31 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 12 \\ 16 \\ -24 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 15 \\ -24 \end{matrix})$
Der Normalenvektor dieser Ebene ist der Normalenvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.

\vec{n} = (\begin{matrix} 13 \\ 15 \\ -24 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 12 \\ 16 \\ -24 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 15 \cdot (- 24) - (- 24) \cdot 16 \\ - 24 \cdot 12 - 13 \cdot (- 24) \\ 13 \cdot 16 - 15 \cdot 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 360 + 384 \\ - 288 + 312 \\ 208 - 180 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 24 \\ 24 \\ 28 \end{matrix})

= 4⋅

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 7 \end{matrix})

Wenn wir den Aufpunkt von h A_h $(0 | -8 | 31)$ in die allgemeine Ebenengleichung $6 x_{1} + 6 x_{2} + 7 x_{3} = d$ einsetzen erhalten wir für diese Hilfsebene die Koordinatengleichung:

6 x_{1} + 6 x_{2} + 7 x_{3} = 169

Nun können wir den Abstand zwischen der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 15 \\ -24 \end{matrix})$ und dieser (zu g parallelen) Ebene berechnen, indem wir aus der Geraden einen Punkt, am besten den Aufpunkt $(6 | 2 | 0)$ , nehmen und den Abstand zwischen diesem Punkt und der Ebene mit Hilfe der Hesse-Formel (Abstand Punkt-Ebene) berechnen. Dieser Abstand ist auch der Abstand der beiden windschiefen Geraden zueinander.

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d =

\frac{| 6 \cdot 6 + 6 \cdot 2 + 7 \cdot 0 - 169 |}{\sqrt{6^{2} + 6^{2} + 7^{2}}}

=

\frac{| -121 |}{\sqrt{121}}

=

\frac{121}{11}

= 11

Alternativer (kürzerer) Lösungsweg mit Formel einblenden

Wenn man die Hesse'sche Normalenform in Vektorschreibweise mit A_h scheibt:
$\frac{| [\vec{x} - (\begin{matrix} 0 \\ -8 \\ 31 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 7 \end{matrix}) |}{\sqrt{6^{2} + 6^{2} + 7^{2}}}$ , kann man ja A_g (den Aufpunkt von g) direkt für x einsetzen:
$d =$ $\frac{| [(\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ -8 \\ 31 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 7 \end{matrix}) |}{\sqrt{6^{2} + 6^{2} + 7^{2}}}$ = $\frac{| (\begin{matrix} 6 \\ 10 \\ -31 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 7 \end{matrix}) |}{\sqrt{6^{2} + 6^{2} + 7^{2}}}$ = $\frac{| 6 \cdot 6 + 10 \cdot 6 + (-31) \cdot 7 |}{\sqrt{36 + 36 + 49}}$ = $\frac{| -121 |}{\sqrt{121}}$ = $\frac{121}{11}$ = $11$

Der Abstand der beiden Bewegungsbahnen beträgt somit 11 km

Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.

Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen ${G1}_{t} (6 + 13 t | 2 + 15 t | 0 - 24 t)$ und ${G2}_{t} (0 + 12 t | -8 + 16 t | 31 - 24 t)$ minimal wird.

d(t)= $| (\begin{matrix} 0 + 12 t \\ -8 + 16 t \\ 31 - 24 t \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 + 13 t \\ 2 + 15 t \\ 0 - 24 t \end{matrix}) |$ = $| (\begin{matrix} -6 - 1 t \\ -10 + 1 t \\ 31 + 0 t \end{matrix}) |$ soll also minimal werden.

d(t)= $\sqrt{{(- t - 6)}^{2} + {(t - 10)}^{2} + {(0 + 31)}^{2}}$
= $\sqrt{t^{2} + 12 t + 36 + t^{2} - 20 t + 100 + 961}$
= $\sqrt{2 t^{2} - 8 t + 1 097}$

da $a < b \Leftrightarrow$ $\sqrt{a}$ < $\sqrt{b}$ können wir auch das Minimum der quadratischen Funktion unter der Wurzel bestimmen, um die gesuchte Zeit t zu erhalten. Dazu leiten wir diese erst mal zwei mal ab:

$f'(t) =$ $4 x - 8 + 0$

$f''(t) =$ $4 + 0 + 0$

mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t= $2$ als potentielle Extremstelle.

Wegen $f''(t) =$ $4 + 0 + 0$ >0 ist also der Tiefpunkt bei t= $2$ .

der minimale Abstand ist also d( $2$ )= $\sqrt{2 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 1 097}$ = $33$ ≈ 33 (in km)

Zwei Objekte Aufgabe - Abstände

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | 1 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B $(-6 | 19 | -5)$ angelangt.
Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -5 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ -5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 2min von einander entfernt?
Wie groß ist der kleinste Abstand der beiden Flugbahnen?
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die Drohne und der Heißluftballon am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?

Lösung einblenden

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -6 \\ 18 \\ -15 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -6 \\ 18 \\ -15 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -2 \\ 6 \\ -5 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 6 \\ -5 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2min an der Stelle P1 $(\begin{matrix} -5 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ -5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -5 \\ 11 \\ -11 \end{matrix})$ und der Heißluftballon an der Stelle P2 $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 10 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 6 \\ -5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ 13 \\ 0 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-5 | 11 | -11)

und P₂

(-4 | 13 | 0)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -4 - (-5) \\ 13 - 11 \\ 0 - (-11) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 11 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 11 \end{matrix}) |

=

\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 11^{2}}

=

\sqrt{126}

≈ 11.224972160322

Der Abstand ist also ca. 11.22 m.

Um den kleinsten Abstand der beiden Bewegungsbahnen zu erhalten müssen wir die klassische Rechnung zur Bestimmung des Abstands zweier windschieder Geraden durchführen:

Zuerst bilden wir eine Ebene, welche die Gerade h: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 6 \\ -5 \end{matrix})$ enthält und parallel zur Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -5 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ -5 \end{matrix})$ ist, also $\vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 10 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 6 \\ -5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ -5 \end{matrix})$
Der Normalenvektor dieser Ebene ist der Normalenvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.

\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ -5 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} -2 \\ 6 \\ -5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \cdot (- 5) - (- 5) \cdot 6 \\ - 5 \cdot (- 2) - 0 \cdot (- 5) \\ 0 \cdot 6 - 5 \cdot (- 2) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 25 + 30 \\ 10 + 0 \\ 0 + 10 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 10 \\ 10 \end{matrix})

= 5⋅

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

Wenn wir den Aufpunkt von h A_h $(0 | 1 | 10)$ in die allgemeine Ebenengleichung $x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = d$ einsetzen erhalten wir für diese Hilfsebene die Koordinatengleichung:

x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = 22

Nun können wir den Abstand zwischen der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -5 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ -5 \end{matrix})$ und dieser (zu g parallelen) Ebene berechnen, indem wir aus der Geraden einen Punkt, am besten den Aufpunkt $(-5 | 1 | -1)$ , nehmen und den Abstand zwischen diesem Punkt und der Ebene mit Hilfe der Hesse-Formel (Abstand Punkt-Ebene) berechnen. Dieser Abstand ist auch der Abstand der beiden windschiefen Geraden zueinander.

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d =

\frac{| 1 \cdot (- 5) + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (- 1) - 22 |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}}

=

\frac{| -27 |}{\sqrt{9}}

=

\frac{27}{3}

= 9

Alternativer (kürzerer) Lösungsweg mit Formel einblenden

Wenn man die Hesse'sche Normalenform in Vektorschreibweise mit A_h scheibt:
$\frac{| [\vec{x} - (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 10 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}}$ , kann man ja A_g (den Aufpunkt von g) direkt für x einsetzen:
$d =$ $\frac{| [(\begin{matrix} -5 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 10 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}}$ = $\frac{| (\begin{matrix} -5 \\ 0 \\ -11 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}}$ = $\frac{| (-5) \cdot 1 + 0 \cdot 2 + (-11) \cdot 2 |}{\sqrt{1 + 4 + 4}}$ = $\frac{| -27 |}{\sqrt{9}}$ = $\frac{27}{3}$ = $9$

Der Abstand der beiden Bewegungsbahnen beträgt somit 9 m

Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.

Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen ${G1}_{t} (-5 + 0 t | 1 + 5 t | -1 - 5 t)$ und ${G2}_{t} (0 - 2 t | 1 + 6 t | 10 - 5 t)$ minimal wird.

d(t)= $| (\begin{matrix} 0 - 2 t \\ 1 + 6 t \\ 10 - 5 t \end{matrix}) - (\begin{matrix} -5 + 0 t \\ 1 + 5 t \\ -1 - 5 t \end{matrix}) |$ = $| (\begin{matrix} 5 - 2 t \\ 0 + 1 t \\ 11 + 0 t \end{matrix}) |$ soll also minimal werden.

d(t)= $\sqrt{{(- 2 t + 5)}^{2} + {(t + 0)}^{2} + {(0 + 11)}^{2}}$
= $\sqrt{4 t^{2} - 20 t + 25 + t^{2} + 121}$
= $\sqrt{5 t^{2} - 20 t + 146}$

da $a < b \Leftrightarrow$ $\sqrt{a}$ < $\sqrt{b}$ können wir auch das Minimum der quadratischen Funktion unter der Wurzel bestimmen, um die gesuchte Zeit t zu erhalten. Dazu leiten wir diese erst mal zwei mal ab:

$f'(t) =$ $10 x - 20 + 0$

$f''(t) =$ $10 + 0 + 0$

mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t= $2$ als potentielle Extremstelle.

Wegen $f''(t) =$ $10 + 0 + 0$ >0 ist also der Tiefpunkt bei t= $2$ .

der minimale Abstand ist also d( $2$ )= $\sqrt{5 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 146}$ = $\sqrt{126}$ ≈ 11.2 (in m)

Zwei Objekte Aufgabe - Abstände (ohne windschief)

Beispiel:

Flugzeug Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 4 \\ 10 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ -6 \\ -3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(3 | 17 | 7)$ . Nach 3min ist es im Punkt B $(15 | -4 | -2)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 2min von einander entfernt?
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die beiden Flugzeuge am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 12 \\ -21 \\ -9 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 12 \\ -21 \\ -9 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 4 \\ -7 \\ -3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 17 \\ 7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ -7 \\ -3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P1 $(\begin{matrix} 4 \\ 10 \\ 0 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ -6 \\ -3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 12 \\ -2 \\ -6 \end{matrix})$ und F2 an der Stelle P2 $(\begin{matrix} 3 \\ 17 \\ 7 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ -7 \\ -3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 11 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(12 | -2 | -6)

und P₂

(11 | 3 | 1)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 11 - 12 \\ 3 - (-2) \\ 1 - (-6) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -1 \\ 5 \\ 7 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -1 \\ 5 \\ 7 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-1)}^{2} + 5^{2} + 7^{2}}

=

\sqrt{75}

≈ 8.6602540378444

Der Abstand ist also ca. 8.66 km.

Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.

Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen ${G1}_{t} (4 + 4 t | 10 - 6 t | 0 - 3 t)$ und ${G2}_{t} (3 + 4 t | 17 - 7 t | 7 - 3 t)$ minimal wird.

d(t)= $| (\begin{matrix} 3 + 4 t \\ 17 - 7 t \\ 7 - 3 t \end{matrix}) - (\begin{matrix} 4 + 4 t \\ 10 - 6 t \\ 0 - 3 t \end{matrix}) |$ = $| (\begin{matrix} -1 + 0 t \\ 7 - 1 t \\ 7 + 0 t \end{matrix}) |$ soll also minimal werden.

d(t)= $\sqrt{{(0 - 1)}^{2} + {(- t + 7)}^{2} + {(0 + 7)}^{2}}$
= $\sqrt{1 + t^{2} - 14 t + 49 + 49}$
= $\sqrt{t^{2} - 14 t + 99}$

da $a < b \Leftrightarrow$ $\sqrt{a}$ < $\sqrt{b}$ können wir auch das Minimum der quadratischen Funktion unter der Wurzel bestimmen, um die gesuchte Zeit t zu erhalten. Dazu leiten wir diese erst mal zwei mal ab:

$f'(t) =$ $2 x - 14 + 0$

$f''(t) =$ $2 + 0 + 0$

mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t= $7$ als potentielle Extremstelle.

Wegen $f''(t) =$ $2 + 0 + 0$ >0 ist also der Tiefpunkt bei t= $7$ .

der minimale Abstand ist also d( $7$ )= $\sqrt{7^{2} - 14 \cdot 7 + 99}$ = $\sqrt{50}$ ≈ 7.1

Nicht lineare Bewegung

Beispiel:

Ein Fußballtorwart führt eine Abschlag auf einem Fußballplatz durch, der durch die x₁x₂-Ebene beschrieben wird. Die Bahn des Fußballs kann mithilfe der Punkte X_t( $12 t - 2$ | $16 t + 4$ | $- t^{2} + 1,2 t$ ) beschrieben werden; dabei ist t die seit dem Abschlag vergangene Zeit in Sekunden (Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m in der Realität). Auf dieser Bahn fliegt der Ball auf den Fußballplatz.
Berechne die Weite des Abschlags, also die Entfernung zwischen dem Punkt des Abstoßes und dem Punkt, bei dem der Ball das erste mal wieder auf dem Boden landet.

Lösung einblenden

Zuerst berechnen den t-Wert, an dem der Fußball auf die x₁x₂-Ebene trifft, also wenn x₃= 0 ist:

$- x^{2} + 1,2 x$	=	0
$x (- x + 1,2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1,2$	=	0	\| $- 1,2$
$- x$	=	$- 1,2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1,2$

Das heißt also, dass der Fußball nach 1,2 s in der x₁x₂-Ebene angekommen ist. Wenn wir t = 1,2 in den Punkt X_t einsetzen, erhalten wir L( $12 \cdot 1,2 - 2$ | $16 \cdot 1,2 + 4$ | $- {1,2}^{2} + 1,2 \cdot 1,2$ ) = L $(12.4 | 23.2 | 0)$ als den Landepunkt.

Da ja der Fußball im Punkt A $(-2 | 4 | 0)$ losgeflogen ist, können wir die gesuchte Weite einfach als Länge des
Vektors $\vec{AL}$ = $(\begin{matrix} 12.4 - (-2) \\ 23.2 - 4 \\ 0 - 0 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 14.4 \\ 19.2 \\ 0 \end{matrix})$ berechnen:

d = $\sqrt{{14.4}^{2} + {19.2}^{2} + 0^{2}}$ = 24

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

nach x Minuten

Bewegungsaufgabe mit geg. Geschwindigkeit

Höhe nach x Kilometern

Zwei Objekte - gleiche Höhe

Zwei Objekte Aufgabe - Abstände

Zwei Objekte Aufgabe - Abstände

Zwei Objekte Aufgabe - Abstände (ohne windschief)

Nicht lineare Bewegung