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Symmetrieeigenschaften (elementar)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= 7 vorliegt.

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Da f nur gerade Hochzahlen hat, ist ihr Schaubild achsensymmetrisch zur y-Achse.

Symmetrie bestimmen (allg.)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 3 x 2 +1 vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 3 ( -x ) 2 +1 = - x 3 x 2 +1 = - x 3 x 2 +1

Wenn man das mit f(x) = x 3 x 2 +1 vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = - x 3 x 2 +1 gerade das Negative von f(x), also -f(x) = - x 3 x 2 +1 ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Verhalten gegen ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = 3 x 5 -4 x 4 -3 x 3 +4 x 2 für x → -∞ und für x → ∞.

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Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent 3 x 5 immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei 3 x 5 ungerade ist, hat x 5 ein negatives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit 3 erhalten wir so also ein negatives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ 3 x 5 → -∞

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ 3 x 5 -4 x 4 -3 x 3 +4 x 2 → -∞

x → + ∞

x 5 hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit 3 erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ 3 x 5 → ∞

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ 3 x 5 -4 x 4 -3 x 3 +4 x 2 → ∞

Term mit Grenzverhalten bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • der Grad von f muss mindestens 2 sein
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞
  • f(1) = -4

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Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ verschieden ist, muss der Grad einer solchen Funktion ungerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 2 sind muss nehmen wir am besten 3 als Grad.

Für f(x) = x 3 wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = 1 3 = 1 ist aber leider nicht -4. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende -4 -1 = -5 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term x 3 hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: f(x)= x 3 -5

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet