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Symmetrieeigenschaften (elementar)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{9} + 6 x^{7} + 2 x^{5} + 6 x^{3} + 8 x^{2}$ vorliegt.

Da f sowohl gerade ( $8 x^{2}$ ) als auch ungerade Hochzahlen ( $3 x^{9}$ ) hat, besitzt ihr Schaubild keine Symmetrie zum Koordninatensystem.

Symmetrie bestimmen (allg.)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{x^{3} + x}{x^{3}}$ vorliegt.

Lösung einblenden

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\frac{{(- x)}^{3} + (- x)}{{(- x)}^{3}}$ = $- (\frac{- x^{3}}{x^{3}} + \frac{- x}{x^{3}})$

Wenn man das mit f(x) = $\frac{x^{3} + x}{x^{3}}$ = $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Verhalten gegen ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $2 x^{2} + 5$ für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent $2 x^{2}$ immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei $2 x^{2}$ gerade ist, hat $x^{2}$ ein positives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit $2$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ $2 x^{2}$ → $\infty$

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ $2 x^{2} + 5$ → $\infty$

x → + ∞

$x^{2}$ hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit $2$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ $2 x^{2}$ → $\infty$

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ $2 x^{2} + 5$ → $\infty$

Term mit Grenzverhalten bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

der Grad von f muss mindestens 3 sein
Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞
f(1) = 3

Lösung einblenden

Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ verschieden ist, muss der Grad einer solchen Funktion ungerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 3 sind muss nehmen wir am besten 3 als Grad.

Für f(x) = $x^{3}$ wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = $1^{3}$ = 1 ist aber leider nicht 3. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende 3 -1 = 2 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term $x^{3}$ hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: $f(x) =$ $x^{3} + 2$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet