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Symmetrieeigenschaften (elementar)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= -5 x 3 +4x vorliegt.

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Da f nur ungerade Hochzahlen hat, ist ihr Schaubild punktsymmetrisch zum Ursprung.

Symmetrie bestimmen (allg.)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 2 +1 x 3 +1 vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 2 +1 ( -x ) 3 +1 = x 2 +1 - x 3 +1

Wenn man das mit f(x) = x 2 +1 x 3 +1 vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = x 2 +1 - x 3 +1
weder gleich f(x) = x 2 +1 x 3 +1 noch gleich -f(x) = - x 2 +1 x 3 +1 = - x 2 +1 x 3 +1 ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Verhalten gegen ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = 5 x 4 +2 x 2 -5 für x → -∞ und für x → ∞.

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Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent 5 x 4 immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei 5 x 4 gerade ist, hat x 4 ein positives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit 5 erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ 5 x 4 → ∞

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ 5 x 4 +2 x 2 -5 → ∞

x → + ∞

x 4 hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit 5 erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ 5 x 4 → ∞

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ 5 x 4 +2 x 2 -5 → ∞

Term mit Grenzverhalten bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • der Grad von f muss mindestens 4 sein
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞
  • f(1) = 4

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Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ verschieden ist, muss der Grad einer solchen Funktion ungerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 4 sind muss nehmen wir am besten 5 als Grad.

Für f(x) = - x 5 wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = - 1 5 = -1 ist aber leider nicht 4. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende 4 -( - 1 ) = 5 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term - x 5 hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: f(x)= - x 5 +5

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet