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Symmetrieeigenschaften (elementar)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= -7 x 6 -7 x 4 -6 x 2 +9 vorliegt.

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Da f nur gerade Hochzahlen hat, ist ihr Schaubild achsensymmetrisch zur y-Achse.

Symmetrie bestimmen (allg.)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 2 x 3 + x vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 2 ( -x ) 3 + ( -x ) = x 2 - x 3 - x = - x x 2 +1

Wenn man das mit f(x) = x 2 x 3 + x = x x 2 +1 vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = - x x 2 +1 gerade das Negative von f(x), also -f(x) = - x 2 x 3 + x ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Verhalten gegen ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = -2 x 5 +2 x 4 +3 x 2 -5 für x → -∞ und für x → ∞.

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Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent -2 x 5 immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei -2 x 5 ungerade ist, hat x 5 ein negatives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit -2 erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ -2 x 5 → ∞

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ -2 x 5 +2 x 4 +3 x 2 -5 → ∞

x → + ∞

x 5 hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit -2 erhalten wir so also ein negatives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ -2 x 5 → -∞

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ -2 x 5 +2 x 4 +3 x 2 -5 → -∞

Term mit Grenzverhalten bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • der Grad von f muss mindestens 3 sein
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞
  • f(1) = 4

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Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ verschieden ist, muss der Grad einer solchen Funktion ungerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 3 sind muss nehmen wir am besten 3 als Grad.

Für f(x) = - x 3 wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = - 1 3 = -1 ist aber leider nicht 4. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende 4 -( - 1 ) = 5 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term - x 3 hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: f(x)= - x 3 +5

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet