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Symmetrieeigenschaften (elementar)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{6} - 3 x^{4} - 7 x^{2} + 9$ vorliegt.

Lösung einblenden

Da f nur gerade Hochzahlen hat, ist ihr Schaubild achsensymmetrisch zur y-Achse.

Symmetrie bestimmen (allg.)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2^{x^{2} + 1}$ vorliegt.

Lösung einblenden

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{2} + 2^{{(- x)}^{2} + 1}$ = $x^{2} + 2^{x^{2} + 1}$ = $2^{x^{2} + 1} + x^{2}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{2} + 2^{x^{2} + 1}$ = $2^{x^{2} + 1} + x^{2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Verhalten gegen ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 4 x^{2} - 5 x + 2$ für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent $- 4 x^{2}$ immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei $- 4 x^{2}$ gerade ist, hat $x^{2}$ ein positives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit $- 4$ erhalten wir so also ein negatives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ $- 4 x^{2}$ → $- \infty$

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ $- 4 x^{2} - 5 x + 2$ → $- \infty$

x → + ∞

$x^{2}$ hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit $- 4$ erhalten wir so also ein negatives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ $- 4 x^{2}$ → $- \infty$

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ $- 4 x^{2} - 5 x + 2$ → $- \infty$

Term mit Grenzverhalten bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

der Grad von f muss mindestens 2 sein
Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞
f(1) = 3

Lösung einblenden

Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ verschieden ist, muss der Grad einer solchen Funktion ungerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 2 sind muss nehmen wir am besten 3 als Grad.

Für f(x) = $- x^{3}$ wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = $- 1^{3}$ = -1 ist aber leider nicht 3. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende 3 -( - 1 ) = 4 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term $- x^{3}$ hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: $f(x) =$ $- x^{3} + 4$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet