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Symmetrieeigenschaften (elementar)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{7} - 2 x^{5} - 7 x^{4} + 2 x$ vorliegt.

Da f sowohl gerade ( $- 7 x^{4}$ ) als auch ungerade Hochzahlen ( $3 x^{7}$ ) hat, besitzt ihr Schaubild keine Symmetrie zum Koordninatensystem.

Symmetrie bestimmen (allg.)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot 2^{x^{2} + 1}$ vorliegt.

Lösung einblenden

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{3} \cdot 2^{{(- x)}^{2} + 1}$ = $- x^{3} \cdot 2^{x^{2} + 1}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{3} \cdot 2^{x^{2} + 1}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- x^{3} \cdot 2^{x^{2} + 1}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- x^{3} \cdot 2^{x^{2} + 1}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Verhalten gegen ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 2 x^{2} - x - 2$ für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent $- 2 x^{2}$ immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei $- 2 x^{2}$ gerade ist, hat $x^{2}$ ein positives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit $- 2$ erhalten wir so also ein negatives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ $- 2 x^{2}$ → $- \infty$

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ $- 2 x^{2} - x - 2$ → $- \infty$

x → + ∞

$x^{2}$ hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit $- 2$ erhalten wir so also ein negatives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ $- 2 x^{2}$ → $- \infty$

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ $- 2 x^{2} - x - 2$ → $- \infty$

Term mit Grenzverhalten bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

der Grad von f muss mindestens 4 sein
Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞
f(1) = -3

Lösung einblenden

Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ verschieden ist, muss der Grad einer solchen Funktion ungerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 4 sind muss nehmen wir am besten 5 als Grad.

Für f(x) = $- x^{5}$ wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = $- 1^{5}$ = -1 ist aber leider nicht -3. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende -3 -( - 1 ) = -2 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term $- x^{5}$ hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: $f(x) =$ $- x^{5} - 2$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrieeigenschaften (elementar)

Symmetrie bestimmen (allg.)

Verhalten gegen ∞

x → - ∞

x → + ∞

Term mit Grenzverhalten bestimmen