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Symmetrieeigenschaften (elementar)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $8 x^{5} - 8 x^{3} - 7 x$ vorliegt.

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Da f nur ungerade Hochzahlen hat, ist ihr Schaubild punktsymmetrisch zum Ursprung.

Symmetrie bestimmen (allg.)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $- x + \sqrt{30 x^{2} + x}$ vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $- (- x) + \sqrt{30 {(- x)}^{2} + (- x)}$ = $x + \sqrt{30 x^{2} - x}$ = $\sqrt{30 x^{2} - x} + x$

Wenn man das mit f(x) = $- x + \sqrt{30 x^{2} + x}$ = $\sqrt{30 x^{2} + x} - x$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $\sqrt{30 x^{2} - x} + x$
weder gleich f(x) = $- x + \sqrt{30 x^{2} + x}$ noch gleich -f(x) = $- (- x + \sqrt{30 x^{2} + x})$ = $- (\sqrt{30 x^{2} + x} - x)$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Verhalten gegen ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $5 x^{2} - x - 1$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent $5 x^{2}$ immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei $5 x^{2}$ gerade ist, hat $x^{2}$ ein positives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit $5$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ $5 x^{2}$ → $\infty$

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ $5 x^{2} - x - 1$ → $\infty$

x → + ∞

$x^{2}$ hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit $5$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ $5 x^{2}$ → $\infty$

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ $5 x^{2} - x - 1$ → $\infty$

Term mit Grenzverhalten bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

der Grad von f muss mindestens 3 sein
Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞
f(1) = 1

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Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ gleich ist, muss der Grad einer solchen Funktion gerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 3 sind muss nehmen wir am besten 4 als Grad.

Für f(x) = $x^{4}$ wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = $1^{4}$ = 1 passt zufällig auch schon.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: $f(x) =$ $x^{4}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet