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Symmetrieeigenschaften (elementar)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $7 x^{3} - 3 x$ vorliegt.

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Da f nur ungerade Hochzahlen hat, ist ihr Schaubild punktsymmetrisch zum Ursprung.

Symmetrie bestimmen (allg.)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{x}{x^{3} + x}$ vorliegt.

Lösung einblenden

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\frac{(- x)}{{(- x)}^{3} + (- x)}$ = $- \frac{x}{- x^{3} - x}$ = $\frac{1}{x^{2} + 1}$

Wenn man das mit f(x) = $\frac{x}{x^{3} + x}$ = $\frac{1}{x^{2} + 1}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Verhalten gegen ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $x^{4} + 4 x^{3} - 3 x$ für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent $x^{4}$ immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei $x^{4}$ gerade ist, hat $x^{4}$ ein positives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit $1$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ $x^{4}$ → $\infty$

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ $x^{4} + 4 x^{3} - 3 x$ → $\infty$

x → + ∞

$x^{4}$ hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit $1$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ $x^{4}$ → $\infty$

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ $x^{4} + 4 x^{3} - 3 x$ → $\infty$

Term mit Grenzverhalten bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

der Grad von f muss mindestens 4 sein
Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞
f(1) = -4

Lösung einblenden

Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ verschieden ist, muss der Grad einer solchen Funktion ungerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 4 sind muss nehmen wir am besten 5 als Grad.

Für f(x) = $x^{5}$ wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = $1^{5}$ = 1 ist aber leider nicht -4. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende -4 -1 = -5 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term $x^{5}$ hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: $f(x) =$ $x^{5} - 5$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet