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Symmetrieeigenschaften (elementar)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x^{8} - 9 x^{5} + 3 x^{3} + 6 x$ vorliegt.

Da f sowohl gerade ( $- 5 x^{8}$ ) als auch ungerade Hochzahlen ( $- 9 x^{5}$ ) hat, besitzt ihr Schaubild keine Symmetrie zum Koordninatensystem.

Symmetrie bestimmen (allg.)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + \sqrt{10 x^{2} + x}$ vorliegt.

Lösung einblenden

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $- 3 {(- x)}^{2} + \sqrt{10 {(- x)}^{2} + (- x)}$ = $- 3 x^{2} + \sqrt{10 x^{2} - x}$ = $\sqrt{10 x^{2} - x} - 3 x^{2}$

Wenn man das mit f(x) = $- 3 x^{2} + \sqrt{10 x^{2} + x}$ = $\sqrt{10 x^{2} + x} - 3 x^{2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $\sqrt{10 x^{2} - x} - 3 x^{2}$
weder gleich f(x) = $- 3 x^{2} + \sqrt{10 x^{2} + x}$ noch gleich -f(x) = $- (- 3 x^{2} + \sqrt{10 x^{2} + x})$ = $- (\sqrt{10 x^{2} + x} - 3 x^{2})$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Verhalten gegen ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $4 x^{2} - 4 x + 5$ für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent $4 x^{2}$ immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei $4 x^{2}$ gerade ist, hat $x^{2}$ ein positives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit $4$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ $4 x^{2}$ → $\infty$

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ $4 x^{2} - 4 x + 5$ → $\infty$

x → + ∞

$x^{2}$ hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit $4$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ $4 x^{2}$ → $\infty$

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ $4 x^{2} - 4 x + 5$ → $\infty$

Term mit Grenzverhalten bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

der Grad von f muss mindestens 3 sein
Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞
f(1) = 2

Lösung einblenden

Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ gleich ist, muss der Grad einer solchen Funktion gerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 3 sind muss nehmen wir am besten 4 als Grad.

Für f(x) = $x^{4}$ wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = $1^{4}$ = 1 ist aber leider nicht 2. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende 2 -1 = 1 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term $x^{4}$ hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: $f(x) =$ $x^{4} + 1$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrieeigenschaften (elementar)

Symmetrie bestimmen (allg.)

Verhalten gegen ∞

x → - ∞

x → + ∞

Term mit Grenzverhalten bestimmen