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Symmetrieeigenschaften (elementar)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{8} + 8 x^{6} + 8 x^{4} + 5 x^{2} - 4$ vorliegt.

Lösung einblenden

Da f nur gerade Hochzahlen hat, ist ihr Schaubild achsensymmetrisch zur y-Achse.

Symmetrie bestimmen (allg.)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $3 x \cdot \sqrt{30 x^{2} + 10}$ vorliegt.

Lösung einblenden

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $3 (- x) \cdot \sqrt{30 {(- x)}^{2} + 10}$ = $- 3 x \cdot \sqrt{30 x^{2} + 10}$

Wenn man das mit f(x) = $3 x \cdot \sqrt{30 x^{2} + 10}$ = $3 x \cdot \sqrt{30 x^{2} + 10}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- 3 x \sqrt{30 x^{2} + 10}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- 3 x \cdot \sqrt{30 x^{2} + 10}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Verhalten gegen ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 3 x^{5} + 4 x^{4} - x^{3} - 4 x^{2}$ für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent $- 3 x^{5}$ immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei $- 3 x^{5}$ ungerade ist, hat $x^{5}$ ein negatives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit $- 3$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ $- 3 x^{5}$ → $\infty$

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ $- 3 x^{5} + 4 x^{4} - x^{3} - 4 x^{2}$ → $\infty$

x → + ∞

$x^{5}$ hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit $- 3$ erhalten wir so also ein negatives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ $- 3 x^{5}$ → $- \infty$

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ $- 3 x^{5} + 4 x^{4} - x^{3} - 4 x^{2}$ → $- \infty$

Term mit Grenzverhalten bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

der Grad von f muss mindestens 2 sein
Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞
f(1) = -3

Lösung einblenden

Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ gleich ist, muss der Grad einer solchen Funktion gerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 2 sind muss nehmen wir am besten 2 als Grad.

Für f(x) = $- x^{2}$ wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = $- 1^{2}$ = -1 ist aber leider nicht -3. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende -3 -( - 1 ) = -2 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term $- x^{2}$ hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: $f(x) =$ $- x^{2} - 2$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrieeigenschaften (elementar)

Symmetrie bestimmen (allg.)

Verhalten gegen ∞

x → - ∞

x → + ∞

Term mit Grenzverhalten bestimmen