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Bruch mal Zahl (einfach)

Beispiel:

Berechne.

$\frac{2}{5}$ ⋅ 3

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Einen Bruch multipliziert man mit einer Zahl, in dem man die Zahl mit dem Zähler multipliziert:

= $\frac{2 ⋅ 3}{5}$

= $\frac{6}{5}$

Bruch mal Zahl (kürzen)

Beispiel:

Berechne: 12 ⋅ $\frac{5}{9}$

Gib den Bruch vollständig gekürzt ein!

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Man erkennt, dass 12 und 9 im Nenner beide 3 als Teiler haben.

Wir können also diagonal mit 3 kürzen:

12 ⋅ $\frac{5}{9}$ = 4 ⋅ $\frac{5}{3}$ = $\frac{20}{3}$

Bruch mal Zahl (rückwärts einfach)

Beispiel:

Berechne.

$\frac{⬜}{6}$ ⋅ 5 = $\frac{5}{6}$

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Einen Bruch multipliziert man mit einer Zahl, in dem man die Zahl mit dem Zähler multipliziert:

$\frac{⬜ ⋅ 5}{6}$ = $\frac{5}{6}$

Da die Nenner gleich sind, müssen auch die Zähler gleich sein:

⬜ ⋅ 5 = 5

⬜ = 1

Bruch mal Zahl (rückwärts schwerer)

Beispiel:

Berechne.

$\frac{8}{⬜}$ : ( - 2 ) = $- \frac{4}{5}$

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Einen Bruch dividiert man durch eine Zahl, in dem man die Zahl in den Nenner reinmultipliziert:

$\frac{8}{⬜ ⋅(-2)}$ = $- \frac{4}{5}$

Leider sind jetzt weder Zähler noch Nenner bei den Brüchen links und rechts vom Gleichheitszeichen gleich.
Wenn man den Bruch rechts jedoch mit 2 erweitert würden die Zähler gleich werden:

$\frac{8}{⬜ ⋅(-2)}$ = $- \frac{8}{10}$

Da jetzt die Zähler gleich sind, müssen auch die Nenner gleich sein:

Damit die Zähler wirklich gleich sind, muss das Minuszeichen in den Nenner.

⬜ ⋅ ( - 2 ) = -10

⬜ = 5

Multiplizieren (einfach)

Beispiel:

Berechne.

$\frac{8}{9}$ ⋅ $\frac{5}{3}$

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= $\frac{8}{9}$ ⋅ $\frac{5}{3}$

Zwei Brüche multipliziert man, indem man die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils miteinander multipliziert:

= $\frac{8 ⋅ 5}{9 ⋅ 3}$

= $\frac{40}{27}$

Multiplizieren (mit kürzen)

Beispiel:

Berechne. Kürze dabei bereits vor dem Multiplizieren:

$\frac{3}{4} \cdot \frac{12}{5}$

Der Bruch muss vollständig gekürzt eingegeben werden!

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Zwei Brüche multipliziert man, in dem man die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils miteinander multipliziert:

= $\frac{3}{4} \cdot \frac{12}{5}$

= $\frac{3 ⋅ 12}{4 ⋅ 5}$

Bevor wir jetzt aber die Produkte im Zähler und Nenner ausmultiplizieren, sollten wir erst mal schauen, ob wir nicht kürzen können:

= $\frac{3 \cdot 12}{4 \cdot 5}$

Und da sowohl 12 als auch 4 die 4 als Teiler haben, können wir also diagonal mit 4 kürzen:

= $\frac{3 \cdot 3}{1 \cdot 5}$

= $\frac{9}{5}$

Multiplizieren (auch negative)

Beispiel:

Berechne. Kürze dabei bereits vor dem Multiplizieren:

$\frac{7}{12} \cdot (- \frac{4}{7})$

Der Bruch muss vollständig gekürzt eingegeben werden!

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Zwei Brüche multipliziert man, in dem man die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils miteinander multipliziert:

Zuvor sollten wir uns aber noch Gedanken machen welches Vorzeichen denn der Ergebnisbruch hat.
Wie bei den ganzen Zahlen gilt auch hier : "Plus mal Minus = Minus". Unser Ergebnisbruch ist somit negativ.

= $\frac{7}{12} \cdot (- \frac{4}{7})$

= $-$ $\frac{7 ⋅ 4}{12 ⋅ 7}$

Bevor wir jetzt aber die Produkte im Zähler und Nenner ausmultiplizieren, sollten wir erst mal schauen, ob wir nicht kürzen können:

= $-$ $\frac{7 \cdot 4}{12 \cdot 7}$

Und da sowohl 4 als auch 12 die 4 als Teiler haben, können wir also diagonal mit 4 kürzen:

= $-$ $\frac{7 \cdot 1}{3 \cdot 7}$

Und da sowohl 7 als auch 7 die 7 als Teiler hat, können wir also auch diagonal mit 7 kürzen:

= $-$ $\frac{7 \cdot 1}{3 \cdot 7}$

= $-$ $\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 1}$

= $- \frac{1}{3}$

Anteile von Brüchen

Beispiel:

Berechne: drei Fünftel von $\frac{5}{6}$

Gib den Bruch vollständig gekürzt ein!

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drei Fünftel von $\frac{5}{6}$
oder $\frac{3}{5}$ von $\frac{5}{6}$
rechnet man als $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ .

$\frac{3}{5}$ $\cdot$ $\frac{5}{6}$ = $\frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 6}$ = $\frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 2}$

= $\frac{1}{2}$

Bruch von Bruch (graphisch)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Wie groß ist der Anteil am Kreis, wenn man $\frac{2}{3}$ der gefärbten Fläche nimmt:

Der Bruch muss vollständig gekürzt eingegeben werden!

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Zuerst zählen wir die Anzahl aller Sektoren des Kreises als Nenner und die Anzahl der eingefärbten als Zähler und erhalten so $\frac{3}{8}$ als den im Kreis dargestellten Bruch.

Wir suchen also den Anteil der $\frac{2}{3}$ von $\frac{3}{8}$ entspricht.

Dazu rechnen wir:

$\frac{2}{3}$ $\cdot$ $\frac{3}{8}$

= $\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 8}$

= $\frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 4}$

= $\frac{1}{4}$

Multipl. gemischte Brüche (mit kürzen)

Beispiel:

Berechne. Kürze dabei bereits vor dem Multiplizieren:

$- 1 \frac{5}{9}$ ⋅ $(- \frac{5}{12})$

Der Bruch muss vollständig gekürzt eingegeben werden!

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Da wir die Brüche verrechnen möchten, sollten wir die gemischten Brüche unbedingt erstmal in echte Brüche umwandeln:

$- 1 \frac{5}{9}$ = $- (1 + \frac{5}{9})$ = $- (\frac{9}{9} + \frac{5}{9})$ = $- \frac{9 + 5}{9}$ = $- \frac{14}{9}$

Zwei Brüche multipliziert man, in dem man die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils miteinander multipliziert:

Zuvor sollten wir uns aber noch Gedanken machen welches Vorzeichen denn der Ergebnisbruch hat.
Wie bei den ganzen Zahlen gilt auch hier : "Minus mal Minus = Plus". Unser Ergebnisbruch ist somit positiv.

= $- 1 \frac{5}{9}$ ⋅ $(- \frac{5}{12})$

= $- \frac{14}{9}$ ⋅ $(- \frac{5}{12})$

= $\frac{14 ⋅ 5}{9 ⋅ 12}$

Bevor wir jetzt aber die Produkte im Zähler und Nenner ausmultiplizieren, sollten wir erst mal schauen, ob wir nicht kürzen können:

Und da sowohl 14 als auch 12 die 2 als Teiler hat, können wir also auch diagonal mit 2 kürzen:

= $\frac{14 \cdot 5}{9 \cdot 12}$

= $\frac{7 \cdot 5}{9 \cdot 6}$

= $\frac{35}{54}$

3 Brüche multiplizieren

Beispiel:

Berechne: $\frac{28}{6} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{4}{8}$

Gib den Bruch vollständig gekürzt ein!

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Zuerst schauen, wir ob man einen der drei Brüchen kürzen kann.

Dies funktioniert mit $\frac{28}{6}$ = $\frac{14}{3}$ und $\frac{4}{8}$ = $\frac{1}{2}$ , so dass wir also $\frac{28}{6} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{4}{8}$ = $\frac{14}{3} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{2}$ berechnen müssen.

Wir schauen nun, ob wir diagonal kürzen können:

$\frac{14}{3} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{2 \cdot 7}{3}$ ⋅ $\frac{2}{1 \cdot 7}$ ⋅ $\frac{1}{2}$

= $\frac{2}{3} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{1 \cdot 2}{3}$ ⋅ $2$ ⋅ $\frac{1}{1 \cdot 2}$

= $\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 1$

jetzt einfach noch die Brüche multiplizieren

= $\frac{1 ⋅ 2 ⋅ 1}{3 ⋅ 1 ⋅ 1}$

= $\frac{2}{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruch mal Zahl (einfach)

Bruch mal Zahl (kürzen)

Bruch mal Zahl (rückwärts einfach)

Bruch mal Zahl (rückwärts schwerer)

Multiplizieren (einfach)

Multiplizieren (mit kürzen)

Multiplizieren (auch negative)

Anteile von Brüchen

Bruch von Bruch (graphisch)

Multipl. gemischte Brüche (mit kürzen)

3 Brüche multiplizieren